Dieudonne theory for ungraded and periodically graded Hopf rings.

70

Transcript of Dieudonne theory for ungraded and periodically graded Hopf rings.

Page 1: Dieudonne theory for ungraded and periodically graded Hopf rings.

������������ ��������������������������� �����!�"��!#$�%�&��'�(��)*�"+,+-�. ��� �����0/1�23�546�,(��7

8:9<;>=?;A@B9<CED*F�G�HIGKJLG�@�M=5GONQP�R�RBR

Page 2: Dieudonne theory for ungraded and periodically graded Hopf rings.

S:T<UWVYX[Z]\^V

_a`cbed]f-gih]jEkml�fon�l^pqj�nWrsf-l�gqt<`creuvnYt�w-kxwoysl^w�l^bsbKnzl^f�fonYj�{]p|l^f-pi}"gih�y]`�~�`^w-`�bO}"woy]nY`�f-}��m��ysnW}tWl�h:d�`cf%nW�]l^~�b]pqn l�fog|k�n l�k%y]`c~�`cpi`cj�}�~�`e�e{]pqnYk%`^d<t�nWfow-l�gih�k�bKl�t�nzkW�Ed�`cf%tWnWfow-l^gqh3jcnWh]nYf��l^pqgq�WnY�(y]`c~�`cpi`cj�}�w-y]nW`cfogqnYkY����warKnzt�`c~�nzk�woyO{skagi~�b�`�fow-l^hEw�wo`'yKlI��n�lI�Il�gip|l^rspin�n��:tWginYhcw~�n�w-y]`e�]k�d�`�fatW`�~�b]{ew-gihsj�_>`�bed<f-gih]j'k�wof-{st,w-{]f-nYk�gqh��]g��BnWf-nWhEw*nWhO�Ogif-`�hs~�nYhEw-kY�� h]n��%lI}�w-`��enY�Ogqkon�k�{st�y(~�n�woys`O�sk�gqk�wo`'tW`�hsk�wof-{st,w%d�{]hst�wo`cf-k�d�f-`�~1l�tWl[w-nWjc`�f-}�`�d

t�`El^pqj�nYr]f-lckW�Wd�`�f��*y]g|t�y�_a`cbed]f-gih]jEkml�fon�woy]n�fogqh]j"`�reuvnzt,w-kY�Iwo`"`^w-y]nWf<tWl^wonWjc`�f-ginzk��*y]nYfon�g�w~�gijcyEw�r�nYt�`c~�n"nzl�koginYf�wo`�bKnYf�d�`cfo~�tYl^p|t�{]p|l[w-gi`chsk�l�hs�:�enzl^pB�*giwoy:w-y]n�kvw-fo{st�wo{]f-n����O`c~�n`^d&w-y]nYkon�tWl[w-nWjc`�f-ginzk�l^f-n"tYl[w-nWj�`cfogqnYk�`^dx�"ginY{s�e`ch]h��n"~�`e�e{spinzkW��_>`�bedxf-gqh]jck%t�`cfof-nYkobK`chs�woyO{skawo`'f-gihsj:`�reuvnzt,w�k*gih�w-y]nYkon�tYl[wonYj�`cfogqnYkY�]l^hs��ko{st�y�`creuvnYt�w-kal�fon�tYl^pqpinz���>gqnW{s�]`�h]h��nf-gih]jEkW���y]g|k��%`�f-��b]fo`cbK`Ek�nzk�l�kvw-{s�e}'`^dm{]h]j�f�l��]nY�'l^hK�'bKnYfogq`e�eg|tWl^pqpq}�jcf-lc�enY�3�>gqnW{s�]`�h]h��n

f-gih]jEkW�%��y]nYkon�tW`�f-fonzk�b�`�hs���egih�w-y]n�l�k-ko`OtWgql^wonz��tYl[w-nWj�`cfo}'`�d�t�`cl�pijcnWr]f�l�kY�Ewo`:{sh]j�f�l��enz�_a`cbed�f-gqh]jckY�xl^hK��jcnWh]nYf-l�pigq�Wn�woy]n'�Oh]`[�*h t�`chsk�wof-{st,w-gi`chsk"d�`�f�woysn'j�f�l��enz��tWlck�nc����ysgqkj�nYh]nWf�l^pqgq�Yl[w-gi`ch�gqk%gq~�b�`�fow-l�hEw�r�nYtWl�{skon��OnW�cnWh'w-y]`�{]jcy3t�nYf�w�l^gqh:{skon�d�{]pBy]`c~�`�pq`�j�}�woysnW`^�f-ginzk�¡�pigq��nakogqh]j�{]p|l^f�ys`�~�`�pq`�jc}�l^hs���[l^f-gq`�{sk<r�`�f��eg|k�~'k�¡��e`�j�gq��n�fog|kon�wo`�j�f�l��]nY��_a`cbedf-gih]jEk�l^hK��woyO{sk�wo`�jcf-lc�enY���"ginY{s�e`ch]h��naf-gqh]jckY�^w-y]nWf-n"l�fon*h]`ch]n�w-y]nWpqnYk-k�gi~�b�`�fow-l^hEw�jcnWhe�nWf�l^pqgq�WnY�3y]`�~�`cpi`cj�}�woysnW`�f-gqnYk%woyKl[w>�e`�h]`�w>tWl^f-f-}:l�hKl[wo{sf-l�p&j�f�l��egqh]js�¢�`�f�lI�[l*£��¤woy]nY`�f-ginzkW�Y`�h�w-y]n�`�woy]nYfxysl�hs�&�[tWl�h�rKn��EgqnW�%nY��lckxl*~�g|�]�epqn�w-nWf-~?gqh�woysgqk

�eg|kotW{sk-k�gq`�h�¥xwoy]nY}��]`�tWl�fof-}�ko`�~�n*j�f�l��egqh]jK�^r]{ew�giw�g|k�b�nWf-gi`e�eg|tal�hs��woyO{sk�`^d�l��egi��nYfonYhcwhsl^wo{]f-n d�fo`c~�woy]n�jcf-lc�egqh]j�w-ysl[w>l�b]b�nYl^f�kY�cd�`cfan��]l�~�bspinc�egih�kogih]jc{]p|l^f�y]`�~�`cpi`cj�}��

Page 3: Dieudonne theory for ungraded and periodically graded Hopf rings.

¦¨§�©3ª�«>¬®­�¯a°�±�¯>²³¯"ª�´�µ

¶�·%¸�¹]º|»(ºi¼q½�¾"¿o¸�¿oÀKÁ^Â]½�¿-À]¾ ÃÄÁ�Å�¹sº�¿vÆ3Á�Âs»3Ç�¿-Á^Èɸ^Ã<Ê�À]¾ Ëc¸�ÀsÂsÇ�Ìa¸�Ís½E¼qÂsÇ*Î>Â]¼iÏc¾WÐ�Ç�¼i¿vÆ�Ã�¸�пoÀs¾W¼qÐ�Ç�¹sÍ]ÍK¸cÐ�¿�¼i ¿-À]¾3Å�¸cÂsÅ�ºq¹sÇo¼i¸c ¸^Ã�¿oÀ]¼|Ç�·%¸�Ð-½BÑmÁ�Âs» ¾YÇoÍK¾zÅ�¼|Á^ºqºiÆ�¿oÀ]¾3Ò�¹]¼|»]Á^ÂKÅ�¾:Á^ÂK»¹]Âs»]¾WÐ�Çv¿�Á^Âs»e¼qÂ]Ò�¸�Ã%Ó�ÆÔÁ�»]ÏE¼|Ço¸�ÐzÑmÕ"ÐYÖ(×ØÖ�ÙE¿-¾WÍ]À]¾YÂÚ×Û¼iº|Ço¸�Â�Ñ<Á^Âs»Ô¿-À]¾3Å�¸cÓ�Ó�¾YÂE¿-Ç�¸c¿oÀs¾�¿o¾�ÜO¿aÓ'Á�»]¾ ÝOÆ3Õ"ÐzÖ�ËsÖsÞɼqÅ�ÀsÁ�¾Wº�ß%¸cÁ�Ð-»]Ó�Á�Â�Ö

Ê�À]¼|Ç�·%¸�Ð-½�·�Á�Ç�ÍsÁ^Ðo¿o¼|Á^ºqºiÆ Ço¹]Í]Í�¸�Ðo¿o¾Y»àÝEÆÔ¿oÀs¾�Ëc¹]ÂE¿-ÁÉá"Á�ÅW¼i¸cÂsÁ^º%»e¾3¶âÂOÏ�¾zÇv¿-¼iÒEÁ&ãÅ�äÁ^¸å ¼q¾WÂE¿zæçiè ÅYÁ�¾�Êm¾YÅWÂ]¸�ºzæ¸�Òc¼qÅYÁ]ÑOé�¼|Ç�Ý�¸�Â�ÑKê<¸�Ðo¿o¹]ÒEÁ^º¤Ö

ë

Page 4: Dieudonne theory for ungraded and periodically graded Hopf rings.

ì íïîñð òóîñð6ô

õ!ö�÷søYù�úKû[üKý�þ�ÿ��à÷����Eû��A÷��ü�þÛø�÷��OúKüKû����� ��OüKû�� �

� ö�÷søYù�úKû[üKý�þ�ÿ��à÷����Eû��A÷��ü�þ���ü����*÷�Aú�����û[÷� õ��

� ö������Aþ��O÷eû �à÷����÷]þ�ÿ!��Oþ��YüKû"�mû[ü�ÿ�ý�ø#�� õ��

�%$&���Oýmÿ�üKþ�þ('�)� ��EüKû��*��üKû(úKûI÷sÿ��Oÿ���ü����*÷�Aú�����û[÷� õ�+,.-0/21436587�9�7&:<;8==9�:?>@97)AB;DC�EF58GIHD9<J3658KL5#=�7M>@N9<O03BPQOI9R.7�;8=.=LS9UTV;�7RGI9�KW-X/�Y

,.-[Z 1436587�9�7&:<;8==9�:?>@97)AB;DC�E�3@O0=HDK\5#=�7M>@N9<O03PQOI9R.7�;8=.=LS9U3]O0=H�K^-_-U-_-4-_-U-_-_-U-_-U-_-U-_-_-4-_-U-_-_-U-_-U-_-U-_-X/�`

,.- a PQOI9R.7�;8=.=LS94>]N9;83@bVEc;83dHD3@5D7�97&AB;8CEF58GIHD9<J3658KeDHD3];DRC�fgGIO0h894O0=i7�9H83@9<9j 93];^-_-U-_-U-_-U-_-_-U-_-4-_-U-_-_-U-_-U-_-U-_-_-4-_-U-_-_-U-_-U-_-U-_-kZ8a

,.- , lB=m58Gn>@9<3@=.5o>@OIpD94C.3];�;#E�;#E�>]N9_9�qDR.OIpo5#G09<=�:r9Js9r>utL9<9<=)3@OI=.HV:5o>@9<H8;D3]O09Kv-_-U-_-_-U-_-U-_-U-_-_-4-_-U-_-_-U-_-U-_-U-_-kZ8`

+2$&���Oýmÿ�üKþ�þ('�)� ��EüKû��*��üKû(ý�þmúKû[÷]ÿ��Oÿ���ü����*÷.�Äús�D��û[÷� �sw

Y�-0/yxB=.H836587�9�7&:<;8==9�:?>@97iAB;8CEF58GIHD9<J3658K\5#=�7 >@N9<O03zPQOI9R.7�;8=.=LS9UTV;�7RGI9�K aD`

Z

Page 5: Dieudonne theory for ungraded and periodically graded Hopf rings.

{�|[}�~B�.�8�6�8�����&�<�8�����?�@��i�B�8����@�I�.�D�d�#��� �@��<�0�z�Q�I��.���8�.�L��U�]�0���� |U|_|����

{�| � �Q�I��.���8�.�L��4�]���8�@�"�c�8�d�.��8�6�8�����M�D�<�D���<�]�@�0�r���0�0�8�Q�z�8�����#�0�8���6�8�4|U|_|����

 ¢¡&£�¤�¥�¦�§�¨�¨(©¤)ª«�¤�§�¬�­*®g§�¬M¯°¤�¬o£�§±¦�£�²D³´�´�­¶µ.¬o³¦�¤�¦�·m§.¯F®d³´�µ�¤�¸�¬�³.¹ º.»

¼|0½y¾F�<�@�0����0��#�0�I�4�8�6�8�����_�r�D����r�]���¿�B�D���.�#�0�8���@�D�À�8�.�U�]�.�<�0���Q�I��.���D��\���V������0��Á|_|U|_|U|_|_|U|_|4|_|U|_|_|U|_|U|_|U|_|_|4|_|U|_|_|U|_|U|_|U|_|k{8�

¼|[}�¾F�<�@�0����0��#�0�I�4�8�6�8�����¿�r�D�����?�]���(�z�8���s�]�0��D���#���_�]�.�<�0�F�Q�0�<�.���D��\��Â�]�0����Ã{�Ä

¼| � �Q�I��.���8�.�L��4�]���8�@�"�c�8�d�s�<�@�0����0��#�0�I� �D�@�D�����8��8�V�r�@�]�Å�?�g�0�I�D�4�z�8�����#�0�8���@�D�¿|_|_|U|_|U|_|U|_|_|4|_|U|_|_|U|_|U|_|U|_|W¼�}

Page 6: Dieudonne theory for ungraded and periodically graded Hopf rings.

Æ Ç�ÈÊÉÌËÎÍÁÏ Ð

Ñ ÒÔÓÖÕ2×ÙØÛÚÝÜ Þ ß à ÒkáãâäØæå4Òèç ÚvÞ

ÓéÒkáãâÌ×ÙÚÙØëê áíì âÌÚÙØëê

î\ïðÅñ�ò6ï�ó#ô�õ@ö<÷Vñøö<õøõ]ù0öñ�ñ]ú8ûVöMü.óDñøðÅò"ýú8õ]ð0ú8ý.ñ�ú8ý*ò<óoõ@ö<þDú8÷@ÿ õ@ïö<úD÷]ÿ õ]ï.ó#õ � ð0ù0ùÂüsö���ñøö��ùÅóoõ]ö÷���Ãö��ö���ýö ó#üsö<ù0ð0ó8ý þD÷]ú �ô úDü��uöòrõ@ñ_ó8ý�� ó#üsö<ù0ð0ó8ý ÷@ðIý.þiúDü��uöòrõ@ñ��cúD÷¿ñøúDû�ö"òóoõ��ö<þDú8÷@ðIö�ñ���� ýÃõ]ïðÅñ � ú8÷�� � ö � ð0ù0ù�õuÿ�ôð0òó#ù0ùIÿ ü�ö"ù0ú�ú���ðIý.þ)ó#õ(ñ���ò6ï���ð0ý��ñ_ú��Âú8ü��uöò?õ6ñ��cú8÷ñ]ú8ûVö_ñøôsöò<ð0ó8ù±ò<óoõ@ö<þDú8÷@ðIö�ñÂú���ò<úDó#ù0þ8öü÷6ó8ñ��

� �ôôsúDñ]ö���ðÅñ_ó&òóoõ]öþ8úD÷]ÿ � ðIõ]ï��.ýðIõ]ö"ô÷@ú����.ò?õ6ñ! "�$#4ð&%Dö<ý õ � ú)ú8ü��uöò?õ6ñ�'�ó#ý(�)ãðIý��+* � ÷]ðIõ]ö�,BúDû�-/.0'213)546�cúD÷Âõ@ïö_ñøö<õLú���ûVú8÷@ôïðÅñ]ûVñ7�c÷@ú8û8' õ]ú$)��î\ïöUö<ù0ö<ûVöýDõ9�:<; ,zú8û-=.>'?1�'@4 � ð0ù0ùA��ö<ý.ú#õ]ö4õ@ïö_ðB�ö<ý�õ]ðIõuÿMûVú8÷@ôïðÅñ]û8�cú8÷\õ@ïö_ú8ü��uö�ò?õC' ðIý��+�

� ýiõ]ïðÅñ � ú8÷��=* � ö��0�÷øõ@ïö<÷BóDñ]ñ3�ûVö4õ]ï.ó#õD� ï.ó8ñdóFEHG�IKJ�LNM=OQPSR�T>U�GWV�EX*.ðX��ö�� óYéðIý��ñ3�.ò6ï"õ]ï�óoõ�*Z�cúD÷Âö�ó8ò6ï' ð0ý�+*�õ]ïö4ñøö<õD,zú8û - .0'?1�Y24 ò<ú8ý�õ@ó8ðIý.ñÂö�[óDò?õ]ù0ÿVú8ýöQûVú8÷@ôïðÅñøû\ : .0�gõBû"ó�ÿ üsö_÷]öþDó8÷���ö��MóDñLõ]ïö_ô÷@ú����.òrõBúQ�Àõ@ïö_ö<ûVô�õuÿ]��ó#ûVð0ùIÿ�4K�

^ ý]O T�G�P_L>OQMa`QI3RQb�cR T0U�GWV�E úQ�d��ðÅñ±ó8ý�' ; �(õ@ú8þ8ö<õ]ïö÷ � ðnõ@ï_û"ó#ô.ñfe ; ,Bú8û-/.>Yg13'�4.3O TWG�P_L>OQMh`�I3Rib�cjb�M�LNEX* ú8÷lk�G�I3R�4�*nm ; ,BúDû-=.>'2 C'?13'�4o.3O p�pQLNEqL>RQM/4Wó#ý(�r ; ,Bú8û-/.0'?13'�4.sLNM(tuG�IWv�Gu4K�mî\ïöñ]ö ï.óu%Dö�õ]úÎñ@óoõ]ðÅñ��cÿÎõ]ï.ö$�cú8ù0ùIú � ð0ýþÎò<ú8ûVûa��õ6óoõ@ð&%Dö

w

Page 7: Dieudonne theory for ungraded and periodically graded Hopf rings.

x�y{zQ| }�z�~���

�?��� ��� //

�K�A�����

����

���2��� � // �� z x�x�y&�3yB���F�d�]����}3�d�

�2���

� ����� ���s�

��

�##FF

FFFF

FFF

�2���� ;;xxxxxxxxx

�>� ��~~a����zi��y&�dy&�s���

�2���2�C� � � � � //

� �A�s���

�2�C��

���2��� � // �� z �3�3� � y{zi��y&�dy&�s���

� � � � � ��� //

� ���

�2�C��

��� �// �

� ����yB���3��� � ���Q� yB�Z� ��}W�������

¡ �¢£yB¤&¤¥x���zQ¤+yB���3¦�y{��¢7� }3§¨¢£y&�3¦©zQ�=��¤By{zQ�2| }3� ��ª2� ��«s� � ���¬�0��}!�3��� ��}WzQ¤ � zi����| ��}�y&����Q� � �ZzQ¤B|�����}�z ��­dzQ��x���¦����3��¢£y&¤B¤®�=� � zQ¤B¤B��xF¯C��ª�� z�¤&| ����}Wz���°

± �����3y{x���}²�0��} yB������zQ� � �³�3¦�� � zi�3��|�� }3��´®µa¶£��� � � � ��~~a����zi��y&� � � � z �3�3� � y{zi�3yB��� � � z�¤¸·|�����}Wz��D¢£y&�3¦ � ������y&���i� ��}�z}�y&��|�¹F¢£y¸��¦?����y&��°Cº���}C��z � ¦g� ��«s� � ��»¼y&�g´®µ"¶�¢³�"¦�zu� �z � ��ª�}3��x�� � �5½�¾5�f»À¿Á»ÃÂ�¶�»ÄzQ�(x�z � � ����y&��ÅQ¾�/»Æ¿Ç¹f°ÈD¦�� � zi����|�� }3�¨¦�z �!¹z��³z!����}�~y&��z�¤(� ��«s� � ��­d¢£y&�3¦]�(zi�3��}�z�¤ � ��ª�}���x�� � �³zQ��x � ������y¸��°+ÈD¦�� � zi����|�� }3��zQ¤{���5¦�z��É ��y&�3��ª�}��dx�� � �W���$» ��Ê yB�5x�� É ����xËz �5»< ¶¬Ê zQ��xf­ | y&� ���©~$zQª���̬�=ÍοϻÐzQ�(x

Ñ

Page 8: Dieudonne theory for ungraded and periodically graded Hopf rings.

Ò7Ó�ÔÖÕØ×gÙdÚ3Û�Ü!ÝÞ�ß©àqá=âsÒ�ãdÓ�ÔÖÕØäæå�ç³Ôéè{ê£ë�èBì�Ü�í�îdï2àXá�å©Ò�ãSð£ñ�ò£ó

ô Û�ÜaÞ�î(Ü�õ&è{ÞQí¨ë�ö�÷�ø�ßF÷ î�ùsÜ�ú�Ú�êDû0÷ ö£Ú3Û�èBê¬ú�ÞiÚ�Ü�ë ÷�ö�ïüfý ç û0÷�ö�ÝÀÚ3Û�Üaú�ÞQÚ3Ü�ë ÷�ö�ï$÷Qû�þWÿ������������� �����aÿ������� �����������$ÿ������ �Qó"!dø�úWÛ?Þ�í$#C÷ ß�û6ÞQõBë�Ü�î�öWÞèBê�Ú3Ûdø�ê�Þú�÷�ú�÷�ÝÝaø�ÚWÞiÚ�è&ì Üú�÷ZÞ�ê�ê�÷�ú�èBÞQÚ3èBì�Ü?ú�÷ZÞQõBë�Ü�î�ö�Þ&%£è¸Ú�Û ú�÷ ø�í�è&ÚF÷iì Ü�ö('/Ù�Ú�÷�ë Ü�Ú3Û�Ü�ö)%£è¸Ú�Û ÞQí+*3Þ-,.,�è&Ú3èB÷�í0/ à0÷�ö�1��ÿ�2��þ��Nã4365(#�÷�Ý�7�8:9dà<;Æå ç ;?â�;�ã7ÞQí0,FÞ=*?>�Ü�ö3÷�/6@A5)#�÷�ÝB7�8C9�à�'/â�;�ã6Ú3Û�ÞQÚ£ê�ÞiÚ�èBê�û0ïÚ3Û�Ü�ß�ö�Ü�ìdèB÷�ø�ê�,�è{ÞQë ö�Þ�Ýê�ó$DHí ß�ÞQö3Ú3è{ú�ø�õBÞ�ö�Ù Ú�Û�ÜFú�÷�ß�ö�÷�,�ø�ú�Ú�ÞQíE,Ëß�ö�÷�,�ø�úKÚ�Û�Þuì�Ü]Ú3÷@î(Üú�÷ Ýß�ÞiÚ�è&î�õBÜ�è&ígÞ�ß�ö�Ü�ú�èBê3Ü�%³Þuï/Ó

;Æå&; FHGHF //

I��

;Æå&;ÆåJ;Æå&; K?GHL1GCK // ;Æå&;Àå&;ÀåJ;I G I

��; M // ;Àå&;

à<#�Ü�ö�Ü N ÓO;ÄåP;ÎÕQ;Äå&; è{ê£Ú�Û�Ü5ê�%£è&Ú�úWÛ�èBí�ëÝ$ÞQߨÚWÞRdèBí�ëTSåPU(5$;ÆåV; Ú3÷U�å&S=ã

' M //

W��

'YXZ['�åV'W G W

��; M // ;ÆåJ;\ è&ì Ü�í2ê�Ú3èBõBõ Þ�ú�ÞQÚ3Ü�ë ÷�ö�ïüJ%£è&Ú3Û^]�í�è¸Ú�Ü5ß�ö�÷�,�ø�ú�Ú�ê�Ù1%³Ü5ú�ÞQí?Þ�õBê3÷]ú�÷ í�ê3è_,�Ü�ö¬è&Ú�êþWÿ����

��������� ���(����-2`�a2b�c d��æÿ-�fe��Wþ��<�$gh �fij��d0 �Xó ô Û�Ü�ê3Ü�ÞQö�Ü?îdïk,�Ü�](í�è¸Ú�è&÷ í Þ ú�÷�õBõBÜ�úKÚ�è&÷ í; I Z l ;Bm1n�mOop ÷�û8Þ�î(Ü�õ&è{ÞQí ë ö3÷ ø�ß ÷�î�ùsÜ�úKÚWê ÷Qû ü Ú3÷ ë�Ü�Ú�Û�Ü�öq%£è¸Ú�Û Ý$ÞQß�êð Z ð�rts$5[#C÷ Ý 7 à<;Br�u4;vs�â?;Yr_w1s�ã�à0Ýaø�õ¸Ú�è&ß�õBè{ú�ÞiÚ�è&÷ í(ã5ÞQí0,&xy5[#C÷�Ý 7 à<zgâ�;B{�ã�à0Ýaø�õ}|Ú3èBß�õBèBú�ÞiÚ�è&ì Ü�ø�í�è¸ÚKã£ê3ø�úWÛ]Ú�Û�ÞiÚ�Ó

ñ"~ Z à���~5â���~�ã�5�ü¥àf;?â�;$u4;@ã

Page 9: Dieudonne theory for ungraded and periodically graded Hopf rings.

�Y�<���v���4�T� ���.����� //

���H���0���

�B���4�v���H�

���� �_�1� ��� � � // � �������H�

�<�-���������������_�O�}���.�

�Y�<���v� � //

 ¢¡�£c¤ ¡�¥§¦��

�B�_�1�¨ �t©

��� � �4� � � // � �_�1��<���`ªBª6«��a�������O�������

�Y�����v���4�v�­¬ �H� � ©?® � © //

  � � � ¦ �H¯ ©��

�Y���4�Y�<���v���4�v�  ¢¡ ¥ ¤ ¡�°�¤ ¡ £ ¤ ¡�±�¦// �Y���4�v���4�Y���4�v�

���²����Y�<�4�v� � // �Y�_�1� �Y�_�1���4�Y�_�1�¯ �_³©oo

�<´����?��µ���¶.«.���_�������.�

·¸��� � ¡ £//

¹ �²� �.���

� �� � �

���Tº���� � � // � ��fªv«.»}����¼0»���������_�`½(¶O�T��¾0¿À«.½.���a�

·¸�4� � Á //

 �H� � ©��

·Â

���Y�<�4�v� � // �Y������fªv«.»}����¼0»���������_�`½(¶O�ÄÃ�¿�µ��O�

Å

Page 10: Dieudonne theory for ungraded and periodically graded Hopf rings.

Æ�ÇhÈ1É�ÊfË-Ì�É-Í`Î�ÉÐÏ�Ë`ÑEÏ�É�Ñ�Ò�Ì�ÓÒ�ÉÔË`ÑBÇ?É�Õ`É�Ì�Ó`ÖOÏ�Ó�Ò�É�×`Ë-Ì�Ø_É�ÇCË`Ê1Ï�Ë�ÓÖ_×`É�È.Ì�Ó-Ç:ÓÑ0Ù�Ç�Ò�Ú0Ù�Û6Ò�Ü.É�Ø�Ì×`ÌaÓ`Ù.É�ÙTÌ�Ø_Ñ.×BË`È�Ý�É�ÏcÒ�Ç�Í�ÎÐÜ.Ø�ÏaÜ(ÎÞÉ�ÎÐØ_Ö�ÖHÏ�ÓÖ_Ö²ß4Ë-à�ÊCÌ�Ø_Ñ.×-Ç�á

â Ë-ÌÔÒ�Ü.ÉÀÏ�ÓÒ�É�×`Ë`Ì�Û�ã²ä6åOÍOÊfË`ÌÐØ_Ñ0Ç?Ò�Ó`Ñ0Ï�É-Í�Î�É�×`É�ÒÐÓ-ÇÔß4Ë`à.ÊCÌ�Ø�Ñ0×-ÇÔÏ�Ë-Ö�Ö_É�Ï�Ò�Ø_Ë`Ñ0Ç�ËÊ:ß4Ë-à�ÊÓÖ_×`É�È.ÌaÓ`Ç�æ�çTå-è�å�éêTÒ�Ë`×-É�Ò�Ü.É�ÌÐÎÐØ�Ò�Ü^Ó�ë6Ú.Ö�Ò�Ø_à.Ö_Ø_Ï�Ó�Ò�Ø�Ë-Ñ

ìÀí[ì�îtï�ð ß4Ë-ëBñ�ò:óOôfç î�õ åöç ï`÷ ç î_ø1ï�ù

ÓÑEÙbÓyëvÚ.Ö�Ò�Ø_à.Ö�Ø�Ï�ÓÒ�Ø_Õ`É^Ú.Ñ0Ø}ÒÄú ð ß�Ë`ë ñ�ò ó ô�û ÷ ç�ü ù Ò�Ü0ÓÒAÇ�Ó�Ò�Ø�Ç?ÊfÛJÒ�Ü.ÉýÏ�Ë`Ì�Ì�É�Ç�àEË-Ñ0Ù�Ø_Ñ.×Ï�Ë-ëBë6Ú�ÒaÓ�Ò�Ø_Õ`ÉÀÙ�Ø�Ó×-Ì�Ó`ëYÇ�á

â Ú.Ì�Ò�Ü0É�Ì4Ø_Ñ�ÊfË`Ì�ëYÓ�Ò�Ø�Ë-ÑAË-Ñ)ß�Ë`à�Ê:Ì�Ø_Ñ.×�ÇÐÏ�ÓÑ)È1É�ÊfË`Ú.Ñ0Ù)Ø_Ñ=þ�ÿ�����á

â Ë-ÌÀÒ�Ü.ÉAÈ0Ó`Ç�Ø�ÏBÌ�É�Ç?Ú.Ö�Ò Ø_Ñ���Ø_É�ÚEÙ�Ë`Ñ.Ñ��ÉBÒ�Ü.É�Ë`Ì�Û`ÍCÎÞÉYÎÐØ_Ö_Ö Ñ.É�É�Ù=Ò�Î�Ë^ë�Ë-Ì�ÉTÏ�Ó�Ò�É�×`Ë-Ì�ÛÙ�É�0Ñ.Ø�Ò�Ø_Ë`Ñ0Ç�á

Æ4Ñ� � ��������������������������$ãkØ�Ç Ë-Ñ.ÉTÒ�Ü0Ó�ÒBÏ�Ë`Ñ�ÒaÓØ_Ñ0Ç6Ó! �É�Ì�˸Ë`È.Ý�É�ÏcÒ#"PôfØ�á¸É-á�ÍöÓ`Ñ&Ë`È%$Ý�É�Ï�Ò Ò�ÜEÓ�Ò6Ø�Ç È1ËÒ�ÜPÓÑyØ_Ñ.Ø}Ò�Ø_Ó`ÖÞÓ`Ñ0ÙJÓ(Ò�É�Ì�ëBØ_Ñ0ÓÖ Ë`È�Ý�É�ÏcÒ6Ë`Ê�ã ù Ó`Ñ0Ù�Í ÊfË`Ì É�Ó`ÏaÜyÒ�Î�Ë^Ë`È%$Ý�É�Ï�Ò�Ç'& Ó`Ñ0Ù�( ËÊ4ãhÍöÓ$È.Ø�ÑEÓÌ�ÛyÏ�Ë`ëBà1Ë-Ç�Ø}Ò�Ø�Ë-Ñ*) Ù�É+�EÑ.É�ÙPË`ÑPß�Ë`ëBñ1ô�& ÷ ( ù ëYÓ�,OØ�Ñ0×ô<ß�Ë`ëBñ�ô-& ÷ ( ù�÷ ) ÷ "�.0/ ù Ó`ÑTÓÈ1É�Ö_Ø_Ó`ÑY×`Ì�Ë`Ú.àHáÞô<ß�É�Ì�É1" .0/&Ø_ÇÞÙ�É+�0Ñ0É�ÙYÓ`Ç2" ü /2" . ü Í-ÎÐÜ0É�Ì�É" ü /[Ø_Ç"Ò�Ü.ÉBÚ.Ñ.Ø43-Ú0É�ëYÓ`à5" ü /768":9;( ÓÑ0Ù5" . ü Ø�Ç"Ò�Ü.ÉBÚ.Ñ.Ø43�Ú.ÉBëYÓà<"�. ü 68&=9;"?>Ò�Ü0É�Ç�ÉYëBÓ`à0Ç Ó`Ì�ÉB×`Ø_Õ`É�Ñ=ÊfÌ�Ë-ë Ò�Ü.ÉAÙ�É+�0Ñ0Ø}Ò�Ø�Ë-ÑJËÊÔÈEË`Ò�ÜyØ�Ñ0Ø}Ò�Ø_Ó`ÖÞÓÑEÙ$Ò�É�Ì�ëBØ�Ñ0Ó`ÖöË`È.Ý�É�ÏcÒ�á ù@ ÉTÊfÚ.Ì�Ò�Ü.É�Ì6Ø_ëBàEË�Ç?ÉYÒ�Ü0Ó�Ò�É�Ó-ÏaÜJÈ.Ø�ÑEÓÌ�ÛýÏ�Ë-ëBàEË�Ç?Ø�Ò�Ø_Ë`ÑJÈ1ÉAÙ�Ø�Ç?Ò�Ì�Ø�È.Ú.Ò�Ø_Õ`ÉTÎÐØ�Ò�Ü&Ì�É�Ç�à1É�ÏcÒÒ�Ë)Ò�Ü.ÉYË`Ì�Ø�×-Ø�ÑEÓÖ:à.Ì�ËOÙ.Ú0ÏcÒÄô�Ï�Ë`ëBà1Ë-Ç�Ø}Ò�Ø�Ë-ÑýË`ÊÞëYÓàEÇ ù Ë-Ñ$ãháTÆ4Ö�Ç�Ë0Í�ãPëvÚ0Ç?Ò Ü0Ó�Õ`É#�0Ñ.Ø�Ò�Éà.Ì�Ë�Ù�Ú0ÏcÒaÇ�á

Æ4ÑA B��CD�-�EF������G�H�����¸ãPØ_ÇÀÓ`Ñ=Ó-Ù.Ù�Ø�Ò�Ø_Õ`ÉYÏ�ÓÒ�É�×`Ë`Ì�Û^Ç?ÚEÏaÜ$Ò�Ü0Ó�Ò É�Ó`ÏaÜ$ëBË-Ì�à.Ü0Ø_Ç�ë Ø_Ñã$Ü0Ó-ÇÐÓ',`É�Ì�Ñ.É�Ö�ÓÑ0Ù(ÓBÏ�Ë�,`É�Ì�Ñ.É�Ö�ÍOÉ�Õ-É�Ì�ÛTëBË`Ñ.Ø�Ï"Ø_Ç�ÓI,-É�Ì�Ñ.É�Ö�Ë`ÊCØ�Ò�Ç�Ï�Ë ,-É�Ì�Ñ.É�Ö�Ó`Ñ0ÙÄÉ�Õ`É�Ì�ÛÉ�à0Ø_Ï"Ø�Ç�ÓBÏ�Ë ,`É�Ì�Ñ0É�Ö1ËÊ Ø�Ò�Ç�,-É�Ì�Ñ.É�Ö:ôfØ_Ñ)Ò�Ü.Ø�ÇÔ×`É�Ñ.É�ÌaÓÖ�Ï�Ë-Ñ�Ò�É+JOÒ�Í.Ó'K��+��E8�+CHÊfË`ÌÐÓ�ëBË`Ì�à.Ü.Ø�Ç?ëL 6M&N9O( Ø�ÑbãjØ�ÇYÓ=ë�Ë-Ì�à0Ü.Ø_Ç�ë ûP6MQR9O& Ç�ÓÒ�Ø�Ç�ÊfÛOØ_Ñ.× L û í "HS�/ Ó`Ñ0ÙPÉ�Õ`É�Ì�Û

T

Page 11: Dieudonne theory for ungraded and periodically graded Hopf rings.

U<V?WYX[Z]\_^a`cb<d0U!e�f�gihFj-k�l�`nm o�p_q?r?^4sHq?tuwv:`cb?onm q?x�bzy8{1|�b?t}r?m�`n^am�r�m�j1~������+���8�+�^4p_�%t+��r�t���p�^w�'^au4k�onuwv��%^a`�^4p_�%q�k�u�`cm#`cb?t�r�m�`c^wm r�m j�� t�ocr�tu���{

Page 12: Dieudonne theory for ungraded and periodically graded Hopf rings.

� �[�=�����7� �

� �¡ R¢¤£¦¥¨§ª© « ¬ ­ �¯®Y°±¥³²´�¶µ §·«

¸ §º¹ » �¶µ¼£½°±¾ ¥¿�ÁÀ

Â�Ã<ÄcÅ?Æ4ÇÈÇcÉ�Ê�ÄnÆaË�ÃzÌMÉÎÍ%ÆwÇnÊ+ÏÐÇcÇ�ÇcË Ñ'ÉÎÇ�Ò�É�ÊÆwÓ ÔÖÕ�Ë�Ò%×MÓ ÔaØ�ÉÙ?Ú�Ó Ç1ÄcÅ�Ó�ÄÈÌ_ÆaÔwÔÛÙ�ÉÎÏ�Ç�É�ÍzÆwÃ5ÄcÅ?ÉÊ+Ë�Ã�Ç�ÄcÚnÏ�Ê�ÄnÆaË�ÃÜË�×ÛݼÆaÉ�Ï�Í%Ë Ã�ÃMÞÉßÑ'ËàÍ?Ï?ÔaÉ�Ç�×áË Ú_Ø�Æaâ�ÉÃ:Õ�Ë Ò?×ãÓ ÔaØ�ÉÙ?Ú�Ó Ç�ä

åæÆèçéÓÜÒ?ÚnÆwÑ#ÉßêëÓ�ÃÐÍ<ÊË Ã�ÇcÆwÍ?ÉÚßÄcÅ�É´ê�ì�Ó�Í%Æ4Ê}ÆwÃHÄcÉØ�ÉÚ�Çßí�î�äÎïiÉ+Ä�ð�ñHò�ð0óôòõ�õõßÙ�ÉöÓ:ÇcÉ+ì÷ Ï?ÉÃÐÊ+ÉÛË�×àÆwÃ�Í%É+ÄnÉÚnÑ'ÆaÃ�Ó�ÄcÉ�Çä�ø<ÉÛ×áË%ÊÏ�Ç0Ë Ã�ÇcË Ñ'ÉÛÒ�Ó Ú�ÄnÆwÊÏ?ÔwÓ Ú0ÉÔwÉÑ'ÉÃHÄ�Ç0ÆaÃÈí�î�ù ð�ñ�ò�ð8ó�òõ�õõ�úGûÄcÅ�Éß×áÚcÉ�ÉßÊË Ñ'Ñ}Ï?ÄnÓ�ÄnÆaâ�É�Ó�ÔwØ ÉÙ�ÚnÓIË�â É�Ú�í î ÆaÃ:ÄcÅ�É�ÆaÃ�Í?É+ÄcÉ�ÚcÑ'ÆwÃ�Ó�ÄnÉ�Ç�ð�ü�ý

þ:ÿ������������ ����������Å?É����������� �"! #$� %&��' �)(+*�,8û%×áË Ú.-0/21�û�Ó�ÚnɼØ�Æaâ�ÉÃ:Ù43

* ,$5 ð$687Fð î:9ñ<; ê�ð î:9 =?>ó ; õõõ ; ê , ð ,

Ì_Å?É�ÚcÉßð@7 5 ð ñ ò�ð ó ò�õõ�õA6

��Å?É�ø ÆaÄ�Ä1Ò�Ë ÔB3àÃ?Ë Ñ'Æ4Ó�Ô4ÇMÓ ÚcÉßÆwÑ'ÒÐË�Ú�Ä�Ó�ÃHÄ�×áË Ú�ÄcÅ�É�Ã?É+çàÄ�ÚnÉ�ÇcÏ?ÔèÄ�ä

CED ÿ4�F�ÿ4GH���I���KJMLONQP�R�SUTVS&SVW��I(X��(E'ZY[#���\UY�S�]^�V� _^' � `�SbaUTV'Z(X�cTXY�dU�cY[TASE�e#f��RgS&' � `?S�a:TA'

íMî�ù ðÐñ�òcð8ó�ò:hBhih ú8(XY�djR���Rg' �k��RgSf�@���c�l��� �"! #$� %&��' �)(m*�,n' TVSo�$TX��%p���c��qrSbs

å?ÚnË Ñ=Ã?Ë�ÌFË Ã�ûHÌ_Å?É�Ã?Éâ�ÉÚÖÌMÉ�ÚnÉ+×áÉÚ2ÄcË�ÄnÅ?ÉK]p�V� _K'e� `�Sba:TA'#í î ù ð ñ ò�ð ó ò�õõõ�úÐÌMÉ�Ñ'É�Ó Ã

t 1

Page 13: Dieudonne theory for ungraded and periodically graded Hopf rings.

uAv�w�x�yVw:w{zU|�}~}^�[uj� uA�B��w{�e�B��w��gyj�+| ��w�y�uVvgw{�i���gwUuAw�yA}~�B��� uVw��8uA|���w:uAvgw�yk�.�iuAv@uAv�wK���g�B�?�gw

zU|��gyV|4�g��zXuouAv�� u�}Z�e��w��8uAvgw+���iuOu���|��i�4�g|�}&�I�e�I�k�gyV�i}~�iuA�B��w��

��w�z:�������B�A|�zU|����A�B�[w�y.�M���OuEuAv�w@�e�B��w��gyj���o� � �����O�$�e�:���:�l�A���r ¡�£¢¤��uAvg�I�^z����Aw�¥¦uAvgw

zU|��gyV|4�g��zXu§�[w:¨��gw��©x�yV|�}«ªovgw:|�yAw�}­¬[�)¬0yVw��OuAyV�BzUuV�&uA|n�®z:|��gyV|[�[��zUu§�i�©uAv��B�§¨��g�iuAw:�B�

��w��gw:yj� uVw��£�e�B��w��gyj�g¥������£�8w^�.�i�B�¦z��e�B��¯+°²±³�´ouAv�w^µ�|��[x��e�B��w��gyV�~�.�r� ���?�O�$� �:���:���A���b 

uA|���w:uAvgw�yk�.�iuAv£uVvgw+yVw��OuAyV�BzUuAw��@zU|��gyA|[�[��zXu��

¢¡xk�kw&�k����uKuA|£�k|�yV�£�i��uAvgwZ��yV���[w��fz:���Aw�¥��OuV��yOu{�4�����B�4�i���@wb��zjvf��¶.�[w:��yAw�w�· ¶�¸

x�|�y��O|�}&w{¨�¹4wb� ¸ ������uAvgw����[wU¨��gwp¯+°�º&±c³g´kuV|§��wEuAvgwE��yV���[w��£µm|��[x»�e�B��w��gyj�^uVv�� u

zU|�yAyVw��A��|����g��uA|Q¯+°²±c³g´X�

¼{½ ¾�¿8¾�ÀbÁ�ÂbÁ�¾�ÃÅÄ�ÆBÇ�ÆKÈMÉOÊ&˦ÌUÍ � ·g {ÎÏ� � � � � �O� � ���:�:�O �ÐÑ� � � � � �A� � �:���:�¤ pÒ Ì ·�Ó ÍcÔ�ÕZÌXÖ§Í�×gÌ

Ô�Ø�Ì:Ù�ÍcÔ�ÍcÚ Õ~ÛjÜ Ô�Ù Í�×gÌ Û Ò Ì:Ý"Ô�Û Ù Þ�ßAà ábÜ àMâ ã^àVÜ â Û Ý Þ�Ì Ò ßVÛ ÕZÛVÜ�Ö

� � � � � �A� � �:�:���¤ lÐä� � � � � �O� � ���:�:�M ¤åZæ ×gÌ:Ù � ·g ¤±���¶¡´»ç � � ¶�è � ±M}~|[�4·�´

é w:¹?u.�kw{�k����ukuA|Zz:|����A�B�gw:yoµ�|��gx����i��w:�gyj����| ��w:yo�&��w�yOx�wbzXuo¨�w��B�Qê4�@�.�iuAv£zjv��eyj��zUë

uAw�yA�I�OuA�Izm·¦�pì�wU¨��gwZµm|��[xo�e�B��w:��yV����ín±c³g´�îïê?�Zð ¯+°²±³g´Kîïê��¦� �����O�l� ���:�:�l�A���  c�p¢¤�

uAv�wm��yj���gw��~z:���Ow�¥��.yV�ñuVw�ín±�ò�´»îÅê � � � � �O� � �:���:�l�A� �  ¡¥?�.vgw:yVw�ò�î®· � ¸ x�|�yK±ñ·�� ¸ ´»îôó

�e���Zw���zjvZ��¶¦v����k�[w:��yAw�w»· ¶¸ ���0wm�.�B�B��}Z����w��g|p|euVvgw:yk�[�B�OuA�B��zUuA�B|����k�B�ZuAvgwK�g|�uV� uV�i|��

x�|�y�uAvgwK��yj���gw��Z�e���Z�g�g��yV���[w��Zz����Aw���¢¡u8�.�B�i�$��w�z:�iwb�ey»x�yV|�}õz:|��?uAw:¹?uk�ñx¦�8w�}&wb�e�ZuVv�� u

ín±c³g´kv����o|�y.�[|4w��.�g|�u.v��r��w+�e�£���V�A|4z:�B�euAwb�§��yj���g�i�g���

ö�÷�ø�Ã�Á�Â�Á¾�à Ä�Æiù¦Æ�ú |�y8�pµ�|��[x¦�e�B��w��gyj�+í<| ��w�y»ê � ¥�uVvgw ú yV|���w:�g�B���8�B��uAvgwKvg|�}&|�}~|�yAë

�gvg�I�A}üûýÎ�íþÐÿíäuj�e�4�i��������w��iw�}&w��?uK��uV|QuVvgw~w:�Bw:}~w:�?u+� � �pªovgw��Ïw�yV�Vzjvg�Bw:�g�g���� Î�í Ð í �B�.uAvgwE�[���e�$uA|~uVvgw ú yV|���w:���i���o�B��uAvgwE�g���e�����i��w:�gyj�g�

ªovgw��Ïw:yj�Azjv��iw��g�g�g�®z:��� ��w��[w��VzUyV�B��wb�2���^x�|��i�B| ����Î@¢¡x+�e�©w:�Bw:}~w:�?uZ��� íHv����

·gëcx�|��I�~zU|��gyA|[�[��zXu�� � ±��$´�î�8��Uð@��Uð��:���Oð@�� ��������������� ����� ��!"��� #%$&Uð'$& Uð����:�Mð'$�( � )��"* ¥

ó�ó

Page 14: Dieudonne theory for ungraded and periodically graded Hopf rings.

+-,/.102+-,3.546.87:9:;<,3=>.1?3@/03A�BC02D�=>9FEHG DJILKNMLDJO�PQ =>0/; .2RL.2ST7:.'U&.VSTW>=X0/AYR�=X+-,[Z\BC]&^_STW>AC.1?/7:S`95BbaC.87cSd]J.17-^ .8; +ce�.1W%Ugf�hji�?JBT+-,k+-,3.

46.17<9:;<,3=X.8?3@303A�ST0�UH+:,3.ml37:BC?J.10/=X@/9�SC7-.n,3B`o�BCo�BC7:]3,3=%9poq9rBT^6ZFB`]&^6STW>AC.1?/7:S`91P

sVt

Page 15: Dieudonne theory for ungraded and periodically graded Hopf rings.

u vxwzy|{d}�~ �

� �5�5�5� ����� � ��� � ��� � ����� �����

� ����� � �����

���d�:�3�%�5�p V¡��-�>¢C�Y£L ¥¤3¦: 8�- 1�§�_¨` 1�3 8¦:©Cª«¡1¢C�/�p�-¦:¬/¡ �-�>¢C�/�\�-�/©T�_£��>ª>ª6­� ¥¬/�- 8®¯�X�Y�-�3 �¤3¦:¢�¢T°¢T°±�-�3 5 V²§¬3�X³b©CªX 8�/¡  n­J  �"£r 1 1��¦:�X�/¨�¡8©b�: 1¨C¢`¦-�> 8�L�>�2³b©C¦-�>¢C¬/��¡8©C�- 8�8´

µj 1��¶2­J \©5¡8©b�- 8¨C¢`¦-·m£��X�-�¹¸/�3�X�- F¤3¦:¢&®&¬/¡ �:�º©C�/®�»�¼½¶�©5�p¬/­J¡8©b�- 8¨C¢`¦-·c¢T°�©T­J 1ª>�>©C�¢C­3¾" 8¡��<�1´

¿ �>�/¡  d©C�§·[À�Á�»Â�%�¹©T�éT­J 1ª>�%©T�Ä¢C­&¾" V¡��8ÅÇÆ«ÈÊÉÂËF¢CÌ�ÍÏÎ"Ð>Ñ-À_Ò¥�>�¹©¯° ¬3��¡��-¢`¦q�-¢©T­J 1ª>�%©T�Ó¨C¦:¢C¬3¤/�ÕÔÕ�- 1 HÖL�/©C¤&�- 8¦q×dÎÙØ\¢T�- `ÚmÛÇ�3 �° ¬3�/¡ �-¢`¦5�>�m®3  ¸/�3 V®Ó¢C�¯�-�3 q¢`¤3¤�¢§�p�X�- ¡1©T�- 8¨C¢C¦:·¥¶jÜÞÝ�´�Òß2à`áãâ«ä å8ä�æ�âÃçÞèÙéJè\�ê°LÀëÑ-ì�©T�/®¯íî©T¦: m¢C­3¾" 8¡��<�_�X�Y»¹Åj©¹Ì�¢C¦:¤3�3�%�pÌðïNÚ/À�ñdìÊòóí�>�'¶¯�>��©�ô1õ÷öøõ÷ùJú<ûbücý�û<þH�ÿ°«° ¢C¦F©CªXª�� Á'¶Y�:�3 n�X�/®3¬/¡  V®�Ì�©C¤

Æ È Î��¯Òrñ2Æ��\Î��¯Ò�ò Æ��\Î��¯Ò

�%��©c��©b�-¬/¦:©Cª�­3�Xª>�>�3 8©C¦�Ì�©C¤�¢T°«©C­� 8ªX�%©T��¨`¦-¢`¬3¤/�8´

�¯ m©C¦- n�>�§�- 1¦: 8�p�- V®H�>� õ÷ù/õ���õÙûbö«­3�>ªX�>�3 8©C¦�Ìq©T¤/�8´ß2à`áãâ«ä å8ä�æ�âÃçÞèjè\�ê° À ©C�/® ì ©T¦: î¢C­&¾" V¡��<���>�|»qÅ ©T� �>�3�ÿ�:�>©Cªk­3�>ª>�X�3 V©T¦�Ìq©C¤

��

Page 16: Dieudonne theory for ungraded and periodically graded Hopf rings.

���������������������� ��!#"%$'&(&�)�*�$,+.-%/10%243657382:94;=<%+?>A@B�C$'�=*,�EDGFIH=$AJK�!%LM�(@N �O�P�Q�R�TSU�!I$A�WVYX1�(&����1)�$'Z\[Q$A]�LOJ^H1)%Z^)B�!I$`_1�=��ab_1)c[Y>'Z^]1H1�!d[�ef�'���g�h�TS���i�h[Q$AjW���1kKJ8H1)`*l�$AkOZ^$'[

�m�i� n //

o##FF

FFFF

FFF

���p�q

{{xxxx

xxxx

x

S"r>O[Y[s_lJ^)c���utvD

w !yxz�{J^H|$'�bVu���1�{J^��$'&�>OXl}~)�"rJ^!y>A@�$�"�$4J^)%k'>OZ8VOL=�(@�������)r�l��!dJ^!y�(Jy�!B_1�=��ab_1)K_1]�J8>�!d>O[#>OZ8]=H1��!8[����i�ED

�`���W�=�4�W���������c���^�B� 0�0�;l�Y-`+��=�4+�+��=-K<��4+.-��O2A3���-�0B���4/�9?t�0%�A+��0¡ �¢��£�¤�24+¡�#tP�4/79`�¥�=�4¦4-Y�4§�§�§{���K��+�0s�4/�9u<�24§¨���#��+�0^©¤~£Y+¡�1-� r243��b-%+  �;l§b �;l/�<%+�2A3ª�m�«tp�=�¬0K�Q§�-� �+z�'9~­%24��/=+�®ª¯° �1-%/±�A/=¢Q+³²�2�2'¤�­%-�<r+�0B�`´^��µu�¶�1�4¦4-Y�Q+.-r/=0%243�5�3^2�9A;=<r+M��������/·��¯

¸ @�tp�!6$·"�$4J8)�k'>OZ8Vi>A@�"r>O$'&(kO)%X1Z�$'!B>4¹')�Zc$u"r>O[#[K_lJ^$AJ8��¹')KZ8���1k�ºG$A�»*g��¼½tp�!c$"%$AJ8)�k'>'Z^VQ>A@MX1�"r>O[#[K_lJ^$AJ8��¹')`¾B>']l@�$A&�k')�X1Z�$'!�LW$YX=�(&��(�=)�$AZB[Y$']iX»):"r>'[Y):!ª$Y[Y>'Z^]1H1�!d[>A@�"r>O$'&(kO)%X1Z�$'! N ��¿EÀ�Á6ª¿YÃ#��ÄÅX»)%J~x\)�)%�±ÆK2^54 E�4§ �b-�¤%38�40Q¿EÀ4´8¿YÃY$A�=*|ÄpDKFIH=��![Y>'Z^]1H1�!d[�H=$'!�J^>QZ8):*l_="r)cJ^>E$KX=�(&��(�=)�$AZz[Q$']u>'@M$'X»)�&(�$A�uk'Z^>'_=]=!I>'�="%)6x\)?$A]=]1&(V�J8H1)@¡_1�="rJ8>OZM¾B>'[YÇ7È~É�´dÊ|ËÌ@¡>'ZM$A�WV�<�2��A§ �b-�¤%38�6ÊpD ¸ �`J^H1)�!8)�"�$'!8)�!�L4x\)\H=$¬¹')�J8)��=!d>OZ�]=Z8>l*l_="rJ^!¿ À Áp¿ à �T¿ À �p¿ ÃQÍ Î¬Ï D

Ð%Ñ

Page 17: Dieudonne theory for ungraded and periodically graded Hopf rings.

Ò ÓÅÔhÕ×ÖGØmÙ Ú

Û ÜyÝßÞ à áãâ â äÝ å�æ Ý×áèçRé êQáëç

ì ç�íîà ÝÅà ï áëð ê í�ñ ì Ýóò ç�íîô

õIö1÷øsù�ö=ú'ûlü8ý�þsÿz÷������lý�ú���ÿz÷(ü8ö�ø����Yý�ù�ú4ü^ý��Oþ8÷�ý�ø���� 'þ�ú��lý������'û��Bú���Oý�1þ�ú'ø����Oý%þ������ü8ö=ý%÷�þ��B÷�ý��� ��! !#"ý$�%����� ��ý�ø?ú�!����B÷�ý��� ��! !#"ý#þ^÷�! Oø'&)(*���+���1þ����'û��zú,��'ý'�1þ^úOøBÿz÷����-�»ý�1÷ù.�/�$�0�lü^úAü8÷��'ý/�=ü^ö=ú4ü6÷�ø'�7÷�!gý�ú'ù�ö|ù%ú'ø8ý?ü^ö1ýKû=þ������=ùrüyÿz÷����1��ý#ù���%�2�lü�ú4ü^÷��OýKú,!3�iü8ö1ýù.�Oû1þ4��� �=ù�üsÿz÷����5��ý·ù�,6.ù.���%�0�lü^úAü8÷��'ý�&87±ýiù%ú,���\ø��=ù�ö�ú9�*�'û �Bú,��'ý�=þ^ú;:=<�>3>@?=:AB?=C�÷��D$EGFHI�J�K&ML�üIÿz÷����N�»ý6ù%ú�����ý'�PO,Q�<,R�S@TVUXW�Y/?2WZ>9C�?BO,Q4?4?\[�?.Q�<s÷��1D$EGFHI�J�^] _\`a�lú0'þ4���1û�þ8÷�! �&b ��!�!1ý�ùrü8ý'�c�*�Oû��vú,��'ý�=þ^úOø�ú'þ8ý\'þ4���=û�6a��÷�d'ýc÷�!8�lý''þ^ý%ý\e%ý%þ4��&

fPg'h ikj+l�m8n�m o p$q8qrn*o�s1n�m tup0vrwxl�y.z0n�{rj+l�|}l�qrm sM~rn��j� �.n��rm8p$q8qx�n���p�m��8y.n*|

LV!·ü8ö1÷øzødý:ù�ü^÷��/!·ÿ�ýyÿz÷�����ù.�/!=ød÷��lý�þ\ü^ö1ý?ù%úAü8ý/�'þ4�$�P�0�\���^'þ�ú��1ý'�N�lù.�/! !1ý:ù�ü8ý��N���1÷ù.�/�06�2�1ü^ú4ü^÷��Oý��*�Oû��Ìú,��'ý'�1þ^úOøM���'ý�þ+�J�K&�õIö1ýG�QúA÷�!Qþ8ý:ø�� �(ü^ø�ù%ú,!)��ý*���/� !��Y÷�!9]����`B�@]����.`�ú,!3�] ��`a&

b ��!=ø8÷��lý%þ·ü8ö1ý��*�Oû��Kú���Oý�1þ�ú'øPD;���K� H � � ] � EJ��'���� �@��`B�Bÿzö1ý�þ8ý�� H�� ��� ���'þ� � � � � H ��ú,!���ý�úOù�ö��@ ?ö=ú'ø%�lý''þ^ý%ý �  ¡� &fõIö1ý:ødý����'û��6ú,��'ý'�1þ^úOø0���'þ4�óú�ødý%ü%���

��¢

Page 18: Dieudonne theory for ungraded and periodically graded Hopf rings.

£ ¤4¥,¦¨§�©«ª�¬�­�§\®�§'¯ §¤=°�ª4¥�¤=±-²�¥/¤#³P´$µ$¶ ·�¸B¹

º §5»�°�­�§-°#¼%¥/¤�£ »�¬�±�¼¾½�¿�À;Á�ÂKÃ-ÄÆÅ�ÇK¶ È3É/Ê'ËË'ËNÊ�È@Ì�¸ÎÍkÅJÇ^¶ È�ÉJÊËË'ËNÊ�ÈÎÌ«Ï^Ы¸ÎÄÑÀÒÁXÓ�ÂKî�¬�­�§'¯�Ô�Õ)¬�¯�©.Ö�×�±�¬�¥/¯�¹+Ø*Ö�±�¥3Ù�ÔJÕÛÚܤ�¥/£3¥J±�¬�ª�¬�¥�¯cÝ�¹ Þ ÙJª�» §'¤�§�§ß�¬�±�ª4±#°$× ¯ ¬�à/×�§G¼)°,£c¥,²Má*¥/£�²°,Ö�®�§'Ô ¤=°�±#â�¿�ÀÒÁXÓ�ÂKÃ-ÍuÀ;Á�ÂKÃ�¼)°,ã�¬�¯ ®$ª�» §�²�¥/Ö�Ö�¥�ä ¬�¯ ®$å ¬�°�®�¤=°,¼æ©.¥/¼%¼2×�ª4§�¹

À;ÁçÓ�ÂKà è //

é Ç=ê$$IIII

IIIII

ÀÒÁ�ÂKÃë

��À;ÁçÓ�ÂKÃì » ¬�± ¼)°,£r±�°,ª�¬�±¨í�§�±#½�ârÄî¶ Ó�¸K°,¯�år°,Ö�±�¥%â@½$Äî¶ Ó ¸B¹

º §�¯�¥�ä¾å�§í�¯ §�ïG¬�§'×�å�¥�¯�¯�ð§�¼%¥�å × Ö�§�±#²�¥�¤*á�¥�£�²+°,Ö�®�§'Ô ¤=°�±5¬�¯c³P´ µ ¹

ñcò/óMô1õ�ö'õø÷3ôIù^ú¡û@úGì » §cü�ý¡þÿ����������þ�����ÿ ��þ�²�¥�¤$°�á*¥/£�²�°,Ö�®�§'Ô ¤=°8À��I³P´ µ ¬�±2ª�» §®�¤=°�å §'å�°�Ô3§'Ö�¬�°,¯c®�¤4¥�×�£

����� À�� � � Ð Ä � á*¥/¼������/ÁøÀ;Á�ÂKÃ.Ê�À9Ã�� ��� Ð

ª�¥/®�§ª�» §'¤�ä ¬�ª�»8»�¥�¼%¥�¼%¥�¤4£ » ¬�±�¼%±

� ¿ ��� À Í � Ç � À

°,¯3å ¿ � Ç � À Í ��� À

ì » §�» ¥/¼%¥�¼%¥�¤4£ » ¬�±�¼)±*°�Ô3¥�­/§�©.¥�¼%§�²�¤4¥�¼ ª�» §2£ ¤�§'­�¬�¥/×�± ¼)°,£�±\â9°�¯�år½�Ô�Õr©.¥/¼"!£@¥/±�¬çª4¬�¥/¯P¥/¯�ª4» §�Ö�§²Zª'¿

ÀÒÁXÓ�ÂKà è //

#�$&%('66À;Á¡ÂKÃ %// À

)+*

Page 19: Dieudonne theory for ungraded and periodically graded Hopf rings.

,.-0/2143 //

576&8(966

,:-<;=/21 8// ,

>@?BA+CDAE?�F�G�F�G�F�HJIB?BK&CDG�C2HDAML�A+NPO2OJ?RQ=CMSTKVU"WXKYA+Q�Z F(UBU@[A\G�F Z QB]VA+C+S^OD?�A`_7A+HJCJNa?BKVAMbBQBU�c

d U=ZeOJ?BA�fBHJF�bgAMUBKVQ�ChZBAPi�UBA�ZjF(UlkhF�IBm d ]Yc(AMbBH d C+n

opAq? d^r A�s�tvuwt�sxu:;y-zkhA+HDA(S�;lC{O d U�Z�C�m0F�H|IODKVG�A+C@OJ?BAqKVZBAMURODKYO{}jG d Ig1�n

~ ]&C�F=S2b�}p�EHDF(I=FRC�KYODKVF�Uy� n �BS2K�m|/�uv;g���p�|KYOD?�-<;��J�B1qu���OD?BA+UpOJ?BAeF(HJZ A+HqF�m�OD?BAK&Z AMURODKYO{}eG d I�KVUlkhF�G������(-z,.-0/21��J,:-0/21D1�KVC\; ����� S d U=Z�CDF�; �����M��� ,�u��Bn

opA�ZBAPi�UBA d N d ODA+c�F(HD}F�m�WXKYA+Q�Z F�U�U�[A�G�F�ZBQB]YA�CMn

��(�����0 +�¢¡=��£�¤&¥¦¤§o¨ApN d ]V]§©"ª¬«­OJ?BApN d ODA+c�F(HD}®F�m�c(H d Z A+Z�G�F Z QB]VA+C�¯ ODF(c�APOJ?BAMH�|KYOD?­G d I=CXsS°Z K r KVZ KVUBcjZBAMc�HJAMAqb�}�;2S d U�Z±t�S=G"QB]�OJKYI�]Y}�KVUBcjZ A+c�HJAMA�b�}�;2S°C�Q�Na?�OJ? d Ot�sxu�s²t³u:;2n

´hF�ODA�µ�fBF(HXs�S�KYO§K&C d CJCDQBG�A+ZKYU�OJ?BA²Z AMi�UBKYODKVF�UOD? d O+S=K�m�OJ?BA²Z A+c�HJAMAqF�m�¶±·±¯:¸�KVCUBF�O d G²QB]YODKVIB]VA"F�m�;pm0F�H�C�F(G�A"¹aS°OD?�AMU¨s�¶�uº�Bn�»�UpI d HDODK&NPQ�] d H+S°c�K r A+U d U�}�¶.·:¯¼Ss � ¶�u��"m0F�HhCDF�G�A�/p½��Bn

>@?BA d bgF r A²N d ODA+c�F(HD}�N d U d ]&C�F�b=A�Z AMi�UBA+Z d C§OD?BA�N d ODA+c�F�HJ}F�mEc(H d Z A+Z�G�F Z QB]VA+C¯¾F r AMH�¿Àu�Á�Â2à t@�Js�Ä0ÅB-zt�s±Æh;g1PST�|?BAMHJA��`A�IBQ O\Z A+cg-¢t�1Eu³� d U�Z�Z A+c=-¢s�1\uxÆq� d U=ZZ AMi�UBA§Z A+cg-¢ÇR¶g1Euy;�ÈMÉ�Ê 6VË�9 Z A+cg-z¶g17m0F�HEÇj·�¿ d U=Z"¶±·�¯Ì-0F(H\ÍMA+HDF=S�KYmÎOD?BK&CEN d ]&NPQB] d OJKYF(UIBHJF r KVZ A�C d m0H d NPODKVF�U=1Pn

opA�? d^r AEZ APi=UBA+Z�OD?�Q�C d m0QBU�NPODF(H � « µTÏÐ «§Ñ ©�ª « n�>@?BKVC�m0QBU=N�ODF(H��|KV]V](IBHJF r KVZBA

d UA+ÒRQBK rTd ]VAMU�NMA�F�m7N d OJAMc(F�HJKYA�CMn

>@?BA7m0F(]Y]VFT�|KYU�c`OJ?BAMF(HDA+G�� d C°IBHJF r A�Z§b�}�Ó Na?BF�AM]V]YA+H d U=ZXKVU�Z A+I=A+U�Z A+U(OJ]Y}Ôb�}XÕ d^r AMUBA+]¢n

�^Ö

Page 20: Dieudonne theory for ungraded and periodically graded Hopf rings.

×�Ø�Ù�Ú�ÛTÙ�ÜÞÝ�ßVà2ßÔá�âPã^äåá�â�âJäçæ°èBéÌê�ëaìTíTéïîað ñgòMóôì�õåö÷øèBêTùúêçõ�û�ü�è ó¾ê(ý�þMì�ûÿñ�ó� ÷������¬÷����"÷� êTñgýeóÿè�é���êTûÿõ��zö ÷�� � ÷�� îPì�õ��²ù²êTñ�é��Pð ûÿíTê��YéMñgòaé�ì{î²òaê�óôéôüRìTõ�ûzéPù��

�����! �"$#%#�&(')#+*-,."0/21�34*65$��3718')9+10�:50����&;9<'�585$�=9�5>9+*�9+?.��@A379�*B')9�50�)C<#+"$D2E83F5$�G9H10��5#�&I10/J9+@A@K ="0#+LM��'�5$3AN<��C+�)*=�)"�9�50#<"$1O3718��PRQ�34N�9�@4�)*R5850#292')9�50��C+#+"$D2#�&S/J#-T-Q�@4��18#�N<�)"81U#</J�"$3A*�C.V8W XZY[W \+Y

]6^�_ `aIb!cGd>cfe8g�hGhBd�e[iSd�cfjkg�lBmnapo�hBqsrtbuhBcviSwBd>o)ax o�d>yBcGgHhGh{zd|apo)hBq�r

}~*u5$��371I1U��'�5034#+*sEO��'�#<*=1U37T-��"�"$3A*=C�#<?-LM��'�5$1�3A*�50����')9�50��C+#+"$D 6�"÷ #�&.C+"�9+T-��Tu'�#<*�*���'�50��T��#< -&p9�@4C+��?�"$9<1�#�N+��"��%�K��9�*.T6@4#%#+�6&�#+">')#+"$"0��1U �#+*.T-3A*=CH"$34*�C2#+?-LM��'�5�1�34*B50���s'�9�5$�)C+#<"0D#�&S�>34�)Q.T-#+*�*����/H#-T-Q=@A��1)V

� 1!34*�50���� �"0��N%3A#<Q=1!1U��'�5$3A#<*���@4��5H�!��� ��� �u���8� W �=� �)�)���K� ����Y��(E8����"0�J� ��� �Z 

E83A50� � �¡�   �{� ¢ 9�*=T¤£ � � �{� � �¦¥ �!�§� �¨� ��©� � � W �=� �)���)��� ����YªV ����,=*��« � � �p�­¬ �!� � ��� � ��50���[3A*.T-��')#+/J .#R109+?�@4��1�#�&��!� � �¨� � V�®��['�9�*uN%34�)E « � � ��¥ « � ��¯ �9+189 � ��W °�Y�/J#-T-Q�@4��&�#+"8��9<'��6�±9�*.T�� ¯ VI®��!�.9ZN+��50����&�#<@A@4#�E83A*=CH"$��10Q�@A5�V

² ÛTÚ=³`Ú.´�µ�¶�µzÚ�· Ý�ßYÝ�ßÔáM¸�äjæ°èBéMõDé�é0¹(û&ù�ózù�êTñpû&ùMì��ìTõ��Bè û&ù��

º ¥�»R¼�½ ¾K¿ � « � � �¡¥ « � � ¯ �0�p� öe÷�� £ � � �¡À £ � � ¯ �0�

Á èBéMõDé º � �R��W  � °�Y;à � Âu°ÅÄ ���

����371p371U#</H#<"0 =��3410/Æ5�9��+��1(50���>�)@4�)/J�)*R5 ¢�¥ � � � ¥ � ��Ç �[È º ¥�»<¼$½ ¾�¿ � « � � �R¥ « � ��¯ �U�34*<5$#!50�=����@A��/H��*R5O34* ö ��É¡��Ç � £ � � ��À £ � ��¯ �0�Ê� ��#+/JË[ÌSÍ � £ � �uÎG��¯ ��� £ � � ��À £ � ��¯ �U�50�.9�5ÏC+34N+��1Ð5$#v� ��É¡��Ç È £ � �ÑÎÒ��¯ � 50�=�ÓN�9+@AQ��ÕÔ � � � ¥ � ��Ç � �ÖE8�=�)"$�Ô � £ � � ��¥ £ � ��¯ �p� £ � � ��À £ � ��¯ � 371[50�=��50�)*.1U#<"8 �"0#-T-Q.'�58/29� ���9+*=T610Q='��650�=9�5�3F5

¢�×

Page 21: Dieudonne theory for ungraded and periodically graded Hopf rings.

Ø�Ù<ÚJÚsÛ-Ü$Ý�Þ8ß8àAÜ0áãâIÝ�ä$Þ$Ø�á�à4Ý)å�Û=æ�ç<Þuè¨é-Ý�Ü�ê�à4ë4Þ�ê�ä$Ý!àAæíì îZï�ð�ñ�ò[ê+ëAëIó¨ôsõ¦ó¨ô�öIÜ0á�à7Þ>Ý�ëAÝ�ÚJÝ)æRÜ>à4æ÷ùø è¨úûè�ü¡ð�ý§úûè;ü�þ4ð0ð�ñIÿ�á�Ý�Þ0Ý>Ý�ëAÝ�ÚJÝ)æRÜ$Þ�����Ù<ä���ê�ä$à4Ù+Û=Þ��Zê+ëAÛ=Ý�ÞOÙ��Küãê�æ=éùü�þ��Rß8àAë4ë�ê�ë4ëAÙ�ß Û=ÞÜ0Ù2Ø)Ù+æ=ÞUÜ0ä$Û=Ø�Ü8ä$àAæ=çJÞUÜ0ä$Û=Ø�Ü0Û�ä$Ý�Þ�à4æ�>à4Ý)Û=é�Ù+æ�æ�Ý:ÚJÙ-é-Û�ë4Ý�Þ�ñ

� Ý)Ü�æ=Ù�ßnú� ���ú ô���ô���� å�Ý�ê��>Ù����(ä0à4æ�çsà4æ6Ü0á�Ý�Ø)ê<ÞUÝ�ßOÝ�ê�ä$Ý�Ø)Ù+æ=Þ0à4é�Ý)ä$àAæ�ç�àAæ6Ü0á=à4ÞÞ0Ý�Ø�Ü$àAÙ<æ�ñ�ÿ�á=ê�Ü�à7Þ�����ú ô���ô���� ß8àAë4ë(å.ÝHê2ç+ä�ê+é-Ý�é�ä0à4æ�çùÙ<å��MÝ�Ø�Ü>àAæãÜ0á�ÝHØ)ê�Ü$Ý)ç<Ù+ä��! #" ø Ù��ç+ä�ê+é�Ý�é�Ø)Ù+æ�æ=Ý�Ø�Ü$Ý�éBØ�ÙRê+Þ$ÞUÙ-Ø)à4ê�Ü0à$�+Ý�Ø)Ù<ê+ëAç<Ý)å�ä�ê+ÞOÙ%�+Ý�ä�&�'¡ñ

( �*)%Ý�Ø�Ü0à4Ù+æ,+=ñ$-��OßOÝ/.%æ�Ù�ß ß[ÝGØ)ê�æ é-Ý)Ü0Ý)ä$ÚJàAæ=Ý6Ü$á�ÝãØ�Ù<ä0ä$Ý�Þ0��Ù+æ=é-à4æ�ç1�>à4Ý)Û=é�Ù+æ�æ�ÝÚJÙ-é-Û�ë4Ý���Ù<ä¡Ý�ê<Ø�á2��Ù3���.ê+ëAç<Ý)å�ä�ê�ú ô ��ê�æ=éuÜ0á�Ý�æsç<Ý�Ü(ê+æsê�ë4ç+Ý�å�ä�ê�à7ØIÙ+å��MÝ�Ø�Ü4� ÷ùø ú ô��Zô���� ñ5 Ý�ê�ä$Ý2àAæRÜ$Ý)ä$Ý�ÞUÜ0Ý�é±à4æûé-Ý)Ü0Ý)ä$ÚJàAæ=àAæ�ç§á�Ù�ß Ü0á�Ýùä$à4æ�ç§ÞUÜ0ä$Û=Ø�Ü$Û�ä0Ý2à4æ ú Ø�ê�ä$ä0à4Ý�Þ�Ù%�<Ý)ä�Ü0Ù� ÷ùø ú ô��Zô���� ê+æ=éãê+ë4Þ0Ù2á�Ù�ßÅÜ0á�à7Þ�æ�Ý)ßÆä$àAæ=ç�ÞMÜ$ä0Û.Ø�Ü0Û=ä0Ýuä$Ý)ë7ê�Ü$Ý�Þ�Ü0Ù2Ü$á�Ý���ê+ä0à4Ù+Û=Þ�á�Ù+ÚJÙ�6ÚJÙ+ä���á�à7ÞUÚ2Þ87 ê�æ.é:9 àAæ�Ü$á�Ý;�>à4Ý)Û.é-Ù+æ�æ�Ý�ÚHÙ-é-Û=ëAÝ�Þ)ñ

òOÙ+æ=Þ0à7é-Ý)ä�Ü$á�Ý)æ�Ü0á=Ý!å�àAë4à4æ�Ý�ê+ä<�=ê�à4ä0à4æ�ç

=�>@?BA ú > õ ú ?DC ú >$E�?

Ü0á.ê�Ü�à7Þ�ç+à$�+Ý)æ�å��2Ü0á=Ý!ä0à4æ�ç2ÞMÜ$ä0Û.Ø�Ü0Û=ä0Ý�Ù��Iú ñ 5 ÝuØ)ê�æBç<Ý�Ü�ê�æ�àAæ.é-Û=Ø�Ý�é:�=ê�à4ä0à4æ�ç

÷GF ú >IH ÷ ô ú ?JC ÷GF E ô ú >$E�?

ê+ÞK��Ù<ëAë4Ù�ß�Þ�ñ

L àM�<Ý)æONQP ÷GF ú > R��Ù<Ú�SKTIU<è¨úûèWVGðYX$ú > ð�ê�æ.éOZ[P ÷ ô ú ? \�>Ù+ÚGS4TIU<è;úûè;ü¡ðYX0ú ? ð]�Ø�Ù<æ=Þ0à4é-Ý�ä[Ü0á�Ý!Ù<å^�%à4Ù+Û=Þ�Ú2ê��_NHõ`Z A úûèWVGð�õíúûè�ü¡ð C ú F õ ú ô ñpÿ�á�Ý!Ø�Ù<ÚG�.ÙRÞUàAÜ0à4Ù+æ

úûè;ü¡ð¡õûú èWVGð acb�d // ú > õ ú ? // ú >MEe?

à7ÞOê!å=àAë4àAæ=Ý�ê�ä[Ú2ê��#�-Þ0Ùuå��2é-Ý]f=æ=àFÜ$àAÙ<æùÙ���Ü$Ý)æ=Þ0Ù+ä4��ä$Ù%é�Û=Ø�Ü�ý­ßOÝ>Ø�ê�æùç<Ý�Ü�êuÛ�æ�àhgRÛ�Ý>Ú2ê��Ù�����Ù3���[ê+ëAç<Ý)å�ä�ê+ÞDi A úûè;ü¡ðIý úûèWVGð C ú >$E�? Ü$á=ê�ÜuÚ2ê�.+Ý�Þ�Ü$á�Ýj��Ù+ë4ëAÙ�ß8à4æ�çGé-à7ê�ç+ä�ê�Ú

-�k

Page 22: Dieudonne theory for ungraded and periodically graded Hopf rings.

l]m3nGn2o�p�qOr3s<l]m^r�t$u�q�vxw�r3s�y

z`{W|}�~�z`{W��} � //

���#���

z`{�|/}��`z`{���}�

��zG��~`z2� ����� // zG�M���

{�� q�w�qOp0��qOp�m��:nGr��/�$sKp���qBm���qBu3�M�3q��_�M�:p0�xq;��q]�x�x��p��Mm3�:m���p�q��xs0m�w���w�m���oxl]p �O}Y�

� m�p0q�p��xr%pp����$s���m�nGm3njm3w0�x���$s0n���q���q��x��sm3� p0��q`m3w0�$u��$�xr�t¢¡¤£�¥j¦ z � r����

§ £¥G¨ z2���

© s0�M�xu!ª:y z`{�|/}��*z`{���}4«¬zG�M���2­ q;l�r����w�m���oxl]q;r��q�t$q�nGq��^pD�$�Q¥ ¦ � ¨ zG�$���3�

® �x��tM¯°p0��qO�Wox�xlYp�m�w8¥[±Jp0mjª_r��x�_u�q]p

¥ ± ª°y�¥ ± {�z`{�|/}���z`{���}²}³« ¥ ± z �$���

¥[±´ªµ�hs*u3�M�3q��¶s0�$nj�xtM¯·v�¯·l�m�nG��m^s²�Mp0�$m�� ­ ��p��¶ªµm��¶p0��q t$q]�¸p � ¹ �xr%p\�hs�º�M�

» £\¥G¼ {�z�{W|}³�\z`{���}²}2½·� m�nG¾K¿ÁÀ {�z�{WÂ�}YÃ�z`{W|}��\z�{W��}²} ºÄp0��q��`¥ ± ª { » } �$s;p0��q

n!r�� z`{W�} Š// z`{W|}���z`{W��} �// zG�M�e� �

© s0�M�xuOÆ�w0m3��m^s²�Mp0�$m��BÇ � Ç�º ­ q�l�r��2m3v�p�r��M�Gr���q�t$q�nGq��^pI¥!±Yª {ÉÈ ¦ ~[È ¨ } �M�G¥ ¦ � ¨ zG�$���3�

Ê p2�hs;u3�M�3q���v�¯�p���q°l�m�nG��m^s²�Mp0�$m�� z`{�|ÌË`��} Í�Î � Í´Ï // z�{W|}#�`z`{���} �// zG�$���

p�r�Ð��M��uD¡�Ñ � Ñ]Ò�p�m<ª {ÔÓ�{ ¡�Ñ ~ ¡�ÑYÒ }²} º ­ ��q�w�q�r�s�v�q��Wm�w�q Ó y z`{W��}Y~;z`{W�#Õ¸}³«Öz`{���}Y�Bz`{��#Õh}

�hsKp0��qOp�q��xs0m�w<��w�m���oxl]p8nGr�� �

× qBm3v�p�r��M�xq��:�xr��$w��M��u^s

¥ ¦ zG�IØ ¥G¨ z2�J« ¥ ¦ � ¨ zj�$���

r����[p���q�s0qB�xr��$w��M��u^s4�x�xr�t$t$¯°��w�m���oxl]qBrj�xr��Mw��M�xu

Ù Õ y�¥[± zG��~ ¥[± z2�J« ¥[± zG�$���

Ú�Û

Page 23: Dieudonne theory for ungraded and periodically graded Hopf rings.

Ü�ÝÁÞDß$à�á�â�Ü�ã�ã�äàOåjÜ�â�áxæMàcç�è

é à°ã�Ü%êÌêKë�ã3ìBì�ÜQâ�à]ì�à�í�åGßMã�à°î�Ü%êïì�î�à°îxÜ�åGÜ�åGÜ�í�ð�î�ßhç0åGç;ñòë�ãxâôóõâ�à]ö�ã�à�âôÜ3ã

à�ë3÷´î:ø[ù]újû³í0à�æ$ë�ì0à¢ì0Üjì0îxàBã�à�ê í0ß$ã�ü!ç²ì0í�áx÷Yì�á�í0àOð�á�ì8Ü�ã_ì0î�à�å:è

é àBî�ë�ý�à¢ì0î�àOÝWÜ3æMæ$Ü%ê<ß$ã�ü�í�à�ç0á�æMì�è

þOÿ�������������� ���������������������� "!$#%��&'��! )(�*,+�(���*-��!/.�0�1 û3254�úGû)6jú7298ÖúGû;: 2=<�>�? @��! A=B�C) DA

#"��&3��! )(�*@+E(=��*-��!F.=0�1�Gû32 4�ø[ù�úGû�6`ø[ù�ú72H8Öø[ù�úGû;: 2 0"( > ��0I)JLKM ()N ñPO�Q 1�G=RTSVU ñ5Q 1�G ñ R�WM #XN óYQ 1 G RZU ó[OQ 1 G ñ RES-WM CXN Q 1=G ó RZU ó[OÔñ\Q 1�G�RES^]

é ß�ì�î!ì0îxß$ç�ßMã�ÝWÜ3í0å!ë�ì0ß$Ü�ã�_3ß�ì�`�àc÷]Ü�åGàcçIãxë%ì�á�í´ë�æ�ì�Ü2â�à]ö�ã�àDë;÷�ë%ì0à�ü�Ü3íba;Ü�Ý#ÞDß$à�áxâ�Ü�ã�ã�äà

í�ßMã�ü^ç�è

cedgfh�,�^�i���j���lkm�9no.=*D(LAL )ApC)q�!�! )C > )Asr\�� "B�ALq=!�!\t s*-��!F. Ü%ý�à�íJë°ð�à�í0ÝWà�÷]ìJöxà�æ$âpu/v�ß$ç

ë�ç0à^w^á�à�ã�÷]àyx�z�ù0ûX{cû�|=}�Ü�ÝBü�í´ë�â�àcâ,÷�Ü�ã�ãxà�÷Yì�à�â\ÞJßMà�áxâ�Ü3ã�ã�äàåGÜ�â�á�æ$à�ç[ì0Ü�ü3à]ì�î�à�í_ê<ß�ì�î

`�ß$æMß$ã�àcë�í³å!ë�ð�ç 1�Gû32 4Fz ù0û 6~z ùX2 8�z ù0û;:�2 ç�ë%ì�ß$ç²Ýa�ßMãxüOì0î�à8÷�Ü�ãxâ�ßMì0ß$Ü�ã�çIßMãGì�î�à8ð�í�à�ý�ß$Ü�áxç

ð�í�Ü�ð�Ü3ç0ß�ì�ßMÜ3ã#è

é àKë�í�àIßMã^ì�à�í�à�ç²ì0à�âOß$ã;Üg`�ì�ë�ßMã�ß$ã�ü8áxã�ßMý3à�í´ç0ë�æ=`�ß$æMß$ã�àcë�í�ð�ë�ß$í0ß$ã�ü3ç ÝWÜ�í�ÞJßMà�áxâ�Ü3ã�ã�äà³åGÜ�â/�

á�æ$à�ç�ß$ãe��� ù è

cedgfh�,�^�i���j�������9n `�ß$æMß$ã�à�ë�í�ð�ë�ß$í0ß$ã�üQß$ã���� ù°ßhç�ë�å!ë�ð���4�z��Z��z��~8�� Ü�Ý

ü�í´ë�â�à�â`ëL`�à�æMßhë�ã*ü�í�Ü�á�ðxçjç�ë%ì0ßhç²Ýa^ß$ã�üôâ�à�ü Oi�hO�Qm� RESbS�U â�à�ü O�Q S�� â�à�ü�O RES _�ñ7�hOQ�� RES[U

�hOÔñ5Qm��ñ RES _�ó\�hO�Qm��ñ RESVU �hOÔóYQm� RES ë�ãxâ_ó\�hOÉñ5Q�� RESVU �hO�Qm��ó RTS è

� í�Ü�ð�Ü3ç0ß�ì�ßMÜ3ã��xè��ë=`�Ü%ý�à[ç²ì�ë�ì0à�â1ì�îxë%ìGëp`�ß$æMß$ã�àcë�í2ð�ë�ß$í0ß$ã�ü 1 4ÁúP�@6 ús�$8�� ß$ã�$� ù8ß$ãxâ�áx÷�à�çKë5`�ß$æMß$ã�à�ë�í4ð�ë�ß$í0ß$ã�ü 1=G 43ø[ùYúP��6�ø[ùYús�H8Öø[ù%� ßMãP��� ù%è���î�ßhç4ß$ç�ì0î�à

�T�

Page 24: Dieudonne theory for ungraded and periodically graded Hopf rings.

�D ^¡L¢b£L¤�¥£L�§¦T "¨�¤E©l¤Eªs«E©l¬;©l¤E ^¡L�@­�¡=©l�D©;¤EªF¢®©;¤e¯�°²±�³b´E©�¢®µ�¡·¶g¸

¹Yº�»�¼�»�½�¾¿�¾�» À�Á�ÂlÃmÂ~Ä�ÅEÆ"ÇbÆsÆDÈLÉ�Ê-Ë�ÌTÍ�É�Î�Æ%Ç)Ê"Ï�Ð,Ñ%É�Ð3É�Í�Æ)Ï�Ç@Ò�Ï�É�Ç-É�Í/Ó�Ê

Ô$ÕgÖ�×9Ø~ÖyÙHÚÛÖÜ×�Ý9Þ�ßáà�ÖyÙ

É�Í ¯Z°²±Lâ

ã�Çbä�ä�å âYæ�£L¤�¢�©�¦T "�Y³D´E Pªg�D¡g¦T ^¦ç³b ^¤�¢�£g�\­E�D£T¦Tè�é-³�Öëêíìy¸eî®´E©�¢7é"¡L¤�«� Pï/©l "µ� ^¦�¡L¢5¡ð�ñ�ò ó5ômõ £/¦EèE¬; 5«/¶P­�èT³�³D©;¤Eª ó[ö÷ êyøEùVú ó\÷ ê ó ø�¸

æ�£L¤�¢b©�¦T "�û³D´E  õ £T¦TèE¬l �ü ñ ò ý®þ)óYô ê9ÿ���� ��� ö Ö ê�ìçù�¡=¤�¦9³b´�  ¢�è�« õ £/¦EèE¬; ��oªL "¤� "�)¡�³b �¦

«/¶s³b´E Y�D "¬�¡�³D©;£g¤�¢ ý ê ÷ ê ó ø[úVê ýY÷ êáøP¡L¤�¦ ý ê ó5÷ êáø[úVê ÷ ê ý øs¥£L�@¡L¬;¬÷�� Ö ¡L¤�¦�ø � ìy¸� §£�µ ¦E %¨�¤E 7Ö Ý9Þ�ßáà ì úíü ñ ò ý®þ)ó5ô ê9ÿ � � ��� ö Ö êÜìçù�����¸

�  @é"¬l¡L© õ ³D´�¡�³,³b´E  õ ¡=­�Ô�ÕgÖ × Ø9Ö Ù ÚÛÖ × Ý Þ�ßyà Ö Ù ³)¡��/©;¤�ª ö�÷mþ øEùm³b£�Eê ÷ êsø©�¢@¡=¤~©;¤�©'³D©l¡L¬û«E©;¬l©l¤E ^¡L�@­�¡=©l�b©l¤Eªs©l¤$¯Z°²±�¸

� ©;�)¢�³Yµ� �¢b´E£�µ�©'³Y©�¢9«�©;¬l©;¤� ^¡=��¸��/©l¤�é% �³b´E s¦T ^ªL�D " �é"£L¤�¦E©'³D©;£g¤ ©l¢9³D�b©lï/©l¡L¬;¬l¶~ïL "�D©;¨� ^¦��µ� Yé"£L¤�¢b©�¦T "�®³D´E 5£=³D´E "�@�D "¬�¡�³D©;£g¤�¢"¸ �  5´�¡·ïL gÕ

ó��hö÷mþ øEùVú ó�ö �ê ÷ êyøEùVú��ê ó�ö÷ ê�øEùVú��ê ó5÷ ê ó ø[ú �hö óY÷mþ)ó øEù

ý��hö�÷mþDó øEùVú ý[ö ®ê ÷ ê ó øEùVú ý ê ÷ ê ó øsú��ê ýY÷ êyø[ú �höiýY÷mþ øEù

ý��hö óY÷mþ øTù�ú ý[ö ®ê ó\÷ êyøEùVú ý ê ó5÷ ê�øsú��ê ÷ ê ý øsú �hö�÷mþbý øEù

§£�µoµ� �¢�´�£�µ ©;³�©�¢\©l¤E©;³b©�¡=¬ ¸���©lïL ^¤�¡=¤/¶á«E©;¬l©l¤E ^¡L�\­�¡=©l�D©;¤Eª���ÕhÖÜ×�ØáÖyÙeÚ ì �µ�  ¦T %¨�¤�  ¡ õ ¡=­"!�ÕáÖ × Ý Þ�ß�à Ö Ù Ú ì «/¶#! ö%$ ê ÷ êoøEù ú $ � ö�÷mþ øEù¥£L� $&� ü ñ�ò ó þbý�ô � ÷'� Ö × ¡=¤�¦Yø � Ö Ù ¸�î®´E©�¢�©�¢m¡ õ £g�b­E´�©l¢ õ £L¥)(H©l "è�¦E£L¤E¤+*  õ £T¦Tè�¬; �¢,�¢b©;¤�é" -! öió$ö.$ ê ÷ ê\øEù�ù�ú/! öió�$ ê ósö÷ ê\øEù�ùVú0! öió�$ ê ó5÷ ê ó øEùVú ó�$ � öió\÷mþ)ó øEù

121

Page 25: Dieudonne theory for ungraded and periodically graded Hopf rings.

3547698,:<;�:=4>:)47?�4@;�ACBC47A>47:C8D;�E�FG;�4>E�4>:)H�IKJ�LNMOIQPRLS4>:�TRU�V2W2XY8ZH28[?-;2:=47:C\)]C^[8_\FC;247E`47:CH�4>:�ab4>8,]C\)c2:):+d85e=cf\f])A>8Dgbh V IiJRh V LNMOh V�j IkPlLnm j go8D8&p qsrtm[u

v+w 4@gx4>gx;yB)47A>4>:)8D;2EzFG;�4>E�4>:)HCWz;�:C\ ? w ]CgzXY8{H28[?|;�: 47:G\f]C^[8_\ e<;2Fh V I"P~}��n��h V L�MOh V2j I"P�L�m�u

�������C�s�������>���5���o�5���s�����C�����`�s����  ¡9¢_£,���¥¤ I �s�§¦ L©¨ � TªU�Vs«�¬®­ ¢ ¨ �¯¦�°C±�¢`¦ª²<�`�h V I"P~}��n��h V L�MOh V2j I"P�L�m³¨ �&´ V ¨ ¤µ�s� ¨ ¤[��²=���¶� ­f¨ ¤�²<·

v+w 8¸F)E`c�c�¹ºc�¹5? w 4@g<? w 8,c9E�8De»4@g<A>c2:)HGW-?`8D^ w :)4@^,;2A%WZ;2:C\¼47:�69c2A>628Dg=;2:C;�A>½�¾,4>:)H goF¯8[¿^[4@;�AZ^D;s?�8DH2c9E�4>8Dg�c�¹~?�c2E�g�47c9:f¿%¹®E`8,8RÀÁc9Ff¹º;2A7H98,B)E�;2g�cs628DE�Â+à j ? w c9g�8RXZ47? w ;nA747¹t?&c�¹~? w 8Ä 8,E�g`^ w 478DB)]):)H�m�uÅn8�FCE�8_go8D:9?Æ? w 8�E�8_go])A7? w 8DE�8'?�c�g w csXÇc2:C8¸XY;¥½Èc�¹�FCE�cs6�4>:)HÉ? w 88DÊË])4>6s;�A>8,:C^,8ZBG8,?�X�8D8,:=E`47:)H�^D;s?`8,H2c9E�4>8DgÌc2¹§Àbc2Ff¹�;2A7H98,B)E�;2g�;2:C\=ab4>8,]C\)c2:):+d8Ze�cf\f]CA78_g�4>:? w 8µgoF¯8D^,4>;2A�^,;9go8³c2¹-Í�8D^[?�4>c2:�ÎCu Ï)u�Å�8µXZ47A>A�H947698�;�:�;�A7?�8DE�:C;�?�4>6289WC\f4>E�8_^�?bF)E`c�c�¹Ìc�¹Ì? w 4>g8DÊË])4>6s;�A>8,:C^,85? w ;�?b\fc�8Dg+:)c2?ÁE�8DA7½&c9:Rg�]C^ w ?�8_^ w :)4@Ê9]C8DgDu

ЪÑ�Ò ÓOÔ[ÕbÖØ×�Ù�Ú�ÚÜÛÕÜÝ�ÞØÕÁÙµßÌàâá�Ùµßäãµß�å³×�ÕÁשæçÙ�èØá'å�é,ãµÕbêØß�å³ë+ìã�ß�Ù�Ö�èÆí¯é,Ô,îµÕïÔ,Ú{×�ÕÁã�ß�ÕÁÕ»ðZÕÁß�Ù

v+w 8<]):C47698,E�g�;2A�B)47A>4>:)8D;2E³e=;2F�PÜc9:�? w 8<F)E`8,6�4>c2]Cg³^D;s?�8DH2c9E�½�TRU V \fc�8Dg�:)c�?µg�])F)F)A>½? w ;s?<^,;s?`8,H9c2E`½'XZ47? w ;'g�½Ëe=e=8[?`E�4@^&e=c9:)c24@\);�A+go?�E`]C^�?`])E�89W�;2g�X�8Ø\fc9:�ñ ? w ;¥698Æ;¸]):C4ò?c2B)ó�8D^�?+¹®c9E~P�u

Å�8³8,ô�?�8,:G\Æ? w 8³^,;�?�8,H9c2E`½<47:Rc2E�\f8DE�?`c<47:G^[A>]C\f8³go]G^ w ;2:ªc9Bfó�8D^[?Z;2:C\ª? w 8D:ªXY8³^,;2:F)E`cs628-? w 8+8DÊË])4>6s;�A>8,:C^,8+BG8,?�X�8D8,:�? w 8Á^,;�?�8DH2c2E`4>8Dg�c2¹¯Àbc2Ff¹¯E�4>:)H9gÌ;2:C\�a~4>8,]C\fc9:):+d8YE`47:)HËg,u

Í�])F)F¯c9g�8�Iõ4>gª; :)c2:)¿¶:)8DH9;�?�4>628,A>½�H9E`;9\f8D\/Àbc2Ff¹µ;2A7H98,B)E�;Écs628DEÆ;l^,c2e=eµ]f?�;s?`47698E`47:)H öl;2:C\lA>8[?&I�÷løSIùB¯8R? w 8�g�])BúÀbc2Ff¹º;�A>H28,BCE`;'c�¹b8DA78De�8D:Ë?`g=4>:È\f8DH2E`8,8ª¾,8,E`cCuû 8,?RI<ü ýïöRþ5ÿ��ºI|B¯8'? w 8n^,c2:):C8D^�?`8D\Q^[c2e=F¯c2:)8D:Ë?ªc�¹³? w 8n4>\f8D:Ë?�47?�½2uKÅ�8 w ;¥698

� Ï

Page 26: Dieudonne theory for ungraded and periodically graded Hopf rings.

�������� �������

��������������� �"!�#%$'&(# )�*,+-+ .�/102436587 9:*,367�;=<=>@?A<,BDCFE-9:<=GAG1H'3I*J3@ELK�7NMO<�P'B�*=+L;�7:C8>I*=QR<JK=7�>

S�T365F*,3U*,>@7V;=>@<=H8P8WX+-ELY�7ZEL[]\'7�;=>@7:7V^�7:>@<F_,3@5F*J3UE-Q�`�<=Ba3658<�Qb7ZB�<�>RcV58Ed9I5]���OEL[A3@5874*=C <JK�7

\'7e9f<=GAPg<�Q6Eh3@EL<�[iEdQV*�;=>@<=H8P�>@EL[8; �

jO<Jck\'7:lF[87m�on%p�q � S�T�r sZtg*=[F\u>67�GA7:G1Cg7:>4365F*,3�` B�<=>Nvxwyp8`a�xn%vDqZc�*�Q4\'7:lF[87e\

*=QV�on�vDq � S T {z}|�~An��Fq � S T r � ���:�:����� � � t(B�<=>Vv �x� �e� cVEL365�n � � � q �k� �

�8<�>D*VMO<�P'B8*,+-;=7:CF>@*���EL[ .i/ 02J`J\'7:lF[87�� 2 � �k� �A��� � M4<=GA�U�����n%�xn%vDq � ��qI�e�'� � �

��7�5F*�K�7�58<=GA<�G�<�>6PF58E-Q6GQ������ T �'�¡ ¢�A�'�£*=[F\�¤¥�N�A�'�¡ ¢� T �'��B�<=>

v¦w§p¨n�;=E-K=7�[kC�?y3@587oP8>@7:K�E-<=HFQ�\'7flF[FEh3@EL<�[FQ@q�*,[F\(`©B�<=>�v � pF`©cU7oY�[F<Jcª3@5F*J3

�«�Z�����¬ ­�����¥E-Q36587®Ed\'7:[�3@Eh3¯?°n%Q6EL[F9:7u36587®±²7�>@Q@9I58E-7:C8HF[8;³E-Q�3@587®E-\87:[�36EL3¯?o<�[

*�;=>@<=H8P8WX>@EL[F;�qU*,[F\�*,+dQb<m365 *J34¤´�=������ µ�����¶EdQ � 36E-G�7eQZ365F7}E-\'7�[�36EL3¯?=�

��7©9�*,[i365�HFQO\87flF[87©*�[87�c°9�*J3@7:;=<�>6?��

��������������� �"!�#%$g$ #N·Z587o9:*,367�;=<=>@?"¸m¹�02�5 *=Q�*�Qu<=C'º¯7e9»3@Q�[8<=['W¼[87�;�*J3@ELK�7:+-?�;=>I*=\'7e\

*,Cg7:+-Ed*,[�;=>@<=H8PFQU3@<=;=7:36587�>ZcVEh3@5�G*=PFQO����½ T � ¾½���*=[F\�¤¨��½��� ¾½ T ��Q@*J36EdQbB�?�W

E-[8;

n%*�qZ½ � �k� ½�� ����¿ � EdQO*AÀ4E-7:HF\8<=[8[ZÁ7�GA<'\'H8+-7}E-[i¸�¹ 2 _

n�CgqV�©¤ � ¤©� �x� _

n%9eqV�´E-QZ3@587}Ed\'7:[�36EL3¯?�<�[u½��=�

©à ���FÄJ��ÅÆ!�#%$8Ç�# ȯɯʳËgÌFÍ}ÎIÏ'ÐgÑ:ÒÔÓJÕm� 2 ��.i/ 02u £¸m¹ 02uÖ=×ÙØ�ÍfÚuÛ,ÐÜÍ@Ý:Ï'×ÙØJÛJÞLÍ:ÐgÑIÍ�ÓbÎ

ÑIÛJÒÔͼÖ�Ó,Õ»×%Í»Ú:ß

à(7:3Vá�/ 02 C 7©36587©9�*J367�;=<�>6?<=B�9:<�9:<=GAG1H83@*J3@ELK�7}9f<�*=+L;�7:C8>I*=QU<JK=7�>�S�Ti365 *J34*,>@7}Qb7:3bW

+-ELY�7}EL[�\'7�;=>@7:7 ^:7�>6< `8EX� 7��U<=B�3@58<�Q67 365 *J3N9�*,[uC 71cV>6EL3b3@7:[�*=QNz ��âzZ�� �VzU�=`FcVEL365�zU�

ãJä

Page 27: Dieudonne theory for ungraded and periodically graded Hopf rings.

å©æ@ç-è8éFê²ëZì8í î:å,ï6í:é�ð=æ@ñ1ò�ómôõNîfð�èFöbçdöbï@öUð,÷(ï@ì8í}å,øgí:ù-ç-å=è�é=æ@ð=úFû]ð=ø'ü¯íeî»ïIöRð=÷Dý(ó©ôõ�å,èFþ]ï6ì8í

÷�ð=æ@é=í:ïb÷�ú8ù�÷�ú8èFî»ï@ð=æ}ò�ó1ôõ]ÿ ý(ó1ôõ ì å=ö©åuù-íf÷Ùïmå�þ�ü¯ð=ç-è�ï�� ������ö6ð�ø�ñ�ëZì8í:ð�æ6í��8ê iï6ì8í�æ6í

í��'çdö¯ïVú8èFç� �í:æIö6å=ùgøFçLù-çLèFí�å,æVû å,ç-æ6ç-è8é�ö������ ÿ �����¶ç-è�òió1ôõ ê

��������� �"!$#"!%�'&)(+*%,.-/*1032�46587�5�4:9 � ; òió1ôõ=< 5?>A@�7B5C@�DFEHG82�IJ2�4�K�>LEHG:IMON � P��B���RQST��U

V í©å=ù-ö6ðAìFåB =í�ú8è8çW =í�æ@ö@å,ùaø8ç-ù-çLè8íeå,æVûFå=çLæ@ç-è8é�öZç-èYX[Z�ôõ]\^ çW��ç-ùdå,æ@ùLñAï@ð[_VìFå,ïVìFå,û8ûgí:èFí�þ]ç-è ^ í�îfï6ç-ð=è�` ê aA�'å1ø8ç-ù-çLè8íeå,æZûFå=çLæ@çLèFé1ç-èbX[Z ô õ4çdöZþ'í�c

d è8íeþ å=ö å ø8ç-ùLç-è8í�å=æe�å,û ð=÷�èFð=è.c¼è8í:é�åJï@ç� �í:ù-ñ é=æIå=þ8í�þ å,øgí:ù-ç-å=è é=æ@ð=ú8ûFöf \hgjilk ÿ � öbúFîIìÜï6ìFå,ï fnmporq3sto1uAv S owfnm%q3sxuAv � fnm%y�q+sxuAv S yrfnm$q+szoru.vå,è þ fnm%q3s{y�uAv S yrfnmporq3sxuAv ê

ëZì8í:è|_�í ìFåB =í}å]�å,û}g~i|k ÿ g����������k��_Vì8í�æ6í1g�� ��� ���k��T�)���L�t� ���Og���kJ�����._VçLï6ì|�ªï6ì8í©ö6ú8øA�Að'þ'ú8ù-í é=í:èFí:æIåJï6íeþ]ø�ñy � m$q � o1uAv��l� � m%y�q � uAv å,èFþ y � mpowq � u.v+�l� � m%q � y�uAv ÷�ð=æOå=ùLù q å=èFþ u ê

� øFçLù-çLèFí�å,æ ûFå,ç-æ@çLè8éC�J������� ÿ � ç-è¡òió ôõ ç-èFþ'úFî:í�ö å£ûFå=çLæ@çLèFé

� \�� õ � � i|� õ � �Nÿ � õ �ªç-è�òió1ôõ å�ö�÷�ð=ù-ùLð�_Oö�\

  ÷ q ;¡��¢.� � å,è þ u ;T��£h� � _Vçhï@ìxø ð=ï6ì�¤�å=èFþ¦¥ é�æ6íeåJï@í:æ ï6ì å,è�§�í:æ@ð���ï6ì8í�è^ íeî»ï6ç-ð=èY`Fê¨amé=çW =íeö�å=èuí:ù-í8�Aí:è�ï � m$q+sxuAv ç-è|��£ª©/¢L�xê

  ÷Ví:çLï6ì8í�ær¥¦ð=æ1¤"çdö1§:í�æ6ð ��ï6ìFí]ç-ö6ð��Að�æ6û8ìFç-ö{�«� QS MLN � P¬�­�¡� û8æ@ð� �çdþ'íeö�å|�å=û� m ¤ v ÿ � m ¤ v �®� m%¯Ov �Zå,èFþoï6ìFíuþ8ç-å=é=æIå��µð=è ûFå,é�í|a ¯ å=ù-ö6ð³þ'í d èFí�öå,è í:ù-í8�Aí�è�ï� m$q+sxuAv ;}� ¢ �xê

°r±�² ��� ²L³ (+*%,L(3*}´'>�5Jµ.D E¶7B584tG8@�·¸K�@�E¶4:E¶DL¹ºE¶D òiómôõ�» �¼�l� ÿ �½�l� » E¶D'¾�µ�¿t5�GJ@K�@�E¶4:E¶DO¹ � õ �i|� õ � ÿ � õ m �À��� v E¶D X[Z ô õ U

a�Á

Page 28: Dieudonne theory for ungraded and periodically graded Hopf rings.

¸ÃLÄHÅ Æ�Ç�ĶÈ:ĶÉLÊ ÄHÅ Ë�ĶÌÍĶɸÎtÇ�È Ä¶É Ï[ÐRÑÒ Ç�É'Ó Ä¶É'Ó�Ô�ÕtÎ:Å Ç�É ÄHÅ8Ö�×JÖ�È�Æ�ÃLÄHÅ:×Ø Ò�Ù�Ú�Û�ÜÞÝß Ø Ò�à«á Ø Ò�â%Ù�Ú�àÞã8ä

å[æ�ç�æ'è%èpé.çBê�ë3ìpí.î/ì ¸Ã�ÎJÕzÇ�ïðÎðÊOÖ�È:Ä%Î�Åòñôó[ÑÒôÇ�É'ÓwÏ[ÐRÑÒYÇ�ÈzÎ[Åtõ�×]×JÎ�ï�È:Ä%Õ[×�Ö�É'Ö�Ä%Ó­Ç�Ì�ÕtÇ�ï�öÎðÊ­Ö�È:Ä%Î:ÅbÇ�ɸÓ|ï$ÃAÎbÎt÷8Ô.ĶøBÇ�Ì�Î�ɸÕtÎrØ Ò�ù ñôówÑÒ á Ï[ÐRÑÒ ÄHÅ�Ç�ÉlÎz÷8Ô.Ķø�Ç�Ì�Î8É'ÕtÎ�ÖxúJÕzÇ�ïðÎðÊOÖ�È:Ä%Î�Åû Ķï$ÃYÅ:õ�×[×JÎ8ïpÈ:Ä%Õw×�Ö�É'Ö�Ä%Ó�Ç�Ì+Å:ïpÈ:Ô�Õ8ï�Ô.È{Î ä

üªýAþ1ÿ��zþ�������� ������������������������������������ÿ�������þ��{ý���� �{ý�þ!����"�#$�%�& þ(')�* ��+�ñôówÑÒ,���zþþ(-.���������Wþ�".�����$�zýAþ,����"�#/�%0& þ1')�* ��++Ï ÑÒ2

34���*5�16�"������'�þ��{ý�������"Yñôó ÑÒ ÿ�����7���')�* ���zþ87Aþ:9�"Aþ17;�

<= ù'â?> ÑA@ >�B:ã @ âDC ÑE@ C8Bzã�á âDF ÑE@ FGBtã

� ���{ý <= â?H.I @KJ*L ã!M = â?H @NJ ã =PO â?I @QL ã 6P��ýAþ(�{þ = ùR> Ñ�@ C Ñ áSF Ñ ��T�|ÿ����070��')���+�#�����ÿU����"�#�,�"�7 =PO ùR> B @ C B áVF B ��W�|ÿ���������"�#;�+�#�����7.þ(7U':��"�"Aþ1')�{þ17YX��­ÿ0+����#�þ(%��*� 2 â X¬þ��zþ8��þ8� ���Z�zþ H.I +[�� H @ I]\;> Ñ @ > B 6Aþ���' 2 ã

^_";��*7.þ������$�"�������`8þ8%�������"Aþ1��� ab��ÿ����"YÏ[ÐRÑÒ 609��*5� "������'�þ8�zý���� �".�dc \ Ï[ÐRÑÒ'��"e% þ/� ���Z���{þ�"f�gc ÑE@ h)i cj6k��ý�þ��zþWc \ Ï[Ð Ò �"�7lc Ñ �� �{ýAþW#�*�7.þ17;a$��7�����þ':��"�'�þ(".���*���{þ17m��"n7.þ�#��{þ�þ�`8þ(���f��"�7m+[���W��ý���'týpoq��!�zýAþr��7.þ�".���Z�5� 2ms %�������"Aþ(��Wab��ÿ��"¡Ï[Ð ÑÒl��r�{ý�þ�"t�uab��ÿ <= ù[â c Ñ,@ c ã @ âDv Ñ8@ v ã á â%à Ñ�@ àÞã #����­þ�"w%��<= â?H.x @wJ x}ã8M = â?H @KJ ã =PO â[x @Qy ã 6R��ýAþ(�{þ = ù c Ñ @ v Ñ á�à Ñ ��,�Yÿ����070��')�!��"#�����ÿr����"�#. ��"�7 =PO ù c @ v�á à ����/%�������"Aþ1��� ab��ÿd��"YÏ[Ð Ò � 7.þ�9�"Aþ(7d%'þ:+[���{þ 2

3���������� ��"�#T�zýAþ,�{þ1���"���"�#T+[����a{zLþ(':�����";| 2~} 60��"��Jÿ��������"�#b���~� ù�Ù � @ Ù � á Ù ���k���"wñôó[ÑÒ�� �����0��"�70��'�þ���ÿ��������"�#,� O�~� ù Ø Ò�Ù � @ Ø Ò8Ù � á Ø Ò8Ù ����� ��"wÏ[ÐRÑÒ 24� þ ���a�ÿ����

}��

Page 29: Dieudonne theory for ungraded and periodically graded Hopf rings.

��������:��������� �����!�������*���

�u�?�����u���D��� //

�:�R���

�u�?�����u���D����

���D�$���5 G�N�D�T¡1�_  ¢ // �?�$��£k¡¤�_ 

��¥�¥���¦�§T¨�§W���U�0�:©����«ª����0�0¨��:��§b¬Y­ �?® � �   �¯�?® ¡ �  ]° �D® ��£k¡ �  ±m² �d�¥�§��]���¤³�������������0¨��:�(�«ª����0�0¨��)�*§���r�����,´g���(¨��0����Gµ���/�0�0¨�¥��1§G¶[��G�����,��������1�)���(�«ª�������§G��¶·�����¸ ��ª0¶���¥���(¹�����§ �Yº ���³�(�Y¹.»f�����r���(§¼�������:������U���e½d¾W¿b�¶������«ª������������f¬ ±;À ��¨�§T¦���0��©����

Á.Â/¬�ÃÄ*Å/Æ � Á,¬�Ä ��� Â/¬�Å �

À ����§,�0�:©����Z�������U����Ç��(§,�(�����W�¶�����������§¼�1§g�¶�Á/¬ à Ål�����fÂr¬ Ã Ä º ¶[��,¦G��§����$ª�¥�»]���¤³��Á�¬ à Å$ÆKÁkÈ�¬ à È(År�����rÂ/¬ Ã Ä ÆÉÈ(ÂW¬ à Ä�È ±

Ê ���e½�Ë«Ì¿ �0�(�������f�������������(����»n�������]���§e��§d�¹0Í5�1�)��§e§��(Î.¨��(���:�1§UÏ � �_Ф�[Ñ�Ò �¶��*����(� ¸ ��ª0¶���¥���(¹��*�§G�������,�����,����¨�ª0ÓÔ¥���Ç��,���l����������TÕ������b�����������(� ¦ �����]ª�������������§�$���n�T¡ ° �$��£k¡ �����;ÖTË Ì¿ �����/�������������»«¦ ���.§¼�W�¹0Í5�1�)�*§g����T§��(Î.¨��(���:�1§!Ï�× � Ð �[Ñ�Ò

��¶�´g���(¨��0������µ���$�0�0¨�¥��(§E���$Ö Ì¿ ������������(�E¦ �����bª������������§E× ��� × ¡ ° × ��£k¡ §�������§¼¶[»�����������!�:����0�Z��������§�¦G������d¹���¶[���� ±

Ø ���§����0���«����¦Ù�����f¶[¨����:���� ®bÚ¿ ­�½rË«Ì¿ ° ÖTË«Ì¿ �������d���Ç�(§��(��*�t§¼�1Î�¨����������¶ ¸ �ª0¶E�¥�����¹��*�§�Ï � �5Ð1�?Ñ�Ò ���b�����/§¼�1Î.¨��������!��¶A´g���(¨��0������µ�,�$�0�0¨�¥��(§TÏ ® ¿ �D� � � Ð1�?Ñ�Ò º

¦ ���(��� ® ¿E��§������Eª�����³����¨�§�¶[¨����:���� ® ¿�­�½d¾ Ì¿ ° ÖWÛ Ì¿ º �����!§¼¨��*�,�������·�����Eª����0�0¨��:��§¬ �Ü¡ ­ � � �]� ¡ ° � ��£k¡ �������»!��³����Ý���,����� ª����0�0¨��)��§�¬ à �~¡ ­ ® ¿ � � �]® ¿ � ¡g° ® ¿ � ��£k¡

�§�����³����«���d�����,ª����1�:�1�0�����/ª����*����*��ª�� ±

ÞWß�à�ßká?áDâ0à¤ãuäRåDæ�çRå;è�é�êwë*ì0íkî�ïÔð�ñ ®bÚ¿ ­ò½�Ë Ì¿ ° Ö!Ë Ì¿ é�ó¤ôjóõñ)öZ÷¤é�ïtó�ø_ù�ð�öúí�ïû�Ú¿ ­�Ö!Ë;Ì¿ ° ½�Ë«Ì¿ ó�í�øbï[é�ê ü�ó�öúñ �?®bÚ¿!ý û�Ú¿ � ë:ð�ñ)þWôWó�ífê*ÿ�ì0ö��¤ó���ê�íkî*ê$ð5ëTî*ó�ï_êÔ÷�ð�ñ)ö?ê)ô��

���

Page 30: Dieudonne theory for ungraded and periodically graded Hopf rings.

� ��� �����������������������������! � �"�$#�%& ' �(#� �)+*-,."#�/(021 ,.�#����3�54�6 798�#��9�:/� ;%�#� <�:=�����7��:�:>

<?#� A@B�� <C?#D8��E#F�<G��H�H�& ��<7I%H�H��/ ��7�0(#��J�K <��6(%L �6 �<�NM$=�7�8��:/O���:�<�B�:%L �798�����GP@QGSRT#�/?0

R3UWV:XA#�/(0O <?#� -@QGY < �+� ����8Q79��6(�Z � �����<�:�[ � �+�<GQ�H�\�� <��7�%E�\��/ ��7I0 #��]�K <��6(%L �6 �<�27��

� ���:�<����8��50E@QG^ <(�Z�:4�6 7�8D#��9�:/(%&�Z_ ."` )a* ,.cbd1 ,.�e

f+gKf hdikjAlLmon�pJiqj"msrLt\nvuqpsw2wyxzw-x{mW|qn}nc~2�FrLtZjAl&n3iq�;n� n�m���ncnci�pJr�iq���;j"mon��-wypJr�n��

� 7I�;�K�5%L �79��/2����������#�/q#��9 <�:�</(#� <7�8��3� �<�Q�������� < ���:4�6 7�8�#�����/(%���@?�� ��]�:��/+ < �" ��'�-��79/(=

%�#� <�:=�����7��:�A���� <(�a�(�<�:8�7���6?�\�<�:%& <7���/�>��; 7�%��0��:#��� ^�;79 <� < �q%�#��K�a���3=�����6 ������79���27�/

0��:=������N�:�����C=���#�0��50������ �y#���=���@(��#���e�� �Y�H�& <(�Q0z� �<�5�K�:/� <�:0{(�����P7�/�8�����8��5�H < �

%&��/(�K <��6(%L �79��/-����#�/^79/Q8��:���<�]��6 /(%L ����������W <(��� ����8Q79��6(�<�9GA=�798���/\��6 /(%& <����#�/(0- � ��� ���Q���

<?#� ; <(�� ��]�-��6 /(%& <������0��^0����(/ �A#�/+�54�6(798�#�����/?%&�����s%�#� <��=�����79�5��e

� 7��\7��I#��y#��<=�6 �H��/� ���%�#�/S@?�^6(�<�:0Y ��F� �<��8��y � �^�:4�6 7�8�#�����/(%��^@?�� ��]�:��/O�<7�/ =N%:#� K�

��=�����79�5�Z7�/C < �+=���#�0��50S%&��/(/ �:%& <�:0�%�#��<��>W�; 7I%�S <(�+� ����8Q7���6(�A� �<�Q���;0 7�0C/(�� \#��9�����

6(�� ��N0��(ea� �^�H�& � ��0S���;%&��/?�� ��<6(%& <7�/ =N#�/S7�/Q8������<�-��6(/(%L ����A�;7��9�'#��I�K�q@B�E6(�<�:0O7�/

<(�^/ �&�Q A%�(#�� <�����:>��; ��/O�'�H0 �:#��s�;79 <S6 /(=���#�0��50Y#�/(0P�B����7��Q0 7�%:#����9GN=���#�0��:0Y�������

#���=��:@ ��#��:e

��/2 � �3�������9���;7�/ =y���:�<6 �9 ��'�'�c�;7��9������ ���/(0+�K���H�� ���{ � �"0 �&�(/ 79 <7���/a���o c7���6(0 ��/ /�¡�

�H��0�6 ���������'#Z=���#�0 �:0^%&��/ / �5%L <�50^��������#���=��:@ ��# ` � ��GH�;7��9�?/ �� '@?�3�?���K79 <7�8��:�9G\=���#�0��50

�H��0�6 ���:�¢#��z@B�&�����<��>O@(6� £/ ��/���/ ��=�#� <7�8��:�9GT=���#�0��50¤��/ �:�:>C�K7�/(%����]�¥�;79���O0 �&�(/ �

_\¦:§©¨ª�c���H«]¬sV�M$§­M¯®�XL°�§PXLeqM$�c������>�#��"@?����������>�§­M¯®�X"¨²±Q³�´ µ�¶�XLeH�Q6(�:>��������:#�%�

=���#�0 �:0A%���/ / �5%L ��:0\����� �B#���=��:@ ��#c§¤79/-)+* . >�_\¦:§¸·¨ ±Q³\#��s#c±Q³��¹�H��0�6 ����eW� 7I�s0��&���

7�/ 7� �79��/+0��Q�5��/ �� '@(�<7�/ =-#�/QG� � 7�/ =y/ �:�¢#�/?0^ <(7���%�#� <�:=�����G\����/ ��/��¹/(��=�#� <7�8��:�9G\=���#�0��50

 379�:6(0���/(/'¡�;�H��0�6 ���:�]7����:#��<7��9G\�K�:��/H <�y@?�3�:4�6 7�8D#��9�:/� J <�Z � �c�(�<�:8�7���6?�s��/ �c�;7� �E�?�����

º�»

Page 31: Dieudonne theory for ungraded and periodically graded Hopf rings.

¼9½<¼�¾�¿�À�Á\Â�Ã�Ä�Å�¿5Å-Æ�Ç ¿:È:É�Ê(Ë�½]Ì;¼9½<Í^½�Í ¼IÈJÇ ¿:ÌzÎ&Æ�ÇQ¾�¿�Ç�½<¼�Æ�ÇH¼9½�Ì;¼9À�ÀBÊ?¿�¿5Ä�È<¼9¿:Ãs½<Æ-Ì;Ã<¼9½<¿3Å�Æ�Ì;Ç

½<Í(¿�Ï�Æ�À�À9Æ�Ì;¼�Ç Â\Ã<¿5ÈKË À9½�È:Ð

Ñ ¿-È�½�Ä�Ã<½�Ì;¼9½<ÍNÄHÀ�¿�ÒHÒ^Ä\½<Í?Ä�½�Æ�Ó�¿�Ã�È;ÄHÃ�¿:È<Ë À�½cÈ<ÁQÒHÒ\¿�½<Ã�¼�Î"½�ÆH½<Í ¿ZÆ�Ç ¿ZÆ�ÇFÔ�Ã<Æ�Õ?Æ�Ö

È<¼�½�¼9Æ�Ç+×?Ð Ø Ð

Ù�ÚQÛ­Û�ÜFÝ�Þ¯ß�à�Þ�á3â?ãFä�å�æçå�â�è�é�ê�ë(é�å�êLå�â�ìFí�îðïqñ�ò^ó&ôHî�õ�òEóLôyïEö÷òEó�ôHî9øBïPå�â�ù�ú(û�è&üEé

ä�å�æçå�âBè�é�ê;ë é�å�êLå�â�ì2ýí�îçï�ñ�ô\îBõ­ôyï3öþôHî9øBï�ÿ

�'ê������&ÿcÑ ¿�Ï�ÆQÎ�Ë(È�Æ�Ça½�Í ¿ZÕ Ã�¼9ÒH¼9½<¼�¾�¿�¿�À�¿�ÒH¿�Ç�½�È;Æ�Ï ô\îBõ­ôyï Ð

� Ë Õ ÕBÆ�È<¿�� ôHî ¼IÈ�ÄyÕ Ã�¼9ÒH¼9½<¼�¾�¿�¿:À9¿:Ò\¿:Ç�½�¼9Ç+Å�¿�Â�Ã<¿:¿��¤Ä�Ç(ÅEÎ&Æ�Ç(È<¼�Å�¿:Ãs½<Í(¿c¿�À�¿�ÒH¿:Ç�½

� ô ï ¼�ÇAÅ�¿�Â�Ã<¿:¿��:¿�Ã�Æ(Ð��3¿��?Ç ¿s½<Í(¿sÍ Æ�ÒHÆ�ÒHÆ�Ã<Õ Í(¼�È<Ò��� ò��cô î���� Æ�Ò�� �"!$# ô #%�&(' ô î &ÊQÁ)���#* �& � �É+���#%� � & � �­Ä�Ç(Å,���#%� î & �.- Ï�Æ�Ã0/�1� �OÐ2�c¿3�(Ç ¿EÄ�À�È<Æ2½�Í ¿^Í Æ�Ò\Æ�ÒHÆ�Ã<ÖÕ Í ¼IÈ<Ò � 4 ò�55ô ï ÊQÁ � $#* �& � �Ð�6�Í(¿�Ç7�� í � HÊ?¿:À9Æ�Ç Â�È"½�Æ ò��3ô î9øBï É�Ä�Ç(ÅYÌ'¿HÅ ¿��(Ç ¿� ýí ZÄ�È089�� í � (:;#=< � &LÉ(Ì;Í ¿�Ã�¿+< � ¼IÈ'½<Í ¿0�?>A@ Ñ ¼9½K½c¾�¿:Î&½<Æ�Ã5Ð

Ñ ¿^Î:Ä�ÇYÈ<¼�Ò\¼�ÀIÄ�Ã�À9ÁNÅ�¿3�(Ç ¿? ýí�B Ì;Í ¿�Ç B ¼�ÈZÄ+Õ Ã�¼9ÒH¼9½<¼�¾�¿\¿�À�¿�ÒH¿�Ç�½ZÆ�Ï ôyï ¼�ÇSÅ�¿�Â�Ã<¿:¿

C Ð Ñ ¿ZÕ Ë�½D ýíEB � 8 � í �B :9#%<�FG&&Ð

� ¼�Ç(Î&¿ ô î Ä�Ç(Å ô ï Ä�Ã�¿�Ê?Æ�½<ÍFÎ&Æ�Ç Ç ¿5ÎL½<¿5Å � Æ�Õ ÏsÄ�À9Â�¿�Ê Ã�Ä�È:ÉQÌ]¿�HQÇ Æ�Ì ô � ô î õ�ô ï¼IÈyÄ�ÀIÈ<ÆPÄNÎ&Æ�Ç Ç ¿5ÎL½<¿5Å � Æ�Õ�ÏcÄ�À�Â�¿:Ê Ã�Ä ÐJI'ÁK8 LM:�Éo½<Í ¼IÈ-¼9ÒHÕ À�¼9¿5ÈA½�Í(Ä�½\¼�½H¼IÈyÎ&Æ�Ç Ç ¿5ÎL½<¿5ÅC¼�ǽ<Í(¿2ÒHÆ�Ã�¿EÂ�¿:Ç ¿�Ã�Ä�À'ÈK¿:Ç(È<¿2Æ�Ï�Í?ÄD¾�¼�Ç ÂPÄPÎ&Æ�Ö�Ä�Ë(Â�ÒH¿�Ç�½�Ä�½<¼�Æ�ÇN�(À9½<Ã�Ä�½�¼9Æ�ÇPO�Q î ôSR îAT 5 ½�Í(Ä�½¿�U�Í(Ä�Ë(ÈK½�È\¼�½J#¯ÈK¿:¿JV]Í?Ä�Õ�½�¿�ÃEØW&&ÐYX�Ï"Ä�Ç�¿:À9¿:ÒH¿�Ç�½2�7 ô ¼IÈH¼9Ç{ÈKÆ�ÒH¿?Q"Z ô É�½<Í ¿:Ç�¼9½�ÈÎ&Æ�Õ Ã�ÆQÅ Ë(ÎL½a¼�È+Æ�ÏZ½�Í ¿PÏ�Æ�Ã<Ò\[+]^#%�_& � õ �a`,� õ D`cb��_d õ �_d d¯ÉcÌ;¼�½�Í£Ä�À�À+�edÄ�Ç?Åa� dfd ¼9ÇY½<Í(Æ�È<¿gQ�h ô Ì;¼9½<ÍNiJjlk�ÐgI'ÁF½�Í ¿^¿�U�Í(Ä�Ë(È�½�¼9¾�¿HÕ(Ä�Ã<½Z¼9ÇY½<Í ¿EÅ ¿��(Ç ¼9½<¼�Æ�Ç�É�¼9Ï� �)m õYn JQ"Z ô É?Ì]¿AÎ:Ä�ÇqÕ Ë�½ m íon �)p #%�q&�½�Æ^Ê?¿Z½�Í ¿AË Ç(¼sr�Ë ¿Z¿:À9¿:Ò\¿:Ç�½c¼9ÇJQ"Z ôHî�øBï½<Í?Ä�½JÍ(Ä�Èt[ ]�usvxw # p #%�_&�& � õ p #%�_&$` p #A�_& õ _` b p #A�ed=& õ p #%�edfdy&LÐz6�ÍQË(ÈsÆ�Ç ¿;Å�¿��?Ç ¿:È

{xL

Page 32: Dieudonne theory for ungraded and periodically graded Hopf rings.

|�}_~o���o�%�q���%�W���W�����?��|��g~��������D�s�����������s�W���W�^���G� ���������M� ���$�¢¡z£����e���o¤¥�¦���3���G������D�%�W�0� �G�g§G� �s¨������s©W��ª0�x���S«������4�����e�G�¬� ���$�­�3�W��� ����ª+�M©W�3��� ������g¤¦�G�W�s�g�®�x���¢«�������$��ª*��� ���(� ���$�¢«G�­�yª¦��¨��W§��x���3�$�W��¯$�3�G���Wª°¡

± ª��e�3�%�W� �W«�¤¥�¥���3�G�W���¥�²�´³gµ?¶z���G�¥�3�M� �3¯$�W� ���x�G·��W§��G� ����¯$ªq�%�$��¯W���W�G�°�����$�G�G�°�������·��$§��z�x�s¯W�3��� �$ª¥�W���?�²�g¸Dµ�¶´� �G�D�3�x���3¯$�W� ���x�"¯W���W�����4���$�G�G���(�����º¹´�s�3�����$�G�o»��� ����¯$ª°¡

¼ �W��ª��y���3�+�����^�%�����(� �W�0½g¾¶,¿ ³4µ�¶^À®¸Dµ�¶Á� ���M��� �WÂW��ª����W���ê��°Ä²�G�°�������x�o·��$§���x�s¯W�°�G���Wª�ÅE��Æ�Ç�ÆAÈxÉÊ���J� �G��ª*��Ä$���3���3�4�x�+¹��s�3���G�W�G�o»�4¨������G�s�°ªºÅ�½ ¶ �Ë��ÆÌ�(Ç�ÆAÈxÉe«�¤¦���3� �½ ¶ �sª�� �G��§G� �3©����$��ª^�%�G�������W�g½ ¶ ¿ ³ºÍ ¶ Àθ^Ï ¶ «o�x���Kª*�e���Y� ���M�������?§������������ ª}MÆÑÐ ¿ ��Æ��Ã�ÁÐ�ÀÒ��ÆsÓ_Ð0�3�x� � �^�M©$�3��� �Á� �G�+§G�������e�(� ª�}xÔÆfÐ ¿ ½ ¶ ��Æ��ʽ ¶ �ÁдÀÕ½ ¶ ��ÆsÓ_Ð�Wªo¯$��©$�3�º�²�?Ö�� �W§_�$ª��¬� ���$�4×e¡ ØG¡

Ù �4¤ �W�$�Á���J���3���G�4���%�����(� �W��Ú�¾¶Û¿ ¸Dµ¶gÀܳgµ?¶2���­��¤o�E�J� ���M�^¨��WÂW��ª����G�§��W�����˽g¾¶ Ý Ú�¾¶ �"�W�2�°Ä²�G�s©M�x�s�3���3�¦�x�Þ�3�M� �3¯$�W� ����ª3¡ Ù ��¤¦�s�s����ª��o���G��§G���°©����$��ª"�%�G�������$� Út¶�%� �W¨ß¹´���°�����W��� »�4à2á�âMã�ä�å�æ^� �?·��W§��0çMä è²å�é�ê�çMæ(¡^ëG�$�+���G�yª+¤¥�^����ª����G�3���Ã�W�Ã�W��ì����s�s�W���§G� �W§_�$ª��¬� ���$�¢¡

ë�����ª���ª��W¨�� �G�x���M���s�W��¡ Ù �o²���M¤S�%���$¨7§G� �3©��s�W��ª�ª*���(� ���$��ª������x���A½ ¶ Ý Ú ¶ ���%�W� ¨�ª"�W��°Ä²�G�s©M�x�s�3���3�z�x���3�x���3¯$�W� ����ª_�e�3��¤¥�°�3�0¯W���W�G�°�+���W���G�°�����°��·��W§��G�x�s¯W�°�G���Wªq�x����¹´���°�����$�G�o»�¨������G�s�°ª°¡tío����ª3«��%�W�¦���W���·��$§��"�W��¯$�3�G�����Õ��³ºÍ^¶x«G¤¥�0�e�E©W�0�ïî� Út¶(½g¶W�A�a��¡ ¼ �W����"ðÁ«M�$��ª���¨�§G�s�0� «M���G�yª��sª��W¨��W� §G�G�yª�¨ñ� ¿ �ßÀòÚt¶�½g¶x�Ë�a�(¡ ± �yª*�e«E�%�W���°�W���^¹��s�3���G�W�G�o»�¨������G�s�Áóô�?¸^Ïﶴ� �G�3� ���sª¦�W�?�yª��W¨��W� §G�G�yª*¨öõ ¿ óÜÀÕ½g¶�Út¶W�Ëó÷��¡

ø �3¨2�W�� ¿gù �0óú�sª��W�����G�º�%�W� ¨ûó �ß½ ¶ �ü�%�W��ª*�$¨���·��$§��´�W��¯$�3�G���J�S«t���G�°�

ýWþ

Page 33: Dieudonne theory for ungraded and periodically graded Hopf rings.

ÿ������������ ������������������������� �"!#!$�&%('#��)*��'$��)�+,�.-

�0/ 132 4 //

576 4 8 $$IIIIIIIII

�9

��� � � � ��:��;����=<=�>� �"+?�=��@,�A1B�>������'$<���-*��+DC���'E<�-GF�'#�H�D��+D-*<����¥ÿI�.�J�LKM'E@���NOK��=+D<D��PRQS���&�?'E<��

%T�U@��.�VC�'$@,WXFY�.����ÿZ'$�[<�\�@,�[��%S�^]����J�&��ÿ_/ `a2�/cb:2(deFS/ `f/gb:2h2i� ��+j`HkA�lde� � �

�.�J�mb�kX�n/ 132_/o� �"+j�.!$!>132pP

q�r&s�tusJv w x wcsay{zf|c}:~�|?�����[���o���o�a�,�&�?���.�o�p�o���V�&��� �f� �>� � � ��� �#�a�[�o�L�R� � �o�J�

�&��� ���������o���o�a�,�&�(���.�o�p�o�����&���� �M����/g� � 2 � �u�./�� � 2����u�./�� �#�7� 2� 

¡T��¢ ¢¤£  _¥_'$K����m�����?C��.'$+�'$��) �¦� � �A� § // �¦�$�a� %T��@=�.�X)����i�R�J�&��\�+D��!>C��.'$+�'$��)

� � � � /g�¦��2 � � � � � /g�H��2 ¨§ // � � � � /��¦�$�a�^2

©M]�ÿ_/ `a2=ª� ÿ_/ «�2�dPÿ_/ ` � «�2pP¬QS��'E<��:��;J���=<���!$<��i�SC���'#+D'#��) ����/g� � 2 � ����/g� � 2®­¨§ // ����/g� �#�a� 2

��<S'$�¯�����?C�+��=K�'$��\J<u!$��-*-����J�.���¯<h�*%T�?�:��;����������?C���'#+D'$��) �&� ��<_°ª� P

± �U@=�.�¯���&%²����;������D����� \���@����"+_��³� � �U´ � �¶µ ´ � ��<T� �"!#!$�&%i<��

· �"+T� ��@,��<��=¸�\��=��@��R¹^�0�»º �c¼.½*�.�f¾�'$��\��:�"���S¿��-*�M��\�!#� <S%u��)����u�D���?@���+D+D�=<�CJ�"���:'$��)

<��=¸�\����J@��?¹.� � /��¦�g2pº �c¼.½R����Ài��C��3�.!$)���©�+D�"<��.%(����+D�_� � � �R� � �Áµ¯Â � 'E<��D���j'$�MK��=+D<��

� \���@����"+S�������_�&µmÂÃ�i� �R� ������<S)"'#K"���¯'#�VQS���=��+D��-ÅÄJP Æ�P

QS�����3�?)�'$K����Ç�ÈC�+D�M��\�@p� �.�É� �R� �u� � � � � �$�a� �?%T�Ê����;����Ê�D���¦C�+D�:�:\�@p�

�&���� ��� � /g�¦��2 � � � /g�A� 2���� � /��¦�$�a� 2S��<S'$�VË�+D��Ca�"<�'Ì�D'#�"��Ä�PÉÍ:P

/cÎj�.���������.�=�¬<h'$��@��X� � �����Ê� � �.+D�*'#�MK��=+D<��Ã� \���@�����+,<=�3� �"+U�=�"@,�Ê� k �Ã� � %u�

���^K"���ÐÏ�ÑBÒHÓ_¹^Ài�"-ÃÔTÕ¬Ó"/g�0/ 132�Ö,� � /g�I2�2,º^×MØJÙ�P�QS�M\�<(� ��@,�V�lk �R� � 'E<('$�¯�c��@p�

'E<h�"-Ã�"+�C���'$@j����� � /c�L2u� �"+i<h�"-*��Àj��C:�B�.!$)��=©�+,���L2�P

Æ�Ú

Page 34: Dieudonne theory for ungraded and periodically graded Hopf rings.

ÛAÜLÝ(Þ#ß$ßjà�Ü=Ü=áÈâDã�ÜVä å�ß$ß$å&Ý(Þ#à�æ0ç�è:é:Þ#ß$ÞEç.êDënì�ç�ß$ì�è�ß$ç.â�Þ$å�àYÞ$àYâ�ã�Ü[í�ê�åMå.ä�å.ä�âDã�Ü[à�Ü�é�â

î å�êDå�ß$ßEç.êDë�ï

ð�ñMò0ònóVô3õgöM÷3õ�øfù&ú�û,ü�ý,þ*ÿaú������������&û����Hü ��ù,ÿ���ü�� �"û���ú�ü�������û_þ�ü��&û

��� ��!#"$ ! �#%&%�')(�*Tú�ù ù+�-,/.Mè�í�íJå10hÜ2�VÞ30SÞ#àVá:Ü=æ�êDÜ�Ü/4AïBÛHÜ50�Þ76*í�ß$ë�ä å"ß#ß$å&ÝZâDã�ÜUì�ç�ß$ì�è�ß$ç.â�Þ$å�à 8

� �9� !;:$ ! �#%<% ! �>=?%�' $ � ��@ :$ ! �#% ! �>=A%AB'DC $ �9� @ $ ! �E%ABF'G�IH Þ#äKJL'G4NM$ �9� !PO %�' O H Þ#äKJRQ'G4Hï

S TVU�T#WPW ó U�X ô3õ�YVZ3õ\[7þ�û]�&^_�aý`�Où.úbadc 8fehg\ikj l5g\i þ�ü�m�ü ú��n�^þo�²üqp?r�ù����V�s/cf8�l5gti�juehgvimü��Epd� þ�û(ÿ�ü��oú ! adci H&s/ci %w��ù&ú�� mRü��Aû&x`^_���^ü��#û`�aý,û*ù+��ý,ü��»ûA�"ù.ú��cû�m`,*Tú�ù ù+�-,/.MÞ$à�ì�ÜLâ�ã�ÜAÜzy�è�Þ|{&ç.ß$Ü�à�ì�Ü~}aÜ�â¤ÝTÜ�Ü�à��iå�í�ä�ç.ß$æ�Ü`}�êDçq0�Þ#à�e�� i ç.à�áb�jÞ$Ü�è�á�å�à�à��Ü6*å:á:è�ß$Üz0RÞ#àl ��i�ÝSç�0Rç.ß$ê�Ü ç�á:ëHÜz0hâDç�}�ß$Þ|0�ã�Ü=á ��ç&â�âDã�Þ30Ríaå�Þ$à�âRÝTÜ�ã�ç�{"Ü�â�åÊá:Ü ç.ß �¤è>0¤âÝ(Þ#â�ã¯â�ã�Ü?í�ê�å:á:è�ì�â<0R� =�� ç.à�át���=�� á:Ü-��à�Ü=á¯å�àmâ�ã�Ü�0hÜUì=ç&âDÜ�æ�å"ê�Þ$Üz0=ï

.Mè�í�íaåq0�ܯÝuÜ�0hâDç�êhâÃÝ(ÞÌâDã0âDã�Ü�í�êDå:á:è�ì�âd� =�� 8L� =I� � � j�� =|�#� ï��Sã�Þ|0Rí�êDå:á:è�ìpâ

Þ$à�á:è�ì�Üz0����=�� 8�ahi`� =�� ahi`� � j�ahi`� =7�#� ïL�Sã�Þ30�à�Ü�ÝYí�êDåMá�è�ìpâ����=�� Þ$à�á:è�ì�Üz0�Þ#à�Þ#â<0�å&Ý(à

êDÞ#æ"ã"â(çRí�ê�å:á:èJìpâ��� �=�� 8 $ ! ��=;% � $ ! ����%�j $ ! ��=7�#��%�Ý(ã�Ü�êDÜ�ã�Ü=ê�Üq��ç�0�}aÜ�ä å�êDÜ�� $ 0hâDç�à�á�0ä å�êSâDã�Ü?Þ30håq6Ãå"ê�í�ã�Þ|0�6�s i a i Þ$àmâDã�ÜUì�ç.â�Ü=æ�å�êDë�e�� i ï

� àÊâ�ã�Ü�å.â�ã�Ü�ê�ãJç.à�á9�fâ�ã�Ü�í�êDå:á:è�ìpâd� =�� 8K� =K� � � j�� =7�#� Þ$à�á:èJì�Üz0Rá:Þ$ê�Ü ìpâ�ß$ëAç

í�êDå:á:è�ìpâ (� =�� 8 $ ! � = % � $ ! � � %�j $ ! � =7�E� %�}Më $ ! �E% (� $ !P  %�' $ ! ���   %�ï¡»àYå�ê,á:Ü�ê*âDå¦í�ê�å�{"Ü�âDã�ÜVÜzy�è�Þ|{&ç.ß$Ü�à�ì�ÜVå.ä_ê�Þ$à�æ0ì�ç.â�Ü=æ�å�êDÞ$Üz0z��ÝuÜVà�Ü�Ü=á{âDå�0�Ü�ÜXâDã�ç&â

(�¢'���� �P�:âDã�ç&âiÞ30z�Mâ�ã�ç.â(â�ã�Ü�â¤ÝTå*í�ê�å:á:èJìpâ<0(á�Ü-��à�Ü á¯å�à $ ! � = % � $ ! � � %Sç�ê�Ü�â�ã�Ü50Dç�6*Ü"ï

£q¤

Page 35: Dieudonne theory for ungraded and periodically graded Hopf rings.

¥1¦<§�¨©¦¢ª¬«7¦�­¯®�°P±#²¢³�®�°P´�µ;²§�¶>·¸®�°+¹�²/³�®�°P´�º�²-»9ª¬­�¼`¨<¼�±N«|½¾�¨<«7¿�«7¦�«|À�¼ «7¶N·_¼`Áq¨�¼z¼ÂNÃ�Ä ­�¼`¶vªÅ¼2­>§�À�¼¢®�°P±#²KÆ�Ç Ç�®�°+¹�²wÈ]®�°É±E²VÊËÆ Ç ®�°PÌ_² Ã

Í�Î ·_¼`ÏV¶�«7¦�«|Ð�¶\Ð�Ñ ÊÆ2¦<­�«3½¬Ò>¼�Ó-Ðq¿�¼�½2Ô Õ®�°P±#² ËÆ Ç�Ö®�°+¹�²?×A°ÉØKÙ¢² ÃÄ ­�¼`¶F»�Ò Î ·_¼-Ï>¶�«n¦<«7Ðq¶\Ð�Ñ�ÚÆ1»_¦�­V«|½¬Ò#¼zÓ`Ð�¿�¼z½2Ô Û°PÛ�Ü Ý�°;Õ®�°P±#²&² Æ�Ç�Û�Ü Ý�° Ö®�°©¹�²©²�²A×?°�ØÞÙ¢² Ãß ¼5§�à|½�Ð�Á�¼`¦�¦<­�«3½�¦�Ð�Ò#¼2¼zá1âV§�à ¦�Ðd®�Ô7Ô Û�Ü Ý�° Ë®�°P±#²<²FÆ�Ç�Û�Ü9Ý�° Ë®¬°©¹�²©²?×A°ÉØ Ù ²A× Ãã Ð�ªäâ>½©¼N¦�­V¼N¾V¨�¼zÀ1«|Ð�â>½våF¼`¿�¿d§æ à ¹�ç§�¶V·bÁq¼-¦v¦�­�¼�à3§�½©¦t¼-è_¾�¨<¼z½<½©«|Ð�¶�¼�á1âV§�à/¦�Ð

®�Ô Ú±�Æ Ç Ú¹1°�Ø Ù ²A× ÃÍ â_¦z»>Ò Î ¦�­�¼5Ó`Ð�¶V½©¦�¨<âVÓ-¦�«|Ð�¶vÐ�ÑwÆ�ÇEÑÉÐq¨Ré�¨<Ð�¾#Ðq½�«n¦<«7Ðq¶�æ Ã ê »_¦�­�«3½¬«3½�¦�­V¼�½�§�¿�¼¢§q½�®�°É±�ƹ�²�È�®�°É±#² ÚÆ�®�°©¹�²�»>§�¶V·\½�Ð ¦<­�¼2¨<¼z½�â�àn¦¬«3½�¾�¨<Ð�À�¼z·hÑÉÐ�¨�¦<­�«|½RÓ`§�½�¼ Ãß ¼ë½�­�Ð�âVà|·ì§�à|½�Ðu·�¼-¦�¼z¨�¿�«|¶�¼�¦�­V§�¦í¦<­�¼î¾�¨�Ð_·_â>Ó�¦ïÐ�Ñ�®�°+¹�²ð³ ®�°P´ µ ²í§�¶>·

®�°ÉÌ�²�³ñ®�°P´�º�²h«|½�¦�­�¼�½<§�¿�¼¸«|¶�Ò>Ð�¦�­òÓ`§�½�¼z½�ª¬­�¼`¶V¼`À�¼z¨�ÌG«3½�§ó¾V¨�«|¿�«n¦<«7Àq¼~¼`à|¼`¿�¼z¶q¦Ð�ÑÞ´�º Ã�Ä ­�«|½�«|½¬§qÓ`Ó-Ðq¿�¾�à7«3½�­�¼z·�«7¶\¼`è_§qÓ�¦<à Î ¦<­�¼5½<§�¿�¼/ÑP§�½�­�«7Ðq¶�ª�¼¢âV½�¼z· Ã

ô «7¶V§�à7à Î »9ª�¼�½©­�Ðqâ�à3·¸¶�Ð�¦�«3Ó-¼5¦<­V§�¦�»F§�½/½�¼`¼`¶¯Ò>¼`ÑÉÐ�¨<¼�»#ÑÉÐ�¨2Ó`Ð�¶�¶�¼�Ó�¦<¼z·~õRÐ�¾_Ñ�§�à|Á�¼`ÒV¨<§q½¦�­V¼~¿d§�¾�Ð�Ñ�Ó-Ð1§�à|Á�¼`ÒV¨<§q½�Æ�Ç Çhö/®�°�´ µ ²¬÷f®�°P´ º ²¯øù®�°P´ µ7úEº ²hÒ#¼zÓ`Ð�¿�¼z½�Ó-Ðq¿�¾Và7¼`¦�¼`à η_¼`¦�¼`¨<¿�«7¶V¼z·¸Ðq¶VÓ-¼�ª�¼�·�¼-ÏV¶�¼�«7¦2Ð�¶¸¦<­�¼�¾�¨<«7¿�«7¦�«|À�¼z½ Ã�Ä ­oâV½¦�­V¼ ¦+ª�Ð\§�Ò#Ð�À�¼�¾V¨�Ð_·_âVÓ-¦<½Ð�¶\õ�Ðq¾_ÑL§�à|Á�¼`ÒV¨<§q½�§�¨�¼¦�­V¼5½�§�¿�¼/ÑÉÐq¨�§�à|à ¼`à|¼`¿�¼`¶1¦&½ Ã

Ä ÐhÓ`Ð�¶VÓ`à7â>·_¼¢¦�­�¼�¾�¨�ÐoÐ�ÑKÐ�ÑI¦<­�¼5¼zá1â�«|À�§�à|¼`¶VÓ`¼2Ð�ÑÞ¨�«|¶�ÁhÓz§�¦�¼zÁ�Ðq¨�«|¼z½z»oªÅ¼2¿ âV½+¦/·_Ð�¦�­�¼½<§�¿�¼Å¨<¼z§q½©Ðq¶�«|¶�Á�ÑÉÐq¨I¦<­�¼�¦+ªÅÐ/¶V§�¦�â�¨&§�ào¾�¨<Ð_·_âVÓ�¦&½KªÅ¼¬Ó`§�¶�­V§�Àq¼Rû�ü�ý5ûPþ`ÿ�����üVü��þ������ÿ�7þ � ÃÄ ­oâV½z»_ªÅ¼¢¾�¨<Ð_Ó-¼`¼�·�§q½¬§�Ò#Ð�À�¼ Ã

¥1¦<§�¨©¦�ª¬«7¦�­v¦<­�¼2¾�¨<Ðo·�âVÓ�¦Æ µ�º ö�� µ ÷�� º ø�� µ|ú#º ÃÄ ­�«3½¬¾�¨<Ðo·�âVÓ�¦¬«|¶V·_âVÓ`¼z½Æ�ǵ�º ö����� µ ÷����� º ø����� µ|ú#º Ã

���

Page 36: Dieudonne theory for ungraded and periodically graded Hopf rings.

�������! �"$#&%�')(�*�+�,.-0/213546�7 �*�+�,."8�! �(9#&:�%�')(�*�+�,.-0/21 1354�;2<>=@? 3BA8C <>=@? 4A�D <>=@? 37EF4GA H

IJ"')"�K�<L�M�6-N��"O���P(�QR(�')%����M�)QTSVU8W�UX�M Y-N��"�,$:2-)"Z�(�'N[]\_^`U H

a b-N��"c(2-N��"$']��:� �*dK0-N��"c(�'N�7Z��7 e:2f6%�')(�*�+e, -g/ 3h4 ;6i 3 C i 4 D i 3MEj4 �M �*�+�,$"�*��M')"8, -Nf7[g:R%�'N(�*�+�,.-_k/ 3h4 ;2<>=li 3 AmC <X=li 4 A0D <X=ni 3MEj4 A6o [V<X=@p A k/ 354 <X=rq A�s <X=@pR/tq A H

uv"O �"$"*Y-N(]�)��(9#w-)��:2- k/ s /91 1m:���%�'N(x*�+�, -y�z*�".{� �"*|(� |<X=ni 3nA}C <>=li 48A.H

~ -N:�'P-c#z�7-)� kp���<X=ni 3BAvs S U W U =ni 3lA�s�� I�(�Q]�t����=@?&=@� A � W U =ni 3BAPAy�G�x�e� �M *�"Z�'N"$"������g:� �* k� �b�R=li 4$A �M v*�"Z�'N"$"���Kj#z��"$'N"�p&�&W U =li 3BA �M�>:V%�'N�MQR�7-)�M��"R�M *�"Z�'N"$">�`:2 �* � ��W�U�=li 4 A �����7 �*�"Z�'N"$"��$"')( H

����"$ �K�:9-z�!��K�#6"���:G��"

� kpR/ 1 1 k�$� =r� � A0s � kp}=¢¡ k/ A 1 k�.� =r� � A�s kp!=rpj� A ¡ k/ k� = � A

o "8,$:�+��P"�(�£}-N��"�*���:2Z�'y:2Q o "$fM(9#¤*�".{� ��M �Z�= ¡ k/ A 1m�7 |-)"')Q���(�£ ¡ k/ H

?&=@� A

��

ED

BC

¥¦�§M¨ ¥©Nªr« ¥¬

oo

?&=r� A�C ?&=@� A //

¥¦G­ ¥¬��

?&=r� A�® ?&=@� A¯

��W]=ni 3 A�C W]=ni 4 A ¨ ¥©// W]=li 3MEj4 A

°J(9#±#t"RZ�"$-X-N��"]%�')"�x�7(�+��>".²�%�'N"�N�P�M(� �"8³�+�:2f!-N(Yp ¡ k/ � o [v*�".{� ��´-N�7(� v(�£ kpµ:2 �* k� H

���������M� � kp k/ k� � =¶� � Ato [g*�"${� ��7-)�M(� |(2£ ¡ k/�K�:2 �*|�)( k/_:� �*c/21 1�*�(]�7 �*�"$"*|:2Z�')"">:2-�� � £r(�'kp�:2 e* k� H

�������O�7Q]%�fM�M"��-N��:9-�-)��"$[v:�Z�'N"$"R(� �:2fMf0p���?&=@� A ;�·}�M'y�¢-8K� �(�-)��,."R-)��:2-O-)��"�Q�:�%

¸ � C ¸ � ;�?&=@� A0D ?b=r� A�® ?b=@� A #�:���*�".{� �"*��M V:�#6:G[�-)��:2-�Q�:2¹�"���7-t*�"%e" �*](� �fM[(� c�7-N���G:�f7+�"�:9-�pj�T= o ",:2+��)"�(�£!,$(�Q]Q�+�-y:9-N�7(� |#z�7-)��º�"'N�N,y���M" o +� �Z�� A H ���x+��$K�{�²��7 �Z

»2¼

Page 37: Dieudonne theory for ungraded and periodically graded Hopf rings.

½)¾�¿OÀGÁ�Â7Ã�¿>Ä�ÅOÆÇ]È9É É ÆÊ Á9½zË!ÌÎÍ�Ï�¿Ð�Ñ7½NÐzÀ9Á2ÂMÃ�¿O¿À�¿$ÒNÓxÔz¾�¿$ÒN¿�Õ

Ö Ã�½×ÆÇ ÆÈ ÆÊ Á�ÂMÐ)Ä&Ø�¿$Ùj¿$ÚeØ�ÐgÄ�Ú�ÂMÓ�Ä�ÚLÑ´½yÐgÀ9Á2ÂMÃ�¿ÛÁ2½ Ç ÌRÜzÝ ¿ÞÁ2Ã�Ð)¿¤ÆÇ�ßáàRâlãµänå Á2ÚeØÆÊ ßÛàRâlãvæå Ü Ôz¾�ÑMÞy¾�Á�Ò)¿>Ñ7Ú|ç�è�é�Á2Ú�Øg½)¾xÃ�Ð�Ð)Á2½)Ñ�ТÅrÓYê â ÆÇ ÆÈ ÆÊ å0ë ê â ÆÇFå�È ê â ÆÊ å Õ

ì Ä�Ð)¿$¿R½N¾�Á9½�Ñ7½�ÑMÐ�¿$Ú�Ä�Ã�í�¾v½)Ä�Ð)¾�Ä9Ôî½N¾�¿VÒN¿Ð)Ã�´½OÑMÚï½)¾�¿VÞÁ�Ð)¿RÄ�Å�ÆÇ Á�Ú�Ø ÆÊ Ü ÔzÑ7½)¾ ÇÙ�ÒNÑ7ð]Ñ7½)ÑMÀ�¿ Ü Ú�Ä2½NÑMÞ$¿6½)¾�Á2½ Ü2Ý Ó�Þ$Ä�Ú�Ú�¿8Þ ½N¿Ø�Ú�¿8Ð)Ð Ü�ñ ÆÈ ÑMÐ�Þ$Ä�ð]Ù�ÂM¿.½N¿$ÂMÓ�Ø�¿.½N¿$ÒNð]Ñ7Ú�¿8Ø Ý Ó�Ñ7½NÐ!À9Á�Â7Ã�¿Ä�Ú|Ù�ÒNÑ7ð]Ñ7½)ÑMÀ�¿8Ð$Õ

ò Â�ÐPÄ ÜmÝ ¿Þ$Á�Ã�Ð)¿RÄ�Å�ê â ÆÇ ÆÈ Æóxå�ë ê â ÆÇFå!È ê â Æó�å Ü6ÆÈ ÑMÐOÞ$Ä�ð]Ù�ÂM¿.½)¿Â7ÓvØ�¿.½N¿$ÒNðRÑMÚ�¿8Ø Ý Ó�Ñ7½NÐÀ9Á2ÂMÃ�¿�Ä�ÚcÙ�ÒNÑ7ð]Ñ7½)ÑMÀ�¿8Ð$Õ

ô ¿¤ÐP¾�Ä�Ã�Â�ØõÁ�ÂMÐ)Äî¾�ÁGÀ�¿×Ø�¿.½)¿Ò)ð]ÑMÚ�¿Øõ½N¾�Á9½b½)¾�¿LÙ�ÒNÄ�Ø�Ã�Þ.½bÄ2Å ÆÊ ß÷ö>âlãµänå Á2ÚeØÆóøßùö>âlãvæ8å ÑMÐg½)¾�¿ïÐ)Á�ð]¿�Ñ7Ú Ý Ä�½)¾wÞÁ�Ð)¿ÐgÔz¾�¿$Ú�¿À�¿Ò ó ÑMÐ|ÁµÙ�ÒNÑ7ð]Ñ7½)ÑMÀ�¿v¿$ÂM¿$ð]¿$Ú�½YÄ�Åú æ Õ ì ¾�Ñ�Ð�ÑMÐJÁ�Þ$Þ$Ä�ð]Ù�ÂMÑMÐ)¾�¿ØYÑMÚY¿$Ï�Á�Þ ½NÂ7Ó�½N¾�¿�ÐNÁ2ð]¿>Å@Á�Ð)¾�Ñ7Ä�ÚcÔt¿�Ã�Ð)¿ØdÕ

ì Ä|Ø�¿Á�Â�ÔzÑ7½)¾�½N¾�¿_ÞÁ�Ð)¿�Ä2Å0í�Ò)Ä�Ã�Ù�ûBÂ7ÑMü�¿OÑMÚÛØ�¿í�ÒN¿$¿Oý¿$ÒNÄ Ü Ôt¿�¾eÁGÀ�¿O½NÄgÞ.Ä�Ú�Т½NÒ)ÃeÞ ½XÁ�ÚÑMÚ�À�¿$ÒyÐP¿RÅrÃ�ÚeÞ ½)Ä�Ò]þ�ÿé�� ç�è�� é���� è�� é Õ�Ä�Ò�½)¾�Ñ�Ð Ü Ô6¿Ví�¿Ú�¿$ÒyÁ2ÂMÑMý$¿R½)¾�¿|Ø�¿.ÍeÚ�Ñ´½NÑ7Ä�Ú�Ð�Ä�ÅÑMÚ�Ø�Ã�Þ$¿Ø|Ù�Á2ÑMÒNÑ7Ú�í�Ð ñÈ Á�Ú�Ø ÆÈ Ôt¿�ÑMÚ�½NÒ)Ä�Ø�ÃeÞ.¿ØYÑMÚY½N¾�¿�Þ.Ä�Ú�Ú�¿8Þ ½)¿8ØcÞ$Á�Ð)¿�Õ

â�� ½�ÐP¾�Ä�Ã�Â�Ø Ý ¿YÒN¿$ð�Á2ÒNü�¿8Øï¾�¿$ÒN¿V½N¾�Á9½_½)¾�¿ �ÑM¿$ÃeØ�Ä�Ú�Ú��¿gð]Ä�Ø�Ã�ÂM¿VÅrÄ�ÒRÁÛí�ÒNÄ�Ã�ÙµÒNÑ7Ú�íÑ�Ðg½N¾�¿�Ã�Ú�Ø�¿Ò)ÂMÓxÑ7Ú�í�����ûnð]Ä�Ø�Ã�ÂM¿ Ü Þ.Ä�Ú�Þ.¿Ú�½)ÒyÁ9½)¿8ØLÑMÚÎØ�¿í�ÒN¿$¿vý$¿$ÒNÄ�Á�Ú�Ø ÔzÑ7½)¾ÎÑ�Ø�¿$Ú�½)Ñ7½¢Ó� ¿$ÒyÐNÞy¾�Ñ7¿ Ý Ã�Ú�í å Õ

ì ¾xÃ�Ð Ü ÁÛÙ�Á�Ñ7ÒNÑMÚ�í È ��� é ú ä�� � é ú æ ��� é ú ä��jæ ÑMÚ�ç�� � é Ñ7Ú�Ø�Ã�Þ.¿8ÐRÁvÙ�Á�Ñ7ÒNÑ7Ú�íñÈ � ú ä�� ú æ � ú ä��jæ ÑMÚ ��� � é Ý Ó â! �Çjå ñÈ�â#"yó�å_ë â! �È$".å$ârÇ ñÈ9ó�å Ü Ôz¾�¿Ò)¿YÔt¿YÃ�ÐP¿g½)¾�¿Ù�ÒN¿$ÀxÑMÄ�Ã�Ð�Ø�¿$Í�Ú�Ñ7½)ÑMÄ�ÚcÄ2Å ñÈ ÅrÄ�ÒJÞ.Ä�Ú�Ú�¿8Þ ½)¿8ØYÁ�Â7í�¿ Ý ÒyÁ�ÐÕ

ò Â�ÐPÄ Ü ÁgÙeÁ2ÑMÒ)ÑMÚ�í È � ú ä � ú æ � ú ä��jæ ÑMÚ ��� � é Ñ7ÚeØ�Ã�Þ.¿8Ð�ÁgÙ�Á�Ñ7ÒNÑMÚ�í ÆÈ �&% â ú ä å��% â ú æ8å �'% â ú ä��jæGå ÑMÚ ��� � é Ý Ó % â! �Çjå ÆÈ % â(" ó�å6ë % â! �È�".å.â % ârÇjå ÆÈ % â@ó�å)å Ü Ôz¾�¿$ÒN¿�Á2í�Á2ÑMÚ

)+*

Page 38: Dieudonne theory for ungraded and periodically graded Hopf rings.

,.-0/213-04657-98;:6-=<�>@?+/71BAC-ED2F;>G4H>@?+F?JI�KL I�?+:NME?+F;F;-=ME46-OA�PRQ@S+-UT;:VPR1=WX 5;-UFYPZ87PR>@:H>@F7S L\[^]�_a`�]cbed ]f_�g&b >�F�h�ikjlm>�F7AC/7MU-=1^Pn87PR>@:H>@F7S

Lpoq[Rrs_2`�rabtdurs_@gvb >�F�w�xajl T�y LJo2z|{KL W} 4~T2-OME?+��-O1���/7134aP�:6?+/C46>�F;-���Pp4646-U:$4H?�8;:H?p<R-�4657PJ4 Lpo o�z KL ?RF���� rs_#��` �.� rab����

16>@F7MU-B4657-NT7PR16>�MB,�?+:6��,.P+1�AC?+F;-�PJQ�:H-=PRA;yRW X 5;-�1HPJ�s-NME?+F713>�AC-=:HPJ46>�?RF71�PR:6-B>�F�?+:HAC-=:�I�?R:4657-�4�,.?�82PJ>�:6>�F;S+1 Lpo o PJF2AcKL ?RF;-$MUPRF�AC-UD7F;-0?RF��0� ] _ �v` �t� ] b ��� ,B5;-=:6- ] _ PJF7A ] bPJ:H-$��>�-U/7A;?RF;F��-0�s?CAC/;Q�-=1N>@F�h�i�jl W� -952P�<R-0465�/71 [

���7�p�&�!�(�C�����¡ £¢¥¤& ¦v§7¨ª©V«C¬&­U®°¯J±³²�´l [ w�µ�jl d h~µ�jl §7¶�·¸¶¹±�ºG»�§�®¼¶+½¿¾U¯Jº£¬7®À ´l [ h~µjl d w�µ�jl ¶p¬v½�®�§;¨BÁ;¶Jº£± � ²�´l~ À ´l � ©E¯p±�Ã�·�¶p¬c¨VÄU«Cº£Å�¶JÆ@¨U¬&­V¨s¯�©a­V¶p®¿¨°»+¯J±�º!¨�·UÇ

ÈRÉ

Page 39: Dieudonne theory for ungraded and periodically graded Hopf rings.

Ê ËÍ̸ÎÐÏÒÑÔÓ Õ

Ö ×tØeÙ Ú Û�Ü Ü ÝØ ÞZß ØÐÛáàãâ ä�Ûåà

Ù Ü æáàZçèÚ ØÍÚ é Ûáê ä ç�ëtæáØ'ì àZçèí

î�ï;ð�ñBòVï7óJô;õ6öU÷BøBð�ù�ù¥úRöUû7öU÷VóJù�ð@ü=ö�õHï;ö9÷6öOñ3ý7ùGõVñ.þ�÷6ÿ��Zõ6ï;ö9ô7÷6ö�� ð�ÿRý2ñ.ñ6ö=òEõ6ð�ÿRû�õ6ÿ�ñ6ÿ��sö9òUóJõ6ö��úRÿ+÷6ð�ö=ñ�ÿJþ��Nÿ+ôCþ�óJù�úRö7÷Hó+ñ�ÿ��+öU÷ ����õ6ï2ópõNû;ÿpø��;ÿRû�� õNû;ö=òUö=ñHñ6óR÷6ð�ù���òUóJ÷H÷��só�ú+÷Hó��Cð@û7ú����cöñ3õ6ý�����õ6ï;ö=ð@÷��tð�öUý��Cÿ+û;û��ö �sÿ��Cý;ù�ö=ñ�óRû��!��ð�öUý��;ÿRû;û��ö�÷Hð�û;ú+ñsóJû"� ô7÷6ÿ��+ö�ö$#+ý7ð%�póJù�öUû2òEö=ñ&öEõ�ø.öUöUû�ò=ópõ6ö=úRÿ+÷6ð�ö=ñ ÿJþ&�Nÿ+ôCþqóJù�úRö�;÷Hó+ñ�óJû��'�tð@ö=ý��CÿRû7û(�ö)�sÿ��Cý;ù�ö=ñ�*+óJû"�+&öEõ�ø.öUö=û�òUóJõ6ö��úRÿ+÷6ð�ö=ñ ÿRþ,��ÿRôCþ¥÷Hð@û;ú ñ�óJû��'�tð@ö=ý��Cÿ+û;û��öB÷Hð@û7ú+ñ��-� ö�òEÿ+û+õHð@û�ý;ö.õHÿ~òEÿRû2ñ3ð.�CöU÷�õHï7ópõ.óJù�ù��Nÿ+ôCþóJù�úRö�;÷VóRñ�óR÷6ö/7ð�òUÿ��'�aýCõVópõHð%�+ö��10Nû³ý7û;úR÷Vó��Cö$�2�Nÿ+ôCþ�óJù�úRö�;÷Vó�øBð@ù�ù32ö òUóJù�ù�ö��5476�8"98;:74<=:7>�ð@þ�ð@õaòEÿRû õVóJð�û7ñ$óJû ö?Cï7óJý7ñ3õ6ð��RösòEÿ óJý;ú��söUû õHóJõ6ð�ÿRû/@2ùGõH÷HóJõ6ð�ÿRû��+A°õ~øBð@ù�ù�2ö�ò=óJù�ù@ö$�B :�6DC':<FEHGI4�9KJLG%M�:$ð@þ.ð@õ~òUóRûN&ö�øB÷6ð@õ3õHöUû�óRñO���-P QSR;T2U'V�*qøBï7öU÷Hö+�W�XP QSR�ð�ñ9ó�ú+÷6ÿ+ý;ô ÷Hð@û7úóJû"�YUZVað�ñ�ó òEÿ+û;û;öOò�õ6ö$�Y�Nÿ+ôCþtóRù@ú+ö;÷Vó[�]\�û;úR÷Vó��;ö���òUÿRû;û;öOò�õHö��Y��ÿRôCþtóRù@ú+ö;÷VóRñaóJ÷HöúRö=ÿ��söEõH÷6ð�òH�°ù�ð%^+ö��

_W`

Page 40: Dieudonne theory for ungraded and periodically graded Hopf rings.

a'b�c dfe gih�jlknmokqp)rsene mop(tumvkqwqr+x yzj|{gimv} h�jl~2j|e k�t�� mO��h� ��mv� knrsene��m���r�k/�n{�mo~

���[���"�W���|���.�v��� �[�[���7���[��� ���������'�i���7���������������W������������D�������3�������%����[�7�+ )�¡��¢/�������[�¡�������� �i�����[�+£s�W���������¢[���¤ )�%��¢¥�s���W�D�[���'��W���D�������z£§¦f�i¨�©N�3���������������H�(�¡�7�3ª7«$¬�­�®�¯

°Z±�²"³ ¬ ³µ´ « ²i¶¸·L³F¹ ¬ ³µ´ « ² º$»�¼ �l½ ¼7¾"¿ �WÀz���DÁ����[�s��¢[�|��¢[�����)��Â[���H�o���$ÃW�[�����

Ä ¦f£Å¦f��¦ÇƸÈI�Oɸ¦ Ä

�D�"�&�,�������[����¢[�s�¡����7�������/����[���������H�S���]�i�&����Ê����%�[� »�¼ �5ËÌÁ���$ÈI�ͦÎƸÈI�SÉ�Ï�Ð ¼ÒÑXÓ�Ô ÉÕÖ���o×+Ø Ä ¨

ÈÖÙK� ������������[������� »X¿ �ÅÚ2£5����� »�Ó �SÛ »-¿ ��ÚÝÜZȵ�OÉH¨ÞÉ

ßáà�â�ãuäÖå�äµæ"ãÝç�èIé;èOê �������%����[�7�ë���������"�����n���ëª7« ²�²,± ª ³K±7ì �¡Õi�%���á���W�D�[���'��W���D�������Ê��%���7�����%���¥�Â�¢"�D���������%�iÈí��¢����o�.����¡Õ��D��ÀZî/ï �Ì���o�%�n�����'� »u¼ �ÅÕÖ���o�����'�l×iØ Ä É�¨

©N�á )���%��������D���¥��ÀNð�ñò��¢[�á�������������ÀN�DÕv����[�[�$�H�����&�¸�������'�i�[�������%���������W��������ó���.�����%���n�������%����[�7���s )�%��¢2�����[�[�%���������sô�õö���������¢[���Z )�¡��¢Ý�÷�������[���'�����7�����%����¨2©N� )���%�u�D�.���Z����%��ø¥ñù��¢[�+�������������"���������[�Z������������Àz�DÕ�úo����Õ¸�D������������û���¢����O��������¢��|���[�ÕÖ�����'���¥��ÀZ��¢[�|���"���%�.�D� �������[������üÒ���������DÕuð�ñZ¨

©N�á���������.�����|��¢��¥úo����Õv�D�������[�7���lýYÈIþ-É+ËÿôWõ�� î Ó���������� î��(ÕÖ���+þ�Ø Ä ÈIýYÈ Ä É|���üÒ�����iôWõ;ÉH¨ ��¢[������úo����Õo�D�������[�����|�D���Z���÷ø¥ñ �����ë�'������������3��¢[��À]ÕÖ�����f�n�������.�|��Õ�[���DüÒ�$�H�������S�����[��7�������7�¸ÕÖ������¢��D�v��D���������À�¨�� ��©N�i¢�� ���lúo����Õ¸�D�������[���s�Z�D�"������ýYÈIþ-ɤ¦ ý ÈÖþ���� ÉlÈÖ���%���� ��À��������������%���"É��D�"�

�� ��ýYÈIþ����$É(¦ ý ÈÖþ-Élȵ����Ê������ ��À �� ÈÖî��FÉ(˧î� � Ó ÕÖ����!�" Ä �D��� �� ÈÖî ¿ É Ë Ä ÉH¨ �� ��������$� ��¢[�$#��������7¢[����[�[���s���¥�$���7¢ ýYÈÖþ-É�¨

%'&

Page 41: Dieudonne theory for ungraded and periodically graded Hopf rings.

( )$*+�,').-/*10324+52/)�6�07)�89:)

;�;�; // <>=@?�A�B�CEDF // <�=@?�CGDF // <>=@?IHJB�C // ;�;�;K7LNMO)�+N9P*>Q�LNRTSU+WVYX')�Z7MP+ <\[ 8^]I_�`a-/* [ 252b)c6�07)�839�) [ 83dT039�)�2e+f2b)c6�07)�839�)�LWS4g1hTi

j LTdT07VY)�2

;�;�; // Q�L j5kml =n<>=@?oHpBcC:q/<rC sF // Q�L j5ktl = <�=@?�Cuqv<rC sF //

QwL j kml = <>= ?xA�BcC:q/<rC // ;�;�;y *7)�M/)z)�+N9P*|{} [ 24X [ ,')�8�Z1~�9�L j R�LN2 [ - [ LN8 y [ -/*|�}�L'8I-/*3)$V�)�S�-��

� L'832 [ dT)�M$87L y -/*7)5g1hTi j L1d707V�)�� <�� 9�L'V [ jx� Q�L j kml =n<>=@?�C:q/<rC � � L j R�LN2 [ 83XL'8f-/*7)�M [ X'*�- y [ -/*f-/*7)e��)�MP2/9P* [ )�Z70787X��r� <��\< +W83do-v*7)�K3M/LNZ)�8 [ 032.�>� <���<X [ ,')c2 j +WR2.}��7� <�� � < +W83dr���7� <�� � < �z� [ 839�)�-v*7)�2/) j +'R32wMv):�)�9u-U-/*7)��)�MP2v9P* [ )�Z70787Xf+'83d�-/*3)�K7MvL'Z�)�8 [ 032�`�+W83d^2 [ 839:)��p+'83d�� 2v+�- [ 2bS@~���� � �1� �|� ` y )*3+�,N)���} � }�� ��� +'2 j +'R32$S@MvL j � < -vL � < � = � *7)I2/+ j )�dT):�38 [ - [ LN832�+'M [ 2/)S@MvL j 9�L'832 [ dT)�M [ 83X�9:L j R�LN2 [ - [ LN8oL'8I-/*7)�V�)�S�- y [ -/*o-/*3)O��)�MP2v9P* [ )�Z70787X�+'83doK7MvL'Z�)�8 [ 032L'8�g1h��  ¡ q  £¢ q ;�;�;¥¤ C¦I§N¨ª©a«@¬�«n­©�®°¯²±°¯.³ [ ,')�8�+OQwL'RTSª+WVYX')�Z7Mv+ <µ´ ]�_x` y )zdT):�383) [ -v24¶O· ¸:¹3ºN»�¼3¼�½¸$¾x»�ºW¿¹TÀ�¸O+'2�-v*7)zg h i j LTdT07VY)�� <Á� 9:LNV [ j � Q�L j5ktl =n<>=@?�C:q/<rC -vL'X')�-/*7)�M y [ -/*I-/*7)O*7L j LWij L'MvR7* [ 2 j 24���'� <Â� � < +W8do}Ã�N� <Ä� � < X [ ,')�8o+WZ�L�,')N�

� [ 839:)x+W81~ <Å[ 8 ]�_ [ 2$9�L'8783)�9u-v)�dÆ` [ -P2$9:LN+'07X j )�8N-P+�- [ LN8Ç�3V�-/MP+�- [ L'8 ):ÈT*3+'032É-P2 [ -+W8dÆ` j L'Mv)�L�,')�M�` [ S y ) y M [ -/)

Ê =   CË�ÌBmÍ   A   Í�BmAJÎ  Ï Í  �Ï ÏS@L'M.)�+N9P*f  ´ �aÐ < `£-/*3)�8 +'V�V�-/*3)�  Ï +W83dÇ  ÏÑÏ -/*3+W-z+'R7R)c+WM [ 8r-/*7)e):ÈTR7Mv)�2v2 [ LN8f+WMv) [ 8

Ò'Ó

Page 42: Dieudonne theory for ungraded and periodically graded Hopf rings.

Ô/Õ3ÖN×/Ø�ÙaÚbÛnܵÔ/ÕÝ�ÔwÕ3Ý�ÞNØ$ß�à�á�ß1â�ã�Õ1ä3×�å3Ô/Õ7ØOæ�Ø�çP×/èPÕ7éYØ�ê3ä7ë7ìxÖ'ëÇ×/ä3èPÕfí�ÖNîTïðÝWñYì'Ø�ê7çvÝN×téY×Ø�ÞNØ�ë�Ô/äÝWñYñ�òxó�Ø�çvÖoô@Ô/Õ3ÝWÔ�éY×�åTï@ÖNç4Ø�Ý'èPÕ�õföoܵ÷tØzÕ3Ý�Þ'Ø.ø1ùTõ�ú�û�ï@ÖNç�×bÖNüeØzý�þpû�ÿuâ

ã�Õ7é²×.è�ÝWçvç/éYØ�×�Ö�Þ'Ø�çwÔ/Ö���Ü^å£÷4Õ7Ø�ç/Ø�÷mØ�Õ3Ý�Þ'Ø$ÔvÕ3Ý�Ô.ï@Ö'ç.Ø�ÝNèPÕfõ^ö���Ü�ÔvÕ7Ø�çvØOü�ä3×ÉÔØ��Té²×ÉÔ�Ý'ëIý þpû5×/ä3èPÕIÔ/Õ3ÝWÔ���ù1õIú û7â

� Ø�Ý'ç/ØzçvØ�Ý�Tò5Ô/Ö�TØ��3ë7Ø�Ýeë7Ø�÷ è�Ý�Ô/Ø�ì'ÖNç/òNâ ������������������� �!� ã�Õ7Ø�è�Ý�ÔvØ�ì'ÖNç/ò#"%$ Ö'ï'&)(+*-,/.101230�4356(7(8234�9:230<;<=>2�&7056(7(@?2BA#5C06&)DE2�F

Õ3ÝN×tÝN×ËÖNê)GÉØ�è:Ôv×IH+J)K Ý'êØ�ñ�é²ÝWë�ì'çvÖ'ä7î×'L ÔvÖ'ìNØ:Ô/Õ3Ø�çt÷4é ÔvÕ�Ø�ë7�TÖ'ü5ÖNç/î7Õ3éY×/üx×tÙNMLPOQL

ÝWë����RM+LSOTL ×vÝ�ÔvéY×bï@ò1é�ë3ì�Ù@�|úU�OÙ úWVfÝ'ë7�o×bä3èPÕIÔvÕ3Ý�Ô4ï@ÖNç�Ø�ÝNèPÕ�õföXL Ô/Õ7Ø�ç/ØØ��Té²×ÉÔP×4ÝWëIý þ ûe÷4é ÔvÕY��ù1õIú�û7â

Z éYüeéYñ²ÝWçvñ�ò�ÔvÖ ÷4Õ3ÝWÔe÷�Ý'×%�TÖNë7Ø�éYëJÔ/Õ7ØIì'çPÝ1�TØC�>è:ÖNë7ë7ØcèuÔ/ØC��è�Ý'×/Ø'åð÷tØIè�ÝWë>Þ1éYØ�÷�Ý[ é�Ø�ä7�TÖ'ë3ë'\Øzü5Ö+�7ä7ñ�Ø�ÝN×4ÝeüeÖ)�Tä3ñ�Ø$Ö�ÞNØ�çmÔ/Õ7Ø$çvé�ë3ì#] ú�^_Ja` �cbvÙed�f7ô Ù@�hg�V�ÿuâ

ã�Õ7Øxè:ÖNë3×béi�TØ�çvÝWÔ/éYÖ'ë3×w÷mØeüxÝ1�TØ5ÝWê�Ö�Þ'Ø�ì'éYÞ'Øeä3×zÝ�ï@ä7ëèuÔ/ÖNçj�kM7lnmoOp"B$ ÔvÕ3Ý�ÔÔvÝ1q'Øc× Ý�í�Ö'î7ïÌÝ'ñ�ìNØ�ê7çPÝ Ü ö lnm Ý'ë7��î7ç/Ö)�Täè:Ø�× é�Ôv× [ éYØ�ä��TÖ'ë7ë_\Ø ü5Ö+�7ä7ñ�Ø��ÜÂú�è�Ö'ñYé�ü ù íwÖ'ü#rIsUô Ü>ô ý�ÿtb/Ü ÿuâu@v �+�7w6�+xy���Ez{�e|~}3�k�8� 2��3&)(�4�9�5-,N� M�lnm O "B$ � .6F�.�DE2��39R.0:��5-=�(79� M6"B$�O�lnm#�I.-(�09 � 2_�7.6=�,Oô���b � ÿc��56,tABFB.6(�2/��&)=��6.6DE2�(�432#5��<43.-9�2�*�56,t=>2�F��

�#�t� �k���<���j �¡¢  £¥¤%����¡¢£'¦�¡�  §Q¤B¨�©T�cª����<«¬�@��  ¦�­�¡�ª��® ª�¡�¯� �¤%���±°¡T�cª����B«

² ÖNñ�ñYÖ�÷4éYë7ì Ö'ä7çÇî7çvØ�Þ1éYÖ'ä3×��7Ø��3ë7é�Ô/éYÖ'ë Ö'ïeî7çvÖ)�Tä3è:Ôv×Y�³�Ü%´_µ¶�³�Ü<·¸O �³:Ü#´ ¹�·�Ö'ï[ é�Ø�ä7�TÖ'ë3ë'\Øwü5Ö)�Tä7ñYØ�×Ëï@Ö'çtì'çPÝ1�7Ø���è�Ö'ë7ë7ØcèuÔvØ���íwÖ'îTï�Ý'ñ�ìNØ�ê7çPÝ'×�å'÷tØw÷�ÝWë�ÔmÔ/Öeì'Ø:Ô�×béYü5é�ñ²ÝWçë3ÝWÔ/ä7çPÝWñÆî7çvÖ)�Tä3è:Ôv×�éYë�ÔvÕ7Ø$ä7ë7ìNçvÝ�TØ���è:ÖNë7ë7Ø�è:Ô/ØC�Iè�Ý'×/Ø'â

º û

Page 43: Dieudonne theory for ungraded and periodically graded Hopf rings.

»½¼/¾1¿oÀÂÁ½Ãj¼/Ã�¿ÅÄ-¼/Æ)Ç'¿#ÄÈ)ÃÊÉEËXÌIÁ7Ä1Í)ÀÂÃ�¼¢Î½Ï)À/Á½Ã�¼/ÃÊÃ�Ð)ÉiÇ�À¥À/Ã�Ë7Ǿ1¼¥Í½¼/¾)È)Ñ7Ò�À/Ç�Ó¶ÉEË�ÀÂÁ7É Ç

Ò�Ä-ÀÂÃ�Ô1¾1¼/Õ1ÖX×ØÃnÙ¥ÉEÚ Ú'ȽÃ�˽¾1ÀÂÃnÀÂÁ½Ã�¿�Û+ÕÜÓeÝXÀ¾�È)É ÇÞÀÂÉ Ë½ÔÑ½É ÇÂÁWÀ/Á½Ã�¿kß�¼/¾1¿�ÀÂÁ½¾�ÇÞÃnÉEËÜÀÂÁ½Ã

Ô1¼3Ä1ȽÃ�ÈàÒ�Ä1ÇÂÃ1Ö

á ѽͽÍ�¾ÇÂÃ¥À/Á½Ã�ËÅÀ/Á7Ä6À¢â6ãåäÊæç%ã-èYç@ä�ékç#ãEê8ä�É ÇIÄjͽ¼/¾+ȽÑ7ÒtÀë¾1ßìѽ˽Ô1¼3Ä1ȽÃ�È#Ò�¾Ë½Ë½Ã�Ò�ÀÂÃCÈ

í¢¾Í)ß�Ä-Ú Ô1Ã�Û7¼/ÄÇ�Ö�×ØÃjÙ_Ä-Ë�À'À¾žÛ)À/Ä1ÉEË�ͽ¼/¾+ȽÑ7ÒtÀ3Ç

îç#ã�èÜîç<äïékîç#ãEê8ä

É ËBÀ/Á½Ã�Ò�¾1¼/¼ÂÃCÇÞÍ�¾1Ë7ȽÉE˽ÔjðïÉEÃ�Ñ7È)¾Ë½Ë_ñÃ_¿#¾)È)Ñ½Ú Ã�Ç�Ö�ò_Á7É ÇcÒ�Ä-Ë#Û�Ã�Ä1Ò3Á½É Ã�óÃ�ÈBÉEËÇÂÃ�óÃ�¼3Ä-Ú)ÇÞÀÂÃ�Í�Ç�Ö

»�ÉE¼3Ç�ÀCϽÒ�¾Ë7ÇÞÉiÈ)Ã�¼IôYõ�í¢¾¿#öI÷�ø�çùø�ú�ûtü/ç ã û'Ä-Ë�Èýàõ�í�¾1¿#öI÷ïø>çùø>þ!ûtüÂç ä û�Ö�×ØÃÊÙ¥É ÚEÚ

Ô1Ã�À¢Ä-Ë�Ã�Ú Ã�¿#Ã�Ë�À¢ô%âIýnõ�îç#ã ê�äÖcò_Á½ÃjÒ�¾1¿#Í�¾�ÇÞÉEÀÂÉ ¾1Ë

çùø>ú�û!èÜçùø>þ!û ÿ���� // ç ã èÜç ä����� // ç ãEê8ä

ÉiÇeÄàÛ½É ÚEÉ Ë½Ã�Ä1¼ï¿ÅÄ1Í�Ï�ÇÞ¾àÀÂÁ½Ã�¼ÂÃ%Ã�Ð)ÉiÇ�À3ÇÊÄѽ˽É��ѽà �Øæ7çùø>ú�û�ÓeÝÊçùø�þ!ûïépç#ãEê�ä#¿ÅÄ-Æ+ÉEË7Ô

ÀÂÁ7ÃÊß�¾1Ú ÚE¾6Ù¥É Ë½Ô#È)É Ä1Ô1¼3Ä-¿ Ò�¾1¿#¿<Ñ)À/Ã1Ö

çùø>ú�û�èÜçùø>þ!û � //

ÿ������

çùø>ú�û�Ó Ý çùø�þ!û�

��ç ã èÜç ä ���� // ç ãEê8äÙ¥Á½Ã�¼ÂÃeÀÂÁ7ÃÊÀ¾1Í�¿ÅÄ-Í�ÉiÇ'ÀÂÁ½Ãj¾Ë½ÃjÔ1É ó1Ã�ËàÉ ËnÀ/Á½Ã@È)Ã��7˽ÉEÀÂÉ ¾1Ë�¾-ßëÓeÝ7Ö

�¢¾1ÀÂÉiÒ�ÃeÀÂÁ7Ä-À¥ÀÂÁ½ÉiÇ¢Ò�¾1Ë7ÇÞÀ¼/Ñ7ÒtÀ/ÉE¾ËàÉiÇ¥ÇÞÉ ¿#ÉEÚiÄ-¼'À/¾#ÀÂÁ½Ãʾ1Ë7ÃÊȽ¾1˽ÃÊÛ�Ã�ß�¾1¼/Ã1Ï)¾Ë½Ú Õ˽¾6ÙUÄ1ÚEÚ

¿ÅÄ-Í7Ç_Û�Ã�Ú ¾1Ë7ÔBÀ/¾���� Ä-Ë7Èn˽¾1À¥À¾���� �-Ö

� Ç�Û�Ã�ß�¾¼ÂÃÏ1Ù'Ã¥Ò�¾1Ë�ÇÞÉiÈ)Ã�¼�À/Á½Ã¢¿ÅÄ-Í�����è����àæçùø�ú �þ!ûcéQçùø�ú�û1Ó Ý çùø�þ!û{À3Ä-Æ+ÉEË7Ô

ô!� ê �àÀ¾#"_ø�ô$� èùô!��û_Ä-Ë7È�Ò�¾¿%¿BÑ)ÀÂÉ Ë½Ô#Ù¥ÉEÀÂÁ&%�Ã�¼3ÇÂÒ3Á7ÉEÃ�۽ѽ˽Ô�Ç�Ö

×ØÃ@Ò�Ä-Ënß�¾1¼/¿ À/Á½Ã@Ò�¾¿%Í�¾ÇÂÉEÀÂÉ ¾1Ë

çÜø�ú'�ùþ!û (�) � (�* // çùø�ú�û�ÓeÝ�çÜø�þ!û �// ç ã ê�ä

+-,

Page 44: Dieudonne theory for ungraded and periodically graded Hopf rings.

.0/213/546487:9!;6<>=&/�?@/�A�/�=:46B�CED�FG=&HJI3A�KMLONQPRNTS'UWV�X5Y�P�ZG[]\^X`_

aJIcbd;e9gf-f!I:;e/ihkjmlnP Z <>=-oqprjmlnP \�s <�=-otb6u�FG4�/vhrw xzy�NTB]X|{TI�u

B}j|H~I�A KEL N�PRN�S&X5Y�P Z X2<>=-o�p�w�x���NTDgX�{TI3u2DRj}HJI�A KML N�P�NTV�X`Y8P \ X s b67g/�u8/nx��

u8/�fgu8/�;�/�=:48; s {TI�u�/�<3��7�� s 487g/�A#<>f�HJI�A KML N�P�NQ�gX5Y�P�X���lnP�13FG�3/�=�����487g/6o�/5�-=-F48FGI3=

I>{��5I3?GF@A�F4�_

.0/�13/54 s <3;�<>�$Ic��/ s <>=�/�?@/�A�/�=34�B�C�D�j�HJI�A�KML~N�P�NTS�U�V�X5Y�P�ZG[]\�X s <>=!o�<�?@;�I <�=

/�?@/�A�/�=34Jh&CEp0w x�y [ ��NTB�CED�XMj&lnP�Z@[$\3_

 �¡c¢-£E¢!¤�¥T¦�¥�¢$§}¨�©�¨�©&ª]«g¬�¬�­G¬5®#¬�¯-°±h�CJp³²�´�¬`µ�¯$´>°O²�¬·¶-¬5¯]²�´c¯�°¸«-¬�Bº¹c¯]²#D»¶$¼�½�¾�¬�²�¿

ª]«g¹>°E¼�µ�À±¼ Á6x�y�NTB]X±w�x�y�ÂÃN�B!ĸX�¹>¯$² xz��N�DgX�w�x��>Â�NTD�Ä@X

°T«g¬�¯�x�y [ ��NTB�CEDgX�wÅx�y  [ �  NTB!Ä�CED�Ä@X

ÆMÇ�´�´ÃÁ5¿�È�9gf-f!I:;e/Éxzy�N�B$X�w x�y [ËÊ N�B!ĸX s b67-/�u8/³BÌjrH~I�A KEL N�PRN�S&X5Y�P Z X�<>=!o

B!�j�H~I�A KEL N�PRN�S'U��X5Y�P \ X`_

ÎM��o�/��-=gFG4�F@I�=&I>{��5I�?@F@A�FG4JbM/�7!<^��/�<#�5I�A�A 9�48<>4�F@��/2o�F�<>1�u�<>A

PRN�SÉU�Í�X

��

Ð Â$$IIIIIIIII

P�NTS�X Ð// P Z

.0/213/546487:9!;6<�ogF@<�1�u�<>A

PRNTS�U Í^X�ÑRPRN�V�X Ò:Ó //

Ï�Ô Ê��

PRNTS�U Í^X�Õ�ÖJPRN�V�X

×��PRN�S&X�Ñ�PRNTV�X Ò�Ø //

���

PRN�S&X�Õ Ö PRNTV�X

P�Z!Ñ�P�\ Ú�ÛÜ // P�Z@[$\

HJ/�u�/ s�Ý F@;Þ487g/ß9g=gF�à39-/ºA#<>fq1�F@��/�=����'4�7g/io�/��-=gFG4�F@I�=tI>{�48/�=-;�I�u|fgu8I�o�9-�`4

á:â

Page 45: Dieudonne theory for ungraded and periodically graded Hopf rings.

ãRä�åÉæ ç^è�éRã�äTê�è±ëìã�äTåÉæ�ç�è�í�îOãRäTê�è5ï

ð�ñgò�ó2ô�õ>ö�÷&øJù�ú�ûMüOäQãRäTå�æ�ê�è5ý�ã�þGÿ���è�������ñgòEøJù����� ��3ò�����Mú������5ù3ú�� Gò���ò� �����ò��

��ò���ú��@ógò���� �!�"����#$�� �%gò'&�(*)cäTô,+ é�ô.-gè]ù3ó2ô.+�ÿ�-��>ó.�/�5ù�ú�ú0%��1�@ó�323����ñ/4�ò����5��ñ�Gò��%gó�6��ï

7 8�eù.9�ô.:�õ�ö�÷�ø~ù�ú�ûEü�ä�ã�äTåÉæWê#æ ç�è`ý8ã�þGÿ,��è;�8�3�5ù3ú�� Gò���ò� ��<�gò���ò���ú��@ógò��=� �>���5�

#$�� �%gò�?.& (A@3äTô +�ÿB) éWô - èMù�ó�ô +�ÿ�->ÿC) ï

D0ò2ñ.�E#�ò�F

ô : õEö�ä�ô.+�ÿ�->ÿB)�è*GH?.&�( @ ä�ô.+�ÿB)�éRô.--è

GI&�(*)cäKJ2ô.+�ÿB)±éWô,--è

GI&�( ) ä�ô + éRô - è

G ô�õEö]ä�ô +�ÿ�- è

G ô�õEö]äKJ2ô,+MÿL-gè

�>ó.�M��ù��Gó=��ñN���O������ò/( +�ÿ�- ä�ô�õEögè*GP( +�ÿ�->ÿC) äTô,:�õEögè5ï

QR;( - äTögèSGT( ->ÿB) äTö�:¸èU9V2MòW�1�@úW�� 8���5 ��X��8ù$#�òY( +�ÿ�- ä�ô#õJögèOGT( +�ÿ�-�ÿB) ä�ônõ6ö�:@èSTù��

�>ó ��ô}÷�ø~ù�ú ûEü ä�ãRä�å&è5ý�ã þ è`ï#ð�ñgò���ò�ógò����� '������òW( +�ÿ�- äTô�õJögè�GZ( +\[Gÿ�-�[ ä�ô.:!õJö�:@è

ógù$2HTù� � Gù$2O�;� �<�@óN��%N���1�@ù�ó&ù�ó=�$ù���ñ&åX:]�å^�>óN��ê�:�]�ê�ï

_0`Na$`,bcbed�aEfhgVi8j�i/k;l$m�nUo�p�qsrtqsu,m�v$nLwNv$qsnUqsu6x ã þ é ã � ëìã þ@ÿ,� qsu�yMz{qsu�|$}N~�mU�\v�wv�qsnUqsu6x

�nã�þ!é��nãY�~ë��nã�þGÿ,� qsu<�0���

7 �!�!ò�Tù��8ò�9,2Eò0�>óN�� �� ��ò2ñ-ù$2��8ñgò���òY�.�����1�@ó���O��ò� �����ò/�8ùMJ���óN���Z��ò��!ógò��&ù3ó���ñgò

�!�Gò�%N��ù�ó-ó;�ò�ú�ù �% Gò���ï

� a$`N��`.�������c`,�Ig�i8��i<�\qsl$m�uIp�qsrtqsu�m�v$n�wNv$qsnUqsu6x�� õ þt� F�ã þ é}ã � ë ã þ@ÿ,���O��� m<qsu,|�}N~�m5|

wNv$qsnUqsu6x�� õ$:þt� F��nã�þ!é��nãY�~ë���ã�þ@ÿ,� ��v � q8����o� 

¡�¢

Page 46: Dieudonne theory for ungraded and periodically graded Hopf rings.

£¥¤�¦Y§>¨e©=ª�«B¬*­�§�©Xª\§/«'®

£¥¯°¦�±/©Mª�«²­P±�¨c©Xª\§/«B¬U®

£¥³°¦�©Mª;±�«²­P±�¨e§Y©=ª�«B¬�´

µ;¶1·�·¥¸ ´S¹»º/¼½1¾$¿�ºSÀ5Áº�ÂN½�Ã¥ÀOÄ�¾�ÅNÆ�Ç�À1Ç�¾�ÅLÈ*É\Áº�¾�À1ÁNº�½�Ã;Ê�¾�Ë�Ë�¾$ÌÍÃÎÇ�Ï�Ç�Ë8Ð�½5Ë�Ñ�È

Ò Ó ¼¼,¾�Ã1º�©²­HÔAÕ0¨cÖ,¬3Ð�ÅNÆ=«×­HÔAØV¨�Ù¬UÈ

É\Áº�Å

§>¨e©=ª�«B¬�­H§>¨eÔ Õ\Ú�Ø ¨�ÖWª�٬ά*­HÔ Õ\Ú�Ø ¨e§<¨�Ö�ª�Ù¬1¬

Ì3Áº�½1º0§<¨�Ö>ª;Ù¬3Ç8ÃSÛ�Ç�¿�º�Å�Ü Ñ�Ä�¾�ÏW¼,¾�Ã1Ç�À1Ç�¾�Å�¾�Å×À1Áº0½1Ç�Û�Á6ÀSÌ3Ç�À1ÁÝÀ1Áº0Þ'º�½�Ã1Ä�ÁÇ�º�Ü Ó ÅÛ>¾�Å

ß�à Ú�á È'¹²º�À5Áº�ÅXÛ�º�À�â

Ô Õ;ÚLØ ¨e§�ÖWª\§/Ù¬*­ãÔ Õ ¨e§�Ö,¬Lª;Ô Ø ¨K§/Ù¬*­P§Y©=ª\§�«

Ì3Áº�½1º�Ì�º Ó Ã1º�À1Áº�ÊcÐ�ÄUÀ\À1Á.Ð$À!§>¨cÖ0ª�Ù�¬*­�§/Ö0ª;§�Ù�Ê�¾�½\Ö×äXåO¾�ÏWæ;ç!¨ ß ¨�è�¬Ué ß�à ¬;Ð�Å.Æ

Ù<ä�åS¾�Ï�æ�ç!¨ ß ¨cêL¬Ué ß á ¬/¨eÉ\Áº/¼½5¾ ¾�ÊB¾�ÊBÀ5ÁÇ8Ã3Ë�Ð�Ã¥À3ÊcÐ�ÄUÀOÇ8Ã\º�ëÐ�Ä�À1Ë�Ñ>À5Áº�Ã1Ð�Ï�º�Ð�Ã\Ç�Åíì î$ï

¾�Å.Ä�º�¾�ź�Ç�Û�ž�½1º�Ã�À1Áº�Æ�º�ÂNÅÇ�À1Ç�¾�ÅX¾�Ê'Æ�º�Û�½5º�º�Ã\Ð�À\º�Ð�Ä�ÁXÃ¥À5º�¼.¬�È

ð=ñ�òAóCô�õ�ôeö.óP÷�ø�ùLø!ú ¯�ûsütûsý,þ�¤ ¶Wÿ ¤�û ¶ ûsý��hÇ�Å���� Ç8Ã>лÏ�Ð�¼�� â�� ��������� ¾�Ê

Ð�Ü,º�Ë�Ç8Ð�ÅãÛ�½5¾ Ó ¼NÃ�Ã1Ð�À1Ç8Ã¥Ê�Ñ Ç�ÅÛ §��A¨�ÖLé1Ù¬X­��A¨e§�ÖLé5§�Ù¬��S±��A¨cÖLé5§�Ù¬X­��A¨c±�ÖBéÎÙ¬�Ð�Å.Æ

±��A¨e§/ÖLéÎÙ¬�­��A¨�ÖBé1±�Ù¬UÈ

� ½5¾�¼,¾�Ã1Ç"À5Ç�¾�Å���È���Ð�Ü,¾$¿�ºOÃÎÀ5Ð$À5º�ÆWÀ5ÁNÐ$À�Ð�ÜÇ�Ë�Ç�ź�Ð�½�¼NÐ�Ç�½5Ç�ÅNÛ0ª�â ß � ß � �"! Ç�Å #%$

Ç�ÅNÆ Ó Ä�º�Ã3Ð�ÜÇ�Ë�Ç�ź�Ð�½3¼NÐ�Ç�½5Ç�ÅNÛ�ª'&Vâ)( ß � ( ß �*�+(�!�Ç�Å,����È

ð=ñ�òAóCô�õ�ôeö.óP÷�ø.-Lø!ú Å0/�ý�� ¶ ¤)1�þ21W³ · ýNý,þ�³43Rþ2165Yûcþ7/81 · ýNý�9þ ¶ ûsý��W¾$¿�º�½�ÐY¼.º�½ÎÊ�º�ÄUÀ�ÂNº�Ë8Æ;:=<

Ç8Ã*Ð�Ã1º?> Ó º�Å.Ä�º6@A� àCB�àED'F ¾�Ê Ó ÅÛ�½�Ð�Æ�º�Æ�Ä�¾�ÅNź�Ä�À1º�Æ G!Ç�º Ó Æ�¾�ÅÅIHº3Ï�¾�Æ Ó Ë�º�Ã*À1¾�Û�º�À5Áº�½�Ì3Ç"À5Á

ÜÇ�Ë�Ç�ź�Ð�½�Ï�Ð�¼NÃ�ª à á â � à � � á �J� à Ú,á Ã5Ð$À1Ç8ÃÎÊ�Ñ6Ç�ÅÛ<À1Áº�Ä�¾�ÅNÆ�Ç�À1Ç�¾�ÅNÃ�Ç�Å×À1ÁNº0¼½5º�¿ Ç�¾ Ó Ã

¼½5¾�¼,¾�Ã1Ç"À5Ç�¾�Å�È

K)K

Page 47: Dieudonne theory for ungraded and periodically graded Hopf rings.

L*M?NPO'QRM;S�T0U�VWQRXPM�Y4Z'Q[M4\]O)^RT_O'`ba*O)cd`I^[e.NP\�fge.NhQ[XPM;iPNP\]^RZ]jdM?jhY7O]NPNPM?Y7Q[MkjhY?Z)f[M

Z'Nlj,S=T m�VnQRXPM�Y4Z'Q[M4\]O)^RT;O'`oiPNP\)^2Z)jPM?j%Y7O)N8NPM?Y7Q[M?j%LgepM?i8jdO)N8NrqM6^[e.NP\�f4s

tuOwvxjdM4y8NPM;Z `ziPNlY�Q[O]^|{�}�~dU,VW��m�VWS=T�Y7O)Nlf�e�jdM4^Re.NP\ `zO)^�M?Z]Y2X�f[M?��iPM4NlY7M�O)`

auO]cd`�Z)�p\]M4SP^2Z)fu�k�;�C�A�z�'�;e.N�U�V�QRXPM6f�Mk�]i8M4N8Y4MgO)`�L*e.M4i8jPO)NPNIqMg�;OdjdiP�.M?fg�k{��E�;�����k�E�'�l�

vXPM?^[M_{�~�U�����m�� e�f�Q[XPM�c8^[M?��e.O)ilf��.T�jdM7y8N8M?j�`ziPN8Y7Q[O)^k�bZ)N8j�f�i8Y2X�Q[X8Z'Q Q[XPM

cP^ROdjdi8Y�Q2f � ��¡ ~ � �£¢ � ¡ � � �.¤¥¡ Y4Z'^R^RT¦Ow�]M4^§Q[O¦Q[X8M�c8^[Odjdi8Y7QRf

�w¨��¡ ~){�� �l¢ {�� ¡ �+{,� �.¤¥¡ Z)fIS¥M7`zO]^[M]s

©�O Y4O)N8f�Q[^Ri8Y�QuZ�^[e.\)X�QZ)jAª«O]epN�Qg¬6}­`zO)^{�}­vrM6cP^RO=Y4M4Mkj,Z)frvrM|jde.j%e.N,QRXPM6\)^2Z)jdMkj

Y4Z]f�M]s

®hMf�QRZ)^�Qove¯QRX�Z��.M4�;� ZuQRX8ZwQ°O)±¥M?^RfoZg^[Mkf�iP�pQ°f�T=�;�;M7Q[^Re�Y²QRO*QRXPMIO)NPMrO)N�³bO)^RO)�.��Z'^RT

´ s µPs

¶²·=¸­¸�¹�º¼»�½=¾�»6¿gÀlÁ�Â4ÃÅÄ�ÃÅÀ¥Æ2ÇwÈ�É8ÇwÃÅÈ�ÃÅÀ=Ê��w��¡Ë~|{��;� ¢ {,��¡�� {,���.¤¥¡£ÃÅÀ¥Ì'Í8ÎRÆ7ÏÐÇ

Â4ÃÅÄ�ÃÅÀ¥Æ2ÇwÈÉPÇ'ÃÅÈ�ÃÅÀ�Ê,Ñ�w��¡6~]��� ¢ ��¡g�+�;�p¤¥¡�Ò«ÓuÔ�Ò2ÉAÓ�Ç'Ä Ê�Æ?Â4È[ÇAÏ4Õ

ÖrÈ[ÒkÒ«Ó7Õ*®�M6`zO=Y4i8fIO)N%QRXPM|cP^Rep�;epQ[e.�)M6M4�.M4�;M4N�Q2fO'`o��� ¢ ��¡)s

× ep�]M4NÙØ"ÚÛ� � cP^[e.�;e¯QRep�]M�Z)N8j�ÜÝÚ+� ¡ ��cPe�Y2ÞßZ�c¥O]f[e¯QRep�]M�àáZ'N8jâY7O)Nlf�e�jdM4^

ãØÝÚÙa*O)�;äbå��E�­�Eà_�7æ[� � ���z\]ep�]M4NçS=T ãØè�«Ük��éêÜ)� ãØ��EØlë|��é+Ø�Z)N8j ãØ��EØ � ��é+ìÐ`zO)^

í�îéÛà���sï³bO]N8f[e.jdM?^�Z'��f�O�QRXPM0XPO]��O]�;O)^RcPXPe�f�� ãÜ�Úâa*O)�;äbåg�E�­��ì]��æR� ¡ �;\)e.�)M?N�S=T

ãÜ)��Ük��éxÜ)so©IXPM4N�vrMuX8ZA�]Muð ë � ãØ �d��ðèñ)� ãÜA�IÚ%{,���.¤¥¡)�=Z'N8j,f�O�ð ë � ãؼ�=��ðèñ]� ãÜk��é�ð ë ��òè�

`zO)^If[O)�;Mgò�Ú_auO]� äbå �E�­�Eà_�7æ[�;�ó�7s²³rZ'�.�lQRXPe�f²M?�pM?��M?N�Q ãØ|� ãÜ)s°ôèepN8Z)�p�.T)�djdM4y8NPM�Ø Ñ�dÜgZ)f

õ ãØ�� ãÜ�öC�Å÷ ë ��s

©IXPe�f�Y7O]N8f«QR^[ilY�Q[e.O)N�e�f°epNljdM4c¥M4N8jPM4N�Q²O'`¥àh~oø*f�SlM4`zO)^RM)�'ep`ùð ë � ãؼ��é�ð ë ¤�ú �4ûØ ¨ �oQ[XPM?N

vrM�XlZA�)M6ð ë � ãØ;� ãÜA��é�ð ë ¤�ú � ûØ ¨ � ãÜk���lZ'N8j%f�O õ ãØ�� ãÜ7öC�zØlë6�²é õ ûØ ¨ � ãÜ7öC�zØ¥ë ¤�ü ���Pc8^[Ow�=e.NP\

ý ´

Page 48: Dieudonne theory for ungraded and periodically graded Hopf rings.

þ[ÿ��wþ|þ[ÿ������������ ������������������������������������� �! #"%$&�'����þRÿ�(�)�*�)��+�,�+�)���)-.�����������������/�

��� ����������0�pþ[ÿ(��1)��� ��þ/�+�32415��67�����)��8��/�5��-9���4��������þ[ÿ��0������������3:;=<)>3?9@A>CBEDF>3?�GHB��15I3����4þ��+��J(15���������6ÿ��LK)�'��������+�A�pþ41)��þ[ÿ�'������I3�¯þ/��K5�+�M1�6 >3?�@N>CB PO

Q �R�)����1 ÿ��LK)� þ[ÿ��wþS�������/����T� ;U<V>W?W@X>=BYD >3?�GHB ����������Z������������5�[;\<^]'_ " >3? O @`]�_ " >=B O Da]'_ " >3?�GHB O&�����/�+�7þ���Jb8cJ ]�_ "ed^O [;5]�_ "efOEg ]�_ "%d ; fOh-�����,���)���/����5� ;�<!i ? @`i B DYi ?�GHB ����������3������������T� [;b<H_A] " i ? O @j_\] " i B O D

_\] " i ?�GHB O�8cJ _\] "%dHO [;�_\] "%f�Okg _\] "%d ; fOh

l �����)����J)-5�������/����T� ;m<5i ? @Ai B Dni ?�GHB ����������0������������5� ;�o^<c] " i ? O @A] " i B O D

] " ip?�G^B O��)��K)���\8cJ ;9o g : [;

q 19�r��15���������+�;þ[ÿ�,6e���7þ�1)� _(sX<�t(uvDxwCu þ[ÿ��'þ�þ/�)y)� ���+�5�2ÿj���+zT�+�����b1)6

2415��6(�����)�+8�/�5�|{ >3?~}L?e��� þ�1£þRÿ�N���+zT�+�����p1)6��&�������15��M��NIW1������� �p{ _ " >3? O } ?%��� -

�ÿ�+��� _ ���gþ[ÿ�3��/��Kc��1)��&6e���7þ�15� _�<�t\��D�wm� -.�)���,����2ÿ0þRÿ��wþ6þRÿ�m����1�����7þ/�

; ?�B <)> ? @|> B D�> ?�G^B ���)���/J319K)�+�²þ/1�þRÿ�����1������þ/� ;�o?PB <)_(> ? @�_(> B D�_(> ?�G^B �)�

�)��K)�+�\8cJA��15��15�������/J(�� �

Q �����)�]þ�þ�1#�����������6e�����þ/1)� ]�s�<!wCub�(D�t(uA� �������M�LJ0þRÿ��wþmI3�)y)� �6þ[ÿ�

���)����" _(s��*]�s O'�)�p�+zT��K9������������1�60���wþ/���51)�/��� �� Q �(�0�����������þ[ÿ�(�����+KT��1)���6e����þ/1)�

] 6e�/1)IF�&���+���1)������#���+���������|þ�1�2E1)��63�9�  T�+¡�¢��9�* l 1)��þ[ÿ���W���\����,þ[ÿ�\��/��Kc��15�����J

��������+������������+��������������5�C1)� ] " ip? O @£] " i�B O�-.6e15�m�&���+���15��M���I31������+� ip? �����

i B ��� wm�

l 15��� �)�2ÿ����+zT�+�����m{ i ? } ?%��� 1�6¤�&�������15��M��&I31c���� �M���&�)�4þbþRÿ�'��1)�/�/�+����15��������

���+zT�������b{ ] " ip? O } ?%��� 1�642415��64�����)��8��/�5��-¤�ÿ���/� ]¥<¤wm� D�t\� ���|þRÿ�����cK)�+�/���

¦ �

Page 49: Dieudonne theory for ungraded and periodically graded Hopf rings.

§e¨©�ª�«�¬5­M«�¬(®°¯9±\²V³¥´mµ�¶�·)¸M¹)º�»)¼+©\º�©b½M¾¼�¬5­�¼+¿�À�Á Â�Á

½M¾¼�©.¶'¹)º�»)¼�©Ã·ÅÄ­/¬cƨ�ªh«|Ç�ÈPÉS¯mÊpÈ�Ë�Ê�É£³ ÊpÈ�ÌHÉ)¶'Í�¼�Ƽ�Î�©¼�«/¾¼pÄ­/¬�Æ�¨�ªh«

Ç9ÏÈ�É ¯TÐ3ÑÒÊ�ÈÒÓ.ËÅÐ3ÑÒÊ|É�Ó�³nÐ3ÑÒÊ�È�ÌHÉ ÓM·5¸0·�ÔH¬9»)¼5Á

ÕCÖØ×cÙ�Ú9×cÛYÜ7Ý%ÞHÞ�ÝbßHà�áãâ*ä�å^æ�ç~è9é ®�ê ¯¥±�ë ³ ´Cë àì9íXìnéhîðï à�çñì5ò~ó�è�îôå�çÐ�êN¯9´Cëõ³¥±(ë ì�åHò�çeàá0ö�ì9îôé ÑÒ®(êM÷*Ð�êøÓ â�è9éhùmíCì�å|á*ú�ä�îôûLì�ü�á�å^æ*áWè�âCæ*ì9ç~áýïTè9éhî%á�í�þ

ÿ é�è è â�þ ½¤¬mÄ­/¬9»)¼E«�¾¼�¼ � ¨�º�»9·���¼�©�ª�¼�¬�§.­/º�©�¹Wª+·9«�¼+¹)¬5­�º�¼+¸+¶)Í�¼EÎ�­/¸�«4¸�¾¬9Íj«/¾�·9«M«/¾¼�Ä­�¬�Æ��

¨�ª�«/¸��Ç\·�©�Æ�Ç�Ï Ï�·�­/¼m«/¾¼(¸/·�¿3¼3¬)©�Ð�®#Ñ�3È�ÓøË Ð�®#Ñ�=É Óh¶7§e¬5­��4¬5Ä�§M· ��¹5¼�Ô­*·)¸��3È0·�©�Æ

�=ÉEº�©�±\²�Á��b¬T¸ «�¬�§!«�¾�¼&Í�¬)­��=§e¬�����¬9Í4¸�ƺ�­/¼+ª�«����m§e­/¬)¿ñÍ0¾�·�«�ÍM·)¸�Æ�¬)©¼&º�©�«�¾¼&¹)­*·)Æ�¼ ƪ�·5¸�¼5¯

��¬)©�¸�º�Æ�¼�­(Ð�®#Ñ�HÓ��ÃÐ'®#Ñ� È Ó=·)©�ÆÅÐ�®,Ñ�� Ó��SÐ�®#Ñ� É Ó�Á �kº�ª!�p·�©#"%$'&,·�©�Æ

©¬)«�º�ª�¼EÍ�¼E¾�·L»)¼4·�©�¼(��¼�¿3¼�©T«*)Ð�®#Ñ+�^Ó,�-�4¬)¿/.,0EÑ�NÑ+"bÓh÷*Ð'®#Ñ� È Ó�ÓhÁ213��¸�¬�¶5«�¾�¼�­/¼Eº�¸�·)©

¼(��¼�¿3¼+©5« )Ð�®,Ñ�� Ó,�-�E¬)¿ .40 Ñ��Ñ&5Óh÷hÐ�®#Ñ�CÉ Ó�ÓhÁ

½M¾¼�©SÐ�®#Ñ�HÓ4Ç9Ï Ï.Ð�®,Ñ�� Ó65 Ð�®#Ñ+�^Ó879Ç Ï Ð'®#Ñ��LÓ:5 )Ð�®#Ñ�HÓ 9Ç Ï )Ð'®#Ñ��LÓ�Ñ<;>=�Ó�¶&Í0¾�¼�­/¼

«�¾�¼\¼?��¼+¿W¼+©T«@)Ð�®,Ñ+�HÓ 9Ç Ï )Ð�®#ÑA� Ó��B�E¬)¿ .40 Ñ�NÑ+"bÓh÷��3È�ÌHÉ ÓmÍ�·5¸mƼ�Î�©¼ Æ�¨©�º � ¨¼?���pÔ��

C = Ñ )Ð�®#Ñ�HÓ 9Ç Ï )Ð�®#Ñ��LÓ�Ó25 C = Ñ )Ð�®#Ñ+�^Ó�Ó 9Ç Ï CED Ñ )Ð�®#Ñ��LÓ�Ó�Á

½M¾¼���·)¸�«7¼GF�Ä­/¼+¸/¸�º�¬)©�ÔH¼+ª�¬5¿3¼+¸7®\ÐIH�ÑÒ®\Ð'Ó!JLK9Ñ C = Ñ )Ð�®#Ñ+�^Ó�Ó�Ó�Ç�ÏýÑÒ®\Ð'ÓMJNK9Ñ CED Ñ )Ð�®#Ñ��LÓ�Ó�ÓPON5

®\Ð/H C = Ñ ��^Ó7Ç�Ï CED Ñ �� ÓQOR5 ®AÐ/H C = Ñ ��WÇ�Ï ��+ÓQON5 C = ÑSØÓ�¶

Í0¾¼+­�¼:ST�U�E¬)¿ .40 Ñ��Ñ"�Ó�÷*Ð�®,Ñ�3È�Ì^ÉLÓ�Ó�¸�·�«�º�¸ Î�¼ ¸�S�Ñ<;>=�Ó:5 Ð�®#Ñ ��#Ç�Ï ��5Ñ<;>=�Ó�ÓV5

Ð�®#Ñ�SÇW� Ó�¶£·)©�Æ ¸�¬¥º�©�Æ�¼+¼+Æ )Ð�®#Ñ�HÓ 9Ç Ï )Ð'®#Ñ��LÓ�Ñ<;>=�ÓX5 Ð'®#Ñ+�ãÇY�LÓh¶ ¿�·��cº�©�¹

Ð�®#Ñ�HÓ.Ç�Ï Ï5Ð�®#ÑA� Ó25 Ð�®#Ñ+�^Ó(�Ç5Ð�®#Ñ��LÓM·)¸MÍ�¼�Í�·)©5«/¼+Æ�«�¬�¸�¾¬9Í'Á

½M¾¼�¸�·)¿3¼m­/¼�¿�·�­���¸EÍ�¼W¿3·5Æ�¼m§e¬)­�«�¾¼3¹5­/·5Æ�¼+Æ�ª�¬)©�©¼+ª�«�¼+Æ�ª�·5¸�¼Wº�¿3ÄZ���b«/¾�·9«�«�¾�º�¸º�¸M¼�©¬5¨¹)¾\«�¬(¸�¾¬9Í Ç�Ï Ï[5\�Ç=¬)©A«/¾¼�Í0¾¬ ��¼mÐ�®#Ñ� È Ó.ËÅÐ�®#Ñ� É Ó�Á

�]

Page 50: Dieudonne theory for ungraded and periodically graded Hopf rings.

^`_ba(_ c8a(d�egfih�j�kZhmlZn�_�_ oE_ opj�kZh�h?qreZs�tvu�d�h(c8a(hw_�o>n�s�cZxba?uvj�h?x _�n�s�h?y?z�{4hw|}e8y�j~fi_/j�kZh

y�u�|/h4n�h?u�yA_�cZs�cZx�o+_�npj�kZh,j�{4_~c8u�j�eZn!u�d�lZn�_ifie8aMj!yE{4h�a(u cmk8u�t�h3�<�/����(�8� ���8����3�I�?���i���M�M�

^�k�e8y?zi{4h�lZn�_iaGh(h�f�u�y�u��[_vt h��

� j�u nAj-{�s�j�kBj�kZh�lZn�_ifie8aGj:�������m�������6��� ���� [� �'^�k8s�y�lZn�_ifie8aMj-s�c8fie8a(h?y

�v¡�¢�¤£¦¥§�}�r¨w�#�8�*¨w�6�3�©¨����� R�~s�c«ª3_ lio�u�d�x h?�Zn!u y?zr{�k8s�a!k�s�cgfie8aGh�y

�v¡ ¡�¢� � ¬�¨w� � � ¬�¨w� � �­¬�¨w� �� [� �

^�kZh\_�n�s�x s�c8u dVlZn�_�fZe8aMj�� �¢� �B� � �T� � � � �� R� u�d®yA_¯s�c8fiegaGh?yBfis�n�h�aMj�d�°

§�m� ¬�¨/±²���P³L�#¬�¨I±�´��³2�­¬�¨/±���� [��³4��°�¬�¨/±+µR³ §�v¬�¨/±+¶Z³ £ ¬�¨/±+µ/�4¶i³G�

·´h�y�kZ_v{¸j�k8u�j §� £ �v¡ ¡Lu�y�lZn�_�fZe8aMj!y�_ c«¬�¨/±�#�³`� ¬�¨/±²�´��³M�

·´h«k8u�t�h�¹>º/±»>³ §��¹E¼`±+½p³ £ ¹>º   ¼N±» §��½p³Gz�{�kZh?n�h«»¿¾�ª�_ |/À,Á¤±Â#±+Ã-³MÄM¨/±���²³A³

u�cgfV½W¾ ª3_ |/À4Á¤±Â#±Å`³MÄM¨/±�´��³�³Æ±ª�h?n�h�z`» §��½Çs�y~eZcZs®qreZh(d�°:fih(j�h?n�|/s�cZh?f´��°-j�kZh/h(ÈrÉ

lZn�h?y�yAs�_ c�u��[_vt h�³M�

Ê,eij¤» §��½ £ »-�v¡ ¡ ½��[h?a?u�e8y�hw_�o4Ë4k8u lij�h?n�Ì8zg{�kZh(n�h}�v¡ ¡pyAkZ_�eZd®f��[h�s�crj�h(n�lZn�hGj�h?f-u y

s�c�j�kZhwx n!u fZh?f�a(_ cZc8h?aMj�h?f�a(u�yAh�zi_ cZd�°b{�s�j�k:Í~Îby�eZ�8yAj�s�j�eij�h?f«s�c�j�kZh�fis®u�x n!u�|Iy?�

·´hwx�hGj3¹>º   ¼N±»«�v¡ ¡�½E³ £ ¹>ºÆ±»>³p�v¡ ¡ ¹>¼L±½p³Mzgu�c8f«y�_ §� £ �v¡ ¡²�

Ï/Ð!Ñ Ò­ÓGÔ3Õ«Ö-×ÆØ-Ø¿ÙÔÛÚ>Ü«Ô3×mÝ>Þ ß�×}ÝàÕ-Ø«ámÝ�âwÖ-Ô�Ö ámÔ3×}ãäÔ�ÚEÝ2ÓGå4æç ÓGèmÔêéë×}ì«ßWâ ç ámÔ3í«Ý�âwî

ïQc�j�kZs�y�y�h?aMj�s�_�c�{4h´x h?cZh(n!u�d�s�ð?h«j�kZh6n�h?y�eZdñj!ybs�c � h�aMj�s�_ cgy�Ìg� ò#u c8fYÌ8� Ì s�cW_�n�fih?nIj�_

u a?aG_�|Æ_ifZu�j�h¤j�kZh�a?u y�h�_�ope8cZx n!u fih�f�x�h(_�|Æh(j�n�s�aGɲd�s�ó h�ª�_ lZo>u d�x�h(�Zn!u y?�

� eZlZl[_�y�h-Âäs®y/u�c e8cZx n!u fih�f#ª�_�lio~u d�x�h(�Zn!uV_vt�h(nÆu´a(_ |/|meij!uvj�s�t�h�n�s�c8x6ô {�sñj�k

eZcZs�j�u�cgf}a(_ c8y�s�fZh(n�õ ±Â:³ £ ª3_ |/ö Á ±ôNÄ�Â:³G�>÷¤hGøgcZh�ÂIù4u�yEj�kZh�x�n�_�eZlÆn�s�cZxwôNú õ*±Â:³Qû²�

Ì�ü

Page 51: Dieudonne theory for ungraded and periodically graded Hopf rings.

ý²þ,ÿ������������������ ������� ����������������������� �������� ��!�"$#&%('*),+�-�.�.�)�.�/�.�0�132 "54�687:9<;�>=� ���ÿ?�@���

6BADCFEHGJILKL6M9<NO���� P6BAO�@��ÿ? Q�� �����ÿ�RS�RQT>�� � ��T>���&RVUW���SX�ÿ?�����Y���ÿ��$Z���[E(9

\ ��]^�����LT>�� _�5�@RS���W�� P�����@����T>������ `���������aU[���SX2ÿ?������Y���ÿ��[6b���8ÿ?�~ÿ����c�@�5�������������@T

���B6BdeGf6BA>9

gQh�iLjlknmk3o_jqpsrut�vwrx y�� ����!ÿ�R��RMUW���SX¤ÿ�������Y��!ÿz6{�$Z�����E|�@�}��.~"$/B.>1�!:+u��'*),+�-�.z��XJ���

T(ÿ� �Y��J]^�����5��� �ÿ���6��C 6�dLG ��6BA��S]^�������J6BdW����ÿ��������������� ��a�$Z����OEbÿ? _R�6BA�����ÿ�

�� �����ÿ�RS�RVT>�� � ��T>���&RQUW���SX�ÿ?�����Y��!ÿa�$Z����^E(9

gQh�iLjlknmk3o_jqpsrutS�sr þ,ÿ?���_�Q� d �����cT(ÿ?����������}�?X�Y��@T>�����a�S�!ÿ$����Z�� U[���SXEÿ�������Y��!ÿ��e�$Z���

��� ���8ÿ$��ÿ���� ��������>�����@T:����������9

� �$]�RS��=� ���6 ýu��7OC ����� �O� ÿ� �R`��������aY����W���8ÿ?��_Xn����M�F���(6#ýu��7O],ÿ��WRS��=� ��&R

ÿ��^6 ýn��7<C � � � �(�$������s���_��� 9

� ���`ÿ^U[���SXZÿ?������Y���ÿ�6 �� �V� d �$RS�>=_ ��<¡�6�CqT��������V¢&¡ � 6�C£UW����¤D¥ K ýu6#ýu��7 � 687~¦ �S§_¨ 9

þD������������ ���� a���������������l]^�����H�����D©������T~������Y��� ��Wª�«�6�¬­6 ÿ? �Rc����� � ����Y��� ������

® «�6¯¬°6±����Z���l�Iÿ?���<² «�¡�6³¬°¡�6 ÿ� �R}´µ«�¡�6³¬°¡�6|9 x �LY��>Xn����������X(¶��·�

]��}�gÿ¸Z���´H²býu¹Lº/ýu»L757HC¼²H´Iýu¹LºÆýu»L757HC¾½�¹Lº}ý3»l7JXn���H»À¿·UW��� ¤D¥ ýu6#ýu¶`7 � 6Á7>9�Â�X

¶ÃCÄ�|]��Á�8ÿ¸Z��Á²H¹ ¨ ý3»l78CŹ ¨ ý3»l7�Xn���Q»�¿ÆU[��� ¤D¥ ý36#ýu��7 � 6Á7����� _T>�P�����8©���5�

��T~�����Y��� ����� V���������S���������J���������� ��~�O�?X�6�@�O�����c��RS� ��������9

\ �HT?ÿ? V���É���[R��>=� ���ÿ} ��]¾T?ÿ$������������9

gQh�iLjlknmk3o_jqpsrutÉÊ�r NO���ËT(ÿ?�����������ÍÌ�Î d �8ÿ��%ÿ��Ï��YSÐÈ�T>���%ÿ�Y_����®ÿ? �����������

Ñ C Ñ d G Ñ A �������>�������}]^�����f�Iÿ?�_��²Ä« Ñ ¬ Ñ ÿ� �RM´Ä« Ñ ¬ Ñ ��ÿ$���@�5Xn���

�� ��

ýÿ�7 Ñ A^�@��ÿ�;W������R��� � OÒ�J���SRS�����c�� VÌ}έÓ

Ô�Õ

Page 52: Dieudonne theory for ungraded and periodically graded Hopf rings.

Ön×�Ø^ÙHÚ�ÛqÚHÙ�ÛMÜPÝ�ÞàßDáfâMã�ä

Öuå&Ø^Ùçæ�èOé�ê�ëcæ@ìSë�Þ�é�æ�éÈí�Ý�Þ`âfî<á£ß�ï

ð è^×�ë>ñnÝ�ò�ë�óSôDëcê_õ¸ö�ë�÷

øHùlúÉû�ü$úÉýÏþsÿ���þwÿ�������� ����������� ÷���� î����! �î#"%$'& ��(#)%�*��+� $'& )�,-�����.���/�#��)%�0�21" ��� $ ��(�3

4 ëcÞ�ë�5Éé[ô�õ�Þ�é�é�ÝBìSëõ76sô^æ�é�ê`ò�æ�Þ98�Ý�× :Èë&å:é~è�ï

; æ�ò~èÈé&ó�Þ�Ý�é�æ@å>ëJé�ê�õ?é[æ�Þ��<� î>= ò�ÝSì ?_å:é�è^õ�ò�ëcìSë2@�Þ�ë&ìQõ�è

AB ÷�Ö�CJî<áDC ã ØsáqÖFEJîeáGE ã Ø � ÖFHOîeá*H ã Ø

ô^æ�é�ê AB Ö�IKJQáML�N�ØHÛ B Ö�I�áOL>Ø BQP Ö�JVáRN�Ø:óLô^ê�ëò�ë B ÷SCJî[áTE î � HOî�æ@èaõ = ò�ÝSì ?�å:éÝ?ñU8�ò�Ý7? = ò�æ�Þ98�ècõ�Þ�ì BQP ÷SC ã áTE ã � H ã æ�è�õ = õ?æ�ò�æ�Þ98`Ý�ñU8�ò�õ�ìSëìàå>Ý�Þ�Þ�ë&å:é�ë&ìWV[Ý = ñõ%6-8�ë×�ò~õ�èï�ÖFV[ë�ò�ë ôDë ô^ò�æ�é�ëXIKJ`ñnÝ�òYIJáDJ[Z\C î áGCãó�ë�é�å�ï Ø

ð ×�æ]6�æ�Þ�ëõ?ò_^Bõ = æ�Þ �` �î ô^æ]6-6�×_ëOõY^Bõ = AB ÷�Ö�â î á}âMã5Øá�ÖFa î á`a�ã�Ø � ÖFb î á`b�ã�Ø8�æ�ö�ëÞa×Éí AB Ö�IKc·ádL�c`Ø<Û B Ö�I�ádL>Ø BQP Öec·ágf�Ø:ó�ô^ê�ë�ò�ë B ÷�â î ága î � b î æ�è�õ = ò�ÝSì ?�å:éæ�Þ#8�ò�Ý7? = ò�æ�Þ98�è�õ?Þ�ì BhP ÷�â°áia � bÇæ�è�õH×�æ-6�æ�Þ�ë&õ?òj^�õ = æ�Þ �` õ�èDìSë2@�Þ�ë&ìB×_ë�ñnÝ�ò�ë�ï

; Ýk6]6�Ý$ô^æ�Þ�8aé�ê�ëcò�ë&õ�è�Ý�Þ�æ�Þ98añnò�Ýk^mlÉëå>é�æ�Ý�Þ\n�ï o�óSõ?ÞÉí = õ�æ�ò�æ�Þ98gp%qsrc÷7t�q�áWtur � t�q-v�ræ�Þ��<� î ô^æ]6-6�æ�Þ�ì ?_å>ë�õ = õ?æ�ò�æ�Þ98\p Pqwr ÷ � t�q(á � tur � � t�q-v�r�æ�Þ �` î ï ð è×_ë�ñnÝ�ò�ë�ó

é�ê�ëHìSæ�õ78�ò~õ%^tMÖFx�Ø�áGtMÖ�x�Ø //

y�z_{��

tMÖFx�Ø}|>~YtMÖFx�Ø�

��ÖFt!q�Ø5îeáFÖ�tur&Ø�î �//Ö�t�q-v�r¸Ø5î

õ%6-6�Ý$ô[è�?�èé�Ý`ìSë2@�Þ�ë = ò�ÝÉì9?�å:é~è�p�qsr�÷lÖ � t�q�Ø5îOáÀÖ � tur&Ø�î � Ö � t�q]v�r&Ø5î�ï 4 ë�õ%6@è�Ýê�õ¸ö�ëcé�ê�ë�æ�Þ�ì ?�å�ëì = ò�ÝSì ?_å:é�èJÝ�ÞPé�ê�ë��æ�ë�?�ìSÝ�Þ�Þ��ë!^}ÝSì ?�6�ë&èWñnÝ�òWé�ê�ë�å>Ý�Þ�Þ�ëå>é�ëì = õ?ò�é�è

� x

Page 53: Dieudonne theory for ungraded and periodically graded Hopf rings.

�%�Q�.�9�`��7� ���7�]�k�2�9���7���W���7�-�7���\�K���.�9�X�.�������.�-�����-�7�\���#�< ¡�%�Q�.�9�u���7�]�.�-�9�<¢¤£Y¥U�¤¦��§ �©¨9��ª��9�

«K¬ ¢�­k®�¯�°²± « ¢U®�³�± ¬ ¢�­�¯9³

´ � § �]�-�S¨ ���9�%�.���K�d�#µ<¶������X�2���.�2�k�7�.�g�%�Q¦9�9�7���7¨9��¨��7���7·����.���¸�º¹0�]�-»7�©�Y�k� �Q���-�9�k�±'�.�������¸�2�¼�7���.�9�`�.�-�9�<�k� ½/�����.���e�7�>�<  ¶ ³>�%��¨¾�¤�\¿Xµ ¶ ���9�g���������7�k�����%�UÀ�-�2¦�¨9�7�9�UÁ��.�]�9�K���]�������-�Y���7���7£

 �7�����¸¨ �2���9� § �����i�e¦9���º���k��ÃdÄÆÅ��#µ<¶ÈÇÉ¿Xµ�¶������%�<���%»k���<���7���Ê���ÌËk¦��2���2��%���Y�k� ���%�-�7�2���.�k�uÍÎ��Ï�ÐÌÏ�Ñ%Ò\���\�.�9�#����ËK¦9�2�����g�%�UÀ�-�2¦�¨ �7�9�UÁ�g·��¤¨9¦9�]�Ì��ÍÌÃi±���ÏF³ºÐÌÏ�Ñ%Ò��§ �9�����©ÃÓ�-���.�9�©�9�����¤�]�k¦��j�e¦9���º�.�7�YÃÓÅ��<  ¶ ÇÆ¿`Ô ¶ ���%��¨���¦����#�������������>����� ¨ ¦����.�¢�ÏwÕ!Å��!ϼÖÈ�uÕuÇ×��Ï-Ø�Õ!���%�.�������7�������<���9�`�9�.�¤¨9¦��º����¢ ­ ÏwÕ#Å9Ã#��Ï�ÖÈÃ#�uÕ`ÇÙÃ#��Ï-Ø�Õ�7�U�k�]�k�2�<�]���������9���Ì���̨ �]���!���%���%�7���%���}£

¥S�T�2�7�������.¦��º�[�7�Ú�-�¤�7���.���i�e¦����º�.�7�¾Û©ÄÜÅ�¿Xµ�¶OÇ �dµ<¶�� § �W�7�k�%�-�Ú�7�2���2���%�]¹�-Ý2�¾���9�Þ¨ ��ª��9�ß�.�]�k���\�%�`�]��¨9¦����̨O���7�]�.�]���k�ià¢D�7��¨âá¢W�]�K���.� ¨ ¦��2��¨O�-�Ê���9�Þ���k�9�9�������̨�2�k���k£äãå���%�-���-�9�O¢âÅuÃ#æ���ÏjÖçÃ#æ��uÕÊÇ Ã#æ���Ï-Ø�ÕW�]�Ú¿`Ô ¶ �-��¨ ¦��2���[�È���7�]�.�]���à¢ÞÅè��Ï_ÖM�uÕ�Çé��Ï-Ø�Õ<�-�D�<  ¶ �¤�T± «K¬ ³ºà¢ ±F®º¯ ³�°ê± « ¢©®�³2± ¬ à¢�¯9³º� § �9����� § �<¦����d���9��9�.�2�¤�-�7¦��U¨ �2ª��9�]���-�7�\�%��à¢X�e�7�Y���k�9�9�Ì�º���̨<�7�]�k�2�9���7��£

ãY�¸�����O�ä���7�]�.�]���Æ¢ëÅ¡��Ï!ÖÆ�uÕìÇ �!Ï-Ø�Õí�-�î�<  ¶ �-��¨ ¦������â�ä���7�]�.�]���á¢dÅ�ïU±�� Ï ³_ÖÈïU±�� Õ ³YÇðïU±�� Ï]Ø�Õ ³Y�-���<  ¶ �¤��ïU± «K¬ ³�á¢%ïU±F®º¯ ³Y°çïU± « ¢®�³�±Fï�± ¬ ³�á¢%ïU±e¯9³�³º�¦����]���`�.�9���9�.�2�¤�-�7¦��U¨ �2ª��9�]���-�7�\�%�Yá¢X�e�7�Y���k�9�9�Ì�º���̨\�%�-�7�2���.�k�2£

¥U�9�2�ê�í���7�]�.�-�9�Ó¢ñÅóòWÏXÖôò¾ÕõÇ òDÏ]Ø�Õç�-�ä¿`Ô ¶ �-��¨ ¦��2���Ú�í���7�]�.�]���¢ ­ Å7��Ï�ÖD�uÕ�Çå��Ï]Ø�Õ©�-���< u¶>�¤��¢ ­ ° à á¢K£

¥U�9���9���¤�7��%�Y�.�9���9��ö¤�  �7�.�7�-�-�7���¾�e�7�-�]� § �!¨ �-���Ì�º�.�]�÷�e�.�7·å����� § �7�.» § ��¨ �-¨*�-������i���k�9�9�������̨T�2�7�����-�Mø¤�������-�7�Mù £súÞ�%��¨È���9�[·��2���9� ¨9�<¦�����¨R�-�R���9�[�k�.�k¨ ��¨R���7���

ù û

Page 54: Dieudonne theory for ungraded and periodically graded Hopf rings.

ü7ý�þ9ý2ÿ��������������kþ� ������¤ý��������7þ���� �������������! "�$#&%('!)+*,'.-0/�132�4"5�687:9;=<?> @BADC.EGF HICJEK/MLNOLP;RQTS$/+7=LVU:W89�QX5�7YZ> @HIC E F[A?C E L50U\7]/M1_^ML�QX;a`�< >cb�YZ>ed 2�9�;RfaNaL�5g1�h�4"QXiLj�1�5061k9l2I6L�7m1mSn9;RQ�1�N8o

prq

Page 55: Dieudonne theory for ungraded and periodically graded Hopf rings.

s tvuxwzy|{B} ~

� ����� � ��� � �� ��� �z����� �\���

� ��������� �Z�[�����_� ������� �v� � � � ���������  ����¡

¢:£¥¤¦M§�¨k©�¦�ªr«"¤�¬�­a®¯¬J©8°r£�¨�§�±M¬8­a«�¬8­§�°+±M§�©�ª�²�²�³µ´r­�ªr±M¬�±µ¶M§·©�°V¸¹¸�º"¤ª�¤�§�»r¬�¼½°r«M¾¿ª�²�´r¬8¶�­ªV¨°»r¬�­cÀ+Áªr£�±(Ã0ªr¨_¶�¬�¾]°V­�¬VÃ�®¯¬a¨l¤�º�±"³J¤�¦�¬8§�­�©�°V­�­¬�¨�«�°r£�±"§�£M´\Ä�§�¬�º�±"°r£�£¯Å¬�¸k°"±"ºM²�¬�¨�ÃÆ«M²�º�¨¤�¦�¬a©�°V­�­¬�¨�«Æ°V£�±"§�£M´\Ä¿§�¬8ºÆ±"°r£M£cŬ�­�§�£M´n¨c¾]°r­_¤¦M¬a¼¿°r«"¾e­§�£M´n¨8ǯÈg¬aª�´nª�§�£?¾]°"©�ºÆ¨½°r£|©8°r£"É£M¬Ê©R¤�¬Ê±Ëªr£�±¥´r¬�°r¸k¬�¤­�§·©RÉm²�§�ÌV¬?¼½°V«"¾�ª�²�´r¬�¶M­�ªr¨�ÃÍ®_§�¤�¦&±"¬�ÎÆ£M§T¤§�°V£�¨k¨l§�¸k§�²·ª�­�¤�°Ï¤�¦M°n¨l¬J®�¬«M­¬�¨�¬8£n¤�¬Ê±?§�£�¤�¦M¬Z¤Ð®¯°¹«M­�¬�»+§�°Vº�¨_©�¦�ª�«M¤�¬8­�¨�Ç

Ñ\Ò�Ó ÔÖÕ½×�Ø�Ù?Ú|Ø�Û_ÜIÝ8Ý�Þàß�×eÜ�ÚÂÕ½ÚáÛ_Ù�âÂâ.Õ¿Û¯ãÍÕ½ÚáäáÙ¹å.æDÜIÝ�ß�Õ¿ç.×eÜ�èÜIâ.Úéãeê.Õ¿Ø�×ìëíØ�Õ¿î.ÚÂÙ¹âÂâ�ïÕ�ðGÙ?Ú|îÂÝ�Õ½è

ñc¦M¬Z¶�ªV¨l§·©ò¸kª�¤�¬�­�§·ª�²(§�£�¤�¦M§·¨½¨�¬�©R¤§�°V£�©�ª�£�¶Æ¬Z¾]°VºM£�±�§�£µó�ô�õö÷ÇÈø¬¹®_§�²�²Í¦�ª$»r¬I¤�°?­¬�¨l¤�­§·©R¤¿°VºM­¨�¬8²�»r¬Ê¨c¤�°�ªD¨�«Æ¬Ê©�§·ª�²Í´r­�ªr±"§�£M´D§�¾�®�¬�®¯ªr£n¤½¤�¦M¬�¸\ª�«�¨

®¯¬½±"¬�Î�£�¬c¤�°�¶�¬½§�£¹¤¦M¬¿©8ª�¤�¬�´r°r­³�°�¾(´V­ªV±"¬�±¹¼½°V«"¾0ªr²�´V¬8¶M­�ªr¨�Çúù�°r­û¤¦M§�¨�Ã+¨Ð¤�ª�­�¤û¶+³aÎMü"§�£M´ª�£gýÿþ��MÇkÈø¬\®_§�²�²�®_­�§�¤�¬��������=ôkªr£�±g©�°r£Æ¨l§·±"¬8­ ���?Ém´r­�ªr±M¬�±|¶�§�©8°r¸k¸aº"¤�ª¤§�»V¬¼½°V«"¾òªr²�´V¬8¶M­�ªr¨�°»r¬�­aÀ+Á à ¤�¦�ª�¤k§·¨�à ¤¦M°V¨�¬?¤¦�ª¤Dªr­�¬�´r­�ªr±"¬Ê± °»V¬8­������������� ô���Ã�ª�£Æ±

� õ

Page 56: Dieudonne theory for ungraded and periodically graded Hopf rings.

����� �!#"�$&%(')"+*-,/.0"1'32546"87�!:9���;+2=<0>?9+'@,A.(9B,�9�>A2�$C"+*($C2C*1,/>?9B,A2=D���*�2CE82C*FD�2C;8>/2=2='HGI.(9JEK� *(;2C��2CL�2=*8,?'M��*N"�D0DND�2C;8>/2=2�� L�70����2='=OP<KQR$&"8L�LS%�,A9�,/��EK��,TQ8OU,A.(9B,S,/.02-4H"+7�!69+� ;82C<0>?9V.(9+'2C��2CL�2=*8,?'S'AW1%(9�>A��*0;X,/"ZYC2=>/"�[\� *]!I9+$^,�O_,/.(2`$C9�,/2=;+"+>AQa"+!5bBc`de;+>?9+D�2�DZ<(��$C"+L�L %�,?9B,A� E8246"87�!f9+� ;82C<0>?9+'5'/70� � ,A'g98'g9VD�� >A2=$&,g70>/"�D�%�$^,g"�!),/.02�$C9�,/2=;+"+>AQV"�!),/.0"1'32�$&"8*($&2=*1,/>?9B,/2�D��*h2CE82C*aD�2=;+>A2C2�'H9�*�Da9-$=9B,A2C;+"8>/Q`"�!i7(>/��L���,A� E82C��QF;82C*02=>A9�,/2�DV2&jK,/2=>/��"+>59���;+2C<(>A98'kdk'/2C2lnm=oqp&r

s b�c-de;+>?9+D�2�D-4H"+7�!i9+� ;82C<0>?9�$&"+*�$&2C*1,A>A9�,/2=DF��*X2CE82C*XD�2C;8>/2=2='��������U<2S$C9+� ��2=DNt?uBv�wvx?tCyex?z���!:{�|6}~��K� r_� 2g'/.0"+%0��D�*("�,/��$&2�,/.�9B,69�*KQ�'3%�$?.`46"87�!P9+� ;82C<0>?9 $=9�*`<�2�EK� 2=�)2�D9+')9�*X��vK���/�8z+x?z�4H"+7�!U9+� ;82C<0>?9g9�*(D�,A.(9B,f<�2=� *(;S$&"8*0*02�$^,/2�D�9+')9 bBc`de;+>?9+D�2�D�4H"+7�!U9+��d;+2=<0>?96��L�7(� ��2='P,A.(9B,_� ,\��'@$&"8*0*02�$^,/2�D ��*S,/.02k;+2=*02C>?9���'/2C*('/2f"�!�%(*0;+>?9+D�2�D 4H"+7�!�9���;+2C<(>A98'Gq,A.(9B,6��'=O�.(9JEK� *0;�9+*`2CjK.�9�%('3,/��E+2g$&"19�%0;8L�2C*1,A9�,/��"+*�����,A>A9�,/��"+* p&r

�F�8�@�P�#�=�������U�I�� � 2S�������@D02C*0"+,/2 <KQF�`�S��,A.02�$=9B,A2C;+"8>/QF��.0"1'32S"+<��T2�$^,A'59�>A2�b�c-d;+>?9+D02=DN$&"8*0*02�$^,/2�DN<0��$&"8L�LS%�,A9�,/��E+2-4H"+7�!59���;+2C<(>A98'g"BE+2=>M�1��$&"8*($&2=*8,A>A9�,/2�DR� *�2CE+2=*D�2=;+>A2C2=' r

� ��*($&2H4H"+7�!U9+� ;82C<0>?9+'@��*��`�M��$C9+*�<�26EK��2C�f2=D�98'_%0*0;8>A98D�2=D�$&"8*0*02�$^,/2�D�"+*02�'CO+,/.02D�2C�(*0� ,/��"+*�"+!H�H��2C%�D�"+*0*k 2-L�"�D�%0��2=' !#>/"8L � 2=$&,/��"+*¢¡ r £ $C9�>A>A� 2�'M"BE+2=>g,/"Z,/.(��'�'32�$^,A� "8*9�*�D-�f2�.(9JE+2g¤�{ ~ $C"+��� LF¥J46"+L�¦)§5GI{�G#¨ p^© { p?ª !#"8>69�*KQ-{¬«F�`� � r

­ *�,/.0��'i$=9+'/2+OB,A.0"+%0;8.®O��f2��f9+*1,_95*02=�¢D02&�(*0� ,/��"+*�,A.(9B,_,?9�¯82='_$C9+>/2f"�!,/.(26;+>?9+D���*0;�O9+'g,/.02�L�9+7('M{]GI¨ p ° {±��*R,/.02-$C"+��� L�� ,S9�<"BE+2�9+>/2�*0"+, *02�$&2='A'A9�>A� ��Qh��*R�`� �²G#��*!I9+$&,=O0�f2�.(9JE+2=*®³ ,k2=E+2=*`70%0,H9S;8>A98D���*0;S"8*F{�G#¨ p Q+2C, p&r

� 2\!#"+��� "B�´��.(9B,®�k9+'UD�"+*02_��*�,/.(2\;+>?9+D�2�D�$C"+*0*(2=$^,A2=D�$C98'32_<2&!#"8>/2 r � ,?9�>/,U<KQH;+��EK� *(;2=98$?.M��*(D�2&,A2C>AL�� *(9�,/2kµ�¶�D�2=;+>A2C2�b^· ¶#¸ L�"�DVb�c¹!#"+>@96�0j�2�D ¸ 'A9B,A��'3!#QK� *(; £gº ¸ º ·�»_¼ £

9�*�D�D�2C�(*02h{]G¾½ © ¸ p ~ � � l µ(¿ © µ�À ©CÁ=ÁCÁ© µ�à o !#"8>�2=9+$?.�½8O);8� EK��*0;´��,�,A.02X%0*0��W1%02h46"87�!

¡BÄ

Page 57: Dieudonne theory for ungraded and periodically graded Hopf rings.

Å�Æ�Ç+È=É0Ê?Å-Ë3Ì/ÊAÍ(Î^ÌAÍ0Ê/È�Ç+Ê?Å+Ï0È=ÏXÐBÑ8ÈCÊgÒBÓ¬Ì/Ô(Å�ÌgÕ�Å+Ö+È�Ë6ÌAÔ0È�×�Ø�Ì/ÌMÙ�Ð8Æ ÚKÛ0Ð8Õ�Ø�Å�Æ�Ë�Ù0Ê/Ø�Õ�Ø�ÌAØ Ñ8È+ÜÝ Ô0È�Þ_ÈCÊ?ËAÎ?Ô0Ø È=É0Í0Û0Ç�Ð8Û-ÌAÔ0È=Ë/ÈMß]à�á8â/ã3äfØ�ËkÇ8Ø Ñ8ÈCÛFÉ1ÚFå�à#æçèä\é�æç#ê®ëHì#Ð+Ê�íiîðï0Ü

Ý Ô0Ègñ6Ð8Ù�ì@Å+Æ Ç8ÈCÉ0Ê?ÅMÕ�Å+Ù(Ëhòå¹ó+ß]à¾á)ôðõ8â3ã3ä\ö÷ß�à�á8â3ã3äfÎ&Ð8Ê/ÊAÈ=Ë/ÙÐ+Û(Ï�Ø�Û0Ç Ì/Ð�Ì/Ô0ÈgÐ8Û0È=ËÍ(Ë/È=ÏFØ�Û`ÌAÔ0ÈgÉÈCÇ+Ø�Û0Û0Ø�Û0Ç�Ð+ì_øKÈ�Î^ÌAØ Ð8ÛXù0Ü õ5ÌAÐ�Ï�È&ú(Û(È�Ì/Ô0ÈMÎCÐ+Æ�Ø Õ�Ø Ì�Å�ÊAÈ�Û0Ð�Ì�Û0È�Î&È=ËAËAÅ�ÊAØ Æ�Ú�Ø�Ûû`üMýSþ É0Í�Ì�ÿfÈ Î=Å�ÛXÎ?Ô0ÐKÐ8Ë/ÈMË3Ð8Õ�ÈMØ�ÌAÈCÊ?ÅBÌAÈMÐ�ì òå¹ÌAÔ(ÅBÌ�Ï�ÐKÈ=Ë6Ù(Ê/È�Ë3È=Ê/Ñ8È�Ï0ÈCÇ+ÊAÈCÈ8óiØ�ÛXìIÅ+Î&Ì þ

Ë/Ø Û(ÎCÈHÌAÔ0È5Þ_ÈCÊ?Ë/Î?Ô0Ø�ÈCÉ(Í0Û0Ç�Ï�Ø ÑKØ�Ï�È=ËkÏ�È=Ç+ÊAÈCÈ�É1Ú��VÅ�Û�Ï�Ð+Í(Ê)Ç8ÊAÅ8Ï�Ø Û(Ç Ø�Õ�ÙÐ8Ë/È=Ë�����é õ þ ÿ)ÈÔ(ÅJÑ8È ÌAÔ(ÅBÌ¢òå��aØ�ËgÅFÕ�Å+ÙRØ Û û`ü ý Å�Û(Ï´Ë3ÐVÿfÈ�ÎCÅ�ÛRÏ�ÈCú(Û0È���Ø È=Í(Ï�Ð+Û(Û�È�Õ�ÐKÏ0Í0Æ È�Ë�ì#Ð+Êß� ûFüMý ÉKÚ�ó

�� ß é Î&Ð+Æ�Ø�Õ��Jñ6Ð8Õ������àIß�à�á8â3ã3ä&â/ßaä��

� Ð+Ì/Ø�Î&ÈSÌ/Ô(Å�ÌgÈ=Å+Î?Ô òå��aØ�ËgÅ`Õ�Å�Ùhì#ÊAÐ+Õ²Å`ß]à¾á8â3ã3ä�ÿ�Ø�ÌAÔRá`î��]ÌAÐFß�à�á����_â/ã3ä^Ü Ý Ô(Ø�ËÕ�È=Å+Û(Ë�ÌAÔ(ÅBÌ þ ÉKÚðÏ0È&ú(Û0Ø Ì/Ø�Ð+Û Ð�ì Î&Ð8Æ Ø�Õ�Ø�Ì þ Å�Û�È=Æ È=Õ�ÈCÛ1Ì�� ñHÐ+Õ!�"� � àIß]à¾á8â3ã3ä^âAßaä#�ÿ�Ô0Ð1Ë3ÈgØ�Õ�Å�Ç+È Í0Û(Ï�È=Ê�Ì/Ô0È�Î&Ð8Æ Ø�Õ�Ø�ÌHÕ�Å+ÙXØ�ËHØ Û � ß÷Ø�Ë�Î&Ð+Õ�Ù0Æ�È&ÌAÈCÆ�ÚFÏ0È&Ì/È=Ê/Õ�Ø�Û0È=ÏVÉKÚ`Ì/Ô0ÈÊAÈ=Ë3Ì/ÊAØ�Î&Ì/Ø�Ð+Û-Ð+ì:ÌAÔ(ÅBÌ6Õ�Å+Ù-ÌAÐ�ß]à�á%$�â3ã3ä þ ÿ�Ô0ÈCÊAÈgï!&¢á%$(')�´Å+Û(ÏFá%$�é�áNàIÕ�Ð�Ï��Uä^Ü

* ì\ÿ)ÈgÛ(ÐBÿ�ÑBÅ+Ê/Ú`ãfÿfÈgÇ+ÈCÌ�Å�ÎCÐ+Æ�Æ È�Î^Ì/Ø�Ð+Û+� � � ë#, ,.-0/1êÂë àIÐ+Û0ÈSË3Ô0Ð8Í0Æ�ÏVÛ0Ð�ÌAØ�ÎCÈgÌ/Ô(Å�Ì þ

Ë/Ø Û(ÎCÈ1���32 õ´àIÕ�ÐKÏFÓXä6Ø�ÛaÐ8Í0Ê5Ç+Ê?Å+Ï�Ø�Û0Ç þ Ì/Ô(ÈSÕ�Ð�Ï�Í0Æ�È=Ë �4 ß÷ì#Ð+Ê5ã�î)�5�!��õ�ÿfÐ+Í0Æ�ÏË3ÌAÅ�Ê/Ì ÊAÈCÙÈ=ÅBÌAØ Û(Ç ÌAÔ0È Ð8Û0È=Ë Å+Æ ÊAÈ=Å8Ï�Ú Ï�ÈCÌ/È=Ê/Õ�Ø�Û0È=Ï þ Å+Û(Ï Ë/Ð� ß é6� �4 ß7�Bë�, ,.- / ê®ë�Ø�Ë�Å�Ó�8¾Ç8ÊAÅ8Ï�È=Ï-Õ�Ð�Ï�Í(Æ ÈJä^Ü

� È091Ì6ÿfÈgÏ�È&ú�Û0È�Ì/Ô0ÈgÔ(Ð+Õ�Ð+Õ�Ð+ÊAÙ0Ô0Ø�Ë/Õ�Ë�å Å+Û(Ï�:�Ð+Û � ßNÜ

; Ð8Ê6È=Å8Î?ÔVá Å�Û(ÏVã þ ÌAÔ0ÈMÕ�Å�ÙXß]à¾á8â<�(ã3ä)ö ß]à¾á+â/ã3ä)Ì/Ô(Å�Ì6ÌAÅ+Ö+È�Ëkæ ç ÌAÐ�æ ç - Ù0ÊAÈ=Ë/ÈCÊAÑ+È�ËÏ�È=Ç+ÊAÈCÈ þ Å+Û(Ï�Ë/ÐaØ�Ë�ÅaÔ(Ð+Õ�Ð+Õ�Ð+ÊAÙ0Ô0Ø�Ë/Õ²Ø�Û ûFü ý Ü Ý Ô(È-ì#Ð8Æ Æ�ÐBÿ�Ø Û(ÇZÏ�Ø�Å�Ç8ÊAÅ+Õ¬Ø�Ë�Î&Ð8Õ�8Õ Í0ÌAÅBÌAØ Ñ8ÈMÉÈ=ÎCÅ+Í(Ë/ÈgÌ/Ô0È�Î&Ð8Õ�ÙÐ8Ë/Ø Ì/Ø�Ð+ÛVÐ�ì_ÌAÔ0È Ø�Û(Î&Æ�Í(Ë/Ø Ð8Ûhß]à�á8â/ã3äfö ß]à¾á+â=�(ã3ä6ÿ�Ø�ÌAÔXÌ/Ô0ÈÅ�ÉÐBÑ+È5Õ�Å�ÙFÇ+Ø�Ñ+È�ËiÌAÔ0È ; ÊAÐ+ÉÈCÛ0Ø�Í(Ë>:�Ð+ÛVß]à�á8â/ã3ä)Å+Û(Ï-Ì/Ô0È ; Ê/Ð8É�È=Û0Ø Í�Ë�Î&Ð+Õ�ÕSÍ�Ì/È�Ëkÿ�Ø�ÌAÔÌ/Ô(ÈgÞ_ÈCÊ?Ë/Î?Ô0Ø�ÈCÉ(Í0Û0Ç(Ü

ù+ù

Page 58: Dieudonne theory for ungraded and periodically graded Hopf rings.

?�@=A.BDCFE ?�@<GHBFCFEoo IJI0Ioo ?�@KGL@NMPO)Q%ERBFCFEoo ?�@<GSMTBFCFEoo IJI0Ioo

?�@=A.B<U5CFE

OO

?�@KGHB=UVCFEoo

OO

IJI0Ioo ?�@KGL@NMPO)Q%ERBFCFEoo

OO

?�@<GSMTB<UVCFEoo

OO

IJI0Ioo

WYX.Z\[P]^Z\_a`cb#_ade_cfgfihkjP[lV[Ymnh!].oRpVq.ormnX.o�X.hTd4hTd!hcbns.X.Z\[Fdutwvyx�z{?}|~x��Rz�?7�

� Zid4Zif\_abnfg�T�SmnX.o��RhTd4s�hT[DZgmDZihcq7?�@=MTBDCD�#U�E�|�?�@NMrO�QTBFCFE�|�?�@NMTBFCFE�mn_c��Zgq.`����YmDh�5�<�(��sVbDo%[FoJbD�ToJ[Y]^o0`TbDoJoc�._cqV]�[Dh4mDX.o�].Zi_c`cb#_ad

?�@=A.BDCFE ?�@KGHBFCFEoo I0IJIoo ?�@KGL@NM>O)Q%E�BDCFEoo ?�@KGSMTBDCFEoo I0IJIoo

?�@=A.BFCD��U�E

OO

?�@<GHBFCD��U�Eoo

OO

I0IJI

OO

oo ?�@<GL@=M1O�Q�E�BDCD�#U�Eoo

OO

?�@KGSMTBFCD��U�Eoo

OO

I0IJIoo

_afifghkjP[lV[>mDh�]^o0pVq.o�_!X.hcd!hTd4hTbDsVX.Zi[Ddutwvcx z ?}|~x �0�Dz ?7�

��o��J_aq�`cZi�co�_4q.o0j�]^o0pVq.ZgmDZihcq��

���T�����K J�=¡5�£¢S¤\¥�¤�WYX.o�¦�§<¨R©VªT«k¬5¬�­¨¯®!«%ªk©^°g¨²±Khcb�_3³PhTs^±>_afi`co0´Vbn_�?¶µ7·�¸�¹ºZ\[rmDX.o

»�¼ `Tbn_T]^oJ]�_a´�o0fiZi_cq�`TbDhTl.s

x�?}½�¾�x�z{?}½¿�0hcfiZgd�¾%³1hcd!À"Á�Âr@<?�@NMTBFCFE�Bn?ÃE#ÄTÄ

mDhT`co0mDX.oJbj>ZgmDX3mnX.o�_a´�hk�co�X.hTd4hTd!hcbns.X.Z\[Fd²[

ÅÆvyx4zN?}|~x��Rz�?

_aq5]twvcx���z�?Ç|Èx4zÉ?

��o�_cfi[Dh²]^oRp5q.o�_!�0_kmno0`Thcbn�4hc±�Ê�Zio0lV]^hTq.qYËord!h^]^l.fioJ[J�

ÌaÍ

Page 59: Dieudonne theory for ungraded and periodically graded Hopf rings.

Î�ÏTÐ�Ñ�ÒKÓJÒ=Ô5Ñ£ÕSÖi×SÖ1Ø+Ù�ÚJÛaÜiÜ�Ý�ÞÇßÆàDá.Ù4Ú0ÛaàDÙ0âTãcänå¯ãcæLç¯è{âcä#Ûcé^Ù%é�ê4ã^é^ëVÜgÙ%ì�íîãkïcÙJä>ð�ñàDãTâcÙ0àDá.ÙJä1ò>ógàDáôê²Ûaõ5ì�ö÷ÛcøVéôù÷ìnÛkànóiìFæKå�ógø.â�ù�öºúûö�ùwúýü�Ûaø5éôìFë5Ú#á3àDáVÛaà�æKãTä1ÙJÛTÚ#á

þ�ÿ í�àná.Ù0änÙrÙ��^óiìFànì1Ûaø�������ò>ó àná�ö�� þ � ú��

�Yá.Ù>Ù��yë.óiïkÛaÜiÙ0øVÚ0Ù��5Ù0à�ò"ÙJÙ0ø��PãTõ^æ�ÛaÜiâcÙ��.änÛTì�ÛaøVé���ógÙJëVé^ãcøVø��ÙYê!ã�é.ë.ÜgÙ%ì���ÙJÚRãTê!ÙJì��cóiøàDáVóiìPÚJÛcìDÙ��

�� Ï�Ô! kÏ#" ÕSÖ%$�Ö'&)(+*-,/. 0!132�4-5767198�2;:=<?>A@�2�B-CEDGFIH)57J�<?�LKNM ßPO Ý�Þ ß HQ0!27H0R27@S2TJU>WVX0EHY2�Z)[I5+>QD!H]\^�yÝ ß_O K�M ß` 27D ZTHa0R1b:!27>QJSc<3dU\ � B�5+JU8e@�27Df1;gICE>Q6727h%1IDGF-15iBF-2+Hj1jVk57JU>c1�@�l

m âyÛaóiøn��àDá.Ù�õ.änã�ãaæ1ÚRãTøEoVänê²ì�àDáVÙ¯æ<ÛTÚ�à�ànáVÛkà²Ûaø�Û+��Ù0ÜióiÛcø�Ú0ÛaàDÙ0âTãcänåÃò>ógàDá)ÛÃìDÙRà�ãcæìDê!ÛcÜgÜYõ.änã+p�Ù%Ú�ànógïTÙ¯âcÙJø.Ù0ä#Ûkànãcä#ì�ó\ì!Ù��yë.óiïkÛaÜiÙ0øyà�ànã+Û+Ú0ÛaàDÙJâcãcänå ãaæ1ê!ã^é^ë.ÜiÙJì!ãkïTÙ0ä!ìFãTê!Ùänógø.â3q rts]q u+sjv

w�xUy z|{b}�~��T��~�����I������}����3{b�������3�9{Y����{b�����S�9��}�~I�9������9����9{Y~�}���~�{��9�3���3���{�}�~��9�e�

��Ù0ø.ãcàDÙS�yå9KT�¯ßÆàná.Ù!Ú0ÛkànÙ0âTãcänå�ãcæ]�PãTõ^æ"änógøVâTì�ógøÃàDá.Ù��kç�èNâTänÛTé^ÙJé�Ú0ãcø.øVÙJÚ�ànÙJé�Ú0ÛcìDÙ��àDá5ÛkàSó\ìI�%ò>á.ãyìFÙLã��Ep�ÙJÚRànì�ÛcäDÙLÚ0ãcÜiÜgÙ%Ú�ànógãTøVì¡ X¢�£i¤ ãaæR�kç�èNâTänÛTé^ÙJé�ÚRãTø.ø.Ù%Ú�àDÙ%é��PãTõ^æ.ÛaÜiâcÙI�VänÛTì<Ú0ãcøVÚ0Ù0øyàDä#ÛkànÙJé7óiø)Ù0ïcÙJø�é^ÙJâcänÙ0Ù%ì � àDãTâcÙRàná.Ù0ä!ò>ógàDá)ê²ÛaõVì�¢�£�¥�¢e¦ O ¢S£¨§G¦3ãaæ©�aç¯èâcä#Ûcé.ÙJé¯Ú0ãTÛcÜgâTÙI�.ä#Ûcì�v

Ø�ÙÃòÛcøTà!ànã�ìFá.ãkòuàDá.ó\ì¯ÚJÛkànÙ0âcãTäDå7ó\ì²ÙX�TëVógïkÛaÜiÙ0øyà²ànã�Û7Ú0ÛkànÙ0âTãcänå7ãaæ��1óiÙ0ëVé.ãcø.øª�Ùänógø.âyìIv

«© kÔ!¬"Ô®­%ÒKÓ%Ò<Ô�Ñ)ÕSÖA¯�Ö©°�671IJU±94I>Qh²>QDG1-2+JY:!27>QJU>QD#V�¢ £ ¥³¢ ¦�O ¢ £¨§G¦ >QD�KNM ß >QDGZ+C!F;1�@�2:!27>QJU>QDkVS<�¢ £ ¥=<�¢ ¦�O <�¢ £%§ ¦ >QD�Ý�Þ ß�´

µ�¶

Page 60: Dieudonne theory for ungraded and periodically graded Hopf rings.

·�¸º¹X¹i»�¼'½#¾R¿!¿®ÀkÁÃÂ�Ä;Å!Æ7ÄbÇ7ȲɩÊ�ËSÈ+Ì�ËÉYÍ�Ë�È%Î ÉYϨÁ]Æ�¿RÐ;À#ÑR¾!ÒUÄÓÀ�ÔLÕ7ÖN×ÙØ�Ð;Æ�ÑEÂ�ÑSÒ�À�ÚRÚRÂ�Ò�ĺÂXÑÛbÀ�¿EÔ�Æ+ܨØ�ÂIÝ!Ð;Æ�ÁIÞ�ß/Â�àªÆ+ÚkÄ�ĺÀ�À�ÝEÄ;Æ�Ï%Ú�¿RÐ;À#ÑR¾!ÒUÄ-Á

á�Ë�ÈGÌ=á�ËeÉ�Í�á�Ë�È%Î É

ϨÚNÄ;ÅRÂÒ�À�кÐ;Â�Áº¿GÀ�Ú!ÑEϨÚRØSâYϨÂI¾!ÑRÀ�ÚRÚªãÂ'ä�ÀEÑE¾RܨÂ�Á�Þ

å À�Ú!ÁºÏAÑEÂIЪÄ;ÅRÂIÚ3æ�ç9á�èIË È Æ�Ú!ÑTé�ç9á�ê�Ë É Þ]ëYÁ�à�Â�ÁºÆ�ϨÑ�Æ+ÝGÀ7ì�Â�íEà]ÂÒ�Æ+Ú9Ò�À�Ú®ÁÃÏAÑEÂIÐæ�Ä;ÀeÝGÂ�Æ�Ú�ÂIܨÂIä�ÂIÚkÄ�Ï%ÚTÛYÀ�ä�î]ï�ð©ñcËòñcó�ôÃõ+öUô;Ë È öYñaÏ%Ä�ÏAÁ�Ò�À�ä�¿RܨÂ�Ä;ÂIܨ÷SÑRÂ�ĺÂ�кä�ϨÚRÂ�Ñ�Ýk÷�Ï%Ä;Áì7Æ+ܨ¾RÂ�ÁªÀ�Ú9æ!ø�ô�ùIù�ùnôÃæGúRöUÞ]½#Ϩä�Ï%ÜAÆ+Ð;ܨ÷�éTç3ÛbÀ�ä î]ï�ð ñûËòñaó�ô-ütöUôºËeÉXö�Þ�ß/ÂÒ�Æ+Ú�Ø�ÂIÄYÆ�ä�Æ�¿Ï¨Ú9ÛYÀ�ä î]ï ðý¾®ÁÃϨÚRØ�Æ�ÑEϨÆ�Ø�Ð-Æ+äþÁºÏ%ä�ϨܨÆ�ЪĺÀ�Ä;ÅRÂ�À�ÚRÂXÁ�à]Â�¾!ÁºÂ�ÑNÝGÂ�ÔaÀ�Ð;Â�Ê

Ë=ñaó�ôÃõ+öLÌ=Ëòñcó�ô;ütö //

ÿ������

Ëòñcó�ôÃõ+ö����òËòñcó�ô;ütö�

��Ë È ÌòË É ��� // Ë È%ÎGÉ

ÛbÂ�кÂ�íbÆ�Á�ÝGÂ�ÔaÀ�кÂ�í ����ÏAÁ�ĺÅ!Â3ĺÂ�Ú!ÁÃÀ�ÐT¿RÐ;ÀEÑE¾!Ò�ÄTÏ%Ú À�¾RÐNÒ�Æ�ÁºÂ�Þ|ß/Â/Å!Ætì�Â3Æfä�Æ�¿

� è Ì � ê Ê�Ëòñcó�ôÃõ��=ütö�Í�Ëòñcó�ôÃõ+ö�� � Ëòñaó�ô-üXö�Æ�Ú!Ñ9ÒIÆ+ÚNÔaÀ�Ð;ä�Ä;ÅRÂÒ�À�äS¿GÀ�ÁºÏ%ĺϨÀ�Ú

Ë=ñaó�ôÃõ���üXö ��� � ��� // Ëòñcó�ôÃõ+ö����òË=ñaó�ô;ütö �// Ë È%ÎGÉ

�ªÅRÏAÁ�ÂIܨÂIä�ÂIÚkÄYÒIÀ�ä�¿RܨÂ�ĺÂ�Ü%÷�ÑEÂ�Ä;ÂIÐ;ä�Ï%ÚRÂXÁbÆSä�Æ+¿9Ï%Ú3ÛYÀ�ä î]ï ð©ñcËòñcó�ôÃõ��=ütö�ôºË�È%Î ÉtöUíÆ+Ú®Ñ�Ä;ÅRϨÁbä�Æ�¿3ÑEÂ��!Ú!Â�Á�Æ+Ú�æSÇ]éNç�á è Î ê Ë�È%ÎGÉkÞ

ëYÁ�Ý®ÂIÔaÀ�Ð;Â�íGà]Â�Æ+Ú!Æ�Ü%÷��IÂ�Å!À7à�Ä;ÅRÂ�ÁºÂe¿®Æ+ϨкϨÚRØ�ÁbкÂ�ܨÆ+ĺÂ�Ä;À��þÆ�Ú!Ñ ��ÑEÂ��®ÚRÂ�Ñ9À�Ú3ĺÅRÂâ�Ï%Â�¾!ÑEÀ�Ú!Ú�ã©ä�À#ÑR¾RÜ%ÂXÁIÞ

!#"%$'&($*)�+-,�+.$0/21�341�36587�9%:�;=<�7�>?7�;@:BA7¸�C'A%7Q¸D7�;FEHGSÇ È²É Ê Ë È Ì Ë É Í Ë È¨ÎGÉJI�K-L :67�;0MHN'OB:PMC'A%7Q¸D7�;FEHG'Ç%QÈ²É Ê�á�Ë È Ì=á�Ë É Í�áTË È¨ÎGÉ GRA K 7�Ga»BSJT

UHV

Page 61: Dieudonne theory for ungraded and periodically graded Hopf rings.

WYXBZ\[^]._a`(bdcfeg[h_a`8[ib0j

WYklZhm#_n`(boegmo]._a`8[ibdcBj

WYplZi_n`qm#boegmo]r[ib#`(bdcts

uqvw�wYx s#y(zJ{*|~}����R�q�P�d�#�'�B|Y���RzJ{'��}��}4zJ{����8�'�izH��'�R�B|q�-zJ�4��z%��|~}4��}����H�P�����

���d�d� z�|�i_ � ��z��a�q���#]���]-�¡ ¢%c� ��£lc8�H{'��b6�¤��z����(���#].��].�¡ P¥¦cD P�h§�c��

�8�d�R{¤_a`(b6}4|©¨�}�ª��R{¬«��o��d�#�-z����4z%�©}4{d¨a�d}4�J¨J�B�H�¤�

��].�¡ ~¢�­®¥¦c

���®]-�¡ ~¢Hc�¯®��].�¡ P¥¦c //

°�±�²��

��].�¡ ~¢Hc�³�´���].�¡ P¥¦cµ

���a£0¯��\§ ¶·�¸//��£�¹0§

�8�d�º�R�4�R���t{��»[h_ �R�H{¼«0�½|~�t�R{¼�z¾«0�º¨J}4ªJ�R{¼«��¿��'�½��zJ� � z�|}��P}�z�{

��].�¡ ~¢JÀBÁ@cfÂÃ��]-�¡ ¢HcÄÂÃ� £~Å �©�d�t�� ��'���4�����©�o� � �P�JÆJ��|Ä_ £ �za_ £.ÇÉÈ ]��P�d}�|©�����'{'}��P}�z�{

�H¨���t�t|q�©}���¤��'� � �P�Rª�}�z � |8zJ{'�h|~}4{'���#�P�d�\�RzJ�4}���}�� �����*{d}�{'¨o_Ê� Ë�ÌR��£¡}�|���z�� � ���R��R�4�

���R�'{d�t�¬«��6�a�o� � ��].�¡ ~¢HcÄÂÃ��£�c��

Í �8��d�h|P�H��� �}4�a� Å ��d�i�t���t���R{F��[#b^}�|8¨J}4ªJ�R{�«�����d�i��z�� � zF|~}��}4zJ{¤��]-�¡ B¥%ÀBÁ0c¡Â

��].�¡ P¥¦cfÂÃ� § �

�8�d�R�P����Î�}�|Y�B|h� � {d}�Ï � �o��� � ��]-�¡ ¢HÀDÁ0c¡³�´=��]-�¡ B¥%ÀBÁ0c#ÂÐ��].�¡ ~¢Hcf³�´=��]-�¡ B¥�c

]-«0�t�t� � |��zJ�0�P�d� �d���'{d}��}4zJ{ozJ�@��R{*|~z�� � �Pz�� � �D�B|Pc��¡Ñ � ��}4{d¨i��'}4|Ä��� � }4{��Pzi��'�©�-zJ�4��z%�8Ò

}4{d¨o��}4�J¨J�B�H�Ó���R�'{d}4{d¨6[i_�`8[#b � �Pz%ªJ��|f�P�d�i�P�t| � �����

ÔHÕ

Page 62: Dieudonne theory for ungraded and periodically graded Hopf rings.

Ö�×-Ø¡Ù�×-Ú�ۮܦÝPÞBß0Ý

##HHHHHHHHHHHHHHHHHHH

xxqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq

Ö�×.Ø¡Ù~ÚJÞBß@Ýáà�Ö�×.Ø¡ÙPÜ%ÞBß@Ý //

��

Ö�×.Ø¡Ù~ÚJÞBß@Ýáâ�ã�Ö�×-Ø¡ÙBÜ%ÞBß0Ý

&&MMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMM

Ö�×-Ø¡ÙÚ©ÛäܦÝ

{{vvvvvvvvvvvvvvvvvvv

��

Ö�×-Ø¡ÙÚ%Ý�à�Ö�×.Ø¡ÙPÜ¦Ý //

��

Ö�×-Ø¡ÙÚ%Ý�â�ã�Ö�×-Ø¡ÙBܦÝ

��Ö�å*à�Ö\æ // Ö�å4ç0æ

è¬é�ê�ëíì-îtì�ï*ëñð�ò�óáò ôöõR÷�ø?÷�ù@úPûHüiý'û%÷�üD÷�ù�þ ÿ ����� ãÓÿ������� ��������������������!

��"$#&%4ÿ�� �('!) �!*+ +���,��-ÿ��. 0/�ÿ �1'32 ��×04�Ù,5dÝ�67��× 2 4�Ù 2 5dÝ98;:<��×=4�Ù 2 5dÝ�67��×=:>4�Ù?5dÝ�� �A@:<��× 2 4�Ù?5dÝB6C��×04�Ù,:>5dÝ9D

EF#G.*+�?-��,�IHJ-,KA�L-���"'ÿM%4ÿ � #N� ) +�Hÿ ) ÿ �1'FO �íÖP�©àñÖQ���SR ÿ ��T�U ãÓÿ �+@ *+V&#N��

"dÿW%�ÿ � #X� ) +�Jÿ ) ÿ �+'�O�Y �!Z^ÖP�fà�Z^ÖQ�;�[ZPR ÿ �\��� ãD

è¬é�ê�ëíì-îtì�ï*ëñð�òW]�ò ô ��^F_ þJüû!`�úa`�bac%ù*ù0úab&d úa`feh÷.ú&g+`!cHù'ù<hú üD÷�ù�þ�Lij# ) �> $# ) 0#NVk-ml+#&% @�npoÿ��m�>�?#Xqj*+# � V&#>rI� åts¦å0u�v�� ^xwt'!) � @ # @ V&� �1� #XV9-y# @Qz ÿW#&* @ � �1�|{#|�� @ *+%M#X�}-,� ' #k-yK1# ) H©ÿ~-yK

"dÿW%�ÿ � #X� ) Q�! +� O å?æ ��� å à�� æ ��� å4ç0æ �y�L-ÿ��? 0/Fÿ �1' -,K1#QVk� �+@ ÿM-ÿW� � ��ÿ � -,K+#� ) #&i�ÿW�!*+�

) �! $�j�ÿ~-PÿM� � D

z # � ��-y#�"p/ TP� ã -yK1#�V&��-,# ' � ) /��� ����! 1 ) ÿ �+' ��ÿ � -yK1#;� ^�w�'j) � @ # @ Vk� �1� #NVk-,# @ VN�!�,#

� �A@ "p/ �<� ã -,K1#<VN�L-y# ' � ) /��! ^�w�'j) � @ # @ Vk� �1� #NVk-,# @�z ÿM#N* @ � �1�|{# ) ÿ �1' �&D

�!�

Page 63: Dieudonne theory for ungraded and periodically graded Hopf rings.

�;�&�+�1�x���0�1�+�9�y�!��x�����x�x� �¢¡<�\�¤£p¥¦�&�!�+§,¨W©1�&�y¨M�1ª\�0�j�<�N�j�a«�§,�N¬­�1�N�+�k���!�

®��j¯°�+��±Wª!�N£1�a�!§³²X´Qµ.¶Xµ=·�¸¹¨W�>�P� � �,«1�º§?�X¬j�+�&�+�&�m���+�¹¨M�N�+©°�j�1�|»�m¼Q�°©°�1±W�N§B²X�¾½=´QµÀ¿9¶Xµ=·�¸AÁ

 «1�N�,��Ã�­��Ä � �Å¡�Æ � ¨W§��,«1��¯1�,�NÇp¨M�j�+§?±W¥�©1�k�+�1�X©��0�1�+�k�,�j�NÁ����+©¾§?�+�a«��y«+�L�¹�,«1�

¯1�y�°©°�+�9�a§ÉÈLµËÊ � ´�µ(ÌÍ´Ê � ´�µWÎ$ÊÏ�&���y�y¥Ð�LÇj�&�¢�,�Ð�,«+�ѯ+�,�°©°�+�k�y§

ÈLÒµËÊ �!�P´QµAÌ��P´Ê;�Ó�x´�µWÎ$Ê<�!§|£$�k�0�j�,�jÔ

ÕÖ�>�k�j�+§?�,�y�+�9�}�;�y¨Mªj«­�³�!©L×.�!¨W�j�BØ>�\�0�j�³�P�|Á  �º�kÙp�,�N�+©��y«1�Ú�y�N§,�1±M�y§³¨W�<�,«+�Ú¯1�y�&Çp¨W�!�+§

�a«+�!¯°�,�N�y§NÔ

ÛBÜpÝÞÝ�ßáàãâ�äãâ�å¹æ+çfè&éëêËéëæ�ìyí�î�ï1í�éëî9éëæ­ð;È µñÊ �!�P´ µ Ì<�P´ Ê �Ó�x´ µWÎ$Ê éëæ$òLó+ôaìkõ|í�è&éëêËéëæ$ìaí�î

ï+íLéëî9éëæ­ðxöÈ µñÊ �!´ µ Ì�´ Ê �Ó´ µWÎ$Ê\÷.ø;ù�÷ ï ø íLê ð­ìXèkî,íLõ&ú

ûºî ÷X÷.ø ú¹Õ|«1��¯1�y�p�����0�!±W±M�  §|�!§|¨W�\�,«1��ªj�y�j©°�N©����+©\�1�+ª!�a�!©°�X©x�&�j§?�X§&Ô

ü ¨MÇj�&�3ýÿþÿ´Qµ;¯1�y¨W¼�¨M�,¨WÇ!�����A©��Fþÿ´Ê!ÁB�k�j�+§?¨�©°�N���ý þ�®;�!¼�����>½=´Þ½� ����¿��y´Qµt¿½0ªj¨MÇj�&��£p¥��ý�½��X¿����jÁ��ý�½=ý��+¿�� ý3�!�+©��ý�½=ý µ ¿����á�0�!�������Ö¿kÔ��Ú�j�+§?¨�©°�N����±�§,���,«1�«1�j¼��j¼Q�!�y¯1«1¨�§?¼ ���þ¦®;�!¼ ��� �>½=´�½ �!�­¿��y´ Ê ¿;ª!¨WÇ!�N��£p¥ ��!½"�I¿#�$�jÔ>Õ|«+�&�  ��©1�k�+�1�ýãöÈ%�&��'(�ý�È ���) ½+*,�+¿

-F� �!±W§,� «+�IÇ!� �,«A�L� ¯+��¨W�y¨M�1ª­§ ÈÍ� ´�µ�Ì ´Ê¢� ´QµMÎ$ʤ¨W�+©°�+�&� ¯A��¨W�,¨W�1ªj§

�È���Ø��á½=´ µ ¿³Ì(Ø>�¾½=´ Ê ¿;��Ø��á½=´ µWÎ$Ê ¿¹©°¨M�y�N�k�,±W¥�£p¥FØ>�á½0ý�¿ �ÈjØ>�á½ .1¿&� Ø>�á½=ýxÈ/.1¿9Á���A©¾¯+�!¨M�y¨W�1ªj§�È��10 µ Ì�0 Ê �20 µWÎ$Ê ¨W�+©°�+�&�Q¯+��¨W�,¨W�1ª­§ �È��$�\ØQ½30 µ ¿ Ì���ØQ½40 Ê ¿f���ØQ½40�µWÎ$ÊX¿º£p¥x��ØQ½=ý$¿ �È���ØQ½�.°¿5�C��ØQ½=ý�È�.1¿9Ô

6³¨M�+�!±M±W¥!Á ¯+��¨W�y¨M�1ª­§ È � 0�µ Ì70FÊ � 0ÞµMÎ$Ê ¨W�+©°�+�&� ¯A��¨W�,¨W�1ªj§

ÈLÒã�­ØQ½30ÞµÀ¿ÖÌ ØQ½30¦Ê&¿Ú�ÅØQ½30ÞµMÎ$ÊX¿ºªj¨MÇj�&��£­¥�ÈLÒ�� ö �ÈpÔ

8��  �k�!�A§?¨�©°�&�Q�y«1�\�0�1�+�k�,�!���P� �m�P� � �Ñ¡<� � �,«+���Q�y�:9j�N§Q�X�!�a«�§?�X¬j�+�&�+�&�

; �

Page 64: Dieudonne theory for ungraded and periodically graded Hopf rings.

<:=?>#<A@%=?B:CEDGFIHKJLBAM�NPO�QSRTQ�U:VXW!<XWLYZF[M!F]\_^ZFI`�abFc<:=/d&eEFI^�f%<G`Z`/gFch�<ifZ^ZCjFTM�NTkml�O�Q3n�RTQ�U:V�op YZF]J!F/kqeEMWLYZF?@ZJLFIriej<A^KMs= ^Z`KabW!<GJ5k�tvuxwzy|{~}���y�oGBG`Kf�M�^Ka�Y�W!Y�BvW W!YKF�@KJ!<%f%^KabWLM� Q�� tGO Q%� O � {�O Qj��� aIBGJ!JL��<vrGF]J�WL<�WLYZF�@ZJ!<%f%^�a�WLM �:�Q�� tGk[O QZ� k[O � {�k[O Qj��� BGMDGeErGF]`xBGH�<vrAFG�

d&FI�K`ZF�B�= ^Z`KabW!<GJ?����t:}z��y|{�u���y�Hi��BAM!M!eEDG`ZeE`ZD�W!<�F]BGa�YcM!F]\_^ZF]`KabF�Nv� Q R Q U:V<:=Kd�eEFI^Kf%<A`Z`/gF�h�<%f%^KCjFTM�WLYZF�aI<GJLJ!FTM�@�<G`�f%ej`KD#M�FT\A^KFI`KaIF#Nv�cl3��Q�n�RTQ�U:V�<:=K>#<A@%=KB:CEDGF]HZJ�BGM]op YZF]J!F���tv}�� y {~u�w y e M�W!YZF�eE`irGF]JLM!F�= ^Z`Ka�WL<GJ/WL<�k¡t:u�w y {�}�� y �

¢ YZFI`£o�DGeErGFI`¤B¥@ZJL<ifZ^Ka�W � Q�� t�� Q�� � � { � QE��� o p F�fZFb�K`ZF�WLYZF�@ZJL<%f%^Ka�W� �Q�� t_��l3� Q n � ��l3� � n�{¦��l3� Qj��� n/BAM?B:H�<vrGFA�

§ M?eE`xW!YZF�@KJ!F]r_eE<G^�M�a�Y�B:@%WLFIJ�MIo p F�YKBPrGFAt

¨z©ªi«K¬vªi­¯®£°�±%²�°´³�µK¶¥·�¸%¹�ºI»(¼:½ k�� t�u[��y { }z��y µK¾P¿À¾Á½�ÂÄÃTµ%»�¾AÅSÆI¼:Â+¹K»

���Çtv}z��y|{~u[��y ¾:¹�Å[»+µK¶/ÈK¾vÂ+½ l3k[�/É����,n ·b¼v½�Ê�¿�¾v¹Ë¶�ÌI¸%Â+ÍP¾:Îj¶I¹�º�¶�¼"·zº�¾v»S¶(ÃA¼:½�Â�¶�¿IÏ

ÐcÑ�Ò Ó�ÔbÕ&ÖX×´Ø�Ù´Ù$ÚÕ�Û,ÜXÕ&Ø�Ý,ÞàßGØ�Ý�áËÕ#Ý5ÔbØ�×âÔbã?äzåIåbÞàæ�Ý ä�×´Õ#×æ�Õ#Ø�ç¯Õ/ÛÝ5ÔIã�è�åIÔbé�ÕëêìØ�áXß�äzåIæ�Õ&íXÝ ä�î

¢ YZe M�M�FTa�W!eE<G`�ab<A`_WLB:eE`KM&W!YZF�DAFI`ZF]JLBGCjeEï]B:W!eE<G`â<G=5W!YZF�JLF]M!^ZCjWLM�ej`ðW!YKF�@KJ!F]r_eE<G^�M�M!F]abW!eE<G`KMeE`x<AJLfZFIJ�W!<cBGa]ab<Ah�<%fZB:W!F�W!YKFzaIBGM!F�<:=5ñvò�ó4DAJLBAf%F]fcDAFI<Ah�FIW!JLeEabó4CEeEôGF�>#<G@Z=,BGCjDAFIHZJ�BGM]�

õ <ACjCE< p ej`KD�ö�YKB:@%WLFIJ,÷%o p F p eECECAaIBGCjC ÃA¶�¼vÊc¶I»3½�Â�ºIøSÎ�ÂjùA¶ ò ø�Ã:½!¾AÅG¶�Å/ú�¼�ÈP·/¾vÎ Ã_¶]ûI½!¾v¿ W!YZ<_M�FW!Y�BvW#aIBG`�H�F p J!ejW�WLFI`XBGM?O�üý�Ocþ ��ÿ O��]o p YZF]J!F�Ocþ�eEM?B�DGJL<G^K@�JLej`ZD�<vrGF]J���B:`�f�O��

e M?B�ñ:ò�ó(DGJ�BGfZF]f�aI<G`Z`KF]a�WLF]fx>#<A@%=,BGCjDAFIHZJ�B�<vrGFIJ��ðl�aI<G`KaIFI`_W!J�BvWLF]f�ej`XFIrAFI`Xf%FIDAJ!F]F]M�n��

� ª���� ��3«���®£°�±�±�° ö�B:CEC%u�w þy WLYZF&a]BvW!F]DG<AJ!��<G=�HZe ab<Ah�h�^%W�BvW!eErGF?>&<G@%=�B:CEDGF]HZJ�BGM<vrGF]J��� WLYKBvW#BGJ!F�DGF]<Gh�FbWLJ!e a�ó(CEejôAFG�

� ñ

Page 65: Dieudonne theory for ungraded and periodically graded Hopf rings.

������������� �"!$#&%�')(+*-,/.1032 4�5�6 �87�9:�1;<(=98���>7)��?<��?A@���7CB)D�9�BFE�6 ��7HGJI/% E1!$# G-'K(F*

��98L����M��� ���N98LO!P# G-')(+*C,Q. 0 2 R�S�'�T�T�TU'VR�W15XE �OYZBVDN��9�[KD\R^]-YZ�_����`87)���badc ] (�e

f ��7<9hg���i�6=98jZ`���@ 7K9k!lYm�$nporqs EH���M�����Nt q !u,vgw�8?<xHyz{ #&!$#|% 'K(F*M'V!}*A9:���

t�~�!�# 6 �87O��I�%�*�98L�@^�M6 �87)�8e

�h�ND�9+���>B)D�9�B<BVD��p�-��7)L)[KD Ym��@ ��� `}����!$#|% ')(+*AY�LrB)D �NYm� ����BVYZB�;8E�98����L��h�H�N[�98�

�M�1B)�����\���8�>��YZ��������� �����?<����� jm��LH@1;�����[�jm987VYm� `bYZB�B)�r@^��BVD��wY�������BVYZB�;<�8�\t q e-�wjmLV��E

������� �b�����pt q Ym�_9A��9+;<BVD�9�B�i 7)��LV��7)�8�FL��b��,��b��,�c�e

�h�b[�9:��BVD1��L�� �M��� �b9�� ����[�9�B)��`8��7V;�e

�p�����  ¡� |¢��Q£3¤&¥ ¦U¤�§�D �¨[�9:BV��`8�87);ª©A«¬qs D�98Ll9�L­�8@�®��F[dBKLl9:@^��jmYm98�¯`87)�8� i�L

° ,±° q�² °P³ABV�8`��MB)D ��7��OY´B)DP?�9:i�L<�¶µ�° ·ª°¸98���$�¶µ�° ·ª°¸L)9�BVY�L�6 ;�¹

Ym� `

#&9�*�°$³OY�LO9<�wYm����� �8� ����=?<����� jm�ºYm��©�« sr»# @^*O�b��,��b��,$c_�8�J¼ ² °$³ »#&[F*O�½YmL�B)D �ºY�������BVYZB�;\���N° q ² ¼�e

¾b¿ �1¢�À��1Á£3¤&¥�ÃĤ_Å^Æ�Ç�ÈKÉ�Ê^Ë�ÌXÍ:Îwtϵ8npo qs ·Ð©A« qsÒÑ:ÓÕÔ ÇdÖ<×�ÊJÇKØ�É ÓÕÔ ×:ÙZÇ�Ê^ËKÇ�Í�ÈrËK×:ÌXÇ�Ú

Ñ Í�Î Ó ÇMÖMÛ

�h�º���M�1B���98��B�B)������98jÄ�OY´B)DN7VYm� `<�8@�®��F[dBKL�e

�$@ YmjmYZ� �F9:7Ä?�98iºYZ�º©�«¬qs �OYmjZj�@���9O?�9:i�ÜÝ µ�#|° q ² ° ³ * ² #&Þ q ² Þ ³ *C·­#&ß q ² ß ³ *

`8Ym�8���>@1;àÜÝ #|á�R ²JâKã *C, Ý #|á ²hâ * Ýä # R ²hã *ME��OD���7)� Ý µ�° q ² Þ q ·Ðß q Y�L�9bi 7)������[dB

Ym�P`87)�8��i$7VYm� `�LA98��� Ýä µ�° ² Þå·æßçYmL<9}@ YZjmYm� ��987�?�98iPYm�$©A« s 98L<������� �F�

@^�M6 �87)�8e

���1;¶i�9:Ym7VYm� `¶è�]êé뵬!<] ² !réì· !<]mí^é¬YZ�în�o qs Ym������[���Lï9ði�98YZ7)YZ��`

ñ8ò

Page 66: Dieudonne theory for ungraded and periodically graded Hopf rings.

ó�ôõêö�÷=ø\ù õ�ú ø>ù ö/û ø>ù õmü^öhýmþ�ÿ������������ ��� ����� þ ýmþ�� ������������� ���� ! ý ��"���$#%��&'��� '�)(+*

, -# ý/.0.21 þ ��� 436587:9 �� ��� -&!;� � ���5<���>=;?�@ � � 1 18� !���A !��� ý &B@ .mý/C 4DE���2�F� ýmþ�� ��G���;� ý �'H����I���� J� ýmþ�� ��32K$ �&+��%�����L7�M �� (- þF1 365 ÿ 9 �� ���� N&!;� � ���5����PO ý !" 1 � þ þ-Q � ýZþ�� � ýZþ ��� ý �R&'��� �*

S �� !� ý �TU��" þ &B����� ø:Vî÷ 7:9 �� û ÿ 9 ��W� C�ýmþ�� ��&)�X�Y �Z["� þ &! \���:DR���2� ./� '3��)��^] ù õ$_Fõ�`�a ��b���� c�Y �Z["� þ &! T���NO ý '" 1 � þ þ-Q T��� 1 " . '�d] ø � ù õ ( _Fõ�`�a HR#L�� !� ø ý �:���� e���� ' ý ��"F����" þ &B����� ø ÷ 7�M �� ûìÿ����� HR þ�1 ��"�&)�U������:���� e����� 1 "�&B��ó õêö ÷8ù õ ú ù ö û ù õZü ö &'����5��; � !�%���A���� J����� 1 "F&+�� ó ô õ ö ÷8ø>ù õ ú ø>ù ö û ø>ù õZü ö *

S �:&!� þ �Y���"�&B�E þNýZþ � !�)�Y f��" þ &B�����fg V ÷ ÿ 9 � û 7:9 � H�#% N � ýZþ^� þ !�) .mý/h f���� 1 !i þ ý � ý � þ �-��� ýmþ�1 "�&! 1 �� ý � ýZþ�� �<jó þ�1\kó ýZþ ���� 1 "�&! 1pýmþ ��� N&B� þ þ '&B�� 1 &'��� �*

l �� ý � ýmþ�� óð÷ ø�m�ù õwú ø:m�ù ö û ø:mdù õmü^öàýZþïÿ����� ýmþ�1 "F&B '�nX�� ý � ýZþ��jóh÷�ù õ3ú ù öpû ù õmü^ö\ýmþ 7�M �� 365o��p[q>( jó �sr)t�(vu��wp ó rB(!��q jó t�(+Hx#L�� !� �#% :"��� ����� ��� ! ý ��"�� 1 !i þ ý � ý � þ ��� jó �����R&B� þ þ �&+�� 1 .0� !3��)��'*

l . �Y�FHUy�� ý � ýmþ�� ó ÷½ù õ ú ù ö û ù õZü^ö ýmþ 7^M �� ýmþ�1 "�&! '�zy�� ý � ýZþ��kó<÷6{ � ù õ ( ú { � ù ö ( û { � ù õmü^ö ( ýmþ 7�M ��z365 { �wp�q|( kó�{ �wr)t�(4u { �wp ó rB(B� { ��q>( kó�{ ��t�(�(+H"�� ýZþ�� ��� J��� ! ý ��"�� 1 !i þ ý � ý � þ ��� kó �����R&B� þ þ �&+�� 1 ./� !3����!*

S �� þ }�F ý � ýmþ�� ól÷�~ õ"ú ~ öÐû ~ õmü^ö ýmþÏÿ����� ýZþ�1 "�&B ���}�� ý � ýZþ��ó�ôÄ÷8ù õ�ú ù ö�û ù õZü ö"ýmþ 7�M �� 365 ó:ô u j kó *

S �� ^�����6���E���R��� þ B�6���4���� ./. ���5���� ./. �;#R� 1�ý �� �&+� . 5c������W���� �#%��� C #4 1�ý/1�ýmþ

���� d&B� þ þ '&B�� 1 &!��� ýmþ�� '&B� ý � þ�� *�=\ þF1 ���� T�� !����� 1 ��"��� 1/ýmþ ���� � � 1 1 &'��� � þ !�) .mý/h ;� ý � þ �4��� � '&B� ý � þ^� * � *

���

Page 67: Dieudonne theory for ungraded and periodically graded Hopf rings.

�����;�>���w�2���n���w�[�����|�����)�2�|�B� �;¡o¢:£¥¤U¦:§^¨© ª « §^¨© ��¬�­z¬®¡+¯±°��2�o¬�² ³!��¯G���´ £�¤ « §^¨© ª ¦:§�¨© ¬��>²:�G���-µ�¬;¯G¡v¶w¢:£-· ´ £x¸¹�B�;¡+º�­v¬;�c�)»!�2¯G¼�¬�½0�!�>�)���$�N�)¬;� �¾°���¡+¯��+­!¿

À�Á

Page 68: Dieudonne theory for ungraded and periodically graded Hopf rings.

 ÃfÄ ÅJÃ<ÆÈÇÊÉÌËÎÍ ÏÑÐ

Ò0ÓBÔNÕNÖØ×�Ö>Ù4Ú�Û�ÜYÝ�Þ!ßáàØÖfâ<ã�ä�å¾æ�ç/ã�è�Ü<é�ã�à^êë�Þ�ìTåwêë�Þ!Ú�æ�í^Ú�îPç/ã2Ý�ã�ç0ê�ÞAß/Ú[Ú�ïTÜYïFé�ðBÞ�Ü!Ö<ìòñó|ô�õ)ö;÷+ø;ù Ó'ú�û0ÓBü6ý�ú ù Ó'þ�þ�ÿ�Ö

Ò ��ÔNÕNÖ>×�Ö�Ù%Ú�Û�ÜYÝ�Þ!ßáàØÖ4â<ã���å é�à2çáðJä2å¾æç0ã�è[ÜLé�ã�à�êë�ÞNìeåsê�ë�Þ'Ú�æí�Ú�î���å ÜYï�é�ðBÞ�Ü!Ö���� ô�õ ñ� � ����� ô�õ��Iõ ������ ô6÷ � �� ù ����ý�û ����ý�ü��2Ó�þ ù Ó�þ�þ�ÿ�Ö

Ò ý;Ô��bÖ! <Þ#"�é!$!Û�æÞ�Ö&% õ �� ' ÷�õ � ö)(+* ñ-,)��./���0�21#3 õ54�÷�ö ' * �)Ö76RÛ�"98FÞ'æ ý�ú��Rç/ã�: Þ'ðBê�Û�æÞ56RÚ�êÞ'Üç/ã;�dé;ê�ë�Þ#"�é;êç/ð'Ü!Ö&<2ï�æ�ç/ã�è�Þ!æ�å =PÞ'æ�ßáé�è ù Ù%Þ!æß/ç0ã ù Ó�þ�>!�2Ö

Ò ��Ô��bÖ? EÞ/"�é)$!Û�æ�Þvé�ã�àA@xÖ?B8é)8�æç0Þ'ßwÖDC ÷�ö ' *�õ �FEG3 4IHõ 1 ÷ �2J#' õ �+ÖK6RÚ�æ�ê�ë�åMLEÚ�ß/ß/é�ã�à ù ÕN"�Ü$åê�Þ'æà�é)" ù Ó'þO>;ú�Ö

Ò ��Ô�@xÖ5BfÚ[Þ'æÜÜ ùIP ÖQ: é�ã�ã�Þ'Ü ù é�ã�àSR%ÖT�TÚ�æÞ!ßsÖULRÚ�ï2îvé�ß/è�Þ/8�æé�Ü ù5V ç0êYê;W�Þ�ð+êÚ�æ)Ü ù é�ãFàÙ%æ�ÚXLã�åYBfç0ê�ß/Þ!æLÜ�ïFÞ�ð+ê�æ)é�ÖFZ ö( õ � *\[ ��� ô�[/ù Ó#�[ÿ�û/Ó�Ó�ÓBü>Ó]�)� ù Ó'þ�þ�ý�Ö

Ò ÿ;Ô�@xÖ�BAÖOBfÚ[Þ'æÜÜ'Ö&LRÚ�ï2îØæ�ç/ã�è[Ü ù <ç/Þ!Û�à2Ú�ã�ãQ^Þ5"�Ú2à2Û�ß/Þ'ܹé�ã�à`_GacbQd/egf�Ö7h ã P Ö åM@xÖ)�TÞ!í�Þ'æ ùP Ö]�TÚ�æ)é]W�é ù é�ã�à V Ö<ØÖ V ç/ßáÜYÚ�ã ù Þ'à�ç±êÚ�æ)Ü ù)ivö � ö ö�*>øNj�( .� ÷ �2� ( ?EG3 4[õ 1 ÷ �)�2�5k7 ÷ 'l�!ñ ' ÷�õ �#mnEoZ ö( � õ!÷�õ#( � õ � (pivö(|ö;÷�ö ��q [ �r�2� ô � õ 3Ns ö � ÷ , � � (�ù W�Ú�ß0Ûl"AÞt��ý�þ\Ú�îZ ö( õ � *u[ ��� ô�[/ù ï�é�è�Þ'Ü8Ó�Ó]��ü|Ó]>]� ù Ó�þ�þ�þ�Ö

Òv>�Ô��bÖ P Ö\LRÚ�ï�w6ç0ã�Ü ù �Öyx<ÖuzRé]W�Þ!ã�Þ'ß ù é�ã�à V Ö{<ØÖ V ç0ßáÜ�Ú�ã�Ö`�eÚ�æ)é]W;é|LEÚ�ï2î-é�ß/è�Þ#8�æé�Üé�ãFà:ÜYïFé�ðBÞ�ܹì~}��{�xÞc��Û�ç�W;é�ß/Þ!ã[ê4ê�ÚJÝ�ã�ç±êÞK@xÚ[Ü$êã�ç�w�ÚWvÜ�í6ÜYê�Þ/"�Ü!Ö\h ã�<ØÖ2â�Ö[×8Ú6ð)ël"�é�ã

ÿ�ÿ

Page 69: Dieudonne theory for ungraded and periodically graded Hopf rings.

�)�&�A���7�O�/�������?�&�c�������!���/�{�7�M���������l� D��Y�¢¡?£��������¤0£�\¥y�¦�#�����N§Y�&�¨�¢�©�¢ª����D«��!¬`¬�ª��l�©­

�#�)���¦�!�l�/���g�¢�®O�¦���#�l�#�!��¯5§0�u°c±!±�²���³I¬`�#�c��´A��¢µu�&�O���!�

¶ ·¸�¹ �)¯+�ºIª����������!�l�����¯+�)»¼ª��¢���#�c�l«����!��½��#¾����)���g�)�¦½!�/¾������?¿OÀ�ÁTÂ�¤¢��Ã�¡�¡7��À�ÃG� Ä��c��¤¢��

°cÅ!Æ�ÇvÅ)±O²/ÈOÆl°/Æl��°/±�± · �

¶ ± ¸ §0�lÉ+�!Ê��¦�!�l����Ë��yÌT���)�¦½!�/¾��¢���#�g«�µ����#�!½!�l�?°c±�²)Í��

¶ °/Î ¸+¹ ��ÏÐ��´r�¦�¦���!�Q�)�l� ¹ ��«G��´r�O�!�¢�!�yÑG�Ò��µ��F�¨�¢��ª&�0��ªl���G�)Ó¼ºN�!Ê�Ó¼�!��½��#¾����!�/�¼ÃGÔlÔ?À{�-ÕÖ �����À¦�y×�Å!Ø · °!ÇvÅ�°�°0È�Å!Ù)Ú&�l°/±�Ù�Í��

¶ °!° ¸+Û ��«G�O¯I�]®��#���/��� Û ���/ªl���!�l�TÜ�I¬`����ª��¦�/�ÝÓ��!�Q�)¾7�#�¦�¦�!�ÒºI��Ê�Ó¼�)�¦½!�/¾����!�/�&§Y� Û � Û �]®O���#�

�/���©�¢�!�c�ÝÞN�#Â�Ôlß�à�Ô~�?����¤¢�âá¼���)¤&àã �åä!�Òæ9� D��Y�¢¡Nàã �)�Ý®��!�¦ª�¬`�A°|�!Ó+�?�#¤0ß2�;Ô7�)�M�ç�ä!�

 D��Y�� èà�� ß2é��S£êç0ß� N¡��ç�ß2�)�9Ê&�)½!�c�å°]²�²/È?°/±)Ú&�K´A��ë��¦�#�l� Û �K¥T�¦�Ò°/±O²)Í��N�O�����¦�/�����

´A�)���#¬êÜ�)�����#�`´r��ë����#�!�l���

¶ °cÅ ¸+Û �y«G�u¯I�]®!�/���#���)�&��ÏÐ�{�?�\Ïp�¦���-���u�9»Qµ��DºN�!Ê�ÓT���¦��½�Ó��!������¬`Ê����#ë�����¾&���¢������¬ì�

¿�ÀuÁTÂ�¤��FÃ�¡�¡7��À{ÃG� Ä��c��¤¢��l±lÇ Å)Úl°0È�Å · Î��l°c±�²�²O�

¶ °/Æ ¸ º��{���!���!Ó2�-�OË;�)�l��ÏÐ�\�\�7Ïp�¦���-���u�9«��!¬`¬�ª��¢��¢��®��9´r���¢�]®�Dµl�!¬`�!�¦�!½�ËìºN�!Ê�Ó��!�©­

½!�/¾����!�/��§Y�í´å�{îN�{´A�!µ��ïT�!�¦�ð�)�l�í�?�{�Ý��������Ë��u�/���©�¢�!���#�¼æ9� D��Y�¢¡?£ñá?�����¤0£Aß�Ô

ÃG� Ä��/�#¤��)ß2éAál��¡��)����Ä!£�7®!�!�¦ª�¬`��Å!Å!Î��)ÓFò��)Ôl�Y�� N¡\À Ö �)���lÀ¦�&Ê&�)½!�c�5Æ!ÙO²/ÈOÆO²Æl���Ý���®?�¦�

°/±�± · �

¶ °#Ú ¸ «G������µl���/���¦�#�c� Üî��¢ªl���A���r���å�#�)��Ü�/½!�����¦�����c�Ò�)�¦½ló�#¾��¢�/�����AºI��Ê�Ó+���!¬`¬9ª��¢�)���¦®!�/�

���������#ëO�c�5�-ªl�5ª��r���!�¢Êl�/� Ö �)ÔlÂOç#écÀ Ö �)���lÀ¦�&ÆlÇ�°cÆ!Æ]È?°cÍ�Í��l°c±�²)Î��

Ù�²

Page 70: Dieudonne theory for ungraded and periodically graded Hopf rings.

ôöõ0÷yø

ùQú�û;ü)ý�þ¢ú�ÿ�������ü��lü)þ��!û|ÿ�� ���7ÿ���þ�ÿ�����ÿ���þ�ý���ü������Nû�ú�ÿ������ü��Qü���ú�û ��ÿ���ÿ���!"��þ#����

$Aü)þ�ú�û %`ü)þ����&� �'�¢ÿ�% þ�ú�û)(*�+�¨þ#�©þ¢ý�þ�ÿ�,�ý��&û ���¦ÿ���ù.-û �/����#ÿ��0��210���437ÿ��5�6��ÿ���þ�ý���ü����uü��+�tü

$Aü��¨þ¢û&�Fÿ��7!"��þ#� �¼ü�����ÿ.��8$Aüþ¢ú�û&%Düþ#�� �&�0�'��ÿ�% ùQú�û),�þ¢ü)þ�û)9:���;�û&�<�4��þ>=rÿ��7?Iû @BAgÿ���C

üþ"�TýED\ü��¦ÿ��

F�G