Detailed Course Topics PNO/diapositivas1.pdf · 2015. 6. 24. · Introducción al Método de los...
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Begin/Begin/EndEnd Dates: 2015 June 23Dates: 2015 June 23--2424
Schedule: 10:00Schedule: 10:00--13:00 and 15:0013:00 and 15:00--18:0018:00
LocationLocation:: DepartmentDepartment ofof OpticsOptics andand OptometryOptometry andand VisiconVisicon ScienceScience.. SeminarSeminar RoomRoom
Begin/Begin/EndEnd Dates: 2015 June 23Dates: 2015 June 23--2424
Schedule: 10:00Schedule: 10:00--13:00 and 15:0013:00 and 15:00--18:0018:00
LocationLocation:: DepartmentDepartment ofof OpticsOptics andand OptometryOptometry andand VisiconVisicon ScienceScience.. SeminarSeminar RoomRoom
1. Introduction to the Finite Element Method: mathematical foundations2. Getting started with COMSOL Multiphysics: user interface3. Creating a model with COMSOL Multiphysics: model based on equations4. Using the Radio-Frequency module:
I. 2D modeling of various problemsII. 3D modeling of various problems
http://www.addlink.es/eventos/comsol/cursohttp://www.addlink.es/eventos/comsol/curso--introduccionintroduccion--comsolcomsol--multiphysicsmultiphysics--15061506RegistrationRegistration::
DetailedDetailed CourseCourse TopicsTopics::
Juan J.Juan J. MiretMiret Mari andMari and MahinMahin NaserpourNaserpourCourseCourse InstructorsInstructors::Carlos J. Zapata Rodríguez ([email protected])Carlos J. Zapata Rodríguez ([email protected])CourseCourse CoordinatorCoordinator::
SSPONSOREDPONSORED BYBY::
Introducción al Método de loselementos Finitos
Modelos matemáticos en Cienciae Ingeniería
Ecuaciones algebraicas,diferenciales o integrales
Modelos matemáticos
Soluciones analíticasSólo en casossimples
Mayoría de casosprácticos
Método de los Elementos Finitos (MEF) : técnica general para hallar solucionesnuméricas de sistemas de ecuaciones diferenciales e integrales.
Origen: ingeniería estructural, años 50/60, para solución de ecuaciones diferenciales enderivadas parciales en elasticidad.
A día de hoy su empleo se ha generalizado abarcando gran cantidad de disciplinas, entre ellas elestudio y diseño de dispositivos electromagnéticos
Modelos matemáticos
Soluciones numéricas
Mayoría de casosprácticos
Introducción al Método de loselementos Finitos
Ecuaciones de Maxwell
HB
ED
r
r
0
0
Condiciones de contorno
Introducción al Método de loselementos Finitos
Asumiendo campos armónicos: tj
tj
e
e
)(t,
)(t,
xHxH
xExE
HE rj 0 HE 0
1
j
r
HE 0
1
j
r
tjj
r
DJHE 00
1
EEEE
0
200
20
1
j
kj rorr
Introducción al Método de loselementos Finitos
Introducción al Método de loselementos Finitos
0EE
0
21
j
k ror
1
2
En general, cualquier problema consistirá en resolver:
c
12
En una determinada región del espacio ybajo ciertas condiciones de contorno
21
Introducción al Método de loselementos Finitos
0EEE
d
jk ro
rtest
0
21
1
En vez de resolver este problema, se aborda lo que se conoce comola forma “débil” (Weak form) :
0EEE
d
jk ro
rtest
0
21
1
2
c
12
21
testE
Veamos que ventajas aportaeste planteamiento
Introducción al Método de loselementos Finitos
0EEE
d
jk ro
rtest
0
21
BAABBA
Utilizando:
El primer término puede escribirse de la forma:
dddr
testtestrr
test EEEEEE111
El primer término puede escribirse de la forma:
d
rtest EE
1
Tª Gauss
dSdr
testr
test
nEESEE
11
Introducción al Método de loselementos Finitos
Reescribimos todo:
El término con la integral de contorno puede desarrollarse como:
011
0
2
dSdj
kr
testtestrotestr
nEEEEEE
dSdSdSc
rtest
rtest
rtest
nEEnEEnEE
111
21
Donde además: HnnE
0
1
j
r
01
21 HHnnEE
dS
cr
test
En un medio libre decorrientes
Por tanto:
Introducción al Método de loselementos Finitos
Si además asumimos que:
Todas las integrales de contorno se cancelarán quedando por tanto:
02,1
iHn Condición “Natural”
01
0
2
dj
k testrotestr
EEEE
“Weak Form” 0
1
0
2
dj
k testrotestr
EEEE
“Weak Form”
testE
Hemos pasado de una ecuación que debía cumplirsepara cualquier punto del Dominio a una que debecumplirse “en promedio” (y con ciertas funciones peso)
Exigencia más débil. Facilitapoder tratar posiblessingularidades (fuentespuntuales, …)
Se ha reducido el orden de las derivadas y por tanto también las exigencias de derivabilidadde las soluciones aproximadas (buscadas)
Y además se impone, de forma implícita, la condición de contorno llamada condición natural
Introducción al Método de loselementos Finitos
¿Y cómo aparecen los “elemento finitos”? Al elegir las funciones test (peso)
Número finito defunciones test
Por comparar
Esto implicará que subdividiremos (mallaremos)todo el dominio en trozos pequeños (elementos)
Número finito defunciones test
Introducción al Método de loselementos Finitos
Resolvamos un problema genérico empleando el MEF
Condiciones de contornoCondiciones de contorno
Posibles fronteras interiores(continuidad de la función y su derivada)
Introducción al Método de loselementos Finitos
Primer paso, obtener la “weak form”:
Elección de las funciones test: Se utiliza el método de Galerkin, lo que supone que la funciónbuscada () se desarrollará en las propias funciones test. Además se supone que la funciónproblema variará de la forma más simple simples posible en cada elemento (función lineal).
dxfdxdx
ddx
dx
d
dx
d L
test
L
test
L
test
Ltest
0000
test
Elección de las funciones test: Se utiliza el método de Galerkin, lo que supone que la funciónbuscada () se desarrollará en las propias funciones test. Además se supone que la funciónproblema variará de la forma más simple simples posible en cada elemento (función lineal).
xbax )(Una función lineal genérica depende de dos variables (a,b)
eee xbax 1)(
1ex
eee xbax 211)(
ex
el
Introducción al Método de loselementos Finitos
Cambiaremos de variables (a, b) ee21 ,
2
12211)(
j
ej
ej
eeeee xNxNxNx
Se necesitarán dos funciones
xNxN ee21 ,
valores en los extremos (nodos)
¿Y cómo son estas funciones N ?¿Y cómo son estas funciones N ?
e
ee
e
ee
l
xxxN
l
xxxN
12
21
ee xx 21
ee xx 1
1 xN e
2
el
xN e1
1
Las funciones basesiempre cumplen
ijej
ei xN
La idea es que estas funciones N sean las funciones test. Es decir
Introducción al Método de loselementos Finitos
Por construcción la función aproximada(buscada) será continua:
SoluciónSolución aproximada
elementosNº
121 , eee
test NN
xN e2
xN e 11
Por construcción la función aproximada(buscada) será continua:
nodonodoxx )()(
Sólo se acoplarán las integrales de loselementos vecinos
Las incógnitas de nuestro problemavan a ser el valor de la soluciónaproximada en los nodos
elementosdeNúmero....,1,econ, 21 ee
112 ee
00000
dxfdx
dx
ddx
dx
d
dx
dR
L
test
L
test
L
test
Ltest
Introducción al Método de loselementos Finitos
Volvamos a la “weak form” y veamos que expresión tendría la aplicación de estas funciones ydesarrollos para un elemento e
test
0)(~:DifEc. fPresiduoRfP
“Weak form” para R
0~
0
dxRL
test
Para el elemento e, de todas las funciones test, únicamente son diferentes de cero
test
ee NN 21 ,
02
1
2
1
2
1
2
1
e
e
e
e
e
e
e
e
x
x
ei
x
x
ei
x
x
ei
x
x
eie
i dx
dNdxfNdxNdx
dx
dN
dx
dR
Si además tenemos en cuenta que en ese elemento es de la forma (Galerkin):
2
1
)()(j
ej
ej
e xNxx
Introducción al Método de loselementos Finitos
02
1
2
1
2
1
2
1
2
1
e
e
e
e
e
e
e
e
x
x
ei
x
x
ei
x
x
ej
ei
x
x
ei
ej
j
ej
ei dx
dNdxfNdxNNdx
dx
dN
dx
dNR
02
1
2
1
2
1
2
1
2
1
e
e
e
e
e
e
e
e
x
x
ei
x
x
ei
x
x
ej
ei
x
x
ei
ej
j
ej
ei dx
dNdxfNdxNNdx
dx
dN
dx
dNR
Introducción al Método de loselementos Finitos
eijK e
ib eig
02
1
2
1
2
1
2
1
2
1
e
e
e
e
e
e
e
e
x
x
ei
x
x
ei
x
x
ej
ei
x
x
ei
ej
j
ej
ei dx
dNdxfNdxNNdx
dx
dN
dx
dNR
Introducción al Método de loselementos Finitos
eijK e
ib eig
02
1
2
1
2
1
2221
1211
2
1
e
e
e
e
e
e
ee
ee
e
e
g
g
b
b
KK
KK
R
R
Recordemos que las funciones N son muy simples e
ee
e
ee
l
xxxN
l
xxxN 1
22
1 ,
Las expresiones de estas integrales también lo serán
Introducción al Método de loselementos Finitos
Consideraremos que y son constantes (o bien las aproximamos por constantes) entodo el elemento e. La matriz K quedará:
61
31
2112
2211
ee
eeee
ee
eeee
l
lKK
l
lKK
Consideramos que f es también una constante (en caso de que no sea constante sepuede hacer la integral por cualquier método numérico):
221
eee l
fbb
Por último el vector g lo escribiremos como:
e
e
x
e
eeee
x
e
dx
dg
xNxNdx
dg
2
1
2
11211 1y0quecuentaen tenidohasedonde,
Introducción al Método de loselementos Finitos
En cada elemento cada uno de los residuos debe ser 0, ya que no esmás que la integral ponderada de algo que buscamos que sea 0
Lo mismo debe cumplirse para la suma de todos los residuos (Sumaremos los residuosde todos los elementos (M elementos)):
0 fPpesoi
01 2
1
2
1
2
1
2221
1211
1 2
1
M
ee
e
e
e
e
e
ee
eeM
ee
e
g
g
b
b
KK
KK
R
R
Y trataremos de reescribirlo en forma matricial
Elemento
nodo
1 2 3
1 2 3 4
Introducción al Método de loselementos Finitos
Veamos por ejemplo como sería con 3 elementos (4 nodos):
1 2 3 4
nodo 1 2 3 4
4
3
2
1
41
32
31
22
21
12
11
Construimos un vector columna conlas incógnitas
11
21
12 3
122 4
132
El número de incógnitas será
M (número de elementos) + 1
e
e
e
e
e
e
ee
ee
g
g
b
b
KK
KK
2
1
2
1
2
1
2221
1211
Se llega a:
Introducción al Método de loselementos Finitos
Y teniendo en cuenta que para un elemento e se cumplía:
32
31
32
21
12
11
32
31
32
21
12
11
4
3
2
1
322
321
312
311
222
221
212
211
122
121
112
111
00
0
0
00
g
gg
gg
g
b
bb
bb
b
KK
KKKK
KKKK
KK
32
31
32
21
12
11
32
31
32
21
12
11
4
3
2
1
322
321
312
311
222
221
212
211
122
121
112
111
00
0
0
00
g
gg
gg
g
b
bb
bb
b
KK
KKKK
KKKK
KK
4
3
2
1
4
3
2
1
4
3
2
1
4443
343332
232221
1211
00
0
0
00
g
g
g
g
b
b
b
b
KK
KKK
KKK
KK
Matriz tridiagonal
Que reescribimos como:
El primer y último elementos serán:
Introducción al Método de loselementos Finitos
Obtengamos los elementos genéricos de esta matriz [K ] :
322
321
312
311
222
221
212
211
122
121
112
111
00
0
0
00
KK
KKKK
KKKK
KKSupongamosM elementosN = (M+1) incógnitas
31
31
22
11
111
1111
MM
MMM
NN
l
lKK
l
lKK
K (N,N )
4443
343332
232221
1211
00
0
0
00
KK
KKK
KKK
KK
31
31
22
11
111
1111
MM
MMM
NN
l
lKK
l
lKK
Introducción al Método de loselementos Finitos
Obtengamos los elementos genéricos de esta matriz [K ] :
322
321
312
311
222
221
212
211
122
121
112
111
00
0
0
00
KK
KKKK
KKKK
KKSupongamosM elementosN = (M+1) incógnitas
31
31
22
11
111
1111
MM
MMM
NN
l
lKK
l
lKK
El primer y último elementos serán:
K (N,N )
4443
343332
232221
1211
00
0
0
00
KK
KKK
KKK
KK
31
31
22
11
111
1111
MM
MMM
NN
l
lKK
l
lKK
Mientras que el resto de términos de la diagonal:
1,,2
31
31 1
1.1
111
122
Ni
l
l
l
lKKK
ii
ii
ii
iiii
ii
Introducción al Método de loselementos Finitos
322
321
312
311
222
221
212
211
122
121
112
111
00
0
0
00
KK
KKKK
KKKK
KK
31
31
22
11
111
1111
MM
MMM
NN
l
lKK
l
lKK
El primer y último elementos serán:
Por último, el resto de términos no nulos:
1,,16
1121,,
Ni
l
lKKK
ii
iii
iiiii
4443
343332
232221
1211
00
0
0
00
KK
KKK
KKK
KK
31
31
22
11
111
1111
MM
MMM
NN
l
lKK
l
lKK
Mientras que el resto de términos de la diagonal:
1,,2
31
31 1
1.1
111
122
Ni
l
l
l
lKKK
ii
ii
ii
iiii
ii
32
31
32
21
12
11
b
bb
bb
b
4
3
2
1
b
b
b
b
Introducción al Método de loselementos Finitos
De la misma forma los elementos del vector b serán:
2
2
2
1111
MMM
N
i
lfbb
lfbb
1,,222
11
12
Ni
lf
lfbbb
ii
iiii
i
1,,222
11
12
Ni
lf
lfbbb
ii
iiii
i
Mientras que el vector g :
Lxx
MN
xx
Ndx
dgg
dx
dgg
2
0
111
1
ii xxxx
iii dx
d
dx
dggg
11
2
11
2
Que no es más que:
0
dx
d
dx
d
En cada nodo Condición “Natural”
Hemos supuesto queera continua
Introducción al Método de loselementos Finitos
Mientras que el vector g :
Lxx
MN
xx
Ndx
dgg
dx
dgg
2
0
111
1
ii xxxx
iii dx
d
dx
dggg
11
2
11
2
Que no es más que:
0
dx
d
dx
d
Hemos supuesto que
era continuaLxx
MN
xx
Ndx
dgg
dx
dgg
2
0
111
1
0
dx
d
dx
d
En cada nodo Condición “Natural”
Hemos supuesto queera continua
Si en nuestra programación no incorporáramos el vector g, estaríamos,implícitamente, imponiendo una condición de contorno de Neumann
Veamos cómo aplicar las condiciones de contorno
Introducción al Método de loselementos Finitos
Resolvamos un problema genérico empleando el MEF
En nuestro problema habíamos supuesto unas condiciones de contorno muy generales
Condición de contorno tipo Dirichlet o 1er tipo
En nuestro problema habíamos supuesto unas condiciones de contorno muy generales
Condición de contorno de 3er tipo o de Robin
Introducción al Método de loselementos Finitos
Veamos como tratar con ellas. Empecemos por la de Robin
q y serán parámetros conocidos en el contorno
Teniendo en cuenta que:
NLx
N qdx
dg
N
LxN q
dx
dg
gbK Y recordando que:
Esta condición puede implementarse facilmente redefiniendose los últimoselementos de la matriz K y del vector b
qbb
KK
NN
NNNN
Introducción al Método de loselementos Finitos
Impongamos ahora la condición de Dirichlet
p será un parámetros conocidos en el contorno
Teniendo en cuenta que:
px
0
0
0 1
2
1
2
1
21
1211 g
b
b
K
KK
Simplemente realizamos los siguientes cambios:
pb
KKK
K
N
1
11312
11
0
1
0
0 1
2
1
2
1
21
1211 g
b
b
K
KK
Introducción al Método de loselementos Finitos
Finalmente al incorporar ambas condiciones nos quedará:
NNN b
b
p
K
K
22
1
21
001
NNN b
b
p
K
K
22
1
21
001
NNK
|||
qbN |||
Vemos que el vector g ha desaparecido de la formulación
Introducción al Método de loselementos Finitos
Comentemos, muy brevemente, los aspectos más relevantes en las formulaciones máscomplejas del MEF
- Empleo de elementos de orden superior (cuadráticos, cúbicos, …)
- Formulaciones 2 y 3D.
- Elementos vectoriales
Comentemos, muy brevemente, los aspectos más relevantes en las formulaciones máscomplejas del MEF
- Empleo de elementos de orden superior (cuadráticos, cúbicos, …)
- Formulaciones 2 y 3D.
- Elementos vectoriales
En los llamados elementos cuadráticos (elementos de 2º orden), cada elemento tiene 3nodos, uno en cada uno de los extremos y un tercero situado, normalmente, en el centro delelemento. En cada elemento, la función problema se aproxima por una función cuadrática
Introducción al Método de loselementos Finitos
Elementos cuadráticos
Empleo de elementos de orden superior
xbax )(
Elementos lineales
3
1332211)(
j
ej
ej
eeeeeee xNxNxNxNx
Introducción al Método de loselementos Finitos
Ahora se tendrán 3 funciones test por elemento: Nuevamente, las incógnitasserán los valores de la funciónbuscada en los nodos
Las funciones basesiempre cumplen
ijej
ei xN
Introducción al Método de loselementos Finitos
Average error of the finite element solution versus the number ofnodes using linear, quadratic, and cubic elements.
Introducción al Método de loselementos Finitos
Elementos finitos en problemas 2D
Elemento triangular lineal
3 funciones test por elemento
Las incógnitas serán losvalores de la funciónbuscada en los nodos(vértices del triángulo)
Ejemplo de muestreo
Ordenes superiores
Introducción al Método de loselementos Finitos
Elementos finitos en problemas 3D
Elemento tetraédrico lineal
4 funciones test por elemento
Las incógnitas serán losvalores de la funciónbuscada en los nodos(vértices del tetraedro)
Ejemplo de muestreo
Introducción al Método de loselementos Finitos
Elementos vectoriales
Introducción al Método de loselementos Finitos
Elementos vectoriales
0 0silica
puntosciertosensalvocontínuasseránni,niperocontínua,serdebe yx EEtE
x
y
Introducción al Método de loselementos Finitos
Elementos vectoriales
es el valor del campotangencial en el lado i deltriángulo. Ahora serán lasincógnitas del problema
eiE
Las funciones base seránahora vectoriales, de talmanera que la componentetangencial de tendrá unvalor fijo para el lado i yserá cero para los otrosdos lados
eiN
Las funciones base seránahora vectoriales, de talmanera que la componentetangencial de tendrá unvalor fijo para el lado i yserá cero para los otrosdos lados
eiN
e1N
e2N e
3N
Introducción al Método de loselementos Finitos
Problema 1D: Aplicación del MEF
xx rr , xx rr ,
PEC
TE zeyxE tjz ˆ, E
Problema 1D: Aplicación del MEF
EH
HE
r
r
j
j
0
0
Podemos descomponercualquier onda plana en unacon polarización TE y otra TM
011 2
0
zrzy
ryzx
rx EkE
xE
x
kt se conserva: ky sin0 yjkz eyE
0sin11 22
0
z
rrzx
rx E
xxkE
x
xx rr ,
TM zeyxH tjz ˆ, H
Problema 1D: Aplicación del MEF
EH
HE
r
r
j
j
0
0
Podemos descomponercualquier onda plana en unacon polarización TE y otra TM
011 2
0
zrzy
ryzx
rx HkH
xH
x
kt se conserva: ky sin0 yjkz eyH
0sin11 22
0
z
rrzx
rx H
xxkH
x
xx rr ,
TE zeyxE tjz ˆ, E
Problema 1D: Aplicación del MEF
Veamos que condiciones decontorno tenemos
Evidentemente en x=0 Ez =0 (PEC)
Lx
eeEReEyxE yjkLxjkLxjkz
para
, sincos0
cos0
000
Por otro lado:
Lx
eeEReEyxE yjkLxjkLxjkz
para
, sincos0
cos0
000
R (coeficiente de reflexión)
Hacemos la derivada de Ez
sincos0
cos00
000cos yjkLxjkLxjkz eeEReEjkdx
dE
sin0
cos00
00 )(coscos2 yjkz
Lxjkz exEjkeEjkdx
dE
Que podremos escribir de la forma:Importante, ya no apareceR, (parámetro que noconocemos a priori)
Problema 1D: Aplicación del MEF
LxexEjkeEjkdx
dE yjkz
Lxjkz sin0
cos00
00 )(coscos2
000 cos2)(cos EjkxEjkdx
dE
Lxz
z
En x=L
Queremos obtener la condición que se debe cumplir justo en el lado del dieléctrico
contínuonser tambiédebe1
contínuo
0
dx
dEjH
E
z
ry
z
contínuonser tambiédebe
1
contínuo
0
dx
dEjH
E
z
ry
z
Tenemos encuenta
Lx
z
aireLx
z
rLx
z
r
LxzLxz
dx
dE
dx
dE
dx
dE
EE
)(
11
Por lo tanto: 000 cos2)(cos1
EjkxEjkdx
dE
Lx
zz
r
Problema 1D: Aplicación del MEF
00
xzE
Ec. Dif
Condiciones de contorno
0sin11 22
0
z
rrzx
rx E
xxkE
x
TE
000 cos2)(cos1
EjkxEjkdx
dE
Lx
zz
r
00
xzE
contínuonser tambiédebe1
contínuo
0
dx
dEjH
E
z
ry
z
Y además
Resolvamos un problema genérico empleando el MEF
Condiciones de contorno
Problema 1D: Aplicación del MEF
Condiciones de contorno
Posibles fronteras interiores(continuidad de la función y su derivada)
Identificando tenemos:
0
1
sin1 22
0
f
k
E
r
rr
z
En cuanto a las condiciones de contorno
00
0
cos2
cos
0
Ejkq
jk
p
Problema 1D: Aplicación del MEF
0
1
sin1 22
0
f
k
E
r
rr
z
Una vez resuelto el problema, se puede obtener el coeficiente de reflexión:
0
0
00
)(
tantolopor
)(
E
ELER
ERELE
z
z
Introducción al Método de loselementos Finitos
31
31 1
11
111
MM
MM
NN
l
lK
l
lK
1,,16
11,,
Ni
l
lKK
ii
ii
iiiii
1,,2
31
31 1
1.1
1
Ni
l
l
l
lK
ii
ii
ii
ii
ii
1,,16
11,,
Ni
l
lKK
ii
ii
iiiii
2
21
1
MM
N
i
lfb
lfb
1,,222
1
Ni
lf
lfb
ii
ii
i
Problema 1D: Aplicación del MEF
TE
0
2
5
11.024
1.02
L
L
xix
i
r
r
TM
Problema 1D: Aplicación del MEF
TE TM
Problema 1D: Aplicación del MEF
Problema 1D: Aplicación del MEF
Problema 1D: Resolución empleandoel COMSOL
Comenzaremos empleando el módulo más general, en el que plantearemosnosotros mismos las ecuaciones a resolver.
Problema 1D: Resolución empleandoel COMSOL
Problema 1D: Resolución empleandoel COMSOL
fuauuuc
Ecuación genérica queresolverá el COMSOL
ea=da=0
Ec. Dif
0sin11 22
0
z
rrzx
rx E
xxkE
x
TE
Problema 1D: Resolución empleandoel COMSOL
Comparando con la ecuación del COMSOL:
Queremos resolver
0 uauc xx
0 f fuauuuc
220 sin
1
1
rr
r
ka
c
Identificamos:
Problema 1D: Resolución empleandoel COMSOL
¿Qué ocurre con las condiciones de contorno?
000 cos2)(cos1
EjkxEjkdx
dE
Lx
zz
r
00
xzE
Condiciones de contorno de nuestro problema
En COMSOL0
0
xzE
En COMSOL
Problema 1D: Resolución empleandoel COMSOL
000 cos2)(cos1
EjkxEjkdx
dE
Lx
zz
r
0x Lx
xn ˆxn ˆ
gquuc Lxx
00
0
cos2
cos
Ejkg
jkq
Identificamos:
Problema 1D: Resolución empleandoel COMSOL
Algunos pasos
Problema 1D: Resolución empleandoel COMSOL
Problema 1D: Resolución empleandoel COMSOL
Problema 1D: Resolución empleandoel COMSOL
Problema 1D: Resolución empleandoel COMSOL
Problema 1D: Resolución empleandoel COMSOL
Problema 1D: Resolución empleandoel COMSOL
y TM zeyxH tj
z ˆ, H
011 2
0
zrzy
ryzx
rx HkH
xH
x
32 1
h3 h2
x
2
sincos0
cos0
para
, 2020
hx
eeHReHyxH yjkhxjkhxjkz
cos
sin
12
12
11
11
1101
kkkk
kk
kk
yx
y
rr
yjkhxjkhxjkz
yxx eeHReHyxH 1212100,
Problema 1D: Resolución empleandoel COMSOL
y
011 2
0
zrzy
ryzx
rx HkH
xH
x
kt se conserva: k1y
32 1
h3 h2
x
01 12
0
z
r
yrzx
rx H
x
kkH
x
0 uauc xx
r
yr
rz
kka
cHu
120
1
Identificamos:En COMSOL
Problema 1D: Resolución empleandoel COMSOL
Respecto a las condiciones de Frontera
En las interiores el COMSOL aplica:
021 uucuucnEsto hace que las integrales de contornointernas se anulen (Condición Natural)
En este caso eso implica:
21
11
zx
rzx
r
HH
Que no es más que exigir la continuidad de Ey
yzxr
EjH 0
1
Además por construcción Hz es continua en los nodos
Problema 1D: Resolución empleandoel COMSOL
Ahora aplicaremos condiciones mixtas en ambos extremos , 1er (x=-h3) y último nodo (x=h2)
yjkhxjkhxjkz
yxx eeHReHyxH 1212100,En x=h2
yjkhxjkhxjkx
z yxx eeHReHjkdx
dH 12121001
Se puede escribir:
yjkhxjkxzx
z yx eeHjkHjkdx
dH 121011 2
Se puede escribir:
011
2
2
En
2
HjkHjkdx
dH
hx
xhx
zxz
zx
rz HH
1
y Son continuas0
1
1
1
1
2
2
21
En
2
Hk
jHk
jdx
dH
hx
x
hx
zxz
Problema 1D: Resolución empleandoel COMSOL
En COMSOL
xn ˆgqHHx
hx
zzxr
2
1ˆ
1
1
01
12
r
x
r
x
kjq
Hk
jg
Identificamos:
01
1
1
1
2
2
21
En
2
Hk
jHk
jdx
dH
hx
r
x
hx
zxz
Queremos que:
Problema 1D: Resolución empleandoel COMSOL
En este extremo pretendemos que la onda pasesin reflejarse (“transparencia”)
En x=-h3
3En h
eeeHtyxH yjkhxjkz
yx 323
0,
acumuladafase:
zxz Hjk
dx
dH3
03
3
hxzx
z Hjkdx
dH
Problema 1D: Resolución empleandoel COMSOL
En COMSOL
xn ˆ
gqHHxhx
zzxr
3
1ˆ
3
3
0
r
xkjq
g
Identificamos:0
3
3
hxzx
z Hjkdx
dH
Queremos que:
Problema 1D: Resolución empleandoel COMSOL
Veamos un ejemplo concreto
nm200
nm50
1
25.2
477.0922.12)(
4
nm550
3
2
3
2
1
0
h
h
iAg
r
nm200
nm50
1
25.2
477.0922.12)(
4
nm550
3
2
3
2
1
0
h
h
iAg
r
sin11 kk y
xn ˆ
1
1
01
12
r
x
r
x
kjq
Hk
jg
xn ˆ
3
3
0
r
xkjq
g
r
yr
rz
kka
cHu
120
1
Problema 1D: Resolución empleandoel COMSOL