METODOS NUMERICOS

Métodos Numéricos PARA LA Ingeniería INDUSTRIAL.

Diferenciación Numérica

ING. PEDRO DE LA CRUZ LARA

INSTRUCTOR

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METODOS NUMERICOS

DIFERENCIACION E ITERACION NUMERICA

EDEN CANO RODRIGUEZ CUARTO CUATRIMESTRE DOMINGOS

UNIVERSIDAD DE LOS ANGELES CAMPUS COMALCALCOI N G E N I E R I A I N D U S T R I A L

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C O N T E N I D O

T E M A D E I V E S T I G A C I O N

1. Diferenciación numérica

Aproximación a la primera derivada hacia atrás Aproximaciones a la primera derivada con diferencias centrales Aproximaciones a derivadas de orden más alto usando

diferencias finitas Fórmulas de exactitud para diferencias de orden superior Ejemplos

2. Formula de diferencia progresiva y regresiva

Concepto de diferencia progresiva y regresiva Formula de diferencia progresiva y regresiva Ejemplos

3. Formula de tres puntos

Concepto de la fórmula de los tres puntos Ejemplos

4. Formula de cinco puntos

Concepto de fórmula de los cinco puntos Ejemplos

5. Bibliografía

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DIFERENCIACION NUMERICA

A la ecuación 1 se le conoce con el nombre especial en el análisis numérico, se le llama diferencias divididas finitas.  

Se puede representar generalmente como:  

O  

Donde al diferencial se le conoce como la primera diferencia hacia adelante y a h se le llama tamaño del paso, esto es, la longitud del intervalo sobre el cual se hace la aproximación.

Se le llama diferencia " hacia adelante " ya que usa los datos (i) e (i+1) para estimar la derivada.

Al termino completo (o sea, la diferencial entre h) se le conoce como primera diferencia dividida finita.

Esta diferencia dividida hacia adelante no es sino una de tantas que se pueden desarrollar mediante la serie de Taylor para la aproximación de derivadas numéricas.

Por ejemplo, las aproximaciones a primeras derivadas, utilizando las diferencias hacia atrás o las diferencias centrales se pueden desarrollar de una manera similar a la de la ecuación 2.

Las primeras usan a, mientras x con sub-índice i+1 que las segundas usan información igualmente espaciada alrededor del punto donde está estimada la derivada.

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Las aproximaciones más exactas de la primera derivada se pueden desarrollar incluyendo en la serie de Taylor términos de orden más alto.

Finalmente, todas las versiones anteriores se pueden desarrollar para derivadas de segundo orden, tercer orden y órdenes superiores. Las siguientes secciones analizan brevemente estos casos, ilustrando como se deriva cada una de ellos.

APROXIMACION A LA PRIMERA DERIVADA CON DIFERENCIAS HACIA ATRÁS.

La serie de Taylor se puede expandir hacia atrás para calcular un valor anterior sobre el valor actual, dado por:  

Truncando la ecuación después de la primera derivada y ordenando los términos se obtiene:  

Donde los errores es 0 (h) y el diferencial indica la primer diferencia

dividida hacia atrás.

APROXIMACIONES A LA PRIMER DERIVADA CON DIFERENCIAS CENTRALES.

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Una tercera forma de aproximar la primera derivada es restar la ecuación 4 de la expansión en serie de Taylor hacia adelante:  

Para obtener  

Que se puede resolver para  

O  

La ecuación 9 es una representación de las diferencias centrales (o centradas) de la primera derivada.

Nótese que el error de truncamiento es del orden de en contraste con las diferencias divididas hacia adelante y hacia atrás, las cuales fueron de orden h.

Por lo tanto, el análisis de la serie de Taylor ha llevado a la información práctica de que la diferencia central es la representación más exacta de la derivada.

Por ejemplo, si se parte el tamaño del paso a la mitad usando diferencias hacia atrás o hacia adelante, el error se reducirá aproximadamente a la mitad, mientras que para diferencias centrales, el error se reduce a la cuarta parte.

APROXIMACIONES A DERIVADAS DE ORDEN MÁS ALTO USANDO DIFERENCIAS FINITAS.

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Junta a la primera derivada, la expansión de la serie de Taylor se puede usar para una estimación numérica de las derivadas de orden superior.

Para hacerlo, se escribe una expansión en la serie de Taylor hacia adelante para en términos de la siguiente forma:    

La ecuación 8 se puede multiplicar por 2 y restarse de la ecuación 10 para obtener:  

Que se puede resolver para  

A esta relación se le llama diferencias divididas finitas hacia adelante de segundo orden. Se pueden usar procedimientos similares para obtener las versiones hacia atrás y centrales.

Las aproximaciones a tercer orden de las diferencias divididas hacia adelante, hacia atrás y centrales también pueden obtenerse (véase en fórmulas más adelante). En todos los casos, las diferencias centradas dan una mejor aproximación.

FORMULAS DE EXACTITUD PARA DIFERENCIAS DE ORDEN SUPERIOR

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Todas las estimaciones anteriores truncaron las estimaciones dadas por la serie de Taylor después de algunos términos. Las fórmulas de más exactitud se pueden desarrollar incluyendo términos adicionales. Por ejemplo, la expansión hacia adelante (Ecuación 6) se puede resolver para: 

 

En contraste con la ecuación 2, se puede retener el término de segundo orden sustituyendo la ecuación 12 en la ecuación 13 para obtener:  

Agrupando términos  

Nótese que la inclusión del término con segunda derivada ha dado una exactitud. Se pueden desarrollar versiones mejoradas similares para diferencias hacia atrás y centrales así como para las aproximaciones de derivadas de orden superior.

GRAFICAS DE APROXIMACIONES CON DIFERENCIAS DIVIDIDAS FINITAS DE LA PRIMERA DERIVADA.

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El azul es de aproximación y el verde de la derivada verdadera  

HACIA ADELANTE

.HACIA ATRAS

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.

CENTRALES

FORMULAS DE DIFERENCIAS DIVIDIDAS FINITAS HACIA ATRÁS. SE PRESENTAN DOS VERSIONES PARA CADA DERIVADA. 

LA SEGUNDA FORMA INCLUYE MAS TERMINOS DE LA SERIE DE TAYLOR Y, POR LO TANTO ES MAS EXACTA

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FORMULAS DE DIFERENCIAS DIVIDIDAS FINITAS HACIA ADELANTE. SE PRESENTAN DOS VERSIONES PARA CADA DERIVADA. 

LA SEGUNDA FORMA INCLUYE MAS TERMINOS DE LA SERIE DE TAYLOR Y, POR LO TANTO ES MAS EXACTA.

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FORMULAS DE DIFERENCIAS FINITAS CENTRALES. SE PRESENTAN DOS VERSIONES PARA CADA DERIVADA. 

LA SEGUNDA FORMA INCLUYE MAS TERMINOS DE LA SERIE DE TAYLOR POR LO TANTO ES MAS EXACTA. 

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EJEMPLO DE APROXIMACIONES DE DERIVADAS USANDO DIFERENCIAS DIVIDIDAS FINITAS... 

Úsense aproximaciones de diferencias finitas hacia adelante y hacia atrás de 0(h) y centradas, de 0(cuadrara), para estimular la primera derivada de: 

 

en x=0.5 usando un tamaño de paso h=0.5. Repetir los cálculos usando h=0.25. Nótese que la derivada se puede calcular directamente como: 

 y se puede usar para calcular el valor exacto de f (0.5)=-0.9125.

SOLUCIÓN. Para h=0.5, se puede usar la función para determinar: 

 

Estos datos se pueden usar para calcular la diferencia dividida hacia adelante (Ecuación 2): 

La diferencia dividida hacia atrás (Ecuación 5): 

 

y la diferencia dividida central ( Ecuación 7 ): 

 

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Para h=0.25, los datos son: 

 

Que se pueden usar para calcular la diferencia dividida hacia adelante: 

 

La diferencia dividida hacia atrás: 

 y la diferencia dividida central:>/P> 

 

METODO DE LA SECANTE POR MEDIO DE DIFERENCIA DIVIDIDA.

Un problema fuerte en la implementación del método de Newton-Raphson es el de la evaluación de la derivada.

Aunque esto no es un inconveniente para los polinomios y para muchas otras funciones, existen algunas de estas cuyas derivadas pueden ser extremadamente difíciles de evaluar.

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En estos casos, la derivada se puede aproximar mediante una diferencia dividida, como se muestra en la siguiente figura: 

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ESQUEMA GRAFICO DEL METODO DE LA SECANTE UTILIZANDO UNA DIFERENCIA.

La ecuación 18 es la fórmula para el método de la secante. Nótese que el planteamiento requiere de dos puntos iniciales de x.

Sin embargo, debido a que no se requiere de f (x) cambie de signo entre estos valores, a este método no se le clasifica como aquellos que usan intervalo.

EJEMPLO DEL METODO DE LA SECANTE USANDO DIFERENCIAS DIVIDIDAS. 

Úsese el método de la secante para calcular la raíz de f (x)=. Empiécese con los valores iniciales de x (sub-índice i-1) = 0 y x (sub-índice 0)= 1.0.

SOLUCIÓN.  Recuérdese que la raíz real es 0.56714329…. 

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FORMULA DE DIFERENCIA PROGRESIVA Y REGRESIVA

El cálculo de la derivada de una función puede ser un proceso "difícil" ya sea por lo complicado de la definición analítica de la función o por que esta se conoce únicamente en un número discreto de puntos. (Este es el caso si la función representa el resultado de algún experimento). En esta lección estudiaremos técnicas para aproximar las derivadas de una función y veremos el análisis de error de dichas formulas.

Fórmulas para la primera derivada: La definición de la derivada de una función f(x) en el punto "x" está dada en términos del límite:

De esta definición podemos decir que si "h" es pequeño entonces:

(Note el símbolo de aproximación). Esto nos da inmediatamente la primera fórmula numérica para aproximar la derivada:

Antes de ver algunos ejemplos donde usamos esta fórmula, tratemos de contestar la pregunta de ¿cuán buena es esta aproximación de la derivada? Por el Teorema de Taylor sabemos que:

Donde   esta entre x y x+h. Si despejamos ahora en esta fórmula por f'(x) y usamos la definición de   tenemos que:

Esta fórmula nos dice que   aproxima a f'(x) con un error proporcional a "h", i.e., O (h).Fórmulas para la segunda derivada: El proceso de arriba se puede usar para

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obtener fórmulas para las derivadas de orden mayor de uno de una función f(x). Usamos este proceso para obtener una fórmula para la segunda derivada. Usando el Teorema de Taylor, podemos escribir las expansiones:

Sumando estas dos expansiones y despejando para f''(x) obtenemos:

Donde

y   esta entre [x-h,x+h]. Tenemos aquí una fórmula de orden dos para f"(x).

Diferenciación usando polinomios de interpolación: Suponga que   son puntos distintos y sea pn(x) el polinomio que interpola a f(x) en estos puntos. Entonces aproximamos f '(x) por:

Suponga que. Se puede demostrar que aunque no discutiremos en más detalles este método para aproximar derivadas, si mencionamos que las dos fórmulas que discutimos para aproximar f '(x) se pueden obtener usando polinomios de interpolación de grados uno y dos respectivamente.

Formula de diferencia progresiva y regresiva

Sólo se consideran normalmente tres formas: la anterior, la posterior y la central. Una diferencia progresiva, adelantada o posterior es una expresión de la forma Dependiendo de la aplicación, el espaciado h se mantiene constante o se toma el limite h → 0. Una diferencia regresiva, atrasada o anterior.

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Finalmente, la diferencia central es la media de las diferencias anteriores y posteriores. Viene dada por Relación con las derivadas. La derivación de la función f en un punto x está definida por el límite Si h tiene un valor fijado no nulo, en lugar de aproximarse a cero, el término de la derecha es por lo tanto, la diferencia dividida por h aproxima a la derivada cuando h es pequeño. El error de esta aproximación puede derivarse del teorema de Taylor. Asumiendo que f es continuamente diferenciable, el error es la misma formula es válida en la diferencia posterior:

Sin embargo, la diferencia central lleva a una aproximación más ajustada. Su error es proporcional al cuadrado del espaciado (si f es dos veces continuamente diferenciable).

Cálculo de diferencias finitas la diferencia anterior puede considerarse un operador diferencial que hace corresponder la función f con Δf. El Teorema de Taylor puede expresarse por la fórmula donde D denota el operador derivada, que hace corresponder f con su derivada. Formalmente, invirtiendo la exponencial.

Esta fórmula sigue siendo válida en el sentido de que ambos operadores dan el mismo resultado cuando se aplican a un polinomio. Incluso para funciones analíticas, las series de la derecha no convergen con seguridad, sino que puede tratarse de una serie asintótica. Sin embargo, pueden emplearse para obtener aproximaciones más precisas de la derivada. Por ejemplo, Los dos primeros términos de la serie llevan a:

El error de la aproximación es del orden de h2.

Las fórmulas análogas para los operadores posterior y central son Derivadas de órdenes mayores De forma análoga se pueden obtener aproximaciones en diferencias finitas para derivadas de orden mayor y operadores diferenciales. Por ejemplo usando la fórmula de la diferencia central mostrada anteriormente con un espaciado de h / 2 para y y aplicando la fórmula de diferencia central a la derivada de en x, obtenemos la aproximación de la diferencia central de la segunda derivada de f:

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Métodos de diferencias finitas

Otro aspecto importante es que las diferencias finitas aproximan cocientes diferenciales a medida que h se acerca a cero. Así que se pueden usar diferencias finitas para aproximar derivadas. Esta técnica se emplea a menudo en análisis numérico, especialmente en ecuaciones diferenciales numéricas ordinarias, ecuaciones en diferencias y ecuación en derivadas parciales. Los métodos resultantes reciben el nombre de métodos de diferencias finitas.Las aplicaciones habituales de los métodos de diferencias finitas son en los campos de la computación y áreas de la ingeniería como ingeniería térmica o mecánica de fluidos.

FORMULA DE TRES PUNTOS

Existen diferentes tratamientos temáticos simples para el cálculo de derivadas, entre ellas existen las que se diferencian por el número de puntos necesarios para el cálculo.

Sea una función f definida en el intervalo (a, b) y un punto arbitrario X0 en (a, b):

Se utiliza un punto h lo suficientemente pequeño para aproximar f(X0) y donde el error 0غ se encuentra entre X0 y X0 + 2h.

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FORMULA DE CINCO PUNTOS

En condiciones análogas al anterior caso se define una aproximación con cinco puntos:

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BIBLIOGRAFIA

Métodos Numéricos para la Física y la ingeniería – Vázquez Luis Mc. Graw Hill de MA 2009.

Métodos Numéricos para la ingeniería – Chapra Steven Mc. Graw Hill de MA 2007.

Métodos Numéricos aplicados a la ingeniería industrial – Akai TerenceEditorial LIMUSA 2008.

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