Las derivadas en cinemática 1.7. Ejercicios de aplicación 1.7.1. Un automóvil recorre 300 m en 20 segundos , sometido a una aceleración constante de 0,8 m.s-

2.Calcular a) su velocidad inicial b) su velocidad a los 20 segundos c) la longitud recorrida en los 10 primeros segundos 1.7.2. El movimiento de una partícula está definido por la ecuación

1028tt6t2x 23 −+−= Donde x se expresa en metros y t en segundos Calcular la posición, velocidad y aceleración cuando t=10 s. 1.7.3. El movimiento de una partícula está definido por la ecuación

16 t20t01tx 23 −−−= x en metros y t en segundos. Calcular la longitud recorrida por la partícula entre t=0s y t= 12 s. Representar las gráficas v-t y a-t 1.7.4. La posición de una partícula está dada por la ecuación

05 t20t6tx 23 −−−= Calcular: 1) El intervalo de tiempo que transcurre para que su velocidad se anule y la longitud recorrida en ese tiempo. 2) La aceleración media en ese intervalo de tiempo y la instantánea cuando la velocidad sea nula. 3) Representar las gráficas x-t, v-t ; y a-t- 1.7.5. Desde una altura de 50 m se lanza un cuerpo verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial de 20 m/s. 1) Determinar las ecuaciones de la posición y velocidad del cuerpo 2) Calcular las posiciones y los tiempos para los que el cuerpo tiene una velocidad absoluta que es la mitad de la inicial. 3) Calcular el tiempo que emplea la piedra en llegar al suelo

1.7.6. La posición de una partícula que oscila a lo largo del eje X viene dada por la ecuación ( )φtωsenAx +=

Si xo y vo designan la posición y velocidad de la partícula en el instante t=0 s. 1) Encontrar una relación entre ϕ y las constantes características del movimiento xo , vo y ω . 2) Encontrar la expresión que relaciona A con xo, vo y ω.

1.7.7. Una partícula efectúa un movimiento vibratorio armónico definido por la ecuación

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

4πt0,20cos2x

x en metros y t en segundos. 1) Determinar la elongación , velocidad y aceleración cuando t=18s. 2) La velocidad y aceleración cuando el móvil ocupe las posiciones x=+1,5 m y x= -1,5 m 1.7.8. Un móvil efectúa un movimiento vibratorio armónico de amplitud A=0,5 m, ocupa la posición x=+0,25m cuando t=0 y se dirige hacia la posición x=-0,50 m. Determinar utilizando la función coseno, las ecuaciones de la posición, velocidad y aceleración. Repetir el apartado anterior usando la función seno 1.7.9. Desde una altura de 25 metros se lanza una piedra, designada con 1, con velocidad inicial vertical y hacia debajo de 10 m/s. Desde el suelo y en dirección vertical y hacia arriba se lanza otra piedra, designada con 2, con velocidad inicial de 50 m/s. 1) Calcular la posición cuando ambos móviles se cruzan y las velocidades de cada móvil en ese instante 2) Calcular los tiempos que tardan los móviles en llegar al suelo y sus velocidades 3) Calcular la distancia recorrida `por la segunda piedra 1.7.10. Un automóvil se desplaza con movimiento rectilíneo y uniforma a una velocidad de 100 km/hora. El conductor observa un obstáculo en la carretera a 125 m y aplica los frenos con un tiempo de reacción de t segundos. Si los frenos imprimen al coche una aceleración negativa de – 4 m/s2.Calcular el valor máximo de t para que el automóvil no choque con el obstáculo.

1.7.11. Desde una torre de 50 m se lanza verticalmente hacia arriba un proyectil con una velocidad inicial vo= 100 m/s. En el origen de referencia situado en el suelo hay un observador que pone en marcha su cronómetro al ver el fogonazo producido por el disparo y él a su vez lanza un nuevo disparo con una velocidad m/s100v´

o = , cuando su cronómetro marca el duodécimo. 1) Ecuaciones de las posiciones y velocidades de cada proyectil en función del tiempo 2) Altura máxima alcanzada por cada proyectil 3) Instante en el que se cruzan 4) Posición y velocidad en el instante anterior 1.7.12. Dos motoristas A y B se encuentran en los extremos de una recta de longitud 2 km. El origen de referencia se toma donde se encuentra inicialmente el motorista A. y ahí está un observador con un cronómetro. La moto A sale con una aceleración de 3 m/s2 que la mantiene durante 10 s para continuar después con movimiento uniforme. La moto B sale 20 segundos más tarde que A y se dirige al encuentro de A con una aceleración de 1 m/s2 que mantiene siempre. 1) Ecuaciones de las posiciones de ambas motos 2 ) Instante en que se cruzan 3) Posición y velocidad en el instante anterior

1.8.- Solucionario de los ejercicios de aplicación 1.7.1.

tavv;ta21tvxx o

2oo +=++=

Si t = 20 s , a= 0,8 m/s2

m110100,82110v0x)3

sm 23 200,87tavv)2

;sm7v200,8

2120v0300 1)

2o

o

02

o

=⋅⋅+⋅+=

=⋅+=+=

=⇒⋅⋅+⋅+=

Longitud recorrida: x-x0 = 110 m 1.7.2.

m16701010281062.1010t28t6t2x 2323 =−⋅+⋅−=−+−=

2

22

sm10812101212t12

dtdva

sm5082810126.1028t12t6

dtdxv

=−⋅=−==

=+⋅−=+−==

1.7.3. Las posiciones del móvil cuando t=0 y t= 12 s son respectivamente: x(0) = -16 m ; x(12) = 32 m Entre esas dos posiciones el móvil ocupa otras intermedias; es necesario saber qué posiciones ha ocupado el móvil entre esos tiempos. Una forma de solucionarlo es dar valores a la función x(t) y hacer una representación gráfica. Pero antes vamos a obtener las funciones velocidad y aceleración que nos darán la solución de si existe un máximo, un mínimo. s0,88ty7,55st0;2020t3t;2020t3tvx´ 22 −===−−−−== s3,33t;0;206t;206tav´x´´ ==−−=== 06x´´´ ≠= En t=3,33 s, existe un punto de inflexión. Sustituimos en x´´ , el valor de t=7,55 s

02055,76 >−⋅ Resulta que t=7,55 s es un mínimo. Representamos la función dando valores a t

t/s 0 2 4 6 7,55 8 10 12 x/m. -16 -88 -192 -280 -306,66 -304 -216 +32

-350

-300

-250

-200

-150

-100

-50

0

50

0 2 4 6 8 10 12

tiempo; t/s

posi

ción

; x/

m

La longitud recorrida es a) desde x=-16 m al mínimo 306,66 , de 306,66+32 L= (306,66-16)+(306,66+32)= 629,3 m La grafica v-t y a-t es la siguiente:

-60-50-40-30-20-10

010203040

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9tiempo/s

v/m

.s-1

; a

/m.s-2

1.7.4.

s1,27tys5,27t02012t-3t2012t-3tdtdxv 22 −==⇒=−⇒−==

m175,7x(5,27);m50x(0) −=−=

Longitud recorrida =175,7-50=125,7 m 2)

2m sm3,8

27,5)20(0

05,27v(0)v(5,27)a =

−−=

−−

=

2sm19,62125,276a;126t

dtdva =−⋅=−==

3) t=0 ; x=-50 m ; t=5,27 s x=-175,7 m ( máximo o mínimo) t=2 s x=106 m (inflexión)

-200-150-100-50

050

100150200

0 2 4 6 8 10 12

tiempo/s

x(t)/

m ;

v(t)

/m.s-1

-20

-10

0

10

20

30

40

50

60

0 2 4 6 8 10 12

tiempo/s

a(t)

/m/s

-2

1.7.5.

2ooo2

o0 sm9,8ga,

sm20v,m50x;tavv;ta

21tvxx −=−=+=+=+=++=

1) t9,820v;t4,9t2050x 2 −=−+= 2) Cuando v=10 m/s , la piedra esta subiendo

m65,31,024,91.022050x(1,02);s1,02tt9,82010 2 =⋅−⋅+==⇒−= Cuando v=-10 m/s , la piedra está bajando - m65,306,34,906,32050x(3,06);s06,3tt9,82010 2 =⋅−⋅+==⇒−=

3) Cuando la piedra llega al suelo x=0

⇒−+= 2t4,9t20500 t=5,8 s ; t=-1,75 s Tiene validez física la solución positiva. 1.7.6.

( )

( )[ ]

o

o

0o

oo

vωx

tag(2)y(1)De

(2)ωA

vcoscosAωv0tcuandoω,tωcosA

dtdxx´v

(1)Ax

sensenAx0tcuando,tωsenAx

=

=⇒=⇒=⋅+⋅===

=⇒=⇒=+=

ϕ

ϕϕϕ

ϕϕϕ

De (1)

2

2o2o2

Ax

1cosAx

cos1 −=⇒=− ϕϕ

De (2) ( ) 2o2

2o

2

2o

22o2

o222

o2

2o

2

o xωv

ωxωv

AxAωvA

xAωAcosωAv +=

+=⇒−=⇒

−== ϕ

1.7.7. 1)

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−=====

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−=⋅⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−===

4πt0,2cos0,08

dtxd

dtdvx´´v´a

4πt0,2sen0,40,2

4πt0,2sen2

dtdxx´v

2

2

( )

m0,64251,3ºcos2x(18)sm0,026cos251,3º0,08

4π180,2cos0,08a

sm0,38947),0(0,445º206,3ºsen0,4

4π3,6sen0,4v(18)

2

−=⋅=

=⋅−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +⋅⋅−=

=−⋅−=+−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−=

2) Sustituyendo en la ecuación de la posición

2

2

sm0,060,750,08

4πt0,2cos0,08a

sm0,264

4πt0,2sen0,4v

0,660,7514πt0,2sen0,75

4πt0,2cos

4πt0,2cos21,5

−=⋅−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−=

±=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−=

±=−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +⇒=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +⇒⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

( )

( ) 2

2

sm0,060,75-0,08

4πt0,2cos0,08a

sm0,264

4πt0,2sen0,4v

0,660,75-14πt0,2sen0,75

4πt0,2cos

4πt0,2cos21,5-

=⋅−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−=

±=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−=

±=−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +⇒−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +⇒⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

1.7.8.

( )

240ºy120º0,5coscos0,50,25cosAx0tParatωcosAx

==−=⇒=−⇒=⇒=⇒+=

ϕϕϕϕϕϕ

Para

decidir sobre el valor de ϕ, hallamos la velocidad

( )

( ) 00,87ωA240ºsenωAv;00,87ωA120ºsenωAv

senωAv0tPara;tωsenωAdtdxx´v

>−⋅−=−=<⋅−=−=

⇒−=⇒=+−=== ϕϕ

Puesto que para t=0 el móvil se dirige hacia la posición -0,5, se deduce que la velocidad es negativa y por consiguiente ϕ=120º. Si utilizamos la función seno

( )

( ) 00,86Aω)v(150º;00,86Aω)v(30º;ΦtωcosωAv150ºΦy30ºΦ0,5senΦΦsen0,50,25;ΦtωsenAx

<⋅−=>⋅=+===⇒=⇒=+=

Las ecuaciones son:

( ) ( ) ( )150ºtωsenAωxωa;150ºtωcosωAv;150ºtωsenAx 22 +−=−=+=+= 1.7.9. Tomamos como punto de referencia el suelo, las velocidades dirigidas hacia arriba son positivas y hacia abajo negativas. Empleamos el mismo criterio para las aceleraciones. Las ecuaciones de los móviles son:

t9,850v(2);t9,821t50x(2)

t9,810v(1);t9,821t1025x(1)

2

2

−=−=

−−=−−=

Cuando ambos móviles se cruzan ocupan la misma posición

m200,4174,9-0,41710-25x(1)s0,417tt6025t4,9t50t4,9t1025x(2)x(1)

2

22

≈⋅⋅=

=⇒=⇒−=−−⇒=

Las gráficas de las posiciones son:

0

10

20

30

40

50

60

70

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6

tiempo/s

posi

cion

es e

n m

etro

s

móvil que asciende

móvil que desciende

sm14417,0*8,910)1( −≈−−=v

El signo menos nos indica que la velocidad es hacia abajo

m/s46417,0*8,950)2( +≈−=v El signo más indica que la velocidad es hacia arriba. Cuando la piedra (1) llega al suelo su posición es x(1)=0

s1,46t0t4,9t1025 2 =⇒=−−

sm24,31,469,810v(1) −=⋅−−=

Cuando la piedra (2) llega al suelo su posición es x(2)=0

sm5010,2*9,8-50v(2)

s2,019,405t t4,9-50t0x(2) 2

−==

==⇒==

La velocidad al llegar al suelo es igual a la de salida en valor absoluto, el signo indica que esa velocidad es vertical y dirigida hacia abajo 3) La distancia recorrida por la segunda piedra se calcula determinando hasta dónde sube la piedra, lo que corresponde a que su velocidad se anule

m127,65,14,95,150x(5,1s)s5,1tt9,850)v(2

2 =⋅−⋅=

=⇒−=

La distancia recorrida es la suma de la distancia hacia arriba y la misma distancia hacia abajo Longitud recorrida = 127,6+127,6=255,2 m

1.7.10.

El tramo de longitud x lo recorre con movimiento uniforme, empleando el tiempo de reacción t. El resto de la longitud 125-x la recorre con movimiento uniformemente retardado, de manera que el automóvil al llegar al obstáculo debe tener velocidad cero.

sm27,78

s3600m1000100

hkm100 ==

Desde que ve el obstáculo hasta que aplica los frenos el coche recorre x metros x=27,78 t Designamos con t´ el tiempo que emplea el automóvil en recorrer los 125- x metros con aceleración: a = -4 m/s2. En ese tiempo el automóvil pasa de la velocidad 27,78 m/s a cero

s6,95t´4t´27,78v =⇒−=

s1,0327,7828,53

27,78xt

m28,536,954216,9527,78125xt´4

21t´27,78x125 22

===⇒

⇒=⋅⋅+⋅−=⇒⋅⋅−⋅=−

1.7.11.

1) ( ) ( )22

21 10t10

2110t1000x;t10

21t10050x −−−+=−+=

( )10t10100dt

dxv;10t100dt

dxv 22

11 −−==−==

2) En el punto de altura máxima la velocidad es nula

( ) s20t10-t10-1000s10tt101000

=⇒==⇒−=

( ) ( ) m500102051020100x(2)

m5501051010050x(1)2

2

=−−−=

=⋅−⋅+=

3) Cuando se cruzan ambos tienen la misma posición respecto del sistema de referencia.

v=0

x 125-x Tramo x, a velocidad constante de 100 km/h

Tramo de longitud 125-x metros con movimiento uniformemente retardado y aceleración constante de -4 m/s2.Al llegar al obstáculo la velocidad debe ser cero.

s15,5tt100500t51000t100t5t10050xx 22

21 =⇒+−−−=−+⇒= 5) Posición y velocidad de cada proyectil en el instante t=15,5 s.

sm45v

sm55v;m398,75xx 2121 =−===

1.7.12. Ecuación del movimiento de A. Hasta t=10 s

t3dt

dxv:t321x A

A2

A ==⋅=

Para t =10 s

sm30v;m150x AA ==

Para valores de s10t ≥

( )10t30150xsm30v;m150x;tvxx

A

oo

−+=

==+=

Ecuación del movimiento de B.

( )2B 20t1)(

212000x −−+=

Puesto que empezó su movimiento 20 segundos después que el móvil A.

2 )xA=xB

( ) ( ) s53,25t;10t21200010t30150 2 =−−=−+

3)

( )

( ) ( )sm33,252053,25120t1

dtdxv

sm30v

m1447,52053,25212000x

m1447,510)53,25(30150x

BB

A

2B

A

−=−−=−−==

=

=−−=

=−⋅+=