DFT - Diskrete Fourier-Transformation: Elementare Einfuhrung

DFT – Diskrete Fourier-Transformation

André Neubauer

DFT – DiskreteFourier-Transformation

Elementare Einführung

Mit 118 Abbildungen

Prof. Dr.-Ing. André NeubauerLabor für Informationsverarbeitende SystemeFachbereich Elektrotechnik und InformatikFachhochschuleMünsterDeutschland

ISBN 978-3-8348-1996-3 ISBN 978-3-8348-1997-0 (eBook)DOI 10.1007/978-3-8348-1997-0

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Για την Kατερινα με αγαπη.

Vorwort

Die diskrete Fourier-Transformation (DFT – Discrete Fourier Transform) stellt eines derwichtigsten Werkzeuge der digitalen Signalverarbeitung und der Signaltheorie dar. Sie er-laubt die Analyse und Synthese von Signalen und Systemen durchTransformation diskreterSignalfolgen in den Bildbereich, den so genannten Spektralbereich. Wichtig für die Ver-wendung der diskreten Fourier-Transformation in der digitalen Signalverarbeitung istdie Verfügbarkeit schneller Algorithmen zur Berechnung der Spektralfolgen mittels derschnellen Fourier-Transformation (FFT – Fast Fourier Transform). Praktische Anwendungfinden die diskrete Fourier-Transformation und verwandte diskrete Signaltransformatio-nen in der Analyse von ein- und mehrdimensionalen Signalen wie beispielsweise in derMesstechnik, in der digitalen Bildverarbeitung, in derMustererkennung, in der Quellenco-dierung auf Basis von Transformationscodierungen, in der Kanalcodierung für die Codie-rung zyklischer Reed-Solomon-Codes, in der digitalen Signalübertragung mittels Mehr-trägerverfahren wie beispielsweise OFDM (Orthogonal Frequency Division Multiplexing)in modernen digitalen Mobilfunksystemen, in adaptiven Filtern im Frequenzbereich, inEmpfängern für Satellitennavigationssysteme, in der Spektralanalyse sowie in der Medi-zintechnik beispielsweise zur Analyse von EEG-Signalen (EEG – Elektroenzephalografie).

Das vorliegende Buch bietet eine leicht verständliche und für Ingenieure, Informatiker,Naturwissenschaftler und Medizintechniker geeignete Einführung in die diskrete Fouri-er-Transformation. Es beruht auf Teilen der Vorlesung Fortgeschrittene Signalverarbeitung,die der Autor im Fachbereich Elektrotechnik und Informatik der Fachhochschule Müns-ter liest. Besonderer Wert wird auf die Erläuterung der grundlegenden Ideen der diskretenFourier-Transformation gelegt. Durch die ausführliche Herleitung der mathematischenBeziehungen sowie die Vielzahl von Beispielen werden die häufig abstrakten Konzepte derdiskreten Fourier-Transformation veranschaulicht. Das vorliegende Buch ist daher gutzum Selbststudium geeignet.

Das Buch gliedert sich folgendermaßen. In Kap. 1 werden in einer kurzen Einleitungdie in der Signalverarbeitung und der Signaltheorie übliche Beschreibung diskreter Signal-

vii

viii Vorwort

folgen sowie diskrete Signaltransformationen erläutert. Anschließend werden in Kap. 2 diefür dasVerständnis der diskreten Fourier-Transformation erforderlichenmathematischenGrundlagen beschrieben. In diesem Zusammenhang geben wir einen kurzen Abriss überkomplexe Zahlen, Matrizen undVektoren sowie die imweiteren Verlauf wichtige geometri-sche Reihe, mit deren Hilfe die für die Definition der diskreten Fourier-Transformation inKap. 3 wichtige Rücktransformation vom Spektralbereich in den Originalbereich hergelei-tet werden kann. Ein wesentliches Resultat ist hierbei die Erkenntnis, dass eine umkehrbareindeutige Hin- und Rücktransformation für die diskrete Fourier-Transformation auf derBasis ähnlicher Transformationsformeln existiert. In einem Exkurs wird in Kap. 3 fernerder bestehende Zusammenhang zwischen der Fourier-Transformation kontinuierlicherSignale und der diskreten Fourier-Transformation diskreter Signalfolgen unter Berück-sichtigung der Abtastung im Original- und Spektralbereich beschrieben. Die wesentlichenEigenschaftender diskreten Fourier-Transformationwerden inKap. 4 behandelt, währendinKap. 5wichtigeKorrespondenzpaare vondiskreten Signal- und Spektralfolgenhergeleitetwerden. Die effiziente Berechnung der diskreten Fourier-Transformation erfolgt mit FFT-Algorithmen der schnellen Fourier-Transformation, die in Kap. 6 besprochen werden.Abschließend behandelt das Kap. 7 die schnelle Faltung als wichtige praktische Anwendungder diskreten Fourier-Transformation im Bereich der Realisierung digitaler signalverar-beitender Systeme.

Andieser Stelle danke ich all jenen, die zurVerwirklichung des vorliegendenBuches bei-getragen haben. Neben den Studierenden, welche durch kritische Fragen dasManuskript zuverbessern halfen, erhielt ich hilfreiche Anmerkungen und Verbesserungsvorschläge ins-besondere von Herrn Prof. Dr.-Ing. Heinz-Georg Fehn. Frau Prof. Dr.-Ing. DorisDanziger danke ich für Ihren Rat. Unterstützung erhielt ich ferner stets von den HerrenProf. Dr.-Ing. Josef Hausner sowie Dipl.-Ing. Hans-PeterWiesmath und Dipl.-Ing.Markus Schlamann. Herrn Prof. Dr. med. Dr. h.c. mult. Madjid Samii bin ich zu tie-fem Dank verpflichtet. Für ihren liebevollen Zuspruch danke ich meiner Frau KaterinaDerva; ihr ist dieses Buch gewidmet.

Düsseldorf, im Sommer 2011 André Neubauer

Inhaltsverzeichnis

1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

2 Mathematische Strukturen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.1 Nomenklatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2.1.1 Zahlenmengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.1.2 Modulo-Rechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.1.3 Summenzeichen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.2 Elementare Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.2.1 Exponentialfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.2.2 Cosinusfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.2.3 Sinusfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.2.4 Tangensfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.3 Komplexe Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.3.1 Kartesische Koordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.3.2 Polarkoordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.3.3 Addition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.3.4 Multiplikation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.3.5 Potenzierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.3.6 Komplexe Konjugation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.4 Vektoren und Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.4.1 Vektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.4.2 Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.5 Geometrische Reihe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3 Definition der DFT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.1 Transformationsformeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3.1.1 Hintransformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

ix

x Inhaltsverzeichnis

3.1.2 Rücktransformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.2 Analyse und Synthese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3.2.1 Hintransformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.2.2 Rücktransformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.3 Periodizität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243.3.1 Periodizität der Spektralfolge . . . . . . . . . . . . . . . 243.3.2 Periodizität der Signalfolge . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.4 Matrixdarstellung der DFT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.4.1 Hintransformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283.4.2 Rücktransformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.5 Exkurs: Fourier-Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363.5.1 Fourier-Transformation kontinuierlicher Signale . . . . . . . 363.5.2 Abtastung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383.5.3 Spezialfälle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

4 Eigenschaften der DFT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474.1 Linearität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474.2 Spiegelung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

4.2.1 Spiegelung im Originalbereich . . . . . . . . . . . . . . . 484.2.2 Spiegelung im Spektralbereich . . . . . . . . . . . . . . . 50

4.3 Gerade und ungerade Folgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 514.3.1 Gerade und ungerade Signalfolgen . . . . . . . . . . . . . 514.3.2 Gerade und ungerade Spektralfolgen . . . . . . . . . . . . 52

4.4 Komplexe Konjugation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 544.4.1 Komplexe Konjugation im Originalbereich . . . . . . . . . 544.4.2 Komplexe Konjugation im Spektralbereich . . . . . . . . . 57

4.5 Realteil und Imaginärteil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 584.5.1 Realteil und Imaginärteil im Originalbereich . . . . . . . . 584.5.2 Realteil und Imaginärteil im Spektralbereich . . . . . . . . 60

4.6 Verschiebung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 624.6.1 Verschiebung im Originalbereich . . . . . . . . . . . . . 624.6.2 Verschiebung im Spektralbereich . . . . . . . . . . . . . . 65

4.7 Multiplikation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 684.7.1 Multiplikation im Originalbereich . . . . . . . . . . . . . 684.7.2 Multiplikation im Spektralbereich . . . . . . . . . . . . . 70

4.8 Periodische Faltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 714.8.1 Periodische Faltung im Originalbereich . . . . . . . . . . . 714.8.2 Periodische Faltung im Spektralbereich . . . . . . . . . . . 74

4.9 Symmetrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 744.10 Periodische Korrelation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

4.10.1 Periodische Kreuzkorrelation . . . . . . . . . . . . . . . 764.10.2 Periodische Autokorrelation . . . . . . . . . . . . . . . . 79

Inhaltsverzeichnis xi

4.11 Energie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 804.12 Dezimation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 824.13 Interpolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 854.14 Tabellarische Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

5 Korrespondenzen der DFT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 955.1 Impulsfolge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 955.2 Verschobene Impulsfolge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 965.3 Konstante Signalfolge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 985.4 Rechteckfolge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 995.5 Dreieckfolge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1015.6 Harmonische Signalfolge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1035.7 Cosinusfolge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1075.8 Sinusfolge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1125.9 Leckeffekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

5.9.1 Hann-Fenster . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1195.9.2 Hamming-Fenster . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1195.9.3 Blackman-Fenster . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

5.10 Tabellarische Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

6 Schnelle Fourier-Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1236.1 Dezimation im Originalbereich . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1246.2 Dezimation im Spektralbereich . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1306.3 Berechnungskomplexität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

7 Schnelle Faltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1377.1 Lineare zeitinvariante Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1377.2 Aperiodische und periodische Faltung . . . . . . . . . . . . . . . 1407.3 Schnelle Faltung mit der FFT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

7.3.1 Berechnungskomplexität der periodischen Faltung . . . . . . 1507.3.2 Berechnungskomplexität der aperiodischen Faltung . . . . . 151

7.4 Schnelle FIR-Filter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1537.5 Segmentierte Faltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

Literaturverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

Sachverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

1Einleitung

In der digitalen Signalverarbeitung und der Signaltheorie werden diskrete Signalfolgenbeispielsweise von Audio- und Bildsignalen betrachtet, die mit Hilfe einer Abtastung auskontinuierlichen Signalen hervorgehen. Für diskrete Transformationen wie die in diesemBuch behandelte diskrete Fourier-Transformation werden endliche diskrete Signalfolgen,so genannte finite Signalfolgen verwendet. Eine solche Signalfolge

{x(), x(), . . . , x(N − )} = {x(k)}≤k≤N−

besteht aus N Signalwerten x(k)mit dem Index ≤ k ≤ N − . Mit Hilfe einer diskretenSignaltransformation kann einer finiten Signalfolge {x(k)}≤k≤N− der Länge N im Origi-nalbereich eine finite Spektralfolge

{X(), X(), . . . , X(N − )} = {X(ℓ)}≤ℓ≤N−

bestehend aus N Spektralwerten X(ℓ) mit dem Index ≤ ℓ ≤ N − im Spektralbereichzugeordnet werden. Abbildung 1.1 stellt die diskrete Transformation der finiten Signalfolge{x(k)}≤k≤N− in die finite Spektralfolge {X(ℓ)}≤ℓ≤N− mittels einer geeigneten diskretenSignaltransformation dar.

Bei einer umkehrbaren diskreten Signaltransformation kann die finite Signalfol-ge {x(k)}≤k≤N− aus der Spektralfolge {X(ℓ)}≤ℓ≤N− zurückgewonnen werden. Die

Abb. 1.1 Diskrete Transformation der finiten Signalfolge {x(k)}≤k≤N− in die finite Spektralfolge{X(ℓ)}≤ℓ≤N−

1A. Neubauer,DFT – Diskrete Fourier-Transformation, DOI 10.1007/978-3-8348-1997-0_1,© Vieweg+Teubner Verlag | Springer Fachmedien Wiesbaden 2012

2 1 Einleitung

Abb. 1.2 Inverse Transformation der finiten Spektralfolge {X(ℓ)}≤ℓ≤N− in die finite Signalfolge{x(k)}≤k≤N−

Abb. 1.3 Finite Signalfolge{x(k)}≤k≤ im Originalbe-reich und finite Spektralfolge{X(ℓ)}≤ℓ≤ im Spektralbe-reich der diskreten Fourier-Transformation

Rücktransformation vom Spektralbereich in den Originalbereich erfolgt bei einer sol-chen umkehrbaren diskreten Signaltransformation mit der inversen Transformation, wieAbb. 1.2 veranschaulicht.

In praktischenAnwendungenhat sich die diskrete Fourier-Transformation bewährt. InAbb. 1.3 sind sowohl die finite Signalfolge {x(), x(), . . . , x()} = {x(k)}≤k≤ als auchdie finite Spektralfolge {X(), X(), . . . , X()} = {X(ℓ)}≤ℓ≤ jeweils der Länge N = fürden Fall der diskreten Fourier-Transformation gezeigt.

2Mathematische Strukturen

In diesem Kapitel geben wir einen kurzen Abriss über die für die diskrete Fourier-Transformation wichtigsten mathematischen Grundlagen [4].

2.1 Nomenklatur

In diesem Abschnitt geben wir einige im weiteren Verlauf dieses Buches verwendeten ma-thematischen Schreibweisen an.

2.1.1 Zahlenmengen

DieMenge der natürlichen Zahlen ist gegeben durch

N = {, , , . . .} .

Durch Hinzunahme der negativen Zahlen −,−, . . . ergibt sich dieMenge der ganzen Zah-len definiert durch

Z = {. . . ,−,−, , , , . . .} .

Entsprechend werden dieMenge der reellen Zahlen sowie dieMenge der komplexen Zahlendurch die Symbole R und C gekennzeichnet.

2.1.2 Modulo-Rechnung

Die Division mit Rest einer ganzen Zahl z durch die natürliche Zahl N ist definiert durch

z = q ⋅ N + r


4 2 Mathematische Strukturen

mit demQuotienten q und dem Rest ≤ r < N . Unter Verwendung dermodulo-Rechnungmit demModul N wird der Rest r durch die folgende Formulierung bezeichnet (in Worten„z modulo N“)

z mod N = r .

2.1.3 Summenzeichen

Die Summe der Zahlen z(), z(), . . . , z(N − ) wird mit Hilfe des Summenzeichens Σfolgendermaßen geschrieben

N−∑

n=z(n) = z() + z() + . . . + z(N − )

mit dem Summationsindex n.

2.2 Elementare Funktionen

2.2.1 Exponentialfunktion

Die Exponentialfunktion ez ist definiert durch die unendliche Reihe

ez =∞

∑

n=

n!⋅ zn = + z +

z

!+

z

!+ . . .

mit der Eulerschen Zahl e = , . . . und der Fakultät

n! = ⋅ ⋅ . . . ⋅ n

mit ! = . Für die Exponentialfunktion ez gilt die Fundamentaleigenschaft

ex ⋅ ey = ex+y .

Für x = z und y = −z folgt hieraus

ez ⋅ e−z = ez−z = e =

und somit

e−z =ez

.

2.2 Elementare Funktionen 5

Abb. 2.1 Cosinusfunktion cos(ϕ)

2.2.2 Cosinusfunktion

Die Cosinusfunktion cos(ϕ) ist definiert durch die unendliche Reihe

cos(ϕ) =∞

∑

n=

(−)n

(n)!⋅ ϕn

= −ϕ

!+

ϕ

!∓ . . . .

Die Cosinusfunktion ist eine gerade Funktion, das heißt es gilt

cos(−ϕ) = cos(ϕ) .

Ferner ist sie periodisch mit der Periode π gemäß

cos(ϕ + n ⋅ π) = cos(ϕ)

mit n ∈ Z. Hierbei kennzeichnet π = , . . . die Kreiszahl. Abbildung 2.1veranschaulicht die Cosinusfunktion cos(ϕ).

Wird die Cosinusfunktion unter Verwendung des Winkels ϕ = πFt als Funktion der(zeitlichen) Variablen t aufgefasst, so ist die Periode T der Cosinusfunktion cos(πFt) ge-geben durch πFT = π beziehungsweise mit der Frequenz F

T =F

.

2.2.3 Sinusfunktion

Die Sinusfunktion sin(ϕ) ist ähnlich wie die Cosinusfunktion cos(ϕ) definiert durch dieunendliche Reihe

sin(ϕ) =∞

∑

n=

(−)n

(n + )!⋅ ϕn+

= ϕ −ϕ

!+

ϕ

!∓ . . . .


Abb. 2.2 Sinusfunktion sin(ϕ)

Die Sinusfunktion ist eine ungerade Funktion, das heißt es gilt

sin(−ϕ) = − sin(ϕ) .

Ferner ist sie wie die Cosinusfunktion periodisch mit der Periode π gemäß

sin(ϕ + n ⋅ π) = sin(ϕ)

mit n ∈ Z. Die in Abb. 2.2 gezeigte Sinusfunktion sin(ϕ) kann aus der Cosinusfunktioncos(ϕ) durch Verschiebung um π/ erhalten werden entsprechend

sin(ϕ) = cos (ϕ −π) .

Wird die Sinusfunktion wie die Cosinusfunktion unter Verwendung des Winkels ϕ =πFt als Funktion der (zeitlichen) Variablen t geschrieben, so ist die Periode T der Sinus-funktion sin(πFt) gegeben durch πFT = π beziehungsweise mit der Frequenz F

T =F

.

2.2.4 Tangensfunktion

Die in Abb. 2.3 dargestellte Tangensfunktion tan(ϕ) ist definiert unter Verwendung der Co-sinusfunktion cos(ϕ) sowie der Sinusfunktion sin(ϕ) gemäß

tan(ϕ) =sin(ϕ)cos(ϕ)

.

Wegentan(−ϕ) = − tan(ϕ)

2.3 Komplexe Zahlen 7

Abb. 2.3 Tangensfunktion tan(ϕ)

ist die Tangensfunktion ungerade. Des Weiteren ist die Tangensfunktion tan(ϕ) periodischmit der Periode π gemäß

tan(ϕ + n ⋅ π) = tan(ϕ)

mit n ∈ Z.

2.3 Komplexe Zahlen

Wir wenden uns in diesem Abschnitt der Menge der komplexen Zahlen zu, die im weite-ren Verlauf bei der Behandlung der diskreten Fourier-Transformation sowie der finitenSignalfolgen und Spektralfolgen von Bedeutung ist.

2.3.1 Kartesische Koordinaten

Eine komplexe Zahl z ∈ C aus der Menge C der komplexen Zahlen ist definiert in kartesi-schen Koordinaten als eine Zahl

z = x + jy

bestehend aus dem reellen Realteil

R{z} = x ∈ R

und dem reellen ImaginärteilI{z} = y ∈ R .

Hierbei stellt j die so genannte imaginäre Einheit

j =√

−

mit j = − dar.


2.3.2 Polarkoordinaten

Anstelle der Darstellung der komplexen Zahl z = x + jy in kartesischen Koordinaten x undy kann z in Polarkoordinatenmit demBetrag ρ = ∣z∣ und demWinkel ϕ geschriebenwerdenals

z = ρ ⋅ ejϕ .

Unter Berücksichtigung der Definition der Exponentialfunktion sowie der Cosinus- undSinusfunktionen ergibt sich mit j = − für die harmonische Funktion

ejϕ = + jϕ +(jϕ)

!+

(jϕ)

!+

(jϕ)

!+

(jϕ)

!+ . . .

= + jϕ + jϕ

!+ j

ϕ

!+ j

ϕ

!+ j

ϕ

!+ . . .

= + jϕ −ϕ

!− j

ϕ

!+

ϕ

!+ j

ϕ

!∓ . . .

= ( −ϕ

!+

ϕ

!∓ . . .) + j(ϕ −

ϕ

!+

ϕ

!∓ . . .)

= cos(ϕ) + j sin(ϕ) .

Wegen dieser so genannten Eulerschen Formel

ejϕ = cos(ϕ) + j sin(ϕ)

mit dem RealteilR{ejϕ} = cos(ϕ) und dem Imaginärteil I{ejϕ} = sin(ϕ) ist aufgrund derPeriodizität derCosinus- und Sinusfunktionendie Periodizität der harmonischenFunktionejϕ mit der Periode π ersichtlich aus

ej(ϕ+n⋅π) = cos(ϕ + n ⋅ π) + j sin(ϕ + n ⋅ π) = cos(ϕ) + j sin(ϕ) = ejϕ .

Des Weiteren folgt für die komplexe Zahl z = x + jy in Polarkoordinaten

z = ρ ⋅ ejϕ = ρ ⋅ cos(ϕ) + j ⋅ ρ ⋅ sin(ϕ) .

Die Umrechnung zwischen kartesischen Koordinaten und Polarkoordinaten erfolgt ent-sprechend der Beziehungen

x = ρ ⋅ cos(ϕ) ,

y = ρ ⋅ sin(ϕ)

beziehungsweise

ρ =√

x + y ,

tan(ϕ) =yx

,

2.3 Komplexe Zahlen 9

wobei bei der Berechnung des Winkels ϕ die Vorzeichen von Realteil x und Imaginärteil yberücksichtigt werden müssen.

Aus der Eulerschen Formel ergibt sich noch ein weiterer interessanter Zusammenhangzwischen der Exponentialfunktion und den Cosinus- und Sinusfunktionen. Für dieWinkelϕ und −ϕ gilt

ejϕ = cos(ϕ) + j sin(ϕ) ,

e−jϕ = cos(ϕ) − j sin(ϕ) .

Hieraus erhalten wir durch Auflösen nach cos(ϕ) und sin(ϕ) die folgenden Ausdrücke fürdie Cosinus- und Sinusfunktionen

cos(ϕ) =ejϕ + e−jϕ

,

sin(ϕ) =ejϕ − e−jϕ

j.

2.3.3 Addition

Die Addition zweier komplexer Zahlen z = x + jy und z = x + jy geschieht getrenntnach Realteil und Imaginärteil gemäß

z + z = (x + jy) + (x + jy)

= x + jy + x + jy= (x + x) + j (y + y) .

Es gilt somit in kartesischen Koordinaten

R{z + z} =R{z} +R{z} ,

I{z + z} = I{z} + I{z} .

2.3.4 Multiplikation

Die Multiplikation zweier komplexer Zahlen z = x + jy und z = x + jy berechnet sichdurch Ausmultiplizieren unter Beachtung von j = − gemäß

z ⋅ z = (x + jy) ⋅ (x + jy)

= x ⋅ x + jy ⋅ x + x ⋅ jy + j y ⋅ y= x ⋅ x + jy ⋅ x + jx ⋅ y − y ⋅ y= (x ⋅ x − y ⋅ y) + j (y ⋅ x + x ⋅ y) .


In kartesischen Koordinaten ergibt sich zusammengefasst

R{z ⋅ z} =R{z} ⋅R{z} − I{z} ⋅ I{z} ,

I{z ⋅ z} = I{z} ⋅R{z} +R{z} ⋅ I{z} .

In Polarkoordinaten gestaltet sich die Multiplikation der beiden komplexen Zahlen z =ρ ⋅ ejϕ und z = ρ ⋅ ejϕ einfacher, wie die folgende Rechnung zeigt. Durch Ausnutzen derFundamentaleigenschaft der Exponentialfunktion erhalten wir

z ⋅ z = (ρ ⋅ ejϕ) ⋅ (ρ ⋅ ejϕ

)

= ρ ⋅ ρ ⋅ ejϕ⋅ ejϕ

= (ρ ⋅ ρ) ⋅ ej(ϕ+ϕ) .

Das Produkt z = z ⋅ z = ρ ⋅ ejϕ wird in Polarkoordinaten berechnet, indem die Beträge ρund ρ multipliziert sowie die Winkel ϕ und ϕ addiert werden, das heißt es gilt

ρ = ρ ⋅ ρ ,

ϕ = ϕ + ϕ .

2.3.5 Potenzierung

Wird die komplexe Zahl z = x + jy = ρ ⋅ ejϕ zur n-ten Potenz zn erhoben, so erhalten wirunter Verwendung der Darstellung in Polarkoordinaten

zn = ρn ⋅ ejnϕ

mit dem Betrag ρn und demWinkel nϕ.

2.3.6 Komplexe Konjugation

Für eine komplexe Zahl z = x + jy stellt z∗ die zugehörige konjugiert komplexe Zahl

z∗ = x − jy

dar. Der Realteil x bleibt bei der komplexen Konjugation bestehen, während der Imaginär-teil y sein Vorzeichen ändert.

Für die komplexe Konjugation ergibt sich für die komplexe Zahl in Polarkoordinatenz = ρ ⋅ ejϕ = ρ ⋅ cos(ϕ) + j ⋅ ρ ⋅ sin(ϕ) unter Zuhilfenahme der Eulerschen Formel

z∗ = ρ ⋅ cos(ϕ) − j ⋅ ρ ⋅ sin(ϕ)= ρ ⋅ cos(−ϕ) + j ⋅ ρ ⋅ sin(−ϕ)

= ρ ⋅ e−jϕ .

2.4 Vektoren und Matrizen 11

Bei der komplexenKonjugation ändert derWinkel ϕ aufgrund der Symmetrieeigenschaftender Cosinus- und Sinusfunktionen sein Vorzeichen, während der Betrag ρ = ∣z∣ unverän-dert bleibt, das heißt es gilt

∣z∗∣ = ∣z∣ .

Des Weiteren folgt

z ⋅ z∗ = ρ ⋅ ejϕ ⋅ ρ ⋅ e−jϕ = ρ ⋅ ejϕ−jϕ = ρ = ∣z∣

und somit∣z∣ =

√

z ⋅ z∗ .

Aus der komplexen Zahl z und der konjugiert komplexen Zahl z∗ lassen sich der Realteilx =R{z} und der Imaginärteil y = I{z} ermitteln. Es gilt

z = x + jy ,z∗ = x − jy .

Hieraus folgen durch Auflösen nach x =R{z} und y = I{z} die Beziehungen

R{z} =z + z∗

,

I{z} =z − z∗

j.

2.4 Vektoren undMatrizen

In diesem Abschnitt beschreiben wir Vektoren und Matrizen, wie sie im Folgenden fürdie Formulierung der diskreten Fourier-Transformation in Matrixdarstellung verwendetwerden.

2.4.1 Vektoren

Liegen N komplexe Zahlen z(), z(), . . . , z(N − ) vor, so werden diese Zahlen zu einemN-dimensionalen Vektor

z =

⎛

⎜

⎜

⎜

⎜

⎝

z()z()⋮

z(N − )

⎞

⎟

⎟

⎟

⎟

⎠


in dem N-dimensionalen komplexen Vektorraum CN zusammengefasst. Einem solchen

Vektor kann der Vektorbetrag

∥z∥ =

�

�

��

N−

∑

k=∣z(k)∣ =

√

∣z()∣ + ∣z()∣ + . . . + ∣z(N − )∣

beziehungsweise der Quadrat des Vektorbetrags

∥z∥ =N−

∑

k=∣z(k)∣ = ∣z()∣ + ∣z()∣ + . . . + ∣z(N − )∣

zugeordnet werden. Der Vektorbetrag ∥z∥ gibt hierbei die Länge des Vektors z an.Eine häufige Operation auf Vektoren stellt die Vektoraddition dar. So wird die Addition

der Vektoren

x =

⎛

⎜

⎜

⎜

⎜

⎝

x()x()⋮

x(N − )

⎞

⎟

⎟

⎟

⎟

⎠

und y =

⎛

⎜

⎜

⎜

⎜

⎝

y()y()⋮

y(N − )

⎞

⎟

⎟

⎟

⎟

⎠

definiert alsz = x + y

entsprechend

⎛

⎜

⎜

⎜

⎜

⎝

z()z()⋮

z(N − )

⎞

⎟

⎟

⎟

⎟

⎠

=

⎛

⎜

⎜

⎜

⎜

⎝

x()x()⋮

x(N − )

⎞

⎟

⎟

⎟

⎟

⎠

+

⎛

⎜

⎜

⎜

⎜

⎝

y()y()⋮

y(N − )

⎞

⎟

⎟

⎟

⎟

⎠

=

⎛

⎜

⎜

⎜

⎜

⎝

x() + y()x() + y()

⋮

x(N − ) + y(N − )

⎞

⎟

⎟

⎟

⎟

⎠

.

Die Vektoraddition erfolgt gemäß der komponentenweisen Addition

z(k) = x(k) + y(k)

für die Vektorkomponenten z(k) ∈ Cmit dem Index ≤ k ≤ N − .Eine weitere wichtige Operation auf Vektoren stellt die innere Vektormultiplikation im

Sinne des so genannten Skalarprodukts dar. Das Skalarprodukt ⟨x , y⟩ zweier komplexerVektoren x ∈ CN und y ∈ CN ist definiert als

⟨x , y⟩ =N−

∑

k=x(k) ⋅ y∗(k)

= x() ⋅ y∗() + x() ⋅ y∗() + . . . + x(N − ) ⋅ y∗(N − ) .

2.4 Vektoren und Matrizen 13

2.4.2 Matrizen

Neben Vektoren stellen Matrizen wichtige Zusammenstellungen von komplexen Zahlendar. Eine N × N-Matrix A ist definiert als

A =

⎛

⎜

⎜

⎜

⎜

⎝

a(, ) a(, ) ⋯ a(,N − )a(, ) a(, ) ⋯ a(,N − )⋮ ⋮ ⋱ ⋮

a(N − , ) a(N − , ) ⋯ a(N − ,N − )

⎞

⎟

⎟

⎟

⎟

⎠

mit den N komplexen Matrixkomponenten ak ,ℓ ∈ Cmit den Indizes ≤ k , ℓ ≤ N − . Einesolche N × N-Matrix A kann mit einem N-dimensionalen Vektor x multipliziert werdenentsprechend der Matrix-Vektor-Multiplikation

y = A ⋅ x

beziehungsweise ausführlich

⎛

⎜

⎜

⎜

⎜

⎝

y()y()⋮

y(N − )

⎞

⎟

⎟

⎟

⎟

⎠

=

⎛

⎜

⎜

⎜

⎜

⎝

a(, ) a(, ) ⋯ a(,N − )a(, ) a(, ) ⋯ a(,N − )⋮ ⋮ ⋱ ⋮

a(N − , ) a(N − , ) ⋯ a(N − ,N − )

⎞

⎟

⎟

⎟

⎟

⎠

⋅

⎛

⎜

⎜

⎜

⎜

⎝

x()x()⋮

x(N − )

⎞

⎟

⎟

⎟

⎟

⎠

.

Die Vektorkomponenten y(), y(), . . . , y(N − )werden durchMultiplikation der Zeilender Matrix Amit dem spaltenweisen Vektor x berechnet gemäß

y()

= (a(, ), a(, ), . . . , a(,N − )) ⋅

⎛

⎜

⎜

⎜

⎜

⎝

x()x()⋮

x(N − )

⎞

⎟

⎟

⎟

⎟

⎠

= a(, ) ⋅ x() + a(, ) ⋅ x() + . . . + a(,N − ) ⋅ x(N − ) ,


y()

= (a(, ), a(, ), . . . , a(,N − )) ⋅

⎛

⎜

⎜

⎜

⎜

⎝

x()x()⋮

x(N − )

⎞

⎟

⎟

⎟

⎟

⎠

= a(, ) ⋅ x() + a(, ) ⋅ x() + . . . + a(,N − ) ⋅ x(N − ) ,

⋮

y(N − )

= (a(N − , ), a(N − , ), . . . , a(N − ,N − )) ⋅

⎛

⎜

⎜

⎜

⎜

⎝

x()x()⋮

x(N − )

⎞

⎟

⎟

⎟

⎟

⎠

= a(N − , ) ⋅ x() + a(N − , ) ⋅ x() + . . . + a(N − ,N − ) ⋅ x(N − ) .

Die Vektorkomponenten y(k) ergeben sich somit aus

y(k) = a(k , ) ⋅ x() + a(k , ) ⋅ x() + . . . + a(k ,N − ) ⋅ x(N − )

=

N−

∑

ℓ=a(k , ℓ) ⋅ x(ℓ)

für den Zeilenindex ≤ k ≤ N − und den Spaltenindex ≤ ℓ ≤ N − .Im Rahmen derMatrixdarstellung der diskreten Fourier-Transformation kann die ver-

wendete N × N-Matrix A invertiert werden, um aus dem Vektor

y = A ⋅ x

den Vektor x zu bestimmen gemäß

x = A− ⋅ y .

Mit der N × N-Einheitsmatrix

IN =

⎛

⎜

⎜

⎜

⎜

⎝

⋯ ⋯ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮

⋯

⎞

⎟

⎟

⎟

⎟

⎠

gilt für dieMatrixinverse A− der Matrix A

A ⋅ A− = A− ⋅ A = IN .

2.5 Geometrische Reihe 15

2.5 Geometrische Reihe

Die so genannte endliche geometrische Reihe ist definiert als die Summe

SN =N−∑

n=qn = + q + q + . . . + qN−

mit der komplexen Zahl q ∈ C und q = . Für q = berechnet sich der Summenwert zu

SN =N−∑

n=n = + + + . . . + N− = N .

Im Fall q ≠ ergibt sich

SN = + q + q + . . . + qN−

= + q + q + . . . + qN− + qN − qN

= + q ⋅ ( + q + q + . . . + qN−) − qN

= + q ⋅ SN − qN .

Hieraus folgt durch Ausklammern von SN auf der linken Seite der Gleichung

SN − q ⋅ SN = − qN

für q ≠ die geometrische Reihe

SN =N−∑

n=qn =

− qN

− q.

Die Formel für die geometrische Reihe wird uns bei einer Vielzahl von Herleitungen imZusammenhang mit der diskreten Fourier-Transformation von Nutzen sein.

3Definition der DFT

In Kap. 2 haben wir die für die diskrete Fourier-Transformation wichtigen mathemati-schen Strukturen wie komplexe Zahlen, Vektoren und Matrizen sowie die geometrischeReihe kennen gelernt. Mit Hilfe dieser mathematischen Grundlagen wenden wir uns indiesem Kapitel der Definition der diskreten Fourier-Transformation zu [3, 14, 18, 19, 25].

3.1 Transformationsformeln

3.1.1 Hintransformation

Die diskrete Fourier-Transformation (DFT –Discrete Fourier Transform) ordnet der fini-ten Signalfolge im Originalbereich

{x(k)}≤k≤N− = {x(), x(), . . . , x(N − )}

der Länge N mit dem Index ≤ k ≤ N − die finite Spektralfolge im Spektralbereich

{X(ℓ)}≤ℓ≤N− = {X(), X(), . . . , X(N − )}

bestehend aus N Spektralwerten mit dem Index ≤ ℓ ≤ N − zu. Die Transformationsvor-schrift lautet

X(ℓ) =N−

∑k=

x(k) ⋅ e−jπkℓ/N . (3.1)

Für diese Hintransformation schreiben wir im Folgenden häufig symbolisch

X(ℓ) = DFT {x(k)} .

In Abb. 3.1 ist die diskrete Fourier-Transformation DFT veranschaulicht.


18 3 Definition der DFT

Abb. 3.1 Diskrete Fourier-TransformationDFTder Signalfolge {x(k)}≤k≤N− in die Spektralfolge{X(ℓ)}≤ℓ≤N−

Abb. 3.2 Reelle Signalfolge{x(k)}≤k≤N−

Abb. 3.3 Komplexe Spektralfolge{X(ℓ)}≤ℓ≤N− in kartesischenKoordinaten

Die finite Signalfolge ist im Allgemeinen komplex x(k) ∈ C gemäß

x(k) =R{x(k)}+ jI{x(k)} .

In praktischen Anwendungen ist die finite Signalfolge häufig reell x(k) ∈ R. Die finite Spek-tralfolge ist auch für reelle Signalfolgen in der Regel komplex X(ℓ) ∈ C. In kartesischenKoordinaten und in Polarkoordinaten lautet die Spektralfolge

X(ℓ) =R{X(ℓ)} + jI{X(ℓ)} = ∣X(ℓ)∣ ⋅ ejϕ(ℓ)

3.1 Transformationsformeln 19

Abb. 3.4 Komplexe Spektralfolge{X(ℓ)}≤ℓ≤N− in Polarkoordina-ten

mit dem Betrag ∣X(ℓ)∣ und demWinkel ϕ(ℓ). Abbildung 3.2 zeigt das Beispiel einer reellenfiniten Signalfolge {x(k)}≤k≤N− für N = , während Abb. 3.3 und Abb. 3.4 die zugehö-rige finite Spektralfolge {X(ℓ)}≤ℓ≤N− in kartesischen Koordinaten und Polarkoordinatendarstellen.

3.1.2 Rücktransformation

Aus der finiten Spektralfolge {X(ℓ)}≤ℓ≤N− der Länge N lässt sich die ursprüngliche finiteSignalfolge {x(k)}≤k≤N− zurückgewinnen. Zur Herleitung der Formel für die Rücktrans-formation bilden wir die Summe

N−

∑ℓ=

X(ℓ) ⋅ ejπkℓ/N =N−

∑ℓ=

(N−

∑κ=

x(κ) ⋅ e−jπκℓ/N) ⋅ ejπkℓ/N

=N−

∑ℓ=

N−

∑κ=

x(κ) ⋅ ejπ(k−κ)ℓ/N .

NachVertauschen der Summationsreihenfolge und Ausklammern des nicht von dem Sum-mationsindex ℓ abhängigen Wertes x(κ) erhalten wir

N−∑ℓ=

X(ℓ) ⋅ ejπkℓ/N =N−∑κ=

N−∑ℓ=

x(κ) ⋅ ejπ(k−κ)ℓ/N =N−∑κ=

x(κ)N−∑ℓ=

ejπ(k−κ)ℓ/N .

Für die innere Summe∑N−ℓ= ejπ(k−κ)ℓ/N gilt für den Fall k = κ

N−

∑ℓ=

ejπ(k−κ)ℓ/N =N−

∑ℓ=

ejπ⋅⋅ℓ/N =N−

∑ℓ=

= N .


Im Fall von k ≠ κ folgt die Beziehung

N−∑ℓ=

ejπ(k−κ)ℓ/N =N−∑ℓ=

(ejπ(k−κ)/N)ℓ

= − (ejπ(k−κ)/N)

N

− ejπ(k−κ)/N

= − ejπ(k−κ)N/N

− ejπ(k−κ)/N

= − ejπ(k−κ)

− ejπ(k−κ)/N

= −

− ejπ(k−κ)/N

=

mit der geometrischen Reihe∑N−ℓ= qℓ = (−qN)/(−q) und q = ejπ(k−κ)/N ≠ . Insgesamt

gilt zusammengefasst die Fallunterscheidung

N−∑ℓ=

ejπ(k−κ)ℓ/N = {N , k = κ , k ≠ κ

.

Daraus ergibt sich

N−

∑ℓ=

X(ℓ) ⋅ ejπkℓ/N =N−

∑κ=

x(κ)N−

∑ℓ=

ejπ(k−κ)ℓ/N

= x(k) ⋅ N + ∑κ≠k

x(κ) ⋅

= x(k) ⋅ N

und somit die Rücktransformationsformel der diskreten Fourier-Transformation

x(k) =N

N−

∑ℓ=

X(ℓ) ⋅ ejπkℓ/N . (3.2)

Diese Rücktransformation der DFT wird im Folgenden häufig symbolisch abgekürzt mitder Formel

x(k) = IDFT {X(ℓ)}

(IDFT – Inverse Discrete Fourier Transform). Abbildung 3.5 veranschaulicht die inversediskrete Fourier-Transformation IDFT.

Die Abbildung zwischen der finiten Signalfolge {x(k)}≤k≤N− im Originalbereichund der Spektralfolge {X(ℓ)}≤ℓ≤N− im Spektralbereich wird für die diskrete Fourier-Transformation insgesamt durch die folgenden Transformationsgleichungen beschrieben.1

1 Zu beachten ist, dass innerhalb der Summenausdrücke anstelle der Summationsindizes k und ℓauch andere Summationsindizes wie beispielsweise κ und λ verwendet werden können.

3.1 Transformationsformeln 21

Abb. 3.5 Inverse diskrete Fourier-Transformation IDFT der Spektralfolge {X(ℓ)}≤ℓ≤N− in dieSignalfolge {x(k)}≤k≤N−

X(ℓ) =N−

∑k=

x(k) ⋅ e−jπkℓ/N

�

�

x(k) =N

N−

∑ℓ=

X(ℓ) ⋅ ejπkℓ/N

(3.3)

Das Symbol „ � � “ (in Worten „korrespondiert“) wird in diesem Buch im Folgenden fürdie Transformation der diskreten Fourier-Transformation verwendet, wobei der offeneKreis dem (hellen) Originalbereich und der gefüllte Kreis dem (dunklen) Spektralbereichentsprechen.

Die Berechnung der Rücktransformation der diskreten Fourier-Transformation kannauf die Hintransformation zurückgeführt werden. So gilt mittels der komplexen Konjuga-tion

x(k) = IDFT {X(ℓ)} =N

N−

∑ℓ=

X(ℓ) ⋅ ejπkℓ/N =N(N−

∑ℓ=

X∗(ℓ) ⋅ e−jπkℓ/N)∗

.

Werden in der Hintransformation

X(ℓ) = DFT{x(k)} =N−∑k=


die Indizes k und ℓ vertauscht, so folgt mit

DFT {X∗(ℓ)} =N−

∑ℓ=

X∗(ℓ) ⋅ e−jπkℓ/N

die Beziehung

x(k) = IDFT {X(ℓ)} =N(DFT {X∗(ℓ)})∗ . (3.4)

Die Rücktransformation der finiten Spektralfolge {X(ℓ)}≤ℓ≤N− in die finite Signalfolge{x(k)}≤k≤N− kann für die inverse diskrete Fourier-Transformation folgenderma-ßen berechnet werden. Zu diesem Zweck wird die diskrete Fourier-Transformation


DFT {X∗(ℓ)} der konjugiert komplexen Spektralfolge ermittelt, die resultierende Sig-nalfolge komplex konjugiert und durch den Faktor N dividiert.

3.2 Analyse und Synthese

In den angegebenen Transformationsformeln der diskreten Fourier-Transformation fürdie Hin- und Rücktransformation erscheinen die komplexen Ausdrücke

e±jπkℓ/N = cos(πkℓN

) ± j sin (πkℓN

) .

Abb. 3.6 Signalfolgen {cℓ(k)}≤k≤N− und {sℓ(k)}≤k≤N− für die diskrete Fourier-Transformation der Länge N =

3.2 Analyse und Synthese 23

Für einen festen Index ℓmit ≤ ℓ ≤ N − fassen wir ejπkℓ/N als ℓ. komplexe Signalfolge

wℓ(k) = ejπkℓ/N = cos(πkℓN

) + j sin (πkℓN

)

auf, die von dem unabhängigen Index k mit ≤ k ≤ N − abhängt.Mit Hilfe der Eulerschen Formel ergeben sich die in Abb. 3.6 beispielsweise dargestell-

ten N = komplexen Signalfolgen

wℓ(k) = cℓ(k) + jsℓ(k)

mit dem cosinusförmigen Realteil

cℓ(k) =R{wℓ(k)} =R{ejπkℓ/N} = cos(πkℓN

)

und dem sinusförmigen Imaginärteil

sℓ(k) = I{wℓ(k)} = I{ejπkℓ/N} = sin(πkℓN

)

mit ≤ k , ℓ ≤ N − .


Unter Verwendung der finiten Signalfolgen {wℓ(k)}≤k≤N− mit den komplexen Signalwer-ten wℓ(k) = cℓ(k) + jsℓ(k) und ≤ ℓ ≤ N − kann die Hintransformation der diskretenFourier-Transformation folgendermaßen geschrieben werden.

X(ℓ) =N−

∑k=

x(k) ⋅ e−jπkℓ/N =N−

∑k=

x(k) ⋅w∗ℓ (k) =N−

∑k=

x(k) ⋅ [cℓ(k) − jsℓ(k)]

In dieser Formulierung wird die komplexe Konjugation

e−jπkℓ/N = (ejπkℓ/N)∗

= w∗ℓ (k) = cℓ(k) − jsℓ(k)

von wℓ(k) verwendet. Der in der DFT-Hintransformationsformel auftretende Ausdruck∑

N−k= x(k) ⋅ w∗ℓ (k) entspricht dem im Kap. 2 definierten Skalarprodukt. Mit diesem Ska-

larprodukt wird ermittelt, mit welchem Anteil die komplexe Signalfolge {wℓ(k)}≤k≤N−beziehungsweise die cosinusförmigen und sinusförmigen Signalfolgen {cℓ(k)}≤k≤N− und


{sℓ(k)}≤k≤N− in der finiten Signalfolge {x(k)}≤k≤N− auftreten. Die Bestimmung derSpektralwerte X(ℓ)mit ≤ ℓ ≤ N − liefert die spektrale Analyse der Signalfolge auf Basisder diskreten Fourier-Transformation.


Die Rücktransformation der diskreten Fourier-Transformation lautet mit den komplexenSignalfolgen {wℓ(k)}≤k≤N− mit wℓ(k) = cℓ(k) + jsℓ(k) und ≤ ℓ ≤ N − wie folgt.

x(k) =N

N−

∑ℓ=

X(ℓ) ⋅ ejπkℓ/N =N

N−

∑ℓ=

X(ℓ) ⋅wℓ(k) =N

N−

∑ℓ=

X(ℓ) ⋅ [cℓ(k) + jsℓ(k)]

Die finite Signalfolge {x(k)}≤k≤N− ergibt sich aus der Überlagerung oder Superpositionder mit den Spektralwerten X(ℓ) der finiten Spektralfolge {X(ℓ)}≤ℓ≤N− gewichteten co-sinusförmigen und sinusförmigen Signalfolgen {cℓ(k)}≤k≤N− und {sℓ(k)}≤k≤N−. DieseOperation entspricht der Synthese der Signalfolge auf Basis der Spektralfolge mit Hilfe derdiskreten Fourier-Transformation.

3.3 Periodizität

Die Definition der diskreten Fourier-Transformation basiert auf einer finiten Signalfolge{x(k)}≤k≤N− und einer finiten Spektralfolge {X(ℓ)}≤ℓ≤N−, die jeweils aus N komplexenWerten bestehen. Bei derHerleitung der EigenschaftenundKorrespondenzender diskretenFourier-Transformation in den folgenden Kapiteln ist es hilfreich, die Indizes k und ℓ imOriginalbereich und im Spektralbereich auf die Menge Z der ganzen Zahlen auszudehnen.Wie sich im Folgenden zeigen wird, sind die auf diese Indexmenge erweiterten Signalfolge{x(k)}−∞<k<∞ und Spektralfolge {X(ℓ)}−∞<ℓ<∞ jeweils periodisch mit der Periode N .

3.3.1 Periodizität der Spektralfolge

Ausgehend von der Formel für die Hintransformation der diskreten Fourier-Transforma-tion

X(ℓ) = DFT {x(k)} =N−

∑k=


3.3 Periodizität 25

mit ≤ ℓ ≤ N − erweitern wir den Indexbereich im Spektralbereich auf ℓ ∈ Z und setzenprobeweise für ℓ den Index ℓ + N ein. Daraus ergibt sich

X(ℓ + N) =N−∑k=

x(k) ⋅ e−jπk(ℓ+N)/N

=N−∑k=

x(k) ⋅ e−jπkℓ/N ⋅ e−jπkN/N

=N−

∑k=

x(k) ⋅ e−jπkℓ/N ⋅ e−jπk

=N−

∑k=


= X(ℓ)

aufgrund der π-Periodizität der harmonischen Funktion e−jϕ . Die auf die Indexmenge Zder ganzen Zahlen erweiterte Spektralfolge {X(ℓ)}−∞<ℓ<∞ ist somit periodisch mit derPeriode N gemäß

X(ℓ + N) = X(ℓ) . (3.5)

In den Abb. 3.7 und 3.8 ist die periodische Fortsetzung der finiten Spektralfolge{X(ℓ)}≤ℓ≤N− für N = in kartesischen Koordinaten und in Polarkoordinaten ver-anschaulicht.

Abb. 3.7 Periodische Fortset-zung der finiten Spektralfolge{X(ℓ)}≤ℓ≤N− in kartesischenKoordinaten


Abb. 3.8 Periodische Fortset-zung der finiten Spektralfolge{X(ℓ)}≤ℓ≤N− in Polarkoordi-naten

3.3.2 Periodizität der Signalfolge

Wie im Fall der Hintransformation gehen wir nun von der Berechnungsvorschrift für dieRücktransformation der diskreten Fourier-Transformation


N−∑ℓ=


mit ≤ k ≤ N− aus und erweitern den Indexbereich imOriginalbereich auf dieMenge derganzen Zahlen k ∈ Z. Durch probeweises Ersetzen von k durch den Index k + N erhaltenwir

x(k + N) =N

N−

∑ℓ=

X(ℓ) ⋅ ejπ(k+N)ℓ/N

=N

N−

∑ℓ=

X(ℓ) ⋅ ejπkℓ/N ⋅ ejπNℓ/N

=N

N−∑ℓ=

X(ℓ) ⋅ ejπkℓ/N ⋅ ejπℓ

=N

N−

∑ℓ=


= x(k)

erneut aufgrund der π-Periodizität der harmonischen Funktion ejϕ . Die auf die Index-menge Z der ganzen Zahlen erweiterte Signalfolge {x(k)}−∞<k<∞ ist wie die Spektralfolge{X(ℓ)}−∞<ℓ<∞ periodisch mit der Periode N gemäß

3.4 Matrixdarstellung der DFT 27

Abb. 3.9 Periodische Fort-setzung der finiten Signalfolge{x(k)}≤k≤N−

x(k + N) = x(k) . (3.6)

Die periodische Fortsetzung der finiten Signalfolge {x(k)}≤k≤N− ist fürN = inAbb. 3.9veranschaulicht.

Alternativ kann die N-Periodizität der Signalfolge x(k) = x(k + N) und der Spektral-folge X(ℓ) = X(ℓ + N) mit Hilfe der modulo-Rechnung wie folgt für ganzzahlige Indizesk , ℓ ∈ Z formuliert werden.

x(k) = x(k mod N) (3.7)

X(ℓ) = X(ℓ mod N) (3.8)

3.4 Matrixdarstellung der DFT

Zur kompakteren Darstellung der diskreten Fourier-Transformation wird ein so genann-ter Drehfaktor

wN = e−jπ/N = cos(πN) − j sin (

πN) (3.9)

eingeführt. Unter Verwendung dieses Drehfaktors mit

e−jπkℓ/N = (e−jπ/N)kℓ

= wkℓN ,

ejπkℓ/N = (e−jπ/N)−kℓ

= w−kℓN

schreiben wir die DFT-Transformationsgleichungen wie folgt.


Abb. 3.10 Komplexer Drehfaktor wN = e−jπ/N

X(ℓ) =N−

∑k=

x(k) ⋅wkℓN

�

�

x(k) =N

N−

∑ℓ=

X(ℓ) ⋅w−kℓN

(3.10)

Der inAbb. 3.10 veranschaulichteDrehfaktorwN besitzt reichhaltige Symmetrieeigenschaf-ten. So gelten beispielsweise die folgenden Beziehungen.

wNN = (e−jπ/N)

N= e−jπN/N = e−jπ =

wN/N = (e−jπ/N)

N/= e−jπN/(N) = e−jπ/ = −j

wN/N = (e−jπ/N)

N/= e−jπN/(N) = e−jπ = −

wN/N = (e−jπ/N)

N/= e−jπN/(N) = e−jπ/ = j


Zur Herleitung einer Matrixdarstellung der DFT-Hintransformation der diskreten Fou-rier-Transformation kann die Spektralfolge wie folgt formuliert werden.

X(ℓ) =N−

∑k=

x(k) ⋅wkℓN

=N−

∑k=

wℓkN ⋅ x(k)


= wℓ⋅N ⋅ x() +wℓ⋅

N ⋅ x() + . . . +wℓ⋅(N−)N ⋅ x(N − )

= (wℓ⋅N ,wℓ⋅

N , . . . ,wℓ⋅(N−)N ) ⋅

⎛⎜⎜⎜⎜⎝

x()x()⋮

x(N − )

⎞⎟⎟⎟⎟⎠

Mit dem N-dimensionalen Vektor für die finite Signalfolge {x(k)}≤k≤N−

x =

⎛⎜⎜⎜⎜⎝

x()x()⋮

x(N − )

⎞⎟⎟⎟⎟⎠

(3.11)

erhalten wir

X(ℓ) = (wℓ⋅N ,wℓ⋅

N , . . . ,wℓ⋅(N−)N ) ⋅ x .

Für den Index ≤ ℓ ≤ N − folgt hiermit für die finite Spektralfolge

X() = (w⋅N ,w⋅

N , . . . ,w⋅(N−)N ) ⋅ x ,

X() = (w⋅N ,w⋅

N , . . . ,w⋅(N−)N ) ⋅ x ,

⋮

X(N − ) = (w(N−)⋅N ,w(N−)⋅N , . . . ,w(N−)⋅(N−)N ) ⋅ x

beziehungsweise vereinfacht

X() = (, , . . . , ) ⋅ x ,

X() = (,w⋅N , . . . ,w⋅(N−)

N ) ⋅ x ,

⋮

X(N − ) = (,w(N−)⋅N , . . . ,w(N−)⋅(N−)N ) ⋅ x .

Diese N Gleichungen können mit Hilfe des N-dimensionalen Vektors

X =

⎛⎜⎜⎜⎜⎝

X()X()⋮

X(N − )

⎞⎟⎟⎟⎟⎠

(3.12)


für die finite Spektralfolge {X(ℓ)}≤ℓ≤N− formuliert werden gemäß

X =

⎛⎜⎜⎜⎜⎝

⋯ w⋅

N ⋯ w⋅(N−)N

⋮ ⋮ ⋱ ⋮

w(N−)⋅N ⋯ w(N−)⋅(N−)N

⎞⎟⎟⎟⎟⎠

⋅ x .

Mit Hilfe der N × N-Transformationsmatrix

WN =

⎛⎜⎜⎜⎜⎝

⋯ w⋅

N ⋯ w⋅(N−)N

⋮ ⋮ ⋱ ⋮

w(N−)⋅N ⋯ w(N−)⋅(N−)N

⎞⎟⎟⎟⎟⎠

(3.13)

beziehungsweise abgekürzt mit dem Zeilenindex ≤ ℓ ≤ N − und dem Spaltenindex ≤ k ≤ N −

WN = (wℓkN )≤k ,ℓ≤N−

kann die Hintransformation der diskreten Fourier-Transformation als Matrix-Vektor-Multiplikation wie folgt geschrieben werden.

X =WN ⋅ x (3.14)

In ausführlicher Matrixdarstellung gilt

⎛⎜⎜⎜⎜⎝

X()X()⋮

X(N − )

⎞⎟⎟⎟⎟⎠

=

⎛⎜⎜⎜⎜⎝

⋯ w⋅

N ⋯ w⋅(N−)N

⋮ ⋮ ⋱ ⋮

w(N−)⋅N ⋯ w(N−)⋅(N−)N

⎞⎟⎟⎟⎟⎠

⋅

⎛⎜⎜⎜⎜⎝

x()x()⋮

x(N − )

⎞⎟⎟⎟⎟⎠

.

Die Transformationsmatrix WN ist wegen

wℓkN = wkℓ

N

durch Vertauschen der Zeilen und Spalten vonWN symmetrisch.


ZurHerleitung einerMatrixdarstellung der DFT-Rücktransformation der diskreten Fouri-er-Transformation formulieren wir die Signalfolge wie bei der Hintransformation folgen-


dermaßen.

x(k) =N

N−

∑ℓ=

X(ℓ) ⋅w−kℓN

=N

N−

∑ℓ=

w−kℓN ⋅ X(ℓ)

=N⋅w−k⋅N ⋅ X() +

N⋅w−k⋅N ⋅ X() + . . . +

N⋅w−k⋅(N−)N ⋅ X(N − )

=N⋅ (w−k⋅N ,w−k⋅N , . . . ,w−k⋅(N−)N ) ⋅

⎛⎜⎜⎜⎜⎝

X()X()⋮

X(N − )

⎞⎟⎟⎟⎟⎠

=N⋅ (w−k⋅N ,w−k⋅N , . . . ,w−k⋅(N−)N ) ⋅ X

Für den Index ≤ k ≤ N − folgt hiermit für die finite Signalfolge

x() =N⋅ (w−⋅N ,w−⋅N , . . . ,w−⋅(N−)N ) ⋅ X ,

x() =N⋅ (w−⋅N ,w−⋅N , . . . ,w−⋅(N−)N ) ⋅ X ,

⋮

x(N − ) =N⋅ (w−(N−)⋅N ,w−(N−)⋅N , . . . ,w−(N−)⋅(N−)N ) ⋅ X

beziehungsweise wieder vereinfacht

x() =N⋅ (, , . . . , ) ⋅ X ,

x() =N⋅ (,w−⋅N , . . . ,w−⋅(N−)N ) ⋅ X ,

⋮

x(N − ) =N⋅ (,w−(N−)⋅N , . . . ,w−(N−)⋅(N−)N ) ⋅ X .

Unter erneuter Verwendung des N-dimensionalen Signalvektors x folgt

x =N⋅

⎛⎜⎜⎜⎜⎝

⋯ w−⋅N ⋯ w−⋅(N−)N⋮ ⋮ ⋱ ⋮

w−(N−)⋅N ⋯ w−(N−)⋅(N−)N

⎞⎟⎟⎟⎟⎠

⋅ X .

Die Inverse w−N des Drehfaktors

w−N = (e−jπ/N)−= ejπ/N = (e−jπ/N)

∗

= w∗N


entspricht der komplexen Konjugation w∗N des Drehfaktors wN , so dass gilt

x =N⋅

⎛⎜⎜⎜⎜⎝

⋯ w−⋅N ⋯ w−⋅(N−)N⋮ ⋮ ⋱ ⋮

w−(N−)⋅N ⋯ w−(N−)⋅(N−)N

⎞⎟⎟⎟⎟⎠

⋅ X

=N⋅

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎝

⋯ (w⋅

N )∗

⋯ (w⋅(N−)N )

∗

⋮ ⋮ ⋱ ⋮

(w(N−)⋅N )∗

⋯ (w(N−)⋅(N−)N )∗

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎠

⋅ X

=N⋅

⎛⎜⎜⎜⎜⎝

⋯ w⋅

N ⋯ w⋅(N−)N

⋮ ⋮ ⋱ ⋮

w(N−)⋅N ⋯ w(N−)⋅(N−)N

⎞⎟⎟⎟⎟⎠

∗

⋅ X .

Damit folgt schließlich für die Rücktransformationsformel der diskreten Fourier-Transformation inMatrixdarstellung mit der komponentenweisen komplexen Konjugationder Transformationsmatrix WN

x =N⋅W∗

N ⋅ X (3.15)


⎛⎜⎜⎜⎜⎝

x()x()⋮

x(N − )

⎞⎟⎟⎟⎟⎠

=N⋅

⎛⎜⎜⎜⎜⎝

⋯ w⋅

N ⋯ w⋅(N−)N

⋮ ⋮ ⋱ ⋮

w(N−)⋅N ⋯ w(N−)⋅(N−)N

⎞⎟⎟⎟⎟⎠

∗

⋅

⎛⎜⎜⎜⎜⎝

X()X()⋮

X(N − )

⎞⎟⎟⎟⎟⎠

.

Insgesamt erhalten wir somit die Transformationsgleichungen der diskreten Fourier-Transformation in Matrixdarstellung

X =WN ⋅ x � � x =N⋅W∗

N ⋅ X . (3.16)


3.4.2.1 Inverse der TransformationsmatrixWegen

x =W−N ⋅ X =

N⋅W∗

N ⋅ X

gilt für die Matrixinverse W−N der Transformationsmatrix WN die Beziehung

W−N =

N⋅W∗

N

mit der konjugiert komplexen Matrix W∗

N . Die N × N-Einheitsmatrix

IN =

⎛⎜⎜⎜⎜⎝

⋯ ⋯ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮

⋯

⎞⎟⎟⎟⎟⎠

führt damit auf die Beziehung

WN ⋅W∗

N =W∗

N ⋅WN = N ⋅ IN .

Beispiel 3.1Als Beispiel wird die diskrete Fourier-Transformation für die Länge N = betrachtet.Der entsprechende Drehfaktor ist gegeben durch

w = e−jπ/ = e−jπ/ = −j .

Unter Verwendung der Beziehung

w = (−j)

=

lautet die Transformationsmatrix der diskreten Fourier-Transformation

W =

⎛⎜⎜⎜⎜⎝

w⋅

w⋅ w⋅

w⋅

w⋅ w⋅

w⋅

w⋅ w⋅

⎞⎟⎟⎟⎟⎠

=

⎛⎜⎜⎜⎜⎝

w

w w

w

w w

w

w w

⎞⎟⎟⎟⎟⎠


=

⎛⎜⎜⎜⎜⎝

w w

w

w w

w

w w

⎞⎟⎟⎟⎟⎠

=

⎛⎜⎜⎜⎜⎝

−j (−j) (−j)

(−j) (−j)

(−j) (−j) −j

⎞⎟⎟⎟⎟⎠

=

⎛⎜⎜⎜⎜⎝

−j − j − − j − −j

⎞⎟⎟⎟⎟⎠

.

Die Hintransformation der diskreten Fourier-Transformation zur Berechnung desvierdimensionalen Spektralvektors X entspricht der Matrix-Vektor-Multiplikation

⎛⎜⎜⎜⎜⎝

X()X()X()X()

⎞⎟⎟⎟⎟⎠

=

⎛⎜⎜⎜⎜⎝

−j − j − − j − −j

⎞⎟⎟⎟⎟⎠

⋅

⎛⎜⎜⎜⎜⎝

x()x()x()x()

⎞⎟⎟⎟⎟⎠

beziehungsweise komponentenweise

X() = x() + x() + x() + x() ,

X() = x() − j ⋅ x() − x() + j ⋅ x() ,

X() = x() − x() + x() − x() ,

X() = x() + j ⋅ x() − x() − j ⋅ x() .

Für die Rücktransformation der diskreten Fourier-Transformation folgt mit derMatrix

W∗

=

⎛⎜⎜⎜⎜⎝

j − −j − − −j − j

⎞⎟⎟⎟⎟⎠

die Beziehung für die Berechnung des vierdimensionalen Signalvektors x

⎛⎜⎜⎜⎜⎝

x()x()x()x()

⎞⎟⎟⎟⎟⎠

=⋅

⎛⎜⎜⎜⎜⎝

j − −j − − −j − j

⎞⎟⎟⎟⎟⎠

⋅

⎛⎜⎜⎜⎜⎝

X()X()X()X()

⎞⎟⎟⎟⎟⎠


beziehungsweise komponentenweise

x() =⋅ [X() + X() + X() + X()] ,

x() =⋅ [X() + j ⋅ X() − X() − j ⋅ X()] ,

x() =⋅ [X() − X() + X() − X()] ,

x() =⋅ [X() − j ⋅ X() − X() + j ⋅ X()] .

Für die als vierdimensionaler Signalvektor

x =

⎛⎜⎜⎜⎜⎝

x()x()x()x()

⎞⎟⎟⎟⎟⎠

=

⎛⎜⎜⎜⎜⎝

,−,,,

⎞⎟⎟⎟⎟⎠

geschriebene beispielhafte Signalfolge {x(k)}≤k≤ ergibt sich mit diesen Beziehungender vierdimensionale Spektralvektor

X =

⎛⎜⎜⎜⎜⎝

X()X()X()X()

⎞⎟⎟⎟⎟⎠

=

⎛⎜⎜⎜⎜⎝

,, + j ,,, − j ,

⎞⎟⎟⎟⎟⎠

der zugehörigen Spektralfolge {X(ℓ)}≤ℓ≤. Wie anhand dieses Beispiels ersicht-lich wird, ist für eine reelle Signalfolge {x(k)}≤k≤N− die zugehörige Spektralfolge{X(ℓ)}≤ℓ≤N− im Allgemeinen komplex. ◇

Aufgrund der reichhaltigen Symmetrieeigenschaften der Transformationsmatrix

WN = (wkℓN )≤k ,ℓ≤N−

beziehungsweise des Drehfaktors

wN = e−jπ/N

kann für die Berechnung der diskreten Fourier-Transformation DFT ein effizienter Algo-rithmus – die schnelle Fourier-Transformation (FFT – Fast Fourier Transform) – herge-leitet werden [3]. Diesen schnellen FFT-Algorithmen werden wir uns im weiteren Verlaufdes Buches zuwenden.


3.5 Exkurs: Fourier-Transformation

Die diskrete Fourier-Transformation entspricht einer diskreten Transformation, die derfiniten Signalfolge {x(k)}≤k≤N− der Länge N die finite Spektralfolge {X(ℓ)}≤ℓ≤N−ebenfalls der Länge N umkehrbar zuordnet. Die Transformationsformeln der diskretenFourier-Transformation hatten wir hergeleitet gemäß der Vorschrift

X(ℓ) =N−

∑k=

x(k) ⋅ e−jπkℓ/N � � x(k) =N

N−

∑ℓ=

X(ℓ) ⋅ ejπkℓ/N .

Im Gegensatz zur diskreten Fourier-Transformation ordnet die so genannte (kontinu-ierliche) Fourier-Transformation einem kontinuierlich von der Zeit t abhängigen Signalx(t) das Spektrum X( f ) in Abhängigkeit der kontinuierlichen Frequenz f umkehrbarzu [3, 18, 21, 23, 24]. Die Dimension der Zeit t ist üblicherweise die Sekunde [s], wäh-rend die Dimension der Frequenz f ein Hertz [Hz] = [s−] ist. Der Einfachheit halbergehen wir im Folgenden von normierten Variablen t und f jeweils mit der Dimension []aus. Wir betrachten zunächst Beispiele kontinuierlicher Signale x(t) und kontinuierlicherSpektren X( f ) auf Basis der Definition der Fourier-Transformation. Anschließend be-handeln wir den Zusammenhang zwischen der für kontinuierliche Signale und Spektrendefinierten Fourier-Transformation und der diskreten Fourier-Transformation.2

3.5.1 Fourier-Transformation kontinuierlicher Signale

Kontinuierliche Signale x(t) im Originalbereich werden als Funktionen in Abhängigkeitder reellen Zeitvariablen t ∈ R über der Zeitachse −∞ < t < ∞ betrachtet. So wird bei-spielsweise das kontinuierliche impulsförmige Rechtecksignal definiert gemäß

x(t) =

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

, t < −

, − < t <

, t >

.

Die Fourier-Transformation ordnet dem kontinuierlichen Signal x(t) das kontinuierlicheSpektrum X( f ) umkehrbar zu unter Verwendung der Hintransformationsformel

X( f ) =∞

∫−∞

x(t) ⋅ e−jπ f t dt . (3.17)

2 Die theoretische Darstellung in diesem Exkurs ist sehr kurz gehalten und daher anspruchsvol-ler hinsichtlich der zugrunde liegenden Signaltheorie. Ausschließlich an der diskreten Fourier-Transformation interessierte Leser können diesen Abschnitt überspringen.

3.5 Exkurs: Fourier-Transformation 37

Die entsprechende Rücktransformationsformel der Fourier-Transformation lautet

x(t) =∞

∫−∞

X( f ) ⋅ ejπ f t d f . (3.18)

Anstelle der Summation Σ wie bei den Transformationsformeln der diskreten Fourier-Transformation ist die Fourier-Transformation mit Hilfe eines Integrals ∫ definiert. Wiedas kontinuierliche Signal x(t) über der Zeitachse −∞ < t < ∞ ist das kontinuierlicheSpektrum X( f ) definiert über der Frequenzachse −∞ < f < ∞. Wir betrachten nun einigeBeispiele für die Fourier-Transformation.

Beispiel 3.2Für das kontinuierliche Rechtecksignal

x(t) =

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

, t < −

, − < t <

, t >

ergibt sich die zugehörige Fourier-Transformierte aus

X( f ) =∞

∫−∞

x(t) ⋅ e−jπ f t dt =/

∫−/

⋅ e−jπ f t dt = /

∫

cos(π f t)dt

mit dem Spektrum

X( f ) =sin(π f )

π f,

wie in Abb. 3.11 dargestellt. ◇

Beispiel 3.3Wird anstelle des kontinuierlichen Rechtecksignals im Originalbereich das Rechteck-spektrum

X( f ) =

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

, f < −

, − < f <

, f >

im Spektralbereich betrachtet, so folgt für das zugehörige Signal

x(t) =∞

∫−∞

X( f ) ⋅ ejπ f t d f =/

∫−/

⋅ ejπ f t d f = /

∫

cos(π f t)d f


Abb. 3.11 Rechtecksignal x(t)und kontinuierliches SpektrumX( f )

Abb. 3.12 Kontinuierliches Signalx(t) und Rechteckspektrum X( f )

mit dem Ergebnis

x(t) =sin(πt)

πt,

wie Abb. 3.12 zeigt. ◇

3.5.2 Abtastung

Im Folgenden betrachten wir die Abtastung kontinuierlicher Signale und Spektren sowohlim Zeitbereich (Originalbereich) als auch im Frequenzbereich (Spektralbereich). Als Bei-spiel verwenden wir das in Abb. 3.13 veranschaulichte Signal

x(t) = e−π(α t)


Abb. 3.13 Kontinuierliches Sig-nal x(t) und kontinuierlichesSpektrum X( f )

mit dem reellen Parameter α = / und dem zugehörigen Spektrum

X( f ) =∣α∣

⋅ e−π( f /α).

3.5.2.1 Abtastung imOriginalbereichIn der digitalen Signalverarbeitung werden kontinuierliche Signale x(t) mittels der Abtas-tung im Originalbereich mit der Abtastperiode T in diskrete Signale überführt. Zu diesemZweck wird das im Originalbereich zu den Zeiten

tk = kT

Abb. 3.14 Abgetastetes SignalxT(t) und periodisch fortgesetz-tes Spektrum XT( f )


mit −∞ < k < ∞ abgetastete Signal xT(t) unter Verwendung eines Impulszugs im Origi-nalbereich∑∞k=−∞ δ(t − kT) dargestellt gemäß3

xT(t) =∞

∑k=−∞

x(kT) ⋅ δ(t − kT) . (3.19)

Der Impuls δ(t−tk) entspricht als so genannte verallgemeinerte Funktion [18] einem Impulsan der Stelle tk . Die Abtastung des kontinuierlichen Signals x(t)mit der Abtastperiode Tführt zu einer periodischen Fortsetzung des Spektrums X( f ) im Spektralbereich mit derPeriode T− wie in Abb. 3.14 gezeigt entsprechend

XT( f ) =T

∞

∑k=−∞

X ( f −kT) . (3.20)

3.5.2.2 Abtastung im SpektralbereichIm Rahmen der Abtastung im Spektralbereich wird anstelle des kontinuierlichen Signalsx(t) im Originalbereich das Spektrum X( f ) im Spektralbereich mit der Abtastperiode Fzu den Frequenzen

fℓ = ℓF

mit −∞ < ℓ < ∞ abgetastet. Das resultierende abgetastete Spektrum kann unter Verwen-dung des Impulszugs im Spektralbereich∑∞ℓ=−∞ δ( f − ℓF)mit den Impulsen δ( f − fℓ) anden Stellen fℓ dargestellt werden gemäß

XF( f ) =∞

∑ℓ=−∞

X(ℓF) ⋅ δ( f − ℓF) . (3.21)

DieAbtastung des kontinuierlichen Spektrums X( f )mit derAbtastperiode F führt zu einerperiodischen Fortsetzung des Signals x(t) im Originalbereich mit der Periode F− wie inAbb. 3.15 gezeigt entsprechend

xF(t) =F

∞

∑ℓ=−∞

x (t −ℓF) . (3.22)

3 Mit Hilfe des Abtasttheorems kann das kontinuierliche Signal x(t) aus der Abtastfolge{x(kT)}−∞<k<∞ exakt rekonstruiert werden gemäß der Berechnungsvorschrift

x(t) =∞

∑k=−∞

x(kT) ⋅sin(π

t − kTT)

πt − kTT

,

sofern das Spektrum X( f ) im Spektralbereich auf das Frequenzintervall

−T< f <

T

begrenzt ist [18, 25].


Abb. 3.15 Periodisch fortgesetz-tes Signal xF(t) und abgetastetesSpektrum XF( f )

3.5.2.3 Abtastung imOriginalbereich und im SpektralbereichFür den Fall der Abtastung sowohl des kontinuierlichen Signals x(t) als auch des kontinu-ierlichen Spektrums X( f ) werden Signal und Spektrum periodisch fortgesetzt. Aufgrundder Abtastung im Originalbereich ist die Periode des periodisch fortgesetzten SpektrumsXT( f ) gegeben durch T−. Wird das periodisch fortgesetzte Spektrum XT( f ) ferner ab-getastet mit der Abtastperiode F , so ergibt sich im Originalbereich die Periode F− desperiodisch fortgesetzten Signals. Innerhalb einer Periode sowohl im Originalbereich alsauch im Spektralbereich erhalten wir insgesamt N Abtastwerte. Damit folgt beispielsweiseim Spektralbereich für die Periode T− = N ⋅ F mit der Abtastperiode F beziehungsweise

N ⋅ F ⋅ T = . (3.23)

Das Produkt zwischen Abtastperiode T im Originalbereich und Abtastperiode F im Spek-tralbereich sowie derAnzahl derAbtastwerteN innerhalb einer Periode imOriginalbereichund im Spektralbereich ist somit gleich . Abbildung 3.16 veranschaulicht das abgetasteteund periodisch fortgesetzte Signal xFT(t) sowie das abgetastete und periodisch fortgesetzteSpektrum XFT( f ).

Wir gehen im Folgenden von der Abtastung im Originalbereich sowie im Spektralbe-reich aus und erhalten

xFT(t) =∞

∑k=−∞

xF(kT) ⋅ δ(t − kT)

=∞

∑k=−∞

[F

∞

∑ℓ=−∞

x (kT −ℓF)] ⋅ δ(t − kT)

=F

∞

∑k=−∞

∞

∑ℓ=−∞

x (kT −ℓF) ⋅ δ(t − kT) .


Abb. 3.16 Abgetastetes undperiodisch fortgesetztes SignalxFT(t) sowie abgetastetes undperiodisch fortgesetztes SpektrumXFT( f )

Mit der Periode im Originalbereich F− = N ⋅ T folgt

xFT(t) = NT∞

∑k=−∞

∞

∑ℓ=−∞

x(kT − ℓNT) ⋅ δ(t − kT)

= NT∞

∑k=−∞

∞

∑ℓ=−∞

x ([k − ℓN]T) ⋅ δ(t − kT) .

Innerhalb einer Periode im Originalbereich für ≤ t < NT lautet das diskrete Signal hier-mit

xFT(t) = NTN−

∑k=

(∞

∑ℓ=−∞

x ([k − ℓN]T)) ⋅ δ(t − kT)

mit ≤ k ≤ N−.Die finite Signalfolge {x(k)}≤k≤N− der Länge N innerhalb einer Periodeim Originalbereich definieren wir gemäß

x(k) =∞

∑ℓ=−∞

x ([k − ℓN]T) . (3.24)

Diese finite Signalfolge ergibt sich aufgrund der Abtastung sowohl im Originalbereich alsauch im Spektralbereich sowie durch die resultierende periodische Fortsetzung. Damit giltinnerhalb einer Periode im Originalbereich für ≤ t < NT mit NT = F−

xFT(t) = NTN−∑k=

x(k) ⋅ δ(t − kT) =F

N−∑k=

x(k) ⋅ δ(t − kT) .

Das abgetastete Signal∑N−k= x(k)⋅δ(t−kT) imOriginalbereich innerhalb einer Periode ≤

t < NT besitzt das zugehörige Spektrum∑N−k= x(k)⋅e−jπkT f der Fourier-Transformation.


Die im Originalbereich für −∞ < t < ∞ durchgeführte periodische Fortsetzung

xFT(t) = NT∞

∑k=−∞

x(k) ⋅ δ(t − kT) =F

∞

∑k=−∞

x(k) ⋅ δ(t − kT)

führt zu der Abtastung des Spektrums∑N−k= x(k) ⋅ e−jπkT f im Spektralbereich an den Stel-

len fℓ = ℓF = ℓ/(NT)mit −∞ < ℓ < ∞ gemäß

XFT( f ) =∞

∑ℓ=−∞

(N−

∑k=

x(k) ⋅ e−jπkTℓ/(NT)) ⋅ δ ( f −ℓ

NT)

=∞

∑ℓ=−∞

(N−

∑k=

x(k) ⋅ e−jπkℓ/N) ⋅ δ ( f −ℓ

NT) .

Die finite Spektralfolge {X(ℓ)}≤ℓ≤N− der Länge N innerhalb einer Periode im Spek-tralbereich ergibt sich mit der angegebenen Formel aus der Definition der diskretenFourier-Transformation entsprechend

X(ℓ) = DFT{x(k)} =N−

∑k=

x(k) ⋅ e−jπkℓ/N (3.25)

mit der Rücktransformationsformel


N−

∑ℓ=

X(ℓ) ⋅ ejπkℓ/N . (3.26)

Das abgetastete und periodisch fortgesetzte Spektrum im Spektralbereich folgt hiermit zu

XFT( f ) =∞

∑ℓ=−∞

X(ℓ) ⋅ δ ( f −ℓ

NT) =

∞

∑ℓ=−∞

X(ℓ) ⋅ δ( f − ℓF)

mit der Abtastperiode F = (NT)−. Wegen des auftretenden Drehfaktors e∓jπkℓ/N ent-spricht bei der diskreten Fourier-Transformation die normierte Abtastperiode T = imOriginalbereich der normierten Abtastperiode F = (NT)− = N− = /N im Spektralbe-reich.

Abschließend leiten wir im Folgenden das resultierende Spektrum aus der Abtastung imOriginalbereich sowie im Spektralbereich her. Das im Originalbereich sowohl abgetasteteals auch periodisch fortgesetzte Signal

xFT(t) =∞

∑k=−∞

xF(kT) ⋅ δ(t − kT)

besitzt das zugehörige periodisch fortgesetzte abgetastete Spektrum

XFT( f ) =T

∞

∑k=−∞

XF ( f −kT) .


Das im Spektralbereich abgetastete Spektrum XF( f ) ist gegeben durch

XF( f ) =∞

∑ℓ=−∞

X(ℓF) ⋅ δ( f − ℓF)

beziehungsweise

XF ( f −kT) =

∞

∑ℓ=−∞

X(ℓF) ⋅ δ ( f −kT− ℓF) .

Daraus folgt

XFT( f ) =T

∞

∑k=−∞

XF ( f −kT)

=T

∞

∑k=−∞

∞

∑ℓ=−∞

X(ℓF) ⋅ δ ( f −kT− ℓF) .

Mit der Periode im Spektralbereich T− = NF gilt somit

XFT( f ) =T

∞

∑k=−∞

∞

∑ℓ=−∞

X(ℓF) ⋅ δ ( f − kNF − ℓF)

=T

∞

∑k=−∞

∞

∑ℓ=−∞

X(ℓF) ⋅ δ ( f − [kN + ℓ] F) .

Durch Ersetzen des Summationsindex ℓ durch kN + ℓ und Vertauschen der Summations-reihenfolge folgt

XFT( f ) =T

∞

∑k=−∞

∞

∑ℓ=−∞

X ([ℓ − kN]F) ⋅ δ( f − ℓF)

=∞

∑ℓ=−∞

(T

∞

∑k=−∞

X ([ℓ − kN]F)) ⋅ δ( f − ℓF) .

Entsprechend der bereits hergeleiteten Beziehung

XFT( f ) =∞

∑ℓ=−∞

X(ℓ) ⋅ δ( f − ℓF)

ergibt sich die finite Spektralfolge {X(ℓ)}≤ℓ≤N− der Länge N innerhalb einer Periode ≤f < NF im Spektralbereich aus der Formel

X(ℓ) =T

∞

∑k=−∞

X ([ℓ − kN]F) . (3.27)

Diese finite Spektralfolge erhalten wir aufgrund der Abtastung im Originalbereich und imSpektralbereich sowie durch die zugehörige periodische Fortsetzung.


Abb. 3.17 Finite Signalfolge{x(k)}≤k≤N− und finite Spek-tralfolge {X(ℓ)}≤ℓ≤N− mitN = /(FT) =

Insgesamt gilt somit für das kontinuierliche Signal x(t) und das zugehörige kontinuier-liche Spektrum X( f ), die sowohl imOriginalbereich als auch im Spektralbereich abgetastetwerden, die folgende Vorschrift für die diskrete Fourier-Transformation

x(k) =∞

∑ℓ=−∞

x ([k − ℓN]T) � � X(ℓ) =T

∞

∑k=−∞

X ([ℓ − kN]F) (3.28)

mit der finiten Signalfolge x(k) = IDFT {X(ℓ)} der Länge N mit ≤ k ≤ N − sowie derfiniten Spektralfolge X(ℓ) = DFT {x(k)} der Länge N mit ≤ ℓ ≤ N − . Abbildung 3.17stellt diese Folgen für das inAbb. 3.13 veranschaulichte kontinuierliche Signal x(t)mit demzugehörigen kontinuierlichen Spektrum X( f ) dar.

3.5.3 Spezialfälle

3.5.3.1 Begrenzte kontinuierliche SignaleIm Fall eines imOriginalbereich auf das Zeitintervall ≤ t < NT begrenzte kontinuierlicheSignal x(t) gilt für die finite Signalfolge

x(k) = x(kT)

mit ≤ k ≤ N − . Die finite Spektralfolge resultiert aus der Überlagerung periodisch fort-gesetzter Spektren gemäß

X(ℓ) =T

∞

∑k=−∞

X ([ℓ − kN]F)

= . . . +T⋅ X ([ℓ + N]F) +

T⋅ X (ℓF) +

T⋅ X ([ℓ − N] F) + . . .


mit ≤ ℓ ≤ N − . Dieser Effekt wird aufgrund der überlagerten verschobenen SpektrenX([ℓ − kN]F) mit dem Summationsindex −∞ < k < ∞ als Aliasing im Frequenzbereichbezeichnet.

3.5.3.2 Begrenzte kontinuierliche SpektrenIm Fall eines im Spektralbereich auf das Frequenzintervall ≤ f < NF begrenzte kontinu-ierliche Spektrum X( f ) gilt für die finite Spektralfolge

X(ℓ) =T⋅ X(ℓF)

mit ≤ ℓ ≤ N − . Alternativ wird üblicherweise das Frequenzintervall

−NF

< f <NF

für begrenzte kontinuierliche Spektren X( f ) symmetrisch zu f = betrachtet.4 Die finiteSignalfolge resultiert aus der Überlagerung periodisch fortgesetzter Signale gemäß

x(k) =∞

∑ℓ=−∞

x ([k − ℓN]T)

= . . . + x ([k + N]T) + x (kT) + x ([k − N]T) + . . .

mit ≤ k ≤ N − . Wegen der überlagerten verschobenen Signale x([k − ℓN]T)mit demSummationsindex −∞ < ℓ < ∞ heißt dieser Effekt Aliasing im Zeitbereich.

4 Dies entspricht dem Index−N/ ≤ ℓ ≤ N/− aufgrund derN-Periodizität der auf die Indexmengeder ganzen Zahlen periodisch fortgesetzten Spektralfolge, wobei X(−N/) = X(N/) = für ℓ =±N/ vorausgesetzt wird.

4Eigenschaften der DFT

In diesem Kapitel stellen wir die wichtigsten Eigenschaften der diskreten Fourier-Transformation definiert durch die Transformationsgleichungen

X(ℓ) =N−

∑k=


�

�

x(k) =N

N−

∑ℓ=


mit der Spektralfolge X(ℓ) = DFT {x(k)} und der Signalfolge x(k) = IDFT {X(ℓ)} jeweilsder Länge N zusammen [3, 14, 25]. Die finite Signalfolge {x(k)}≤k≤N− mit x(k) ∈ C unddie finite Spektralfolge {X(ℓ)}≤ℓ≤N− mit X(ℓ) ∈ C sind in der Regel komplex. In prakti-schen Anwendungen ist die finite Signalfolge häufig reell x(k) ∈ R, wobei die zugehörigefinite Spektralfolge auch für reelle Signalfolgen in der Regel komplex ist X(ℓ) ∈ C. Fürrein reelle Signalfolgen x(k) ∈ R oder rein reelle Spektralfolgen X(ℓ) ∈ R geben wir ingrafischen Abbildungen ausschließlich x(k) oder X(ℓ) an.

Die in Kap. 3 gezeigte Abb. 3.2 auf S. 18 stellt die in den meisten folgenden Beispielenzugrunde gelegte reelle Signalfolge der Länge N = dar, während Abb. 3.3 und Abb. 3.4die zugehörige Spektralfolge in kartesischen Koordinaten und Polarkoordinaten zeigen.In Abb. 4.1 sind die reelle Signalfolge {x(k)}≤k≤N− sowie die komplexe Spektralfolge{X(ℓ)}≤ℓ≤N− in kartesischen Koordinaten erneut dargestellt.

4.1 Linearität

Die diskrete Fourier-Transformation DFT stellt einschließlich der zugehörigen inversendiskreten Fourier-Transformation IDFT eine lineare Transformation dar, das heißt es gilt


48 4 Eigenschaften der DFT

Abb. 4.1 Signalfolge{x(k)}≤k≤N− und Spektralfol-ge {X(ℓ)}≤ℓ≤N−

das Superpositionsgesetz

DFT {a ⋅ x(k) + b ⋅ y(k)} = a ⋅DFT{x(k)} + b ⋅DFT {y(k)}

beziehungsweise

a ⋅ x(k) + b ⋅ y(k) � � a ⋅ X(ℓ) + b ⋅ Y(ℓ) (4.1)

mit den Spektralfolgen X(ℓ) = DFT {x(k)}undY(ℓ) = DFT{y(k)} sowie den komplexenKoeffizienten a, b ∈ C. Dies wird leicht ersichtlich anhand der folgenden Herleitung.

DFT {a ⋅ x(k) + b ⋅ y(k)} =N−

∑k=

(a ⋅ x(k) + b ⋅ y(k)) ⋅ e−jπkℓ/N

= aN−

∑k=

x(k) ⋅ e−jπkℓ/N + bN−

∑k=

y(k) ⋅ e−jπkℓ/N

= a ⋅ X(ℓ) + b ⋅ Y(ℓ)

= a ⋅DFT{x(k)} + b ⋅DFT {y(k)}

4.2 Spiegelung

4.2.1 Spiegelung imOriginalbereich

Die Spiegelung der Signalfolge {x(k)}≤k≤N− ist unter Beachtung der Periodizität der aufdie Indexmenge Z der ganzen Zahlen periodisch fortgesetzten Signalfolge mit der Periode

4.2 Spiegelung 49

N sowie dermodulo-Rechnung definiert gemäß

x(−k) = x(−k mod N) = {x() , k = x(N − k), ≤ k ≤ N −


x(−) = x() ,

x(−) = x(N − ) ,

x(−) = x(N − ) ,⋮

x(−N + ) = x() .

Die zugehörige Spektralfolge folgt aus

DFT{x(−k)} =N−

∑k=

x(−k) ⋅ e−jπkℓ/N

= x() +N−∑k=

x(−k) ⋅ e−jπkℓ/N

= x() +N−

∑k=

x(N − k) ⋅ e−jπkℓ/N .

Mit der Ersetzung des Index N − k durch den Index k ergibt sich

DFT {x(−k)} = x() +N−

∑k=

x(N − k) ⋅ e−jπkℓ/N

= x() +

∑k=N−

x(k) ⋅ e−jπ(N−k)ℓ/N

= x() +N−

∑k=

x(k) ⋅ e−jπNℓ/N ⋅ ejπkℓ/N

= x() +N−

∑k=

x(k) ⋅ e−jπℓ ⋅ ejπkℓ/N

= x() +N−∑k=

x(k) ⋅ ejπkℓ/N

=N−

∑k=

x(k) ⋅ ejπkℓ/N

=N−

∑k=

x(k) ⋅ e−jπk(−ℓ)/N

= X(−ℓ)


unter Verwendung der π-Periodizität der harmonischen Funktion e−jϕ . Die gespiegelteSignalfolge {x(−k)}≤k≤N− führt somit entsprechend der Transformationsvorschrift

x(−k) � � X(−ℓ) (4.2)

ebenso auf die gespiegelte Spektralfolge {X(−ℓ)}≤ℓ≤N− . Diese ist gegeben durch

X(−ℓ) = X(−ℓ mod N) = {X() , ℓ = X(N − ℓ), ≤ ℓ ≤ N −


X(−) = X() ,

X(−) = X(N − ) ,X(−) = X(N − ) ,

⋮

X(−N + ) = X() .

4.2.2 Spiegelung im Spektralbereich

Entsprechend dem Ergebnis des Abschn. 4.2.1 führt die Spiegelung der Spektralfolge{X(−ℓ)}≤ℓ≤N− auf die gespiegelte Signalfolge {x(−k)}≤k≤N− gemäß der Transforma-tionsvorschrift

X(−ℓ) � � x(−k) . (4.3)

Abb. 4.2 Spiegelung der Signal-folge {x(−k)}≤k≤N− und derSpektralfolge {X(−ℓ)}≤ℓ≤N−

4.3 Gerade und ungerade Folgen 51

In Abb. 4.2 ist die Spiegelung für die in Abb. 4.1 auf S. 48 gezeigten Signalfolge und Spek-tralfolge veranschaulicht.

4.3 Gerade und ungerade Folgen

4.3.1 Gerade und ungerade Signalfolgen

Die finite Signalfolge {x(k)}≤k≤N− kann unter Beachtung der N-Periodizität durch eineÜberlagerung

x(k) = x′(k) + x′′(k)

einer geraden Signalfolge

x′(k) = x′(−k)

und einer ungeraden Signalfolge

x′′(k) = −x′′(−k)

formuliert werden. Unter Berücksichtigung der Beziehungen

x(k) = x′(k) + x′′(k) ,

x(−k) = x′(−k) + x′′(−k)

= x′(k) − x′′(k)

erhalten wir aufgelöst nach den geraden und ungeraden Signalfolgen die Ausdrücke

x′(k) =x(k) + x(−k)

,

x′′(k) =x(k) − x(−k)

.

Hierbei gilt für die gespiegelte Signalfolge erneut aufgrund der N-Periodizität sowie dermodulo-Rechnung

x(−k) = x(−k mod N) = {x() , k = x(N − k), ≤ k ≤ N −

.

Mit den Spektralfolgen DFT {x(k)} = X(ℓ) und DFT {x(−k)} = X(−ℓ) folgen aufgrundder Linearität der diskreten Fourier-Transformation die resultierenden Spektralfolgen der


geraden und ungeraden Signalfolgen

x′(k) =x(k) + x(−k)

� � X′(ℓ) =

X(ℓ) + X(−ℓ)

(4.4)

und

x′′(k) =x(k) − x(−k)

� � X′′(ℓ) =

X(ℓ) − X(−ℓ)

. (4.5)

4.3.2 Gerade und ungerade Spektralfolgen

Wie im Fall der finiten Signalfolge {x(k)}≤k≤N− im Abschn. 4.3.1 kann die finite Spek-tralfolge {X(ℓ)}≤ℓ≤N− unter Beachtung der N-Periodizität durch eine Überlagerung

X(ℓ) = X′(ℓ) + X′′(ℓ)

einer geraden SpektralfolgeX′(ℓ) = X′(−ℓ)

und einer ungeraden Spektralfolge

X′′(ℓ) = −X′′(−ℓ)

formuliert werden. Unter Berücksichtigung der Beziehungen

X(ℓ) = X′(ℓ) + X′′(ℓ) ,

X(−ℓ) = X′(−ℓ) + X′′(−ℓ)= X′(ℓ) − X′′(ℓ)

erhalten wir aufgelöst nach den geraden und ungeraden Spektralfolgen die Ausdrücke

X′(ℓ) =X(ℓ) + X(−ℓ)

,

X′′(ℓ) =X(ℓ) − X(−ℓ)

.

Hierbei gilt für die gespiegelte Spektralfolge wiederum

X(−ℓ) = X(−ℓ mod N) = {X() , ℓ = X(N − ℓ), ≤ ℓ ≤ N −

.

Mit den Signalfolgen IDFT {X(ℓ)} = x(k) und IDFT {X(−ℓ)} = x(−k) folgen aufgrundder Linearität der inversen diskreten Fourier-Transformation die resultierenden Signal-

4.3 Gerade und ungerade Folgen 53

Abb. 4.3 Gerade Signalfolge{x′(k)}≤k≤N− und gerade Spek-tralfolge {X′(ℓ)}≤ℓ≤N−

Abb. 4.4 Ungerade Signalfolge{x′′(k)}≤k≤N− und ungeradeSpektralfolge {X′′(ℓ)}≤ℓ≤N−

folgen der geraden und ungeraden Spektralfolgen

X′(ℓ) =X(ℓ) + X(−ℓ)

� � x′(k) =

x(k) + x(−k)

(4.6)

und

X′′(ℓ) =X(ℓ) − X(−ℓ)

� � x′′(k) =

x(k) − x(−k)

. (4.7)

Zusammengefasst entsprechen die geraden und ungeraden Signalfolgen der finitenSignalfolge {x(k)}≤k≤N− den geraden und ungeraden Spektralfolgen der finiten Spek-tralfolge {X(ℓ)}≤ℓ≤N− . In Abb. 4.3 sind die gerade Signalfolge {x′(k)}≤k≤N− und diegerade Spektralfolge {X′(ℓ)}≤ℓ≤N− für die in Abb. 4.1 auf S. 48 gezeigten Signalfolge undSpektralfolge dargestellt. Entsprechend sind die ungerade Signalfolge {x′′(k)}≤k≤N− unddie ungerade Spektralfolge {X′′(ℓ)}≤ℓ≤N− in Abb. 4.4 veranschaulicht.


Wie in Abb. 4.3 veranschaulicht, ergibt sich für die gerade und reelle Signalfolge x′(k) =

x′(−k) eine ebenfalls gerade und reelle Spektralfolge

X′(ℓ) = R{X′(ℓ)} =R{X′(−ℓ)} = X′(−ℓ)

mit I{X′(ℓ)} = . Für eine ungerade und reelle Signalfolge x′′(k) = −x′′(−k) erhalten wirentsprechend Abb. 4.4 eine ungerade und rein imaginäre Spektralfolge

X′′(ℓ) = jI{X′′(ℓ)} = −jI{X′′(−ℓ)} = −X′′(−ℓ)

mitR{X′′(ℓ)} = .Dass für die hier betrachteten geraden undungeraden reellen Signalfol-gen besondere Eigenschaften hinsichtlich des Realteils beziehungsweise des Imaginärteilsder zugehörigen geraden und ungeraden Spektralfolgen gelten, liegt in der Reellwertigkeitder Signalfolgen begründet. Zur Herleitung dieser Eigenschaften reeller Signalfolgen wen-den wir uns der komplexen Konjugation komplexer Signalfolgen zu.

4.4 Komplexe Konjugation

In diesem und dem folgenden Abschnitt gehen wir von komplexen finiten Signalfolgen{x(k)}≤k≤N− mit x(k) ∈ C sowie komplexen finiten Spektralfolgen {X(ℓ)}≤ℓ≤N− mitX(ℓ) ∈ C aus. Abbildung 4.5 veranschaulicht beispielsweise eine komplexe Signalfolgex(k) = R{x(k)} + jI{x(k)} mit ihrer zugehörigen ebenfalls komplexen SpektralfolgeX(ℓ) =R{X(ℓ)} + jI{X(ℓ)}.

4.4.1 Komplexe Konjugation imOriginalbereich

Die konjugiert komplexe Signalfolge {x∗(k)}≤k≤N− besitzt die Spektralfolge

DFT {x∗(k)} =N−

∑k=

x∗(k) ⋅ e−jπkℓ/N

=N−∑k=

x∗(k) ⋅ (ejπkℓ/N)∗

= (N−

∑k=

x(k) ⋅ ejπkℓ/N)∗

4.4 Komplexe Konjugation 55

= (N−

∑k=

x(k) ⋅ e−jπk(−ℓ)/N)∗

= X∗(−ℓ) .

Die komplexe Konjugation der Signalfolge führt entsprechend der Transformationsvor-schrift

x∗(k) � � X∗(−ℓ) (4.8)

auf die gespiegelte und konjugiert komplexe Spektralfolge gegeben durch

X∗(−ℓ) = X∗(−ℓ mod N) = {X∗() , ℓ = X∗(N − ℓ), ≤ ℓ ≤ N −


X∗(−) = X∗() ,

X∗(−) = X∗(N − ) ,

X∗(−) = X∗(N − ) ,⋮

X∗(−N + ) = X∗() .

In Abb. 4.6 ist die komplexe Konjugation der Signalfolge und der gespiegelten Spektralfol-ge für die in Abb. 4.5 gezeigte komplexe Signalfolge {x(k)}≤k≤N− mit der zugehörigenSpektralfolge {X(ℓ)}≤ℓ≤N− dargestellt.

Abb. 4.5 Komplexe Signalfolge{x(k)}≤k≤N− und komplexeSpektralfolge {X(ℓ)}≤ℓ≤N−


Abb. 4.6 Komplexe Konjugationder Signalfolge {x∗(k)}≤k≤N−und der gespiegelten Spektralfolge{X∗(−ℓ)}≤ℓ≤N−

4.4.1.1 Reelle SignalfolgenFür eine reelle finite Signalfolge {x(k)}≤k≤N− mit x(k) = R{x(k)} ∈ R gilt

x(k) = x∗(k) ,

da wegen I{x(k)} = bei der komplexen Konjugation der Vorzeichenwechsel des Imagi-närteils keinen Einfluss hat. Mit den Spektralfolgen

DFT {x(k)} = X(ℓ) =R{X(ℓ)} + jI{X(ℓ)}

und

DFT{x∗(k)} = X∗(−ℓ) =R{X(−ℓ)} − jI{X(−ℓ)}

ergeben sich für eine reelle Signalfolge unter Beachtung von X(ℓ) = X∗(−ℓ) die folgendenSymmetrieeigenschaften der finiten Spektralfolge {X(ℓ)}≤ℓ≤N−

R{X(ℓ)} = R{X(−ℓ)} ,

I{X(ℓ)} = −I{X(−ℓ)} .

Der RealteilR{X(ℓ)} stellt eine gerade Folge dar, während der Imaginärteil I{X(ℓ)} eineungerade Folge ist. In Abb. 4.7 sind die reelle Signalfolge und die symmetrische Spektral-folge entsprechend Abb. 4.1 auf S. 48 dargestellt.

4.4 Komplexe Konjugation 57

Abb. 4.7 Reelle Signalfolge{x(k)}≤k≤N− und symmetrischeSpektralfolge {X(ℓ)}≤ℓ≤N− mitgeradem RealteilR{X(ℓ)} undungeradem Imaginärteil I{X(ℓ)}

4.4.2 Komplexe Konjugation im Spektralbereich

Die konjugiert komplexe Spektralfolge {X∗(ℓ)}≤ℓ≤N− besitzt die Signalfolge

IDFT {X∗(ℓ)} =N

N−∑ℓ=

X∗(ℓ) ⋅ ejπkℓ/N

=N

N−

∑ℓ=

X∗(ℓ) ⋅ (e−jπkℓ/N)∗

= (N

N−

∑ℓ=

X(ℓ) ⋅ e−jπkℓ/N)∗

= (N

N−

∑ℓ=

X(ℓ) ⋅ ejπ(−k)ℓ/N)∗

= x∗(−k) .

Die komplexe Konjugation der Spektralfolge führt entsprechend der Transformationsvor-schrift

X∗(ℓ) � � x∗(−k) (4.9)

auf die gespiegelte und konjugiert komplexe Signalfolge gegeben durch

x∗(−k) = x∗(−k mod N) =

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

x∗() , k = x∗(N − k), ≤ k ≤ N −


Abb. 4.8 Komplexe Konjugati-on der gespiegelten Signalfolge{x∗(−k)}≤k≤N− und der Spek-tralfolge {X∗(ℓ)}≤ℓ≤N−


x∗(−) = x∗() ,

x∗(−) = x∗(N − ) ,

x∗(−) = x∗(N − ) ,

⋮

x∗(−N + ) = x∗() .

In Abb. 4.8 ist die komplexe Konjugation der Spektralfolge {X∗(ℓ)}≤ℓ≤N− und der ge-spiegelten Signalfolge {x∗(−k)}≤k≤N− für die in Abb. 4.5 auf S. 55 gezeigten komplexenSignalfolge und Spektralfolge dargestellt.

4.5 Realteil und Imaginärteil

4.5.1 Realteil und Imaginärteil im Originalbereich

Der Realteil der komplexen Signalfolge {x(k)}≤k≤N− ist gegeben durch

R{x(k)} =x(k) + x∗(k)

.

Mit den zugehörigen Spektralfolgen DFT {x(k)} = X(ℓ) und DFT {x∗(k)} = X∗(−ℓ)folgt aufgrund der Linearität der diskreten Fourier-Transformation die resultierende

4.5 Realteil und Imaginärteil 59

Abb. 4.9 Signalfolge{y(k)}≤k≤N− mit y(k) =R{x(k)} und Spektralfolge{Y(ℓ)}≤ℓ≤N− mit Y(ℓ) =(X(ℓ) + X∗(−ℓ)) /

Spektralfolge

DFT {R{x(k)}} = DFT{x(k) + x∗(k)

}

=DFT {x(k)} +DFT {x∗(k)}

=X(ℓ) + X∗(−ℓ)

.

Somit lautet die entsprechende Transformationsvorschrift für den Realteil der Signalfolgeim Originalbereich

R{x(k)} =x(k) + x∗(k)

� �

X(ℓ) + X∗(−ℓ)

. (4.10)

In Abb. 4.9 sind die reelle Signalfolge mit den Signalwerten y(k) = R{x(k)} und denSpektralwertenY(ℓ) = (X(ℓ) + X∗(−ℓ)) / für die inAbb. 4.5 auf S. 55 gezeigte Signalfolge{x(k)}≤k≤N− mit der Spektralfolge {X(ℓ)}≤ℓ≤N− dargestellt.

Der Imaginärteil der komplexen Signalfolge {x(k)}≤k≤N− berechnet sich gemäß

I{x(k)} =x(k) − x∗(k)

j.

Ähnlich wie für den Realteil R{x(k)} erhalten wir unter Verwendung der SpektralfolgenDFT {x(k)} = X(ℓ) und DFT {x∗(k)} = X∗(−ℓ) sowie unter Beachtung der Linearität


der diskreten Fourier-Transformation die resultierende Spektralfolge

DFT {I{x(k)}} = DFT{x(k) − x∗(k)

j}

=DFT{x(k)} −DFT{x∗(k)}

j

=X(ℓ) − X∗(−ℓ)

j.

Die zugehörige Transformationsvorschrift für den Imaginärteil der Signalfolge im Origi-nalbereich lautet

I{x(k)} =x(k) − x∗(k)

j� �

X(ℓ) − X∗(−ℓ)j

. (4.11)

In Abb. 4.10 sind die reelle Signalfolge mit den Signalwerten y(k) = I{x(k)} und denSpektralwerten Y(ℓ) = (X(ℓ) − X∗(−ℓ)) /(j) für die in Abb. 4.5 auf S. 55 gezeigte kom-plexe Signalfolge {x(k)}≤k≤N− mit der Spektralfolge {X(ℓ)}≤ℓ≤N− veranschaulicht.

4.5.2 Realteil und Imaginärteil im Spektralbereich

Der Realteil der komplexen Spektralfolge {X(ℓ)}≤ℓ≤N− ist gegeben durch

R{X(ℓ)} =X(ℓ) + X∗(ℓ)

.

Mit den Signalfolgen IDFT {X(ℓ)} = x(k) und IDFT {X∗(ℓ)} = x∗(−k) folgt aufgrundder Linearität der inversen diskreten Fourier-Transformation die resultierende Signalfolge

IDFT {R{X(ℓ)}} = IDFT{X(ℓ) + X∗(ℓ)

}

=IDFT {X(ℓ)} + IDFT {X∗(ℓ)}

=x(k) + x∗(−k)

.

Somit lautet die Transformationsvorschrift für den Realteil im Spektralbereich

R{X(ℓ)} =X(ℓ) + X∗(ℓ)

� �

x(k) + x∗(−k)

. (4.12)

In Abb. 4.11 sind die Spektralfolge mit den Spektralwerten Y(ℓ) = R{X(ℓ)} und denzugehörigen Signalwerten y(k) = (x(k) + x∗(−k)) / für die in Abb. 4.5 auf S. 55 gezeig-te komplexe Signalfolge {x(k)}≤k≤N− mit der zugehörigen Spektralfolge {X(ℓ)}≤ℓ≤N−dargestellt.

4.5 Realteil und Imaginärteil 61

Abb. 4.10 Signalfolge{y(k)}≤k≤N− mit y(k) =I{x(k)} und Spektralfolge{Y(ℓ)}≤ℓ≤N− mit Y(ℓ) =(X(ℓ) − X∗(−ℓ)) /(j)

Abb. 4.11 Spektralfolge{Y(ℓ)}≤ℓ≤N− mit Y(ℓ) =R{X(ℓ)} und Signalfolge{y(k)}≤k≤N− mit y(k) =(x(k) + x∗(−k)) /

Der Imaginärteil der komplexen Spektralfolge {X(ℓ)}≤ℓ≤N− berechnet sich gemäß

I{X(ℓ)} =X(ℓ) − X∗(ℓ)

j.

Wie für den Realteil R{X(ℓ)} wird mit den Signalfolgen IDFT {X(ℓ)} = x(k) undIDFT {X∗(ℓ)} = x∗(−k) unter Beachtung der Linearität der inversen diskreten Fourier-


Abb. 4.12 Spektralfolge{Y(ℓ)}≤ℓ≤N− mit Y(ℓ) =I{X(ℓ)} und Signalfolge{y(k)}≤k≤N− mit y(k) =(x(k) − x∗(−k)) /(j)

Transformation die resultierende Signalfolge wie folgt berechnet.

IDFT {I{X(ℓ)}} = IDFT{X(ℓ) − X∗(ℓ)

j}

=IDFT {X(ℓ)} − IDFT {X∗(ℓ)}

j

=x(k) − x∗(−k)

j

Die Transformationsvorschrift für den Imaginärteil im Spektralbereich ergibt sich zu

I{X(ℓ)} =X(ℓ) − X∗(ℓ)

j� �

x(k) − x∗(−k)j

. (4.13)

In Abb. 4.12 sind die Spektralfolge mit den Spektralwerten Y(ℓ) = I{X(ℓ)} und den Si-gnalwerten y(k) = (x(k) − x∗(−k)) /(j) für die in Abb. 4.5 auf S. 55 gezeigte Signalfolge{x(k)}≤k≤N− und die Spektralfolge {X(ℓ)}≤ℓ≤N− veranschaulicht.

4.6 Verschiebung

4.6.1 Verschiebung im Originalbereich

Die periodische Verschiebung der finiten Signalfolge {x(k)}≤k≤N− um denVersatz k wirdunter Beachtung der N-Periodizität der auf die Indexmenge Z der ganzen Zahlen peri-

4.6 Verschiebung 63

odisch fortgesetzten Signalfolge sowie dermodulo-Rechnung definiert durch

y(k) = x(k − k) = x(k − k mod N) =

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

x(k + N − k), ≤ k ≤ k − x(k − k) , k ≤ k ≤ N −

mit ≤ k ≤ N − beziehungsweise ausführlich

y() = x(N − k) ,

y() = x(N − k + ) ,

⋮

y(k − ) = x(N − ) ,

y(k) = x() ,

⋮

y(N − ) = x(N − − k) .

Die zugehörige Spektralfolge Y(ℓ) = DFT{y(k)} = DFT {x(k − k)} ergibt sich mit derIndexersetzung k − k durch den Summationsindex k aus der Rechnung

DFT {x(k − k)} =N−∑k=

x(k − k) ⋅ e−jπkℓ/N

=N−−k∑

k=−kx(k) ⋅ e−jπ(k+k)ℓ/N

= e−jπk ℓ/NN−−k∑

k=−kx(k) ⋅ e−jπkℓ/N .

Der Summenausdruck folgt unter Beachtung der N-Periodizität der periodisch fortgesetz-ten finiten Signalfolge {x(k)}≤k≤N− gemäß

N−−k∑

k=−kx(k) ⋅ e−jπkℓ/N =

−∑

k=−kx(k) ⋅ e−jπkℓ/N +

N−−k∑k=


=−

∑k=−k

x(k + N) ⋅ e−jπkℓ/N +N−−k∑k=

x(k) ⋅ e−jπkℓ/N .

Mit der Indexersetzung k + N durch k in der ersten Summe und Zusammenfassung derSummenausdrücke erhalten wir aufgrund der π-Periodizität der harmonischen Funktion


ejϕ den Ausdruck

N−−k∑

k=−kx(k) ⋅ e−jπkℓ/N

=−

∑k=−k

x(k + N) ⋅ e−jπkℓ/N +N−−k∑k=


=N−

∑k=N−k

x(k) ⋅ e−jπ(k−N)ℓ/N +N−−k∑k=


=N−

∑k=N−k

x(k) ⋅ e−jπkℓ/N ⋅ ejπNℓ/N +N−−k∑k=


=N−

∑k=N−k

x(k) ⋅ e−jπkℓ/N ⋅ ejπℓ +N−−k∑k=


=N−

∑k=N−k

x(k) ⋅ e−jπkℓ/N +N−−k∑k=


=N−

∑k=


= X(ℓ) .

Zusammengefasst folgt für die um den Versatz k im Originalbereich periodisch verscho-bene Signalfolge{x(k − k)}≤k≤N− die Transformationsvorschrift

x(k − k) � � e−jπk ℓ/N ⋅ X(ℓ) . (4.14)

Die resultierende Spektralfolge mit den Spektralwerten Y(ℓ) = e−jπk ℓ/N ⋅ X(ℓ) ergibtsich durch Multiplikation der Spektralwerte X(ℓ) mit der harmonischen Folge e−jπk ℓ/N .In Abb. 4.13 sind die reelle Signalfolge {x(k)}≤k≤N− und die zugehörige Spektralfolge{X(ℓ)}≤ℓ≤N− in Polarkoordinaten X(ℓ) = ∣X(ℓ)∣ ⋅ ejϕ(ℓ) dargestellt, während Abb. 4.14die verschobene Signalfolge mit den Signalwerten y(k) = x(k − k) und k = sowie denSpektralwerten Y(ℓ) = e−jπk ℓ/N ⋅X(ℓ) = ∣Y(ℓ)∣ ⋅ ejψ(ℓ) zeigt. Die Beziehung zwischen denPolarkoordinaten der finiten Spektralfolgen lautet für den Betrag

∣Y(ℓ)∣ = ∣e−jπk ℓ/N ⋅ X(ℓ)∣ = ∣e−jπk ℓ/N ∣ ⋅ ∣X(ℓ)∣ = ∣X(ℓ)∣

unter Verwendung des Betrags der harmonischen Funktion ∣e−jϕ ∣ = und für den Winkel

ψ(ℓ) = ϕ(ℓ) −πkℓN

.

Zusammengefasst entspricht die Verschiebung der Signalfolge im Originalbereich einerPhasendrehung der Spektralfolge im Spektralbereich.

4.6 Verschiebung 65

Abb. 4.13 Signalfolge{x(k)}≤k≤N− und Spektralfol-ge {X(ℓ)}≤ℓ≤N−

Abb. 4.14 Verschobene Sig-nalfolge {y(k)}≤k≤N− mity(k) = x(k − k) und k = sowie Spektralfolge {Y(ℓ)}≤ℓ≤N−mit Y(ℓ) = e−jπk ℓ/N ⋅ X(ℓ) =∣Y(ℓ)∣ ⋅ ejψ(ℓ)

4.6.2 Verschiebung im Spektralbereich

Die periodische Verschiebung der finiten Spektralfolge {X(ℓ)}≤ℓ≤N− um den Versatz ℓmit ≤ ℓ ≤ N − ist definiert gemäß

Y(ℓ) = X(ℓ − ℓ) = X(ℓ − ℓ mod N) = {X(ℓ + N − ℓ), ≤ ℓ ≤ ℓ − X(ℓ − ℓ) , ℓ ≤ ℓ ≤ N −


unter Beachtung der N-Periodizität beziehungsweise ausführlich

Y() = X(N − ℓ) ,

Y() = X(N − ℓ + ) ,

⋮

Y(ℓ − ) = X(N − ) ,

Y(ℓ) = X() ,

⋮

Y(N − ) = X(N − − ℓ) .

Die zugehörige Signalfolge y(k) = IDFT {Y(ℓ)} = IDFT {X(ℓ − ℓ)} folgt mit der In-dexersetzung von ℓ − ℓ durch den Summationsindex ℓ gemäß

IDFT {X(ℓ − ℓ)} =N

N−

∑ℓ=

X(ℓ − ℓ) ⋅ ejπkℓ/N

=N

N−−ℓ∑

ℓ=−ℓX(ℓ) ⋅ ejπk(ℓ+ℓ)/N

= ejπkℓ/N ⋅N

N−−ℓ∑

ℓ=−ℓX(ℓ) ⋅ ejπkℓ/N .

Wie im Fall der periodischen Verschiebung im Originalbereich ergibt sich der Summen-ausdruck unter Beachtung der N-Periodizität der periodisch fortgesetzten Spektralfolge{X(ℓ)}≤ℓ≤N−, einer geeigneten Indexersetzung von ℓ+N durch den Summationsindex ℓsowie der π-Periodizität der harmonischen Funktion e−jϕ aus der folgenden Rechnung.

N

N−−ℓ∑

ℓ=−ℓX(ℓ) ⋅ ejπkℓ/N

=N

−

∑ℓ=−ℓ

X(ℓ) ⋅ ejπkℓ/N +N

N−−ℓ∑ℓ=


=N

−

∑ℓ=−ℓ

X(ℓ + N) ⋅ ejπkℓ/N +N

N−−ℓ∑ℓ=


=N

N−∑

ℓ=N−ℓX(ℓ) ⋅ ejπk(ℓ−N)/N +

N

N−−ℓ∑ℓ=


=N

N−

∑ℓ=N−ℓ

X(ℓ) ⋅ ejπkℓ/N ⋅ e−jπkN/N +N

N−−ℓ∑ℓ=


4.6 Verschiebung 67

=N

N−∑

ℓ=N−ℓX(ℓ) ⋅ ejπkℓ/N ⋅ e−jπk +

N

N−−ℓ∑ℓ=


=N

N−

∑ℓ=N−ℓ


N−−ℓ∑ℓ=


=N

N−∑ℓ=


= x(k)

Zusammengefasst folgt für die um den Versatz ℓ periodisch verschobene Spektralfolge{X(ℓ − ℓ)}≤ℓ≤N− die Transformationsvorschrift

X(ℓ − ℓ) � � ejπkℓ/N ⋅ x(k) . (4.15)

Die periodische Verschiebung der Spektralfolge im Spektralbereich entspricht imOriginal-bereich einer Multiplikation der ursprünglichen Signalfolge mit der harmonischen Folgeejπkℓ/N . Abbildung 4.15 stellt die finite Signalfolge mit den Signalwerten y(k) = ejπkℓ /N ⋅

x(k) für ℓ = und die verschobene Spektralfolge mit den Spektralwerten Y(ℓ) = X(ℓ−ℓ)für die reelle Signalfolge {x(k)}≤k≤N− und die Spektralfolge {X(ℓ)}≤ℓ≤N− in Abb. 4.1auf S. 48 dar. Wie wir in Kap. 5 herleiten werden, stellt die harmonische Folge ejπkℓ/N

eine Signalfolge mit einem Spektralanteil an der Stelle ℓ beziehungsweise ℓ/N dar. DieMultiplikation einer Signalfolge mit einer solchen harmonischen Folge entsprechend derVerschiebung der Spektralfolge um den Versatz ℓ repräsentiert eineModulation.

Abb. 4.15 Signalfolge{y(k)}≤k≤N− mit y(k) =ejπkℓ/N ⋅ x(k) und ℓ = sowie verschobene Spektralfol-ge {Y(ℓ)}≤ℓ≤N− mit Y(ℓ) =X(ℓ − ℓ)


4.7 Multiplikation

4.7.1 Multiplikation im Originalbereich

Die Multiplikation der finiten Signalfolgen {x(k)}≤k≤N− und {y(k)}≤k≤N− führt fürdie diskrete Fourier-Transformation unter Verwendung der Rücktransformationsformelx(k) = IDFT {X(ℓ)} und der Hintransformationsformel Y(ℓ) = DFT {y(k)} auf die fol-gende Spektralfolge

DFT {x(k) ⋅ y(k)} =N−

∑k=

x(k) ⋅ y(k) ⋅ e−jπkℓ/N

=N−

∑k=

(N

N−

∑λ=

X(λ) ⋅ ejπkλ/N) ⋅ y(k) ⋅ e−jπkℓ/N

=N

N−

∑k=

N−

∑λ=

X(λ) ⋅ y(k) ⋅ e−jπk(ℓ−λ)/N

=N

N−

∑λ=

X(λ) ⋅ (N−

∑k=

y(k) ⋅ e−jπk(ℓ−λ)/N)

=N

N−

∑λ=

X(λ) ⋅ Y(ℓ − λ) .

Unter Verwendung der modulo-Rechnung wird die resultierende signaltheoretische Ope-ration

N−∑λ=

X(λ) ⋅ Y(ℓ − λ) =N−∑λ=

X(λ) ⋅ Y(ℓ − λ mod N) = X(ℓ) ⋆ Y(ℓ) (4.16)

als zirkulare, zyklische oder periodische Faltung bezeichnet. Bei der Berechnung dieserperiodischen Faltung ist die Periodizität der auf der Indexmenge Z der ganzen Zahlen pe-riodisch fortgesetzten finiten Spektralfolge {Y(ℓ)}≤ℓ≤N− mit der Periode N zu beachten.Die Multiplikation der finiten Signalfolgen im Originalbereich entspricht somit – bis aufdie zusätzliche Division durch denWert N – der periodischen Faltung der finiten Spektral-folgen im Spektralbereich gemäß der folgenden Transformationsvorschrift.

x(k) ⋅ y(k) � �

N

⋅ X(ℓ) ⋆ Y(ℓ) =N

N−

∑λ=

X(λ) ⋅ Y(ℓ − λ) (4.17)

Die aus der periodischen Faltung X(ℓ) ⋆ Y(ℓ) resultierende Folge wird auch als Faltungs-produkt bezeichnet. Wie leicht anhand der Definition hergeleitet werden kann, ist dieperiodische Faltung im Spektralbereich kommutativ, assoziativ und distributiv bezüglich

4.7 Multiplikation 69

Abb. 4.16 Reelle Signal-folgen {x(k)}≤k≤N− und{y(k)}≤k≤N− sowie Spek-tralfolgen {X(ℓ)}≤ℓ≤N− und{Y(ℓ)}≤ℓ≤N−

Abb. 4.17 Signalfolge{z(k)}≤k≤N− mit z(k) =x(k) ⋅ y(k) und Spektralfol-ge {Z(ℓ)}≤ℓ≤N− mit Z(ℓ) =X(ℓ) ⋆ Y(ℓ)/N


der Addition, das heißt es gilt

Kommutativität X(ℓ) ⋆ Y(ℓ) = Y(ℓ) ⋆ X(ℓ) ,

Assoziativität (X(ℓ) ⋆ Y(ℓ)) ⋆ Z(ℓ) = X(ℓ) ⋆ (Y(ℓ) ⋆ Z(ℓ)) ,Distributivität (X(ℓ) + Y(ℓ)) ⋆ Z(ℓ) = X(ℓ) ⋆ Z(ℓ) + Y(ℓ) ⋆ Z(ℓ) .

In Abb. 4.16 sind die reellen Signalfolgen {x(k)}≤k≤N− und {y(k)}≤k≤N− sowie dieSpektralfolgen {X(ℓ)}≤ℓ≤N− und {Y(ℓ)}≤ℓ≤N− dargestellt, während Abb. 4.17 die Sig-nalfolge {z(k)}≤k≤N− mit z(k) = x(k) ⋅ y(k) sowie die Spektralfolge {Z(ℓ)}≤ℓ≤N− mitZ(ℓ) = X(ℓ) ⋆ Y(ℓ)/N zeigt.

4.7.2 Multiplikation im Spektralbereich

Die Multiplikation der Spektralfolgen {X(ℓ)}≤ℓ≤N− und {Y(ℓ)}≤ℓ≤N− im Spektralbe-reich führtmit einer ähnlichenRechnungwie imFall derMultiplikation imOriginalbereichauf die periodische Faltung der Signalfolgen {x(k)}≤k≤N− und {y(k)}≤k≤N− im Origi-nalbereich, wie die folgende Rechnung zeigt.

IDFT {X(ℓ) ⋅ Y(ℓ)} =N

N−

∑ℓ=

X(ℓ) ⋅ Y(ℓ) ⋅ ejπkℓ/N

=N

N−∑ℓ=

(N−∑κ=

x(κ) ⋅ e−jπκℓ/N) ⋅ Y(ℓ) ⋅ ejπkℓ/N

=N

N−

∑ℓ=

N−

∑κ=

x(κ) ⋅ Y(ℓ) ⋅ ejπ(k−κ)ℓ/N

=N−

∑κ=

x(κ) ⋅ (N

N−

∑ℓ=

Y(ℓ) ⋅ ejπ(k−κ)ℓ/N)

=N−

∑κ=

x(κ) ⋅ y(k − κ)

Die auftretende signaltheoretische Operation

N−

∑κ=

x(κ) ⋅ y(k − κ) =N−

∑κ=

x(κ) ⋅ y(k − κ mod N) = x(k) ⋆ y(k) (4.18)

entspricht erneut der periodischen Faltung, die hier im Originalbereich berechnet wird un-ter Berücksichtigung der N-Periodizität der finiten Signalfolgen. Die Multiplikation imSpektralbereich der korrespondierenden finiten Spektralfolgen entspricht der periodischen

4.8 Periodische Faltung 71

Abb. 4.18 Signalfolge{z(k)}≤k≤N− mit z(k) =x(k) ⋆ y(k) und Spektralfol-ge {Z(ℓ)}≤ℓ≤N− mit Z(ℓ) =X(ℓ) ⋅ Y(ℓ)

Faltung der Signalfolgen im Originalbereich gemäß der Transformationsvorschrift

X(ℓ) ⋅ Y(ℓ) � � x(k) ⋆ y(k) =N−

∑κ=

x(κ) ⋅ y(k − κ) (4.19)

mit dem Faltungsprodukt x(k) ⋆ y(k). Wie im Spektralbereich ist die periodische FaltungimOriginalbereich ebenfalls kommutativ, assoziativ und distributiv bezüglich der Addition,das heißt es gilt

Kommutativität x(k) ⋆ y(k) = y(k) ⋆ x(k) ,

Assoziativität (x(k) ⋆ y(k)) ⋆ z(k) = x(k) ⋆ (y(k) ⋆ z(k)) ,

Distributivität (x(k) + y(k)) ⋆ z(k) = x(k) ⋆ z(k) + y(k) ⋆ z(k) .

InAbb. 4.18 sind die Signalfolge {z(k)}≤k≤N− mit z(k) = x(k)⋆y(k)und die Spektralfol-ge {Z(ℓ)}≤ℓ≤N− mit Z(ℓ) = X(ℓ) ⋅Y(ℓ) für die in Abb. 4.16 auf S. 69 dargestellten reellenSignalfolgen {x(k)}≤k≤N− und {y(k)}≤k≤N− sowie die Spektralfolgen {X(ℓ)}≤ℓ≤N−und {Y(ℓ)}≤ℓ≤N− veranschaulicht.

4.8 Periodische Faltung

4.8.1 Periodische Faltung im Originalbereich

Wie im Abschn. 4.7.2 hergeleitet führt die periodische Faltung der Signalfolgen{x(k)}≤k≤N− und {y(k)}≤k≤N− im Originalbereich auf die Multiplikation der Spek-tralfolgen {X(ℓ)}≤ℓ≤N− und {Y(ℓ)}≤ℓ≤N− im Spektralbereich, das heißt es gilt für das


Faltungsprodukt die Transformationsvorschrift

x(k) ⋆ y(k) =N−

∑κ=

x(κ) ⋅ y(k − κ) � � X(ℓ) ⋅ Y(ℓ) . (4.20)

Abbildung 4.18 veranschaulicht bereits die periodische Faltung im Originalbereich.

Beispiel 4.1AlsBeispiel betrachtenwir die periodische Faltung der finiten Signalfolgen{x(k)}≤k≤N−und {y(k)}≤k≤N− der Länge N = . Gemäß der Vorschrift

z(k) = x(k) ⋆ y(k)

=

∑κ=

x(κ) ⋅ y(k − κ)

= x() ⋅ y(k) + x() ⋅ y(k − ) + x() ⋅ y(k − ) + x() ⋅ y(k − )

folgen aufgrund der periodischen Fortsetzung der Signalfolge {y(k)}≤k≤N− sowie dermodulo-Rechnung y(k − κ) = y(k − κ mod N) die ausführlichen Beziehungen

z() = x() ⋅ y() + x() ⋅ y(−) + x() ⋅ y(−) + x() ⋅ y(−)= x() ⋅ y() + x() ⋅ y() + x() ⋅ y() + x() ⋅ y() ,

z() = x() ⋅ y() + x() ⋅ y() + x() ⋅ y(−) + x() ⋅ y(−)

= x() ⋅ y() + x() ⋅ y() + x() ⋅ y() + x() ⋅ y() ,

z() = x() ⋅ y() + x() ⋅ y() + x() ⋅ y() + x() ⋅ y(−)

= x() ⋅ y() + x() ⋅ y() + x() ⋅ y() + x() ⋅ y() ,

z() = x() ⋅ y() + x() ⋅ y() + x() ⋅ y() + x() ⋅ y()

für das resultierende Faltungsprodukt z(k). ◇

Beispiel 4.2Für die periodische Faltung berechnen wir das Faltungsprodukt

z(k) = x(k) ⋆ y(k) =N−

∑κ=

x(κ) ⋅ y(k − κ) =N−

∑κ=

x(κ) ⋅ y(−[κ − k])

der Signalfolgen {x(k)}≤k≤N− und {y(k)}≤k≤N− im Originalbereich. Bei der Bil-dung der Summe für die periodische Faltung wird y(κ) zunächst gespiegelt y(−κ) =

y(−κ mod N) und anschließend um den Index k periodisch verschoben y(−[κ− k]) =y(−[κ − k] mod N). Anschließend wird Signalwert für Signalwert mit x(κ) multipli-ziert gemäß x(κ)⋅y(−[κ−k]) für ≤ κ ≤ N− und entsprechend∑

N−κ= x(κ)⋅y(−[κ−k])

4.8 Periodische Faltung 73

Abb. 4.19 Periodische Faltungder Signalfolgen {x(k)}≤k≤N−und {y(k)}≤k≤N− mit demFaltungsprodukt {z(k)}≤k≤N−und z(k) = x(k) ⋆ y(k)

aufsummiert. Wie in Abb. 4.19 für die Länge N = veranschaulicht gilt ausführlich

z() = x() ⋅ y() + x() ⋅ y(−) + x() ⋅ y(−) + . . . + x() ⋅ y(−)

= x() ⋅ y() + x() ⋅ y() + x() ⋅ y() + . . . + x() ⋅ y() ,

z() = x() ⋅ y() + x() ⋅ y() + x() ⋅ y(−) + . . . + x() ⋅ y(−)

= x() ⋅ y() + x() ⋅ y() + x() ⋅ y() + . . . + x() ⋅ y() ,z() = x() ⋅ y() + x() ⋅ y() + x() ⋅ y() + . . . + x() ⋅ y(−)

= x() ⋅ y() + x() ⋅ y() + x() ⋅ y() + . . . + x() ⋅ y() ,

⋮

z() = x() ⋅ y() + x() ⋅ y() + x() ⋅ y() + . . . + x() ⋅ y()

unter Beachtung der N-Periodizität der finiten Signalfolge {y(k)}≤k≤N−.◇


Abb. 4.20 Signalfolge{z(k)}≤k≤N− mit z(k) =N ⋅ x(k) ⋅ y(k) und Spek-tralfolge {Z(ℓ)}≤ℓ≤N− mitZ(ℓ) = X(ℓ) ⋆ Y(ℓ)

4.8.2 Periodische Faltung im Spektralbereich

Für die periodische Faltung der Spektralfolgen {X(ℓ)}≤ℓ≤N− und {Y(ℓ)}≤ℓ≤N− wird –bis auf den Vorfaktor N – die Multiplikation der korrespondierenden Signalfolgen{x(k)}≤k≤N− und {y(k)}≤k≤N− erhalten gemäß der Transformationsvorschrift

X(ℓ) ⋆ Y(ℓ) =N−

∑λ=

X(λ) ⋅ Y(ℓ − λ) � � N ⋅ x(k) ⋅ y(k) . (4.21)

In Abb. 4.20 sind die Signalfolge {z(k)}≤k≤N− mit z(k) = N ⋅ x(k) ⋅ y(k) und dieSpektralfolge {Z(ℓ)}≤ℓ≤N− mit Z(ℓ) = X(ℓ) ⋆ Y(ℓ) für die in Abb. 4.16 auf S. 69 dar-gestellten reellen Signalfolgen {x(k)}≤k≤N− und {y(k)}≤k≤N− sowie die Spektralfolgen{X(ℓ)}≤ℓ≤N− und {Y(ℓ)}≤ℓ≤N− veranschaulicht.

4.9 Symmetrie

Wie aus den vorangegangenen Abschnitten ersichtlich wird, gelten für die diskrete Fou-rier-Transformation ähnliche Eigenschaften für die Operationen im Originalbereich undim Spektralbereich. Der Grund hierfür liegt an dem ähnlichen Aufbau der Transforma-tionsformeln der diskreten Fourier-Transformation DFT und ihrer inversen diskretenFourier-Transformation IDFT. Zur Herleitung der Symmetrieeigenschaft gehen wir vonden Transformationsformeln mit den Indizes κ und λ in den Original- und Spektralberei-chen aus. Es gilt

X(λ) =N−

∑κ=

x(κ) ⋅ e−jπκλ/N � � x(κ) =N

N−

∑λ=

X(λ) ⋅ ejπκλ/N

4.9 Symmetrie 75

mit den Indizes ≤ κ, λ ≤ N − . Aus der Rücktransformationsformel folgt nach Multipli-kation mit N

N ⋅ x(κ) =N−

∑λ=


sowie durch Ersetzen von κ durch den Index −κ

N ⋅ x(−κ) =N−

∑λ=

X(λ) ⋅ e−jπκλ/N .

Durch Umbenennung der Indizes κ = ℓ und λ = k ergibt sich

N ⋅ x(−ℓ) =N−∑k=

X(k) ⋅ e−jπkℓ/N .

Diese Formel führt auf die Hintransformation

N ⋅ x(−ℓ) = DFT {X(k)}

mit der Signalfolge {X(k)}≤k≤N−, die der ursprünglichen Spektralfolge durch Vertau-schen der Indizes k und ℓ in den Original- und Spektralbereichen entspricht. Hierbei istfür die Spiegelung x(−ℓ) die N-Periodizität der Signalfolge zu beachten, das heißt es gilt

x(−ℓ) = x(−ℓ mod N) = {x() , ℓ = x(N − ℓ), ≤ ℓ ≤ N −

.

Zur Probe setzen wir die berechnete Spektralfolge {N ⋅ x(−ℓ)}≤ℓ≤N− in die Rücktransfor-mationsformel der diskreten Fourier-Transformation ein und erhalten

IDFT {N ⋅ x(−ℓ)} =N

N−

∑ℓ=

N ⋅ x(−ℓ) ⋅ ejπkℓ/N

=N−∑ℓ=

x(−ℓ) ⋅ ejπkℓ/N

= x() +N−

∑ℓ=

x(−ℓ) ⋅ ejπkℓ/N

= x() +N−

∑ℓ=

x(N − ℓ) ⋅ ejπkℓ/N .

Wird der Index N − ℓ durch den Index ℓ ersetzt, so folgt

IDFT {N ⋅ x(−ℓ)} = x() +N−

∑ℓ=

x(N − ℓ) ⋅ ejπkℓ/N


= x() +∑

ℓ=N−x(ℓ) ⋅ ejπk(N−ℓ)/N

= x() +N−

∑ℓ=

x(ℓ) ⋅ ejπkN/N ⋅ e−jπkℓ/N

= x() +N−

∑ℓ=

x(ℓ) ⋅ ejπk ⋅ e−jπkℓ/N

= x() +N−

∑ℓ=

x(ℓ) ⋅ e−jπkℓ/N

=N−∑ℓ=

x(ℓ) ⋅ e−jπkℓ/N

= X(k)

unter Verwendung der π-Periodizität der harmonischen Funktion ejϕ . Es gilt also

X(k) = IDFT {N ⋅ x(−ℓ)} .

Zusammengefasst folgt somit für dasTransformationspaar x(k) � � X(ℓ)die hergeleiteteSymmetrie der diskreten Fourier-Transformation

X(k) � � N ⋅ x(−ℓ) . (4.22)

Diese Symmetrieeigenschaft besagt, dass sich bei Interpretation der ursprünglichen Spek-tralfolge als Signalfolge {X(k)}≤k≤N− die zugehörige Spektralfolge {N ⋅ x(−ℓ)}≤ℓ≤N−ergibt, die der gespiegelten und mit dem Faktor N multiplizierten ursprünglichen Sig-nalfolge entspricht. In Abb. 4.21 ist die Symmetrieeigenschaft der diskreten Fourier-Transformation für die in Abb. 4.5 auf S. 55 gezeigte komplexe Signalfolge {x(k)}≤k≤N−mit der zugehörigen Spektralfolge {X(ℓ)}≤ℓ≤N− veranschaulicht.

4.10 Periodische Korrelation

4.10.1 Periodische Kreuzkorrelation

Eine in der Signaltheorie und Signalverarbeitung wichtige Operation stellt die Korrelationzweier Signalfolgen dar. Dawir uns imRahmen der diskreten Fourier-Transformation mitfiniten Signalfolgen befassen, ist die so genannte zirkulare, zyklische oder periodische Kor-relation der beiden finiten Signalfolgen {x(k)}≤k≤N− und {y(k)}≤k≤N− definiert durchdie Kreuzkorrelationsfolge

rx y(k) =N−

∑κ=

x(κ) ⋅ y∗(κ − k) =N−

∑κ=

x(κ) ⋅ y∗(κ − k mod N) . (4.23)

4.10 Periodische Korrelation 77

Abb. 4.21 Symmetrie der Sig-nalfolge {X(k)}≤k≤N− und derSpektralfolge {N ⋅ x(−ℓ)}≤ℓ≤N−

Es besteht ein enger Zusammenhang zur periodischen Faltung, wie die folgende Rechnungzeigt.

rx y(k) =N−

∑κ=

x(κ) ⋅ y∗(κ − k) =N−

∑κ=

x(κ) ⋅ y∗(−[k − κ]) = x(k) ⋆ y∗(−k)

Die periodische Kreuzkorrelation kann durch die periodische Faltung der Signal-folge {x(k)}≤k≤N− mit der gespiegelten und konjugiert komplexen Signalfolge{y∗(−k)}≤k≤N− berechnet werden. Mit den Spektralfolgen DFT{x(k)} = X(ℓ) undDFT {y∗(−k)} = Y∗(ℓ) folgt die Spektralfolge {Rxy(ℓ)}≤ℓ≤N− der Kreuzkorrelationsfol-ge {rx y(k)}≤k≤N− zu

rx y(k) =N−

∑κ=

x(κ) ⋅ y∗(κ − k) � � Rxy(ℓ) = X(ℓ) ⋅ Y∗(ℓ) . (4.24)

In Abb. 4.22 sind die Kreuzkorrelationsfolge und die zugehörige Spektralfolge für die inAbb. 4.16 auf S. 69 dargestellten reellen Signalfolgen mit den zugehörigen Spektralfolgengezeigt.1

Für k = ergibt sich aus der Kreuzkorrelationsfolge das Skalarprodukt

rx y() =N−

∑κ=

x(κ) ⋅ y∗(κ)

1 In der digitalen Signalverarbeitung wird die so genannte spektrale Kreuzenergiedichte oder dasKreuzenergiedichtespektrum üblicherweise mit Sx y(ℓ) anstelle von Rxy(ℓ) bezeichnet.


Abb. 4.22 Periodische Kreuzkor-relationsfolge {rx y(k)}≤k≤N−mit rx y(k) = x(k) ⋆ y∗(−k) undSpektralfolge {Rxy(ℓ)}≤ℓ≤N− mitRxy(ℓ) = X(ℓ) ⋅ Y∗(ℓ)

der Signalfolgen {x(k)}≤k≤N− und {y(k)}≤k≤N−. Mit der Rücktransformationsformelder diskreten Fourier-Transformation für die Kreuzkorrelationsfolge

rx y(k) = IDFT{Rxy(ℓ)} =N

N−

∑ℓ=

Rxy(ℓ) ⋅ ejπkℓ/N

folgt unter Verwendung von Rxy(ℓ) = X(ℓ) ⋅ Y∗(ℓ) die Kreuzkorrelationsfolge für denIndex k =

rx y() =N

N−

∑ℓ=

Rxy(ℓ) ⋅ ejπ⋅⋅ℓ/N =N

N−

∑ℓ=

Rxy(ℓ) =N

N−

∑ℓ=

X(ℓ) ⋅ Y∗(ℓ) .

Es gilt somit eine ähnliche Berechnungsvorschrift imOriginal- und im Spektralbereich ent-sprechend

N−

∑k=

x(k) ⋅ y∗(k) =N

N−

∑ℓ=

X(ℓ) ⋅ Y∗(ℓ) . (4.25)

4.10.1.1 VektordarstellungMit Hilfe der N-dimensionalen Signalvektoren

x =

⎛⎜⎜⎜⎜⎝

x()x()⋮

x(N − )

⎞⎟⎟⎟⎟⎠

und y =

⎛⎜⎜⎜⎜⎝

y()y()⋮

y(N − )

⎞⎟⎟⎟⎟⎠

ist das Skalarprodukt im Originalbereich definiert gemäß

⟨x , y⟩ =N−

∑k=

x(k) ⋅ y∗(k) . (4.26)

4.10 Periodische Korrelation 79

Entsprechend folgt im Spektralbereich mit den Spektralvektoren

X =

⎛⎜⎜⎜⎜⎝

X()X()⋮

X(N − )

⎞⎟⎟⎟⎟⎠

und Y =

⎛⎜⎜⎜⎜⎝

Y()Y()⋮

Y(N − )

⎞⎟⎟⎟⎟⎠

für das Skalarprodukt im Spektralbereich

⟨X ,Y⟩ =N−

∑ℓ=

X(ℓ) ⋅ Y∗(ℓ) . (4.27)

Insgesamt erhalten wir für das Skalarprodukt im Originalbereich und im Spektralbereich

⟨x , y⟩ =N

⋅ ⟨X ,Y⟩ . (4.28)

4.10.2 Periodische Autokorrelation

Für y(k) = x(k) ergibt sich die Autokorrelationsfolge

rxx(k) =N−∑κ=

x(κ) ⋅ x∗(κ − k) =N−∑κ=

x(κ) ⋅ x∗(κ − k mod N) , (4.29)

für die ebenfallsrxx(k) = x(k) ⋆ x∗(−k)

gilt. Im Spektralbereich folgt unter Verwendung der Spektralfolge der Kreuzkorrelations-folge mit Y(ℓ) = X(ℓ) leicht die rein reelle Spektralfolge der Autokorrelationsfolge.

rxx(k) =N−

∑κ=

x(κ) ⋅ x∗(κ − k) � � Rxx(ℓ) = X(ℓ) ⋅ X∗(ℓ) = ∣X(ℓ)∣ (4.30)

In Abb. 4.23 sind die Autokorrelationsfolge {rxx(k)}≤k≤N− mit rxx(k) = x(k) ⋆ x∗(−k)und die zugehörige Spektralfolge {Rxx(ℓ)}≤ℓ≤N− mit Rxx(ℓ) = ∣X(ℓ)∣ für die in Abb. 4.1auf S. 48 gezeigten Signalfolge und Spektralfolge dargestellt.2

Für den Index k = folgt aus der Autokorrelationsfolge mit

rxx() =N−

∑κ=

x(κ) ⋅ x∗(κ) =N−

∑κ=

∣x(κ)∣

die Energie einer finiten Signalfolge der Länge N , der wir uns im folgenden Abschnitt 4.11zuwenden wollen.

2 In der digitalen Signalverarbeitung wird die so genannte spektrale Energiedichte oder das Energie-dichtespektrum üblicherweise mit Sxx(ℓ) anstelle von Rxx(ℓ) bezeichnet.


Abb. 4.23 Periodische Autokor-relationsfolge {rxx(k)}≤k≤N−mit rxx(k) = x(k) ⋆ x∗(−k) undSpektralfolge {Rxx(ℓ)}≤ℓ≤N− mitRxx(ℓ) = ∣X(ℓ)∣

4.11 Energie

Eine wichtige signaltheoretische Größe für die finite Signalfolge {x(k)}≤k≤N− stellt dieEnergie E dar [19, 23]. Diese wird in der Signaltheorie definiert durch

E =N−

∑k=

∣x(k)∣ . (4.31)

Sie entspricht dem Wert der Autokorrelationsfolge an der Stelle k = , das heißt es giltrxx() = E. Unter Verwendung der Rücktransformationsformel der inversen diskretenFourier-Transformation für die Autokorrelationsfolge

rxx(k) = IDFT {Rxx(ℓ)} =N

N−

∑ℓ=

Rxx(ℓ) ⋅ ejπkℓ/N

ergibt sichmit der Spektralfolge Rxx(ℓ) = ∣X(ℓ)∣ die Energie für die Autokorrelationsfolgefür den Index k = gemäß

E = rxx() =N

N−∑ℓ=

Rxx(ℓ) ⋅ ejπ⋅⋅ℓ/N =N

N−∑ℓ=

Rxx(ℓ) =N

N−∑ℓ=

∣X(ℓ)∣ .

Insgesamt folgt für die Energie der finiten Signalfolge {x(k)}≤k≤N− mit der finiten Spek-tralfolge {X(ℓ)}≤ℓ≤N− im Originalbereich und im Spektralbereich die Beziehung

E =N−

∑k=

∣x(k)∣ =N

N−

∑ℓ=

∣X(ℓ)∣ . (4.32)

4.11 Energie 81

Die Energie E einer Signalfolge kann sowohl im Originalbereich als auch im Spektralbe-reich auf ähnliche Weise ermittelt werden. Wegen Rxx(ℓ) = ∣X(ℓ)∣ und damit

E =N

N−

∑ℓ=

∣X(ℓ)∣ =N

N−

∑ℓ=

Rxx(ℓ)

beschreibt die Spektralfolge {Rxx(ℓ)}≤ℓ≤N− die spektrale Verteilung der Energie der Sig-nalfolge im Spektralbereich. Daher wird Rxx(ℓ) = ∣X(ℓ)∣ auch die spektrale Energiedichteoder Energiedichtespektrum genannt.

Alternativ kann die Energie E als Quadrat des Vektorbetrags des N-dimensionalen Si-gnalvektors

x =

⎛⎜⎜⎜⎜⎝

x()x()⋮

x(N − )

⎞⎟⎟⎟⎟⎠

geschrieben werden gemäß

E =N−

∑k=

∣x(k)∣ = ∥x∥ .

In Analogie zur Vektorrechnung wird mit Hilfe der Energie E die „Größe“ eines Signalsgemessen. Entsprechend folgt im Spektralbereich mit dem Spektralvektor

X =

⎛⎜⎜⎜⎜⎝

X()X()⋮

X(N − )

⎞⎟⎟⎟⎟⎠

für die Energie im Spektralbereich

E =N

N−

∑ℓ=

∣X(ℓ)∣ =N

⋅ ∥X∥ ,

so dass wir insgesamt erhalten

E = ∥x∥ =N

⋅ ∥X∥ . (4.33)

Beispiel 4.3Für die in Beispiel 3.1 auf der S. 33 betrachtete Länge N = für die diskrete Fourier-Transformation mit dem vierdimensionalen Signalvektor

x =

⎛⎜⎜⎜⎜⎝

x()x()x()x()

⎞⎟⎟⎟⎟⎠

=

⎛⎜⎜⎜⎜⎝

,−,,,

⎞⎟⎟⎟⎟⎠


und dem zugehörigen vierdimensionalen Spektralvektor

X =

⎛⎜⎜⎜⎜⎝

X()X()X()X()

⎞⎟⎟⎟⎟⎠

=

⎛⎜⎜⎜⎜⎝

,, + j ,,, − j ,

⎞⎟⎟⎟⎟⎠

berechnet sich die Energie im Originalbereich E = ∥x∥ zu

E = ∣,∣ + ∣ − ,∣ + ∣,∣ + ∣,∣

= , .

Die im Spektralbereich ermittelte Energie E = ∥X∥/ entspricht dem identischen Wert

E =⋅ (∣,∣ + ∣, + j ,∣ + ∣,∣ + ∣, − j ,∣)

= , .

◇

4.12 Dezimation

Eine in der digitalen Signalverarbeitung häufig anzutreffende Operation stellt die so ge-nannte Dezimation dar [8, 10]. Bei dieser werden aus einer Signalfolge {x(k)}≤k≤N− ingleichbleibendem Abstand Signalwerte entnommen. Wir betrachten in diesem Abschnittden in Abb. 4.24 gezeigten einfachsten Fall einer Dezimation um den Faktor , bei der mitHilfe des mit ↓ gekennzeichneten Blocks jeder zweite Signalwert weggelassen wird.

Abbildung 4.25 veranschaulicht dieWirkungsweise diesesDezimators ↓ für die LängeN = . Wie aus dieser Abbildung ersichtlich ergibt sich die dezimierte Signalfolge derhalben Länge N/ = .

Die dezimierte Signalfolge {y(k)}≤k≤N/− berechnet sich aus der finiten Signalfolge{x(k)}≤k≤N− mit Hilfe des Dezimators ↓ gemäß der Vorschrift3

y(k) = x↓

(k) = x(k) (4.34)

Abb. 4.24 Dezimator ↓ für die Dezimation der Signalfolge {x(k)}≤k≤N−

3 Wir gehen in diesem Abschnitt der Einfachheit halber von einer geraden Anzahl N aus.

4.12 Dezimation 83

Abb. 4.25 Signalfolge{x(k)}≤k≤N− und dezimierteSignalfolge {y(k)}≤k≤N/− mity(k) = x↓(k)

für ≤ k ≤ N/ − . Die zugehörige Spektralfolge {Y(ℓ)}≤ℓ≤N/− ergibt sich aus derdiskreten Fourier-Transformation für Signalfolgen der Länge N/ gemäß

Y(ℓ) =N/−

∑k=

y(k) ⋅ e−jπkℓ/(N/) =N/−

∑k=

x(k) ⋅ e−jπ(k)ℓ/N

mit ≤ ℓ ≤ N/− . Unter Verwendung der Rücktransformationsformel

x(κ) =N

N−∑λ=


der diskreten Fourier-Transformation für die Signalfolge der Länge N folgt mit κ = k

Y(ℓ) =N/−

∑k=

x(k) ⋅ e−jπ(k)ℓ/N

=N/−

∑k=

(N

N−∑λ=

X(λ) ⋅ ejπ(k)λ/N) ⋅ e−jπ(k)ℓ/N

=N

N/−

∑k=

N−

∑λ=

X(λ) ⋅ ejπ(k)λ/N ⋅ e−jπ(k)ℓ/N

=N−

∑λ=

X(λ) ⋅⎛

⎝

N

N/−

∑k=

ejπ(k)(λ−ℓ)/N⎞

⎠.

Für die innere Summe erhalten wir im Fall λ − ℓ = n ⋅ N/

N

N/−

∑k=

ejπ(k)(λ−ℓ)/N =N

N/−

∑k=

ejπ(k)n(N/)/N


=N

N/−

∑k=

ejπkn

=N

N/−

∑k=

=N

⋅N

=

.

Für λ − ℓ ≠ n ⋅ N/ und ejπ(λ−ℓ) = ergibt sich

N

N/−

∑k=

ejπ(k)(λ−ℓ)/N =N

N/−

∑k=

(ejπ(λ−ℓ)/(N/))k

=N

⋅ − (ejπ(λ−ℓ)/(N/))

N/

− ejπ(λ−ℓ)/(N/)

=N

⋅ − ejπ(λ−ℓ)(N/)/(N/)


=N

⋅ − ejπ(λ−ℓ)


=

unter Verwendung der Formel für die geometrische Reihe ∑N/−k= qk = ( − qN/)/( − q)

mit q = ejπ(λ−ℓ)/(N/) ≠ . Zusammengefasst folgt daher

N

N/−

∑k=

ejπ(k)(λ−ℓ)/N =

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

, λ = ℓ + n ⋅ N

, λ ≠ ℓ + n ⋅ N

.

Wegen ≤ ℓ ≤ N/ − und ≤ λ ≤ N − erhalten wir

N

N/−

∑k=

ejπ(k)(λ−ℓ)/N =

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

, λ = ℓ oder λ = ℓ + N

, sonst.

Eingesetzt ergibt sich somit für die Spektralfolge der dezimierten Signalfolge

Y(ℓ) =⋅ X (ℓ) +

⋅ X (ℓ +

N) .

Wie in Abb. 4.26 veranschaulicht entspricht die Spektralfolge Y(ℓ) der Länge N/ derÜberlagerung der ursprünglichen Spektralfolge X(ℓ) mit einer um N/ verschobenen

4.13 Interpolation 85

Abb. 4.26 Signalfolge{x(k)}≤k≤N− und dezimier-te Signalfolge {y(k)}≤k≤N/−mit y(k) = x↓(k) sowie Spek-tralfolgen {X(ℓ)}≤ℓ≤N− und{Y(ℓ)}≤ℓ≤N/−

Spektralfolge X(ℓ + N/) für ≤ ℓ ≤ N/ − gemäß der Transformationsvorschrift

y(k) = x↓

(k) � � Y(ℓ) =⋅ X (ℓ) +

⋅ X (ℓ +

N) (4.35)

für die dezimierte Signalfolge mit y(k) = x↓

(k).

4.13 Interpolation

Eine weitere in der digitalen Signalverarbeitung verwendete Operation stellt die so ge-nannte Interpolation dar [8, 10]. Bei dieser Operation wird zwischen aufeinander folgendeSignalwerte einer Signalfolge {x(k)}≤k≤N− eine geeignete Anzahl von Nullen eingefügtmit einer eventuell anschließenden Begrenzung der Spektralfolge im Sinne einer Filterung.Wir betrachten in diesem Abschnitt den in Abb. 4.27 gezeigten einfachsten Fall einer In-terpolation um den Faktor , bei der mit Hilfe des mit ↑ gekennzeichneten Interpolatorszwischen zwei aufeinander folgende Signalwerte eine Null eingefügt wird. Abbildung 4.28veranschaulicht die Wirkungsweise des Interpolators ↑ für eine finite Signalfolge der


Abb. 4.27 Interpolator ↑ für die Interpolation der Signalfolge {x(k)}≤k≤N−

Abb. 4.28 Signalfolge{x(k)}≤k≤N− und interpo-lierte Signalfolge {y(k)}≤k≤N−mit y(k) = x↑(k)

Länge N = . Wie aus dieser Abbildung ersichtlich ergibt sich die interpolierte Signalfolgeder doppelten Länge N = .

Die interpolierte Signalfolge {y(k)}≤k≤N− erhalten wir aus der finiten Signalfolge{x(k)}≤k≤N− bei der Interpolation mit Hilfe des Interpolators ↑ gemäß der Vorschrift

y(k) = x↑

(k) = {x(n), k = n gerade , k = n + ungerade

(4.36)

für ≤ k ≤ N − . Die zugehörige Spektralfolge {Y(ℓ)}≤ℓ≤N− ergibt sich aus der diskre-ten Fourier-Transformation für Signalfolgen der Länge N gemäß

Y(ℓ) =N−∑k=

y(k) ⋅ e−jπkℓ/(N)

=N−

∑n=

y(n) ⋅ e−jπnℓ/(N) +N−

∑n=

y(n + ) ⋅ e−jπ(n+)ℓ/(N)

=N−

∑n=

x(n) ⋅ e−jπnℓ/(N)

=N−

∑n=

x(n) ⋅ e−jπnℓ/N

= X(ℓ)


Abb. 4.29 Signalfolge{x(k)}≤k≤N− und interpolier-te Signalfolge {y(k)}≤k≤N−mit y(k) = x↑(k) sowie Spek-tralfolgen {X(ℓ)}≤ℓ≤N− und{Y(ℓ)}≤ℓ≤N−

mit der periodisch fortgesetzten Spektralfolge {X(ℓ)}≤ℓ≤N− der Länge N . Zusammenge-fasst folgt für die Spektralfolge der interpolierten Signalfolge

y(k) = x↑

(k) � � Y(ℓ) = X(ℓ) (4.37)

mit ≤ ℓ ≤ N − und X(ℓ) = X(ℓ mod N). Die finite Spektralfolge Y(ℓ) der LängeN entspricht zwei Perioden der finiten Spektralfolge X(ℓ) der Länge N . Abbildung 4.29veranschaulicht die Signalfolge x(k) und die interpolierte Signalfolge mit y(k) = x

↑

(k)sowie die zugehörigen finiten Spektralfolgen.

Um höhere Spektralanteile in der interpolierten Signalfolge x↑

(k) zu unterdrücken,wird eine Filterung nach dem Interpolator ↑ entsprechend Abb. 4.30 durchgeführt.Zu diesem Zweck wird die Signalfolge {y(k)}≤k≤N− aus der interpolierten Signalfol-ge {x

↑

(k)}≤k≤N− durch eine Filterung im Spektralbereich unter Beachtung der N-Periodizität der Spektralfolge X(ℓ + N) = X(ℓ) beziehungsweise der modulo-Rechnung


Abb. 4.30 Interpolator ↑ mit Filterung im Spektralbereich

Abb. 4.31 Spektralfolge{X(ℓ)}≤ℓ≤N− und interpolier-te Spektralfolge {Y(ℓ)}≤ℓ≤N−mit Filterung

X(ℓ) = X(ℓ mod N) gemäß der folgenden Vorschrift für ≤ ℓ ≤ N − berechnet.

Y(ℓ) =

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

X(ℓ), ≤ ℓ ≤ N −

, N ≤ ℓ ≤ N

−

X(ℓ), N ≤ ℓ ≤ N −

(4.38)

Abbildung 4.31 stellt die Spektralfolge {X(ℓ)}≤ℓ≤N− sowie die interpolierte Spektralfolge{Y(ℓ)}≤ℓ≤N− mit Filterung dar.

Für die interpolierte Signalfolge {y(k)}≤k≤N− gilt unter Verwendung der Rücktrans-formation y(k) = IDFT {Y(ℓ)} der diskreten Fourier-Transformation

y(k) =N

N−∑ℓ=

Y(ℓ) ⋅ ejπkℓ/(N)

=N

N/−

∑ℓ=

X(ℓ) ⋅ ejπkℓ/(N) +N

N−∑

ℓ=N/X(ℓ) ⋅ ejπkℓ/(N)

=N

N/−

∑ℓ=


N−

∑ℓ=N/

X(ℓ + N) ⋅ ejπk(ℓ+N)/(N)


=N

N/−

∑ℓ=


N−

∑ℓ=N/

X(ℓ) ⋅ ejπk(ℓ+N)/(N)

=N

N/−

∑ℓ=

X(ℓ) ⋅ ejπkℓ/(N) + ejπkN/(N) ⋅N

N−

∑ℓ=N/

X(ℓ) ⋅ ejπkℓ/(N)

=N

N/−

∑ℓ=

X(ℓ) ⋅ ejπkℓ/(N) + ejπk ⋅N

N−

∑ℓ=N/

X(ℓ) ⋅ ejπkℓ/(N) .

Mit ejπk = (−)k folgt

y(k) =N

N/−

∑ℓ=

X(ℓ) ⋅ ejπkℓ/(N) + (−)k ⋅N

N−∑

ℓ=N/X(ℓ) ⋅ ejπkℓ/(N) .

Für gerade Indizes k folgt

y(k) =N

N/−

∑ℓ=

X(ℓ) ⋅ ejπ(k)ℓ/(N) + (−)k ⋅N

N−

∑ℓ=N/

X(ℓ) ⋅ ejπ(k)ℓ/(N)

=N

N/−

∑ℓ=


N−

∑ℓ=N/


=⋅N

N−

∑ℓ=


=⋅ x(k)

beziehungsweise zusammengefasst

y(k) =⋅ x(k) . (4.39)

Für ungerade Indizes k + ergibt sich

y(k + )

=N

N/−

∑ℓ=

X(ℓ) ⋅ ejπ(k+)ℓ/(N) + (−)k+ ⋅N

N−

∑ℓ=N/

X(ℓ) ⋅ ejπ(k+)ℓ/(N)

=N

N/−

∑ℓ=

X(ℓ) ⋅ ejπkℓ/N ⋅ ejπℓ/(N) −N

N−

∑ℓ=N/

X(ℓ) ⋅ ejπkℓ/N ⋅ ejπℓ/(N)

=N

N/−

∑ℓ=

X(ℓ) ⋅ ejπkℓ/N ⋅ ejπℓ/N −N

N−

∑ℓ=N/

X(ℓ) ⋅ ejπkℓ/N ⋅ ejπℓ/N

=N

N/−

∑ℓ=

(ejπℓ/N) ⋅ X(ℓ) ⋅ ejπkℓ/N +N

N−

∑ℓ=N/

(−ejπℓ/N) ⋅ X(ℓ) ⋅ ejπkℓ/N .


Mit der Spektralfolge

W(ℓ) =

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

ejπℓ/N , ≤ ℓ ≤ N −

−ejπℓ/N , N ≤ ℓ ≤ N −

(4.40)

für ≤ ℓ ≤ N − folgt

y(k + ) =⋅N

N−

∑ℓ=

W(ℓ) ⋅ X(ℓ) ⋅ ejπkℓ/N =⋅ IDFT {W(ℓ) ⋅ X(ℓ)} .

DieMultiplikation der beiden Spektralfolgen {W(ℓ)}≤ℓ≤N− und {X(ℓ)}≤ℓ≤N− im Spek-tralbereich W(ℓ) ⋅ X(ℓ) entspricht im Originalbereich der periodischen Faltung derSignalfolgen {w(k)}≤k≤N− und {x(k)}≤k≤N− gemäß

w(k) ⋆ x(k) =N−∑κ=

w(κ) ⋅ x(k − κ) =N−∑κ=

w(κ) ⋅ x(k − κ mod N) .

Daraus folgt für ungerade Indizes k +

y(k + ) =⋅w(k) ⋆ x(k) =

N−∑κ=

w(κ) ⋅ x(k − κ) . (4.41)

Abbildung 4.32 veranschaulicht die Signalfolge {x(k)}≤k≤N− und die durch Interpolationmit Filterung berechnete Signalfolge {y(k)}≤k≤N− sowie die zugehörigen Spektralfolgen.

Die finite Gewichtsfolge {w(k)}≤k≤N− ergibt sich aus der Rücktransformationsformelder inversen diskreten Fourier-Transformation w(k) = IDFT {W(ℓ)} gemäß der folgen-den Rechnung.

w(k) =N

N−∑ℓ=

W(ℓ) ⋅ ejπkℓ/N

=N

N/−

∑ℓ=

ejπℓ/N ⋅ ejπkℓ/N −N

N−∑

ℓ=N/ejπℓ/N ⋅ ejπkℓ/N

=N

N/−

∑ℓ=

ejπ(k+)ℓ/N −N

N−

∑ℓ=N/

ejπ(k+)ℓ/N

=N

N/−

∑ℓ=

ejπ(k+)ℓ/N −N

N/−

∑ℓ=

ejπ(k+)(ℓ+N/)/N

=N

N/−

∑ℓ=

ejπ(k+)ℓ/N − ejπ(k+)(N/)/N ⋅N

N/−

∑ℓ=

ejπ(k+)ℓ/N

= − ej

π (k+)

N⋅N/−

∑ℓ=

ejπ(k+)ℓ/N


Abb. 4.32 Signalfolge{x(k)}≤k≤N− und interpolier-te Signalfolge {y(k)}≤k≤N−mit Filterung sowie Spektral-folgen {X(ℓ)}≤ℓ≤N− und{Y(ℓ)}≤ℓ≤N−

Mit ejπ (k+) = ejπk ⋅ ej

π = j ⋅ (−)k und der geometrischen Reihe

N/−

∑ℓ=

ejπ(k+)ℓ/N =N/−

∑ℓ=

(ejπ(k+)/N)ℓ

= − (ejπ(k+)/N)

N/

− ejπ(k+)/N

= − ejπ(k+)(N/)/N

− ejπ(k+)/N

= − ej

π (k+)

− ejπ(k+)/N

= − j ⋅ (−)k

− ejπ(k+)/N


folgt die Gewichtsfolge

w(k) = − j ⋅ (−)k

N⋅

− j ⋅ (−)k

− ejπ(k+)/N

=( − j ⋅ (−)k)

N⋅

− ejπ(k+)/N

=−j ⋅ (−)k

N⋅

− ejπ(k+)/N

=(−)k

N⋅

−j − ejπ(k+)/N

=(−)k

N⋅

ej π (k+)/N

⋅j

ej π (k+)/N − e−j π (k+)/N

=(−)k

N⋅

ej π (k+)/N

⋅

sin ( π (k + )/N)

=(−)k

N⋅

e−jπ (k+)/N

sin ( π (k + )/N)

.

Die finite Gewichtsfolge ist somit definiert durch

w(k) =(−)k

N⋅

e−jπ (k+)/N

sin ( π (k + )/N)

(4.42)

für ≤ k ≤ N − . In kartesischen Koordinaten ergibt sich

w(k) =(−)k

N⋅

e−jπ (k+)/N

sin ( π (k + )/N)

=(−)k

N⋅cos ( π

(k + )/N) − j sin ( π (k + )/N)

sin ( π (k + )/N)

=(−)k

N⋅⎛

⎝

tan ( π

(k + )/N)− j

⎞

⎠.

Abbildung 4.33 stellt die finite Gewichtsfolge {w(k)}≤k≤N− und die zugehörige finiteSpektralfolge {W(ℓ)}≤ℓ≤N− in kartesischen Koordinaten und Polarkoordinaten dar.


Abb. 4.33 Gewichtsfolge{w(k)}≤k≤N− und Spektralfolge{W(ℓ)}≤ℓ≤N−


4.14 Tabellarische Zusammenfassung

Die in diesem Kapitel hergeleiteten und veranschaulichten Eigenschaften der diskretenFourier-Transformation sind in Tab. 4.1 zusammengefasst mit der finiten SpektralfolgeX(ℓ) = DFT {x(k)} mit den in der Regel komplexen Spektralwerten X(ℓ) = R{X(ℓ)} +

jI{X(ℓ)} und der finiten Signalfolge x(k) = IDFT {X(ℓ)}mit den im Allgemeinen kom-plexen Signalwerten x(k) = R{x(k)} + jI{x(k)}. Die N-Periodizität der Signalfolgex(k) = x(k+N)und der Spektralfolge X(ℓ) = X(ℓ+N)wird durch diemodulo-Rechnunghinsichtlich der Indizes k und ℓ gemäß x(k) = x(k mod N) und X(ℓ) = X(ℓ mod N) be-rücksichtigt.

Tab. 4.1 Eigenschaften der diskreten Fourier-Transformation DFT

Signalfolge Spektralfolge

Linearität a ⋅ x(k) + b ⋅ y(k) a ⋅ X(ℓ) + b ⋅ Y(ℓ)

Spiegelung x(−k) X(−ℓ)

Gerade Folge x′(k) = x(k)+x(−k) X′(ℓ) = X(ℓ)+X(−ℓ)

Ungerade Folge x′′(k) = x(k)−x(−k) X′′(ℓ) = X(ℓ)−X(−ℓ)

x∗(k) X∗(−ℓ)Komplexe Konjugationx∗(−k) X∗(ℓ)

R{X(−ℓ)} = R{X(ℓ)}Reelle Signalfolge x(k) = x∗(k)

I{X(−ℓ)} = −I{X(ℓ)}

R{x(k)} X(ℓ)+X∗(−ℓ)Realteil

x(k)+x∗(−k) R{X(ℓ)}

I{x(k)} X(ℓ)−X∗(−ℓ)jImaginärteil

x(k)−x∗(−k)j I{X(ℓ)}

Verschiebung x(k − k) e−jπk ℓ/N ⋅ X(ℓ)

Modulation ejπkℓ/N ⋅ x(k) X(ℓ − ℓ)

Multiplikation x(k) ⋅ y(k) N ⋅ X(ℓ) ⋆ Y(ℓ)

Faltung x(k) ⋆ y(k) X(ℓ) ⋅ Y(ℓ)

Symmetrie X(k) N ⋅ x(−ℓ)

Kreuzkorrelation rx y(k) = x(k) ⋆ y∗(−k) Rxy(ℓ) = X(ℓ) ⋅ Y∗(ℓ)

Autokorrelation rxx(k) = x(k) ⋆ x∗(−k) Rxx(ℓ) = ∣X(ℓ)∣

Dezimation x↓(k) ⋅ X(ℓ) +

⋅ X(ℓ +

N )

Interpolation x↑(k) X(ℓ)

5Korrespondenzen der DFT

In diesem Kapitel leiten wir einige wichtige Transformationspaare x(k) � � X(ℓ), sogenannte Korrespondenzen der diskreten Fourier-Transformation mit der SpektralfolgeX(ℓ) = DFT {x(k)} und der Signalfolge x(k) = IDFT {X(ℓ)} her [3, 14, 25]. Die finiteSignalfolge {x(k)}≤k≤N− ist im Allgemeinen komplex x(k) ∈ C. Entsprechend ist die fi-nite Spektralfolge {X(ℓ)}≤ℓ≤N− ebenfalls in der Regel komplex X(ℓ) ∈ C. Für rein reelleSignalfolgen x(k) ∈ R oder rein reelle Spektralfolgen X(ℓ) ∈ R stellen wir erneut aus-schließlich x(k) oder X(ℓ) dar.

5.1 Impulsfolge

Die in Abb. 5.1 für N = veranschaulichte Impulsfolge entspricht einem impulsförmigendiskreten Signal an der Stelle k = . Sie ist definiert gemäß

x(k) = { , k = , k ≠

(5.1)

für ≤ k ≤ N − . Die zugehörige Spektralfolge in Abb. 5.2 ergibt sich aus

X(ℓ) =N−∑k=

x(k) ⋅ e−jπkℓ/N = ⋅ e−jπ⋅⋅ℓ/N =

für ≤ ℓ ≤ N − . Damit folgt die Korrespondenz

x(k) = { , k = , k ≠

� � X(ℓ) = (5.2)

für ≤ k , ℓ ≤ N − .


96 5 Korrespondenzen der DFT

Abb. 5.1 Impulsfolge{x(k)}≤k≤N−

Abb. 5.2 Spektralfolge{X(ℓ)}≤ℓ≤N− der Impulsfol-ge {x(k)}≤k≤N−

5.2 Verschobene Impulsfolge

Die verschobene Impulsfolge geht aus der Impulsfolge durch periodische Verschiebung umden Versatz k mit ≤ k ≤ N − im Originalbereich hervor. Sie entspricht somit wie inAbb. 5.3 für N = veranschaulicht einem impulsförmigen diskreten Signal an der Stellek = k gemäß

x(k) = { , k = k, k ≠ k

(5.3)

Abb. 5.3 Verschobene Impuls-folge {x(k)}≤k≤N− mit k =

5.2 Verschobene Impulsfolge 97

Abb. 5.4 Spektralfolge{X(ℓ)}≤ℓ≤N− der verschobe-nen Impulsfolge {x(k)}≤k≤N−mit k = in kartesischen Koor-dinaten

Abb. 5.5 Spektralfolge{X(ℓ)}≤ℓ≤N− der verschobe-nen Impulsfolge {x(k)}≤k≤N−mit k = in Polarkoordinaten

für ≤ k ≤ N − . Die zugehörige Spektralfolge folgt mit ≤ ℓ ≤ N − aus

X(ℓ) =N−

∑k=

x(k) ⋅ e−jπkℓ/N = ⋅ e−jπ⋅k ⋅ℓ/N = e−jπk ℓ/N .

Somit lautet die Korrespondenz

x(k) = { , k = k, k ≠ k

� � X(ℓ) = e−jπk ℓ/N (5.4)

für ≤ k , ℓ ≤ N − . Dieses Ergebnis für die Spektralfolge in kartesischen Koordinaten wiein Abb. 5.4 und in Polarkoordinaten wie in Abb. 5.5 erhalten wir ebenso durch Anwen-dung der Verschiebungseigenschaft der diskreten Fourier-Transformation. Die konstanteSpektralfolge der unverschobenen Impulsfolge mit dem konstanten Wert wird hiernachaufgrund der Verschiebung im Originalbereich im Spektralbereich mit dem Drehfaktor


e−jπk ℓ/N multipliziert. Dies führt ebenfalls auf die Spektralfolge

X(ℓ) = ⋅ e−jπk ℓ/N = e−jπk ℓ/N .

5.3 Konstante Signalfolge

Die konstante Signalfolge wie in Abb. 5.6 für N = gezeigt ist definiert durch

x(k) = (5.5)

für ≤ k ≤ N − . Die Spektralfolge berechnet sich mit ≤ ℓ ≤ N − zu

X(ℓ) =N−∑k=

x(k) ⋅ e−jπkℓ/N =N−∑k=

⋅ e−jπkℓ/N =N−∑k=(e−jπℓ/N)

k.

Mittels der geometrischen Reihe ∑N−k= qk = ( − qN)/( − q)mit q = e−jπℓ/N ≠ für ℓ ≠

und e−jπℓ = folgt

X(ℓ) =N−∑k=(e−jπℓ/N)

k= − (e−jπℓ/N)

N

− e−jπℓ/N= − e−jπℓN/N

− e−jπℓ/N=

− e−jπℓ

− e−jπℓ/N= .

Im Fall ℓ = und somit q = folgt

X() =N−

∑k=

k =N−

∑k=

= N .

Abb. 5.6 Konstante Signalfolge{x(k)}≤k≤N−

5.4 Rechteckfolge 99

Abb. 5.7 Spektralfolge{X(ℓ)}≤ℓ≤N− der konstantenSignalfolge {x(k)}≤k≤N−

Insgesamt erhalten wir mit der in Abb. 5.7 dargestellten Spektralfolge die Korrespondenz

x(k) = � � X(ℓ) = {N , ℓ = , ℓ ≠

(5.6)

für ≤ k , ℓ ≤ N − .

5.4 Rechteckfolge

Die in Abb. 5.8 für N = gezeigte Rechteckfolge der Breite L ist definiert durch

x(k) = { , ≤ k ≤ L − , L ≤ k ≤ N −

(5.7)

für ≤ k ≤ N − .Die zugehörige Spektralfolge ergibt sich aus

X(ℓ) =N−

∑k=

x(k) ⋅ e−jπkℓ/N =L−

∑k=

⋅ e−jπkℓ/N =L−

∑k=(e−jπℓ/N)

k.

Abb. 5.8 Rechteckfolge{x(k)}≤k≤N− der Breite L =


Für ℓ = gilt

X() =L−

∑k=

k =L−

∑k=

= L ,

während für den Index ℓ ≠ im Spektralbereich mit der geometrischen Reihe ∑L−k= qk =

( − qL)/(− q)mit q = e−jπℓ/N ≠ folgt

X(ℓ) =L−∑k=(e−jπℓ/N)

k

= − (e−jπℓ/N)

L

− e−jπℓ/N

= − e−jπℓL/N

− e−jπℓ/N

=e−jπℓL/N

e−jπℓ/N⋅ejπℓL/N − e−jπℓL/N

ejπℓ/N − e−jπℓ/N

= e−jπℓ(L−)/N ⋅j ⋅ (e

jπℓL/N − e−jπℓL/N)j ⋅ (e

jπℓ/N − e−jπℓ/N)

= e−jπℓ(L−)/N ⋅sin(πℓL/N)sin(πℓ/N)

.

Für die Rechteckfolge der Breite L gilt somit mit der in Abb. 5.9 in kartesischen Koordina-ten und in Abb. 5.10 in Polarkoordinaten gezeigten Spektralfolge die Korrespondenz der

Abb. 5.9 Spektralfolge{X(ℓ)}≤ℓ≤N− der Rechteckfolge{x(k)}≤k≤N− der Breite L = inkartesischen Koordinaten

5.5 Dreieckfolge 101

Abb. 5.10 Spektralfolge{X(ℓ)}≤ℓ≤N− der Rechteckfol-ge {x(k)}≤k≤N− der Breite L = in Polarkoordinaten

diskreten Fourier-Transformation

x(k) = { , ≤ k ≤ L − , L ≤ k ≤ N −

� � X(ℓ) = e−jπℓ(L−)/N ⋅sin(πℓL/N)sin(πℓ/N)

(5.8)

für ≤ k , ℓ ≤ N − .

5.5 Dreieckfolge

Wir betrachten in diesem Abschnitt die periodische Faltung der Rechteckfolge

y(k) = { , ≤ k ≤ L − , L ≤ k ≤ N −

(5.9)

der Breite L ≤ N/ mit sich selbst. Die resultierende Signalfolge {x(k)}≤k≤N− ergibt sichaus

x(k) = y(k) ⋆ y(k) =N−

∑κ=

y(κ) ⋅ y(k − κ) =L−

∑κ=

⋅ y(k − κ) =L−

∑κ=

y(k − κ mod N)

und somit nach Einsetzen von y(k − κ) = y(k − κ mod N) für ≤ κ ≤ L −

x(k) =⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩

k + , ≤ k ≤ L − L − k − , L ≤ k ≤ L − , L − ≤ k ≤ N −

(5.10)


Abb. 5.11 Dreieckfolge{x(k)}≤k≤N− der BreiteL − =

Abb. 5.12 Spektralfolge{X(ℓ)}≤ℓ≤N− der Dreieck-folge {x(k)}≤k≤N− der BreiteL − = in kartesischen Koor-dinaten

für ≤ k ≤ N − . Die periodische Faltung der Rechteckfolge der Breite L mit sich selbstgemäß y(k)⋆y(k) führt somit auf die in Abb. 5.11 fürN = veranschaulichte Dreieckfolgeder Breite L − .

Unter Verwendung der im Kap. 4 hergeleiteten Faltungseigenschaft der diskreten Fou-rier-Transformation

x(k) = y(k) ⋆ y(k) � � X(ℓ) = Y(ℓ) ⋅ Y(ℓ) = Y (ℓ)

erhalten wir die in Abb. 5.12 in kartesischen Koordinaten und in Abb. 5.13 in Polarkoordi-naten gezeigte Spektralfolge {X(ℓ)}≤ℓ≤N− für die Dreieckfolge mit der Spektralfolge

Y(ℓ) = e−jπℓ(L−)/N ⋅sin(πℓL/N)sin(πℓ/N)

5.6 Harmonische Signalfolge 103

Abb. 5.13 Spektralfolge{X(ℓ)}≤ℓ≤N− der Dreieck-folge {x(k)}≤k≤N− der BreiteL − = in Polarkoordinaten

der Rechteckfolge. Die Korrespondenz für die Dreieckfolge lautet für ≤ k , ℓ ≤ N − somit

x(k) =⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩

k + , ≤ k ≤ L − L − k − , L ≤ k ≤ L − , L − ≤ k ≤ N −

�

�

X(ℓ) = e−jπℓ(L−)/N ⋅ (sin(πℓL/N)sin(πℓ/N)

)

.

(5.11)

5.6 Harmonische Signalfolge

Die harmonische Signalfolge wie in Abb. 5.14 für N = gezeigt leitet sich aus der harmo-nischen Funktion ejϕ = cos(ϕ) + j sin(ϕ) her unter Verwendung der Eulerschen Formelentsprechend

x(k) = ejπkℓ/N = cos(πkℓN) + j sin (

πkℓN) (5.12)

für ≤ k ≤ N − mit ℓ ≠ . Die (normierte) Frequenz

ν =ℓN

der harmonischen Signalfolge entspricht einem ganzzahligen Vielfachen von /N .1

1 Für die normierte Abtastperiode im Originalbereich ist die normierte Abtastperiode im Spektral-bereich gegeben durch /N .


Abb. 5.14 Harmonische Signal-folge {x(k)}≤k≤N− mit ℓ =

Die zugehörige Spektralfolge mit ≤ ℓ ≤ N − ergibt sich aus

X(ℓ) =N−

∑k=


=N−

∑k=

ejπkℓ/N ⋅ e−jπkℓ/N

=N−

∑k=

e−jπk(ℓ−ℓ)/N

=N−

∑k=(e−jπ(ℓ−ℓ)/N)

k.

Mit der geometrischen Reihe ∑N−k= qk = ( − qN)/( − q) und q = e−jπ(ℓ−ℓ)/N ≠ für

ℓ ≠ ℓ sowie e−jπ(ℓ−ℓ) = folgt ähnlich wie bei der Berechnung der Spektralfolge für diekonstante Signalfolge

X(ℓ) =N−∑k=(e−jπ(ℓ−ℓ)/N)

k

= − (e−jπ(ℓ−ℓ)/N)

N

− e−jπ(ℓ−ℓ)/N

= − e−jπ(ℓ−ℓ)N/N


= − e−jπ(ℓ−ℓ)


= .

5.6 Harmonische Signalfolge 105

Abb. 5.15 Spektralfolge{X(ℓ)}≤ℓ≤N− der harmonischenSignalfolge {x(k)}≤k≤N− mitℓ =

Im Fall ℓ = ℓ und somit q = e−jπ(ℓ−ℓ)/N = e−jπ⋅/N = gilt

X() =N−

∑k=

k =N−

∑k=

= N .

Insgesamt erhalten wir damit die Korrespondenz für die harmonische Signalfolge

x(k) = ejπkℓ/N � � X(ℓ) = {N , ℓ = ℓ , ℓ ≠ ℓ

(5.13)

mit ≤ k , ℓ ≤ N − . Im Fall der harmonischen Signalfolge x(k) = ejπkℓ/N ergibt sich einemonofrequente Spektralfolge X(ℓ)mit einem von Null verschiedenen Spektralanteil an derStelle ℓ beziehungsweise ℓ/N , wie in Abb. 5.15 veranschaulicht.

Als Verallgemeinerung betrachten wir nun die harmonische Signalfolge

x(k) = ejπνk = cos(πνk)+ j sin(πνk) (5.14)

für ≤ k ≤ N − , wie in Abb. 5.16 für N = veranschaulicht. Bei dieser wird anstelle desFrequenzindex ℓ beziehungsweise ℓ/N die Frequenz ν verwendet. In diesem Fall ist dieFrequenz ν der harmonischen Signalfolge kein ganzzahliges Vielfaches von /N .

Die Spektralfolge berechnen wir mit ≤ ℓ ≤ N − folgendermaßen.

X(ℓ) =N−

∑k=


=N−∑k=

ejπνk ⋅ e−jπkℓ/N

=N−

∑k=

e−jπk(ℓN −ν)

=N−

∑k=(e−jπ(

ℓN −ν))

k


Abb. 5.16 Harmonische Signal-folge {x(k)}≤k≤N− mit ν = ,

Mit der geometrischen Reihe∑N−k= qk = (− qN)/(− q)mit q = e−jπ(

ℓN −ν) ≠ folgt daher

X(ℓ) =N−∑k=(e−jπ(

ℓN −ν))

k

= − (e−jπ(

ℓN −ν))

N

− e−jπ( ℓN −ν)

= − e−jπ(

ℓN −ν)N

− e−jπ( ℓN −ν)

=e−jπ(

ℓN −ν)N

e−jπ( ℓN −ν)

⋅ejπ(

ℓN −ν)N − e−jπ(

ℓN −ν)N

ejπ( ℓN −ν) − e−jπ( ℓ

N −ν)

= e−jπ(ℓN −ν)(N−) ⋅

j (e

jπ( ℓN −ν)N − e−jπ(

ℓN −ν)N)

j (e

jπ( ℓN −ν) − e−jπ( ℓ

N −ν))

= e−jπ(ℓN −ν)(N−) ⋅

sin (π ( ℓN − ν)N)

sin (π ( ℓN − ν))

.

Entsprechend der in Abb. 5.17 und in Abb. 5.18 in kartesischen Koordinaten und Polarko-ordinaten gezeigten Spektralfolge lautet die Korrespondenz für die harmonische Signalfolgemit ≤ k , ℓ ≤ N −

x(k) = ejπνk � � X(ℓ) = e−jπ(ℓN −ν)(N−) ⋅



. (5.15)

5.7 Cosinusfolge 107

Abb. 5.17 Spektralfolge{X(ℓ)}≤ℓ≤N− der harmoni-schen Signalfolge {x(k)}≤k≤N−mit ν = , in kartesischen Koor-dinaten

Abb. 5.18 Spektralfolge{X(ℓ)}≤ℓ≤N− der harmonischenSignalfolge {x(k)}≤k≤N− mitν = , in Polarkoordinaten

5.7 Cosinusfolge

Die in Abb. 5.19 für die Länge N = veranschaulichte reelle Cosinusfolge

x(k) = cos(πkℓN) (5.16)

für ≤ k ≤ N − , deren Frequenz

ν =ℓN

einem ganzzahligen Vielfachen von /N entspricht, kann unter Verwendung der Eu-lerschen Formel mit Hilfe der harmonischen Signalfolgen e±jπkℓ /N wie folgt geschrieben


Abb. 5.19 Reelle Cosinusfolge{x(k)}≤k≤N− mit ℓ =

werden.x(k) = cos(

πkℓN) =

⋅ ejπkℓ /N +

⋅ e−jπkℓ /N

Wegen e−jπkℓ/N = ejπk(N−ℓ)/N aufgrund der N-Periodizität der harmonischen Sig-nalfolge ergibt sich

x(k) =⋅ ejπkℓ/N +

⋅ ejπk(N−ℓ)/N .

Unter Verwendung der Korrespondenzen

ejπkℓ/N � � {N , ℓ = ℓ , ℓ ≠ ℓ

und

ejπk(N−ℓ)/N � � {N , ℓ = N − ℓ , ℓ ≠ N − ℓ

erhalten wir für ℓ ≠ N/ die in Abb. 5.20 dargestellte reelle Spektralfolge für die Cosinus-folge mit ≤ k , ℓ ≤ N − entsprechend der Korrespondenz

x(k) = cos (πkℓN) � � X(ℓ) =

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩

N , ℓ = ℓN , ℓ = N − ℓ

, sonst

. (5.17)

Für den Fall ℓ = N/ folgt wie in Abb. 5.21 veranschaulicht für die spezielle Cosinus-folge

x(k) = cos (πkℓN) = cos (πk) = (−)k = ejπk = ejπk(N/)/N

die Korrespondenz mit ≤ k , ℓ ≤ N −

x(k) = (−)k � � X(ℓ) =⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

N , ℓ = N

, ℓ ≠ N

. (5.18)


Abb. 5.20 Spektralfolge{X(ℓ)}≤ℓ≤N− der reellen Co-sinusfolge {x(k)}≤k≤N− mitℓ =

Abb. 5.21 Reelle Cosinusfolge{x(k)}≤k≤N− mit ℓ = N/ = und x(k) = (−)k sowie Spektral-folge {X(ℓ)}≤ℓ≤N−

Als Verallgemeinerung betrachten wir wie bei der harmonischen Signalfolge x(k) =ejπνk die in Abb. 5.22 für N = dargestellte reelle Cosinusfolge

x(k) = cos(πνk) (5.19)

für ≤ k ≤ N−, bei der anstelle des Frequenzindex ℓ beziehungsweise ℓ/N die Frequenzν verwendet wird. In diesem Fall beträgt die Frequenz ν wiederum kein ganzzahliges Viel-faches von /N .

Die reelle Cosinusfolgex(k) =R{ejπνk}

kann entsprechend der Eulerschen Formel als Realteil der harmonischen Signalfolge

y(k) = ejπνk � � Y(ℓ) = e−jπ(ℓN −ν)(N−) ⋅




Abb. 5.22 Reelle Cosinusfolge{x(k)}≤k≤N− mit ν = ,

Abb. 5.23 Spektralfolge{X(ℓ)}≤ℓ≤N− der reellen Co-sinusfolge {x(k)}≤k≤N− mitν = , in kartesischen Koordi-naten

formuliert werden. Mit der Transformationsvorschrift für den Realteil einer Signalfolge

x(k) =R{y(k)} � � X(ℓ) =Y(ℓ) + Y∗(−ℓ)

ergibt sich die Spektralfolge der Cosinusfolge wie in Abb. 5.23 in kartesischen Koordinatenund in Abb. 5.24 in Polarkoordinaten gezeigt.

Unter Verwendung der konjugiert komplexen und gespiegelten Spektralfolge

Y∗(−ℓ) = ejπ(−ℓN −ν)(N−) ⋅

sin (π (− ℓN − ν)N)

sin (π (− ℓN − ν))

= e−jπ(ℓN +ν)(N−) ⋅

sin (π ( ℓN + ν)N)

sin (π ( ℓN + ν))


Abb. 5.24 Spektralfolge{X(ℓ)}≤ℓ≤N− der reellen Co-sinusfolge {x(k)}≤k≤N− mitν = , in Polarkoordinaten

erhalten wir die Spektralfolge für die reelle Cosinusfolge gemäß der Rechnung

X(ℓ) =Y(ℓ) + Y∗(−ℓ)

=⋅ e−jπ(

ℓN −ν)(N−) ⋅



+⋅ e−jπ(

ℓN +ν)(N−) ⋅



.

Damit lautet die Korrespondenz für die reelle Cosinusfolge mit der Frequenz ν und ≤k , ℓ ≤ N −

x(k) = cos(πνk)�

�

X(ℓ) =⋅ e−jπ(

ℓN −ν)(N−) ⋅



+⋅ e−jπ(

ℓN +ν)(N−) ⋅



.

(5.20)


5.8 Sinusfolge

Die in Abb. 5.25 für die Länge N = veranschaulichte reelle Sinusfolge

x(k) = sin (πkℓN) (5.21)

für ≤ k ≤ N − besitzt wie im Fall der Cosinusfolge die Frequenz

ν =ℓN

,

die einem ganzzahligen Vielfachen von /N entspricht.Unter Verwendung der Eulerschen Formel erhalten wir

x(k) =j⋅ ejπkℓ/N −

j⋅ e−jπkℓ/N = −

j⋅ ejπkℓ /N +

j⋅ ejπk(N−ℓ)/N

aufgrund e−jπkℓ/N = ejπk(N−ℓ)/N . Mit den Korrespondenzen der harmonischen Signal-folgen ejπkℓ/N und ejπk(N−ℓ)/N folgt wie im Fall der Cosinusfolge die in Abb. 5.26 fürℓ ≠ N/ veranschaulichte Spektralfolge und somit mit ≤ k , ℓ ≤ N − die Korrespondenz

x(k) = sin(πkℓN) � � X(ℓ) =

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩

−j N , ℓ = ℓ

j N , ℓ = N − ℓ

, sonst

. (5.22)

Verallgemeinernd betrachten wir wie bei der reellen Cosinusfolge die in Abb. 5.27 fürN = dargestellte reelle Sinusfolge

x(k) = sin(πνk) (5.23)

für ≤ k ≤ N−, bei der anstelle des Frequenzindex ℓ beziehungsweise ℓ/N die Frequenzν eingesetzt wird. In diesem Fall beträgt die Frequenz ν erneut kein ganzzahliges Vielfachesvon /N .

Abb. 5.25 Reelle Sinusfolge{x(k)}≤k≤N− mit ℓ =

5.8 Sinusfolge 113

Abb. 5.26 Spektralfolge{X(ℓ)}≤ℓ≤N− mit X(ℓ) =jI{X(ℓ)} der reellen Sinusfolge{x(k)}≤k≤N− mit ℓ =

Abb. 5.27 Reelle Sinusfolge{x(k)}≤k≤N− mit ν = ,

Die reelle Sinusfolgex(k) = I{ejπνk}

kann als Imaginärteil der harmonischen Signalfolge

y(k) = ejπνk � � Y(ℓ) = e−jπ(ℓN −ν)(N−) ⋅



formuliert werden. Mit der Transformationsvorschrift

x(k) = I{y(k)} � � X(ℓ) =Y(ℓ) − Y∗(−ℓ)

j

für den Imaginärteil einer Signalfolge ergibt sich die Spektralfolge der Sinusfolge mit ≤ℓ ≤ N− wie in Abb. 5.28 in kartesischen Koordinaten und in Abb. 5.29 in Polarkoordinatenveranschaulicht.

Unter erneuter Verwendung der Beziehung

Y∗(−ℓ) = e−jπ(ℓN +ν)(N−) ⋅




Abb. 5.28 Spektralfolge{X(ℓ)}≤ℓ≤N− der reellen Sinus-folge {x(k)}≤k≤N− mit ν = ,in kartesischen Koordinaten

Abb. 5.29 Spektralfolge{X(ℓ)}≤ℓ≤N− der reellen Sinus-folge {x(k)}≤k≤N− mit ν = ,in Polarkoordinaten

folgt die zugehörige Spektralfolge

X(ℓ) =Y(ℓ) − Y∗(−ℓ)

j

=j⋅ e−jπ(

ℓN −ν)(N−) ⋅



−j⋅ e−jπ(

ℓN +ν)(N−) ⋅



.

5.9 Leckeffekt 115

Damit erhalten wir für ≤ k , ℓ ≤ N − die Korrespondenz für die reelle Sinusfolge

x(k) = sin(πνk)�

�

X(ℓ) =j⋅ e−jπ(

ℓN −ν)(N−) ⋅



−j⋅ e−jπ(

ℓN +ν)(N−) ⋅



.

(5.24)

5.9 Leckeffekt

Wir betrachten nochmals die harmonische Signalfolge

x(k) = ejπνk � � X(ℓ) = e−jπ(ℓN −ν)(N−) ⋅



mit der Frequenz ν für ≤ k , ℓ ≤ N − . In Abb. 5.30 ist die harmonische Signalfolge bei-spielsweisemit ν = , fürN = dargestellt. Die zugehörige Spektralfolge zeigtAbb. 5.31in Polarkoordinaten.2 Trotz der für die Signalfolge ausschließlich verwendeten Frequenz νtreten in der Spektralfolge mehrere Spektralanteile auf. Der Grund liegt in der periodischenFortsetzung der Signalfolge mit der Periode N im Originalbereich und der an den Rand-stellen vorliegenden unstetigen Fortsetzung, wie in Abb. 5.32 für die reelle Cosinusfolgeveranschaulicht. Dies führt zu einer Verbreiterung der Spektralfolge im Spektralbereich imSinne des so genannten Leckeffekts [3, 14, 25].

In den Abb. 5.33 und 5.34 sind als weiteres Beispiel die finite Signalfolge {x(k)}≤k≤N−und die zugehörige finite Spektralfolge {X(ℓ)}≤ℓ≤N− in Polarkoordinaten der LängeN = für die überlagerte harmonische Signalfolge

x(k) = a ⋅ ejπν k + a ⋅ ejπν k

mit der zugehörigen Spektralfolge

X(ℓ) = a ⋅ e−jπ(ℓN −ν)(N−) ⋅



+ a ⋅ e−jπ(ℓN −ν)(N−) ⋅



2 In Abb. 5.31 ist zusätzlich der Betrag der Funktion sin(π(ℓ/N − ν)N)/ sin(π(ℓ/N − ν)) gestrichelteingetragen.


Abb. 5.30 Harmonische Sig-nalfolge {x(k)}≤k≤N− mitν = ,

Abb. 5.31 Spektralfolge{X(ℓ)}≤ℓ≤N− der harmonischenSignalfolge {x(k)}≤k≤N− mitν = , in Polarkoordinaten

Abb. 5.32 Periodische Fort-setzung der Cosinusfolge{x(k)}≤k≤N− mit x(k) =cos(πνk) und ν = , sowieder Cosinusfolge {y(k)}≤k≤N−mit y(k) = cos(πkℓ/N) undℓ/N = / = ,

5.9 Leckeffekt 117

Abb. 5.33 Überlagerte harmoni-sche Signalfolge {x(k)}≤k≤N−mit ν = , und ν = ,sowie a = , und a = ,

Abb. 5.34 Spektralfolge{X(ℓ)}≤ℓ≤N− der überlager-ten harmonischen Signalfolge{x(k)}≤k≤N− mit ν = , undν = , sowie a = , unda = ,

mit ≤ k , ℓ ≤ N − dargestellt unter Verwendung von ν = , und ν = , sowiea = , und a = ,. Wie ersichtlich wird die Spektralfolge im Spektralbereich erneut imSinne des Leckeffekts verbreitert.

Zur Verminderung des Leckeffekts werden Fensterfolgen {w(k)}≤k≤N− eingesetzt,welche zur Verringerung der Unstetigkeiten an den Randstellen bei der periodischen Fort-setzung der finiten Signalfolge {x(k)}≤k≤N− dienen. Hierzu wird mit der Fensterfolge dieSignalfolge {y(k)}≤k≤N− gemäß

y(k) = x(k) ⋅w(k) (5.25)

gebildet. Die Multiplikation der finiten Signalfolge {x(k)}≤k≤N− und der finiten Fenster-folge {w(k)}≤k≤N− im Originalbereich entspricht der periodischen Faltung der zugehö-


Abb. 5.35 Fensterfolgen{w(k)}≤k≤N−

Abb. 5.36 Beträge der Spek-tralfolgen {W(ℓ)}≤ℓ≤N− derFensterfolgen {w(k)}≤k≤N−

rigen finiten Spektralfolgen {X(ℓ)}≤ℓ≤N− und {W(ℓ)}≤ℓ≤N− gemäß

Y(ℓ) =N⋅ X(ℓ) ⋆W(ℓ) =

N

N−

∑λ=

X(λ) ⋅W(ℓ − λ) =N

N−

∑λ=

X(λ) ⋅W(ℓ − λ mod N)

mit X(ℓ) = DFT {x(k)} und W(ℓ) = DFT{w(k)}. Die nachfolgend zusammengestelltenund in Abb. 5.35 für N = veranschaulichten finiten Fensterfolgen werden häufig in derdigitalen Signalverarbeitung eingesetzt. Abbildung 5.36 stellt die Beträge der Polarkoordi-naten der zugehörigen finiten Spektralfolgen dar.

5.9 Leckeffekt 119

5.9.1 Hann-Fenster

Das Hann-Fenster der Länge N ist für ≤ k ≤ N − definiert durch

w(k) =−⋅ cos(

πkN −

) . (5.26)

5.9.2 Hamming-Fenster

Das Hamming-Fenster der Länge N lautet für ≤ k ≤ N −

w(k) = , − , ⋅ cos(πkN −

) . (5.27)

5.9.3 Blackman-Fenster

Das Blackman-Fenster der Länge N ist für ≤ k ≤ N − gegeben durch

w(k) = , − , ⋅ cos (πkN −

) + , ⋅ cos(πkN −

) . (5.28)

In Abb. 5.37 ist die mit der Hamming-Fensterfolge gebildete finite Signalfolge{y(k)}≤k≤N− mit y(k) = x(k) ⋅ w(k) der Länge N = für die überlagerte harmo-nische Signalfolge

x(k) = a ⋅ ejπν k + a ⋅ ejπν k

Abb. 5.37 Mit der Fensterfolgemultiplizierte überlagerte harmo-nische Signalfolge {y(k)}≤k≤N−mit ν = , und ν = ,sowie a = , und a = ,


Abb. 5.38 Spektralfolge{Y(ℓ)}≤ℓ≤N− der mit derFensterfolge multiplizierten über-lagerten harmonischen Signalfolge{y(k)}≤k≤N− mit ν = , undν = , sowie a = , unda = ,

für ν = , und ν = , sowie a = , und a = , dargestellt. Wie die zuge-hörige Spektralfolge {Y(ℓ)}≤ℓ≤N− in Abb. 5.38 veranschaulicht führt die Fensterfolge zueiner Verringerung der Verbreiterung der Spektralfolge und damit zu einer Minderung desLeckeffekts.

5.10 Tabellarische Zusammenfassung 121

5.10 Tabellarische Zusammenfassung

Die wichtigsten in diesem Kapitel hergeleiteten Korrespondenzen der diskreten Fourier-Transformation mit X(ℓ) = DFT{x(k)} und x(k) = IDFT {X(ℓ)} sowie ≤ k , ℓ ≤ N − sind in Tab. 5.1 zusammengefasst.

Tab. 5.1 Korrespondenzen der diskreten Fourier-Transformation DFT

Signalfolge Spektralfolge

x(k) = { , k = , k ≠ X(ℓ) =

x(k) = { , k = k, k ≠ k

X(ℓ) = e−jπk ℓ/N

x(k) = X(ℓ) = { N , ℓ = , ℓ ≠

x(k) = { , ≤ k ≤ L − , L ≤ k ≤ N − X(ℓ) = e−jπℓ(L−)/N ⋅ sin(πℓL/N)sin(πℓ/N)

x(k) =⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩

k + , ≤ k ≤ L − L − k − , L ≤ k ≤ L − , L − ≤ k ≤ N −

X(ℓ) = e−jπℓ(L−)/N ⋅ ( sin(πℓL/N)sin(πℓ/N) )

x(k) = ejπkℓ/N X(ℓ) = { N , ℓ = ℓ , ℓ ≠ ℓ

x(k) = ejπνk X(ℓ) = e−jπ(ℓN −ν)(N−) ⋅

sin(π( ℓN −ν)N)

sin(π( ℓN −ν))

x(k) = cos ( πkℓN ) X(ℓ) =

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

N , ℓ = ℓN , ℓ = N − ℓ , sonst

X(ℓ) = ⋅ e

−jπ( ℓN −ν)(N−) ⋅


sin(π( ℓN −ν))x(k) = cos(πνk)

+ ⋅ e

−jπ( ℓN +ν)(N−) ⋅

sin(π( ℓN +ν)N)

sin(π( ℓN +ν))

x(k) = sin ( πkℓN ) X(ℓ) =

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

−j N , ℓ = ℓj N , ℓ = N − ℓ, sonst

X(ℓ) = j ⋅ e

−jπ( ℓN −ν)(N−) ⋅


sin(π( ℓN −ν))x(k) = sin(πνk)

− j ⋅ e

−jπ( ℓN +ν)(N−) ⋅

sin(π( ℓN +ν)N)

sin(π( ℓN +ν))

6Schnelle Fourier-Transformation

Die Transformationsformeln der diskreten Fourier-Transformation

X(ℓ) = DFT {x(k)} =N−

∑k=

x(k) ⋅wkℓN

�

�


N−∑ℓ=

X(ℓ) ⋅w−kℓN

besitzen aufgrund der Eigenschaften des Drehfaktors wN = e−jπ/N reichhaltige Symme-trien, die zur Herleitung eines numerisch effizienten Berechnungsalgorithmus zu Hilfegenommen werden können. Eine direkte Berechnung auf Basis der obigen Summendar-stellung erfordert einen Aufwand von

N ⋅ (N − ) = N − N (6.1)

komplexen Additionen undN (6.2)

komplexenMultiplikationen – also einenAufwand vonO(N ) komplexen Additionen undMultiplikationen.1

In derweiterenDiskussionwird entsprechend der vonCooleyundTukey angegebenenHerleitung des Radix- FFT-Algorithmus der schnellen Fourier-Transformation (FFT –Fast Fourier Transform) angenommen, dass die Länge N der Signalfolge eine Zweierpotenzist, das heißt es gilt [2, 3, 5, 18]

N = n . (6.3)

1 Die Schreibweise O( f (N)) bedeutet, dass die Berechnungskomplexität für N Komponentenhöchstens gleich c ⋅ f (N)mit der Konstanten c ist.


124 6 Schnelle Fourier-Transformation

Aufgrund der Beziehung

x(k) = IDFT {X(ℓ)} =N(DFT{X∗(ℓ)})∗

kann die inverse diskrete Fourier-Transformation IDFT auf die diskrete Fouri-er-Transformation DFT zurückgeführt werden. Hiernach wird zur Bestimmung derSignalfolge die diskrete Fourier-Transformation der konjugiert komplexen Spektralfolgedurchgeführt, die resultierende Signalfolge komplex konjugiert und durch den Faktor Ndividiert. Entsprechend wie angegeben kann die inverse schnelle Fourier-TransformationIFFT (Inverse Fast Fourier Transform) auf die schnelle Fourier-Transformation FFTzurückgeführt werden. Im Folgenden betrachten wir daher ausschließlich die Hintransfor-mation der schnellen Fourier-Transformation FFT.

6.1 Dezimation im Originalbereich

Zur Ausnutzung der im Kap. 4 hergeleiteten Symmetrieeigenschaften der diskreten Fouri-er-Transformation wird als erster Schritt die finite Signalfolge

{x(k)}≤k≤N− = {x(), x(), . . . , x(N − )}

in zwei Teilsignalfolgen mit geraden beziehungsweise ungeraden Indizes aufgeteilt gemäß

{x′(k)}≤k≤N/− = {x′(), x′(), . . . , x′(N/− )} ,

{x′′(k)}≤k≤N/− = {x′′(), x′′(), . . . , x′′(N/− )}

für ≤ k ≤ N/− mit

x′(k) = x(k) und x′′(k) = x(k + ) . (6.4)

Dieser Schritt heißt „Dezimation im Originalbereich“ oder „Dezimation im Zeitbereich“(Decimation in Time). Unter Verwendung dieser Teilsignalfolgen erhalten wir

X(ℓ) =N−

∑k=

x(k) ⋅wkℓN

=N/−

∑k=

x(k) ⋅wkℓN +

N/−

∑k=

x(k + ) ⋅w(k+)ℓN

=N/−

∑k=

x′(k) ⋅wkℓN +wℓ

N

N/−

∑k=

x′′(k) ⋅wkℓN .

Für den Drehfaktor gilt

wN = (e

−jπ/N)= e−jπ/N = e−jπ/(N/) = wN/ .

6.1 Dezimation im Originalbereich 125

Damit folgt

X(ℓ) =N/−

∑k=

x′(k) ⋅wkℓN/ +w

ℓN

N/−

∑k=

x′′(k) ⋅wkℓN/ .

Die auftretenden Summen entsprechen der diskreten Fourier-Transformation der beidenTeilsignalfolgen {x′(k)}≤k≤N/− und {x′′(k)}≤k≤N/−, das heißt es gilt

X′(ℓ) = DFT {x′(k)} =N/−

∑k=

x′(k) ⋅wkℓN/ , (6.5)

X′′(ℓ) = DFT {x′′(k)} =N/−

∑k=

x′′(k) ⋅wkℓN/ (6.6)

für ≤ ℓ ≤ N/− . Somit ergibt sich die Beziehung

X(ℓ) = X′(ℓ) +wℓN ⋅ X

′′(ℓ) .

Wird probeweise in der Gleichung

X(ℓ) =N/−

∑k=

x′(k) ⋅wkℓN/ +w

ℓN

N/−

∑k=

x′′(k) ⋅wkℓN/

der Index ℓ durch den Index ℓ+N/ ersetzt, so folgt unter Beachtung der N/-Periodizitätder auf der Menge der ganzen Zahlen Z periodisch fortgesetzten finiten Spektralfolgen{X′(ℓ)}≤ℓ≤N/− und {X′′(ℓ)}≤ℓ≤N/− sowie mit Hilfe von wN/

N/ = und wN/N = −

der Ausdruck

X(ℓ + N/) =N/−

∑k=

x′(k) ⋅wk(ℓ+N/)N/ +w(ℓ+N/)N

N/−

∑k=

x′′(k) ⋅wk(ℓ+N/)N/

=N/−

∑k=

x′(k) ⋅wkℓN/ ⋅w

kN/N/ + w

ℓN ⋅w

N/N

N/−

∑k=

x′′(k) ⋅wkℓN/ ⋅w

kN/N/

=N/−

∑k=

x′(k) ⋅wkℓN/ −w

ℓN

N/−

∑k=

x′′(k) ⋅wkℓN/

= X′(ℓ) −wℓN ⋅ X

′′(ℓ) .

Zusammengefasst gilt somit für die resultierende Spektralfolge mit ≤ ℓ ≤ N/ −

X(ℓ) = X′(ℓ) + wℓN ⋅ X

′′(ℓ) , (6.7)

X(ℓ + N/) = X′(ℓ) − wℓN ⋅ X

′′(ℓ) . (6.8)

Diese Operation wird als Butterfly-Operation bezeichnet, da der zugehörige gezeigte Sig-nalflussgraf die Form eines Schmetterlings besitzt, wie in Abb. 6.1 veranschaulicht.


Abb. 6.1 Butterfly-Operation derschnellen Fourier-Transformation

Die Berechnung der diskreten Fourier-Transformation der Länge N kann somit aufdie Berechnung zweier diskreter Fourier-Transformationen der Länge N/ zurückgeführtwerden. Jede dieser diskreten Fourier-Transformationen der halben Länge erfordert einenBerechnungsaufwand von (N/) − N/ komplexen Additionen und (N/) komplexenMultiplikationen. Der gesamte Berechnungsaufwand beträgt daher

⋅ [(N)

−N] + N =

N

komplexe Additionen,

⋅ (N)

+N=N(N + )

komplexe Multiplikationen

anstelle von N − N komplexen Additionen und N komplexen Multiplikationen für diedirekte Berechnung der diskreten Fourier-Transformation der Länge N . Der Berech-nungsaufwand kann somit durch den Dezimationsschritt im Originalbereich ungefähr umden Faktor verringert werden.

Beispiel 6.1Als Beispiel betrachten wir die Dezimation imOriginalbereich für die diskrete Fourier-Transformation der Länge N = . Mit dem Drehfaktor

w = e−jπ/ = e−jπ/ = − j√

ergeben sich die zugehörigen Gleichungen

X(ℓ) = X′(ℓ) + wℓ ⋅ X

′′(ℓ) ,

X(ℓ + ) = X′(ℓ) − wℓ ⋅ X

′′(ℓ)

mit ≤ ℓ ≤ für die Spektralfolge {X(ℓ)}≤ℓ≤. Die Transformationsformeln der dis-kreten Fourier-Transformation der Länge N/ = lauten

X′(ℓ) = DFT {x′(k)} =

∑k=

x′(k) ⋅wkℓ ,

X′′(ℓ) = DFT {x′′(k)} =

∑k=

x′′(k) ⋅wkℓ


Abb. 6.2 Diskrete Fourier-Transformation der Länge N = mit Dezimation im Originalbereich

für die beiden Teilsignalfolgen {x′(k)}≤k≤ und {x′′(k)}≤k≤ gegeben durch

{x′(k)}≤k≤ = {x(), x(), x(), x()} ,

{x′′(k)}≤k≤ = {x(), x(), x(), x()} .

Für den Drehfaktor w gilt

w = e−jπ/ = e−jπ/ = −j .

Hiermit ist die Berechnung der diskreten Fourier-Transformation der Länge N = auf die Berechnung zweier diskreter Fourier-Transformationen der Länge N/ = zurückgeführt, wie der Signalflussgraf in Abb. 6.2 veranschaulicht. ◇

Da die Länge N = n als Zweierpotenz vorausgesetzt wird, kann dieselbe Vorge-hensweise der Dezimation im Originalbereich erneut auf die beiden dezimierten Folgen{x′(k)}≤k≤N/− und {x′′(k)}≤k≤N/− angewendet werden, bis wir bei diskreten Fou-rier-Transformationender Länge angelangt sind.Der so hergeleiteteAlgorithmus zur Be-rechnung der diskreten Fourier-Transformation wird als schnelle Fourier-Transformationoder FFT (Fast Fourier Transform) bezeichnet.


Beispiel 6.2Wie in Beispiel 3.1 auf S. 33 hergeleitet lauten die Transformationsgleichungen für diediskrete Fourier-Transformation der Länge N =

X() = x() + x() + x() + x() ,X() = x() − j ⋅ x() − x() + j ⋅ x() ,

X() = x() − x() + x() − x() ,

X() = x() + j ⋅ x() − x() − j ⋅ x()

mit demDrehfaktorw = −j. GemäßAbb. 6.3wird die diskrete Fourier-Transformationder Länge N = auf zwei diskrete Fourier-Transformationen der Länge N/ = zu-rückgeführt mit w

= und w = w = −j gemäß

X() = x() + x() + x() + x()

= (x() + x()) + (x() + x())

= (x′() + x′()) + (x′′() + x′′()) ,

X() = x() − j ⋅ x() − x() + j ⋅ x()

= (x() − x()) − j (x() − x())

= (x′() − x′()) − j (x′′() − x′′()) ,

X() = x() − x() + x() − x()= (x() + x()) − (x() + x())

= (x′() + x′()) − (x′′() + x′′()) ,

X() = x() + j ⋅ x() − x() − j ⋅ x()= (x() − x()) + j (x() − x())

= (x′() − x′()) + j (x′′() − x′′()) .

Hierbei haben wir die Teilsignalfolgen

{x′(k)}≤k≤ = {x′(), x′()} = {x(), x()} ,{x′′(k)}≤k≤ = {x′′(), x′′()} = {x(), x()}

der Länge N/ = verwendet. Für diese Teilsignalfolgen der Länge lauten die Trans-formationsgleichungen für die diskrete Fourier-Transformation der Länge

X′(ℓ) = x′() + wℓ ⋅ x

′() ,

X′′(ℓ) = x′′() +wℓ ⋅ x

′′()


Abb. 6.3 Diskrete Fourier-Transformation der Länge N = mit Dezimation im Originalbereich

Abb. 6.4 Diskrete Fourier-Transformation der Länge N =

für ≤ ℓ ≤ . Mit dem Drehfaktor

w = e−jπ/ = e−jπ = −

folgen wie in Abb. 6.4 für die Teilsignalfolge {x′(k)}≤k≤ = {x′(), x′()} gezeigt aus-führlich die Berechnungsvorschriften

X′() = x′() + x′() ,

X′() = x′() − x′()und

X′′() = x′′() + x′′() ,

X′′() = x′′() − x′′() .

Zusammengefasst lauten für die diskrete Fourier-Transformation der Länge dieTransformationsgleichungen

X() = (x′() + x′()) + (x′′() + x′′()) = X′() + X′′() ,

X() = (x′() + x′()) − (x′′() + x′′()) = X′() − X′′()und

X() = (x′() − x′()) − j (x′′() − x′′()) = X′() − j ⋅ X′′() ,

X() = (x′() − x′()) + j (x′′() − x′′()) = X′() + j ⋅ X′′() .

◇


Abb. 6.5 Schnelle Fourier-Transformation der Länge N = mit Dezimation im Originalbereich

Abb. 6.6 Schnelle Fourier-Transformation der Länge N = mit Dezimation im Originalbereich

In Abb. 6.5 und in Abb. 6.6 sind die resultierenden Signalflussgrafen für die schnellenFourier-Transformationen der Länge N = und der Länge N = mit mehrfach durchge-führter Dezimation im Originalbereich veranschaulicht. Die Umordnung der Indizes derfiniten Signalfolge {x(k)}≤k≤N− wird als Bit Reversal bezeichnet.2

6.2 Dezimation im Spektralbereich

Anstelle der im Abschn. 6.1 behandelten Dezimation imOriginalbereich teilen wir nun diefinite Signalfolge {x(k)}≤k≤N− der Länge N in zwei Teilsignalfolgen der halben Länge

2 Der Begriff Bit Reversal kennzeichnet die umgekehrte Reihenfolge der in Binärschreibweise formu-lierten Indizes.

6.2 Dezimation im Spektralbereich 131

N/ auf gemäß

{x(k)}≤k≤N/− = {x(), x(), . . . , x(N/− )} ,

{x(k + N/)}≤k≤N/− = {x(N/), x(N/+ ), . . . , x(N − )} .

Unter Verwendung dieser Teilsignalfolgen erhalten wir

X(ℓ) =N−

∑k=

x(k) ⋅wkℓN

=N/−

∑k=

x(k) ⋅wkℓN +

N−

∑k=N/

x(k) ⋅wkℓN

=N/−

∑k=

x(k) ⋅wkℓN +

N/−

∑k=

x(k + N/) ⋅w(k+N/)ℓN

=N/−

∑k=

x(k) ⋅wkℓN +w

(N/)ℓN

N/−

∑k=

x(k + N/) ⋅wkℓN .

Für den Drehfaktor gilt wN/N = − und somit w(N/)ℓN = (−)ℓ . Daraus folgt

X(ℓ) =N/−

∑k=

x(k) ⋅wkℓN + (−)

ℓN/−

∑k=

x(k + N/) ⋅wkℓN

=N/−

∑k=[x(k) + (−)ℓ ⋅ x(k + N/)] ⋅wkℓ

N .

Im nächsten Schritt spalten wir die Spektralfolge {X(ℓ)}≤ℓ≤N− in zwei Teilspektralfol-gen halber Länge auf im Sinne der „Dezimation im Spektralbereich“ oder „Dezimation imFrequenzbereich“ (Decimation in Frequency) gemäß

{X′(ℓ)}≤ℓ≤N/− = {X′(), X′(), . . . , X′(N/− )} ,

{X′′(ℓ)}≤ℓ≤N/− = {X′′(), X′′(), . . . , X′′(N/ − )}

mit den Zuordnungen

X′(ℓ) = X(ℓ) und X′′(ℓ) = X(ℓ + ) . (6.9)

Hiermit ergeben sich die Teilspektralfolgen

X′(ℓ) = X(ℓ)

=N/−

∑k=[x(k) + (−)ℓ ⋅ x(k + N/)] ⋅wk(ℓ)

N

=N/−

∑k=[x(k) + x(k + N/)] ⋅wkℓ

N


sowie

X′′(ℓ) = X(ℓ + )

=N/−

∑k=[x(k) + (−)ℓ+ ⋅ x(k + N/)] ⋅wk(ℓ+)

N

=N/−

∑k=[x(k) − x(k + N/)] ⋅wk

N ⋅wkℓN .

Der Drehfaktor wN = wN/ beziehungsweise wkℓ

N = wkℓN/ führt auf

X′(ℓ) = X(ℓ) =N/−

∑k=[x(k) + x(k + N/)] ⋅wkℓ

N/

für ≤ ℓ ≤ N/− sowie

X′′(ℓ) = X(ℓ + ) =N/−

∑k=[x(k) − x(k + N/)] ⋅wk

N ⋅wkℓN/ .

Die diskrete Fourier-Transformation der Länge N kann erneut aufgeteilt werden in zweidiskrete Fourier-Transformationen der halben Länge N/ gemäß

X′(ℓ) = DFT {x(k) + x(k + N/)}

=N/−

∑k=[x(k) + x(k + N/)] ⋅wkℓ

N/ ,(6.10)

X′′(ℓ) = DFT{[x(k) − x(k + N/)] ⋅wkN}

=N/−

∑k=[x(k) − x(k + N/)] ⋅wk

N ⋅wkℓN/

(6.11)

mit den dezimierten Spektralfolgen

X(ℓ) = X′(ℓ) ,

X(ℓ + ) = X′′(ℓ) .

Die beiden diskreten Fourier-Transformationen der halben Länge N/ werden angewen-det auf die addierte Signalfolge

{x(k) + x(k + N/)}≤k≤N/−

sowie die subtrahierte und mit einem Drehfaktor wkN multiplizierte Signalfolge

{[x(k) − x(k + N/)] ⋅wkN}≤k≤N/− .

6.2 Dezimation im Spektralbereich 133

Abb. 6.7 Diskrete Fourier-Transformation der Länge N = mit Dezimation im Spektralbereich

Abb. 6.8 Diskrete Fourier-Transformation der Länge N = mit Dezimation im Spektralbereich

Die Abb. 6.7 und 6.8 zeigen die Signalflussgrafen für die diskreten Fourier-Transformationen der Länge N = und der Länge N = für die Dezimation imSpektralbereich jeweils mit der Aufteilung in zwei diskrete Fourier-Transformationender halben Länge N/ = und N/ = . Nach wiederholter Aufteilung der diskretenFourier-Transformation der Länge N/ werden die in Abb. 6.9 und in Abb. 6.10 ver-anschaulichten Signalflussgrafen für die schnellen Fourier-Transformationen der LängeN = und der Länge N = für die Dezimation im Spektralbereich einschließlich derUmordnung der Indizes (Bit Reversal) der finiten Spektralfolge {X(ℓ)}≤ℓ≤N− erhalten.


Abb. 6.9 Schnelle Fourier-Transformation der Länge N = mit Dezimation im Spektralbereich

Abb. 6.10 Schnelle Fourier-Transformation der Länge N = mit Dezimation im Spektralbereich

Bei einem Dezimationsschritt im Spektralbereich kann die Berechnung einer diskre-ten Fourier-Transformation der Länge N erneut auf die Berechnung zweier diskreterFourier-Transformationen der Länge N/ zurückgeführt werden. Jede dieser diskretenFourier-Transformationen mit der halben Länge erfordern jeweils einen Berechnungsauf-wand von (N/)−N/ komplexen Additionen und (N/) komplexen Multiplikationen.Hinzu kommen die Additionen für die Überlagerung der finiten Signalfolgen der halbenLängeN/ sowie dieMultiplikationmit demDrehfaktorwk

N imFall der zweiten Signalfolge.Der gesamte Berechnungsaufwand beträgt daher

⋅ [(N)−N] + ⋅

N=N

komplexe Additionen,

⋅ (N)

+N=N(N + )

komplexe Multiplikationen

6.3 Berechnungskomplexität 135

anstelle von N −N komplexen Additionen und N komplexenMultiplikationen für die di-rekte Berechnung der diskreten Fourier-Transformation der Länge N . Der Berechnungs-aufwand imFall der Dezimation im Spektralbereich ergibt denselben Berechnungsaufwandwie im Fall der Dezimation im Originalbereich.

6.3 Berechnungskomplexität

Zur Herleitung der gesamten Berechnungskomplexität für den resultierenden schnellenFourier-Transformations-Algorithmus setzen wir voraus, dass nach dem ν-ten der ins-gesamt n = log(N) möglichen Dezimationsschritte Aν komplexe Additionen und Mν

komplexe Multiplikationen erforderlich sind [18]. Damit gilt

Aν = ⋅ Aν− + ν ,

Mν = ⋅Mν− + ν−

für ≤ ν ≤ n mit den Anfangsbedingungen A = und M = für die diskrete Fourier-Transformation der Länge . Hierbei wird die eigentlich nicht erforderliche Multiplikationmit dem Drehfaktor w = − berücksichtigt. Wie durch Einsetzen leicht nachgeprüft wer-den kann, ergeben sich nach dem ν-ten Dezimationsschritt

Aν = ν ⋅ ν

komplexe Additionen und

Mν =ν ⋅ ν

Abb. 6.11 Anzahl der kom-plexen Additionen An und derkomplexen MultiplikationenMn in Abhängigkeit der LängeN = n für die schnelle Fourier-Transformation FFT und für diedirekte Berechnung der diskretenFourier-Transformation DFT


komplexe Multiplikationen. Für eine schnelle Fourier-Transformation der Länge N = n

ergibt sich mit ν = n = log(N) daher die folgende Berechnungskomplexität gemäß

An = n ⋅ n = N ⋅ log(N) (6.12)

komplexen Additionen und

Mn =n⋅ n =

N⋅ log(N) (6.13)

komplexen Multiplikationen. Durch die n = log(N)-mal durchgeführten Dezimations-schritte reduziert sich die Berechnungskomplexität vonO(N ) für die direkte Berechnungder diskreten Fourier-Transformation auf O(N ⋅ log(N)) für die schnelle Fourier-Transformation, wie in Abb. 6.11 dargestellt ist.

7Schnelle Faltung

In der Systemtheorie stellt die Faltung eine wichtige Operation für so genannte lineare zeit-invariante Systeme dar. Aus diesem Grund wenden wir uns in diesem Kapitel zunächstder Systemtheorie zu, bevor wir als praktische Anwendung die Verwendung der diskre-ten Fourier-Transformation für die aufwandsgünstige Berechnung des Ausgangssignalseines diskreten linearen zeitinvarianten Systems mit Hilfe der schnellen Faltung behan-deln [14, 21, 23, 25].

Abb. 7.1 Diskretes System S mit der diskreten Eingangsfolge {s(k)}−∞<k<∞ und der diskreten

Ausgangsfolge {g(k)}−∞<k<∞

Abbildung 7.1 veranschaulicht die Wirkungsweise eines diskreten Systems S mit derunendlich ausgedehnten diskreten Eingangsfolge {s(k)}

−∞<k<∞ definiert über der Index-menge Z der ganzen Zahlen. Am Ausgang des Systems S wird die unendlich ausgedehntediskrete Ausgangsfolge {g(k)}

−∞<k<∞ ausgegeben. Die diskrete Ausgangsfolge wird ent-sprechend der durch das System S vorgegebenen Berechnungsvorschrift aus der diskretenEingangsfolge erhalten gemäß

g(k) = S {s(k)} .

7.1 Lineare zeitinvariante Systeme

In der praktischen Anwendung spielen lineare zeitinvariante Systeme (LZI – linear zeitinva-riant) eine wichtige Rolle. Ein solches LZI-System S zeichnet sich durch die Eigenschaften


138 7 Schnelle Faltung

Abb. 7.2 Diskrete Impulsfolge{δ(k)}

−∞<k<∞

derLinearität undderZeitinvarianz aus. Für ein LZI-SystemS gilt das Superpositionsgesetzgemäß

S {a ⋅ s(k) + a ⋅ s(k)} = a ⋅ S {s(k)} + a ⋅ S {s(k)}

beziehungsweise mit g(k) = S {s(k)} und g(k) = S {s(k)}

S {a ⋅ s(k) + a ⋅ s(k)} = a ⋅ g(k) + a ⋅ g(k) .

Die Zeitinvarianz beschreibt das Verhalten eines LZI-Systems S , welches auf eine um denVersatz κ verschobene diskrete Eingangsfolge s(k − κ)mit der ebenfalls um den Versatz κverschobenen diskreten Ausgangsfolge g(k − κ) reagiert. Das heißt es gilt für ein zeitinva-riantes diskretes System

S {s(k − κ)} = g(k − κ) .

Mit Hilfe der auf der IndexmengeZ der ganzen Zahlen definierten diskreten Impulsfolge(siehe Abb. 7.2)

δ(k) = { , k = , k ≠

(7.1)

kann die diskrete Eingangsfolge formuliert werden als eine Superposition gewichteter undverschobener diskreter Impulsfolgen.

s(k) = . . . + s(−) ⋅ δ(k + ) + s() ⋅ δ(k) + s() ⋅ δ(k − ) + . . .

=

∞

∑κ=−∞

s(κ) ⋅ δ(k − κ)

Für ein LZI-System S ergibt sich mit Hilfe des Superpositionsgesetzes die zugehörige dis-krete Ausgangsfolge aus der Beziehung

g(k) = S {s(k)}= S {. . . + s(−) ⋅ δ(k + ) + s() ⋅ δ(k) + s() ⋅ δ(k − ) + . . .}

= . . . + s(−) ⋅ S {δ(k + )} + s() ⋅ S {δ(k)}+ s() ⋅ S {δ(k − )} + . . . .

7.1 Lineare zeitinvariante Systeme 139

Die Antwort des LZI-Systems S auf die diskrete Impulsfolge {δ(k)}−∞<k<∞ am Eingang

wird diskrete Impulsantwort {h(k)}−∞<k<∞ genannt; sie ist folgendermaßen definiert

h(k) = S {δ(k)} . (7.2)

Aufgrund der Zeitinvarianz gilt für das LZI-System S zudem

S {δ(k − κ)} = h(k − κ)

und damit

g(k) = . . . + s(−) ⋅ S {δ(k + )} + s() ⋅ S {δ(k)}+ s() ⋅ S {δ(k − )} + . . .

= . . . + s(−) ⋅ h(k + ) + s() ⋅ h(k) + s() ⋅ h(k − ) + . . .

=

∞

∑κ=−∞

s(κ) ⋅ h(k − κ) .

Hinsichtlich der Beziehung zwischen der diskreten Eingangsfolge {s(k)}−∞<k<∞ und der

diskreten Ausgangsfolge {g(k)}−∞<k<∞ wird das Verhalten eines LZI-Systems S voll-

ständig durch die diskrete Impulsantwort {h(k)}−∞<k<∞ beschrieben. Die zugehörige

Berechnungsvorschrift

g(k) =∞

∑κ=−∞

s(κ) ⋅ h(k − κ) = s(k) ⋆ h(k) (7.3)

entspricht der so genannten aperiodischen Faltung zweier unendlich ausgedehnter diskre-ter Signalfolgen imGegensatz zur periodischen Faltung, die für finite Signalfolgen definiertist. Man sagt, die diskrete Eingangsfolge wird durch das LZI-System „gefiltert“. Ein solchesLZI-System wird daher auch als Filter bezeichnet. Abbildung 7.3 veranschaulicht das LZI-System S mit der diskreten Eingangsfolge {s(k)}

−∞<k<∞, der diskreten Impulsantwort{h(k)}

−∞<k<∞ und der diskreten Ausgangsfolge {g(k)}−∞<k<∞. Diese diskreten Signal-

folgen sind in Abb. 7.4 beispielhaft dargestellt.

Abb. 7.3 LZI-Systemmit der diskreten Eingangsfolge {s(k)}−∞<k<∞, der diskreten Impulsantwort

{h(k)}−∞<k<∞ und der diskreten Ausgangsfolge {g(k)}

−∞<k<∞


Abb. 7.4 Diskrete Eingangs-folge {s(k)}

−∞<k<∞, diskreteImpulsantwort {h(k)}

−∞<k<∞und diskrete Ausgangsfolge{g(k)}

−∞<k<∞ eines LZI-Systems

7.2 Aperiodische und periodische Faltung

Neben der für finite Signalfolgen {x(k)}≤k≤N−, {y(k)}≤k≤N− und {z(k)}≤k≤N− gel-tenden periodischen Faltung

z(k) = x(k) ⋆ y(k) =N−∑κ=

x(κ) ⋅ y(k − κ) =N−∑κ=

x(κ) ⋅ y(k − κ mod N) (7.4)

wird die aperiodische Faltung

z(k) = x(k) ⋆ y(k) =∞

∑κ=−∞

x(κ) ⋅ y(k − κ) (7.5)

für diskrete LZI-Systeme definiert. Zur einfacheren Unterscheidung zwischen der periodi-schen Faltung und der aperiodischen Faltung kennzeichnen wir die für k ∈ Z definiertendiskreten Signalfolgen {x(k)}

−∞<k<∞, { y(k)}−∞<k<∞ und {z(k)}−∞<k<∞ mit einem

Überstrich. Die aus der aperiodischen Faltung z(k) = x(k) ⋆ y(k) resultierende diskre-te Signalfolge wird erneut als Faltungsprodukt bezeichnet. Die aperiodische Faltung ist wiedie periodische Faltung kommutativ, assoziativ und distributiv bezüglich der Addition, das

7.2 Aperiodische und periodische Faltung 141

heißt es gilt

Kommutativität x(k) ⋆ y(k) = y(k) ⋆ x(k) ,

Assoziativität (x(k) ⋆ y(k)) ⋆ z(k) = x(k) ⋆ ( y(k) ⋆ z(k)) ,Distributivität (x(k) + y(k)) ⋆ z(k) = x(k) ⋆ z(k) + y(k) ⋆ z(k) .

Eine kausale diskrete Signalfolge {x(k)}−∞<k<∞ ist definiert durch die Eigenschaft

x(k) = für k < .

Ist auch die diskrete Signalfolge { y(k)}−∞<k<∞ kausal, so gilt für die aperiodische Faltung

z(k) = x(k) ⋆ y(k)

=

k

∑κ=

x(κ) ⋅ y(k − κ)

= x() ⋅ y(k) + x() ⋅ y(k − ) + . . . + x(k − ) ⋅ y() + x(k) ⋅ y() .

Sind die kausalen diskreten Signalfolgen {x(k)}−∞<k<∞ und { y(k)}

−∞<k<∞ desWeiterenbegrenzt auf die Breiten Lx und Ly gemäß

x(k) = für k < oder k ≥ Lx ,

y(k) = für k < oder k ≥ Ly ,

so ist auch das Faltungsprodukt z(k) = x(k) ⋆ y(k) begrenzt auf die Breite

Lz = Lx + Ly − (7.6)

gemäßz(k) = für k < oder k ≥ Lz .

Dies sehen wir leicht, wenn wir k < oder k ≥ Lz = Lx + Ly − in die Formel für dieaperiodische Faltung einsetzen, da in diesen Fällen mindestens einer der Faktoren in denProdukten für die aperiodische Faltung gleich Null ist. So gilt beispielsweise für k = Lz

z(Lz) = x() ⋅ y(Lz) + x() ⋅ y(Lz − ) + . . . + x(Lz − ) ⋅ y() + x(Lz) ⋅ y()

= x() ⋅ y(Lx + Ly − ) + x() ⋅ y(Lx + Ly − ) + . . . + x(Lx − ) ⋅ y(Ly)

+ x(Lx) ⋅ y(Ly − ) + . . . + x(Lx + Ly − ) ⋅ y() + x(Lx + Ly − ) ⋅ y()

= x() ⋅ + x() ⋅ + . . . + x(Lx − ) ⋅ + ⋅ y(Ly − ) + . . . + ⋅ y() + ⋅ y()

= .


Beispiel 7.1Als Beispiel betrachten wir die aperiodische Faltung der kausalen diskreten Signalfolgen{x(k)}

−∞<k<∞ der Breite Lx = und { y(k)}−∞<k<∞ der Breite Ly = . Daraus folgt

die Breite des Faltungsprodukts z(k) = x(k) ⋆ y(k) zu Lz = Lx + Ly − = + − = .Damit gilt

x(k) = für k < oder k ≥ ,

y(k) = für k < oder k ≥ ,z(k) = für k < oder k ≥ .

Entsprechend der Vorschrift für die aperiodische Faltung

z(k) = x() ⋅ y(k) + x() ⋅ y(k − ) + . . . + x(k − ) ⋅ y() + x(k) ⋅ y()

ergeben sich für das Faltungsprodukt die ausführlichen Beziehungen

z() = x() ⋅ y() ,

z() = x() ⋅ y() + x() ⋅ y() ,

z() = x() ⋅ y() + x() ⋅ y() + x() ⋅ y() ,

z() = x() ⋅ y() + x() ⋅ y() + x() ⋅ y() + x() ⋅ y()= x() ⋅ + x() ⋅ y() + x() ⋅ y() + x() ⋅ y()

= x() ⋅ y() + x() ⋅ y() + x() ⋅ y() ,

z() = x() ⋅ y() + x() ⋅ y() + x() ⋅ y() + x() ⋅ y() + x() ⋅ y()

= x() ⋅ + x() ⋅ + x() ⋅ y() + x() ⋅ y() + ⋅ y()

= x() ⋅ y() + x() ⋅ y() ,

z() = x() ⋅ y() + x() ⋅ y() + x() ⋅ y() + x() ⋅ y() + x() ⋅ y()+ x() ⋅ y()

= x() ⋅ + x() ⋅ + x() ⋅ + x() ⋅ y() + ⋅ y() + ⋅ y()

= x() ⋅ y() ,

z() = x() ⋅ y() + x() ⋅ y() + x() ⋅ y() + x() ⋅ y() + x() ⋅ y()

+ x() ⋅ y() + x() ⋅ y()

= x() ⋅ + x() ⋅ + x() ⋅ + x() ⋅ + ⋅ y() + ⋅ y() + ⋅ y()= .

◇


Beispiel 7.2Abbildung 7.5 veranschaulicht als weiteres Beispiel die Berechnung der aperiodischenFaltung zweier diskreter Rechteckfolgen der Breiten Lx = und Ly = . Diese diskretenRechteckfolgen sind gegeben durch

x(k) = { , ≤ k ≤ , sonst

und

y(k) = { , ≤ k ≤ , sonst

.

Werden für die periodische Faltung die finiten Signalfolgen {x(k)}≤k≤N− und{y(k)}≤k≤N− für ≤ k ≤ N − mit N = identisch gewählt entsprechend

x(k) = { , ≤ k ≤ , ≤ k ≤

Abb. 7.5 Aperiodische Fal-tung der diskreten Signalfolgen{x(k)}

−∞<k<∞, { y(k)}−∞<k<∞und {z(k)}

−∞<k<∞ mit demFaltungsprodukt z(k) =x(k)⋆ y(k) = ∑k

κ= x(κ)⋅ y(k−κ)


Abb. 7.6 Periodische Fal-tung der finiten Signalfolgen{x(k)}≤k≤N−, {y(k)}≤k≤N−und {z(k)}≤k≤N− mit demFaltungsprodukt z(k) =x(k) ⋆ y(k) = ∑N−

κ= x(κ) ⋅y(k − κ mod N) für N =

und

y(k) = { , ≤ k ≤ , ≤ k ≤

,

so ergibt sich das in Abb. 7.6 gezeigte Faltungsprodukt z(k) = x(k) ⋆ y(k). Wie derVergleich des Faltungsprodukts z(k) = x(k) ⋆ y(k) der aperiodischen Faltung mit demFaltungsprodukt z(k) = x(k) ⋆ y(k) der periodischen Faltung zeigt, weichen die Fal-tungsprodukte z(k) und z(k) voneinander ab. ◇

Wie in diesem Abschnitt bereits gezeigt besitzt im Fall der aperiodischen Faltung dasFaltungsprodukt {z(k)}

−∞<k<∞ zweier diskreter Signalfolgen {x(k)}−∞<k<∞ der Breite

Lx und { y(k)}−∞<k<∞ der Breite Ly die resultierende Breite Lz = Lx +Ly − . Ummit Hilfe

der periodischen Faltung das Faltungsprodukt der aperiodischen Faltung für die von Nullverschiedenen Werte korrekt berechnen zu können, darf die Länge N der finiten Signalfol-gen {x(k)}≤k≤N−, {y(k)}≤k≤N− und {z(k)}≤k≤N− nicht kleiner als die Breite Lz des


Faltungsprodukts {z(k)}−∞<k<∞ der aperiodischen Faltung sein.

N ≥ Lz = Lx + Ly − (7.7)

Die periodisch zu faltendenfiniten Signalfolgen {x(k)}≤k≤N− und {y(k)}≤k≤N− werdenaus den beiden diskreten Signalfolgen {x(k)}

−∞<k<∞ und { y(k)}−∞<k<∞ der Breiten Lx

und Ly durch Anhängen von Nullen gebildet gemäß

x(k) = {x(k), ≤ k ≤ Lx − , Lx ≤ k ≤ N −

und

y(k) = { y(k), ≤ k ≤ Ly − , Ly ≤ k ≤ N −

.

Diese Bildungsvorschrift wird als Zero Padding bezeichnet [3, 14]. Aus dem mittels derperiodischen Faltung berechneten finiten Faltungsprodukt {z(k)}≤k≤N− wird das Fal-tungsprodukt {z(k)}

−∞<k<∞ der aperiodischen Faltung wie folgt bestimmt.

z(k) = { z(k), ≤ k ≤ Lz − , sonst

Beispiel 7.3Als Beispiel betrachten wir die Berechnung der aperiodischen Faltung der kausalen dis-kreten Signalfolgen {x(k)}

−∞<k<∞ der Breite Lx = und { y(k)}−∞<k<∞ der Breite

Ly = aus Beispiel 7.1 auf S. 142 mittels der periodischen Faltung. Aufgrund der BreiteLz = des Faltungsprodukts z(k) = x(k) ⋆ y(k) wählen wir die Länge N = ≥ = Lz

für die finiten Signalfolgen {x(k)}≤k≤N−, {y(k)}≤k≤N− und {z(k)}≤k≤N−. DurchAnfügen von Nullen werden die periodisch zu faltenden finiten Signalfolgen gebildet

x() = x() ,

x() = x() ,

x() = x() ,

x() = x() ,

x() = ,

x() = ,x() = ,

x() =


und

y() = y() ,

y() = y() ,

y() = y() ,y() = ,

y() = ,

y() = ,

y() = ,

y() = .

Aufgrund der Vorschrift für die periodische Faltung

z(k) = x(k) ⋆ y(k)

=

N−∑κ=

x(κ) ⋅ y(k − κ)

= x() ⋅ y(k) + x() ⋅ y(k − ) + . . . + x(N − ) ⋅ y(k − N + )

erhalten wir mit der N-Periodizität der finiten Signalfolge {y(k)}≤k≤N− beziehungs-weise dermodulo-Rechnung y(k−κ) = y(k−κ mod N) die ausführlichen Formeln fürdas Faltungsprodukt z(k) = x(k) ⋆ y(k) der periodischen Faltung gemäß

z() = x() ⋅ y() + x() ⋅ y(−) + x() ⋅ y(−) + x() ⋅ y(−)

+ x() ⋅ y(−) + x() ⋅ y(−) + x() ⋅ y(−) + x() ⋅ y(−)

= x() ⋅ y() + x() ⋅ y() + x() ⋅ y() + x() ⋅ y()

+ x() ⋅ y() + x() ⋅ y() + x() ⋅ y() + x() ⋅ y()= x() ⋅ y() + x() ⋅ + x() ⋅ + x() ⋅

+ ⋅ + ⋅ + ⋅ y() + ⋅ y()

= x() ⋅ y()

= z() ,

z() = x() ⋅ y() + x() ⋅ y() + x() ⋅ y(−) + x() ⋅ y(−)+ x() ⋅ y(−) + x() ⋅ y(−) + x() ⋅ y(−) + x() ⋅ y(−)

= x() ⋅ y() + x() ⋅ y() + x() ⋅ y() + x() ⋅ y()

+ x() ⋅ y() + x() ⋅ y() + x() ⋅ y() + x() ⋅ y()

= x() ⋅ y() + x() ⋅ y() + x() ⋅ + x() ⋅

+ ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ y()


= x() ⋅ y() + x() ⋅ y()

= z() ,

z() = x() ⋅ y() + x() ⋅ y() + x() ⋅ y() + x() ⋅ y(−)

+ x() ⋅ y(−) + x() ⋅ y(−) + x() ⋅ y(−) + x() ⋅ y(−)

= x() ⋅ y() + x() ⋅ y() + x() ⋅ y() + x() ⋅ y()

+ x() ⋅ y() + x() ⋅ y() + x() ⋅ y() + x() ⋅ y()= x() ⋅ y() + x() ⋅ y() + x() ⋅ y() + x() ⋅

+ ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅

= x() ⋅ y() + x() ⋅ y() + x() ⋅ y()

= z() ,

z() = x() ⋅ y() + x() ⋅ y() + x() ⋅ y() + x() ⋅ y()+ x() ⋅ y(−) + x() ⋅ y(−) + x() ⋅ y(−) + x() ⋅ y(−)

= x() ⋅ y() + x() ⋅ y() + x() ⋅ y() + x() ⋅ y()

+ x() ⋅ y() + x() ⋅ y() + x() ⋅ y() + x() ⋅ y()

= x() ⋅ + x() ⋅ y() + x() ⋅ y() + x() ⋅ y()

+ ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅

= x() ⋅ y() + x() ⋅ y() + x() ⋅ y()= z() ,

z() = x() ⋅ y() + x() ⋅ y() + x() ⋅ y() + x() ⋅ y()

+ x() ⋅ y() + x() ⋅ y(−) + x() ⋅ y(−) + x() ⋅ y(−)

= x() ⋅ y() + x() ⋅ y() + x() ⋅ y() + x() ⋅ y()+ x() ⋅ y() + x() ⋅ y() + x() ⋅ y() + x() ⋅ y()

= x() ⋅ + x() ⋅ + x() ⋅ y() + x() ⋅ y()

+ ⋅ y() + ⋅ + ⋅ + ⋅

= x() ⋅ y() + x() ⋅ y()

= z() ,

z() = x() ⋅ y() + x() ⋅ y() + x() ⋅ y() + x() ⋅ y()

+ x() ⋅ y() + x() ⋅ y() + x() ⋅ y(−) + x() ⋅ y(−)

= x() ⋅ y() + x() ⋅ y() + x() ⋅ y() + x() ⋅ y()

+ x() ⋅ y() + x() ⋅ y() + x() ⋅ y() + x() ⋅ y()


= x() ⋅ + x() ⋅ + x() ⋅ + x() ⋅ y()

+ ⋅ y() + ⋅ y() + ⋅ + ⋅ = x() ⋅ y()

= z() ,

z() = x() ⋅ y() + x() ⋅ y() + x() ⋅ y() + x() ⋅ y()

+ x() ⋅ y() + x() ⋅ y() + x() ⋅ y() + x() ⋅ y(−)= x() ⋅ y() + x() ⋅ y() + x() ⋅ y() + x() ⋅ y()

+ x() ⋅ y() + x() ⋅ y() + x() ⋅ y() + x() ⋅ y()

= x() ⋅ + x() ⋅ + x() ⋅ + x() ⋅

+ ⋅ y() + ⋅ y() + ⋅ y() + ⋅

=

= z() ,

z() = x() ⋅ y() + x() ⋅ y() + x() ⋅ y() + x() ⋅ y()

+ x() ⋅ y() + x() ⋅ y() + x() ⋅ y() + x() ⋅ y()

= x() ⋅ + x() ⋅ + x() ⋅ + x() ⋅

+ ⋅ + ⋅ y() + ⋅ y() + ⋅ y()

= = z() .

Insgesamt ergibt sich damit das Faltungsprodukt z(k) der entsprechenden aperiodi-schen Faltung durch Übernahme der berechnetenWerte des Faltungsprodukts z(k) derperiodischen Faltung für ≤ k ≤ N − = gemäß

z() = z() = x() ⋅ y() ,

z() = z() = x() ⋅ y() + x() ⋅ y() ,

z() = z() = x() ⋅ y() + x() ⋅ y() + x() ⋅ y() ,z() = z() = x() ⋅ y() + x() ⋅ y() + x() ⋅ y() ,

z() = z() = x() ⋅ y() + x() ⋅ y() ,

z() = z() = x() ⋅ y() ,

z() = z() = ,

z() = z() = .

Die restlichenWerte des Faltungsprodukts z(k) für k < und k ≥ N = werden zuNullgesetzt. ◇

7.3 Schnelle Faltungmit der FFT 149

Abb. 7.7 Periodische Fal-tung der finiten Signalfolgen{x(k)}≤k≤N−, {y(k)}≤k≤N−und {z(k)}≤k≤N− mit demFaltungsprodukt z(k) =x(k) ⋆ y(k) = ∑N−

κ= x(κ) ⋅y(k − κ mod N) für N = nachZero Padding

Mit Hilfe der periodischen Faltung kann somit durch Anfügen einer geeigneten Anzahlvon Nullen an die finiten Signalfolgen (Zero Padding) die aperiodische Faltung berechnetwerden, wie in Abb. 7.7 für die periodische Faltung z(k) = x(k)⋆ y(k) aus Beispiel 7.2 aufS. 143 veranschaulicht wird. Im folgenden Abschn. 7.3 werden wir zeigen, dass die Verwen-dung der periodischen Faltung unter Ausnutzung der Faltungseigenschaft der diskretenFourier-Transformation eine aufwandsgünstige Berechnung der aperiodischen Faltungmittels der schnellen Faltung ermöglicht.

7.3 Schnelle Faltungmit der FFT

Die periodische Faltung der finiten Signalfolgen {x(k)}≤k≤N− und {y(k)}≤k≤N− derLänge N im Originalbereich

z(k) = x(k) ⋆ y(k) =N−

∑κ=

x(κ) ⋅ y(k − κ) =N−

∑κ=

x(κ) ⋅ y(k − κ mod N)


Abb. 7.8 Schnelle Faltung mit der diskreten Fourier-Transformation

mit ≤ k ≤ N − kann mit Hilfe der diskreten Fourier-Transformation durch Multi-plikation der finiten Spektralfolgen {X(ℓ)}≤ℓ≤N− und {Y(ℓ)}≤ℓ≤N− im Spektralbereichdurchgeführt werden. Mit X(ℓ) = DFT {x(k)}, Y(ℓ) = DFT {y(k)} und Z(ℓ) =DFT {z(k)} erhalten wir [3, 14, 18]

Z(ℓ) = X(ℓ) ⋅ Y(ℓ)

für ≤ ℓ ≤ N − . Für das Faltungsprodukt der periodischen Faltung gilt

z(k) = IDFT {Z(ℓ)} = IDFT {X(ℓ) ⋅ Y(ℓ)} = IDFT {DFT {x(k)} ⋅DFT {y(k)}}

beziehungsweise zusammengefasst (siehe Abb. 7.8)

z(k) = IDFT {DFT {x(k)} ⋅DFT{y(k)}} . (7.8)

Unter Verwendung der schnellen Fourier-Transformation FFT kann die periodische Fal-tung mit geringerem Aufwand berechnet werden. Wie wir gesehen haben, ist mit Hilfe derperiodischen Faltung durch Anfügen einer geeigneten Anzahl von Nullen (Zero Padding)auch die aperiodische Faltung effizient berechenbar. Im Folgenden untersuchen wir daherdie Berechnungskomplexität für die periodische Faltung sowie die aperiodische Faltungunter Verwendung der schnellen Fourier-Transformation.

7.3.1 Berechnungskomplexität der periodischen Faltung

Für die schnelle Fourier-Transformation der Länge N hatten wir N ⋅ log(N) komplexeAdditionen und N ⋅ log(N)/ komplexe Multiplikationen für finite Signalfolgen der Län-ge N ermittelt. Zur Abschätzung des Berechnungsaufwands für die periodische Faltung

7.3 Schnelle Faltungmit der FFT 151

gemäß z(k) = IDFT {DFT{x(k)} ⋅DFT {y(k)}} betrachten wir die Berechnungskom-plexität hinsichtlich der durchzuführenden komplexen Multiplikationen. Es gilt1

X(ℓ) = DFT{x(k)} ∶N⋅ log(N)

Y(ℓ) = DFT{y(k)} ∶N⋅ log(N)

Z(ℓ) = X(ℓ) ⋅ Y(ℓ) ∶ N

z(ℓ) = IDFT {Z(ℓ)} ∶N⋅ log(N)

und somit insgesamt

⋅N⋅ log(N) + N = N ⋅ (

⋅ log(N) + ) (7.9)

für die Anzahl der zu berechnenden komplexen Multiplikationen.

7.3.2 Berechnungskomplexität der aperiodischen Faltung

Im Rahmen der aperiodischen Faltung gehen wir vereinfacht von kausalen diskreten Sig-nalfolgen {x(k)}

−∞<k<∞ und { y(k)}−∞<k<∞ der gemeinsamen Breiten

Lx = Ly = L

gemäß

x(k) = für k < oder k ≥ L ,

y(k) = für k < oder k ≥ L

aus. Das resultierende Faltungsprodukt

z(k) = x(k) ⋆ y(k)

=

k

∑κ=

x(κ) ⋅ y(k − κ)

= x() ⋅ y(k) + x() ⋅ y(k − ) + . . . + x(k − ) ⋅ y() + x(k) ⋅ y()

besitzt damit die BreiteLz = Lx + Ly − = L −

1 In dieser Abschätzung wird die Division durch N bei der inversen diskreten Fourier-Transformation IDFT vernachlässigt.


gemäß

z(k) = für k < oder k ≥ L − .

Die Werte des Faltungsprodukts bestimmen sich für ≤ k ≤ L − aus den folgendenFormelgleichungen

z() = x() ⋅ y() ,

z() = x() ⋅ y() + x() ⋅ y() ,

⋮

z(L − ) = x() ⋅ y(L − ) + x() ⋅ y(L − ) + . . . + x(L − ) ⋅ y() ,

z(L − ) = x() ⋅ y(L − ) + x() ⋅ y(L − ) + . . . + x(L − ) ⋅ y() ,z(L) = x() ⋅ y(L − ) + x() ⋅ y(L − ) + . . . + x(L − ) ⋅ y() ,

⋮

z(L − ) = x(L − ) ⋅ y(L − ) + x(L − ) ⋅ y(L − ) ,

z(L − ) = x(L − ) ⋅ y(L − ) .

Die Anzahl der durchzuführenden komplexen Multiplikationen ergibt sich somit aus

+ + . . . + (L − ) + L + (L − ) + . . . + +

= L + L−∑ν=

ν = L + L(L − )

= L + L(L − ) = L .

(7.10)

Im Folgenden vergleichen wir die Berechnungskomplexitäten der periodischen und deraperiodischen Faltung für den Fall der gemeinsamen Breiten Lx = Ly = L der diskreten Sig-nalfolgen sowie der resultierenden Breite Lz = Lx+Ly− = L− des Faltungsprodukts. Fürdie Länge N der finiten Signalfolgen {x(k)}≤k≤N−, {y(k)}≤k≤N− und {z(k)}≤k≤N−wählen wir

N = Lz = L − .

Daraus folgen für die periodische Faltung unter Verwendung der schnellen Fourier-Transformation insgesamt

N ⋅ (⋅ log(N) + ) = (L − ) ⋅ (

⋅ log(L − ) + )

komplexe Multiplikationen, während im Fall der aperiodischen Faltung

L

7.4 Schnelle FIR-Filter 153

Abb. 7.9 Quotient QL derAnzahl der komplexen Multi-plikationen

komplexe Multiplikationen auszuführen sind. Der entsprechende Quotient lautet somit

QL =(L − ) ⋅ ( ⋅ log(L − ) + )

L . (7.11)

Für L ≥ beziehungsweise N = L − ≥ wird der Quotient QL kleiner als . In diesemFall ist die Durchführung der aperiodischen Faltung mit Hilfe der schnellen periodischenFaltung unter Verwendung der schnellen Fourier-Transformation aufwandsgünstiger zuberechnen hinsichtlich der Anzahl der komplexen Multiplikationen als die direkte Berech-nung der aperiodischen Faltung, wie Abb. 7.9 zeigt.

7.4 Schnelle FIR-Filter

In der digitalen Signalverarbeitung gehorcht ein kausales Filter dem Prinzip „Keine Wir-kung vor der Ursache“. Die diskrete Impulsantwort {h(k)}

−∞<k<∞ besitzt somit von Nullverschiedene Werte ausschließlich für k ≥ , das heißt es gilt für ein kausales Filter

h(k) = für k < .

Ist auch die diskrete Eingangsfolge {s(k)}−∞<k<∞ eine kausale diskrete Signalfolge entspre-

chends(k) = für k < ,

so berechnet sich die diskrete Ausgangsfolge {g(k)}−∞<k<∞mit g(k) = s(k) ⋆ h(k) unter

Ausnutzung der Kommutativität der aperiodischen Faltung mittels der Beziehung

g(k) = h(k) ⋆ s(k)

=

k

∑κ=

h(κ) ⋅ s(k − κ)

= h() ⋅ s(k) + h() ⋅ s(k − ) + . . . + h(k − ) ⋅ s() + h(k) ⋅ s() .


Abb. 7.10 FIR-Filterarchitektur mit der endlichen diskreten Impulsantwort {h(k)}≤k≤Lh−

Besitzt das kausale Filter zudem eine endliche diskrete Impulsantwort der Breite Lh ent-sprechend

h(k) = für k < oder k ≥ Lh ,

so gilt für die aperiodische Faltung

g(k) = h(k) ⋆ s(k)

=

Lh−

∑κ=

h(κ) ⋅ s(k − κ)

= h() ⋅ s(k) + h() ⋅ s(k − ) + . . . + h(Lh − ) ⋅ s(k − Lh + ) .

Ein solches diskretes Filter mit endlicher diskreter Impulsantwort wird als FIR-Filter (FIR –Finite Impulse Response) bezeichnet. Abbildung 7.10 veranschaulicht die Architektur einessolchen diskreten FIR-Filters. Hierbei bezeichnet T die Verzögerung der diskreten Ein-gangsfolge {s(k)}

−∞<k<∞ entsprechend der verzögerten diskreten Eingangsfolge {s(k −)}−∞<k<∞.Die resultierende diskrete Ausgangsfolge {g(k)}

−∞<k<∞ erfordert für jeden Index kdie Berechnung der aperiodischen Faltung mit jeweils Lh komplexen Multiplikationen. DieImplementierung des diskreten FIR-Filters kannmittels schneller Faltung realisiert werden,indem die aperiodische Faltung mit Hilfe der periodischen Faltung unter Verwendung derschnellen Fourier-Transformation mit geringerem Aufwand berechnet wird. Die Breiteder diskreten Eingangsfolge {s(k)}

−∞<k<∞ ist dabei gegeben durch Ls entsprechend

s(k) = für k < oder k ≥ Ls .

Die periodische Faltung basiert in diesem Fall auf den beiden finiten Signalfolgen{x(k)}≤k≤N− und {y(k)}≤k≤N− der Länge N = Ls + Lh − gegeben durch die Zu-

7.5 Segmentierte Faltung 155

ordnung

x(k) = {s(k), ≤ k ≤ Ls − , Ls ≤ k ≤ N −

,

y(k) = {h(k), ≤ k ≤ Lh − , Lh ≤ k ≤ N −

.

Die periodische Faltung wird mit Hilfe der diskreten Fourier-Transformation DFT bezie-hungsweise mit der schnellen Fourier-Transformation FFT gemäß der Vorschrift

z(k) = IDFT {DFT {x(k)} ⋅DFT {y(k)}}

berechnet. Die diskrete Ausgangsfolge {g(k)}−∞<k<∞ besitzt die Breite

Lg = Ls + Lh − = N

entsprechendg(k) = für k < oder k ≥ Lg

und wird erhalten aus dem Faltungsprodukt der periodischen Faltung gemäß

g(k) = {z(k), ≤ k ≤ Lg − , sonst

.

Wie der Vergleich der Berechnungskomplexitäten für die periodische und die aperiodischeFaltung im Abschn. 7.3 zeigte, ist für hinreichend große Breiten Ls und Lh beziehungs-weise für hinreichend große Länge N die aperiodische Faltung mit Hilfe der schnellenperiodischen Faltung unter Verwendung der schnellen Fourier-Transformation häufigaufwandsgünstiger zu berechnen als die direkte Berechnung der aperiodischen Faltung fürdas FIR-Filter.

7.5 Segmentierte Faltung

In der digitalen Signalverarbeitung werden FIR-Filter häufig für die Filterung einer un-endlich ausgedehnten diskreten Eingangsfolge {s(k)}

−∞<k<∞ verwendet. Um die schnelleFaltung anwenden zu können, wird die unendlich ausgedehnte diskrete Eingangsfolge inBlöcke der Breite Ls entsprechend Abb. 7.11 aufgeteilt. Es gilt

s(k) =∞

∑

b=−∞sb(k − bLs)

mitsb(k − bLs) = für k < bLs oder k ≥ bLs + Ls


Abb. 7.11 Aufteilung der diskre-ten Eingangsfolge {s(k)}

−∞<k<∞in die Blöcke sb(k) der Breite Ls

beziehungsweisesb(k) = für k < oder k ≥ Ls .

Die resultierende diskrete Ausgangsfolge {g(k)}−∞<k<∞ des FIR-Filters ergibt sich zu

g(k) = h(k) ⋆ s(k)

=

Lh−

∑κ=

h(κ) ⋅ s(k − κ)

=

Lh−

∑κ=

h(κ) ⋅∞

∑

b=−∞sb(k − κ − bLs)

=

∞

∑

b=−∞

Lh−

∑κ=

h(κ) ⋅ sb(k − κ − bLs) .

Wie die diskrete Eingangsfolge wird die unendlich ausgedehnte diskrete Ausgangsfolge inBlöcke aufgeteilt entsprechend

g(k) =∞

∑

b=−∞gb(k − bLs)


Abb. 7.12 Diskrete Impuls-antwort {h(k)}

−∞<k<∞ einesFIR-Filters

mit

gb(k − bLs) =Lh−

∑κ=

h(κ) ⋅ sb(k − κ − bLs) .

Nach Ersetzen von k − bLs durch den Index k folgt hieraus für jeden Block

gb(k) =Lh−

∑κ=

h(κ) ⋅ sb(k − κ) = h(k) ⋆ sb(k) .

Das Faltungsprodukt gb(k) = h(k) ⋆ sb(k) der aperiodischen Faltung besitzt die Breite

Lg = Ls + Lh −

gemäß

gb(k) = für k < oder k ≥ Lg

beziehungsweise

gb(k − bLs) = für k < bLs oder k ≥ bLs + Lg .

Bei diesem Verfahren der segmentierten Faltung wird die unendlich ausgedehnte diskreteAusgangsfolge {g(k)}

−∞<k<∞ durch Überlagerung der ermittelten Blöcke gb(k−bLs) be-rechnet, indem jeweils in den Bereichen bLs ≤ k ≤ bLs + Lg − die übereinander liegendenBlöcke addiert werden. Dieses Verfahren wird als Overlap Add-Methode bezeichnet [14].Mit der in Abb. 7.12 beispielhaft gezeigten diskreten Impulsantwort {h(k)}

−∞<k<∞ wirdin Abb. 7.13 die Aufteilung der diskreten Ausgangsfolge {g(k)}

−∞<k<∞ und die Überlage-rung der Blöcke gb(k) veranschaulicht.

Die aperiodische Faltung kann erneutmit Hilfe der periodischen Faltung unter Verwen-dung der finiten Signalfolgen {xb(k)}≤k≤N− und {y(k)}≤k≤N− der Länge N durch die


Abb. 7.13 Aufteilung derdiskreten Ausgangsfolge{g(k)}

−∞<k<∞ in die Blöckegb(k) der Breite Lg

Zuordnung

xb(k) = {sb(k), ≤ k ≤ Ls − , Ls ≤ k ≤ N −

,

y(k) = {h(k), ≤ k ≤ Lh − , Lh ≤ k ≤ N −

mitN = Lg = Ls + Lh −

berechnet werden. Mittels der diskreten Fourier-Transformation DFT oder der schnellenFourier-Transformation FFT wird die finite Signalfolge {zb(k)}≤k≤N− der Länge N mitzb(k) = xb(k) ⋆ y(k) gemäß

zb(k) = IDFT {DFT {xb(k)} ⋅DFT {y(k)}}

bestimmt. Der Block gb(k) der Breite Lg = N wird aus dem Faltungsprodukt zb(k) =xb(k) ⋆ y(k) der periodischen Faltung erhalten entsprechend

gb(k) = {zb(k), ≤ k ≤ Lg − , sonst

.


Die auf diese Weise mit Hilfe der schnellen Faltung berechneten Blöcke gb(k) werden ge-mäß der Overlap Add-Methode um bLs verschoben und zu der unendlich ausgedehntendiskreten Ausgangsfolge

g(k) =∞

∑

b=−∞gb(k − bLs)

überlagert.

Literatur

Die Angabe der Literaturstellen ist im Text der besseren Übersichtlichkeit wegen knapp ge-halten. Das folgende Literaturverzeichnis umfasst daher neben den im Text referenziertenBüchern und Artikeln weitere Literaturstellen, die für ein vertiefendes Studium geeignetsind.

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4 Bronstein, I.N.; Semendjajew, K.A.; Musiol, G.; Mühlig, H.: Taschenbuch der Ma-thematik. 7. Auflage, Frankfurt am Main: Verlag Harri Deutsch, 2008

5 Cooley, J.W.; Tukey, J.W.:AnAlgorithm for the Machine Calculation of Complex FourierSeries. In:Mathematical of Computation. Vol. 19, pp. 297-301, 1965

6 Doblinger, Gerhard: MATLAB – Programmierung in der digitalen Signalverarbei-tung. Wilburgstetten: J. Schlembach Fachverlag, 2001

7 Doblinger, Gerhard: Zeitdiskrete Signale und Systeme – Eine Einführung in diegrundlegenden Methoden der digitalen Signalverarbeitung. 2. Auflage, Wilburgstetten:J. Schlembach Fachverlag, 2010

8 Fliege, N.:Multiraten-Signalverarbeitung. Stuttgart: B.G. Teubner Verlag, 19939 Fliege, N.; Gaida, M.: Signale und Systeme – Grundlagen und Anwendungen mit MAT-LAB. Wilburgstetten: J. Schlembach Fachverlag, 2008

10 Göckler, H.G.; Groth, A.:Multiratensysteme –Abtastratenumsetzung und digitale Fil-terbänke. Wilburgstetten: J. Schlembach Fachverlag, 2004

11 Götz, H.: Einführung in die digitale Signalverarbeitung. 3. Auflage, Stuttgart: B.G. Teub-ner Verlag, 1998

161A. Neubauer,DFT – Diskrete Fourier-Transformation, DOI 10.1007/978-3-8348-1997-0,© Vieweg+Teubner Verlag | Springer Fachmedien Wiesbaden 2012

162 Literaturverzeichnis

12 Jondral, F.: Nachrichtensysteme – Grundlagen, Verfahren, Anwendungen. 4. Auflage,Wilburgstetten: J. Schlembach Fachverlag, 2011

13 Kammeyer, K.D.: Nachrichtenübertragung. 5. Auflage, Wiesbaden: Vieweg+Teubner,2011

14 Kammeyer, K.D.; Kroschel, K.: Digitale Signalverarbeitung – Filterung und Spektral-analyse mit MATLAB-Übungen. 7. Auflage, Wiesbaden: Vieweg+Teubner, 2009

15 Kammeyer, K.D.; Kühn, V.: MATLAB in der Nachrichtentechnik. Wilburgstetten: J.Schlembach Fachverlag, 2001

16 Marko, H.: Methoden der Systemtheorie – Die Spektraltransformationen und ihre An-wendungen. 2. Auflage, Berlin: Springer Verlag, 1986

17 Meyer,M.: Signalverarbeitung – Analoge und digitale Signale, Systeme und Filter. 6. Auf-lage, Wiesbaden: Vieweg+Teubner, 2011

18 Neubauer, A.: Irreguläre Abtastung – Signaltheorie und Signalverarbeitung. Berlin:Springer Verlag, 2003

19 Neubauer, A.: Informationstheorie und Quellencodierung – Eine Einführung für Inge-nieure, Informatiker und Naturwissenschaftler. Wilburgstetten: J. Schlembach Fachver-lag, 2006

20 Neubauer, A.: Kanalcodierung – Eine Einführung für Ingenieure, Informatiker und Na-turwissenschaftler. Wilburgstetten: J. Schlembach Fachverlag, 2006

21 Neubauer, A.: Digitale Signalübertragung – Eine Einführung in die Signal- und Sys-temtheorie. Wilburgstetten: J. Schlembach Fachverlag, 2007

22 Neubauer, A.; Freudenberger, J.; Kühn, V.: CodingTheory – Algorithms, Architectu-res, and Applications. Chichester: John Wiley & Sons, 2007

23 Ohm, J.-R.; Lüke, H.D.: Signalübertragung – Grundlagen der digitalen und analogenNachrichtenübertragungssysteme. 11. Auflage, Berlin: Springer Verlag, 2011

24 Oppenheim, A.V.; Willsky, A.S.: Signale und Systeme. Weinheim: VCH Verlagsgesell-schaft, 1989

25 Oppenheim, A.V.; Schafer,R.W.:Zeitdiskrete Signalverarbeitung. 3. Auflage,München:R. Oldenbourg Verlag, 1999

26 Schrüfer, E.: Signalverarbeitung – Numerische Verarbeitung digitaler Signale. 2. Aufla-ge, München: Carl Hanser Verlag, 1992

27 Strampp, W.; Vorozhtsov, E.V.: Mathematische Methoden der Signalverarbeitung.München: R. Oldenbourg Verlag, 2004

28 von Grünigen, D.: Digitale Signalverarbeitung – mit einer Einführung in die kontinu-ierlichen Signale und Systeme. 4. Auflage, München: Carl Hanser Verlag, 2008

29 Wendemuth, A.: Grundlagen der digitalen Signalverarbeitung – Ein mathematischerZugang. Berlin: Springer Verlag, 2004

30 Werner, M.: Signale und Systeme – Lehr- und Arbeitsbuch mit MATLAB-Übungen undLösungen. 3. Auflage, Wiesbaden: Vieweg+Teubner, 2008

Sachverzeichnis

Abtastungim Spektralbereich, 40im Originalbereich, 39

Aliasingim Frequenzbereich, 46im Zeitbereich, 46

Analyse, 24assoziativ, 68, 71, 140Autokorrelationsfolge, 79

Berechnungsalgorithmus, 123Berechnungskomplexität, 135Bit Reversal, 130Butterfly-Operation, 125

Cosinusfolge, 107Cosinusfunktion, 5

Dezimation, 82im Originalbereich, 124im Spektralbereich, 131

DFT, 17distributiv, 68, 71, 140Division mit Rest, 3Drehfaktor, 27Dreieckfolge, 102

EEG, viiEinheit

imaginäre, 7Einheitsmatrix, 14, 33

Energie, 80Energiedichte

spektrale, 81Energiedichtespektrum, 81Eulersche Formel, 8Exponentialfunktion, 4

Faltungaperiodische, 139, 140periodische, 68schnelle, 137segmentierte, 157zirkulare, 68zyklische, 68

Faltungsprodukt, 68, 140Fensterfolge, 117

Blackman-, 119Hamming-, 119Hann-, 119

FFT, 123, 127-Algorithmus, 123

Filter, 139FIR, 154kausales, 153

Fourier-Transformation, 36diskrete, 2, 17, 36schnelle, 123, 127

Frequenz, 5Fundamentaleigenschaft, 4

163

164 Sachverzeichnis

Funktiongerade, 5harmonische, 8ungerade, 6

Hintransformation, 17

Imaginärteil, 7Impulsantwort, 139Impulsfolge, 95, 138

verschobene, 96Impulszug

im Originalbereich, 40im Spektralbereich, 40

Interpolation, 85

kommutativ, 68, 71, 140Koordinaten

kartesische, 7Polar-, 8

Korrelation, 76Korrespondenz, 21, 95Kreiszahl, 5Kreuzkorrelationsfolge, 76

Leckeffekt, 115Linearität, 138

Matrix, 13Modulation, 67Modulo-Rechnung, 4, 27

OFDM, viiOriginalbereich, 1Overlap Add-Methode, 157

Phasendrehung, 64

Rücktransformation, 19Realteil, 7Rechteckfolge, 99Rechtecksignal, 36Reihe

geometrische, 15

Signalflussgraf, 125

Signalfolge, 17finite, 1harmonische, 103kausale, 141, 153konstante, 98

Signaltransformationdiskrete, 1

Sinusfolge, 112Sinusfunktion, 5Skalarprodukt, 12, 77, 78Spaltenindex, 14Spektralbereich, 1Spektralfolge, 17

finite, 1Spektrum, 36, 37Spiegelung, 48Summe, 4Summenzeichen, 4Superposition, 24Superpositionsgesetz, 48, 138Symmetrie, 76Synthese, 24System

diskretes, 137lineares zeitinvariantes, 137LZI, 137

Systemtheorie, 137

Tangensfunktion, 6Transformation

diskrete, 1inverse, 2

Transformationsmatrix, 30

Vektor, 11Vektorbetrag, 12, 81Verschiebung, 62

Zahlganze, 3komplexe, 3, 7konjugiert komplexe, 10natürliche, 3reelle, 3

Zeilenindex, 14Zeitinvarianz, 138Zero Padding, 145

DFT - Diskrete Fourier-Transformation: Elementare Einfuhrung

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Transcript of DFT - Diskrete Fourier-Transformation: Elementare Einfuhrung