Detyra te ndryshme nga Matematika · Detyra te ndryshme nga Matematika Përgatiti : Faton Hyseni,...

DETYRA TË NDRYSHME NGA MATEMATIKA

FATON HYSENI

FERIZAJ TETOR 2010

„Më lehtë është të mësohet matematika se sa të punohet pa të“

Detyra te ndryshme nga Matematika

Përgatiti : Faton Hyseni, Tetor 2010 2

I. Gjykimet

1° Fjalia deklarative e cila ka kuptim dhe e cila është e saktë (e vërtetë) ose e pasaktë (e pa vërtetë) quhet gjykim.

2° Gjykimet e sakta quhen pohime. 3° Vlera e saktësisë së gjykimit p shënohet v(p) dhe mund të jetë :

V(p)=⊺ ( e saktë) ose V(p)=⊥ (e pasaktë)

4° Negacioni ( ⌉ ) : ⌉p ( është jo p)

5° Konjuksioni ( ⋀) : p ⋀ q ( p dhe q )

6° Disjunksioni ( ⋁ ) : p ⋁q ( p ose q )

7° Implikacioni ( ⟹ ) : p ⟹ q ( nëse p atëherë q )

8° Ekuivalenca ( ⇔ ) : p ⇔ q ( p atëherë dhe vetëm atëherë q ) 9° Tabela e saktësisë është

p q p⋀q p⋁q p⟹q p⇔q

⊺ ⊺ ⊺ ⊺ ⊺ ⊺

⊺ ⊥ ⊥ ⊺ ⊥ ⊥

⊥ ⊺ ⊥ ⊺ ⊺ ⊥

⊥ ⊥ ⊥ ⊥ ⊺ ⊺

Detyra 1. Cilat nga fjalitë e mëposhtme janë gjykime ? a) Prizreni është qytet i bukur b) Kosova është vend i pasur me minerale c) Ndalohet pirja e duhanit! d) Sot është e hënë e) Mali këndon! f) Ju lutem qetësi!

Detyra 2. Le të jenë dhënë fjalitë : p : " Besa është e sëmurë " q : "Agimi e bleu librin " Shprehni me fjalë gjykimet e dhëna :

a) ⌉p b) ⅂q c) p∧⅂q

Detyra 3. Cila nga fjalitë e mëposhtme është gjykim ? a) Numri 3 është numër çift b) Çdo trekëndësh është këndrejt c) x -5=9 d) Nëse x =0, atëherë x +2=2 .

Detyra 4. Cila nga fjalitë e mëposhtme është gjykim ? a) Numri 4 është i thjesht b) Çdo katror është me tri kënde të drejta c) x -5=2

p ⌉p

⊺ ⊥

⊥ ⊺



Detyra 5. Cili nga gjykimet e dhëna është i saktë ?

a) 1 2 3

1: 1 6 53 5 4

b) (1-3-(-2))=0

Detyra 6. Cila nga fjalitë nuk është gjykim ?

) 3 2 7

) 3 2 1

a

b x x

)c Katërkëndëshi kakatërbrinjë

Detyra 7. Cilat nga gjykimet e më poshtme janë të sakta ?

a) p: 4 3 3

3 25 2 10

b) q:3 5 13

1 2 44 6 30

Detyra 8. Cakto vlerat e saktësisë së gjykimve :

a) 31∙31=31+1 b) (32)3=32∙3 c) 3+32=32+3 d) 5∙(-8)=-5∙8 e) 2∙3∙0=6 f) 2-5=5-2

Detyra 9. C ili nga gjykimet e mëposhtme është i saktë ( rretho të saktën ) :

a) Nëse p, atëherë q quhet negacion b) Nëse p, atëherë q quhet ekuivalencë c) Nëse p, atëherë q quhet implikacion d) Nëse p, atëherë q quhet konjuksion

Detyra 10. Vlerëso se cilat nga shprehjet e dhëna është e saktë ( rretho të saktën ) :

1 1)

5 3

) 3 5

) 1 1

6 7)

7 8

a

b

c

d

Detyra 11. Cilat nga gjykimet e dhëna janë të sakta :

2

3 2

) 9 3 ) 3 3 ) ( 3) 3

1 1) 3 2 3 2 ) 2 5 2 5 )

3 3

a b c

d e f



Detyra 12. Caktoni vlerat e saktësisë së gjykimeve :

3 3

3

) 5 ) (5 2) 3 5 (2 3)

) 0 ) 8 (3 5) 8 3 8 5

3 2 6) 0 )

5 5 5

2 2 3 2 3) )

2 3 4 3 4

1) ) 0,2 0,3 0,6

3

2 2) 1 )

3 3

a R g

b Q h

c N i

d Q j

e Q k

f është numër i thjeshtë l

Detyra 13. Gjeni vlerën e saktësisë së formulave :

a) (2+0=2 ∧ 2·1=2 ) ⇒2·0=2

b) 2 1

(4 2 ∨

2 1) ( 2 3

4 2 ∧ 2<3 )

c) ( 2) 3 0 [( 2) ( 3) 0 ∧ 2·3>0]

d) (1 2) (2 5)

e) 2 2

( 1 2 3) ( 2 3 5)3 5

Detyra 14. Njehsoni :

a) ( ⊺⋁⊥) ⋀ (⊺⋀⊥) b) ⊺⋀[⊥⋁(⊥⋁⊥)] c) ⌉[⊥⋀⌉(⊺⋁⊺)]

d) ⊺⋀⌉[⊺⋀⌉(⊺⋁⊥)] e) ⌉ ( ⊺⋁⊥) ⇔ (⌉⊺⋀⊥) f) (⊺⇒⌉⊺)⇒⌉ (⌉⊺⋁⊺)

Detyra 15. Caktoni vlerat e saktësisë :

a) {⊺⋁[(⊥⋀⊺)⋀(⊺⋀⊺)]}⋀⊥ b) [(⊥⋀⊺)⋁(⊺⋀⊥)]⋁(⊥⋁⊺)⋀(⊺⋁⊥) c) (⊥⇒⊥)⇒⊺ d) ⌉⊺⋀[(⊥⇔(⊺⋁⊥)⋀⌉(⊥⇒⊺)]

Detyra16. Formoni tabelën e saktësisë për gjykimet e dhëna :

a) (p⇒q)⇒(⌉p⋁q) b) (p⇔q)⇔r c) ⅂(p∧⅂p) ⇒p d) [p∧(p⇒q)] ⇒q

Detyra 17. Caktoni vlerat e saktësisë së gjykimeve :

a) {(⊺∨⊺)∨[(⊥∨⊺)∨(⊥∨⊺)]}∨[⊺∨(⊺∨⊥)] b) {⊥∨[⊥∨(⊺∨⊥)]}∨{[(⊺∨⊥)∨⊺]∨⊺} c) {⊺∨[(⊥∧⊺) ∧(⊺∧⊺)]}∧⊥ d) {[(⊥∧⊺)∨(⊺∧⊥)]∨(⊥∨⊥)}∧(⊺∨⊥)



Detyra 18. Formoni tabelën e saktësisë për gjykimet e dhëna :

a) (p∨q)⇔p b) (p∧⌉p)⇒p c) p⇔(p⇒q) d) (p⇔q)⇔(⌉p∨q)

Detyra 19. Formoni tabelën e saktësisë për gjykimet e dhëna :

a) ⅂(p∧⌉q) b) (p⇒q) ∨ ⌉(p⇔⌉q)

Detyra 20. Janë dhënë gjykimet :

1 1 1 1 10: :

2 3 4 5 3

1 1 1 1 37: :

2 3 4 5 6

1 1 1 1: : 7

2 3 4 5

1 1 1 1 2: :

2 3 4 5 5

p

q

r

s

Caktoni vlerat e saktësisë së gjykimeve të mësipërme dhe në bazë të tyre caktoni vlerat e saktësisë së formulave vijuese :

a) ( p∧q ) ∨( r∧s ) b) ( p∨q ) ∨( p∧s ) c) [(p∨r) ∧q] ∧(s∧q)

Detyra 21. Shkruaj formulat logjike që paraqesin ligjet e De Morganit.

Detyra 22. Gjeni vlerën e saktësisë së gjykimit { ⊺ ∨ ( ⊥∧⊺) ∧ (⊥⇒⊺)}⇔⊥⇒⊥

Detyra 23. Të formohet tabela e saktësisë së formulës: q ∨ (p⇒(q ∧p)) ⇔q

Detyra 24. Të tregohet se formula e mëposhtme është tautologji A : ⅂(p⋁q) ⇔( ⌉p∧⅂q )

Detyra 25. A paraqet formula (p∨q) ⇒⌉p tautologji.

Detyra 26. Tregoni nëse formulat logjike janë tautologji:

a) ⅂(p∧q) ⇔p∧⅂q b) ((⅂p∧q) ⇒r) ⇔(p⋁r) c) (p⋁⅂r) ⇔(p⇒(q ∧r))



Detyra 27. Plotësoni tabelat vijuese ( duke përdorur simbolet ⊺ dhe ⊥ ):

a)

b)

x -2 -1 1 3

( 2)v x

( 2)v x

(3 7)v x

c)

d)

e)

x -3 -1 1 3

( 1)v x

( 1)v x

(3 7)v x

x -3 -1 1 3

( 1)v x

( 1)v x

2( 9)v x

x -3 -1 1 3

(2 1)v x

( 3)v x

(5 7)v x

x -3 -1 1 3

( 1 1)v x

( 1)v x

2( 1)v x



II. Bashkësitë

1° Bashkësia është kuptim themelor në matematikë, e cila nuk përkufizohet por sqarohet me shembuj ,

p.sh. bashkësia e pikave, bashkësia e qyteteve të Kosovës , bashkësia e nxënësve të një shkolle,etj.

2° Bashkësitë shënohen me shkronja të mëdha si p.sh A,B,C,D... 3° Elementet e bashësisë shënohen me shkronja të vogla si p.sh. a,b,c,d,. . .

4° a A ( lexohet : a është element i bashkësisë A )

b A ( lexohet : b nuk është element i bashkësisë A )

.b

A

Fig.1

5° Bashkësia që nuk ka asnjë element quhet bashkësi boshe dhe simbolikisht shënohet ∅.

6° Nënbashkësia .

:përk

B A x x B x A

7° Barazia e bashkësive .përk

A B A B ∧ B A

8° Prerja e bashkësive :A B x x A dhe x B

9° Unioni i bashkësive A B x A ose x B

. a

A

B

AB

Fig.2

Fig.3

A B

AB

A B

AB

Fig.4



10° Diferenca ( ndryshimi ) e bashkësive A ∖ :B x x A dhe x B

11° Diferenca simetrike (A B A ∖ ) (B B ∖ )A

12° Prodhimi kartezian ( i drejtpërdrejt ) ( , ) :AxB a b a A dhe b B

13° Bashkësi partitive ( e pjesëve ) të bashkësisë A quajm bashkësinë e të gjitha nënbashkësive ( pjesëve )

të bashkësisë së dhënë A dhe shënojmë :

( ) :P A X X A

14° Në qoftë se B A ,atëherë diferenca \A B quhet komplement ose plotësim i bashkësisë B në

bashkësinë A dhe simbolikisht shënohet ( )AC B ose 'B

( )AC B

A

Fig. 6

Detyra 1. Të shkruhen të gjithë elementet e bashkësive

) : 3 12

) : , 15

) : 3 18

a A x x N dhe x

b B x x N dhe x çift x

c C x x N dhe x

Detyra 2. Në të gjitha rastet e mëposhtme të shkruhen elementet e bashkësisë së dhënë :

) : 11

) : 5 1

) : 5 5

) : 5 10

) : 2 3

a A x x N x

b B x x N x

c C x x N x x

d D x x N x

e E x x N x

Detyra 3. Paraqitni në diagram bashkësitë : 1,2,3,6 , 1,3,4,7 1,2,4,5A B dhe C .

Detyra 4. Janë dhënë bashkësitë 1,3,5,7,9 , 4,5,6,7 3,5,9A B dhe C

Njehsoni :

) ) ) ) )( \ ) \a A B b A B c A B d A B e A B C ‚

AB

BA \.

Fig.5

B



Detyra 5. Janë dhënë bashkësitë

*, ,1,0, , , , ,1,0, , *, , , , , ,A B a b C dhe D m n p q

Njehsoni :

)a A B ) ( )b A B C ) ( )c A B D )d C D ) ( ) ( )e B C A D

Detyra 6. Gjeni AxB nëse 1,2,3A dhe ,B a b .

Detyra7. Janë dhënë bashkësitë 1,2,3,7,8A , 3,4,5,6,7B dhe 5,7,8,9C .

Gjeni :

) ( )

) ( )

) ( )

) ( )

a A B C

b A B C

c A B C

d A B C

Detyra 8. Për bashkësitë , , ,Q I dhe R , caktoni vlerën e saktësisë :

)

)

)

)

a R

b Z Q

c R Q I

d Q I

Detyra 9. Janë dhënë 1,2A dhe 2,3B . Të njehsohet : 2) )a A b AxB .

Detyra 10. Është dhënë bashkësia ( ,1),( ,3),( ,1),( ,2),( ,1),( ,2),( ,3),( ,3), ( ,2)AxB a a b b c a b c c .

Të caktohen elementet e bashkësisë A dhe B .

Detyra 11. Nga diagrami i mëposhtëm, caktoni bashkësitë :

, , , ,A B C A B A ∖ ,B A∖ ( ), ( ) , (B C A B C A B ∖ ), ( )C A B C .

A 11 B

C

Fig. 7

Detyra 12 . Për çfarë vlerash të ndryshores x vlejnë barazimet :

) (2,3) ( ,3) ) (2,3) (3, )

1) (2,2) ( , ) ) (2,0) (2, )

a x b x

c x x dx

1 2 5 3 4

12

6 8 10 7 9 13 14 15



Detyra 13. Janë dhënë bashkësitë 1,2,3,4,5 , 1,2,3,7A B dhe 2,4,6,7,8C .

Të gjendet :

) ) ) \ ) )

) ( \ ) ) ( ) \ ) ( \ ) ) ( )

a A B b A B c A B d A B e AxB

f A B C g A B C h A B C i A B C

Detyra 14. Nga figura caktoni bashkësitë :

, , , , , , ( ) , ( )A B C A B A C B C A B C A B C

A 2 B

5

9

C

Fig. 8

Detyra 15. Nga diagrami i mëposhtëm caktoni bashkësitë : , , , , ( )A B C A B C A B‚ ‚

C

Fig. 9

Detyra 16. Caktoni A B nëse :

: 2 3 ,

: 3 3

A x x Z x

B x x Z x


2, 1,0,1,2,3 , : 2 1 : 2 5A B b b N b dheC c c N c

Gjeni:

( \ ) ( \ )A B B C Detyra 18. Janë dhënë bashkësitë

2: 2 5 , : 4 0

: 3 3

A x x N x x B x x Z x dhe

C x x Z x

Gjeni

) \ ( ) ) ( )a A B C b A B C

A B g h

4 8

3 1 6 7

10 11 12

a b c

d e f



Detyra 19. Janë dhënë bashkësitë , ,A a b c , , ,B a c n dhe , ,C a n p .

Tregoni se është i saktë identiteti i bashkësive :

( ) ( ) ( )A B C A B A C


2

: 1 6 ,

: 9 0

: 2 3

A x x N x x

B x x Z x dhe

C x x Z x

Gjeni

) \ ( ) ) ( )a A B C b A B C


: 1 6 ,

: 5

: 0 3

A x x N x

B x x N x dhe

C x x Z x

Gjeni

( )A B C

Detyra 22. Në një klasë ka 23 nxënës nga të cilët 11 luajnë volejboll, 10 luajnë tenis, ndërsa 4 nuk

luajnë asnjërin sport. Sa prej nxënësve luajnë të dy sportet?

Detyra 23. Sa është numri i të gjitha nënbashkësive me 5 elemente.

Detyra 24. Në një klasë me 30 nxënës brenda një jave janë notuar 21 nxënës nga matematika, 19 nxënës nga fizika, 14 nxënës nga historia, 12 nga matematika dhe fizika, 7 nga matematika dhe historia, 5 nga fizika dhe historia dhe nga 2 nxënës vetëm nga një lëndë. a) Sa nxënës janë notuar nga matematika por jo edhe nga historia ? b) Sa nxënës janë notuar vetëm nga dy lëndë ? c) Sa nxënës janë notuar nga të tri lëndët ?

Detyra 25. Klasa ka 29 studentë, ku 19 prej tyre studiojnë matematikën, 17 fizikën, 10 informatikën, 12 matematikën dhe fizikën, 7 informatikën dhe matematikën, 5 fizikën dhe informatikën, 2 studentë studiojnë të tri lëmitë.

a) Sa studentë e studiojnë informatikën por jo edhe matematikën ? b) Sa studentë i studiojnë dy nga tri lëmit? c) Sa studentë e studiojnë vetëm nga një lëmi ?

Detyra 26. Janë dhënë bashkësitë 1,3,5 , 5,7 1,2,4A B dhe C

Gjeni bashkësinë ( \ ) ( \ )A C x C B


: 0 3 , : 1 3A x x Z x B x x Z x

Të gjendet ( )A B xB


2: 0 10 , : 36A x x N x B x x N x

Njehsoni : , , \ , \A B A B A B B A dhe ( \ )P B A




2 2: 10 , : 2 10A x x N x B x x Z x

Njehsoni : , , \ , \A B A B A B B A , A B dhe ( )P A


2 2: 1 , : 28A x x Z x B x x N x

Njehsoni : , , \ , \A B A B A B B A , A B dhe ( )P B


: 1 5 , : 3 8A x x R x B x x R x

Njehsoni : , , \ \A B A B A Bdhe B A


: 1 3 , : 0 4A x x R x B x x R x

Njehsoni : , , \ \A B A B A Bdhe B A Detyra 33. Janë dhënë bashkësitë

: 0 3 , : 2 1A x x R x B x x R x



: 3 3 , : 2 4A x x R x B x x R x



: 2 4 , : 3 3A x x R x B x x R x


Detyra 36. Le të jetë dhënë bashkësia universal ,0, ,5, 2, 4U dhe nënbashkësitë e saj

2, ,0 , 5, , 2, 4 4,A B dheC .

Njehsoni :

, ,( ) , , ( )c c cA B A B A B C B C A Bdhe B C

Detyra 37. Le të jenë dhënë bashkësitë 1,2,3,4,5,6,8 2,4,5,6,8A dheB . Gjeni bashkësinë

S ashtu që të vlej : 3,4 :1 10A S dheB S x N x



III. Relacionet 1° Le të jetë dhënë bashkësia e çfarëdoshme A . Relacion binar të përkufizuar në bashkësinë A quajmë

cilëndo bashkësi të prodhimit të drejtpërdrejt 2 2( )AxA A AxA A .

2° Nëse elementet ,a b A janë në relacion , shënojmë a b ose ( , )a b .

3° Nëse relacioni ka vetinë :

a) ,x x x A , quhet refleksiv ( vetia refleksive )

b) , ,x y y x x y A , quhet simetrik ( vetia simetrike )

c) , , ,x y y z x z x y z A , quhet tranzitiv ( vetia transitive )

d) , ,x y y x x y x y A , quhet antisimetrik ( vetia antisimetrike )

4° Relacioni që ka vetitë a), b) dhe c) quhet relacion i ekuivalencës. 5° Relacioni që ka vetitë a), c) dhe d) quhet relacion i renditjes. 6° Relacioni i ekuivalencës shënohet zakonisht me ~ , kurse ai i renditjes shënohet me .

7° Bashkësia aC { / ~b A b a }quhet klasë e ekuivalencës ~ , me përfaqësuesin a

8° Bashkësia e të gjitha klasave të ekuivalencës quhet faktor-bashkësi e bashkësisë A dhe simbolikisht

shënohet / ~A . Pra : / ~A { /aC a A }.

Detyra 1. Relacioni në bashkësinë A {1,2,3,4,5} është përkufizuar si vijon : 2 2 25x y x y . Kur është x y , shënojmë ( )v x y ⊺. Formoni tabelën e

relacionit .

Detyra 2. Janë dhënë bashkësitë A {1,2,3,4,5 } dhe

R { (1,2),(1,3),(2,2),(2,4),(4,4),(5,5),(3,3 ),(5,1),(1,5),(3,5),(5,3),(3,1),(4,2) }.

a) Tregoni se R është relacion i përkufizuar në bashkësinë A .

b) Të paraqitet relacioni R me anë të diagramit

c) Vizatoni grafikun e relacionit R

Detyra 3. Është dhënë bashkësia A {1,2,3,4,5,6 } dhe në te relacioni i përkufizuar në këtë

mënyrë :

)

) 2

)

)

a x y x y

b x y x y

c x x y x y

d x y x y

Caktoni relacionin si bashkësi e dysheve të rendituara që i përgjigjet relacioneve të dhëna .

Detyra 4. Është dhënë bashkësia A {1,2,3,4,5} dhe në të relacioni me shprehjen :

3 1x y x y . Të shkruhet si bashkësi e dysheve të renditura relacioni .

Detyra 5. Të vizatohet grafi dhe të paraqitet përmes tabelës relacioni nga detyra 4.



Detyra 6. Janë dhënë bashkësitë A {1,2,3} dhe B {a,b} dhe relacioni R i përkufizuar në këtë

mënyrë : R ={(1,a),(1,b),(3,a)}. Gjeni relacionin inverz 1R .

Detyra 7. Tregoni se relacioni në bashkësinë A {a,b} i përkufizuar me anë të tabelës është relacion

simetrik ?

Detyra8. Në bashkësinë A {1,2,3} janë dhënë relacionet (1,2),(2,3) dhe (1,1),(2,1)

Të gjendet

Detyra 9. Është dhënë bashkësia A { 0,1,2,3,4 } dhe në të relacioni me shprehjen : x y x y .

Të shkruhet si bashkësi e dysheve të renditura relacioni dhe pastaj të paraqitet përmes

tabelës relacioni .

Detyra 10. Në bashkësinë A {1,2,3,4,5,6 } është dhënë relacioni R në këtë mënyrë :

R {(1,3),(1,5),(3,1),(3,5),(4,5),(5,1),(5,3),(5,4),(5,5),(4,4)}

a) Vërtetoni se relacioni R është simetrik

b) Ç’mund të vëreni nga diagrami i relacionit R .

Detyra11. Është dhënë bashkësia A { 0,1,2,3,4 } dhe në të relacioni me shprehjen :

x y x y .

a) Formo tabelën e relacionit

b) Trego se a është relacioni relacion renditjes .

Detyra 12. Në bashkësinë A {2 4 1 1

2,5, , ,7, , ,93 5 7 4

} është përkufizuar relacioni binar si vijon :

( ) ( )x y x Z y Z x Z y Z

a) Formoni tabelën e relacionit të dhënë b) Tregoni se relacioni i dhënë është relacion i ekuivalencës

Detyra 13. Në bashkësinë S { 3, 2, 1,0,1,2,3 }është përkufizuar relacioni binar në këtë

mënyrë: 2 2 , ,x y x y x y S

a) Shkruani relacionin e dhënë si bashkësi e dysheve të rendituara b) Tregoni se relacioni i dhënë është relacioni i ekuivalencës c) Gjeni klasët e ekuivalencës dhe faktor-bashkësinë përkatëse d) Vizatoni diagramin dhe tabelën e relacionit të dhënë .

Detyra 14. Në bashkësinë B { / 1 6}x Z x është dhënë relacioni :

R { 2( , ) : 7x y B x y }

a) Relacioni R të shkruhet si bashkësi e dysheve të renditura

b) A i takojnë relacionit R dyshet e renditura (6,2),(2,3),(3,1) c) Të paraqitet në diagram të Venit

a b

a ⊺ ⊥ b ⊥ ⊺



Detyra 15. Është dhënë bashkësia M {1,2,3,4,5 } dhe relacioni R me :

R {(1,1),(2,2),(3,3),(5,4),(4,4),(4,5),(3,4),(5,3),(5,5),(3,5),(4,3)} a) Tregoni se R është relacion ekuivalencës b) Gjeni faktor-bashkësinë përkatëse

Detyra 16. Në bashkësinë B { / 3 6}x Z x është dhënë relacioni :

R { 2( , ) : 3x y B x y }

a) Relacioni R të shkruhet si bashkësi e dysheve të renditura

b) Të paraqitet në diagram të Venit

Detyra 17. Është dhënë relacioni R AxA , ku A {1,2,3,4,5} dhe

R {(1,1),(1,3),(3,1),(1,3),(5,1),(3,3),(2,4),(5,5),(3,5),(5,3),(2,2),(4,2),(4,4)} a) Tregoni se R është relacion i ekuivalencës b) Paraqitni grafikisht c) Gjeni faktor-bashkësinë

Detyra 18. Në bashkësinë A {1,2,3,4,5,6,7 } është përkufizuar relacioni binar në këtë mënyrë:

2( , ) / ( , ) 0(mod 2)x y x y A x y

D.m.th. x y , nëse x y gjatë pjesëtimit me 2 jep mbetjen 0

a) Vërtetoni se është relacion i ekuivalencës

b) Vizatoni grafikun e relacionit

c) Vizatoni /A

Detyra 19. Lë të jetë dhënë bashkësia E {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}dhe relacion binar i përkufizuar

në këtë mënyrë : 3 ,x y x y k k Z . Të tregohet se është ekuivalencë në E dhe

të formohet factor-bashkësia /E .

Detyra 20. Lë të jetë dhënë bashkësia E {1,2,...,9 }dhe relacion binar i përkufizuar në këtë

mënyrë : 2 ,x y x y k k Z . Të tregohet se është ekuivalencë në E dhe të

formohet faktor-bashkësia /E .



IV. Pasqyrimet

1° Çdo rregull ( ligj ) sipas të cilit çdo elementi të bashkësië A ia shoqërojmë vetëm një element të

bashkësisë B e quajmë pasqyrim ( funksion ) të bashkësisë A në bashkësinë B dhe shënojmë

:f A B , :f x y ose ( )f x y ( f prej x barazi me y).

D.m.th. ( )( )( , ) ( )x A y B x y f ose y f x .

A B f

Fig. 10

2° Bashkësia A quhet domeni ( ose bashkësia e përcaktimit ), kurse B quhet kodomeni ( ose bashkësia

e vlerave ) i pasqyrimit f .

3° Pasqyrimi ( )y f x , ,x A y B quhet 1-1 (injektiv ), nëse nga 1 2 1 2( ) ( )x x f x f x ose

ekuivalent me të : nga 1 2 1 2( ) ( )f x f x x x .

4° Pasqyrimi :f A B quhet mbi (syrjektiv ), nëse ( )( ) ( )y B x A f x y .

5° Pasqyrimi :f A B quhet në , në qoftë se y B , i tillë që të mos jetë përfytyrë e asnjë element

x A . 6° Pasqyrimi që është 1-1 dhe mbi quhet bijeksion .

7° Për pasqyrimin :f A B , pasqyrimi :g B A quhet pasqyrim invers ( i anasjelltë ), në qoftë

se : ( , ) ( , )y x g x y f dhe B { / ( , )y y x g }. Pasqyrimin invers të pasqyrimit f

zakonisht e shënojmë me 1f .

8° Vlen barazimi 1( f ◦ 1)( ) ( ( )) , .f x f f x x x A

9° Le të jenë :f B C , :g A B . Prodhim (produkt ) të pasqyrimimeve f dhe g quajm

pasqyrimin :h f g A C të përcaktuar me ( )( ) ( ( ))f g x f g x .

A g f C

g f

B

Fig. 11

x

y

x

( ( ))z f g x

( )y g x



Detyra 1 . Cili nga diagramet e mëposhtme paraqet pasqyrim ( funksion ) ?

a) b)

Fig. 12

Fig. 13

c) d)

Fig. 14 Fig. 15

Detyra 2. A paraqesin funksion bashkësitë e dysheve të renditura :

) (1,2), (2,3), (3,4)

) (1,1), (1,2), (3,3)

) (1,4), (2,4), (3,4)

a f

b g

c h

Detyra 3. Le të jetë dhënë pasqyrimi i bashkësisë A {1,2,3,4,5,6} në bashkësinë B {a,b,c,d}:

1 2 3 4 5 6f

a b c d a b

.

a ) Gjeni (1), (2), (3), (4), (5), (6)f f f f f f .

b) Njehsoni x nga formulat ( ) , ( ) , ( ) , ( ) ,f x a f x b f x c f x d ku

x{1,2,3,4,5,6}

Detyra 4. Të plotësohen tabelat e dhëna : a)

x -2 -1 0 1 2

( ) 5 2f x x

1 2 3 4

x

y

z

1 2 3

a

b

c

d

1 2 3 4 5

a

b

c

d

e

a b c

1 2 3



b) c) d)

Detyra 5. Janë dhënë pasqyrimet nga bashkësia A {12,3,4}në bashkësinë , , ,B a b c d :

1 2 3

4 5

1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4

1 2 3 4 1 2 3 4

f f fa b c d a a b c b a c d

f fa a a b a a a a

a) Cili nga pasqyrimet e dhëna është 1-1 (injektiv ) ? b) Cili nga pasqyrimet e dhëna është mbi (syrjektiv ) ?

Detyra 6. Janë dhënë pasqyrimet :

1 2 3 4 5

3 4 2 5 1f

1 2 3 4 5

5 2 3 1 4g

të bashkësisë A në vetvete. Gjeni :

1

) ( (1))

)

a f g

b f g


1 2 3 4

p q r sf

2 1 3 4

p q r sg

4 3 2 1

p q r sh

Gjeni 1 1 1 1, ,f g h dhe g g

Detyra 8. Tregoni se pasqyrimi :f R R i dhënë me barazimin ( ) 2 1f x x është bijektiv, gjeni

inversin 1( )f x dhe paraqitni grafikët e 1( ) ( )f x dhe f x .

Detyra 9. Tregoni se pasqyrimi :f R R i dhënë me barazimin ( ) 3 6f x x është bijektiv, gjeni

inversin 1( )f x dhe paraqitni grafikët e 1( ) ( )f x dhe f x .

x -2 -1 0 1 2

( ) 3 8f x x

x -2 -1 0 1 2

( ) 7 6f x x

x -2 -1 0 1 2

( ) 23

xf x



Detyra 10. Tregoni se pasqyrimi :f R R i dhënë me barazimin ( ) 2 3f x x është bijektiv dhe

pastj vizato grafikët e 1( ) ( )f x dhe f x

Detyra 11. Le të jetë dhënë pasqyrimi f me anë të formulës: ( ) 3 7f x x . Njehsoni

(3), (5), (6), (1)f f f f .

Detyra 12. Caktoni bashkësinë B në të cilën pasqyrohet bashkësia A { 2, 1,0,1,2 } me anë të

pasqyrimit ( ) 2 1f x x .

Detyra 13. Janë dhënë pasqyrimet ( ) 2 3 ( ) 1 3f x x dhe g x x . Njehsoni :

2

)

)

)

a f g

b g f

c g g g

Detyra 14. Janë dhënë pasqyrimet ( ) 5 4 ( ) 3 2f x x dhe g x x .Njehsoni

2 2 2 1

1

1) 2) 3) 4) 5) 6) ( )

7) ( )

f g g f g g g f g g f f g f

f g f

Detyra 15. Janë dhënë funksionet 2( ) 2 1 ( ) 3 2f x x x dhe g x x .Njehsoni

11) 2) 3)f g g f g g

Detyra 16. Janë dhënë funksionet 2( ) 2 ( ) 2 3f x x x dheg x x .Njehsoni

11) 2) 3)f g g f g g

Detyra 17. Janë dhënë funksionet 2( ) 1 ( ) 2 1f x x x dhe g x x .Njehsoni

11) 2) 3)f g g f g g

Detyra 18. Janë dhënë funksionet 2( ) 3 2 ( ) 2 4f x x x dhe g x x .Njehsoni

11) 2) 3)f g g f g g

Detyra 19. Janë dhënë funksionet 2 1( ) 1 ( ) 3

2f x x x dhe g x x .Njehsoni

11) 2) 3) 4)f g g f f f g g

Detyra 20. Të zgjidhet ekuacioni funksional (3 2 ) 3 1f x x dhe të gjendet 1f .

Detyra 21. Janë dhënë pasqyrimet 1

( ) ( ) 3 23

xf x dhe g x x

.Gjeni 1f g

Detyra 22. Janë dhënë pasqyrimet 2 3

( ) 5 ( ) 23 2

f x x dhe g x x .Gjeni:

1) ( )( ) ) ( )( ) ) ( )( )a g f x b f g x c f g x



Detyra 23. Janë dhënë funksionet 1 5

( ) 4 ( ) 23 2

f x x dhe g x x .Gjeni:

1

) ( )( )

) ( )( )

) ( )( )

a g f x

b f g x

c f g x

Detyra 24. Janë dhënë funksionet , :f g R R me barazimet 2( ) 1 ( ) 1f x x dheg x x .Gjeni :

1)

) ( ( ))

a f

b f g x

Detyra 25. Janë dhënë funksionet ( ) 3 5 ( ) 4 2f x x dhe g x x .Njehsoni 1 1( ( )) ( ( ))f g x dhe f g x

Detyra 26. Janë dhënë funksionet ( ) 5 3 ( ) 2 7f x x dhe g x x .Njehsoni 1 1( ( )) ( ( ))f g x dhe f g x

Detyra 27. Janë dhënë funksionet , :f g R R me barazimet ( ) 2 ( ) 2 52

xf x dhe g x x . Të

gjenden inverse e tyre.

Detyra 28. Gjeni prodhimin f g nëse :

) ( ) , ( ) 1

) ( ) 1, ( )

) ( ) 1, ( ) 1

) ( ) 3, ( ) 1

) ( ) 2 5, ( ) 5 3

a f x x g x x

b f x x g x x

c f x x g x x

d f x x g x x

e f x x g x x


) ( ) 2 1 ) ( ) 3 2

1 3) ( ) ) ( ) 1

4

a f x x b f x x

c f x d f x xx

Të gjendet 1( )f x

Detyra 30. Të gjendet 1( )f x nëse :

) ( ) 3 1

) ( ) 3

) ( ) 2 4

) ( ) 2 1

a f x x

b f x x

c f x x

d f x x

Detyra 31. Për çfarë vlere nuk është i përkufizuar funksioni 3 2

( )4

xf x

x



Detyra 32. Njehsoni ( )f x nëse:

1) (2 1) 3 2 ) ( 3) ) (2 ) ) ( ) 32

xa f x x b f x x c f x d f x x

Detyra 33. Janë dhënë pasqyrimet ( ) 4 3f x x dhe ( ) 2 1g x x . Njehsoni :

2 2

1 1 1 1

) , ,

) ( ), ( ) , ,

a f g g f g f

b f g f g f g f f g g



V. Bashkësitë numerike

1° Bashkësia e numrave natyror ( N )

,...3,2,1N

2° Bashkësia e numrave të plotë ( Z )

,...3,2,1,0,1,2,3..., Z

3° Bashkësia e numrave racional ( Q )

0,: qdheZqpq

pQ

4° Bashkësia e numrave iracional ( I )

q

ptrajtënnëshkruhettëmundnukxxI :

5° Bashkësia e numrave real ( R )

IQR

6° Dy numra me shenjë të njejtë mblidhen, ndërsa shenja ruhet . 7° Dy numra me shenjë të ndryshme zbriten, ndërsa ruhet shenja e numrit më të madh . 8° Vetitë e numrave realë :

1)

2) ( ) ( )

3)

4) ( ) ( )

5) ( )

6) 0 0 0

7) ( ) ( )

8) ( ) ( )

9) ( )

a b b a

a b c a b c

a b b a

a b c a b c

a b c a b a c

a a

a b a b a b

a b a b

a a

R Q -3 1 3 - 45

2 0

2

3

I

3 , , 5 , e

Z ...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...

N 1,2,3,....



Detyra 1. Njehsoni :

) 10 12 18 4

) 6 9 11 8

) 14 [( 4) ( 6)] (7 9)

) [( 6) 5] 4 (16 17)

) 3 ( 8) 2 ( 1) 5 ( 4)

) ( 3) ( 3) ( 3)

) ( 9) ( 2) (0) ( 4)

) 4 4 10 (8 10) (1 12)

) 12 14 5(7 10) 4

a

b

c

d

e

f

g

h

i

Detyra 2. Njehsoni : 2) 5 6 3 ) 5 (6 3) ) 3 (2 5) :7 ) 8: 4 2 ) 8 2: 4 ) 3 6 12: 4a b c d e f

Detyra 3. Njehsoni vlerën e shprehjes :

) 3 8: 2 5 ) (8 6) : 2 2 ) 12: 4 15 3 ) 16: 2 5 3:6 ) 12 6:3 2:8a b c d e

Detyra 4 . Njehsoni : 2 2 2

2 2 2

) 14 27 :3 4 5 ) (4 9) 2 7 4 ) 14 : 7 2 8 4 ) 24 : 6 6 4 3

) 9 18: 2 7 3 ) 12 3 16 : 4 5 ) 18 3 4 : 6 7 ) 9 12 3: 2

a b c d

e f d h

Veprimet me thyesa

1° ( 0)a b a b

dd d d

2° ( 0, 0)a c a d b c

b db d b d

3° ( 0, 0)a c a c

b db d b d

4° ( 0)a n a

n bb b

5° ( 0, 0, 0)a c a d

b c db d b c

Detyra 5. Njehsoni thyesat vijuese :

2 4 3 2 7 4 3 4) ) ) )

5 5 4 3 8 5 7 5

3 2 1 3 28) : ) 4 5 ) 3

8 5 3 4 5

a b c d

e f g



Detyra 6. Llogaritni : 2 2( 32) ( 18) ( 12) ( 6) (0) ( 6) 10

) ) ) ) )( 8) ( 9) ( 6) ( 3) ( 4) ( 2) ( 2) ( 5) ( 5)

a b c d e

Detyra 7. Kryeni veprimet me thyesa :

3 3 4 1 5 5 3 3 2) ) : ) 2 2 4

4 4 9 3 8 6 7 2 3a b c

Detyra 8. Kryeni veprimet :

2

3 5 3 1 2 3 4 5) : ) :

8 4 16 8 3 4 9 12

11 8

17 1 3 3 1 12 3) : ) 2 5 3 611 8 7 2 4 4 2 2

2 3

a b

c d

Detyra 9. Njehsoni vlerën e shprehjes : 5 4 3 26 5 4 3 2 1A x x x x x

2 2

1 1 1 3 5 6 4 ( 18) 8 3 4 10 ( 18) 6) ) )

4 6 8 8 13 6 6 3 4

3(9 4) 10 (8 4) ( 2)( 3) 4(3 2) 4 10) ) )

5 2 10 ( 4)(3) ( 5)( 3)

a b c

d e f

Detyra 10. Njehsoni vlerën numerike të shprehjes 5 4 3 26 5 4 3 2 1A x x x x x në qoftë se :

1

) 2 ) 2 )2

a x b x c x

Detyra 11. Kryeni veprimet :

9 2 1 9 2 5(2 ) (1 )

1 10 1 274 3 6 4 3 6) : )1 2 13 1 1 1 13 127 10

(4 ) 1 (3 ) 15 3 36 2 5 3 36 2

3 7 2 15 2 0.75 4 0.5 4 :

5 8 3 6) )

1 2 1 14.4 2 : 3.8 2

7 7 8 67

a b

c d



VI. Ekuacionet lineare

1° Forma e përgjithshme e ekuacionit linear është :

0 (1)a x b

ku , ,a b R kurse x është e panjohur .

2° Nëse 0a , ekuacioni (1) ka vetëm një zgjidhje ( është i caktuar ) dhe ajo është b

xa

.

3° Nëse 0, 0, 0 0a b kemi x b b që është e pamundur , d.m.th. ekuacioni (1) nuk ka

zgjidhje ( është i pamundur ) .

4° Nëse 0, 0, 0 0 0 0a b kemi x , ekuacioni (1) ka pakufi shumë zgjidhje ( është i

pacaktuar ) . Të zgjidhen ekuacionet lineare ( Detyrat 1- 11 )

Detyra 1. ) 3 8 ) 4 5 ) 3 6 18 ) 3 21

) 5 2 ) 3 7 ) 46 9 ) 5 8

) 5 2 ) 5 8 ) 13 10 ) 8 4 32

a x d z g x j x

b x e x h y k x

c x f x i x l x

Detyra 2.

) 3 12 ) 5 15

) 3 7 2 ) 4 3 23

) 4 7 39 ) 2 5 2 3

a x d x

b x e x

c x f x x

Detyra 3.

7) 4 ) 3 )

3 2 2 6

1 2) 4 ) 4 ) 5

9 3 3

1 4) 5 ) 2 ) 8

6 4 5

x z xa d g

xb e y h x

xc f u i x

Detyra 4.

) 5(2 1) 7 10 ) 4(3 1) 2 11

) 3(2 1) 7 3 4 ) 2( 3) 9 0

a x x b x x

c x x x d x



Detyra 5.

2) 5 1 2 4 ) 5 2 8 4 ) 1 5

3

1) 2( 1) 2 8 ) 10 ) 5(2 2) 3( 1) 7

2

3 1 1) 4 5 3 1 ) 3 ) 2

2 2 4

a x x d x x g x

b x x e x h x x

c x x f x i x x

Detyra 6.

2 2 2) (2 1) (3 1) 13 12 ) 2( 3) 5( 1) 4

) 4( 3) 2(3 5) 11 ) 3 5( 3) (3 2) 5 2

a x x x b y y

c y y d x x

Detyra 7.

1 2 3) )

3 2 2 3 2

1 1 1 1 3 5) ) 3 4

4 2 3 6 4 8

3 2 1 5 1 5 1 3 4) )

4 2 3 2 2 8 4 3

3 12 3 2 2( 4) 3 13 3(2 3)) 4 3 ) 7

5 2 3 8 5

x x xa b x

c x x d x x

x x x x x x xe f

x x x x x xg h

Detyra 8.

2 2

2 2

2

2

3 5 8 1 1 1 4 22) ( 1) ( 4) (6 ) 38 ) 4( ) (1 ) 3

4 3 5 3 6 7 9 7

17 2 5 2 3) )

1 1 1 2 3 4

2 5 9 1 1 2 5) ) 3

1 1 1 4 3 20 15 4 3

29 4 3 2 2 1 2 1 8) )

24 8 2 16 3 24 2 1 2 1 1

xa x x x b x

y y x x xc d

y y y x x x

x x x x xe f

x x x x x x

x xg h

x x x x x

2

2

2

4

2 2( 1) 10 3 3 2 2 1 25) ) ( )

1 1 1 2 2 6 4 4

x

x x x x xi j x

x x x

Detyra 9.

1 3 1 3 1 2) 0 ) 1 )

2 2 3 3

1 3 3 3 1 3 5 2 5) 2 ) 2 ) 1

3 1 3 3 1 1 2

x x x xa b c

x x x x

x x x x x xd e f

x x x x x x



Detyra 10.

1 1) 6 4 )

2 3 8 4 12

2

1 2 1 13) )5 3 5 4 12 18

x x xa x x x b

xx x x

c d

Detyra 11.

) 1 5 ) 2( 1) 3 ) 2 4

) 1 1 ) 4 2 3 2 ) 7 3 2

a x b x x c x

d x x e x x f x

Detyra 12. Për çfarë vlere të parametrit a , ekuacioni :

) 9 4 5a x ax ka zgjidhjen 3x

) 10 5 6b ax x ka zgjidhjen 8x

) 17 2 3c ax x a ka zgjidhjen 17x

Detyra 13. Varësisht nga vlera e parametrit a të diskutohet zgjidhja e ekuacionit :

) 5( 5) ( ) ) 4( 4) ( )a x a a x a x a a x



VII. Inekuacionet lineare

Të zgjidhen inekuacionet lineare ( Detyrat 1- 5 )

Detyra 1. ) 4 12 ) 6 3 0 ) 2 8 ) 3 9 ) 6 12

) 8 3 0 ) 3 9 ) 2 4 ) 3 6 0 ) 5 4 3 2

a x b x c x d x e x

f x g x h x i x j x x

Detyra 2.

2 2

) 16 10 6 5 ) 2( 4) 3( 2) 0

) (3 2) 9( 1) 1 7 ) 3( 1) 6( 5) 0

a x x b x x

c x x x d x x

Detyra 3.

) 2( 1) 4 ) 3( 2) 9 2( 3) 8

4 2 3) )

3 5 15 3 6

a x x b x x x

x x x xc d

Detyra 4.

1 1 1 1 2) )

3 2 3 5 3

5 5 9 1 3 2 7) 2 3 4 ) (2 )

3 8 6 2 9 18

x x xa x b

x x x xc x x d

Detyra 5.

) ( 1)( 4) 0 ) ( 3)( 5) 0

2) 0 ) 3 1 8

3

a x x b x x

xc d x

x

Detyra te ndryshme nga Matematika · Detyra te ndryshme nga Matematika Përgatiti : Faton Hyseni,...

Documents

Transcript of Detyra te ndryshme nga Matematika · Detyra te ndryshme nga Matematika Përgatiti : Faton Hyseni,...