Dinamici - unile.itpoincare.unile.it/franz/sisdin2007/sisdin_7p.pdf1 / 33 Sistemi Dinamici 7-Zo...

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Sistemi Dinami i7 - Zoologia dei Sistemi Lineari 2D

Fran es o Paparella19 Marzo 2006

Sottospazi Invarianti di Matri iDiagonalizzabili

SottospaziInvarianti

Sott. Invar.

Autov. ->S. Inv.

S. Inv. ->Autov.

Stabilità

Classi azioneAutovalori C.C.Forme di JordanCasi DegeneriRiepilogo Generaleper Matri i 2 × 2

2 / 33

Sottospazi Invarianti


Sott. Invar.

Autov. ->S. Inv.

S. Inv. ->Autov.

Stabilità


3 / 33

Sia V un sottospazio vettoriale di Rn. Sia A una matri e quadrata

n × n. Di iamo he

V è invariante

rispetto alla dinami a denita dax = Axse

x(0) ∈ V ⇒ x(t) ∈ Vper ogni tempo t.

Autovettori ⇒ Sottospazi Invarianti 1D


Sott. Invar.

Autov. ->S. Inv.

S. Inv. ->Autov.

Stabilità


4 / 33

Sia v un autovettore di A on autovalore λ. Se x(0) = v e x = Axabbiamo visto he

x(t) = eλtv

Ma l'insieme V1(v) dei vettori della forma αv, on α ∈ R è unsottospazio vettoriale 1D di Rn.

Se x(0) = αv, allora x(t) = αeλtv ∈ V1(v).

Il sottospazio V1(v) è invariante!

Sottospazio Invariante 1D ⇒ Autovettore


Sott. Invar.

Autov. ->S. Inv.

S. Inv. ->Autov.

Stabilità


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Sia A una matri e diagonalizzabile n × n, e sia V1 un sottospazioinvariante unidimensionale del sistema dinami ox = AxSupponiamo, per assurdo, he x0 ∈ V1 non sia un autovettore di A(né sia x0 = 0). Allora x0 = c1v1 + . . . + cnvndove v1, . . . ,vn èuna base di autovettori e almeno due delle ostanti c1, . . . , cn sononon nulle.L'orbita he ha x0 ome ondizione iniziale è

x(t) = c1eλ1t

v1 + · · · + cneλntvnquindi, se i λ1, . . . , λn sono distinti, x(t) non può essere s ritto ome

x(t) = f(t)x0, ossia x(t) /∈ V1.Per il aso di autovalori oin identi fr. eser izi.

Stabilità dei Sottospazi Invarianti 1D


Sott. Invar.

Autov. ->S. Inv.

S. Inv. ->Autov.

Stabilità


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Abbiamo visto he le orbite appartenenti ad un sottospazio invariantedel sistema dinami o x = Ax on A diagonalizzabile sono della formax(t) = eλt

x0Se λ < 0 il sottospazio è stabile.Le orbite del sottospazio adono asintoti amente sull'origine:

limt→∞

x(t) = 0

Se λ > 0 il sottospazio è instabile.Le orbite del sottospazio provengono asintoti amente dall'origine:

limt→−∞

x(t) = 0

Classi azione dei S. D. Diagonalizzabili 2D


Sott. Invar.

Autov. ->S. Inv.

S. Inv. ->Autov.

Stabilità


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Autovalori Classi azione StabilitàUno positivoUno negativo Sella InstabileDue positivi distinti Nodo InstabileDue negativi distinti Nodo StabileDue positivi oin identi Stella InstabileDue negativi oin identi Stella Stabile

Sistemi Lineari 2D on Autovalori ComplessiConiugati

SottospaziInvariantiAutovalori C.C.

Forma Norm. I

Forma Norm. II

Forma Norm. III

exp(F.N.) I

exp(F.N.) II

Sol. O.D.E.

Rotazioni

Classi azioneForme di JordanCasi DegeneriRiepilogo Generaleper Matri i 2 × 2

8 / 33

Forma Normale per Matri i on Autovalori C.C.


Forma Norm. I

Forma Norm. II

Forma Norm. III

exp(F.N.) I

exp(F.N.) II

Sol. O.D.E.

Rotazioni


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Teorema: Se la matri e A è 2 × 2 ed ha autovalori omplessi oniugati

λ1,2 = ρ ± iωasso iati agli autovettori omplessi oniugati v e v∗,

allora la matri e

T = (ℑ(v),ℜ(v))

È invertibile. È tale he

T−1AT =

(ρ −ωω ρ

)

Invertibilità di T = (ℑ(v),ℜ(v))


Forma Norm. I

Forma Norm. II

Forma Norm. III

exp(F.N.) I

exp(F.N.) II

Sol. O.D.E.

Rotazioni


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Deniamo i vettori reali vℜ = ℜ(v) e vℑ = ℑ(v).A (vℜ + ivℑ) = (ρ + iω) (vℜ + ivℑ)

Avℜ + iAvℑ = (ρvℜ − ωvℑ) + i (ωvℜ + ρvℑ)Se, per assurdo, vℜ e vℑ non fossero linearmente indipendenti, alloraesisterebbe un numero α 6= 0 tale he vℑ = αvℜ, e la pre edenteeguaglianza si ridurrebbe alla seguente oppia di sistemi di equazionilineari reali Avℜ = (ρ − αω)vℜ

Avℜ = (ω/α + ρ)vℜMa (ρ − αω) 6= (ω/α + ρ), per iò non esiste un vettore vℜ non nullo he li soddisfa entrambi.

Trasformazione in Forma Normale


Forma Norm. I

Forma Norm. II

Forma Norm. III

exp(F.N.) I

exp(F.N.) II

Sol. O.D.E.

Rotazioni


11 / 33AT =

= (Aℑ(v), Aℜ(v)) = (ℑ(Av), ℜ(Av)) =

= (ℑ(ρv) + ℑ(iωv), ℜ(ρv) + ℜ(iωv)) =

= (ℑ(ρv) + ℜ(ωv), ℜ(ρv) −ℑ(ωv)) =

= (ρℑ(v) + ωℜ(v), ρℜ(v) − ωℑ(v)) =

=

(ρℑ(v1) + ωℜ(v1) ρℜ(v1) − ωℑ(v1)ρℑ(v2) + ωℜ(v2) ρℜ(v2) − ωℑ(v2)

)

=

=

(ℑ(v1) ℜ(v1)ℑ(v2) ℜ(v2)

)(ρ −ωω ρ

)

=

= T

(ρ −ωω ρ

)

.

Moltipli ando da sinistra per T−1 segue la tesi.

Esponenziale della Forma Normale I


Forma Norm. I

Forma Norm. II

Forma Norm. III

exp(F.N.) I

exp(F.N.) II

Sol. O.D.E.

Rotazioni


12 / 33(

ρ −ωω ρ

)

︸︷︷︸

F

=

(ρ 00 ρ

)

︸︷︷︸

R

+

(0 −ωω 0

)

︸︷︷︸

ΩÈ immediato veri are he RΩ = ΩR, quindieFt = e(R+Ω)t = eRteΩt.

eRt lo sappiamo al olare (R è diagonale). Per al olare eΩtosserviamo he

Ω2k = (−1)k

(ω2k 00 ω2k

)

Ω2k+1 = (−1)k

(0 −ω2k+1

ω2k+1 0

)

Esponenziale della Forma Normale II


Forma Norm. I

Forma Norm. II

Forma Norm. III

exp(F.N.) I

exp(F.N.) II

Sol. O.D.E.

Rotazioni


13 / 33eΩt =

=∞∑

k=0

Ωktk

k!=

∞∑

k=0

Ω2kt2k

(2k)!+

∞∑

k=0

Ω2k+1t2k+1

(2k + 1)!=

=∞∑

k=0

((−1)kω2k 0

0 (−1)kω2k

)t2k

(2k)!+

+∞∑

k=0

(0 −(−1)kω2k+1

(−1)kω2k+1 0

)t2k+1

(2k + 1)!=

=

(cos(ωt) 0

0 cos(ωt)

)

+

(0 − sin(ωt)

sin(ωt) 0

)

=

=

(cos(ωt) − sin(ωt)sin(ωt) cos(ωt)

)

Soluzione dell'Equazione Dierenziale


Forma Norm. I

Forma Norm. II

Forma Norm. III

exp(F.N.) I

exp(F.N.) II

Sol. O.D.E.

Rotazioni


14 / 33

Dai risultati pre edenti, abbiamo

exp

((ρ −ωω ρ

)

t

)

=

(eρt cos(ωt) −eρt sin(ωt)eρt sin(ωt) eρt cos(ωt)

)

È an he immediato veri are he, se T−1AT = F , allora

T−1eAtT = eFt( on perfetta analogia a quanto su edeva nel aso di matri idiagonalizzabili).Quindi, la soluzione di x = Ax on ondizioni iniziali x(0) = x0 è

x(t) = eAtx0 = TeFtT−1

x0

Matri e di Rotazione


Forma Norm. I

Forma Norm. II

Forma Norm. III

exp(F.N.) I

exp(F.N.) II

Sol. O.D.E.

Rotazioni


15 / 33

La matri e eΩt è una matri e di rotazione. Infatti se fa io il prodotto di questamatri e per un generi o vettore v =

„ab

« ottengo un altro vettore vr:vr = eΩt

v =

„cos(ωt) − sin(ωt)sin(ωt) cos(ωt)

« „ab

«

=

„a cos(ωt) − b sin(ωt)a sin(ωt) + b cos(ωt)

«

he ha lo stesso modulo del vettore di partenza‖vr‖ =

q

(a cos(ωt) − b sin(ωt))2 + (a sin(ωt) + b cos(ωt))2 =p

a2 + b2 = ‖v‖e he forma un angolo di ωt radianti ol vettore di partenza.

vr · v =

„a cos(ωt) − b sin(ωt)a sin(ωt) + b cos(ωt)

«

·

„ab

«

=

= a2 cos(ωt) − ab sin(ωt) + ab sin(ωt) + b2 cos(ωt) = ‖vr‖ ‖v‖ cos(ωt)

Classi azione dei S. D. 2D on Autovalori Complessi


Forma Norm. I

Forma Norm. II

Forma Norm. III

exp(F.N.) I

exp(F.N.) II

Sol. O.D.E.

Rotazioni


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Parte Reale di λ Classi azione StabilitàPositiva Fuo o InstabileNulla Centro CentroNegativa Fuo o Stabile

Forme di Jordan

SottospaziInvariantiAutovalori C.C.Forme di Jordan

Costruzione di unAutovettore (I)

Costruzione di unAutovettore (II)

Costruzione di unAutovettore (III)

Forma di Jordan

exp(J) (I)

exp(J) (II)

Sottospazio(I)

Sottospazio(II)Casi DegeneriRiepilogo Generaleper Matri i 2 × 2

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Costruzione di un Autovettore (I)





Forma di Jordan

exp(J) (I)

exp(J) (II)

Sottospazio(I)


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Se A è una matri e 2 × 2 on autovalore λ di moltepli ità due, puòdarsi il aso he non esistano due autovettori linearmenteindipendenti.Dimostriamo he un autovettore può essere ostruito a partire da unvettore non nullo qualsiasi. Sia A =

(a bc d

). Gli autovalori sono lesoluzioni di

λ2 − Tr λ + ∆ = 0e sono oin identi seTr2 = 4∆dove Tr = a + d e ∆ = ad − bc. Questo impli a

λ =a + d

2

Costruzione di un Autovettore (II)





Forma di Jordan

exp(J) (I)

exp(J) (II)

Sottospazio(I)


19 / 33

Deniamo α = (a − d)/2, abbiamo

(A − λI) =

(α bc −α

)

ma det (A − λI) = 0, ovvero −α2 = bc, ovveroc = −α2/b quindi

(A − λI) =

(α b

−α2/b −α

)

A questo punto osserviamo he(A − λI)2 =

(α b

−α2/b −α

)(α b

−α2/b −α

)

=

(0 00 0

)

ioè, la matri e (A − λI) è nilpotente di ordine 2.

Costruzione di un Autovettore (III)





Forma di Jordan

exp(J) (I)

exp(J) (II)

Sottospazio(I)


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Supponiamo he w non sia un autovettore. In tal aso(A − λI)w 6= 0.Deniamo

v = (A − λI)w

e osserviamo he(A − λI)v = (A − λI)2 w = 0

Pertanto v è un autovettore.

La Forma Normale di Jordan





Forma di Jordan

exp(J) (I)

exp(J) (II)

Sottospazio(I)


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La matri e

T = (v,w)è invertibile (eser izio!).Inoltre, osserviamo he v = (A − λI)w ⇒ Aw = v + λw, quindi

AT = (Av, Aw) = (λv,v + λw) =

=

(λv1 v1 + λw1

λv2 v2 + λw2

)

=

(v1 w1

v2 w2

)(λ 10 λ

)

︸︷︷︸

J

=

= TJOvvero:T−1AT = J

Esponenziale di una Forma di Jordan (I)





Forma di Jordan

exp(J) (I)

exp(J) (II)

Sottospazio(I)


22 / 33„

λ 10 λ

«

| z

J

=

„λ 00 λ

«

| z

Λ

+

„0 10 0

«

| z

SÈ immediato veri are he ΛS = SΛ, quindieJ t = e(Λ+S)t = eΛteSt.

eΛt lo sappiamo al olare (Λ è diagonale). Per al olare eStosserviamo he

S2 =

„0 10 0

« „0 10 0

«

=

„0 00 0

«

quindi, Sk =

„0 00 0

« per k ≥ 2.Nella serie he denis e l'esponenziale di S, solo i primi due terminisono non nullieSt = I + St =

„1 t0 1

«

Esponenziale di una Forma di Jordan (II)





Forma di Jordan

exp(J) (I)

exp(J) (II)

Sottospazio(I)


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Dai risultati pre edenti abbiamo

eJ t =

(eλt 00 eλt

)(1 t0 1

)

=

(eλt teλt

0 eλt

)

.

È an he immediato veri are he, se T−1AT = J , allora

T−1eAtT = eJ t( on perfetta analogia a quanto su edeva nel aso di matri idiagonalizzabili e di matri i on autovalori omplessi).

Quindi, la soluzione di x = Ax on ondizioni iniziali x(0) = x0 è

x(t) = eAtx0 = TeJ tT−1

x0

Forme di Jordan e Sottospazi Invarianti (I)





Forma di Jordan

exp(J) (I)

exp(J) (II)

Sottospazio(I)


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Se A può essere portata in forma di Jordan, allora x = Ax ha uno edun solo sottospazio invariante (se ne avesse due, avrebbe dueautovettori linearmente indipendenti, e sarebbe diagonalizzabile,anzi hé trasformabile in forma di Jordan).S omponiamo la ondizione iniziale x0 omex0 = αv + βwOsserviamo he

Akw =

= Ak−1 (Aw) = Ak−1 (v + λw) =

= Ak−2(Av + λAw) = Ak−2 (λv + λ (v + λw)) =

= Ak−2(2λv + λ2

w)

= · · · =

= kλk−1v + λk

w

Forme di Jordan e Sottospazi Invarianti (II)





Forma di Jordan

exp(J) (I)

exp(J) (II)

Sottospazio(I)


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Pertanto possiamo s rivere la soluzione ome segueeAt

x0 =

=∞∑

k=0

Aktk

k!(αv + βw) = α

∞∑

k=0

Akv

k!tk + β

∞∑

k=0

Akw

k!tk =

= α

∞∑

k=0

λkv

k!tk + β

∞∑

k=1

kλk−1v

k!tk + β

∞∑

k=0

λkw

k!tk =

= αeλtv + βt

∞∑

k=1

λk−1v

(k − 1)!tk−1 + βeλt

w =

= eλt (α + βt)v + βeλtw =

Casi Degeneri

SottospaziInvariantiAutovalori C.C.Forme di JordanCasi Degeneri

Un AutovaloreNullo: IlSottospazioCentrale

Un AutovaloreNullo: FormaNormale

Un AutovaloreNullo: SoluzioneGenerale

Due AutovaloriNulli: FormaNormale

Due AutovaloriNulli: SoluzioneGeneraleRiepilogo Generaleper Matri i 2 × 2

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Un Autovalore Nullo: Il Sottospazio Centrale







27 / 33

Supponiamo he A, matri e 2 × 2 abbia un autovalore nullo ed unonon nullo.I punti ssi del sistema dinami o x = Ax sono le soluzionidell'equazione algebri a

Ax = 0Poi hé det(A) = 0 questa equazione ha soluzioni non nulle.Se xs è tale he Axs = 0, allora an he il vettore αxs, α ∈ R, è unasoluzione della medesima equazione, ed è un punto sso del sistemadinami o.L'insieme dei vettori V1(xs) = αxs, α ∈ R è un sottospaziovettoriale invariante del sistema dinami o, ed è hiamato sottospazio entrale.

Un Autovalore Nullo: Forma Normale







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Sia v un autovettore asso iato all'autovalore λ di A e w un vettoredel sottospazio entrale. Si dimostra immediatamente he v e w sonolinearmente indipendenti. Quindi la matri e T = (v,w) è invertibile.Pertanto

AT = (Av, Aw) = (λv, 0) =

=

„λv1 0λv2 0

«

=

„v1 w2

v2 w1

« „λ 00 0

«

| z

N

= TN

Osserviamo he N k =

„λk 00 0

«, quindieN t =

„eλt 00 1

«

ome nel aso di matri i diagonali on autovalori non nulli.

Un Autovalore Nullo: Soluzione Generale







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La soluzione generale del sistema dinami o x = Ax se A ha unautovalore non nullo ed uno nullo, èx(t) = eAt

x0 = eAt(αv + βw) = αeλtv + βw

Due Autovalori Nulli: Forma Normale







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Se gli autovalori di A sono λ1 = 0 e λ2 = 0, allora tra ia edeterminante di A sono nulli. In tal aso A è della formaA =

„a b

−a2

b−a

«

on b 6= 0.Costruiamo i vettori w =

„1

(1 − a)/b

« e v =

„1

−a/b

«, he sonolinearmente indipendenti. Si veri a heAw = v, Av = 0Deniamo la matri e di trasformazione in forma normale T = (v,w)

AT = (Av, Aw) = (0,v) = T

„0 10 0

«

| z

S

Due Autovalori Nulli: Soluzione Generale







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È immediato veri are he

eAtv = ve he

eAtw = (I + At)wPertanto, se la ondizione iniziale è x0 = αv + βw, la soluzione è

x(t) =

= eAtx0 = αeAt

v + βeAtw = αv + β(I + At)w =

= βw + (α + βt)v he è una soluzione puramente algebri a (non i sono funzionitras endenti). Si noti l'analogia on le forme di Jordan, posto λ = 0.

Riepilogo Generale per Matri i 2 × 2

SottospaziInvariantiAutovalori C.C.Forme di JordanCasi DegeneriRiepilogo Generaleper Matri i 2 × 2

RiepilogoGenerale perMatri i 2 × 2

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Riepilogo Generale per Matri i 2 × 2

SottospaziInvariantiAutovalori C.C.Forme di JordanCasi DegeneriRiepilogo Generaleper Matri i 2 × 2

RiepilogoGenerale perMatri i 2 × 2

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Se A è una matri e 2 × 2 i suoi autovalori sonoλ1,2 =

Tr ±√

Tr2 − 4∆

2di onseguenza, il sistema dinami o x = Ax ha un omportamentorappresentato dal seguente diagrammaFuochiInstabili

∆

TrSelle

Nodi InstabiliNodi Stabili FuochiStabili

∆= Tr 2

4Forme di JordanStelle,

Forme Degeneri

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