Digital (6,49 Mb)

Autores:

Programa Nacional El CSIC en la Escuela:María del Carmen Refolio Refolio.María José Gómez Díaz.Esteban Moreno Gómez.Salomé Cejudo Rodríguez.José Manuel López Álvarez.José María López Sancho.

Dirección:José María López Sancho.

Coordinación:María José Gómez Díaz.

Ilustraciones:Alejandro Martínez de Andrés.

Imprime:BOCM

Los autores agradecen la colaboración de Alfredo Martínez Sanz en la elaboración del manuscrito.

Colección:Material Didáctico.

© Comunidad de Madrid. Consejería de Educación. Dirección General de Mejora de la Calidad de la Enseñanza.Depósito Legal: M-50300-2009I.S.B.N.: 84 - 451 - 3251 - 2Tirada: 2.000 ejemplares

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Sello

JFD1921

Cuadro de texto

Esta versión digital de la obra impresa forma parte de la Biblioteca Virtual de la Consejería de Educación de la Comunidad de Madrid y las condiciones de su distribución y difusión de encuentran amparadas por el marco legal de la misma. www.madrid.org/edupubli [email protected]

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mailto: [email protected]

Presentación 007

Introducción 011

CAPÍTULO 1. LUCES Y SOMBRAS EN LA VIDA COTIDIANA 017

1.1. Consideraciones generales sobre la visión. 019

1.2. Los tres actores del proceso de la visión. 019

1.3. La maravilla de las sombras y la destrucción del preconcepto de Platón. 020

1.4. El modelo de rayos. 021

1.5. Una cuestión sobre la que meditar: ¿qué es una línea recta? 024

1.6. La propagación rectilínea de la luz. 026

1.7. El efecto de una fuente extensa a una distancia finita. 026

CAPÍTULO 2. LUCES Y SOMBRAS EN LA ASTRONOMÍA COTIDIANA 029

2.1. Experimento sobre el sistema Tierra-Sol. 031

2.2. El sistema Tierra-Sol. 033

2.3. Otro efecto de luces y sombras: las fases de la Luna. 039

2.4. El sistema Tierra-Luna-Sol: los eclipses de la Luna y del Sol. 042

CAPÍTULO 3. FORMACIÓN DE IMÁGENES CON EL MODELO DE RAYOS 047

3.1. La cámara oscura. 049

3.2. Un experimento interesante: la medida del diámetro del Sol. 052

3.3. ¿Qué ocurre cuando un rayo encuentra un espejo? 053

Las leyes de la reflexión.

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ÍNDICE

I

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3.4. ¿Qué ocurre cuando la luz cambia de medio? 056

Las leyes de la refracción.

3.5. Ángulo crítico. 060

3.6. Imágenes en las lentes convergentes. 061

3.7. Imágenes en las lentes divergentes. 068

3.8. La cámara oscura mejorada: la cámara fotográfica. 071

3.9. Modelo de ojo humano. 072

3.10. Defectos ópticos del ojo. 073

3.11. La retina. 075

CAPÍTULO 4. EL ENIGMA DE LOS COLORES 077

4.1. La óptica en la época de Isaac Newton, Thomas Young y James 079

Clerk Maxwell.

4.2. El experimentum crucis de Newton. 079

4.3. El experimento del prisma. 081

4.4. La composición aditiva de los colores. 084

4.5. El modelo de Young. 086

4.6. El experimento de Maxwell. 087

4.7. Fisiología de la visión. 088

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Índice

CAPÍTULO 5. SIMULACIÓN DE LA PROFUNDIDAD: LA PERSPECTIVA LINEAL 091

5.1. Codificación de la distancia. 093

5.2. Un ejercicio de competencias pedagógicas: cómo engañar al ojo. 094

5.3. La perspectiva en la pintura. 097

5.4. Antecedentes históricos. 098

5.5. La pintura renacentista. 099

5.6. El ocaso de la física y de la perspectiva clásica. 102

CAPÍTULO 6. ILUSIONES ÓPTICAS: LA SENSACIÓN DE MOVIMIENTO Y EL CINE 103

6.1. La sensación de movimiento. 105

6.2. Los juguetes ópticos. 105

6.3. Historia del cine. 108

EPÍLOGO. LA ÓPTICA EN EL SIGLO VEINTE Y LA NATURALEZA DE LA LUZ 111

7.1. Antecedentes históricos. 113

7.2. La dualidad partícula-onda y el fotón de Feynman. 113

PPRESENTACIÓN

La Consejería de Educación y el Consejo Superior de Investigaciones Científicas firmaron, durante el curso 2004-2005, un acuerdo de colaboración para favorecer la enseñanza de la Ciencia en las edades tempranas de Edu-cación Infantil y Primaria.

Como resultado de esta colaboración, se ha trabajado en la formación de maestros y en la elaboración de proyec-tos de fácil aplicación en el aula, con lo que se ha ido asentando una base metodológica científica que permiteelaboraciones más complejas en los siguientes niveles educativos.

Con este propósito de acercar la ciencia a los alumnos más pequeños se han publicado ya dos libros, Descu-briendo las moléculas: un proyecto para el aula y Magnetismo en el aula con el propósito de que sirvieran decomplemento a la formación teórica y la aplicación práctica, dentro de un espacio común entre investigadores ydocentes. El trabajo que ahora se edita, Óptica para maestros: una aproximación del modelo de rayos parael aula de Educación Infantil y Primaria, bajo la dirección de científicos del CSIC, es el tercer libro de esta serieque ha tenido una gran acogida en los centros educativos madrileños.

En este libro se proporcionan bases teóricas y recursos didácticos para facilitar la enseñanza de la Óptica en lasaulas. El punto de partida es empírico: cualquier proceso de enseñanza de la Ciencia debe basarse en la curiosi-dad de los alumnos, en las preguntas que se hace cualquier niño. En el caso particular de la Óptica, por ejemplo,los autores aprovechan el interés que despierta en los alumnos fenómenos tan cotidianos como la proyección deuna sombra, la luz que aparece en el ámbito doméstico o la luz de los cuerpos celestes. Para responder a esacuriosidad, se realiza un recorrido histórico por los distintos modelos explicativos. Se parte del modelo de rayos,se analizan las leyes de la Óptica y se recogen, por último, los debates que ha suscitado la naturaleza de la luz,para concluir con una reflexión sobre la misma.

La Consejería de Educación confía en que Óptica para maestros tenga la misma utilidad didáctica que han teni-do las anteriores publicaciones de este ciclo, encaminado a acercar los fundamentos y la metodología científicosal aula.

Xavier Gisbert da CruzDirector General de Mejora de la Calidad de la Enseñanza

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Presentación

INTRODUCCIÓN

I

Introducción

El libro que tienes en las manos es el tercero que sepublica como resultado de la colaboración entre elConsejo Superior de Investigaciones Científicas y laConsejería de Educación de la Comunidad de Madrid,acuerdo que comenzó en el año 2004. Como en lasanteriores obras, el objetivo común es el de proporcio-nar al profesor de Educación Infantil y Primaria los ele-mentos indispensables de conocimientos y procedi-mientos para introducir el estudio de la luz en susaulas. Como es evidente, el conocimiento de los maes-tros no debe limitarse estrictamente a lo que debenenseñar a sus alumnos, sino que deben comprenderlos fenómenos con más profundidad que ellos y tienenque estar preparados para las posibles preguntas, engeneral muy inteligentes, de los niños. Hemos introdu-cido, además, algunas anécdotas históricas que fijanlos momentos en los que tuvieron lugar algunos descu-brimientos importantes, y que sirven tanto para preci-sar la época en la que ocurrieron como para hacer másamena la obra.

Todo el mundo sabe que la óptica es la ciencia quetrata de dar respuesta a preguntas que se hicieron losseres humanos sobre el fenómeno de la visión, desdeel origen de la humanidad. La periodicidad de los díasy las noches, definidas por la sucesión de luz y oscuri-dad, y la presencia del Sol o la Luna en el firmamentopara que fuera posible percibir el mundo, debió de sem-brar de preguntas y respuestas la mente de nuestrosantecesores.

La luz era algo que procedía de fuera de la Tierra,hasta que se desarrolló la técnica de producir y mante-ner el fuego. Sin duda dio mucho que pensar el hechode que cuando, en la oscuridad de una cueva, seencendía una hoguera, como por arte de magia sepodían percibir las imágenes de los objetos y de laspersonas. Esto provocó un sinnúmero de interrogantes,los mismos sin duda que aparecen en la mente de losniños cuando se enciende una luz porque, como dijo

Aristóteles en su Metafísica, el conocimiento es undeseo natural en todos los hombres.

¿Qué es la luz? ¿Qué relación existe entre el calor dela vela y la luz que produce? ¿Cuál es la naturaleza delas imágenes que se forman en nuestro cerebro y quées lo que ocurre en el interior del ojo para que podamospercibir formas y colores? ¿Existe solamente una clasede luz o son diferentes fenómenos los que provienendel Sol, de la bombilla, de las luciérnagas o de la llamade una vela?

Entre las infinitas preguntas que la humanidad se hahecho, debemos señalar una como la más importante¿Qué tipo de respuesta podemos dar a estas cuestio-nes? Leucipo fue el primero, que nosotros sepamos,en referirse a ello en una de las pocas frases que de élnos ha llegado: nada ocurre al azar, sino que se debea una causa a la que necesariamente obedece. En estacita Leucipo establece su creencia en que existen unasleyes de la naturaleza fijas que necesariamente secumplen. Como el lector sabe, esto es un postulado,una hipótesis de trabajo que estamos dispuestos aadmitir si sus consecuencias se cumplen. Con ello sehace posible la existencia de la ciencia, cuyo objetivoes conocer estas leyes.

Podemos así establecer el objeto de este libro. A partirde la hipótesis de Leucipo, trataremos de descubrir lasleyes que rigen el comportamiento de la luz al interac-cionar con los demás objetos. Pero aquí surge unacuestión fundamental: la luz, la sombra y los colores,¿son cosas o son propiedades de los objetos? ¿Esmateria o es forma, en el lenguaje de Aristóteles? Éstaes una cuestión filosófica fundamental que podemosexponer siguiendo a Lewis Carroll, seudónimo del pro-fesor de lógica matemática Charles Lutwidge Dodgson.En su obra Alicia en el país de las maravillas, publica-da en 1865, analiza la naturaleza de la sonrisa del gatode Cheshire, una propiedad del gato a la que concede

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existencia propia cuando hace que desasparezca elresto del gato y que permanezca la sonrisa. Es una dis-quisición sutil pero muy sugerente: ¿puede existir lasonrisa del gato por sí sola o necesita necesariamenteal gato?

Parece que fue Galileo el primero que planteó estacuestión. León Lederman, en su libro The God Particle,refiere la forma en que Galileo demostró a los aristoté-licos la existencia de la luz como materia mediante lafamosa piedra de Bolonia.

Según cuentan, esta piedra había sido descubiertahacia 1603 por Vincenzo Casciarolo y tenía la propie-dad de guardar en su interior la luz que recibía del Sol,que fluía en la oscuridad hasta que se agotaba sureserva, lo que era una demostración concluyente deque la luz tenía una existencia propia e independiente,como la del agua, que podía pasar de un recipiente aotro sin perder su identidad.

APLICACIÓN EN EL AULA

Nosotros podemos repetir en el aula este históricoexperimento con pintura fosforescente u otros objetosque tengan esta característica.

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Todos ellos tienen la misma propiedad de la piedra deBolonia: capturan la luz del Sol (o de cualquier otrafuente) y la mantienen en su interior hasta que seagota. Además, se pueden recargar tantas veces comodeseemos.

Así, aceptada la existencia de leyes de la naturaleza ydemostrada la realidad de la luz como sustancia, pode-mos comenzar nuestra labor de descubrir estas leyespor medio de experimentos y razonamientos.

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Introducción

Capítulo

1LUCES Y SOMBRAS EN

LA VIDA COTIDIANA

1.1. Consideraciones generales sobre la visión

Vemos el mundo a través de nuestros ojos de la mismamanera que percibimos el sonido con ayuda de nues-tros oídos.Y estos dos sentidos siempre han jugado unpapel importantísimo en nuestra relación con losdemás y con el medio en el que vivimos, por lo que esinteresante compararlos.

Podemos observar que dejamos de ver cuando cerra-mos los ojos (aunque los párpados no son completa-mente opacos), de la misma manera que dejamos deoír cuando nos tapamos lo oídos. Es curioso que eloído no disponga de un sistema semejante al de lospárpados que nos permita cerrar las orejas, lo que faci-litaría enormemente la concentración. Puede que sedeba a que tanto el cerrar los ojos como los oídos enun medio hostil nos deja en situación de indefensión, loque hubiera puesto en peligro la supervivencia de laespecie humana probabilidades de sobrevivir. Además,como veremos más adelante, el sentido de la vistarequiere más actividad cerebral que el del oído, por locual se debe suspender durante el sueño.

1. 2. Los tres actores del proceso de la visión

Los seres humanos pronto descubrieron que la visiónera un proceso en el que intervenía el ojo. Obviamentetambién intervenía la escena que se veía, pero hacíafalta un tercer actor, sin el cual el ojo no percibía laescena. A ese tercer actor le llamaremos fuente de luzo fuente luminosa. Podía ser el Sol, la Luna, una llamao incluso una luciérnaga, pero era imprescindible supresencia para que el ojo pudiese recibir informacióndel mundo exterior y transmitir al cerebro la escenaobservada.

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Capítulo 1. Luces y sombras en la vida cotidiana

La siguiente cuestión se refiere a las formas de produc-ción de luz. El proceso por el que un cuerpo, caliente ofrío, emite luz ha sido objeto de difíciles investigacio-nes; en principio podemos distinguir dos fenómenosdistintos. La emisión de luz por cuerpos muy calientesse llama incandescencia y tiene lugar en las velas, enlas llamas, en general los cuerpos muy calientes (hie-rro al rojo) o en las bombillas que tienen un filamento.Pero también pueden emitir luz los cuerpos fríos,mediante un proceso llamado luminiscencia. Los tubosfluorescentes, las pantallas de los monitores de orde-nador o de las televisiones, los números fosforescentesde algunos relojes, las luciérnagas y un largo etcéterason ejemplos de luminiscencia.

Pero por obvia que parezca la necesidad de los tresactores (ojo, escena e iluminación) para el proceso devisión, casi el cincuenta por ciento de los alumnos lle-gan a Secundaria con la creencia de lo que podríamosllamar el modelo de emisión ocular. Consiste en supo-ner que el ojo emite unos rayos que al reflejarse en losobjetos y volver al ojo son los responsables de la visión.Este preconcepto, admitido incluso por Platón, se basaen el hecho de que los ojos de algunos animales seven en la oscuridad, en la fuerza que algunas personasparecen tener en la mirada y en la idea igualmentefalsa que tienen muchos niños que piensan que si mira-mos fijamente a una persona, ésta lo nota aunque nonos vea. Este preconcepto platónico es igualmenteadmitido por muchos autores de comics de superhéro-es, cuyos personajes emiten rayos X con los ojos queles permiten ver a través de objetos opacos. Más ade-lante nos ocuparemos de desmontar este concepto.

Nuestra tarea, a lo largo de esta obra, será la de inves-tigar los tres elementos que intervienen en el procesode la visión, de manera que construyamos un modelocoherente del proceso.

1.3. La maravilla de las sombras y la destruccióndel preconcepto de Platón

Uno de los efectos más interesantes que se producencuando se ilumina un objeto es la aparición de unasombra. Si miras la ilustración adjunta, te darás cuentade lo acostumbrados que estamos a que los objetos ilu-minados por fuentes puntuales produzcan sombras.

En este apartado, vamos a estudiar las característicasde la aparición de sombras y las muchas posibilidadesde sus aplicaciones, una vez entendida la forma en quese producen.

La primera parte de nuestra investigación se basa en lapura observación de lo que ocurre cuando el Sol ilumi-na los objetos. Personas, árboles, casas, etc., todo pro-duce sombras de formas y tamaños determinados, quecambian con la hora en la que realicemos la observa-ción. Alargadas por la mañana y al atardecer y muy cor-tas al mediodía.

Para estudiar el fenómeno de la aparición de sombrasseguiremos el procedimiento general de la ciencia: lasumulación en nuestro laboratorio o en nuestra aula, conobjetos y fuentes luminosas cuya forma y posición poda-mos variar a voluntad, es decir, a través de experimentos.


En primer lugar, podemos utilizar un objeto cualquiera,un monigote de cartón, por ejemplo, para estudiar loque ocurre cuando lo situamos frente a una pared ilu-minada por el Sol.

Inicialmente, antes de colocar nuestro monigote, la luzemitida por el Sol, tras viajar por el espacio, llega a lapared del colegio y la ilumina, se refleja en ella y unaparte entra en nuestros ojos; se produce así en nues-tro cerebro la imagen de la pared iluminada.

Cuando situamos nuestro monigote entre el Sol y lapared, parte de la luz del Sol incide sobre el monigotey lo ilumina; la luz que incide en él se refleja y es cap-tada en parte por nuestros ojos; se forma así la imagendel muñeco en nuestro cerebro.

Si estudiamos la situación atentamente, veremos quela parte de luz solar interceptada por el monigote no hapodido llegar a la pared y provoca en ella una parteoscura, una sombra, igual a la forma del muñeco.

Además, la forma de la sombra es independiente de lasituación del observador, es decir, de nuestros ojos, ydepende solamente de la posición del muñeco de car-tulina respecto al Sol. Es fácil comprobar que la formade la sombra depende exclusivamente de la manera enla que el monigote interfiere la luz solar. Dicha formavaría desde una copia exacta del monigote hasta con-

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cartulina fina (que podemos considerar como de dosdimensiones) puede producir sombras que van desdeun círculo igual al original hasta una línea recta (inde-pendientemente del grosor de la cartulina), pasando pordiferentes elipses. No ocurre así en el caso de la som-bra de una esfera (o de cualquier pelota esférica), cuyoestudio es de gran importancia por sus aplicaciones a laastronomía; la sombra de una esfera es siempre un cír-culo. Este hecho les sirvió a los astrónomos griegos,como veremos más adelante, para medir las dimensio-nes más relevantes del sistema solar.

Es interesante dedicar algún tiempo a tratar de enten-der el hecho de que objetos diferentes de tres dimensio-nes presenten, en determinadas posiciones, perfilesidénticos. Es muy fácil construir en cartulina perfiles dediversos objetos (una botella, un embudo, una taza conasa, etc.), de tal manera que, si está bien realizado, seaimposible distinguir entre la sombra del objeto real o dela proyectada por la cartulina, con la forma de su perfil.Ésta es la base del juego de las figuras chinescas, enlas que se ponen las manos de manera que su sombrasea semejante a los perfiles de animales o personas.

1. 4. El modelo de rayos

Ante estos resultados, los alumnos deben plantearselas razones por las que las proyecciones producidaspor la luz del Sol conservan las formas del monigote,de las manos o de los diferentes objetos que se ilumi-nan. Tras un poco de meditación se llega a la conclu-sión de que sólo puede deberse a que la luz está for-mada por rayos que son emitidos por la fuente lumino-sa y se propagan por el espacio a través de líneas rec-tas. Para comprobarlo podemos fotografiar una escenaapropiada o construir una especie de diorama con figu-ras de plástico e iluminarlo con la luz solar.

vertirse en una línea del grosor del cartón, cuando estáde perfil. Este hecho, convenientemente estudiado ycomprobado por los alumnos bajo la dirección del pro-fesor, debe servir para destruir el preconcepto de Pla-tón al que hemos aludido.

Podemos humanizar más el muñeco si hacemos dosperforaciones en el lugar de los ojos, en este casoobservamos que la luz pasa por las dos perforacionesy rompe la sombra con dos zonas iluminadas en lapared.

Es conveniente repetir este experimento con diferentesobjetos. El más inmediato de todos es emplear lasmanos, con las que se pueden proyectar figuras chi-nescas muy divertidas. Éste es un buen momento paraintroducir el concepto de perfil, del modo que el profe-sor considere más oportuno. Se explica que las figurasde las sombras son siempre perfiles de los objetos ilu-minados de determinada forma, es decir, la proyecciónde un objeto de tres dimensiones sobre las dos dimen-siones de un plano.

Se pueden estudiar los perfiles de distintos objetos y verla relación entre la forma original y la de las sombras oproyecciones sobre la pared, producidas por el Sol. Así,podemos ver que la sombra de un círculo recortado en

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� Experimento nº 1º:Un vaso con una gota de leche (coloide), y otro deagua pura.

� Experimento nº 2:El vaso de la izquierda tiene una disolución de salen agua, mientras que el de la derecha contiene,un coloide (leche en agua) y, entre los dos vasos,se están arrojando polvos de talco desde arriba. Aliluminar con un haz de rayos láser, se aprecia elrayo de luz en el coloide y en los polvos de talcopero no en la disolución de sal en agua.

En ambas figuras puede verse claramente el efectoTyndall, que describimos a continuación para informa-ción del profesor, ya que podemos utilizar este efectopara materializar rayos de luz.

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Tanto en la fotografía como en el diorama se puedecomprobar, con ayuda de una regla, que el primer rayode luz que limita la zona de sombra de la zona ilumina-da sigue una línea recta. Este ejercicio se debe realizartantas veces como sea necesario, hasta que los alum-nos se convenzan de que el camino de los rayos de luzsigue el perfil de las reglas, es decir, líneas rectas. Esfundamental dibujar, en todos los casos, un diagramade rayos que explique lo que vemos.


Experimento para hacer visibles los rayos luminosos

En primer lugar veremos el comportamiento de la luz alatravesar un vaso con agua pura, un vaso con aguasalada (disolución) y un vaso de agua con una gota deleche (coloide).

Coloides y disoluciones

El fenómeno por el que se hacen visibles los rayos deluz en los coloides, como hemos visto en el ejercicioanterior, se llama efecto Tyndall en honor al físico irlan-dés John Tyndall (1820-1893), conocido por su estudiosobre los coloides.

Pero, ¿qué es un coloide? Un coloide o dispersión coloi-dal es un sistema físico que está compuesto por doscomponentes (fases): un medio continuo, normalmentefluido, y otro disperso en forma de partículas, por logeneral sólidas (que reciben el nombre de micelas).Estas partículas, no apreciables a simple vista, son, sinembargo, mucho más grandes que cualquier molécula.

¿Qué diferencia hay entre un coloide y una disolución?Una disolución es una suspensión de moléculas en unmedio continuo. Parece la misma definición que la deun coloide, pero en realidad se trata de cosas muy dis-tintas: la diferencia estriba en el tamaño de las partícu-las suspendidas. Las disoluciones están formadas pormoléculas, cuyo tamaño es de diezmillonésimas demilímetro, mientras que en los coloides las partículasson cientos o miles de veces mayores.

Esta diferencia de tamaño explica por qué vemos losrayos en los coloides, pero no en las disoluciones o enel agua pura. Los rayos de luz se reflejan en las mice-las del coloide, pero no en las moléculas de la disolu-ción, demasiado pequeñas para que la luz visible reac-cione ante su presencia. Aunque este diferente com-portamiento se utiliza para distinguir los coloides de lasdisoluciones, no tiene una explicación clara dentro delmodelo de rayos. Esta explicación requiere un conoci-miento más profundo de la naturaleza de la luz, por loque trataremos este tema en el último capítulo.

Las partículas de los coloides pueden ser sólidas, liqui-das o gaseosas y el medio donde están suspendidastambién puede estar en cualquiera de las tres fases.

Todos estamos rodeados de coloides en diferentesestados, en nuestra vida cotidiana. Veamos algunosejemplos. El efecto Tyndall puede apreciarse en los sis-temas en que el medio continuo está en fase líquida ogaseosa. Pasamos a describir los diferentes tipos:

� Líquido en gas: aerosol (gotitas de agua en el aireforman la niebla o la bruma).

� Sólido en gas: aerosol sólido (humo o polvo ensuspensión).

� Gas en líquido (espuma).� Líquido en líquido: emulsión (leche, salsa mayone-

sa, sangre).� Gas en sólido: espuma sólida (piedra pómez,

aerogeles).� Líquido en sólido: gel (gelatina, queso).� Sólido en sólido: emulsión sólida (el oro coloidal

en vidrio también conocido como cristal de rubí).

� ¿Por qué vemos algunas veces los rayos del Sol enel cielo, como puede apreciarse en la fotografía?

Es fácil explicar este fenómeno. El Sol ilumina las partí-culas de niebla (aerosol) y se hacen visibles sus rayos.De la misma manera, cuando la luz del Sol pasa por lasrendijas de una persiana, ilumina el polvo o el humosuspendido en la habitación (aerosol sólido), se reflejaen las partículas y se hacen también visibles sus rayos.

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1.5. Una cuestión sobre la que meditar: ¿qué es unalínea recta?

Estos experimentos nos conducen a una cuestiónmucho más profunda: ¿cómo se define una línea recta?Es una pregunta digna de plantearsela a nuestros alum-nos para conocer sus respuestas.

Uno de los sabios que se ocupó de este problema ycuyos escritos han llegado a nosotros, es Euclides delque, dicho sea de paso, sabemos muy poco. Vivió enAlejandría, entre el 325 y el 275 a. C., y resumió losconocimientos de geometría de su época en un libroque tituló Los Elementos, cuyos teoremas se estudiantodavía en todas las escuelas.

Antes de seguir con nuestro razonamiento, podemosrepasar algunas definiciones que se encuentran en lageometría de Euclides; a la vez podemos sustituir losenunciados de Euclides por los nuestros, lo que nosservirá para darnos cuenta de lo difícil que es elaboraruna definición.

En Los Elementos, Euclides nos presenta las siguien-tes definiciones:

Definición 1. Un punto es lo que no tiene partes.

Definición 2. Una línea es una longitud sin anchura.

Definición 3. Los extremos de una línea son puntos.

Definición 4. Una línea recta es aquélla que yace porigual respecto de los puntos que están en ella.

Como vemos, la definición cuarta no es un ejemplo declaridad, por lo que siempre se intentó sustituirla porotra más precisa. Merece la pena que nos detengamosen este punto y meditemos un poco, con nuestrosalumnos, sobre la naturaleza de la línea recta.


Todos estamos acostumbrados a trazar las líneas rec-tas con ayuda de una regla. Pero, ¿cómo se construyenlas reglas? Para contestar a esta pregunta podemosimaginarnos la forma en la que un carpintero del tiem-po de Euclides (o de la actualidad) comprobaría queuna regla es efectivamente recta. La tomaría en sumano y la dirigía hacia cualquier punto iluminado,mirando desde uno a otro de sus extremos para ver siel camino de la luz sigue exactamente el perfil de suregla. Es decir, comprobaría que sigue el camino de laluz. Nosotros podemos hacer lo mismo con reglas,mesas, cuadernos o libros que estén a nuestro alcan-ce, y comprobar si sus aristas forman una línea recta.

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Un experimento igualmente significativo para nuestropropósito consiste en utilizar una pajita de refresco ypor su interior mirar cualquier superficie iluminada.

Podemos comprobar fácilmente que, cuando se curvala pajita, la luz que viaja por su interior no alcanzanuestro ojo, llegándose a la misma conclusión que enel caso del carpintero y la regla.

Así pues podemos definir la línea recta como el cami-no que sigue la luz cuando va de un punto a otro, locual nos deja un poco en la situación del perro que semuerde la cola. La luz se propaga en línea recta porqueuna línea es recta cuando sigue el camino de los rayosde luz.

Afortunadamente, algunos años después Arquímedesviene en nuestra ayuda. Arquímedes fue un sabio grie-go que vivió en Siracusa, una ciudad de Sicilia, entrelos años 285 y 212 a.C., conocido por sus estudiossobre la flotación. Aquejado por las mismas dudas quenosotros decidió sustituir la definición cuarta de Eucli-des por otra de índole operacional, diciendo que lalínea recta es la más corta de todas las líneas que tie-nen los mismos extremos. Decimos que es operacionalporque requiere realizar algunas manipulaciones conlos elementos que intervienen, como medir longitudes.

La definición de Arquímedes tiene el inconveniente deintroducir dos conceptos nuevos, el de longitud y el demedida, por fortuna fácilmente asimilables por nuestrosalumnos; pero tiene a su favor el ser más clara que lade Euclides y poder ser comprobada fácilmenteempleando una cinta métrica de sastre y unas cuantaslíneas dibujadas en un papel grande.

Así quedaron las cosas hasta el siglo XVII, en el queFermat, un matemático francés que vivió de 1601 a1665, enunció el principio que lleva su nombre. Esteprincipio, aplicado al caso que nos ocupa, dice: un rayode luz, cuando se propaga entre dos puntos dados,sigue un camino tal que el tiempo que tarda en reco-rrerlo es mínimo. Se trata de un principio, ya que no lodemuestra ni lo basa en ningún resultado experimental.

Los principios o postulados son afirmaciones que sehacen, cuya única justificación se encuentra en la vali-dez de las deducciones a las que se llega aplicando lalógica, a partir de ese postulado. En el caso de la pro-pagación en un único medio, el principio de Fermat esequivalente al de Arquímedes, pero introduce la ideade que la luz se propaga con una cierta velocidad, muygrande pero finita; esta idea es muy importante paraque los alumnos refinen su modelo de rayos.

De estas consideraciones debe quedar claro que larecta es el camino de la luz y que la luz sigue en surecorrido entre dos puntos el camino más corto (cuan-do no cambia de medio de propagación). Esto es sufi-ciente para los niveles educativos a los que está desti-nado el libro.

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1.6. La propagación rectilínea de la luz

En la serie de experimentos que hemos realizadoempleando la luz del Sol, hemos observado que lassombras son proyecciones de un determinado perfil delos objetos iluminados que, en algunos casos, conser-van el tamaño.


Es muy fácil comprobar este hecho; para ello basta confabricar dos monigotes iguales empleando dos cartuli-nas superpuestas, cortándolas a la vez e iluminándolascon la luz del Sol. Cuando proyectamos la sombra deuna cartulina sobre la pared, podemos utilizar la otracartulina para comprobar que la sombra es exactamen-te igual. Esto se debe a que la fuente de luz se encuen-tra muy lejos del objeto que proyecta la sombra y de lapantalla sobre la que se observa, por lo cual los rayosde luz se pueden considerar paralelos.

Con este modelo se puede explicar a los alumnos larazón por la que cambian los tamaños de las sombrasde acuerdo con la inclinación de la luz que ilumina alobjeto, como se observa en la figura.

1.7. El efecto de una fuente extensa a una distancia finita

Como el lector sabe, la distancia de la Tierra al Sol esdel orden de los 150.000.000 kilómetros y su diámetrode unos 1.490.000 kilómetros, aproximadamente ununo por ciento de la distancia. Esta relación es suficien-te para que el Sol no pueda considerarse estrictamen-te una fuente luminosa puntual. Si se considera apro-piado, se puede explicar a los alumnos el efecto deltamaño del Sol en la aparición de una zona de penum-bra entre las zonas de luz y sombra. Esta zona es debi-da a que, al no ser el Sol un foco puntual, los rayos pro-

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venientes de diferentes partes del mismo actúan inde-pendientemente y producen el efecto que se ve en lasfiguras. Evidentemente, si el Sol fuese mucho máspequeño o se encontrase mucho más alejado, los efec-tos de penumbra serían menores, ya que se aproxima-ría más al modelo de fuente puntual.


Para estudiar con algún detalle el efecto de la proxi-midad de la fuente luminosa a los objetos en la pro-ducción de luces y sombras, debemos repetir losexperimentos en el interior del aula, con las lucesapagadas y empleando una fuente de luz poco exten-sa (un proyector o una bombilla de linterna, sin utili-zar el espejo parabólico). De esta manera veremosque las sombras que proyectan los objetos no con-servan el tamaño de los mismos, sino que lo aumen-tan. Además, el tamaño de las sombras depende dela distancia del objeto a la fuente y de la distancia delobjeto a la pantalla.

Es muy fácil idear ejercicios para que los alumnostracen el camino de los rayos en diferentes situacio-nes, de manera que comprueben que el modelo derayos explica la formación de sombras.

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Capítulo

2LUCES Y SOMBRAS EN

LA ASTRONOMÍACOTIDIANA

2.1. Experimento sobre el sistema Tierra-Sol

Hemos visto en experimentos anteriores que cuandouna esfera es iluminada por los rayos del Sol, los rayosde luz inciden sobre la mitad de la esfera y permanecela otra mitad en sombra. El hecho de que podamos verla semiesfera en sombra se debe a que, aunque norecibe luz del Sol directamente, recibe la que se hareflejado en otros objetos, como en la pared o en noso-tros mismos. A continuación, veremos la trascendenciaque tienen los pequeños experimentos que hemos rea-lizado cuando trasladamos las conclusiones al sistemasolar, cuyos cuerpos tienen ante la luz el mismo com-portamiento.

Para ello el profesor deberá elaborar la secuencia deconstrucción de conocimientos que le parezca másapropiada para cada caso particular. Nosotros propo-nemos la siguiente:

1. La Tierra es nuestro planeta, el lugar en el quevivimos. En nuestro modelo simplificado la consi-deraremos esférica.

2. Tiene un movimiento de giro en torno a su eje quees el responsable de la sucesión de los días y delas noches. Este hecho puede utilizarse en laconstrucción de un reloj de Sol.

3. La Tierra gira en torno al Sol en una órbita casi cir-cular durante el periodo de un año.

4. La duración de los días y de las noches está regu-lada por la inclinación del eje de giro de la Tierrarespecto al plano en el que gira en torno al Sol.Esto da lugar a las estaciones.

5. La Luna gira en torno a la Tierra de manera quesiempre nos muestra la misma cara.

Antecedentes históricos

Es difícil llegar a la conclusión de que la tierra es esfé-rica sin encontrarse en un medio rural, en el que puedacontemplarse el cielo fácilmente y en el que se estéhabituado a observar las fases de la Luna e incluso loseclipses. Históricamente el primer modelo práctico fuerealizado por Ptolomeo, siguiendo los pasos de Apolo-nio e Hiparco. En él, la Tierra estaba fija en el centro deluniverso, el Sol giraba en torno a ella siguiendo una tra-yectoria que recorría en un año y la Luna daba vueltasen torno a nuestro planeta. La trayectoria del Sol seproducía en un plano inclinado respecto al plano ecua-torial de la Tierra. Romper el preconcepto de la Tierrafija fue un proceso largo y difícil, debido fundamental-mente a que era el admitido por Aristóteles y a que esel que se desprende de un estudio superficial de lasobservaciones.

El proceso a que nos referimos se realizó por tres cami-nos diferentes: el primero, puramente matemático, fueseguido por el astrónomo Copérnico y se basaba enuna mayor sencillez en la descripción de los movimien-tos de los planetas, si se situaba el Sol en el centro deluniverso. El segundo se fundamentó en la observacióndel sistema solar, principalmente a partir de la aplica-ción del telescopio a la astronomía. Así, Galileo obser-vó las fases de Venus, incompatibles con el modelo dePtolomeo, y la existencia de los satélites de Júpiter, querompían el preconcepto de la inmovilidad del universomás allá de la esfera de la Luna. Finalmente, el tercercamino estaba basado en la modificación de las leyesde la mecánica, y dirigido contra el preconcepto aristo-télico de la fuerza como causa del movimiento. Deacuerdo con este preconcepto los cuerpos se muevencon una velocidad proporcional a la fuerza que se apli-ca sobre ellos, de manera que si a un cuerpo no se leaplica una fuerza debe permanecer en reposo. La cita-da modificación se debe a Galileo y Newton. Galileoaportó el principio de inercia según el cual en ausencia

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Capítulo 2. Luces y sombras en la astronomía cotidiana

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de fuerzas un cuerpo puede o bien estar en reposo(como decía Aristóteles) o moverse con una velocidadconstante. Newton completó las leyes de la mecánicaañadiendo que las fuerzas modifican el movimiento delos cuerpos comunicándoles una aceleración.


La tierra es esférica

Los alumnos empezarán observando una pelota ilumi-nada por la luz del Sol y después podemos repetir estaexperiencia en el aula, a oscuras, utilizando una linterna,un proyector de diapositivas o cualquier fuente de luzque proyecte un haz luminoso horizontal. Es importanteexplicarles que lo que vamos a utilizar es un modelo dela situación real. Entre el modelo y la realidad existe unarelación semejante a la que hay entre un diorama y laescena real que queremos simular, o entre un plano y laciudad que representa. Con el haz que emita la fuentede luz elegida iluminamos la misma pelota blanca quehayamos utilizado con el Sol real en los experimentos. Alos alumnos se les explica que ésta representa a nues-tro planeta en el modelo que estamos construyendo.

Sustituiremos después la pelota blanca por una esferaterráquea, con la que nuestros alumnos están familiari-zados desde muy pequeños, y veremos que unasemiesfera está iluminada en tanto que la otra perma-nece en la oscuridad. De momento, debemos mantener

el eje de la esfera perpendicular al suelo por razonesobvias. Dirigidos por el profesor, los alumnos debenidentificar ambas situaciones como correspondientes aldía y la noche; se puede utilizar el globo terráqueo parafijar algunos países conocidos, así como la situaciónaproximada del colegio. Señalaremos este punto dealguna manera, por ejemplo mediante un muñecopequeño, y lo colocaremos en la parte iluminada. Esmuy importante dirigir la imaginación de nuestros alum-nos de manera que identifiquen el colegio con la posi-ción del muñeco en la esfera terráquea, para que rela-cionen la realidad con un modelo simplificado, opera-ción fundamental en el desarrollo de la ciencia.

2.2. El sistema Tierra-Sol

La sucesión de los días y las noches

Como consecuencia de los experimentos la preguntasiguiente es obvia: ¿Por qué no es siempre de día en laciudad? ¿Cuál es la razón por la que se suceden losdías y las noches? Estas preguntas son enormementeinteresantes, ya que recrean la situación con la que seencontraron los primeros seres humanos cuando sehicieron las mismas preguntas. Y suele surgir el cono-cido preconcepto de Ptolomeo, que explica la sucesiónde los días y las noches por un movimiento del Sol entorno a la Tierra fija, movimiento fácil de simular ennuestro modelo. Igualmente sencilla es la solución con-traria, en la que el Sol está fijo y la Tierra da una vuel-ta al día sobre su eje, produciéndose el efecto de lasucesión del día y la noche, solución que elegiremospara nuestro modelo. Esta solución no requiere que laTierra se desplace en torno a Sol para explicar losperiodos de luz y oscuridad, ya que el modelo losreproduce con sólo girar el globo terráqueo. Pero comoel alumno está familiarizado con la idea de que la Tie-rra gira en torno al Sol durante un periodo anual, cree-mos que es preferible introducir este giro en el modelo.

La Tierra gira en torno al Sol

Así, nuestro primer modelo consistirá en una Tierraesférica con el eje de rotación perpendicular al planoque contiene su órbita, por la cual la Tierra desarrollasu movimiento de translación en torno al Sol. De estamanera hemos construido un modelo del sistema Tie-rra-Sol que nos explica la sucesión de días y nochescomo el resultado de los periodos de luz y sombra enel lugar en que estamos situados en nuestro planeta.

La duración de los días y las noches: las esta-ciones

Pero todos los modelos son aproximados y sus predic-ciones deben compararse con la realidad constante-mente. La modificación de un modelo se fundamentaen el avance de la ciencia, por lo cual deberemos pres-tar la máxima atención a este proceso. Sin lugar adudas el camino que vamos a seguir a continuación esel que recorrieron los astrónomos a lo largo de la histo-ria de la humanidad.

Una de las observaciones que no explica este modeloes la existencia de las estaciones, así como tampocoaclara la duración variable de los días y las noches a lolargo del año. De acuerdo con nuestro modelo, el díaestaría dividido en dos periodos de luz y sombra dedoce horas de duración cada uno. Además, la cantidadde luz solar que cualquier punto del planeta recibe a lolargo del año permanece constante, lo que es contrarioa la existencia de las estaciones con veranos calurosose inviernos fríos en nuestro país.

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Rotación Traslación

SOLeje eje

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Con estos experimentos y las discusiones subsiguien-tes debemos dejar claro a nuestros alumnos que elmodelo que hemos elaborado no es suficientementepreciso. La primera carencia de nuestra representaciónes, como hemos señalado, la de no explicar la existen-cia de las estaciones. Si preguntamos a nuestros alum-nos por la razón por la que en verano la temperatura essuperior a la del invierno, veremos que una de las res-puestas más frecuentes es la de achacar la diferentetemperatura estacional a una variación de la distanciade la Tierra al Sol, lo que implica una órbita con unapronunciada excentricidad, como indica la figura.

Nuestro modelo, así modificado, reproduciría la exis-tencia de las estaciones, con unos veranos que corres-ponderían a un acercamiento al Sol y unos inviernos enlos que el planeta estaría más alejado de nuestra fuen-te de luz y calor.

En este punto deberíamos preguntar a nuestros alum-nos si la predicción del modelo de distancia variableestá de acuerdo con todas las observaciones que ellosconocen sobre la existencia de las estaciones en el pla-neta, y siempre encontraremos a alguien que señale ladisparidad entre verano e invierno en diferentes países.Sabemos, por ejemplo, que cuando es verano en nues-tro país es invierno en Argentina, por ejemplo. Así,debemos llegar a la conclusión de que es un hechoconocido que cuando es verano en el hemisferio nortees invierno en el hemisferio sur y viceversa, observa-ción que nuestro modelo de órbita excéntrica no repro-duce. Apenas pensemos un poco descubriremos que laTierra, al acercarse al Sol, recibe una mayor radiaciónsolar en ambos hemisferios simultáneamente, lo quees contrario a la realidad. Además, el modelo sigue pre-diciendo días y noches de duración constante a lo largode todo el año, lo que también es contrario a lo que seobserva. Todo el mundo sabe que los días son más lar-gos en verano y más cortos en invierno.

Esto nos obliga a modificar nuestro modelo de maneraque produzca veranos calurosos de días largos einviernos fríos de días cortos. ¿Qué modificaciones delmodelo sugieren nuestros alumnos? Son muchas lasposibilidades que tenemos a nuestra disposición, lasrespuestas de nuestros alumnos nos dejarán asombra-dos. Algunos pueden proponer una velocidad de rota-ción de la Tierra variable, sincronizada con la distanciavariable al Sol. Pero esta solución no explica la existen-cia de las estaciones, que está íntimamente relaciona-da con la duración de los días. El hecho es que estadivergencia entre el modelo y la realidad nos obliga aconsiderar qué características de la teoría debemos

Invierno Verano

Sol

Tierra

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cambiar para adecuarla a las observaciones, procesoéste que se encuentra en el corazón de la construcciónde la ciencia.

La solución más sencilla es, como todos sabemos, lade inclinar el eje de giro de la Tierra respecto al planode la órbita terrestre, como indica la figura, postulandoque esta inclinación se mantiene constante a lo largode toda la órbita.

Inclinación del eje de giro de la Tierra

Esta inclinación del eje de la Tierra tiene importantesconsecuencias que debemos investigar con nuestrosalumnos y comparar con la realidad. Es importanteseñalar que el único concepto físico que estamosempleando en este juego de elaborar un modelo quese comporte igual que el sistema Tierra-Sol es el de lailuminación y producción de sombras por objetos opa-cos, que hemos investigado en el aula de formaexhaustiva.

Si estudiamos la situación de la Tierra en el solsticio deverano, en la representación de la figura anterior (extre-mo izquierdo de la órbita), vemos que corresponde auna situación en que los días son más largos que lasnoches en el hemisferio norte, y las noches más largasque los días en el hemisferio sur. Además, si medita-mos sobre esta situación nos damos cuenta de que laTierra en ese punto se encuentra en la situacióncorrespondiente al día más largo del año en el hemis-ferio norte, ya que viene de una parte de la trayectoriaen la que la duración de los días crece y se dirige a unsector en el que los días decrecen. Esta situación laidentificamos fácilmente como la correspondiente aldía más largo del año que tiene lugar, como hemosdicho, en el solsticio de verano.

Justamente al lado opuesto de la trayectoria encontra-mos la situación contraria, con los días más cortos delaño en el hemisferio norte y las noches más largas,situación que corresponde al solsticio de invierno. Apartir de este punto la duración de los días crece, porlo que en antiguas civilizaciones se identificaba estepunto con el nacimiento del año. Así pues, reciben elnombre de solsticios los dos puntos de la órbita terres-tre en los que los días presentan una duración extrema.

solsticiode verano

solsticiode invierno

SOLeje eje

Círculo Polar Ártico

Trópico de Cáncer

Ecuador

Trópico deCapricornio

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En el hemisferio norte del planeta el día más largocorresponde al solsticio de verano (en torno al 21 dejunio) y el día más corto al solsticio de invierno (entorno al 21 de diciembre).

Como es lógico, si la Tierra recorre su órbita mante-niendo su eje paralelo a sí mismo, pasará por dos pun-tos en los que la duración del día y la noche sean igua-les. Estos puntos en los que el eje de la Tierra es tan-gente a la órbita reciben el nombre de equinoccios, ycorresponden a las situaciones que se señalan en lafigura:

Para fijar estas ideas vamos a referir una historia ima-ginaria, el nacimiento de una catedral, en la que pue-den emplearse los conocimientos que hemos adquiridopara señalar una dirección en la superficie de la Tierra.En esta historia asistiremos al acto en el que un obisposeñala el eje de una nueva catedral en la direccióneste-oeste, de manera que el ábside se situará miran-do al este.

Cuando el obispo llegó, aún no había salido el Sol. Elmaestro lo estaba esperando, acompañado por dosobreros del gremio de los canteros. Tras saludarse bre-vemente el obispo clavó su báculo en el suelo y se reti-ró unos pasos para contemplar el espectáculo. Era lanoche del 22 de marzo, noche de equinoccio, en la que

la duración del día y de la noche se igualaba. Paranuestros cuatro personajes se aproximaba un momen-to mágico. La sombra del báculo del obispo, elevadoexactamente en el lugar que ocuparía el altar, señala-ría la dirección este-oeste que seguiría el trazado delnuevo templo.

De repente ocurrió lo esperado. El disco del Sol apare-ció repentinamente por Oriente (exactamente por eleste). El espacio adquirió un extraño tinte rojizo y simul-táneamente el báculo proyectó una sombra infinitaseñalando la dirección de la nave principal de la futuraiglesia. Durante unos instantes nuestros amigos queda-ron sobrecogidos gozando de aquella sensación extra-ña de unión entre cielos y tierra. Todavía sumergido enaquel ambiente rojizo, los dos canteros clavaron un parde estaquillas en el suelo y tendieron una cuerda blan-ca entre ellas. Esta cuerda sería la columna vertebraldel edificio.

Toda la escena duró apenas unos minutos. Cuando eldisco del Sol se dejó ver completamente todo volvió ala normalidad. El campamento despertó súbitamente,los hombres comenzaron a salir de sus alojamientos yavivaron los fuegos dormidos, soplando los rescoldoscuidadosamente cubiertos la noche anterior con ceni-za. La magia del momento se desvaneció como porensalmo.

Equinocio de primavera(=20 Marzo)

Solsticio de verano

(≈21 Junio)

Solsticio de invierno

(=21 Diciembre)

Equinoccio de otoño(=22 Septiembre)

152.500.000 Km 147.500.000 KmAfelio

(=4 Julio)

Perihelio(=3 Enero)

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Volvamos de nuevo a nuestro estudio. Existen, comotodos sabemos, dos equinoccios, el de primavera (entorno al 20 de marzo) y el de otoño (el 22 de septiem-bre aproximadamente). En el calendario occidental sehace coincidir el inicio de las estaciones con estos pun-tos singulares.

Una vez resuelto el problema de la duración de losdías, debemos estudiar si el modelo de eje inclinadoveintitrés grados y medio explica también la distintatemperatura que se produce en las diferentes estacio-nes. El modelo, si está bien construido, debe predeciruna potencia de insolación mayor en nuestra latitudcuando los días son más largos (en verano), y menorcuando los días son más cortos (en torno al solsticio deinvierno).

Pero para ello deberemos realizar algunos experimen-tos previos que nos ayuden a entender cómo cambia laenergía que recibe la Tierra en función del ángulo deincidencia del haz de radiación.

El Sol se comporta, en cierto modo, como un cuerpo amuy alta temperatura. No sólo emite luz visible sinotambién radiaciones infrarrojas y ultravioletas, todasellas con gran poder energético.

Es fácil ver que la energía que recibe la Tierra por uni-dad de superficie depende del ángulo de incidencia, esdecir, de la inclinación del Sol. Por esa razón, al ama-necer el Sol calienta menos que al mediodía, cuandolos rayos caen formando un ángulo menor con la per-pendicular al lugar.


Podemos reproducir esta situación en nuestra aula,realizando experimentos con una linterna o cualquiertipo de foco que ilumine una superficie circular biendefinida. En nuestro experimento, la linterna represen-ta una parte de la superficie solar y la mesa sobre laque proyectamos su haz de luz representa la superficiede la Tierra.

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Se ve fácilmente que la superficie iluminada aumentacuando el ángulo que forma el haz de luz con la per-pendicular a la mesa disminuye, y viceversa. Esto eslógico, ya que la linterna emite la misma cantidad deenergía independientemente de la forma en que se ilu-mine la superficie, pero el área iluminada varía con elángulo de incidencia. Cuando la linterna se sitúa deforma que el haz de luz es perpendicular a la superfi-cie, el área iluminada es mínima y la energía está másconcentrada. Cuando inclinamos la linterna, la superfi-cie de la zona iluminada aumenta, pero como la ener-gía que emite la linterna por unidad de tiempo es lamisma, ésta queda más repartida.

Una vez que hemos entendido estos experimentos,podemos aplicar el mismo modo de razonar al Sol y ala Tierra. Así entenderemos por qué durante la estaciónde verano, en el hemisferio norte la cantidad de ener-gía solar que incide por unidad de superficie es mayoren cualquier punto de este hemisferio que en el corres-pondiente del hemisferio sur.

Durante el invierno en nuestro hemisferio la situaciónes la contraria, como indica la figura.

Así se puede explicar fácilmente la variación de tempe-ratura media en las distintas estaciones y la periodici-dad de este fenómeno a lo largo del año.

Movimiento de precesión

El modelo que hemos construido implica que la Tierragira en torno a un eje que conserva su dirección en elespacio a lo largo del tiempo. Pero todo el que hayaobservado una peonza sabe que el eje de giro cambia,debido a la fuerza de la gravedad.

Como la Tierra está sometida también a diferentesfuerzas, debidas a la Luna, al Sol y a los demás plane-tas del sistema solar, su eje también cambia. Pero estecambio se produce muy lentamente debido a su enor-me masa y tamaño, por lo que el eje tarda unos 25.780años en ejecutar una vuelta completa y volver a su

posición original. En su recorrido, el eje de giro de latierra irá apuntando a lugares diferentes de la esfera delas estrellas fijas, en la forma en que se señala en lafigura. En el momento presente, el eje de la Tierraseñala aproximadamente a la estrella Polar, simplifi-cando la operación de orientarse en la noche. Perodebemos ser conscientes de que no siempre fue así nilo será en el futuro.

Este movimiento, origen de la precesión de los equi-noccios, no lo vamos a estudiar pero debemos citarlopara que los profesores sepan que existe, ya que cual-quier cuerpo que gire, sea una pequeña peonza o unenorme planeta, se comporta de la misma manera.

2. 3. Otro efecto de luces y sombras: las fases de laLuna

Antecedentes históricos

Podríamos decir que, casi con seguridad desde la apa-rición de la humanidad, todos los seres humanos quegozan del sentido de la vista, han observado la Lunamuchas veces a lo largo de su vida. Los griegos sabían

que nuestro satélite tenía forma de esfera, y habíandeterminado su tamaño y la distancia a la que seencuentra de nosotros. Pero hasta 1609 la observaciónde la Luna se había hecho simplemente mirando,como dicen los ópticos, a ojo desnudo. Afortunadamen-te en 1609, un pulidor de lentes holandés construye elprimer telescopio y, poco tiempo después, la noticia lellega a Galileo en una carta que su amigo JacquesBadovere le envía desde París. Galileo inicia una inves-tigación sobre el tema y un año después dispone de uninstrumento de unos veinte aumentos que inmediata-mente utilizó para estudiar el cielo. Así, por primeravez, un ser humano pudo ver la Luna a través de untelescopio. Y vio que, como la Tierra, tenía valles ymontañas, por lo que creyó que tenía que ser muyparecida a nuestro planeta.

Como buen científico, plasmó sus observaciones en elcuaderno de laboratorio, dibujando lo que veía. Y porello nosotros, muchos años después, tenemos la posi-bilidad de ver sus dibujos originales, tal como se con-servan en la Biblioteca Nacional de Florencia. En ellosse apoyan las historias que describen la Luna como unmundo como el nuestro, al que suponen habitado porselenitas.

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Al Deramin

Alpha Draconis

Polaris

Deneb

Vega

Polo Norte

Galileo vivió en lo que hoy es Italia desde 1564 hasta1642, en la época en la que en España reinaron FelipeII, Felipe III y Felipe IV, cuyo pintor de cámara era DiegoVelázquez. Es posible que Galileo y Velázquez seconocieran, al menos por carta, con ocasión del diseñode una escultura ecuestre que Felipe IV ordenó realizarsiguiendo las líneas del cuadro que Velázquez habíapintado en 1635, y de la que Galileo calculó algunas desus características principales.

La construcción de una estatua de este tipo, con el cen-tro de gravedad tan alejado de la base, presenta seriosproblemas de estabilidad y de resistencia de materia-les; por ello se decidió pedir a Galileo que estudiase elproblema e indicarse la distribución de pesos más con-veniente. La escultura fue realizada por Martínez Mon-tañés y fundida por Pietro Tacca según las indicacionesenviadas por Galileo, que nosotros no hemos podidoresistir la tentación de reproducir:

[ … ] colaborar con vos y con el maestro Velázquez esuna tentación difícil de evitar. He calculado que seránnecesarias unas ocho toneladas de bronce para laobra, pues la parte trasera del caballo tiene que sermaciza. La inclinación, ángulos y cálculos para el vacia-do os lo haré llegar a la mayor brevedad posible. Nodudéis que pondré tanto empeño en esta adivinanzacomo en el más grande de mis proyectos."

La estatua se encuentra ahora en la plaza de Orientede Madrid, donde podemos admirarla.

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Tras esta breve introducción histórica, podemos volvera nuestro tema. El fenómeno de las fases de la Luna esuno de los más interesantes desde el punto de vistadidáctico, ya que el profesor puede diseñar diferentescaminos para que el alumno se dé cuenta de la rela-ción directa de la producción de sombras en su aula yde la aparición de las fases en nuestro satélite. Estatransposición de un mismo fenómeno de su mesa detrabajo al sistema solar (de unas dimensiones delorden de los cientos de millones de kilómetros) le daráidea de la potencia de las ciencias experimentales y dela constancia del comportamiento de la naturaleza,reflejada en sus leyes.

Como es tradicional, comenzaremos por presentar elfenómeno a nuestros alumnos mediante observacionessobre la posición de la Luna y del Sol en el firmamen-

to al anochecer y al amanecer, así como en todomomento en que la Luna esté visible. En seguida nosdaremos cuenta de la existencia de un preconcepto tanabsurdo como pensar que la Luna y el Sol no seencuentran nunca a la vez en el cielo. Afortunadamen-te este preconcepto es fácil de destruir, ya que lo únicoque se necesita es mirar al cielo. Además esta obser-vación, que nos lleva a darnos cuenta de que la Luna yel Sol se pueden ver a la vez a lo largo de casi todo elciclo de las fases, nos dará pie para explicar a los alum-nos que la respuesta a muchas preguntas en la cien-cia, la encontramos, simplemente, por medio de laobservación del fenómeno.

Tras un mes de estudio del cielo, tomaremos nota detodo ello, ordenando nuestros resultados de la maneratradicional:

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El estudio del ciclo completo de la Luna nos lleva a laconclusión de que su duración es de unos 29,5 días,ciclo que tradicionalmente se ha dividido en cuatro par-tes o cuartos cuya duración es aproximadamente desiete días, número considerado en la antigüedad comoespecial y que da origen a la semana.

Si preguntamos a nuestros alumnos por la causa de laaparición de las fases nos encontraremos con unanueva sorpresa: muchos de ellos creen que se debe ala sombra proyectada por la Tierra, que intercepta laluz del Sol que ilumina a nuestro satélite. La destruc-ción de este error, muy extendido, es la primera tareaque debemos emprender.

Así pues, la hipótesis de la sombra terráquea sobre laLuna resulta ser falsa (pues no explica los hechos), loque nos obliga a meditar un poco más sobre el tema.

2.4. El sistema Tierra-Luna-Sol: los eclipses de laLuna y del Sol


El paso siguiente es el de idear un modelo del sistemaTierra-Luna-Sol que explique la observación de lasfases lunares desde la Tierra y la periodicidad con lasque se producen. El objetivo es que el alumno inventela parte del sistema solar que se refiere a estos trescuerpos celestes, que no es otra que la que se indica acontinuación.

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Lo más sencillo, a nuestro juicio, es construir un mode-lo que reproduzca el preconcepto: se ilumina una pelo-ta de fútbol con la luz del Sol y se hace que su sombrase proyecte sobre otra más pequeña del tamaño deuna naranja, que podemos desplazar, como indica lafigura, para estudiar la variación de la sombra.

El resultado es, como todos sabemos, el de un eclipse yno el de la fases; es un resultado fácil de comprobar connuestro modelo, ya que la sombra de la Tierra, que es laque se proyecta sobre la Luna, tiene siempre la forma deun círculo, no existiendo nunca una frontera entre laparte iluminada y la oscura que sea una línea recta.

Como hemos dicho al principio, de acuerdo con los cri-terios del profesor, los conocimientos previos de losalumnos y los objetivos programados, también se puedeoptar por comenzar mostrando el sistema heliocéntrico ycomprobar experimentalmente que este modelo explicalas observaciones de las fases de la Luna. Ambos cami-nos son diferentes y siguen vías didácticas distintas,pero su elección es tarea del profesor.

Eclipses de Luna

Podemos volver de nuevo sobre el efecto de la sombrade la Tierra sobre la Luna, repitiendo los experimentosanteriores, y explicar los eclipses de Luna con nuestromodelo de Copérnico.

Si no tenemos la suerte de poder observar un eclipse,deberemos utilizar nuestro modelo y los recursos de laweb http://museovirtual.csic.es para estudiarlos. Recor-demos el resultado de nuestro experimento.

Como vemos, en este eclipse no queda la Luna com-pletamente en sombra, por lo que recibe el nombre deeclipse parcial de Luna. Si modificamos ligeramente laposición relativa de la Luna y de la Tierra, podemosproducir un eclipse total de Luna, que ocurre cuando laTierra se interpone entre el Sol y la Luna, haciendo quela Luna se introduzca totalmente dentro del cono desombra del planeta.

Una vez fijado el modelo de la Luna iluminada por elSol, girando en torno a la Tierra, con un periodo apro-ximadamente mensual, (en una órbita contenida en elmismo plano que la órbita que describe la Tierra entorno al Sol) se puede mostrar el sistema de Copérni-co a los alumnos, explicando el giro de la Tierra entorno al Sol y la presencia de los demás planetas,como se indica en la figura.

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luna nueva

luna menguante luna gibosa menguantecuarto menguante

luna llena

Órbita dela luna

gibosa creciente

cuarto creciente

luna nueva visible

proyectorlejano

no se produce un eclipse cada mes lunar, ya que enLuna llena se dan las condiciones para que se produz-ca, es decir, la Luna se encuentra en la zona de som-bra de la Tierra. Nos encontramos, pues, con una pre-dicción del modelo contraria a la realidad observada y,como siempre ocurre en la ciencia, cuando un modelopresenta inexactitudes debemos entenderlas y tratarde solucionarlas, en general modificando el modelopara refinar sus resultados.

Como es evidente, el fallo de nuestro modelo seencuentra en suponer que el plano de la órbita lunar esel mismo que el de la órbita terrestre. En realidad,ambas órbitas se encuentran en planos distintos queforman un ángulo suficiente para que la Luna no pasepor la zona de sombra de la Tierra cada vez que pasapor Luna llena, como indica la figura.

Pero si este modelo es correcto, nunca se produciría uneclipse, lo que es igualmente falso. La solución es evi-dente: el plano de la órbita lunar se mantiene paraleloa sí mismo mientras la Tierra se traslada alrededor delSol. Esto hace que se den, en algún momento, las con-diciones para que se produzca un eclipse, como indicala figura.

44Luna

Órbita de la Luna

Órbita de la Tierra

TierraLínea denodos

Sol

En la figura siguiente, se ha representado la mismasituación desde un punto de vista perpendicular a laórbita de la Tierra, pero respetando los tamaños relati-vos de la Tierra y la Luna.

A continuación, vamos a explorar nuestro modelo y aestudiar sus predicciones, con el fin de buscar posiblescontradicciones con la realidad observada.

Como hemos visto, para que un eclipse lunar ocurra, laLuna tiene que estar entre ambos cuerpos en el planode la órbita de la Tierra en torno al Sol. Por esa razón,en el modelo que hemos construido las órbitas de laLuna en torno a la Tierra y de la Tierra en torno al Solestán en el mismo plano. Así, para que se produzca uneclipse lunar, nuestro satélite debe estar muy próximoal primer día de Luna llena.

No es raro que los alumnos, una vez que han entendi-do el modelo y su funcionamiento, pregunten por qué

En cambio, el modelo geocéntrico de Ptolomeo prediceuna situación diferente. En éste, la Tierra se encuentraen el centro y Venus gira en torno a ella en una órbitade radio menor que la del Sol. Esta situación se harepresentado en la figura siguiente y produce un resul-tado contrario a lo observado.

Ambos modelos, heliocéntrico y geocéntrico, son fáci-les de materializar por los alumnos con esferas depoliespán y un proyector de diapositivas. La construc-ción del modelo y el estudio de sus predicciones cons-tituyen una actividad divertida y útil.

Como ejercicio de acomodación y como informaciónrelacionada con este tema citaremos el caso de lasfases de Venus, descubiertas por nuestro amigo Gali-leo utilizando su telescopio.

Cualquier objeto iluminado por el Sol que cambia suposición respecto a nosotros presenta fases. Así, si nosmovemos en torno a una figura cualquiera iluminadapor el Sol vemos que la parte iluminada y la oscuramuestran formas diferentes. El ejemplo más directa-mente relacionado con el tema que nos ocupa es el dela observación de una pelota iluminada por el Soldesde distintos puntos de vista. Para ello podemoscolocar en el patio una esfera de poliuretano sujeta porun alambre o una varilla fina a algún soporte que le per-mita reposar en el suelo. Si la esfera es iluminada porel Sol, al girar el observador en torno a ella verá cómola parte iluminada y la sombra reproducen las fases dela Luna.

Ya hemos citado el ejemplo clásico de las fases deVenus, cuyo esquema representamos a continuación yque fue crucial para desechar el modelo de Ptolomeofrente al de Copérnico. En la figura se han representa-do las fases de Venus vistas desde la Tierra (suponien-do que Venus gira en torno al Sol en una órbita máscercana al Sol que la de la Tierra), tal como lo prediceel modelo heliocéntrico, que se ajusta a lo observadodesde nuestro planeta.

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Eclipse imposible

Eclipse imposible

Sol

Órbita dela Luna

Línea de nodosLínea de nodos

Línea de nodos

Línea de nodosÓrbita de la Tierra

Eclipse solarperdido Luna nueva

Eclipse lunarperdido

Luna llena

Eclipse

posible

Eclipse

posible

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Eclipses de Sol

Podemos aprovechar nuestra representación del siste-ma Tierra – Luna – Sol para estudiar otro fenómenointeresante, también debido a la propagación rectilíneade la luz y a la producción de sombras: los eclipsessolares. Así nuestros alumnos podrán utilizar el mode-lo de rayos para explicarlo y se acostumbrarán a mane-jar modelos.

Un eclipse de Sol ocurre cuando la Luna se interponeentre la Tierra y Sol y proyecta su sombra sobre nues-tro planeta. Para que un eclipse solar ocurra, la Lunatiene que estar cruzando el plano de la órbita de la Tie-rra en torno al Sol en el momento apropiado (cuando lalínea de nodos apunta hacia el Sol). Esto trae comoconsecuencia que el día de un eclipse solar sea un díamuy próximo al primer día de Luna nueva. El resto delas consecuencias que se deducen de nuestra repre-sentación es fácil de trabajar en clase.

Capítulo

3FORMACIÓN DE

IMÁGENES CON ELMODELO DE RAYOS

3.1. La cámara oscura

Existen indicios de que ya Aristóteles, en el siglo IVantes de Cristo, tenía conocimiento tanto de la existen-cia de la cámara oscura como del principio de su fun-cionamiento. También se sabe que los nómadas de losdesiertos conocían el fenómeno y lo reproducían avoluntad. Para ello practicaban un pequeño orificio enla pared de piel de la tienda, cerrada completamente demanera que en su interior reinase la oscuridad. En lapared opuesta a la que tenía la perforación, aparecíaninvertidas y con toda la riqueza de colores y matices lasimágenes de las escenas del exterior, iluminado por elintenso Sol del desierto. Este efecto no dejaría demaravillar a los nómadas, pero no tanto como podemossuponer; estaban acostumbrados a ver agua donde nola había y a que se trastocasen las posiciones de laspocas cosas que se veían en el desierto, de maneraque lo tomarían, probablemente, como otra ilusión ópti-ca debida al comportamiento, para ellos desconocido,de la luz.

Los pintores del Renacimiento, interesados en todo lorelacionado con la visión y la luz, no tardaron en cons-truir pequeñas tiendas de nómadas modificadas. Enellas sustituían la pared de proyección por una pantallaplana y, penetrando en su interior, estudiaban los tama-ños y proporciones de las imágenes que se formabansobre la pantalla de proyección, comparándolas con lostamaños de las figuras originales. Surgió así la cienciade la perspectiva, utilísima para su arte. En realidad, elempleo de la perspectiva señala la muerte de la EdadMedia y del Gótico, y el comienzo del Renacimiento.

Explicación de la cámara oscura utilizando elmodelo de rayos

Antes de explicar el fundamento de la cámara oscura,debemos presentarla a los alumnos de manera quesientan la misma emoción que el que observe el fenó-

meno por primera vez, ya se trate de Aristóteles, losnómadas del desierto o cualquier persona dotada decuriosidad y buen juicio. Como ejemplo de lo que deci-mos, podemos citar la primera experiencia de SantiagoRamón y Cajal cuando observó este curioso fenómeno.Santiago a los ocho años mostraba ya una gran habili-dad en el manejo de los lápices, habilidad que le sirviómás adelante para esquematizar lo que veía con ayudadel microscopio. Pero a esa temprana edad utilizabaeste don para caricaturizar a sus maestros. Como todoartista, deseoso de que su obra fuera conocida, repar-tía los dibujos entre sus compañeros, con el peligroconsiguiente. Inevitablemente sus maestros tuvieronocasión de admirar su obra y, aunque apreciaron sudestreza, fue confinado en un recinto que actualmenteha caído en desuso pero que era famoso en las escue-las de la época: el cuarto de las ratas. Era este unespacio generalmente oscuro, de pequeño tamaño ycon una puerta que sólo se abría desde fuera.Y fue allídonde Don Santiago nos relata lo que él creyó su pri-mer descubrimiento científico:

“En la escuela, mis caricaturas, que corrían de manoen mano, y mi cháchara irrestañable con los camara-das, indignaban al maestro, que más de una vez recu-rrió, para intimidarme, a la pena del calabozo, es decir,al clásico “cuarto oscuro”, habitación casi subterráneaplagada de ratones, hacia la que sentían los chicossupersticioso terror y yo miraba como ocasión deesparcimiento, pues me procuraba la calma y recogi-miento necesarios para meditar mis travesuras del díasiguiente.

Allí, en las negruras de la cárcel escolar, sin más luzque la penosamente cernida a través de las grietas delventano desvencijado, tuve la suerte de hacer un des-cubrimiento físico estupendo, que en mi supina igno-rancia creía completamente nuevo. Aludo a la cámaraoscura, mal llamada de Porta, toda vez que su verda-dero descubridor fue Leonardo da Vinci.

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Capítulo 3. Formación de imágenes con el modelo de rayos

He aquí mi curiosa observación: el ventanillo cerradode mi prisión daba a la plaza, bañada por el sol y llenade gente. No sabiendo qué hacer, se me ocurrió miraral techo y advertí con sorpresa que el tenue filete deluz proyectaba, cabeza abajo y con sus naturales colo-res, las personas y caballerías que discurrían por elexterior... Por donde caí en la cuenta de que los rayosluminosos, gracias a su dirección rigurosamente rectilí-nea, siempre que se les obliga a pasar por angostísimoorificio, pintan la imagen de punto de que provienen.Naturalmente mi teoría carecía de precisión, ignorantecomo estaba de los rudimentos de la óptica.

Qué me importa, pensaba yo, carecer de libertad. Seme prohíbe corretear por la plaza, pero en compensa-ción la plaza viene a visitarme".

Mi infancia y juventud. Santiago Ramón y Cajal.


Para proporcionar a nuestros alumnos la oportunidadde asombrarse, no nos queda otro remedio que cons-truir una cámara oscura. Afortunadamente es un traba-jo sencillo que puede llevarse a cabo con elementosfáciles de conseguir. Una caja de cartón y un papelvegetal o un vidrio mate sirven para construir uno deestos aparatos. Si se desea, se puede mejorar el dise-ño pintando de negro el interior de la caja, por razonesque quedarán claras más adelante.

Una vez que los alumnos hayan observado el fenóme-no, debemos proceder a construir nuestra cámara.

Perforaremos una de las paredes de la caja con unpunzón de menos de 1mm de diámetro.

Sustituiremos parte de la cara opuesta con el papel oel vidrio deslustrado, como indica la figura.

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A continuación, saldremos con nuestros alumnos alpatio del colegio, preferiblemente a la hora en la que elSol ilumine con más fuerza. Cubiertos conveniente-mente con una manta que no deje pasar la luz, comohacían los fotógrafos hasta mediados del siglo XX,observaremos la imagen formada. La razón paracubrirnos es evidente: queremos que sólo llegue anuestros ojos la luz que proviene de la imagen forma-da sobre el papel.

La figura siguiente muestra un experimento imaginario,tan del gusto de los científicos y, entre ellos, de nues-tros alumnos. Si pudiésemos levantar la tapa de la cajade cartón y ver los rayos de luz, observaríamos algosemejante a lo que el artista ha representado: la ima-gen del objeto modelo aparece invertida ante nuestroojos y está formada por los rayos de luz que dicho obje-to, convenientemente iluminado, refleja. Así es como laimagen es captada por nuestra rudimentaria cámaraoscura.

En la figura siguiente, hemos empleado un objeto másdel gusto de los físicos, una flecha.Y si señalamos dospuntos que consideremos importantes en el objeto, demanera que los podamos identificar en la imagen, vere-mos que se encuentran en la forma señalada en la figu-ra siguiente.

Funcionamiento de la cámara oscura

Es fácil explicar a nuestros alumnos el funcionamientode la cámara. Si imaginamos el orificio de la cámaraextremadamente estrecho, del mismo diámetro que loque los alumnos piensan que tiene cada uno de nues-tros imaginarios rayos de luz, cada punto del objetoemitirá un rayo que pasará por la perforación e ilumina-rá un punto de la imagen. Ese es el mecanismo de for-mación de la imagen explicado con el modelo de rayos,y los alumnos deben darse cuenta de que estos rayosson los mismos que han conceptualizado al estudiar laformación de las sombras.

Para terminar esta serie de observaciones que tienencomo finalidad el que los alumnos comprendan elmodelo de rayos, podemos experimentar con la defini-ción y la luminosidad de la imagen en función del diá-metro de la perforación de la cámara. Veremos que, siaumentamos el diámetro, aumenta la iluminación de laimagen, pero disminuye su definición y viceversa. Laexplicación es muy sencilla. Si el orificio es muy estre-cho, la luz emitida por un punto del objeto llegará a la

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plan

o de

la im

agen

pantalla (el papel vegetal) formando un cono que ilumi-nará una superficie determinada. Si el orificio es ancho,los diferentes conos se solaparán, y se producirá unasensación de desenfoque en la imagen pero aumenta-rá la luminosidad. En cambio, con una perforación muyestrecha, el haz de luz, que hemos modelizado comoun rayo, llega a la pantalla cubriendo una superficiemuy pequeña, y da la sensación de imagen enfocada;el precio que hay que pagar es el de perder luminosi-dad. Esta relación entre diámetro de la perforación,luminosidad y definición de la imagen es muy fácil deobservar y permite al alumno fijar las ideas esencialesque tienen lugar en la formación de la imagen en unacámara oscura.

Si el maestro dispone de recursos, es muy sencilloconstruir una cámara oscura en la que quepan unoscuantos alumnos, y que reproduzca la situación de losnómadas a la que nos hemos referido anteriormente.

3. 2. Un experimento interesante: la medida del diá-metro del Sol

Una vez que los alumnos han aprendido a manejar enel aula el modelo de rayos y su aplicación a la forma-ción de imágenes, podemos hacer una pirueta mentaly aplicar estos conocimientos a procesos semejantesen los que intervengan magnitudes del tamaño del sis-tema solar: podemos medir el diámetro del Sol. Es unejemplo en el que se hace patente la potencia delmétodo científico, se parte de la hipótesis de que la luzse comporta de la misma manera en nuestra aula queen el espacio del sistema solar. A continuación, vamosa medir el tamaño del Sol a partir del hecho de que losrayos de luz siguen caminos que son líneas rectas.

Para ello utilizaremos un cartón con una perforaciónsemejante a la de una cámara oscura, lo dirigiremos alSol y usaremos una pantalla de papel blanco, paralelaal plano del cartón. Obtendremos así una imagen del

Sol sobre el papel. El principio de la formación de laimagen es el mismo que en la cámara oscura, pero elSol es una fuente de luz tan intensa que no es necesa-ria la oscuridad de la cámara para observar su imagen.

Si medimos la distancia que separa el cartón perforadode la pantalla y conocemos la distancia aproximada dela Tierra al Sol, que es de unos 149.000.000 Km, pode-mos determinar de forma aproximada el diámetro delSol, X, mediante una sencilla proporción.

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3. 3. ¿Qué ocurre cuando un rayo encuentra unespejo? Las leyes de la reflexión

Todos sabemos que la luz se propaga en línea recta amenos que encuentre un obstáculo en su camino.Cuando dicho obstáculo es un espejo, se produce unfenómeno llamado reflexión especular, que consisteen que el rayo de luz se desvía de su trayectoria recti-línea y da lugar al rayo reflejado. Gracias a este fenó-meno podemos vernos reflejados en la superficie delagua de un lago o en la de los muchos espejos quetenemos en nuestros hogares. El objetivo de este apar-tado es el de esclarecer el mecanismo de la formaciónde imágenes en los espejos planos a partir de nuestromodelo de rayos.

La desviación que sufre un rayo de luz cuando incideen un espejo no es arbitraria. La primera tarea quedebemos acometer es la de investigar las leyes a lasque obedece la luz en la reflexión. El procedimientoque seguiremos será el habitual en la ciencia, es decir,la experimentación.

Para ello debemos aislar el fenómeno tanto como seaposible y estudiar el caso más sencillo que podamosconcebir: un rayo que incide (rayo incidente) perpendi-cularmente sobre la superficie de un espejo plano.


Para realizar el experimento podemos utilizar un punte-ro láser. Hay que controlar debidamente el rayo paraque no se dirija directamente al ojo. También puede uti-lizarse un proyector de diapositivas, además de unadiapositiva opaca en la que se ha realizado una perfo-ración, cuyo diámetro sea del tamaño del haz produci-do por el puntero láser. Esta segunda opción es menospeligrosa ya que no tiene la potencia necesaria paraproducir quemaduras instantáneas en la retina.

Especialmente útiles son los láseres de rayos múlti-ples, que se adquieren en empresas de aparatos deenseñanza, que lanzan rayos con perfil rectangularpara poder seguir su camino sobre un papel o unapizarra.

Y para materializar el rayo podemos realizar el experi-mento en un vaso lleno de agua con una gota de leche(como se hizo para visualizar los coloides), o con unode esos aparatos de producir humo que utilizan los api-cultores.

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Nuestros alumnos se encuentran ahora en una situa-ción privilegiada: están a punto de descubrir una ley dela naturaleza.

A partir de cualquiera de los procedimientos citadospara materializar el camino de la luz, veremos que elrayo que sale del espejo (rayo reflejado) se mantieneen el plano formado por el rayo incidente y la recta per-pendicular al espejo en el punto de incidencia, comopodemos comprobar si utilizamos un cartón plano. Esteresultado es muy importante, ya que el rayo reflejadopodría haber tomado cualquier dirección a partir delpunto en que el rayo incidente llega al espejo. De estemodo comprobamos que, cualquiera que sea la direc-ción del rayo incidente, el comportamiento del rayoreflejado es el mismo.

Así, podemos enunciar (siempre de forma provisional)una ley que determine el comportamiento de los dosrayos, de manera que sea una especie de reglamentodel fenómeno de la reflexión. Esta ley, que deberánintentar enunciar los alumnos, se puede expresar de lasiguiente manera:

Cuando un rayo incide sobre una superficie especular,se produce un rayo reflejado que se encuentra en elplano definido por el rayo incidente y la perpendicularal espejo en el punto de incidencia.

Después de observar el fenómeno y de estudiarlo deforma cualitativa, debemos pasar a cuantificar las mag-nitudes que consideremos relevantes para caracteri-zarlo y concretar su comportamiento. En este caso, lasmagnitudes que se pueden considerar relevantes sonlos ángulos de incidencia y de reflexión, que definimoscomo los ángulos que forman el rayo incidente y el rayoreflejado con la perpendicular a la superficie reflectan-te en el punto de incidencia.

Medida de los ángulos de incidencia y de reflexión

Para ello debemos utilizar un instrumento de medidade ángulos, de la misma forma que para medir longitu-des empleamos un metro. Como todos sabemos, losángulos se miden con un transportador, sencillo apara-to que consiste en un círculo dividido en 360 partesiguales, a las que llamamos grados. A nosotros, por elmomento, nos bastará con medio círculo, como el de lafigura.

Es muy fácil realizar experimentos de reflexión sobreun espejo, ya sea empleando un rayo de sol, una linter-na y una cartulina que deje pasar un haz de perfil rec-tangular o con un puntero láser. El transportador sesitúa perpendicularmente a la superficie de un espejo,como indica la fotografía.

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Debemos realizar el experimento variando el ángulo deincidencia y midiendo el de reflexión, y comprobaremosque para todos los valores del ángulo de incidencia seobtiene un ángulo de reflexión del mismo valor. Asípues, en todos los casos ambos ángulos son iguales.

Repitamos el experimento anterior con el espejo situa-do en el fondo de un recipiente transparente que llena-remos sucesivamente con diversos líquidos tambiéntransparentes como agua, agua con sal, aceite incolo-ro, etc. Por precaución, no deben usarse líquidos infla-mables. En todos los casos se puede observar que elángulo de reflexión es igual al ángulo de incidencia.

Leyes de la reflexión

Ahora es el momento de recopilar nuestro trabajo. Enprimer lugar, hemos observado un fenómeno de lanaturaleza, la reflexión de la luz. A continuación, comosabemos que la luz está formada por rayos que se pro-

pagan en línea recta, hemos diseñado varios experi-mentos que nos permiten investigar cómo se comportaun rayo cuando incide sobre un espejo. Seguidamentehemos estudiado el fenómeno y hemos definido lasmagnitudes que nos han parecido relevantes: los ángu-los de incidencia de y reflexión. Finalmente se ha estu-diado cuantitativamente (es decir, mediante medidas),la relación de estas magnitudes, en los distintos expe-rimentos. Podemos concentrar los resultados de loscitados experimentos en unas pocas líneas, que forma-rán el enunciado de las leyes de la reflexión:

El rayo incidente, la normal al punto de incidencia y elrayo reflejado se encuentran en el mismo plano.

El valor del ángulo de reflexión es igual al del ángulo deincidencia.

Una vez que hemos enunciado las leyes, para quenuestros alumnos se den cuenta de la información quecontienen, deberemos mostrarles que todos los fenó-menos de reflexión se pueden entender si sabemoseste enunciado que apenas ocupa unas pocas líneas.Para que se den cuenta de ello estudiaremos algunoscasos en los que este hecho se compruebe. En primerlugar, trataremos de entender cómo se forma la imagende un objeto (en el caso de la figura, una flecha) que seencuentra detrás de nosotros.

La punta de la flecha, iluminada por alguna fuente deluz, emite rayos en todas direcciones. De ellas, algunasinciden sobre el espejo y, por la ley de la reflexión,

Imagen virtual

Espejo

objeto

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penetran en nuestro ojo y forman una imagen. Pero,como indica la figura, el rayo que penetra en nuestroojo no lleva información que nos indique que se trata deun rayo reflejado y, en consecuencia, percibimos unasensación idéntica a la que correspondería a un objetosituado detrás del espejo. Así, decimos que el espejoha formado una imagen virtual del objeto, que es la quenosotros percibimos.

La figura siguiente nos indica cómo veríamos un obje-to desde diferentes lugares, cuando se refleja en unespejo plano, y comprobamos que la imagen permane-ce en el mismo lugar, tal como lo haría un objeto real.

Por último, estudiaremos, a la luz de nuestro modelo derayos, la formación de nuestra propia imagen en unespejo plano. Para ello seguiremos la misma técnica:se trazan los rayos que salen de los puntos relevantesdel objeto (que este caso somos nosotros mismos) y seobserva el camino que siguen hacia nuestros ojos, enla forma indicada en la figura.

3. 4. ¿Qué ocurre cuando la luz cambia de medio?Las leyes de la refracción

Todos hemos observado el fenómeno de la refracción.Si introducimos parte de un bastón en el agua, ésteaparece como si se hubiese fracturado o corto.

Esa es la razón por la que al fenómeno se le llamarefracción, palabra derivada de fraccionar, fracturar oromper.

Imagen virtual

Espejo

objeto

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Trayectoria del rayo

Como en el caso de la reflexión, para comprender loque le ocurre a la luz cuando cambia la naturaleza delmedio por el que se propaga, vamos a determinar elcamino que sigue un solo rayo cuando pasa del aire alagua. Lo más sencillo es utilizar un puntero láser, perohay que tomar las precauciones debidas.

Los esquemas siguientes señalan una forma conve-niente de realizarlo. Se puede usar una copia del trans-portador de ángulos que reproducimos (en papel o enplástico transparente de los que se emplean en lastransparencias de retroproyector) para medir tanto elángulo de incidencia como el de refracción.

Cuando el rayo incidente llega a la superficie de sepa-ración entre dos medios (en nuestro caso aire, medio 1,y agua, medio 2), la superficie de separación tiene undoble comportamiento. Por un lado, actúa como unespejo al reflejar parte de rayo incidente y, por otro, secomporta como un medio transparente al dejar pasar elresto del rayo al otro medio donde se refracta. Portanto, el rayo incidente se divide en dos rayos: uno quese refleja en dicha superficie y otro que se refracta y sepropaga por el segundo medio.

En el esquema adjunto, pueden verse el rayo inciden-te, el rayo reflejado y el rayo refractado, sus correspon-dientes ángulos son fáciles de determinar con el trans-portador.

Para hacer visible el rayo refractado, podemos añadiruna gota de leche al agua del vaso, como se explicó altratar el efecto Tindall.

Es evidente que las magnitudes relevantes en esteproceso son los tres ángulos: de incidencia, reflexión yrefracción, y la naturaleza de los dos medios por losque se transmite la luz, caracterizada por sus índicesde refracción n1 y n2. Estos índices miden la relaciónentre la velocidad de la luz en el vacío y la velocidad dela luz en cada medio.

El resultado de nuestras medidas será, aproximadamente, el que se refleja en la tabla siguiente:

Ángulo de incidencia, en grados sexagesimales Ángulo de refracción, en grados sexagesimales

0,00 0,00

5,00 3,76

10,0 7,50

15,0 11,2

20,0 14,9

25,0 18,5

30,0 22,1

35,0 25,5

40,0 28,9

45,0 32,1

50,0 35,2

55,0 38,0

60,0 40,6

65,0 43,0

70,0 45,0

75,0 46,6

80,0 47,8

85,0 48,5

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Si estudiamos el resultado del experimento, vemos queel rayo incidente, el reflejado y el refractado se encuen-tran en el mismo plano, que también contiene a la per-pendicular al punto de incidencia. Además, en estecaso en el que el rayo de luz pasa del aire al agua, elrayo refractado se acerca a la normal en el punto deincidencia.

El paso siguiente consiste en enunciar la ley que rela-cione las anteriores magnitudes, para lo cual debere-mos realizar numerosos experimentos variando elángulo de incidencia y anotando tanto su valor como eldel ángulo de refracción correspondiente.

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El índice de refracción del aire, prácticamente igual aldel vacío, se toma como unidad y los índices corres-pondientes a cada medio se refieren a los del aire. Asíen nuestro experimento, n1 vale 1 (aire) y n2 vale 1,33(agua).

Si realizamos el mismo experimento con otra sustanciatransparente, agua con sal disuelta, aceite incoloro ovidrio, comprobaremos que se cumple la misma ley,pero en vez de 1,33 aparecerá otro número.

Como se deduce de la fórmula de Snell, los mediostransparentes con mayor índice de refracción desvíanmás el rayo refractado respecto al incidente (es decir,se acercan más a la normal). A continuación, se repre-sentan esquemáticamente los resultados experimenta-les de la refracción aire/agua y aire/vidrio.

Como vemos en la figura, los índices de refracción n2de aire/agua y aire/vidrio son 1.33 y 1.52 respectiva-mente.

Como cualquier ley física, la ley de Snell sirve tantopara describir como para predecir el comportamientode la luz al pasar de un medio a otro aunque, comovemos, no da ninguna razón para que ocurra de estaforma y no de otra. Debemos tener claro que las leyesdescriben comportamientos y los modelos o teoríastratan de explicar ese comportamiento.

Leyes de la refracción

De nuevo se encuentran nuestros alumnos con unasituación privilegiada para un investigador, puesto queestán a punto de descubrir una ley de la naturaleza. Eneste caso no es fácil descubrir la relación entre elángulo de incidencia y el de refracción. Aunque ya Pto-lomeo había realizado este experimento y conocía lasfunciones trigonométricas (aunque no como las defini-mos ahora), hasta el siglo XVII no se enunció correc-tamente la ley.

La relación correcta fue descubierta en 1621 por W.Snell, profesor de matemáticas de la Universidad deLeiden. La ecuación que la describe fue dada a conocerde forma universal por Descartes en 1637, aunque diouna explicación falsa de una fórmula correcta. Descar-tes supuso que la luz estaba constituida por pequeñaspartículas que se desplazaban con gran rapidez por elaire y por los medios transparentes. Además creía erró-neamente, como Kepler, que la luz viajaba más rápida-mente por los medios más densos que por los mediosmenos densos. Este comportamiento es uno de losrequerimientos de las primitivas teorías corpusculares.

La ley de la refracción es muy simple, una vez que seha descubierto:

El índice de refracción del primer medio multiplicadopor el seno del ángulo de incidencia (i) es igual al pro-ducto del índice de refracción del segundo medio por elseno del ángulo de refracción(r).

Matemáticamente esto se expresa con la ecuación:

n 1 sen i1 = n2 sen r 2

Y no hay otra manera más sencilla de expresar la leyde la refracción; no tenemos más remedio queemplear la función trigonométrica del seno (o algunaequivalente).

45º 60º

32º 35º

Ejemplo BEjemplo A

Aire (n1=1,00) Aire (n1=1,00)

Agua (n2=1,33) Vidrio (n2=1,52)

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Espejismos debidos a la refracción

Entre los efectos más espectaculares de la refracciónestán los espejismos. En estos casos la diferencia detemperatura entre las distintas capas de aire hace quevaríe su densidad y, por tanto, su índice de refracción,lo que da lugar a que el aire se estratifique y formecapas de diferentes índices de refracción. Esta estrati-ficación puede originar la ilusión óptica de que el cieloestá al nivel de la tierra (inversión). Por dicha razón aveces, en un desierto, se tiene la sensación de que unapalmera está al borde de un lago al reflejarse en unasuperficie de agua, como indica la ilustración adjunta.La apariencia de agua se debe a que la tierra se ve delcolor azul del cielo.

3. 5. Ángulo crítico

A continuación, vamos a estudiar lo que ocurre cuandoel rayo incidente se encuentra en el medio con mayoríndice de refracción (mayor refringencia). Para ello ten-dremos que cambiar ligeramente nuestro dispositivoexperimental.


Podemos realiza un nuevo experimento en un recipien-te lleno de agua que tenga un fondo plano y transpa-rente. Después de añadir una gota de leche para con-seguir un medio dispersivo, dirigiremos el rayo del pun-tero láser desde el centro del fondo hacia la superficie,en la forma indicada en el esquema. Así se consiguerepetir el experimento de la reflexión y de la refracción,pero de forma que el rayo incidente se propague, comohemos dicho, desde un medio de mayor refringencia (elagua) a un medio de menor refringencia (el aire).

Vemos que, como se desprende de la ley de Snell, alpasar un rayo de un medio más refringente a otromenos refringente se separa de la normal. Pero llegaun momento en que el ángulo de refracción vale exac-tamente 90º, y emerge “rasante”, es decir, por el planode la superficie que separa los dos medios. Al ángulode incidencia que produce un ángulo de refracción de

Rayos refractados

90º

Punto de luz

Ángulo de refracción

Ángulo de incidencia

Rayo reflejadoRayo reflejado

AireAgua

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90º, se le llama ángulo límite o de reflexión total. Enel caso de la interfase aire-agua es de unos 48º. Paraángulos de incidencia mayores, el ángulo de refracciónes mayor de 90º, por lo que el rayo refractado es supri-mido y toda la luz incidente se refleja (reflexión total).

Si aplicamos estas leyes para estudiar lo que ve un pezdentro del agua, vemos que su mundo, como su campode visión, es muy complejo. En la figura adjunta se harepresentado de forma esquemática.

La zona que hemos señalado en blanco es la ventanaque se le abre al mundo exterior. El resto pertenece almundo sumergido.

3. 6. Imágenes en las lentes convergentes

Vamos a introducir a continuación un nuevo elementoen nuestro recorrido por el proceso de formación deimágenes mediante el modelo de rayos: la lente conver-gente.

La palabra lente proviene del latín "lentis" que significalenteja. Por esa razón a las lentes ópticas se las deno-mina así, por su similitud con la legumbre.

La lente más antigua de la que se tiene evidencia

corresponde a un ejemplar que se encontró en unasexcavaciones en Nínive, fabricada con cristal de roca.En Grecia también eran conocidas las lentes conver-gentes y Aristófanes las cita en su obra Las Nubes, enla que hace referencia a una lente para producir fuego.Más tarde, Plinio el Viejo también cita este tipo de len-tes y menciona la existencia de una fabricada tallandouna esmeralda, y que fue utilizada por Nerón.

Para motivar a los alumnos se puede leer en el aula elpasaje de La isla misteriosa de Julio Verne, en el quese describe cómo unos náufragos, durante la Guerrade Secesión americana, tras evadirse en un globo yalcanzar una isla, hacen fuego con una lente conver-gente que fabrican llenado de agua dos cristales dereloj:

–Ya lo está viendo, amigo –exclamó el corresponsal–.Hay fuego, verdadero fuego, que asará perfectamenteesa magnífica pieza, con la cual nos regalaremos den-tro de poco.–Pero ¿quién lo ha encendido? -preguntó Pencroff.–¡El sol!La respuesta de Gedeón Spilett era exacta. El sol habíaproporcionado aquel fuego del que se asombraba Pen-croff. El marino no quería dar crédito a sus ojos, y esta-ba tan asombrado que no pensó siquiera en interrogaral ingeniero.–¿Tenía usted una lente, señor? –preguntó Harbert aCiro Smith.–No, hijo mío –contestó éste–, pero he hecho una.Y mostró el aparato que le había servido de lente. Eransimplemente los dos cristales que había quitado al relojdel corresponsal y al suyo. Después de haberlos limpia-do en agua y de haber hecho los dos bordes adheren-tes por medio de un poco de barro, se había fabricadouna verdadera lente, que, concentrando los rayos sola-res sobre un musgo muy seco, había iniciado la com-bustión.

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El marino examinó el aparato y miró al ingeniero sin pro-nunciar palabra. Pero su mirada era todo un discurso. Sí,para él, Ciro Smith, si no era un dios, era seguramentemás que un hombre. Por fin, recobró el habla […].


Nosotros podemos repetir el experimento de los náu-fragos con nuestros alumnos, explicándoles que cual-quier sistema de producir fuego encierra siempre unriesgo. Podemos, además, utilizar la experiencia paraindicar la forma en la que se puede iniciar un fuego enun bosque con un casco de botella roto, e incluso rea-lizar alguna demostración.

Características de una lente

Como se desprende del relato de Julio Verne, una lenteconvergente está formada por dos superficies esféricas

(como las de los vidrios de reloj) en cuyo interior seencuentra un material más refringente que el aire. En elcaso de los náufragos este material era agua pero, engeneral, las lentes se fabrican de plástico o de vidriosespeciales.

Trataremos de explicar el resultado de este experimen-to mediante nuestro modelo de óptica geométrica. Aun-que sabemos que no es cierto, en primera aproxima-ción podemos considerar el Sol como un objeto sindimensiones, como si fuese un punto muy alejado, porlo que sus rayos nos llegarían siguiendo caminos para-lelos. Cuando atraviesan la lente, sus caminos se modi-fican de manera que convergen en un punto (foco).

Así, definimos el foco de una lente convergente como elpunto en el que se encuentran los rayos que vienenparalelos entre sí y perpendiculares al plano de la lente.

En ese punto se concentran los rayos que han atrave-sado nuestra lente y producen el suficiente calor paraque la temperatura del papel alcance los 230 o 240ºC necesarios para que comience a arder. Si dibuja-mos el recorrido de algunos rayos, obtenemos elesquema siguiente:

Hemos sustituido el dibujo de la lente convergente (quesuponemos delgada) por su símbolo, un segmento condos puntos de flecha como indica la figura. A la distan-cia a la que se forma la imagen del Sol, medida desdeel centro de la lente, se la llama distancia focal.

Si empleamos diferentes lentes, veremos que no todasforman la imagen a la misma distancia, es decir, su dis-tancia focal es distinta.

Aunque existen varios tipos de lentes convergentes,nosotros nos vamos a referir a la lente biconvexa, for-mada por dos superficies esféricas (como son losvidrios de reloj a los que se refiere Julio Verne). Estaslentes están compuestas por dos superficies esféricas,cada una con su centro de curvatura. La recta que coin-cide con el eje de simetría de la lente y que pasa porlos centros de curvatura, recibe el nombre de eje ópti-co de la lente.

El punto en el que el eje óptico corta al plano de sime-tría de la lente recibe el nombre de centro óptico de lalente, que en este caso coincide con el centro de sime-tría. Tiene la propiedad de que los rayos que pasan porél no sufren desviación.

Una vez que conocemos la ley de Snell, es fácil calcu-lar la trayectoria que sigue un rayo que incida sobre lasuperficie de la lente. Todo lo que tenemos que haceres trazar la perpendicular a la superficie en el punto enque incide el rayo, medir el ángulo de incidencia y cal-cular el ángulo de refracción. El rayo se propaga enlínea recta en el interior de la lente y llega a la super-ficie de la cara opuesta, donde deberemos hacer elmismo cálculo.

A partir de la trayectoria de los rayos podemos prede-cir dónde se forma la imagen de un foco luminoso colo-cado en cualquier punto del espacio.

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Distancia focal

Eje ópticoFocoCentro óptico

Lente convergente

Pero nosotros no vamos a seguir este camino, sino queharemos uso de las propiedades de algunos puntos ydistancias que caracterizan la lente, en la aproximaciónque estamos empleando.

Ya hemos descubierto que hay algunos puntos y rectasque tienen propiedades especiales, que nos serviránpara formar imágenes de una manera sencilla. Vamosa repasar cuáles son.

El primer punto importante es el foco, en el que seforma la imagen de un objeto situado sobre el eje ópti-co y en el infinito. La distancia entre el plano de sime-tría de la lente y el foco es la distancia focal de la lente.

Las lentes se caracteriza por su distancia focal, y unade las magnitudes que se emplea para caracterizar unalente es su potencia, cuya unidad es la dioptría. Lapotencia se define como el inverso de la distancia focal,

expresada en metros. Así, si una lente forma la imagendel Sol a una distancia de un metro (su distancia focales un metro) su potencia es de una dioptría. Si la ima-gen la forma a 0,5 metros su potencia es el doble:

1/0,5 = 2 dioptrías.

La potencia de una lente, tal como la hemos definido,no tiene nada que ver con su capacidad para concen-trar los rayos del Sol. Todos los que inciden sobre ellaconvergen en su foco. La cantidad de calor que se con-centra en el foco depende de la cantidad de luz queadmita la lente, es decir, de su superficie.

En el modelo geométrico que estamos utilizando esfácil ver que el camino de los rayos puede invertirse, detal manera que todo rayo que incida sobre la lente des-pués de pasar por un foco emerge paralelo al eje ópti-co. Por esa razón, las lentes tienen dos focos, cada unoestá situado a un lado de la lente y a la misma distan-cia, como hemos indicado en la ilustración adjunta. Así,los rayos que pasen por el foco de una lente y la atra-viesen, saldrán por el lado contrario paralelos a su ejeóptico.

De aquí en adelante, en las construcciones de rayossiempre supondremos que la luz procede de la izquier-da de la lente, donde se encuentra el foco que llamare-mos F, incide sobre la lente y emerge por la cara de laderecha, en la región donde se encuentra el otro foco,que designaremos como F’.

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Llegada de rayos paralelos

Distancia focal

Distancia focal

Lente

Lente

Foco

Foco

Punto deconvergencia

Punto de luz

Rayo axial Rayo axial

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Con estas convenciones lo que hemos aprendido sepuede expresar del modo siguiente: todo rayo que inci-de sobre la lente, paralelo al eje óptico, se desvía de talmanera que pasa por el foco del lado contrario, F’, ytodo rayo que incide sobre la lente pasando por un focoF se desvía de tal manera que sale por la otra cara dela lente, paralelo al eje óptico.

Como veremos a continuación, con estos conocimientospodemos predecir o explicar cómo y dónde se formanlas imágenes de los objetos en una lente convergente.

Para terminar con la descripción de las lentes conver-gentes diremos que éstas, como todo el mundo sabe,no están necesariamente formadas por dos superficiesconvexas como la de la historia de Julio Verne, sino quese pueden construir con caras geométricas de otrostipos. Pero todas son más gruesas por el centro quepor los extremos. Para no tener que representar estaslentes con detalle, como hemos visto en el caso de laslentes delgadas se suele utilizar un símbolo y se repre-sentan como líneas, con dos puntas de flechas en losextremos, como indica la figura. En muchas de las acti-vidades siguientes utilizaremos esta representación delente delgada, en la que se desprecia el grosor de lalente y se supone que los rayos cambian de direcciónen el segmento rectilíneo que representa el plano desimetría que separa las dos caras de la lente.


El comportamiento de los rayos de luz en las lentesconvergentes es muy fácil de estudiar, como veremosa continuación.

Utilizaremos un puntero láser y haremos un montajesemejante al de la figura, con dos libros y una lupa.Sobre el papel trazaremos una recta que coincidirá conel eje óptico de la lente.

Con los niños más pequeños podemos emplear un pro-yector de diapositivas enfocado al infinito (o la luz delSol) y un peine, como indica la figura siguiente, demanera que se materialice la idea de los rayos que sehan formado. Este resultado es adecuado para ilustrarel proceso de convergencia.

El primer ejercicio que vamos a llevar a cabo se refierea la formación de imágenes por una lente convergente.Para ello podemos realizar un montaje parecido al querepresenta la figura: utilizaremos una lente de las quese venden en los antiguos establecimientos de “todo a100”. Para obtener buenos resultados es importantemantener la habitación con una luz moderada e ilumi-nar el objeto con una fuente de luz intensa, comopuede ser una lámpara de mesa de trabajo. El resulta-do es semejante al obtenido en el caso de la cámaraoscura, es decir, se forma una imagen invertida demenor tamaño que el del objeto.

Formación de la imagen

La trayectoria de los rayos que corresponde a la forma-ción de la imagen de la vela es muy fácil de construir.

Comenzaremos por determinar la imagen que corres-ponde a un punto determinado del objeto, al puntosuperior del mismo, al que llamaremos P. En primerlugar, trazaremos un rayo (señalado como rayo a) queparta del punto P y sea paralelo al eje óptico. Comosabemos, al llegar a la lente se desviará de tal mane-ra que pase por el foco F’, situado a la derecha de lalente. A continuación, trazaremos un segundo rayo(rayo b) que parta del mismo punto del objeto y pasepor el foco situado a la izquierda de la lente, F. Esterayo, tras pasar por la lente emergerá paralelo al ejeóptico. El punto en el que se cruzan es el que determi-na la posición de la imagen del punto P, al que llama-mos P’.

Si construyésemos del mismo modo las imágenes detodos los puntos que pertenecen al objeto, formaría-mos la imagen completa, pero es fácil comprobar quecon solo el punto P se puede determinar la posición dela imagen, como indica la figura.

Ambos rayos (y todos los demás emitidos por el objetoy que incidan en la lente) se pueden proyectar sobreuna pantalla, como hemos visto en el experimento des-crito. A este tipo de imágenes que se pueden proyectarse las denomina imágenes reales. A aquéllas que no se

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Rayo aLente

objeto

Rayo b

Lente

imagen

objeto

objeto

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pueden proyectar se las denomina virtuales, como yahemos dicho al estudiar los espejos planos.

En el esquema anterior hemos añadido un tercer rayo.Corresponde al camino que parte del punto P y pasapor el centro óptico de la lente, que ya hemos dicho queno sufre desviación. Los tres rayos convergen en elpunto de formación de la imagen.

Una vez comprendido el recorrido de los rayos es muysencillo calcular las distancias si aplicamos la geome-tría, ya que se trata simplemente de determinar las lon-gitudes de los lados de los triángulos que se forman.En la figura siguiente se muestra un ejemplo quecorresponde al caso que hemos tratado: la formaciónde la imagen de un objeto situado entre el foco de lalente y el infinito.


La lupa

En este punto todos nuestros alumnos deberán experi-mentar el poder de la lente convexa utilizada como lupa.

Funcionamiento de la lupa

Para emplear una lente de manera que funcione comolupa deberemos situar el objeto entre el foco F y lalente, de manera que los rayos sigan los caminos indi-cados en el esquema siguiente:

Rayo b

Lente

imagen

objeto

Ecuación 1 1 1s s´ f=+ Aumento m h´ s´

h s== Potencia p 1f=

Cuando miramos un objeto a través de una lupa vemosuna imagen nítida. Esto quiere decir que todos losrayos que emergen del instrumento lo hacen de formaorganizada, de tal manera que los que provienen de undeterminado punto del objeto forman el punto corres-pondiente de la imagen. Por ello no es necesario, comohemos visto antes, dibujar todos lo rayos que salen decada punto del objeto, sino los rayos relevantes de lospuntos necesarios para determinar la posición y tama-ño de la imagen. En este caso, como en el anterior, elelemento más representativo es el punto superior delobjeto, P. Si trazamos desde este punto un rayo parale-lo al eje óptico, sabemos que saldrá de la lente siguien-do la dirección del foco F’. Podemos trazar otro rayoque pase por el centro óptico de la lente, que emerge-rá por el lado opuesto sin desviarse.

Si el observador se sitúa en el lado contrario al objeto,estos dos rayos y todos los que emergen de la lenteque provienen del objeto llegarán a nuestro ojo de talmanera que parecerá que provienen de un punto situa-

do en P’, aunque no sea cierto. Pero el ojo forma lasimágenes en el punto del que parecen partir los rayos.A este tipo de imágenes, que pueden ser percibidaspor los ojos pero que no se pueden proyectar, sabe-mos que se las llama imágenes virtuales. Así pues, lalupa forma imágenes invertidas, de mayor tamaño y vir-tuales, por lo que es útil como ayuda en la visión deobjetos pequeños.

Como en el caso anterior, una vez que conocemos elrecorrido de los rayos es fácil realizar cálculos. En lafigura siguiente se indica la forma en la que se deter-mina el aumento de la lupa, en función de la posicióndel objeto y de la potencia de la lente.

3. 7. Imágenes en las lentes divergentes

Como veremos más adelante, para entender la formaen la que se corrigen algunos defectos del ojo debe-mos estudiar otro tipo de lentes, llamadas divergentes.Estas lentes pueden construirse de varias formas,como las representadas en la figura, pero todas secaracterizan por ser más delgadas en el centro que enlos extremos. Como en el caso de las lentes conver-gentes, se suele emplear un símbolo especial parareferirse a ellas en la aproximación de lentes delgadas,consistente en un segmento rectilíneo terminado endos ángulos contrarios a los del símbolo de la lenteconvergente, como indica la figura.

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imagen

objeto

Ecuación 1 1 1s s´ f=+ Aumento m h´ s´

h s== Potencia p 1f=

Lupa

objeto

Lupa

objeto

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En las construcciones de rayos, como hemos dichoantes, siempre supondremos que la luz procede de laizquierda de la lente, donde se encuentra el foco F, inci-de sobre al lente y emerge por la cara de la derecha,en la región donde se encuentra el foco F’.


El comportamiento de los rayos de luz en las lentesdivergentes es un poco más complicado que el de lasconvergentes, como veremos a continuación. Lo prime-ro que se ve, al estudiar con un láser el recorrido de losrayos, es que éstos divergen cuando son refractadospor la lente.

Se puede utilizar el puntero láser o un montaje seme-jante al de la figura, realizado con dos libros y una lentedivergente, que se puede comprar en cualquier tiendade óptica de las que venden gafas para corregir defec-tos de visión, o un cristal desechado.

Comencemos por trazar una recta en el papel blanco,que tiene que coincidir con el eje óptico de la lente.

En las aplicaciones al aula de los más pequeños pode-mos emplear, como en el caso anterior, un proyector dediapositivas enfocado al infinito y un peine, lo que pro-duce resultados suficientemente buenos para ilustrar elproceso.

Formación de imágenes

La primera operación que deberemos realizar seráajustar la posición de la lente de manera que su ejeóptico coincida con la línea recta que hemos trazado, loque se consigue fácilmente con la ayuda del punteroláser y moviendo la lente hasta conseguir que el rayosiga la recta en todo momento. Después, situaremos el

puntero en diversas posiciones, como en el caso de laslentes convergentes, y comprobaremos que los rayosque inciden sobre la lente paralelos al eje óptico diver-gen y se separan de dicho eje al atravesar la lente.

Como es lógico, debemos ser un poco más precisos aldescribir el comportamiento de los rayos de luz. Con unpoco de paciencia y habilidad, se dibujan en el papellos caminos que siguen los rayos tras atravesar lalente, se comprueba que los rayos divergen de talmanera que sus prolongaciones pasan por el foco F.Ésta es la primera regla para describir el comporta-miento de las lentes divergentes.

La segunda regla que rige la formación de imágenesen las lentes divergentes se puede intuir sin más queinvertir la marcha de los rayos en la figura anterior, ope-ración que siempre da resultados correctos, pues la luz

sigue en estos casos caminos reversibles. Para drama-tizar este hecho hemos representado en la figurasiguiente una imagen simétrica de la anterior, que des-cribe perfectamente el comportamiento simétrico delas lentes delgadas.

Para comprobar que este resultado es correcto debere-mos realizar los experimentos correspondientes, utili-zando el puntero láser y el montaje descrito. Veremosque, como es lógico, se cumple nuestra idea, quepodemos formular diciendo que todo rayo que incidesobre la lente, si se prolonga y pasa por un foco F’, sedesvía de tal manera que sale por la otra cara de lalente, paralelo al eje óptico, tal como muestra la figura.

Se cumple, además, una tercera regla referente a losrayos que atraviesan la lente por su eje óptico, que lohacen sin sufrir desviación.

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Eje óptico

Foco

Eje óptico

Distancia focal

Foco

Rayos paralelos

Distancia focalRayo incidente

Eje óptico

Distancia focal

Foco

Rayos paralelos

A partir de estas tres reglas es fácil construir la imagenque corresponde a un objeto situado entre el foco F yel infinito. Para ello trazamos un rayo paralelo al ejeóptico que parta del punto relevante P, como en losdemás casos. Este rayo se refracta en la lente y emer-ge separándose del eje óptico, de tal manera que sudirección es la misma que si se hubiese originado en elfoco F. Trazamos a continuación un nuevo rayo en ladirección del foco F’ que, al llegar a la lente, se refrac-ta y sale paralelo al eje óptico. Situamos el punto P’ enel punto en que ambos se crucen. Si trazamos un ter-cer rayo que pase por el eje óptico, que ya sabemosque no sufre desviación, veremos que se cruza con losotros dos en el mismo punto P’.

Como en el caso anterior, el ojo, cuando capta estosrayos emergentes, forma la imagen en el lugar del queparecen provenir los rayos, es decir, en el punto P’.Y laimagen es virtual, ya que no puede ser proyectada por-que los rayos reales no pasan por ese punto.

Así, vemos que una lente divergente forma imágenesde los objetos más alejados del foco. Estas imágenesson virtuales, derechas y de menor tamaño.

3. 8. La cámara oscura mejorada: la cámara fotográfica


Una vez conocido el mecanismo de formación de imá-genes por las lentes convergentes, podemos mejorarnuestra cámara oscura al sustituir la cartulina perfora-da por una lente (a la que llamaremos objetivo), comoindica la figura.

Construir una cámara oscura de lente convergenterequiere un poco de meditación previa. Como hemosvisto en el apartado anterior, la imagen de un objetoque se encuentre muy alejado (en el infinito) se formaexactamente en el foco F’ de la lente.Y si acercamos elobjeto a la lente, la imagen se forma a una distanciamayor que la distancia focal. Este hecho marca unagran diferencia con la cámara oscura de perforación, enla que la distancia de ésta a la pantalla no tenía ningu-na importancia.

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Objeto Imagen virtual

Ejeóptico

El hecho de que la distancia de la imagen a la lentevaríe al acercar o alejar el objeto nos obliga a montar elobjetivo sobre un soporte que se pueda deslizar a lolargo del eje óptico del sistema, de manera que nospermita ajustar la distancia de la lente a la pantalla paraobtener una imagen enfocada. Para ello se puedenemplear dos tubos de cartulina, uno fijo y otro que sedeslice en su interior y sobre el que se monta la lente,como indica la figura, de tal modo que la distancia lentepantalla varíe entre un mínimo equivalente a la distan-cia focal y un máximo de aproximadamente el doble.

Sin duda, esta disposición de elementos recuerda laconstrucción de una cámara fotográfica elemental delas que se pueden ver en los museos, semejantes a loque hemos representado en la figura y cuyo funciona-miento debe ser fácilmente comprensible para nuestrosalumnos. La cámara fotográfica funcionaba exactamen-te igual que la que hemos construido. Una vez conse-guida una imagen de buena definición, al ajustar la dis-tancia de la lente a la pantalla de vidrio deslustrado, secerraba el objetivo y se sustituía dicha pantalla por unaemulsión fotográfica que se iluminaba durante unossegundos, al abrirse el objetivo durante ese tiempo. Seobtenía así el negativo que se llevaba al laboratoriopara su revelado.

3. 9. Modelo de ojo humano

Una vez comprendido el funcionamiento de la cámarafotográfica, podemos mostrar a nuestros alumnos undiagrama del ojo de los mamíferos, ahora comprensiblepara ellos.

La parte óptica del ojo está constituida por la cornea(que es la pared transparente que forma la primeracapa del ojo), una cavidad que contiene el humor acuo-so y una lente de potencia variable que se denominacristalino. Detrás está situada la pantalla sensible a alluz, donde se forma la imagen, que se llama retina. Lacámara que separa el cristalino de la retina está ocupa-da por el humor vítreo, que da consistencia al ojo ymantiene la retina unida a la parte posterior del mismo.Además, la cantidad de luz que penetra en el ojo seregula por medio de un orificio de diámetro variable queforma la pupila.

Es muy fácil explicar la formación de imágenes en elojo. La diferencia más importante con la cámara resideen la naturaleza de la lente que hace funciones deobjetivo: en tanto que en la cámara fotográfica la poten-cia de la lente es fija y su montura desplazable, en elojo el foco es variable, con lo cual no es necesario des-plazar la lente para enfocar objetos situados a distan-cias diferentes del observador.

La misma similitud se da entre cámara y ojo en cuantoa la apertura de la lente. De la misma manera que las

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Lente

Tubos decartulina

Pantalla(papel vegetal)

Lente

PantallaDistancia

focal

Lente

cámaras automáticas ajustan el diámetro del diafragmapara admitir la cantidad de luz apropiada para impre-sionar la película, en el ojo se varía la dimensión de lapupila de manera que llegue a la retina solamente lacantidad de luz necesaria. Esta regulación no es volun-taria, como se puede comprobar iluminando directa-mente el ojo de un compañero con la luz de una linter-na muy poco potente, como indica la figura. Es curiosoque no sólo cambia el tamaño de la pupila iluminada,sino que lo hacen las dos a la vez.

Llegados a este punto, debe quedar claro para nues-tros alumnos el funcionamiento tanto del ojo como dela cámara fotográfica, sus similitudes y sus diferencias,como se observan en la figura.

El ojo como sistema óptico

La potencia óptica del ojo depende básicamente detres componentes: curvatura de la cornea (que noso-tros consideramos como curvatura de la cámara dehumor acuoso), longitud de la cámara de humor acuo-so y potencia del cristalino (único elemento variable delsistema). La potencia resultante debe estar en conso-nancia con la distancia del centro óptico del sistema ala retina, (que supondremos 22,6 milímetros). Esta sim-plificación del ojo real se llama ojo reducido y se mues-tra en la figura.

Para ver un objeto nítidamente, el sistema óptico delojo debe formar una imagen del objeto exactamentesobre la retina y suprimir además la aberración cromá-tica. Para ello, el ojo debe contener un sistema equiva-lente a una lente convergente de unas 45 dioptríascuya potencia P es:

P= 1/22,6 mm.=1/0.0226 m=44.25 dioptrías.

3. 10. Defectos ópticos del ojo

Los elementos más importantes que influyen en losdefectos ópticos del ojo son: la curvatura de la corneay la potencia, la variabilidad y la transparencia del cris-talino.

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17,0 mm

Foco anterior

Foco posterior

22,6 mm

17,0 mm5,6

La curvatura de la cornea es el elemento responsablede la parte más importante de la potencia óptica delojo, correspondiéndole +43 dioptrías, pero presenta ungeometría fija y por lo tanto no puede utilizarse paraenfocar sobre la retina objetos que se encuentran adiferentes distancias.

El cristalino constituye la segunda lente del ojo. Tienesus dos caras convexas (por esto es convergente) yuna potencia de unas +19 dioptrías. Si estuviese en elaire tendría casi el doble, pero al estar sumergido enlíquidos (humor acuoso y humor vítreo) su potencia dis-minuye. Su importancia radica en que es el único ele-mento cuya distancia focal puede modificarse, por loque es imprescindible para enfocar a diferentes distan-cias. La distancia focal de todo el sistema debe ser muypróxima a los 22,6 milímetros en nuestro modelo deojo reducido.

A veces la potencia total, es decir, su distancia focal, noestá en consonancia con la longitud del ojo y el sistemaóptico no puede funcionar correctamente. Como unejercicio útil para comprender el ojo como instrumentoóptico, citaremos sus defectos más comunes.

Miopía

Se dice que un ojo es miope cuando la potencia delcristalino es excesiva para su longitud. En ese caso, laimagen se forma entre el cristalino y el fondo del ojo y,como consecuencia, en la retina aparece desenfocada.En consecuencia, el ojo sólo puede ver correctamentelos objetos situados muy cerca del cristalino; por estarazón suele decirse que la persona que padece estedefecto es “corta de vista”.

La solución consiste en situar delante del ojo una lentedivergente, de manera que los rayos de luz que proven-gan de objetos situados en el infinito diverjan como sicorrespondiesen a objetos situados más cerca, en elrango de distancia en que el ojo miope puede enfocar.

Hipermetropía

Cuando ocurre el defecto contrario, es decir, una poten-cia del cristalino demasiado baja, se dice que el ojopadece hipermetropía. La imagen de los objetos situa-dos cerca se forma detrás de la retina, con lo cual elpaciente la percibe desenfocada.

La solución a este problema se consigue interponiendoen el camino de la luz una lente convergente, comoindica el esquema.

Las lentes correctivas se pueden montar en anteojos osituar en contacto con la córnea, como las lentillas.También se puede modificar la geometría de la corneade manera que aumente o disminuya la potencia ópti-ca del ojo por medio de cirugía, que se realiza normal-mente utilizando un láser (LASIK).

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LentePunto focal

LentePunto focal

Catarata

El último defecto del ojo que vamos a considerar sedebe a la pérdida de transparencia del cristalino y reci-be el nombre de catarata. Produce visión borrosa debi-do a la falta de luz y se corrige sustituyendo el cristali-no por una lente transparente de potencia semejante.El mayor inconveniente es que la lente artificial no tienela capacidad de acomodación propia del cristalino, porlo que el paciente necesita utilizar lentes correctorasdiferentes para cada distancia de visión.

3. 11. La retina

Pasemos a describir brevemente la pantalla sobre la quese proyectan las imágenes, la retina. Ésta contiene unazona central, cercana al nervio óptico, llamada fóvea omácula lútea, de gran agudeza visual y especialmentediseñada para ver los detalles finos, rodeada de unazona periférica de baja agudeza visual. La retina contie-ne células de varios tipos, capaces de detectar algunoscolores, pero este punto lo trataremos más adelante.

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LentePunto focal

LentePunto focal

EL ENIGMA DE LOSCOLORES

Capítulo

4

4.1. La óptica en la época de Isaac Newton, ThomasYoung y James Clerk Maxwell

En este capitulo, dedicado a los colores, estudiaremosparte de la obra de Newton, nos encontraremos conYoung (con su modelo simplificado de tres colores), ycon la misteriosa fotografía en color, la primera realiza-da, que presentó Maxwell en 1861 en la Royal Institu-tion. Recorreremos de una forma rápida el camino quecomienza en el oscuro laboratorio de Newton en el Tri-nity College, a finales del siglo XVII, y que acaba, porel momento, en los monitores de ordenador, las panta-llas de televisión, los cañones de vídeo y en los CCDde las cámaras digitales, presentes incluso en los telé-fonos móviles que todos llevamos con nosotros. Tam-bién entenderemos cómo el ojo humano percibe loscolores.

4. 2. El experimentum crucis de Newton

En 1673, Newton empieza a estudiar los colores. Peroantes de abordar este importante tema, conviene des-cribir brevemente la revolución científica que acababade producirse.La nueva concepción del universo, con el Sol en el cen-tro, había sido publicada en 1543 por un canónigo yastrónomo polaco llamado Nicolás Copérnico, bajo eltítulo De Revolucionibus Orbium Celestium (Sobre lasrevoluciones de los cuerpos celestes). Lo acertado delmodelo de Copérnico se había comprobado gracias alas observaciones realizadas por Galileo cuandoempleó un instrumento nuevo: su telescopio. Así se des-cubrió que el Sol presentaba manchas fijas en su super-ficie por las que se podía verificar que giraba sobre sueje, que Júpiter tenía satélites, que Venus presentabafases y la Luna tenía montañas. El nuevo modelo deluniverso conocido produjo un cambio tan profundo quela palabra revolución, que aparece en el título de la obrade Copérnico, ha quedado en todos los idiomas comoindicación de una transformación importante en cual-quier campo de la actividad humana.

Pero aquellos telescopios no permitían muchos aumen-tos, aparecían imágenes fantasmas de diferentes colo-res, imposibles de enfocar en el mismo plano. Es unfenómeno que se denomina la aberración cromática yse debe a que el mismo vidrio presenta índices derefracción diferentes para cada color de la luz. Por ello,los focos correspondientes se encuentran en puntosdistintos y se forman imágenes en planos también dis-tintos.

Además, la ciencia estrenaba lenguaje. Un lenguajenuevo de extraordinarias posibilidades: el matemático.El mismo Galileo lo describió en su contestación a otroastrónomo:

“Farsi piensa que la ciencia es semejante a los librosde ficción, escritos por algún autor, como La Ilíada. Perolas cosas no son así. La ciencia está escrita en ese granlibro del universo, continuamente abierto ante nosotrospara que lo observemos. Pero el libro no puede com-prenderse sin que antes aprendamos el lenguaje en elque está compuesto. Está escrito en el lenguaje de lasmatemáticas y sus caracteres son triángulos, círculos yotras figuras geométricas, sin las cuales es humana-mente imposible entender una sola de sus palabras. Sinese lenguaje, navegamos en un oscuro laberinto”.

Galileo murió en 1642 en Florencia, cuando en EspañaVelázquez era pintor de Felipe IV. En ese mismo año(aunque de un calendario diferente), en un pueblo delcondado de Oxford nació Isaac Newton, llamado a ter-minar el trabajo comenzado por Galileo en la mecánica.

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Capítulo 4. El enigma de los colores

Su primer interés fue el estudio del universo, para loque se necesitaban buenos telescopios. Pero las lentes,como hemos dicho, producían aberraciones cromáticasque limitaban su uso. En realidad, en aquella época loscientíficos pensaban que la luz blanca era pura y quecualquier vidrio la teñía, corrompía su pureza...

Este problema interesó a Newton por lo que decidióestudiar el fenómeno que se producía cuando un rayode Sol atravesaba un adorno de los que pendían de unalámpara de cristal de roca. Es el fenómeno de la des-composición de colores, que viene maravillando a niñosy adultos de todos los tiempos. Lo hemos elegido por-que es uno de los temas más utilizados en todas lasaulas del mundo, por la fascinación que el color siempreha ejercido en los niños.

Además, constituye el ejemplo más conocido de precon-cepto histórico que todavía perdura entre nosotros. Con-siste en confundir los colores luz (los de la televisión o elcine) con los colores pigmento (los que utilizan lasimpresoras de colores) y nos da ocasión a deconstruirlo.

Newton realizó esta investigación en Inglaterra en la ciu-dad de Cambridge, edificada en torno a un puente sobreel río Cam, más exactamente en el Trinity College.

Cuando Newton inició su investigación, que nosotrosvamos a reproducir, existía la creencia de que el blan-co era un color, como el rojo o el verde. Y se seguía elmodelo de Descartes, admitido por Hooke, que suponíaque los colores estaban formados por una mezcla deluz y oscuridad.

Hooke era uno de los proponentes de esta teoría delcolor, y en su modelo la escala de color iba desde elrojo brillante, que era luz casi pura con la mínima adic-ción de oscuridad, al azul, el último paso antes delnegro, que era la extinción completa de la luz por laoscuridad.

Para comprobar el modelo de Hooke, que se puederesumir por la ecuación:

Color = luz + oscuridad

Newton realizó varios experimentos que se pueden lle-var a cabo en el aula.

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No había duda: el modelo de Descartes era falso. Poresa razón Newton, como nosotros con nuestros alum-nos, no tuvo más remedio que investigar él mismo lanaturaleza de los colores realizando otro experimentocrucial, que describimos a continuación.

4. 3. El experimento del prisma

Newton tenía 23 años cuando realizó el experimentoque vamos a describir. En esta época existían lámparasde vidrio como las que hemos visto en los museos ypalacios, y todo el mundo sabía que cuando la luz pasa-ba a través de sus lágrimas de vidrio emergía colorea-da, como ocurría con los diamantes tallados y otras pie-dras utilizadas para adornarse. También existían pris-mas, que se empleaban como objetos curiosos por loscolores que producían cuando los iluminaba el Sol.

Newton se acercó a Oxford un día de feria y compróalgunos prismas de grandes dimensiones. Como élmismo describe en su Óptica, publicada en 1704:

“[…] en el año 1665 compré varios prismas de vidrio paraexperimentar con ellos los fenómenos de los colores”.


Tomó varias hojas de papel blanco y dibujó en ellasnumerosas manchas negras de formas irregulares y demuy pequeño tamaño, distribuidas uniformemente. Des-pués las fijó a una pared y se fue alejando, de maneraque con la distancia se fundieran las partes blancas ynegras (luz y oscuridad) de los folios hasta el punto deque produjeran una sola imagen. Eran una especie detablero de ajedrez con cuadros blancos y negros. Si lahipótesis de Descartes, Hooke y Boyle era cierta, al ale-jarse se verían los papeles de diferentes colores,dependiendo del número de manchas que hubiesedibujado por unidad de superficie.

Pero no ocurrió así... A suficiente distancia los papelesaparecían todos grises.

Una vez en su aposento realizó un experimento quepodemos repetir en el aula. Cerró la cortina de su habi-tación, recortó en la cortina negra, que cubría la venta-na, una rendija que dejase penetrar un rayo de Sol de lamañana y lo dirigió al vértice de uno de sus prismas.Ante sus ojos se produjo el fenómeno de la dispersiónde la luz blanca que produce un espectro de diversoscolores.

El rayo de Sol se veía perfectamente al reflejarse, a lolargo de toda su trayectoria, en las pequeñas partículasde polvo que llenaban la habitación.

Para estar seguro de que el prisma no coloreaba la luz,colocó el segundo prisma sobre cada uno de los colo-res del espectro producido por el primer prisma y obser-vó que los colores ni se deformaban ni se dispersaban.

El prisma no producía los colores. La luz que incidía enel prisma con un color determinado emergía con esemismo color. Los colores del espectro eran colorespuros. Cada rayo de luz de un color determinado saledel prisma exactamente del mismo color.

“Los experimentos son una de las maravillas de la cien-cia: son reproducciones de un fenómeno natural quepodemos llevar a cabo en el laboratorio o en el aula tan-tas veces como queramos”.


Nosotros podemos repetir este experimento utilizandoun proyector de diapositivas que reproduzca la rendijade luz del Sol según se indica en la siguiente ilustración.

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Pantalla decartulina blanca

cartulinarecortadaImagen proyectada: rectángulo

vertical blanco sobre fondo negro(bitmap o diapositiva)

PrismaPrisma

Proyector

Si aislamos un color, por ejemplo el verde, y se deja quepase por una ranura hecha en una tarjeta de visita yque incida sobre un segundo prisma, podemos compro-bar que a la salida del mismo sólo se observa el colorverde que ha entrado.

La rueda de Newton

Para demostrar que la luz blanca no era pura, sino muyal contrario una mezcla de todos los colores visibles,fabricó una rueda, como la de la figura, donde dibujó loscolores del arco iris. Al girarla se fundían los colores ensu retina y se producía la sensación de luz blanca. Nohabía duda: la suma de los colores del espectro repro-ducía la luz blanca.

Conclusión

La luz blanca no es una luz pura sino que se componede muchos colores. La imagen de estos colores produ-cida por un prisma se llama espectro de la luz.

Esta nueva interpretación molestó bastante a los quecreían que el blanco simbolizaba la pureza, porque erajustamente lo contrario, significaba la mezcla. PeroNewton había demostrado que la luz blanca no sólo noes pura sino que no existe. Es sólo una sensación quenos produce la adición de los colores del arco iris. Peroeste experimento no convenció a todo el mundo. Lospreconceptos son muy difíciles de deconstruir, comodijo mucho más tarde Derrida.

En 1672, Newton fue elegido miembro de la RoyalSociety, tras haber regalado a esa institución uno de susmagníficos telescopios reflectores. Newton presentósus resultados sobre la descomposición de colores a laSociety en 1674 y ese mismo año publicó su primer artí-culo científico sobre la luz y el color en PhilosophicalTransactions of the Royal Society. Fue su primera comu-nicación. Era joven (tenía 32 años) y no esperaba reac-ciones adversas por parte de nadie, ya que todos susargumentos estaban apoyados sólidamente en resulta-dos experimentales (famoso principio que él enunciódiciendo hipótesis non finjo). Pero no fue así. Tanto Huy-gens como Hooke se apresuraron a atacar los resulta-dos de la dispersión del color por un prisma.

Newton podía esperar una reacción negativa por partede Huygens, pero no de un compañero de la RoyalSociety, como era Hooke. Las relaciones entre ambosse deterioraron aún más cuando, en 1675, Hooke afir-mó que Newton había robado algunos de los resultadosde su Óptica y que lo que era bueno en la obra de New-ton no era original y lo que era original era erróneo.Como resultado de esta desagradable experiencia,nuestro investigador se encerró en sí mismo y se alejó

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de la Royal Society (que asociaba con Hooke), aunqueambos habían hecho las paces con un intercambio decartas corteses. Así, retrasó la publicación de una rela-ción completa de sus investigaciones ópticas hasta des-pués de la muerte de Hooke, en 1703. Su Óptica, comohemos dicho, apareció en 1704.

Lo que Hooke y Huygens aportaron como prueba de lainexactitud de los resultados de Newton era también unresultado experimental: la suma de la luz amarilla con laluz azul producía luz blanca, lo que evidenciaba que elblanco no es la suma de todos los colores del espectro.

Este experimento es fácil de reproducir en un aula deinfantil sin más que utilizar dos cañones de vídeo, cadauno de los cuales proyecta una diapositiva de powerpoint de estos colores. Y el resultado es realmentecurioso. ¿Cómo puede ser que la luz blanca esté com-puesta por todos los colores del espectro si se puede, almismo tiempo, obtenerla sumando tan solo dos deellos? Este enigma tardó más de cien años en resolver-se, pero nosotros lo descubriremos antes de llegar alfinal del libro.

4. 4. La composición aditiva de los colores

Empecemos por estudiar la composición aditiva, super-posición o suma de colores. Los científicos de la épocaestudiaron este problema, aislando cada una de lasfranjas del espectro de la luz blanca y dirigiéndolas auna pantalla por medio de espejos, de manera que se

pudiese estudiar el efecto de su superposición o suma.Vamos a presentar los resultados más conocidos y fáci-les de obtener. Para ello utilizaremos tres proyectoresde diapositivas o tres cañones de vídeo con tres coloresa los que llamaremos fundamentales o primarios: rojoverde y azul. La suma de estos tres colores produceblanco, un resultado obtenido por el físico inglés Younghacia 1810, mucho después de la muerte de Newton,Hooke y Huygens. Queremos señalar que la importan-cia de este resultado reside en que hasta entonces eranecesario sumar todos los colores del espectro paraconseguir el blanco, en tanto que Young lo conseguía

con sólo tres colores puros. ¿Cuál es el misterio?Lo primero que se nos ocurre es componer los coloresprimarios de dos en dos. Así obtenemos nuevos coloresque, como se forman a partir de los primarios, se llamansecundarios.

Vamos a seguir los consejos de Galileo y escribir estosresultados con la ayuda de las matemáticas. Las ecua-ciones correspondientes a estas composiciones son:

• Rojo + Verde = Amarillo.

• Rojo + Azul = Magenta.

• Verde + Azul = Cian

Recapitulando:

1. Los colores fundamentales o primarios son el rojo,el verde y el azul, cuya suma produce el blanco.

2. Los colores secundarios son lo que se obtienensumando dos fundamentales.

3. Se llaman colores complementarios los que seobtienen componiendo un primario y un secunda-rio, y producen el blanco.

Como recordaremos, Hooke y Huygens dijeron a Newtonque existían parejas de colores que al sumarse producíanal blanco. Ahora sabemos que se referían a las parejasde complementarios (un primario y un secundario).

Para entender estas relaciones escribamos las ecuacio-nes correspondientes a las parejas complementarias.

• 1ª Ecuación de Hooke:• Amarillo + Azul = Blanco• Si sustituimos el Amarillo por Rojo + Verde se

obtiene la ecuación de Young:Rojo + Verde + Azul = Blanco

• 2ª Ecuación de Hooke:• Magenta + Verde = Blanco• Si sustituimos el Magenta por Rojo + Azul

obtenemos también la ecuación de Young:Rojo + Azul + Verde = Blanco

Finalmente, si utilizamos la 3ª ecuación de Hooke:• Cian + Rojo = Blanco• Si sustituimos el Cian por Verde + Azul volvemos

a obtener la misma ecuación de Young:Verde + Azul + Rojo = Blanco

La ecuación final en los tres casos es la ecuación deYoung: el blanco es la suma de los tres colores funda-mentales.

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Pero esto no resolvía el problema planteado por Hookey Huygens: la equivalencia del amarillo de Newton(puro) con el amarillo formado por el rojo y el verde,ambos amarillos indistinguibles para nuestro ojo. Habíaque seguir investigando.

4. 5. El modelo de Young

Más de cien años después de la comparecencia deNewton ante la Royal Society, Young inventó un mode-lo que podía explicar la extraña álgebra de los colores.Pero para ello tuvo que reinterpretar el experimento deuna manera diferente que a continuación explicamos.

En pocas ocasiones se percibe tan claramente la nece-sidad de cambiar un preconcepto existente como en elcaso de la visión de colores por el ser humano. En estecaso se trataba de la creencia de que el color que el ojove corresponde a las características objetivas de la luzque realmente entra en él (la longitud de onda delmodelo de Huygens o el color del corpúsculo de New-ton, que ahora llamamos fotón). Y, al menos en el casode los colores, esto no es cierto.Vemos colores diferen-tes a los de la radiación que entra en el ojo, compues-ta por fotones de distintas frecuencias, es decir, de dis-tintos colores. Es el fundamento de la moderna tecno-logía de la fotografía en color, la televisión, los monito-res de los ordenadores y la fotografía digital. Un fotónrojo y un fotón verde que entran simultáneamente pro-ducen una sensación igual que la producida por un

fotón amarillo. Y eso es lo que reflejan las ecuacionesque hemos presentado.

El concepto nuevo que Young introduce es el de sensa-ción fisiológica del color, que es distinta del color realde los rayos (u ondas o partículas) que entran en el ojo.

Simplemente con este nuevo concepto de sensaciónfisiológica de color, la interpretación de la composiciónde los colores es nueva y diferente: los colores delespectro que salen del prisma de Newton son colorespuros, como se demuestra con el segundo prisma.

Cuando los siete colores penetran simultáneamente ennuestro ojo producen la sensación del blanco.

Pero una luz de color rojo que se ve simultáneamentea una luz de color azul produce la misma sensaciónque la luz magenta pura del espectro. Es lo que ocurreen la composición de los colores producidos por loscañones de un vídeo. Y una luz de color verde que seve simultáneamente a una luz de color azul produce lamisma sensación que la luz cian pura del espectro. Yuna luz de color rojo que se ve simultáneamente a unaluz de color verde produce la misma sensación que laluz amarilla pura del espectro.

Esto constituye un enigma que debemos esclarecer.


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A la luz de esta interpretación podemos construir unarueda de Newton, pero con tan sólo tres colores, rojo,verde y azul, que al girar producirán la sensación de luzblanca. La rueda de los tres colores cobra un sentidonuevo.

4. 6. El experimento de Maxwell

Como ya sabemos, hacia 1810 Young demostró que lostres colores rojo, azul y verde bastaban para obtenertodos los demás colores que el ojo humano es capazde percibir. Esta idea llevó a Maxwell a la sospecha(hoy confirmada) de que el ojo solamente es sensible atres colores y que todos los matices que podemos dis-tinguir resultan de la mezcla de esos tres colores. Tam-bién concluyó que era posible realizar una foto en colorsi se fotografiaba una misma escena tres veces a tra-vés de tres filtros de colores distintos (como en lasfotos del ejemplo), para después proyectarlas sobre lamisma pantalla. El experimento fue un éxito y en 1861Maxwell mostró la primera fotografía en color de la his-toria: un tejido de falda escocesa.

Como consecuencia, quedó claro que no todos loscolores tienen que ser puros. Se puede producir unamarillo igual al del arco iris al mezclar el rojo y elverde, por ejemplo. Pero el amarillo del espectro es uncolor puro y el que se obtiene mezclando los dos colo-res primarios no es amarillo, aunque nos produce lamisma sensación que el amarillo puro. Sin embargo,nosotros no podemos distinguirlos con nuestros ojos.Por lo tanto, se pensó en utilizar esta propiedad paraengañar al ojo construyendo monitores y proyectoresque sólo utilizan los tres colores.

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Rojo

Verde

Azul

Tanto en los monitores como en los cañones de vídeolos tres emisores de luces rojo, verde y azul se dice queforman un pixel. Es muy fácil observar los tres elemen-tos de los pixeles en un monitor de ordenador con unalupa o microscopio de mano de cinco a veinte aumentos.

4. 7. Fisiología de la visión

Es importante conocer que la solución de este enigmade los colores no es de naturaleza física, sino quetiene una base puramente fisiológica, por la forma en laque se perciben los colores en la retina.

A continuación se describe brevemente la composicióny funcionamiento de la retina.

Fotorreceptores. Son de dos tipos: conos y bastones.

Células horizontales.

Células bipolares.

Células amacrinas (o células de Cajal).

Células ganglionares. Son las terminaciones (axones) del nervio

óptico.

Las células horizontales conectan los fotorreceptoresentre sí y también con las células bipolares. Las célu-las bipolares, finalmente conectan los fotorreceptorescon las terminaciones ganglionares del nervio óptico.

Especial mención merecen los conos y bastones. Losconos son sensibles a los colores y se activan sola-mente con alta intensidad luminosa, están situados enla fóvea y dan lugar a la visión en color con gran agu-deza. Los bastones son ciegos al color, se excitan conbaja luminosidad y están situados en la zona periférica.Son responsables de la visión nocturna en color gris.Cuando se pone el Sol, por ejemplo, los conos sedesactivan y la visión pasa a ser controlada por losbastones.

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Fotorreceptores(bastones y conos)

Célula horizontalCélula amacrinaCélula bipolar

Célula ganglionar

Nervio óptico

Luz

Nervio óptico

RetinaSECCIÓN TRANSVERSAL DEL OJO

SECCIÓN TRANSVERSAL DE LA RETINA

Observemos, para terminar, un hecho sorprendente: laretina humana, como la de muchos mamíferos, presen-ta un error de diseño evidente que puede verse clara-mente en la figura. La luz penetra por la parte del ner-vio óptico y tiene que atravesar varias capas antes dellegar a los fotorreceptores. Lo lógico seria al contrario,como ocurre, por ejemplo en el ojo del calamar.

En la figura siguiente puede verse más claramente quelos fotorreceptores, como ya se ha dicho, están com-puestos de dos tipos de células, unas en forma de bas-tones y otras en forma de conos.

Recordemos que los bastones son los responsables denuestra visión en blanco y negro, tal como vemos por lanoche, con poca luz. Los conos, en cambio, son los res-ponsables del color en el ojo y pueden ser de tres tipos,según el pigmento que contengan. Unos son sensiblesal rojo, otros al verde y los restantes al azul.

La figura anterior presenta tres curvas que muestran lasensibilidad de los tres tipos de conos en función de lalongitud de onda. Para cada longitud de onda la orde-nada de las tres curvas da la sensibilidad al correspon-diente color. De esta manera el ojo compone los colo-res y los percibe.

Realmente sólo vemos esos tres colores, pero ¿porqué razón somos sensibles solamente a esos tres colo-res? La razón está en que la superficie del Sol seencuentra a unos 5.700 K y a esa temperatura unaparte importante de la energía radiada lo hace en lazona del espectro que va de 400 nanometros (azul) a700 nanometros (rojo). Por esa razón, la evolución haconducido al desarrollo de unos receptores que cubrenesa área de radiación.

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Cono verde

Cono rojoCono azul

SIMULACIÓN DE LAPROFUNDIDAD:

LA PERSPECTIVALINEAL

Capítulo

5

5.1. Codificación de la distancia

Éste es un buen momento para introducir el conceptode dimensión. Podemos explicar a nuestros alumnosque los objetos del mundo real ocupan un espacio quepodemos definir por su altura, anchura y profundidad,es decir, tres medidas de longitud que corresponden atres direcciones perpendiculares. Cada una de estasmedidas corresponde a lo que llamamos una dimen-sión, concepto que los alumnos deben adquirir.

Pero la imagen que se forma en la retina de una esce-na del mundo real, como la que se forma en la cámaraoscura, es plana y sólo tiene dos dimensiones, ancho yalto. Lo mismo ocurre con las fotografías o las pinturasque realizan los artistas sobre sus lienzos. Estas imá-genes corresponden a una representación de las tresdimensiones sobre una superficie de dos, lo que nosdeja sin la información correspondiente a la profundi-dad o a la distancia a la que se encuentra un objeto.

Esta información sobre la distancia a la que se encuen-tran las cosas es fundamental para movernos y muyimportante para la supervivencia de los animales caza-dores o de sus presas. Para que nuestros alumnos seden cuenta de ello, podemos explicarles otras formasde apreciar el espacio que se han desarrollado en lanaturaleza como, por ejemplo, la que utilizan los mur-ciélagos, basada en la misma técnica que el Sonar.

El murciélago emite un sonido de una frecuencia deter-minada y recibe las ondas reflejadas por los objetos,tanto inmóviles como en movimiento. El animal deter-

mina la distancia a partir del tiempo que tarda una ondasonora en llegar a un objeto y volver a su oído. Si laonda reflejada procede de un objeto fijo, la frecuenciadel sonido que recibe nuestro murciélago es la mismaque ha emitido, pero si el objeto se mueve la frecuen-cia cambia (por efecto Doppler), lo que proporciona asíuna apreciación de la distancia y de la velocidad con laque se mueven las posibles presas.

En nuestro caso, el ojo aprecia la distancia codificándo-la como una disminución del tamaño de la imagen,tanto más acusada cuanto más alejado se encuentre elobjeto. Ese fenómeno se entiende si se representa lamarcha de rayos en una cámara oscura, para dos obje-tos del mismo tamaño situados a distancias distintas,como se observa en el ejercicio siguiente.


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Capítulo 5: Simulación de la profundidad: la perspectiva lin-

Como puede verse fácilmente, si la distancia seaumenta al doble o al triple, el tamaño se reduce a lamitad o a la tercera parte. Esta relación entre distanciay tamaño de la imagen se dice que es una relación line-al, que el cerebro utiliza para llevar a cabo una aprecia-ción de la distancia a la que se encuentra el objeto.

La reconstrucción de las tres dimensiones a partir de laimagen de la retina es un proceso de ingeniería inver-sa, que consiste en determinar cómo podría ser elobjeto que ha producido la imagen que se quiere inter-pretar. Este proceso se comprende fácilmente si seanaliza la figura siguiente, en la que vemos dos posi-bles interpretaciones de la imagen en la retina. Puedecorresponder a una persona de estatura media situadaa una distancia de unos cuatro metros, o a una con lamitad de altura situada a dos metros.

Es fácil ver que los procesos de ingeniería inversa notienen una solución única. Para calcular la distancia ala que se encuentra la persona de la figura tenemosque utilizar el dato de su estatura, que no podemosextraer de la imagen sino de nuestra experiencia pre-via. Por eso es fácil engañar al ojo con una imagen 2Dbien construida, como la de las pinturas realistas, lasfotografías, el cine o las imágenes de televisión (produ-cidas en una pantalla plana) que nos producen unasensación de profundidad parecida a la del espacio detres dimensiones que representan.

5.2. Un ejercicio de competencias pedagógicas:cómo engañar al ojo

Ahora que sabemos cómo funciona el ojo, podemosinventar algún procedimiento para engañarlo. En unasuperficie (que tiene dos dimensiones) se dibujandeterminadas imágenes de manera que el ojo las per-ciba con las mismas proporciones que si fuesen de tresdimensiones.

Hay dos caminos para abordar este problema: el primerprocedimiento consiste en interponer, entre el objetoque queremos representar en dos dimensiones y elobservador, un cristal plano y transparente, sobre cuyasuperficie se dibuja lo que percibimos de dicho objeto.Este método no requiere conocer el funcionamientodel ojo.

El segundo camino consiste en relacionar las imáge-nes bidimensionales que se forman en la retina con losobjetos tridimensionales que las producen. Esta rela-ción da lugar al problema de representar la terceradimensión (profundidad), origen de la perspectiva, quese puede estudiar con la cámara oscura, ya sea con osin lente.

El paso de tres dimensiones espaciales a dos es, pues,el objeto de la perspectiva y se realiza aplicando las

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leyes de la geometría euclidiana a la proyección en unacámara oscura.

En primer lugar, explicaremos algunos ideas prelimina-res que nos van a ser útiles para entenderla.

Punto de fuga

En la geometría euclidiana se supone que las paralelasse encuentran en el infinito. Sin embargo cuando mira-mos un objeto que se aleja, por ejemplo los dos raílesdel tren de la figura, nos da la impresión de que lasparalelas se van aproximando y terminan por convergeren un punto dentro del espacio que dominamos connuestra vista. A este punto de convergencia se le llamapunto de fuga y la línea horizontal que pasa por estepunto se llama línea del horizonte. El punto de fuga es,por tanto, la representación del punto del infinito eucli-diano sobre nuestro campo de visión.


En las figuras siguientes se indica la forma en la que losalumnos pueden representar cuerpos de tres dimensio-nes sobre la superficie de un papel, siguiendo las reglasde la perspectiva que acabamos de descubrir.

La manera más sencilla de representación consiste enrealizar el dibujo en torno a un solo punto de fuga, y sedenomina perspectiva lineal.

Capítulo 5: Simulación de la profundidad: la perspectiva lineal

Luz

Dibujar una línea horizontal

Colocar el punto defuga

Dibujar un rectángulo(ó cuadrado)

Unir los vértices con elpunto de fuga

Dibujar una línea hori-zontal limitando la figura

Dibujar una línea verticalpara obtener el lado

Borrar las líneas quellegan al punto de fuga Dibujar otra forma

Añadir ventanas ypuertas

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Sin embargo, hay que tener en cuenta que existen tan-tos puntos de fuga como direcciones de rectas en elespacio, por lo que la perspectiva fue evolucionandocon el tiempo.

Punto de mira o punto de vista

Es el punto desde el que se observa un objeto. Comose ve en el dibujo, un cambio en el punto de mira conel que observamos el mismo paisaje modifica el puntode fuga y, por lo tanto, la escena que percibe el ojo.

En pintura, cada cuadro está pensado y realizado porel pintor para ser observado desde un lugar determina-do. El cuadro de Velázquez (1599-1660) del príncipeBaltasar Carlos es un ejemplo característico.

Este cuadro estaba destinado a ocupar el vano situadosobre el dintel de una puerta del palacio del Buen Reti-ro y a eso se debe el punto de vista que utiliza Veláz-quez. Visto desde abajo, el caballo parece saltar sobreel espectador, pero si se observa desde el frente laperspectiva no es la adecuada y nos aparece como unanimal demasiado tripudo.

Mantenimiento de proporciones

Cuando miramos un objeto que se aleja nos da laimpresión de que su tamaño disminuye. Hay una pro-porcionalidad entre el tamaño del objeto y la distancia ala que es observado. Esta proporcionalidad, que ya fueenunciada por el filósofo griego Thales de Mileto (640-546 a. C.), debe ser tenida en cuenta cuidadosamentepara entender cualquier representación de la realidad.

La figura siguiente es un buen ejemplo de manteni-miento de las proporciones, reflejado en la constanciadel cociente entre la altura del objeto y su distancia alpunto de fuga.

Punto de fuga Punto

de fuga

Punto de fuga

Para crear la ilusión de profundidad se han utilizadodiversos procedimientos entre los que destacamos laperspectiva lineal, la perspectiva menguante y la pers-pectiva de color.

Perspectiva lineal

Como ya hemos visto, la perspectiva lineal es un siste-ma pictórico cuyo objetivo es crear la sensación de pro-fundidad engañando al ojo para que "vea" un espaciotridimensional, donde sólo existe una superficie planabidimensional. El concepto más importante para lacomprensión de la perspectiva lineal es el punto defuga.

La perspectiva lineal es la forma en que los animalesdotados de ojos simples perciben el espacio.

Este principio inspiró las técnicas que se usaron en lapintura renacentista. Su principal valedor fue Brunelles-chi, una de cuyas técnicas favoritas consistía en utilizardos retículos (sistemas de coordenadas), uno delantede la escena que se va a pintar y otro sobre el lienzo. Encada cuadrito pintaba lo que veía y, al mantener la pro-porcionalidad, conseguía una gran exactitud en lareproducción.

5. 3. La perspectiva en la pintura

Uno de los aspectos principales de la composición pic-tórica es la distribución de los elementos en el espacio,para su visión comprensiva por el espectador. El espa-cio es el marco en el que el pintor sitúa los personajesy los objetos del tema que desarrolla, y para esto loestructura de formas diversas. Como la pintura se rea-liza sobre un lienzo (dos dimensiones), la representa-ción de la profundidad es una fuerza que ha contribui-do al desarrollo artístico a lo largo de los siglos. La pin-tura que observamos en un cuadro no es la simpletransposición de la realidad tal como nosotros la vemoscon nuestros ojos. Éstos nos proporcionan una visiónbinocular (tres dimensiones), en cambio la imagenrepresentada en un cuadro se parece más a lo quevería Polifemo con su único ojo.

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Perspectiva menguante

A medida que aumenta la distancia, no sólo disminuyeel tamaño sino también la nitidez, los contornos se vanhaciendo borrosos y desdibujados, al igual que ocurreen la realidad. Esta técnica consiste en difuminar loscontornos, prescindir de la línea negra que contiene lasfiguras y lograr así una atmósfera vaporosa y sugeren-te. Con el sfumato gradual (más cuanto más lejos) de laGioconda de Leonardo Da Vinci, se logra una gran sen-sación de realismo, los objetos se ven más borrososcuanto mayor es la distancia entre ellos y el observador.

Perspectiva de color

Cuanto más lejos aparece representado un objeto, mástenues son sus colores. Existe también en el mundoreal un desvaimiento de los tonos hacia el extremo vio-leta del espectro al aumentar la lejanía (desde lejosvemos las montañas azules).

Ambas perspectivas surgen entre los siglos XV y XVIsuperpuestas a la perspectiva lineal y las define Leo-nardo Da Vinci en su Tratado de la pintura.

5. 4. Antecedentes históricos

Aunque no han sobrevivido pinturas griegas, parecehaber un sentido intuitivo de profundidad en la disposi-ción de los personajes en el escenario del teatro.

Lo mismo ocurre en algunos murales de las ruinasromanas de Pompeya (probablemente copias de pintu-ras griegas).

La pintura prerrenacentista

Antes del Renacimiento, los artistas se interesabanmásm por el contenido y simbolismo de su trabajo quepor una buena plasmación de la realidad. El tamaño decada elemento de la imagen estaba más relacionadocon su importancia que con su situación en el espacio.

No obstante, a finales del gótico algunos pintoresempezaron a utilizar diversos trucos con los que inten-taban dar sensación de profundidad. Estos trucos, queya presagiaban el futuro desarrollo de la perspectiva,consisten fundamentalmente en jugar con la opacidadde los objetos (los que están delante tapan a los deatrás) y el tamaño relativo de los mismos (disminuyecon la distancia).

Un pintor prerrenacentista típico fue Cimabue, fuerte-mente influenciado por la pintura bizantina, del que pre-sentamos una de sus obras. El centro del cuadro estápresidido por la imagen de la Virgen, de gran tamaño,como corresponde a su importancia. Sin embargo, enla distribución de los demás elementos en el espaciodel cuadro se aprecia el truco de la opacidad de losobjetos.

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5. 5. La pintura renacentista

Los orígenes: Giotto di Bondone (1267?-1337)

Llamado el padre de la pintura renacentista, auténticoadelantado de dicha pintura, fue un notable pintor,escultor y arquitecto italiano del Trecento. Se le consi-dera el primer artista de los muchos que contribuyerona la creación del Renacimiento y uno de los primerosen sacudirse las limitaciones del arte y los conceptosmedievales. Si bien se limitó fundamentalmente a pin-tar temas religiosos, fue capaz de dotarlos de una apa-riencia terrenal y fuerza vital al incorporar elementos dela perspectiva lineal y el claro oscuro.

Analicemos algunas de las características más sobre-salientes de su pintura en algunos de sus cuadros.

En esta Madonna entronizada se puede observar cómoGiotto se va apartando de las pautas bizantinas. Lasfiguras son menos planas que en la Madonna de Cima-bue, hay alguna modelización en las figuras y vesti-mentas y en las formas arquitectónicas también seobserva algo de profundidad sugerido por el uso de laperspectiva, aunque la posición del punto de fuga delescalón inferior está invertida.

Los dos trucos, tamaño relativo y opacidad, puedenverse en la tabla de Sassetta, El encuentro de SanAntonio y San Pablo (1440).

en las leyes de la óptica. Fue pródigo en grandesdemostraciones públicas que estimulaban a los artistasde la época.

Todos sus estudios fueron recogidos por su colabora-dor, el veneciano Leon Battista Alberti, en su Manualde Pintura (1436), en el que definía la perspectivacomo una concepción del espacio derivada de la geo-metría euclidiana.

• Leonardo Da Vinci (1452-1519)

Fue otro de los teóricos de la perspectiva convergente,arquitecto, escultor, inventor e ingeniero, es el hombredel Renacimiento por excelencia. Está ampliamenteconsiderado como uno de los más grandes pintores detodos los tiempos y quizá la persona con más y másvariados talentos de la historia. En su Tratado de la pin-tura expone: “La perspectiva no es otra cosa que lavisión de un objeto a través de una lámina transparen-te, en cuya superficie se dibujan todas las cosas que seencuentran detrás”.

En su Sagrada Cena, cuyo punto de fuga está situadoen la cabeza de Jesús para resaltarlo, se evidencia elefecto de la perspectiva. Leonardo utilizó también otrostrucos, como la perspectiva de color y la perspectivadel aire así como el claroscuro, para relajar los reque-rimientos estrictos de la perspectiva lineal.

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Giotto se adelantó en más de un siglo a algunas de lasnormas de Brunelleschi, del que trataremos más ade-lante. Esto se evidencia en el cuadro Jesús ante Cai-fás, en el que se observa un punto de fuga inconsisten-te en el techo, así como una perspectiva paralela sinpunto de fuga en la plataforma de Caifás. Se trata, sinduda, de un trabajo de investigación muy importante.

Del Quattrocento al Renacimiento tardío

El Renacimiento toma su nombre del nuevo interés enlas ideas y estilos clásicos que surgió y creció a lo largode los siglos del gótico, acompañado de un florecimien-to económico que precipitó el final de la Edad Media.

Con el Renacimiento, el hombre adquiere una posiciónpredominante y pasa a ser el centro de la escena. Losartistas se toman en serio la representación precisa de larealidad y utilizan técnicas cada vez más precisas.

• Filippo Brunelleschi (1377-1446)

Este arquitecto florentino consiguió un sistema de pers-pectiva enfocado y completo con una disminución regu-lar y matemática hacía un punto de fuga fijo y basado

• Vittore Carpaccio (1460/1466-1525/1526)

A veces el punto de fuga no está en el centro del cua-dro. Se quiere romper un poco la simetría central.

Un buen ejemplo es La Disputa de San Esteban porCarpaccio (1514). Este cuadro tiene un solo punto defuga, situado fuera del borde derecho del lienzo, en elque convergen una serie de líneas perpendiculares allienzo. Esta técnica, a veces usada, produce efectossorprendentes. Sin embargo, los pintores eran cons-cientes de que un desplazamiento desmesurado delpunto de fuga daba lugar a distorsiones, de hechotenían la norma de que el punto de fuga no debía des-plazarse más allá de los límites del caballete.

• Piero della Francesca (1416-1492)

A este pintor, interesado por la construcción matemáti-ca del espacio (perspectiva geométrica), se atribuye laCiudad ideal (1470), cuyo punto de fuga está en lacolumnata central. Grandes ventanales dejan que lavista penetre hasta el fondo del cuadro, aumentandoasí la sensación de profundidad. Este truco había sidousado ya por Brunellescci, medio siglo antes, en suBaptisterio de Florencia

• Alberto Durero (1471-1528)

Algo después y al norte de los Alpes, destaca el ale-mán Alberto Durero pintor, escultor sobre madera ypiedra, y matemático, que tenía un interés especial porlos utensilios de dibujo y concibió una serie de ilustra-ciones para demostrar cómo se usan tales instrumen-tos. Dejó constancia tanto escrita como grafica de susconocimientos e investigaciones en el campo de laperspectiva.

Éste es uno de los grabados en el que muestra susmétodos de perspectiva práctica. El artista dibuja laslíneas más sobresalientes del modelo y luego transfie-re dicho dibujo a un panel debidamente preparado,guardando adecuadamente las proporciones.

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5. 6. El ocaso de la física y de la perspectiva clásica

En el siglo XX, tras 600 años de trucos de perspectivalineal, la pintura vuelve a la superficie plana.

La época a caballo entre los siglos XIX y XX presagialos profundos cambios que muy pronto van a producir-se en nuestros valores culturales. La ciencia y el arteno son ajenos a ello sino, más bien al contrario, fueronprecursores de estos cambios.

En la ciencia, y particularmente en la física, la irrupcióndel mundo subatómico (electrones, fotones, etc.) pusode manifiesto un comportamiento muy alejado del queestábamos acostumbrados en la física clásica e impo-sible de comprender si nos basábamos en nuestrasapreciaciones sensoriales. El proceso terminó en losaños veinte con la aparición de la mecánica quántica,que desarrolló métodos específicos para tratar siste-mas microscópicos, como el citado mundo subatómico,que no podía ser explicado adecuadamente por la físi-ca clásica.

En el arte y en particular en la pintura, las cosas tam-bién cambiaron. Ya no se trataba de representar elmundo como lo vemos con nuestros ojos sino como loapreciamos intelectualmente, con sus connotacionesculturales. Esto supone el fin de la perspectiva clásicay la aparición de los diversos movimientos o “ismos”(cubismo, fovismo, etc.) que caracterizaron el siglo XX.

De acuerdo con el post estructuralismo, el arte deja deser una representación de la naturaleza y se convierteen una interpretación de la realidad con connotacionesculturales y convirtiéndose en acción.

No se representan el mundo como se ve, sino comorealmente es de acuerdo con la visión del artista, y elpunto de fuga no es ya necesario.

Pablo Ruiz Picasso (1881-1973)

Pintor y escultor malagueño, es el principal exponentedel cubismo que se caracteriza precisamente porquetoda imagen se proyecta en un único plano que conser-va sus dimensiones, sin que lo más distante aparezcamás pequeño, porque realmente no lo es, y sin quedesaparezca lo que no se ve al estar detrás, porquerealmente existe.

Dora Maar vista por Picasso

Picasso, influenciado por el arte africano, basa su pers-pectiva en la multiplicidad de puntos de vista en unmismo cuadro, figura u objeto. Así, en los retratos deDora Maar podemos apreciar cómo se emplean variospuntos de vista para resolver el retrato: un perfil de unanariz que mira a la derecha y un perfil de ojo que miraa la izquierda, un rostro que parece pintado de frente,con la nariz vista desde el suelo y la oreja vista desdeel lateral derecho. Pero, por inverosímil que parezca, enla obra se reconoce a la modelo.

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ILUSIONES ÓPTICAS:LA SENSACIÓN DE

MOVIMIENTO Y EL CINE

Capítulo

6

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Capítulo 6: Ilusiones ópticas: la sensación de movimiento y el cine

6.1. La sensación de movimiento

Tanto el cine como la televisión se basan en la percep-ción sucesiva de imágenes fijas. ¿Por qué tenemossensación de movimiento?

El movimiento de las imágenes es una ilusión provoca-da por tres factores:

• La persistencia de imágenes en la retina.• El fenómeno phi.• La frecuencia critica de fluctuación.

Los dos primeros factores están relacionados con lafisiología del ojo y del cerebro respectivamente. El ter-cero es externo y se refiere al dispositivo productor deimágenes.

Persistencia de imágenes en la retina

Cuando un impulso luminoso estimula el ojo, la impre-sión no desaparece inmediatamente sino que persisteen la retina algo menos de 0,1 segundo. Este fenóme-no lo comprobamos al mirar un foco de luz e inmedia-tamente cerrar los ojos. La sensación de brillo perma-nece durante un instante porque todavía sigue impre-sionada la retina.

El fenómeno phi

Cuando dos imágenes casi idénticas se proyectansucesivamente con un intervalo de tiempo muy corto,tenemos la sensación de estar frente a un objeto quese desplaza de una posición a otra. Éste es un ejemplodel efecto phi, que consiste en que el cerebro crea unasensación de movimiento aunque reciba solamentepequeños fragmentos del mismo. Es decir, rellena loshuecos entre ellos y crea la ilusión de un continuo apartir de la simple serie de imágenes estáticas delmovimiento.

Mientras la persistencia retiniana produce una super-posición de imágenes, el efecto phi reconstruye los tra-mos entre las imágenes al sumar las correspondientesunidades (impresiones) una detrás de otra. De estamanera se genera la sensación de movimiento.

La frecuencia critica de fluctuación

Se llama así a la frecuencia mínima de parpadeo quetiene que tener una fuente de luz fluctuante para pro-ducir sensación de luz continua en nuestros ojos.

La persistencia retiniana y el efecto phi conjuntamenteimponen una condición a cualquier fuente luminosaque produzca imágenes o impulsos. Su frecuencia defluctuación tiene que tener un valor mínimo (critico)para que apreciemos la luz emitida como continua.Esta frecuencia es de 20 destellos por segundo. Unafrecuencia inferior produce parpadeo por lo que en elcine se proyectan 24 imágenes por segundo y en tele-visión 25.

6. 2. Los juguetes ópticos

Aunque parece que ya los egipcios y los romanos utili-zaron algún tipo de juguete óptico, es en el siglo XVIIcuando en Europa se desarrollan los primeros modelosde linternas mágicas al mismo tiempo que otros apara-tos ópticos dotados de lentes y espejos.

La linterna mágica

Considerada precursora del cinematógrafo, fue inven-tada por el jesuita alemán Athanase Kircher en 1645.Proyectaba imágenes de transparencias sobre unapantalla, utilizando una lente y una fuente de luz quepodía ser una vela o una lámpara de gas. El científicoholandés Christiaan Huygens desarrolló varias linter-nas mágicas, la primera de las cuales se dató en 1659.Parece que su padre le pedía este tipo instrumentospara impresionar a sus amigos.

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El científico inglés Robert Hooke, por su parte, descri-bió en 1668 una linterna mágica en la que se usaba luzdel Sol o de una vela. A principios del siglo XIX, los “lin-ternistas” iban por los pueblos con su linterna a laespalda y hacían representaciones públicas paraganarse la vida.

Taumatropo

Una serie de juguetes ópticos que reproducían la sen-sación de movimiento fueran muy populares en el sigloXIX. El primero que se desarrolló fue el taumatropo(maravilla que gira) inventado por el físico John Parisen Inglaterra, en 1824, con el objeto de demostrar lapersistencia de la imagen en la retina. Consiste en undisco con dos imágenes complementarias en amboslados y un trozo de cuerda a cada lado del disco.Ambas imágenes se unen al estirar la cuerda entre losdedos al hacer girar el disco y cambiar de cara rápida-mente.


Es muy sencillo fabricar juguetes ópticos en el aulapara que nuestros alumnos se den cuenta de las carac-terísticas del ojo humano que hacen posible el cinema-tógrafo y la televisión (analógica o digital).

Comenzaremos con un taumatropo, el más sencillo detodos. Para ello se dibujan las dos escenas cuyas imá-genes se quiere fundir en la retina, se recortan y sepegan una en el revés de la otra. Se suele hacer girarel conjunto por medio de una cuerda, una goma elásti-ca o un palillo de madera.

Las ilustraciones siguientes muestran el anverso yreverso de algunos taumatropos. El primero muestraun niño deslizándose en un trineo y el segundo repro-duce al más famoso de ellos, el del pájaro en su jaula.

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Fenantiscopio o estroboscopio

En 1832 Simón Ritter von Stamfer, en Austria, constru-ye el estroboscopio y simultáneamente Joseph AntoinePlateau, en Bélgica, inventó un juguete idéntico al quellamo fenantiscopio. Éstos fueron los primeros instru-mentos capaces de crear la impresión de una imagenque se movía de forma continua y periódica. La sensa-ción de movimiento se consigue por medio de nueveimágenes, en vez de sólo las dos que emplea el tauma-tropo. El funcionamiento es muy sencillo y se entiendesin más que estudiar la ilustración, a partir de la cual sepuede construir uno de estos aparatos mediante unafotocopia.

Si se montan convenientemente en las dos caras deuna cartulina, al hacerlas girar rápidamente ambasimágenes se fundirán en nuestro cerebro darán la sen-sación de ser una sola imagen.

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En el siglo XIX, tanto en Estados Unidos como enEuropa, se animaban imágenes dibujadas a manocomo forma de diversión, empleando dispositivos quese hicieron populares en salones llenos de público.Concretamente, se descubrió que si dieciséis imáge-nes de un movimiento que transcurre en un segundo sehacen pasar sucesivamente también en un segundo, lapersistencia de la visión las une y hace que se veancomo una sola imagen en movimiento. Nosotros hemosrealizado este experimento situando las imágenessucesivas en las esquinas de las páginas del libro, demanera que al pasarlas rápidamente produzcan la sen-sación de movimiento a que nos referimos.

En aquellos mismos años, William Henry Fox Talbot enel Reino Unido y Louis Daguerre en Francia trabajabanen un nuevo descubrimiento que posibilitaría el desa-rrollo del cinematógrafo: la fotografía, que registra larealidad física. En 1839, Daguerre consiguió fijar unaimagen sobre una placa. Sin este invento previo, noexistiría el cine. Hacia 1852, las fotografías comenza-ron a sustituir a los dibujos en los artilugios para verimágenes animadas y en 1877 el fotógrafo anglo esta-dounidense Muybridge empleó una batería de 24cámaras para grabar el ciclo de movimientos del galo-pe de un caballo.

Una mejora del estroboscopio es el zootropo, tambiénmuy fácil de construir empleando las figuras de unestroboscopio.

6. 3. Historia del cine

A continuación, resumimos el camino recorrido desdela aparición de los juguetes que hemos descrito hastael origen del primer cine comercial, de enorme influen-cia en nuestra sociedad.

En el siglo XVIII, como hemos dicho, hicieron furor losespectáculos basados en la linterna mágica. Se lleva-ban a cabo espectáculos con siluetas realizadas condistintos materiales cuyas sombras se proyectabansobre papeles o telas blancas.

A finales del XIX, Tomas Alva Edison, inventor de lalámpara incandescente y el fonógrafo, estuvo muycerca de inventar también el cine, al crear el kinetosco-pio, una caja de madera en cuyo interior se podía con-templar una secuencia de fotografías, pero sólo permi-tía una función muy limitada.

En Francia, a pesar de no contar con la gran infraes-tructura industrial de Edison, los hermanos Louis yAuguste Lumière inventaron el cinematógrafo, que eraal tiempo una cámara de rodaje (que utilizaba un meca-nismo intermitente delante del obturador con el quelograban parar la película) y un proyector de imágenesfotográficas. Es el primer aparato que se puede calificarauténticamente de cinematógrafo. Los hermanosLumière produjeron inicialmente una serie de cortome-trajes de género documental, con gran éxito, en los quese mostraban diversos elementos en movimiento: obre-ros que salían de una fábrica, olas que rompían en laorilla del mar y un jardinero que regaba el césped.

El 28 de diciembre de 1895, el público, convocado enel Gran Café del Boulevard de los Capuchinos en París,vio cómo se abalanzaba sobre él una locomotora avapor. Así nació la primera emoción cinematográfica dela historia. Los Lumière organizaron la puesta de largode su invento con cierto escepticismo, pero el éxito detaquilla fue inmediato. Su regular recaudación de 2.000francos al día garantizó la supervivencia del experi-mento. Pronto las películas se comenzaron a comercia-lizar a escala internacional.

En sus principios el cine era mudo. Tras muchos inten-tos fallidos para hacer cine sonoro (por las grandes difi-cultades para sincronizar sonido e imagen), en losaños veinte se consigue incorporar a la película unabanda sonora. Las primeras películas fueron D. Juan yel Cantor de Jazz. Otro de los aspectos técnicos quetambién marcó un gran cambio en el cine fue la apari-ción del cine en color.

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LA ÓPTICA EN ELSIGLO VEINTE Y LANATURALEZA DE LA

LUZ

Epílogo

7.1. Antecedentes históricos

La cuestión de la naturaleza de la luz, ondulatoria ocorpuscular, ha sido objeto de un intenso debate cien-tífico a lo largo de los últimos siglos.

Aunque los filósofos de la antigüedad clásica y de laépoca medieval ya especularon sobre esta cuestión, nose desarrollaron modelos coherentes que trataran deexplicar dicha naturaleza, hasta finales del siglo XVII.

Durante el siglo XVIII, predominó el modelo corpuscu-lar (Newton fue su principal valedor). En el siglo XIX,fue reemplazado por el modelo ondulatorio inicialmentepropuesto por Huygens y desarrollado posteriormentepor Fresnel.

La teoría quántica es la actualmente aceptada. La for-mularon Einstein y De Broglie a principios del siglo XX.Según esta teoría la luz está constituida por fotones,que son partículas de naturaleza a la vez corpuscular yondulatoria con energía proporcional a su frecuencia.

7.2. La dualidad partícula-onda y el fotón de Feynman

La teoría quántica afirma que la luz está formada porfotones, paquetes de energía que tienen la naturalezade partículas, pero con una frecuencia asociada que leconfiere la naturaleza de una onda. Por tanto, el fotónes, a la vez, partícula y onda.

Richard Feynman (1918-1988) propuso un modelo defotón en el que una partícula es portadora de unaespecie de reloj (que señala la fase), como seesquematiza en la figura. Mientras que la partícula secomporta como una bola de billar, el reloj mide su fase(frecuencia multiplicada por el tiempo), una magnitudondulatoria. Cuanto mayor es la frecuencia, más rápi-damente gira la manecilla del reloj.

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Capítulo 7: Epilogo. La óptica en el siglo veinte y la naturaleza de la luz

El una esquina del libro se han situado las figuras enposiciones sucesivas que, al pasar rápidamente, pro-ducen la sensación de movimiento del fotón. Lamanecilla que indica la fase recorre los 360º de una cir-cunferencia en el mismo tiempo en el que el fotónrecorre una longitud de onda. La velocidad a la que sedesplaza el fotón es la velocidad de la luz en el mediopor el que se propaga. En el vacío, es de unos 300.000kilómetros por segundo.

Ahora se puede describir por qué la luz se refleja en lasmicelas de los coloides, pero no en las moléculas deuna disolución. Cuando la longitud de la onda asociadaal fotón, es del tamaño de una partícula (caso de lasmicelas), el fotón impacta con ella reflejándose, perocuando el tamaño de la partícula es mucho máspequeño que la longitud de onda (caso de las molécu-las), el fotón pasa sin interaccionar con ellas (es comosi no las viera).

Pero todo esto pertenece a un modelo distinto de luz,que esperamos sea objeto de una próxima obra.

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