DIAGONALIZACIN ORTOGONALTEOREMA 1: SeaA unamatriz simetrica realden x n . Entonces A tiene n vectorespropios reales ortonormales. Desteoremaanteriorsesiguequela multiplicidadgeomtricad e cada valorpropiodeAesigualasumultiplicidadalgebraica.El teoremaanteriordicequesiAessimetrica, entonces ntiene base B= { }nu u u .....,, 2 , 1que consiste envectorespropios ortonormales deA. SeaQlamatrizcuyascolumnassonnu u u ..... ,.........2 , 1 . Entonses Qes uanmatrizortogonal. Estollevaalasiguiente definicin.Definicin 1: MatrizdiagonizableortogonalmenteSedice que una matriz Ade nxnes diagonalizable ortogonalmentesi existeunamatrizortogonal Qtalque

D AQ Q `` DondeD =diag ( n ,...... .2 1 ) yn ,...... .2 1son valorespropiosde A.Nota: recuerdequeQesortogonal si Q`=Q1 ; por lotantola ecuacin yaantesmencionadase puedeescribircomoQ 1 AQ = D.^LecambieTEOREMA4:Seaunamatrizreal denxn. Entonces Aes diagonalizable ortogonalmente con la matriz Q cuyas columnas son los vectores propiosdadosenel teorema1inversamente, supongaqueAes diagonizableortogonalmente. EntoncesexisteunaImatrizortogonal ` Q talqueD AQ Q ``. Multipicandoestaecuacinporlaizquierda por ` Q y por la derecha por `` Q y usando el hecho de que I QQ Q Q ` `` seobtiene ` QDQ A Entonces A QDQ Q D Q QDQ At t T t t t ` ) ( ) (.asi A, es simetrica y el teoremaquedademostrado. Enlaultimaseriedeecuacionesse usaronloshechosdeque (AB)= BT AT.Elprocedimientoparaencontrarunamatriz diagonalizanteenQ es elsiguiente1.- Encuentreunabaseparacadaespaciopropiode A2.- Encuentre una base ortonormal para cada espacio propio de A usando el proceso deGram-Schimidt o algn otro.3.- Escriba Q como la matriz cuyas columnas son los vectores propios ortonormales obtenidos en el paso 2 Ejemplo 1 Diagonalizacin de una matriz simtrica de 2x2 usando una matriz ortogonal Sea A =

,_

322 1 Entonces la ecuacin caracterstica de A es det (A-) 3 22 1 =0 1 42 ,quetiene dosraces = ( ) 5 2 / ) 5 2 4 ( 2 / 20 4 t t t para 5 21 seobtiene (A-I) v=

,_

,_

,_

++ 005 13 225 121xx un vector propioesv1 =

,_

+ 5 12y5 2 10 ) 5 1 ( 22 21 + + v porlotanto, u1=

,_

+ 5 125 2 1 01 despus para2

2= 5 2 + secalcula (A-I)v

,_

,_

,_

++ 005 13 225 121xx y V2=

,_

25 1observeque v1 v2 = 0 (lo quedebe sercierto segn el teorema 2).Entonces5 2 102 v

demanera queu2=

,_

25 15 2 1 01 por ultimo

,_

+ 25 15 / 125 2 1 01Q

,_

+ 25 15 125 2 1 01tQ y

,_

,_

,_

+ + 25 15 1 23 22 12 5 15 125 2 1 01A Q Qt=

,_

,_

+ + ++ 5 2 4 5 3 75 35 2 425 15 125 2 1 01=

,_

,_

++5 200525 6 1 00051 4 3 05 2 1 01Ejemplo 2- Diagonalizacin de una matriz simtrica de 3x3 usando una matriz ortogonal SeaA=

,_

2 2 22 5 42 4 5EntoncesAessimetricaydet (A-I)=

,_

2 2 22 5 42 4 5=-(1 )2 ) 10 ( . Secalculanlos vectorespropioslinealmenteindependientescorrespondientesa 1 ,v1=

,_

011 y v2=

,_

201Correspondi4entesa10 se encuentrav3=

,_

222 .Para encontrar Q s e aplica elproceso de Gram-Schmidt a} {2 1, v v unabase paraE1. Como 1v = 2 sehaceu1 =

,_

02 / 12 / 1 Despus tv2= v2 ( v2 u1 ) u1=

,_

001 -

,_

02 / 12 / 121 =

,_

201-

,_

02 / 12 / 1=

,_

22 / 12 / 1Entonces2 / 2 3 4 / 18 2 vyu2=

,_

22 / 12 / 12 32 =

,_

2 3 / 42 3 / 12 3 / 1

estoseverificaobservando queu1 u2= 0 . Por ultimo ,s etiene u3= v3/ 3v=

,_

3 / 13 / 23 / 2313vtambien se puede verificar observando que u1u3 =0 porlotanto, Q

,_

3 / 1 2 3 / 4 03 / 2 2 3 / 1 2 / 13 / 2 2 3 / 1 2 / 1Y

,_

,_

,_

3 / 1 2 3 / 4 / 03 / 2 2 3 / 1 2 / 13 / 2 2 3 / 1 2 / 12 2 22 5 42 4 53 / 1 3 / 2 3 / 22 3 / 4 2 3 / 1 2 3 / 10 2 / 1 2 / 1A Q Qt

=

,_

,_

3 / 1 0 2 3 / 4 / 03 / 2 0 2 3 / 1 2 / 13 / 2 0 2 3 / 1 2 / 13 / 1 3 / 2 3 / 22 3 / 4 2 3 / 1 2 3 / 10 2 / 1 2 / 1

=

,_

1 0 0 00 1 01 0 1Enestaseccinsehanprobadoresultadosparamatrices simtricasreales, estosresultadossepuedenextendera matrices complejas. SiA=(AIJ) esunamatrizcomplejaentonces latranspuestaconjugadadeA ,denotada porA*, esta definida por elelemento ij deA*= aij . Lamatriz A sellama ErmitaasiA *=A. Resultaquelos teoremas 1 2 y 3tambien sonciertospara las matrices hermitianas. Todava ms, sise define unamatriz unitaria como uan matriz compleja U con U* = U -1,entonces usando la demostracin del teorema 4, s e puede demostrar que una matriz hermitiana es diagonalizable unitariamente . EstoshechossedejancomoDemostracindelteorema3Se demostrara que a todo valor propiode multiplicidad algebraica k, corresponde k vectores propios ortonormales. Este pasocombinadoconelteorema 2demostrarael teorema. Sea u1 un vectorpropiodeAquecorrespondea . Supongamos que1u =1. Tambiens e puedesuponeru1 NA - 1 I, elespacio nulodelamatrizreal A-I.Esteespacionuloesun subespacio de Rn , y mediante el proceso de Gram Schmidt estos e puedeconvertirenunabase ortonormal' u1,u2 .un). Ahorabien, Q e s invertibleyQt = Qt AQ yatieneelmismo polinomiocaracteristico:Entonces

,_

yntttUUUQ21 demaneraque

) , . . . . , ( ) , . . . . , (2 1212 121ntnttnyntttA u A u A uUUUA u u u AUUUA Q Q

,_

,_

=

,_

,_

ntntnntntnynttA u U A u UA UtU A u UA UtU A u UA u A u uUUU22 12 112 1 1210101) . . . . , ( Losceros aparecenporqueu1 0 1 1 j jtu u u. Por otrolado [ ] AQ Q Asi AQ Q Q A Q AQ Qt t t t t ttt, . ) ( es simetrica, lo quesignifica quedebehaber cerosenleprimer renglndeQ AQtque concuerde conlos c erosdela primeracolumna. Entonces

,_

n n n n nnntq q qq q qq q qA Q Q 23 3 3 3 22 2 3 2 2110000 0 0 Y

,_

n n n nnntq q qq q qq q qI A Q Q 3 23 3 3 3 22 2 3 2 210000 0 0= ) ( ) ( ) (1 1 13 23 3 3 3 22 2 3 2 21 Mq q qq q qq q qn n n nnn DondeM11()eselmenor 1,1 de1 . k Si I AQ Qt, nohaynada quedemostrarsi K > 1,entoncesI A contiene elfactor( )21 , y porlotanto[ ]ttI AQ Q tambiencontieneelfactor(

,_

2 32 1 entoncesla e caucin caracterstica deAesdet (A-)PRO

,_

n n n n nnntq q qq q qq q qA Q Q 23 3 3 3 22 2 3 2 2110000 0 0 k j ik j iv x u 6 1 8 2 66 2 01 4 3 + + 111]1