Despacho Economico de Cargas Dpto Electrotecnia

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09/08/2011 UTN SANTA FE - CÁTEDRA SISTEMAS DE POTENCIA UT 5 – Página 1 UNIDAD TEMÁTICA N° 5 Parte I “DESPACHO ECONÓMICO DE CARGAS” Docentes de la Cátedra Ing. Julio César Turbay & Ing. Germán G. Lorenzón 09/08/2011 UTN SANTA FE - CÁTEDRA SISTEMAS DE POTENCIA UT 5 – Página 2 INTRODUCCIÓN

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09/08/2011 UTN SANTA FE - CÁTEDRA SISTEMAS DE POTENCIA UT 5 – Página 1

UNIDAD TEMÁTICA N° 5

Parte I

“DESPACHO ECONÓMICO DE CARGAS”

Docentes de la CátedraIng. Julio César Turbay & Ing. Germán G. Lorenzón

09/08/2011 UTN SANTA FE - CÁTEDRA SISTEMAS DE POTENCIA UT 5 – Página 2

INTRODUCCIÓN

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Sistema caracterizado por: (a) Una Demanda Total de 969,9 MW; (b) 8 Centrales Generadoras (ubicadas en las barras numeradas del 1 al 8); (c) 28 barras (de las cuales 17 son de tensión controlada) y (d) 35 ramas.

Tomado del artículo de Jerome Meisel “System Incremental Costo Calculations Using the Participation Factor Load-FlowFormulation”, IEEE Trans. on Power Systems, Vol. 8, No. 1, February 1993, pp. 357-363.

Sistema de la American Gas and Electric Company, hacia el año 1.993

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Condición de operación estática:

ΣPGi = ΣPDj + PL (1)

Se define como un Despacho de Generación (DG), cada uno de los conjunto de valores de PGi que cumplan con esta condición

Un Estudio de Flujos de Potencia sólo determina -entre otras cosas no menores- si uno de estos posibles DG satisfacen la (1) sin violaciones de tensión en las barras y/o sobrecargas en las ramas del SEP.

Sin embargo, ese DG con que se realiza dicho cálculo de Flujos de Potencia debe ser elegido a priori por el analista.

Nos interesa averiguar cuál es el DG particular en el que se logra la combinación óptima de aporte de potencia de cada Generador, de tal manera que se satisface toda la demanda (más las pérdidas) al menor costo variable de generación posible.

Ese DG así determinado se denomina Despacho Económico de Generación, o simplemente DEC.

Surge ahora la pregunta … ¿Cómo determinar el DEC?

El objetivo de esta UT es precisamente exponer y fundamentar cómo se lo puede hacer.

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Supóngase que en el SEP de la figura, cada Generador está caracterizado por funciones como las siguientes

¿Cómo proceder para determinar el DEC, suponiendo que no existen restricciones a las PG’s y se desprecian las PL?

Opción dos: Método racional según Grainger-Stevenson

Opción uno: el Método de Prueba y Error

FuncionesCosto Variable de Generación

f1 (PG1) = 0.00410 PG12 + 1.2800 PG1 + 0.0 [$ / h]

f2 (PG2) = 0.00220 PG22 + 0.7950 PG2+ 0.0 [$ / h]

f3 (PG3) = 0.00190 PG32 + 0.9045 PG3+ 0.0 [$ / h]

f4 (PG4) = 0.00215 PG42 + 0.6570 PG4+ 0.0 [$ / h]

f5 (PG5) = 0.00111 PG52 + 0.8898 PG5+ 0.0 [$ / h]

f6 (PG6) = 0.00410 PG62 + 1.2800 PG6+ 0.0 [$ / h]

f7 (PG7) = 0.00410 PG72 + 1.2800 PG7+ 0.0 [$ / h]

f8 (PG8) = 0.00410 PG82 + 1.2800 PG8+ 0.0 [$ / h]

fi(PGi) = ai·PGi2 + bi·PGi + ci

ai en [$ /MW2·h]

bi en [$ /MW·h]

ci en [$ / h]

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Opción uno: el Método de Prueba y Error

PG's asignadas aleatoriamente

GEN PG [MW]Costo deCombustible [ $ / h]

1 50 74,252 70 66,433 100 109,454 120 109,805 150 158,336 200 300,007 250 808,758 29,9 22,78

969,9 1.649,78

PG's asignadas aleatoriamente

GEN PG [MW]Costo deCombustible

[ $ / h]1 300 753,002 250 336,253 200 256,904 119,9 109,685 50 47,236 25 11,257 15 11,878 10 6,36

969,9 1.532,53

Opción dos: Método racional según Grainger-Stevenson

115 %

100 %

154 % 143 %

SISTEMA CON 8 MAQUINAS (JEROME MEISEL)< KMAQ ><UNIDAD><MAXITE>< TOLE >< PD >

8 1 10 1.E-3 969.9<ID><PMIN><PMAX>< A(I) >< B(I) >< C(I) >

1 1.0 999. 0.00410 1.2800 0.02 1.0 999. 0.00220 0.7950 0.03 1.0 999. 0.00190 0.9045 0.04 1.0 999. 0.00215 0.6570 0.05 1.0 999. 0.00111 0.8890 0.06 1.0 999. 0.00600 0.3000 0.07 1.0 999. 0.01040 0.6350 0.08 1.0 999. 0.00635 0.5720 0.0

DEC.EXE

Prueba 1 Prueba 2 Prueba 3Todas las PG's iguales,calculadas como PD/8

GEN PG [MW]Costo deCombustible

[ $ / h]1 121,2375 215,452 121,2375 128,723 121,2375 137,594 121,2375 111,255 121,2375 124,106 121,2375 124,567 121,2375 229,858 121,2375 162,68

969,9 1.234,20

MEISEL1.DEC

MEISEL1. SAL

PG's según Despacho Económico

GEN PG [MW]Costo deCombustible [ $/ h]

1 21,9857 30,122 151,2006 170,503 146,2586 172,934 186,8099 197,765 257,3346 302,286 96,69022 85,107 39,67705 41,578 69,9435 71,07

969,90017 1.071,34

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• El DG normalmente buscado es el conocido como el“Despacho Económico de Cargas” (DEC).

• DEC: Es el DG particular que minimiza el costo total de generación a pagar para satisfacer el conjunto ΣPDj.

• El Costo Total de Generación del SEP se representa por una función de las PGi simbolizada como “F”.

• Como el costo “F” está fuertemente influenciado por cómo se distribuyen las “PGi” entre distintas Centrales y sólo ligeramente respecto de otras variables, como por ejemplo las “QGi”, se asume que “F” es sólo función de las PGi a través de la función Costo de Generación de cada Unidad fi(PGi).

F = F(PG1, PG2, ..., PKMAQ) = Σ fi(PGi) [$/h]KMAQ

i = 1

fi (PGi) = ai·PGi2 + bi·PGi + ci [$/h]

Donde KMAX es la cantidad de Máquinas presentes en el SEP

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LA FUNCIÓN COSTO DE GENERACIÓN

MOTOR DEINDUCCIÓN

BOMBAIMPULSORA

CONDENSADOR

TURBINADE VAPOR

GENERADORDE VAPOR

GENERADORSINCRÓNICO

ω

PG2

REGULADORDE VELOCIDAD

FUEGOADICIONAL

TURBINADE GASCOMPRESOR

AGUA DEREFRIGERACIÓN

PG1

AIRE

COMBUSTOR

REGULADORDE VELOCIDAD

QUEMADOS

PGi

QGi

QG,max

QG,min

PG,min PG,max

ω

CURVA DECARGABILIDAD

MI

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LA FUNCIÓN COSTO DE GENERACIÓN

• La función Costo de Generación “fi(PGi)” se determina experimentalmente.

• El punto de partida es la función Entrada de Combustible & Salida de Potencia Eléctrica, de la Unidad Generadora.

Entrada = cantidad de combustible, en [BTU], [barriles de petroleo], [Ton. de Carbón], [m3 de fuel-oil], etc., consumida durante una hora, para producir una cantidad PG [MW] constante (= Salida).

Costo de Generación [$ / MW·h] = Entrada [BTU] x costo de combustible [$/BTU] + gastos fijos; durante 1 hora.

Existirá una de tales funciones para cada Generador y, a su vez, una para cada Central.

PG [MW]

En

trad

a d

e C

om

bu

stib

le[B

TU

/ h

] CURVAENTRADA – SALIDA

PG [MW]

Co

sto

de G

en

era

ció

n[$

/ M

W·h

]

CURVACOSTO DE GENERACIÓN

c

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EL PROBLEMA GENERAL DEL “DEC”

• Luego, el objetivo de un DEC se expresa matemáticamente como la tarea de lograr

Minimizar la función “F(PGi)”

Respetando las restricciones

h(PG1, PG2, ... , PKMAQ) = 0

PGi,min ≤ PGi ≤ PGi,max para i = 1, 2, ..., KMAQ

donde

F = Σ fi(PGi) [$/h] siendo fi (PGi) = ai·PGi2 + bi·PGi + ci [$/h]

KMAQ

i = 1

h(PG1, PG2, ...) = Σ PGi - Σ PDj – PL

KMAQ

i = 1

NB

j = 1

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CATEGORÍAS DE DESPACHO ECONÓMICO

• Según la complejidad para formular su solución:

I. DEC DESPRECIANDO PÉRDIDAS DE TRANSPORTE.

II. DEC CONSIDERANDO PÉRDIDAS DE TRANSPORTE.

III. DEC CONSIDERANDO PÉRDIDAS DE TRANSPORTE y RESTRICCIONES EN LA OPERACIÓN (FLUJO ÓPTIMO).

• Sólo se verá en detalle las Categorías I y II y se hará una ligera referencia a la III.

• El problema se reducirá entonces a hallar el mínimo de la función F($/h).

• Caso I: Las funciones que expresarán elproblema de hallar “F” serán lineales enPGi y PDj “Problema de ProgramaciónLineal” Existirá solución analítica.

• Caso II: Las funciones que expresarán elproblema de hallar “F” NO serán lineales enPGi y PDj “Problema de ProgramaciónAlineal” No existirá solución analítica

Solución Numérica.

ΣPGi

ΣPDj

DEC con PL

DEC sin PL

∑∑==

=NB

JDj

KMAQ

iGi PP

11

L

NB

JDj

KMAQ

iGi PPP += ∑∑

== 11

)P...,PP(fP KMAQ,G,GL 21=

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I. DEC DESPRECIANDO PÉRDIDAS DE TRANSPORTE

• Caso aplicable a:– SEP cuya Red Eléctrica posee un muy elevado grado de

mayado.– DEC entre máquinas de una misma Central.

• El objetivo será

Minimizar F[$/h] =Σ fi(PGi)

con la restricción

h(PG1, PG2, ..., PKMAQ) = ΣPGi – PD = 0

Despreciando, en una primera etapa, la restricción

PGi,min ≤ PGi ≤ PGi,max

• Se desarrollará el caso en que KMAQ = 2, buscando una interpretación gráfica-intuitiva y luego se generalizará para un KMAQ cualquiera.

PG1 PG2 PGKMAQ

PD

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I. DEC DESPRECIANDO PÉRDIDAS DE TRANSPORTE

• Aproximación intuitiva a la solución:

PG10+PG2

0 = PD ∧ F0 = f10 + f2

0

(PG10 + 1)+(PG2

0 -1) = PG11 + PG2

1 = PD

F1 = F0 +∆f21+∆f1

1

/∆f21/>/∆f1

1/ ⇒ (∆f21 + ∆f1

1)<0 ⇒ F1 < F0

G1 = G2 ⇒ f1($/h) = f2($/h) = f($/h)

Mín F ⇒ ∆f1/∆PG1=∆f2 /∆PG2 ⇒ df1/dPG1 = df2/dPG2

PG1

PD

G1 G2

PG2

dfi/dPGi = Costo Incremental de Generación [$/h]

(PG11+1)+(PG2

1 - 1) = PG12 + PG2

2 = PD

F2 = F1 +∆f22+∆f1

2

/∆f22/>/∆f1

2/ ⇒ (∆f22 + ∆f1

2)<0 ⇒ F2 < F1

(PG12+1)+(PG2

2 -1) = PG13 + PG2

3 = PD

F3= F2 +∆f23+∆f1

3

/∆f23/=/∆f1

3/ ⇒ (∆f23 + ∆f1

3)=0 ⇒ F3 = F2

(PG13+1)+(PG2

3-1) = PG14 + PG2

4 = PD

F4= F3 +∆f24+∆f1

4

/∆f24/</∆f1

4/ ⇒ (∆f23 + ∆f1

3)>0 ⇒ F4 > F3

PG [MW]

f ($/h)

PG10

PG20

f21

f13

f14

f22

f23

f24

PG11 PG1

2 PG13 PG1

4

PG21PG2

2PG23PG2

4

∆f11

∆f12

∆f13

∆f14

∆f24

1 MW

∆f21

∆f22

∆f23

f10

f11

f12

f20

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I. DEC DESPRECIANDO PÉRDIDAS DE TRANSPORTE

• Para KMAQ = 2F = f1(PG1) + f2(PG2)

h(PG1, PG2) = PG1 + PG2 – PD = 0

Ecuaciones que se representan en la Tabla y Figura A.

PG2[MW]

F = f1(PG1) +f2(PG2)[$/h]

PG1[MW]

F [$/h]

PG1[MW]

PG2[M

W]

Superficie Costode Combustible

Figura A

PD [MW]

h(PG1, PG2) = 0

Recta de RestricciónPD [MW]

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I. DEC DESPRECIANDO PÉRDIDAS DE TRANSPORTE

• Operar al mínimo costo implica ajustar PG1 y PG2 de tal manera de ubicarse sobre el punto más bajo de la curva definida por la intersección de la Superficie de Costos y el Plano de Restricción ⇒ Punto de Costo mínimo restringido de Figura B.

F [$/h]

PG1[MW]

PG2[M

W]

PD [MW]

h(PG1, PG2) = 0

Superficie Costode Combustible

Plano deRestricción

Recta de Restricción

Mínimo de “F”,respetando

la restricción “h”

Figura AFigura BPD [MW]

Punto Mínimorestringido

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F [$/h]

PG1[MW]

PG2[M

W]

PD [MW]

h(PG1, PG2) = 0

Plano deRestricción

Recta de Restricción

Mínimo de “F”,respetando

La restricción

Figura B

PD [MW]

022

11

=⋅∂∂

+⋅∂∂

GG

GG

dPP

FdP

P

F

02121 =−+= DGGGG PPPPPh ),(

022

11

=⋅∂∂

+⋅∂∂

GG

GG

dPP

FdP

P

F

1

2

2

1

G

G

G

G

PF

PF

dP

dP

∂∂∂∂

−=/

/

022

11

=⋅∂∂

+⋅∂∂

GG

GG

dPP

hdP

P

h

1

2

2

1

G

G

G

G

Ph

Ph

dP

dP

∂∂∂∂

−=/

/

• Determinación matemática del “Punto de F mínimo restringido”:

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09/08/2011 UTN SANTA FE - CÁTEDRA SISTEMAS DE POTENCIA UT 5 – Página 17

• De las dos últimas ecuaciones, se tiene:

• La que rescrita como

... define la variable “λ”, conocida matemáticamente como el “operador de Lagrange” y físicamente como “Costo Incremental de Generación”.

• Desdoblando esta última en dos

1

2

1

2

G

G

G

G

P/h

P/h

P/F

P/F

∂∂∂∂

=∂∂∂∂

λ=∂∂∂∂

=∂∂∂∂

2

2

1

1

G

G

G

G

Ph

PF

Ph

PF

/

/

/

λ

=∂∂∂∂

=∂∂∂∂

2

2

1

1

G

G

G

G

P/h

P/F

P/h

P/F

0

0

22

11

=∂∂

⋅−∂∂

=∂∂

⋅−∂∂

GG

GG

P

h

P

F

P

h

P

F

λ

λ(2)

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• Reemplazando “F” y “h” por sus expresiones

F(PG1, PG2) = f1(PG1) + f2(PG2)h(PG1, PG2) = PG1 + PG2 - PD

resulta

• Y similarmente para las derivadas respecto de PG2.

• Con lo cual se tienen las ecuaciones que responden al DEC:

• Expresadas las (2a) con palabras:

Para lograr un DEC, cada uno de los Generadores debe operar individualmente con el mismo Costo Incremental de Generación “λ” (= ∂fi/ ∂PGi).

– λ en [$/MW·h] si PG en [MW],

– λ en [$/h] si PG en [pu].

11

1

21

1

=∂∂

∂−+∂

=∂∂

G

G

DGG

G

P

h

P

]PPP[

P

h

1

11

1

1

2211

1

G

G

G

G

GG

G

dP

)P(df

P

F

P

)]P(f)P(f[

P

F

=∂∂

∂+∂

=∂∂

021

2

22

1

11

=−+

=

=

DGG

G

G

G

G

PPP

dP

)P(df

dP

)P(df

λ

λ

(2a)

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• Observar que en el sistema (2a):

No intervienen los parámetros de la Red de Transporte, ya que se supone ésta sin pérdidas.Existen tantas ecuaciones (tres) como incógnitas (tres) : λ, PG1 y PG2, yEstá formado por “K”Ecuaciones “desacopladas” entre sí(Las funciones “fi” sólo son funciones de su PGi y de ahí que también lo sean sus derivadas).

• Por ende, el Sistema (2a) es analíticamente resoluble.

• Generalizando (2a) para el caso de “K” Generadores de una misma Central, o “K” Centrales sobre una Red sin PL

• Sistema de “K+1” ecuaciones, con “K+1” incógnitas: PG1, PG2, ..., PGK y λ.

021

2

22

1

11

=−+++

=

=

=

DGKGG

GK

GKGK

G

G

G

G

PPPP

dP

)P(df

dP

)P(df

dP

)P(df

L

M

λ

λ

λ

(2b)

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• Algoritmo computacional usualmente empleado para resolverlo:

1. Se plantean las (2b) así

2. Se resuelven para PG1,PG2,..., PGK,

3. Se suman m. a m. las (3)

λλ

λλ

=+⋅=+⋅

=+⋅=+⋅

−−−

KKK

KKK

G

G

bPabPa

bPabPa

22

22

111

222

111

M(2b)

K

KK

G

G

a

bP

a

bP

a

bP

2

2

2

2

22

1

11

−=

−=

−=

λ

λ

λ

M(3)

∑∑==

−⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=+++

K

i i

iK

i iKGG a

b

aPPP

1121 22

1 λL

4. Se resuelven para “λ”

donde

∑∑∑∑=

==

=

⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⋅⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

K

i i

iK

i i

K

iGi

K

i i a

b

aP

a1

1

11

1

122

1

2

(4)TGTT bPa +⋅=λ

∑∑=

=

⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

K

i i

iK

i iT a

b

ab

1

1

122

1

1

12

1−

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= ∑

K

i iT a

a

( )D

K

iGiGT P PP ==∑

=1

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09/08/2011 UTN SANTA FE - CÁTEDRA SISTEMAS DE POTENCIA UT 5 – Página 21

5. Finalmente, se halla de (4) el valor de “λ” con el que debe operar cada Generador y de (3) el valor de “PG” que se le asignará a cada uno de ellos.

• Si se observa la (2) …

… se podrá notar que la misma es el resultado de derivar una función como la siguiente

• Esta función, que funde en una sola la “Función Costo F” a minimizar, junto con la correspondiente al “Plano de Restricción h”, es por ello mismo denominada “Función Costo Retringida”o “Función Costo Aumentada” .

• El DEC buscado se logrará, entonces, cuando se cumpla

F* = F - λ·h

0=∂∂

⋅−∂∂

GiGi P

h

P

F λ

, ..., K, i con P

F

Gi

*

210 ==∂∂

(2’)K

KK

G

G

a

bP

a

bP

a

bP

2

2

2

2

22

1

11

−=

−=

−=

λ

λ

λ

M

(3)

(4)TGTT bPa +⋅=λDP

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I. DEC DESPRECIANDO PÉRDIDAS DE TRANSPORTE

• Hasta aquí se ha obviado la restricción

PGi,min ≤ PGi ≤ PGi,max

• Pero si se la considerara, puede suceder que, por ejemplo, ...

... el DEC determine un valor de PG4, tal que

PG4 ≥ PG4,max

• En cuyo caso lo que se hace es

PD ← PD - PG4,max

• Se “saca” de juego el G4.

• Y se repite cálculo con este nuevo valor de PD, quedando por determinar sólo PG1, PG2, y PG3.

G1

PG1 PG2

G4

PG4

PD

PG3

G2 G3

PG4

QG4

QG4, max

QG4, min

PG4, min PG4, max

CURVA DECARGABILIDAD G4

PG4 determi-nado por DEC

X

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09/08/2011 UTN SANTA FE - CÁTEDRA SISTEMAS DE POTENCIA UT 5 – Página 23

II. DEC CONSIDERANDO LAS PÉRDIDAS DE TRANSPORTE

• A partir de

F* = F - λ·h

Si al Plano de Restricción “h” se le incorporan las Pérdidas de Transporte PL, resultará

• El DEC buscado, será –como antes- el mínimo de “F” respetando la Restricción “h”. Esto es, cuando

• Sólo que ahora esto se cumplirá cuando

• La que puede reescribirse como

Donde

Se denomina “Factor de Penalización”de la Central “i”.

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−⋅−= ∑∑

==LD

K

iGiGi

K

ii PPPPfF

11

λ)(*

, ...,K, i para P

F

Gi

*

210 ==∂∂

(5)0=∂∂

⋅+−Gi

L

Gi

i

P

P

dP

dfλλ

Gi

Li

P

PL

∂∂

−=

1

1

λ=

∂∂

−⋅

Gi

LGi

i

P

PdP

df

1

1

λ=⋅ iGi

i LdP

df

(5a)

01 =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−⋅−Gi

L

Gi

i

P

P

dP

dfλ

09/08/2011 UTN SANTA FE - CÁTEDRA SISTEMAS DE POTENCIA UT 5 – Página 24

II. DEC CONSIDERANDO LAS PÉRDIDAS DE TRANSPORTE

• Advertir de esta última que:

1. Para una Red muy mayada, esto es, de pérdidas despreciables, ∂PL/∂PGi ≈ 0 y Li≈1, que es el Caso I.

2. Cuánto más sensible sea la variación de PL respecto de una PGi, tanto mayor será su Li.

3. Cuanto mayor sea Li tanto menor deberá ser el Costo Incremental de Generación, ∂fi/∂PGi para entrar en Despacho Económico. En este último caso se puede decir que Li “penaliza”la ubicación desfavorable de una Central “i” respecto de la demanda.

• El Sistema de Ecuaciones a resolver ahora, para determinar las PGi que establecen un DEC y utilizando la forma de expresión (5), será

Sistema de “K” ecuaciones “acopladas” con “K+1” incógnitas (PG1, PG2, ..., PGK, más λ), más la restricción

(PG1+PG2 +...+PGK) – PD – PL = 0

λλ

λλ

λλ

=∂∂

⋅+

=∂∂

⋅+

=∂∂

⋅+

GK

L

GK

K

G

L

G

G

L

G

P

P

dP

df

P

P

dP

df

P

P

dP

df

M

22

2

11

1

(5b)

Page 13: Despacho Economico de Cargas Dpto Electrotecnia

09/08/2011 UTN SANTA FE - CÁTEDRA SISTEMAS DE POTENCIA UT 5 – Página 25

II. DEC CONSIDERANDO LAS PÉRDIDAS DE TRANSPORTE

• “Acoplamiento” entre ecuaciones a través de ∂PL/∂Pgi: PL en la “i-ésima”ec. es función no sólo de PGi sino también de las PG1, PG2, ..., PGK.

• Luego, el primer paso para avanzar en el planteo de la solución de este Sistema de “K” ecuaciones acopladas es expresar PL en función de las PG.

• Esto se logra a través de los denominados “Coeficientes de Pérdidas de Transmisión” o “Coeficientes B”.

• Estos Coeficientes “B” relacionan la contribución que hace cada generador a las Pérdidas globales de Transporte.

• Así, las Pérdidas de Transmisión expresadas mediante éstos, es

• Y su derivada respecto de una generación en particular, PGi,

• Disponiéndose ahora de un Sistema de “K” ecuaciones mutuamente acopladas, con “K+1” incógnitas, como sigue

(6)∑∑= =

⋅⋅=K

i

K

jGjijGiL PBPP

1 1

∑=

⋅⋅=∂∂ K

jGjij

Gi

L PBP

P

1

2

09/08/2011 UTN SANTA FE - CÁTEDRA SISTEMAS DE POTENCIA UT 5 – Página 26

• El que, reagrupados convenientemente sus términos, se rescribe en la forma matricial (5c) siguiente

λλλλ

λλλλλλλλ

=⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+⋅⋅⋅++⋅

=⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+⋅⋅⋅++⋅=⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+⋅⋅⋅++⋅

GKKKGKGKKGKK

GKKGGG

GKKGGG

PBPBPBbPa

PBPBPBbPaPBPBPBbPa

2222

22222222

2211

2222121222

1212111111

L

L

L

⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢

−−

=

⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢

⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢

⋅⋅+⋅⋅⋅⋅⋅

⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⋅

KGK

G

G

KKKKK

K

K

b

b

b

P

P

P

BaBB

BBaB

BBBa

λ

λλ

λλλ

λλλλλλ

MM

L

MLMM

L

L

2

1

2

1

21

222221

112111

2222

2222

2222

[ ] [ ] [ ]CPB G =⋅± datodato

incógnita

(5c)

• A partir de las (5b) y las expresiones de PL y sus derivadas, se escribe el siguiente Sistema de Ecuaciones

Page 14: Despacho Economico de Cargas Dpto Electrotecnia

09/08/2011 UTN SANTA FE - CÁTEDRA SISTEMAS DE POTENCIA UT 5 – Página 27

• Sistema de ecuaciones (5c): integrado por “K” ecuaciones “acopladas” y “K+1” incógnitas. Su solución ⇒ Limitar a un número “K” las incógnitas y luego recurrir a algún método numérico iterativo para resolverlo.

• Se “elige” discrecionalmente el valor de λ.

• Método numérico iterativo ⇒ requerirá tres parámetros:

1. Contador de iteraciones, k,

2. Número máximo de iteraciones admitido, MAXITE,

3. Error tolerado en el cálculo de las PG, ε.

• Se aceptará que el conjunto de PGi que producen el DEC será la solución buscada cuando se logre que

/PD+PL-(PG1+...+PGK)/ ≤ ε (7)

antes que se alcance la MXITE.

• Luego, el algoritmo de cálculo será:

09/08/2011 UTN SANTA FE - CÁTEDRA SISTEMAS DE POTENCIA UT 5 – Página 28

1. “Asumir” previamente algún valor de “λ”(valor inicial λ1),

2. Calcular [PG] k

mediante la (5c),

3. Calcular PLk

mediante la (6),

4. Verificar si se cumple la (7).

5. Si no se verificase esta desigualdad, se estima un nuevo valor de “λ” así

λk+1 = λk + ∆λk (8)

y se retorna al Paso 2.

• Repetir este ciclo iterativo tantas veces como sea necesario para que se cumpla la (7), o hasta que se alcance la cantidad de iteraciones máximas MAXITE.

• La corrección de “λ” (8) se hace mediante la (9) siguiente

∆λk = (λk - λk-1)·PD + PL

k - ΣPGik

ΣPGik - ΣPGi

k-1(9)

(PD+PL- ΣPGi ) > 0 → ΣPGi → λ

amortiguador

PGi

∂fi / ∂PGi

Page 15: Despacho Economico de Cargas Dpto Electrotecnia

09/08/2011 UTN SANTA FE - CÁTEDRA SISTEMAS DE POTENCIA UT 5 – Página 29

II. FLUJO DE INFORMACIÓN DE UN DEC CONSIDERANDO PL(Base del programa DEC.EXE)

k = 1

Actualización con “λk” de losElementos de la Matriz (5c) y

Resolución de la misma para [PG]k

¿/PD+PL-ΣPGik/ ≤ ε?

[desigualdad (7)]

SINO

¿k ≤ MAXITE?NOSI

k ← k +1

Cálculo corrección ∆λk

mediante (9) y actuali-

zación de λkmediante

la (8).

Cálculo me-diante (5a)

de “Li”

Impresión de:λk, Li y [PG]k

FIN

A

Cálculo de “λ1”mediante (4),

despreciando PL

Lectura de Datosdel Caso a resolver

A

COMIENZO

(4)TGTT bPa +⋅=1λ

1

12

1−

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= ∑

K

i iT a

a

∑∑=

=

⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

K

i i

iK

i iT a

b

ab

1

1

122

1

( )D

K

iGiGT P PP ==∑

=1

09/08/2011 UTN SANTA FE - CÁTEDRA SISTEMAS DE POTENCIA UT 5 – Página 30

1

PD1 = 1,0QD1 = 0,0

2

PD2 = 3,0QD2 = 0,0

PG1 PG2

R12= 0,02 X12 = 0,10

Y12 = 0,00

f1(PG1) = 0,5 · PG12 + 2,0 · PG1 + 0,0 f2(PG2) = 0,5 · PG2

2 + 2,0 · PG2 + 0,0

[ ] ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−=

001288,0003713,0

003713.0010948,0B

Opción #1: Cada Generador se hace cargo de la demanda de su barra

Generador #1: f1(1,0) = 0,5 · 1,02 + 2,0 · 1,0 = 2,5 $/hGenerador #2: f2(3,0) = 0,5 · 3,02 + 2,0 · 3,0 = 10,5 $/hCosto Total de Generación … … … … … … … = 12,5 $/h

Opción #2: Se busca con el programa DEC el Despacho Económico

Dato:

Ejemplo 1 El aporte de los Generadores 1 y 2 deben combinarse para satisfacer toda la demanda.

Los dos Generadores son iguales

Page 16: Despacho Economico de Cargas Dpto Electrotecnia

09/08/2011 UTN SANTA FE - CÁTEDRA SISTEMAS DE POTENCIA UT 5 – Página 31

DEC.EXE

∆ Costo = - 3,4 %

SECCION 8-4-1 P.285 DE "ELECTRIC ENERGY ..." DE ELGERD.< KMAQ ><UNIDAD><MAXITE>< TOLE >< PD >

2 0 11 1.E-3 4.0<ID><PMIN><PMAX>< A(I) >< B(I) >< C(I) >

1 0.01 999.0 0.50 2.00 0.002 0.01 999.0 0.50 2.00 0.00

< B11 >< B12 >< B13 >< B14 >0.010948 -0.003713 -0.003713 0.001288

841ELGER.DEC

*** RESUMEN DE LOS RESULTADOS ***

PG( 1 )................ = 1.935984 [ PU ]dPL/dPG( 1 ) .......... = .026934L( 1 ) ................ = 1.027679dF( 1 )/dPG( 1 ) ...... = 3.935984 [ $/h ]dF( 1 )/dPG( 1 )*L( 1 ) = 4.044929 [ $/h ]

PG( 2 )................ = 2.081394 [ PU ]dPL/dPG( 2 ) .......... = -.009015L( 2 ) ................ = .991066dF( 2 )/dPG( 2 ) ...... = 4.081394 [ $/h ]dF( 2 )/dPG( 2 )*L( 2 ) = 4.044930 [ $/h ]

*** DESPACHO ECONOMICO CONSIDERANDO LAS PERDIDAS EN LA RED ***

POTENCIA DE SALIDA PLANTA # 1 .......... = 1.9359840 [ PU ]POTENCIA DE SALIDA PLANTA # 2 .......... = 2.0813940 [ PU ]POTENCIA GENERADA TOTAL ................ = 4.0173770 [ PU ]POTENCIA DEMANDADA A LA RED ............ = 4.0000000 [ PU ]POTENCIA CONSUMIDA EN LA RED ........... = .0166899 [ PU ]

************** COSTOS DE GENERACION **************COSTO PLANTA # 1 ............ = 5.7460 [ $/h ]COSTO PLANTA # 2 ............ = 6.3289 [ $/h ]COSTO TOTAL DE GENERACION ... = 12.0749 [ $/h ]

841ELGER.SAL

09/08/2011 UTN SANTA FE - CÁTEDRA SISTEMAS DE POTENCIA UT 5 – Página 32

Ejemplo 2 Despacho Económico en el Sistema de la American Gas and Electric Company, considerando las Pérdidas de Transmisión.

SISTEMA CON 8 MAQUINAS, TOMADO DE "SYSTEM INCREMENTAL ..." POR JEROME MEISEL< KMAQ ><UNIDAD><MAXITE>< TOLE >< PD >

8 1 10 1.E-3 969.9<ID><PMIN><PMAX>< A(I) >< B(I) >< C(I) >

1 1.0 999. 0.00410 1.2800 0.02 1.0 999. 0.00220 0.7950 0.03 1.0 999. 0.00190 0.9045 0.04 1.0 999. 0.00215 0.6570 0.05 1.0 999. 0.00111 0.8890 0.06 1.0 999. 0.00600 0.3000 0.07 1.0 999. 0.01040 0.6350 0.08 1.0 999. 0.00635 0.5720 0.0

< B11 >< B12 >< B13 >< B14 >< B15 >< B16 >< B17 >< B18 >8.670E-4 -0.986E-4 -1.697E-4 -0.661E-4 -0.898E-4 -2.064E-4 -2.914E-4 -3.498E-4

6.145E-4 4.688E-4 1.299E-4 -1.227E-4 -1.954E-4 -2.192E-4 -2.276E-411.24E-4 1.314E-4 -1.121E-4 -2.630E-4 -3.595E-4 -4.240E-4

2.730E-4 0.231E-4 -0.754E-4 -1.094E-4 -1.292E-42.360E-4 1.181E-4 0.681E-4 0.332E-4

3.815E-4 2.210E-4 1.732E-45.950E-4 5.595E-4

12.14E-4

[ B ] =

MEISEL.DEC

MEISEL.SAL

DEC.EXE

Page 17: Despacho Economico de Cargas Dpto Electrotecnia

09/08/2011 UTN SANTA FE - CÁTEDRA SISTEMAS DE POTENCIA UT 5 – Página 33

*** DESPACHO ECONOMICO CONSIDERANDO LAS PERDIDAS EN LA RED ***

POTENCIA DE SALIDA PLANTA # 1 .......... = 72.9653000 [ MW ]POTENCIA DE SALIDA PLANTA # 2 .......... = 139.3102000 [ MW ]POTENCIA DE SALIDA PLANTA # 3 .......... = 113.2664000 [ MW ]POTENCIA DE SALIDA PLANTA # 4 .......... = 183.7430000 [ MW ]POTENCIA DE SALIDA PLANTA # 5 .......... = 267.6196000 [ MW ]POTENCIA DE SALIDA PLANTA # 6 .......... = 109.0821000 [ MW ]POTENCIA DE SALIDA PLANTA # 7 .......... = 48.2526700 [ MW ]POTENCIA DE SALIDA PLANTA # 8 .......... = 79.0368000 [ MW ]POTENCIA GENERADA TOTAL ................ =1013.2760000 [ MW ]POTENCIA DEMANDADA A LA RED ............ = 969.9000000 [ MW ]POTENCIA CONSUMIDA EN LA RED ........... = 43.3757200 [ MW ]

************** COSTOS DE GENERACION **************COSTO PLANTA # 1 ............ = 115.2237 [ $/h ]COSTO PLANTA # 2 ............ = 153.4477 [ $/h ]COSTO PLANTA # 3 ............ = 126.8250 [ $/h ]COSTO PLANTA # 4 ............ = 193.3064 [ $/h ]COSTO PLANTA # 5 ............ = 317.4124 [ $/h ]COSTO PLANTA # 6 ............ = 104.1181 [ $/h ]COSTO PLANTA # 7 ............ = 54.8550 [ $/h ]COSTO PLANTA # 8 ............ = 84.8763 [ $/h ]COSTO TOTAL DE GENERACION ... = 1150.0650 [ $/h ]

MEISEL.SAL

Costo MW promedio = 1.150,065 $ / 969,9 MW·h = 1,186 $ /MW·h

Costo de PL = 43,3757 MW · 1,186 $ / MW·h = 51,433 $ / h

Suponiendo que este estado de cargas dura 5 h /d

Costo de PL = (51,433 $ / h) · (5 h / h) · (365 d / año) = 93.865,2 $ / año (sólo considerando esteperíodo de la curva de carga)

PL / PD = 43,3757 MW / 969,9 MW = 4,47 %

0 24 hPeríodos del día

restovalle pico

PD [MW]

5 18 23

09/08/2011 UTN SANTA FE - CÁTEDRA SISTEMAS DE POTENCIA UT 5 – Página 34

III. DEC CONSIDERANDO LAS PÉRDIDAS DE TRANSPORTE y RESTRICCI0NES EN LA OPERACIÓN

• La solución a este problema es combinar Despacho Económico con Flujos de Potencia.

• El planteo de esta combinación se conoce como “Flujo de Potencia Óptimo”.

• El algoritmo correspondiente consiste en iterar entre resolver Flujos de Potencia en la Red y realizar Despachos Económicos de Generación, sujetos a las restricciones impuestas por los límites en la Red de Transmisión.

• Hasta aquí se supuso que la generación establecida por un DEC era canalizada sin inconvenientes a través de los enlaces de la Red.

• Sin embargo, eso no necesariamente debe suceder así, ya que, por ejemplo, en un SEP operando bajo un DEC puede darse que ...

• Vale decir, habrá restricciones extras a un DEC y debido a

1. Capacidades de Transmisión,

2. Niveles de tensión admitidos, y

3. Estabilidad Transitoria.

PG1+jQG1 PG2+jQG2

PD2+jQD2PD1+jQD1 PD3+jQD3

1 23

f1 f2

G2G1

P23+jQ23

¡sobrecarga!

Page 18: Despacho Economico de Cargas Dpto Electrotecnia

09/08/2011 UTN SANTA FE - CÁTEDRA SISTEMAS DE POTENCIA UT 5 – Página 35

• DEC sin considerar PL: Es el DG formado por PGi tales que resulten solución del siguiente sistema de ecuaciones

• Es un sistema lineal que posee solución analítica.

2·a1·PG1+b1 = λ

2·aK-1·PGK-1+bK-1 = λ

2·aK·PGK + bK = λ

2·a2·PG2+b2 = λ...

PG1+PG2+...+PGK – PD = 0

ΣPDj

ΣPGi

RECORDATORIO

021

2

22

1

11

=−+++

=∂

=∂

=∂

DGKGG

GK

GKGK

G

G

G

G

PPPP

P

)P(f

P

)P(f

P

)P(f

L

M

λ

λ

λ

(2b)

09/08/2011 UTN SANTA FE - CÁTEDRA SISTEMAS DE POTENCIA UT 5 – Página 36

RECORDATORIO

Por ende, debe antes conocerse los Bij.

• DEC considerando PL: Es el DG formado por PGi tal que resulten solución del siguiente sistema de ecuaciones

• Es un sistema no-lineal que no posee solución analítica; sino numérica.

ΣPDj

ΣPGiDEC con PL

DEC sin PL

λλ

λλ

λλ

=∂∂

⋅+∂∂

=∂∂

⋅+∂∂

=∂∂

⋅+∂∂

GK

L

GK

K

G

L

G

G

L

G

P

P

P

f

P

P

P

fP

P

P

f

M22

2

11

1

(5b)

(6)∑∑= =

⋅⋅=K

i

K

jGjijGiL PBPP

1 1

∑=

⋅⋅=∂∂ K

jGjij

Gi

L PBP

P

1

2

Para poder aplicar alguna técnica numérica de resolución deben poder evaluarse:

Page 19: Despacho Economico de Cargas Dpto Electrotecnia

09/08/2011 UTN SANTA FE - CÁTEDRA SISTEMAS DE POTENCIA UT 5 – Página 37

ANEXO. CÁLCULO DE LOS COEFICIENTES “B”• Aquí se derivarán las fórmulas generales

que permitirán:

1. Calcular los Coeficientes de Pérdidas de Transmisión “B”.

2. Expresar las Pérdidas de Transmisión en función de estos coeficientes y de las potencias generadas.

• Se utilizará para ello el SEP siguiente: Dos Centrales + cierto número de Demandas (que suman ID).

• Los resultados obtenidos se generalizarán para un SEP cualquiera.

G2

G1Red conteniendo soloNudos sin inyeccionesy sin extracciones de

corrientes

ID

• Imagínese primero sólo G1 satis-faciendo todas las demandas (ID).

• Póngase atención sobre una rama en particular de la red, digamos la “k”.

• Defínese el Factor de Distribución de Corriente en la rama k y debido a G1, Nk1, como Nk1 =

Ik1

ID

N k 1 = proporción de corriente porla rama “k” debido a lainyección del Generador “1”.

ramagenerador

G1

Ik1

Rama “

k ” ID

ID

09/08/2011 UTN SANTA FE - CÁTEDRA SISTEMAS DE POTENCIA UT 5 – Página 38

• Para simplificar el Cálculo de PL a partir de estos Coeficientes B, es conveniente que los mismos sean números reales (y no complejos).

• Como se verá más adelante, en el cálculo de PL intervienen ciertas cantidades reales (/Vi/, fpi, etc.) y los Nki.

• Por ende, es conveniente entonces que los Nki también sean cantidades reales⇒ tanto ID como Iki deben tener el mismo ángulo de fase.

• Esto último se logra con las siguientes hipótesis simplificativas:

1. Todas las Ramas del SEP poseen igual relación X/R.

2. No existen Ramas Shunt.

3. Todas las demandas poseen igual factor de potencia.

• Hecha esta aclaración ...

• Imagínese ahora sólo G2 satisfaciendo todas las demandas (ID).

Y, como antes, se define

• El siguiente paso es imaginar ambos Generadores en operación:

G2

Ik2

Rama “k

” IDID

Nk2 =Ik2

ID

G2

Ik

Rama “k

” IDIG2

G1

IG1

Page 20: Despacho Economico de Cargas Dpto Electrotecnia

09/08/2011 UTN SANTA FE - CÁTEDRA SISTEMAS DE POTENCIA UT 5 – Página 39

• Y, dado que la Red es lineal, resultará

Ik = Ik1 + Ik2 = Nk1·IG1 + Nk2·IG2

• Si

IG1 = /IG1/·[ cos(σ1) + jsen(σ1) ]IG2 = /IG2/·[ cos(σ2) + jsen(σ2) ]

• Entonces

/Ik/2 = /Nk1·IG1 + Nk2·IG2/

2

/Ik/2 = / Nk1·/IG1/·[cos(σ1)+jsen(σ1)] + Nk2· /IG2/·[cos(σ2)+jsen(σ2)] /2

/Ik/2= Nk1

2·/IG1/2·[cos2(σ1)+sen2(σ1)] + Nk2

2·/IG2/2·[cos2(σ2)+sen2 (σ2)] +

+ 2·Nk1·Nk2·/IG1/·/IG2/·[cos(σ1)·cos(σ2)+sen(σ1)·sen(σ2)]

cos(σ1-σ2) = cos(σ1)·cos(σ2) + sen(σ1)·sen(σ2)

/Ik/2= Nk1

2·/IG1/2 + Nk2

2·/IG2/2 + 2·Nk1·Nk2· /IG1/· /IG2/·cos(σ1-σ2)

σ1

σ2

IG1

IG2

09/08/2011 UTN SANTA FE - CÁTEDRA SISTEMAS DE POTENCIA UT 5 – Página 40

• Expresando IG en función de la potencia activa generada, su factor de potencia y la tensión en bornes

• Resulta

• Y las Pérdidas de Transporte para una Red con KRAM ramas ...

/IG2/ =PG2

3·/U2/·fp2

/IG1/ =PG1

3·/U1/·fp1

·cos(σ1-σ2)/Ik/2 = Nk12·

PG12

3·/U1/2·fp12+ Nk2

2·PG2

2

3·/U2/2·fp22+ 2·Nk1·Nk2·

PG1 · PG2

3·/U1/·/U2/·fp1·fp2

PG12

3·/U1/2·fp12

PG22

3·/U2/2·fp22

PL = Σ 3·/Ik/2· Rk = Σ 3· [Nk12·

KRAM

K = 1

KRAM

K = 1

·cos(σ1-σ2)]·Rk

+ Nk22·

+ 2·Nk1·Nk2·PG1 · PG2

3·/U1/·/U2/·fp1·fp2

+

PL = PG12· · Σ Nk1

2·Rk + 2·PG1· PG2· · Σ Nk1· Nk2· Rk +KRAM

K=1

cos(σ1-σ2)

/U1/·/U2/·fp1·fp2

1

/U1/2·fp12

KRAM

K=1

+ PG22· · Σ Nk2

2·Rk

1

/U2/2·fp22

KRAM

K=1

Page 21: Despacho Economico de Cargas Dpto Electrotecnia

09/08/2011 UTN SANTA FE - CÁTEDRA SISTEMAS DE POTENCIA UT 5 – Página 41

• Agrupando términos bajo los símbolos “B” siguientes

• Resulta …

• Y, generalizando estas últimas para una Red con KRAM ramas y KMAQ Generadores …

• Resulta interesante saber que este Método reconoce su origen en los Analizadores de Redes.

KRAM

K=1

1

/U1/2·fp12

B11 = · Σ Nk12·Rk

KRAM

K=1

1

/U2/2·fp22

B22 = · Σ Nk22·Rk

B12 =cos(σ1-σ2)

/U1/·/U2/·fp1·fp2

KRAM

K=1· Σ Nk1· Nk2· Rk

PL = PG12 ·B11 + 2·PG1·PG2 · B12 + PG2

2·B22

= 2·B11· PG1 + 2·B12· PG2

∂PL

∂PG1

KMAQ

j=1= 2 · Σ Bij · PGj

∂PL

∂PGi

KMAQ

j=1PL = Σ · Σ PGi ·Bij · PGj

KMAQ

i=1

Bij =cos(σi-σj)

/Ui/·/Uj/·fpi·fpj

KRAM

K=1· Σ Nki· Nkj· Rk

Gi

Gj

09/08/2011 UTN SANTA FE - CÁTEDRA SISTEMAS DE POTENCIA UT 5 – Página 42

• De la expresión general de Bij

se deduce que, una vez calculados éstos para una determinada condición de operación del SEP, los mismos sólo continuarán siendo válidos para otras condiciones si:

1. La relación entre cada nuevo valor de IDi

(i=1,2,...,NB) y la nueva ID total, es la misma que aquella entre cada valor de la IDi original con la ID total original (Esto hará que los Nki

no se modifiquen).

2. La tensión en cada barra con generación permanece constante en módulo.

3. El factor de potencia de cada generador no se modifica.

4. Los ángulos de fase de las corrientes de los generadores no se modifican.

• Por supuesto que las condiciones recién listadas no siempre son posibles de cumplir, ya que nuevos estados de carga muchas veces implican nuevas distribuciones para las mismas.

• Sin embargo, es posible calcular seis juegos de estos Coeficientes para seis estados de carga típicos: “de valle”, “de resto” y “de pico” para la “estación de invierno”, y otros tres para la “de verano”.

• Aunque no se tengan valores “exactos” de estos Coeficientes, e incluso aunque no se respeten las condiciones

1. Xk/Rk = cte. para k=1,2,...,KRAM

2. Yshunt =0

3. Igual “fp” para todas las IDi

Con lo cual los Nki, y de ahí los “Bij”, serán complejos, tomándose en estos casos sólo su parte real, siempre un DEC utilizándolos llevaráal SEP a una condición de operación más económica que la original hecha “a dedo”.

Bij =cos(σi-σj)

/Ui/·/Uj/·fpi·fpj

KRAM

K=1· Σ Nki· Nkj· Rk

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FIN PARTE I

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Parte II“DESPACHO ECONÓMICO” A TRAVÉS DEL

“CONTROL AUTOMÁTICO DE GENERACIÓN”