Dessy Dwiyanti, S.Si, MBA Matematika Ekonomi 2 BAB 2...

Dessy Dwiyanti, S.Si, MBA Matematika Ekonomi 2

BAB 2. Diferensial Fungsi Sederhana

A. Kuosien Diferensi dan Derivatif 1.1 Kuosien diferensi (∆y/∆x)

mencerminkan tingkat perubahan rata-rata variabel terikat y terhadap variabel bebas x. (∆y/∆x) dapat juga kita kenal sebagai lereng dari kurva y = f(x) Penjelasan kuosien diferensi :


Contoh:


1.2 Derivatif

Derifatif/turunan hasil yang diperoleh dari proses diferensiasi. Diferensiasi penentuan limit suatu kuosien diferensi dalam hal penambahan variabel bebasnya sangat kecil atau mendekati nol Penjelasan : Turunan fungsi = limit dari kuosien diferensinya

Contoh :


B. Kaidah-kaidah Diferensial

1. Diferensiasi konstanta Jika y = k, dimana k adalah konstanta, maka dy/dx = 0

contoh : y = 5 dy/dx = 0 2. Diferensiasi fungsi pangkat Jika y = xn, dimana n adalah konstanta, maka dy/dx = nxn-1

contoh : y=x3 dy/dx=3x3-1=3x2

3. Diferensiasi perkalian konstanta dengan fungsi

Jika y = kv, dimana v = h(x), dy/dx = k dv/dx


contoh : y = 5x3 dy/dx = 5(3x2) =15x2 4. Diferensiasi pembagian konstanta dengan fungsi

jika y = k/v, dimana v=h(x), maka : 5.Diferensiasi penjumlahan (pengurangan) fungsi jika y = u + v, dimana u = g(x) dan v =h(x) maka dy/dx = du/dx + dv/dx contoh : y = 4x2 + x3 u = 4x 2,du/dx = 8x v = x3 ,dv/dx = 3x2 dy/dx =du/dx + dv/dx = 8x + 3x2

6. Diferensiasi perkalian fungsi Jika y = uv, dimana u = g(x) dan v = h(x)

2

/v

dxkdvdxdy

−=

6

2

23

2

3

15)(

)3(5,5:xx

xx

dxdy

xycontoh −=−==

444322

32

20812)8)(()3)(4(

))(4(:

xxxxxxxdxduv

dxdvu

dxdy

xxycontohdxduv

dxdvu

dxdymaka

=+=+=+=

=

+=⇒


7. Diferensiasi pembagian fungsi Jika y = u/v. dimana u = g(x) dan v = h(x) 8. Diferensiasi Fungsi komposit Jika y=f(u) sedangkan u=g(x),dengan bentuk lain y=f{g(x)}, maka :

226

44

23

223

2

3

2

2

44128)(

)3)(4()8)((

4:

−−=−

=−

−=

−=

=

−=⇒

xxx

xxx

xxxxv

dxdvu

dxduv

dxdy

xxycontoh

vdxdvu

dxduv

dxdymaka

25232

2

2323

12096)12)(54(2)12(2

2,12

54:)54(:

xxxxxudxdu

dudy

dxdy

ududyx

dxdu

uyxumisalxycontohdxdu

dudy

dxdy

+=+==•=

==

=⇒+=⇒+=

•=


9. Diferensiasi fungsi berpangkat Jika y=un, dimana u=g(x) dan n adalah konstanta, maka dy/dx =nun-1 .(du/dx) Contoh : 10. Diferensiasi fungsi logaritmik Jika y = alogx, maka 11.Diferensiasi fungsi komposit-logaritmik Jika y=alogu, dimana u=g(x), maka :

25231

2323

12096)12)(54(2

1254:,)54(

xxxxdxdunu

dxdy

xdxduxumisalxy

n +=+=•=

=→+=⇒+=

−

5ln21

ln1,2log:

ln1

5 ==⇒=

=

axdxdyycontoh

axdxdy


12.Diferensiasi fungsi komposit-logaritmik-berpangkat Jika y = (alogu)n, dimana u = g(x) dan n adalah konstanta, maka :

)6(log5

)2)(3(log5

)2(5

23

log

log)2(

5)2(

)3()2()2()3(:misalkan

23log :contoh

log

22

22

−−=

+−=

+•

+−

=

•=

+=

+−−+

=⇒+−

=

+−

=

•=

xxe

xxe

xxx

edxdu

ue

dxdy

xxxx

dxdu

xxu

xxy

dxdu

ue

dxdy

a

a

exxx

exx

xx

exdxdy

xdxduxu

xydxdu

ue

dudy

dxdy a

log)5(log65

log)5(log30

)10(5log)5(log3

105misalkan

)5(log :contoh

log

222

22

222

2

32

==

=

=→=

=

••=


13. Diferensiasi fungsi logaritmik-Napier Jika y = ln x, maka dy/dx = 1/x

Contoh : y = ln 5, dy/dx = 1/x = 1/5

14.Diferensiasi fungsi Komposit-Logaritmik-Napier Jika y = ln u, dimana u = g(x), maka : 15.Diferensiasi fungsi Komposit-Logaritmik-Napier-berpangkat Jika y = (ln u)n, dimana u = g(x) dan n : konstanta ,Maka

)6(5

)2(5

)3()2(1

)2(5

)2()3( :misalkan

23ln :contoh

1

22

2

−−=

+•

−+

=•=

+=⇒

+−

=

+−

=

•=

xxxxx

dxdu

udxdy

xdxdu

xxu

xxy

dxdu

udxdy


16. Diferensiasi fungsi eksponensial Jika y = ax, dimana a : konstanta, maka :dy/dx = ax ln a Contoh : y = 5x, 17.Diferensasi fungsi komposit – eksponensial Jika y = au dimana u = g(x), maka :

222

22

2

32

)5(ln6 )10(51)5(ln3

105misalkan

)5(ln :contoh

1

xx

xx

xdxdy

xdxduxu

xydxdu

ududy

dxdy

=

=

=→=

=

••=

1ln sebab

juga, maka, hal Dalam

5ln5ln

=

==

==

e

edxdyey

aadxdy

xx

xx


18. Diferensiasi fungsi kompleks Jika y = uv, dimana u =g(x) dan v =h(x) Maka :

19. Diferensiasi fungsi balikan

dxdue

dxdyey

xxdxduaa

dxdy

xdxduxuy

dxduaa

dxdy

uu

xxu

x

u

==

===

=→−==

=

−−

−

maka, hal dalam : Khusus Kasus

9ln9)6()6)(9(ln9ln

643misalkan 9:Contoh

ln

4343

243

22

2

)4ln34(4

4ln1216

)3(4ln4)4(4)(

ln

3/ 4/4 :misalkan ,4 :contoh

ln

23

33

33

3

22

213

1

23

1

xx

xxx

xxxxxdxdvuu

dxduvu

dxdy

xdxdvxvdxduxuxy

dxdvuu

dxduvu

dxdy

x

xx

xx

vv

x

vv

+=

+=

+=

••+•=

=→=

=→==

••+•=

+

++

−

−

−


Jika y = f(x) dan x = g(y) adalah fungsi-fungsi yang saling berbalikan (inverse functions) Maka : 20.Diferensiasi Implisit Jika f (x, y)=0 merupakan fungsi implisit sejati (tidak mungkin dieksplisitkan), dy/dx dapat diperoleh dengan mendiferensiasikan suku demi suku, dengan menganggap y sebagai fungsi dari x

)25(1

/125

5,05:/1

33

4

ydxdydxdyy

dxdy

yyxcontoh

dxdydxdy

+==→+=

+=

=


C. Hakikat Derivatif dan Diferensial

( )

142

2842

4228

02248

tentukan ,024

:

22

2

2

22

+−

=+

−=

−=+

=+−+

=+−

xyyx

xyyx

dxdy

yxdxdyxy

dxdyxy

dxdyxy

dxdyyxxy

contoh

dxdy

xy

x

f(x)yxy

=∆∆

→∆

=⇒∆∆

0lim

kurva dari lereng


D. Derivatif dari Derivatif Tergantung pada derajatnya, sesungguhnya setiap fungsi dapat diturunkan lebih dari satu kali. Turunan pertama (first derivative)


sebuah fungsi adalah turunan dari fungsi awal atau fungsi aslinya. Turunan kedua (second derivative) sebuah fungsi adalah turunan dari turunan pertama , dan seterusnya. Contoh :

Derivatif pertama dan derivative kedua sangat bermanfaat untuk menelaah fungsi yang bersangkutan seperti menentukan posisi-posisi khusus dari kurva fungsi non-linier.


E. Hubungan antara Fungsi dan Derivatifnya 1. Fungsi Menaik dan Menurun

Turunan pertama dari sebuah fungsi non-linear dapat digunakan untuk menentukan apakah kurva dari fungsi yang bersangkutan menaik atau menurun pada kedudukan tertentu.

Contoh : Tentukan apakah y = f(x)= 1/3x3– 4x2+12x -5 merupakan fungsi menaik ataukah fungsi menurun pada x=5 dan x=7. Selidiki pula untuk x= 6


F1(X) = x2-8x+12 F1(5) = 52 - 8(5) +12 = -3<0 fungsi menurun F1(7) = 72 - 8(7) +12 = 5<0 fungsi menurun F1(6) = 62 - 8(6) +12 = 0 fungsi berada di titik

ekstrim yaitu titik minimum

2. Titik ekstrim fungsi parabolic

Turunan pertama dari fungsi parabolik y = f(x) berguna untuk menentukan letak titik ekstrimnya. Sedangkan turunan kedua berguna untuk

mengetahui jenis titik ekstrim yang bersangkutan.


Contoh: y = f(x) = x2 - 8x + 12 ………….fungsi parabolik y’ = f’(x) = dy/dx = 2x – 8 …….fungsi linear y” = f”(x) = d2y/dx2 = 2 ……….konstanta Parabola y = f(x) = x2 - 8x + 12 , mencapai

titik ekstrim – dalam hal ini titik minimum yaitu (4, -4) y’ = 0, nilai variabel bebas x = 4. x = 4 dimasukkan ke dalam persamaan Parabola didapat nilai y = -4


3. Titik Ekstrim dan Titik Belok Fungsi Kubik Titik maksimum atau minimum fungsi kubik,

serta titik beloknya dapat dicari melalui turunan pertama dan kedua dari fungsi tersebut

Fungsi Kubik y = f(x) mencapai titik ekstrim

pada y’ = 0 Jika y” < 0 pada y’ = 0, maka titik

ekstrimnya adalah titik maksimum Jika y” > 0 pada y’ = 0, maka titik

ekstrimnya adalah titik minimum Fungsi kubik y = f(x) berada di titik belok

pada y” = 0

Contoh : y = 1/3x3 – 3x2 + 8x – 3 y’ = x2 – 6x + 8 y” = 2x – 6

Jika y’ = 0, x2 – 6x + 8 = 0 (x – 2)(x – 4) = 0 x1 = 2, x2 = 4


Untuk x1 = 2 dimasukkan pada persamaan kubik maka y = 3.67 (2, 3.67) titik ekstrim maksimum karena untuk x1 = 2 apabila dimasukkan dalam turunan ke dua, maka y” = -2 < 0 (turunan kedua negatif) Untuk x2 = 4 dimasukkan pada

persamaan kubik maka y = 2.33 (4, 2.33) titik ekstrim minimum karena untuk x2 = 4 apabila dimasukkan dalam turunan ke dua, maka y” = 2 > 0 (turunan kedua positif)

Titik belok Jika y” = 0 2x – 6 = 0 x = 3, nilai x = 3 dimasukkan dalam persamaan kubik didapatkannilai y = 3 titik belok (3,3)

Jadi, fungsi kubik y =1/3x3 – 3x2 + 8x – 3 berada di : Titik maksimum pada koordinat (2;3,67) Titik belok pada koordinat (3;3) Titik minimum pada koordinat (4;2,33)


Referensi :

http://rosihan.web.id

Dessy Dwiyanti, S.Si, MBA Matematika Ekonomi 2 BAB 2...

Documents

Transcript of Dessy Dwiyanti, S.Si, MBA Matematika Ekonomi 2 BAB 2...