digital communication2 สัญญาณและระบบ

_____________________________________________________________________________ DCMM-2/2551 บทท ๒ สญญาณและระบบ 1

บทท 2

สญญาณและระบบ Signal & System

2.1 สญญาณและประเภทของสญญาณ (Signal & Classification of Signal)

สญญาณกคอปรมาณทางกายภาพทมกไดรบการสงเกตหรอความสนใจ สญญาณอาจเปนไปไดในหลายรปแบบตงแต ความรอนหนาว ดนฟาอากาศ เสยงพด จนถงราคาหนในตลาดหน ซงโดยทางคณตศาสตรแลวสญญาณมกแทนดวยฟงกชนทมตวแปรอสระคอ t และในความหมายปกต t กคอเวลา ดงนนสญญาณจงมกเขยนโดย x(t) ในทางวศวกรรมไฟฟามกแทนสญญาณหรอ x(t) ดวยแรงดน v(t) หรอกระแส i(t) อยางไรกดเพอใหการประมวลสญญาณสามารถทจะกระทาไดโดยสะดวกจงมกมการเปลยนแปลงสญญาณทางกายภาพอน ๆ ใหอยในรปของสญญาณไฟฟา โดยอปกรณทเรยกวาเซนเซอร (Sensor) 1 และทรานสดวเซอร (Transducer)2

2.1.1 สญญาณทมความตอเนอง และสญญาณเตมหนวย

สญญาณ x(t) จะถอวาเปนสญญาณตอเนอง (Continuous-time Signal) เมอ t เปนตวแปรทมความตอเนอง ถาหาก t เปนตวแปรทไมตอเนองหรอตวแปรขาดชวง x(t) กจะเปนสญญาณขาดชวง (Discontinuous-time Signal) เมอสญญาณขาดชวงนยามในเวลาทขาดชวงโดยมขนาดเปนขนาดเตมหนวยกจะเรยกวาสญญาณเตมหนวย (Discrete-time Signal) โดยทขนาดเตมหนวยหมายถงวาการกาหนดขนาดนนจะกาหนดใหมคาเปนชวง ๆ ทไมมความตอเนอง (กคอการจดระดบสญญาณหรอ quantization นนเอง) ในบางครงสญญาณดงกลาวทเรยงกนมาตามอนกรมของเวลาจงมกนยามในลกษณะชดแถว (Sequence) ของตวเลข ซงเขยนโดย {x(n)} หรอ x[n] เมอ n คอเลขจานวนเตม เชน ]......[][ 752272002412522832=nx หมายความวาสญญาณทแทนดวน x นจะม

1 เซนเซอร (Sensor) จะเปลยนคาคณสมบตทางไฟฟา (เชนคาความตานทาน หรอคาความจไฟฟา) ตามการเปลยนแปลงทางกายภาพ 2 ทรานสดวเซอร (Transducer) คากระแส หรอแรงดนทกาเนดขนจะเปลยนแปลงตามการเปลยนแปลงทางกายภาพ

_____________________________________________________________________________ 2 การสอสารดจตอล C3-R.20081125

คาเรยงกนมาตามลาดบเวลา (ทหางกนเปนเวลาเทาไรกได) และลาดบของการเรยงกคอลาดบทแทนดวย n ดงนน n จงเปนเลขจานวนเตมบวกเสมอ

หากสญญาณทกาลงพจารณานนเปนสญญาณตอเนองจะไดวา

+− === ==000 tttttt )t(x)t(x)t(x (2.1)

สญญาณตอเนองจะมอนพนธทเปนสญญาณตอเนองเชนกน สญญาณทไมเขาเงอนไขดงกลาวนถอวาไมเปนสญญาณตอเนอง

x(t)

t

ก)

x(t)

t

ข)

รปท 2.1 แสดงสญญาณตอเนอง (ก) และสญญาณไมตอเนอง (ข)

2.1.2 สญญาณเชงอปมาน และสญญาณเชงเลข

หากสญญาณตอเนอง x(t) มคาอยในชวงเวลาทมความตอเนอง (a, b) ซง a อาจมคาลบอนนต (-∞) และ b อาจมคาบวกอนนต (+∞) สญญาณ x(t) นกจะเรยกวาสญญาณเชงอปมาน (Analog Signal) แตถาหากสญญาณนนขาดความตอเนอง (Discontinuous) โดยท x(t) มคาเปนชวง ๆ ของเวลา และเรยกวา x[n] ทมคาไดเพยงคาจากดทแตกตางกนเทานน (เชนขอมลไบนารกจะมคาเพยง 2 ระดบเทานน) สญญาณนนจะเรยกวาสญญาณเชงเลข (Digital Signal3)

เนองจากสญญาณขาดชวง x[n] มกจะไดจากการสมสญญาณตอเนอง x(t) จงได { } [ ]snTx)n(x = เมอ sT คอ ชวงเวลาการสมสญญาณ (Sampling Interval) ในสวนของเนอหาตอจากนจะเนนถงสญญาณตอเนองเปนหลก

3 คาวา digit มาจากภาษาลาตนโบราณ digita แปลวานวมอ


รปท 2.2 แสดงสญญาณเชงอปมาน (ก) และสญญาณเชงเลข (ข)

2.1.3 สญญาณจรง และสญญาณเชงซอน

สญญาณ x(t) เปนสญญาณจรง (Real Signal) เมอคาของสญญาณนนเปนเลขจานวนจรง (Real

number) และจะเปนสญญาณเชงซอน (Complex Signal) เมอคาของสญญาณนนเปนเลขจานวนเชงซอน (Complex number) ความจรงแลวสญญาณโดยทวไปเปนสญญาณจรง แตเพอความสะดวกในการวเคราะหจงมกพจารณาเปนสญญาณเชงซอนเสมอ

2.1.4 สญญาณทระบได และสญญาณทระบไมได

สญญาณทระบได (Deterministic Signal) กคอ สญญาณทสามารถทจะระบคาไดอยางแนนอนไมวาจะเปนเวลาใดๆ สวนสญญาณทระบไมได (Random Signal) กคอสญญาณทไมสามารถระบคาไดอยางชดเจน แตพอจะสามารถทจะแยกแยะหรอคาดคะเนได โดยวธการทางสถต

2.1.5 สญญาณทมคาบเวลา และสญญาณทไมมคาบเวลา สญญาณ x(t) จะเปนสญญาณทมคาบเวลา ถาหากมเลขจานวนบวก 0T ททาให

)()( txTtx =+ 0 (2.2)

คาบวกทนอยทสดของ 0T เรยกวาคาบเวลา (Period) และ 01 T/ เรยกวาความถมลฐาน (Fundamental Frequency, 0f ) โดยท

00

1T

f = เฮรทซ (2.3)

จากสมการท (2.2) จะไดวา

)t(x)nTt(x =+ 0 (2.4)


สญญาณอนใดทไมมคา T0 ทสอดคลองกบสมการท (2.2) กถอวาสญญาณนนเปนสญญาณทไมมคาบเวลา (Non Periodic or Aperiodic Signal)

x(t)

t

A

T 2T 3T0

รปท 2.3 ก) แสดงสญญาณทมคาบเวลา

-10 -5 0 5 10

-1

-0.5

0

0.5

1

t

x(t)=sin(t)+ 0.2*cos(5*t)

x(t)

0 20 40 60

-3

-2

-1

0

1

2

3

t

x(t)=sin(t)+ 0.04*t*cos(t/3)

x(t)

รปท 2.3 ข) แสดงสญญาณทมคาบเวลา ( )tcos(.)tsin()t(x 520+= ) และสญญาณทไมมคาบเวลา ( )/tcos(t.)tsin()t(x 3040+= )

ตวอยางท 2.1

จงหาวาสญญาณตอไปนเปนสญญาณมคาบหรอไม หากมจงหาคาบเวลา

ก) tsintcos)t(x 41

31

1 += ข) tsintcos)t(x 222 +=

วธทา ก) tsintcos)t(x 4

131

1 +=


สญญาณ tcos 31 มคาบเวลา คอ π= 23

T หรอ π= 6T และสญญาณ tsin 41 มคาบเวลา คอ

π= 8T ดงนนสญญาณ x1(t) จงควรมคาบเวลา4 π=ππ= 24861 ),(LCMT

ข) tsintcos)t(x 222 +=

สญญาณ tcos มคาบเวลา คอ π= 2T และสญญาณ tsin 2 มคาบเวลา คอ 2π=T ดงนนสญญาณ )(tx2 จงควรมคาบเวลา π=ππ= 22222 ),(LCMT แตเนองจาก 22 เปนเลขทศนยมไมรจบ จงถอวา )(tx2 เปนสญญาณไมมคาบเวลา

2.1.6 สญญาณพลงงาน และสญญาณกาลงงาน

คาสาระพลงงานนอมลไลซ (Normalized Energy Content: E) หรอเรยกสน ๆ วาพลงงาน ของสญญาณจะหาไดจาก

∫+∞

∞−= dt|)t(x|E 2 (2.5)

คากาลงงานเฉลยนอมลไลซ (Normalized Average Power: P) หรอเรยกสน ๆ วากาลงงาน ของสญญาณ กคอคาเฉลยของพลงงานของสญญาณในชวงเวลา T เมอ T อาจมคาไดสงสดคอ ∞→T โดยกาลงงานจะหาไดจาก

∫+

−∞→=

2

2

21 /T

/TTdt|)t(x|

TlimP (2.6a)

หรอโดยทวไปแลว สาหรบสญญาณทมคาบวลา T

∫+

=Tt

t

dttxT

P0

0

21 )( (2.6b)

สญญาณทสามารถจะหาคาพลงงานไดหรอ ∞<< E0 จะเรยกสญญาณนนวา สญญาณพลงงาน (Energy Signal) และสญญาณทสามารถจะหาคากาลงงานเฉลยไดหรอ ∞<< P0 จะเรยกสญญาณนนวา สญญาณกาลงงาน (Power Signal) ดงนนสญญาณทมคาบเวลายอมมกางานลงงาน (ทระบ

ได) เสมอ สงเกตวากาลงของสญญาณความถเดยวสามารถหาได คอ 2

2

0

22 2

21 AdttAP =π

= ∫π

)(cos

4 LCM = Least Common Multiplier = ตวคณรวมนอย ซงกคอตวเลขหรอจานวนทมคานอยทสดทตวเลขอน ๆ หารไดลงตว เชน LCM(3,7,9)=63, LCM 2864

ππππ =),,( ) และ LCM π== ππππ1964 ),,( ทงนไมควรสบสนกบตวหารรวมมาก (Great Common

Divider: GCD) เชน GCD(4,6,8)=2, GCD(4,6,9)=1 และ GCD(3,7,9)=1


ตวอยางท 2.2

พจารณาวา สญญาณตอไปน เปนสญญาณพลงงานหรอสญญาณกาลงงาน

ก) tsinA)t(x m= ข) [ ] 0>−−+= a,)at(u)at(uB)t(x ค) 0>β= β− ,e)t(x t

ง) )t(u)t(x = จ) )t(tu)t(x =

x(t)

t

10>β= β− ,e)t(x |t|

t

x(t)

Am

tsinA)t(x m=

-2

2

B

0-a +a

x(t)

t

)]at(u)at(u[B)t(x −−+=

x(t)

1

0

t

)t(u)t(x =

x(t)

t

)t(tu)t(x =

วธทา ก) tsinA)t(x m= ซงจะเหนวาเปนสญญาณมคาบเวลา π= 2T ทาใหหาคากาลงงานเฉลยได โดย

[ ]

221

2

211

22

0

2

2

0

22

0

2

mm

m

T

AdttA

dttAdttxT

P

=−π

=

π==

∫

∫∫π

π

)cos(

sin)(

ข) [ ] 0>−−+= a,)at(u)at(uB)t(x ซงจะเหนวาเปนสญญาณชวงเวลาแนนอน ทาใหหาคาพลงงานได โดย

[ ] 222 2aBdtBdttxEa

a

=== ∫∫+

−

+∞

∞−

)(


ค) 0>β= β− ,e)t(x |t| ซงจะเหนวาเปนฟงกชนสมมาตรท 0=t คอ ⎪⎩

⎪⎨⎧

<

>= β

β−

00

tete)t(x t

t

และหาคาพลงงานได โดย

[ ]

∫

∫∫∞+

β−

+∞

∞−

β−+∞

∞−

β==

==

0

2

22

12 dte

dtedttxE

t

t||)(

ซง ∞<E จงได )t(x เปนสญญาณพลงงาน

ง) )t(u)t(x =

[ ] ∫∫+∞+∞

∞−

∞===0

2 1dtdttxE )(

[ ]

21

2111

1

2

0

2

0

2

===

=

∞→

+

∞→

+

∞→

∫

∫T

Tdt

T

dttxT

P

T

T

T

T

T

limlim

)(lim

/

/

จะเหนวา ∞=E และ 21=P ซง ∞<P สญญาณ )t(x จงเปนสญญาณกาลงงาน

จ) )t(tu)t(x =

[ ] ∫∫+∞ ∞+∞

∞−

∞====0

0322 3TdttdttxE )(

[ ]

∞===

=

→∞

+

→∞

+

→∞

∫

∫

311

1

32

0

2

2

0

2

TT

dttT

dttxT

P

T

T

T

T

T

limlim

)(lim

/

/

จะเหนวา ∞=E และ ∞=P สญญาณ )t(x จงไมเปนสญญาณพลงงานและไมเปนสญญาณกาลงงาน

ขอสงเกต (1)

สญญาณเชงซอน (Complex signal) อาจแสดงไดดวย

)()( φ+ω= tjAetx (2.7)


ซง

tjjtj eAeAetx ωφφ+ω ⋅== )()( (2.8)

เพราะวา ∑∞=

=

=n

n

nx

nxe

0 ! จงได 5 6

)sin()cos(

.)..!

)(!

)()(()(

φ+ω+φ+ω=

+φ+ω

+φ+ω

+φ+ω

+=φ+ω

tjAtA

tjtjtjAAe tj

3211

3322

(2.9)

โดยทมขนาด คอ

AttAtx =φ+ω+φ+ω= )(sin)(cos|)(| 22 (2.10)


สญญาณทมคาบเวลาสามารถทจะหาคาเฉลย และคาอารเอมเอส (RMS: Root Mean Square) ไดจาก

∫=T

avg dt)t(xT

x0

1 (2.11)

และ

∫=T

Trms dt|)t(x|x0

21 (2.12)


สญญาณใด ๆ ทมคาบเวลา สามารถทจะเขยนใหอยในรปอนกรมฟรเยร (Fourier Series) ได


สญญาณใด ๆ จะถอวาเปนสญญาณมเหต (Causal signal) หรอถกสรางขนมา เมอสญญาณนนปรากฏทเวลาเทากบหรอมากกวาศนย เชน หาก y(t) เปนสญญาณมเหต

⎩⎨⎧

<≥

=000

tfortfor)t(x

)t(y (2.13)

5 ....cos !! −+−= 4

412

211 xxx

6 ....xxxxsin !! −+−= 5513

31


สญญาณคลนรปซายน )tsin()t(x ω= เปนสญญาณปรากฏอยตลอดหรอทกคาของเวลา ดงนนจงถอวาเปนสญญาณไมมเหต (non-causal signal)

2.2 ระบบและการแบงระบบ System and System Classification

ระบบคอ แบบจาลองของกระบวนการทางกายภาพทเชอมโยงสญญาณเขา (แหลงจายหรอสญญาณเขา) ไปยงสญญาณออก (หรอสญญาณทตอบสนอง)

เมอให x(t) เปนสญญาณเขา และ y(t) สญญาณออกจากระบบ ดงนนระบบกสามารถทจะมองไดเปนการจบคจาก x(t) ไปยง y(t) ซงอาจเขยนไดคอ

[ ])t(x)t(y ℜ= (2.14)

2.2.1. ระบบทตอเนองทางเวลาและระบบทไมตอเนองทางเวลา หากวาสญญาณเขาและสญญาณออก x(t) และ y(t) เปนสญญาณทมความตอเนองทางเวลาแลว ระบบนนจะถอวาเปนระบบทตอเนองทางเวลา (Continuous-time system) แตถาหาก x(t) และ y(t) เปนสญญาณทไมมความตอเนองแลว ระบบนนกจะเปนระบบทไมตอเนองทางเวลา (Discrete-time system) หวขอทจะกลาวตอไปนจะถอวาระบบเปนระบบทมความตอเนองทางเวลา

2.2.2. ระบบเชงเสน

ตวทางาน ℜ ในสมการ (2.14) หากสอดคลองกบเงอนไข 2 ขอขางลางนแลวจะเรยกวา ℜ เปนตวทางานเชงเสน (Linear operator) และระบบทกลาวแทนดวย ℜ จะเรยกวาระบบเชงเสน (Linear

system) โดมคณสมบตทสาคญ คอ

1) การบวกกนของสญญาณ x1(t) และสญญาณ x2(t)

( ) ( )[ ] =+ txtx 21 ( )[ ]+tx1 ( )[ ] ( ) ( )tytytx 212 += (2.15)

2) ความเปนเอกพนธ

( )[ ] atax = ( )[ ] ( )taytx = (2.16)

สาหรบสญญาณเขา x(t) ทกรปแบบและสเกลา a


กลาวไดวาระบบใดทไมสอดคลองกบสมการ (2.15) และ/หรอ สมการ (2.16) กจะเรยกวาเปนระบบทไมมความเปนเชงเสน (Nonlinear system)

2.2.3. ระบบเวลาไมเปลยนแปร

ระบบทสอดคลองตามเงอนไขตอไปนจะเรยกวาเปนระบบทไมเปลยนตามเวลาหรอระบบคงท (Time-invariant system, Fixed system) หรอระบบเวลายนยง

( ) [ ])tt(xtty 00 −ℜ=− (2.17)

เมอ 0t เปนตวคงททมคาจรงใด ๆ สมการ (2.17) จะแสดงใหวาการประวงของสญญาณเขาทาใหเกดการประวงทางออกเชนกน

สวนระบบทไมสอดคลองตามเงอนไขในสมการ (2.17) นน ถอวาเปนระบบทเปลยนตามเวลา (Time-varying system)

2.2.4 ระบบเชงเสนเวลาไมเปลยนแปร

พจารณาระบบเวลาตอเนอง ซงมอนพทเปน x(t) และใหเอาทพท y(t) ระบบดงกลาวจะเปนระบบเชงเสน (Linear) เวลาไมเปลยนแปร (Time invariant, เวลายนยง) Liner Time Invariant

Continuous System: LTI, LTC เมอระบบดงกลาวมคณสมบตดงน

รปท 2.4 การแทนระบบเชงเสนเวลาไมเปลยนแปร

1. คณสมบตเชงเสน (Linearity)

ระบบจะมคณสมบตเชงเสนเมอสญญาณอนพท )t(bx)t(ax)t(x 21 += สาหรบคาคงท a และ b

ใด ๆ ทาใหไดเอาทพท )t(by)t(ay)t(y 21 +=


รปท 2.5 คณสมบตการเปนเชงเสนของระบบเชงเสนเวลาไมเปลยแปร

2. คณสมบตเวลาไมเปลยนแปร (Time invariance)

ระบบจะมคณสมบตเวลาไมเปลยนแปร (เวลายนยง) เมอสญญาณอนพท )t(x τ− สาหรบเวลาหนวง τ ใด ๆ ทาใหไดเอาทพท )t(y τ−

รปท 2.6 คณสมบตเวลายนยงของระบบเชงเสนเวลาไมเปลยนแปร

3. คณสมบตการเสถยร (Stability)

ระบบจะมเสถยรภาพเมอสญญาณอนพท )t(x ทระบขนาดได A|)t(x| max≤ ทาใหไดเอาทพททสอดคลองกนทระบขนาดได B|)t(y| max≤

4. คณสมบตการมเหต (Causality)


ระบบจะถอวาเปนระบบมเหตเมอสญญาณอนพท )t(x ท 0tt = ทาใหไดเอาทพททสอดคลองกนคอ )(ty ท t หลงจาก t0

⎩⎨⎧

<≥

=0

00 ttfor

ttfortxty

)()(

2.3 การตอบสนองอมพลส (Impulse Response)

คณลกษณะของระบบเชงเสนเวลาไมเปลยนแปรสามารถทจะแสดงไดโดยการตอบสนองตออมพลส 7 (Impulse response: h(t)) โดยให )()( ttx δ= ซงจะทาใหได )()( thty = ระบบนนจะถอวาเปนระบบมเหตหาก 0=)t(h เมอ 0≤t และจะเปนระบบทเสถยรหาก ∞<∫

+∞∞− dt|)t(h| 2 และถา

หากทราบคาการตอบสนองอมพลสของระบบแลวกจะสามารถทจะหาการตอบสนองตอสญญาณ x(t) ใด ๆได จาก

)t(x*)t(h)t(h*)t(xd)t(h)(x)t(y ==ττ−τ= ∫+∞

∞− (2.18)

(เครองหมาย * ในทนคอ การกระทาคอนโวลชน) ซงสมการนสามารถทจะแสดงใหเหนเปนขนตอนไดโดยอาศยคณสมบตของฟงกชนเดลตา และคณสมบตของระบบเชงเสนเวลาไมเปลยนแปรดงน

1. สญญาณ x(t) อาจแบงเปนชวงเวลาเลก ๆ โดยหางกนเปนเวลา τΔ ดงนน

ττ−δτ= ∫+∞

∞−d)t()(x)t(x

2. สญญาณ )()( ttx δ= ทาใหไดเอาทพท )t(h)t(y =

3. (ระบบเวลาไมเปลยนแปร) สญญาณ )()( τ−δ= ttx ทาใหไดเอาทพท )()( τ−= thty

4. (ระบบเชงเสน) สญญาณ )()( τ−δτ tx ทาใหไดเอาทพท )()( τ−τ thx

5. ดงนน ∫+∞

∞−ττ−δτ= dtxtx )()()( จงทาใหไดเอาทพท ∫

+∞

∞−ττ−τ= dthxty )()()(

7 รายละเอยดและคาจากดความของสญญาณอมพลสหรอฟงกชนเดลตา สามารถศกษาเพมเตมในหวขอ 2.4.4


x(t)

t

(t- )

t

x(t) LTC

)t(h*)t(x

d)t(h)(x)t(y

=

ττ−τ= ∫∞

∞−

รปท 2.7 แสดงการตอบสนองตออมพลสของระบบเชงเสนเวลาไมเปลยนแปร

2.4 ระบบสญญาณตอเนอง (Continuous Time System)

การศกษาระบบสญญาณตอเนองเปนการเรมตนทงายทจะนาไปการศกษาระบบทมความซบซอนมากขน และในกรณพเศษซงหากสญญาณนนเปนสญญาณทมคาบเวลา (หรอมความถ) แลว จะทาใหสามารถทจะอธบายสญญาณดงกลาวไดทงในโดเมนเวลา (Time domain) และโดเมนความถ (Frequency domain) อนกรมฟรเยร (Fourier Series) จะเปนสวนเชอมโยงความความสมพนธระหวางโดเมนไดอยางชดเจน

2.4.1 อนกรมฟรเยร


ฟงกชนออรโธโกนอล (Orthogonal function) หรอฟงกชนเชงตงฉากจะเปนจดเรมตนทดในการวเคราะหสญญาณ โดยหากวา )t(f1 และ )t(f2 ซงตางกไมมคาเปนศนยในชวง 10 ttt << ทง

)t(f1 และ )t(f2 จะเปนฟงกชนเชงตงฉากกนในชวงเวลา 10 ttt << เมอ 01

0

21 =∫ dt)t(f)t(ft

t

*

โดยท )t(f *2 เปนฟงกชนสงยกต8 (Conjugate function) ของ )t(f2 และหากวาเปนกลมของฟงกชนแลว (เชน )t(f.....,),t(f),t(f),t(f n321 ) ฟงกชนเหลานนจะเปนฟงกชนเชงตงฉากกน เมอ

⎩⎨⎧

=≠

=∫ jiSji,

dt)t(f)t(fi

t

t

*ji

01

0

ในทน i, j และ n เปนเลขจานวนเตมใด ๆ และ S เปนคาใด ๆ

ดงนนหากวามสญญาณใดๆ หลายๆสญญาณทออรโธโกนอลกน การรวมกนของสญญาณเหลานนทมน าหนกตาง ๆ จะทาใหไดสญญาณใหมทอธบายไดอยางกระชบ (เพราะไมมสญญาณใดๆเลยทจะเปนจานวนเทาของสญญาณในกลมนนอก) และเมอจานวนสญญาณเหลานนมจานวนมาก ๆ กจะทาใหผลรวมนนถกตองใกลเคยงกบสมการคณตศาสตรมากขน ดงนนจงอาจเขยนไดวา

101

ttt,)t(xc)t(xi

ii <<= ∑∞

=

เมอ ic หาไดจาก

,

dt)t(x

dt)t(x)t(x

c t

t

t

t

*i

i

∫

∫=

1

0

1

0

2 สาหรบ ∞= ...,,,,,i 3210

และ )(txi กคอฟงกชนออรโธโกนอล โดยทวไปแลวสญญาณซายน (เชน )tisin()t(xi π= ) จะเปนสญญาณออรโธโกนอลทเปนประโยชนเสมอ

เมอเปนเชนนจะเหนวาสญญาณทมคาบเวลาจะสามารถทจะประกอบขนมาจากสญญาณทมคาบเวลาทออรโธโกนอลกน ดงนนอนกรมฟรเยรสามารถทจะอธบายสญญาณทมคาบเวลาไดวา “สญญาณทมคาบเวลา 0T ใด ๆ จะประกอบดวยองคประกอบทางดซ สญญาณความถมลฐาน

8 Conjugate function เปนการแทน j ดวย –j ในฟงกชนเชงซอน เชน jbxaxxC +=)( จะได jbxaxxC −=)(*


(Fundamental frequency, 00 2 fπ=ω โดยท )/1 00 Tf = และสญญาณทความถอน ๆ ทเปนจานวนเทาของความถมลฐาน (คอฮารโมนคส)” ดงนน 9

[ ]∑∞

=

ω+ω+=1

000

2 nnn tnbtnaatx )sin()cos()( (2.19)

เมอ

∫+

−

=2

200

1 /

/

)(T

T

dttxT

a (2.20)

dttntxT

aT

Tn )cos()(

/

/0

2

20

2ω= ∫

+

−

(2.21)

และ

dttntxT

bT

Tn )sin()(

/

/0

2

20

2ω= ∫

+

−

(2.22)

พงสงเกตวาคา a0 กคอคาเฉลย หรอ avgx หรอคาแรงดนไฟเฉลยนนเอง♣

การกระจายอนกรมฟรเยรตามสมการ (2.19) เรยกวาเปนการกระจายในรปแบบตรโกณมตซงมขอจากดคอสญญาณ x(t) ตองเปนสญญาณจรง เทานน

และถาหากอาศยความสมพนธออยเลอร

2

jxjx ee)xcos(−+

= และ jee)xsin(jxjx

2

−−= (2.23)

x(t) ในสมการ (2.19) จะเขยนใหมไดเปน

∑

∑∑∞

=

ω−ω

ω−ω∞

=

ω−ω∞

=

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +

+−

+=

−+

++=

1

0

11

0

00

0000

222

222

n

tjnnntjnnn

tjntjn

nn

tjntjn

nn

ejba

ejbaa

jeebeeaatx )(

(2.24)

9 ทานองเดยวกน ความเพยนฮารโมนคส กคอ ความกาลงเฉลยของสญญาณความถมลฐาน ตอกาลงเฉลยของสญญาณความถอน ๆ ทงหมด ดงนน

Total harmonic distortion (THD) = 21

2

2

c

cn

n∑∞

=

♣ การอนทเกรดในชวงคาบเวลา สามารถกระทาไดในชวง 0 ถง T0 หรอ –T/2 ถง +T/2 กได แตอยางไรกตามจะนยมในชวง –T/2 ถง +T/2 มากกวา


นยามเทอมใหมโดย

2220

0nn*

nnnn

njba

cc,jba

c,ac+

==−

== − (2.25)

จะได

[ ]

∑

∑∑

∑

∞

−∞=

ω

−

−∞=

ω∞

=

ω

∞

=

ω−−

ω

=

++=

++=

n

tjnn

n

tjnn

n

tjnn

n

tjnn

tjnn

ec

ececc

ececctx

0

00

00

1

10

10)(

(2.26)

ดงนน

∑+∞=

−∞=

ω=n

n

tjnnectx 0)( (2.27)

โดยท nc คอสมประสทธฟรเยร

[ ]

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ω−ω=

−=

∫ ∫+

−

+

−

2

2

2

20

20

221

21

00

/

/

/

/

)sin()()cos()(T

T

T

TTj

T

nnn

dttntxdttntx

jbac

[ ]

dtetx

dtetx

dttnjtntx

TtjnT

TT

tjnT

TT

T

TT

02

0

00

0

2

2

1

2

2

1

2

200

1

π−

+

−

ω−+

−

+

−

∫

∫

∫

=

=

ω−ω=

/

/

/

/

/

/

)(

)(

)sin()cos()(

(2.28)

การกระจายอนกรมฟรเยรตามสมการท (2.27) เรยกวาเปนการกระจายในรปแบบเอกโพเนนเชยลซงสามารถจะใชไดกบสญญาณ x(t) ทเปนทงสญญาณจรงและสญญาณเชงซอน และหากสญญาณ x(t) เปนสญญาณจรงแลว

*

*/

/

/

/

)(

)(

n

T

TT

tjnT

TTn

c

dtetx

dtetxc

Ttjn

=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡=

=

π−

+

−

ω+

−−

∫

∫

02

0

00

2

2

1

2

2

1

(2.29)


ดงนน

nn cc −= และ nn cc −−∠=∠ (2.30)

อนกรมฟรเยรของสญญาณจรงจะมความสมมาตรแบบเฮอรมเตยน (Hermitain Symmetry) คอ สวนทเปนคาจรงจะเปนฟงกชนค และสวนทเปนคาจนตภาพจะเปนฟงกชนค (หรอกคอ ขนาดจะเปนฟงกชนค สวนเฟสจะเปนฟงกชนค10)

และจากสมการท (2.25) หากนยามให

22nnn bac += และ ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=θ −n

nab

n tan 1 (2.31)

และใชความสมพนธ

)tancos(sincos abbaba 122 −−φ+=φ+φ (2.32)

สมการท (2.19) จะเขยนใหมไดเปน

∑∞

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ θ+π+=

1

00

22 n

nTn

n tcosda

)t(x (2.33)

ซงกจะเปนอกรปแบบหนงของการกระจายอนกรมฟรเยรสาหรบสญญาณจรง ซง

[ ][ ]

nnnn

nnnn

ccd

cImbcRea

∠=θ=−=

=22

(2.34)

กราฟความสมพนธระหวาง nc และ nc∠ กบ n หรอ 0nf จะเรยกวา สเปคตราเตมหนวย (Discrete spectra) ของ x(t) โดยท nc คอ ขนาดของสเปคตรม และ nc∠ คอเฟสของสเปคตรม

ตวอยาง

จงหาการกระจายอนกรมฟรเยรของสญญาณรปฟนเลอย )(;)( TtTttx 202

1 <<= และ )t(x)Tt(x =+ 2

10 ฟงกชนค กคอ )()( txtx −= สวนฟงกชนคกคอ )()( txtx −−=


วธทา

TTtjnTtjn

TtjnT

T

T

T

tjnTn

ejnTe

jntT

T

dteTt

dtetxc

2

02

2

2

2

021

2

2

1

1

2

0

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

π−

π−=

=

=

π−π−

π−

+

−

ω−

∫

∫

//

/

/

/

)(

)(

02

212

2

2

22

2

≠π

=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

π−

π+

π−=

nnj

nT

nT

jnT

T

;

)()(

กรณเฉพาะท 0=n

[ ] 2212

21

21 2

02

21

2

0

2

00 ===== ∫∫ Tt

Tdt

Tt

Tdttx

Tc T

TT

)(

จะเหนวาสเปคตราขนาดกคอ ⎩⎨⎧

≥=

=π 1

022 nn

cn

n || โดยทเฟสมคาคงทคอ j+ และ

2422

0πππ ===ω T

ดงนนจงได


Ttjn

Ttjn

Ttjn

Ttjn

enj

enj

enj

enj

tx

n

nn

n

nn

n

n

n

n

π

π

ππ

∑

∑

∑∑

∞=

≠−∞=

∞=

≠−∞=

∞=

=

−=

−∞=

π+=

π+=

π+

π+=

0

0

1

1

22

22

222)(

เนองจาก jsinjcosej

=+= πππ

222 หรอกคอ 2

π=

jej จงได

)()( 2

1

122ππ +

+∞=

≠−∞=∑π

+= Ttnj

n

nn

en

tx

เทยบกบรปแบบทวไปจะเหนวา (โดยท π

==nj

cc n2

20 , และ π

−=njcn

2* )

πππ∗

∗

−=+=−=

=+=

==

nnj

nj

nnn

nnn

jccjb

cca

ca

422

00

0

42

)()(

และ [ ]∑∞

=

ω+ω+=1

000

2 nnn tnbtnaatx )sin()cos()(

คาตอบกคอ

[ ]

( )

( )21

1

100

0

142

142

2

tnn

n

Ttn

n

n

nnn

n

n

tnbtnaatx

π∞=

=

π∞=

=

∞

=

∑

∑

∑

π−=

π−=

ω+ω+=

sin

sin

)sin()cos()(


0 1 2 3 4 5 6 7 8-1

0

1

2

3

4

5Fourier Seriers Expansion

รปท 2.8 การกระจายอนกรมฟรเยรท จานวนพจน (n) ตาง ๆ กน (สญญาณรปฟนเลอย)

ตวอยาง

จงหาการกระจายอนกรมฟรเยรของสญญาณสเหลยมแสดงดงรป โดยท 2/T=τ

x(t)

t

A

T/2 T0-T/2-T T/4-T/4

วธทา หาสมประสทธฟรเยรจาก (จะเหนวา 2/T=τ และ T/π=ω 20 โดยท 4=T )

∫∫

∫τ+

τ−

ω−τ+

τ−

ω−

+

−

ω−

==

=

2

2

2

2

1

2

2

1

00

0

/

/

/

/

/

/

)(

dtedteA

dtetxc

tjnTAtjn

T

T

T

tjnTn

n=0 n=1

n=3

n=15n=8


( )

( )TnT

T

TT

jnjn

TA

jnT

TA

cA

nn

A

jee

nT

e

TT

Ttjn

ττ

τ

ττ

ππ−

τ+

τ−

−

π

=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

π

π=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ −⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

π−=

−=

ττ

π

sin

sin

/

/

2

2

22

2

* พงสงเกตวา คา 0=nc เมอ n เปนจานวนค (ยกเวน ท 200 Acn == , )

ทงนเมอให xxxc

ππ

=sin)(sin (อานวา ซงค เอกซ)11 และให 21 =τ= ,A และ 4=T

( ) ( )221 n

Tn

Tn ccAc sinsin == ττ

ดงนนในรปเอกโพเนนเชยล )(tx จะเขยนไดเปน

( ) tjnnn

n

n

n

tjnn ecsinec)t(x 4

20

221 π

∑∑+∞=

−∞=

+∞=

−∞=

ω ==

หรอในรปตรโกณมต (เมอ n เปนจานวนค คา 2tnsin π จะมคา +1 และ -1 สลบกน)

( )

( ) ( )

( ) 221

21

22221

221 4

20

tnnn

n

tntnnn

n

tjnnn

n

n

n

tjnn

c

jc

ecectx

π∞=

=

ππ+∞=

−∞=

+∞=

−∞=

+∞=

−∞=

ω

∑

∑

∑∑

+=

+=

==π

cossin

sincossin

sin)(

หมายเหต เชนกนสามารถหา )(tx ไดจาก [ ]∑∞

=

ω+ω+=1

000

2 nnn tnbtnaatx )sin()cos()( โดยท

⎪⎩

⎪⎨⎧ ≤

=τ

elsewheretA

tx0

2||)(

11 ตาราบางเลม อาจนยาม a

aac )sin()(sin = กได


-15 -10 -5 0 5 10 15

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

w

0.5*sinc(w/2)

x(w

)

-15 -10 -5 0 5 10 150

0.1

0.2

0.3

0.4

0.50.5*abs(sinc(n/2))

รปท 2.9 กราฟของ ( )250 /ncsin.cn = และขนาดของสเปคตรม ( ))/n(csin.abscn 250=

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2Fourier seriers Expansion

รปท 2.10 สญญาณรปสเหลยมประมาณจาก ( ) 221

210 tnn

n

n

n

n

tjnn cectx π

∞=

=

+∞=

−∞=

ω ∑∑ +== cossin)(

เมอ n มคาตาง ๆ กน

ตวอยาง

n=0 n=1

n=3

n=9 n=7

n=5


จงหาขนาดสเปคตรมฟรเยรของสญญาณสเหลยมแสดงดงรป เมอ 2/Td = , 4/Td = , 8/Td = และ 16/Td = (จากตวอยางน ลองคดวาหาก 0→T

d ผลลพท ทไดจะเปนอยางไร)

x(t)

t

A

T0-T

d

T

วธทา

จากสมประสทธฟรเยร

∫+

ω−=00

0

0

0

1Tt

t

tjnn dte)t(x

Tc

ให 00 =t และ T/π=ω 20 ดงนน

( )

( )2

0

0

222

0

000

00

0

000

00

00

22

1

111

1

/

///

/)/sin(

)(

djn

djndjndjn

djndtjn

dtjn

Ttjn

n

edndn

TAd

eeejnT

A

ejnT

AejnT

A

dteTAdtetx

Tc

ω−

ω−ω+ω−

ω−ω−

ω−ω−

ωω

=

−ω

=

−ω−

=ω−

=

== ∫∫

สงเกตวา 0=nc เมอ π=ω mdn2

0 โดยท ,...,,m 210 ±±= ( 1=π−π=π− mjme jm sincos ) หรอ

dmn π

=ω2

0 (หรอ dmTn = เมอ T

π=ω 20 ) ในกรณ ,...,,m 210 ±±=

ดงนน

( )TdTd

n csinAT/d)T/dsin(

TAdc =

ππ

=

เมอ 2/Td = จะได 2

22 /

)/sin(ππ

=nnAcn เมอ 4/Td = จะได

44

4 /)/sin(

ππ

=nnAcn

เมอ 8/Td = จะได 8

88 /

)/sin(ππ

=nnAcn และเมอ 16/Td = จะได

1616

16 /)/sin(

ππ

=nnAcn


(จากรปพงสงเกตวา อตราสวน TAd มคานอยจะทาใหคาสงสดของสเปคตรมจะลดลง และ

dmTn = จะมคามากขน ดงนน เมอ Td มคาตาๆขนาดของสเปคตรมจะแบนราบลง โดยทระยะ

การตดศนยจะกวางออก)

รปท 2.11 ขนาดของสเปคตรมของ ⎩⎨⎧

<<<<

=TtddtA

)t(x0

0 เมอให 1=A

โดยท 2/Td = , 4/Td = , 8/Td = และ 8/Td = (ซงสเปคตรมจะมคาศนยท mmmn 842 ,,=

และ ....,,; 2116 ±±=mm ตามลาดบ)


ตวอยาง

จงหาขนาดสเปคตรมของ (Full-wave rectifier) π≤≤= 20 t;)tsin()t(x

t

x(t)

A

0 วธทา

เนองจาก ttx sin)( = เปนฟงกชนมคาบเวลา π2 ดงนน 12 ==ω πT และ tsin จะเปนฟงกชนค

ซงมฮารโมนคสค โดยทมคาบเวลา π=T ดงนน dtnttxaTt

tTn )cos()(∫

+

=0

002 และ 0=nb จงได

∫π

π=

0

2 dtnttan )cos(sin โดยท n เปนเลขค

π

π

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

+++

−π

=

−−+π

= ∫

0

0

11

111

112

ntn

ntn

dttntn

)cos()()cos(

])sin()[sin(

เมอ n เปนเลขค ทง )( 1+n และ )( 1−n จะเปนเลขค ดงนน 111 −=π−=π+ )cos()cos( nn

( ) ( )[ ]

)( 114

11

11

11

11

2

1

−π

−+−+

−=

+−−−π

=

n

nnnnna

ดงนนได

∑

∑

∑

∞

=−ππ

∞

==

−ππ

∞

==

−=

−=

+=

114

142

21

142

202

1

22

2

nn

evennn

n

evennn

n

nt

nt

ntaatx

cos

cos

cos)(

)(

)(

)(

)(

หรอ หากแสดงไมกเทอม

...)coscoscos()( +++−= ππ ttttx 642 351

151

3142


2.4.2 กาลงของสญญาณ จากสมการ (2.6b) ซง

∫+

=Tt

t

dttxT

P0

0

21 )( (2.6b)

หรอ

∫+

=Tt

t

dttxtxT

P0

0

1 )(*)( (2.35)

หากแทนสญญาณมคาบดวยลกษณะทางความถ หรออนกรมฟรเยร (ซง ∑+∞=

−∞=

ω=n

n

tjnnectx 0)( )

∫ ∑∑

∫ ∑∑+ +∞=

−∞=

ω−+∞=

−∞=

+ +∞=

−∞=

ω−+∞=

−∞=

ω

=

=

Tt

t

n

n

tnmjn

m

mm

Tt

t

n

n

tjnn

n

n

tjmm

dteccT

dtececT

P

0

0

0

0

0

00

1

1

)(*

*

(2.36)

เมอสญญาณ )(tx สามารถทจะทาการอนทเกรตไดในชวง Tttt +<< 00 จงได

∫∑∑+

ω−+∞=

−∞=

+∞=

−∞=

=Tt

t

tnmjn

nn

m

mm dte

TccP

0

0

01 )(* (2.37)

เนองจากฟงกชนเอกโพเนนเชยลมคณสมบตเชงตงฉาก ดงนนเมอ nm = ผลการอนทเกรตจงมคาเทากบ T ดงนน

∑∑∑∞=

=

+∞=

−∞=

+∞=

−∞=

+===n

n

cn

nn

n

nnn

nccccP1

220

2 2* (2.38)

สมการ (2.38) เรยกวาทฤษฎพาเซวาล (Parseval’s Theorem) สาหรลสญญาณมคาบ ซงจะแสดงวากาลงงานของสญญาณสามารถทจะหาจากขนาดของสเปคตรมเตมหนวยไดเชนกน

2.4.3 การแปลงฟรเยร (ฟรเยรอนทกรล) ในระบบสญญาณตอเนองการวเคราะหและการสงเคราะห อาจใชวธการตาง ๆ การแทนระบบดวยชดสมการความตาง (Differential equations) มกเกดความยงยากเมอระบบมอนดบสง ๆ วธการหนงทมกไดรบความนยมกคอการแปลงจากโดเมนหนงไปยงอกโดเมนหนง (ระหวางโดเมนเวลา


และโดเมนความถ) ฟรเยรอนทกรลหรอการแปลงฟรเยรเปนกระบวนการททราบกนดในระบบของสญญาณตอเนอง การแปลงฟรเยรเปนการขยายอนกรมฟรเยร เพอใชกบสญญาณทไมมคาบ

การวเคราะหระบบ (System Analysis) เปนการหาเอาทพทของระบบจากสญญาณอนพทและระบบทกาหนด

การสงเคราะหระบบ (System Synthesis) เปนการหาระบบเมอรเอาทพทและอนพท

การแปลงฟรเยรของสญญาณ x(t) จะสอดคลองกบเงอนไขเฉพาะทเรยกวาเงอนไข ไดรชเลต12 (Dirichlet’s Condition) ซงการแปลงนนยามไดโดย

[ ] ∫+∞

∞−

ω−=ω=ℑ dtetxXtx tj)()()( (2.39)

การแปลงฟรเยร (Fourier Transform: Continuous time, FTC) เปนการแปลงจาก x(t) ไปเปน )(X ω ทานองเดยวกนการแปลงกลบฟรเยร (Inverse Fourier Transform: Continuous time,

IFTC) กเปนการแปลงจาก )(X ω ไปเปน x(t) โดยท

[ ] ∫+∞

∞−

ω− ωωπ

==ωℑ deXtxX tj)()()(211 (2.40)

จงเขยนไดเปน

)()( ω←→ Xtx หรอ )()( ω⇔ Xtx (2.41)

แมวา x(t) จะเปนสญญาณจรง แตผลจากการแปลงฟรเยรคอ )(X ω จะเปนจานวนเชงซอน ซงประกอบดวยจานวนจรงและจานวนจนตภาพทอาจเขยนในรปพกดเชงสเหลยม (Rectangular

form) หรอพกดเชงขว (Polar form) กได

φ=ω+ω=ω jAejIRX )()()( (2.42)

โดยท

12 เงอนไขไดรชเลต คอเงอนไขจาเปนสาหรบสญญาณทมคาบ x(t) ทจะกระจายเปนอนกรมฟรเยรได (ตงชอตาม Joann Peter Gustav

Lejeune Dirichet) 1. ในชวงทกาหนด x(t) มคาสงสดทระบได

2. ในชวงทกาหนด x(t) ไมตอเนองทระบได

3. จะตองสามารถหาผลอนทเกรตไดในคาบเวลา


)(R ω คอสวนทเปนคาจรง (Real Part)

)(I ω คอสวนทเปนคาจนตภาพ (Imaginary Part) A คอ ขนาดหรอ Amplitude; )()( ω+ω= 22 IRA

φ คอ มมหรอ Phase angle; )()(tan ω

ω−=φ RI1 เมอ R>0 หรอ π+=φ ω

ω−)()(tan R

I1 เมอ R<0

หาก x(t) เปนสญญาณคาจรง )(X ω ทไดจะมความสมมาตรเฮอรมเตยน คอ )()( * ω=ω− XX

ตวอยาง

จงพจารณาสญญาณมคาบเวลาและสญญาณไมมคาบ (หรอถอวาคาบเวลายาวมาก ๆ) ดงรป

x1(t)

A

0-T0/2ก)T0

+T0/2 +T0-T0-

x2(t)

t

A

T0-

ข)+∞−∞

สญญาณมคาบเวลา )(tx1 สามารถทจะอธบายไดดวยอนกรมฟรเยร คอ

∑+∞=

−∞=

ω=n

n

tjnnectx 0

1 )( (2.43)

โดยท

dtetxc tjnT

TTn

00

2

21

1 ω−+

−∫=/

/

)( (2.44)

ซงลกษณะของ nc คอสเปคตรมอาจแสดงไดดงรป (สงเกตวาชวงหางของแตละเสน คอ 0ω )

หากสญญาณมคาบในรป ก) มคาบเวลาทยาวมาก ๆ (คอรป ข) จะไดวา


dtetxcT tjnT

Tn

02

210

ω−+

−∫=/

/

)( (2.45)

เราจะแทนให nn ω=ω0 และ )( nn XcT ω=0 ดงนน 0T

Xc nn

)(ω=

เมอแทนลงในสมการ (2.45) จะได

dtetxX tjT

Tn

nω−+

−∫=ω

2

21

/

/

)()( (2.46)

และแทนลงในสมการ (2.43) จงได

ωΔω=

πωΔ

ω=

ω=

∑

∑

∑

+∞=

−∞=

ωπ

+∞=

−∞=

ω

+∞=

−∞=

ω

n

n

tjn

n

n

tjn

n

n

tjn

n

n

n

eX

eX

eTXtx

)(

)(

)()(

21

01

2 (2.47)

เมอคา 0T เพมขน 0

2Tπ=ωΔ กจะยงแคบเขา จน ∞→0T แถบสเปคตรมกเหมอนตอกน nω กจะ

กลายเปนตวแปรทตอเนอง )(ω การบวกตอเนอง (Summation) กจะกลายเปนการอนทเกรต และ ωΔ กกลายเปน ωd สมการ (2.47) จงเขยนไดเปน

ωΔω= ∑+∞=

−∞=

ω

∞→π

∞→

n

n

tjn

TT

neXtx )()( limlim00

21

1 (2.48)

หรอ

ωω= ω+∞

∞−π ∫ deXtx tj)()( 2

11 (2.49)

ทานองเดยวกนสมการ (2.46) กจะเขยนไดเปน

dtetxX tjω−+∞

∞−∫=ω )()( 1 (2.50)

สมการ (2.50) และสมการ (2.49) กคอคของการแปลงฟรเยร นนเอง

ตวอยาง

จงหาคา X(ω) เมอ x(t) คอ Decay Impulse ทอธบายโดย ⎪⎩

⎪⎨⎧

<≥

=α−

000

tfortfore

txt

)(


วธทา

จาก

dte)t(x)(X tjω−+∞

∞−∫=ω

จะได

αω−−

ω+α−∞

ω−α−∞

=ω+αω−α

=ω+α

=

=

=ω

∫

∫

1

22

0

0

1 tan

)(

)(

Aej

j

dte

dteeX

tj

tjt

หรอ

22 ω+αα

=ω)(R ; 22 ω+αω−

=ω)(I

และ

22

1

ω+α=A ; α

ω−αω−− −==φ 11 tantan

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 20

0.2

0.4

0.6

0.8

1

t

exp(-4*t)

x(t)

รปท 2.12 แสดงคา tetx α−=)( เมอ α = 4 และ 0≥t


รปท 2.13 ผลทไดจากการแปลงฟรเยร คาขนาด (22

1

ω+α=A ) และคาเฟส ( α

ω−−=φ 1tan )

รปท 2.14 ผลทไดจากการแปลงฟรเยรของขนาด คาจรง ( 2244ω+

) และคาจนตภาพ ( 224 ω+ω

− )

ω+=ω=ℑ −

jXe t

414 )()( หรอ 2222 44

4ω+

ω−=ω

ω+=ω aginaryal XX ImRe )(,)(

ทาใหไดขนาด 224

1

ω+=ω |)(|X และ เฟส 4

1 ω−−=φ tan

ขนาดสงสดเมอ 0=ω จะได 25041

4

12

.|)(| ===ωX และเมอ 4=α=ω กจะทาใหได เฟส

411 π=−=φ − )(tan เรเดยน

ตวอยาง

จงหาคา )(X ω เมอ x(t) อธบายโดย13 ⎩⎨⎧

><

==1

1

0 ttforttforA

tgtx||

)()(

13 บางทอาจเรยกสญญาณสเหลยมนวา gate function: g(t) กได


วธทา

สามารถทจะหาการแปลงฟรเยรไดโดย

∫

∫+

−

ω−

ω−∞

∞−

=

=ω

1

1

t

t

tj

tj

dtAe

dtetxX )()(

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −ω

=

ω−=

ω−ω

+

−

ω−

jeeA

ejA

tjtj

t

t

tj

22 11

1

1

1

11

1

2

2

ttAt

tA

ωω

=

ωω

=

)sin(

)sin(

( 0=ω)(X เมอ 01 =ωtsin หรอ π=ω mt1 หรอ 1tmπ=ω โดย ,....,, 321 ±±±=m )

ก) ข) ค)

รปท 2.15 แสดงคา 11

12t)tsin(At)(X

ωω

=ω เมอ ก) A = 1, t1 = 1 ข) A = 1, t1 = 0.5

และ ค) A = 1, t1 = 0.25 โดยทขนาดสงสดคอ 12At


ตวอยาง

จงหาคา )(X ω เมอ tattx

π=sin)( (รปทฟลอต เมอ 50.=a )

วธทา

จากตวอยางทผานมา หากให at =1 และให 1=A สงทได กคอ ω

ω=

ωω

=ω)sin()sin()( a

aaaX 22

(เนองจากคณสมบตคควบ (Duality) ของการแปลงฟรเยร )()( ω−π⇔ xtX 2 )

จงได )()sin(ω−π⇔

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ℑ g

tat 2

ดงนน )()()sin()sin()( ω=ω−ππ

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ℑ

π=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

πℑ=ω gg

tat

tatX

22

21 ซง

⎩⎨⎧

>ω<ω

=ωaa

g||||

)(01

พงสงเกตวา


2.4.4 ฟงกชนเดลตา หรอดเรกพลส

ฟงกชนเดลตา หรอดเรกพลสนเปนสงทมอยในเชงทฤษฎและไมสามารถทจะปรากฏเปนสญญาณจรงไดแตจะมประโยชนมากในการอธบายสงอนๆ และมคาจากดความทเขาใจไดงายดงน พจารณา x(t) ในตวอยางทผานมา โดย

⎪⎩

⎪⎨⎧

ε>ε<

== εε |t|for|t|for)t(f)t(x

021

ซงจะได ωεωε

=ωε)sin()(F (2.51)

ซงจะเหนวาพนทใตกราฟของสญญาณดงกลาวมคาเทากบ 1 และเมอขนาดของ ε เลกลงความสงจะสงขน เมอ 0→ε ความสงกจะเขาสคาอนนต ดงนนอาจนยามไดวาฟงกชนเดลตากคอ

)(lim)( tft ε→ε

=δ0

ซงกเปนการนามาถงการอธบายฟงกชนเดลตาดวยคาอธบายอน เชน

∫∞

∞−=δ 1dt)t( (2.52)

หากทาการแปลงฟรเยรของ )t(δ จะพบวา

100

=ωεωε

=ω→ε

ε→ε

)sin(lim)(Flim หรอ 1)( ⇔δ t

หรอ

{ } ( )∫+∞∞−

ω− =δ=δℑ 1dtet)t( tj

ฟงกชนหนวยเดลตา ซงบางทเรยกหนวยอมพลส (Unit Impulse) อธบายโดย

⎩⎨⎧ =

=δelsewheret

t0

01)( (2.53)

คณสมบตทสาคญฟงกชนหนวยเดลตาสรปไดดงน

1. ∫+∞

∞−=δ )0()()( xdtttx

2. )tt( 0−δ หรอ )tt( −δ 0 เปนการระบการปรากฏของเดลตาท 0tt =


3. )t(xdt)tt()t(xdt)tt()t(x 000 =−δ=−δ ∫∫+∞

∞−

+∞

∞− เปนการแทนฟงกชนท 0tt =

4. )tt()t(x)tt()t(x 000 −δ=−δ

5. )tt(x)tt(*)t(x 00 −=−δ เครองหมาย * คอคอนโวลชน หรอการคณประสาน

6. 1⇔δ )(t

7. 00

tjett ω−⇔−δ )(

8. )( 020 ω−ωπδ⇔ω tje

9. ω+ωπδ⇔ jtu 1)()(

ตวอยาง

แสดงการหาผลการแปลงกลบฟรเยรของ )()( 0ω−ωδ=ωδ

วธทา

ℑ-1{ } ωω−ωδ=ω−ωδ ω+∞

∞−π ∫ de tj)()( 02

10

tje 021 ωπ=

(ทงน อาศยคณสมบตทวา )()()()()( 000 txdttttxdttttx =−δ=−δ ∫∫+∞

∞−

+∞

∞− ซง เทยบกนกคอ ตวแปร t

กคอ ω และ tje)(x ω=ω ดงนน tjtj exde 000

ωω+∞

∞−

=ω=ωω−ωδ∫ )()( หรอในทานองเดยวกน กจะได

10 =ωω−ωδ∫+∞

∞−

d)( ซงกคอเราให 1=ω)(x นนเอง) และจากตวอยางนจะสรปไดวา

)( 020 ω−ωπδ⇔ω tje

ตวอยาง

แสดงการหาผลการแปลงฟรเยรของชดแถวอมพลส ∑+∞

−∞=−δ=

n)nTt()t(x

วธทา

ในการหาผลการแปลงฟรเยร เราจะแสดงวา ∑+∞

−∞=−δ=

n)nTt()t(x เปนฟงกชนทมคาบเวลาเสยกอน

หาก x(t) มคาบเวลากจะอาศยอนกรมฟรเยรชวยได


{ }∑

∑∞+

−∞=

+∞

−∞=

−+δ=

−+δ=+

n

n

Tnkt

nTkTtkTtx

)(

)()(

{ }

)(tx

mTtn

=

+δ= ∑+∞

−∞=

เมอ x(t) มคาบเวลา โดยอาศยอนกรมฟรเยรจะเขยน x(t) ไดเปน

Tectx

n

tjnn

π=ω= ∑

∞

−∞=

ω 2;)( 00

โดยคาสมประสทธ nc หาจาก

nallforT

dtetT

dtetxT

c

tjnT

T

tjnT

Tn

;

)(

)(

/

/

/

/

1

1

1

0

0

2

2

2

2

=

δ=

=

ω−+

−

ω−+

−

∫

∫

เพราะวา ∑∞

−∞=

ω=n

tjnnectx 0)( ผลการแปลงฟรเยรจงหาไดจาก

∑∞

−∞=

ω−ωδπ

=ℑn

n ncT

tx )()}({ 02

หรอ

)()()()( ωδω=ω−ωδω=ω−ωδπ

=ω ω

∞

−∞=

∞

−∞=∑∑ 00000

2

nnnn

TX

รปท 2.16 การแปลงฟรเยรของชดแถวอมพลส ∑+∞

−∞=−δ=δ=

n)nTt()nT()t(x ซงทาใหได

∑∞

−∞=

ω−ωδπ

=ωn

nT

X )()( 02 ซง

Tπ

=ω2

0


(สงเกตวา สญญาณมคาบเวลา 0

2ωπ=T สามารถทจะเขยนไดเปน ∑

∞

−∞=

ω=n

tjnnectx 0)( และหากทา

การแปลงฟรเยรกจะได ∑∞

−∞=

ω−ωδπ=ωn

n ncX )()( 02 โดยท )( 020 ω−ωπδ⇔ω tje จากขอสงเกตน

ลองจะเหนวา การแปลงฟรเยรของสญญาณทมคาบเวลานนจะไดเพยงเสนสเปคตรมทหางกน 0ωn ในขณะทผลการแปลงฟรเยรของสญญาณทไมมคาบเวลานนจะเปนสเปคตรมทตอเนอง)

2.4.5 คณสมบตทสาคญของการแปลงฟรเยร

1) คณสมบตความเปนเชงเสน (Linearity)

ถาหาก x(t) และ y(t) สามารถทจะใหการแปลงฟรเยรเปน )(X ω และ Y(ω) ตามลาดบแลวจะไดวา

)}({)}({)}()({ tytxtytx ℑ+ℑ=+ℑ หรอ

)()(

)()()]()([

ω+ω=

+=+ ω−+∞

∞−

ω−+∞

∞−

ω−+∞

∞−∫∫∫

YX

dtetydtetxdtetytx tjtjtj

(2.54)

ตวอยาง

เมอคา

)(K)(XK)t(x ωδ=ω⇔=

และ

)()()()cos()( 000 22ω+ωδ+ω−ωδ=ω⇔ω=

AAYtAty

จะไดวา

)()()()()()cos()()( 000 22ω+ωδ+ω−ωδ+ωδ=ω+ω⇔ω+=+

AAKYXtAKtytx


)(

)()()(

02

02

ω+ωδ+

ω−ωδ+ωδ=ωA

AKX

)(

)()(

02

02

ω+ωδ+

ω−ωδ=ωA

AX

)()( ωδ=ω KX

tAKtytxtz m 0ω+=+= cos)()()(

tAty m 0ω= cos)(

Ktx =)(

2) คณสมบตการเปลยนขนาดในเชงเวลาและความถ (Time-Frequency Scaling)

ถาหาก x(t) ใหการแปลงฟรเยรเปน )(X ω แลวเมอเลา t เปลยนเปน at จะไดวา

)(

)/()()( )/(

a

katjtj

Xa

aatdeatxdteatx

ω

ω−+∞

∞−

ω−+∞

∞−

=

= ∫∫1

(2.55)

และ

)(

)/()()( )/(

at

aatjtj

xa

kadeaXdeaX

1=

ωω=ωω ω+∞

∞−

ω+∞

∞−∫∫

(2.56)

สรปไดวา

)()( aXa

atx ω⇔1 และ )()( a

txa

aX 1⇔ω

ขอสงเกต การขยายหรอยดเวลาในโดเมนเวลา จะทาใหเปนการหดทางความถในโดเมนความถ และทานองเดยวกน การขยายหรอยดความถในโดเมนความถกจะสงผลเปนการหดหรอลดเวลาในโดเมนเวลา ลองดจากตวอยางท XX หากให 12 2tt = และ 13 4tt = แลว )(X ω จะเปนอยางไร


3) คณสมบตการเลอนในเชงเวลาและความถ (Time-Frequency Shift)

ถาหาก x(t) ใหการแปลงฟรเยรเปน )(X ω แลวเมอเลา t เลอนไปดวยคาคงท T0 เปน 0Tt − โดยแทน 0Tts −= (หรอกคอ 0Tst += ) จะไดวา

)(

)(

)()( )(

ω=

=

=−

ω−

ω−∞+

∞−

ω−

+ω−+∞

∞−

ω−+∞

∞−

∫

∫∫

Xe

dsesxe

dsesxdteTtx

Tj

sjTj

Tsjtj

0

0

00

(2.57)

หรอ

00

TjeXTtx ω−ω⇔− )()(

ทานองเดยวกน หากในโดเมนความถ เมอความถเลอนไปในระยะ 0ω โดยให 0ω−ω=s จะไดวา

{ } dsesXdeXX tsjtj )()()()( 021

0211 ω+

+∞

∞−π

ω+∞

∞−π

− ∫∫ =ωω−ω=ωℑ

)(

)(

txe

dsesXe

j

jstj

0

0

21

21

ωπ

+∞

∞−

ωπ

=

= ∫ (2.58)

สรปไดวา

)()( ω⇔− ω− XeTtx Tj 00 และ )()( txeX tj 0

21

0ω

π⇔ω−ω

ดงนนเมอสญญาณมการเลอนทางเวลาจะไมสงผลใหรปรางของสญญาณในโดเมนความถเปลยนไป แตจะทาใหเฟสของสญญาณเปลยนแปลงอยางเชงเสนกบความถในอตราสวน 0Tω− (หรอหากเวลาเลอนไปมาก กจะทาใหเฟสเปลยนแปลงอยางรวดเรว)

ในโดเมนความถเมอความถเลอนไปจะสงผลใหขนาดของสญญาณในโดเมนเวลาลดลงลดดวยปรมาณ π2

1 และเกดการเลอนของเฟสทคงทดวยมม 0ω

4) คณสมบตเวลากลบหลง และคณสมบตคควบ (Time Reversal & Duality Properties)

)()( ω−⇔− Xtx (Time reversal) (2.59)

)()( ω−π⇔ xtX 2 (Duality) (2.60)

5) คณสมบตอนพนธและอนทเกรต (Differentiate & Integrate Properties)


ถาหาก x(t) ใหการแปลงฟรเยรเปน )(X ω แลวโดยท สามารถทจะหาอนพนธได จะไดวา

)()(ωω⇔ Xj

dttdx (2.61)

และ

)()()()( ωδπ+ωω

⇔∫∞−

01 XXj

dttxt

(2.62)

ซง

∫∞−

⇔t

tdtxX )()()(0

2.4.6 คการแปลงฟรเยรทสาคญ

x(t) )(X ω

t

x(t)

A

+t1-t1

⎩⎨⎧

><

=1

1

||0||

)(ttforttforA

tx

1112

t)tsin(At)(X

ωω

=ω ω

X(ω)

2At1

t

x(t)Aω0π

ω0

πω02π ω0

3π

ttAtx

0

00 )sin()(ωω

πω

=

⎩⎨⎧

ω>ωω<ω

=ω0

0

0 ||||

)(forforA

X

t

x(t)

K

Ktx =)(

)()( ωδ=ω KX

ω

X(ω)

K

t

x(t)

K

)()( tKtx δ=

KX =ω)(

ω

X(ω)

K

t

x(t)

1

T 2T-T-2T

∑∞

−∞=

−δ=n

nTttx )()(

∑∞

−∞=

π−ωδπ

=ωn

Tk

TX )()( 22

ω

X(ω)

2π/T

T-2π

T2π

T-4π

T-6π

T4π

T6π


t

x(t)

A

)cos()( 0tAtx ω=

)()()(

02

02

ω+ωδ+

ω−ωδ=ωA

AX

t

x(t)

A

)sin()( tAtx 0ω=

)()()(

02

02

ω+ωδ+

ω−ωδ−=ωA

A

jjX

X( )

+A/2

-A/2

t

x(t)

A

-T0+T0

⎩⎨⎧

><ω

=0

00

0 TtforTtfortA

tx||||)cos(

)(

0

0

0

002

TTR

RRTAX

ωω

=ω

ω−ω+ω+ω=ω

)sin()(

)]()([)(

ω

X(ω)

+ω0−ω0

A2

T0

ตวอยาง

จงหาคา )(X ω เมอ )tcos(A)t(x 0ω= และ )tsin(A)t(x 0ω=

วธทา

กรณ )tcos(A)t(x 0ω= จากนยาม

∫

∫∞+

∞−

ω−

+∞

∞−

ω−

ω=

=ω

dtetA

dtetxX

tj

tj

)cos(

)()(

0

)()(

][

][

)()(

00 22

2

2

00

00

ω+ωδ+ω−ωδ=

+=

+=

∫

∫∞+

∞−

ω+ω−ω−ω−

+∞

∞−

ω−ω−ω

AA

dteeA

dteeeA

jj

tjtjtj

กรณ )tsin(A)t(x 0ω=

∫

∫∞+

∞−

ω−

+∞

∞−

ω−

ω=

=ω

dtetA

dtetxX

tj

tj

)sin(

)()(

0


∫+∞

∞−

ω−ω−ω += dteeeA tjtjtj ][ 00

2

)()(

][ )()(

00 22

200

ω+ωδ+ω−ωδ−=

+= ∫+∞

∞−

ω+ω−ω−ω−

jAjA

dteejA jj

ตวอยาง

หาก )t(x เปนสญญาณมคาบเวลา 0T เมอ 0

10 Tf = แลวจะได )nff(c)f(X n

n

n0−δ= ∑

∞=

−∞=

วธทา

จากนยาม ∑+∞=

−∞=

ω=n

n

tjnnec)t(x 0 ทาการแปลงฟรเยร ทงสองสองขาง จะได

[ ]

∫ ∑

∑∫∞

∞−

π−+∞=

−∞=

π

ω−+∞=

−∞=

ω∞

∞−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=ℑ

dteec

dteectx

ftjn

n

tnfjn

tjn

n

tjnn

22 0

0)(

∑

∫∑+∞=

−∞=

∞

∞−

−π−∞

∞−

−δ=

=

n

nn

tnffjn

nffc

dtecfX

)(

)( )(

0

2 0

ซง ∫+

−

π−=2

2

21 0/T

/T

tjnfTn dte)t(xc คอสมประสทธฟรเยร

ตวอยาง

หาการแปลงฟรเยร ของสญญาณพลสความถสง (RF pulse) ซง ⎩⎨⎧

><ω

=1

1

0 ttforttfortA

tx c

||||)cos(

)( ซง

cc fπ=ω 2 กคอความถคลนพาห หรอคลนวทย (Radio Frequency)

วธทา

เนองจากในชวง 11 ttt +<<− สญญาณ )()cos()( tjtjAc

cc eetAtx ω−ω +=ω= 2 ดงนน { } { }tjtjA cc eetx ω−ω +ℑ=ℑ 2)(


{ }

dte

dteee

T

T

tj

T

T

tjtjtj

c

cc

∫

∫+

−

ω−ω

+

−

ω−ωω

=

=ℑ

0

0

0

0

)(

1

112

22

22

11

1

1

ttt

jee

ej

c

c

tjtj

c

t

ttj

c

cc

c

)()sin(

)(

)()()(

)(

ω−ωω−ω

=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ −

ω−ω=

ω−ω=

ω−ω−ω−ω

+

−ω−ω

ทานองเดยวกน

{ }1

112

ttte

c

ctj c)()sin(

ω+ωω+ω

=ℑ ω−

ดงนนเมอให 21Tt =

{ } { }⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

ω+ωω+ω

+ω−ωω−ω

=+ℑ=ℑ ω−ω

2

2

2

22 2 T

c

Tc

Tc

TctjtjA ATeetx cc

)()sin(

)()sin(

)(

ตวอยาง

หาการแปลงฟรเยร ของสญญาณดงรป ก)

ก) ข) ค)


วธทา

การหาการแปลงฟรเยรในขอนสามราถจะทาไดโดยการอนทเกรตโดยตรง หรออาจใชการแปลงฟรเยรพรฐานมาประกอบกน เนองจากสญญาณในรป ก) ประกอบขนมาจากสญญาณสเหลยม (ทเลอนไป) ในรป ข) และ ค)

ในรป ข) จากการแปลงพนฐานคอ 1

112t

)tsin(At)(Xω

ω=ω โดยท 2

111 == tA , ดงนน

ωω

=ω50

50.

).sin()(X และเมอสญญาณเลอนไปดวย 500 .=T ทาให

00

TjeXTtx ω−ω⇔− )()( จงไดการการแปลงฟรเยรเปน ω−

ωω

=ω 50

5050 .

.).sin()( jeX

ในรป ค) จากการแปลงพนฐานคอ 1

112t

)tsin(At)(Xω

ω=ω โดยท 11 1 == tA , ดงนน

ωω

=ω)sin()( 2X และเมอสญญาณเลอนไปดวย 10 =T ทาให

00


ωω

=ω jeX )sin()( 2

ดงนนผลการแปลงของสญญาณในรป ก) คอ

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

ωω

+ωω

=ωω

+ωω

=ω ω−ω−ω−ω− 505050 250

50250

50 ... )sin(.

).sin()sin(.

).sin()( jjjj eeeeX

ตวอยาง

หาการแปลงฟรเยร ของสญญาณดงรป ก)

x1(t)

t+1-1

-1

+1

x2(t)

t+1-1

-1

+1

ก) ข) ค)

วธทา

การหาการแปลงฟรเยรในขอนสามราถจะทาไดโดยการอนทเกรตโดยตรง หรออาจใชการแปลงฟรเยรพรฐานมาประกอบกน เนองจากสญญาณในรป ก) ประกอบขนมาจากสญญาณสเหลยม ในรป ข) และ ค) ทเลอนไปในทางตรงขาม


ในรป ข) จากการแปลงพนฐานคอ 1

112t

)tsin(At)(Xω


111 == tA , ดงนน

ωω

=ω′50

501 .

).sin()(X และเมอสญญาณเลอนไปดวย 500 .−=T ทาให

00

TjeXTtx ω−ω⇔− )()( จงไดการการแปลงฟรเยรเปน ω+

ωω

=ω 501 50

50 .

.).sin()( jeX

ในรป ค) ยงคงอาศยการแปลงพนฐานคอ 1

112t

)tsin(At)(Xω


111 =−= tA , ดงนน

ωω

−=ω′50

502 .

).sin()(X และเมอสญญาณเลอนไปดวย 500 .+=T ทาให

00


ωω

−=ω 502 50

50 .

.).sin()( jeX

ดงนนผลการแปลงของสญญาณในรป ก) คอ14

( )( )

ωω

ω=

−ωω

=

−ωω

=

ωω

−ωω

=ω+ω=ω

ω−ω+

ω−ω+

ω−ω+

5050502

250502

5050

5050

5050

5050

5050

5050213

.).sin().sin(

.).sin(

.).sin(

.).sin(

.).sin()()()(

..

..

..

j

jeej

ee

eeXXX

jj

jj

jj

หากเราทาการอนทเกรตสญญาณในรป ก)

⎩⎨⎧

<<−<<−

=−+== ∫∫∫−

+

−1001

111

0

0

13

1

14 tt

ttdtdtdttxtx )()()( ซงกคอสญญาณรปสามเหลยม ดงนน

เมออาศยคณสมบตการอนทเกรต จะไดวา )()( ωω

=ω 341 Xj

X หรอ15 )()( fXfj

fX 34 21π

=

14 หากเราไมแทนคา (แตยงมเงอนไขคอ 12tT = หรอ ( )Tttx 1∏=)( ) จะไดรปทวไปคอ )(sin)sin()( fTcAT

ttATX =

ωω

=ω1

1

ดงนน 2

22

1

113 22 T

TTjAT

tttjATX ω

ωω=

ωω

ω=ω)sin(

)sin()sin()sin()( หรอ )(sin)sin()( fTcfTjATfX π= 23

15 หากเราไมแทนคากจะได ( )⎩⎨⎧

+<<−<<−+

=Λ=TtA

tTAtx

TtTt

Tt

0101

4 )()(

)( ทาใหได

22

1

1134 2

2211⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

ωω

=ωω

ωω

=ωω

=ω/

)/sin()sin()sin()()(TTAT

tttjAT

jX

jX หรอ )(sin)( fTcATfX 22

4 =


2

34

5050

50505021

1

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

ωω

=

ωω

ωω

=

ωω

=ω

.).sin(

.).sin().sin(

)()(

jj

Xj

X

ก)

ข)

พงสงกตวา )(tx3 เปนสญญาณจรงปฏสมมาตร (anti-symmetric) ทาใหได )(ω3X เปนคาจนตภาพและเปนฟงกชนค ในทานองเดยวกน )(tx4 เปนสญญาณจรง และสมมาตร (symmetric) ทาใหได )(ω4X เปนคาจงและเปนฟงกชนค

2.5 การตอบสนองความถ (Frequency Response)

เมอ h(t) คอการตอบสนองตออมพลสของระบบ ผลการแปลงฟรเยรของ h(t) จะทาใหได )(H ω

กลาวคอ

∫+∞

∞−

ω−=ω dte)t(h)(H tj (2.63)


)(H ω จะอธบายถงพฤตกรรมทางความถของระบบซงกคอการตอบสนองความถนนเอง ในโดเมนเวลาเราได

)t(x*)t(h)t(h*)t(x)t(y == (2.64)

หาก )(X)t(x);(Y)t(y ω⇔ω⇔ และ )(H)t(h ω⇔ แลว เราสามารถพสจนไดวา ในโดเมนความถ

)(X)(H)(H)(X)(Y ω⋅ω=ω⋅ω=ω (2.65)

หรอ การคณประสานในโดเมนเวลามคาสอดคลองกบการคณในโดเมนความถ หรอในทางกลบกนการคอนโวลชนในโดเมนความถมคาสอดคลองกบการคณในโดเมนเวลา

)(H*)(X)(Z)t(h)t(x)t(z ωωπ

=ω⇔=21 (2.66)

การพสจน )(H)(X)(Z)t(h*)t(x)t(z ωω=ω⇔=

นยาม ∫+∞

∞−

ω−=ω dte)t(z)(Z tj

∫ ∫

∫ ∫

∞+

∞−

∞

∞−

ω−

+∞

∞−

ω−∞

∞−

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡τ−τ=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ττ−τ=ω

dtdte)t(h)(x

dted)t(h)(x)(Z

tj

tj

ให τ−= tm , จะได τ+= mt

∫ ∫+∞

∞−

∞

∞−

τ+ω− τ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡τ=ω ddme)m(h)(x)(Z )m(j

∫ ∫+∞

∞−

∞

∞−

ω−ωτ− τ⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡τ= ddme)m(he)(x mjj

)(H)(X

)(Hde)(x j

ωω=

ωττ= ∫+∞

∞−

ωτ−

การคานวณ y(t) จาก x(t) และ h(t) อาจสามารถทจะคานวณโดยใชการแปลงฟรเยร


h(t)x(t) y(t) = x(t)*h(t)

H(ω)X(ω) Y(ω) = X(ω)H(ω)

FTC

รปท 2.17 การตอบสนองของระบบในเชงเวลาและเชงความถ

รปท 2.18 ความสมพนธระหวางการคณประสานและการคณตามปกต

2.5.1 วงจรกรองความถ วงจรกรองความถกคอระบบทมการตอบสนองตอความถในบางชวงเฉพาะ ความถทแบงชวงการกรองผาน หรอไมกรองผานนนจะเรยกวา ความถคทออฟ (cut-off frequency: cω ) ซงหากเปนอดมคตแลวการเปลยนแปลงนจะตองเปนไปอยางรวดเรวมาก อยางไรกดในทางปฏบตการเปลยนแปลงนจะคอยๆ เปลยน และเรยกวา Roll-off และนยาม cω=ω ท

21=ω)(H เมอพจารณา

ถงยานความถของการตอบสนอง เราจะสามารถแบงวงจรกรองความถออกไดเปน วงจรกรองผานความถตา (Low-pass Filter: LPF) วงจรกรองผานความถสง (High-pass Filter: HPF) วงจรกรองผานเฉพาะความถ (Band-pass Filter: BPF) และวงจรกรองไมผานเฉพาะความถ (Band-reject Filter: BRF)

2.5.1.1 วงจรกรองผานความถตาอดมคต


การตอบสนองความถของวงจรกรองผานความถตาอดมคต ( dt เปนการเลอนของเฟส) คอ

⎪⎩

⎪⎨⎧

ω>ωω≤ω

=ωω−

c

ctj

LPF

deH

||||

)(0

(2.67)

ดงนนการตอบสนองตออพลสของวงจรกคอ

{ } )(sin)()(sin

)()( dd

dLPFLPF ttc

tttt

Hth −=−π−π

=ωℑ= −1 (2.68)

รปท 2.19 การตอบสนองตอความถและการตอบสนองอมพลสของวงจรกรองผานความถตาอดมคต

2.5.1.2 วงจรกรองผานความถสงอดมคต การตอบสนองความถของวงจรกรองผานความถสงอดมคต คอ

⎪⎩

⎪⎨⎧

ω<ωω≥ω

=ωω−

c

ctj

HPF

deH

||||

)(0

(2.69)

หรอ

)()( ω−=ω ω−LPF

tjHPF HeH d (2.70)


1

0

H( )

ก)cc

0c

cSlope = -td ข)

รปท 2.20 การตอบสนองตอความถ (ขนาดและเฟส) ของวงจรกรองผานความถสงอดมคต

2.5.1.3 วงจรกรองผานเฉพาะความถอดมคต การตอบสนองความถของวงจรกรองผานเฉพาะความถอดมคต คอ

⎪⎩

⎪⎨⎧ ω≤ω≥ω

=ωω−

otherwisee

H cctj

BPF

d

021 ||

)( (2.71)

2.5.1.4 วงจรกรองไมผานเฉพาะความถอดมคต การตอบสนองความถของวงจรกรองไมผานเฉพาะความถอดมคต คอ

⎪⎩

⎪⎨⎧ ω≤ω≥ω

=ωω−

otherwisee

H cctj

BRF

d

021 ||

)( (2.72)

0c1

c1

Slope = -tdง)

c2

c2

1

0

H( )

ค)c1c1 c2c2

1

0

H( )

ก)c1c1 c2c2

0c1

c1

Slope = -td ข)

c2

c2


รปท 2.21 ก) ข) การตอบสนองตอความถ (ขนาดและเฟส) ของวงจรกรองผานเฉพาะความถตา ค) ง) การตอบสนองตอความถ (ขนาดและเฟส) ของวงจรกรองไมผานเฉพาะความถตา

2.5.2 แบนวดธของสญญาณ แบนวดธของวงจรกรองความถจะนยามในชวงความถบวกเทานน โดยถอวากาลงของสญญาณจะลดลงเหลอ 50% ของกาลงสงสด (หรอขนาดของการตอบสนองเปน

21 หรอ 70.7% ของคาสงสด)

แบนดวดธจะนยามเฉพาะวงจรกรองผานความถตา และวงจรกรองผานเฉพาะความถเทานน

1

0

ข)cc

21

|H( )|

WB

1

0

|H( )|

ก)cc

21

อดมคต

ทางปฏบต

WB

รปท 2.22 ก) แบนวดธของวงจรกรองความถ ก) วงจรกรองผานความถตา ข) วงจรกรองผานเฉพาะความถ

ตวอยาง

วงจร RC ดงรป จงหา การตอบสนองอมพลส การตอบสนองความถ และแสดงวาเปนวงจรกรองผานความถตา

)(tvi )(tv0

)(ti

R

C

ก)

RCt

eth RC−= 1)(

h(t)

t

ข)

RC1

รปท 2.23 วงจร RC และการตอบสนองตออมพลส

กฏของเคอรชอฟฟ )()( )( tvRCtv dttdv

i 00 += และเมอทาการแปลงฟรเยร )()()( ω+ωω=ω 00 VRCVjVi

จะทาใหไดการตอบสนองความถ คอ

RCjCjRCj

HVV

i ω+=

ω+ω

=ω=ωω

11

110

//

)()()(

เมอทาการแปลงกลบ )(ωH จะได h(t) หรอการตอบสนองอมพลส


{ } RCt

eHth RC−− =ωℑ= 11 )()(

หากให RCc1=ω จะไดการตอบสนองความถคอ16

cjRCj

Hωω+

=ω+

=ω1

11

1)( หรอ

21

1

)()(

c

Hωω+

=ω และ )(tancωω−=φ 1

จะเหนวาเปนวงจรกรองผานความถตาทความถคทออฟ cω=ω จะซงขณะนนคาขนาดกคอ 2

1=ω)(H

21

)(ωH

c

c

2π−

2π

4π

4π−

)(ωφ

ข)

รปท 2.24 ก) การตอบสนองทางขนาด และ ข) การตอบสนองทางเฟส

2.6 การคณประสาน Convolution

การคณประสานของสองสญญาณ คอ สญญาณ x1(t) กบสญญาณ x2(t) แสดงไดโดย )t(x*)t(x 21 จะทาใหไดสญญาณใหม x(t) ทนยามโดย

( ) ( ) ( ) ( ) ττ−τ== ∫+∞

∞−

dtxxtxtxtx 21213 )(* (2.73)

16 เมอให N คอออเดอรของวงจรคดกรองความถ 1) วงจรกรองผานความถตาแบบบตเตอรเวรต (Butterworth LPF) มการตอบสนองเชงขนาดคอ

N

c

GH2

1 ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛+ ωω

=ω)( เมอ G คออตราขยายในชวงปลอยผาน (passband gain) ซง )(0HG =

2) วงจรกรองผานความถตาแบบเชบเชฟ (Chebyshev LPF) มการตอบสนองเชงขนาดคอ

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ε+ ωω

=ωcnc

GH221

)(

เมอ G คออตราขยายในชวงปลอยผาน

ε คอแฟกเตอรการกระเพอม (ripple factor)

cn พาหนามชนดทหนงอนดบท n โดย

⎪⎩

⎪⎨⎧

≥−≤

=−

0101

xxNxxN

xcn )coshcosh()coscos(

)(

หมายเหต ปกตแลวพหนามนจะเขยนในรปแบบรเคอรซฟมากกวา คอ 10 =)(xc และ )()()( xcxxcxc NNN 11 2 −+ −=


A

-t1 +t1

x1(t)

t

A

-t1 +t1

x1(t)

t

A

-t1 +t1

t

x2(t)

t

x3(t)

2A2

+2t1-2t1

A

-t1 +t1

t

x2 (t- )

รปท 2.25 ภาพแแสดงการคณประสาน

1) คณสมบตของการคณประสาน

( ) ( ) ( ) ( )tx*txtx*tx 1221 = (2.74)

( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )[ ]tx*tx*txtx*tx*tx 321321 = (2.75)

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )tx*txtx*txtxtx*tx 3121321 +=+ (2.76)

2) การคณประสานกบฟงกชนหนวยอมพลส

x t t x t( ) ( ) ( )∗ =δ (2.77) )t(x)t()t(x τ−=τ−δ∗ (2.78)

3) ทฤษฎการคณประสาน

หากใหคการแปลงฟรเยร ( ) ( )ω⇔ 11 Xtx และ ( ) ( )ω⇔ 22 Xtx จะไดวา

( ) ( ) ( ) ( )ωω⇔ 2121 XXtxtx * (2.79)

( ) ( ) ( ) ( )ωωπ

⇔ 2121 21 XXtxtx * (2.80)

สมการท (2.61) จะเรยกวา ทฤษฎการคณประสานเชงเวลา (Time convolution theorem) และสมการท (2.62) จะเรยกวาทฤษฎการคณประสานเชงความถ (Frequency convolution theorem)


X( )

2At1

t

x(t)

A

+t1-t1

t

x(t)

A

+t1-t1

X( )

2At1

X( )

(2At1)2 1/2t1

1/2t1

1/2t1

t

x(t)

2A2t1

+2t1-2t1

FT, IFT

FT, IFT

FT, IFT

โดเมนเวลา โดเมนความถ

รปท 2.26 ทฤษฎการคณประสานเชงเวลา (กคอการคณเชงความถ)

หรอในกรณของพลสความถสง (Carrier pulse) ซง ⎩⎨⎧

><ω

=1

1

0 ttforttfortA

tx c

||||)cos(

)( ซง 12tT =

ผลลทธ กคอ

{ } { })(sin)(sin)(sin)(sin)( ccAT

cc ccccAtX ω+ω+ω−ω=ω+ω+ω−ω=ω 21

รปท 2.27 ทฤษฎการคณประสานเชงความถ (กคอการคณเชงเวลา)


2.7 สหสมพนธและความหนาแนนสเปคตรม Correlation & Spectrum Density

2.7.1 สหสมพนธของสญญาณทมพลงงาน

เมอให x1(t) และ x2(t) เปนสญญาณทมคาจรง สหสมพนธตรงขาม (cross-correlation) )(R τ12

ของ x1(t) และ x2(t) จะนยามโดย

( ) ( ) ( )dttxtxR τ−=τ ∫+∞

∞−2112 (2.81)

และสหสมพนธอตโนมตหรอ สหสมพนธเฉพาะตว หรออตสมพนธ (auto-correlation) ของ x1(t) สามารถจะนยามไดโดย

( ) ( ) ( )dttxtxR τ−=τ ∫+∞

∞−1111 (2.82)

คณสมบตของสหสมพนธมดงน

( ) ( )R R12 21τ τ= − (2.83)

( ) ( )τ−=τ 1111 RR (2.84)

( ) ( )[ ] EdttxR == ∫∞

∞−

2111 0 (2.85)

เมอ E เปนคาพลงงานนอมลไลซของ x1(t)

ตวอยาง

จงหาผลอตสมพนธ เมอ )t(ue)t(x at−= โดย 0>a

วธทา จากนยามของอตสมพนธ

( ) ( ) ( )

dttuetue

dttxtxR

taat )()( )( τ−=

τ−=τ

∫

∫∞+

∞−

τ−−−

+∞

∞−1111


dttutuee ata )()( τ−= ∫+∞

∞−

−τ 2

เมอ 0>τ จะไดวา ⎩⎨⎧

τ<τ>

=τ−tt

)t(u)t(u01

ดงนน

( ) τ−+∞

∞−

−τ ==τ ∫ aata ea

dteeR212

11

เนองจาก ( )τ11R เปนฟงกชนคของ τ ดงนน

( ) ||aea

R τ−=τ21

11 โดยท 0>a

||)( τ−=τ aeR11)()( tuetx at−=

รปท 2.28 ก) ลกษณะสญญาณตามโจทย และ ข) ผลการหาคาอตสมพนธ

2.7.2 ความหนาแนนของแถบพลงงาน (Energy Spectral Density: ESD)

เมอให )(R τ11 เปนอตสมพนธของ x1(t) แลว จะเรยก )(S ω11 ซงเปนผลการแปลงฟรเยรของ )(R τ11 วาเปนความหนาแนนของสเปคตรมพลงงาน (Energy Spectral Density: ESD) โดยท

( ) ( )[ ] ( ) ττ=τℑ=ω ωτ−∞

∞−∫ deRRS j

111111 (2.86)

และเมอทาการแปลงกลบฟรเยรสมการท (2.86) กจะได

( )[ ] ( )∫∞

∞−

ωτ− ωωπ

=ωℑ=τ deSS)(R j1111

111 2

1 (2.87)

โดยทหาก x1(t) เปนคาจรง กจะได

( )[ ] ( ) 211111 ω=τℑ=ω XR)(S (2.88)

และ


( ) ( )∫∞

∞−

ωτ ωωπ

=τ deXR j2111 2

1 (2.89)

และเมอกาหนดให 0=τ จะไดวา

( ) ( )∫∞

∞−ωω

π= dXR 2

111 210 (2.90)

ดงนนสมการ (2.85, 2.90) จงเขยนใหมเปน

( )[ ] ( )∫∫∞

∞−

∞

∞−ωω

π== dXdttxE 2

12

1 21 (2.91)

2111 )(X)(S ω=ω จงเรยกวาเปนความหนาแนนของแถบพลงงานของ x1(t)

สมการ (2.73) น บางทกเรยกวา ทฤษฎพาเซวาลสาหรบการแปลงฟรเยร (หรอบางทเรยก ทฤษฎพลงงานของราเลย: Rayleigh’s Energy Theorem) ซงหมายถงวา พลงงานจะหาไดเชนเดยวกน ไมวาในโดเมนเวลาหรอ โดเมนความถ

2.7.3 สหสมพนธของสญญาณทมกาลงงาน

คาเฉลยเชงเวลาของอตสมพนธ (Time-average Autocorrelation) R11( )τ หรอบางทเรยก ฟงกชนอตสมพนธเฉลย (Average Autocorrelation Function) ของสญญาณพลงงาน )(tx1 ทมคาจรง นยามไดคอ

( ) ( ) ( )∫+

−∞→τ−=τ

2

21111

1 /T

/TTdttxtx

TlimR (2.92)

พงสงเกตวา

( ) ( ) ( ) 12

21111

10 PdttxtxT

limR/T

/TT=τ−= ∫

+

−∞→ (2.93)

และถาหาก สญญาณ )(tx มคาบเวลา 0T แลว

( ) ( ) ( )∫+

−

τ−=τ2

211

011

0

0

1 /

/

T

T

dttxtxT

R (2.94)


หรอ17

( ) τω∞=

−∞=∑=τ 02

11jn

n

n

necR (2.95)

ตวอยาง

จงหาคาเฉลยเชงเวลาของอตสมพนธของสญญาณคลนสเหลยมทมความสง A และ Duty cycle = 50%

วธทา จากนยามของคาเฉลยเชงเวลาของอตสมพนธ R11( )τ คอ

( ) ( ) ( )∫+

−

τ−=τ2

211

011

0

0

1 /

/

T

T

dttxtxT

R

ดงนน ในชวง 02 <τ<− T

( )

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ τ

+=

=τ ∫τ++

−

TA

dtAT

R

T

T

21

1

2

211

4

4

และในชวง 20 T<τ<

( )

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ τ

−=

=τ ∫+

−τ

TA

dtAT

R

T

T

21

1

2

211

4

4

ซงจะสงเกตเหนวาคาเฉลยเชงเวลาของอตสมพนธของสญญาณทมคาบเวลา กจะมคาบเวลาเดยวกน 18

17 tnmjjmmn

n

n

n

n

tjmm

n

n

tjnn

n

neeccecectxtxR )(*)(** )()()( −ωτω

∞=

−∞=

∞=

−∞=

τ+ω∞=

−∞=

ω−∞=

−∞=∑∑∑∑ ==τ+=τ 0000

1111

แตเนองจาก nmtnmje δ=−ω )(0 ดงนน τω

∞=

−∞=∑=τ 02

11jm

n

n

necR )(

18 เมอให )(tx1 เปนสญญาณมคาบเวลา 1T จะได )()( 111 Ttxtx += และ )()( 111 Ttxtx +τ−=τ− ดงนน

[ ] [ ] [ ] )()()()()()(/

/

/

/

/

/

τ=τ−=+τ−=−τ−=τ− ∫∫∫+

−

+

−

+

−1111

2

2

1111

2

2

1111

2

2

111

1

11

1

11

1

11

RdttxtxdtTtxtxdtTtxtxtRT

TT

T

TT

T

TT


x(t)

t

A

T/2 T0-T/2-T T/4-T/4

T/2 T0-T/2-T T/4-T/4

R11( )

ก)

ข)

22A

รปท 2.29 ก) ลกษณะสญญาณตามโจทย และ ข) ผลการหาคาเฉลยเชงเวลาของอตสมพนธ

2.7.4 ความหนาแนนสเปคตรมกาลงงาน (Power Spectral Density: PSD)

ความหนาแนนสเปคตรมกาลงงาน (Power Spectral Density: PSD) ของสญญาณ x1(t) กคอผลการแปลงฟรเยรของคาเฉลยเชงเวลาของอตสมพนธ เขยนไดโดย )(S ω11 ซงนยามจาก

( ) ( )[ ] ( )∫∞

∞−

ωτ− ττ=τℑ=ω deRRS j111111 (2.96)

หรอ

( ) ( )[ ]

[ ] )( 022

21111

0

0

ω−ωδ=ℑ=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ℑ=τℑ=ω

∑∑

∑∞=

−∞=

τω∞=

−∞=

τω∞=

−∞=

ncec

ecRS

n

n

n

jnn

n

n

jnn

n

n (2.97)

ดงนน

( ) ( )[ ] ( ) ωωπ

=ωℑ=τ ωτ∞

∞−

− ∫ deSSR j1111

111 2

1 (2.98)

และเมอให 0=τ จะได

( ) ( ) ωωπ

= ∫∞

∞−dSR 1111 2

10 (2.99)


จากสมการ (2.75a) จงได

( )[ ] ( ) ωωπ

== ∫∫∞

∞−

+

−∞→dSdttxlimP

/T

/TT11

2

2

211 2

1 (2.100)

นคอเหตผลวาทาไม จงเรยก S11( )ω วาเปนความหนาแนนสเปคตรมพลงงานของ x1(t)

2.8 การสมสญญาณตอเนอง (Sampling of Continuous Signal)

ในทางปฏบตเรามกมสญญาณตอเนองทางเวลาเสมอ แตเมอตองการประมวลสญญาณในเชงเวลาเตมหนวย สญญาณตอเนองดงกลาวจะถกเปลยนรปใหเปนสญญาณเวลาเตมหนวยทสอดคลองกน วธการกคอการแทนสญญาณตอเนองเปนชวง ๆ หางกนเวลา sT คงท (คอการสมตวอยาง) ถาหาก

sT มคาทเหมาะสมแลวการแทนดงกลาวจะยงคงความถกตองเอาไว ดงนนผลการสมกคอการคณสญญาณตอเนองดวยสญญาณอมพลสทเลอนไปเรอย ๆ แตละครงกหางกนเปนเวลา

ss f/TT 1== ซงสญญาณอมพลสทเลอนไปเรอย ๆ นนสามารถเขยนไดเปน

∑+∞

−∞=τ−δ=δ )nTt()nT( (2.101)

ดงนน

∑

∑

∑

∞+

−∞=τ

∞+

−∞=τ

∞+

−∞=τ

−δ=

−δ=

−δ⋅=

δ⋅==

)nTt()nT(x

)nTt()t(x

)nTt()t(x

)nT()t(x)nT(x)t(y

(2.102)

สงเกตวา x(t) ซงเปนสญญาณตอเนองจะแทนดวยชดแถวของตวแทนทนบดวยคาของเลขจานวนเตม n คอ )nT(x โดยแตละตวอยางนนจะหางกนดวยเวลา T กระบวนการสมนแสดงไดดงรป


รปท 2.30 แสดงการสมสญญาณ

กระบวนการดงกลาวนอาจแสดงไดในโดเมนทางความถ หาก )(X)t(x);()t( ω⇔ωδ⇔δ การคณ

ในโดเมนเวลากคอการคณประสานในโดเมนความถ เมอ ∑∑+∞

−∞=

ππ+∞

−∞=−ωδ⇔−δ

nTn

Tn

)()nTt( 22

ดงนน

∑

∑

∑

∞+

−∞=

π

∞+

−∞=

π

+∞

−∞=

πππ

−ω=

−ωδω=

−ωδω=ω

nTn

T

nTn

T

nTn

T

)(X

)(*)(X

)(*)(X)(Y

21

21

2221

(2.103)

แสดงวาขนาดของ )(X ω จะถกคณดวย T/1 และจะกระจายหรอเลอนไปหางกนออกไปดวยความหางชวงละ T/π2 ดงนนเพอปองกนไมใหมการซอนทบกนของ )(X ω หรอเกด Aliasing Effect

ขน )(X ω จะตองมชวงความถอยระหวาง T/π− ถง T/π+ �หรอ 0=ω)(X เมอ T/π>ω หรอ

sa ff π<π2 เมอ aω หรอ af เปนความถของสญญาณตอเนอง


δ(ω)

2π/T

2π/T

ω

X(ω)

ω

A

+π/T−π/T 0−3π/T +2π/T

A/T

Y(ω)

ω+3π/T−2π/T

รปท 2.31 แสดงการสมสญญาณอธบายในโดเมนความถ

ทฤษฎการสมสญญาณ “ถาหากสญญาณตอเนอง )t(xa ทมความถไมเกน maxmax 2 afπ=ω ขอมลของสญญาณตอเนองนนสามารถจะอธบายไดดวย )nT(x เมอ sfT =/1 ถาหาก max2 as ff > ”

2.8.1 การเกดการซอนทบของสเปคตรม (Aliasing Effect)

พจารณาเมอความถในการสมสญญาณนอยกวา 2 เทา ของของความถของสญญาณทถกสม หรอ

sa ff >2 หรอ T/π>ω ผลจากการสมสญญาณในโดเมนความถจะได

∑+∞

−∞=

π−ω=ωn

Tn

aT XY )()( 21 (2.104)

หาก T/π>ω จะเหนไดวามการซอนทบของสเปคตรมเกดขน การบวกกนในบรเวณทซอนทบ ทาใหคาสเปคตรมผดพลาดไปจากคาทควรจะเปน เมอสรางคนสญญาณกจะไดคาทไมถกตอง

รปท 2.32 แสดงการเกดการซอนทบแถบสเปคตรม (Aliasing Effect) ในโดเมนความถ


รปท 2.24 แสดงการสมสญญาณอนาลอกทมความถ 500 เฮรทซ และ 1500 เฮรทซ ซงทง 2

สญญาณนมขนาดเทากน โดยความถทใชสมมคา 2,000 เฮรทซ และ 5,000 เฮรทซ จะเหนวาตวอยางทไดจากการสมดวยความถ 2,000 เฮรทซ นน แยกไมไดวา เปนตวอยางของสญญาณ 500

เฮรทซ หรอ 1500 เฮรทซ ในทางกลบกนตวอยางทไดจากการสมดวยความถ 5,000 เฮรทซ นน แยกไดวา เปนตวอยางของสญญาณ 500 เฮรทซ หรอ 1500 เฮรทซ

เมอเฟสของสญญาณ 500 เฮรทซ เปลยนไป จะสงเกตเหนวาตวอยางทจากทงสองสญญาณแตกตางออกไปบาง แตกมหลายตวอยางทซ ากน ยงมการซนซอนของตวอยางมากขน กจะทาใหการจาแนกยงยากไปดวย สรป คอ

fs = 2 KHz fs = 5 KHz

เฟส 0° (รปท2.12) ซ ากน 2 ตวอยาง จาก 4 ตวอยาง ซ ากน 2 ตวอยาง จาก 10 ตวอยาง

เฟส 180° (รปท2.13) ซ ากน 4 ตวอยาง จาก 4 ตวอยาง ซ ากน 2 ตวอยาง จาก 10 ตวอยาง

รปท 2.33 แสดงการสมสญญาณอนาลอก เมอ as ff 2< ( KHz.f,kHzf as 512 == ) และ as ff 2> ( KHz.,Hzf,kHzf as 515005 == )


fa=1500Hzfa=500Hz

0.2 ms/Div

fs = 5 KHz (Ts=0.2ms)

fs = 2 KHz (Ts=0.5ms)

รปท 2.34 เมอเฟสของสญญาณเปลยนไป

ตวอยาง จงหาอตราอตราการสมทตาทสดทควรกระทาตอสญญาณ x(t) เมอ

ก) tcostcos)t(x ππ= 300010002 ข) ttsin)t(x

ππ

=200 ค)

2400⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

ππ

=ttsin)t(x

วธทา

ก) tcostcos)t(x ππ= 300010002 = tcostcos π+π 40002000

ซงจะเหนวา Hzfa 2000= ดงนน kHzff as 42 ==

ข) ttsin)t(x

ππ

=200

จากการแปลงฟรเยรของ ⎩⎨⎧

>ω<ω

=π a||

a||tatsin

01 หรอ

⎩⎨⎧

>ω<ω

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

πℑ

a||a||

tatsin

01

(ทานองเดยวกน ωω

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎩⎨⎧

><

=ℑaasina

a|t|a|t|

)t(x 201 )

ซงจะเหนวา Hzfa 100= ดงนน Hzff as 2002 ==

ค) 2400⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

ππ

=ttsin)t(x

จากกฎของการคณประสาน )(X)(X)t(x)t(x ωω⇔ π 2121

21 กรณน

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

ππ

==ttsin)t(x)t(x 400

21 ดงนน

Hzfa 200= ดงนน Hzff as 4002 ==


2.9 การสรางคนสญญาณ (Signal Reconstruction)

การสรางคน x(t) จาก )nT(x)t(y = นน สามารถทจะกระทาไดอยางถกตองหากการสมเปนไปตามทฤษฎการสมสญญาณ เมอผานสญญาณ )nT(x เขาไปยงวงจรกรองผานความถตากจะได x(t) การกระทาดงกลาวอาจอธบายไดทงในโดเมนความถและโดเมนเวลา ผลของการสมทาใหสเปคตรมในขอบเขต aω± กระจายออกดวยความหางชวงความถ T/π2 ในการนากลบคนเราตองการเฉพาะ

)(X ω ชวง aω± เทานน ดงนนนอกชวงดงกลาวจะตองคณดวยศนย และคณดวย T ในชวง aω±

หรอ

)(H)(Y)(X ω×ω=ω (2.105)

วงจรกรองผานความถตามคณสมบตการตอบสนองความถคอ

⎩⎨⎧ ω<ω

=ωelsewhere

TH c

0||

)( (2.106)

ดงนนเมอแปลงกลบฟรเยรจะได (ให Tcc f π=π=ω 2 )

TtTt

ttTHth

c

cc

/)/sin()sin()}({)(

ππ

=ωω

πω

=ωℑ= −1 (2.107)

รปท 2.35 แสดงการสรางคนสญญาณทถกสมอธบายในโดเมนความถ

การคณในโดเมนเวลากคอการคณประสานในโดเมนเวลา


∑

∑

∞+

−∞=

∞+

−∞=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

ππ

−δ=

−δππ

=

==

n

n

T/t)T/tsin(*)nTt()nT(x

)nTt()nT(x*T/t)T/tsin(

)t(y*)t(h)t(h*)t(y)t(x

(2.108)

โดยอาศยคณสมบตทวา )tt(x)tt(*)t(x 00 −=−δ จงได

∑

∑

∞+

−∞=

+∞

−∞=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −π

=

−π−π

=

n

n

TnTt(csin)nT(x

T/)nTt(}T/)nTt(sin{)nT(x)t(x

(2.109)

กคอการรวมกนของสญญาณ xxsin ทใหน าหนกโดย )nT(x และเลอนไปทละเวลา T ซงวธการน

จะเรยกวาการอนเตอรโปเลชน (Interpolation)

0-T T 2T 3T

x(t)

t

รปท 2.36 แสดงการสรางคนโดยการอนเตอรโปเลชน

ตวอยาง จงแสดงวาหากความถทใชสม (fs) เทากบหรอมากกวาสองเทาของความถสงสดของสญญาณทถกสมแลว ( (max)af ) สญญาณทผานการสมแลวนนสามารถทจะสรางคนไดจาก โดยการผานวงจรกรองผานความถตา

วธทา สญญาณ )nT(x กคอสญญาณทไดจากการคณระหวาง สญญาณ x(t) กบชดแถวของพลส

)t(xp ทมคาบเวลา Ts และมความกวาง TW ดงนน จงเขยน )t(xp ไดเปน

∑∞

−∞=

ω=n

tjnnp sec)t(x เมอ sss T/f π=π=ω 22


โดยท 22

/Tn)/Tnsin(

TT

cWsWs

sW

n ωω

= (เทยบกบตวอยางขางหนากคอ dTW = และ TTs = ) ดงนน

∑∑∞

−∞=

ω∞

−∞=

ω ==n

tjnn

n

tjnn ss e)t(mcec)t(x)nT(x

จากคณสมบตการเลอนทางความถของการแปลงฟรเยร จะได

∑∞

−∞=ω−ω=ω

nsn )n(Xc)n(X

เหนไดชดวาสเปคตรมปรากฎท snω ดวยขนาดทเปลยนไปตาม cn ดงนน หาก ms ω>ω 2 แลวจะไมมการซอนทบของสเปคตรม หรอ x(t) สามารารถทจะสรางคนไดอยางถกตองโดยการให

)nT(x ผานวงจรกรองผานความถตา //E


แบบฝกหด 1. จงหาการแปลงฟรเยรของสญญาณตอไปน

⎪⎩

⎪⎨⎧ τ<

τ−=

elsewheretfortAtx

0

||)( หรอ

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

τ>τ<<−

<<τ−+τ−<

=τ

τ

ttAtA

t

tx t

t

00

00

)(

(คาตอบ 2

22⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ωτωτ

τ=ω)/()/sin()( AX )

2. และผลการแปลงฟรเยร (X(ω)) ของสญญาณดงรป

(สงเกต สญญาณดงกลาวเปนการบวกกนของสญญาณสเหลยม 2 ชด ดงนนแสดงการหาเพยงชดเดยวแลวใชคณสมบตการบวกกน)

3. และผลการแปลงฟรเยร (X(ω)) ของสญญาณดงรป โดยใชวธการดงน

ก) หาโดยการอนทเกรทโดยตรง ข) ทาการอนทเกรท จาก -1 ถง +1 แลวใชคณสมบตการเลอนทางเวลา ค) ใชคณสมบตการ Differentiate ซงจะทาใหไดสญญาณสเหลยม

t

+1 +2

1

x(t)

4. จงแสดงใหเหนผลการแปลงฟรเยร (หาทงขนาดและเฟส พรอมสเกตรปราง)

t

+1-1

1

x(t)

t

+1-1

1

x(t)

t

+1-1

1

x(t)

t

+1-1

1

x(t)

ก) ข) ค) ง)


( สงเกต ใชคณสมบตการเลอนทางเวลา)

5. จงแสดงใหเหนผลการแปลงฟรเยร

3.1 )t()t(x δ= จะได 1)( =ωX 3.2 )tt()t(x 1−δ= จะได 1)( tjeX ω−=ω

6. หาก x(t) เปนสญญาณมคาบเวลา จงหาผลการแปลงฟรเยรของสญญาณนน

( คาตอบ เพราะวา tjnn

nnectx 0ω

∞=

−∞=∑=)( และ )( 020 ω−ωπδ⇔ω tje จงได )()( 02 ω−ωδπ=ω ∑

∞=

−∞=

ncXn

nn ซงก

คอชดแถวของอมพลลสทถวงนาหนก หางกนในระยะเทาๆกนเปนจานวนเทาของความถมลฐาน)

7. จงหาผลการแปลงฟรเยรของสญญาณซกนม 12 −= )()sgn( tut

( คาตอบ { }ω

−=ℑ=ωj

tX2

)sgn()( ทมคาเปนจนภาพเพราะวาซกนมเปนสญญาณจรงปฏสมมาตร)

8. จงหาคาฟงกชนอตสมพนธเฉลย ของสญญาณรปซายน )sin()( φ+ω= tAtx 1 โดยท 1

21 T

π=ω

( คาตอบ )cos()( τω=τ 1

2

11 2AR )

9. จงหาความหนาแนนสเปคตรมกาลงงาน ของสญญาณคลนสเหลยม (square wave, 50% duty cycle)

( คาตอบ ( ) ( ) )()(sin

0

22

202

112

2 ω−ωδ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=ω−ωδ=ω π

π

∑∑∞=

−∞=

∞=

−∞=

nncS n

nA

n

nn

n

n)

10. ในโดเมนเวลาหาก ∫∞

∞−=ττ−τ= )(*)()()()( thtxdthxty จงแสดงใหเหนวาในโดเมนความถ

)()()()()( ωω=ωω=ω XHHXY

11. จงแสดงใหเหนการซอนทบของสเปคตรม (Aliasing Effect) และแนวทางการหลกเลยง

--------------- ---------------


สารบญ

บทท 2 ............................................................. 1

สญญาณและระบบ ...................................................................................................................................................... 1 Signal & System ................................................................................................................................................... 1

2.1 สญญาณและประเภทของสญญาณ ................................................................................................................. 1 2.1.1 สญญาณทมความตอเนอง และสญญาณเตมหนวย ..................................................................................... 1 2.1.2 สญญาณเชงอปมาน และสญญาณเชงเลข ................................................................................................. 2 2.1.3 สญญาณจรง และสญญาณเชงซอน .......................................................................................................... 3 2.1.4 สญญาณทระบได และสญญาณทระบไมได .............................................................................................. 3 2.1.5 สญญาณทมคาบเวลา และสญญาณทไมมคาบเวลา .................................................................................... 3 2.1.6 สญญาณพลงงาน และสญญาณกาลงงาน .................................................................................................. 5

2.2 ระบบและการแบงระบบ ............................................................................................................................... 9 2.2.1. ระบบทตอเนองทางเวลาและระบบทไมตอเนองทางเวลา .......................................................................... 9 2.2.2. ระบบเชงเสน ........................................................................................................................................ 9

1) การบวกกนของสญญาณ x1(t) และสญญาณ x2(t) ..................................................................................... 9 2) ความเปนเอกพนธ .................................................................................................................................. 9

2.2.3. ระบบเวลาไมเปลยนแปร ...................................................................................................................... 10 2.2.4 ระบบเชงเสนเวลาไมเปลยนแปร ........................................................................................................... 10

1. คณสมบตเชงเสน (Linearity) ............................................................................................................... 10 2. คณสมบตเวลาไมเปลยนแปร (Time invariance) .................................................................................. 11 3. คณสมบตการเสถยร (Stability) ............................................................................................................ 11 4. คณสมบตการมเหต (Causality) ........................................................................................................... 11

2.3 การตอบสนองอมพลส ................................................................................................................................ 12 2.4 ระบบสญญาณตอเนอง ............................................................................................................................... 13

2.4.1 อนกรมฟรเยร ...................................................................................................................................... 13 2.4.2 กาลงของสญญาณ ................................................................................................................................. 26 2.4.3 การแปลงฟรเยร (ฟรเยรอนทกรล) .......................................................................................................... 26 2.4.4 ฟงกชนเดลตา หรอดเรกพลส ................................................................................................................ 34 2.4.5 คณสมบตทสาคญของการแปลงฟรเยร .................................................................................................. 37

1) คณสมบตความเปนเชงเสน (Linearity) ................................................................................................ 37 2) คณสมบตการเปลยนขนาดในเชงเวลาและความถ (Time-Frequency Scaling) ..................................... 38


3) คณสมบตการเลอนในเชงเวลาและความถ (Time-Frequency Shift) ..................................................... 39 4) คณสมบตเวลากลบหลง และคณสมบตคควบ (Time Reversal & Duality Properties)........................ 39 5) คณสมบตอนพนธและอนทเกรต (Differentiate & Integrate Properties) .......................................... 39

2.4.6 คการแปลงฟรเยรทสาคญ ..................................................................................................................... 40 2.5 การตอบสนองความถ ................................................................................................................................. 46

2.5.1 วงจรกรองความถ ................................................................................................................................ 48 2.5.1.1 วงจรกรองผานความถตาอดมคต .................................................................................................... 48 2.5.1.2 วงจรกรองผานความถสงอดมคต .................................................................................................... 49 2.5.1.3 วงจรกรองผานเฉพาะความถอดมคต............................................................................................... 50 2.5.1.4 วงจรกรองไมผานเฉพาะความถอดมคต .......................................................................................... 50

2.5.2 แบนวดธของสญญาณ .......................................................................................................................... 51 2.6 การคณประสาน ......................................................................................................................................... 52

1) คณสมบตของการคณประสาน ................................................................................................................... 53 2) การคณประสานกบฟงกชนหนวยอมพลส ................................................................................................... 53 3) ทฤษฎการคณประสาน .............................................................................................................................. 53

2.7 สหสมพนธและความหนาแนนสเปคตรม ..................................................................................................... 55 2.7.1 สหสมพนธของสญญาณทมพลงงาน ..................................................................................................... 55 2.7.2 ความหนาแนนของแถบพลงงาน (Energy Spectral Density: ESD) ................................................... 56 2.7.3 สหสมพนธของสญญาณทมกาลงงาน .................................................................................................... 57 2.7.4 ความหนาแนนสเปคตรมกาลงงาน (Power Spectral Density: PSD) .................................................. 59

2.8 การสมสญญาณตอเนอง .............................................................................................................................. 60 2.8.1 การเกดการซอนทบของสเปคตรม (Aliasing Effect) ........................................................................... 62

2.9 การสรางคนสญญาณ ................................................................................................................................... 65 แบบฝกหด ........................................................................................................................................................ 68

digital communication2 สัญญาณและระบบ

Engineering

Transcript of digital communication2 สัญญาณและระบบ