UNIVERZA V LJUBLJANI

PEDAGOŠKA FAKULTETA

DIPLOMSKO DELO

ANDREJA VERDNIK

UNIVERZA V LJUBLJANI

PEDAGOŠKA FAKULTETA

Študijski program: Matematika in tehnika

PRAVILNI POLIEDRI

DIPLOMSKO DELO

Mentor: Kandidatka:

dr. Marko Razpet, izr. prof. Andreja Verdnik

Ljubljana, december, 2013

II

Program dela

V diplomskem delu obravnavajte pravilne poliedre, njihovo zgodovino, topološke lastnosti,

enačbe za površino in prostornino, ter predstavite uporabo poliedrov v osnovni in srednji

šoli.

Ljubljana, 10. maj 2013 Mentor: dr. Marko Razpet

III

Zahvala

Zahvaljujem se mentorju dr. Marku Razpetu za strokovno pomoč pri izdelavi diplomskega

dela, moji družini za vso podporo pri študiju, kot tudi vsem ostalim, ki so me podpirali,

spodbujali in dajali nasvete v času študija.

Hvala tudi tebi, Jernej, ki me spodbujaš in podpiraš.

IV

Povzetek

V diplomskem delu predstavljam zgodovino pravilnih poliedrov, topološke lastnosti, zakaj jih

je ravno pet, enačbe za površino in prostornino ter uporabo poliedrov v osnovni in srednji

šoli.

Opisane so mreže pravilnih poliedrov in preproste izdelave modelov poliedrov. Omenjena je

Eulerjeva poliedrska formula. Opisano je tudi, kje vse se lahko srečamo s poliedri v

vsakdanjem življenju.

Ključne besede: pravilni poliedri, platonska telesa, tetraeder, heksaeder ali kocka, oktaeder,

dodekaeder, ikozaeder.

V

Abstract

The diploma paper presents the history of regular polyhedrons, typological properties, area

and volume formulas. It also presents the usage of polyhedrons in elementary and

secondary school.

The nets of regular polyhedrons and simple construction models of polyhedrons are

described. The diploma paper also mentions Euler’s formula and the importance and usage

of polyhedrons in everyday life.

Keywords: regular polyhedron, platonic solids, tetrahedron, hexahedron or cube,

octahedron, dodecahedron, icosahedron.

VI

Kazalo

Program dela II

Zahvala III

Povzetek VI

Abstract V

1 UVOD ..................................................................................................................................... 1

2 ZGODOVINA PRAVILNIH POLIEDROV..................................................................................... 2

2.1 Prazgodovina ............................................................................................................................... 2

2.2 Grška matematika ........................................................................................................................ 2

2.3 Platon ........................................................................................................................................... 3

2.4 Arhimed ....................................................................................................................................... 5

2.5 Johannes Kepler ........................................................................................................................... 6

2.6 Johnsonovi poliedri ...................................................................................................................... 7

3 PLATONSKA TELESA ............................................................................................................... 7

3.1 Kaj pomeni pravilni polieder ........................................................................................................ 7

3.2 Katere poliedre poznamo ............................................................................................................ 8

3.2.1 Tetraeder .............................................................................................................................. 8

3.2.2 Kocka ..................................................................................................................................... 9

3.2.3 Oktaeder ............................................................................................................................. 10

3.2.4 Dodekaeder ........................................................................................................................ 10

3.2.5 Ikozaeder ............................................................................................................................ 11

3.3 Zakaj jih je ravno pet ................................................................................................................. 11

3.4 Topološke lastnosti poliedrov .................................................................................................... 14

3.4.1 Numerična karakteristika pravilnih poliedrov .................................................................... 14

3.4.2 Dualnost poliedrov ............................................................................................................. 14

3.4.3 Simetrija poliedrov ............................................................................................................. 16

3.5 Mreže pravilnih poliedrov ......................................................................................................... 17

VII

3.5.1 Tetraeder ............................................................................................................................ 18

3.5.2 Kocka ali heksaeder ............................................................................................................ 19

3.5.3 Oktaeder ............................................................................................................................. 20

3.5.4 Dodekaeder ........................................................................................................................ 21

3.5.5 Ikozaeder ............................................................................................................................ 22

3.6 Eulerjeva poliedrska formula ..................................................................................................... 23

3.7 Površine in prostornine pravilnih poliedrov .............................................................................. 27

3.7.1 Tetraeder ............................................................................................................................ 27

3.7.2 Heksaeder ali kocka ............................................................................................................ 30

3.7.3 Oktaeder ............................................................................................................................. 31

3.7.4 Ikozaeder ............................................................................................................................ 33

3.7.5 Dodekaeder ........................................................................................................................ 42

3.8 Poliedri v vsakdanjem življenju .................................................................................................. 48

3.8.1 Poliedri v kemiji .................................................................................................................. 48

3.8.2 Poliedri v umetnosti ............................................................................................................ 50

3.8.3 Poliedri in živa narava ......................................................................................................... 53

4 UPORABA PLATONSKIH TELES V OSNOVNI IN SREDNJI ŠOLI ............................................... 54

4.1 Priprava na vzgojno-izobraževalno uro ..................................................................................... 54

4.2 Poliedrske delavnice .................................................................................................................. 65

4.3 Poliedrske jelke .......................................................................................................................... 67

4.4 Preprosta izdelava dodekaedra ................................................................................................. 68

4.5 Izdelava modela ikozaedra ........................................................................................................ 69

4.5.1 Ročno narejen model ikozaedra ......................................................................................... 69

4.5.2 Model ikozaedra, narejen s pomočjo programa Google SketchUp 8. ................................ 74

5 Zaključek .............................................................................................................................. 86

Literatura .................................................................................................................................. 87

Seznam slik ............................................................................................................................... 88

VIII

Slike

Slika 1: Vklesani kamni, ki predstavljajo pravilne poliedre [1]. ............................................................... 2

Slika 2: Platon [2]. .................................................................................................................................... 3

Slika 3: Platonska telesa [3]. .................................................................................................................... 4

Slika 4: Arhimed [4]. ................................................................................................................................ 5

Slika 5: 13 arhimedskih teles [4]. ............................................................................................................. 5

Slika 6: Johannes Kepler [5]. .................................................................................................................... 6

Slika 7: Keplerjeva verzija Sončnega sistema iz dela Mysterium Cosmographicum [6]. ......................... 7

Slika 8: Tetraeder [7]. .............................................................................................................................. 9

Slika 9: Kocka ali heksaeder [8]. .............................................................................................................. 9

Slika 10: Oktaeder [9]. ........................................................................................................................... 10

Slika 11: Dodekaeder [10]. .................................................................................................................... 10

Slika 12: Ikozaeder [11]. ........................................................................................................................ 11

Slika 13: Model dodekaedra. ................................................................................................................. 12

Slika 14: Dual tetraedra je tetraeder [12]. ............................................................................................ 15

Slika 15: Dual kocke je oktaeder [13]. ................................................................................................... 15

Slika 16: Dual dodekaedra je ikozaeder [14]. ........................................................................................ 16

Slika 17: Mreži tetraedra. ...................................................................................................................... 18

Slika 18: Model tetraedra. ..................................................................................................................... 18

Slika 19: Mreže kocke. ........................................................................................................................... 19

Slika 20: Model kocke. ........................................................................................................................... 19

Slika 21: Nekatere mreže oktaedra. ...................................................................................................... 20

Slika 22: Model oktaedra. ...................................................................................................................... 21

Slika 23: Mreže dodekaedra. ................................................................................................................. 21

Slika 24: Model dodekaedra. ................................................................................................................. 22

Slika 25: Nekatere mreže ikozaedra. ..................................................................................................... 22

Slika 26: Model ikozaedra. .................................................................................................................... 23

Slika 27: Enostaven polieder. ................................................................................................................ 24

Slika 28: Neenostaven polieder. ............................................................................................................ 24

Slika 29: Ravninski graf kocke. ............................................................................................................... 25

Slika 30: Dodajanje diagonal ravninskemu grafu kocke. ....................................................................... 25

Slika 31: Odstranjevanje stranic ravninskemu grafu kocke. .................................................................. 26

Slika 32: Odstranjevanje trikotnikov ravninskemu grafu kocke. ........................................................... 26

Slika 33: Tetraeder. ................................................................................................................................ 27

Slika 34: Kocka in pravilni tetraeder. ..................................................................................................... 28

Slika 35: Kocka. ...................................................................................................................................... 30

Slika 36: Oktaeder. ................................................................................................................................ 31

Slika 37: Pravilna kvadratna piramida. .................................................................................................. 32

Slika 38: Ikozaeder. ................................................................................................................................ 33

Slika 39: Pravilni petkotnik s stranico a in diagonalo d. ........................................................................ 34

Slika 40: Pravokotnik s stranicama v razmerju . ................................................................................. 35

Slika 41: Pravilni ikozaeder iz treh zlatih pravokotnikov. ...................................................................... 36

Slika 42: Paroma pravokotni zlati pravokotniki. .................................................................................... 37

IX

Slika 43: V oglišču ikozaedra se stika pet enakostraničnih trikotnikov. ................................................ 38

Slika 44: Dodekaeder. ............................................................................................................................ 42

Slika 45: Nastanek pravilnega dodekaedra. .......................................................................................... 42

Slika 46: Modeli metana (CH4), kubana (C8H8), tetraedrana (C4H4) in dodekaedrana (C20H20) [15].

............................................................................................................................................................... 49

Slika 47: Dodekaboran [B12H12]2 [15]. ................................................................................................ 49

Slika 48: Oblika ogljika C60 – fuleren [16]. ............................................................................................ 50

Slika 49: Zvezdasti dvanajsterec [17]. .................................................................................................... 50

Slika 50: Intarzije patra Giovannija [17]. ............................................................................................... 51

Slika 51: Maurits Cornelis Escher [17]. .................................................................................................. 51

Slika 52: Escherjeva zvezda [17]. ........................................................................................................... 52

Slika 53: Paciolijeva knjiga De divina proportione – O zlatem rezu [17]. .............................................. 52

Slika 54: Circogonia icosahedra ima obliko pravilnega ikozaedra [18]. ................................................ 53

Slika 55: Model virusa HIV [19]. ............................................................................................................ 53

Slika 56: Učenci OŠ Center Novo mesto med delavnico. ...................................................................... 66

Slika 57: Poliedri v avli OŠ Loka Črnomelj. ............................................................................................. 67

Slika 58: Učenci OŠ Turnišče so pod vodstvom Marije Magdič izdelali domiselno jelko. ..................... 67

Slika 59: Enaki trakovi pravokotne oblike. ............................................................................................ 68

Slika 60: Postopek, kako iz pravokotnega traku izdelamo petkotnik. ................................................... 68

Slika 61: Mreža dodekaedra. ................................................................................................................. 69

Slika 62: Model dodekaedra. ................................................................................................................. 69

Slika 63: Izrezan pravokotnik. ................................................................................................................ 70

Slika 64: Natančno izrezana dolžina a na središčnici pravokotnika....................................................... 71

Slika 65: Dva pravokotnika zarežemo tako. ........................................................................................... 71

Slika 66: En pravokotnik izrežemo tako. ................................................................................................ 71

Slika 67: Skozi zarezo sestavimo pravokotnika. .................................................................................... 72

Slika 68: Skozi potisnemo še tretji pravokotnik z najdaljšo zarezo. ...................................................... 72

Slika 69: Odvečno zarezo zlepimo z lepilnim trakom. ........................................................................... 72

Slika 70: Model ikozaedra. .................................................................................................................... 73

Slika 71: Gumb Rectangle. ..................................................................................................................... 74

Slika 72: Zlati pravokotnik. .................................................................................................................... 74

Slika 73: Gumb Select. ........................................................................................................................... 75

Slika 74: Izberemo Make Group. ........................................................................................................... 75

Slika 75: Izmeremo Move. ..................................................................................................................... 75

Slika 76: Določitev središčne točke pravokotnika. ................................................................................ 76

Slika 77: Izberemo From Point. ............................................................................................................. 76

Slika 78: Pravokotnik prestavimo v izhodišče. ....................................................................................... 77

Slika 79: Izberemo Rotate...................................................................................................................... 77

Slika 80: Kopiranje in rotacija pravokotnika. ......................................................................................... 78

Slika 81: Izberemo Orbit. ....................................................................................................................... 78

Slika 82: Modra in rdeča ravnina. .......................................................................................................... 79

Slika 83: V drugem kvadrantu mora biti kotomer zelene barve. .......................................................... 79

Slika 84: Pravokotnik mora biti označen. .............................................................................................. 80

Slika 85: Rotacija pravokotnika. ............................................................................................................ 80

X

Slika 86: Rotacija pravokotnika. ............................................................................................................ 81

Slika 87: Rotacija pravokotnika. ............................................................................................................ 81

Slika 88: Kotomer mora biti zelene barve. ............................................................................................ 82

Slika 89: Rotacija pravokotnika. ............................................................................................................ 82

Slika 90: Izberemo Explode. .................................................................................................................. 83

Slika 91: Izberemo Line. ......................................................................................................................... 83

Slika 92: Skozi oglišča pravokotnikov povežemo pare enakostraničnih trikotnikov. ............................ 84

Slika 93: Model ikozaedra, narisan v programu ikozaedra.................................................................... 84

Slika 94: Z opcijo Paint Bucket lahko po želji barvamo like. .................................................................. 85

Tabele

Tabela 1: Numerična karakteristika pravilnih poliedrov. ...................................................................... 14

Tabela 2: Polmer očrtane krogle, polmer včrtane krogle, diedrski kot pravilnega poliedra. ................ 48

1

1 UVOD

Glavni vir je delo [1].

Cilji diplomskega dela so: odgovoriti na vprašanje, zakaj je pravilnih poliedrov ravno pet,

dobiti splošno formulo za izračun površine in prostornine pravilnih poliedrov in predstaviti,

kako učencem v osnovni in srednji šoli približati pravilne poliedre.

V prvem poglavju diplomskega dela izvemo zgodovino pravilnih poliedrov, od kod izvirajo in

kakšen pomen so v antični Grčiji pripisovali veliki modreci tem petim pravilnim poliedrom.

Pravilnim poliedrom pravimo tudi platonska telesa, saj se je Platon največ posvetil prav njim.

Kasneje je njegovo delo razširil Arhimed s konveksnimi delno pravilnimi poliedri, ki se zato

imenujejo Arhimedovi poliedri. Pomemben je tudi Johannes Kepler, ki je na osnovi

platonskih teles razložil teorijo sončnega sistema.

V naslednjem poglavju je predstavljena definicija pravilnih poliedrov. Spoznamo pet pravilnih

poliedrov, to so: tetraeder, kocka, oktaeder, dodekaeder in ikozaeder. Sledi dokaz, zakaj je

pravilnih poliedrov ravno pet. Spoznamo tudi topološke lastnosti pravilnih poliedrov ter

njihove mreže. Zelo znana je Eulerjeva poliedrska formula, ki opisuje odnos med številom

oglišč, robov in stranskih ploskev. V diplomskem delu so opisane še enačbe za prostornino in

površino pravilnih poliedrov ter vsakdanji primeri, kje vse se lahko srečamo s poliedri.

2

2 ZGODOVINA PRAVILNIH POLIEDROV

2.1 Prazgodovina

Prvo odkritje pravilnih poliedrov sega daleč nazaj v prazgodovino. Na Škotskem so našli 4000

let stare izklesane kamne, kot kaže slika 1. Na nekaterih kamnih prepoznamo simetrije, prav

tako pa lahko prepoznamo dualnost med njimi1. Kamni so shranjeni v muzeju na oxfordski

univerzi. Zakaj so bili ti kamni izklesani oziroma, kje so kamnoseki dobili navdih zanje, ni

znano [2].

Slika 1: Vklesani kamni, ki predstavljajo pravilne poliedre [1].

V poznem 19. stoletju so odkrili dodekaeder, ki je narejen iz kamna, ki naj bi bil star preko

2500 let. Najden je bil na gori Monte Loffa blizu Padove v Italiji [2].

2.2 Grška matematika

Že v stari Grčiji so bili poznani vsi poliedri, ki jih danes imenujemo platonska telesa (poliedri).

Ta telesa definiramo na naslednji način: platonsko telo je konveksen polieder, pri katerem so

vse stranske ploskve pravilni mnogokotniki z enakim številom oglišč, koti med stranskimi

ploskvami so enaki in v vsakem oglišču se stika enako število robov [3].

Že v 4. stol. pr. Kr. so poznali vseh pet pravilnih poliedrov, ki so jih poimenovali po številu

njihovih stranskih ploskev: tetraeder (grško tetares 'štiri', hedra 'plat'), kocka ali heksaeder

1 Primer dualnosti: centri stranskih ploskev kocke, določajo oglišča oktaedra.

3

(grško heks 'šest'), oktaeder (grško okto 'osem'), dodekaeder (grško dodeka 'dvanajst') in

ikozaeder (grško eikosi 'dvajset'). [3]

Pitagorejci so pripisovali pomembno vlogo tem telesom. Tako, recimo, Aëtius (1. ali 2. stol. n.

št.) poroča v svojih zapiskih: »Pitagora z ozirom na to, da obstaja pet geometrijskih teles, ki

se imenujejo tudi matematična, pravi, da je iz kocke nastala zemlja, iz piramide ogenj, iz

oktaedra zrak, iz ikozaedra voda in iz dodekaedra sfera vesoljstva« [3].

Theon iz Smirne (1. ali 2. stol. n. št.) pa je o pitagorejskem nauku zapisal, da »obstaja petero

teles (elementov) krogle sveta: v krogli so ogenj, voda, zemlja in zrak, peta pa je ladja, ki nosi

kroglo« [3].

Kasneje veliki modrec Platon (429–348 pr. n. št.) ni ne preslišal in ne zanikal ničesar od tega,

kar so vedeli povedati pitagorejci o peterici pravilnih poliedrov. Zapis celo pravi, da je za velik

denar kupil knjigo pitagorejskih naukov in po njej napisal knjigo Timaj (latinsko Timaeus), v

kateri je med drugim razložil svoje poglede in vlogo petih pravilnih poliedrov [3].

Proklos, goreč pitagorejec in razlagalec Platonove filozofije iz 5. stoletja, pravi, da je Evklid

(365–300 pr. n. št.) napisal svoje Elemente zgolj zato, da bi v njih pojasnil vse, kar je potrebno

za poznavanje platonskih poliedrov [3].

2.3 Platon

Slika 2: Platon [2].

4

Platon, glej sliko 2, (427–347 pr. n. št.) je eden najpomembnejših grških filozofov, njegovo

delo je temelj vse nadaljnje filozofije. Bil je Sokratov učenec (od svojega 20. do 28. leta),

Aristotelov učitelj, ustanovitelj Akademije v Atenah in začetnik filozofske smeri, ki nosi

njegovo ime – platonizem [4].

Platonovi pogledi na pet pravilnih poliedrov.

Za dodekaeder pravi, da pripada nebu, ker je bistveno različen od ostalih štirih teles. Platon

pravi tudi, da je dodekaeder Bog uporabil v ta namen, ko je na njegovih dvanajst ploskev

zarisal dvanajst zodiakalnih znamenj [3].

Kocka pripada zemlji, ker ima izmed vseh petih teles najtršo strukturo [3].

Tetraeder pripada ognju, ker ima najmanjše število stranskih ploskev in je zaradi tega najbolj

gibljiv. Pa tudi zato, ker ima najmanjšo prostornino (danes pravimo, da ima pravilni tetraeder

izmed vseh pravilnih teles z dano površino najmanjšo prostornino). Nazadnje pa tudi zato,

ker je na podlagi prostorskih kotov v ogliščih najostrejše telo. Zbode prav kakor ogenj [3].

Ikozaeder pripada vodi, ker je v naštetih lastnostih tetraedru najbolj nasproten. Je najmanj

gibljivo ter najtežje telo in ima najmanj ostra oglišča [3].

Oktaeder pa pripada zraku, ker je v vseh omenjenih lastnostih med tetraedrom in

ikozaedrom. Prav tako kakor je zrak med dvema ekstremoma – med ognjem in vodo [3].

Tako je Platon opisoval pet pravilnih poliedrov v Timaju, in ker se jim je prav on toliko časa

posvetil, se jih je kasneje oprijelo ime platonski poliedri, slika 3 [3].

Slika 3: Platonska telesa [3].

5

2.4 Arhimed

Slika 4: Arhimed [4].

Grk Arhimed (287–212 pr. n. št.) je bil največji matematik helenistične dobe, slika 4. Živel je v

Sirakuzah (Sicilija) kot svetovalec kralja Hierona. Ubit je bil, ko so Rimljani zavzeli Sirakuze,

potem ko je svoje znanje tehnike uporabil pri obrambi mesta. Najpomembnejši Arhimedovi

prispevki so s področja merjenj ploščin in prostornin, bil je eden od predhodnikov

integralskega računa. Ohranilo se je 8 njegovih knjig, knjiga o polpravilnih telesih pa je

izgubljena [5].

Polpravilna telesa imajo za mejne ploskve različne pravilne večkotnike, vsa oglišča pa imajo

enako konfiguracijo. Da danes pripisujemo odkritje teh teles Arhimedu, gre zasluga Paposu iz

Aleksandrije, ki je v svoji zbirki (Synagoge) zapisal veliko zgodovinskih opomb glede

matematičnih odkritij. V peti knjigi opiše vseh 13 polpravilnih teles, ki jih razvrsti po številu

mejnih ploskev. Nekatera od teh teles so bila odkrita večkrat, tako Heron pravi, da je kockin

osmerec poznal že Platon. Imena 13 arhimedskih teles, slika 5, ki jih poznamo danes, je dal

Kepler [5].

Slika 5: 13 arhimedskih teles [4].

6

2.5 Johannes Kepler

Slika 6: Johannes Kepler [5].

Prvi, ki je obširneje pisal o teh telesih in čigar delo se je ohranilo do danes, pa je bil nemški

astronom in matematik Johannes Kepler (1571–1630) [6].

Kepler, slika 6, je znan predvsem kot astronom. Odkril je, da se planeti gibljejo okrog Sonca

po eliptičnih tirih in razložil osnovne zakone tega gibanja. Zanimivo pa je, da je pri svojem

razmišljanju o zgradbi osončja predvsem v zgodnejših letih delovanja izhajal iz t. i.

poliedrskega modela, ki je v osnovi določen s petimi pravilnimi poliedri. Takšni nazori so ga

pritegnili k poglobljenemu študiju poliedrov nasploh [6].

V svojem najpomembnejšem delu Harmonija sveta (Harmonices mundi 1619) je Kepler

povzel svoja odkritja v astronomiji. Pri razlagi je v veliki meri uporabljal jezik matematike. Vse

življenje se je držal načela, da je geometrija praslika lepote sveta. Tako najdemo v tem delu

tudi prvi poskus temeljitejše klasifikacije poliedrov. Kepler je poliedre delil na konveksne in

nekonveksne. Med prvimi je posebej izpostavil pet pravilnih in trinajst polpravilnih. Zanimivo

je, da je pravilne poliedre odkril tudi med nekonveksnimi. Čeprav Kepler samega postopka, ki

ga je pripeljal do odkritja, ni opisal, ga je pa vendarle mogoče rekonstruirati [6].

7

Najbolj umetniški vtis je Kepler naredil s svojim modelom sončnega sistema. Na sliki 7 je

razvidno, kako je Kepler v svoji knjigi Mysterium Cosmographicum prikazal model, na/v

katerem je vsako platonsko telo znotraj ene izmed sfer planetov.

Slika 7: Keplerjeva verzija Sončnega sistema iz dela Mysterium Cosmographicum [6].

2.6 Johnsonovi poliedri

Johnsonove poliedre imenujemo konveksne poliedre, ki imajo za stranske ploskve pravilne

večkotnike in niso platonska ali arhimedska telesa, prizme ali antiprizme. Pri tem je površje

Johnsonovih teles sestavljeno iz skladnih mnogokotnikov, ki se v ogliščih stikajo na isti način.

Poliedrov s takšno lastnostjo je 92. Klasificiral jih je Norman Johnson, leta 1966, zato se po

njem tudi imenujejo. Večino Johnsonovih teles lahko z različnimi operacijami izpeljemo iz

arhimedskih in platonskih teles, prizem ali antiprizem [7].

3 PLATONSKA TELESA

3.1 Kaj pomeni pravilni polieder

Pravilni ali regularni polieder je konveksno geometrijsko telo, katerega površje je sestavljeno

iz med seboj skladnih pravilnih mnogokotnikov. Tudi robovi so med seboj skladni. Pravilne

poliedre poznamo kot platonska telesa [3].

8

Pravilni polieder je konveksno geometrijsko telo, katerega ploskve so med seboj skladni

pravilni večkotniki. V vsakem oglišču pravilnega poliedra se stika enako število robov in

ploskev. Pravilnih poliedrov je 5:

- četverec ali tristrana piramida ali tetraeder

- kocka ali heksaeder

- osmerec ali oktaeder

- dvanajsterec ali dodekaeder

- dvajseterec ali ikozaeder

3.2 Katere poliedre poznamo

Polieder (tudi mnogoterec) je geometrijsko telo, ki ga omejujejo same ravne mejne ploskve

[8].

Poliedre delimo na konveksne in nekonveksne. Konveksni so tisti, ki nimajo nobenega dela

vbočenega oz. matematično: če izberemo poljubni dve točki v notranjosti konveksnega

poliedra in ju povežemo z daljico, mora celotna ležati v notranjosti. Nekonveksni poliedri so

tisti, ki niso konveksni. Konveksni poliedri imajo za ploskve konveksne mnogokotnike. Te

delimo na platonska telesa, arhimedska telesa, enakorobe pokončne prizme, enakostranične

antiprizme in Johnsonova telesa [9].

Platonska telesa imenujemo pet pravilnih teles: tetraeder, kocko, oktaeder, dodekaeder in

ikozaeder. Vsa ta telesa so konveksna in omejena s skladnimi pravilnimi večkotniki ene vrste

in imajo vsa oglišča enako konfiguracijo [8].

3.2.1 Tetraeder

Tetraeder, slika 8, je konveksni polieder, ki je omejen s štirimi skladnimi enakostraničnimi

trikotniki. Opišemo ga lahko tudi kot tristrano piramido. Tetraeder ima štiri mejne ploskve,

od tod tudi ime četverec, šest robov in štiri oglišča. V vsakem oglišču se stikajo trije robovi in

tri ploskve [10].

9

Slika 8: Tetraeder [7].

3.2.2 Kocka

Kocka ali heksaeder, slika 9, je pravilni polieder, omejen s šestimi kvadrati. Kocka je eno od

petih platonskih teles in je dualno telo oktaedru. Kocka je poseben primer prizme,

pravokotnega paralelepipeda ali kvadra. Kocka ima dve osnovni ploskvi, druge štiri pa tvorijo

plašč. Kocka ima šest ploskev, od tod tudi ime šesterec, dvanajst skladnih robov in osem

oglišč [11].

Slika 9: Kocka ali heksaeder [8].

10

3.2.3 Oktaeder

Oktaeder, slika 10, je konveksni polieder, omejen z osmimi skladnimi enakostraničnimi

trikotniki. Opišemo ga lahko tudi kot dvojno štiristrano piramido (tj. dve taki piramidi,

zlepljeni skupaj z osnovnima ploskvama). Oktaeder ima osem ploskev, od tod tudi ime

osmerec, dvanajst robov in šest oglišč. V vsakem oglišču se stikajo štirje robovi in štiri

ploskve [12].

Slika 10: Oktaeder [9].

3.2.4 Dodekaeder

Dodekaeder, slika 11, je konveksni polieder, ki je omejen z dvanajstimi skladnimi pravilnimi

petkotniki. Dodekaeder ima dvanajst ploskev, od tod tudi ime dvanajsterec, trideset robov in

dvajset oglišč. V vsakem oglišču se stikajo trije robovi in tri ploskve [13].

Slika 11: Dodekaeder [10].

11

3.2.5 Ikozaeder

Ikozaeder, slika 12, je konveksni polieder, ki je omejen z dvajsetimi skladnimi

enakostraničnimi trikotniki. Ikozaeder ima dvajset ploskev, od tod tudi ime dvajseterec,

trideset robov in dvanajst oglišč. V vsakem oglišču se stika pet robov in pet ploskev [14].

Slika 12: Ikozaeder [11].

3.3 Zakaj jih je ravno pet

Povzeto po [7].

Pravilnih poliedrov je natanko pet, kar se na prvi pogled zdi nedoumljivo, vendar lahko

dokažemo, da mora biti res tako.

Razmislimo:

- V prostorskem oglišču poliedra se morajo stikati minimalno tri ravninske ploskve,

slika 13.

- Ker je polieder pravilen, mora biti v poljubnem oglišču enako število oglišč ploskev

kot v vseh preostalih ogliščih. Zato je dovolj, da raziščemo samo eno oglišče.

- Če opazujemo eno oglišče, mora biti vsota vseh kotov v stranskih ploskvah manjša od

360o (če bi bila vsota = 360o, bi ploskve ležale v isti ravnini).

12

Slika 13: Model dodekaedra.

Dokaz:

Notranji kot pravilnega -kotnika izračunamo po formuli:

v kateri predstavlja število oglišč mnogokotnika. V vsakem oglišču se stika mejnih

ploskev, zato mora veljati:

Za nastanek pravilnega poliedra je potreben spoj najmanj treh likov, zato velja:

Iz neenačbe lahko vidimo, da je poleg tega pa mora veljati

Sedaj bomo obravnavali primere za vsak posebej.

1080

1080

1080

13

Primer

- V oglišču se stikajo trije enakostranični trikotniki, sledi

Takšen polieder, pri katerem se v oglišču stikajo trije enakostranični trikotniki,

imenujemo tetraeder.

- V oglišču se stikajo štirje enakostranični trikotniki, zato velja

Takšen polieder, pri katerem se v oglišču stikajo štirje enakostranični trikotniki, imenujemo

oktaeder.

- V oglišču se stika pet enakostraničnih trikotnikov, zato velja

Takšen polieder, pri katerem se v oglišču stika pet enakostraničnih trikotnikov,

imenujemo ikozaeder.

Primer

- V oglišču se stikajo trije kvadrati, zato velja

Polieder, pri katerem se v oglišču stikajo trije kvadrati, imenujemo kocka.

Primer

- V oglišču se stikajo trije pravilni petkotniki, zato velja,

14

Takšen polieder, v katerem se v oglišču stikajo trije pravilni petkotniki, imenujemo

dodekaeder.

Dokazali smo, da obstaja natanko pet platonskih teles.

3.4 Topološke lastnosti poliedrov

3.4.1 Numerična karakteristika pravilnih poliedrov

V tabeli 1 so prikazane numerične karakteristike pravilnih poliedrov [1].

p – število ploskev površja

k – število kotov pri mejni ploskvi

o – število oglišč

s – število robov

m – število pravilnih mnogokotnikov, ki se stikajo v oglišču poliedra.

Tabela 1: Numerična karakteristika pravilnih poliedrov.

št. Ime telesa p k o s m

1 četverec tetraeder 4 3 4 6 3

2 kocka (šesterec) heksaeder 6 4 8 12 3

3 osmerec oktaeder 8 3 6 12 4

4 dvanajsterec dodekaeder 12 5 20 30 3

5 dvajseterec ikozaeder 20 3 12 30 5

3.4.2 Dualnost poliedrov

Dualni polieder je v geometriji eden v dvojici poliedrov, katerega oglišča enega ustrezajo

stranskim ploskvam drugega. Dualni polieder dualnega poliedra je prvotni polieder. Običajno

uporabljamo izraz dual, kar ima isti pomen kot dualni [15].

15

Sebi dualni poliedri so tisti dualni poliedri, ki imajo skladno obliko. Dual pravilnega tetraedra

je pravilni tetraeder, ki je zrcaljen preko izhodišča. Sebi dualni poliedri morajo imeti isto

število oglišč kot imajo skupinskih ploskev [15].

- Tetraeder je sam sebi dual, slika 14.

Slika 14: Dual tetraedra je tetraeder [12].

- Dual heksaedra je oktaeder, slika 15.

Slika 15: Dual kocke je oktaeder [13].

16

- Dual dodekaedra je ikozaeder, slika 16.

Slika 16: Dual dodekaedra je ikozaeder [14].

3.4.3 Simetrija poliedrov

V običajnem življenju simetrija pomeni skladnost levega in desnega dela telesa, bolj

natančno, dela sta zrcalni podobi drug drugega. V matematiki pomeni simetrija preslikavo

telesa samega vase, pri čemer se slika ne razlikuje od originala [9].

Zrcaljenje preko točke je primer simetrije poliedra. Za zrcaljenje okoli točke velja: če telo

dvakrat prezrcalimo, dobimo spet prvotno telo [9].

Rotacijsko simetrijo imajo telesa, za katera obstaja rotacija, ki jih preslika vase. To si lahko

enostavno predstavljamo tako, da vzamemo neko telo in ga zavrtimo okoli osi za določen

kot. Težje si predstavljamo zrcaljenje, saj ga z rotacijami ne moremo simulirati. Za poliedre

obstaja le pet sistemov rotacijske simetrije: ciklična, diedrska, tetraedrska, oktaedrska in

ikozaedrska [9].

Ciklična simetrija je najenostavnejši primer rotacijske simetrije. Telo s ciklično simetrijo ima

vsaj eno rotacijsko os. Najdemo jo npr. pri piramidah, zvezdah … [9]

Diedrska simetrija. Telo A z diedrsko simetrijo ima v grupi simetrij vsaj dva elementa. Ta dva

sta rotacija okoli glavne osi za kot in rotacija okoli stranske osi, ki je pravokotna na glavno

17

os, za kot . Seveda mora grupa simetrij telesa A vsebovati tudi vse kompozitume teh

dveh elementov [9].

Tetraedrska simetrija. Telo A s tetraedrsko simetrijo ima sedem takih rotacijskih osi kot

tetraeder, ki ima:

- štiri osi reda 3, ki gredo iz enega oglišča do sredine nasprotne mejne ploskve

- tri osi reda 2 pa skozi sredine nasprotnih robov

Oktaedrska simetrija. Telo A z oktaedrsko simetrijo ima tri množice takih rotacijskih osi kot

oktaeder. Ima:

- tri med seboj pravokotne osi reda 4. Vsaka takšna os gre skozi nasprotni oglišči,

- štiri osi reda 3. Te gredo skozi središča nasprotnih mejnih ploskev

- šest osi reda 2. Te osi gredo skozi središča nasprotnih robov.

Ikozaedrska simetrija. Telo A z ikozaedrsko simetrijo ima 31 rotacijskih osi kot ikozaeder. Ta

ima:

- šest osi reda 5, ki potekajo skozi nasprotni oglišči,

- deset osi reda 3, ki potekajo skozi središča nasprotnih mejnih ploskev,

- petnajst osi reda 2, ki potekajo skozi središča nasprotnih robov.

Poleg rotacijske je ena izmed pomembnejših simetrij tudi zrcalna simetrija. Telo ima zrcalno

simetrijo, če obstaja ravnina, da zrcaljenje preko te ravnine ohranja telo. Primer zrcalne

simetrije pri kvadratu je zrcaljenje preko ravnine, vzporedne z dvema ploskvama, ki gresta

skozi težišče [9].

3.5 Mreže pravilnih poliedrov

Če iz papirja izrežemo mrežo telesa, jo s prepogibanjem vzdolž notranjih črt lahko

preoblikujemo v polieder. Spodaj so prikazane različne mreže pravilnih poliedrov. Takšnim

mrežam pravimo ravninske mreže.

18

3.5.1 Tetraeder

Tetraeder ima štiri ploskve, šest robov in štiri oglišča. V vsakem oglišču se stikajo trije robovi

in tri ploskve. Za tetraeder obstajata natanko dve mreži, slika 17.

Slika 17: Mreži tetraedra.

Model tetraedra je prikazan na sliki 18.

Slika 18: Model tetraedra.

19

3.5.2 Kocka ali heksaeder

Kocka ima dve osnovni ploskvi, druge štiri pa tvorijo plašč. Kocka ima dvanajst

skladnih robov in osem oglišč. Tako dobimo natanko enajst različnih mrež, slika 19.

Slika 19: Mreže kocke.

Model kocke oziroma heksaedra je prikazan na sliki 20.

Slika 20: Model kocke.

20

3.5.3 Oktaeder

Oktaeder ima osem ploskev, dvanajst robov in šest oglišč. V vsakem oglišču se stikajo štirje

robovi in štiri ploskve. Na sliki 21 so prikazane nekatere ravninske mreže oktaedra.

Slika 21: Nekatere mreže oktaedra.

21

Model oktaedra je prikazan na sliki 22.

Slika 22: Model oktaedra.

3.5.4 Dodekaeder

Dodekaeder ima dvanajst ploskev, trideset robov in dvajset oglišč. V vsakem oglišču se

stikajo trije robovi in tri ploskve. Na sliki 23 so nekatere ravninske mreže dodekaedra.

Slika 23: Mreže dodekaedra.

22

Model dodekaedra je prikazan na sliki 24.

Slika 24: Model dodekaedra.

3.5.5 Ikozaeder

Ikozaeder ima dvajset ploskev, trideset robov in dvanajst oglišč. V vsakem oglišču se stika pet

robov in pet ploskev. Na sliki 25 so prikazane nekatere ravninske mreže ikozaedra.

Slika 25: Nekatere mreže ikozaedra.

23

Model ikozaedra je prikazan na sliki 26.

Slika 26: Model ikozaedra.

3.6 Eulerjeva poliedrska formula

Ko spoznavamo neko telo, največkrat preštejemo oglišča, stranske ploskve in robove [7].

Število oglišč (vrhov) bomo označili s črko , število robov z ter število stranskih ploskev s

črko Eulerjeva poliedrska formula pravi:

Ta enačba je preprosta geometrijska resnica, ki so jo poznali že stari Grki in je pritegnila

veliko pozornost matematikov več tisoč let, preden jo je leta 1752 dokazal švicarski

matematik Leonhard Euler.

Po njem je zgornja enačba dobila ime, saj je dokazal, da za poljuben enostaven polieder velja

formula , ki jo imenujemo Eulerjeva poliedrska formula.

Polieder je enostaven, če velja:

1. Vse njegove ploskve so enostavni večkotniki2.

2. Dve sosednji ploskvi imata skupno le oglišče.

3. Dve sosednji ploskvi imata skupen le en rob.

Vsak enostaven polieder razdeli prostor na dve področji: notranjost in zunanjost poliedra.

Notranjost poliedra označujemo včasih tudi kot polieder [16].

2 Večkotnik je enostaven, ko imata dve stranici tega večkotnika skupno največ eno točko, in ko imata dve

sosednji stranici večkotnika skupno le njuno skupno oglišče.

24

Ali z drugimi besedami povedano: enostavne poliedre je mogoče »napihniti v kroglo«, ne da

bi se pri tem na katerem koli mestu pretrgali. Enostavni poliedri, slika 27, niso tisti, ki imajo

kakšno »luknjo«, ali pa poliedri, ki so sestavljeni iz dveh ali več manjših poliedrov, ki se

stikajo vzdolž enega samega roba. Primer neenostavnega poliedra je prikazan na sliki 28.

Slika 27: Enostaven polieder.

Slika 28: Neenostaven polieder.

Spodaj bomo Eulerjevo poliedrsko formulo dokazali za konveksne (izbočene) poliedre.

Definicija: Konveksen polieder je tak omejen presek končnega števila polprostorov, ki ne leži

ves v eni ravnini [17].

Poljubnemu konveksnemu poliedru ohranimo eno ploskev površja poliedra. Pri manjkajoči

ploskvi vlečemo robove ter preoblikujemo vse preostale ploskve v ravninski graf točk in

krivulj, kot je prikazano na sliki 29, (ker smo predpostavili, da je površje poliedra

homeomorfno sferi, je to mogoče).

25

Slika 29: Ravninski graf kocke.

Ker smo deformirali to ploskev, tudi ostale ploskve običajno niso več pravilne. Število oglišč

in stranic pa ostane enako, število ploskev se je zmanjšalo za 1. Tako se dokaz Eulerjeve

formule za primer poliedra reducira na dokaz, da za ta deformiran ravninski lik velja

Če graf oblikuje večkotnik z več kot tremi stranicami, se dodajajo diagonale, ki povezujejo

nesosednji oglišči. Ta dopolnitev doda eno stranico in eno ploskev, ne spremeni pa števila

oglišč, torej se ne spremeni. Nato nadaljujemo z dodajanjem stranic, dokler niso

vse ploskve trikotne, slika 30.

Slika 30: Dodajanje diagonal ravninskemu grafu kocke.

26

Nato ponavljamo eno izmed naslednjih dveh transformacij:

1. Odstranimo trikotnik, kjer se samo ena stranica dotika zunanjosti, kot

prikazuje slika 31. To zmanjša število stranic in ploskev za 1, ne spremeni pa

števila oglišč, zato ohrani

Slika 31: Odstranjevanje stranic ravninskemu grafu kocke.

2. Odstranimo trikotnik z dvema stranicama na zunanjosti, kot prikazuje slika 32.

Vsak poseg odstrani eno oglišče, dve stranici in eno ploskev, torej se

ohrani.

Slika 32: Odstranjevanje trikotnikov ravninskemu grafu kocke.

27

Ta dva koraka ponavljamo, enega ali drugega, dokler ne ostane le en trikotnik.

Trikotnik pa ima 3 oglišča ( , 3 robove ( ) in eno ploskev ( ), tako je

ker je vsaka izmed zgornjih transformacij ohranila to količino, smo dokazali,

za ta deformiran ravninski lik, s tem pa dokazali za polieder.

Eulerjeva poliedrska formula velja za vse konveksne poliedre, torej za platonska, arhimedska

in Johnsonova telesa [18].

3.7 Površine in prostornine pravilnih poliedrov

Površino pravilnih poliedrov bomo označili s črko , prostornino pa s črko . Povzeto po [19].

3.7.1 Tetraeder

Slika 33: Tetraeder.

Tetraeder, slika 33, je sestavljen iz štirih enakostraničnih trikotnikov.

28

Ploščino enega enakostraničnega trikotnika izračunamo tako:

√

Površina tetraedra pa je štirikrat večja, torej:

√

√

Prostornino pravilnega tetraedra lahko dobimo tako, da od prostornine kocke z robom

odštejemo prostornine štirih piramid, ki imajo za osnovno ploskev polovico mejne ploskve

kocke in za višino rob kocke, kot kaže slika 34.

Slika 34: Kocka in pravilni tetraeder.

29

Prostornino piramide izračunamo tako:

Pri tem prostornino prizme izračunamo tako, da osnovno ploskev pomnožimo z višino.

Torej

Sedaj lahko izrazimo prostornino pravilnega tetraedra.

Stranico kocke ( lahko zapišemo s stanico tetraedra ( .

√

√

V zgornjo enačbo vstavimo stranico .

30

(√

)

√

√

√

√ √

√

√

√

Površina tetraedra: √

Prostornina tetraedra: √

3.7.2 Heksaeder ali kocka

Slika 35: Kocka.

Za izračun površine in prostornine kocke, slika 35, nimamo težav.

31

Površina kocke:

Prostornina kocke:

3.7.3 Oktaeder

Slika 36: Oktaeder.

Oktaeder, slika 36, ima površino enako 8-kratni ploščini enakostraničnega trikotnika s

stranico a. Torej:

√

√

Pravilni oktaeder je dvojna pravilna kvadratna piramida. Torej . Prostornino

piramide izračunamo s pomočjo obrazca:

Najprej moramo izraziti višino, slika 37.

32

Slika 37: Pravilna kvadratna piramida.

Kateta enakostraničnega trikotnika je ravno polovica diagonale osnovne ploskve piramide.

Izračunamo, da kateta meri √

Višino dobimo s pomočjo Pitagorovega izreka.

( √

)

√

√

33

Torej prostornina oktaedra je enaka:

√

√

Površina oktaedra: √

Prostornina oktaedra: √

3.7.4 Ikozaeder

Slika 38: Ikozaeder.

Ikozaeder, slika 38, je nekoliko bolj zahteven za obravnavo. Tu bomo uporabili koordinatno

metodo, pri kateri nam bo pomagal zlati pravokotnik. Zlati pravokotnik ima stranici v

razmerju zlatega števila .

√

34

Število lahko dobimo iz razmerja stranice ter diagonale v pravilnem petkotniku, glej

sliko 39.

Slika 39: Pravilni petkotnik s stranico a in diagonalo d.

Zapišimo razmerja:

(

(

)

√

√

Osnovna zveza:

d

d

a

a

a a

a

35

Število je pozitivna rešitev enačbe

Dokaz: Imejmo pravokotnik s stranicama v razmerju , slika 40.

Slika 40: Pravokotnik s stranicama v razmerju .

a

a

x

a / 2 a / 2

36

Iz slike 40 lahko vidimo, da po Pitagorovemu izreku velja:

(

)

√(

)

√

(

)

√

( √ )

√

Oglišča ikozaedra predstavljajo oglišča zlatih pravokotnikov, ki so paroma pravokotni, slika

41.

Slika 41: Pravilni ikozaeder iz treh zlatih pravokotnikov.

Vzemimo tri skladne zlate pravokotnike z daljšo stranico in krajšo , ter jih med seboj

prebodimo ter vpeljimo pravokotni koordinatni sistem , tako kot kaže slika 42.

37

Slika 42: Paroma pravokotni zlati pravokotniki.

Če gledamo iz zelo oddaljene točke na pozitivni polovici osi , vidimo oglišča:

(

) (

) (

) (

)

Iz zelo oddaljene točke na pozitivni polovici osi vidimo oglišča:

(

) (

) (

) (

)

Iz zelo oddaljene točke na pozitivni polovici osi oglišča:

(

) (

) (

) (

)

x

z

y

38

Vidimo torej, da so vsa oglišča, glede na koordinate, oblike:

(

) (

) (

)

Število točk vsake vrste je 4, skupaj 12. Ni težko ugotoviti, da naštete točke sestavljajo

oglišča pravilnega ikozaedra z robom a. Njegovih dvajset mejnih ploskev sestavljajo

enakostranični trikotniki. Naštejemo tistih pet, ki imajo skupno oglišče, slika 43.

Slika 43: V oglišču ikozaedra se stika pet enakostraničnih trikotnikov.

Da je na primer trikotnik z oglišči enakostraničen s stranico , preverimo

neposredno.

| | | |

| |

Razdaljo med dvema točkama v prostoru izračunamo s pomočjo spodnje formule:

| | √( ( (

Ax

Ay

Az

Dx

Bz

Dy

39

| | (

)

(

)

(

)

(

(

| | √

Težišče trikotnika z oglišči ( ( in ( zapišemo tako:

(

)

Središče (težišče) tega trikotnika je v točki

(

(

)

(

)

(

))

Po poenostavljanju dobimo:

(

(

)

40

Sedaj že lahko izračunamo polmer včrtanega kroga za pravilni ikozaeder. Najprej velja:

| | √ (

)

(

)

√

√ (

√

√ (

√

)

( √

)

√ (

√

) √

√ √

√

√ √

√ √

( √ √ )

Ploščino enega enakostraničnega trikotnika izračunamo po formuli:

√

41

Za vsak pravilen polieder velja formula

. Pri moramo upoštevati površino

ikozaedra ( √ ). Torej je volumen ikozaedra potemtakem enak

√ ( √ √ )

√

( √ )

( √ )

Površino ikozaedra ni težko izračunati, saj ima ikozaeder 20 enakih stranskih ploskev

sestavljenih iz enakostraničnih trikotnikov. Torej, površina ikozaedra je enak:

√

√

Površina ikozaedra: √

Prostornina ikozaedra: ( √ )

42

3.7.5 Dodekaeder

Slika 44: Dodekaeder.

Pravilen dodekaeder, slika 44, obravnavamo kot dual pravilnega ikozaedra. S pridom bomo

uporabili rezultate, dobljene pri ikozaedru. Središča tistih petih mejnih ploskev pravilnega

ikozaedra, ki imajo skupno oglišče npr. , slika 45.

Slika 45: Nastanek pravilnega dodekaedra.

Oglišča so oglišča pravilnega petkotnika s stranico | |.

43

Koordinati točke smo že izračunali:

(

(

)

Koordinate točke pa bomo dobili s pomočjo težišča trikotnika in

(

(

)

(

)

(

))

((

(

(

)

Sedaj bomo izračunali dolžino stranice .

| | ((

)

((

)

((

(

)

| | (

)

(

)

(

)

| |

| |

| | (

)

(

| | (

)

((

To enačbo preuredimo, pri čemer uporabimo znano formulo:

Torej:

| | (

)

((

(

44

(

(

( (

| | √

Torej | |

. Da dobimo pravilni dodekaeder z robom a, moramo vse koordinate oglišč

pravilnega ikozaedra in iz njega dobljenih oglišč dualnega poliedra pomnožiti s faktorjem

Tako bi dobili koordinate vseh dvajsetih oglišč pravilnega dodekaedra, npr.

(

(

)

(

(

(

(

)

Podobno se izražajo koordinate točk in . Namenoma izberemo vsa oglišča iste mejne

ploskve, to je pravilnega petkotnika . Ko koordinate poenostavimo, dobimo:

(

(

) (

) (

(

)

(

(

) (

)

45

Iz oglišč pravilnega ikozaedra lahko ugotovimo, da so vse koordinate oglišč pravilnega

dodekaedra oblike.

(

(

) (

(

)

(

(

) (

)

Število točk prve, druge in tretje vrste je po 4, točk četrte vrste pa je 8, skupaj res 20.

Središče pravilnega petkotnika je v točki , slika 45.

Koordinate točke Q so:

(

)

(

)

(

)

(

)

( (

(

)

Iz teh dobimo:

| |

√ (

)

(

)

46

√

√

√

√ (

√

)

( √

)

√ (

√

) (

√

)

√

√

√

√

√

√ √

Polmer včrtanega kroga mejne ploskve izračunamo z dvakratno uporabo Pitagorovega

izreka.

( √ )

Torej je

√ √

47

Površina pravilnega dodekaedra je zato:

√ √

Prostornino dobimo tako:

√ √ √ √

√ √

Ker je √ ( √ ) , imamo nazadnje

( √ )

Površina dodekaedra: √ √

Prostornina dodekaedra:

( √ )

48

V spodnji tabeli so prikazani podatki o polmeru očrtane krogle (R), polmeru včrtane krogle (r)

in kotu med sosednjima stranskima ploskvama z dolžino roba a. Kot imenujemo tudi

diedrski kot pravilnega poliedra [19].

Tabela 2: Polmer očrtane krogle, polmer včrtane krogle, diedrski kot pravilnega poliedra.

R r

Tetraeder √

√

(

)

Heksaeder √

Oktaeder √

√

(

)

Ikozaeder

√ √

( √ )

( √

)

Dodekaeder

(√ √ )

√ √

( √

)

3.8 Poliedri v vsakdanjem življenju

3.8.1 Poliedri v kemiji

V kemiji se je začela uporaba poliedrov leta 1874, ko sta van`t Hoff in le Bel ugotovila, da

atomi vodika okoli ogljika v organski kemiji zavzemajo položaje na ogliščih četverca. Kmalu za

tem je Werner uvedel osmerec za opis stereokemije atomov okoli atoma tranzicijskih kovin.

Četverec in osmerec sta najpogostejša motiva kemije predhodnih elementov. Dvajseterec se

je pojavil v svetu molekul šele leta 1960 pri poučevanju dodekaboratnega aniona v K2B12H12.

Proučevanje alkanov oblike pravilnih poliedrov se je začelo leta 1964, ko sta Eaton in Cole

sintetizirala zelo simetričen kuban (C8H8), glej sliko 46. Šele leta 1978 so po dolgotrajnem

teoretičnem pričakovanju in dolgotrajnih poskusih sintetizirali substituirani tetraedran in leta

1982 dodekaedran (C20H20), glej sliko 47 [20].

Na spodnjih slikah modelov molekul lahko spoznamo pravilne poliedre, trikotno bipiramido

in podaljšano kvadratno bipiramido … [20]

49

Slika 46: Modeli metana (CH4), kubana (C8H8), tetraedrana (C4H4) in dodekaedrana (C20H20) [15].

Slika 47: Dodekaboran [B12H12]2 [15].

Leta 1990 so znanstveniki našli tretjo obliko ogljika – C60 – v naravi, imenovano fuleren, ki pa

nima oblike pravilnega poliedra. Njegova oblika vendarle spominja na pravilno strukturo, saj

ga sestavljajo pravilni petkotniki in pravilni šestkotniki. Na pogled je takšen, kot nogometna

žoga [20], glej sliko 48.

50

Slika 48: Oblika ogljika C60 – fuleren [16].

3.8.2 Poliedri v umetnosti

Poliedri zaradi svojih oblik pogosto pritegnejo pozornost. Zato so hvaležen motiv za

umetnike in umetnostno obrt [21].

Poliedre v umetnosti prvič srečamo v 15. stoletju. Na tleh bazilike svetega Marka v Benetkah

najdemo marmornato gravuro malega zvezdnega dodekaedra (l. 1420), glej sliko 49. Avtor je

Paolo Uccello (1397–1475) [21].

Slika 49: Zvezdasti dvanajsterec [17].

Intarzije patra Giovannija, slika 50, iz Verone predstavljajo višek te zvrsti. Opazimo

Campanusovo oblo, dvajseterec, prisekani dvajseterec, kockin osmerec …

51

Slika 50: Intarzije patra Giovannija [17].

V novejšem času je bil med geometrijskimi oblikami navdušen nizozemski umetnik Maurits

Cornelis Escher (1898–1972), glej sliko 51 in sliko 52.

Slika 51: Maurits Cornelis Escher [17].

52

Slika 52: Escherjeva zvezda [17].

Leonardo da Vinci je domnevno ilustriral Paciolijevo knjigo De divina proportione – O zlatem

rezu (leta 1509), glej sliko 53.

Slika 53: Paciolijeva knjiga De divina proportione – O zlatem rezu [17].

53

3.8.3 Poliedri in živa narava

Priznan nemški biolog Ernst Haeckel (1834–1919) je v svojem obsežnem znanstvenem

udejstvovanju opisal in poimenoval na tisoče vrst organizmov, ustvaril genealoško drevo z

vsemi do takrat znanimi oblikami življenja. Postavil je definicijo ekologije, ki je v veljavi še

danes [22].

Na potovanju l. 1880 je narisal večje število enoceličnih organizmov, imenovanih radiolarie.

Tri med njimi je poimenoval circoporus octahedrus, circorrhegma dodecahedra in circogonia

icosahedra, slika 54, po njihovi podobnosti s platonskimi telesi [23].

Slika 54: Circogonia icosahedra ima obliko pravilnega ikozaedra [18].

Mnogi modeli virusov imajo obliko ikozaedra, takšen primer je tudi model virusa HIV, glej

sliko 55.

Slika 55: Model virusa HIV [19].

54

4 UPORABA PLATONSKIH TELES V OSNOVNI IN SREDNJI ŠOLI

Pravilne poliedre ali platonska telesa se lahko obravnava v vseh razredih osnovne in srednje

šole. Pri pravilnem usmerjanju učencev ne zahteva kakšnega posebnega predznanja in je v

tem smislu elementarna naloga. Pravilni poliedri niso del učnega načrta ne za osnovno šolo

in ne za srednje šole, tako lahko pravilne poliedre obravnavamo v raziskovalni nalogi.

Raziskovanje lahko izvedemo vedno, kadar učenci pokažejo radovednost, ki ni predpisana v

učnem načrtu. Lahko tudi takrat, kadar je prevelika nasičenost pri predpisani učni snovi

dosegla takšno stopnjo, da so učenci izgubili že primerno mero samozaupanja. Nalogo lahko

izvedemo z učenci, ki dosegajo različne ravni znanja [24].

4.1 Priprava na vzgojno-izobraževalno uro

PRIPRAVA NA VZGOJNO-IZOBRAŽEVALNO URO

RAZRED: 8. ali 9. razred

UČNI PREDMET: Matematika Datum:______________

POGLAVJE: Oglata geometrijska telesa

UČNA TEMA: Platonska telesa

VZGOJNO-IZOBRAŽEVALNI CILJI:

- učenci spoznajo vseh pet pravilnih poliedrov,

- učenci poskušajo najti povezavo med pravilnimi liki in pravilnimi telesi.

UČNE OBLIKE:

- skupinska oblika,

- delo v dvojicah.

55

UČNE METODE:

- raziskovalno delo,

- delo z učnimi listi,

- demonstracija,

- pogovor.

VRSTA UČNE URE:

- ura nove snovi.

UČNI PRIPOMOČKI:

Delovni list in material za sestavljanje platonskih teles, projektor, platno.

KLJUČNE BESEDE:

Lik, stranica, kot, telo, ploskev, rob, enakostranični trikotnik, kvadrat, petkotnik, šestkotnik,

enakostranični večkotniki, ogel, tetraeder, heksaeder, oktaeder, dodekaeder, ikozaeder.

OPOMBA:

Uro lahko izvedemo tudi v devetem razredu in v srednjih poklicnih šolah.

LITERATURA:

- Pavlič G., Slikovni pojmovnik, matematika, Tehniška založba Slovenije, 1998.

PRILOGE:

Tabelska slika, delovni list.

Šola: OŠ ____________

Učitelj: ______________

56

SNOVNA PRIPRAVA

POSTAVITEV PROBLEMA

Problem, ki smo si ga zastavili, je spoznati pravilna oglata telesa.

- Raziskovanje lahko izvedemo tako pri matematiki kot pri tehnični vzgoji, ali pri

interesnih dejavnostih, torej sam problem nima lokacije, ki bi bila vpeta v predpisani

tok aktivnosti pri posameznem predmetu iz predpisanega osnovnošolskega

predmetnika.

UVOD

Raziskovalna naloga z naslovom Platonska telesa je simpatična že zato, ker se lahko izvaja v

vseh razredih osnovne šole. Pri pravilnem usmerjanju učencev ne zahteva kakšnega

posebnega predznanja in je v tem smislu elementarna naloga. Prav tako platonska telesa

niso del učnega načrta ne za osnovno šolo niti ne za srednje šole kar je za raziskovanje zelo

ugoden element, saj lahko raziskovanje izvedemo kadar koli, še posebno ko v skupini

učencev otroška radovednost prične siliti čez rob predpisanega učnega načrta. Nalogo lahko

izvedemo tudi z vsemi učenci, ne glede na njihove učne sposobnosti.. Izhajamo iz pojma

oglišča.

Oglišče nastane tam, kjer se stikajo vsaj tri mejne ploskve telesa.

KAJ SO PLATONSKA TELESA?

Platonska telesa, imenujemo jih tudi pet pravilnih teles, so:

- tetraeder ali četverec,

- heksaeder ali šesterec (kocka),

- oktaeder ali osmerec,

- dodekaeder ali dvanajsterec,

- ikozaeder ali dvajseterec.

57

CILJ RAZISKOVANJA

Ugotoviti, ali obstajajo pravilna telesa, kakšna so (izdelati modele) in koliko jih je.

Platonska telesa

zap. Št. ime telesa p k o s

1 četverec tetraeder 4 3 4 6

2 kocka - šesterec heksaeder 6 4 8 12

3 osmerec oktaeder 8 3 6 12

4 dvanajsterec dodekaeder 12 5 20 30

5 dvajseterec ikozaeder 20 3 12 30

p – število ploskev površja

k – število kotov pri mejni ploskvi

o – število oglišč

s – število robov

PREDZNANJA ZA RAZISKAVO

Če trdimo, da je raziskovanje PLATONSKIH TELES elementarno:

- Ne smemo od učencev zahtevati posebnih predznanj. Tako nalogo lahko z učenci

pričnemo z opazovanjem najbližjega okolja. Skoraj vse, kar v nam zaznavnem svetu

lahko vidimo in otipamo, spada v kategorijo TELES.

Začnimo si sedaj ogledovati telesa in naredimo že prvo razvrstitev le teh. Telesa, ki

jih omejujejo same ravne ploskve, so oglata telesa. Telesa, ki niso omejena s samimi

ravnimi ploskvami, pa so okrogla telesa. Vse ploskve, ki omejujejo telo, imenujemo

površje telesa. Površje telesa je izmerljivo ter ga vedno lahko otipamo in izmerimo.

Površina je konkretna, kasneje tudi izmerljiva količina.

Kjer se stikata dve mejni ploskvi površja oglatega telesa, nastane rob. Tak rob je

58

prema črta in se razteza le v eno smer. Če opazujemo konkretno telo, ga lahko vedno

tako obrnemo, da se bo opazovani rob raztezal v »dolžino«. Robove imenujemo črte

in vsaka črta ima samo eno razsežnost – dolžino.

Kjer se stikajo vsaj tri mejne ploskve oglatega telesa, nastane oglišče. Oglišče se ne

razteza v nobeno smer – oglišče je točka. Točka nima nikakršne razsežnosti.

UGOTOVIMO

- Vsota notranjih kotov, ki imajo za skupni vrh točko, meri manj od

OPAZIMO

- Ne moremo stakniti trikotnikov z vrhovi skupaj, če vsota notranjih kotov ob vrhu

meri več kot .

- Če meri vsota notranjih kotov ob vrhu trikotnikov natanko , se trikotnike lahko

zloži skupaj, toda ne dvignejo se iz ravnine, ne nastane oglišče, ampak neki ravninski

lik.

- Če je vsota notranjih kotov ob vrhu trikotnikov manjša od , pa se mora oglišče

dvigniti iz ravnine.

KONČNE UGOTOVITVE

Iz enakostraničnih trikotnikov lahko sestavimo tri različna telesa.

- Četverec ali tetraeder (oglišče s tremi stičnimi ploskvami).

- Osmerec ali oktaeder (oglišče s štirimi stičnimi ploskvami).

- Dvajseterec ali ikozaeder (oglišče s petimi stičnimi ploskvami).

Iz kvadratov lahko sestavimo eno telo.

- Šesterec ali kocka ali heksaeder (oglišče s tremi stičnimi ploskvami).

Iz pravilnih petkotnikov lahko sestavimo le eno telo.

- Dvanajsterec ali dodekaeder (oglišče s tremi stičnimi ploskvami).

59

ZAKLJUČEK

Spoznali smo:

- DA OBSTAJA SAMO PET PLATONSKIH TELES.

DIDAKTIČNA PRIPRAVA

UČITELJ

UČENEC (odgovori)

UČENEC (aktivnost)

1. Motivacija

Poznamo pravilne like. Kakšne

lastnosti imajo pravilni liki?

Pa mi jih naštejte.

Razdelimo se v skupine.

2. Usvajanje

Razdelila vam bom kuverte, v katerih

imate narezane pravilne like, lepilni

trak ter delovni list. Iz teh likov boste

Da so dolžine stranic

enake in notranji koti

skladni.

Enakostranični trikotnik,

kvadrat, pravilni

petkotnik, pravilni

šestkotnik.

Odgovarjajo na

postavljena

vprašanja. Sodelujejo

pri pogovoru.

Sodelujejo pri

pogovoru.

60

sestavili telesa.

Koliko likov (najmanj) moramo

stakniti skupaj, da nastane vrh?

Od česa pa je odvisno, kdaj bo nastal

vrh?

Koliko lahko meri kot ob vrhu?

Kaj se zgodi, če je vsota kotov enaka

?

Kotu, kjer se stikajo vsaj tri mejne

ploskve rečemo OGLIŠČE.

Učenci v skupini sestavljajo telesa.

Ko bodo vse skupine končale

določeno telo, bom poklicala učenca,

ki bo pred tablo pokazal izdelek.

Prešteli bomo mejne ploskve telesa,

oglišča in robove.

Kako bi opisali to telo z besedami?

Najmanj tri.

Od vsote notranjih

kotov, ki tvorijo vrh.

Kot ob vrhu mora biti

manjši od .

Nastane ravninski lik

(tlakujemo ravnino).

Je omejen z dvanajstimi

pravilnimi petkotniki.

Ima dvajset oglišč in

Odgovarjajo na

postavljena

vprašanja.

Skupinsko delo.

Sestavljajo telesa in

sproti rešujejo

delovne liste.

61

Iz pravilnih šestkotnikov ne moremo

sestaviti telesa.

Zakaj ne moremo sestaviti iz pravilnega

šestkotnika telesa?

3. Zaključek

Kaj smo danes spoznali?

Kako pa imenujemo pravilna telesa?

Še malo zgodovine:

Najstarejše modele pravilnih poliedrov,

ki izhajajo iz neolitske kulture in so stari

okoli 4000 let, hranijo v enem od

oxfordskih muzejev.

Pitagorejci so platonska telesa povezali z

nastankom sveta:

trideset robov. V vsakem

oglišču se sekajo trije

robovi.

Ker nastane ravninski lik

in tlakujemo ravnino.

Vsota notranjih kotov, ki

tvorijo vrh, je enaka

.

Spoznali smo, da lahko

sestavimo samo pet

pravilnih teles.

Platonska telesa.

62

- Šesterec (heksaeder) – zemlja,

ker ima od vseh pravilnih

poliedrov najtršo strukturo;

- Četverec (tetraeder) – ogenj, ker

ima najmanjše število stranskih

ploskev in je zato najbolj gibljiv;

- Osmerec (oktaeder) – zrak, ker

po svojih lastnostih spada med

tetraeder in ikozaeder;

- Dvajseterec (ikozaeder) – voda,

ker je v lastnostih najbolj

nasproten tetraedru;

- Dvanajsterec (dodekaeder) –

sfera vesolja (nebo), ker je tako

drugačen od drugih teles, pa tudi

nebesnih znamenj je dvanajst.

Kepler (1571–1630) je verjel, da je našel

model zgradbe našega sončnega

sistema, in to s pomočjo platonskih

teles.

63

TABELSKA SLIKA

64

DELOVNI LIST

SKICA TELESA IME TELESA ŠTEVILO PLOSKEV

ŠTEVILO OGČLIŠČ

ŠTEVILO ROBOV

65

ELEKTRONSKE PROSOJNICE

SKICA TELESA IME TELESA ŠTEVILO PLOSKEV

ŠTEVILO OGČLIŠČ

ŠTEVILO ROBOV

Tetraeder (četverec) 4 4 6

Oktaeder (osmerec) 8 6 12

Kocka (šesterec,

heksaeder) 6 8 12

Dodekaeder (dvanajsterec) 12 20 30

Ikozaeder (dvajseterec) 20 12 30

4.2 Poliedrske delavnice

Poliedrske delavnice so delavnice, v katerih sodelujejo učenci, ki sestavljajo pravilne in delno

pravile (Arhimedove) poliedre. Na takšen način se večina učencev prvič sreča in seznani z

različnimi poliedri. S sestavljanjem poliedrov si učenci razvijajo prostorsko predstavljivost. S

takšnimi in podobnimi delavnicami pridobimo pozornost in zanimanje učencev, tudi tistih, ki

so za matematiko sicer manj zainteresirani. Težave, ki jih imajo učenci pri geometriji, v veliki

meri izhajajo iz tega, da si slabo predstavljajo prostor in oblike v njem. Posledično ne

razumejo formul za izračunavanje površin in ploščin geometrijskih teles. Zato je dobro, da

učenci sami izdelajo didaktične modele [25].

66

Ena izmed takšnih delavnic je potekala v šolskem letu 2010/2011. Projekt je pripravilo DMFA

(Društvo matematikov, fizikov in astronomov) Slovenije, ki ga je sofinanciralo MŠŠ

(Ministrstvo za šolstvo in šport). Šole so nato po subvencionirani ceni nabavile nekatere

komplete za sestavljanje poliedrov ali pa so dobile komplete v brezplačno izposojo [25].

V projektu je sodelovalo 20 šol, na delavnicah pa okoli 1000 učencev, ki so izvajali različne

aktivnosti. Glavna aktivnost je bila sestavljanje pravilnih in delno pravilnih (arhimedskih)

poliedrov. Projekt nameravajo nadaljevati tudi v prihodnjih letih [25]. Na sliki 56 so prikazani

učenci med delavnico.

Slika 56: Učenci OŠ Center Novo mesto med delavnico.

Učitelji lahko tudi sami organizirajo poliedrske delavnice. Tako so aprila 2013 na Osnovni šoli

Loka Črnomelj učenci devetega razreda izdelovali različne poliedre pod vodstvom učiteljice

Darinke Rogina. Učenci so jih sestavljali pri dodatnem pouku in predurah. Izdelke so razstavili

v avli šole, slika 57.

67

Slika 57: Poliedri v avli OŠ Loka Črnomelj.

4.3 Poliedrske jelke

S poliedri lahko okrasimo tudi novoletno jelko, slika 58. Ideja so predstavili v reviji Logika in

razvedrilna matematika (tretja izdaja 2006–2007), ko so izdali razpis za poliedrsko jelko leta.

Najlepše jelke so bile objavljene v naslednji številki revije Logika in razvedrilna matematika.

Slika 58: Učenci OŠ Turnišče so pod vodstvom Marije Magdič izdelali domiselno jelko.

68

4.4 Preprosta izdelava dodekaedra

Dodekaeder je pravilni polieder, ki je sestavljen iz dvanajstih pravilnih petkotnikov. Petkotnik

običajno rišemo s pomočjo ravnila in kotomera, kar je precej zamudno. Veliko hitrejše lahko

izdelamo petkotnik iz traku enake debeline, tako da oblikujemo vozel.

Za izdelavo potrebujemo list papirja (tršega), ravnilo, svinčnik, škarje in lepilni trak. Na listu

papirja (A4 format) označimo enake debeline trakov (npr. 3 cm) in jih nato izrežemo.

Potrebovali bomo 12 takšnih trakov, slika 59.

Slika 59: Enaki trakovi pravokotne oblike.

Iz vsakega traku izdelamo petkotnik tako, da trak oblikujemo v vozel. Glej sliko 60. Na koncu

zlepimo odvečna traka s pomočjo lepilnega traku.

Slika 60: Postopek, kako iz pravokotnega traku izdelamo petkotnik.

69

Ko izdelam dvanajst takšnih petkotnikov, se lotim mreže dodekaedra, slika 61. Na koncu pa

sestavim mrežo v telo, slika 62.

Slika 61: Mreža dodekaedra.

Slika 62: Model dodekaedra.

4.5 Izdelava modela ikozaedra

4.5.1 Ročno narejen model ikozaedra

Potrebujemo trši papir oz. tanjši karton, na katerega narišemo tri enake pravokotnike.

70

Pravokotniki morajo biti v razmerju zlatega reza, to pomeni, da morajo imeti daljšo stranico

dolgo in krajšo stranico . Pri tem je

razmerje zlatega reza √

.

Primer:

cm

cm

Pravokotnike izrežemo s pomočjo »olfa« noža in kovinskega ravnila, slika 63.

Slika 63: Izrezan pravokotnik.

Na vsak pravokotnik narišemo diagonali ter daljšo središčnico. Na središčnico načrtamo

dolžino a (v našem primeru 10 cm). Pazimo, da je polovica dolžine a narisana levo in desno

od presečišča diagonal, slika 64. To dolžino, ki smo jo načrtali, bomo morali izrezati z »olfa«

nožem. Pazimo, da smo natančni.

71

Slika 64: Natančno izrezana dolžina a na središčnici pravokotnika.

Dva pravokotnika zarežemo tako, kot kaže slika 65, enega pa tako, kot kaže slika 66.

Slika 65: Dva pravokotnika zarežemo tako.

Slika 66: En pravokotnik izrežemo tako.

Tista pravokotnika, ki smo zarezali po dolžini a, sedaj sestavimo skupaj, glej sliko 67.

72

Slika 67: Skozi zarezo sestavimo pravokotnika.

Pravokotnik, ki ima daljšo zarezo, potisnemo skozi prejšnja dva pravokotnika, tako kot kaže

slika 68. Tako dobimo ogrodje ikozaedra.

Slika 68: Skozi potisnemo še tretji pravokotnik z najdaljšo zarezo.

Odvečno zarezo zalepimo z lepilnim trakom, glej sliko 69.

Slika 69: Odvečno zarezo zlepimo z lepilnim trakom.

73

Robovi ogrodja predstavljajo oglišča ikozaedra. Oglišča lahko povežemo s pomočjo šivanke in

tanke nitke. Povezati moramo tri najbližja oglišča, tako se prepričamo, da je stranska ploskev

ikozaedra res enakostranični trikotnik. Dobimo končni izdelek, glej sliko 70.

Slika 70: Model ikozaedra.

74

4.5.2 Model ikozaedra, narejen s pomočjo programa Google SketchUp 8.

Google SketchUp je preprost, brezplačen program za risanje 3D modelov. Program je

primeren za izobraževalne namene in osnovno uporabo. Google SketchUp je uporaben na

vseh stopnjah izobraževanja za potrebe predstavljanja 3D modelov, še posebej pri pouku

matematike, tehnike in tehnologije, kot tudi pri likovni vzgoji, pri kateri ga učenci uporabijo

pri prostorskem oblikovanju.

Navodila za izdelavo modela ikozaedra v programu Google SketchUp:

Najprej narišemo pravokotnik, ki ima stranice v razmerju zlatega reza. To pomeni, da sta

stranici pravokotnika v razmerju √

. Kliknemo na gumb Rectangle, slika 71.

Slika 71: Gumb Rectangle.

Nato narišemo zlati pravokotnik. Pri tem moramo biti pozorni, da program sam pokaže napis

Golden Section v spodnjem desnem kotu pravokotnika, slika 72.

Slika 72: Zlati pravokotnik.

Ta pravokotnik mora biti rotiran in kopiran dvakrat. Kliknemo na gumb Select, slika 73, ter

dvakrat kliknemo na pravokotnik.

Gumb Rectangle

75

Slika 73: Gumb Select.

Z desnim klikom na miški izberimo Make Group, slika 74.

Slika 74: Izberemo Make Group.

Naš pravokotnik bomo lažje rotirali, če bo prestavljen v izhodišče koordinatnega sistema

(Origin). Kliknemo tipko Move, slika 75.

Slika 75: Izmeremo Move.

Če želimo najti središčno točko pravokotnika, se najprej pomaknimo na sredino dolžine

pravokotnika (prikaže se vijoličen krogec, ter napis Midpoint in Group), nato se pomaknemo

na sredino širine pravokotnika, slika 76.

Gumb Select

Move

76

Slika 76: Določitev središčne točke pravokotnika.

Nato se z miško pomaknemo v središče pravokotnika. Ko vidimo črtasto rdečo in zeleno črto,

kliknemo (pokaže se napis From Point), glej sliko 77.

Slika 77: Izberemo From Point.

Vse skupaj prestavimo v izhodišče (Origin) in kliknemo, da tam pravokotnik ostane, slika 78.

77

Slika 78: Pravokotnik prestavimo v izhodišče.

Pravokotnik naj bo še vedno označen. Izberemo Rotate, glej sliko 79.

Slika 79: Izberemo Rotate.

kliknemo na izhodišče (Origin), ter pritisnemo tipko Ctrl (na tipkovnici) – tako pričnemo z

rotacijo in hkrati kopiramo pravokotnik. Kliknemo v prvi kvadrant, nato zopet kliknemo – ko

zagledamo v spodnjem desnem kotu 90o, slika 80.

Rotate

78

Slika 80: Kopiranje in rotacija pravokotnika.

Izberemo Orbit, slika 81,

Slika 81: Izberemo Orbit.

ter premaknemo pogled tako, kot kaže slika spodaj. Na risalni površini, moramo videti modro

in rdečo ravnino, slika 82.

1.Kvadrant

Orbit

79

Slika 82: Modra in rdeča ravnina.

Izberimo Rotate in se z miško postavimo v drugi kvadrant, kjer mora biti kotomer zelene

barve, slika 83.

Slika 83: V drugem kvadrantu mora biti kotomer zelene barve.

Pazimo, da je pravokotnik, ki je vizualno bližje nam, označen. To pomeni, da mora biti

obrobljen z modro barvo, glej sliko 84.

Modra in rdeča

ravnina

80

Slika 84: Pravokotnik mora biti označen.

Kliknemo in držimo tipko Shift (na tipkovnici), nato kliknemo na izhodišče (Origin). Za tem

kliknemo na rdečo os, ter rotiramo pravokotnik za 90o – tako da se dotika modre črte. Slika

spodaj levo. Z uporabo tipke Orbit lahko bolj nazorno vidimo naš izdelek, slika 85.

Slika 85: Rotacija pravokotnika.

Sedaj bomo vertikalni pravokotnik zopet rotirali za 90o. S kotomerom se pomaknemo v

izhodišče. Kotomer mora biti modre barve, slika 86.

Označimo pravokotnik

81

Slika 86: Rotacija pravokotnika.

Kliknemo v izhodišče, pritisnemo ctrl in zopet rotiramo kopijo pravokotnika za 90o, slika 87.

Slika 87: Rotacija pravokotnika.

Še zadnjo rotacijo naredimo tako, da je kotomer zelene barve, slika 88,

82

Slika 88: Kotomer mora biti zelene barve.

kliknemo v izhodišče, in rotiramo pravokotnik za 90o, slika 89.

Slika 89: Rotacija pravokotnika.

Pritisnemo tipki Ctrl+A, tako da imamo označene vse tri skladne zlate pravokotnike. Z desnim

klikom na enemu izmed pravokotnikov izberemo Explode, slika 90.

83

Slika 90: Izberemo Explode.

Sedaj bomo dodali 20 enakostraničnih trikotnikov, ki bodo predstavljali stranske ploskve

ikozaedra.

Kliknemo Line, slika 91.

Slika 91: Izberemo Line.

Narišemo prvi trikotnik, tako, da klikamo na oglišča pravokotnikov, slika 92.

Line

84

Slika 92: Skozi oglišča pravokotnikov povežemo pare enakostraničnih trikotnikov.

S tem postopkom nadaljujemo, dokler ne narišemo vseh 20 stranskih ploskev ikozaedra, slika

93.

Slika 93: Model ikozaedra, narisan v programu ikozaedra.

Trikotniki so različno obarvani, saj program uporablja različne barve za prikaz sprednjih in

zadnjih stranskih ploskev. Če želimo, da je ikozaeder prikazan z belimi trikotniki, kliknemo na

stransko ploskev, ki jo želimo spremeniti. Z desnim klikom izberemo Reverse Faces.

Ikozaeder lahko barvamo tudi tako, da izberemo gumb Paint Bucket. Program ponuja veliko

paleto barv, materialov ter dizajnov, slika 94.

85

Slika 94: Z opcijo Paint Bucket lahko po želji barvamo like.

86

5 Zaključek

Pri pisanju diplomskega dela sem spoznala, da lahko pravilne poliedre vključimo v učni načrt

tako v osnovni, kot srednji šoli, čeprav niso na seznamu predvidenih tem. Res je, da si mora

učitelj za takšen način poučevanja vzeti več časa za pripravo na pouk, vendar učenci veliko

več odnesejo od takšne ure, pri kateri sami izdelajo izdelek. Preko tega izdelka spoznajo

razne topološke lastnosti teles ter razvijajo prostorsko predstavljivost. Pravilni poliedri so

primerna tema za matematično raziskovanje v osnovni šoli. Na primer, zakaj je platonskih

teles ravno pet. Učenci pri takšni uri odnesejo veliko več znanja. Vsebina diplomskega dela je

primerna tako za osnovno kot srednjo šolo.

87

Literatura

[1] Stakhov A., The Mathematics of harmony, World scientific, 2009.

[2] Vklesani kamni, http://www.georgehart.com/virtual-polyhedra/neolithic.html,

ogledano 3. 10. 2013.

[3] Pravilni poliedri, http://www.en.wikipedia.org/wiki/Regular_polyhedron, ogledano 5.

10. 2013.

[4] Platon, http://sl.wikipedia.org/wiki/Platon, ogledano 5. 10. 2013.

[5] Logika & razvedrilna matematika, Arhimed, letnik 17, 2007/08, št. 3.

[6] Domajnko Vilko, Presek, zvezdni poliedri, št. 2, letnik 28 (2000/2001), str 70.

[7] Svetlin P., Matematično preiskovanje poliedrov v osnovni šoli, diplomsko delo, 2012.

[8] Leksikon Cankarjeve založbe, matematika, Alojzij Vadnal, Lj, 1980, str 151.

[9] Poliedri, http://mars.famnit.upr.si/mars2008/pdf/cl-08-01-poliedri.pdf, gledano

6. 10. 2013.

[10] Tetraeder, http://sl.wikipedia.org/wiki/Tetraeder, gledano 8. 10.2013.

[11] Kocka, http://sl.wikipedia.org/wiki/Kocka, gledano 8. 10. 2013.

[12] Oktaeder, http://sl.wikipedia.org/wiki/Oktaeder, gledano 8. 10. 2013.

[13] Dodekaeder, http://sl.wikipedia.org/wiki/Dodekaeder, gledano 8. 10. 2013.

[14] Ikozaeder, http://sl.wikipedia.org/wiki/ikozaeder, gledano 8. 10. 2013.

[15] Dualni polieder, http://sl.wikipedia.org/wiki/Dualni_polieder, gledano 12. 10. 2013.

[16] Intihar Z., Pravilni poliedri, diplomska naloga, 1985.

[17] Euler, http://presek.si/19/1075-Vencelj-Euler.pdf, gledano 13. 10. 2013.

[18] Poliedri, Euler, http://pefprints.pef.uni-lj.si/769/1/POLIEDRI.pdf, gledano 13. 10.

2013.

[19] Razpet M., površine in prostornine pravilnih poliedrov, http://presek.si/28/1445-

Razpet.pdf, gledano 13. 10. 2013.

[20] Logika in razvedrilna matematika , poliedri v kemiji, letnik 21, 2011/12, št. 1

[21] Logika in razvedrilna matematika, poliedri v umetnosti, letnik 20, 2010/11, št. 2.

[22] Logika in razvedrilna matematika, Ernst Haeckel, letnik 21, 2011/12, št. 2.

[23] Logika in razvedrilna matematika, poliedri in živa narava, letnik 21, 2011/12, št. 2.

[24] Perat A., pravilni poliedri, Novo mesto, 2005.

[25] Logika in razvedrilna matematika, poliedrske delavnice, letnik 21, 2011/12, št. 4.

88

Seznam slik

[1] Vklesani kamni, ki predstavljajo pravilne poliedre,

http://www.georgehart.com/virtual-polyhedra/neolithic.html, ogledano 3. 10. 2013.

[2] Platon, http://sl.wikipedia.org/wiki/Platon, gledano 4. 10. 2013.

[3] Platonska telesa, http://www.greatlittleminds.com/pages/maths/3d-nets.html,

ogledano 5. 10. 2013.

[4] Logika & razvedrilna matematika, Arhimed,letnik 17, 2007/08, št. 3

[5] Johannes Kepler,

https://libwebspace.library.cmu.edu:4430/posnercenter/sp09/subcontents/Kepler.ht

ml, ogledano 7. 10. 2013.

[6] Domajnko V., Presek, zvezdni poliedri, letnik 28, 2000/01, št. 2, str. 70.

[7] Tetraeder, http://sl.wikipedia.org/wiki/Tetraeder, ogledano 8. 10.2013.

[8] Kocka, http://sl.wikipedia.org/wiki/Kocka, ogledano 8. 10. 2013.

[9] Oktaeder, http://sl.wikipedia.org/wiki/Oktaeder, ogledano 8. 10. 2013.

[10] Dodekaeder, http://sl.wikipedia.org/wiki/Dodekaeder, ogledano 8. 10. 2013.

[11] Ikozaeder, http://sl.wikipedia.org/wiki/ikozaeder, ogledano 8. 10. 2013.

[12] Dual tetraedra je tetraeder,

http://sketchup.google.com/3dwarehouse/details?mid=823e035e3a6c6f35bb4cf1a5e

0eb552f, ogledano 12. 10. 2013

[13] Dual kocke je oktaeder, http://sl.wikipedia.org/wiki/Dualni_polieder, ogledano 12.

10. 2013.

[14] Dual ikozaedra je dodekaeder, http://apollonius.math.nthu.edu.tw/d1/dg-07-

exe/943251/dynamic/duality.htm, ogledano 12. 10. 2013

[15] Logika in razvedrilna matematika, poliedri v kemiji, letnik 21, 2011/12, št. 1.

[16] Fuleren, http://sl.wikipedia.org/wiki/Nanotehnika, ogledano 12. 10. 2013.

[17] Logika in razvedrilna matematika, poliedri v umetnosti, letnik 20, 2010/11, št. 2.

[18] Pravilni ikozaeder, http://en.wikipedia.org/wiki/Radiolaria, ogledano 12. 10. 2013.

[19] Model virusa HIV, http://www.rkm.com.au/VIRUS/HIV/HIV-virion-laevo.html,

ogledano 12. 10. 2013.