Dinamica del punto materiale - Macroarea di Scienze M.F.N. · 2013-06-12 · Meccanica Newtoniana...

44
Dinamica del punto materiale 1. La meccanica classica o Newtoniana. 2. Concetto di Forza 3. Prima legge di Newton: il principio di inerzia 4. Legge di inerzia e sistemi di riferimento inerziali 5. Concetto di Massa 6. Seconda legge di Newton 7. Definizione della forza ed unità di misura 8. Esempi di forze: la forza peso 9. Terza legge di Newton: il principio di azione e reazione 10.Definizione operativa della massa 11.La forza elastica: Legge di Hooke Definizione operativa di una grandezza : quando viene specificato, in maniera univoca ed universale, il modo con cui detta grandezza viene misurata.

Transcript of Dinamica del punto materiale - Macroarea di Scienze M.F.N. · 2013-06-12 · Meccanica Newtoniana...

Dinamica del punto materiale

1. La meccanica classica o Newtoniana.

2. Concetto di Forza

3. Prima legge di Newton: il principio di inerzia

4. Legge di inerzia e sistemi di riferimento inerziali

5. Concetto di Massa

6. Seconda legge di Newton

7. Definizione della forza ed unità di misura

8. Esempi di forze: la forza peso

9. Terza legge di Newton: il principio di azione e reazione

10.Definizione operativa della massa

11.La forza elastica: Legge di Hooke

Definizione operativa di una grandezza : quando viene specificato, in maniera

univoca ed universale, il modo con cui detta grandezza viene misurata.

Meccanica Newtoniana

La dinamica di un punto materiale affronta lo studio delle cause del moto. L’accelerazione è causata da “qualcosa che spinge o tira”. Se tiriamo o spingiamo un corpo su di esso “applichiamo una forza”. Bisogna fare però attenzione che non sempre le forze causano un movimento.

La teoria che lega le cause del moto alle variabili cinematiche che lo descrivono è detta Meccanica.

Noi studiamo la meccanica classica, ovvero la teoria nella quale tutti i fenomeni di moto si possono descrivere usando soltanto tre leggi semplici dette leggi di Newton.

Vengono introdotti i concetti di Forza e di Massa, tramite i quali è possibile collegare le cause del moto alle variabili cinematiche che lo descrivono.

Prima legge di Newton

Questa legge in realtà risale ai tempi di Galileo ( alla prima metà del 17° secolo) , è

conosciuta con il nome di PRINCIPIO D’INERZIA e dice:

“ Un corpo a riposo, rimane a riposo ed un corpo in movimento continua a

muoversi con velocità costante se su di esso non agiscono forze esterne”

Ogni corpo permane nel suo stato iniziale di quiete o di moto rettilineo

uniforme, fin quando non è costretto a cambiare il suo stato da una forza

che viene applicata su di esso

Oppure nella forma espressa da Newton:

Questo concetto ci è familiare ma va contro l’esperienza comune: se lanciamo un

oggetto con una certa velocità iniziale esso non se ne andrà via lungo una traiettoria

rettilinea, ma ad un certo punto si fermerà.. Perché c’è la forza gravitazionale, ma

se pensiamo di fare la stessa cosa nello spazio? L’oggetto proseguirà indefinitamente

il suo moto lungo la direzione della velocità iniziale.

Sistema di riferimento inerziale

Il principio di inerzia non è valido in tutti i sistemi di riferimento

Il principio di inerzia è valido nei sistemi di riferimento INERZIALI

Sistema di riferimento INERZIALE= Un qualsiasi Sistema di riferimento che si

muove con velocità costante ( quindi con accelerazione nulla)

Se un sistema di riferimento è inerziale, ogni altro sistema che si muove a velocità

costante rispetto ad esso è ancora un riferimento inerziale.

La prima legge di Newton si può sintetizzare dicendo che se ,

cioè quando su un corpo non agisce alcuna forza, la sua accelerazione è nulla

Ciò implica che vi può essere movimento ( a velocità costante) senza che agiscano

forze sul corpo e che tale legge non distingue tra corpo in quiete o a velocità costante.

In effetti se un corpo si trova a v=0 oppure a v0 dipende dal sistema di riferimento

dal quale lo si osserva.

(Se osserviamo un passeggero seduto su un treno in movimento dal sedile di fronte

esso è in quiete, se lo osserviamo dalla stazione esso è in movimento)

00 aF

NB: possiamo provare la prima legge di newton?

NO- perché non possiamo essere sicuri al 100% che il nostro sistema di riferimento sia

un sistema inerziale

Ma ci fidiamo???

SI- perché tale legge è consistente, all’interno dell’incertezza sperimentale, con tutti gli

esperimenti che sono stati fatti finora ( metodo scientifico)

Massa (Inerziale)

La massa è una proprietà intrinseca di un oggetto che misura la

resistenza che esso oppone a variare la sua velocità. È una delle grandezze

fondamentali. Maggiore è la massa di un oggetto, minore è l’accelerazione

dell’oggetto quando viene sottoposto ad una data forza

La massa è indipendente da ciò che lo circonda e dal metodo adoperato per

misurarla.

La massa è una quantità scalare (obbedisce alle regole dell’aritmetica ordinaria)

Le masse si sommano e si sottraggono in modo numericamente semplice

NB: Massa e Peso sono due grandezze differenti!!!!!!!!!

La massa di un corpo rimane la stessa sia qui che sulla Luna, il peso del corpo

cambierà ( il peso del corpo, misurato sulla Terra, sarà maggiore del peso misurato

sulla Luna)

Forza

Il moto di un corpo è il risultato della sua interazione con i corpi circostanti.

Le interazioni di un corpo con l’ ambiente esterno sono sintetizzate (in meccanica classica) dall’azione di una grandezza fisica vettoriale detta Forza.

I fisici sono riusciti a ricondurre tutti i fenomeni al manifestarsi di quattro tipi di interazioni fondamentali:

Gravitazionale(originata dalla presenza di materia)

Elettromagnetica (originata dalla presenza di carica elettrica)

Debole (responsabile di alcuni decadimenti radioattivi)

Forte (operante tra le particelle fondamentali e genera il legame tra i nuclei) L’azione simultanea di più forze su di un corpo si può sintetizzare tramite la loro somma vettoriale (detta RISULTANTE).

Seconda legge di Newton(1)

Abbiamo appreso dalla prima legge della dinamica che una forza netta non nulla applicata

ad un corpo deve modificarne necessariamente la velocità, cioè provocare un

cambiamento del modulo, della direzione o del verso del vettore velocità.

L’azione di una forza produce una accelerazione.

Ma qual’è la relazione esatta tra forza e accelerazione?

Consideriamo una molla a riposo con un

estremo fissato al muro

Estendiamola di una certa lunghezza

(non è importante numericamente quanto,

ma solo che durante la misura che si sta per fare

questa lunghezza sia sempre riproducibile)

Attacchiamo all’estremo libero una massa

m1 e misuriamo l’accelerazione a1 subito

dopo aver rilasciato la molla

Facciamo la stessa cosa con diverse masse ( es m2> m1)

A riposo

m1 Spinta

a1

m2 a2

Misura

Risultato sperimentale: a parità di forza

risultante applicata, più grande è la massa

minore sarà ’accelerazione osservata

Cioè se m1=1/10m2 allora a1 = 10a2

m1a1=m2a2

Spinta

1

2

2

1

a

a

m

m

A parità di forza applicata l’accelerazione di un corpo è inversamente proporzionale

alla sua massa (più grande è la massa minore sarà l’accelerazione osservata)

Seconda legge di Newton(2)

Seconda legge di Newton:

L’accelerazione di un oggetto è direttamente proporzionale alla forza

risultante agente su di esso ed è inversamente proporzionale alla sua

massa

m

Fa

NB: è la forza risultante data dalla somma di tutte le forze agenti sull’oggetto di massa m F

Da semplici esperimenti è possibile verificare che applicando una forza doppia ad un certo

oggetto, l’accelerazione prodotta sarà due volte più grande, applicando una forza tripla,

l’accelerazione sarà tre volte più grande, e così via.

Questo porta a dire che:

l’accelerazione di un corpo è proporzionale alla forza risultante ad esso applicata.

m1a1=m2a2

aF

Basandosi su queste evidenze sperimentali, Newton enunciò e formalizzò

matematicamente la seconda legge della dinamica:

amF

Forza

La forza è un vettore:

ztot

ytot

xtot

tot

maF

maF

maF

amFF

z

y

x

NB: possiamo provare la seconda legge di Newton?

NO- perché non possiamo essere sicuri al 100% che il nostro sistema di riferimento sia

un sistema inerziale

Ma ci fidiamo???

SI- perché tale legge è verificata, all’interno dell’incertezza sperimentale, da tutti gli

esperimenti che sono stati fatti finora ( metodo scientifico)

Altro modo di definire la seconda legge di Newton:

“Una forza che agisce su un corpo, produce su di esso un’accelerazione avente la

stessa direzione della forza ed ha modulo (la forza) pari ad ma

Anche il secondo principio della dinamica è valido solo in sistemi di riferimento

inerziali

Un corpo risulta in equilibrio se

la somma di tutte le forze che

agiscono su di esso è nulla:

0

0

0

0

z

y

x

tot

tot

tot

tot

F

F

F

FF

0a

a

Definizione operativa della forza

La seconda legge della dinamica permette di introdurre una definizione operativa

di forza:

Si consideri il chilogrammo campione,

poggiato su un piano orizzontale privo di

attrito ed agganciato ad una molla.

Se la molla viene allungata essa esercita

una forza sulla massa campione e quindi

un’accelerazione.

Definiamo unitaria la forza esercitata dalla molla quando questa imprime

al kg campione una accelerazione di 1 m/s2

Tale forza unitaria equivale ad 1 N (Newton) ed è legato alle grandezze

fondamentali dalla seguente espressione:

211

s

mkgN

m=1kg

m=1kg

Definizione Operativa di massa

La seconda legge della dinamica permette di introdurre anche una definizione

operativa di massa:

Se applichiamo una stessa forza F a corpi diversi, abbiamo visto che:

e quindi

In particolare se confrontiamo l’accelerazione a di un corpo di massa incognita m con

quella a0 del campione di massa m0 =1kg sottoposto alla stessa forza, otteniamo

una misura della massa incognita m tramite la relazione :

1

2

2

1

a

a

m

m

a

amm 0

0 kga

am 0

a

a

m

m 0

0

2211 amamF

Misurata

sperimentalmente

Misurata

sperimentalmente

Esempio di Forza: Forza Gravitazionale

La forza gravitazionale è la forza esercitata dalla Terra su un corpo.

Tale forza è una grandezza vettoriale, la cui direzione è la direzione

dell’accelerazione gravitazionale , cioè quella dal corpo al centro della terra.

Se un corpo è lasciato libero di muoversi sulla superficie terrestre, sottoposto alla

sola forza gravitazionale, esso subisce l’accelerazione di gravità:

dove sia che sono diretti verso il centro della terra.

La relazione non richiede che il corpo sia in movimento.

la forza di gravità è sempre presente, anche se un corpo non si muove perché

poggiato su una superficie.

La massa mg ( massa gravitazionale) determina l’intensità dell’attrazione

gravitazionale tra il corpo e la Terra, in linea di principio essa è diversa dalla massa

inerziale ( cioè quella proprietà intrinseca dei corpi di opporsi ad una variazione

della velocità dovuta all’applicazione di una forza), ma i risultati sperimentali

nell’ambito della meccanica classica portano a dire che tali masse hanno stesso

valore numerico

g

gmFF ggrav

g

gravF

gmF ggrav

Forza Gravitazonale ePeso(1)

gmP g

Il modulo della forza gravitazionale è detto Peso P:

Poiché il peso dipende da g, esso dipende dalla posizione geografica, i corpi pesano di

meno su una montagna (quindi ad altitudini elevate) che non al mare poiché

l’accelerazione g diminuisce allontanandosi dalla superficie terrestre ( o per meglio

dire dal centro della Terra)

Il peso non è una proprietà intrinseca dei corpi ( a differenza della massa)

Esempio:

l’accelerazione gravitazionale sulla luna è pari a gLuna= 1.6 m/s2

Il peso di un corpo di massa 10 kg sulla Terrà è

Il suo peso sulla Luna è:

NmgmgP terraterra 98

NmgP lunaluna 16

Se teniamo sul palmo della mano una pallina da tennis, braccio teso, la pallina

rimane ferma nel palmo della mano, non è soggetta ad accelerazione e quindi la

forza risultante applicata alla pallina deve essere nulla.

Sappiamo che la pallina ha una massa ( m= 58 g per la precisione)

e quindi è sottoposta alla forza gravitazione mg

Ma la forza totale deve essere nulla, quindi è chiaro che il

palmo della mano deve “spingere verso l’alto” la pallina

con un forza uguale e contraria a mg

Forza gravitazionale e Peso(2)

Nmg 5.0

g 58m

NFpalmo 5.0

0 gpalmotot FFF

mgFpalmo

NB: non c’è alcun riferimento alla velocità nella seconda legge di Newton, quindi un

corpo è soggetto alla stessa forza gravitazionale, indipendentemente dalla sua

velocità ( a meno che tale velocità non sia prossima a quella della luce, in questo

caso infatti la meccanica newtoniana non vale più e bisogna passare alla relatività

ristretta di Einstein)

0a

0 amFtot

Terza legge di Newton

Se un corpo esercita una forza su un altro corpo, l’altro corpo eserciterà

su di esso una forza uguale in modulo ma di verso opposto

3° legge

di

Newton

12F

21F

Azione = -Reazione

2112 FF

La legge di azione e reazione vale sempre, sia che gli oggetti stiano fermi

sia che risultino accelerati

Non esiste una singola forza isolata, ma le forze si presentano sempre a coppia

E la forza gravitazionale allora?

Il cancellino lasciato libero cade sotto l’azione della forza gravitazionale della terra su di esso…

E la reazione? Dove sta?

In realtà anche il cancellino esercita una forza di attrazione sulla Terra identica in modulo a quella che

la terra esercita sul cancellino… ma la massa della terra è talmente grande che la sua accelerazione è

pressoché nulla

Esempi di Azione-Reazione

Un palloncino che si sgonfia:

L’aria dentro il palloncino gonfiato preme in tutte le direzioni e quando

si lascia libera l’apertura, l’aria viene premuta fuori dal foro di uscita.

Per reazione l’aria genera una pressione nella direzione opposta sulla

superficie interna del palloncino che di conseguenza comincia a

muoversi nella direzione opposta a quella della fuoriuscita di aria.

Lancio di un razzo:

Il motore del razzo spinge gas verso il basso

Il gas spinge il razzo verso l’alto

La possibilità di muoversi camminando:

la persona preme il piede spingendo indietro il terreno

il terreno spinge il piede in avanti

ariapalloncino FF

Attenzione:

Nel caso particolare in cui due forze sono applicate ad un corpo che ha accelerazione

nulla la seconda legge di Newton potrebbe sembrare ingannevolmente simile alla

legge di azione e reazione. In realtà la seconda legge di Newton si applica al singolo

corpo mentre la terza si applica all’interazione tra due corpi

Corpo di

massa m

y

Forza Normale (o reazione Vincolare)(1)

Quando un corpo preme contro una superficie ( anche se apparentemente

rigida) la superficie si “deforma” e spinge il corpo con una forza

normale a tale superficie ( reazione vincolare) NF

Esempio: Un corpo di massa m giace sulla superficie orizzontale di un tavolino:

Il corpo preme sul tavolo a causa della forza gravitazionale Fg, deformandolo

Il Tavolo preme il corpo verso l’alto con la forza normale FN

(cioè perpendicolare alla superficie del tavolo)

Sul corpo agiscono solo la forza peso e la forza normale ed entrambe

sono dirette verticalmente ( prendiamo in considerazione solo le componenti lungo y).

Dalla seconda legge della dinamica otteniamo il modulo

della forza normale:

mgFmaFFFamF Nyygn

gmFg

NF

gamF yN

Nel caso in cui il corpo ha accelerazione nulla

( come nel nostro caso) si ha che: gmFa Ny 0

gmFg

Somma delle forze che

agiscono sul corpo di massa m

Forza Normale (2)

Attenzione: la forza normale non è necessariamente uguale alla forza peso:

Prendiamo di nuovo l’esempio di una scatola poggiata su un tavolo

Caso (a) => identico al caso appena visto 0 mgFF Ny

mgFN

Caso (b) => una mano preme sulla

scatola con una forza di 40N (alla forza

peso che preme sul tavolino si aggiunge

la forza della mano)

040 NmgFF Ny

NmgFN 40

Caso (c) => una mano tira la scatola

verso l’alto con una forza di 40N (la

forza peso e la forza della mano

agiscono in versi opposti)

040 NmgFF Ny

NmgFN 40

y

y

y

Forza Normale (3)

Attenzione: la forza normale non è necessariamente Verticale

Corpo di

massa m

gF

NF

y NF

È sempre perpendicolare alla superficie del vincolo

gF

È sempre perpendicolare alla superficie della terra

gF

y

x

NF

totF

Attenzione: la forza normale non sempre bilancia Fg

0cos

0sin

mg

gNy

xgx

gN FFF

maFF

FFF

la forza normale FN bilancia solo la componente di Fg perpendicolare

alla superficie vincolare

cos

0

mgFF

FF

NN

xN

N

y

Componente

lungo y di gF

Tensione Le funi sono dispositivi che permettono di trasmettere l’ azione di una forza applicata in un

dato punto ad un punto diverso.

La fune viene considerata inestensibile e priva di massa ed il modulo della forza esercitata in

un qualsiasi punto della fune è lo stesso in tutti i punti della fune

Se quindi applico una forza a un estremo di una fune tesa, questa risponde con una forza che

si trasmette lungo la fune in modo tale che ogni punto della corda abbia accelerazione nulla

relativamente a tutti gli altri. le forze ai capi della corda sono uguali ed opposte

Quando un corpo viene tirato mediante una fune ancorata ad esso, la fune esercita una forza

sul corpo

La forza è diretta lungo la fune nel verso di allontanamento dall’oggetto ed il modulo T di

questa forza viene detta tensione della fune

La fune viene concepita solo come un collegamento tra i due corpi e questo concetto vale

anche se la fune passa per una carrucola (o puleggia), La fune permette di “trasportare”

le forze, e di cambiare la direzione della loro retta di azione.

T

T

Esempio di tensione : carrucola

Un facchino utilizza una fune passante attorno a due carrucole per sollevare un pianoforte del

peso di 2000 N.

Quale forza deve esercitare sulla fune?

NB: Per funi di massa trascurabile il modulo della tensione è lo stesso in ogni punto della fune

Se consideriamo le forze applicate sul pianoforte avremo:

mgTmaFTTamF g 2

Per far muovere il pianoforte dovremo avere:

02 mgTma E quindi:

2

mgTFT

NB : per risolvere esercizi con carrucole potete immaginare

di chiudere la carrucola in una scatola ed ad ogni fune

uscente ed entrante associare una forza (tensione). Se il

sistema è in equilibrio le forze uscenti e le forze entranti

devono compensarsi sommandole come vettori.

y

La forza applicata da facchino è uguale in modulo alla

tensione della fune T TFT

Forze di attrito

La presenza delle forze di attrito fa parte dell'esperienza quotidiana.

Se si tenta di far scorrere un corpo su una superficie scabra, si sviluppa una

resistenza allo scorrimento detta forza di attrito.

A livello microscopico l’attrito è dovuto alle microfusioni che si formano in

corrispondenza delle asperità delle due superfici a contatto

La forza di attrito può essere schematizzata come una forza tangente alla

superficie

Attrito statico Consideriamo un oggetto poggiato sul pavimento su cui viene applicata una forza F

orizzontale( per esempio verso sinistra)

La forza di Attrito statico è la forza che contrasta F e che impedisce all’oggetto di

muoversi, tale forza

quiete

Corpo in quiete (non viene applicata

alcuna forza sul corpo oltre alla forza

peso ed alla reazione vincolare)

Viene applicata una forza F < fsmax,

Il corpo continua a rimanere fermo

Aumentando F, fin quando F < fsmax,

Il corpo continua a rimanere fermo

F = fsmax,

Il corpo continua a rimanere fermo

Non appena F>fsmax il corpo comincia a muoversi

Attrito dinamico

La forza risultante Fnet=F-fd determina

un’accelerazione nel suo stesso verso ( 2° legge

di Newton)

Quando F ha superato fsmax, il corpo ha cominciato a muoversi con un’accelerazione

nel verso della forza applicata e la forza di attrito diminuisce e viene detta Forza di

attrito dinamica

Se riduciamo F fino ad avere che F=fd la forza

risultante sarà nulla così come l’accelerazione

ed il corpo procederà di moto rettilineo

uniforme

F > fd

F = fd

Se riduciamo ancora F (fino ad avere F=0 ) la forza risultante sarà solo la forza di

attrito dinamico (che si oppone al moto) => l’accelerazione avrà verso opposto alla

velocità => la velocità diminuirà fino ad annullarsi

Attrito Sperimentalmente si trova che:

L’intensità sia della forza di attrito statico che quella di attrito dinamico

sono proporzionali al modulo della forza normale esercitata dalla

superficie sul corpo

Nf

Nff

dd

sss

maxDove :

ds

d

s

ddss NNffff

dinamico attrito di tecoefficien

statico attrito di tecoefficien

I valori dei coefficienti di attrito s e d sono coefficienti adimensionali che dipendono

dalla natura delle superfici a contatto ed in prima approssimazione

d NON dipende dalla velocità tra le due superfici

La direzione della forza d’attrito è sempre parallela alla superficie ed il

verso è sempre opposto al verso del moto ( o alla forza applicata che cerca

di produrre il moto)

Attrito (riassunto)

Grafico del modulo della forza d’attrito in

funzione della forza applicata:

inizialmente la forza di attrito (statico in

quanto il corpo rimane fermo) cresce

linearmente con la forza applicata, fin

quando non raggiunge il valore fsmax =s N

Quando F supera il valore di fsmax il corpo

comincia a muoversi ed entra in gioco

l’attrito dinamico fd< fsmax che assume

velocemente il valore fd =d N

indipendentemente dalla forza applicata

Esempio Attrito

ESEMPIO: Scatola contro il muro

Come può una forza orizzontale impedire ad un

oggetto di muoversi verticalmente?

1) Ho bisogno di attrito

2) Devo premere abbastanza

La scatola NON scivola giù

0 sg fNFFam

0

0

Nmgma

NFma

sy

x

0am

Corpo fermo

x

y

mgFmgN

NFs

s

Si avrà quindi che se:

mgFs

mgFs La scatola scivola giù

Se un corpo di massa 10kg rimane in equilibrio senza scivolare su un piano inclinato

di un angolo di 40° rispetto al piano orizzontale ne deduciamo che è soggetto ad una

forza di attrito statico il cui coefficiente di attrito è maggiore o uguale a :

1) 0.54

2) 0.74

3) 0.84

4) 0.94

Esempio Piano inclinato con attrito

0Ncosα mgNPma

0f-sinα mgf-Pma

yy

ssxx

0ma

0ma 0m

y

xaF

amF

y

x

NF

cosα mgP

sinα mgP

y

x

cosα mgN

sinα mgfs

Ma: Nssf cosα mgsinα mg s

cosα mg

sinα mgs 84.040tants an

P

sf

sfNP

Attrito viscoso

Consideriamo ora l’attrito dovuto alla presenza di mezzi viscosi che interagiscono

con corpi in movimento

Per mezzi viscosi si intendono LIQUIDI e GAS.

Il mezzo viscoso esercita una forza di attrito sul corpo che si muove attraverso

di esso.

La forza di attrito viscoso ha verso opposto al movimento e modulo che dipende

dalla velocità relativa tra corpo e mezzo , in particolare aumenta all’aumentare

della velocità.

La relazione che lega la forza di attrito viscosa alla velocità può essere complessa.

Di solito si approssima il moto attraverso mezzi viscosi con due modelli semplici:

Corpo di piccole dimensioni ( particelle di polvere nell’aria) a bassa velocità

Corpi di grandi dimensioni ad alta velocità (paracadutista, palle da tennis)

avF

Noi considereremo solo il primo modello.

)(vfFav

vFav

2vFav

Un corpo che si muove in un fluido (liquido o gas) con velocità non troppo elevata è sottoposto ad un forza di attrito viscoso. Tale forza si oppone al moto ed ha intensità proporzionale alla velocità del corpo: dove b = costante che dipende dal mezzo e dalla forma e dalle dimensioni del corpo Consideriamo un corpo che si muove con velocità iniziale v0 attraverso in mezzo viscoso. Come diminuisce la velocità del corpo se esso è soggetto solo alla forza di attrito viscoso ? Per la 2° legge di Newton si ha: a è la derivata della velocità

Attrito viscoso-corpi di piccole dimensioni e bassa velocità(1)

vbFav

vbamFamF av

dt

dvmma

dtm

b

v

dv

Integro entrambe i

mebri dell’equazione

v

v v

v

v

dv

00

ln

tm

b

v

v

0

ln

bvdt

dvm v

m

b

dt

dv

t

dtm

b

0 0

0 t

m

bdt

m

b t

Attrito viscoso-corpi di piccole dimensioni e bassa velocità(2)

vbFav

t

m

b

v

v

0

ln

tm

b

v

v

ev

ve

0

ln0

Elevando entrambi i membri a potenza di e =>

tm

b

ev

v

0

tm

b

evv

0

Una particella che si muove con velocità iniziale vo in un mezzo viscoso ( acqua o

aria) sottoposta alla sola forza di attrito viscoso subirà una riduzione esponenziale

della velocità.

Anche la forza di attrito viscoso ( proporzionale alla velocità) diminuirà nel tempo

con un andamento esponenziale, fino ad arrivare asintoticamente a 0. In presenza della sola forza di attrito viscoso non si può avere una condizione di equilibrio statico perché Fav=0 solo quando v=0 ( cioè per t=∞)

bm

t

av ebvF 0

tevv 0dove

tevv 0

y

avF

La soluzione a questa equazione differenziale dà:

dove = m/b

vl = mg/b

Velocità limite

Consideriamo ora il caso di un corpo di massa m che venga lasciato cadere in un fluido. Assumiamo che le uniche forza agenti siano la forza peso e la forza di attrito viscoso Fav (es un corpo in acqua).

L’equazione del moto è data (nella direzione verticale) da:

t

l evv 1

vbFav

bvmgdt

dvmmaFgmamF yav

vl è la velocità limite =>

(quando la forza di attrito viscoso si approssima

alla forza peso, l’accelerazione ay 0 ed il corpo

raggiunge questa velocità limite)

b

mgvbvmg per 0

Il moto circolare e la seconda legge di Newton

Se c’è un’accelerazione deve esserci una

FORZA RISULTANTE NON NULLA

che genera tale variazione del moto

Un corpo che si muove con velocità in modulo costante v e lungo una traiettoria

circolare di raggio r subisce un’accelerazione centripeta ac =v2/r

FORZA CENTRIPETA

diretta verso il centro della circonferenza, sempre

ortogonale alla velocità e di modulo pari a

La forza centripeta NON è un nuovo tipo di forza, ma è una qualsiasi forza che

causa un’accelerazione centripeta, imponendo al corpo un moto lungo una

traiettoria circolare

r

vmFc

2

Esempi di forza centripeta (1)

Palla trattenuta da un filo: La palla di massa m tenderebbe a mantenere il moto

lungo un percorso rettilineo ( per la prima legge di

Newton),

il filo però impedisce questo moto, esercitando

una forza radiale sulla pallina che lo mantiene sulla traiettoria circolare

Tale forza radiale è la tensione del filo che causa il moto circolare

Se si spezza il filo, e viene a mancare la tensione la pallina procederà di

moto rettilineo uniforme

con direzione e velocità date dalla velocità all’istante della rottura

TFc

NFc

Giostra Rotor: Quando la giostra comincia a girare, le persone

all’interno (poggiate già alla parete) tenderebbero per

inerzia a mantenter un moto rettilineo, ma la parete le

costringe a girare

..\Materiale\rotor.htm

Esercizio sul rotor

Se il coefficiente di attrito statico tra i vestiti di una persona appoggiata alle pareti di un

rotor e le pareti stesse è s 0,40 ed il raggio del cilindro del rotor è R=2,1m

determinare la velocità minima v con cui deve ruotare il rotor (e la persona) perché il

passeggero non scivoli a terra

Se la massa del passeggero è di 49kg, qual è l’intensità della forza centripeta?

Affinchè la persona rimanga attaccata alla parete del rotor e non scivoli giù la

risultante delle forze che agiscono su di essa deve avere componente verticale nulla

Quali sono le forze che agiscono sulla persona nel rotor:

1) Forza peso mg rivolta verticalmente verso il basso

2) La forza normale N esercitata dalla parete sulla persona che la costringe a

ruotare in moto circolare uniforme

N è quindi la forza centripeta mv2/r.

È una forza orizzontale diretta verso il centro del cilindro

3) La forza d’attrito statico fs tra i vestiti della persona e le pareti del rotor.

Tale forza si oppone allo scivolamento verso il basso, è quindi diretta

verticalmente verso l’alto.

Il valore massimo di tale forza è proporzionale alla forza normale

La v minima è quella per cui la forza peso e la forza di attrito statico sono uguali

/2,7

0

s

2

s

2

ss

maxmax

max smgR

vgmR

vm

mgffmg

R

vmNf

ss

s

NB:

La velocità non

dipende dalla massa

del passeggero

Se m=49 kg

N NN,

,

R

vmNFc 12001210

12

2749

22

0 yy maF

R

vmN

2

Nfs s max

Esempi di forza centripeta (2)

Forza gravitazionale: ogni particella nell’universo attrae un’altra particella con una

forza che è direttamente proporzionale al prodotto delle due

masse ed inversamente proporzionale al quadrato della loro

distanza e la forza è diretta lungo la congiungente le due masse

rr

mmGFg

ˆ2

21

G=6,67· 10-11 Nm2 / kg2

Satellite che orbita intorno alla terra:

Il satellite sarà vincolato a ruotare intorno alla Terra a causa della

sua attrazione gravitazionale

r

hR

mmGFF

terra

terrasatellitegc

ˆ2

Molla e legge di Hooke

Consideriamo un corpo di massa m poggiato su una superficie priva di attrito

ed attaccato all’estremità libera di una molla e consideriamo che la posizione

di equilibrio (F=0) sia in x=0

Se la molla viene allungata o compressa

di un tratto x rispetto alla sua posizione

di equilibrio essa eserciterà una forza

proporzionale allo spostamento che si

oppone ad esso:

kxF

La costante di proporzionalità k è detta

costante elastica della molla

legge di Hooke

La forza esercitata dalla molla è sempre

diretta in verso opposto a quello dello

spostamento dalla posizione di

equilibrio x=0

NB: la x nella formula rappresenta lo spostamento dalla posizione di equilibrio, se tale

posizione fosse stata in un punto x=xo la legge di Hooke sarebbe stata scritta:

x

xxkF

0

Moto (oscillatorio) armonico

La legge di Hooke ci fornisce l’andamento della forza di un corpo soggetto ad una

forza elastica. L’equazione del moto si può ora ricavare dalla seconda legge di

Newton:

La soluzione di questa equazione è una funzione trigonometrica che rappresenta

una oscillazione:

NB: è la pulsazione dell’oscillazione, che dipende dalla

costante elastica della molla e dalla massa ad essa applicata.

kxmaF

xm

k

dt

xda

2

2

kxma xdt

xd 2

2

2

m

k

m

k 2

Equazione differenziale di

secondo grado omogenea

Dove:

tAtx cos

m

k2

Moto armonico (2)

tAtx cos è una soluzione dell’equazione differenziale: xdt

xd 2

2

2

Se infatti deriviamo due volte x(t) otteniamo:

tAx cos tAtdt

dA

dt

dxsincos

tAdt

dxsin tAt

dt

dA

dt

xdcossin 2

2

2

tAdt

xdcos2

2

2

xdt

xd 2

2

2

x

Equazioni di un moto armonico di

ampiezza A, frequenza angolare

ed angolo di fase

Proprietà del moto armonico (3)

Data l’equazione del moto si possono determinare alcune proprietà del moto

oscillatorio: la pulsazione ed il periodo T.

Il periodo T e’ pari al tempo minimo che impiega l’oscillazione a tornare alla stessa

posizione con la stessa velocità. Dipende solo da k ed m

La frequenza f è l’inverso del moto e dipende solo da k ed m:

La frequenza angolare :

2T

k

mT 2

Le grandezze A e che compaiono nella soluzione sono l’Ampiezza e la costante

di fase e dipendono dalle condizioni iniziali del moto, cioè dalla posizione e dalla

velocità iniziale.

Es: se abbiamo una molla inizialmente allungata di una quantità L e lasciata

libera di oscillare all’istante t=0, essa comincerà ad oscillare tra x=L ed x=-L si

dovrà avere che:

tAtx cos Ltx 0 quindi

01cos

LA

moto del faset

m

k

Tf

2

1

2

1

T

f

2

2

tAx cos

tAvx sin

tAax cos2

Poiché le funzioni seno e coseno oscillano tra +1 e -1:

I valori estremi per x sono ±A,

I valori estremi di v sono ±A

I valori estremi di a sono ± 2A , quindi

m

kAAv max

Am

kAa 2

max

Proprietà del moto armonico (4)

Moti relativi

Le leggi fisiche non dipendono sistema di riferimento scelto per descrivere il moto.

Lo spazio è omogeneo ed isotropo ovvero non esistono un punto o una direzione

privilegiata dello spazio.

Consideriamo due osservatori:

• l’osservatore O che si trova in un riferimento S (Oxy) uno posto S

• L’osservatore O’ che si trova nel riferimento S’ (O’x’y’) che si muove con velocità

rispetto ad S. (il primo pedice indica cosa si sta osservando il secondo da quale osservatore)

è la velocità dell’osservatore O’ misurata dall’osservatore O

Per t=0 i due sistemi coincidono e O’ si sposta rispetto a O come

Un punto P nel piano sarà identificato dai due vettori

posizione e nei sistemi S ed S’ rispettivamente

Si può vedere che:

Derivando rispetto al tempo si ottiene la velocità di una

particella posta nel punto P misurata dall’osservatore O

POr

'POr

OOv '

OOv '

tv OO '

tvrr OOPOPO ''

OOr '

Moti relativi(2)

tvrr OOPOPO ''

Deriviamo

rispetto al tempo

OOPOOO

POOOPOPO vvvdt

rd

dt

tvrd

dt

rd'''

'''

OOPOPO vvv ''

Relazione che lega la velocità del punto P

rispetto all’osservatore O con la velocità dello

stesso punto rispetto all’osservatore O’

Caso unidimensionale: OOPOPO vvv ''

OOPOPO vvv '' Rispetto all’osservatore O’: Velocità relativa

Velocità relativa: velocità di una particella misurata da un osservato in moto

rispetto ad un altro osservatore

La velocità di P misurata dall’osservatore O è uguale alla velocità di P

misurata dall’osservatore O’ più la velocità dell’osservatore O’ misurata

dall’osservattore O

Esempio Una barca naviga in un fiume, che ha una corrente di 1 m/s.

Il suo motore è in grado di produrre una velocità di 2 m/s rispetto alla corrente.

Trovare la velocità della barca rispetto alla riva in tre casi :

a) barca in favore di corrente;

b) barca contro corrente;

c) barca che naviga a 90° rispetto alla corrente. ?brv

a) Barca in favore di corrente

(la barca si muove nello stesso verso della corrente)

smvvv crbcbr 3

b) Barca contro corrente

(la barca si muove nel verso opposto alla corrente) crv

bcv

Riva

smvvv crbcbr 1

crv

bcv

Riva x

c) Barca che naviga a 90° rispetto alla corrente

crv

bcv

Riva

smvvvsmvv

smvvybrxbrbr

bcybr

crxbr5

20

1022

smvc 1

corrente alla rispetto 2 smvbc