Dilatazione Termica

BOZZA

Maurizio Orlando Appunti di Tecnica delle Costruzioni Revisione 11/11/01

Lezione n. 12 Il metodo dellequilibrio Effetti delle variazioni termiche nelle strutture Le variazioni termiche che agiscono sulle strutture possono essere classificate in: variazioni che producono solo spostamenti e deformazioni, variazioni che producono anche o solo stati di coazione (sollecitazioni interne). Si consideri un corpo libero nello spazio e lo si sottoponga ad una variazione di temperatura T. Per effetto della variazione termica, il corpo subisce in ogni punto una deformazione t, la cui entit direttamente proporzionale alla variazione di temperatura T. La costante di proporzionalit nota come coefficiente di dilatazione termica e si indica con il simbolo t (o, pi semplicemente, con ). Si pu pertanto scrivere: t = T. Per materiali come lacciaio ed il calcestruzzo assume il valore di 10-5 C-1. Essendo il corpo libero di deformarsi in una qualunque direzione dello spazio, perch privo di vin-coli, la variazione termica produce solo spostamenti e deformazioni senza fare insorgere nessuno stato di sollecitazione allinterno del corpo. Quando si passi a considerare gli effetti di una variazione termica su una trave o su un sistema di travi soggette ad un assegnato numero di vincoli, gli effetti che si registrano variano in funzione del numero e della disposizione dei vincoli. In particolare, si possono registrare: solo deformazioni e spostamenti (come nel caso del corpo libero), deformazioni, spostamenti e sollecitazioni interne, solo sollecitazioni interne. Per fissare le idee si consideri una trave semplicemente appoggiata, con una cerniera fissa nellestremo A e un carrello nellestremo B:

L

A B

Se la si sottopone ad una variazione termica costante, ossia tutte le fibre della trave sono sottoposte alla stessa variazione di temperatura, ad es. positiva, le fibre si allungano della quantit: L = t L = T L

L

A B L

+T Lo stesso dicasi se la variazione termica negativa, nel qual caso si registra un accorciamento della trave. Se la stessa trave viene sottoposta ad una variazione termica lineare a farfalla, con valore massimo +T allestradosso e minimo T allintradosso, allora le fibre superiori si allungano, quelle infe-riori si accorciano e le fibre baricentriche (sullasse della trave) non subiscono alcuna deforma-zione; la trave si incurva verso lalto assumendo la configurazione deformata ad arco di cerchio rappresentata nella figura seguente:

BOZZA

Lezione n. 12 pag. XII.2

Maurizio Orlando Appunti di Tecnica delle Costruzioni BOZZA SOGGETTA A REVISIONE

L

A B

T

+T

Anche in questo caso la presenza dei vincoli non ostacola gli spostamenti e le deformazioni prodotti dalla variazione termica, che pertanto non produce altri effetti se non quelli descritti. Si osservi che nel caso di variazione termica uniforme, la possibilit di spostamento garantita dalla presenza dellappoggio scorrevole in B, mentre nel secondo caso variazione termica a farfalla - le deformazioni e gli spostamenti termici sono permessi dallassenza di vincoli di rotazione ad en-trambi gli estremi della trave. Da questo si pu immediatamente dedurre che se si sostituisce il carrello in B con una cerniera, il nuovo vincolo comporter linsorgere di uno stato di sollecitazione interno nel caso della variazione termica uniforme, mentre non comporter alcun cambiamento nel caso di variazione termica a far-falla, perch la cerniera alla stregua del carrello lascia libera la rotazione dellestremo B:

L

A B

T

+T

Vediamo di quantificare lo stato interno di sollecitazione che nasce nel caso della trave incernierata ad entrambe le estremit soggetta ad una variazione termica uniforme positiva:

L

A B +T

in questo caso le fibre longitudinali della trave non possono allungarsi, perch le due cerniere fisse impediscono qualunque traslazione nel piano della trave, ed in particolare lo spostamento nella di-rezione dellasse. Lazione dei vincoli sulla trave si esplica attraverso le reazioni vincolari che essi trasmettono alla trave, e per effetto delle quali nasce allinterno della trave uno stato di sollecita-zione, che si soliti indicare con il termine di stato di coazione termica. Per determinare le reazioni vincolari e le sollecitazioni interne si pu utilizzare il metodo della con-gruenza. A questo scopo scegliamo come sistema principale quello che si ottiene eliminando il vincolo alla traslazione orizzontale in B e sostituendolo (secondo il postulato fondamentale della meccanica) con la corrispondente reazione vincolare:

L

A B +T

HB

la soluzione si trova determinando lo spostamento orizzontale wB(T) prodotto dalla variazione termica e quello wB(HB) prodotto dallincognita iperstatica, ed imponendo che la loro somma sia uguale a 0, affinch sia rispettata la congruenza nella sezione B della struttura di partenza. Lequazione di congruenza risulta quindi: wB=wB(T) + wB(HB) = 0

BOZZA



L

A B +T +

L

A B HB

si ha: wB(T) = T L (positivo perch verso destra) mentre wB(HB) si ricava immediatamente dal problema del De Saint-Venant: wB(HB) = - HB L / (EA); (negativo perch verso sinistra) sostituendo nellequazione di congruenza si ottiene: T L - HB L / (EA) = 0 da cui si ricava il valore di HB: HB = T EA La trave pertanto soggetta ad uno sforzo normale di compressione pari a HB.

N.B. Si osservi come il valore di HB e quindi dello sforzo normale dipenda dalla sezione trasver-sale e dal modulo di elasticit del materiale. Pertanto lo sforzo normale sar tanto maggiore quanto maggiore la rigidit assiale EA della trave, ossia quanto maggiore il modulo di elasti-cit (materiale pi rigido) e/o quanto maggiore la sezione trasversale. Gli spostamenti e le deformazioni sono invece nulle, infatti il concio elementare di lunghezza dz della trave per effetto della variazione termica tenderebbe ad allungarsi di t = T dz, mentre per effetto dello sforzo normale si accorcia di HB = HB dz / (EA) = T dz. Le due deformazioni sono uguali e contrarie, pertanto la deformazione totale del concio nulla e la trave non si de-forma. Sulla base degli esempi visti sopra possiamo concludere che: ogni qualvolta la variazione termica produce spostamenti e deformazioni compatibili con i vin-

coli, la variazione termica non fa insorgere alcuno stato di sollecitazione allinterno della strut-tura (in questo caso la variazione termica si dice congruente);

quando la variazione termica tende a produrre spostamenti non compatibili con i vincoli, allora allinterno della struttura insorge uno stato di sollecitazione (variazione termica non con-gruente).

Sulle strutture si considerano di solito variazioni termiche costanti o a farfalla, o pi in generale variazioni termiche lineari di forma trapezia. Queste ultime si possono sempre ricondurre alla somma di una variazione termica costante e di una a farfalla, secondo il seguente schema:

+T1 + =

+T2

(T1+T1)/2 +(T1-T1)/2

(T1-T1)/2 pertanto negli esempi che seguono si considerano solo variazioni termiche uniformi o a farfalla.

BOZZA



Esempio Risolviamo la seguente struttura simmetrica, formata da tre piedritti ed un traverso, tutte di lun-ghezza L e rigidit flessionale EJ/L costante, e soggetta ad una variazione termica a farfalla sul tra-verso.

L 6

+T

L

+T

T T

5 4

3 2 1

L

Considerazioni preliminari sulla simmetria della struttura e dello schema di carico Prima di procedere alla soluzione della struttura con il metodo dei vincoli ausiliari, possiamo utiliz-zare la simmetria della struttura e dello schema di carico(*) per ricavare alcune informazioni sulle caratteristiche di sollecitazione nella mezzeria del traverso e nel piedritto centrale. A questo scopo si consideri dapprima una struttura simmetrica caricata simmetricamente, dove sullasse di simmetria non ci sia nessun piedritto. Per rispettare le condizioni di simmetria le caratteristiche di sollecitazione nella mezzeria del tra-verso devono avere i versi indicati nella figura. Del resto, affinch sia soddisfatto lequilibrio alla traslazione verticale del concio a cavallo della sezione di mezzeria, il taglio deve essere necessaria-mente nullo.

6 4

3 2 1

Mt Nt

Tt Mt Nt

Tt

X X

Nel caso in cui sullasse di simmetria ci sia invece un piedritto (come nellesempio che stiamo per studiare), sulle due facce del concio di mezzeria del traverso pu esserci oltre a Nt e Mt anche un taglio Tt. Difatti in questo caso lequilibrio alla traslazione verticale del concio e la simmetria sono garantite dalla presenza dello sforzo normale nel piedritto centrale:

(*) A prima vista, la condizione di carico sembrerebbe antimetrica, e questo a causa della rappresentazione grafica

utilizzata per le variazioni termiche. In realt la situazione in esame rappresenta una condizione di carico simmetrica per la struttura, come ci si pu facilmente rendere conto pensando alla deformazione che nella struttura nasce a causa della variazione termica a farfalla. La parte di sinistra, se libera di deformarsi, tenderebbe infatti ad assumere una deformata in cui le fibre si allungano allestradosso e si accorciano allintradosso, incurvandosi quindi verso lalto. Lo stesso si pu dire per la parte di destra, ottenendo quindi una situazione simmetrica.

BOZZA



Np = 2 Tt. Nel piedritto centrale, inoltre, per evidenti ragioni di simmetria, sia il taglio che il momento flettente devono essere nulli.

6 5 4

3 2 1

Mt Nt

Tt

Mt Nt

Tt

Mp

Np Tp X

X Possiamo quindi concludere che nella mezzeria del traverso, grazie alla presenza del piedritto sullasse di simmetria, possiamo avere tutte e tre le caratteristiche di sollecitazione N, T e M, mentre nel piedritto centrale pu esserci per simmetria solo uno sforzo normale. Soluzione della struttura con il metodo dei vincoli ausiliari Adottando la seguente convenzione per i versi positivi degli spostamenti e delle reazioni vincolari:

convenzione per i versi positivi degli spostamenti e delle forze +

occorre innanzitutto individuare i movimenti indipendenti della struttura. Mettendo in conto tutti i contributi deformativi (incluso quello dello sforzo normale) e prescindendo per il momento dalla simmetria della struttura e dalla simmetria del carico, si ha che ogni nodo su-periore (1, 2 e 3) pu sia traslare in direzione orizzontale sia in direzione verticale nonch ruotare, e pertanto i movimenti indipendenti sono i seguenti 9:

nodo 1: w1 v1 1 nodo 2: w2 v2 2 nodo 3: w3 v3 3 dove con w sono state indicate le traslazioni orizzontali, con v quelle verticali e con le rotazioni dei nodi. Se introduciamo lipotesi di indeformabilit assiale di tutte le aste, si ha che: v1, v2 e v3 sono nulli, per lindeformabilit assiale dei piedritti, w1=w2=w3 per lindeformabilit assiale del traverso, riducendo cos il numero di movimenti indipendenti da 9 a 4,

w 1 2 3 dove si indicato con w il valore comune di w1, w2 e w3. Infine, tenendo conto della simmetria della struttura e della simmetria del carico, si pu concludere che: il nodo 2, trovandosi sullasse di simmetria di una struttura simmetrica caricata simmetrica-

mente, non pu traslare orizzontalmente, e pertanto w=0, ossia il traverso non trasla orizzontal-mente;

il nodo 2 non pu ruotare, per lo stesso motivo del punto precedente (w=0); la rotazione del nodo 1 e quella del nodo 3 sono uguali e contrarie (1=-3). Quindi i movimenti indipendenti si riducono alla sola rotazione del nodo 1 ovvero del nodo 3.

BOZZA



Fase I Nella fase I si inseriscono nella struttura dei vincoli ausiliari che bloccano i movimenti indipen-denti; data la simmetria della struttura possiamo limitarci a studiare met struttura (ad es. la parte posta alla sinistra dellasse di simmetria). Per quanto detto sopra, il nodo 2 non pu n traslare n ruotare, pertanto nel nodo 2 come se ci fosse un incastro. La parte sinistra della struttura in fase I, a movimenti indipendenti bloccati, rappresentata nella figura seguente, dove la linea tratto-punto ci ricorda la presenza del piedritto centrale.

L

+T

T

4

2 1

L

Lasta 1-2 risulta in fase I incastrata ad entrambi gli estremi e soggetta ad una variazione termica a farfalla. Per effetto di questa variazione termica nellasta insorge uno stato di sollecitazione, in quanto gli estremi dellasta, a differenza di quanto accadeva nellesempio dellasta incernierata ad entrambi gli estremi, non possono ruotare e pertanto lasta non libera di inflettersi verso lalto. I vincoli di incastro impediscono la rotazione di 1 e di 2, attraverso due coppie uguali e contrarie (per simmetria), il cui valore pu essere determinato con il metodo della congruenza. A questo scopo, sopprimiamo i vincoli di rotazione in 1 e in 2 e sostituiamoli (secondo il postulato fonda-mentale della meccanica) con le corrispondenti reazioni vincolari, che indichiamo con X:

T 1

L

+T 2

T 1

L

+T 2

T 1

L

+T 2

1

L

2 1(T) 2(T)

1(X) 2(X)

X

X

X

X

=

+

=

Il valore di X si ricava imponendo la condizione di congruenza alla rotazione in 1 o in 2, ossia im-ponendo che la somma della rotazione prodotta dalla variazione termica e di quella prodotta da X sia uguale a 0:

0)X()T( 11 =+ (equazione di congruenza)

BOZZA



Calcolo di 1(T) Per il calcolo di 1(T) sufficiente ricorrere al PLV:

T 1

+T 2 1 2

1(T) 2(T) 1* 1*

+ 1* 1*

S.S.D. S.F.S.*

=L

0t

*2

*1

* dz)z(K1)T(1)T(1

nellespressione precedente Kt(z) rappresenta la curvatura prodotta dalla variazione termica nel si-stema S.S.D. (di spostamenti e deformazioni), e pu essere determinata ricorrendo alla definizione di curvatura, che esprime la rotazione relativa tra due sezioni poste a distanza unitaria, ovvero la derivata della rotazione (z). A questo scopo consideriamo un concio di trave di lunghezza unitaria ed altezza h, supponiamo fissa la faccia di sinistra e valutiamo di quanto ruota la faccia destra rispetto ad essa per effetto della variazione termica a farfalla:

+ T

1

h/2

h

Kt

+T

T T

le fibre superiori del concio si allungano di T, mentre quelle inferiori si accorciano della stessa quantit, la deformazione delle altre fibre segue lo stesso andamento lineare della variazione ter-mica, pertanto la rotazione relativa Kt, ossia la curvatura termica, pari a:

hT2

2hTKt ==

dove il segno meno deriva dal fatto che Kt (rotazione della faccia di destra rispetto a quella sinistra) oraria, mentre nella convenzione adottata nella linea elastica le rotazioni sono antiorarie; sostituendo nellequazione dei lavori virtuali, e sfruttando inoltre per simmetria luguaglianza dei moduli delle rotazioni di 1 e di 2, si ottiene:

=L

0

*1

* dzh

T21)T(21

Lh

T2)T(21 1* =

Lh

T)T(1 = il fatto che 1(T) sia positiva significa che essa concorde con il verso adottato nella figura, ossia antioraria.

BOZZA



Se esprimiamo questa rotazione secondo la convenzione scelta per gli spostamenti positivi dob-biamo cambiare segno:

Lh

T)T(1 =

convenzione spostamenti positivi

Calcolo di 1(X) Il valore di 1(X) pu essere agevolmente calcolato sfruttando risultati gi noti in precedenza. Le rotazioni di estremit di una trave incernierata ad entrambi gli estremi ed ivi soggetta a due coppie uguali e contrarie infatti pari a:

1

L

2 1(X) 2(X) X X

EJ2XL)X(1 = (rotazione oraria)

Valutazione di X Sostituendo i valori di 1(T) e 1(X) nellequazione di congruenza si ricava:

0)X()T( 11 =+ ossia

0EJ2

XLLh

T =+

hEJT2X =

Lasta 1-2 quindi soggetta ad un momento costante positivo pari a X, ed il diagramma del mo-mento flettente in Fase I il seguente:

L 4

2 1

L

+X X

X=(2 T EJ)/h

X

dove M'12 = X e M'21 = -X. N.B. Per effetto della variazione termica a farfalla, lasta 1-2 in fase I, con entrambi gli estremi incastrati, non subisce alcuna deformazione! Questo risulta evidente se si calcola la curvatura pro-dotta dalle reazioni iperstatiche X e la si confronta con quella prodotta dalla variazione termica:

BOZZA



curvatura prodotta da X: h

T2hEJ

EJT2EJX

EJ)z(M)z(KX ====

curvatura prodotta da T: h

T2)z(Kt = al variare di z (ascissa lungo lasse della trave) le due curvature rimangono costanti e pari luna allopposto dellaltra, pertanto la curvatura totale nulla lungo tutta la trave, ossia in questa fase la trave non si deforma! Fase II Nella seconda fase, per ripristinare lequilibrio nei nodi in cui sono stati introdotti i vincoli ausiliari, occorre eliminare i vincoli ausiliari ed applicare alla struttura le loro reazioni cambiate di segno. Nel presente caso lunico vincolo ausiliario il morsetto in 1, pertanto sufficiente applicare nel nodo 1 la reazione del morsetto (oraria e pari a X=(2 T EJ)/h) cambiata di segno (antioraria):

L 4

2 1

L

X

La coppia X nel nodo 1, si ripartir tra lasta 1-2 e lasta 1-4; per determinare il valore della coppia assorbita da ciascuna asta, procediamo al calcolo dei coefficienti di ripartizione. Per fare questo occorre innanzitutto determinare il valore della rigidezza alla rotazione della sezione 1 dellasta 1-2 e della sezione 1 dellasta 1-4:

per lasta 1-4 si ha k14 = 4R: 1

L

2

2R

1=1

k14=4R

anche per lasta 1-2 si ha k12 = 4R:

1

L

2

2R

1=1

k12=4R

la rigidezza alla rotazione k1 del nodo 1 data dalla somma di k12 e k14: k1 = k12 + k14 = 4R + 4R = 8R; e si pu calcolare i coefficienti di ripartizione delle due aste:

BOZZA



21

R8R4

kk

1

1212 === 2

1R8R4

kk

1

1414 ===

i due coefficienti di ripartizione sono entrambi pari a 0.5, pertanto le coppie applicate nella sezione 1 di ciascuna asta sono pari a:

2XXM 1212 == 2

XXM 1414 == N.B. A questo risultato si poteva arrivare immediatamente osservando che le due aste hanno la stessa rigidezza alla rotazione nella sezione 1, perch hanno la stessa rigidit flessionale EJ/L e sono soggette alle stesse condizioni di vincolo, pertanto non possono che assorbire ciascuna la stessa aliquota della coppia X. Tenendo presente che il coefficiente di trasmissione di entrambe le aste pari a 1/2 si ottiene il se-guente diagramma del momento flettente:

M"12 = - X/2 M"14 = - X/2 M"21 = -X/4 M"41 = -X/4

L 4

2 1

L

-

+

-

+

X/2

X/2

X/4

X/4

Fase I + Fase II Una volta definite le due fasi, la soluzione della struttura si ottiene per composizione degli effetti in fase I con quelli in fase II. Ad esempio, per ottenere il diagramma del momento totale sufficiente sommare il diagramma ottenuto in fase I con quello della fase II, ottenendo il risultato riportato in figura:

M12 = M'12 + M"12 = X X/2 = X/2 M21 = M'21 + M"21 = X X/4 = 5X/4 M14 = M"14 = X/2 M41 = M"41 = X/4

L 4

2 1

L

-

+

-

X/2

X/2

X/4

5X/4

BOZZA



Sfruttando la condizione di simmetria, infine possibile disegnare il diagramma sullintera struttura:

L 4

2 1

L

-

+

-

X/2

X/2

X/4 5X

/4

-

+

-

3

6 5 X/4

X/2 X

/2

Deformata della struttura La deformata della struttura coincide con la deformata della fase II, perch, come gi osservato, in fase I la struttura non si deforma: difatti in fase I i piedritti sono scarichi, mentre il traverso non si deforma per quanto detto sopra. Il tracciamento della deformata risulta pertanto alquanto agevole, perch in fase II ogni asta si trova nella situazione a noi gi nota di asta incernierata ad un estremo, incastrata allaltro e soggetta ad una coppia concentrata nellestremo incernierato. Cos ad es. lasta 1-2 avr una rotazione antioraria della sezione 1 (per effetto della coppia antioraria M"12) e un punto di flesso a una distanza di L/3 dalla sezione 2 incastrata.

4

2 1 3

6 5

f f

f f

N.B. Da osservare come il diagramma del momento flettente sul traverso non sia dalla stessa parte delle fibre tese (il diagramma in basso, mentre le fibre tese sono in alto). Questo dovuto alla presenza della variazione termica a farfalla sul traverso (in presenza di soli carichi espliciti, questo sarebbe un errore!).

BOZZA



Diagramma del taglio e dello sforzo normale Noto il diagramma dei momenti flettenti, possibile determinare quelli del taglio e dello sforzo normale. Innanzitutto procediamo con il calcolo dei tagli e degli sforzi normali agli estremi di tutte le aste, per fare questo sconnettiamo le aste in corrispondenza dei nodi e mettiamo in evidenza le azioni mutue che si scambiano (una forza orizzontale, una forza verticale e una coppia). Il valore delle forze mutue e delle coppie che le varie aste si scambiano nei nodi si ricavano dallequilibrio di ciascuna singola asta. Nella figura seguente sono rappresentate le forze e le coppie agenti agli estremi di tutte le aste:

X/2

X/4

X/2

-5X/4

X/2

-5X/4

X/2

X/4

V4 V5

2V2 V1

V1

V2 V2

V3 V3

V6

H4

H1

H1 H2 H2 H3

H3

H6

1

1

4 5

2

2 2 3

3

6

Abbiamo gi visto che nel piedritto centrale 2-5 non pu esserci n taglio n momento flettente, ma solo sforzo normale. Le coppie sono gi note (si ricavano dal diagramma dei momenti flettenti); le forze che agiscono in direzione ortogonale alle aste si ricavano dallequilibrio alla rotazione e da quello alla traslazione in direzione ortogonale allasta: ad es. per lasta 1-4, dallequilibrio alla rotazione intorno al nodo 4 si ha:

04X

2XLH1 = L

X43H1 =

e dallequilibrio alla traslazione orizzontale:

0HH 41 = LX

43HH 14 == .

Dallequilibrio alla traslazione orizzontale dellasta 1-2 si ricava che: 0HH 21 =+ 12 HH = .

Nella figura seguente sono indicate tutte le forze e coppie con il loro valore e verso:

BOZZA



X/2

-5X/4

X/2 -5X/4 (3/4)X/L (3/4)X/L

(3/4)X/L

(3/4)X/L

(3/4)X/L

(3/4)X/L (3/4)X/L

(3/4)X/L

1

X/2

X/4

(3/4)X/L

(3/4)X/L

(3/4)X/L

(3/4)X/L

1

4 (3/2)X/L

(3/2)X/L

5

2

2 2 3

X/2

X/4 (3/4)X/L

(3/4)X/L

(3/4)X/L

(3/4)X/L

3

6

Note le forze e le coppie agli estremi di tutte le aste, si pu procedere con il tracciamento del dia-gramma dello sforzo normale e del taglio.

Diagramma dello sforzo normale

4

2 1 3

6 5

-

+

3X/(4L)

3X/(4

L)

+

+ -

3X/(2L) 3X/(4L)

BOZZA



Diagramma del taglio

4

2 1

6 5

3

-

+

3X/(4L)

3X/(4

L)

+ -

3X/(4L)

3X/(4

L)

N.B. Nella figura seguente indicato il verso di percorrenza adottato nel tracciamento dei dia-grammi dello sforzo normale e del taglio sulla struttura:

1 2 3

5 4 6 Si ricorda che al variare del verso di percorrenza non varia il segno n di N n di T, ma cambia solo il lato dal quale si traccia il diagramma di N o di T. Viceversa per quanto concerne il diagramma di M, al variare del verso di percorrenza varia solo il segno di M, ma non il lato dal quale si traccia il diagramma.

Dilatazione Termica

Documents

Transcript of Dilatazione Termica