Deter Min Antes

M AT E M T I C AProPrIEdAdES E TEorEMAS SoBrE dETErMInAnTES

Ensino Mdio

M A T

Aldeir Antnio Neto Rocha Mestre em Educao pela Universidade Federal de Juiz de Fora Professor da Educao Bsica por 15 anos Professor do Ensino Superior por 8 anos Professor da Ps-Graduao por 6 anos

CrdIToS

Adriana Batista Gonalves Alex Alves Bastos daniela Pereira de Melo denise de Barros Guimares Gabrielle Cunha Vieira Hlio Martins Joana Paula de Souza Jnia Kelle Teles Martins Lilian Ferreira de Souza Luciana Marinho da Silva Luciano Pereira Marins Marcos Eustquio Gomes Marcelo Correa de Paula Mnica Alves de Faria Priscilla Alves do nascimento raquel Barcelos e Melo roberta Mara de Souza Lima Tatiane Aline do Carmo e Melo Valria Cardoso Aline Paula de oliveira douglas nunes Brando Jnia Kelle Teles Martins Luana Flix da Silva Magali Luciene dos Santos Miriam Carla Martins Cornlia Cristina S. Brando Gustavo Celso de Magalhes Aldeir Antonio neto rocha Aparecida Costa de Almeida Lydston rodrigues de Carvalho Marinette de Ccia Freitas raquel Cristina dos Santos Faria rogrio Fernandes Greco design Ltda. Studio Link Idea Info design Letra por letra Ltda. e S Letra Idea Info design Xxxxxxxx

Gerncia Editorial

Produo editorial e grfica

Pesquisa iconogrfica e autorizao de Textos Gerncia TcnicoPedaggicarua Paraba, 330 17. andar 30130-140 Belo Horizonte MG Tel.: (31) 2126-0853 www.eeducacional.com.br dados internacionais de Catalogao na Publicao (CIP) (Cmara Brasileira do Livro, SP, Brasil)

Coordenao Pedaggica Capa Projeto Grfico Editorao eletrnica reviso de Lngua e Estilo Ilustraes Impresso e acabamento

Ficha Catalogrficarocha, Aldeir Antnio neto Matemtica : propriedades e teoremas sobre determinantes: ensino mdio / Aldeir Antnio neto rocha. Belo Horizonte: Editora Educacional, 2010. 40p. Ilust. ISBn 978-85-7932-158-0 1. Matemtica (Ensino mdio) I. Ttulo. 09-09386

Cdd-510.7

Todos os direitos reservados. reproduo Proibida. Art. 184 do Cdigo Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

SUMrIo

M A T

Propriedades e teoremas sobre os determinantesUm pouco de histria .............................................................................. 6 o Teorema de Laplace ............................................................................. 7 A regra de Chi ....................................................................................11 A Matriz de Vandermonde ........................................................................14 As propriedades dos determinantes ............................................................16 1. Fila nula .......................................................................................16 2. Troca de filas paralelas .....................................................................17 3. Filas paralelas iguais ........................................................................18 4. Multiplicao de uma fila ou coluna por uma constante ..............................19 5. Filas proporcionais ...........................................................................20 6. Multiplicao de uma matriz por uma constante .......................................21 7. determinante da matriz transposta .......................................................21 8. Teorema de Binet ............................................................................23 9. Teorema de Jacobi ...........................................................................24 10. determinante de uma matriz triangular ................................................25 11. determinante de uma matriz inversa ...................................................26 12. Teorema da combinao linear ...........................................................27 As propriedades e a regra de Chi ..............................................................29 A regra de Cramer ................................................................................. 30 Questes de reviso e aprofundamento ........................................................35

ConHEA SEU LIVro

IntroduoPara que vou estudar este assunto? Onde ele se aplica? Como ele se relaciona com outros tpicos da Matemtica e com outras Cincias? na introduo de cada captulo, propomos uma situao-problema, que voc vai retomar mais tarde. Em seguida, descrevemos sinteticamente o contedo a ser abordado, listamos suas aplicaes mais imediatas e seus aspectos histricos.

RefletindoPor que isso acontece? Como isso se explica? O que ocorreria se esse detalhe mudasse? Permeando todo o texto, voc vai encontrar perguntas e questionamentos sobre a teoria apresentada. Com base em suas reflexes, voc vai produzir, individualmente ou em grupo, pequenos textos matemticos.

InvestigandoComo isso funciona? Ser que isso sempre ocorre? Que hipteses essa regularidade sugere? Posso inferir regras gerais a respeito? Por meio da experimentao, da investigao e da pesquisa, voc vai analisar situaes novas, fazer conjecturas, formular hipteses, test-las e, com base em suas concluses, construir novos conceitos e estabelecer leis gerais relacionadas ao contedo. Finalmente, vai sintetizar suas concluses, por escrito.

Raciocnio lgico e numricoPor que os nmeros obedecem a essas regularidades? Posso estabelecer uma lei geral? Qual a lgica desse raciocnio? Por meio dele, a que concluses posso chegar? Propomos, nesta seo, vrios problemas de lgica e de raciocnio numrico, explorando relaes lgicas, alm de regularidades e curiosidades que envolvem, principalmente, os nmeros inteiros.

Questes resolvidasQuestes resolvidas aparecem toda vez que h necessidade de manter situaes de aplicao de um contedo, de uma regra ou de uma frmula.

Questes propostasEsta seo aparece a todo momento, sempre que um pequeno segmento se encerra. o objetivo que voc explore conceitos, resolva problemas prticos e explore situaes novas sobre o contedo trabalhado.

Questes de reviso e aprofundamentonesta seo, a maioria das questes so extradas de exames vestibulares e das provas do Exame nacional do Ensino Mdio (Enem). uma oportunidade para voc se familiarizar com as tendncias dos concursos vestibulares de todo o Brasil, alm de possibilitar um aprofundamento do contedo, em questes que apresentam um nvel de dificuldade crescente.

PROPRIEDADES E TEOREMAS SOBRE OS DETERMINANTESChris 73. FOL

Com origem em meados do sculo XVII, envolvida em processos para resoluo de sistemas lineares de equao, a teoria dos determinantes firmou-se como potencial ferramenta para a resoluo de problemas em vrias reas, como a robtica e a economia, por exemplo. Estudaremos algumas propriedades, teoremas e regras especiais que foram resultantes de pesquisas de muitos estudiosos e que se apresentam como auxiliares na sistematizao de algumas expresses matemticas complicadas. nesse contexto, de percepo dessas propriedades e teoremas como ferramentas, que foi elaborada esta unidade que deve ser trabalhada aps o estudo de matrizes e determinantes.

Um pouco de histriaP R O P R I E D A D E S E T E O R E M A S S O B R E O S D E T E R M I N A N T E S

H alguns sculos, os estudiosos se debruam sobre estudos que proporcionam o desenvolvimento de tcnicas e de ferramentas para resoluo de problemas. No caso dos determinantes, eles j estavam presentes, ainda que de forma intuitiva, entre os chineses, em estudos muito antigos sobre os sistemas de equaes lineares. Apenas em 1683 o japons Seki Kowa sistematizou essa noo atravs do estudo de polinmios e do estudo de sistemas lineares. Nesse caso, a aplicao considerava especialmente os sistemas com duas equaes e duas incgnitas, por exemplo: Se aw + bz = c dw + ez = f Ento, w= c.eb.f a . e b. d a.fc.d a . e b. d e

Nesse processo histrico, vrios outros matemticos e estudiosos deram suas contribuies para o assunto, como Chi, Laplace, Sarrus e Lagrange.

Refletindo1. O texto Um pouco de histria mostra um sistema que apresenta duas incgnitas com seus respectivos coeficientes. Leia o problema a seguir, que alis muito comum, escreva-o na forma de sistema e resolva-os, utilizando as frmulas sugeridas no texto. Na garagem de um edifcio, onde as crianas guardam triciclos e bicicletas, h, no total, 6 desses veculos. Se o total de rodas 14, quantos so os triciclos e quantas so as bicicletas?

z=

M A T6

No ocidente, cerca de 10 anos depois, um trabalho de Leibniz envolvendo sistemas lineares com trs equaes e trs incgnitas, a aplicao dos determinantes comea a aparecer de forma mais clara e definitiva. O avano para sistemas lineares de n equaes a n incgnitas chegou no sculo XVIII, com trabalhos independentes do escocs Colin Mac Laurin e do Suo Gabriel Cramer. Este ltimo teve seu nome marcado pela conhecida regra de Cramer para resolver sistemas de equaes. A primeira forma de abordagem da teoria dos determinantes independente do estudo dos sistemas lineares coube ao Francs Alexandre Vandermonde, em 1771. O processo de sistematizao e sintetizao do termo determinante ocorre j em 1812, com outro francs: Augustin Louis Cauchy. Em um artigo, ele melhora muito a notao empregada. Alm de Cauchy, a teoria contempornea dos determinantes tem outro grande colaborador: o alemo Carl G.J. Jacobi. Acreditando muito no potencial dessa teoria para resolver problemas de diversas reas, ele contribuiu para que ela chegasse a um modo muito mais simples, elementar.

Raciocnio lgico e numrico1. Voc se lembra como fazia para resolver esses problemas antes de conhecer essa frmula? Resolva-o da forma como est mais acostumado e depois, compare com os resultados obtidos anteriormente.

Pois , neste incio de conversa, voc pde perceber o quanto os matemticos e estudiosos se dedicam a buscar ferramentas para melhorar nosso convvio com a Matemtica. Veremos, nesta unidade, exatamente algumas regras, teoremas e propriedades sobre os determinantes de matrizes, que podem ser instrumentos muito teis na resoluo de problemas. Partimos, assim, do pressuposto de que j estudaram matrizes e tiveram noes de determinantes. Ao final deste tema, retomaremos esse mesmo problema das bicicletas e dos triciclos, para verificarmos outra maneira de resolv-lo, com base em nossos estudos. At l. Observao: Ressaltamos que os temas so tratados aqui como ferramentas para o estudo de sistemas e, posteriormente, outras questes sero pertinentes ao Ensino Superior. No constituem, assim, contedos de aplicao por si s.

D22 = 20 0. Logo, D22 = 20. Agora, o elemento a21. Eliminando a segunda linha e a primeira coluna, temos: 5 1 3 10 Logo, D21 = 53P R O P R I E D A D E S E

D21 = 50 (3)

Questo propostaQ1. Considere a matriz:

1 1 0

3 1 1

5 2 4

T E O R E M A S S O B R E O S D E T E R M I N A N T E S

O Teorema de LaplaceChamado tambm de teorema fundamental, ele permite o clculo de determinantes de quaisquer ordens, partindo-se de uma linha ou coluna da matriz. Para compreend-lo, importante que, antes, estudemos o conceito de cofator.a)

Determine: D11

CofatorDenomina-se cofator do elemento aij de A, o nmero real Aij = ( 1 ) i + j . Dij . Dij o determinante da matriz que se obtm de A aps a eliminao da linha i e da coluna j. Antes de aprofundar e exemplificar o conceito de cofator, vamos a alguns exemplos de como encontramos Dij. Seja a matriz A: 2 1 0 5 6 1 3 4 10c) D21 b) D32

Escolhemos o elemento da matriz. Considere a22 = 6. Eliminando a segunda linha e a segunda coluna, obtm-se: 2 0 3 10

M A T7

d)P R O P R I E D A D E S E T E O R E M A S S O B R E O S D E T E R M I N A N T E S

D22

Questo propostaQ2. Calcule os cofatores dos elementos da primeira linha da matriz

L=

2 4 1

1 5 3

3 2 2

A11e) D13

A12

Vamos agora ao desenvolvimento do cofator.

Questo resolvidaR1. Como dissemos, o cofator do elemento aij o nmero real Aij = ( 1 )i + j . Dij. Assim, para o elemento a11 da matriz A

A13

2 3 2

4 0 8

5 2 1

Temos:

2 3 2

4 0 8

5 2 1 D11 = 16

Aps a compreenso do clculo do cofator, podemos enunciar e estudar o Teorema de Laplace: Dada uma matriz B, de ordem maior ou igual a dois, o valor do seu determinante um nmero real calculado a partir da soma dos produtos dos elementos de uma linha ou coluna qualquer por seus respectivos cofatores. Se considerarmos uma coluna j, qualquer, podemos escrever: det B = b1jB1j + b2jB2j + b3jB3j + ... + bnjBnj

D11 = 0 16

Calculando o cofator:

M A T8

A11 = ( 1) . (16) A11 = 1 . (16) A11 = 161+1

Como a22 e a32 so nulos, trabalhamos apenas com a12:

Questes resolvidasR2. Vamos calcular o determinante da matriz K, utilizando o Teorema de Laplace. K= 2 7 9 1 0 0 1 5 4

Calculando Dij: D12 = 28 45 = 17 Calculando o cofator: K12 = ( 1) K12 = 171+2

. (17)

P R O P R I E D A D E S E T E O R E M A S S O B R E O S D E T E R M I N A N T E S

Inicialmente, vamos escolher a segunda linha. 2 7 9 1 0 0 1 5 4

Calculando o determinante: det K = 1. 17 det K = 17 Viu como fica muito mais simples? Agora, vejamos um exemplo com uma matriz um pouco maior. R4. Calcular o determinante da matriz A.

Primeiro, calculamos Dij: D21 = 4 D22 = 17 D23 = 9 Agora, os cofatores: K21 = ( 1) K22 = ( 1) K23 = ( 1) K21 = 4 K22 = 17 K23 = 9 Aplicando o teorema: det K = 7.(4) + 0.17 + 5.9 det K = 28 + 0 + 45 det K = 172+1 2+2 2+3

. (4) . (17) . (9)

A=

0 1 3 2

0 2 4 0

0 1 6 4

3 4 1 1

Aqui, o ideal escolher a linha 1, em razo da quantidade de zeros.

0 1 3 2

0 2 4 0

0 1 6 4

3 4 1 1

Voc pode perceber que, quando o elemento zero, no haver necessidade de calcular o cofator, j que este ser sempre multiplicado pelo elemento nulo. Assim, a dica sempre escolher a fila que possuir o maior nmero de zeros. exatamente nesses casos que o uso desse Teorema ser bastante vantajoso. Mais adiante, veremos que possvel criar esses zeros, se eles no existirem.R3. No caso do exemplo anterior, poderamos ter utilizado a segunda coluna: 2 7 9 1 0 0 1 5 4

Como os trs primeiros nmeros so nulos, trabalhamos apenas com o 3, a14. A matriz que sobra, aps a eliminao da 1. linha e da 4. coluna, de 3 x 3. Portanto, podemos utilizar a regra de Sarrus para calcular o Dij.

det =

1 3 2

2 4 0

1 6 4

= 24

M A T9

Calculando o cofator:P R O P R I E D A D E S E T E O R E M A S S O B R E O S D E T E R M I N A N T E S

d)

M=

1 1 1 1

1 1 1 1

1 0 1 1

1 1 1 1

K14 = ( 1) K12 = 24

1+4

. (24)

Calculando o determinante: det K = 3. 24 det K = 72

Questes propostasQ3. Calcular os determinantes das matrizes, aplicando o teorema de Laplace. a) A= 2 1 0 3 3 1 4 2 4

Q4. Resolva as equaes: a) 1 4 1 2 0 1 3 1 X 1 1 1 0 1 1 1

=8

b)

X=

3 1 5

0 4 3

0 2 3

b)3 0 0 0 1 X 0 0 2 1 X 0 7 2 3 1

= 243

c)

B=

2 4 1 0

3 2 5 3

1 1 2 2

0 3 1 6

M A T10

Resoluo:

Raciocnio lgico e numrico2. Explique por que melhor escolhermos filas que contenham zeros, quando vamos aplicar o teorema de Laplace. D um exemplo.

Normalmente, empregaramos a Regra de Sarrus para esse clculo. Todavia, para efeito de fracionarmos o estudo, vamos reduzi-la segunda ordem.

A=

1 2 2

3 8 5

2 3 2

Suprimindo a coluna e a linha que contm o elemento 1, ficamos apenas com os nmeros restantes. 8 5 3 2


Continuando a aplicao da regra de Chi, iremos subtrair agora de cada nmero da nova matriz o produto dos dois elementos que foram retirados, na coluna e na linha desse elemento que restou.

A Regra de ChiQuando existe dificuldade em calcular o determinante de uma matriz em razo de seu tamanho, podemos nos valer de um dispositivo que permite abaixar sua ordem. Ele conhecido como regra de Chi e, atravs dele, podemos, ento, calcular o determinante de uma matriz de ordem n, utilizando uma matriz de ordem n-1. A sequncia de procedimentos a seguinte: Primeiro, devemos eliminar da matriz A a linha e a coluna que contm um elemento aij = 1. Em segundo lugar, de cada elemento restante, devemos subtrair o produto dos dois elementos que foram retirados, na coluna e na linha desse elemento que restou. Obtemos, assim, uma nova matriz B, com uma ordem abaixo. Por fim, o determinante da matriz da matriz A ser igual a: ( 1) i+j . det B. i+ j, referindo-se posio do elemento 1 que foi escolhido. Vamos, passo a passo, acompanhar alguns exemplos.

8 (2 . 3) 5 (2 . 3)

3 (2 . 2) 2 ( 2 . 2)

Assim, podemos obter a nova matriz B: 14 1 7 2

Cujo determinante : det B = 14 . (2) (7 . (1)) det B = 21 O determinante da matriz inicial A ser dado por: det A = (1)i+j . det B. Ento, det A = (1)2 . (21) det A = 21

Lembramos que o elemento 1 escolhido no precisa necessariamente estar na posio a11. Esse posicionamento pode, apenas, facilitar o processo.

Questes resolvidasR5. Inicialmente, trabalharemos no clculo determinante de uma matriz A, 3 x 3. do

R6. Vejamos uma matriz onde ele est na posio a12:

A=

2 5 3

1 2 2

4 1 4

M A T11

Resoluo:P R O P R I E D A D E S E T E O R E M A S S O B R E O S D E T E R M I N A N T E S

R8. Utilize a regra de Chi para calcular o determinante da matriz A. 1 (2 . 4) 4 ( 2 . 4)

B=

5 (2 . 2) 3 ( 2 . 2)

A=

2 5 3

6 0 0

4 2 3

det A = 1 . 61 det A = 61 Agora, outro exemplo, com uma matriz 4 x 4. R7. Calcular o determinante da matriz A, atravs da regra de Chi.

Como no existe o elemento 1, vamos dividir a primeira linha por 2 e obt-lo. 1 5 3 3 0 0 2 2 3

A=

1 3 2 0

0 4 1 4

1 3 1 2

2 1 3 3

Assim, a nova matriz B ser: 0 (5 . 3) 0 (3 . 3) det B = 45 (72) det B = 27 det A = 1. (27) det A = 27 Agora, multiplicamos por 2, que foi o nmero utilizado para fazer a diviso no incio: det A = 2 . (27) det A = 54 2 (5 . 2) 3 (3 . 2)

Resoluo: Utilizando a Regra de Chi, para transform-la em 3 x 3, temos: 4 (3.0) 1 (2.0) 4 (0.0) 3 (3.1) 1 (2.1) 2 (0.1) 1 (3.(2)) 3 (2.(2)) 3 (0.(2))

A nova matriz B ser, ento: 4 1 4 6 3 2 5 7 3

Questes propostasAqui, podemos abaixar novamente a ordem, ou calcular o det B pela regra de Sarrus. Optaremos por essa ltima: Q5. Calcule os determinantes, utilizando a regra de Chi. 4 1 4 6 3 2 5 7 3 4 1 4 6 3 2 a) A= 3 1 7 4 2 4 6 3 0

det B = 36 + 168 10 (60 + 56 + 18) det B = 12 det A = 1 . (12) det A = 12

M A T12

Se a matriz em questo no trouxer elemento 1, podemos dividir uma fila qualquer por algum de seus nmeros, a fim de obt-lo. Nesse caso, imprescindvel efetuar a multiplicao do resultado por esse mesmo fator.

b)

B=

2 0 0 0

3 1 2 1

1 1 3 2

4 2 1 0

Q6. Resolva a equao: 1 X 1 1 1 X2

5 0 0 0

1 1 1 1

2 1

=0


c)

C=

1 0 0 0

0 1 0 1

0 1 0 1

3 4 3 4

Investigando1. Sabendo que a.b.c.d 0, mostre, pela regra de Chi, que a igualdade apresentada a seguir verdadeira: a a a a a b b b a b c c a b c d = a (b a) (c b) (d c)

d)

D=

1 1 2 1

1 3 5 1

3 3 3 1

1 2 3 1

Uma dica interessante: Divida a primeira linha por a e, aps aplicar a regra de Chi, multiplique o determinante por a. Como os elementos da primeira linha sero sempre iguais entre si, repita esse procedimento nos passos seguintes (sempre dividindo a primeira linha pelo seu elemento e, depois, multiplicando o determinante).

M A T13

A Matriz de VandermondeP R O P R I E D A D E S E T E O R E M A S S O B R E O S D E T E R M I N A N T E S

Alexandre-Thophile Vandermonde nasceu em Paris, em 1735. Dedicou parte de sua vida msica e, somente aos 35 anos, tornou-se matemtico. Suas pesquisas comearam a aparecer quando foi eleito para a Academia Francesa de Cincias. Suas maiores contribuies no campo dos determinantes referemse 2. e 4. propriedades. O termo Matriz de Vandermonde refere-se a um tipo particular de matriz que, entre outras caractersticas, possui uma peculiaridade no clculo do seu determinante. Essa denominao foi, provavelmente, uma homenagem feita a ele. Chamamos de matriz de Vandermonde, ou matriz das potncias, toda matriz quadrada do tipo:

E assim acontece em todas as outras. Por isso, tomamos a segunda linha como a dos elementos caractersticos da matriz. E exatamente com base neles que podemos fazer o clculo do determinante de uma maneira mais facilitada. Utilizando a matriz B a seguir, vamos primeiramente calcular seu determinante pela Regra de Sarrus: 1 2 4 B=1 2 4

B=

1 2 41 2 4

1 4 161 4 16 1 2 4 1 2 4

a10 a11 a12 . . .

a20 a21 a22 . . .

a30 a31 a32 . . .

... ... ... . . . ...

an0 an1 an2 . . . ann-1 det B = 32 + 16 + (8) (32 +16 +8) det B = 40 (8) det B = 48 Para fazer o clculo do determinante de uma matriz de Vandermonde, um outro procedimento pode ser utilizado. Ele definido pela seguinte proposio geral: det A = (a2 a1) (a3 a2) (a3 a1) ...(an an -1) Seja a matriz B, do exemplo anterior: B= 1 2 4 Temos que: a1 = 2; a2 = 2; a3 = 4 Logo: det B = (2 (2)) (4 2) (4 (2)) det B = 4 . 2 . 6 det B = 48 1 2 4 1 4 16

a1n-1 a2n-1 a3n-1

Percebemos, na primeira observao, que a primeira linha ser sempre formada por algarismos 1, j que o termo estar elevado a zero. Nessas matrizes, as colunas so compostas por potncias de mesma base. Elas podem variar de 0 at n-1 e constituem, assim, uma progresso geomtrica que tem o 1 como primeiro algarismo. Os elementos da segunda linha da matriz tero sempre o expoente 1 e so denominados elementos caractersticos da matriz. Exemplo de matriz de Vandermonde: A= 1 2 4 1 1 1 1 3 9

8 1 27 Note que, na primeira coluna: (2)0 (2)1 (2)2 (2)3 = = = = 1 2 4 8

M A T14

Questes resolvidasR9. Calcule o determinante da matriz Z a seguir. Z= 1 2 4 8 1 3 9 27 1 5 25 125 1 7 49 343 3.

Raciocnio lgico e numricoVoc percebeu que o dispositivo utilizado para encontrar o determinante de uma matriz de Vandermonde pode ser utilizado para resolver problemas que envolvem essas matrizes. Descubra, ento, o conjunto-soluo da seguinte equao: 1 1 1 1 1 2 4 8 1 X X2 X3 1 5 25 125

=0


Trabalhamos com os elementos caractersticos: Z= 1 2 4 8 1 3 9 27 1 5 25 125 1 7 49 343

E aplicamos o dispositivo que, resumidamente, pode ser representado assim:

2

3

5

7

det Z = 2 . 4 . 5 . 2 . 3 . 1 det Z = 240 R10. Resolva a equao: 1 2 4 1 X X2 1 3 9 =0

Investigando2. Agora, vamos propor a voc que retome, em um verdadeiro movimento de investigao, os estudos das propriedades dos logaritmos e calcule o determinante da seguinte matriz: 1 log 5 (log 5)2

(3 x) (3 ( 2)) (x ( 2)) = 0 (x + 2) (3 x) (3 + 2 ) = 0 (x + 2) (3 x) = 0 (x + 2) = 0, logo x = 2 Ou (3 x) = 0, logo x = 3 Assim, S = ( 3, 2)

1 log 50 (log 50)2

1 log 500 (log 500)2

M A T15


Questes propostasQ7. Resolva a equao: 1 1 1 1 1 2 4 8 1 X X2

As propriedades dos determinantesA prpria definio, o teorema de Laplace e outras regras que j conhecemos so suficientes para se calcular qualquer determinante. No entanto, diversos processos podem ser simplificados quando conhecemos e aplicamos alguma das 12 propriedades que apresentamos na sequncia. Apesar de no serem instrumentos indispensveis, no h dvida de que costumam facilitar muito nossa vida. Vamos a elas.

1 3 9 27

=0

X3

1. Propriedade Fila nulaComeamos com um exemplo: Seja a matriz A.

A=

3 2 1

1 1 2

0 0 0

Pela Regra de Sarrus, seu determinante dado por: det A = (3.1.0) + (1.0.1) + (0.2.2) ((1.1.0) + ( 0.2.3) + (0.2.1) Note que, em todos os conjuntos, existe a multiplicao por zero. Essa uma regra para todos os clculos que envolvem a situao. Assim, podemos enunciar a 1. propriedade: Sempre que todos os elementos de uma coluna ou linha de uma matriz quadrada forem nulos, seu determinante ser igual a zero. Vejamos alguns exemplos demonstrativos: 1. 0 0 35 1/3

Q8. Calcule o determinante: 1 1 1 1 x y z t x2 y2 z2 t2 x3 y3 z3 t3

det = 0 . 1/3 ( 0 . 35) det = 02.

1 2 0

4 5 0

9 19 0

M A T16

1 2 0

4 5 0

9 19 0

1 2 0

4 5 0

B=

5 2 2

1 3 3 1 3 3 1 1 3

1 1 3 5 2 2 1 3 3P R O P R I E D A D E S E T E O R E M A S S O B R E O S D E T E R M I N A N T E S

Note que, em todos os procedimentos de multiplicao, o zero aparece, tornando o determinante nulo. Vamos confirmar essa propriedade atravs do Teorema de Laplace. Seja a matriz genrica A. A= a d g b e h 0 0 0

5 2 2

det B = 45 + 2 + 6 ( 6 + 15 + 6 ) det B = 53 27 det B = 26 Se trocarmos entre si a posio de duas filas paralelas (linhas ou colunas) de uma matriz A, obteremos uma nova matriz B, de forma que det B = det A Vamos justificar essa propriedade atravs de uma matriz genrica M: a b e h c f i c f i a d g b e h

Aplicando a ideia de cofator e o teorema de Laplace, pela coluna de zeros, teremos: det A = 0 . A13 + 0 . A23 + 0 . A33 det A = 0

2. Propriedade Troca de filas paralelasVamos trabalhar com a matriz A: 2 5 2 3 1 3 1 1 3

M=

d g

a d g

b e h

A=

det M = aei + bfg + cdh (bdi + afh + ceg) Vamos promover a troca da primeira com a terceira coluna e calcular o determinante da nova matriz N: N= c f i c f i b e h b e h a d g a d g c f i b e h

Calculando seu determinante: 2 5 2 3 1 3 1 1 3 2 5 2 3 1 3

det A = 6 + 6 + 15 (45 + 6 + 2) det A = 27 53 det A = 26 Agora, calcularemos o determinante de uma matriz B, obtida pela troca da primeira com a segunda linha da matriz A:

det N = ceg + bdi + afh (bfg + cdh + aei) Conclumos, assim, que det M = det N

M A T17

Vejamos outro caso, agora com linhas iguais:P R O P R I E D A D E S E T E O R E M A S S O B R E O S D E T E R M I N A N T E S

Refletindo

A=

1 4 1

1 5 -1

2 3 2

2.

Demonstre essa propriedade, partindo da matriz A:

q k

t p

Calculando o determinante: 1 4 1 1 5 1 2 3 2 1 4 1 1 5 1

det A = 10 3 8 ( 8 3 +1 0) det A = 0

A verificao dessa propriedade pode ser feita com base na propriedade anterior, da seguinte forma: Consideremos a matriz M : 2 M= 1 3 2 1 3 4 1 5

3. Propriedade Filas paralelas iguaisConsideremos a matriz M: 2 M= 1 3 5 2 1 2 1 3

E, agora, a matriz N, obtida pela troca da primeira com a segunda coluna: 2 N= 1 3 2 1 3 4 1 5

Vamos calcular seu determinante: 2 1 3 5 2 1 2 1 3 2 1 3 5 2 1 Pela segunda propriedade, teramos que det M = det N. Entretanto, como a primeira e a segunda colunas so iguais, M = N. Assim, det M = det N e det M = det N det M = det N Cancelando det N com det N, teremos que: 2 det A = 0 det = 0

det m = 12 + 15 2 (15 2 +12) det m = 0 O determinante de uma matriz ser igual a zero sempre que ela apresentar duas filas paralelas (linhas ou colunas) iguais.

M A T18

Refletindo

Agora, vamos construir uma matriz B mediante a multiplicao da primeira linha de A por 2, repetindo as demais filas. B= 4 1 1 2 2 3 6 4 3

3.

Atravs de clculos, utilize uma matriz que voc ir construir para confirmar a propriedade.

E calculamos seu determinante: 4 1 1 2 2 3 6 4 3 4 1 1 2 2 3


det B = 24 + 8 18 (6 + 48 + 12) det B = 14 54 det B = 40 Podemos notar que det B = 2 . det A. Conclumos que: Se multiplicarmos uma fila de uma matriz por uma constante que seja um nmero real, o determinante dessa matriz tambm ficar multiplicado por esse nmero. Vamos confirmar essa propriedade atravs de uma matriz geral, utilizando o Teorema de Laplace. M= 2 A= 1 1 1 2 3 3 4 3 Vamos obter a matriz N, a partir de M, multiplicando a segunda linha pela constante K: N= x kq u y kz t w kp e x q u y z t w p e

4. Propriedade Multiplicao de uma linha ou coluna por uma constanteVamos ao exemplo: Consideremos a matriz A:

E o clculo do seu determinante: 2 1 1 1 2 3 3 4 3 2 1 1 1 2 3

det A = 12 + 4 9 (3 +24 + 6) det A = 7 27 det A = 20

Utilizando o teorema de Laplace em cada matriz, vamos somar os produtos de cada elemento da segunda linha pelos seus cofatores: det M = q . M21 + z . M22 + p. M23

M A T19

det N = kq . M21 + kz . M22 + kp. M23P R O P R I E D A D E S E T E O R E M A S S O B R E O S D E T E R M I N A N T E S

Pela quarta propriedade, temos que: det M = k . x kx q j kj p w kw v

det N = k (q . M21 + z . M22 + p. M23) det N = k. det M

5. Propriedade Filas proporcionaisNovamente, vamos partir de um exemplo: A= 2 5 2 3 3 9 1 1 3

J pela propriedade trs, temos que: x x q j j p w w v

=0

Assim, conclumos que det M = k . 0 3 3 9 det M = 0

O det A ser dado por: 2 5 2 3 3 9 1 1 3 2 5 2

det A = 18 + 6 + 45 (45 + 18 + 6) det A = 0 Qual seria a particularidade desse exemplo? Se observarmos, podemos notar que a segunda coluna da matriz A o triplo da terceira coluna. Podemos, ento, enunciar a 5 propriedade: Se uma matriz tem duas filas paralelas (linhas ou colunas) que so proporcionais entre si, o seu determinante ser nulo. Vamos comprovar a propriedade: Seja a matriz M: x M= kx q j kj p w kw v4.

RefletindoEstabelea uma relao entre a terceira e a quinta propriedades. Registre seus raciocnios em um texto e utilize exemplos.

M A T20

Neste caso, a segunda linha fruto da multiplicao da primeira pela constante k. Assim, so proporcionais.

6 Propriedade Multiplicao de uma matriz por uma constanteSeja a matriz A:4.

Raciocnio lgico e numricoUtilizando uma matriz genrica, faa no espao a seguir uma demonstrao de que essa uma aplicao da quarta propriedade.

1 A= 0 2

1 3 1

2 1 4

O seu determinante ser: 1 0 2 1 3 1 2 1 4 1 0 2 1 3 1


det A = 12 2 + 0 (0 + 1 + 12) det A = 3 Agora, calculamos o det da matriz B obtida mediante a multiplicao de A por 2. B= 2 0 4 2 6 2 4 2 8

O seu determinante ser: 2 0 4 2 6 2 4 2 8 2 0 4 2 6 2

7 Propriedade Determinante da matriz transpostaConsideremos a matriz A e sua transposta At A= 1 2 0 At = 1 0 1 0 3 1 2 3 1 1 1 2 0 1 2

det B = 96 16 + 0 ( 0 + 8 + 96) det B = 24 O determinante da matriz B equivale ao produto do determinante da matriz A pela constante 2 elevado terceira potncia (visto que a matriz de terceira ordem). Assim, enunciamos: O determinante de uma matriz A de ordem n ficar multiplicado por kn sempre que a matriz A tiver sido multiplicada pelo nmero real k.

Calculamos os determinantes de ambas: 1 2 0 0 3 1 1 1 2 1 2 0 0 3 1

M A T21

det A = 6 + 0 2 ( 0 + 1 + 0)P R O P R I E D A D E S E T E O R E M A S S O B R E O S D E T E R M I N A N T E S

Questes propostasQ9. Prove a identidade a seguir, sem desenvolver o clculo dos determinantes. Utilize apenas as propriedades. bc ac ab a b c a2 b2 c2 = 1 1 1 a2 b2 c2 a3 b3 c3

det A = 3

1 0 1t

2 3 1

0 1 2

1 0 1

2 3 1

det A = 6 2 + 0 ( 0 + 1 + 0) det At = 3 O determinante de uma matriz de ordem n igual ao determinante de sua transposta.

Refletindo5. Construa uma matriz genrica e comprove essa propriedade atravs de uma demonstrao.

Q10. A exemplo da questo anterior, prove a igualdade, sem desenvolver os determinantes. wy xw xy x y w 1 1 1 = 1 1 1 x2 y2 2

x y w

w

M A T22

Vamos, agora, fazer uma pausa na apresentao de novas propriedades e resolver algumas questes que envolvem algumas dessas sete j estudadas.

Q11. Sem desenvolver o determinante, prove que det A = 0.

c)

x w

y zP R O P R I E D A D E S E T E O R E M A S S O B R E

A=

4 12 20 28

3 11 12 23

5 15 25 35

9 27 51 64

d)

4x 4w

4y 4z

Q12. Utilizando as propriedades dos determinantes, resolva cada caso, sem desenvolv-lo. Considere, para esta questo, que det A = 5. A= x w a) 5x w 5y z y z

8. Propriedade Teorema de BinetConsideremos as matrizes A e B: A=2 0 1 1

O S D E T E R M I N A N T E S

B=

2 4

1 1

E seus respectivos determinantes: det A = 2 0 det A = 2b) w x z y

det B = 2 4 det B = 2 Agora, consideremos a matriz A.B:8 4 3 1

M A T23


E seu determinante: det A.B = 8 12 det A.B = 4 Comparando os resultados, temos que: det A . det B = 2 . (2) det A . det B = 4 Ou seja: det A . det B = det A . B Assim, podemos enunciar esta propriedade, que conhecida com o Teorema de Binet:

9. Propriedade Teorema de JacobiPartindo da matriz A: 1 2 1 0 1 2 2 1 3

Cujo determinante det A = 3 + 0 + 8 ( 2 2 + 0) det A = 5 Construmos uma matriz B, tal que: a) Multiplicamos a primeira linha por 2 e encontramos os seguintes resultados: 2 b) 0 4

O determinante da matriz produto AB ser igual ao produto dos determinantes das matrizes A e B (det A . det B), se ambas forem quadradas e de mesma ordem. Nessa propriedade, utilizamos apenas exemplos com matrizes de ordem 2, visto que as demonstraes assumem um grau de complexidade que foge aos objetivos deste segmento de ensino.

Somamos segunda linha e temos uma nova matriz: B= 1 0 1 0 1 2 2 5 3

Refletindo6. Demonstre que a igualdade det ( X Y) = det X . det Y verdadeira. x= a c y= d f b d e g

Cujo determinante det B = -3 + 0 + 0 (2 10 + 0) det B = 5 Com base nessa igualdade de resultados, podemos concluir a nona propriedade, conhecida como o Teorema de Jacobi: Se multiplicarmos todos os elementos de uma fila da matriz A por uma constante e somarmos os resultados dessa multiplicao aos elementos correspondentes de outra fila (paralela), formando uma matriz B, os determinantes de A e B sero iguais.

Investigando

M A T24

3.

Considerando a constante k e a matriz X a seguir, demonstre o Teorema de Jacobi.

X=

a b c

d e f

g h i

No caso da matriz A:1 0 5 2P R O P R I E D A D E S E T E O R E M A S S O B R E O S D E T E R M I N A N T E S

1.2=2

No caso da matriz B: 1 2 1 0 1 3 0 0 4

1 . ( 1) . 4 = 4

Assim, generalizando, podemos enunciar que: O determinante de uma matriz triangular igual ao produto dos elementos da diagonal principal.

10. Propriedade Determinante de uma matriz triangularVamos calcular o determinante de duas matrizes, ambas triangulares. A=1 0 5 2

Daqui, ainda podemos estender essa propriedade para as matrizes diagonais e para as matrizes identidade.

Refletindo7. A justificativa dessa propriedade pode ser feita utilizando-se o Teorema de Laplace. Construa uma matriz genrica e faa a demonstrao.

det A = 2 0 det A = 2 B=

1 2 1

0 1 3

0 0 4

det B = 4 + 0 + 0 (0 + 0 + 0) det B = 4 Se analisarmos os clculos dos determinantes dessas matrizes, poderemos perceber que os valores correspondem, exclusivamente, ao produto do elementos da diagonal principal.

M A T25

8.P R O P R I E D A D E S E T E O R E M A S S O B R E O S D E T E R M I N A N T E S

Voc consegue justific-la de outra forma? Faa seus registros no espao a seguir e discuta com professores e colegas.

B-1 =

0 1

1/2 1/2

Seus determinantes: det B = 0 (2) det B = 2 det B-1 = 0 ( 1/2) det B-1 = 1/2 O que podemos perceber de regular nos dois casos? Se uma matriz M quadrada e invertvel, vale a igualdade: det M-1 . det M = 1

11. Propriedade Determinante de uma matriz inversaConsideremos duas matrizes inversas: A= 2 1 e A -1 = 3 1 5 3 5 25.

Raciocnio lgico e numrico

possvel que uma matriz, cujo determinante seja igual a zero, seja invertvel? Explique sua resposta com um texto e, em seguida, exemplifique.

Seus determinantes so: det A = 6 5 det A = 1 det A1 = 6 5 det A1 = 1 Antes das generalizaes, vejamos outro exemplo:

M A T26

B=

1 2

1 0

Vejamos, agora, determinantes:

o

clculo

de

seusP R O P R I E D A D E S E

det A = 18 + 45 + 80 ( 25 + 24 + 108 ) det A = 0 det B = 3 10 + 60 ( 4 + 25 + 18) det B = 0 Assim, ento, enunciamos combinao linear: o Teorema da

12. Propriedade Teorema da combinao linearVamos estudar a composio da matriz A: 2 A= 4 5 3 1 4 5 3 9

O determinante de uma matriz M, quadrada, de ordem n, ser igual a zero, se M tiver uma linha ou coluna que combinao linear de outras linhas ou colunas.


Raciocnio lgico e numrico6. No espao a seguir, crie quatro matrizes que tenham uma fila que seja resultado de uma combinao linear de outras duas paralelas a ela. Em seguida, encontre o determinante de cada uma delas.

Uma anlise cuidadosa nos permite ver que a terceira coluna formada pela combinao: 1. coluna + 2. coluna 2 + 3 1 4 + 1 5 + 4 5 3 9

a)

Outro caso com a matriz B: B= 1 3 1 2 1 5 4 5 3b)

Nesse caso, a terceira linha formada pela combinao: 1. linha 2. linha 2.1 3 1 2.2 1 5 2.4 5 3

M A T27

c)P R O P R I E D A D E S E T E O R E M A S S O B R E O S D E T E R M I N A N T E S

b)

1 3 2 3

2 2 4 1

3 6 8 2

5 1 10 3

d)

Refletindo9. Como voc pode perceber, a resoluo de questes como a da Q 13 envolve uma combinao de duas estratgias. Elabore um texto explicando como podemos perceber que uma matriz tem potencial, reunindo requisitos para que possamos aplicar os teoremas de Jacobi e Laplace, a fim de facilitar o clculo de determinante. Em seguida, crie um exemplo e resolva-o.

Questes propostasQ13. Calcule os determinantes da matrizes: a) 1 2 1 2 2 4 1 1 1 2 2 1 2 3 3 3

M A T28

As propriedades e a regra de ChiComo j foi comentado anteriormente, a aplicao da regra de Chi fica facilitada se o elemento da matriz A, a11 vale 1. Ainda que uma determinada matriz no apresente essa situao, em alguns casos, possvel realizar alteraes que nos levam a ela. Vamos analisar duas propriedades que podem nos ajudar.

Utilizando a mesma matriz A do exemplo anterior, vamos optar por escolher a terceira coluna para fazer a troca. 2 A= 5 3 1 2 2 3 1 4

A troca de filas paralelas e a regra de ChiConsideremos a matriz A: 2 A= 5 3 1 2 2 3 1 4

Primeiramente, trocamos a terceira coluna com a primeira: 3 1 4 1 2 2 2 5 3


E, em seguida, trocamos a segunda linha com a primeira e obtemos a matriz C: 1 c= 3 4 2 1 2 5 2 3

Sem dvida, poderamos utilizar a regra de Chi nessa matriz. No entanto, se preferirmos fazer com que o elemento a11 seja o nmero 1, podemos, neste caso, faz-lo com apenas uma troca de filas paralelas (2. propriedade):

Agora, o clculo do determinante: B= 2 5 3 1 2 2 3 1 4 det C = 3 + 16 30 (20 4 + 18) det C = 45 Note que, agora, o determinante da nova matriz foi igual ao da matriz original, porque fizemos duas trocas. O sinal voltou ao que era antes.

B=

1 2 2

2 5 3

3 1 4

det A = 16 30 + 3 (18 4 + 20) det A = 45 det B = 20 4 + 18 (30 + 3 + 16) det B = 45 Observamos que, como efetuamos apenas uma troca de filas, o determinante que encontramos tem o sinal contrrio. Podemos deduzir facilmente que basta invert-lo. Agora, em outros casos, podemos ter a necessidade de fazer duas trocas. Assim, o determinante j sairia com o sinal correto.

O teorema de Jacobi e a regra de ChiAtravs da aplicao do Teorema de Jacobi tambm podemos criar o 1 em uma matriz e fazer com fique na posio a 11. Vejamos o exemplo a seguir. M= 3 2 1 2 3 2 0 6 3

O det M = 27 + 12 + 0 (0 + 36 + 12) det M = 9

M A T29


Agora aplicamos o Teorema de Jacobi, fazendo operaes: a) b) Multiplicamos a segunda linha por 1 Somamos os resultados aos elementos correspondentes na primeira linha. Obtemos a matriz N: 3 2 . 1 1 2 + 3 2 1 1 2 1 2 3 . 12

0 6 . 1 3

3 + 2 6+ 0 32

6 3 6 6 3

1 32

det N = 9 6 24 (18 + 12 6) det N = 9 Temos, assim, duas matrizes com determinantes equivalentes e alcanamos o objetivo que era o de colocar o 1 na posio a11, facilitando uma possvel aplicao da regra de Chi.

A Regra de CramerQuesto resolvida

Refletindo10. Construa uma matriz em que o nmero 1 no esteja em posio estratgica e na qual a regra de Chi possa ser aplicada. Explique o desenvolvimento.

R11. Voc se lembra do problema apresentado no incio da unidade? Agora o momento de retom-lo. Na garagem de um edifcio, onde as crianas guardam triciclos e bicicletas, h no total 6 desses veculos. Se o total de rodas 14, quantos so os triciclos e quantas so as bicicletas? O nosso objetivo principal ser resolv-lo de uma forma diferente. Comeamos assim: x+y=6 3x + 2y = 14 (J que cada triciclo tem 3 rodas e cada bicicleta tem 2.) Se considerarmos o sistema simblico: a 1x + b 1y = c 1

M A T30

a 2x + b 2y = c 2 Podemos transform-lo em matriz incompleta: a1 a2 e c1 c2 so considerados termos independentes. Assim, temos: 1 3 1 2 b1 b2

D= 24 2 1 (3 + 4 + 4)= 10

1 0 2

1 2 1

1 1 3

1 0 2

1 2 1

Dx= 6 +5+0 (0110) = 10

4 1 2

1 0 5

1 1 3

4 1 2

1 0 5


Dy= 0 2 + 5 (3 20 +0) = 20

4 1 2

1 2 1

1 0 5

4 1 2

1 2 1

Cujo determinante D 2 3 = 1 Fazendo as substituies para x: 6 14 1 2

Dz= 40 + 0 1 (5 + 0 + 4)= 30 Assim, x=1 y=2 z=3

Temos o determinante Dx = 2 Fazendo as substituies para y: 1 3 6 14

Questes propostasQ14. Em cada caso, utilize a Regra de Cramer para resolver os sistemas. a) 2x y + z = 5 x + 3y z = 4 3x + 2y + 3z = 7

Temos o determinante Dy = 4 Assim, teremos a soluo para o sistema, fazendo: x = Dx/D e y = Dy/D Ou seja: x=2 e y=4 Existem outras formas de resolver o sistema, por exemplo, por escalonamento. No entanto, para sistemas menores, n X n, onde D diferente de zero, essa estratgia baseada na Regra de Cramer adequada. Por meio da prxima questo, podemos perceber que o raciocnio se aplica, por exemplo, a um sistema de trs equaes a trs incgnitas. R12. Vamos resolver o sistema formado pelas equaes: 4x y z = 1 x 2y + z = 0 2x + y 3z = 5

4 1 2

1 2 1

1 1 3

4 1 2

-1 -2 1

M A T31

b)P R O P R I E D A D E S E T E O R E M A S S O B R E O S D E T E R M I N A N T E S

x 5y = 0 3x + 5y = 20

d)

(p + q) x + (p q) y = 2 pq (p + m) x + (p m) y = 2 pm

c)

x + 2y z = 0 xy+z=5 3x y + 2z = 13

e)

2x y = 1 3x + 5y = 21

M A T32

f)

2x y 2x+y = = 1 3z + 2 z + 1

x+y+z=0


Ressaltamos que a Regra de Cramer apenas mais uma das maneiras de se resolver um sistema. E nem sempre a melhor escolha. Em outro momento, voc estudar especificamente os sistemas lineares e conhecer outras boas estratgias de resoluo.

No entanto, leia o texto a seguir, escrito pelo professor Elon Lages Lima. Ele discute os diferentes mtodos para resoluo de sistemas lineares. Leia-o atentamente e reflita sobre o tema.

Sobre o Ensino de Sistema Lineares: custo operacional

Tradicionalmente, a Regra de Cramer o mtodo consagrado para a resoluo dos sistemas lineares. Vejamos se essa tradio se justifica. Examinaremos, inicialmente, os trs mtodos acima sob o ponto de vista do que chamaremos custo operacional. Admitindo que as operaes de adio e subtrao tenham custo insignificante, vejamos quantas multiplicaes e divises so necessrias para aplicar cada um desses mtodos. a) Custo de escalonamento So necessrias (4 + 4) + (4 + 4) = 16 multiplicaes para eliminar x, 3 + 3 = 6 multiplicaes para eliminar y, uma diviso para obter z, uma multiplicao e uma diviso para achar y e duas multiplicaes mais uma diviso para encontrar x. Ao todo, usam-se 28 operaes de multiplicao ou diviso para resolver um sistema linear 3 por 3 pelo mtodo

do escalonamento. b) Custo matricial Tem-se, primeiro, de determinar a inversa da matriz A. Desenvolvendo segundo uma linha ou coluna, tem-se nove multiplicaes para achar = d etA. Em seguida, vm os nove determinantes menores Ay. Trs deles j foram calculados na expanso de . Sobram seis, cada um dos quais requer duas multiplicaes. At agora so 9 + 12= 21 multiplicaes. Depois divide-se cada Ay por : so 9 divises. Assim, o clculo de A1 tem custo 21 + 9 = 30. Finalmente, o produto A 1. D requer mais nove multiplicaes. Custo total: 30 + 9 = 39. Como veremos a seguir, esse o mesmo custo da Regra de Cramer,o que natural, pois, como j observamos, a expresso X = A 1. D coincide com a Regra de Cramer.

M A T33


c) Custo da Regra de Cramer Para resolver um sistema 3 por 3 pela Regra de Cramer, devem-se calcular 4 determinantes. Usando a expanso segundo linhas ou colunas, cada um desses determinantes requer nove multiplicaes. Custo parcial: 4 x 9= 36. Em seguida,vm 3 divises. Custo total da Regra de Cramer = 36 + 3 = 39. Concluso: Para sistemas 3 por 3, o mtodo do escalonamento tem custo 28, enquanto o mtodo matricial e a Regra de Cramer tm ambos custo 39. Convm observar que o caso 3 por 3, que estamos analisando, no tpico. Em muitas aplicaes da Matemtica encontram-se sistemas de equaes lineares com dezenas, centenas ou mesmo com milhares de incgnitas. Quando o nmero de incgnitas cresce, a diferena de custo entre a Regra de Cramer (ou do mtodo matricial) e o mtodo do escalonamento cresce muito rapidamente, atingindo cifras quase inacreditveis.

Para estabelecer um confronto entre dois mtodos, imaginemos um computador capaz de efetuar um milho de multiplicaes ou divises por segundo. Usando o mtodo do escalonamento, esse computador resolveria em 2,5 milsimos de segundo. Pela Regra de Cramer, ele levaria 1 ano, 1 ms e 16 dias. Consideremos agora um sistema de 20 equaes com 20 incgnitas. Nosso computador o resolveria por escalonamento em 6 milsimos de segundo. Pela Regra de Cramer, ele levaria 2 milhes, 754 mil e 140 anos para resolv-lo! Isso mostra claramente como a Regra de Cramer inadequada para sistemas de grande porte. Para encerrar as comparaes, observemos que, no computador que estamos considerando, um sistema de mil equaes com mil incgnitas seria resolvido em 11 minutos pelo mtodo do escalonamento. O tempo necessrio para resolv-lo pela Regra de Cramer simplesmente inimaginvel.

Refletindo11. Qual sua opinio sobre o tema? Como voc compara os custos operacionais? 4.

InvestigandoO artigo foi escrito h mais de uma dcada. Como estaro as velocidades desses clculos nos dias atuais? Faa uma pesquisa em livros e na Internet, registre aqui as principais descobertas e compartilhe-as com a turma. No se esquea de sempre citar as fontes.

M A T34

Questes de reviso e aprofundamentoEsta seo traz questes de vestibulares de todo o pas. O desenvolvimento delas servir para aprimorar seus conhecimentos. Sempre que necessrio, recorra ao estudo de contedos j vistos e converse com seu professor. Aproveite os espaos para realizar alguns clculos que se fizerem necessrios. 1. (UFBA) Sabendo-se que o determinante da matriz inversa de igual a 1/4, 1 1 1

Quantidade produzida por estao CategoriasA B C

estao vero outono inverno primavera4000 2000 5800 4500 2600 6200 4500 2400 6000 4000 2200 6000


1 1 DETERMInE x.

x+1 1

2 x3

As tabelas I e II podem ser representadas, respectivamente, pelas matrizes

0,10 0, 30 0,15 0, 30 0, 40 0, 25 M = 0,10 0, 20 0,15 e

4000 4500 4500 4000 2000 2600 2400 2200 P= 5800 6200 6000 6000 . A empresa apresenta a seus acionistas uma nica tabela mostrando o custo total por estao de cada uma das trs categorias: matria-prima, pessoal e despesas gerais. Com base nas informaes dadas, julgue os itens: 1. A tabela apresentada pela empresa a seus acionistas representada pela matriz MP de ordem 3x4. Os elementos da 1. linha de MP representam o custo total de matria-prima para cada uma das quatro estaes O custo com despesas gerais para o outono ser de 2 160 dlares.

2. 2. (UFMT) Uma empresa fabrica trs produtos. Suas despesas de produo esto divididas em trs categorias (tabela I). Em cada uma dessas categorias, faz-se uma estimativa do custo de produo, de um nico exemplar de cada produto. Faz-se, tambm, uma estimativa da quantidade de cada produto a ser fabricado por estao (tabela II).

3.

Custo de produo por item (em dlares) CategoriasMatria-prima

produto A0,10

B0,30

C0,15

Pessoal

0,30

0,40

0,25

Depesas gerais

0,10

0,20

0,15

M A T35


(Unifor) Sejam as matrizes A =

1 0

0 2

1 2a) b) c) d) e) 8.

igual a: 9 -6 3 6 9 (PUC-SP) O cofator do elemento a 23 da matriz A = 2 1 0 a) b) c) d) e) 9. 2 1 1 2 3 (Mack) O valor de 1 3 2 3 2 2 4 1 3 6 8 2 5 1 10 3 : 1 2 1 3 1 2 :

eB=

2 1 0

1 . O determinante da matriz A . B 2 1

a) b) c) d) e) 5.

64 8 0 8 64 (Mackenzie-SP) Dada a matriz M = 3 3log3 3(log3)2

3 3log30 3(log30)2

3 3log300 3(log300)2

O determinante da inversa de M vale: a) b) c) d) e) 6. 1/6 1/3 1/54 1/15 1/30 (Cefet-MG) A soma das razes da equao 1 2 2 a) b) c) d) e) 7. 5 4 1 3 5 (Unesp) Se o determinante da matriz p p p 2 4 4 2 4 1 a) b) c) d) 11. 1 x 1 3 1 x

a) b) c) d) e) 10.

4 2 0 1 1131 (UERJ) Observe a matriz a seguir: sen x sen x sen x cos2x cos x 1 1 0 1

= 0 :

Resolvendo seu determinante, ser obtido o seguinte resultado: 1 sen x sen2x sen3x (UFRGS) O determinante da matriz 1 a b+1 2 2a b+2 2 3a b+3

igual a 18, ento o determinante da matriz p p p 1 2 2 2 4 1

M A T36

nulo:

a) b) c) d) e) 12. I. II. III. IV. V.

para quaisquer valores de a e b. apenas se a = 0 apenas se b = 0 somente se a= b somente quando 1 + 2a + (b + 3) = 0 (UFAM) Qual das afirmaes FALSA? Se A uma matriz quadrada, ento det A = det At. Se os elementos de uma fila de uma matriz A forem todos iguais a zero, ento det A = 0. Se A e B so matrizes quadradas de mesma ordem, ento det (A.B) = det A . det B. O determinante da matriz A = (a11) igual ao prprio elemento a11. O determinante de uma matriz quadrada de ordem 2 igual soma entre o produto dos elementos da diagonal principal e o produto dos elementos da diagonal secundria, nessa ordem. II III V I IV (UFSCar) Para as apresentaes de uma pea teatral (no sbado e domingo noite) foram vendidos 500 ingressos e a arrecadao total foi de R$ 4 560,00. O preo do ingresso no sbado era de R$ 10,00 e no domingo, era de R$ 8,00. O nmero de ingressos vendidos para a apresentao do sbado e para o do domingo, nessa ordem, foi 300 290 280 270 260 e e e e e 200 210 220 230 240 16. (FGV-SP) O valor do determinante (onde log representa o logaritmo na base 10) 1 log 2 (log 2)2 (log 2)3 igual a: a) b) c) d) e) 17. 0 1 2 12 20 (Fuvest-SP) CALCuLE o determinante 1 1 1 2 2 2 1 2 3 3 1 2 3 4 1 log 20 (log 20)2 (log 20)3 1 log 200 (log 200)2 (log 200)3 1 log 2 000 (log 2 000)2 (log 2 000)3


a) b) c) d) e) 13.

a) b) c) d) e) 14.

(UFCE) Se um comerciante misturar 2kg de caf em p do tipo 1 com 3kg de caf em p do tipo II, ele obtm um tipo de caf cujo preo R$ 4,80 o quilograma. Mas, se misturar 3kg de caf em p do tipo I com 2kg de caf do tipo II, a nova mistura custar R$ 5,20 o quilograma. Os preos do quilograma do caf do tipo 1 e do quilograma do caf do tipo II so, respectivamente, R$ R$ R$ R$ R$ 5,00 6,40 5,50 5,30 6,00 e e e e e R$ R$ R$ R$ R$ 3,00 4,30 4,00 4,50 4,00

A=

1 1

a) b) c) d) e) 15.

(Mau-SP) Resolva a equao: x 0 0 1 0 x x 0 0 1 0 x 1 0 1 1

=

3 1

5 2

M A T37


(FGV-SP) Seja a raiz da equao x 1 2 0 0 x 0 0 0 1 x 0 0 2 3 2 = 16.

d) e)

o determinante do dobro da matriz X o dobro do determinante da matriz X a matriz inversa de X X (1) = 2 5 1 2

22.

(UEMG) A soluo da equao 1 x x x x x 2 1 3

Ento, o valor de x a) b) c) d) e) 19. 16 4 0 1 64 (Fuvest - SP) Se as matrizes A= a c B= 1 0 b d 2 1

=0

a) b) c) d) 23.

0 0 1 1

e e e e

1 0 1 2

(UNA-MG) Tentando resolver um problema de circuitos eltricos, um pesquisador chegou equao 2x 6 2 (x + 1) 1 x 1 x1 1 x

.

So tais que AB = BA, pode-se afirmar que a) b) c) d) e) 20. A irreversvel det A = 0 b=0 c=0 a=d=1 (PUC-MG) Multiplicando as matrizes 1 y x 3 11 obtemos 11 1 2 0 Em que x representa o nmero de circuitos eltricos. Ento, depois de resolver essa equao, o pesquisador descobriu que havia a) b) c) d) 24. 2 circuitos. 4 circuitos. 4 circuitos. 10 circuitos. (UFMG) Os aeroportos 1, 2 e 3 esto interligados por voos diretos e/ou com escalas. A matriz A = (aij), abaixo, descreve a forma de interligao dos mesmos, sendo que: aij = 1 significa que h voo direto (sem escala) do aeroporto i para o aeroporto j. aij = 0 significa que no h voo direto do aeroporto i para o aeroporto j. A diagonal principal de A nula, significando que no h voo direto de um aeroporto para ele mesmo. 2 1 ento, podemos afirmar que a) b) c) X uma matriz quadrada de ordem 4 X uma matriz diagonal x = 4 25 1 4 5 2 A= 0 1 0 1 0 1 1 1 0

.2 4

3

.

O produto dos elementos x e y da primeira matriz a) b) c) d) 21. 4 6 4 8 (UFJF-MG) Sendo X =

M A T38

Seja A = A . A = (bij). Se bij 0 significa que h voo do aeroporto i para o aeroporto j com uma escala. Com base nessas informaes, julgue os itens.

I.

H voo direto do aeroporto 1 para o aeroporto 3, mas no h voo direto do aeroporto 3 para o 1. H voo do aeroporto 2 para o aeroporto 3 com uma escala. Sendo det A o determinante da matriz A, ento det A (detA) . (Unesp) Considere trs lojas, L1, L2 e L3, e trs tipos de produtos, P1, P2 e P3. A matriz a seguir descreve a quantidade de cada produto vendido em cada loja na primeira semana de dezembro. Cada elemento aij da matriz indica a quantidade do produto P, vendido pela loja Lj , com i, j = 1, 2, 3. L1P1 P2 P3 30 15 12

s usa a seguradora gama. Assim, a diferena entre o maior e o menor preo do conjunto carro mais seguro a) b) c) d) e) 27. 3 050 3 150 3 060 315 306 (UFPR) Dadas as matrizes A e B:

II.

III.

25.

P R O P R I E D A D E S E

0

1 0 4 5

A=

1 3

e

L219 10 16

L320 8 11

B=

6

CORRETO afirmar: 01) B.A = B 02) Todos os elementos da matriz A + B so nmeros mpares. 04) O conjunto formado pelos elementos da matriz A . B igual ao conjunto formado pelos elementos da matriz B. 08) det (3.A) = det B. 28. (FMTM) Em trs mesas de uma lanchonete, o consumo ocorreu da seguinte forma:


Analisando a matriz, podemos afirmar que a) b) c) d) e) a quantidade de produtos do tipo P2 vendidos pela loja L2 11. a quantidade de produtos do tipo P1 vendidos pela loja L3 30. a soma das quantidades de produtos do tipo P3 vendidos pelas trs lojas 40. a soma das quantidades de produtos do tipo P1 vendidos pelas lojas Li, com i = 1, 2, 3 , 52. a soma das quantidades de produtos dos tipos P1 e P2 vendidos pela loja L1 45. (Cefet PR) Uma pesquisa de preos resultou nas seguintes tabelas: Preo dos automveis nas linhas esto as agncias A, B e C e nas colunas os carros Levott, S-corro e Vodemil (na ordem citada):13 900 12 990 12 990 14 990 15 900 14 990 15 990 15 990 15 900

26.

Mesa1. 2. 3.

Hambrguer4 6 2

Refrigerante2 8 3

Fritas2 3 1

I.

A conta da 1. mesa foi 18 reais e da a 2 mesa 30 reais. Com esses dados: a) b) c) possvel calcular a conta da 3. mesa e apenas o preo unitrio do refrigerante. possvel calcular a conta da 3. mesa, mas nenhum dos preos unitrios dos trs componentes do lanche. possvel calcular a conta da 3. mesa e, alm disso, saber exatamente os preos unitrios de todos os componentes do lanche. No possvel calcular a conta da 3. mesa, pois deveriam ser fornecidos os preos unitrios dos componentes do lanche. impossvel calcular a conta da 3. mesa e os preos unitrios dos componentes do lanche, pois deve ter havido um erro na conta da 1. ou da 2. mesa.

II.

Preo dos seguros dos automveis nas linhas esto as seguradoras alfa, beta e gama e nas colunas os carros Levott, Scorro e Vodemil (na ordem citada):1000 1150 1050 1200 1050 1100 1200 1200 1150

d) e)

Sabe-se que a agncia A s utiliza a seguradora alfa, a agncia B s usa a seguradora beta e a agncia C

M A T39


(UFG) Dada a matriz A: x 0 0 0 0 1 x 0 0 0 0 1 x 0 1 0 0 1 x 0 0 0 0 8 x

31.

(UFRN) O determinante da matriz 1 0 0 72 2 0 81 200 3

igual a a) b) c) d) e) 32. 6 72 81 161 200 (UFBA) Sendo: X= 12 63 32 18 51 60 9 45 14

Seja f: R R definida por f(x) = determinante de A, ento f(1) : a) b) c) d) e) 30. 3 3 9 7 7 (ITA ) Seja a um numero real e considere as matrizes reais 2 x 2:

A=

3

a

1 3a

1

Y=

12 63 32

18 51 60

9 45 14

e b = 7a-17 8a-3 2-3

Ento: O produto AB ser inversvel se e somente se: a) b) c) d) e) a2 a2 a2 a2 a2 5 + 6 0 5 0 3 0 2 + 1 0 2 0 a) b) c) d) e) x=y x = 3y x = 27y 3x = y 27x = y

M A T40

Deter Min Antes

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