Teorema 5 (anton, 2000:336)Jika A adalah suatu matriks nxn dengan anggota- anggota kompleks, maka yang berikut ini ekuivalen:a) A adalah matriks uniterb) Vector vector baris dari A membentuk suatu himpunan ortonormal pada C dengan hasil kali dalam Euclidenc) Vector vector kolom dari A membentuk himpunan ortonormal pada C dengan hasil kali dalam Eucliden

Bukti:a). b) Anggota pada baris ke-I dan kolom ke-j- dari hasil kali matriks AA* adalah hasoil kali titik dari vector baris ke-i dan vector kolom ke-j dari A*. tetapi, kecuali Karena perbedaan notasi, vector kolom ke-j dari A* adalah vector baris ke-j dari A. jadi jika vector- vector baris A adalah r1,r2,,rn, maka hasil kali matriks AA* bisa dinyatakan sebagai :

AA*=

Jadi AA* = 1 jika dan hanya jika r1 r1 = r2 r2 = = rn rn = 1 dan ri rj = 0 jika i j. yang berarti jika dan hanya jika {r1, r2, , rn} adalah suatu himpunan ortonormal pada C.

b). C) Anggota pada baris ke i dan kolom ke-j dari hasil kali matriks AA* adalah hasil kali titik dari vector baris ke-i dan vector kolom ke- j dari A*. kecuali karena perbedaan notasi, vector baris ke--i dari A* adalah vector kolom ke-i dari A. jadi vector vector kolom dari A adalah r1, r2,, rn, maka hasil kali matriks AA* bisa dinyatakan sebagai

AA*

Jadi AA* = 1 jika dan hanya jika r1 r1 = r2 r2 = = rn rn = 1 dan ri rj = 0 jika i j. yang berarti jika dan hanya jika {r1, r2, , rn} adalah suatu himpunan ortonormal pada C

Contoh 8

a) A = A* =

Maka AA* = =

A* A = = Karena AA* = A*A =I, terbukti bahwa A adalah uniter

b) Matriks A = mempunyai vector vector baris r1 = r2 Hasil kali dalam Eucliden pada C mempunyai

||r1|| = 2 = = 1||r2|| = 2 = = 1

Dan r1 r2 = +

= + = - = 0Sehingga vector vector baris tersebut membentuk suatu himpunan ortonormal pada C

c). Matriks A = mempunyai vector vector r1 = r2 =

hasil kali dalam Eucliden pada C mempunyai||r1|| = 2 = = 1

||r2|| = 2 = = 1

Dan r1 .r2 = +

+

= + = 0

Sehingga vector vector kolom tersebut membentuk suatu himpunan ortoormal pada C.

APROKSIMASI NILAI EIGEN TAK DOMINAN SUATU MATRIKS DENGAN MENGGUNAKAN METODE INVERS

Dalam bidang matematika khususnya aljabar linear terdapat beberapa metode yang digunakan untuk mencari nilai eigen, misalnya dengan memecahkan persamaan karakteristiknya, metode iterasi ( metode kuasa ). Tridiagonalisasi Householder, Faktorisasi QR, metode deflasi Wieland dan lain lain. Masing masing metode memiliki keunggulan tersendiri dalam mencari nilainya. Dalam pembahasan ini metode yang digunakan adalah metode invers. Metode invers merupakan suatu metode untuk mengaprosimasi nilai eigen tak dominan dari suatu matriks.

Nilai dan vector eigen

A. Nilai dan vector eigenPermasalahan yang sering kali muncul didalam dunia teknik adalah masalah peregangan dan pemampatan. Permaslahan ini dalam aljabar linier elementer ini termasuk kelompok transformasi linier lebih khusus lagi adalah masalah operator linier. Transformasi linier yang akan dibahas pada bab berikutnya.

Seangkan penempatan permasalahan nilai eigen dan vector eigen pada bab yang lebih awal, dikarenakan lebih mudah dibandingkan dengan transformasi linier. Masalah peregangan dan pemampatan ini, secara formal dinyatakan dalam defenisi berikut:

Defenisi:Misalkan A matrik berordo nxn, vector x Rn dan xo, disebut vector eigen, jika terdapat bilangan riil , yang disebut nilai eigen, sehingga memenuhi persamaan:

Ax=x

Dari defenisi diatas dapat diketahui persyaratan persyaratan untuk nilai eigen maupun vector eigen. Nilai eigen merupakan bilangan riil, yang berarti dapat bernilai nol, negative dan juga positif, sedangkan vector eigen x merupakan anggota dari R untuk Anxn dan x bukan vector nol.

Pencarian nilai eigenPersamaan diatas dapat ditulis sebagai berikut:Ax x=0Dengan mengingat, bahwa A berordo nxn dan x berordo nx1, maka dengan mengalikan dengan matriks identitas I yang berordo nxn, maka persamaan di atas dapat ditulis, sebagai:Ax Ix=0Atau(A I)x=0Dengan mengingat vector eigen xo, maka persamaan diatas harus mempunyai solusi tak trivial, dan oleh karena itu, makaDet (A I)=0Persamaan det (A I)=0 dikenal sebagai persamaan karakteristik atau biasa pula disebut persamaan penolong, karena menolong menyederhanakan permasalahan pencarian nilai eigen menjadi lebih sederhana, yaitu hanya sekedar mencari akar akar dari polinom ann + an-1n-1 + + a1+a0= 0

Sedangkan metode pencarian akar akar persamaan yang telah di ketahui, diantaranya: 1. Pemfaktoran2. Rumus ABC (jika persamaan kuadrat)3. Pembagian sintetis