ÊÉãdG »°SGQódGkwmath.com/book/227.pdf · 14 ﻢﻬﻓﺍْ ﻂْﱢﻄﺧ ﻞﺣ...

ÊÉãdG »°SGQódG °üØdG

ÖdÉ£dG ÜÉàc

( ) .

. .

.

- -

. . . House of Education

: ©.

( ) .

. .

. .

á```````eó`≤e

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

äÉjƒàëŸG

١٢ الوحدة السادسة: العمليات على الكسور االعتيادية ١٣ مشروع الوحدة ............................................................................................................................................................................................................................................................. ١٥ الوحدة السادسة (h): جمع الكسور االعتيادية وطرحها ............................................................................................................................................................ ١٦ ٦ - ١ جمع الكسور االعتيادية وطرحها ............................................................................................................................................................................................... ١٩ ٦ - ٢ جمع األعداد الكسرية ........................................................................................................................................................................................................................ ٢١ ٦ - ٣ طرح األعداد الكسرية ........................................................................................................................................................................................................................ ٢٥ ٦ - ٤ حل المعادالت التي تشتمل على جمع وطرح الكسور االعتيادية .....................................................................................................................

٢٩ الوحدة السادسة (ب): ضرب الكسور االعتيادية وقسمتها .................................................................................................................................................... ٣٠ ٦ - ٥ الضرب في عدد كلي ........................................................................................................................................................................................................................... ٣٤ ٦ - ٦ الضرب في كسر اعتيادي ................................................................................................................................................................................................................ ٣٨ ٦ - ٧ قسمة عدد كلي على كسر اعتيادي .......................................................................................................................................................................................... ٤٢ ٦ - ٨ قسمة كسر اعتيادي على كسر اعتيادي ................................................................................................................................................................................ ٤٥ ٦ - ٩ حل المعادالت التي تشتمل على ضرب وقسمة الكسور االعتيادية .................................................................................................................

٤٩ مخطط تنظيمي للوحدة السادسة ...........................................................................................................................................................................................................................

٥٠ الوحدة السابعة: هندسة المضلعات ٥١ مشروع الوحدة ............................................................................................................................................................................................................................................................. ٥٣ الوحدة السابعة (h): المضلعات ................................................................................................................................................................................................................... ٥٤ ٧- ١ أضالع المثلث ........................................................................................................................................................................................................................................... ٥٧ ٧ - ٢ رسم المثلث بمعلومية أطوال أضالعه الثالثة ..................................................................................................................................................................... ٥٩ ٧ - ٣ رسم المثلث بمعلومية قياس زاويتين وطول الضلع الواصل بين رأسيهما ...................................................................................................... ٦١ ٧ - ٤ رسم المثلث بمعلومية طولي ضلعين وقياس الزاوية المحددة بهما ............................................................................................................... ٦٣ ٧ - ٥ الزواية الخارجة للمثلث .................................................................................................................................................................................................................... ٦٥ ٧ - ٦ الخطوط المستقيمة المتوازية والخطوط المستقيمة المتعامدة ............................................................................................................................. ٧٠ ٧ - ٧ األشكال الرباعية .....................................................................................................................................................................................................................................

٧٥ الوحدة السابعة (ب): هندسة التحويالت ............................................................................................................................................................................................... ٧٦ ٧ - ٨ االنعكاس وخط التماثل ...................................................................................................................................................................................................................... ٨٠ ٧ - ٩ الدوران والتماثل الدوراني ............................................................................................................................................................................................................... ٨٤ ٧ - ١٠ اإلزاحة والفسيفساء .......................................................................................................................................................................................................................... ٨٧ ٧ - ١١ التمثيل البياني لإلزاحة واالنعكاس ........................................................................................................................................................................................ ٩١ ا .................................................................................................................................................................................................................... ٧ - ١٢ تمثيل المعادالت بياني

٩٧ مخطط تنظيمي للوحدة السابعة ..............................................................................................................................................................................................................................

٩٨ الوحدة الثامنة: النسبة، التناسب، النسبة المئوية ٩٩ مشروع الوحدة ............................................................................................................................................................................................................................................................. ١٠١ الوحدة الثامنة (h): النسبة والمعدالت .................................................................................................................................................................................................... ١٠٢ ٨ - ١ النسبة ............................................................................................................................................................................................................................................................. ١٠٥ ٨ - ٢ النسب المتساوية .................................................................................................................................................................................................................................... ١١٠ ٨ - ٣ المعدل ............................................................................................................................................................................................................................................................

١١٣ الوحدة الثامنة (ب): التناسب ........................................................................................................................................................................................................................ ١١٤ ٨ - ٤ التناسب ......................................................................................................................................................................................................................................................... ١١٨ ٨ - ٥ حل التناسبات باستخدام الضرب التقاطعي ......................................................................................................................................................................... ١٢١ ٨ - ٦ حل التناسبات باستخدام معدالت الوحدة .......................................................................................................................................................................... ١٢٥ ٨ - ٧ األشكال الهندسية المتشابهة ..........................................................................................................................................................................................................

١٢٨ الوحدة الثامنة (جـ): النسب المئوية .......................................................................................................................................................................................................... ١٢٩ ٨ - ٨ النسبة المئوية ............................................................................................................................................................................................................................................ ١٣٢ ٨ - ٩ تقدير النسب المئوية ............................................................................................................................................................................................................................ ١٣٦ ٨ - ١٠ ربط النسب المئوية بالكسور االعتيادية والكسور العشرية ................................................................................................................................ ١٤٠ ٨ - ١١ إيجاد النسبة المئوية لعدد .............................................................................................................................................................................................................

١٤٥ مخطط تنظيمي للوحدة الثامنة .................................................................................................................................................................................................................................

١٤٦ الوحدة التاسعة: المجسمات والقياس ١٤٧ مشروع الوحدة ............................................................................................................................................................................................................................................................. ١٤٩ الوحدة التاسعة (h): المجسمات ومساحة السطح ......................................................................................................................................................................... ١٥٠ ٩ - ١ تصنيف المجسمات ............................................................................................................................................................................................................................. ١٥٤ ٩ - ٢ مساحة السطح ......................................................................................................................................................................................................................................... ١٥٧ ٩ - ٣ القوانين الجبرية لمساحة السطح ................................................................................................................................................................................................ ١٦١ ٩ - ٤ مساحة سطح األسطوانة ...................................................................................................................................................................................................................

١٦٧ الوحدة التاسعة (ب): الحجم ........................................................................................................................................................................................................................ ١٦٨ ٩ - ٥ األشكال ثالثية األبعاد ........................................................................................................................................................................................................................ ١٧١ ٩ - ٦ الحجم ............................................................................................................................................................................................................................................................ ١٧٥ ٩ - ٧ حساب الحجم ........................................................................................................................................................................................................................................

١٧٩ مخطط تنظيمي للوحدة التاسعة ...............................................................................................................................................................................................................................

äÉjƒàëŸG

١٨٠ الوحدة العاشرة: االحتمال ١٨١ مشروع الوحدة ............................................................................................................................................................................................................................................................. ١٨٣ الوحدة العاشرة: مقدمة لالحتمال ............................................................................................................................................................................................................... ١٨٤ ١٠ - ١ مخطط الشجرة البيانية ومبدأ العد ........................................................................................................................................................................................ ١٨٩ ١٠ - ٢ تجربة االحتمال واألحداث ....................................................................................................................................................................................................... ١٩١ ١٠ - ٣ االحتمال ................................................................................................................................................................................................................................................... ١٩٥ ١٠ - ٤ التوقع ........................................................................................................................................................................................................................................................... ١٩٧ ١٠ - ٥ نماذج هندسية لالحتمال ..............................................................................................................................................................................................................

١٩٩ مخطط تنظيمي للوحدة العاشرة .............................................................................................................................................................................................................................

äÉjƒàëŸG

ÉgÒ°ùØJh á«fÉ«ÑdG Ωƒ°SôdG IAGôbIóMƒdG(CG) ¤hC’G

p áqjOÉ«àY’G p Qƒ°ùμdG ≈∏Y oäÉq«∏ª©dGoIóMnƒdG

oá°SOÉ°ùdG

:oÒÑμdG oóé°ùŸGشاطىء من بالقرب "الكويت العاصمة في يقع ميالدية ١٩٨٦ الخليج العربي وتم افتتاحه سنة إلى مقسمة مربع متر ٠٠٠ ٤٥ مساحته تبلغ ٠٠٠ ٢٥ متر مربع أبنية، و ٠٠٠ ٢٠ متر مربع ٠٠٠ ١٧٠ لحوالى ويتسع وممرات، حدائق

شخص أثناء الصالة.

p⁄É©dG oÜƒ©°T

» قناة ثقافية من بين ست قنوات تعتبر قناة «العربي ١٦

كويتية فضائية - حكومية، وتمثل هذه القناة القنوات الفضائية الحكومية.

oÜGOB’Gh o¿ƒæØdG

lá«∏°ùJعلى الكويت في المائية الساعة تصميم يعتمد الجاذبية األرضية العاملة على تشغيل عدة أنابيب أنابيب في المياه منسوب يصل أن بعد مياه. للدقائق أو للساعات إلى حد معين، يبدأ العرض ، أنبوب ري كما لو كان األنبوب الفائض بالعمل وبالتالي يفرغ األنبوب من الماء. يتم حفظ الوقت الفعلي من قبل بندول مدرج يشغل عن طريق تيار مياه منقول من خزان الماء التابع للساعة المائية.

1212

láq«°SÉ°SCG láq«°VÉjQ l QÉμaCG

برج الحمراء في الكويت والذي إذا أخذنا طول يعادل الطول هذا يكون مترا، ٤١٢ طوله يبلغ

٢ كيلومتر تقريبا.٥

oáq«YÉªàLE’G oäÉ°SGQódG

يتراوح طول أسد البحر الكاليفورني ما بين٢٤٠ سم، ويصل وزنه إلى ما بين ١٦ ١٨٠ و

١٢

٢٠٠ و٣٠٠ كيلوجرام.

oΩƒ∏©dG

pIóMnƒdG o höûe

فطور شهي هو أفضل طريقة لتبدأ به نهارك! ضع قبعة الطاهي، ألنك ستقوم في هذا

المشروع بتحضير العجة معتمدا وصفة خاصة بك. ل الطبق الذي أعددته مادة إلطعام بعض كما سيشك

زمالئك في الفصل.

افهمخططحلتحقق

حلالمسائل

13

Adding and Subtracting Fractions

إليجاد ناتج ضرب الكسور: اضرب البسوط ثم اضرب المقامات.

عندما نضرب عددا في كسر أصغر من الواحد، فإن الناتج يكون أصغر من العدد المضروب.

عندما نقسم على كسر أصغر من الواحد يكون الناتج أكبر من العدد المقسوم.

في بعض حاالت طرح األعداد الكسرية، يمكن إعادة تسمية ، وهذا مشابه إلعادة التسمية عند طرح العدد الكسري

األعداد الكلية.

األعداد وفرق مجموع تقدير على التقريب عملية تساعد الكسرية.

يمكن جمع الكسور ذات المقامات المختلفة ولكن إذا تم توحيد مقاماتها.

14


حلالمسائل

pπFÉ°ùŸG uπM ≈∏Y oõ«cÎdG

في كل مسألة مما يلي، اكتب الحل والخطوات التي توصلت فيها إلى اإلجابة:على سبيل المثال: إذا جمعنا ٥ مع ٧ لنحصل على ١٢، ستكتب «٥ + ٧ = ١٢».

١ لدى فهد سبع فراشات في مجموعة دراسة بغرض يقتنيها التي الحشرات العلوم، ولدى خالد ثماني فراشات أكثر مما لدى فهد، فكم فراشة لدى خالد؟

، وما ٢ لدى سارة اثنتا عشرة دودة قزسارة، لدى مما بأربع أقل هنادي لدى

فكم دودة قز لدى هنادي؟

ولدى جرادة، عشرون ريم لدى ٣لدى جرادة كم العدد. هذا نصف دالل

دالل؟

ولدى فراشات، ثالث فيصل لدى ٤أخته بدرية ثالثة أمثال هذا العدد. كم عدد

الفراشات التي لدى بدرية؟

من فراشة عشرة أربع خالد جمع ٥عشر صالح وجمع الدولية، الحديقة فراشة فكم خالد، عن زيادة فراشات

جمعها صالح؟

٦ جمعت هند مثل ما جمعت مها من األصداف، إذا جمعت هند ست أصداف، فكم عدد األصداف التي جمعتها مها؟

مها جمعته ما نصف منال جمعت ٧عشرة مها جمعت إذا البريد، طوابع من

طوابع، فكم طابعا جمعت منال؟

تفسير الجمل الرياضيةفي بعض المسائل الرياضية،

تعطى المعلومات بطريقة مباشرة. وفي بعضها اآلخر، تعطى

المعلومات على شكل مقارنة، فمثال نقول «يملك خالد ٣ أمثال

ما يملكه أحمد» فعند وضع خطة لحل مسألة ما، يجب أن

ر تفسيرا تكون قادرا على أن تفسصحيحا مثل هذه الجمل التي

تحوي المقارنة.

É¡ oMôWh páqjOÉ«àY’G pQƒ°ùμdG o™ªL oIóMnƒdG(h) oá°SOÉ°ùdG

ذهب أحمد لزيارة والدته الدكتورة ناديا في مختبرها الخاص بالتحاليل الطبية، وعندما نظر من النافذة وجد عصفورا أحمر في

قفص خاص بأحد الجيران، فسأل والدته، وهي مشغولة بأعمالها، ما نوع هذا األحمر يا أمي؟

فردت عليه من دون التفات:إنه «-O ». فرد عليها قائال: وهل منه أنواع أخرى؟ فقالت: نعم

يوجد +AB- ,AB+,B+ B- ,A+ A-, O. فقال لوالدته: هل كل هذه عصافير؟ فالتفتت إليه أمه بدهشة، وقالت كال بالطبع. إنها

فصائل دم اإلنسان.إن فصائل دم اإلنسان هي:

-AB- ،AB+ ،B+ ،B- ،A+ ،A- ،O+ ،O. إذا احتجت في أي

هذه من فصيلة أي استخدام يمكنك فال دم، نقل عملية إلى وقت فصيلته مع فصيلة دمك ومع تتالءم الفصائل... فأنت تحتاج إلى دم

عامل الـ RH (عامل ريزوس). فاألشخاص الذين يحملون الفصيلة +AB يمكنهم استخدام دم من فصيلة -O، في حين ال يستطيع األشخاص الذين يحملون الفصيلة

.AB+ استخدام دم من الفصيلة O-

، يلزم أن يكونوا على وهؤالء الذين يعملون في المجال الصحيدراية وفهم كبيرين بطبيعة الدم وكيفية التعامل معه، وتعتبر الكسور

نات المختلفة للدم والطرق العديدة التي يمكن مفيدة لوصف المكواستخدامه فيها.

?∂peO oá∏«°üa »g Ée

١ لماذا يجب أن يكون العاملون في المجال الصحي على دراية وفهم كبيرين بالدم؟

٢ كيف يمكن استخدام الكسور لوصف الدم؟

15


É¡ oMôWh páqjOÉ«àY’G pQƒ°ùμdG o™ªL

صلة الدرس سبق أن تعلمت التعامل مع كل كسر على حدة؛ واآلن سوف تتعلم .كيفية جمع الكسور وطرحها

pïjQÉàdÉH oπNGóàdGh o§HGÎdG

١٧٩٥ عام في الفرنسيون أنشأ النحو على عشريا تقويم نظام

التالي:١٠ أيام في األسبوع١٠ ساعات في اليوم١٠٠ دقيقة في الساعة١٠٠ ثانية في الدقيقة

١٨٠٥ عام في النظام هذا ألغي لعدم تقبل الناس أن يكون األسبوع

١٠ أيام.

الكسور التي لها المقامات نفسها هي الكسور ذات مقامات موحدة.

مثال (١)

أوجد ناتج:

٤٧

+ ٢٧

(أ)

اجمع البسوط، والمقام ال يتغير ٦٧

= ٤٢٧

= ٤٧

+ ٢٧

٤٩

- ٥٩

(ب)

اطرح البسط الثاني من األول، والمقام ال يتغير ١٩ = ٤٥

٩ = ٤٩

- ٥٩

جمع الكسور االعتيادية وطرحها تعلم

1-6سوف تتعلم

جمع الكسور ذات المقامات المختلفة وطرحها.

16


من السهل أن تجمع الكسور التي لها المقامات نفسها ألنها تعبر عن أجزاء متطابقة من الوحدة، ولكن يختلف الوضع عندما تتعامل مع الكسور ذات المقامات المختلفة ألنها

تمثل أجزاء غير متطابقة من الوحدة.

أمثلة١٤

+ ٢٣

٢ اجمع

لكي نجمع أو نطرح الكسور ذات المقامات المختلفة، نحتاج إلى تحويل كل منها إلى كسر آخر متكافگ معه، بحيث يكون لها المقام نفسه.

٨١٢

= ٢^٤٣^٤

= ٢٣

٣١٢ =

١^٣٤^٣ =

١٤

١١١٢

= ٣١٢

+ ٨١٢

= ١٤

+ ٢٣

٥ من ٨

٣ اشترك أحمد مع فريق التمثيل في مدرسته، في مسرحية الناصر صالح الدين، وحفظ ١ الحوار المطلوب.

٣الحوار المطلوب في الدور الذي يؤديه، واآلن هو يتذكر

اكتب الكسر الدال على مقدار ما نسيه أحمد من حوار المسرحية الذي حفظه.١٣

- ٥٨

ما نسيه أحمد =

م. م. h للمقامين ٨ ،٣ هو٢٤:٧٢٤

= ٨١٥٢٤

= ٨٢٤

- ١٥٢٤

= ١٣

- ٥٨

٧ من حوار المسرحية الذي حفظه.٢٤

نسي أحمد

حاول أن تحل

١ أوجد ناتج٢٦

+ ١٣

(ب) ١٦

- ٣٤

(أ)

١٦ +

٥٩

(د) ٢١٥

- ٥٦

(جـ)

١٣ منها هي «B»، فما الكسر الدال على مجموع ٥٠

٧٣ من القطط هي «A»، وفصيلة ١٠٠

٢ فصيلة دم

الفصيلتين؟

جمع الكسور ذات المقامات المختلفة وطرحها تعلم

ppΩƒ∏©dÉH oπNGóàdGh o§HGÎdG

للقطط ثالث فصائل للدم هي: AB, B, A

لإلنسان ثماني فصائل هي:AB-, AB+, B-, B+, A-, A+, O-, O+

17

pïjQÉàdÉH oπNGóàdGh o§HGÎdGفي عام ١٩٤٠ أحدث العالم

«تشارلز درو» ثورة في عالم الطب حينما اقترح خطة إلنشاء بنك

لتخزين الدم بفصائله المختلفة.والجدير بالذكر أن بنك الدم

المركزي الجديد في دولة الكويت تم افتتاحه في منطقة

الجابرية سنة ١٩٨٧.

٢٣

١٤

من فهمك تحقق

١ ما ضرورة إيجاد المضاعف المشترك األصغر لمقامات الكسور االعتيادية المختلفة قبل جمعها أو طرحها؟

هما أسهل: إجراء عملية الطرح لكسرين لهما المقام نفسه، أم لكسرين بمقامين ٢ أيمختلفين؟

حل المسائل والتفكير المنطقي

لتر من عصير التفاح، 83 ١ التفكير الناقد: تشمل قائمة إعداد كوكتيل عصير الفواكه

لتر من عصير الفراولة. ما سعة 43 لتر من عصير المانجو،

101 2 لتر من عصير البرتقال،

1

ر إجابتك. اإلناء الذي تحتاج إليه لوضع هذا العصير فيه؟ فس

المسافة إلى المدرسة، واكتشف أن كتابا سقط منه، 31 ٢ اختر اإلستراتيجية: مشى محمد

المسافة بين مدرسته ومنزله. ما الكسر 41 فعاد مرة أخرى للبحث عنه فوجده بعد أن مشى

الذي يعبر عن المسافة التي على محمد أن يمشيها بعد أن وجد الكتاب ليصل إلى مدرسته؟ ر إجابتك. فس

1 من البيتزا، 8

٣ التفكير الناقد: اشترك أربعة أشخاص في تناول بيتزا، أراد أحمد أن يأكل من البيتزا، وأراد خالد

31 من البيتزا، وأراد جاسم أن يأكل

41 وأراد محمد أن يأكل

1 الحجم. كم عدد الشرائح المتطابقة التي يجب أن تقطع لتكفي األصدقاء 6

أن يأكل ر إجابتك. األربعة، كال حسب طلبه؟ وكم عدد الشرائح المتبقية؟ فس

٤ التفكير الناقد: أكمل النمط بكتابة رموز ثالثة ... ، 12

5 ، 31 ، 4

1 ، 61 ، 12

1 كسور أخرى: ر إجابتك. فس

إستراتيجيات حل المسائل

• اختر نمطا. • نظم قائمة.

• اعمل جدوال. • خمن وتحقق.

• اعمل بطريقة عكسية.. • استخدم التفكير المنطقي

ا. • ارسم تمثيال بياني • حل مسألة أبسط.

18

19

páqjöùμdG pOGóYC’G o™ªL 2-6سوف تتعلم

جمع األعداد الكسرية.

من االستخداماتيحتاج المزارعون إلى جمع األعداد الكسرية عند وزن

المحاصيل الزراعية.

١41 + ٥

32 لكي نجمع عددين كسريين:

1211 =

123 8+ =

41 +

32 (أ) اجمع األجزاء الكسرية:

(ب) اجمع األجزاء الصحيحة: ٥ + ١ = ٦

٦1211 (جـ) ضع الجزءين معا:

إذا كان ناتج جمع الكسرين كسرا مركبا، يمكنك أن تعيد تسميته كعدد كسري مرة أخرى، وأن تجمع األعداد الكلية معا.

أمثلة

.٢١٢ + ١

١٣ ١ اجمع

م. م. h للمقامين٣، ٢هو ٦

٣٥٦

= ٢٣٦

+ ١٢٦

= ٢١٢

+ ١١٣

.٨٦٣٥

+ ٢٧ ٩١٠

٢ اجمع

١١٣١٥١٠

= ٨٦ ٦١٠

+ ٢٧ ٩١٠

= ٨٦٣٥

+ ٢٧ ٩١٠

١٥أعد تسمية الكسر المركب ١٥١٠ إلى عدد كسري ١٥١٠ = ١٠

١١٤١٢ = ١١٤ ١١٣١٥ = ٥١٠

١٠ وبالتالي

حاول أن تحلاجمع.

٣ ١٤ + ١ ١٢

(ب) ٢٣٤ (أ) ٦ +

٢ ٥٦

+ ٤ ٧١٢

(د) ٢ ٥٨ + ٣ ٧٨ (جـ)

١ هل يمكن أن تجمع أعدادا كسرية بتحويلها أوال إلى أعداد عشرية؟ر إجابتك. فس

٢ عند جمع كسور األعداد الكسرية، لماذا تحتاج أحيانا إلى إعادة كتابة الناتج ؟ الكسري

١١٣

٢١٢

إيجاد ناتج جمع عددين كسريين تعلم

صلة الدرس لقد تعلمت كيفية جمع الكسور االعتيادية، واآلن ستتعلم كيفية إيجاد .ناتج جمع األعداد الكسرية


pá¨∏dÉH oπNGóàdGh o§HGÎdGتعني كلمة «مسيسبي» عند قبائل

الهنود الحمراء القدماء «أبو المياه».

19

Adding Mixed Numbers

تذكرالعدد الكسري يتكون من . جزء صحيح وجزء كسري

20

(2-6) pπFÉ°ùŸG uπ◊ oó°TôŸG٤ م٢، إذا كانت مساحة سطح الشكل (ب) تزيد على مساحة سطح الشكل

32

يبلغ مجموع مساحة سطحي الشكلين أ، ب معا

١ م٢، فأوجد مساحة سطح كل منهما.31 (أ) بمقدار

افهم

١ ما المطلوب إليك؟ ٢ ما هو مجموع مساحتي سطحيهما معا؟

٣ ما مقدار زيادة مساحة سطح الشكل (ب) عن (أ)؟

خطط

ح مساحتي سطحي الشكلين أ، ب معا. استخدم الشكل في تنفيذ ما يلي: الشكل التالي يوض

م٢32 ١م٢ ١م٢ ١م٢ ١م٢

١ م٢.31 ٤ اكتب حرف (ب) داخل أجزاء الشكل والتي تمثل الزيادة في المساحة للشكل «ب» عن الشكل (أ) والتي مقدارها

٥ بعد تحديد األجزاء التي تمثل الفرق في المساحة بين الشكلين، فإن األجزاء الباقية يمكن تقسيمها بالتساوي بين الشكلين (أ)، (ب). اكتب ب داخل نصف األجزاء المتبقية لتمثل الشكل (ب)، واكتب أ داخل النصف اآلخر لتمثل الشكل (أ).

حل

٦ استخدم األجزاء التي تمثل الشكل (أ) لتحسب مساحة سطح الشكل (أ). ٧ استخدم األجزاء التي تمثل الشكل (ب) لتحسب مساحة سطح الشكل (ب).

تحقق

٨ اكتب وحل معادلة جمع لتختبر إجابتك.

20






2121

p áqjöùμdG p OGóYC’G oìôW 3-6سوف تتعلم

طرح األعداد الكسرية.

من االستخداماتيحتاج النجارون إلى طرح األعداد الكسرية عند تحديد كمية الخشب

المطلوبة لتنفيذ أي مشروع.

صلة الدرس لقد عرفت أن إعادة التسمية ربما تكون ضرورية عند جمع األعداد .الكسرية، وقد تحتاج أيضا إلى إعادة التسمية لطرح األعداد الكسرية

طرح األعداد الكسرية تعلم

يمكنك استخدام خطوات مشابهة لجمع األعداد الكسرية عند طرح األعداد الكسرية.فمثال:

١ ٤٢

= ٢ ٤٨

= ١ ٥٨

- ٣ ٩٨

عند طرح األعداد الكسرية، يكون لديك أحيانا الكسر في المطروح أكبر من الكسر في المطروح منه، ولكي تطرح فإنك تحتاج إلى إعادة تسمية العدد.

أمثلة

الحظ إعادة التسمية .٢ ١٣

١ أوجد ناتج ٧ - ٦ ٣٣ = ٣٣ + ٦ = ٧ = ١ + ٦

٢١٣ - ٦

٣٣ = ٢

١٣ - ٧

٤ ٢٣

=

الحظ إعادة التسمية .٤ 54 - ٩ 5

1 ٢ أوجد ناتج ٨ ٦٥ = ٦٥ + ٨ = ١ + ٨ ١٥ = ٩ ١٥

٤ ٤٥ - ٨ ٦

٥ = ٤ ٤

٥ - ٩ ١

٥٤ ٢٥

=

الحظ إعادة التسمية .٣ ٢٣ - ٧ ٢٩

٣ أوجد ناتج

٦١١٩ = ١١٩ + ٦ = ١ + ٦ ٢٩ = ٧ ٢٩

٣ ٦٩ - ٦١١٩

= ٣ ٢٣ - ٧ ٢٩٣ ٥٩

=


٣ ٢٣ - ٨ ١٢

(ب) ٩ ٥٩ (أ) ١٢ -

٧ ٥٨ - ٩ ٣٤ (د) ٢ ٤٥ - ٦ ١٥ (جـ)

Subtracting Mixed Numbers

استنباط المعلومات من الرسوم البيانية من فهمكاستنبااطططططط اللللللمعلللللوماات من اللللللرسوم اللللللبياانيةةةااستككككككككشففف استكشف تحقق

١ ما أوجه الشبه بين طرح األعداد الكسرية واألعداد الكلية؟

؟ ٢ في مسائل الطرح: متى تحتاج إلى إعادة تسمية العدد الكلي إلى عدد كسري

٣ هل يمكن أن تطرح عددين كسريين مباشرة إذا كان الكسر في المطروح أكبر من ر إجابتك. الكسر في المطروح منه؟ فس

؟ ٤ إذا طرح عدد كسري من عدد كسري آخر، فهل ناتج الطرح دائما هو عدد كسرير إجابتك. فس

22

23

(3-6) p πFÉ°ùŸG uπ◊ oó°TôŸG٨٠ نقطة ألعلى سعر بيع لألسهم،

83 أغلقت بورصة الكويت على حركة بيع األسهم بتقدم

٢٦ نقطة. اكتب المعادلة الدالة على سعر البيع 21 والفرق بين أعلى سعر وأدنى سعر هو

وحلها.

افهم

١ ما هو أعلى سعر بيع لألسهم؟ ٢ ما هو الفرق بين أعلى سعر وأدنى سعر؟

خطط

؟ 21 و

83 ٣ ما هو المضاعف المشترك األصغر بين مقامي الكسرين

٤ اكتب السعر باستخدام المضاعف المشترك األصغر للمقامات:(ب) الفرق في سعر البيع (أ) أعلى سعر

٥ ما هي العملية المستخدمة إليجاد الفرق؟٦ ما هو المتغير الذي ستستخدمه عند كتابة المعادلة، والذي يمثل أقل سعر بيع في البورصة؟

حل

٧ اكتب معادلة إليجاد أقل سعر بيع. ٨ حل المعادلة. ما هو أقل سعر بيع؟

تحقق

٩ اكتب المعادلة التي ستجد من خاللها أقل سعر مستخدما عملية أخرى.

حل مسألة أخرى

١٨ نقطة، فاكتب 18

٧٥ نقطة والفرق بين أعلى سعر بيع وأقل سعر بيع 43 ١٠ إذا كان أعلى سعر بيع لألوراق المالية في البورصة

معادلة إليجاد أقل سعر بيع وحلها.

23






(1-6) πFÉ°ùŸG π◊ ó°TôŸGحل المسائل والتفكير المنطقي

ر إجابتك. ا، اكتب ثالثة حلول ممكنة لقيم س، ص. فس ٢w = عددا كلي11

- ٥s11

١ التفكير الناقد: إذا كان

٣ إلى العدد ٩، وأردت أن تحصل على أصغر قيمة ممكنة لهذا 41 + ٢

85 ٢ التفكير الناقد: إذا غيرت أحد أرقام عملية الجمع

الجمع، فما الرقم الذي يجب تغييره؟

٣ التفكير الناقد: صف بعض أوجه التشابه واالختالف بين طرح عددين كليين وطرح عددين كسريين.

24

p ájOÉ«àY’G p Qƒ°ùμdG p ìôWh p ™ªL ≈∏Y oπªà°ûJ »àdG p ä’OÉ©ŸG tπM 4-6سوف تتعلم

حل المعادالت عن طريق جمع الكسور االعتيادية وطرحها.

من االستخداماتيستخدم علماء األرصاد الجوية

المعادالت الكسرية لتحويل درجات الحرارة من فهرنهيتية إلى

سيليزية.

أين الدم؟ح ع الدم بواسطة الجهاز الدوري كما هو موض عندما يكون الجسم في حالة راحة، يوز

في الجدول التالي:

ح جمع كميتي الدم الواردتين من جزءين أعد أطباء القلب الجدول التالي الذي يوضمختلفين من أجزاء الجسم. ولسوء الحظ محيت بعض بيانات الجدول عن طريق الخطأ.

حة أعاله، أكمل الجدول التالي: باستخدام البيانات الموض

نسبة الدم العضو ٢ العضو ١ نسبة الدم العضو ٢ العضو ١

2015 ؟؟؟ القلب

102 ؟؟؟ القلب

2014 ؟؟؟ األوردة

203 ؟؟؟ الرئتان

102 ؟؟؟ الرئتان

2015 ؟؟؟ الشرايين

١ لكل سطر في الجدول الثاني، أوجد كمية الدم للعضو الثاني، واذكر ألي عضو من المحتمل أن تكون مستخدما في ذلك الجدول األول، مع مالحظة أنه من الممكن أن

تكون هناك أكثر من إجابة. في هذه الحالة اكتب كل اإلجابات الممكنة.، أن يكون للكسور المقامات نفسها، أم أن يكون لها مقامات هما أسهل في الحل ٢ أي

ر إجابتك. مختلفة؟ فس٣ من الجدول األول: أي األعضاء يحصل على أكثر كمية من الدم؟ وما العضو الذي

ر إجابتك. يحصل على أقل كمية منه؟ فس

العضوالشعيرات

الدمويةاألوردةالشرايينالرئتانالقلب

1نسبة الدم20

110

110

11020

13

صلة الدرس لقد تعلمت كيفية حل المعادالت البسيطة عن طريق جمع األعداد الكلية وطرحها. وكذلك تعلمت جمع الكسور وطرحها. واآلن سندمج ما تعلمته في

.الحالتين لنحل المعادالت الكسريةحل المعادالت التي تشتمل على جمع وطرح الكسور االعتيادية استكشف

25

Solving Equations:Involving Addition and Subtraction Of Fraction

حل المعادالت التي تشتمل على جمع وطرح الكسور االعتيادية تعلم

تعلمت في ما سبق حل المعادالت التي تشتمل على جمع كل من األعداد الكلية، والكسور العشرية وطرحها، وبالطريقة نفسها تستطيع أن تحل المعادالت الكسرية، ويمكنك أيضا

. استخدام الحساب الذهني

أمثلة

٥٨ = ٢٨ ١ حل: س -

؟» ٥٨ ٢٨ ليكون الناتج تقرأ «ما العدد المطروح منه ٥٨ = ٢٨ س -

عكس عملية الطرح هي الجمع ٢٨ + ٥٨ = ٢٨ + ٢٨ س -

تحقق من صحة إجابتك. ٧٨ س =

٥٨ = ٢٨ - ٧٨

عبارة صحيحة ٥٨ = ٥٨ فتكون

٢ أجرى محمد بحثا عن العين البشرية، فكتب ٣١١ من البحث

من إجمالي البحث. ما ٧يوم االثنين، وبنهاية يوم الثالثاء كتب ١١

الكمية التي كتبها محمد يوم الثالثاء؟٣ ليكون الناتج ٧١١ .

١١سنبحث عن العدد الذي يضاف إلى

اكتب المعادلة٧١١

٣ + س = ١١

عكس عملية الجمع هي الطرح ٣ ٣١١ - ٣١١ + س = ٧١١ - ١١

تحقق من صحة إجابتك. س = ٤١١

٧٣ + ٤١١ = ١١

١١

عبارة صحيحة فتكون ٧١١ = ٧١١

٤ من البحث، يوم الثالثاء.١١

لقد كتب محمد


حل المعادالت التالية:٧٣ ٥٣ + س = (جـ) ٥٤ ١٤ + س = (ب) ٨٩ = ٢٩ (أ) س -

pΩƒ∏©dÉH oπNGóàdGh o§HGÎdG

يمكن أن يزيد ضوء فالش الكاميرا ضغط الدم بقرنية

العين؛ لذا ترى في صور بعض األشخاص احمرار أعينهم.

لحل فكرة المسائل مفيدة

بما أن المقامات موحدة، فيمكن أن نعيد تسمية

هذه المسألة في صورة أبسط كالتالي:س - ٢ = ٥

26

27

بعض المعادالت الكسرية التي تتضمن الجمع أو الطرح تحتوي على كسور مختلفة المقامات، ولكي نحلها ال بد من توحيد مقامات هذه الكسور.

أمثلة

٤٣ من دمك من كرات الدم الحمراء، ٩٢٠ من الكرات الحمراء والبيضاء معا. ما الكسر ١٠٠

٣ يتكون

الدال على الكرات البيضاء فقط في دمك؟: نفرض أن الكسر الدال على الكرات البيضاء هو س الحل

تكوين معادلة ٩٢٠ =

٤٣١٠٠ س +

٤٥١٠٠

= ٤٣١٠٠

س +

عكس عملية الجمع هي الطرح ٤٣١٠٠ - ٤٥١٠٠ = ٤٣١٠٠

- ٤٣١٠٠ س +

تبسيط الكسر ٢١٠٠ س =

١س = ٥٠

١ من دمك يتكون من الكرات البيضاء.٥٠

أي أن

١٥ = ١٥

٦٤ حل: س -

المضاعف المشترك األصغر للعددين ١٥،٦ هو ٣٠٢٥٥^٥ = ٣٠

٦^٥ = ٥٦ التحويل إلى كسور متكافئة.

٢٣٠ =

١^٢١٥^٢ = ١

١٥

؟» تقرأ كالتالي: «ما العدد الذي يطرح منه ٢٥٣٠ ليكون الناتج ٢٣٠ ٢٥ = ٢٣٠٣٠

س -

عكس عملية الطرح هي الجمع. ٢٥٣٠ + ٢٣٠ =

٢٥س - ٢٥٣٠ + ٣٠

٢٧س = ٣٠

٩س = ١٠

الحظ أن٤٥١٠٠ =

٩^٥٢٠^٥

= ٩٢٠

p Ωƒ∏©dÉH oπNGóàdGh o§HGÎdG

ترجع أهمية كرات الدم الحمراء إلى أنها تحمل األكسجين من

الرئتين إلى باقي أجزاء الجسم.

الحساب الذهنيفي بعض األحيان نجد

أن المضاعف المشترك األصغر لعددين هو ناتج

ضربهما، ولكن إذا وجد بينهما عامل مشترك

أكبر غير الواحد، فإن المضاعف المشترك

األصغر يكون أصغر من ناتج ضربهما.

27

بغرض أن الكسر الدال على الكرات البيضاء هو س


١ لماذا من الضروري إعادة كتابة كسور المعادالت الكسرية التي تشتمل على جمع أو طرح ليصبح لها مقامات موحدة؟

؟31 - س =

32 - س،

32 ح الفرق بين س في كل مما يلي: ٢ وض

٣ عند حل أي معادلة، كيف يمكنك أن تختبر صحة إجابتك؟


١ المجلة: (أ) اكتب معادلة مستخدما المقامات المختلفة، ويمكنك حلها باستخدام العمليات الحسابية.

؟ (ب) هل يمكن حل هذه المعادلة باستخدام الحساب الذهني

متر، فكم يبلغ 54 متر، وإذا كان طول أكبر األضالع

514 ٢ التفكير الناقد: إذا كان سطح غطاء علبة على شكل مستطيل محيطه

ر إجابتك. طول الضلع األصغر؟ فس

ح كيف ابتكرت المسألة، وبين طريقة حلها. . وض 2026 + ص =

107 ٣ التواصل: اكتب مسألة تعبر عن المعادلة

ح الفرق في استخدام س في كل من المعادلتين: ٤ التواصل: وض

54 = s

10 +

31 ،

54 + س =

31

28

É¡oàª°ùbh páqjOÉ«àY’G pQƒ°ùμdG oÜöV oIóMnƒdG(Ü) oá°SOÉ°ùdG

مجمع أحواض السباحة في الكويت

افتتح «مجمع أحواض السباحة» في أبريل ١٩٨٨، ويقع هذا المجمع على طريق الخليج العربي على مساحة تصل إلى

٩٤٧٢ مترا مربعا. ويستضيف مجمع أحواض السباحة سنويا بطولة السباحة للناشئين. يضم المجمع خمسة أحواض سباحة

مختلفة األبعاد والمقاييس، وهي:

حوض السباحة األولمبي وهو حوض سباحة مجهز الستضافة المسابقات وإقامة البطوالت. يصل طول الحوض إلى ٢٥ •

ص للرجال فقط. ٢ متر. وهذا الحوض مخص ١٤ مترا و٤٥ مترا وعرضه إلى ١٢ مترا، ويتراوح عمقه بين

د بأربعة ساللم يصل ارتفاعها إلى خمسة أمتار • ص للغطس مربع الشكل، يصل عمقه إلى أربعة أمتار ومزو حوض مخص

ص للغطس وهو للرجال فقط. وسلمين ارتفاع كل منهما متر واحد. وهذا الحوض مخص

٣١٠ متر و • ص للعائالت، يتراوح عمق هذا الحوض بين ص للمبتدئين موجود ضمن الجزء المخص حوض للسباحة مخص

١متر. ١٢عة من األلعاب المائية والبهلوانية لضمان استمتاع جميع أفراد العائلة بلحظات ال • دان بمجموعة متنو حوضان للسباحة مزو

تنسى من اللعب.

29

١ ما الوحدات التي استخدمتها لقياس أبعاد من وحدة أخرى.

ل استخدام وحدة بدال من وحدة أخرى؟ ٢ متى يكون من المفض

٥٤ متر باستخدام وحدة طول أخرى. ٣ عبر عن

Multipying and dividing fractions

األدوات المستخدمة: أقالم تلوين شريط الوقت ٤٥ ^٣ : ضرب كسر اعتيادي في عدد كلي

. استخدم عددا من الشرائح تساوي العدد الكليم الشرائح إلى عدد من األجزاء المتطابقة قس

مساويا لمقام الكسر.ن عدد األجزاء الدالة على بسط الكسر. في كل شريحة لو

صف العدد الذي نمذجته (مثلته بنموذج).

١ نمذج المسائل اآلتية:

21 (ب) ٧ ^ 2

5(أ) ٢ ^

٣ ^ 54 (د) ٥ ^

32 (جـ)

22

(و) ٦ ^ ١ ^ 72 (هـ)

٢ لماذا تحتوي إجابتك على المقام نفسه المعطى في المسألة؟ ولماذا تحتوي إجابتك على بسط مختلف لما هو معطى؟

٣ هل إجابتك أكبر من العدد الكلي الذي بدأت به أو أصغر منه؟ لماذا؟

الضرب في عدد كلي تعلم

يمكنك نمذجة (تمثيل) ناتج ضرب ٣ ^ ٥ عن طريق عرض ثالث مجموعات في كل منها خمسة أشياء، وبالطريقة نفسها يمكنك نمذجة (تمثيل) ناتج ضرب

.65 عن طريق عرض ثالث مجموعات في كل منها

65 ^ ٣

5-6x»q∏c mOóY ‘ oÜö†dG

الضرب في عدد كلي استكشف سوف تتعلم

ضرب عدد كلي في كسر . اعتيادي

من االستخداماتيستخدم علماء الحيوان ضرب عدد كلي في كسر عند وصف

نظام التغذية للحيوانات.

صلة الدرس تعلمت في دروس سابقة ضرب الكسور العشرية في أعداد كلية، واآلن .ستتعلم ضرب الكسور االعتيادية في أعداد كلية

54 ^ ٣ =

Multiplying by a Whole Number

30

، اكتب العاملين في صورة كسرين، ثم ا في عدد كلي ا أو عددا كسري لكي تضرب كسرا اعتياديط إذا كان ذلك متاحا. اكتب ناتج ضرب البسطين فوق ناتج ضرب المقامين ثم بس

مثال (١)تشمل وصفة إعداد الطعام

١ كوب من ٥٨ للطائر الطنان

السكر. ما كمية السكر التي سوف تستخدمها

لعمل أربعة أمثال هذه الوصفة؟

١ ٥٨ كمية السكر = ٤ ^

اكتب العوامل في صور كسور ١٣٨

^ ٤١

=

ط بالقسمة على العوامل المشتركة بين البسط والمقام بس ٤^١٣١^٨

١

٢ =

اكتب ناتج البسط في البسط والمقام في المقام ١٣٢ = ١^١٣١^٢

=

ضع في صورة عدد كسري ٦ ١٢ =

٦ أكواب من السكر. ١٢ يجب أن تستخدم

، ويمكنك حل هذه المسائل في بعض المسائل يطلب إليك إيجاد كسر من العدد الكليباستخدام ضرب الكسور االعتيادية.

مثال (٢)٢٣ طالب مدرسة، والبالغ عددهم ٣٦٠ طالبا في األنشطة المدرسية المختلفة. كم طالبا اشترك في يشترك

األنشطة؟

٢٣ ^ ٣٦٠ عدد الطالب المشاركين باألنشطة =

اكتب العامل في صورة كسر ٣٦٠١ ^ ٢٣ =

ط اضرب البسط في البسط، والمقام في المقام وبس ٢^٣٦٠٣^١

١٢٠

١ =

٢^١٢٠١^١

=

٢٤٠١

= ٢٤٠ =

عدد الطالب المشتركين في األنشطة ٢٤٠ طالبا.

حاول أن تحل٥ الـ ٣٠

٦(د) ١ الـ ١٦

٢(جـ) ١ ٣٤ (ب) ٣ ^ ٢٣ ضع في أبسط صورة: (أ) ٤ ^

الترابط والتداخل بالعلوماأليض هو مجموع العمليات

المتصلة ببناء البروتوبالزما. واأليض في الطائر الطنان سريع، لذلك

يستهلك كميات هائلة من السعرات الحرارية؛ إذا كان الطائر الطنان

في حجم اإلنسان، فإنه يصبح في حاجة إلى استهالك ١٥٥٠٠٠

سعر حراري كل يوم، وهو ما يوازي . ٣٠٣ كجم من الزبادي

31

32

مـــا؟رأيك

لعمل غراء ورق الحائط٤ أكواب من الدقيقكوب من السكر

٤ لترات من الماء الدافگكوب من الماء البارد

ما رأيك؟

من كوب ٢43 ومحمد خالد يستخدم

المقادير بقية دا يحد أن ويريدان السكر، أن يريدان الحائط. ورق غراء لصنع الالزمة

يعرفا كمية الدقيق المستخدمة.

١ لماذا جمع خالد ٨ + ٣ بدال من ضرب ٨ ^ ٣؟؟ اشرح. ٢ أي طريقة أسهل للحساب الذهني


١ هل ناتج ضرب عدد كلي في كسر حقيقي دائما أكبر من أي منهما؟ ^ ١٢ متساويان؟ اشرح.

53 ،

53 ٢ هل ناتجا ضرب ١٢ ^

ر… خالد يفك

٢ مستخدما خاصية التوزيع.43 سأضرب ٤ في

٤ ^ ٢ = ٨ .٢43 سأضرب ٤ في الجزء الصحيح من العدد

٣ = 43 ^ ٤ .٢

43 ثم أضرب ٤ في الجزء الكسري من العدد

واآلن سأجمع النواتج ٨ + ٣ = ١١إذا سنحتاج إلى ١١ كوبا من الدقيق.

ر… محمد يفك

سأضرب العددين بعد تحويلهما إلى كسرين.

411 ^

14 = ٢

43 ^ ٤

٤^١١١^٤

١

١

=

١١ = 111 =

إذا سنحتاج إلى ١١ كوبا من الدقيق.

33

حل المسائل والتفكير المنطقي ى

في ١٥ أكبر من ١٥ أم أصغر من ١٥.109 ح من دون إجراء عملية الضرب ما إذا كان ناتج ضرب ١ المجلة: وض

٢؟ اشرح.21 ٢ التفكير الناقد: أي من نواتج العمليات اآلتية ال يساوي ناتج ضرب ٦ ^

52 ^

16 (ب)

25 (أ) ٦ ^

(د) ٦ ^ ٢,٥ ٢ ^ ٦21 (جـ)

٣ المجلة: أطلق اسم قشتالة على أحد أنواع الصابون الشهيرة في العالم نظرا ألن أول إنتاجه كان في مملكة قشتالة في إسبانيا.

ولعمل ٥٤ قطعة من هذا الصابون يلزم ١ كيلوجرام و٢٥٠ جراما من زيت الزيتون. إذا كان ثمن الكيلوجرام من زيت الزيتون

٥٠٠ فلس، فما تكلفة زيت الزيتون الالزم لعمل هذه الوصفة؟ اشرح.






األدوات المستخدمة: أقالم تلوين األجزاء الداخليةضرب كسر اعتيادي في كسر اعتيادي آخر

ا إلى أجزاء متطابقة، مه رأسي ارسم مستطيال وقسعددها مساو لمقام الكسر األول.

ن شرائح رأسية بما يساوي بسط الكسر األول. لوا إلى أجزاء متطابقة، عددها مساو م المستطيل أفقي قس

لمقام الكسر الثاني.ن شرائح أفقية بما يساوي بسط باستخدام لون آخر لو

الكسر الثاني. اكتب رمز الكسر الذي يمثل منطقة تداخل اللونين.


32 ^

65 (ج)

52 ^ 1

4(ب)

31 ^

21 (أ)

85 ^

21 (و)

53 ^ 1

5(هـ)

72 ^

72 (د)

٢ صف النمط بين البسط في المسألة والبسط في الناتج.٣ صف النمط بين المقام في المسألة والمقام في الناتج.

٤ هل إجابتك أكبر أو أصغر من كال الكسرين اللذين بدأت بهما؟ ولماذا؟

الضرب في كسر اعتيادي تعلم

عند جمع كسرين لهما مقامان مختلفان، فإنه ال بد من إعادة تسمية الكسرين ليصبح لهما مقام مشترك. وال نحتاج إلى هذه العملية عند الضرب، حيث إنه في ضرب الكسور نكتب كال من العاملين في صورة كسر، ثم نكتب ناتج ضرب البسوط فوق ناتج ضرب

المقامات.

206 = 4

3 ^ 52

x…OÉ«àYG möùc ‘ oÜö†dG 6-6سوف تتعلم

ضرب كسر اعتيادي في كسر اعتيادي آخر.

من االستخداماتيقوم المستهلكون بعملية ضرب كسر اعتيادي في كسر اعتيادي

آخر عندما يحسبون سعر أي سلعة دة. بعد تخفيضات متعد

صلة الدرس تعلمت في الدرس السابق كيفية ضرب كسر اعتيادي أو عدد كسري في

. ، واآلن ستتعلم كيفية ضرب كسر اعتيادي وعدد كسري في كسر اعتيادي عدد كلي

الضرب في كسر اعتيادي استكشف

Multiplying by a Fraction

34

35

مثال (١)

١ كيلوجرام من أوراق ٤

إحدى طرق صبغ الصوف تتطلب استخدام

الشاي لكل كيلوجرام واحد من الصوف. أوجد كمية أوراق الشاي التي

٢ كيلوجرام من الصوف.٣

نحتاج إليها لصبغ

١^٢٤^٣

١

٢ = ٢٣ ^ ١٤ كمية أوراق الشاي =

١٦ =

١٦ كيلوجرام من الشاي. سنحتاج إلى

مثال (٢)

٢ لتر من الحليب. استخدم نصف هذه الكمية لصنع اآليس كريم، فما الكمية التي ١٢ اشترى هشام

استخدمها؟

١ ٢٢

^ ١٢

كمية الحليب =

اكتب العدد الكسري في صورة كسر مركب. ٥٢ ^ ١٢ =

البسط ^ البسط، والمقام ^ المقام. ١^٥٢^٢

=

ضع في أبسط صورة. ١ ١٤

= ٥٤

=

١ لتر من الحليب في صنع اآليس كريم. ١٤

استخدم هشام

حاول أن تحل أوجد ناتج:

١ ١٢ ٨ الـ ٩

(ب) ٣٧

^ ٥٤

(أ)

٢٥

١ الـ ٩

(د) ١ ٣٧

^ ١ ٢٣

(جـ)


. اشرح.158 ١ أعط كسرين ناتج ضربهما

٢ ما أوجه االختالف بين ضرب كسرين اعتياديين وجمع كسرين اعتياديين؟

العديد من األلوان المختلفة للصباغة يمكن صنعها من النباتات المعروفة،

فمثال يمكن استخدام نبات الكركديه للحصول على اللون األحمر

، ونبات الحلبة للحصول القرمزيعلى اللون األصفر الفاتح، ونبات

الحنة للحصول على اللون األصفر . البرتقالي

تعلم؟ هل

(6-6) pπFÉ°ùŸG uπ◊ oó°TôŸG كوب من الماء. أوجد المقادير الالزمة لصنع كوب

21 كوب من مسحوق الغراء بـ

21 كوب من الغراء، اخلط

43 لصنع

كامل من الغراء. اشرح الطريقة المستخدمة.

افهم

ط كمية الغراء التي يمكن الحصول عليها من هذه الوصفة. ١ حو

نات الوصفة. ا تحت الكميات الالزمة لمكو ٢ ضع خط

خطط

؟ 43 ٣ كم ربعا في

ح في البند ٣، أو الضرب كوب من الغراء، يمكنك قسمة مقدار كل كمية على العدد الموض41 ٤ إلعادة كتابة الوصفة إلعداد

في.

كوب من الغراء، فإنه يمكنك إعادة كتابتها إلعداد كوب واحد من الغراء بضرب41 ٥ إذا فرض أن الوصفة قد كتبت إلعداد

مقدار كل كمية في.

حل

كوب من الغراء، ثم استخدم إجابتك إليجاد41 ٦ أكمل الجدول إلعداد

الكميات الالزمة إلنتاج كوب واحد من الغراء.

٧ اشرح كيف حصلت على هذه الكميات.

تحقق

٨ اشرح كيف يمكنك استخدام القسمة إلعادة كتابة الوصفة.


كوب من الماء. أوجد المقادير الالزمة21 كوب من مسحوق الغراء األبيض بـ

21 كوب من الغراء األبيض، اخلط

43 ٩ لصنع

١ كوب من هذا الغراء. اشرح الطريقة المستخدمة. 18

لصنع

كمية الغراء في الكوب

كمية المسحوق في الكوب

كمية الماء في الكوب

43

21

21

36

حلالمسائلافهمخططحلتحقق

37


كوب من الماء.21 كوب من مسحوق الغراء األبيض بـ

21 كوب من الغراء األبيض، اخلط

43 ١ اختر اإلسترتيجية: لصنع

أوجد المقادير الالزمة لصنع ٣ أكواب من الغراء، اشرح الطريقة المستخدمة.

ح ما إذا كان ناتج الضرب أكبر من أم ٢ التفكير الناقد: بدون استخدام عملية الضرب، وضأصغر من العامل الثاني.

21 ^

69 (ب)

85 ^

32 (أ)

٥43 ^ ٥

43 (د)

513 ^

41 (جـ)

3 المتر. أصدر المتحف هذه الصورة5

المتر وعرضها 43 ٣ التفكير الناقد: إحدى اللوحات الزيتية المرسومة يبلغ طولها

، أوجد طول وعرض الصورة في شكل مطبوعات طولها نصف طول اللوحة األصلي وعرضها نصف عرض اللوحة األصليالتي سيتم طبعها ومساحة سطحها.






7-6x…OÉ«àYG möùc ≈∏Y x»q∏c mOóY oáª°ùb

قسمة عدد كلي على كسر اعتيادي استكشف سوف تتعلم

قسمة عدد كلي على كسر . اعتيادي

من االستخداماتيستخدم المهندسون اإلنشائيون قسمة عدد كلي على كسر عند

بناء األنفاق.

المصطلحات األساسية

( معكوس ضربي (نظير ضربي

، صلة الدرس تعلمت في الدرس السابق كيفية ضرب عدد كلي في كسر اعتيادي . واآلن ستتعلم قسمة عدد كلي على كسر اعتيادي

الدوائر والشرائط لألبدقسمة عدد كلي على كسر اعتيادي

استخدم عددا من الشرائط مساويا للعدد . الكلي

م هذه الشرائط إلى أجزاء متطابقة، قسبحيث يكون عدد األجزاء في كل شريط

مساويا لمقام الكسر.ط المجموعات التي لها العدد نفسه من حواألجزاء بحيث يكون عدد األجزاء في كل

مجموعة مساويا للبسط. اذكر عدد المجموعات التي تم تحويطها.


65 (ب) ٥ ÷ 1

2(أ) ٧ ÷

27

(د) ٢ ÷ 34

(جـ) ٤ ÷

ا على كسر أصغر من الواحد، هل يكون ناتج القسمة ٢ عندما تقسم عددا كليأكبر من العدد الكلي األصلي أو أصغر منه؟ ولماذا؟

؟ اشرح. 25 عدد كلي ٣ هل ناتج قسمة ٣ ÷

قسمة عدد كلي على كسر اعتيادي تعلم

٦ هو عدد أرغفة من الخبز يراد تقسيمها إلى مجموعات في كل مجموعة رغيفان، فيكون ناتج

القسمة ٣، وهو عدد المجموعات التي تحصل عليها.

١

٢٣ = ٦ ÷ ٤

٥

٦

٢

٣

٤

١

٢

٣

Dividing Whole Numbers by Fractions

38

٤

٥

٦

٧ ١

٢

٣

٨

٩

ر في القسمة على يمكنك أن تفكفعلى كسر اعتيادي بالطريقة نفسها،

تماثل تقسيم 32 ٦ سبيل المثال: ٦ ÷

كل أرغفة من الخبز إلى مجموعات في رغيف، وعدد المجموعات

32 التي منها

٩ سوف تحصل عليها هو مجموعات، وهو ناتج القسمة.

الحظ أن: إليجاد الناتج أوجدت أوال عدد األثالث بضرب عدد األرغفة ٦ في المقام ٣، ثم قسمت عدد األثالث ١٨ على البسط ٢ فيكون الناتج ٩.

٦ ^ ٣ ÷ ٢ = ٩ = 32 ÷ ٦

القسمة على عدد يماثل الضرب في المعكوس الضربي للعدد.

ل بسطه ومقامه. والمعكوس الضربي لكسر هو كسر بد

الضرب في المعكوس الضربي القسمة

23 ^

16 =

23 ^ ٦ ٩ =

32 ÷ ٦

٩ = ٦^٣١^٢

٣

١ =

: الحظ أن

(١ = 34 ^

43 ناتج ضرب الكسر في معكوسه الضربي يساوي ١.(

أمثلة٣٤ ١ اقسم ٢ ÷

٤ بالضرب في المعكوس الضربي٣

^ ٢١

= ٣٤ ÷ ٢٢^٤١^٣

=

٢ ٢٣ = ٨٣ =

٩ متر. فما عدد هذه القطع؟٤

مت الى عدد من القطع، طول كل منها ٢ قطعة قماش طولها ٤٥ مترا قس

٢٠ = ٢٠ قطعة.١

= ٥^٤١^١

= ٤٥^٤١١^٩

٥

= ٩٤ عدد القطع = ٤٥ ÷

أوجد ناتج: حاول أن تحل

٣٥

(د) ٣ ÷ ١٧٤

(جـ) ١٠ ÷ ٤٧

(ب) ١ ÷ ٣٥ (أ) ٤ ÷

تذكر

العدد المعكوس الضربي للعدد

21

12

43

34

٥15

39

٢ ٢٣ = ٣٤

÷ ٢

أعد فيصل ونبيل ٩ لترات من عصير المانجو، ويفكران في عدد الزجاجات التي اللتر.

43 يمكن تعبئتها بالعصير علما أن كل زجاجة منها تسع

١ أي الطريقتين يسهل استخدامها دون استخدام الورقة والقلم؟ اشرح. من اللتر؟

436 ٢ كيف يمكنك الحصول على الناتج إذا كتبت ٩ لترات على الصورة


» عند قسمة ٢٠ على ٥؟ ١ كيف يمكنك استخدام قاعدة «الضرب في المعكوس الضربي، فهل الناتج أكبر من العدد الكلي أو أصغر منه؟ ا على كسر اعتيادي ٢ إذا قسمت عددا كلي

اشرح.


ر… فيصل يفك

. كم عدد سأستخدم الحساب الذهني اللتر في ٩

43 نة من المجموعات المكو

لترات؟.41 ويتبقى

43 كل لتر فيه

، ويتبقى 43 في ٩ لترات يوجد تسعة

.43 تسعة أرباع يعاد تجميعها كثالث

وهذا يساوي ٩ + ٣ = ١٢ مجموعة من اللتر، وبالتالي نحتاج إلى ١٢ زجاجة.

43

١١٠

١١

١٢

٢

٣

٤

٥

٦

٧

٨

٩

ر… نبيل يفك

ولذا سأستخدم المعكوس الضربي 43 سأقسم ٩ على

١٢ = ^ 1

4^1

3 = ٩^٤١١^٣

٣ =

43 فيكون ٩ ÷

43 للكسر

وبالتالي نحتاج إلى ١٢ زجاجة.

40

ما رأيك؟

41


ح متى يكون عدد معكوس ضربي لعدد آخر. ١ المجلة: وض

٢ التفكير الناقد: الوصفة اآلتية تمثل عجنة واحدة من الكعك. كم عجنة يمكنك إنتاجها إذا

غيرت الوصفة لتحتوي على المقادير اآلتية؟ اشرح إجابتك. كيلوجرام)

41 ٢ الكيلوجرام من الدقيق (الكوب =

41 (أ)

كيلوجرام)41 (ب) كيلوجرام من السمن (الكوب =

كيلوجرام)41 (ج) كيلوجرام من السكر األبيض (الكوب =

راتك. ر مبر ÷ ٤؟ فس52 يساوي ناتج

52 ٣ التواصل: هل ناتج ٤ ÷

٤ التفكير الناقد: تحتوي رزمة ورق على ٥٠٠ ورقة، وتحتوي رزمة أخرى من الورق

1 من عدد الورق في الرزمة األولى. أراد عادل أن يعرف كم ورقة تحوي هذه 20

على

1 = ١٠٠٠٠ وقرر بأن رزمة الورق الثانية 20

الرزمة، فقام بإجراء العملية اآلتية: ٥٠٠ ÷

ر. تحوي ١٠٠٠٠ ورقة. فهل إجابته مقبولة؟ فس

كعكة الشوكوالتة٢ كوب من الدقيق.

41

١ ملعقة شاي من الصودا.١ ملعقة شاي من الملح.

. ١ كوب من السمن النباتي كوب من السكر األبيض.

43

. 4 كوب من السكر البني1

١ ملعقة شاي ڤانيليا.بيضتان

كوبان من الشوكوالتة






42

8-6x…OÉ«àYG möùc ≈∏Y x…OÉ«àYG möùc oáª°ùb

قسمة كسر اعتيادي على كسر اعتيادي استكشف سوف تتعلم

قسمة كسر اعتيادي على كسر

. اعتيادي

، صلة الدرس تعلمت في الدرس السابق كيفية قسمة عدد كلي على كسر اعتيادي

. وفي هذا الدرس ستتعلم كيفية قسمة كسر اعتيادي على كسر اعتيادي

األدوات المستخدمة: أشرطة الكسور استخدم أشرطة الكسور

قسمة كسر اعتيادي على كسر اعتيادي

121 ÷

32 إليجاد

باستخدام شريط الكسور، ظلل ما يمثل الكسر األول.رة للكسر استخدم شريط الكسور برسم أشكال متكر

الثاني أسفل الكسر األول بحيث تشغل الحيز نفسه الذي يشغله الكسر األول.

اذكر عدد المناطق التي رسمت أسفل الكسر األول.


81 ÷ 2

4(جـ)

61 ÷ 2

3(ب)

41 ÷

21 (أ)

٢ عند قسمة كسر اعتيادي على آخر أصغر من الواحد، لماذا يكون الناتج أكبر من المقسوم عليه؟

٣ كيف تتشابه قسمة كسر اعتيادي على آخر مع قسمة عدد كلي على كسر ؟ اعتيادي

؟ اشرح. 15

÷ 21 ٤ هل يمكنك استخدام شرائط الكسور في قسمة

مثال (١)٦٧

٣٧ في ر: كم فك ٣٧

÷ ٦٧

أوجد

الطريقة األولى: باستخدام النمذجة

الناتج هو ٢

باستخدام الضرب بالمعكوس الضربي ٧٣ ^ ٦٧

= ٣٧ ÷ ٦٧

الطريقة الثانية:

ط بس ٦^٧٧^٣

١

١١

٢ =

٢ =

٨ = 112

÷ 32

}

112

قسمة كسر اعتيادي على كسر اعتيادي تعلم

Dividing Fraction by Fraction

مثال (٢)

١٥ كم) يقاس طول مضمار سباق الخيل بوحدة الفرلونج (الفرلونج الواحد =

٢ كم. كم يبلغ طول المضمار بالفرلونج؟ ١٩٠

يبلغ طول مضمار سباق الخيل

١٥

÷ ٢ طول مضمار سباق الخيل = ١٩٠١٥

÷ ١٨١٩٠

=

١٠ - ٥١

^ ١٨١٩٠

=

طول مضمار سباق الخيل يساوي: ١٠ فرلونجات.

عند قسمة كسر اعتيادي على عدد كلي يمكنك أن تكتب العدد الكلي في صورة كسر ، وعندئذ يمكنك ضرب الكسر في المعكوس الضربي للعدد اعتيادي مقامه الواحد الكلي

الكلي وهو على هذه الصورة.

مثال (٣)

٣ ÷ ٦؟٥

ما ناتج

نضع العدد الكلي في صورة كسر مقامه الواحد. ٦١

÷ ٣٥

= ٣ ÷ ٦٥

.16 بالضرب في المعكوس الضربي للعدد ١

٦ ^ ٣٥

=

ط بس ٣^١٥٢^٦

١ =

101 =

حاول أن تحل أوجد ناتج:

72 ÷

73 (ب)

85 ÷

54 (أ)

١٠ ÷ 52 (د) ٢ ÷

51 (جـ)


؟ اشرح.21 ÷

41 =

41 ÷

21 ، فهل

21 ^

41 =

41 ^

21 ١ تعلم أن

؟ ، فما بسط هذا المعكوس الضربي ٢ إذا أوجدت المعكوس الضربي لعدد كلي

ظهر مصطلح «الفرلونج» في

العصور الوسطى عندما كان

يقاس به طول حقول الفالحين.

و«الفرلونج» هو وحدة قياس

1 كم.5

للمسافة تساوي

pïjQÉàdÉH oá∏°üdG

تذكريمكنك كتابة الكسر االعتيادي في أبسط

صورة، وذلك بقسمة كل من البسط والمقام على

عاملهما المشترك األكبر .(h .ع. م)

43


١ كوب من الحليب، وكان لديك إناء يسع 14

١ كوب من الدقيق ، 14

١ التفكير الناقد: إذا كانت وصفة أحد أنواع الخبز تستلزم 1 كوب فقط؛ فكيف يمكنك استخدامه الستكمال الوصفة؟

2

ر إجابتك. s، فما قيمة س؟ فس3

^ ٥ = s3

٢ التفكير الناقد: إذا كان ٥ ÷

١. قارن تقديرك بالقيمة الدقيقة لناتج القسمة.87 ٣ على

65 ٣ التواصل: استخدم التقريب لتقدير ناتج قسمة

٢؟ 12

÷ ٥ 12

1 أكبر من ناتج 2

÷ ٥ 12

ح لماذا يكون ناتج : ٤ المجلة: وض

44






45

9-6ájOÉ«àY’G Qƒ°ùμdG p áª°ùbh p ÜöV ≈∏Y oπªà°ûJ »àdG pä’OÉ©ŸG tπM

سوف تتعلم حل المعادالت التي تشتمل على ضرب الكسور االعتيادية

وقسمتها.

من االستخداماترو الصحف يستخدم محر

والمجالت المعادالت لتحويل القياسات من وحدة إلى أخرى.

صلة الدرس تعلمت في دروس سابقة طرق حل المعادالت التي تحتوي على أعداد كلية أو أعداد عشرية. وفي هذا الدرس ستتعلم طرقا مشابهة لحل المعادالت التي تشتمل

.على ضرب الكسور االعتيادية وقسمتها

ح كيف كل معادلة مما يلي تتبعها جملة واحدة فقط صحيحة. حددها ثم وضعرفت أنها صحيحة.

١ المعادلة: ٥ع = ٣

(أ) قيمة ع هي كسر أكبر من الواحد.

(ب) قيمة ع هي كسر أصغر من الواحد.

1 س = ١٠2

٢ المعادلة:

(أ) قيمة س أكبر من ١٠

(ب) قيمة س أصغر من ١٠

٦ = 32 ٣ المعادلة: ص ÷

تساوي ٦32 (أ) ص مضروبة في

تساوي ٦23 (ب) ص مضروبة في

34

3 ÷ م = 4

٤ المعادلة:

(أ) يمكن كتابة م على صورة كسر

(ب) ال يمكن كتابة م على صورة كسر

٥ أربع قيم مما يلي يمكن أن تحقق إحدى المعادالت السابقة، فما هي؟

(هـ) ٤ 34 (د) (جـ) ١ 3

5(ب) (أ) ٢٠

أي قيمة من القيم السابقة ال تحقق أي معادلة من المعادالت السابقة؟

Solving Equations Involving Multiplication and Division Of

Fractions

حل المعادالت استكشف

حل المعادالت تعلم

تذكر أنك قد استخدمت الحساب الذهني لتحل المعادالت التي تشتمل على جمع الكسور وطرحها، ويمكن استخدام الطريقة نفسها لحل المعادالت التي تشتمل على ضرب

الكسور وقسمتها.عند حل المعادالت التي تشتمل على ضرب الكسور، ربما يكون من المفيد أن

توجد أوال بسط العدد الذي تبحث عنه، ثم توجد مقامه بعد ذلك.

مثال (١)

158 س =

32 حل:

؟».158 ليكون الناتج

32 تقرأ «ما العدد الذي يضرب في

158 ^ س =

32 : الحل

استخدم الحساب الذهني إليجاد البسط. 158 =

?4 ^

32

استخدم الحساب الذهني إليجاد المقام. 815

= 45

^ 23

عبارة صحيحة 158 =

158

.54 قيمة س هي

وكذلك يمكنك حل المعادالت التي تشتمل على ضرب الكسور وقسمتها باستخدام . المعكوس الضربي

مثال (٢)غالبا ما يقيس المساحون المسافات بالسلسلة. إذا كان موقف للسيارات طوله ٣٣ مترا ويساوي

من السلسلة، فكم مترا في هذه السلسلة؟23

لنفرض أن طول السلسلة هو س مترا.

س = ٣٣23

٣٣ ^ 32 ^ س =

23 ^

32

٢^٣٣٣١

١١١ ^ س =

س = ٢٢

تحقق من إجابتك

٢٢ = ٣٣ ^ 23

عبارة صحيحة ٣٣ = ٣٣

46

تذكر ^ س

32 س =

32

تذكرناتج ضرب العدد في

المعكوس الضربي

يساوي واحدا:

١ = 23 ^

32

السلسلة يمكن أن تقسم إلى ١٠٠

جزء متساو، كل جزء يسمى «حلقة».

تعلم؟ هل

فكرة مفيدةيمكنك التأكد من الناتج عن

طريق قسمة الناتج على المقسوم عليه في المعادلة الرئيسية

لتحصل على المقسوم.

47

مثال (٣)

٢21 س =

51 حل المعادلة:

٢21 س =

51 : الحل

25 س =

51

15 ^

25 ^ س =

15 ^

51

225 س =

١٢21 س =

عند حل المعادالت التي تشتمل على قسمة الكسور، فإنه من المفيد أن تعيد كتابة المعادلة

كمعادلة تشتمل على عملية ضرب، وذلك باستخدام المعكوس الضربي للمقسوم عليه.

مثال (٤)

109 =

32 حل المعادلة: ص ÷

أعد كتابة المعادلة في صورة معادلة تشتمل على عملية ضرب. 109 =

23 ص ^

. باستخدام الحساب الذهني 109 =

23 ^

53

تحقق من صحة المعادلة. ✓ 109 =

109

.53 قيمة ص هي


أوجد قيمة س في كل مما يأتي:

1615 س =

43 (ب) س = ٣

21 (أ)

76 =

37 (د) ص ÷

169 =

32 (جـ) س ÷

48

١ لماذا تعد أحيانا فكرة تحويل المعادلة التي تشتمل على قسمة الكسور إلى معادلة تشتمل على عملية ضرب، فكرة جيدة؟

٢ إذا كانت مقامات الكسور في معادالت الضرب غير متساوية، فهل أنت في حاجة إلى إعادة كتابة هذه الكسور لتجعلها ذات مقامات متساوية؟

٣ ما األفكار المستخدمة في حل المعادالت بغض النظر عن كونها تحتوي على أعداد كلية، أو أعداد عشرية، أو كسور عشرية؟


ح كمية المانجو التي تحصل عليها ٤ مصانع التفكير الناقد: استخدم التمثيل البياني التالي، والذي يوض

مختلفة إلنتاج العصائر المعلبة بالكيلوجرام، لإلجابة عن األسئلة من ١-٣.

١ ما الكسر الدال على كمية المانجو التي يحصل عليها مصنع الكويت بالنسبة إلى الكميات

ر إجابتك. الكلية؟ فس

ح كيف يمكنك استخدام مهارات التقدير لتحديد ذلك. 10 إجمالي كميات المانجو؟ وض3 ٢ أي المصانع يحصل على

٣ ما الكسر الدال على كمية المانجو التي حصل عليها مصنعا االستقالل والخليج بالنسبة إلى الكميات الكلية؟

٤ اختر اإلستراتيجية: اشرح الخطوات التي سوف تتبعها لحل المعادلة:

٣ 12

= 43 س +

32

س = ٤٣ أكبر من ٤٣.87 ح لماذا يكون حل المعادلة ٥ التواصل: وض

توزيع المانجو على المصانع المختلفة

مصنع الكويت

٣٠١مصنع الخليج

٢٦٢

مصنع االستقالل

٢٨٨

ريرتحع الصنم

١٣٨







49

pá°SOÉ°ùdG pIóMnƒ∏d w»ª«¶æJ l§ s£fl

الجمع والطرححل المعادالت

مقامات مختلفةمقامات موحدة

قسمة عدد كلي على كسر اعتيادي

الضرب في كسر اعتيادي

الضرب في قسمة كسر اعتيادي عدد كلي

على كسر اعتيادي

حل المعادالت الكسرية

قسمة الكسوراالعتيادية

ضرب الكسور أعداد كسريةالكسور

ÉgÒ°ùØJh á«fÉ«ÑdG Ωƒ°SôdG IAGôb

50

IóMƒdG(CG) ¤hC’G

päÉ©q∏°†ŸG oá°Sóæg oIóMnƒdGoá©HÉ°ùdG

oáq«YÉªàL’G oäÉ°SGQódG

على هو الكويت دولة في المارينا فندق مبنى شكل مضلع.

50

الشمس ارتفاع لقياس فلكية أداة األسطرالب والنجوم، استخدمها الفلكيون المسلمون األوائل.دراية على يكون أن يستخدمها من على وكان

واسعة بالنجوم، وأن يعرف كيف يقيس الزوايا.



تؤدى التقليدية، الرياضية الصاالت في التمرينات الرياضية على بساط مربع الشكل طول

ضلعه ١٢ مترا.وعلى الالعب أن يظل داخل حدود البساط،

وإال تخصم نقاط من رصيده.

lá«∏°ùJ

بينه ما في النحل أنواع بعض يتواصل إلى يشير والذي ، االهتزازي الرقص مستخدما موقع مصدر غني بحبوب اللقاح. وتوضح الزاوية االتجاه والشمس النحلة حركة من تتشكل التي

إلى حبوب اللقاح.

oΩƒ∏©dG

االنعكاس، طريق عن الهندسية األشكال أوضاع تغيير يمكن والتدوير، واإلزاحة (االنتقال).

للشكل لبعض األشكال الهندسية تماثل؛ فيمكن أن يكون تماثل خطي أو تماثل نقطي أو االثنان معا.

رسم مثلثات بمعلومية بعض العناصر من أضالع وزوايا.

لقياس المنقلة استخدام وتستطيع بالدرجات. الزوايا تقاس الزاوية.

المستقيمة والقطع الخطوط من الهندسية األشكال تتألف واألشعة ومجموعات أخرى من النقاط.

51

pIóMnƒdG o höûe

تصمم أن يمكنك المشروع، هذا في ا بك، أو بفصلك، أو بفريقك، شعارا خاصأو أي مجموعة تنتمي إليها. ابدأ بالتفكير في الشيء الذي تريد أن تصمم له شعارا،

وشكل الشعار الذي تريد تصميمه.


The Geometry of Polygons

52



É¡nà reóîà°SG »àdG nádOÉ©ŸGh ,nœÉædG pÖàcG pá«dÉàdG pπFÉ°ùŸG øe xπμd:‹ÉàdG p∫ÉãŸÉc ∂dPh ,p œÉædG Gòg ≈∏Y p∫ƒ°üë∏d

.z12 = 7 + 5{ rÖàcÉa ,12 ≈∏Y nπ°üëàd 7 ¤EG 5 nâ rØ°VCG GPEG

ا ١ يتدرب أيمن لمدة ثالثين دقيقة يوميكان إذا الكريم. القرآن حفظ على أيمن يتدرب عشر دقائق أكثر من إياد، فما عدد الدقائق التي يتدربها إياد؟

القرآن من سور سبع باسم حفظ ٢الكريم وحفظ طارق عددا من السور يقل بمقدار اثنين عما حفظه باسم. كم

سورة حفظ طارق؟

من صفحة وثالثين أربعا أنور حفظ ٣القرآن الكريم. وحفظ بدر ضعف عدد الصفحات التي حفظها أنور. كم عدد

الصفحات التي حفظها بدر؟

٤ عدد السور المكية في القرآن الكريم السور المدنية ٢٧ ٨٧ سورة، وعدد سورة. كم يزيد عدد السور المكية عن

السور المدنية؟

يساوي الكريم القرآن كلمات عدد ٥تتوسط التي الكلمة كلمة. ٧٧٨٤٥القرآن الكريم هي "وليتلطف" (سورة الكلمات التي الكهف: ١٩). ما عدد

قبلها؟

تفسير العبارات الرياضيةفي كثير من المواقف

يستخدم تعبيرات مثل أكثر من ، أقل من ، ضعف ،

نصف.عند وضع خطة لحل

المسألة بطريقة ، صحيحة نحتاج إلى معرفة كيفية

تفسير هذه التعبيرات.

52

oäÉ©q∏°†ŸG oIóMnƒdG(h) oá©HÉ°ùdG

منذ زمن ليس ببعيد، اكتشفت ماسة في جمهورية غينيا اإلفريقية.

وكان حجمها يماثل حجم بصلة صغيرة. وباعها صاحبها بمبلغ

. وبهذا السعر، فإن ٠,٤٥٣٦ ٢ دينار كويتي ٧٠٠ ٠٠٠

، ٢٥ دينار كويتي ٠٠٠ ر بحوالي ٠٠٠ كيلوجرام من الماس يقد

ر كيلوجرام البصل بـ ٥٠٠ فلسا. في حين يقد

وتمثل الماسة غير المصقولة نموذجا للبلورة؛ إذ يوجد معظم الصخور والمعادن في العالم على شكل بلورات، ويظهر بعضها في أشكال وأنماط هندسية أخاذة. وقليل د من البلورات، مثل الماس، والزمرد، والياقوت، تحد

قيمته حسب ندرته وجمال منظره. ويقوم صقالو الجواهر المهرة بصقل البلورات في أشكال جذابة ثالثية األبعاد.ثم يضعون أشكاال هندسية مسطحة على سطح البلورة

تسمى سطيحات. وينتج عن عملهم هذا مجوهرات ذات سمات رياضية وفنية تفوق قيمتها بكثير قيمة كيس

ممتلگ بالبصل.وفي هذا الجزء ستتعلم هندسة البلورات والسطيحات.

pôgGƒ÷G oá°Sóæg

لماذا تعد قيمة الماس أكبر بكثير من قيمة البصل؟ ١ما معنى: «وبهذا السعر، فإن ٠,٤٥٣٦ كيلوجرام ٢٢٥ دينار كويتي »؟ ٠٠٠ ر بحوالى ٠٠٠ يقد

53

Polygons

54

1-7påq∏ãŸG o Ó°VCG

أضالع المثلث استكشف سوف تتعلم

تصنيف المثلثات تبعا ألضالعها.

من االستخداماتيقوم الناحتون، وهم صانعو

التماثيل، بتصنيف المثلثات عند تصميم أي تمثال.

صلة الدرس تعرفت في السابق على المثلث وزواياه. واآلن سوف تتعلم كيفية

.تصنيف المثلثات تبعا ألطوال أضالعها

األدوات المستخدمة: أشرطة الكسور التقط العيدان

ن مثلثا. ولكي د إذا كان باإلمكان وضعها معا لتكو ١ لكل مجموعة من العيدان، حدتعتبر الشكل مثلثا يجب أن تتالمس العيدان ركنا بركن.

(ب) أخضر فاتح، أصفر، أخضر قاتم ، أزرق، أخضر قاتم (أ) برتقالي، أخضر فاتح (د) أصفر، بني (جـ) أحمر، أبيض، أسود

، أخضر قاتم، أبيض (و) أرجواني (هـ) أخضر قاتم، أصفر، أحمر (ح) أسود، أخضر قاتم، أحمر ، أزرق، أبيض (ز) برتقالي

ن مثلثا في ٢ أوجد خمس مجموعات جديدة، كل منها يحتوي على ثالثة عيدان تكوما بينها. أوجد خمس مجموعات جديدة، كل منها يحتوي على ثالثة عيدان ال يمكن

عن طريقها تكوين مثلث.٣ من دون وضعها معا بالفعل، كيف تبين إذا كانت ثالثة عيدان مثلثا أو ال.

أضالع المثلث تعلم

من الممكن اعتبار هذا الشكل مثلثا ألن

جميع العيدان تتالمس ركنا بركن.ال يمكن اعتبار هذا الشكل مثلثا، ألن العيدان

ال تتالمس جميعا ركنا بركن.

المثلث متطابق األضالعيحتوي على ثالثة أضالع

متطابقة.

المثلث متطابق الضلعينيحتوي على ضلعين فقط متساويين في الطول (متطابقين).

المثلث مختلف األضالعجميع أضالعه غير متساوية في الطول.

(غير متطابقة)

٥٥

٥

٣

٤

٦ ٥

٧

٥

قطع كويزينر

Sides of a Triangle

تذكرأنواع المثلثات بالنسبة إلى

أضالعهامثلث متطابق األضالع.مثلث متطابق الضلعين.

مثلث مختلف األضالع.

55

أمثلة١ في هذه الماسة المصقولة، صنف المثلثات

ن السطوح أ، ب، ج. الموضحة التي تكو

المثلث «أ» له ضلعان متطابقان، ولذلك فهو مثلث

متطابق الضلعين. والمثلث «ب» له ثالثة أضالع

متساوية في الطول ولذلك فهو مثلث متطابق

األضالع. والمثلث «ج» ال يحتوي على أضالع

متطابقة، ولذلك فهو مثلث مختلف األضالع.

وبالنسبة إلى أي أضالع في مثلث، يجب أن يكون مجموع طول أقصر ضلعين أكبر من طول الضلع الثالث.

في الحجرة األولى: مجموع

ارتفاعي الحائطين أكبر من طول

األرضية.

في الحجرة الثانية: مجموع ارتفاعي

الحائطين أصغر من طول األرضية.

أمثلةأي من األطوال المعطاة التالية تصلح أن تكون أطواال ألضالع مثلث؟

٣ ١٠ سم، ١٤ سم، ٢٥ سم ٢ ٥ سم، ٩ سم، ١٣ سم

١٠ + ١٤ < ٢٥ ٥ + ٩ > ١٣

ال يمكن أن تكون أطواال ألضالع مثلث. يمكن أن تكون أطواال ألضالع مثلث.


أي من األطوال التالية تصلح أن تكون أطواال ألضالع مثلث؟

(جـ) ٣ م، ٦ م، ١٢ م (ب) ١١ سم، ٣ سم، ٨ سم (أ) ٢ م، ٥ م، ٦ م


ر إجابتك. ١ هل المثلث القائم الزاوية يمكن أن يكون متطابق الضلعين أيضا؟ فس

٢ هل جميع المثلثات المتطابقة األضالع لها الشكل نفسه؟ والمساحة نفسها؟ اشرح.

أج

ب

٤م

٤م٤م

٩م٩م

٦م٦م

٤م

٤م٤م٤م

تعرف معايير جودة الماس عند بعض األربعة بالمعايير الجواهر بائعي الشفافية، القطع، اللون، التالية:

القيراط.

تعلم؟ هل

يصنف المثلث بحسب قياس زواياه:

المثلث الحاد الزوايا: ويتضمن ثالث زوايا حادة.

المثلث القائم الزاوية: ويتضمن زاوية واحدة قائمة. المثلث المنفرج الزاوية:

ويتضمن زاوية واحدة منفرجة.

معلومات رياضية


١ التفكير الناقد: اشرح ما إذا كان ممكنا أن ترسم كال من المثلثات التالية أم ال. وإذا كان ذلك ممكنا، فقم برسم المثلث.

(أ) مثلث منفرج قائم الزاوية.

(ب) مثلث مختلف األضالع حاد الزوايا.

(جـ) مثلث متطابق الضلعين قائم الزاوية.

٢ التواصل: إذا قمت بطي مثلث متطابق األضالع نصفين، فما نوع المثلثين الصغيرين؟ اشرح إجابتك.






56

57

2-7páKÓãdG ¬ pYÓ°VCG p∫GƒWCG páq«eƒ∏©Ã påq∏ãŸG oº°SQ

سوف تتعلم رسم مثلث بمعلومية

أطوال أضالعه الثالثة.

صلة الدرس تعلمت كيفية تصنيف المثلثات تبعا ألطوال أضالعها، واآلن سوف .تتعلم رسم مثلث إذا علمت أطوال أضالعه

األدوات المستخدمة: قطع كويزينر

١ باستخدام العيدان ذات األلوان: األخضر الفاتح، األصفر، األخضر الغامق، هل يمكن رسم مثلث؟

، ٢ باستخدام العيدان ذات األلوان: األزرق البنياألحمر، هل يمكن الحصول على مثلث؟

، هل ٣ باستخدام األلوان األبيض، األحمر، البنييمكن الحصول على مثلث؟

رسم المثلث تعلم

١ عندما تتالمس أطراف العيدان نحصل على رسم المثلث.٢ يجب أن يكون طول كل ضلع أصغر من مجموع طولي الضلعين اآلخرين.

مثال (١)رسم مثلث بمعلومية أطوال أضالعه الثالثة.

ارسم المثلث م حـ د حيث م حـ = ٧ سم، م د = ٤ سم ، دحـ = ٥ سمالخطوة ١: استخدم المسطرة وارسم قطعة مستقيمة طولها ٥ سم. ولتكن دحـ هذه القطعة.

الخطوة ٢: افتح الفرجار إلى ٧ سم. ثبت إبرة الفرجار على النقطة حـ وارسم قوسا.

حـ ٥سم د

رة الفرجار على الن

حـ٥سم د

رسم المثلث استكشف

Draw Triangle knowing The Lengths Of its Three Sides

قطع كويزينر

58

الخطوة ٣: افتح الفرجار إلى ٤ سم. ثبت إبرة الفرجار على النقطة د وارسم قوسا يتقاطع مع القوس األول ولتكن م نقطة التقاطع.

، وهكذا تحصل على المثلث م حـ د. �� , � � , � ثم بين الخطوة ٤: صل بين


١ ارسم مثلثا أطوال أضالعه ٦ سم، ٧ سم، ٥ سم.

٢ ارسم مثلثا أطوال أضالعه ٣ سم، ٤سم، ٥سم.


١ هل يمكن رسم مثلث إذا كان طول كل ضلع منه أصغر من مجموع طولي الضلعين اآلخرين؟

٢ عند رسم مثلث بمعلومية أطوال أضالعه الثالثة، هل يوجد أكثر من مثلث ضمن الشروط المعطاة؟

حـ٥سم د

م

سم ٧سم ٤

حـ٥سم د

م

59

3-7 p™∏°†dG p∫ƒWh ÚàjhGR p¢SÉ«b p áq«eƒ∏©Ã påq∏ãŸG oº°SQ

Éª¡«°SCGQ ÚH p π°UGƒdG


قياس زاويتين وطول ضلع مجاور لهما.

صلة الدرس تعلمت كيفية رسم مثلث إذا علمت أطوال أضالعه الثالثة، واآلن سوف .تتعلم رسم مثلث إذا علمت قياس زاويتين وطول الضلع الواصل بين رأسيهما

) = ٥٠°، ق(� ��) = ٦٠° ،ب = ٥ سم. �� رسم مثلث ب جـ بمعلومية ق( ثم القطعة المستقيمة ب بواسطة الفرجار. هل يمكن الحصول على ١ ارسم الزاوية

المثلث ب جـ؟� ثم القطعة المستقيمة ب بواسطة الفرجار. هل يمكن الحصول ٢ ارسم الزاوية

على المثلث ب جـ؟٣ استنادا إلى السؤالين السابقين، ماذا تقترح

للحصول على المثلث؟٤ أوجد قياس الزاوية الناقصة في المثلث التالي:


إذا علم قياس زاويتين من مثلث وطول ضلع منه، نستطيع رسم هذا المثلث.يجب أن نعرف قياس زاويتين وطول الضلع الواصل بين رأسيهما.

مثال (١).º٦٠ = (� �� ) ،º٥٥ = (�� ) ، ب جـ حيث ب جـ = ٣ سمh ارسم المثلث

الخطوة ١: استخدم المسطرة، وارسم قطعة مستقيمة طولها ٣ سم. ولتكن ب جـ هذه القطعة.

°٥٠°٦٠٥سم

؟

h

جـ°٦٠ °٥٥

٣ سم ب

جـ ب


Drawing a Triangle knowing The Measure Of Two Angles and The Length of Adjacent Side

تعلم؟ هل

يرمز إلى الزاوية hب جـ بطريقتين:

h ب جـ

h � ��

h

بجـ

معلومة رياضية:مجموع قياسات زوايا

المثلث = ١٨٠°

60

الخطوة ٢: ضع المنقلة بحيث يكون منتصف قاعدتها فوق النقطة ب..ºيساوي ٥٥ (� � ��) بحيث يكون s f ارسم الشعاع

الخطوة ٣: ضع المنقلة بحيث يكون منتصف قاعدتها فوق النقطة جـ..ºيساوي ٦٠ (� �� ) بحيث يكون w “ ارسم الشعاع

.h الخطوة ٤: يتقاطع الشعاعان في نقطة سمها

وهكذا تحصل على المثلث hب جـ.

حاول أن تحل� � �) = ٥٠°، ود = ٦ سم.

) ،°٣٥ = (� � �) ارسم المثلث هـ و د بمعلومية


،°٧٠ = (� �

) ١ هل تستطيع رسم مثلث ك ل م إذا علمت أن

� � ) = ١٢٠° ، م ل = ٥ سم؟

)

ر. ٢ هل تستطيع رسم مثلث متطابق الضلعين، إذا علمت قياس زاوية واحدة وطول ضلع واحد؟ فس

جـ

س

٣ سم بº٥٥

جـ ب

س

٣ سم

ص

h

º٥٥º٦٠

6161

4-7Éª¡H IOsóëŸG pájhGõdG p¢SÉ«bh Ú©∏°V ‹ƒW páq«eƒ∏©Ã p åq∏ãŸG oº°SQ


طولي ضلعين وقياس دة بينهما. الزاوية المحد

صلة الدرس تعلمت كيفية تصنيف المثلثات حسب زواياها وتبعا ألطوال أضالعها، .دة بينهما سوف تتعلم رسم مثلث إذا علمت طول ضلعين وقياس الزاوية المحد

١ هل يمكن رسم المثلث ك ل م حيث ك ل = ٥ سم، ك م = ٧ سم ، � �) = ٦٠°؟ ماذا تستنتج؟

) ـ = ٧ سم؟ �) = ٥٠°، ود = ٥ سم، د ه ��

) ـ و د إذا كان ٢ هل يمكن رسم المثلث ه) = ٩٠°، فارسم المثلث ب جـ. �� ) ،جـ = ٤ سم ،ب = ٥ سم ٣ إذا علمنا


دة بهما، نستطيع رسم المثلث. إذا علم طوال ضلعين فيه وقياس الزاوية المحد

مثال (١).°٤٠ = ( � �

) ارسم المثلث ع ل م حيث ل ع = ٤ سم، ل م = ٥ سم ، و

الخطوة ١: استخدم المنقلة، وارسم زاوية قياسها ٤٠°، رأسها ل

الخطوة ٢: افتح الفرجار إلى ٥ سم. ثبت إبرة الفرجار على النقطة ل وارسم قوسا يقطع أحد الشعاعين في النقطة م.

م

°٤٠لع

ل

ص

سº٤٠

ل س

م

º٤٠

سم ٥


Drawing a Triangle knowing the Length Of Two Sides and The Measure Of The Angle Between Them.

62

الخطوة ٣: افتح الفرجار إلى ٤ سم. ثبت إبرة الفرجار على النقطة ل وارسم قوسا يقطع الشعاع

اآلخر في في النقطة ع.

الخطوة ٤: صل بين النقطتين ع، م. وهكذا تحصل على المثلث ع ل م.

حاول أن تحل) = ٦٥°، ع م = ٦ سم، ل م = ٧ سم. � �

) ارسم المثلث ع ل م بمعلومية


١ هل يمكن رسم مثلث متطابق الضلعين إذا عرفنا طول ضلع واحد وقياس زاوية ر. واحدة؟ فس

�

�º٤٠

٤سم

�

�º٤٠

٤سم

سم ٥

63

5-7påq∏ãª∏d oáLQÉÿG oájhGõdG

سوف تتعلم الزاوية الخارجة للمثلث

وعالقتها بالزوايا الداخلة.

صلة الدرس تعلمت في السابق مجموع قياسات زوايا المثلث، واآلن سوف تتعلم .قياس الزاوية الخارجة للمثلث

،°٦٠ = (� ��) ب جـ مثلث فيه h في الشكل المقابل.°٤٠ = (�� )

أكمل:

..............،............ ،(�� ):١ الزوايا الداخلة للمثلث هي°...... = ( �� ) ٢

السبب: ..........................................................................

السبب:........................................ ....... = ( � ) ٣

...................... = ....... + ....... = (�� ) + ( �� )

السبب: ....................................... ......... = ( � �� ) ٤

................................................ = ( �� ) + (�� )

٤ ماذا تستنتج؟.................................................. ، ٣ من الخطوتين

الزاوية الخارجة للمثلث تعلم

الزاوية الخارجة للمثلث عند الرأس في المثلث ب جـ هي الزاوية المكملة والمجاورة بh هي زاوية خارجة للمثلث عند الرأس ب. . الزاوية للزاوية

قياس كل زاوية خارجة للمثلث يساوي مجموع قياس الزاويتين الداخلتين عدا الزاوية المجاورة لها.

في المثلث ك ل م، � � خارجة للمثلث عند الرأس ل.ق ( � �) + ق ( � �) = ١٨٠°،

ق ( � �) + ق (� �) + ق ( � �) = ١٨٠°(مجموع قياسات الزوايا الداخلة للمثلث يساوي ١٨٠°)

إذا ق ( � �) = ق (� �) + ق ( � �)

بلجـ

°٦٠°٤٠ ك

م h

ل

ك

مع

الزاوية الخارجة للمثلث استكشف

Exterior Angel Of a Triangle

تذكر

الزاويتان المتجاورتان على مستقيم متكاملتان ( مجموع

قياسيهما ١٨٠°)

64

مثال (١)أوجد قياس الزاوية �� U الخارجة للمثلث في الرسم المقابل:

قياس الزاوية الخارجة للمثلث عند الرأس ن تساوي مجموع قياس الزاويتين الداخلتين عدا المجاورة لها.°٣٠° + ٨٠° = ١١٠ = (U � ��) إذا

حاول أن تحلأوجد قياس الزاوية الخارجة للمثلث في الرسم التالي:

قياس الزاوية الخارجة للمثلث أكبر من قياس أي زاوية داخلة ما عدا المجاورة لها.

مثال (٢)في المثلث المجاور:

� � ما قياس الزاوية ��، � � قارن بين قياس الزاويتين � �� ، � � قارن بين قياس الزاويتين

الحل°٤٥° + ٥٠° = ٩٥ = (� �)

( ��) < (� �) ٩٥° > ٤٥° إذا

( � �� ) < (� �) ٩٥° > ٥٠° إذا


في المثلث المجاور:ر إجابتك. ) = ٥٠°؟ فس � �� ) هل يمكن أن يكون


١ في مثلث حاد الزوايا، كيف يكون قياس الزوايا الخارجة للمثلث؟

ر. ٢ هل يمكن أن يكون قياس إحدى الزوايا الخارجة للمثلث ٩٠°؟ فس

و

هـ

طن

°٨٠

°٣٠

ل°٥٠ °٤٣

هـك

م

ب جـد

°٤٥

°٥٠

h

h

°٧٠

°٥٦دجـب

65

6-7 oáª«≤à°ùŸG o•ƒ£ÿG h oájRGƒàŸG oáª«≤à°ùŸG o•ƒ£ÿG

oIóeÉ©àŸGParallel and Perpendicular lines

الخطوط المستقيمة المتوازية و الخطوط المستقيمة المتعامدة استكشف سوف تتعلم

تمييز الخطوط المستقيمة ها. المتوازية وخواص

تمييز الخطوط المستقيمة ها. المتعامدة وخواص

من االستخداماتيحتاج مهندسو اإلنشاءات عند إنشاء الطرق إلى التأكد من أن

الطرق متوازية تماما، وأن الدعائم التي تثبت مضمار هذه الطرق

تكون عمودية عليها.

درست سابقا الشعاع وارتباطه بالخطوط المستقيمة. واآلن سوف صلة الدرستتعرف على الخطوط المستقيمة بخاصة التي ال تتقاطع أبدا، وتلك التي تتقاطع فينشأ من

.تقاطعها زوايا قائمة

األدوات المستخدمة: ورقة مسطرة، مسطرة، منقلة. ! .. لعبة الخطاختر خطين من الورقة المسطرة بحيث يفصل بينهما أكثر

من فراغ (سطر).١ صف الخطين على ورقتك. ماذا تالحظ؟

م الزوايا ا مائال يقطع الخطين األفقيين، ورق ٢ ارسم خطالناتجة كما في الشكل. قس الزوايا من (١-٨)

ن قياساتك. ودو٣ هل وجدت زوايا متطابقة؟ سم الزوايا المتطابقة إن

وجدت.٤ هل وجدت زوايا متكاملة؟ سم الزوايا المتكاملة إن وجدت.

٥ أعد رسم الخطين مرة أخرى، واستخدم مسطرة لرسم خط رأسي يقطعهما. ما قياس كل زاوية في هذه الحالة؟

الخطوط المستقيمة المتوازية و الخطوط المستقيمة المتعامدة تعلم

المستوي: هو سطح مستو غير منته. وتسمى الخطوط المستقيمة الواقعة في المستوي، والتي ال تتقاطع أبدا

مستقيمات متوازية.ح الشكل صورة األضالع المتوازية (الحمراء) ويوضالقريبة من قاعدة برج إيفل الشهير في مدينة باريس ببناء إيڤل جوستاڤ مصممه قام حيث فرنسا، في نة باللون األزرق) بحيث تتقاطع دعامات مائلة (الملومع األضالع المتوازية وذلك لتدعيم البرج. الخطوط

المستقيمة التي تتقاطع مع خطين مستقيمين متوازيين أو أكثر تسمى قواطع.

مستقيمين خطين مع قاطع يتقاطع عندما متوازيين، تتكون ثماني زوايا، بعض أزواج هذه أسماء التالي الجدول ح ويوض متطابق. الزوايا

بعض أزواج هذه الزوايا.

المصطلحات األساسية مستو متواز قاطع

زوايا متقابلة بالرأس زوايا متبادلة زوايا متناظرة

زوايا متحالفة (زاويتان داخلتان في جهة واحدة من القاطع)

نقطة المنتصف قطع مستقيمة متطابقة

ف القطعة المستقيمة منص عمودي

ف عمودي منص

١٢٤٣٥٦٨٧

66

مثال (١). ثبت نجار ست دعائم خشبية متوازية على حائط مقطوعة بقاطع وتري

5W ،6W ،8W ،4W :٦٢°، فأوجد القياس = (2W) إذا كان ق

4W هما زاويتان متطابقتان. ،2W الزاويتان المتقابلتان بالرأس º٦٢ = (4W) لذا فإن

8W هما زاويتان متطابقتان. ،2W الزاويتان المتبادلتان .º٦٢ = (8W) ق = (2W) لذا فإن

2W و6W هما زاويتان متناظرتان فتكونان متطابقتين. .º٦٢ = (6W) :إذا

5W،2W تشكالن معا زاويتين متحالفتين، لذا فهما زاويتان متكاملتان. الزاويتان º١٨٠ = (2W) ق + (5W) لذا فإن

.º٦٢ = (2W) بالتعويض عن º١٨٠ = º٦٢ + (5W) إذابطرح º٦٢ من كال الطرفين. º٦٢ - º١٨٠ = º٦٢ - º٦٢ + (5W) إذا

.º١١٨ = (5W) إذا


١ سم كل زوج من أزواج الزوايا التالية:6W ،4W (جـ) 7W ،5W (ب) 6W ،2W (أ)

٢ إذا كانت (3W) = º١٢١، فأوجد قياس كل من:2W (د) 7W (جـ) 5W (ب) 4W (أ)

v“ يتقاطع مع hب في نقطة تتحدد القطعة المستقيمة بنقطتين (طرفين) وجميع النقاط الواقعة بينهما. المنتصف م، حيث النقطة م هي النقطة التي تقسم hب إلى قطعتين مستقيمتين متطابقتين.

8الزوايا المتقابلة بالرأس 7 2 16 5 4 3, , , ,] ] ]t t t t t t t t

6الزوايا المتبادلة 4 5 3, ,]t t t t

8الزوايا المتناظرة 4 7 3 6 2 5 1, , , ,] ] ]t t t t t t t t

mالزوايا المتحالفة m5 4 6 3]t t t t

1 ٢4 3

5 68 7

1 2 5 6

784 3

Ü

Ü

h

h

Ω`L

1 24 3

5 68 7

67

ف h ب ألنه يمر بمنتصف v هو منص “ القطعتان المستقيمتان المتطابقتان متساويتان في الطول.

h ≈∏Y ÉvjOƒªY o¿ƒμj v ب. “ ) أصبح ٩٠° فإن h �� ) تلك القطعة وهي نقطة م. واآلن تخيل أن

ف العمودي لـ h ب. v هو المنص “ h = v ب، “ أي

مثال (٢). إذا كانت نقطة انطالق السهم على بعد ب سهما الصطياد فريسة أراد أحد الرماة أن يصو١٦ سم من كل طرف من طرفي وتر القوس، بحيث يصنع السهم زاوية قائمة ٩٠º مع

فا عموديا على وتر قوس الرمي؟ وتر القوس، فلماذا يعتبر السهم منص

يقع القوس. وتر على عموديا السهم يكون وبذلك القوس، وتر مع قائمة زاوية السهم يصنع السهم أيضا في منتصف الوتر على بعد ١٦ سم من كلتا النهايتين. وبما أن السهم عمودي على

القطعة المستقيمة من منتصفها، لذا فإن السهم عمودي على منتصف القطعة المستقيمة.


د أي نقطة منتصف في الطائرة الورقية، وعلل لماذا. ٣ (أ) حدف عمودي في الطائرة الورقية، وعلل لماذا. د أي منص (ب) حد


١ قم باإلشارة إلى خطين مستقيمين متوازيين، وخطين مستقيمين متعامدين في غرفة الفصل.٢ اشرح كيف يمكنك تحديد ما إذا كان الخطان المستقيمان متوازيين، وما إذا كان الخطان المستقيمان متعامدين.

ا على أحد الخطين المستقيمين ٣ افترض أن قاطعا يتقاطع مع خطين مستقيمين متوازيين. إذا كان القاطع عموديا على الخط اآلخر؟ المتوازيين، فهل يكون عمودي

٤ هل من الممكن أن يكون الخطان المستقيمان غير المتقاطعين غير متوازيين؟ إذا كانت اإلجابة نعم، فأعط أمثلة. ح لماذا. وإذا كانت اإلجابة ال، فوض

16 16

O`L

Ü

`g

h

h vب “ `L

Ω

O

hÜ

68

(6-7) pπFÉ°ùŸG uπ◊ oó°TôŸG. ف عمودي د نقطة منتصفها. استخدم نقطة المنتصف والمنقلة لرسم منص ارسم قطعة مستقيمة. أوجد طولها وحد

افهم

ا تحت المطلوب في المسألة. ١ ضع خط

»؟ ف عمودي ٢ ما معنى «منص

خطط

٣ كيف ستوجد نقطة المنتصف؟ ف العمودي والقطعة المستقيمة؟ ٤ كم سيكون قياس الزاوية بين المنص

حل

. ف عمودي د موضع نقطة المنتصف، ثم استخدم المنقلة لرسم منص ٥ ارسم القطعة المستقيمة. أوجد طولها بالقياس وحد

تحقق

٦ هل من المهم تحديد أي قطعة من القطعتين المستقيمتين المتطابقتين سوف تستخدمها عند قياس الزاوية التي تحتاج إليها ؟ اشرح. ف عمودي لرسم منص


٧ ارسم قطعة مستقيمة. استخدم المنقلة والمسطرة لرسم قطعة مستقيمة أخرى بحيث تكون نقطة منتصفها هي إحدى نقطتي النهاية للقطعة األولى.


حلالمسائل

69


حين في الصورتين التاليتين. د الخطوط المستقيمة المتوازية والخطوط المتعامدة في المبنيين الموض ١ التفكير الناقد: حد

يان مستقيمين متخالفين. صف لزميلك زوجين من الخطوط المتخالفة ٣ التواصل: خطان مستقيمان ال يتقاطعان وال يتوازيان يسمالتي تالحظهما في غرفة الفصل.

حة أدناه إلنشاء منصف عمودي عليها باستخدام الفرجار ومسطرة تقويم. ٤ المجلة: ارسم قطعة مستقيمة. استخدم الطريقة الموض

(أ) افتح الفرجار بفتحة أكبر من نصف طول القطعة المستقيمة. ضع

سن الفرجار عند إحدى نقطتي نهاية القطعة المستقيمة وارسم قوسا.

(ب) استخدم فتحة الفرجار نفسها لرسم قوس من نقطة النهاية الثانية

للقطعة المستقيمة بحيث يتقاطع هذا القوس مع القوس السابق رسمة في

نقطتين.

(جـ) ارسم المستقيم الذي يصل بين نقطتي تقاطع القوسين. هذا المستقيم

ف العمودي للقطعة هو المنصالمستقيمة.






7-7oáq«YÉHôdG o∫Éμ°TC’G

سوف تتعلم

تصنيف األشكال الرباعية.

صلة الدرس سبق لك دراسة بعض األشكال الرباعية. واآلن سوف تتعلم تصنيف .األشكال الرباعية

عبر بأسلوبك…

تظهر كل مجموعة مما يلي ثالثة أمثلة لنوع معين من األشكال الرباعية وشكال واحدا

ليس مثاال لها. اكتب تعريفا بأسلوبك الخاص لكل مجموعة.١

ليس ألفا ألفا ألفا ألفا

٢

ليس بيتا بيتا بيتا بيتا

٣

ليس جاما جاما جاما جاما

٤

ليس دلتا دلتا دلتا دلتا

الشكل الرباعي هو مضلع له أربعة أضالع. توجد خمسة أنواع خاصة من األشكال

الرباعية:

شبه المنحرف، متوازي األضالع، المعين، المستطيل، المربع، كل منها له مجموعة مختلفة

من الخصائص، وبعض األشكال يمكن تصنيفها بأكثر من طريقة.

األشكال الرباعية تعلم

األشكال الرباعية استكشف

من االستخدامات

يستخدم مصممو برامج الحاسوب األشكال الرباعية عند

ح رسم المخططات التي توضعمل البرامج.


شبه المنحرف

متوازي األضالع

معين

مستطيل

مربع

70

Quadrilaterals

متوازيات األضالع

أمثلةأكمل كال مما يلي:

١ h ب جـ د متوازي األضالع

قياس ب د h = السبب: قياس h = السبب: قياس ب د جـ = السبب: قياس h د جـ = السبب: طول ب جـ = السبب:

الشكلالمربعالمستطيلالمعينمتوازي األضالع

فعريالت

كل ضلعين متقابلين متوازيان.

هو متوازي أضالع فيه ضلعان متجاوران متساويان في الطول.

هو متوازي أضالع إحدى

زواياه قائمة.

هو مستطيل فيه ضلعان متجاوران متساويان في الطول، أو معين إحدى

زواياه قائمة.

العألضا

كل ضلعين متقابلين متساويان في الطول.

جميع أضالعه متساوية في الطول.

كل ضلعين متقابلين جميع أضالعه متساوية في متساويان في الطول.

الطول.

وايا- كل زاويتين متقابلتين الز

متساويتان في القياس- مجموع قياس كل

زاويتين متتاليتين = ١٨٠°

- كل زاويتين متقابلتين متساويتان في القياس- مجموع قياس كل

زاويتين متتاليتين = ١٨٠°

جميع قياسات زواياه متساوية وقياس كل منها = ٩٠°

جميع قياسات زواياه متساوية وقياس كل منها = ٩٠°

ارنةالمق

جه أو

h

جـب

د

٤ سم

٧ سم

°٨٠°٤٠

71

تذكر

شبه المنحرف هو شكل رباعي فيه ضلعان

متقابالن ومتوازيان.

٢ س ص ع ل معينس

°٧٠

٥ سم

لص

ع

قياس ص = السبب: قياس ع = السبب: ص ع = السبب: محيط س ص ع ل = السبب:

٣ د هـ و ب شبه منحرف

°٦٠

°١١٠بد

و هـ م

قياس هـ = السبب: قياس ب = السبب:

٤ ل م ب ع مستطيلعل

ب م

°٢٠

قياس ل = السبب: قياس م ع ب = السبب:

72

أمثلة٥ صواب أم خطأ: المربع هو مستطيل.

.ºالمربع هو متوازي أضالع فيه كل ضلعين متقابلين لهما الطول نفسه، وجميع زواياه قياسها ٩٠

المربع يكون مستطيال. العبارة صحيحة.

٦ صنف الشكل المقابل بعدة طرق كلما أمكن.

الشكل هو: شكل رباعي ومتوازي أضالع ومعين.

حاول أن تحل١ أجب عما يأتي بـ «صح» أو «خطأ»:

(أ) المعين هو شبه منحرف.

(ب) المستطيل هو متوازي أضالع.

(جـ) صنف الشكل المقابل بعدة طرق كلما أمكن.


ف أحد كتب الهندسة المربع على أنه «معين قائم الزاوية». هل توافق على ذلك؟ ١ يعرراتك؟ ما هي مبر

٢ فيم يتشابه كل من شبه المنحرف ومتوازي األضالع، وفيم يختلفان؟

٣ يمكن تصنيف األشكال الرباعية استنادا إلى ما إذا كانت أضالعها المتقابلة متوازية أو غير متوازية. هل يمكن تصنيف المثلثات أيضا بهذه الطريقة؟ اشرح.

pá¨∏dÉH oπNGóàdGh o§HGÎdG

في quad - البادئة تعني

فمثال: «أربعة»، اإلنجليزية اللغة

ذوات من حيوان quadruped

شكل quadrilateral األربع،

، quadraphonic هو نظام رباعي

صوتي يستخدم أربعة مسارات صوتية

منفصلة.

73

(7-7) pπFÉ°ùŸG uπ◊ oó°TôŸGاشرح لماذا ال يمكن تصنيف الطائرة الورقية المبينة في الشكل على أنها: شبه منحرف، أو متوازي أضالع، أو معين، أو

مستطيل، أو مربع.

افهم

ا تحت األشكال الرباعية الخمسة التي ال تعد تصنيفا للطائرة الورقية. ١ ضع خط

خطط

٢ أي من هذه األشكال الرباعية الخمسة يمكن تصنيفها متوازي أضالع؟ ٣ ما الذي تعرفه عن أضالع متوازي األضالع؟

٤ ما الذي تعرفه عن أضالع شبه المنحرف؟ ٥ هل تحتوي الطائرة الورقية على أي أضالع متوازية؟

٦ هل تحتوي الطائرة الورقية على أي زوج من األضالع المتقابلة متساوية الطول؟

حل

٧ لماذا ال يمكن تصنيف الطائرة الورقية كأحد األشكال الرباعية المعطاة؟

تحقق

٨ هل إجابتك عن السؤال رقم (٧) وضعت جميع األشكال التي ذكرت في المسألة في تصنيفها السليم؟


٩ صنف األشكال الرباعية التي يمكن أن تستخدم كنماذج في صنع الطائرات الورقية كلما أمكن.


١ المجلة: كل مربع مستطيل. ولكن ليس كل مستطيل بالضرورة مربعا. اشرح.

٢ التفكير الناقد: أضالع الشكل الثماني جميعها متساوية الطول. وجميع األضالع

راتك. المتقابلة متوازية. هل يمكن تصنيف الشكل الثماني على أنه معين؟ اشرح مبر

٣ التواصل: اشرح لماذا ال يمكن تصنيف شكل الطائرة الورقية المبين على أنه شبه

منحرف، أو متوازي أضالع، أو معين، أو مستطيل، أو مربع.


حلالمسائل

74

päÓjƒëàdG oá°Sóæg oIóMnƒdG(Ü) oá©HÉ°ùdG

oáq«qæØdG o∫ƒ∏◊Gاألواني تصميم المسلمون الفنانون استطاع

لحياة صور وعمل الفنية، اللوحات السجاد، الفخارية،

ولكن كفن. العربي الخط آخرون واستخدم النبات،

األنماط استخدام هو شهرة اإلسالمية الفنون أكثر لعل

رة المتكر األشكال من سالسل فكانت الهندسية؛

الفنية األعمال أنواع جميع تزخرف والمتداخلة

المسلم هو أيضا الفنان اإلسالمية، وأظهرت بوضوح أن

خبير بالرياضيات.

، أين تجد األشكال الهندسية؟ ١ بخالف الفن اإلسالمي

٢ كيف تستخدم النماذج الهندسية لزخرفة األشياء؟

75

Transformations

األدوات المستخدمة: أوراق غير مسطرة، مقص دعنا نرى ما هو…

١ اطو ورقة نصفين، وارسم مضلعا على أحد وجهي

الورقة المطوية على أن يكون أحد األضالع على طول

. الطية. اقطع الشكل وال تقطع الضلع الذي على الطي

ارسم الشكل الذي تعتقد أنك حصلت عليه. افتح الورقة

المقطوعة، وقارن بينها وبين ما توقعته.

٢ اطو ورقة من اليسار إلى اليمين، ومن األعلى إلى

ح في الرسم، ثم ارسم قطعتين األسفل، كما هو موض

مستقيمتين، أو ثالث قطع مستقيمة بدءا من الطية العليا

ر الخطوة رقم (١). منتهيا بالطية اليسرى، ثم كر

٣ اطو ورقة على طريقة آلة األكورديون الموسيقية عن

طريق ثالث طيات. ارسم مضلعا على أحد أوجه الطي

ر الخطوة ١، واقطع خالل الطبقات األربع. . كر العلوي٤ قارن بين أشكالك الورقية، ثم صف أي شيء يمكنك أن

تجده مشتركا بين األشكال الثالثة.

يتطابق الشكالن إذا كان لهما القياس نفسه والشكل نفسه.

8-7pπKÉªàdG t§Nh o¢SÉμ©f’G

التماثل استكشف سوف تتعلم

تعيين انعكاس األشكال في محور.

تعيين خط التماثل (خط التناظر).


رون التماثل عند يستخدم المصو

تركيب اللوحات وصور المناظر

الطبيعية الجميلة.


تطابق

خط التماثل

انعكاس في محور

صلة الدرس تعلمت في الدرس السابق كيف تصنف األشكال الرباعية. واآلن سوف

.رة تبحث عن األشكال الهندسية ذات األنماط المتكر

االنعكاس وخط التماثل تعلم

طية

طيةطية

طية عليا

مضلع

مضلع

قطع مستقيمة

76

Flips and Line Symmetry

77

الشكل الذي يمكن طيه إلى نصفين منطبقين يكون له خط تماثل.

الشكل وصورته باالنعكاس في محور متطابقان.

h حيث: االنعكاس في محور ل يعين لكل نقطة h في مستوى الورقة صورة

h h ٢ ل ينصف ل h h ١

h h ف لـ الحظ أن ل هو العمود المنص

مثال (١)ارسم صورة كل مما يلي باالنعكاس في المحور ل

(ج) (ب) (أ)

الحظ أن صورة نقطة تنتمي إلى محور االنعكاس هي النقطة نفسها وتسمى نقطة صامدة.

خط تماثل ليس خط تماثل

h

ل

h

ل

دل

ص

س

س

ع

ع

ص

و

ل

هـ

هـ

و

h h

ب ب

78

أمثلةد ما إذا كان يوجد خط تماثل أم ال. ٦ حد ٢ إلى في األشكال من

٢ كال، ليس للشكل خط تماثل

٧ ارسم انعكاس الشكل في المحور ل.


اذكر ما إذا كان لكل من األشكال التالية خط تماثل أو ال. إذا وجد فارسم هذا الخط أو هذه الخطوط.

(جـ) (ب) (أ)


١ ماذا يعني القول إن االنعكاس هو الصورة في المرآة؟

٢ ما عدد خطوط التماثل في المربع؟ في الدائرة؟ اشرح إجابتك.

نعم، الشكل له خط تماثلنعم، الشكل له خط تماثل

نعم، الشكل له خط تماثل

كال، ليس للشكل خط تماثل ٤

٣

٥

٦

ل

ل

ïjQÉàdÉH oπNGóàdGh o§HGÎdGاألوائل المسلمون الفنانون اعتقد

به. خاص طبيعي نظام له العالم أن

تصميماتهم يصنعوا أن اختاروا وقد

نظامها في وجدت كما اإلسالمية

. الطبيعي

79


حلالمسائل


ا منتظما. أي هذه المضلعات يحتوي على العدد األكبر ا منتظما، خماسي ا منتظما، سداسي ١ التفكير الناقد: ارسم ثماني

من خطوط التماثل؟ اشرح إجابتك.

٢ التفكير الناقد: قياس إحدى زوايا مثلث º٤٠. الزاويتان األخريان تطابق كل منهما األخرى. ما هو قياس كل من الزاويتين

األخريين؟ اشرح إجابتك.

٣ المجلة: اكتب قائمة تحتوي على خمسة أشياء في فصلك أو منزلك فيها خط تماثل. اشرح، وقم بوصف خط أو خطوط

التماثل.






80

9-7tÊGQhódG oπKÉªàdGh o¿GQhódG

الدوران استكشف سوف تتعلم

تحديد دوران األشكال.

. تحديد التماثل الدوراني


يستخدم صانعو أغطية الفراش

الدوران الدائري عند تصميم نماذج

اللحاف.


دوران

دوران مع اتجاه دوران عقارب الساعة

دوران بعكس اتجاه دوران عقارب

الساعة

تماثل دوراني

صلة الدرس رأيت في الدرس السابق ماذا يحدث عند انعكاس الشكل على طول

.واآلن سوف ترى ماذا يحدث عندما يدور الشكل مثل العجلة . الخط

األدوات المستخدمة: ورق استشفاف الدور دورك

تشمل األشكال الخمسة عشر التالية ٧ أزواج من األشكال المتطابقة، وتم تدوير

شكل واحد من كل زوج ليواجه اتجاها مختلفا. شكل واحد فقط من األشكال التالية ال

يوجد له مثيل، بغض النظر عن طريقة تدويره.

١ أوجد لكل شكل الشكل المماثل له. ما هو الشكل الذي ليس له مثيل؟

٢ ارسم مثيال للشكل الذي ليس له مثيل. تأكد من أنه قد تم تدويره ليواجه اتجاها

مختلفا. كيف تثبت أن الشكلين متماثالن؟

الدوران والتماثل الدوراني تعلم

الشكل وصورته تحت تأثير دوران علم مركزه االتجاه متطابقين. يكونان واتجاهه وزاويته أو الساعة عقارب دوران مع يكون الدوراني بعكس دوران عقارب الساعة، وسوف نقتصر في دراستنا على الدوران بعكس اتجاه دوران

عقارب الساعة.

(هـ)(د)(جـ)(ب)(أ)

(ي)(ط)(ح)(ز)(و)

(س)(ن)(م)(ل)(ك)

دورة مع اتجاه ١٤

دوران عقارب الساعة

١ دورة بعكس اتجاه ٤

دوران عقارب الساعة

Turns and Rotational Symmetry

81

إذا أمكن تدوير أحد األشكال أقل من دورة كاملة حول نقطة معلومة وكان الشكل الناتج

. ، فإن الشكل يكون له تماثل دوراني من الدوران ينطبق على الشكل األصلي

.ºشكل (١) له تماثل دوراني قدره ١٨٠

إذا أدرته º١٨٠ حول م. فسوف ينطبق على نفسه مماثال تماما للصورة

األصلية.

الشكل (٢) له ٣ تماثالت دورانية حول مركزه

.º٢٧٠ ، º١٨٠ ، ºوقدرها ٩٠

الشكل (٣) ليس له تماثل دوراني

مثال (١)د التماثالت الدورانية بهذا ر الشكل º٣٦٠ حول النقطة م (مركز المثلث المتطابق األضالع)، فحد إذا دو

المثلث .

º٢٤٠ ،ºر ١٢٠ سوف ينطبق الشكل على نفسه إذا دو


د التماثالت الدورانية لكل من: (أ) حد

٤. متوازن األضالع ٣.المستطيل ٢. المربع ١. المعين

ر الشكل º٣٦٠، فكم عدد المرات التي سوف يستقر فيها على (ب) إذا دو

الموضع نفسه؟

م

(١)

(٢)

و

(٣)

تذكردوران زاوية قياسها ٩٠° (ربع دورة)

دوران زاوية قياسها ١٨٠° (نصف دورة)

دوران زاوية قياسها ٢٧٠° (ثالث أرباع دورة)

دوران زاوية قياسها ٣٦٠° (دورة كاملة)

ر الشكل حول مركزه إذا دو٣٦٠° ينطبق على نفسه، هذا

ال يعتبر تماثال دورانيا.

انتبه

م

82

للقصاصات دفتر صنع ونبيل فيصل أراد

التي التصميمات صور فيه يلصقا كي

تظهر التماثل، وقد كانا في حاجة إلى شكل

له تماثل دوراني قدره º١٨٠، ولذلك أرادا

أن يعرفا هل في استطاعتهما استخدام التصميم الفني

ح في الرسم. للمسجد الموض

١ كيف كانت طريقة نبيل؟ هل يستطيع دائما استخدامها إلظهار أن التصميم له تماثل دوراني مقداره

º١٨٠؟

٢ ما مميزات طريقة فيصل عن طريقة نبيل، وطريقة نبيل عن طريقة فيصل؟


رها للشكل حتى ، فكم درجة يجب أن تدو ١ إذا كان أحد األشكال ليس له تماثل دوراني

يستقر في الموضع نفسه؟

؟ اشرح. ر شكل ما، فهل الشكل الناتج يكون مطابقا للشكل األصلي ٢ إذا دو


ما رأيك؟

ح

ر… فيصل يفكسوف أرسم نسخة من التصميم على ورقة

.ºر الورقة ١٨٠ رسم، ثم أدوالشكل الناتج من الدوران يماثل التصميم

الموجود في المسجد؛ لذلك فإن التصميم .ºا قدره ١٨٠ أظهر تماثال دوراني

قمة

قمة

ر… نبيل يفك ، رأسي خط على الشكل أعكس سوف . وبعد ذلك أعكس الشكل على خط أفقي؛ األصلي الشكل يماثل الناتج الشكل ا قدره لذلك يظهر الشكل تماثال دوراني

.º١٨٠

8383


١ التواصل: هل يمكن لجميع األشكال الهندسية الدوران بحيث تنطبق قمة كل شكل على نفسها؟ اشرح إجابتك.

، للشكل عند دورانه؟ اشرح إجابتك. ٢ التواصل: هل ستتغير المساحة، أو المحيط، أو المظهر الخارجي

. افعل ما سبق مع قطعة أخرى من ٣ التفكير الناقد: اطو قطعة من الورق نصفين، ثم نصفين آخرين. قص شكال له تماثل دوراني

. صف الفروق بين تماثالت الشكلين اللذين حصلت عليهما. الورق وقص شكال له خط تماثل وليس له تماثل دوراني






8484

10-7oAÉ°ùØ«°ùØdGh oáMGRE’G

سوف تتعلم تعيين صور األشكال

الهندسية والفسيفساء تحت تأثير إزاحة (انسحاب).

صلة الدرس عرفت ماذا يحدث للشكل عندما تقوم بعكسه أو تدويره. واآلن سوف .ترى ماذا يحدث عندما تقوم بإزاحة شكل إلى موقع جديد

األدوات المستخدمة: ورق شفاف، أوراق غير مسطرة بالطات لألرضية تمثل األشكال التالية نماذج مختلفة للبالط. أي هذه األشكال يمكن استخدامه لتغطية

األرض من دون وجود فراغات بين البالطات؟

١ انسخ كل شكل على ورق شفاف عدة مرات. انسخ األشكال متالصقة معا قدر ر بعد ذلك ما إذا كان يمكن وضع كل شكل مع األشكال اإلمكان من دون تداخل. قر

التي تم نسخها منه مع عدم ترك فراغات بينها، أو ال يمكن وضعه.٢ ارسم شكال لم يظهر في الرسم أعاله، ولكن يمكن استخدامه لتغطية األرض من

دون أي فراغات.٣ انظر إلى جميع األشكال التي يمكن وضعها معا متالصقة من دون أي فراغات

د ما إذا كان باإلمكان استخدام بينها. ما األنماط التي ترى أنها سوف تساعدك لتحدالشكل أم ال من دون االستعانة بورق شفاف؟

الشكل وصورته تحت تأثير إزاحة انسحاب معلوم مسافته واتجاهه، يكونان

متطابقين.

اإلزاحة والفسيفساء تعلم

اإلزاحة والفسيفساء استكشف


يستخدم مصممو لوحات

الجرافيك اإلزاحة والفسيفساء

عند تصميمهم لألنماط الفنية

والتخطيطية، كالتصوير،

والزخرفة، والكتابة والطباعة.


انسحاب

فسيفساء

Slides and Tessellations

8585

الفن في الموزاييك حائط تصميم يتكون اإلسالمي أحيانا من شكل هندسي واحد يتم إزاحته لكل المواضع الممكنة على الحائط، ونتيجة لذلك

يتم تغطية الحائط بالكامل في هذا الشكل.

ونمط األشكال المتطابقة الذي يشبه النمط أعاله، والذي ليس فيه فراغات أو تداخالت يسمى فسيفساء.

ال يوجد فراغات بين األشكال

ن شكال فسيفسائيا المربع يكو

مثال (١)ن الشكل المجاور فسيفساء؟ اعمل رسما هل يمكن أن يكو

إليضاح إجابتك.

ن الشكل فسيفساء. نعم يمكن أن يكو


ن الشكل المجاور فسيفساء؟ هل يمكن أن يكو

اعمل رسما إليضاح إجابتك.

؟ اشرح. ن فسيفساء له خط تماثل؟ تماثل دوراني ١ هل الشكل الذي يكو

٢ هل يمكنك استخدام أي شكل في عمل فسيفساء؟ اعمل رسما إليضاح إجابتك.

توجد فراغات بين األشكال

ن شكال المثمن المنتظم ال يكو

ا فسيفسائي

تعلم؟ هل

فقط أساسيا نمطا ١٧ يوجد

شكل كل تقسيم يمكن للفسيفساء.

األنماط هذه أحد إلى فسيفسائي

السبعة عشر.


86


١ التواصل: يرى سامي أنه يمكن استخدام كل المربعات والمستطيالت ومتوازيات األضالع في تكوين الفسيفساء.(أي استخدامها كوحدة تكرارية في الرسم من دون وجود فراغات في ما بينها). هل تتفق مع سامي في الرأي؟ اشرح

راتك. مبر

٢ التفكير الناقد: ما هو النمط األساسي للفسيفساء المرسومة عبر قاعدة

ح في الرسم؟ الحجر الموض

٣ التفكير الناقد: ارسم فسيفساء دون استخدام مضلع في تكوينها. اشرح رسمك.

؟ إذا كان كذلك، فارسم الشكل الذي تم استخدامه في تكوين الفسيفساء. ح فسيفسائي ٤ اختر اإلستراتيجية: هل التصميم الموض






87

11-7p¢SÉμ©f’Gh páMGREÓd tÊÉ«ÑdG oπ«ãªàdG

سوف تتعلم

تمثيل اإلزاحة واالنعكاس

ا في مستوى اإلحداثيات. بياني

صلة الدرس درست في الوحدة السابقة اإلزاحة واالنعكاس. واآلن سوف تتعلم

.ا في مستوى اإلحداثيات كيف تمثل كال منهما بياني

األدوات المستخدمة: ورق رسم بياني مبنى أشباه المنحرف!

يعلم فريق البحث عن الكنوز، حجم وشكل واتجاهات المبنى القديم لشبه

المنحرف، ولكن من سوء الحظ ال يعلمون أين يقع مبنى شبه المنحرف على جزيرة المضلعات.

المبنى في أحد المواقع المجاورة أرضية ح الخريطة ١ توضد إحداثيات أركانه األربعة. الممكنة. حد

إذا إيجاده يمكن للمبنى الممكنة األخرى المواقع أحد ٢نقاط من نقطة كل تحركت وحدات ست األول الموقع جنوبا. وحدات وثالث شرقا، هذا في المبنى أرضية ارسم د حد ثم الممكن الموقع

إحداثيات أركانه.٣ إذا علمت أن أركان الحائط الشمالي من المبنى الحقيقي تقع عند النقاط (١٨، ٢٣)، (٢٠، ٢٣)، فكيف يمكنك

إيجاد إحداثيات الركنين ا؟ وما إحداثياتهما؟ اآلخرين دون تمثيل أرضية المبنى بياني

التمثيل البياني لإلزاحة واالنعكاس تعلم

ا على مستوى يمكنك تمثيل اإلزاحة بيانياإلحداثيات، فمثال لنقل المثلث ب جـ إلى

ك كل رأس من رؤوس موضع ب جـ حرالمثلث ٥ وحدات يمينا ثم ٥ وحدات ألعلى.

اإلزاحة واالنعكاس استكشف

من االستخداماتكة يستخدم مصممو الرسوم المتحر

واالنعكاس اإلزاحة الحاسوبية إلبداع اإلحداثيات مستوى في (اللقطات) المشاهد من سلسلة المتتابعة من القصة السينمائية التي

يقومون بإعدادها.

غرب

جنوب

شرق

شمال

٠١-١-

١

١

٢

٢

٣

٣

٤

٤

٥

٥

٢-

٢-

٣-

٣-

٤-

٤-

٥-

٥-

٥ -

٥ -

٥

٥٥

٥

ص

س

ب

ب

h

جـ

جـh

Graphing Slides and Flips

88

مثال (١)ـ بعمل إزاحة للمثلث h ب جـ ٥ وحدات يسارا و٣ وحدات ألعلى. أنشگ المثلث h ب ج

h، ب، جـ. صف أي أنماط تجدها. أوجد إحداثيات النقاط

،(٠، -٢) h :ب جـ هي h إحداثيات المثلث

ب (٣، -٣)، جـ (٤، -١)

،(٥، ١-) h :ب جـ هي h إحداثيات المثلث

ب (-٢، ٠)، جـ (-١، ٢)

الحظ أن: اإلحداثيات السينية للمثلث h ب جـ ، تنقص عن اإلحداثيات السينية للمثلث

h ب جـ بمقدار ٥، وذلك ألن المثلث

hب جـ قد نقل ٥ وحدات يسارا .

h ب جـ تزيد عن اإلحداثيات الصادية للمثلثh اإلحداثيات الصادية للمثلث ب جـ بمقدار ٣، وذلك ألن المثلث hب جـ قد نقل ٣ وحدات ألعلى


١ أنشگ المثلث ل م ن وذلك بنقل المثلث ل م ن د إحداثيات ٦ وحدات يمينا ثم ٤ وحدات ألسفل. حد

النقاط ل، م، ن. صف أي أنماط تجدها.

تذكر أن االنعكاس يقلب الشكل إلى الجانب اآلخر من محور االنعكاس. Δأ تم انعكاسه في المحور الصادي فنتج Δب. المحور الصادي في هذه

الحالة هو محور االنعكاس. Δأ، Δب كل منهما هو انعكاس لآلخر.

٥٣

٥

٠٥ -

٥ -

ب

hجـ

ب

h١جـ ٢ ٣

١

٢

٣

٠

٥

ل

م

ن

٢

٣

١-

٢-

١-٣-٢-

٣-

١ ٢ ٣

١

أ ب

٥٠

١ ٢ ٣

٢-

١-

٣-

٢

٣

١

٣-٢-١-

(٥، ١-) h = (٠ -٥، -٢ + ٣) h (٠، -٢) hب (٣، -٣) ب (٣ - ٥، -٣ + ٣) = ب (-٢، ٠)جـ (٤، -١) جـ (٤ - ٥، -١ + ٣) = جـ (-١، ٢)

٠

ب

h-٣-٢-١جـ

١ ٢ ٣

١

٢

٣

١-١-

٢-

٤-٣-٢- ٤

٤

٤

٤

٤

٤

٤

٤٤-

٣-

٤-

٥

٥

٥١-

٢-

٣-

٤-

٥

٤-

٤-

٤-

٤-

٥

89

مثال (٢)أنشئ Δ س هـ بعمل انعكاس للمثلث س هـ في

د إحداثيات النقاط ، س، هـ . . حد المحور السيني

صف أي أنماط تجدها.

٢ الحظ أن اإلحداثيات السينية للمثلث هـ س هي اإلحداثيات السينية نفسها للمثلث

ك المثلث يسارا أو يمينا. هـ س، وذلك ألن االنعكاس على المحور السيني ال يحر. تغير االنعكاسات في المحور السيني كل إحداثي صادي إلى معكوسه الجمعي


أنشئ Δ س ص ع بانعكاس Δ س ص ع في

. المحور الصادي

د إحداثيات النقاط س ص ع. صف أي أنماط حد

تجدها.


١ ما التغير الذي يحدث في إحداثيات نقطة، إذا نقلت ألعلى أو ألسفل؟ يمينا أو يسارا؟٢ ما التغير الذي يحدث في إحداثيات نقطة، إذا عكست في المحور السيني وفي المحور

؟ الصادي

٥٠

٥

هـ

هـ

س

س

١ ٢ ٣١-١-

٢-

٢-

٣-

٣-

٤-

١

٢

٣

٤

٥٠

٥

ص

ع

س١ ٢ ٣ ٤-٣-٢-٤١-

١

٢

٣

٤

١-٢-

٣-

٤-

إحداثيات Δ هـ س إحداثيات Δ هـ س

(٣، -٢) (٣، ٢)س (-١، -٤) س (-١، ٤)

هـ (-٣، -١) هـ (-٣، ١)

تذكرالهندسية التحويالت في يوجد

الشكل: لحركة أنواع ثالثة

االنعكاس، الدوران، اإلزاحة. ٥٠

٥

س

١ ٢ ٣١-١-

٢-

٢-

٣-

٣-

٤-

١

٢

٣

٤

٥-

90


١ التفكير الناقد: مضلع رؤوسه كالتالي: h(٢، ٥)، ب(٥، ٥)، ج(٥، -١)، د(٢، -١). اعكس هذا المضلع في المحور

الصادي ثم انقل الصورة الناتجة ٤ وحدات إلى اليمين ووحدتين ألسفل، ثم أعط إحداثيات رؤوس الصورة الجديدة. اشرح

إجابتك.

٢ اختر اإلستراتيجية: هل يمكن أن تعكس شكال ما، وأن تجري إزاحة لهذا الشكل نفسه بحيث يكون للصورتين الناتجتين من

االنعكاس واإلزاحة الشكل نفسه، وأن يكون لهما اإلحداثيات نفسها؟ اشرح إجابتك.

ن ٣ التواصل: إذا كانت إحداثيات رؤوس الشكل أعدادا صحيحة، فهل صور الشكل الناتجة من اإلزاحة أو االنعكاس تكو

ر إجابتك. إحداثيات رؤوسها دائما أعدادا صحيحة؟ فس






9191

12-7Év«fÉ«H pä’OÉ©ŸG oπ«ã“

تمثيل المعادالت بيانيا استكشف سوف تتعلم

ا. تمثيل المعادالت بياني


يمثل مهندسو الصوت المعادالت

رات ا عند تطوير المؤث بياني

الصوتية باستخدام الحاسوب.


.T جدول حرف

ا على مستوى صلة الدرس تعلمت كيف تمثل االنعكاسات واالنتقاالت بياني

.ا على المستوى نفسه اإلحداثيات. واآلن سوف تتعلم كيف تمثل المعادالت بياني

األدوات المستخدمة: ورق رسم بياني البحث عن السفينة المفقودة!

في عام ١٩٠٥، غرقت سفينة من سفن

الغوص في الخليج العربي عند النقطة

(-٥، -٩) على الخريطة، وفي كل عام

ك السفينة وحدة كان تيار الخليج يحر

واحدة شرقا ووحدتين شماال.

١ ارسم نظاما لإلحداثيات السينية -

د مكان غرق السفينة. الصادية، ثم حد

٢ ارسم موقع السفينة بعد مرور عام واحد، وعامين، وثالثة أعوام، ثم اشرح كيف حددت الموقع لكل عام.٣ ارسم موقع السفينة بعد مرور عام ونصف العام من غرقها، ثم اشرح

كيف حددت موقع السفينة في ذلك الوقت.

ا يمثل المسار الذي سوف تسلكه السفينة على مدى السنين. ٤ ارسم خط. اشرح كيف حددت موضع هذا الخط

ر إحداثيات ٥ في عام ٢٠٠٥، يكون قد انقضى ١٠٠ عام على غرق هذه السفينة. قدموقع السفينة عام ٢٠٠٥، ثم اشرح كيف يمكنك تحديد اإلحداثيات المضبوطة

لموقع السفينة عام ٢٠٠٥.

Graphing Equations

٠

١٠

١٠

92

تمثيل المعادالت بيانيا تعلم

المعادالت الجبرية التي تعاملت معها من قبل تشمل متغيرا واحدا، وذلك مثل

المعادلة: س + ٣ = ٧.يستخدم مستوى اإلحداثيات متغيرين هما: س لإلحداثي األول، وص

لإلحداثي الثاني. ويمكنك استخدام مستوى اإلحداثيات لتمثيل معادالت في متغيرين. مثال ص = -س

ا، اتبع الخطوات اآلتية: لتمثيل المعادلة ص = س + ١ بياني

١ اصنع جدوال على شكل حرف T، مثل الجدول المجاور. استخدم ثالث أو أربع قيم

للمتغير س. (اختر أعدادا يسهل التعامل معها مثل -١، ٠، ١)

٢ استخدم المعادلة إليجاد قيم ص المناظرة لكل قيمة من قيم س.

مستوى على ص) ب (س، مرت زوج كل لقيم المناظرة النقاط ارسم ٣

اإلحداثيات.

ا مستقيما يصل بين النقاط. هذا الخط يمثل كل القيم األخرى ٤ ارسم خط

التي يمكنك اختيارها للمتغير س ولقيم ص المناظرة.

٥٠٥ -

٥ -

٥ ص

س

(١، -١)

(٣، -٣)

(٤، ٤-)

٠٠١٢

٣

١ -

١

٢

صس

٥٠

٥

(٠، ١)(١، ٠-)

(٢، ٣)

(١، ٢)٢

٢

٣

٣

٤

٣-٢-٤١-

١

١١-

٢-

٣-

تذكرصحيحين عددين ضرب عند

موجبين معا أو سالبين معا، فإن

صحيح عدد هو الضرب ناتج

موجب.

صحيحين عددين ضرب عند

أحدهما موجب واآلخر سالب،

عدد هو الضرب ناتج فإن

صحيح سالب.


ابحث عن النمط في قيم ص.

أمثلة١ مثل بيانيا المعادلة ص = س - ٤

ص = س - ٤

٢ مثل بيانيا المعادلة ص = -٢ س.

ص = -٢ س


مثل بيانيا كال من المعادالت اآلتية:

(ب) ص = ٢ س (أ) ص = س + ٥

(د) ص = -١ س (جـ) ص = ٨ - س

٠

٤

(٢، -٢)

(١، -٣)(٠، -٤)(١، -٥-)

٤١-١-

٢-

٢-

٣-

٣-

١

١

٢

٢

٣

٣

٠٥ -٤ -

٣ -

٢ -

١ -

١

٢

صس

٠٢٠

٢ -

٤ -

١ -

١

٢

صس

٠

(١، ٢-)

(٢، -٤)

(١، -٢)

(٠، ٠)

٢

٣

١-

٢-

١-٣-٢-

٣-

١ ٢ ٣

١

93

٤-

٤-

94

ملصق تعليق تم األطباء أحد عيادة في

حان أقصى فيه جدول ورسم بياني يوض

أثناء به المسموح القلب ضربات ل معد

عمل المجهود بالنسبة إلى العمر.

ل ضربات القلب المسموح به بالنسبة خالد ومحمد يبلغان من العمر ١٥ عاما، فما معد

١٠٢٠٣٠٤٠٥٠العمرإليهما؟ل المعد

(ضربة/دقيقة)١٥٢١٤٤١٣٦١٢٨١٢٠

ل المسموح به لمن عمره ٣٢ عاما؟ ١ أي الطريقتين سوف تستخدمها إليجاد المعد

٢ كيف أوجد خالد العدد الذي في المنتصف بين ١٤٤ و١٥٢؟

٣ كيف علم محمد أن التمثيل البياني يمر بالنقطة (١٥، ١٤٨)؟


١ كيف يمكنك استخدام التمثيل البياني للمعادلة إليجاد قيمة ص إذا علمت قيمة س؟

وإليجاد قيمة س إذا علمت قيمة ص؟

٢ هل تقع النقطة (١، ٣) على التمثيل البياني للمعادلة ص = س + ٣؟ اشرح.

٠٠٢٠

١٠ ٢٠ ٣٠العمر

قة)دقي

ة/ضرب

ل ( عدالم

٤٠ ٥٠ ٦٠

٤٠٦٠٨٠١٠٠١٢٠١٤٠١٦٠ مـــا

؟رأيك

ر… خالد يفكسوف أستخدم الجدول. بما أن ١٥ تقع في المنتصف بين ١٠، ٢٠،

ل كذلك فإن ١٤٨ تقع في المنتصف بين ١٤٤، ١٥٢، ولذلك فإن المعدالمسموح لي به هو ١٤٨ ضربة في الدقيقة.

ر… محمد يفك. بما أن الخط الذي يمثل المعادلة سوف أستخدم التمثيل البيانيل المسموح لي به يمر بالنقطة (١٥، ١٤٨) لذلك فإن المعد

هو ١٤٨ ضربة في الدقيقة.

ما رأيك؟

ك فإن المعدل

إليهما؟

(ض

95

(12-7) pπFÉ°ùŸG uπ◊ oó°TôŸGا المعادلتين : ص = س + ٣ مثل بياني

ص = س + (-٣)

على مستوى اإلحداثيات نفسه، صف العالقة بين الخطين المستقيمين الناتجين.

افهم

١ هل سترسم المعادالت في مستوى واحد لإلحداثيات أو على مستويين لإلحداثيات؟

٢ ما الذي طلب إليك وصفه؟

خطط

٣ أكمل جدولي T اآلتيين إليجاد بعض قيم س، ص لكل معادلة.

ص = س + (-٣) ص = س + ٣

حل

. ا كل معادلة، ثم ميز كل خط ٤ مثل بياني

٥ ما العالقة بين الخطين؟

تحقق

٦ هل تعتقد أنك ستحصل على النتيجة نفسها لكل من المعادلتين:

ص = س -٣، ص = س - (-٣)؟ اشرح إجابتك.


، ثم صف العالقة ا المعادلتين ص = ٣س، ص = -٣س، على مستوى اإلحداثيات السابق نفسه، وميز كل خط ٧ مثل بياني

بين الخطين المستقيمين الناتجين.

صسصس


حلالمسائل

96


بها ، فإذا كان مرت ١ التفكير الناقد: تعمل سلمى في أحد المحالت نظير أجر أسبوعيهذا األسبوع هو س دينار ونفقاتها ١٢ دينار:ا

ح ما ادخرته سلمى، واستخدم ص للداللة على المبلغ (أ) اكتب معادلة توضبها. المدخر، س للداللة على مرت

ا. (ب) مثل المعادلة بياني، كيف يمكنك تحديد المبلغ الذي ادخرته سلمى، (جـ) باستخدام التمثيل البياني

بها ٢٥ دينارا ؟ إذا كان مرت(د) باستخدام المعادلة، كيف يمكنك تحديد المبلغ الذي ادخرته سلمى إذا كان

بها ٢٥ دينارا؟ مرت

ا المعادلتين: ٢ التفكير الناقد: مثل بيانيص = ٣س، ص = ٥س

أي الخطين المستقيمين الناتجين أكثر انحدارا؟ اشرح لماذا اعتقدت ذلك.

ا المعادلتين: ص = س + ٣، ص = س + (-٣) على ٣ التفكير الناقد: مثل بيانيمستوى اإلحداثيات نفسه، ثم اشرح العالقة

بين الخطين المستقيمين الناتجين.

ح كيف يمكنك استخدام المعادلة في تحديد ما إذا كان الخط ٤ المجلة: وضالمستقيم الممثل لها يمر بنقطة األصل أم ال.






97

مخطط تنظيمي للوحدة السابعة

هندسة التحويالت

التمثيل البياني لإلزاحة واالنعكاس

ا تمثيل المعادالت بياني

المضلعات

أضالع

مثلثات

رسم المثلثات

مستقيمات متوازية

مستقيمات متعامدة

تطابق

إزاحة

انعكاس

تماثل

خط التماثل

دوران

فسيفساء

أشكال رباعية

مختلف األضالع متطابق الساقين متطابق األضالع

مربع، مستطيل، شبه منحرف، معين، متوازي أضالع


98


oáqjƒÄŸG oáÑ°ùædG , oÖ°SÉæàdG , oáÑ°ùædG oIóMnƒdGoáæeÉãdG

láq«YÉªàLG läÉ°SGQO

يقع مسجد الصخرة في حرم المسجد األقصى في األموي عبد الملك بن القدس. أمر ببنائه الخليفة

مروان حوالى العام ٧٢ هـ.كانت التي الصخرة إلى نسبة االسم بهذا دعي

أحد عناصر معجزة اإلسراء والمعراج.

حاول شيكاغو، حظيرة في صغير حريق شب األهالي إطفاء الحريق بواسطة دالء الماء، لكنهم

لم يفكروا في االتصال برجال اإلطفاء.من أكثر مدمرا هائال وأصبح الحريق امتد ٣٠٠ من أكثر بوفاة ومتسببا منزل ١٧٠٠٠

شخص.

98



مبيعات السيارات ١٩٣٠ بلغت نسبة في عام السيارات إجمالي من ٪١ بالراديو دة المزوإلى النسبة وصلت ١٩٧٠ عام وفي المبيعة،

أكثر من ٩٠٪.

ل سرعة الجسم الدوار بعدد غالبا ما تسجالدورات في الدقيقة أو بعدد الدورات في الثانية.

lá«∏°ùJ

oΩƒ∏©dG

يتشابه المضلعان إذا كانت زواياهما المتناظرة متساوية في القياس وأطوال أضالعهما المتناظرة متناسبة.

ها الثاني ١٠٠. النسبة المئوية هي نسبة حد

التناسب هو تساوي نسبيتين أو أكثر، إذا كانت إحدى قيم التناسب غير معلومة، فإنه يمكن إيجادها بمعرفة القيم الثالث

األخرى.

ل. يمكن المقارنة بين كميتين مختلفتي الوحدة في صورة معد

المقارنة بين كميتين باستخدام النسبة.

99

pIóMnƒdG o höûe

سوف تختار في هذا المشروع إحدى أثناء الكويتيون بها اشتغل التي المهن دولة على الغاشم العراقي الغزو فترة للنسب أمثلة عن وستبحث الكويت، المشروع ابدأ فيها. المستخدمة وأنواع لها، تفض مهنة في بالتفكير بينها المقارنة يمكنك التي الكميات

عند مناقشة هذه المهنة.


Ratio, Proportion and Percent

100



√òg øμdh , láHÉLEG pá«JB’G pπFÉ°ùŸG øe xπμd GPEG Ée rôcPG .ÉkeÉ“ máë«ë°U oÒZ oáHÉLE’G páHÉLE’G øe mÒãμH nô¨°UCG oáHÉLE’G √òg rânfÉc øe G vóL káÑjôb hCG ,mÒãμH nÈcCG hCG páë«ë°üdG

. nÖÑ°ùdG pôcPG qºK , páë«ë°üdG páHÉLE’G

حولى وتجميل نظافة هيئة أرادت ١إنشاء حديقة عامة على شكل مستطيل مترا، ١٢٧ وعرضه مترا ١٦٠ طوله

فكم تبلغ مساحة هذه الحديقة؟(٠٠٠ ٢٠ متر مربع).

الحديقة، هذه حول سور بناء سيتم ٢فما طول هذا السور؟ (٣٨٥ مترا).

٣ في اليوم األول لزراعة هذه الحديقة، في للمساعدة شخصا ١٤٤ تطوع زراعة الحديقة؛ حيث اشترك ربع عدد عين في زراعة الشتالت، فكم المتطوعا اشترك في زراعة الشتالت؟ متطو

عا). (٤٥ متطو

شكل على خالية مساحة تركت ٤الحديقة وسط في منتظم سداسي ضلع طول بلغ إذا مياه، نافورة لعمل ٥ المتر، فما

21 هذا الشكل السداسي

محيط هذه النافورة؟ (٣٦ مترا).

اختبر صحة الناتج

عندما تنتهي من حل

المسائل، فإنه من المفيد أن

تراجع عملك لتتأكد من أنك

قد أجريت الحل الصحيح.

وإحدى الطرق إلجراء ذلك،

هي مقارنة إجابتك بالموقف

األصلي لترى ما إذا كانت

إجابتك صحيحة أم ال.

100

oä’só©ŸGh oáÑ°ùædG oIóMnƒdGoáæeÉãdG (أ)

p§ØædG QÉHBG o≥jôM

101

أشعل الجيش العراقي آبار النفط في أواخر فبراير ١٩٩١ قبل انسحابه من الكويت.تم تدمير ما يقارب ١٠٧٣ بئرا مسببا غيمة سوداء غطت سماء الكويت والدول المجاورة مما أدى إلى حصول مشاكل بيئية

. وتلوث في الجوصة. بعد تحرير الكويت، بدأت عملية إطفاء اآلبار المشتعلة في ١١ مارس عام ١٩٩١، بواسطة ٤ شركات متخص

تمت السيطرة على أول بئر مشتعلة وهي (بئر األحمدي ٢٤) في ٣٠ مارس ١٩٩١.احتفلت دولة الكويت بإطفاء آخر بئر مشتعلة وهي بئر (برقان ٧٥) في صباح يوم األربعاء الموافق ٦ نوفمبر ١٩٩١.

مع مقارنة متأخر توقيت في مشاركته رغم المشتعلة اآلبار مجموع من المئة في ٦ حوالى بإطفاء الكويتي الفريق ساهم ه الوطني العالي وعمله الدؤوب وتصديه الفرق األخرى وكان موضع إعجاب ومحل تقدير الفرق األجنبية من خالل حس

للحرائق األضخم.

Ratios and Rates

١ متى بدأ حريق آبار النفط في الكويت؟ ومتى تم إخماد آخر بئر؟٢ ما كان تقريبا عدد اآلبار التي دمرت؟

٣ ما كان دور الفريق الوطني الكويتي في إطفاء حرائق آبار النفط؟

1-8oáÑ°ùædG

النسب استكشف

سوف تتعلمبين كميتين في صورة المقارنة

نسبة.

من االستخداماتيستخدم أصحاب المطاعم النسب يجب التي الطعام كمية لتحديد

إعدادها لمناسبة ما.

المصطلحات األساسية نسبة.

حدا النسبة.

ماذا حدث أثناء االحتالل؟

ماذا حدث آلبار النفط؟بلغ عدد آبار النفط التي قامت قوات االحتالل العراقي بتفجيرها وتخريبها قبيل انسحابها عة على أحد عشر حقال منها (٦٣٩) بئرا مشتعلة من دولة الكويت (١١٢٠) بئرا موزو(٤٢) بئرا تنزف النفط فقط دون اشتعال، بينما بلغ عدد اآلبار التي تم تدميرها بشكل

كامل حوالى (٤٣٩) بئرا.شكلت اآلبار التي تم تخريبها حوالى (٧٢٪) من إجمالي عدد اآلبار والتي كانت تبلغ (١٥٥٨) بئرا، منها (٨٦١) بئرا منتجة، مما يعني أن نسبة اآلبار المنتجة التي تعرضت

للتخريب (المشتعلة والنازفة) بلغت حوالى (٧٩٪) . نجت من التدمير ١٠٤ آبار أمكن تشغيلها بعد التحرير مباشرة.

ر. ماذا يمثل في النص الفرق بين ٧٩٪ و٧٢٪؟ فس

بين النسبة كميتين. بين مقارنة هي النسبة: أقالم وعدد ممحاة) (جمع المماحي عدد المجاورة الصورة في حة الموض الرصاص

يمكن كتابتها على الصورة ٢ إلى ٣ أو. ويسمى ٢ الحد األول للنسبة

32 ٢ : ٣ أو

و٣ الحد الثاني للنسبة.

صلة الدرس تعلمت كيفية التعامل مع الكسور االعتيادية، واآلن سوف تتعلم التعامل .مع النسبة

ما النسبة؟ تعلم

102

Ratio

مثال (١)اكتب نسبة لمقارنة عدد الغزالن واألحصنة الموضحة في الصورة:

.72 أو ٧ : ٢ أو ٧ إلى ٢ النسبة هي:

ومثل الكسور، يمكن إعادة كتابة النسب في أبسط صورة.

أمثلةإطفاء أجهزة من خالية منازل في تحدث للحريق نتيجة للوفاة حاالت عشر بين من ست هناك ٢

الحرائق. اكتب هذه النسبة في أبسط صورة:اقسم كال من حدي النسبة على العدد نفسه.

53 =

2 102 6'

' = 106

. 53

أو ٥ : ٣ أو ٥ لى إ ٣ هي: ة صور بسط أ في لنسبة ا

الكلي والعدد اإلطفاء سيارات عدد بين تقارن نسبة أوجد ٣للسيارات في أبسط صورة:

31 =

62 =

عدد سيارات اإلطفاء

العدد الكلي للسيارات

حاول أن تحلاكتب نسبة تقارن بين الكميات في أبسط صورة:

(أ) عدد المثلثات وعدد المربعات. (ب) عدد المربعات وعدد األشكال الهندسية كلها.


؟ وما أوجه االختالف؟ ١ ما أوجه التشابه بين كل من النسبة والكسر االعتيادي

. أعط مثاال لنسبة تقارن بين جزء وآخر. ٢ أعط مثاال لنسبة تقارن بين جزء وكل

103

تعلم؟ هل

البطاريات باختبار ينصح إنذار أجهزة في الكهربائية شهر، كل واحدة مرة الحريق واحدة مرة بتغييرها وينصح

على األقل كل عام.


١ التفكير الناقد: وصفت ثالث طالبات صندوقا فيه ٨ أقالم و١١ مسطرة باستخدام النسب اآلتية:

.198 استخدمت هبة ٨ إلى ١١، واستخدمت صفاء ٨:١١، واستخدمت هند

. اشرح كيف يمكن أن تكون كل من الطالبات الثالث على حق

٢ التفكير الناقد: تبيع إحدى الصيدليات فراشي أسنان. وجد أن ٣٢ من بين ٦٠ فرشاة لألسنان لونها أحمر. كم عدد فراشي

ر إجابتك. األسنان التي لونها أزرق؟ فس

٣ المجلة: كيف تشابه كتابة نسبة في أبسط صورة كتابة كسر اعتيادي في أبسط صورة؟


حلالمسائل






104

105105

2-8oájhÉ°ùàŸG oÖ°ùædG

النسب استكشف سوف تتعلم

لنسبة مساوية نسب إيجاد معلومة.

من االستخداماتواإلعالن الدعاية شركات م تقدعدد ح لتوض المتساوية النسب السلعة استخدام لون يفض الذين معلوم عدد بين من عنها المعلن

من االشخاص.

استخدام كيفية تتعلم سوف واآلن كميات، لتقارن النسب استخدمت صلة الدرس .الجداول إليجاد نسب متساوية

يمكنك االعتماد على ذلك!

١ انقل الجدول اآلتي في كراستك، ثم أكمل الفراغات من واقع مدرستك وإلى آخر

ها: سطرين في الجدول. اختر بنودا خاصة بك ثم عد

العددالبندالعددالبنداألبوابالطالب

الشبابيكاإلداريون

الفصولالمعلمون

اختيارك رقم (١)الطاوالت

اختيارك رقم (٢)الكراسي

٢ اكتب النسب اآلتية:

(ب) عدد المعلمين إلى عدد الطالب (أ) عدد الطالب إلى عدد الفصول

(د) عدد األبواب إلى عدد الشبابيك (ج) عدد الطاوالت إلى عدد الكراسي

(و) عدد األشخاص إلى عدد الكراسي (هـ) عدد األبواب إلى عدد الطالب

٣ اكتب ثالث نسب من عندك، واذكر البنود التي قارنت بينها.

٤ أوجد كميتين في غرفة فصلك حيث تكون النسبة بينهما حوالى ١:٢. كيف علمت

ر ما سبق مستخدما النسبة ١:٥، والنسبة ١:١٠. أن النسبة حوالى ١:٢؟ كر

٥ أي النسب في الخطوة رقم ٢ تعد هامة لمن هم خارج غرفة الفصل؟ من الذي

تعتقد أنه يهمه معرفة هذه النسب؟ ولماذا؟

النسب المتساوية تعلم

تحتاج أحيانا إلى إيجاد نسب مساوية لنسبة معلومة. يمكنك إيجاد نسب أخرى مساوية جدول لها عن طريق ضرب كل من حدي النسبة في المقدار نفسه، ويمكنك استخدام

ليساعدك في تنظيم المعلومات والحصول على هذه النسب المتساوية.

Equal Ratios

106106

مثال (١)

في أحد األحياء، يوجد صنبوران للحريق لكل ثالثة شوارع. أوجد أربع نسب مساوية لهذه النسبة.

نسبة عدد صنابير الحريق إلى عدد شوارع هذا الحي تساوي ٦:٤، ٩:٦، ١٢:٨، ١٠: ١٥، ويمكن كتابة نسب أخرى مساوية لهذه النسب.

يمكن استخدام القسمة أيضا إليجاد نسب متساوية. يمكنك القسمة على أي عدد عدا الصفر.

مثال (٢)

استخدم القسمة إليجاد ثالث نسب تساوي النسبة ٤٠ إلى ٦٠:

ضع جدوال ٤٠٦٠

١٠÷ ٥÷ ٢ ÷٤٠٢٠٨٤٦٠٣٠١٢٦

١٠÷ ٥÷ ٢ ÷

النسب الثالث التي تساوي النسبة ٤٠ إلى ٦٠ هي: ٢٠ إلى ٣٠، ٨ إلى ١٢، ٤ إلى ٦.

حاول أن تحلأوجد لكل من النسب اآلتية نسبة أخرى مساوية لها:

83 (ب) (أ) ٩:٥ (د) ١٣:١ (ج) ١٠٠:٦٠

واحدة نسبة أوجد لتزيينها. الكيك من قطعة ١٢ لكل الكرز من حبات ٤ إلى حلواني يحتاج (هـ) مساوية لهذه النسبة مستخدما الضرب، ونسبة أخرى مساوية لها مستخدما القسمة.

استخدم القسمة إليجاد نسب متساوية

٥^ ٤^ ٣^ ٢ ^٢٤٦٨١٠عدد صنابير الحريق

٣٦٩١٢١٥عدد الشوارع٥^ ٤^ ٣^ ٢ ^


عند استخدام القسمة، حاول اختيار أعداد

تسهل القسمة عليها، وكل عدد كلي آحاده

صفر فإنه يقبل القسمة على ٢، ٥، ١٠.

تذكريمكنك استخدام كل من

الضرب أو القسمة إليجاد كسور مساوية لكسر ما.

107


أراد نبيل وفيصل إقناع المسؤولين عن الرحالت في المدرسة بتنظيم رحلة إلى

؛ وذلك ألن ٢٤ من بين ٣٢ طالبا قد فضلوا الذهاب إلى هذا المتحف العلمي

المتحف. لهذا فكرا في تقديم تقرير إلى المسؤولين يتضمن ثالث نسب أخرى

.3224 مساوية للنسبة

ما رأيك؟

ما رأيك؟ر. حصل كل من فيصل ونبيل على إجابات مختلفة. هل كل إجابة صحيحة؟ فس ١

ماذا قصد نبيل بقوله «أعداد مالئمة»؟ ٢


١ لنسبة معطاة، كم نسبة مساوية لها يمكنك الحصول عليها؟

ر. ، ٥:٢، ٢ إلى ٥؟ فس52 ٢ هل من الممكن إيجاد نسبة تساوي

ر… فيصل يفكسوف أستخدم الجدول، مع ضرب كل من حدي النسب في األعداد

:٢، ٣، ٤٤^ ٣^ ٢ ^

٢٤٤٨٧٢٩٦الحد األول للنسبة٣٢٦٤٩٦١٢٨الحد الثاني للنسبة

٤^ ٣^ ٢ ^

.12896 ،

9672 ،

6448 النسب الثالث األخرى هي:

ر… نبيل يفك

سوف أستخدم الجدول، مع قسمة كل من حدي النسب على أعداد

مالئمة:٨÷ ٤÷ ٢ ÷

٢٤١٢٦٣الحد األول للنسبة٣٢١٦٨٤الحد الثاني للنسبة

٨÷ ٤÷ ٢ ÷

.43 ،

86 ،

1612 النسب الثالث األخرى هي:

داد

108

ح التمثيل البياني بالدائرة، عدد الخرز المستخدم في صنع سوار. تريد مريم يوضح ا بالدائرة يوض صنع سوار أصغر باستخدام نسب األلوان نفسها. اصنع تمثيال بياني

عدد الخرز من كل لون الذي سوف تستخدمه مريم.

افهم

ح أعاله، ما عدد الخرز: ١ في التمثيل البياني بالدائرة الموض

(أ) األبيض؟ (ب) األزرق؟ (ج) األحمر؟ (د) كله؟

خطط

٢ يمكن أن تساعدك النسب المتساوية على إيجاد عدد الخرز في السوار الصغير، هل ستستخدم الضرب أو القسمة إليجاد

النسب المتساوية؟ ٣ اكتب نسبة عدد الخرز األزرق إلى عدد كل الخرز، ثم اكتب نسبة أخرى مساوية لها.

٤ اكتب كل نسبة، ثم اكتب نسبة أخرى تساويها ولها عدد الخرز الكلي نفسه كما في النسبة التي حصلنا عليها في السؤال رقم

.٣(أ) عدد الخرز األبيض: عدد كل الخرز (ب) عدد الخرز األحمر: عدد كل الخرز

حل

٥ في السوار الصغير، ما عدد الخرز الذي:

(ب) لونه أبيض؟ (أ) في السوار كله؟ (د) لونه أزرق؟ (ج) لونه أحمر؟

٦ استخدم إجاباتك عن السؤال رقم ٥ في صنع تمثيل بياني بالدائرة.

تحقق

٧ هل تغير حجم كل جزء في دائرتك عن حجم الجزء المناظر له في التمثيل البياني بالدائرة المعطى في بداية المسألة؟

اشرح إجابتك. حل مسألة أخرى

ح بالدائرة في المسألة ٨ تريد هناء صنع سوار أكبر باستخدام نسب ألوان الخرز نفسها المستخدمة في التمثيل البياني الموض

ح عدد الخرز الذي سوف تستخدمه هناء من كل لون. ا بالدائرة يوض السابقة. اصنع تمثيال بياني

(2-8) pπFÉ°ùŸG uπ◊ oó°TôŸG

األبيض ٣٠األحمر ٤٥

األزرق ٣٥


حلالمسائل

109


١ اختر اإلستراتيجية: كم نسبة من األعداد الصحيحة تساوي النسبة ١٠٠:٤٠ ويمكنك تكوينها باستخدام القسمة؟ اشرح طريقتك.

٢ التفكير الناقد: النسب: ١ إلى ٢، ٢ إلى ٤، ٣ إلى ٦ هي نسب متساوية.األول ا على شبكة اإلحداثيات نفسها مستخدما العدد (أ) مثل هذه النسب بياني

. ، والعدد الثاني لإلحداثي الصادي في النسبة لإلحداثي السيني

. ا مستقيما يصل بين النقاط التي حددتها على الرسم البياني (ب) ارسم خط

ر الخطوتين (أ، ب) مستخدما النسب: ٢ إلى ٣، ٤ إلى ٦، ٦ إلى ٩. (جـ) كر

ا بخط (د) هل تعتقد أن كل مجموعة من النسب المتساوية يمكن تمثيلها بياني

مستقيم؟ اشرح إجابتك.






110

o∫ só©ŸG3-8

سوف تتعلم التعبير عن كميتين مختلفتي

ل. الوحدة في صورة معد

من االستخداماتالت المعد الزوارق قائدو يستخدم سوف التي المسافة لتحديد

يقطعونها لإلبحار إلى مكان ما.


ل معدل وحدة معد

هذا وفي ما. لنسبة مساوية نسب إيجاد وكيفية النسب، عرفت لقد صلة الدرس .ل ا من النسبة يسمى المعد الدرس سوف تستخدم نوعا خاص

الت المعد استكشف

القراءة نادي في طالب أربعة اشترك فيصل كتابين في إحدى المكتبات العامة. يقرأ الشهر، في كتب ٧ كامل ويقرأ أسبوع، كل 41 ويقرأ ياسر ١١٣ كتابا في العام، وتقرأ أمل

كتاب كل يوم:الكتب التي يقرأها كل طالب ر عدد ١ قدفي العام. اشرح كيف توصلت إلى تقديرك.

ر عدد الكتب التي يقرأها كل طالب في الشهر. ٢ قدر عدد الكتب التي يقرأها كل طالب في أسبوع. ٣ يوجد في الشهر ٤ أسابيع تقريبا. قد٤ هل من الممكن إيجاد عدد الكتب التي تقرأ كل يوم؟ وكل عقد (١٠ سنوات)؟

وألي فترة زمنية؟ اشرح.ب الطالب من األقل قراءة للكتب إلى األكثر قراءة لها. أي تقدير مما سبق سوف ٥ رت

تستخدمه لترتيب الطالب؟ ولماذا؟

ل المعد تعلم

بين مقارنة هو ل والمعد الت، كمعد النسب بعض تعرف أن الغزال يستطيع مختلفة. قياس وحدات لهما كميتين ل والمعد دقائق. خمس في مترا ٦ ٤١٥ مسافة يجري الدقائق، عدد إلى األمتار عدد يقارن ٤١٥ ٦ مترا

٥ دقائقويقارن ٤١٥ ٦ مترا لكل ٥ دقائق.

Rate

111

ل الوحدة. ل يسمى معد إذا كانت المقارنة لوحدة واحدة من كل كمية، فإن المعد٢٨٣ ١ مترا ٤١٥ ٦ ÷ ٥=

دقيقة وحدة واحدة ٥ دقائق ÷ ٥

ل الوحدة هو ٢٨٣ ١ مترا لكل دقيقة. معد

أمثلة١ تستطيع سيارة اإلطفاء النموذجية تخزين ٥٠٠ ٢ لتر من المياه، وهذه المياه تستنفد خالل ١٠

ل اللترات التي تستنفدها في الدقيقة؟ ؛ فما معد دقائق من الرش المستمرل الذي يقارن ٥٠٠ ٢ لتر بـ ١٠ دقائق هو: المعد

ل الوحدة وهو: ، إذا قسمت كال من العددين على ١٠، فسوف تحصل على معد٥٠٠ ٢ لتر

١٠ دقائق.٢٥٠ لترادقيقة

٢ في إحدى مزارع الدجاج، يتناول الدجاج ٤ كجم من الذرة الصفراء المطحونة كل ٣ ساعات. الت تصف هذا الموقف. استخدم الجدول التالي إليجاد أربعة معد

الت متساوية بالطريقة نفسها التي توجد بها النسب ل هو نسبة، فإنه يمكنك إيجاد معد بما أن المعدالمتساوية. اضرب أو اقسم كال من الكميتين على العدد نفسه:

٤^ ٣^ ٢ ^٤٨١٢١٦وزن الذرة (كجم)٣٦٩١٢عدد الساعات

٤^ ٣^ ٢ ^

الت األربعة التي تصف هذا الموقف هي: المعد١٦ كجم١٢ ساعة

٩ ساعات١٢ كجم ، ٨ كجم ، ٦ ساعات

٤ كجم ، ٣ ساعات


األسترالي غريغ موتن ١٩٨٧، استطاع عام إذ التجديف؛ في عالميا رقما ل يسج أن في كيلومترا ٤٥ مسافة ف يجد أن استطاع أربعة إليجاد جدوال استخدم دقيقة. ٨٢

الت تصف هذا الموقف. معد


ال، مع توضيح السبب. ١ أعط مثاال لنسبة ليست معدل وحدة؟ ل هو معد ٢ كيف يمكنك أن تعرف أن المعد

ال؟ ٣ قطعت سيارة سباق ١٥٠ كيلومترا في ساعة. هل يمثل ذلك نسبة؟ وهل تمثل معد

ساعة

ppïjQÉàdÉH oπNGóàdGh o§HGÎdG

تضخ كانت اإلطفاء سيارات أولى بمضخات استبدلت ثم يدويا الماء بواسطة وأخيرا بخارية، قوة ذات التي الداخلي االحتراق ماكينات

تستخدم وقود الجازولين والديزل.


١ التفكير الناقد: يريد فيصل صنع بعض الديكورات في مدرسته احتفاال ببدء العام الدراسي الجديد، إذا كان يمكنه صنع ٣ ملصقات ل نفسه في صنع ١٥ ملصقا؟ اشرح إجابتك. في ساعة واحدة، فما الوقت الذي سوف يستغرقه بالمعد

الت. ٢ المجلة: صف أوجه التشابه، وأوجه االختالف بين النسب والمعد

ل من أمتار لكل ثانية إلى أمتار لكل دقيقة. ٣ التواصل: صف كيف يمكنك تحويل المعد






112

113

oÖ°SÉæàdGoIóMnƒdG

(Ü) oáæeÉãdG

«مجمع الشرق» للمكاتب، هو أحد المشاريع التي ستنفد في الكويت ويضم برجا، بارتفاع ١٨٠ م. وستغطي مساحته

٥٦٤٠٠ م٢ يضم هذا المجمع، مكاتب للعمل وأماكن للهو، م عدة سيناريوهات للعمل مساحات داخلية وخارجية ويقد

. تساهم ألواح الطاقة الشمسية في تصميم يراعي النظام البيئيفي سد حاجة المجمع من الطاقة، بينما يؤمن الغطاء النباتي

األخضر مكانا للمواطنين للخروج وتجديد النشاط.وعلى المهندس عندما يصمم برجا أن يراعي جيدا النسب، إذا

ا أو كان عرض النموذج صغيرا كانت النافذة مثال كبيرة جدا بالنسبة إلى ارتفاعه، فإن تأثيره على المشاهد يمكن أن جد

يتغير. إن البرج ليس عمال عمرانيا أو فنيا فحسب، لكنه عمل رياضيات أيضا.

١ يكلف تشييد األبراج اآلالف من الدنانير ويستغرق بناؤه العديد من السنوات، فلماذا ينفق

الناس كل هذه األموال ويقضون كل هذه السنوات لتشييدها؟

٢ بخالف «مجمع الشرق»، اذكر بعض األمثلة

ألبراج شهيرة في الكويت.٣ كيف يمكن استخدام الرياضيات عند تصميم

األبراج؟ أعط ثالثة أمثلة.

w…QÉŒ lêôH

113

Proportions

114

4-8oÖ°SÉæàdG

النسب المتساوية استكشف سوف تتعلم

ما التناسب.نسبتان كانت إذا ما تحديد

نان تناسبا أم ال. تكو

من االستخداماتمصممو األزياء التناسبات يستخدم لتصميم المالبس المريحة والمناسبة

لمقياس الجسم.


ضرب تقاطعي

تناسب

صلة الدرس لقد استخدمت الجداول إليجاد النسب المتساوية. واآلن سوف تتعلم .طريقة سهلة لتختبر ما إذا كانت نسبتان متساويتين أم ال

المستطيالت األربعة!يمثل كل شكل فيه أربعة مستطيالت مما يلي نسبا متساوية، وذلك باستخدام

، وإحدى هذه المجموعات ناقصة. بة بترتيب خاص أربع مجموعات من األشكال مرت(ب) (أ)

(د) (جـ)

د موضع كل مجموعة ١ في ما يلي األشكال الناقصة من المستطيالت األربعة. حدمن األشكال، ثم اشرح إجابتك.

(٤) (٣) (٢) (١)

٢ ابتكر بنفسك ثالثة أنماط ألشكال في كل منها أربعة مستطيالت مشابهة لما سبق.

ما التناسب؟ تعلم

الضرب التقاطعي ألي نسبتين، هو ناتج ضرب الحد األول إلحدى النسبتين في الحد الثاني للنسبة األخرى:

الحد األول ٣١٠

٢٥

الحد األول للنسبة الثانية للنسبة األولى

الحد الثاني الحد الثاني للنسبة الثانية للنسبة األولى

٢ ^ ١٠ = ٢٠ ٥ ^ ٣ = ١٥ التناسب هو تساوي نسبتين. في التناسب يكون ناتجا الضرب التقاطعي للنسبتين متساويين:

٢ ^ ١٥ = ٣٠ ٥ ^ ٦ = ٣٠ ٢ = ٦١٥٥

???

????

Proportion

أمثلةن تناسبا أو ال: د ما إذا كانت النسب اآلتية تكو ١ حد

(ج) (أ) (ب)

٢ يبلغ طول جسر الملك فهد الذي يربط المملكة العربية السعودية بمملكة البحرين نحو ٢٨ كيلو مترا وعرضه ٢٣ مترا. ؟ صمم نموذج مشابه له طوله ٤٨,٤ مترا وعرضه ٠,٠٤ متر. هل يتناسب النموذج مع الجسر األصلي

٤٨,٤ ٠٠٠ ٢٨ ،

٠,٠٤ ٢٣

٠٠٠ ٢٨ ^ ٠,٠٤ = ١٢٠ ١

استخدم الضرب التقاطعي ١٢٠ ١ ٢٣ ^ ٤٨,٧ = ١٢٠,١ ١نان يمكن القول أن ناتج الضرب التقاطعي متساو. ولذلك فإن النسبتين تكو

. تناسبا، ولهذا فإن النموذج يتناسب مع الجسر األصلي


ن تناسبا أو ال: د ما إذا كانت النسب اآلتية تكو حد٧ ٢

، ١٠ ٣

(ب) ٩ ٦ ،

١٢ ٨ (أ)

٣ دنانير ١٢ دينارا ،

٨ دقائق ٣٢ دقيقة (د) ١٥ ساعة ٥ كم

، ٦ كم ٢ ساعة (جـ)


نان تناسبا أو ال؟ أعط مثاال. د ما إذا كانت نسبتان تكو ١ كيف يمكنك أن تحد

٢ ماذا نعني بقولنا كميات متناسبة؟

٩ سم ٦ سم ،

١٥ ثانية ١٠ ثوان ١٢ ثانية ٤ سم

، ١٨ ثانية ٦ سم

٤ ثوان ٥ سم ،

٨ سم ١٠ ثوان

الوحدات في ترتيب متماثل لكل من الحدود األولى، والحدود الثانية في

النسبتين .

الوحدات في ترتيب متماثل للحد األول والحد الثاني لكل نسبة.

الوحدات متماثلة على الخط القطري

وناتج الضرب التقاطعي لألعداد في النسبتين متساو.٦ ^ ١٥ = ٩٠١٠ ^ ٩ = ٩٠

نان تناسبا. النسبتان تكو

ناتج الضرب التقاطعي لألعداد في النسبتين متساو.٤ ^ ١٨ = ٧٢٦ ^ ١٢ = ٧٢

نان تناسبا. نان تناسبا.النسبتان تكو النسبتان ال تكو

115

116116

(4-8) p πFÉ°ùŸG uπ◊ oó°TôŸGيستطيع حامد أن يجري مسافة ١٠٠ متر في ١٢ ثانية، ويستطيع كامل أن يجري مسافة ٥٠٠ متر في ٤٨ ثانية. ويجري ل نفسه؟ اشرح ل ١٠ أمتار لكل ثانية، ويستطيع أنور أن يجري مسافة ٢٠٠ متر في ٢٤ ثانية. أي طالبين جريا بالمعد مروان بمعد

كيف حصلت على إجابتك.

افهم

ا تحت السؤال. ١ ضع خط

ل الذي جرى به كل طالب في صورة أمتار لكل ثانية: ٢ اكتب المعد

(د) أنور (جـ) مروان (ب) كامل (أ) حامد

خطط

الت. ٣ نظم قائمة منظمة لمقارنة أزواج المعد

?= (ب) حامد ومروان ?= (أ) حامد وكامل

?= (د) كامل ومروان ?= (جـ) حامد وأنور

?= (و) مروان وأنور ?= (هـ) كامل وأنور

حل

ن تناسبا؟ الت في السؤال رقم ٣ يكو ٤ أي من أزواج المعد

ل نفسه؟ اشرح إجابتك. ٥ أي طالبين جريا بالمعد

تحقق

ل في أبسط صورة؟ ل نفسه بكتابة كل معد ٦ كيف يمكنك إيجاد أي الطالب جرى بالمعد


٧ تحصل علياء على أجر قيمته ١٥ دينارا نظير عملها لمدة ٥ ساعات، وتحصل سعاد على أجر قيمته ٢٨ دينارا نظير عملها لمدة ٨ ساعات. ويحصل محمد على أجر قيمته ٢,٥٠ دينار نظير عمله لمدة ساعة واحدة، ويحصل خالد على أجر قيمته ١٤ دينارا نظير

ل األجر نفسه؟ عمله لمدة ٤ ساعات؟ ما الشخصان اللذان يحصالن على معد


حلالمسائل

117


نان تناسبا)؟ ١ التواصل: كيف يمكنك استخدام الضرب لتحديد ما إذا كانت نسبتان متناسبتين (تكو

٢ اختر اإلستراتيجية: يستطيع حامد أن يجري مسافة ١٥٠ مترا في ١٥ ثانية، ويستطيع كامل أن يجري مسافة ٦٠٠ متر في

ل ١٥ مترا لكل ثانية، ويستطيع أنور أن يجري مسافة ٣٠٠ متر في ٣٠ ثانية. أي طالبين جريا ٥٢ ثانية. ويجري مروان بمعد

ل نفسه؟ اشرح كيف توصلت إلى إجابتك. بالمعد

. كيف يمكنك تحديد ذلك ٦٩,٥ ،83 نان تناسبا: ٣ التفكير الناقد: النسبتان اآلتيتان ال تكو

؟ دون أن توجد بالفعل نواتج الضرب التقاطعي

ن النسب اآلتية تناسبا: ٤ المجلة: اشرح لماذا ال تكو

٣ كيلوجرامات برتقال ، ٠,٢٥ دينار ٠,٧٥ دينار كيلوجرام برتقال






117

118

5-8u»©WÉ≤àdG pÜö†dG pΩGóîà°SÉH päÉÑ°SÉæàdG tπM

حل التناسبات استكشف سوف تتعلم

حل التناسبات باستخدام . الضرب التقاطعي


رات يستخدم مهندسو المؤث

» عند الخاصة «الضرب التقاطعي

تحديد مدى كبر أو صغر شيء

ما في نموذج ما عند تصويره

ا. ا ليبدو واقعي سينمائي

صلة الدرس عرفت في الدرس السابق ما التناسب. واآلن سوف توجد عددا ناقصا

.في التناسب

عودة إلى الصواب والخطأ

كل من التناسبات اآلتية متبوع بجملتين، واحدة منهما فقط صحيحة. في كل مسألة

ك العددي في اختيار الجملة الصحيحة، واشرح كيف عرفت أنها صحيحة. استخدم حسs5

= 106 ١ التناسب:

(أ) إذا غيرت س بالعدد ٣، فسوف يكون التناسب صحيحا.

(ب) إذا غيرت س بالعدد ٣، فسوف يكون التناسب خطأ. w8

= 75 ٢ التناسب:

(أ) قيمة ص ال يمكن أن تساوي ٦ ألن ٦ ^ ٧ > ٥ ^ ٨.

(ب) قيمة ص ال يمكن أن تساوي ٦ ألن ٦ ^ ٧ < ٥ ^ ٨.. u

3 =

43 ٣ التناسب:

. (أ) العدد ع هو عدد كلي

. (ب) العدد ع هو عدد عشري

حل التناسبات باستخدام الضرب التقاطعي تعلم

القياسات أحد علمت إذا معلوم. غير قياس قيمة لتحديد التناسبات الناس يستخدم التناسب استخدام يمكنك فإنه المعلوم، غير والقياس المعلوم القياس هذا بين والنسبة

إليجاد القياس غير المعلوم.

118

Solving Proportions Using Cross Products

119

الحساب الذهنيالكسر مقام أن بما أضعاف ثالثة األول الثاني، الكسر مقام األول الكسر بسط فإن ثالثة يكون أن يجب الكسر بسط أضعاف

الثاني.

تذكرعند ضرب األعداد العشرية

فإن عدد األرقام التي تلي الفاصلة العشرية في الناتج

يجب أن يكون مساويا لمجموع أعداد األرقام التي

تلي الفاصلة العشرية في العوامل.

مثال (١)

53 =

15s

استخدم الضرب التقاطعي لحل التناسب:

اكتب الضرب التقاطعي ٥س = ١٥ ^ ٣ اضرب ٥س = ٤٥

اقسم طرفي المعادلة على ٥ س = ٩

إذا كانت األعداد في التناسب معقدة بدرجة كافية بحيث ال تستطيع استخدام الحساب الذهني لتحديد قيمة المتغير، فإنه يمكنك استخدام القسمة. فالقسمة عملية عكسية للضرب،

ويمكن استخدامها إليجاد الناتج.

مثال (٢)برج التحرير

هو برج لالتصاالت يقع في مدينة الكويت بارتفاع ٣٧٢ مترا. يبلغ عمق القاعدة ١٨ مترا تحت مستوى سطح البحر. يشتمل البرج على مبنيين أحدهما سفلي واآلخر على ارتفاع من ١٧٠

إلى ٢١٠ أمتار ويتكون من ٦ طوابق.صنع نموذج له بارتفاع ١٢,٤ مترا. إذا كان ارتفاع المبنى السفلي

. في النموذج ٥ أمتار، فأوجد ارتفاع المبنى السفلي: افترض أن س هي ارتفاع المبنى السفلي

اكتب تناسبا

٥ س = ارتفاع المبنى السفلي ١٢,٤ ارتفاع برج التحرير ٣٧٢

اكتب الضرب التقاطعي ١٢,٤ س = ٣٧٢ ^ ٥

بالقسمة على ١٢,٤ ١٨٦٠١٢,٤

= ١٢,٤ س١٢,٤

س = ١٥٠يبلغ ارتفاع المبنى السفلي ١٥٠ مترا.

حاول أن تحلحل كل تناسب مما يأتي:

156 =

s4 (ب)

s6 =

128 (أ)

1810 =

s4 (د)

6s =

205 (جـ)


١ إذا كانت كل األعداد مختلفة، فكم عددا تحتاج إليه في التناسب لتكون قادرا على حل ؟ ولماذا؟ التناسب باستخدام الضرب التقاطعي

؟ اشرح إجابتك ٢ هل يمكنك حل التناسب دون استخدام الضرب التقاطعي

119

120120


واحدة غير معلومة، فقط، وكانت قيمة ١ اختر اإلستراتيجية: يعتقد فوزي أن بإمكانه حل التناسبات إذا علم ثالث قيم

s الذي فيه قيمتان مجهولتان وقيمتان معلومتان، قال إنه قادر على حله؛ فما قيمة س؟ 3

= s27 ولكن عندما رأى التناسب

اشرح طريقتك.

٢ المجلة: اشرح كيف يمكنك استخدام الضرب التقاطعي إليجاد القيمة غير المعلومة في تناسب.

، هل ستكون قيمة ع أكبر من الصفر أو أصغر منه؟ اشرح إجابتك.20

u

- =

104 - ٣ التفكير الناقد: في التناسب







حلالمسائل

121

6-8pIóMnƒdG pä’só©e pΩGóîà°SÉH päÉÑ°SÉæàdG tπM

سوف تتعلم

ل حل التناسبات باستخدام معد

الوحدة.

واآلن ، التقاطعي الضرب مستخدما التناسبات حل كيفية تعلمت لقد صلة الدرس .سوف تتعلم طريقة أخرى لحل التناسبات

موضوع جدير التفكير فيه

ب أنواع الحبوب من األقل سعرا إلى األكثر سعرا بداللة الثمن المعطى. ١ رتر ثمن الجرام الواحد. ٢ لكل نوع من أنواع الحبوب، قد

ب أنواع الحبوب من األقل سعرا للجرام الواحد إلى األكثر سعرا للجرام الواحد. ٣ رت٤ إذا كنت تبحث عن أفضل شراء، فهل من المهم أن تفحص ثمن بيع العبوة كاملة أم

ثمن بيع الجرام الواحد؟ اشرح إجابتك.ح فيها لماذا تحتاج في بعض األحيان إلى شراء بعض ٥ اعرض ثالثة أسباب توض

أنواع الحبوب على الرغم من أن هذا الشراء ال يعد أفضل شراء.

الكميةالثمنأنواع الحبوب

الفول٤٠٠ جرام٢٥٠ فلسا

الذرة٢٥٠ جراما١٨٠ فلسا

الفاصولياء

الحمراء٤٥٠ جراما٣٤٠ فلسا

الفاصولياء

البيضاء٤٥٠ جراما٤٠٠ فلس

العدس األصفر

٥٠٠ جرام٢١٠فلوس

الترمس٤٥٠ جراما٢٠٠ فلس

الت الوحدة معد استكشف


ل الوحدة يستخدم الغواصون معد

لتحديد ضغط الماء عند عمق

معين.

121

Solving Proportion Using Unit Rates

122122

ل الوحدات حل التناسبات باستخدام معد تعلم

ل الوحدة هو نسبة تقارن بين إحدى الكميتين، ووحدة واحدة فقط من الكمية تذكر أن معد ل الوحدة باستخدام القسمة. األخرى. ويمكنك إيجاد معد

أمثلة

١ دفعت هند ٤٠٠ ٢ فلس ثمنا لثمانية كيلوجرامات من البرتقال، فما سعر الكيلوجرام الواحد؟

٤٠٠ ٢ فلس ÷ ٨ اكتب النسبة، ثم اقسم على ٤٠٠٨ ٢ فلس = ٨ كيلوجرامات ÷ ٨ ٨ كيلوجرامات

٣٠٠ فلس = كيلوجرام واحد

ثمن الكيلوجرام الواحد من البرتقال ٣٠٠ فلس

ل الوحدة لتناسب معلوما، ثم استخدم الضرب إليجاد القيمة غير المعلومة. أوجد معد

الت الوحدة في حل التناسبات. يمكن استخدام معد

٢ كلفة وجبة غذاء لـ ٥ أشخاص في أحد المطاعم في مدينة الكويت العاصمة بلغت ٣٥ دينارا.

إذا كانت كلفة وجبة الغذاء تتناسب مع عدد األشخاص، فكم تبلغ كلفة وجبة غذاء لـ ٨ أشخاص؟٧ دنانير ٣٥ دينارا ÷ ٥

ل الوحدة أوجد معد = ١ شخص ٥ أشخاص ÷ ٥

كلفة الغذاء للشخص الواحد: ٧ دنانير.

اضرب اآلن هذا الناتج في عدد األشخاص الجديد

كلفة وجبة الغذاء لـ ٨ أشخاص = ٧ ^ ٨ = ٥٦ دينارا


ل سرعة الحمار الوحشي لكل دقيقة. (أ) يستطيع الحمار الوحشي أن يجري ٧٢ مترا في ٧ ثوان. أوجد معد

(ب) اشترت هند ٢٠ لترا من الوقود بمبلغ ٣٠٠ ١ فلس، فما الثمن إذا كانت تريد أن تشتري ٣٥ لترا؟

يمكنك استخدام اآللة الحاسبة

ل الوحدة بإدخال إليجاد معد

. = ÷ المقام البسط

123

أراد خالد ومحمد قراءة قصة يبلغ عدد صفحاتها ٢١٦ صفحة، وأمس

استطاع كل منهما قراءة ١٢ صفحة من بداية القصة في حوالى ١٨ دقيقة،

فكم تستغرق قراءة القصة بأكملها؟

ما رأيك؟

لها؟ ولماذا؟ ١ ما الطريقة التي تفض

٢ هل استخدم كل من خالد ومحمد الضرب؟ هل استخدما القسمة؟ اشرح إجابتك.


؟ الت الوحدة عنه باستخدام الضرب التقاطعي ١ كيف يختلف حل التناسب باستخدام معدل الوحدة. ٢ أعط مثاال لكيفية استخدام عمالء التسويق لمعد

ر… خالد يفك: سوف أستخدم الضرب التقاطعي

س دقيقة = ١٨ دقيقة ٢١٦ صفحة ١٢ صفحة

تساوي ١٢س كان إذا ،١٢س. ٣ ٨٨٨ هما التقاطعي الضرب ناتجا ٨٨٨ ٣ ، فإننا نحصل على قيمة س بقسمة ٨٨٨ ٣ على ١٢ فيكون

الناتج ٣٢٤. ٥

21 أي أن قراءة القصة كلها سوف تستغرق ٣٢٤ دقيقة، أي حوالى

ساعات.

123


ر… محمد يفك

الت الوحدة: سوف أستخدم معد

١٨ دقيقة ÷ ١٢ = = ١,٥ دقيقة لكل صفحة١٨ دقيقة ١٢ صفحة ÷ ١٢ ١٢ صفحة

٢١٦ صفحة ^ ١,٥ دقيقة لكل صفحة = ٣٢٤ دقيقة؛ أي أن قراءة

٥ ساعات.21 القصة كلها سوف تستغرق ٣٢٤ دقيقة؛ أي حوالى

سا

124124


ل وحدة نسبة ما. ١ المجلة: صف موقفا يمكنك فيه استخدام الحساب الذهني إليجاد معد

ل المتر المربع لكل ٢ التواصل: إذا كان ثمن قطعة سجاد مساحتها ٧ أمتار مربعة هو ٤٠,٥٠٠ دينارا، فكيف يمكنك إيجاد معد

ل ل الدنانير لكل متر مربع؟ إذا كنت قد قمت بوضع قطعة السجاد في حجرتك، فما المعد دينار؟ كيف يمكنك إيجاد معد

ل استخدامه؟ الذي ستفض

ا. على سبيل المثال، توجد ٦٠ دقيقة في الساعة. الت وحدة يستخدمها الناس يومي ٣ التواصل: اذكر أسماء خمسة معد


حلالمسائل






125125

7-8oá¡HÉ°ûàŸG oáq«°Sóæ¡dG o∫Éμ°TC’G

األشكال الهندسية المتشابهة استكشف سوف تتعلم

ما األشكال الهندسية المتشابهة. استخدام التناسبات إليجاد أطوال

أضالع أشكال هندسية متشابهة.

من االستخداماتيستخدم سائقو السيارات األشكال

الهندسية عند حساب المسافة الفعلية بين مكانين على خريطة

للطريق.


تشابه

من آخر نوعا تستكشف سوف واآلن الهندسية، األشكال عرفت صلة الدرس .األشكال الهندسية ذات األبعاد المتناسبة

األدوات المستخدمة: مسطرة مترية، منقلة هما نفسهما… ولكنهما مختلفان! . قس أطوال أضالعه، وقياسات زواياه، Δ ١ ارسم مثلثا كبيرا مختلف األضالع وسمه

واكتبها في أماكنها على الرسم.٢ ارسم مثلثا صغيرا له قياسات زوايا Δ نفسها، وسمه Δب، ثم قس أطوال أضالعه

واكتبها في أماكنها على الرسم.٣ أوجد هذه النسب:

hΔ طول الضلع األوسط في

طول الضلع األوسط في Δب(ب)

hΔ طول أطول ضلع في

طول أطول ضلع في Δب(أ)

hΔ طول أقصر ضلع في

طول أقصر ضلع في Δب(جـ)

٤ هل يتناسب أطول األضالع مع أقصرها؟ اشرح.٥ هل يتناسب أطول األضالع مع األضالع ذات األطوال الوسطى؟ اشرح.٦ هل تتناسب األضالع ذات األطوال الوسطى مع أقصر األضالع؟ اشرح.

األشكال الهندسية المتشابهة تعلم

تذكر أن األشكال الهندسية المتطابقة هي األشكال التي لها الشكل نفسه والقياس نفسه، ويستخدم الرمز (b) ليعني «يطابق».

بالضرورة ليس ولكن نفسه، الشكل لها التي الهندسية واألشكال (~) الرمز ويستخدم متشابهة، هندسية أشكال هي نفسه، القياس

ليعني «يشابه».اختلفت إذا حتى نفسه، الشكل لها المتشابهة األشياء وصور

قياساتها.

Similar Figures

تذكرتتشابه المضلعات إذا كانت:

١. زواياها المتناظرة متساوية في القياس.

٢.أطوال أضالعها المتناظرة متناسبة.

126126


بعض في تعطى قد ال معلومات المسائل ، الحل في تستخدمها المسألة هذه في فمثال حاجة في تكون ال قد الضلع طول معرفة إلى أ المثلث في اليمين جهة

والذي طوله ١٨.

مثال (٢)

Δأ ~ Δب أوجد طول الضلع س.

المثلثان متشابهان، لذلك فإن أضالعهما المتناظرة متناسبة.

اكتب تناسبا مستخدما األضالع المتناظرة 515 =

s21

اكتب الضرب التقاطعي ١٥س = ٢١ ^ ٥

اقسم طرفي المعادلة على ١٥ ١٥س = ١٠٥

10515

س =

س = ٧


أوجد طول الضلع ص في مثال ٢.


١ فيم تتشابه األشكال الهندسية المتطابقة والمتشابهة، وفيم تختلف؟٢ هل الشكالن المتطابقان متشابهان؟ اشرح.

٣ أعط مثاال ألشكال هندسية متشابهة تراها في حياتك اليومية.

١٨

١٥

٢١ بص

٥

س

أ

الشكل لهما الشكالن والقياس نفسهما.

, ب h

الشكل لهما الشكالن قياسات لهما ولكن نفسه،

مختلفة.ج ~ د

الشكالن ليسا لهما الشكل أي نفسه، القياس أو وغير متطابقين غير أنهما

متشابهين.

وهـ ج

دب

h

مثال (١)

د ما إذا كانت األشكال الهندسية اآلتية متطابقة، أو متشابهة أو غير متطابقة و غير متشابهة: حد

(جـ) (ب) (أ)

إذا تشابه شكالن هندسيان فإن أضالعهما المتناظرة متناسبة، وقياسات زواياهما المتناظرة متساوية في القياس.

127


١ اختر اإلستراتيجية: يتشابه منزل سعاد مع تصميم مصغر وضع لهذا المنزل، ومنزلها على شكل مستطيل، وطول قاعدة التصميم

٤ سم وارتفاعه ٥ سم. إذا كان طول أقصر ضلع في منزلها ١٢ مترا، فما محيط المنزل؟ اشرح إجابتك.

٢ التفكير الناقد: هل كل شكلين متشابهين متطابقان؟ هل كل شكلين متطابقين متشابهان؟ اشرح إجابتك.

٣ التفكير الناقد: هل المثلثان متساويا األضالع متشابهان؟ اشرح.






128

oáqjƒÄŸG oÖ°ùædG oIóMnƒdG(`L) oáæeÉãdG

«صباح الخير، سأكون مرشدكم اليوم خالل الرحلة إلى

الغابات المطيرة. الصوت الذي نسمعه اآلن هو صوت

القرد العواء، وهو نوع من القرود ينادي بعضها بعضا غالبا

في الصباح، عندما يكون الهواء باردا وينتقل الصوت بشكل أفضل.

وتستخدم الطيور، في مستويات مختلفة من الغابة، أنواعا مختلفة من

الزقزقة للتواصل في ما بينها.

وتتواصل الفراشات باستخدام رائحتها الخاصة.

«هل رأيت حيوانات حتى اآلن؟ إنها موجودة.

الكثير من هذه الحيوانات يتلون بلون البيئة المحيطة

به، وتسمى هذه الظاهرة باسم ظاهرة التكيف، وتساعد

هذه الظاهرة الحيوانات في التخفي من أعدائها.

«في الغابات، ال بد أن تكون حذرا؛ فهذه الضفدعة الصغيرة، على

سبيل المثال، يكفي سمها لقتل قرد، وبعض الضفادع األخرى يكفي

سمها لقتل ستة رجال. أتمنى أن تكونوا قد استمتعتم برحلتكم اليوم،

غير أنني لم أشرح لكم كل شيء عن الحيوانات الموجودة في الغابة.

«في وقت آخر سأشرح لكم ما في الغابة من أسرار وحيوانات لنعرف

عنها الكثير.»

١ كيف يمكن استخدام الرياضيات في وصف الحيوانات في الغابات المطيرة؟

٢ كيف يمكن استخدام الرياضيات في وصف النباتات في الغابات المطيرة؟

ة الخا ا ائ خدا ا اشا الف ل ا

pIÒ£ŸG päÉHÉ¨dG ¤EG lá∏MQ(pAGƒà°S’G u §îH pá£«ëŸG päÉHÉ¨dG)

Percents

129

8-8oáqjƒÄŸG oáÑ°ùædG

سوف تتعلم

التعبير بصورة نسبة مئوية.

واستخداماتها، واآلن سوف تقارن بين عدد والعدد صلة الدرس لقد تعلمت النسبة

.١٠٠

كن منطقيا!

أجب ثم جملة، كل اقرأ واشرح لها، التالي السؤال عن

راتك: مبركرة فريق إن أمل تقول ١نتائجه عه تشج الذي القدم ١٠٠٪ من مجموع مبارياته.

هل تعتقد أنها تبالغ؟٢ يقول وليد إن ٥٠٪ من مجموع الطالب في مدرسته يلعبون كرة القدم. هل يبدو أن

تقدير وليد معقول؟٣ توقع تقرير النشرة الجوية هطول األمطار باحتمال ٩٠٪. هل ما سبق يعد إنذارا جيدا

لك لتأخذ مظلة معك؟٤ قرأت منال ٢٠٪ من كتاب العلوم الليلة الماضية، وقرأ محمد ٣٠٪ من مجلة العلوم

الليلة الماضية. هل قرأ محمد صفحات أكثر من التي قرأتها منال؟٥ قال أحد مديري المتاجر الكبرى «كل شيء يجب االنتهاء منه: سوف تخفض األسعار

تخفيضا قدره ٢٪». هل تعتقد أنك سوف تجد صفقة رابحة في هذا التخفيض؟

٦ اكتب ثالث جمل تشتمل على نسب مئوية مشابهة للجمل أعاله.

النسبة المئوية تعلم

النسبة المئوية هي نسبة تقارن جزءا بكل باستخدام العدد ١٠٠. والنسبة المئوية هي عدد األجزاء من مئة .

النسب المئوية استكشف


يستخدم المحاسبون في الشركات

النسب المئوية على التمثيل البياني

بالدائرة لتمثيل مصادر دخلها.


نسبة مئوية

Percents

تذكرها النسبة المئوية هي نسبة حد

الثاني ١٠٠.

130

الترابط والتداخل بالعلومطائر الطوقان toucan طائر

أميركي ضخم المنقار، وهو من أشهر أنواع الطيور في

الغابات المطيرة. ومنقار كل ن طائر من هذه الفصيلة ملو

بطريقة مختلفة عن غيره، وهذا ما يسمح بتمييز كل طائر عن

اآلخر.

أمثلة

اكتب النسبة المئوية لألجزاء المظللة في كل شكل:

٢ ١

١٨ مربعا مظلال من ١٠٠ مربع ٦١ مربعا مظلال من ١٠٠ مربع

٪١٨ = 10018 ٪٦١ =

10061

إذا قسمت كمية إلى ١٠٠ جزء، فإنه من السهل وصفها مستخدما النسبة المئوية، كما أنه من السهل أيضا استخدام النسب المئوية عند التعامل مع األجزاء من عشرة أو من مئة.

٪٧٥ = 10075 =

43 ٪٥٠ =

10050 =

21 ٪٢٥ =

10025 =

41 ٪١٠ =

10010 =

101

مثال (٣)يمثل الجزء المظلل من الشكل جزءا من أنواع الطيور في العالم، والتي تعيش في الغابات المطيرة. ما النسبة المئوية

ألنواع الطيور التي تعيش في الغابات المطيرة؟ أو ١٠٪ من الشكل، وهناك ثالثة أجزاء مظللة؛

101 كل جزء مظلل يمثل

لذلك فإن النسبة المئوية لألجزاء المظللة = ٣ ^ ١٠٪ = ٣٠٪أي أن ٣٠٪ من أنواع الطيور في العالم تعيش في الغابات المطيرة.

حاول أن تحلاكتب النسبة المئوية للجزء المظلل من كل شكل:

(ب) (أ)

131


حلالمسائل من فهمك تحقق

١ ما نسبة ١٠٠٪ من شيء ما، وما نسبة صفر ٪ من شيء ما؟٢ هل يمكن أن تكون كمية أكبر من ١٠٠٪ من كمية أخرى؟

٣ هل يمكن أن يكون ٢٥٪ من شيء ما أكبر من ٥٠٪ من شيء آخر؟ اشرح إجابتك.


١ التواصل: أوضح تقرير إحدى الشركات أن أرباحها عام ١٩٩٧ كانت تعادل ١٢٠٪ من أرباحها عام ١٩٩٦. اشرح كيف

تكون هذه النسبة المئوية أكبر من ١٠٠٪.

٢ التواصل: هل تعتقد أنه من الممكن كتابة كل نسبة في صورة نسبة مئوية؟ اشرح إجابتك.

د ما إذا كانت المواقف المعطاة في التمارين من رقم ٣ إلى رقم ٥ ممكنة أم ال. اشرح إجابتك. التفكير الناقد: حد

٣ ٦٢٪ من طالب فصل األستاذ صالح ناجحون، ٤٨٪ من طالب هذا الفصل راسبون.

٤ ٤٨٪ من طالبات فصل األستاذة هالة يرتدون الفستان األزرق، و٢٧٪ من طالبات هذا الفصل يرتدون قمصانا.

٥ أظهر طالب فصل األستاذ عمر تحسنا في درجات اختبارهم قدره ١١٠٪.






132

9-8páqjƒÄŸG pÖ°ùædG oôjó≤J

تقدير النسب المئوية استكشف سوف تتعلم

تقدير النسب المئوية.


يستخدم مخططو مواجهة

األزمات والطوارک تقدير النسب

المئوية عند التجهيز لمواجهة

الزالزل والفيضانات واألعاصير.

صلة الدرس عرفت في الدرس السابق معنى النسبة المئوية، واآلن سوف تتعلم كيفية

.تقدير النسب المئوية

تعقب النسب المئوية

١ أوجد نسبة أو مقارنة في غرفة الفصل تساوي ١٠٪ تقريبا. على سبيل المثال:

حوالي ١٠٪ من الطالب يستخدمون يدهم اليسرى في الكتابة. اشرح لماذا اعتقدت

أن النسبة المئوية حوالي ١٠٪.

ر الخطوة رقم (١) للنسب المئوية اآلتية: ٢ كر

(أ) ٢٥٪

(ب) ٥٠٪

(جـ) ٦٠٪

(د) ٧٥٪

(هـ) ٩٠٪

(و) ١٠٠٪

ل فيها أن تغالي في تقدير النسبة المئوية أو تقلل من تقديرها. ٣ صف حالة من المفض

ل فيها الحصول على النسبة المئوية الدقيقة. صف حالة من المفض

تقدير النسب المئوية تعلم

1 الشيء ما هو إال ٢٥٪ من هذا 41 الشيء ما هو إال ٥٠٪ من هذا الشيء، و

2تذكر أن

ر في الشيء ما هو إال ١٠٪ من هذا الشيء. عند تقدير نسبة مئوية، فك101 الشيء، و

أقرب كسر للقيمة المعطاة يستخدم األنصاف أو األرباع أو األعشار. فهذه الكسور من

السهل التعبير عنها في صورة نسبة مئوية.

Estimating Percents

133

أمثلة

ر النسبة المئوية للجزء المظلل من الشكل. ١ قد

أربعة مربعات، 21 تغطي الدائرة خمسة مربعات كاملة تقريبا، وتغطي أيضا حوالى

وعلى ذلك

فالعدد الكلي من المربعات المغطاة:

٧ = 21 +

21 +

21 +

21 + ٥

العدد الكلي للمربعات يساوي ٥ ^ ٥ = ٢٥

أو ٢٥٪، أي حوالى ٢٥٪ من الشكل مظلل.41 أي حوالى

257 الجزء المظلل حوالى

٢ في غرفة فصل األستاذ أنور ٣٠ طالبا، منهم ٢٦

ر النسبة طالبا يرتدون الزي الرسمي للمدرسة. قدالمئوية للطالب الذين ال يرتدون الزي الرسمي

للمدرسة في غرفة الفصل.عدد الطالب الذين ال يرتدون الزي الرسمي

للمدرسة ٣٠ - ٢٦ = ٤ طالب. من ٣٠ أو حوالى ١٠٪

101 وبما أن ٤ هي حوالى

من ٣٠، لذلك فإن حوالى ١٠٪ من طالب غرفة فصل األستاذ أنور ال يرتدون الزي الرسمي للمدرسة.

حاول أن تحلر النسبة المئوية للشكل المظلل. (أ) قد

(ب) ٣٢ طبيبا من بين ٤٥ طبيبا لألسنان ينصحون باستخدام معجون األسنان المحتوي على الفلورايد. ما تقريبا النسبة المئوية لألطباء الذين ينصحون باستخدام

معجون األسنان المحتوي على الفلورايد؟


١ إذا علمت ١٠٪ من عدد ما، فكيف يمكنك استخدام التقدير إليجاد ٥٪ من هذا العدد؟ ٢٠٪ من هذا العدد؟ ٨٠٪ من هذا العدد؟

الحساب الذهني إليجاد نسبة مئوية دقيقة، بدال من ٢ صف موقفا يمكنك فيه استخدام نسبة مئوية تقديرية.

ر كسر الفطيرة الذي ٣ إذا كنت تصف فطيرة قد تم أكل جزء منها، فهل من األسهل أن تقدلم يتم أكله، أو النسبة المئوية للجزء الذي لم يتم أكله؟ اشرح إجابتك.


على مساحة تقدير عند يشغل أحيانا الشبكة، من جزءا المظلل الجزء كامال. المربع ال المربع لتقدير الطرق إحدى المربع عد هو المساحة نصفه من ألكثر المظلل المربع وعد بواحد، نصفه من ألقل المظلل

بصفر.

134

(9-8) pπFÉ°ùŸG uπ◊ oó°TôŸGالسعر األصلي لقميص هو ٢٠ دينارا. وعرض للبيع بتخفيض قدره ١٥٪، ثم عرض في التصفيات بتخفيض إضافي قدره ٤٥٪ من

ر السعر المعلن للقميص في التصفيات. اشرح إجابتك. السعر بعد التخفيض األول. قد

افهم

١ ما السعر األصلي للقميص؟

٢ ما أول تخفيض؟ وما ثاني تخفيض؟

خطط

؟ 14

أم 102 1 أو

10٣ هل ١٥٪ أقرب إلى

؟ 12

أم 104 1 أو

4٤ هل ٤٥٪ أقرب إلى

حل

٣ لتقدير ١٥٪ من ٢٠ دينارا. ٥ استخدم الكسر االعتيادي في السؤال رقم

٦ اطرح قيمة التخفيض لتحصل على السعر بعد التخفيض األول.

٤ لتقدير ٤٥٪ من السعر بعد التخفيض األول. ٧ استخدم الكسر االعتيادي في السؤال رقم

٨ اطرح قيمة التخفيض لتحصل على السعر بعد التخفيض الثاني.

٩ اشرح إجابتك.

تحقق

١٠ هل تعتقد أن السعر الذي قدره بعد التخفيض أعلى أو أدنى من السعر الحقيقي بعد التخفيض؟ اشرح إجابتك.


١١ السعر األصلي لسترة هو ٩٠ دينارا. عرضت للبيع بتخفيض قدره ٣٠٪، ثم عرضت في التصفيات بتخفيض إضافي قدره ١٥٪

ر السعر المعلن للسترة في التصفيات. اشرح إجابتك. . قد من السعر األصلي


حلالمسائل

135


؟ اشرح إجابتك.3107 أم

2007 هما أيسر: تقدير النسبة المئوية للكسر ١ التواصل: أي

٢ التفكير الناقد: السعر األصلي لقميص هو ٣٠ دينارا. عرض للبيع بتخفيض قدره ١٥٪، ثم عرض في التصفيات بتخفيض إضافي

ر السعر المعلن للقميص في التصفيات، واشرح إجابتك. قدره ٤٥٪ من السعر بعد التخفيض األول. قد

ر النسبة المئوية لعدد الزوايا غير القائمة في المثلث القائم الزاوية. اشرح إجابتك. ٣ التفكير الناقد: قد

٤ المجلة: اشرح طريقتين مختلفتين يمكنك بهما تقدير النسبة المئوية لـ ٧٥ من ٢٠٠.






10-8 pQƒ°ùμdGh páqjOÉ«àY’G pQƒ°ùμdÉH páqjƒÄŸG pÖ°ùædG o§HQpáqjöû©dG

النسب المئوية ككسور اعتيادية وكسور عشرية استكشف سوف تتعلم

في المئوية النسب عن التعبير وكسور اعتيادية كسور صورة

عشرية.


تستخدم شركات السياحة النسب

المئوية لمقارنة تكاليف ونفقات

الرحالت السياحية المختلفة.

تقارن عددا بـ ١٠٠، واآلن سوف تستخدم المئوية صلة الدرس عرفت أن النسبة .هذه العالقة إلعادة كتابة النسب المئوية في صورة كسور اعتيادية وكسور عشرية

األدوات المستخدمة: شبكات ١٠ ^ ١٠، أقالم تلوين مثل على الشبكة! مثل النسبة المئوية ٤٦٪

ن عدد المربعات الذي يساوي النسبة المئوية. لو١ مثل النسب المئوية اآلتية على الشبكة:

(ب) ٥٥ ٪ (أ) ٢١ ٪

(د) ٧٥ ٪ (ج) ٤ ٪

مثل الكسر العشري ٠,٨٣

ن عمودا واحدا لكل جزء من عشرة. لون مربعا واحدا لكل جزء من مئة. لو

٢ مثل الكسور العشرية اآلتية على الشبكة:(ب) ٠,٧٥ (أ) ٠,٦٦

(د) ٠,٤٩ (ج) ٠,٠٢ 14

مثل الكسر االعتيادي

م الشبكة إلى مجموعات متساوية عددها يساوي قسالمقام.

ن المجموعات التي عددها يساوي البسط. لو٣ مثل الكسور االعتيادية اآلتية على الشبكة:

53 (ب)

43 (أ)

12

(د) 107 (جـ)

ب القيم االثنتي عشرة التي حصلت عليها من الخطوات (١-٣) من األقل ٤ رتنة. نة إلى األكثر عددا من المربعات الملو عددا من المربعات الملو

نة مستخدما نسبة مئوية ٥ لشبكة معلومة، هل يمكنك وصف عدد المربعات الملوا؟ اشرح. أو كسرا عشري

نة مستخدما نسبة مئوية أو ٦ لشبكة معلومة، هل يمكنك وصف عدد المربعات الملو

ا؟ اشرح. كسرا اعتيادي

٪٤٦

٠,٨٣

14

136

Connecting Percents to Fractions and Decimals

137

ربط النسب المئوية بالكسور االعتيادية والكسور العشرية تعلم

. ولتحويل نسبة تصف الكسور االعتيادية، والنسب المئوية، والكسور العشرية أجزاء من كل، أعد كتابة النسبة المئوية في صورة كسر مقامه ١٠٠. مئوية إلى كسر اعتيادي أو كسر عشري

أمثلة

: ١ اكتب ٥٣٪ في صورة كسر اعتيادي

10053 = ٪٥٣

: ٢ اكتب ٩١٪ في صورة كسر عشري

٠,٩١ = 10091 = ٪٩١

إذا كنت تريد تحويل كسر اعتيادي إلى نسبة مئوية، فإنه بإمكانك

إجراء ذلك مستخدما التناسب:

قيمة النسبة المئوية١٠٠ جزء =

كل

طول أرنب. أعد كتابة هذا 85 ٣ يبلغ طول ضفدع الشجر

الكسر االعتيادي في صورة نسبة مئوية.

اكتب تناسبا مستخدما الكسر والعدد ١٠٠ 100s =

85

أوجد نواتج الضرب التقاطعي ٨س = ٥٠٠

استخدم القسمة س = ٥٠٠ ÷ ٨

اقسم س = ٦٢,٥

طول ضفدع الشجر ٦٢,٥٪ من طول األرنب.

حاول أن تحلاكتب ما يأتي في صورة كسور اعتيادية أو كسور عشرية:

في صورة نسبة مئوية83 (ج) اكتب (ب) ٧٪ (أ) ٨٣٪

ح الجداول اآلتية النسب المئوية الشائعة وما يكافئها من كسور اعتيادية وعشرية: توض

٣٣٪٣٠٪٢٥٪٢٠٪١٠٪نسبة مئوية31٪٦٦٪٦٠٪٥٠٪٤٠

32٪١٠٠٪٩٠٪٨٠٪٧٥٪٧٠

٠,١٠,٢٠,٢٥٠,٣٠,٣٠,٤٠,٥٠,٦٠,٦٠,٧٠,٧٥٠,٨٠,٩١,٠كسر عشري

كسر اعتيادي101

51

41

103

31

52

21

53

32

107

43

54

109١

تذكرإذا لم يكن للكسر مقام فيه

قوى العدد ١٠، فما زال بإمكانك تحويله إلى كسر عشري بقسمة البسط على

المقام.

138


507 ا متميزا في دولة الكويت حيث تبلغ مساحتها تعد (صالة التزلج) صرحا رياضي

من مساحة (أكوابارك) وهي من أكبر المالهي المائية في منطقة الخليج بجانب أبراج الكويت.

تقارير في لكتابته مئوية نسبة صورة في الكسر هذا عن التعبير ونبيل فيصل يريد الدراسات االجتماعية.

ما رأيك؟

ما رأيك؟لها؟ ولماذا؟ ١ أي طريقة تفض

؟100k =

507 ٢ لماذا استخدم فيصل التناسب

٣ لماذا ضرب نبيل كال من البسط والمقام في ٢؟


هما أسهل: تحويل الكسر االعتيادي إلى نسبة مئوية، أو تحويل النسبة المئوية إلى كسر ١ أي؟ اشرح. اعتيادي

في أخرى وأحيانا مئوية، نسب صورة في العالقات عن الجرائد مقاالت تعبر أحيانا ٢صورة كسور اعتيادية، لماذا؟

ر… فيصل يفكk

100 =

507 سأوجد قيمة ن في التناسب

نواتج الضرب التقاطعي متساوية، لذلك:٧ ^ ١٠٠ = ٥٠ ن٧٠٠ = ٥٠ ن

أستطيع إيجاد قيمة ن باستخدام القسمة:٧٠٠ ÷ ٥٠ = ١٤

مساحة (صالة التزلج) ١٤٪ من مساحة (أكوابارك).

ر… نبيل يفكسوف أستخدم الكسور المتكافئة، حيث إن:

٥٠ ^ ٢ = ١٠٠، إذا أستطيع أن أضرب كال من البسط والمقام في ٢ للحصول على كسر مكافگ مقامه ١٠٠

10014 =

^^

50 27 2 =

507

أي أن مساحة (صالة التزلج) ١٤٪ من مساحة (أكوابارك).

139


حلالمسائل


جين. ١ التفكير الناقد: ٦٥٪ من الموظفين في إحدى الشركات من الذكور، و١٥٪ من هؤالء الذكور غير متزو

جين في هذه الشركة. أوجد الكسر االعتيادي الدال على الموظفين الذكور المتزو

من سعر أي منتج؛ فما النسبة المئوية التي تتوقع 51 ٢ التفكير الناقد: أعلن مركز بيع منتجات إحدى الشركات عن تخفيض قدره

؟ دفعها من السعر الكلي

٣ التواصل: كيف يمكنك تحديد ما إذا كان كسر عشري أصغر من ١٠٪ أو أكبر من ١٠٠٪ دون تحويله إلى نسبة مئوية؟

٤ المجلة: في أي المواقف تجد من األسهل التعامل مع الكسور االعتيادية والكسور العشرية والنسب المئوية؟ اشرح إجابتك.






140


إيجاد النسبة المئوية لعدد.

إيجاد الكل عندما تعرف

النسبة المئوية والجزء.

صلة الدرس تعلمت كيفية إيجاد النسب المئوية باستخدام الكسور االعتيادية. واآلن .سوف تتعامل مع النسب المئوية باستخدام الكسور العشرية

ماذا عن التخفيضات؟أعلن أحد محال المالبس عن التخفيضات اآلتية:

ر قيمة التخفيض لكل وحدة. ١ قدر سعر البيع لكل وحدة. ٢ قد

ب الوحدات من األقل سعرا إلى األعلى سعرا مرتين: مرة قبل التخفيض، واألخرى ٣ رتبعد التخفيض. هل الترتيبان متماثالن؟ اشرح إجابتك.

مئوية؟ نسبة صورة في الوحدات لبعض التخفيض تمثيل المحل مدير أراد لماذا ٤؟ ولماذا أراد تمثيل التخفيض للوحدات األخرى في صورة كسر اعتيادي

إيجاد النسبة المئوية لعدد تعلم

تذكر أنه يمكنك استخدام التناسبات لتحويل الكسور االعتيادية إلى نسب مئوية. ويمكنك . أيضا استخدام التناسبات عندما تريد إيجاد النسبة المئوية لعدد كلي

. ١٠٠قيمة النسبة المئوية = جزءكل

الوحدة٦ دنانير١٥ دينارا٥ دنانير١٢ دينارا

٢١ دينارا

٢٥ دينارا

٢٠٪ من السعر

٢٥٪ من السعر

١٠٪ من السعربنطلونحزام جلدقميص

فستانسترة

بلوزةالتخفيض السعر المعلن

١ السعر٣

السعر١٤

السعر٢٣

إيجاد النسب المئوية استكشف

من االستخداماتأحواض نظافة مسؤولو يستخدم المئوية النسب تقدير السباحة من المناسبة الكمية لتحديد الكلور التي يجب إضافتها إلى ماء

األحواض.

mOó©d páqjƒÄŸG páÑ°ùædG oOÉéjEGFinding a Percent of a Number

141

أمثلة٦٠ = ٣٠ ^

21 ر: قد ١ أوجد ٥٣٪ من ٦٢.

، والعدد ٦٢ يقترب من ٦٠21 ٥٣٪ أكبر قليال من

اكتب تناسبا قيمة النسبة المئوية ٥٣ س = جزء ١٠٠ ١٠٠ ٦٢ كل

أوجد الضرب التقاطعي ١٠٠ س = ٣٢٨٦

استخدم القسمة س = ٣٢٨٦ ÷ ١٠٠

اقسم س = ٣٢,٨٦

٣٢,٨٦ يقترب من التقدير ٣٠، لذلك فإن اإلجابة معقولة.

٢ حدد إخصائيو العقاقير الطبية حوالى ٠٠٠ ٣ نوع من النباتات فيها خصائص مقاومة للسرطان، منها

٧٠٪ تنمو في الغابات المطيرة، فكم عدد هذه النباتات؟

٧٠٪ من ٠٠٠ ٣ = ؟

أعد كتابة النسبة المئوية في صورة كسر عشري ٧٠٪ من ٠٠٠ ٣ = ٠,٧٠ ^٠٠٠ ٣

اضرب ١٠٠ ٢ =

يوجد ١٠٠ ٢ نوع من أنواع النباتات المقاومة للسرطان تنمو في الغابات المطيرة.

حاول أن تحل(أ) تم اختيار ٦٥٪ من ٩٤٠ طالبا في المرحلة الثانوية ألداء اختبار القدرات في الرياضيات. كم عدد هؤالء

الطالب؟

د إجابة صحيحة. كم عدد األسئلة التي (ب) أجاب نادر عن٨٠٪ من ١٦٠ سؤاال من نوع االختيار من متعد

أجاب عنها نادر إجابة صحيحة؟

في بعض المواقف قد تعرف النسبة المئوية، وقيمة النسبة المئوية، ولكنك تحتاج إلى تحديد ». عندئذ يمكنك استخدام التناسب أيضا لحل هذه المسائل. قيمة «الكل

pïjQÉàdÉH oπNGóàdGh o§HGÎdG Ynez Mexi ينيز ميكسيا

هاوية جمع نباتات علمت نفسها بنفسها، وقد سجلت عدة آالف من أنواع النباتات من أميركا الشمالية وأميركا

الجنوبية، وفي إحدى رحالتها التي استغرقت عامين جمعت أكثر من ٠٠٠ ٦٥ عينة من نباتات الغابات المطيرة في

األمازون.

يوجد في بعض اآلالت الحاسبة ل النسبة المئوية ٪ يحو مفتاح

. يمكنك إيجاد إلى كسر عشري٧٠٪ من ٠٠٠ ٣ بإدخال

. = ٠٠٠ ٣ ^ ٧٠٪

142

مثال (٣)تبلغ ضريبة المبيعات في إحدى المدن ٦٪ من القيمة اإلجمالية لسعر البيع. إذا دفع عازف موسيقى ٣

دنانير كضريبة مبيعات عند شراء آلته الموسيقية، فما ثمن آلته الموسيقية؟

افترض أن س هي ثمن اآللة الموسيقية:

اكتب تناسباقيمة النسبة المئوية ٦ ٣ = جزء

١٠٠ ١٠٠ س كل

أوجد الضرب التقاطعي ٦س = ٣٠٠

استخدم القسمة س = ٣٠٠ ÷ ٦

س = ٥٠

ثمن اآللة الموسيقية ٥٠ دينارا.


(أ) ٤٠٪ من عدد ما يساوي ٢٨، فما العدد؟

(ب) سجلت إحدى اإلحصائيات أن ما يقرب من ٠٠٠ ٦٠٠ مواطن يسافرون للسياحة، وهو يمثل

حوالى ٦٠٪ من عدد السكان وقت إجراء اإلحصائية؛ فكم كان عدد السكان في ذلك التوقيت؟


» عندما يزيد هذا الكل؟ ١ ماذا يحدث للنسبة المئوية «لكل

٢ أعط مثاال لنسبة مئوية ترغب في إيجادها من خارج محيط غرفة فصلك.

143

د على ٧٢٪ من درجة أسامة، وحصل أسامة على ٩٨٪ حصل طالب جديد في اختبار الرياضيات من نوع االختيار من متعد تقريبا من درجة خالد، وحصل خالد على ٩٤٪ تقريبا من درجة أحمد. أما أحمد، فقد حصل على ٩٣ من ١٠٠ درجة في هذا

االختبار. فما درجة الطالب الجديد في هذا االختبار؟

افهم

١ كم درجة حصل عليها أحمد في اختبار الرياضيات؟

ا تحت الدرجات التي حصل عليها كل طالب بالنسبة إلى درجات زميله، مثل: ٧٢٪ من درجة أسامة. ٢ ضع خط

خطط

٣ ما اإلستراتيجية التي سوف تستخدمها إليجاد درجة الطالب الجديد؟

(ج) اعمل بطريقة عكسية ا (ب) ارسم رسما بياني (أ) اختر نمطا

٤ ما العملية الحسابية التي تستخدمها إليجاد النسبة المئوية لعدد ما؟

د. فماذا كنت تفعل إذا كنت تعطي ٥ ال تعطي أجزاء من الدرجة على األجزاء الصحيحة من اإلجابة من اختبار االختيار من متعد

أجزاء من الدرجة على األجزاء الصحيحة من اإلجابة؟

حل

٦ ما الدرجة التي حصل عليها خالد؟

٧ ما الدرجة التي حصل عليها أسامة؟

٨ ما الدرجة التي حصل عليها الطالب الجديد؟

تحقق

ا. هل يتطابق هذا الترتيب مع المعلومات الواردة في المسألة؟ ب درجات الطالب تصاعدي ٩ رت


د لمادة اللغة اإلنجليزية حصل سامي على حوالى ٩٦٪ من درجة راشد، وحصل راشد على حوالى ١٠ في اختبار االختيار من متعد٧٥٪ من درجة عادل. وحصل عادل على ١٠٠٪ من درجة سالم، أما سالم فحصل على ١٥٠ درجة في هذا االختبار. فما الدرجة

التي حصل عليها سامي في هذا االختبار؟


حلالمسائل (11-8) pπFÉ°ùŸG uπ◊ oó°TôŸG

144


١ التفكير الناقد: يشرح فهد كيفية حسابه لتخفيض قدره ٥٪ على وجبة ثمنها ٢٢ دينارا:

«أوال سأضع الفاصلة العشرية بعد منزلة واحدة ألحصل على ٢,٢٠ دينار، ثم آخذ نصف هذا العدد الذي يساوي ١,١٠ دينار،

ثم أحسب ثمن الوجبة بعد التخفيض كاآلتي: ثمن الوجبة = ٢٢ دينارا - ١,١٠ دينار = ٢٠,٩٠ دينارا». هل تتفق معه على

هذا الحال؟ هل يمكن استخدام هذه الطريقة دائما؟ اشرح إجابتك.

د على ٧٥٪ من درجة أسامة، وحصل ٢ اختر اإلستراتيجية: حصل طالب جديد في اختبار الرياضيات من نوع االختيار من متعد

أسامة على ٩٦٪ تقريبا من درجة فيصل. وحصل فيصل على ٩٧٪ تقريبا من درجة أحمد، أما أحمد فحصل على ٩٤ من ١٠٠

درجة في هذا االختبار. فما درجة الطالب الجديد في هذا االختبار؟

٣ التفكير الناقد: اشترى يوسف بعض األسهم من شركة بمبلغ ١٥ دينارا لكل سهم، ثم باعها بمبلغ ٣٠ دينارا لكل سهم. وقد

هما . أي أخبر سليمان بأن أسهمه قد حققت ربحا قدره ١٠٠٪، وقال إن يوسف باع أسهمه بما يساوي ٢٠٠٪ من الثمن األصلي

قوله صحيح؟

، ، وتريد أن تعرف قيمة الكل ٤ التواصل: إذا كنت تعلم النسبة المئوية، وجزءا من الكل

اشرح كيف يمكنك استخدام القسمة بدال من التناسبات في إيجاده.






145

مخطط تنظيمي للوحدة الثامنة

النسب المئويةاألشكال الهندسية المتشابهة

التناسب النسب الت والمعد

النسبة

النسب المتساوية

ل معد

ل الوحدة معد

الضرب التقاطعي

اختبر

ل معدالوحدة

ل حو

كسر اعتيادي كسر عشري

الجزء

تناسب

الكل جزء من ١٠٠

أوجدر قد حل


146


o¢SÉ«≤dGh oäÉª s°ùéŸG

oÜGOB’Gh o¿ƒæØdGالتكعيبية أسلوب في الفن يظهر األجسام

والمناظر كأشكال هندسية أساسية.

146

شكل على منازلها تبني األفريقية القبائل معظم مخروط. شكل المنازل سطح ويأخذ ، أسطوانيمن بالقرب الواقعة الحرفيين قرية منازل وتعتبر على مثاال زيمبابوي دولة في فيكتوريا شالالت

ذلك.


oIóMnƒdGoá©°SÉàdG


عند انعدام الجاذبية األرضية تتخذ قطرات الماء شكال كرويا (كريا)؛ ألن جزيئات الماء يمكنها

ا بالنسبة إلى حجمها، ن شكال مدمجا جد أن تكو. وهو الشكل الكروي

oΩƒ∏©dG

يتألف الهرم األكبر، في الجيزة، من أكثر من٠٠٠ ٢٠٠٠ حجر. ويبلغ وزن الحجر الواحد

٢٥٠٠ رطل (٩٣٣ كجم).


م من م بمقدار ما يشغله هذا المجس يعرف حجم المجسالفراغ.

تقاس مساحة السطح بالوحدات المربعة مثل سم٢، ويقاس الحجم بالوحدات المكعبة مثل سم٣.

د السطوح باستخدام شبكة يمكنك حساب مساحة متعدتسمح لك برؤية قياسات كل وجه، أو بتطبيق القانون الجبري

مباشرة.

د السطوح شكل ذو ثالثة أبعاد جميع أوجهه أسطح مستوية. متعد

م شكل ذو ثالثة أبعاد. المجس

147

pIóMnƒdG o höûe

د في هذا المشروع أنسب سوف تحدحجم لحوض تربية األسماك، والذي

يمكن وضعه داخل غرفة الفصل. ابدأ المشروع بتحديد عدد األسماك التي تريد تربيتها داخل هذا الحوض،

وتسجيل الطول الذي تريده لكل سمكة بالسنتيمترات.


Solids and Measurement

148


náHÉLE’G pO uóM . mäÉHÉLEG oçÓK »∏j Éq‡ mádCÉ°ùe uπμd , pádCÉ°ùŸG ‘ nIÉ£©ŸG nπª÷G pO uóM qºK , náë«ë°üdG

:ÚjôNC’G ÚàHÉLE’G ™e o≥ØqàJ ’ »àdGh

١ دفع خالد وبدر ومبارك ونايف مبلغ خالد فدفع الغداء. على دينارا ١٥نايف ودفع بدر من أكثر دينار ١ودفع خالد. من أقل دينار ١,٢٥٠مبارك ٢٥٪ من مجموع ما دفعه خالد

وبدر ونايف. كم دفع كل منهم؟

سيف من كل تقابل الغداء، بعد ٢صالة في ومحمد وخليفة ومبارك الكرة لعبة ليلعبوا الفيديو ألعاب على العب كل ويحصل واألوتاد. من أكثر أحرز ما إذا إضافية، جولة لعب المباراة. في نقطة ٢٥ ٠٠٠خليفة، من أكثر مباريات ٥ سيف ولعب سيف ١١٢ (مرة ونصف المرة) مبارك ولعب مبارك، لعب مثلما ثالث مباريات أقل من محمد، وكان ٨٨ لعبوها التي المباريات مجموع مباراة، فكم مباراة لعبها كل منهم؟

اإلجابة رقم (٣) اإلجابة رقم (٢) اإلجابة رقم (١)

خالد ٤,٧٥٠ خالد ٥,٧٥٠ خالد ٣,٧٥٠

بدر ٣,٧٥٠ بدر ٦,٧٥٠ بدر ٤,٧٥٠

مبارك ٣,٠٠٠ مبارك ٥,٠٠٠ مبارك ٤,٠٠٠

نايف ٣,٥٠٠ نايف ٧,٢٥٠ اإلجابة رقم (٣)نايف ٢,٥٠٠ اإلجابة رقم (٢) اإلجابة رقم (١)

محمد ٢٤ محمد ١٣ محمد ١٩

خليفة ١٩ خليفة ٨ خليفة ٢٤

سيف ١٦ سيف ١٣ سيف ٢٩

مبارك ٢٩ مبارك ١٦ مبارك ١٦


حلالمسائل

اختبر القواعد المستخدمة في حل المسائل

فإنه المسائل حل عند تتحقق أن األهمية من إجابتك؛ صحة مدى من المثال، تحقق فعلى سبيل مع يتفق حلك أن من في الواردة الحقائق كل

المسألة.

148

pí£°ùdG oáMÉ°ùeh oäÉª s°ùéŸG oIóMnƒdG(h) oá©°SÉàdG

pÖæ©dG oáÄÑ©J

149

أي العبوات من العنب ترغب في شرائها؟ عند قيامك بالتسوق تشاهد العديد من المنتجات

التي تتنافس كي تجذب انتباهك؛ ولذلك يقوم مصممو العبوات بتصميم أشكال وأحجام

مختلفة، لها ألوان جذابة لتجعل االختيارات عديدة وممكنة. غير أن تصميم مثل هذه العبوات

ليس بالسهولة بحال. فقد الحظ المستهلكون أن العبوات قد تكون كبيرة ولكنها تحفظ كمية قليلة، مثلها في ذلك

مثل العبوات الصغيرة. وقد تكون العبوات الصغيرة مصنوعة من

، إال أنها باهظة مادة جيدة وغير ضارة بالصحةالتكاليف وليست في متناول األيدي.

وقد تكون العبوات جذابة الشكل، إال أنها ثقيلة وصعبة التجميع والنقل.

لذلك تلعب الهندسة دورا أساسيا وهاما في تصميم مثل هذه العبوات؛ إلعطائها مظهرا جماليا

. مع تكلفة مالية أقل

١ عالم تعتمد في اختيارك لعبوات العنب؟٢ في أي نواح يستخدم مصممو العبوات الرياضيات أثناء قيامهم بصنع التصميمات؟

Solids and Surface Area

1-9

سوف تتعلممات المختلفة. تصنيف المجس

من االستخداماتسو الفنون في يستخدم مدرالمرحلة الجامعية تصنيفات

م عند وصف كيفية رسم المجسشيء ذي شكل خاص لطالبهم.

المصطلحات األساسيةم مجس وجه حرف

د السطوح متعد شبه مكعب منشور قائم

قاعدة هرم شبكة

أسطوانة مخروط كرة

مكعب

مات المجس استكشف

األدوات المستخدمة: أشباه المكعبات، أهرام، كرات، مخاريط، أسطوانات د الشكل حد١ اختر بعضا من األشكال المتاحة.

د الشكل الذي قمت ٢ صف كل شكل بحيث يستطيع كل من يقرأ وصفك أن يحد

بوصفه.٣ أي من هذه األشكال يذكرك بعبوات المنتجات الشائعة؟ اذكر بعض هذه

المنتجات. لماذا اختار المنتجون هذه األشكال للعبوات؟ها أكثر ٤ أي األشكال المستخدمة في تعبئة المنتجات أسهل في الصنع والنقل؟ وأي

صعوبة؟ اشرح.

صلة الدرس تعلمت كيفية تصنيف األشكال المستوية مثل الدائرة والمضلعات. .واآلن سوف تتعلم تصنيف األشكال ثالثية األبعاد

päÉª s°ùéŸG o∞«æ°üJ

مات تصنيف المجس تعلم

د الشكل حدم: شكل ذو ثالثة أبعاد، أو شكل يشغل حيزا المجس

م تسمى أوجها. من الفراغ. والسطوح المستوية للمجسوخط تقاطع وجهين يسمى حرفا.

ونقطة تقاطع األحرف معا تسمى رأسا.د السطوح. ن أوجهه مضلعات متعد م الذي تكو يسمى المجس

في المنشور القائم يوجد وجهان متقابالن متطابقان ومتوازيان.والوجهان المتوازيان للمنشور القائم هما قاعدتا المنشور القائم.

حرف

وجهرأس

القاعدة

منشور خماسي قائم شبه مكعب ذو قاعدة مستطيلة الشكل (متوازي مستطيالت)أو منشور رباعي قائم

منشور ثالثي قائم

150

Classifying Solids

م له قاعدة واحدة، وجميع أوجهه األخرى مثلثات. ويمكن تسمية الهرم والمنشور القائم تبعا لشكل قاعدته. الهرم مجس

دات السطوح، مثل: مات ذوات األسطح المنحنية ليست من متعد المجس

أمثلة

د السطوح، فاذكر عدد األوجه واألحرف والرؤوس التي يحويها. م متعد م، وإذا كان المجس صنف كل مجس

٣ ٢ ١

م هو أسطوانة وهو المجسد السطوح. ليس متعد

م هو هرم رباعي الشكل، المجسله ٥ أوجه و٨ أحرف و٥

رؤوس.

م هو منشور ثالثي له المجس٥ أوجه

و٩ أحرف و٦ رؤوس.

هرم خماسيهرم رباعيهرم ثالثي

كرةمخروطأسطوانة

151

م ما يسمى شبكة، ويمكن أن يكون للمجس ن مجس النموذج المسطح الذي يمكن طيه ليكوحتان في الشكل التالي يمكن طيهما لتصبح شبكات عديدة مختلفة، فمثال الشبكتان الموض

كل منهما مكعبا.


د السطوح؟ اشرح. م متعد ١ هل الهرم منشور قائم؟ هل الكرة مجس

٢ في شبه المكعب، ما شكل القاعدتين؟

رفوف على البضائع ترتب بحيث بعناية الكبرى المخازن في إقباال األكثر البضائع توضع مستوى من قربا أكثر مستوى النظر؛ وذلك تشجيعا للمشترين

لشراء هذه البضائع.

تعلم؟ هل

152



١ التفكير الناقد: استخدم كل معلوماتك عن المنشور الثالثي القائم وشبه المكعب والمنشور الخماسي القائم لرسم

منشور سداسي قائم، وصف كل وجه من أوجهه، واشرح رسمك.

٢ التفكير الناقد: تريد هدى إرسال مجموعة من المكعبات الخشبية البنة عمها عن

ر أي صندوق سوف تستخدم. معظم المكعبات طريق البريد، وتحتاج إلى أن تقر

على شكل مناشير ثالثية أو أشباه مكعبات، ونماذج الصناديق التي

ح لهدى أي صندوق يمكنها حة في الشكل المجاور. وض يمكنها استخدامها موض

استخدامه ولماذا.

د السطوح إذا علمت عدد أحرفه فقط؟ ٣ التواصل: هل تستطيع تصنيف متعد

عدد رؤوسه؟ عدد أوجهه؟ اشرح إجابتك.






153

سوف تتعلمد إيجاد مساحة سطح متعد

م. السطوح باستخدام شبكة المجس

مات. واآلن سوف تتعلم صلة الدرس تعلمت في الدرس السابق كيف تسمي المجس .د السطوح إيجاد مساحة سطح الشبكة الممثلة لمتعد

pí£°ùdG oáMÉ°ùe 2-9

مساحة السطح تعلم

د السطوح هي ناتج جمع مساحات أوجهه جميعا. إليجاد مساحة السطح (م) لمتعدح في الشكل؛ قم ببسطه إلى شبكة د السطوح مثل شبه المكعب الموض مساحة متعد

مضلعات ثم اجمع مساحات أوجهه.تقاس مساحة السطح مثلما تقاس مساحة

المضلع بالوحدات المربعة، مثل سم٢.

نة، ورق رسم بياني بالسنتيمترات األدوات المستخدمة: ألواح ملو فنون التغليف ١ اختر أربعة ألواح لها اللون نفسه ثم أنشئ بها شبه مكعب، وذلك بوضع األلواح معا

كما هو مبين في الشكل. ارسم شبكة لشبه المكعب الذي أعددته. من الرسم، كم عدد المربعات التي سيتم استخدامها في تغطية شبه المكعب؟

ح في ٢ استخدم األلواح األربعة نفسها، وضعها معا كما هو موضالشكل. ارسم شبكة شبه المكعب. كم عدد المربعات التي سيتم

استخدامها في تغطية شبه المكعب؟

٣ أعد الخطوتين ١ و٢ مع مجموعة أخرى مختلفة من أربعة ألواح.

٤ عند تغيير ترتيب األلواح األربعة لعمل شبه مكعب، هل يتغير عدد المربعات التي تحتاج إليها لتغطية شبه المكعب؟ اشرح.

مات مساحات المجس استكشف

من االستخداماتدو األثاث مساحة يستخدم منج

السطح عند تصميم األغطية والمراتب.

المصطلحات األساسية مساحة السطح (م)

154

Surface Area

تذكرعندما نذكر مساحة المثلث نعني

مساحة منطقة المثلث.وكذلك بالنسبة إلى باقي األشكال

الهندسية.

155

أمثلة

م المرسوم وشكل كل وجه. ١ اذكر عدد أوجه المجسم له خمسة أوجه، القاعدتان مثلثتان واألوجه الثالثة األخرى مستطيالت. المجس

٢ أوجد مساحة سطح الهرم المرسوم. تتكون الشبكة من مربع طول ضلعه ٥سم،

٤ مثلثات متطابقة طول قاعدة كل منها ٥ سم وارتفاع كل منها ٦ سم.مساحة سطح الهرم = مساحة المربع + ٤ ^ مساحة المثلث

م = ٥ ^ ٥ +٤ ^ (٥ ^ ٦ ÷ ٢)(١٥) ^ ٢٥ +٤ =

٢٥ + ٦٠ = = ٨٥ سم٢


في الشكل المقابل:(أ) عد األوجه، واذكر عددها وشكل كل وجه.

(ب) أوجد مساحة السطح.


١ لماذا يجب أن يكون في استطاعتك إيجاد مساحة المضلعات لكي تجد مساحة سطح

د السطوح؟ متعد

٢ صف بطريقة مختصرة كيفية إيجاد مساحة سطح المكعب.

٥سم٥سم

٦سم

٥سم

سم٦

٥سم

٨سم٢سم

١٢سم

STO بتخزين يقوم المفتاح األعداد في ذاكرة اآللة الحاسبة.

5 ^ 5 = يي

STO اضغط لتخزين مساحة المربع. عندما تعلم مساحة المثلثات األربعة،

+ إلضافة RCL = اضغط هذه المساحات إلى العدد

الموجود في الذاكرة.

تذكرمساحة المربع = (طول الضلع)٢

= ل٢

مساحة المستطيل = الطول × العرض

= ل × �

١ طول القاعدة × االرتفاع ٢

مساحة المثلث =

× × ع١٢

=

× ع ٢

=

156156


١ المجلة: اكتب بعض الفروق بين محيط المستطيل، ومساحة المستطيل ومساحة سطح شبه المكعب. هل أي من هذه الكميات يمكن أن يكون سالبا؟ اشرح إجابتك.

٢ التفكير الناقد: لدى منال ورق معدني يكفي لتغطية نصف الصندوق الكبير المبين في الشكل. وبما أن

أبعاد الصندوق الصغير هي نصف أبعاد الصندوق الكبير، فإن منال تعتقد أنه يمكنها تغطية الصندوق

ر إجابتك. الصغير كامال بدال من تغطية نصف الصندوق الكبير، هل تتفق مع منال في رأيها؟ فس

د د السطوح أكثر من شبكة واحدة؟ هل يمكن أن تكون شبكة واحدة ألكثر من متعد ٣ التواصل: هل يمكن أن يكون لمتعد

ر إجابتك. سطوح واحد؟ فس

٥٠سم

٢٠سم

٤٠سم١٠سم

٢٥سم

٨٠سم






إنها جميعا على السطح!

(ب) (أ)

(د) (ج)

١ كل من األشكال اآلتية هو شبكة ألحد أشباه المكعبات السابقة (األشكال لم ترسم

بمقياس). مساحة سطح األوجه تم تسجيلها على الشبكات. صل كل شبه مكعب

بالشبكة الخاصة به:(و) (هـ)

(حـ) (ز)

٢ أوجد مساحة سطح كل شبه مكعب. صف األنماط التي تراها في مساحات األوجه.

٣ إذا تساوت مساحة سطحي شبه مكعبين، فهل هما شبه المكعب نفسه؟ اشرح.٤ افترض أنك قمت ببسط أحد أشباه المكعبات السابقة إلى شبكة مختلفة عن المبينة

في الشكل، هل ستختلف مساحة السطح؟ اشرح.

٣سم٣سم

٦سم٣سم٤سم

٥سم

٥سم

٤سم

٩سم٢سم

٥سم٩سم

(و) ـ)

(حـ) (

١٨٨٨ ٣٦

١٨

٣٦

١٥١٥

٣٠

١٨٣٠١٨

٢٠٢٥٢٠

٢٠٢٥٢٠

٢٧

٢٧٢٧٢٧

٩

٩

سوف تتعلم استخدام القوانين الجبرية

لمساحة السطح.

pí£°ùdG páMÉ°ùŸ oáqjÈ÷G oÚfGƒ≤dG

د صلة الدرس لقد تعلمت كيفية استخدام الشبكة إليجاد مساحة سطح متعد السطوح. واآلن سوف تستخدم القوانين الجبرية إليجاد مساحات السطح

3-9

مساحة السطح استكشف

من االستخداماتيقوم مهندسو الديكور المسرحي

بحساب مساحة السطح عند تحديد تكلفة إنشاء ديكور لعمل

مسرحي معين.

157

Surface Area Formulas

158

القوانين الجبرية لمساحة السطح تعلم

د لقد رأيت أنه يمكنك إيجاد مساحة سطح متعدالسطوح عن طريق جمع مساحات أوجهه. عندما

د السطوح شبه مكعب، يمكنك استخدام يكون متعدطريقة مختصرة إليجاد مساحة سطحه.

الحظ أن كل وجهين متقابلين متطابقان، ولهما المساحة نفسها.

ض ^ ع ض ^ ع ل ^ ع ل ^ ع ل ^ ض ل ^ ض

٣٥ ٣٥ ٧٠ ٧٠ ٥٠ ٥٠مساحة السطح الكلية هي ناتج جمع مساحة ثالث مجموعات من األوجه المتطابقة:

م = (٢ ^ ٥٠) + (٢ ^ ٧٠) + (٢ ^ ٣٥)

مساحة سطح شبه المكعب = (٢ ^ ل ^ ض) + (٢ ^ ل ^ع) + (٢ ^ ض ^ ع)

مثال (١)أوجد مساحة سطح الصندوق:

ل = ٧ دسم، ض = ٢ دسم، ع = ٦ دسم

م = (٢ ^ ل ^ ض) + (٢ ^ ل ^ ع) + (٢ ^ ض ^ ع)(٢ ^ ٢ ^ ٦) + (٢ ^ ٧ ^ ٦) + (٢ ^ ٧ ^ ٢) =

٢٨ + ٨٤ + ٢٤ = = ١٣٦ دسم٢

مساحة السطح = ١٣٦ دسم٢.

إذا كان شبه المكعب مكعبا طول ضلعه ل، فإن كال من الطول والعرض واالرتفاع يساوي ط القانون الجبري لمساحة السطح ليصبح على الصورة: ل، وهذا يبس

مساحة سطح المكعب = ٦ل٢م = ٦ل٢ أو


تستطيع أيضا إيجاد مساحة كل من الوجه العلوي

، ثم واألمامي والجانبيجمعها معا والضرب في ٢. تشمل هذه الطريقة عمليات

ل اكتشاف ضرب أقل، وتسهالخطأ في الحسابات.

ل

لل

تذكرفي القانون الجبري ٦ل٢. العدد أنه يعني وهذا األس يمثل «٢»في ل قيمة ضرب عليك يجب

نفسها.

٧٠

٥٠

٧٠ ٣٥٧

٣٥

٥٠٥١٠

٦دسم

٢دسم٧دسم

انتبهم تعد مساحة سطح المجس

المساحة الكلية ألوجهه.

159

٧,٥سم٧,٥سم

٧,٥سم

تساعدك المفاتيح الخاصة باألقواس على استخدام ترتيب العمليات.

أدخل 8 ) + 4 × ( 8 × 6 ÷ 2 )

( 8 ×

ستظهر اآللة الحاسبة اإلجابة الصحيحة وهي ١٦٠.

مثال (٢)أوجد مساحة سطح صندوق كرة البيسبول (الصندوق مكعب

طول ضلعه ٧,٥ سم):م = ٦ل٢ = ٦ ^ (٧,٥)٢٦ ^ ٥٦,٢٥ =

= ٣٣٧,٥ سم٢. مساحة السطح هي ٣٣٧,٥ سم٢.

إذا كانت األوجه المثلثية للهرم متطابقة، فإنه يمكنك استخدام الطريقة المختصرة اآلتية إليجاد مساحة سطحه:

مساحة سطح الهرم = مساحة القاعدة + (عدد األوجه المثلثية ^ مساحة سطح أي منها)

مثال (٣)أوجد مساحة سطح هرم قاعدته مربع طول ضلعه ٨ أمتار، وكل وجه هو مثلث طول قاعدته ٨م

وارتفاعه ٦م.مساحة سطح الهرم = مساحة القاعدة + ٤ ^ مساحة المثلث

[(١ ^ ٨ ^ ٦٢

م = (٨ ^ ٨) + [ ٤ ^ (

[(٢٤) ^ ٤] + ٦٤ = = ١٦٠ م٢

مساحة السطح هي ١٦٠ م٢.


م: أوجد مساحة سطح كل مجس


١ هل تستطيع استخدام القانون الجبري لمساحة سطح شبه المكعب إليجاد مساحة سطح ؟ اشرح. المكعب

٢ بفرض أنك لم تستطع تذكر القانون الجبري لمساحة سطح شبه مكعب، فماذا تفعل إليجاد مساحة السطح؟

٨م٨م ٨م٨م

٦م

١٤

١٠ ١٠٤ ٧ ١٢

٥

(جـ)(ب)(أ)

٤

٤

تذكرطبقا لترتيب العمليات يجب عليك إجراء عملية الضرب

قبل إجراء عملية الجمع.

159


نة ١ التفكير الناقد: تقوم شركة لتغليف الهدايا، بتغليف الهدايا داخل صناديق ملو

وجذابة، ولديها ثالثة أحجام مختلفة للصناديق متوسطة الحجم مبينة في

ط مساحة سطح صندوق من هذا النوع؟ الجدول المجاور: ما متوس

ر إجابتك. مين له أكبر مساحة سطح؟ فس ٢ التفكير الناقد: أي المجس

(ب) ٢٠سم(أ)

١٢,٥سم

٢٢,٥سم

الصناديق متوسطة الحجم (سم) ج ب أ٢٠ ٥٠ ٣٠ الطول١٥ ٤٠ ٣٠ العرض٥ ٦٠ ٣٠ االرتفاع

٠,٩ دسم

٢,١ دسم

٣,٣ دسم






160

161

استكشف تمثيل النقط بيانيا

دات السطوح. صلة الدرس تعلمت كيفية إيجاد مساحات أسطح عدد من متعد مات له أسطح منحنية واآلن سوف تتعلم كيفية إيجاد مساحة سطح نوع من المجس

سوف تتعلم إيجاد مساحة سطح األسطوانة.

من االستخداماتيقوم صانعو علب األلومنيوم بحساب مساحة السطح عند

تحديد كمية األلومنيوم الالزمة لصناعة علبة ذات حجم معين.

احترس: أمامك منحنيات!األدوات المستخدمة: معلبات أطعمة أسطوانية الشكل (علبة عصير، علبة مشروبات غازية)

. من دون ملصقات، ورق رسم بياني

١ ما شكل اإلعالن الملصق على العلبة بعد إزالته

من عليها وبسطه؟ ارسم إعالنا لعلبتك بحيث تكون

أبعاده مناسبة، ويمكن لصقه على العلبة ليشغل الحيز

ص لذلك تماما. المخص

٢ ما شكل قاعدة العلبة؟ أضف القاعدتين إلى

اإلعالن الذي أعددته لتصنع شبكة للعلبة.

م الذي حصلت عليه له حجم ما. هل المجس ن مجس ٣ اقطع الشبكة والصقها معا لتكو

العلبة وشكلها نفسهما؟

٤ صف العالقة بين محيط قاعدة العلبة، وما قمت برسمه في الخطوتين ١ و٢.

ر مساحة سطح العلبة. ٥ قد

مساحة سطح األسطوانة تعلم

ن مستطيال. الحظ أن األسطوانة لها قاعدتان، كل منهما دائرة. يمكن بسط الجانب ليكوطول المستطيل يساوي محيط الدائرة، وعرض المستطيل يساوي ارتفاع األسطوانة.

األسطوانةتمثيللللل االلللللنقققطططططط بياانيااااستككككككككشفف استكشف

páfGƒ£°SC’G pí£°S oáMÉ°ùe 4-9

قاعدة قاعدة

قاعدة

جانب جانب

قاعدة

قاعدة

قاعدة

جانب

Surface Area of a Cylinder

تستطيع استخدام هذه العالقة إليجاد مساحة سطح .«B» األسطوانة التي ارتفاعها «ع» وطول نصف قطر قاعدتها

م = (٢ ^ مساحة القاعدة) + (مساحة الجانب المستطيل)= (٢ ^ مساحة القاعدة) + (ارتفاع األسطوانة ^ محيط القاعدة)

(B π٢ ^ ع ) + = (٢ ^ π نق٢)

(B πع ^ ٢) + ( ٢B π ^ ٢) = م

مثال (١).٣,١٤ π أوجد مساحة سطح عبوة البوظة مستخدما

ع = ١٦,٢٥ سم نق = ٦,٢٥ سم (B πع ^ ٢) + (٢B π ^ ٢) = م

(١٦,٢٥ ^ ٢ ^ ٣,١٤ ^ ٦,٢٥) + ( ٢ ^ ٣,١٤ ^ (٦,٢٥)٢) ٢٤٥,٣١٢٥ + ٦٣٧,٨١٢٥

٨٨٣,١٢٥ مساحة السطح تساوي ٨٨٣,١٢٥ سم٢ تقريبا.

إذا علمت طول قطر قاعدة األسطوانة، تستطيع إيجاد طول نصف

القطر بقسمة طول القطر على ٢.

مثال (٢)أوجد مساحة سطح األسطوانة المرسومة في الشكل المقابل

.٣,١٤ = π مستخدماإذا كان طول القطر ٢٢,٦٥ م، فإن طول نصف القطر هو نصف

هذا الطول وهو ١١,٣٢٥ م.(B πع ^ ٢) + (٢B π ^ ٢) = م

(١٩,٣٥ ^ ٢ ^ ٣,١٤ ^ ١١,٣٢٥) + (٢ ^ ٣,١٤ ^ (١١,٣٢٥)٢) ٨٠٥,٤٤٥ + ١٣٧٦,١٩١

٢١٨١,٦٣٦ مساحة السطح تساوي ٢١٨١,٦٣٦ م٢ تقريبا.

ع

تذكرمساحة الدائرة = ٢B π حيث B هي طول نصف قطر الدائرة،

وπ النسبة التقريبية وهي تساوي ٢٢٧

٦,٢٥ سمتقريبا ٣,١٤ أو

١٩,٣٥ م

٢٢,٦٥ م

نق

162

163

ر... فيصل يفكسوف أجمع المساحات في الوقت نفسه. مساحة المستطيل العلوي هي ١٢ ^ ٢ نا دائرة كاملة، ومساحة الدائرة أو ٢٤ سم٢. نصفا الدائرة يمكن جمعهما معا ليكو

الكاملة هي π ^ ٢١ أو ٣,١٤ سم٢. السطح المنحني هو مستطيل ارتفاعه ١٢ سم، وطول قاعدته يساوي نصف محيط الدائرة. نصف محيط الدائرة يساوي π ^ طول القطر ÷ ٢ أي حوالى ٣,١٤ ^ ٢ ÷ ٢ أو ٣,١٤. مساحة السطح المنحني تساوي

١٢ ^ ٣,١٤ أي حوالى ٣٧,٦٨ سم٢.٦٤,٨٢ ٢٤ + ٣,١٤ + ٣٧,٦٨ مساحة السطح الكلية

مساحة السطح تساوي ٦٤,٨٢ سم٢ تقريبا.

ر... نبيل يفكسوف أستخدم القانون الجبري للمساحة:

م = (٢ ٢B π) + (ع B π٢) إليجاد مساحة سطح األسطوانة الكاملة، ثم أقسم على ٢.

[(٢ ^ ٣,١٤ ^ ٢١) + (١٢ ^ ٢ ^ ٣,١٤ ^ ١)] ÷ ٢ م ٨١,٦٤ ÷ ٢ ٤٠,٨٢ سم٢

السطح العلوي هو مستطيل أبعاده ١٢ سم و٢ سم، ومساحته ٢٤ سم٢.سوف أجمع الناتج على مساحة نصف األسطوانة: ٤٠,٨٢ + ٢٤ = ٦٤,٨٢ سم٢

مساحة السطح تساوي ٦٤,٨٢ سم٢ تقريبا.

تباع أصابع البطاطا المحمرة في عبوة نصف أسطوانية كما في الشكل. أراد فيصل ونبيل معرفة مساحة سطح

العبوة:مـــا؟رأيك

السطح العلوي

١٢ سم

القاعدة

B = ١ سم

الجانب

٢ سم

سطح العبوة

ما رأيك؟

١ أي الطريقتين تعتقد أنها أسهل؟ ولماذا؟

؟ ٢ كيف سيتغير الحل إذا كانت العبوة ليس لها سطح علوي

تحقق من فهمك

١ صف كيف تستطيع صنع أسطوانة؟

٢ كيف يمكنك إيجاد مساحة سطح أسطوانة لها قاعدة سفلى وليس لها قاعدة عليا؟وكيف يمكنك إيجاد مساحة سطح أسطوانة ليس لها قاعدة سفلى أو عليا؟

164

165

(4-9) pπFÉ°ùŸG uπ◊ oó°TôŸGعلبة حلوى أسطوانية الشكل، ارتفاعها ١١,٢٥ سم، وطول قطر قاعدتها ٧,٥ سم.صة لإلعالن على العلبة، بفرض عدم وجود طيات؟ (أ) ما مساحة سطح الرقعة المخص

(ب) ما المساحة الكلية لسطح العلبة؟

افهم

ا تحت ارتفاع العلبة وطول قطر قاعدتها. ١ ضع خط

صة لإلعالن؟ ٢ هل يحتوي جانب العلبة أو قاعدتها على الرقعة المخص

خطط

٣ ما شكل جانب األسطوانة؟

٤ ما القانون الجبري الخاص بإيجاد المساحة الجانبية لسطح األسطوانة؟

(ج) م = π ^ القطر B π(ب) م = ع ^ ٢ ٢B π(أ) م = ٢

٥ ما شكل قاعدة األسطوانة؟

٦ ما القانون الجبري الخاص بإيجاد مساحة قاعدة األسطوانة؟

٧ كيف توجد المساحة الكلية لسطح األسطوانة عند معرفتك مساحة قاعدتيها ومساحتها الجانبية؟

٨ ما طول نصف قطر العلبة؟

حل

صة لإلعالن على العلبة؟ ٩ ما مساحة الرقعة المخص

١٠ ما المساحة الكلية لسطح العلبة؟

تحقق

١١ اكتب القانون الجبري الخاص بإيجاد مساحة السطح، ثم استخدمه لتختبر صحة إجابتك في السؤال رقم (١٠).


١٢ علبة أسطوانية الشكل ارتفاعها ١٦,٢٥ سم، وطول قطر قاعدتها ١٢,٥ سم.

صة لإلعالن على العلبة، بفرض عدم وجود طيات؟ (أ) ما مساحة سطح الرقعة المخص(ب) ما المساحة الكلية لسطح العلبة؟


166


١ اختر اإلستراتيجية: قام تامر بإيجاد مساحة سطح عدة أسطوانات، وسجل البيانات

بواسطة التمثيل البياني باألعمدة فكانت مساحة سطح األسطوانة الخامسة أكبر من مساحة

سطح األسطوانة الثانية، ولكنها أصغر من مساحة سطح األسطوانة الثالثة. أوجد كال من

االرتفاع والقطر المحتمل لألسطوانة الخامسة.

ر صة لإلعالن على علبة أسطوانية وطول قطر قاعدتها ٧,٥ سم وارتفاعها ١٠ سم؟ فس ٢ التفكير الناقد: ما مساحة الرقعة المخص

إجابتك.

حة في الصورة، فكان ظهر إحدى الحقائب ٣ التفكير الناقد: يعرض بعض هواة جمع العرائس عرائسهم في حقائب مثل الموض

مستطيال أبعاده ٣٠ سم، ١٢,٥ سم، وقطعتا القاعدة والقمة كلتاهما نصف دائرة، والجزء األمامي مصنوع من البالستيك الشفاف.

ر إجابتك. ما مساحة السطح الكلي للحقيبة؟ صف كيف أوجدتها. فس

أسطوانات تامر

األسطوانات

٦٠٥٠٤٠٣٠٢٠١٠

١ ٢ ٣ ٤٠

طحلسة ااحمس






167

oºé◊G oIóMnƒdG(Ü) oá©°SÉàdG

حيوان أليف من عالم مختلفهل ترغب في اقتناء حيوان أليف من كوكب آخر؟ هل يتنفس هذا الحيوان نوعا آخر من الهواء؟ هل يعيش في

درجة حرارة مختلفة؟ هل يحتاج إلى نوع مختلف من الضوء؟ هل يحتاج إلى حجرة خاصة يتم التحكم في الظروف البيئية في داخلها؟

إن اقتناء هذا الحيوان أكثر إزعاجا من اقتناء فأر بري ضخم، ولكن مراقبته ستكون مسلية.إن اقتناء األسماك يشبه في جوانب كثيرة اقتناء حيوان أليف من عالم غريب. وأحواض األسماك تشبه حجرة

خاصة يتم التحكم في الظروف البيئية داخلها. وغالبا ما يلزم هذه األحواض أجهزة تحفظ داخلها الهواء ودرجة الحرارة والضوء. ومشاهدة األسماك

ممتعة، حتى إن صانعي أحواض األسماك يجدون متعةفي التنافس على صنع أحواض تثير االهتمام.ويعتمد نوع حوض السمك الذي تريده

على عدد األسماك وأنواعها، والشيءالمهم الذي سوف تحتاج إليه هومعرفة مساحة السطح والحجم،

ولهذا فإنك ال تستطيع اقتناءاألسماك دون معرفتك بالرياضيات.

الحال عندما تقتني حيوانا ١ كيف يكون أليفا من كوكب آخر؟

األسماك في حوض ٢ لماذا تعد مشاهدة أسماك الزينة شائقة؟

٣ كيف يمكن للشخص الذي يقوم بصنع حوض األسماك أن يستخدم الرياضيات؟

Volume

167

تمثيل النقاط بيانيا استكشف

سوف تتعلم رسم الوجهة األمامية والجانبية

م. والعلوية للمجس

من االستخداماتيقوم المصممون الفنيون لهياكل السيارات بصنع رسومات لكل من الواجهة األمامية والجانبية والعلوية، للسيارة عند وصف

كيفية عمل اآلالت المعقدة.

األدوات المستخدمة: مكعبات سنتيمترية ! شيء سمكي

تم تخزين أكوام كبيرة من صناديق الشحن البحري في مزرعة لألسماك. سجل المدير كل كومة عن طريق رسم صناديق الشحن كما تظهر من أعلى، واستخدم األعداد لتبيين

عدد صناديق الشحن في كل كومة.رسم المدير مجموعة الصناديق

١ أنشئ كل كومة مستخدما المكعبات السنتيمترية، ثم ارسم صناديق الشحن كما تظهر من أعلى كما فعل مدير المزرعة. كن متأكدا من كتابة عدد صناديق الشحن في

كل مربع من الرسم.٢ هل يمكنك تحديد عدد المكعبات التي تحتاج إليها إلنشاء كومة من الرسم الذي

قام المدير بإعداده؟ اشرح.٣ هل يمكنك تحديد عدد المكعبات التي تحتاج إليها إلنشاء كومة من صورة لها؟

اشرح.٤ هل من الصعب رسم شكل لكومة فيها عدد صغير من المكعبات أو عدد كبير منها؟

اشرح.

(ب)(أ)

(جـ)

(د)

صلة الدرس تعلمت في الدرس السابق كيفية حساب مساحات أسطح المجسمات. .مات واآلن سوف ترسم صورا لهذه المجس

pOÉ©HC’G oáq«KÓK o∫Éμ°TC’G 5-9

٢١١٣

Three Dimension Figures

168168

169

األشكال الثالثية األبعاد تعلم

واجهة علوية واجهة جانبية واجهة أمامية

مات وفقا لقواعد رسم م شكل ثالثي األبعاد. غالبا ما ترسم المجس تذكر أن المجسمات ح أنها ثالثية األبعاد. ترسم المجس المنظور التي توض

أيضا باستخدام الرسوم المسطحة، وتظهر الرسوم المسطحة م من خالل واجهة واحدة. ومن أجل تدوين شكل المجس

م، تحتاج عادة إلى إظهار المجسم: األمامية ثالث واجهات للمجس

والجانبية والعلوية.

مثال (١)م. ارسم كال من الواجهة األمامية والجانبية والعلوية للمجس

ال توجد مكعبات مختفية.



م. ارسم كال من الواجهة األمامية والجانبية والعلوية للمجسال توجد مكعبات مختفية.

أيضا واجهات أخرى مثل الواجهة م للمجسأن من وبالرغم السفلية؛ والوجهة الخلفية، مرآة في صور كأنها تعد الواجهات هذه إال والعلوية، والجانبية األمامية للواجهات

م. أنها ال تعد ذات أهمية عند رسم المجس


ما له الواجهة األمامية، الجانبية، العلوية نفسها. ١ صف مجس

م لتقوم ٢ هل يمكنك استخدام كل من الواجهة األمامية، الجانبية، العلوية، لمجسببنائه؟ اشرح.

واجهة أمامية

واجهة جانبية

pá¨∏dÉH oπNGóàdGh o§HGÎdG

يعرف الرسم المسطح الذي يظهر الواجهة األمامية والجانبية والعلوية،

م باسم «اإلسقاط المتعامد». لمجسم هي الصورة الثالثية األبعاد للمجس

. إسقاط أيسومتري

170


ر إجابتك. ح إذا كانت كل مجموعة من الواجهات اآلتية تصنع منشورا قائما أو ال. فس ١ التفكير الناقد: وض(ب) (أ)

واجهة علوية واجهة جانبية واجهة أمامية واجهة علوية واجهة جانبية واجهة أمامية

مات اآلتية من المكعبات طول حرفها ١ سم. أوجد مساحة سطح كل منها. م من المجس ن كل مجس ٢ التفكير الناقد: كواشرح إجابتك.

(د) (جـ) (ب) (أ)

٣ التواصل: افترض أن لديك ٢٤ مكعبا. صف أو ارسم أبعاد ثالثة أشباه مكعبات مختلفة يمكنك تكوينها بهذه المكعبات.

اشرح إجابتك.






171


سوف تتعلم حساب حجم شبه المكعب.

من االستخداماتيستخدم رجال اإلسعاف الحجم

لتحديد كمية األكسجين في أنبوبة األكسجين.

المصطلحات األساسية حجم

وحدات مكعبة

كم عدد حبات الفاصولياء داخل الصندوق؟ ، ، حبات فاصولياء جافة، مكعبات سنتيمترية، مقص األدوات المستخدمة: ورق رسم بياني

شريط قياس.

١ باستخدام ورق الرسم البياني وشريط القياس، أنشئ صندوقا مفتوحا أبعاده ٦ سم

و٦ سم للقاعدة، و٦ سم لالرتفاع. أنشئ صندوقا آخر مفتوحا أبعاده ٥ سم و١٢ سم

للقاعدة، و٥ سم لالرتفاع. ال تصنع غطاء للصندوقين.

ل عدد حبات الفاصولياء التي تم بها ملء كل ٢ امأل كل صندوق بالفاصولياء. سج

صندوق بإحكام.

د أيضا الصندوق د عدد المكعبات السنتيمترية المطلوبة لملء كل صندوق، وحد ٣ حد

الذي يحتوي على عدد أقل من المكعبات. اشرح.

ها أقل دقة؟ ٤ أي األدوات تعتقد أنها األكثر دقة لقياس الفراغ داخل كل صندوق، وأي

اشرح.

اكتشاف الحجم تعلم

تذكر أن األشكال ذات البعدين تقاس عن طريق مساحتها. تستطيع إيجاد مساحة سطح الشكل عن طريق عد الوحدات المربعة التي يحويها.يمكن قياس األشياء الثالثية األبعاد عن طريق حجمها.

د بالوحدات المكعبة التي يحويها. تستطيع حجم الشيء يحدإيجاد حجم أشباه المكعبات بواسطة المكعبات التي

يحويها. تذكر أن األس ٢ يعني ضرب األساس في نفسه.٢٦ (تقرأ ٦ تربيع) = ٦ ^ ٦ = ٣٦

األس ٣ يعني استخدام األساس كعامل ثالث مرات.٣٥ (تقرأ ٥ تكعيب) = ٥ ^ ٥ ^ ٥ = ١٢٥

الحجمتمثيللللل االلللللنقققطططططط بياانيااااستككككككككشفف استكشف

م، واآلن سوف صلة الدرس لقد تعلمت كيفية رسم الواجهات المختلفة للمجس .م تتعلم كيفية إيجاد عدد المكعبات الالزمة لملء الفراغ داخل المجس

oºé◊G 6-9

المساحة = ٦ وحدات مربعة

الحجم = ٦ وحدات مكعبة

Volume

172

أمثلة١ أوجد حجم شبه المكعب.

تتكون كل طبقة من شبه المكعب من صفين، في كل منهما ٦ مكعبات، أي أن عدد المكعبات في كل طبقة يساوي ١٢ مكعبا.

توجد في شبه المكعب الموضح ٤ طبقات، وفي كل طبقة ١٢ مكعبا. أي أن عدد المكعبات الكلية يساوي ٤ ^ ١٢ أو ٤٨ مكعبا. حجم شبه المكعب يساوي

٤٨ وحدة مكعبة.

٢ تسلمت الهيئة العامة للزراعة والثروة السمكية شحنة من أحواض السمك مكعبة الشكل (الموضحة في الشكل) أبعاد كل حوض ١ م، ١ م، ١ م. أوجد حجم الشحنة.

أبعاد الطبقة الواحدة هي ٥ م، ٣ م، أي أن مساحة الطبقة الواحدة ٥ ^ ٣ = ١٥ م٢وبما أنه توجد ٤ طبقات، مساحة كل منها ١٥ م٢، فإن حجم الشحنة

يساوي: ١٥ ^ ٤ = ٦٠ م٣.


أوجد حجم شبه المكعب:


١ لماذا تقاس المساحة بالوحدات المربعة والحجم بالوحدات المكعبة؟م هو مساحة سطحه نفسها؟ اشرح. ٢ هل حجم المجس

(أ)

(جـ)

(ب)

(د)


يوجد نوعان من أحواض األسماك: األول مصنوع من الزجاج، والثاني

من مادة األكريليك. واألحواض الزجاجية أرخص ويصعب خدشها.

أما األحواض المصنوعة من األكريليك فهي أخف وزنا ويصعب ه صور ف أو تشو كسرها، وال تحراألسماك مثل األحواض الزجاجية.

173

ح في بعد إنتاج مكعبات السكر توضع في صناديق محكمة التعبئة لبيعها. إذا كان صندوق مكعبات السكر الموضالرسم ارتفاعه ثالثة مكعبات، فكم مكعبا من السكر يوجد في الصندوق؟

افهم

١ كم عدد مكعبات السكر التي تمثل ارتفاع الصندوق؟

٢ ما الذي طلب إليك إيجاده؟

خطط

٣ كم عدد المكعبات في الصف الواحد؟

٤ كم عدد المكعبات في العمود الواحد؟

٥ كم عدد المكعبات في الطبقة الواحدة؟

حل

٦ أكمل الجملة العددية إليجاد عدد مكعبات السكر في الصندوق.

٧ اكتب جملة تعطي عدد المكعبات في الصندوق.

تحقق

٨ ارسم مخططا لكل طبقة من مكعبات السكر. تأكد من أن عدد مكعبات السكر يتساوى مع إجابتك في السؤال رقم (٦).


٩ يمكن وضع المكعبات طول حرف كل منها ١ سم داخل صناديق محكمة التعبئة. إذا كان ارتفاع أحد هذه الصناديق المبينة في الرسم ٤ مكعبات، فكم عدد المكعبات في الصندوق؟

(6-9) pπFÉ°ùŸG uπ◊ oó°TôŸGحلالمسائلافهمخططحلتحقق

174


مات من األصغر إلى ب هذه المجس مات المبينة في الشكل أبعاده ١ سم،١ سم،١ سم. رت ١ التفكير الناقد: كل مكعب في المجس

ر إجابتك. مات تبعا لمساحة السطح؟ فس األكبر تبعا لحجمها. هل ستختلف القائمة لديك إذا رتبت المجس

٢ اختر اإلستراتيجية: يباع في المقصف المدرسي قطع كعك صغيرة موضوعة في عبوات مكعبة الشكل ويوجد في كل كرتونة

ن شحنة على شكل شبه مكعب؟ نظم قائمة ١٢ عبوة مكعبة، فكم طريقة مختلفة يمكن ترتيب هذه العبوات االثنتي عشرة لتكو

بالطرق المختلفة.

م. حة إليجاد حجم كل مجس ٣ التفكير الناقد: استخدم الواجهات الموض

(أ)


(ب)

واجهة علوية واجهة جانبية واجهة أمامية(جـ)


(جـ)(ب) (أ)






األدوات المستخدمة: مكعبات سنتيمترية لعبة الطوابق

١ باستخدام المكعبات السنتيمترية، أنشئ شبه مكعب طوله ٤ سم، وعرضه ٣ سم

وارتفاعه ١ سم. اكتب جملة رياضية مستخدما عملية الضرب إليجاد العدد الكلي

للمكعبات التي احتجت إليها.

٢ أضف طابقا ثانيا طوله ٤ سم، وعرضه ٣ سم فوق الطابق األول.

اكتب جملة رياضية مستخدما عملية الضرب إليجاد العدد الكلي للمكعبات التي

احتجت إليها إلنشاء شبه المكعب كامال.

٣ أضف طابقا ثالثا، واكتب جملة رياضية مستخدما عملية الضرب إليجاد العدد الكلي

للمكعبات التي احتجت إليها إلنشاء شبه المكعب كامال.

٤ إذا عرفت الطول والعرض واالرتفاع لشبه المكعب، فما هي أسرع الطرق لتحديد

عدد المكعبات التي تحتاج إليها لبنائه؟

175

pºé◊G oÜÉ°ùM


سوف تتعلم استخدام القانون الجبري

الخاص بإيجاد حجم شبه المكعب.

من االستخداماتيستخدم الطبيب الحجم لحساب كمية الدم التي يحصل عليها من

ع. المتبر

حساب الحجمتمثيلللل االللللنقققططططط بياانيااااستككككككككشفف استكشف

صلة الدرس تعلمت كيفية إيجاد حجم شبه المكعب عن طريق عد المكعبات التي تمأل

. الفراغ الداخلي له. واآلن سوف تتعلم كيفية إيجاد الحجم باستخدام القانون الجبري

7-9Calculating Volume

١سم

١سم١سم

مكعب سنتيمتري

176

حساب الحجم تعلم

يقاس حجم شبه المكعب بعدد الوحدات المكعبة التي يمكن وضعها بإحكام داخله. هناك طريقة إليجاد الحجم

وهي عد المكعبات التي في داخله.

تستطيع أيضا استخدام القانون الجبري التالي لحساب الحجم:حجم شبه المكعب يساوي ناتج ضرب طوله في عرضه في ارتفاعه.

حجم شبه المكعب = الطول ^ العرض ^ االرتفاع

ح = ل ^ ض ^ ع

٢سم

٤سم٣سم

٤سم٣سم

٢سم

177

أمثلة١ أوجد حجم شبه المكعب المرسوم:

اكتب القانون ح = ل ^ ض ^ ع ض بالقيم المعلومة عو ٨ ^ ٥ ^ ٤ =

الحجم = ١٦٠ سم٣

٢ أوجد حجم حوض السمك المبين في الرسم علما بأن األبعاد مأخوذة من الداخل، ثم أوجد سعته بالليترات .

اكتب القانون ح = ل ^ ض ^ ع ض بالقيم المعطاة عو ٨٧,٥ ^ ٣٧,٥ ^ ٢٧,٥ =

= ٩٠٢٣٤,٣٧٥ سم٣ كل ١٠٠٠ سم٣ تعادل لترا واحدا.

سعة الحوض = ٩٠٢٣٤,٣٧٥ ÷ ١٠٠٠ = ٩٠,٢٣٤٣٧٥ لترا.

إذا عرفت حجم شبه المكعب وطول بعدين من أبعاده، فإنك تستطيع إيجاد طول البعد الثالث.

مثال (٣)صنع يوسف صندوقا للرمل. إذا كانت أبعاد قاعدة الصندوق هي ٢,٤ م ، ١,٨ م،

ووضع يوسف ٤,٣٢ م٣ من الرمل في الصندوق، فما عمق الرمل؟

اكتب القانون ح = ل ^ ض ^ ع ض بالقيم المعطاة عو ٤,٣٢ = ٢,٤ ^ ١,٨ ^ع

ر: ما العدد الذي يضرب في ٤,٣٢ ليكون الناتج ٤,٣٢؟ ط. فك بس ٤,٣٢ = ٤,٣٢ ع

استخدم الحساب الذهني ١ = ع عمق الرمل يساوي ١ م.


(أ) أوجد حجم شبه المكعب الذي أبعاده: ١٧,٥ سم، ١٢,٥ سم، ٧,٥ سم.

(ب) أوجد طول شبه المكعب إذا كان عرضه ٣٧,٥ سم وارتفاعه ٢٠ سم وحجمه ١٣٥٠٠ سم٣.

٤ سم

٥ سم٨ سم


يختلف الحيز الذي تحتاج إليه األسماك من نوع إلى آخر. فمثال

تحتاج األسماك التي تعيش في المياه المالحة إلى حيز أكبر من الذي تحتاجه األسماك التي لها الحجم نفسه وتعيش في المياه

العذبة.

٣٧,٥ سم ٨٧,٥ سم

٢٧,٥ سم

ر... خالد يفكسوف أوجد الحجم بعد المكعبات، واستخدام عملية الضرب.

السطح العلوي يحتوي على ١٥ صفا وفي كل صف ٣٠ مكعبا؛ أي أن العدد الكلي للمكعبات في السطح العلوي يساوي ١٥ ^ ٣٠ أو

٤٥٠ مكعبا. توجد عشر طبقات في كل طبقة ٤٥٠ مكعبا، وهذا ما يساوي ١٠ ^ ٤٥٠ = ٥٠٠ ٤ مكعب؛ أي أنه يوجد ٥٠٠ ٤

مكعب في الصندوق الواحد.

خالسواااااااالللللللللللسأن٠مامك

178

مصنع ألعاب يصنع مكعبات لعب بنائية أبعادها ١ سم ^ ١ سم ^ ١ سم وتعبأ في صناديق أبعادها ٣٠ سم، ١٥ سم،

١٠ سم. أراد خالد ومحمد معرفة عدد المكعبات في الصندوق الواحد.


: ١ هل تستطيع استخدام القانون الجبريم؟ اشرح. ح = ل ^ ض ^ ع إليجاد حجم أي مجس

٢ صف طريقة سهلة إليجاد حجم المكعب.


ر... محمد يفك: سوف أوجد الحجم باستخدام القانون الجبري

ح = ل ^ ض ^ عح = ٣٠ ^ ١٥ ^ ١٠ = ٥٠٠ ٤

يوجد ٤٥٠٠ مكعب في الصندوق الواحد.

١ يقول خالد إنه يستخدم الضرب في طريقته. هل تشمل طريقة محمد الضرب أيضا؟ اشرح.

٢ أي طريقة هي األسهل في الفهم؟ ولماذا؟

ما رأيك؟

مخطط تنظيمي للوحدة التاسعة

الحجم مات المجسوالقياس

مات المجس

األسطوانة

الشبكات األجزاء

مساحة السطح

د متعدالسطوح

حساب الحجم

عملية الضرب

القانون الجبري

واجهات

وحدات مربعة جمع المساحاتشبه المكعب الهرم

األوجه

األحرف

الرؤوس

القواعد

األمامية

الجانبية

العليا

179


180


o∫ÉªàM’G

É«Lƒdƒ«÷Gعن سلسلة من األمواج البحرية التسونامي عبارة

يسببها حدث مفاجىء تحت المحيط أو حوله.يحتمل حدوث التسونامي في الحاالت اآلتية:

زلزال تحت الماء انفجار بركاني تحت البحر

انهيارات ساحلية كبيرة تسقط في البحر انهيار كبير في األرض التي تحت الماء

االحتمال، على تعتمد التي األلعاب إحدى والمنتشرة في جميع أنحاء العالم هي لعبة المقص

«Rock - paper - scissors» والورقة


oIóMnƒdGoIöTÉ©dG

180


اليسرى يده يستخدم الذي الشخص على يطلق أن تعلم فهل «األعسر»، اليمنى يده من بدال

احتمال مقابلتك لمثل هذا الشخص ١٣٪.

oΩƒ∏©dG

زمالئك من سيفوز من تتوقع أن تحاول عندما االنتخابات فإن الطالب، اتحاد رئيس بمنصب هي التي سوف تحسم توقعك، مع العلم بأن هذه ( االنتخابات تشتمل على هامش خطأ (خطأ نسبي

وهو مقياس لمقدار عدم دقة التوقع.


إذا أجريت تجربة عشوائية على خطوتين مستقلتين وكان عدد نواتج الخطوة األولى ل وعدد نواتج الخطوة الثانية م، فإن

عدد نواتج التجربة = ل ^ م.

يمكن تنظيم كل النتائج الممكنة لحدث ما باستخدام الشجرة البيانية.

يمكن استخدام بيانات العينة في تحديد احتمال حدث ما.

انتخابات اتحاد الطالباألصوات الطالب ٪٣٢ وليد ٪٢٨ سامي ٪٢٠ أحمد

هامش خطأ ٪٥±

pIóMnƒdG o höûe

في هذا المشروع سوف تقوم بتصميم لعبة تعتمد على الحظ، حيث يمكنك

استخدامها في االحتفاالت المدرسية. ابدأ بالتفكير في نوع اللعبة التي تريدها، وعدد الفائزين في كل جولة من اللعبة، وسعر التذكرة المناسب لكل متسابق.


Probability

181

احتمال حدث ما هو تعبير رياضي إلمكانية فرص وقوع هذا الحدث.

182



má≤«bO oÒZ É¡sæμdh láHÉLEG É¡d pá«JB’G pπFÉ°ùŸG øe wπc nÈcCG{ hCG zG vóL nô¨°UCG{ oáHÉLE’G pânfÉc GPEG Ée rO uóM .ÉkeÉ“ qºK , páë«ë°üdG páHÉLE’G øe zG vóL oÜÎ≤J{ hCG zG vóL

. nÖÑ°ùdG pí u°Vhالكتب بيع مكتبات إحدى تبرعت ١العامة للمكتبة دخلها من ٪١٠ بنسبة في المنطقة، إذا باعت المكتبة في هذا الكتاب ثمن وكان كتابا ٣١ اليوم المبلغ مقدار فما دينارين، الواحد ٦,٢٠٠ للمكتبة؟ كتبرع دفع الذي

دنانير.

٢ بلغ دخل السوق الخيرية التي أقامها رجال األعمال لدعم مكتبة الحي مبلغ ٥٠٠ دينار. تم دفع مبلغ ١٢٥,٧٥٠ المبلغ فما إدارية. كمصاريف دينارا ٤٠٠ المكتبة؟ عليه حصلت الذي

دينار.

الفطائر مطاعم أحد صاحب يتبرع ٣بثلث دخله للمكتبة أيضا، إذا كان هذا الواحدة الفطائر شريحة يبيع المطعم الواحدة والفطيرة فلس، ٥٠٠ بمبلغ فيها ٨ شرائح، وقد باع في هذا اليوم المبلغ مقدار فما كاملة، فطيرة ٥٧المطعم هذا صاحب به تبرع الذي

لمكتبة المنطقة؟ ٦٠ دينارا.

المجاورة المدارس إحدى قامت ٤للمكتبة معرضا لمنتجاتها، وقد بلغت تبرعت دينارا. ١١٩,٥٠٠ مبيعاتها المدرسة بربع هذا المبلغ للمكتبة، فما المكتبة؟ عليه حصلت الذي المبلغ

٥٠ دينارا.

تحقق من صحة الناتجالمسألة، حل من تنتهي عندما من تتأكد أن المفيد من فإنه هو والتقدير إجابتك. صحة أداة مفيدة لتحديد مدى صحة الناتج، إذا كان التقدير مختلفا حاجة في فأنت الناتج، عن الحل في خطتك مراجعة إلى

والحسابات التي قد أجريتها.

p∫ÉªàMÓd láe qó≤e

pá©«Ñ£dG oI qƒb

183

د ما إذا كانت الجمل اآلتية والمتعلقة حدبالكوارث الطبيعية صحيحة أو خاطئة:

١ في كل أربعة من خمسة حرائق تسببها الطبيعة يوجد حريق واحد يحدث بسبب اإلنسان.

٢ يعرف مركز اإلعصار بـ (العين) وهو أكثر أجزاء العاصفة عنفا.

٣ أالسكا، وليست كاليفورنيا، هي الوالية األكثر تعرضا للزالزل.

٤ تصل سرعة الموجة الزلزالية المحيطية (تسونامي) في عرض المحيط إلى ٧٢٥ كيلومترا

في الساعة.

oIóMnƒdGoIöTÉ©dG

األرواح في فادحة خسائر الطبيعية الكوارث تسبب

هذه الخسائر إذا تم والممتلكات، ومن الممكن تفادي مثل

توقع حدوث مثل هذه الكوارث مسبقا. ويعكف العلماء على

دراسة أفضل الطرق لتوقع حدوث هذه الكوارث، واالحتمال

أحد فروع الرياضيات التي تعد من أهم األدوات التي يمكن

استخدامها لتوقع حدوث مثل هذه الكوارث.

١ لماذا ال يتمكن العلماء من توقع حدوث الكوارث بدقة بنسبة ١٠٠٪؟

٢ كيف يستخدم األشخاص الرياضيات عند محاولة التوقع أو االستعداد للكوارث؟

Introduction of Probability

184

استنباط المعلومات من الرسوم البيانية استكشف

صلة الدرس لقد أحصيت عدد نواتج تجربة منفردة، واآلن سوف تحصي عدد .نواتج سلسلة من التجارب

uó©dG oCGóÑeh páq«fÉ«ÑdG pIôé°ûdG o§ s£fl 1-10سوف تتعلم

. صنع شجرة بيانية ومبدأ العد

من االستخداماتيستخدم علماء النبات جداول مبنية

على الشجرة البيانية، لتحديد كل عة لناتج تهجين االحتماالت المتوق

نوعين مختلفين من النباتات.

المصطلحات األساسية مخطط الشجرة البيانية

مبدأ العد النواتج

من تجربة رمي قطعة نقود مرتين متتاليتين وكتابة جميع نواتج التجربة وتكون صورتان، صورة وكتابة، كتابة وصورة، كتابتان. لكن يمكن تنظيم النواتج بصورة أبسط وبمخطط

الشجرة البيانية الذي سبقت دراسته في الصف السادس.

ويكون عدد نواتج التجربة هو عدد فروع الشجرة أي ٤ نواتجويمكن الحصول على عدد النواتج بطريقة أخرى وهي ٢ ^ ٢ = ٤

(عدد نواتج الرمية األولى ^ عدد نواتج الرمية الثانية).

مبدأ العد تعلم

غالبا من السهل تسجيل عدد نواتج تجربة من خطوتين مستقلتين. ولتسجيل النواتج، ح كل فرع من فروع الشجرة ناتجا ممكنا من استخدمنا الشجرة البيانية حيث يوضنة من عدة خطوات مستقلة فإننا نواتج التجربة ولكن إليجاد عدد نواتج تجربة مكو

. نستخدم قاعدة تسمى المبدأ األساس للعد أو مبدأ العدمن تجربة تتكون من خطوتين مستقلتين، إذا كان عدد نواتج الخطوة األولى ل وعدد

نواتج الخطوة الثانية م فإن عدد جميع النواتج الممكنة للتجربة هو ل ^ م.

صورةصورة

صورةكتابة

كتابة

كتابة

ابدأ

مبدأ العدااستنبااطططططط االلللللمعللللللوماات من االلللللرسوم االلللللبياانيةةةااستككككككككشفف استكشف

Tree Diagrams And Counting

185185

مثال (١)م أحد المطاعم اختيارين من السندويشات هما «التونة» أو «البيض»، وثالثة أنواع من المشروبات، يقد

». إذا كانت الوجبة الواحدة تشتمل على سندويش «مشروب ساخن» و«عصير» و«مشروب غازيواحد ومشروب واحد، فارسم شجرة بيانية لتوضيح كل الوجبات الممكنة.

يمكنك أن تستخدم الضرب إليجاد عدد النواتج الممكنة. وفي المثال السابق، يوجد اختياران للسندويشات و٣ اختيارات للمشروبات. وكلها ٢ ^ ٣ أو ٦ اختيارات ممكنة.

مثال (٢)إذا ألقيت قطعة نقود من فئة ٥٠ فلسا، وقطعة أخرى من فئة ١٠٠ فلس، وقطعة ثالثة من فئة عشرين

فلسا، فكم عدد النواتج المختلفة التي تظهر عند إلقاء قطع النقود الثالث؟توجد طريقتان لوقوع قطعة النقود من فئة ٥٠ فلسا هما «صورة أو كتابة»، وتوجد طريقتان أيضا لوقوع

قطعة النقود من فئة ١٠٠ فلس هما «صورة أو كتابة»، وكذلك أيضا بالنسبة إلى قطعة النقود من فئة عشرين فلسا.

عدد النواتج الممكنة ٢ ^ ٢ ^ ٢ = ٨ نواتج.

حاول أن تحلم أحد المطاعم ٥ أنواع من اللحوم، و٣ أنواع من الخضراوات، و٤ أنواع من السلطات، ١ يقد

و٦ أنواع من العصير الطازج. أوجد عدد الوجبات الممكن تكوينها بحيث تشتمل على نوع واحد من اللحوم، ونوع واحد من الخضراوات، ونوع واحد من السلطات، ونوع واحد من العصير.

٢ من تجربة إلقاء حجر نرد منتظم وقطعة نقود معدنية، ارسم شجرة بيانية توضح جميع النواتج الممكنة، ثم استخدم مبدأ العد في إيجاد عدد النواتج الممكنة.

اكتب اختيارات السندويشتونة

بيض

اكتب اختيارات المشروبتونة

بيض

مشروب ساخن

مشروب ساخن

عصير

عصير

مشروب غازي

مشروب غازي

اكتب كل االختيارات الممكنةتونة

بيض

مشروب ساخن تونة ومشروب ساخن

مشروب ساخن بيض ومشروب ساخن

عصير تونة وعصير

عصير بيض وعصير

مشروب غازي تونة ومشروب غازي

مشروب غازي بيض ومشروب غازي

تعلم؟ هل

يستخدم الحاسوب فكرة الفروع، برنامج د يحد معينة أوقات ففي معين شرط كان إذا ما الحاسوب صحيحا أم خاطئا. إذا كان صحيحا، أو واحدا فرعا يتبع البرنامج فإن مجموعة من التعليمات، وإذا كان

خاطئا، فإنه يتبع فرعا مختلفا.

186


ر... فيصل يفكسوف استخدم الشجرة البيانية:

عدد النواتج الممكنة هو ٦

ابدأ

ب١

ب١

صورة، ب١

كتابة، ب١

صورة، ب٢

كتابة، ب٢

صورة، ب٣

كتابة، ب٣

ب٢

ب٢

ب٣

ب٣

صورة

كتابة

ر... نبيل يفك. سوف أستخدم مبدأ العد

هناك ناتجان من إلقاء قطعة النقود المعدنية، و٣ نواتج لسحب بطاقة ا. مرقمة عشوائي

فيكون عدد النواتج الممكنة = ٢ ^ ٣ = ٦ نواتج

ما رأيك؟

١ أي طريقة ستكون أفضل إذا ألقى فيصل ونبيل حجر نرد منتظما ثالث مرات ويحاوالن تحديد عدد نواتج هذه التجربة.

من تجربة إلقاء قطعة نقود معدنية وسحب بطاقة عشوائية من بين ثالث بطاقات مرقمة ١، ٢، ٣

أوجد عدد جميع النواتج الممكنة للتجربة.


١ ما أوجه الشبه بين مبدأ العد والشجرة البيانية؟ وما أوجه االختالف؟

187

(1-10) pπFÉ°ùŸG uπ◊ oó°TôŸGاختيارات غداء اليوم هي سندويشات دجاج أو سندويشات لحم بقري مع تفاح أو برتقال أو موز مع عصير أو لبن. ارسم

ح كل النواتج الممكنة. شجرة بيانية توض

افهم

١ ما المطلوب إليك رسمه؟

ح من خالل رسمك؟ ٢ ماذا ستوض

خطط

٣ ما اختيارات الغداء التي سوف تسردها؟

(جـ) ثالثا؟ (ب) ثانيا؟ (أ) أوال؟

حل

ل كل االختيارات ٤ اعمل شجرة بيانية بتسجيل اختيارك األول للغداء، ثم ارسم خطوطا الختياراتك الثانية والثالثة، ثم سج

الممكنة:

تحقق

٥ كيف يمكنك التحقق من صحة إجابتك؟


٦ ما عدد االختيارات المتوافرة إذا ما أضيفت الصودا إلى قائمة المشروبات؟ يمكنك رسم شجرة بيانية أخرى لتساعدك في

إيجاد المطلوب.


حلالمسائل

188


١ التفكير الناقد: يحتاج خالد، كي يقوم بأداء دور في إحدى المسرحيات، إلى أن يختار شعرا مستعارا وشاال. والعناصر التي ، شال أحمر. ما عدد الطرق ، شعر أسود، شعر أحمر، شال أسود، شال أبيض، شال بني يمكن االختيار من بينها هي: شعر بني

ر اجابتك. التي يمكن لخالد أن يختار بها شعرا مستعارا وشاال؟ فس

.K ن من ثالثة حروف تبدأ بحرف ٢ اختر اإلستراتيجية: لكل محطة إذاعية في إحدى الدول رمز تعريفي مكو(أ) ما عدد المحطات اإلذاعية المختلفة التي يمكن أن توجد في هذه الدولة؟ اشرح إجابتك.

(ب) إذا لم يكن هناك حرفان متشابهان في كل رمز، فهل سيكون هناك األكثر أو األقل من رموز المحطات اإلذاعية؟اشرح إجابتك.

ح التراكيب المختلفة بين قطع بالستيكية لونها أحمر وبرتقالي وأصفر وأخضر؛ ٣ التواصل: ترسم دينا شجرة بيانية لتوضولها ثالثة أشكال هندسية هي مثلثات ومربعات ودوائر. فما عدد فروع الشجرة البيانية التي سوف ترسمها دينا إذا ما سجلت

أوال اختيارات اللون؟ وإذا ما سجلت أوال اختيارات الشكل؟ اشرح إجابتك.






189

oçGóMC’Gh p∫ÉªàM’G oáHôŒ 2-10سوف تتعلم

إيجاد احتمال حدث من تجربة عشوائية.

المصطلحات األساسية تجربة االحتمال (التجربة

العشوائية) الحدث

الحدث البسيط الحدث المركب الحدث المؤكد

الحدث المستحيل

مة من (١ إلى من تجربة سحب بطاقة بطريقة عشوائية من بين ثماني بطاقات مرق ٨) ومالحظة الرقم على البطاقة، أوجد األحداث التالية:

١ ظهور العدد ٥٢ ظهور عدد أصغر من ٩٣ ظهور عدد أكبر من ٨

٤ ظهور عدد زوجي

٥ ظهور عدد أوليا ٦ ظهور عدد أولي ليس فردي

التجربة العشوائية (تجربة االحتمال) تعلم

تجربة االحتمال هي تجربة يمكن مالحظتها وتحديد جميع النواتج الممكنة لها قبل إجرائها، إال أننا ال نستطيع أن نجزم أن أيا من هذه النواتج سيقع فعال عند إجرائها.

وجميع النواتج الممكنة من تجربة يسمى فضاء النواتج (فضاء اإلمكانات).الحدث هو جزء من فضاء اإلمكانات (فضاء النواتج)

الحدث البسيط: هو الحدث الذي يتكون من ناتج واحد فقط من نواتج تجربة االحتمال.الحدث المركب: هو الحدث الذي يتكون من ناتجين أو أكثر من نواتج تجربة االحتمال.

الحدث المستحيل: هو الحدث الذي ال يقع أبدا عند إجراء التجربة.الحدث المؤكد: هو الحدث الذي يقع دائما عند إجراء التجربة.

نواتج التجربة هي كل فرص حدوثها.

أنواع األحداث استكشف

صلة الدرس تعلمت إيجاد جميع النواتج الممكنة لتجربة عشوائية واآلن ستتعلم .أنواع األحداث المختلفة

Random Experiment: Events and Probality

نواتج التجربة:صورة، كتابة

نواتج التجربة:١، ٢، ٣، ٤، ٥، ٦

نواتج التجربة:أحمر، أزرق، أصفر

190

مثال (١)من تجربة إلقاء قطعة نقود معدنية ثم حجر نرد منتظم، ارسم الشجرة البيانية ثم أوجد عدد جميع النواتج الممكنة للتجربة ثم اكتب األحداث التالية

مبينا فيما إذا كان الحدث بسيطا، مركبا، مؤكدا، مستحيال.

أ ظهور صورة وعدد زوجي (مركب)

ب ظهور كتابة وعدد أولي (مركب)

جـ ظهور صورة والعدد ٤ (بسيط)

د ظهور صورة والعدد ٨ (مستحيل)

هـ ظهور كتابة وعدد أصغر من ٢ (بسيط)

و ظهور صورة أو كتابة وعدد أصغر من ٧ (مؤكد)

مثال (٢)من تجربة إلقاء حجري نرد متمايزين مختلفين ومنتظمين.

أوجد عدد جميع النواتج الممكنة ثم أوجد األحداث التالية مبينا نوعها.

عدد النواتج الممكنة: ٦ ^ ٦ = ٣٦

أ ظهور عددين مجموعهما يساوي ١٢ (بسيط)

ب ظهور عددين مجموعهما يساوي ٨ (مركب)

جـ ظهور عددين مجموعهما أصغر من ٧ (مركب)

د ظهور عددين مجموعهما يساوي ١٣ (مستحيل)

ناتج الجمع مع حجري النرد هـ ظهور عددين مجموعهما أصغر من ١٣ (مؤكد)

حاول أن تحلمن تجربة إلقاء حجري نرد متمايزين ومنتظمين.

أوجد نوع األحداث التالية:. (أ) ظهور عددين ناتج ضربهما عدد فردي

(ب) ظهور عددين ناتج ضربهما الصفر.(جـ) ظهور عددين ناتج ضربهما أصغر من أو يساوي ٣٦.


١ ما الفرق بين الحدث المؤكد والحدث المستحيل؟٢ ما الفرق بين الحدث البسيط والحدث المركب؟

صورة

كتابة

١٢٣٤٥٦١٢٣٤٥٦

١٢٣٤٥٦١٢٣٤٥٦٧٢٣٤٥٦٧٨٣٤٥٦٧٨٩٤٥٦٧٨٩١٠٥٦٧٨٩١٠١١٦٧٨٩١٠١١١٢

191


إيجاد احتمال حدث ما.

من االستخداماتيستخدم فنيو فحص أمان السيارات

االحتمال لتحديد احتماالت حدوث عطل في أجهزة األمان

الخاصة بالسيارة.

االحتمال استكشف

ما االحتماالت؟تصف الكلمات اآلتية احتماالت حدوث شيء:

مؤكد حدوثه مرجح حدوثه ممكن حدوثه احتمال متوازن (متكافئ) ربما ال يحدث نادر حدوثه مستحيل حدوثه

١ ضع االحتمال المناسب من القائمة السابقة إلى جانب البند الذي يناسبه:(أ) ظهور صورة عند إلقاء قطعة نقود معدنية.

(ب) كسب أحد والديك مبلغا كبيرا من المال في إحدى المسابقات التلڤزيونية. (ج) ستسقط األمطار في مدينتك األسبوع القادم.

(د) ستشرق الشمس في الصباح الباكر. (هـ) سيزور مدير المدرسة غرفة فصلك اليوم.

(و) سيكون في غرفة فصلك طالب وطالبات لحضور حصة الرياضيات القادمة. (ز) سيحضر أحد زمالئك إلى غرفة الفصل حيوانا أليفا.

ها زمالؤك في الفصل لإلجابة عن السؤال (١)، فهل ٢ إذا قارنت بين القوائم التي أعدتعتقد أن القوائم جميعها سوف تكون متشابهة؟ اشرح.

صين في علم الرياضيات الذين يدرسون ٣ لماذا يكون من الصعب على المتخصحة في أعلى؟ االحتمال استخدام القائمة الموض

االحتمال تعلم

التجربة العشوائية (تجربة االحتمال) هي التجربة التي يمكن مالحظتها وتحديد النواتج الممكنة لها قبل إجرائها.

ويمكنك وصف االحتمال على أنه قسمة عدد نواتج الحدث على عدد النواتج كلها:عدد نواتج الحدث

عدد النواتج كلها ل(حدث) =

صلة الدرس لقد عرفت طرقا مختلفة لكيفية حدوث األشياء، واآلن سوف تصف .احتمال حدوث شيء ما

التجربة العشوائية (تجربة االحتمال) هي تجربة

نعلم مسبقا جميع النواتج الممكنة لها قبل

إجرائها إال أننا ال نستطيع أن نتأكد أنها ستقع

عند إجرائها.

Probability

o∫ÉªàM’G

المصطلحات األساسية الحدث االحتمال

انتبهيرمز إلى احتمال الحدث بالرمز

ل (الحدث)

192

مثال (١)توجد ثمانية قوارب إنقاذ على سطح إحدى العبارات مرقمة من ١ إلى ٨. في حالة

الطوارک يلتحق كل مسافر بأحد القوارب الثمانية بطريقة عشوائية، فما احتمال أن يتجهالمسافر إلى قارب إنقاذ رقمه أصغر من ٦؟

: الحلعدد النواتج الممكنة = ٨ النواتج الممكنة: ١، ٢ ، ٣، ٤، ٥، ٦، ٧، ٨ عدد نواتج الحدث = ٥ نواتج الحدث ١، ٢، ٣، ٤، ٥

.85 ل(الحدث) =

في بعض األحيان يكون من المفيد التعبير عن االحتمال في صورة كسر عشري أو نسبة مئوية.

مثال (٢)ما احتمال ظهور عدد زوجي عند إلقاء حجر النرد (الطاولة)؟ عبر عن اإلجابة في صورة كسر عشري أو نسبة مئوية.

: الحلعدد النواتج الممكنة = ٦ النواتج الممكنة: ١، ٢، ٣، ٤، ٥، ٦ عدد نواتج الحدث = ٣ نواتج الحدث = ٢، ٤، ٦

21 =

63 ل(الحدث) =

وفي صورة نسبة مئوية = ٥٠٪. في صورة كسر عشري = ٠,٥٠

حاول أن تحل١ في كل من اللوحتين اآلتيتين ذات المؤشر، ما احتمال أن يستقر المؤشر في الجزء:

(٢) (١) (أ) األحمر؟ (ب) األزرق أو األخضر؟

193

أمثلة٣ ما احتمال أن يثبت مؤشر اللوحة الدائرية رقم (١) عند الحروف (ب أو ج أو د) وأن يثبت

المؤشر عند عدد أولي في اللوحة الدائرية رقم (٢)؟

تذكر أنك تستطيع استخدام مبدأ العد إليجاد عدد

النواتج الممكنة.

توجد ٤ نواتج ممكنة للوحة الدائرية األولى،

وتوجد ٦ نواتج ممكنة للوحة الدائرية الثانية، أي

أنه توجد ٤ ^ ٦ = ٢٤ ناتجا ممكنا.

توجد ٣ فرص للحصول على األحرف الثالثة من اللوحة الدائرية األولى، وتوجد ٣ فرص

للحصول على عدد أولي من اللوحة الدائرية الثانية.

، أي أن احتمال أي توجد ٣ ^ ٣ = ٩ فرص للحصول على حرف من الحروف الثالثة وعدد أولي

الحصول على حرف من الحروف الثالثة وعدد

أو ٣٧,٥٪.249 أولي هو

معا، مختلفة معدنية نقود قطع ثالث إلقاء عند ٤

الثالث النقود قطع في الصورة ظهور احتمال ما

الثالث، النقود قطع من لكل ناتجان هناك معا؟

للحصول واحدة أي توجد ٢ ^ ٢ ^ ٢ = ٨ نواتج ممكنة، وتوجد فرصة

١ ^ ١ ^ ١ = ١ على «صورة» في كل من قطع النقود الثالث، وحيث إن

إذا توجد فرصة واحدة للحصول على ثالث «صور». احتمال الحصول على

أو ١٢,٥٪.81 ثالث صور هو

حاول أن تحل٢ في المثال رقم (٣): ما احتمال أن يثبت مؤشر اللوحة الدائرية األولى على حرف من حروف

كلمة «باب»، وأن يثبت مؤشر اللوحة الدائرية الثانية على عدد زوجي؟


١ أعط مثاال لموقف له ٤ نواتج.، فماذا تستنتج من هذا الحدث؟

66 ٢ إذا كان ل(حدث) =

٣ أعط مثاال لحدث مركب من واقع الحياة اليومية. ٤ أعط مثاال لحدث مستحيل وحدث مؤكد.

أ

دج

٧٥٤٢

٨٦ ب

اللوحة رقم (٢)اللوحة رقم (١)

تذكرلتحويل الكسر االعتيادي

إلى نسبة مئوية، فإنه يمكنك استخدام التناسب معتبرا

الكسر كأحد النسب والنسبة . s100

األخرى هي

تذكرالحدث المستحيل: هو حدث ال

يمكن وقوعه واحتماله = صفرا.

الحدث المؤكد: هو حدث يقع

دوما واحتماله = ١.

194


١ التواصل: هل يمكن أن يكون احتمال حدث ما أكبر من ١؟ أصغر من صفر؟ اشرح إجابتك.

٢ التفكير الناقد: ما األكثر ترجيحا عند إلقاء حجر النرد المنتظم مرتين: ظهور العدد ٣ ثم العدد ٥ أم ظهور العدد ٣ ثم العدد ٣؟اشرح إجابتك.

ر، وكان احتمال الحصول على اللون األحمر هو ٨٠٪، فما احتمال عدم ٣ المجلة: إذا أديرت اللوحة الدائرية ذات المؤشالحصول على اللون األحمر؟ ما العالقة بين هذين االحتمالين؟

. عند ارتداء مالبسه ٤ التفكير الناقد: لدى وائل ٦ أزواج من الجوارب لونها أبيض، و٨ أزواج لونها أخضر، و٤ أزواج لونها بنيفإنه يسحب زوجا واحدا من الجوارب بطريقة عشوائية، وال يعيده إلى مكانه مرة أخرى، ثم يسحب زوجا آخر. فما احتمال

أن يسحب زوجا أبيض من الجوارب في المحاولتين؟

٥ التواصل: إذا ألقيت بقطعة نقود معدنية ٤ مرات، فما األكبر: ل(٣ صور ثم كتابة) أمل(صورتان ثم كتابتان)؟ اشرح إجابتك.

٦ المجلة: كيف يمكن أن تساعدنا الشجرة البيانية في إيجاد احتمال حدث من تجربة نة من خطوتين مستقلتين؟ اشرح إجابتك. مكو

ن عليهما أعداد. احتمال ر، كل منهما مدو ٧ التفكير الناقد: لدى زياد لوحتان دائريتان بمؤش

ر . إذا كان احتمال أن يثبت المؤش203 ر على العدد ٧ في كل منهما هو أن يثبت المؤش

ر على ، فما احتمال أن يثبت المؤش 14

على العدد ٧ في اللوحة الدائرية األولى فقط هو العدد ٧ في اللوحة الثانية؟






195

o™ qbƒàdG 4-10سوف تتعلم

حساب االحتمال من بيانات عينة.

من االستخداماتيستخدم مندوبو التأمين االحتمال

في العينات لتحديد الرسوم التي يجب سدادها لنوع ما من التأمين.

المصطلحات األساسية عينة

تمعن في حقيبة البلورات

األدوات المستخدمة: تحتوي حقيبة على مكعبين من لون ما (اللون رقم ١) و٦ مكعبات من لون ثان (اللون رقم ٢)، و٥ مكعبات من لون آخر (اللون رقم ٣)

ل األلوان التي سوف تستخدمها للون رقم (١)، واللون رقم ١ اختر زميال لك، وسج(٢)، واللون رقم (٣). أعط الحقيبة لمجموعة أخرى من الزمالء، ثم اطلب إليهم

سحب ثالثة مكعبات من الحقيبة. يجب عدم إخبارك أي ثالثة مكعبات قد تم سحبها.

ل لونه، ثم ضعه في ن النظر داخل الحقيبة، اسحب مكعبا بصورة عشوائية وسج ٢ دوالحقيبة مرة أخرى.

ر الخطوة رقم (٢)، حتى يتم السحب من الحقيبة ٣ كر٢٠ مرة.

٤ بناء على البيانات، عين االحتماالت اآلتية:(أ) ل(سحب مكعب من اللون رقم ١).

(ب) ل(سحب مكعب من اللون رقم ٢).

(جـ) ل(سحب مكعب من اللون رقم ٣).

٥ خمن أي ثالثة مكعبات سحبتها مجموعة الطالب اآلخرين. بعد أن تخمن، انظر داخل الحقيبة، واختبر صحة إجابتك.

ر كيف حددت تخمينك في الخطوة رقم ٥. هل كان هذا التخمين دقيقا؟ لماذا ٦ فسنعم؟ أو لماذا ال؟

التوقع تعلم

أحيانا تجد أنه من الصعب حساب احتمال وقوع حدث ما، ألنك ال تعلم كل النواتج الممكنة، أو ألنك ال تعلم مقدار ترجيح كل ناتج. في هذه المواقف يمكنك، في بعض

األحيان، جمع البيانات والتوقع باالحتمال المؤسس على البيانات.

التوقع استكشف

صلة الدرس في الدرس السابق، أوجدت االحتمال بعد النواتج الممكنة. واآلن .سة على مواقف حياتية حقيقية سوف توجد االحتمال من بيانات مؤس

Prediction

196

. ويمكنك العينة هي مجموعة بيانات يمكن استخدامها للتوقع بكيفية حدوث موقف مستقلاستخدام بيانات العينة إليجاد االحتمال.

أمثلة١ في أحد مطاعم الفطائر الشهيرة، أراد المدير أن يعرف نوع الفطائر

التي يقبل رواد المطعم على تناولها أثناء فترة الغداء؛ ولذلك جمع

البيانات الموضحة في الجدول المجاور أثناء فترة غداء واحدة،

وتأسيسا على هذه البيانات، ما احتمال أن يطلب فرد ما في غدائه شرائح الفطائر بالجبن؟(عدد شرائح الفطائر المطلوبة من رواد المطعم هي ٦١ شريحة منها ٧ شرائح بالجبن).

من رواد المطعم سوف يطلبون شرائح الفطائر بالجبن.617 يمكن للمدير أن يتوقع أن

٢ أي من اللوحات الدائرية الثالث ذات المؤشر، أكثر ترجيحا إلنتاج عينة البيانات اآلتية: أحمر، أزرق، أزرق، أحمر، أحمر، أحمر، أحمر، أحمر، أحمر، أزرق؟(ج) (ب) (أ)

اللوحة لونها أحمر. في اللوحة 31 . في اللوحة (أ)

107 ظهر اللون األحمر في البيانات ٧ مرات من ١٠ أو

؛ 54 هو

107 اللوحة لونها أحمر، والكسر األقرب إلى

105 اللوحة لونها أحمر. وفي اللوحة (ج)

54 (ب)

أي أن اللوحة (ب) هي األكثر ترجيحا إلنتاج عينة البيانات السابقة.

حاول أن تحلفي المثال (١): ما احتمال طلب:

(ب) شرائح الفطائر التي ليست بالدجاج؟ (أ) شرائح الفطائر بالخضراوات؟


ا؟ اشرح. ١ هل االحتمال الذي يتم حسابه من بيانات عينة يكون تقديري

٢ لماذا تعد فكرة جيدة أن نجمع مجموعة كبيرة، كلما أمكن، من بيانات العينة قبل تعيين احتمال وقوع حدث ما؟

عدد الشرائح المطلوبةنوع الفطائرفطيرة بالفلفل

فطيرة بالخضراواتفطيرة بالدجاجفطيرة بالجبن

٣١١٣١٠٧

تذكراعتياديين، كسرين مقارنة عند األكبر الكسر تحديد يمكنك بإعادة كتابة الكسرين في صورة كسرين متكافئين لهما المقامان

نفسهما.

197

صلة الدرس لقد تعلمت كيفية إيجاد االحتمال من القوائم ومن البيانات، واآلن .سوف توجد االحتماالت من خالل مساحات األشكال الهندسية

p∫ÉªàMÓd láq«°Sóæg oêPÉ‰ 5-10سوف تتعلم

حساب االحتمال من النماذج الهندسية.

من االستخداماتتستخدم فرق اإلنقاذ في حرس السواحل االحتمال عند وصف

أماكن السفن التي فقدت في عرض البحر وتحديدها.

النماذج الهندسية استكشف األدوات المستخدمة: مشابك ورق المراهنة على العاصفة الثلجية العنيفة ر نماذج الحتمال حدوث عاصفة ثلجية عنيفة. تمثل اللوحات الدائرية اآلتية ذات المؤش

م : عدم حدوث عاصفة ثلجية عنيفة. ع : حدوث عاصفة ثلجية عنيفة.

١ ارسم كال من اللوحتين السابقتين على ورقة مقواة.٢ ابسط نهاية (طرف) مشبك الورق، وضع النهاية األخرى للمشبك على مركز اللوحة، ثم ضع رأس قلم الرصاص على مركز اللوحة، واستخدم مشبك الورق

ر للوحة. كمؤشل عدد مرات ظهور الحرف (ع) (أي ر ٢٠ مرة، ثم سج ٣ لكل لوحة، أدر المؤشحدوث عاصفة ثلجية عنيفة)، وعدد مرات ظهور الحرف (م) (أي عدم حدوث

عاصفة ثلجية عنيفة).٤ أي اللوحتين أقل ترجيحا لحدوث عاصفة ثلجية عنيفة؟ اشرح.

٥ هل يمكنك تحديد أي اللوحتين هي األكثر ترجيحا لحدوث عاصفة ثلجية عنيفة ر بصورة فعلية؟ اشرح. دون إدارة المؤش

٦ هل احتماالت حدوث العاصفة الثلجية العنيفة هي نفسها في اللوحتين؟

عع

ع

ع ع

ع

م

ممم

م

Geometric Models of Probability

198

النماذج الهندسية لالحتمال تعلم

ها. في بعض المواقف، بعض األحداث والنواتج ليست عناصر مفردة بحيث يمكن عديشة، يكون احتمال وقوع حدث معتمدا مثل ألعاب االحتفاالت ولوحات السهام المر

على مساحات أجزاء الشكل، إذا استطعت إيجاد كل مساحة داخل الشكل، فإنه يمكنك إيجاد احتمال الموقف.

أمثلة١ لإلعصار القمعي مسار غير منتظم، فعندما يلمس القمع األرض، قد يسير في خط مستقيم، أو يرتد

إلى الخلف، أو يتواثب؛ إذا هبط اإلعصار القمعي على المساحة المرسومة، فما احتمال هبوطه على المساحة المظللة؟

المساحة الكلية هي ٢٥ وحدة مربعة.والمساحة المظللة هي ٩ وحدات مربعة.

ولذلك فإن احتمال هبوط اإلعصار القمعي على المساحة المظللة .259 يساوي

ب سهم مريش بطريقة عشوائية على اللوحة الموضحة في ٢ إذا صوالرسم، فما احتمال أن يصيب السهم المنطقة الدائرية الخضراء؟

مساحة الدائرةمساحة المستطيل

ل(إصابة السهم للمنطقة الدائرية) =

75 15025 25 3 14

## #

\ ≈

≈ ٠,١٧ أو ١٧٪. ١٩٦٢,٥١١٢٥٠

≈

احتمال أن يصيب السهم المنطقة الدائرية هو ١٧٪ تقريبا.

حاول أن تحليش للجزء المظلل على اللوحة الموضحة في الشكل. أوجد احتمال إصابة سهم مر


، لماذا من المهم أن نكون على علم بكيفية ١ عند حساب احتمال نموذج هندسيحساب مساحات األشكال الهندسية؟

شة عليها رسم لعين ثور واحدة مساحتها ٢٠ سنتيمترا ٢ إحدى لوحات األسهم المريمربعا، ولوحة أخرى لها مساحة األولى نفسها عليها رسم لعيني (٢) ثور مساحة كل

منها ١٠ سنتيمترات مربعة. فأي اللوحتين سوف تختار كي تلعب؟ ولماذا؟

٧٥ سم

١٥٠ سم

٢٥ سم

p Ωƒ∏©dÉH oπNGóàdGh o§HGÎdG

تقاس شدة اإلعصار القمعي tornado باستخدام مقياس

فوجيتا بيرسون؛ فاإلعصار من فئة ف - صفر بمقياس فوجيتا سرعة رياحه ١١٦

كم، ويسبب خسائر طفيفة. واإلعصار من فئة ف - ٥

بمقياس فوجيتا سرعة رياحه أكثر من ٤١٨ كم، ويسبب

عة. في هذه الحالة خسائر مرو

199

مخطط تنظيمي للوحدة العاشرة

االحتمال

مبدأ العد

األحداث

التوقع تجربة عشوائية

احتمال حدث

نماذج هندسية لالحتمال

الشجرة البيانية

ÊÉãdG »°SGQódGkwmath.com/book/227.pdf · 14 ﻢﻬﻓﺍْ ﻂْﱢﻄﺧ ﻞﺣ...

Documents

Transcript of ÊÉãdG »°SGQódGkwmath.com/book/227.pdf · 14 ﻢﻬﻓﺍْ ﻂْﱢﻄﺧ ﻞﺣ...