Diktat geometri melukis sudut

31
DIKTAT GEOMETRI DISUSUN UNTUK PERKULIAHAN GEOMETRI PADA PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FKIP UNIVERSITAS SRIWIJAYA PENYUSUN: Nyimas Aisyah UNIVERSITAS SRIWIJAYA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN INDERALAYA

Transcript of Diktat geometri melukis sudut

Page 1: Diktat geometri melukis sudut

DIKTAT GEOMETRI

DISUSUN UNTUK PERKULIAHAN GEOMETRI PADA PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA

FKIP UNIVERSITAS SRIWIJAYA

PENYUSUN:

Nyimas Aisyah

UNIVERSITAS SRIWIJAYAFAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

INDERALAYA2009

DAFTAR ISI

Halaman

Page 2: Diktat geometri melukis sudut

BAB 1 : Lukisan Dasar ........................................................................................

A. Melukis Sudut .......................................................................................

Latihan ..........................................................................................................

B. Melukis Garis ............................................................................................

Latihan ..........................................................................................................

C. Melukis Segitiga .......................................................................................

Latihan ..........................................................................................................

D. Melukis Bangun Ruang ............................................................................

BAB 1 : Bangun Ruang .......................………..……............................................

A. Bangun Ruang Sisi Datar .........................................................................

Latihan .........................................................................................................

B. Bangun Ruang Sisi Lengkung .................................................................

Latihan .........................................................................................................

BAB 3 : Bangun Datar .......................…….…..……............................................

A. Bangun Datar Segitiga .............................................................................

Latihan .........................................................................................................

A. Bangun Datar Segiempat .........................................................................

Latihan .........................................................................................................

BAB 4 : Geometri Dimensi Tiga ........…….…..……............................................

A. Kedudukan Titik, Garis, dan Bidang dalam Ruang ..................................

B. Proyeksi .....................................................................................................

C. Jarak .........................................................................................................

D. Sudut .........................................................................................................

BAB V: IRISAN BIDANG .................................................................................

A. Menggambar Irisan Bidang dengan Sumbu Afinitas .............................

B. Menggambar Irisan Bidang Menggunakan Perpotongan Bidang Diagonal

C. Menggambar Irisan Bidang Menggunakan Perluasan Bidang Sisi

D. Menggambar Irisan Bidang Menggunakan Bidang Diagonal pada Limas

E. Menggambar Irisan Bidang Menggunakan Perluasan Bidang Tegak

DAFTAR PUSTAKA ...........................................................................................

1

1

6

7

10

11

13

12

14

14

23

26

31

31

31

36

37

41

42

42

45

51

60

65

65

68

70

73

74

78

ii

Page 3: Diktat geometri melukis sudut

BAB 1

LUKISAN DASAR

A. MELUKIS SUDUT

1. Melukis Sudut yang Sama Dengan Sudut yang Diketahui

Untuk melukis suatu sudut yang besarnya sama dengan sudut lain dapat ditempuh

dengan beberapa cara. Salah satu cara yang paling mudah adalah dengan mengukur sudut

yang diketahui dengan menggunakan busur derajat. Namun cara ini kurang tepat terutama

apabila pengukurannya kurang teliti. Agar hasil yang diperoleh lebih baik, maka alat bantu

yang digunakan sebaiknya adalah jangka dan mistar. Adapun langkah-langkah untuk melukis

sudut yang sama dengan sudut yang diketahui adalah sebagai berikut.

Diketahui: Sudut A

Lukislah: Sudut B = sudut A

Langkah-langkah melukis:

1. Buat busur lingkaran dengan titik pusat A memotong kedua kaki sudut di C dan D.

Pindahkan busur itu di B memotong garis l di titik E.

2. Buat busur lingkaran dengan titik pusat C melalui titik D. Pindahkan busur itu pada titik

E, sehingga memotong busur pertama tadi di titik F.

3. Tarik garis m memotong titik B dan titik F. Garis l dan m adalah kaki sudut. Sudut B

sama besar dengan sudut A.

3

Page 4: Diktat geometri melukis sudut

2. Melukis Sudut-sudut Istimewa

Untuk melukis sudut-sudut istimewa, sebenarnya Anda dapat menggunakan

penggaris dam busur. Namun untuk mendapatkan hasil yang lebih baik lagi, Anda dapat

menggunakan penggaris dan jangka. Adapun langkah-langkah untuk melukis sudut-sudut

istimewa tersebut adalah sebagai berikut.

(a) Sudut 90o (Sudut Siku-siku)

Diketahui: garis l dan titik A

Lukislah: Sudut A = 90o

Langkah-langkah melukis (Cara I):

1. Buat busur lingkaran dengan titik pusat A memotong garis l di B.

2. Pindahkan busur itu ke titik B sehingga memotong busur pertama di C.

3. Pindahkan busur itu ke titik C sedemikian hingga memotong garis yang ditarik melalui

titik B dan C di titik D.

4. Tarik garis m melalui A dan D, maka didapatlah sudut A = 90o (siku-siku).

Langkah-langkah melukis (Cara II):

1. Buat lingkaran sembarang yang memotong garis l di titik A dan B.

2. Tarik garis tengah lingkaran itu melalui titik B dan memotong lingkaran di C

3. Tarik garis m melalui A dan C, maka didapatlah sudut A = 90o (siku-siku).

4

Page 5: Diktat geometri melukis sudut

Langkah-langkah melukis (Cara III):

1. Buat busur lingkaran dengan pusat titik A hingga memotong garis l di B dan C.

2. Buat busur lain dengan pusat di titik B

3. Pindahkan busur itu ke titik C hingga keduanya berpotongan di D.

4. Tarik garis m melalui A dan D, maka didapatlah sudut A = 90o (siku-siku).

(b) Sudut 60o

Diketahui: garis l dan titik A pada l.

Lukislah: sudut A = 60o

Langkah-langkah melukis:

1. Buat busur sembarang dengan titik pusat A dan memotong garis l di B.

2. Pindahkan busur itu ke titik B dan memotong busur pertama di C.

3. Tarik garis m melalui A dan C, maka didapat sudut A = 60o.

5

Page 6: Diktat geometri melukis sudut

(c) Sudut 45o

Diketahui: garis l dan titik A pada l.

Lukislah: sudut A = 45o

Langkah-langkah melukis:

1. Ambil titik B sembarang pada garis l.

2. Buat garis t tegak lurus l melalui B

3. Buat busur lingkaran dengan jaris-jaris BA dan titik pusat B yang memotong garis l di C.

4. Tarik garis m melalui A dan C, maka didapat sudut A = 45o.

(d) Sudut 30o

Diketahui: garis l dan titik A pada l.

Lukislah: sudut A = 30o

Langkah-langkah melukis:

1. Buat busur sembarang dengan titik pusat A dan memotong garis l di B.

2. Pindahkan busur itu ke titik B dan memotong busur pertama di C.

3. Pindahkan lagi busur itu ke titik C hingga memotong busur kedua di D

4. Tarik garis m melalui A dan D, maka didapat sudut A = 30o.

Latihan

1. Lukislah dengan cermat ketiga garis tinggi segitiga lancip.?

6

Page 7: Diktat geometri melukis sudut

2. Lukislah sudut yang sama besar dengan sudut-sudut di bawah ini.

(a) (b) B

A

3. Lukislah jajargenjang ABCD dengan panjang sisi berdekatan masing-masing 6 cm dan

10 cm. Kedua sisi ini mengapit sudut 60o.

B. MELUKIS GARIS

1. Melukis Sebuah Garis Tegak Lurus

Untuk melukis sebuah garis tegak lurus dengan garis lain yang melalui titik di luar

garis lain itu sebenarnya dapat Anda lakukan dengan menggunakan sepasang penggaris siku-

siku saja. Namun untuk mendapatkan lukisan yang lebih baik, Anda dapat menggunakan satu

penggaris dan jangka. Adapun langkah-langkah untuk melukis garis tegak lurus dengan

menggunakan jangka adalah sebagai berikut.

Diketahui: garis l dan titik A di luar garis l.

Lukislah: garis m ¿ l melalui A

Langkah-langkah melukis:

1. Buat busur sembarang dengan pusat A hingga memotong garis l di B dan C.

2. Pindahkan busur itu ke B dan C sehingga didapat perpotongan busur di D.

3. Tarik garis melalui A dan D, maka didapat garis m ¿ garis l.

2. Melukis Dua Garis yang Saling Sejajar

Untuk melukis dua garis yang sejajar dengan garis lain melalui yang diketahui

sebenarnya dapat Anda lakukan dengan menggunakan sebuah penggaris siku-siku dan sebuah

7

Page 8: Diktat geometri melukis sudut

penggaris biasa. Namun untuk mendapatkan lukisan yang lebih baik, Anda dapat

menggunakan satu penggaris dan jangka. Adapun langkah-langkah untuk melukis dua garis

yang saling sejajar dengan menggunakan jangka adalah sebagai berikut.

Diketahui: garis l dan titik A di luar garis l.

Lukislah: garis m // l melalui A

Langkah-langkah melukis:

1. Buat garis sembarang melalui A dan memotong garis l di B.

2. Lukis sudut dengan A sebagai titik sudut yang besarnya sama dengan sudut B dan

berseberangan dengannya.

3. Didapatlah garis m // l

3. Melukis Sebuah Garis Bagi Sudut

Garis Bagi Sudut adalah garis yang ditarik dari salah satu titik sudut dan membagi

sama besar sudut tersebut. Adapun langkah-langkah melukis garis bagi sudut tersebut adalah

sebagai berikut.

Diketahui: sudut A

Lukislah : garis bagi sudut A

Langkah-langkah melukis:

1. Lukis busur lingkaran dengan pusat A dan jari-jari r1, sehingga busur tersebut memotong

kaki-kaki sudut A di titik B dan C.

2. Lukis busur lingkaran dengan pusat B dan C, jari-jari r2, sehingga kedua busur

berpotongan di titik D.

3. Lukis garis yang melalui titik A dan D, maka didapat garis bagi sudut A.

8

Page 9: Diktat geometri melukis sudut

4. Melukis Garis Sumbu Sebuah Ruas Garis

Garis Sumbu sebuah ruas garis adalah garis tegak lurus terhadap ruas garis yang

diketahui dan memotong sama panjang ruas garis diketahui tersebut. Untuk melukis sumbu

ruas garis ini diperlukan penggaris dan mistar, dengan langkah-langkah sebagai berikut.

1. Diketahui ruas garis AB

2. Lukis dua busur lingkaran masing-masing di atas dan di bawah ruas garis AB dengan

pusat A dan jari-jari r.

3. Dengan cara yang sama lukis pula dua busur lingkaran dengan pusat B dan jari-jari r,

sehingga busur yang terletak di atas ruas garis AB berpotongan di titik K dan busur yang

terletak di bawah ruas garis AB berpotongan di titik L.

4. Hubungkan K dan L, maka didapat garis KL yang merupakan sumbu ruas garis AB.

5. Membagi Ruas Garis Menjadi n Bagian yang Sama Panjang

9

Page 10: Diktat geometri melukis sudut

Untuk menjamin ketepatan pembagian garis menjadi n bagian yang sama panjang,

maka sebaiknya digunakan penggaris dan jangka. Adapun langkah-langkah membagi ruas

garis tersebut adalah sebagai berikut.

Diketahui: garis AB

Lukislah : pembagian AB menjadi 5 bagia yang sama panjang

Langkah-langkah melukis:

1. Buatlah garis g sembarang melalui salah satu ujung ruang garis AB (misalkan di A)

dengan membentuk sudut tertentu (tidak nol) dengan AB.

2. Dengan menggunakan jangka, lukiskan pada garis g titik C, D, E, F, G sedemikian hingga

AC = CD = DE = EF = FG.

3. Hubungkan B dan G.

4. Lukiskan garis-garis sejajar GB, yang masing-masing melalui titik-titik C, D, R, F.

Misalkan garis-garis ini memotong AB berturur-turut di K, L, M, dan N.

5. Maka didapatlah pembagian AB menjadi 5 bagian yang sama panjang.

Latihan

Kerjakan latihan berikut ini!

1. Bagilah garis AB = 6 cm menjadi 6 bagian yang sama panjang.

2. Lukislah garis berat melalui A dan garis bagi melalui B pada Δ ABC tumpul.

3. Lukislah sudut 15o

4. Lukislah belahketupat PQRS, dengan ketentuan sebagai berikut.

a. Salah satu diagonal belahketupat adalah garis g

b. Titik P di luar g

c. P merupakan salah satu titik sudut belahketupat.

10

Page 11: Diktat geometri melukis sudut

5. Lukislah ruas garis yang panjangnya 3/5 dari panjang ruas garis AB = 7 cm.

C. MELUKIS SEGITIGA

Untuk melukis segitiga yang diketahui unsur-unsurnys tidak dapat hanya dengan

menggunakan penggaris saja. Anda mungkin tidak akan mengalami kesulitan untuk

mengukur sisi pertama dan kedua, tetapi akan mengalami kesulitan pada saat melukis sisi

yang ketiga segitiga sesuai dengan ukuran yang ditetapkan. Oleh karena itu penggunaan

penggaris dan jangka menjadi keharusan.

1. Melukis Segitiga Jika Diketahui Sisi-sisinya

Diketahui: ruas garis a, b, c

Lukislah : segitiga yang sisi-sisisnya a, b, c

Langkah-langkah melukis:

1. Buat ruas garis a = BC

2. Buat busur lingkaran dengan pusatnya salah satu ujung garis a jari-jarinya = b.

3. Buat busur lingkaran dengan jari-jari c dan pusatnya terletak pada ujung lain garis a.

4. Kedua busur tadi berpotongan di A.

5. Maka didapat Δ ABC dengan sisi-sisi a, b, c.

11

Page 12: Diktat geometri melukis sudut

2. Melukis Segitiga Jika Diketahui Sisi, Sudut, Sisi

Diketahui: ruas garis a, sudut α, dan ruas garis b

Lukislah : segitiga

Langkah-langkah melukis:

1. Buat ruas garis b = AB

2. Ukur sudut α pada titik B

3. Ukur ruas garis a pada garis yangdidapat, maka didapat Δ ABC.

3. Melukis Segitiga Jika Diketahui Sudut, Sisi, Sudut

Diketahui: sudut α, ruas garis a, dan sudut β

Lukislah : segitiga

Langkah-langkah melukis:

1. Buat ruas garis a = BC

2. Dengan menggunakan busur derajat, ukur sudut α dengan A sebagai titik sudut dan ukur

sudut β dengan dan B sebagai titik sudut.

3. Dari pengukuran sudut α dan β didapat dua garis yang berpotongan di C.

12

Page 13: Diktat geometri melukis sudut

4. Maka didapat Δ ABC.

4. Melukis Segitiga Jika Diketahui Sisi, Sisi, Sudut

Diketahui: ruas garis a, b dan sudut α

Lukislah : segitiga

Langkah-langkah melukis:

1. Buat garis a = BC

2. Ukur sudut α pada titik C dengan menggunakan busur derajat.

3. Gambar busur lingkaran dengan pusat B dan jari-jari r, sehingga meotong kaki sudut C di

titik A (Selain A ada titik lain, makakah itu?)

4. Tarik garis BA, maka didapat Δ ABC.

Lukisan (Silahkan Anda coba!)

Latihan

Kerjakan latihan berikut ini!

1. Lukislah Δ ABC, jika diketahui AB = 6 cm, ∠ ABC = 75o dan BC = 7,5 cm.

13

Page 14: Diktat geometri melukis sudut

2. Lukislah segitiga siku-siku samakaki dengan panjang kakinya 5 cm

3. Lukislah segitiga samasisi dengan panjang sisi 6 cm.

4. Lukislah Δ ABC, jika diketahui AB = 7 cm, BC = 3 cm, dan ∠ BCA = 100o

5. Lukislah Δ ABC, jika diketahui ∠ABC = 60o, BC = 4 cm, dan ∠BCA = 95o.

6. Lukis suatu Δ ABC jika diketahui

a. panjang alasnya AB adalah a satuan

b. tinggi dari titik C ke AB adalah t satuan

c. panjang salah satu kaki (BC) adalah b satuan

7. Lukis suatu Δ ABC jika diketahui

a. panjang alasnya AB adalah a satuan

b. panjang garis tinggi dari C sama dengan t satuan

c. besar sudut puncak C adalah α

8. Hidayat melakukan permainan pada suatu kegiatan pramuka. Hidayat harus menemukan

sebuah benda. Untuk menemukan benda tersebut, Hidayat harus berjalan sejauh 10

langkah ke depan kemudian berjalan 15 langkah ke arah Tenggara. Setelah mendapatkan

benda tersebut, Hidayat berjalan kembali ke tempat semula. Gambarkan perjalanan

Hidayat untuk mendapatkan benda tersebut sampai kembali ke tempat semula.

D. MELUKIS BANGUN RUANG

Bangun ruang dapat dilukiskan pada bidang datar. Untuk mendapatkan hasil lukis

yang proporsional ada beberapa langkah dan istilah yang diperlukan. Istilah-istilah tersebut

adalah sebagai berikut.

1. Bidang frontal adalah bidang gambar.

2. Bidang ortogonal adalah bidang yang tegak lurus dengan bidang frontal.

3. Garis frontal adalah garis yang terletak pada bidang frontal.

4. Garis ortogonal adalah garis yang tegak lurus terhadap bidang frontal.

5. Sudut surut adalah sudut antaraa bidang frontal dan ke arah kiri ke bidang ortogonal.

6. Perbandingan proyeksi adalah perbandingan panjang garis pada lukisan dengan

panjang garis yang sebenarnya.

Sedangkan langkah-langkah untuk melukiskan kubus adalah sebagai berikut.

1. Lukis bidang frontal dengan ukuran yang sebenarnya.

2. Cari panjang salah satu garis ortogonal dengan menggunakan perbandingan proyeksi.

14

Page 15: Diktat geometri melukis sudut

3. Pada bidang frontal, tentukan titik yaang menjadi titik pertemuan antara garis frontal

dengan garis ortogonal.

4. Dengan menggunakan sudut surut dan ukuran garis ortogonal (langkah 2), buat garis

ortogonal.

5. Buat garis ortogonal lain.

6. Hubungkan titik-titik ujung dari garis ortogonal.

Contoh:

Lukislah kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 4 cm. Perbandingan proyeksinya ⅓, dan

sudut surutnya 450 serta bidang ABFE sebagai bidang frontalnya.

Langkah-langkah melukiskan kubus ABCD.EFGH di atas sebagai berikut.

1. Buat bidang frontal, yaitu bidang ABFE dengan ukuran 4 cm x 4 cm.

2. Salah satu garis ortogonal adalah AD, dengan panjang AD yang sebenarnya 4 cm.

Panjang AD pada lukisan = ⅓ x 4 cm = 1⅓ cm.

3. Titik A adalah titik pertemuan antara garis frontal AB dangaris ortogonal AD.

Pada titik A ini akan dibuat garis ortogonal dengan menggunakan busur derajat.

4. Letakkan titik tengah busur derajat berimpit dengan titik A.

Dari garis frontal AB, tentukan arah 450 berlawanan arah dengan jarum jam, beri tanda.

Tarik garis dari titik A ke tanda yang sudah diberi tadi, ukur dari titik A tersebut garis

sepanjang 1⅓ cm. Itulah garis AD.

5. Buatlah garis ortogonal lainnya yaitu, EH, BC, dan FG dengan ukuran 1⅓ cm.

6. Hubungkan titik D dengan titik C, titik C dengan titik G, titik G dengan titik H, dan

titik H dengan titik D, sehingga terbentuklah kubus ABCD.EFGH.

Contoh 2:

Diketahui kubus KLMN.PQRS berukuran 6 cm. Lukislah kubus tersebut dengan bidang

LMRQ sebagai bidang frontal, dengan perbandingan proyeksi ⅓ dan sudut surutnya 600.

Langkah-langkah melukis kubus KLMN. PQRS:

1. Bidang frontal adalah bidang ………., dengan ukuran ………….

2. Salah satu garis ortogonal adalah ……….. .

Panjang LK yang sebenarnya adalah ……….

Panjang LK pada lukisan adalah = ……..……..…….

3. Titik pertemuan garis frontal LM dengan gais orogonal LK adalah titik ……. .

15

Page 16: Diktat geometri melukis sudut

4. Letakkan titik tengah busur berhimpit dengan titik …..

Dari garis frontal horizontal LM. Ditentukan arah ……. berlawanan arah dengan arah

jarum jam, dan diberi tanda. Tarik garis dari titik L ke tampat yang telah diberi tanda

tadi. Ukur dari titik L garis sepanjang 2 cm dan beri nama titik …… .

5. Buat garis ortogonal yang lain yang sejajar dengan LK yaitu:………………………….

6. Hubungkan titik ……. dengan titik ……. ; titik ……. dengan titik ……. ; titik …….

dengan titik ……. ; dan titik ……. dengan titik ……. .

Latihan

Kerjakan latihan berikut ini!

1. Diketahui limas segiempat beraturan T.ABCD dengan ukuran alasnya 4 cm dan tinggi 6

cm. Titik K berada di tengah-tengah AD dan titik L berada di tengah-tengah BC. Bidang

KLT sebagai bidang frontal, garis KL sebagai garis frontal horizontal dengan sudut surut

600 dan perbandingan proyeksinyaa ½. Lukislah limas tersebut.

2. Diketahui bidang empat beraturan T.ABC dengan TA = AB = 4 cm, D pertengahan rusuk

BC. Lukislah bidang empat tersebut dengan bidang TAD frontal, AD horizontal, sudut

surut 60o , dan perbandingan orthogonal

34 .

Teorema 2:

Dua segitiga akan kongruen jika satu sisi yang seletak sama panjang dan dua sudut yang

seletak pada sisi tersebut sama besar. (Sd – S – Sd).

Teorema 3 :

Dua segitiga akan kongruen jika satu sisi yang seletak sama panjang dan dua susut yang

seletak sama besar (S – Sd – Sd)

Teorema 4 :

Dua segitiga akan kongruen jika ketiga sisi yang seletak sama panjang (S – S – S).

Latihan!

1. Buktikan dalil-dalil kesebangunan segitiga.

2. Buktikan Teorema 2 kekongruenan segitiga.

16

Page 17: Diktat geometri melukis sudut

3. Buktikan Teorema 3 kekongruenan segitiga.

4. Buktikan Teorema 4 kekongruenan segitiga.

5. Misalkan ABC PQR dan PQR DEF, buktikanlah bahwa ABC DEF

6. Perhatikan Gambar 3-4 di bawah ini.

P Q

O

S R

Gambar 3-4

Jika PQ = 4 cm dan OQ = 3 cm, tentukanlah panjang OS, SR, dan OR.

7. B

E F

A D C Gambar 3-5

Perhatikan Gambar 2-5 di samping.

Diketahui : AB = AC, AD = 4 cm, dan BD = 3 cm

a. Buktikan bahwa :

i . ABD ACE

ii. BFE CFD

b. Tentukanlanh panjang AB, AC, DC, CE, AE, DF.

3. Garis-garis Istimewa dalam Segitiga

1. Garis tinggi

Garis tinggi suatu segitiga adalah garis yang membagi tegak lurus sisi di depan titik

sudut segitiga tersebut.

Perhatikan ABC di samping, dan buktikanlah

bahwa ketiga garis tinggi dalam ABC tersebut

melalui satu titik.

Bukti :

Perhatikan ABC pada Gambar di samping.

Melalui titik A, B, dan C ditarik garis-garis yang

masing-masing sejajar dengan sisi dihadapan titik

sudut itu. Apabila garis-garis itu berpotongan di

D C F Q R O A P B

17

Page 18: Diktat geometri melukis sudut

D, E, dan F, maka DE // CB, EF // AC, DF // AB.

Perhatikan segi-4 ABFC.

AB // CF, AC // BF ABFC adalah jajargenjang

AB = CF

Analog untuk segi-4 ABCD dan segi-4 ACBF,

sehingga didapat : ..... = ..... dan ..... = .....

CE = .... = .... C ................................. DF

Analog : A ................................. DE

B ................................. EF

Berdasarkan sifat di atas, maka didapat bahwa

OD = ......, OE = ......, dan OF = .......

Karena O AQ, O BR, dan O CP dan AQ,

BR, dan CP adalah garis tinggi pada ABC,

maka terbukti bahwa AQ, BR, dan CP melalui

satu titik, yaitu titik O.

E

(Gunakan sifat berikut : “

Diketahui ruas garis AB. Jika

ada sebuah garis g yang melalui

titik tengah dan tegak lurus ruas

garis itu, maka x g, berlaku

XA = XB”)

2. Garis berat

Garis berat suatu segitiga adalah garis yang membagi dua sama panjang sisi di depan

titik sudut tersebut. Perhatikan ABC pada gambar di bawah ini.

C

E P’ D

P

A F B

Buktikanlah :

Ketiga garis berat dalam ABC di atas melalui satu titik, yang disebut titik berat segitiga.

Bukti :

18

Page 19: Diktat geometri melukis sudut

Perhatikan ABC di atas.

AD dan BE adalah garis berat dalam ABC BD = DC dan AF = BF.

Misalkan AD dan BE berpotongan di P, akan dibuktikan bahwa CF juga akan melalui P.

Perhatikan CED dan CAB.

CE : CA = CD : CB = 2 : 1 (...................................)

Akibatnya AB // ED dan ED : AB = CE : CA = 1 : 2.

DEP = ABP dan EPD = APB (................................................)

EPD .... APB.

Akibatnya EP : PB = ED : AB = 1 : 2 = DP : AP.

Misalkan CF adalah garis berat yang melalui C dan memotong EB di P’, maka dengan

cara yang sama dapat dibuktikan bahwa EP’ : P’B = 1 : 2.

Dengan demikian diperoleh EP =

13 EB dan EP’ =

13 EB atau .... = .....

Jadi terbukti bahwa CF adalah garis berat yang memotong EB di P.

3. Garis bagi

Garis bagi suatu segitiga adalah garis yang membagi dua sudut segitiga menjadi dua

bagian yang sama besar. Perhatikan ABC pada gambar berikut.

C

E D

X

o o * A B

Karena Garis AD adalah garis bagi dari BAC, maka semua titik pada AD letaknya

sama jauh dari AC dan AB (Mengapa ?).

Karena Garis BE adalah garis bagi dari ABC, maka semua titik pada BE letaknya sama

jauh dari BA dan BC (Mengapa ?).

19

Page 20: Diktat geometri melukis sudut

Misalkan AD dan BE berpotongan di titik X, maka berarti X letaknya sama jauh dari AC

dan AB dan juga dari BA dan BC (Mengapa ?).

Jadi X letaknya sama jauh dari CA dan CB, yang berarti bahwa X terletak pada garis bagi

dari ACB atau CX adalah terletak pada garis bagi dari ACB.

Dengan demikian terbukti bahwa ketiga garis bagi ini melalui pada satu titik.

Latihan!

1. Dalam sebuah ABC, BD dan AE adalah garis-garis berat yang masing-masing melalui

titik sudut B dan A. Buktikan bahwa garis DE // AB.

2. Dalam sebuah ABC, BD dan AE adalah garis-garis berat yang masing-masing melalui

titik sudut B dan A. Kedua garis berat ini berpotongan di titik Z. Buktikan bahwa :

a) DE =

12 AB

b) AZ : ZE = BZ : ZD = 2 : 1

3. Perhatikan Gambar 3-6 berikut.

H

C

D o o

A B E

Gambar 3-6

Misalkan pada ABC di atas, AD adalah garis bagi dari BAC, BE adalah garis bagi

dari sudut luar CBF dan CH adalah garis bagi dari sudut luar GBC. Buktikan bahwa

ketiga garis bagi ini akan berpotongan pada satu titik.

4. Buktikan bahwa garis tinggi suatu segitiga sama kaki akan membagi segitiga menjadi dua

segitiga yang kongruen.

5. Garis tinggi pada hipotenusa suatu segitiga siku-siku sama kaki sama dengan setengah

panjang hipotenusanya. Buktikan !

6. Buktikan bahwa kedua garis bagi sudut alas suatu segitiga sama kaki sama panjang.

20