Dipolo elettrico - Giulio Raganelli...
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Se un sistema possiede carica complessiva nulla può generare nello spazio campi elettrici?
La risposta è affermativa: basta che esso sia localmente carico
Esempio: una molecola di acqua
Quale sarà il caso più semplice?
Dipolo Elettrico
Φ r( ) = 14πε0
q1
x2 + y2 + (z − d)2−
1x2 + y2 + (z + d)2
⎧⎨⎪
⎩⎪
⎫⎬⎪
⎭⎪
Caso particolare:
R >> 2d
possiamo sviluppare in serie l’espressione per il potenziale
x2 + y2 + (z ± d)2 = R2 ± 2zd + d 2 R2 ± 2zd = R2 ⋅ 1± 2zdR2
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
Φ r( ) 14πε0
q1
R 1− 2zdR2
−1
R 1+ 2zdR2
⎧
⎨⎪⎪
⎩⎪⎪
⎫
⎬⎪⎪
⎭⎪⎪
1+ x( )−1/2 1− x2Ricordando che:
Φ r( ) 14πε0
qR
1+ zdR2
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟− 1− zd
R2⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
⎧⎨⎩
⎫⎬⎭=
14πε0
q2zdR3
Φ r( ) 14πε0
2dq zR3
Non ha simmetria sferica
Dipende dall’inverso del quadrato della distanza
Solo il prodotto “2dq” può essere sperimentalmente determinato mantenendosi a
grande distanza
Se l’unico parametro caratterizzante il sistema estraibile da misure è “2dq” , occorre introdurlo esplicitamente
p = 2dq
Φ r( ) 14πε0
pzR3
Momento dipolare
In coordinate sferiche:
Φ r( ) 14πε0
pcos θ( )R2
Riflette la simmetria del sistema di cariche
All’aumentare della distanza diviene rapidamente indistinguibile da un
oggetto neutro
Lineare in “d” in quanto per ‘d’ tendente a zero
otterremmo un oggetto neutro
Lineare in “q” per l’additività dei potenziali
Se fossimo obbligati a restare a grande distanza non verrebbe in mente l’introduzione di “cariche” e distanze”, se restassimo sempre
a piccola distanza quanto sopra sarebbe semplicemente errato
Si è ricavata l’espressione del potenziale scegliendo un opportuno sistema di coordinate, scelto in modo che i calcoli siano semplici.
Quale sarà l’espressione in un generico sistema di coordinate?
Invece di fare esplicitamente il calcolo, ragioniamo come segue
• In un determinato punto dello spazio il valore del potenziale non dipende dal sistema di coordinate usato per ricavarlo
• È una quantità scalare
• Vedere se è possibile riscrivere l’espressione trovata per il potenziale in termini di grandezze definibili indipendentemente dal particolare sistema di coordinate scelto
Un esempio: il prodotto scalare di due vettori
A ⋅B = AxBx + AyBy + AzBz
A ⋅B =
A ⋅B ⋅ cos θ( )
Abbiamo bisogno di scegliere un sistema di coordinate
Non abbiamo bisogno di un sistema di coordinate; basta una riga ed un goniometro
Nel primo caso, scegliendo un opportuno sistema di coordinate, l’espressione si può
semplificare
A ⋅B = AxBx + 0 ⋅ By + 0 ⋅ Bz = AxBx
Invertiamo il ragionamento:
Se, in un dato sistema di coordinate, ho una espressione del tipo
posso domandarmi se sia l’espressione di un prodotto scalare in quel particolare sistema di coordinate
Se è vero, posso sostituirla con: s = a ⋅
b ⋅ cos θ( )
ottenendo così una espressione valida in qualsiasi sistema di coordinate
ax ⋅bx = sil cui risultato so essere indipendente dalla scelta del sistema di coordinate,
Φ r( ) 14πε0
pcos θ( )R2
R : modulo vettore posizione del punto
Distanza tra il punto centrale del dipolo ed il punto dello
spazio
Il coseno compare nei prodotti scalari
Dovremo identificare due grandezze vettoriali formati tra loro un angolo pari a θ
La prima è il vettore che porta dal centro del dipolo al punto
Per la seconda notiamo che
è il prodotto tra una quantità scalare “q” ed una distanza “2d”, che è il modulo di un vettore.
p = 2dq
Sorge quindi immediata l’attribuzione di un carattere vettoriale al momento dipolare
p = qD localizzato nel punto di
mezzo tra le cariche
D : distanza tra le cariche
q : valore assoluto della carica di una delle particelle
Φ r( ) 14πε0
p ⋅R
R3=
14πε0
p ⋅ eRR2
Per essere valutata non ha bisogno di un particolare sistema di coordinate: quindi è valida in generale
Campo elettrico di un dipolo
Ex =p
4πε0
3zxR5
=p
4πε0
3cos θ( )sin θ( )cos φ( )R3
Ey =p
4πε0
3zyR5
=p
4πε0
3cos θ( )sin θ( )sin φ( )R3
Ez =p
4πε0
3z2 − R2
R5=
p4πε0
3cos θ( )2 −1R3
⎧
⎨
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
E = −
∇Φ r( ) = −
14πε0
p ⋅∇
z
x2 + y2 + z2( )3/2
Come è diretto il campo?
Ex =p
4πε0
3zxR5
=p
4πε0
3cos θ( )sin θ( )cos φ( )R3
Ey =p
4πε0
3zyR5
=p
4πε0
3cos θ( )sin θ( )sin φ( )R3
Ez =p
4πε0
3z2 − R2
R5=
p4πε0
3cos θ( )2 −1R3
⎧
⎨
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
Ex
i + Ey
j =
p4πε0
3cos θ( )sin θ( )R3
cos φ( )i + sin φ( )
j( ) = p
4πε0
3cos θ( )sin θ( )R3
ζ
Ez
k =
p4πε0
3cos θ( )2 −1R3
k
Come è diretto?
zz
Quindi il campo giace nel piano definito dal dipolo e dal
punto considerato
Si poteva prevedere che il campo non ha componente perpendicolare al piano?
Φ r( ) 14πε0
pcos θ( )R2
Analogamente a quanto fatto per il potenziale, svincoliamoci dal sistema di coordinate
Ez
k =
p4πε0
3cos θ( )2 −1R3
k
Eζ
ζ =
p4πε0
3cos θ( )sin θ( )R3
ζ
Scriveremo
E = Eζ
ζ + Ez
k =
p4πε0
3cos θ( )sin θ( )R3
ζ +
p4πε0
3cos θ( )2 −1R3
k =
=p
4πε0
1R3
3cos θ( ) sin θ( )ζ + cos θ( )
k⎡⎣ ⎤⎦ −
k( ) zz
E =
p4πε0
1R3
3cos θ( ) eR −k( ) = 1
4πε0
3 p ⋅ eR( ) eR − pR3
Se il sistema è composto da numerose cariche?
Φ r( ) = 14πε0
qirii
∑
distanza della generica carica dal punto in considerazione
Se il punto “p” è lontano dalle cariche, posso scrivere una espressione approssimata per le distanze ri
ri r −
di ⋅er
Φ r( ) 14πε0
dqir −di ⋅eri
∑i
14πε0
dqiri
∑ 1+di ⋅err
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
Ottenendo:
e, quindi
Potenziale di una carica pari alla carica totale del sistema , posta nell’origine
Potenziale dipolare equivalente a quello di un dipolo posto nell’origine
Cosa accade se scelgo un diverso punto per origine?
Qtot non cambia, “r” cambia Il valore del primo dei due
termini cambia
Dato che il potenziale è uno scalare, occorre che la variazione del primo termine sia compensata da una variazione uguale ed
opposta del secondo
Φ r( ) 14πε0
Qtot
r+
14πε0
dqidi
i∑⎛⎝⎜
⎞⎠⎟⋅ er
r2+…
In generale quindi:
dipende dalla scelta del sistema di coordinate
dqidi
i∑
Vi è una eccezione, quando la carica totale è nulla
di =a +di'
dqidi
i∑ = dqi
a +di'( )
i∑ = aQtot + dqi
di'
i∑
Se la carica totale è nulla:
p = dqidi
i∑
caratteristico della distribuzione
Il campo dipolare è sempre una approssimazione di quello reale?
Esiste una situazione in cui il campo è esattamente dipolare?
σ θ,φ( ) = σ 0 cos θ( )Valutare il campo elettrico
All’estero della sfera
All’interno della sfera
Per evitare calcoli veramente complessi, domandiamoci:
La distribuzione di carica data può essere ottenuta tramite somma di semplici distribuzioni di carica
Se compenetro due nubi di carica a forma sferica e di identico raggio cosa ottengo?
R − dh( )2 = R2 + δ 2 − 2δRcos θ( )dh = δ cos θ( )da cui:
σ = ρdh = ρδ cos θ( ) = σ 0 cos θ( )
Il campo all’esterno
Somma dei campi di due distribuzioni sferiche, ciascuno dei quali identico a quello di una carica puntiforme localizzata nel
centro della distribuzioneI due centri sono a distanza “δ” che è molto minore di R, per cui il campo
esterno ha andamento dipolare
Φ r( ) = 14πε0
pcos θ( )r2
=14πε0
δρ 43πR3
cos θ( )r2
δρ = σ 0
Φ r( ) = 13πε0
σ 0πR3 cos θ( )
r2
p =43σ 0πR
3
Il campo all’interno
E r( ) = 1
3ε0ρ r ⋅ er
All’interno di una sfera uniformemente carica:
E r( ) = 1
3ε0ρ ⋅ r+ −
r−( ) = −13ε0
ρ ⋅δ
E r( ) = 1
3ε0ρ r+ −
13ε0
ρ r− =13ε0
ρ ⋅ r+ −r−( )
E r( ) = −
14πε0
1R3p
Quando il momento di dipolare è nullo?
p = dqidi
i∑ = 0
Φ r( ) = 14πε0
Qr+p ⋅ rr3
+12
qi, jxix jr5
+…i, j∑
⎛
⎝⎜⎞
⎠⎟
p = r ⋅ ρ r( )V∫ ⋅dv
qi, j = 3xix j − r2δ i, j( )
V∫ ρ r( )dv
momento quadrupolare
Interazione di un dipolo con un campo esterno
F = q
E +q( ) − q
E −q( ) = q
E +q( ) −
E −q( )( )
E +q( ) −
E −q( ) = ∂Ei
∂x j
⎛
⎝⎜⎞
⎠⎟ −q( )
δx jj∑
Nel caso più semplice:
F =
∂Ei
∂x j
⎛
⎝⎜⎞
⎠⎟ −q( )
pjj∑
F =∂E∂y
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟p
Forza diretta verso la zona ove il campo è più intensoSe “p” è diretto come il campo: