Dessy Dwiyanti, S.Si, MBA Matematika Ekonomi 2 BAB 3...
Transcript of Dessy Dwiyanti, S.Si, MBA Matematika Ekonomi 2 BAB 3...
Dessy Dwiyanti, S.Si, MBA Matematika Ekonomi 2
BAB 3.Penerapan Diferensial Fungsi Sederhana dalam Ekonomi
A. Elastisitas EEllaassttiissiittaass mmeerruuppaakkaann ppeerrsseennttaassee ppeerruubbaahhaann yy tteerrhhaaddaapp ppeerrsseennttaassee ppeerruubbaahhaann xx..
1.1 Elastisitas Permintaan
Elastisitas Permintaan adalah besarnya perubahan jumlah permintaan barang, akibat adanya perubahan harga. RRuummuuss eellaassttiissiittaass ppeerrmmiinnttaaaann
→η dd == dPdQd
.. dQ
P,,
KKeett :: QQdd ffuunnggssii ppeerrmmiinnttaaaann ,,
PP HHaarrggaa
Dessy Dwiyanti, S.Si, MBA Matematika Ekonomi 2
PPeerrmmiinnttaaaann ssuuaattuu bbaarraanngg ddiikkaattaakkaann bbeerrssiiffaatt::
EEllaassttiiss → jjiikkaa η dd >> 00 jjiikkaa hhaarrggaa bbaarraanngg tteerrsseebbuutt bbeerruubbaahh sseebbeessaarr pprreesseennttaassee tteerrtteennttuu,, mmaakkaa ppeerrmmiinnttaaaann tteerrhhaaddaappnnyyaa aakkaann bbeerruubbaahh ddeennggaann ppeerrsseennttaassee yyaanngg lleebbiihh bbeessaarr ddaarriippaaddaa ppeerruubbaahhaann hhaarrggaannyyaa IInneellaassttiiss → jjiikkaa η dd << 00 jjiikkaa hhaarrggaa bbaarraanngg tteerrsseebbuutt bbeerruubbaahh sseebbeessaarr pprreesseennttaassee tteerrtteennttuu,, mmaakkaa ppeerrmmiinnttaaaann tteerrhhaaddaappnnyyaa aakkaann bbeerruubbaahh ddeennggaann ppeerrsseennttaassee yyaanngg lleebbiihh kkeecciill ddaarriippaaddaa ppeerruubbaahhaann hhaarrggaannyyaa
UUnniitteerr → jjiikkaa η dd == 00 jjiikkaa hhaarrggaa bbaarraanngg tteerrsseebbuutt bbeerruubbaahh sseebbeessaarr pprreesseennttaassee tteerrtteennttuu,, mmaakkaa ppeerrmmiinnttaaaann tteerrhhaaddaappnnyyaa aakkaann bbeerruubbaahh ddeennggaann ppeerrsseennttaassee yyaanngg ssaammaa ddeennggaann ppeerruubbaahhaann hhaarrggaannyyaa
CCoonnttoohh :: FFuunnggssii ppeerrmmiinnttaaaann aakkaann ssuuaattuu
bbaarraanngg → QQ == 2255 –– 33 PP 22
Dessy Dwiyanti, S.Si, MBA Matematika Ekonomi 2
TTeennttuukkaann eellaassttiissiittaass ppeerrmmiinnttaaaannnnyyaa ppaaddaa
ttiinnggkkaatt hhaarrggaa PP == 55..
JJaawwaabb :: →η dd == dPdQd
.. dQ
P == (( -- 66 PP )) 2325 P
P−
== -- 66 ((55)) 2)5(325)5(
− == 33
→ η dd == 33 (( eellaassttiiss )) aarrttiinnyyaa ppaaddaa kkeedduudduukkaann
hhaarrggaa PP == 55,, jjiikkaa hhaarrggaa bbaarraanngg nnaaiikk
sseebbeessaarr 11 %%,, mmaakkaa ppeerrmmiinnttaaaannnnyyaa aakkaann
ttuurruunn sseebbaannyyaakk 33 %% ..
1.2 Elastisitas Penawaran
adalah adalah besarnya perubahan jumlah barang yang ditawarkan, jika ada perubahan harga
Dessy Dwiyanti, S.Si, MBA Matematika Ekonomi 2
RRuummuuss EEllaassttiissiittaass PPeennaawwaarraann
ηss == dP
dQs ..
sQP
KKeett :: QQss ffuunnggssii ppeennaawwaarraann ,,
PP HHaarrggaa
PPeennaawwaarraann ssuuaattuu bbaarraanngg ddiikkaattaakkaann bbeerrssiiffaatt::
CCoonnttoohh :: FFuunnggssii ppeennaawwaarraann ssuuaattuu bbaarraanngg
ddiippeerrlliihhaattkkaann→ QQ == -- 220000 ++ 77 PP 22
Dessy Dwiyanti, S.Si, MBA Matematika Ekonomi 2
Tentukan elastisitas penawarannya, pada tingkat harga P = 10
JJaawwaabb :: η ss == dPdQs ..
sQP
== (( 1144 PP )) 27200 PP+−
PPaaddaa PP == 1100 →η ss == ((1144))((1100)) 2)10)(7(200)10(
+− ==
22,,88 (( eellaassttiiss )) η
ss == 22,,88 aarrttiinnyyaa ppaaddaa kkeedduudduukkaann hhaarrggaa PP
== 1100,, jjiikkaa hhaarrggaa bbaarraanngg nnaaiikk 11 %% ,, mmaakkaa
jjuummllaahh bbaarraanngg yyaanngg ddiittaawwaarrkkaann jjuuggaa aakkaann
nnaaiikk sseebbaannyyaakk 22,,88 %%..
1.3 Elastisitas Produksi Elastisitas Produksi adalah besarnya perubahan jumlah output yang dihasilkan, karena adanya perubahan jumlah input.
Dessy Dwiyanti, S.Si, MBA Matematika Ekonomi 2
RRuummuuss EEllaassttiissiittaass PPrroodduukkssii
η pp == dxdP
.. Px
KKeett :: PPjjuummllaahh pprroodduukk yyaanngg ddiihhaassiillkkaann
((oouuttppuutt))
xxjjuummllaahh ffaakkttoorr pprroodduukkssii yyaanngg
ddiigguunnaakkaann ((iinnppuutt))
CCoonnttoohh :: FFuunnggssii pprroodduukkssii ssuuaattuu bbaarraanngg
ddiittuunnjjuukkkkaann PP == 66 XX22 –– XX33 HHiittuunngg eellaassttiissiittaass
pprroodduukkssiinnyyaa,, ppaaddaa ttiinnggkkaatt ppeenngggguunnaaaann
ffaakkttoorr pprroodduukkssii ((iinnppuutt)) sseebbeessaarr XX == 33
JJaawwaabb :: η pp == dxdP
.. Px
==
(( 1122 XX –– 33 XX22 )) 326 XXX−
PPaaddaa XX == 33→η
pp ==
Dessy Dwiyanti, S.Si, MBA Matematika Ekonomi 2
(( 1122 .. 33 –– 33 .. 33 22 )) 32 )3()3(63− == 11
η pp == 11 ((uunniitteerr)) aarrttiinnyyaa ppaaddaa ttiinnggkkaatt
ppeenngggguunnaaaann iinnppuutt XX == 33 ,, jjiikkaa iinnppuutt
ddiittaammbbaahh 11 %%,, mmaakkaa jjuummllaahh pprroodduukkssii
((oouuttppuutt)) jjuuggaa aakkaann bbeerrttaammbbaahh 11 %%..
B. Biaya Marjinal dan Penerimaan
Marjinal 1. Biaya Marjinal
BBiiaayyaa MMaarrjjiinnaall (( MMCC )) aaddaallaahh bbeessaarrnnyyaa bbiiaayyaa yyaanngg hhaarruuss ddiittaammbbaahhkkaann ,, jjiikkaa jjuummllaahh pprroodduukkssii ddiittaammbbaahh 11 uunniitt..
RRuummuuss bbiiaayyaa mmaarrjjiinnaall MMCC == TTCCII == dQdC
ddaann
MMCC mmiinniimmuumm jjiikkaa MMCCII == 00
Dessy Dwiyanti, S.Si, MBA Matematika Ekonomi 2
CCoonnttoohh :: BBiiaayyaa ttoottaall ((TTCC)) == ff ((QQ)) == QQ 33 –– 33 QQ 22 ++ 44 QQ ++ 44
BBiiaayyaa MMaarrjjiinnaall ((MMCC)) == TTCC ‘‘ == 33 QQ 22 –– 66 QQ ++ 44 PPaaddaa ttiinnggkkaatt pprroodduukkssii// ppeennjjuuaallaann bbeerraappaakkaahh bbiiaayyaa mmaarrjjiinnaall mmiinniimmuumm ?? BBeerraappaa bbeessaarrnnyyaa bbiiaayyaa mmaarrjjiinnaall mmiinniimmuumm tteerrsseebbuutt ??
JJaawwaabb == MMCC mmiinniimmuumm ppaaddaa MMCC ‘‘ == 00
MMCC ‘‘ == 66 QQ –– 66 == 00 → 66 QQ == 66 → QQ == 11→ MMCC mmiinniimmuumm
MMCC mmiinniimmuumm == 33 QQ 22 –– 66 QQ ++ 44 == 33 (( 11 )) 22 –– 66 (( 11 )) ++ 44 == 66
JJaaddii bbeessaarrnnyyaa bbiiaayyaa mmaarrjjiinnaall mmiinniimmuumm sseebbeessaarr RRPP.. 66 ppaaddaa ttiinnggkkaatt pprroodduukkssii 11 uunniitt..
2. Penerimaan Marjinal PPeenneerriimmaaaann MMaarrjjiinnaall aaddaallaahh bbeessaarrnnyyaa ttaammbbaahhaann ppeenneerriimmaaaann,, jjiikkaa jjuummllaahh pprroodduukkssii aattaauu bbaarraanngg yyaanngg tteerrjjuuaall bbeerrttaammbbaahh 11 uunniitt
Dessy Dwiyanti, S.Si, MBA Matematika Ekonomi 2
RRuummuuss ppeenneerriimmaaaann mmaarrjjiinnaall MMRR == TTRR II ==
dQdR
ddaann TTRR mmaakkss.. JJiikkaa MMRR == 00
CCoonnttoohh :: ffuunnggssii ppeerrmmiinnttaaaann ssuuaattuu bbaarraanngg →
PP == 1166 –– 22 QQ
BBeerraappaakkaahh bbeessaarrnnyyaa ppeenneerriimmaaaann mmaakkssiimmuumm ??
JJaawwaabb ::
FFuunnggssii PPeenneerriimmaaaann TToottaall ((TTRR)) == PP..QQ ==
((1166 –– 22 QQ)) ((QQ)) == 1166 QQ –– 22 QQ 22
PPeenneerriimmaaaann MMaarrjjiinnaall ((MMRR)) == TTRR ‘‘ == 1166 –– 44 QQ
TTRR aakkaann mmaakkssiimmuumm jjiikkaa MMRR == 00→ 1166 –– 44 QQ == 00
→44 QQ == 1166→QQ == 44
TTRR MMaakkss.. == 1166 QQ –– 22 QQ 22 == 1166 ((44)) –– 22 ((44)) 22 == 3322
JJaaddii bbeessaarrnnyyaa ppeenneerriimmaaaann ttoottaall mmaakkssiimmuumm
sseebbeessaarr RRpp.. 3322,,0000
Dessy Dwiyanti, S.Si, MBA Matematika Ekonomi 2
C. Utilitas Marjinal Utilitas marginal (MU)utilitas tambahan
yang diperoleh dari setiap unit barang yang dikonsumsi. Fungsi utilitas total dinyatakan dengan U=
f(Q) dimana U melambangkan utilitas total dan Q jumlah barang yang dikonsumsi, maka utilitas marginal :
MU = U’ = dU / dQ Kurva utilitas marginal (MU) selalu
mencapai nol tepat pada saat kurva utilitas total (U) berada pada posisi puncaknya.
Contoh : U = f(Q) = 90Q – 5Q2 MU = U’ = 90 – 10Q U maksimum pada MU = 0 MU = 0 Sehingga nilai Q = 9 Maka, Umaksimum = 90(9) – 5(9)2 = 810 – 405 = 405
Dessy Dwiyanti, S.Si, MBA Matematika Ekonomi 2
D. Produk Marjinal Produk marginal (MP) ialah produk
tambahan yang dihasilkan dari suatu unit tambahan faktor produksi yang digunakan. Secara matematik fungsi produk marjinal
merupakan derivative pertama dari fungsi produk total. Jika fungsi produk total dinyatakan P = f(x) dimana P melambangkan jumlah produk total dan x adalah jumlah masukan, Maka produk marginal :
MP = P’ = dp/ dx Contoh:
Produksi total P = f(x) = 9x2 – x3 produk marjinalnya adalah MP = P’ = 18x – 3x2 Sehingga Pmaksimum pada P’ = 0 yaitu pada x = 6 dengan Pmaksimum = 108 P berada dititik belok dan MP maksimum pada P’’ = (MP)’ = 0 yaitu pada x = 3
Dessy Dwiyanti, S.Si, MBA Matematika Ekonomi 2
E. Analisis Keuntungan Maksimum Tingkat produksi yang memberikan keuntungan maksimum atau memberikan kerugian maksimum dapat diselidiki dengan pendekatan diferensial.
FFuunnggssii kkeeuunnttuunnggaann ((π ))→π == TTRR –– TTCC π aakkaann ooppttiimmuumm jjiikkaa π II == 00 π ’’’’ << 00 → π mmaakkssiimmuumm == kkeeuunnttuunnggaann
mmaakkssiimmuumm π ’’’’ >> 00 →π mmiinniimmuumm == kkeerruuggiiaann mmaakkssiimmuumm
CCoonnttoohh ::
jjiikkaa ffuunnggssii ppeenneerriimmaaaann → TTRR == -- 22 QQ 22 ++ 11000000 QQ
DDaann ffuunnggssii bbiiaayyaa ttoottaall → TTCC == QQ 33 –– 5599 QQ 22 ++ 11331155 QQ ++ 22..000000
Dessy Dwiyanti, S.Si, MBA Matematika Ekonomi 2
BBeerraappaakkaahh ttiinnggkkaatt kkeeuunnttuunnggaann
mmaakkssiimmuumm ??
JJaawwaabb :: π == TTRR –– TTCC ==((-- 22 QQ 22 ++ 11000000 QQ)) –– ((QQ 33 –– 5599 QQ 22
++ 11331155 QQ ++ 22..000000)) π == -- QQ 33 ++ 5577 QQ 22 -- 331155 QQ –– 22..000000
AAggaarr kkeeuunnttuunnggaann mmaakkss.. →π ’’ == 00
→ π ’’ == -- 33 QQ 22 ++ 111144 QQ –– 331155 == 00
-- QQ 22 ++ 3388 QQ –– 110055 == 00
(( -- QQ ++ 33 )) (( QQ –– 3355 )) == 00 →QQ 11 == 33 ddaann QQ 22 == 3355
→ π ’’’’ == -- 66 QQ ++ 111144
ppaaddaa QQ == 33 →π ’’’’ == -- 66 QQ ++ 111144 == -- 66 (( 33 )) ++ 111144
== 9966 >> 00
bbeerraarrttii ppaaddaa QQ == 33 ,, mmaakkaa kkeerruuggiiaann aakkaann
mmaakkssiimmuumm..
ppaaddaa QQ == 3355 →π ’’’’ == -- 66 QQ ++ 111144 == -- 66 (( 3355 )) ++
111144 == -- 9966 << 00
Dessy Dwiyanti, S.Si, MBA Matematika Ekonomi 2
bbeerraarrttii ppaaddaa QQ == 3355 ,, mmaakkaa kkeeuunnttuunnggaann
aakkaann mmaakkssiimmuumm
→ π == -- QQ 33 ++ 5577 QQ 22 -- 331155 QQ –– 22..000000 == ((-- 3355)) 33 ++
5577 ((3355)) 22 –– 331155 ((3355)) –– 22..000000
→ π == 1133..992255
→ jjaaddii kkeeuunnttuunnggaann mmaakkssiimmuumm sseebbeessaarr RRpp..
1133..992255,,0000 ppaaddaa jjuummllaahh ppeennjjuuaallaann sseebbaannyyaakk
3355 uunniitt..
Dessy Dwiyanti, S.Si, MBA Matematika Ekonomi 2
Bab 4. Diferensial Fungsi Majemuk Diferensiasi fungsi majemuk diferensiasi untuk fungsi-fungsi yang mengandung lebih dari satu macam variabel bebas. A. Diferensial Parsial
Diferensial Parsial diferensiasi secara bagian demi bagian
• Fungsi yang mengandung lebih dari satu variabel bebas, maka turunannya akan lebih dari satu macam pula. Misal, fungsi memiliki n macam variabel bebas, maka ia akan memiliki n macam turunan. Contoh : ),( zxfy =
Dessy Dwiyanti, S.Si, MBA Matematika Ekonomi 2
Diferensiasi Total: Contoh:
B. Derivatif dari Derivatif Parsial
Masing-masing turunan parsialnya masih mungkin diturunkan lagi
∂∂
=
∂∂
=
zyzxfbxyzxfa
yx
x
),()
),()?'...
dzzydx
xydy
∂∂
+∂∂
=
Dessy Dwiyanti, S.Si, MBA Matematika Ekonomi 2
Dessy Dwiyanti, S.Si, MBA Matematika Ekonomi 2
Dessy Dwiyanti, S.Si, MBA Matematika Ekonomi 2
C. Nilai Ekstrim
Dessy Dwiyanti, S.Si, MBA Matematika Ekonomi 2
Dessy Dwiyanti, S.Si, MBA Matematika Ekonomi 2
D. Optimasi Bersyarat Apabila fungsi ingin dioptimumkan tetapi terhambat oleh fungsi lain yang harus dipenuhi, maka dapat diselsaikan dengan metode :
4.1 Pengganda Lagrange
Dessy Dwiyanti, S.Si, MBA Matematika Ekonomi 2
Contoh:
Dessy Dwiyanti, S.Si, MBA Matematika Ekonomi 2
4.2 Kondisi Kuhn-Tucker
Dessy Dwiyanti, S.Si, MBA Matematika Ekonomi 2
Referensi :
http://rosihan.web.id