Dipartimento di Meccanica Attività svolta al Politecnico di Torino - periodo 2008/09 Luca Goglio...
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Dipartimento di Meccanica
Attività svolta al Politecnico di Torino - periodo 2008/09
Luca Goglio
Dipartimento di MeccanicaPolitecnico di Torino
Progressi della Ricerca Italiana sui Sistemi di Giunzione
Reggio Emilia, 16-17/4/2009
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Attività recenti – periodo 2008/09
ARGOMENTI
Valutazione del campo di tensione singolare all’apice dell’interfaccia incollata
Collasso statico e a impatto di un nodo strutturale incollato
Adesivo
Aderendo
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Singolarità: considerazioni
Conseguenze concettuali e pratiche della singolarità del campo di tensione elastica negli incollaggi
• risultati FE dipendenti dalla mesh, non convergenti
• senso dell’ottimizzazione per la riduzione delle tensioni?
• il cedimento dell’adesivo di solito parte dal vertice, anche, se in pratica, la plasticità auto-limita le tensioni;
• situazione più complessa rispetto alla meccanica della frattura lineare elastica
• senso e utilità dei risultati forniti dalle teorie classiche monodimensionali (es. Goland-Reissner)?
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Singolarità: obiettivi del lavoro svolto
Riconsiderare lo studio del campo singolare, mirando a:•valutare gli effetti dei parametri geometrici del giunto
•determinare lo “Stress Intensity Factor” (SIF) senza ricorrere alla modellazione FE
•discutere la definizione del SIF rispetto alla tensione considerata come nominale
•legare il campo di tensione singolare a quella strutturale (cioè data dalle teorie monodimensionali)
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Singolarità: proprietà
•l’ordine della singolarità dipende solo dalle costanti elastiche dei due materiali (G, ) e dagli angoli (1,2)
•l’intensità del campo dipende anche dalle caratteristiche macroscopiche del giunto e dal carico
•la determinazione del SIF K non è immediata, di solito richiede modelli FE
Capisaldi teorici•Geometria (vertice) Williams. J Appl Mech, 1952
•Materiali (aderendo/adesivo) Bogy. J of Appl Mech, 1971
...)( ijij f
r
K
r
Adesivo (2)
rr
r
Aderendo (1)
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Singolarità: effetto dei materiali
1221
1221
11
11
GG
GG 1221
1221
11
2121
2
1
GG
GG
-0.5
-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
Epoxy (Hysol9466) - AlEpoxy (Hysol9466) - FeAcrylic (Loctite330) - AlAcrylic (Loctite330) - Fe
G 1=G 2
in caso di aderendo metallico, Gaderendo>> Gadesivo: punti alle estremità del diagramma (≈ 1), inoltre ≈ adesivo
Proprietà dei materiali riassunte dalle costanti di Dundurs
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Singolarità: impostazione analitica
Equazioni del problema Bogy. J of Appl Mech, 1971
Lazzarin, Quaresimin and Ferro. J Strain Analysis, 2002
021
;01
rrrrrrrrrrrrr
r
u
r
uu
r
u
rr
u
r
u rr
rrrr
1
2
1;
1;
2,1
2,12,12
2,1
2,1
2,12,12
2,1
11
11
E
E
rr
rrrr
equilibrio
compatibilità
elasticità(def. piana)
Determinante di Bogy 0222;,,, 22
21 fedcbapD
2,1
2,1 )1(
Er
r
Le radici p del determinante stabiliscono se la soluzione è singolare
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Singolarità: effetto dell’angolo
Fissati i materiali, l’ordine della singolarità è fortemente influenzata dall’inclinazione del bordo libero dell’adesivoEsempio: 1=180°, valori di 2=90°, 75°, 60°, 45°: radice → 1
Al diminuire dell’angolo del raccordo la singolarità tende a svanire
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
3.5
0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0
p
D(p
)
90 deg75 deg60 deg45 deg
Adesivo
Aderendo
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Singolarità: definizione del SIF
Possibili definizioni dello “Stress Intensity Factor” (SIF)
• Assunzione più comune: K = tf(,)Van Tooren, Gleich, Beukers. J Adh Sci Tech, 2004; Lazzarin, Quaresimin, Ferro. J Strain An, 2002
tensione nominale nell’aderendo (in pratica tensione di trazione) t spessore dell’adesivo
• Altra definizione: K = [* A() + * B()] t
Wang, Rose. Int J Adh Adh, 2000
*, * tensioni nell’adesivo fornite da una teoria monodimensionale (tensioni strutturali)
A, B coefficienti di combinazione (ricavati da modelli FEM)Criterio di cedimento basato sul SIF• Assunzione: cedimento quando il SIF supera un valore critico• Condizioni di applicabilità Akisanya, Meng. J Mech Phys Sol, 2003
zona plastica “piccola” circondata dalla zona elastica spessore dell’adesivo t maggiore di una soglia minima
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Singolarità: determinazione del campo di tensione
Procedura numerica per ottenere il SIF Lazzarin, Quaresimin, Ferro. J Str An, 2002
UrruUrru rr
11 ,;,
rrrrrr FrrFrrFrr ,;,;,
• Separazione delle variabili r,
• Set di equazioni nelle funzioni incognite U, Frr, F, Fr (Ur eliminata)
• Condizioni al contorno:bordi a tensione nullacontinuità all’interfacciaspostamenti al bordo ottenuti da
soluzione FEM
Adesivo
Aderendo
Tentativo di eliminare questa necessità
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Singolarità: uso di soluzioni strutturali
Studio del giunto basato su modello a piastre• Variazione della tensione nello spessore trascurata
)sin()sinh()cos()sinh()sin()cosh(
)cos()cosh()sinh()cosh(
216215214
2131211
xnxnAxnxnAxnxnA
xnxnAxmAxmAy
7216215214
2131211
)sin()sinh()cos()sinh()sin()cosh(
)cos()cosh()sinh()cosh(
BxnxnBxnxnBxnxnB
xnxnBxmBxmBxy
Spostamento al bordo dell’adesivo senza FE (caso 2=/2)
1) valore approssimato dalla tensione di taglioa
xyLU G
tuu
2) estrapolazione della formula del campo singolare
axxy Gt
Uttu
/
2/,
0
2/1
Bigwood, Crocombe. Int J Adh Adh, 1989
Lower adherend
Upper adherend
Adhesive
uU-uL h
t
h
L x
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Singolarità: procedura numerica modificata
Problema a valori al contorno risolto come due problemi a valori iniziali in cascata, verificando al bordo finale la condizione di tensione nulla
Adattamento da Lazzarin, Quaresimin, Ferro. J Strain An, 2002
1. valori di tentativo per la tensione radiale al bordo libero Frr(/2) (singolarità dal determinante di Bogy);
2. input dello spostamento del bordo libero di adesivo U(/2) a partire dalla soluzione strutturale;
3. soluzione numerica del sistema differenziale per l’adesivo→ U(0), Frr(0), F(0), Fr(0) (interfaccia);
4. soluzione numerica del sistema differenziale per l’aderendo → U(-), Frr(-), F(-), Fr(-) (bordo libero aderendo);
5. al bordo libero dell’aderendo deve verificarsi = r = 0 (in pratica <tolleranza); altrimenti si re-itera da 1.
Adesivo
Aderendo -
bordi scarichi
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Singolarità: esempio applicativo
Lap joint in trazionetensione nominale = 25 MPa
Parametri geometrici L = 8, 12, 20 mm t = 0.25, 0.5, 0.75, 1 mm h = 1, 2 mm
Materiali acciaio (E=2.06·105 MPa, =0.3) epoxy Hysol9466 (E=1.96·103
MPa, =0.42)
L'
t F
L L'
h h
Modellazione FE preliminare 3000 elementi 8 nodi plane
strain dimensione minima 5.5·105 mm
→ Risultati di riferimento
Parametri di singolarità = 0.9792 = 0.1335 = 0.3646 (dal det. di Bogy)
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Singolarità: risultati FE di riferimento
Regressione delle tensioni di interfaccia (=0) per valutare la singolarità
Stress along the interface / adherend 1 mm / adhesive 0.25 mm
= 3.9549 r -0.3643
= 3.5235 r -0.3648
= 3.0801 r -0.3646
10
100
1000
1E-05 1E-04 1E-03 1E-02 1E-01
Distance from corner (mm)P
eel s
tres
s (M
Pa)
L=8 mm
L=12 mm
L=20 mm
Stress along the interface / adherend 1 mm / adhesive 0.75 mm
= 5.0821 r -0.3646
= 4.3426 r -0.3643
= 3.7023 r -0.3644
10
100
1000
1E-05 1E-04 1E-03 1E-02 1E-01
Distance from corner (mm)
Pee
l str
ess
(MP
a)
L=8 mm
L=12 mm
L=20 mm
esempi
rK
rFr 00,
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Singolarità: confronto procedura approssimata / FE
Approssimazione:• migliore per ades. sottile• peggiore per ades. spesso
e L /h basso (casi 13-16)
Il SIF (K):• cresce all’aumentare
dello spessore ader. h;tens. nominale costante, aumenta il carico
• cresce all’aumentare dello spessore ades. t;gradiente nello spessore
• decresce all’aumentare della sovrapposizione Lriduzione generale delle tensioni
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Singolarità: definizione alternativa SIF (I)
La definizione del SIF più usata K = t f(,)
dipende dai parametri del giunto (h, L)
valori relativi a giunti differenti non confrontabiliAdherend thickness h = 1 mm
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
1.4
8 12 20
Overlap lenght L (mm)
K /
(C x
y +
C
y)
t = 0.25 mm t = 0.5 mm t = 0.75 mm t = 1 mm
Adherend thickness h = 2 mm
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
1.4
8 12 20
Overlap lenght L (mm)
K /
(C x
y +
C
y)
t = 0.25 mm t = 0.5 mm t = 0.75 mm t = 1 mm
Rapporto
K / ( Cxy + Cy) = t
C, C coefficienti di combin.
Caso di valori di K ottenuti a partire da risultati FE:
• buona approssimazione dei valori esatti (0.603, 0.777, 0.900, 1)
• indipendenza da h, L
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Singolarità: definizione alternativa SIF (II)
• risultati peggiori nei casi (precedentemente notati) di peggiore approssimazione di K
• comunque accettabili, anche considerando la semplicità d’uso
Valori di K dalla procedura approssimata:• minore precisione (errore max 26%, caso N°16)• dipendenza dalla lunghezza di sovrapposizioneAdherend thickness h = 1 mm
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
1.4
8 12 20
Overlap lenght L (mm)
K /
(C x
y +
C
y)
t = 0.25 mm t = 0.5 mm t = 0.75 mm t = 1 mm
Adherend thickness h = 2 mm
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
1.4
8 12 20
Overlap lenght L (mm)
K /
(C x
y +
C
y)
t = 0.25 mm t = 0.5 mm t = 0.75 mm t = 1 mm
Osservazione:• i risultati sarebbero perfetti se
C=0 e C fosse ottenuto dalla condizione di eguaglianza a t
• la ragione è che la procedura approssimata considera solo l’effetto di
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Singolarità: considerazioni finali
• Importanza della definizione del SIF la definizione dovrebbe tener conto delle caratteristiche del
giunto, senza introdurre dipendenze non necessarie (es. lunghezza di sovrapposizione)
riferimento alla sola tensione nominale non soddisfacente
• Procedura in due stadi senza uso del FEM: una soluzione strutturale fornisce gli spostamenti
approssimati … … usati come input dalla soluz. numerica per ottenere il SIF
• Riconsiderazione delle soluzioni classiche rappresentative dello stato di tensione sul piano medio … ….non dove di solito inizia il cedimento ma il SIF è comunque proporzionale a esse
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Collasso statico/impatto nodo strutturale incollato
Osservazione di partenza
• la maggior parte dei risultati pubblicati riguarda provini;
• lavori su componenti relativamente rari.
Scopi del lavoro• ottenere sperimentalmente il collasso di una giunzione, in
condizioni statiche e di impatto;• valutare la possibilità di riprodurre il fenomeno con simulazione
FEM, mediante un codice general purpose.
Impostazione• giunto dimensionato per
ottenere il collasso nell’adesivo;• criterio di cedimento, valori
limite.
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Collasso nodo incollato: caratteristiche
Travi
• Sezione quadrata cava, lato 50 mm, spess. 2 mm;
• acciaio strutturale e lega di Al 6060.
Giunti
• coprigiunti largh. 40 mm, spess. 3 mm, lungh. incollata 25 mm;
• adesivo epossidico (Hysol3425), spess. strato 0.5 mm.
Due repliche di ogni caso
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Collasso nodo incollato: condizioni di prova
Configurazione
• flessione su tre punti (nodo non in mezzeria);
• punzone raccordato per evitare collasso al contatto.
P
c=300
M1/2=Pc/4 M1/3=Pc/6
c/3=100
Velocità di caricamento
• statica (0.0001 mm/s) → macchina elettroidraulica;
• impatto (0.1, 1, 10 m/s) → dispositivo pneumatico.
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Collasso nodo incollato: risultati sperimentali
Esempio di rottura sotto impatto• acciaio, 1 m/s
Curve forza-freccia• registrazione da cella di carico e misura ottica
-5
0
5
10
15
20
25
30
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Deflection (mm)
Fo
rce
(kN
)
Steel 1Steel 2Aluminium 1Aluminium 2
1 m
/s
-5
0
5
10
15
20
25
30
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Deflection (mm)F
orc
e (k
N)
Steel 1Steel 2Aluminium 1Aluminium 2
10
m/s
-5
0
5
10
15
20
25
30
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Deflection (mm)
Fo
rce
(kN
)
Steel 1Steel 2Aluminium 1Aluminium 2
Sta
tic
a
stato finale
tempo
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Collasso nodo incollato: simulazione
Modellazione FEM (LS-DYNA)• Risposta meccanica dei materiali
criterio rottura max (=0.075)
0 0.5 1 1.5 2 2.50
200
400
600
800
1000
1200
1400
Fo
rce
(kN
)
Stroke (mm)
plr
rplr
rC
eQC
eQ 22
110 11
Adesivo sperimentazione in bulk (Uni. GE) modello esponenziale
• Modalità di collasso progressivo riprodotta correttamente
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0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50
5
10
15
20
25
30
corsa (mm)
forz
a (k
N)
alluminio
acciaio
Collasso nodo incollato: risultati simulazione
Primi risultati• caso statico;
• caso 0.1 m/s;
simulazione sper. acciaio sper. alluminio
• collezione casi in corso di completamento;
• modello Cowper-Symonds per effetto strain-rate ades.
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50
5
10
15
20
25
30
Fo
rza
(kN
)
Corsa (mm)
cerniera plastica
simulazione sper. acciaio sper. alluminio