Die Poincaré-Vermutung und ihre Geschichte Thilo Kuessner 23.4.2008.
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Die Poincaré-Vermutung und ihre Geschichte
Thilo Kuessner
23.4.2008
Beispiele von Flächen
Sphäre Torus Brezel Doppelbrezel
Karte einer Sphäre
Stereographische Projektion : Sphäre ohne Nordpol Ebene
Wie unterscheidet man Flächen?
• Euler-Charakteristik
• Fundamentalgruppe
• Hyperbolisches Volumen
Euler-Charakteristik
E-K+F
E= Anzahl der EckenK= Anzahl der KantenF= Anzahl der Flächen
Eulerscher Polyedersatz I
E=8,K=12,F=6
E-K+F=2
E=20,K=30,F=12
E-K+F=2
E=12,K=30,F=20
E-K+F=2
Eulerscher Polyedersatz II
E=60, K=150, F=92
E-K+F=2
Satz (Legendre, 1794): Jede Zerlegung der Sphäre in Polygone erfüllt E-K+F=2.
Euler-Charakteristik eines Torus
E=160,K=320,F=160
E-K+F=0
Euler-Charakteristik von Flächen
Satz (Lhuillier, 1817): Für jede Zerlegung einer kompakten, orientierbaren Fläche mit g Henkeln gilt:
E-K+F = 2-2g.
Fundamentalgruppe
Geschlossene Kurven
Stetige Deformation von Kurven
• F ist einfach zusammenhängend
< === >• Jede geschlossene Kurve läßt sich stetig in
einen Punkt deformieren.
Einfacher Zusammenhang I
• Die Sphäre ist einfach zusammenhängend.
Einfacher Zusammenhang II
• Der Torus und die Brezel sind nicht einfach zusammenhängend.
Einfacher Zusammenhang III
• Satz (Poincaré, 1896): Eine kompakte Fläche ist genau dann einfach zusammenhängend, wenn sie homöomorph zur Sphäre ist.
Geometrie von Flächen
Krümmung und Flächeninhalt
Krümmung von Flächen
Eine Fläche sei in lokalen Koordinaten als Graph einer Funktion h(u,v) gegeben.Dann ist die Krümmung definiert als:
Krümmung
• Hyperboloid: K=-1• Zylinder: K=0• Sphäre: K=1
Krümmung und Winkelsumme
• K>0 : Innenwinkelsumme > 180 Grad• K<0: Innenwinkelsumme < 180 Grad
Modellräume
• Modell für K=1: Einheitssphäre
• Modell für K=0: Euklidische Ebene
• Modell für K=-1: Hyperbolische Ebene
Flächen konstanter Krümmung
• Hyperbolische Ebene : K=-1
Geometrisierung von Flächen
• Satz (Riemann, 1851): Jede kompakte, orientierbare Fläche trägt Metriken konstanter Krümmung:
- die Sphäre mit K=1,
- der Torus mit K=0,
- Flächen höheren Geschlechts mit K=-1.
Torus mit K=0
Fläche mit drei Henkeln : K = -1
Hyperbolischer Flächeninhalt
Auf einer Fläche mit g Henkeln hat jede hyperbolische Metrik den Flächeninhalt
-2pi (E-K+F)
also -2pi mal die Euler-Charakteristik.
Konstruktion von 3-Mannigfaltigkeiten
Poincaré-Vermutung
Die Whitehead-Mannigfaltigkeit ist das Komplement des Durchschnitts der ineinander geschachtelten verknoteten Tori.
W ist einfach-zusammenhängend und nicht-kompakt, aber nicht homöomorph zum euklidischen Raum.
Allgemeine 3-Mannigfaltigkeiten
A#B:= A-D U B-D
Zusammenhängende Summe:
Ricci-Fluß - Singularitäten
Gebiete mit höherer (positiver) Krümmung bilden während des Ricci-Flußes einen „neckpinch“, d.h. einen immer dünner und länger werdenden Hals.
Weeks (2004):
• „Observational data suggest the observable universe either is flat or has a small curvature that is more likely positive than negative.“
• Messungen der Masse-Energie-Dichte: 1.02 x Dichte eines flachen Universums
• Meßgenauigkeit: 0.02 x Dichte eines flachen Universums