DEVRE ANALİZİNDE FOURİER TRANSFORMU Bu bölümde …Devre Teorisi Ders Notu Dr. Nurettin ACIR ve...
Transcript of DEVRE ANALİZİNDE FOURİER TRANSFORMU Bu bölümde …Devre Teorisi Ders Notu Dr. Nurettin ACIR ve...
Devre Teorisi Ders Notu Dr. Nurettin ACIR ve Dr. Engin Cemal MENGÜÇ
1
BÖLÜM XIII
DEVRE ANALİZİNDE FOURİER TRANSFORMU
Bu bölümde devre analizinde Fourier transformunun nasıl kullanılacağından
bahsedeceğiz. Devre analizinde Fourier tranformuna geçmeden önce Fourier
serileri hatırlatılacaktır.
Bilindiği üzere bir periyodik fonksiyon kendisini her T saniyede tekrar eden
fonksiyondur ve bu fonksiyonun aşağıdaki ilişkiyi sağlaması gerekir. ( ) ( )f t f t nT
burada , 1,2,...n ve T periyottur. Yani her hangi bir keyfi seçilmiş ot anı için:
( ) ( ) ( ) ( 2 )...o o o of t f t T f t T f t T
sağlanır.
Devre Teorisi Ders Notu Dr. Nurettin ACIR ve Dr. Engin Cemal MENGÜÇ
2
Pratikte birçok elektriksel kaynak periyodik dalga formları üretir. Örneğin,
sinüzoidal bir kaynakla sürülen filtrelenmemiş doğrultucular (tam dalga
veya yarım dalga) sinüzoidal olmayan ama periyodik çıkış üretirler.
Laboratuvarlarda sıkça kullandığımız osilatörler, sinyal jeneratörleri kare
dalga, üçgen dalga veya dikdörtgen dalga periyodik işaretler üretirler.
Bir başka pratik örnek ise güç jeneratörleridir. Her ne kadar sinüzoidal
dalga üretmeleri için tasarlansalar da tam sinüzoidal işaret üretmezler.
Ayrıca, sinüzoidal olmayan periyodik fonksiyonlar elektriksel olmayan
sistemlerde de önemlidir. Mekanik titreşim, sıvı akışı, ısı akışı hepsi periyodik
fonksiyonlarla ilişkilidir. Fourier (1768-1830) bir periyodik fonksiyonun
trigonometrik seri temsilini ısı akışı için kullanmıştır. Bu seri onun ismini
Devre Teorisi Ders Notu Dr. Nurettin ACIR ve Dr. Engin Cemal MENGÜÇ
3
taşımakta olup, elektrik devrelerinin periyodik uyartım sonucundaki kararlı-
durum (steady-state) cevabının bulunmasında bir başlangıç noktasıdır.
Bir periyodik ( )f t fonksiyonu için Fourier serisi;
1
( ) cos( ) sin( ) , 1,2,3...v n o n on
f t a a nw t b nw t n
olarak ifade edilir.
burada ,v na a ve nb Fourier katsayıları olup ( )f t kullanılarak hesaplanır.
2ow
T
ise ( )f t periyodik fonksiyonun temel (fundamental) frekansıdır.
ow ’ın katları, yani 2 ,3 ,4 ,...o o ow w w frekansları ( )f t ’nin harmonik
frekanslarıdır.
Devre Teorisi Ders Notu Dr. Nurettin ACIR ve Dr. Engin Cemal MENGÜÇ
4
2 ow 2’inci harmonik, 3 ow 3’üncü harmonik, onw n’inci harmonik
olarak ifade edilir.
Bir periyodik fonksiyonun Fourier serisine açılabilmesi için (yani yakınsak
Fourier serisi için) aşağıda verilen Dirichlet koşullarının sağlanması gerekir.
i. ( )f t , tek-değerli (single-valued) olmalıdır.
ii. ( )f t , bir periyotta sonlu sayıda süreksizlik noktasına sahip olmalıdır.
iii. ( )f t , bir periyotta sonlu sayıda maksimum ve minimum noktalara sahip
olmalıdır.
iv. ( )o
o
t T
tf t dt
olmalıdır (mutlak integrali alınabilir).
Devre Teorisi Ders Notu Dr. Nurettin ACIR ve Dr. Engin Cemal MENGÜÇ
5
Dirichlet koşulları yeter koşullardır, gerek koşullar değildir. Böylece, ( )f t
bu özellikleri taşıyorsa Fourier serisine açılabilir. ( )f t ’nin gerek koşulları
bilinmemektedir.
,v na a ve nb Fourier katsayıları bulunduktan sonra, periyodik kaynağı bir
dc kaynak ( va ) ve sinüsoidal kaynakların toplamı ( na ve nb ) olarak
ayrıştırabiliriz. Periyodik kaynağın bir doğrusal devreyi sürmesi nedeniyle
kararlı durum cevabı için süperpozisyon tekniğini kullanabiliriz. Bu
durumda her bir kaynağa karşılık gelen cevaplar toplanarak devrenin
cevabı bulunabilir. Her bir kaynak dediğimiz Fourier’in temsili
kaynaklarıdır.
Devre Teorisi Ders Notu Dr. Nurettin ACIR ve Dr. Engin Cemal MENGÜÇ
6
Periyodik ama sinüzoidal olmayan kaynak, Fourier serisi ile sinüzoidal
hale getirilir. Böylece kararlı durum cevabı, fazör analizi ile kolaylıkla
bulunabilir.
Devre Teorisi Ders Notu Dr. Nurettin ACIR ve Dr. Engin Cemal MENGÜÇ
7
13.1 Fourier Sabitleri
Bir periyodik fonksiyonu temel periyodu üzerinde ifade ettikten sonra, Fourier
katsayılarını aşağıdaki eşitlilerle bulabiliriz:
1 ( )o
o
t T
v ta f t dt
T
2 ( )cos( )o
o
t T
k ota f t kw t dt
T
2 ( )sin( )o
o
t T
k otb f t kw t dt
T
Devre Teorisi Ders Notu Dr. Nurettin ACIR ve Dr. Engin Cemal MENGÜÇ
8
Çift-fonksiyon simetrisi (even-
function):
Tek-fonksiyon simetrisi (odd-function)
( ) ( )f t f t 2
0
2 ( )T
va f t dtT
, 0,kb k
2
0
4 ( )cos( )T
k oa f t kw t dtT
( ) ( )f t f t 0va
0,ka k 2
0
4 ( )sin( )T
k ob f t kw t dtT
Devre Teorisi Ders Notu Dr. Nurettin ACIR ve Dr. Engin Cemal MENGÜÇ
9
13.2 Fourier Serisinin Üstel (Eksponansiyel) Formu
( ) ojnw tn
n
f t C e
1 ( )oo
o
t T jnw tn t
C f t e dtT
Devre Teorisi Ders Notu Dr. Nurettin ACIR ve Dr. Engin Cemal MENGÜÇ
10
ÖZET:
Fourier serisi, bir sistem periyodik bir sinyalle uyarılırsa, o sistemin
kararlı-durum cevabını tahmin etmek için kullanılır.
Fourier serisi, sonsuz bir seridir ve sonsuz sayıda harmonik ilişkili sinüs ve
kosinüs toplamlarından oluşur.
Fourier serisi steady-state cevabın (periyodik uyartıma karşılık)
bulunmasında analizi frekans domenine taşımamıza müsaade eder.
Devre Teorisi Ders Notu Dr. Nurettin ACIR ve Dr. Engin Cemal MENGÜÇ
11
13.3 Fourier Transformu
Fourier transformu; Fourier serisinin aksine periyodik olmayan işaretlerin
frekans domeninde tanımlanmasını sağlar.
Fourier transformu, çift taraflı Laplace transformunun özel halidir.
Burada kompleks frekansın reel kısmı sıfıra kurulur.
Fourier transformu, Fourier serisinin sınırlı halidir.
( ) { ( )} ( ) jwtF w f t f t e dt
F
1( ) ( )2
jwtf t F w e dw
Fourier transformu aşağıdaki özelliklerin sağlanması gerekir.
Devre Teorisi Ders Notu Dr. Nurettin ACIR ve Dr. Engin Cemal MENGÜÇ
12
i. ( )f t iyi/tam-davranan (well-behaved) bir fonksiyon olmalıdır. Not:
İyi/tam davranan fonksiyonun anlamı, ( )f t ’nin tek değerli olması ve
integralinin alındığı aralıkta sonlu bir alanı kapsamasıdır.
ii. 2
( )f t dt
iii. ( )f t ’nin süreksizlik sayısı sonlu olmalıdır.
Pratikte, Fourier transformunun (strict sense’de) olmadığı fonksiyonlar
mevcuttur. Bunlar fonksiyonlar, sabitler, ( )Ku t basamak fonksiyonu,
sinüzoidal fonksiyonlardır. Fakat bu tip fonksiyonlar, devre analizinde
önemli bir yere sahiptir. Bu yüzden bu fonksiyonlara en yakın fonksiyon
tanımlanır ve Fourier transformu alınarak limitine bakılır.
Devre Teorisi Ders Notu Dr. Nurettin ACIR ve Dr. Engin Cemal MENGÜÇ
13
i. Bir Sabitin Fourier Transformu ( , ):
Bilindiği üzere bir sabite aşağıdaki gibi üstel bir fonksiyonla yaklaşılabilir.
( ) , 0tf t Ae
burada 0 ise ( )f t A ’dır. Bu sayede, mümkün olduğunca küçük bir
değeri için ( )f t fonksiyonu sabit A değeri ile temsil edilebilir.
Devre Teorisi Ders Notu Dr. Nurettin ACIR ve Dr. Engin Cemal MENGÜÇ
14
( )f t fonksiyonunun Fourier Transformu: 0
0( ) t jwt t jwtF w Ae e dt Ae e dt
2 2
2( ) A A AF wjw jw w
Yukarıdaki denklemde verilen fonksiyon 0 iken 0w ’da bir dürtü
fonksiyonu üretir. Bu sonucu:
0 iken ( )F w ’nın 0w ’da sonsuza ulaştığını,
0 iken ( )F w ’nın sıfırdan farklı olduğu aralığın sıfıra ulaştığını,
( )F w ’nın altındaki alanın ’dan bağımsız olduğunu,
Devre Teorisi Ders Notu Dr. Nurettin ACIR ve Dr. Engin Cemal MENGÜÇ
15
göstererek doğrulayabiliriz. ( )F w ’nın altındaki alan dürtünün gücüdür ve
aşağıdaki gibi hesaplanır.
1
12 2 2 20
01 /2tan
2 4 4 tan 2
w
A dw wdw A A Aw w
( )f t ’nin limitinde ( )f t A’ya yaklaşır. ( )F w ise, 2 ( )A w darbe
fonksiyonuna yaklaşır. Sonuç olarak A sabitinin Fourier transformu:
{ } 2 ( )A A w F
Devre Teorisi Ders Notu Dr. Nurettin ACIR ve Dr. Engin Cemal MENGÜÇ
16
ii. Limit Durumunda Fourier Transformuları
a) Bir işaret fonksiyonun Fourier Transformu:
Bir işaret fonksiyonu öncelikle:
1, 0sgn( )
1, 0t
tt
olarak tanımlanır. İşaret fonksiyonu
aynı zamanda birim basamak
fonksiyonu cinsinden ise aşağıdaki gibi
tanımlanır.
sgn( ) ( ) ( )t u t u t
1+
1-0 t
Devre Teorisi Ders Notu Dr. Nurettin ACIR ve Dr. Engin Cemal MENGÜÇ
17
İşaret fonksiyonun Fourier transformunu bulmak için ilk olarak limitte işaret
fonksiyonuna ulaşan bir fonksiyon tanımlarız.
0sgn( ) lim[ ( ) ( )]t tt e u t e u t
, 0 .
Yukarıda köşeli parantez içerisinde tanımlı olan fonksiyonun Fourier
transformu mevcuttur çünkü Fourier integrali yakınsamaktadır.
1+
1-0 t
( )te u te-
( )te u te- -
Devre Teorisi Ders Notu Dr. Nurettin ACIR ve Dr. Engin Cemal MENGÜÇ
18
( )f t tek fonksiyon ve Fourier Transformu:
1 1{ ( )}s jw s jw
f ts s
F
2 2
1 1 2 jwjw jw w
burada 0 iken ( ) sgn( )f t t ve dolayısıyla:
2{sgn( )}tjw
F .
Devre Teorisi Ders Notu Dr. Nurettin ACIR ve Dr. Engin Cemal MENGÜÇ
19
b) Birim Basamak Fourier Transformu:
Birim basamak fonksiyonunun Fourier dönüşümünü bulmak için birim
basamak fonksiyonun öncelikle aşağıdaki gibi ifade edilmesi gerekir.
1 1( ) ( )2 2
u t sgn t
Sonuç olarak { } 2 ( )A A w F ve 2{sgn( )}tjw
F olduğu için
1 1{ ( )} { } { sgn( )}2 2
u t t F F F
1{ ( )} ( )u t wjw
F
Devre Teorisi Ders Notu Dr. Nurettin ACIR ve Dr. Engin Cemal MENGÜÇ
20
c) Bir Kosinüs Fonksiyonun Fourier Transformu:
cos( )ow t ’nin Fourier transformunu bulmak için önce aşağıdaki tanımlamayı
yaparız.
{ } 2 ( )ojw toe w w F
daha sonra ise cos( )ow t ’nin Fourier transformunu aşağıdaki gibi buluruz.
1{cos( )} { } { }2
o ojw t jw tow t e e F F F
1 2 ( ) 2 ( )2 o ow w w w
( ) ( )o ow w w w
Devre Teorisi Ders Notu Dr. Nurettin ACIR ve Dr. Engin Cemal MENGÜÇ
21
13.4 Laplace Transformundan Fourier Transformunu Bulmak
( )F s ’in bütün kutupları s-düzleminin sol tarafında ise Fourier integrali
yakınsar. Eğer sağ tarafta veya jw ekseninde kutup varsa 2( )f t dt
olur.
i) Eğer ( ) 0, 0f t t ise; s jw ile FT alınır.
{ ( )} { ( )}s jwf t f t F L
ii) Eğer ( ) 0, 0f t t ise; s jw ile FT alınır.
{ ( )} { ( )}s jwf t f t F L
iii) Eğer ( )f t tek fonksiyon ise;
{ ( )} { ( )} { ( )}s jw s jwf t f t f t F L L
Eğer ( )f t çift fonksiyon ise; { ( )} { ( )} { ( )}s jw s jwf t f t f t F L L
Devre Teorisi Ders Notu Dr. Nurettin ACIR ve Dr. Engin Cemal MENGÜÇ
22
Örnek:
( )gi t ( )oi t1W3W
1H
( ) 20sgn( )gi t t A ise; ( )oi t ifadesini bulunuz.
Cevap:
2 40( ) 20sgn( ) 20gI w tjw jw
F
1( )4
o
g
IH wI jw
Devre Teorisi Ders Notu Dr. Nurettin ACIR ve Dr. Engin Cemal MENGÜÇ
23
40 1( ) ( ) ( )4o gI w I w H w
jw jw
1 240( )(4 ) 4o
K KI wjw jw jw jw
1 240 4010, 104 4
K K
10 10( )4oI w
jw jw
1 4( ) ( ) 5sgn( ) 10 ( )to oi t I w t e u t F
Devre Teorisi Ders Notu Dr. Nurettin ACIR ve Dr. Engin Cemal MENGÜÇ
24
5
5-
0 t410 te-
5sgn( )t
10-
5sgn( )t
oi
( )oi t
Devre Teorisi Ders Notu Dr. Nurettin ACIR ve Dr. Engin Cemal MENGÜÇ
25
Örnek: Bir önceki örnekte kaynak ( ) 50cos(3 )gi t t A olması durumunda ( )oi t
’yi FT kullanarak bulunuz.
Cevap:
( ) 50 ( 3) ( 3)gi w w w
1( )4
H wjw
( 3) ( 3)( ) 504o
w wI wjw
1 50 ( 3) ( 3)( ) ( )2 4
jwto o
w wi t I w e dwjw
F
Devre Teorisi Ders Notu Dr. Nurettin ACIR ve Dr. Engin Cemal MENGÜÇ
26
3 3
254 3 4 3
j t j te ej j
3 36.87 3 36.87
255 5
j t j j t je e e e
5 2cos(3 36.87 )t
( ) 10cos(3 36.87 )oi t t
Not: Fazör analizi ile de çözülerek sonuç doğrulanabilir.
Devre Teorisi Ders Notu Dr. Nurettin ACIR ve Dr. Engin Cemal MENGÜÇ
27
13.5 Parseval Teoremi
Parseval teorem sonlu enerjisi olan zaman domenine ilişkin enerji ile
fonksiyonun frekans domenine ilişkin Fourier transformu arasındaki ilişkiyi
belirler. Yani zaman domenindeki sonlu enerji, frekans domenindeki karşılığı
arasındaki ilişkiyi tanımlar. ( )f t ’nin 1’luk bir direnç üzerinden geçen bir
akım veya üzerine düşen bir gerilim olarak düşünürsek;
Bu ( )f t ’ye ilişkin enerji;
21 ( )W f t dt
olur.
Parseval Teoremi bunu Fourier Transformu ile;
22 1( ) ( )2
f t dt F w dw
Devre Teorisi Ders Notu Dr. Nurettin ACIR ve Dr. Engin Cemal MENGÜÇ
28
ilişkilendirir. Yani her iki domende de enerji (her iki integral olmak şartı ile)
hesaplanabilir.
Örnek: 40’luk bir dirençten geçen akım 220 ( )ti e u t A ise
0 2 3 /w rad sn frekans bandına ilişkin harcanan enerji oranı (40
üzerinde) nedir?
Cevap:
40’da harcanan toplam enerji
440 40 400 tW e dt
4
0
16000 40004
te J
Devre Teorisi Ders Notu Dr. Nurettin ACIR ve Dr. Engin Cemal MENGÜÇ
29
Parseval teoremi ile doğrularsak;
20( )2
F wjw
2
20( )4
F ww
140 20
0
40 400 16000 1 tan2 4 2 2
wW dww
8000 40002
J
0 2 3 /w rad sn
Devre Teorisi Ders Notu Dr. Nurettin ACIR ve Dr. Engin Cemal MENGÜÇ
30
2 32 3 1
40 200
40 400 16000 1 tan2 4 2 2
dw wWw
8000 80003 3
J
8000 3100 66.67%4000