Diplomarbeit von Daniel Tameling Betreuer: Dipl.-Ing. Stephan Wulfinghoff

Institut für Technische Mechanik, KIT

Diplomarbeitvon

Daniel Tameling

Betreuer:Dipl.-Ing. Stephan WulfinghoffProf. Dr.-Ing. Thomas Böhlke

Bereich KontinuumsmechanikInstitut für Technische Mechanik

Algorithmen für nichtlokale Materialgesetzein der Gradienten-Einkristall-PlastizitätInhalt

Einleitung

MathematischeGrundlagen

Vorstellung derAlgorithmen

Vergleich derAlgorithmen

Zusammen-fassung

D. Tameling KIT Karlsruher Institut für Technologie 16. September 2011

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• Einleitung

• Mathematische Grundlagen

• Vorstellung verschiedener Algorithmen

• Vergleich der Algorithmen anhand der Rechnung

• Zusammenfassung


2

InhaltInhalt

Einleitung




Zusammen-fassung



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Einleitung

Bei Abmessungen kleiner als ca. 10 µmzeigt sich eine Größenabhängigkeit

Fleck et al. (1994)

d1

d2 <d1

Widerspruch zuklassischer Theorie

NichtlineareVariations-

formulierung

Finite Elemente Methodemit

Newton-VerfahrenActive-set-search Methode

Gradiententheoriemit Verbindungzu Versetzungen

besonders bei inhomogener Belastung wie Torsion

Gewählte Lösung:

Inhalt

Einleitung




Zusammen-fassung


Kinematik eines Einkristalls

Zerlegung des Deformationsgradienten

Kleine Deformationen beim Einkristall


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Rotation + Streckung Scherung

ein Gleitsystem:

Slip-Parameter

Gleitrichtung

Gleitebenen-normale

Schmid-Tensor

Elastischer Anteil desVerschiebungsgradienten

Gurtin, Needleman (2005)

Inhalt

Einleitung




Zusammen-fassung


5D. Tameling KIT Karlsruher Institut für Technologie 16. September 2011

Motivation Versetzungsdichtetensor

Nach plastischerVerformung

Anfangs-platzierung

Gitter

Kontinuum

Burgers-Vektor:

VersetzungsdichteSatz vonStokes

Nye (1953)

Inhalt

Einleitung




Zusammen-fassung



6

Freie Helmholtzenergie

Verfestigungsmodul

Isotroper Verfestigungsanteil

Elastischer Anteil

Insgesamt:

mit Versetzungsdichtetensor

Vesetzungsanteil

Konstante

Steifigkeitstensor

Inhalt

Einleitung




Zusammen-fassung



Umsetzung

Nichtlineare Variationsformulierung

Newton-Verfahren

Linearisieren Diskretisieren

Inhalt

Einleitung




Zusammen-fassung

Leistungsbilanz

Wie lösen?

Nichtlineare Finite Elemente Methode

LinearesGleichungssystem

Was sind die plastischaktiven Knoten?

Bestimmung der aktiven Knotenmit Active-set-search Methode

Für inaktive Knoten Gleichungenmit Slip-Parameter im linearenGleichungssystem entfernen

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8

Lineares GleichungssystemActive Set Search

Diskrete Nebenbedingungen

Passiver Knoten Aktiver Knoten

Wird passiv beiWird aktiv bei

Active-set-search:

Verschiedene Möglichkeiten der Kombinationvon Active-set-search und Newton-Verfahren

symmetrisch + positiv definit

Lineares Gleichungssystem:

Inhalt

Einleitung


Vorstellung Algorithmen

Simulation

VergleichAlgorithmen

Zusammen-fassung

Active Set: Menge der aktiven Knoten

Miehe, Schröder (2001)

Ziel der Diplomarbeit:



9

Ablauf der Algorithmen,die miteinander verglichen wurdenInhalt

Einleitung




Zusammen-fassung

Methode 3Methode 2Methode 1


NetzeHexaeder Elemente

11x11x6=726 Knoten

26x26x14=9464 Knoten

10D. Tameling KIT Karlsruher Institut für Technologie 16. September 2011

Rechengebiet

RandbedingungenUntere Fläche fest

Obere Flächewird verschoben

Rest spannungsfrei

Slip-Parameterverschwindet auf

dem Rand

Inhalt

Einleitung




Zusammen-fassung



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Simulation

Ausgangskonfigurationd.h. unverformt

10 Zeitschritte: letzter Zeitschritt

Anforderungen: Robuster und stabiler Algorithmus hohe Geschwindigkeit

Durchgeführte Simulationen

umax=0,03µm mit 10 Zeitschritten und feinem Netzumax=0,3µm mit 4 und 10 Zeitschritten und grobem und feinem Netz

Inhalt

Einleitung




Zusammen-fassung



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Simulation10 Zeitschritte, xz-Ebene

Verschiebung 20 fachüberzeichnet

Verschiebung 100 fachüberzeichnet

Inhalt

Einleitung




Zusammen-fassung



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Vergleich der Algorithmen

Zahl der Newton-Schrittebestimmt den Zeitaufwand

einer Methode

Methode 1 Methode 2 Methode 3

Inhalt

Einleitung




Zusammen-fassung

Summe derZahl derNewton-Schritteaus allen

Simulationen

0

20

40

60

80

100

120

140

160

Methode 1 ist am langsamsten


Bei Methode 2 nur 51 mal LGS aufstellenstatt 101 wie bei Methode 3

Warum bestimmt Zahlder Newton-Schritteden Zeitaufwand?


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Vergleich der Algorithmen


Inhalt

Einleitung




Zusammen-fassung

Summe derZahl der

Änderungenam Active Set

aus allenSimulationen

Methode 2 ist die schnellste

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

Aufstellen deslinearen

Gleichungssystemsist teuer

Bei Methode 2 nurerforderlich wennkeine Änderungam Active Set



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Zusammenfassung


Stabilität o o oZahl der Active Set Searches o o o

Zahl derNewton Schritte - + +Geschwindigkeit - + o

Fazit - + o

Inhalt

Einleitung




Zusammen-fassung



16

Vielen Dankfür Ihre

Aufmerksamkeit

Inhalt

Einleitung




Zusammen-fassung

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