Dinaminio modelio sukūrimas ir taikymas indikatorių modeliavimui

VYTAUTO DIDŽIOJO UNIVERSITETAS

INFORMATIKOS FAKULTETAS

MATEMATIKOS IR STATISTIKOS KATEDRA

Anna Ewa Lutynska

DINAMINIO MODELIO SUKŪRIMAS IR TAIKYMAS

INDIKATORIŲ MODELIAVIMUI

Magistro baigiamasis darbas

Taikomosios matematikos studijų programa, valstybinis kodas 621G12001

Matematikos studijų kryptis

Vadovė doc. dr. Sigita Pečiulytė ________ ________

(Parašas) (Data)

Apginta doc. dr. Daiva Vitkutė-Adžgauskienė _______ _______

(Parašas) (Data)

Kaunas, 2014

2

TURINYS

SANTRAUKA .........................................................................................................................................3

ABSTRACT .............................................................................................................................................4

1. ĮVADAS .............................................................................................................................................5

2. INDIKATORIŲ DIFERENCIALINIŲ LYGČIŲ SISTEMA .........................................................................7

2.1. Diferencialinių lygčių sistemos koeficientų radimas ...................................................10

2.1.1. Algebrinis metodas ............................................................................................10

2.1.2. Mažiausių kvadratų metodas ...........................................................................11

2.2. Diferencialinių lygčių sistemos pradinės sąlygos ........................................................12

2.3. Diferencialinių lygčių sistemos stabilumas ..................................................................15

3. ENERGIJOS TIEKIMO SAUGUMO INDIKATORIAI ............................................................................16

3.1. Energijos tiekimo saugumo indikatorių modeliavimo pavyzdys ...............................18

4. REZULTATAI IR IŠVADOS ...............................................................................................................26

LITERATŪROS SĄRAŠAS ......................................................................................................................27

PRIEDAI ...............................................................................................................................................28

3

SANTRAUKA

Magistro darbo autorė: Anna Ewa Lutynska

Magistro darbo pavadinimas: Dinaminio modelio sukūrimas ir taikymas indikatorių

modeliavimui

Vadovė: doc. dr. Sigita Pečiulytė

Darbas pristatytas: Vytauto Didžiojo Universitetas, Informatikos fakultetas,

Kaunas, 2014 gegužė

Puslapių skaičius: 27

Lentelių skaičius: 7

Paveikslų skaičius: 2

Priedų skaičius: 4

Įvairių sričių reiškinių matematiniai modeliai apima daug faktorių, kurie yra priklausomi

nuo laiko, o taip pat pastebima jų tarpusavio priklausomybė. Vadinasi, norint nagrinėt šių reiškinių

kitimo dėsnius, patartina sudaryti šių procesų dinaminį modelį. Šiame darbe dinaminio modelio

sudarymui naudojami indikatoriai. Indikatorius tai specialus rodiklis, kuriuo pasinaudojus galima

skaitiškai įvertinti svarbius analizuojamos srities faktorius. Indikatorių reikšmės gaunamos iš

statistinių duomenų. Diferencialinių lygčių sistemos koeficientams skaičiuoti pristatomi du būdai:

algebrinis ir mažiausių kvadratų metodai. Indikatorių išraiškas, gautas išsprendus diferencialinių

lygčių sistemą, galima panaudoti prognozavimui. Tačiau įgyvendinant naujus projektus, šias

indikatorių išraiškas reikia patikslinti, atsižvelgiant į naujus faktorius. Kadangi naujų faktorių

reikšmės nėra tiksliai žinomos (gautos iš ekspertinio vertinimo), jų įtaka sistemai yra išreiškiama

atsitiktiniu dydžiu su žinomu tikimybiniu skirstiniu. Naujų faktorių įtaka indikatoriams

dinaminiame modelyje yra patikslinama Bajeso metodu. Kaip pavyzdys, sudarytas dinaminis

modelis pritaikytas energijos tiekimo saugumo indikatorių modeliavimui.

Reikšminiai žodžiai: dinaminis modelis, diferencialinės lygtys, Bajeso metodas, energijos tiekimo

saugumas.

4

ABSTRACT

Author of Master Thesis: Anna Ewa Lutynska

Full title of Master Thesis: Construction and Application of Dynamic Model for

Indicator Modelling

Supervisor: doc. dr. Sigita Pečiulytė

Presented at: Vytautas Magnus University, Faculty of Informatics,

Kaunas, May 2014

Number of pages: 27

Number of tables: 7

Number of pictures: 2

Number of appendices: 4

In many areas mathematical models of processes take into acount variuos time dependent

factors, they also can be dependent on each other. Thus, it is advisable to construct a dynamic

model. In this master thesis we use indicators to describe dynamic model. An indicator is a special

index, which provides numerical values to inportant factors for the investigated sector. The values

of indicators are obtained from statistical data. There are presented two calculation ways of

differential equations systems coefficients (using algebraic and least square methods). Furthermore

created dynamic model enables us to forecast the dynamics of the indicators according to new

factors. Since the parameters of different new factors are not exactly known (got from expert

judgement), their influence on indicators are expressed as random variables with known

probablistic distributions. Indicators model based on historical data is adjusted using a Bayesian

approach. For practical demonstration of the proposed dynamic model energy security assessment

indicators were chosen.

Keywords: dynamic model, differential equations, Bayesian approach, energy supply security.

5

1. ĮVADAS

Kiekvieno mokslo tikslas yra gamtos reiškinių klasifikavimas ir jų prognozė. Prognozei

naudojami įvairūs modeliai, vienas iš jų dinaminis modelis. Matematiniais metodais modeliuojant

reiškinių dinamiką, nagrinėjamo požymio kitimas yra apibrėžiamas diferencialine lygtimi.

Paskutiniais dešimtmečiais taikomuosiuose moksliniuose tyrimuose matematiniu modeliu dažnai

siekiama nustatyti ryšį ne tarp tiriamojo objekto pačių kintamųjų dydžių, bet tarp šių dydžių

išvestinių arba diferencialų. Po to atstatomas ryšys tarp pačių kintamųjų dydžių. Galima tvirtinti,

kad bemaž visoms taikomosios matematikos problemoms tyrinėti gali būti panaudojamos

diferencialinės lygtys.

Pagal tarptautinių žodžių žodyną indikatorius – tai prietaisas stebimo objekto būsenai,

kiekybinei ar kokybinei charakteristikai atvaizduoti žmogui suvokiama forma. Kitaip tariant,

indikatorius – tai specialus rodiklis, kuriuo pasinaudojus galima skaitiškai įvertinti svarbius

rodiklius. Todėl indikatoriai labai dažnai naudojami ekonominių, finansinių, socialinių, energetinių

ir kitų reiškinių išmatavimui. Deja, nėra nei vieno rodiklio, kuris galėtų vienareikšmiškai parodyti

nagrinėjamos srities reiškinių pokyčius. Norint susidaryti bendrą vaizdą reikia analizuoti indikatorių

visumą. Indikatorių sistemos duomenys gali būti gaunami iš statistinių duomenų, ekonominio

modeliavimo, patikimumo analizės ar ekspertinio vertinimo. Šios indikatorių reikšmės pateikiamos

konkrečiais laiko momentais, tačiau indikatorių reikšmės kinta nuolat (nenutrūkstamai), todėl

prasminga sukurti dinaminį indikatorių modelį.

Šio magistrinio darbo tikslas yra sudaryti dinaminį modelį, kuris aprašytų indikatorių

sistemą, surasti jo koeficientų apskaičiavimo būdus ir atlikti šio modelio sprendinio analizę.

Kadangi diferencialinėmis lygtimis ir jų sistemomis dažnai aprašomi įvairūs fizikiniai,

cheminiai, ekonominiai ir kitokie reiškiniai, todėl dinaminio modelio sukūrimui magistro

baigiamajame darbe buvo naudojama diferencialinių lygčių su pastoviais koeficientais sistema.

Analizuojant šį uždavinį buvo iškelta problema, kaip nustatyti diferencialinių lygčių sistemos

koeficientus. Pradžioje koeficientų skaičiavimui buvo taikomas algebrinis metodas panaudojus

indikatorių reikšmių ir jų pokyčių matricas. Pastebėjus algebrinio metodo trūkumus, ieškota kitų

būdų koeficientams apskaičiuoti. Parodoma, kad mažiausių kvadratų metodo taikymas nežinomųjų

sistemos koeficientų apskaičiavimui duoda patikimesnius rezultatus.

Svarbu ne tik sugebėti išreikšti tiriamo objekto kintamuosius dydžius diferencialine

lygtimi, bet taip pat mokėti iš jos rasti ieškomąją funkciją. Tuo tikslu reikia apibrėžti pradines

diferencialinio uždavinio sąlygas. Taip pat, norint įvertinti indikatorių reikšmes ateityje, atsiradus

naujiems objekytams, įgyvendinus naujus projektus, pasikeitus ekonominėms sąlygoms ir pan.,

6

iškyla diferencialinių lygčių sistemos pradinių sąlygų parinkimo problema. Tikimybių teorijoje

vienintelis žinomas metodas, leidžiantis apjungti turimą apriorinę informaciją ir gaunamas stebimo

atsitiktinio dydžio reikšmes, yra Bajeso metodas [1]. Magistro baigiamąjame darbe panaudota

Bajeso metodo modifikacija, kuri skirta nestacionaraus proceso matematinių modelių parametrų

vertinimui, diferencialinių lygčių sistemos sprendinio konstantų patikslinimui.

Vis daugiau analitikų ryžtasi viešai komentuoti ir prognozuoti pačius įvairiausius

ekonomikos, sociologijos, energetikos ir kt. reiškinius, bet tik ištyrus tam tikros srities rodiklius

galima priimti geresnius sprendimus, identifikuoti perspektyvias valstybes ir pramonės šakas, laiku

investuoti ir pasitraukti, galima efektyviau valdyti sisteminę riziką.

Kaip pavyzdys, sudarytas dinaminis modelis pritaikytas energetinio saugumo indikatorių

modeliavimui. Energijos tiekimo saugumas yra itin svarbi kiekvienos valstybės saugumo sritis, nuo

kurios priklauso ne tik šalies saugumas technine, ekonomine, politine, aplinkosaugos prasme, bet ir

energijos gamyba, infrastruktūros funkcionavimas, visuomenės saugus gyvenimas. Vienas iš būdų,

kaip galima įvertinti energetinio saugumo lygį, yra energetinio saugumo indikatorių panaudojimas.

Energetinio saugumo indikatorius - tai specialus rodiklis, kuris daugiakriterinės analizės metodais

pateikia skaitines svarbių energetinio saugumo problemų reikšmes. Šie kiekybiniai faktoriai

naudojami aprašant techninius, ekonominius, socio-politinius energetinio saugumo aspektus [2, 3,

4]. Iki šiol energetiniam saugumui vertinti buvo naudojami tik diskretūs modeliai, t.y. kada

indikatorių reikšmės yra duotos konkrečiais laiko momentais, tačiau indikatorių reikšmės pastoviai

kinta. Dinaminis modelis leidžia nustatyti energetinio saugumo indikatorių reikšmes remiantis

įvairiais vystymosi scenarijais.

7

2. INDIKATORIŲ DIFERENCIALINIŲ LYGČIŲ SISTEMA

Diferencialinės lygtys taikomos matematikoje, fizikoje, chemijoje, ekonomikoje ir kitur, be

jų neįmanoma sparti technikos raida. Kita vertus, plėtojantis matematikai, diferencialinių lygčių

taikymo sritys plečiasi. Paskutiniaisiais dešimtmečiais taikomuosiuose moksliniuose tyrimuose

matematiniu modeliu dažnai siekiama nustatyti ryšį ne tarp tiriamojo objekto pačių kintamųjų

dydžių, bet tarp šių dydžių išvestinių arba diferencialų. Po to atstatomas ryšys tarp pačių kintamųjų

dydžių. Matematiniais metodais modeliuojant sistemų dinamiką, nagrinėjamo požymio kitimas yra

apibrėžiamas diferencialine lygtimi. Pačios sistemos užrašymui dažnai naudojami indikatiriai.

Indikatorius – tai specialus rodiklis, kuriuo pasinaudojus galima skaitiškai įvertinti svarbius

faktorius. Norint susidaryti bendrą visos sistemos vaizdą reikia analizuoti indikatorių visumą.

Pažymėkime indikatorius . Kadangi indikatoriai yra priklausomi nuo

laiko, tai iš tikrųjų turime funkcijas . Atsižvelgiant į tai, kad visi indikatoriai

gali būti dar priklausomi vienas nuo kito ir suteikiant kiekvienam indikatoriui pokytį, sudaroma

lygčių sistema

(2.1)

čia - koeficientai. Jie gali būti apskaičiuojami tiek statistiniais, tiek algebriniais metodais.

Pertvarkę (2.1) išraišką ir perėję prie ribos, gauname homogeninę tiesinių diferencialinių

lygčių sistemą

(2.2)

Pažymėkime

, .

Tuomet (2.2) lygčių sistemą galime užrašyti matriciniu pavidalu

. (2.3)

Tai diferencialinių lygčių su pastoviais koeficientais sistema.

Ieškosime (2.2) sistemos atskirųjų sprendinių, tardami, kad jie išreiškiami funkcijomis

8

, , ..., (2.4)

Dydžiai turi būti tokie, kad (2.4) išraiškos funkcijos tiktų (2.2) sistemai. Kadangi

, , ..., , (2.5)

tai įrašę šias ir (2.4) išraiškas į (2.2) sistemą, bei suprastinę kiekvienos lygties abi puses iš ,

gaunamę sistemą

(2.6)

kurią pertvarkome į lygčių sistemą

(2.7)

Ją taip pat, galima užrašyti kaip vektorinę homogeninę algebrinę lygtį

, (2.8)

čia , - vienetinė matrica [5].

Ši n tiesinių homogeninių algebrinių lygčių su nežinomaisiais , j=1,2,...,n, sistema turi

netrivialų sprendinį tik tada, kai jos determinantas lygus nuliui:

(2.9)

t.y. kai yra charakteringosios lygties

(2.10)

šaknis, čia – matricos A pėdsakas [6].

Tarkime, kad (2.10) charakteringosios lygties šaknys yra realios ir skirtingos.

Tuomet kiekvieną šaknį , atitinka reikšmių rinkinys, nustatomas iš

(2.7) sistemos. Jį pažymėkime

9

(2.11)

Taigi, matome, kad šaknį atitinka (2.2) sistemos sprendinys

(2.12)

Įrašę šias išraiškas į (2.2) sistemos lygtis, gauname

(2.13)

(2.13) išraiška yra bendrasis (2.2) sistemos sprendinys [5].

Jei (2.10) charakteringosios lygties šaknys skirtingos, bet tarp jų yra kompleksinių,

pavyzdžiui, jungtinių kompleksinių šaknų pora , , tai su šiomis reikšmėmis

iš (2.7) sistemos gausime du reikšmių rinkinius:

ir . (2.14)

Juos atitiks sprendiniai

ir

.

Kiekvieną šį sprendinį bendruoju atveju žymėsime

, , . (2.15)

Žinome, kad sprendinių ir realiosios bei menamos dalys, paimtos skyriumi, irgi yra

atskirieji sprendiniai. Todėl bendrąjį sistemos sprendinį gausime atitinkamu būdu sudarę tiesinius

šių sprendinių darinius [5].

(2.3) diferencialinių lygčių sistemos bendrasis sprendinys priklausys nuo matricos

tikrinių reikšmių . Jei visos tikrinės reikšmės yra realiosios ir skirtingos, sprendinių ieškoma pagal

formulę (2.16)

(2.16)

10

Jei tikrinės reikšmės yra kompleksiniai skaičiai , , sprendinys

apskaičiuojamas naudojant formulę (2.17)

(2.17)

čia - konstantų vektorius, .

Taip pat, (2.3) sistemos sprendinį gali sudaryti ir (2.16) bei (2.17) išraiškų kombinacija.

2.1. Diferencialinių lygčių sistemos koeficientų radimas

Analizuojant dinaminį modelį buvo iškelta problema, kaip nustatyti (2.3) diferencialinių

lygčių sistemos koeficientus, t.y. kaip surasti matricos elementus. Pateikiami du jų apskaičiavimo

būdai: algebrinis ir mažiausių kvadratų metodai.

2.1.1. Algebrinis metodas

Kiekvieno indikatoriaus pokytį užrašykime

(2.1.1.1)

Imkime kiekvieno indikatoriaus reikšmes laiko momentais ir pažymėkime ,

. Tuomet gaunama lygčių sistema su nežinomųjų

(2.1.1.2)

Pertvarkius ir surašius (2.1.1.2) lygčių sistemas į vieną lygčių sistemą, gaunamas toks

matricinis sistemos pavidalas

11

(2.1.1.3)

čia , ,

.

Iš (2.1.1.3) formulės išreiškiama matrica ,

, (2.1.1.4)

kurios elementai yra (2.3) indikatorių diferencialinių lygčių sistemos koeficientai.

Algebriniu metodu (AM), koeficientų matrica yra nesudėtingai apskaičiuojama, tačiau

šis metodas gana ribotas. Visų pirma indikatorių ir jų pokyčių matricos turi būti kvadratinės, t.y.

indikatorių skaičius ir stebimų indikatorių faktinių reikšmių skaičius turi sutapti, todėl šiuo

būdu ieškant koeficientų dažnai panaudojami ne visi sukaupti duomenys. Taip pat nagrinėjamos

matricos turi būti reguliariosios, t.y. jų determinantai turi būti nelygūs nuliui.

2.1.2. Mažiausių kvadratų metodas

Nagrinėjant vieno idikatoriaus pokyčių priklausomybę nuo likusiųjų, siūloma (2.3) lygties

koeficientus apskaičiuoti mažiausiųjų kvadratų metodu (MKM).

Įveskime pažymėjimus:

MKM leidžia gauti tokius parametrų įverčius, prie kurių rezultuojančio požymio

tikrų reikšmių nuokrypių nuo teorinių (apskaičiuotų) reikšmių kvadratų suma būtų minimali [7],

t.y. .

Diferencijuodami vektorių vektoriaus atžvilgiu ir pirmąsias išvestines prilyginę nuliui,

gauname:

12

(2.1.2.1)

Iš pastarosios lygybės seka:

(2.1.2.2)

Tada (2.3) diferencialinės lygčių sistemos koeficientų matricą galime užrašyti

. (2.1.2.3)

(2.3) diferencialinių lygčių sistemos koeficientų apskaičiavimui taikant mažiausių kvadratų

metodą galima panaudoti visą sukauptą statistinę informaciją, tačiau į sistemą įtrauktų indikatorių

skaičius negali būti didesnis už stebėtų indikatorių reikšmių kiekį. Taip pat, atsiranda problemų

analizuojant stipriai tarpusavyje priklausančius indikatorius, nes MKM skirtas rezultuojančio

požymio priklausomybės nuo tarpusavyje nepriklausančių kintamųjų nustatymui.

2.2. Diferencialinių lygčių sistemos pradinės sąlygos

(2.3) diferencialinių lygčių sistema turi be galo daug sprendinių. Norint nustatyti

indikatorių kitimo dėsnį reikia iš (2.16) bendrojo sprendinio išskirti šios lygčių sistemos atskirąjį

sprendinį. Todėl reikalaujame, kad (2.16) sprendinys papildomai tenkintų pradines sąlygas

(2.2.1)

čia – -tojo indikatoriaus normalizuota faktinė reikšmė fiksuotu konkrečiu laiko momentu,

– bazinis laikas.

Pasinaudojus (2.2.1) sąlyga, (2.16) lygtyse surandamos konstantos ir užrašomas indikatorių

matematinis modelis.

Tačiau norint įvertinti indikatorių reikšmes ateityje, įgyvendinus naujus projektus,

pasikeitus ekonominėms, politinėms sąlygoms ar pan., reikia patikslinti (2.2.1) sąlygas. Kadangi

tiksliai nėra žinomi šių įvykių techniniai parametrai, kaštai ir t.t., todėl indikatorių reikšmės yra

atsitiktiniai dydžiai ir pradinės sąlygos užrašomos

(2.2.2)

čia – atsitiktinis dydis.

Kadangi naujų objektų, projektų, ekonominių pokyčių ir kitų įvykių laikas taip pat nėra

žinomas, tai taip pat gali būti atsitiktinis dydis.

13

Pažymėkime, kad yra atsitiktinio dydžio pasiskirstymo funkcija, o - tankio

funkcija. Bendruoju atveju, yra laikomas atsitiktiniu procesu, kurio vidurkis turi tenkinti

sąlygą

(2.2.3)

čia ir yra žinomos konstantos, , yra laikomi tarpusavyje nepriklausomais

atsitiktiniais dydžiais, kurių tikimybinių skirstinių tankio funkcija , arba

daugiamatė tankio funkcija

(2.2.4)

Atsitiktinių dydžių įverčiams apskaičiuoti metodika sudaroma atsižvelgiant į tai, kad jų

įgyjamos reikšmės nėra stebimos, o yra stebimas tik atsitiktinis dydis . Taip pat svarbu panaudoti

informacją apie indikatorių priklausomybę vienų nuo kitų (pagal (2.2.3) lygybę) ir žinomus

atsitiktinių dydžių tikimybinius skirstinius. Tikimybių teorijoje vienintelis žinomas metodas,

leidžiantis apjungti apriorinę informaciją ir gaunamas stebimo atsitiktinio dydžio reikšmes, yra

Bajeso metodas. Šiuo atveju nagrinėjamas nestacionarus procesas, nes indikatorių reikšmės

išreiškiamos funkcijomis, priklausamčiomis nuo laiko .

Straipsnyje [8] pristatyta Bajeso metodo taikymo modifikacija nagrinėjant nestacionarių

procesų modelius. Parodyta, kad indikatorių reikšmėms, pasinaudojus Bajeso metodu, galima

patikslinti atsitiktinių dydžių , taškinius įverčius.

Tarkime, kad laiko momentu indikatoriaus , , reikšmė bus ,

tuomet aposteriorinė tankio funkcija

(2.2.5)

čia – atsitiktinio dydžio , reikšmių sritis, – tikėtinumo funkcija, kuri

gaunama pasinaudojus atsitiktinio dydžio tankio funkcija ir (2.2.3) lygybės prielaida.

14

Pastebėta, kad Bajeso formulė, kuri aprašyta (2.2.5) lygybe, gali būti panaudojama

atsitiktinio dydžio tankio funkcijos perskaičiavimui, kai gaunama nauja indikatoriaus reikšmė

laiko momentu , aposteriorinę tankio funkciją laikant apriorine.

Bajeso metodu gautas atsitiktinio dydžio taškinis įvertis apskaičiuojamas kaip vidurkis,

pasinaudojus gauta aposteriorinio skirstinio tankio funkcija

(2.2.6)

Indikatoriaus kitimo tendencija apibrėžiama funkcija

(2.2.7)

Jei daroma prielaida, kad laiko momentu indikatorių , , tikimybiniai

skirstiniai yra normalieji, tai atsitiktinių dydžių , tikimybiniai skirstiniai taip pat

bus normalieji ir jų vidurkiai , , ..., sutampa su , , …, reikšmėmis, apskaičiuotoms

fiksuotu laiko momentu . Taigi, jų daugiamatė tankio funkcija

(2.2.8)

Daugiamatė tikėtinumo funkcija užrašoma formule

(2.2.9)

čia – standartinis nuokrypis, kuriuo pasinaudojus įvertinamas indikatorių prognozuojamų

(ekspertų vertinimo) reikšmių neapibrėžtumas.

Pasinaudojus Bajeso metodu išvedama aposteriorinė tikėtinumo funkcija

(2.2.10)

bei atsitiktinių dydžių taškiniai įverčiai

, (2.2.11)

15

2.3. Diferencialinių lygčių sistemos stabilumas

Nagrinėkime autonominės paprastųjų diferencialinių lygčių sistemos pradinį uždavinį

(2.3.1)

Tada matricos tikriniai vektoriai yra apibrėžiami lygybe

, .

Jeigu vektorių sistema yra pilnoji, tai teisinga lygybė

, (2.3.2)

čia įstrižaininė matrica

,

o matricos stulpeliai sudaryti iš tikrinių vektorių .

Pažymėkime matricą, jungtinę matricai. Jeigu yra ortogonali, t.y. išpildyta lygybė

, tai vadinama normaliąja matrica. Iš tiesinės algebros kurso žinome, kad yra

normalioji tada ir tik tada, kai .

Bendruoju atveju matricos tikrinės reikšmės gali būti ir neigiamos, ir teigiamos:

.

Diferencialinių lygčių sistemos (2.3.1) sprendinio stabilumo įvertis užrašomas [9]:

. (2.3.3)

16

3. ENERGIJOS TIEKIMO SAUGUMO INDIKATORIAI

Lietuvos energetika yra viena iš svarbiausių ir problematiškiausių ūkio šakų ir nuo šio

sektoriaus darbo stabilumo, energijos kaštų ir patikimo tiekimo didžia dalimi priklauso visų

Lietuvos pramonės šakų sėkminga veikla, gyventojų gyvenimo lygio kilimas ir šalies nacionalinis

saugumas, todėl bandoma įvertinti Lietuvos energijos tiekimo saugumą atsižvelgiant į įvairius

aspektus. Kaip iliustracinis pavyzdys, analitinėje magistro darbo dalyje aprašytas dinaminis modelis

pritaikytas indikatorių modeliavimui ir energijos tiekimo saugumo lygio nustatytmui.

Bendros energetinio saugumo vertinimo metodikos sukūrimą apsunkina ir tas faktas, kad ji

turi būti tarpdisciplininė, integruojanti energetikos, ekonomikos, sistemų patikimumo, rizikos,

politologijos, sociologijos ir kitų krypčių tyrimus. Tiek trikdžių vystymosi modeliavimo, tiek ir kitų

analizių rezultatai apima skirtingus energetinio saugumo aspektus. Reikalinga viena, integralinė

charakteristika, kuri apibendrintų visą informaciją apie sistemos energetinį saugumą. Tokia

charakteristika yra energetinio saugumo lygis ir jo nustatymui naudojami energetinio saugumo

indikatoriai, kurie daugiakriterinės analizės metodais suvedami į vieną kiekybinį rodiklį [2].

Saugumo indikatorius – tai specialus rodiklis, kuriuo pasinaudojus galima skaitiškai

įvertinti svarbius energetinio sektoriaus saugumo rodiklius. Kad nustatyti energetinio sektoriaus

saugumo lygį, indikatoriai turi būti normalizuojami, kadangi skirtingi indikatoriai matuojami

skirtingais vienetais.

Energijos tiekimo saugumo įvertinimo, panaudojant indikatorius, algoritmas trumpai gali

būti aprašomas taip: indikatorių sistemos suformavimas; duomenų surinkimas; faktinių indikatorių

reikšmių surašymas; indikatorių slenkstinių reikšmių apskaičiavimas; normalizuotų indikatorių

reikšmių apskaičiavimas; kiekvieno indikatoriaus būsenos įvertinimo skalės sukūrimas; kiekvieno

indikatoriaus įvertinimas balais pagal būsenos įvertinimo skalę; indikatorių dinamikos tiriamuoju

laikotarpiu įvertinimas; indikatorių blokų ar visos sistemos įvertinimas balais; duomenų

neapibrėžtumo ir jautrumo analizė; rekomendacijų, atsižvelgiant į gautą sistemos saugumo lygį,

pateikimas.

Bendruoju atveju indikatorius žymimas , čia – bloko numeris,

– grupės numeris bloke, – indikatoriaus numeris grupėje [2]. Kadangi

indikatoriai matuojami skirtingais vienetais, jų reikšmės yra normalizuojamos. Kiekvieno

indikatoriaus slenkstinės reikšmės parodo, kada tiriamoji sistema pereina į prieškritinę ir kritinę

būsenas. Šios slenkstinės reikšmės nustatomos remiantis techniniais reglamentais, įrangos

eksploatacijos normatyviniais dokumentais bei ekspertiniais vertinimais.

17

Norint nustatyti sistemos būseną, naudojama 15 balų sistemos įvertinimo skalė (1 pav.). Ši

skalė dalinama į tris pagrindines dalis – normalią būseną (11 – 15 balų), prieškritinę būseną (6 – 10

balų) ir kritinę būseną (1 – 5 balų). Šios trys dalys atitinkamai skirstomos į penkias lygias dalis.

Kiekvieno indikatoriaus reikšmė tiriamaisiais metais įvertinama balais nuo 1 iki 15.

1 pav. Indikatorių būsenų įvertinimo skalė

Norint įvertinti Lietuvos energijos tiekimo saugumą, būtina nustatyti kiekvieno

indikatoriaus svorį grupėje , grupės svorį bloke ir bloko svorį , čia ,

, . Blokų ir grupių svoriai apskaičiuojami pasinaudojant statistiniais

duomenimis arba nustatomi ekspertinio vertinimo metodu.

Energijos tiekimo saugumo būsena įvertinama atsižvelgiant į blokų, grupių ir indikatorių

svorius, bei į indikatorių įvertinimą balais pagal formulę

(3.1)

čia – indikatoriaus reikšmė balais.

18

3.1. Energijos tiekimo saugumo indikatorių modeliavimo pavyzdys

Magistro baigiamojo darbo analitinėje dalyje sudaryta indikatorių diferencialinių lygčių

sistema pritaikyta trijų apibendrintų energijos tiekimo saugumo įvertinimo indikatorių

modeliavimui. Pirmas indikatorius žymi techninį bloką, kuris apima techninius energijos

tiekimo parametrus. Antras indikatorius apima ekonominį sektorių, kuris aprašo energijos

tiekimo sistemos veikimo ekonominius aspektus. Paskutinis apibendrintas indikatorius , kuris

žymi socio-politinį bloką. 1 lentelėje pateikiamos indikatorių normalizuotos faktinės reikšmės.

Lentelė 1. Indikatorių faktinės reikšmės

Indikatorius 2001 2004 2007 2010

Technininis 76,67 73,33 71,15 64,42

Ekonominis 51,00 55,00 59,18 67,88

Socio-politinis 25,00 27,00 52,92 55,46

(2.3) diferencialinių lygčių sistemos koeficientai , skaičiuojmi dviem

būdais: naudojant algebrinį (AM) ir mažiausių kvadratų (MKM) metodus:

, .

Pastebėkime, kad abiejų matricų elementai skiriasi nedaug, nes .

Atskirieji (2.3) diferencialinių lygčių sistemos sprendiniai apskaičiuojami pradinėse

sąlygose panaudojus faktines 2010 metų indikatorių reikšmes. Pasinaudojus sukonstruotų dinaminių

modelių su koeficientų matricomis ir sprendiniais, apskaičiuotos indikatorių reikšmės

2021 ir 2012 metais ir jos palygintos su faktiniais tų metų duomenimis. Gauti rezultatai pristatomi 2

lentelėje.

Pastebėta, kad indikatorių reikšmės, apskaičiuotos naudojant matricą , yra

patikimesnės, nes jų vidutinės paklaidos mažiau skiriasi nuo indikatorių faktinių reikšmių (žr. 2

lentelę).

19

Lentelė 2. Indikatorių modeliavimo rezultatai

Indikatorius

Faktinė reikšmė

Dinaminis modelis su

matrica


matrica

Metai

2011 2012 2011 2012 2011 2012

Technininis 63,30 59,65 63,63 62,79 62,82 61,17

Ekonominis 68,53 70,73 68,87 69,93 70,17 72,53

Socio-politinis 57,36 58,37 55,59 55,35 57,59 59,39

Vidutinės paklaidos 0,81 2,32 0,78 1,45

Tikrinant diferencialinių lygčių sistemos sprendinių stabilumą reikia nagrinėti ir

matricų tikrines reikšmes, jos pateiktos 3 lentelėje.

Lentelė 3. Diferencialinių lygčių sistemos tikrinės reikšmės

Tikrinės reikšmės


matrica


matrica

-0,0016 -0,08482

0,5531 0,0424-0,1723

0,1027 0,0424+0,1723

Sprendinių stabilumo tyrimui diferencialinių lygčių sistemos matrica privalo būti

normalioji ir tikrinama ar yra tenkinamas (2.3.3) įvertis. Jei išpildytos šios dvi sąlygos sakome, kad

diferencialinių lygčių sistemos sprendinys yra stabilus.

Matricos normalumui tikrinti reikia žiūrėti ar yra tenkinamos lygybės:

ir ,

čia - jungtinė matrica.

Apskaičiavus normas ir

matome, kad normalumo sąlygą tenkina abi matricos.

Sprendinių stabilumas tikrinamas pagal (2.3.3) formulę. Nagrinėjami atvejai, kai sistemos

pradinėse sąlygose yra faktinės 2004, 2007, 2010 ir 2011 metų indikatorių reikšmės. Rezultatai

pateikti 4 lentelėje.

20

Nagrinėjant dinaminio modelio su matrica stabilumą gauname, kad beveik visais

atvejais .

Vadinasi, dinaminio modelio su matrica sprendiniai netenkina (2.3.3) stabilumo sąlygos.

Dinaminio modelio su matrica sprendinių (2.3.3) stabilumo sąlyga,

, yra tenkinama visais nagrinėjamais atvejais.

Lentelė 4. Dinaminio modelio sprendinių stabilumo sąlygos tikrinimas

Pradinės sąlygos

93,71 95,96 106,11 119,81

118,02 106,04 116,84 122,24

109,07 108,89 111,92 115,11

109,75 109,57 111,13 112,65

Iš aukščiau pateikto pavyzdžio matome, kad diferencialinių lygčių sistemos sprendiniai yra

stabilūs, kai jos koeficientai yra apskaičiuoti mažiausių kvadratų metodu, todėl didesnės indikatorių

sistemos (2.3) dinaminio modelio sudarymui pasirinkta matrica . Sudarytas dinaminis modelis

taikomas devynių energijos tiekimo saugumo indikatorių sistemai spręsti. Imami pagrindiniai

rodikliai nusakantys elektros energetikos situaciją šalyje, t.y. elektros gamybos bei perdavimo

pajėgumai, techninės infrastruktūros senėjimas, elektros importo dydis, elektros energijos gamybos

priklausomybė nuo užsienio šalių. Taip pat stebima galimybė techniškai apsirūpinti dujomis,

įvertinamas centralizuoto šilumos tiekimo pajėgumas. Vienas iš svarbesnių rodiklių, kuris nesusijęs

su techniniu aspektu, yra Lietuvos gyventojų išlaidos energetiniams resursams. Į sistemą įtraukiami

šie indikatoriai:

– suminės instaliuotos generatorių ir jungčių galios santykis su maksimaliu galios

poreikiu (2 paveiksle vaizduojamas šviesiai ruda spalva),

– didžiausios elektrinės galios santykis su visos sistemos instaliuota galia (2 paveiksle

vaizduojamas tamsiai raudona spalva),

– maksimali instaliuota vienos technologijos galios dalis visoje elektros gamyboje (2

paveiksle vaizduojamas juoda spalva),

– vidutinis likutinio energetinių blokų darbo laiko santykis su jų techniniu resurso laiku

(2 paveiksle vaizduojamas žydra spalva),

21

– didžiausio dujų tiekimo įrenginio pajėgumo santykis su vidutiniu suvartojimu (2

paveiksle vaizduojamas tamsiai rožine spalva),

– instaliuotų šilumos generatorių suminio pajėgumo santykis su maksimaliu šilumos

poreikiu (2 paveiksle vaizduojamas raudona spalva),

– importuojamos elektros kiekio santykis su elektros vidutiniu metiniu poreikiu (2

paveiksle vaizduojamas žalia spalva),

– elektros kiekio, kuris gali būti pagaminamas naudojant kurą, kurį galima importuoti tik

iš vieno tiekėjo santykis su visu pagaminamu elektros kiekiu (2 paveiksle vaizduojamas mėlyna

spalva),

– vidutinės vieno gyventojo išlaidos energijai (elektra, dujos, kt. kuras) palyginus su

vidutinėmis pajamomis (2 paveiksle vaizduojamas šviesiai rožine spalva).

Skaičiavimams naudojamos indikatorių normalizuotos faktinės reikšmės nuo 2001 iki 2012

metų, kurios pateiktos 5 lentelėje.

Lentelė 5. Indikatorių normalizuotos faktinės reikšmės

Indikatorius

Metai

2001 94,34 45,08 47,23 21,19 44,55 58,51 1,32 95,25 10,98

2002 94,34 45,08 47,23 13,42 51,27 42,31 1,70 95,60 10,26

2003 94,05 45,30 46,86 11,78 59,53 52,01 0,00 94,94 10,94

2004 75,74 32,87 31,84 11,42 48,00 62,49 0,66 95,10 9,91

2005 76,88 31,97 31,16 13,72 70,82 57,24 6,71 93,09 8,73

2006 77,42 31,57 30,74 15,12 62,45 75,42 12,04 91,89 8,32

2007 77,53 31,48 30,74 13,22 74,43 82,75 7,70 90,75 8,54

2008 65,04 44,66 43,16 12,92 69,29 79,22 10,78 90,24 8,10

2009 65,04 44,66 43,16 11,30 70,64 70,12 4,36 89,79 8,77

2010 69,32 11,78 60,88 15,08 73,93 63,54 55,02 69,23 8,43

2011 70,94 11,21 59,29 17,63 72,11 67,39 64,36 62,92 9,29

2012 72,39 13,41 57,99 13,76 59,65 64,29 62,93 66,18 10,29

22

Indikatorių normalizuotos faktinės reikšmės,bei apskaičiuoti indikatorių pokyčiai surašyti į

matricas ir pagal mažiausių kvadratų metodą apskaičiuota tiesinių diferencialinių lygčių sistemos

matrica

(3.1.1)

Įstatę (3.1.1) matricą į (2.3) formulę gauname nagrinėjamų devynių indikatorių dinaminį modelį.

Sudaryto indikatorių dinaminio modelio (3.1.1) matricos tikrinės reikšmės

, , ,

, , , (3.1.2)

, , .

Tikrinės reikšmės yra tiek realūs, tiek kompleksiniai skaičiai ir uždavinio bendrasis

sprendinys sudarytas iš (2.16) ir (2.17) formulių kombinacijos (žr. 4 priedas).

Gauto bendrojo sprendinio konstantos , , (žr. 6 lentelė) apskaičiuojamos

pradinėse sąlygose panaudojus indikatorių 2012 metų normalizuotas faktines reikšmes.

Diferencialinių lygčių sistemos sprendinių stabilumo tyrimui sistemos matrica privalo būti

normalioji ir tikrinama ar yra tenkinamas (2.3.3) įvertis. (3.1.1) matrica laikoma normaliąja, nes

. Nagrinėjamais atvejais, kai sistemos pradinėse sąlygose

yra įvairių metų indikatorių faktinės reikšmės, (2.3.3) stabilumo sąlyga yra tenkinama.

Bajeso metodas leidžia įtraukti į modelį ekspertų nuomonę, t.y. kai vietoje stebimų

indikatorių reikšmių imama ekspertų nuomonė apie indikatorių kitimą ateityje. Darbe analizuojama

dviejų energetinių projektų įtaka energijos tiekimo saugumui. Nagrinėjami trys galimi scenarijai:

Sc1 – nestatomi jokie nauji objektai, Sc2 – suskystintų gamtinių dujų (SGD) terminalo pastatymas

2015 metais, Sc3 – Visagino atominės elektrinės (VAE) atidarymas 2022 metais. Vienas iš projektų

(SGD terminalas) yra jau baigiamajame etape, vadinasi neapibrėžtumai dėl jo atidarymo yra

minimalūs. Daug didesni neapibrėžtumai lydi VAE projektą. Šiuo metu dar nėra žinoma ar tikrai šis

projektas bus įgyvendintas. Be to, Bajeso metodas suteikia galimybę ne tik įtraukti į modelį

tikėtinas vidutines reikšmes, bet taip pat įvertinti kylančius neapibrėžtumus.

23

Lentelė 6. Dinaminio modelio konstantų reikšmės.

Scenarijai Sc1 Sc2 Sc3

Konstantos

-6,447 -3,609 -3,566

119,498 116,498 139,039

-6,931 -3,021 -1,694

4,579 6,086 6,612

-0,029 -0,029 -0,029

16,333 18,409 9,520

-11,543 -13,409 -6,095

15,574 18,518 16,244

21,211 34,701 29,704

Nagrinėjamų scenarijų ekspertų įvertintos tikėtinos vidutinės indikatorių , ,

reikšmės pateiktos 7 lentelėje.

Lentelė 7. Tikėtinos vidutinės indikatorių reikšmės skirtingų scenarijų atveju

Indikatorius

Scenarijus

Sc2 71 15 65 15 50 70 55 63 8

Sc3 80 32 65 18 60 65 25 80 10

Tarkime, kad laiko momentu indikatorių , , tikimybiniai skirstiniai yra

normalieji su vidurkiais, kurie tenkina dinaminio modelio su (3.1.1) matrica bendrąjį sprendinį, o

nepriklausomų atsitiktinių dydžių , , tikimybiniai skirstiniai taip pat bus normalieji,

kurių vidurkiai , , sutampa su konstantų reikšmėmis, kurios apskaičiuojamos

panaudojus faktines 2012 indikatorių reikšmes (žr. 6 lentelė). Laikysime, kad jų standartiniai

nuokrypiai , .

Pagal (2.2.11) lygybę atsitiktinių dydžių , , taškinis įvertis apskaičiuotas

dviejų scenarijų (Sc2 ir Sc3) atvejais. Tikėtinos indikatorių , , reikšmės imamos iš 7

lentelės. Po suskystinų gamtinių dujų terminalo atidarymo (Sc2 atveju) indikatorių standartiniai

24

nuokrypiai , . Prognozuojant indikatorių vidutines reikšmes po Visagino

atominės elektinės atidatymo (Sc3 atveju) imami didesni standartiniai nuokrypiai ,

, nes projekto realizavimą lydi didesni neapibrėžtumai ir Bajeso metodas taikomas du

kartus. Patikslintų konstantų reikšmės pateiktos 6 lentelėje.

2 paveiksle vaizduojamos indikatoriųfunkcijos trijų scenarijų atveju: kai nėra naujų objektų

pastatymo (ištisinė linija), po SGD terminalo atidarymo 2015 metais (punktyrinė linija) ir po VAE

atidarymo 2022 metais (brūkšniuota linija).

Naginėjami indikatoriai yra matuojami pagal dvi skales: mažėjančią ( , , , , ,

indikatoriai) ir didėjančią ( , , indikatoriai). Išsprendus indikatorių diferencialinių lygčių

sistemą remiantis tik sukaupta statistine informacija (Sc1 atveju), sprendiniai yra tik iš dalies

stabilūs ir netinka labai tolimoms prognozėms. Todėl prognozuojamos indikatorių vidutinės

tikėtinos reikšmės yra patikslinamos Bajeso metodu. Pirmo scenarijaus atveju – didžiausios

elektrinės galios santykis su visos sistemos instaliuota galia (2 paveiksle vaizduojamas tamsiai

raudona spalva) indikatoriaus vertė laikui bėgat mažėja, o patikslinus indikatorių išraiškas

kiekvieno projekto įgyvendinimo metu jų reikšmės didėja. indikatoriaus reikšmės (žymimas

mėlyna spalva) nežymiai didėja laikui bėgant, o įgyvendinus projektus pastebimas greitesnis jų

augimas. – importuojamos elektros kiekio santykis su elektros vidutiniu metiniu poreikiu (2

paveiksle pažymėtas žalia spalva), indikatoriaus tikėtinos reikšmės mažėja po kiekvieno projekto

įgyvendinimo. 2 paveiksle matome, kad naujų objektų atsiradimas mažiausią įtaką daro indikatorių

(žydra spalva) ir (šviesiai rožinė spalva) reikšmių kitimui. (šviesiai ruda spala), (juoda

spalva) ir (tamsiai rožinė spalva) indikatorių reikšmės pastačius SGD terminalą sumažėja, o po

VAE atidrymo padidėja, lyginant su pirmu scenarijumi. indikatoriaus reikšmės (raudona spalva)

pastačius SGD terminalą nežymiai padidėja, o po VAE atidarymo jos bus mažesnės.

Norint turėt tikslesnę ilgalaikę prognozę, patartina patikslinti ne tik diferencialinių lygčių

sistemos atskirąjį sprendinį atsižvelgiant į naujų faktorių atsiradimą, bet ir perskaičiuoti (2.3)

dinaminio modelio koeficientų matricą.

Naudojant dinaminio modelio sprendinius, t.y. indikatorių vidutines tikėtinas reikšmes,

galima prognozuoti energetinio sektoriaus saugumo lygį. Energijos tiekimo saugumo būsena

įvertinama atsižvelgiant į blokų, grupių ir indikatorių svorius, bei į indikatorių reikšmių įvertinimą

balais pagal (3.1) formulę.

25

2 p

av.

Ener

gij

os

tiek

imo s

augum

o i

ndik

atori

ų f

unkci

jos

2010 –

2026 m

etai

s

26

4. REZULTATAI IR IŠVADOS

1. Sudarytas dinaminis indikatorių modelis. Pasiūlyti du diferencialinių lygčių sistemos

koeficientų skaičiavimo metodai.

2. Pristatyta Bajeso metodo modifikacija, kuri leidžia į dinaminį modelį įtraukti

ekspertų įžvalgomis paremtas indikatorių reikšmes ir naujų projektų įgyvendinimo neapibrėžtumus.

Diferencialinių lygčių sistemos sprendinys gali būti naudojamas indikatorių įverčių apskaičiavimui

ateityje atsižvelgiant į ekspertų vertinimą.

3. Kaip iliustracinis pavyzdys, sudarytas ir išspręstas devynių indikatorių dinaminis

modelis. Atsižvelgus į eksperų vertinimą, indikatorių išraiškų patikslinimas atliktas dviems atvejais:

po suskystintų dujų terminalo pastatymo 2015 metais ir Visagino atominės elektrinės atidarymo

2022 metais.

27

LITERATŪROS SĄRAŠAS

1. J. M. Bernardo, A. F. M. Smith. Bayesian theory. Berlin, John Wiley & Sons, 2003.

2. J. Augutis, R. Krikštolaitis, S. Pečiulytė, I. Konstantinavičiūtė. Sustainable

development and energy security level after Ignalina NPP shutdown. Technological and economic

development of economy. 2011, 17(1), p. 5 – 21.

3. J. Augutis, R. Krikštolaitis, S. Pečiulytė. Lithuanian energy security level assessment

based on indicator dependence. Safety and security engineering IV: proceedings. 2011, p. 71 – 82.

4. J. Augutis, R. Krikštolaitis, A. E. Lutynska, S. Pečiulytė, I. Žutautaitė. Evaluation of

Coefficients for Energy Security Indicators System. Safety and security engineering V. 2013, p. 101

– 112.

5. V. Pekarskas. Diferencialinis ir integralinis skaičiavimas 2 dalis. Kaunas,

Technologija, 2000.

6. P. Golokvosčius. Diferencialinės lygtys. Vilnius, TEV, 2000.

7. A. Račkauskas. Ekonometrikos įvadas. Vilnius, 2003.

8. J. Augutis, I. Žutautaitė, V. Radziukynas, R. Krikštolaitis, S. Kadiša. Application of

Bayesian method for electrical power system transient stability assessment. International journal of

electrical power and energy systems, 2012, 42, p. 465 – 472.

9. R. Čiegis. Diferencialinių lygčių skaitiniai sprendimo metodai. Vilnius, Technika,

2003.

28

PRIEDAI

1 PRIEDAS

DIFERENCIALINIŲ LYGČIŲ TAIKYMAS ENERGETINIO SAUGUMO INDIKATORIŲ

MODELIAVIMUI

Straipsnis pristatytas XII Taikomosios matematikos studentų konferencijoje

(2014 m. balandžio 24d., Kaunas),

atspausdintas konferencijos pranešimų medžiagoje.

31

2 PRIEDAS

EVALUATION OF COEFFICIENTS FOR ENERGY SECURITY INDICATORS SYSTEM

Straipsnis pristatytas V tarptautinėje saugos ir saugumo inžinerijos konferencijoje

(2013 m. rugsėjo 17-19 d., Roma, Italija),

atspausdintas: Safety and security engineering V.

42

3 PRIEDAS

INVOLVEMENT OF EXPERT JUDGEMENT IN DYNAMIC MODEL

Straipsnis priimtas spausdinimui ir bus pristatomas European Safety and Reliability

Conference, (2014 m. rugsėjo 14-18 d. Wroclaw, Lenkija)

Involvement of expert judgement in dynamic model

R. Krikštolaitis, A.E. Lutynska, S. Pečiulytė & I. Žutautaitė Vytautas Magnus University, Kaunas, Lithuania

ABSTRACT

In many areas models of different processes take into account various factors that are time-dependent and dependent on each other. Thus, it is advisable to construct dynamic model in order to describe these dependences. In dynamic model we use indicators. An indicator is a special index, which provides numerical values to important factors for the investigated sector. Coefficients of differential equations system may be calculated using different methods: algebraic, statistical, etc (Augutis et al, 2012, Augutis et al, 2013). Aiming to find a particular solution for differential equations system, i.e. particular expression of each indicator as on time dependent function, we need to formulate initial conditions for differential equations system. Created dynamic model will enable us to forecast alternation of different systems factors, such as energy security level according to introducing new objects (Liquefied Natural Gas terminal (LNG), Visaginas Nuclear Power Plant (VNPP)).

Bayesian method allows updating estimates of all parameters in the model with a single new obtained observation. Bayesian method also allows taking into account the expert's opinion, i.e. when instead of real data we have experts opinion about factors behavior in the future. Therefore, the Bayesian method allows to include in the model not only the probable mean value, but also to evaluate the emerging uncertainties. Also the expert opinion on new object parameters may be involved to dynamic model through initial conditions of differential equations system. But there are weaknesses of this method: we need to have expert evaluation of all indicator values without uncertainties and this method does not allow to include more than one new object.

For practical demonstration of the proposed method technical blocks of energy security

systems in three Baltic States were chosen. Three generalized indicators describing electricity, gas and heat (district heat) were used. These indicators cover various aspects of technical infrastructure, aging of particular infrastructure, etc. Statistical data of 2007 – 2012 was used for calculation of differential equations system coefficients with least square method in cases of each country. Integral characteristic of technical blocks states in Lithuania, Latvia and Estonia are presented in in the paper.

Three scenarios were investigated regarding practical demonstration of the proposed method how to involve expert judgement into a dynamic model: neither LNG terminal nor VNPP are constructed; LNG plant will start up in 2015; VNPP will start up in 2022. Obtained results show that in case business-as-usual (doing nothing) the better results can be expected only in the case of district heat. This can be explained by the fact that LNG terminal may encourage additional use of gas, while preventing the use of biofuel and other renewables for heating. In other cases, new energy objects improve the situation.

ACKNOWLEDGEMENTS This research was funded by a grant (No. ATE-06/2012) from the Research Council of Lithuania.

REFERENCES Augutis, J., Pečiulytė, S., Krikštolaitis, R., Žutautaitė, I.

Ušpuras, E. 2012. Dynamic model for energy security level assessment. Risk Analysis VIII: 21-30. WitPress.

Augutis, J., Krikštolaitis, R., Lutynska, A.E., Pečiulytė, S., Žutautaitė. 2013. Evaluation of coefficients for energy security indicators system. SAFE 5: 21-30. WitPress.

INTRODUCTION

In many areas models of different processes take into account various factors that are time-dependent and dependent on each other. Thus, it is advisable to construct dynamic model in order to describe these dependences. In dynamic model we use indicators. An indicator is a special index, which provides numerical values to important factors for the investigated sector.

The paper presents a dynamic indicator model, involvement of expert judgement to dynamic model using a Bayesian method and pilot calculations. Pilot calculations of Lithuanian, Latvian and Estonian energy security from technical point of view were presented as an example. The calculations period was chosen from 2007 till 2012. Using the proposed model additional influence of two new energy facilities (LNG and VNPP) was evaluated. Liquefied Natural Gas (LNG) Terminal is one of the most important Lithuania‘s energy projects that will improve energy security situation in country, create conditions for natural gas market and provide economic boost for many local economies and residents. It is planned that LNG terminal is to be launched from the beginning of 2015. Visaginas nuclear power plant (VNPP) is a new nuclear plant in Visaginas which could be one of the main electricity generating facilities. VNPP construction is still under discussion phase.

DYNAMIC INDICATOR MODEL

Let us construct a homogeneous differential equations system, according to the interdependencies between indicators

,...d

...

,...d

2211

12121111

tIatIatIadt

tI

tIatIatIadt

tI

NNNNNN

NN

(1)

here aij, i,j=1,…, N are coefficients, Ii, i=1,…, N – indicators, describing factors of different areas. Coefficients aij, i,j=1,…,N in formula (1) may be calculated using different methods: algebraic, statistical, etc. In (Augutis, Pečiulytė et al, 2012) we proposed to use algebraic method for calculation of these coefficients. This method is quite limited, as we should have square matrices. So, the number of indicators and the number of time moments (when factual values of indicators are observed) must be the same. So, it is better to use least square method (LSM) for calculation of coefficients (Augutis, Krikštolaitis et al, 2013). Let us give the variation for each indicator NittIttItI iii ,...,1,/ and construct system of algebraic equations

....

...

,...

2211

12121111

tIatIatIatI

tIatIatIatI

NNNNNN

NN

(2)

We take values of each indicator in time moments tk, k=1,.., n and define Iik=Ii(tk), i=1,…, N, k=1,…, n. So, we have N algebraic systems of N equations with N

2 unknowns

.,...,1,,,...,1

,...2211

nkNi

IaIaIaI NkiNkikiik (3)

LSM is applied to calculate estimates of unknown coefficients of equation (3) with assumption that aii=0, i=1,…,N. For the application of LSM number of observed factual values of indicators .1: Nnn In this way all

Involvement of expert judgement in dynamic model

R. Krikštolaitis, A.E. Lutynska, S. Pečiulytė & I. Žutautaitė Vytautas Magnus University, Kaunas, Lithuania

ABSTRACT: In many areas models of different processes take into account various factors that are time-dependent and dependent on each other. Thus, it is advisable to construct a dynamic model in order to describe these dependences. In the dynamic model we use indicators. An indicator is a special index, which provides numerical values to important factors for the investigated sector. The values of indicators are obtained from statistical data. Also this dynamic model enables to forecast the dynamics of the indicators according to different new factors. Since the parameters of new factors are not exactly known (got from expert judgement), their influences on indicators are expressed as random variables with known probabilistic distributions. Indicators model based on historic data is adjusted by probabilistic model with the influence of new factors on indicators using a Bayesian method.

44

collected statistical data on factual values of indicators may be used.

The expression of the solution of differential equations system (1) depends on eigenvalues of system coefficients matrix A={aij}, i,j=1,…, N. If all eigenvalues are real and different numbers, the solution may be found according to the formula (4) (Golokvosčius, 2000)

N

j

t

jjjBCt

1

,e)(I (4)

here I(t)=(I1(t), I2(t),…, IN(t))T. If eigenvalues are

complex numbers ,2/,...,2,1i, Njjjj (N is even number in this case) the solution may be found according to the formula (5)

),sinicos~

sinicos~

(I

121222

2/

1

12121212

12

12

tteBC

tteBCt

jj

t

jj

N

j

jj

t

jj

j

j

(5)

here B=(b1,…, bn)T – vector of constants,

.i~

jjj CCC Also the solution of differential equations system (1) may be the combination of expressions from formulas (4) and (5). Aiming to find a particular solution for differential equations system (1), i.e. particular expression of each indicator as on time dependent function, we need to formulate initial conditions for differential equations system. Constants Ci, i=1,…,N of general solution may be found by solving system of differential equations (1) in time moment t0

,...,, 00

0101 NN ItIItI (6)

here Ii0, i=1,…, N - normalized factual value of

indicator in time moment t0. Suppose, that coefficient matrix A of

differential equations system (1) is normal, id est P

-1=P

*, here P is a matrix composed from

eigenvectors of matrix A, P* - joint matrix to

matrix P. And if Nkk ...0... 11 then stability estimate of differential equations system (1) solution is

22)0(Ie)(I 1 t

t . (7)

Created dynamic model will enable us to forecast alternation of different systems factors, such as energy security level according to introducing new objects. In this case we should correct the initial conditions (6) of differential equations system. Since parameters of new objects are not exactly known, these uncertainties should be reflected in the initial conditions. Thus,

in such conditions, the values of indicators are random variables.

In mathematical statistics theory it is well known that Bayesian method allows a combination of two kinds of information: prior (for instance, generic statistic data, subjective option of experts) and measurements or observations (Bernardo et al, 2003; Berthold et al, 2003). Bayesian method allows updating estimates of all parameters in the model with a single new obtained observation, i.e. Bayesian method does not require to have new information on the values of all factors involved in the created model.

Bayesian method also allows taking into account the expert's opinion, i.e. when instead of real data we have experts opinion about factors behavior in the future. In our case, the pilot calculations are used for analyzing influence of two energy projects on energy security. One of the projects (LNG terminal) is almost at the completion stage, so the uncertainty due to the start of operation is minimal. The bigger uncertainty is with another project (VNPP). Currently it is not clear whether the project will be implemented. Therefore, the Bayesian method allows to include in the model not only the probable mean value, but also to evaluate the emerging uncertainties. Also the expert opinion on new object parameters may be involved to dynamic model through initial conditions of differential equations system (6). In this case we should find a new separate solution of differential equations system (1). But there are weaknesses of this method: we need to have expert evaluation of all indicator values without uncertainties and this method does not allow to include more than one new object. So, while calculating the example, we used the Bayesian method for involving expert judgement on new objects, as it is more appropriate.

Expert judgment – probable mean values of indicators time t

*: I(t

*) = (I1

*, …, IN

*), with

standard deviations σi, i = 1, …, N, that represent uncertainties. Ci , i = 1, …, N, in (4) or (5) solution of differential equations system (1) are independent random variables, with prior probability density functions (pdfs) pi (xi), i = 1, …, N.

In our case, non-stationary processes are analyzed, i.e. the values of factors depend on time t. Classical application of Bayesian method is not correct in this case, because observations obtained in different time moments represent the other state of the indicators. The modified

45

application of Bayesian method for the calculation estimates of parameters of non-stationary process mathematical models is presented in research papers (Augutis et al, 2012; Žutautaitė-Šeputienė et al, 2010).

EXAMPLE OF CALCULATION

For practical demonstration of the proposed method technical blocks of energy security systems in three Baltic States – Lithuania, Latvia and Estonia were chosen. Three generalized indicators describing electricity (I1(t)), gas (I2(t)) and heat (district heat) (I3(t)) were used. These indicators cover various aspects of technical infrastructure, aging of particular infrastructure, etc. The selection of such aggregated indicators was determined by the development of new energy facilities in Lithuania, which mainly influence the condition of technical infrastructure.

Statistical data of 2007 – 2012 was used for calculation of differential equations system (1) coefficients with least square method in cases of each country (8).

.

003.005.0

8.0085.0

12.008.00

A

,

028.044.0

3.0029.0

66.04.00

A

,

048.052.0

48.1074.1

08.009.00

A

EE

LV

LT

(8)

All matrices ALT, ALV, and AEE are normal. As all eigenvalues of matrices (8) are real, so general solutions of (1) differential equations systems with coefficients (8) are constructed using expression of the solution (4):

,e12.0e614.0e65.0

,e11.0e05.1e87.0

,e1.0e06.0e17.0

01.076.02

77.013

01.076.02

77.012

01.076.02

77.011

tttLT

tttLT

tttLT

CCtI

CCtI

CCtI

(9)

,e74.0e6.0e84.0

,e22.1e06.0e77.0

,e8.0e73.0e49.0

01.051.02

52.013

01.051.02

52.012

01.051.02

52.011

tttLV

tttLV

tttLV

CCtI

CCtI

CCtI

(10)

.e74.0e6.0e84.0

,e22.1e06.0e77.0

,e87.0e35.1e82.0

28.028.02

004.013

28.028.02

004.012

28.028.02

004.011

tttEE

tttEE

tttEE

CCtI

CCtI

CCtI

(11)

Using stability estimate of differential equations system solution (7), there was checked up the stability of solutions (9) – (11) taking factual values of indicators in each year from 2007 till 2012 as initial conditions (I(0)) of differential equations systems. As all solutions are stable, constants Ci, i=1,2,3 of general solution were chosen in each country case to calculate using normalized factual values of indicators Ii, i=1,2,3 in 2012.

In Figures 1 – 3 are given functions of electricity, gas and heat indicators in each country (Lithuania, Latvia and Estonia) case in 2007 – 2015.

45

47

49

51

53

55

57

59

61

63

2007 2009 2011 2013 2015

LT

LV

EE

Figure 1. Electricity indicator I1(t).

The decrease of electricity indicator for

Lithuania is explainable by the fact that in the end of 2009 the main electricity generation source, Ignalina nuclear power plant, was shut down. The increase of electricity indicator of Latvia is explainable by the reconstruction of two blocks of Riga combined heat and power plant (Figure 1).

From 2010, the prevailing resource of electricity production in Lithuania has changed – basic production of electricity was ensured by power plants fuelled with gas. That is why we can see a decrease of gas indicator for Lithuania (Figure 2).

40

50

60

70

80

90

100

2007 2009 2011 2013 2015

LT

LV

EE

Figure 2. Gas indicator I2(t).

46

50

52

54

56

58

60

2007 2009 2011 2013 2015

LT

LV

EE

Figure 3. Heat indicator I3(t).

In Figure 3 heat indicator of Lithuania is

presented. This is determined by modernization of heat supply infrastructure.

In order to identify the technical blocks’ state in each country, a 100 percent assessment scale is used. The scale is divided into three main parts: normal state (66.67 – 100 percent), pre-critical state (33.33 – 66.67 percent) and critical state (0 – 33.33 percent). These three parts are further subdivided into five equal parts accordingly. The value of each indicator is evaluated by percent during the research year. The state of technical blocks is evaluated using equal weights of all indicators according to the formula

,332211ppp

IsIsIsTBS (12)

here piI , i=1,2,3 – value of indicator in percent,

si, i=1,2,3 – weight of each indicator (Augutis, Krikštolaitis et al, 2013). Integral characteristic of technical blocks states in Lithuania, Latvia and Estonia are presented in Figure 4. As changes of forecasted indicator values in 2013-2015 are very small, the assessment scale does not accurately reflect them. In order to be more accurate more a detailed scale is needed.

55%

60%

65%

70%

75%

80%

85%

2007 2009 2011 2013 2015

LT

LV

EE

Figure 4. Technical blocks state in Lithuania, Latvia and

Estonia.

Three scenarios were investigated regarding

practical demonstration of the proposed method how to involve expert judgement into a dynamic model:

scenario 1 – neither LNG terminal nor VNPP are constructed,

scenario 2 – LNG plant will start up in 2015, scenario 3 – VNPP will start up in 2022.

Probable mean values Ii

* of indicators Ii in cases

of two different scenarios are presented in Table 2. Table 2. Probable mean values of indicators in cases of two scenarios.

Indicator I1 I2 I3 Scenario

SC2 47.65 63.23 61

SC3 57.5 45 61

Let’s assume that at time moment t probability

distributions of indicators Ii(t) are normal with means that satisfy equality (9), here Ci (i = 1, 2, 3) are independent random variables. Ci can be determined using sum of constants and indicator products (form system of equations (1) with coefficient matrix ALT (8)). In case of normal distributions of indicators, probability distributions of random variables Ci (i = 1, 2, 3) are normal as well with means equal to values that are calculated for 2012, i.e. general solution of system of equations (1) with coefficient matrix ALT (8). Denote means are c1 = –6.562, c2 = –0.855, c3 = 451.116 and standard deviations are 10% of its means, i.e. si = 0.1ci (i = 1, 2, 3). Multidimensional probability density function (pdf)

3

1

2

2321 )(2

1exp

2

1),,(

i

ii

ii

cxss

xxxp . (13)

BM was applied to obtain posterior pdf

),,,|,,(),,(

),,|,,(

321

*

3

*

2

*

1321

*

3

*

2

*

1321

xxxIIILxxxp

IIIxxxp (14)

where L(∙) – likelihood function

3

1

3

1

*

2

321

*

3

*

2

*

1

,e2

1exp

),,|,,(

*

i j

t

ijji

i

jbxI

xxxIIIL

(15)

where σi – standard deviation as measure of uncertainty of indicator value forecast (of expert opinion).

47

The updated point estimates of random variables Ci (i = 1, 2, 3) are calculated using posterior pdf

,ddd),,|,,(ˆ321

*

3

*

2

*

1321 xxxIIIxxxpxC ii (16)

i = 1, 2, 3. Forecasted mean values of indicators

calculated with Bayesian method point estimates of random variables Ci (i = 1, 2, 3) was calculated in two scenario cases:

SC2: LNG in 2015 ( Ii* probable values

presented in Table 2, σi = 0.5, i = 1, 2, 3);

SC3: LNG in 2015 (Ii* probable values

presented in Table 2, σi = 0.5, i = 1, 2, 3) and VNPP in 2022 (Ii

* probable values

presented in Table 2, σi = 1, i = 1, 2, 3), i.e. BM was applied twice.

Obtained results presented in Figure 5.

25%

30%

35%

40%

45%

50%

55%

60%

65%

70%

2007 2009 2011 2013 2015 2017 2019 2021 2023 2025

I1 (SC1)

I2 (SC1)

I3 (SC1)

I1 (SC2)

I2 (SC2)

I3 (SC2)

I1 (SC3)

I2 (SC3)

I3 (SC3)

Figure 5. Electricity indicator I1(t) (blue line), gas indicator I2(t) (black line), heat indicator I3(t) (red line); indicators Ii(t) of: SC1 (dot line), SC2 (solid line), SC3 (dash line), i = 1, 2, 3.

In Figure 5 it is presented that in case business-

as-usual (doing nothing) the better results can be expected only in the case of district heat. This can be explained by the fact that LNG terminal may encourage additional use of gas, while preventing the use of biofuel and other renewables for heating. In other cases, new energy objects improve the situation.

In order to be more accurate in long term construction of new facilities it is recommended to recalculate not only separate solution, but also differential equations system (1) coefficients matrix A.

CONCLUSIONS 1. The method, based on Bayesian method,

explaining how to involve expert judgement as preliminary information

with uncertainties on future projects into dynamic different indicator model, is proposed. The solution of this differential indicators system can be used for evaluation of indicators in the future according to the expert opinions.

2. The comparison of energy sector technical block states in three Baltic countries (Lithuania, Latvia and Estonia) was carried out according to the developed methodology. The technical block state is highest in Latvia (approx. 80 percent in 100 percent scale). In Estonia this state is equal to approx. 73 percent, and in Lithuania – approx. 60 percent.

3. The created method of involvement of expert judgement was illustrated by calculating examples for two scenarios – building liquefied natural gas terminal in 2015 and Visaginas nuclear power plant in 2022.

ACKNOWLEDGEMENTS This research was funded by a grant (No. ATE-06/2012) from the Research Council of Lithuania.

REFERENCES Augutis, J., Pečiulytė, S., Krikštolaitis, R., Žutautaitė, I.

Ušpuras, E. 2012. Dynamic model for energy security level assessment. Risk Analysis VIII: 21-30. WitPress.

Augutis, J., Krikštolaitis, R., Lutynska, A.E., Pečiulytė, S., Žutautaitė. 2013. Evaluation of coefficients for energy security indicators system. SAFE 5: 21-30. WitPress.

Bernardo, J. M. & Smith A. F. M., 2003. Bayesian theory. John Wiley & Sons.

Berthold, M. & Hand D.J., 2003. Intelligent Data Analysis. 2nd edition.

Golokvosčius, P. 2000. Differential equations. Vilnius: TEV (in Lithuanian).

Liquefied Natural Gas Terminal. http://www.sgd.lt

Žutautaitė-Šeputienė, I., Augutis, J., Telksnys, L., 2010. Parameters estimation in modelling of gas-gap in RBMK type reactor using Bayesian approach. Informatica, 21(2):295-306.

LNG VNPP

http://www.sgd.lt/

4 PRIEDAS

DEVYNIŲ INDIKATORIŲ SPRĘSTO UŽDAVINIO MAPLE PROGRAMOS KODAS

> restart;

> with(linalg);

> with(LinearAlgebra); with(plots);

> n := 9;

> IN := Matrix(9, 12, [94.33846154, 94.33846154, 94.05128205, 75.74358974,

76.88205128, 77.41538462, 77.52820513, 65.03589744, 65.03589744, 69.32344342, 70.93781267,

72.39257294, 45.07628294, 45.07628294, 45.29616725, 32.86978508, 31.9724545, 31.56872268,

31.48462097, 44.65819306, 44.65819306, 11.77650218, 11.21396992, 13.40996169, 47.2255489,

47.2255489, 46.86076451, 31.83530678, 31.15617593, 30.74324324, 30.73525591, 43.15943086,

43.15943086, 60.87873462, 59.29476207, 57.99466034, 21.19203827, 13.41874562, 11.7833507,

11.41560532, 13.71812214, 15.11844513, 13.22233868, 12.91931396, 11.29705948, 15.07750473,

17.63453129, 13.7575398, 44.54863974, 51.27483105, 59.5347766, 48.00183739, 70.81615419,

62.44841816, 74.42618021, 69.29181929, 70.63882793, 73.93168907, 72.10697673, 59.64968865,

58.51261018, 42.3058091, 52.01211539, 62.48992822, 57.24159519, 75.41671072, 82.75216311,

79.21616343, 70.11514357, 63.53658537, 67.38676766, 64.29306648, 1.317824786, 1.702351897,

0, .659203595, 6.714831057, 12.03673035, 7.697781995, 10.78068583, 4.361093294,

55.01772342, 64.36231938, 62.9330687, 95.24662582, 95.59508157, 94.9440422, 95.10384294,

93.08929067, 91.88665187, 90.75430481, 90.24418295, 89.79332708, 69.22729012, 62.92309607,

66.17880374, 10.984, 10.26, 10.939, 9.91412, 8.73121, 8.3189, 8.54023, 8.10383, 8.77357,

8.43141, 9.28881, 10.29209]);

> A := Matrix(9, 9, [0, .197, -.321, .734, .596, -.405, 0.61e-1, -.358, 1.421, -.474, 0, .102,

4.358, -0.73e-1, .497, -1.159, -1.42, 9.43, .894, .764, 0, -4.284, .236, -.2, 1.169, .785, -13.679, -.136,

-.347, .11, 0, .139, -0.4e-1, -.109, .188, -.484, .579, -.441, .46, .438, 0, -.137, -.309, .27, -6.819, -

.107, -0.37e-1, -.938, 1.661, 0.42e-1, 0, 0.48e-1, -.262, 5.108, .457, -2.053, 2.049, -3.277, -.179, -

.31, 0, 2.36, -19.527, 0.39e-1, 1.325, -1.332, -1.346, -0.98e-1, -.152, 1.085, 0, 2.562, 0.78e-1, 0.75e-

1, -0.22e-1, -.248, 0.19e-1, 0.42e-1, 0.31e-1, -.1, 0]);

matricos normalumo tikrinimas

> b1 := evalf(multiply(Adjoint(A), A), 4); b2 := evalf(multiply(A, Adjoint(A)), 4);

norm(b1-b2, 2);

0.03129849881

49

Matricos tikrinės reikšmės ir jų tikriniai vektoriai

> v := eigenvectors(A); eigenvalues(A);

-2.068105175, -0.5847110994 + 0.6615424669 I, -0.5847110994 - 0.6615424669 I,

1.524387352, 0.2346312543 + 0.4706806067 I, 0.2346312543 - 0.4706806067 I,

0.6305010609 + 0.3032331585 I, 0.6305010609 - 0.3032331585 I, -0.01712460852

> a1 := -2.068105174; b[1][1] := .19513; b[1][2] := -0.39335302e-1; b[1][3] :=

.1534384028; b[1][4] := -0.50794443e-1; b[1][5] := -.1644221095; b[1][6] := .1469649154; b[1][7]

:= -.5974681474; b[1][8] := .3843336368; b[1][9] := 0.1567344069e-1;

> a2 := -0.17124609e-1; b[2][1] := .5448943503; b[2][2] := .2865419930; b[2][3] :=

.3198913957; b[2][4] := 0.9342688807e-1; b[2][5] := .5133217901; b[2][6] := .4916662152;

b[2][7] := 0.7828169364e-1; b[2][8] := .6781400819; b[2][9] := 0.7003090933e-1;

> a3 := 1.524387342; b[3][1] := -0.61902244e-1; b[3][2] := .8038846838; b[3][3] := -

.6117455145; b[3][4] := -.11069948; b[3][5] := -.214150909; b[3][6] := .2048193082; b[3][7] := -

1.554362553; b[3][8] := .2473099425; b[3][9] := 0.1836289077e-1;

> a4 := -.5847111011; b4 := .661542466; br[4][1] := .3573804885; bm[4][1] :=

.229113829; br[4][2] := .2787274175; bm[4][2] := -0.89875215e-1; br[4][3] := -.400294805;

bm[4][3] := -.270984287; br[4][4] := -0.84351139e-1; bm[4][4] := .1527136458; br[4][5] := -

.143455883; bm[4][5] := -.417749655; br[4][6] := .437253179; bm[4][6] := -.239258969; br[4][7]

:= -.8735690402; bm[4][7] := .2898299724; br[4][8] := .3522321611; bm[4][8] := -.2471530750;

br[4][9] := -0.28183671e-1; bm[4][9] := -0.23220902e-1;

> a5 := .6305010627; b5 := .303233155; br[5][1] := 1.136730079; bm[5][1] :=

.9420868603; br[5][2] := -2.477942654; bm[5][2] := -1.088785464; br[5][3] := 1.318043169;

bm[5][3] := 1.587606800; br[5][4] := .2974171525; bm[5][4] := .1006171084; br[5][5] :=

.4470495265; bm[5][5] := .9229787553; br[5][6] := 0.26654225e-1; bm[5][6] := -1.233985028;

br[5][7] := 4.289949766; bm[5][7] := 2.290866653; br[5][8] := -1.211964627; bm[5][8] := -

.947996137; br[5][9] := .1215785301; bm[5][9] := 0.42192693e-1;

> a6 := .2346312561; b6 := .4706806076; br[6][1] := 0.968244297e-1; bm[6][1] := -

.1322702486; br[6][2] := .2787135132; bm[6][2] := .3238513672; br[6][3] := .2749878503;

bm[6][3] := .5052269627; br[6][4] := -.1870466982; bm[6][4] := 0.5171278458e-1; br[6][5] := -

.2849381844; bm[6][5] := .1940772766; br[6][6] := -.8804382210; bm[6][6] := .2376781237;

br[6][7] := -.4791773317; bm[6][7] := .3109290322; br[6][8] := -0.45709499e-1; bm[6][8] := -

.1242887852; br[6][9] := 0.5752525660e-1; bm[6][9] := -0.5567824e-2;

50

bendrasis uždavinio sprendinys

> for i to 9 do N[i] :=

c1*b[1][i]*exp(a1*t)+c2*b[2][i]*exp(a2*t)+c3*b[3][i]*exp(a3*t)+c4*(br[4][i]*cos(b4*t)-

bm[4][i]*sin(b4*t))*exp(a4*t)+c5*(bm[4][i]*cos(b4*t)+br[4][i]*sin(b4*t))*exp(a4*t)+c6*(br[5][i]

*cos(b5*t)-

bm[5][i]*sin(b5*t))*exp(a5*t)+c7*(bm[5][i]*cos(b5*t)+br[5][i]*sin(b5*t))*exp(a5*t)+c8*(br[6][i]

*cos(b6*t)-bm[6][i]*sin(b6*t))*exp(a6*t)+c9*(bm[6][i]*cos(b6*t)+br[6][i]*sin(b6*t))*exp(a6*t)

end do;

I1=0.19513 c1 exp(-2.068105174 t) + 0.5448943503 c2 exp(-0.017124609 t)- 0.061902244

c3 exp(1.524387342 t) + c4 (0.3573804885 cos(0.661542466 t)- 0.229113829 sin(0.661542466 t))

exp(-0.5847111011 t) + c5 (0.229113829cos(0.661542466 t) + 0.3573804885 sin(0.661542466 t))

exp(-0.5847111011 t) + c6(1.136730079 cos(0.303233155 t) - 0.9420868603 sin(0.303233155 t))

exp(0.6305010627 t) + c7 (0.9420868603 cos(0.303233155 t)+ 1.136730079 sin(0.303233155 t))

exp(0.6305010627 t) + c8 (0.0968244297cos(0.4706806076 t) + 0.1322702486 sin(0.4706806076

t)) exp(0.2346312561 t) + c9(-0.1322702486 cos(0.4706806076 t) + 0.0968244297

sin(0.4706806076 t)) exp(0.2346312561 t)

I2=-0.039335302 c1 exp(-2.068105174 t) + 0.2865419930 c2 exp(-0.017124609 t)+

0.8038846838 c3 exp(1.524387342 t) + c4 (0.2787274175 cos(0.661542466 t) + 0.089875215

sin(0.661542466 t)) exp(-0.5847111011 t) + c5 (-0.089875215 cos(0.661542466 t) + 0.2787274175

sin(0.661542466 t)) exp(-0.5847111011 t) + c6 (-2.477942654 cos(0.303233155 t) + 1.088785464

sin(0.303233155 t)) exp(0.6305010627 t) + c7 (-1.088785464 cos(0.303233155 t) - 2.477942654

sin(0.303233155 t)) exp(0.6305010627 t) + c8 (0.2787135132 cos(0.4706806076 t) - 0.3238513672

sin(0.4706806076 t)) exp(0.2346312561 t) + c9 (0.3238513672 cos(0.4706806076 t) +

0.2787135132 sin(0.4706806076 t)) exp(0.2346312561 t)

I3=0.1534384028 c1 exp(-2.068105174 t) + 0.3198913957 c2 exp(-0.017124609 t) -

0.6117455145 c3 exp(1.524387342 t) + c4 (-0.400294805 cos(0.661542466 t) + 0.270984287

sin(0.661542466 t)) exp(-0.5847111011 t) + c5 (-0.270984287 cos(0.661542466 t) - 0.400294805

sin(0.661542466 t)) exp(-0.5847111011 t) + c6 (1.318043169 cos(0.303233155 t) - 1.587606800

sin(0.303233155 t)) exp(0.6305010627 t) + c7 (1.587606800 cos(0.303233155 t) + 1.318043169

sin(0.303233155 t)) exp(0.6305010627 t) + c8 (0.2749878503 cos(0.4706806076 t) - 0.5052269627

sin(0.4706806076 t)) exp(0.2346312561 t) + c9(0.5052269627 cos(0.4706806076 t) +

0.2749878503 sin(0.4706806076 t)) exp(0.2346312561 t)

51

I4=-0.050794443 c1 exp(-2.068105174 t) + 0.09342688807 c2 exp(-0.017124609 t) -

0.11069948 c3 exp(1.524387342 t) + c4 (-0.084351139 cos(0.661542466 t) - 0.1527136458

sin(0.661542466 t)) exp(-0.5847111011 t) + c5 (0.1527136458 cos(0.661542466 t) - 0.084351139

sin(0.661542466 t)) exp(-0.5847111011 t) + c6 (0.2974171525 cos(0.303233155 t) - 0.1006171084

sin(0.303233155 t)) exp(0.6305010627 t) + c7 (0.1006171084 cos(0.303233155 t) + 0.2974171525

sin(0.303233155 t)) exp(0.6305010627 t) + c8 (0.1870466982 cos(0.4706806076 t) -

0.05171278458 sin(0.4706806076 t)) exp(0.2346312561 t) + c9 (0.05171278458 cos(0.4706806076

t) - 0.1870466982 sin(0.4706806076 t)) exp(0.2346312561 t)

I5=-0.1644221095 c1 exp(-2.068105174 t) + 0.5133217901 c2 exp(-0.017124609 t) -

0.214150909 c3 exp(1.524387342 t) + c4 (-0.143455883 cos(0.661542466 t) + 0.417749655

sin(0.661542466 t)) exp(-0.5847111011 t) + c5 (0.417749655 cos(0.661542466 t) - 0.143455883

sin(0.661542466 t)) exp(-0.5847111011 t) + c6 (0.4470495265 cos(0.303233155 t) - 0.9229787553

sin(0.303233155 t)) exp(0.6305010627 t) + c7 (0.9229787553 cos(0.303233155 t) + 0.4470495265

sin(0.303233155 t)) exp(0.6305010627 t) + c8 (-0.2849381844 cos(0.4706806076 t) -

0.1940772766 sin(0.4706806076 t)) exp(0.2346312561 t) + c9 (0.1940772766 cos(0.4706806076 t)

- 0.2849381844 sin(0.4706806076 t)) exp(0.2346312561 t)

I6=0.1469649154 c1 exp(-2.068105174 t) + 0.4916662152 c2 exp(-0.017124609 t) +

0.2048193082 c3 exp(1.524387342 t) + c4 (0.437253179 cos(0.661542466 t) + 0.239258969

sin(0.661542466 t)) exp(-0.5847111011 t) + c5 (0.239258969 cos(0.661542466 t) + 0.437253179

sin(0.661542466 t)) exp(-0.5847111011 t) + c6 (0.026654225 cos(0.303233155 t) + 1.233985028

sin(0.303233155 t)) exp(0.6305010627 t) + c7 (1.233985028 cos(0.303233155 t) + 0.026654225

sin(0.303233155 t)) exp(0.6305010627 t) + c8 (-0.8804382210 cos(0.4706806076 t) -

0.2376781237 sin(0.4706806076 t)) exp(0.2346312561 t) + c9 (0.2376781237 cos(0.4706806076 t)

- 0.8804382210 sin(0.4706806076 t)) exp(0.2346312561 t)

I7=-0.5974681474 c1 exp(-2.068105174 t) + 0.07828169364 c2 exp(-0.017124609 t) -

1.554362553 c3 exp(1.524387342 t) + c4 (-0.8735690402 cos(0.661542466 t) - 0.2898299724

sin(0.661542466 t)) exp(-0.5847111011 t) + c5 (0.2898299724 cos(0.661542466 t) - 0.8735690402

sin(0.661542466 t)) exp(-0.5847111011 t) + c6 (4.289949766 cos(0.303233155 t) - 2.290866653

sin(0.303233155 t)) exp(0.6305010627 t) + c7 (2.290866653 cos(0.303233155 t) + 4.289949766

sin(0.303233155 t)) exp(0.6305010627 t) + c8 (0.4791773317 cos(0.4706806076 t) - 0.3109290322

sin(0.4706806076 t)) exp(0.2346312561 t) + c9 (0.3109290322 cos(0.4706806076 t) -

0.4791773317 sin(0.4706806076 t)) exp(0.2346312561 t)

52

I8=0.3843336368 c1 exp(-2.068105174 t) + 0.6781400819 c2 exp(-0.017124609 t) +

0.2473099425 c3 exp(1.524387342 t) + c4 (0.3522321611 cos(0.661542466 t) + 0.2471530750

sin(0.661542466 t)) exp(-0.5847111011 t) + c5 (0.2471530750 cos(0.661542466 t) + 0.3522321611

sin(0.661542466 t)) exp(-0.5847111011 t) + c6 (-1.211964627 cos(0.303233155 t) + 0.947996137

sin(0.303233155 t)) exp(0.6305010627 t) + c7 (0.947996137 cos(0.303233155 t) - 1.211964627

sin(0.303233155 t)) exp(0.6305010627 t) + c8 (-0.045709499 cos(0.4706806076 t) + 0.1242887852

sin(0.4706806076 t)) exp(0.2346312561 t) + c9 (0.1242887852 cos(0.4706806076 t) - 0.045709499

sin(0.4706806076 t)) exp(0.2346312561 t)

I9=0.01567344069 c1 exp(-2.068105174 t) + 0.07003090933 c2 exp(-0.017124609 t) +

0.01836289077 c3 exp(1.524387342 t) + c4 (-0.028183671 cos(0.661542466 t) + 0.023220902

sin(0.661542466 t)) exp(-0.5847111011 t) + c5 (0.023220902 cos(0.661542466 t) - 0.028183671

sin(0.661542466 t)) exp(-0.5847111011 t) + c6 (0.1215785301 cos(0.303233155 t) - 0.042192693

sin(0.303233155 t)) exp(0.6305010627 t) + c7 (0.042192693 cos(0.303233155 t) + 0.1215785301

sin(0.303233155 t)) exp(0.6305010627 t) + c8 (0.05752525660cos(0.4706806076 t) + 0.005567824

sin(0.4706806076 t)) exp(0.2346312561 t) + c9(-0.005567824 cos(0.4706806076 t) +

0.05752525660 sin(0.4706806076 t)) exp( 0.2346312561 t)

> for i to 9 do n[i] := evalf(subs(t = 0, N[i])) end do;

pradinio uždavinio konstantos

> spr := evalf(solve({IN[1, 12] = n[1], IN[2, 12] = n[2], IN[3, 12] = n[3], IN[4, 12] = n[4],

IN[5, 12] = n[5], IN[6, 12] = n[6], IN[7, 12] = n[7], IN[8, 12] = n[8], IN[9, 12] = n[9]}, {c1, c2, c3,

c4, c5, c6, c7, c8, c9}));

{c1 = -6.447494069, c2 = 119.4976885, c3 = -6.930947478, c4 = 4.578640025,

c5 = -0.02887193249, c6 = 16.33284941, c7 = -11.45340318, c8 = 15.57369274,

c9 = 21.21066725}

> c[1] := -6.447508318; c[2] := 119.4976995; c[3] := -6.930943168; c[4] := 4.578702774;

c[5] := -0.2884681057e-1; c[6] := 16.33284991; c[7] := -11.45340489; c[8] := 15.57372970; c[9] :=

21.21070484;

> for i to 9 do S[i] :=

evalf(c[1]*b[1][i]*exp(a1*t)+c[2]*b[2][i]*exp(a2*t)+c[3]*b[3][i]*exp(a3*t)+c[4]*(br[4][i]*cos(b4

*t)-

bm[4][i]*sin(b4*t))*exp(a4*t)+c[5]*(bm[4][i]*cos(b4*t)+br[4][i]*sin(b4*t))*exp(a4*t)+c[6]*(br[5]

[i]*cos(b5*t)-

bm[5][i]*sin(b5*t))*exp(a5*t)+c[7]*(bm[5][i]*cos(b5*t)+br[5][i]*sin(b5*t))*exp(a5*t)+c[8]*(br[6]

53

[i]*cos(b6*t)-

bm[6][i]*sin(b6*t))*exp(a6*t)+c[9]*(bm[6][i]*cos(b6*t)+br[6][i]*sin(b6*t))*exp(a6*t)) end do;

indikatorių kitimo kreives

> gr1 := plot(S[1], t = -2*(1/10) .. 14*(1/10), color = pink, thickness = 2); gr2 := plot(S[2],

t = -2*(1/10) .. 14*(1/10), color = orange, thickness = 2); gr3 := plot(S[3], t = -2*(1/10) .. 14*(1/10),

color = cyan, thickness = 2); gr4 := plot(S[4], t = -2*(1/10) .. 14*(1/10), color = gray, thickness =

2); gr5 := plot(S[5], t = -2*(1/10) .. 14*(1/10), color = black, thickness = 2); gr6 := plot(S[6], t = -

2*(1/10) .. 14*(1/10), color = red, thickness = 2); gr7 := plot(S[7], t = -2*(1/10) .. 14*(1/10), color =

green, thickness = 2); gr8 := plot(S[8], t = -2*(1/10) .. 14*(1/10), color = blue, thickness = 2); gr9 :=

plot(S[9], t = -2*(1/10) .. 14*(1/10), color = yellow, thickness = 2);

konstantų patikslinimas po SGD torminalo pastatymo

> for i to 9 do si[i] := .1*c[i] end do;

> for i to 9 do indx[i] := subs(t = 3/10, c1 = x1, c2 = x2, c3 = x3, c4 = x4, c5 = x5, c6 = x6,

c7 = x7, c8 = x8, c9 = x9, N[i]) end do;

> L := exp(-(x1-c[1])^2/(2*si[1]^2))*exp(-(x2-c[2])^2/(2*si[2]^2))*exp(-(x3-

c[3])^2/(2*si[3]^2))*exp(-(x4-c[4])^2/(2*si[4]^2))*exp(-(x5-c[5])^2/(2*si[5]^2))*exp(-(x6-

c[6])^2/(2*si[6]^2))*exp(-(x7-c[7])^2/(2*si[7]^2))*exp(-(x8-c[8])^2/(2*si[8]^2))*exp(-(x9-

c[9])^2/(2*si[9]^2));

> IND[1] := 71; IND[2] := 15; IND[3] := 65; IND[4] := 15; IND[5] := 50; IND[6] := 70;

IND[7] := 55; IND[8] := 63; IND[9] := 8;

> for i to 9 do L := L*exp(-(IND[i]-indx[i])^2/(2*.5^2)) end do;

> vardiklis := evalf(int(L, [x1 = -infinity .. infinity, x2 = -infinity .. infinity, x3 = -infinity ..

infinity, x4 = -infinity .. infinity, x5 = -infinity .. infinity, x6 = -infinity .. infinity, x7 = -infinity ..

infinity, x8 = -infinity .. infinity, x9 = -infinity .. infinity])); c1[1] := evalf(int(x1*L, [x1 = -infinity

.. infinity, x2 = -infinity .. infinity, x3 = -infinity .. infinity, x4 = -infinity .. infinity, x5 = -infinity ..


infinity]))/vardiklis; c1[2] := evalf(int(x2*L, [x1 = -infinity .. infinity, x2 = -infinity .. infinity, x3 =

-infinity .. infinity, x4 = -infinity .. infinity, x5 = -infinity .. infinity, x6 = -infinity .. infinity, x7 = -

infinity .. infinity, x8 = -infinity .. infinity, x9 = -infinity .. infinity]))/vardiklis; c1[3] :=

evalf(int(x3*L, [x1 = -infinity .. infinity, x2 = -infinity .. infinity, x3 = -infinity .. infinity, x4 = -

infinity .. infinity, x5 = -infinity .. infinity, x6 = -infinity .. infinity, x7 = -infinity .. infinity, x8 = -

infinity .. infinity, x9 = -infinity .. infinity]))/vardiklis; c1[4] := evalf(int(x4*L, [x1 = -infinity ..




54





infinity .. infinity, x9 = -infinity .. infinity]))/vardiklis; c1[7] := evalf(int(x7*L, [x1 = -infinity ..








infinity .. infinity, x9 = -infinity .. infinity]))/vardiklis;

-3.609585048

116.4977027

-3.020538843

6.085839117

-0.02883902520

18.42373389

-13.40895115

18.51809400

34.70099260

inidatorių funkcijų patikslinimas po SGD teminalo

> for i to 9 do SB[i] := evalf(subs(c1 = c1[1], c2 = c1[2], c3 = c1[3], c4 = c1[4], c5 = c1[5],

c6 = c1[6], c7 = c1[7], c8 = c1[8], c9 = c1[9], N[i])) end do;

> grb1 := plot(SB[1], t = 3/10 .. 14*(1/10), color = pink, linestyle = dot, thickness = 3);

grb2 := plot(SB[2], t = 3/10 .. 14*(1/10), color = orange, linestyle = dot, thickness = 3); grb3 :=

plot(SB[3], t = 3/10 .. 14*(1/10), color = cyan, linestyle = dot, thickness = 3); grb4 := plot(SB[4], t

= 3/10 .. 14*(1/10), color = gray, linestyle = dot, thickness = 3); grb5 := plot(SB[5], t = 3/10 ..

14*(1/10), color = black, linestyle = dot, thickness = 3); grb6 := plot(SB[6], t = 3/10 .. 14*(1/10),

color = red, linestyle = dot, thickness = 3); grb7 := plot(SB[7], t = 3/10 .. 14*(1/10), color = green,

linestyle = dot, thickness = 3); grb8 := plot(SB[8], t = 3/10 .. 14*(1/10), color = blue, linestyle =

dot, thickness = 3); grb9 := plot(SB[9], t = 3/10 .. 14*(1/10), color = yellow, linestyle = dot,

thickness = 3);

55

konstantų patikslinimas po VAE atidarymo

> for i to 9 do si1[i] := .1*c1[i] end do;

> for i to 9 do indx1[i] := subs(t = 1, c1 = x1, c2 = x2, c3 = x3, c4 = x4, c5 = x5, c6 = x6,

c7 = x7, c8 = x8, c9 = x9, N[i]) end do;

> L1 := exp(-(x1-c1[1])^2/(2*si1[1]^2))*exp(-(x2-c1[2])^2/(2*si1[2]^2))*exp(-(x3-

c1[3])^2/(2*si1[3]^2))*exp(-(x4-c1[4])^2/(2*si1[4]^2))*exp(-(x5-c1[5])^2/(2*si1[5]^2))*exp(-(x6-

c1[6])^2/(2*si1[6]^2))*exp(-(x7-c1[7])^2/(2*si1[7]^2))*exp(-(x8-c1[8])^2/(2*si1[8]^2))*exp(-(x9-

c1[9])^2/(2*si1[9]^2));

> IND1[1] := 80; IND1[2] := 32; IND1[3] := 65; IND1[4] := 18; IND1[5] := 60; IND1[6]

:= 65; IND1[7] := 25; IND1[8] := 80; IND1[9] := 10;

> for i to 9 do L1 := L1*exp(-(1/2)*(IND1[i]-indx1[i])^2) end do;

> vardiklis1 := evalf(int(L1, [x1 = -infinity .. infinity, x2 = -infinity .. infinity, x3 = -


infinity .. infinity, x8 = -infinity .. infinity, x9 = -infinity .. infinity])); c2[1] := evalf(int(x1*L1, [x1

= -infinity .. infinity, x2 = -infinity .. infinity, x3 = -infinity .. infinity, x4 = -infinity .. infinity, x5 =


infinity .. infinity]))/vardiklis1; c2[2] := evalf(int(x2*L1, [x1 = -infinity .. infinity, x2 = -infinity ..


infinity, x7 = -infinity .. infinity, x8 = -infinity .. infinity, x9 = -infinity .. infinity]))/vardiklis1;

c2[3] := evalf(int(x3*L1, [x1 = -infinity .. infinity, x2 = -infinity .. infinity, x3 = -infinity .. infinity,

x4 = -infinity .. infinity, x5 = -infinity .. infinity, x6 = -infinity .. infinity, x7 = -infinity .. infinity, x8

= -infinity .. infinity, x9 = -infinity .. infinity]))/vardiklis1; c2[4] := evalf(int(x4*L1, [x1 = -infinity

.. infinity, x2 = -infinity .. infinity, x3 = -infinity .. infinity, x4 = -infinity .. infinity, x5 = -infinity ..


infinity]))/vardiklis1; c2[5] := evalf(int(x5*L1, [x1 = -infinity .. infinity, x2 = -infinity .. infinity, x3


-infinity .. infinity, x8 = -infinity .. infinity, x9 = -infinity .. infinity]))/vardiklis1; c2[6] :=

evalf(int(x6*L1, [x1 = -infinity .. infinity, x2 = -infinity .. infinity, x3 = -infinity .. infinity, x4 = -


infinity .. infinity, x9 = -infinity .. infinity]))/vardiklis1; c2[7] := evalf(int(x7*L1, [x1 = -infinity ..



infinity]))/vardiklis1; c2[8] := evalf(int(x8*L1, [x1 = -infinity .. infinity, x2 = -infinity .. infinity, x3


-infinity .. infinity, x8 = -infinity .. infinity, x9 = -infinity .. infinity]))/vardiklis1; c2[9] :=

56

evalf(int(x9*L1, [x1 = -infinity .. infinity, x2 = -infinity .. infinity, x3 = -infinity .. infinity, x4 = -


infinity .. infinity, x9 = -infinity .. infinity]))/vardiklis1;

-3.566481292

139.0387544

-1.694079096

6.611715371

-0.02883011856

9.520336596

-6.094692554

16.24428465

29.70413196

indikatorių asiskirstymo funkcija po VAE atidarymo

> for i to 9 do SB1[i] := evalf(subs(c1 = c2[1], c2 = c2[2], c3 = c2[3], c4 = c2[4], c5 =

c2[5], c6 = c2[6], c7 = c2[7], c8 = c2[8], c9 = c2[9], N[i])) end do;

> grb11 := plot(SB1[1], t = 1 .. 14*(1/10), color = pink, linestyle = dash, thickness = 2);

grb12 := plot(SB1[2], t = 1 .. 14*(1/10), color = orange, linestyle = dash, thickness = 2); grb13 :=

plot(SB1[3], t = 1 .. 14*(1/10), color = cyan, linestyle = dash, thickness = 2); grb14 := plot(SB1[4],

t = 1 .. 14*(1/10), color = gray, linestyle = dash, thickness = 2); grb15 := plot(SB1[5], t = 1 ..

14*(1/10), color = black, linestyle = dash, thickness = 2); grb16 := plot(SB1[6], t = 1 .. 14*(1/10),

color = red, linestyle = dash, thickness = 2); grb17 := plot(SB1[7], t = 1 .. 14*(1/10), color = green,

linestyle = dash, thickness = 2); grb18 := plot(SB1[8], t = 1 .. 14*(1/10), color = blue, linestyle =

dash, thickness = 2); grb19 := plot(SB1[9], t = 1 .. 14*(1/10), color = yellow, linestyle = dash,

thickness = 2);

Energijos tiekimo saugumo indikatorių funkcijos 2010 – 2026 metais

display(gr1, gr2, gr3, gr4, gr5, gr6, gr7, gr8, gr9, grb1, grb2, grb3, grb4, grb5, grb6, grb7,

grb8, grb9, grb11, grb12, grb13, grb14, grb15, grb16, grb17, grb18, grb19);

Dinaminio modelio sukūrimas ir taikymas indikatorių modeliavimui

Documents

Transcript of Dinaminio modelio sukūrimas ir taikymas indikatorių modeliavimui