DIPLOMOVÁ PRÁCE - cvut.czgeo.fsv.cvut.cz/proj/dp/2011/iveta-valentova-dp-2011.pdf · Diplomová...
Transcript of DIPLOMOVÁ PRÁCE - cvut.czgeo.fsv.cvut.cz/proj/dp/2011/iveta-valentova-dp-2011.pdf · Diplomová...
ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE
Fakulta stavební
Katedra speciální geodézie
DIPLOMOVÁ PRÁCE
Zhodnocení etapových měření svislých posunů a vodorovných náklonů
v katedrále sv. Víta na Pražském hradě
Vedoucí diplomové práce Ing. Lenka Línková, Ph.D.
Bc. Iveta Valentová
Prohlášení
Prohlašuji, ţe jsem svou diplomovou práci napsala samostatně a výhradně s pouţitím
citovaných pramenů za odborného vedení Ing. Lenky Línkové, Ph.D.
Souhlasím se zveřejněním práce podle zákona č. 111/ 1998 Sb., o vysokých školách, ve znění
pozdějších předpisů.
V Praze dne ……………… …………………………
Bc. Iveta Valentová
PODĚKOVÁNÍ
Na tomto místě bych ráda poděkovala panu Doc. Ing. Jaromíru Procházkovi CSc.
a paní Ing. Lence Línkové Ph.D., za umoţnění moji účasti na projektu sledování posunů
a náklonů v chrámu sv. Víta na Praţském Hradě, který pro mě byl velmi cennou zkušeností.
Zejména bych chtěla poděkovat vedoucí diplomové práce paní Ing. Lence Línkové, PhD.
za její odborné vedení, cenné připomínky a především za trpělivost a konzultace, které mi
byly poskytovány v průběhu zpracování celé diplomové práce. Rovněţ patří můj dík
Ing. Anetě Raszykové za poskytnutí její diplomové práce a kvalitní vyhodnocení chovaní
svislých posunů a vodorovných náklonů v závislosti na teplotě a čase, na které bylo moţné
navázat mojí diplomovou prací.
ABSTRAKT
Název práce: Zhodnocení etapových měření svislých posunů a vodorovných náklonů
v katedrále sv. Víta na Praţském hradě.
Autor: Bc. Iveta Valentová
Email autora: [email protected]
Katedra: Katedra speciální geodézie
Vedoucí diplomové práce: Ing. Lenka Línková, Ph.D.
Email vedoucí diplomové práce: [email protected]
Abstrakt: Diplomová práce se zabývá sledováním vodorovných náklonů a svislých posunů
v katedrále sv. Víta. Vodorovné náklony jsou vyhodnocovány na základě výsledků měření
z trigonometrické metody a svislé posuny pomocí metody přesné nivelace a trigonometrie.
V práci jsou porovnány metody měření svislých posunů a vyhodnoceny přesnosti měřených
a určovaných veličin.
Klíčová slova: vodorovný náklon, svislý posun, trigonometrická metoda, přesná nivelace,
zenitový úhel a vodorovný úhel.
ABSTRACT
Title: Evaluation of measurements of vertical displacements and horizontal tilts in St. Vitus
Cathedral in the Prague Castle.
Author: Bc. Iveta Valentová
Author´s e-mail: [email protected]
Department: Department of Special Geodesy
Supervisor: Ing. Lenka Línková, Ph.D.
Supervisor´s email: [email protected]
Abstract: This thesis describes monitoring of horizontal tilts and vertical displacements
in St. Vitus Cathedral. The thesis deals with evaluation size of horizontal tilts
from trigonometrical method and vertical displacements from method of precise levelling
and trigonometry. It compares both methods for measuring vertical displacements
and evaluates accuracy of measured and determined values.
Key words: horizontal tilts, vertical displacements, trigonometrical method, precise levelling,
zenithal angle and horizontal angle.
- 1 -
OBSAH
OBSAH ....................................................................................................................................... 1
1 ÚVOD ................................................................................................................................. 4
1.1 SLEDOVÁNÍ POSUNŮ A NÁKLONŮ V KATEDRÁLE GEODETICKÝMI
METODAMI ................................................................................................................ 4
2 KATEDRÁLA SV. VÍTA ................................................................................................... 6
2.1 HISTORIE STAVBY KATEDRÁLY SV. VÍTA ........................................................ 6
2.2 POPIS CHRÁMU SV. VÍTA ....................................................................................... 8
3 MĚŘENÍ V KATEDRÁLE SV. VÍTA ............................................................................. 12
3.1 MĚŘICKÉ PŘÍSTROJE A POMŮCKY .................................................................... 12
3.2 MĚŘENÍ SVISLÝCH POSUNŮ A VODOROVNÝCH NÁKLONŮ ...................... 14
3.2.1 Vztaţné body ....................................................................................................... 15
3.2.2 Pozorované body ................................................................................................. 17
3.2.3 Přesná nivelace pro určení svislých posunů ........................................................ 19
3.2.4 Trigonometrické měření svislých posunů a vodorovných náklonů .................... 20
3.2.5 Měřické chyby a jejich eliminace u metody přesné nivelace .............................. 21
4 PŘESNOST MĚŘENÝCH VELIČIN .............................................................................. 23
4.1 APRIORNÍ PŘESNOST MĚŘENÝCH VELIČIN .................................................... 23
4.1.1 Apriorní přesnost redukovaného vodorovného směru ........................................ 23
4.1.2 Apriorní přesnost vodorovného úhlu určeného z rozdílu dvou směrů ................ 26
4.1.3 Apriorní přesnost zenitového úhlu ...................................................................... 27
4.1.4 Apriorní přesnost určení nivelačního převýšení .................................................. 28
4.2 ROZBORY PŘESNOSTI PŘI MĚŘENÍ ................................................................... 30
4.2.1 Vodorovný redukovaný směr .............................................................................. 30
4.2.2 Zenitový úhel ....................................................................................................... 31
4.2.3 Nivelace ............................................................................................................... 31
4.3 APOSTERIORNÍ PŘESNOST MĚŘENÝCH VELIČIN .......................................... 32
- 2 -
4.3.1 Aposteriorní přesnost vodorovného úhlu ............................................................ 32
4.3.2 Aposteriorní přesnost zenitového úhlu ................................................................ 34
4.3.3 Aposteriorní přesnost měřeného převýšení ......................................................... 37
5 VÝPOČET POSUNŮ A NÁKLONŮ V KATEDRÁLE SV. VÍTA ................................ 40
5.1 VÝPOČET VODOROVNÉHO NÁKLONU Z TRIGONOMETRICKÉ METODY 41
5.2 VÝPOČET RELATIVNÍCH SVISLÝCH POSUNŮ Z TRIGONOMETRICKÉ
METODY ................................................................................................................... 43
5.2.1 Relativní svislý posun mezi horním a dolním bodem na jednom sloupu ............ 45
5.2.2 Relativní svislý posun II mezi dvěma body dvou protilehlých sloupů na severní
a jiţní straně chrámu ........................................................................................... 47
5.2.3 Relativní svislý posun III mezi prvním a čtvrtým řezem v podélné lodi chrámu48
5.3 VÝPOČET SVISLÝCH POSUNŮ Z PŘESNÉ NIVELACE .................................... 49
5.3.1 Svislý posun pozorovaných bodů na sloupu ....................................................... 52
5.3.2 Relativní svislý posun II mezi dvěma body na sloupech severní a jiţní strany
chrámu ................................................................................................................. 54
5.3.3 Relativní svislý posun III mezi body prvního a čtvrtého řezu v podélné lodi
chrámu ................................................................................................................. 55
6 PŘESNOST VYPOČTENÝCH VELIČIN ....................................................................... 57
6.1 PŘESNOST URČOVÁNÍ NÁKLONŮ Z TRIGONOMETRICKÉ METODY ........ 57
6.2 PŘESNOST URČOVÁNÍ RELATIVNÍCH SVISLÝCH POSUNŮ
Z TRIGONOMETRICKÉ METODY ........................................................................ 61
6.2.1 Přesnost určení relativního svislého posunu pro dva body umístěné na jednom
sloupu .................................................................................................................. 61
6.2.2 Přesnost určení relativního svislého posunu II mezi dvěma body na sloupech
severní a jiţní strany chrámu ............................................................................... 66
6.2.3 Přesnost určení relativního svislého posunu III .................................................. 67
6.3 PŘESNOST URČOVÁNÍ SVISLÝCH POSUNŮ Z METODY PŘESNÉ
NIVELACE ................................................................................................................ 69
6.3.1 Přesnost určení svislého posunu pozorovaných bodů ......................................... 69
6.3.2 Přesnost určení relativního svislého posunu II .................................................... 71
- 3 -
6.3.3 Přesnost určení relativního svislého posunu III mezi body prvního a čtvrtého
řezu v podélné lodi chrámu ................................................................................. 72
7 VYHODNOCENÍ POSUNŮ A NÁKLONŮ V KATEDRÁLE SV. VÍTA ..................... 73
7.1 VYHODNOCENÍ VODOROVNÝCH NÁKLONŮ URČENÝCH
Z TRIGONOMETRICKÉ METODY ........................................................................ 73
7.2 VYHODNOCENÍ RELATIVNÍHO SVISLÉHO POSUNU
Z TRIGONOMETRICKÉ METODY ........................................................................ 75
7.3 VYHODNOCENÍ SVISLÉHO POSUNU Z METODY PŘESNÉ NIVELACE ....... 81
7.4 POROVNÁNÍ SVISLÉHO POSUNU URČENÉHO ZE DVOU GEODETICKÝCH
METOD ...................................................................................................................... 84
7.4.1 Porovnání relativního posunu z trigonometrické metody a absolutního posunu
zjištěného přesnou nivelací ................................................................................. 84
7.4.2 Porovnání relativního svislého posunu II mezi oběma geodetickými metodami 86
7.4.3 Porovnání relativního svislého posunu III obou geodetických metod ................ 89
8 ZÁVĚR.............................................................................................................................. 93
SEZNAM POUŢITÉ LITERATURY ...................................................................................... 97
PŘÍLOHY ............................................................................ Chyba! Záložka není definována.
- 4 -
1 ÚVOD
Diplomová práce se zabývá sledováním vodorovných náklonů a svislých posunů
v katedrále sv. Víta, které budou vyhodnoceny na základě dvaceti etapových měření. Nejprve
budou zpracovány zápisníky měření, ze kterých se vypočte dosaţená přesnost měřených
veličin. Následně bude odvozena základní směrodatná odchylka měřených veličin a dojde
k posouzení přesnosti měření. Dále se přistoupí k výpočtu vodorovného náklonu v daných
etapách vzhledem k základní etapě měření zjištěného trigonometrickou metodou, změny
výšek sledované metodou přesné nivelace a změny převýšení určené trigonometrickou
metodou pro jednotlivé etapy vůči základní etapě. Následně bude odvozena přesnost
určovaných veličin. Pomocí směrodatných odchylek se vypočte mezní hodnota, která
se následně porovná s hodnotami dosaţených veličin. V případě překročení mezní hodnoty
dojde k prokázání posunu vůči základní etapě, v opačném případě nebude posun prokázán, ale
ani vyloučen. Na závěr práce budou vzájemně porovnány svislé posuny zjištěné metodou
přesné nivelace a trigonometrie.
1.1 SLEDOVÁNÍ POSUNŮ A NÁKLONŮ V KATEDRÁLE
GEODETICKÝMI METODAMI
Měření posunů stavebních objektů je podle ČSN 73 0405 [3] měřením změn polohy
a výšky objektů vzhledem k jejich poloze zaměřené v základní nebo předchozí etapě měření,
která je realizována od vztaţné soustavy tvořené geodetickými body. Poloha vztaţných bodů
je volena mimo pozorovaný objekt a vlivů, které by mohly přímo ovlivnit stálost jejich
polohy.
Důvodem zahájení geodetických měření v chrámu sv. Víta bylo zjevné poškození
historického objektu, které se projevilo trhlinami v klenbě chrámu, na vnějších schodištích
objektu a jiných místech. Pro stanovení příčin posunů a následných opatření k jejich zamezení
byla provedena rekognoskace daného objektu, které se zúčastnil statik Ing. Dobeš, geotechnik
Ing. Záleský a geodet Doc. Ing. Procházka, CSc. Na základě tohoto šetření a vzhledem
k trhlinám v klenbě, byla navrţena dlouhodobá opatření: 1. Sledování náklonů nosných pilířů
uvnitř chrámu ve čtyřech příčných řezech (dva řezy v historické části chrámu a dva řezy
v části novodobé), 2. sledování náklonů středních pilířů vnějších schodišť a hlavní chrámové
věţe a 3. sledování sedání nosných pilířů uvnitř chrámu (v příčných řezech). [10]
- 5 -
Statik stanovil očekávanou přesnost určení posunů, ze které se vycházelo při volbě
vhodné měřické metody. Protoţe očekávaná přesnost není obvykle známá, bývá často
poţadovaná přesnost zvolena tak, aby bylo moţné prokázat posun přesahující 1 mm, pokud
lze takové přesnosti geodetickými metodami dosáhnout. Pro měření svislých posunů
v chrámu sv. Víta byla zvolena metoda přesné nivelace, která byla přizpůsobena konkrétním
podmínkám daného objektu. Bylo stanoveno, ţe nivelační pořad bude veden přes pozorované
body při patách nosných pilířů a napojen na vztaţnou síť bodů umístěných vně objektu. [10]
Podle [3] se k tomuto účelu osazují nejméně tři vztaţné výškové body, za body vztaţné
soustavy bylo vyuţito bodů místní nivelační sítě. Nivelační pořad vedený v chrámu sv. Víta
byl vztaţen k výškovému bodu 100, který je napojen na tři hloubkové vrty (podkap. 3.2.1).
Pro měření vodorovných náklonů v chrámu sv. Víta byla zvolena trigonometrická metoda.
Bylo stanoveno, ţe budou měřeny vodorovné a zenitové úhly elektronickým teodolitem Leica
TC 1800 ve všech etapách měření a délky pouze v základní etapě. [10]
Po pečlivém zváţení poţadavků statika a pracovníků památkové péče byl zvolen
způsob rozmístění a označení pozorovaných bodů a stanovisek (podkap. 3.2.1 a 3.2.2). Dále
byl stanoven harmonogram etapového měření vzhledem k podchycení předpokládaných vlivů,
které způsobují posuny konstrukčních prvků chrámu (podkap. 3.2). [11] Od počátku sledování
posunů v červenci 2000 do konce roku 2010 bylo zaměřeno celkem 26 etap, osobně jsem
zúčastnila měření 25. etapy dne 3. 5. 2010, kdy jsem asistovala při měření
Doc. Ing. J. Procházkovi, CSc.
- 6 -
2 KATEDRÁLA SV. VÍTA
2.1 HISTORIE STAVBY KATEDRÁLY SV. VÍTA
Podle archeologických výzkumů byl chrám sv. Víta zaloţen kolem roku 925 kníţetem
Václavem v podobě předrománské rotundy. V roce 1060 byla rotunda přestavěna v trojlodní
baziliku se dvěma věţemi. Hlavní dobou rozkvětu pro Praţský hrad byla doba za vlády
Karla IV. a na základě jeho rozhodnutí měla stát nejkrásnější kaple nového chrámu
nad místem ostatků sv. Václava, prvního českého světce, kterému měla být nejvýznamnější
kaple Svatovítské katedrály zasvěcena. [8]
Karel IV. chtěl, aby se nový chrám postavil podle francouzských vzorů, proto pověřil
k vypracování plánů a řízení stavby architekta Matyáše z Arrasu. Základní kámen byl
poloţen 21. listopadu r. 1344. Nejprve bylo nutné zbourat románskou baziliku a další stavby,
které doposud stály na pozemku. Pak z lomového kamene byly vyzděny základy 300 - 350 cm
hluboké. Matyáš v plánech chrámu sv. Víta uplatnil zkušenosti ze staveb katedrál v jiţní
Francii. Stihl uskutečnit jen část svých záměrů, postavil část chóru (osm kaplí) aţ do výše
ochozu nad přízemními okny a obvodové zdi svatováclavské kaple. [6]
Po jeho smrti v roce 1352 se ještě několik let stavělo podle jeho plánů. Nových
architektem po smrti Matyáše se stal Petr Parléř, který původní návrhy přizpůsobil svým
představám. Chtěl vybudovat chrám moderně, jak se v té době stavělo v Evropě, jeho hlavní
inspirací byla katedrála v Kolíně nad Rýnem a katedrála ve Štrasburku. Parléř postavil
východní část katedrály s chórem a věncem kaplí po příčnou loď. Roku 1392 byl poloţen
základní kámen ke stavbě lodi a v roce 1396 byla započata stavba Velké věţe. Za doby
Parléře se postavilo severovýchodní vnější schodiště, Velká věţ do výšky 55 m a jiţní stěna
transeptu (příčná loď), která spojila Velkou věţ vnějším schodištěm. Během vlády
Vladislava II. Jagelonského byli stavitelé chrámu Hanuš Spiess a pak Benedikt Ried, za jejich
působení byla vystavěna královská oratoř propojená krytým mostem s královským palácem.
[9]
- 7 -
Obr. 2.1 Rozsah práce významných stavitelů chrámu [9]
Roku 1541 došlo na Hradě k poţáru, který zasáhl i katedrálu, došlo ke zničení
dřevěných částí a zvonů. Oprava katedrály probíhala zejména za vlády Ferdinanda I.
pod dohledem Paolo della Stella a pak Bonifáce Wolhmuta. K definitivní dostavbě chrámu
došlo na přelomu 19. a 20. století. Podle projektu Josefa Mockera bylo vystavěno trojlodí,
které po jeho smrti dokončil Kamil Hilbert. Katedrála byla dostavěna roku 1929. [9]
- 8 -
2.2 POPIS CHRÁMU SV. VÍTA
Katedrála sv. Víta je jednou z nejvýraznějších památek hlavního města. Nachází
se na třetím nádvoří Praţského hradu. Celková délka chrámu je 124 m a šířka kolem
60 metrů. Podélná osa chrámu svírá s místním poledníkem úhel 69,6°. Střed půdorysu chrámu
má GPS souřadnice 50°05'27,14''N, 14°24'02,00''E. [9]
Obr. 2.2 Katedrála sv. Víta na Pražském hradě [9]
Interiér chrámu
Půdorys katedrály je ve tvaru kříţe, po vstupu do katedrály vidíme neogotickou hlavní
loď s klenbou vysokou 33,2 metru, v polovině stavby se nachází jižní část transeptu neboli
příčná loď, která je dělítkem mezi gotickou a neogotickou částí chrámu. Před příčnou lodí je
po pravé straně vstup do Velké věže katedrály vysoké 96,5 m a za ní je kaple svatého
Václava s jeho hrobkou. Z kaple vedou schody do korunní komory určené pro korunovační
klenoty. [9] Zvýrazněné části jsou zobrazeny na obr. 2.3.
- 9 -
Obr. 2.3 Pohled na interiér jižní a západní část [9]
Uprostřed hlavní lodi je vyvýšené místo obdélníkového tvaru, pod kterým je hrobka
sv. Vojtěcha. Ze středu hlavní lodi vidíme vítězný oblouk a vysoký chór. V chóru je umístěn
oltář a královské mauzoleum (hrobka v podobě chrámku na vysokém podstavci).
Nad věncem kaplí je vnitřní triforium, kde se nachází reliéfy (sochařská díla) osob
s ţivotopisnými údaji osob, které se zaslouţili o stavbu chrámu a plastiky osob pokračující
v novodobé výstavbě. V katedrále je kolem lodí umístěno celkem 19 kaplí např. Kaple
sv. Ondřeje, Kaple sv. Kříže, za ní je Královské oratorium, Kaple sv. Zikmunda. [9]
Zvýrazněné části zobrazeny na obr. 2.4.
Obr. 2.4 Pohled na interiér východní část [9]
- 10 -
Exteriér chrámu
Na vnějším ochozu chrámu se nachází tzv. vnější triforium, kde jsou umístěny plastiky
Krista, Panny Marie, českých světců a středověkých postav. Vnější triforium nelze vidět
z chrámu ani zvenku. Pouze část jedné plastiky lze spatřit z Velké věţe. Avšak na opěrném
systému katedrály lze pozorovat řadu plastik, reliéfy a chrliče na přepad vody, které
zpodobňují draky, zvířata a lidské postavy. V pilíři opěrného systému na jiţní straně chóru je
zvětšená kopie sochy sv. Václava s kopím, jejíţ originál je uvnitř kaple. [9]
Obr. 2.5 Chrlič na přepad vody [9]
Na Zlaté bráně je umístěna krásná barevná mozaika o ploše 82 metrů čtverečních,
která zobrazuje Poslední soud a postavy českých patronů a Karla IV. s Eliškou Pomořanskou.
Byla vytvořena v roce 1370 - 1371. Autor mozaiky je neznámý, předpokládá se, ţe ji vytvořili
benátští umělci z českého skla. Vedle Zlaté brány stojí 96,5 metrů vysoká Velká věž, na které
je zavěšeno několik zvonů. Na věţi upoutá pozornost renesanční Zlatá mříž a orloj s dvěma
ciferníky nad sebou, horní ciferník ukazuje hodiny a dolní čtvrthodiny a minuty. Neogotické
věţe dosahují délky 82 m. Z pravé strany od Velké věţe je Trubačské schodiště, které
se skládá ze tří částí umístěných nad sebou. [9]
- 11 -
Obr. 2.6 Exteriér chrámu sv. Víta [9]
- 12 -
3 MĚŘENÍ V KATEDRÁLE SV. VÍTA
3.1 MĚŘICKÉ PŘÍSTROJE A POMŮCKY
Pro trigonometrické měření vodorovných a zenitových úhlů ve všech etapách a délek
jen v základní etapě byl pouţit elektronický teodolit Leica TC 1800 (obr. 3.1), v. č. 413982.
Přístroj je horizontován podle krabicové a elektronické libely a centrován pomocí optického
centrovače vestavěného do trojnoţky přístroje. Elektronický teodolit je vybaven dvěma páry
ustanovek. Naměřené veličiny se zobrazují na displeji přístroje a jsou registrovány
na paměťovou kartu. Při měření v chrámu sv. Víta byly hodnoty současně zapisovány
do zápisníku, aby bylo moţné provést kontrolu měřených veličin přímo v terénu (rozbory
přesnosti při měření). Výrobce udává přesnost měřených délek 1mm + 2 ppm do 2,5 km
a přesnost vodorovných směrů a zenitových úhlů zaměřených v jedné skupině 0,3 mgon.
Elektronický teodolit má vestavěné programy, které umoţňují zpracování měřených veličin,
výpočet odhadu přesností, vyrovnání MNČ, tím se sniţují kancelářské práce na minimum,
tyto programy nebyly v našem měření vyuţity. [2]
Obr. 3.1 Leica TC 1800[15]
Metoda přesné nivelace byla zaměřena nivelačním přístrojem Zeiss Ni 007 (obr. 3.2)
s automatickým urovnáním kompenzátoru, který po hrubém urovnání přístroje podle
krabicové libely nastaví záměrnou přímku do vodorovné polohy. Kompenzátor je urovnán
vlivem zemské tíţe a díky tomu není potřeba urovnávat přístroj podle nivelační libely.
Při měření byla pouţita jedna invarová nivelační lať se dvěma stupnicemi vzájemně
- 13 -
posunutými o známou konstantu 60650, s půlcentimetrovým dělením. Lať je celistvá o délce
1,85 m a vybavená krabicovou libelou, v. č. latě 49743. Nivelační přístroj měří převýšení
s přesností jednoho čtení 0,1 mm. [4]
Obr. 3.2 Zeiss Ni 007[15]
V průběhu měření byla také měřena teplota vzduchu a sloupů. K měření povrchové
teploty sloupů byl pouţit bezkontaktní teploměr s laserovým zaměřovačem Ahlborn AMIR
7811 s přesností ±2°C (obr. 3.3). Výhoda teploměru oproti dříve pouţívanému kontaktnímu
teploměru je především v rychlosti získání měřené teploty a jeho mobilitě. Jeho nevýhodou je
niţší přesnost, která je však pro účely měření a sledování deformací objektu dostačující. [15]
Obr. 3.3 Alhborn Amir 7811 [15]
- 14 -
3.2 MĚŘENÍ SVISLÝCH POSUNŮ A VODOROVNÝCH NÁKLONŮ
V katedrále sv. Víta jsou svislé a vodorovné posuny sledovány od března roku 2000.
Původně byly etapy měřeny po čtvrt roce, ale od roku 2002 se etapy začaly měřit v půlročních
intervalech. Vzhledem k tomu, ţe katedrála sv. Víta je kulturní památkou navštěvovanou
mnoha turisty, není moţné provádět měření v době, kdy je objekt přístupný veřejnosti. Měření
tedy probíhá po 17. hodině, kdy v katedrále nejsou zcela optimální měřické podmínky, a je
nutné, aby jedna osoba asistovala měřiči a osvětlovala pozorované body. Všechny etapy byly
měřeny jednou osobou se stejným přístrojem, tato zásada byla porušena pouze v páté etapě
kvůli dlouhodobé nepřítomnosti měřiče. Měření na pozorované body probíhalo z vhodně
zvolených stanovisek, rozmístěných v podélné lodi chrámu. V kaţdé etapě se měřila teplota
venku i uvnitř katedrály pro moţné sledování závislosti posunů na teplotě. Předmětem měření
je osm nosných pilířů uvnitř chrámu sv. Víta rozdělených na čtyři příčné řezy v hlavní lodi
a na dva podélné řezy v příčné lodi. Kaţdý sloup je vyhodnocován samostatně vzhledem
k nulté etapě bez návaznosti na ostatní pozorované body [11]. Rozmístění jednotlivých řezů je
zobrazeno na následujícím obr. 3.4.
Obr. 3.4 Schéma rozmístění řezů v hlavní a příčné lodi katedrály [14]
- 15 -
3.2.1 Vztažné body
Výšková síť
Vztaţný výškový bod č. 100 byl stabilizován nivelační čepovou značkou na budově
umístěné naproti chrámu. Tento bod je napojen na hloubkové vrty MPD01, MPD02 a VB011,
jejich poloha je zobrazena na obr. 3.5. Stabilita vztaţného bodu je ověřována metodou přesné
nivelace ke geotechnickému vrtu č. MPD01. Tento vrt je veden přes základy aţ na skalnaté
podloţí do hloubky 10 m. Výšková stabilita MPD01 je kontrolována geotechnickým
měřením klouzavým mikrometrem s přesností 0,003 mm/m a na základě výsledků měření lze
konstatovat, ţe je bod stabilní. Polohu vztaţného bodu vzhledem k bodu MPD01
lze z dosaţených výsledků metody přesné nivelace povaţovat rovněţ za stabilní. Měření
splňují přesnost danou směrodatnou odchylkou vůči vztaţné soustavě, která byla stanovena
v projektu h ≈ 0,3 mm a 0,4 mm. Ověřovací měření probíhají etapově od března roku 2002.
Geodetické měření bylo napojeno na bod MPD01 pomocí přípravku, kterým lze realizovat
bod vrtu pro postavení nivelační latě. [12] [14]
Obr. 3.5 Hloubkové vrty na Pražském hradě [13]
- 16 -
Polohová síť
Dále bylo zvoleno pět bodů vztaţné polohové sítě (obr. 3.6), které byly trvale
stabilizovány mosazným válečkem s dírkou o průměru 1 mm do dlaţby v lodi chrámu
sv. Víta. Jejich poloha byla volena tak, aby záměry byly přibliţně kolmé na určovaný směr
náklonu. Stanovisko S1 bylo umístěno v průsečíku podélné a příčné lodi chrámu pro zaměření
prvního a čtvrtého řezu. Stanovisko S2 bylo zvoleno v přední části v podélné lodi chrámu
pro zaměření druhého řezu, v roce 2001 (4. etapa) bylo nahrazeno stanoviskem S4, z důvodu
zakrytí stanoviska novými lavicemi, stejně tak i čtvrté stanovisko bylo nahrazeno v roce 2005
(17. etapa) stanoviskem S7.
Pro zaměření bodů třetího řezu bylo zvoleno stanovisko S3. V roce 2004 (10. etapa)
byla zvolena další dvě stanoviska S5 a S6 v příčné lodi chrámu. Horní body 53,54,63 a 64
jsou trvale osazeny v horní části sloupů třetího řezu tak, aby záměry z daných stanovisek byly
přibliţně kolmé na určovaný směr náklonu (pro přehlednost obrázku nebudou body
v polohopisné síti graficky znázorněny). Dolní body jsou signalizovány značkami, které
se přemístí z bodů 31 a 32. Značka bodu 31 se pouţívá pro body 51 a 61 a značka bodu 32
pro body 52 a 62.
Obr. 3.6 Rozmístění stanovisek a bodů v chrámu sv. Víta [14]
- 17 -
3.2.2 Pozorované body
Kvůli sledování vodorovných náklonů a svislých posunů nosných pilířů chrámu byly
zvoleny pozorované body, na kterých se provádí etapové měření. Body umístěné při patě
pilířů slouţí pro měření výšková a body v dolní části sloupu ve výšce kolem 2 metrů
od podlahy a horní body ve výšce zhruba 17 m pro úhlové a délkové měření.
Signalizace pozorovaných bodů
Pozorované body při patách sloupů byly na základě poţadavků pracovníků památkové
péče osazeny mosaznými zděřemi, které byly zapuštěny do sloupu. Tyto zděře jsou opatřeny
vnitřním závitem pro našroubování mosazného nástavce pro měření výšek. Nivelační značky
o délce 60 mm jsou zašroubovány před zahájením měření na jednotlivých sloupech,
zobrazeno na obr. 3.7. Pro zachování stejné polohy značek ve všech etapách měření jsou
značky opatřeny číslem a zašroubovány na doraz. [11]
Obr. 3.7 Šroubovací nivelační značka
U trigonometrického měření byly pouţity kruhové značky modré barvy o průměru
20 mm se ţlutým středem (obr. 3.8). Značky pro dolní body sloupu jsou zašroubovány
do mosazných zděří pouze po dobu měření. Stejná poloha značek ve všech etapách je
zaručena očíslováním terče a zašroubováním na doraz. Body v horní části sloupu jsou osazeny
trvale od nulté etapy značkami stejných rozměrů. [11]
- 18 -
Obr. 3.8 Signalizace trigonometrických bodů
Označení pozorovaných bodů
Body pro výšková měření jsou označeny číslem řezu (první číslice) a polohou v řezu
(druhá číslice). Body v severní části lodi jsou značeny číslicí 5 a body v jiţní části číslicí 6
(obr. 3.9).
Obr. 3.9 Schéma bodů zaměřených přesnou nivelací [14]
Pozorované body pro úhlové a délkové měření jsou číslovány podle čísla řezu (první
číslice) a podle polohy bodu v řezu (druhá číslice). Body umístěné na sloupech na severní
straně katedrály jsou značeny lichými číslicemi pro dolní bod č. 1 a horní bod č. 3
a pozorované body na sloupech v jiţní části sudými číslicemi pro dolní bod č. 2 a pro horní
bod č. 4., zobrazeno na předchozím obr. 3.6.
- 19 -
3.2.3 Přesná nivelace pro určení svislých posunů
Před zahájením měření se vyrovnala teplota přístroje s okolní teplotou a nivelační
znaky se zašroubovaly do zděří všech pozorovaných sloupů. Body byly zaměřeny přístrojem
Zeiss Ni 007 a byla pouţita jedna invarová lať dlouhá 1,85 m s půlcentimetrovým dělením
a dvěma stupnicemi.
Nivelace byla zahájena před katedrálou sv. Víta, kde došlo k připojení k ověřenému
výškovému bodu č. 100 se známou výškou 100 258,13700h m . První měřené převýšení bylo
mezi body 100 a 16, následovalo měření uvnitř katedrály, kde se pak měřilo mezi body
16 a 26. Dále pak z jednoho postavení přístroje se měřily čtyři body č. 15, 16, 26, 25 dvou
sousedních řezů, z dalšího postavení body 25, 26, 36, 35. Mezi 3. a 4. řezem bylo potřeba
zaměřit body ze dvou postavení přístroje kvůli překáţce, tzn. z jednoho postavení byly
zaměřeny body 35, 45, 46 a z druhého postavení body 36, 45, 46. Schéma bodů zaměřených
metodou přesné nivelace je na obr. 3.9 v podkap. 3.2.2. Současně s měřením nivelace byla
měřena teplota vzduchu venku a uvnitř katedrály digitálním teploměrem, pro moţné
vyhodnocení vlivu teploty na určované posuny. Měření se z kaţdého postavení opakovalo
dvakrát. Jelikoţ při měření nebyly všude dodrţeny stejné délky záměr, tak se na závěr
nivelace provedlo měření pro zjištění chyby z nevodorovnosti záměrné přímky, které je
popsáno v podkap. 3.2.5. Vzhledem k obtíţné dostupnosti některých bodů nebylo vţdy moţné
stavět lať přímo na střed patky, proto byla lať na určitých bodech stavěna na krajní body
patky. Z toho důvodu bylo na závěr měření v katedrále provedeno měření na střed a jednotlivé
rohy patky nivelační latě, ze kterého se pak vypočítaly opravy, o které byla upravena
příslušná čtení, popsáno v podkap.3.2.5.
Pro zpracování zápisníků přesné nivelace jsem vytvořila vlastní program v Microsoft
Excel 2007, ve kterém jsem zpracovala celkem dvacet etapových měření (6. - 26. etapa), které
byly zaměřeny v období od ledna 2002 do října 2010. Osobně jsem se účastnila měření
25. etapy, které trvalo přibliţně 1,5 hodiny (zápisník přesné nivelace 25. etapy je zobrazen
v příloze I). Dosaţené výsledky byly ověřeny vedoucí diplomové práce Ing. Lenkou
Línkovou, Ph.D.
- 20 -
3.2.4 Trigonometrické měření svislých posunů a vodorovných náklonů
Po měření přesné nivelace následovalo trigonometrické zaměření bodů na sloupech
katedrály sv. Víta. Nejdříve byly zašroubovány modré znaky do zděří pro body v dolní části
sloupu a byla provedena temperace elektronického teodolitu Leica TC 1800. Tento přístroj
byl centrován nad stanovisky, která jsou stabilizována v dlaţbě mosazným válečkem s jemnou
dírkou o průměru 1 mm. Vţdy stejnou orientací optického dostředovače přístroje ve všech
etapách se dosahuje vysoké přesnosti v dostředění. Při tomto postupu a vhodně zvolené
poloze stanoviska přístroje se vyloučí systematická sloţka odchylky v dostředění, díky tomu
pak přesnost výsledných posunů není zatíţena touto odchylkou. Stanoviska byla zvolena
s ohledem na určovaný směr náklonu, aby záměry na něj byly přibliţně kolmé a úhel mezi
horním a dolním bodem sloupu byl velmi malý. Rozmístění bodů a stanovisek je zobrazeno
na obr. 3.6. Předpokládá se, ţe vzdálenost mezi stanovisky a pozorovanými body je
konstantní, proto byly délky měřeny pouze v nulté etapě. [11]
Ze všech stanovisek byla měřena osnova vodorovných směrů za současného měření
zenitových úhlů ve dvou skupinách s dvojím cílením na všechny pozorované body. Naměřené
hodnoty byly registrovány na paměťovou kartu přístroje a zároveň ručně zapsány
do zápisníků. Nejprve se měřilo ze stanoviska S1 na body čtvrtého řezu a prvního řezu, dále
ze stanoviska S3 byly zaměřeny body druhého řezu, ze stanoviska S7 body třetího řezu.
Na závěr byly zaměřeny body pátého a šestého řezu ze stanoviska S5 a body stanoviska S6.
Zápisníky měření byly zpracovány vlastním programem vytvořeným v Microsoft
Excel 2007. Stejně jako u nivelace bylo zpracováno dvacet etapových měření (6. - 26. etapa),
která byla zaměřena ve stejném období (leden 2002 aţ říjen 2010). Osobně jsem se zúčastnila
měření 25. etapy, měření trvalo přibliţně 3 hodiny (zápisník vodorovných směru, zenitových
vzdáleností, dálkoměrných úhlů a délek 25. etapy je zobrazen v příloze I). Výsledné hodnoty
byly ověřeny vedoucí diplomové práce nezávislým výpočtem.
- 21 -
3.2.5 Měřické chyby a jejich eliminace u metody přesné nivelace
Chyba z nekolmosti patky nivelační latě
Pokud patka latě není kolmá na stupnici a zejména není-li krabicová libela latě
zrektifikována, tak následně postavení latě na různé body patky určuje různé čtení. Z toho
důvodu bylo potřeba opravit příslušná převýšení o opravy, které se vypočítaly rozdílem
měření na střed patky latě a její rohy, hodnoty oprav dosahovaly cca 0,0001 mm.
Chyba z nevodorovnosti záměrné přímky
Při měření geometrické nivelace ze středu se přístroj postaví doprostřed mezi body,
takţe záměra vzad je stejně dlouhá jako záměra vpřed a chyba z nevodorovnosti záměrné
přímky se vyloučí při výpočtu převýšení podle vzorce (3.1)
1 1 1 1 1 1 1 1´ ´ ´ ´ijh z p z p z p (3.1)
V případě našeho měření, záměry vzad a vpřed nejsou vţdy stejně dlouhé. Bylo tedy
provedeno měření pro zjištění opravy z nevodorovnosti záměrné přímky na bodech 16 a 26
při dvojím postavení přístroje (obr. 3.10). Přístroj byl nejprve postaven doprostřed mezi body
16 a 26 a následně za bod 26 a změřilo se převýšení.
Chyba z nevodorovnosti se vypočte pro 1 m délky záměrné přímky podle vzorce (3.2)
, , 16,26 16,262´ ´
2
A B A Bh h h h
s d
(3.2)
kde h16,26 je správné převýšení mezi body, h16,26´ je převýšení změřené při
excentrickém postavení přístroje, d je vzdálenost mezi body při centrickém postavení
přístroje.
Velikost chyby vypočtené podle vzorce 3.2 se přepočte v závislosti na rozdílné délce
záměr, o které je opraveno příslušné převýšení.
2
ij z po d d (3.3)
- 22 -
kde ijo je oprava pro dané převýšení, zd je délka záměr vzad a pd je délka záměr
vpřed.
Obr. 3.10 Určení chyby z nevodorovnosti záměrné přímky [1]
- 23 -
4 PŘESNOST MĚŘENÝCH VELIČIN
4.1 APRIORNÍ PŘESNOST MĚŘENÝCH VELIČIN
Před měřením v chrámu sv. Víta byla stanovena očekávaná přesnost měřených veličin,
která je charakterizována základní směrodatnou odchylkou. Směrodatná odchylka
pro vodorovný redukovaný směr zaměřený ve dvou skupinách s dvojím cílením je odvozena
v následující podkapitole 4.1.1 vzorec (4.12), pro vodorovný úhel určený rozdílem dvou
směrů v podkapitole 4.1.2 vzorec (4.20), pro zenitový úhel rovněţ změřený ve dvou
skupinách s dvojím cílením je odvozena v podkapitole 4.1.3, výsledný vzorec (4.26).
Na závěr byla vypočtena očekávaná přesnost převýšení určeného nivelací, charakterizována
směrodatnou odchylkou průměrného převýšení z měření tam a zpět, odvozeno v podkapitole
4.1.4 vzorec (4.38).
4.1.1 Apriorní přesnost redukovaného vodorovného směru
Vodorovné směry na jednotlivých stanoviscích umístěných v chrámu sv. Víta byly
zaměřeny elektronickým teodolitem TC 1800 se základní směrodatnou odchylkou
vodorovného směru měřeného v jedné skupině (ve dvou polohách dalekohledu) s jedním
cílením 0 = 0,3 mgon [10]. Pro odvození směrodatné odchylky redukovaného
vodorovného směru určeného aritmetickým průměrem ze dvou měřických skupin s dvojím
cílením (4.12), bylo nejprve potřeba odvodit směrodatnou odchylku vodorovného směru
vypočteného průměrem ze dvou cílení v jedné skupině (4.4) a směrodatnou odchylku
výsledného redukovaného směru zjištěného z jedné skupiny (4.8).
Odvození směrodatné odchylky vodorovného směru zaměřeného v jedné skupině,
který je určen průměrem ze dvou cílení:
1 1 1 20 , 0 ,
,22
sk c sk c
sk c
(4.1)
kde 1 10 ,sk c , 1 20 ,sk c
je vodorovný směr určený v jedné skupině (dvě polohy
dalekohledu) při jednom cílení a ,2sk c je průměrná hodnota vodorovného směru v jedné
skupině ze dvou cílení.
- 24 -
Aplikací zákona hromadění skutečných chyb přejdeme na tvar (4.2) s platností vztahu
1 1 1 20 0 , 0 ,sk c sk c
1 1 1 20 , 0 ,
,22
sk c sk c
sk c
(4.2)
Následnou aplikací zákona hromadění směrodatných odchylek a za předpokladu
1 1 1 20 0 , 0 ,sk c sk c
získáme výsledný vztah:
1 1 1 2
2 2
2 0 , 0 ,
,24
sk c sk c
sk c
(4.3)
0,2 0,21
2sk c mgon
(4.4)
Odvození směrodatné odchylky redukovaného vodorovného směru (oprava směru
o počáteční čtení) zaměřeného v jedné skupině podle následujícího vztahu:
,2 ,2,2 sk c op sk cr sk c
(4.5)
kde ,2sk c je průměrná hodnota vodorovného směru určeného z jedné skupiny, ,2op sk c
je hodnota opravy směru o počáteční čtení, ,2r sk c výsledná hodnota redukovaného
vodorovného směru zjištěného v jedné skupině. Přechodem na skutečné chyby s daným
předpokladem ,2 ,2,2 sk c opsk cr sk c
získáme následující vztah:
,2 ,2,2 sk c op sk cr sk c
(4.6)
S pouţitím zákona hromadění směrodatných odchylek získáme vztah (4.8)
za předpokladu, ţe platí ,2 ,2sk c op sk c
2 2 2
,2 ,2,2 sk c opsk cr sk c
(4.7)
,2,22 0,3sk cr sk c
mgon (4.8)
- 25 -
Odvození směrodatné odchylky výsledného redukovaného vodorovného směru
získaného průměrem ze dvou skupin za platnosti vztahu:
1 ,2 2 ,2
2 ,22
r sk c r sk c
r sk c
(4.9)
kde 1 ,2r sk c je výsledná hodnota redukovaného vodorovného směru určeného z první
skupiny, 1 ,2r sk c hodnota téhoţ směru zjištěného z druhé skupiny a následně 2 ,2r sk c
je
průměrná hodnota redukovaného směru vypočteného z obou skupin.
S pouţitím zákona hromadění náhodných odchylek přejdeme na tvar (4.10)
za předpokladu 2 ,2 1 ,2 2 ,2r sk c r sk c r sk c
1 ,2 2 ,2
2 ,22
r sk c r sk c
r sk c
(4.10)
Dále aplikací zákona hromadění směrodatných odchylek získáme vztah (4.11)
za předpokladu, ţe platí 1 ,2 2 ,2r sk c r sk c
2 2
2 1 ,2 2 ,2
2 ,24
r sk c r sk c
r sk c
(4.11)
,2
2 ,22
r sk c
r sk c
= 0,21 mgon (4.12)
Pozn.: Při odvození zbývajících odchylek byl rovněţ pouţit zákon hromadění
náhodných a směrodatných odchylek se stejným předpokladem. Dále jsou uváděny jen
výsledné vztahy po aplikaci toho zákona.
- 26 -
4.1.2 Apriorní přesnost vodorovného úhlu určeného z rozdílu dvou směrů
Odvození směrodatné odchylky vodorovného úhlu vychází ze základního vztahu:
1 22 ,2 2 ,2sk c sk c (4.13)
kde 1 2 ,2,
sk c 2 2 ,2sk c je hodnota vodorovného směru určeného průměrem ze dvou
skupin a je vodorovný úhel určen z rozdílu dvou směrů.
Nejprve je potřeba odvodit směrodatnou odchylku vodorovného směru zaměřeného
ve dvou skupinách:
1 ,2 2 ,2
2 ,22
sk c sk c
sk c
(4.14)
kde 1 ,2sk c je průměrná hodnota směru určeného z jedné skupiny,
2 ,2sk c hodnota téhoţ
směru zjištěného z druhé skupiny a 2 ,2sk c
je průměrná hodnota směru vypočteného z obou
skupin.
1 ,2 2 ,2
2 ,22
sk c sk c
sk c
(4.15)
2 22
1 ,2 2 ,2
2 ,24
sk c sk c
sk c
(4.16)
2 ,2
0,21
2sk c
= 0,15 mgon (4.17)
Odvození směrodatné odchylky úhlu vychází ze vzorce (4.18)
1 22 ,2 2 ,2sk c sk c (4.18)
2 2
2
1 22 ,2 2 ,2sk c sk c (4.19)
2 ,2 2 0,21sk c mgon (4.20)
- 27 -
4.1.3 Apriorní přesnost zenitového úhlu
Zenitové úhly byly zaměřeny elektronickým teodolitem TC 1800 se směrodatnou
odchylkou zenitového úhlu měřeného v jedné skupině (ve dvou polohách dalekohledu)
s jedním cílením 0z = 0,3 mgon [10]. Pro odvození směrodatné odchylky zenitového úhlu
určeného ze dvou měřických skupin při dvojím cílením (4.26), bylo nejprve potřeba odvodit
směrodatnou odchylku zenitového úhlu vypočteného průměrem ze dvou cílení v jedné
skupině (4.23)
Odvození směrodatné odchylky zenitového úhlu zaměřeného v jedné skupině
při dvojím cílení dalekohledu
1 1 1 20 , 0 ,
,22
sk c sk c
sk c
z zz
(4.21)
1 1 1 2
2 2
2 0 , 0 ,
,24
sk c sk c
sk c
z zz
(4.22)
0,2 0,21
2sk c
zz mgon
(4.23)
kde 1 10 ,sk cz , 1 20 ,sk c
z je zenitový úhel určený v jedné skupině (dvě polohy dalekohledu)
při jednom cílení a ,2sk cz je zenitový úhel určený průměrem ze dvou cílení v jedné skupině.
Odvození směrodatné odchylky zenitového úhlu zaměřeného ve dvou skupinách
při dvojím cílení dalekohledu
1 ,2 2 ,2
2 ,22
sk c sk c
sk c
z zz
(4.24)
2 22
1 ,2 2 ,2
2 ,24
sk c sk c
sk c
z zz
(4.25)
,2
2 ,20,15
2
sk c
sk c
zz mgon
(4.26)
kde 1 ,2sk cz , 2 ,2sk cz je zenitový úhel určený z jedné skupiny a 2 ,2sk cz
výsledný zenitový
úhel zjištěný průměrem ze dvou skupin.
- 28 -
4.1.4 Apriorní přesnost určení nivelačního převýšení
Přesná nivelace byla měřena přístrojem Zeiss Ni 007 a jednou latí se dvěma
stupnicemi s danou základní směrodatnou odchylkou jednoho čtení 0h = 0,1 mm [4]. Pomocí
této směrodatné odchylky byla zjištěna směrodatná odchylka převýšení určeného z jedné
stupnice latě (4.30), následně směrodatná odchylka převýšení určeného z měření jedním
směrem (4.34) a nakonec směrodatná odchylka převýšení určeného z měření tam a zpět
v jedné sestavě (4.38).
Směrodatná odchylka převýšení z jedné stupnice latě vychází ze vzorce (4.27)
1 1 1
Z T
st st sth h h
(4.27)
1 1 1
Z T
st st sth h h
(4.28)
2 22
1 1 1
Z T
st st sth h h
(4.29)
1 2 0,14st hoh mm
(4.30)
kde 1
Z
sth je čtení na stupnici vzad, 1
T
sth je čtení na stupnici vpřed a 1sth je převýšení
určené z jedné stupnice.
Směrodatná odchylka průměrného převýšení určeného z měření jedním směrem
z obou stupnic
1 21 ,2
2
st stst st
h hh
(4.31)
1 21 ,2
2
st stst st
h hh
(4.32)
2 22 1 2
1 ,24
st st
st st
h hh
(4.33)
11 ,2 0,1
2
stst st
hh mm
(4.34)
kde 1sth , 2sth je převýšení určené z jedné a druhé stupnice a 1 ,2st sth průměrné převýšení
z obou stupnic určené jedním směrem.
- 29 -
Směrodatná odchylka průměrného převýšení z měření tam a zpět v jedné sestavě
1 ,2 1 ,2
2
T Z
st st st sth hh
(4.35)
1 ,2 1 ,2
2
T Z
st st st sth hh
(4.36)
2 2
2 1 ,2 1 ,2
4
T Z
st st st sth hh
(4.37)
1 ,20,07
2
h st sth mm
(4.38)
kde 1 ,2
T
st sth , 1 ,2
Z
st sth je průměrná hodnota převýšení určeného z měření tam a z měření
zpět a h je výsledná hodnota převýšení.
- 30 -
4.2 ROZBORY PŘESNOSTI PŘI MĚŘENÍ
Rozbor přesnosti při měření umoţňuje v terénu hodnotit přesnost měřených veličin.
Dodrţení přesnosti měřených veličin je důleţité pro zajištění předpokládané přesnosti měření.
Při známé směrodatné odchylce 0 a zvolené hladině významnosti α testujeme, zda nejsou
měření odlehlá. Testování se provádí pomocí mezního rozdílu met . [7]
Základní vztah pro výpočet mezního rozdílu:
02met pu (4.39)
up … koeficient spolehlivosti, který volíme 2 pro hladinu významnosti α = 5%.
σ0 … směrodatná odchylka jednoho měření (např. úhel v jedné skupině s dvojím
cílením).
4.2.1 Vodorovný redukovaný směr
Při měření byla dosaţená přesnost výsledného vodorovného redukovaného směru
kontrolována výpočtem rozdílu redukovaných směrů mezi dvěma skupinami, který byl pak
porovnán s mezním rozdílem. Vodorovné směry v katedrále sv. Víta byly měřeny
elektronickým tachymetrem TC1800 ve dvou skupinách s dvojím cílením.
Ze zadané směrodatné odchylky vodorovného směru měřeného v jedné skupině (dvě
polohy dalekohledu) s jedním cílením 0 = 0, 3 mgon, byla vypočtena směrodatná odchylka
redukovaného směru zjištěného v jedné skupině s dvojím cílením ,2r sk c
= 0,3 mgon, která
byla odvozena v podkapitole 4.1.1 (4.8)
Mezní rozdíl pro 2 skupiny:
02 2 2 0,3 0,84met pu mgon (4.40)
- 31 -
4.2.2 Zenitový úhel
Přesnost zenitových úhlů byla kontrolována výpočtem rozdílu zenitového úhlu mezi
dvěma skupinami, který byl pak porovnán s mezním rozdílem. Zenitové úhly byly zaměřeny
ve dvou skupinách s dvojím cílením, se zadanou směrodatnou odchylkou zenitového úhlu
měřeného v jedné skupině (dvě polohy dalekohledu) s jedním cílením 0z = 0,3 mgon.
Pomocí této směrodatné odchylky byla odvozena směrodatná odchylka zenitového úhlu
určeného v jedné skupině s dvojím cílením 0 =,2sk cz 0,21 mgon, odvození
viz kap. 4.1.3 (4.23).
Mezní rozdíl pro 2 skupiny:
02 2 2 0,21 0,59met pu mgon (4.41)
4.2.3 Nivelace
Dosaţená přesnost nivelace byla ověřena rozdílem čtení dvou stupnic, které se má
rovnat známé konstantě 60650. Z daného rozdílu čtení dvou stupnic a známé konstanty byl
vypočten rozdíl, který byl porovnán s mezním rozdílem čtení dvou stupnic od konstanty.
Hodnota mezního rozdílu u jednotlivých záměr je rovna 0,1 mm [1].
- 32 -
4.3 APOSTERIORNÍ PŘESNOST MĚŘENÝCH VELIČIN
Po měření v chrámu sv. Víta byla ze zápisníků vypočtena přesnost všech měřených
veličin. Dosaţená přesnost je charakterizována výběrovou směrodatnou odchylkou, která pro
vodorovný úhel je odvozena v podkap. 4.3.1 vzorec (4.44), pro zenitový úhel, v podkap.
4.3.2, vzorec (4.47) a pro nivelační převýšení v podkap. 4.3.3, vzorec (4.49). U nivelace byla
kromě výběrové směrodatné odchylky provedena kontrola přesnosti pomocí výpočtu hodnot
uzávěrů, která byla porovnána s mezním uzávěrem.
4.3.1 Aposteriorní přesnost vodorovného úhlu
Výběrová směrodatná odchylka řádkových průměrů vodorovných směrů změřených
na jednotlivých stanoviscích v chrámu sv. Víta byla vypočtena ze vzorce (4.42), dosaţené
hodnoty jsou uvedeny v tab. 4.1 pro podélnou a příčnou loď. Hodnoty, které překračují
základní směrodatnou odchylku, jsou v tabulce označeny červeně.
0 1
wws
k l l
(4.42)
2
2v
ww vk
(4.43)
kde v je oprava redukovaného vodorovného směru od průměrné hodnoty směru
vypočteného z obou skupin, k je počet směrů měřených na jednotlivých stanoviscích a l je
počet skupin.
Následně byl vypočten kvadratický průměr výběrových směrodatných odchylek
řádkových průměrů pro jednotlivé etapy podle vztahu (4.44), výsledné hodnoty jsou uvedeny
v posledním řádku tab. 4.1.
0
0
2
is
sn
(4.44)
kde n je počet stanovisek v dané etapě.
- 33 -
Tab. 4.1 Přehled výběrových směrodatných odchylek vodorovného úhlu v jednotkách mgon.
Podélná loď
Příčná loď
Řezy Stanovisko Etapa
10
Etapa
11
Etapa
12
Etapa
13
Etapa
14
Etapa
15
Etapa
16
Etapa
17
Etapa
18
5.řez S5 0,21 0,15 0,14 0,09 0,19 0,17 0,17 0,13 0,10
6.řez S6 0,17 0,13 0,08 0,06 0,12 0,14 0,13 0,11 0,14
Kvadr. pr. 0
s 0,19 0,14 0,11 0,08 0,16 0,16 0,12 0,12 0,12
Řezy Stanovisko Etapa
19
Etapa
20
Etapa
21
Etapa
22
Etapa
23
Etapa
24
Etapa
25
Etapa
26
5.řez S5 0,17 0,03 0,09 0,11 0,14 0,10 0,14 0,16
6.řez S6 0,09 0,06 0,10 0,09 0,10 0,10 0,12 0,10
Kvadr. pr. 0
s 0,13 0,05 0,10 0,10 0,12 0,10 0,13 0,13
Na závěr byla vypočtena celková výběrová směrodatná odchylka vodorovného úhlu
jako kvadratický průměr ze všech etap pro podélnou loď 0,15 mgon a příčnou loď
0,12 mgon. Tyto hodnoty odpovídají, resp. jsou ještě menší neţ základní směrodatná
odchylka 0,21mgon. V některých etapách došlo k překročení apriorní přesnosti, v těchto
případech bylo provedeno testování nulové hypotézy, ţe výběrová směrodatná odchylka
Řezy Stanovisko Etapa
6
Etapa
7
Etapa
8
Etapa
9
Etapa
10
Etapa
12
Etapa
15
Etapa
17
Etapa
18
1.řez S1 0,52 0,07 0,09 0,08 0,05 0,28 0,22 0,07 0,10
2.řez S3 0,09 0,12 0,07 0,04 0,09 0,19 0,16 0,08 0,08
3.řez S4,S7 0,14 0,12 0,15 0,04 0,12 0,06 0,05 0,11 0,13
4.řez S1 0,25 0,05 0,04 0,11 0,25 0,07 0,12 0,11 0,19
Kvadr. pr. 0
s 0,30 0,10 0,10 0,07 0,15 0,18 0,15 0,10 0,13
Řezy Stanovisko Etapa
19
Etapa
20
Etapa
21
Etapa
22
Etapa
23
Etapa
24
Etapa
25
Etapa
26
1.řez S1 0,20 0,09 0,13 0,12 0,03 0,21 0,15 0,21
2.řez S3 0,05 0,07 0,12 0,14 0,13 0,28 0,05 0,05
3.řez S4,S7 0,18 0,14 0,14 0,20 0,13 0,08 0,07 0,08
4.řez S1 0,10 0,11 0,06 0,18 0,15 0,12 0,37 0,15
Kvadr. pr. 0
s 0,15 0,10 0,12 0,16 0,12 0,19 0,20 0,14
- 34 -
odpovídá základní směrodatné odchylce. Testovacím kritérium byla veličina 2 , která je daná
vzorcem (4.45) s 1n stupni volnosti a pro hladinu významnosti 5% byla nalezena
tabelovaná hodnota 2
.
2
2
21
sn
(4.45)
Tab. 4.2 Testování redukovaných vodorovných směrů
Etapa Stanovisko 0i
s mgon 2 1n 2
Etapa 6 S1 (řez 1) 0,52 18,39 3 7,81
Etapa 6 S1 (řez 4) 0,25 4,25 3 7,81
Etapa 10 S1 (řez 4) 0,25 4,25 3 7,81
Etapa 12 S1 (řez 1) 0,28 5,33 3 7,81
Etapa 15 S1 (řez 1) 0,22 3,29 3 7,81
Etapa 24 S3 (řez 3) 0,28 5,22 3 7,81
V šesté etapě došlo k překročení kritické hodnoty a zamítnutí nulové hypotézy. Je to
patrně z důvodu, ţe měření této etapy proběhlo v zimním období (dne 23. 1. 2002), kdy
nejsou v chrámu sv. Víta zcela optimální podmínky měření kvůli niţší viditelnosti na měřické
body a navíc kvůli velkému mnoţství turistů musí měření probíhat v pozdějších hodinách
aţ po uzavření katedrály pro veřejnost. Při měření je potřebné, aby jedna osoba asistovala
měřiči a osvětlovala horní pozorované body. Toto patrně způsobilo horší kvalitu měření
v prvním řezu v šesté etapě.
4.3.2 Aposteriorní přesnost zenitového úhlu
Výpočet výběrové směrodatné odchylky zenitového úhlu byl proveden podle vzorce
(4.46), výsledné hodnoty jsou uvedeny v tab. 4.3 pro podélnou a příčnou loď.
0 2
dds
l k
(4.46)
kde d je rozdíl zenitových úhlů mezi měřenými skupinami, k je počet měřených úhlů
na stanovisku a l počet skupin.
- 35 -
Dále byl vypočten kvadratický průměr výběrových směrodatných odchylek řádkových
průměrů pro jednotlivé etapy podle vztahu (4.47), výsledné hodnoty jsou uvedeny
v posledním řádku tab. 4.3. Hodnoty výběrových směrodatných odchylek, které překračují
základní směrodatnou odchylku, jsou v tabulce vyznačeny červeně.
0
0
2
is
sn
(4.47)
kde n je počet stanovisek v dané etapě.
Tabulka 4.3 Přehled výběrových směrodatných odchylek zenitového úhlů v jednotkách mgon
Podélná loď.
Řezy Stanovisko Etapa
6
Etapa
7
Etapa
8
Etapa
9
Etapa
10
Etapa
12
Etapa
15
Etapa
17
Etapa
18
1.řez S1 0,25 0,06 0,36 0,19 0,13 0,12 0,20 0,09 0,05
2.řez S3 0,25 0,06 0,15 0,12 0,38 0,11 0,10 0,15 0,11
3.řez S4,S7 0,19 0,12 0,19 0,08 0,14 0,12 0,13 0,23 0,07
4.řez S1 0,27 0,17 0,14 0,11 0,03 0,19 0,14 0,30 0,22
Kvadr. pr. 0
s 0,24 0,11 0,23 0,13 0,22 0,14 0,15 0,21 0,13
Řezy Stanovisko Etapa
19
Etapa
20
Etapa
21
Etapa
22
Etapa
23
Etapa
24
Etapa
25
Etapa
26
1.řez S1 0,19 0,12 0,20 0,20 0,10 0,14 0,11 0,23
2.řez S3 0,14 0,11 0,15 0,14 0,07 0,16 0,19 0,20
3.řez S4,S7 0,11 0,13 0,22 0,20 0,14 0,15 0,16 0,19
4.řez S1 0,14 0,24 0,19 0,09 0,11 0,18 0,08 0,04
Kvadr. pr. 0
s 0,15 0,16 0,19 0,16 0,11 0,16 0,14 0,18
Příčná loď
Řezy Stanovisko Etapa
10
Etapa
11
Etapa
12
Etapa
13
Etapa
14
Etapa
15
Etapa
16
Etapa
17
Etapa
18
5.řez S5 0,18 0,06 0,09 0,07 0,11 0,02 0,08 0,09 0,23
6.řez S6 0,15 0,10 0,17 0,10 0,11 0,21 0,12 0,11 0,11
Kvadr. pr. 0
s 0,16 0,08 0,14 0,08 0,11 0,15 0,10 0,10 0,18
Řezy Stanovisko Etapa
19
Etapa
20
Etapa
21
Etapa
22
Etapa
23
Etapa
24
Etapa
25
Etapa
26
5.řez S5 0,11 0,11 0,11 0,12 0,14 0,07 0,07 0,11
6.řez S6 0,07 0,15 0,14 0,21 0,15 0,07 0,07 0,11
Kvadr. pr. 0
s 0,09 0,13 0,12 0,17 0,15 0,07 0,07 0,11
- 36 -
Pomocí výběrových směrodatných odchylek vypočtených pro jednotlivé etapy byla
vypočtena celková výběrová směrodatná odchylka zenitových úhlů 0,17 mgon pro podélnou
loď a 0,12 mgon pro příčnou loď. Při porovnání obou odchylek se základní směrodatnou
odchylkou 0,15 mgon, bylo zjištěno, ţe hodnota dosaţené přesnosti zenitových úhlů
změřených v podélné lodi neodpovídá očekávané přesnosti, z tohoto důvodu bylo přistoupeno
k testování nulové hypotézy pro daná stanoviska. V tab. 4.4 je uvedeno testování hodnot
nulovou hypotézou (tzn. ţe výběrová směrodatná odchylka odpovídá základní směrodatné
odchylce), k zamítnutí nulové hypotézy došlo v šesté etapě měřené 23. 1. 2002, dále pak etapě
osmé, která byla měřena 30. 1. 2003 a v sedmnácté etapě ze dne 19. 10. 2005. Jedná
se o etapy, které byly zaměřeny v zimním a podzimním období, kdy je v chrámu měřeno
za sníţené viditelnosti, coţ můţe negativně ovlivnit kvalitu měření. K zamítnutí nulové
hypotézy došlo ještě v etapě desáté měřené dne 6. 5. 2004. Zde došlo k nesplnění očekávané
přesnosti pravděpodobně kvůli překročení mezního rozdílu na stanovisku S1. Podmínky
měření jsou v katedrále ztěţovány velkým mnoţstvím turistů, kvůli kterým musí měření
probíhat v pozdějších hodinách aţ po uzavření katedrály pro veřejnost. Při měření je potřeba,
aby jedna osoba asistovala měřiči a osvětlovala zespoda pozorované body. Tyto okolnosti
mohly patrně způsobit zhoršenou kvalitu měření.
Tab. 4.4 Testování zenitových úhlů (1. část)
Stanovisko 0i
s mgon 2 1n 2
Etapa6 1.řez 0,25 8,17 3 7,81
Etapa6 2.řez 0,25 8,60 3 7,81
Etapa6 3.řez 0,19 4,99 3 7,81
Etapa6 4.řez 0,27 9,76 3 7,81
Etapa7 4.řez 0,17 4,06 3 7,81
Etapa8 1.řez 0,36 17,27 3 7,81
Etapa8 3.řez 0,19 4,61 3 7,81
Etapa9 1.řez 0,19 4,67 3 7,81
Etapa10 2.řez 0,38 19,7 3 7,81
Etapa10 5.řez 0,18 4,20 3 7,81
Etapa12 4.řez 0,19 5,05 3 7,81
Etapa12 6.řez 0,17 5,79 3 7,81
Etapa15 1.řez 0,20 5,24 3 7,81
Etapa15 6.řez 0,21 5,79 3 7,81
Etapa17 3.řez 0,23 7,33 3 7,81
Etapa17 4.řez 0,30 12,19 3 7,81
- 37 -
Tab. 4.4 Testování zenitových úhlů (2. část)
4.3.3 Aposteriorní přesnost měřeného převýšení
Výpočet výběrové směrodatné odchylky průměrného nivelačního převýšení byl
proveden podle vzorce (4.48)
4h
dds
n
(4.48)
kde d je rovna rozdílu průměrných hodnot převýšení zjištěné z měření TAM a ZPĚT
(při měření přesné nivelace Tam byly změřeny dvě převýšení a při měření Zpět rovněţ dvě
převýšení, následně byl vypočten průměr pro měření TAM a ZPĚT), n je počet měřených
rozdílů.
Dále byl vypočten kvadratický průměr výběrové směrodatné odchylky nivelačního
převýšení pro jednotlivé etapy podle vzorce (4.49), výsledné hodnoty jsou uvedeny v tab. 4.5
2
h
h
ss
n
(4.49)
kde n je počet čtyřúhelníků (viz další odstavec)
Etapa Stanovisko 0i
s mgon 2 1n 2
Etapa18 4.řez 0,22 6,47 3 7,81
Etapa18 5.řez 0,23 7,26 3 7,81
Etapa19 1.řez 0,19 4,65 3 7,81
Etapa20 4.řez 0,24 7,56 3 7,81
Etapa21 3.řez 0,22 6,35 3 7,81
Etapa21 4.řez 0,19 4,91 3 7,81
Etapa22 1.řez 0,20 5,35 3 7,81
Etapa22 3.řez 0,19 4,77 3 7,81
Etapa22 6.řez 0,21 6,04 3 7,81
Etapa24 3.řez 0,16 3,55 3 7,81
Etapa24 4.řez 0,18 4,47 3 7,81
Etapa25 2.řez 0,19 5,03 3 7,81
Etapa26 1.řez 0,23 6,99 3 7,81
Etapa26 2.řez 0,20 5,22 3 7,81
Etapa 26 3.řez 0,19 5,03 3 7,81
- 38 -
Tabulka 4.5 Přehled výběrových směrodatných odchylek měřeného převýšení
v jednotkách mm.
Další kontrola nivelačního měření byla ověřena pomocí výpočtu uzávěrů nivelačního
pořadu. Nivelační pořad (obr. 3.9) byl rozdělen na dva čtyřúhelníky 1 16 15 25 26U
a 2 35 36 45 46U . Pomocí směrodatné odchylky pro průměrné převýšení h , byla
odvozena směrodatná odchylka uzávěru u (vzorec 4.50). Pro oba čtyřúhelníky byly
vypočteny uzávěry v tab. 4.6, které se následně porovnaly s mezním uzávěrem metU .
Mezní hodnota uzávěru je dána vztahem (4.50):
2 2 0,07 0,28metU p uu up n h mm (4.50)
kde n je počet převýšení ve čtyřúhelníku a up je koeficient spolehlivosti.
Tabulka 4.6 Přehled hodnot uzávěrů měřeného převýšení v jednotkách mm.
Etapa
6
Etapa
7
Etapa
8
Etapa
9
Etapa
10
Etapa
12
Etapa
15
Etapa
17
Etapa
18
hs 0,04 0,03 0,05 0,04 0,04 0,06 0,05 0,04 0,05
Etapa
19
Etapa
20
Etapa
21
Etapa
22
Etapa
23
Etapa
24
Etapa
25
Etapa
26
Etapa
19
hs 0,05 0,07 0,05 0,07 0,05 0,02 0,05 0,05 0,05
Čtyřúhelník Etapa
6
Etapa
7
Etapa
8
Etapa
9
Etapa
10
Etapa
12
Etapa
15
Etapa
17
Etapa
18
U 16-15-25-26 -0,11 0,01 0,20 -0,25 0,10 -0,07 -0,02 -0,08 -0,02
U 35-36-45-46 0,15 -0,07 -0,22 -0,20 -0,08 0,16 0,08 0,18 0,00
Čtyřúhelník Etapa
19
Etapa
20
Etapa
21
Etapa
22
Etapa
23
Etapa
24
Etapa
25
Etapa
26
U 16-15-25-26 0,08 -0,10 -0,11 0,13 -0,06 0,00 0,05 0,02
U 35-36-45-46 0,00 0,05 0,26 0,03 -0,17 0,20 0,05 0,17
- 39 -
Celková výběrová směrodatná odchylka průměrného nivelačního převýšení je
0,05 mm, v jednotlivých etapách se hodnoty výběrových směrodatných odchylek pohybují
v rozmezí od 0,02 do 0,07 mm. Ţádná z hodnot výběrové směrodatné odchylky nepřekročila
základní směrodatnou odchylku nivelačního převýšení 0,07 mm. Dosaţená přesnost
nivelačního měření tedy odpovídá očekávané přesnosti. Přesnost nivelačního měření byla
kontrolována i pomocí výpočtu uzávěrů nivelačního pořadu, jejichţ hodnota byla porovnána
s mezním uzávěrem. Ţádná hodnota uzávěru nepřekročila mezní hodnotu 0,28 mm. Nejvyšší
dosaţená hodnota byla 0,25 mm v 9. etapě. Lze tedy opět konstatovat, ţe dosaţená přesnost
nivelačního měření splňuje očekávanou přesnost.
- 40 -
5 VÝPOČET POSUNŮ A NÁKLONŮ V KATEDRÁLE SV. VÍTA
Po vyhodnocení přesnosti měřených veličin následuje výpočet určovaných veličin,
kterými jsou vodorovný náklon a svislý posun. K měření náklonů v chrámu sv. Víta byla
zvolena metoda trigonometrická a pro měření svislého posunu byly zvoleny dvě geodetické
metody, přesná nivelace a trigonometrie.
V případě sledování svislých posunů a vodorovných náklonů trigonometrickou
metodou došlo dvakrát ke změně stanoviska ve třetím řezu, a to ze stanoviska S2 na S4
a následně na stanovisko S7 viz podkap. 3.2.1. Z tohoto důvodu musely být přepočteny
vzdálenosti z daných stanovisek k pozorovaným bodům tak, jako by byly měřeny v základní
etapě z jednoho (stejného) stanoviska. Dále bylo nutné přepočítat hodnoty vodorovných
náklonů na jedno stanovisko, kterým bylo zvoleno S4, jelikoţ z tohoto stanoviska bylo
zaměřeno nejvíce etap (postup výpočtu je uveden v příloze II). V případě vodorovných
náklonů a svislých posunů zjišťovaných v hlavní lodi chrámu nebudou vypočteny hodnoty
těchto veličin v jedenácté, třinácté, čtrnácté a šestnácté etapě, jelikoţ tyto etapy nebyly
změřeny. U těchto etap došlo k zaměření pouze svislých posunů a vodorovných náklonů
v příčné lodi chrámu. Určované veličiny budou v podélné lodi vypočteny v jednotlivých
etapách vzhledem k nulté etapě změřené dne 10. 7. 2000 a v příčné lodi vzhledem desáté
etapě zaměřené dne 6. 5. 2004.
Pomocí metody přesné nivelace budou zjištěny svislé posuny pozorovaných bodů
osazených při patách jednotlivých sloupů. Svislé posuny byly do páté etapy vztaţeny
k jednomu z pozorovaných bodů v prvním řezu. Nebylo ale jisté, zda nejsou hodnoty
určované veličiny ovlivněny vlastním posunem tohoto bodu, a proto bylo měření od šesté
etapy vztaţeno k výškovému bodu č. 100. Tento bod je umístěn mimo vliv působící
na nosnou konstrukci (opěrný systém) katedrály a jehoţ stabilita je etapově ověřována
(podkap. 3.2.1). V následující podkap. 5.3 budou svislé posuny v jednotlivých etapách
vztaţeny vůči základní etapě, u trigonometrické metody se jedná o nultou etapu
(ze dne 10. 7. 2000) a v případě metody přesné nivelace o šestou etapu (ze dne 23. 1. 2002),
protoţe od této etapy se začalo měřit od nezávislého bodu č. 100. V poslední kapitole bude
základní etapou zvolena šestá etapa pro obě metody, aby naměřené hodnoty byly vztaţeny
ke stejné etapě a výsledky z obou metod mohly být vzájemně porovnány. Metoda přesné
nivelace nebyla pouţita v jedenácté, třinácté, čtrnácté a šestnácté etapě, takţe pro tyto etapy
nebudou zjištěny posuny pomocí dané metody.
- 41 -
5.1 VÝPOČET VODOROVNÉHO NÁKLONU
Z TRIGONOMETRICKÉ METODY
Pro výpočet vodorovného náklonu (posunu) bylo potřeba určit příčnou vzdálenost
q mezi horním a dolním pozorovaným bodem na daném sloupu. Vztah pro výpočet příčné
vzdálenosti (resp. vodorovné vzdálenosti horního a dolního bodu) byl odvozen z trojúhelníka,
jehoţ vrcholy tvoří stanovisko (S), horní bod (H) a dolní bod (D) sloupu (obr. 5.1).
q tg d (5.1)
kde je úhel určen z rozdílu směrů D H , které byly měřené ze stanoviska
na horní a dolní bod daného sloupu a d se rovná průměrné hodnotě vodorovné vzdálenosti
od stanoviska k hornímu bodu H a dolnímu bodu D na sloupu (měřeny pouze v základní
etapě).
Obr. 5.1 Zobrazení příčné vzdálenosti horního a dolního bodu na sloupu (půdorys)
Vzorec byl zjednodušen přechodem na obloukovou míru, jelikoţ maximální hodnota
úhlu byla malá a nepřekročila 1 gon. Hodnoty příčných vzdáleností byly tedy vypočteny
podle zjednodušeného vztahu (5.2). Přehled vypočtených hodnot příčných vzdáleností
v jednotlivých etapách je uveden v příloze III.
q d
(5.2)
kde je radián (1 radián 63,6620 gon )
- 42 -
Následně byl vodorovný posun určen z rozdílu příčné vzdálenosti v jednotlivých
etapách nq vzhledem k základní etapě 0q podle vzorce (5.3).
0
0
n
nq q q d
(5.3)
Vodorovným náklonům se ve vzorci (5.3), které jsou určeny u sloupů umístěných
vpravo od stanoviska, přidává znaménko mínus, aby bylo moţné určit, zda se sloup naklání
směrem k ose nebo od osy chrámu. Výsledné hodnoty zjištěných náklonů vztaţených k nulté
etapě jsou uvedeny v tab. 5.1. Hodnoty náklonů, které přesáhly mezní hodnotu, jsou
zvýrazněny tučně a v těchto případech povaţujeme náklon od nulté etapy za prokázaný.
Mezní hodnoty náklonů jsou odvozeny v šesté kapitole a uvedeny v tab. 6.2. Pokud je
hodnota náklonu se záporným znaménkem, znamená to, ţe se sloupy naklánějí směrem k ose
lodě chrámu. V případě, ţe vychází náklon se znaménkem plus, tak se sloupy naklánějí
směrem od osy lodi chrámu.
Tab. 5.1 Přehled hodnot náklonů jednotlivých sloupů vzhledem k nulté etapě
Podélná loď
Etapa Datum Teplota
uvnitř
[°C]
Řez 1 Řez 2 Řez 3 Řez 4
11 - 13
[mm]
12 - 14
[mm]
21 - 23
[mm]
22 - 24
[mm]
31 - 33
[mm]
32 - 34
[mm]
41 - 43
[mm]
42 - 44
[mm]
0 10.07.2000 20 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00
6 23.01.2002 4 0,41 0,67 1,65 1,73 0,72 0,48 1,53 0,63
7 25.06.2002 23 0,05 -0,55 -0,54 -0,90 0,02 -0,35 0,19 -0,02
8 30.01.2003 4 1,03 1,01 1,67 1,85 0,51 0,78 1,74 1,24
9 30.06.2003 23 -0,19 -0,58 -0,81 -1,36 0,59 -0,63 0,10 -0,35
10 06.05.2004 16 -0,13 -0,20 0,32 -0,19 0,43 0,07 0,71 0,57
12 07.10.2004 17 0,83 0,06 0,69 -0,28 0,87 0,23 0,86 0,40
15 28.04.2005 14 0,43 -0,20 0,67 0,08 1,00 -0,09 1,27 0,73
17 19.10.2005 13 1,57 0,78 1,02 0,83 0,65 0,02 1,34 1,12
18 03.07.2006 22 0,35 -0,47 -0,37 -1,04 0,94 -1,06 0,46 0,06
19 03.09.2007 19,5 0,83 0,34 -0,21 -0,28 0,17 -0,41 0,57 0,67
20 08.11.2007 10 1,16 1,05 1,24 1,28 0,83 0,38 1,20 1,29
21 22.04.2008 11,5 0,36 0,21 0,59 0,56 0,60 -0,34 1,25 0,94
22 06.11.2008 11,0 0,99 0,90 0,84 0,85 0,50 -0,02 1,19 0,94
23 20.4.2009 16,5 0,37 -0,52 0,37 -0,87 0,84 -1,07 1,36 0,31
24 27.10.2009 14 1,22 0,45 0,60 1,04 0,45 0,33 0,75 1,03
25 03.05.2010 15,5 0,14 -0,63 -0,19 0,08 0,47 -0,95 0,76 0,74
26 14.10.2010 13 1,47 0,42 1,05 0,73 0,62 -0,39 1,06 0,78
- 43 -
Příčná loď
Etapa
Datum
Teplota
uvnitř
[°C]
Řez 5 Řez 6
51 - 53
[mm]
52 - 54
[mm]
61 - 63
[mm]
62 - 64
[mm]
10 06.05.2004 16 0,00 0,00 0,00 0,00
11 30.06.2004 20 -0,11 -0,18 -0,39 -0,05
12 07.10.2004 17 -0,25 0,17 -0,06 0,09
13 23.11.2004 8 0,29 0,80 1,28 0,81
14 10.02.2005 1,5 0,81 1,41 2,04 1,71
15 28.04.2005 14 0,27 0,19 0,32 0,32
16 25.08.2005 21,5 -0,20 -0,13 -0,80 0,55
17 19.10.2005 13 0,37 0,60 0,53 0,63
18 03.07.2006 22 -0,29 -0,52 -0,78 -0,14
19 03.09.2007 19,5 0,07 0,11 -0,35 0,21
20 08.11.2007 10 0,28 0,59 0,78 0,72
21 22.04.2008 11,5 0,17 0,13 0,54 0,44
22 06.11.2008 11 0,26 0,59 0,75 0,52
23 20.04.2009 16 0,37 0,10 0,02 0,21
24 27.10.2009 14 0,24 0,42 0,42 0,60
25 03.05.2010 15,5 0,26 0,21 -0,41 0,44
26 14.10.2010 13 0,33 0,18 0,64 0,60
5.2 VÝPOČET RELATIVNÍCH SVISLÝCH POSUNŮ
Z TRIGONOMETRICKÉ METODY
V následující kapitole budou vypočteny relativní svislé posuny určené rozdílem
převýšení mezi horním a dolním pozorovaným bodem na jednom sloupu v jednotlivých
etapách vůči základní etapě. Pro moţné porovnání této metody s metodou přesné nivelace
budou relativní svislé posuny dále zjištěny: 1. mezi dvěma body umístěnými na dvou
protilehlých sloupech severní a jiţní strany chrámu (relativní svislý posun II) a 2. mezi body
prvního a čtvrtého řezu umístěnými na stejné severní popř. jiţní straně chrámu (relativní
svislý posun III) v daných etapách vzhledem k základní etapě. Schéma bodů, mezi kterými
se počítá daný posun, je zobrazeno na následujícím obr. 5.2.
- 44 -
Obr. 5.2 Schéma bodů mezi kterými se počítá daný posun trigonometrickou metodou
- 45 -
5.2.1 Relativní svislý posun mezi horním a dolním bodem na jednom sloupu
Relativní svislé posuny byly určeny rozdílem převýšení dvou bodů umístěných
na jednom sloupu v jednotlivých etapách vzhledem k základní etapě. Převýšení mezi horním
a dolním bodem bylo vypočteno z trojúhelníku (obr. 5.3) s vrcholy: stanovisko (S), horní bod
(H) a dolní bod (D) sloupu, převýšení (h) mezi body je dáno vztahem (5.4). Vypočtené
hodnoty převýšení v daných etapách jsou uvedeny v příloze III.
cot cotH H D Dh d g d g (5.4)
kde Hd , Dd je vodorovná vzdálenost od stanoviska k hornímu a dolnímu bodu a H ,
D je zenitový úhel měřený ze stanoviska na horní a dolní bod sloupu.
Obr. 5.3 Zobrazení převýšení h mezi horním a dolním bodem na jednom sloupu
Dále je pak relativní svislý posun vzhledem k základní etapě určen z rozdílu:
n op h h (5.5)
kde nh , oh je převýšení v jednotlivých etapách a základní etapě měření.
V případě, ţe byla překročena mezní hodnota relativního svislého posunu, která byla
odvozena v šesté kapitole (tab. 6.4), relativní posun od nulté etapy byl povaţován
za prokázaný. Tyto hodnoty jsou v tab. 5.2 zvýrazněny tučně. Znaménko mínus znamená
relativní pokles pilíře a znaménko plus naopak jeho relativní zdvih vzhledem k nulté etapě.
- 46 -
Tab. 5.2 Přehled hodnot relativních svislých posunů vzhledem k nulté etapě na jednotlivých
sloupech
Podélná loď
Etapa
Datum
Řez 1 Řez 2 Řez 3 Řez 4
Teplota
uvnitř
[°C]
11 - 13
[mm]
12 - 14
[mm]
21 - 23
[mm]
22 - 24
[mm]
31 - 33
[mm]
32 - 34
[mm]
41 - 43
[mm]
42 - 44
[mm]
0 10.07.2000 20 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0
6 23.01.2002 4 -1,62 -1,01 -4,24 -4,13 -3,48 -3,68 -3,70 -3,13
7 25.06.2002 23 0,24 0,57 0,93 0,72 2,18 1,75 0,30 0,78
8 30.01.2003 4 -2,72 -2,50 -2,01 -2,61 -1,59 -2,30 -2,06 -1,82
9 30.06.2003 23 0,13 0,65 0,06 0,39 2,39 2,22 0,42 0,46
10 06.05.2004 16 -1,23 -0,68 -0,69 -0,60 0,99 0,22 -0,41 -0,35
12 07.10.2004 17 -0,84 -0,35 -0,55 -1,06 1,26 0,58 -0,27 -0,10
15 28.04.2005 14 -0,96 -0,19 -1,36 -1,47 0,10 -0,50 -1,11 -0,88
17 19.10.2005 13 -1,03 -1,29 0,36 -0,30 -1,38 -2,65 -0,32 -0,72
18 03.07.2006 22 0,40 0,78 0,14 0,32 -0,63 -1,06 0,10 0,39
19 03.09.2007 19,5 -0,32 0,39 -0,57 0,22 -0,89 -1,33 -0,44 0,33
20 08.11.2007 10 -1,97 -1,57 -1,93 -2,06 -3,19 -4,45 -1,92 -1,44
21 22.04.2008 11,5 -1,61 -1,09 -1,55 -1,55 -2,47 -3,20 -1,48 -1,19
22 06.11.2008 11,0 -1,53 -1,07 -1,22 -1,91 -2,96 -4,05 -1,54 -1,26
23 20.04.2009 16,5 -0,65 -0,60 -0,36 -0,70 -1,40 -2,66 -0,22 -0,15
24 27.10.2009 14 -1,66 -1,63 -0,51 -1,37 -2,11 -3,35 -0,61 -1,04
25 03.05.2010 15,5 -0,26 -0,19 -0,28 -0,64 -1,27 -2,07 -0,23 -0,29
26 14.10.2010 13 -1,50 -1,50 -0,38 -0,84 -1,37 -2,63 -0,72 -0,37
Příčná loď
Etapa Datum Teplota
uvnitř
[°C]
Řez 5 Řez 6
51 -53
[mm]
52 - 54
[mm]
61 - 63
[mm]
62 - 64
[mm]
10 06.05.2004 16 0,00 0,00 0,00 0,00
11 30.06.2004 17 0,77 0,30 0,80 0,05
12 07.10.2004 14 -1,49 -0,82 -0,07 -0,31
13 23.11.2004 13 -2,21 -2,58 -1,64 -1,68
14 10.02.2005 22 -3,47 -4,27 -3,45 -2,75
15 28.04.2005 19,5 -1,21 -1,05 -0,89 -1,08
16 25.08.2005 10 1,48 0,91 1,32 0,43
17 19.10.2005 11,5 -0,32 -1,50 -0,28 -1,14
18 03.07.2006 11,0 1,44 1,67 1,36 0,68
19 03.09.2007 16,5 -0,25 -0,16 0,28 0,17
20 08.11.2007 14 -2,74 -3,01 -2,43 -2,15
21 22.04.2008 15,5 -1,64 -2,65 -1,40 -1,96
22 06.11.2008 13 -1,65 -2,16 -1,66 -1,74
23 20.04.2009 16 0,78 -0,65 1,69 -0,78
24 27.10.2009 17 -0,78 -2,43 -0,91 -1,38
25 03.05.2010 14 1,20 -0,80 0,30 -0,66
26 14.10.2010 13 -1,11 -2,49 -0,39 -1,35
- 47 -
5.2.2 Relativní svislý posun II mezi dvěma body dvou protilehlých sloupů na severní
a jižní straně chrámu
Relativní svislý posun II byl určen stejným způsobem jako v podkapitole 5.2.1
rozdílem převýšení daných bodů v jednotlivých etapách vztaţených vůči základní etapě.
Hodnota převýšení mezi pozorovanými body dvou protilehlých sloupů na jiţní straně (sloup
se sudým označením bodům) a severní straně (liché označení bodů) lodě chrámu byla
vypočtena z trojúhelníku s vrcholy: stanovisko, bod jiţního sloupu a bod severního sloupu.
Převýšení mezi body bylo určeno podle vztahu (5.6), přehled vypočtených hodnot
v jednotlivých etapách je uveden příloze III.
cot cotJS J J S Sh d g d g (5.6)
kde Jd , Sd jsou vzdálenosti od stanoviska k pozorovaným bodům daných sloupů
na jiţní a severní straně lodě a J , S jsou zenitové úhly měřené ze stanoviska k bodům
na jiţní a severní straně.
Dále pak relativní svislý posun II vůči základní etapě je dán vztahem:
II JS n JSop h h (5.7)
kde JS nh , JS oh je převýšení mezi pozorovanými body na sloupech severní a jiţní strany
v n-té a základní etapě.
Výsledné hodnoty relativního svislého posunu mezi horními a dolními body daných
sloupů jsou uvedeny v následující tab. 5.3. Hodnoty relativních posunů byly porovnány
s mezní hodnotou, uvedenou v tab. 6.7. V případě překročení mezní hodnoty byl relativní
posun vůči nulté etapě prokázán, tyto hodnoty jsou zvýrazněny tučně.
- 48 -
Tab. 5.3 Přehled hodnot relativních svislých posunů II vůči nulté etapě na jednotlivých
sloupech
Etapa Datum Řez 1 Řez 2 Řez 3 Řez 4
11 - 12
[mm]
13 - 14
[mm]
21 - 22
[mm]
23 - 24
[mm]
31 - 32
[mm]
33 - 34
[mm]
41 - 42
[mm]
43 - 44
[mm]
0 10.07.2000 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0
6 23.01.2002 -0,42 0,09 0,28 0,33 0,04 -0,17 0,25 0,87
7 25.06.2002 -0,23 0,16 0,37 0,10 0,11 -0,33 0,10 0,63
8 30.01.2003 -0,06 0,18 0,25 -0,41 -0,40 -1,10 0,53 0,82
9 30.06.2003 -0,14 0,15 0,25 0,52 -0,04 -0,21 0,31 0,39
10 06.05.2004 -0,24 0,34 0,25 0,28 -0,20 -0,97 0,28 0,39
12 07.10.2004 -0,23 0,27 0,31 -0,25 0,24 -0,44 0,33 0,55
15 28.04.2005 -0,29 0,50 0,52 0,36 0,02 -0,58 0,14 0,41
17 19.10.2005 -0,08 -0,32 0,44 -0,27 0,05 -1,22 0,38 0,03
18 03.07.2006 -0,07 0,32 0,48 0,61 0,23 -0,20 0,23 0,58
19 03.09.2007 0,06 0,79 0,44 1,17 -0,18 -0,62 -0,04 0,77
20 08.11.2007 -0,14 0,27 0,46 0,27 -0,04 -1,30 0,17 0,69
21 22.04.2008 0,02 0,56 0,50 0,44 -0,38 -1,11 0,28 0,62
22 06.11.2008 -0,06 -3,21 0,61 -0,13 -0,25 -1,34 0,55 0,88
23 20.04.2009 0,02 0,08 0,39 -0,01 -0,57 -1,84 0,30 0,41
24 27.10.2009 0,18 0,23 0,62 -0,30 -0,49 -1,73 0,41 0,03
25 03.05.2010 0,07 0,15 0,63 0,21 -0,59 -1,39 0,35 0,34
26 14.10.2010 -0,01 0,01 0,57 0,05 -0,26 -1,52 0,42 0,82
5.2.3 Relativní svislý posun III mezi prvním a čtvrtým řezem v podélné lodi chrámu
Relativní svislé posuny byly určeny rozdílem převýšení mezi základní a n-tou etapou
dolních pozorovaných bodů prvního a čtvrtého řezu umístěných na stejné severní popř. jiţní
straně chrámu. Převýšení mezi danými body bylo zjištěno podle vztahu (5.8). Dosaţené
hodnoty převýšení jsou uvedeny v příloze III.
41 4 4 1 1cot coth d g d g (5.8)
kde 4d , 1d jsou vzdálenosti od stanoviska k bodům čtvrtého a prvního řezu a 4 , 1
zenitové úhly měřené ze stanoviska k bodům čtvrtého a prvního řezu V tab. 5.4 jsou uvedeny
dosaţené rozdíly vypočtené rozdílem převýšení mezi n-tou etapou a základní etapou.
Hodnoty, u kterých byl relativní posun vůči nulté etapě prokázán porovnáním s mezní
hodnotou uvedenou v tab. 6.9, jsou zvýrazněny tučně.
- 49 -
Tab. 5.4 Přehled hodnot relativních svislých posunů III vůči nulté etapě mezi prvním a
čtvrtým řezem chrámu
Etapa
Datum
Svislý posun III [mm]
11 - 41 S
[mm]
12 - 42 J
[mm]
0 10.7.2000 0,00 0,00
6 23.1.2002 -0,46 0,21
7 25.6.2002 0,12 0,45
8 30.1.2003 0,40 0,99
9 30.6.2003 0,02 0,47
10 6.5.2004 0,10 0,62
12 7.10.2004 -0,05 0,51
15 28.4.2005 0,17 0,60
17 19.10.2005 0,31 0,77
18 3.7.2006 0,43 0,74
19 3.9.2007 0,33 0,23
20 8.11.2007 0,33 0,65
21 22.4.2008 0,33 0,65
22 6.11.2008 0,12 0,73
23 20.4.2009 0,16 0,45
24 27.10.2009 0,24 0,47
25 3.5.2010 0,27 0,55
26 14.10.2010 0,21 0,64
5.3 VÝPOČET SVISLÝCH POSUNŮ Z PŘESNÉ NIVELACE
V této části budou vypočteny svislé posuny bodů na jednotlivých sloupech určené
rozdílem výšek v jednotlivých etapách vůči základní etapě. Pro moţné porovnání této metody
s trigonometrickou metodou budou svislé posuny dále určeny: 1. mezi dvěma body
umístěnými na dvou protilehlých sloupech severní a jiţní strany chrámu (relativní svislý
posun II) a 2. mezi body prvního a čtvrtého řezu umístěných na stejné severní popř. jiţní
straně chrámu (relativní svislý posun III) v daných etapách vzhledem k základní etapě.
Schéma bodů, pro které se počítá daný posun, je zobrazeno na obr. 5.4.
- 50 -
Obr. 5.4 Schéma bodů mezi kterými se počítá daný posun metodou přesné nivelace
Před tím, neţ se přistoupilo k výpočtu svislých posunů, bylo nutné opravit měřená
převýšení o tzv. vliv patek a chyby z nevodorovnosti záměrné přímky, jak je popsáno
v podkap. 3.2.5. Svislé posuny byly vypočteny z rozdílu vyrovnaných výšek jednotlivých
bodů mezi základní a n-tou etapou. Vyrovnané výšky bodů byly určeny z vyrovnaných
převýšení mezi jednotlivými body nivelačního pořadu, které byly připojeny k bodu č. 100
se známou výškou 100 258,13700h m . Převýšení byla vyrovnána pomocí výpočtu uzávěru
dvou čtyřúhelníků 1 16 15 25 26U a 2 35 36 45 46.U
- 51 -
Výpočet opravy jednotlivých převýšení je dán vzorcem:
hhij ij
u
Uo d
d
(5.9)
kde Uh se rovná součtu čtyř převýšení mezi body v daném čtyřúhelníku (hodnota
je blízká nule), du je celková délka čtyřúhelníku (suma délek mezi jednotlivými body), dij je
délka nivelační sestavy mezi dvěma body, pro které počítáme opravu převýšení ohij.
Vyrovnané převýšení se vypočte podle vztahu:
ij ij ijh h o (5.10)
Dále pak vyrovnaná výška je dána vztahem:
100 ijjH H h (5.11)
Tab. 5.5 Přehled hodnot vyrovnaných výšek bodů v jednotlivých etapách
Etapa Výšky bodů [m]
15 16 25 26 35 36 45 46
6 258,66552 258,67410 258,67291 258,67608 258,83703 258,72394 259,76001 259,84176
7 258,66509 258,67375 258,67225 258,67554 258,83682 258,72376 259,76012 259,84179
8 258,66537 258,67410 258,67279 258,67609 258,83762 258,72430 259,76046 259,84249
9 258,66506 258,67377 258,67252 258,67597 258,83723 258,72397 259,76022 259,84190
10 258,66539 258,67415 258,67249 258,67595 258,83743 258,72407 259,76033 259,84229
12 258,66543 258,67405 258,67252 258,67593 258,83712 258,72416 259,76014 259,84218
15 258,66493 258,67358 258,67194 258,67551 258,83657 258,72328 259,75969 259,84162
17 258,66549 258,67404 258,67246 258,67596 258,83720 258,72411 259,76020 259,84223
18 258,66544 258,67400 258,67246 258,67595 258,83698 258,72398 259,76070 259,84252
19 258,66539 258,67412 258,67236 258,67586 258,83690 258,72369 259,76001 259,84199
20 258,66581 258,67439 258,67264 258,67619 258,83706 258,72394 259,76018 259,84229
21 258,66525 258,67407 258,67203 258,67582 258,83691 258,72339 259,76003 259,84201
22 258,66621 258,67493 258,67313 258,67667 258,83775 258,72450 259,76082 259,84284
23 258,66568 258,67443 258,67251 258,67620 258,83726 258,72364 259,76044 259,84247
24 258,66575 258,67444 258,67258 258,67622 258,83739 258,72418 259,76055 259,84271
25 258,66591 258,67495 258,67264 258,67650 258,83783 258,72418 259,76096 259,84305
26 258,66626 258,67511 258,67317 258,67681 258,83799 258,72445 259,76109 259,84329
- 52 -
5.3.1 Svislý posun pozorovaných bodů na sloupu
Výpočet svislého posunu je pro kaţdý bod rozdílný, jelikoţ výšky bodů byly určeny
součtem příslušných převýšení.
Výpočet hodnoty posunu vůči šesté etapě vychází ze vzorce:
0n
i in H H
(5.12)
kde n
iH je výška bodů v jednotlivých etapách (7. – 26. etapa) a 0
iH je výška týchţ
bodů v základní etapě (6. etapa).
Vzhledem k tomu, ţe se výška bodu 100 nemění a ve všech etapách byla zachována
stejná měřická metoda, tak se při výpočtu změny převýšení výška bodu 100 vyloučí
a ve vzorci zůstanou pouze vyrovnaná převýšení. Vzorec (5. 12) lze zjednodušit na tvar:
0n
ij ijn h h (5.13)
Obecný tvar předchozího vzorce je:
0n
ij ijn h h (5.14)
kde n
ijh je převýšení mezi danými body v jednotlivých etapách a 0
ijh je převýšení mezi
body v základní etapě (6. etapa).
Následnou aplikací vzorce (5.14) získáme vztahy pro výpočet svislého posunu pro
jednotlivé pozorované body:
100,16 100,16
0
16
nn h h (5.15)
100,16 16,15 100,16 16,15
0 0
15
n nn h h h h (5.16)
100,16 16,15 15,25 100,16 16,15 15,25
0 0 0
25
n n nn h h h h h h (5.17)
100,16 16,15 15,25 25,26 100,16 16,15 15,25 25,26
0 0 0 0
26
n n n nn h h h h h h h h (5.18)
100,16 16,15 15,25 25,35 100,16 16,15 15,25 25,35
0 0 0 0
35
n n n nn h h h h h h h h (5.19)
- 53 -
100,16 16,15 15,25 25,35 35,36 100,16 16,15 15,25
25,35 35,36
0 0 0
36
0 0
n n n n nn h h h h h h h h
h h
(5.20)
100,16 16,15 15,25 25,35 35,36 36,46 100,16 16,15
15,25 25,35 35,36 36,46
0 0
46
0 0 0 0
n n n n n nn h h h h h h h h
h h h h
(5.21)
100,16 16,15 15,25 25,35 35,36 36,46 46,45 100,16
16,15 15,25 25,35 35,36 36,46 46,45
0
45
0 0 0 0 0
n n n n n n n
n
n h h h h h h h h
h h h h h h
(5.22)
Hodnoty svislých posunů byly posouzeny pomocí mezní hodnoty, která je vypočtena
dále v šesté kapitole a uvedena v tab. 6.11. Pokud byl posun větší neţ mezní hodnota, tak byl
posun vzhledem k šesté etapě prokázán (v tab. 5.6 tučně zvýrazněny). V opačném případě
nešlo posun vzhledem k šesté etapě prokázat, ale ani vyloučit. Posuny se záporným
znaménkem znamenají pokles bodu, kladné znaménko značí naopak jeho zdvih.
Tab. 5.6 Přehled hodnot svislých posunů vůči šesté etapě pro jednotlivé body
Etapa Datum Teplota
uvnitř
[°C]
Svislý posun bodu [mm]
15 16 25 26 35 36 45 46
6 23.01.2002 4 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00
7 25.06.2002 22 -0,43 -0,35 -0,65 -0,54 -0,21 -0,18 0,10 0,02
8 30.01.2003 4 -0,15 0,00 -0,11 0,02 0,59 0,35 0,45 0,73
9 30.06.2003 23 -0,46 -0,33 -0,38 -0,10 0,21 0,03 0,20 0,14
10 06.05.2004 16 -0,13 0,05 -0,42 -0,12 0,40 0,13 0,32 0,52
12 07.10.2004 17 -0,09 -0,05 -0,39 -0,15 0,09 0,21 0,13 0,41
15 28.04.2005 13 -0,59 -0,51 -0,97 -0,57 -0,45 -0,66 -0,32 -0,15
17 19.10.2005 14 -0,03 -0,06 -0,44 -0,12 0,17 0,17 0,19 0,47
18 03.07.2006 22,5 -0,08 -0,10 -0,45 -0,12 -0,04 0,04 0,69 0,75
19 03.09.2007 19,5 -0,13 0,02 -0,55 -0,21 -0,12 -0,25 0,00 0,22
20 08.11.2007 10 0,29 0,30 -0,27 0,11 0,03 0,00 0,16 0,52
21 22.04.2008 12 -0,27 -0,03 -0,88 -0,25 -0,12 -0,55 0,02 0,25
22 06.11.2008 12 0,69 0,83 0,22 0,59 0,72 0,56 0,80 1,07
23 20.04.2009 16 0,16 0,34 -0,40 0,12 0,23 -0,30 0,43 0,71
24 27.10.2009 14 0,23 0,34 -0,33 0,14 0,37 0,23 0,54 0,94
25 03.05.2010 15 0,39 0,85 -0,27 0,42 0,81 0,24 0,94 1,28
26 14.10.2010 13 0,74 1,01 0,26 0,74 0,96 0,51 1,07 1,53
- 54 -
5.3.2 Relativní svislý posun II mezi dvěma body na sloupech severní a jižní strany
chrámu
Relativní svislý posun mezi pozorovanými body na sloupech severní a jiţní strany
chrámu je vypočten podle vztahu (5.23) mezi body v základní etapě a ostatními etapami.
0n
II sj sjn H H
(5.23)
kde n
sjH je rozdíl výšek mezi dvěma body v jednotlivých etapách, jeden z bodů je
umístěn na sloupu severní strany a druhý bod je na sloupu jiţní strany chrámu (hodnoty jsou
uvedeny v příloze III) a 0
sjH je rozdíl výšek mezi stejnými body v základní etapě.
Vzhledem ke stejné výšce bodu 100 ve všech měřických etapách a stejné měřické
metodě se výška bodu 100 při výpočtu posunu vyloučí a ve vzorci zůstane pouze převýšení.
Vztah (5.23) přejde na tvar:
0 0n n
nII sj sj sj sjn h h h h
(5.24)
kde n
sjh je převýšení mezi dvěma body pro jednotlivé etapy, jeden z bodů je umístěný
na sloupu severní strany a druhý bod je na sloupu jiţní strany chrámu, 0
sjh je převýšení mezi
stejnými body v základní etapě.
Následnou aplikací vzorce (5.24) získáme vztahy pro výpočet relativního svislého
posunu II vůči šesté etapě pro jednotlivé pozorované body:
15,16 15,16
0
15,16
n
IIn h h (5.25)
25,26 25,26
0
25,26
n
IIn h h (5.26)
35,36 35,36
0
35,36
n
IIn h h (5.27)
45,46 45,46
0
45,46
n
IIn h h (5.28)
- 55 -
Hodnoty relativních svislých posunů od šesté etapy jsou uvedené v mm v tab. 5.7,
v řádku etapy 6 jsou uvedeny hodnoty převýšení mezi body v metrech. Hodnoty, u kterých
byl prokázán relativní svislý posun od šesté etapy, jsou vyznačeny tučně. Mezní hodnota pro
posouzení relativního posunu je uvedena v podkap. 6.3.2.
Tab. 5.7 Přehled hodnot relativních svislých posunů II mezi dvěma body na sloupech severní
a jižní strany vztažených k šesté etapě
Etapa Datum Teplota
uvnitř
[°C]
Svislý posun II mezi body [mm]
15 - 16 25 - 26 35 - 36 45 - 46
6 23.01.2002 4 0,00858 0,00317 -0,11308 0,08175
7 25.06.2002 22 0,08 0,12 0,02 -0,08
8 30.01.2003 4 0,15 0,13 -0,24 0,28
9 30.06.2003 23 0,13 0,28 -0,18 -0,06
10 06.05.2004 16 0,19 0,29 -0,27 0,20
12 07.10.2004 17 0,04 0,24 0,12 0,29
15 28.04.2005 13 0,08 0,40 -0,21 0,17
17 19.10.2005 14 -0,03 0,33 0,00 0,28
18 03.07.2006 22,5 -0,02 0,33 0,08 0,06
19 03.09.2007 19,5 0,15 0,33 -0,13 0,22
20 08.11.2007 10 0,01 0,38 -0,03 0,36
21 22.04.2008 12 0,25 0,63 -0,44 0,23
22 06.11.2008 12 0,14 0,37 -0,16 0,27
23 20.04.2009 16 0,17 0,52 -0,53 0,28
24 27.10.2009 14 0,12 0,47 -0,13 0,41
25 03.05.2010 15 0,46 0,69 -0,57 0,34
26 14.10.2010 13 0,26 0,48 -0,45 0,46
5.3.3 Relativní svislý posun III mezi body prvního a čtvrtého řezu v podélné lodi
chrámu
Výpočet relativního svislého posunu mezi body prvního (neogotická část) a čtvrtého
řezu (gotická část) chrámu je podle vztahu:
0
41 41
n
IIIn H H
(5.29)
kde 41
nH je rozdíl výšek mezi body prvního a čtvrtého řezu na jiţní popř. severní
straně v n- té etapě a 0
41H je rozdíl výšek týchţ bodů v základní etapě.
- 56 -
Vzhledem ke stejné výšce bodu 100 v jednotlivých etapách a stejné měřické metodě
se výška bodu 100 při výpočtu posunu vyloučí a ve vztahu zůstane pouze převýšení. Vzorec
(5.29) přejde na tvar:
0
41 41
n
nIIIn h h (5.30)
kde 41
nh je převýšení mezi body prvního a čtvrtého řezu na jiţní popř. severní straně
v n- té etapě (hodnoty jsou uvedeny v příloze III) a 0
41h rozdíl výšek týchţ bodů v základní
etapě.
Následnou aplikací vzorce (5.30) získáme vztahy pro výpočet relativního svislého
posunu III vůči šesté etapě pozorovaných bodů jiţní (J) a severní (S) strany v podélné lodi
chrámu:
16,15 15,25 25,35 35,36 36,46 16,15 15,25 25,35 35,36 36,46
0 0 0 0 0n n n n n
IIIJn h h h h h h h h h h (5.31)
15,25 25,35 35,36 36,46 46,45 15,25 25,35 35,36 35,46 46,45
0n n n n n n n n n
IIISn h h h h h h h h h h (5.32)
Hodnoty, které překročily mezní hodnotu (podkap. 6.3.3) jsou vyznačeny tučně
a v těchto případech byl relativní posun od šesté etapy prokázán.
Tab. 5.8 Přehled hodnot relativních svislých posunů III mezi body prvního a čtvrtého řezu
vztažených k šesté etapě
Etapa Datum Teplota
uvnitř
[°C]
Svislý posun III [mm]
15 - 45 S 16 - 46 J
6 23.01.2002 4 0,00 0,00
7 250.6.2002 22 0,53 0,37
8 30.01.2003 4 0,60 0,73
9 30.06.2003 23 0,67 0,47
10 06.05.2004 16 0,45 0,47
12 07.10.2004 17 0,22 0,46
15 28.04.2005 13 0,27 0,36
17 19.10.2005 14 0,22 0,53
18 03.07.2006 22,5 0,77 0,86
19 03.09.2007 19,5 0,13 0,20
20 08.11.2007 10 -0,13 0,23
21 22.04.2008 12 0,29 0,27
22 06.11.2008 12 0,12 0,24
23 20.04.2009 16 0,27 0,37
24 27.10.2009 14 0,31 0,60
25 03.05.2010 15 0,55 0,43
26 14.10.2010 13 0,33 0,52
- 57 -
6 PŘESNOST VYPOČTENÝCH VELIČIN
6.1 PŘESNOST URČOVÁNÍ NÁKLONŮ Z TRIGONOMETRICKÉ
METODY
Přesnost určení náklonů je závislá na přesnosti měření délek a vodorovných úhlů.
Přesnost těchto veličin závisí na chybě v dostředění přístroje a cíle, na chybě ve čtení
a v cílení a na přístrojových vadách [7].
Chyba v cílení a ve čtení nebude ve výpočtu uvaţována, protoţe všechny etapy byly
měřeny stejným měřičem, aby byl vliv těchto chyb minimální. Vliv dostředění cíle lze také
zanedbat vzhledem k tomu, ţe pozorované body byly na sloupech osazeny mosaznými
zděřemi a pro zachování stejné polohy znaků ve všech etapách byly znaky opatřeny číslem
a zašroubovány na doraz. Vliv některých přístrojových vad byl vyloučen měřením ve dvou
polohách dalekohledu.
Dostředění přístroje na stanovisku lze zanedbat vzhledem k tomu, ţe se v kaţdé etapě
přístroj centruje ve stejné poloze s přesností 0,4 mm [11]. Vliv přesnosti měřených délek
můţe být také zanedbán, protoţe ve všech etapách ve výpočtech byly pouţity stejné délky,
které byly měřeny s přesností 1 mm + 2ppm. Vliv přesnosti měřených úhlů nelze zanedbat.
Aby bylo moţné dokázat, ţe vliv chyby v dostředění přístroje na stanovisku
a přesnosti měření délek jsou velmi malé, bude směrodatná odchylka náklonů odvozena
s uváţením těchto chyb pro názorný výpočet velikosti jejich hodnot.
Výpočet přesnosti náklonů je odvozen ze základního tvaru vypočtu náklonů (6.1)
0 0n nq q q d tg d tg
(6.1)
kde ωn, ω0 jsou úhly vypočtené z rozdílu směrů, které byly měřené ze stanoviska
na horní a dolní bod v jednotlivých etapách a základní etapě měření a d se rovná průměrné
hodnotě vzdáleností mezi stanoviskem k hornímu a dolnímu bodu na sloupu, které byly
změřené pouze v základní etapě. Aplikací zákona hromadění náhodných odchylek přejdeme
ze základního tvaru na vztah:
00 2 2
0cos cos
nn
n
d dq d tg d tg
(6.2)
- 58 -
Ve vzorci (6.2) se zavede vliv chyby dostředění přístroje na stanovisku pro vodorovný
úhel, její vzorec je odvozen v [7]. Náhodná odchylka měřeného vodorovného úhlu je
vyjádřena vztahem:
2 sin2
eex
d
(6.3)
kde εe je náhodná odchylka dostředění přístroje (excentricita) na stanovisku a je
radián (1 radián 63,6620 gon ). Se zavedením vlivu excentricity stanoviska přejdeme
na vztah:
0 0 00 2
2 sin 2 sincos 2 2
n en n en
n
dq d tg tg
d d
(6.4)
kde εωn´, εω0´ je náhodná odchylka měřených úhlů v jednotlivých etapách a v základní
etapě, εen, εe0 je náhodná odchylka v dostředění přístroje pro jednotlivé etapy a v základní
etapě.
Aplikací zákona hromadění směrodatných odchylek přejdeme na vztah:
2 2 2
2 2 2 2 2
0 4 2 2
22 20 20 0
4 2 2
4 sincos 2
4 sincos 2
n en nn
n
e
n
dq d tg tg
d
d
d
(6.5)
Vzhledem k tomu, ţe úhly byly měřeny se stejnou přesností, tak platí, ţe σωn´ = σω0´
= σω , dále platí σen = σε0 = σe a vztah (6.5) můţeme zjednodušit. Hodnota vodorovného úhlu
je malá a nepřesahuje 1 gon, můţeme tedy v předchozí rovnici nahradit cos ω ≈ 1 a výsledný
vzorec přejde na tvar:
22
2 2 2 2 2
22 2 4 sin
2e
qq d d
d
(6.6)
kde první část vzorce vyjadřuje vliv přesnosti měření délek, druhá část vliv přesnosti
měření vodorovných úhlů a třetí část vzorce vliv dostředění přístroje na stanovisku.
- 59 -
Vliv přesnosti měřených délek d lze zanedbat, jelikoţ maximální hodnota
náklonů je cca 2 mm. Délky záměr jsou v rozmezí od 20 do 46 metrů, pokud uváţíme
průměrnou hodnotu délek 33 m, tak po dosazení do vzorce získáme vliv přesnosti délek
cca 66,1 10 m. Hodnota je velmi malá a tento vliv byl zanedbán.
Vliv přesnosti dostředění přístroje na stanovisku e lze zanedbat vzhledem
k tomu, ţe přesnost dostředění přístroje na stanovisku je přibliţně 0,4 mm a hodnoty
vodorovných úhlů nepřesahují hodnotu 1 gon, chyba v dostředění je cca 0,009 mm. Tento vliv
není potřeba u náklonů uvaţovat vzhledem k tomu, ţe hodnoty náklonů jsou řádově
v desetinách mm.
Vliv přesnosti měření vodorovných úhlů nelze zanedbat vzhledem k zanedbání
vlivu přesnosti měřených délek a dostředění přístroje na stanovisku. Směrodatná odchylka
náklonu závisí tedy pouze na přesnosti měření vodorovných úhlů, vztah (6.6) se zjednoduší
na tvar (6.7), dosaţené výsledky jsou uvedeny v tab. 6.1.
2q d
(6.7)
Dále byla vypočtena mezní hodnota náklonu podle vztahu (6.8). Dosaţené hodnoty
vodorovného náklonu jsou porovnány s touto mezní hodnotou. Pokud je mezní hodnota
překročena, tak je vodorovný náklon prokázán. V opačném případě není náklon prokázán, ale
ani vyloučen.
q pmet u q
(6.8)
kde up je koeficient spolehlivosti, který je roven 2 při hladině významnosti α = 5%.
Výpočet očekávaných hodnot směrodatné odchylky náklonu byl proveden
ze vzorce (6.7) a mezní hodnoty náklonů podle vzorce (6.8) se základní směrodatnou
odchylkou vodorovného úhlu 0,21 mgon (4.20) a dɸ je průměrná hodnota délek ze stanoviska.
- 60 -
Tab. 6.1 Hodnoty očekávaných směrodatných odchylek a mezní hodnoty náklonu
Řezy q mm qmet mm
1.řez 0,19 0,38
2.řez 0,12 0,24
3.řez (6. - 15. etapa) 0,20 0,40
3.řez (17. - 26. etapa) 0,14 0,27
4.řez 0,17 0,34
5.řez 0,10 0,19
6.řez 0,14 0,28
Výpočet dosažených hodnot směrodatné odchylky náklonu byl určen
pomocí výběrové směrodatné odchylky vodorovného úhlu určené v podkap 4.3.1, průměrná
hodnota pro podélnou loď je 0,15 mgon a příčnou loď 0,12 mgon, dɸ průměrné hodnoty délek
ze stanoviska. Výsledné hodnoty jsou uvedeny v tab. 6.2.
Tab. 6.2 Hodnoty dosažených směrodatných odchylek a mezní hodnoty náklonu
Porovnáním získaných hodnot je patrné, ţe dosaţená přesnost odpovídá očekávané
přesnosti měření. K prokázání svislého posunu vůči základní etapě budou pouţity mezní
rozdíly uvedené v tab. 6.2, protoţe tyto hodnoty byly zjištěny z etapového měření v katedrále
a jsou tedy více objektivní. Vypočtené hodnoty náklonů budou porovnány s mezní hodnotou.
V případě překročení mezní hodnoty bude náklon vhledem k základní etapě prokázán, v
opačném případě nebude prokázán, ale ani vyloučen. Hodnoty, které překročily mezní
hodnotu, jsou tučně zvýrazněny v tab. 5.1 a 7.1.
Řezy s q mm S qmet mm
1.řez 0,14 0,28
2.řez 0,09 0,18
3.řez (6. - 15. etapa) 0,15 0,30
3.řez (17. - 26. etapa) 0,10 0,20
4.řez 0,12 0,25
5.řez 0,06 0,12
6.řez 0,08 0,17
- 61 -
6.2 PŘESNOST URČOVÁNÍ RELATIVNÍCH SVISLÝCH POSUNŮ
Z TRIGONOMETRICKÉ METODY
Přesnost určení svislých posunů je závislá na přesnosti měření délek a zenitových
úhlů. Stejně jako u přesnosti náklonů vliv těchto veličin závisí na chybě v dostředění přístroje
a cíle, chybě ve čtení a v cílení a přístrojových vadách. Vliv těchto chyb je popsán
v podkap. 6.1. Rozdílem u přesností svislých posunů je, ţe vliv přesnosti dostředění přístroje
na stanovisku nelze zanedbat, protoţe tato chyba roste se strmostí záměry a hodnoty
zenitových úhlů jsou podstatně větší, neţ jak tomu bylo u vodorovných úhlů. [10]
6.2.1 Přesnost určení relativního svislého posunu pro dva body umístěné na jednom
sloupu
Základní vztah výpočtu svislých posunů pro body umístěných nad sebou je dán
vzorcem:
cot cot cot cotH n H n Dn Dn H o H o Do Dop d g d g d g d g
(6.9)
kde ,H n H od d jsou vodorovné vzdálenosti od stanoviska k hornímu bodu v n-té
a základní etapě a ,Dn Dod d jsou vodorovné vzdálenosti od stanoviska k dolnímu bodu
v jednotlivých etapách (6. - 26. etapa) a základní etapě (0. etapa).
,H n H o jsou zenitové úhly měřené ze stanoviska k hornímu bodu sloupu v n-té
a základní etapě ,Dn Do jsou zenitové úhly měřené ze stanoviska k dolnímu bodu sloupu
v jednotlivých etapách a základní etapě.
Vzhledem k tomu, ţe délky byly měřeny jen v základní etapě, lze vztah zjednodušit
na tvar:
cot cot cot cotH H n D Dn H H o D Dop d g d g d g d g (6.10)
cot cotH H H n H op d g g
(6.11)
cot cotD D Dn Dop d g g (6.12)
Po úpravě vztahu (6.10) získáme následující vzorec:
cot cot cot cotH H n H o D Dn Dop d g g d g g (6.13)
- 62 -
Aplikací zákona hromadění náhodných odchylek přejdeme na vztah:
2 2 2 2sin sin sin sin
H o H n Do DnH H D DH D
H H o H n D Do Dn
p d p dp d d
d d
(6.14)
Náhodná odchylka chyby z centrace na přesnost určení zenitového úhlu je vyjádřena
vztahem (6.15), který byl odvozen [13].
cos sineex
d
(6.15)
kde εe je náhodná odchylka způsobená dostředěním přístroje (excentricita)
na stanovisku a d je vodorovná délka.
Po dosazení do vztahu pro celkovou náhodnou odchylku zenitového úhlu získáme
následující vztahy, které jsou pak dosazeny do vzorce (6.14).
H n Hn nex
2 2 2
cos sin
sin sin sin
eHn Hn
H n Hn
H n H n H n
d
2cot
sin
Hn
en H n
H n
g
(6.16)
H o H o oex
2 2 2
cos sin
sin sin sin
eHo Ho
H o Ho
H o H o H o
d
2cot
sin
Ho
eo H o
H o
g
(6.17)
kde Hn , Ho je náhodná odchylka měřeného zenitového úhlu v n-té a základní
etapě a nex , oex je odchylka vlivu centrace v n-té a základní etapě.
- 63 -
Se zavedením vlivu excentricity stanoviska přejdeme na vztah:
2 2
2 2
cot cotsin sin
cot cotsin sin
Ho HnH H HH eo H o en H n
H H o H n
Do DnD D DD eo Do en Dn
D Do Dn
p d dp d g g
d
p d dd g g
d
(6.18)
Aplikací zákona hromadění směrodatných odchylek získáme výsledný tvar (6.19)
za předpokladu, ţe platí vztahy:
,
cot cot
Hn Ho Dn Do
Hn Dn Ho Do
eo n ee
H D
H D
H D
d d d
d d d
hg g
d
Aplikací zákona směrodatných odchylek získáme výsledný vztah:
2 2 22 2 22
2 2 4 4 2
1 12 2 2
sin sine
H D
p hp d d
d d
(6.19)
kde první část vzorce vyjadřuje vliv přesnosti měření délek, druhá část vliv přesnosti
měření zenitových úhlů a třetí část vzorce vliv dostředění přístroje na stanovisku.
Vliv přesnosti měřených délek ( d ) lze zanedbat stejně jako u přesnosti náklonů,
vzhledem k tomu, ţe maximální hodnota svislých posunů je cca 4 mm. Pokud uváţíme
průměrnou hodnotu délek 33 m, tak po dosazení do vzorce získáme vliv přesnosti délek
cca 0,0002 mm, tato hodnota je velmi malá a vliv lze zanedbat.
Vliv přesnosti dostředění přístroje na stanovisku ( e ) nelze zanedbat vzhledem
k tomu, ţe přesnost dostředění přístroje na stanovisku je přibliţně 0,4 mm a hodnota
převýšení mezi body kolem 15 m, chyba z dostředění se pak pohybuje kolem 0,3 mm, vliv
této chyby je nutné uvaţovat.
- 64 -
Vliv přesnosti měření zenitových úhlů ( ) nelze zanedbat a výsledný vzorec
směrodatné odchylky svislého posunu přejde na tvar:
2 22 2
2 4 4 2
1 12 2
sin sine
H D
hp d
d
(6.20)
Následně byla vypočtena mezní hodnota svislého posunu podle vztahu (6.21).
Dosaţené hodnoty svislého posunu jsou porovnány s touto mezní hodnotou. Pokud je mezní
hodnota překročena, tak je posun vůči základní etapě prokázán. V opačném případě není
posun prokázán, ale ani vyloučen.
p pmet u p (6.21)
kde up je koeficient spolehlivosti, který je roven 2 při hladině významnosti α = 5%.
Výpočet očekávaných hodnot směrodatné odchylky relativního svislého posunu
byl proveden podle vztahu (6.20) nejprve pro všechny etapy a následně pak byly
kvadratickým průměrem získány výsledné hodnoty pro jednotlivé řezy. Ve výpočtu byla
pouţita základní směrodatná odchylka zenitového úhlu 0,15 mgon (4.26) a směrodatnou
odchylkou v dostředění 0,4 mm.
Tab. 6.3 Hodnoty očekávaných směrodatných odchylek a mezní hodnoty relativního
svislého posunu v jednotkách mm.
Výpočet dosažených hodnot směrodatné odchylky relativního svislého posunu byl
proveden podle stejného vzorce s průměrnou hodnotou výběrové směrodatné odchylky
Řezy Stanovisko e p pmet
1.řez S1 0,21 0,21 0,29 0,59
2.řez S3 0,15 0,33 0,36 0,72
3.řez S4(6.-15.etapa) 0,22 0,20 0,29 0,59
3.řez S7(17.-26.etapa) 0,16 0,29 0,33 0,67
4.řez S1 0,19 0,23 0,29 0,59
5.řez S5 0,13 0,41 0,43 0,86
6.řez S6 0,16 0,29 0,33 0,66
- 65 -
zenitového úhlu pro podélnou loď 0,17 mgon a příčnou loď 0,12 mgon, které jsou vypočteny
v podkap. 4.3.2.
Tab. 6.4 Hodnoty dosažených směrodatných odchylek a mezní hodnoty relativního svislého
posunu v jednotkách mm.
Z výsledných hodnot je patrné, ţe v případě řezů 1 aţ 4 došlo k mírnému překročení
hodnot očekávané přesnosti směrodatných odchylek svislého posunu. Z toho důvodu bylo
provedeno testování výsledků pomocí nulové hypotézy (tzn. ţe výběrová směrodatná
odchylka odpovídá základní směrodatné odchylce), test byl proveden pomocí veličiny 2
vzorec (4.45). U ţádného řezu nedošlo k zamítnutí nulové hypotézy a dosaţená přesnost tedy
odpovídá očekávané přesnosti. Vypočtené hodnoty svislých posunů budou porovnány s mezní
hodnotou. Pro posouzení posunu budou pouţity mezní hodnoty dosaţené přesnosti, protoţe
byly zpracovány z velkého mnoţství dat a díky tomu lépe odpovídají situaci v chrámu.
V případě překročení mezní hodnoty bude relativní svislý posun vůči základní etapě
prokázán, v opačném případě nebude prokázán ale ani vyloučen. Hodnoty, které přesáhly
mezní hodnotu, jsou tučně zvýrazněné v tab. 5.2 a 7.2.
Tab. 6.5 Testování hodnot dosažené směrodatné odchylky relativního svislého posunu
v jednotkách mm.
Etapa Stanovisko p s p χ2 n-1 χ2a
1.řez S1 0,29 0,31 21,7 19 30,10
2.řez S3 0,36 0,37 16,9 16 26,30
3.řez S4(6. - 15. etapa) 0,29 0,31 6,9 6 12,60
3.řez S7(17. - 26.etapa) 0,33 0,34 9,6 9 16,90
4.řez S1 0,29 0,31 18,3 16 26,30
Řezy Stanovisko s es s p
S pmet
1.řez S1 0,23 0,21 0,31 0,62
2.řez S3 0,16 0,33 0,37 0,74
3.řez S4(6. – 15. etapa) 0,24 0,20 0,31 0,62
3.řez S7(17. - 26. etapa) 0,17 0,29 0,34 0,68
4.řez S1 0,21 0,23 0,31 0,61
5.řez S5 0,11 0,41 0,42 0,85
6.řez S6 0,13 0,29 0,32 0,64
- 66 -
6.2.2 Přesnost určení relativního svislého posunu II mezi dvěma body na sloupech
severní a jižní strany chrámu
Odvození směrodatné odchylky relativního svislého posunu II zvlášť pro horní a dolní
body dvou protilehlých sloupů na jiţní a severní straně je stejné jako v případě svislého
posunu I, ve vzorci (6.20) bylo pouze upraveno indexování.
222 2
2 4 4 2
1 12 2
sin sin
SJII e
S J
hp d
d
(6.22)
kde d je průměrná vzdálenost k daným bodům, J , S jsou zenitové úhly měřené
ze stanoviska k bodům sloupů na jiţní a severní straně, SJh je převýšení mezi body na severní
a jiţní straně.
První část vzorce vyjadřuje vliv přesnosti měření zenitových úhlů ( ), který
nelze zanedbat.
Druhá část vzorce vyjadřuje vliv přesnosti dostředění přístroje na stanovisku
( e ), který lze zanedbat vzhledem k tomu, ţe přesnost dostředění přístroje na stanovisku je
0,4 mm a převýšení mezi body na severní a jiţní straně je velmi malé.
Hodnoty očekávané přesnosti byly vypočteny podle vzorce (6.22) se základní
směrodatnou odchylkou zenitového úhlu 0,15 mgon.
Tab. 6.6 Hodnoty očekávaných směrodatných odchylek a mezních hodnot relativního svislého
posunu II v jednotkách mm.
Řezy Body e pII pIImet
1.řez 11-12 0,13 0,00 0,13 0,26
1.řez 13-14 0,16 0,00 0,16 0,32
2.řez 21-22 0,09 0,00 0,09 0,18
2.řez 23-24 0,13 0,00 0,13 0,26
3.řez (6. - 15. etapa) 31-32 0,14 0,00 0,14 0,28
3.řez (6. - 15. etapa) 33-34 0,16 0,00 0,16 0,32
3.řez (17. - 26. etapa) 31-32 0,10 0,00 0,10 0,20
3.řez (17. - 26. etapa) 33-34 0,13 0,00 0,13 0,26
4.řez 41-42 0,12 0,00 0,12 0,24
4.řez 43-44 0,13 0,00 0,13 0,26
5.řez 51-52 0,07 0,00 0,07 0,14
5.řez 53-54 0,11 0,00 0,11 0,22
6.řez 61-62 0,10 0,00 0,10 0,20
6.řez 63-64 0,13 0,00 0,13 0,26
- 67 -
Hodnoty dosažené přesnosti byly vypočteny pomocí výběrové směrodatné odchylky
zenitového úhlu pro podélnou loď 0,17 mgon a příčnou loď 0,12 mgon, které byly vypočteny
v podkap. 4.3.2. V některých případech byla překročena očekávaná přesnost stejně jako
u svislého posunu v podkap. 6.2.1. Vzhledem k tomu, ţe u relativního svislého posunu II
se vychází ze stejných hodnot jako u relativního svislého posunu dvou bodů na sloupu pouze
bez vlivu centrace, test nulové hypotézy nebyl znova opakován, nulová hypotéza by opět
nebyla zamítnuta.
Tab. 6.7 Hodnoty dosažených směrodatných odchylek a mezních hodnot relativního svislého
posunu II v jednotkách mm.
Řezy Body s es pIIs S pIImet
1.řez 11-12 0,15 0,00 0,15 0,30
1.řez 13-14 0,17 0,00 0,17 0,34
2.řez 21-22 0,10 0,00 0,10 0,20
2.řez 23-24 0,13 0,00 0,13 0,26
3.řez (6. - 15. etapa) 31-32 0,16 0,00 0,16 0,32
3.řez (6. - 15. etapa) 33-34 0,18 0,00 0,18 0,36
3.řez (17. - 26. etapa) 31-32 0,11 0,00 0,11 0,22
3.řez (17. - 26. etapa) 33-34 0,14 0,00 0,14 0,28
4.řez 41-42 0,13 0,00 0,13 0,26
4.řez 43-44 0,14 0,00 0,14 0,28
5.řez 51-52 0,06 0,00 0,06 0,12
5.řez 53-54 0,09 0,00 0,09 0,18
6.řez 61-62 0,08 0,00 0,08 0,16
6.řez 63-64 0,10 0,00 0,10 0,20
6.2.3 Přesnost určení relativního svislého posunu III
Odvození směrodatné odchylky bylo provedeno v podkap. 6.2.1, výsledný vzorec
(6.20), u vzorce bylo upraveno indexování pro svislý posun III.
222 2 2 411 4 2 4 4 2 2
1 4 1 4
1 12
sin sinIII e
hp d d
d d
(6.23)
kde 1 4,d d jsou vodorovné vzdálenosti k daným bodům, 4 , 1 jsou zenitové úhly
měřené ze stanoviska na body prvního a čtvrtého řezu, 41h je převýšení mezi body prvního
a čtvrtého řezu.
První část vzorce vyjadřuje vliv přesnosti měření zenitových úhlů ( ), který
nelze zanedbat.
- 68 -
Druhá část vzorce vyjadřuje vliv přesnosti dostředění přístroje na stanovisku
( e ), který lze zanedbat ze stejného důvodu uvedeného v předchozí podkap. 6.2.2.
Hodnoty očekávané a dosaţené přesnosti byly vypočteny z přesnosti obou řezů
kvadratickým průměrem. Na základě výsledných hodnot lze říci, ţe dosaţená přesnost lehce
překračuje přesnost očekávanou, nebyl proveden test ze stejného důvodu uvedeného
v podkap. 6.2.2.
Tab. 6.8 Hodnoty očekávaných směrodatných odchylek a mezních hodnot relativního
svislého posunu III v jednotkách mm.
Tab. 6.9 Hodnoty dosažených směrodatných odchylek a mezních hodnot relativního
svislého posunu III v jednotkách mm.
Řezy
Body e IIIp S pIIImet
41 11 - 41 0,26 0,00 0,26 0,52
41 12 - 42 0,26 0,00 0,26 0,52
Řezy Body s es IIIs p S pIIImet
41 11 - 41 0,28 0,00 0,28 0,56
41 12 - 42 0,28 0,00 0,28 0,56
- 69 -
6.3 PŘESNOST URČOVÁNÍ SVISLÝCH POSUNŮ Z METODY
PŘESNÉ NIVELACE
6.3.1 Přesnost určení svislého posunu pozorovaných bodů
Výpočet svislého posunu je pro kaţdý bod rozdílný, z toho plyne, ţe směrodatná
odchylka a mezní hodnota bude pro kaţdý bod odlišná.
Odvození směrodatné odchylky svislého posunu vychází ze vztahu:
0n
ij ijn h h (6.24)
kde n
ijh je převýšení mezi danými body v jednotlivých etapách a 0
ijh je převýšení mezi
body v základní etapě (6. etapa).
Aplikací zákona hromadění náhodných odchylek přejdeme na tvar:
0n
ij ijn h h (6.25)
A následně zavedením zákona hromadění směrodatných odchylek získáme vztah:
2 2 2 0n
ij ijn h h (6.26)
Za předpokladu, ţe převýšení ve všech etapách jsou určena se stejnou přesností, lze
vztah zjednodušit na tvar:
2n n h
(6.27)
kde n je počet nivelačních sestav a σhɸ směrodatná odchylka průměrného převýšení
v jedné nivelační sestavě.
Výsledné hodnoty směrodatných odchylek, které jsou uvedeny v tab. 6.10, se pohybují
v rozmezí od 0,1 mm aţ 0,3 mm. Lze konstatovat, ţe hodnota směrodatných odchylek
se úměrně zvětšuje s počtem nivelačních přestav.
- 70 -
Dále byla vypočtena mezní hodnota svislého posunu podle vzorce (6.28). Dosaţené
hodnoty svislého posunu jsou porovnány s touto mezní hodnotou. Pokud je mezní hodnota
překročena, tak je posun vůči šesté etapě prokázán.
n pmet u n
(6.28)
kde up koeficient spolehlivosti, který je roven 2 při hladině významnosti α = 5%.
Výpočet očekávaných hodnot přesnosti posunu z přesné nivelace byl proveden
pomocí základní směrodatné odchylky průměrného převýšení v 1 nivelační sestavě, která je
rovna 0,07 mm (4.38).
Tab. 6.10 Hodnoty očekávaných směrodatných odchylek a mezních hodnot svislého posunu.
Výpočet dosažených hodnot přesnosti posunu z přesné nivelace byl proveden
pomocí celkové výběrové směrodatné odchylky průměrného převýšení 0,05 mm uvedené
v podkap. 4.3.3.
Tab. 6.11 Hodnoty dosažených směrodatných odchylek a mezních hodnot svislého posunu
Bod 15 16 25 26 35 36 45 46
n 1 2 3 4 4 5 6 7
s n mm 0,07 0,10 0,12 0,14 0,14 0,16 0,17 0,19
s nmet mm 0,14 0,20 0,24 0,28 0,28 0,32 0,35 0,37
Z hodnot je patrné, ţe dosaţené přesnosti splňují očekávanou přesnost. K hodnocení
posunů byly pouţity mezní hodnoty výběrových směrodatných odchylek v tab. 6.11, protoţe
byly vypočteny z velkého souboru dat a jsou vhodnější pro hodnocení svislých posunů
v chrámu sv. Víta neţ očekávané hodnoty směrodatných odchylek. Vypočtené hodnoty
svislých posunů budou porovnány s mezní hodnotou. V případě překročení mezní hodnoty
Číslo bodu 15 16 25 26 35 36 45 46
n 1 2 3 4 4 5 6 7
n mm 0,10 0,14 0,17 0,20 0,20 0,22 0,24 0,26
nmet mm 0,20 0,28 0,34 0,40 0,40 0,44 0,48 0,52
- 71 -
bude posun prokázán, v opačném případě nebude prokázán, ale ani vyloučen. Hodnoty,
u kterých došlo k prokázání posunu, jsou zvýrazněny tučně v tab. 5.6.
6.3.2 Přesnost určení relativního svislého posunu II
Výpočet relativního svislého posunu II pro body na sloupech severní a jiţní strany
chrámu vychází ze základního vztahu:
0n
II sj sjn h h
(6.29)
kde n
sjh je převýšení mezi body umístěnými na sloupech severní a jiţní strany v n- té
etapě a 0
sjh je převýšení mezi týmiţ body v základní etapě.
Aplikací zákona hromadění náhodných odchylek přejdeme ze základního vztahu
(6.29) na tvar:
0n
II sj sjn h h
(6.30)
A následně zavedením zákona hromadění směrodatných odchylek získáme vztah:
2 2
2 0n
II sj sjn h h
(6.31)
2IIn h (6.32)
Očekávaná hodnota přesnosti posunu je 0,1 mm pro n=1 (tab. 6.10) a dosaţená
přesnost je 0,07 mm pro n=1 (tab. 6.11), přesnost měření byla tedy dodrţena. Byly vypočteny
mezní hodnoty relativního svislého posunu podle vztahu (6.28), mezní hodnota posunu pro
očekávanou přesnost je 0,20 mm a pro dosaţenou přesnost je 0,14 mm. Pro posouzení
svislého posunu byla pouţita mezní hodnota 0,14 mm, která byla určena z dosaţené přesnosti
relativního svislého posunu, ze stejného důvodu uvedeného v podkap. 6.3.1.
- 72 -
6.3.3 Přesnost určení relativního svislého posunu III mezi body prvního a čtvrtého
řezu v podélné lodi chrámu
Výpočet relativního svislého posunu III mezi body prvního a čtvrtého řezu na stejné
severní popř. jiţní straně vychází ze základního vztahu:
0
41 41
n
nIIIn h h (6.33)
kde 41
nh je převýšení mezi body na sloupech severní a jiţní strany v n- té etapě a 0
41h
je převýšení mezi body v základní etapě.
Aplikací zákona náhodných odchylek přejdeme ze základního vztahu na tvar:
16,15 15,25 25,35 35,36 36,46 16,15 15,25 25,35 35,36 36,46
0 0 0 0 0n n n n n
IIIJn h h h h h h h h h h
(6.34)
15,25 25,35 35,36 36,46 46,45 15,25 25,35 35,36 36,46 46,45
0 0 0 0 0n n n n n
IIISn h h h h h h h h h h
(6.35)
a následně zavedením zákona hromadění směrodatných odchylek získáme vztah:
10nIIIn h
(6.36)
Obecný tvar předchozího vzorce (6.36) má následující tvar:
2IIIn n h (6.37)
kde n je počet nivelačních sestav a σhɸ je směrodatná odchylka průměrného převýšení
v jedné nivelační sestavě.
Očekávaná hodnota přesnosti posunu je 0,22 mm pro n=5 (tab. 6.10) a dosaţená
přesnost je 0,16 mm pro n=5 (tab. 6.11), přesnost měření byla tedy dodrţena. Mezní hodnoty
byly vypočteny podle vztahu (6.28), kde mezní hodnota posunu pro očekávanou přesnost je
0,44 mm a pro dosaţenou přesnost 0,32 mm. Přesnost měření byla tedy splněna a k posouzení
posunu byla pouţita mezní hodnota 0,32 mm, která byla vypočtena z dosaţené přesnosti
posunu, ze stejného důvodu uvedeného výše v podkap. 6.3.1 a 6.3.2.
- 73 -
7 VYHODNOCENÍ POSUNŮ A NÁKLONŮ V KATEDRÁLE SV.
VÍTA
Po vyhodnocení přesnosti určovaných veličin a prokázání posunů porovnáním s mezní
hodnotou bude přistoupeno k vyhodnocení dosaţených hodnot vodorovného náklonu
a svislého posunu vypočtených v předchozí kapitole. V této části budou náklony a svislé
posuny určené z trigonometrické metody vztaţeny k šesté etapě, aby tyto hodnoty bylo moţné
porovnat s hodnotami posunů zjištěné metodou přesné nivelace.
7.1 VYHODNOCENÍ VODOROVNÝCH NÁKLONŮ URČENÝCH
Z TRIGONOMETRICKÉ METODY
Náklony jsou charakterizovány změnou příčné vzdálenosti mezi horním a dolním
bodem na daném sloupu pro jednotlivou etapu vzhledem k základní etapě. Dosaţené hodnoty
náklonu vztaţených k nulté etapě jsou uvedeny v tab. 5.1. Hodnoty náklonů v podélné lodi
vztaţených k šesté etapě jsou uvedeny v tab. 7.1, tučně jsou zvýrazněny prokázané náklony.
V příčné lodi se změny příčné vzdálenosti začaly měřit aţ od desáté etapy, tudíţ tuto etapu
povaţujeme zde za základní, viz tab. 5.1. Na základě odvození přesnosti náklonu bylo
zjištěno, ţe přesnost v určení příčné vzdálenosti je nejvíce ovlivněna přesností měření
vodorovných úhlů. Záporná hodnota náklonu znamená, ţe se pozorované části sloupu
naklánění směrem k ose chrámu a kladná hodnota představuje náklon sloupu od osy chrámu.
Podle dosaţených hodnot lze říci, ţe s rostoucí teplotou se sloupy naklánějí směrem od osy
chrámu, hodnoty posunů mají záporné znaménko. Naopak s poklesem teploty se některé
sloupy naklánějí směrem k ose chrámu a posuny mají kladné znaménko. Tento jev je
pravděpodobně způsoben reakcí opěrného sytému katedrály na rozdílné teploty během roku.
Závislost vodorovných náklonů na teplotě byla prokázána v diplomové práci [13], lze ji lépe
pozorovat u náklonu vztaţeného k nulté etapě (tab. 5.1). Z dosaţených hodnot bylo odhaleno,
ţe vodorovné náklony se nejvíce projevují u sloupů druhého řezu. Je to pravděpodobně
způsobeno tím, ţe se tyto sloupy nachází na úrovni Velké Věţe, (zobrazena na obr. 7.2). Její
konstrukce nejspíše ovlivňuje chování sloupů druhého řezu, zejména sloup na jiţní straně
chrámu. U tohoto sloupu byla nalezena nejvyšší hodnota vodorovného náklonu 3,10 mm
v deváté etapě změřené v červnu roku 2003.
- 74 -
Průběh hodnot vodorovného náklonu jiţního sloupu druhého řezu v jednotlivých
etapách je znázorněn na obr. 7.1 Grafické zobrazení náklonu u ostatních sloupů je uvedeno
v příloze V.
Tab. 7.1 Hodnoty vodorovného náklonu jednotlivých sloupů vztažených k šesté etapě
Etapa Datum Teplota
uvnitř
[°C]
Řez 1 Řez 2 Řez 3 Řez 4
11 - 13
[mm]
12 - 14
[mm]
21 - 23
[mm]
22 - 24
[mm]
31 - 33
[mm]
32 - 34
[mm]
41 - 43
[mm]
42 - 44
[mm]
6 23.01.2002 4 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00
7 25.06.2002 23 -0,36 -1,22 -2,19 -2,64 -0,69 -0,82 -1,34 -0,65
8 30.01.2003 4 0,62 0,34 0,02 0,12 -0,21 0,31 0,21 0,61
9 30.06.2003 23 -0,60 -1,25 -2,46 -3,10 -0,12 -1,11 -1,43 -0,97
10 06.05.2004 16 -0,54 -0,87 -1,33 -1,93 -0,29 -0,41 -0,82 -0,06
12 07.10.2004 17 0,42 -0,61 -0,96 -2,01 0,16 -0,24 -0,67 -0,23
15 28.04.2005 14 0,02 -0,87 -0,99 -1,65 0,28 -0,57 -0,26 0,10
17 19.10.2005 13 1,16 0,11 -0,63 -0,90 -0,07 -0,46 -0,18 0,50
18 03.07.2006 22 -0,06 -1,14 -2,02 -2,77 0,22 -1,54 -1,06 -0,57
19 03.09.2007 19,5 0,42 -0,33 -1,87 -2,01 -0,55 -0,89 -0,96 0,04
20 08.11.2007 10 0,75 0,38 -0,41 -0,45 0,11 -0,09 -0,33 0,67
21 22.04.2008 11,5 -0,05 -0,46 -1,06 -1,17 -0,12 -0,82 -0,28 0,31
22 06.11.2008 11,0 0,58 0,23 -0,81 -0,88 -0,22 -0,50 -0,34 0,31
23 20.4.2009 16,5 -0,04 -1,18 -1,28 -2,60 0,12 -1,55 -0,16 -0,32
24 27.10.2009 14 0,81 -0,22 -1,05 -0,69 -0,27 -0,14 -0,78 0,40
25 03.05.2010 15,5 -0,27 -1,30 -1,85 -1,65 -0,25 -1,43 -0,76 0,11
26 14.10.2010 13 1,06 -0,25 -0,60 -1,01 -0,09 -0,87 -0,47 0,15
Obr. 7.1 Hodnoty vodorovných náklonů sloupu druhého řezu na jižní straně chrámu
- 75 -
Obr. 7.2 Zobrazení konstrukce Velké Věže
7.2 VYHODNOCENÍ RELATIVNÍHO SVISLÉHO POSUNU
Z TRIGONOMETRICKÉ METODY
Relativní svislý posun zjištěný trigonometrickou metodou byl určen rozdílem změny
převýšení horního a dolního bodu daného sloupu v jednotlivých etapách vůči základní etapě.
Výsledné hodnoty změny převýšení vztaţené k nulté etapě jsou uvedeny v tab. 5.2. Hodnoty
relativních svislých posunů v podélné lodi v jednotlivých etapách budou vztaţeny k šesté
etapě (tab. 7.2), jako je tomu u svislých posunů určených metodou přesné nivelace. V tabulce
jsou tučně zvýrazněny prokázané hodnoty relativních svislých posunů vůči šesté etapě.
Pro příčnou loď zůstávají posuny vztaţeny k desáté etapě ze stejného důvodu uvedeného
výše. Na základě odvození přesnosti relativního svislého posunu se prokázalo, ţe hodnoty
posunu závisí na přesnosti dostředění přístroje na stanovisku a přesnosti měřených zenitových
úhlů. Z dosaţených výsledků bylo zjištěno, ţe hodnoty relativních svislých posunů mají
kladné znaménko v řezu 1 aţ 4 v podélné lodi a záporné znaménko v řezu 5 a 6 v příčné lodi
katedrály sv. Víta. Záporná hodnota znamená relativní pokles sloupu a kladná hodnota naopak
jeho relativní zdvih vzhledem k šesté etapě. Podle výsledků svislých posunů lze říci, ţe
dochází k relativnímu zdvihu pilířů u všech sloupů podélné lodi vzhledem k šesté etapě
a k relativnímu poklesu pilířů v příčné lodi chrámu od desáté etapy.
- 76 -
Maximální hodnota relativního zdvihu vůči šesté etapě byla zjištěna u sloupu třetího
řezu (pozorované body 31 - 33) 5,88 mm v 9. etapě zaměřené v červnu roku 2003. Grafické
znázornění posunů u třetího pilíře je na následujícím obr. 7.3. Hodnoty relativních svislých
posunů vůči šesté etapě u ostatních pilířů jsou zobrazeny v příloze V.
Tab. 7.2 Hodnoty relativního svislého posunu na jednotlivých sloupech vztažených k šesté
etapě
Etapa
Datum
Řez 1 Řez 2 Řez 3 Řez 4
Teplota
uvnitř
[°C]
11 - 13
[mm]
12 - 14
[mm]
21 - 23
[mm]
22 - 24
[mm]
31 - 33
[mm]
32 - 34
[mm]
41 - 43
[mm]
42 - 44
[mm]
6 23.01.2002 4 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0
7 25.06.2002 23 1,86 1,58 5,17 4,86 5,66 5,40 4,00 3,90
8 30.01.2003 4 -1,10 -1,48 2,23 1,52 1,89 1,36 1,64 1,31
9 30.06.2003 23 1,75 1,66 4,30 4,52 5,88 5,87 4,12 3,59
10 06.05.2004 16 0,39 0,34 3,55 3,53 4,47 3,87 3,29 2,78
12 07.10.2004 17 0,78 0,66 3,69 3,07 4,74 4,23 3,43 3,03
15 28.04.2005 14 0,66 0,83 2,88 2,66 3,58 3,16 2,59 2,25
17 19.10.2005 13 0,59 -0,27 4,60 3,83 3,49 2,44 3,38 2,41
18 03.07.2006 22 2,02 1,80 4,38 4,45 4,24 4,03 3,80 3,52
19 03.09.2007 19,5 1,30 1,40 3,67 4,35 3,98 3,76 3,26 3,45
20 08.11.2007 10 -0,35 -0,56 2,31 2,07 1,68 0,64 1,78 1,68
21 22.04.2008 11,5 0,01 -0,08 2,69 2,58 2,39 1,89 2,22 1,94
22 06.11.2008 11,0 0,09 -0,05 3,02 2,22 1,91 1,04 2,16 1,87
23 20.04.2009 16,5 0,97 0,42 3,88 3,43 3,47 2,43 3,48 2,97
24 27.10.2009 14 -0,04 -0,61 3,73 2,76 2,76 1,74 3,09 2,09
25 03.05.2010 15,5 1,36 0,82 3,96 3,49 3,60 3,03 3,47 2,84
26 14.10.2010 13 0,12 -0,48 3,86 3,29 3,50 2,46 2,98 2,76
Obr. 7.3 Hodnoty relativního svislého posunu sloupů třetího řezu v podélné lodi chrámu
- 77 -
Relativní svislý posun II byl zjištěn změnou převýšení mezi dvěma body na sloupech
severní a jiţní strany chrámu pro jednotlivé etapy vzhledem k základní etapě. Hodnoty
relativního svislého posunu jsou uvedeny v tab. 5.3. Dosaţené hodnoty posunu budou také
vztaţeny k šesté etapě (tab. 7.3), tučně jsou zvýrazněny prokázané posuny vůči této etapě.
Po vyhodnocení přesnosti relativního svislého posunu se ukázalo, ţe relativní posun dvou
dolních popř. dvou horních bodů umístěných jednotlivě na protilehlých sloupech nezávisí
na vlivu dostředění přístroje, ale pouze na přesnosti měření zenitových úhlů. Důvodem je
malé převýšení mezi danými body. Podle výsledných hodnot změny převýšení pozorovaných
bodů lze konstatovat, ţe dochází k posunům sloupů vůči sobě v jednotlivých řezech.
Na základě posouzení relativního svislého posunu v průběhu celého etapového měření bylo
zaznamenáno, ţe dochází k největším posunům vůči šesté etapě u sloupů třetího řezu,
u kterých byla také zjištěna maximální hodnota posunu -1,70 mm ve 23. etapě změřené
v dubnu v roce 2009. Grafické znázornění sloupů třetího řezu je na následujícím obr. 7.4.
Ostatní řezy jsou zobrazeny v příloze V.
Tab. 7.3 Hodnoty relativního svislého posunu II vztažených k šesté etapě.
Etapa Datum Řez 1 Řez 2 Řez 3 Řez 4
11 - 12
[mm]
13 - 14
[mm]
21 - 22
[mm]
23 - 24
[mm]
31 - 32
[mm]
33 - 34
[mm]
41 - 42
[mm]
43 - 44
[mm]
6 23.01.2002 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00
7 25.06.2002 0,19 0,07 0,09 -0,23 0,08 -0,19 -0,15 -0,24
8 30.01.2003 0,36 0,09 -0,03 -0,74 -0,43 -0,97 0,28 -0,05
9 30.06.2003 0,28 0,06 -0,03 0,19 -0,07 -0,08 0,05 -0,48
10 06.05.2004 0,18 0,25 -0,03 -0,05 -0,24 -0,83 0,03 -0,48
12 07.10.2004 0,19 0,19 0,03 -0,58 0,21 -0,30 0,08 -0,32
15 28.04.2005 0,13 0,41 0,24 0,03 -0,02 -0,44 -0,12 -0,46
17 19.10.2005 0,34 -0,41 0,16 -0,60 -0,04 -1,09 0,13 -0,84
18 03.07.2006 0,35 0,24 0,20 0,28 0,14 -0,07 -0,02 -0,29
19 03.09.2007 0,48 0,70 0,16 0,84 -0,26 -0,48 -0,29 -0,10
20 08.11.2007 0,27 0,18 0,18 -0,06 -0,12 -1,16 -0,08 -0,18
21 22.04.2008 0,44 0,47 0,22 0,11 -0,47 -0,97 0,03 -0,25
22 06.11.2008 0,35 0,47 0,33 -0,47 -0,34 -1,21 0,29 0,01
23 20.04.2009 0,43 -0,01 0,11 -0,34 -0,66 -1,70 0,05 -0,46
24 27.10.2009 0,59 0,14 0,34 -0,63 -0,58 -1,60 0,16 -0,84
25 03.05.2010 0,49 0,06 0,35 -0,12 -0,68 -1,26 0,10 -0,53
26 14.10.2010 0,41 -0,08 0,29 -0,29 -0,35 -1,39 0,17 -0,05
- 78 -
Obr. 7.4 Hodnoty relativního svislého posunu pro dolní a horní body sloupu třetího řezu
V případě relativního svislého posunu III byla určena změna převýšení mezi body
prvního a čtvrtého řezu umístěnými na stejné severní popř. jiţní straně podélné lodi chrámu
v jednotlivých etapách vztaţených k základní etapě měření. Výsledné hodnoty jsou uvedeny
v tab. 5.4. Hodnoty relativního svislého posunu mezi body prvního a čtvrtého řezu byly také
vztaţeny k šesté etapě, výsledky jsou uvedeny v tab. 7.4. Z odvození přesnosti tohoto svislého
posunu bylo zjištěno, ţe přesnost závisí pouze na přesnosti měření zenitových úhlu, ale není
ovlivněna přesností dostředění přístroje. Důvodem je malé převýšení mezi pozorovanými
body. Z dosaţených hodnot je patrné, ţe dochází k relativnímu svislému posunu severní
strany vůči šesté etapě (body 11-41), na jiţní straně (body 12-42) nebyl posun prokázán
(kromě 8. etapy), graficky znázorněno na obr. 7.5.
Obr. 7.5 Hodnoty relativního svislého posunu III mezi body prvního a čtvrtého řezu
- 79 -
Tab. 7.4 Hodnoty svislého posunu III vztažené k šesté etapě.
Etapa
Datum
Svislý posun III [mm]
11 - 41 S
[mm]
12 - 42 J
[mm]
6 23.01.2002 0,00 0,00
7 25.06.2002 0,59 0,25
8 30.01.2003 0,87 0,78
9 30.06.2003 0,48 0,26
10 06.05.2004 0,56 0,41
12 07.10.2004 0,41 0,30
15 28.04.2005 0,64 0,39
17 19.10.2005 0,77 0,56
18 03.07.2006 0,90 0,53
19 03.09.2007 0,80 0,02
20 08.11.2007 0,80 0,44
21 22.04.2008 0,80 0,44
22 06.11.2008 0,59 0,53
23 20.04.2009 0,62 0,24
24 27.10.2009 0,70 0,27
25 03.05.2010 0,73 0,34
26 14.10.2010 0,67 0,43
Na základě výsledných hodnot relativního svislého posunu lze říci, ţe dochází
ke zdvihu pilířů v podélné lodi vůči šesté etapě a k poklesu pilířů v příčné lodi chrámu
vzhledem k desáté etapě. Dále bylo odhaleno, ţe se nejvíce od šesté etapy posouvají pilíře
třetího řezu (relativní svislý posun II: prokázáno nejvíce hodnot posunu u daných sloupů).
Maximální hodnota relativního svislého posunu -1,70 mm byla zjištěna ve 23. etapě u sloupů
třetího řezu. Následně bylo odhaleno, ţe se vzájemně svisle posouvají vůči šesté etapě gotická
a neogotická část chrámu na severní straně (relativní svislý posun III: prokázání posunu mezi
body prvního a čtvrtého řezu). Body prvního řezu se nacházejí v neogotické části chrámu
a body čtvrtého řezu v gotické části chrámu, zobrazeno na obr. 7.6. Největší hodnoty
relativního svislého posunu u sloupu třetího řezu je pravděpodobně způsoben posunem
gotické a neogotické části chrámu.
- 80 -
Obr. 7.6 Situační schéma v chrámu sv. Víta
- 81 -
7.3 VYHODNOCENÍ SVISLÉHO POSUNU Z METODY PŘESNÉ
NIVELACE
U svislého posunu sledovaného metodou přesné nivelace byla zjišťována změna výšky
bodu osazeného při patě sloupu v jednotlivých etapách vůči základní etapě. Výsledné hodnoty
posunů jsou zobrazeny v tab. 5.6. Výpočet výšky je pro kaţdý bod rozdílný, jelikoţ výšky
byly určeny součtem příslušných převýšení k danému bodu, díky tomu je pak přesnost
svislého posunu kaţdého bodu charakterizována odlišnou směrodatnou odchylkou měřeného
převýšení.
Z uvedených hodnot je zřejmé, ţe do dubna roku 2008 hodnoty posunů u bodů 15, 16,
25, 26 a 36 jsou se záporným znaménkem a naproti tomu body 35, 45 a 46 mají znaménko
kladné. Od listopadu roku 2008 jsou hodnoty svislého posunu s kladným znaménkem u všech
pozorovaných bodů kromě bodu 25, u kterého se kladné znaménko projevilo aţ v poslední
měřické etapě. Stejně jako u trigonometrické metody, znaménko mínus představuje pokles
opěrného pilíře a znaménko plus naopak jeho zdvih vůči šesté etapě. Nejvíce prokázaných
hodnot posunů je u bodu 25, coţ pravděpodobně souvisí s polohou daného sloupu v chrámu.
Na základě hodnot lze říci, ţe v posledních letech dochází ke zdvihu pilířů vůči šesté etapě jak
v gotické (body 35, 36, 45, 46) tak v neogotické části (body 15, 16, 26) chrámu sv. Víta.
Výjimkou je pouze bod 25, u kterého se zdvih projevil aţ v poslední změřené etapě
v roce 2010. Hodnoty posunů u sloupů druhého řezu jsou zobrazeny na obr. 7.7, grafické
zobrazení ostatních bodů je uvedeno v příloze V.
Obr. 7.7 Hodnoty svislého posunu sloupů druhého řezu na severní (bod 25) a jižní (bod 26)
straně
- 82 -
Relativní svislý posun II byl vypočten z rozdílu výšek dvou bodů umístěných
na protilehlých sloupech stejného pilíře v daných etapách vzhledem k základní etapě měření.
Přehled hodnot je zobrazen v tab. 5.7. Na základě odvození přesnosti posunu mezi dvěma
body protilehlých sloupů bylo zjištěno, ţe přesnost určení posunu závisí na přesnosti
měřeného převýšení mezi danými body. Podle zjištěných hodnot relativního svislého posunu
vůči šesté etapě lze říci, ţe se sloupy severní a jiţní části chrámu vůči sobě svisle posouvají.
Nejvíce je relativními svislými posuny vůči šesté etapě zatíţen bod 25 druhého řezu a bod 46
čtvrtého řezu, u bodu 25 byla zároveň zjištěna maximální hodnota posunu 0,69 mm ve 25.
etapě změřené 3. 5. 2010. Průběh posunů u pilíře 2 je zobrazen na obr. 7.8, grafy ostatních
pilířů jsou uvedeny v příloze V.
Obr. 7.8 Hodnoty relativního svislého posunu II sloupů druhého řezu
V případě relativního svislého posunu III byla vypočtena změna výšky mezi body
prvního a čtvrtého řezu umístěnými na stejné severní popř. jiţní straně v podélné lodi chrámu
pro jednotlivé etapy vztaţené k základní etapě měření. Z dosaţených hodnot je patrné,
ţe dochází k relativnímu svislému posunu na severní i jiţní straně mezi první řezem
v neogotické části chrámu a čtvrtým řezem v gotické části chrámu vůči šesté etapě, graficky
znázorněno na obr. 7.9.
- 83 -
Obr. 7.9 Porovnání relativního svislého posunu III mezi 1. a 4. sloupem severní a jižní strany
chrámu
Bylo zjištěno, ţe v posledních letech (od roku 2008) dochází ke zdvihu pilířů
v neogotické i gotické části chrámu vůči šesté etapě, kromě bodu 25 druhého řezu. Atypické
chování tohoto bodu můţe být způsobeno tím, ţe se nachází na úrovni Velké Věţe. Její
konstrukce je vystavěna přímému slunečnímu záření a je moţné, ţe ovlivňuje chování tohoto
bodu, viz obr. 7.2. Dále porovnáním změn převýšení mezi dvěma body na sloupech severní
a jiţní strany (relativní svislý posun II) pro jednotlivé etapy vůči šesté etapě bylo zjištěno,
ţe k největším posunům dochází u bodu 25 druhého řezu a bodu 46 čtvrtého řezu. Dále byl
odhalen vzájemný posun gotické a neogotické části chrámu na severní a jiţní straně chrámu
(relativní svislý posun III: prokázání relativního posunu mezi body prvního a čtvrtého řezu
vůči šesté etapě). Body prvního řezu se nacházejí v neogotické části a body čtvrtého řezu
v gotické části chrámu, zobrazeno na obr. 7.6.
- 84 -
7.4 POROVNÁNÍ SVISLÉHO POSUNU URČENÉHO ZE DVOU
GEODETICKÝCH METOD
Následně po vyhodnocení svislých posunů pomocí obou geodetických metod, budou
v poslední podkapitole diplomové práce porovnány výsledky obou pouţitých metod
pro sledování svislých posunů v chrámu Sv. Víta.
7.4.1 Porovnání relativního posunu z trigonometrické metody a absolutního posunu
zjištěného přesnou nivelací
Na základě vyhodnocení relativního svislého posunu mezi horním a dolním
pozorovaným bodem na jednom sloupu trigonometrickou metodou bylo určeno, ţe dochází
ke zdvihu pilířů v podélné lodi. V tomto případě mluvíme o zdvihu či poklesu sloupu jako
celku vůči šesté etapě, není ale moţné říci, jakým způsobem se pohybují jednotlivé body
na daném sloupu. Je klidně moţné, ţe se kaţdý bod na sloupu pohybuje opačným směrem
s tím, ţe jeden z bodů se posouvá více. Z tohoto důvodu pak znaménko celkového posunu je
dáno posunem bodu, který dosahuje větší hodnoty.
Podle hodnot svislého posunu jednoho bodu na sloupu (osazen při patě sloupu)
určeného metodou přesné nivelace bylo zjištěno, ţe v posledních letech (od roku 2008)
dochází ke zdvihu pilířů vzhledem k šesté etapě v neogotické i gotické části chrámu.
Výjimkou je pouze sloup (bod 25) druhého pilíře, u kterého se kladné znaménko objevilo
v poslední měřické etapě. Hodnoty posunů v jednotkách mm jednotlivých metod jsou vedle
sebe zobrazeny v tab. 7.4 (kaţdý řez má dva sloupce, vlevo jsou trigonometricky určené svislé
posuny a vpravo nivelační posuny).
Podle výsledných hodnot obou metod bylo shodně určeno, ţe dochází ke zdvihu pilířů
vzhledem k šesté etapě. Samotné hodnoty svislých posunů mezi sebou ale nelze porovnávat,
vzhledem k tomu, ţe u trigonometrické metody je posun hodnocen relativním posunem dvou
bodů na sloupu a u metody přesné nivelace je svislý posun hodnocen posunem jednoho bodu
na sloupu vůči šesté etapě. Větší citlivost pro určení posunů metodou přesné nivelace lze
pozorovat na základě hodnot uvedených v tab. 7.5 a také na tendenci grafů uvedených
v příloze V. Metodu přesné nivelace lze tedy povaţovat za vhodnější pro stanovení sedání či
klesaní sloupů v chrámu sv. Víta.
- 85 -
Tab. 7.5 Hodnoty relativního svislého posunu pro dva body na sloupu z trigonometrie
a hodnoty svislého posunu bodů na jednotlivých sloupech z nivelace.
Severní strana chrámu
Jižní strana chrámu
Etapa Datum Teplota
uvnitř
[°C]
Řez 1 Řez 2 Řez 3 Řez 4
12 - 14 16 22 - 24 26 32 - 34 36 42 - 44 46
6 23.1.2002 4 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00
7 25.6.2002 22 1,58 -0,35 4,86 -0,54 5,40 -0,18 3,90 0,02
8 30.1.2003 4 -1,48 0,00 1,52 0,02 1,36 0,35 1,31 0,73
9 30.6.2003 23 1,66 -0,33 4,52 -0,10 5,87 0,03 3,59 0,14
10 6.5.2004 16 0,34 0,05 3,53 -0,12 3,87 0,13 2,78 0,52
12 7.10.2004 17 0,66 -0,05 3,07 -0,15 4,23 0,21 3,03 0,41
15 28.4.2005 13 0,83 -0,51 2,66 -0,57 3,16 -0,66 2,25 -0,15
17 19.10.2005 14 -0,27 -0,06 3,83 -0,12 2,44 0,17 2,41 0,47
18 3.7.2006 22,5 1,80 -0,10 4,45 -0,12 4,03 0,04 3,52 0,75
19 3.9.2007 19,5 1,40 0,02 4,35 -0,21 3,76 -0,25 3,45 0,22
20 8.11.2007 10 -0,56 0,30 2,07 0,11 0,64 0,00 1,68 0,52
21 22.4.2008 12 -0,08 -0,03 2,58 -0,25 1,89 -0,55 1,94 0,25
22 6.11.2008 12 -0,05 0,83 2,22 0,59 1,04 0,56 1,87 1,07
23 20.4.2009 16 0,42 0,34 3,43 0,12 2,43 -0,30 2,97 0,71
24 27.10.2009 14 -0,61 0,34 2,76 0,14 1,74 0,23 2,09 0,94
25 3.5.2010 15 0,82 0,85 3,49 0,42 3,03 0,24 2,84 1,28
26 14.10.2010 13 -0,48 1,01 3,29 0,74 2,46 0,51 2,76 1,53
Etapa Datum Teplota
uvnitř
[°C]
Řez 1 Řez 2 Řez 3 Řez 4
11 - 13 15 21 - 23 25 31 - 33 35 41 - 43 45
6 23.1.2002 4 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00
7 25.6.2002 22 1,86 -0,43 5,17 -0,65 5,66 -0,21 4,00 0,10
8 30.1.2003 4 -1,10 -0,15 2,23 -0,11 1,89 0,59 1,64 0,45
9 30.6.2003 23 1,75 -0,46 4,30 -0,38 5,88 0,21 4,12 0,20
10 6.5.2004 16 0,39 -0,13 3,55 -0,42 4,47 0,40 3,29 0,32
12 7.10.2004 17 0,78 -0,09 3,69 -0,39 4,74 0,09 3,43 0,13
15 28.4.2005 13 0,66 -0,59 2,88 -0,97 3,58 -0,45 2,59 -0,32
17 19.10.2005 14 0,59 -0,03 4,60 -0,44 3,49 0,17 3,38 0,19
18 3.7.2006 22,5 2,02 -0,08 4,38 -0,45 4,24 -0,04 3,80 0,69
19 3.9.2007 19,5 1,30 -0,13 3,67 -0,55 3,98 -0,12 3,26 0,00
20 8.11.2007 10 -0,35 0,29 2,31 -0,27 1,68 0,03 1,78 0,16
21 22.4.2008 12 0,01 -0,27 2,69 -0,88 2,39 -0,12 2,22 0,02
22 6.11.2008 12 0,09 0,69 3,02 0,22 1,91 0,72 2,16 0,80
23 20.4.2009 16 0,97 0,16 3,88 -0,40 3,47 0,23 3,48 0,43
24 27.10.2009 14 -0,04 0,23 3,73 -0,33 2,76 0,37 3,09 0,54
25 3.5.2010 15 1,36 0,39 3,96 -0,27 3,60 0,81 3,47 0,94
26 14.10.2010 13 0,12 0,74 3,86 0,26 3,50 0,96 2,98 1,07
- 86 -
7.4.2 Porovnání relativního svislého posunu II mezi oběma geodetickými metodami
Na základě posouzení svislého posunu mezi dolními pozorovanými body jiţní
a severní strany bylo oběma metodami zjištěno, ţe dochází k vzájemnému relativnímu posunu
pilířů všech řezů vzhledem k šesté etapě. Výjimkou je čtvrtý řez, kde byl posun prokázán
spíše jen metodou přesné nivelace.
Hodnoty jednotlivých metod jsou vedle sebe zobrazeny v tab. 7.6 (v kaţdé oddělené
části jsou dva sloupce, vlevo jsou nivelační svislé posuny a vpravo posuny určené
trigonometrickou metodou). V tab. 7.6 jsou tučně zvýrazněny prokázané relativní svislé
posuny vůči šesté etapě.
Tab. 7.6 Hodnoty relativního svislého posunu II mezi dvěma body na severní a jižní straně
chrámu
Etapa Datum Teplota
uvnitř
Svislý posun II [mm]
[°C] Řez 1 Řez 2 Řez 3 Řez 4
15 - 16 11 - 12 25 - 26 21 - 22 35 - 36 31 - 32 45 - 46 41 - 42
6 23.1.2002 4 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00
7 25.6.2002 22 0,08 0,19 0,12 0,09 0,02 0,08 -0,08 -0,15
8 30.1.2003 4 0,15 0,36 0,13 -0,03 -0,24 -0,43 0,28 0,28
9 30.6.2003 23 0,13 0,28 0,28 -0,03 -0,18 -0,07 -0,06 0,05
10 6.5.2004 16 0,19 0,18 0,29 -0,03 -0,27 -0,24 0,2 0,03
12 7.10.2004 17 0,04 0,19 0,24 0,03 0,12 0,21 0,29 0,08
15 28.4.2005 13 0,08 0,13 0,4 0,24 -0,21 -0,02 0,17 -0,12
17 19.10.2005 14 -0,03 0,34 0,33 0,16 0,00 -0,04 0,28 0,13
18 3.7.2006 22,5 -0,02 0,35 0,33 0,2 0,08 0,14 0,06 -0,02
19 3.9.2007 19,5 0,15 0,48 0,33 0,16 -0,13 -0,26 0,22 -0,29
20 8.11.2007 10 0,01 0,27 0,38 0,18 -0,03 -0,12 0,36 -0,08
21 22.4.2008 12 0,25 0,44 0,63 0,22 -0,44 -0,47 0,23 0,03
22 6.11.2008 12 0,14 0,35 0,37 0,33 -0,16 -0,34 0,27 0,29
23 20.4.2009 16 0,17 0,43 0,52 0,11 -0,53 -0,66 0,28 0,05
24 27.10.2009 14 0,12 0,59 0,47 0,34 -0,13 -0,58 0,41 0,16
25 3.5.2010 15 0,46 0,49 0,69 0,35 -0,57 -0,68 0,34 0,10
26 14.10.2010 13 0,26 0,41 0,48 0,29 -0,45 -0,35 0,46 0,17
- 87 -
Pro dané pilíře se vypočte rozdíl relativních svislých posunů mezi geodetickými
metodami, které jsou zobrazeny v tab. 7.7 podle vzorce (7.1).
i II IIn p (7.1)
kde i je rozdíl posunů mezi geodetickými metodami, IIp je svislý posun určen
z trigonometrické metody a IIn je svislý posun určen pomocí metody přesné nivelace.
Tab. 7.7 Rozdíly hodnot svislého posunu II pro dané pilíře určený mezi dvěma geodetickými
metodami
Etapa Datum Teplota
uvnitř
[°C]
Rozdíl hodnot svislého posunu II mm
15,16
1 11,12 25,26
2 21,22 35,36
3 31,32 45,46
4 41,42
6 23.1.2002 4 0,00 0,00 0,00 0,00
7 25.6.2002 22 -0,11 0,03 -0,05 0,07
8 30.1.2003 4 -0,22 0,16 0,20 0,00
9 30.6.2003 23 -0,15 0,31 -0,10 -0,12
10 06.05.2004 16 0,00 0,33 -0,04 0,18
12 07.10.2004 17 -0,15 0,21 -0,09 0,20
15 28.04.2005 13 -0,05 0,15 -0,19 0,29
17 19.10.2005 14 -0,37 0,16 0,04 0,15
18 03.07.2006 22,5 -0,37 0,12 -0,06 0,08
19 03.09.2007 19,5 -0,33 0,18 0,13 0,52
20 08.11.2007 10 -0,27 0,20 0,09 0,44
21 22.04.2008 12 -0,19 0,41 0,04 0,20
22 06.11.2008 12 -0,21 0,04 0,18 -0,03
23 20.04.2009 16 -0,26 0,42 0,12 0,23
24 27.10.2009 14 -0,48 0,13 0,45 0,25
25 03.05.2010 15 -0,03 0,34 0,11 0,24
26 14.10.2010 13 -0,15 0,19 -0,10 0,29
Dalo by se předpokládat, ţe hodnoty posunů budou mít přibliţně stejné hodnoty
z obou geodetických metod, v tab. 7.7 lze pozorovat, ţe tomu tak není. Rozdílné hodnoty
posunů vyplývají z rozdílné přesnosti měřených veličin kaţdé metody. Vzhledem k tomu,
ţe veličiny mají odlišné směrodatné odchylky, tak mezní hodnoty pro posouzení relativního
svislého posunu jsou také rozdílné (viz níţe) a z tohoto důvodu se liší i hodnoty relativních
posunů od šesté etapy.
- 88 -
U metody přesné nivelace byl relativní posun ve všech řezech prokázán při překročení
mezní hodnoty 0,14 mm. U trigonometrické metody byl prokázán posun v prvním řezu
při překročení mezní hodnoty 0,30 mm, ve druhém řezu 0,20 mm, ve třetím řezu 0,32 mm
(do patnácté etapy), 0,22 mm ve třetím řezu (od sedmnácté etapy) a ve čtvrtém řezu
při přesaţení mezní hodnoty 0,26 mm.
Rozdíl mezi mezními hodnotami daných metod pro první řez je 0,16 mm, pro druhý
řez je 0,06 mm, pro třetí řez je 0,18 mm (do patnácté etapy), třetí řez (od sedmnácté etapy) je
0,08 mm a pro čtvrtý řez 0,12 mm.
V ideálním případě by se rozdíly relativních svislých posunů z obou geodetických
metod rovnaly rozdílům jejich mezních hodnot. Vzhledem k tomu, ţe jsou měřené veličiny
zjištěny odlišnými přístroji a ovlivněny jinými systematickými a náhodnými měřickými
chybami, dosaţené rozdíly se mezním hodnotám zcela nerovnají. Je tedy potřeba zhodnotit,
zda si hodnoty vzájemně odpovídají. Pro posouzení přesnosti je vypočtena mezní hodnota
rozdílu posunů pro obě metody podle vzorce:
cII p IImet u c (7.2)
kde cIImet je mezní rozdíl svislých posunů II, pu je koeficient spolehlivosti, který byl
zvolen 2 a IIc je směrodatná odchylka určena z rozdílu posunů obou metod, která byla
vypočtena podle vztahu (7.3). Dosaţené hodnoty jsou uvedeny v tab. 7.8.
2 2
II II IIc n p (7.3)
kde IIn je směrodatná odchylka metody přesné nivelace, IIp je směrodatná
odchylka určená z trigonometrické metody a IIc je celková směrodatná odchylka rozdílu
obou metod.
Tab. 7.8 Mezní hodnoty a směrodatné odchylky relativních svislých posunů II
v jednotkách mm jednotlivých řezů
Řezy IIp IIn IIc cIImet
1.řez 0,15 0,07 0,17 0,34
2.řez 0,10 0,07 0,12 0,22
3.řez (6. – 15. etapa) 0,16 0,07 0,17 0,34
3.řez (17. - 26. etapa) 0,11 0,07 0,13 0,26
4.řez 0,13 0,07 0,15 0,30
- 89 -
Rozdíly hodnot relativních svislých posunů vypočtené z obou metod (tab. 7.7) byly
porovnány s mezním rozdílem (tab. 7.8). Hodnoty, které překročily mezní hodnotu rozdílu,
byly v tab. 7.7 vyznačeny červeně. Důvodem překročení mezní hodnoty můţe být vliv
systematických a náhodných chyb daných metod, které se v rozdílech posunů mohou projevit
současně. Na základě porovnání hodnot rozdílů posunů s mezním rozdílem lze konstatovat,
ţe většina hodnot si vzájemně odpovídá. Dosaţené rozdíly posunů (tab. 7.7) jsou znázorněny
v příloze V.
7.4.3 Porovnání relativního svislého posunu III obou geodetických metod
Podle dosaţených hodnot obou metod je patrné, ţe dochází k relativnímu svislému
posunu mezi pozorovanými body prvního řezu v neogotické části chrámu a čtvrtého řezu
v gotické části chrámu.
Hodnoty relativních svislých posunů III z obou geodetických metod vztaţených
k šesté etapě jsou uvedeny v následující tab. 7.9 (v kaţdé části jsou dva sloupce tučně
oddělené, vlevo jsou posuny určené trigonometrickou metodou a vpravo nivelační svislé
posuny). Tučně jsou zvýrazněny prokázané hodnoty posunů vzhledem k šesté etapě. Grafické
znázornění posunů je uvedeno v příloze V.
Tab. 7.9 Hodnoty relativního svislého posunu III mezi dvěma body prvního a čtvrtého řezu
umístěných na severní popř. jižní straně.
Etapa Datum Teplota
uvnitř
[°C]
Svislý posun III [mm]
11 - 41 S 15 - 45 S 12 - 42 J 16 - 46 J
6 23.01.2002 4 0,00 0,00 0,00 0,00
7 25.06.2002 22 0,59 0,53 0,25 0,37
8 30.01.2003 4 0,87 0,60 0,78 0,73
9 30.06.2003 23 0,48 0,67 0,26 0,47
10 06.05.2004 16 0,56 0,45 0,41 0,47
12 07.10.2004 17 0,41 0,22 0,30 0,46
15 28.04.2005 13 0,64 0,27 0,39 0,36
17 19.10.2005 14 0,77 0,22 0,56 0,53
18 03.07.2006 22,5 0,90 0,77 0,53 0,86
19 03.09.2007 19,5 0,80 0,13 0,02 0,20
20 08.11.2007 10 0,80 -0,13 0,44 0,23
21 22.04.2008 12 0,80 0,29 0,44 0,27
22 06.11.2008 12 0,59 0,12 0,53 0,24
23 20.04.2009 16 0,62 0,27 0,24 0,37
24 27.10.2009 14 0,70 0,31 0,27 0,60
25 03.05.2010 15 0,73 0,55 0,34 0,43
26 14.10.2010 13 0,67 0,33 0,43 0,52
- 90 -
Pro dané pilíře se vypočte rozdíl relativních svislých posunů mezi oběma
geodetickými metodami podle vzorce (7.4), výsledné hodnoty jsou uvedeny v tab. 7.10.
i III IIIn p (7.4)
kde i je rozdíl posunů mezi oběma geodetickými metodami, IIIp je svislý posun
určen z trigonometrické metody a IIIn je svislý posun určen pomocí metody přesné nivelace.
Tab. 7.10 Rozdíly hodnot relativního svislého posunu III pro dané pilíře určené z rozdílu mezi
dvěma geodetickými metodami
Etapa Datum Teplota
uvnitř
[°C]
Svislý posun III [mm]
11,41
15,45S 12,42
16,46J
6 23.01.2002 4 -0,00 -0,00
7 25.06.2002 22 -0,05 0,13
8 30.01.2003 4 -0,27 -0,05
9 30.06.2003 23 0,19 0,21
10 06.05.2004 16 -0,11 0,06
12 07.10.2004 17 -0,19 0,16
15 28.04.2005 13 -0,37 -0,03
17 19.10.2005 14 -0,55 -0,03
18 03.07.2006 22,5 -0,13 0,32
19 03.09.2007 19,5 -0,66 0,18
20 08.11.2007 10 -0,92 -0,22
21 22.04.2008 12 -0,51 -0,17
22 06.11.2008 12 -0,47 -0,29
23 20.04.2009 16 -0,36 0,13
24 27.10.2009 14 -0,39 0,33
25 03.05.2010 15 -0,18 0,09
26 14.10.2010 13 -0,34 0,09
V tomto případě by bylo rovněţ moţné předpokládat přibliţně stejné hodnoty posunů
daných sloupů zjištěné oběma metodami. V tab. 7.10 lze pozorovat, ţe se hodnoty relativního
svislého posunu III liší, jak tomu bylo u svislých posunů II. Hodnoty jednotlivých posunů
dosahují odlišných hodnot ze stejného důvodu, který byl uveden v předchozí části. V kaţdé
metodě se měří různé veličiny s různou přesností. Vzhledem k tomu, ţe veličiny mají odlišné
směrodatné odchylky, mezní hodnoty pro posouzení svislého posunu jsou tedy také jiné.
Z tohoto důvodu se liší i hodnoty daných posunů.
- 91 -
U metody přesné nivelace byl posun mezi prvním a čtvrtým řezem prokázán
při překročení mezní hodnoty 0,32 mm. U trigonometrické metody došlo k prokázání posunu
při překročení mezní hodnoty 0,56 mm Rozdíl mezi mezními hodnotami obou metod
je 0,24 mm.
Jak bylo zmíněno v předchozí části, v ideálním případě by se hodnoty rozdílů posunů
měly rovnat rozdílům mezních hodnot. Dosaţené rozdíly posunů se ale mezním hodnotám
nerovnají, pravděpodobně je to vlivem odlišných systematických a náhodných chyb obou
metod. Dále je potřeba zhodnotit, zda si hodnoty vzájemně odpovídají. Pro posouzení
přesnosti rozdílu hodnot relativního svislého posunu III, je vypočtena mezní hodnota rozdílu
podle vzorce:
cIII p IIImet u c (7.5)
kde cIIImet je mezní rozdíl svislých posunů III, pu je koeficient spolehlivosti, který
byl zvolen 2 a IIIc je směrodatná odchylka určená z rozdílů posunů obou metod, která byla
vypočtena podle vztahu (7.6). Dosaţené hodnoty jsou uvedeny v tab. 7.11.
2 2
III III IIIc n p (7.6)
kde IIIn je směrodatná odchylka posunů z metody přesné nivelace, IIIp je
směrodatná odchylka určená z trigonometrické metody a c je celková směrodatná
odchylka rozdílu obou metod.
Tab. 7.11 Mezní hodnoty a směrodatné odchylky svislých posunů III v jednotkách mm
jednotlivých řezů
Řezy 4 a 1 IIIp IIIn IIIc cIIImet
0,28 0,16 0,32 0,64
Vypočtené rozdíly relativních posunů zjištěných z obou metod (tab. 7.10) byly
porovnány s mezní hodnotou (tab. 7.11). Většina hodnot nepřesahuje mezní rozdíl a splňují
dosaţenou přesnost. V případě hodnot, u kterých došlo k překročení mezního rozdílu
(zvýrazněny červeně v tab 7.10), nebyla přesnost dodrţena. Důvodem nesplnění přesnosti
jsou pravděpodobně (stejně jako u svislých posunů II) odlišné náhodné a systematické chyby
obou metod, které se mohly u obou posunů projevit současně. Dosaţená přesnost posunů byla
- 92 -
splněna u většiny měřických etap, a proto lze konstatovat, ţe si hodnoty vzájemně odpovídají.
Grafické znázornění posunů III určených oběma metodami a uvedených v tab. 7.10 je
zobrazeno v příloze V.
- 93 -
8 ZÁVĚR
Cílem diplomové práce bylo zpracování etapového měření vodorovných náklonů
a svislých posunů v katedrále sv. Víta. Dále pak zhodnocení dosaţených hodnot svislých
posunů z metody přesné nivelace a trigonometrie.
Nejprve byly zpracovány zápisníky měřených veličin a byla vypočtena dosaţená
přesnost měření, která je charakterizována výběrovou směrodatnou odchylkou. Pro moţné
posouzení přesnosti měření musela být odvozena základní směrodatná odchylka. Porovnáním
obou odchylek bylo zjištěno, ţe celková výběrová odchylka vodorovných redukovaných
směrů pro podélnou loď 0,15 mgon a příčnou loď 0,12 mgon odpovídá základní směrodatné
odchylce 0,21 mgon. U některých etap došlo k překročení základní směrodatné odchylky.
V těchto případech bylo provedeno testování nulovou hypotézou. K zamítnutí nulové
hypotézy došlo u stanoviska S1 v šesté etapě. V případě zenitových úhlů bylo zjištěno,
ţe výběrová odchylka je 0,17 mgon pro podélnou loď a 0,12 mgon pro příčnou loď.
Při porovnání obou odchylek se základní směrodatnou odchylkou 0,15 mgon, bylo zjištěno,
ţe přesnost zenitových úhlů v podélné lodi neodpovídá očekávané přesnosti. Z tohoto důvodu
bylo přistoupeno k testování nulové hypotézy, ţe výběrová směrodatná odchylka odpovídá
základní směrodatné odchylce. K zamítnutí nulové hypotézy došlo v šesté etapě u stanoviska
S1 a S3, v osmé etapě u stanoviska S1, v desáté etapě u stanoviska S3 a v sedmnácté etapě
u stanoviska S1. Na těchto stanoviscích neodpovídá výběrová směrodatná odchylka
zenitového úhlu základní směrodatné odchylce. Zhoršená kvalita měření v případě některých
etap je pravděpodobně způsobena tím, ţe jsou v katedrále podmínky měření ztěţovány
velkým mnoţstvím turistů. Kvůli této skutečnosti musí měření probíhat v pozdějších hodinách
aţ po uzavření katedrály pro veřejnost (tedy ve večerních hodinách bez přirozeného světla).
Při měření je nutné, aby jedna osoba asistovala měřiči a osvětlovala zespoda pozorované
body. U převýšení určeným metodou přesné nivelace bylo zjištěno, ţe celková výběrová
odchylka 0,05 mm odpovídá základní směrodatné odchylce 0,07 mm. Přesnost převýšení byla
zkontrolována i pomocí výpočtu uzávěrů nivelačního pořadu, ţádná hodnota uzávěrů
nepřekročila mezní uzávěr 0,28 mm. Mohlo být tedy konstatováno, ţe dosaţená přesnost
odpovídá očekávané přesnosti měření.
Následně po vyhodnocení přesnosti měřených veličin bylo přistoupeno k výpočtu
vodorovného náklonu horního pozorovaného bodu vůči dolnímu bodu na daném pilíři
trigonometrickou metodou. S vyuţitím této metody byl proveden výpočet relativního svislého
- 94 -
posunu mezi horním a dolním bodem na jednotlivých sloupech. Dále také mezi body
umístěnými jednotlivě na sloupech severní a jiţní části chrámu a zároveň body prvního
a čtvrtého řezu v podélné lodi katedrály. U metody přesné nivelace byl vypočten svislý posun
pro jeden bod na sloupu, pro dva body umístěné na severní a jiţní straně chrámu a také mezi
body prvního a čtvrtého řezu. Následně byla odvozena a vypočtena přesnost všech
určovaných veličin. Porovnáním hodnot bylo zjištěno, ţe dosaţená přesnost odpovídá
očekávané přesnosti určovaných veličin. Pomocí směrodatných odchylek byly vypočteny
mezní hodnoty, které byly porovnány s dosaţenými hodnotami těchto veličin. Pokud byla
mezní hodnota překročena, došlo k prokázání posunu vůči základní etapě, v opačném případě
posun nebyl prokázán, ale ani vyloučen. U náklonu byla určována změna příčné vzdálenosti
horního a dolního bodu na sloupu v jednotlivých etapách vzhledem k základní etapě.
V případě svislého posunu zjištěného trigonometrickou metodou byla určena změna převýšení
dvou bodů na jednom sloupu a mezi body na odlišných sloupech v jednotlivých etapách vůči
základní etapě. Svislé posuny sledované metodou přesné nivelace byly zjištěny změnou výšky
bodu na sloupu a také mezi dvěma body na odlišných (protilehlých) sloupech pro jednotlivé
etapy vzhledem k výškám v základní etapě.
Na základě dosaţených hodnot vodorovných náklonů bylo zjištěno, ţe nejvíce jsou
náklonem zatíţeny pilíře druhého řezu, které se nacházejí na úrovni Velké Věţe, která je
vystavěna přímému slunečnímu záření a její konstrukce můţe mít vliv na chování těchto
bodů. Podle hodnot relativního svislého posunu mezi horním a dolním bodem sloupu
zjištěných trigonometrickou metodou vzhledem k šesté etapě, bylo vyhodnoceno, ţe dochází
k relativnímu zdvihu vůči šesté etapě všech opěrných pilířů v podélné lodi chrámu sv. Víta.
Není moţné říci, jakým způsobem se pohybují jednotlivé body vůči sobě navzájem.
Maximální hodnota relativního svislého posunu vzhledem k šesté etapě 5,58 mm byla
zaznamenána u třetího sloupu (pozorované body 31 - 33) v 9. etapě. Porovnáním změn
převýšení mezi dvěma body na sloupech severní a jiţní strany pro jednotlivé etapy vůči šesté
etapě bylo zjištěno, ţe nejvíce jsou tímto posunem zatíţeny pilíře třetího řezu, u kterých byla
zjištěna maximální hodnota posunu vůči šesté etapě -1,70 mm ve 23. etapě. Na základě
vyhodnocení relativního svislého posunu, ţe dochází k posunu mezi body prvního a čtvrtého
řezu bylo odhaleno, ţe se relativně svisle posouvá severní strana vůči šesté etapě mezi
gotickou a neogotickou částí chrámu. Podle tohoto zjištění bylo moţné usoudit, ţe větší
zatíţení sloupů třetího řezu svislými posuny je pravděpodobně zapříčiněno posunem gotické
- 95 -
a neogotické části chrámu. Tento pilíř se totiţ nachází na rozhraní těchto dvou částí a navíc
v místě, kde dochází ke kříţení podélné a příčné lodě.
Podle hodnot svislého posunu bodu umístěného v dolní části sloupu zjištěných
metodou přesné nivelace lze konstatovat, ţe v posledních letech (od roku 2008) dochází
ke zdvihu nosných pilířů umístěných v podélné části chrámu vůči šesté etapě. Výjimkou je
pouze jeden sloup (bod 25) druhého řezu, u kterého se zdvih projevil aţ v poslední měřické
etapě. Porovnáním změn převýšení mezi dvěma body na sloupech severní a jiţní strany pro
jednotlivé etapy vůči šesté etapě bylo zjištěno, ţe svislými posuny je nejvíce zatíţen bod 25
druhého řezu a bod 46 čtvrtého řezu. U bodu 25 byla zároveň zjištěna maximální hodnota
posunu 0,69 mm ve 25. etapě. Tento bod se nachází na úrovni Velké Věţe, která můţe
ovlivňovat chování tohoto bodu, důvod uveden výše. Následně porovnáním změn výšek mezi
body prvního a čtvrtého sloupu pro jednotlivé etapy vůči základní etapě byl odhalen vzájemný
posun neogotické a gotické části chrámu.
Na základě vyhodnocení relativního posunu dvou bodů na sloupu z trigonometrické
metody a posunu jednoho bodu zjištěného přesnou nivelací vůči šesté etapě bylo shodně
určeno, ţe v poslední době dochází ke zdvihu sloupů v chrámu sv. Víta. Metodu přesné
nivelace lze povaţovat za vhodnější pro určení svislého posunu sloupu vzhledem k větší
citlivosti pro určení jednotlivých posunů a jednoznačnému stanovení zdvihu a poklesu daných
pilířů. Podle posouzení svislého posunu mezi dolními pozorovanými body jiţní a severní
strany bylo oběma metodami zjištěno, ţe dochází k vzájemnému posunu pilířů všech řezů.
Výjimkou je čtvrtý řez, kde byl posun prokázán spíše jen metodou přesné nivelace.
Zhodnocení dosaţených rozdílů z obou metod bylo provedeno pomocí mezního rozdílu.
U většiny hodnot nebyl mezní rozdíl překročen a bylo určeno, ţe si hodnoty vzájemně
odpovídají. Překročení mezní hodnoty u některých rozdílů posunu bylo pravděpodobně
způsobeno vlivem systematických a náhodných chyb daných metod, které se v rozdílech
posunů mohly projevit současně. Dále bylo oběma metodami shodně určeno, ţe dochází
k posunu severní strany mezi gotickou a neogotickou částí chrámu. Na jiţní straně byl
relativní posun u trigonometrické metody prokázán pouze v osmé etapě. Rozdíly posunů obou
metod byly porovnány s mezním rozdílem. Většina hodnot nepřesahuje mezní rozdíl
a hodnoty si vzájemně odpovídají.
Podle posouzení obou metod bych vyhodnotila metodu přesné nivelace vhodnější
a přesnější pro sledování svislých posunů pilířů v chrámu sv. Víta. Naopak trigonometrická
- 96 -
metoda je důleţitá pro sledování náklonu daných sloupů. Kombinace obou metod je tedy
velice vhodná pro komplexní zhodnocení chování pilířů v chrámu sv. Víta.
- 97 -
SEZNAM POUŽITÉ LITERATURY
[1] BLAŢEK, SKOŘEPA: Geodézie 3, vydavatelství ČVUT, Praha 2004.
[2] ČADA V.:Geomatika, elektronické tachymetry a nivelační přístroje dostupné online
z http://gis.zcu.cz/studium/gen1/html/index.html,[cit. 2010 - 11 -14].
[3] ČSN 730405, Měření posunů stavebních objektů, vydal Český normalizační institut,
Praha 1997.
[4] HÁNEK P., NOVÁK Z.: Geodézie v podzemních prostorách 10. Vydavatelství ČVUT,
Praha 2008, ISBN 987-80-01-03004-2.
[5] HAMPACHER M., RADOUCH V.: Teorie chyb a vyrovnávací počet 10, 20.
Vydavatelství ČVUT, Praha 2000, ISBN 80 -01-02250-1.
[6] MANDLOVÁ H.: Dějiny v Obrazech. České země za vlády Lucemburků,
Vydavatelství Albatros, Praha 1993. ISBN 80-00-00773-8.
[7] NOVÁK Z., PROCHÁZKA J.: Inţenýrská geodézie, nakladatelství ČVUT, 1996. ISBN
80-01-02407-5.
[8] Praţský hrad: Dějiny Praţského hradu, Dostupné online z http://www.hrad.cz/,
[cit. 2010 -10 -15].
[9] Praţský hrad: Katedrála sv. Víta. Dostupné online z
http://zhola.com/praha/cz.php?st=katedralasvvita [cit. 2010 - 10 -15].
[10] PROCHÁZKA J.: Projekt měření sedání a náklonů v chrámu sv. Víta na Praţském
Hradě, katedra speciální geodézie FSv ČVUT, Praze 1999.
[11] PROCHÁZKA J. VOBOŘILOVÁ P.: Stavební obzor 8/2003, Měření posunů
a přetvoření historických staveb geodetickými metodami Vydavatelství ČVUT,
Praha 2003.
[12] PROCHÁZKA J.: Technická zpráva měření náklonů v katedrále sv. Víta na Praţském
hradě, Praha 2009.
- 98 -
[13] RASZYKOVÁ A.: Zhodnocení etapových měření posunů a přetvoření nosných
konstrukcí katedrály sv. Víta na Praţském hradě, diplomová práce, Praha 2009, ČVUT,
katedra speciální geodézie. Vedoucí diplomové práce Doc. Ing. J. Procházka, CSc.
[14] VOBOŘILOVÁ J. Monitoring of historical building of vide range focused od historical
building and slopes, katedra speciální geodézie, Praha 2003.
[15] VOBOŘILOVÁ J. Geodetická měření v chrámu sv. Víta na Praţském Hradě, katedra
speciální geodézie, Praha 2003.