Dinamika konstrukcija - predavanja

STABILNOSTSTABILNOSTII

DINAMIKADINAMIKAKONSTRUKCIJAKONSTRUKCIJA

Doc. dr DDoc. dr Duuššanan KovaKovaččevievićć

DINAMIKADINAMIKAKONSTRUKCIJAKONSTRUKCIJA

Dejstva na konstrukcijeDejstva na konstrukcije�� konstantan intenzitet tokom vremena bezkonstantan intenzitet tokom vremena bez

pojave inercijalnih silapojave inercijalnih sila�� male i/ili spore promene intenziteta imale i/ili spore promene intenziteta i

zanemarljivo male inercijalne silezanemarljivo male inercijalne sile�� velike i/ili brze promene intenziteta i malevelike i/ili brze promene intenziteta i male

inercijalne sileinercijalne sile�� velike inercijalne silevelike inercijalne sile

Statika konstrukcijaStatika konstrukcija�� konstantan intenzitet dejstva bez pojavekonstantan intenzitet dejstva bez pojave

inercijalnih silainercijalnih sila�� male i spore promene intenziteta dejstvamale i spore promene intenziteta dejstva

i zanemarljive inercijalne silei zanemarljive inercijalne sile�� promene intenziteta i/ili inercijalne silepromene intenziteta i/ili inercijalne silekoje ne ugrokoje ne ugrožžavaju nosivost, stabilnost iavaju nosivost, stabilnost i

upotrebljivost konstrukcijeupotrebljivost konstrukcije

Dinamika konstrukcijaDinamika konstrukcija�� velike i/ili brze promene intenzitetavelike i/ili brze promene intenziteta

dejstva i male inercijalne siledejstva i male inercijalne sile�� velike inercijalne silevelike inercijalne sile

�� promene intenziteta dejstva i/ilipromene intenziteta dejstva i/iliinercijalne sile koje ugroinercijalne sile koje ugrožžavaju nosivost,avaju nosivost,

stabilnost i upotrebljivost konstrukcijestabilnost i upotrebljivost konstrukcije

DinamiDinamiččka dejstvaka dejstva�� periodiperiodiččno promenljiva optereno promenljiva optereććenjaenja

(harmonijska i neharmonijska)(harmonijska i neharmonijska)�� udarna optereudarna optereććenja (velika brzinaenja (velika brzinananonanoššenja i kraenja i kraćće ili due ili dužže trajanje)e trajanje)

�� impulsna optereimpulsna optereććenja (velika brzinaenja (velika brzinananonanoššenja i rastereenja i rastereććenja)enja)

�� aperiodiaperiodiččna opterena optereććenja (sloenja (složženaenafrekventna karakteristika)frekventna karakteristika)

TT

PeriodiPeriodiččno promenljiva optereno promenljiva optereććenjaenja

�� ponavljanje u jednakim vremenskimponavljanje u jednakim vremenskimintervalimaintervalima

PP

tt

TT

Harmonijski promenljiva optereHarmonijski promenljiva optereććenjaenja

�� promena definisana harmonijskim funkcijamapromena definisana harmonijskim funkcijama

TT

PP

tt

∆∆tt

Udarna optereUdarna optereććenjaenja

�� promena intenziteta u veoma kratkompromena intenziteta u veoma kratkomintervalu vremenaintervalu vremena∆∆ P

P

PP

tt

∆∆tt

Impulsna optereImpulsna optereććenjaenja

�� optereoptereććenje i rastereenje i rastereććenje u veoma kratkomenje u veoma kratkomintervalu vremenaintervalu vremena∆∆ P

P

PP

tt

∆∆tt

Serija impulsnih optereSerija impulsnih optereććenjaenja

�� periodiperiodiččno optereno optereććenje i rastereenje i rastereććenje u veomaenje u veomakratkom intervalu vremenakratkom intervalu vremena

∆∆ PP

PP

tt

AperiodiAperiodiččna opterena optereććenjaenja

�� slosložžena frekventna karakteristikaena frekventna karakteristika -- definisanadefinisanau intervalimau intervalima

PP

tt

�� MODELIRANJE KONSTRUKCIJAMODELIRANJE KONSTRUKCIJA --kreiranje idealizovane i pojednostavljenekreiranje idealizovane i pojednostavljenereprezentacije ponareprezentacije ponaššanja konstrukcijaanja konstrukcija --

odluodluččujuujućći korak u procesu projektovanjai korak u procesu projektovanja�� GreGrešške i propusti u modeliranjuke i propusti u modeliranju

mogu da budu uzrok ozbiljnihmogu da budu uzrok ozbiljnihproblema i teproblema i tešškokoćća u projektovanjua u projektovanju�� NUMERINUMERIČČKO MODELIRANJE jeKO MODELIRANJE je

matematimatematiččka realizacija izabranog konceptaka realizacija izabranog konceptamodeliranja konstrukcijemodeliranja konstrukcije

CILJCILJ NUMERINUMERIČČKOG MODELIRANJAKOG MODELIRANJA

FormulisanjeFormulisanje ""optimalnooptimalno"" kompleksnogkompleksnogmodela ponamodela ponaššanja konstrukcije:anja konstrukcije:

�� realno potrebanrealno potreban kvalitetkvalitet aproksimacije...aproksimacije...�� usklađenost sa moguusklađenost sa moguććnostimanostimapraktipraktiččne realizacije i primene...ne realizacije i primene...

DINAMIDINAMIČČKI MODELIKI MODELI

�� veliveliččina i raspored masa...ina i raspored masa...�� veliveliččina i raspored priguina i raspored priguššenja...enja...�� veliveliččina i raspored krutosti...ina i raspored krutosti...

Raspored masa kod dinamiRaspored masa kod dinamiččkih modelakih modela

raspodeljeneraspodeljenemasemase

koncentrisanekoncentrisanemasemase

0.040.04 0.0120.012 0.0040.004

22 44 66 88 1010 1212 1414 1616 1818 20200.000.00

0.250.25

0.500.50

0.750.75

1.001.00

1.251.25

1.501.50

rela

tivna

gre

rela

tivna

gre

šška

pror

aka

pror

aččun

a [%

]un

a [%

]

TT TT

TT

−− 00

Model sa raspodeljenim masamaModel sa raspodeljenim masama

broj elemenata pobroj elemenata po šštapu sistematapu sistema

22 44 66 88 1010 1212 1414 1616 1818 2020broj elemenata pobroj elemenata po šštapu sistematapu sistema

112233445566778899

10101111

rela

tivna

gre

rela

tivna

gre

šška

pror

aka

pror

aččun

a [%

]un

a [%

] TT TT

TT

−− 00

0.050.05 0.030.03

Model sa koncentrisanim masamaModel sa koncentrisanim masama

�� Stepeni slobode dinamiStepeni slobode dinamiččkih modelakih modela --nezavisni parametri pomeranja kojinezavisni parametri pomeranja koji

određuju poloodređuju položžaj masa modelaaj masa modela

�� Broj stepeni slobodeBroj stepeni slobode --minimalan broj dodatnih veza zaminimalan broj dodatnih veza za

sprespreččavanje pomeranja masa dinamiavanje pomeranja masa dinamiččkogkogmodelamodela -- ne zavisi od "statine zavisi od "statiččkog" brojakog" broja

stepeni slobodestepeni slobode

Raspored masa dinamiRaspored masa dinamiččkih modelakih modela

Raspored masa dinamiRaspored masa dinamiččkih modelakih modelaokvirnog nosaokvirnog nosaččaa

Raspored masa dinamiRaspored masa dinamiččkog modelakog modelaluluččnog nosanog nosaččaa

Odnos broja stepeni slobode "s" i broja "m"Odnos broja stepeni slobode "s" i broja "m"masa dinamimasa dinamiččkih modelakih modela

s=ms=m s>ms>m

s<ms<m s=ms=m

Metode za dinamiMetode za dinamiččku analizuku analizusistemasistema

�� direktno redirektno reššavanje parcijlneavanje parcijlnediferencijalne jednadiferencijalne jednaččineine

�� metoda konametoda konaččnih elemenatanih elemenata�� metoda silametoda sila

Parcijalna diferencijalna jednaParcijalna diferencijalna jednaččinainapoprepopreččnih oscilacija gredenih oscilacija grede

MM00

VV00

MMll

VVll

φφ00

vvllvv00 φφll

ξξ ddξξ

ppyy(x,t)(x,t)

m(x)m(x)

))tt,,xx((ppttvv))xx((mm

xxvvEIEI

ttvv))xx((mm))tt,,xx((pp

xxvvEIEI yy22

22

44

44

22

22

yy44

44

==∂∂∂∂⋅⋅++

∂∂∂∂⋅⋅⇒⇒

∂∂∂∂⋅⋅−−==

∂∂∂∂⋅⋅

v=v(x,t)v=v(x,t)

Slobodne popreSlobodne popreččne oscilacije prostene oscilacije prostegredegrede

00))xx((vvωω))xx((mmdxdx

vvddEIEI 2244

44

==⋅⋅⋅⋅−−⋅⋅⇒⇒

ttωωsinsin))xx((vv))tt,,xx((vv ⋅⋅==

00ttvv))xx((mm

xxvvEIEI 22

22

44

44

==∂∂∂∂⋅⋅++

∂∂∂∂⋅⋅

4422

EIEIωωmmLLλλ⋅⋅

⋅⋅==

xxLLλλsinsinDDxx

LLλλcoscosCCxx

LLλλsinhsinhBBxx

LLλλcoshcoshAA))xx((vv ⋅⋅⋅⋅++⋅⋅⋅⋅++⋅⋅⋅⋅++⋅⋅⋅⋅==

Konturni uslovi i konstanteKonturni uslovi i konstante

00λλsinsinDD00λλsinhsinhBB

λλsinsinDDλλsinhsinhBB))LL((MM

λλsinsinDDλλsinhsinhBB))LL((vv

==⋅⋅==⋅⋅

⇒⇒

⋅⋅−−⋅⋅==

⋅⋅++⋅⋅==

00CC00АА

CCAA))00((MM

CCAA))00((vv

====

⇒⇒

−−==

++==

00dxdx

))LL((vvddEIEI))LL((MM 22

22

==⋅⋅−−==00dxdx

))00((vvddEIEI))00((MM 22

22

==⋅⋅−−==

00))LL((vv ==00))00((vv ==

LL

KruKružžna frekvencija i "j" oblikna frekvencija i "j" oblikoscilovanja proste gredeoscilovanja proste grede

LLxxππjjsinsinDD))xx((vv jjjj⋅⋅⋅⋅

⋅⋅==

,...),...)22,,11jj(())xx((mm

EIEILLππjjωω 22

2222

jj ==⋅⋅⋅⋅==

EIEIωω))xx((mm

LLππjjλλ 4422jj

jj

⋅⋅⋅⋅==⋅⋅==

,...),...)22,,11jj((ππjjλλ00λλsinsin00BB00λλ ==⋅⋅==⇒⇒==⇒⇒==⇒⇒≠≠

LL

KruKružžne frekvencije i oblici oscilovanjane frekvencije i oblici oscilovanjaproste grede (j=1,2,3)proste grede (j=1,2,3)

j=2j=2

j=1j=1

j=3j=3

))xx((mmEIEI

LLππωω 22

22

11 ⋅⋅==

))xx((mmEIEI

LLππ44ωω 22

22

22 ⋅⋅==

))xx((mmEIEI

LLππ99ωω 22

22

33 ⋅⋅==

Superpozicija oblika oscilovanjaSuperpozicija oblika oscilovanjaproste gredeproste grede

∫∫∫∫

∑∑∑∑

∑∑

⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅==⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅==

⋅⋅⋅⋅⋅⋅==⋅⋅⋅⋅

⋅⋅==

∂∂∂∂==

==

++⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

⋅⋅==

∞∞

==

∞∞

==

∞∞

==

11

00jj

11

00jj

11jjjj

11jjjj

11jjjjjjjj

dxdxLL

xxππjjsinsin))xx((''ffLL22''bbdxdx

LLxxππjjsinsin))xx((ff

LL22bb

LLxxππjjsinsin''bb))xx((''ff

LLxxππjjsinsinbb))xx((ff

tt))00,,xx((vv))xx((''ff

))00,,xx((vv))xx((ff

))φφttωω((LL

xxππjjsinsinDD))tt,,xx((vv

22jj

22jj22

jjjj

22jj

22jj

22jj

jjjjjjjj

jj

jjjj

jjjjjjjj

jjjjjj

11jjjjjjjj

11jjjj

11jjjjjj

11jjjj

ωω''bb

bbDD

''bbωωbbωωbb

φφsinsinωω''bb

bbφφtgtg

φφcoscosωωDD''bbφφsinsinDDbb

LLxxππjjsinsinφφcoscosωωDD

LLxxππjjsinsinbb

LLxxππjjsinsin

LLxxππjjφφsinsinDD

LLxxππjjsinsinbb

++==

++⋅⋅

⋅⋅==⋅⋅==

⋅⋅⋅⋅==⋅⋅==

⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅==⋅⋅⋅⋅

⋅⋅

⋅⋅⋅⋅⋅⋅

⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅==⋅⋅⋅⋅

⋅⋅

∑∑∑∑

∑∑∑∑∞∞

==

∞∞

==

∞∞

==

∞∞

==

Slobodne popreSlobodne popreččne oscilacije konzolene oscilacije konzole

00))xx((vvωω))xx((mmdxdx

vvddEIEI 2244

44

==⋅⋅⋅⋅−−⋅⋅⇒⇒

ttωωsinsin))xx((vv))tt,,xx((vv ⋅⋅==

00ttvv))xx((mm

xxvvEIEI 22

22

44

44

==∂∂∂∂⋅⋅++

∂∂∂∂⋅⋅

4422

EIEIωωmmLLλλ⋅⋅

⋅⋅==

xxLLλλsinsinDDxx

LLλλcoscosCCxx

LLλλsinhsinhBBxx

LLλλcoshcoshAA))xx((vv ⋅⋅⋅⋅++⋅⋅⋅⋅++⋅⋅⋅⋅++⋅⋅⋅⋅==

Konturni usloviKonturni uslovi

LL

00dxdx

))LL((vvddEIEI))LL((MM 22

22

==⋅⋅−−==

00dxdx

))LL((vvddEIEI))LL((VV 33

33

==⋅⋅−−==

00dxdx

))00((dvdv ==

00))00((vv ==

KruKružžne frekvencije i oblici oscilovanjane frekvencije i oblici oscilovanjakonzole (j=1,2,3)konzole (j=1,2,3)

j=2j=2

j=1j=1

j=3j=3LL

))xx((mmEIEI

LL875875..11ωω 22

22

11 ⋅⋅==

))xx((mmEIEI

LL694694..44ωω 22

22

22 ⋅⋅==

))xx((mmEIEI

LL855855..77ωω 22

22

33 ⋅⋅==

Stepen slobode pomeranjaStepen slobode pomeranjadinamidinamiččkih modelakih modela

�� realni sistemi imaju kontinualno raspoređenerealni sistemi imaju kontinualno raspoređenemase (bssmase (bss→∞→∞))

�� kontinualno raspoređena masakontinualno raspoređena masase modelira dovoljnim brojem koncentrisanihse modelira dovoljnim brojem koncentrisanih

masa (bssmasa (bss=N)=N)�� kontinualno raspoređena masakontinualno raspoređena masa

se modelira jednom koncentrisanom masomse modelira jednom koncentrisanom masom(bss=N)(bss=N)

DinamiDinamiččki modeli sa jednimki modeli sa jednimstepenom slobode pomeranjastepenom slobode pomeranja

Slobodne nepriguSlobodne nepriguššene oscilacijeene oscilacijedinamidinamiččkih modela sa jednim stepenomkih modela sa jednim stepenom

slobode pomeranjaslobode pomeranja

�� slobodne oscilacijeslobodne oscilacije ---- sistem osciluje bez spoljasistem osciluje bez spoljaššnjeg dejstvanjeg dejstva

ili poremeili poremeććajaaja�� mala vrednost prigumala vrednost priguššenja (enja (µ≈µ≈00))�� harmonijska funkcija promeneharmonijska funkcija promene

yy stst

mm

kk

mm⋅⋅ηη kk⋅⋅ηη

mm⋅⋅gg

mm -- masa tela [kg]masa tela [kg]gg -- gravitaciono ubrzanjegravitaciono ubrzanje

(9.81m/s(9.81m/s22))kk -- krutost opruge [N/m]krutost opruge [N/m] -- sila kojasila koja

izaziva jediniizaziva jediniččno pomeranjeno pomeranjeyystst -- statistatiččko pomeranje (ravnoteko pomeranje (ravnotežžnini

polopoložžaj)aj)y(t)y(t) -- pomeranje u odnosu napomeranje u odnosu na

ravnoteravnotežžni poloni položžaj (elongacija)aj (elongacija)ηη(t)(t) -- ukupno pomeranje (ukupno pomeranje (ηη(t)=(t)=y(t)+yy(t)+ystst))kk··ηη -- restituciona sila [N]restituciona sila [N]mm··ηη -- inercijalna silainercijalna sila [N][N]mm⋅⋅gg -- tetežžina tela [N]ina tela [N]

¨

ηη (t)(t)

y(t)

y(t)

Diferencijalna jednaDiferencijalna jednaččina slobodnih nepriguina slobodnih nepriguššenihenihoscilacija dinamioscilacija dinamiččkog modela sa jednimkog modela sa jednim

stepenom slobode pomeranjastepenom slobode pomeranja

dtdt))tt((dydy

dtdt))tt((ηηdd ==

))tt((yyyy))tt((ηη stst ++==

00))tt((yykk))tt((yymm ==⋅⋅++⋅⋅ &&&&

yyηη..tt јјdtdt

))tt((yydddtdt

))tt((ηηdd22

22

22

22

==== &&&&&&&&

00ggmm))tt((ηηkk))tt((ηηmm::principprincipAlambertovAlambertov''DD ==⋅⋅−−⋅⋅++⋅⋅ &&&&

))))tt((yy))tt((ηη((kkyykkggmm stst −−⋅⋅==⋅⋅==⋅⋅

popoččetni uslovietni uslovi

]]ss

radrad[[aafrekvencijfrekvencijkrukružžnana

ααsinsinAACC22 ⋅⋅==ααcoscosAACC11 ⋅⋅==

−−

ttωωcoscosCCttωωsinsinCCyy 2211 ⋅⋅++⋅⋅==

−−yygg

mmkkωω

stst

====

ttωωcoscosyyttωωsinsinωωyyyy 00

00 ⋅⋅++⋅⋅== &&

vvyy))00tt((yy,,yy))00tt((yy 000000 ========== &&&&

00))tt((yyωω))tt((yy ==⋅⋅++&&&&

AA -- amplituda oscilacijaamplituda oscilacija

AA))ααttωωsin(sin(AAyy iimaxmax ==++⋅⋅==

))ααttωωsin(sin(AAyy ++⋅⋅==

))ααcoscosttωωsinsinααsinsinttωω(cos(cosAAyy ⋅⋅++⋅⋅==

ωωyyyy

CCCCααtgtg

00

00

11

22 ⋅⋅====&&

yyωωyyCCCCAA 22

00

220022

222211 ++

==++== &&

]]minminobrobr[[tehnitehniččka frekvencijaka frekvencija

]]ss11[[svojstvena frekvencijasvojstvena frekvencija

]]ss[[period oscilacijaperiod oscilacija

−−TT6060

mmkk

ππ226060ff6060nn ==⋅⋅==⋅⋅==

−−mmkk

ππ2211

ππ22ωω

TT11ff ⋅⋅======

−−

ωω22ππ99

ωωααtt 22 ++−−==

ωω22ππ55

ωωααtt11 ++−−==

ωω22ππ

ωωααtt00 ++−−==

...)...),,22,,11,,00ii(( ==ωω22

αα22ππ))ii4411((tt11))ααttωωsin(sin( iiii−−⋅⋅++==⇒⇒==++

ωωππ22tttt......ttttttttTT 11iiii11220011 ==−−====−−==−−== −−

AA

AA ·· s

in(

sin(ωω

t+t+αα ))

AA ·· s

insin αα

AA

T=2T=2ππ//ωω

ααωωtt

ωω22ππ

ωωαα ++−−

Slobodne nepriguSlobodne nepriguššene oscilacije dinamiene oscilacije dinamiččkogkogmodela sa jednim stepenom slobodemodela sa jednim stepenom slobode

pomeranjapomeranja

Određivanje krutosti dinamiOdređivanje krutosti dinamiččkog modela sakog modela sajednim stepenom slobode pomeranjajednim stepenom slobode pomeranja

P=1P=1

P=1P=1

P=1P=1

δδmPmP

11kk ==δδ m

Pm

P

δδ mP

mP

δδ mP

mP

mm

mm

mm

mm

kk22

kk11

Određivanje ekvivalentne krutosti dinamiOdređivanje ekvivalentne krutosti dinamiččkogkogmodela sa jednim stepenom slobodemodela sa jednim stepenom slobode

pomeranjapomeranja

mmkk22

kk11

2211 kk11

kk11

kk11 ++==k = kk = k11 + k+ k22

Slobodne priguSlobodne priguššene oscilacijeene oscilacijedinamidinamiččkih modela sa jednim stepenomkih modela sa jednim stepenom


�� slobodne oscilacijeslobodne oscilacije ---- sistem osciluje bez spoljasistem osciluje bez spoljaššnjeg dejstvanjeg dejstva

ili poremeili poremeććajaaja�� prigupriguššenje ne moenje ne možže da se zanemari (e da se zanemari (µ≠µ≠00))

�� harmonijska funkcija promeneharmonijska funkcija promene

PriguPriguššenje kod građevinskih konstrukcijaenje kod građevinskih konstrukcija

�� trenje između materijalnihtrenje između materijalnih ččestica...estica...�� histerezisno ponahisterezisno ponaššanje materijala...anje materijala...

�� otpor u vezama (spojevi,otpor u vezama (spojevi,ččvorovi, oslonci...)vorovi, oslonci...)

�� viskozni otpor sredine...viskozni otpor sredine...�� Coulombovo trenje...Coulombovo trenje...

Pomeranje/rotacijaPomeranje/rotacija -- δδ//κκ

Sila

/mom

ent

Sila

/mom

ent --

P/M

P/M

11

22 33

44 55

Histerezisno ponaHisterezisno ponaššanje gredaanje greda

Sila

/mom

ent

Sila

/mom

ent --

P/M

P/M

11

22 33

44

55

Histerezisno ponaHisterezisno ponaššanje stubovaanje stubova

Pomeranje/rotacijaPomeranje/rotacija -- δδ//κκ

PomeranjePomeranje -- δδ

Sila

Si

la --

PPHisterezisno ponaHisterezisno ponaššanjeanje

ččvorovavorova

mm

kk

mm⋅⋅ηηkk⋅⋅ηη

mm⋅⋅gg

mm -- masa [kg]masa [kg]gg -- gravitaciono ubrzanjegravitaciono ubrzanje

(9.81m/s(9.81m/s22))kk -- krutost [N/m]krutost [N/m]cc -- prigupriguššenje [Nenje [N··ss/m]/m]yystst -- statistatiččko pomeranjeko pomeranje

(ravnote(ravnotežžni poloni položžaj)aj)y(t)y(t) -- pomeranje u odnosupomeranje u odnosu

na ravnotena ravnotežžni poloni položžajaj(elongacija)(elongacija)

ηη(t)(t) -- ukupno pomeranjeukupno pomeranje((ηη(t)=(t)=y(t)+yy(t)+ystst))

kk··ηη -- restituciona sila [N]restituciona sila [N]cc··ηη -- sila prigusila priguššenja [N]enja [N]mm··ηη -- inercijalna silainercijalna sila [N][N]mm⋅⋅gg -- tetežžina tela [N]ina tela [N]¨

cc⋅⋅ηη

˙

cc yy stst

ηη (t)(t)

y(t)

y(t)

Diferencijalna jednaDiferencijalna jednaččina slobodnih priguina slobodnih priguššenihenihoscilacija dinamioscilacija dinamiččkog modelakog modela

sa jednim stepenom slobode pomeranjasa jednim stepenom slobode pomeranja

))yy))tt((yy((kk))tt((ηηkk stst++⋅⋅==⋅⋅

00yykkyyccyymm ==⋅⋅++⋅⋅++⋅⋅ &&&&&&

))tt((yycc))tt((ηηcc ⋅⋅==⋅⋅ &&&&

00ggmmηηkkηηccηηmm ==⋅⋅−−⋅⋅++⋅⋅++⋅⋅ &&&&&&

))tt((yymm))tt((ηηmm &&&&&&&& ⋅⋅==⋅⋅

22

22,,11 DDmm22

ccmmkk

mm22cc

mm22ccrr ±±

⋅⋅−−==−−

⋅⋅±±

⋅⋅−−==

2222 00ωωrrmmccrr ==++⋅⋅++

rtrteeyy ==

rtrt22 eerryy ⋅⋅==&&&&

rtrteerryy ⋅⋅==&&

22 00yyωωyymmccyyyy

mmkkyy

mmccyy ==⋅⋅++⋅⋅++==⋅⋅++⋅⋅++ &&&&&&&&&&&&

ttrr22

ttrr11

2211 eeCCeeCCyy ⋅⋅++⋅⋅==

Negativna vrednost diskriminante D<0Negativna vrednost diskriminante D<0

iiωωmm22

ccrr dd22 ⋅⋅−−⋅⋅

−−==iiωωmm22

ccrr dd11 ⋅⋅++⋅⋅

−−==

mm22ccωωωω

222222

dd

⋅⋅−−==

ωωmm22

cc 2222

<<

⋅⋅

00mmkk

mm22cc 22

<<−−

⋅⋅

==== yy))00tt((yy 00

⋅⋅⋅⋅++⋅⋅⋅⋅⋅⋅==⋅⋅

⋅⋅−−

))ttωωcoscosCCttωωsinsinCC((eeyy dd11dd11

ttmm22cc

⋅⋅−−==−− zzsinsiniizzcoscosee iziz

⋅⋅++== zzsinsiniizzcoscoseeiziz

⋅⋅++⋅⋅⋅⋅== ⋅⋅⋅⋅−−⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

−−

))eeCCeeCC((eeyy ttωωii22

ttωωii11

ttmm22cc

dddd

⋅⋅⋅⋅++⋅⋅⋅⋅

⋅⋅++

⋅⋅==⋅⋅

⋅⋅−−

ttωωcoscosyyttωωsinsinωω

yymm22

ccyyeeyy dd00dd

dd

0000ttmm22cc &&

====== vvyy))00tt((yy 0000&&&&

ωωmm22ccζζ⋅⋅⋅⋅

==ζζ11ωωωωmm22

cc11ωωωω 2222

dd −−⋅⋅==

⋅⋅⋅⋅−−⋅⋅==

))ααttωωsin(sin(eeAAyy dd

ttmm22cc

++⋅⋅⋅⋅⋅⋅==⋅⋅

⋅⋅−−

yymm22

ccyy

ωωyyααtgtg0000

00

⋅⋅⋅⋅

++

⋅⋅==&&

yyωω

yymm22

ccyyAA 22

00

22

dd

0000++

⋅⋅⋅⋅

++==

&&

-- koeficijent relativnog prigukoeficijent relativnog priguššenja (0.00enja (0.00--1.00)1.00)

ddttωωζζ ))ααttωωsin(sin(eeAAyy ++⋅⋅⋅⋅⋅⋅== ⋅⋅⋅⋅−−

0000

00

yyωωζζyyωωyyααtgtg⋅⋅⋅⋅++

⋅⋅==&&

2200

22

dd

0000 yyωω

yyωωζζyyAA ++

⋅⋅⋅⋅++== &&

dddd ωω

ππ22TT⋅⋅==

cccrcr

ccζζ ==

dd00dd

0022 TT22ttωωππ44tttt ++==⋅⋅++==dd00

dd0011 TTtt

ωωππ22tttt ++==⋅⋅++==

dddddd22 ωω

ππ44ωω22ππ

ωωααtt

⋅⋅++⋅⋅

++−−==

dddddd11 ωω

ππ22ωω22ππ

ωωααtt

⋅⋅++⋅⋅

++−−==dddd

00 ωω22ππ

ωωααtt

⋅⋅++−−==

ddddii ,...),...)22,,11,,00ii((ii22

2211

ωωππ

ωωααtt ==

⋅⋅++++−−==

iiddttωωζζ

maxmax 11))ααttωωsin(sin(eeAAyy ==++⋅⋅⇒⇒⋅⋅== ⋅⋅⋅⋅−−

dd00kk TTkktttt ⋅⋅++==

22dd

dd11kk

kk

ζζ11ππ22ζζ

ωωππ22ωωζζTTωωζζ

yyyylnlnδδ

−−⋅⋅==⋅⋅⋅⋅==⋅⋅⋅⋅====

++

TTkkωωζζ

kk

00 eeyyyy dd== ⋅⋅⋅⋅⋅⋅−−))TT22tt((ωωζζ

22 eeAAyy dd00⋅⋅== ++⋅⋅⋅⋅−−

TT22ωωζζ

22

00 eeyyyy dd== ⋅⋅⋅⋅−−))TTtt((ωωζζ

11 eeAAyy dd00⋅⋅== ++⋅⋅⋅⋅−−

TTωωζζ

11

00 eeyyyy dd== ⋅⋅⋅⋅−−ttωωζζ

00 eeAAyy 00⋅⋅== ⋅⋅⋅⋅−−

logaritamskilogaritamskidekrementdekrement

11ζζffff 22

22dd ==++

ζζ11ffζζ11

TT11

ππ22ωωff 2222

dd

dddd −−⋅⋅==−−⋅⋅====

TT11

ππ22ωωff ====

TTδδ

TTkkyyyylnln

ωωζζdddd

kk

00

==⋅⋅

==⋅⋅

TTωωζζkkyyyylnlnδδkk dd

kk

00 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅====⋅⋅

yy 00

AA ·· s

insin αα

TTdd=2=2ππ//ωωdd

Slobodne priguSlobodne priguššene oscilacije dinamiene oscilacije dinamiččkogkogmodela sa jednim stepenom slobodemodela sa jednim stepenom slobode

pomeranja (D<0)pomeranja (D<0)

yy 11

ddttωωζζ ))ααttωωsin(sin(eeAAyy ++⋅⋅⋅⋅⋅⋅== ⋅⋅⋅⋅−−

0000

00

yyωωζζyyωωyyααtgtg⋅⋅⋅⋅++

⋅⋅==&&

2200

22

dd

0000 yyωω

yyωωζζyyAA ++

⋅⋅⋅⋅++== &&

dddd ωω

ππ22TT⋅⋅==

ttωωζζeeAA ⋅⋅ ⋅⋅⋅⋅−−

ttωωζζee--AA ⋅⋅ ⋅⋅⋅⋅−−

Pozitivna vrednost diskriminante D>0Pozitivna vrednost diskriminante D>0

ωωmm22

cc 2222

>>

⋅⋅

00mmkk

mm22cc 22

>>−−

⋅⋅

2222 ))11ζζζζ((ωωrr −−++⋅⋅−−==22

11 ))11ζζζζ((ωωrr −−++−−⋅⋅==

00yy))00tt((yy ==== 0000 vvyy))00tt((yy ====== &&&&

tt))11ζζζζ((ωω22


2222

eeCCeeCCyy ⋅⋅−−++⋅⋅−−⋅⋅−−++−−⋅⋅ ⋅⋅++⋅⋅==

11ζζωω22))11ζζζζ((ωωyyyyCC 22

220000

22−−⋅⋅⋅⋅

−−++−−⋅⋅⋅⋅++−−== &&


220000

11−−⋅⋅⋅⋅

−−++⋅⋅⋅⋅++== &&

0000 vvyy))00tt((yy00))00tt((yy======

====&&&&

11ζζωω22yyCC

11ζζωω22yyCC 22

002222

0011

−−⋅⋅⋅⋅−−==

−−⋅⋅⋅⋅== &&&&

))eeee((AAyy tt))11ζζζζ((ωωtt))11ζζζζ((ωω 2222 ⋅⋅−−++⋅⋅−−⋅⋅−−−−⋅⋅−− −−⋅⋅==

CC11


pomeranja (D>0)pomeranja (D>0)

CC22


22

eeCC ⋅⋅−−++⋅⋅−−⋅⋅


22

eeCC ⋅⋅−−++−−⋅⋅⋅⋅tt))11ζζζζ((ωω

22tt))11ζζζζ((ωω

11

2222

eeCCeeCCyy ⋅⋅−−++⋅⋅−−⋅⋅−−++−−⋅⋅ ⋅⋅++⋅⋅==


220000

22 −−⋅⋅⋅⋅−−++−−⋅⋅⋅⋅++−−== &&


220000

11−−⋅⋅⋅⋅

−−++⋅⋅⋅⋅++== &&

vv00>0>0

vv00=0=0

vv00<0<0

yy 00


pomeranja (D=0)pomeranja (D=0)

vv00>0>0

vv00=0=0

vv00<0<0

ttωωζζ00crcr0000

0000

00

ttωωζζ2211

crcr

crcr

ee]]tt))yyζζyy((yy[[yy

vvyy))00tt((yyyy))00tt((yy

ee))ttCCCC((yy

⋅⋅⋅⋅−−

⋅⋅⋅⋅−−

⋅⋅⋅⋅⋅⋅++++==

==========

⋅⋅⋅⋅++==

&&

&&&&

Prinudne priguPrinudne priguššene oscilacije modela sa jednim stepenomene oscilacije modela sa jednim stepenomslobodeslobode -- harmonijska poremeharmonijska poremeććajna silaajna sila


(9.81m/s(9.81m/s22))kk -- krutost [N/m]krutost [N/m]cc -- prigupriguššenje [Nenje [N··ss/m]/m]yystst -- statistatiččko pomeranjeko pomeranjey(t)y(t) -- elongacijaelongacijaηη(t)(t) -- ukupno pomeranjeukupno pomeranje

((ηη(t)=(t)=y(t)+yy(t)+ystst))kk··ηη -- restituciona sila [N]restituciona sila [N]cc··ηη -- sila prigusila priguššenja [N]enja [N]mm··ηη -- inercijalna silainercijalna sila [N][N]mm⋅⋅gg -- tetežžina tela [N]ina tela [N]F(t)F(t) -- poremeporemeććajna sila [N]ajna sila [N]

¨˙

mm

kk

mm⋅⋅ηηkk⋅⋅ηη

mm⋅⋅gg

cc⋅⋅ηη

cc yy stst

ηη (t)(t)

y(t)

y(t)

F(t)=FF(t)=F00··sinsinννtt

Diferencijalna jednaDiferencijalna jednaččina prinudnih priguina prinudnih priguššenihenihoscilacija dinamioscilacija dinamiččkog modelakog modela

sa jednim stepenom slobode pomeranjasa jednim stepenom slobode pomeranja

))φφttννsin(sin(NNvv))ααttωωsin(sin(eeAAyy

ωωζζεε))tt((yy))tt((yy))tt((yy

ttννsinsinmmFFyyωωyyωωζζ22yy

ttννsinsinFFyykkyyccyymm

ννddttωωζζ

pphh

0022

00

++⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅⋅⋅==

⋅⋅==++==

⋅⋅==⋅⋅++⋅⋅⋅⋅⋅⋅++

⋅⋅==⋅⋅++⋅⋅++⋅⋅

⋅⋅⋅⋅−−

&&&&&&

&&&&&&

ttννsinsinmmFF))φφsinsinttννsinsinφφcoscosttνν(cos(cosNNννεε22

))φφsinsinttννcoscosφφcoscosttνν)(sin)(sinννωω((NN

ttννsinsinmmFF))φφttννsin(sin(NNωω

))φφttννcos(cos(NNννεε22))φφttννsin(sin(NNνν

))φφttννsin(sin(NNννyy

))φφttννcos(cos(NNννyy

))φφttννsin(sin(NNyy

00νννννν

νννν2222

νν

00νννν

22

νννννννν22

νννν22

pp

ννννpp

ννννpp

⋅⋅==⋅⋅−−⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅++

++⋅⋅−−⋅⋅−−⋅⋅

⋅⋅==++⋅⋅⋅⋅⋅⋅++

++++⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅⋅⋅−−

++⋅⋅⋅⋅⋅⋅−−==

++⋅⋅⋅⋅⋅⋅==

++⋅⋅⋅⋅==

&&&&

&&

2222νν222222222200

νν

νννννν2222

νν

00νννννν

2222νν

νννννν2222

νν

νννννν2222

νν

ννωωννεε22φφtgtg

ννεε44))ννωω((mmFFNN

00φφcoscosNNννεε22φφsinsin))ννωω((NN

mmFFφφsinsinNNννεε22φφcoscos))ννωω((NN

00ttννcoscos]]φφcoscosNNννεε22φφsinsin))ννωω((NN[[ttννsinsin]]φφsinsinNNννεε22φφcoscos))ννωω((NN[[

−−⋅⋅⋅⋅==

⋅⋅⋅⋅++−−⋅⋅==

==⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅++⋅⋅−−⋅⋅−−

==⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅++⋅⋅−−⋅⋅

⇓⇓

==⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅++⋅⋅−−⋅⋅−−++++⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅++⋅⋅−−⋅⋅

4444444444444444444444 334444444444444444444444 2211

22222222vstvst

2222222222

22

vstvstνν

22vstvst

220000

22

statistatiččki ugibki ugibusled Fusled F00

koeficijentkoeficijentprigupriguššenjaenja

odnosodnosfrekvencijefrekvencije

poremeporemeććajneajnesilesile

i krui kružžnenefrekvencijefrekvencije

ηηζζ44))ηη11((11NN

ννεε44))ννωω((ωωNNNN

ωωNNωωkkFF

mmFF

ωωkkmm

00vstvst kk

FFNN ==

ωωεεζζ ==

ωωννηη ==

⋅⋅⋅⋅++−−⋅⋅==

==⋅⋅⋅⋅++−−

⋅⋅==

⋅⋅==⋅⋅==

==

22maxmax

22νν

22222222νν

vstvstpp

ζζ11ζζ2211µµ00

ηηddµµdd

ηη11ηηζζ22φφtgtg

ηηζζ44))ηη11(())φφttννsin(sin(NNyyyy

−−⋅⋅⋅⋅==⇒⇒==

22222222vstvst

vv dinamidinamiččki koeficijentki koeficijentηηζζ44))ηη11((

11NNNNµµ −−

⋅⋅⋅⋅++−−====

−−⋅⋅⋅⋅==

⋅⋅⋅⋅++−−−−

⋅⋅====

1.01.0

22..00

33..00

1.01.0 2.02.0 3.03.0 4.04.0

ηη

µµ

))ααttωωsin(sin(eeAA

ηηζζ44))ηη11(())φφttννsin(sin(

kkFFyy

ttωωζζ

222222νν00

++⋅⋅⋅⋅⋅⋅++

++⋅⋅⋅⋅++−−

++⋅⋅⋅⋅==

⋅⋅⋅⋅−−

ζζ=1.000=1.000

ζζ=0.500=0.500

ζζ=0.150=0.150

ζζ=0.375=0.375

ζζ=0.250=0.250

Promena dinamiPromena dinamiččkog koeficijenta "kog koeficijenta "µµ" usled promene odnosa" usled promene odnosa""ηη" (razli" (različčiti koeficijenti relativnog priguiti koeficijenti relativnog priguššenja "enja "ζζ")")

DinamiDinamiččki modeli sa viki modeli sa višše stepenie stepenislobode pomeranjaslobode pomeranja

Metode za dinamiMetode za dinamiččku analizuku analizusistema sa visistema sa višše stepeni slobodee stepeni slobode

�� metoda silametoda sila�� metoda deformacijametoda deformacija

�� metoda konametoda konaččnih elemenatanih elemenata

II11+R+R11 IIii+R+Rii IIkk+R+Rkk IInn+R+Rnn

PPii(t)(t)

PPii(t)(t)

kk11 kkii kkkk kknn

XXii == --IIii --RRii ==

== --mmii··yyii -- ccii··yyii

= k= kii··yyii

&&&&&&

mm11 mmii mmkk mmnn

mm11 mmii mmkk mmnn

yy11 yyii yykk yynn

ii

iiiiiiii kk

RRyymmyy++⋅⋅== &&&&

00))tt((∆∆oscilacije:oscilacije:slobodneslobodne ii ==

00RRii →→

))tt((∆∆))tt((∆∆))tt((∆∆ icicipipii ++==

00))tt((∆∆kkXXXXδδ......XXδδXXδδ ii

ii

iinninin2222ii1111ii ==++++⋅⋅++++⋅⋅++⋅⋅

00))tt((∆∆yy))RRyymm((δδ............))−−RRyymm((δδ))RRyymm((δδ

iiiinnnnnninin

22222222ii11111111ii

==++−−++⋅⋅⋅⋅−−++⋅⋅⋅⋅−−++⋅⋅⋅⋅−−

&&&&

&&&&&&&&

00))tt((∆∆yyyymmδδ......yymmδδyymmδδ iiiinnnninin222222ii111111ii ==++−−⋅⋅⋅⋅−−−−⋅⋅⋅⋅−−⋅⋅⋅⋅−− &&&&&&&&&&&&

PPii(t)(t)

kk1i1ikkiiii

kkkiki kknini

mm11 mmii mmkk mmnn

kk11 kkii kkkk kknn

mm11

mmii mmkk

mmnn

1.0

1.0

00yymmyykk......yykk......yykk

00))tt((PPoscilacije:oscilacije:slobodneslobodne

00))tt((PPyymmyykk......yykk......yykk

00RR

00))tt((PPRRXXSS

yykk......yykk......yykkSS

iiiinnininiiiiii1111ii

ii

iiiiiinnininiiiiii1111ii

ii

iiiiiiii

nnininiiiiii1111iiii

==⋅⋅++⋅⋅++++⋅⋅++++⋅⋅

==

==++⋅⋅++⋅⋅++++⋅⋅++++⋅⋅

→→

==++++++

⋅⋅++++⋅⋅++++⋅⋅==

&&&&

&&&&

Slobodne nepriguSlobodne nepriguššene oscilacije dinamiene oscilacije dinamiččkogkogmodela sa vimodela sa viššee

stepeni slobode pomeranjastepeni slobode pomeranja

==

==++⋅⋅⋅⋅

==++⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅++⋅⋅⋅⋅

nnnn

nn222222

nn1112121111

iinnnninin222222ii111111ii

δδ..simsim

δδδδδδδδδδ

]]δδ[[

00}}yy{{}}yy{{]]MM[[]]δδ[[

00yyyymmδδ......yymmδδyymmδδ

MMOO

KK

KK

&&&&

&&&&&&&&&&&&

==

==

==

==++⋅⋅⋅⋅

nn

22

11

nn

22

11

nn

22

11

yy

yyyy

}}yy{{

yy

yyyy

}}yy{{

mm..simsim

00mm0000mm

]]MM[[

00}}yy{{}}yy{{]]MM[[]]δδ[[

&&&&MM

&&&&

&&&&

&&&&MM

MMOO

KK

KK

&&&&

00ΦΦAAΦΦ))AAmmδδ......AAmmδδAAmmδδ((

ΦΦAAyy

ΦΦAAyyΦΦAAyy

ΦΦAAyy

ΦΦAAyyyy

kkikikkknknknnininkk222222iikk111111ii

kknknknknk

kkkk22kk22

kkkk11kk11

kkikikikik

nn

11kkkkikik

nn

11kkikikii

==⋅⋅++⋅⋅⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅++⋅⋅⋅⋅

⋅⋅==

⋅⋅==⋅⋅==

⋅⋅==

⋅⋅==== ∑∑∑∑====

&&&&

MM

ttωωcoscosBBttωωsinsinAAΦΦ

00AA))AAmmδδ......AAmmδδAAmmδδ((ωω

ωωAAmmδδ......AAmmδδAAmmδδ

AAΦΦΦΦ

kkkkkkkkkk

ikiknknknnininkk222222iikk111111ii22kk

22kk

nknknnininkk222222iikk111111ii

ikik

kk

kk

⋅⋅++⋅⋅==

==−−⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅++⋅⋅⋅⋅⋅⋅±±

±±==⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅++⋅⋅⋅⋅

==&&&&

00ΦΦωωΦΦ kk22kkkk ==⋅⋅mm&&&&

00AA))λλmmδδ((......AAmmδδAAmmδδ

00AAmmδδ......AA))λλmmδδ((AAmmδδ

00AAmmδδ......AAmmδδAA))λλmmδδ((

00AA))11ωωmmδδ((......AAωωmmδδAAωωmmδδ

00AAωωmmδδ......AA))11ωωmmδδ((AAωωmmδδ((

00AAωωmmδδ......AAωωmmδδAA))11ωωmmδδ((

nknkkknnnnnnkk222222nnkk111111nn

nknknnnn22kk22kk222222kk11222121

nknknnnn11kk11221212kk11kk111111

nknk22kknnnnnnkk22

22kk2222nnkk11

22kk1111nn

nknk22kknnnn22kk22

22kk222222kk11

22kk112121

nknk22kknnnn11kk11

22kk221212kk11

22kk111111

==⋅⋅−−⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅++⋅⋅⋅⋅

==⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅−−⋅⋅++⋅⋅⋅⋅

==⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅++⋅⋅−−⋅⋅

==⋅⋅−−⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅⋅⋅++⋅⋅⋅⋅⋅⋅

==⋅⋅⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅−−⋅⋅⋅⋅++⋅⋅⋅⋅⋅⋅

==⋅⋅⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅⋅⋅++⋅⋅−−⋅⋅⋅⋅

MM

MM

00}}AA{{])])II[[λλ]]DD([([

AA

AAAA

}}AA{{

kkkk

nknk

kk22

kk11

kk

==⋅⋅⋅⋅−−

==MM

]]MM[[]]δδ[[]]DD[[

00}}AA{{λλ}}AA{{]]MM[[]]δδ[[

00}}AA{{}}AA{{]]MM[[]]δδ[[ωω

kkkkkk

kkkk22kk

⋅⋅==

==⋅⋅−−⋅⋅⋅⋅

==−−⋅⋅⋅⋅⋅⋅

====

==

−−⋅⋅⋅⋅⋅⋅

⋅⋅−−⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅−−⋅⋅

==⋅⋅−−

nnnn22nn11nn

nn2222222121

nn1112121111

nn2211

kknnnnnn2222nn1111nn

nnnn22kk222222112121

nnnn11221212kk111111

AAAAAA

AAAAAAAAAAAA

}}}}AA}...{}...{AA{{}}AA{{{{]]AA[[

00

λλmmδδmmδδmmδδ

mmδδλλmmδδmmδδmmδδmmδδλλmmδδ

frekventnafrekventnajednajednaččinaina

(fleksibilnost)(fleksibilnost)

00]]II[[λλ]]DD[[

LL

MMOOMMMM

LL

LL

LL

MMOOMMMM

KK

KK

00

λλmmkkkkkk

kkλλmmkkkk

kkkkλλmmkk

00

mmλλδδδδδδ

δδmmλλδδδδ

δδδδmmλλδδ

kk

nnnnnn22nn11nn

nn22kk

2222222121

nn111212kk

111111

nn

kknnnn22nn11nn

nn2222

kk22222121

nn11121211

kk1111

==

−−

−−

−−

==

−−

−−

−−

LL

MMOOMMMM

KK

KK

LL

MMOOMMMM

KK

KKalternativnialternativnioblikoblik

frekventnefrekventnejednajednaččineine

(fleksibilnost)(fleksibilnost)

frekventnafrekventnajednajednaččinaina(krutost)(krutost)

00]]MM[[ωω]]KK[[ 22 ==⋅⋅−−

Svojstveni oblici slobodnih nepriguSvojstveni oblici slobodnih nepriguššenihenihoscilacija dinamioscilacija dinamiččkog modela sa vikog modela sa viššee

stepeni slobode pomeranjastepeni slobode pomeranja

�� svojstveni oblik oscilacija je definisansvojstveni oblik oscilacija je definisansvojstvenim vektorom i odgovara svojstvenojsvojstvenim vektorom i odgovara svojstvenoj

frekvencijifrekvenciji�� broj svojstvenih oblika jednak je broju stepenibroj svojstvenih oblika jednak je broju stepeni

slobodeslobode�� u svojstvenom obliku oscilovanja odnosiu svojstvenom obliku oscilovanja odnosi

amplituda masa su konstantniamplituda masa su konstantni�� svojsteni vektori su ortogonalni vektorisvojsteni vektori su ortogonalni vektori

Ortogonalnost svojstvenih oblika slobodnihOrtogonalnost svojstvenih oblika slobodnihneprigunepriguššenih oscilacija dinamienih oscilacija dinamiččkog modela sakog modela sa

vivišše stepeni slobode pomeranjae stepeni slobode pomeranja

}}00{{}}AA{{]]MM[[}}AA{{00AAAAmm

ωωωω00AAAAmm))ωωωω((

))ttωωsinsinAAttωωsinsinAA((ωωmm

))ttωωsinsinAAttωωsinsinAA((ωωmm

ssTT

rr

nn

11iiiririsisii

ssrr

nn

11iiiririsisii

22ss

22rr

nn

11iirririrssisis

22ssii

nn

11iissisisrririr

22rrii

==++⋅⋅==⋅⋅⋅⋅

≠≠==⋅⋅⋅⋅⋅⋅−−

⋅⋅++⋅⋅⋅⋅⋅⋅==

==⋅⋅++⋅⋅⋅⋅⋅⋅

∑∑

∑∑

∑∑

∑∑

==

⇓⇓

==

==

==

4444444444444444 334444444444444444 2211

Određivanje svojstvenih oblika i svojstvenihOdređivanje svojstvenih oblika i svojstvenihfrekvencija dinamifrekvencija dinamiččkog modela sa vikog modela sa višše stepenie stepeni


kkkkkk }}AA{{λλ}}AA{{]]DD[[ ⋅⋅==⋅⋅

kkkkkk }}AA{{λλ}}AA{{]]MM[[]]δδ[[ ⋅⋅==⋅⋅⋅⋅

2211

11mm

11mm

mm ωω11λλ

}}BB{{}}BB{{limlim ====++

∞∞→→

11mmmm}}AA{{cc}}BB{{limlim ⋅⋅==

∞∞→→

mm11mm }}BB{{]]DD[[}}BB{{ ⋅⋅==++

kk22kkkk }}AA{{]]MM[[ωω}}AA{{]]KK[[ ⋅⋅⋅⋅==⋅⋅

nn

22nn

mm

11mmmm λλ

11ωω}}BB{{}}BB{{limlim ====++

∞∞→→

nnmmmm}}AA{{cc}}BB{{limlim ⋅⋅==

∞∞→→

mm11

11mm }}BB{{]]DD[[}}BB{{ ⋅⋅== −−++

kk22kkkk

1111 }}AA{{ωω}}AA{{]]δδ[[]]MM[[ ⋅⋅==⋅⋅⋅⋅ −−−−

00aa00}}AA{{]]MM[[}}AA{{aa

00}}AA{{]]MM[[}}AA{{

}}AA{{]]MM[[}}AA{{aa......}}AA{{]]MM[[}}AA{{aa}}AA{{]]MM[[}}AA{{aa

00}}BB{{]]MM[[}}AA{{

}}AA{{aa}}BB{{00aa

}}AA{{aa......}}AA{{aa}}AA{{aa}}BB{{

1111TT

1111

ssTT

rr

nnTT

nnnn22TT

222211TT

1111

TT11

nn

22mmmmmm11

nnnn22221111

==⇒⇒==⋅⋅⋅⋅⋅⋅

==⋅⋅⋅⋅

⋅⋅⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅⋅⋅++⋅⋅⋅⋅⋅⋅

==⋅⋅⋅⋅

⋅⋅==⇒⇒==

⋅⋅++++⋅⋅++⋅⋅==

∑∑==

11nn

ii11ii11

ii11iinn

3131

ii11ii11

ii11ii33

2121

ii11ii11

ii11ii22

11,c11,c

11nn

2121

1111

AAAAmm

AAmm......AA

AAmm

AAmmAA

AAmm

AAmmAA

AA

AAAA

}}BB{{

⋅⋅⋅⋅

⋅⋅−−−−⋅⋅

⋅⋅

⋅⋅−−⋅⋅

⋅⋅

⋅⋅==

==

∑∑

∑∑

∑∑

∑∑

∑∑

∑∑

00AAmmAA......AAmmAAAAmmAAii

11iinn11nnii

11ii222121ii

11ii111111 ==⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅++⋅⋅⋅⋅ ∑∑∑∑∑∑

MM

}}AA{{}}AA{{]]DD[[}}AA{{]]SS[[]]DD[[}}AA{{]]DD[[



}}AA{{}}AA{{]]SS[[

AA

AAAA

AA

AAAA

110000

001100

AAmm

AAmm

AAmm

AAmm00

11mmmm11mm11ccmm

3322112211cc22

2211111111cc11

cc111111

cc11nn

2121

1111

11nn

2121

1111

ii11ii11

ii11iinn

ii11ii11

ii11ii22

++==⋅⋅==⋅⋅⋅⋅==⋅⋅

==⋅⋅==⋅⋅⋅⋅==⋅⋅

==⋅⋅==⋅⋅⋅⋅==⋅⋅

==⋅⋅

==

⋅⋅

⋅⋅

⋅⋅−−

⋅⋅

⋅⋅

∑∑

∑∑

∑∑

∑∑

MMMM

LL

MMOOMMMM

LL

LL

}}AA{{λλaa}}BB{{limlim

}}AA{{λλaa}}BB{{limlim

λλ......λλλλ

λλ......λλλλ

}}AA{{λλaa......}}AA{{λλaa}}AA{{λλaa}}BB{{

}}AA{{λλaa......}}AA{{λλaa}}AA{{λλaa}}BB{{

22mm22221111mmmm

2211mm

222211mmmm

mmnn

mm33

mm22

nn3322

nnmmnnnn33

mm333322

mm222211mm

nn11mm

nnnn3311mm

33332211mm

2222mm

⋅⋅⋅⋅==

⋅⋅⋅⋅==

>>>>>>>>>>>>

>>>>>>

⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅++⋅⋅⋅⋅==

⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅++⋅⋅⋅⋅==

++∞∞→→

−−

∞∞→→

++

−−−−−−

2222

2222

11mm2222

22mm2222

mm11mm

1111mmmm ωω

11λλ}}AA{{λλaa

}}AA{{λλaalimlim}}BB{{}}BB{{limlim ====

⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅== −−∞∞→→

++

∞∞→→

00aa00aa

00}}BB{{]]MM[[}}AA{{

00}}BB{{]]MM[[}}AA{{

2211

TT22

TT11

====

==⋅⋅⋅⋅

==⋅⋅⋅⋅

∑∑==

⋅⋅==⇒⇒nn

33mmmmmm }}AA{{aa}}BB{{

00AAmmAA......AAmmAAAAmmAA

00AAmmAA......AAmmAAAAmmAA

ii22iinn11nn

ii22ii222121

ii22ii111111

ii11iinn11nn

ii11ii222121

ii11ii111111

==⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅++⋅⋅⋅⋅

==⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅++⋅⋅⋅⋅

∑∑∑∑∑∑

∑∑∑∑∑∑

2233

3333

11mm3333

33mm3333

22mm

2211mm

mm

33333311mm

333322mmmm

nnmmnnnn44

mm444433

mm333322mm22mm22

2222nnnnnn444444333333221122

11mmmm22mm22ccmm

2222

ωω11λλ

}}AA{{λλaa}}AA{{λλaa

}}BB{{}}BB{{limlim

}}AA{{cc}}AA{{λλaa}}BB{{limlim

}}AA{{λλaa......}}AA{{aa}}AA{{λλaa}}BB{{}}BB{{]]DD[[

}}BB{{}}AA{{λλaa......}}AA{{λλaa}}AA{{λλaa}}BB{{]]DD[[


]]DD[[]]SS[[]]DD[[

====⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅==

⋅⋅==⋅⋅⋅⋅==

⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅++⋅⋅⋅⋅====⋅⋅

==⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅++⋅⋅⋅⋅==⋅⋅

==⋅⋅==⋅⋅⋅⋅==⋅⋅

==⋅⋅⋅⋅

−−++

∞∞→→

−−

∞∞→→

++

Prinudne vibracije dinamiPrinudne vibracije dinamiččkog modela sa vikog modela sa viššeestepeni slobode pomeranja usled harmonijskistepeni slobode pomeranja usled harmonijski

promenljivog opterepromenljivog optereććenjaenja

00ttννsinsin∆∆XXδδ......XX))kk11δδ((......XXδδXXδδ

yyyymmkk

kkXX

kkyymmyyyymmXX

ttννsinsin∆∆))tt((∆∆

00))tt((∆∆yyXXδδ......XXδδXXδδ

00iinnininiiii

iiii2222ii1111ii

ii

iiiiii

ii

ii

ii

iiiiiiiiiiii

00iiii

iiiinninin2222ii1111ii

==⋅⋅++⋅⋅++++⋅⋅++++++⋅⋅++⋅⋅

⋅⋅==⇒⇒==⋅⋅==⋅⋅==

⋅⋅==

==++++⋅⋅++++⋅⋅++⋅⋅

&&&&&&&&&&&&

00ttννsinsin∆∆XX**δδ......XXδδXXδδ

00ttννsinsin∆∆XXδδ......XX**δδXXδδ

00ttννsinsin∆∆XXδδ......XXδδXX**δδ

00ttννsinsin∆∆XXδδ......XX))ννmm

11δδ((......XXδδXXδδ

ttννsinsinyy))tt((yy

00nnnnnnnn2222nn1111nn

2020nnnn22222222112121

1010nnnn11221212111111

00iinnininii22ii

iiii2222ii1111ii

iiii

==⋅⋅++⋅⋅++++⋅⋅++⋅⋅

==⋅⋅++⋅⋅++++⋅⋅++⋅⋅

==⋅⋅++⋅⋅++++⋅⋅++⋅⋅

==⋅⋅++⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅

−−++++⋅⋅++⋅⋅

⋅⋅==

MM

22ii

ii

22iiii

ii ννmmttννsinsinyy

ttννsinsinννyymmkk ⋅⋅−−==⋅⋅

⋅⋅⋅⋅⋅⋅−−==

00kknnknkn2222kk1111kkkk

1122

22ii

iiii

22nn

nnnn22nn11nn

nn222222

22222121

nn1112122211

1111

22ii

iiiiiiii

SSXXSS......XXSSXXSSSS

00}}∆∆{{}}XX{{))]]MM[[νν11]]δδ([([

ννmmXX))tt((yy

ννmm11δδδδδδ

δδννmm

11δδδδ

δδδδννmm

11δδ

]*]*δδ[[

ννmm11δδ**δδ

++⋅⋅++++⋅⋅++⋅⋅==

==++⋅⋅−−

⋅⋅==

⋅⋅−−

⋅⋅−−

⋅⋅−−

==

⋅⋅−−==

−−

LL

MMOOMMMM

KK

KK

ZEMLJOTRESZEMLJOTRES�� zemljotreszemljotres -- ubrzano pomeranje tla koje izazivaubrzano pomeranje tla koje izaziva

inercijalne sile u konstrukcijamainercijalne sile u konstrukcijama�� vulkanski zemljotresivulkanski zemljotresi -- posledica promena uposledica promena u

zemljinoj kori zbog izrazemljinoj kori zbog izražžene vulkanske aktivnostiene vulkanske aktivnosti�� urvinski zemljotresiurvinski zemljotresi -- posledica uruposledica uruššavanja gornjihavanja gornjihslojeva tla u zonama iznadslojeva tla u zonama iznad ššupljina u zemljinoj koriupljina u zemljinoj kori�� tektonski zemljotresitektonski zemljotresi -- posledica popuposledica popušštanja vezetanja veze

u kontaktnim zonama blokova zemljine koreu kontaktnim zonama blokova zemljine kore(rasedi)(rasedi)

ZemljotresZemljotres -- mesto pojavemesto pojave

�� hipocentarhipocentar -- mesto nastanka seizmimesto nastanka seizmiččkog talasakog talasa -- tetežžiišštetepovrpovrššine raseda (na dubini 5kmine raseda (na dubini 5km--60km)60km)

�� epicentarepicentar -- centralna projekcija hipocentra na povrcentralna projekcija hipocentra na površšinuinuzemljezemlje

�� "e""e" -- epicentralno rastojanjeepicentralno rastojanje -- rastojanje epicentrarastojanje epicentra "E""E" ododtataččke na zemljinoj povrke na zemljinoj površšini "X"ini "X"

�� "h""h" -- hipocentralno rastojanjehipocentralno rastojanje -- rastojanje hipocentrarastojanje hipocentra "H""H" ododepicentraepicentra "E""E" -- dubinadubina žžariariššta zemljotresata zemljotresa

HH

EE XXее

hh ff

Prostiranje zemljotresa u zemljinoj koriProstiranje zemljotresa u zemljinoj kori ---- seizmiseizmiččki talasiki talasi

�� longitudinalni (podulongitudinalni (podužžni) talasini) talasi -- promenapromenanaprezanja (pritisak i zatezanje) u pravcu talasanaprezanja (pritisak i zatezanje) u pravcu talasa

(7(7--8km/s)8km/s)�� transverzalni (popretransverzalni (popreččni) talasini) talasi -- oscilovanjeoscilovanje

upravno na pravac talasa (4upravno na pravac talasa (4--4.5km/s)4.5km/s)�� Reyleighevi (povrReyleighevi (površšinski) talasiinski) talasi --

dvodimenzionalno oscilovanje slobodne povrdvodimenzionalno oscilovanje slobodne površšineinetla (0.2tla (0.2--5.6km/s)5.6km/s)

11 22 33 44 55 66 77 88 99 1010 1111 1212 1313 1414 1515 1616 1717 1818 1919Vreme [s]Vreme [s]

--350350

--300300--300300

--250250

--200200--200200

--150150

--100100--100100

--5050

0000

5050

100100100100

150150

200200200200

250250

300300300300

350350

--300300

--200200

--100100

00

100100

200200

300300

San FernandoSan Fernando09.02.197109.02.1971N11E komponentaN11E komponenta∆∆t=0.02st=0.02s

uugmaxgmax=192.643cm/s=192.643cm/s 22

uugmingmin==--220.489cm/s220.489cm/s 22

Hor

izon

taln

o ub

rzan

je p

odlo

ge [c

m/s

Hor

izon

taln

o ub

rzan

je p

odlo

ge [c

m/s

22 ]] &&&&&&&&

Akcelerogram seizmiAkcelerogram seizmiččkog dejstvakog dejstva

11 22 33 44 55 66 77 88 99 1010 1111 1212 1313 1414 1515 1616 1717 1818 1919Vreme [s]Vreme [s]

--4.54.5

--4.04.0--4.04.0

--3.53.5

--3.03.0--3.03.0

--2.52.5

--2.02.0--2.02.0

--1.51.5

--1.01.0--1.01.0

--0.50.5

0.00.00.00.0

0.50.5

1.01.01.01.0

1.51.5

2.02.02.02.0

2.52.5

3.03.03.03.0

3.53.5

4.04.04.04.0

4.54.5

--4.04.0

--3.03.0

--2.02.0

--1.01.0

0.00.0

1.01.0

2.02.0

3.03.0

4.04.0

0.8040.804

--0.9230.923--1.2621.262

1.1381.138

--2.8982.898

3.1583.158

0.3240.324

--0.280.28

MGC analizaMGC analizaHorizontalno pomeranjeHorizontalno pomeranjeČČvor 1vor 1µµ=5%,=5%, ∆∆t=0.005st=0.005suumaxmax=3.158cm=3.158cmuuminmin==--2.898cm2.898cm

Hor

izon

taln

o po

mer

anje

[cm

]H

oriz

onta

lno

pom

eran

je [c

m]

Odgovor objektaOdgovor objekta -- pomeranjepomeranje

11 22 33 44 55 66 77 88 99 1010 1111 1212 1313 1414 1515 1616 1717 1818 1919Vreme [s]Vreme [s]

--350350

--300300--300300

--250250

--200200--200200

--150150

--100100--100100

--5050

0000

5050

100100100100

150150

200200200200

250250

300300300300

350350

--300300

--200200

--100100

00

100100

200200

300300

ParkfieldParkfield27.06.196627.06.1966N65W komponentaN65W komponenta∆∆t=0.02st=0.02suugmaxgmax=264.352cm/s=264.352cm/s 22


Hor

izon

taln

o ub

rzan

je p

odlo

ge [c

m/s

Hor

izon

taln

o ub

rzan

je p

odlo

ge [c

m/s

22 ]]

&&&&&&&&


11 22 33 44 55 66 77 88 99 1010 1111 1212 1313 1414 1515 1616 1717 1818 1919

Vreme [s]Vreme [s]

--4.54.5

--4.04.0--4.04.0

--3.53.5

--3.03.0--3.03.0

--2.52.5

--2.02.0--2.02.0

--1.51.5

--1.01.0--1.01.0

--0.50.5

0.00.00.00.0

0.50.5

1.01.01.01.0

1.51.5

2.02.02.02.0

2.52.5

3.03.03.03.0

3.53.5

4.04.04.04.0

4.54.5

--4.04.0

--3.03.0

--2.02.0

--1.01.0

0.00.0

1.01.0

2.02.0

3.03.0

4.04.0

--0.7990.799

0.8720.872

2.0572.057

--2.232.23

1.1311.131

--1.3031.303

--0.6440.644

0.4450.445

MGC analizaMGC analizaHorizontalno pomeranjeHorizontalno pomeranjeČČvor 1vor 1µµ=5%,=5%, ∆∆t=0.005st=0.005suumaxmax=2.057cm=2.057cmuuminmin==--2.230cm2.230cm

Hor

izon

taln

o po

mer

anje

[cm

]H

oriz

onta

lno

pom

eran

je [c

m]


11 22 33 44 55 66 77 88 99 1010 1111 1212 1313 1414 1515 1616 1717 1818 1919

Vreme [s]Vreme [s]

--350350

--300300--300300

--250250

--200200--200200

--150150

--100100--100100

--5050

0000

5050

100100100100

150150

200200200200

250250

300300300300

350350

--300300

--200200

--100100

00

100100

200200

300300

Imperial ValleyImperial Valley18.05.1940.18.05.1940.N65W komponentaN65W komponenta∆∆t=0.02st=0.02suugmaxgmax=263.049cm/s=263.049cm/s 22


Hor

izon

taln

o ub

rzan

je p

odlo

ge [c

m/s

Hor

izon

taln

o ub

rzan

je p

odlo

ge [c

m/s

22 ]] &&&&&&&&


11 22 33 44 55 66 77 88 99 1010 1111 1212 1313 1414 1515 1616 1717 1818 1919

--4.54.5

--4.04.0--4.04.0

--3.53.5

--3.03.0--3.03.0

--2.52.5

--2.02.0--2.02.0

--1.51.5

--1.01.0--1.01.0

--0.50.5

0.00.00.00.0

0.50.5

1.01.01.01.0

1.51.5

2.02.02.02.0

2.52.5

3.03.03.03.0

3.53.5

4.04.04.04.0

4.54.5

--4.04.0

--3.03.0

--2.02.0

--1.01.0

0.00.0

1.01.0

2.02.0

3.03.0

4.04.0

--2.42.4

2.4152.415

--1.6321.632

2.4432.443

--0.8110.811

1.5311.531

--0.2450.245

1.2011.201

MGC analizaMGC analizaHorizontalno pomeranjeHorizontalno pomeranjeČČvor 1vor 1µµ=5%,=5%, ∆∆ t=0.005st=0.005suumaxmax=2.443cm=2.443cmuuminmin==--2.400cm2.400cm

Vreme [s]Vreme [s]

Hor

izon

taln

o po

mer

anje

[cm

]H

oriz

onta

lno

pom

eran

je [c

m]


ŠŠema registrovanja mehaniema registrovanja mehaniččkih velikih veliččinainapri seizmipri seizmiččkim dejstvimakim dejstvima

�� nepokretni deonepokretni deo�� oprugaopruga (krutost)(krutost)

�� prigupriguššenjeenje�� masamasa

�� zapiszapis

Intenzitet seizmiIntenzitet seizmiččkog dejstvakog dejstva�� magnituda zemljotresa (Richter, Mmagnituda zemljotresa (Richter, Mmaxmax=8.9)=8.9)

M = log(A)M = log(A) -- log(B)log(B)AA -- amplituda pomeranja zemljotresaamplituda pomeranja zemljotresa

BB -- amplituda pomeranja referentnog zemljotresaamplituda pomeranja referentnog zemljotresa(B=0.001mm, e=100km)(B=0.001mm, e=100km)

�� oslobođena energija u hipocentruoslobođena energija u hipocentrulog(E) = 11.0 + 1.8log(E) = 11.0 + 1.8··MM�� intenzitet u epicentruintenzitet u epicentru

II00 = 1.5= 1.5··MM -- 3.53.5··log(f)+3.0log(f)+3.0

SeizmiSeizmiččke skaleke skale�� XVII vek (Italija)XVII vek (Italija)

�� 50 skala prema veli50 skala prema veliččiniini šštete na objektima,tete na objektima,promene nastale u okrupromene nastale u okružženju,enju,

promene ponapromene ponaššanjaanja žživih biivih bićća...a...�� MercalliMercalli--CancaniCancani--Siebergova skala (12 stepeni,Siebergova skala (12 stepeni,

1917.)1917.)�� modifikovana Mercallijeva skala (MM, USA)modifikovana Mercallijeva skala (MM, USA)

�� GOST 6249GOST 6249--52 (Rusija)52 (Rusija)�� MedvedevMedvedev--SponheuerSponheuer--Karnik (MSKKarnik (MSK--64, UNESCO,64, UNESCO,

1964.)1964.)

Karakteristike zemljotresa prema MCSKarakteristike zemljotresa prema MCSseizmiseizmiččkoj skalikoj skali

�� I stepenI stepen -- reaguju samo instrumentireaguju samo instrumenti�� II stepenII stepen -- oseti se samo na vioseti se samo na viššim spratovimaim spratovima

�� III stepenIII stepen -- lak zemljotres (vibracije kao pri prolaskulak zemljotres (vibracije kao pri prolaskulakog vozila)lakog vozila)

�� IV stepenIV stepen -- umeren zemljotres (vibracije kao pri prolaskuumeren zemljotres (vibracije kao pri prolaskutetešškog vozila)kog vozila)

�� V stepenV stepen -- dosta jak zemljotres (odosta jak zemljotres (oššteteććenja naenja naneseizmineseizmiččki građenim objektimaki građenim objektima))

�� VI stepenVI stepen -- jak zemljotres (pukotine u tlu, ojak zemljotres (pukotine u tlu, oššteteććenja i naenja i naaseizmiaseizmiččki građenim objektima aki građenim objektima agg=0.25=0.25--0.50m/s0.50m/s22))

�� VII stepenVII stepen -- silan zemljotres (osilan zemljotres (oššteteććenja na AB objektima,enja na AB objektima,aktiviranje manjih kliziaktiviranje manjih kliziššta, ata, agg=0.50=0.50--1.00m/s1.00m/s22))

�� VIII stepenVIII stepen -- šštetan zemljotres (strah i panika, srednjatetan zemljotres (strah i panika, srednjaooššteteććenja AB objekata, aenja AB objekata, agg=1.00=1.00--2.00m/s2.00m/s22))

�� IX stepenIX stepen -- ograniograniččeno razoran zemljotres (teeno razoran zemljotres (tešškakaooššteteććenja na svim objektima, aenja na svim objektima, agg=2.00=2.00--4.00m/s4.00m/s22))

�� X stepenX stepen -- razorni zemljotres (orazorni zemljotres (oššteteććenja na nasipima ienja na nasipima ibranama, pukotine u tlu i do 1m, rubranama, pukotine u tlu i do 1m, ruššenje veenje veććineine

uobiuobiččajeno građenih objekataajeno građenih objekata))�� XI stepenXI stepen -- pustopustoššni zemljotres (komunikacije postajuni zemljotres (komunikacije postaju

neupotrebljive, aktiviranje klizineupotrebljive, aktiviranje kliziššta i odrona)ta i odrona)�� XII stepenXII stepen -- katastrofalni zemljotreskatastrofalni zemljotres

(promena reljefa terena...)(promena reljefa terena...)

Prinudne priguPrinudne priguššene oscilacije modela sa jednim stepenomene oscilacije modela sa jednim stepenomslobode usled pomeranja osnoveslobode usled pomeranja osnove


(9.81m/s(9.81m/s22))kk -- krutost [N/m]krutost [N/m]cc -- prigupriguššenje [Nenje [N··ss/m]/m]yystst -- statistatiččko pomeranjeko pomeranjey(t)y(t) -- elongacijaelongacijaηη(t)(t) -- ukupno pomeranjeukupno pomeranje

((ηη(t)=(t)=y(t)+yy(t)+ystst))kk··ηη -- restituciona sila [N]restituciona sila [N]cc··ηη -- sila prigusila priguššenja [N]enja [N]mm··ηη -- inercijalna silainercijalna sila [N][N]mm··gg -- tetežžina tela [N]ina tela [N]yygg(t)(t) -- pomeranje osnove [m]pomeranje osnove [m]

¨˙

mm

kk

mm··zzkk··zz

mm⋅⋅gg

cc··zz

cc yy stst

ηη (t)(t)

y(t)

y(t)

yygg(t)(t)

gg22

gg

gg

gg

gg

gg

gggggggg

yyzzωωzzωωζζ22zz

yyzzmmkkzz

mmcczz

yymmzzkkzzcczzmm

yyyyzzyyyyzzyyyyzz

yymm))yyyy((kk))yyyy((cc))yyyy((mm

&&&&&&&&&&

&&&&&&&&&&

&&&&&&&&&&

&&&&&&&&&&&&

&&&&&&

&&&&&&&&&&&&&&&&

−−==⋅⋅++⋅⋅⋅⋅⋅⋅++

−−==⋅⋅++⋅⋅++

⋅⋅−−==⋅⋅++⋅⋅++⋅⋅

−−==−−==−−==

⋅⋅−−==−−⋅⋅++−−⋅⋅++−−⋅⋅

Spektri odgovoraSpektri odgovora�� spektri odgovora prikazuju maksimalnespektri odgovora prikazuju maksimalnevrednosti odgovora (pomeranja, brzine,vrednosti odgovora (pomeranja, brzine,

ubrzanja, sile u preseku, naponi, dinamiubrzanja, sile u preseku, naponi, dinamiččkikikoeficijenti...) sistema sa jednim stepenom slobode zakoeficijenti...) sistema sa jednim stepenom slobode za

dinamidinamiččko dejstvoko dejstvo�� apscisna osaapscisna osa -- svojstvene frekvencije ili periodisvojstvene frekvencije ili periodi

oscilovanja konstrukcijeoscilovanja konstrukcije�� ordinatna osaordinatna osa -- maksimalne vrednosti odgovoramaksimalne vrednosti odgovora

konstrukcijekonstrukcije�� familije krivih dobijaju se promenom prigufamilije krivih dobijaju se promenom priguššenjaenja

sistemasistema

NumeriNumeriččko modeliranje odgovorako modeliranje odgovorakonstrukcija izlokonstrukcija izložženih seizmienih seizmiččkim dejstvimakim dejstvima

�� modeliranje seizmimodeliranje seizmiččkog dejstvakog dejstva�� modeliranje ponamodeliranje ponaššanja materijalaanja materijala�� modeliranje ponamodeliranje ponaššanja elemenataanja elemenata

�� modeliranje ponamodeliranje ponaššanja spojeva i vezaanja spojeva i veza�� modeliranje ponamodeliranje ponaššanja tlaanja tla

Metoda direktne dinamiMetoda direktne dinamiččke analizeke analize

[M][M] -- matrica masa sistemamatrica masa sistema[C][C] -- matrica prigumatrica priguššenja sistemaenja sistema[K[Ktt]] -- tangentna matrica krutosti sistematangentna matrica krutosti sistema{{∆∆üü}} -- vektor inkremenata ubrzanjavektor inkremenata ubrzanja ččvorova sistemavorova sistema

-- vektor inkremenata brzinavektor inkremenata brzina ččvorova sistemavorova sistema{{∆∆u}u} -- vektor inkremenata pomeranjavektor inkremenata pomeranja ččvorova sistemavorova sistema{{∆∆F}F} -- vektor inkremenata spoljnih sila uvektor inkremenata spoljnih sila u ččvorovima sistemavorovima sistema

}}uu∆∆{{]]MM[[}}FF∆∆{{}}uu∆∆{{]]KK[[}}uu∆∆{{]]CC[[}}uu∆∆{{]]MM[[ ggtt &&&&&&&&&& ⋅⋅−−====⋅⋅++⋅⋅++⋅⋅

}}uu∆∆{{ &&

ReReššavanje jednaavanje jednaččine dinamiine dinamiččke ravnoteke ravnotežžee� primena metode konačnih elemenata

� numeričko rešavanje jednačina dinamičke ravnotežeprimenom inkrementalnog (step-by-step) pristupa u

povezivanju tekuće i naredne konfiguracije analiziranogsistema konačnih elemenata

� umesto rešenja za bilo koji vremenski trenutak "t", traži serešenje samo u određenim diskretnim trenucima "ti"

(i=1,2,...,n) koji se razlikuju za "∆t"� promena pomeranja, brzina i ubrzanja u okviru vremenskog

intervala "∆t" unapred se pretpostavlja� kompleksna metoda

� velika tačnost metode - mogućnost primene realnihnelinearnih modela ponašanja i dobijanje istorije promene

veličina pomeranja, napona i sila

Metode direktne integracije jednaMetode direktne integracije jednaččineinedinamidinamiččke ravnoteke ravnotežžee

� metoda centralnih konačnih razlika(centralni diferencni postupak)

� Houboltov postupak prethodnih konačnih razlika� Wilsonov "θ" postupak linearnog ubrzanja

� Newmarkov "β" postupak konstantnog ubrzanja� postupak harmonijskog ubrzanja

� Hilberov postupak...

Algoritam inkrementalnog postupka primene metodeAlgoritam inkrementalnog postupka primene metodedirektne integracije jednadirektne integracije jednaččine dinamiine dinamiččke ravnoteke ravnotežžee

� inicijalizacija početnog stanja pomeranja, brzine i ubrzanja utrenutku "t0" kao poznatog

� na osnovu pretpostavke promeni ubrzanja uintervalu "t0+∆t" određuje se stanje pomeranja,

brzine i ubrzanja u trenutku "t1"� uticaji u trenutku t1 su inicijalni za drugi interval -

- veličine na kraju tog intervala određuju se naosnovu uticaja na početku intervala i pretpostavljenog

načina njihove promene u okviru intervala "∆t"

))uuuu((22tt∆∆uuuu tttt∆∆tttttt∆∆tt &&&&&&&&&&&& ++⋅⋅++== ++++

))uuuu((22tt∆∆uuuu tttt∆∆tttttt∆∆tt &&&& ++⋅⋅++== ++++

tttttt∆∆tttt∆∆tt uu))uuuu((tt∆∆

22uu &&&&&&&&&&&& −−−−⋅⋅== ++++

tttttt∆∆tttt∆∆tt uu))uuuu((tt∆∆

22uu &&&& −−−−⋅⋅== ++++

tt∆∆tt,,ggtt∆∆tttttt∆∆tt11

tt∆∆tt

tt∆∆tt,,ggtt∆∆tttttt∆∆tttt∆∆tt

}}uu{{))}}uu{{]]KK[[}}uu{{]]CC([([]]MM[[}}uu{{

}}uu{{]]MM[[}}uu{{]]KK[[}}uu{{]]CC[[}}uu{{]]MM[[

++++++−−

++

++++++++

−−⋅⋅++⋅⋅⋅⋅==

⋅⋅−−==⋅⋅++⋅⋅++⋅⋅

&&&&&&&&&&

&&&&&&&&&&

Metoda modalne superpozicijeMetoda modalne superpozicije

�� odgovor sistema dobija se kaoodgovor sistema dobija se kaokombinacija odgovora po svojstvenim oblicimakombinacija odgovora po svojstvenim oblicima

(modalna superpozicija)(modalna superpozicija)�� seizmiseizmiččke sile izrake sile izraččunavaju se za prvihunavaju se za prvih

"k" svojstvenih oblika"k" svojstvenih oblika�� uticaji u konstrukciji dobijaju se na osnovu statiuticaji u konstrukciji dobijaju se na osnovu statiččke analize zake analize za

seizmiseizmiččke sile prvih "k" svojstvenih oblikake sile prvih "k" svojstvenih oblika�� ukupni uticaji se dobiju kao kombinacija svih oblikaukupni uticaji se dobiju kao kombinacija svih oblika

(kombinacija nije linearna s obzirom na razli(kombinacija nije linearna s obzirom na različčite faze amplitudaite faze amplitudapomeranja i sila za razlipomeranja i sila za različčite svojstvene oblike)ite svojstvene oblike)

�� kompleksna metodakompleksna metoda�� nedovoljna tanedovoljna taččnost s obzirom na pretpostavku o linearnomnost s obzirom na pretpostavku o linearnom

ponaponaššanju i karakter superpozicijeanju i karakter superpozicije

j=2j=2j=1j=1 j=3j=3

�� xxikik -- amplitudaamplituda sistema zasistema zaoblik "i" ioblik "i" i

za taza taččku "k"ku "k"

xxQQ

xxQQxxηη

�� koeficijenkoeficijent oblikat oblika

))5050..00ββ5050..11((TT7575..00ββ

�� koeficijenkoeficijent dinamit dinamiččnosti zanosti zaoblik "i"oblik "i"

nn

11jj

22ijijjj

nn

11jjijijjj

ikikikik

iiii

ii

⋅⋅

⋅⋅⋅⋅==

>>>>==

∑∑

∑∑

==

==

xx1313

xx1212

xx1111

xx2323

xx2222

xx2121

xx3333

xx3232

xx3131

ηηQQββKKSS

�� sseizmieizmiččka sila za oblik "i"ka sila za oblik "i"i tai taččku "ku "kk""

ikikkkiiccikik ⋅⋅⋅⋅⋅⋅==

j=2j=2j=1j=1 j=3j=3

SS1313

SS1212

SS1111

SS2323

SS2222

SS2121

SS3333

SS3232

SS3131

�� KKcc -- koeficijentkoeficijentseizmiseizmiččnostinosti

(zavisi od seizmi(zavisi od seizmiččke zone ike zone ikvaliteta tla)kvaliteta tla)

�� QQkk -- tetežžina mase "k"ina mase "k"

∑∑==

==nn

11ii

22ikikkk YYYY

�� "ukupni" uticaj u "k""ukupni" uticaj u "k"

Metoda ekvivalentnog statiMetoda ekvivalentnog statiččkog opterekog optereććenjaenja

�� zasnovana na spektralnoj analizizasnovana na spektralnoj analizi -- određuje se zamenjujuodređuje se zamenjujuććeestatistatiččko horizontalno optereko horizontalno optereććenjeenje

�� uticaji u konstrukciji dobijaju se za seizmiuticaji u konstrukciji dobijaju se za seizmiččke sile dobijene nake sile dobijene naosnovu analize prvog svojstvenog oblika i drugih dinamiosnovu analize prvog svojstvenog oblika i drugih dinamiččkihkih

parametara konstrukcije, kategorije objekta, intenzitetaparametara konstrukcije, kategorije objekta, intenzitetapretpostavljenog seizmipretpostavljenog seizmiččkog dejstva i karakteristika tlakog dejstva i karakteristika tla

�� jednostavna metodajednostavna metoda�� nedovoljna tanedovoljna taččnost s obzirom nanost s obzirom na

statistatiččki karakter metodeki karakter metode

∑=

⋅

⋅⋅=

s

1iii

iii

HG

HGSS

⋅⋅⋅= pdso KKKKK

⋅= GKS SS -- ukupna seizmiukupna seizmiččka silaka silaKK -- ukupni seizmiukupni seizmiččki koeficijentki koeficijentKKoo -- koeficijent kategorije objektakoeficijent kategorije objektaKKss -- koeficijent seizmikoeficijent seizmiččkogkog

intenzitetaintenzitetaKKdd -- koeficijent dinamikoeficijent dinamiččnostinostiKKpp -- koeficijent prigukoeficijent priguššenja ienja i

duktilitetaduktilitetaSSii -- seizmiseizmiččka sila za sprat "i"ka sila za sprat "i"GGii -- tetežžina mase za sprat "i"ina mase za sprat "i"HHii -- visina sprata "i"visina sprata "i"

KKoo -- koeficijent kategorije objekta zavisi od znakoeficijent kategorije objekta zavisi od značčaja objekta iaja objekta iposledica koje mogu da nastanu u sluposledica koje mogu da nastanu u sluššaju oaju oššteteććenja ilienja iliruruššenja objektaenja objekta

KKoo =1.50 (I kategorija=1.50 (I kategorija -- zgrade sa prostorijama predvizgrade sa prostorijama predviššene zaene zavevećće skupove ljudie skupove ljudi -- bioskopi, pozoribioskopi, pozoriššta, sportsketa, sportskedvorane fakulteti,dvorane fakulteti, šškole, bolnice...)kole, bolnice...)

KKoo =1.00 (II kategorija=1.00 (II kategorija -- stambene zgrade, hoteli restorani,stambene zgrade, hoteli restorani,javne i industrijske zgrade koje nisu u prvoj kategoriji...)javne i industrijske zgrade koje nisu u prvoj kategoriji...)

KKoo =0.75 (III kategorija=0.75 (III kategorija -- pomopomoććnono--proizvodne zgrade,proizvodne zgrade,agrotehniagrotehniččki objekti...)ki objekti...)

KKoo = (IV kategorija= (IV kategorija -- privremeni objektiprivremeni objekti ččije ruije ruššenje neenje nemomožže da ugrozi ljudskee da ugrozi ljudske žživote...)ivote...)

KKss -- koeficijent seizmikoeficijent seizmiččkog intenziteta zavisi od intenzitetakog intenziteta zavisi od intenziteta(stepena) zemljotresa i normiran je u odnosu na ubrzanje(stepena) zemljotresa i normiran je u odnosu na ubrzanjezemljine tezemljine težžee

KKss =0.025=0.025 -- zemljotres VII stepena MCS skalezemljotres VII stepena MCS skaleKKss =0.050=0.050 -- zemljotres VIII stepena MCS skalezemljotres VIII stepena MCS skaleKKss =0.100=0.100 -- zemljotres IX stepena MCS skalezemljotres IX stepena MCS skale

KKdd -- koeficijent dinamikoeficijent dinamiččnosti određen je na bazi spektranosti određen je na bazi spektraodgovora na osnovu spektralnih krivih za određeneodgovora na osnovu spektralnih krivih za određenekategorije tlakategorije tla

KKdd =0.50/T=0.50/T -- I kategorija (dobro tlo) 1.00>KI kategorija (dobro tlo) 1.00>Kdd>0.33>0.33KKdd =0.70/T=0.70/T -- II kategorija (srednje tlo) 1.00>KII kategorija (srednje tlo) 1.00>Kdd>0.47>0.47KKdd =0.90/T=0.90/T -- III kategorija (loIII kategorija (lošše tlo) 1.00>Ke tlo) 1.00>Kdd>0.47>0.47

KKpp -- koeficijent duktiliteta i prigukoeficijent duktiliteta i priguššenja omoguenja omoguććuje korekcijuuje korekcijuseizmiseizmiččkih sila objekta koje zavisi od parametarakih sila objekta koje zavisi od parametaraprigupriguššenja i duktilitetaenja i duktiliteta

KKoo =1.00 (I kategorija=1.00 (I kategorija -- sve savremene konstrukcije odsve savremene konstrukcije odarmiranog betona,armiranog betona, ččelieliččne i drvene konstrukcije osim onihne i drvene konstrukcije osim onihu II kategoriji)u II kategoriji)

KKoo =1.30 (II kategorija=1.30 (II kategorija -- konstrukcije od armiranih zidova ikonstrukcije od armiranih zidova iččelieliččne konstrukcije sa dijagonalama...)ne konstrukcije sa dijagonalama...)

KKoo =1.60 (III kategorija=1.60 (III kategorija -- zidne konstrukcije sa vertikalnim ABzidne konstrukcije sa vertikalnim ABserklaserklažžima vrlo visoke i vitke konstrukcije sa malimima vrlo visoke i vitke konstrukcije sa malimprigupriguššenjem: dimnjaci, antene, vodotornjevi i drugeenjem: dimnjaci, antene, vodotornjevi i drugekonstrukcije sa T>2.0s...)konstrukcije sa T>2.0s...)

KKoo =2.00 (IV kategorija=2.00 (IV kategorija -- konstrukcije sa fleksibilnimkonstrukcije sa fleksibilnimprizemljem ili spratom, sa naglom promenom krutosti iprizemljem ili spratom, sa naglom promenom krutosti ikonstrukcije od obikonstrukcije od običčnih zidova...)nih zidova...)

Osnovi aseizmiOsnovi aseizmiččkog projektovanja i građenja objekatakog projektovanja i građenja objekata

�� seizmiseizmiččki parametri lokacije objektaki parametri lokacije objekta�� geomehanigeomehaniččki parametri lokacije objektaki parametri lokacije objekta

�� znaznaččaj i kategorija objektaaj i kategorija objekta�� ekonomski aspektiekonomski aspekti

�� dispozicija objekta (simetridispozicija objekta (simetriččne i kompaktne,ne i kompaktne, a ne razuđene ia ne razuđene inepravilne osnove, izbegavanje torzije, koncentrisanje venepravilne osnove, izbegavanje torzije, koncentrisanje veććihih

masa na manjim visinama, izbegavanje fleksibilnih prizemlja imasa na manjim visinama, izbegavanje fleksibilnih prizemlja ispratova kao i nagle promene krutosti)spratova kao i nagle promene krutosti)

�� izbor materijalaizbor materijala

�� rezerva nosivosti, stabilnosti i upotrebljivosti kod statirezerva nosivosti, stabilnosti i upotrebljivosti kod statiččkikineodređenih sistemaneodređenih sistema

�� zidane konstrukcije (mala masa i kompaktnost, kritizidane konstrukcije (mala masa i kompaktnost, kritiččna nosivostna nosivosthorizontalnih spojnica, potreba uvhorizontalnih spojnica, potreba uvođenja vertikalnih i horizontalnihođenja vertikalnih i horizontalnih

AB serklaAB serklažža za prijem horizontalnih seizmia za prijem horizontalnih seizmiččkih sila...)kih sila...)�� AB konstrukcije (velika masa, srednjaAB konstrukcije (velika masa, srednja ččvrstovrstoćća, skeletni, panelni ia, skeletni, panelni i

kombinovani sistemi , polokombinovani sistemi , položžaj jezgra i zidova za horizontalnoaj jezgra i zidova za horizontalnoukruukruććenje, duktilnost spojeva kod monolitnih i montaenje, duktilnost spojeva kod monolitnih i montažžnih sistema,nih sistema,

fleksibilne i krute međuspatni elementifleksibilne i krute međuspatni elementi -- tavanice...)tavanice...)�� ččelieliččne konstrukcije (mala masa, velika krutost ine konstrukcije (mala masa, velika krutost i ččvrstovrstoćća, istea, iste

karakteristike za pritisak i zatezanje, stabilno histerezisnokarakteristike za pritisak i zatezanje, stabilno histerezisnoponaponaššanje i velika duktilnost, moguanje i velika duktilnost, moguććnost gubitka stabilnosti i krtognost gubitka stabilnosti i krtog

loma zavarenih spojeva...)loma zavarenih spojeva...)

Dinamika konstrukcija - predavanja

Documents

Transcript of Dinamika konstrukcija - predavanja