1. MATEMATIKA KAO NAUKA

1.1. Istorijski razvoj matematike

„Matematika je stara prirodna nauka. Kao takva bila je vezana za realni svijet, za nešto

što postoji, što je tačno, što je istinito. Ona je prije svega nastala iz prakse, iz potrebe da ljudi

poboljšaju svoje uslove života, da postanu umni i pametni ljudi.“ (Kovačević, 2009: 18,19).

U svakodnevnici, da li u radu ili u igri pitamo se: „Koliko mnogo?“, „Koliko veliko?“ ili

„Koliko daleko?“ Da bismo na to odgovorili moramo brojati, znati koji odnosi vrijede među

brojevima, kako se različita tijela međusobno podudaraju ili kako da se površine podijele. Na

taj način već smo u dodiru s matematikom.

„Za francuskog filozofa i matematičara D'Alemberta (1717-1783) bila je to znanost

koja proučava svojstva veličina prema predmetu.“ (Adler, 1973: 8). Svaka definicija

matematike je vezana za period njenog razvoja, tj. trenutnog nivoa razvoja. Navodeći da je

nemoguće dati pravu definiciju matematike, Kovačević (2009) navodi par definicija poznatih

filozofa i matematičara:

1. Engels: „Matematika je nauka o prostornim odnosima realnog svijeta i njihovim količinskim

odnosima.“

2. Poenkare: „Matematika, to je vještina da se razne stvari nazovu istim imenom.“

3. Čebišov: „Matematika je nauka o veličinama sa njihovim očiglednim osobinama koje imaju

konkretan smisao i vrijednost; svaki odnos između matematičkih simbola odgovara odnosu

između realnih stvari.“

1.2. Matematika i civilizacija

Matematika i civilizacija su se razvijale istovremeno. Mnogi matematički problemi

izviru iz praktičnih problema svakodnevnog života, a njihova rješenja nam pomažu da te

praktične probleme i riješimo. Kako i kada su nastali brojevi? Ljudi nisu oduvijek brojali na

ovaj način kao mi danas. Prošlo je dosta vremena dok se u ljudskoj svijesti formirao, a zatim i

razvio pojam broja. U vrijeme kada su ljudi sticali svoju hranu kao lovci i sakupljači plodova,

1

bilja i sjemenja, trebali su brojati samo da bi održali svoje zalihe u potrebnim količinama.

Razlikovali su jednu od dvije, tri ili više ubranih ili sakupljenih voćki i plodova, odnosno

ulovljenih životinja. Čovjek iz predcivilizacijskog doba bio je sposoban, iako nije znao

brojati, da identifikuje elemente nekog skupa. Na taj način je procjenjivao veličinu svog stada,

te je mogao da uoči da li mu nedostaje jedna, dvije ili više ovaca ili krava. To možemo da

primijetimo i kod male djece. Iako ne znaju da broje, u stanju su da uoče da li im nedostaje

neka od igračaka. Čin brojanja je nastao istovremeno s upotrebom brojeva. Prvo se svodilo na

upoređivanje elemenata nekog skupa sa elementima poznatog skupa. Npr. kada je izvodio

ovce na pašu, svaku od njih je prilikom puštanja predstavljao s jednim kamenčićem koje je

skupljao u jednu gomilu. Ona je predstavljala skup puštenih ovaca. Uveče, pri povratku svake

od njih, uzimao je po jedan kamenčić s gomile i stavljao ga na drugu stranu, formirajući tako

skup vraćenih ovaca. Ako su se vratile sve ovce onda na prvoj gomili nije ostalo kamenčića,

ako jeste onda nedostaje onoliko ovaca koliko je i kamenčića na gomili. U istu svrhu koristili

su čvorove na konopcu kod Inka i Japanaca (sl. 1), horizontalne ili vertikalne crte urezane u

glini, na drvetu (sl. 2), na jelenskim rogovima i slično.

Sl. 1. Sl. 2.

Tokom vremena čovjek je sve manje koristio očigledna sredstva: prste, kamenčiće,

školjke ili neke druge dostupne predmete. Sam razvoj matematike kao nauke i pojedinih

njenih aspekata, istoričari su ispitivali i dokazivali i kroz običaje i navike života plemena koja

su i danas na niskom stepenu razvoja. Oni, kao i preci u davna vremena, ukazuju na količinu

pojedinih predmeta pomoću Sunca ili Mjeseca ako se radi o jednom predmetu (recimo

ulovljenoj ribi); broj dva označavali su pomoću ušiju, očiju ili ptičijim krilima; ruka je

označavala broj pet (sl. 3), a obje ruke broj deset. Važnost mjerenja i računanja je postalo

važnije u razvoju zemljoradnje i stočarstva. Kao pastiri i seljaci, oni su gradili kuće, mjerili

zemlju i prehranjivali svoja stada.

2

Sl. 3. Sl. 4.

U Egiptu su pisali oštrim predmetom po kamenu, a zatim na papirusu i koži perom i

mastilom. Kinezi su u II vijeku počeli proizvoditi i upotrebljavati papir, dok su prije toga

pisali oštrim predmetom po kamenu i mastilom po bambusovim trakama i svili. Stari Grci su

koristili voštane, drvene i kožne tablice koje su prethodno prevlačili tankim slojem sitnog

pijeska, pa čak su koristili i papirus. Za neke narode kojima su to klimatski uslovi

dozvoljavali bilo je uobičajeno da pišu po pijesku.

Zapisivanje brojeva se takođe mijenjalo i razvijalo uporedo s razvojem civilizacije.

Od hijeroglifa preko rimskih brojeva (7 latiničnih velikih slova: I, V, X, L, C, D, M),

alfabetskih brojeva (α,β,γ,δ,ε,ζ,η,….) (sl. 4), do indijsko-arapskih brojeva (1,2,3,4,5,…..).

Ogroman je značaj matematike za materijalni napredak čovječanstva. Teško je zamisliti kako

bi izgledao život, posebno savremeni život, da nije bilo matematike, da čovjek nije radio na

razvoju matematike, da se i sada ne radi, neprekidno, na razvoju i unapređenju nauke. Nijedan

savremeni uređaj, od najjednostavnijeg do vasionskog broda, nije mogao biti konstruisan bez

matematike. „Ona je zajednički oslonac svih nauka. Matematički pojmovi, kao što su broj,

prava, krug, nisu materijalne prirode u svom konačnom, formalizovanom obliku. Istorijski

gledano, oni vode porijeklo od realnih stvari. Većina matematičkih pojmova nastaje direktno

iz svakodnevne prakse. Tako je aritmetika nastala iz brojanja predmeta, geometrija iz

određivanja dužine, širine, površine, zapremine tijela. Iz realnih objekata nastaju matematički

modeli: Sunce nas asocira na loptu, krug; zvijezda na tačku,….“ (Kovačević, 2009: 18).

Matematika je polje istraživanja, vječitog otkrivanja novih ideja, činjenica, zakonitosti.

3

2. PRIMJENA MATEMATIKE

Velika je primjena matematike u prirodnim, društvenim i tehničkim naukama. Iako

neke od njih, kao što su medicina, biologija, statistika, vjerovatnoća, sociologija u prošlosti

nisu imale vezu s matematikom, sada se u velikoj mjeri oslanjaju i zasnivaju na njoj. Uzmimo

u obzir sa hemijske reakcije koje ne možemo zapisati bez matematičkih formula; zatim kako

konstruisati most ili zgradu bez geometrije. Koliko kamenja i cigli se treba nabaviti, koliko

zemlje treba iskopati da bi gradili nasipe i kanale? Koliko hrane pripremiti za radnu snagu?

Razvojem trgovine, trgovci su mjerili svoju robu i brojali novac, poreznici su obračunavali

visinu obaveza u ime faraona i kraljeva, pa čak su o tome davali i pismene obračune. Tako se

i u tom cilju razvila nauka o brojevima - aritmetika i nauka o prostoru -geometrija. Sveštenici,

astrolozi i filozofi su proricali promjene godišnjih doba, kretanje Sunca, Mjeseca i zvijezda,

dužinu dana i noći. Nebo i zvijezde promatrali su moreplovci na svojim odisejama, stizali

sigurno na najudaljenije tačke naše planete Zemlje. Saznanjima o odnosima među smjerovima

i udaljenostima razvila se – trigonometrija. Zahvaljujući opet trgovini kao veoma važnoj

ljudskoj djelatnosti, u cilju uštede vremena zbog potrebe ponavljanja učestalih načina

računanja, razradila su se pravila i formule za spomenute načine računanja. Pronađeni su i

putevi za razmišljanja na isti način – udareni su temelji za početak algebre. Vijekovnim

istraživanjem zemlje, mora, vazduha i neba, naučnici su izgrađivali strojeve. Tokom

istraživanja radili su s pokretnim i promjenljivim veličinama. Razvijen je diferencijalni i

integralni račun da bi se obuhvatili kretanje i promijenljivost.

Razvoj civilizacije i novi načini ljudskog rada izazivali su i nove probleme što je u

cilju svog rješenja iziskivalo i neizbježno razvijanje novih matematičkih disciplina. Naš svijet

je jedan veliki skup sa bezbroj elemenata koji se po svojim karakteristikama, tj. sličnostima i

razlikama, svrstavaju i razdvajaju na podskupove koji se dalje mogu dijeliti na svoje

podskupove i tako sve u nedogled. A to nas opet dovodi do novih pojmova kao što su unija,

presjek. Na sadašnjem našem saznajnom nivou sasvim je uobičajeno i normalno da smo

upoznati i da razumijemo, da prepoznajemo prazan skup, nulu kao pojam, obilježje „nečeg“

čega nema na datom mjestu u datom trenutku. „Nula“ kao nužnost i potrebu prvi su spoznali

stari Indijci, Arapi su je preuzeli od njih i uvrstili je u sastav brojeva koji i danas koristimo.

4

2.1. Jedinice, mjere i mjerenje

U starom Egiptu su majstori i trgovci sa sobom uvijek imali svoja mjerila, jer su mjere

za dužinu sadržavale dužine njihovih dijelova tijela. „Lakat“ je bila udaljenost od vrha lakta

do vrha srednjeg prsta; jedinica za mjeru „prst“ bila je širina prsta; od ovih osnovnih mjera

sastavljali su sljedeće mjere: četiri „prsta“ (širina prstiju) davali su mjeru „ruka“ (širina ruke).

Dvije „ruke“ jednake su „pedlju“. Sedam „ruku“ činio je „lakat“. „Stopa“ je bila dužina

stopala, „col“ širina palca, „jard“ udaljenost od vrha nosa do kraja ispružene ruke (sl. 5).

Ali, te su mjere bile uvijek kod svakog čovjeka pojedinačno, te je dolazilo do nesporazuma i

nezadovoljstva, sukoba i svađa ko će da izmjeri tkaninu. Od zemlje do zemlje, od grada do

grada koristile su se različite mjere, te su se vremenom zakonom donijele standardne jedinice

mjere za upotrebu.

Sl. 5.

Neke od njih se i danas koriste: funta, jutro, tovar, milja. Morska milja iznosi 1 852

m. Većina industrijskih zemalja preuzele su jedinice mjere metričkog sastava koji je razvijen i

zakonom usvojen u Francuskoj 1759. godine. Današnje jedinice za dužinu su: 1 m- metar; 1

dm-decimetar; 1 cm- centimetar; 1 mm-milimetar; 1 Dm-dekametar; 1 hm- hektometar; 1 km-

kilometar.

Iz jedinice za dužinu izvedena je jedinica za površinu i zapreminu. 1 m²- kvadratni

metar je površina kvadrata stranice 1 m; 1 dm²- kvadratni decimetar; 1 cm²- kvadratni

centimetar; 1 mm²- kvadratni milimetar, 1 m³- kubni metar je zapremina kocke čija je stranica

1 m; 1 dm³ - kubni decimetar; 1 cm³- kubni centimetar; 1 mm³- kubni milimetar. Jedinica za

mjerenje mase i metričkom sastavu je gram – 1 g; 1 kg- kilogram.

5

2.2. Mjerenje vremena

Jedinice za mjerenje vremena se temelje na prirodnom i stalno ponavljanom kretanju7.

Vrijeme koje je potrebno da Zemlja jedanput obiđe oko Sunca zove se godina. Mjesec je

određen prema vremenu obilaska Mjeseca oko Zemlje. Dan je vrijeme potrebno Zemlji za

jedan okret oko svoje ose (sl. 6).

Sl. 6.

Tu su i manje jedinice: satovi, minute, sekunde, a dobili smo ih podjelom prosječne

dužine dana. Mislilo se da je kretanje oko vlastite ose pravilno i da je zato upravo ono

prikladno za mjerenje vremena. Danas se zna, opet zahvaljujući matematici kao osnovi drugih

nauka, u čijim granicama se istraživalo i dokazalo da kretanje Zemlje pokazuje mala

kolebanja. Razvojem tehnike, tj. pronalaskom kvarc-satova, instrumenata za mjerenje dužine

trajanja njihanja kvarc-kristala, to je i dokazano. Veća tačnost je postignuta s atomskim ili

amonijak-satom. On radi po principu titraja molekule amonijaka koja veoma brzo titra:

molekula amonijaka učini u jednoj sekundi 23 870 miliona titraja.

2.3. Kretanja i uglovi

Kada pomislimo na stvari koje se okreću i kada počnemo da ih nabrajamo:

automobilski točak, gramofonska ploča, Zemlja ili kazaljke na satu,…, shvatimo da se veoma

mnogo stvari okreće i da treba da imamo mjeru za veličinu okretanja.

Ugao je mjera za veličinu zaokreta, a stepen je jedinica za mjerenje ugla. Ugao od 360º je

mjera za cijeli, potpuni okret. Najviše koristimo ugao od 90º i zove se pravi ugao. Gdje ga

koristimo i gdje ga srećemo u našoj svakodnevnici? Vidimo da zidar zida kuću. Šta on koristi,

čime zida kuću? Ciglama? Da, s ciglama, s kvadrama,… Kada pogledamo ivice cigle koje

6

zatvaraju prave uglove, shvatamo da ovi pravi uglovi omogućavaju zidaru da slaže cigle jednu

na drugu i da pri tom ne nastaju praznine. Tako zidari uspijevaju da zidove sastave u pravom

uglu i da ti zidovi istovremeno čine pravi ugao prema podu i stropu. Iziđimo na ulicu i

potražimo raskrsnicu. Pogledajmo raspored i izgled ulica koje se sijeku. Vidimo da se ulice

sijeku pod pravim uglom (sl. 4). Postoji više načina na koji se konstruiše pravi ugao. Sve se

metode zasnivaju na matematičkim pravilima ili fizičkim zakonima. U starom Egiptu koristio

se konopac za konstruisanje pravog ugla. Uzeli bi dugi konopac, podijelili bi ga uzlovima na

dvanaest jednakih dijelova. Jedan bi čovjek držao zajedno dva kraja užeta, drugi bi držao uzao

od kraja udaljenog za tri dužine, a treći uzao od kraja udaljen za četiri duži. Kad se uže jako

nategne, nastane pravi ugao. U tom trokutu stranice su bile od 3, 4 i 5. U školama i

obrazovnim ustanovama pravi ugao se izračunava pomoću Pitagorine teoreme. „Kvadrat nad

hipotenuzom jednak je zbiru kvadrata nad katetama.“ Što znači ugao između dviju manjih

strana je pravi ugao.

Pogledajmo na naše zidne kalendare i u naše knjige i sveske. Njihovi listovi ili su presavijeni

ili su ljepljeni tako da listovi prave ugao od 90º. Kako djeci u predškolskim ustanovama i

učenicima u školama na praktičan način, tj. vizuelno pokazati kako izgleda i kako se pravi

pravi ugao? Najjednostavnija demonstracije je pomoću komada papira kojeg savijemo dva

puta tako da list padne na list (sl. 7).

Sl. 7.

7

3. MATEMATIČKI OBLICI U PRIRODI

Da bismo uvidjeli u kolikoj mjeri smo okruženi matematičkim oblicima i kako bez njih

ne možemo da zamislimo našu svakodnevnicu neophodno je da se upoznamo s pojmom

geometrijske figure.

Prostor u kojem živimo i koji oko sebe opažamo ispunjen je raznim vidovima materije i

objektima. Svaki realan objekat:

- ima sopstveni oblik

- zauzima određeni položaj prema drugom objektu.

- zaprema jedan dio prostora.

Odbacivanjem svih ostalih odrednica realnih objekata, a zadržavanjem tri navedena

svojstva (oblik, položaj i veličina) formira se matematički pojam – geometrijsko tijelo.

Kako za geometriju nije važno od kakvog materijala je napravljeno tijelo, možemo uzeti

da su geometrijska tijela sastavljena od tačaka.

Granice realnih objekata u prirodi mogu biti ravne i krive. Isto važi i za površi

geometrijskih tijela – razlikujemo krive i ravne površi.

Tijela ograničena samo ravnim površima su rogljasta (sl. 8), a koja imaju bar jednu krivu

površ su nerogljasta, odnosno obla (sl. 9).

Sl. 8. Sl. 9.

Obla geometrijska tijela su ograničena krivim, ili krivim i ravnim površinama. Valjak,

kupa i lopta spadaju u obla geometrijska tijela.

8

3.1. Prirodna geometrijska savršenstva

U prirodi svakodnevno vidimo i prepoznamo matematičke oblike. Oblici su lijepi,

skladni. Ona nam nudi mnoga tijela i krivulje, te se njima bave i matematička istraživanja.

Priroda je savršena i čovjek se trudi i nastoji da ponekad dostigne to savršenstvo u kopiranju

njenih darova. Pahuljica snijega, lepršava i nježna, kratkotrajna a savršena do svog najmanjeg

detalja. Sve pahuljice snijega napravljene su u istom osnovnom obliku, pravilnom šestouglu.

Ovaj šestougao nalazimo i u saću pčela (sl. 10).

Sl. 10. Sl. 11.

Svaka ćelija saća ima kao presjek pravilan šestougao (sl. 11). Zašto su pčele izabrale upravo

pravilan šestougao kao osnovni oblik u izgradnji svog saća? Ćelije moraju stranicama se

prianjati tačno jedna uz drugu. Pošto sve stranice moraju da budu jednake onda i ti

mnogouglovi moraju da budu jednaki. Površina saća je prekrivena bez pukotina, što znači da

se uglovi susreću u jednom vrhu te moraju zajedno da imaju 360º. U obzir dolaze samo

jednakostranični trougao, četverougao ili šestougao. Šestougao je idealan jer je svaki od

njegovih uglova na vrhu 120º, a tri takva ugla zatvaraju u vrhu 360º. On pruža pčeli uz istu

površinu i najveću mogućnost kretanja.

3.2. Krugovi i broj Π

Mnoga nebeska tijela su kugle. Mjesec je najbliži Zemlji od svih nebeskih tijela i jasno

možemo da raspoznamo njegov oblik kugle. Ovaj oblik prepoznajemo u izgledu nekog voća

kao što je narandža, grejp, bobice grožđa, trešnja. Mnogi proizvodi koje koristimo rado i često

su okrugli: baloni, lopte, ukrasne kugle, model globusa, lampe, sijalice (sl. 13); jestivi

9

proizvodi: kugle sladoleda, bombončići, žvake, mesne kuglice (sl. 12). Lista je duga i

nemoguće je sve nabrojati.

Sl. 12.

Sl. 13.

Najveća širina kruga je promjer. Površina kruga je ograničena kružnicom. Obim

svakog kruga jednak je promjeru pomnoženim brojem π koji se ne može napisati kao obični

razlomak ili kao decimalni broj. Za taj broj koristimo grčko slovo π (čita se pi). Π je približno

jednak 3 ¹/7 ili 3,14. Osnova matematičkog mišljenja je spoznaja da su geometrijski oblici

neovisni o njihovoj veličini. Modele i upotrebu kruga i kružnice imamo na ulicama kao kružni

tok (sl. 17) i na saobraćajnim znakovima (sl. 15).

Sl. 14. Sl. 15.

10

Sl. 16. Sl. 17.

3.3. Pravilni mnogouglovi

Pravilne mnogouglove srećemo često u svakodnevnom životu. Pođimo od saobraćajnih

znakova koji stoje na početku ulice. Pravilni, jednakostranični trougao, pravilan četverougao

(kvadrat), pravilan petougao, pravilan šestougao,... (sl. 18).

Sl. 18.

11

3.4. Dijamanti i so

Mnoge rude stvaraju lijepe kristale s glatkim površinama omotača i oštrim ivicama.

Površine stranica nekih kristala čine pravilne mnogouglove, istih veličina i oblika. Na svakom

vrhu kristala sastaje se isti broj mnogouglova. Ovakvo tijelo se zove pravilnim. Postoji pet

pravilnih tijela sa nazivima po broju stranica (sl. 19).

Sl. 19. Sl. 20.

Tetraedar – sa četiri stranice

Heksaedar- sa šest stranica

Oktaedar – sa osam stranica

Dodekaedar- sa dvanaest stranica

Ikosaedar- sa dvadeset stranica

3.5. Matematika u umjetnosti

Šta imaju matematika i muzika zajedničko?

Ton muzičkog instrumenta stvara se titranje. Ako se žica gitare čvrsto nategne i zatitra,

proizvodi ton. Visina tona zavisi od broja titraja strune u sekundi. Svakoj visini tona pripada

određeni broj titraja. Taj broj zovemo frekvencija tona. Za neku pjesmu primijenjujemo

obično tonove određene tonske ljestvice.

12

Sl. 21. Sl. 22.

U likovnoj umjetnosti presudnu ulogu za uspješan doživljaj umjetničkog djela jeste

poštovanje zakona prostora i perspektive (sl. 22). Crtajući i slikajući na mnogo manjem

prostoru nego što ga ljudi i osobe imaju u realnosti, umjetnik uspijeva da nam vizuelno dočara

dubinu prostora. Nekad i mnogo uspješnije nego što ga doživljavamo u realnosti gledajući

stvarne ljude i objekte. Stari Grci su odali poštovanje matematici kao nauci i povezali su je s

likovnom umjetnošću, ali je Nijemac Durer nazvao geometriju pravom osnovom slikarstva.

Zadatak perspektive je da vjerno dočara prirodu onako kako je ljudsko oko vidi. Što je

predmet udaljeniji od oka čini se manjim. Paralelne linije koje se od nas udaljuju na slici

izgledaju kao da se sijeku u jednoj tački. Ovim saznanjem je likovna umjetnost pokrenula i

uticala na razvoj nacrtne geometrije. Stoga s pravom možemo da tvrdimo da je arhitektura

umjetnost (sl. 23).

Sl. 23. Sl. 24.

13

Leonardo da Vinči studirao je proporcije ljudskog tijela i pronašao da su mnogi omjeri

usklađeni prema zlatnom rezu (sl. 24). Matematiku nalazimo i u zabavi. Mnoge poznate igre

karata, šah, domino zasnivaju se na matematičkoj vještini. Stoga najbolji i najvještiji igrači

posjeduju razvijeno apstraktno, logičko razmišljanje. Više vježbanja, veći uspjeh!

3.6. Matematika u arhitekturi

Kada pomislimo na mostove, autoputeve, nebodere i sva čuda novog svijeta, pred

očima imamo veliko gradilište: dizalice, bagere, kamione i masu radnika u čijim glavama se

vrte brojke i tehnički crteži i proračuni. I opet matematika u svakom segmentu ovog posla.

Veličanstven je pogled na mostove, vijadukte, njihove lukove i stubove (sl. 27). Simbol

povezivanja, spajanja i jedinstva. Koliko cifri, koliko računa, crteža i vremena je potrebno za

samo jedan projekat. Veličanstvene crkve, dvorci (sl. 25, 26). Izrađeni i ukrašeni objekti, za

čiju gradnju je potrebno duže vrijeme, mnogo ruku, domišljatosti i logike.

Sl. 25. Sl. 26.

Sl. 27. Sl. 28.

14

4. ULOGA GEOMETRIJSKIH POJMOVA U RAZVOJU MIŠLJENJA

KOD DJECE

Osnovni zadatak izučavanja geometrijskog sadržaja, u početnoj nastavi matematike, je

formiranje kod djece jasnih predstava i pojmova o osnovnim geometrijskim figurama, kao i

upoznavanje sa odnosima među njima. Pojmovi geometrijskog sadržaja izgrađuju se čulno-

iskustvenim i misaonim saznanjem. U metodičkom smislu važno je znati da se znanja o

geometrijskim pojmovima stiču postupno i to od faze prepoznavanja preko sticanja jasnih

predstava i na kraju dolazi faza misaonog formiranja geometrijskih pojmova i njihovog

logičkog razumijevanja i korištenja.

Pri ostvarivanju zadataka geometrijskih sadržaja nastava mora biti usmjerena na

razvijanje prostorne orijentacije kod djece; na razvijanje sposobnosti posmatranja, uočavanja,

upoređivanja, apstrahovanja i uopštavanja. Kod izučavanja geometrijskog sadržaja neophodno

je koristiti očigledna nastavna sredstva. Neka od tih nastavnih sredstava treba da izrađuju i

djeca u toku predškolskog i školskog obrazovanja: model pravog, oštrog, tupog ugla; model

pravougaonika, kvadrata, trougla, kruga; model kvadra, kocke i piramide (sl. 27) . Posebno je

važno i neophodno oslanjati se na postojeća iskustva djece i stalno proširivati i bogatiti

njihove predstave i pojmove geometrijskim sadržajima.

kvadar kocka piramida Sl. 28.

Sl. 27.

4.1. Formiranje apstraktnih pojmova

Jedan od zadataka nastave geometrije je formiranje apstraktnih pojmova, pri čemu se

uvijek polazi od onog što je učenicima čulno i iskustveno dato. U formiranju geometrijskih

pojmova treba polaziti od opažanja i to po principu postupnosti: oblika, veličina i položaja.

15

Zadatak geometrije je i uviđanje uzročno-posljedičnih odnosa (rast površine kvadrata zavisno

od dužine njegovih stranica). U ostvarivanju ovih zadataka nastavnik se mora rukovoditi

metodskim zahtjevima: od konkretnog ka apstraktnom, odnosno od iskustva ka

geometrijskom pravilu, tj. od tijela ka slici. Logički put saznanja geometrijskih zakonitosti

teče od konkretnih ka sve većoj apstrakciji.

Dobra i čvrsta osnova obrazovanja, tj. početno uvođenje djece u svijet logike i

apstrakcije je važna za uspješan i blagovremen intelektualni razvoj djece. Kako to izgleda ili

treba da izgleda u praksi? Spomenula sam predškolske ustanove. One su veoma važne kao

odskočne daske u zdravom razvoju djeteta i dobroj pripremi djece za školu. Kada kažemo

vrtić zamišljamo djecu u igri, pokretu i zabavi, a kada spomenemo školu, tu istu djecu

zamišljamo u klupama, ozbiljne i skoncentrisane na rad. Zabava, igra, kretanje? U praksi

često ne postoji. Novije nastavne metode i kontinuirana saradnja između ovih pedagoških

ustanova trebali bi da uvedu novi dah u njihov rad. U uzrasnom periodu od 4 godine djeca su

na nivou praktično-opažajnog mišljenja. Upravo u ovom uzrastu uz dinamične i vesele, ali

iskustveno i stručno pripremljene demonstracije vaspitača oni će se upoznati s novim

pojmovima. Sve što drže u rukama, opipaju, vide i čuju oni će i da pamte. Njihovo pamćenje

je kratkoročno, ali uz češće ponavljanje zajedničkih akcija, igri, vrši se i osvježenje i

dopunjavanje pamćenja. U ovom periodu se kod djece razvija opažanje koje treba koristiti,

usmjeriti u cilju usavršavanja svih čula i sticanja neophodnog saznanja. Ovako dobro

organizovana i realizovana priprema djece za školu daje efikasne i vrijedne rezultate, koji u

periodu školovanja u mlađim razredima osnovnih škola čine čvrstu bazu. Kako planirati,

organizovati i realizovati dalji praktični rad s učenicima u cilju razvoja sljedećeg nivoa

mišljenja- opažajno-predstavnog na mlađem školskom uzrastu?

U okviru metodičko-didaktičkih igara uz konkretna nastavna sredstva upoznati

učenike s modelima geometrijskih tijela. Pomoću papira i makaza, ljepila, boja, kartona

pokazati učenicima kako se izrađuju njihovi modeli. Nastavnik demonstrira, učenici gledaju i

ponavljaju njegove radnje i pokrete. Sve što sami urade, ono u šta ulože svoje vrijeme i trud

bolje će zapamtiti, prizvati u sjećanje i koristiti tokom školovanja i života uopšte u rješavanju

nekog zadatka ili problema. Kada se upoznaju sa svim osnovnim pojmovima, kada shvate

njihove moguće sličnosti i razlike, pronađu ih i prepoznaju na mnogim fotografijama i

ilustracijama u knjigama, enciklopedijama, spremni su za organizovan izlazak u prirodu i

sredinu u kojoj žive. Cilj ovih radnih, školskih izleta je da učenici prepoznaju već usvojene

geometrijske oblike. U jesen skupljaju u parkovima plodove divljeg kestena, (oni su okrugli i

s jedne strane pljosnati), da bi na časovima likovnog vaspitanja pravili od njih lančiće, vijence

16

za glavu koje mogu koristiti u školskim dramskim predstavama ili od njih izrađivati poklone

za rođendane. Šetnjom kroz naselja prepoznaju kvadrate, pravougaonike, kocke, lopte,

kvadar, krug, kružnicu i drugo; sve ih povezuju sa predmetima koje gledaju i koriste u

svakodnevnici (sl. 29). Kako izgledaju ulice, kojeg oblika su kuće, prozori i vrata?

Sl. 29.

Nastavnik treba da postavlja pitanja koja će učenicima „otvoriti“ oči i navesti ih na

detaljnije i pažljivije posmatranje svoje okoline. Pitanja čiji očigledni, laki odgovori će ih

razveseliti i učvrstiti njihovo samopouzdanje, razviti pozitivno mišljenje o sebi samima i

pozitivan stav prema školi i učenju. Pitanjima kroz razgovor on ih navodi na predmete koje

treba da opažaju: Kakvog su oblika znaci pješačkog prelaza? Koji oblik ima kutija semafora, a

kojeg oblika su svjetla na semaforu? Šta znači pojedina njegova boja? Koliko je sati na ovom

satu? Kako stoje kazaljke? Šta prave kraci kazaljke?

Sticanjem i sređivanjem neposrednog iskustva kod učenika putem očigledne nastave

matematike, učenici uče, shvataju i veoma važno pamte: šta je gore, dole, ispred, iza, lijevo,

desno, okolo, krivo, pravo, izlomljeno, oblo, valjkasto, oštro, tupo. Bez definicija, bez

opterećenja novim nepoznatim, neshvaćenim pojmovima, jer se njihov rječnik tek bogati,

17

nadopunjava aktiviranjem njihovog pasivnog rječnika koji je prilikom polaska u školu kod

nekih učenika veći od aktivnog.

Sl. 30. Sl. 31.

Sl. 32. Sl. 33.

Na šta nas podsjeća oblik ove kuće (sl. 32)? Da li ovdje vidimo samo jedan ili možda

više geometrijskih oblika? Od čega se pravi kuća (sl. 33)? Šta se stavlja na krov? Da li

poznajete još neki oblik krova? Vizuelno će upoznati mjesto stanovanja i življenja, u sjećanje

će pozvati pojedine oblike koji će ih vremenom asocirati na pojedine objekte, a oni će im

služiti kao orijentaciona sredstva. Kakvog su oblika saobraćajni znaci i šta znače, čemu služe?

Veoma je efikasan dijaloški razgovor ili grupna diskusija, kada svi mogu da kažu svoje

mišljenje. Ono kod djece jača samopouzdanje, osjećaj sigurnosti. Na ovaj način naučeni

geometrijski oblici i naučeni saobraćajni znaci ostaće kod djece u prijatnom sjećanju. U

budućem susretanju s njima, pri kretanju i vožnji daće im sigurnost i olakšaće im npr. jednog

dana prve susrete s vozilima i pravilima kod polaganja vozačkog ispita. Za učenike mlađeg

uzrasta interesantna su vozila. Pojedine marke vozila i njihovu svrhu ne pamte samo po

18

bojama već i po oblicima, veličini i pojedinim izuzetnim obilježjima i znakovima, što nas

opet dovodi u dodir s matematikom (sl. 34, 35).

Sl. 34. Sl. 35.

Dok putujemo našom zemljom, a posebno većim prostranstvima koja nisu gusto

naseljena, a bogata su plodnim posjedima, iz daljine ili s visine (iz aviona) vidimo prelijepe

predjele, podijeljene i obrađene. Stičemo dojam da su sve te tačno odmjerene i podijeljene

parcele nacrtane i obojene nježnim nijansama zelenih i žutih boja. Kao da nije stvarnost već

listamo slikovnicu. Čovjek je sposoban da i u pustinji obezbijedi za svoj opstanak komad

plodnog zemljišta (sl. 36).

Sl. 36.

19

Sl. 37. Sl. 38.

Ako je sposoban da na Zemlji stvori uslove za rad, stvaralaštvo i opstanak, zašto da ne

proširi svoju životnu sredinu i van Zemlje. U svemiru! I uspio je čovjek i u ovom zadatku koji

je sebi postavio. Stigao je i opstao u svemiru (sl. 39). Zahvaljujući matematici!

Sl. 39.

20

4.2. Zastupljenost i doživljavanje matematičkih oblika u obrazovanju

Kao što sam navela, pojmovi geometrijskog sadržaja se kod učenika izgrađuju

opažanjem putem čula, razvojem misaonog saznanja pri čemu stiču iskustvo. Sva znanja, pa

tako i matematička, stiču se postupno po fazama i pravilima dječijeg sveukupnog razvoja

(intelektualnog, fizičkog, emocionalnog, voljnog, moralnog, socijalno-kulturnog) i

pedagoškim pravilima koja su zastupljena metodički i organizovana i realizovana prema

važećem nastavnom planu i programu. Oni su naravno donešeni na osnovu dugogodišnjeg

rada, naučno-empirijskog istraživanja i provjerenih rezultata dobijenih putem međusobne

saradnje mnogih naučnih disciplina: pedagoških, psiholoških, antropoloških, medicinskih,

filozofskih i drugih. Važno je da se prati individualni razvoj učenika i da se rad uskladi prema

njihovim mogućnostima, potrebama i interesovanjima. U ostvarivanju postavljenih zadataka u

nastavi matematike rad se usmjerava ka razvijanju prostorne i vremenske orijentacije kod

djece. Zahvaljujući znanju iz geometrije djeca su sposobnija da shvate, a mi odrasli da

održimo našu stvarnost. Putem apstrakcije u geometriji uspijevamo da prebrodimo i

savladamo čulna zapažanja koja nas mogu zbuniti i odvesti na pogrešan put i do pogrešnog

zaključka. Primjer: kada gledamo šine pruge, paralelne, kako se pružaju u daljinu, na

horizontu, zahvaljujući našoj čulnoj percepciji, vidimo ih kako se stapaju u jednoj tački, kako

se sijeku. To dokazuju i brojna likovna umjetnička djela s pejzažima, pa i fotografije, bez

obzira da li su prikazane šine pruge (sl. 41), paralelni putevi, paralelni redovi nekog usjeva,

žita (sl. 40) ili čak spajanje kopna i neba, mora i neba na horizontu.

Sl. 40. Sl. 41. Sl. 42.

21

Sl. 43. Sl. 44.

4.3. Motivacija u nastavi matematike

U praksi često čujemo da naša djeca imaju poteškoće s matematičkim gradivom. Da je

teško, nerazumljivo, da ga učenici izbjegavaju, roditelji se žale da im ne znaju objasniti, da u

njihovo vrijeme matematika nije bila tako teška i neshvatljiva. Da li je to stvarno tako? Da li

je matematika teža nego prije? Šta nam to djeca uče? Čega smo mi bili pošteđeni ili u čemu

smo oštećeni tokom obrazovanja ako postoje tako velike promjene u nastavi matematike?

Mislim da odgovor ne leži u nastavnom programu. Ono što smo mi učili i što uče naša djeca

identično je. Iako se matematika kao nauka uvijek razvija, taj razvoj ne dotiče nastavno

gradivo. Sve što učimo u osnovi matematike je davno, davno dokazano i pretočeno u naučne i

školske knjige. Ništa novo nije dokazano što bi bilo bitno za matematičko školovanje,

posebno ne za osnovno.

Odgovor leži u načinu rada i u načinu prenošenja matematičkog gradiva, u učenicima

kao subjektima nastave. Koliko su zainteresovani za matematiku, koliko im je praktično

možemo približiti i objasniti u koracima poštujući pored svih principa i principe postupnosti,

individualnosti, učeničke aktivnosti? Da li su njihove psihofizičke sposobnosti u datom

trenutku dovoljno izgrađene i razvijene u odnosu na težinu gradiva i zahtijevnost nastave

matematike? Da li pronalaze potrebno vrijeme za učenje matematike, uzimajući u obzir da sve

više sjede pred kompjuterom uz mnogobrojne vidove zabave i igre. Ali ne igre u pedagoškom

vidu nadogradnje znanja i sposobnosti već igre razbibrige i dokoličarenja. Kako prići ovom

problemu? Od čega početi u razradi plana njegovog eliminisanja? Kako, s kim i uz čiju

pomoć ga organizovati i realizovati? Da li su prosvjetni radnici zainteresovani za nove

metode, aktivnosti, da li će dobiti pomoć i podršku kod roditelja svojih učenika? Kako i na

koji način privući pažnju učenika, a zatim je zadržati na odgovarajućem nivou. Nivou koji je

22

neophodan za rad, ako želimo uspjeh, rasterećene, ali pametne i zadovoljne učenike. Sigurna

sam da bi se kompletna atmosfera i u školi, a time paralelno i u porodicama učenika

promijenila, poboljšala.

Možda se mnogi prosvjetni radnici, a time i roditelji, neće složiti s mojim mišljenjem.

Da li zbog toga što imaju više radnog, prosvjetnog, roditeljskog iskustva od mene ili iz bilo

kog drugog ličnog ili stručnog razloga. Mislim da je matematika nedovoljno prihvaćen

nastavni predmet i od strane učenika i od strane studenata, budućih prosvjetnih radnika koji

biraju, upisuju, izučavaju i završavaju studije drugih raznih nastavnih predmeta, pa makar i

godinama ostali nezaposleni na birou za zapošljavanje. Kadar za matematiku kao nastavni

predmet je deficitan već godinama i kako stvari stoje u našoj realnosti takav će i ostati neko

duže vrijeme. Zašto se od ovog predmeta stvara bauk? Da li smo se upoznali s njim na pravi

način, da li smo ušli u srž matematike kao nauke? Ona je nešto što nas prati od jutra do večeri,

bolje rečeno od jutra do sutra. Non stop, u svakom aspektu našeg života, u svakoj relaciji naše

svakodnevnice proteže se matematika, da li direktno ili u tragovima. Ali ona je tu, uz nas. U

razgovoru s mnogim učenicima, a prvo s mojom kćerkom, koja i voli matematiku, u najmanju

ruku ne bježi od nje, odgovor je često: „Teška je! Obimna je! Nikad kraja s učenjem! Ne

možemo sve znati!“ Pa i ne moramo i ne trebamo sve znati. I nemoguće je da sve znamo. Zato

postoje knjige, stručna literatura, profesori, saradnja s njima. Pitati, tražiti pomoć! Truditi se!

A ne samo odbaciti je i staviti tačku. A sa tim odbacivanjem ne olakšavamo svoje teškoće.

Uvećavamo ih jer je matematika u svakoj drugoj oblasti. „ Šepamo li“ u njenom gradivu,

„šepamo“ i u drugim oblastima školstva i života uopšte.

Stoga mislim da se didaktičko-metodički pristup i način rada u samoj pripremi

nastavnika treba mijenjati. Za početak više nego dovoljno. Dok god ne osposobimo učenike

da postanu subjektivni, pravi, aktivni nosioci aktivnosti u nastavi matematike, a to nam je cilj,

mi smo nosioci nastave i treba da poduzmemo nove korake, izmjene u bilo kom obimu,

većem ili manjem. U svakoj školskoj sredini, u svakom novom danu, mijenjaju se mnogi

faktori koji uslovljavaju način rada. Ali i na njih možemo da utičemo i njih možemo

postepeno da mijenjamo kada imamo svoj cilj, kada mijenjamo sebe.

Kada upoznajemo učenike sa geometrijskom figurom koja se sastoji od kružnice i

dijela ravni koji ona obuhvata i zove se krug, praktično im pokazujemo novčiće kao očigledna

nastavna sredstva (sl. 45).

23

Sl. 45.

Zatim imenujemo što više predmeta iz svoje okoline i pokazujemo njihove fotografije,

ctreže, modele, na kojima se mogu vidjeti: krugovi i kružnice: dio bačve, obruči na bačvi (sl.

46), otvor košnice (sl. 47); zaobljena kupa: košnica (sl. 48); kvadar: balirano sijeno (sl. 49);

kocka: prirodni kamen (sl. 50).

Sl. 46. Sl. 47. Sl. 48.

Sl. 49. Sl. 50. Sl. 51.

„Djeca vole da uče. Ali pod uslovom da je to učenje blisko igri i njihovoj prirodi. Učenje kao

radost saznavanja u pravilu prati osjećanje zadovoljstva. Moramo se zapitati šta smo to uradili

našim školama da učenje kao prirodna potreba djeteta postane frustrirajuća aktivnost, postane

omrženo i neugodno. Odgovor je u formalizmu, verbalizmu, scientizmu, predominaciji

frontalnog rada i drugim svojstvima tradicionalne škole.“ (Suzić, 1995: str. 504).

Šta je cilj očiglednog, olakšavajućeg rada s učenicima, posebno mlađeg uzrasta? Cilj je da po

završetku nastave matematike ponesu sa sobom sposobnost opažanja, uviđanja, analiziranja,

upoređivanja i samostalnog donošenja odluka i pronalaska rješenja na mnoge postavljene i

samoizabrane probleme, a da pri tom ne strahuju da li će to izabrano rješenje biti netačno, da

24

li će se nešto loše desiti. Jer kroz opušten rad i osjećaj zadovoljstva i uspjeha uz svako novo,

tačno rješenje, bogati se učeničko iskustvo i smanjuje se procenat daljnjih pogrešaka. Totalno,

neposredno iskustvo kao glavni motiv za obrazovanje i usavršavanje. To je odgovor na sva

već postavljena pitanja. Pružimo našoj djeci zadovoljstvo samoodržanja, vjerovanje u sebe,

emotivno-voljni potencijal. Tek tad ćemo moći s olakšanjem i zadovoljstvom, s vrlo malo

energije da ih vodimo kroz gradivo nastave matematike. „Matematika je ne samo

nezamjenljivo sredstvo vaspitanja mišljenja nego osnova cjelokupnog naučnog, tehničkog,

ekonomskog razvitka.“ Svjetski kongres matematičara, 1966.

25

5. METODOLOGIJA ISTRAŽIVANJA

5.1. Problem istraživanja

Matematika je ušla u svaki kutak našeg svakodnevnog života i to u velikim omjerima, te

niko više nije oslobođen potrebe da se upozna i da ovlada s izvjesnim matematičkim

tehnikama, počevši od osnovnih pojmova pa do logičkog razumijevanja činjenica na kojima

se one zasnivaju. Uporedo s razvojem naše civilizacije, s tim da smo mi svjesni samo malih

pomaka i dostignuća, jer se s većim i ne srećemo, razvija se tehnika i tehnologija, koja prodire

i našu malu svakodnevnicu. U skoro svakom domaćinstvu, od kuhinje pa do dječije sobe,

možemo da pronađemo po nekoliko tehničkih aparata koji nam pomažu ili odmažu u našem

radu (mikser, usisivač, bušilica, mašine za pranje veša ili suđa). Neki od njih nam pružaju

zabavu ( TV aparat, radio, kompjuter, fotoaparat, kamera). Znamo da je matematika osnova

svake nauke i da se proteže kroz svaku ljudsku djelatnost, počev od konstrukcije bilo kog

projekta pa do izgleda i drugih osnovnih obilježja dobivenog predmeta.

Zbog toga je veoma važno da nastavu matematike učinimo zanimljivom, da je

modelujemo na što jednostavniji i prihvatljiviji način i kao takvu ponudimo učenicima, kako

bismo ostvarili što bolje rezultate koji će da predstavljaju opšte matematičko znanje i

sposobnost za njenu svakodnevnu upotrebu. Iz ovog proizilazi problem mog istraživanja:

Mogućnosti svakodnevne upotrebe matematike.

5.2. Predmet istraživanja

Predmet ovog istraživanja bilo bi empirijsko ispitivanje uspješnosti učenika petog razreda

u prepoznavanju geometrijskih oblika u njihovim životnim sredinama i u rješavanju

matematičkih zadataka koji se zasnivaju na njihovom shvatanju.

26

5.3. Cilj istraživanja

Cilj ovog istraživanja je da se ustanovi u kojoj mjeri učenici prepoznaju, shvataju

geometrijske oblike i u kojoj mjeri ih mogu koristiti u zadacima koji su vezani za našu

svakodnevnicu.

5.4. Karakter istraživanja

Ovo istraživanje doprinosi utvrđivanju razlika u sposobnostima učenika da razumiju i

koriste geometrijske oblike u svojoj svakodnevnici.

5.5. Zadaci istraživanja

Iz definisanog cilja istraživanja proizilaze sljedeći zadaci:

1. Utvrditi na kom nivou učenici prepoznaju geometrijske oblike u izgledu predmeta

iz njihove neposredne okoline.

2. Utvrditi u kojoj mjeri mogu da riješe zadane im zadatke vezane za prepoznavanje i

shvatanje geometrijskih oblika.

5.6. Hipoteze istraživanja

S obzirom na prethodno utvrđen cilj i zadatke istraživanja, opšta hipoteza glasi:

Pretpostavlja se da će učenici petog razreda osnovne škole, na osnovu stečenog

znanja i vještina, u ovom testiranju s velikim uspjehom prepoznati o kojim geometrijskim

oblicima se radi, te uspješno riješiti postavljene im zadatke.

Takođe je moguće postaviti i posebne hipoteze:

1. Pretpostavlja se da će učenici petog razreda s uspjehom prepoznati geometrijske

oblike u izgledu predmeta u životnoj sredini.

27

2. Pretpostavlja se da će učenici petog razreda s uspjehom riješiti zadane im zadatke,

koji su vezani sa geometrijskim oblicima koje su obrađivali u prethodnom

školovanju.

5.7. Metode istraživanja

Metode u ovom istraživanju odabrane su u skladu s prirodom problema, predmetom,

ciljem i zadacima istraživanja, kao i u skladu sa postavljenim hipotezama ( opštom i

posebnim).

U ovom istraživanju koristiću dvije metode: metodu teorijske analize i servej-

istraživački metod.

5.7.1. Metoda teorijske analize

U ovom istraživanju neophodno je koristiti metodu teorijske analize o kojoj govore

poznati pedagozi Drago Branković i Mile Ilić, a koja se u pedagoškim istraživanjima

„primijenjuju kod proučavanja vaspitnih fenomena za koje postoje pouzdani teorijski izvori

(naučna djela, monografije, naučne rasprave, članci i dr.). Kod primjene iste metode polazi se

od utvrđivanja naučnih činjenica, preko sagledavanja relacija među njima, do otkrivanja

određenih zakonitosti ili novih teorija“ (Branković, D. i Ilić, M., Osnovi pedagogije, 2003,

str. 124).

Ova metoda je primijenjena u istraživanju da bi se shvatila teorijska osnova datog

problema. Da bi se problemu prišlo što pravilnije, studioznije i sistematičnije, potrebno je

prethodno što bolje upoznati oblast istraživanja kroz proučavanje literature, razjašnjavanje

osnovnih pojmova, njihovog definisanja i razmatranja.

Metoda teorijske analize omogućava da se:

razjasne i definišu osnovni pojmovi vezani za geometrijske oblike, tj. za matematiku;

sagledaju uopštena saznanja o matematici;

prouče saznate istine o primjeni geometrijskih oblika, tj. matematike u

svakodnevnici.

5.7.2. Servej-istraživački metod

28

Za potrebe ovog istraživanja koristila sam servej-istraživački metod. To je empirijski

neeksperimentalni metod koji se koristi za ispitivanje različitih oblika ponašanja, mišljenja,

stavova, interesovanja kod djece, mladih i odraslih. Osnovno svojstvo ove metode je da se

pojave koje ispitujemo uzimaju onakvim kakve jesu. Snimanje se odvija u prirodnim

uslovima, ne remeti se uobičajeni tok stvari, podaci dolaze iz realnih situacija, proučavanje je

neposredno i jednostavno. Suzić ističe da se servej-istraživački metod „koristi u

istraživanjima u kojima se predmeti i pojave u stvarnosti zahvataju onakvim kakvim jesu s

ciljem da se analitički ili deskriptivno saznaju njihova bitna svojstva.“ (Suzić, 2007: str. 49).U

ovom istraživanju servej-istraživački metod je korišten da bi se:

ispitalo trenutno stanje u prepoznavanju i upotrebi matematike, tj.

geometrijskih oblika u svakodnevnici;

testiralo trenutno stanje radi mogućnosti poboljšanja nastavnog rada,

uvođenja promjena i dopuna.

5.7.3. Tehnike i instrumenti istraživanja

U okviru istraživačkih metoda primijenjuju se različiti postupci ili tehnike

istraživačkog rada. One omogućavaju da se organizovano, sistematski i planski dođe do

postavljenog cilja. Pošto svako naučno istraživanje počiva na objektivno utvrđenim

činjenicama, u okviru svake istraživačke tehnike neophodno je koristiti odgovarajuće

istraživačke instrumente, odnosno alate kojima se identifikuju, prikupljaju i mjere te

činjenice.

U ovom istraživanju korištena je tehnika ispitivanja. Suština ove istraživačke tehnike

je da se ispitanicima postave zadaci, a od njih se zahtijeva da ih riješe, tj. da na njih daju

odgovore. Tom prilikom se koristi test znanja kao instrument.

5.8. Populacija i uzorak istraživanja

Osnovni statistički skup – populaciju čine učenici petog razreda Osnovne škole „Sveti

Sava“ u Banjaluci, školske 2014/15. godine.

29

Iz ove populacije su izabrane statističke jedinice – uzorak. „Pod uzorkom istraživanja

se smatra konačan deo osnovnog skupa radi ispitivanja nekog obeležja“ (Kundačina, M. i V.

Banđur, 2007, str. 63). U ovom istraživanju uzorak čine učenici iz dva odjeljenja Osnovne

škole „Sveti Sava“ u Banjaluci. Uzorak čini 48 učenika.

5.9. Organizacija i tok istraživanja

Istraživanje na temu „Svakodnevna upotreba matematike“ provedeno je kroz sljedeće

etape:

1. Prikupljanje bibliografskih podataka, te pretraživanje i evidentiranje potrebne

literature koja odgovara datoj temi;

2. Teorijska razrada problema istraživanja, te konstruisanje instrumenta istraživanja;

3. Pismeno testiranje učenika;

4. Interpretacija rezultata i pisanje izvještaja.

Testiranje učenika:

Učenici su podijeljeni u dvije grupe po mjestu stanovanja:

1. grupa učenika iz ruralnog dijela (20 učenika);

2. grupa učenika iz gradskog dijela (28 učenika).

Ova podjela je izvršena zbog detaljnije i sistematičnije provjere poznavanja geometrijskih

oblika u izgledu predmeta koji neposredno okružuju učenike, s kojima učenici imaju

svakodnevni kontakt. Konstruisala sam dva testa sa po 3 zadatka. Učenicima sam objasnila šta

treba da rade, imali su 45 minuta, dužinu jednog školskog časa. Učenici su bili opušteni i

radoznali. Testiranje je proteklo bez smetnji.

30

6. REZULTATI ISTRAŽIVANJA:

SVAKODNEVNA UPOTREBA MATEMATIKE

.

U cilju istraživanja na temu: „Svakodnevna upotreba matematike“ testirala sam učenike

iz dva odjeljenja petog razreda Osnovne škole „Sveta Sava“ u Banjaluci. Testirano je ukupno

48 učenika. Rezultati testa su potvrdili i pokazali da su učenici na kraju petog razreda (pri

prelasku iz razredne u predmetnu nastavu) uspješno savladali izučavanje geometrijskih

sadržaja, odnosno da dobro vladaju matematičkim operacijama:

- uspješno formiraju apstraktne pojmove;

- uspješno prepoznavaju figure i tijela u prirodi na praktičnim primjerima;

- osposobljeni su za formiranje prostornih odnosa;

- uviđaju ljepotu, skladnost i preciznost geometrijskih konstrukcija;

- uspješno se uključuju u planiranje rješavanja značajnih životnih problema (računanje

potrebnog građevinskog materijala);

- imaju dobru osnovu za proširivanje znanja u višim razredima osnovne škole.

Važno je napomenuti da je testiranje učenika obavljeno bez prethodne najave učenicima i

detaljnijeg ponavljanja gradiva. Sadržaj testa, kao instrumenta istraživanja, je sadržavao

sumirane zadatke iz oblasti geometrije za svih pet godina školovanja. Možda se oni na prvi

pogled mogu učiniti nedovoljnim, ali su u sebi objedinili sve očekivane ishode nastavnih

sadržaja.

U nastavku prilažem instrument istraživanja tj. test objektivnog tipa, analizu testa, i

rezultate analize.

31

6.1. Analiza testova

ANALIZA TESTA BR. 1

1. Isto 5

2. 840 kg

3. 72 voćke

ANALIZA TESTA BR. 2

1. 6 000 blokova

2. 7 333 puta

3. 6 pravougaonika

Rezultati testova su pokazali da učenici uspješno vladaju svim navedenim zadanim

zahtjevima koji su pred njih postavljeni.

Test br. 1 radilo je 20 učenika:

1. 4 učenika – 20% uradilo je test za odličnu ocjenu;

2. 5 učenika – 25% uradilo je test za vrlo dobru ocjenu;

3. 7 učenika – 35% uradilo je test za dobru ocjenu;

4. 4 učenika – 20% imalo je manje od 50% bodova.

Test br. 2 radilo je 28 učenika:

1. 4 učenika – 14,3% uradilo je test za odličnu ocjenu;

2. 6 učenika – 21,43% uradilo je test za vrlo dobru ocjenu;

3. 11 učenika – 39,3% uradilo je test za dobru ocjenu;

4. 7 učenika – 25% imalo je manje od 50% bodova.

Rezultati oba testa zajedno, tj. cijelog istraživanja:

32

1. 8 učenika – 16,7% uradilo je test za odličnu ocjenu;

2. 11 učenika – 22,3% uradilo je test za vrlo dobru ocjenu;

3. 18 učenika – 37,5% uradilo je test za dobru ocjenu;

4. 11 učenika – 22,3% imali je manje od 50% bodova.

6.2. Grafički prikazi rezultata testova

Test br. 1

Test br. 2

33

Test br. 1 i test br. 2

34

7. ZAKLJUČAK

U nastavi matematike u nižim razredima osnovne škole polazimo od opažanja po

principu postupnosti prateći sveukupni razvoj učenika. Njihovo mišljenje je razvijeno na

nivou opažanja i praktičnih aktivnosti. Kratkoročno pamćenje je aktivirano samo prijatnim,

zabavnim aktivnostima koje je kod njih izazvalo prijatne emocije, zadovoljstvo i sreću. Takve

aktivnosti žele da ponavljaju, u njima se spontano odlučuju na samostalnost, kolegijalnost i

postepeno ulaze u tok socijalizacije. Geometrijski sadržaji se izučavaju već od prvog razreda

kroz razne oblike igara, dopunjavanjem započetih crteža, bojenjem raznih figura istim ili

različitim bojama. Na taj način se učenici već od prvih školskih dana susreću sa

geometrijskim figurama i tijelima.

Učenje se nastavlja u drugom, trećem, četvrtom i petom razredu jednim ozbiljnijim

pristupom. Prvo se imenuju figure i oblici i porede sa raznim pojavama i predmetima u

prirodi. Znači, i dalje polazimo od opažanja i to po principu postupnosti: oblik, veličina (u

početku samo kao odnos manje – veće), položaj i prostorni odnosi. Učenik već od početnih

35

časova mora da nauči šta je ispred, iza, desno, lijevo, oko, pravo, krivo, izlomljeno, oblo,

tupo, valjkasto, oštro i to uvijek na konkretnim primjerima, bez definicija.

Kada su formirani geometrijski pojmovi slijedi njihovo detaljno upoznavanje, tj.

pojedinačno. Svakoj figuri i obliku mora biti posvećena maksimalna pažnja i uloženo

dovoljno truda da bi učenici potrebno znanje usvojili i primijenili na praktičnim primjerima te

nastavili sa proširivanjem znanja u višim razredima osnovne škole.

Naravno, obrada nastavnih sadržaja mora biti usklađena sa nastavnim planom i

programom i podstaknuta didaktičkim nastavnim sredstvima. Da bi olakšali učenicima da

usvoje ovakva znanja nastavnici u okviru inovativne nastave služe se i najnovijim nastavnim

sredstvima i metodama. Nastavnici trebaju sami da se neprestano usavršavaju i trude da u

međusobnoj razmjeni iskustava sa svojim kolegama pomjere nastavni proces na zavidan nivo.

Učenici vole rasterećene, vesele i zadovoljne nastavnike. Vole igru i grupni rad, a to je

najbolja mogućnost da prihvate stroga pravila, jer u didaktičkim igrama mogu da zasnuju

čvrstu bazu za daljnje obrazovanje i vaspitanje. U igrama, zajedničkom radu oni troše najviše

energije, često ne osjećajući umor, u želji da postignu što bolje rezultate, da budu najbolji.

Zato ih trebamo često pohvaliti, usmjeriti ih na pravi put osmjehom, lijepom riječi i lijepim

gestama. To nam se sigurno vraća kroz pažnju, njihovu koncentraciju i sve veće samostalni

angažman u nastavnom procesu. Cilj nam je da većim dijelom budemo posmatrači i tek

ponekad učesnici nastavnog procesa. Da razvijemo kod učenika osjećeje, empatiju, slobodu u

komunikaciji. Da bez straha i opterećenja traže pomoć kao nešto najnormalnije, da priznaju

svoje trenutno neznanje. Da nude i daju pomoć. Truditi se da su uvijek okruženi praktičnim

stvarima koje smiju dodirnuti, uzeti u ruke, osjetiti ih, čuti ih i vidjeti. Vježba i ponavljanje je

majka znanja.

Samo izlaganje činjenica ne vodi ka uspjehu, učenicima skoro ništa ne mogu značiti,

jer je to za njih u tim godinama samo apstrakcija. Obavezno se uvijek naglašava primjena u

svakodnevnom životu na najbližim primjerima koje učenici mogu vidjeti. Prvobitno se učenje

svodi na oblik, veličinu, primjere u prirodnom okruženju i crtanja, bojanja i dopunjavanja.

Uloga geometrije nije samo formiranje apstraktnih pojmova i konstrukcija figura. Kada

savladaju osnovne jedinice za mjerenje učenici prelaze na primjenu ovih jedinica na figurama

i tijelima, posebno na zanimljivim zadacima iz prakse. Na taj način oni uviđaju i usvajaju

uzročno posljedične odnose među figurama i njihovim elementima. Prije svega, pored

posmatranja služe se i mjerenjem kod usvajanja odnosa među veličinama. Kao primjer može

se navesti više njih:

- veličina pravougaonika i kvadrata zavisi od dužine njihovih stranica;

36

- kvadrat je pravougaonik kome su sve stranice jednake;

- kocka je kvadar čije su ivice jednake; obim trougla, četverougla i kvadrata se mijenja

zavisno od dužine njihovih stranica;

- veličina kružnice zavisi od dužine poluprečnika i slično.

Učenici treba da nauče primjenjivati matematičke pojmove, pravila i operacije pri

rješavanju pristupačnih zadataka i problema u matematici i da pomoću kreativnog

matematičkog mišljenja matematiziraju rješenja problema iz nastavnih predmeta i života. Oni

treba da se osposobe da uspješno nastave svoje matematičko obrazovanje. Neophodno je

upoznati učenike sa jedinicama za mjerenje površine i zapremine, a zatim ih primijeniti na

izračunavanje pojedinih geometrijskih figura i tijela. U početnoj nastavi matematike ona se

zadržava na mjerenjima površine kvadrata i pravougaonika, odnosno površine i zapremine

kvadra i kocke.

Neophodno je napomenuti da i ova nova upoznavanja pridonose uviđanju uzročno-

posljedičnih veza među elementima figura i tijela:

- površina kvadrata se povećava zavisno od dužine njene stranice;

- površina kvadra i kocke se takođe povećava srazmjerno rastu njihovih stranica;

- zapremina kvadra i kocke se mijenja, ako promijenimo dužinu njihovih ivica.

Ovakvim pristupom učenici su osposobljeni za:

- formiranje apstraktnih pojmova;

- imenovanje geometrijskih figura i tijela i njihovo prepoznavanje i poređenje sa

predmetima i pojavama u prirodi;

- shvatanje prostornih odnosa;

- skladnost i preciznost geometrijskih konstrukcija;

- doživljavanje lijepog;

- uviđanje uzročno-posljedičnih odnosa;

- proširivanje znanja iz oblasti geometrije u višim razredima osnovne škole.

37

8. P R I L O Z I

8.1. TEST br. 1

ŠKOLA:

RAZRED: ODJELJENJE:

PREZIME I IME UČENIKA:

NASTAVNA TEMA: Svakodnevna upotreba matematike (geometrijski oblici)

UPUTSTVO ZA RAD:

Danas ćeš samostalno rješavati zadatke iz matematike. Prvo pažljivo pročitaj svaki

zadatak, zatim počni rješavati jedan po jedan. Ako neki zadatak ne možeš odmah riješiti,

nemoj gubiti vrijeme, već pređi na sljedeći i pokušaj ga riješiti.. Ostane li vremena, vrati se

38

ponovo na zadatak koji nisi mogao odmah riješiti. Zadatke rješavaj tako da izračunaš i

napišeš (zavisi šta se traži) odgovor.

Za vrijeme rada ne smije biti razgovora, dogovaranja ili prepisivanja. Vrijeme za

rješavanje zadataka je 45 minuta.

Bodovna skala: 0-39=1; 40-54=2; 55-69=3; 70-84=4; 85-100=5.

1.

Sa jedne livade oblika pravougaonika, dužine 40 m i širine 10 m, pokošenim i osušenim

sijenom Milan napravi 5 plastova sijena. Koliko plastova će da napravi na drugoj livadi oblika

kvadrata, dužine 20 m?

2.

Voćar Marko je u svom voćnjaku ubrao 4200 kg šljiva. Stavio ih je u 5 istih kaca za rakiju.

Koliko kilograma šljiva može da stane u jednu kacu?

3.

39

Djed Stanko je odlučio posaditi voćke u voćnjak, ali ne zna koliko voćki treba da kupi.

Voćnjak je dug 24 m a širok 12 m. Voćke treba da zasadi sa razmakom od 4 m između svake

sadnice. Pomozi mu izračunati koliko voćki treba da kupi.

8.2. TEST br.2

ŠKOLA:

RAZRED: ODJELJENJE:

PREZIME I IME UČENIKA:

NASTAVNA TEMA: Svakodnevna upotreba matematike (geometrijski oblici)

UPUTSTVO ZA RAD:

Danas ćeš samostalno rješavati zadatke iz matematike. Prvo pažljivo pročitaj svaki

zadatak, zatim počni rješavati jedan po jedan. Ako neki zadatak ne možeš odmah riješiti,

nemoj gubiti vrijeme, već pređi na sljedeći i pokušaj ga riješiti.. Ostane li vremena, vrati se

ponovo na zadatak koji nisi mogao odmah riješiti. Zadatke rješavaj tako da izračunaš i

napišeš (zavisi šta se traži) odgovor.

Za vrijeme rada ne smije biti razgovora, dogovaranja ili prepisivanja. Vrijeme za

rješavanje zadataka je 45 minuta.

Bodovna skala: 0-39=1; 40-54=2; 55-69=3; 70-84=4; 85-100=5.

1.

40

Grupa radnika gradi stambenu zgradu. Ne znaju koliko betonskih blokova trebaju da kupe za

jedan zid koji je dug 12 m i visok 6 m. Imaće šest prozora, visina 2 m i širina 1 m; jedna

vrata, visina 3 m i širina 2 m. Pomozi im izračunati, koliko blokova treba da kupe za jedan zid

ako su dimenzije tog bloka 45 cm x 20 cm.

2.

Maja pređe biciklom rastojanje od kuće do škole 2,2 km. Poluprečnik točka njenog

bicikla je 30 cm. Koliko će se puta okrenuti točak na tom putu od kuće do škole?

3.

Radnici na održavanju puteva farbaju pješačke prelaze. Širina ulice je 6 m, a širina jednog

pravougaonika pješačkog prelaza iznosi 50 cm. Između pravougaonika je prazan prostor od

50 cm. Koliko pravougaonika će ofarbati radnici na jednom pješačkom prelazu?

41

LITERATURA:

1. Adler, I. (1973): Matematika od zlatnog reza do nauke o skupovima. Zagreb: Školska

knjiga.

2. Bušić, D., E. Gačanin i N. Spahić (2007): Poznavanje saobraćaja. Sarajevo:

BIHAMK.

3. Čekrlija, B. i P. Đaković (2008): Matematika za drugi razred osnovne škole. Istočno

Sarajevo: Zavod za udžbenike i nastavna sredstva.

4. Čekrlija, B. (2000): Vremeplovom kroz matematiku. Laktaši: Grafomark.

42

5. Hogben, L. (1977): Sve o matematici. Zagreb: Mladost.

6. Kovačević, P. (2009): Metodika nastave matematike sa prilozima o brojevima. Banja

Luka: Grafid.

7. Kundačina, M. i V. Banđur (2007): Metodološki praktikum. Valjevo: Merlin company.

8. Lipovac, D. (2007): Matematika za treći razred osnovne škole. Istočno Sarajevo:

Zavod za udžbenike i nastavna sredstva.

9. Lipovac, D. (2008): Matematika za četvrti razred osnovne škole. Istočno Sarajevo:

Zavod za udžbenike i nastavna sredstva.

10. Milijević, S. (2003): Interaktivno učenje matematike u problemskoj nastavi. Banja

Luka: Naša škola 3-4.

11. Mićić, B. (2008): Matematika za peti razred osnovne škole. Istočno Sarajevo: Zavod

za udžbenike i nastavna sredstva.

12. Suzić, N. (2007): Primijenjena pedagoška metodologija. Banja Luka: XBS.

13. www.matheprisma.uni-wuppertal.de/

14. www.mathematikunterricht.de/

15. www.ics.uci.edu/~eppstein/geom.html

16. www.geom.umn.edu/

17. www.mathe.tu-freiberg.de/~hebisch/cafe/platonische.html

18. www.usborne-quicklinks.com

43