điện động lực ( sưu tầm )

Bài giảng Điện động lực học ThS. Trương Thành ĐHSP ĐN

1

Phần I. ĐIỆN ĐỘNG LỰC HỌC VĨ MÔ Chương 1. CÁC PHƯƠNG TRÌNH MAXWELL

1.1. Một số khái niệm cơ bản 1.1.1. Điện trường, từ trường Theo “Thuyết Tương Tác Gần” điện trường tồn tại xung quanh một điện tích q, tại một điểm cách điện tích một đoạn r vector cường độ điện trường có biểu thức 3

03 4 r

rqrrKqE

πεεε

rrr== .

Xung quanh dòng điện có cường độ I tại mỗi điểm của môi trường có một từ trường có cảm ứng từ B

r. Với dòng điện thẳng và dài, cách dòng điện một

đoạn r, vector cảm ứng từ Br

có độ lớn:

rI

Bπ

μμ2

0=

Một điện tích đặt trong điện trường và từ trường thì nó chịu tác dụng của một lực điện từ

[ ] tđ FFBvEqFrrrrrr

+=×+= )(0 1.1.2. Mật độ điện tích Mật độ điện tích khối trong môi tường phân bố điện tích liên tục:

∫=⇒=V

dVqdVdq ρρ .

Mật độ điện tích mặt khi điện tích phân bố mặt liên tục: ∫=⇒=

S

dSqdSdq σσ

Mật độ điện tích dài khi điện tích phân bố dài liên tục: ∫=⇒=

L

dlqdldq λλ

Mật độ dòng điện: ∫=⇒=

S

SdjISddIj

rrr

r

Trong đó Sdr

là vector diện tích (có độ lớn bằng dS và có phương và chiều là phương và chiều của pháp vector nr ). Vector phần tử dòng điện lId

rlà một vector

- Có độ lớn bằng Idl - Có phương là phương của tiếp tuyến dương tại điểm đang xét của dòng

điện - Có chiều là chiều của dòng điện

Hình 1-1 S j

r

nrSdr

Hình 1-2

qDr

nrSdr


2

1.2. Định lí O-G dạng vi phân, định luật bảo toàn điện tích 1.2.1. Định lí O-G dạng vi phân Từ định lí O-G dạng tích phân:

∫ ==S

qSdDNrr

Trong đó q là lượng điện tích chứa trong không gian đang xét, có thể là một vật dẫn hoặc một phần của vật dẫn được giới hạn bởi một mặt kín S. Như đã biết

∫=V

dVq ρ , do đó: ∫ ∫=S V

dVSdD ρrr

.

Mặt khác theo toán học ∫ ∫=S V

dVDdivSdDrrr

, dẫn đến:

∫∫ =⇒=VV

DdivdVdVDdiv ρρrr

ρ=Ddivr

(1-1). Phương trình (1-1) là phương trình định lí O-G dạng vi phân 1.2.2. Định luật bảo toàn điện tích

a) Định luật bảo toàn điện tích Một thể tích cố định V trong điện trường chứa một lượng điện tích q cố định như đã biết ∫=

V

dVq ρ . Tuy nhiên nếu có một dòng điện tích đi vào hay đi

ra khỏi thể tích V thì có nghĩa là có một mật độ dòng điện jr

và một cường độ dòng I. Ta giả sử rằng trong thời gian dt điện tích trong V giảm một lượng dq, thì lượng điện tích thay đổi trong một đơn vị thời gian là

dtdq . Do điện tích phải

bảo toàn nên đã có một dòng điện đi ra khỏi thể tích V có mật độ jr

vdSdldt

ndVdlndSdtdq

SddIj r

rr

rr

ρρ====

. ,

và cường độ I dtdqSdjI

S

−== ∫rr

(dấu – vì các số hạng ở hai vế của phương trình luôn luôn trái dấu do 0<dtdq ).

Hay ∫ ∫ ∫∫ −=∂∂

⇒−=S V SV

SdJdVt

SdjdVdtd rrrr ρρ )( .

Theo toán học: ∫∫ =VS

dVjdivSdjrrr

.

Dẫn đến: 0=+∂∂

⇒∂∂

=− ∫ ∫ jdivt

dVt

dVjdivV V

rr ρρ

0=+∂∂ jdivt

rρ (1-2).

Phương trình (1-2) là phương trình định luật bảo toàn điện tích hay phương trình liên tục. Thực vậy: - Nếu không có dòng điện đến hay ra khỏi thể tích V thì điện tích trong V bảo toàn: const

tjdiv ==

∂∂

⇒= ρρ ,00r


3

- Nếu có dòng điện đến hay ra khỏi thể tích V thì điện tích trong V thay đổi: )(,00 tt

jdiv ρρρ=≠

∂∂

⇒≠r

.

b) Dòng điện dịch Từ định lí O-G dạng vi phân ρ=Ddiv

r lấy đạo hàm hai vế theo thời gian

ta có: tt

Ddiv∂∂

=∂∂ ρr

. Mặt khác jdivt

r−=

∂∂ρ dẫn đến:

0)( =∂∂

+tDjdivr

r

Trong đó tD∂∂r

gọi là mật độ dòng điện dịch. Như vậy trong trường hợp tổng quát

thì dòng điện gồm dòng điện dẫn và dòng điện dịch

tDjJ tp ∂∂

+=r

rr (1-3).

Định luật Ohm dạng vi phân bây giờ là 0=tpjdivr

. Công thức này cho thấy dòng điện toàn phần là một dòng kín. 1.3. Dạng vi phân của định luật Ohm và định luật Joule - Lenz 1.3.1. Dạng vi phân của định luật Ohm Định luật Ohm mà ta đã biết RIU = là định luật Ohm dạng tích phân, Trong nhiều trường hợp định luật này ở dạng vi phân tiện lợi hơn cho việc tính toán. Ta xét một vật dẫn bất kỳ V được giới hạn bởi một mặt kín S và một dòng điện tưởng tượng của nó dạng hình trụ vô cùng nhỏ đường sinh lΔ . Diện tích tiết diện là SΔ , điện trường trong đó là E

r. Hiệu điện thế hai đầu

lΔ là: lEISlU Δ=ΔΔ

=λ

, trong đó λ là độ dẫn của môi trường. Do đó

EjjSI

SIE λ

λ=⇒=

ΔΔ= ,

Dạng vector Ejrr

λ= (1-4). (1-4) là dạng vi phân của định luật Ohm. 1.3.2. Dạng vi phân của định luật Joule – Lenz Định luật Joule – Lenz mà ta đã biết RtIQ 2= là định luật Joule – Lenz dạng tích phân, Trong nhiều trường hợp định luật này ở dạng vi phân có tiện lợi cho việc tính toán hơn. Ta cũng xét một dòng điện tưởng tượng của V có dạng hình trụ vô cùng nhỏ đường sinh lΔ . Nhiệt lượng tỏa ra trên lΔ là: tRIQ Δ=Δ 2 .

Do tSlSjQ

SlRSjI Δ

ΔΔ

Δ=Δ⇒ΔΔ

=Δ=λλ1)(, 2 .

)(,2

lSVtVjQ ΔΔ=ΔΔΔ

=Δλ

.

Hình 1-3

S S

ErSΔ

lΔ

V


4

Trong đó θ=ΔΔ

ΔtVQ là nhiệt lượng tỏa ra của một đơn vị thể tích và trong một

đơn vị thời gian. Dẫn đến jEjEj===

λλ

λθ

2

Dạng vi phân Ejrr

=θ (1-5). (1-5) là dạng vi phân của định luật Joule – Lenz. 1.4. Dạng vi phân của định luật cảm ứng điện từ, định lí dòng toàn phần 1.4.1. Dạng vi phân của định luật cảm ứng điện từ

Theo định luật cảm ứng điện từ, suất điện động cảm ứng xuất hiện trong vòng dây dẫn kín:

∫∫ ∂∂

−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=−=Γ

SSC Sd

tBSdB

dtd

dtd r

rrrφ

Mặt khác theo định lý lưu số của vector cường độ điện trường: ∫ ∫==Γ

L SC SdErotldE

rrrr.

Từ đó suy ra tBERotSdErotSd

tB

SS ∂∂

−=⇒=∂∂

− ∫∫r

rrrrr

tBERot∂∂

−=r

r (1-6).

(1-6) là dạng vi phân của định luật cảm ứng điện từ Ngoài ra lấy div hai vế của (1-6):

0)( =∂∂

−=tBdivEdivRotr

r (vì 0=EdivRot

r)

Hay: 0)( =∂∂ Bdivt

r dẫn đến constBdiv =

r

Nếu môi trường không có dòng điện và nam châm vĩnh cửu thì 0=Bdiv

r (1-7).

Các phương trình (1-6) và (1-7) được gọi là các phương trình Maxwell thứ nhất. 1.4.2. Định lí dòng toàn phần a) Định lí dòng toàn phần đối với các dây dẫn Theo định lý lưu số của vector cảm ứng

từ Br

dạng tích phân : ∫ ∑=

=L

n

kkIldH

1

rr;

theo định lý Stooke ∫ ∫=L S

SdHrotldHrrrr

Suy ra ∫∫ ==SS

SdjISdHrotrrrr

Dẫn đến jHRotrr

= (1-8). b) Định lí dòng toàn phần đối với môi

trường liên tục

L

I1 I2 In

Hình 1-5

Hình 1-4

S

Er


5

Từ phương trình định luật bảo toàn điện tích 0=+

∂∂ jdivt

rρ , mà ρ=Ddivr

,

nên: 0)( =∂∂

+=∂∂

+tDdivjdivDdiv

tjdiv

rrrr

Hay 0)( =∂∂

+tDjdivr

r

Nếu ta đặt tpjtDj

rr

r=

∂∂

+ là mật độ dòng điện toàn phần thì ta cũng có:

tpjtDjHRot

rr

rr=

∂∂

+= (1-9),

và ρ=Ddivr

(1-10). (1-9) và (1-10) được gọi là các phương trình Maxwell thứ hai. 1.4.3. Hệ phương trình Maxwell a) Hệ phương trình Maxwell dạng tích phân

∫ ∫∂∂

−=L S

SdBt

ldErrrr

∫ =S

qSdDrr

∫∫ ∂∂

+= SdDt

IldHL

rrrr ∫ =

L

SdB 0rr

(1-11).

b) Hệ phương trình Maxwell dạng vi phân

tBERot∂∂

−=r

r ρ=Ddiv

r

0=Bdivr

tpjtDjHRot

rr

rr=

∂∂

+= (1-12).

c) Ý nghĩa của hệ phương trình Maxwell - Các phương trình Maxwell là các phương trình tổng quát nhất của trường

điện từ, từ các phương trình này ta có thể giải bất kỳ trường nào của trường điện từ

- Các phương trình Maxwell mô tả mối liên hệ giữa các đại lượng điện và từ biến thiên liên hệ chặt chẽ với nhau

- Các phương trình này cho ta biết tính chất của đường sức điện và đường sức từ như xuất phát và két thức, kín hay hở

- Tuy nhiên các phương trình này chỉ dùng được khi môi trường thỏa mẵn các tính chất sau

• Vật chất đứng yên hoặc chuyển động chậm trong điện từ trường • Các thông số của môi trương như με , không phụ thuộc thời gian • Điện từ trường đang xét không có nam châm vĩnh cữu

1.5. Năng lượng của trường điện từ 1.5.1. Năng lượng của trường điện từ, định luật bảo toàn

Để tạo ra một trường điện từ ta phải tiêu tốn một năng lượng và chính năng lượng này trở thành năng lượng của trường điện từ. Dĩ nhiên năng lượng


6

của trường điện từ cũng phải là một đại lượng hữu hạn hay nói cách khác là phải bảo toàn

Nếu gọi ω là mật độ năng lượng của trường điện từ, thì năng lượng có trong một thể tích V nào đó là:

∫=V

dVW ω

Từ hai phương trình Maxwell

0=∂∂

+tBERotr

r

0=∂∂

++−tDjHRotr

rr

Nhân hai vế của phương trình trên với Hr

và phương trình dưới với Er

rồi cộng tường vế hai phương trình ta được

0=+−+∂∂

+∂∂ EjHrotEErotH

tBH

tDE

rrrrrrr

rr

r

Mà: HEdivHrotEErotHrrrrrr

Λ=−

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂

=∂

∂=

∂∂

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂

=∂

∂=

∂∂

=∂∂

22

;22

2

0

2

00

HBtt

HtBH

DEtt

EtEE

tDE

rrrr

rrrr

rr

μμ

εεεε

Từ đó suy ra 0)2

( =+Λ++

∂∂ EjHEdivHBDEt

rrrrrrrr

Trong đó: • Ej

rr là mật độ dòng nhiệt lượng Joule - Lenz nên ba số hạng trên

đều có thứ nguyên mật độ dòng năng lượng

• Như vậy mật độ năng lượng trường điện từ 2

HBDErrrr

+=ω

• Vector Umov Poynting HEdivprrr

Λ= Tóm lại phương trình định luật bảo toàn năng lượng của trường điện từ

0=++∂∂ Ejpdivt

rrrω (1-13).

pr là vector mật độ dòng năng lượng. 1.5.2. Ý ngĩa của định luật bảo toàn năng lượng

- Phương trình cho thấy khi có sự tăng hay giảm mật độ năng lượng thì có một mật độ dòng năng lượng đi vào hay đi ra khỏi thể tích đang xét chứ điện tích không tự nhiên sinh ra và cũng không tự nhiên mất đi

- Nếu môi trường không có dòng điện dẫn thì 0=+

∂∂ pdivt

rω


7

1.6. Các điều kiện biên 1.6.1. Khái niệm điều kiện biên Các phương trình Maxwell chỉ áp dụng được khi vật chất của môi trường sóng điện từ đang truyền có cấu tạo liên tục; ε, μ là những đại lượng không thay đổi theo thời gian và phụ thuộc tọa độ một cách liên tục. Trong thực tế môi trường có nhiều dạng vật chất khác nhau nên có những sự thay đổi nhảy bậc của các đại lượng của trường mà không biến đổi liên tục. việc tìm các điều kiện để xác định các đạị lượng này ở biên gọi là điều kiện biên. Tuy nhiên để làm được điều đó ta giả sử mặt phân cách giữa hai môi trường có bề dày nhỏ (điều này cũng phù hợp với thực tế). 1.6.2. Điều kiện biên của B

r

Ta xét một hình trụ tưởng tượng chứa một phần của biên phân cách hai môi trường như hình vẽ. Hình trụ được giới hạn bởi hai đáy và một mặt xung quanh. Ta tiến hành lấy tích phân trên mặt kín này cho hai vế của phương trình 0=Bdiv

r:

∫ ∫∫ ==⇒=

V SV

SdBdVBdivdVBdiv 00rrrr

Phân tích thành các tích phân không kín 0

21

2211 =++ ∫∫∫XQS

XQXQSS

SdBSdBSdBrrrrrr

Hay 0)(21

221 ∫∫∫ =+−+XQS

XQXQS

nS

n dSBdSBdSB

Suy ra: 0)( 21 =+−=∫S

XQXQnn SBSBBSdBrr

XQB là giá trị trung bình của cảm ứng từ ở mặt bên, ngoài ra hình trụ bé nên XQB có thể xem là hằng số và đưa ra ngoài dấu tích phân. Như đã nói biên rất mỏng nên khi xét gần biên thì h dần tới không dẫn đến

00 =⇒→ XQXQXQ SBS 021 =− nn BB (1-14).

Tóm lại: Vector Br

có thành phần pháp tuyến liên tục tai mặt phân cách hai môi trường 1.6.3. Điều kiện biên của D

r

Việc tìm điều kiện biên của Dr

cũng tương tự như tìm điều kiện biên của Br

, chỉ khác là ta tiến hành lấy tích phân đối với phương trình ρ=Ddivr

và kết

quả là σ==−⇒=−SqDDqSDD nnnn 1212 )(

σ=− nn DD 12 (1-15).

Hình 1-6

+ h

2Br

1Br

2Sdr

1Sdr

2nr

1nr

S1


8

Trong đó σ là mật độ điện tích mặt. Công thức (1-15) cho thấy thành phần pháp tuyến củaD

r không liên tục tại mặt phân cách hai môi trường.

1.6.4. Điều kiện biên của Er

Để tìm điều kiện biên của E

r ta bắt đầu từ

phương trình tBERot∂∂

−=r

r và tiến hành lấy tích phân

trên diện tích giới hạn bởi đường cong kín là chu vi của một hình chữ nhật trong đó chứa một phần của

biên. ∫ ∫ ∂∂

−=S S

SdtBSdErot

rr

rr

Mà: ∫ ∫ ∫ ∫ ∂∂

−=⇒=S L L S

SdtBldEldEdSErot

rr

rrrrr

Phân tích thành các tích phân không kín

∫∫∫∫ ∂∂

−=++ΔΔΔ S

Bl

Bll

SdtBldEldEldE

B

rr

rrrrrr

21

21

StBlElElE BBtt Δ∂∂

=Δ+Δ−Δ 21

Xét một diện tích nhỏ để được một điểm thì BlΔ tiến tới không:

tt EEtBS 210,0 =⇒→∂∂

→

tt EE 21 = (1-16). Nghĩa là thành phần tiếp tuyến trên biên của E

r liên tục tại mặt phân cách

hai môi trường. 1.6.5. Điều kiện biên của H

r

Việc tìm điều kiện biên của Hr

cũng tương tự như tìm điều kiện biên của Er

, chỉ khác là ta tiến hành lấy tích phân đối với phương trình

tDjHRot∂∂

+=r

rr.

Kết quả là: mm

ntmnt ilI

HHIlHH =Δ

=−⇒=Δ− 2121 )(

mm

nt ilI

HH =Δ

=− 21 (1-16).

Trong đó mi là mật dòng điện mặt. Và như vậy là vector Hr

có thành phần tiếp tuyến không liên tục tại mặt phân cách hai môi trường. 1.6.6. Điều kiện biên của P

r

Trước khi tìm điều kiện biên của Pr

ta nhắc lại các khái niệm đã tường biết khi học phần điện môi trong điện từ đại cương:

- Vector moment lưỡng cực điện của mỗi lưỡng cực điện do sự phân cực tạo ra: rqp rr

=

Hình 1-7

2lΔ

1lΔ 2Er

1Er

2nr

1nr


9

- Độ phân cực của chất điện môi được đặc trưng bằng vector từ hóa Pr

(số moment lưỡng cực điện của một đơn vị thể tích) rrnqP PC

rrrρ== ( PCρ

là mật độ điện tích phân cực) - Số vector moment lưỡng cực điện có trong toàn bộ không gian V là:

∫V

dVPr

- Mật độ dòng điện phân cực: tPjPC ∂∂

=r

r

- Phương trình đối với Pr

: PCPdiv ρ=r

Việc tìm điều kiện biên của P

r cũng tương tự như tìm điều kiện biên của

Br

, chỉ khác là ta tiến hành lấy tích phân đối với phương trình PCPdiv ρ=

r

Kết quả là: PC

PCnn

PCnn

SQ

PP

VQSPP

σ

ρ

=Δ

=−⇒

==Δ−

12

12 )(

PCnn PP σ=− 12 (1-17). Trong đó PCσ là mật độ điện tích mặt phân cực của chất điện môi.

Như vậy là thành phần pháp tuyến của vector Pr

không liên tục tại mặt phân cách hai môi trường.


10

Chương 2. TRƯỜNG TĨNH ĐIỆN 2.1. Trường tĩnh điện và tính chất thế của trường tĩnh điện 2.1.1. Định nghĩa và hệ phương trình Maxwell Trường tĩnh điện là trường thỏa mãn các tính chất sau:

- Các đại lượng đặc trưng cho trường không phụ thuộc vào thời gian - Các điện tích không di chuyển trong không gian đang xét

Từ hệ phương trình Maxwell tổng quát ta suy ra hệ phương trình Maxwell cho trường tĩnh điện:

0=ERotr

ρ=Ddivr

0=Bdiv

r 0=HRot

r (2-1).

Từ các phương trình này ta có nhận xét các đại lương điện và từ không liên quan với nhau, mặt khác do các điện tích không chuyển động nên từ trường bằng không. Như vậy trong chương trường tĩnh điện ta chỉ xét xét các đặc trưng điện mà thôi. Ngoài ra do các điện tích không chuyển động nên mật độ dòng năng lượng bằng không ( 0=Λ= HEdivp

rrr ). Hơn nữa hệ phương trình Maxwell của trường tĩnh điện cũng cho ta thấy:

- Đường sức điện trường là những đường không kín - Đường sức điện trường xuất phát ở điện tích dương và kết thúc ở điện tích

âm - Việc giải các phương trình Maxwell cho ta xác định các đặc trương của

trường, các cách phân bố điện tích trong trường. 2.1.2. Tính chất thế của trường tĩnh điện Ta xét lưu số của E

r từ vị trí 1 sang vị trí 2 bằng hai con đường như hình

vẽ là 1l12 và 1l22. trước hết ta có tích phân ∫ =

S

SdErot 0rr

vì 0=ERotr

Theo định lý Stoke ∫ ∫=S L

ldESdErotrrrr

Suy ra 0=∫L

ldErr

Phân tích nó thành các tích phân không kín: ∫∫∫ =+=

1221 21

0llL

ldEldEldErrrrrr

Mà ∫ ∫∫∫ −=⇒−=21 212112 1 222 l lll

ldEldEldEldErrrrrrrr

Cuối cùng: ∫ ∫=21 211 2l l

ldEldErrrr

(2-2).

(2-2) suy ra công dịch chuyển một điện tích theo một đường cong kín thì bằng không nên trường tĩnh điện là trường thế.

Hình 2-1 l2

l1 2

1


11

2.1.3. Thế vô hướng của trường tĩnh điện Từ phương trình Maxwell 0=ERot

r, mặt khác theo toán học 0=ϕRotgrad trong

đó ϕ là một hàm vô hướng phụ thuộc tọa độ. Như vậy ϕgradE −=

r (2-3).

Trong đó ϕ là thế vô hướng của trường tĩnh điện, dấu trừ là ta chọn cho phù hợp với kí hiệu vật lý, vấn đề này sẽ biết rõ khi ta tính tích phân sau:

∫ ∫ ∫ −=−==2

1

2

121

2

1

ϕ

ϕ

ϕϕϕϕ dldgradldErrr

Vấn đề đặt ra là với định nghĩa ϕ như trên thì nó là một hàm không đơn trị. Thực vậy 0== ϕrotgradERot

r và 0)( =+CRotgrad ϕ

nghĩa ϕ được xác đinh sai khác một hằng số cộng. Để cho ϕ đơn trị thỏa mẵn điều kiện Vật lí người ta chọn ϕ ở vô cùng bằng không

0)( =∞ϕ (2-4). 2.2. Biểu thức thế vô hướng của các loại điện tích 2.2.1. Thế của một điện tích điểm Tại một điểm cách điện tích q một đoạn r cường độ điện trường như ta đã biết có biểu thức: 3

04 rrqE

πεε

rr=

Mà điện thế tại đó bằng công dịch chuyển một đơn vị điện tích từ điểm một

điểm tới vô cực: ∫ ∫∞ ∞

===r r

r rq

rdrrdE

02

0)( 44

1πεεπεε

ϕ rr

rq

r0

)( 4πεεϕ = (2-5).

2.2.1. Thế vô hướng của hệ điện tích điểm Nếu tại một điểm có điện trường của N điện tích gây ra thì điện trường tai đó là tổng vector của các điện trường trên.

11 ϕgradE −=r

22 ϕgradE −=

r

…………… NN gradE ϕ−=

r

Do đó ∑=

=+++=N

kkN EEEEE

121 .......

rrrrr

∑∑==

−==−N

kk

N

kk graggraggrag

11ϕϕϕ

Dẫn đến ∑ ∑= =

==+++=N

k

N

k k

kkN r

q1 10

21 41.......πεε

ϕϕϕϕϕ

Hình 2-2

2

1

Hình 2-3 Rr

kr 'r

P o

qk


12

∑=

=N

k k

k

rq

1041πεε

ϕ

Nếu chọn gốc tọa độ là O, điểm tính thế và trường là P, theo hình vẽ: kk rRr 'r

r−=

Biểu thức của thế vô hướng được viết tổng quát:

∑= −

=N

k k

k

rRq

10 '41

rrπεε

ϕ (2-6).

2.2.3. Thế vô hướng của vật dẫn tích điện phân bố điện tích liên tục Phần tử thể tích vô cùng nhỏ dV mang điện tích dq được xem là một điện tích điểm. điện thế mà nó gây ra tại điểm P là:

rdqd

041πεε

ϕ =

Điện tích phân bố trên V gồm điện tích khối và điện tích mặt: ∫=

VV r

dVρπεε

ϕ04

1

∫=V

S rdSσ

πεεϕ

041

Do đó )(4

1

0∫∫ +=VV rdS

rdV σρ

πεεϕ

Hoặc )''

(4

1

0∫∫ −

+−

=V kV k rR

dSrR

dVrrrr

σρπεε

ϕ (2-7).

2.2.4. Thế vô hướng của lưỡng cực điện Xét một lưỡng cực điện q và –q cách nhau một đoạn l, điện thế tại điểm M như ta đã biết:

)11(44

1

210

2

10 rrq

rq

k k

k −== ∑= πεεπεε

ϕ .

Ta có )(

11

2121

21

22

21

12

21 rrrrrr

rrrr

rr +−

=−

=−

Nói chung lưỡng cực điện của các điện tích phân tử và nguyên tử phân cực thì Rrrl ,, 21<< nên:

lRrrrrrrrrrrrr 2)()( 2121

21

22 ≈−+=−

32121 2)()( RRRRRrrrr =+≈+

Do đó 30

30 4

14 R

RpRlRq

rrrr

πεεπεεϕ == (2-8).

(Trong đó lqprr

= là moment lưỡng cực điện) Điện trường mà lưỡng cực điện gây ra tại điểm P:

304

1RRpgradgradErrr

πεεϕ −

=−=

Hình 2-4

Prr

Hình 2-5

2rr1r

r Rr

lr

M

+q -q


13

Tóm lại ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−= 350

)(34

1Rp

RRRpE

rrrrr

πεε (2-7).

2.3. Phương trình Poisson và ví dụ ứng dụng hương trình Poisson 2.3.1. Phương trình Poisson Phương trình Poisson đối với điện thế cho ta xác định sự phân bố điện thế trong trường tĩnh điện. Để tìm phương trình Poisson ta xuất phát từ phương trình Maxwell

00

)(εερϕ

εερ

−=⇒= graddivEdivr

Hay 0

2

0

)(εερϕ

εερϕ −=Δ=∇⇒−=∇∇

0εερϕ −=Δ (2-8).

(2-8) là phương trình Poisson đối với thế vô hướng ϕ . Trong đó toán tử Laplace như ta đã biết có dạng khác nhau trong các hệ tọa độ khác nhau như sau:

- Trong toạ độ Descartes

2

2

2

2

2

2

zyx ∂∂

+∂∂

+∂∂

=Δϕϕϕϕ

- Ttrong toạ độ cầu

)sin

1)(sinsin

1)((12

2

22

2 αϕ

θθϕθ

θθϕϕ

∂∂

+∂∂

∂∂

+∂∂

∂∂

=Δr

rrr

- Trong toạ độ trụ

2

2

2

2

2

1)(1zrr

rrr ∂

∂+

∂∂

+∂∂

∂∂

=Δϕ

αϕϕϕ

2.3.2. Dùng phương trình Poisson tìm phân bố điện trường và điện thế của một bản phẳng rộng vô hạn có bề dày 2a tích điện khối đều có mật độ ρ Hình vẽ bên cạnh chia không gian có trường làm ba miền (1), (2) và (3)

- Miền (1) bên trái mặt phẳng tích điện - Miền (2) bên trong mặt phẳng tích điện - Miền (3) bên phải mặt phẳng tích điện

Ngoài ra sự phân bố điện tích trong mặt phẳng yOz chứng tỏ điện trường hướng theo phương trục Ox:

0,0 ==≠ zyx EEE , dẫn đến ngoài các điều kiện biên ta còn có:

0,0 )()( == OOE ϕr

(*). Do đó mà phương trình

2

2

2

2

2

2

zyx ∂∂

+∂∂

+∂∂

=Δϕϕϕϕ

y

x

z

Hình 2-6

(3) (2) (1)


14

Trở thành

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

∞≤≤=

≤≤−−=

−≤≤−∞=

)(0

)(

)(0

23

20

22

2

21

2

xadxd

axadxd

axdxd

ϕ

εερϕ

ϕ

Giải hệ phương trình này ta được

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

∞≤≤+=

≤≤−++−=

−≤≤−∞+=

)(

)(2

)(

333

220

2

2

111

xaBxA

axaBxAx

axBxA

ϕεερϕ

ϕ

Để xác định 6 hằng số tích phân trên ta sử dụng các điều kiện biên và (*); Cụ thể ta có các phương trình như sau:

0)0(2

)(3)(2

)(2)(1

=

=

= −−

ϕ

ϕϕ

ϕϕ

aa

aa

)()( 21 axkhidxdaxkhi

dxd

−==−=ϕϕ

)()( 322 axkhi

dxd

axkhidxd

===ϕϕ

0)0(2 ==xkhidxdϕ

Suy ra: 220

2

11 2BaAaBaA +−−=+−

εερ

33220

2

2BaABaAa

+=++−εερ

000 22 =++− BA

aA0

1 εερ

=

320

AAa=+−

εερ

002

0

=+− Aεερ

Giải hệ các phương trình này ta được

0

2

320

2

1

032

01

,0,2

,0,

εερ

εερ

εερ

εερ

aBBaB

aAAaA

−==−=

−===

Thay các giá trị của các hằng số ta được thế vô hướng


15

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

∞≤≤+−=

≤≤−−=

−≤≤−∞+=

)(2

)(2

)(2

0

2

03

0

2

2

0

2

01

xaaxa

axax

axaxa

εερ

εερϕ

εερϕ

εερ

εερϕ

Cường độ điện trường:

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

∞≤≤=−=

≤≤−=−=

−≤≤−∞−=−=

)(

)(

)(

0

33

0

22

0

11

xaxxa

xx

dxd

E

axaxxx

dxd

E

axxxa

xx

dxdE

εερϕεερϕεερϕ

rrr

rrr

rrr

2.4. Kim loại đặt trong điện trường, điện dung của vật dẫn 2.4.1. Kim loại đặt trong điện trường Trong phần này ta sẽ chứng minh được rằng một vật dẫn bằng kim loại khi đặt trong điện trường thì sau một thời gian rất ngắn điện tích di chuyển ra bề mặt vật dẫn. Một vẫn dẫn bằng kim loại có độ dẫn λ mật độ điện khối ban đầu là ρ0 được đặt trong điện trường E như hình vẽ. Theo định luật bảo toàn điện tích

0=+∂∂ jdivt

rρ .

Mà 0

)(εελρλλ === EdivEdivjdiv

rrr

Thay vào trên

0

0

000

0

εελ

ρ

ρ

ρρεελ

ρρ

εελρρ

tt

edt

dt

−

=⇒−=

⇒−=∂∂

∫

∫ (2-9).

Biểu thức (2-9) cho thấy ngay sau khi đặt điện trường, điện tích trong lòng vật dẫn giảm theo hàm số mũ (giảm rất nhanh). Với độ dẫn của kim loại ta tính được sự giảm này xẩy ra trong khoảng 10-9giây. Nghĩa là sau khoảng thời gian đó thì điện tích tập trung hết ra bề mặt. Hình vẽ cũng cho thấy điện tích âm và điện tích dương chuyển động theo hai chiều ngược nhau, vật dẫn trở thành một mặt đẳng thế. Điện tích trên bề mặt vật dẫn được xác đinh theo điều kiện biên

σ=− nn DD 12

Bên trong vật dẫn n

EDD nnn ∂∂

−===⇒=ϕεεεεσ 02021 0

Hình 2-7

- + -+ + - + - +


16

Tổng điện tích trên bề mặt ∫ ∫ ∂∂

−==S S

dSn

dSq ϕεεσ 0 (2-10).

2.4.2. Điện dung của vật dẫn a) Điện dung của vật dẫn cô lập Trước hết ta xét một vật dẫn được đặt cô lập, theo tính toán trên thì mật độ điện tích chứa trên bề mặt vật dẫn:

n∂∂

−=ϕεεσ 0 .

Điện tích trên toàn bộ bề mặt vật dẫn

∫ ∫ ∂∂

−==S S

dSn

dSq ϕεεσ 0 .

Trên bề mặt vật dẫn V = const, rất xa vật dẫn V = 0, ngoài vật dẫn φ = Vφ1.

Nghĩa là ⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

=

=

∞

1

)(

)(

0

ϕϕ

ϕ

ϕ

V

VS

Với cách đặt φ1 như vậy điều kiện của φ1 là

⎪⎩

⎪⎨⎧

=

=

∞ 0

1

)(1

)(1

ϕ

ϕ S

Điện tích được biểu diễn qua φ1 là

∫ ∂∂

−=S

VdSn

q )( 10

ϕεε

Đặt biểu thức của điện dung C như sau

CVqdSn

CS

=⇒∂∂

−= ∫ 10

ϕεε (2-11).

b) Điện dung của hai vật dẫn Trong trường hợp này ta cũng lập luận và đặt các

đại lượng có biểu thức tương tự. Trước hết mật độ điện tích mặt trên hai vật dẫn

2

202

1

101 ,

nn ∂∂

−=∂∂

−=ϕ

εεσϕ

εεσ

⎩⎨⎧

==

22

11

ϕϕϕϕ

VV

Các diều kiện của φ

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

===

==

==

∞∞∞ 00

1

1

)(2)(11)(

)(22)(

)(11)(

22

11

ϕϕϕ

ϕϕ

ϕϕ

SS

SS

V

V

Phương trình Laplace của φ 2211 ϕϕϕ VV +=

Điện tích trên hai vật dẫn được tính theo φ

Hình 2-8

2 1


17

∫ ∫∫

∫ ∫∫

∂∂

−∂∂

−=∂∂

−=

∂∂

−∂∂

−=∂∂

−=

2 22

1 11

222

2012

2

102

202

211

2011

1

101

101

S SS

S SS

VdSn

VdSn

dSn

q

VdSn

VdSn

dSn

q

ϕεε

ϕεεϕεε

ϕεε

ϕεεϕεε

Điện dung ở đây có công thức:

∫∫

∫∫

∂∂

−=∂∂

−=

∂∂

−=∂∂

−=

11

11

22

20222

2

1021

11

20121

1

1011

SS

SS

dSn

CdSn

C

dSn

CdSn

C

ϕεε

ϕεε

ϕεε

ϕεε

Dẫn đến ⎩⎨⎧

+=+=

2221212

2121111

VCVCqVCVCq

Hệ quả: - Nếu vật thứ hai nối đất thì 02 =V , do đó

⎩⎨⎧

==

1212

1111

VCqVCq

- Nếu hai vật là một tụ điện thì

⎩⎨⎧

−=+=+

qVCVCqVCVC

222121

212111

0)()( 2221212111 =+++⇒ VCCVCC

Mà ⎩⎨⎧

==

⇒−==CCCC

CCC22

112112

Suy ra 2112

21

)()(

VVqC

qVVCqVVC

−=⇒

⎩⎨⎧

−=−=−

b) Điện dung của N vật dẫn Từ các tính toán trên ta tổng quát lên về điện tích và điện dung cho N vật dẫn:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

+++=

+++=+++=

NNNNNN

NN

NN

VCVCVCq

VCVCVCqVCVCVCq

.............................................................................

.......................

2211

22221212

12121111

Trong đó ∫ ∂∂

−=jS

jj

kjk dS

nC

ϕεε 0 (2-12).

2.4.3. Ví dụ Tìm điện dung của tụ điện cầu gồm hai mặt cầu đồng tâm bán kính r1 và r2 . Điện môi giữa hai bản tụ có hằng số điện môi ε . Hiệu điện thế giữa hai bản tụ điện này

∫∫ −=−=−2

1

2

1

21

r

r

r

r

EdrrdE rrϕϕ


18

Dùng định lý O-G ta tìm được

∫ −=−⇒

<<=

2

1

2

021

2120

4

)(4

r

r

drrq

rrrr

qE

πεεϕϕ

πεε

12

120

12

12

021

44

rrrr

C

Cq

rrrrq

−=⇒

=−

=−

πεεπεε

ϕϕ

2.5. Năng lượng của trường tĩnh điện 2.5.1. Năng lượng của trường tĩnh điện Ta biết rằng mật độ năng lượng của trường tĩnh điện tại một điểm nao đó trong không gian có điện trường là DE

rr

21

=ω , vậy nên năng lượng điện

trường chứa trong một thể tích V của điện trường là

∫=V

dVDEWrr

21 .

Mà )( DdivDdivgradDDErrrrr

ϕϕϕ −=−=

Dẫn đến ∫∫ −=VV

dVdivdVDdivW )(21

21 ϕρϕ

r (*)

Trong đó: - Tích phân ∫∫ =

VV

dVdVDdiv ϕρϕ21

21 r

- Còn ∫∫ =SV

SdDdVDdivrrr

ϕϕ21)(

21 , để tính tích phân này

ta phân tích thành hai tích phân không kín:

∫∫

∫∫

∫∫∫

−=−=

−=

+=

SSnn

Sn

Sn

SSS

dSdSDD

dSDdSD

SdDSdDSdD

ϕσϕ

ϕϕ

ϕϕϕ

21)(

21

21

21

21

21

21

21

21

21

21

rrrrrr

Trong dó ta đã chọn dSdSdS == 21 vì các diện tích này rất nhỏ, ngoài ra theo điều kiện biên σ−=− nn DD 21

Thay các số hạng đã tìm được vào (*) ta được biểu thức cuối cùng của năng lượng điện trường có trong không gian V của trường là: ∫∫ +=

SV

dSdVW σϕϕρ21

21 (2-13).

2.5.2. Năng lượng tương tác của trường tĩnh điện

Hình 2-9

Hình 2-10

S2

S1


19

a) Năng lượng tương tác giữa hai điện tích Xét hai điện tích q1, q2 và hai điểm M và N trong điện trường.

- Trước hết ta tính công của điện tích q1 làm dịch chuyển điện tích q2 từ điểm có điện thế ϕ đến điểm có điện thế ϕϕ d+ là

ϕϕϕϕ dqdqdA 22 ))(( −=+−= Công toàn phần từ M đến N

)( 12221

20

2

1

2

1

ϕϕ

ϕϕ

ϕ

−=−

−== ∫ ∫∫qWW

dWdqdAW

W

A

Nếu điểm N nằm ở vô cùng thì

rqq

qW

W

0

21121

22

4

0

πεεϕ

ϕ

==

== (*)

- Tiếp theo ta tính công của điện tích q2 làm dịch chuyển điện tích q1 từ điểm M đến điểm N, rồi cũng giả sử điểm M ở vô cùng ta được 011 == ϕW (**)

rqqqW

0

21212 4πεε

ϕ ==

Từ các biểu thức (*) và (**) ta có công thức tính năng lượng tương tác qua lại giữa hai điện tử thông qua hai thế vô hướng của chúng

rqq

qqW0

212121 8)(

21

πεεϕϕ =+= (2-14).

b) Năng lượng tương tác giữa N điện tích Từ tính toán trên ta quy nạpviệc tính năng lượng tương tác cho hệ gồm N

điện tích tương tác với nhau có năng lượng:

∑∑ ==N

jk kj

jkN

jk kj

jk

rqq

rqq

W,0, 0 8

142

1πεεπεε

(2-15).

Trong đó kjr là khoảng cách giữa hai điện tích kq và jq 2.5.3. Nhận xét

- Với vật dẫn const== ϕρ ,0 trên bề mặt vật dẫn nên

∫∫ ===SS

qdSdSW ϕσϕϕσ21

21

21

- Với nhiều vật dẫn ∑=

=N

kkk qW

121 ϕ

- Với tụ điện (hai vật dẫn) điện tích q và –q

CqqU

qqqW

2

2121

21

21

)(21))((

21

==

−=−+= ϕϕϕϕ

Hình 2-11 N

M


20

2.6. Lực tác dụng trong trường tĩnh điện 2.6.1. Lực điện trường tác dụng lên điện tích và vật dẫn Một điện tích đặt trong điện trường thì nó chịu tác dụng của lực điện trường F

r như ta đã biết EqF

rr=

Một vật dẫn đặt trong điện trường thì nó chịu tác dụng của lực điện trường Fr

có biểu thức dqEFV∫=rr

:

- Nếu điện tích phân bố khối với mật độ ρ thì dVdq ρ=

- Nếu điện tích phân bố mặt với mật độ σ thì dSdq σ=

- Nếu điện tích phân bố dài với mật độ λ thì dldq λ= 2.6.2. Lực điện trường tác dụng lưỡng cực điện Lực tác dụng lên lưỡng cực điện gồm lực tác dụng lên hai điện tích của lưỡng cực điện: )( 2121 EEqFFF −=+=

rrrr.

Trong khi đó hai điện trường tại hai vị trí điện tích hơn kém nhau một vi phân:

zyx lzEl

yEl

xEEEdEE

∂∂

+∂∂

+∂∂

+=+=rrr

rrrr112 .

Dẫn đến:

EpF

ElqlzEl

yEl

xEqF zyx

rrr

rrrrr

r

)(

)()(

2 ∇=

∇=∂∂

+∂∂

+∂∂

= (2-16).

Trong đó lqprr

= là vector moment lưỡng cực điện dễ dàng thấy khi điện trường không đổi thì lực tác dụng bằng không. 2.6.3. Lực điện trường tác dụng lên bề mặt vật dẫn đặt trong điện trường Gọi:

- Điện trường do điện tích trên bề mặt vật dẫn gây ra cho trong và ngoài vật dẫn là 1E

r

- Như đã nói trong vật dẫn điện trường bằng không chứng tỏ phải có một lượng điện tích dư bên trong và sát bề mặt vật dẫn có điện trường 2E

r để

triệt tiêu với 1Er

. Như vậy điện trường tổng hợp trên

bề mặt vật dẫn là nEEE rrrr

021 εε

σ=+= (*)

Điện trường tổng hợp trên trong vật dẫn là: 021 =+= EEE

rrr (**)

Các phương trình độ lớn của (*) và (**) là:

Hình 2-12

Er

1Fr

lr

2Fr

-q q - +

Hình 2-13

Hình 2-14

22 EErr

1Er

nSd rr 1E

r


21

021 εε

σ=+ EE

0221 2

0εεσ

=⇒=− EEE

Tóm lại lực tác dụng lên một diện tích dS của bề mặt vật dẫn:

0

2

02 22 εε

σσεεσ SdndSdqEFd

rrrr

===

∫=S

SdFrr

2

021 σεε

(2-17).


22

Chương 3. TỪ TRƯỜNG DỪNG 3.1. Các phương trình của từ trường dừng, thế vector 3.1.1. Định nghĩa và hệ phương trình Maxwell Từ trường dừng là từ trường của các dòng điện không đổi do vậy các đại lượng đặc trưng cho trường cũng không thay đổi theo thời gian tại mọi điểm

trong trường: constHconstB

constjconstI==

==,

,,

Từ hệ phương trình Maxwell tổng quát ta suy ra hệ phương trình Maxwell cho từ trường dừng: 0=Bdiv

r jHRot

rr=

0=jdivr

HBrr

0μμ= (3-1). Các phương trình này cho ta nhận xét về từ trường dùng như sau:

- Từ trường dừng không phải là trường thế vì 0≠HRotr

- Đường cảm ứng từ của từ trường dừng là những đường cong kín vì

0=Bdivr

- Và cũng từ 0=Bdiv

rchứng tỏ từ trường dừng không phải do từ tích gây

ra 3.1.2. Thế vector của từ trường dừng Từ phương trình Maxwell của từ trường dừng 0=Bdiv

r

Theo toán học 0=Adivrotr

trong đó Ar

là một vector nào đó. Dẫn đến ArotBrr

= , Ar

thỏa mãn điều kiện đó gọi là thế vector của từ trường dừng. Vấn đề đặt ra là thế vector A

r của từ trường dừng không đơn giá. Thực

vậy 0=Adivrotr

thì 0)( =+ ϕgradAdivrotr

nghĩa là Ar

là thế vector của từ trường dừng thì ϕgradA +

r cũng là thế vector của từ trường dừng. Để đảm bảo điều

kiện Vật lí của của thế vector là phải đơn trị người ta đưa ra điều kiện định cở 0=Adiv

r

Tóm lại thế vector và điều kiện định cở của từ trường dừng: 0, == AdivArotB

rrr (3-2).

Cũng như thế vô hướng của trường tĩnh điện thế vector tuân theo phương trình Poisson. Thực vậy:

jHrotArotrotBrotrrrr

00 μμμμ === Mặt khác AAAgraddivArotrot

rrrrΔ−=Δ−= ,

suy ra jArr

0μμ−=Δ (3-3). (3-3) là phương trình Poisson của thế vector của từ trường dừng, nghiệm của phương trình này có dạng tổng quát


23

∫=V rdVjAr

r

πμμ4

0 (3-4).

3.1.3. Định lí Bio-Savart-Laplace Định lí Bio-Savart-Laplace cho phép ta xác định cảm ứng từ và do đó xác định cường độ từ trường của từ trường dừng. Để tìm định lí này ta cũng xuất phát từ các phương trình Maxwell.

dVrjrot

rdVjrotArotB

VV

)(4

)4

( 00 ∫∫ ===rr

rr

πμμ

πμμ

rgradjjrot

rrjrot 11

×−=rr

r

Dùng công thức ϕϕϕ gradAArotArot ×−=rrr

dVr

gradjdVjrotr

BVV∫∫ ×−=

14

14

00rrr

πμμ

πμμ .

Trong đó từ trường dừng nên 0=⇒= jrotconstjr

còn 32

11rr

rrgrad

r−=−=

Tóm lại ta có công thức của định lí Bio-Savart-Laplace;

∫∫×

=×

=VV

dVrrjHdV

rrjB 33

0 ,4

rrrrr

r

πμμ (3-5).

Đối với các dòng nguyên tố thì lIdSdVSjdVj

rrr== thì định lí này còn

được viết dưới dạng như sau:

∫∫×

=×

=LL r

rldIHrrldI

B 330

4,

4

rrrrr

r

ππμμ (3-5’).

3.1.4. Định luật Ampere về tương tác từ Lực mà phần tử dòng điện lId

rtác dụng lên phần tử

dòng điện '' ldIr

theo định luật Ampere

30 )(''

4 rrlIdldIFdrrr

r ××=

πμμ

Lực mà dòng điện 1L tác dụng lên dòng điện 2L theo định luật Ampere:

∫ ∫××

=1 2

30 )(''

4 L L rrlIdldIFrrr

r

πμμ (3-6).

3.2. Từ trường của dòng điện nguyên tố 3.2.1. Từ trường của dòng điện nguyên tố Trong mục này chúng ta đi tìm biểu thức tính từ trường của các dòng điện nguyên tố (dòng điện phân tử, nguyên tử). Trên hình vẽ là một dòng điện nguyên tố (Kích thước rất bé so với khoảng cách đến điểm ta xét; O là gốc tính thế,

MRr

rr

'rr

O

dVjr

Hình 3-1

L2

L1

rr

'' ldIr

lIdr

Hình 3-2

Hình 3-3

Rrrr

P

O ldjrr

'rr


24

P là điểm chịu thế). Thế vector ldjrr

gây ra tại P là:

∫=V rdVjAr

r

πμμ4

0

Trong đó '2'' 22 rRrRrrRr rrrrr−+=⇒−=

21

22

2

)'2'1(11 −−+=RrR

Rr

Rr

rr

.

Do 21

22

2

)'21(110','−

−=⇒≈⇒<<RrR

RrRrrRr

rrr

Dùng công thức tính gần đúng xx αα −≈− 1)1( khi x rất bé so với 1 ta có

∫∫ +=⇒−=VV

dVrRjRR

dVjR

ARrR

Rr)'(

44)'1(11

300

2

rrrr

rrr

πμμ

πμμ

0,)'(44 3

00 =+= ∫∫∫LVL

lddVrRjR

ldRI

Arrrrrr

πμμ

πμμ

∫=V

dVrRjR

A )'(4 3

0 rrrr

πμμ (*).

Tiếp tục tính tích phân này, dùng tích kép ).(')'.()'( RjrrRjRjrrrrrrrrrr

−=×× ).(')'()'.( RjrRjrrRjrrrrrrrrr

+××= Cộng hai vế với )'.( rRj rrr

và chia cả hai vế cho 2 ta có:

)'.(21).('

21)'(

21)'.(

21)'.(

21 rRjRjrRjrrRjrRj rrrrrrrrrrrrrrr

++××=+

[ ]).(')'.(21)'(

21)'.( RjrrRjRjrrRj

rrrrrrrrrrrr++××=

Thay vào biểu tức (*) thì biểu thức của thế

[ ]∫∫ ++××=VV

dVRjrrRjR

dVRjrR

A ).(')'.(21

4)'(

21

4 30

30

rrrrrrrrrr

πμμ

πμμ

Để tiếp tục tính toán tích phân thứ 2 ta đặt vế phải: [ ] KdVRjrrRj

V

rrrrrrr=+∫ ).(')'.(

Nhân hai vế của Kr

với một vector hằng số khác không ar [ ]∫ +=

V

dVRjrarRjaKa ).)('()'.((rrrrrrrrrr

[ ]0,)'.)('()'()'.(

)'()'.().)('()'.)((

=−=

=+

jdivjdivrRrararRjdiv

rarRgradjRjrarRjarrrrrrrrrrr

rrrrrrrrrrrrr

[ ] ∫ ∫∫ ==S S

nV

dSrarRjSdrarRjdVrarRjdivj )'()'.()'()'.()'()'.( rrrrrrrrrrrrrrrr

(Đã đặt tích dSjjdSSdj n== αcosrr

) Các vector j

r mà ta xét ở đây nằm trọn trong S nên 0=nj dẫn đến

00 =⇒= KKarrr .


25

Cuối cùng: ∫ ××=V

dVRjrR

Arrrr

)'(21

4 30

πμμ , do μr

rr=× )'(

21 jr

nên ∫×

=V

dVRRA 3

0 )(4

rrr μπ

μμ (3-7).

Suy ra ∫×

==V

dVRRrot

RARotB 33

0 )(4

rrrr μπμμ

dVRR

RRBV∫ ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−= 35

0 ).(34

μμπ

μμ rrrrr

(3-8).

3.2.2. Từ trường của dòng điện tuyến tính Đói với những dòng điện tuyến tinh (những dòng điện thẳng chạy trong dây dẫn) lIddVj

rr= :

SI

SIdSIldrIdVjrSSV

rr

rrrrrr

=

==×=×= ∫∫∫μ

μ '2

)'(21

3.3. Trường dừng trong từ môi 3.3.1. Định nghĩa từ môi Từ môi là những môi trường vật chất có khả năng ảnh hưởng lên từ trường ngoài và làm thay đổi từ trường ngoài Từ môi khi đặt trong từ trường thì bị phân cực, nghĩa là tạo nên các lưỡng cực từ và ta nói rằng từ môi đã bị từ hóa. Mức độ từ hóa của từ môi được đặc trưng bằng vector từ hóa M

r bằng

tổng các moment lưỡng cực từ có trong một đơn vị thể tích của từ môi (moment lưỡng cực từ ∫ ×=

L

lIdrrrr

21μ ).

Thực nghiệm đã chứng tỏ rằng vector từ hóa Mr

tỷ lệ với cường độ từ trường trong từ môi HM

rrβ= với β là độ cảm từ môi

Số moment lưỡng cực từ có trong thể tích dV của từ môi dVMr

. Từ trường trong từ môi pHHH

rrr+= 0 . Trong đó 0H

r là từ trường trong

chân không (khi chưa tính đến từ môi), pHr

là từ trường phụ do hiện tượng phân cực của từ môi sinh ra:

- Nếu pHr

cùng chiều với 0Hr

thì từ môi là chất thuận từ - Nếu pH

r ngược chiều với 0H

r thì từ môi là chất nghịch từ

- Nếu pHr

cùng chiều và rất lớn so với 0Hr

thì từ môi là chất sắt từ 3.3.2. Thế vector trong từ môi Ta gọi thế vector trong từ môi do hiện tượng từ hóa sinh ra là pA

r:

dVr

gradMdVrrMAdA

VVpp ∫∫ ∫ ×=

×== )1(

440

30

rrrrr

πμ

πμ


26

Ta dùng ϕϕϕ gradAArotArot ×−=rrr

Thì dVrMrotdV

rMrotA

VVp ∫∫ −=

rrr

πμ

πμ

4400

Trong đó ∫ ∫∫×

=×

=S SL

dSrMn

rMSddV

rMrot

rrrrr

Nên ∫∫×

−=SV

p dSrMndV

rMrotA

rrrr

πμ

πμ

4400

Trong chân không ta cũng đã có (nếu kể đến dòng điện bề mặt):

∫∫ −=S

m

V

dSrj

dVrjA

rrr

πμ

πμ

4400

0

Một cách tương tự ta đặt mpp jMnjMRotrrrrr

=×= , thì thế vector phụ

∫∫ −=S

mp

V

pp dS

rj

dVrj

Arr

r

πμ

πμ

4400

Tóm lại thế vector trong từ môi

∫∫+

−+

=+=S

mpm

V

pp dS

rjj

dVrjj

AAArrrr

rrr

πμ

πμ

4400

0 (3-9).

3.3.3. Từ trường dừng trong từ môi Ta có )()( 0 pp jjBrotjjHRot

rrrrrr+=⇒+= μ

Mặt khác jBRotrrμμ0= ,

do đó jjjjjj pp

rrrrrrμμμμμ =+⇒=+ 000 .

Mà jHrotHrotjMRot p

rrrrrβββ ==== )( .

dẫn đến 1+=⇒=+ βμμβ jjjrrr

. Trở lại biểu thức HrotHrotjjBRot p

rrrrrβμμμ 000 )( +=+=

HBHB

HHrotBRotrrrr

rrr

μμβμ

βμμ

00

00

)1(

)(

=⇒+=⇒

+= (3-10).

3.4. Năng lượng của từ trường dừng 3.4.1. Năng lượng của dòng dừng Ta đã biết mật độ năng lượng của các dòng dừng tại một điểm nào đó trong không gian HB

rr

21

=ω nên năng lượng trong toàn bộ không gian V

∫=V

dVHBWrr

21 .

Mà jAHAdiv

HrotAHAdivArotHHBrrrr

rrrrrrrr

+×=

+×==

)(

)(

∫∫ +×=VV

dVjAdVHAdivWrrrr

21)(

21


27

∫∫ +×=VS

dVjASdHAWrrrrr

21)(

21

Trong đó ∫∫ =×=×S

nS

dSHASdHA 0)()(rrrrr

(vì các dòng nằm trọn trong V) Tóm lại: ∫=

V

dVjAWrr

21 (3-11).

3.4.2. Năng lượng tương tác Thế vector mà ii dVj

r tác dụng lên kk dVj

rlà:

∫=V ik

ii

rdVj

Ar

r

πμμ4

0

Thay vào (3-11) ta được:

∫ ∫=Vi

kiV ik

ki dVdVrjj

Wk

rr

πμμ8

0

∫ ∫=i kL L

kiik

ki ldldrII

Wrr

πμμ8

0 (3-12).

3.4.3. Hệ số hỗ cảm a) Năng lượng của hệ dòng dừng Theo tính toán trên năng lượng của một dòng dừng ∫=

V

dVjAWrr

21 .

Năng lượng trong trường hợp có nhiều dòng dừng

∑∫=

=N

k Vkk dVjAW

121 rr

∫ ∫ ∫∫ ====k k kL S

kkS

kkkkkkV

kk ISdBISdArotIldIAdVjA φrrrrrrrr

Cuối cùng ∑=

=N

kkkIW

121 φ (3-13).

Chú ý nếu chỉ có một dòng điện φIW21

=

b) Hệ số tự cảm, hỗ cảm Trường hợp có nhiều dòng điện thì từ trường của các dòng ảnh hưởng lẩn nhau dẫn đến năng lượng từ trường cũng trở nên phức tạp hơn. Đối với các dòng

tuyến tính ∫ ∫∑=i kL L ik

ki

kiki r

ldldIIW

rr

,

0

8πμμ

Người ta đặt ∫ ∫=i kL L ik

kiik r

ldldL

rr

πμμ4

0 và gọi là hệ số hỗ cảm.

∑=ki

ikki LIIW,2

1 (3-14).

Việc lấy tích phân theo i và theo k hoàn toàn độc lập với nhau nên


28

kiik LL = Trường hợp nếu chỉ có một dòng điện thì LLLki kiik ==⇒=

∑=⇒=⇒==ki

kik ILLIILIW,

2

21

21 φφφ

3.5. Lực từ trong từ môi Khi có một khối từ môi đặt trong từ trường thì hiện tượng từ hóa làm xuất hiện các vector từ hóa thj

r, lực từ tác dụng lên thể tích dV của từ môi:

∫∫ ×=×=VV

th dVBMrotdVBjF )()(rrrrr

.

Để xác định lực ta nhân hai vế với vector không đổi và khác không ar ∫∫ ×=×=

VV

dVMrotaBdVBMrotaFarrrrrrrr )()(

Nhưng )()())(( aBrotMMrotaBaBMdiv rrrrrrrrr×−×=××

Dẫn đến ∫∫ ×+××=VV

dVaBrotMdVaBMdivFa )())(( rrrrrrrr .

Trong đó ∫∫ =××=××SV

SdaBMdVaBMdiv 0))(())((rrrrrrr

Còn aBBaBdivaadivBaBrot rrrrrrrrrr)()()( ∇−∇+−=× .

Dẫn đến [ ]∫ ∇−∇+−=V

dVaBMBaMBdivaMadivBMFa rrrrrrrrrrrrrr )()(.

Như đã nói ar không đổi nên 0)(,0 =∇= aBMadiv rrrr , và 0=Bdivr

Nên [ ]∫ ∇=

V

dVBaMFarrrrr )(

Biến đổi )()()( BrotMaBMaBaMrrrrrrrrr

×+∇=∇ [ ]∫ ×+∇=

V

dVBrotMBMaFa )()(rrrrrrr

Cuối cùng [ ]∫ ×+∇=V

dVBrotMBMF )()(rrrrr

(3-14).

Suy ra mật độ lực )()( BrotMBMfrrrrr

×+∇=


29

Chương 4. TRƯỜNG ĐIỆN TỪ CHUẨN DỪNG 4.1. Các phương trình của trường điện từ chuẩn dừng 4.1.1. Định nghĩa và hệ phương trình Maxwell Trường điện từ chuẩn dừng là trường điện từ thỏa mãn các điều kiện sau đây

- Dòng điện dịch rất nhỏ so với dòng điện dẫn

jtD rr

<<∂∂ (4-1).

Trường điện từ chuẩn dừng phổ biến là trường có các vector trường biến thiên điều hòa theo thời gian với tần số góc ω : tieEE ω

0

rr= . Do vậy ta có biến đổi sau

titi eEEjeEitD ωω λλωεε 000

rrr==⇒=

∂∂ và thay vào (4-1):

0000 ωεελλωεε ωω >>⇒<< titi eEeEi Chẳng hạn đối với các dây dẫn kim loại

mcm Ω≈⇒

Ω≈= −− 110110,1 187

ελλε

ZHsrad 1718 10)/(10 <<⇒<< γω hoặc mBS

910−>>λ (Bước sóng) Với kết quả này ta có nhận xét là dòng điện xoay chiều, sóng vô tuyến đều là trường điện từ chuẩn dừng vì dòng điện xoay chiều tần số 50HZ bước sóng 6.106m, sóng vô tuyến cở m đều thỏa mãn các điều kiện của trường điện từ chuẩn dừng.

- Bỏ qua hiện tượng từ trễ, nghĩa là nếu phương trình sóng điện từ tại tâm

sóng là tieEE ω0

rr= thì phương trình sóng tại tọa độ x là

)(

0cxti

eEE−

=ωrr

Từ hệ phương trình Maxwell tổng quát ta suy ra hệ phương trình Maxwell

cho trường trường điện từ chuẩn dừng

tBERot∂∂

−=r

r ρ=Ddiv

r

0=Bdivr

jHRotrr

= (4-2). Từ các phương trình này ta có nhận xét là trường điện từ chuẩn dừng các đặc trưng điện và từ liên hệ chặt chẽ với nhau nên ta phải xét đồng thời cả các đại lượng điện trường và các đại lượng từ trường. 4.1.2. Thế vô hướng và thế vector của trường điện từ chuẩn dừng a) Thế vô hướng và thế vector Đối với trường điện từ chuẩn dừng ta cũng có ArotB

rr= và điều kiện định

cở 0=Adivr

. Từ hệ phương trình Maxwell:


30

tBERot∂∂

−=r

r

0)( =∂∂

+=∂∂

+=∂∂

+tAErot

tArotErot

tBERot

rr

rr

rr

.

Suy ra ϕgradtAE −=∂∂

+r

r (dấu trừ do ta chọn), hay

tAgradE∂∂

−−=r

rϕ (4-3).

Trong đó Ar

,ϕ cũng gọi là hế vô hướng và thế vector của trường điện từ chuẩn dừng. b) Phương trình Poisson

- Đối với thế vô hướng: Từ phương trình ρ=Ddiv

r suy ra

0εερ

=Edivr

0

)()(εερϕϕ =Δ−=

∂∂

−∇∇−= Adivt

Edivrr

0εε

ρϕ −=Δ (4-3).

(4-3) là Phương trình Poisson đối với thế vector của trường điện từ chuẩn dừng. - Đối với thế vector

Từ phương trình jHRotrr

= hay jArotRotBRotr

rr

==00 μμμμ

, mà

0,0 ==Δ− AdivjAAgraddivrrrr

μμ jArr

0μμ−=Δ⇒ (4-4). (4-3) là Phương trình Poisson đối với thế thế vector của trường điện từ chuẩn dừng. 4.2. Định luật Ohm đối với các dòng chuẩn dừng 4.2.1. Định luật Ohm đối với các dòng chuẩn dừng Ta xét một hệ gồm N dòng chuẩn dừng, do hiện tượng cảm ứng điện từ nên các dòng này ảnh hưởng lẫn nhau. Chẳng hạn một dòng i nào đó sẽ bị dòng k khác i ảnh hưởng. Trường hợp tổng quát môi trường có nguồn “lực lạ” nên định luật Ohm dạng vi phân phải là

)( nEEjrrr

+= λ Tích phân phương trình này trên dòng điện kín il ta có:

∫∫∫ +=iii l

nll

ldEldEldj rrrrrr

λ.

Trong đó: iil

RIldj

i

=∫ λ

rr

( iR là điện trở của li)

nil

n

i

ldE Γ=∫rr

( niΓ suất điện động nguồn đối với dòng i)


31

∫ ∫∫∫∫ ∫ −−=∂∂

−−=∂∂

−−=iiii i l Slll l

SdArotdtddld

tAldgradld

tAgradldE

rrrr

rrr

rrϕϕϕ )()(

∫ ∑∫∫ −=−=−=−=S k

kikiSl

ILdtd

dtdSdB

dtdSdArot

dtdldE

i

φrrrrrr

Tóm lại ta có định luật Ohm tổng quát dối với các dòng dừng như sau:

∑−Γ=k

kikniii dtdI

LRI (4-5).

4.2.2. Các ví dụ a) Ví dụ 1 Xét hệ dòng dừng gồm hai dòng (N = 2) ta có:

)( 212

111111 dt

dIL

dtdI

LRI n +−Γ=

)( 222

121222 dt

dIL

dtdI

LRI n +−Γ= (4-5a).

11L và 22L là các hệ số tự cảm; dtdI

L 111− và

dtdI

L 222− là các suất điện động tự cảm

12L và 21L là các hệ số hỗ cảm; dtdI

L 112− và

dtdI

L 221− là các suất điện động cảm

ứng từ dòng này lên dòng kia. b) Ví dụ 2 Ta cũng xét hai dòng nói trên nhưng trong đó dòng 1 là cuộn sơ và dòng 2

là cuộn thứ của một máy biến thế. Ngoài ra giả sử các nguồn điện ngoài có dạng:

titin

tin eIIeIIe ωωω −−− ===ΓΓ=Γ 202101201 ,,0,

Thay các đại lượng này vào (4-5a) ta được )( 2012101110110 ILILiRI ++Γ= ω (*)

)(0 20221021220 ILILiRI ++= ω (**) Trong đó 1221 LL = , từ (**) ta suy ra

222

222

12

10

20

222

12

10

20

LR

LII

LiRLi

II

ω

ωω

ω

+=⇒

−−

=

Hầu hết các máy biến thế có điện trở thuần nhỏ 222 RL >> cho nên

22

12

22

12

10

20

LL

LL

II

==ωω

Vậy nên: - Nếu 10202212 IILL >⇒> máy tăng thế - Nếu 10202212 IILL <⇒< máy hạ thế


32

4.3. Mạch điện có tụ điện và cuộn cảm 4.3.1. Mach điện có tụ điện và cuộn cảm Xét một mạch điện gồm tụ điện, cuộn cảm và nguồn điện như hình vẽ; điện trở thuần của toàn mạch là R. Định luật Ohm suy rộng:

∫ ∫∫∫ +∂∂

−−=2

1

2

1

2

1

2

1

ldEldtAldgradldj

n

rrrr

rrr

ϕλ

ndtdIR Γ+−−=φϕϕ 21

Lưu ý I là dòng điện biến thiên theo thời gian và

trong đó: ⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−=−

=

Cq

dtLdI

dtd

21 ϕϕ

φ

(ta chọn dấu – để cho CqU −=12 ).

nICq

dtdIL Γ=++

Hay ndtd

dtdIR

CI

dtIdL Γ=++2

2

(4-6).

(4-6) là phương trình tổng quát của mạch R – L – C sau đây ta sẽ xét các trường hợp riêng. 4.3.2. Các trường hợp đặc biệt của trường điện từ chuẩn dừng a) Mạch chỉ có R, L và nguồn điện một chiều

0,)(

0

===Γ=ΓqIIconst

t

n

Phương trình (4-6) dùng cho trường hợp này là

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

Γ=++

0

0

)0(

02

2

Idtd

dtdIR

CdtIdL

⎪⎩

⎪⎨⎧

=

Γ=+

0)0(

0

I

IRdtIdL

Nghiệm của phương trình này là tổng của hai nghiệm:

- Nghiệm riêng ứng với trường hợp R

IconstI r0Γ=⇒=

- Nghiệm phương trình đẳng cấp ứng với trường hợp

tLR

k aeIIRdtIdL

−=⇒=+ 0 .

Dẫn đến tLR

kr aeR

IIII−

+Γ

=⇒+= 0 ,

theo điều kiện ban đầu 0)0( =i thì R

a 0Γ−= , dẫn đến:

nΓ

1 2

Hình 4-1

R

C L

0Γ Hình 4-2

R

L


33

)1(0 tLR

eR

I−

−Γ

=

Ta có nhận xét về kết quả này như sau

- Nếu t tăng thì I tăng, khi t đủ lớn thì constIetLR

=⇒=−

0 . Nghĩa là mạch có cuộn cảm khi đóng mạch thì dòng điện không đạt ngay giá trị bình thường mà tăng lên từ từ do hiện tượng tự cảm.

- Trường hợp ngắt mạch

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

Γ==

=+

RII

IRdtIdL

00)0(

0 )0 t

LR

eR

I−Γ

=⇒

Nếu t tăng thì I giảm, khi t đủ lớn thì 00 =⇒=−

IetLR

. Nghĩa là mạch có cuộn cảm khi ngắt mạch thì dòng điện không tắt ngay mà giảm từ từ cho đến không do hiện tượng tự cảm. b) Khung dao động Khung dao động là một đoạn mạch gồm tụ điện và cuộn cảm, điện trở thuần của mạch không đáng kể. Ban đầu tụ được tích điện, để cho mạch có giao động điện ta chỉ việc đóng khóa k cho mạch điện kín. Phương trình dao động trong mạch:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

=+⇒=+

0

00

)0(

2

2

ICI

dtIdL

Cq

dtIdL

Dẫn đến ⎩⎨⎧

==LC

tAI 1,sin 00 ωω

b) Mạch R, L, C và có nguồn điện xoay chiều Nguồn điện mà ta đặt vào thường là dòng

điện xoay chiều có dạng tin e ω−Γ=Γ 0 .

Phương trình của dòng điện trong mạch:

tiedtd

CI

dtdIR

dtIdL ω−Γ=++ 02

2

.

Dòng điện trong mạch có dạng tieII ω−= 0 . Thay I vào phương trình trên ta có

titi eeIC

LiR ωω

ωω −− Γ=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ −− 00)1( ,

hay nIC

LiR Γ=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −− )1(

ωω ,

đặt )1(*

CLiRZeZ i

ωωα −−== − *

ZI nΓ=⇒ .

- Để tính Z dựa vào bình phương của số phức

nΓ

1 2

Hình 4-3

R

C L


34

22

22*

)1(

)1()1()(

CLRZ

ZC

LiRC

LiRZ

ωω

ωω

ωω

−+=⇒

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −+⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −−=

- Để tính α dựa vào )1(sincosC

LiRíZZZe i

ωωααα −−=−=− . Cho phần

thực bằng phần thực, phần ảo bằng phần ảo

ZC

L

CLZ

ZRRZ

)1(sin)1(sin

coscos

ωω

αω

ωα

αα

−=⇒−=

=⇒=

Kết quả cuối cùng:

Ze

Zee

IR

CL

tgti

i

ti )(00,

)1( αω

α

ωω

ωα

+−− Γ=

Γ=

−=

{ })(sin)cos(0 αωαωα −+−Γ

= titZ

tg

Dòng điện thực là phần thực của số phức này:

)cos()cos( 00 αωαω −=−

Γ= tItZ

I

- Đặc biệt khi R

IRZLCC

L MaxMin0,11 Γ

==⇒=⇒= ωω

ω

Hiện tượng dòng điện đạt giá trị cực đại như vậy gọi là hiện tượng cộng hưởng điện.


35

Chương 5. SÓNG ĐIỆN TỪ TỰ DO 5.1. Sóng điện từ tự do, sóng phẳng 5.1.1. Sóng điện từ tự do, hệ phương trình Maxwell Các trường mà ta xét ở trên đều có mặt của các điện tích. Bây giờ ta xét trường điện từ mà trong đó không có các điện tích và dòng điện ( 0,0 == j

rρ ).

Thực ra thì trường điện từ này cũng được sinh ra từ các dòng điện và các điện tích ở một nơi nào đó nhưng khi truyền đến môi trường mà ta đang xét thì môi trường không có điện tích mà chỉ có sự biến thiên của điện trường và từ trường mà thôi. Sóng điện từ trong trường hợp này gọi là sóng điện từ tự do. Các phương trình Maxwell trong điều kiện 0,0 == j

rρ là:

tBERot∂∂

−=r

r 0=Ddiv

r

0=Bdivr

tDHRot∂∂

=r

r (5-1).

Các phương trình này thỏa mãn trong môi trường điện môi rộng vô hạn và vật chất biến thiên liên tực. 5.1.2. Phương trình sóng điện từ tự do Cũng như các chương trước phương trình sóng điện từ tự do được tìm từ

các phương trình Maxwell. Từ phương trình tBERot∂∂

−=r

r:

Htt

BERotr

rr

∂∂

−=∂∂

−= 0μμ

Lấy toán tử rot hai vế của phương trình này Hrot

tERotrot

rr

∂∂

−= 0μμ

2

2

002

2

00 tE

tDHrot

t ∂∂

−=∂∂

−=∂∂

−=rr

rεεμμμμμμ

Nhưng )0(, =Δ−= EdivEEgraddivERotrotrrrr

,

Tóm lại phương trình cần tìm: 02

2

00 =∂∂

−ΔtEEr

rεεμμ

Tính toán tương tự cho HRotr

: 02

2

00 =∂∂

−ΔtHHr

rεεμμ

Trong đó 2001v

=εεμμ nên phương trình sóng điện từ được viết gọn hơn

012

2

2 =∂∂

−ΔtE

vE

rr

012

2

2 =∂∂

−ΔtH

vH

rr

(5-2).


36

Ta có nhận xét là các phương trình cho điện trường và từ trường có hình dạng hoàn toàn giống nhau nên ta ký hiệu chung điện trường và từ trường bằng chữ ψ , khi đó phương trình sóng điện từ được viết

012

2

2 =∂∂

−Δtvψψ (5-3).

Để dễ hiểu ta xét trường hợp sóng điện từ tự do truyền theo trục Ox, khi đó phương trình chỉ có biến số là x. Nghĩa là nghiệm của phương trình này có dạng

)()( 21),( vxtf

vxtftx ++−=ψ .

- Nghiệm )(1 vxtf − mô tả một

sóng phẳng truyền theo chiều dương của trục Ox (gọi là sóng phẳng vì hình vẽ cho thấy mặt đầu sóng của sóng là những mặt phẳng); sóng đến điểm x1 thì đồng thời cũng đến tại mọi điểm trên mặt phẳng vuông góc với trục Ox và đi qua x1.

- Nghiệm )(2 vxtf + mô tả một sóng như vậy truyền theo chiều ngược lại và

đây chính là sóng phản xạ (truyền theo chiều âm của trục Ox). - Ngoài ra ta cũng có hệ quả là đối với môi trường chân không hay không

khí thì vận tốc sóng điện từ là c :

smc 8

00

10.311 ≈=⇒==εμ

εμ

5.2. Sóng phẳng truyền trong môi trường điện môi 5.2.1. Phương trình sóng phẳng đơn sắc truyền trong môi trường điện môi Một sóng điện từ phẳng đơn sắc tần số ω truyền trong môi trường điện

môi có dạng ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +−= αω )(cos0 v

xtEErr

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +−= αω )(cos0 v

xtHHrr

Ta đặt nv

k rr ω= gọi là vector sóng, còn rkkx rr

=

nên ta có hệ phương trình )cos(0 αω +−= rktEE rrrr

)cos(0 αω +−= rktHH rrrr

Để thuận tiện cho việc tính toán người ta viết hàm sóng dưới dạng số phức như sau

)(0

αω +−= rktieEErrrr

)(

0αω +−= rktieHH

rrrr (5-4).

Từ các phương trình này thực hiện các toán tử sau ta có:

Hình 5-1

x x1 x2 O

x rrx kn

rr

Hình 5-2


37

)(),(

0).(,0).(

,

HkiHRotEkiERot

HkiHdivEkiEdiv

HitHEi

tE

rrrrrr

rrrrrr

rr

rr

×−=×−=

=−==−=

=∂∂

=∂∂ ωω

Từ các phương trình này dẫn đến

EHkHEk

HkEkrrrrrr

rrrr

00 )(,)(

0).(,0).(

ωεεωμμ −=×=×

==

5.2.2. Nhận xét - Các phương trình 0).(,0).( == HkEk

rrrr cho thấy HE

rr, vuông góc với

nhau và đều vuông góc với nr tức là vuông góc với vr nên sóng phẳng đơn sắc là sóng ngang.

- kr

vuông góc với HErr

, nên ta có HEk

rr0ωμμ=

Hay EHHEv

rrrrεεμμωμμω

000 =⇒=

EH εεμμ 00 = (5-5). Đó là mối liên hệ giữa điện trường và từ trường trong sóng điện từ phẳng. Vector mật độ dòng năng lượng (Vector Umov-Poynting):

( )

2

0

02

0

0

0

0 HEEEP

EHPHEP

εεμμ

μμεε

μμεε

===

=⇒×=rr

)(21 2

0

02

0

0 HEPεε

μμμμεε

+=

vHEHE22

1 20

20

20

20

00

μμεεμμεεεμμε

+=

+= (5-6).

5.3. Sự truyền sóng điện từ trong môi trường dẫn Trong mục này ta xét sự truyền sóng điện từ tự do trong môi trường dẫn và giả sử môi trường này rộng vô hạn có các thông số khác không như sau ε, μ, λ. Hệ phương trình Maxwell

tBERot∂∂

−=r

r ρ=Ddiv

r

0=Bdivr

tDjHRot∂∂

+=r

rr.

Thay các hàm sóng điện từ phẳng )(

0ϕω += tieEE

rr )(

0ϕω += tieHH

rr vào các phương trình trên và chú ý Ej

rrλ=

ta được: HiERotrr

ωμμ0−=


38

)(,)(*

0

*

0

00

εωλεεεω

ωλεεω

εελεελ

=−=−=

−=∂∂

+=

iEiEii

EiEtEEHRot

rr

rrr

rr

*ε là độ dẫn phức mà ta đã đặt với biểu thức trên.

Tóm lại HiERotrr

ωμμ0−=

EiHRotrr *

εω= (5-7). Các phương trình (5-7) cho thấy trong môi trường dẫn dạng phương trình sóng điện từ cũng có dạng phương trình sóng điện từ tự do chỉ khác là phải thay hằng số điện môi bằng hằng số điện môi phức. Kết luận này cho phép ta viết

phương trình sóng có dạng như đã từng biết ⎪⎩

⎪⎨⎧

=

=

+−

+−

)(0

)(0

*

*

αω

αω

xkti

xkti

eHH

eEErr

rr

Trong điện môi thì như ta đã biết ở trên

⎪⎩

⎪⎨⎧

=

=+−

+−

)(0

)(0

αω

αω

kxti

kxti

eHH

eEErr

rr

0022

00 εεμμωεεμμωω=⇒==⇒ k

vk

Một cách tương tự trong môi trường dẫn

( )2

0002

*

02

2*

iSK

ik

−=

−== ωλμμεεμμωεμμω

Trong đó các đại lương SK , có mặt là do ta đặt tương ứng với số phức trên.

( )( ) iKSSKiSKiSK

ik

222000

22*

−−=+−=

−= ωλμμεεμμω

Đồng nhất thức phân thực với phân thực, phần ảo với phần ảo ta được:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−++=⇒=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++=⇒=−

1)(112

2

)(112

2

0

02

20

2

0

02

200

222

ωεελεεμμω

ωλμμ

ωεελεεμμω

εεμμω

SKS

KSK

Thay *k là hàm của SK , vào phương trình sóng trong môi trường dẫn ta

có biểu thức cuối cùng của sóng

⎪⎩

⎪⎨⎧

=

=

+−−

+−−

)(0

)(0

*

*

αω

αω

xktiSx

xktiSx

eeHH

eeEErr

rr

(5-8).

Các phương trình (5-8) cho thấy càng đi sâu vào trong lòng vật dẫn sóng điện từ càng mất dần năng lượng (giảm theo hàm số mũ). Hiện tượng giảm năng lượng này là do sự tỏa nhiệt Joule – Lenz.


39

5.4. Sự phản xạ và khúc xạ sóng điện từ Xét một tia sóng điện từ tới

1kr chiếu lên mặt phân cách hai môi trường:

một (ở trên) và hai (ở dưới), 1kr được phân

tích thành hai tia: tia phản xạ '1kr , tia khúc

xạ 2kr ; các góc tới, góc phản xạ, góc khúc

xạ: α1, α1’, α2. Để thuận lợi cho việc tính toán ta chọn gốc thời gian sao cho pha ban đầu của sóng bằng α = 0. Phương trình sóng tới, sóng phản xạ, khúc xạ viết đối với cường độ điện trường: )(

01111 rktieEErrrr

−= ω

)(022

)''(011

22

11'rkti

rkti

eEE

eEErr

rr

rr

rr

−

−

=

=ω

ω

Trong đó kzjyixrrrrr

++= là bán kính vector xác định vị trí của điểm tới của sóng điện từ

))((022

))(''(011

))((011

22

11

11

'kzjyixkti

kzjyixkti

kzjyixkti

eEE

eEE

eEE

rrrr

rrrr

rrrr

rr

rr

rr

++−

++−

++−

=

=

=

ω

ω

ω

Chiếu các phương trình trên lên mặt phân cách hai môi trường

)coscos(022

)'cos''cos''(011

)coscos(011

22222

11111

11111

'bykaxkti

tt

bykaxktitt

bykaxktitt

eEE

eEE

eEE

−−

−−

−−

=

=

=

ω

ω

ω

rr

rr

rr

Trong đó: - a1, a1’, a2 là các cosin chỉ phương trên trục Ox - b1, b1’, b2 là các cosin chỉ phương trên trục Oy - Ngoài ra tần số sóng không thay đổi khi phản xạ hay khúc xạ cho nên

ωωωω === 211 ' hay ω=== 221111 ' vkvkvk Theo điều kiện biên ttt EEE 211 ' == đẫn đến:

⎩⎨⎧

====

221111

221111

cos'cos'coscos'cos'cosbkbkbkakakak

Từ đó suy ra

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=⇒=

=⇒=

''coscos

''coscos

1111

11

1111

11

bbbv

bv

aaav

av

ωω

ωω

(5-9).

kết quả là '11 αα = (trong đó ta đã lấy '11 vv = vì các sóng này cùng đi trong một môi trường) Các kết luận này cho ta định luật phản xạ sóng điện từ: tia tới, tia phản xạ, tia khúc xạ cùng nằm trong mặt phẳng tới, góc tới bằng góc khúc xạ.

Hình 5-3

rr

x

z

O α2

2kr

'1kr

1kr

α1’ α1

a1’ a1


40

Ngoài ra ta cũng có từ các phương trình trên

21

01

02

0101

0202

2

1

2

1

2

2

1

11

11

1

sinsin

sinsin'coscos

nvv

vva

va

v

=≈==⇒

=⇒=

εε

εε

εεμμ

εεμμαα

ααωω

(5-10),

(5-10) là nội dung của định luật khúc xạ sóng điện từ nó giống như định luật khúc xạ ánh sáng của sóng điện từ. 5.5. Bức xạ điện từ thế trễ 5.5.1. Thế vector và thế vô hướng Các phần mà ta đã xét ở trên đều chưa tổng quát, các phương trình tìm được trong một điều kiện nhất định nào đó. Sau đây ta xét các bức xạ điện từ trong trường hợp tổng quát nhất và chắc chắn điểm xuất phát cũng phải từ các phương trình Maxwell

tBERot∂∂

−=r

r ρ=Ddiv

r

0=Bdivr

tDjHRot∂∂

+=r

rr.

Xuất phát từ - 0=Bdivr

ta có ArotBrr

=

- tBERot∂∂

−=r

r ta có

tAgradE∂∂

−−=r

rϕ như đã biết trong

trường điện từ chuẩn dừng. Nhưng biểu thức tAgradE∂∂

−−=r

rϕ chứng tỏ thế vô

hướng và thế vector không đơn giá vì ',' AErr

thỏa mãn biểu thức sau đây cũng thỏa mãn các phương trình Maxwell:

⎪⎩

⎪⎨⎧

∂∂

+=

+=

tugraduAA

ϕϕ '

'rr

Để các đại lượng trên thỏa mãn điều kiện Vật lý là phải đơn giá ta dùng điều kiện định cở Lorenz như sau 000 =

∂∂

+t

Adiv ϕμμεεr

Thay ',' AErr

vào điều kiện định cở ta có

0)(

''

2

2

0000

00

=∂∂

+∂∂

++=

∂∂

+

tu

tgraduAdiv

tAdiv

μμεεϕμμεε

ϕμμεε

r

r

0'' 2

2

0000 =∂∂

−Δ=∂∂

+⇒tuu

tAdiv μμεεϕμμεεr

02

2

00 =∂∂

−Δtuu μμεε (5-11).


41

Như vậy nếu hàm u thỏa mãn (5-11) thì thế vô hướng và thế vector được xác định. 5.5.2. Các phương trình của thế vector và thế vô hướng a) Đối với thế vector

Từ tDjHRot∂∂

+=r

rr suy ra

)(000

000

tAgrad

tj

AAgraddivtEjARotrot

∂∂

−−∂∂

+=

Δ−=∂∂

+=r

r

rrr

rr

ϕμμεεμμ

μμεεμμ

Hay jt

AdivgradtAA

rrr

r0002

2

00 )( μμϕμμεεμμεε −=∂∂

+−∂∂

−Δ

Theo điều kiện định cở thì jtAA

rr

r02

2

00 μμμμεε −=∂∂

−Δ (5-12).

b) Đối với thế vô hướng Từ phương trình

0

)(εερϕρ =

∂∂

−−=⇒=tAgraddivEdivDdivr

rr

0

)(εερϕ =

∂∂

−− Adivt

divgradr

Theo điều kiện định cở t

Adiv∂∂

−=ϕμμεε 00

r. Thì

2

2

00)(t

Adivt ∂

∂−=

∂∂ ϕμμεε

r

Còn ϕϕ Δ=divgrad . Cuối cùng ta có phương trình cần tìm

0

2

2

00 εερϕμμεεϕ −=

∂∂

−Δt

(5-13).

5.5.3. Nghiệm của phương trình thế trễ Để không phải tính hai lần ta ký hiệu chung thế vô hướng và thế vector bằng chữ ψ khi đó phương trình thế là

),(2

2

00 0 trftr−=

∂∂

−Δψμμεεψ (5-14).

Nghiệm của phương trình này

dVr

f

V

vrtr∫ −= )/,( 0

41 r

πψ

Trong đó rR rr, là các bán kính vector từ điểm

tính thế đến dV nơi phát bức xạ sóng điện từ, O là gốc tọa độ.

Hình 5-4

0rr

rrRr

O

P

V

dV


42

Do ,1, 000 vrRr =−= εεμμrrr

vr là thời gian sóng truyền từ dV đến P.

Suy ra dVr

jA

V

vrtr∫

−= )/,(0 0

4

rr

r

πμμ

dVrV

vrtr∫

−= )/,(

0

0

41 rρπεε

ϕ (5-15).

Các biểu thức này cho thấy thế tại P chậm pha hơn so với thế tại nguồn phát một thời gian vr / và thế như vậy gọi là thế trễ.


43

Phần II. ĐIỆN ĐỘNG LỰC HỌC VI MÔ Chương 6. THUYẾT ELECTRON

6.1. Thuyết electron 6.1.1. Thuyết electron Trong các chương trước chúng ta đã nghiên cứu trường điện từ trong điều kiện xem môi trường liên tục; điện tích phân bố liên tục, vật chất cấu tạo liên tục. Phần đó gọi là Điện động lực học vĩ mô; Điện động lực học vĩ mô cho phép ta giải thích được nhiều hiện tượng và tìm được nhiều đại lượng vĩ mô. Tuy nhiên cũng còn nhiều vấn đề chưa giải quyết được mà nguyên nhân là trên thự tế môi trường vật chất có cấu tạo gián đoạn. Trường điện từ mà ta xét kể từ chương này trở về sau xuất phát từ việc xem vật chất và điện tích phân bố gián đoạn mà tiêu biểu là điện tích nguyên tố âm Ce 910.6,1 −−= và điện tích nguyên tố dương Ce 910.6,1 −+= nghĩa là dựa trên cơ sở thuyết điện tử nên gọi là Điện động lực học vi mô hay thuyết electron. Ngoài ra vì điện tích nguyên tố là đơn hạt và có kích thước bé nên ta xem chúng là chất điểm và mọi điện tích đều là một bội số của điện tích nguyên tố âm hoặc điện tích nguyên tố dương; để cho thuận lợi ta gọi chúng là hạt. Điều đáng chú ý là thuyết electron xem môi trường là chân không có đưa vào các điện tích nên điện từ trường ở trong vật chất được xem là điện từ trường trong chân không bị các hạt điện tích làm thay đổi. Nghĩa là sự có mặt của môi trường vật chất được xem như là sự đưa vào chân không một lượng điện tích bổ sung. Mọi hiện tượng điện từ trong môi trường vật chất có thể giải thích bằng tương tác của điện tích và các dòng điện bổ sung trên. Chính vì vậy mà điện trường, từ trường ở đây không có mặt của ε và μ mà chỉ có mặt của ε0 và μ0 mà thôi. Điều đó đồng nghĩa với ε và μ được tính riêng khi có thêm môi trường điện môi. Thực tế thì điện tử hay proton là các hạt vi mô nó chuyển động tuân theo các quy luật của Cơ học lượng tử, vượt ra ngoài phạm vi nghiên cứu của chúng ta. Vậy nên ở đây ta vẫn xem điện từ trường là liên tục. Việc nghiên cứu điện từ trường có tính gián đoạn sẽ thuộc phạm vi của điện động lực học lượng tử. 6.1.2. Các phương trình cơ bản của thuyết electron Vì điện tử chuyển động rất nhanh nên mật độ điện tích và dòng điện biến thiên nhanh theo thời gian từ điểm này đến điểm khác kéo theo sự biến thiên nhanh của điện từ trường. Để phân biệt với các đại lượng trong điện động lực học vĩ mô, các đại lượng trong điện động lực học vi mô ta thêm “dấu phẩy”. Tuy nhiên để cho đơn giản ta chỉ ký hiệu một lần trong mục này mà không ký hiệu ở các mục sau mà luôn luôn phải hiểu đó là các đại lượng có “phẩy”.


44

Hệ phương trình Maxwell và các phương trình trong Điện động lực học vi mô cũng là các phương trình mà ta đã biết chỉ có khác là ở đây các đại lượng có thêm dấu phẩy và không có mặt của ε và μ.

tBERot∂∂

−=''r

r '' ρ=Ddiv

r

0' =Bdivr

tDjHRot∂∂

+=,''r

rr

[ ])'(''' BvEfrrrr

++= ρ 2

''''' HBDErrrr

+=ω

''' HEdivprrr

Λ= '' 0EDrr

ε= '' 0HBrr

μ= vj rr'' ρ= (6-1).

6.2. Lực tác dụng lên điện tích ở trong điện từ trường 6.2.1. Lực tác dụng lên điện tích trong điện từ trường Khi một điện tích q chuyển động trong điện từ trường thì nó chịu tác dụng của lực điện từ như ta đã biết có dạng tổng quát ( )[ ]BvEqF

rrrr×+=

Trong phạm vi của thuyết tương đối hẹp ( )[ ]BvEq

dtvdm

rrrr×+=

6.2.2. Chuyển động của điện tích trong điện trường a) Sự bảo toàn năng lượng Trong trường tĩnh điện ϕgradE −=

rvà không thay đổi theo thời gian.

Nên: ϕqgraddtvdm −=r

, nhân hai vế của phương trình này với vr ta có:

dtdq

dtrd

rddq

dtrdqgrad

dtvdvm ϕϕϕ −=−=−=

r

r

rrr

constqmvqmvdtd

=+⇒=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⇒ ϕϕ

20

2

22

(6-2).

(6-2) chứng tỏ khi chuyển động trong trường tĩnh điện năng lượng của hạt là

một đại lượng bảo toàn. Trong đó 2

2mv là động năng, ϕq là thế năng. Trường

hợp đặc biệt cho hạt là nếu vận tốc ban đầu bằng không, hạt chuyển động trong điện trường giữa hai điểm có hiệu điện thế U :

qU

mv

qUqmvqqmv

2

)(22 0

2

0

2

=⇒

=−=⇒=+ ϕϕϕϕ

(Đối với điện tử smvVU 510.61 ≈⇒= )

b) Phương trình chuyển động


45

Để tìm dạng quỹ đạo của điện tích ta chọn hệ tọa độ như sau: vector cường độ điện trường có phương của trục Oy và hướng theo chiều dương, vận tốc điện tích nằm trong mặt phẳng Oxy và gốc tọa độ đặt ngay tại vị trí ban đầu của điện tích. Điều có thể nói ở đây là điện tích sẽ chuyển động trong mặt phẳng Oxy. Từ phương trình Eq

dtvdm

rr= ta có:

⎩⎨⎧

==qEym

xm&&

&& 0

2

002

00

2sin

2

)(cost

mqEtvtvt

mqEy

tvtvx

y

x

⎪⎩

⎪⎨⎧

+=+=

==

θ

θ

xtgxmv

qEy )()(cos2

22

0

θθ

+= (6-3).

Phương trình (6-3) cho thấy: - Quỹ đạo của điện tích là một nhánh của

một parabôn. - Nếu vận tốc điện tích hướng lên thì quỹ

đạo là OM - Nếu vận tốc điện tích hướng xuống thì quỹ đạo là OM’

6.3. Chuyển động của điện tích trong từ trường 6.3.1. Phương trình chuyển động, sự bảo toàn động năng Trong từ trường điện tích chuyển động với vận tốc v có phương trình chuyển động như đã biết ( )Bvq

dtvdm

rrr

×= .

Hay ( ) 0=×= Bvvqdtvdvm

rrrr

r

constmvmvdtd

=⇒=2

0)2

(22

(6-4).

Phương trình (6-4) cho thấy từ trường không làm thay đổi động năng chuyển động của điện tích. Điều đó cũng phù hợp với các kết quả cơ học là lực tác dụng lên hạt chuyển động vuông góc với vận tốc thì không sinh công. 6.3.2. Quỹ đạo của chuyển động Để tìm dạng quỹ đạo của điện tích ta chọn hệ tọa độ như sau: vector cảm ứng từ có phương của trục Oz và hướng theo chiều dương, vận tốc điện tích có hướng bất kỳ trong không gian. Phương trình hình chiếu của điện tích trên ba

trục tọa độ:

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

=

−=

=

0z

xmqBy

ymqBx

&&

&&&

&&&

M’ M

Hình 6-1

θ O

y

x

Er

0vr

0vr


46

- Theo trục Oz hạt chuyển động đều zzz vvtvzz 00 , =+= - Nhân hai vế của phương trình của y với số ảo i rồi cộng từng vế với phương trình của x ta có

mqByixiyix =+−=+ 00 ),( ωω &&&&&&

Hay ),()( 0 yixiyixdtd

&&&& +−=+ ω

,)()( *

0 Cdtiyixyixd

+−=++

∫∫ ω&&

&&

Trong đó *C là một hằng số tích phân phức, ta có thể đặt nó như sau ievC α−= 0

*ln với 0v là một hằng số thực ta chọn chính vận tốc. Tích phân trên

cho

)(00

00

00

ln)ln(titii

i

eveevyix

evtiyixωαωα

αω+−−−

−

==+⇒

+−=+

&&

&&

Theo công thức Euler )sin()cos( 0000 αωαω +−+=+ tivtvyix && Đồng nhất thức hai vế phương trình này ta được

)sin()cos(

00

00

αωαω+−=

+=tvy

tvx&

&

Nhận xét - Tiếp tục giải hai phương trình trên ta có

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

++=

++=

)sin(

)sin(

00

00

00

00

αωω

αωω

tv

yy

tv

xx

Nghĩa là hình chiếu phương trình chuyển động của hạt trên trục Ox và Oy là dao động điều hòa. Chứng tỏ hình chiếu của quỹ đạo của hạt trên mặt phẳng Oxy là một đường tròn. Thực vậy từ các phương trình của x và y thì

22

0

020

20 )()()( R

vyyxx ==−+−

ω,

kết hợp với tvzz z+= 0 suy ra hạt chuyển động theo một đường ren (đường xiclôtron).

- Bán kính của đường ren

0

0

ωv

R =

- Bước của đường ren

qBmv

vTvb zzz

0

00

22.π

ωπ

===

- Lực Lorenz đóng vai trò lực hướng tâm

BqvRmv

0

20 =

Br

z

0vr

y

x

O

Hình 6-2


47

6.4. Chuyển động của điện tử trong nguyên tử có từ trường 6.4.1. Ảnh hưởng của từ trường ngoài lên chuyển động và bức xạ của điện tử Trước hết ta xét nguyên tử một điện tử cụ thể là nguyên tử H và đặt gốc tọa độ tại tâm hạt nhân. Trong lý thuyết bức xạ thì điện tử được xem là một giao động tử điều hòa, dao động quanh hạt nhân với tần số ω0, khối lượng của điện tử là m, dưới tác dụng của lực đàn hồi F. Phương trình chuyển động của nó là:

rmerdtdmrmF ti rr&&r

r20

)02

20( ωω −===

Đặt điện tử trong từ trường Br

và hướng theo trục Oz. Theo định luật Lorenz )( BreF

r&r

r×−= , (dấu trừ là để lấy giá trị

dương cho lực). Từ hai phương trình trên ta suy ra phương trình chuyển động của hạt

)(20 Brermrm

r&rr&&r ×−−= ω .

Hình chiếu trên các trục tọa độ của phương trình:

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

=+

=−+

=++

0

0

0

20

20

20

zz

xmeByy

ymeBxx

ω

ω

ω

&&

&&&

&&&

Đặt LmeB ω2= thì

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=+

=−+

=++

0

02

02

20

20

20

zz

xyy

yxx

L

L

ω

ωω

ωω

&&

&&&

&&&

- Nghiệm của z: tiezz 00

ω=

- Dạng nghiệm của x và y: ⎪⎩

⎪⎨⎧

=

=ti

ti

eyy

exxω

ω

0

0

- Thay x và y vào hai phương trình trên dẫn đến

⎪⎩

⎪⎨⎧

=−+−

=+−

0)(2

02)(

022

00

0022

0

yxi

yix

L

L

ωωωω

ωωωω .

Để có nghiệm không tầm thường 0,0 00 ≠≠ yx , định thức phải bằng không:

0)(2

2)(22

0

220 =

−−

−

ωωωω

ωωωω

L

L

i

i .

Dẫn đến 0)2()( 22220 =−− ωωωω L

220

20

2

220

02

2

LL

L

L

ωωωω

ωωωω

ωωωω

+±±=⇒

=±−⇒

±=−⇒

Tần số dao động của điện tử cở 1015HZ nên ta luôn luôn có:

Br

x

e

z

y O

Hình 6-3


48

LL meB ωωωωω ±±=⇒<<= 00

Vì tần số phải dương nên ta chọn Lωωω ±= 0 , dẫn đến

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

=

=±

±

ti

ti

ti

ezz

eyy

exxL

L

0

0

0

0

)(0

)(0

ω

ωω

ωω

Vì hàm sóng là phần thực của số phức cho nên

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=±=±=

tzztyytxx

L

L

00

00

00

cos)cos()cos(

ωωωωω

(6-5).

Nhận xét: - Theo phương của từ trường ngoài, từ trường không ảnh hưởng đến

chuyển động và bức xạ của điện tử. Nghĩa theo phương này mọi sự vẫn như khi không có từ trường.

- Theo phương vuông góc với từ trường ngoài nguyên tử bức xạ theo hai

tần số khác nhau ⎪⎩

⎪⎨⎧

=+=

−=

meB

LL

L

2,02

01

ωωωω

ωωω (6-6).

Khoảng cách giữa hai tần số meB

L ==−=Δ ωωωω 212 , Lω gọi là tần số

Larmor, hiện tượng tách vạch như vậy gọi là hiệu ứng Zeeman. 6.4.2. Chuyển động tiến động của điện tử Điện tử chuyển động quanh hạt nhân theo quỹ đạo khép kín với vận tốc v và cách hạt nhân một đoạn r có:

- Moment động lượng )( vrmL rrr×=

- Moment từ dVvrrdrIVS∫∫ ×=×= )(

21)(

21 rrrrrμ (vì điện tử chuyển động quanh

hạt nhân tạo nên một dòng điện có cường độ I , mật độ jr

: dVvdVjrId rrr ρ== ) Ngoài ra do một điện tử chuyển động nên để được một dòng liên tục ta phải lấy các giá trị trung bình của

ρ,, Ijr

là những hằng số có thể đưa ra ngoài dấu tích phân.

)(2

)(21 vredVvr

V

rrrrr×−=×= ∫ρμ

So sánh biểu thức của moment từ và moment động lượng ta có: L

me rr

2−=μ (6-7).

vr

ldr

jr

Hình 6-4


49

Hai đại lượng này cùng phương, ngược chiều với nhau và nói chung các

moment này là một tổng ∑∑==

==M

kk

N

kkLL

11, μμ rrr

.

Nếu đặt điện tử trong từ trường hướng theo chiều dương của trục z như hình vẽ thì thế năng tương tác của điện tử với từ trường là:

θμμ cosBBW −=−=rr

Moment lực tác dụng lên điện tử θμ

θsinBWM =

∂∂

−=

Dạng vector BMrrr

×= μ (6-8). Như vậy ngoài moment động lượng khi điện tử đặt trong từ trường nó còn chịu tác dụng của moment lực M

r nên chuyển động của

nó như một con quay sắp đổ, hay nói là chuyển động tiến động. Hai chuyển động đó là:

- Chuyển động quanh trục với tần số ωr , vận tốc ( )rdtrdv rrr

r×== ω

- Chuyển động tiến động của trục do từ trường:

( ) ( )LLmBeBL

meB

dtLdM L

rrrr

rrrrr

r×=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡×=×−=×== ωμ

22

6.5. Hàm Lagranger của hạt chuyển động trong điện từ trường 6.5.1. Hàm Lagranger, phương trình Lagranger Trong mục này chúng ta sẽ tìm hàm Lagranger của các hạt chuyển động trong trường điện từ trong phạm vi tương đối tính (v << c). Hàm Lagranger tổng

quát của hạt tự do mà như ta đã biết 2

2mvL = . Mặt khác

rLFvm

vLp r

rrr

r

∂∂

==∂∂

= ,

rL

rL

dtd

r&r ∂∂

=∂∂

⇒ )( (a)

Trong điện từ trường hàm Lagranger là:

vAqqmvL rr+−= ϕ

2

2

(6-9).

Trong trường hợp này động lượng suy rộng của hạt AqpAqvm

vL rrrrr +=+=

∂∂

Lực suy rộng )( vAqgradqgradrLF rrr

r+−=

∂∂

= ϕ (b)

Còn )()( Aqptv

Ldtd rr

r +∂∂

=∂∂ (c)

Thay (b), (c) vào biểu thức (a) dẫn đến:

ωr

Br

vr

e

Lr

μr

θ

z

O

Hình 6-5


50

)()( vAqgradqgradAqpdtd rrrr

+−=+ ϕ

Mà AvArotvvAgradrrrrrr )()( ∇+×=

Còn AvtAA

rdtrd

tA

dtAd rr

rr

r

rrr

)().( ∇+∂∂

=∂∂

+∂∂

= (vì ),( trAA s

rr= )

Tóm lại AvqArotvqAvqqgradtAq

dtpd rrrrrr

rr

)()()( ∇+×+∇−−∂∂

−= ϕ

)()( ArotvqqgradtAq

dtpd rr

rr

×+−∂∂

−= ϕ

{ }BvEqdtpd rrrr

×+= (6-10).

(6-10) là phương trình chuyển động của hạt trong điện từ trường. 6.5.2. Ví dụ Xét hạt điện tử chuyển động quanh hạt nhân; gốc tọa độ đặt tai tâm hạt nhân, từ trường ngoài B

r song song với trục Oz.

Hàm Lagranger của hạt vAeemvL rr−+= ϕ

2

2

, do eq −=

Ta chứng minh được mối liên hệ rBA rrr×=

21 , do đó:

)(21

2

2

rBveemvL rrr×−+= ϕ , trong đó ta chọn 0>e


51

Chương 7 THUYẾT TƯƠNG ĐỐI HẸP 7.1. Phép biến đổi Galileo và bế tắc của vật lý học cổ điển. 7.1.1. Phép biến đổi Galileo Xét một chất điểm chuyển động trong hai hệ quy chiếu O,x,y,z (k) đứng yên và O’,x’,y’z’ (k’) chuyển động; nếu hệ O’,x’,y’z’ (k’) chuyển động dọc theo trục Ox của hệ O,x,y,z (k) với vận tốc không đổi V (V = Vx, Vy = 0, Vz = 0) theo thuyết tương đối Galileo dạng thành phần của phương trình chuyển động trong hai hệ quy chiếu là:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=======+=

t t' ' z; z' '

y y' va 'Vt - x x' '

ttzzyyVtxx

Định lý cộng vận tốc: Vvv += ' , Aaa += ' .

Như vậy: 1212 ''' tttttt −=Δ=−=Δ constxxxxxx =−=Δ=−=Δ 1212 ''' .

Nghĩa là thời gian trôi đi như nhau trong mọi hệ quy chiếu quán tính; kích thước của một vật là một bất biến trong các hệ quy chiếu (thực ra các vấn đề này ta đã biết). Cuối thế kỷ thứ XVIII các thí nghiệm đã cho thấy các kết luận trên không còn đúng nữa. Và sau đây là mô phỏng đơn giản thí nghiệm của Michelson - Morlay. 7.1.2. Thí nghiệm Michelson - Morlay

Năm 1887 Michelson và Morlay tiến hành thí nghiệm đo vận tốc ánh sáng mà trên hình dưới đây là mô phỏng đơn giản kết quả của thí nghiệm đó. Trên xe đặt tại điểm giữa của đoạn AB có gắn một tín hiệu sáng. Khi bắt đầu cho xe chuyển động từ O theo phương OB với vận tốc v thì cũng đồng thời phát tín hiệu sáng. Theo phép biến đổi Galileo thì ánh sáng sẽ đến B trước khi đến A, vì vận tốc ánh sáng đến B là c + v trong khi đó vận tốc tới A là c - v. Nhưng thực tế thí nghiệm này lại cho thấy ánh sáng đến A và B cùng một lúc. Điều này Vật Lý học Cổ điển không giải thích được và lâm vào một hoàn cảnh bế tắc. Để giải quyết vấn đề này đã có một ngành Cơ học mới ra đời đó là ‘’Cơ học Tương

c c

v

O B A

Hình 7-2

z z’

(k)

y

x’

x

0’rR

Hình 7-1

(k’)

0

y’

'r M


52

đối tính’’ mà cơ sở của nó là hai tiên đề của Einstein. Sau đây ta xét một cách sơ lược và cơ bản một số nội dung chính của thuyết tương đối hẹp.

7.2. Các phép biến đổi Lorentz. 7.2.1. Các tiên đề của Einstein

- Vận tốc ánh sáng trong chân không là một bất biến đối với mọi hệ quy chiếu quán tính.

- Mọi định luật Vật Lý đều như nhau trong các hệ quy chiếu quán tính. Hai tiên đề của Einstein đã mở ra một thời đại mới cho Vật Lý học đó là sự ra đời của Vật Lý học hiện đại, chấm dứt một thời kỳ khủng hoảng của Vật Lý học cổ điển. 7.2.2. Các phép biến đổi Lorentz Trên cơ sở các tiên đề của Einstein chúng ta sẽ đi đến một phép biến đổi mới đó là các phép biến đổi Lorentz. Ở đây ta cũng xét chuyển động trong hai hệ quy chiếu đã nói ở trên, nhưng theo Cơ học Tương đối thì phép biến đổi tương đối khác với phép biến đổi cổ điển một hằng số nhân. x’ = α (x - vt) x = β (x’ + vt’). Theo tiên đề hai thì các định luật Vật Lý như nhau trong các hệ quy chiếu quán tính nên α = β . Hơn nữa theo tiên đề một thì vận tốc ánh sáng là như nhau trong các hệ quy chiếu quán tính nên ánh sáng đến A và B cùng một lúc. Ta có: x = ct, x’ = ct’, Nên tích: x.x’ = c2tt’ = α 2(x - vt)(x’ + vt’) = α 2 (ct - vt)(ct’ + vt’) Dẫn đến: c2tt’ = α 2 (c2tt’ + cvtt’ - cvtt’ - v2tt’),

hay: c2 = α 2 (c2 - v2), suy ra vc

c−

= 2

22α ,

hoặc 2

22

2

2

2,

11

1

1cv

cv

=−

±=

−

±= ββ

α .

Thay vào các biểu thức của x và x’ và lưu ý rằng hệ O’,x’,y’z’ (k’)

chuyển động dọc theo trục Ox của hệ O,x,y,z (k) nên y = y’, z = z’. Cuối cùng ta có các phép biến đổi Lorentz:

''''

1

'

1'

22

zzzzyyyy

vtxx

vtxx

====

−

+=

−

−=

ββ

2

2

2

2

1

''

1'

ββ −

+=

−

−=

xcvt

tx

cvt

t (7-1).

7.2.3.Ý nghĩa các phép biến đổi Lorentz


53

- Theo các phép biến đổi Lorentz thì thời gian của cùng một biến cố trôi đi trong các hệ quy chiếu khác nhau thì khác nhau ( 'tt ≠ ).

- Các công thức Lorentz chỉ có ý nghĩa khi v < c điều đó chứng tỏ vận tốc ánh sáng là vận tốc lớn nhất của vật chất.

- Cũng theo các phép biến đổi này thì không gian và thời gian gắn liền chặt chẽ với nhau trong sự chuyển động của vật chất (không tách rời nhau).

- Trong trường hợp v << c thì 0=β các phép biến đổi Lorentz trở về các phép biến đổi Galileo. Điều đó chứng tỏ các phép biến đổi Lorentz là tổng quát nhất, hay nói các phép biến đổi Galileo là trường hợp giới hạn của các phép biến đổi Lorentz.

7.3. Sự co ngắn của chiều dài, sự chậm lại của thời gian trong hệ quy chiếu vật chuyển động 7.3.1. Sự co ngắn của chiều dài Ta xét thanh AB đặt dọc theo trục Ox của hai hệ quy chiếu có các trục tương ứng trùng nhau như hình vẽ (trong đó hệ (k’) chuyển động đều dọc theo trục Ox của hệ (k) với vận tốc không đổi V. Vì thanh AB nằm yên trong hệ (k’) nên chiều dài của nó (chiều dài riêng):

''0 AB xxl −=

(a). Còn chiều dài của nó trong hệ (k) - hệ mà nó chuyển động là:

AB xxl −= (b). Mặt khác:

2

'

2

'

1,

1 ββ −

−=

−

−=

vtxxvtxx BB

AA

Nên: 222

''0

111 βββ −=

−

−−

−

−=−=

lvtxvtxxxl

AB

AB

.

Tóm lại 20

1 β−=

ll (7-2).

Kết luận: Trong hệ quy chiếu mà vật chuyển động kích thước của vật bị co ngắn lại theo phương mà nó chuyển động. Hình vẽ bên cạnh minh họa các hình tròn trở thành elip, các hình vuông trở thành hình chữ nhật trong hệ quy chiếu mà nó chuyển động.

x, x’

Y’

O’

B A

y

O

z z z Z

Hình 7-3

v = 0 v > 0 Hình 7-4


54

7.3.2. Sự chậm lại của thời gian Sau đây ta xét một biến cố xẩy ra trong hai hệ quy chiếu: hệ đứng yên (k) và hệ chuyển động (k’). Khoảng thời gian tương ứng trong hai hệ quy chiếu là:

- Trong hệ (k’): '1

'20 ttt −=Δ (a).

- Trong hệ (k): 12 ttt −=Δ (b).

2

2'1

2

2'2

121

'

1

'

ββ −

+−

−

+=−=Δ

xcvtx

cvt

ttt .

Do đó: 2

0

1 β−

Δ=Δ

tt .

Hay: 02

0 1 tttt Δ>Δ⇒−Δ=Δ β (7-3). Kết luận: Khoảng thời gian của một biến cố trong hệ quy chiếu mà vật chuyển động dài hơn trong trong hệ quy chiếu mà vật đứng yên. Chú ý: Một số đại lượng tương đối tính khác:

- Khối lượng tương đối tính 2

0

1 β−=

mm (7-4).

- Mật độ điện tích khối 2

0

1 β

ρρ

−= (7-5).

- Năng lượng tương đối tính 2

202

1 β−==

cmmcE (7-6).

- Thể tích tương đối tính 20

1 β−=

VV (7-7).

7.3.3. Ví dụ Hạt pimezon sinh ra trên tầng bình lưu cách mặt đất 45km với vận tốc 0,999c với thời gian sống là 2,2.10-8s, nhưng lại tìm thấy ngay trên mặt đất mặc dầu với thời gian và vận tốc đó theo Cơ học cổ điển nó chỉ đi được 7m. Bài giải:

Theo bài ra thì: v = 0,99c, τ = 2,2.10-8s, Δ l = S0 = 7m.

Trên quan điểm tương đối tính thời gian sống của nó trong hệ quy chiếu

gắn với trái đất là: s5

2

8

2

0 10.4,15)999,0(1

10.2,21

−−

=−

=−

=β

ττ .

Nên thực tế quảng đường mà nó đi được: kmvSl 4510.3.999,0.10.4,15 88 ====Δ −τ

đủ để tìm thấy nó ở mặt đất.

điện động lực ( sưu tầm )

Documents

Transcript of điện động lực ( sưu tầm )