Determinacion del coeficiente de viscosidad del aceite SAE-40 por el

metodo de Stokes

Tosi, Damian. Lozano N., Fabricio S.Fısica Experimental II

Licenciatura en Fısica - UNR

Argentina

17 de diciembre de 2014

Resumen

En este experimento se midio la viscosidad del aceite SAE 40, valiendonos del metodo de Stokes, atemperaturas especıficas ubicadas en un rango de 25 a 70◦C. Para dicho proposito se soltaron esferas dediferentes tamanos en un tubo lleno de dicho aceite y se midieron las velocidades a lo largo del tubo.La viscosidad mostro un comportamiento decreciente con la temperatura, entre (0, 224 ± 0, 005)Poise y(0, 036±0, 005)Poise para el rango analizado. A partir de estas mediciones, las caracterısticas de la esferasy la densidad del aceite se obtuvo la siguiente expresion para la viscosidad en funcion de la temperatura:

η = (4, 71969K

T − 280, 768K+ 0, 0417)Poise

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1. Introduccion Teorica

La viscosidad de un lıquido o un gas se entiende en general como su resistencia a fluir libremente,que tiene que ver con la friccion interna del fluido mismo. En los lıquidos, la viscosidad esta directamenterelacionada con las dificultades que se les presentan a sus moleculas para desplazarse unas sobre otras;mayores cuanto mas intensas sean las fuerzas intermoleculares y cuanto mas complejas sean las ramifica-ciones de las posibles cadenas en la estructura de las moleculas. Aquı se desprende que la viscosidad de lamayorıa de los lıquidos disminuye al aumentar la temperatura, ya que en este caso, las fuerzas atractivasdisminuyen en intensidad y las moleculas pueden fluir mas facilmente unas sobre otras. Por otro lado, sise tiene un cuerpo en movimiento a traves de un fluido viscoso, el mismo sera desacelerado por una fuerzaviscosa (de friccion con el fluido), de intensidad proporcional a la viscosidad del medio.

El valor de la fuerza de roce viscoso para objetos esfericos pequenos los cuales se mueven a bajasvelocidades puede calcularse. Dicha fuerza viscosa es proporcional al producto de la velocidad de la esferapor su radio y la viscosidad del lıquido, siendo la constante de proporcionalidad el numero 6π, esto es:

Fv = 6π · v · η · r (1)

Donde, η es el coeficiente de viscosidad del lıquido, r radio de la esfera, v la velocidad de la esfera.Cuando dicho cuerpo cae verticalmente en el seno de un fluido, las fuerzas que actuan sobre el son las depeso (P ), producida por la accion gravitatoria sobre el cuerpo, empuje (E), por estar inmerso en el fluidoy la fuerza viscosa (Fv), debido a la viscosidad del mismo. Cuando estas fuerzas alcanzan el equilibrio, sepuede escribir:

E − P = Fv (2)

El cuerpo comienza a caer sin ser acelerado y adquiere una velocidad constante, la cual se denominavelocidad lımite.

Podemos escribir:

P =4

3πr3 · ρe · g (3)

E =4

3πr3 · ρl · g (4)

Donde ρe es la densidad de la esfera, ρl la densidad del liquido y g la aceleracion de la gravedad.Reemplazando las ecuaciones 1, 3 y 4 en 2 y despejando ν de la misma, se obtiene una expresion de

la viscosidad.

η =d2 · (ρe − ρl) · g

18 · v1(5)

Esta expresion es valida para la caıda de esferas en el seno de un lıquido de extension indefinida.Correccion de Lademburg: La influencia de las paredes del tubo da lugar a una disminucion de la

velocidad lımite de caıda. Si llamamos vl a la velocidad medida experimentalmente, la velocidad corregidade este efecto es:

Vlim = (1 + 2,3 · rR

)vl (6)

donde R es el radio interno del tubo y r el radio de la bolita.Por lo tanto la formula (5) se modificarıa a:

ηc =d2(ρl − ρe)g

18(1 + 2,3 · rR

)vl=

η

(1 + 2,3 · rR

)(7)

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Numero de Reynolds: Es un numero adimensional, el cual da una medida del esfuerzo inercial sobreel esfuerzo viscoso. El mismo es adimensional y se define de la siguiente manera:

Re = 2 · ηlvlrη

(8)

La ley descrita por la formula (7) es valida para flujo reptante, en el cual las lıneas de flujo se adaptana la forma del objeto sumergido y no forma zonas de vacıo donde se generan turbulencias que afectan lacaıda (Ver Fig. 1). El valor de Reynold para estas caracterısticas es menor a 1.

Figura 1: Cuerpo que cumple la ley de Stoke

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2. Procedimiento Experimental

2.1. Materiales

Bolitas de diferentes diametros.

Micrometro (Apreciacion: 0,01 mm. - Rango: 0-25 mm.)

Calibre (Apreciacion: 0,05 mm. - Rango: 0 - 30 cm.)

Balanza de Presicion (Apreciacion: 0,00001 g. - Rango: 0 - 140 g.)

Termometros (Apreciacion: 0,1 ◦C - Rango: -10 - 110 ◦C).

Tubo de vidrio (Diametro interno: 44, 35± 0, 05mm - Alto: 1m aprox.)

Aceite SAE 40.

Cinta calentadora de resistencia autorregulada.

Autotransformador de salida variable.

Cronometro digital

Imanes

2.2. Procedimiento

Inicialmente se midieron con el micrometro los diametros de las esferas y con la balanza se hallaron lasmasas de las mismas. A partir de estos valores se calcularon las densidades de cada una de las esferas. Serealizaron marcas en el tubo de aceite cada cinco centımetros a partir del nivel del aceite, con una reglaprimero y luego con un calibre vigesimal para obtener mas precision, se verifico que el tubo se encontrasealineado con la superficie sobre la cual estaba apoyado, y que de esta manera la trayectoria sea paralela alas paredes del tubo. Se soltaron cada una de las esferas desde la parte superior del tubo, con la ayuda deuna pinza, al nivel del aceite para evitar que caigan con una velocidad inicial y aproximadamente desde elcentro del tubo para evitar colisiones contra las paredes del mismo. Liberadas las esferas, se cronometro sucaıda considerando el tiempo que tardaba en recorrer dos marcas contiguas a lo largo del tubo, cuandola velocidad de las bolitas era pequena, cuando la velocidad era mayor y por ende dificultaba la toma dedatos, se tomaba el tiempo cada dos marcas (10cm).

Se repitio la operatoria calentando el tubo con la malla. Se verifico que la temperatura del tubo erauniforme con dos termometros, ubicados a diferentes profundidades. Para las densidades del aceite adistintas temperaturas se consideraron valores hallados en tablas como se detalla en la bibliografıa[3].

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3. Resultados

Para una mayor agilidad en el tratamientro de los datos las bolas fueron nombradas por un dıa de lasemana, seguido de una referencia a su diametro. De las mediciones del diametro cada una de las bolas,y el peso de todas las de una misma clase, se obtuvieron los siguientes promedios.

Tabla 1: Diametro, masa y densidad de cada esfera.• Domingo Lunes Martes Miercoles Jueves

RosaJuevesBlanco

Viernes

Diametro(±0, 01mm)

0,78 1,00 1,58 1,98 2,36 2,50 3,00

Masa(±1 · 10−5g)

0,00204 0,00409 0,01633 0,0317 0,05481 0,05438 0,10977

Densidad (±2 ·10−5 g

mm3 )0,00822 0,00780 0,00790 0,00781 0,00796 0,00796 0,00781

Se prosiguio lanzando las bolas dentro del tubo lleno de aceite, y tomando el tiempo que demorabaen ir de una marca a la siguiente, a partir de estos, se calculo la velocidad promedio de cada perıodo, y seobservo que era constante dentro de nuestra apreciacion, es decir, al momento de comenzar las medicionesla bola ya habia alcanzado su velocidad final. Se tomaron 5 rondas de mediciones para las bolas que tenıanuna velocidad mayor a 60mm/s aproximadamente, en cada medicion habia 7 intervalos ((100± 1)mm) y3 rondas de mediciones para bolas cuya velocidad era menor a esta, en donde en cada medicion habia 15intervalos ((50± 1)mm). A partir de los valores obtenidos en cada medicion se obtuvieron los siguientespromedios:

Tabla 2: Velocidades de las esferas a diferentes temperaturasT[K] 298 ± 0, 5 308 ± 1 318 ± 2 329 ± 2 335 ± 3 343 ± 3Dıa Velocidad [mm/s]

Domingo [d078] 10, 4 ± 0, 1 17, 7 ± 0, 5 35, 7 ± 0, 2 44, 8 ± 0, 5 51, 8 ± 0, 9 65, 8 ± 0, 7Lunes [d100] 16, 5 ± 0, 2 28, 2 ± 0, 5 53, 3 ± 0, 4 72 ± 1 82 ± 1 97 ± 1Martes [d158] 39, 6 ± 0, 4 66, 0 ± 0, 5 107 ± 2 152 ± 3 64 ± 1(*) 190 ± 2

Miercoles [d198] 60, 3 ± 0, 07 99 ± 1 146 ± 4 177 ± 4 44 ± 1(*) •Jueves R. [d236] 85 ± 1 131 ± 2 215 ± 10(*) 214 ± 4 • •Jueves B. [d250] 92 ± 1 145 ± 3 226 ± 4 237 ± 4 • •Viernes [d300] 126 ± 4 192 ± 9 283 ± 3 • • •

(*) La incoherencia de estas mediciones sugiere errores groseros en las mediciones, lo cual es esperableya que se dificultaba la toma de datos debido a la velocidad de las bolas. O bien puede deberse a que enestas condiciones el modelo utilizado deja de ser valido.

Estas velocidades fueron graficadas, en donde se obsevo que la correlacion era lineal, y entonces serealizo una regresion lineal (Ver Fig. 2).

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Figura 2: Velocidad lımite en funcion de la temperatura, para diferentes radios

Sindo las rectas de aproximacion de la forma v = A · T +B,las siguientes:

Tabla 3: Rectas de ajuste, velocidad vs temperatura para cada bolita• A B r

Domingo 0, 853± 0, 03 289, 3± 0, 7 0,99767

Lunes 0, 56± 0, 02 288, 9± 0, 7 0.99876

Martes 0, 30± 0, 01 286, 7± 0, 07 0,99884

Miercoles 0, 26± 0, 01 282± 1 0,98995

Jueves Rosa 0, 24± 0, 01 278± 1 0,98994

Jueves Blanco 0, 18± 0, 01 281± 1 0,98994

Viernes 0, 13± 0, 01 282± 2 0,99875

Y r el coeficiente de correlacion lineal.

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La densidad del aceite fue calculada haciando una regresion lineal a partir de 5 puntos de referencia[3].(Ver fig. 3)

Figura 3: Densidad del aceite en funcion de la temperatura

Siendo la recta de aproximacion ρ = (−0, 49±0, 03)T +(1016±5) y rρ = 0, 992 el factor de correlacionlineal. A partir de la formula (5) se calculo la viscosidad para cada bolita y cada temperatura, en primerainstancia se grafico la viscosidad para cada bolita y cada temperatura, donde se observo que esta crecıaen funcion del radio, por lo cual se realizo la correccion de Landemburg. Se observo el rango en donde laviscosidad no era afectada por la esfera para cada temperatura, y se promediaron los valores donde nofue perturbada (Ver Fig. 4).

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Figura 4: Izquierda: Viscosidades para cada bolita sin correcion. Derecha: Viscosidades para cada bolita concorrecion.

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Se observo que el intervalo en donde la viscosidad no era afeactada por la esfera decrecıa con elaumento de la temperatura.

Tabla 3: Viscosidad obtenida a diferentes temperaturasTemperatura [K] Viscosidad [Poise] Incerteza

298, 0± 0, 5 0,224 0,005

308± 2 0,139 0,008

318± 2 0,08 0,01

329± 2 0,05 0,01

335± 3 0,045 0,005

343± 3 0,036 0,005

Graficando dichos valores se obtuvo la siguiente dispersion:

Figura 5: Variacion de la viscocidad en funcion de la temperatura con ajuste no linal

La cual fue ajustada por la siguiente homografica (Ver Apendice - Densidad homografica) por elsoftware QtiPlot.

η =−17, 5(1/K)T + 6891

419(1/K)T − 117642Poise = (

4, 71969K

T − 280, 768K+ 0, 0417)Poise

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4. Conclusion

En esta experiencia se obtuvo el coeficiente de viscosidad del aceite SAE-40 a distintas temperat-uras, para dicho proposito se utilizaron esferas de distintos diametros en un tubo que contenıa el aceitemencionado, a temperaturas entre 25,5 y 70◦C.

Lo que se observo inicialmente es que la viscosidad del fluido disminuıa al aumentar su temperatura.Otra conclusion de interes fue que la ecuacion (5) solamente es valida si el tubo es de diametro infinito,

esto se observa principalmente en las bolitas pequenas, donde el radio de estas es despreciable frente aldel tubo, para las demas se debio realizar la correccion de Landemburg, ya que los valores tendıan a sermayores, sin embargo, para las esferas de mayor radios, aun realizando dicha correccion los valores seguiansiendo significativamente mayores, por lo cual se considero que estaban fuera del modelo utilizado y nofueron utilizados para el calculo de la viscosidad. Esto puede deberse a que con una velocidad y diametromayor, es mas probable que se generen regimenes turbulentos en la caıda de la esfera.

Consideramos que entre las fuentes de error de nuestras mediciones se encuentran el tiempo de reaccionprincipalmente, el error de paralaje y el calculo en la densidad del aceite para el mismo se propone utilizarun picnometro para que la medicion sea mas confiable y no depender de datos ajenos.

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5. Apendice

5.1. Mediciones-Velocidades

Velocidades medidas para diferentes bolitas a diferentes temperaturas.

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5.2. Calculo de errores

Para el diametro de las bolitas se tomo como incerteza la apreciacion del micrometro, ya que ladispersion en las mediciones tomadas era practicamente nula. La incerteza de la masa de cada bolita fueigual a la apreciacion de la balanza aunque se pesaron muchas bolitas y esta deberıa ser menor, perodecidimos tomar esta y ser mas conservadores. Como incerteza de la densidad se utilizo:

4ρ = ρ · (4mm

+ 34(d

d))

Se tomo como incerteza de la velocidad, la desviacion estandar del promedio de todas las mediciones.Para el calculo del error de la viscosidad se utilizo la siguiente ecuacion:

4η = η · (24dd

+4ρl −4ρeρl − ρe

+4vlvl

)

Incerteza en la velocidad media:

4vm = 4vl· |1

2,4d/D| + | vl

1 + 2,4(d/D)2| · 4 d+ | vl + 2,4d/D2

(1 + 2,4d/D)2| · 4D

Y finalmente, como incerteza en la viscosidad con correccion de Landemburg es:

4ηc = 4η· | 1

1 + 2,4(d/D)| +4 d· | η2,4d/D

(1 + 2,4d/D)2| +4D· | η2,4d/D2

(1 + 2,4d/D)2|

5.3. Viscosidad Homografica

En vista de que la velocidad aumenta linealmente con la temperatura en el rango estudiado (290K-350K), la densidad del lıquido desciende con esta de la misma manera, la densidad (y radio) de la bola sepuede considerar invariante en este rango de temperaturas, de las ecuaciones (5) y (7), podemos proponerque la viscosidad desciende homograficamente con la temperatura, para las esferas que se comportaronacorde al modelo utilizado y este rando de temperetaturas, siendo la ecuacion de esta:

η =d2g

18· −M · T +N

A · T +B=

K

T − J +W (9)

Donde M es la pendiente de la recta de la densidad, N la densidad de la bolita menos la constantede la recta de la densidad del fluıdo, A y B la pendiente y ordenada al origen la de recta de la velocidadrespectivamente.

Referencias

[1] Worsnop, B. L. y Flint, H. T., Curso Superior de Fısica Practica”, EUDEBA, (1965)

[2] Landau L. D. y Liftshitz, E. M., ”Mecanica de Fluidos”, Reverte, (1991)

[3] Puig, J. Capiglioni, M., ”Determinacion del coeficiente de viscosidad del aceite”, Experimental II,(2014)

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