E. Del Re – Elaborazione Numerica dei segnali 1

ELABORAZIONE NUMERICA DEI SEGNALI

E. Del Re – Elaborazione Numerica dei segnali 2

DIGITALIZZAZIONE DEI SEGNALI

E. Del Re – Elaborazione Numerica dei segnali 3

Conversione analogico - digitale

A/DXa(t) x(nT)

DIGITALIZZAZIONE DEI SEGNALI

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Campionamento Quantizzazione

x(nT)Xa(t)

TQ

segnale segnale( tempo-)continuo

( tempo-)discreto

segnalenumerico o digitale

Due operazioni:

XC(nT)

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Campionamento:

in teoria può non introdurre distorsione sul segnale

Quantizzazione:

introduce comunque un errore (errore di quantizzazione)

E. Del Re – Elaborazione Numerica dei segnali 6

L'elaborazione numerica dei segnali

consiste nell'applicare una sequenza

opportuna di operazioni aritmetiche o

logiche (algoritmo) sui numeri che

rappresentano i valori x(nT)

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Vantaggi• Flessibilità:

estesa gamma di operazioni e facilità di memorizzazione di numeri ( nuove possibilità di elaborazione, es. FFT,...);riprogrammabilità.

• Precisione:aumenta con il numero di bit usati per la rappresentazione dei numeri

• Riproducibilità:migliore che in realizzazioni analogiche

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Realizzazioni circuitali:VLSI (Very Large Scale Integration ) sia con logica dedicata (hardware dedicato) sia con logica programmabile (DSP)

• Compatibilità:maggiore con i sistemi già numerici (es. comunicazioni numeriche, dati,...)

• Assenza di invecchiamento dei componentie ridotti effetti termici

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limitata dalla complessità algoritmica e dalla tecnologia

Svantaggi

• Velocità di elaborazione:

• Consumi di potenza (che possono essere ridotti con opportuni accorgimenti)

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CAMPIONAMENTO IDEALE

Campionamento ideale

Ideale:tempo istantaneo di chiusura dell'interruttore con passo di campionamento T (frequenza di campionamento fc )

a(t) (nT)x x

Xa(f) T = 1 Xc (f)f c

c

T

E. Del Re – Elaborazione Numerica dei segnali 11

Relazioni tempo-frequenza (Trasformata di Fourier)

segnale continuospettro

(T.F. diretta)

(T.F. inversa)

t

xa (t)

x t X f e dfa aj f t( ) ( )= ∫−∞

+∞ 2π

Xa f xa t e j f tdt( ) ( )= −∞+∞∫

− 2π

t f

Xa (f)

E. Del Re – Elaborazione Numerica dei segnali 12

Segnale discreto

X f x nT ec cj f nT

n( ) ( )= ∑ −

=−∞

+∞ 2π T.F. diretta

= ∑ −

=−∞

+∞x nT ec

j F n

n( ) 2π

= X Fc ( )

F fT ffc

= = frequenza normalizzata

E. Del Re – Elaborazione Numerica dei segnali 13

T. F. inversax nT T X f e dfc cT

T j f nT( ) ( )/

/= ∫

−1 2

1 2 2π

= ∫−

X F e dFcj F n

1 2

1 2 2

/

/( ) π

= ∫ X F e dFcj F n

0

1 2( ) π

xc (f)xc(nT)

0 1-1 -1 0 1 1

PERIODO

n-1 0 1 2 3 f−

12T

0 12T

−12

12

F1

1T

E. Del Re – Elaborazione Numerica dei segnali 14

Xc(f) non sempre esiste (serie non convergente)

Osservazioni

Dimensioni diverse per Xa (f) e Xc(f)

Condizione sufficiente:x nTc∑ < ∞( ) ( serie assolutamente sommabile)

Xc (f) periodica di periodo fc = 1/T, ovveroXc (F) periodica di periodo 1

E. Del Re – Elaborazione Numerica dei segnali 15

Banda base ( o banda utile) del segnale campionato:

per definizione quella compresa fra:

f f ovvero Fc≤ ≤2

12

E. Del Re – Elaborazione Numerica dei segnali 16

Relazione fra Xc(f) e Xa(f)

(Teorema del campionamento)

Xc(f) somma di un numero infinito di replichedello spettro di xa(t), ciascuna traslata di unmultiplo della frequenza fc

X fT

X f k fc k

a c( ) ( )= ∑ −=−∞

+∞1

E. Del Re – Elaborazione Numerica dei segnali 17

k=0

k=1

k=2

xa (f)

xc (f)

N.B.: può presentarsi il fenomeno detto aliasing o sovrapposizione spettrale

fc

fc

2fc

E. Del Re – Elaborazione Numerica dei segnali 18

c

Condizione di assenza di distorsioni da aliasing

1) segnale limitato in banda BX f per f Ba ( ) = >0

2) fc > 2B

(1 e 2) repliche disgiunte in frequenza

E. Del Re – Elaborazione Numerica dei segnali 19

-B Bf

B fc - B fc + Bfc

Banda di guardia: fc - 2BSe 1 o 2 non sono verificate:parziale o totale sovrapposizione delle repliche (distorsione spettrale dovuta al campionamento)

2 fc

Xa (f)

Xc (f)

E. Del Re – Elaborazione Numerica dei segnali 20

Esempio

Segue dal teorema del campionamento che campionando a fc i due segnali continui mostrati:

segnale continuo segnale discreto

f1 f2 f1 f2

f1 f3

fc2

fc

2f

f

f

E. Del Re – Elaborazione Numerica dei segnali 21

se

dopo il campionamento le frequenze f2 e f3sono indistinguibili

Osservazione

tutte le frequenze oltre fc /2 sono ribaltatenella banda base

f f f fc c3 22 2− = −

E. Del Re – Elaborazione Numerica dei segnali 22

Formula di ricostruzionePer ottenere il segnale continuo dai suoi campioni, nel caso di assenza di distorsione:

x t x nT f t nTf t nTa

nc

cc

( ) ( ) sen ( )( )

= ∑−

−=−∞

+∞ ππ

che equivale alla realizzazione (ideale):

E. Del Re – Elaborazione Numerica dei segnali 23

Osservazione: i campioni sono una rappresentazione equivalente del segnale analogico

Xc (f)

B fc

Xc (f)

fc

2

1

fc /2

filtro passa-basso ideale

xc (nT) xa (t)

-B B

Xa (f)

ff( a meno del fattore di scala 1/T)

f

E. Del Re – Elaborazione Numerica dei segnali 24

CAMPIONAMENTO DI SEGNALI ALEATORI

x(t) segnale aleatorio• x (nT) ha la stessa densità di probabilità di xa (t)

• segnali stazionari in senso lato

{ }E x nT m mediac x( ) =

{ }E x nT x nT mT r mTc c x( ) ( ) ( )+ =

autocorrelazionerx(mT) corrisponde al campionamento dellaautocorrelazione continua r ( )τ di x(t)

E. Del Re – Elaborazione Numerica dei segnali 25

• Spettro di potenza Gx(f) di xc(nT)

Gx(f) è la Trasformata di Fourier di rx(mT)

Se Ga(f) è lo spettro di potenza di xa(t),cioè la trasformata di Fourier di

G fT

G f k fxk

a c( ) ( )= ∑ −=−∞

∞1

• Sequenze stazionarie ed ergodiche

Quelle per cui coincidono le medie temporali e le medie di insieme

r ( )τ , si ha

E. Del Re – Elaborazione Numerica dei segnali 26

G f te rx x( ) costan ( )= = 0

• Sequenze a spettro bianco

σ x2

r mT r mTx x( ) ( ) ( )= 0 δ

• Potenza di una sequenza ( a media nulla)

{ }S E x nT rx c x= =2 0( ) ( )

che coincide con la varianza della sequenza

E. Del Re – Elaborazione Numerica dei segnali 27

CAMPIONAMENTO DIRETTO DI SEGNALI IN ALTA FREQUENZA

Possiamo distinguere due casi

Caso 1

xa(t)

xc(nT)

fc2

fc f

Tfc

=1 f

E. Del Re – Elaborazione Numerica dei segnali 28

ESTENSIONE:

se la banda del segnale xa(t) è compresa fra

2)1(

2cc fkffk +≤≤ k dispari

si ha assenza di sovrapposizione spettrale delle repliche ( assenza di distorsione spettrale)

E. Del Re – Elaborazione Numerica dei segnali 29

xa(t)

xc(nT)

fc2

fc ffc32

f

Tfc

=1

Caso 2

E. Del Re – Elaborazione Numerica dei segnali 30

ESTENSIONE:

se la banda del segnale xa(t) è compresa fra

si ha ancora assenza di distorsione spettrale del segnale campionato

k pari2

)1(2

cc fkffk +≤≤

E. Del Re – Elaborazione Numerica dei segnali 31

Per questi tipi di segnali si può campionare alla frequenza fc , senza distorsione

fc da scegliere in modo che la banda del segnale sia compresa fra due multipli interi consecutivi di fc /2

a(t) (nT)x x

T = 1fc

c

T

E. Del Re – Elaborazione Numerica dei segnali 32

Osservazione

Nel caso 1 (k dispari) la replica dello spettro in banda base è invertita rispetto a quella nella banda originaria

Nel caso 2 (k pari) la replica dello spettro in banda base non è invertita rispetto a quella nella banda originaria

E. Del Re – Elaborazione Numerica dei segnali 33

Formula di ricostruzione

f k fc0

2 12 2

=+

)(2cos2)(

2/)()()( 0 nTtf

TntfnTtfsen

nTxtxc

cc

na −

−

−=∑

+∞

−∞=

πππ

frequenza di centro banda

E. Del Re – Elaborazione Numerica dei segnali 34

1

f1

filtro passa-banda ideale

xc(nT) xa(t)

f k fc2 1

2= +( )

f k fc1 2=

f2 f

ovvero

E. Del Re – Elaborazione Numerica dei segnali 35

CAMPIONAMENTO COMPONENTI I E Q

xa(t)

f0 f- f0

BB f≤ 2 0

x t a t f t b t f ta ( ) ( ) cos ( )sen= −2 20 0π π

a(t) componente Ib(t) componente Qa tb t

A fB f

per f B( )( )

( )( )

⇔⇔

⎫⎬⎭≠ ≤0

2

E. Del Re – Elaborazione Numerica dei segnali 36

METODO TRADIZIONALE

a(t)x T

TH(f)

H(f)a(nT)

b(nT)

fc = 1/T = B− 2 2 0sen π f t

H(f) filtro passa-basso f B≤

2

2 2 0cos π f t

E. Del Re – Elaborazione Numerica dei segnali 37

Problemi:• filtri identici nei due rami • moltiplicatori identici (analogici)• sinusoidi esattamente sfasate di 90°

(generate analogicamente)

E. Del Re – Elaborazione Numerica dei segnali 38

METODO CON fC = 4 f0(MOLTO VANTAGGIOSO !)

x nT a nT f nf

b nT f nfc ( ) ( )cos ( )sen= −2

42

400

00

π π

= −a nT n b nT n( )cos ( ) senπ π2 2

[ 1,0,-1,0] [0,1,0,-1]

E. Del Re – Elaborazione Numerica dei segnali 39

a(t)x

fc = 1

T

+ / -

n dispari

+ / -n pari

T

a nT x nTn

c( ) ( ) ( )= −1 2

b nT x nTn

c( ) ( ) ( )= −+

11

2

E. Del Re – Elaborazione Numerica dei segnali 40

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 n

n

n

xa(nT)

a(nT)

n pari

b(nT)

n dispari

E. Del Re – Elaborazione Numerica dei segnali 41

Realizzazione

Si deve convertire il segnale xa(t) ad unafrequenza intermedia f0 e poi campionarlo afc = 4f0

ff2cf0 f = 4fc 0

a(nT) sottosequenza pari a segni alternib(nT) sottosequenza dispari a segni alterni

E. Del Re – Elaborazione Numerica dei segnali 42

Osservazioni

1. I e Q correttamente campionate a

f1

2Tf2 2f Bc

' c0= = = ≥

2. I e Q non allineate temporalmente (mapossono essere allineate con un’operazione diinterpolazione)

E. Del Re – Elaborazione Numerica dei segnali 43

• Generalizzazione (usata in pratica)

fc = 4 f0 / (2k+1) , k intero

fc > 2B

E. Del Re – Elaborazione Numerica dei segnali 44

CAMPIONAMENTO REALE

Due contributi:

1. Aliasing o ripiegamento dello spettro

2. Tempo non istantaneo di campionamento(aperture time del S/H)

E. Del Re – Elaborazione Numerica dei segnali 45

1. Ripiegamento dello Spettro e Filtro di antialiasing

Il filtro di antialiasing limita la banda del segnale in modo da ridurre la distorsione spettraleFiltro di antialiasing = passa basso non ideale

segnale dacampionare

Filtro di antialiasing

a(t)x

T

x (nT)

ft

E. Del Re – Elaborazione Numerica dei segnali 46

Ga (f)

fS/2 D/2

fc /2

E. Del Re – Elaborazione Numerica dei segnali 47

Distorsione armonica introdotta dal campionamento

in generale

D (f) 1T

G (f k f ) f f2c

k 0a c

c= − <≠∑

Se verificate le condizioni 1) e 2) di assenza di sovrapposizione spettraleDc (f) = 0Altrimenti D (f) 0c ≠

E. Del Re – Elaborazione Numerica dei segnali 48

SD

Potenza del segnale utilePotenza della distorsione

=

Si può definire un rapporto segnale/distorsione di campionamento

ST

G f dff

ac

= ∫2

0

2/( )

D D f dff

cc

= ∫20

2/( )

E. Del Re – Elaborazione Numerica dei segnali 49

a(t) (nT)x x’c

T

t0

p(t)P f f

f( ) sen

=π τ

π τ

τ1τ

x nT x t dtcnT

nTa

'

/

/( ) ( )= ∫

−

+1

2

2

τ τ

τinvece di xc (nT)

[ ]= ∗ =x t p ta t nT( ) ( )

2. Tempo di campionamento non istantaneo

E. Del Re – Elaborazione Numerica dei segnali 50

Si campiona un segnale con spettro Xa (f) P(f) [invece di Xa (f)]

P(f)

B

Xa(f)

1τ

2τ

f

f

Xc(f)

fc

E. Del Re – Elaborazione Numerica dei segnali 51

Conclusione

Il campionamento di un segnale mediante un impulso di durata non nulla può essere trattato come il campionamento ideale del segnale filtrato dallo spettro dell’impulso di campionamento.

Conclusione valida per qualsiasi P(f)Se effetti trascurabili Altrimenti se ne deve tenere conto

τ << Τ

E. Del Re – Elaborazione Numerica dei segnali 52

OSSERVAZIONE

Questo effetto è più sensibileper il campionamento di segnali in alta frequenza.

E. Del Re – Elaborazione Numerica dei segnali 53

Altrimenti si compensa la distorsione con un filtro con risposta nella banda utile del

segnale del tipo

1P f

ff

f B( ) sen

= ≤π τπ τ

Nel caso di impulso rettangolare lo spettro del segnale campionato viene

distorto da una funzione

P f ff

( ) sen=

π τπ τ

spesso trascurabile se piccolo.τ

E. Del Re – Elaborazione Numerica dei segnali 54

a) prima del campionamento (compensazione analogica)

1

P(f)

xa (t) xc (nT)Campionatore

reale

Filtro analogico(può essere inclusonel filtro di antialiasing)

b) dopo il campionamento (compensazione digitale)

1

P(f)

xa (t) xc (nT)Campionatore

reale

Filtro numerico(è sufficiente nella bandadel segnale di ingresso)

E. Del Re – Elaborazione Numerica dei segnali 55

RICOSTRUZIONE REALE

Conversione digitale - analogica (D/A)

xa’ (t)xc (nT) Formatore

d’impulsiFiltropassa-basso(0 , fc /2)

y(t)

[ ]y t x nT t nT q tn

c( ) ( ) ( ) ( )= ∑ − ∗=−∞

+∞δ

nT nT+T t nT nT+T t

τ

E. Del Re – Elaborazione Numerica dei segnali 56

q(t) =

τ

t

1

0

Q f ff

( ) sen= τ π τ

π τ

E. Del Re – Elaborazione Numerica dei segnali 57f

f

1τ

2τ

f

| Q(f) |

fc 2fc

ffc 2fc

| Y(f) |

| Xc (f) |

|Xa‘ (f)|

E. Del Re – Elaborazione Numerica dei segnali 58

Distorsione che può essere compensata come nel caso del campionamento non istantaneo

COMPENSAZIONE ANALOGICAIncludere la funzione 1/Q(f) nel filtro analogico passa-basso di ricostruzione

COMPENSAZIONE DIGITALEFar precedere al blocco formatore di impulsi (e quindi al convertitore D/A) un filtro numerico con risposta in frequenza 1/Q(f)

E. Del Re – Elaborazione Numerica dei segnali 59

OSSERVAZIONE

Effetto più sensibile per la ricostruzione di segnali in alta frequenza con filtri passa-banda

E. Del Re – Elaborazione Numerica dei segnali 60

QUANTIZZAZIONE

E. Del Re – Elaborazione Numerica dei segnali 61

Campionamento Quantizzazione

x(nT)Xa(t)

TQ

segnale segnale( tempo-)continuo

( tempo-)discreto

segnalenumerico o digitale

Due operazioni:

XC(nT)

E. Del Re – Elaborazione Numerica dei segnali 62

QUANTIZZAZIONE

QXc (nT) x(nT)

E. Del Re – Elaborazione Numerica dei segnali 63

Quantizzazione uniformearrotondamento

q 2q 3q

2q

q

3q

q passo di quantizzazione

xc (nT)

x(nT)

E. Del Re – Elaborazione Numerica dei segnali 64

Errore di quantizzazione

e nT x nT x nTc( ) ( ) ( )= −ovvero

x nT x nT e nTc ( ) ( ) ( )= +

e nT q arrotondamento( ) ≤2

0 ≤ <e nT q troncamento( )

E. Del Re – Elaborazione Numerica dei segnali 65

Modello dell’errore di quantizzazione( comunemente assunto)

e(nT): segnale aleatorioindipendente da xc (nT) e quindi da x(nT)

densità di probabilità uniformemente distribuita: es.arrotondamento

2q

−2q

q1

e0

bianco

valor medio: 0 arrotondamentoq/2 troncamento

varianza: σ e q

q

eq

de q2 2

2

221

12= =

−∫

E. Del Re – Elaborazione Numerica dei segnali 66

Densità spettrale di potenza

G f q ovvero G F qe e( ) ( )= =

2 2

12 12

Potenza dell’errore di quantizzazione

N G F dF qq e= =

−∫ 12

12

2

12( )

E. Del Re – Elaborazione Numerica dei segnali 67

Valutazione critica del modello

Controesempi banali di non validità del modello

Es.: - segnale costante- sinusoide con frequenza sottomultipla della frequenza di campionamento

- onda quadra- molti segnali deterministiciecc.

E. Del Re – Elaborazione Numerica dei segnali 68

Si può supporre valido se il segnale èsufficientemente “complicato”: per esempio se da campione a campione attraversa diversi livelli di quantizzazioneed in modo “apparentemente” non deterministicoModello adeguato nella maggior parte dei segnali di interesse

Modello matematicamente trattabile

E. Del Re – Elaborazione Numerica dei segnali 69

Rapporto segnale - rumore di quantizzazione

B bit (compreso il segno): 2B livelli

2 1 22

( )± ⇒ =q BDinamica quantizzatore

(in uscita)

SNR SN

Potenza del segnalePotenza err di quantizzazioneq

q= = =

.

= =S

qS B

22

123 2

/

( ) . .SNR B Sq dB dB= + +6 02 4 77

Ogni bit aggiunto fa aumentare SNRq di 6.02 dB

(dB)

E. Del Re – Elaborazione Numerica dei segnali 70

Segnale sinusoidale (val. max = 1, S=1/2)

( ) . .SNRq dB B= +6 02 1 76

Segnale gaussiano

Semi-Dinamica quantizzatore = =4 4σ S[ { } ]Pr ( ) .ob x nTc > ≅ −4 6 310 5σ

S =1

16

( ) . .SNR Bq dB = −6 02 7 27

(dB)

(dB)

E. Del Re – Elaborazione Numerica dei segnali 71

Esempi numericiSNRq(dB)B usoide gaussianosin

. .

. .

. .

. .

. .

. .

. .

. .

2 13 8 4 77

4 25 8 16 8

6 37 9 28 9

8 49 9 40 9

10 62 0 52 9

12 74 0 65 0

14 86 0 77 0

16 98 0 89 0

E. Del Re – Elaborazione Numerica dei segnali 72

Degradazione del rapporto segnale/rumore

QXc (nT) x(nT)

Segnale + rumore Segnale + rumore + err. quantizz.

S , Ni

SNR SN

SNR SN Ni

iuq

i q= =

+( )

S , Ni , Nq

E. Del Re – Elaborazione Numerica dei segnali 73

Ipotesi: rumore ed errore di quantizzazione incorrelati

1 1 1SNR SNR SNRuq i q

= +

degradazione

ΔdB i dB uq dBSNR SNR= −( ) ( )

Dati SNRi e B, si determina ΔdB

Dati SNRi e ΔdB si determina SNRq e quindi B.

E. Del Re – Elaborazione Numerica dei segnali 74

Esempio

Segnale con un dato rapporto segnale-rumore.Possiamo considerare SNRi come “equivalente”ad una ipotetica quantizzazione.

Domanda: quanti bit aggiuntivi rispetto a questa ipotetica quantizzazione devo aggiungere nel quantizzatore per avere una degradazione ?ΔdB

E. Del Re – Elaborazione Numerica dei segnali 75

ΔdB

3 0

1 1

0 27 2

0 067 3

0 016 4

0 004 5

0 001 6

+

+

+

+

+

+

.

.

.

.

.

bit aggiuntivi“rispetto all’ingresso”

E. Del Re – Elaborazione Numerica dei segnali 76

OsservazioneLa codifica dei livelli quantizzati deve essere fatta associando a ciascun livello il numero binario proporzionale al valore (ampiezza) del livello stesso (codifica lineare)

Quantizzazione uniforme + codifica lineare =quantizzazione lineare

L’elaborazione numerica dei segnali richiede una quantizzazione lineare

E. Del Re – Elaborazione Numerica dei segnali 77

Per esempio nella codifica CCITT PCM della voce a 64 kbit/s questo non e’ vero: la quantizzazione è di tipo logaritmico.

Se si deve elaborare il segnale vocale PCM occorre prima transcodificarlo in una quantizzazione lineare

8 bit PCM 13 ÷ 14 bit quant. lineare

E. Del Re – Elaborazione Numerica dei segnali 78

Rappresentazioni binarie più usate

Virgola fissamodulo e segnocomplemento a 2

Virgola mobile

E. Del Re – Elaborazione Numerica dei segnali 79

Caratteristiche delle rappresentazioni binarie

Generalmente in virgola fissa si usa la rappresentazione frazionaria perché non ha traboccamento nelle moltiplicazioni

Virgola fissa frazioni

Virgola fissa interi

Virgola mobile

Traboccam. con moltiplic.

NO SI Improbabile

Traboccam. con somme

SI (spesso ininfluente)

SI Improbabile

Errore nelle moltiplic.

SI NO SI Errore nelle somme

NO NO SI Dinamica moderata moderata enorme

Realizzazione semplice semplice complessa