[Di Canto] Fisica Nucleare e Subnucleare

8/3/2019 [Di Canto] Fisica Nucleare e Subnucleare

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Fisica Nucleare e Subnucleare- Appunti tratti dalle lezioni del prof. Bombaci e del prof. Viviani -

A. Di Canto

16 aprile 2008

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5.2 Teoria di Fermi del decadimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 485.2.1 Transizioni permesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 505.2.2 Transizioni proibite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

5.3 La violazione della parita nel decadimento . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

6 Decadimento 596.1 Energetica delle transizioni elettromagnetiche nei nuclei . . . . . . . . . . 596.2 Teoria dellassorbimento e dellemissione stimolata . . . . . . . . . . . . . 60

7 La fissione nucleare 63

7.1 Caratteristiche della fissione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 637.2 Fissione controllata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

8 La fusione nucleare 71

8.1 Caratteristiche della fusione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 718.2 Il ciclo di fusione pp nelle stelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

9 Due parole sulla fisica dei neutrini 77

9.1 Lelicita dei neutrini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 779.1.1 Evidenza sperimentale della differenza tra neutrini ed antineutrini 78

9.2 La massa dei neutrini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 789.3 Loscillazione di sapore dei neutrini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 809.4 Esempio di oscillazione tra due stati di neutrini . . . . . . . . . . . . . . . 82

10 Due parole sulla fisica dei pioni 85

10.1 Proprieta dei pioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8510.2 Risonanze negli urti pionenucleone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

10.2.1 Le particelle strane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

A Appendici 93

A.1 Probabilita di penetrazione di una barriera rettangolare unidimensionale . 93A.2 Teoria delle perturbazioni dipendenti dal tempo e regola doro di Fermi . 94

A.2.1 Applicazione della regola doro di Fermi ad un processo di diffu-sione elastica di un elettrone su di un nucleo . . . . . . . . . . . . 96

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1 Proprieta generali dei nuclei atomici

Nel seguito useremo la seguente notazione per indicare un nucleo atomico:

X indica il simbolo chimico dellelemento, adesempio H per lidrogeno, O per lossigeno, etc.

Z, detto numero atomico, e il numero di protoni delnucleo

A, detto numero di massa, e il numero totale dinucleoni (protoni + neutroni) del nucleo

Ricordiamo inoltre che i nuclei ad A = cost si dicono isobari, mentre quelli a Z = costisotopi.

1.1 La forma geometrica dei nuclei

In questo capitolo ci proponiamo di studiare le dimensioni e la forma dei nuclei. In lineadi principio tali informazioni potrebbero essere ottenute mediante esperimenti di diffu-sione di protoni o particelle sui nuclei in esame. Questo fu quanto fecero Rutherford,Geiger e Marsden, i quali utilizzando fasci di particelle , determinarono che il raggio deinuclei doveva essere inferiore a 1014 m. In pratica, pero e difficile estrarre informazioniparticolareggiate con questo tipo di esperimenti. innanzitutto perche i proiettili stessisono oggetti non puntiformi e la misura della sezione durto per il processo di diffusionein esame riflettera quindi, non solo la struttura del bersaglio, ma anche quella del pro-iettile stesso. In secondo luogo a causa del fatto che linterazione nucleare fra proiettile ebersaglio e dinamicamente molto complessa e non completamente capita teoricamente.Per lo studio di oggetti dellordine del fermi e molto utilizzata la diffusione di elettroni,in quanto essi, per quanto ne sappiamo, sono particelle a tutti gli effetti puntiformi elinterazione fra elettrone e nucleo e solo di natura elettromagnetica (ben capita teorica-mente).La dimensione spaziale che e possibile investigare con unesperimento di diffusione edellordine della lunghezza donda di de Broglie

=

p=

cE2 mce

si vede allora che per investigare dimensioni dellordine del fermi occorre, per uno scat-tering da elettrone, unenergia dellordine dei 100 MeV (cui corrisponde una velocita confattore 0.999986).

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1.1.1 Sezione durto Rutherford

Consideriamo un processo di diffusione di una particella di carica ze ed energia cineticaE su di un nucleo bersaglio di carica Ze come mostrato in figura

Per calcolare correttamente la cinematica e la sezione durto della reazione occorre uti-lizzare il formalismo della meccanica quantistica relativistica. Nel caso di nuclei pesantie particelle a bassa energia, gli effetti di rinculo possono essere trascurati; in questo casoil processo di scattering puo essere considerato completamente elastico e quindi lenergiaE ed il modulo dellimpulso p della particella incidente sono uguali prima e dopo lur-to. La cinematica del processo puo allora, essere calcolata con il formalismo classico1.Consideriamo il nucleo bersaglio come puntiforme, facendo riferimento alla figura

le particelle diffuse nellintervallo (, + d) saranno quelle con parametro di impattocompreso tra b e b + db, quindi il numero di particelle diffuse e dato dal prodotto delnumero I di particelle incidenti per la superficie della corona circolare

d =2bdb

II = 2bdb = 2b()

dbd d

1In appendice A.2.1 a pag. 97 e mostrata la derivazione quantistica della sezione durto Rutherfordcome esempio di applicazione della regola doro di Fermi.

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ed essendo d = 2 sin d, si ha che la sezione durto differenziale vale

d

d=

b()

sin

db

d

(1.1)

Dobbiamo ora calcolare la funzione di distribuzione b(). Detta m la massa ridotta delsistema (dato che il nucleo bersaglio ha massa molto maggiore della particella incidente,m e approssimativamente la massa della particella incidente), la lagrangiana del sistemavale

L =1

2m(r2 + r22)

rcon =

zZ e2

40

Le costanti del moto sono

=dL

d= mr2 =

2mE b (1.2)

H =1

2 mr2 + Veff(r) = E con Veff(r) =2

2mr2 + V(r) (1.3)

Dal (1.2) si trova

=

mr2

e da (1.3)

r =

2

m(E Veff(r))

per cui

d

dr=

mr22m (E Veff(r))integrando si ottiene infine

(r) =

r

dr

r2

2m (E Vef f(r))1/2

= b

r

dr

r2

1 b

2

r2 V(r)

E

1/2La traiettoria e uniperbole simmetrica rispetto al raggio vettore di minima distanza dalcentro di forza; si ha allora che langolo di diffusione vale

= 2min

dove

min = b

rmin

dr

r2

1 b

2

r2 V(r)

E

1/2calcolando rmin con la condizione r|r=rmin = 0 ed integrando si trova

min = arccosx

1 x2 con x =

2bE

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con un po di conti si trova x = cot min e quindi, dato che tan min = cot2 , si ottiene

la funzione di distribuzione cercata

b() =

2Ecot

2

Ricordando la definizione della costante , dalla (1.1) si trova la sezione durto Ruther-ford

d

d

Ruth.

=

zZ e2

40

21

4E

2 1sin4 2

(1.4)

Come si vede in figura 1.1, la (1.4) e in accordo con i dati sperimentali a basse energie.

Figura 1.1:

1.1.2 Sezione durto di Mott

Finora gli spin dellelettrone e del bersaglio non sono stati considerati. In realta adenergie relativistiche, la sezione durto (1.4) di Rutherford e alterata da effetti di spin.

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La sezione durto di Mott descrive la diffusione di elettroni relativistici e include glieffetti dovuti allo spin dellelettrone; essa puo essere scritta come segue

d

dMott = d

dRuth.1 2 sin2

2 (1.5)dove = v/c. Tale espressione mostra che, ad energie relativistiche, la sezione durto(1.5) di Mott diminuisce pi rapidamente di quella di Rutherford al crescere dellangolodi diffusione. Nel limite 1 la sezione durto (1.5) di Mott puo essere riscritta inmodo piu semplice come

d

d

Mott

=

d

d

Ruth.

cos2

2

1.1.3 Fattore di forma nucleare

Negli esperimenti di diffusione su nuclei si vede che i valori ricavati dalla sezione durto

(1.5) di Mott sono in accordo con le misure sperimentali solo nel limite in cui e trascu-rabile leffetto di rinculo del bersaglio, ovvero, definito limpulso trasferito q = p p,nel limite in cui q 0. Per valori piu grandi di q le sezioni durto sperimentali risultanoessere sistematicamente piu piccole; la ragione di cio sta nel fatto che i nuclei hannounestensione spaziale non nulla.Detta (r) la funzione di distribuzione della carica nucleare, la trasformata di Fourierdi (r)

F(q) =

e iqr(r)d3r (1.6)

prende il nome di fattore di forma nucleare della distribuzione di carica2. Il fattore di

forma (1.6) contiene tutte le informazioni riguardanti la distribuzione spaziale di caricadelloggetto in esame.Il modulo del fattore di forma (1.6) e determinabile sperimentalmente dal rapporto frala sezione durto misurata e la sezione durto di Mott

d

d

exp.

=

d

d

Mott

|F(q)|2 (1.7)

Il calcolo dei fattori di forma (1.6) e estremamente complicato, salvo in casi semplici:per una distribuzione a simmetria sferica, ad esempio, vale

F(q) = 4

0

(r)sin qr

qrr2dr (1.8)

se inoltre la distribuzione e anche uniforme

(r) =

3

4R3 per r R

0 per r > R

2Per maggiori dettagli sul perche di tale definizione si veda lappendice A.2.1 a pag. 97.

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integrando la (1.8) si trova

F(q) =3

(qR)3(sin qR qR cos qR)

Distribuzione di carica dei nuclei

Dai risultati sperimentali si trovano le seguenti proprieta

(i) I nuclei non sono sfere con una superficie definita in modo netto. Al loro internola densita di carica e praticamente costante, mentre in superficie essa si annulla inmodo graduale. La distribuzione radiale della carica elettrica puo essere descritta,in buona approssimazione, da una distribuzione di Fermi a due parametri

(r) =(0)

1 + e(rR)/a

Questo e mostrato in figura 1.2, per alcuni nuclidi.

Figura 1.2: Distribuzioni di carica radiale per alcuni nuclei.

(ii) La costante R indica la distanza radiale alla quale (r) si riduce alla meta del suovalore a r = 0 e puo quindi essere considerata come il raggio medio del nucleoatomico. Per nuclei medi e pesanti il numero di nucleoni per unita di volume e

circa costante A43R

3 cost

si trova allora per il raggio nucleare

R = r0A1/3

con r0 1.2 fm.

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1.2 Masse ed energie di legame dei nuclei

(iii) Nel caso di nuclei con alto numero atomico la costante a, determinata sperimen-talmente vale circa a = 0.54 fm.

1.1.4 Momenti di quadrupolo elettrico nucleari

La distribuzione di carica in un nucleo e descritta dai momenti di multipolo elettrico.dato che i momenti di ordine dispari (ossia dipolo e ottupolo) devono essere identica-mente nulli a causa della conservazione della parita il momento di quadrupolo elettricocostituisce la quantita piu direttamente accessibile alla misura per determinare di quantola distribuzione di carica, e quindi il nucleo, si scosti dalla forma sferica.La definizione classica di momento di quadrupolo e

Q =

(3z2 r2)(r)d3r

Una distribuzione ellissoidale con semiasse a lungo z e semiassi b nelle altre direzioni,

avente densita di carica (r), possiede il seguente momento di quadrupolo

Q =2

5Ze(a2 b2)

Se Q > 0 abbiamo a > b ed il nucleo si dice prolato, se invece Q < 0 abbiamo a < b edil nucleo si dice oblato (vedi figura 1.3).

Figura 1.3: A sinistra nucleo prolato (Q > 0), a destra nucleo oblato (Q < 0).


Lenergia di legame o binding energy di un nucleo AZX e definita essere

B =

Zmp + (A Z)mn m(AZX)

c2

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Nucleo 21H42He

84Be

5626F e

23892 U

B/A 1.1 7.07 7.06 8.15 7.57

Tabella 1.1: Binding energy per unita di nucleone (in MeV).

dove mp e la massa del protone, mn quella del neutrone, e m(AZX) la massa nucleare.

Dato che sperimentalmente e di notevole difficolta la misura delle masse nucleari, mae molto piu facile misurare le masse atomiche (con spettrometri di massa, ad esempio)risulta conveniente definire la binding energy in funzione della massa atomica, essendo

M(AZX)c2 = m(AZX)c

2 + Zmec2

Zi=1

Bi

dove me e la massa dellelettrone e Be =Z

i=1 Bi ERyd.Z12/5 (in eV) e lenergia dilegame degli elettroni, si ha

B = Z(mp + me) + (A Z)mn M(AZX) c2 Be=

ZM(11H) + (A Z)mn M(AZX)

c2 + Zbe Bedove be e lenergia di legame dellelettrone nellatomo di

11H. La differenza Zbe Be puo

essere trascurata con buona approssimazione e quindi

B =

ZM(11H) + (A Z)mn M(AZX)

c2 (1.9)

Landamento della misura della binding energy per nucleone in funzione del numero dimassa e mostrato in figura 1.4. In tabella 1.1 sono mostrati un po di valori sperimentali.

1.2.1 Modello a goccia liquida e formula semi-empirica di massa

Il fatto che lenergia di legame per nucleone e la densita della materia nucleare sonoquasi indipendenti da A, indica una certa rassomiglianza dei nuclei con goccioline diliquido, per le quali il calore di evaporazione e la densita del liquido sono indipendentidalle dimensioni della gocciolina stessa. Seguendo questa analogia si trova lespressionecompleta per la binding energy

B(A, Z) = avA asA2/3 acZ(Z 1)A1/3 asym(A 2Z)2A1 + (1.10)Discutiamo il significato dei vari termini:

(i) Il primo termine, quello dominante, e proporzionale alle dimensioni del nucleo(R3 A).

(ii) Lanalogia con la goccia fa supporre lesistenza di effetti (tensioni) superficiali: unnucleone vicino alla superficie del nucleo, avendo nucleoni solo da un lato, non elegato cos fortemente come un nucleone esterno. Bisogna quindi sottrarre unaquantita proporzionale ad R2.

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Figura 1.4: Binding energy per nucleone.

(iii) Tenendo conto dellinterazione coulombiana tra i protoni dobbiamo sottrarre unaquantita proporzionale al numero di coppie di protoni, supponendo la densita di

carica sferica ed uniforme si ottiene che tale quantita deve essere proporzionaleanche a 1/R.

(iv) Esaminando la figura 1.5 si vede che ce una tendenza in natura ad una simmetriatra Z e (A Z), almeno per i nuclei leggeri. Questo fatto ci induce ad introdurreun termine, proporzionale ad A e dipendente da (A Z)/Z, che abbia un minimoper A = 2Z.Una semplice espressione soddisfacente tali condizioni e

asymA

1 (A Z)/Z1 + (A Z)/Z

2= asym

(A 2Z)2A

(v) Infine va aggiunto un termine che tenga conto della maggiore stabilita osservatasperimentalmente, per i nuclei con (A Z) e Z pari rispetto ai casi in cui (A Z),o Z, o entrambi siano dispari:

=

apA

3/4 per il caso pari-pari

0 per il caso pari-dispari

apA3/4 per il caso dispari-dispari

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Figura 1.5: I nuclei stabili sono raffigurati in nero scuro, quelli radioattivi in grigio.

Sperimentalmente (MyersSwiatecki) si determinano i seguenti valori (in MeV) per lecostanti introdotte

av as ac asym ap15.68 16.56 0.717 28.1 34

Un po di valori sperimentali sono mostrati in tabella 1.2.

Nucleo Bv/A Bs/A Bc/A Bsym/A /A Totale Sperimentale168 O 15.68 -7.36 -1.14 0 0.27 7.45 7.9823892 U 15.68 -2.99 -4.11 -1.45 0.002 7.13 7.57

Tabella 1.2: Termini della binding energy per unita di nucleone (in MeV).

Combinando la (1.10) con la (1.9), si ottiene la formula semi-empirica di massa (dovutaa Weizsacker)

M(A, Z) = ZM(11H) + (A Z)mn B(A, Z)/c2 (1.11)

1.3 Radioattivita

Facciamo una panoramica dei principali canali di decadimento di un nucleo atomico cheverranno analizzati in dettaglio in seguito:

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1.3 Radioattivita

(i) Decadimento :AZX A4Z2Y +42 He

(ii) Decadimento :A

ZX

A

Z+1Y + e +

eovvero nel nucleo avviene n p + e + e.

(iii) Decadimento +:AZX AZ1Y + e+ + e

ovvero nel nucleo avviene p n + e+ + e.(iv) Decadimento :

AZX

AZY + (v) Cattura elettronica ():

AZX

AZ1Y + e

ovvero p + e n + e.(vi) Fissione spontanea:

AZX A1Z1 Y +A2Z2 W + kn

con il vincolo Z = Z1 + Z2 e A = A1 + A2 + k.

1.3.1 Legge del decadimento radioattivo

Consideriamo un generico decadimento

A

B + b

Detta (costante di disintegrazione) la probabilita che il nucleo A decada in un datoistante, il numero dN di nuclei che decade nel tempo dt vale dN = N(t)dt, cioe

N(t) = N(0)et

La vita media della sostanza radioattiva e definita come

=

0 t|dN/dt|dt0 |dN/dt|dt

=1

Il tempo di dimezzamento del numero di nuclei vale allora

t1/2 = ln 2 0.693Si definisce inoltre attivita la quantita

A =dNdt = N(t)

storicamente A si misura in curie, 1c = 3.7 1010 decadimenti/sec.

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interazione (sec)

forte 1022 1023debole 1016 1018

elettromagnetica 108 1010

Tabella 1.3: Tempi di decadimento caratteristici delle interazioni fondamentali.

1.3.2 Teoria quantistica dei decadimenti radioattivi

Come detto la costante di disintegrazione esprime la probabilita che il sistema nucleareabbia una transizione (decade) dallo stato iniziale |i in un nuovo stato quantistico |f,usando la regola doro di Fermi (discussa in appendice A.2) possiamo allora scrivere

=2

f|V|i

2

(Ef) (1.12)

ipotizzando linterazione del tipo V + V, dove la presenza di un potenziale V di deboleintensita, in aggiunta al potenziale nucleare V, e la causa del decadimento. La (1.12)tiene conto della densita degli stati energetici finali (Ef); la probabilita di transizionee infatti tanto maggiore quanto pi numerosi sono gli stati finali accessibili al sistema.La funzione donda dipendente dal tempo dello stato finale sara

f(r, t) = f(r, 0)eiEft/ (1.13)

essendo f(r, 0) ed Ef rispettivamente la funzione donda e lenergia dellautostato finaledi V. La probabilita di trovare il sistema nello stato |f e |f|2, per essere consistentecon la legge del decadimento radioattivo deve valere

|f(r, t)

|2 =

|f(r, 0)

|2 et

Possiamo allora riscrivere la (1.13) come

f(r, t) = f(r, 0)eiEft/et/2 (1.14)

Cos facendo pero perdiamo la possibilita di determinare esattamente lenergia del siste-ma in quanto il nuovo stato |f rappresentato in (1.14) non e piu autostato dellenergia.Scomponiamo f in autostati dellenergia

f(r, t) =

dEa(E)E(r, t) =

dEa(E)E(r)e

iEt/

in un intorno abbastanza piccolo di Ef, E

Ef e quindi

f(r, t) =

dEa(E)Ef(r)e

iEt/

imponendo f(r, 0) = Ef(r) troviamodEa(E)eiEt/ = eiEft/et/2

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1.3 Radioattivita

Figura 1.6: Lampiezza della distribuzione = e una misura dellindeterminazione

sullenergia dello stato.

da cui

a(E) =1

2

1

E Ef + /2La probabilita di osservare il sistema con energia E, nelle vicinanze di Ef, e allora

P(E) = |a(E)|2 = 142

1

(E Ef)2 + (/2)2(1.15)

In figura 1.6 e graficata la (1.15), detta formula di BreitWigner.

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2 Interazione nucleare

2.1 Il deutone

Il deutone 21H e il piu semplice stato legato fra nucleoni. Esso risulta quindi particolar-mente adatto per lo studio dellinterazione nucleonenucleone. Gli esperimenti hannopermesso di determinare le seguenti proprieta, relative allo stato fondamentale:

(i) Energia di legame bassa, B = 2.225 MeV;

(ii) Spin e parita, J = 1+;

(iii) Isospin, T = 0;

(iv) Momento magnetico, = 0.857 N;

(v) Momento di quadrupolo elettrico, Q = 0.00282 barn;

(vi) Raggio medio del sistema, R = 2.1 fm.

Ipotizziamo in prima approssimazione che il potenziale di interazione neutroneprotonesia semplicemente una buca rettangolare

V(r) = V0 per r R0 per r > RNel riferimento del centro di massa, detta m la massa ridotta, lequazione di Schrodingere

2

2m2 + V(r)

(r) = E(r) (2.1)

In coordinate sferiche la (2.1), essendo (r) = R(r)Ym(, ), si disaccoppia in2Ylm(, ) = 2( + 1)Ym

2

2m

d2

dr2+ V(r) +

( + 1)2

2mr2 u(r) = Eu(r)

dove si e introdotta la funzione radiale ridotta ul = rRl(r). Risolviamo lequazioneradiale per lo stato fondamentale, quello in = 0. Distinguiamo i casi

(i) Per r R bisogna risolvere (lenergia dello stato legato e E = B)d2

dr2u0(r) + k

2u0(r) = 0 con k2 =

2m

2(V0 B)

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Figura 2.1: Lenergia di legame del deutone e molto vicina alla cima della buca dipotenziale

la cui soluzione e

u0(r) = A1 sin kr + A2 cos kr

Imponendo u0(0) = 0 (vogliamo che R0(r) sia regolare in r = 0) si trova (A2 = 0)infine

u0(r) = A1 sin kr per r R (2.2)

(ii) Per r > R bisogna risolvere

d2dr2

u0(r) + 2u0(r) = 0 con

2 = 2mB2

la cui soluzione, scartando laddendo che diverge allinfinito, e

u0(r) = A2er per r > R (2.3)

Da (2.2) e (2.3), imponendo la continuita di u0(r) e della sua derivata prima in r = R sitrova

A1 sin kR = A2e

R

A1k cos kR = A2eR

=

k cot kR =

ovvero V0 B cot

R

2m(V0 B)

=

B

da cui si trova, per R = 2.1 fm che V0 = 35 MeV, cioe il deutone e uno stato poco legato.Si veda la figura 2.1.

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2.1 Il deutone

2.1.1 Spin del deutone

Posto s = sp + sn, possiamo avere lo stato di singoletto di spin

s = 0 = sz = 0, cioe |s = 0, sz = 0 = | |2oppure lo stato di tripletto

s = 1 = sz =

1 cioe |s = 1, sz = 1 = |

0 cioe |s = 1, sz = 0 = | + |2

1 cioe |s = 0, sz = 1 = |

Sperimentalmente risulta J = 1 e dato che J = ( + s),..., | s| deve essere necessa-riamente s = 1 ( = 0). In notazione spettroscopica tale stato si indica con 3S1 (con ilsignificato 2s+1J ed = S,P,D,F,...).

2.1.2 Momento di quadrupolo elettrico del deutone

Per lo stato puro in onda = 0, la funzione donda e a simmetria sferica quindi ilmomento di quadrupolo elettrico Q dovrebbe essere nullo. La misura sperimentale (Q =0) ci induce a pensare che il deutone e una miscela di stati in onde diverse. Dato cheogni stato del deutone deve avere gli stessi numeri quantici J = 1+, si trova

|d = a0|3S1 + a2|3D1

In altre parole ce una di probabilita di trovare il deutone in uno stato in onda =2. Questo effetto di mixing puo essere spiegato mediante la componente tensorialedellinterazione nucleonenucleone.

2.1.3 Momento magnetico del deutone

Un altro indizio del fatto che il deutone non e uno stato puro in onda = 0 e dato dallamisura del momento magnetico.Assumendo che il centro di massa del sistema legato del deutone e a meta strada tra ilprotone ed il neutrone, si ha che il momento magnetico del deutone deve valere (in unitaN/)

= gs(p)sp + gs(n)sn +12

g

Per = 0 si ha allora che il momento magnetico del deutone e pari alla somma deimomenti magnetici del protone e del neutrone

( = 0) =1

2(gs(p) + gs(n)) = p + n = (2.792 1.913)N = 0.879 N

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il che e in disaccordo con la misura sperimentale.Da s = sp + sn, trovo

gs(p)sp + gs(n)sn =

1

2 (gs(p) + gs(n))s +

:

01

2 (gs(p) gs(n))(sp sn)dato che nello stato di tripletto di spin mediamente protone e neutrone hanno lo stessomomento angolare intrinseco. Essendo inoltre s = j si ha

=1

2(gs(p) + gs(n))j +

1

2(1 gs(p) gs(n))

Dovendo prendere la proiezione lungo j si trova infine che

=1

2(gs(p) + gs(n))j +

1

2(1 gs(p) gs(n))

|j|2 + ||2 |s|22|j|2 j

Per londa = 2 si ha allora, essendo a2 3D1|2|a2 3D1 = 6|a2|2,( = 2) =

3

4|a2|(1 gs(p) gs(n))

per cui il momento magnetico totale del deutone e

= p + n +3

4|a2|(1 gs(p) gs(n))N

Usando la misura sperimentale possiamo allora calcolare la percentuale di onda 3D1 nellostato del deutone, si trova

|a2

|2

0.039

2.2 Il potenziale nucleonenucleone

Nello scrivere unespressione generale per il potenziale nucleonenucleone si trascurera,come fin qui fatto, la struttura interna dei nucleoni, il che significa che questo potenzialesara valido soltanto per gli stati legati nucleonenucleone e per la diffusione fra nucleonia basse energie.Il potenziale deve verificare le seguenti proprieta:

(i) invarianza per traslazioni, ne segue che deve dipendere solo da r = r1 r2;

(ii) invarianza per rotazioni, ne segue che V deve essere uno scalare e quindi puodipendere solo da r = |r|, r p, r i;

(iii) invarianza sotto trasformazioni di Galilei1, ne segue che V deve dipendere dav = v1 v2, o meglio da p1/m1 p2/m2;

1Meglio sarebbe richiedere che V sia relativisticamente invariante, ma per semplicita di esposizione nontratteremo questo caso.

18


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2.3 Teoria di Yukawa

(iv) invarianza per parita2 (la ammettiamo perche nei sistemi nucleonenucleone nonsi osservano dipoli permanenti);

(v) invarianza per inversione temporale3 (si crede sia una buona simmetria per leinterazioni forti).

Il piu generale potenziale soddisfacente a queste ipotesi e:

V(r) = V1(r)

+ V2(r) 1 2+ V3(r)S12

+ V4(r) (r p) (1 + 2)+ V5(r) (r p)2+ V6(r) (r p)21 2+ V7(r) (r

p)2(1 + 2)

2 + ... (2.4)

Il primo e un termine puramente centrale, mentre il secondo dipende dallo spin dei duenucleoni. Il terzo termine e chiamato potenziale tensoriale e descrive una forza di tiponon centrale, con

S12 = 3(1 r)(2 r)

r2 1 2

Il quarto termine scritto tiene conto dellinterazione spinorbita.

2.3 Teoria di Yukawa

La teoria di Yukawa postula che le forze nucleari derivino da un campo mediato da pioni,vedi figura

2

Ricordiamo che loperatore di parita mandar r, p p, i i

3Ricordiamo che loperatore di inversione temporale manda

r r, p p, i i

19


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Se sostituiamo lenergia E e limpulso p che compaiono nellequazione relativistica

E2 = p2c2 + m2c4

con gli operatori i

/t e i

, come viene fatto nellequazione di Schrodinger, otte-niamo lequazione di KleinGordon2 m

2c2

2

(r, t) =

1

c22

t2(r, t)

Questa equazione, per una particella di massa nulla, descrive unonda che si propaga allavelocita della luce (se sostituiamo con il quadrivettore del potenziale elettromagneticosi ottiene lequazione di dAlembert nel vuoto). Si puo allora interpretare come lafunzione donda del fotone.In analogia a quanto appena detto, cerchiamo ora soluzioni stazionarie in presenza disorgenti del campo mesonico

2 m2c

2

2

(r) = g(r r0)

Si ha

(r) =g

4

emc

|rr0|

|r r0| (2.5)

Il potenziale di Yukawa, che descrive linterazione mediata da pioni e allora

VY uk.(r) = g(r) =g2

4

emc

|rr0|

|r

r0

|Dato che il range della forza nucleare e r 1 fm, dal principio di indeterminazionesegue che la massa del pione e

m c

rc2 200 MeV/c2

Generalizzazione di Bethe

Per il pione si osserva che J = 0, quindi la funzione donda (2.5) non va bene perche(r) = (r). Sostituisco allora la forma della sorgente

2 m2c22

(r) = g(1 1)(r r1)

dove il pedice indica che loperatore agisce su r1. In questo caso si trova allora

(r) = g(1 1) emc

|rr1|

4|r r1|

20


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2.4 Diffusione nucleonenucleone

la quale come richiesto ha parita negativa. Da questa si ottiene il potenziale OPE (onepion exchange)

VOPE(r) = g2(2

2)(1

1)

er/r

4r=

g2

4

1 2 +

1 +

2rr

+3r2r2

S12

er/r

r

avendo posto r = |r1 r2| ed r = /(mc). Si ritrovano cos i primi tre termini delpotenziale nucleonenucleone in (2.4).


La diffusione nucleonenucleone alle basse energie (al di sotto della soglia di produzionedel pione) e puramente elastica e puo essere descritta con la meccanica quantistica non

relativistica. I nucleoni, in questo contesto, sono interpretati come oggetti puntiformiprivi di struttura, dotati pero di spin e isospin.

2.4.1 Sfasamenti

Consideriamo il sistema di riferimento del centro di massa. Il nucleone incidente dal-linfinito puo essere descritto con unonda piana, tale onda puo essere espressa medianteuna decomposizione in onde parziali con momento angolare ben definito

inc. = Aeikr = A

=0i(2l + 1)J(kr)P(cos ) (2.6)

Stima semiclassica della sezione durto

Se le particelle con momento p interagiscono con un parametro dimpatto b si ha che ilrelativo momento angolare (semiclassico) sara

=pb

= kb

Le particelle con momento angolare 0 interagiranno con parametro di impatto0 b 1/k, per cui la sezione durto sara /k2. Analogamente particelle con 2avranno una sezione durto pari allarea della corona circolare di raggi 1/k e 2/k, cioe

3/k2. Possiamo allora dividere larea di interazione in zone aventi ognuna uno specificomomento angolare di area (2 + 1)/k2. Dato che il massimo valore del parametrodimpatto e pari alla somma R dei raggi delle due particelle si ha che alla sezione durtototale e data da

semicl. =Rk=0

(2 + 1)

k2=

R +

1

k

2

21


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Calcolo quantistico

Quando le particelle sono infinitamente lontane (r ) possiamo espandere la funzionedi Bessel come

J(kr) ei(kr/2)

ei(kr/2)

2ikrper cui la (2.6) puo scriversi come

inc. =A

2kr

=0

i+1(2l + 1)

ei(kr/2) ei(kr/2)P(cos ) (2.7)I termini in (2.7) che contengono eikr rappresentano unonda sferica che converge sulbersaglio, invece quelli con eikr londa sferica emergente. Lo scattering ha effetto solosullonda emergente, la quale puo essere modificata in due modi:

(i) attraverso un cambio di fase;

(ii) attraverso un cambio in ampiezza.

Questi cambiamenti si traducono in un fattore moltiplicativo del tipo S = e2i , per

cui la funzione donda totale (onda incidente + onda diffusa) sara

tot =A

2kr

=0

i+1(2l + 1)

ei(kr/2) Sei(kr/2)

P(cos )

Per ottenere londa diffusa basta allora

sc. = tot

inc. =

A

2kr

=0 i+1(2l + 1)(1

S)e

i(kr/2)P(cos )

Notiamo che stiamo assumendo che la diffusione sia elastica in quando londa diffusa elonda incidente hanno lo stesso numero donda k.Per ottenere la sezione durto

d

d=

jsc.r2

jinc.

bisogna calcolare le densita di corrente

jsc. = i2m

sc.sc. sc.sc.

= i

2m

sc.

sc.r

sc. sc.

r

= |A|2 4mkr2

=0

i(2l + 1)(1 S)P(cos )2

e analogamente

jinc. = |A|2km

22


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La sezione durto differenziale e allora

d

d=

1

4k2

=0i(2l + 1)(1 S)P(cos )

2

Per ottenere la sezione durto totale, occorre integrare i polinomi di Legendre

ddP(cos )P(cos )sin =

0 se =

4

2 + 1se =

e quindi

=

k2

=0

(2 + 1)|1 S|2

Dato che la diffusione e elastica |S| = = 1, quindi, notando che |1 e2i

|2

= 4sin

2

,si ha

=4

k2

=0

(2 + 1) sin2 (2.8)

Langolo prende il nome di sfasamento.

Calcolo degli sfasamenti per un potenziale centrale

In presenza di un potenziale centrale V(r) come centro diffusore la funzione donda totalepuo scriversi come sviluppo in onde parziali

(r) = A

=0

i(2 + 1)P(cos )u(r)

r

essendo u(r) le funzioni donda radiali ridotte soluzioni delle equazioni di Schrodingerd2

dr2 ( + 1)

r2

u(r) +

2m

2

E V(r)u(r) = 0

Studiando gli sfasamenti si puo quindi risalire alla forma del potenziale.Si vede in particolare che il potenziale nucleonenucleone a corto raggio e fortementerepulsivo (si puo addirittura assimilare ad una barriera di altezza infinita), a lungo

raggio ha la forma OPE, mentre a medio raggio OBE (one boson exchange, ovvero laparticella mediatrice e un mesone piu pesante, tipo particella ad esempio).

Risonanze

A certe energie la particella incidente ha una grossa penetrazione e quindi la sezionedurto presenta una risonanza. Supponiamo che tale risonanza sia presente per un fissato

23


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valore di . Per E = Er sara = /2, mentre in un intorno di Er, sviluppando in serie4

cot (E) :

0cot (Er) + (E Er)

cot E

Er

+:0

1

2(E Er)2

2 cot E2

Er

Er E/2

avendo posto

= 2

cot

E

1= 2

E

1sara quindi

sin =1

1 + cot2 /2

(Er E)2 + (/2)2Dalla (2.8), segue per la sezione durto

=

k2(2 + 1)

2

(Er

E)2 + (/2)2(2.9)

nota come risonanza alla BreitWigner. La (2.9) puo essere generalizzati in due modi.Innanzitutto bisogna tenere conto degli spin delle particelle che reagiscono, in tal caso ilcoefficiente (2 + 1) va sostituito con

g =2J + 1

(2sa + 1)(2sX + 1)(2.10)

essendo J = sa + sX + il momento angolare totale della risonanza. In secondo luogobisogna tenere conto dei possibili modi di decadimento della risonanza per cui la lar-ghezza totale e la somma delle larghezze dei processi parziali. Se oltre al processo didiffusione elastica considerato a + X

a + X si ha anche il decadimento a + X

b + Y

la sezione durto diventa

=

k2g

a+X b+Y(Er E)2 + (/2)2 (2.11)

essendo = / e la vita media della risonanza (si veda la sottosezione 1.3.2).

2.4.2 Caso di diffusione in onda = 0

A basse energie contano solo i primi termini dellespansione in serie (2.8). In particolarese lenergia del nucleone incidente con parametro di impatto b (dellordine del raggio diinterazione della forza nucleare) e

E 2

mb2 27 MeV

4Infatti

cotx

x

/2

= 1 cot2(/2) = 1,2 cotx

x2

/2

= 2 cot(/2)`

1 + cot2(/2)

= 0

24


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il processo di diffusione avviene in onda = 0 e quindi la sezione durto totale vale

=4

k2sin2 0

Il segno di 0 specifica se linterazione e attrattiva o repulsiva. Si consideri unonda S( = 0, la funzione donda e a simmetria sferica), risolvendo lequazione di Schrodinger

d2

dr2u(r) +

2m

2

E V(r)u(r) = 0

per stati ad E > 0 si trova, per una barriera rettangolare di raggio R (potenzialerepulsivo)

0 = kR < 0Questo significa che londa diffusa e in ritardo di fase rispetto ad unonda non diffusa.Nel caso di potenziale attrattivo londa diffusa risulta, invece, in anticipo di fase e quindi0 > 0 (si veda figura 2.2).

Figura 2.2: Andamento dello sfasamento nel caso di un potenziale repulsivo (a sinistra)e di uno attrattivo (a destra). Le linee tratteggiate indicano onde che nonsono state diffuse.

Sperimentalmente si trova che in un processo di diffusione nucleonenucleone lo sfasa-mento 0(E) presenta landamento in figura 2.3.In particolare 0 cambia segno per energie E > 250 MeV. Dato che per energie maggiorisi indagano distanze minori si trova che a corto raggio linterazione nucleare presenta unnocciolo repulsivo.

Lunghezza di scattering e raggio efficace

In un processo di diffusione consideriamo la solita buca di potenziale rettangolare, lasoluzione dellequazione di Schrodinger radiale e

u(r) = A sin(kr + 0) = A

r

sin kr

kr

k

tan 0+ cos kr

sin 0

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Figura 2.3: Sfasamento in funzione dellenergia per londa 1S0.

Nel limite di basse energie (k 0) si ha

u(r)

A1 r

a sin 0dove si e definita la lunghezza di scattering

a = limk0

tan 0k

0k

La lunghezza di scattering e un utile parametro che permette di determinare se esistonoo meno stati legati per il processo di diffusione considerato.Gli stati legati esistono solo per a > 0. Discutiamo la seguente casistica:

(i)buca poco profonda, comedetto non esiste uno statolegato, ed e a < 0

(ii)stato legato ad energia zero,e a < 0

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(iii)buca profonda, esiste unostato legato in onda = 0, ed

e a > 0

(iv) caso limite a = R (0 = )

Una relazione piu precisa tra la lunghezza di scattering e lo sfasamento 0 e data dallateoria di Bethe del raggio efficace

k cot 0 = 1a

+1

2r0k

2 + (k4) (2.12)

dove r0 e detto raggio efficace.Per una diffusione neutroneprotone si misurano sperimentalmente i seguenti valori

Stato singoletto tripletto

a (fm) 23.715 0.015 5.423 0.005r0 (fm) 2.73

0.03 1.748

0.006

Dai quali si vede che non puo esistere lo stato di singoletto non e uno stato legato e siha ulteriore conferma che lo stato di tripletto e uno stato poco legato.Attraverso la (2.12) si puo esprimere anche la sezione durto totale del processo (semprein onda = 0)

=4

k2sin2 0 4a

2

1 + a2k2 ar0k2

2.4.3 Diffusione protoneprotone e neutroneneutrone

Nello scattering fra nucleoni identici bisogna tenere in considerazione, tra le altre cose,che le particelle sono indistinguibili per cui le situazioni descritte in figura 2.4, per noisono indistinguibili.La parte spaziale della funzione donda dovra percio essere della forma

(r) = (r, ) (r, )

con il segno scelto in modo tale che sia simmetrica o antisimmetrica a seconda chesiamo in uno stato di singoletto o tripletto di spin.

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Figura 2.4: Scattering di particelle identiche nel sistema del centro di massa, le duesituazioni mostrate sono indistinguibili.

La sezione durto per un processo di diffusione protoneprotone vale

d

d=

e2

40

1

4E

21

sin4 2+

1

cos4 2 cos

lntan2 2

sin2 2 cos2

2

2

sin 0

cos

0 + lnsin2

2

sin2 2

+cos

0 + ln cos2

2

cos2 2

+

4

2sin2 0

(2.13)

con

=e2

40c

c

v

I primi due termini della (2.13) tengono conto della sola interazione coulombiana (si

riconosce la sezione durto Rutherford ad angolo di diffusione e ), mentre lultimoe il termine puramente nucleare. Gli altri sono dovuti ad interferenza tra le interazionicoulombiana e nucleare. Si veda la figura 2.5.Dalle misure sperimentali mostrate in tabella

Potenziale di interazione a (fm) r0 (fm)

nucleare+coulombiano 7.82 0.01 2.79 0.02solo nucleare 17.1 0.2 2.84 0.03

si trova che non puo esistere un stato legato protoneprotone (e cio non e dovuto prin-cipalmente alla sola interazione coulombiana). Analogamente, anche per un sistemaneutroneneutrone

a (fm) r0 (fm)16.6 0.5 2.66 0.15

non esiste uno stato legato.Si puo allora dedurre che linterazione nucleonenucleone e indipendente dalla carica;questa proprieta e nota come simmetria di carica. In generale linterazione nucleare e lastessa per ogni coppia di nucleoni; tale proprieta e detta invarianza isotopica.

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Figura 2.5: Sezione durto per processi di diffusione pp a 3.037 MeV. Il fit dei datisperimentali con la (2.13) da uno sfasamento 0 = 50.966

.

29


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30


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3 La struttura dei nuclei

3.1 Modello a gas di Fermi

I nuclei che si trovano nel loro stato fondamentale o sono solo debolmente eccitati, sonoesempi di gas di Fermi degenere. Il potenziale cui ciascun nucleone e soggetto e unasovrapposizione dei singoli potenziali prodotti dagli altri nucleoni. Si assume ora, inquesto modello, che il potenziale risultante sia assimilabile ad una buca rettangolare. Ladensita degli stati per un nucleone allinterno di un volume V e data da

g() = V422m23/2

dove e il grado di degenerazione del livello energetico in esame. Analogamente, postop2 = 2k2 = 2m,

g(k) =4V

(2)3k2

Quando il nucleo e nello stato fondamentale, gli stati piu bassi saranno tutti occupatifino ad un certo impulso massimo kF, che prende il nome di impulso di Fermi. Il numerodi tali stati e

4V

(2)3

kF

0

k2dk =V

62

k3F

Dato che ogni stato puo contenere al piu due fermioni della stessa specie (neutrone oprotone), si avra

N =V

32k3F(n) e Z =

V

32k3F(p)

per il numero di neutroni e di protoni rispettivamente (si veda figura 3.1).Dato un volume

V =4

3R3 =

4

3r30A

ed il valore r0 = 1.2 fm e avendo, inoltre, assunto che le buche di potenziale per protoni eneutroni abbiano lo stesso raggio, per un nucleo con Z = N = A/2 si ottiene un impulso

di FermipF = kF 250 MeV/c

I nucleoni, dunque, si possono muovere allinterno del nucleo con impulso abbastanzaelevato. Lenergia dello stato piu alto occupato, lenergia di Fermi, e data da

F =p2F2m

33 MeV

31


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Figura 3.1: Diagramma dei potenziali e degli stati di protoni e neutroni nellambito delmodello a gas di Fermi.

dove m e la massa del nucleone.La differenza fra la sommita della buca ed il livello di Fermi e costante per la maggiorparte dei nuclei e corrisponde allenergia di legame media per nucleone B/A = 7 MeV.La profondita della buca di potenziale e lenergia di Fermi sono, in buona approssima-zione, indipendenti dal numero di massa

V0 = F + B/A 40 MeV

In generale si verifica che i nuclei pesanti hanno un eccesso di neutroni. Dato che il livellodi Fermi, in un nucleo stabile, e lo stesso sia per protoni che per neutroni (altrimenti

il nucleo potrebbe trovare una configurazione energeticamente piu favorevole tramitedecadimenti ), la profondita della buca di potenziale per il gas di neutroni deve esseremaggiore; i protoni sono quindi in media meno legati di quanto lo siano i neutroni (questopuo essere visto come una conseguenza della repulsione coulombiana).Anche la dipendenza dellenergia di legame dalleccesso di neutroni pu o essere calcolatanellambito del modello a gas di Fermi. Lenergia media per nucleone vale

E = 310

p2F2m

20 MeV

quindi per lenergia cinetica totale, con un po di conti, si trova che

E(N, Z) = NEn + ZEp = 310mN p2F(n) + Zp2F(p)

=3

10m

r0

294

2/3 N5/3 + Z5/3A2/3

(3.1)

Si noti che si e ancora assunto che il raggio delle buche di potenziale per neutroni eprotoni e lo stesso. La (3.1), per A fissato, presenta un minimo per N = Z; lenergia di

32


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3.2 Modello a shell

legame quindi diminuisce per N = Z. Se si espande il serie la (3.1) in potenze di N Zsi ottiene

E(N, Z) =3

10m

r0

294

2/3A +

(N Z)2A

+ ...

Il primo fattore contribuisce al termine di volume nella formula semiempirica ( 1.10) e ilsecondo descrive la correzione che risulta nel termine di asimmetria.

3.2 Modello a shell

Da indagini spettroscopiche (cos come per il caso atomico) si vede lesistenza di livellienergetici discreti per i nucleoni allinterno dei nuclei. Mentre gli elettroni nellatomosono soggetti ad un potenziale coulombiano generato dal nucleo, i nucleoni, nel nucleo,si muovono allinterno di un campo di potenziale medio prodotto dagli altri nucleoni.In entrambi i casi ne risulta uno spettro energetico discreto i cui livelli sono occupatisecondo i dettami del principio di Pauli.

3.2.1 Numeri magici

Nel caso atomico gli elettroni possono essere organizzati in shell o strati, intendendo conquesto termine il fatto che numerosi livelli di energia giacciono gli uni vicini agli altriseparati in modo netto dagli altri strati. qualcosa di simile sembra accadere anche nelnucleo.Questi numeri

2, 5, 20, 28, 50, 82, 126

sono noti come numeri magici. E un dato sperimentale accertato che i nuclei con unnumero magico di protoni e/o neutroni sono praticamente stabili. Se un nucleo possiede

un numero magico di protoni (neutroni) e necessario fornire molta energia per poterestrarre un protone (neutrone) da esso, mentre se si aumenta di ununita il numero diprotoni (neutroni) lenergia di separazione diventa molto piu piccola. Si riscontra chee anche necessaria molta energia per portare uno di questi nuclei in uno stato eccitato.Queste proprieta sono in analogia con quanto succede nel caso dei gas nobili.

3.2.2 Autostati del potenziale nucleare

La funzione donda delle particelle soggette al potenziale nucleare puo fattorizzarsi in

(r) = Rn(r)Ym(, )

Cerchiamo gli autostati dellenergia con diversi modelli per il potenziale nucleare.

Potenziale a buca infinita

Utilizziamo dapprima il potenziale

V(r) =

0 per r R

per r > R

33


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Figura 3.2: Struttura a shell per un potenziale a buca infinita (a sinistra) e per unpotenziale armonico (a destra).

Per stati legati lequazione di Schrodinger radiale e

d2

dr2Rn(r) +

2

r

d

drRn(r) +

2m

2

E ( + 1)

2

2mr2

Rn(r) = 0

la soluzione vale

Rn(kr) = J(kr) = r

k

1r

d

dr

sin krkr

con k2 =2m

2E

Imponendo J(kR) = 0 si ha per ln-esimo zero n di J (esclusa lorigine)

2n =2m

nR

r

e si ottiene cos la quantizzazione delle spettro. In figura 3.2 e mostrato lo spettro. Conquesto potenziale si ottengono solo i primi 3 numeri magici.

34


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3.2 Modello a shell

Figura 3.3: A sinistra la struttura a shell per un potenziale di tipo SaxonWoods, adestra e mostrato leffetto dellinterazione dovuta allaccoppiamento spinorbita che separa i livelli energetici.

Potenziale armonico e potenziale di SaxonWoods

Passiamo ora a considerare un potenziale armonico. Sappiamo che i livelli energeticisono dati da

N =

N +

3

2

con N = 2(n 1)

Gli stati con N pari hanno quindi parita positiva, quelli con N dispari parita negativa.Anche in questo caso (vedi figura 3.2) si ottengono solo i primi 3 numeri magici.

Continuando a cambiare il potenziale, ad esempio,

V(r) = V01 + e(rR)/a

i risultati non migliorano (vedi figura 3.3).

35


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Potenziale con accoppiamento spinorbita

Aggiungiamo ad uno dei potenziali centrali precedenti un termine che tiene conto del-linterazione spinorbita

V(r) = V(r)c + Vs

s

2

La combinazione di e s permette di costruire i momenti angolari totali

j = 12

E quindi i valori medi su uno stato |n,,j di s sono

s2

=j(j + 1) ( + 1) s(s + 1)

2=

+ 12

per j = 12

2per j = +

1

2

e questo comporta una separazione dei livelli energetici che cresce linearmente con

s =

Vs(r) + 1

2per j = 1

2

Vs(r) 2

per j = +1

2

= s = 2 + 12

Vs(r)

Sperimentalmente si trova che Vs, a differenza del caso atomico, e negativo e quindi illivello ad energia piu bassa e quello con j = 1/2.Cos facendo (vedi figura 3.3) si ottengono anche gli altri numeri magici.

3.2.3 I momenti magnetici nellambito del modello a shell

Nellambito del modello a shell i momenti magnetici dei nuclei si ottengono sommandosui momenti magnetici dei singoli nucleoni, avendo dapprima associato ad ognuno diessi lopportuno spin e momento angolare orbitale. Ovviamente in ogni shell completai momenti angolari e gli spin si sommano con risultante nulla, quindi nel calcolo delmomento magnetico conta solo il nucleone spaiato

=N

(g + gss) = + s

Il momento magnetico sara quindi diretto lungo j = + s e avra modulo (in unitaN/) pari a

= g j

j+ gs

s jj

= gjj (3.2)

n p

g 0 1gs 3.826 5.586

Tabella 3.1: Fattori di Lande per i nucleoni.

36


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3.2 Modello a shell

Dalla relazione s2 = j2 + 2 2 j si trova jj2

=j(j + 1) + ( + 1) s(s + 1)

2j(j + 1)

e analogamente per s j/j. Sostituendo nella (3.2) si trova allora

gj = gj(j + 1) + ( + 1) s(s + 1)

2j(j + 1)+ gs

j(j + 1) + s(s + 1) ( + 1)2j(j + 1)

Quindi, dato che j = 1/2 si ha

=

g gs g

2 + 1

j

Questa previsione del modello, sviluppata da Schmidt nel 1937, identifica per protonee neutrone due linee in funzione dello spin nucleare, j, dette linee di Schmidt, su cui sidovrebbero allineare i valori dei momenti magnetici dei nuclei con A dispari. In effetti,come mostrato in figura 3.4, i valori sperimentali dei momenti magnetici sono, in valoreassoluto, piu piccoli della previsione del modello e, pur con alcune fluttuazioni, sonoraggruppati lungo linee che sono allinterno dei limiti definiti dalle linee di Schmidt.

Figura 3.4: Linee di Schmidt e valori del momento magnetico di alcuni nuclei con Adispari in funzione dello spin.

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4 Decadimento

Come gia detto lemissione spontanea di una particella e rappresentata dal seguenteprocesso

AZX A4Z2Y +

Rutherford mostro che la particella altro non e che un nucleo di 42He.

Perche i nuclei decadono ?

Il decadimento e un effetto della repulsione coulombiana. Questultima diventa signi-

ficativa per nuclei pesanti in quanto mentre la forza Coulombiana cresce come Z2, laforza di legame dei nuclei cresce approssimativamente come A. Il perche della sceltadellemissione di una particella (e non di un p o np) sta nel fatto che l42He e un nucleodoppiamente magico, quindi molto legato, ed il bilanciamento energetico e per questomolto favorevole.

4.1 Energetica del decadimento

Consideriamo il nucleo iniziale X nel sistema di quiete, la conservazione dellenergiaimpone

mX

c2 = mY

c2 + TY

+ m

c2 + T

essendo TY, T rispettivamente le energie cinetiche del nucleo Y e della particella ,ovvero

(mX mY m)c2 = TY + T (4.1)La quantita a sinistra dellequazione (4.1) e lenergia netta liberata nel decadimento,chiamata valore Q della reazione

Q = (mX mY m)c2

Il decadimento avviene spontaneamente se e solo se Q > 0 (si veda a tal proposito latabella 4.1).

Ricordando sempre che il nucleo X e in quiete, dalla conservazione dellimpulso segueche il nucleo Y e la particella si muovono in direzioni opposte con impulso uguale inmodulo

p = pY (4.2)

Il decadimento tipicamente rilascia 5 MeV di energia, cioe, sia per Y che per ,T mc2. Si puo quindi usare la cinematica non relativistica ponendo T = p2/2m, da

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4 Decadimento

Particella emessa Q (MeV) Particella emessa Q (MeV)

n 7.26 4He +5.411H 6.12 5He 2.592H 10.7 6He 6.193

H 10.246

Li 3.793He 9.92 7Li 1.94

Tabella 4.1: Valore Q per diversi modi di decadimento di 232U.

(4.1) e da (4.2) segue allora

T =Q

1 + mmY

Dato che il rapporto tra le masse e piccolo rispetto ad 1, si ha in modo abbastanzaaccurato che

mmY 4A 4

per cui, per A 4, si trovaT = Q

1 4

A

Q

Tipicamente la particella porta via il 98% del valore Q mentre il restante 2% vieneportato via dal nucleo Y. Questa energia di rinculo non e tuttavia trascurabile: perun valore tipico di Q = 5 MeV, il nucleo Y ha energia dellordine dei 100 keV; questaenergia e di gran lunga maggiore dellenergia che lega gli atomi nei solidi.Lenergia cinetica della particella puo essere misurata direttamente con uno spettro-

metro magnetico, in tal modo il valore Q puo essere determinato.

La relazione di GeigerNuttall

Sperimentalmente, come mostrato in figura 4.1, si vede che i nuclei che decadono congrandi energie di disintegrazione Q hanno vite di dimezzamento piccole e viceversa

Q 1t1/2

questultima prende il nome di relazione di GeigerNuttall.

4.2 La teoria dellemissione

Supponiamo che la particella sia preformata allinterno del nucleo radioattivo X. Infigura 4.2 e mostrata la forma del potenziale di interazione tra il nucleo Y e la particella in funzione della distanza relativa r.In tale modello teorico il decadimento avviene quando, per effetto tunnel, la particella

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Figura 4.1: Misure sperimentali che confermano la regola di GeigerNuttall per nucleidisparidispari.

Figura 4.2: La linea orizzontale indica lenergia di disintegrazione (il valore Q); il raggioa puo esser preso come la somma dei raggi del nucleo Y e della particella .

41


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4 Decadimento

penetra la barriera di potenziale coulombiano. La costante di disintegrazione deldecadimento si puo esprimere allora come

= f P

dove f e la frequenza con cui la particella si presenta alla barriera (ad r = a) e P e laprobabilita di trasmissione attraverso la barriera.La quantita f e dellordine di v/a dove v e la velocita relativa tra la particella ed ilnucleo Y. Possiamo trovare v dallenergia cinetica della particella per r < a, stimandoV0 35 MeV per una tipica buca si trova f 6 1021 Hz per Q = 5 MeV.Una stima della probabilita di penetrazione della barriera di potenziale puo ottenersiconsiderando il problema unidimensionale discusso in appendice A.1. Il risultato, (A.1)dipende dalla larghezza e dallaltezza della barriera nonche dallenergia della particella.La barriera coulombiana che vede la particella al di sopra della sua energia Q puo essereschematizzata come rettangolare di altezza (B Q)/2 e larghezza (ba)/2 essendo, vedifigura 4.2,

B =1

40

2(Z 2)e2a

Il fattore k2 in (A.1) diventa allora

(2m/2)(B Q)/2. Per un tipico nucleo pesante(Z = 90, a = 7.5 fm) si ha B 24 MeV cos che k2 1.6 fm1. Il raggio b a cui laparticella lascia lascia la barriera vale

b =1

40

2(Z 2)e2Q

che per Q 6 MeV vale circa 42 fm. Ne segue k2(b a)/2 1 e quindi possiamoapprossimare la (A.1) come

P ek2(ba) 1025 MeV

per cui 103 Hz e t1/2 700 sec. Una cambiamento di Q a 6 MeV porta P 1030e t1/2 108 sec. Si vede allora come una stima cos rozza riesce comunque a spiegarelandamento in figura 4.1.Il calcolo esatto puo esser fatto pensando la barriera coulombiana come formata dainfinitesime barriere rettangolari di altezza

V(r) =1

40

2(Z 2)e2r

e larghezza dr. La probabilita di penetrare ognuna di tali barriere, che si estendono dar ed r + dr, e

dP = exp

2dr

2m

V(r) Qla probabilita di penetrare lintera barriera e allora

P = e2G

42


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t1/2 (sec)

A Q (MeV) misurato calcolato

220 8.95 105 3.3 107222 8.13 2.8 103 6.3 105

224 7.31 1.04 3.3 102

226 6.45 1854 60228 5.52 6 107 2.4 106230 4.77 2.5 1012 1011232 4.08 4.4 1017 2.6 1016

Tabella 4.2: Vite di dimezzamento degli isotopi del T h.

dove si e introdotto il fattore di Gamow

G =2m2 b

a

drV(r) Qche puo essere valutato come

G =

2m

Q22(Z 2)e2

40

arccos

x

x(1 x)

(4.3)

dove x = a/b = Q/B. Per x 1, come avviene nella maggior parte dei casi, la quantit ain parentesi quadra vale /2 22. In questo caso la vita di dimezzamento vale

t1/2 = 0.693a

c

mc2

2(V0 + Q)exp

2

2mc2

(c)2Q

2(Z 2)e240

2 2 Q

B

Il risultato di questo calcolo per gli isotopi pari del T h e mostrato in tabella 4.2. Anche selaccordo con i valori sperimentali non e esatto1 si riesce a riprodurre il trend osservato.

1Notiamo che in tale modello tra le altre cose non si sono considerate le funzioni donda iniziale e finaledello stato nel calcolo della probabilita di transizione (si sarebbe dovuta usare la regola doro diFermi), non si e considerato il momento angolare portato dalla particella e si e ipotizzato il nucleoa simmetria sferica con un raggio medio di 1.25A1/3 fm.

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4 Decadimento

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5 Decadimento I processi di decadimento base sono

n p + e + e decadimento p n + e+ + e decadimento +p + e n + e cattura elettronica

Gli ultimi due accadono solo per protoni legati nei nuclei; essi sono energeticamentevietati per i protoni liberi o per i protoni negli atomi di idrogeno.

Figura 5.1: Distribuzione delle energie degli elettroni emessi nel decadimento del210

Bi.

La presenza dei neutrini (non osservati direttamente) nel decadimento fu ipotizzatada Pauli ne 1931 in base alle seguenti osservazioni:

(i) lenergia delle particelle non aveva una quantita fissata e ben definita dalle condi-zioni iniziali, come nel caso di un decadimento a due corpi (ad esempio come accadenel decadimento ), ma presentava una distribuzione continua come in figura 5.1,quindi senza il neutrino si sarebbe violata la conservazione dellenergia;

(ii) guardando ai numeri quantici dello stato iniziale e finale si vede che senza il neutrinonon si conserva neanche lo spin

sn = 12 = sp + se = 1Perche i nuclei decadono ?

Nel caso A costante, dalla formula semiempirica di massa (1.11), si ha che la relazionetra massa di un nucleo ed il numero atomico e quadratica in Z:

M(Z) = aZ2 + bZ+ c

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5 Decadimento

Il nucleo che piu si avvicina al minimo di tale parabola e lisotopo stabile. Il decadimento e il modo piu conveniente per un nucleo instabile di discendere la parabola di massaad A costante ed avvicinarsi allisotopo piu stabile.

Figura 5.2: 12853 I puo decadere in due direzioni; notiamo inoltre che e energeticamentepossibile per 12852 T e decadere direttamente in

12854 Xe attraverso un doppio

decadimento , essendo pero questultimo processo altamente improbabile sidice che il nucleo 12852 T e e metastabile.

Considerando ora il caso A pari ( = 0) si deduce, vedi figura 5.2, che i nuclei conN = (A Z) dispari e Z dispari dovrebbero essere tutti instabili; in natura, infatti,esistono solo 5 di tali nuclei che sono stabili:

21H,

63Li,

105 B,

147 N e

5023V


Partiamo dal decadimento del neutrone libero (vita di dimezzamento t1/2 10 min)

n p + e + eil valore Q e definito essere

Q = (mn mp me m)c2

e quindi per neutroni in quiete

Q = Tp + Te + T

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trascurando lenergia di rinculo del protone Tp 0.3 keV, lenergia in gioco si divide trail neutrino e lelettrone. Lelettrone ha energia massima quando (Te)max = Q. Lenergiamassima misurata e 0.7820.001 MeV, usando i valori misurati delle masse dellelettrone,del protone e del neutrone si trova

Q = (939.573 938.280 0.511) MeV mc2 = 0.782 MeV mc2quindi lantineutrino ha massa nulla a meno della precisione sperimentale

m < 1 keV/c2

Considerando m = 0, abbiamo che il neutrino si muove alla velocita della luce e quindila sua energia totale relativistica E e uguale alla sua energia cinetica. Per lelettronelenergia totale sara invece Ee = Te + mec

2. Le energie di decadimento tipiche sonodellordine del MeV, e quindi necessario usare la cinematica relativistica. Il rinculo delnucleo puo invece essere trattato non relativisticamente.Consideriamo dapprima il decadimento

AZX AZ+1Y + e + eper il quale

Q =

m(AZX) m(AZ+1Y) me

c2 (5.1)

dove si sono considerate le masse nucleari. Per convertire queste ultime in masseatomiche M si usa

M(AZX)c2 = m(AZX)c

2 + Zmec2

Zi=1

Bi

essendo Bi lenergia di legame delliesimo elettrone. La (5.1) si riscrive come

Q = M(AZX) Zme m(AZ+1Y) (Z+ 1)me me c2 +

Z

i=1 Bi Z+1

i=1 Bida cui trascurando la differenza nelle energie di legame si trova

Q =

M(AZX) M(AZ+1Y)

c2

Nel caso del decadimento +

AZX AZ1Y + e+ + e

un calcolo simile porta a

Q+ =

M(AZX) M(AZ1Y) 2me

c2

Infine per la cattura elettronica

AZX+ e

(AZ1Y) + eil calcolo del valore Q deve tenere conto del fatto che il nucleo Y e in uno stato eccitato

Q =

M(AZX) M(AZ1Y)

c2 Bndove Bn e lenergia di legame dellelettrone catturato dallnesima shell (tipicamenten = K,L,...).

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5 Decadimento

Decadimento Q (MeV) t1/223N e 23N a + e + e 4.38 38 sec99T c 99Ru + e + e 0.29 2.1 105 y25Al 25M g + e+ + e 3.26 7.2 sec124

I 124

T e + e+

+ e 2.14 4.2 d15O + e 15N + e 2.75 1.22 sec41Ca + e 41K + e 0.43 105 y

Tabella 5.1: Tipici decadimenti .

5.2 Teoria di Fermi del decadimento

Nel 1934 Fermi sviluppo una teoria del decadimento basandosi sullipotesi di Paulidellesistenza del neutrino. Suppose lesistenza di uninterazione debole come causa dellatransizione

H = H0 + Vweak, H0 = T + Vnuclear + VCoulomb

Il termine perturbativo e scritto come Vweak = V + V con

V =A

i=1

GF +(i) (1i0 + CAi ) (ri re) (ri r)

notiamo che:

(i) + e loperatore di salita dellisospin; ne segue che V e responsabile del decadimento, mentre V1 e responsabile del decadimento +.

(ii) la presenza delle due funzioni ci dice che linterazione e puntuale, ovvero i due

leptoni sono creati nel punto esatto in cui si trova il nucleone quando decade

Nella teoria moderna, linterazione e mediata dal bosone vettore W

1Ricordiamo che + = .

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quindi, dal principio di indeterminazione, la particella mediatrice percorre un tratto

r =c

MWc2 200 MeV fm

80000 MeV 0.002 fm

(iii) O = 1i0 + CAi e un operatore che descrive la dipendenza di V dagli operatoridi spin ed impulso del nucleone iniziale i e dei due leptoni; 1i e loperatore identita,CA e una costante adimensionale

2, i sono le matrici di Pauli, 0, sono operatoriche agiscono sulla funzione donda dei due leptoni e dipendono dallo stato di spined impulso3. La loro funzione principale e di creare i leptoni, cioe avranno unelemento di matrice

e|0|0 = 0essendo e/ le funzioni donda dei leptoni nello stato finale (|0 indica che nellostato iniziale non ci sono leptoni).In generale O contiene termini ulteriori dipendenti dallimpulso del nucleone i deltipo

Cppi

mc+ ...

dove Cp e unaltra costante adimensionale; poiche nel nucleo |pi| mc questitermini in genere si trascurano.Da notare che O e uno scalare per rotazioni spaziali.

Limitandoci al primo ordine perturbativo, dalla regola doro di Fermi (1.12), la proba-bilita di transizione vale

d =2

|f|V|i|2 (Ei Ef) d

3pe(2)3

d3p(2)3

(5.2)

essendo lo stato iniziale

|i = X (1,...,A)|0

e quello finale

|f = Y(1,...,A) eipere/

|eeip r/

| F(pe, ZY)

dove X/Y sono le funzioni donda dei nuclei X ed Y (ricordiamo che approssimandoi nuclei come molti pensanti stiamo trascurando il rinculo), |e/ gli stati di spin deileptoni ed F(pe, ZY) una funzione, detta funzione di Fermi, dipendente dallimpulso del-

lelettrone emesso e dal numero atomico del nucleo figlio, che tiene conto dellinterazionecoulombiana tra lelettrone emesso ed il nucleo Y4.2Il valore di tale costante dipende dalla struttura dei nucleoni in termini di quarks. Se i nucleoni fossero

puntiformi sarebbe CA = 1.3La forma di tali operatori e ben conosciuta nellambito della teoria di unificazione elettrodebole di

GlashowWeinbergSalam.4Leffetto di F(pe, ZY) e importante solo p er piccoli valori di Te, in quanto lelettrone muovendosi piu

lentamente risente maggiormente del campo coulombiano del nucleo figlio.

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5 Decadimento

5.2.1 Transizioni permesse

Studiamo

f

|V

|i

=

1

d3r1

d3rAd

3red3r

Ye

i(pere+p r)/F(pe, ZY)

e

|V X

|0

=

1

d3r1 d3rAd3red3rYei(pere+p r)/F(pe, ZY)

e |A

j=1

GF+(j)(0 + CAj j)(rj re)(rj r)X |0

=GF

d3r1 d3rA

Aj=1

Yei(pe+p)rj/+(j)F

(pe, ZY)

e |0 + CAj j |0X (5.3)Notiamo che r

j R, dove R e il raggio del nucleo X o Y, in quanto

X/Yessendo

funzioni donda di uno stato legato vanno a zero per ri R.Inoltre pec pe(max)c, dove

Te(max) =

(pe(max)c)2 + m2c4 mec2 Q

poiche tipicamente Q 1 MeV e mec2 0.5 MeV, si trova pe(max)c 1 MeV. Ripetendolo stesso discorso per pc, si trova

(pe +p) rj

pe(max)cR

c 1 MeV 10 fm

200 MeV fm=

1

20

quindi lespressione allesponente e sempre molto piccola. Definendo

q =pe +p

e sviluppando in serie

eiqrj = 1 iq rj + 12

(iq rj)2 + ...

possiamo approssimare allordine zero (approssimazione delle transizioni permesse).

Regole di selezione per transizioni permesse

Nellapprossimazione delle transizioni permesse dato che approssimiamo le funzioni don-da dellelettrone e del neutrino con il loro valore in r = 0, si ha che il momento angolareorbitale = 0.Ne segue subito che la parita iniziale e finale del sistema deve essere la stessa, dato chef = i(1).Il contributo dei leptoni al momento angolare totale j e allora dato solo dalla composi-zione degli spin; distinguiamo i casi:

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(i) spin antiparalleli, si parla di decadimento di Fermi, si ha allora jX = jY, ad esempio0+ 0+, 1+ 1+,...

(ii) spin paralleli, decadimento di GamowTeller, si ha allora |jX jY| 1 (escluso ilcaso jX = jY = 0 che rientra nei decadimenti di Fermi), ad esempio 0

+

1+,...

Quanto detto puo essere formalizzato introducendo gli elementi di matrice di Fermi e diGamowTeller

MF =

d3r1 d3rAY

Ai=1

+(i)X

MGT =

d3r1 d3rAY

Ai=1

+(i)iX

Quando MF = 0 si ha il decadimento di Fermi, quando MGT = 0 quello di GamowTeller. Se entrambi gli elementi di matrice sono non nulli si ha un mix delle dei due

decadimenti; la percentuale dei due tipi di decadimenti nella transizione mixata puoessere valutata attraverso lelemento di matrice (5.3) che, con le nuove definizioni, puoriscriversi come

f|V|i = GF

e |0|0MF + e ||0 MGTF(pe, ZY) (5.4)Riassumendo le regole di selezione per le transizioni permesse sono

j = 0, 1, = 0

Spazio delle fasi per transizioni permesse

Nel seguito considereremo per semplicita di esposizione solo le transizioni 0+ 0+.Essendo MGT = 0 dalla (5.4) si ha

f|V|i = GF

e |0|0MFF(pe, ZY)

sostituendo nella (5.2) si trova la probabilita di transizione

d(pe,p, e, ) =2G2F

|e |0|0|2 |MF|2 |F(pe, ZY)|2 (Q Te pc)d3ped

3p(2)6

(5.5)avendo assunto, per Q, m = 0 ed avendo trascurato il rinculo del nucleo figlio.

La (5.5) da la probabilita nellunita di tempo che il nucleo X decada emettendo unelettrone, di impulso pe e proiezione di spin e, ed un neutrino, di impulso p e proiezionedi spin . Sommando su e, ed integrando su p e pe = pe/|pe| si ottiene il numerodi elettroni N(pe) emessi con impulso in modulo pari a pe. Dalla teoria dellinterazionedebole si ha

e,

|e |0|0|2 = 1 +pe pEeE

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5 Decadimento

Inoltre, dato che |MF|2 non dipende dagli impulsi, integrandodpd

pe

1 +

pe pEeE

= (4)2

si ottiene (vedi figura 5.3)

N(pe) =2

G2F

(4)2

(2)6|MF|2 |F(pe, ZY)|2p2e

dpp

2(Q Te pc)

=2

G2F

(4)2

(2)6|MF|2 |F(pe, ZY)|2 (Q Te)

2p2ec3

(5.6)

Dalla (5.6), troviamo che

K =

N(pe)

p2e|F(pe, ZY)|2 (Q Te)

Graficando K in funzione di Ee si trova una relazione lineare che, come mostrato infigura 5.4 per il 66Ga, e confermata dai dati sperimentali per le transizioni 0+ 0+.Se integriamo la (5.6) in dpe otteniamo la costante di disintegrazione

=2

G2F

(4)2

(2)6|MF|2 (mec

2)5

c6f(ZY, Q)

dove si e introdotto lintegrale di Fermi (il cui valore e tabulato)

f(Z, Q) =1

(mec)3(mec2)2

pe(max)0

dpep2e|F(pe, Z)|2(Q Te)2

Essendo = 0.693/t1/2 si ha

f t1/2 1|MF|2 (5.7)

La quantita a sinistra della (5.7), nota come vita di dimezzamento comparativa o ftvalue, essendo proporzionale allelemento di matrice della transizione, ci da la possibilitadi comparare le probabilita di decadimento in nuclei diversi. I decadimenti con lftvalue minimo (log f t 3 4) sono noti come transizioni superpermesse. Esempio ditransizioni superpermesse sono 0+ 0+ per le quali |MF| = 1.Dal prodotto f t per tali transizioni si puo anche dedurre il valore della costante Gdellinterazione debole5

G =GFmpc

2

(

c)

3

105

5Tale costante esprime lintensita dellinterazione, la quale e appunto chiamata debole perche piccolase confrontata con le costanti delle altre interazioni

=e2

40c=

1

137interazione elettromagnetica

g

c 10 interazione forte

52


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Figura 5.3: Le distribuzioni N(pe) ed N(Te) per il decadimento del64Cu.

Figura 5.4: Plot di Kurie per 66Ga.

53


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5 Decadimento

5.2.2 Transizioni proibite

Regole di selezione per transizioni proibite

Cosa succede se MF = MGT = 0? In questo caso lapprossimazione delle transizioni

permesse non e piu sufficiente e bisogna considerare nello sviluppo in serie i terminisuccessivi

eiqri =,m

4(i)Ym(q)Ym(ri)J(qri)Come abbiamo gia detto qri 1, possiamo allora approssimare

J(qri) (qri)

(2 + 1)!!(5.8)

quindi i termini con > 0 danno contributi soppressi di un fattore (qR); in questocaso il contributo piu importante viene dal primo termine non nullo. Si parla allora di

(i) primo decadimento proibito, se il primo termine non nullo e quello in = 1.Innanzitutto la parita cambia, poi abbiamo ancora la distinzione in

(a) decadimento di Fermi (spin antiparalleli), si ha allora |jX jY| 1 (escluso ilcaso 0 0);

(b) decadimento di GamowTeller (spin paralleli), si ha allora |jX jY| 2.Riassumendo le regole di selezione sono

j = 0, 1, 2, f = i(ii) secondo decadimento proibito, = 2. Stavolta la parita non cambia; ragionando

come prima ed escludendo i decadimenti che ricadono nelle transizioni permesse si

hanno le seguenti regole di selezionej = 2, 3 = 0

(iii) terzo decadimento proibito, = 3, le regole di selezione sono

j = 3, 4 f = i(iv) quarto decadimento proibito, = 4, le regole di selezione sono

j = 4, 5 = 0

(v) etc.

Per incorporare nella teoria i decadimenti proibiti, lelemento di matrice ( 5.4) puo esserscritto come

f|V|i = GF

,m

4(i)Ym(q)M(m)F e |0|0

+M(m)GT e ||0

F(pe, ZY) (5.9)

54


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con

M(m)F =

4

d3r1 d3rAY

,iYm(

ri)J(qri)+(i)

X

M(m)GT =

4

d3r1 d3rAY

i

Ym(ri)J(qri)+(i)iX(5.10)

Spazio delle fasi per transizioni proibite

Consideriamo un 0-esimo decadimento proibito e, per fissare le idee, consideriamo unatransizione di Fermi, ossia

MmF = 0 per < 0

MmGT = 0 per 0

Lelemento di matrice (5.9) e allora ben approssimato dal solo termine di 0

f|V|i GF

m

4(i)0Y0m(q)M(0m)F e |0|0F(pe, ZY)

quindi la (5.2) diventa

d(pe,p, e, ) =2

4G2F

m,m

Y0m(q)M(0m)F Y0m(q)M(0m)F |e |0|0|2 |F(pe, ZY)|2 (Q Te pc)

d3ped3p

(2)6

Prima di procedere notiamo che M(0m)F dipende da q per 0 = 0, dalla (5.10) sviluppandoJ0 come in (5.8) possiamo ridefinire

M(0m)F = q

0M(0m)Fcon M(0m)F = 4 d3r1 d3rAY

i

Y0m(ri) r0i(20 + 1)!! +(i)

X

in modo da esplicitare la dipendenza da q. Definendo infine

(4)2S0mm(pe, p) = (4) dpedpY0m(q)Y0m(q)q20 1 +pe pEeE

troviamo allora

N(pe) =2

G2F

(4)2

(2)6

m,m

M(0m)F M(0m)F S0mm(pe, p) |F(pe, ZY)|2 (Q Te)2p2ec3che per S0mm = 1 si riduce al caso precedente. In figura 5.5 e mostrato il plot di Kurie.

55


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5 Decadimento

Figura 5.5: Decadimento di 91Y: la linearita del plot di Kurie e ristabilita quando

viene considerato il fattore S0mm(pe, p).

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5.3 La violazione della parita nel decadimento

5.3 La violazione della parita nel decadimento

Nel 1956 T. D. Lee e C. N. Yang ipotizzarono (in analogia con il decadimento dei me-soni K) che il decadimento non fosse invariante per parita P. Questipotesi teorica fu

presto verificata sperimentalmente dal gruppo di C. S. Wu studiando il decadimento del60Co.Lesperimento consisteva nellallineare lo spin dei nuclei di 60Co grazie ad un campomagnetico e verificare se le particelle erano effettivamente emesse in numero ugualelungo ed in direzione opposta al campo (vedi figura 5.7). Lapparato sperimentale eramantenuto a temperature (T 0.01 K) abbastanza basse da non permettere allagita-zione termica di distruggere la polarizzazione dei nuclei.In figura 5.6 sono mostrati i dati dellesperimento di Wu i quali confermano abbastanzachiaramente lipotesi di violazione della parita nel decadimento avanzata da Lee eYang; circa il 70% delle particelle erano emesse in direzione opposta allo spin del 60Co.Sperimentalmente si verifica che il decadimento viola oltre alla simmetria P anche la

simmetria C (coniugazione di carica), cio pero non accade per la simmetria CP (vedifigura 5.7), la quale e invece conservata.

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5 Decadimento

Figura 5.6: I dati dellesperimento di Wu sul decadimento del 60Co mostrano chiara-mente una asimmetria nelle curve ottenute per direzioni lungo ed oppostaallo spin nucleare (la scomparsa dellasimmetria a circa 8 min e dovuta algraduale riscaldamento della sorgente e quindi alla conseguente perdita dellapolarizzazione dei nuclei di 60Co).

Figura 5.7: Il decadimento del 60Co negli specchi P, C e CP.

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6 Decadimento

La maggior parte dei decadimenti e , ed inoltre molte reazioni nucleari, lasciano ilnucleo finale in uno stato eccitato. Questi stati eccitati decadono rapidamente a quellofondamentale attraverso lemissione di uno o piu raggi , i quali sono fotoni di energiatipicamente nel range tra gli 0.1 ed i 10 MeV (o in termini di lunghezza donda tra i 104

ed i 100 fm).

6.1 Energetica delle transizioni elettromagnetiche nei nuclei

Consideriamo il decadimento di un nucleo di massa a riposo M da uno stato inizialeeccitato di energia Ei ad uno stato finale Ef. La conservazione dellenergia e dellimpulsoimpongono

Ei = Ef + E + TR

0 = pR +p

dove pR e TR = p2R/2M sono rispettivamente impulso ed energia del nucleo che rincula

(assumiamo energie non relativistiche), mentre p ed E = cp sono rispettivamenteimpulso ed energia del raggio emesso. Segue allora, posto E = Ei Ef, che

E = E +E2

2M c2(6.1)

che ha come soluzione

E = M c2

1

1 + 2E

M c2

(6.2)

La differenza di energia e tipicamente E 1 MeV, mentre lenergia a riposo M c2 A 103 MeV, dove A e il numero di massa. Ne segue che E M c2, quindi espandendoin serie la (6.2) si trova (con una precisione dellordine del 104 105)

E E (E)2

2M c2

(la stessa equazione segue dalla (6.1) approssimando E E).Il processo inverso dellemissione e lassorbimento, ragionando come prima si trova

E = E E2

2M c2

avendo assunto il nucleo inizialmente a riposo.

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6 Decadimento

La larghezza di riga naturale e quella dovuta alleffetto Doppler

Notiamo che, a causa dellenergia ER = (E)2/2M c portata via dal rinculo, un raggio

emesso da un nucleo non ha energia sufficiente per essere assorbito da un altro nucleodella stessa specie.

Se facciamo impattare un fascio di fotoni su di un bersaglio di nuclei la sezione durtodel processo di assorbimento avra la forma di BreitWigner (vedi equazione (2.9))

(E) = 0(/2)2

[E (E+ ER)]2 + (/2)2(6.3)

Per un tipico stato nucleare di vita media 10121015 sec si ha 106103 eV,per cui lindeterminazione sullenergia non e sufficiente a compensare ER 0.46 eV.In realta la larghezza di riga spettrale osservata e diversa da quella naturale a causadelleffetto Doppler; i nuclei bersaglio sono infatti in agitazione termica. Lenergia dei assorbiti varia allora come E = E(1v/c) essendo v la componente della velocita lungo

la direzione del fotone. La distribuzione (6.3) si allarga allora di un fattore 2Ev/c.Effetto Mossbauer

Lassorbimento e invece possibile quando il nucleo e legato in un reticolo cristallino. Permaggiori chiarimenti si veda [1] pag. 361.

6.2 Teoria dellassorbimento e dellemissione stimolata

Consideriamo un sistema nucleare in un campo elettromagnetico. lhamiltoniana vale

H =

A

j=1

1

2m pj qjc A(rj, t)2 + V(rj) (6.4)dove V racchiude il potenziale nucleare e coulombiano, qj e la carica del nucleone j-esimoed A e un campo di radiazione classico descritto dallonda piana monocromatica

A(r, t) = A0 ei(krt) + ei(krt) (6.5)essendo la polarizzazione e k il vettore donda. Poiche k = 0, si ha che la (6.5)soddisfa la gauge

A = 0Da questultima, ricordando che p = i, segue che

p ecA2

= |p|2 +:0

ie

c( A) 2 e

c(A p) + e

2

c2|A|2

trascurando il termine in |A|2 la (6.4) puo allora scriversi come

H =A

j=1

p2j2m

+ V(rj) emc

Zj=1

A(rj , t) pj = H0 + H1

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6.2 Teoria dellassorbimento e dellemissione stimolata

Possiamo considerare il termine H1 come la perturbazione che causa la transizione tra ilivelli energetici. Notiamo che dalla (6.5) segue

H1 = Vperteit + Vperte

it

essendo

Vpert = emc

Zj=1

A0eikrj pj

si ha allora che Vpert causa lassorbimento mentre Vpert lemissione stimolata.

Probabilita di transizione in approssimazione di dipolo elettrico

Usando la teoria delle perturbazioni al primo ordine sviluppata in appendice A.2, laprobabilita assorbimento (ovvero transizione tra dallo stato fondamentale al livello n-esimo) vale

P(0 n) = 2

|n|Vpert|0|2 (En E0 ) (6.6)Per valori tipici delle energie dei assorbiti 1 MeV, detto R 10 fm il raggionucleare, si ha

|k rj| krj c

R 1 MeV 10 fm200 MeV fm

=1

20 1

per cui vale lapprossimazione di dipolo elettrico

eikrj 1

In tale ipotesi, ricordando la regola di commutazione

[x, H0] = im

px

lelemento di matrice in (6.6) si calcola facendo la sommatoria sui termini

n|eikrj pj|0 n| pj |0 = i m

n| [rj, H0] |0= i m

n|(E0 En)n| rj|0 = i m

() rj|0

= im n|rj|0In modo analogo si procede per lemissione stimolata.

Regole di selezione per le transizioni di dipolo elettrico

Un multipolo elettrico di ordine E trasferisce un momento angolare per fotone (permaggiori chiarimenti si veda [1] pag. 333 oppure [4] pag. 240). Nellapprossimazione didipolo elettrico E1 si ha allora la seguente regola di selezione per il momento angolare

j = 0, 1 escluso il caso 0 0

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6 Decadimento

in quanto questultima e una transizione di monopolo (e non esistono fotoni con = 0).A questa regola di selezione si aggiunge quella per la parit a

f = iin quanto per le transizioni di dipolo elettrico f = (1)=1i.

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7 La fissione nucleare

Dopo la scoperta del neutrone (Chadwick, 1932) Enrico Fermi ed i suoi collaboratoriiniziarono a studiare la radioattivita indotta. Scoprirono che molti nuclei decadono

in seguito alla cattura di un neutrone (Fermi vinse il nobel nel 1938 per questi studi). Ilrisultato era un nucleo con numero atomico Z maggiore di una unita, si potevano cosprodurre i primi elementi transuranici. La tecnica dellirradiazione di uranio con neutroniporto pero a risultati inaspettati e confusi, infatti venne prodotto un elemento concaratteristiche chimiche molto simili al bario. Nel 1939 Hahn e Strassmann mostraronoche nei fatti si trattava proprio di bario. Ulteriori studi rivelarono molti altri nuclei

di masse intermedie prodotti in seguito al bombardamento neutronico delluranio, nel1939 Meitner e Frisch proposero lipotesi che luranio in seguito alla cattura del neutronediventasse talmente instabile da spaccarsi a meta, fu cos scoperta la fissione.

Perche i nuclei fissionano?

Il perche i nuclei fissionano si comprende facilmente osservando landamento della bin-ding energy per nucleone in figura 1.4. Consideriamo ad esempio la reazione

23892 U 2 11946 P d

La binding energy per nucleone dell238

U e di circa 7.6 MeV mentre quella del119

P d dicirca 8.5 MeV, si ha allora che attraverso la fissione il sistema passa ad uno stato piulegato

Ei = 238 7.6 = 1809 MeV Ef = 2 119 8.5 = 2033 MeV

La restante energia E = 214 MeV e liberata sotto varie forme (emissione di neutroni,decadimenti e dei frammenti finali), la principale delle quali ( 80%) e lenergiacinetica dei frammenti.

7.1 Caratteristiche della fissione

Barriera di potenziale coulombiano

La fissione spontanea spesso non e abbastanza probabile da poter competere con ildecadime

[Di Canto] Fisica Nucleare e Subnucleare

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