Despacho Economico

Despacho Econmico

Harold Salazar Isaza, Ph.D

Programa de Ingeniera Elctrica

Universidad Tecnolgica de Pereira

Abril 2009

1Harold Salazar Isaza

Contenido

Introduccin a el despacho econmico

Modelaje de las curvas de costo

2

Formulacin matemtica del problema de despacho econmico

Tcnicas de optimizacin (Ver presentacin Introduccin a las tcnicas de optimizacin)

Solucin al problema de despacho econmico

Ejemplos

Harold Salazar Isaza

Introduccin

El despacho econmico es una tcnica ampliamente utilizada en la

operacin de los sistemas de potencia. El objetivo es establecer el

despacho optimo (despacho de menor costo) de un conjunto de

generadores para una determinada demanda sujeto a un conjunto de

3

generadores para una determinada demanda sujeto a un conjunto de

restricciones operativas.

Red de Transmision

dk

d1

Pg1=?

Esquematicamente:

Pgn=?

Pgi=?


Introduccin

De que depende el despacho econmico?

El costo de generacin de electricidad de las

4

1. El costo de generacin de electricidad de las

distintas tecnologas

2. La demanda

3. Las restricciones operativas

Se requiere el modelo

matemtico de cada uno de

estos componentes para formular

matemticamente el problema de

despacho econmico


Modelaje de la curva de costo

Los costos de generacin se deben principalmente a los siguientes

factores:

1. Costo de construccin

5

2. Costo operativos

Costo del combustible (energas primarias) necesarias para

producir electricidad

Costo de mano obra

Costo de mantenimiento

Estos costos son lo que primordialmente determinan los costos operativos



Analisis comparativo de el costo promedio de diferentes energias primarias en los E.U

6

Fuente: http://www.eia.doe.gov/cneaf/electricity/epa/epat4p5.html

Observe que los costos de las energas primarias se pueden expresar en $/MMBtu(Mayor informacin: http://www.eia.doe.gov/emeu/mer/append_a.html)



Los costos de las diapositivas anteriores reflejan los costos del

combustible. Estos costos no indican los costos de producir electricidad.

7

Como modelar matemticamente los costos de produccin?

Puesto que el costo de produccin esta definido principalmente por el costo

de combustible, la curva de costo solo tomara en consideracin este costo

para su construccin.



Como modelar el costo de generacin?

Curva de entrada-salida: Esta curva indica cuanto combustible por hora es necesario para colocar a disposicin una cantidad determinada de MW

8

Entrada: Se puede expresar en trminos de:1. Pesos / hora2. Toneladas de carbn / hora3. Millones de m3 de gas / hora4. Energa / hora

Salida: Potencia neta en MW disponible para el sistema de potencia




Curva de entrada-salida: Esta curva indica los requerimientos energticos en MBTU o J (Joule) por unidad de tiempo (generalmente hora) para colocar a disposicin una determinada potencia.

9

Entrada (MBTU/hr)

Salida: Pg (MW)

colocar a disposicin una determinada potencia.

Entrada (kJ/hr)Esta curva puede ser obtenida segn los datos de diseo o por pruebas de laboratorio. Por ejemplo: Para una planta de carbn, se puede establecer el numero de toneladas por hora para generar un valor dado en MW. Luego se puede multiplicar el poder calorfico del carbn (MBTU/ton) para establecer el valor de entrada (eje y)




Funcin de Produccin: Esta curva indica la potencia disponible como funcin de los requerimientos energticos en MBTU o J (Joule) por hora.

10Entrada (MBTU/hr)

Salida: Pg (MW)

Entrada (kJ/hr)

Observe que a medida que se incrementa la entrada no existe un incremento sustancial de la salida. Este efecto es conocido, en economa, como la ley de la disminucin de la produccin marginal.

Esta disminucin al margen se explica por el aumento de escape de energa de entrada a medida que la temperatura aumenta.



"Eficiencia"

/

Energia de salida MW MWh

Energia de entrada MBTU h MBTU = = =

Como modelar el costo de generacin?MWh se puede transformar en MBTU para obtener la eficiencia en MBTU/MBTU. Ver ejemplo.

11

(MWh/MBTU)

Pg (MW)

Nivel mas eficiente de generacin

Bajos niveles de eficiencia

Normalmente este es el valor nominal de la unidad de generacinHarold Salazar Isaza



Curva de proporcin de calor: (Heat rate curve) Esta curva es similar a la curva de eficiencia excepto que los valores en el eje y se encuentran invertidos. Esto es, el eje y contiene los valores que corresponden a el inverso de la eficiencia (curva de la diapositiva anterior). La curva es denotada H(Pg). Esta curva es especialmente til para derivar la

12

anterior). La curva es denotada H(Pg). Esta curva es especialmente til para derivar la curva de costo.

1/ = H(Pg)

(MBTU/MWh)

Pg (MW)

Nivel mas eficiente de generacin

Normalmente este es el valor nominal de la unidad de generacin

Esta curva es una caracterstica de la unidad de generacin




Curva de costo: (Cost curve) La curva de costo se construye a partir de la curva de proporcin de calor de la siguiente manera:

1. Defina R como la razn a la cual la unidad de generacin utiliza combustible por hora,

13

( MBTU / h )= ( MW ) x ( MBTU / MWh )

1. Defina R como la razn a la cual la unidad de generacin utiliza combustible por hora, esto es, la curva entrada-salida que es igual a la curva de proporcin de calor H(Pg)multiplicada por Pg.

( )( )R Pg Pg H Pg=

2. Defina C como el costo de produccin establecido como el costo del combustible Kmultiplicado por la razn a la cual la unidad de generacin utiliza combustible R

( ) ( )C Pg K R Pg=

( $ / h )= ( $ / MBTU ) x ( MBTU / h )Harold Salazar Isaza



Curva de costo: (Cost curve) La curva de costo indica el costo por hora para una determinada potencia de salida. Esta curva depende de las caractersticas de la unidad, la cual, estn indicadas por la curva de proporcin de calor (heat reat curve) y el costo del combustible.

14

C(Pg)

( $/ h)

Pg (MW)

Dos caractersticas de la curva de costo:

1. El costo incrementa con la generacin. Esta es una caracterstica esperada pues a mayor nivel de generacin se requiere mas combustible incrementando de esa manera el costo de generacin.

2. La curva, por lo general y para efectos de anlisis, se considera convexa. Esto es, el segmento de lnea que une dos puntos cualquiera de la curva SIEMPRE esta por encima de la curva.




Curva de costo incremental: (Incremental cost curve) El costo incremental es el costo de producir un kW adicional o kWh si la potencia se considera constante durante una hora. Se define, matemticamente, como la derivada de la curva de costo, esto es:

( )dC Pg

15

( ) ( )dC PgCI PgdPg

=

CI(Pg)

( $/ kWh)

Pg (kW)

Dos observaciones de la curva de costo incremental:

1. La curva de costo incremental es creciente lo cual indica que el costo de generar un MW adicional (o MWhsi la potencia es constante durante una hora) incrementa con la potencia.

2. La curva de costo incremental es lineal para curvas de costo cuadrticas.

Note las unidades del costo incremental $/MWh



Ejemplo: Tomado de http://powerlearn.ee.iastate.edu/asp/Una unidad trmica de generacin de 100MW utiliza carbn cuyo contenido energtico es

12,000 BTU/lb. El costo del carbn es $1.5/MBTU (Note las unidades de costo del

carbn!!). Para la curva de demanda indicada en la tabla inferior, calcular:

1. La eficiencia para cada nivel de demanda.

16

1. La eficiencia para cada nivel de demanda.

2. La curva de proporcin de calor (Heat Rate Curve) en MBTU/MWh.

3. El costo por hora.

Hora Pg (MW)Toneladas de Carbon

empleada

12:00am-6:00am 40 105.0

6:00am-10:00am 70 94.5

10:00am-4:00pm 80 156.0

4:00pm-12:00am 100 270.0Harold Salazar Isaza


1. La eficiencia para cada nivel de demanda

Solucin

Sea T el nmero de horas para producir P (MW) usando y toneladas de

17

6sec3600 10

12000 2000 1054.85

wattsP T

hr MWBTU lb joules

ytonslb ton BTU

=

Sea T el nmero de horas para producir P (MW) usando y toneladas de

carbn. Recuerde que 1W = 1J/s

Energia de salida

Energia de entrada =


2. La curva de proporcin de calor

La curva de proporcin de calor es la cantidad de MBTU usados en un

tiempo T divido por los MWh de salida en el mismo intervalo T


18

tiempo T divido por los MWh de salida en el mismo intervalo T

TP

BTU

MBTUytons

ton

lb

lb

BTU

H

=

610

12000000,12



( )

3. El costo por horaDel punto 2 del problema (diapositiva anterior)

19

( )( )R Pg Pg H Pg= ( ) ( ) 1.5 ( )C Pg K R Pg R Pg= =

Costo del combustible en $/MBTU



T (hrs) P (MW) y (tons) H (MBTU/MWh) C ($/hr)

Solucin Ecuacin dispositiva 17

Ecuacin dispositiva 18

Ecuacin dispositiva 19

20

T (hrs) P (MW) y (tons) H (MBTU/MWh) C ($/hr)

6 40 105.0 0.33 10.5 630

4 70 94.5 0.42 8.1 850

6 80 156.0 0.44 7.8 936

8 100 270.0 0.42 8.1 1215



La curva de costo se puede aproximar con una curva cuadrtica.

% Codigo en Matlab1200

1300 fitted curve

21

% Codigo en MatlabPg = [40 70 80 100]';Costo = [630 850 936 1215]';f = fittype('poly2');c = fit(Pg,Costo,f);plot(c);xlim([0 120])xlabel('Pg (MW)');ylabel('Costo ($/h)')hold onplot(Pg,Costo,'x')

0 20 40 60 80 100 120600

700

800

900

1000

1100

1200

Pg (MW)

C

o

s

t

o

(

$

/

h

)

C(pg)=0.09033Pg2-2.955Pg+604.9


14

16

0.1807 x-2.955


El costo incremental es la derivada de la curva de costo.

% Codigo en Matlab C(pg)=0.09033Pg2-2.955Pg+604.9

20 30 40 50 60 70 80 90 100

0

2

4

6

8

10

12

14

Pg (MW)

C

o

s

t

o

M

a

r

g

i

n

a

l

(

$

/

M

W

h

)

22

% Codigo en Matlabezplot('0.1807*x-2.955',[20 100])xlabel('Pg (MW)');ylabel('Costo Marginal ($/MWh)')

C(pg)=0.09033Pg2-2.955Pg+604.9CI(pg)=0.1807Pg-2.955



En general, la curva de costo de las generadores trmicos se

aproxima, matemticamente, a la siguiente expresin cuadrtica:

( ) 2g gC Pg aP bP c= + +En donde:

a, b, y c son coeficientes que caracterizan al generador trmico


Formulacin matemtica del problema

El problema del despacho econmico se puede formular de la siguiente manera:

Minimizar El costo TOTAL de la generacin

Sujeto a

1) Balance global: El despacho de todos los generadores debe ser igual a la demanda total incluyendo las perdidas.

2) Limites de generacin: El valor despachado de cada generador debe estar dentro de sus limites de operacin definido por sus valores mximo y mnimo.

3) Capacidad de transmisin: El flujo de potencia por cada lnea del sistema debe ser menor que su limite mximo de operacin.



Matemticamente:

Por simplicidad no se consideran, inicialmente, las restricciones que impone la

red de transmisin.

( )1

mini

n

i iPg

i

C Pg=

s.a:

Funcin Objetivo

1 1

n m

i j L

i j

Pg Pd P= =

= +

min max 1i ii

Pg Pg Pg i n = Restricciones



( )E n d o n d e :

: C o s to d e l g e n e r a d o r ii iC P g

Definicin de las variables:

26

( )

m in m a x

: V a lo r d e s p a c h a d o p a r a e l g e n e r a d o r i

: V a lo r d e la d e m a n d a j

: P e rd id a s to ta le s

, : L im i te s d e g e n e ra c i n d e l g e n e ra d o r i

n : N m e ro to ta l d e g e n e r

i i

i i

i

j

L

P g

P d

P

P g P g

a d o re s

m : N m e r o to ta l d e c a rg a s o d e m a n d a s



El anterior problema se puede resolver empleando

tcnicas de programacin no-lineal. La presentacin tcnicas de programacin no-lineal. La presentacin

Introduccin a la Optimizacin presenta las tcnicas

comnmente empleadas en la solucin de este

problema.


Solucin al problema de despacho econmico

El problema de despacho econmico se resolver de acuerdo a la siguiente

secuencia:

Harold Salazar Isaza 28

1. Despacho econmico ignorando perdidas y limites de generacin

2. Despacho econmico ignorando perdidas y considerando limites de

generacin

3. Despacho econmico considerando perdidas y limites de generacin

Solucin al problema de despacho econmicoIgnorando prdidas y limites de generacin

Despacho econmico sin considerar perdidas e ignorando limites de generacin.

Sistema el cual ignora la red de transmisin Modelo matemtico


( )1

mini

n

i iPg

i

C Pg=

s.a:

1 1

n m

i j

i j

Pg Pd= =

=

d1

Pg1=?

Pgn=?

Pgi=?

dm

red de transmisin Modelo matemtico


Funcin de LaGrange

Funcin objetivo Restriccinn

Modelo matemtico


( )11 1 1

( , , , )n n m

n i i i j

i i j

L Pg Pg C Pg Pg Pd = = =

=

Funcin objetivo

Multiplicador de LaGrange

Restriccin

( )1

mini

n

i iPg

i

C Pg=

s.a:

1 1

n m

i j

i j

Pg Pd= =

=


( )11 1 1

( , , , )n n m

n i i i j

i i j

L Pg Pg C Pg Pg Pd = = =

=

CdPO

Funcin de LaGrange


0 1i

Li n

Pg

= =

( ) ( )1 1 1

0 1n n m

i i i j i i

i i ji i

LC Pg Pg Pd CI Pg i n

Pg Pg

= = =

= = = =

1. Derivadas con respecto a las potencias generadas:

2. Derivada con respecto al multiplicador de LaGrange:

0L

= 1 10

n m

i j

i j

Pg Pd= =

=


El sistema de ecuaciones de la diapositiva anterior implica que el despacho

econmico es aquel en donde los costos marginales (o costos incrementales)

de todos los generadores son iguales.


( ) ( )0 1i i i iCI Pg CI Pg i n = = =

1 1

0n m

i j

i j

Pg Pd= =

=

Un sistema de n+1 ecuaciones lineales* con n+1 incgnitas!!

* Si las funciones de costo son cuadrticas


La interpretacin grfica para un sistema de tres generadores es la siguiente:

CI(Pg)CI1


Pg

CI2 CI3

Pg1 Pg2 Pg3

Igual costo incremental :

Pg1+Pg2+Pg2=PD


Como solucionar el conjunto de ecuaciones de la dispositiva 32?

1. Si el sistema es pequeo (nmero reducido de generadores) y las curvas de costo son cuadrticas entonces se puede resolver como un sistema de la forma Ax=b.


Caso tres generadores:

( )( )( )

1 1 1 1 1

2 2 2 2 2

3 3 3 3 3

1 2 3

0 2 0

0 2 0

0 2 0

D

CI Pg a Pg b

CI Pg a Pg b

CI Pg a Pg b

Pg Pg Pg P

= + =

= + =

= + =

+ + =


( )( )( )

1 1 1 1 1

2 2 2 2 2

0 2 0

0 2 0

0 2 0

CI Pg a Pg b

CI Pg a Pg b

CI Pg a Pg b

= + =

= + =

= + =

Caso tres generadores:

Sistema de ecuaciones


( )3 3 3 3 31 2 3

0 2 0

D

CI Pg a Pg b

Pg Pg Pg P

= + =+ + =

11 1

22 2

33 3

2 0 0 1

0 2 0 1

0 0 2 1

1 1 1 0 D

ba Pg

ba Pg

ba Pg

P

=

ecuaciones

Sistema de ecuaciones en

forma matricial

A x b


2. El problema se puede resolver en trminos generales con el mtodo iterativo lambda. Este mtodo no requiere, como el caso anterior, que las curvas de costo sean cuadrticas.



Mtodo iterativo:

1. Asumir un valor inicial de

2. Encontrar los valores Pgi a partir del asumido. Estos valores se encuentran con las curvas de

costo incremental.

3. Si se satisface la restriccin de generacin total igual a demanda total, entonces parar. De lo

contrario:

3.1) Si la suma de la generacin es mayor que la demanda total, disminuir e ir al paso 2

3.2) Si la suma de la generacin es menor que la demanda total, aumentar e ir al paso 2.


Una interpretacin grfica del mtodo iterativo lambda


CI(Pg)CI1


Pg

CI1

CI2 CI3

1

Pg1 Pg2 Pg3

Pg1+Pg2+Pg2=PD

2

o

Incrementando se incrementa el despacho total


Otros dos mtodos (no cubiertos en este curso)

empleados para la solucin del despacho econmico son:

Mtodo del gradiente

Mtodo de Newton Raphson



Taller para ser resuelto en clase

Encuentre el despacho econmico para los siguientes tres generadores si la demanda total es de

550MW y las perdidas y los limites de los generadores son ignorados. Encuentre el despacho de la

siguiente manera:

1. Por el mtodo iterativo de lambda asumiendo un despacho inicial de Pg1=195MW;


( )( )( )

2

1 1 1

2

2 2 2

2

3 3 3

0.0025 8.4 225

0.0035 6.3 729

0.0025 7.5 400

g g

g g

g g

R Pg P P

R Pg P P

R Pg P P

= + +

= + +

= + +

Costo de combustible G1: $0.80/MBTU



Curvas de entrada-salida Costo del combustible

1. Por el mtodo iterativo de lambda asumiendo un despacho inicial de Pg1=195MW;

Pg2=193.3MW; y Pg3=78.94MW.

2. Resolviendo el sistema de la forma Ax=b.


El significado de lambda

Considere los tres generadores del ejercicio anterior. El despacho ptimo esta dado

por:


1

2

3

229.1243

213.1920

107.6836

7.6365

G

G

G

P

P

P

=

d=550 MW

Pg1=?

Pgn=?

Pgi=?

Costo total de generacin: ( ) ( ) ( )1 1 2 2 3 3 $5186.1/ hrG G GC P C P C P+ + =



Considere un incremento de 1MW en la demanda total. El nuevo despacho, resolviendo

este nuevo problema, esta dado por:

Pd = 550MW Pd = 551MW


1

2

3

229.1243

213.1920

107.6836

7.6365

G

G

G

P

P

P

=

$5186.1/ hrtotalC =

Pd = 550MW

1

2

3

229.5367

213.4325

108.0309

7.6381

G

G

G

P

P

P

=

$5193.7 / hr

5193.7 5186.1 7.63

total

total

C

C

=

= = +

Pd = 551MW

$5193.7 / hrtotalC =

Costo para una demanda de 550MW

para una demanda de

550MW



El operador de LaGrange , en el despacho econmico, representa el


costo incremental del sistema. Es decir, el costo de suplir 1MW

adicional durante una hora.

Nota: Este resultado se puede demostrar, analticamente, para la formulacin

general (diapositiva 25) utilizando el teorema del sobre (envelope theorem). La

siguiente diapositiva es una demostracin para el caso en donde no existen

limites de generacin.



Demostracin:

( )nT i GiC C P= ( )n

i Gi

T Gi

dC PC P

dP =


( )

( ) ( )( ) ( )

1

1 1

1 1

(continua en la parte derecha)

T i Gi

i

o

T T

n no

i Gi i Gi

i i

n ni Gio

i Gi Gi

i i Gi

C C

C P C P

dC PC P P

dP

=

= =

= =

+

= +

= +

=

1

1 1

Cambio en el costo total $

Cambio en la

demanda

T Gi

i G

T

i

n n

Gi Gi

i i

D

D

dP

P P

P

C

P MWh

=

= =

= =

= =

=

Solucin al problema de despacho econmicoIgnorando prdidas y considerando limites de generacin

Considere ahora los limites de generacin

El despacho econmico considerando limites de generacin se puede resolver a travs

de varios programas de carcter comercial (Matlab, GAMS, etc). Sin embargo, para


de varios programas de carcter comercial (Matlab, GAMS, etc). Sin embargo, para

sistemas pequeos (un nmero muy reducido de generadores) se puede utilizar

la funcin de LaGrange para resolver este problema. Una ventaja de resolver este tipo

de problemas empleando LaGrange es que permite un mejor entendimiento del

problema. Las siguientes diapositivas muestran como solucionar este problema

empleando el procedimiento de LaGrange.


( )min n i iPg

C Pg

Modelo matemtico



( )1i

i iPg

i=

s.a:

1 1

n m

i j

i j

Pg Pd= =

=

min max 1i ii

Pg Pg Pg i n =

Funcin de LaGrange

( ) ( ) ( )max min max max min min1 1 1 1 1

( , , , )i i i i

n n m n n

i i i j i i

i i j i i

L Pg C Pg Pg Pd Pg Pg Pg Pg = = = = =

= + +


Funcin de LaGrange

( ) ( ) ( )max min max max min min( , , , ) n n m n ni i i j i iL Pg C Pg Pg Pd Pg Pg Pg Pg = + +



( ) ( ) ( )1 1 1 1 1

( , , , )i i i ii i i j i i

i i j i i


= + +

Para el caso de dos generadores:

( )( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

min max min max

1 2

1 1 2 2 1

max max max max

1 1 2 2

min min min min

1 1

, , ,1 1 2 2

1 2

2 21 2

2

, , ,

D

L Pg Pg

C Pg C Pg Pg Pg P

Pg Pg Pg Pg

Pg Pg Pg Pg

=

+ + +

+ +

+


Observe que si ninguna restriccin de desigualdad esta activa (el despacho para un

generador no esta en su limite de generacin) los multiplicadores de LaGrange son

iguales a cero. (Ver presentacin introduccin a las tcnicas de optimizacin)


Funcin de LaGrange

( ) ( ) ( )max min max max min min1 1 1 1 1

( , , , )i i i i

n n m n n

i i i j i i

i i j i i


= + +

Cero si Pgi es diferente a Pgimax Cero si Pgi es diferente a Pgi

min


Con la consideracin de la diapositiva anterior, el problema del despacho se

puede resolver con el siguiente procedimiento:

Mtodo iterativo:


Mtodo iterativo:

1. Resolver el despacho econmico ignorando los limites de generacin con el mtodo lamdba o

como un sistema lineal. Esta suposicin asume que ninguna restriccin esta activa, es decir,

que los operadores son cero.

2. Si la solucin no viola ninguna restriccin entonces parar. La solucin es la obtenida en el

punto 1. De lo contrario ir a 3 (Ver siguiente diapositiva)


Mtodo iterativo:

3. Si un limite de generacin es violado, entonces identificar la ecuacin en las condiciones KKT


que corresponde a el limite violado. En esta ecuacin, el operador de LaGrange es diferente

de cero, por tanto, la restriccin de desigualdad esta activa, es decir, es igual a cero. El

sistema se resuelve nuevamente tomando en consideracin la desigualdad activa.

4. Una vez resuelto el sistema anterior, verificar que el despacho se encuentre dentro de los

limites, si no se viola ninguna restriccin, entonces parar, de lo contrario ir nuevamente al

paso 3.


Ejemplo

Considere nuevamente los tres generadores de la diapositiva 39. Cuyos costos y limites de

generacin son los siguientes.

( ) 21 1 1 1 10.0020 6.72 180 50 150g gC Pg P P Pg= + +


( )( )( )

1 1 1 1 1

2

2 2 2 2 2

2

2 3 3 3 2

0.0020 6.72 180 50 150

0.0034 6.17 714 50 300

0.0024 7.12 380 100 300

g g

g g

g g

C Pg P P Pg

C Pg P P Pg

C Pg P P Pg

= + +

= + +

= + +

( )31

mini

i iPg

i

C Pg=

s.a: 3

1

550ii

Pg=

=min max 1,2,3i ii

Pg Pg Pg i =

Recuerde el modelo matemtico


Ejemplo

La funcin de LaGrange y las condiciones KKT para este problema son:

( ) ( ) ( )3 3 3max min max max min min1 1 1 1

( , , , ) 550i i i i

n

i i i i i

i i i i

L Pg C Pg Pg Pg Pg Pg Pg = = = =

= + +


1 1 1 1i i i i= = = =

max min

1 1 1

1

max min

2 2 2

2

max min

3 3 3

0.0040 6.72 0

0.0068 6.17 0

0.0048 7.12 03

LPg

Pg

LPg

Pg

LPg

Pg

= + + =

= + + =

= + + =

KKT

0 1,2,3i

Li

Pg

= =

0L

=

KKT (Continuacin)


1 2 3 550 0Pg Pg Pg+ + =

Ejemplo


( )( )*

*

*

*

0

0 1, 2,3

0

i

i i

i

i

i

g x b

g x b i

= =

( )( )( )( )

( )( )

max max

1 1

max max

2 2

max max

3 3

min min

1 1

min min

min min

1

2

3

1

2 22

3 33

0

0

0

0

0

0

Pg Pg

Pg Pg

Pg Pg

Pg Pg

Pg Pg

Pg Pg

=

=

=

=

=

=

max

1 1

max

2 2

max

3 3

min

1 1

min

min

2 2

3 3

0

0

0

0

0

0

Pg Pg

Pg Pg

Pg Pg

Pg Pg

Pg Pg

Pg Pg


Ejemplo

Solucin:

La solucin de este problema sin restricciones corresponde a la solucin mostrada en la diapositiva

40, la cual es reproducida a continuacin.


1

2

3

229.1243

213.1920

107.6836

7.6365

G

G

G

P

P

P

=

Observe que el limite superior del generador 1 es violado, por tanto 1max0. El nuevo sistema de

ecuaciones, bajo esta consideracin es:


Ejemplo

max

1 1

2

0.0040 6.72 0

0.0068 6.17 0

Pg

Pg

+ + =

+ =

Sistema de ecuaciones considerando que el limite superior de Pg1 es violado.


Este sistema se puede simplificar de la siguiente manera:

1

2

3

1 2 3

0.0068 6.17 0

0.0048 7.12 0

550 0

150 0

Pg

Pg

Pg Pg Pg

Pg

+ =

+ =

+ + =

=

max

1

2

3

2 3

0.0040 150 6.72 7.32

0.0068 6.17 0

0.0048 7.12 0

550 150 400

Pg

Pg

Pg Pg

+ = =

+ =

+ =

+ = =


Ejemplo

El conjunto de ecuaciones anteriores es un sistema lineal (cuatro ecuaciones y cuatro incgnitas)

que se puede expresar de la forma Ax=b cuya solucin es la siguiente:

Sin restricciones de generacin Con restricciones de generacin


1

2

3

229.1243

213.1920

107.6836

7.6365

G

G

G

P

P

P

=

$5186.1/ hrtotalC =

1

2

3

max

1

150.00

247.41

152.58

7.8524

0.5324

G

G

G

P

P

P

=


Sin restricciones de generacin Con restricciones de generacin

Observe el incremento de estos dos valores respecto al problema sin restricciones. Por qu?


Solucin

El significado de 1max

Con restricciones de generacin

$5203.9 / hrC = $5203.4 / hrC =


1

2

3

max

1

150.00

247.41

152.58

7.8524

0.5324

G

G

G

P

P

P

=


$5203.9 / hr

5203.9 0.5324 5203.4

total

total

C

C

=

=


Reduccin del costo si la restriccin se aumenta 1MW

150 150Pg 150 151Pg

1

2

3

max

1

151.00

247.00

152.00

7.8496

0.5256

G

G

G

P

P

P

=



1. Solucione el ejercicio anterior, es decir, encuentre el despacho econmico, si el limite superior

del generador 2 se reduce a 150MW. Que ocurre con el costo total de generacin comparado

con el caso anterior?, Cuales son los valores y la interpretacin econmica de los


multiplicadores , 1max, 2max , 3max ?

( )( )( )

2

1 1 1 1 1

2

2 2 2 2 2

2

2 3 3 3 2

0.0020 6.72 180 50 150

0.0034 6.17 714 50 150

0.0024 7.12 380 100 300

550

g g

g g

g g

D

C Pg P P Pg

C Pg P P Pg

C Pg P P Pg

P MW

= + +

= + +

= + +

=

Datos del problema:


Solucin

$5186.1/ hrC = $5203.9 / hrC =

Sin restricciones de generacin

Con una restriccin activa de generacin

$5259 / hrC =

Con dos restriccionesactivas de generacin


1

2

3

229.1243

213.1920

107.6836

7.6365

G

G

G

P

P

P

=

$5186.1/ hrtotalC =

1

2

3

max

1

150.00

247.41

152.58

7.8524

0.5324

G

G

G

P

P

P

=


1

2

3

max

1

max

2

150.00

150.00

250.00

8.3200

1.0000

1.1300

G

G

G

P

P

P

=

$5259 / hrtotalC =

Solucin al problema de despacho econmicoConsiderando prdidas e ignorando limites de generacin

Considere ahora las prdidas del sistema las cuales se denotan como PL

( )min n i iPg

C Pg

Modelo matemtico


( )1i

i iPg

i=

s.a:

1 1

n m

i j L

i j

Pg Pd P= =

= +

Funcin de LaGrange

( )11 1 1

( , , , )n n m

n i i i j L

i i j

L Pg Pg C Pg Pg Pd P = = =

=


0n m

i j LPg Pd P =

El balance global del sistema se representa por la siguiente ecuacin:

Una consideracin antes de encontrar las CdPO


Observaciones:

1. Recuerde que los Pdj son constantes. Por tanto, PL es funcin de las Pgi.

2. Del flujo de potencia es sabido que Pg1 (la potencia neta inyectada) en el nodo slack (o nodo

de referencia) es funcin de las Pgi.

3. Como consecuencia de las observaciones 1 y 2, PL es funcin de todas las potencias excepto la

potencia en el nodo slack, esto es

1 1

1 1

0i j Li j

n m

L i j

i j

Pg Pd P

P Pg Pd

= =

= =

=

=

( )2 3, , ,L L nP P Pg Pg Pg


( )11 1 1

( , , , )n n m

n i i i j L

i i j


=

CdPO


Funcin de LaGrange


0 1i

Li n

Pg

= =

( ) ( )1 1 1

1 0 2n n m

Li i i j L i i

i i ji i i

PLC Pg Pg Pd P CI Pg i n

Pg Pg Pg

= = =

= = = =


Recuerde que las prdidas esta en funcin de las potencias generadas, excepto Pg1

( ) ( )1 11 1 11 1

0n n m

i i i j L

i i j

LC Pg Pg Pd P CI Pg

Pg Pg

= = =

= = =


( )11 1 1

( , , , )n n m

n i i i j L

i i j


=

CdPO

Funcin de LaGrange


2. Derivada con respecto al multiplicador de LaGrange:

0L

= 1 10

n m

i j L

i j

Pg Pd P= =

=


Las CdPO son, en resumen, las siguientes:

( )( )

1 1 0

1 0 2Li i

CI Pg

PCI Pg i n

Pg

=

= =


( )

1 1

1 0 2

0

i i

i

n m

i j L

i j

CI Pg i nPg

Pg Pd P

= =

= =

=

Las ecuaciones del costo incremental se puede reescribir de esta manera (excepto la

asociada con el nodo slack):

( )1 21

i i

L

i

CI Pg i nP

Pg

= =


El trmino que multiplica a los costos incrementales en la diapositiva anterior se denomina el factor

de penalidad de prdidas del generador i y es denotado como Li, matemticamente:

12iL i n

P= =

Estos factores se pueden deducir analticamente. Ver capitulo 11


( ) ( ) ( )1 1 1 2 2 2

1 1

0

n n n

n m

i j L

i j

L CI Pg L CI Pg L CI Pg

Pg Pd P

= =

= = =

=

1

2

1

1

i

L

i

L i nP

Pg

L

= =

=

Las condiciones necesarias de optimalidad, teniendo en cuenta las perdidas, son las siguientes:

analticamente. Ver capitulo 11 del libro Power System Analysis Arthur Bergen & V. Vittal


Comparacin entre el despacho econmico ignorando perdidas y considerando perdidas:

( ) ( ) ( )1 1 2 2 n nCI Pg CI Pg CI Pg = = =CdPO (ignorando prdidas)


( ) ( ) ( )1 1 1 2 2 2

1 1

0

n n n

n m

i j L

i j

L CI Pg L CI Pg L CI Pg

Pg Pd P

= =

= = =

=

( ) ( ) ( )1 1 2 2

1 1

0

n n

n m

i j

i j

Pg Pd= =

=

CdPO (considerando prdidas)


Ejemplo 1 (Tomado de Power System Analysis Arthur Bergen & V. Vittal)

Encuentre el despacho econmico para el siguiente sistema


Pd1=50 MWPd1=300 MW

( )( )

( )

1 1 1

2 2 2

2

2

0.007 4.1

0.007 4.1

0.001 50L

CI Pg Pg

CI Pg Pg

P Pg

= +

= +

=



Las CdPO para el despacho econmico considerando perdidas son:

( ) ( )1 1 1 2 2 2L CI Pg L CI Pg = =


( ) ( )1 1 1 2 2 2

1 1

0n m

i j L

i j

L CI Pg L CI Pg

Pg Pd P

= =

= =

=

Los factores de penalidad estn dados por:

1

2

2

2

1

1 1

1.1 0.0021 L

L

LPgP

Pg

=

= =

En el ejemplo 2 se muestra como calcular esta expresion para un sistema de dos nodos



Las CdPO, por consiguiente, son:

( )1 1 1 0.007 1 4.1L CI Pg Pg = + =


( )( ) ( )

1 1 1

2 2 2 2

2

0.007 1 4.1

10.007 4.1

1.1 0.002

L CI Pg Pg

L CI Pg PgPg

= + =

= + =

De forma equivalente

1

2

4.1

0.007

1.1 4.1

0.007 0.002

Pg

Pg

=

=

+



El sistema de ecuaciones es no lineal y requiere un mtodo iterativo.

Sistema de ecuaciones Sistema iterativo


( )

1

2

2

2

2

4.1

0.007

1.1 4.1

0.007 0.002

0.001 50

1 300 50 0L

Pg

Pg

Pg

Pg Pg P

=

=

+

+ + + =

Pg1 Pg1 PL Balance global

5.0 128.6 82.35 0.0786 -139.15

6.0 271.4 131.57 0.2214 52.78

5.5 200.0 108.33 0.1500 -41.81

5.75 231.7 120.27 0.1857 5.79

5.625 217.8 114.38 0.1679 -17.927

5.6875 226.78 117.34 0.1768 -6.0441



Encuentre el despacho econmico para el siguiente sistema. Observe que es necesario

derivar una expresin para L2 pues no esta dada en trminos explcitos de Pg2.


Pd1=1 pu

( )( )

( )

1 1 1 .

2 2 2 .

2

0.7 4.1

0.7 4.1

?

p u

p u

L

CI Pg Pg

CI Pg Pg

P Pg

= +

= +

=0.02 0.08lz j pu= +

0

1 1jV e= 22 1

jV e =

P1 P2



Para obtener PL en funcin de PG2 es necesario recurrir a las ecuaciones del flujo de

potencia, concretamente las ecuaciones de balance nodal. Recuerde que PL=P1+P2 y


estas potencias (P1+P2) se encuentran a partir de los balances nodales. Por lo tanto,

se necesita, como primer paso, el calculo de la Ybus.

Pd1=3.0pu

0.02 0.08lz j pu= +

0

1 1jv e=

2

2 1jv e =

2.94 2.94 11.76 11.76

2.94 2.94 11.76 11.76

bus busYbus G jB

j

= + =

+

P1 P2



Las ecuaciones de balance nodal (ver notas de anlisis) son:

( )cosn/ i i i j ij ij ij ijP Pg Pd V V G B sen = = +


( )1

cosi/ i i i j ij ij ij ij

j

P Pg Pd V V G B sen =

= = +

( ) ( )( )

1 1 1 1 1 11 11 1 2 12 12

12 12

2.94cos 11.76 2.94cos 11.76

2.94 1 cos 11.76

Pg Pd P VV sen VV sen

sen

= = + + +

= +

( ) ( )( )

2 2 2 2 1 21 21 2 2 22 22

12 12

2.94cos 11.76 2.94cos 11.76

2.94 1 cos 11.76

Pg Pd P V V sen V V sen

sen

= = + +

=

( )1 2 125.88 1 cosLP P P = + =



El factor de penalidad de perdidas L2 se puede encontrar a travs de la siguiente

regla de la cadena:


2 12

212 2 12 2

12

L

L L L

dP

dP dP dPg dP d

dPgd dPg d dPg

d

= =

Derivando las expresiones de la diapositiva anterior

12

12

2 212 12

12 12

5.88sin

2.94sin 11.76cos

LdP

d

dPg dP

d d

=

= =



El factor de penalidad de perdidas L2 se puede encontrar a travs de la siguiente

regla de la cadena:


212

2 12 12

12 12 122

12 12 12

1 1

5.881 1

2.94 11.76cos

11.76cos 2.94 1 0.25 tan

11.76cos 2.94s 1 0.25 tan

L

LdP sen

dPg sen

senL

en

= =

= =

+ +



Como encontrar el despacho econmico para este ejemplo?

1. Asumir un ngulo inicial 2


2. Calcular P1 y P2 basados en las ecuaciones de la diapositiva 72.

3. Calcular Pg1 y Pg2 con base en el punto 2 y las ecuaciones de la diapositivas 72.

4. Calcular el CI1 y CI2 con base en el punto 3 y los datos del problema

5. Calcular L2 con base en la suposicin 1. Recuerdo que L1=1

6. Se cumple la condicin de optimalidad?, esto es L1CI1=L2CI2

1. Si: Parar, la solucin es Pg1 y Pg2 encontradas en el punto 3.

2. No: Asumir un ngulo 2 diferente y repetir el procedimiento.



Finalizar el ejemplo anterior asumiendo un ngulo inicial 2=6.0o. Las ecuaciones que debe tener

presente, derivadas en el ejemplo anterior, son las siguientes:


( )1 1 12 123.0 2.94 1 cos 11.76Pg P sen = = +( )2 2 12 122.94 1 cos 11.76Pg P sen = =

122

12

1 0.25 tan

1 0.25 tanL

=

+

( )( )

1 1 1 .

2 2 2 .

0.7 4.1

0.7 4.1

p u

p u

CI Pg Pg

CI Pg Pg

= +

= +

Taller

Taller:

Considere tres unidades de generacin cuyo costos de generacin estn

dados por la siguiente curvas de costo:


( )( )( )

2

1 1 1 1 1

2

2 2 2 2 2

2

2 3 3 3 3

0.009 5.00 180 100 300

0.015 5.50 714 100 300

0.018 6.00 380 100 300

g g

g g

g g

C Pg P P Pg

C Pg P P Pg

C Pg P P Pg

= + +

= + +

= + +

Taller

Determine el despacho econmico, para una demanda de 700MW, en los siguientes

casos:

1.Ignorando limites de generacin.

2.Considerando los limites de generacin.


3.Considere que las unidades tiene la disposicin mostrada en la figura de

abajo. Encuentre el despacho econmico para ese sistema considerando las

perdidas del sistema e ignorando los limites de generacin.

dT=700MW

G1 G3

G2

0.01 0.07lz j pu= +

0

1 1.05jV e= 22 0.98

jV e =Sb=100MVAVb=115KV

Comentarios finales acerca del despacho econmico

1. El despacho econmico es una herramienta de anlisis bsica para el estudio

y anlisis de la operacin de sistemas de potencia.

2. La solucin del despacho econmico considerando los efectos de red

requieren el uso de herramientas de optimizacin no cubiertas en estasrequieren el uso de herramientas de optimizacin no cubiertas en estas

diapositivas. Sin embargo, las conclusiones que se obtiene de la solucin de

este problema con las herramientas estudiadas se extienden a problemas

que incorporan la red.

3. La interpretacin de los operadores de LaGrange son de bastante utilidad en

el estudio y anlisis de los mercados elctricos. En futuras presentaciones se

hara uso de este importante concepto econmico.


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