diagrames de Voronoi, GrafS de DelaunaY i GEOMETRIA …ima.udg.edu/~sellares/ComGeo/Delone4.pdf ·...
Transcript of diagrames de Voronoi, GrafS de DelaunaY i GEOMETRIA …ima.udg.edu/~sellares/ComGeo/Delone4.pdf ·...
diagrames de Voronoi, GrafS de DelaunaY i
GEOMETRIA COMPUTACIONAL
Francesc AntónUniversitat Politècnica de Dinamarca
Departament d’Informàtica i Modelització MatemàticaConvidador: Professor Juan Antoni Sellarès, Departament
d’Informàtica i Matemàtica Aplicada, Universitat de Girona
PLa del curs
Diagrames de Voronoi i grafs de Delaunay i les seves connexions amb altres problemes de geometría computacional
Superfícies algèbriques, superfícies implícites, conjunts de nivell i CUDA
Pla de la primera part
Diagrama de Voronoi i graf de Delaunay de punts amb la distància euclidiana
Generalitzacions del conjunt de generadors (rectes, cercles, còniques, quàdriques, conjunts semi-algèbrics)
Generalitzacions de les mètriques (L1, L�, Laguerre, ponderació aditiva o multiplicativa, diagrames de Voronoi d’ordre k, k=1, k=n-1)
Pla de la primera part
Applicació a la visualització del creixement de partícules
Diagrames de Voronoi i grafs de Delaunay cinemàtics
Relacions entre diagrames de Voronoi i grafs de Delaunay amb altres problemes de geometria computacional: embolcalls convexes, localització òptima, etc.
Diagrames de voronoi i grafs de delaunay de
punts
El cercle circumscrit buit: propietat bàsica
El cercle circumscrit buit: propietat bàsica
El cercle circumscrit buit: propietat bàsica
El cercle circumscrit buit: propietat bàsica
El cercle circumscrit buit: propietat bàsica
principia philosophiae
Examples
TriangulaCions
Una triangulació d’un conjunt de punts P és un conjunt de triangles T tal que:
cada punt pi de P és un vèrtex d’al menys un triangle ti dins de T
els interiors de dos triangles qualsevols no s’intersecten
l’unió de tots els vèrtexs dins de T és P
qualsevol punt pi dins de P pot intersectar triangles ti dins de T només als vèrtexs de T
Triangulació de Delaunay
El cercle buit: Un cercle és buit si, i només si, l’interior del disc que l’entorna és buit.
Circumcercle d’una areste: Un circumcercle de l’areste entre pi i pj és un cercle que passa per pi i pj
Areste de Delaunay: Una areste és de Delaunay si, i només si, té un cirumcercle buit.
Delaunay : Un graf D, és un graf de Delaunay si, i solament si, la següent propietat és veritable:
Una areste a és de Delaunay si, i només si, a és a dins de D
Una areste de Delaunay
e_i
triangle de delaunay
t_i
AREste Localment Delaunay
Una areste d’una triangulació és localment Delaunay si, i solament si, és una aresta del embolcall convex dels vèrtexs de la triangulació, o si és de Delaunay relativament als dos triangles qu’el contenen.
AREste Localment Delaunay
Una areste d’una triangulació és localment Delaunay si, i solament si, és una aresta del embolcall convex dels vèrtexs de la triangulació, o si és de Delaunay relativament als dos triangles qu’el contenen.
e_j
AREste Localment Delaunay
Una areste d’una triangulació és localment Delaunay si, i solament si, és una aresta del embolcall convex dels vèrtexs de la triangulació, o si és de Delaunay relativament als dos triangles qu’el contenen.
e_ie_j
Triangles de Delaunay i aRESTES DE DelaunayDonada un triangulació T del conjunt de punts P, tots els triangles de T son Delaunay si, i solament si, tots les arestes de T son Delaunay.
p_i
p_j
t_i
e_i
Lema de DelaunaySi totes les arestes d’una triangulació son localment Delaunay, aleshores també son Delaunay
Lema de DelaunaySi totes les arestes d’una triangulació son localment Delaunay, aleshores també son Delaunay
t_0
t_1
l
e_2
p_1p_2
p_3p_4=pp
e_1
e_3
e_4
t_2
t_3t_4
Lema de DelaunaySi totes les arestes d’una triangulació son localment Delaunay, aleshores també son Delaunay
t_0
t_1
l
e_2
p_1p_2
p_3p_4=pp
e_1
e_3
e_4
t_2
t_3t_4
e_i
Si l’intercanvi de triangles és possible ...
a
c
d
e_i
e_j
Aleshores, la areste que no era de Delaunay, ho esdevé
punts cocirculars
punts cocirculars
punts cocirculars
punts cocirculars
punts cocirculars
algorismes per a constrüir el graf de
delaunay en 2D
Complexitat del problema: �(n log n) (sorteig)
dividir i vèncer (l’agrupament requereix la computació d’una cadena de triangles), òptim: O(n log n) [Shamos i Hoey 1975]
Escombratge de línia de Fortune: O(n log n)
Incremental (intercanvi de triangles adjacents): O(n2); complexitat mitjana: O(n log n)
algorismes VORONOI / delaunay en 3D
Complexitat del problema: �(n2) en 3D;
dividir i vèncer (l’agrupament requereix la computació d’una cadena de triangles) : algorisme “De Wall” : O(n2) o O(n3)
Escombratge de pla i GPU [Hoff, Zaferakis, Lin, Manocha RR 2002]
Incremental (intercanvi de triangles adjacents): O(n2) [Hugo Ledoux ISVD 2007]
Estructures de dades
El Doubly-connected edge list (Muller & Preparata 1978)
El Half-Edge (FE : K. Weiler 1985)
El Quad-Edge (2D: Guibas & Stolfi 1985 i 3D: Gold)
El Quad-Edge aumentat (Gold)
El Dual Half-Edge (Gold)
Problemes d’estabilitat
ExpressionValue
Act
ion
C
B
A
Confidence Interval
Bibliografia històrica
Gustav Lejeune Dirichlet (1850). Über die Reduktion der positiven quadratischen Formen mit drei unbestimmten ganzen Zahlen. Journal für die Reine und Angewandte Mathematik, 40:209-227.
Georgy Voronoi (1907). Nouvelles applications des paramètres continus à la théorie des formes quadratiques. Journal für die Reine und Angewandte Mathematik, 133:97-178, 1907
Bibliografia GENERAL
Atsuyuki Okabe, Barry Boots, Kokichi Sugihara & Sung Nok Chiu (2000). Spatial Tessellations - Concepts and Applications of Voronoi Diagrams. 2nd edition. John Wiley, 2000, 671 pages
Franz Aurenhammer (1991). Voronoi Diagrams - A Survey of a Fundamental Geometric Data Structure. ACM Computing Surveys, 23(3):345-405, 1991.
Bibliografia GENERAL
Adrian Bowyer (1981). Computing Dirichlet tessellations, The Computer Journal 1981 24(2):162-166.
David F. Watson (1981). Computing the n-dimensional tessellation with application to Voronoi polytopes, The Computer Journal, Heyden & Sons Ltd., Vol 2, Num 24, pp.167-172.
Mark de Berg, Marc van Kreveld, Mark Overmars, and Otfried Schwarzkopf (2000). Computational Geometry (2nd revised edition ed.). Springer-Verlag.
Generalitzacions del conjunt de generadors
DIAGRAMES DE VORONOI
El diagrama de Voronoi es defineix a partir
d’un espai mètric (conjunt de punts amb una distància),
d’una distància
d’un conjunt de generadors (conjunts inclosos dins del espai mètric).
Generalitzacions dels DIAGRAMES DE VORONOI
El diagrama de Voronoi es pot generalitzar canviant:
el conjunt de punts,
la distància,
el conjunt de generadors (conjunts inclosos dins del espai mètric).
Generalitzacions dels DIAGRAMES DE VORONOI
El diagrama de Voronoi es pot generalitzar canviant:
el espai: espais euclidians, elliptics, hyperbolics (ISVD 2009), de Laguerre (cercles amb orientació).
Generalitzacions dels DIAGRAMES DE VORONOI
El diagrama de Voronoi es pot generalitzar canviant:
la distància: distància euclidiana (L2), L1, L�, distància amb ponderació additiva, amb ponderació multiplicativa, potència d’un punt relativament a una esfera, distàncies on apareixen més d’un generador (2-site Voronoi diagram, round tour Voronoi diagram), distància al llarg de una xarxa.
Generalitzacions dels DIAGRAMES DE VORONOI
El diagrama de Voronoi es pot generalitzar canviant:
el conjunt de generadors (conjunts inclosos dins del espai mètric): punts, (segments de) rectes en 2D i en 3D, punts i segments de rectes, cercles, discs, ellipses, còniques, superfícies quadratiques, conjunts algèbrics o semi-algèbrics, conjunts de k subconjunts de l’espai mètric (diagrames de Voronoi d’ordre k).
Grafs de Delaunay/Voronoi (punts i segments de recta oberts)
Grafs de Delaunay/Voronoi (punts i segments de recta oberts)
Grafs de Delaunay/Voronoi (punts i segments de recta oberts)
Grafs de Delaunay/Voronoi (punts i segments de recta oberts)
Grafs de Delaunay/Voronoi (punts i segments de recta oberts)
Grafs de Delaunay/Voronoi (punts i segments de recta oberts)
Grafs de Delaunay/Voronoi (punts i segments de recta oberts)
Graf de Delaunay de discos
Graf de Delaunay de discos
Graf de Delaunay de discos
Diagrama de Voronoi de el�lipses
El diagrama de Voronoi de conjunts (semi-)algèbrics ...
CERCLE
CORBA y=x3
El diagrama de Voronoi de conjunts (semi-)algèbrics ...
CERCLE
CORBA y=x3
... és un conjunt semi-algèbric
GENERALITZACIONS DEls espais i de LES Mètriques
Referencia: Applet http://www.nirarebakun.com/voro/ehivorocli.html
Altres espais
Geometria hiperbòlica: diagrames de Voronoi hyperbòlics
Referencia: Frank Nielsen, An interactive tour of Voronoi diagrams on the GPU, ShaderX6: Advanced Rendering Techniques, 2008
Altres espais
Geometria ellìptica: diagrames de Voronoi elliptics : distància elliptica (es pot generalizar a qualsevol conjunt convex)
Referencia : Okabe, Suzuki, European Journal of Operations Research
Altres Mètriques
Mètriques amb ponderació aditiva
Altres espais/MètriquesGeometria de Laguerre sobre el pla : distancia de Laguerre : dL(M,C(P,r))=dE(M,P)2 - r2
Kokichi Sugihara, Laguerre Voronoi diagram on the sphere
Altres Mètriques
Mètriques amb ponderació multiplicativa
Applicacions a la visualització deL
creixement de partícules
Tesselacions de Johnson-Mehl o la visualització
de partículesLes tesselacions de Johnson-Mehl son generalitzacions dels diagrames de Voronoi, on els generadors son nuclis i el creixement dels nuclis obedeix a una llei matemàtica: dr = e-�t dt
Diferents casos : � = 1 ; � = 0 : creixement independent del temps; � = -1
Tesselacions de Johnson-Mehl o la visualització
de partículesEl model de Johnson-Mehl és un model de creixement de Poisson Voronoi, on els nuclis apareixen a diferents moments i creixen amb la mateixa velocitat radial v.
La tesselació de Johnson-Mehl és equivalent a un diagrama de Voronoi dinamic amb ponderació aditiva, en el cual, la ponderació correspon amb el temps de creació del punt dins del process de Poisson Voronoi.
Johnson-Mehl com a diagrama de voronoi
Cada vegada que un nou nucli arriva, la tesselació de Johnson-Mehl canvia.
La ponderació de cada nucli s’augmenta del producte del interval de temps amb la velocitat.
DIAGRAMES de VORONOI de DISCoS O AMB
PONDERACIÓ Aditiva
El diagrama de Voronoi de discs és equivalent al diagrama de Voronoi amb ponderació aditiva perquè la distància entre un punt i un disc és la distància entre el punt i el centre del disc menys el radi del disc.
Treballs anteriors
Anishchik and Medvedev 1995: Three-dimensional Apollonian packing
Kim, Kim and Sugihara 2001: VD of circles from VD of points
Anton, Kirkpatrick and Mioc 2002: exact Additively Weighted Voronoi diagram
Gavrilova and Rokne 2003: Certified computation of the VD of spheres
El circumcercle buit
El circumcercle buit
El circumcercle buit
El circumcercle buit
El circumcercle buit
Perquè un algorisme exacte?
Perquè un algorisme exacte?
Perquè un algorisme exacte?
Perquè un algorisme exacte?
... per al diagrama de voronoi de discos ?
... per al diagrama de voronoi de discos ?
C
C
C
1
2
3
C4
... per al diagrama de voronoi de discos ?
C
C
C
1
2
3
C4
+2
4
r4
+
rr1
+C
2C
1
C3
C
ELS diferents casos ...
ELS diferents casos ...
C2
C1
C3
ELS diferents casos ...
C2
C1
C3
3C1
C2
C
ELS diferents casos ...
C2
C1
C3
3C1
C2
C
3
2
C1
C
C
ELS diferents casos ...
C2
C1
C3
3
C
C
C
2
13C1
C2
C
3
2
C1
C
C
ELS diferents casos ...
C2
C1
C3
3
C
C
C
2
13C1
C2
C
2C C
C3
1
3
2
C1
C
C
... EXPRessats ...
... EXPRessats ...
C1
I
23
1
C’
C’
C’
C
C’’
2
C3
... EXPRessats ...
C3
2C’
3C’
1C’
I
C
C’’
2
C1
C1
I
23
1
C’
C’
C’
C
C’’
2
C3
.. AMB Corbes desplaçades
La corba desplaçada d’un cercle és la uniò de dos cercles concentrics (grau 4).
Sostreient l’equació d’un cercle de les altres, es obté una equació lineal.
El grau de la intersecció és 2x1x1x...x1=2.
La localització dels conflictes dins del graf de Delaunay es pot calcular amb el determinant d’una matriu 2 per 2!
C
4
r R(x,y)
De LA geometrIA ...
... A la Àlgebra!...
Geometria Àlgebra
... A la Àlgebra!...
Geometria Àlgebra
Varietat algebràica X (cercles tangents als objectes C1, C2 i
C3)
Ideal I(X)=<c’1,c’2,c’3>;
c’i equació de la corba
desplaçada generalitzada a Ci
... A la Àlgebra!...
Geometria Àlgebra
Varietat algebràica X (cercles tangents als objectes C1, C2 i
C3)
Ideal I(X)=<c’1,c’2,c’3>;
c’i equació de la corba
desplaçada generalitzada a Cifunció polinòmica g
restringida a la varietat X (posició repecta amb C4)
Representatiu canònic de g dins del àlgebra quocient
A=K[x]/I(X)
... A la Àlgebra!...
Geometria Àlgebra
Varietat algebràica X (cercles tangents als objectes C1, C2 i
C3)
Ideal I(X)=<c’1,c’2,c’3>;
c’i equació de la corba
desplaçada generalitzada a Cifunció polinòmica g
restringida a la varietat X (posició repecta amb C4)
Representatiu canònic de g dins del àlgebra quocient
A=K[x]/I(X)
Relacions (syzygies) entre variables geomètriques de X
Base de Gröbner de I(X)
... A la Àlgebra!...
Geometria Àlgebra
Varietat algebràica X (cercles tangents als objectes C1, C2 i
C3)
Ideal I(X)=<c’1,c’2,c’3>;
c’i equació de la corba
desplaçada generalitzada a Cifunció polinòmica g
restringida a la varietat X (posició repecta amb C4)
Representatiu canònic de g dins del àlgebra quocient
A=K[x]/I(X)
Relacions (syzygies) entre variables geomètriques de X
Base de Gröbner de I(X)
Base del espai vectorial de les funcions polinòmiques on X
Monòmis dels polinòmis de I(X) que no sòn màxims
... A la Àlgebra!...
Geometria Àlgebra
Varietat algebràica X (cercles tangents als objectes C1, C2 i
C3)
Ideal I(X)=<c’1,c’2,c’3>;
c’i equació de la corba
desplaçada generalitzada a Cifunció polinòmica g
restringida a la varietat X (posició repecta amb C4)
Representatiu canònic de g dins del àlgebra quocient
A=K[x]/I(X)
Relacions (syzygies) entre variables geomètriques de X
Base de Gröbner de I(X)
Base del espai vectorial de les funcions polinòmiques on X
Monòmis dels polinòmis de I(X) que no sòn màxims
Valors de la funcciò g sobre els punts de la varietat X
Valors pròpis de la matriu del operador de multiplicació per g
dins del àlgebra quocient A
... A la Àlgebra!...
BASES DE Gröbner: ordrEs monomials
� Un ordre total < sobre els monomis x1�1...xn
�n dins de
k[x1,...,xn] és un ordre monomial si, i només si, 1�m1 i
(m1�m2�m1·m3�m2·m3) per qualsevols monomis
m1,m2,m3�k[x1,...,xn].
� El més gran monomi d’un polinomi f�k[x1,...,xn] amb
respecte a < es nombrat el monomi inicial de f i notat init(f). Per un ideal I�k[x1,...,xn], definim el seu ideal
inicial com al ideal generat pels monomis inicials dels polinòmis dins de I: init(I)={init(f):f�I}
BASES DE Gröbner� Definició: Un monòmi que no perteneix a init(I) és
un monòmi estandard. Un conjunt finit G={g1,...,gs} d’un ideal I és una base de Gröbner
per I si l’ideal inicial init(I) és generat per {init(g1),...,init(gs)}
� Algoritme de divisió: Es donen f1,...,fs�k[x] i
F�k[x]. Existeixen q1,...,qs�k[x] tal que F=�fiqi + r
on r = 0 o init (f) no divideix cap monòmi de r. El conjunt de monòmis estandard són una base del àlgebra quocient k[x]/I.
Una il.lustració⎧⎨⎩
(x − x1)2
+ (y − y1)2 − (r1 ± r)
2= 0
(x − x2)2 + (y − y2)
2 − (r2 ± r)2 = 0
(x − x3)2 + (y − y3)
2 − (r3 ± r)2 = 0
Una il.lustració⎧⎨⎩
(x − x1)2
+ (y − y1)2 − (r1 ± r)
2= 0
(x − x2)2 + (y − y2)
2 − (r2 ± r)2 = 0
(x − x3)2 + (y − y3)
2 − (r3 ± r)2 = 0
C1
I
23
1
C’
C’
C’
C
C’’
2
C3
Una il.lustració⎧⎨⎩
(x − x1)2
+ (y − y1)2 − (r1 ± r)
2= 0
(x − x2)2 + (y − y2)
2 − (r2 ± r)2 = 0
(x − x3)2 + (y − y3)
2 − (r3 ± r)2 = 0
C1
I
23
1
C’
C’
C’
C
C’’
2
C3
2C’
3C’I
C
C’’
2
ELS DiferentS casOs ...
ELS DiferentS casOs ...3C1
C2
C
ELS DiferentS casOs ...
ELS DiferentS casOs ...
⎧⎨⎩
(x − x1)2+ (y − y1)
2 − (r1 + r)2
= 0
(x − x2)2 + (y − y2)
2 − (r2 ± r)2 = 0
(x − x3)2 + (y − y3)
2 − (r3 ± r)2 = 0
such that r > 0.
ELS DiferentS casOs ...
3
2
C1
C
C
⎧⎨⎩
(x − x1)2+ (y − y1)
2 − (r1 + r)2
= 0
(x − x2)2 + (y − y2)
2 − (r2 ± r)2 = 0
(x − x3)2 + (y − y3)
2 − (r3 ± r)2 = 0
such that r > 0.
ELS DiferentS casOs ...
⎧⎨⎩
(x − x1)2+ (y − y1)
2 − (r1 + r)2
= 0
(x − x2)2 + (y − y2)
2 − (r2 ± r)2 = 0
(x − x3)2 + (y − y3)
2 − (r3 ± r)2 = 0
such that r > 0.
ELS DiferentS casOs ...
⎧⎨⎩
(x − x1)2
+ (y − y1)2 − (r1 ± r)
2= 0
(x − x2)2
+ (y − y2)2 − (r2 − r)
2= 0
(x − x3)2
+ (y − y3)2 − (r3 − r)
2= 0
with r < 0.
⎧⎨⎩
(x − x1)2+ (y − y1)
2 − (r1 + r)2
= 0
(x − x2)2 + (y − y2)
2 − (r2 ± r)2 = 0
(x − x3)2 + (y − y3)
2 − (r3 ± r)2 = 0
such that r > 0.
ELS DiferentS casOs ...
2C C
C3
1
⎧⎨⎩
(x − x1)2
+ (y − y1)2 − (r1 ± r)
2= 0
(x − x2)2
+ (y − y2)2 − (r2 − r)
2= 0
(x − x3)2
+ (y − y3)2 − (r3 − r)
2= 0
with r < 0.
⎧⎨⎩
(x − x1)2+ (y − y1)
2 − (r1 + r)2
= 0
(x − x2)2 + (y − y2)
2 − (r2 ± r)2 = 0
(x − x3)2 + (y − y3)
2 − (r3 ± r)2 = 0
such that r > 0.
ELS DiferentS casOs ...
⎧⎨⎩
(x − x1)2
+ (y − y1)2 − (r1 ± r)
2= 0
(x − x2)2
+ (y − y2)2 − (r2 − r)
2= 0
(x − x3)2
+ (y − y3)2 − (r3 − r)
2= 0
with r < 0.
⎧⎨⎩
(x − x1)2+ (y − y1)
2 − (r1 + r)2
= 0
(x − x2)2 + (y − y2)
2 − (r2 ± r)2 = 0
(x − x3)2 + (y − y3)
2 − (r3 ± r)2 = 0
such that r > 0.
ELS DiferentS casOs ...
⎧⎨⎩
(x − x1)2
+ (y − y1)2 − (r1 ± r)
2= 0
(x − x2)2
+ (y − y2)2 − (r2 − r)
2= 0
(x − x3)2
+ (y − y3)2 − (r3 − r)
2= 0
with r < 0.
y q⎧⎨⎩
(x − x1)2
+ (y − y1)2 − (r1 + r)
2= 0
(x − x2)2
+ (y − y2)2 − (r2 + r)
2= 0
(x − x3)2 + (y − y3)
2 − (r3 − r)2 = 0such that r > 0.
⎧⎨⎩
(x − x1)2+ (y − y1)
2 − (r1 + r)2
= 0
(x − x2)2 + (y − y2)
2 − (r2 ± r)2 = 0
(x − x3)2 + (y − y3)
2 − (r3 ± r)2 = 0
such that r > 0.
ELS DiferentS casOs ...
3
C
C
C
2
1
⎧⎨⎩
(x − x1)2
+ (y − y1)2 − (r1 ± r)
2= 0
(x − x2)2
+ (y − y2)2 − (r2 − r)
2= 0
(x − x3)2
+ (y − y3)2 − (r3 − r)
2= 0
with r < 0.
y q⎧⎨⎩
(x − x1)2
+ (y − y1)2 − (r1 + r)
2= 0
(x − x2)2
+ (y − y2)2 − (r2 + r)
2= 0
(x − x3)2 + (y − y3)
2 − (r3 − r)2 = 0such that r > 0.
⎧⎨⎩
(x − x1)2+ (y − y1)
2 − (r1 + r)2
= 0
(x − x2)2 + (y − y2)
2 − (r2 ± r)2 = 0
(x − x3)2 + (y − y3)
2 − (r3 ± r)2 = 0
such that r > 0.
ELS DiferentS casOs ...
⎧⎨⎩
(x − x1)2
+ (y − y1)2 − (r1 ± r)
2= 0
(x − x2)2
+ (y − y2)2 − (r2 − r)
2= 0
(x − x3)2
+ (y − y3)2 − (r3 − r)
2= 0
with r < 0.
y q⎧⎨⎩
(x − x1)2
+ (y − y1)2 − (r1 + r)
2= 0
(x − x2)2
+ (y − y2)2 − (r2 + r)
2= 0
(x − x3)2 + (y − y3)
2 − (r3 − r)2 = 0such that r > 0.
⎧⎨⎩
(x − x1)2+ (y − y1)
2 − (r1 + r)2
= 0
(x − x2)2 + (y − y2)
2 − (r2 ± r)2 = 0
(x − x3)2 + (y − y3)
2 − (r3 ± r)2 = 0
such that r > 0.
ELS DiferentS casOs ...
⎧⎨⎩
(x − x1)2
+ (y − y1)2 − (r1 ± r)
2= 0
(x − x2)2
+ (y − y2)2 − (r2 − r)
2= 0
(x − x3)2
+ (y − y3)2 − (r3 − r)
2= 0
with r < 0.
y q⎧⎨⎩
(x − x1)2
+ (y − y1)2 − (r1 + r)
2= 0
(x − x2)2
+ (y − y2)2 − (r2 + r)
2= 0
(x − x3)2 + (y − y3)
2 − (r3 − r)2 = 0such that r > 0.
⎧⎨⎩
(x − x1)2
+ (y − y1)2 − (r1 + r)
2= 0
(x − x2)2 + (y − y2)
2 − (r2 + r)2 = 0
(x − x3)2 + (y − y3)
2 − (r3 + r)2 = 0with r > 0.
⎧⎨⎩
(x − x1)2+ (y − y1)
2 − (r1 + r)2
= 0
(x − x2)2 + (y − y2)
2 − (r2 ± r)2 = 0
(x − x3)2 + (y − y3)
2 − (r3 ± r)2 = 0
such that r > 0.
UnA il.lustraCióÉs possible construïr un ordre total sobre monòmis.
Ideal I(X) = <c’1,c’2,c’3> = { f1c’1+f2c’2+f3c’3 | �i�{1,2,3}, fi�k[x,y,r] }
k: algebraicament tancat (e.g. �)<c’1,c’2-c’1,c’3 -c’1 > = <c’1,c’2,c’3>
<c’1,c’2-c’1,c’3 -c’1 > és una base de Gröbner (pel ordre grevlex)
UnA il.lustraCió
C1
I
23
1
C’
C’
C’
C
C’’
2
C3
És possible construïr un ordre total sobre monòmis.Ideal I(X) = <c’1,c’2,c’3> = { f1c’1+f2c’2+f3c’3 | �i�{1,2,3}, fi�k[x,y,r] }
k: algebraicament tancat (e.g. �)<c’1,c’2-c’1,c’3 -c’1 > = <c’1,c’2,c’3>
<c’1,c’2-c’1,c’3 -c’1 > és una base de Gröbner (pel ordre grevlex)
UnA il.lustraCió
C1
I
23
1
C’
C’
C’
C
C’’
2
C3
2C’
3C’I
C
C’’
2
És possible construïr un ordre total sobre monòmis.Ideal I(X) = <c’1,c’2,c’3> = { f1c’1+f2c’2+f3c’3 | �i�{1,2,3}, fi�k[x,y,r] }
k: algebraicament tancat (e.g. �)<c’1,c’2-c’1,c’3 -c’1 > = <c’1,c’2,c’3>
<c’1,c’2-c’1,c’3 -c’1 > és una base de Gröbner (pel ordre grevlex)
UnA illustraCió I(X) = <c’1,c’2,c’3> = { f1c’1+f2c’2+f3c’3 | �i�{1,2,3}, fi�k[x,y,r] }
<c’1,c’2-c’1,c’3 -c’1 > és una base de Gröbner (pel ordre grevlex)
Calcular g dins de la àlgebra quocient k[x,y,r]/I(X) correspond amb substreient de g tots els polinòmis dins de I(X).
Geometricament, això correspond amb calculant sobre X en lloc de kn. El resultat és el representatiu canònic de g dins del àlgebra quocient.
L’ àlgebra quocient k[x,y,r]/I(X) esta generada pels monomis no-estandard (els monomis que no son dividibles per qualsevol dels monomis
inicials). Si el sistema té solucions dins de �3, la base de la àlgebra quocient és
(1, r). Si no hi ha solucions dins de �3 la base de la àlgebra quocient és (1).La multiplicació per g dins de k[x,y,r]/I(X) es pot expressar amb una
matriu 2x2. Llavors, hi ha 2 solucions dins de �3.
... I el càlcul!
Només necessitem saber el signe de la potència del vèrtex de Voronoi repecta amb el cercle C4.
Llavors, només necessitem saber el signe dels valors pròpis de la matriu que expressa la multiplicació per g; és a dir el signe de les rels del polinomi caracteristic!
Programa algebraic (MACAULAY 2)
GeneraliTzació a esferes
Tota la geometria i la topologia (els conflictes dins del graf de Delaunay) es generalitzen a qualsevol dimensió del punt de vista algèbric!
Sostreient dues equacions de esferes sempre es obté una equació lineal!
El grau de la intersecció de superfícies desplaçades és 2x1x1x...x1=1.
el creixement de partícules o cristals
el creixement de partícules o cristals
La creixança de particules o cristals
La creixança de particules o cristals
CONNECTIVITAT
connectivitATProposition 3.1. (Connectivity of the Voronoi diagram in the plane) The Voronoi diagram V (C) of aset C = {c1, . . . , cm} ⊂ R2 of at least two circles (m > 1) considered in P2 is not connected if, and
only if, there exist a subset I of [1, . . . , m] and one index j of [1, . . . , m] such that ∀i ∈ I, ci ⊂◦cj and
∀k ∈ [1, . . . , m] \ I, ci ∩ ck = cj ∩ ck = ∅.
Proof. If: Assume there exist a subset I of [1, . . . , m] and one index j of [1, . . . , m] such that ∀i ∈ I, ci ⊂◦cj
and ∀k ∈ [1, . . . , m] \ I, ci ∩ ck = cj ∩ ck = ∅. Let cl ∈ C with l ∈ [1, . . . , m] \ I . Let S =⋃
i∈I ci. Since
S ⊂◦cj , any circle touching both a ci, i ∈ I and cj must be contained in cj . Since S ∩ cl = cj ∩ cl = ∅,
no circle can touch each of an ci, i ∈ I , cj and cl. Thus, there is no point that has a ci, i ∈ I , cj and cl
as nearest neighbours. Thus, there is no Voronoi vertex of a ci, i ∈ I , cj and cl. Since there is no Voronoivertex of a ci, i ∈ I , cj and an cl with l ∈ [1, . . . , m] \ I , there are no Voronoi vertices on the bisector ofS and cj . Since S ∩ cl = S ∩ cl = ∅, any circle centred on the bisector of S and cj and touching both S
and cj does not intersect any circle ck with k ∈ [1, . . . , m] \ I . Thus, the bisector of S and cj is contained
in V (C). Since cj is connected and S ⊂◦cj , the bisector of S and cj is a closed curve. Thus, the Voronoi
diagram of C is not connected in P2.
connectivitATProposition 3.1. (Connectivity of the Voronoi diagram in the plane) The Voronoi diagram V (C) of aset C = {c1, . . . , cm} ⊂ R2 of at least two circles (m > 1) considered in P2 is not connected if, and
only if, there exist a subset I of [1, . . . , m] and one index j of [1, . . . , m] such that ∀i ∈ I, ci ⊂◦cj and
∀k ∈ [1, . . . , m] \ I, ci ∩ ck = cj ∩ ck = ∅.
Proof. If: Assume there exist a subset I of [1, . . . , m] and one index j of [1, . . . , m] such that ∀i ∈ I, ci ⊂◦cj
and ∀k ∈ [1, . . . , m] \ I, ci ∩ ck = cj ∩ ck = ∅. Let cl ∈ C with l ∈ [1, . . . , m] \ I . Let S =⋃
i∈I ci. Since
S ⊂◦cj , any circle touching both a ci, i ∈ I and cj must be contained in cj . Since S ∩ cl = cj ∩ cl = ∅,
no circle can touch each of an ci, i ∈ I , cj and cl. Thus, there is no point that has a ci, i ∈ I , cj and cl
as nearest neighbours. Thus, there is no Voronoi vertex of a ci, i ∈ I , cj and cl. Since there is no Voronoivertex of a ci, i ∈ I , cj and an cl with l ∈ [1, . . . , m] \ I , there are no Voronoi vertices on the bisector ofS and cj . Since S ∩ cl = S ∩ cl = ∅, any circle centred on the bisector of S and cj and touching both S
and cj does not intersect any circle ck with k ∈ [1, . . . , m] \ I . Thus, the bisector of S and cj is contained
in V (C). Since cj is connected and S ⊂◦cj , the bisector of S and cj is a closed curve. Thus, the Voronoi
diagram of C is not connected in P2.
2C C
C3
1
connectivitATProposition 3.1. (Connectivity of the Voronoi diagram in the plane) The Voronoi diagram V (C) of aset C = {c1, . . . , cm} ⊂ R2 of at least two circles (m > 1) considered in P2 is not connected if, and
only if, there exist a subset I of [1, . . . , m] and one index j of [1, . . . , m] such that ∀i ∈ I, ci ⊂◦cj and
∀k ∈ [1, . . . , m] \ I, ci ∩ ck = cj ∩ ck = ∅.
Proof. If: Assume there exist a subset I of [1, . . . , m] and one index j of [1, . . . , m] such that ∀i ∈ I, ci ⊂◦cj
and ∀k ∈ [1, . . . , m] \ I, ci ∩ ck = cj ∩ ck = ∅. Let cl ∈ C with l ∈ [1, . . . , m] \ I . Let S =⋃
i∈I ci. Since
S ⊂◦cj , any circle touching both a ci, i ∈ I and cj must be contained in cj . Since S ∩ cl = cj ∩ cl = ∅,
no circle can touch each of an ci, i ∈ I , cj and cl. Thus, there is no point that has a ci, i ∈ I , cj and cl
as nearest neighbours. Thus, there is no Voronoi vertex of a ci, i ∈ I , cj and cl. Since there is no Voronoivertex of a ci, i ∈ I , cj and an cl with l ∈ [1, . . . , m] \ I , there are no Voronoi vertices on the bisector ofS and cj . Since S ∩ cl = S ∩ cl = ∅, any circle centred on the bisector of S and cj and touching both S
and cj does not intersect any circle ck with k ∈ [1, . . . , m] \ I . Thus, the bisector of S and cj is contained
in V (C). Since cj is connected and S ⊂◦cj , the bisector of S and cj is a closed curve. Thus, the Voronoi
diagram of C is not connected in P2.
Only if: Assume the Voronoi diagram of C is not connected in P2. Then, V (C) has at least two connected
components. Thus, at least one of these connected components does not have points at infinity. Let usconsider the connected component (let us call it C1) that does not have points at infinity. Since C1 iscomposed of Voronoi edges (a one-dimensional component of the Voronoi diagram,which is also the locusof points having two nearest circles), each edge in C1 must end at either a Voronoi vertex or a point atinfinity. Since C1 does not have any point at infinity, all Voronoi edges in C1 connect Voronoi vertices.Thus C1 is a network of vertices and edges linking those vertices. The regions that this network definesare Voronoi regions. Let D be the union of the closure of those Voronoi regions. D is a closed set byits definition. Let us consider now the circles cl, l ∈ L whose Voronoi regions are contained in D. LetS =
⋃l∈L cl. Thus S is a union of circles. We will now consider S as a circle instead of each one of the
cl, l ∈ L. The influence zone of S =⋃
l∈L cl is clearly◦
D, because the influence zone of a union of circlesis clearly the closure of the union of the Voronoi regions of those circles. Let e = ∂D. It is a portion of thebisector of S and another circle. Let us call it cj . If not all the bisector of S and cj was contained in V (C),then e would end at Voronoi vertices (a point on the Voronoi diagram has at least two closest circles) or thepoint at infinity, a contradiction with e not being connected. Thus, the bisector of S and of cj is containedin V (C), and it is equal to e. By the definition of e, e must be a closed curve. Assume the positions ofS and cj with respect to e are not always the same. Then, S and cj must intersect. The bisector of S andcj must have two branches near the intersection points (see Figure 3.1). Since e is a closed curve and S iscontained in the interior of e, cj must be closed, and the other branches must be unbounded (a contradictionwith e not being connected in P
2). Thus, the positions of S and cj with respect to e are always the samealong e. Since cj is connected, S is contained in the interior of e and the positions of S and cj with respect
to e are always the same along e, S ⊂◦cj . Since e is the bisector of S and cj and belongs to V (C), any
circle centred on e and touching both S and cj does not intersect any circle ck with k ∈ [1, . . . , m] \ I .Thus, ∀k ∈ [1, . . . , m] \ I, ci ∩ ck = cj ∩ ck = ∅.
connectivitAT
Diagrames de voronoi i grafs de delaunay
cinemàtics
delaunay i voronoi cinemàtics
Diagrama de Voronoi cinemàtic de punts
Graf de Delaunay constrenyit cinemàtic de punts
Diagrama de Voronoi cinemàtic de línies
GRAF de delaunay constrenyit
A methodology for automated cartographic data input, drawing and editing using
kinetic delaunay/voronoi diagrams
Recerca conjunta amb Christopher Gold, Darka Mioc, Ojaswa Sharma i Maciej Dakowicz
Basada sobre un algorisme incremental sobre el plÀ o la
esfera (anton, SNOEYINK i gold 1998)
Saltant línies dins de l’algorisme iteratiu
diagrames de voronoi cinemàtics de línies
GD/DV cinemàtics
GD/DV cinemàtics
GD/DV cinemàtics
diagrama de voronoi cinemàtic de punts
SORPRESA: voronoi del delaunay CONSTRENYIT
estructura de dadescinemàtica
Voronoi i delaunay cinemàtics de línies
Relacions amb altres problemes de geometria
computacional
L’espai de les esferes [DMT92] permeteix ...
... relacionar al embolcall convexE (�n+1)
amb Grafs de Delaunay i diAgrames de Voronoi �n
Graf de Delaunay com a projecció d’un embolcall
convèxa [Fisher04]
polaritAT / ORThogonalitAT
�0
�
(M,N,A,B) = -1
<�-�0,�-�0> = r2 + r02
<�,�> + <�0,�0> - 2 <�0,�> = r2 + r02
= 2 <�0,�> - 0
Gráfs de cobertura mínima euclidianS
El graf de cobertura mìnima euclià és un subgraf del graf de Delaunay dels vèrtexs.
En el cas de vèrtexs cocirculars, és el graf de Delaunay que s’ha d’utilitzar, i no pás la triangulació de Delaunay.
localització òptima
Els diferents diagrames de Voronoi generalitzats permeteixen la localització òptima cuan el criteri de localització és la proximitat.