Differentiaali- ja integraalilaskenta 5 opweb.lapinamk.fi/jouko.teeriaho/diff_ja_int.pdf · On...

Differentiaali- ja integraalilaskenta 5 op

[email protected]

Moodle: Differentiaali ja Integraalilaskenta R51R15S

Avain: syksy16

Sisältö

1. jaksoDerivaatan määritelmä raja-arvonaDerivoimiskaavojen käyttöDerivaatan sovelluksiaKoe

2. jaksoIntegraalifunktioIntegroimiskaavojen käyttöMäärätty integraaliMäärätyn integraalin sovelluksiaPalautettavat etätehtävät

A. Laskumonisteen laskut (max 10 p) - osa käydään tuntiesimerkkeinä

- loput lasketaan tunnilla ja kotonaviikkotehtävinä

- oma moniste voi olla kokeessa

B. Koe derivaatasta ja sen sovelluksista (max 10 p)

C. Integraalilaskennan palautettavat tehtävät ( max 10 p) ei koetta: tehtävät tehdään WolframAlphalla tai koneella

ARVIOINTI

Monistetta kuljetetaan mukana tunneilla. Tarkistus: JOKO skannaus palautuslaatikkoon, TAI näyttäminen (opettaja merkitsee listaan)

Raja-arvon käsite

Vaikka lauseketta ei olisi määriteltykään jossakin pisteessä x = x0 , lausekkeen arvot saattavat lähestyä jotain äärellistä arvoa, kun x lähestyy arvoa x0.

Raja-arvon määritelmä ja merkintä

Tällainen tilanne on esim. murtolausekkeiden kohdalla silloin kuin muuttuja x lähestyy sellaista arvoa, joka on sekä osoittajan ja nimittäjän nollakohta.

Esim1. Mitä arvoa lähestyy lauseke x

xx

2

23 2 , kun x lähestyy arvoa 0

Esim2. Mitä arvoa lähestyy lauseke 2

42

x

x, kun x lähestyy arvoa 2

12

)203(

2

)23(

2

)23(

x

x

xxSupistetaan : kun x ->0

Supistetaan :

42222

)2)(2(

2

42

x

x

xx

x

x

(a2-b2)= (a-b)(a + b)

, kun x -> 2

Murtolausekkeiden raja-arvo kohdissa, joissa osoittaja ja nimittäjä ovat nollia, ratkeaa helposti supistamalla lauseketta.

Merkintä

Edelliset laskut voi merkitä myös seuraavasti:

12

20

2

)23(lim

2

)23(lim

2

23lim

00

2

0

x

x

xx

x

xx

xxx

Lue: ”limes (3x2+2)/2x , kun x lähestyy 0:aa on 1”

422)2(lim2

)2)(2(lim

2

4lim

22

2

2

x

x

xx

x

x

xxx

Raja-arvojen laskeminen WolframAlphassa

Esim2. Mitä arvoa lähestyy lauseke 2

42

x

x, kun x lähestyy arvoa 2

limit (x^2-4)/(x -2) as x ->2Tapa1: Suorin tapa on käyttää raja-arvon laskentaan tarkoitettua limit - komentoa

Tapa2: Raja-arvon laskeminen perustuu sellaiseen tekijän supistamiseen, joka aiheuttaa 0/0 – muodon. Välivaihe raja-arvolaskulle löytyy joko käyttämällä factor-komentoa osoittajaan tai simplify koko lausekkeeseen.

factor (x^2 – 4 )

Answer: (x-2) (x+2)

22

)2)(2(

2

42

x

x

xx

x

x

johon sij. x=2 antaa 4

simplify (x^2-4)/(x -2)

tai simplify Answer: (x+2)

johon sij. x=2 antaa 4

Answer:

Raja-arvojen numeerinen määrittäminen

Esim2. Mitä arvoa lähestyy lauseke , kun x lähestyy arvoa 0

On myös mahdollista laskea raja-arvo numeerisesti sijoittamalla muuttujalle x arvoja hyvin läheltä raja-arvokohtaa x = 0 ( x = 0 ei voi sijoittaa, koska osoittaja ja nimittäjä ovat molemmat x:llä jaollisia)

Jatkettaessa kohti arvoa 0, lausekkeen arvo näyttää lähestyvän arvoa 1

x (3x2+2x)/(2x)

0.1 1.15

0.01 1.015

0.001 1.0015

DerivaattaTehtävä: Määritä käyrän y = x2 – 1 tangentin kulmakerroin, kun x = 2

( ts. funktion y = x2 – 1 derivaatta kohdassa x=2)

(2, 3)

( 2+h, (2+h)2 -1 )

Sekantin kulmakerroin

h

h

h

h

xx

yyk

4)2(31)2( 22

12

12

Derivaatta saadaan selville, kun ylempi piste lähestyy alempaa, eli kun h -> 0

44)2(

lim2

0

h

h

h

Derivaatan numee-rinen määrittäminen annetussa kohdassa

Tehtävä: Määritä käyrän y = x2 – 1 tangentin kulmakerroin, kun x = 2


(2, 3)Lasketaan funktion arvojaannetun kohdan x = 2 molemmin puolin

Derivaatalle kohdassa x=2 voidaan laskea likiarvo kulmakertoimen laskukaavalla käyttäen viereisiä pisteitä (1.9,2.6) ja (2.1,3.4)

0.49.11.2

6.24.3

12

12

xx

yyk

Käytännössä derivaatan arvot lasketaan useimmiten derivoimiskaavoilla. Tällöin raja-arvolaskentaa eikä numeerista menetelmää ei tarvitse käyttää.

Derivaatta

1. Funktion derivaatan määrittäminen annetussa kohdassa käyrää

2. Derivaattafunktio – yleisen lausekkeen laskeminen annetun funktion derivaatalle

3. Derivointi käyttäen derivoimiskaavoja

4. Derivointi algebralaskimella (WolframAlpha)

8.9

DerivaattaTehtävä: Määritä käyrän y = x2 – 1 tangentin kulmakerroin, kun x = 2


(2, 3)

( 2+h, (2+h)2 -1 )

Käyrän y = x2 – 1 sekantin AB kulmakerroin

h

h

h

h

xx

yyk

4)2()12()1)2(( 222

12

12

Derivaatta saadaan selville, kun ylempi piste lähestyy alempaa, eli kun h -> 0

44)2(

lim2

0

h

h

h

A

B

Derivaatan numee-rinen määrittäminen annetussa kohdassa

Tehtävä: Määritä käyrän y = x2 – 1 tangentin kulmakerroin, kun x = 2


(2, 3)Lasketaan funktion arvojaannetun kohdan x = 2 molemmin puolin

Derivaatalle kohdassa x=2 voidaan laskea likiarvo kulmakertoimen laskukaavalla käyttäen viereisiä pisteitä (1.9,2.6) ja (2.1,3.4)

0.49.11.2

6.24.3

12

12

xx

yyk

Käytännössä derivaatan arvot lasketaan useimmiten derivoimiskaavoilla. Tällöin raja-arvolaskentaa eikä numeerista menetelmää ei tarvitse käyttää.

DerivaattafunktioTehtävä: Määritä käyrän y = x2 – 1 derivaattafunktio = yleinen lauseke, josta derivaatan voi laskea missä tahansa kohdassa x.

(x, x2-1)

(x+h, (x+h)2 -1) Sekantin kulmakerroin

h

xhx

h

xhx

xx

yyk

2222

12

12 )()1(1)(

Derivaatan laki saadaan selville, kun ylempi piste lähestyy alempaa, eli kun h -> 0

xh

xhx

h2

)(lim

22

0

Derivaatan määritelmä

Funktion f(x) derivaatta kohdassa x0 on sen kuvaajan tangentin kulmakerroin ko. kohdassa. Sitä merkitään f’(x0)

Derivaatan arvo kuvaa funktion kasvunopeutta kyseisessä kohdassa.

Jotta derivaatan arvon voisi laskea helposti yhden pisteen sijasta missä tahansa kohdassa käyrää, kannattaa laskea funktion f(x) derivaatan yleinen lauseke, ns. derivaattafunktio.

Funktion f(x) derivaattafunktio f’(x) on lauseke, josta voi laskea funktion derivaatan arvon missä tahansa kohdassa x.

Derivaattafunktion merkintätapoja, kun y = f(x).

)(' xf 'ydx

xdf )(

dx

dy)(xDf

esim.

)12( 2 xD

h

xfhxfxf

h

)()(lim)('

0

Derivaatan määritelmä:

Derivoimiskaavoja

1. Vakiofunktion derivaatta:

2. Potenssifunktion derivaatta:

3. Potenssifunktion derivaattakun potenssi on negatiivinen (x-n):

0Dc

1 nn xnDx

1

1

nn x

n

xD

Esim1. a) Laske funktion f(x) = x5 derivaattafunktio. b) Laske funktion f(x) = x5 tangentin kulmakerroin, kun

x = 2c) Laske funktion f(x) = x5 tangentin kulmakerroin, kun

x = -1

Esim2.Määritä seuraavien funktioiden derivaattafunktiot (ts. derivoi seuraavat funktiot.

a) D x2015

b) D

c)

2

1

x

5

1

xD

1Dx

x

1

6

5

x

=2015 x2014

a) Dx5 = 5 x4

b) f’(2) = 5*24 = 40

c) f’(-1) = 5*(-1)4 = 5

Potenssin derivoimiskaavaa Dxn = nxn-1 voi käyttää myös juurilausekkeisiin, kun juuret ensin ilmoitetaan potenssimuodossa

Juurimuoto Potenssimuoto Derivaatta

x 21

x xx

2

121

21

3 x 31

x 3 231

3

132

xx

x

121

x 321

2

123

xx

Polynomin derivaatta

Perustuu lakeihin 1) D a f(x) = a Df(x)2) D ( f(x) + g(x) ) = D f(x) + D g(x)

Esim. D ( - 3 x3 + 5 x2 - 4 x + 7 )= - 3*3x2 + 5*2x – 4*1 + 0= - 9 x2 + 10 x - 4

Esim. D (5 x2 + 2/x2 - 5√x +2)= 5*2x + 2*(-2/x3) – 5* ½*x-1/2 + 0 =

xxx

2

5410

3

Vakion voi siirtää derivaattaoperaattorin eteen.Summan derivaatta on sen termien derivaattojen summa

Erikoisfunktioiden derivoimiskaavoja

)cos()sin( xxD

)sin()cos( xxD

xxD

1)ln(

xx eDe

Esimerkki. Derivoi seuraava pitkä lauseke, jossa esiintyy erilaisia perusfunktiota:

D (2x3 – 5 x2 + 4 cos(x) - ½ sin(x) + 𝑒𝑥

4− ½ ln(x)+ 2 𝑥-

3

𝑥3)

Ratkaisu: Kysytty derivaatta on

6 x2 – 10 x – 4 sin(x) – ½ cos(x) – ¼ e x -1

2𝑥+

1

𝑥+

9

𝑥4

2)cos(

1)tan(

xxD

12.9 Kertaus 1. viikon asioihinUutena: Tulon ja osamäärän derivointi Kaavat:

D c = 0

D x = 1

D xn = nxn-1

D1

𝑥𝑛= −

𝑛

𝑥𝑛+1

D sin(x) = cos(x)

D cos(x) = - sin(x)

D tan(x) = 1

cos(𝑥)2

Dex = ex

D ( -3 x3 + 5 x2 + 7x -2) = - 3*3 x2 + 5*2 x + 7*1 = - 9 x2 + 10 x + 7

Polynomi derivoidaan siten, että kertoimet ja summamuoto säilyvät.Kukin x:n potenssi korvataan derivaatallaan.

Muidenkin perusfunktioiden lineaariyhdistelmä derivoidaan samalla periaatteella kuin polynomi

D ( 2 𝑥 - 8 sin(x) – 5 ln(x) - 11 )

= 2* ½*x- ½ - 8 cos(x) – 5*1

𝑥= x - ½ - 8 cos(x) –

5

𝑥

Neliöjuuri 𝑥 = x ½

Seuraavaksi käydään läpi, miten perusfunktioiden tuloja ja osamääriä derivoidaan

Tulon ja osamääränderivoimiskaavat

Tulon derivaatta

Jos derivoitava funktio on kahden funktion tulo, sen derivaatta lasketaan kaavalla

D ( f(x)g(x)) = f ’ (x)*g(x) + f(x)*g ’(x))

))sin(( 2 xxD

= ensimmäisen tekijän derivaatta * toinen tekijä + ensimmäinen tekijä*toisen tekijän derivaatta.

Jos tulossa on enemmän tekijöitä, derivaatta on summalauseke, jossa on derivoitu yhtä tekijää kerrallaan muiden pysyessä ennallaan

)cos()sin(2 2 xxxx

))ln()12(( xexxD

xxx exxex

xex )ln()12(1

)12()ln(2

f(x) = x2 g(x) = sin(x)

f ’(x) = 2x g ’(x) = cos(x)

aputaulukko

f(x) = 2x+1 g(x) = ln(x) h(x) = ex

f ’(x) = 2 g ’(x) = 1/x h’(x) = e x

aputaulukko

Osamäärän derivaatta

Jos derivoitava funktio on kahden funktion osamäärä, sen derivaatta lasketaan kaavalla

D 𝑓(𝑥)

𝑔(𝑥)= 𝑓 ’ (𝑥)∗𝑔(𝑥) − 𝑓(𝑥)∗𝑔 ’(𝑥)

𝑔(𝑥)2

x

xD

)sin(22

)sin()cos(1)sin()cos(

x

xxx

x

xxx

15

2

x

xD

222 )15(

2

)15(

10210

)15(

52)15(2

xx

xx

x

xx

f(x) = sin(x) g(x) = x

f ’(x) = cos(x) g ’(x) =1

aputaulukko

f(x) = 2x g(x) = 5x +1

f ’(x) = 2 g ’(x) = 5

aputaulukko

Yhdistetyn funktion derivointi

Useat funktiot koostuvat rakenteeltaan useista

sisäkkäisistä funktioista:22xey Esim.

rakentuu funktioista ex ja -2x2

funktioista cos(x) ja 4 x + 1

)14cos( xy

Yhdistetyn funktion derivaatta

)('))(('))(( xfxfgxfDg

)5sin( xD

xx ee 44 4)4(

)2sin(44)2sin( 22 xxxx

232

1

x

Kun useita funktioita on sisäkkäin, derivoidaan niistä jokainen alkaen uloimmasta.

22 )74(124)74(3 xx

Sinin derivaatta = kosini,

5x:n derivaatta = 5

x3:n derivaatta = 3x2,

4x+7:n derivaatta = 4

kosinin derivaatta = -sin,

2x2:n derivaatta = 4x

ex:n derivaatta = ex,

-4x:n derivaatta = -4

ln(x):n derivaatta = 1/x ,

(2x+3):n derivaatta =2

5)5cos( x

3)74( xD

)2cos( 2xD

xDe 4

)32ln( xD

Yhdistetyn funktion derivointi: eri tapauksia

)('))(cos())(sin( xfxfxfD

)(')()( 1 xfxfnxDf nn

)('))(sin())(cos( xfxfxfD

)(')(

1))(ln( xf

xfxfD

)(')()( xfeDe xfxf

445 )25(105)25(5)25( xxxD

12)12cos()12sin( xxD

kkxkxD )sin()cos(

bxbxbx bebeDe )(

xx

xD 22

1)1ln(

2

2

Korkeamman asteen derivaatatFunktiota derivoidaan usean kerran peräkkäin

Esimerkki:

y = f(x) = 2 x3 + 5 x2 + 7 x + 2

Sen derivaatta:

y’ = f ’(x) = 6 x2 + 10 x + 7

Toinen derivaatta

y’’ = f’’(x) = 12 x + 10

Kolmas derivaatta

y’’’ = f’’’(x) = 12

OsittaisderivaatatYhden muuttujan funktiolla on vain yksi derivaatta:

D (x2 + 4x ) = 2x + 4

Usean muuttujan funktiolla on derivaatat jokaisen muuttujan suhteen:

D (y x2 + 4 x + 5 y , x ) = 2 y x + 4

D (y x2 + 4 x + 5 y , y ) = x2 + 5

Merkintätavat:

x

f

y

f

tai kuten laskimissa D(f,x), D(f,y)

),(2

UR

UD

U

P

R

UP

2

Esim. sähkötehon

kaava on U = jännite

R = resistanssi

Tehtävä: Laske P:n osittaisderivaatat U:n ja R:n suhteen.

R

U2

2

2

R

U

D1

𝑥𝑛= −

𝑛

𝑥𝑛+1=>

D1

𝑥= −

1

𝑥2

),(2

RR

UD

U

P

Perustelu:

Dxn = nxn-1 =>

Dx2 = 2x

Esim. Neliöpohjaisen laatikon tilavuus V(a,h) = a2 h.

Laske funktion osittaisderivaatat muuttujien a ja h suhteen.

ahahaDa

V2),( 2

22 ),( ahhaDh

V

V=a2hh

aa

xxD

1)ln(

bax

abaxD

)ln(

D c = 0 D xn = nxn-1

D sin(x) = cos(x)

D cos(x) = -sin(x)

D sin(ax) = a cos(ax)

D cos(a x) = -a sin(ax)

D ex = ex D ea x = a ea x

D sin(ax +b) = a cos(ax + b)

D cos(a x) = -a sin(ax +b)

D ea x+b = a ea x+b

D (ax+b)n = n (ax+b)n-1* a

abax

n

baxD

nn

1)()(

1

abax

baxD

2

1

D (ax2+b)n = n (ax2+b)n-1* 2ax

'')( gfgfgfD

2

''

g

gfgf

g

fD

)('))(('))(( xfxfgxfDg

Osamäärä derivaatta

Tulon derivaatta

Yhdistetyn funktion derivaatta

Laaja derivoimiskaavakokoelma Koekaavasto

DERIVAATTAVIRHEEN

ARVIOINNISSA

Derivaatan sovelluksia

Absoluuttinen ja suhteellinen virhe

Virhe ilmaistuna absoluuttisena virheenä ∆x:

mx )05.015.2(

Virhe ilmaistuna suhteellisena virheenä ∆x/x :

%33.2%10015.2

05.0

m

m

x

x%4.215.2 mx

Esim. Virtamittarin tarkkuus on ilmaistu suhteellisena virheenä.

Tulosten oikea esitysmuoto.

Mitkä ovat virheellisiä esitystapoja, mitkä oikeita ?

a) 7.783 g ± 0.31 g

b) 8.6 m ± 0.02 m

c) (7.9 ± 2) N

d) 7.6 ± 0.3 m

e) 230.0 mm ± 0.4 mm

Yhden muuttujan funktion virhe

Funktion virhe =

derivaatta * muuttujan virhe

xxff )('

Derivaatta on funktion kuvaajan tangentin kulmakerroin. Juuri

kulmakerroin kertoo funktion arvon muutoksen ja muuttujan arvon

muutoksen välisen suhteen.

Esim. Laske kuularingin pinta-ala ja sen

absoluuttinen virhe, kun ringin halkaisijaksi

mitattiin 213 cm ± 1 cm

222

4)

2( dd

rA

Alan kaava

r = säde , d = jalkaisija

1. Lasketaan ala yksikössä m2.

Laskun vaiheet:

2. Lasketaan alan absoluuttinen virhe

x =

Derivaatta d:n mittausepätarkkuus:

TULOS: A = (3.56 ± 0.04) m2

xxff )('

d =(2.13 ± 0.01) m

222 563.3)13.2(44

mmdA

)2(4

d

Δdπ/4*2*2.13*0.01 = 0.033

Esim. Laske jalkapallon tilavuus, kun sen

halkaisija on 22.0 cm ± 0.2 cm

333

6)

2(

3

4

3

4d

drV

Pallon tilavuuden kaava

r = säde , d = jalkaisija

1. Lasketaan tilavuus yksikössä cm3.

Laskun vaiheet:

2. Lasketaan tilavuuden absoluuttinen virhe

Derivaatta d:n mittausepätarkkuus:

TULOS: V = (5580 ± 160) cm3

333 3.5575)0.22(66

cmcmdV

322 1522.0*)0.22(2

36

cmcmcmddV

Monen muuttujan funktion virhe

),,( zyxff

|||||| zz

fy

y

fx

x

ff

Osittaisderivaatat

Kukin kaavan termi kertoo suuruuden osavirheelle, joka aiheutuu kyseisen

muuttujan mittauksen epätarkkuudesta. Kokonaisvirhe saadaan laskemalla

kaikki osavirheet positiivisina yhteen.

hd

m

hd

m

V

m22

41

4

Tiheyden kaava:

Sylinterin tiheys määritetään mittaamalla sen massa m,

pohjan halkaisija d ja korkeus h: m = (72.45 ± 0.05) g,

d = 1.50 ± 0.02) cm and h = 5.00 ± 0.04) cm

1. Lasketaan tiheys yksikössä g/cm3.

Laskun vaiheet:

2. Lasketaan osavirheet , jotka aiheutuvat mittausepätarkkuuksista

kok.virhe 0.29 g/cm3

Osittaisderivaatta mittausepätarkkuus:

3221997.8

0.5)50.1(

45.7244

cm

g

cmcm

g

hd

m

TULOS: ρ = (8.2 ±0.3) g/cm3

3220057.005.0

0.5)50.1(

44

cm

gg

cmcmm

hd

3333219.0|02.0

)5.1(5

45.728|

824

cm

gcm

cmcm

gd

hd

md

dh

m

3222222066.0|04.0

)5()5.1(

45.724|

414

cm

gcm

cmcm

gh

hd

mh

hd

m

Osavirheiden summana

Deriv. kaavat

1Dx

jostax

n

xD

nn,

11

2

11

xxD

32

21

xxD

SUHTEELLISEN VIRHEEN

MENETELMÄ

SUHTEELLISEN VIRHEEN MENETELMÄ

Sopii lausekkeille, joissa ei esiinny erikoisfunktioita,

kuten sin,cos, tan, ex tai log, eikä yhteen tai

vähennyslaskuja. Ainoat sallitut ovat kerto, jako, ja

potenssi.

k

mn

z

yxvakiozyxf ),,(

Tällöin funktio suhteellinen virhe = muuttujien suht.

virheiden painotettu summa, jossa painokertoimina

ovat muuttujien potenssit lausekkeessa.

z

zk

y

ym

x

xn

f

f

Suhteellisen virheen menetelmä

%53.3%8.0%33.12%07.02

h

h

d

d

m

m

Tiheys

Tulos: ρ = 8.20 g/cm3 ± 4%

DERIVOINTIIN

VERRATTUNA PALJON

HELPOMPI TAPA !320.8

)0.55.1(

45.7232

41 cm

g

cm

g

Sylinterin tiheys määritetään mittaamalla sen massa m,

pohjan halkaisija d ja korkeus h: m = (72.45 ± 0.05) g,

d = 1.50 ± 0.02) cm and h = 5.00 ± 0.04) cm

Lasketaan mittaustulosten suht. Virheet:

0.05/72.45*100%=0.07%, 0.02/1.5*100% = 1.33%, 0.04/5*100% = 0.8%

tai muodossa : ρ = (8.2 ± 0.3)g/cm33.4%*8.20=

0.289 ≈0.3

Integraalilaskenta

1. Integraalifunktion määritelmä

2. Integrointia kaavoilla

3. Integrointia Online- laskimilla

Integraalifunktio

2𝑥 ⅆ𝑥 = 𝑥2 + 𝐶

Vakio C johtuu siitä, että integraalifunktio ei ole yksikäsitteinen.

Vakion derivaatta = 0, joten integraalifunktioon voidaan lisätä mikä

tahansa vakio C.

Integraalifunktion määritelmä:

Jos D F(x) = f(x) eli f(x) on funktion F(x) derivaatta, niin

sanotaan, että F(x) on f(x):n integraalifunktio ja merkitään

𝑓(𝑥) ⅆ𝑥 = 𝐹(𝑥) + 𝐶

Esim. Perustelu:

D(x2 + C) = 2 x

INTEGROIMISKAAVAT

𝑎 ⅆ𝑥 = 𝑎𝑥 + 𝐶 Vakiofunktion y = a integraalifunktio

𝑥𝑛 ⅆ𝑥 =1

𝑛 + 1𝑥𝑛+1 + 𝐶

2𝑥3 + 5𝑥2 − 7𝑥 + 1 ⅆ𝑥

Tehtävä:

dxx dxx 2

1

dxxdx

x

2

2

1C

xCx

1

1

1 1

n ≠ -1

Cxdxx

)ln(1

Potenssifunktion integraali, kun n -1

Vakiofunktion integraali

Potenssin 1/x integraalifunktio

Cxxxx

Cxxxx

234234

2

7

3

5

227

35

42

CxCx

2

32

3

3

2

2/3

dxxxx )52

132( 23

CxxxxCxxxx 54

1

2

15

2

1

2

1

3

13

4

12 234234

dxx4

3C

xCxCxdxx

3

3144 1

14

133

LISÄÄ ESIMERKKEJÄ

Erikoisfunktioiden integraalifunktioita

)cos()sin( xxD

)sin()cos( xxD

xx eDe

xxD

1)ln(

Cxdxx )sin()cos(

Cxdxx )cos()sin(

Cedxe xx

Cxdxx

)ln(1

dxexx x )32

1)sin(3)cos(2(

Esim.

Cxexx x 32

1)cos(3)sin(2

Derivoimiskaava Vastaava intergroimiskaava

Integraaleja yhdistetyistä funktioista

aaxaxD )cos()sin(

aaxaxD )sin()cos(

aeDe axax

bax

abaxD

)ln(

Esim.

Caxa

dxax )sin(1

)cos(

Caxa

dxax )cos(1

)sin(

Cea

dxe axax 1

Cbaxa

dxbax

)ln(

11

abaxnbaxD nn 1)()( C

n

bax

adxbax

nn

1

)(1)(

1

dxe x43 dxx 5)12(4 dxx)3sin(6

Derivoimiskaava Vastaava intergroimiskaava

= -3/4 e-4x + C

= -2 cos(3x) + C= 4* ½* 2𝑥+1 6

6+ C

= 2𝑥+1 6

3+ C

Integroimiskaavojen yhteenveto

Cxn

dxx nn 1

1

1C

n

bax

adxbax

nn

1

)(1)(

1

Caxadx

Cxdxx )sin()cos(

Cxdxx )cos()sin(

Cedxe xx

Cxdxx

)ln(1

Caxa

dxax )sin(1

)cos(

Caxa

dxax )cos(1

)sin(

Cea

dxe axax 1

Cbaxa

dxbax

)ln(

11

Integrointi laskimellaAlgebralaskin osaa integroida. Seuraavat asiat on kuitenkin syytä tietää:

1) Jos pitää integroida funktioita, joissa esiintyy sini ja kosini,

laskimen pitää olla radiaanimoodissa. (ei DEG vaan RAD)Laskin on väärässä moodissa, jos derivoitaessa tai integroitaessa tulokseen ilmestyy

vakioita π/180 tai 180/π

2) Funktiossa ex esiintyvä e ei ole e- kirjain vaan Neperin vakio 2.1728…

Kyseinen funktio tai Neperin e on omassa näppäimessään tai sillä on oma

funktionimi.

Olet kirjoittanut eksponenttifunktion käyttäen ”väärää e :tä” , jos tulokseen

ilmestyy ln(e)

Wolframalphalla integrointi on helppoa

Integroimiskaavoja

Cxn

dxx nn 1

1

1C

n

bax

adxbax

nn

1

)(1)(

1

Caxadx

Cxdxx )sin()cos(

Cxdxx )cos()sin(

Cedxe xx

Cxdxx

)ln(1

Caxa

dxax )sin(1

)cos(

Caxa

dxax )cos(1

)sin(

Cea

dxe axax 1

Cbaxa

dxbax

)ln(

11

Määrätty integraali

Luetaan ”Integraali a:sta b:hen f(x) dx

Mikä on määrätty integraali?

Laskee summan

raja-arvon, kun askelväli Δx lähenee nollaa.

= käyrän ja x-akselin välinen ala, jos f(x) > 0 koko välillä

Määrätty integraali antaa positiivisen funktion y =

f(x) kuvaajan ja x – akselin välisen alueen alan.

Kun f(x) ≥ 0 välillä [a,b] , määrätty integraali

antaa käyrän f(x) ja x-akselin välisen alan välillä [a,b].

MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN LASKEMINEN KÄSIN

1) Lasketaan integraalifunktio dxxfxF )()( Vakioksi C voi

asettaa 0

b

a

aFbFdxxf )()()(Määrätty integraali saadaan vähentämällä integraalifunktion arvosta ylärajalla b sen arvo alarajalla kohdassa a.

Esimerkkejä:

F(x) =

MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN LASKU KONEELLA

5.11.2015

1

Määrätty integraalija sovelluksia

KAAVASTO

Sisältö

- Määrätyn integraalin laskeminen

- Tasoalueen ala: perustapaukset

- Funktion keskiarvo annetulla välillä

- Pyörähdyskappaleen tilavuus

- Käyrän kaarenpituus

- Pyörähdyspinnan ala

- Tasoalueen ja pyörähdyskappaleen painopiste

- Pinta-alat- Pyörähdyskappaleen tilavuuslaskut- Funktion keskiarvo- Käyrän kaarenpituus- Pyörähdyskappaleen vaipan pinta-ala- Tasoalueen painopiste- Pyörähdyskappaleen painopiste- Numeerinen integrointi

5.11.2015

2

Määrätyn integraalin laskeminen

3

124

3

1

3

5

3/

3335

1

5

1

2 x

dxx

Määrätty integraali lasketaan seuraavasti:

1. Määritetään integroitavan funktion integraalifunktio F(x)

2. Määrätyn integraalin arvo on integraalifunktion arvojen erotus ylä

– ja alarajalla F(b) – F(a)

1. Käyrän y=f(x) ja x- akselin välisenalueen pinta-ala, kun f(x)>0

dxxfA

b

a

)(

5.11.2015

3

2. Käyrän y=f(x) ja x- akselin välisenalueen pinta-ala, kun f(x)<0

dxxfA

b

a

)(

3. Käyrän y=f(x) ja x- akselin välisen alueenpinta-ala, kun f(x):n merkki vaihtelee

dxxfA

b

a

|)(|

dxxfdxxfA

b

c

c

a

)()(

Tai paloittain integroituna

5.11.2015

4

4. Käyrien y=f(x) ja y = g(x) väliinjäävän alueen ala

dxxfxgA

b

a

))()((

Rajat a ja b saadaan ratkaisemal-

la yhtälö f(x) = g(x)

Laskimella solve(yhtälö , x)

5. Käyrän y=f(x) ja y- akselinvälisen alueen pinta-ala

dyygA

bf

af

)(

)(

)(

• Laske integroimisrajat y1= f(a) ja y2=f(b)

• Integroitava funktio g(y) on funktion f(x)

käänteisfunktio, joka saadaan ratkaisemalla y = f(x)

x:n suhteen: esim.laskimella: solve ( y = f(x) , x)

Huom!. Jos käyrien g(x) ja f(x) suuruussjärjestys vaihtelee, tai siitä ei ole tietoa,on erotus laitettava itseisarvojen sisälle |g(x)- f(x)|

5.11.2015

5

6. Funktion y=f(x) keskiarvo välillä [a,b]

dxxfab

xf

b

a

)(

1)(

_____

7. Pyörähdyskappaleen tilavuus, kunkäyrä f(x) pyörähtää x- akselin ympäri

dxxfV

b

a

2)(

Huom! Jos kahden käyrän välinen kaistale pyörähtää x- akselin ympäri, synnyttäen onton pyörähdyskappaleen, voidaan sen tilavuus laskea kahden umpinaisen pyörähdyskappaleen erotuksena.

Jos käyrien suuruusjärjestys vaihtelee, varmin tapa on integroida itseisarvolauseke |f(x)^2 - g(x)^2|

5.11.2015

6

8. Pyörähdyskappaleen tilavuus, kunkäyrä f(x) pyörähtää y- akselin ympäri

dyygV

bf

af

)(

)(

2)(

g(y) saadaan ratkaisemalla y=f(x) x:n suhteen

9. Funktion kuvaajan kaaren pituus

dxxfs

b

a

2)('1

5.11.2015

7

10. Pyörähdyspinnan ala

dxxfxfA

b

a

2)('1)(2

11. Käyrän ja x- akselin välisen tasoalueenpainopiste (xp,yp)

dxxfA

b

a

)(

Lasketaan ensin tasoalueen ala

dxxfxA

x

b

a

p )(1

dxxfA

y

b

a

p 2)(2

11

5.11.2015

8

12. Kahden käyrän välisen tasoalueenpainopiste (xp,yp)

dxxfxgA

b

a

))()((


dxxfxgxA

x

b

a

p ))()((1

dxxfxgA

y

b

a

p ))()((2

11 22

13. Pyörähdyskappaleen painopiste (xp,0)

dxxfV

b

a

2)(

Lasketaan ensin kappaleen tilavuus

dxxfxV

x

b

a

p 2)(1

Huom! Erotukset kaavoissa on syytä laittaa itseisarvojen sisälle, jos käyrän g(x) välillä menee f(x):n alapuolelle tai ei oletietoa funktioiden suuruusjärjestyksestä.

5.11.2015

9

14. Määrätyn integraalin laskeminennumeerisesti

Esimerkki: Laske käyrän y = √x ja x- akselin väliin välillä [1,5] jäävä pinta-ala.

1) Jaetaan alue yhtä suuriin siivuihin, jotka

ovat puolisuunnikkaita

2) Lasketaan funktion arvot puolisuunnikkaiden

reunapisteissä ( tässä 1,2,3,4,5) esim. Excelillä

3) Lasketaan alueen ala puolisuunnikkaiden alan summana

76.612

24.20.21

2

0.273.11

2

73.141.11

2

41.11

A

Määrätty integraalija sovelluksia

Tämä dokumentti sisältää kaavat ja

WolframAlphalla tehdyt esimerkit

Tehtäväkokoelman integraalien laskemisessa saa ja pitääkin käyttää laskinta:

Suositus on Online – laskin webissä (URL: wolframalpha.com )

Omaakin laskinta voi myös käyttää, jos siinä on integrointia.

Kaavat ja malliesimerkit

Integraalilaskennan suoritus

- Integraalilaskennasta ei pidetä tenttiä.

- Arvosana tulee palautettavien tehtävien

perusteella.

- Marraskuun puolivälin jälkeen kurssi

pidetään pääosin ATK – luokassa.

-Tehtävät tehdään WolframAlphalla, josta copy

– pastella liitetään tehtävän vaiheet

dokumenttiin.

Sisältö

- Määrätyn integraalin laskeminen

- Tasoalueen ala: perustapaukset

- Funktion keskiarvo annetulla välillä

- Pyörähdyskappaleen tilavuus

- Käyrän kaarenpituus

- Pyörähdyspinnan ala

- Tasoalueen ja pyörähdyskappaleen painopiste

Määrätyn integraalin laskeminen

3.413

124

3

1

3

5

3/

3335

1

5

1

2 x

dxx

Määrätty integraali lasketaan seuraavasti:

1. Määritetään integroitavan funktion integraalifunktio F(x)

2. Määrätty integraali on integraalifunktion arvojen erotus ylä – ja

alarajalla

Laske dxxx

3

1

3 )2( käsin ja laskimella

?)2(

3

1

3 dxxx

)4

(/)2( 243

1

3

1

3 xx

dxxx

12)14

1()3

4

3( 2

42

4

KONEELLA

Käyrän y=f(x) ja x- akselin välisen alueen pinta-ala, kun f(x)>0

dxxfA

b

a

)(

Laske käyrän y = √x ja x – akselin välinen ala välillä [1,5]

ratk. seur. sivulla

Laske käyrän y = √x ja x – akselin välinen ala välillä [1,5]

V: Ala on 6.8

Käyrän y=f(x) ja x- akselin välisen alueen pinta-ala, kun f(x)<0

dxxfA

b

a

)(

Laske käyrän y = -ln(x) ja x – akselin välinen ala välillä [1,4]

ratk. seur. sivulla

Laske käyrän y = -ln(x) ja x – akselin välinen ala

välillä [1,4]

Ala on integraalin

vastaluku = 2.55

Käyrän y=f(x) ja x- akselin välisen alueen pinta-ala, kun f(x):n merkki

vaihtelee

dxxfA

b

a

|)(|

dxxfdxxfA

b

c

c

a

)()(

Laske käyrän y = x2 – 1 ja x – akselin väliin jäävän alueen ala välillä [0,2]

Tai paloittain integroituna

ratk. seur. sivulla

Laske käyrän y = x2 – 1 ja x – akselin väliin jäävän alueen ala välillä [0,2]

Integraali antaisi kuvassa näkyvien alojen erotuksen,

eikä kokonaispinta - alaa.

Kokonaispinta-ala pitää laskea niin, että

integroitavana funktiona on lausekkeen itseisarvo

| x2 – 1 | : useimmissa laskimissa abs(x2 – 1)

V: Ala on 2

Laske käyrän y = x2 – 4 ja x – akselin väliin jäävän suljetun alueen ala.

Tapaus, jossa integroimisrajoja ei ole annettu

Ensin piirretään kuva, josta selviää, mikä

on tuo suljettu alue.

Kuvasta selviää myös integrointirajat:

Integrointi tehdään –2:sta arvoon 2

Ala on integraalin vastaluku:

A = 10.7

Haluttaessa rajat voi varmistaa komennolla

solve (x2 – 4 = 0)

ratk. seur. sivulla

Laske käyrän y = x2 – 5 ja x – akselin väliin jäävän suljetun alueen ala.

vaihe1. piirretään kuva

vaihe2. lasketaan

integroimisrajat solvella

vaihe3. integroidaan

VASTAUS: Ala = 14.9

Käyrien y=f(x) ja y = g(x) väliin jäävän alueen ala

dxxfxgA

b

a

|)()(|

Rajat a ja b saadaan ratkaisemal-

la yhtälö f(x) = g(x)

Laskimella solve(yhtälö , x)

Laske käyrien y = x2 ja y = x välisen suljetun alueen ala.

ratk. seur. sivulla

Laske käyrien y = x2 ja y = x välisen suljetun alueen ala.

KUVA

RAJAT

PINTA – ALA

V: 0.17

Lisää määrätyn integraalin sovelluksia

Käyrän y=f(x) ja y- akselin välisen alueen pinta-ala

dyygA

bf

af

)(

)(

)(

• Integroimisrajat y1= f(a) ja y2=f(b)

• Integroitava funktio g(y) on funktion f(x) käänteisfunktio, joka saadaan

ratkaisemalla y = f(x) x:n suhteen: esim.laskimella: solve (y = f(x) , x)

Laske käyrän y = x3 ja y –akselin välinen ala, kun x on välilä [ 1, 2]

Laske käyrän y = x3 ja y –akselin välinen ala, kun x on välilä [ 1, 2]

dyygA

bf

af

)(

)(

)(

Integroimismuuttuja on y

Rajat f(1) = 13 = 1

f(2) = 23 = 8

Integroitava funktio saadaan

ratkaisemalla x yhtälöstä y = x3

x =3√y

Huom! Käänteisfunktio voi olla hanka laskea käsin. Sen saa

kuitenkin laskimella helposti ratkaisemalla y = f(x) : stä x

Funktion y=f(x) keskiarvo välillä [a,b]

dxxfab

xf

b

a

)(

1)(

_____

Määritä funktion y = sin(x) keskiarvo välillä [ 0, π ]

Määritä funktion y = sin(x) keskiarvo välillä [ 0, π ]

dxxfab

xf

b

a

)(

1)(

_____

dxxxf

0

_____

)sin(1

)(

Pyörähdyskappaleen tilavuus, kun käyrä f(x) pyörähtää x- akselin ympäri

dxxfV

b

a

2)(

Laske sen pyörähdyskappaleen tilavuus, joka syntyy kun

käyrän y = ex kaari välillä [ 0, 2] pyörähtää x- akselin ympäri.


käyrän y = ex kaari välillä [ 0, 2] pyörähtää x- akselin ympäri.

dxxfV

b

a

2)(

Tilavuus on 84

Onton pyörähdyskappaleen tilavuus, kun käyrien f(x) ja g(x) välinen alue pyörähtää x-

akselin ympäri

dxxfV

b

a

2

1 )(

dxxgV

b

a

2

2 )(

Ontto kappale V = V1 – V2

Ulompi kappale

Sisempi kappale

Huom! Jos f(x) ja g(x) välillä vaihtavat suuruusjärjestystä, yo. Menettely

saattaa antaa virheellisen tuloksen. Tällöin on käytettävä itseisarvoja.

dxxgxfV

b

a

|)()(| 22

Pyörähdyskappaleen tilavuus, kun käyrä f(x) pyörähtää y- akselin ympäri

dyygV

bf

af

)(

)(

2)(

g(y) saadaan ratkaisemalla y=f(x) x:n suhteen


käyrän y = ex kaari välillä [ 0, 2] pyörähtää y- akselin ympäri.


käyrän y = ex kaari välillä [ 0, 2] pyörähtää y- akselin ympäri.

Integroimismuuttuja = y

Rajat: f(0) = e0 = 1

f(2) = e2 (=7.39)

Käänteisfunktio y = ex => x = ln(y)

dyydyygV

ebf

af

2

1

2

)(

)(

2 )ln()(

Funktion kuvaajan kaaren pituus

dxxfs

b

a

2)('1

Laske käyrän y = x2

kaarenpituus välillä [ 0, 2]

Laske käyrän y = x2 kaarenpituus välillä [ 0, 2]

dxxfs

b

a

2)('1

Pyörähdyspinnan ala

dxxfxfA

b

a

2)('1)(2

Käyrä y = 10√x pyörähtää välillä [0, 1] x- akselin

ympäri muodostaen paraboloidipinnan.

Laskin pinnan ala.

Käyrä y = 10√x pyörähtää välillä [0, 1] x- akselin ympäri

muodostaen paraboloidipinnan. Laskin pinnan ala.

dxxfxfA

b

a

2)('1)(2

Käyrän ja x- akselin välisen tasoalueen painopiste (xp,yp)

dxxfA

b

a

)(

Laske käyrän y = √x ja x – akselin välillä [1,5] olevan

tasoalueen painopiste.


dxxfxA

x

b

a

p )(1

dxxfA

y

b

a

p 2)(2

11

Laske käyrän y = √x ja x – akselin välillä [1,5] olevan tasoalueen painopiste.

dxxfA

b

a

)( dxxfxA

x

b

a

p )(1

dxxfA

y

b

a

p 2)(2

11

Ala A

xP = 3.23

yP = 0.88

Kahden käyrän välisen tasoalueen painopiste (xp,yp)

dxxfxgA

b

a

|)()(|




dxxfxgxA

x

b

a

p |)()(|1

dxxfxgA

y

b

a

p |)()(|2

11 22

Huom! Jos on epävarmuutta siitä,

kumpi käyrä kulkee ylempänä,

kannattaa integraaleissa käyttää

erotuksien ympärillä itseisarvoja:

Pyörähdyskappelen painopiste (xp,0)

dxxfV

b

a

2)(



Lasketaan ensin kappaleen tilavuus

dxxfxV

x

b

a

p 2)(1

Differentiaali- ja integraalilaskenta

Opiskelijan nimi: ______________________ DIFFERENTIAALILASKENTA

1. Raja-arvon käsite, derivaatta raja-arvona 1.1 Raja-arvo pisteessä 1.2 Derivaatan määritelmä 1.3 Derivaatta raja-arvona

2. Derivoimiskaavat 2.1 Perusfunktioiden derivaatat 2.2 Tulon ja osamäärän derivaatat 2.3 Yhdistetyn funktion derivaatta 2.4 Osittaisderivaatat

3. Derivaatan sovelluksia

3.1 Yhden muuttujan funktion absoluuttinen virhe 3.2 Kokonaisdifferentiaali virheen arvioinnissa 3.3 Suhteellisen virheen menetelmä virheen arvioinnissa 3.4 Funktion suurin ja pienin arvo 3.5 Newtonin menetelmä yhtälön ratkaisemisessa

INTEGRAALILASKENTA

4. Integraalifunktio 4.1 Integraalifunktion määritelmä 4.2 Integrointia integroimiskaavoilla

5. Määrätty integraali

5.1 Määrätyn integraalin laskeminen manuaalisesti 5.2 Määrätyn integraalin sovelluksia, mm. a. pinta-alat b. pyörähdyskappaleen tilavuus c. tasoalueen painopiste d. pyörähdyskappaleen painopiste e. kaaren pituus f. pyörähdyspinnan ala

g. integrointi numeerisesta datasta

1 RAJA-ARVON KÄSITE, DERIVAATAN MÄÄRITELMÄ 1.1 Raja-arvo annetussa pisteessä, jossa varsinaista funktion arvoa ei voida laskea Laske seuraavat murtolausekkeiden raja-arvot käyttäen supistamista ennen raja-arvokohdan sijoitusta.

1. x

xx

x

32

0lim

2. h

hxh

h

22

0lim

3. 4

22

2lim

x

x

x

1.2 Raja-arvon määrittämistä kokeellisesti laskimella Määritä seuraavat murtolausekkeiden raja-arvot käyttäen laskinta (sijoittamalla muuttujalle arvoja hyvin läheltä raja-arvokohtaa). Täydennä laskemasi arvot taulukkoon ja anna arviosi raja-arvosta.

4. x

x

x

)sin(lim

0

( laskin oltava radiaani moodissa )

x sin(x)/x

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

Arvioni raja-arvoksi = ___________________________ .

5. 34

22

2

1lim

xx

xx

x

x lauseke

0.9

0.99

0.999

0.9999

Arvioni raja-arvoksi = ___________________________ .

1.3 Funktion derivaatan määrittäminen raja-arvona (kokeilemalla)

6. Määritä funktion y = √x derivaatan likiarvo kohdassa x = 2 perustuen seuraavaan taulukkoon funktion arvoista x y = √x

1.98 1.407

1.99 1.411

2.00 1.414

2.01 1.418

2.02 1.421

7. Seuraavassa on erään auton nopeuksia 0,5 sekunnin välein. Määritä niiden perusteella auton kiihtyvyys ajanhetkellä t = 3.0 s. Auton kiihtyvyys määritellään auton nopeuden derivaattana tarkasteltavana ajanhetkenä.

aika t (s) nopeus v (m/s)

1.5 2.50

2.0 2.75

2.5 3.10

3.0 3.75

3.5 4.95

4.0 6.00

4.5 6.80

2 DERIVOIMISKAAVAT 2.1 Perusfunktioiden derivaatat Suorita seuraavat derivoinnit

8. D(-7x3 + 3 x2 – 2x + 11)

9. D (2x2016 )

10. D( 1

5 -

1

4 x +

2

3 x23 )

11. D (- 3

𝑥3 )

12. D (2√𝑥)

13. D(1

2√𝑥3

)

14. D (3 sin(x) – 5 cos(x))

15. D (x2 – 5 ln(x))

16. D (2 e x – 5 tan(x))

2.2 Tulon ja osamäärän derivoimiskaavat

17. D (x sin(x))

18. D (x2 e x)

19. D (x ln(x))

20. D ((2x2+1) cos(x))

21. D 2𝑥−1

𝑥+1

22. D sin(𝑥)

𝑥

23. D 𝑒𝑥

𝑥+2

2.3 Yhdistetyn funktion derivaatta

24. D sin(4x)

25. D cos(2x + 1)

26. D (4 sin(3x) – 3 cos(5x) )

27. D e2x

28. D e-x

29. D 3 𝑒𝑥2+1

30. D ln(4x + 7)

2.4 Osittaisderivaatat Huom. Merkintätapa D(x2y + 3x, x) tarkoittaa lausekkeen x2y + 3x osittaisderivaattaa x:n suhteen (muita parametreja pidetään vakioina). Ko. osittaisderivaatta on 2xy + 3. Samaa merkintätapaa käytetään matematiikkaohjelmissa ja laskimissa. Kirjallisuudessa merkitä

on monimutkaisempi: 𝜕(𝑥2𝑦+3𝑥)

𝜕𝑥

31. D (a2b + 2a – b, a)

32. D ( ½ CU2, U)

33. D ( 𝑎

𝑏 , b)

34. D (𝑈2

𝑅 , U)

35. D (𝑈2

𝑅 , R)

36. D (𝜋

4𝑑2ℎ, d)

37. D (𝜋

4𝑑2ℎ, h)

3. DERIVAATAN SOVELLUKSIA

3.1 Yhden muuttujan funktion absoluuttinen virhe

38. Kuution tilavuutta varten mitattiin kuution särmäksi a = 2.00 cm. Mittauksessa absoluuttinen virhe oli 0.05 cm. Määritä kuution tilavuus virherajoineen.

39. Pallon tilavuuden kaava on V = 𝜋

6 d3 , missä d on pallon halkaisija.

Jalkapallon halkaisija on 22.0 cm, missä virhemariginaali on 0.3 cm. Määritä pallon tilavuus virherajoineen. Ilmoita tulos kuutiosenteissä ja litroina.

3.2 Kokonaisdifferentiaali virheen arvioinnissa

40. Sylinterin tilavuus lasketaan kaavalla V = 𝜋

4𝑑2ℎ, missä d on sylinterin pohjan

halkaisija ja h on sylinterin korkeus. Erään sylinterin muotoisen öljysäiliön pohjan halkaisija d = 500 cm ± 5 cm ja korkeus h = 280 ± 4 cm. Määritä säiliön tilavuus virherajoineen. Syötä lähtöarvot metreinä, jolloin tulos tulee kuutiometreinä.

41. Metallikuulan tiheys ρ määritettiin mittaamalla kuulan halkaisija ja

punnitsemalla kuula vaa’alla. Mittaustulokset ja mittaamiseen liittyvät epätarkkuudet olivat seuraavat: kuulan halkaisija d = 2.00 cm ± 0.05 cm kuulan massa m = 33.15 g ± 0.05 g Laske metallikuulan tiheys kaavalla

ρ = 𝑚

𝑉 =

𝑚𝜋

6𝑑3

ja määritä tiheyden absoluuttinen virhe laskemalla osavirheet, jotka aiheutuvat kummastakin mittauksesta. Tulosten yksikkö on g/cm3.

42. Kolmion muotoisen maa-alueen kaksi sivua ovat a = 184 m ± 1 m ja b = 215 m ± 1 m. Sivujen välinen kulma γ = 34.7° ± 0.1 °. Laske alueen pinta-ala virherajoineen.

3.3 Suhteellisen virheen menetelmä virheen arvioinnissa

43. Laske tehtävä 39 käyttäen suhteellisen virheen menetelmää.



46. Voiko suhteellisen virheen menetelmää käyttää tehtävässä 42 ?

3.4 Funktion suurin ja pienin arvo

47. Suorakaiteen muotoinen rantatontti aidataan maarajoiltaan yht. 600 m

pituisella aidalla. Määritä sellaiset tontin sivut x ja y , että tontin ala on maksimissaan.

48. Sataman sylinterin muotoisen öljysäiliön tilavuus on 250 m3. Määritä sen mitat: pohjan halkaisija d ja korkeus h siten, että öljysäiliön valmistukseen käytetyn teräksen määrä on minimissään. Oletetaan, että säiliö on kauttaaltaan tehty tasavahvuisesta teräslevystä.

Sähkökaapeli vedetään Kemijoen poikki muuntajalta A muuntajalle B kuvan mukaisesti. Kaapelin hinta on maalla 10€/m2 ja joen pohjalla 20 €/m2. Määritä kaapelin rantautumiskohta C siten, että kaapelin kokonaiskustannukset olisivat mahdollisimman pienet.

49. Neliöpohjaisen kannettoman laatikon tilavuus on 20 dm3. Määritä laatikon särmien pituudet x ja y, kun laatikko on valmistettu siten, että pahvin kulutus on minimoitu.

3.5 Newtonin menetelmä yhtälön ratkaisemisessa

50. Määritä Newtonin iteraatiomenetelmällä yhtälön x3 + 3x – 1 = 0 ainoa reaalijuuri kahden desimaalin tarkkuudella.

51. Ratkaise Newtonin menetelmällä toisen asteen yhtälö 1.5 x2 - 3.7 x – 5.0 = 0 (molemmat juuret). Esim. alkuarvolla – 5 iteraatio

johtaa vasemmanpuolimmaiseen juureen, alkuarvo 5 johtaa oikeanpuolimmaiseen.

52. Määritä Newtonin menetelmällä yhtälön x3 + 5 x + 1 = 0 ainoan juuren likiarvo 2. desimaalin tarkkuudella.

Differentiaalilaskennan osuus päättyy tähän

Merkitse alla olevaan taulukkoon differentiaalilaskennan osiosta laskemasi laskut.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

51 52 53

Vastauksia

1) 2) 3) 4) 5)

3 2x -¼ 1 -1.5

6) 7) 8) 9) 10)

0.35 1.85 m/s2 -21x2+6x-2 4032 x2015 -¼+ 46/3x22

11) 12) 13) 14) 15)

9/x4 1/√x 1/6x-2/3 3cos(x)+5sin(x) 2x-5/x

16) 17) 18) 19) 20) 2ex-5/cos(x)2 sin(x)+x* cos(x) (2x+x2)ex ln(x) + 1 4x cos(x)-

(2x2+1)sin(x)

21) 22) 23) 24) 25 3

(𝑥 + 1)2

xcos(𝑥) − sin(𝑥)

𝑥2

𝑒𝑥(𝑥 + 1)

(𝑥 + 2)2

4 cos(4x) -2 sin(2x+1)

26) 27) 28) 29) 30)

12cos(3x)+ 15 sin(5x)

2e2x -x e-x 6x𝑒𝑥2+1 4

4𝑥 + 7

31) 32) 33) 34) 35)

2ab + 2 CU -a/b2 2U/R -U/R2

36) 37) 38) 39) 40) 𝜋

2𝑑ℎ

𝜋

4𝑑2

(8.0 0.6) cm3 (5.6 + 0.3) ltr (55 2) m3

41) 42) 43) 44) 45)

(7.9 0.7)

g/cm3

(11260 150) m2

(5.6 0.3) ltr

(55 2) m3 (7.9 0.7)

g/cm3

46) 47) 48) 49) 50)

ei voi 150mx300m d=6.83 m h = 6.83 m

x=800 m x=3.42 dm y=1.71 dm

51) 52) 53)

0.322 x = -0.97 tai x = 3.44

x = -0.198

INTEGRAALILASKENNAN LASKUMONISTE

4. INTEGRAALIFUNKTIO

4.1 Integraalifunktion määritelmä

54. Osoita, että funktio F(x) = 2x5 + 12 on funktion f(x) = 10 x4 integraalifunktio.

55. Mikä on parametrin A arvo oltava, jotta F(x) = sin(4x + 1) -3 olisi funktionf(x) = A cos(4x+1) integraalifunktio.

4.2 Integrointia integroimiskaavoilla

Integroi käyttäen integroimiskaavoja

56. ∫(2𝑥2 − 3𝑥 + 1)𝑑𝑥

57. ∫(3 sin(𝑥) − 5 cos (𝑥))𝑑𝑥

58. ∫(3𝑥 − 7 + 5𝑒𝑥 −1

2 𝑥)𝑑𝑥

59. ∫ 𝑒4𝑥𝑑𝑥

60. ∫ cos(7𝑥) 𝑑𝑥

61. ∫ √𝑥 𝑑𝑥

5. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI

5.1 Määrätyn integraalin laskeminen kaavoilla

Laske seuraavat määrätyt integraalit ilman laskinta käyttäen integroimiskaavoja.

62. ∫ 𝑥33

1𝑑𝑥

63. ∫ 𝑒𝑥2

0𝑑𝑥

Seuraavien osioiden tehtävissä käytetään integroivaa laskinta tai WolframAlphaa. Ratkaisuissa on suositeltavaa liittää Word dokumenttiin kuvakaappaukset WolframAlphasta tai jos käytit laskinta, käytetyt komennot.

vastauksia tulee Moodleen lähiaikoina

5.2 Määrätyn integraalin sovelluksia

A. pinta-alalaskut

64. Määritä käyrän y = √𝑥3

ja x – akselin väliin välillä 0 ≤ x ≤ 3 jäävän alueen ala.

65. Määritä sen suljetun alueen pinta- ala, jota rajoittaa käyrä y = 9 – x2 ja x- akseli.

66. Määritä käyrän y = √𝑥3

välillä 0 ≤ x ≤ 3 olevan kaaren ja y-akselin väliin jäävän alueen ala.

B. pyörähdyskappaleen tilavuus

67. Määritä sen pyörähdyskappaleen tilavuus, joka syntyy kun käyrä y = ¼ x3 pyörähtää välillä 1 ≤ x ≤ 2 x- akselin ympäri. 68. Määritä sen pyörähdyskappaleen tilavuus joka syntyy, kun edellisen tehtävän käyrän y = ¼ x3 kaari välillä 0 ≤ x ≤ 2 pyörähtää y – akselin ympäri.

C. tasoalueen painopiste

69. Määritä käyrän y = 9 – 4 x2 ja x- akselin väliin välillä 0 ≤ x ≤ 2 jäävän tasoalueen painopisteen koordinaatit.

D. pyörähdyskappaleen painopiste

70. Määritä sen pyörähdyskappaleen painopisteen x- koordinaatti, joka syntyy kun käyrä y = ¼ x3 pyörähtää välillä 1 ≤ x ≤ 2 x- akselin ympäri.

E. kaaren pituus

71. Määritä käyrän y = x3 välillä 1 ≤ x ≤ 4 olevan kaaren pituus.

F. pyörähdyspinnan ala

72. Määritä sen pyörähdyspinnan ala, joka syntyy kun käyrä y = ¼ x3 pyörähtää välillä

1 ≤ x ≤ 2 x- akselin ympäri.

G. integrointi numeerisesta datasta

73. Laitteen määrätyllä aikavälillä (t1, t2) kuluttama energia W saadaan integroimalla

hetkellistä tehoa P: ts. W = ∫ 𝑃𝑑𝑡𝑡2

𝑡1. Seuraavassa on taulukko talon sähkölämmityksen

keskitehosta kahden viikon ajalta. Määritä taulukon perusteella energian kulutus ko. ajanjaksolta.

pvm keskiteho P (kW) pvm keskiteho P (kW)

1.9 0.80 8.9 1.35

2.9 1.00 9.9 1.45

3.9 1.25 10.9 1.60

4.9 1.40 11.9 1.45

5.9 1.20 12.9 1.30

6.9 1.05 13.9 1.40

7.9 1.30 14.9 1.55

Laske talon energiankulutus yksikössä kWh kyseisen kahden viikon jaksolla.

Differentiaali- ja integraalilaskenta 5 opweb.lapinamk.fi/jouko.teeriaho/diff_ja_int.pdf · On...

Documents

Transcript of Differentiaali- ja integraalilaskenta 5 opweb.lapinamk.fi/jouko.teeriaho/diff_ja_int.pdf · On...