Dicas e Exercícios Resolvidos - Redes Magneticamente Acopladas
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Como solucionar problemas de transformadores lineares
Método das malhas
1) Aplique a lei das malhas no circuito e “ignore” as indutâncias L1 e L2 do
transformador. Nas equações da malha, os elementos relacionados aos enrolamentos
primário e secundário são V1 e V2, os quais correspondem às tensões desses
enrolamentos.
2) Verifique a configuração do sistema e os sinais de referência para determinar o tipo
de acoplamento e, assim, obter os valores das tensões do enrolamento primário (V1) e
do enrolamento secundário (V2) através da equação.
V1 = jωL1I1 ± jωMI2
V2 = ± jωMI1 + jωL2I2
onde I1 e I2 são as correntes que passam pelos indutores L1 e L2, respectivamente.
Caso o acoplamento seja aditivo, o sinal “+” será utilizado em ambas as equações. Caso
seja subtrativo, utilizaremos “-”.
Acoplamentos aditivos e subtrativos
NOTA
A indutância mútua é aditiva quando ambas as direções de I1 e I2 entram ou saem
dos saem dos pontos de referência. Caso contrário, a indutância mútua é
subtrativa.
3) Relacione I1 e I2 com as correntes de laço atribuídas ao circuito e reescreva as
equações que determinam V1 e V2, de modo que dependam das correntes de laço.
4) Substitua os valores encontrados para V1 e V2 no sistema obtido no passo (1). Seu
sistema agora depende somente das correntes de laço. Resolvendo o sistema, essas
correntes são determinadas e, consequentemente, é possível determinar as tensões V1 e
V2.
EXERCÍCIOS - TRANSFORMADORES LINEARES
MÉTODO DAS MALHAS
1) Determine i(t), sabendo que vS(t) = 20cos(20000t).
Solução
Aplicando a Lei das Malhas no circuito acima, obtemos
(I) –
–
Sabemos que
V1 = jωL1I1 ± jωMI2
V2 = ± jωMI1 + jωL2I2
Obervando os sinais de referência, sabemos que o acoplamento é aditivo e, portanto,
V1 = jωL1I1 + jωMI2
V2 = jωMI1 + jωL2I2
Como vS(t) = 20cos(20000t), concluímos que ω = 2x rad/s.
Logo,
V1 = (j2x x10x )I1 + (j2x x20x )I2
V2 = (j2x x20x )I1 + (j2x x60x )I2
Sabemos também que
I1 = IA – IB
I2 = IB
Assim,
V1 = j200IA + j200IB
V2 = j400IA + j800IB
Substituindo os valores V1 e V2 encontrados acima em (I), temos
(200 + j200)IA + (-100 + j200)IB = 20 0°
(-100 + j200)IA + (300 + j600)IB = 0
Resolvendo, determinamos
IA = 6.04x - 4. 6 .4 -34.33° mA
IB = 2.01x -161.2° = 20.1 -161.2° mA
No domínio do tempo
iA(t) = 60.4cos(20000t – 34.33°) mA
iB(t) = 20.1cos(2000t –161.2°) mA
Note que i(t) = iB(t) e, portanto
i(t) = 20.1cos(2000t –161.2°) mA
2) Dado o circuito, determine v2(t) e ZIN, sabendo que v1(t) = 10cos(2000t).
Solução
Determinação de v2(t)
Aplicando a Lei das Malhas no circuito acima, obtemos
(I)
6
Para a configuração do circuito, temos
VA = jωL1I1 + jωMI2
V2 = jωMI1 + jωL2I2
Como v1(t) = 10cos(2000t), concluímos que ω = 2x rad/s.
Assim,
VA = (j2x x30x )I1 + (j2x x50x )I2
V2 = (j2x x50x )I1 + (j2x x120x )I2
onde
I1 = IA
I2 = -IB
Temos que
VA = j60IA – j100IB
V2 = j100IA – j240IB
Substituindo os valores VA e V2 encontrados acima em (I), obtemos
(50 + j60)IA – j100IB = °
–j100IA + (600+j240)IB = 0
Resolvendo o sistema, determinamos
IA = 0.1188 -40.13º A
IB = 1.8382x 28.07º A
De (I), sabemos que 6 . Logo,
V2 = 600(1.8382x 28.07º)
V2 = 11.03 28.07º V
No domínio do tempo,
V2(t) = 11.03cos(2000t+28.07°) V
Determinação da impedância ZIN
Pela Lei de Ohm
ZIN =
Como
V1 = 10 0° V
IA = 0.1188 -40.13º A
Temos que
ZIN = 84.175 40.13 Ω
ZIN = 64.36 + j54.25 Ω
3) Determine V0 e a potência média dissipada pelo resistor RL = 45 Ω, sabendo que V(s)
= 100 0° V.
Solução
Aplicando a Lei das Malhas no circuito acima, obtemos
–
4
(I)
4
Note que o acoplamento é aditivo nessa situação e, portanto, temos
V1 = jωL1I1 + jωMI2
V2 = jωMI1 + jωL2I2
Assim,
V1 = j40I1 + j60I2
V2 = j60I1 + j100I2
Onde,
I1 = IA
I2 = -IB
Reescrevendo, temos
V1 = j40IA - j60IB
V2 = j60IA - j100IB
Substituindo V1 e V2, encontrados acima, em (I), obtemos
4
Resolvendo o sistema, determinamos
IA =8.0827 -61.79° A
IB =2.914 -29.05° A
Note que V2=RLIB.
V2 = 45 x 2.914 -29.05° = 131.13 -29.05° =114.633 – j63.7 V
A potência média dissipada por RL é dada por
PL =
|V||I|,
onde V=V2 e I=IB.
Assim,
PL =
131.13 x 2.914 = 191.1 W
Como solucionar problemas de transformadores lineares
Circuito equivalente
1) Verifique a configuração do sistema e os sinais de referência com o intuito de adotar
a convenção correta de sinais para o sistema equivalente.
Circuito equivalente – convenção de sinais
Nota
Para configurações aditivas, o sinal “-” será utilizado nas indutâncias
superiores, enquanto na indutância central utilizaremos “+”;
Para configurações subtrativas, o sinal “+” será atribuído às indutâncias
superiores e “-” na indutância central.
2) Caso o problema questione a impedância de entrada ZIN, vista pela fonte de tensão,
faça o circuito equivalente e adicione a ele as demais impedâncias existentes no
problema. ZIN corresponde à impedância equivalente do sistema.
EXERCÍCIOS - TRANSFORMADORES LINEARES
CIRCUITO EQUIVALENTE
1) Determine ZIN, a impedância vista pela fonte de tensão e i(t), sabendo que
vS(t)=10sin(4000t).
Solução
Determinação de ZIN
Note que o acoplamento é subtrativo e, portanto, temos
jω(L1+M) = j4x (
+
) = j3000 Ω
jω(L2+M) = j4x (
+
) = j3000 Ω
-jωM = j4x (
) = -j1000 Ω
O circuito equivalente é dado por
E, assim, a impedância equivalente é dada por
ZIN = [ ( 2k //
) + j3000 ] // -j1000 + 2k + j3000
ZIN = 2500 + j1500 Ω
ZIN = 2.5 + j1.5 kΩ
Determinação de i(t)
Uma vez determinado a impedância ZIN, o circuito passa a ser simplificado da seguinte
maneira
Assim, podemos determinar i(t) através da Lei de Ohm
I =
Assim,
I =
. . = 3.43 -30.96° mA
No domínio do tempo,
i(t) = 3.43cos(4000t-30.96°) mA
GABARITO : i(t) = 3.43cos(4000t-121°) mA
2) Um transformador operando regime senoidal com ω=377 rad/s, L1=200mH,
L2=400mH e k=0.95. A carga conectada ao terminal secundário é ZL=75+j150Ω.
Encontre a impedância de entrada ZIN. Considere o acoplamento positivo.
Solução
O circuito descrito no enunciado é representado da seguinte forma
Sabemos que o coeficiente de acoplamento, k, é dado por
k =
Portanto,
M = k
M = 0.95x 4
M = 0.2687 H
Note que a indutância mútua é positiva para a dada configuração e, portanto
jω(L1 M) = j377(200m 0.2687) = j25.9 Ω
jω(L2 M) = j377(400m 0.2687) = j49.5 Ω
jωM = j377x0.2687 = j101.3 Ω
O circuito equivalente é dado por
Assim,
ZIN = [(75+j150+j49.5)//j101.3]-j25.9Ω
ZIN = 8 + j43.28 Ω