Dinamica del punto materiale - Macroarea di Scienze M.F.N. · 2013-06-12 · Meccanica Newtoniana...
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Dinamica del punto materiale
1. La meccanica classica o Newtoniana.
2. Concetto di Forza
3. Prima legge di Newton: il principio di inerzia
4. Legge di inerzia e sistemi di riferimento inerziali
5. Concetto di Massa
6. Seconda legge di Newton
7. Definizione della forza ed unità di misura
8. Esempi di forze: la forza peso
9. Terza legge di Newton: il principio di azione e reazione
10.Definizione operativa della massa
11.La forza elastica: Legge di Hooke
Definizione operativa di una grandezza : quando viene specificato, in maniera
univoca ed universale, il modo con cui detta grandezza viene misurata.
Meccanica Newtoniana
La dinamica di un punto materiale affronta lo studio delle cause del moto. L’accelerazione è causata da “qualcosa che spinge o tira”. Se tiriamo o spingiamo un corpo su di esso “applichiamo una forza”. Bisogna fare però attenzione che non sempre le forze causano un movimento.
La teoria che lega le cause del moto alle variabili cinematiche che lo descrivono è detta Meccanica.
Noi studiamo la meccanica classica, ovvero la teoria nella quale tutti i fenomeni di moto si possono descrivere usando soltanto tre leggi semplici dette leggi di Newton.
Vengono introdotti i concetti di Forza e di Massa, tramite i quali è possibile collegare le cause del moto alle variabili cinematiche che lo descrivono.
Prima legge di Newton
Questa legge in realtà risale ai tempi di Galileo ( alla prima metà del 17° secolo) , è
conosciuta con il nome di PRINCIPIO D’INERZIA e dice:
“ Un corpo a riposo, rimane a riposo ed un corpo in movimento continua a
muoversi con velocità costante se su di esso non agiscono forze esterne”
Ogni corpo permane nel suo stato iniziale di quiete o di moto rettilineo
uniforme, fin quando non è costretto a cambiare il suo stato da una forza
che viene applicata su di esso
Oppure nella forma espressa da Newton:
Questo concetto ci è familiare ma va contro l’esperienza comune: se lanciamo un
oggetto con una certa velocità iniziale esso non se ne andrà via lungo una traiettoria
rettilinea, ma ad un certo punto si fermerà.. Perché c’è la forza gravitazionale, ma
se pensiamo di fare la stessa cosa nello spazio? L’oggetto proseguirà indefinitamente
il suo moto lungo la direzione della velocità iniziale.
Sistema di riferimento inerziale
Il principio di inerzia non è valido in tutti i sistemi di riferimento
Il principio di inerzia è valido nei sistemi di riferimento INERZIALI
Sistema di riferimento INERZIALE= Un qualsiasi Sistema di riferimento che si
muove con velocità costante ( quindi con accelerazione nulla)
Se un sistema di riferimento è inerziale, ogni altro sistema che si muove a velocità
costante rispetto ad esso è ancora un riferimento inerziale.
La prima legge di Newton si può sintetizzare dicendo che se ,
cioè quando su un corpo non agisce alcuna forza, la sua accelerazione è nulla
Ciò implica che vi può essere movimento ( a velocità costante) senza che agiscano
forze sul corpo e che tale legge non distingue tra corpo in quiete o a velocità costante.
In effetti se un corpo si trova a v=0 oppure a v0 dipende dal sistema di riferimento
dal quale lo si osserva.
(Se osserviamo un passeggero seduto su un treno in movimento dal sedile di fronte
esso è in quiete, se lo osserviamo dalla stazione esso è in movimento)
00 aF
NB: possiamo provare la prima legge di newton?
NO- perché non possiamo essere sicuri al 100% che il nostro sistema di riferimento sia
un sistema inerziale
Ma ci fidiamo???
SI- perché tale legge è consistente, all’interno dell’incertezza sperimentale, con tutti gli
esperimenti che sono stati fatti finora ( metodo scientifico)
Massa (Inerziale)
La massa è una proprietà intrinseca di un oggetto che misura la
resistenza che esso oppone a variare la sua velocità. È una delle grandezze
fondamentali. Maggiore è la massa di un oggetto, minore è l’accelerazione
dell’oggetto quando viene sottoposto ad una data forza
La massa è indipendente da ciò che lo circonda e dal metodo adoperato per
misurarla.
La massa è una quantità scalare (obbedisce alle regole dell’aritmetica ordinaria)
Le masse si sommano e si sottraggono in modo numericamente semplice
NB: Massa e Peso sono due grandezze differenti!!!!!!!!!
La massa di un corpo rimane la stessa sia qui che sulla Luna, il peso del corpo
cambierà ( il peso del corpo, misurato sulla Terra, sarà maggiore del peso misurato
sulla Luna)
Forza
Il moto di un corpo è il risultato della sua interazione con i corpi circostanti.
Le interazioni di un corpo con l’ ambiente esterno sono sintetizzate (in meccanica classica) dall’azione di una grandezza fisica vettoriale detta Forza.
I fisici sono riusciti a ricondurre tutti i fenomeni al manifestarsi di quattro tipi di interazioni fondamentali:
Gravitazionale(originata dalla presenza di materia)
Elettromagnetica (originata dalla presenza di carica elettrica)
Debole (responsabile di alcuni decadimenti radioattivi)
Forte (operante tra le particelle fondamentali e genera il legame tra i nuclei) L’azione simultanea di più forze su di un corpo si può sintetizzare tramite la loro somma vettoriale (detta RISULTANTE).
Seconda legge di Newton(1)
Abbiamo appreso dalla prima legge della dinamica che una forza netta non nulla applicata
ad un corpo deve modificarne necessariamente la velocità, cioè provocare un
cambiamento del modulo, della direzione o del verso del vettore velocità.
L’azione di una forza produce una accelerazione.
Ma qual’è la relazione esatta tra forza e accelerazione?
Consideriamo una molla a riposo con un
estremo fissato al muro
Estendiamola di una certa lunghezza
(non è importante numericamente quanto,
ma solo che durante la misura che si sta per fare
questa lunghezza sia sempre riproducibile)
Attacchiamo all’estremo libero una massa
m1 e misuriamo l’accelerazione a1 subito
dopo aver rilasciato la molla
Facciamo la stessa cosa con diverse masse ( es m2> m1)
A riposo
m1 Spinta
a1
m2 a2
Misura
Risultato sperimentale: a parità di forza
risultante applicata, più grande è la massa
minore sarà ’accelerazione osservata
Cioè se m1=1/10m2 allora a1 = 10a2
m1a1=m2a2
Spinta
1
2
2
1
a
a
m
m
A parità di forza applicata l’accelerazione di un corpo è inversamente proporzionale
alla sua massa (più grande è la massa minore sarà l’accelerazione osservata)
Seconda legge di Newton(2)
Seconda legge di Newton:
L’accelerazione di un oggetto è direttamente proporzionale alla forza
risultante agente su di esso ed è inversamente proporzionale alla sua
massa
m
Fa
NB: è la forza risultante data dalla somma di tutte le forze agenti sull’oggetto di massa m F
Da semplici esperimenti è possibile verificare che applicando una forza doppia ad un certo
oggetto, l’accelerazione prodotta sarà due volte più grande, applicando una forza tripla,
l’accelerazione sarà tre volte più grande, e così via.
Questo porta a dire che:
l’accelerazione di un corpo è proporzionale alla forza risultante ad esso applicata.
m1a1=m2a2
aF
Basandosi su queste evidenze sperimentali, Newton enunciò e formalizzò
matematicamente la seconda legge della dinamica:
amF
Forza
La forza è un vettore:
ztot
ytot
xtot
tot
maF
maF
maF
amFF
z
y
x
NB: possiamo provare la seconda legge di Newton?
NO- perché non possiamo essere sicuri al 100% che il nostro sistema di riferimento sia
un sistema inerziale
Ma ci fidiamo???
SI- perché tale legge è verificata, all’interno dell’incertezza sperimentale, da tutti gli
esperimenti che sono stati fatti finora ( metodo scientifico)
Altro modo di definire la seconda legge di Newton:
“Una forza che agisce su un corpo, produce su di esso un’accelerazione avente la
stessa direzione della forza ed ha modulo (la forza) pari ad ma
Anche il secondo principio della dinamica è valido solo in sistemi di riferimento
inerziali
Un corpo risulta in equilibrio se
la somma di tutte le forze che
agiscono su di esso è nulla:
0
0
0
0
z
y
x
tot
tot
tot
tot
F
F
F
FF
0a
a
Definizione operativa della forza
La seconda legge della dinamica permette di introdurre una definizione operativa
di forza:
Si consideri il chilogrammo campione,
poggiato su un piano orizzontale privo di
attrito ed agganciato ad una molla.
Se la molla viene allungata essa esercita
una forza sulla massa campione e quindi
un’accelerazione.
Definiamo unitaria la forza esercitata dalla molla quando questa imprime
al kg campione una accelerazione di 1 m/s2
Tale forza unitaria equivale ad 1 N (Newton) ed è legato alle grandezze
fondamentali dalla seguente espressione:
211
s
mkgN
m=1kg
m=1kg
Definizione Operativa di massa
La seconda legge della dinamica permette di introdurre anche una definizione
operativa di massa:
Se applichiamo una stessa forza F a corpi diversi, abbiamo visto che:
e quindi
In particolare se confrontiamo l’accelerazione a di un corpo di massa incognita m con
quella a0 del campione di massa m0 =1kg sottoposto alla stessa forza, otteniamo
una misura della massa incognita m tramite la relazione :
1
2
2
1
a
a
m
m
a
amm 0
0 kga
am 0
a
a
m
m 0
0
2211 amamF
Misurata
sperimentalmente
Misurata
sperimentalmente
Esempio di Forza: Forza Gravitazionale
La forza gravitazionale è la forza esercitata dalla Terra su un corpo.
Tale forza è una grandezza vettoriale, la cui direzione è la direzione
dell’accelerazione gravitazionale , cioè quella dal corpo al centro della terra.
Se un corpo è lasciato libero di muoversi sulla superficie terrestre, sottoposto alla
sola forza gravitazionale, esso subisce l’accelerazione di gravità:
dove sia che sono diretti verso il centro della terra.
La relazione non richiede che il corpo sia in movimento.
la forza di gravità è sempre presente, anche se un corpo non si muove perché
poggiato su una superficie.
La massa mg ( massa gravitazionale) determina l’intensità dell’attrazione
gravitazionale tra il corpo e la Terra, in linea di principio essa è diversa dalla massa
inerziale ( cioè quella proprietà intrinseca dei corpi di opporsi ad una variazione
della velocità dovuta all’applicazione di una forza), ma i risultati sperimentali
nell’ambito della meccanica classica portano a dire che tali masse hanno stesso
valore numerico
g
gmFF ggrav
g
gravF
gmF ggrav
Forza Gravitazonale ePeso(1)
gmP g
Il modulo della forza gravitazionale è detto Peso P:
Poiché il peso dipende da g, esso dipende dalla posizione geografica, i corpi pesano di
meno su una montagna (quindi ad altitudini elevate) che non al mare poiché
l’accelerazione g diminuisce allontanandosi dalla superficie terrestre ( o per meglio
dire dal centro della Terra)
Il peso non è una proprietà intrinseca dei corpi ( a differenza della massa)
Esempio:
l’accelerazione gravitazionale sulla luna è pari a gLuna= 1.6 m/s2
Il peso di un corpo di massa 10 kg sulla Terrà è
Il suo peso sulla Luna è:
NmgmgP terraterra 98
NmgP lunaluna 16
Se teniamo sul palmo della mano una pallina da tennis, braccio teso, la pallina
rimane ferma nel palmo della mano, non è soggetta ad accelerazione e quindi la
forza risultante applicata alla pallina deve essere nulla.
Sappiamo che la pallina ha una massa ( m= 58 g per la precisione)
e quindi è sottoposta alla forza gravitazione mg
Ma la forza totale deve essere nulla, quindi è chiaro che il
palmo della mano deve “spingere verso l’alto” la pallina
con un forza uguale e contraria a mg
Forza gravitazionale e Peso(2)
Nmg 5.0
g 58m
NFpalmo 5.0
0 gpalmotot FFF
mgFpalmo
NB: non c’è alcun riferimento alla velocità nella seconda legge di Newton, quindi un
corpo è soggetto alla stessa forza gravitazionale, indipendentemente dalla sua
velocità ( a meno che tale velocità non sia prossima a quella della luce, in questo
caso infatti la meccanica newtoniana non vale più e bisogna passare alla relatività
ristretta di Einstein)
0a
0 amFtot
Terza legge di Newton
Se un corpo esercita una forza su un altro corpo, l’altro corpo eserciterà
su di esso una forza uguale in modulo ma di verso opposto
3° legge
di
Newton
12F
21F
Azione = -Reazione
2112 FF
La legge di azione e reazione vale sempre, sia che gli oggetti stiano fermi
sia che risultino accelerati
Non esiste una singola forza isolata, ma le forze si presentano sempre a coppia
E la forza gravitazionale allora?
Il cancellino lasciato libero cade sotto l’azione della forza gravitazionale della terra su di esso…
E la reazione? Dove sta?
In realtà anche il cancellino esercita una forza di attrazione sulla Terra identica in modulo a quella che
la terra esercita sul cancellino… ma la massa della terra è talmente grande che la sua accelerazione è
pressoché nulla
Esempi di Azione-Reazione
Un palloncino che si sgonfia:
L’aria dentro il palloncino gonfiato preme in tutte le direzioni e quando
si lascia libera l’apertura, l’aria viene premuta fuori dal foro di uscita.
Per reazione l’aria genera una pressione nella direzione opposta sulla
superficie interna del palloncino che di conseguenza comincia a
muoversi nella direzione opposta a quella della fuoriuscita di aria.
Lancio di un razzo:
Il motore del razzo spinge gas verso il basso
Il gas spinge il razzo verso l’alto
La possibilità di muoversi camminando:
la persona preme il piede spingendo indietro il terreno
il terreno spinge il piede in avanti
ariapalloncino FF
Attenzione:
Nel caso particolare in cui due forze sono applicate ad un corpo che ha accelerazione
nulla la seconda legge di Newton potrebbe sembrare ingannevolmente simile alla
legge di azione e reazione. In realtà la seconda legge di Newton si applica al singolo
corpo mentre la terza si applica all’interazione tra due corpi
Corpo di
massa m
y
Forza Normale (o reazione Vincolare)(1)
Quando un corpo preme contro una superficie ( anche se apparentemente
rigida) la superficie si “deforma” e spinge il corpo con una forza
normale a tale superficie ( reazione vincolare) NF
Esempio: Un corpo di massa m giace sulla superficie orizzontale di un tavolino:
Il corpo preme sul tavolo a causa della forza gravitazionale Fg, deformandolo
Il Tavolo preme il corpo verso l’alto con la forza normale FN
(cioè perpendicolare alla superficie del tavolo)
Sul corpo agiscono solo la forza peso e la forza normale ed entrambe
sono dirette verticalmente ( prendiamo in considerazione solo le componenti lungo y).
Dalla seconda legge della dinamica otteniamo il modulo
della forza normale:
mgFmaFFFamF Nyygn
gmFg
NF
gamF yN
Nel caso in cui il corpo ha accelerazione nulla
( come nel nostro caso) si ha che: gmFa Ny 0
gmFg
Somma delle forze che
agiscono sul corpo di massa m
Forza Normale (2)
Attenzione: la forza normale non è necessariamente uguale alla forza peso:
Prendiamo di nuovo l’esempio di una scatola poggiata su un tavolo
Caso (a) => identico al caso appena visto 0 mgFF Ny
mgFN
Caso (b) => una mano preme sulla
scatola con una forza di 40N (alla forza
peso che preme sul tavolino si aggiunge
la forza della mano)
040 NmgFF Ny
NmgFN 40
Caso (c) => una mano tira la scatola
verso l’alto con una forza di 40N (la
forza peso e la forza della mano
agiscono in versi opposti)
040 NmgFF Ny
NmgFN 40
y
y
y
Forza Normale (3)
Attenzione: la forza normale non è necessariamente Verticale
Corpo di
massa m
gF
NF
y NF
È sempre perpendicolare alla superficie del vincolo
gF
È sempre perpendicolare alla superficie della terra
gF
y
x
NF
totF
Attenzione: la forza normale non sempre bilancia Fg
0cos
0sin
mg
gNy
xgx
gN FFF
maFF
FFF
la forza normale FN bilancia solo la componente di Fg perpendicolare
alla superficie vincolare
cos
0
mgFF
FF
NN
xN
N
y
Componente
lungo y di gF
Tensione Le funi sono dispositivi che permettono di trasmettere l’ azione di una forza applicata in un
dato punto ad un punto diverso.
La fune viene considerata inestensibile e priva di massa ed il modulo della forza esercitata in
un qualsiasi punto della fune è lo stesso in tutti i punti della fune
Se quindi applico una forza a un estremo di una fune tesa, questa risponde con una forza che
si trasmette lungo la fune in modo tale che ogni punto della corda abbia accelerazione nulla
relativamente a tutti gli altri. le forze ai capi della corda sono uguali ed opposte
Quando un corpo viene tirato mediante una fune ancorata ad esso, la fune esercita una forza
sul corpo
La forza è diretta lungo la fune nel verso di allontanamento dall’oggetto ed il modulo T di
questa forza viene detta tensione della fune
La fune viene concepita solo come un collegamento tra i due corpi e questo concetto vale
anche se la fune passa per una carrucola (o puleggia), La fune permette di “trasportare”
le forze, e di cambiare la direzione della loro retta di azione.
T
T
Esempio di tensione : carrucola
Un facchino utilizza una fune passante attorno a due carrucole per sollevare un pianoforte del
peso di 2000 N.
Quale forza deve esercitare sulla fune?
NB: Per funi di massa trascurabile il modulo della tensione è lo stesso in ogni punto della fune
Se consideriamo le forze applicate sul pianoforte avremo:
mgTmaFTTamF g 2
Per far muovere il pianoforte dovremo avere:
02 mgTma E quindi:
2
mgTFT
NB : per risolvere esercizi con carrucole potete immaginare
di chiudere la carrucola in una scatola ed ad ogni fune
uscente ed entrante associare una forza (tensione). Se il
sistema è in equilibrio le forze uscenti e le forze entranti
devono compensarsi sommandole come vettori.
y
La forza applicata da facchino è uguale in modulo alla
tensione della fune T TFT
Forze di attrito
La presenza delle forze di attrito fa parte dell'esperienza quotidiana.
Se si tenta di far scorrere un corpo su una superficie scabra, si sviluppa una
resistenza allo scorrimento detta forza di attrito.
A livello microscopico l’attrito è dovuto alle microfusioni che si formano in
corrispondenza delle asperità delle due superfici a contatto
La forza di attrito può essere schematizzata come una forza tangente alla
superficie
Attrito statico Consideriamo un oggetto poggiato sul pavimento su cui viene applicata una forza F
orizzontale( per esempio verso sinistra)
La forza di Attrito statico è la forza che contrasta F e che impedisce all’oggetto di
muoversi, tale forza
quiete
Corpo in quiete (non viene applicata
alcuna forza sul corpo oltre alla forza
peso ed alla reazione vincolare)
Viene applicata una forza F < fsmax,
Il corpo continua a rimanere fermo
Aumentando F, fin quando F < fsmax,
Il corpo continua a rimanere fermo
F = fsmax,
Il corpo continua a rimanere fermo
Non appena F>fsmax il corpo comincia a muoversi
Attrito dinamico
La forza risultante Fnet=F-fd determina
un’accelerazione nel suo stesso verso ( 2° legge
di Newton)
Quando F ha superato fsmax, il corpo ha cominciato a muoversi con un’accelerazione
nel verso della forza applicata e la forza di attrito diminuisce e viene detta Forza di
attrito dinamica
Se riduciamo F fino ad avere che F=fd la forza
risultante sarà nulla così come l’accelerazione
ed il corpo procederà di moto rettilineo
uniforme
F > fd
F = fd
Se riduciamo ancora F (fino ad avere F=0 ) la forza risultante sarà solo la forza di
attrito dinamico (che si oppone al moto) => l’accelerazione avrà verso opposto alla
velocità => la velocità diminuirà fino ad annullarsi
Attrito Sperimentalmente si trova che:
L’intensità sia della forza di attrito statico che quella di attrito dinamico
sono proporzionali al modulo della forza normale esercitata dalla
superficie sul corpo
Nf
Nff
dd
sss
maxDove :
ds
d
s
ddss NNffff
dinamico attrito di tecoefficien
statico attrito di tecoefficien
I valori dei coefficienti di attrito s e d sono coefficienti adimensionali che dipendono
dalla natura delle superfici a contatto ed in prima approssimazione
d NON dipende dalla velocità tra le due superfici
La direzione della forza d’attrito è sempre parallela alla superficie ed il
verso è sempre opposto al verso del moto ( o alla forza applicata che cerca
di produrre il moto)
Attrito (riassunto)
Grafico del modulo della forza d’attrito in
funzione della forza applicata:
inizialmente la forza di attrito (statico in
quanto il corpo rimane fermo) cresce
linearmente con la forza applicata, fin
quando non raggiunge il valore fsmax =s N
Quando F supera il valore di fsmax il corpo
comincia a muoversi ed entra in gioco
l’attrito dinamico fd< fsmax che assume
velocemente il valore fd =d N
indipendentemente dalla forza applicata
Esempio Attrito
ESEMPIO: Scatola contro il muro
Come può una forza orizzontale impedire ad un
oggetto di muoversi verticalmente?
1) Ho bisogno di attrito
2) Devo premere abbastanza
La scatola NON scivola giù
0 sg fNFFam
0
0
Nmgma
NFma
sy
x
0am
Corpo fermo
x
y
mgFmgN
NFs
s
Si avrà quindi che se:
mgFs
mgFs La scatola scivola giù
Se un corpo di massa 10kg rimane in equilibrio senza scivolare su un piano inclinato
di un angolo di 40° rispetto al piano orizzontale ne deduciamo che è soggetto ad una
forza di attrito statico il cui coefficiente di attrito è maggiore o uguale a :
1) 0.54
2) 0.74
3) 0.84
4) 0.94
Esempio Piano inclinato con attrito
0Ncosα mgNPma
0f-sinα mgf-Pma
yy
ssxx
0ma
0ma 0m
y
xaF
amF
y
x
NF
cosα mgP
sinα mgP
y
x
cosα mgN
sinα mgfs
Ma: Nssf cosα mgsinα mg s
cosα mg
sinα mgs 84.040tants an
P
sf
sfNP
Attrito viscoso
Consideriamo ora l’attrito dovuto alla presenza di mezzi viscosi che interagiscono
con corpi in movimento
Per mezzi viscosi si intendono LIQUIDI e GAS.
Il mezzo viscoso esercita una forza di attrito sul corpo che si muove attraverso
di esso.
La forza di attrito viscoso ha verso opposto al movimento e modulo che dipende
dalla velocità relativa tra corpo e mezzo , in particolare aumenta all’aumentare
della velocità.
La relazione che lega la forza di attrito viscosa alla velocità può essere complessa.
Di solito si approssima il moto attraverso mezzi viscosi con due modelli semplici:
Corpo di piccole dimensioni ( particelle di polvere nell’aria) a bassa velocità
Corpi di grandi dimensioni ad alta velocità (paracadutista, palle da tennis)
avF
Noi considereremo solo il primo modello.
)(vfFav
vFav
2vFav
Un corpo che si muove in un fluido (liquido o gas) con velocità non troppo elevata è sottoposto ad un forza di attrito viscoso. Tale forza si oppone al moto ed ha intensità proporzionale alla velocità del corpo: dove b = costante che dipende dal mezzo e dalla forma e dalle dimensioni del corpo Consideriamo un corpo che si muove con velocità iniziale v0 attraverso in mezzo viscoso. Come diminuisce la velocità del corpo se esso è soggetto solo alla forza di attrito viscoso ? Per la 2° legge di Newton si ha: a è la derivata della velocità
Attrito viscoso-corpi di piccole dimensioni e bassa velocità(1)
vbFav
vbamFamF av
dt
dvmma
dtm
b
v
dv
Integro entrambe i
mebri dell’equazione
v
v v
v
v
dv
00
ln
tm
b
v
v
0
ln
bvdt
dvm v
m
b
dt
dv
t
dtm
b
0 0
0 t
m
bdt
m
b t
Attrito viscoso-corpi di piccole dimensioni e bassa velocità(2)
vbFav
t
m
b
v
v
0
ln
tm
b
v
v
ev
ve
0
ln0
Elevando entrambi i membri a potenza di e =>
tm
b
ev
v
0
tm
b
evv
0
Una particella che si muove con velocità iniziale vo in un mezzo viscoso ( acqua o
aria) sottoposta alla sola forza di attrito viscoso subirà una riduzione esponenziale
della velocità.
Anche la forza di attrito viscoso ( proporzionale alla velocità) diminuirà nel tempo
con un andamento esponenziale, fino ad arrivare asintoticamente a 0. In presenza della sola forza di attrito viscoso non si può avere una condizione di equilibrio statico perché Fav=0 solo quando v=0 ( cioè per t=∞)
bm
t
av ebvF 0
tevv 0dove
tevv 0
y
avF
La soluzione a questa equazione differenziale dà:
dove = m/b
vl = mg/b
Velocità limite
Consideriamo ora il caso di un corpo di massa m che venga lasciato cadere in un fluido. Assumiamo che le uniche forza agenti siano la forza peso e la forza di attrito viscoso Fav (es un corpo in acqua).
L’equazione del moto è data (nella direzione verticale) da:
t
l evv 1
vbFav
bvmgdt
dvmmaFgmamF yav
vl è la velocità limite =>
(quando la forza di attrito viscoso si approssima
alla forza peso, l’accelerazione ay 0 ed il corpo
raggiunge questa velocità limite)
b
mgvbvmg per 0
Il moto circolare e la seconda legge di Newton
Se c’è un’accelerazione deve esserci una
FORZA RISULTANTE NON NULLA
che genera tale variazione del moto
Un corpo che si muove con velocità in modulo costante v e lungo una traiettoria
circolare di raggio r subisce un’accelerazione centripeta ac =v2/r
FORZA CENTRIPETA
diretta verso il centro della circonferenza, sempre
ortogonale alla velocità e di modulo pari a
La forza centripeta NON è un nuovo tipo di forza, ma è una qualsiasi forza che
causa un’accelerazione centripeta, imponendo al corpo un moto lungo una
traiettoria circolare
r
vmFc
2
Esempi di forza centripeta (1)
Palla trattenuta da un filo: La palla di massa m tenderebbe a mantenere il moto
lungo un percorso rettilineo ( per la prima legge di
Newton),
il filo però impedisce questo moto, esercitando
una forza radiale sulla pallina che lo mantiene sulla traiettoria circolare
Tale forza radiale è la tensione del filo che causa il moto circolare
Se si spezza il filo, e viene a mancare la tensione la pallina procederà di
moto rettilineo uniforme
con direzione e velocità date dalla velocità all’istante della rottura
TFc
NFc
Giostra Rotor: Quando la giostra comincia a girare, le persone
all’interno (poggiate già alla parete) tenderebbero per
inerzia a mantenter un moto rettilineo, ma la parete le
costringe a girare
..\Materiale\rotor.htm
Esercizio sul rotor
Se il coefficiente di attrito statico tra i vestiti di una persona appoggiata alle pareti di un
rotor e le pareti stesse è s 0,40 ed il raggio del cilindro del rotor è R=2,1m
determinare la velocità minima v con cui deve ruotare il rotor (e la persona) perché il
passeggero non scivoli a terra
Se la massa del passeggero è di 49kg, qual è l’intensità della forza centripeta?
Affinchè la persona rimanga attaccata alla parete del rotor e non scivoli giù la
risultante delle forze che agiscono su di essa deve avere componente verticale nulla
Quali sono le forze che agiscono sulla persona nel rotor:
1) Forza peso mg rivolta verticalmente verso il basso
2) La forza normale N esercitata dalla parete sulla persona che la costringe a
ruotare in moto circolare uniforme
N è quindi la forza centripeta mv2/r.
È una forza orizzontale diretta verso il centro del cilindro
3) La forza d’attrito statico fs tra i vestiti della persona e le pareti del rotor.
Tale forza si oppone allo scivolamento verso il basso, è quindi diretta
verticalmente verso l’alto.
Il valore massimo di tale forza è proporzionale alla forza normale
La v minima è quella per cui la forza peso e la forza di attrito statico sono uguali
/2,7
0
s
2
s
2
ss
maxmax
max smgR
vgmR
vm
mgffmg
R
vmNf
ss
s
NB:
La velocità non
dipende dalla massa
del passeggero
Se m=49 kg
N NN,
,
R
vmNFc 12001210
12
2749
22
0 yy maF
R
vmN
2
Nfs s max
Esempi di forza centripeta (2)
Forza gravitazionale: ogni particella nell’universo attrae un’altra particella con una
forza che è direttamente proporzionale al prodotto delle due
masse ed inversamente proporzionale al quadrato della loro
distanza e la forza è diretta lungo la congiungente le due masse
rr
mmGFg
ˆ2
21
G=6,67· 10-11 Nm2 / kg2
Satellite che orbita intorno alla terra:
Il satellite sarà vincolato a ruotare intorno alla Terra a causa della
sua attrazione gravitazionale
r
hR
mmGFF
terra
terrasatellitegc
ˆ2
Molla e legge di Hooke
Consideriamo un corpo di massa m poggiato su una superficie priva di attrito
ed attaccato all’estremità libera di una molla e consideriamo che la posizione
di equilibrio (F=0) sia in x=0
Se la molla viene allungata o compressa
di un tratto x rispetto alla sua posizione
di equilibrio essa eserciterà una forza
proporzionale allo spostamento che si
oppone ad esso:
kxF
La costante di proporzionalità k è detta
costante elastica della molla
legge di Hooke
La forza esercitata dalla molla è sempre
diretta in verso opposto a quello dello
spostamento dalla posizione di
equilibrio x=0
NB: la x nella formula rappresenta lo spostamento dalla posizione di equilibrio, se tale
posizione fosse stata in un punto x=xo la legge di Hooke sarebbe stata scritta:
x
xxkF
0
Moto (oscillatorio) armonico
La legge di Hooke ci fornisce l’andamento della forza di un corpo soggetto ad una
forza elastica. L’equazione del moto si può ora ricavare dalla seconda legge di
Newton:
La soluzione di questa equazione è una funzione trigonometrica che rappresenta
una oscillazione:
NB: è la pulsazione dell’oscillazione, che dipende dalla
costante elastica della molla e dalla massa ad essa applicata.
kxmaF
xm
k
dt
xda
2
2
kxma xdt
xd 2
2
2
m
k
m
k 2
Equazione differenziale di
secondo grado omogenea
Dove:
tAtx cos
m
k2
Moto armonico (2)
tAtx cos è una soluzione dell’equazione differenziale: xdt
xd 2
2
2
Se infatti deriviamo due volte x(t) otteniamo:
tAx cos tAtdt
dA
dt
dxsincos
tAdt
dxsin tAt
dt
dA
dt
xdcossin 2
2
2
tAdt
xdcos2
2
2
xdt
xd 2
2
2
x
Equazioni di un moto armonico di
ampiezza A, frequenza angolare
ed angolo di fase
Proprietà del moto armonico (3)
Data l’equazione del moto si possono determinare alcune proprietà del moto
oscillatorio: la pulsazione ed il periodo T.
Il periodo T e’ pari al tempo minimo che impiega l’oscillazione a tornare alla stessa
posizione con la stessa velocità. Dipende solo da k ed m
La frequenza f è l’inverso del moto e dipende solo da k ed m:
La frequenza angolare :
2T
k
mT 2
Le grandezze A e che compaiono nella soluzione sono l’Ampiezza e la costante
di fase e dipendono dalle condizioni iniziali del moto, cioè dalla posizione e dalla
velocità iniziale.
Es: se abbiamo una molla inizialmente allungata di una quantità L e lasciata
libera di oscillare all’istante t=0, essa comincerà ad oscillare tra x=L ed x=-L si
dovrà avere che:
tAtx cos Ltx 0 quindi
01cos
LA
moto del faset
m
k
Tf
2
1
2
1
T
f
2
2
tAx cos
tAvx sin
tAax cos2
Poiché le funzioni seno e coseno oscillano tra +1 e -1:
I valori estremi per x sono ±A,
I valori estremi di v sono ±A
I valori estremi di a sono ± 2A , quindi
m
kAAv max
Am
kAa 2
max
Proprietà del moto armonico (4)
Moti relativi
Le leggi fisiche non dipendono sistema di riferimento scelto per descrivere il moto.
Lo spazio è omogeneo ed isotropo ovvero non esistono un punto o una direzione
privilegiata dello spazio.
Consideriamo due osservatori:
• l’osservatore O che si trova in un riferimento S (Oxy) uno posto S
• L’osservatore O’ che si trova nel riferimento S’ (O’x’y’) che si muove con velocità
rispetto ad S. (il primo pedice indica cosa si sta osservando il secondo da quale osservatore)
è la velocità dell’osservatore O’ misurata dall’osservatore O
Per t=0 i due sistemi coincidono e O’ si sposta rispetto a O come
Un punto P nel piano sarà identificato dai due vettori
posizione e nei sistemi S ed S’ rispettivamente
Si può vedere che:
Derivando rispetto al tempo si ottiene la velocità di una
particella posta nel punto P misurata dall’osservatore O
POr
'POr
OOv '
OOv '
tv OO '
tvrr OOPOPO ''
OOr '
Moti relativi(2)
tvrr OOPOPO ''
Deriviamo
rispetto al tempo
OOPOOO
POOOPOPO vvvdt
rd
dt
tvrd
dt
rd'''
'''
OOPOPO vvv ''
Relazione che lega la velocità del punto P
rispetto all’osservatore O con la velocità dello
stesso punto rispetto all’osservatore O’
Caso unidimensionale: OOPOPO vvv ''
OOPOPO vvv '' Rispetto all’osservatore O’: Velocità relativa
Velocità relativa: velocità di una particella misurata da un osservato in moto
rispetto ad un altro osservatore
La velocità di P misurata dall’osservatore O è uguale alla velocità di P
misurata dall’osservatore O’ più la velocità dell’osservatore O’ misurata
dall’osservattore O
Esempio Una barca naviga in un fiume, che ha una corrente di 1 m/s.
Il suo motore è in grado di produrre una velocità di 2 m/s rispetto alla corrente.
Trovare la velocità della barca rispetto alla riva in tre casi :
a) barca in favore di corrente;
b) barca contro corrente;
c) barca che naviga a 90° rispetto alla corrente. ?brv
a) Barca in favore di corrente
(la barca si muove nello stesso verso della corrente)
smvvv crbcbr 3
b) Barca contro corrente
(la barca si muove nel verso opposto alla corrente) crv
bcv
Riva
smvvv crbcbr 1
crv
bcv
Riva x
c) Barca che naviga a 90° rispetto alla corrente
crv
bcv
Riva
smvvvsmvv
smvvybrxbrbr
bcybr
crxbr5
20
1022
smvc 1
corrente alla rispetto 2 smvbc