Determinantes de matrizes grandes e o teorema de โฆ...O determinante de uma matriz ๐ร๐รฉ uma...
Transcript of Determinantes de matrizes grandes e o teorema de โฆ...O determinante de uma matriz ๐ร๐รฉ uma...
Determinantes de matrizes grandes e o teorema de Jacobi
Para alรฉm do Teorema de Laplace
Uma aula doProf. Leandro Linhares
(o Tio Linha)
Estamos acostumados a ver o determinante como
uma โconta prontaโ apenas para matrizes de ordem ๐ ร ๐, ๐ ร ๐ ou ๐ ร ๐...
๐๐๐ญ ๐๐ = +๐๐
๐๐๐ญ๐๐ ๐๐
๐๐ ๐๐= +๐๐๐๐ โ ๐๐๐๐
๐๐๐ญ
๐๐ ๐๐ ๐๐
๐๐ ๐๐ ๐๐
๐๐ ๐๐ ๐๐
= +๐๐๐๐๐๐ + ๐๐๐๐๐๐ + ๐๐๐๐๐๐ โ ๐๐๐๐๐๐ โ ๐๐๐๐๐๐ โ ๐๐๐๐๐๐
De ordem ๐ ร ๐ para cima somos apresentados a teoremas como Laplace e Chiรณ...
Esses teoremas reduzem a ordem da matriz, ou seja, calculam o determinante da matriz de ordem grande atravรฉs de determinantes de matrizes de ordem menor...
Mas afinal, quem รฉ o determinante da matriz grande?
O determinante de uma matriz ๐ ร ๐ รฉ uma soma de ๐! parcelas.
Cada parcela รฉ formada por:1) Um sinal algรฉbrico (+ ou โ);2) Um produto de ๐ elementos da matriz, escolhidos de maneiraque haja exatamente um de cada linha e um de cada coluna.
Existem ๐! maneiras diferentes de se escolher ๐ elementos da matriz coma restriรงรฃo de que haja exatamente um de cada linha e um de cada coluna...
Para cada uma dessas formas diferentes possรญveis de se escolheresses ๐ elementos temos uma parcela no determinante!
Por exemplo, um determinante ๐ ร ๐ tem um total de ๐! = ๐๐ parcelas:
๐๐๐ญ
๐๐ ๐๐ ๐๐ ๐๐
๐๐ ๐๐ ๐๐ ๐๐
๐๐ ๐๐ ๐๐ ๐๐๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐
=
+๐๐๐๐๐๐๐ ๐ +๐๐๐๐๐๐๐ ๐ โ๐๐๐๐๐๐๐ ๐ โ๐๐๐๐๐๐๐ ๐
+๐๐๐๐๐๐๐ ๐ +๐๐๐๐๐๐๐ ๐ โ๐๐๐๐๐๐๐ ๐ โ๐๐๐๐๐๐๐ ๐
+๐๐๐๐๐๐๐ ๐ +๐๐๐๐๐๐๐ ๐ โ๐๐๐๐๐๐๐ ๐ โ๐๐๐๐๐๐๐ ๐
+๐๐๐๐๐๐๐ ๐ +๐๐๐๐๐๐๐ ๐ โ๐๐๐๐๐๐๐ ๐ โ๐๐๐๐๐๐๐ ๐
+๐๐๐๐๐๐๐ ๐ +๐๐๐๐๐๐๐ ๐ โ๐๐๐๐๐๐๐ ๐ โ๐๐๐๐๐๐๐ ๐
+๐๐๐๐๐๐๐ ๐ +๐๐๐๐๐๐๐ ๐ โ๐๐๐๐๐๐๐ ๐ โ๐๐๐๐๐๐๐ ๐
Encontrar quais sรฃo as ๐! maneiras de se escolher ๐ elementos da matriz, com exatamente um de cada linha e um de cada coluna, nรฃo รฉ difรญcil...
O grande problema estรก no SINAL ALGรBRICO!
As parcelas foram apresentadas com as linhas ordenadas (letras em ordem alfabรฉtica) e as colunas embaralhadas (รญndices numรฉricos). Vamos entรฃo aliviar a notaรงรฃo:
๐๐๐ญ
๐๐ ๐๐ ๐๐ ๐๐
๐๐ ๐๐ ๐๐ ๐๐
๐๐ ๐๐ ๐๐ ๐๐๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐
=
+๐๐๐๐๐๐๐ ๐ +๐๐๐๐๐๐๐ ๐ โ๐๐๐๐๐๐๐ ๐ โ๐๐๐๐๐๐๐ ๐
+๐๐๐๐๐๐๐ ๐ +๐๐๐๐๐๐๐ ๐ โ๐๐๐๐๐๐๐ ๐ โ๐๐๐๐๐๐๐ ๐
+๐๐๐๐๐๐๐ ๐ +๐๐๐๐๐๐๐ ๐ โ๐๐๐๐๐๐๐ ๐ โ๐๐๐๐๐๐๐ ๐
+๐๐๐๐๐๐๐ ๐ +๐๐๐๐๐๐๐ ๐ โ๐๐๐๐๐๐๐ ๐ โ๐๐๐๐๐๐๐ ๐
+๐๐๐๐๐๐๐ ๐ +๐๐๐๐๐๐๐ ๐ โ๐๐๐๐๐๐๐ ๐ โ๐๐๐๐๐๐๐ ๐
+๐๐๐๐๐๐๐ ๐ +๐๐๐๐๐๐๐ ๐ โ๐๐๐๐๐๐๐ ๐ โ๐๐๐๐๐๐๐ ๐
โ ๐๐๐ญ
๐๐ ๐๐ ๐๐ ๐๐
๐๐ ๐๐ ๐๐ ๐๐
๐๐ ๐๐ ๐๐ ๐๐๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐
=
+๐๐๐๐ +๐๐๐๐ โ๐๐๐๐ โ๐๐๐๐+๐๐๐๐ +๐๐๐๐ โ๐๐๐๐ โ๐๐๐๐+๐๐๐๐ +๐๐๐๐ โ๐๐๐๐ โ๐๐๐๐+๐๐๐๐ +๐๐๐๐ โ๐๐๐๐ โ๐๐๐๐+๐๐๐๐ +๐๐๐๐ โ๐๐๐๐ โ๐๐๐๐+๐๐๐๐ +๐๐๐๐ โ๐๐๐๐ โ๐๐๐๐
Para cada permutaรงรฃo dos dรญgitos de ๐ a ๐ atribuรญmos um sinal algรฉbrico. Como funciona isso?
Vamos definir uma PERMUTAรรO como uma FUNรรO BIJETORA,a qual chamaremos de ๐. O domรญnio e o contra-domรญnio dessa funรงรฃo sรฃo o conjunto dos naturais de ๐ a ๐.
Escrevemos, por exemplo, para a permutaรงรฃo ๐๐๐๐:
๐ =๐ ๐ ๐ ๐๐ ๐ ๐ ๐
โ
๐ ๐ = ๐๐ ๐ = ๐๐ ๐ = ๐๐ ๐ = ๐
Seja ๐ ๐ a quantidade de pares ordenados ๐; ๐ , com ๐ < ๐, tais que ๐ ๐ > ๐ ๐ .
Se ๐ ๐ for PAR, entรฃo o sinal algรฉbrico รฉ POSITIVO.Se ๐ ๐ for รMPAR, entรฃo o sinal algรฉbrico รฉ NEGATIVO.
Novamente no exemplo da permutaรงรฃo ๐๐๐๐...
๐ =๐ ๐ ๐ ๐๐ ๐ ๐ ๐
Os pares ordenados ๐; ๐ , com ๐ < ๐, tais que ๐ ๐ > ๐ ๐ sรฃo๐, ๐ ; ๐, ๐ ; ๐, ๐ ; ๐, ๐
Note...๐ ๐๐ ๐
;๐ ๐๐ ๐
;๐ ๐๐ ๐
;๐ ๐๐ ๐
Entรฃo ๐ ๐ = ๐, que รฉ par, logo atribuรญmos o sinal POSITIVO ร permutaรงรฃo ๐๐๐๐.
Na prรกtica funciona assim...
ร chamada PERMUTAรรO IDENTIDADE ๐๐๐ atribuรญmos sempreo sinal POSITIVO, pois ๐ ๐ = ๐ para qualquer ๐.
Exemplo de permutaรงรฃo identidade: ๐๐๐ =๐ ๐ ๐ ๐๐ ๐ ๐ ๐
Note que ela representaO PRODUTO DOS ELEMENTOS DA DIAGONAL PRINCIPAL DA MATRIZ!
Para as outras permutaรงรตes (diferentes da identidade) contabilizamos quantas trocas entre vizinhos foram necessรกrias para se chegar naquela permutaรงรฃo, partindo-se da identidade.
Se esse nรบmero de trocas for par, entรฃo o sinal รฉ positivo. Se for รญmpar, negativo.
Ex.: ๐๐๐๐ โ ๐ ๐๐๐ โ ๐๐ ๐๐ โ ๐ ๐๐๐ โ ๐๐๐๐
Quatro trocas, logo ๐๐๐๐ รฉ positivo!
Trocar dois elementos NรO VIZINHOS pode ser usado tambรฉm...
Afinal, se existem ๐ elementos entre os dois que se deseja trocar(๐ = ๐ para vizinhos)trocรก-los diretamente รฉ o mesmo que realizar ๐๐ + ๐ trocas entre vizinhos.
Ex.: 1 troca direta do tipo
๐๐๐๐ ๐ โ ๐๐๐๐๐
equivale a 7 trocas de vizinhos
๐๐๐ ๐๐ โ ๐๐ ๐๐๐ โ ๐ ๐๐๐๐ โ ๐๐๐๐๐ โ ๐ ๐๐๐๐ โ ๐๐ ๐๐๐ โ ๐๐๐ ๐๐ โ ๐๐๐๐๐
รrvore do Tio Linha
+1
+12
+123
+1234-1243+1423-4123 >>> -41235
-132
-1324 +41253+1342 -41523-1432 +45123+4132 -54123
+312
+3124-3142+3412-4312
-21
-213
-2134+2143 >>> +21435-2413 -21453+4213 +21543
+231
+2314 -25143-2341 +52143+2431-4231
-321
-3214+3241-3421+4321
Lema 1) Quebra de Fila em Parcelas.
Se ๐จ, ๐ฉ e ๐ช sรฃo matrizes ๐ ร ๐ tais que:
๐ฅ๐ข๐ง๐ก๐ ๐; ๐จ = ๐ฅ๐ข๐ง๐ก๐ ๐;๐ฉ = ๐ฅ๐ข๐ง๐ก๐ ๐; ๐ช , ๐ฌ๐ ๐ โ ๐๐๐ฅ๐ข๐ง๐ก๐ ๐; ๐จ = ๐ฅ๐ข๐ง๐ก๐ ๐;๐ฉ + ๐ฅ๐ข๐ง๐ก๐ ๐; ๐ช , ๐ฌ๐ ๐ = ๐๐
ou (mutuamente excludente)
๐๐จ๐ฅ๐ฎ๐ง๐ ๐; ๐จ = ๐๐จ๐ฅ๐ฎ๐ง๐ ๐; ๐ฉ = ๐๐จ๐ฅ๐ฎ๐ง๐ ๐; ๐ช , ๐ฌ๐ ๐ โ ๐๐๐๐จ๐ฅ๐ฎ๐ง๐ ๐; ๐จ = ๐๐จ๐ฅ๐ฎ๐ง๐ ๐;๐ฉ + ๐๐จ๐ฅ๐ฎ๐ง๐ ๐; ๐ช , ๐ฌ๐ ๐ = ๐๐
Entรฃo๐๐๐ญ๐จ = ๐๐๐ญ๐ฉ + ๐๐๐ญ ๐ช
Intuiรงรฃo da demonstraรงรฃo (do Lema 1):
๐๐๐ญ
๐๐ + ๐๐ ๐๐ + ๐๐ ๐๐ + ๐๐
๐ ๐ ๐๐ ๐ ๐
=+ ๐๐ + ๐๐ ๐๐ + ๐๐ + ๐๐ ๐๐ + ๐๐ + ๐๐ ๐๐
โ ๐๐ + ๐๐ ๐๐ โ ๐๐ + ๐๐ ๐๐ โ ๐๐ + ๐๐ ๐๐ =
=+๐๐๐๐ + ๐๐๐๐ + ๐๐๐๐โ๐๐๐๐ โ ๐๐๐๐ โ ๐๐๐๐
++๐๐๐๐ + ๐๐๐๐ + ๐๐๐๐โ๐๐๐๐ โ ๐๐๐๐ โ ๐๐๐๐
=
= ๐๐๐ญ
๐๐ ๐๐ ๐๐๐ ๐ ๐๐ ๐ ๐
+ ๐๐๐ญ
๐๐ ๐๐ ๐๐
๐ ๐ ๐๐ ๐ ๐
Ou seja
๐จ =
๐๐ + ๐๐ ๐๐ + ๐๐ ๐๐ + ๐๐
๐ ๐ ๐๐ ๐ ๐
; ๐ฉ =
๐๐ ๐๐ ๐๐๐ ๐ ๐๐ ๐ ๐
; ๐ช =
๐๐ ๐๐ ๐๐
๐ ๐ ๐๐ ๐ ๐
โ ๐๐๐ญ๐จ = ๐๐๐ญ๐ฉ + ๐๐๐ญ ๐ช
Lema 2) Multiplicaรงรฃo de Fila por Escalar.
Seja ๐ โ โ.Se ๐จ e ๐ฉ sรฃo matrizes ๐ ร ๐ tais que
๐ฅ๐ข๐ง๐ก๐ ๐;๐ฉ = ๐ฅ๐ข๐ง๐ก๐ ๐; ๐จ , ๐ฌ๐ ๐ โ ๐๐๐ฅ๐ข๐ง๐ก๐ ๐;๐ฉ = ๐ โ ๐ฅ๐ข๐ง๐ก๐ ๐; ๐จ , ๐ฌ๐ ๐ = ๐๐
ou (mutuamente excludente)
๐๐จ๐ฅ๐ฎ๐ง๐ ๐; ๐ฉ = ๐๐จ๐ฅ๐ฎ๐ง๐ ๐; ๐จ , ๐ฌ๐ ๐ โ ๐๐๐๐จ๐ฅ๐ฎ๐ง๐ ๐;๐ฉ = ๐ โ ๐๐จ๐ฅ๐ฎ๐ง๐ ๐; ๐จ , ๐ฌ๐ ๐ = ๐๐
entรฃo๐๐๐ญ๐ฉ = ๐๐๐๐ญ๐จ
Intuiรงรฃo da demonstraรงรฃo do Lema 2:
๐๐ ๐๐๐ ๐๐
๐๐ ๐๐๐ ๐๐
๐๐ ๐๐๐ ๐๐
=+๐๐๐๐๐๐๐ + ๐๐๐๐๐๐๐ + ๐๐๐๐๐๐๐โ๐๐๐๐๐๐๐ โ ๐๐๐๐๐๐๐ โ ๐๐๐๐๐๐๐
=
= ๐ +๐๐๐๐๐๐ + ๐๐๐๐๐๐ + ๐๐๐๐๐๐ โ ๐๐๐๐๐๐ โ ๐๐๐๐๐๐ โ ๐๐๐๐๐๐ =
= ๐ โ
๐๐ ๐๐ ๐๐
๐๐ ๐๐ ๐๐
๐๐ ๐๐ ๐๐
Ex. do Lema 2:
Sabendo que
๐๐๐ญ๐ ๐ ๐๐ โ๐ ๐๐ โ๐ ๐
= ๐๐
รฉ imediato que
๐๐๐ญ๐ ๐ ๐๐ โ๐ ๐๐ โ๐ ๐
๐ฅ๐ข๐ง๐ก๐ ๐;๐ฉ =๐โ ๐ฅ๐ข๐ง๐ก๐ ๐;๐จ
= ๐๐ ; ๐๐๐ญ๐ โ๐ ๐๐ ๐ ๐๐ ๐ ๐
๐๐จ๐ฅ๐ฎ๐ง๐ ๐;๐ฉ =โ ๐๐จ๐ฅ๐ฎ๐ง๐ ๐;๐จ
= โ๐๐ ; ๐๐ญ๐โฆ
Aplicaรงรฃo do Lema 2: Colocar valores em evidรชncia em uma fila
๐ ๐ ๐๐ โ๐ ๐๐ โ๐ ๐
= ๐ โ ๐ ๐ ๐๐ โ๐ ๐๐ โ๐ ๐
Pelo Lema 2 os papรฉis de โ๐จ e ๐ฉโ sรฃo distribuรญdos como abaixo:
๐ ๐ ๐๐ โ๐ ๐๐ โ๐ ๐
๐ฉ
= ๐ โ ๐ ๐ ๐๐ โ๐ ๐๐ โ๐ ๐
๐จ
Lema 3) Linhas iguais
Se em uma matriz ๐จ nรณs temos, para ๐๐ โ ๐๐:
๐ฅ๐ข๐ง๐ก๐ ๐๐; ๐จ = ๐ฅ๐ข๐ง๐ก๐ ๐๐; ๐จ
entรฃo
๐๐๐ญ ๐จ = ๐
Ex. do Lema 3:
๐๐๐ญ๐ ๐ ๐๐ ๐ ๐
๐ ๐ ๐
= ๐
pois
๐ฅ๐ข๐ง๐ก๐ ๐;๐จ = ๐ฅ๐ข๐ง๐ก๐ ๐; ๐จ
Intuiรงรฃo da demonstraรงรฃo do Lema 3:
Supondo a ๐ฅ๐ข๐ง๐ก๐ ๐;๐จ = ๐ฅ๐ข๐ง๐ก๐ ๐;๐จ , ou seja, ๐๐ = ๐๐...
(elementos de mesma cor sรฃo iguais entre si)
๐๐๐ญ
๐๐ ๐๐ ๐๐ ๐๐
๐๐ ๐๐ ๐๐ ๐๐
๐๐ ๐๐ ๐๐ ๐๐๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐
=
+๐๐๐๐๐๐๐ ๐ +๐๐๐๐๐๐๐ ๐ โ๐๐๐๐๐๐๐ ๐ โ๐๐๐๐๐๐๐ ๐
+๐๐๐๐๐๐๐ ๐ +๐๐๐๐๐๐๐ ๐ โ๐๐๐๐๐๐๐ ๐ โ๐๐๐๐๐๐๐ ๐
+๐๐๐๐๐๐๐ ๐ +๐๐๐๐๐๐๐ ๐ โ๐๐๐๐๐๐๐ ๐ โ๐๐๐๐๐๐๐ ๐
+๐๐๐๐๐๐๐ ๐ +๐๐๐๐๐๐๐ ๐ โ๐๐๐๐๐๐๐ ๐ โ๐๐๐๐๐๐๐ ๐
+๐๐๐๐๐๐๐ ๐ +๐๐๐๐๐๐๐ ๐ โ๐๐๐๐๐๐๐ ๐ โ๐๐๐๐๐๐๐ ๐
+๐๐๐๐๐๐๐ ๐ +๐๐๐๐๐๐๐ ๐ โ๐๐๐๐๐๐๐ ๐ โ๐๐๐๐๐๐๐ ๐
+๐๐๐๐๐๐๐ ๐ +๐๐๐๐๐๐๐ ๐ +๐๐๐๐๐๐๐ ๐ +๐๐๐๐๐๐๐ ๐ +๐๐๐๐๐๐๐ ๐ +๐๐๐๐๐๐๐ ๐
โ๐๐๐๐๐๐๐ ๐ โ๐๐๐๐๐๐๐ ๐ โ๐๐๐๐๐๐๐ ๐ โ๐๐๐๐๐๐๐ ๐ โ๐๐๐๐๐๐๐ ๐ โ๐๐๐๐๐๐๐ ๐
+๐๐๐๐๐๐๐ ๐ +๐๐๐๐๐๐๐ ๐ +๐๐๐๐๐๐๐ ๐ +๐๐๐๐๐๐๐ ๐ +๐๐๐๐๐๐๐ ๐ +๐๐๐๐๐๐๐ ๐
โ๐๐๐๐๐๐๐ ๐ โ๐๐๐๐๐๐๐ ๐ โ๐๐๐๐๐๐๐ ๐ โ๐๐๐๐๐๐๐ ๐ โ๐๐๐๐๐๐๐ ๐ โ๐๐๐๐๐๐๐ ๐
Corolรกrio dos Lemas 2 e 3: Linhas proporcionais
Seja ๐ โ โ. Se em uma matriz ๐จ nรณs temos, para ๐๐ โ ๐๐:
๐ฅ๐ข๐ง๐ก๐ ๐๐; ๐จ = ๐ โ ๐ฅ๐ข๐ง๐ก๐ ๐๐; ๐จ
entรฃo
๐๐๐ญ ๐จ = ๐
Intuiรงรฃo da demonstraรงรฃo do Corolรกrio dos Lemas 2 e 3:
๐ ๐ ๐๐ ๐ ๐๐๐ ๐๐ ๐๐
=๐๐๐ฆ๐ ๐
๐ โ ๐ ๐ ๐๐ ๐ ๐๐ ๐ ๐
=๐๐๐ฆ๐ ๐
๐
Combinaรงรฃo Linear
Dados os vetores ๐๐; ๐๐; โฆ ; ๐๐
e os escalares reais ๐๐; ๐๐; โฆ ; ๐๐ (coeficientes)chamamos de COMBINAรรO LINEAR desses vetoresaquele (vetor) obtido do seguinte modo:
๐ช๐ณ ๐๐; ๐๐; โฆ ; ๐๐ = ๐๐๐๐ + ๐๐๐๐ +โฏ+ ๐๐๐๐
Exemplo:
๐; ๐; ๐ = ๐ โ ๐; ๐; ๐ โ ๐; ๐; ๐
logo ๐; ๐; ๐ รฉ COMBINAรรO LINEAR dos vetores ๐; ๐; ๐ e ๐; ๐; ๐ ,com coeficientes respectivamente iguais a ๐ e โ๐
Teorema de Jacobi (para linhas)
๐จ e ๐ฉ sรฃo matrizes tais que:
Para ๐ โ ๐๐ temos๐ฅ๐ข๐ง๐ก๐ ๐;๐ฉ = ๐ฅ๐ข๐ง๐ก๐ ๐; ๐จ
Para ๐ = ๐๐ temos๐ฅ๐ข๐ง๐ก๐ ๐;๐ฉ = ๐ฅ๐ข๐ง๐ก๐ ๐; ๐จ + ๐ช๐ณ ๐จ๐ฎ๐ญ๐ซ๐๐ฌ ๐ฅ๐ข๐ง๐ก๐๐ฌ ๐๐ ๐จ
Sendo assim, entรฃo๐๐๐ญ๐ฉ = ๐๐๐ญ๐จ
Obs.: Essa combinaรงรฃo linear das outras linhas de ๐จ pode ser QUALQUER,ou seja, nรฃo importa quais sejam os coeficientes escolhidos.
Exemplo do Jacobi (para linhas):
๐๐๐ญ๐ ๐ ๐๐ ๐ ๐๐ ๐ ๐
= ๐๐๐ญ๐ ๐ ๐๐ ๐ ๐๐ ๐ ๐๐
pois๐; ๐; ๐๐ = ๐; ๐; ๐ + ๐; ๐; ๐
๐; ๐; ๐๐๐ฅ๐ข๐ง๐ก๐ ๐;๐ฉ
= ๐; ๐; ๐๐ฅ๐ข๐ง๐ก๐ ๐;๐จ
โ ๐; ๐; ๐ + ๐ โ ๐; ๐; ๐๐๐ ๐จ๐ฎ๐ญ๐ซ๐๐ฌ ๐ฅ๐ข๐ง๐ก๐๐ฌ ๐๐ ๐
Intuiรงรฃo da demonstraรงรฃo (do Jacobi para linhas):
โ= ๐๐๐ญ๐๐ + ๐๐๐ + ๐๐๐ ๐๐ + ๐๐๐ + ๐๐๐ ๐๐ + ๐๐๐ + ๐๐๐
๐๐ ๐๐ ๐๐
๐๐ ๐๐ ๐๐pelo Lema 1 temos que
โ= ๐๐๐ญ
๐๐ ๐๐ ๐๐
๐๐ ๐๐ ๐๐
๐๐ ๐๐ ๐๐
+ ๐๐๐ญ๐๐๐ ๐๐๐ ๐๐๐
๐๐ ๐๐ ๐๐
๐๐ ๐๐ ๐๐
+ ๐๐๐ญ
๐๐๐ ๐๐๐ ๐๐๐๐๐ ๐๐ ๐๐
๐๐ ๐๐ ๐๐
pelo Corolรกrio dos Lemas 2 e 3 temos que
๐๐๐ญ๐๐๐ ๐๐๐ ๐๐๐
๐๐ ๐๐ ๐๐
๐๐ ๐๐ ๐๐
= ๐๐๐ญ
๐๐๐ ๐๐๐ ๐๐๐๐๐ ๐๐ ๐๐
๐๐ ๐๐ ๐๐
= ๐
logo
โ= ๐๐๐ญ
๐๐ ๐๐ ๐๐
๐๐ ๐๐ ๐๐
๐๐ ๐๐ ๐๐
Aplicaรงรฃo do Jacobi: Escalonamento
๐ ๐ ๐๐ ๐ ๐โ๐ ๐ ๐
=๐ณ๐โฒ=๐ณ๐โ๐๐ณ๐ ๐ ๐ ๐
๐ โ๐ โ๐โ๐ ๐ ๐
=๐ณ๐โฒ=๐ณ๐+๐๐ณ๐ ๐ ๐ ๐
๐ โ๐ โ๐๐ ๐ ๐
=
๐ณ๐โฒโฒ=๐ณ๐
โฒ+๐๐๐ณ๐
โฒ ๐ ๐ ๐๐ โ๐ โ๐๐ ๐ โ๐
= ๐
(ITA-1971)Qual o resto da divisรฃo por 3 do determinante
๐ ๐ ๐ โ๐๐ โ ๐ ๐ โ ๐ โ๐ โ ๐ ๐ + ๐๐ ๐ ๐ ๐๐ ๐ ๐ ๐
a) 0 b) 3 c) 7 d) 1 e) n.d.r.a.
Soluรงรฃo (do exercรญcio ITA-71):
๐ ๐ ๐ โ๐๐ โ ๐ ๐ โ ๐ โ๐ โ ๐ ๐ + ๐๐ ๐ ๐ ๐๐ ๐ ๐ ๐
=
๐ ๐ ๐ โ๐โ๐ โ๐ โ๐ ๐๐ ๐ ๐ ๐๐ ๐ ๐ ๐
=๐ ๐ฉ๐๐ฅ๐จ ๐๐จ๐ซ๐จ๐ฅรก๐ซ๐ข๐จ
+
๐ ๐ ๐ โ๐๐ ๐ โ๐ ๐๐ ๐ ๐ ๐๐ ๐ ๐ ๐
๐ ๐ ๐ โ๐๐ โ ๐ ๐ โ ๐ โ๐ โ ๐ ๐ + ๐๐ ๐ ๐ ๐๐ ๐ ๐ ๐
=
๐ ๐ ๐ โ๐๐ ๐ โ๐ ๐๐ ๐ ๐ ๐๐ ๐ ๐ ๐
As รบnicas duas parcelas que sรณ vรฃo pegar elementos nรฃo mรบltiplos de 3 serรฃo:
๐ ๐ ๐ โ๐๐ ๐ โ๐ ๐๐ ๐ ๐ ๐๐ ๐ ๐ ๐
e
๐ ๐ ๐ โ๐๐ ๐ โ๐ ๐๐ ๐ ๐ ๐๐ ๐ ๐ ๐
Todas as outras 22 parcelas terรฃo algum elemento mรบltiplo de 3...
O produto ๐ โ ๐ โ โ๐ โ ๐ = โ๐๐๐ vem de โ๐๐๐๐๐๐๐ ๐, logo entra como +๐๐๐.
O produto ๐ โ ๐ โ โ๐ โ ๐ = โ๐๐๐ vem de +๐๐๐๐๐๐๐ ๐, logo entra como โ๐๐๐.
Como ๐๐๐ โ ๐๐๐ = โ๐๐ รฉ congruente a ๐ no mรณdulo 3, entรฃo o determinante
tambรฉm serรก congruente a ๐ no mรณdulo 3.
ALTERNATIVA E
Obs.:
๐ ๐ ๐ โ๐๐ โ ๐ ๐ โ ๐ โ๐ โ ๐ ๐ + ๐๐ ๐ ๐ ๐๐ ๐ ๐ ๐
= โ๐๐๐ = ๐ โ โ๐๐ + ๐
Determinante da Matriz Transposta
๐๐๐ญ๐จ๐ป โก ๐๐๐ญ๐จ
๐๐๐ญ
๐๐ ๐๐ ๐๐
๐๐ ๐๐ ๐๐
๐๐ ๐๐ ๐๐
= +๐๐๐๐๐๐ + ๐๐๐๐๐๐ + ๐๐๐๐๐๐ โ ๐๐๐๐๐๐ โ ๐๐๐๐๐๐ โ ๐๐๐๐๐๐
๐๐๐ญ
๐๐ ๐๐ ๐๐
๐๐ ๐๐ ๐๐
๐๐ ๐๐ ๐๐
= +๐๐๐๐๐๐๐๐๐
+ ๐๐๐๐๐๐
๐๐๐
+ ๐๐๐๐๐๐
๐๐๐
โ ๐๐๐๐๐๐
๐๐๐
โ ๐๐๐๐๐๐๐๐๐
โ ๐๐๐๐๐๐
๐๐๐
๐๐๐ญ
๐๐ ๐๐ ๐๐ ๐๐
๐๐ ๐๐ ๐๐ ๐๐
๐๐ ๐๐ ๐๐ ๐๐๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐
=
+๐๐๐๐๐๐๐ ๐ +๐๐๐๐๐๐๐ ๐ โ๐๐๐๐๐๐๐ ๐ โ๐๐๐๐๐๐๐ ๐
+๐๐๐๐๐๐๐ ๐ +๐๐๐๐๐๐๐ ๐ โ๐๐๐๐๐๐๐ ๐ โ๐๐๐๐๐๐๐ ๐
+๐๐๐๐๐๐๐ ๐ +๐๐๐๐๐๐๐ ๐ โ๐๐๐๐๐๐๐ ๐ โ๐๐๐๐๐๐๐ ๐
+๐๐๐๐๐๐๐ ๐ +๐๐๐๐๐๐๐ ๐ โ๐๐๐๐๐๐๐ ๐ โ๐๐๐๐๐๐๐ ๐
+๐๐๐๐๐๐๐ ๐ +๐๐๐๐๐๐๐ ๐ โ๐๐๐๐๐๐๐ ๐ โ๐๐๐๐๐๐๐ ๐
+๐๐๐๐๐๐๐ ๐ +๐๐๐๐๐๐๐ ๐ โ๐๐๐๐๐๐๐ ๐ โ๐๐๐๐๐๐๐ ๐
๐๐๐ญ
๐๐ ๐๐ ๐๐ ๐๐
๐๐ ๐๐ ๐๐ ๐๐
๐๐ ๐๐ ๐๐ ๐๐๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐
=
+๐๐๐๐๐๐๐ ๐ +๐๐๐๐๐๐๐ ๐ โ๐๐๐๐๐ ๐๐๐ โ๐๐๐ ๐๐๐๐๐+๐๐๐ ๐๐๐๐๐ +๐ ๐๐๐๐๐๐๐ โ๐๐๐๐๐๐๐ ๐ โ๐๐๐๐๐๐๐ ๐
+๐๐๐๐๐ ๐๐๐ +๐๐๐ ๐๐๐๐๐ โ๐๐๐ ๐๐๐๐๐ โ๐ ๐๐๐๐๐๐๐
+๐๐๐๐๐ ๐๐๐ +๐๐๐ ๐๐๐๐๐ โ๐๐๐๐๐๐๐ ๐ โ๐๐๐๐๐ ๐๐๐
+๐๐๐๐๐๐๐ ๐ +๐๐๐๐๐ ๐๐๐ โ๐ ๐๐๐๐๐๐๐ โ๐ ๐๐๐๐๐๐๐
+๐ ๐๐๐๐๐๐๐ +๐ ๐๐๐๐๐๐๐ โ๐๐๐๐๐ ๐๐๐ โ๐๐๐ ๐๐๐๐๐
๐๐๐ญ
๐๐ ๐๐ ๐๐ ๐๐
๐๐ ๐๐ ๐๐ ๐๐
๐๐ ๐๐ ๐๐ ๐๐๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐
=
+๐๐๐๐๐๐๐ ๐
๐๐๐๐
+๐๐๐๐๐๐๐ ๐
๐๐๐๐
โ๐๐๐๐๐ ๐๐๐๐๐๐๐
โ๐๐๐ ๐๐๐๐๐๐๐๐๐
+๐๐๐ ๐๐๐๐๐๐๐๐๐
+๐ ๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐
โ๐๐๐๐๐๐๐ ๐
๐๐๐๐
โ๐๐๐๐๐๐๐ ๐
๐๐๐๐
+๐๐๐๐๐ ๐๐๐
๐๐๐๐
+๐๐๐ ๐๐๐๐๐
๐๐๐๐
โ๐๐๐ ๐๐๐๐๐
๐๐๐๐
โ๐ ๐๐๐๐๐๐๐
๐๐๐๐
+๐๐๐๐๐ ๐๐๐๐๐๐๐
+๐๐๐ ๐๐๐๐๐
๐๐๐๐
โ๐๐๐๐๐๐๐ ๐
๐๐๐๐
โ๐๐๐๐๐ ๐๐๐
๐๐๐๐
+๐๐๐๐๐๐๐ ๐
๐๐๐๐
+๐๐๐๐๐ ๐๐๐
๐๐๐๐
โ๐ ๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐
โ๐ ๐๐๐๐๐๐๐
๐๐๐๐
+๐ ๐๐๐๐๐๐๐
๐๐๐๐
+๐ ๐๐๐๐๐๐๐
๐๐๐๐
โ๐๐๐๐๐ ๐๐๐
๐๐๐๐
โ๐๐๐ ๐๐๐๐๐
๐๐๐๐
Permutaรงรฃo Inversa:
๐ =๐ ๐ ๐ ๐๐ ๐ ๐ ๐
โ
๐ ๐ = ๐๐ ๐ = ๐๐ ๐ = ๐๐ ๐ = ๐
โ ๐โ๐ =๐ ๐ ๐ ๐๐ ๐ ๐ ๐
โ
๐โ๐ ๐ = ๐
๐โ๐ ๐ = ๐
๐โ๐ ๐ = ๐
๐โ๐ ๐ = ๐
A permutaรงรฃo inversa sempre tem o mesmo sinal da permutaรงรฃo original!
Por isso
o Lema 3,o Corolรกrio eo Teorema de Jacobi,
que foram enunciados para LINHAS,
tambรฉm funcionam para COLUNAS!
Espero que tenham gostado!
facebook.com/tiolinha
instagram.com/tiolinha
facebook.com/elitecuritiba
cursoelite.com.br