Desenvolvimento de um Sistema para a Medição do Efeito ... · se dois tipos de efeito...
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Gonccedilalo Magalhatildees Mota de Oliveira Barreto
Licenciado em Ciecircncias de Engenharia Fiacutesica
Desenvolvimento de um Sistema para a Mediccedilatildeodo Efeito Electrooacuteptico
Dissertaccedilatildeo para obtenccedilatildeo do Grau de Mestre emEngenharia Fiacutesica
Orientador Paulo Antoacutenio Martins Ferreira RibeiroProf Auxiliar Universidade Nova de Lisboa
Co-orientadora Maria de Faacutetima Guerreiro da Silva CamposRaposo Prof Auxiliar Universidade Nova deLisboa
Juacuteri
Presidente Doutora Maria Isabel Simotildees CatarinoArguente Doutor Alexandre Cabral
Vogal Doutor Paulo Antoacutenio Martins Ferreira Ribeiro
Setembro 2015
Desenvolvimento de um Sistema para a Mediccedilatildeo do Efeito Elec-trooacuteptico
Copyright copy Gonccedilalo Magalhatildees Mota de Oliveira Barreto Faculdade de Ciecircncias
e Tecnologia Universidade NOVA de Lisboa
A Faculdade de Ciecircncias e Tecnologia e a Universidade NOVA de Lisboa tecircm o
direito perpeacutetuo e sem limites geograacuteficos de arquivar e publicar esta dissertaccedilatildeo
atraveacutes de exemplares impressos reproduzidos em papel ou de forma digital ou
por qualquer outro meio conhecido ou que venha a ser inventado e de a divulgar
atraveacutes de repositoacuterios cientiacuteficos e de admitir a sua coacutepia e distribuiccedilatildeo com
objetivos educacionais ou de investigaccedilatildeo natildeo comerciais desde que seja dado
creacutedito ao autor e editor
Este documento foi gerado utilizando o processador (pdf)LATEX com base no template ldquounlthesisrdquo [1] desen-volvido no Dep Informaacutetica da FCT-NOVA [2] [1] httpsgithubcomjoaomlourencounlthesis [2]httpwwwdifctunlpt
Agradecimentos
Em primeiro lugar gostaria de agradecer ao meu orientador Professor Doutor
Paulo Ribeiro pela sua enorme disponibilidade e apoio durante a elaboraccedilatildeo desta
dissertaccedilatildeo
Agrave minha co-orientadora a Professora Doutora Maria de Faacutetima Raposo pela
sua ajuda especialmente no esclarecimento de algumas duacutevidas do ponto de vista
teoacuterico
Ao Gonccedilalo Tomaacutes e ao Filipe Bernardo pela sua assistecircncia na aacuterea de instru-
mentaccedilatildeo e informaacutetica
Agradeccedilo agraves oficinas do Departamento de Fiacutesica especialmente ao Faustino
pela fabricaccedilatildeo da maioria das peccedilas mecacircnicas utilizadas
Agradeccedilo ainda ao Senhor Mesquita pelo fornecimento e ajuda com algum do
equipamento electroacutenico utilizado
Por uacuteltimo agradeccedilo agrave minha famiacutelia em especial agrave minha matildee e ao meu
irmatildeo por me terem sempre apoiado e ajudado ao longo deste curso
v
Resumo
Foi desenvolvido um sistema para a mediccedilatildeo do efeito electroacuteptico em meios
oacutepticos com propriedades de oacuteptica natildeo-linear O sistema baseia-se numa teacutecnica
interferomeacutetrica implementada atraveacutes de um interferoacutemetro de Michelson fun-
cionando em modo de transmissatildeo no qual se mede a diferenccedila de fase entre os
ramos do interferoacutemetro gerada pelo efeito electroacuteptico numa amostra onde eacute
aplicado um potencial eleacutetrico O coeficiente electroacuteptico a ser medido pode ser
escolhido pela aplicaccedilatildeo do sinal eleacutectrico de uma amostra na direccedilatildeo adequada
bem como do alinhamento desta num porta-amostras O sistema foi calibrado
usando um cristal com propriedades oacutepticas natildeo-lineares padratildeo o fosfato de
dihidrogeacutenio e potaacutessio tendo sido utilizado o coeficiente electroacuteptico r63 como
referecircncia O valor medido experimentalmente foi de 105plusmn 02pmV pelo que o
valor tabelado se encontra dentro desta medida A bancada oacuteptica implementada
revelou tambeacutem estabilidade no que diz respeito ao ruiacutedo ambiente Este sistema
seraacute utilizado no futuro para a mediccedilatildeo de coeficientes electroacutepticos em filmes
finos polimeacutericos que contenham cromoacuteforos com polarizabilidades electroacutenicas
natildeo-lineares elevadas
Palavras-chave Oacuteptica Efeito electrooacuteptico Modulaccedilatildeo de luz Interferoacutemetria
Interferoacutemetro de Michelson
vii
Abstract
A system for measuring the electro-optical activity of nonlinear-optical mate-
rials has been developed The system is based on a scanning Michelson interfer-
ometer working in transmission mode allowing the measurement of the phase
difference between the arms of the interferometer as a result of refractive index
change due to electro-optical effect induced in a sample through an applied exter-
nal electrical field The electro-optical coefficient to be measured can be chosen by
conveniently electroding and adequately aligning the sample in a proper sample
holder The system was calibrated with a standard nonlinear-optical potassium
dihydrogen phosphate crystal with respect to r63 electro-optical coefficient The
attained value of 105plusmn02pmV falls within the 1 of the expected standard val-
ues In addition the system revealed to be stable to overall environmental noise
This system will be used in the future for measuring the electro-optical coeffi-
cients of novel polymeric thin films containing nonlinear-optical chromophores
Keywords Optics Electro-optic effect Light modulation Interferometry Michel-
son interferometer
ix
Iacutendice
Lista de Figuras xiii
Lista de Tabelas xv
1 Introduccedilatildeo 1
2 Efeito Electrooacuteptico 3
21 Oacuteptica Natildeo-Linear 3
22 Propagaccedilatildeo em Meios Anisotroacutepicos 5
221 Vector de Poynting 7
222 Elipsoiacutede dos Iacutendices 9
223 Coeficientes Natildeo-Lineares 12
3 Mediccedilatildeo do Efeito Electrooacuteptico 15
31 Meacutetodo Tradicional 15
32 Meacutetodos por Interferometria 17
321 Interferometria Oacuteptica 17
322 Interferoacutemetro de Mach-Zehnder 19
323 Interferoacutemetro de Michelson 20
4 Sistema Implementado 23
41 Interferoacutemetro 23
42 Electroacutenica Desenvolvida 24
421 Amplificador 24
422 Gerador de Rampa 25
423 Seguidor de Tensatildeo 27
43 Sistema Oacuteptico Desenvolvido 28
431 Espelho Vibrante 28
432 Bancada Oacuteptica 29
433 Detector 29
434 Cristal Electrooacuteptico 31
xi
IacuteNDICE
435 Porta Amostras 32
44 Coeficiente Electrooacuteptico 35
45 Execuccedilatildeo Experimental 36
46 Resultados 39
5 Conclusotildees 43
Bibliografia 45
A Apecircndice 47A1 Desenhos Teacutecnicos 47
xii
Lista de Figuras
21 Cubo com secccedilatildeo de aacuterea A e ∆x de lado 8
22 Ilustraccedilatildeo do elipsoiacutede de iacutendices (retirado de [7]) 11
31 Montagem experimental proposta por Henry e a sua equipa (adaptado
de [9]) 16
32 Ilustraccedilatildeo de uma interferecircncia construtiva perfeita (a) e destrutiva
completa (b) 17
33 Visibilidade num interferoacutemetro em funccedilatildeo da diferenccedila de fase en-
tre duas ondas provenientes de ramos diferentes do interferoacutemetro
(adaptado de [11]) 18
34 Esquema de um interferoacutemetro de Mach-Zehnder (adaptado de [12]) 19
35 Esquema de funcionamento de um interferoacutemetro de Michelson com
interferecircncia construtiva (a) e destrutiva (b) (adaptado de [15]) 21
41 Esquematizaccedilatildeo do interferoacutemetro de Michelson e instrumentaccedilatildeo uti-
lizada para a mediccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico em cristais 24
42 Esquemaacutetico do amplificador de tensatildeo utilizado com base no ampli-
ficador operacional LF356n 25
43 Esquema eleacutectrico do gerador de rampa implementado baseado no
circuito temporizador NE555 26
44 Esquema do seguidor de tensatildeo utilizado construida com base nos
amplifacores operacionais LF356n 27
45 Imagem da unidade de amplificaccedilatildeo e geraccedilatildeo de rampa implementada 28
46 Imagem do espelho vibrante utilizado 28
47 Imagem da bancada oacuteptica onde o interferoacutemetro de Michelson foi
construiacutedo 29
48 Imagem do detector e disco utilizado 30
49 Ilustraccedilatildeo de um cristal padratildeo KDP e seu respectivo elipsoiacutede de
iacutendices 31
410 Imagem da base do porta-amostras desenvolvido 32
xiii
Lista de Figuras
411 Imagem das peccedilas de fixaccedilatildeo do cristal desenvolvidas com a vista de
frente (a) e a vista de traacutes (b) 33
412 Imagem do porta Amostras desenvolvido 34
413 Imagem do sistema desenvolvido para a mediccedilatildeo do efeito electrooacuteptico 34
414 Ilustraccedilatildeo da configuraccedilatildeo utilizada para a mediccedilatildeo do coeficiente r63
num cristal 35
415 Ilustraccedilatildeo do sinal de modulaccedilatildeo electrooacuteptica de um feixe de luz
medido num interferoacutemetro de Michelson 38
416 Padratildeo da franja produzida (a) e respectivos sinais de franja e elec-
trooacuteptico obtidos para um cristal KDP padratildeo 39
417 Razatildeo entre o sinal electrooacuteptico e a diferenccedila de intensidade de franjas
em funccedilatildeo do potencial Vo aplicado ao cristal 40
xiv
Lista de Tabelas
41 Caracteriacutesticas principais do detector 818-UVDB [17] 30
42 Propriedades fiacutesicas do cristal padratildeo KDP [18] 31
43 Propriedades oacutepticas do cristal padratildeo KDP a 6328nm [7] 32
44 Valores e respectivas incertezas obtidas do coeficiente electrooacuteptico
para o cristal KDP utilizado 40
xv
Lista de Siacutembolos
~S - Vector de Poynting
ε - Permissidade eleacutectrica
micro - Permeabilidade eleacutectrica
λ - Comprimento de onda
φ - Fase
ν - Visibilidade
δ - Retardaccedilatildeo
Ω - Frequecircncia de modulaccedilatildeo
χ(1) - Suscetibilidade eleacutectrica linear
χ(2) - Suscetibilidade eleacutectrica de segunda ordem
χ(3) - Suscetibilidade eleacutectrica de terceira ordem
ε0 - Permissidade eleacutectrica do vazio
B - Campo magneacutetico
D - Deslocamento eleacutectrico
E - Campo eleacutectrico
I - Intensidade
P - Polarizaccedilatildeo
Vo - Potencial eleacutectrico
c - Velocidade da luz no vazio
h - Distacircncia entre os eleacutetrodos
xvii
LISTA DE SIacuteMBOLOS
k - Nuacutemero de onda
l - Caminho percorrido pela luz num meio
n - Iacutendice de refraccedilatildeo
ne - Iacutendice de refraccedilatildeo extraordinaacuterio
no - Iacutendice de refraccedilatildeo ordinaacuterio
r - Coeficiente electrooacuteptico linear
s - Coeficiente electrooacuteptico quadraacutetico
u - Densidade de energia
w - Frequecircncia angular
xviii
Capiacutetulo
1Introduccedilatildeo
A fibra oacuteptica eacute hoje amplamente utilizada nas redes de telecomunicaccedilatildeo em subs-
tituiccedilatildeo dos tradicionais cabos eleacutectricos por permitir transportar uma grande
quantidade de informaccedilatildeo a alta velocidade e com perdas reduzidas sem ser
afetada pelo ruiacutedo eletromagneacutetico Por outro lado a transmissatildeo de informaccedilatildeo
atraveacutes da fibra oacuteptica requer o desenvolvimento de dispositivos capazes de pro-
cessar sinal oacuteptico tais como amplificadores comutadores e moduladores de luz
Eacute aqui que o efeito electrooacuteptico assume um papel de relevo jaacute que possibilita a
modulaccedilatildeo de luz a frequecircncias da ordem do gigahertz [1 2 3]
O efeito electrooacuteptico tambeacutem conhecido por efeito de Pockels1 consiste na
variaccedilatildeo do iacutendice de refraccedilatildeo de um meio quando a este eacute aplicado um campo
eleacutetrico externo Esta alteraccedilatildeo no iacutendice de refraccedilatildeo eacute o resultado de forccedilas elec-
trostaacuteticas que deformam as moleacuteculas (alteraccedilatildeo de posiccedilatildeo orientaccedilatildeo ou forma)
do meio que estaacute na origem de uma alteraccedilatildeo no momento dipolar Distinguem-
se dois tipos de efeito eletrooacuteptico o linear (efeito Pockels) e o quadraacutetico (efeito
Kerr2)
O efeito de Pockels estaacute na origem da criaccedilatildeo de uma birrefringecircncia ∆n
no meio oacuteptico proporcional ao campo eleacutetrico aplicado Este efeito observa-se
1Friedrich Carl Alwin Pockels foi um fiacutesico alematildeo que em 1893 descobriu que se for aplicadoum campo eleacutectrico estaacutevel a certos materiais birrefrigentes estes vatildeo sofrer uma variaccedilatildeo noiacutendice de refraccedilatildeo proporcional agrave forccedila do campo aplicado Este coeficiente de proporcionalidadeestaacute entre os 10times 10minus10V minus1 e os 10times 10minus12V minus1 Ficando este fenoacutemeno conhecido como Efeito dePockels
2John Kerr foi um fiacutesico escocecircs e um pioneiro no campo da electro-oacuteptica nomeadamentepelo efeito de Kerr em 1875 que consiste numa variaccedilatildeo do iacutendice de refraccedilatildeo que varia quadraacuteti-camente com o campo eleacutetrico aplicado
1
CAPIacuteTULO 1 INTRODUCcedilAtildeO
apenas em meios em que a sua estrutura natildeo apresenta centro de simetria
No efeito de Kerr a variaccedilatildeo no iacutendice de refraccedilatildeo do meio eacute proporcional ao
quadrado do campo eleacutetrico aplicado e portanto proporcional agrave intensidade da
luz e ao contraacuterio do efeito de Pockels ocorre dum modo geral como mais ou
menos intensidade em todos os materiais
O conhecimento das propriedades electrooacutepticas de um material eacute fundamen-
tal na avaliaccedilatildeo das suas capacidades para o desenvolvimentos de dispositivos
moduladores de luz O presente trabalho de dissertaccedilatildeo consistiu no desenvolvi-
mento de uma bancada oacuteptica para a mediccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico base-
ado em teacutecnica interferomeacutetrica de mediccedilatildeo da diferenccedila de fase induzida por
efeito eletrooacuteptico
Neste trabalho seraacute inicialmente descrita a teoria e os caacutelculos necessaacuterios
para a mediccedilatildeo do efeito electrooacuteptico atraveacutes dos seus coeficientes natildeo-lineares
Sendo de seguida apresentados alguns sistemas de mediccedilatildeo deste efeito e o seu
respectivo funcionamento No capiacutetulo seguinte seraacute descrito o funcionamento
do sistema desenvolvido o interferoacutemetro implementado o porta-amostras cons-
truiacutedo a eletroacutenica e os sistemas oacutepticos desenvolvidos que integram o sistema
bem como os caacutelculos finais para a obtenccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico do sis-
tema usado Por uacuteltimo as conclusotildees retiradas do trabalho desenvolvido bem
como as suas perspectivas futuras
2
Capiacutetulo
2Efeito Electrooacuteptico
Este capiacutetulo aborda do ponto de vista teoacuterico alguns aspectos relevantes para a
realizaccedilatildeo deste trabalho nomeadamente a propagaccedilatildeo da luz num meio as pro-
priedades da oacuteptica natildeo-linear e a alteraccedilatildeo no iacutendice de refraccedilatildeo linear em meios
anisotroacutepicos Estes conceitos permitiratildeo encontrar as expressotildees que determinam
os coeficientes natildeo-lineares
21 Oacuteptica Natildeo-Linear
Um dado material pode responder de forma natildeo-linear a um campo eleacutectrico
aplicado De um modo geral pode-se descrever a resposta da seguinte forma[4]
Pi = ε0
[χ
(1)ij Ej +χ(2)
ijkEjEk +χ(3)ijklEjEkEl +χ(N )
middotmiddotmiddot middot middot middot]
(21)
Onde P i eacute a polarizaccedilatildeo do meio ε0 eacute a permissidade eleacutectrica no vaacutecuo E
o campo eleacutectrico aplicado χ(1) a suscetibilidade eleacutectrica linear e χ(2) χ(3)
χ(n) as suscetibilidades natildeo lineares de segunda ordem de terceira ordem ateacute
N ordem sendo N um nuacutemero inteiro com i j k l um sistema de eixos de
laboratoacuterio com valores valores 1 2 e 3
Cada termo da equaccedilatildeo 21 estaacute associado a diferentes respostas do meio O
termo χ(1) estaacute associado ao iacutendice de refraccedilatildeo e absorccedilatildeo linear O termo χ(2) agrave
geraccedilatildeo de segunda harmoacutenica soma e diferenccedila de frequecircncias e o efeito elec-
trooacuteptico linear ou efeito de Pockels Este efeito eacute particularmente importante
3
CAPIacuteTULO 2 EFEITO ELECTROOacutePTICO
jaacute que permite a modulaccedilatildeo da luz De salientar que o tensor de terceira ordem
(χ(2)ijk) se reduz a dezoito elementos atendendo agraves simetrias resultantes de permu-
tas de iacutendices jaacute que χ(2)ijk = χ
(2)ikj = χ
(2)kij = χ
(2)jik = χ
(2)jki = χ
(2)kji Pode-se desta forma
representar atraveacutes da matriz
χ(2)ij =
χ
(2)11 χ
(2)12 χ
(2)13 χ
(2)14 χ
(2)15 χ
(2)16
χ(2)21 χ
(2)22 χ
(2)23 χ
(2)24 χ
(2)25 χ
(2)26
χ(2)31 χ
(2)32 χ
(2)33 χ
(2)34 χ
(2)35 χ
(2)36
Utilizando uma notaccedilatildeo condensada[5] ficamos com
χ(2)ijk = χ(2)
mk = com m =
1 quando ij = 11
2 quando ij = 22
3 quando ij = 33
4 quando ij = 2332
5 quando ij = 1331
6 quando ij = 1221
De notar que dependendo do meio soacute alguns dos elementos de χ(2)ijk seratildeo natildeo
nulos Para materiais que exibam centro de simetria o efeito electrooacuteptico linear
natildeo existe de todo sendo os elementos de χ(2)ijk nulos
O elemento χ(3) estaacute associado agrave geraccedilatildeo da terceira harmoacutenica soma e dife-
renccedila de frequecircncias e o efeito electrooacuteptico quadraacutetico ou efeito de Kerr que se
manifesta na variaccedilatildeo do iacutendice de refraccedilatildeo com o quadrado do campo eleacutectrico
aplicado
De salientar ainda que quanto maior o valor de ordem n mais difiacutecil se torna
observar os efeitos associados uma vez que estes se tornam cada vez menos inten-
sos
4
22 PROPAGACcedilAtildeO EM MEIOS ANISOTROacutePICOS
22 Propagaccedilatildeo em Meios Anisotroacutepicos
A propagaccedilatildeo de uma onda electromagneacutetica num meio pode ser descrita pelas
equaccedilotildees de Maxwell1 Para o caso de um meio homogeacuteneo isolante e neutro
pode-se escrever como
nabla middot ~E = 0 (22a)
nabla middot ~B = 0 (22b)
nablatimes ~E = minuspart~Bpartt
(22c)
nablatimes ~B = microεpart~Epartt
(22d)
Sendo ~B o campo magneacutetico ~E o campo eleacutectrico ε e micro a permissidade eleacutectrica
e permeabilidade magneacutetica do meio respectivamente
Tendo em conta que para um vector ~D geneacuterico
nablatimesnablatimes ~D = nabla(nabla middot ~D
)minusnabla2 ~D (23)
e
nablatimespart~Dpartt
=partnablatimes ~Dpartt
(24)
Comeccedilando pela equaccedilatildeo 22c
nablatimesnablatimes ~E = nablatimespart~Bpartt
(25)
Usando as propriedades matemaacuteticas das equaccedilotildees 23 e 24
nabla(nabla middot ~E
)minusnabla2~E =
partnablatimes ~Bpartt
(26)
Utilizando as equaccedilotildees 22a e 22d na equaccedilatildeo 26 verifica-se que
nabla2~E = microεpart2~E
partt2(27)
1James Clerk Maxwell foi um cientista escocecircs mais conhecido por ter combinado as teoriasdos campos da oacuteptica do magnetismo e da electricidade numa soacute e uacutenica teoria dando assimorigem as chamadas equaccedilotildees de Maxwell
5
CAPIacuteTULO 2 EFEITO ELECTROOacutePTICO
Obtendo-se desta maneira a equaccedilatildeo de onda para o campo eleacutectrico Analo-
gamente mas comeccedilando com a equaccedilatildeo 22d obteacutem-se para o campo magneacutetico
nabla2~B = microεpart2~B
partt2(28)
A sua velocidade de propagaccedilatildeo eacute dada por
v =1radicmicroε
(29)
Sendo que no vazio micro = micro0 e ε = ε0 o que resulta em v = c 3times 108ms
Resolvendo as equaccedilotildees 27 e 28 obtecircm-se as expressotildees para os campos eleacutec-
tricos e magneacuteticos que se propagam no meio
~E (~r t) = ~E0ei(~kmiddot~rminuswt
)(210)
e
~B (~r t) = ~B0ei(~kmiddot~rminuswt
)(211)
Onde ~r eacute o vector posiccedilatildeo ~k eacute o vector de onda que segue a direccedilatildeo de pro-
pagaccedilatildeo da onda w a frequecircncia angular e t o tempo Sendo que a parte real das
equaccedilotildees representa os seus respectivos campos A magnitude do vector ~k pode
ser escrita da seguinte maneira
k =2πλ
=wv
=wnc
(212)
Em que k eacute o nuacutemero de onda λ o comprimento de onda e n o iacutendice de
refraccedilatildeo
Escrevendo a parte real das equaccedilotildees 210 e 211 fica-se com
E = E0 cos(kr minuswt) (213)
e
B = B0 cos(kr minuswt) (214)
Manipulando a equaccedilatildeo 22c obtem-se
partEpartx
= minuspartBpartt
(215)
6
22 PROPAGACcedilAtildeO EM MEIOS ANISOTROacutePICOS
Utilizando a equaccedilatildeo 215 nas equaccedilotildees 213 e 213
kE0 = wB0 (216)
Usando a equaccedilatildeo 212 na equaccedilatildeo 216 verifica-se que
B0 =E0
v(217)
221 Vector de Poynting
O fluxo de energia (Wm2) dado pelo vector de Poynting2 (~S) pode ser escrito da
seguinte forma
~S =1micro~E times ~B (218)
A densidade de energia eleacutectrica ou a energia eleacutectrica armazenada por uni-
dade de volume (joulem3) a quantidade de energia contida num dado sistema
em relaccedilatildeo ao seu volume seraacute dada por
uE =12εE2 (219)
Agrave semelhanccedila da densidade de energia eleacutectrica a densidade de energia mag-
neacutetica (uB) eacute
uB =1
2microB2 (220)
Assim somando as equaccedilotildees 219 e 220 obtem-se a densidade de energia
total de uma onda electromagneacutetica
u =12εE2 +
12microB2 (221)
2John Henry Poynting foi um fiacutesico britacircnico autor de diversos trabalhos entre os quais um te-orema no qual se atribui um valor agrave taxa de fluxo de energia electromagneacutetica que ficou conhecidocomo vector de Poynting
7
CAPIacuteTULO 2 EFEITO ELECTROOacutePTICO
Substituindo as equaccedilotildees 29 e 217 na equaccedilatildeo 221 pode-se escrever a densi-
dade de energia total de uma onda electromagneacutetica num dado meio da seguinte
forma
u = εE2 (222)
Relacionando-se desta forma a densidade de energia com o campo eleacutectrico
De salientar que o campo magneacutetico e o campo eleacutectrico estatildeo relacionados atra-
veacutes da equaccedilatildeo 217
Considerando uma secccedilatildeo de aacuterea A (Fig 21) de um cubo com ∆x de lado
Figura 21 Cubo com secccedilatildeo de aacuterea A e ∆x de lado
A energia armazenada no cubo ou densidade de energia eacute igual a
∆U = uA∆x (223)
Sendo que a energia que atravessa a aacuterea A por unidade de tempo eacute
∆U∆t
=uA∆x∆xv
= uAv (224)
Assim a energia por unidade de tempo e aacuterea (Wm2) eacute igual a
uv = S (225)
Combinando a equaccedilatildeo 225 com a equaccedilatildeo 222 pode-se escrever a magnitude
do vector de Poynting da seguinte forma
S = εvE2 (226)
8
22 PROPAGACcedilAtildeO EM MEIOS ANISOTROacutePICOS
Substituindo a equaccedilatildeo 213 na equaccedilatildeo 225 a magnitude do vector de Poyn-
ting assume a seguinte forma
S = εvE20 cos2 (wt) (227)
Se na equaccedilatildeo 227 se fizer uma meacutedia no tempo obteacutem-se
〈S〉 = εvE20
langcos2 (wt)
rang(228)
Sendo quelangcos2 (wt)
rang= 1
2 tem-se que
I = 〈S〉 =12εvE2
0 =c
2nεE2
0 (229)
Sendo I a intensidade ou seja a potecircncia meacutedia por unidade de aacuterea que a
onda electromagneacutetica transporta
222 Elipsoiacutede dos Iacutendices
Nos meios anisotroacutepicos o iacutendice de refraccedilatildeo linear depende da direccedilatildeo da propa-
gaccedilatildeo da luz e do seu estado de polarizaccedilatildeo A resposta de um meio anisotroacutepico
eacute normalmente obtida atraveacutes do conceito de elipsoiacutede de iacutendices[5 6 7] que
a seguir seraacute descrita Ao se aplicar um campo eleacutectrico a um meio polarizaacutevel
este induz uma mudanccedila do estado de polarizaccedilatildeo descrito pelo deslocamento
eleacutectrico
~D = ε0~E + ~P (230)
Sendo
~P = ε0χ~E (231)
onde ε0 eacute a permissidade eleacutectrica no vazio ~P a polarizaccedilatildeo ~E o campo eleacutec-
trico ~D o deslocamento eleacutectrico e χ eacute o tensor das suscetibilidades Atraveacutes das
equaccedilotildees 230 e 231 tem-se que
~D = ε0~E(1 + χ) (232)
9
CAPIacuteTULO 2 EFEITO ELECTROOacutePTICO
Sendo que χ eacute dado por
χ =
χ11 χ12 χ13
χ21 χ22 χ23
χ31 χ32 χ33
(233)
Pelo teorema de eixos principais [7] seraacute possiacutevel escolher um sistema de co-
ordenadas onde apenas os elementos da diagonal principal sejam diferentes de
zero de tal forma que
χ =
χ11 0 0
0 χ22 0
0 0 χ33
(234)
Assim a equaccedilatildeo 231 pode ser escrita na forma no novo sistema de eixosP1
P2
P3
= ε0
χ11 0 0
0 χ22 0
0 0 χ33
E1
E2
E3
(235)
Da equaccedilatildeo 235 pode-se ainda retirar o seguinte
P1 = ε0χ11E1 D1 = ε11E1 ε11 = ε0 (1 +χ11)
P2 = ε0χ22E2 D2 = ε22E2 ε22 = ε0 (1 +χ22) (236)
P3 = ε0χ33E3 D3 = ε33E3 ε33 = ε0 (1 +χ33)
Combinando as equaccedilotildees 219 e 236 pode-se reescrever a densidade de energia
armazenada no campo eleacutectrico como
uE =12~E middot ~D (237)
Usando as expressotildees da equaccedilatildeo 236 para manipular a equaccedilatildeo 237 obtem-
se
D21
ε11+D2
2
ε22+D2
3
ε33= 2uE (238)
10
22 PROPAGACcedilAtildeO EM MEIOS ANISOTROacutePICOS
Substituiacutendo na equaccedilatildeo 238 D1 D2 e D3 pelos seus respectivos eixos em
coordenadas cartesianas tem-se que
x2
ε11ε0+
y2
ε22ε0+
z2
ε33ε0= 1 (239)
sendo x = D1radic2ε0UE
y = D2radic2ε0UE
e z = D3radic2ε0UE
Reescrevendo a equaccedilatildeo 239 fazendo n2x = ε11ε0 n2
y = ε22ε0 e n2z = ε33ε0
obteacutem-se forma a equaccedilatildeo do elipsoide de iacutendices
x2
n2x
+y2
n2y
+z2
n2z
= 1 (240)
Sendo nx ny e nz o iacutendice de refraccedilatildeo na sua respectiva direccedilatildeo como demons-
tra a figura 22
Figura 22 Ilustraccedilatildeo do elipsoiacutede de iacutendices (retirado de [7])
11
CAPIacuteTULO 2 EFEITO ELECTROOacutePTICO
223 Coeficientes Natildeo-Lineares
Quando eacute aplicado um campo eleacutectrico ao meio o elipsoiacutede de iacutendices pode
mudar a sua forma e orientaccedilatildeo no espaccedilo de tal forma que a equaccedilatildeo de elipsoide
de iacutendices passa a ser escrita de um modo geral como
( 1n2
)1x2 +
( 1n2
)2y2 +
( 1n2
)3z2 + 2
( 1n2
)4xy + 2
( 1n2
)5xz+ 2
( 1n2
)6yz = 1 (241)
Quando o campo eleacutectrico aplicado eacute nulo as equaccedilotildees 240 e 241 tecircm de ser
equivalentes pelo que para E = 0 tem-se
( 1n2
)1
=1
n2x( 1
n2
)2
=1
n2y( 1
n2
)3
=1
n2z( 1
n2
)4
=( 1n2
)5
=( 1n2
)6
= 0
(242)
Desta forma quando se aplica um campo eleacutectrico (E) verifica-se uma variaccedilatildeo
nos coeficientes(
1n2
)i Esta variaccedilatildeo induzida pelo efeito electrooacuteptico pode entatildeo
ser descrita atraveacutes de [8]
∆
( 1n2
)i
=3sumj=1
rijEj com i = 1 6 (243)
Sendo rij o coeficiente electrooacuteptico e E a magnitude do campo eleacutectrico apli-
cado
12
22 PROPAGACcedilAtildeO EM MEIOS ANISOTROacutePICOS
A equaccedilatildeo 243 tambeacutem pode ser escrita como
∆
( 1n2
)1
∆
( 1n2
)2
∆
( 1n2
)3
∆
( 1n2
)4
∆
( 1n2
)5
∆
( 1n2
)6
=
r11 r12 r13
r21 r22 r23
r31 r32 r33
r41 r42 r43
r51 r52 r53
r61 r62 r63
E1
E2
E3
(244)
Nesta conformidade o coeficiente electrooacuteptico pode ser escrito como
rij = minus 2
n3ij
[partnijpartEj
](245)
A diferenccedila de fase ∆φ resultante da variaccedilatildeo no iacutendice de refraccedilatildeo ∆n seraacute
∆φ =2πlλ
∆n (246)
Em que o l eacute o caminho percorrido pela luz de comprimento de onda λ no
meio Sendo a variaccedilatildeo no iacutendice de refraccedilatildeo devida aos efeitos electrooacutepticos
pode-se escrever
|∆n| =rno
3
2Voh
(247)
para o efeito electrooacuteptico linear e
|∆n| =sn3o
2
(Voh
)2(248)
para o efeito electrooacuteptico quadraacutetico
Onde os coefeciecircntes electrooacutepticos linear e quadraacutetico satildeo respectivamente
r e s Vo eacute o potencial eleacutectrico aplicado entre os eleacutetrodos que distam entre si a
uma distacircncia h criando assim o campo eleacutectrico aplicado
13
Capiacutetulo
3Mediccedilatildeo do Efeito Electrooacuteptico
Neste capiacutetulo satildeo apresentadas as teacutecnicas mais comuns utilizadas para a me-
diccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico destacando-se dois tipos de interferoacutemetros o
tradicional e os de interferometria de dois feixes
31 Meacutetodo Tradicional
Um dos meacutetodos mais usados para medir o efeito eletrooacuteptico foi o proposto por
Henry [9] em 1986 Esta teacutecnica ilustrada na Fig31 baseia-se na alteraccedilatildeo do
estado de polarizaccedilatildeo de um feixe linearmente polarizado quando este atravessa
o meio Esta alteraccedilatildeo ocorre devido agrave birrefrigecircncia induzida por um campo
eleacutetrico aplicado e agrave atividade oacuteptica do meio A montagem eacute composta por uma
fonte de luz (S) um monocromador (M) uma lente (L) um diafragma (D) dois
polarizadores (P1 e P2) um cristal (BSO) de espessura d ao qual eacute aplicado um
campo eleacutetrico (E) e um fotomultiplicador (FM) ligado a um sistema de aquisiccedilatildeo
de dados
O procedimento experimental em si consiste no seguinte para um dado estado
de polarizaccedilatildeo do feixe incidente imposto pelo P1 vai-se alterando a posiccedilatildeo
angular do P2 de forma a encontrar as intensidades maacutexima e miacutenima e desta
forma calcular-se a visibilidade (ν) atraveacutes de [9]
νθ =Imax minus IminImax + Imin
(31)
15
CAPIacuteTULO 3 MEDICcedilAtildeO DO EFEITO ELECTROOacutePTICO
Figura 31 Montagem experimental proposta por Henry e a sua equipa (adaptadode [9])
De seguida altera-se P1 para a posiccedilatildeo angular de 45 e repete-se o procedi-
mento anterior Somando o quadrado das duas visibilidades obtidas tem-se que
[9]
ν2θ + ν2
θ+45 = 1 +
1minus δ2
2
sen(φ2 )φ2
2
2
(32)
sendo
δ =2πλn3rEyd (33)
e
φ =radicδ2 + ρ2 (34)
Sendo δ a diferenccedila de fase originada pela birrefringecircncia λ o comprimento
de onda do feixe no vaacutecuo ρ a diferenccedila de fase associada agrave actividade oacuteptica n o
iacutendice de refraccedilatildeo sem campo eleacutetrico aplicado Ey o campo eleacutectrico aplicado e
d a espessura do cristal na direccedilatildeo do campo eleacutectrico aplicado Destas equaccedilotildees
pode-se calcular o coeficiente electrooacuteptico r
Para o caso de φ pequenos
sen(φ2 )φ2
2
1 pelo que
ν2θ + ν2
θ+45 1 +(1minus δ
2
2
)2
(35)
Natildeo sendo nesta situaccedilatildeo necessaacuteria a actividade oacuteptica ρ Esta teacutecnica apre-
senta um erro de mediccedilatildeo de 10 a 15 em relaccedilatildeo ao valor tabelado
16
32 MEacuteTODOS POR INTERFEROMETRIA
32 Meacutetodos por Interferometria
321 Interferometria Oacuteptica
Quando duas ondas de uma mesma frequecircncia se sobrepotildeem num dado ponto
formam uma nova onda cuja amplitude eacute o resultado da soma da amplitude das
duas ondas iniciais em cada instante nesse ponto Quando a soma da duas ondas
resulta numa amplitude maior diz-se que houve interferecircncia construtiva quando
resulta numa amplitude inferior diz-se que ocorreu interferecircncia destrutiva
Supondo que uma das ondas tem a forma E1ei(φ1minuswt) e a outra forma E2e
i(φ2minuswt)
sendo E1 e E2 as amplitudes dos respetivos campos eleacutetricos φ1 e φ2 as fases
iniciais w a frequecircncia angular e t o tempo a onda resultante seraacute descrita por
[10]
ET = E1ei(φ1minuswt) +E2e
i(φ2minuswt) (36)
Se φ1 minusφ2 = 2Nπ com N = 012 entatildeo as duas ondas estaratildeo em fase e daacute-
se uma interferecircncia construtiva perfeita Se φ1 minusφ2 = (2N + 1)π e E1 = E2 entatildeo
as duas ondas estaratildeo em oposiccedilatildeo de fase e daacute-se uma interferecircncia destrutiva
completa Estas situaccedilotildees extremas encontram-se ilustradas na figura 32
Figura 32 Ilustraccedilatildeo de uma interferecircncia construtiva perfeita (a) e destrutivacompleta (b)
Matematicamente a coerecircncia eacute uma medida da correlaccedilatildeo entre as ondas
Quanto mais construtiva for a interferecircncia maior seraacute a coerecircncia Fisicamente
a coerecircncia eacute uma medida do quatildeo constante a diferenccedila de fase permanece entre
17
CAPIacuteTULO 3 MEDICcedilAtildeO DO EFEITO ELECTROOacutePTICO
as duas ondas A coerecircncia eacute usualmente medida num padratildeo de franjas de in-
terferecircncia atraveacutes da visibilidade de franja (ν) que pode ser experimentalmente
calculada atraveacutes de [10]
ν =Imax minus IminImax + Imin
= 1 coerecircncia total e contraste maacuteximo
0 lt ν lt 1 coerecircncia parcial
= 0 incoerecircncia total e contraste natildeo haacute franjas
(37)
Pode-se ver na Fig33 um exemplo da equaccedilatildeo 37 que representa a visibi-
lidade das franjas em funccedilatildeo da diferenccedila de fase entre duas ondas da mesma
frequecircncia que interferem Como a visibilidade das franjas depende da coerecircncia
das duas ondas qualquer diferenccedila iraacute traduzir-se numa diminuiccedilatildeo de visibili-
dade
Figura 33 Visibilidade num interferoacutemetro em funccedilatildeo da diferenccedila de fase entreduas ondas provenientes de ramos diferentes do interferoacutemetro (adaptado de[11])
Pode-se usar a interferometria para quantificar os efeitos electrooacutepticos natildeo
soacute linear mas tambeacutem o quadraacutetico (efeito de Kerr) Os interferoacutemetros mais
frequentemente utilizados para este efeito satildeo os interferoacutemetro de Michelson1 e1Albert Abraham Michelson foi um fiacutesico americano conhecido pela invenccedilatildeo do interferoacuteme-
tro de Michelson (1891) do seu trabalho na mediccedilatildeo da velocidade da luz e pelo seu trabalho naexperiecircncia de Michelson-Morley Em 1907 tornou-se o primeiro americano a receber o PreacutemioNobel da Fiacutesica
18
32 MEacuteTODOS POR INTERFEROMETRIA
o interferoacutemetro de Mach-Zehnder2
De salientar que as teacutecnicas interferomeacutetricas apresentam uma elevada sensibi-
lidade simplificaccedilatildeo na preparaccedilatildeo das amostras a estudar e uma menor sensibili-
dade a vibraccedilotildees mecacircnicas e a flutuaccedilotildees teacutermicas desde que estas ocorram com
a mesma intensidade em ambos os ramos do mesmo tamanho do interferoacutemetro
322 Interferoacutemetro de Mach-Zehnder
No interferoacutemetro de Mach-Zehnder (Fig 34) um separador de feixe divide o
feixe proveniente da fonte em dois feixes que vatildeo constituir os dois ramos do
interferoacutemetro o feixe-amostra e o feixe-referecircncia Ambos satildeo refletidos por um
espelho e ambos atravessam um novo separador de feixe antes de se juntarem de
novo e serem medidos nos detetores
Figura 34 Esquema de um interferoacutemetro de Mach-Zehnder (adaptado de [12])
Com os ramos agrave mesma distacircncia pode ainda observar-se que sem amostra
ambos os feixes vatildeo chegar em fase aos detetores havendo desta forma uma inter-
ferecircncia construtiva Ambos apresentaratildeo uma mudanccedila de fase correspondente
a λ devido ao facto de ambos sofrerem duas reflexotildees e uma transmissatildeo numa
placa de vidro(separador de feixe) ateacute chegarem aos detetores2Ludwig Zehnder foi um fiacutesico suiacuteccedilo e o inventor do interferoacutemetro de Mach-Zehnder Inter-
feroacutemetro esse depois aperfeiccediloado por Ludwig Mach
19
CAPIacuteTULO 3 MEDICcedilAtildeO DO EFEITO ELECTROOacutePTICO
Alterando o caminho oacuteptico do espelho do feixe-referecircncia em λ4 sem amos-
tra o feixe-amostra e o feixe-referecircncia vatildeo chegar com uma diferenccedila de fase de
λ2 ou seja vai haver uma interferecircncia destrutiva completa Isto porque o feixe-
referecircncia vai ter uma mudanccedila de fase de λ2 devido a uma reflexatildeo e duas trans-
missotildees provocadas pelos separadores de feixe Enquanto que o feixe-amostra
chegaraacute aos detetores com uma diferenccedila de fase de λ devido a duas reflexotildees
mais uma reflexatildeo com transmissatildeo no segundo separador de feixe Assim na
ausecircncia de amostra e desde que a diferenccedila de caminho oacuteptico ou retardaccedilatildeo
(δ) seja zero os feixes iratildeo interferir construtivamente [13]
Com a amostra colocada no caminho do feixe-amostra os feixes vatildeo chegar ao
detetor em diferentes situaccedilotildees de fase sendo possiacutevel determinar a diferenccedila de
fase provocada pela presenccedila da amostra
A intensidade do feixe (I) em ambos os detetores eacute descrita por [14]
I(δ) =12I(k)cos(2Nkδ) (38)
Com k o nuacutemero de onda (k = 2πλ) E fazendo δ = d com d = vt resulta
I(δ) =12I(k)cos(2Nk(vt)) (39)
323 Interferoacutemetro de Michelson
No interferoacutemetro do tipo Michelson um feixe de luz eacute dividido em dois que
percorrem caminhos diferentes para de seguida se recombinarem Apoacutes terem
percorrido caminhos diferentes o feixe resultante da recombinaccedilatildeo pode apresen-
tar um padratildeo de interferecircncia que depende da diferenccedila de caminhos oacutepticos
entre os feixes e que pode ser medido num detetor
A forma mais simples de implementar um interferoacutemetro de Michelson con-
siste em dois espelhos colocados entre si num plano perpendicular em que um
deles se pode mover na direccedilatildeo perpendicular agrave sua superfiacutecie refletora conforme
ilustrado na Fig35
Esse espelho iraacute movimentar-se num espaccedilo definido a uma velocidade cons-
tante Entre o espelho fixo e o espelho moacutevel estaacute um separador de feixe que
divide o feixe incidente inicial em dois de igual intensidade Aqui o feixe eacute parci-
almente refletido para um espelho e parcialmente transmitido para o outro
20
32 MEacuteTODOS POR INTERFEROMETRIA
Figura 35 Esquema de funcionamento de um interferoacutemetro de Michelson cominterferecircncia construtiva (a) e destrutiva (b) (adaptado de [15])
Assumindo que o separador de feixe eacute ideal e com uma reflectacircncia e transmi-
tacircncia de 50 se o espelho moacutevel se encontrar estacionaacuterio pode determinar-se
a intensidade do feixe num dado ponto do detetor Se a diferenccedila do caminho
oacuteptico ou retardaccedilatildeo (δ) for zero ou seja os espelhos estatildeo igualmente espaccedilados
do separador de feixe estes vatildeo percorrer a mesma distacircncia e interferir construti-
vamente pelo que a intensidade do feixe final eacute a soma das intensidades dos dois
feixes Nestas condiccedilotildees toda a luz que sai da fonte chega ao detetor
No caso do espelho moacutevel se deslocar uma distacircncia de λ4 a retardaccedilatildeo total
seraacute de λ2 pelo que os feixes estaratildeo desfasadas de 180ordm (π) Nestas condiccedilotildees ter-
se-aacute interferecircncia destrutiva completa na recombinaccedilatildeo dos feixes dando origem
agrave extinccedilatildeo total
Voltando a deslocar o espelho moacutevel de mais λ4 a diferenccedila do caminho
oacuteptico seraacute igual a λ e os dois feixes voltam a estar em fase havendo novamente
uma sobreposiccedilatildeo construtiva dos feixes
Com o espelho moacutevel a deslocar-se a uma velocidade constante o sinal do de-
tetor iraacute variar com uma forma perioacutedica sendo que atinge o seu maacuteximo quando
a retardaccedilatildeo (δ) for um muacuteltiplo inteiro de λ δ =Nλ
A expressatildeo da intensidade do feixe (I) no detector para o caso do interferoacute-
metro de Michelson eacute semelhante agrave equaccedilatildeo 38 para o interferoacutemetro de Mach-
Zehnder sendo que neste caso δ = 2d com d = vt jaacute que o feixe atravessa a
amostra duas vezes Nestas condiccedilotildees ter-se-aacute
I(δ) =12I(k)cos(4Nk(vt)) (310)
21
CAPIacuteTULO 3 MEDICcedilAtildeO DO EFEITO ELECTROOacutePTICO
22
Capiacutetulo
4Sistema Implementado
Este capiacutetulo descreve o sistema implementado para a mediccedilatildeo do coeficiente
electrooacuteptico usando a teacutecnica de interferoacutemetria de Michelson bem como a cali-
braccedilatildeo do mesmo
41 Interferoacutemetro
O sistema escolhido para a mediccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico baseia-se na teacutec-
nica de interferometria de Michelson (ver secccedilatildeo 323) onde se mediu a diferenccedila
de fase entre os ramos do interferoacutemetro Esta teacutecnica foi escolhida pela elevada
sensibilidade agrave diferenccedila de fase gerada entre os ramos do interferoacutemetro facili-
dade de preparaccedilatildeo das amostras e por ser menos sensiacutevel a vibraccedilotildees mecacircnicas
e a flutuaccedilotildees teacutermicas desde que estas ocorram com a mesma intensidade em
ambos os ramos do interferoacutemetro Para aleacutem das vantagens mencionadas e espe-
cificamente em comparaccedilatildeo com o interferoacutemetro mais usado o interferoacutemetro
do tipo Mach-Zehnder o interferoacutemetro de Michelson tem uma maior facilidade
de alinhamento dos espelhos e usa apenas um separador de feixe
A figura 41 esquematiza o sistema baseado no interferoacutemetro de Michelson
desenvolvido para a mediccedilatildeo do coeficiente eletrooacuteptico
23
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Figura 41 Esquematizaccedilatildeo do interferoacutemetro de Michelson e instrumentaccedilatildeoutilizada para a mediccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico em cristais
Como se pode ver no esquema da figura 41 o ramo do espelho vibrante fica
vazio enquanto que no ramo do espelho fixo se encontra a amostra entre dois
eleacutectrodos onde se aplicam um campo eleacutectrico E O sinal medido no detector
resulta da interferecircncia entre os feixes provenientes de cada ramo do interferoacute-
mentro dependendo da diferenccedila de fase entre os dois feixes Conforme referido
anteriormente a intensidade da luz (I) que chega ao detector eacute da ordem de [16]
I prop E21 +E2
2 + 2E1E2cos(∆φ) (41)
42 Electroacutenica Desenvolvida
421 Amplificador
Para o efeito electrooacuteptico se manisfestar eacute necessaacuterio aplicar-se uma tensatildeo eleacutec-
trica ao meio Uma vez que a tensatildeo de referecircncia fornecida pelo amplificador
lock-in utilizado eacute muito baixa para induzir efeito electrooacuteptico significativo por
volta dos 12V foi necessaacuterio construir um amplificador de tensatildeo (Fig 42)
24
42 ELECTROacuteNICA DESENVOLVIDA
Figura 42 Esquemaacutetico do amplificador de tensatildeo utilizado com base no ampli-ficador operacional LF356n
O amplificador construiacutedo conforme ilustra a figura 42 consiste numa mon-
tagem inversora de ganho variaacutevel com uma malha de controlo de offset e eacute
alimentado a plusmn12V
Assim o ganho G eacute determinado atraveacutes de
G = 1 +R2R1
(42)
Sendo R1 = 11kΩ R2 = 5kΩ R3 = 25kΩ e o amplificador em si utilizado foi
o LF356n
Obtendo-se desta forma um ganho de aproximadamente 55 Permitindo apli-
car uma tensatildeo de cerca de 66V ao cristal electrooacuteptico Uma vez que a tensatildeo
aplicada eacute baixa pode-se desprezar o efeito piezoeleacutectrico gerado na amostra e
que iria influenciar o valor do coeficiente electrooacuteptico medido
422 Gerador de Rampa
Para alimentar o excitador piezoeleacutectrico do espelho moacutevel foi utilizado um ge-
rador de sinais (Fig 43) de forma a induzir um deslocamento linear perioacutedico
na forma de rampa A frequecircncia de oscilaccedilatildeo cerca de 25Hz foi escolhida de
25
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
forma a ser suficientemente baixa para evitar fenoacutemenos de batimento com o sinal
de modulaccedilatildeo electrooacuteptico e suficientemente alta para que se consiga adquirir
dados em tempo uacutetil com uma tensatildeo variaacutevel entre os 4 e os 8V
Figura 43 Esquema eleacutectrico do gerador de rampa implementado baseado nocircuito temporizador NE555
Sendo R1 = 20kΩ R2 = 1kΩ e C1 = C2 = 47microF
O tempo de subida da rampa t1 eacute dado por
t1 = 0693(R1 +R2)C1 (43)
Enquanto que o tempo de descida t2 eacute
t2 = 0693R2C1 (44)
Obtendo assim um tempo de subida de 036s e um tempo de descida de 0033s
Assim a frequecircncia do gerador de rampa f seraacute dada por
f =1
t1 + t2=
144(R1 + 2R2)C1
(45)
O gerador de rampa foi construiacutedo aproveitando o espaccedilo livre no interior da
unidade de amplificaccedilatildeo onde se situa o amplificador
26
42 ELECTROacuteNICA DESENVOLVIDA
423 Seguidor de Tensatildeo
Devido agrave necessidade de acoplamento de impedacircncias entre o amplificador lock-
in e o osciloacutescopio natildeo foi possiacutevel a utilizaccedilatildeo de um repartidor coaxial que
repartisse o sinal proveniente do detector Assim de forma a se poder visuali-
zar o sinal proveniente do detector em simultacircneo com o sinal electrooacuteptico foi
necessaacuterio a construccedilatildeo de um seguidor de tensatildeo (Fig44)
Figura 44 Esquema do seguidor de tensatildeo utilizado construida com base nosamplifacores operacionais LF356n
Sendo que ambos os circuitos integrados foram alimentados por uma tensatildeo
positiva (V+) de 12V e uma negativa (Vminus) de minus12V Com R1 = R2 = 25kΩ Agrave
semelhanccedila do amplificador foi tambeacutem construida uma malha de controlo de
offset
Agrave semelhanccedila do gerador de rampa tambeacutem foi construido na unidade de
amplificaccedilatildeo e gerador de rampa como se pode ver na figura 45
27
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Figura 45 Imagem da unidade de amplificaccedilatildeo e geraccedilatildeo de rampa implemen-tada
43 Sistema Oacuteptico Desenvolvido
431 Espelho Vibrante
O espelho vibrante (Fig46) foi construiacutedo afixando um espelho a um disco pie-
zoeleacutectrico A vibraccedilatildeo do espelho iraacute fazer com que a distacircncia entre o divisor
de feixe e o espelho varie Fazendo deslocar a franja de interferecircncia em frente ao
detector permitindo a este medir as intensidades maacuteximas e miacutenimas das franjas
de interferecircncia (ver secccedilatildeo 323)
Figura 46 Imagem do espelho vibrante utilizado
28
43 SISTEMA OacutePTICO DESENVOLVIDO
432 Bancada Oacuteptica
De forma a colocar os componentes ao niacutevel do feixe do laser na mesa oacuteptica e a
tornar o sistema menos sensiacutevel a vibraccedilotildees mecacircnicas e flutuaccedilotildees teacutermicas os
componentes foram colocadas numa base quadrada de alumiacutenio
Figura 47 Imagem da bancada oacuteptica onde o interferoacutemetro de Michelson foiconstruiacutedo
Conforme se pode ver na figura 47 para completar o interferoacutemetro de Michel-
son para aleacutem dos componentes jaacute referidos foram ainda utilizados um separador
de feixe e um espelho (fixo) no suporte com uma lente oacuteptica agrave saiacuteda do mesmo
Faltando ainda o laser utilizado da Melles Griotreg que possui uma potecircncia de
635mW e um comprimento de onda de 6328nm
433 Detector
O detector utilizado foi um modelo 818-UVDB da Newport Corporationreg (Fig
48) de baixa potecircncia consistindo num fotodiacuteodo de siliacutecio capaz de operar entre
os 200 e os 1100nm As caracteriacutesticas principais deste detector encontram-se
listadas na tabela 433
29
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Tabela 41 Caracteriacutesticas principais do detector 818-UVDB [17]
Largura de Banda 200 a 1100(nm) Material Siliacutecio
Potecircncia
W λ(nm)
Incerteza de
λ(nm)
02 200 a 4008 200 a 219
Maacutexima Calibraccedilatildeo 2 220 a 349
005 400 a 11001 350 a 9494 950 a 1050
Densidade de02Wcm2 Aacuterea Activa 1cm2
Potecircncia Meacutedia
Energia Maacutexima05microJ
Diacircmetro113cm
de Pulso Activo
De forma a evitar que a luz ambiente interferisse nas medidas e para aumen-
tar a resoluccedilatildeo de mediccedilatildeo do perfil da franja de interferecircncia foi colocado um
diafragma com uma abertura no centro de 06mm conforme se pode ver na figura
48 reduzido desta maneira a aacuterea activa para 028 mm2
Figura 48 Imagem do detector e disco utilizado
Para a aquisiccedilatildeo do sinal electrooacuteptico e geraccedilatildeo de sinal electrooacuteptico de
referecircncia foi utilizado um osciloscoacutepio Lecroy Wavesufertrade422
30
43 SISTEMA OacutePTICO DESENVOLVIDO
434 Cristal Electrooacuteptico
Para a calibraccedilatildeo do sistema foi utilizado um cristal padratildeo de dihidrogenofosfato
de potaacutessio (KDP) Na tabela 42 pode-se observar algumas das propriedades
fiacutesicas desse cristal
Tabela 42 Propriedades fiacutesicas do cristal padratildeo KDP [18]
Material Simetria Densidade Classe Higroscopicidade
KDP Tetragonal (42m) 234gcm3 Uniaxial Higroscoacutepico
Uma vez que o cristal eacute uniaxial nx = ny = no e nz = ne sendo no e ne os
iacutendices de refraccedilatildeo ordinaacuterio e extraordinaacuterio do cristal KDP A figura 49 ilustra
o elipsoiacutede de iacutendices num cristal padratildeo KDP
Figura 49 Ilustraccedilatildeo de um cristal padratildeo KDP e seu respectivo elipsoiacutede deiacutendices
31
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Na Tabela 43 pode-se observar algumas das propriedades oacutepticas do cristal
padratildeo KDP
Tabela 43 Propriedades oacutepticas do cristal padratildeo KDP a 6328nm [7]
Material Foacutermula Quiacutemica Iacutendice de RefracccedilatildeoCoeficiente
Electrooacuteptico
KDPKH2PO4
no=15074 r41=86 pmV(λ = 6328nm) ne=14673 r63=106 pmV
Como se pode ver na tabela 42 o cristal do tipo KDP eacute higroscoacutepico sendo
assim necessaacuterio reduzir ao maacuteximo o contacto entre o cristal e a atmosfera para
evitar que as suas faces fiquem opacas interferindo assim na qualidade do feixe
transmitido
435 Porta Amostras
O porta amostras eacute constituiacutedo por uma base feita de latatildeo (Fig 410) onde se
coloca o cristal nivelado com o feixe laser Este suporte possui oito roscas para
parafusos M3 quatro em cima de forma a se fixar os encaixes laterais do porta
amostras e quatro em baixo de forma a afixar-se firmemente na bancada oacuteptica
Figura 410 Imagem da base do porta-amostras desenvolvido
32
43 SISTEMA OacutePTICO DESENVOLVIDO
De forma a aplicar-se a tensatildeo de excitaccedilatildeo ao cristal sem bloquear o feixe do
laser foram utilizadas duas placas de vidro com oacutexido de estanho dopado com
fluacuteor (FTO) Este permite que haja uma boa transparecircncia e conduccedilatildeo eleacutetrica
sendo usado em vaacuterios tipos de dispositivos como aplicaccedilotildees opto-eletroacutenicas
ecratildes touch screen filmes finos fotovoltaicos etc O oacutexido de estanho dopado
com fluacuteor [19] eacute reconhecido por ser altamente estaacutevel quimicamente inerte re-
siste a temperaturas elevadas e ao desgaste abrasivo sendo mais econoacutemico do
que o tradicional oacutexido de iacutendio e estanho (ITO)
De forma a garantir um bom contacto eleacutectrico entre o vidro FTO e o cristal
foram construidas duas peccedilas de afixaccedilatildeo idecircnticas (Fig 411) Trata-se de duas
peccedilas de alumiacutenio cada uma contendo uma abertura de forma a deixar passar
o feixe laser e dois rasgos para parafusos de forma a poder-se fixar no suporte e
desta maneira exercer uma pressatildeo constante sobre o cristal
Figura 411 Imagem das peccedilas de fixaccedilatildeo do cristal desenvolvidas com a vista defrente (a) e a vista de traacutes (b)
A ligaccedilatildeo eleacutectrica entre o sinal de referecircncia proveniente do amplificador ao
vidro FTO foi feita atraveacutes de uma cola condutora de prata de forma a assegurar
a ligaccedilatildeo oacutehmica entre o fio de cobre e a camada de FTO O cristal fica assim entre
duas placas de vidro FTO(Fig412)
33
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Figura 412 Imagem do porta Amostras desenvolvido
A figura 413 ilustra o sistema desenvolvido incluindo a bancada oacuteptica e
instrumentaccedilatildeo
Figura 413 Imagem do sistema desenvolvido para a mediccedilatildeo do efeito electrooacutep-tico
34
44 COEFICIENTE ELECTROOacutePTICO
44 Coeficiente Electrooacuteptico
Para o cristal utilizado o dihidrogenofosfato de potaacutessio (KDP) e para o efeito
electrooacuteptico linear a matriz de coeficientes electrooacutepticos eacute a seguinte
rij =
0 0 0
0 0 0
0 0 0
r41 0 0
0 r52 0
0 0 r63
com
i = 1 6
j = 123
Sendo que r41 = r52 pelo que existem apenas dois coeficientes independentes
o r41 e o r63
Usando a notaccedilatildeo condensada mencionada da secccedilatildeo 21 onde se aplica o
campo eleacutectrico (E) no plano do i (sendo i = m) enquanto que j eacute o eixo oacuteptico
Para o caso do KDP eacute costume utilizar o r63 Isto eacute aplicar o campo eleacutectrico nos
planos 12 ou 21 (ou seja i = 6) com o eixo oacuteptico no eixo 3 (j = 3) como demonstra
a figura 414
Figura 414 Ilustraccedilatildeo da configuraccedilatildeo utilizada para a mediccedilatildeo do coeficienter63 num cristal
35
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Para o caso do efeito electrooacuteptico quadraacutetico a matriz dos coeficientes elec-
trooacutepticos seraacute
sij =
s11 s12 s12 0 0 0
s12 s11 s12 0 0 0
s12 s12 s11 0 0 0
0 0 0 s11 minus s12 0 0
0 0 0 0 s11 minus s12 0
0 0 0 0 0 s11 minus s12
com i j = 1 6
45 Execuccedilatildeo Experimental
Para se medir o coeficiente electrooacuteptico aplica-se ao cristal uma tensatildeo com uma
frequecircncia de 2kHz frequecircncia essa que se revelou menos sensiacutevel aos ruiacutedos
ambientes sendo que o sinal electrooacuteptico teraacute a mesma frequecircncia Podendo-
se desta maneira atraveacutes de um amplificador de lock-in (modelo 393 da IthacoDynatrac) filtrar o sinal electrooacuteptico dos restantes sinais uma vez que a sua
frequecircncia eacute conhecida
A intensidade da equaccedilatildeo 41 eacute maacutexima quando cos(∆φ) = 1 e miacutenima quando
cos(∆φ) = minus1 Pelo que subtraindo estas duas equaccedilotildees
Imax minus Imin = 4E1E2 (46)
Assim combinando a equaccedilatildeo 41 com a equaccedilatildeo 46 obtem-se
I prop E21E
22 +
12
(Imax minus Imin)cos(∆φ) (47)
Juntando agora a equaccedilatildeo 246 agrave equaccedilatildeo 247 e tendo em conta que o feixe
passa duas vezes por cada ramo (=2l) a diferenccedila de fase para o efeito electrooacutep-
tico linear
∆φ = ∆φ0 +πrn3
oVoλ
2lh
cos(Ωt) (48)
Sendo ∆φ0 a diferenccedila de fase inicial sem o efeito electrooacuteptico
36
45 EXECUCcedilAtildeO EXPERIMENTAL
Substituindo o ∆φ da equaccedilatildeo 48 na equaccedilatildeo 47 a intensidade do sinal com
modulaccedilatildeo electrooacuteptica(Iseo) seraacute dado por
Iseo prop E21 +E2
2 +12
(Imax minus Imin)cos(∆φ0 +
πrn3oVoλ
2lh
cos(Ωt))
(49)
Usando cos(α plusmn β) = cos(α)cos(β)∓ sen(α) sen(β) e D = πrn3oVoλ
2lh fica-se com
Iseo prop E21 +E2
2+12
(Imax minus Imin)
[cos(∆φ0)cos(Dcos(Ωt)) minus sen(∆φ0) sen(D cos(Ωt))](410)
Como a modulaccedilatildeo electrooacuteptica eacute um efeito muito pequeno a equaccedilatildeo 410
pode-se escrever
Iseo asymp E21 +E2
2 +12
(Imax minus Imin) [cos(∆φ0)minusD cos(Ωt) sen(∆φ0)] (411)
Considerando soacute os termos de primeira ordem
Iseo asymp12
(Imax minus Imin) [cos(∆φ0)minusD cos(Ωt) sen(∆φ0)] (412)
A componente do sinal electrooacuteptico eacute entatildeo dado por
Iseo =12
(Imax minus Imin)D cos(Ωt) sen(∆φ0) (413)
Ou seja
Iseo =12
(Imax minus Imin)πrn3
oVoλ
2lh
cos(Ωt) sen(∆φ0) (414)
O acircngulo ∆φ0 varia linearmente com o tempo (t) a uma frequecircncia inferior
a Ω A franja de interferecircncia desloca-se continuamente em frente ao detector
devido a um dos espelho estar fixado num disco piezoeleacutectrico
37
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Na figura 415 pode-se ver uma exemplificaccedilatildeo do sinal no detector que incor-
pora o sinal da franja e electrooacuteptico dada pela equaccedilatildeo 414
Figura 415 Ilustraccedilatildeo do sinal de modulaccedilatildeo electrooacuteptica de um feixe de luzmedido num interferoacutemetro de Michelson
Uma vez que o sinal electrooacuteptico (cos(Ωt)) estaacute desfasado π2 do sinal da
franja ( sen(∆φ0)) A intensidade do sinal electrooacuteptico pode ser escrita como
Iseo asymp12
(Imax minus Imin)πrn3
oVoλ
2lh
∣∣∣ sen(∆φ0)∣∣∣ (415)
Assim a amplitude do sinal electrooacuteptico eacute
Iseo =12
(Imax minus Imin)πrn3
oVoλ
2lh
(416)
Pelo que o coeficiente electrooacuteptico linear seraacute dado por
r =|Iseo|
|Imax minus Imin|λ
πn3oVo
hl
(417)
38
46 RESULTADOS
Para o efeito electrooacuteptico quadraacutetico utilizando o procedimento anoacutelogo mas
a partir da equaccedilatildeo 248 em vez da equaccedilatildeo 247 O sinal electrooacuteptico quadraacutetico
Iseoq que ocorre ao dobro da frequecircncia de modulaccedilatildeo 2Ω eacute dado por
s =
∣∣∣Iseoq∣∣∣|Imax minus Imin|
2λ
πn3oV
2o
h2
l(418)
46 Resultados
Com o cristal de KDP devidamente alinhado no interferoacutemetro segundo o seu
eixo oacuteptico de maneira a se medir o coeficiente r63 Obtendo-se assim dois sinais
o sinal de franja e o sinal electrooacuteptico (Fig 416)
Figura 416 Padratildeo da franja produzida (a) e respectivos sinais de franja e elec-trooacuteptico obtidos para um cristal KDP padratildeo
De forma a se proceder a calibraccedilatildeo do sistema utilizou-se a equaccedilatildeo 417 na
forma
|Iseo||Imax minus Imin|
=πn3
o
λlhrVo (419)
39
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Usando o valor da razatildeo |Iseo ||ImaxminusImin|
em funccedilatildeo do potencial aplicado Vo pode-se
calcular o valor do coeficiente electrooacuteptico r atraveacutes do declive da recta obtida
Pode-se ver na figura 417 uma das rectas obtidas para o cristal utilizado na
calibraccedilatildeo do sistema
Figura 417 Razatildeo entre o sinal electrooacuteptico e a diferenccedila de intensidade defranjas em funccedilatildeo do potencial Vo aplicado ao cristal
A tabela 44 apresenta o valor do coeficiente electrooacuteptico obtido e respectiva
incerteza para o cristal de KDP tomando em conta os valores dos iacutendices de
refraccedilatildeo da tabela 43
Tabela 44 Valores e respectivas incertezas obtidas do coeficiente electrooacutepticopara o cristal KDP utilizado
Material Valor Padratildeo Valor Obtido Erro
KDPr63 = 106pmV r63 = 105plusmn 02pmV 1
(λ = 6328nm)
Como se pode ver na tabela 44 o resultado obtido situa-se muito proacuteximo
do teoacuterico encontrando-se dentro da incerteza obtida Os valores valores meacutedios
apresentam um desvio da ordem dos 02pmV
40
46 RESULTADOS
Apesar dos valores obtidos serem bastante positivos houve algumas dificul-
dades nomeadamente o vidro FTO que causou que o alinhamento fosse extrema-
mente complicado natildeo soacute pela sua espessura e dimensionamento como tambeacutem
pela refraccedilatildeo provocada no feixe laser Outro grande obstaacuteculo foi o alinhamento
do cristal uma vez que basta um ligeiro desvio no caminho oacuteptico para causar um
desalinhamento total algo que eacute agravado no interferoacutemetro do tipo Michelson
pelo facto de o feixe laser passar na amostra duas vezes
Apesar destas dificuldades o valor obtido para o coeficiente electrooacuteptico r63
foi de 105pmV valor esse muito proacuteximo do valor padratildeo da literatura que se
encontra nos 106pmV Assim pode-se considerar que o sistema desenvolvido
se encontra devidamente calibrado e pronto para futuras utilizaccedilotildees
41
Capiacutetulo
5Conclusotildees
O trabalho desenvolvido no decorrer desta dissertaccedilatildeo consistiu no desenvolvi-
mento de um sistema para a mediccedilatildeo do efeito electrooacuteptico aacuterea a ser ulilizada
na caracterizaccedilatildeo de novos materiais polimeacutericos para aplicaccedilatildeo em dispositivos
fotoacutenicos
Nesta conformidade foi desenhada construiacuteda e testado uma bancada oacuteptica
destinada agrave mediccedilatildeo do efeito electrooacuteptico baseado numa teacutecnica interferomeacute-
trica de mediccedilatildeo da diferenccedila de fase implementado atraveacutes de um interferoacutemetro
do tipo Michelson
O cristal escolhido para a calibraccedilatildeo do sistema desenvolvido foi um cristal de
KDP comercial tendo sido utilizado o coeficiente electrooacuteptico r63 como referecircn-
cia sendo o valor padratildeo de 106pmV
O sistema obtido permitiu medir um valor nominal de 105plusmn 02pmV com
um erro de aproximadamente 1 em relaccedilatildeo ao valor tabelado comprovando a
afericcedilatildeo do sistema para a mediccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico por transmissatildeo
O sistema desenvolvido estaacute portanto apto para futuras mediccedilotildees sendo ape-
nas necessaacuterio algumas alteraccedilotildees no porta-amostras mediante as dimensotildees e
forma da amostra a utilizar
Chegou-se ainda agrave conclusatildeo que para amostras como o cristal utilizado o
feixe laser passar duas vezes na amostra acaba por ser uma grande desvantagem
desvantagem essa inexistente para filmes polimeacutericos que ganham cada vez mais
importacircncia na aacuterea da fotoacutenica uma vez que satildeo materiais de grande interesse
cientiacutefico e tecnoloacutegico jaacute que podem ser utilizados no desenvolvimento de dispo-
sitivos oacutepticos nomeadamente moduladores de luz e memoacuterias oacutepticas
43
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46
Apecircndice
AApecircndice
A1 Desenhos Teacutecnicos
47
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- Lista de Figuras
- Lista de Tabelas
- Introduccedilatildeo
- Efeito Electrooacuteptico
-
- Oacuteptica Natildeo-Linear
- Propagaccedilatildeo em Meios Anisotroacutepicos
-
- Vector de Poynting
- Elipsoiacutede dos Iacutendices
- Coeficientes Natildeo-Lineares
-
- Mediccedilatildeo do Efeito Electrooacuteptico
-
- Meacutetodo Tradicional
- Meacutetodos por Interferometria
-
- Interferometria Oacuteptica
- Interferoacutemetro de Mach-Zehnder
- Interferoacutemetro de Michelson
-
- Sistema Implementado
-
- Interferoacutemetro
- Electroacutenica Desenvolvida
-
- Amplificador
- Gerador de Rampa
- Seguidor de Tensatildeo
-
- Sistema Oacuteptico Desenvolvido
-
- Espelho Vibrante
- Bancada Oacuteptica
- Detector
- Cristal Electrooacuteptico
- Porta Amostras
-
- Coeficiente Electrooacuteptico
- Execuccedilatildeo Experimental
- Resultados
-
- Conclusotildees
- Bibliografia
- Apecircndice
-
- Desenhos Teacutecnicos
-
Desenvolvimento de um Sistema para a Mediccedilatildeo do Efeito Elec-trooacuteptico
Copyright copy Gonccedilalo Magalhatildees Mota de Oliveira Barreto Faculdade de Ciecircncias
e Tecnologia Universidade NOVA de Lisboa
A Faculdade de Ciecircncias e Tecnologia e a Universidade NOVA de Lisboa tecircm o
direito perpeacutetuo e sem limites geograacuteficos de arquivar e publicar esta dissertaccedilatildeo
atraveacutes de exemplares impressos reproduzidos em papel ou de forma digital ou
por qualquer outro meio conhecido ou que venha a ser inventado e de a divulgar
atraveacutes de repositoacuterios cientiacuteficos e de admitir a sua coacutepia e distribuiccedilatildeo com
objetivos educacionais ou de investigaccedilatildeo natildeo comerciais desde que seja dado
creacutedito ao autor e editor
Este documento foi gerado utilizando o processador (pdf)LATEX com base no template ldquounlthesisrdquo [1] desen-volvido no Dep Informaacutetica da FCT-NOVA [2] [1] httpsgithubcomjoaomlourencounlthesis [2]httpwwwdifctunlpt
Agradecimentos
Em primeiro lugar gostaria de agradecer ao meu orientador Professor Doutor
Paulo Ribeiro pela sua enorme disponibilidade e apoio durante a elaboraccedilatildeo desta
dissertaccedilatildeo
Agrave minha co-orientadora a Professora Doutora Maria de Faacutetima Raposo pela
sua ajuda especialmente no esclarecimento de algumas duacutevidas do ponto de vista
teoacuterico
Ao Gonccedilalo Tomaacutes e ao Filipe Bernardo pela sua assistecircncia na aacuterea de instru-
mentaccedilatildeo e informaacutetica
Agradeccedilo agraves oficinas do Departamento de Fiacutesica especialmente ao Faustino
pela fabricaccedilatildeo da maioria das peccedilas mecacircnicas utilizadas
Agradeccedilo ainda ao Senhor Mesquita pelo fornecimento e ajuda com algum do
equipamento electroacutenico utilizado
Por uacuteltimo agradeccedilo agrave minha famiacutelia em especial agrave minha matildee e ao meu
irmatildeo por me terem sempre apoiado e ajudado ao longo deste curso
v
Resumo
Foi desenvolvido um sistema para a mediccedilatildeo do efeito electroacuteptico em meios
oacutepticos com propriedades de oacuteptica natildeo-linear O sistema baseia-se numa teacutecnica
interferomeacutetrica implementada atraveacutes de um interferoacutemetro de Michelson fun-
cionando em modo de transmissatildeo no qual se mede a diferenccedila de fase entre os
ramos do interferoacutemetro gerada pelo efeito electroacuteptico numa amostra onde eacute
aplicado um potencial eleacutetrico O coeficiente electroacuteptico a ser medido pode ser
escolhido pela aplicaccedilatildeo do sinal eleacutectrico de uma amostra na direccedilatildeo adequada
bem como do alinhamento desta num porta-amostras O sistema foi calibrado
usando um cristal com propriedades oacutepticas natildeo-lineares padratildeo o fosfato de
dihidrogeacutenio e potaacutessio tendo sido utilizado o coeficiente electroacuteptico r63 como
referecircncia O valor medido experimentalmente foi de 105plusmn 02pmV pelo que o
valor tabelado se encontra dentro desta medida A bancada oacuteptica implementada
revelou tambeacutem estabilidade no que diz respeito ao ruiacutedo ambiente Este sistema
seraacute utilizado no futuro para a mediccedilatildeo de coeficientes electroacutepticos em filmes
finos polimeacutericos que contenham cromoacuteforos com polarizabilidades electroacutenicas
natildeo-lineares elevadas
Palavras-chave Oacuteptica Efeito electrooacuteptico Modulaccedilatildeo de luz Interferoacutemetria
Interferoacutemetro de Michelson
vii
Abstract
A system for measuring the electro-optical activity of nonlinear-optical mate-
rials has been developed The system is based on a scanning Michelson interfer-
ometer working in transmission mode allowing the measurement of the phase
difference between the arms of the interferometer as a result of refractive index
change due to electro-optical effect induced in a sample through an applied exter-
nal electrical field The electro-optical coefficient to be measured can be chosen by
conveniently electroding and adequately aligning the sample in a proper sample
holder The system was calibrated with a standard nonlinear-optical potassium
dihydrogen phosphate crystal with respect to r63 electro-optical coefficient The
attained value of 105plusmn02pmV falls within the 1 of the expected standard val-
ues In addition the system revealed to be stable to overall environmental noise
This system will be used in the future for measuring the electro-optical coeffi-
cients of novel polymeric thin films containing nonlinear-optical chromophores
Keywords Optics Electro-optic effect Light modulation Interferometry Michel-
son interferometer
ix
Iacutendice
Lista de Figuras xiii
Lista de Tabelas xv
1 Introduccedilatildeo 1
2 Efeito Electrooacuteptico 3
21 Oacuteptica Natildeo-Linear 3
22 Propagaccedilatildeo em Meios Anisotroacutepicos 5
221 Vector de Poynting 7
222 Elipsoiacutede dos Iacutendices 9
223 Coeficientes Natildeo-Lineares 12
3 Mediccedilatildeo do Efeito Electrooacuteptico 15
31 Meacutetodo Tradicional 15
32 Meacutetodos por Interferometria 17
321 Interferometria Oacuteptica 17
322 Interferoacutemetro de Mach-Zehnder 19
323 Interferoacutemetro de Michelson 20
4 Sistema Implementado 23
41 Interferoacutemetro 23
42 Electroacutenica Desenvolvida 24
421 Amplificador 24
422 Gerador de Rampa 25
423 Seguidor de Tensatildeo 27
43 Sistema Oacuteptico Desenvolvido 28
431 Espelho Vibrante 28
432 Bancada Oacuteptica 29
433 Detector 29
434 Cristal Electrooacuteptico 31
xi
IacuteNDICE
435 Porta Amostras 32
44 Coeficiente Electrooacuteptico 35
45 Execuccedilatildeo Experimental 36
46 Resultados 39
5 Conclusotildees 43
Bibliografia 45
A Apecircndice 47A1 Desenhos Teacutecnicos 47
xii
Lista de Figuras
21 Cubo com secccedilatildeo de aacuterea A e ∆x de lado 8
22 Ilustraccedilatildeo do elipsoiacutede de iacutendices (retirado de [7]) 11
31 Montagem experimental proposta por Henry e a sua equipa (adaptado
de [9]) 16
32 Ilustraccedilatildeo de uma interferecircncia construtiva perfeita (a) e destrutiva
completa (b) 17
33 Visibilidade num interferoacutemetro em funccedilatildeo da diferenccedila de fase en-
tre duas ondas provenientes de ramos diferentes do interferoacutemetro
(adaptado de [11]) 18
34 Esquema de um interferoacutemetro de Mach-Zehnder (adaptado de [12]) 19
35 Esquema de funcionamento de um interferoacutemetro de Michelson com
interferecircncia construtiva (a) e destrutiva (b) (adaptado de [15]) 21
41 Esquematizaccedilatildeo do interferoacutemetro de Michelson e instrumentaccedilatildeo uti-
lizada para a mediccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico em cristais 24
42 Esquemaacutetico do amplificador de tensatildeo utilizado com base no ampli-
ficador operacional LF356n 25
43 Esquema eleacutectrico do gerador de rampa implementado baseado no
circuito temporizador NE555 26
44 Esquema do seguidor de tensatildeo utilizado construida com base nos
amplifacores operacionais LF356n 27
45 Imagem da unidade de amplificaccedilatildeo e geraccedilatildeo de rampa implementada 28
46 Imagem do espelho vibrante utilizado 28
47 Imagem da bancada oacuteptica onde o interferoacutemetro de Michelson foi
construiacutedo 29
48 Imagem do detector e disco utilizado 30
49 Ilustraccedilatildeo de um cristal padratildeo KDP e seu respectivo elipsoiacutede de
iacutendices 31
410 Imagem da base do porta-amostras desenvolvido 32
xiii
Lista de Figuras
411 Imagem das peccedilas de fixaccedilatildeo do cristal desenvolvidas com a vista de
frente (a) e a vista de traacutes (b) 33
412 Imagem do porta Amostras desenvolvido 34
413 Imagem do sistema desenvolvido para a mediccedilatildeo do efeito electrooacuteptico 34
414 Ilustraccedilatildeo da configuraccedilatildeo utilizada para a mediccedilatildeo do coeficiente r63
num cristal 35
415 Ilustraccedilatildeo do sinal de modulaccedilatildeo electrooacuteptica de um feixe de luz
medido num interferoacutemetro de Michelson 38
416 Padratildeo da franja produzida (a) e respectivos sinais de franja e elec-
trooacuteptico obtidos para um cristal KDP padratildeo 39
417 Razatildeo entre o sinal electrooacuteptico e a diferenccedila de intensidade de franjas
em funccedilatildeo do potencial Vo aplicado ao cristal 40
xiv
Lista de Tabelas
41 Caracteriacutesticas principais do detector 818-UVDB [17] 30
42 Propriedades fiacutesicas do cristal padratildeo KDP [18] 31
43 Propriedades oacutepticas do cristal padratildeo KDP a 6328nm [7] 32
44 Valores e respectivas incertezas obtidas do coeficiente electrooacuteptico
para o cristal KDP utilizado 40
xv
Lista de Siacutembolos
~S - Vector de Poynting
ε - Permissidade eleacutectrica
micro - Permeabilidade eleacutectrica
λ - Comprimento de onda
φ - Fase
ν - Visibilidade
δ - Retardaccedilatildeo
Ω - Frequecircncia de modulaccedilatildeo
χ(1) - Suscetibilidade eleacutectrica linear
χ(2) - Suscetibilidade eleacutectrica de segunda ordem
χ(3) - Suscetibilidade eleacutectrica de terceira ordem
ε0 - Permissidade eleacutectrica do vazio
B - Campo magneacutetico
D - Deslocamento eleacutectrico
E - Campo eleacutectrico
I - Intensidade
P - Polarizaccedilatildeo
Vo - Potencial eleacutectrico
c - Velocidade da luz no vazio
h - Distacircncia entre os eleacutetrodos
xvii
LISTA DE SIacuteMBOLOS
k - Nuacutemero de onda
l - Caminho percorrido pela luz num meio
n - Iacutendice de refraccedilatildeo
ne - Iacutendice de refraccedilatildeo extraordinaacuterio
no - Iacutendice de refraccedilatildeo ordinaacuterio
r - Coeficiente electrooacuteptico linear
s - Coeficiente electrooacuteptico quadraacutetico
u - Densidade de energia
w - Frequecircncia angular
xviii
Capiacutetulo
1Introduccedilatildeo
A fibra oacuteptica eacute hoje amplamente utilizada nas redes de telecomunicaccedilatildeo em subs-
tituiccedilatildeo dos tradicionais cabos eleacutectricos por permitir transportar uma grande
quantidade de informaccedilatildeo a alta velocidade e com perdas reduzidas sem ser
afetada pelo ruiacutedo eletromagneacutetico Por outro lado a transmissatildeo de informaccedilatildeo
atraveacutes da fibra oacuteptica requer o desenvolvimento de dispositivos capazes de pro-
cessar sinal oacuteptico tais como amplificadores comutadores e moduladores de luz
Eacute aqui que o efeito electrooacuteptico assume um papel de relevo jaacute que possibilita a
modulaccedilatildeo de luz a frequecircncias da ordem do gigahertz [1 2 3]
O efeito electrooacuteptico tambeacutem conhecido por efeito de Pockels1 consiste na
variaccedilatildeo do iacutendice de refraccedilatildeo de um meio quando a este eacute aplicado um campo
eleacutetrico externo Esta alteraccedilatildeo no iacutendice de refraccedilatildeo eacute o resultado de forccedilas elec-
trostaacuteticas que deformam as moleacuteculas (alteraccedilatildeo de posiccedilatildeo orientaccedilatildeo ou forma)
do meio que estaacute na origem de uma alteraccedilatildeo no momento dipolar Distinguem-
se dois tipos de efeito eletrooacuteptico o linear (efeito Pockels) e o quadraacutetico (efeito
Kerr2)
O efeito de Pockels estaacute na origem da criaccedilatildeo de uma birrefringecircncia ∆n
no meio oacuteptico proporcional ao campo eleacutetrico aplicado Este efeito observa-se
1Friedrich Carl Alwin Pockels foi um fiacutesico alematildeo que em 1893 descobriu que se for aplicadoum campo eleacutectrico estaacutevel a certos materiais birrefrigentes estes vatildeo sofrer uma variaccedilatildeo noiacutendice de refraccedilatildeo proporcional agrave forccedila do campo aplicado Este coeficiente de proporcionalidadeestaacute entre os 10times 10minus10V minus1 e os 10times 10minus12V minus1 Ficando este fenoacutemeno conhecido como Efeito dePockels
2John Kerr foi um fiacutesico escocecircs e um pioneiro no campo da electro-oacuteptica nomeadamentepelo efeito de Kerr em 1875 que consiste numa variaccedilatildeo do iacutendice de refraccedilatildeo que varia quadraacuteti-camente com o campo eleacutetrico aplicado
1
CAPIacuteTULO 1 INTRODUCcedilAtildeO
apenas em meios em que a sua estrutura natildeo apresenta centro de simetria
No efeito de Kerr a variaccedilatildeo no iacutendice de refraccedilatildeo do meio eacute proporcional ao
quadrado do campo eleacutetrico aplicado e portanto proporcional agrave intensidade da
luz e ao contraacuterio do efeito de Pockels ocorre dum modo geral como mais ou
menos intensidade em todos os materiais
O conhecimento das propriedades electrooacutepticas de um material eacute fundamen-
tal na avaliaccedilatildeo das suas capacidades para o desenvolvimentos de dispositivos
moduladores de luz O presente trabalho de dissertaccedilatildeo consistiu no desenvolvi-
mento de uma bancada oacuteptica para a mediccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico base-
ado em teacutecnica interferomeacutetrica de mediccedilatildeo da diferenccedila de fase induzida por
efeito eletrooacuteptico
Neste trabalho seraacute inicialmente descrita a teoria e os caacutelculos necessaacuterios
para a mediccedilatildeo do efeito electrooacuteptico atraveacutes dos seus coeficientes natildeo-lineares
Sendo de seguida apresentados alguns sistemas de mediccedilatildeo deste efeito e o seu
respectivo funcionamento No capiacutetulo seguinte seraacute descrito o funcionamento
do sistema desenvolvido o interferoacutemetro implementado o porta-amostras cons-
truiacutedo a eletroacutenica e os sistemas oacutepticos desenvolvidos que integram o sistema
bem como os caacutelculos finais para a obtenccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico do sis-
tema usado Por uacuteltimo as conclusotildees retiradas do trabalho desenvolvido bem
como as suas perspectivas futuras
2
Capiacutetulo
2Efeito Electrooacuteptico
Este capiacutetulo aborda do ponto de vista teoacuterico alguns aspectos relevantes para a
realizaccedilatildeo deste trabalho nomeadamente a propagaccedilatildeo da luz num meio as pro-
priedades da oacuteptica natildeo-linear e a alteraccedilatildeo no iacutendice de refraccedilatildeo linear em meios
anisotroacutepicos Estes conceitos permitiratildeo encontrar as expressotildees que determinam
os coeficientes natildeo-lineares
21 Oacuteptica Natildeo-Linear
Um dado material pode responder de forma natildeo-linear a um campo eleacutectrico
aplicado De um modo geral pode-se descrever a resposta da seguinte forma[4]
Pi = ε0
[χ
(1)ij Ej +χ(2)
ijkEjEk +χ(3)ijklEjEkEl +χ(N )
middotmiddotmiddot middot middot middot]
(21)
Onde P i eacute a polarizaccedilatildeo do meio ε0 eacute a permissidade eleacutectrica no vaacutecuo E
o campo eleacutectrico aplicado χ(1) a suscetibilidade eleacutectrica linear e χ(2) χ(3)
χ(n) as suscetibilidades natildeo lineares de segunda ordem de terceira ordem ateacute
N ordem sendo N um nuacutemero inteiro com i j k l um sistema de eixos de
laboratoacuterio com valores valores 1 2 e 3
Cada termo da equaccedilatildeo 21 estaacute associado a diferentes respostas do meio O
termo χ(1) estaacute associado ao iacutendice de refraccedilatildeo e absorccedilatildeo linear O termo χ(2) agrave
geraccedilatildeo de segunda harmoacutenica soma e diferenccedila de frequecircncias e o efeito elec-
trooacuteptico linear ou efeito de Pockels Este efeito eacute particularmente importante
3
CAPIacuteTULO 2 EFEITO ELECTROOacutePTICO
jaacute que permite a modulaccedilatildeo da luz De salientar que o tensor de terceira ordem
(χ(2)ijk) se reduz a dezoito elementos atendendo agraves simetrias resultantes de permu-
tas de iacutendices jaacute que χ(2)ijk = χ
(2)ikj = χ
(2)kij = χ
(2)jik = χ
(2)jki = χ
(2)kji Pode-se desta forma
representar atraveacutes da matriz
χ(2)ij =
χ
(2)11 χ
(2)12 χ
(2)13 χ
(2)14 χ
(2)15 χ
(2)16
χ(2)21 χ
(2)22 χ
(2)23 χ
(2)24 χ
(2)25 χ
(2)26
χ(2)31 χ
(2)32 χ
(2)33 χ
(2)34 χ
(2)35 χ
(2)36
Utilizando uma notaccedilatildeo condensada[5] ficamos com
χ(2)ijk = χ(2)
mk = com m =
1 quando ij = 11
2 quando ij = 22
3 quando ij = 33
4 quando ij = 2332
5 quando ij = 1331
6 quando ij = 1221
De notar que dependendo do meio soacute alguns dos elementos de χ(2)ijk seratildeo natildeo
nulos Para materiais que exibam centro de simetria o efeito electrooacuteptico linear
natildeo existe de todo sendo os elementos de χ(2)ijk nulos
O elemento χ(3) estaacute associado agrave geraccedilatildeo da terceira harmoacutenica soma e dife-
renccedila de frequecircncias e o efeito electrooacuteptico quadraacutetico ou efeito de Kerr que se
manifesta na variaccedilatildeo do iacutendice de refraccedilatildeo com o quadrado do campo eleacutectrico
aplicado
De salientar ainda que quanto maior o valor de ordem n mais difiacutecil se torna
observar os efeitos associados uma vez que estes se tornam cada vez menos inten-
sos
4
22 PROPAGACcedilAtildeO EM MEIOS ANISOTROacutePICOS
22 Propagaccedilatildeo em Meios Anisotroacutepicos
A propagaccedilatildeo de uma onda electromagneacutetica num meio pode ser descrita pelas
equaccedilotildees de Maxwell1 Para o caso de um meio homogeacuteneo isolante e neutro
pode-se escrever como
nabla middot ~E = 0 (22a)
nabla middot ~B = 0 (22b)
nablatimes ~E = minuspart~Bpartt
(22c)
nablatimes ~B = microεpart~Epartt
(22d)
Sendo ~B o campo magneacutetico ~E o campo eleacutectrico ε e micro a permissidade eleacutectrica
e permeabilidade magneacutetica do meio respectivamente
Tendo em conta que para um vector ~D geneacuterico
nablatimesnablatimes ~D = nabla(nabla middot ~D
)minusnabla2 ~D (23)
e
nablatimespart~Dpartt
=partnablatimes ~Dpartt
(24)
Comeccedilando pela equaccedilatildeo 22c
nablatimesnablatimes ~E = nablatimespart~Bpartt
(25)
Usando as propriedades matemaacuteticas das equaccedilotildees 23 e 24
nabla(nabla middot ~E
)minusnabla2~E =
partnablatimes ~Bpartt
(26)
Utilizando as equaccedilotildees 22a e 22d na equaccedilatildeo 26 verifica-se que
nabla2~E = microεpart2~E
partt2(27)
1James Clerk Maxwell foi um cientista escocecircs mais conhecido por ter combinado as teoriasdos campos da oacuteptica do magnetismo e da electricidade numa soacute e uacutenica teoria dando assimorigem as chamadas equaccedilotildees de Maxwell
5
CAPIacuteTULO 2 EFEITO ELECTROOacutePTICO
Obtendo-se desta maneira a equaccedilatildeo de onda para o campo eleacutectrico Analo-
gamente mas comeccedilando com a equaccedilatildeo 22d obteacutem-se para o campo magneacutetico
nabla2~B = microεpart2~B
partt2(28)
A sua velocidade de propagaccedilatildeo eacute dada por
v =1radicmicroε
(29)
Sendo que no vazio micro = micro0 e ε = ε0 o que resulta em v = c 3times 108ms
Resolvendo as equaccedilotildees 27 e 28 obtecircm-se as expressotildees para os campos eleacutec-
tricos e magneacuteticos que se propagam no meio
~E (~r t) = ~E0ei(~kmiddot~rminuswt
)(210)
e
~B (~r t) = ~B0ei(~kmiddot~rminuswt
)(211)
Onde ~r eacute o vector posiccedilatildeo ~k eacute o vector de onda que segue a direccedilatildeo de pro-
pagaccedilatildeo da onda w a frequecircncia angular e t o tempo Sendo que a parte real das
equaccedilotildees representa os seus respectivos campos A magnitude do vector ~k pode
ser escrita da seguinte maneira
k =2πλ
=wv
=wnc
(212)
Em que k eacute o nuacutemero de onda λ o comprimento de onda e n o iacutendice de
refraccedilatildeo
Escrevendo a parte real das equaccedilotildees 210 e 211 fica-se com
E = E0 cos(kr minuswt) (213)
e
B = B0 cos(kr minuswt) (214)
Manipulando a equaccedilatildeo 22c obtem-se
partEpartx
= minuspartBpartt
(215)
6
22 PROPAGACcedilAtildeO EM MEIOS ANISOTROacutePICOS
Utilizando a equaccedilatildeo 215 nas equaccedilotildees 213 e 213
kE0 = wB0 (216)
Usando a equaccedilatildeo 212 na equaccedilatildeo 216 verifica-se que
B0 =E0
v(217)
221 Vector de Poynting
O fluxo de energia (Wm2) dado pelo vector de Poynting2 (~S) pode ser escrito da
seguinte forma
~S =1micro~E times ~B (218)
A densidade de energia eleacutectrica ou a energia eleacutectrica armazenada por uni-
dade de volume (joulem3) a quantidade de energia contida num dado sistema
em relaccedilatildeo ao seu volume seraacute dada por
uE =12εE2 (219)
Agrave semelhanccedila da densidade de energia eleacutectrica a densidade de energia mag-
neacutetica (uB) eacute
uB =1
2microB2 (220)
Assim somando as equaccedilotildees 219 e 220 obtem-se a densidade de energia
total de uma onda electromagneacutetica
u =12εE2 +
12microB2 (221)
2John Henry Poynting foi um fiacutesico britacircnico autor de diversos trabalhos entre os quais um te-orema no qual se atribui um valor agrave taxa de fluxo de energia electromagneacutetica que ficou conhecidocomo vector de Poynting
7
CAPIacuteTULO 2 EFEITO ELECTROOacutePTICO
Substituindo as equaccedilotildees 29 e 217 na equaccedilatildeo 221 pode-se escrever a densi-
dade de energia total de uma onda electromagneacutetica num dado meio da seguinte
forma
u = εE2 (222)
Relacionando-se desta forma a densidade de energia com o campo eleacutectrico
De salientar que o campo magneacutetico e o campo eleacutectrico estatildeo relacionados atra-
veacutes da equaccedilatildeo 217
Considerando uma secccedilatildeo de aacuterea A (Fig 21) de um cubo com ∆x de lado
Figura 21 Cubo com secccedilatildeo de aacuterea A e ∆x de lado
A energia armazenada no cubo ou densidade de energia eacute igual a
∆U = uA∆x (223)
Sendo que a energia que atravessa a aacuterea A por unidade de tempo eacute
∆U∆t
=uA∆x∆xv
= uAv (224)
Assim a energia por unidade de tempo e aacuterea (Wm2) eacute igual a
uv = S (225)
Combinando a equaccedilatildeo 225 com a equaccedilatildeo 222 pode-se escrever a magnitude
do vector de Poynting da seguinte forma
S = εvE2 (226)
8
22 PROPAGACcedilAtildeO EM MEIOS ANISOTROacutePICOS
Substituindo a equaccedilatildeo 213 na equaccedilatildeo 225 a magnitude do vector de Poyn-
ting assume a seguinte forma
S = εvE20 cos2 (wt) (227)
Se na equaccedilatildeo 227 se fizer uma meacutedia no tempo obteacutem-se
〈S〉 = εvE20
langcos2 (wt)
rang(228)
Sendo quelangcos2 (wt)
rang= 1
2 tem-se que
I = 〈S〉 =12εvE2
0 =c
2nεE2
0 (229)
Sendo I a intensidade ou seja a potecircncia meacutedia por unidade de aacuterea que a
onda electromagneacutetica transporta
222 Elipsoiacutede dos Iacutendices
Nos meios anisotroacutepicos o iacutendice de refraccedilatildeo linear depende da direccedilatildeo da propa-
gaccedilatildeo da luz e do seu estado de polarizaccedilatildeo A resposta de um meio anisotroacutepico
eacute normalmente obtida atraveacutes do conceito de elipsoiacutede de iacutendices[5 6 7] que
a seguir seraacute descrita Ao se aplicar um campo eleacutectrico a um meio polarizaacutevel
este induz uma mudanccedila do estado de polarizaccedilatildeo descrito pelo deslocamento
eleacutectrico
~D = ε0~E + ~P (230)
Sendo
~P = ε0χ~E (231)
onde ε0 eacute a permissidade eleacutectrica no vazio ~P a polarizaccedilatildeo ~E o campo eleacutec-
trico ~D o deslocamento eleacutectrico e χ eacute o tensor das suscetibilidades Atraveacutes das
equaccedilotildees 230 e 231 tem-se que
~D = ε0~E(1 + χ) (232)
9
CAPIacuteTULO 2 EFEITO ELECTROOacutePTICO
Sendo que χ eacute dado por
χ =
χ11 χ12 χ13
χ21 χ22 χ23
χ31 χ32 χ33
(233)
Pelo teorema de eixos principais [7] seraacute possiacutevel escolher um sistema de co-
ordenadas onde apenas os elementos da diagonal principal sejam diferentes de
zero de tal forma que
χ =
χ11 0 0
0 χ22 0
0 0 χ33
(234)
Assim a equaccedilatildeo 231 pode ser escrita na forma no novo sistema de eixosP1
P2
P3
= ε0
χ11 0 0
0 χ22 0
0 0 χ33
E1
E2
E3
(235)
Da equaccedilatildeo 235 pode-se ainda retirar o seguinte
P1 = ε0χ11E1 D1 = ε11E1 ε11 = ε0 (1 +χ11)
P2 = ε0χ22E2 D2 = ε22E2 ε22 = ε0 (1 +χ22) (236)
P3 = ε0χ33E3 D3 = ε33E3 ε33 = ε0 (1 +χ33)
Combinando as equaccedilotildees 219 e 236 pode-se reescrever a densidade de energia
armazenada no campo eleacutectrico como
uE =12~E middot ~D (237)
Usando as expressotildees da equaccedilatildeo 236 para manipular a equaccedilatildeo 237 obtem-
se
D21
ε11+D2
2
ε22+D2
3
ε33= 2uE (238)
10
22 PROPAGACcedilAtildeO EM MEIOS ANISOTROacutePICOS
Substituiacutendo na equaccedilatildeo 238 D1 D2 e D3 pelos seus respectivos eixos em
coordenadas cartesianas tem-se que
x2
ε11ε0+
y2
ε22ε0+
z2
ε33ε0= 1 (239)
sendo x = D1radic2ε0UE
y = D2radic2ε0UE
e z = D3radic2ε0UE
Reescrevendo a equaccedilatildeo 239 fazendo n2x = ε11ε0 n2
y = ε22ε0 e n2z = ε33ε0
obteacutem-se forma a equaccedilatildeo do elipsoide de iacutendices
x2
n2x
+y2
n2y
+z2
n2z
= 1 (240)
Sendo nx ny e nz o iacutendice de refraccedilatildeo na sua respectiva direccedilatildeo como demons-
tra a figura 22
Figura 22 Ilustraccedilatildeo do elipsoiacutede de iacutendices (retirado de [7])
11
CAPIacuteTULO 2 EFEITO ELECTROOacutePTICO
223 Coeficientes Natildeo-Lineares
Quando eacute aplicado um campo eleacutectrico ao meio o elipsoiacutede de iacutendices pode
mudar a sua forma e orientaccedilatildeo no espaccedilo de tal forma que a equaccedilatildeo de elipsoide
de iacutendices passa a ser escrita de um modo geral como
( 1n2
)1x2 +
( 1n2
)2y2 +
( 1n2
)3z2 + 2
( 1n2
)4xy + 2
( 1n2
)5xz+ 2
( 1n2
)6yz = 1 (241)
Quando o campo eleacutectrico aplicado eacute nulo as equaccedilotildees 240 e 241 tecircm de ser
equivalentes pelo que para E = 0 tem-se
( 1n2
)1
=1
n2x( 1
n2
)2
=1
n2y( 1
n2
)3
=1
n2z( 1
n2
)4
=( 1n2
)5
=( 1n2
)6
= 0
(242)
Desta forma quando se aplica um campo eleacutectrico (E) verifica-se uma variaccedilatildeo
nos coeficientes(
1n2
)i Esta variaccedilatildeo induzida pelo efeito electrooacuteptico pode entatildeo
ser descrita atraveacutes de [8]
∆
( 1n2
)i
=3sumj=1
rijEj com i = 1 6 (243)
Sendo rij o coeficiente electrooacuteptico e E a magnitude do campo eleacutectrico apli-
cado
12
22 PROPAGACcedilAtildeO EM MEIOS ANISOTROacutePICOS
A equaccedilatildeo 243 tambeacutem pode ser escrita como
∆
( 1n2
)1
∆
( 1n2
)2
∆
( 1n2
)3
∆
( 1n2
)4
∆
( 1n2
)5
∆
( 1n2
)6
=
r11 r12 r13
r21 r22 r23
r31 r32 r33
r41 r42 r43
r51 r52 r53
r61 r62 r63
E1
E2
E3
(244)
Nesta conformidade o coeficiente electrooacuteptico pode ser escrito como
rij = minus 2
n3ij
[partnijpartEj
](245)
A diferenccedila de fase ∆φ resultante da variaccedilatildeo no iacutendice de refraccedilatildeo ∆n seraacute
∆φ =2πlλ
∆n (246)
Em que o l eacute o caminho percorrido pela luz de comprimento de onda λ no
meio Sendo a variaccedilatildeo no iacutendice de refraccedilatildeo devida aos efeitos electrooacutepticos
pode-se escrever
|∆n| =rno
3
2Voh
(247)
para o efeito electrooacuteptico linear e
|∆n| =sn3o
2
(Voh
)2(248)
para o efeito electrooacuteptico quadraacutetico
Onde os coefeciecircntes electrooacutepticos linear e quadraacutetico satildeo respectivamente
r e s Vo eacute o potencial eleacutectrico aplicado entre os eleacutetrodos que distam entre si a
uma distacircncia h criando assim o campo eleacutectrico aplicado
13
Capiacutetulo
3Mediccedilatildeo do Efeito Electrooacuteptico
Neste capiacutetulo satildeo apresentadas as teacutecnicas mais comuns utilizadas para a me-
diccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico destacando-se dois tipos de interferoacutemetros o
tradicional e os de interferometria de dois feixes
31 Meacutetodo Tradicional
Um dos meacutetodos mais usados para medir o efeito eletrooacuteptico foi o proposto por
Henry [9] em 1986 Esta teacutecnica ilustrada na Fig31 baseia-se na alteraccedilatildeo do
estado de polarizaccedilatildeo de um feixe linearmente polarizado quando este atravessa
o meio Esta alteraccedilatildeo ocorre devido agrave birrefrigecircncia induzida por um campo
eleacutetrico aplicado e agrave atividade oacuteptica do meio A montagem eacute composta por uma
fonte de luz (S) um monocromador (M) uma lente (L) um diafragma (D) dois
polarizadores (P1 e P2) um cristal (BSO) de espessura d ao qual eacute aplicado um
campo eleacutetrico (E) e um fotomultiplicador (FM) ligado a um sistema de aquisiccedilatildeo
de dados
O procedimento experimental em si consiste no seguinte para um dado estado
de polarizaccedilatildeo do feixe incidente imposto pelo P1 vai-se alterando a posiccedilatildeo
angular do P2 de forma a encontrar as intensidades maacutexima e miacutenima e desta
forma calcular-se a visibilidade (ν) atraveacutes de [9]
νθ =Imax minus IminImax + Imin
(31)
15
CAPIacuteTULO 3 MEDICcedilAtildeO DO EFEITO ELECTROOacutePTICO
Figura 31 Montagem experimental proposta por Henry e a sua equipa (adaptadode [9])
De seguida altera-se P1 para a posiccedilatildeo angular de 45 e repete-se o procedi-
mento anterior Somando o quadrado das duas visibilidades obtidas tem-se que
[9]
ν2θ + ν2
θ+45 = 1 +
1minus δ2
2
sen(φ2 )φ2
2
2
(32)
sendo
δ =2πλn3rEyd (33)
e
φ =radicδ2 + ρ2 (34)
Sendo δ a diferenccedila de fase originada pela birrefringecircncia λ o comprimento
de onda do feixe no vaacutecuo ρ a diferenccedila de fase associada agrave actividade oacuteptica n o
iacutendice de refraccedilatildeo sem campo eleacutetrico aplicado Ey o campo eleacutectrico aplicado e
d a espessura do cristal na direccedilatildeo do campo eleacutectrico aplicado Destas equaccedilotildees
pode-se calcular o coeficiente electrooacuteptico r
Para o caso de φ pequenos
sen(φ2 )φ2
2
1 pelo que
ν2θ + ν2
θ+45 1 +(1minus δ
2
2
)2
(35)
Natildeo sendo nesta situaccedilatildeo necessaacuteria a actividade oacuteptica ρ Esta teacutecnica apre-
senta um erro de mediccedilatildeo de 10 a 15 em relaccedilatildeo ao valor tabelado
16
32 MEacuteTODOS POR INTERFEROMETRIA
32 Meacutetodos por Interferometria
321 Interferometria Oacuteptica
Quando duas ondas de uma mesma frequecircncia se sobrepotildeem num dado ponto
formam uma nova onda cuja amplitude eacute o resultado da soma da amplitude das
duas ondas iniciais em cada instante nesse ponto Quando a soma da duas ondas
resulta numa amplitude maior diz-se que houve interferecircncia construtiva quando
resulta numa amplitude inferior diz-se que ocorreu interferecircncia destrutiva
Supondo que uma das ondas tem a forma E1ei(φ1minuswt) e a outra forma E2e
i(φ2minuswt)
sendo E1 e E2 as amplitudes dos respetivos campos eleacutetricos φ1 e φ2 as fases
iniciais w a frequecircncia angular e t o tempo a onda resultante seraacute descrita por
[10]
ET = E1ei(φ1minuswt) +E2e
i(φ2minuswt) (36)
Se φ1 minusφ2 = 2Nπ com N = 012 entatildeo as duas ondas estaratildeo em fase e daacute-
se uma interferecircncia construtiva perfeita Se φ1 minusφ2 = (2N + 1)π e E1 = E2 entatildeo
as duas ondas estaratildeo em oposiccedilatildeo de fase e daacute-se uma interferecircncia destrutiva
completa Estas situaccedilotildees extremas encontram-se ilustradas na figura 32
Figura 32 Ilustraccedilatildeo de uma interferecircncia construtiva perfeita (a) e destrutivacompleta (b)
Matematicamente a coerecircncia eacute uma medida da correlaccedilatildeo entre as ondas
Quanto mais construtiva for a interferecircncia maior seraacute a coerecircncia Fisicamente
a coerecircncia eacute uma medida do quatildeo constante a diferenccedila de fase permanece entre
17
CAPIacuteTULO 3 MEDICcedilAtildeO DO EFEITO ELECTROOacutePTICO
as duas ondas A coerecircncia eacute usualmente medida num padratildeo de franjas de in-
terferecircncia atraveacutes da visibilidade de franja (ν) que pode ser experimentalmente
calculada atraveacutes de [10]
ν =Imax minus IminImax + Imin
= 1 coerecircncia total e contraste maacuteximo
0 lt ν lt 1 coerecircncia parcial
= 0 incoerecircncia total e contraste natildeo haacute franjas
(37)
Pode-se ver na Fig33 um exemplo da equaccedilatildeo 37 que representa a visibi-
lidade das franjas em funccedilatildeo da diferenccedila de fase entre duas ondas da mesma
frequecircncia que interferem Como a visibilidade das franjas depende da coerecircncia
das duas ondas qualquer diferenccedila iraacute traduzir-se numa diminuiccedilatildeo de visibili-
dade
Figura 33 Visibilidade num interferoacutemetro em funccedilatildeo da diferenccedila de fase entreduas ondas provenientes de ramos diferentes do interferoacutemetro (adaptado de[11])
Pode-se usar a interferometria para quantificar os efeitos electrooacutepticos natildeo
soacute linear mas tambeacutem o quadraacutetico (efeito de Kerr) Os interferoacutemetros mais
frequentemente utilizados para este efeito satildeo os interferoacutemetro de Michelson1 e1Albert Abraham Michelson foi um fiacutesico americano conhecido pela invenccedilatildeo do interferoacuteme-
tro de Michelson (1891) do seu trabalho na mediccedilatildeo da velocidade da luz e pelo seu trabalho naexperiecircncia de Michelson-Morley Em 1907 tornou-se o primeiro americano a receber o PreacutemioNobel da Fiacutesica
18
32 MEacuteTODOS POR INTERFEROMETRIA
o interferoacutemetro de Mach-Zehnder2
De salientar que as teacutecnicas interferomeacutetricas apresentam uma elevada sensibi-
lidade simplificaccedilatildeo na preparaccedilatildeo das amostras a estudar e uma menor sensibili-
dade a vibraccedilotildees mecacircnicas e a flutuaccedilotildees teacutermicas desde que estas ocorram com
a mesma intensidade em ambos os ramos do mesmo tamanho do interferoacutemetro
322 Interferoacutemetro de Mach-Zehnder
No interferoacutemetro de Mach-Zehnder (Fig 34) um separador de feixe divide o
feixe proveniente da fonte em dois feixes que vatildeo constituir os dois ramos do
interferoacutemetro o feixe-amostra e o feixe-referecircncia Ambos satildeo refletidos por um
espelho e ambos atravessam um novo separador de feixe antes de se juntarem de
novo e serem medidos nos detetores
Figura 34 Esquema de um interferoacutemetro de Mach-Zehnder (adaptado de [12])
Com os ramos agrave mesma distacircncia pode ainda observar-se que sem amostra
ambos os feixes vatildeo chegar em fase aos detetores havendo desta forma uma inter-
ferecircncia construtiva Ambos apresentaratildeo uma mudanccedila de fase correspondente
a λ devido ao facto de ambos sofrerem duas reflexotildees e uma transmissatildeo numa
placa de vidro(separador de feixe) ateacute chegarem aos detetores2Ludwig Zehnder foi um fiacutesico suiacuteccedilo e o inventor do interferoacutemetro de Mach-Zehnder Inter-
feroacutemetro esse depois aperfeiccediloado por Ludwig Mach
19
CAPIacuteTULO 3 MEDICcedilAtildeO DO EFEITO ELECTROOacutePTICO
Alterando o caminho oacuteptico do espelho do feixe-referecircncia em λ4 sem amos-
tra o feixe-amostra e o feixe-referecircncia vatildeo chegar com uma diferenccedila de fase de
λ2 ou seja vai haver uma interferecircncia destrutiva completa Isto porque o feixe-
referecircncia vai ter uma mudanccedila de fase de λ2 devido a uma reflexatildeo e duas trans-
missotildees provocadas pelos separadores de feixe Enquanto que o feixe-amostra
chegaraacute aos detetores com uma diferenccedila de fase de λ devido a duas reflexotildees
mais uma reflexatildeo com transmissatildeo no segundo separador de feixe Assim na
ausecircncia de amostra e desde que a diferenccedila de caminho oacuteptico ou retardaccedilatildeo
(δ) seja zero os feixes iratildeo interferir construtivamente [13]
Com a amostra colocada no caminho do feixe-amostra os feixes vatildeo chegar ao
detetor em diferentes situaccedilotildees de fase sendo possiacutevel determinar a diferenccedila de
fase provocada pela presenccedila da amostra
A intensidade do feixe (I) em ambos os detetores eacute descrita por [14]
I(δ) =12I(k)cos(2Nkδ) (38)
Com k o nuacutemero de onda (k = 2πλ) E fazendo δ = d com d = vt resulta
I(δ) =12I(k)cos(2Nk(vt)) (39)
323 Interferoacutemetro de Michelson
No interferoacutemetro do tipo Michelson um feixe de luz eacute dividido em dois que
percorrem caminhos diferentes para de seguida se recombinarem Apoacutes terem
percorrido caminhos diferentes o feixe resultante da recombinaccedilatildeo pode apresen-
tar um padratildeo de interferecircncia que depende da diferenccedila de caminhos oacutepticos
entre os feixes e que pode ser medido num detetor
A forma mais simples de implementar um interferoacutemetro de Michelson con-
siste em dois espelhos colocados entre si num plano perpendicular em que um
deles se pode mover na direccedilatildeo perpendicular agrave sua superfiacutecie refletora conforme
ilustrado na Fig35
Esse espelho iraacute movimentar-se num espaccedilo definido a uma velocidade cons-
tante Entre o espelho fixo e o espelho moacutevel estaacute um separador de feixe que
divide o feixe incidente inicial em dois de igual intensidade Aqui o feixe eacute parci-
almente refletido para um espelho e parcialmente transmitido para o outro
20
32 MEacuteTODOS POR INTERFEROMETRIA
Figura 35 Esquema de funcionamento de um interferoacutemetro de Michelson cominterferecircncia construtiva (a) e destrutiva (b) (adaptado de [15])
Assumindo que o separador de feixe eacute ideal e com uma reflectacircncia e transmi-
tacircncia de 50 se o espelho moacutevel se encontrar estacionaacuterio pode determinar-se
a intensidade do feixe num dado ponto do detetor Se a diferenccedila do caminho
oacuteptico ou retardaccedilatildeo (δ) for zero ou seja os espelhos estatildeo igualmente espaccedilados
do separador de feixe estes vatildeo percorrer a mesma distacircncia e interferir construti-
vamente pelo que a intensidade do feixe final eacute a soma das intensidades dos dois
feixes Nestas condiccedilotildees toda a luz que sai da fonte chega ao detetor
No caso do espelho moacutevel se deslocar uma distacircncia de λ4 a retardaccedilatildeo total
seraacute de λ2 pelo que os feixes estaratildeo desfasadas de 180ordm (π) Nestas condiccedilotildees ter-
se-aacute interferecircncia destrutiva completa na recombinaccedilatildeo dos feixes dando origem
agrave extinccedilatildeo total
Voltando a deslocar o espelho moacutevel de mais λ4 a diferenccedila do caminho
oacuteptico seraacute igual a λ e os dois feixes voltam a estar em fase havendo novamente
uma sobreposiccedilatildeo construtiva dos feixes
Com o espelho moacutevel a deslocar-se a uma velocidade constante o sinal do de-
tetor iraacute variar com uma forma perioacutedica sendo que atinge o seu maacuteximo quando
a retardaccedilatildeo (δ) for um muacuteltiplo inteiro de λ δ =Nλ
A expressatildeo da intensidade do feixe (I) no detector para o caso do interferoacute-
metro de Michelson eacute semelhante agrave equaccedilatildeo 38 para o interferoacutemetro de Mach-
Zehnder sendo que neste caso δ = 2d com d = vt jaacute que o feixe atravessa a
amostra duas vezes Nestas condiccedilotildees ter-se-aacute
I(δ) =12I(k)cos(4Nk(vt)) (310)
21
CAPIacuteTULO 3 MEDICcedilAtildeO DO EFEITO ELECTROOacutePTICO
22
Capiacutetulo
4Sistema Implementado
Este capiacutetulo descreve o sistema implementado para a mediccedilatildeo do coeficiente
electrooacuteptico usando a teacutecnica de interferoacutemetria de Michelson bem como a cali-
braccedilatildeo do mesmo
41 Interferoacutemetro
O sistema escolhido para a mediccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico baseia-se na teacutec-
nica de interferometria de Michelson (ver secccedilatildeo 323) onde se mediu a diferenccedila
de fase entre os ramos do interferoacutemetro Esta teacutecnica foi escolhida pela elevada
sensibilidade agrave diferenccedila de fase gerada entre os ramos do interferoacutemetro facili-
dade de preparaccedilatildeo das amostras e por ser menos sensiacutevel a vibraccedilotildees mecacircnicas
e a flutuaccedilotildees teacutermicas desde que estas ocorram com a mesma intensidade em
ambos os ramos do interferoacutemetro Para aleacutem das vantagens mencionadas e espe-
cificamente em comparaccedilatildeo com o interferoacutemetro mais usado o interferoacutemetro
do tipo Mach-Zehnder o interferoacutemetro de Michelson tem uma maior facilidade
de alinhamento dos espelhos e usa apenas um separador de feixe
A figura 41 esquematiza o sistema baseado no interferoacutemetro de Michelson
desenvolvido para a mediccedilatildeo do coeficiente eletrooacuteptico
23
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Figura 41 Esquematizaccedilatildeo do interferoacutemetro de Michelson e instrumentaccedilatildeoutilizada para a mediccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico em cristais
Como se pode ver no esquema da figura 41 o ramo do espelho vibrante fica
vazio enquanto que no ramo do espelho fixo se encontra a amostra entre dois
eleacutectrodos onde se aplicam um campo eleacutectrico E O sinal medido no detector
resulta da interferecircncia entre os feixes provenientes de cada ramo do interferoacute-
mentro dependendo da diferenccedila de fase entre os dois feixes Conforme referido
anteriormente a intensidade da luz (I) que chega ao detector eacute da ordem de [16]
I prop E21 +E2
2 + 2E1E2cos(∆φ) (41)
42 Electroacutenica Desenvolvida
421 Amplificador
Para o efeito electrooacuteptico se manisfestar eacute necessaacuterio aplicar-se uma tensatildeo eleacutec-
trica ao meio Uma vez que a tensatildeo de referecircncia fornecida pelo amplificador
lock-in utilizado eacute muito baixa para induzir efeito electrooacuteptico significativo por
volta dos 12V foi necessaacuterio construir um amplificador de tensatildeo (Fig 42)
24
42 ELECTROacuteNICA DESENVOLVIDA
Figura 42 Esquemaacutetico do amplificador de tensatildeo utilizado com base no ampli-ficador operacional LF356n
O amplificador construiacutedo conforme ilustra a figura 42 consiste numa mon-
tagem inversora de ganho variaacutevel com uma malha de controlo de offset e eacute
alimentado a plusmn12V
Assim o ganho G eacute determinado atraveacutes de
G = 1 +R2R1
(42)
Sendo R1 = 11kΩ R2 = 5kΩ R3 = 25kΩ e o amplificador em si utilizado foi
o LF356n
Obtendo-se desta forma um ganho de aproximadamente 55 Permitindo apli-
car uma tensatildeo de cerca de 66V ao cristal electrooacuteptico Uma vez que a tensatildeo
aplicada eacute baixa pode-se desprezar o efeito piezoeleacutectrico gerado na amostra e
que iria influenciar o valor do coeficiente electrooacuteptico medido
422 Gerador de Rampa
Para alimentar o excitador piezoeleacutectrico do espelho moacutevel foi utilizado um ge-
rador de sinais (Fig 43) de forma a induzir um deslocamento linear perioacutedico
na forma de rampa A frequecircncia de oscilaccedilatildeo cerca de 25Hz foi escolhida de
25
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
forma a ser suficientemente baixa para evitar fenoacutemenos de batimento com o sinal
de modulaccedilatildeo electrooacuteptico e suficientemente alta para que se consiga adquirir
dados em tempo uacutetil com uma tensatildeo variaacutevel entre os 4 e os 8V
Figura 43 Esquema eleacutectrico do gerador de rampa implementado baseado nocircuito temporizador NE555
Sendo R1 = 20kΩ R2 = 1kΩ e C1 = C2 = 47microF
O tempo de subida da rampa t1 eacute dado por
t1 = 0693(R1 +R2)C1 (43)
Enquanto que o tempo de descida t2 eacute
t2 = 0693R2C1 (44)
Obtendo assim um tempo de subida de 036s e um tempo de descida de 0033s
Assim a frequecircncia do gerador de rampa f seraacute dada por
f =1
t1 + t2=
144(R1 + 2R2)C1
(45)
O gerador de rampa foi construiacutedo aproveitando o espaccedilo livre no interior da
unidade de amplificaccedilatildeo onde se situa o amplificador
26
42 ELECTROacuteNICA DESENVOLVIDA
423 Seguidor de Tensatildeo
Devido agrave necessidade de acoplamento de impedacircncias entre o amplificador lock-
in e o osciloacutescopio natildeo foi possiacutevel a utilizaccedilatildeo de um repartidor coaxial que
repartisse o sinal proveniente do detector Assim de forma a se poder visuali-
zar o sinal proveniente do detector em simultacircneo com o sinal electrooacuteptico foi
necessaacuterio a construccedilatildeo de um seguidor de tensatildeo (Fig44)
Figura 44 Esquema do seguidor de tensatildeo utilizado construida com base nosamplifacores operacionais LF356n
Sendo que ambos os circuitos integrados foram alimentados por uma tensatildeo
positiva (V+) de 12V e uma negativa (Vminus) de minus12V Com R1 = R2 = 25kΩ Agrave
semelhanccedila do amplificador foi tambeacutem construida uma malha de controlo de
offset
Agrave semelhanccedila do gerador de rampa tambeacutem foi construido na unidade de
amplificaccedilatildeo e gerador de rampa como se pode ver na figura 45
27
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Figura 45 Imagem da unidade de amplificaccedilatildeo e geraccedilatildeo de rampa implemen-tada
43 Sistema Oacuteptico Desenvolvido
431 Espelho Vibrante
O espelho vibrante (Fig46) foi construiacutedo afixando um espelho a um disco pie-
zoeleacutectrico A vibraccedilatildeo do espelho iraacute fazer com que a distacircncia entre o divisor
de feixe e o espelho varie Fazendo deslocar a franja de interferecircncia em frente ao
detector permitindo a este medir as intensidades maacuteximas e miacutenimas das franjas
de interferecircncia (ver secccedilatildeo 323)
Figura 46 Imagem do espelho vibrante utilizado
28
43 SISTEMA OacutePTICO DESENVOLVIDO
432 Bancada Oacuteptica
De forma a colocar os componentes ao niacutevel do feixe do laser na mesa oacuteptica e a
tornar o sistema menos sensiacutevel a vibraccedilotildees mecacircnicas e flutuaccedilotildees teacutermicas os
componentes foram colocadas numa base quadrada de alumiacutenio
Figura 47 Imagem da bancada oacuteptica onde o interferoacutemetro de Michelson foiconstruiacutedo
Conforme se pode ver na figura 47 para completar o interferoacutemetro de Michel-
son para aleacutem dos componentes jaacute referidos foram ainda utilizados um separador
de feixe e um espelho (fixo) no suporte com uma lente oacuteptica agrave saiacuteda do mesmo
Faltando ainda o laser utilizado da Melles Griotreg que possui uma potecircncia de
635mW e um comprimento de onda de 6328nm
433 Detector
O detector utilizado foi um modelo 818-UVDB da Newport Corporationreg (Fig
48) de baixa potecircncia consistindo num fotodiacuteodo de siliacutecio capaz de operar entre
os 200 e os 1100nm As caracteriacutesticas principais deste detector encontram-se
listadas na tabela 433
29
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Tabela 41 Caracteriacutesticas principais do detector 818-UVDB [17]
Largura de Banda 200 a 1100(nm) Material Siliacutecio
Potecircncia
W λ(nm)
Incerteza de
λ(nm)
02 200 a 4008 200 a 219
Maacutexima Calibraccedilatildeo 2 220 a 349
005 400 a 11001 350 a 9494 950 a 1050
Densidade de02Wcm2 Aacuterea Activa 1cm2
Potecircncia Meacutedia
Energia Maacutexima05microJ
Diacircmetro113cm
de Pulso Activo
De forma a evitar que a luz ambiente interferisse nas medidas e para aumen-
tar a resoluccedilatildeo de mediccedilatildeo do perfil da franja de interferecircncia foi colocado um
diafragma com uma abertura no centro de 06mm conforme se pode ver na figura
48 reduzido desta maneira a aacuterea activa para 028 mm2
Figura 48 Imagem do detector e disco utilizado
Para a aquisiccedilatildeo do sinal electrooacuteptico e geraccedilatildeo de sinal electrooacuteptico de
referecircncia foi utilizado um osciloscoacutepio Lecroy Wavesufertrade422
30
43 SISTEMA OacutePTICO DESENVOLVIDO
434 Cristal Electrooacuteptico
Para a calibraccedilatildeo do sistema foi utilizado um cristal padratildeo de dihidrogenofosfato
de potaacutessio (KDP) Na tabela 42 pode-se observar algumas das propriedades
fiacutesicas desse cristal
Tabela 42 Propriedades fiacutesicas do cristal padratildeo KDP [18]
Material Simetria Densidade Classe Higroscopicidade
KDP Tetragonal (42m) 234gcm3 Uniaxial Higroscoacutepico
Uma vez que o cristal eacute uniaxial nx = ny = no e nz = ne sendo no e ne os
iacutendices de refraccedilatildeo ordinaacuterio e extraordinaacuterio do cristal KDP A figura 49 ilustra
o elipsoiacutede de iacutendices num cristal padratildeo KDP
Figura 49 Ilustraccedilatildeo de um cristal padratildeo KDP e seu respectivo elipsoiacutede deiacutendices
31
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Na Tabela 43 pode-se observar algumas das propriedades oacutepticas do cristal
padratildeo KDP
Tabela 43 Propriedades oacutepticas do cristal padratildeo KDP a 6328nm [7]
Material Foacutermula Quiacutemica Iacutendice de RefracccedilatildeoCoeficiente
Electrooacuteptico
KDPKH2PO4
no=15074 r41=86 pmV(λ = 6328nm) ne=14673 r63=106 pmV
Como se pode ver na tabela 42 o cristal do tipo KDP eacute higroscoacutepico sendo
assim necessaacuterio reduzir ao maacuteximo o contacto entre o cristal e a atmosfera para
evitar que as suas faces fiquem opacas interferindo assim na qualidade do feixe
transmitido
435 Porta Amostras
O porta amostras eacute constituiacutedo por uma base feita de latatildeo (Fig 410) onde se
coloca o cristal nivelado com o feixe laser Este suporte possui oito roscas para
parafusos M3 quatro em cima de forma a se fixar os encaixes laterais do porta
amostras e quatro em baixo de forma a afixar-se firmemente na bancada oacuteptica
Figura 410 Imagem da base do porta-amostras desenvolvido
32
43 SISTEMA OacutePTICO DESENVOLVIDO
De forma a aplicar-se a tensatildeo de excitaccedilatildeo ao cristal sem bloquear o feixe do
laser foram utilizadas duas placas de vidro com oacutexido de estanho dopado com
fluacuteor (FTO) Este permite que haja uma boa transparecircncia e conduccedilatildeo eleacutetrica
sendo usado em vaacuterios tipos de dispositivos como aplicaccedilotildees opto-eletroacutenicas
ecratildes touch screen filmes finos fotovoltaicos etc O oacutexido de estanho dopado
com fluacuteor [19] eacute reconhecido por ser altamente estaacutevel quimicamente inerte re-
siste a temperaturas elevadas e ao desgaste abrasivo sendo mais econoacutemico do
que o tradicional oacutexido de iacutendio e estanho (ITO)
De forma a garantir um bom contacto eleacutectrico entre o vidro FTO e o cristal
foram construidas duas peccedilas de afixaccedilatildeo idecircnticas (Fig 411) Trata-se de duas
peccedilas de alumiacutenio cada uma contendo uma abertura de forma a deixar passar
o feixe laser e dois rasgos para parafusos de forma a poder-se fixar no suporte e
desta maneira exercer uma pressatildeo constante sobre o cristal
Figura 411 Imagem das peccedilas de fixaccedilatildeo do cristal desenvolvidas com a vista defrente (a) e a vista de traacutes (b)
A ligaccedilatildeo eleacutectrica entre o sinal de referecircncia proveniente do amplificador ao
vidro FTO foi feita atraveacutes de uma cola condutora de prata de forma a assegurar
a ligaccedilatildeo oacutehmica entre o fio de cobre e a camada de FTO O cristal fica assim entre
duas placas de vidro FTO(Fig412)
33
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Figura 412 Imagem do porta Amostras desenvolvido
A figura 413 ilustra o sistema desenvolvido incluindo a bancada oacuteptica e
instrumentaccedilatildeo
Figura 413 Imagem do sistema desenvolvido para a mediccedilatildeo do efeito electrooacutep-tico
34
44 COEFICIENTE ELECTROOacutePTICO
44 Coeficiente Electrooacuteptico
Para o cristal utilizado o dihidrogenofosfato de potaacutessio (KDP) e para o efeito
electrooacuteptico linear a matriz de coeficientes electrooacutepticos eacute a seguinte
rij =
0 0 0
0 0 0
0 0 0
r41 0 0
0 r52 0
0 0 r63
com
i = 1 6
j = 123
Sendo que r41 = r52 pelo que existem apenas dois coeficientes independentes
o r41 e o r63
Usando a notaccedilatildeo condensada mencionada da secccedilatildeo 21 onde se aplica o
campo eleacutectrico (E) no plano do i (sendo i = m) enquanto que j eacute o eixo oacuteptico
Para o caso do KDP eacute costume utilizar o r63 Isto eacute aplicar o campo eleacutectrico nos
planos 12 ou 21 (ou seja i = 6) com o eixo oacuteptico no eixo 3 (j = 3) como demonstra
a figura 414
Figura 414 Ilustraccedilatildeo da configuraccedilatildeo utilizada para a mediccedilatildeo do coeficienter63 num cristal
35
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Para o caso do efeito electrooacuteptico quadraacutetico a matriz dos coeficientes elec-
trooacutepticos seraacute
sij =
s11 s12 s12 0 0 0
s12 s11 s12 0 0 0
s12 s12 s11 0 0 0
0 0 0 s11 minus s12 0 0
0 0 0 0 s11 minus s12 0
0 0 0 0 0 s11 minus s12
com i j = 1 6
45 Execuccedilatildeo Experimental
Para se medir o coeficiente electrooacuteptico aplica-se ao cristal uma tensatildeo com uma
frequecircncia de 2kHz frequecircncia essa que se revelou menos sensiacutevel aos ruiacutedos
ambientes sendo que o sinal electrooacuteptico teraacute a mesma frequecircncia Podendo-
se desta maneira atraveacutes de um amplificador de lock-in (modelo 393 da IthacoDynatrac) filtrar o sinal electrooacuteptico dos restantes sinais uma vez que a sua
frequecircncia eacute conhecida
A intensidade da equaccedilatildeo 41 eacute maacutexima quando cos(∆φ) = 1 e miacutenima quando
cos(∆φ) = minus1 Pelo que subtraindo estas duas equaccedilotildees
Imax minus Imin = 4E1E2 (46)
Assim combinando a equaccedilatildeo 41 com a equaccedilatildeo 46 obtem-se
I prop E21E
22 +
12
(Imax minus Imin)cos(∆φ) (47)
Juntando agora a equaccedilatildeo 246 agrave equaccedilatildeo 247 e tendo em conta que o feixe
passa duas vezes por cada ramo (=2l) a diferenccedila de fase para o efeito electrooacutep-
tico linear
∆φ = ∆φ0 +πrn3
oVoλ
2lh
cos(Ωt) (48)
Sendo ∆φ0 a diferenccedila de fase inicial sem o efeito electrooacuteptico
36
45 EXECUCcedilAtildeO EXPERIMENTAL
Substituindo o ∆φ da equaccedilatildeo 48 na equaccedilatildeo 47 a intensidade do sinal com
modulaccedilatildeo electrooacuteptica(Iseo) seraacute dado por
Iseo prop E21 +E2
2 +12
(Imax minus Imin)cos(∆φ0 +
πrn3oVoλ
2lh
cos(Ωt))
(49)
Usando cos(α plusmn β) = cos(α)cos(β)∓ sen(α) sen(β) e D = πrn3oVoλ
2lh fica-se com
Iseo prop E21 +E2
2+12
(Imax minus Imin)
[cos(∆φ0)cos(Dcos(Ωt)) minus sen(∆φ0) sen(D cos(Ωt))](410)
Como a modulaccedilatildeo electrooacuteptica eacute um efeito muito pequeno a equaccedilatildeo 410
pode-se escrever
Iseo asymp E21 +E2
2 +12
(Imax minus Imin) [cos(∆φ0)minusD cos(Ωt) sen(∆φ0)] (411)
Considerando soacute os termos de primeira ordem
Iseo asymp12
(Imax minus Imin) [cos(∆φ0)minusD cos(Ωt) sen(∆φ0)] (412)
A componente do sinal electrooacuteptico eacute entatildeo dado por
Iseo =12
(Imax minus Imin)D cos(Ωt) sen(∆φ0) (413)
Ou seja
Iseo =12
(Imax minus Imin)πrn3
oVoλ
2lh
cos(Ωt) sen(∆φ0) (414)
O acircngulo ∆φ0 varia linearmente com o tempo (t) a uma frequecircncia inferior
a Ω A franja de interferecircncia desloca-se continuamente em frente ao detector
devido a um dos espelho estar fixado num disco piezoeleacutectrico
37
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Na figura 415 pode-se ver uma exemplificaccedilatildeo do sinal no detector que incor-
pora o sinal da franja e electrooacuteptico dada pela equaccedilatildeo 414
Figura 415 Ilustraccedilatildeo do sinal de modulaccedilatildeo electrooacuteptica de um feixe de luzmedido num interferoacutemetro de Michelson
Uma vez que o sinal electrooacuteptico (cos(Ωt)) estaacute desfasado π2 do sinal da
franja ( sen(∆φ0)) A intensidade do sinal electrooacuteptico pode ser escrita como
Iseo asymp12
(Imax minus Imin)πrn3
oVoλ
2lh
∣∣∣ sen(∆φ0)∣∣∣ (415)
Assim a amplitude do sinal electrooacuteptico eacute
Iseo =12
(Imax minus Imin)πrn3
oVoλ
2lh
(416)
Pelo que o coeficiente electrooacuteptico linear seraacute dado por
r =|Iseo|
|Imax minus Imin|λ
πn3oVo
hl
(417)
38
46 RESULTADOS
Para o efeito electrooacuteptico quadraacutetico utilizando o procedimento anoacutelogo mas
a partir da equaccedilatildeo 248 em vez da equaccedilatildeo 247 O sinal electrooacuteptico quadraacutetico
Iseoq que ocorre ao dobro da frequecircncia de modulaccedilatildeo 2Ω eacute dado por
s =
∣∣∣Iseoq∣∣∣|Imax minus Imin|
2λ
πn3oV
2o
h2
l(418)
46 Resultados
Com o cristal de KDP devidamente alinhado no interferoacutemetro segundo o seu
eixo oacuteptico de maneira a se medir o coeficiente r63 Obtendo-se assim dois sinais
o sinal de franja e o sinal electrooacuteptico (Fig 416)
Figura 416 Padratildeo da franja produzida (a) e respectivos sinais de franja e elec-trooacuteptico obtidos para um cristal KDP padratildeo
De forma a se proceder a calibraccedilatildeo do sistema utilizou-se a equaccedilatildeo 417 na
forma
|Iseo||Imax minus Imin|
=πn3
o
λlhrVo (419)
39
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Usando o valor da razatildeo |Iseo ||ImaxminusImin|
em funccedilatildeo do potencial aplicado Vo pode-se
calcular o valor do coeficiente electrooacuteptico r atraveacutes do declive da recta obtida
Pode-se ver na figura 417 uma das rectas obtidas para o cristal utilizado na
calibraccedilatildeo do sistema
Figura 417 Razatildeo entre o sinal electrooacuteptico e a diferenccedila de intensidade defranjas em funccedilatildeo do potencial Vo aplicado ao cristal
A tabela 44 apresenta o valor do coeficiente electrooacuteptico obtido e respectiva
incerteza para o cristal de KDP tomando em conta os valores dos iacutendices de
refraccedilatildeo da tabela 43
Tabela 44 Valores e respectivas incertezas obtidas do coeficiente electrooacutepticopara o cristal KDP utilizado
Material Valor Padratildeo Valor Obtido Erro
KDPr63 = 106pmV r63 = 105plusmn 02pmV 1
(λ = 6328nm)
Como se pode ver na tabela 44 o resultado obtido situa-se muito proacuteximo
do teoacuterico encontrando-se dentro da incerteza obtida Os valores valores meacutedios
apresentam um desvio da ordem dos 02pmV
40
46 RESULTADOS
Apesar dos valores obtidos serem bastante positivos houve algumas dificul-
dades nomeadamente o vidro FTO que causou que o alinhamento fosse extrema-
mente complicado natildeo soacute pela sua espessura e dimensionamento como tambeacutem
pela refraccedilatildeo provocada no feixe laser Outro grande obstaacuteculo foi o alinhamento
do cristal uma vez que basta um ligeiro desvio no caminho oacuteptico para causar um
desalinhamento total algo que eacute agravado no interferoacutemetro do tipo Michelson
pelo facto de o feixe laser passar na amostra duas vezes
Apesar destas dificuldades o valor obtido para o coeficiente electrooacuteptico r63
foi de 105pmV valor esse muito proacuteximo do valor padratildeo da literatura que se
encontra nos 106pmV Assim pode-se considerar que o sistema desenvolvido
se encontra devidamente calibrado e pronto para futuras utilizaccedilotildees
41
Capiacutetulo
5Conclusotildees
O trabalho desenvolvido no decorrer desta dissertaccedilatildeo consistiu no desenvolvi-
mento de um sistema para a mediccedilatildeo do efeito electrooacuteptico aacuterea a ser ulilizada
na caracterizaccedilatildeo de novos materiais polimeacutericos para aplicaccedilatildeo em dispositivos
fotoacutenicos
Nesta conformidade foi desenhada construiacuteda e testado uma bancada oacuteptica
destinada agrave mediccedilatildeo do efeito electrooacuteptico baseado numa teacutecnica interferomeacute-
trica de mediccedilatildeo da diferenccedila de fase implementado atraveacutes de um interferoacutemetro
do tipo Michelson
O cristal escolhido para a calibraccedilatildeo do sistema desenvolvido foi um cristal de
KDP comercial tendo sido utilizado o coeficiente electrooacuteptico r63 como referecircn-
cia sendo o valor padratildeo de 106pmV
O sistema obtido permitiu medir um valor nominal de 105plusmn 02pmV com
um erro de aproximadamente 1 em relaccedilatildeo ao valor tabelado comprovando a
afericcedilatildeo do sistema para a mediccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico por transmissatildeo
O sistema desenvolvido estaacute portanto apto para futuras mediccedilotildees sendo ape-
nas necessaacuterio algumas alteraccedilotildees no porta-amostras mediante as dimensotildees e
forma da amostra a utilizar
Chegou-se ainda agrave conclusatildeo que para amostras como o cristal utilizado o
feixe laser passar duas vezes na amostra acaba por ser uma grande desvantagem
desvantagem essa inexistente para filmes polimeacutericos que ganham cada vez mais
importacircncia na aacuterea da fotoacutenica uma vez que satildeo materiais de grande interesse
cientiacutefico e tecnoloacutegico jaacute que podem ser utilizados no desenvolvimento de dispo-
sitivos oacutepticos nomeadamente moduladores de luz e memoacuterias oacutepticas
43
Bibliografia
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46
Apecircndice
AApecircndice
A1 Desenhos Teacutecnicos
47
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311
23
35
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311
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- Lista de Figuras
- Lista de Tabelas
- Introduccedilatildeo
- Efeito Electrooacuteptico
-
- Oacuteptica Natildeo-Linear
- Propagaccedilatildeo em Meios Anisotroacutepicos
-
- Vector de Poynting
- Elipsoiacutede dos Iacutendices
- Coeficientes Natildeo-Lineares
-
- Mediccedilatildeo do Efeito Electrooacuteptico
-
- Meacutetodo Tradicional
- Meacutetodos por Interferometria
-
- Interferometria Oacuteptica
- Interferoacutemetro de Mach-Zehnder
- Interferoacutemetro de Michelson
-
- Sistema Implementado
-
- Interferoacutemetro
- Electroacutenica Desenvolvida
-
- Amplificador
- Gerador de Rampa
- Seguidor de Tensatildeo
-
- Sistema Oacuteptico Desenvolvido
-
- Espelho Vibrante
- Bancada Oacuteptica
- Detector
- Cristal Electrooacuteptico
- Porta Amostras
-
- Coeficiente Electrooacuteptico
- Execuccedilatildeo Experimental
- Resultados
-
- Conclusotildees
- Bibliografia
- Apecircndice
-
- Desenhos Teacutecnicos
-
Agradecimentos
Em primeiro lugar gostaria de agradecer ao meu orientador Professor Doutor
Paulo Ribeiro pela sua enorme disponibilidade e apoio durante a elaboraccedilatildeo desta
dissertaccedilatildeo
Agrave minha co-orientadora a Professora Doutora Maria de Faacutetima Raposo pela
sua ajuda especialmente no esclarecimento de algumas duacutevidas do ponto de vista
teoacuterico
Ao Gonccedilalo Tomaacutes e ao Filipe Bernardo pela sua assistecircncia na aacuterea de instru-
mentaccedilatildeo e informaacutetica
Agradeccedilo agraves oficinas do Departamento de Fiacutesica especialmente ao Faustino
pela fabricaccedilatildeo da maioria das peccedilas mecacircnicas utilizadas
Agradeccedilo ainda ao Senhor Mesquita pelo fornecimento e ajuda com algum do
equipamento electroacutenico utilizado
Por uacuteltimo agradeccedilo agrave minha famiacutelia em especial agrave minha matildee e ao meu
irmatildeo por me terem sempre apoiado e ajudado ao longo deste curso
v
Resumo
Foi desenvolvido um sistema para a mediccedilatildeo do efeito electroacuteptico em meios
oacutepticos com propriedades de oacuteptica natildeo-linear O sistema baseia-se numa teacutecnica
interferomeacutetrica implementada atraveacutes de um interferoacutemetro de Michelson fun-
cionando em modo de transmissatildeo no qual se mede a diferenccedila de fase entre os
ramos do interferoacutemetro gerada pelo efeito electroacuteptico numa amostra onde eacute
aplicado um potencial eleacutetrico O coeficiente electroacuteptico a ser medido pode ser
escolhido pela aplicaccedilatildeo do sinal eleacutectrico de uma amostra na direccedilatildeo adequada
bem como do alinhamento desta num porta-amostras O sistema foi calibrado
usando um cristal com propriedades oacutepticas natildeo-lineares padratildeo o fosfato de
dihidrogeacutenio e potaacutessio tendo sido utilizado o coeficiente electroacuteptico r63 como
referecircncia O valor medido experimentalmente foi de 105plusmn 02pmV pelo que o
valor tabelado se encontra dentro desta medida A bancada oacuteptica implementada
revelou tambeacutem estabilidade no que diz respeito ao ruiacutedo ambiente Este sistema
seraacute utilizado no futuro para a mediccedilatildeo de coeficientes electroacutepticos em filmes
finos polimeacutericos que contenham cromoacuteforos com polarizabilidades electroacutenicas
natildeo-lineares elevadas
Palavras-chave Oacuteptica Efeito electrooacuteptico Modulaccedilatildeo de luz Interferoacutemetria
Interferoacutemetro de Michelson
vii
Abstract
A system for measuring the electro-optical activity of nonlinear-optical mate-
rials has been developed The system is based on a scanning Michelson interfer-
ometer working in transmission mode allowing the measurement of the phase
difference between the arms of the interferometer as a result of refractive index
change due to electro-optical effect induced in a sample through an applied exter-
nal electrical field The electro-optical coefficient to be measured can be chosen by
conveniently electroding and adequately aligning the sample in a proper sample
holder The system was calibrated with a standard nonlinear-optical potassium
dihydrogen phosphate crystal with respect to r63 electro-optical coefficient The
attained value of 105plusmn02pmV falls within the 1 of the expected standard val-
ues In addition the system revealed to be stable to overall environmental noise
This system will be used in the future for measuring the electro-optical coeffi-
cients of novel polymeric thin films containing nonlinear-optical chromophores
Keywords Optics Electro-optic effect Light modulation Interferometry Michel-
son interferometer
ix
Iacutendice
Lista de Figuras xiii
Lista de Tabelas xv
1 Introduccedilatildeo 1
2 Efeito Electrooacuteptico 3
21 Oacuteptica Natildeo-Linear 3
22 Propagaccedilatildeo em Meios Anisotroacutepicos 5
221 Vector de Poynting 7
222 Elipsoiacutede dos Iacutendices 9
223 Coeficientes Natildeo-Lineares 12
3 Mediccedilatildeo do Efeito Electrooacuteptico 15
31 Meacutetodo Tradicional 15
32 Meacutetodos por Interferometria 17
321 Interferometria Oacuteptica 17
322 Interferoacutemetro de Mach-Zehnder 19
323 Interferoacutemetro de Michelson 20
4 Sistema Implementado 23
41 Interferoacutemetro 23
42 Electroacutenica Desenvolvida 24
421 Amplificador 24
422 Gerador de Rampa 25
423 Seguidor de Tensatildeo 27
43 Sistema Oacuteptico Desenvolvido 28
431 Espelho Vibrante 28
432 Bancada Oacuteptica 29
433 Detector 29
434 Cristal Electrooacuteptico 31
xi
IacuteNDICE
435 Porta Amostras 32
44 Coeficiente Electrooacuteptico 35
45 Execuccedilatildeo Experimental 36
46 Resultados 39
5 Conclusotildees 43
Bibliografia 45
A Apecircndice 47A1 Desenhos Teacutecnicos 47
xii
Lista de Figuras
21 Cubo com secccedilatildeo de aacuterea A e ∆x de lado 8
22 Ilustraccedilatildeo do elipsoiacutede de iacutendices (retirado de [7]) 11
31 Montagem experimental proposta por Henry e a sua equipa (adaptado
de [9]) 16
32 Ilustraccedilatildeo de uma interferecircncia construtiva perfeita (a) e destrutiva
completa (b) 17
33 Visibilidade num interferoacutemetro em funccedilatildeo da diferenccedila de fase en-
tre duas ondas provenientes de ramos diferentes do interferoacutemetro
(adaptado de [11]) 18
34 Esquema de um interferoacutemetro de Mach-Zehnder (adaptado de [12]) 19
35 Esquema de funcionamento de um interferoacutemetro de Michelson com
interferecircncia construtiva (a) e destrutiva (b) (adaptado de [15]) 21
41 Esquematizaccedilatildeo do interferoacutemetro de Michelson e instrumentaccedilatildeo uti-
lizada para a mediccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico em cristais 24
42 Esquemaacutetico do amplificador de tensatildeo utilizado com base no ampli-
ficador operacional LF356n 25
43 Esquema eleacutectrico do gerador de rampa implementado baseado no
circuito temporizador NE555 26
44 Esquema do seguidor de tensatildeo utilizado construida com base nos
amplifacores operacionais LF356n 27
45 Imagem da unidade de amplificaccedilatildeo e geraccedilatildeo de rampa implementada 28
46 Imagem do espelho vibrante utilizado 28
47 Imagem da bancada oacuteptica onde o interferoacutemetro de Michelson foi
construiacutedo 29
48 Imagem do detector e disco utilizado 30
49 Ilustraccedilatildeo de um cristal padratildeo KDP e seu respectivo elipsoiacutede de
iacutendices 31
410 Imagem da base do porta-amostras desenvolvido 32
xiii
Lista de Figuras
411 Imagem das peccedilas de fixaccedilatildeo do cristal desenvolvidas com a vista de
frente (a) e a vista de traacutes (b) 33
412 Imagem do porta Amostras desenvolvido 34
413 Imagem do sistema desenvolvido para a mediccedilatildeo do efeito electrooacuteptico 34
414 Ilustraccedilatildeo da configuraccedilatildeo utilizada para a mediccedilatildeo do coeficiente r63
num cristal 35
415 Ilustraccedilatildeo do sinal de modulaccedilatildeo electrooacuteptica de um feixe de luz
medido num interferoacutemetro de Michelson 38
416 Padratildeo da franja produzida (a) e respectivos sinais de franja e elec-
trooacuteptico obtidos para um cristal KDP padratildeo 39
417 Razatildeo entre o sinal electrooacuteptico e a diferenccedila de intensidade de franjas
em funccedilatildeo do potencial Vo aplicado ao cristal 40
xiv
Lista de Tabelas
41 Caracteriacutesticas principais do detector 818-UVDB [17] 30
42 Propriedades fiacutesicas do cristal padratildeo KDP [18] 31
43 Propriedades oacutepticas do cristal padratildeo KDP a 6328nm [7] 32
44 Valores e respectivas incertezas obtidas do coeficiente electrooacuteptico
para o cristal KDP utilizado 40
xv
Lista de Siacutembolos
~S - Vector de Poynting
ε - Permissidade eleacutectrica
micro - Permeabilidade eleacutectrica
λ - Comprimento de onda
φ - Fase
ν - Visibilidade
δ - Retardaccedilatildeo
Ω - Frequecircncia de modulaccedilatildeo
χ(1) - Suscetibilidade eleacutectrica linear
χ(2) - Suscetibilidade eleacutectrica de segunda ordem
χ(3) - Suscetibilidade eleacutectrica de terceira ordem
ε0 - Permissidade eleacutectrica do vazio
B - Campo magneacutetico
D - Deslocamento eleacutectrico
E - Campo eleacutectrico
I - Intensidade
P - Polarizaccedilatildeo
Vo - Potencial eleacutectrico
c - Velocidade da luz no vazio
h - Distacircncia entre os eleacutetrodos
xvii
LISTA DE SIacuteMBOLOS
k - Nuacutemero de onda
l - Caminho percorrido pela luz num meio
n - Iacutendice de refraccedilatildeo
ne - Iacutendice de refraccedilatildeo extraordinaacuterio
no - Iacutendice de refraccedilatildeo ordinaacuterio
r - Coeficiente electrooacuteptico linear
s - Coeficiente electrooacuteptico quadraacutetico
u - Densidade de energia
w - Frequecircncia angular
xviii
Capiacutetulo
1Introduccedilatildeo
A fibra oacuteptica eacute hoje amplamente utilizada nas redes de telecomunicaccedilatildeo em subs-
tituiccedilatildeo dos tradicionais cabos eleacutectricos por permitir transportar uma grande
quantidade de informaccedilatildeo a alta velocidade e com perdas reduzidas sem ser
afetada pelo ruiacutedo eletromagneacutetico Por outro lado a transmissatildeo de informaccedilatildeo
atraveacutes da fibra oacuteptica requer o desenvolvimento de dispositivos capazes de pro-
cessar sinal oacuteptico tais como amplificadores comutadores e moduladores de luz
Eacute aqui que o efeito electrooacuteptico assume um papel de relevo jaacute que possibilita a
modulaccedilatildeo de luz a frequecircncias da ordem do gigahertz [1 2 3]
O efeito electrooacuteptico tambeacutem conhecido por efeito de Pockels1 consiste na
variaccedilatildeo do iacutendice de refraccedilatildeo de um meio quando a este eacute aplicado um campo
eleacutetrico externo Esta alteraccedilatildeo no iacutendice de refraccedilatildeo eacute o resultado de forccedilas elec-
trostaacuteticas que deformam as moleacuteculas (alteraccedilatildeo de posiccedilatildeo orientaccedilatildeo ou forma)
do meio que estaacute na origem de uma alteraccedilatildeo no momento dipolar Distinguem-
se dois tipos de efeito eletrooacuteptico o linear (efeito Pockels) e o quadraacutetico (efeito
Kerr2)
O efeito de Pockels estaacute na origem da criaccedilatildeo de uma birrefringecircncia ∆n
no meio oacuteptico proporcional ao campo eleacutetrico aplicado Este efeito observa-se
1Friedrich Carl Alwin Pockels foi um fiacutesico alematildeo que em 1893 descobriu que se for aplicadoum campo eleacutectrico estaacutevel a certos materiais birrefrigentes estes vatildeo sofrer uma variaccedilatildeo noiacutendice de refraccedilatildeo proporcional agrave forccedila do campo aplicado Este coeficiente de proporcionalidadeestaacute entre os 10times 10minus10V minus1 e os 10times 10minus12V minus1 Ficando este fenoacutemeno conhecido como Efeito dePockels
2John Kerr foi um fiacutesico escocecircs e um pioneiro no campo da electro-oacuteptica nomeadamentepelo efeito de Kerr em 1875 que consiste numa variaccedilatildeo do iacutendice de refraccedilatildeo que varia quadraacuteti-camente com o campo eleacutetrico aplicado
1
CAPIacuteTULO 1 INTRODUCcedilAtildeO
apenas em meios em que a sua estrutura natildeo apresenta centro de simetria
No efeito de Kerr a variaccedilatildeo no iacutendice de refraccedilatildeo do meio eacute proporcional ao
quadrado do campo eleacutetrico aplicado e portanto proporcional agrave intensidade da
luz e ao contraacuterio do efeito de Pockels ocorre dum modo geral como mais ou
menos intensidade em todos os materiais
O conhecimento das propriedades electrooacutepticas de um material eacute fundamen-
tal na avaliaccedilatildeo das suas capacidades para o desenvolvimentos de dispositivos
moduladores de luz O presente trabalho de dissertaccedilatildeo consistiu no desenvolvi-
mento de uma bancada oacuteptica para a mediccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico base-
ado em teacutecnica interferomeacutetrica de mediccedilatildeo da diferenccedila de fase induzida por
efeito eletrooacuteptico
Neste trabalho seraacute inicialmente descrita a teoria e os caacutelculos necessaacuterios
para a mediccedilatildeo do efeito electrooacuteptico atraveacutes dos seus coeficientes natildeo-lineares
Sendo de seguida apresentados alguns sistemas de mediccedilatildeo deste efeito e o seu
respectivo funcionamento No capiacutetulo seguinte seraacute descrito o funcionamento
do sistema desenvolvido o interferoacutemetro implementado o porta-amostras cons-
truiacutedo a eletroacutenica e os sistemas oacutepticos desenvolvidos que integram o sistema
bem como os caacutelculos finais para a obtenccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico do sis-
tema usado Por uacuteltimo as conclusotildees retiradas do trabalho desenvolvido bem
como as suas perspectivas futuras
2
Capiacutetulo
2Efeito Electrooacuteptico
Este capiacutetulo aborda do ponto de vista teoacuterico alguns aspectos relevantes para a
realizaccedilatildeo deste trabalho nomeadamente a propagaccedilatildeo da luz num meio as pro-
priedades da oacuteptica natildeo-linear e a alteraccedilatildeo no iacutendice de refraccedilatildeo linear em meios
anisotroacutepicos Estes conceitos permitiratildeo encontrar as expressotildees que determinam
os coeficientes natildeo-lineares
21 Oacuteptica Natildeo-Linear
Um dado material pode responder de forma natildeo-linear a um campo eleacutectrico
aplicado De um modo geral pode-se descrever a resposta da seguinte forma[4]
Pi = ε0
[χ
(1)ij Ej +χ(2)
ijkEjEk +χ(3)ijklEjEkEl +χ(N )
middotmiddotmiddot middot middot middot]
(21)
Onde P i eacute a polarizaccedilatildeo do meio ε0 eacute a permissidade eleacutectrica no vaacutecuo E
o campo eleacutectrico aplicado χ(1) a suscetibilidade eleacutectrica linear e χ(2) χ(3)
χ(n) as suscetibilidades natildeo lineares de segunda ordem de terceira ordem ateacute
N ordem sendo N um nuacutemero inteiro com i j k l um sistema de eixos de
laboratoacuterio com valores valores 1 2 e 3
Cada termo da equaccedilatildeo 21 estaacute associado a diferentes respostas do meio O
termo χ(1) estaacute associado ao iacutendice de refraccedilatildeo e absorccedilatildeo linear O termo χ(2) agrave
geraccedilatildeo de segunda harmoacutenica soma e diferenccedila de frequecircncias e o efeito elec-
trooacuteptico linear ou efeito de Pockels Este efeito eacute particularmente importante
3
CAPIacuteTULO 2 EFEITO ELECTROOacutePTICO
jaacute que permite a modulaccedilatildeo da luz De salientar que o tensor de terceira ordem
(χ(2)ijk) se reduz a dezoito elementos atendendo agraves simetrias resultantes de permu-
tas de iacutendices jaacute que χ(2)ijk = χ
(2)ikj = χ
(2)kij = χ
(2)jik = χ
(2)jki = χ
(2)kji Pode-se desta forma
representar atraveacutes da matriz
χ(2)ij =
χ
(2)11 χ
(2)12 χ
(2)13 χ
(2)14 χ
(2)15 χ
(2)16
χ(2)21 χ
(2)22 χ
(2)23 χ
(2)24 χ
(2)25 χ
(2)26
χ(2)31 χ
(2)32 χ
(2)33 χ
(2)34 χ
(2)35 χ
(2)36
Utilizando uma notaccedilatildeo condensada[5] ficamos com
χ(2)ijk = χ(2)
mk = com m =
1 quando ij = 11
2 quando ij = 22
3 quando ij = 33
4 quando ij = 2332
5 quando ij = 1331
6 quando ij = 1221
De notar que dependendo do meio soacute alguns dos elementos de χ(2)ijk seratildeo natildeo
nulos Para materiais que exibam centro de simetria o efeito electrooacuteptico linear
natildeo existe de todo sendo os elementos de χ(2)ijk nulos
O elemento χ(3) estaacute associado agrave geraccedilatildeo da terceira harmoacutenica soma e dife-
renccedila de frequecircncias e o efeito electrooacuteptico quadraacutetico ou efeito de Kerr que se
manifesta na variaccedilatildeo do iacutendice de refraccedilatildeo com o quadrado do campo eleacutectrico
aplicado
De salientar ainda que quanto maior o valor de ordem n mais difiacutecil se torna
observar os efeitos associados uma vez que estes se tornam cada vez menos inten-
sos
4
22 PROPAGACcedilAtildeO EM MEIOS ANISOTROacutePICOS
22 Propagaccedilatildeo em Meios Anisotroacutepicos
A propagaccedilatildeo de uma onda electromagneacutetica num meio pode ser descrita pelas
equaccedilotildees de Maxwell1 Para o caso de um meio homogeacuteneo isolante e neutro
pode-se escrever como
nabla middot ~E = 0 (22a)
nabla middot ~B = 0 (22b)
nablatimes ~E = minuspart~Bpartt
(22c)
nablatimes ~B = microεpart~Epartt
(22d)
Sendo ~B o campo magneacutetico ~E o campo eleacutectrico ε e micro a permissidade eleacutectrica
e permeabilidade magneacutetica do meio respectivamente
Tendo em conta que para um vector ~D geneacuterico
nablatimesnablatimes ~D = nabla(nabla middot ~D
)minusnabla2 ~D (23)
e
nablatimespart~Dpartt
=partnablatimes ~Dpartt
(24)
Comeccedilando pela equaccedilatildeo 22c
nablatimesnablatimes ~E = nablatimespart~Bpartt
(25)
Usando as propriedades matemaacuteticas das equaccedilotildees 23 e 24
nabla(nabla middot ~E
)minusnabla2~E =
partnablatimes ~Bpartt
(26)
Utilizando as equaccedilotildees 22a e 22d na equaccedilatildeo 26 verifica-se que
nabla2~E = microεpart2~E
partt2(27)
1James Clerk Maxwell foi um cientista escocecircs mais conhecido por ter combinado as teoriasdos campos da oacuteptica do magnetismo e da electricidade numa soacute e uacutenica teoria dando assimorigem as chamadas equaccedilotildees de Maxwell
5
CAPIacuteTULO 2 EFEITO ELECTROOacutePTICO
Obtendo-se desta maneira a equaccedilatildeo de onda para o campo eleacutectrico Analo-
gamente mas comeccedilando com a equaccedilatildeo 22d obteacutem-se para o campo magneacutetico
nabla2~B = microεpart2~B
partt2(28)
A sua velocidade de propagaccedilatildeo eacute dada por
v =1radicmicroε
(29)
Sendo que no vazio micro = micro0 e ε = ε0 o que resulta em v = c 3times 108ms
Resolvendo as equaccedilotildees 27 e 28 obtecircm-se as expressotildees para os campos eleacutec-
tricos e magneacuteticos que se propagam no meio
~E (~r t) = ~E0ei(~kmiddot~rminuswt
)(210)
e
~B (~r t) = ~B0ei(~kmiddot~rminuswt
)(211)
Onde ~r eacute o vector posiccedilatildeo ~k eacute o vector de onda que segue a direccedilatildeo de pro-
pagaccedilatildeo da onda w a frequecircncia angular e t o tempo Sendo que a parte real das
equaccedilotildees representa os seus respectivos campos A magnitude do vector ~k pode
ser escrita da seguinte maneira
k =2πλ
=wv
=wnc
(212)
Em que k eacute o nuacutemero de onda λ o comprimento de onda e n o iacutendice de
refraccedilatildeo
Escrevendo a parte real das equaccedilotildees 210 e 211 fica-se com
E = E0 cos(kr minuswt) (213)
e
B = B0 cos(kr minuswt) (214)
Manipulando a equaccedilatildeo 22c obtem-se
partEpartx
= minuspartBpartt
(215)
6
22 PROPAGACcedilAtildeO EM MEIOS ANISOTROacutePICOS
Utilizando a equaccedilatildeo 215 nas equaccedilotildees 213 e 213
kE0 = wB0 (216)
Usando a equaccedilatildeo 212 na equaccedilatildeo 216 verifica-se que
B0 =E0
v(217)
221 Vector de Poynting
O fluxo de energia (Wm2) dado pelo vector de Poynting2 (~S) pode ser escrito da
seguinte forma
~S =1micro~E times ~B (218)
A densidade de energia eleacutectrica ou a energia eleacutectrica armazenada por uni-
dade de volume (joulem3) a quantidade de energia contida num dado sistema
em relaccedilatildeo ao seu volume seraacute dada por
uE =12εE2 (219)
Agrave semelhanccedila da densidade de energia eleacutectrica a densidade de energia mag-
neacutetica (uB) eacute
uB =1
2microB2 (220)
Assim somando as equaccedilotildees 219 e 220 obtem-se a densidade de energia
total de uma onda electromagneacutetica
u =12εE2 +
12microB2 (221)
2John Henry Poynting foi um fiacutesico britacircnico autor de diversos trabalhos entre os quais um te-orema no qual se atribui um valor agrave taxa de fluxo de energia electromagneacutetica que ficou conhecidocomo vector de Poynting
7
CAPIacuteTULO 2 EFEITO ELECTROOacutePTICO
Substituindo as equaccedilotildees 29 e 217 na equaccedilatildeo 221 pode-se escrever a densi-
dade de energia total de uma onda electromagneacutetica num dado meio da seguinte
forma
u = εE2 (222)
Relacionando-se desta forma a densidade de energia com o campo eleacutectrico
De salientar que o campo magneacutetico e o campo eleacutectrico estatildeo relacionados atra-
veacutes da equaccedilatildeo 217
Considerando uma secccedilatildeo de aacuterea A (Fig 21) de um cubo com ∆x de lado
Figura 21 Cubo com secccedilatildeo de aacuterea A e ∆x de lado
A energia armazenada no cubo ou densidade de energia eacute igual a
∆U = uA∆x (223)
Sendo que a energia que atravessa a aacuterea A por unidade de tempo eacute
∆U∆t
=uA∆x∆xv
= uAv (224)
Assim a energia por unidade de tempo e aacuterea (Wm2) eacute igual a
uv = S (225)
Combinando a equaccedilatildeo 225 com a equaccedilatildeo 222 pode-se escrever a magnitude
do vector de Poynting da seguinte forma
S = εvE2 (226)
8
22 PROPAGACcedilAtildeO EM MEIOS ANISOTROacutePICOS
Substituindo a equaccedilatildeo 213 na equaccedilatildeo 225 a magnitude do vector de Poyn-
ting assume a seguinte forma
S = εvE20 cos2 (wt) (227)
Se na equaccedilatildeo 227 se fizer uma meacutedia no tempo obteacutem-se
〈S〉 = εvE20
langcos2 (wt)
rang(228)
Sendo quelangcos2 (wt)
rang= 1
2 tem-se que
I = 〈S〉 =12εvE2
0 =c
2nεE2
0 (229)
Sendo I a intensidade ou seja a potecircncia meacutedia por unidade de aacuterea que a
onda electromagneacutetica transporta
222 Elipsoiacutede dos Iacutendices
Nos meios anisotroacutepicos o iacutendice de refraccedilatildeo linear depende da direccedilatildeo da propa-
gaccedilatildeo da luz e do seu estado de polarizaccedilatildeo A resposta de um meio anisotroacutepico
eacute normalmente obtida atraveacutes do conceito de elipsoiacutede de iacutendices[5 6 7] que
a seguir seraacute descrita Ao se aplicar um campo eleacutectrico a um meio polarizaacutevel
este induz uma mudanccedila do estado de polarizaccedilatildeo descrito pelo deslocamento
eleacutectrico
~D = ε0~E + ~P (230)
Sendo
~P = ε0χ~E (231)
onde ε0 eacute a permissidade eleacutectrica no vazio ~P a polarizaccedilatildeo ~E o campo eleacutec-
trico ~D o deslocamento eleacutectrico e χ eacute o tensor das suscetibilidades Atraveacutes das
equaccedilotildees 230 e 231 tem-se que
~D = ε0~E(1 + χ) (232)
9
CAPIacuteTULO 2 EFEITO ELECTROOacutePTICO
Sendo que χ eacute dado por
χ =
χ11 χ12 χ13
χ21 χ22 χ23
χ31 χ32 χ33
(233)
Pelo teorema de eixos principais [7] seraacute possiacutevel escolher um sistema de co-
ordenadas onde apenas os elementos da diagonal principal sejam diferentes de
zero de tal forma que
χ =
χ11 0 0
0 χ22 0
0 0 χ33
(234)
Assim a equaccedilatildeo 231 pode ser escrita na forma no novo sistema de eixosP1
P2
P3
= ε0
χ11 0 0
0 χ22 0
0 0 χ33
E1
E2
E3
(235)
Da equaccedilatildeo 235 pode-se ainda retirar o seguinte
P1 = ε0χ11E1 D1 = ε11E1 ε11 = ε0 (1 +χ11)
P2 = ε0χ22E2 D2 = ε22E2 ε22 = ε0 (1 +χ22) (236)
P3 = ε0χ33E3 D3 = ε33E3 ε33 = ε0 (1 +χ33)
Combinando as equaccedilotildees 219 e 236 pode-se reescrever a densidade de energia
armazenada no campo eleacutectrico como
uE =12~E middot ~D (237)
Usando as expressotildees da equaccedilatildeo 236 para manipular a equaccedilatildeo 237 obtem-
se
D21
ε11+D2
2
ε22+D2
3
ε33= 2uE (238)
10
22 PROPAGACcedilAtildeO EM MEIOS ANISOTROacutePICOS
Substituiacutendo na equaccedilatildeo 238 D1 D2 e D3 pelos seus respectivos eixos em
coordenadas cartesianas tem-se que
x2
ε11ε0+
y2
ε22ε0+
z2
ε33ε0= 1 (239)
sendo x = D1radic2ε0UE
y = D2radic2ε0UE
e z = D3radic2ε0UE
Reescrevendo a equaccedilatildeo 239 fazendo n2x = ε11ε0 n2
y = ε22ε0 e n2z = ε33ε0
obteacutem-se forma a equaccedilatildeo do elipsoide de iacutendices
x2
n2x
+y2
n2y
+z2
n2z
= 1 (240)
Sendo nx ny e nz o iacutendice de refraccedilatildeo na sua respectiva direccedilatildeo como demons-
tra a figura 22
Figura 22 Ilustraccedilatildeo do elipsoiacutede de iacutendices (retirado de [7])
11
CAPIacuteTULO 2 EFEITO ELECTROOacutePTICO
223 Coeficientes Natildeo-Lineares
Quando eacute aplicado um campo eleacutectrico ao meio o elipsoiacutede de iacutendices pode
mudar a sua forma e orientaccedilatildeo no espaccedilo de tal forma que a equaccedilatildeo de elipsoide
de iacutendices passa a ser escrita de um modo geral como
( 1n2
)1x2 +
( 1n2
)2y2 +
( 1n2
)3z2 + 2
( 1n2
)4xy + 2
( 1n2
)5xz+ 2
( 1n2
)6yz = 1 (241)
Quando o campo eleacutectrico aplicado eacute nulo as equaccedilotildees 240 e 241 tecircm de ser
equivalentes pelo que para E = 0 tem-se
( 1n2
)1
=1
n2x( 1
n2
)2
=1
n2y( 1
n2
)3
=1
n2z( 1
n2
)4
=( 1n2
)5
=( 1n2
)6
= 0
(242)
Desta forma quando se aplica um campo eleacutectrico (E) verifica-se uma variaccedilatildeo
nos coeficientes(
1n2
)i Esta variaccedilatildeo induzida pelo efeito electrooacuteptico pode entatildeo
ser descrita atraveacutes de [8]
∆
( 1n2
)i
=3sumj=1
rijEj com i = 1 6 (243)
Sendo rij o coeficiente electrooacuteptico e E a magnitude do campo eleacutectrico apli-
cado
12
22 PROPAGACcedilAtildeO EM MEIOS ANISOTROacutePICOS
A equaccedilatildeo 243 tambeacutem pode ser escrita como
∆
( 1n2
)1
∆
( 1n2
)2
∆
( 1n2
)3
∆
( 1n2
)4
∆
( 1n2
)5
∆
( 1n2
)6
=
r11 r12 r13
r21 r22 r23
r31 r32 r33
r41 r42 r43
r51 r52 r53
r61 r62 r63
E1
E2
E3
(244)
Nesta conformidade o coeficiente electrooacuteptico pode ser escrito como
rij = minus 2
n3ij
[partnijpartEj
](245)
A diferenccedila de fase ∆φ resultante da variaccedilatildeo no iacutendice de refraccedilatildeo ∆n seraacute
∆φ =2πlλ
∆n (246)
Em que o l eacute o caminho percorrido pela luz de comprimento de onda λ no
meio Sendo a variaccedilatildeo no iacutendice de refraccedilatildeo devida aos efeitos electrooacutepticos
pode-se escrever
|∆n| =rno
3
2Voh
(247)
para o efeito electrooacuteptico linear e
|∆n| =sn3o
2
(Voh
)2(248)
para o efeito electrooacuteptico quadraacutetico
Onde os coefeciecircntes electrooacutepticos linear e quadraacutetico satildeo respectivamente
r e s Vo eacute o potencial eleacutectrico aplicado entre os eleacutetrodos que distam entre si a
uma distacircncia h criando assim o campo eleacutectrico aplicado
13
Capiacutetulo
3Mediccedilatildeo do Efeito Electrooacuteptico
Neste capiacutetulo satildeo apresentadas as teacutecnicas mais comuns utilizadas para a me-
diccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico destacando-se dois tipos de interferoacutemetros o
tradicional e os de interferometria de dois feixes
31 Meacutetodo Tradicional
Um dos meacutetodos mais usados para medir o efeito eletrooacuteptico foi o proposto por
Henry [9] em 1986 Esta teacutecnica ilustrada na Fig31 baseia-se na alteraccedilatildeo do
estado de polarizaccedilatildeo de um feixe linearmente polarizado quando este atravessa
o meio Esta alteraccedilatildeo ocorre devido agrave birrefrigecircncia induzida por um campo
eleacutetrico aplicado e agrave atividade oacuteptica do meio A montagem eacute composta por uma
fonte de luz (S) um monocromador (M) uma lente (L) um diafragma (D) dois
polarizadores (P1 e P2) um cristal (BSO) de espessura d ao qual eacute aplicado um
campo eleacutetrico (E) e um fotomultiplicador (FM) ligado a um sistema de aquisiccedilatildeo
de dados
O procedimento experimental em si consiste no seguinte para um dado estado
de polarizaccedilatildeo do feixe incidente imposto pelo P1 vai-se alterando a posiccedilatildeo
angular do P2 de forma a encontrar as intensidades maacutexima e miacutenima e desta
forma calcular-se a visibilidade (ν) atraveacutes de [9]
νθ =Imax minus IminImax + Imin
(31)
15
CAPIacuteTULO 3 MEDICcedilAtildeO DO EFEITO ELECTROOacutePTICO
Figura 31 Montagem experimental proposta por Henry e a sua equipa (adaptadode [9])
De seguida altera-se P1 para a posiccedilatildeo angular de 45 e repete-se o procedi-
mento anterior Somando o quadrado das duas visibilidades obtidas tem-se que
[9]
ν2θ + ν2
θ+45 = 1 +
1minus δ2
2
sen(φ2 )φ2
2
2
(32)
sendo
δ =2πλn3rEyd (33)
e
φ =radicδ2 + ρ2 (34)
Sendo δ a diferenccedila de fase originada pela birrefringecircncia λ o comprimento
de onda do feixe no vaacutecuo ρ a diferenccedila de fase associada agrave actividade oacuteptica n o
iacutendice de refraccedilatildeo sem campo eleacutetrico aplicado Ey o campo eleacutectrico aplicado e
d a espessura do cristal na direccedilatildeo do campo eleacutectrico aplicado Destas equaccedilotildees
pode-se calcular o coeficiente electrooacuteptico r
Para o caso de φ pequenos
sen(φ2 )φ2
2
1 pelo que
ν2θ + ν2
θ+45 1 +(1minus δ
2
2
)2
(35)
Natildeo sendo nesta situaccedilatildeo necessaacuteria a actividade oacuteptica ρ Esta teacutecnica apre-
senta um erro de mediccedilatildeo de 10 a 15 em relaccedilatildeo ao valor tabelado
16
32 MEacuteTODOS POR INTERFEROMETRIA
32 Meacutetodos por Interferometria
321 Interferometria Oacuteptica
Quando duas ondas de uma mesma frequecircncia se sobrepotildeem num dado ponto
formam uma nova onda cuja amplitude eacute o resultado da soma da amplitude das
duas ondas iniciais em cada instante nesse ponto Quando a soma da duas ondas
resulta numa amplitude maior diz-se que houve interferecircncia construtiva quando
resulta numa amplitude inferior diz-se que ocorreu interferecircncia destrutiva
Supondo que uma das ondas tem a forma E1ei(φ1minuswt) e a outra forma E2e
i(φ2minuswt)
sendo E1 e E2 as amplitudes dos respetivos campos eleacutetricos φ1 e φ2 as fases
iniciais w a frequecircncia angular e t o tempo a onda resultante seraacute descrita por
[10]
ET = E1ei(φ1minuswt) +E2e
i(φ2minuswt) (36)
Se φ1 minusφ2 = 2Nπ com N = 012 entatildeo as duas ondas estaratildeo em fase e daacute-
se uma interferecircncia construtiva perfeita Se φ1 minusφ2 = (2N + 1)π e E1 = E2 entatildeo
as duas ondas estaratildeo em oposiccedilatildeo de fase e daacute-se uma interferecircncia destrutiva
completa Estas situaccedilotildees extremas encontram-se ilustradas na figura 32
Figura 32 Ilustraccedilatildeo de uma interferecircncia construtiva perfeita (a) e destrutivacompleta (b)
Matematicamente a coerecircncia eacute uma medida da correlaccedilatildeo entre as ondas
Quanto mais construtiva for a interferecircncia maior seraacute a coerecircncia Fisicamente
a coerecircncia eacute uma medida do quatildeo constante a diferenccedila de fase permanece entre
17
CAPIacuteTULO 3 MEDICcedilAtildeO DO EFEITO ELECTROOacutePTICO
as duas ondas A coerecircncia eacute usualmente medida num padratildeo de franjas de in-
terferecircncia atraveacutes da visibilidade de franja (ν) que pode ser experimentalmente
calculada atraveacutes de [10]
ν =Imax minus IminImax + Imin
= 1 coerecircncia total e contraste maacuteximo
0 lt ν lt 1 coerecircncia parcial
= 0 incoerecircncia total e contraste natildeo haacute franjas
(37)
Pode-se ver na Fig33 um exemplo da equaccedilatildeo 37 que representa a visibi-
lidade das franjas em funccedilatildeo da diferenccedila de fase entre duas ondas da mesma
frequecircncia que interferem Como a visibilidade das franjas depende da coerecircncia
das duas ondas qualquer diferenccedila iraacute traduzir-se numa diminuiccedilatildeo de visibili-
dade
Figura 33 Visibilidade num interferoacutemetro em funccedilatildeo da diferenccedila de fase entreduas ondas provenientes de ramos diferentes do interferoacutemetro (adaptado de[11])
Pode-se usar a interferometria para quantificar os efeitos electrooacutepticos natildeo
soacute linear mas tambeacutem o quadraacutetico (efeito de Kerr) Os interferoacutemetros mais
frequentemente utilizados para este efeito satildeo os interferoacutemetro de Michelson1 e1Albert Abraham Michelson foi um fiacutesico americano conhecido pela invenccedilatildeo do interferoacuteme-
tro de Michelson (1891) do seu trabalho na mediccedilatildeo da velocidade da luz e pelo seu trabalho naexperiecircncia de Michelson-Morley Em 1907 tornou-se o primeiro americano a receber o PreacutemioNobel da Fiacutesica
18
32 MEacuteTODOS POR INTERFEROMETRIA
o interferoacutemetro de Mach-Zehnder2
De salientar que as teacutecnicas interferomeacutetricas apresentam uma elevada sensibi-
lidade simplificaccedilatildeo na preparaccedilatildeo das amostras a estudar e uma menor sensibili-
dade a vibraccedilotildees mecacircnicas e a flutuaccedilotildees teacutermicas desde que estas ocorram com
a mesma intensidade em ambos os ramos do mesmo tamanho do interferoacutemetro
322 Interferoacutemetro de Mach-Zehnder
No interferoacutemetro de Mach-Zehnder (Fig 34) um separador de feixe divide o
feixe proveniente da fonte em dois feixes que vatildeo constituir os dois ramos do
interferoacutemetro o feixe-amostra e o feixe-referecircncia Ambos satildeo refletidos por um
espelho e ambos atravessam um novo separador de feixe antes de se juntarem de
novo e serem medidos nos detetores
Figura 34 Esquema de um interferoacutemetro de Mach-Zehnder (adaptado de [12])
Com os ramos agrave mesma distacircncia pode ainda observar-se que sem amostra
ambos os feixes vatildeo chegar em fase aos detetores havendo desta forma uma inter-
ferecircncia construtiva Ambos apresentaratildeo uma mudanccedila de fase correspondente
a λ devido ao facto de ambos sofrerem duas reflexotildees e uma transmissatildeo numa
placa de vidro(separador de feixe) ateacute chegarem aos detetores2Ludwig Zehnder foi um fiacutesico suiacuteccedilo e o inventor do interferoacutemetro de Mach-Zehnder Inter-
feroacutemetro esse depois aperfeiccediloado por Ludwig Mach
19
CAPIacuteTULO 3 MEDICcedilAtildeO DO EFEITO ELECTROOacutePTICO
Alterando o caminho oacuteptico do espelho do feixe-referecircncia em λ4 sem amos-
tra o feixe-amostra e o feixe-referecircncia vatildeo chegar com uma diferenccedila de fase de
λ2 ou seja vai haver uma interferecircncia destrutiva completa Isto porque o feixe-
referecircncia vai ter uma mudanccedila de fase de λ2 devido a uma reflexatildeo e duas trans-
missotildees provocadas pelos separadores de feixe Enquanto que o feixe-amostra
chegaraacute aos detetores com uma diferenccedila de fase de λ devido a duas reflexotildees
mais uma reflexatildeo com transmissatildeo no segundo separador de feixe Assim na
ausecircncia de amostra e desde que a diferenccedila de caminho oacuteptico ou retardaccedilatildeo
(δ) seja zero os feixes iratildeo interferir construtivamente [13]
Com a amostra colocada no caminho do feixe-amostra os feixes vatildeo chegar ao
detetor em diferentes situaccedilotildees de fase sendo possiacutevel determinar a diferenccedila de
fase provocada pela presenccedila da amostra
A intensidade do feixe (I) em ambos os detetores eacute descrita por [14]
I(δ) =12I(k)cos(2Nkδ) (38)
Com k o nuacutemero de onda (k = 2πλ) E fazendo δ = d com d = vt resulta
I(δ) =12I(k)cos(2Nk(vt)) (39)
323 Interferoacutemetro de Michelson
No interferoacutemetro do tipo Michelson um feixe de luz eacute dividido em dois que
percorrem caminhos diferentes para de seguida se recombinarem Apoacutes terem
percorrido caminhos diferentes o feixe resultante da recombinaccedilatildeo pode apresen-
tar um padratildeo de interferecircncia que depende da diferenccedila de caminhos oacutepticos
entre os feixes e que pode ser medido num detetor
A forma mais simples de implementar um interferoacutemetro de Michelson con-
siste em dois espelhos colocados entre si num plano perpendicular em que um
deles se pode mover na direccedilatildeo perpendicular agrave sua superfiacutecie refletora conforme
ilustrado na Fig35
Esse espelho iraacute movimentar-se num espaccedilo definido a uma velocidade cons-
tante Entre o espelho fixo e o espelho moacutevel estaacute um separador de feixe que
divide o feixe incidente inicial em dois de igual intensidade Aqui o feixe eacute parci-
almente refletido para um espelho e parcialmente transmitido para o outro
20
32 MEacuteTODOS POR INTERFEROMETRIA
Figura 35 Esquema de funcionamento de um interferoacutemetro de Michelson cominterferecircncia construtiva (a) e destrutiva (b) (adaptado de [15])
Assumindo que o separador de feixe eacute ideal e com uma reflectacircncia e transmi-
tacircncia de 50 se o espelho moacutevel se encontrar estacionaacuterio pode determinar-se
a intensidade do feixe num dado ponto do detetor Se a diferenccedila do caminho
oacuteptico ou retardaccedilatildeo (δ) for zero ou seja os espelhos estatildeo igualmente espaccedilados
do separador de feixe estes vatildeo percorrer a mesma distacircncia e interferir construti-
vamente pelo que a intensidade do feixe final eacute a soma das intensidades dos dois
feixes Nestas condiccedilotildees toda a luz que sai da fonte chega ao detetor
No caso do espelho moacutevel se deslocar uma distacircncia de λ4 a retardaccedilatildeo total
seraacute de λ2 pelo que os feixes estaratildeo desfasadas de 180ordm (π) Nestas condiccedilotildees ter-
se-aacute interferecircncia destrutiva completa na recombinaccedilatildeo dos feixes dando origem
agrave extinccedilatildeo total
Voltando a deslocar o espelho moacutevel de mais λ4 a diferenccedila do caminho
oacuteptico seraacute igual a λ e os dois feixes voltam a estar em fase havendo novamente
uma sobreposiccedilatildeo construtiva dos feixes
Com o espelho moacutevel a deslocar-se a uma velocidade constante o sinal do de-
tetor iraacute variar com uma forma perioacutedica sendo que atinge o seu maacuteximo quando
a retardaccedilatildeo (δ) for um muacuteltiplo inteiro de λ δ =Nλ
A expressatildeo da intensidade do feixe (I) no detector para o caso do interferoacute-
metro de Michelson eacute semelhante agrave equaccedilatildeo 38 para o interferoacutemetro de Mach-
Zehnder sendo que neste caso δ = 2d com d = vt jaacute que o feixe atravessa a
amostra duas vezes Nestas condiccedilotildees ter-se-aacute
I(δ) =12I(k)cos(4Nk(vt)) (310)
21
CAPIacuteTULO 3 MEDICcedilAtildeO DO EFEITO ELECTROOacutePTICO
22
Capiacutetulo
4Sistema Implementado
Este capiacutetulo descreve o sistema implementado para a mediccedilatildeo do coeficiente
electrooacuteptico usando a teacutecnica de interferoacutemetria de Michelson bem como a cali-
braccedilatildeo do mesmo
41 Interferoacutemetro
O sistema escolhido para a mediccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico baseia-se na teacutec-
nica de interferometria de Michelson (ver secccedilatildeo 323) onde se mediu a diferenccedila
de fase entre os ramos do interferoacutemetro Esta teacutecnica foi escolhida pela elevada
sensibilidade agrave diferenccedila de fase gerada entre os ramos do interferoacutemetro facili-
dade de preparaccedilatildeo das amostras e por ser menos sensiacutevel a vibraccedilotildees mecacircnicas
e a flutuaccedilotildees teacutermicas desde que estas ocorram com a mesma intensidade em
ambos os ramos do interferoacutemetro Para aleacutem das vantagens mencionadas e espe-
cificamente em comparaccedilatildeo com o interferoacutemetro mais usado o interferoacutemetro
do tipo Mach-Zehnder o interferoacutemetro de Michelson tem uma maior facilidade
de alinhamento dos espelhos e usa apenas um separador de feixe
A figura 41 esquematiza o sistema baseado no interferoacutemetro de Michelson
desenvolvido para a mediccedilatildeo do coeficiente eletrooacuteptico
23
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Figura 41 Esquematizaccedilatildeo do interferoacutemetro de Michelson e instrumentaccedilatildeoutilizada para a mediccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico em cristais
Como se pode ver no esquema da figura 41 o ramo do espelho vibrante fica
vazio enquanto que no ramo do espelho fixo se encontra a amostra entre dois
eleacutectrodos onde se aplicam um campo eleacutectrico E O sinal medido no detector
resulta da interferecircncia entre os feixes provenientes de cada ramo do interferoacute-
mentro dependendo da diferenccedila de fase entre os dois feixes Conforme referido
anteriormente a intensidade da luz (I) que chega ao detector eacute da ordem de [16]
I prop E21 +E2
2 + 2E1E2cos(∆φ) (41)
42 Electroacutenica Desenvolvida
421 Amplificador
Para o efeito electrooacuteptico se manisfestar eacute necessaacuterio aplicar-se uma tensatildeo eleacutec-
trica ao meio Uma vez que a tensatildeo de referecircncia fornecida pelo amplificador
lock-in utilizado eacute muito baixa para induzir efeito electrooacuteptico significativo por
volta dos 12V foi necessaacuterio construir um amplificador de tensatildeo (Fig 42)
24
42 ELECTROacuteNICA DESENVOLVIDA
Figura 42 Esquemaacutetico do amplificador de tensatildeo utilizado com base no ampli-ficador operacional LF356n
O amplificador construiacutedo conforme ilustra a figura 42 consiste numa mon-
tagem inversora de ganho variaacutevel com uma malha de controlo de offset e eacute
alimentado a plusmn12V
Assim o ganho G eacute determinado atraveacutes de
G = 1 +R2R1
(42)
Sendo R1 = 11kΩ R2 = 5kΩ R3 = 25kΩ e o amplificador em si utilizado foi
o LF356n
Obtendo-se desta forma um ganho de aproximadamente 55 Permitindo apli-
car uma tensatildeo de cerca de 66V ao cristal electrooacuteptico Uma vez que a tensatildeo
aplicada eacute baixa pode-se desprezar o efeito piezoeleacutectrico gerado na amostra e
que iria influenciar o valor do coeficiente electrooacuteptico medido
422 Gerador de Rampa
Para alimentar o excitador piezoeleacutectrico do espelho moacutevel foi utilizado um ge-
rador de sinais (Fig 43) de forma a induzir um deslocamento linear perioacutedico
na forma de rampa A frequecircncia de oscilaccedilatildeo cerca de 25Hz foi escolhida de
25
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
forma a ser suficientemente baixa para evitar fenoacutemenos de batimento com o sinal
de modulaccedilatildeo electrooacuteptico e suficientemente alta para que se consiga adquirir
dados em tempo uacutetil com uma tensatildeo variaacutevel entre os 4 e os 8V
Figura 43 Esquema eleacutectrico do gerador de rampa implementado baseado nocircuito temporizador NE555
Sendo R1 = 20kΩ R2 = 1kΩ e C1 = C2 = 47microF
O tempo de subida da rampa t1 eacute dado por
t1 = 0693(R1 +R2)C1 (43)
Enquanto que o tempo de descida t2 eacute
t2 = 0693R2C1 (44)
Obtendo assim um tempo de subida de 036s e um tempo de descida de 0033s
Assim a frequecircncia do gerador de rampa f seraacute dada por
f =1
t1 + t2=
144(R1 + 2R2)C1
(45)
O gerador de rampa foi construiacutedo aproveitando o espaccedilo livre no interior da
unidade de amplificaccedilatildeo onde se situa o amplificador
26
42 ELECTROacuteNICA DESENVOLVIDA
423 Seguidor de Tensatildeo
Devido agrave necessidade de acoplamento de impedacircncias entre o amplificador lock-
in e o osciloacutescopio natildeo foi possiacutevel a utilizaccedilatildeo de um repartidor coaxial que
repartisse o sinal proveniente do detector Assim de forma a se poder visuali-
zar o sinal proveniente do detector em simultacircneo com o sinal electrooacuteptico foi
necessaacuterio a construccedilatildeo de um seguidor de tensatildeo (Fig44)
Figura 44 Esquema do seguidor de tensatildeo utilizado construida com base nosamplifacores operacionais LF356n
Sendo que ambos os circuitos integrados foram alimentados por uma tensatildeo
positiva (V+) de 12V e uma negativa (Vminus) de minus12V Com R1 = R2 = 25kΩ Agrave
semelhanccedila do amplificador foi tambeacutem construida uma malha de controlo de
offset
Agrave semelhanccedila do gerador de rampa tambeacutem foi construido na unidade de
amplificaccedilatildeo e gerador de rampa como se pode ver na figura 45
27
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Figura 45 Imagem da unidade de amplificaccedilatildeo e geraccedilatildeo de rampa implemen-tada
43 Sistema Oacuteptico Desenvolvido
431 Espelho Vibrante
O espelho vibrante (Fig46) foi construiacutedo afixando um espelho a um disco pie-
zoeleacutectrico A vibraccedilatildeo do espelho iraacute fazer com que a distacircncia entre o divisor
de feixe e o espelho varie Fazendo deslocar a franja de interferecircncia em frente ao
detector permitindo a este medir as intensidades maacuteximas e miacutenimas das franjas
de interferecircncia (ver secccedilatildeo 323)
Figura 46 Imagem do espelho vibrante utilizado
28
43 SISTEMA OacutePTICO DESENVOLVIDO
432 Bancada Oacuteptica
De forma a colocar os componentes ao niacutevel do feixe do laser na mesa oacuteptica e a
tornar o sistema menos sensiacutevel a vibraccedilotildees mecacircnicas e flutuaccedilotildees teacutermicas os
componentes foram colocadas numa base quadrada de alumiacutenio
Figura 47 Imagem da bancada oacuteptica onde o interferoacutemetro de Michelson foiconstruiacutedo
Conforme se pode ver na figura 47 para completar o interferoacutemetro de Michel-
son para aleacutem dos componentes jaacute referidos foram ainda utilizados um separador
de feixe e um espelho (fixo) no suporte com uma lente oacuteptica agrave saiacuteda do mesmo
Faltando ainda o laser utilizado da Melles Griotreg que possui uma potecircncia de
635mW e um comprimento de onda de 6328nm
433 Detector
O detector utilizado foi um modelo 818-UVDB da Newport Corporationreg (Fig
48) de baixa potecircncia consistindo num fotodiacuteodo de siliacutecio capaz de operar entre
os 200 e os 1100nm As caracteriacutesticas principais deste detector encontram-se
listadas na tabela 433
29
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Tabela 41 Caracteriacutesticas principais do detector 818-UVDB [17]
Largura de Banda 200 a 1100(nm) Material Siliacutecio
Potecircncia
W λ(nm)
Incerteza de
λ(nm)
02 200 a 4008 200 a 219
Maacutexima Calibraccedilatildeo 2 220 a 349
005 400 a 11001 350 a 9494 950 a 1050
Densidade de02Wcm2 Aacuterea Activa 1cm2
Potecircncia Meacutedia
Energia Maacutexima05microJ
Diacircmetro113cm
de Pulso Activo
De forma a evitar que a luz ambiente interferisse nas medidas e para aumen-
tar a resoluccedilatildeo de mediccedilatildeo do perfil da franja de interferecircncia foi colocado um
diafragma com uma abertura no centro de 06mm conforme se pode ver na figura
48 reduzido desta maneira a aacuterea activa para 028 mm2
Figura 48 Imagem do detector e disco utilizado
Para a aquisiccedilatildeo do sinal electrooacuteptico e geraccedilatildeo de sinal electrooacuteptico de
referecircncia foi utilizado um osciloscoacutepio Lecroy Wavesufertrade422
30
43 SISTEMA OacutePTICO DESENVOLVIDO
434 Cristal Electrooacuteptico
Para a calibraccedilatildeo do sistema foi utilizado um cristal padratildeo de dihidrogenofosfato
de potaacutessio (KDP) Na tabela 42 pode-se observar algumas das propriedades
fiacutesicas desse cristal
Tabela 42 Propriedades fiacutesicas do cristal padratildeo KDP [18]
Material Simetria Densidade Classe Higroscopicidade
KDP Tetragonal (42m) 234gcm3 Uniaxial Higroscoacutepico
Uma vez que o cristal eacute uniaxial nx = ny = no e nz = ne sendo no e ne os
iacutendices de refraccedilatildeo ordinaacuterio e extraordinaacuterio do cristal KDP A figura 49 ilustra
o elipsoiacutede de iacutendices num cristal padratildeo KDP
Figura 49 Ilustraccedilatildeo de um cristal padratildeo KDP e seu respectivo elipsoiacutede deiacutendices
31
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Na Tabela 43 pode-se observar algumas das propriedades oacutepticas do cristal
padratildeo KDP
Tabela 43 Propriedades oacutepticas do cristal padratildeo KDP a 6328nm [7]
Material Foacutermula Quiacutemica Iacutendice de RefracccedilatildeoCoeficiente
Electrooacuteptico
KDPKH2PO4
no=15074 r41=86 pmV(λ = 6328nm) ne=14673 r63=106 pmV
Como se pode ver na tabela 42 o cristal do tipo KDP eacute higroscoacutepico sendo
assim necessaacuterio reduzir ao maacuteximo o contacto entre o cristal e a atmosfera para
evitar que as suas faces fiquem opacas interferindo assim na qualidade do feixe
transmitido
435 Porta Amostras
O porta amostras eacute constituiacutedo por uma base feita de latatildeo (Fig 410) onde se
coloca o cristal nivelado com o feixe laser Este suporte possui oito roscas para
parafusos M3 quatro em cima de forma a se fixar os encaixes laterais do porta
amostras e quatro em baixo de forma a afixar-se firmemente na bancada oacuteptica
Figura 410 Imagem da base do porta-amostras desenvolvido
32
43 SISTEMA OacutePTICO DESENVOLVIDO
De forma a aplicar-se a tensatildeo de excitaccedilatildeo ao cristal sem bloquear o feixe do
laser foram utilizadas duas placas de vidro com oacutexido de estanho dopado com
fluacuteor (FTO) Este permite que haja uma boa transparecircncia e conduccedilatildeo eleacutetrica
sendo usado em vaacuterios tipos de dispositivos como aplicaccedilotildees opto-eletroacutenicas
ecratildes touch screen filmes finos fotovoltaicos etc O oacutexido de estanho dopado
com fluacuteor [19] eacute reconhecido por ser altamente estaacutevel quimicamente inerte re-
siste a temperaturas elevadas e ao desgaste abrasivo sendo mais econoacutemico do
que o tradicional oacutexido de iacutendio e estanho (ITO)
De forma a garantir um bom contacto eleacutectrico entre o vidro FTO e o cristal
foram construidas duas peccedilas de afixaccedilatildeo idecircnticas (Fig 411) Trata-se de duas
peccedilas de alumiacutenio cada uma contendo uma abertura de forma a deixar passar
o feixe laser e dois rasgos para parafusos de forma a poder-se fixar no suporte e
desta maneira exercer uma pressatildeo constante sobre o cristal
Figura 411 Imagem das peccedilas de fixaccedilatildeo do cristal desenvolvidas com a vista defrente (a) e a vista de traacutes (b)
A ligaccedilatildeo eleacutectrica entre o sinal de referecircncia proveniente do amplificador ao
vidro FTO foi feita atraveacutes de uma cola condutora de prata de forma a assegurar
a ligaccedilatildeo oacutehmica entre o fio de cobre e a camada de FTO O cristal fica assim entre
duas placas de vidro FTO(Fig412)
33
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Figura 412 Imagem do porta Amostras desenvolvido
A figura 413 ilustra o sistema desenvolvido incluindo a bancada oacuteptica e
instrumentaccedilatildeo
Figura 413 Imagem do sistema desenvolvido para a mediccedilatildeo do efeito electrooacutep-tico
34
44 COEFICIENTE ELECTROOacutePTICO
44 Coeficiente Electrooacuteptico
Para o cristal utilizado o dihidrogenofosfato de potaacutessio (KDP) e para o efeito
electrooacuteptico linear a matriz de coeficientes electrooacutepticos eacute a seguinte
rij =
0 0 0
0 0 0
0 0 0
r41 0 0
0 r52 0
0 0 r63
com
i = 1 6
j = 123
Sendo que r41 = r52 pelo que existem apenas dois coeficientes independentes
o r41 e o r63
Usando a notaccedilatildeo condensada mencionada da secccedilatildeo 21 onde se aplica o
campo eleacutectrico (E) no plano do i (sendo i = m) enquanto que j eacute o eixo oacuteptico
Para o caso do KDP eacute costume utilizar o r63 Isto eacute aplicar o campo eleacutectrico nos
planos 12 ou 21 (ou seja i = 6) com o eixo oacuteptico no eixo 3 (j = 3) como demonstra
a figura 414
Figura 414 Ilustraccedilatildeo da configuraccedilatildeo utilizada para a mediccedilatildeo do coeficienter63 num cristal
35
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Para o caso do efeito electrooacuteptico quadraacutetico a matriz dos coeficientes elec-
trooacutepticos seraacute
sij =
s11 s12 s12 0 0 0
s12 s11 s12 0 0 0
s12 s12 s11 0 0 0
0 0 0 s11 minus s12 0 0
0 0 0 0 s11 minus s12 0
0 0 0 0 0 s11 minus s12
com i j = 1 6
45 Execuccedilatildeo Experimental
Para se medir o coeficiente electrooacuteptico aplica-se ao cristal uma tensatildeo com uma
frequecircncia de 2kHz frequecircncia essa que se revelou menos sensiacutevel aos ruiacutedos
ambientes sendo que o sinal electrooacuteptico teraacute a mesma frequecircncia Podendo-
se desta maneira atraveacutes de um amplificador de lock-in (modelo 393 da IthacoDynatrac) filtrar o sinal electrooacuteptico dos restantes sinais uma vez que a sua
frequecircncia eacute conhecida
A intensidade da equaccedilatildeo 41 eacute maacutexima quando cos(∆φ) = 1 e miacutenima quando
cos(∆φ) = minus1 Pelo que subtraindo estas duas equaccedilotildees
Imax minus Imin = 4E1E2 (46)
Assim combinando a equaccedilatildeo 41 com a equaccedilatildeo 46 obtem-se
I prop E21E
22 +
12
(Imax minus Imin)cos(∆φ) (47)
Juntando agora a equaccedilatildeo 246 agrave equaccedilatildeo 247 e tendo em conta que o feixe
passa duas vezes por cada ramo (=2l) a diferenccedila de fase para o efeito electrooacutep-
tico linear
∆φ = ∆φ0 +πrn3
oVoλ
2lh
cos(Ωt) (48)
Sendo ∆φ0 a diferenccedila de fase inicial sem o efeito electrooacuteptico
36
45 EXECUCcedilAtildeO EXPERIMENTAL
Substituindo o ∆φ da equaccedilatildeo 48 na equaccedilatildeo 47 a intensidade do sinal com
modulaccedilatildeo electrooacuteptica(Iseo) seraacute dado por
Iseo prop E21 +E2
2 +12
(Imax minus Imin)cos(∆φ0 +
πrn3oVoλ
2lh
cos(Ωt))
(49)
Usando cos(α plusmn β) = cos(α)cos(β)∓ sen(α) sen(β) e D = πrn3oVoλ
2lh fica-se com
Iseo prop E21 +E2
2+12
(Imax minus Imin)
[cos(∆φ0)cos(Dcos(Ωt)) minus sen(∆φ0) sen(D cos(Ωt))](410)
Como a modulaccedilatildeo electrooacuteptica eacute um efeito muito pequeno a equaccedilatildeo 410
pode-se escrever
Iseo asymp E21 +E2
2 +12
(Imax minus Imin) [cos(∆φ0)minusD cos(Ωt) sen(∆φ0)] (411)
Considerando soacute os termos de primeira ordem
Iseo asymp12
(Imax minus Imin) [cos(∆φ0)minusD cos(Ωt) sen(∆φ0)] (412)
A componente do sinal electrooacuteptico eacute entatildeo dado por
Iseo =12
(Imax minus Imin)D cos(Ωt) sen(∆φ0) (413)
Ou seja
Iseo =12
(Imax minus Imin)πrn3
oVoλ
2lh
cos(Ωt) sen(∆φ0) (414)
O acircngulo ∆φ0 varia linearmente com o tempo (t) a uma frequecircncia inferior
a Ω A franja de interferecircncia desloca-se continuamente em frente ao detector
devido a um dos espelho estar fixado num disco piezoeleacutectrico
37
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Na figura 415 pode-se ver uma exemplificaccedilatildeo do sinal no detector que incor-
pora o sinal da franja e electrooacuteptico dada pela equaccedilatildeo 414
Figura 415 Ilustraccedilatildeo do sinal de modulaccedilatildeo electrooacuteptica de um feixe de luzmedido num interferoacutemetro de Michelson
Uma vez que o sinal electrooacuteptico (cos(Ωt)) estaacute desfasado π2 do sinal da
franja ( sen(∆φ0)) A intensidade do sinal electrooacuteptico pode ser escrita como
Iseo asymp12
(Imax minus Imin)πrn3
oVoλ
2lh
∣∣∣ sen(∆φ0)∣∣∣ (415)
Assim a amplitude do sinal electrooacuteptico eacute
Iseo =12
(Imax minus Imin)πrn3
oVoλ
2lh
(416)
Pelo que o coeficiente electrooacuteptico linear seraacute dado por
r =|Iseo|
|Imax minus Imin|λ
πn3oVo
hl
(417)
38
46 RESULTADOS
Para o efeito electrooacuteptico quadraacutetico utilizando o procedimento anoacutelogo mas
a partir da equaccedilatildeo 248 em vez da equaccedilatildeo 247 O sinal electrooacuteptico quadraacutetico
Iseoq que ocorre ao dobro da frequecircncia de modulaccedilatildeo 2Ω eacute dado por
s =
∣∣∣Iseoq∣∣∣|Imax minus Imin|
2λ
πn3oV
2o
h2
l(418)
46 Resultados
Com o cristal de KDP devidamente alinhado no interferoacutemetro segundo o seu
eixo oacuteptico de maneira a se medir o coeficiente r63 Obtendo-se assim dois sinais
o sinal de franja e o sinal electrooacuteptico (Fig 416)
Figura 416 Padratildeo da franja produzida (a) e respectivos sinais de franja e elec-trooacuteptico obtidos para um cristal KDP padratildeo
De forma a se proceder a calibraccedilatildeo do sistema utilizou-se a equaccedilatildeo 417 na
forma
|Iseo||Imax minus Imin|
=πn3
o
λlhrVo (419)
39
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Usando o valor da razatildeo |Iseo ||ImaxminusImin|
em funccedilatildeo do potencial aplicado Vo pode-se
calcular o valor do coeficiente electrooacuteptico r atraveacutes do declive da recta obtida
Pode-se ver na figura 417 uma das rectas obtidas para o cristal utilizado na
calibraccedilatildeo do sistema
Figura 417 Razatildeo entre o sinal electrooacuteptico e a diferenccedila de intensidade defranjas em funccedilatildeo do potencial Vo aplicado ao cristal
A tabela 44 apresenta o valor do coeficiente electrooacuteptico obtido e respectiva
incerteza para o cristal de KDP tomando em conta os valores dos iacutendices de
refraccedilatildeo da tabela 43
Tabela 44 Valores e respectivas incertezas obtidas do coeficiente electrooacutepticopara o cristal KDP utilizado
Material Valor Padratildeo Valor Obtido Erro
KDPr63 = 106pmV r63 = 105plusmn 02pmV 1
(λ = 6328nm)
Como se pode ver na tabela 44 o resultado obtido situa-se muito proacuteximo
do teoacuterico encontrando-se dentro da incerteza obtida Os valores valores meacutedios
apresentam um desvio da ordem dos 02pmV
40
46 RESULTADOS
Apesar dos valores obtidos serem bastante positivos houve algumas dificul-
dades nomeadamente o vidro FTO que causou que o alinhamento fosse extrema-
mente complicado natildeo soacute pela sua espessura e dimensionamento como tambeacutem
pela refraccedilatildeo provocada no feixe laser Outro grande obstaacuteculo foi o alinhamento
do cristal uma vez que basta um ligeiro desvio no caminho oacuteptico para causar um
desalinhamento total algo que eacute agravado no interferoacutemetro do tipo Michelson
pelo facto de o feixe laser passar na amostra duas vezes
Apesar destas dificuldades o valor obtido para o coeficiente electrooacuteptico r63
foi de 105pmV valor esse muito proacuteximo do valor padratildeo da literatura que se
encontra nos 106pmV Assim pode-se considerar que o sistema desenvolvido
se encontra devidamente calibrado e pronto para futuras utilizaccedilotildees
41
Capiacutetulo
5Conclusotildees
O trabalho desenvolvido no decorrer desta dissertaccedilatildeo consistiu no desenvolvi-
mento de um sistema para a mediccedilatildeo do efeito electrooacuteptico aacuterea a ser ulilizada
na caracterizaccedilatildeo de novos materiais polimeacutericos para aplicaccedilatildeo em dispositivos
fotoacutenicos
Nesta conformidade foi desenhada construiacuteda e testado uma bancada oacuteptica
destinada agrave mediccedilatildeo do efeito electrooacuteptico baseado numa teacutecnica interferomeacute-
trica de mediccedilatildeo da diferenccedila de fase implementado atraveacutes de um interferoacutemetro
do tipo Michelson
O cristal escolhido para a calibraccedilatildeo do sistema desenvolvido foi um cristal de
KDP comercial tendo sido utilizado o coeficiente electrooacuteptico r63 como referecircn-
cia sendo o valor padratildeo de 106pmV
O sistema obtido permitiu medir um valor nominal de 105plusmn 02pmV com
um erro de aproximadamente 1 em relaccedilatildeo ao valor tabelado comprovando a
afericcedilatildeo do sistema para a mediccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico por transmissatildeo
O sistema desenvolvido estaacute portanto apto para futuras mediccedilotildees sendo ape-
nas necessaacuterio algumas alteraccedilotildees no porta-amostras mediante as dimensotildees e
forma da amostra a utilizar
Chegou-se ainda agrave conclusatildeo que para amostras como o cristal utilizado o
feixe laser passar duas vezes na amostra acaba por ser uma grande desvantagem
desvantagem essa inexistente para filmes polimeacutericos que ganham cada vez mais
importacircncia na aacuterea da fotoacutenica uma vez que satildeo materiais de grande interesse
cientiacutefico e tecnoloacutegico jaacute que podem ser utilizados no desenvolvimento de dispo-
sitivos oacutepticos nomeadamente moduladores de luz e memoacuterias oacutepticas
43
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46
Apecircndice
AApecircndice
A1 Desenhos Teacutecnicos
47
4xM
311
23
35
40
4xM
311
MA
TERI
AL
Peccedila
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- Lista de Figuras
- Lista de Tabelas
- Introduccedilatildeo
- Efeito Electrooacuteptico
-
- Oacuteptica Natildeo-Linear
- Propagaccedilatildeo em Meios Anisotroacutepicos
-
- Vector de Poynting
- Elipsoiacutede dos Iacutendices
- Coeficientes Natildeo-Lineares
-
- Mediccedilatildeo do Efeito Electrooacuteptico
-
- Meacutetodo Tradicional
- Meacutetodos por Interferometria
-
- Interferometria Oacuteptica
- Interferoacutemetro de Mach-Zehnder
- Interferoacutemetro de Michelson
-
- Sistema Implementado
-
- Interferoacutemetro
- Electroacutenica Desenvolvida
-
- Amplificador
- Gerador de Rampa
- Seguidor de Tensatildeo
-
- Sistema Oacuteptico Desenvolvido
-
- Espelho Vibrante
- Bancada Oacuteptica
- Detector
- Cristal Electrooacuteptico
- Porta Amostras
-
- Coeficiente Electrooacuteptico
- Execuccedilatildeo Experimental
- Resultados
-
- Conclusotildees
- Bibliografia
- Apecircndice
-
- Desenhos Teacutecnicos
-
Resumo
Foi desenvolvido um sistema para a mediccedilatildeo do efeito electroacuteptico em meios
oacutepticos com propriedades de oacuteptica natildeo-linear O sistema baseia-se numa teacutecnica
interferomeacutetrica implementada atraveacutes de um interferoacutemetro de Michelson fun-
cionando em modo de transmissatildeo no qual se mede a diferenccedila de fase entre os
ramos do interferoacutemetro gerada pelo efeito electroacuteptico numa amostra onde eacute
aplicado um potencial eleacutetrico O coeficiente electroacuteptico a ser medido pode ser
escolhido pela aplicaccedilatildeo do sinal eleacutectrico de uma amostra na direccedilatildeo adequada
bem como do alinhamento desta num porta-amostras O sistema foi calibrado
usando um cristal com propriedades oacutepticas natildeo-lineares padratildeo o fosfato de
dihidrogeacutenio e potaacutessio tendo sido utilizado o coeficiente electroacuteptico r63 como
referecircncia O valor medido experimentalmente foi de 105plusmn 02pmV pelo que o
valor tabelado se encontra dentro desta medida A bancada oacuteptica implementada
revelou tambeacutem estabilidade no que diz respeito ao ruiacutedo ambiente Este sistema
seraacute utilizado no futuro para a mediccedilatildeo de coeficientes electroacutepticos em filmes
finos polimeacutericos que contenham cromoacuteforos com polarizabilidades electroacutenicas
natildeo-lineares elevadas
Palavras-chave Oacuteptica Efeito electrooacuteptico Modulaccedilatildeo de luz Interferoacutemetria
Interferoacutemetro de Michelson
vii
Abstract
A system for measuring the electro-optical activity of nonlinear-optical mate-
rials has been developed The system is based on a scanning Michelson interfer-
ometer working in transmission mode allowing the measurement of the phase
difference between the arms of the interferometer as a result of refractive index
change due to electro-optical effect induced in a sample through an applied exter-
nal electrical field The electro-optical coefficient to be measured can be chosen by
conveniently electroding and adequately aligning the sample in a proper sample
holder The system was calibrated with a standard nonlinear-optical potassium
dihydrogen phosphate crystal with respect to r63 electro-optical coefficient The
attained value of 105plusmn02pmV falls within the 1 of the expected standard val-
ues In addition the system revealed to be stable to overall environmental noise
This system will be used in the future for measuring the electro-optical coeffi-
cients of novel polymeric thin films containing nonlinear-optical chromophores
Keywords Optics Electro-optic effect Light modulation Interferometry Michel-
son interferometer
ix
Iacutendice
Lista de Figuras xiii
Lista de Tabelas xv
1 Introduccedilatildeo 1
2 Efeito Electrooacuteptico 3
21 Oacuteptica Natildeo-Linear 3
22 Propagaccedilatildeo em Meios Anisotroacutepicos 5
221 Vector de Poynting 7
222 Elipsoiacutede dos Iacutendices 9
223 Coeficientes Natildeo-Lineares 12
3 Mediccedilatildeo do Efeito Electrooacuteptico 15
31 Meacutetodo Tradicional 15
32 Meacutetodos por Interferometria 17
321 Interferometria Oacuteptica 17
322 Interferoacutemetro de Mach-Zehnder 19
323 Interferoacutemetro de Michelson 20
4 Sistema Implementado 23
41 Interferoacutemetro 23
42 Electroacutenica Desenvolvida 24
421 Amplificador 24
422 Gerador de Rampa 25
423 Seguidor de Tensatildeo 27
43 Sistema Oacuteptico Desenvolvido 28
431 Espelho Vibrante 28
432 Bancada Oacuteptica 29
433 Detector 29
434 Cristal Electrooacuteptico 31
xi
IacuteNDICE
435 Porta Amostras 32
44 Coeficiente Electrooacuteptico 35
45 Execuccedilatildeo Experimental 36
46 Resultados 39
5 Conclusotildees 43
Bibliografia 45
A Apecircndice 47A1 Desenhos Teacutecnicos 47
xii
Lista de Figuras
21 Cubo com secccedilatildeo de aacuterea A e ∆x de lado 8
22 Ilustraccedilatildeo do elipsoiacutede de iacutendices (retirado de [7]) 11
31 Montagem experimental proposta por Henry e a sua equipa (adaptado
de [9]) 16
32 Ilustraccedilatildeo de uma interferecircncia construtiva perfeita (a) e destrutiva
completa (b) 17
33 Visibilidade num interferoacutemetro em funccedilatildeo da diferenccedila de fase en-
tre duas ondas provenientes de ramos diferentes do interferoacutemetro
(adaptado de [11]) 18
34 Esquema de um interferoacutemetro de Mach-Zehnder (adaptado de [12]) 19
35 Esquema de funcionamento de um interferoacutemetro de Michelson com
interferecircncia construtiva (a) e destrutiva (b) (adaptado de [15]) 21
41 Esquematizaccedilatildeo do interferoacutemetro de Michelson e instrumentaccedilatildeo uti-
lizada para a mediccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico em cristais 24
42 Esquemaacutetico do amplificador de tensatildeo utilizado com base no ampli-
ficador operacional LF356n 25
43 Esquema eleacutectrico do gerador de rampa implementado baseado no
circuito temporizador NE555 26
44 Esquema do seguidor de tensatildeo utilizado construida com base nos
amplifacores operacionais LF356n 27
45 Imagem da unidade de amplificaccedilatildeo e geraccedilatildeo de rampa implementada 28
46 Imagem do espelho vibrante utilizado 28
47 Imagem da bancada oacuteptica onde o interferoacutemetro de Michelson foi
construiacutedo 29
48 Imagem do detector e disco utilizado 30
49 Ilustraccedilatildeo de um cristal padratildeo KDP e seu respectivo elipsoiacutede de
iacutendices 31
410 Imagem da base do porta-amostras desenvolvido 32
xiii
Lista de Figuras
411 Imagem das peccedilas de fixaccedilatildeo do cristal desenvolvidas com a vista de
frente (a) e a vista de traacutes (b) 33
412 Imagem do porta Amostras desenvolvido 34
413 Imagem do sistema desenvolvido para a mediccedilatildeo do efeito electrooacuteptico 34
414 Ilustraccedilatildeo da configuraccedilatildeo utilizada para a mediccedilatildeo do coeficiente r63
num cristal 35
415 Ilustraccedilatildeo do sinal de modulaccedilatildeo electrooacuteptica de um feixe de luz
medido num interferoacutemetro de Michelson 38
416 Padratildeo da franja produzida (a) e respectivos sinais de franja e elec-
trooacuteptico obtidos para um cristal KDP padratildeo 39
417 Razatildeo entre o sinal electrooacuteptico e a diferenccedila de intensidade de franjas
em funccedilatildeo do potencial Vo aplicado ao cristal 40
xiv
Lista de Tabelas
41 Caracteriacutesticas principais do detector 818-UVDB [17] 30
42 Propriedades fiacutesicas do cristal padratildeo KDP [18] 31
43 Propriedades oacutepticas do cristal padratildeo KDP a 6328nm [7] 32
44 Valores e respectivas incertezas obtidas do coeficiente electrooacuteptico
para o cristal KDP utilizado 40
xv
Lista de Siacutembolos
~S - Vector de Poynting
ε - Permissidade eleacutectrica
micro - Permeabilidade eleacutectrica
λ - Comprimento de onda
φ - Fase
ν - Visibilidade
δ - Retardaccedilatildeo
Ω - Frequecircncia de modulaccedilatildeo
χ(1) - Suscetibilidade eleacutectrica linear
χ(2) - Suscetibilidade eleacutectrica de segunda ordem
χ(3) - Suscetibilidade eleacutectrica de terceira ordem
ε0 - Permissidade eleacutectrica do vazio
B - Campo magneacutetico
D - Deslocamento eleacutectrico
E - Campo eleacutectrico
I - Intensidade
P - Polarizaccedilatildeo
Vo - Potencial eleacutectrico
c - Velocidade da luz no vazio
h - Distacircncia entre os eleacutetrodos
xvii
LISTA DE SIacuteMBOLOS
k - Nuacutemero de onda
l - Caminho percorrido pela luz num meio
n - Iacutendice de refraccedilatildeo
ne - Iacutendice de refraccedilatildeo extraordinaacuterio
no - Iacutendice de refraccedilatildeo ordinaacuterio
r - Coeficiente electrooacuteptico linear
s - Coeficiente electrooacuteptico quadraacutetico
u - Densidade de energia
w - Frequecircncia angular
xviii
Capiacutetulo
1Introduccedilatildeo
A fibra oacuteptica eacute hoje amplamente utilizada nas redes de telecomunicaccedilatildeo em subs-
tituiccedilatildeo dos tradicionais cabos eleacutectricos por permitir transportar uma grande
quantidade de informaccedilatildeo a alta velocidade e com perdas reduzidas sem ser
afetada pelo ruiacutedo eletromagneacutetico Por outro lado a transmissatildeo de informaccedilatildeo
atraveacutes da fibra oacuteptica requer o desenvolvimento de dispositivos capazes de pro-
cessar sinal oacuteptico tais como amplificadores comutadores e moduladores de luz
Eacute aqui que o efeito electrooacuteptico assume um papel de relevo jaacute que possibilita a
modulaccedilatildeo de luz a frequecircncias da ordem do gigahertz [1 2 3]
O efeito electrooacuteptico tambeacutem conhecido por efeito de Pockels1 consiste na
variaccedilatildeo do iacutendice de refraccedilatildeo de um meio quando a este eacute aplicado um campo
eleacutetrico externo Esta alteraccedilatildeo no iacutendice de refraccedilatildeo eacute o resultado de forccedilas elec-
trostaacuteticas que deformam as moleacuteculas (alteraccedilatildeo de posiccedilatildeo orientaccedilatildeo ou forma)
do meio que estaacute na origem de uma alteraccedilatildeo no momento dipolar Distinguem-
se dois tipos de efeito eletrooacuteptico o linear (efeito Pockels) e o quadraacutetico (efeito
Kerr2)
O efeito de Pockels estaacute na origem da criaccedilatildeo de uma birrefringecircncia ∆n
no meio oacuteptico proporcional ao campo eleacutetrico aplicado Este efeito observa-se
1Friedrich Carl Alwin Pockels foi um fiacutesico alematildeo que em 1893 descobriu que se for aplicadoum campo eleacutectrico estaacutevel a certos materiais birrefrigentes estes vatildeo sofrer uma variaccedilatildeo noiacutendice de refraccedilatildeo proporcional agrave forccedila do campo aplicado Este coeficiente de proporcionalidadeestaacute entre os 10times 10minus10V minus1 e os 10times 10minus12V minus1 Ficando este fenoacutemeno conhecido como Efeito dePockels
2John Kerr foi um fiacutesico escocecircs e um pioneiro no campo da electro-oacuteptica nomeadamentepelo efeito de Kerr em 1875 que consiste numa variaccedilatildeo do iacutendice de refraccedilatildeo que varia quadraacuteti-camente com o campo eleacutetrico aplicado
1
CAPIacuteTULO 1 INTRODUCcedilAtildeO
apenas em meios em que a sua estrutura natildeo apresenta centro de simetria
No efeito de Kerr a variaccedilatildeo no iacutendice de refraccedilatildeo do meio eacute proporcional ao
quadrado do campo eleacutetrico aplicado e portanto proporcional agrave intensidade da
luz e ao contraacuterio do efeito de Pockels ocorre dum modo geral como mais ou
menos intensidade em todos os materiais
O conhecimento das propriedades electrooacutepticas de um material eacute fundamen-
tal na avaliaccedilatildeo das suas capacidades para o desenvolvimentos de dispositivos
moduladores de luz O presente trabalho de dissertaccedilatildeo consistiu no desenvolvi-
mento de uma bancada oacuteptica para a mediccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico base-
ado em teacutecnica interferomeacutetrica de mediccedilatildeo da diferenccedila de fase induzida por
efeito eletrooacuteptico
Neste trabalho seraacute inicialmente descrita a teoria e os caacutelculos necessaacuterios
para a mediccedilatildeo do efeito electrooacuteptico atraveacutes dos seus coeficientes natildeo-lineares
Sendo de seguida apresentados alguns sistemas de mediccedilatildeo deste efeito e o seu
respectivo funcionamento No capiacutetulo seguinte seraacute descrito o funcionamento
do sistema desenvolvido o interferoacutemetro implementado o porta-amostras cons-
truiacutedo a eletroacutenica e os sistemas oacutepticos desenvolvidos que integram o sistema
bem como os caacutelculos finais para a obtenccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico do sis-
tema usado Por uacuteltimo as conclusotildees retiradas do trabalho desenvolvido bem
como as suas perspectivas futuras
2
Capiacutetulo
2Efeito Electrooacuteptico
Este capiacutetulo aborda do ponto de vista teoacuterico alguns aspectos relevantes para a
realizaccedilatildeo deste trabalho nomeadamente a propagaccedilatildeo da luz num meio as pro-
priedades da oacuteptica natildeo-linear e a alteraccedilatildeo no iacutendice de refraccedilatildeo linear em meios
anisotroacutepicos Estes conceitos permitiratildeo encontrar as expressotildees que determinam
os coeficientes natildeo-lineares
21 Oacuteptica Natildeo-Linear
Um dado material pode responder de forma natildeo-linear a um campo eleacutectrico
aplicado De um modo geral pode-se descrever a resposta da seguinte forma[4]
Pi = ε0
[χ
(1)ij Ej +χ(2)
ijkEjEk +χ(3)ijklEjEkEl +χ(N )
middotmiddotmiddot middot middot middot]
(21)
Onde P i eacute a polarizaccedilatildeo do meio ε0 eacute a permissidade eleacutectrica no vaacutecuo E
o campo eleacutectrico aplicado χ(1) a suscetibilidade eleacutectrica linear e χ(2) χ(3)
χ(n) as suscetibilidades natildeo lineares de segunda ordem de terceira ordem ateacute
N ordem sendo N um nuacutemero inteiro com i j k l um sistema de eixos de
laboratoacuterio com valores valores 1 2 e 3
Cada termo da equaccedilatildeo 21 estaacute associado a diferentes respostas do meio O
termo χ(1) estaacute associado ao iacutendice de refraccedilatildeo e absorccedilatildeo linear O termo χ(2) agrave
geraccedilatildeo de segunda harmoacutenica soma e diferenccedila de frequecircncias e o efeito elec-
trooacuteptico linear ou efeito de Pockels Este efeito eacute particularmente importante
3
CAPIacuteTULO 2 EFEITO ELECTROOacutePTICO
jaacute que permite a modulaccedilatildeo da luz De salientar que o tensor de terceira ordem
(χ(2)ijk) se reduz a dezoito elementos atendendo agraves simetrias resultantes de permu-
tas de iacutendices jaacute que χ(2)ijk = χ
(2)ikj = χ
(2)kij = χ
(2)jik = χ
(2)jki = χ
(2)kji Pode-se desta forma
representar atraveacutes da matriz
χ(2)ij =
χ
(2)11 χ
(2)12 χ
(2)13 χ
(2)14 χ
(2)15 χ
(2)16
χ(2)21 χ
(2)22 χ
(2)23 χ
(2)24 χ
(2)25 χ
(2)26
χ(2)31 χ
(2)32 χ
(2)33 χ
(2)34 χ
(2)35 χ
(2)36
Utilizando uma notaccedilatildeo condensada[5] ficamos com
χ(2)ijk = χ(2)
mk = com m =
1 quando ij = 11
2 quando ij = 22
3 quando ij = 33
4 quando ij = 2332
5 quando ij = 1331
6 quando ij = 1221
De notar que dependendo do meio soacute alguns dos elementos de χ(2)ijk seratildeo natildeo
nulos Para materiais que exibam centro de simetria o efeito electrooacuteptico linear
natildeo existe de todo sendo os elementos de χ(2)ijk nulos
O elemento χ(3) estaacute associado agrave geraccedilatildeo da terceira harmoacutenica soma e dife-
renccedila de frequecircncias e o efeito electrooacuteptico quadraacutetico ou efeito de Kerr que se
manifesta na variaccedilatildeo do iacutendice de refraccedilatildeo com o quadrado do campo eleacutectrico
aplicado
De salientar ainda que quanto maior o valor de ordem n mais difiacutecil se torna
observar os efeitos associados uma vez que estes se tornam cada vez menos inten-
sos
4
22 PROPAGACcedilAtildeO EM MEIOS ANISOTROacutePICOS
22 Propagaccedilatildeo em Meios Anisotroacutepicos
A propagaccedilatildeo de uma onda electromagneacutetica num meio pode ser descrita pelas
equaccedilotildees de Maxwell1 Para o caso de um meio homogeacuteneo isolante e neutro
pode-se escrever como
nabla middot ~E = 0 (22a)
nabla middot ~B = 0 (22b)
nablatimes ~E = minuspart~Bpartt
(22c)
nablatimes ~B = microεpart~Epartt
(22d)
Sendo ~B o campo magneacutetico ~E o campo eleacutectrico ε e micro a permissidade eleacutectrica
e permeabilidade magneacutetica do meio respectivamente
Tendo em conta que para um vector ~D geneacuterico
nablatimesnablatimes ~D = nabla(nabla middot ~D
)minusnabla2 ~D (23)
e
nablatimespart~Dpartt
=partnablatimes ~Dpartt
(24)
Comeccedilando pela equaccedilatildeo 22c
nablatimesnablatimes ~E = nablatimespart~Bpartt
(25)
Usando as propriedades matemaacuteticas das equaccedilotildees 23 e 24
nabla(nabla middot ~E
)minusnabla2~E =
partnablatimes ~Bpartt
(26)
Utilizando as equaccedilotildees 22a e 22d na equaccedilatildeo 26 verifica-se que
nabla2~E = microεpart2~E
partt2(27)
1James Clerk Maxwell foi um cientista escocecircs mais conhecido por ter combinado as teoriasdos campos da oacuteptica do magnetismo e da electricidade numa soacute e uacutenica teoria dando assimorigem as chamadas equaccedilotildees de Maxwell
5
CAPIacuteTULO 2 EFEITO ELECTROOacutePTICO
Obtendo-se desta maneira a equaccedilatildeo de onda para o campo eleacutectrico Analo-
gamente mas comeccedilando com a equaccedilatildeo 22d obteacutem-se para o campo magneacutetico
nabla2~B = microεpart2~B
partt2(28)
A sua velocidade de propagaccedilatildeo eacute dada por
v =1radicmicroε
(29)
Sendo que no vazio micro = micro0 e ε = ε0 o que resulta em v = c 3times 108ms
Resolvendo as equaccedilotildees 27 e 28 obtecircm-se as expressotildees para os campos eleacutec-
tricos e magneacuteticos que se propagam no meio
~E (~r t) = ~E0ei(~kmiddot~rminuswt
)(210)
e
~B (~r t) = ~B0ei(~kmiddot~rminuswt
)(211)
Onde ~r eacute o vector posiccedilatildeo ~k eacute o vector de onda que segue a direccedilatildeo de pro-
pagaccedilatildeo da onda w a frequecircncia angular e t o tempo Sendo que a parte real das
equaccedilotildees representa os seus respectivos campos A magnitude do vector ~k pode
ser escrita da seguinte maneira
k =2πλ
=wv
=wnc
(212)
Em que k eacute o nuacutemero de onda λ o comprimento de onda e n o iacutendice de
refraccedilatildeo
Escrevendo a parte real das equaccedilotildees 210 e 211 fica-se com
E = E0 cos(kr minuswt) (213)
e
B = B0 cos(kr minuswt) (214)
Manipulando a equaccedilatildeo 22c obtem-se
partEpartx
= minuspartBpartt
(215)
6
22 PROPAGACcedilAtildeO EM MEIOS ANISOTROacutePICOS
Utilizando a equaccedilatildeo 215 nas equaccedilotildees 213 e 213
kE0 = wB0 (216)
Usando a equaccedilatildeo 212 na equaccedilatildeo 216 verifica-se que
B0 =E0
v(217)
221 Vector de Poynting
O fluxo de energia (Wm2) dado pelo vector de Poynting2 (~S) pode ser escrito da
seguinte forma
~S =1micro~E times ~B (218)
A densidade de energia eleacutectrica ou a energia eleacutectrica armazenada por uni-
dade de volume (joulem3) a quantidade de energia contida num dado sistema
em relaccedilatildeo ao seu volume seraacute dada por
uE =12εE2 (219)
Agrave semelhanccedila da densidade de energia eleacutectrica a densidade de energia mag-
neacutetica (uB) eacute
uB =1
2microB2 (220)
Assim somando as equaccedilotildees 219 e 220 obtem-se a densidade de energia
total de uma onda electromagneacutetica
u =12εE2 +
12microB2 (221)
2John Henry Poynting foi um fiacutesico britacircnico autor de diversos trabalhos entre os quais um te-orema no qual se atribui um valor agrave taxa de fluxo de energia electromagneacutetica que ficou conhecidocomo vector de Poynting
7
CAPIacuteTULO 2 EFEITO ELECTROOacutePTICO
Substituindo as equaccedilotildees 29 e 217 na equaccedilatildeo 221 pode-se escrever a densi-
dade de energia total de uma onda electromagneacutetica num dado meio da seguinte
forma
u = εE2 (222)
Relacionando-se desta forma a densidade de energia com o campo eleacutectrico
De salientar que o campo magneacutetico e o campo eleacutectrico estatildeo relacionados atra-
veacutes da equaccedilatildeo 217
Considerando uma secccedilatildeo de aacuterea A (Fig 21) de um cubo com ∆x de lado
Figura 21 Cubo com secccedilatildeo de aacuterea A e ∆x de lado
A energia armazenada no cubo ou densidade de energia eacute igual a
∆U = uA∆x (223)
Sendo que a energia que atravessa a aacuterea A por unidade de tempo eacute
∆U∆t
=uA∆x∆xv
= uAv (224)
Assim a energia por unidade de tempo e aacuterea (Wm2) eacute igual a
uv = S (225)
Combinando a equaccedilatildeo 225 com a equaccedilatildeo 222 pode-se escrever a magnitude
do vector de Poynting da seguinte forma
S = εvE2 (226)
8
22 PROPAGACcedilAtildeO EM MEIOS ANISOTROacutePICOS
Substituindo a equaccedilatildeo 213 na equaccedilatildeo 225 a magnitude do vector de Poyn-
ting assume a seguinte forma
S = εvE20 cos2 (wt) (227)
Se na equaccedilatildeo 227 se fizer uma meacutedia no tempo obteacutem-se
〈S〉 = εvE20
langcos2 (wt)
rang(228)
Sendo quelangcos2 (wt)
rang= 1
2 tem-se que
I = 〈S〉 =12εvE2
0 =c
2nεE2
0 (229)
Sendo I a intensidade ou seja a potecircncia meacutedia por unidade de aacuterea que a
onda electromagneacutetica transporta
222 Elipsoiacutede dos Iacutendices
Nos meios anisotroacutepicos o iacutendice de refraccedilatildeo linear depende da direccedilatildeo da propa-
gaccedilatildeo da luz e do seu estado de polarizaccedilatildeo A resposta de um meio anisotroacutepico
eacute normalmente obtida atraveacutes do conceito de elipsoiacutede de iacutendices[5 6 7] que
a seguir seraacute descrita Ao se aplicar um campo eleacutectrico a um meio polarizaacutevel
este induz uma mudanccedila do estado de polarizaccedilatildeo descrito pelo deslocamento
eleacutectrico
~D = ε0~E + ~P (230)
Sendo
~P = ε0χ~E (231)
onde ε0 eacute a permissidade eleacutectrica no vazio ~P a polarizaccedilatildeo ~E o campo eleacutec-
trico ~D o deslocamento eleacutectrico e χ eacute o tensor das suscetibilidades Atraveacutes das
equaccedilotildees 230 e 231 tem-se que
~D = ε0~E(1 + χ) (232)
9
CAPIacuteTULO 2 EFEITO ELECTROOacutePTICO
Sendo que χ eacute dado por
χ =
χ11 χ12 χ13
χ21 χ22 χ23
χ31 χ32 χ33
(233)
Pelo teorema de eixos principais [7] seraacute possiacutevel escolher um sistema de co-
ordenadas onde apenas os elementos da diagonal principal sejam diferentes de
zero de tal forma que
χ =
χ11 0 0
0 χ22 0
0 0 χ33
(234)
Assim a equaccedilatildeo 231 pode ser escrita na forma no novo sistema de eixosP1
P2
P3
= ε0
χ11 0 0
0 χ22 0
0 0 χ33
E1
E2
E3
(235)
Da equaccedilatildeo 235 pode-se ainda retirar o seguinte
P1 = ε0χ11E1 D1 = ε11E1 ε11 = ε0 (1 +χ11)
P2 = ε0χ22E2 D2 = ε22E2 ε22 = ε0 (1 +χ22) (236)
P3 = ε0χ33E3 D3 = ε33E3 ε33 = ε0 (1 +χ33)
Combinando as equaccedilotildees 219 e 236 pode-se reescrever a densidade de energia
armazenada no campo eleacutectrico como
uE =12~E middot ~D (237)
Usando as expressotildees da equaccedilatildeo 236 para manipular a equaccedilatildeo 237 obtem-
se
D21
ε11+D2
2
ε22+D2
3
ε33= 2uE (238)
10
22 PROPAGACcedilAtildeO EM MEIOS ANISOTROacutePICOS
Substituiacutendo na equaccedilatildeo 238 D1 D2 e D3 pelos seus respectivos eixos em
coordenadas cartesianas tem-se que
x2
ε11ε0+
y2
ε22ε0+
z2
ε33ε0= 1 (239)
sendo x = D1radic2ε0UE
y = D2radic2ε0UE
e z = D3radic2ε0UE
Reescrevendo a equaccedilatildeo 239 fazendo n2x = ε11ε0 n2
y = ε22ε0 e n2z = ε33ε0
obteacutem-se forma a equaccedilatildeo do elipsoide de iacutendices
x2
n2x
+y2
n2y
+z2
n2z
= 1 (240)
Sendo nx ny e nz o iacutendice de refraccedilatildeo na sua respectiva direccedilatildeo como demons-
tra a figura 22
Figura 22 Ilustraccedilatildeo do elipsoiacutede de iacutendices (retirado de [7])
11
CAPIacuteTULO 2 EFEITO ELECTROOacutePTICO
223 Coeficientes Natildeo-Lineares
Quando eacute aplicado um campo eleacutectrico ao meio o elipsoiacutede de iacutendices pode
mudar a sua forma e orientaccedilatildeo no espaccedilo de tal forma que a equaccedilatildeo de elipsoide
de iacutendices passa a ser escrita de um modo geral como
( 1n2
)1x2 +
( 1n2
)2y2 +
( 1n2
)3z2 + 2
( 1n2
)4xy + 2
( 1n2
)5xz+ 2
( 1n2
)6yz = 1 (241)
Quando o campo eleacutectrico aplicado eacute nulo as equaccedilotildees 240 e 241 tecircm de ser
equivalentes pelo que para E = 0 tem-se
( 1n2
)1
=1
n2x( 1
n2
)2
=1
n2y( 1
n2
)3
=1
n2z( 1
n2
)4
=( 1n2
)5
=( 1n2
)6
= 0
(242)
Desta forma quando se aplica um campo eleacutectrico (E) verifica-se uma variaccedilatildeo
nos coeficientes(
1n2
)i Esta variaccedilatildeo induzida pelo efeito electrooacuteptico pode entatildeo
ser descrita atraveacutes de [8]
∆
( 1n2
)i
=3sumj=1
rijEj com i = 1 6 (243)
Sendo rij o coeficiente electrooacuteptico e E a magnitude do campo eleacutectrico apli-
cado
12
22 PROPAGACcedilAtildeO EM MEIOS ANISOTROacutePICOS
A equaccedilatildeo 243 tambeacutem pode ser escrita como
∆
( 1n2
)1
∆
( 1n2
)2
∆
( 1n2
)3
∆
( 1n2
)4
∆
( 1n2
)5
∆
( 1n2
)6
=
r11 r12 r13
r21 r22 r23
r31 r32 r33
r41 r42 r43
r51 r52 r53
r61 r62 r63
E1
E2
E3
(244)
Nesta conformidade o coeficiente electrooacuteptico pode ser escrito como
rij = minus 2
n3ij
[partnijpartEj
](245)
A diferenccedila de fase ∆φ resultante da variaccedilatildeo no iacutendice de refraccedilatildeo ∆n seraacute
∆φ =2πlλ
∆n (246)
Em que o l eacute o caminho percorrido pela luz de comprimento de onda λ no
meio Sendo a variaccedilatildeo no iacutendice de refraccedilatildeo devida aos efeitos electrooacutepticos
pode-se escrever
|∆n| =rno
3
2Voh
(247)
para o efeito electrooacuteptico linear e
|∆n| =sn3o
2
(Voh
)2(248)
para o efeito electrooacuteptico quadraacutetico
Onde os coefeciecircntes electrooacutepticos linear e quadraacutetico satildeo respectivamente
r e s Vo eacute o potencial eleacutectrico aplicado entre os eleacutetrodos que distam entre si a
uma distacircncia h criando assim o campo eleacutectrico aplicado
13
Capiacutetulo
3Mediccedilatildeo do Efeito Electrooacuteptico
Neste capiacutetulo satildeo apresentadas as teacutecnicas mais comuns utilizadas para a me-
diccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico destacando-se dois tipos de interferoacutemetros o
tradicional e os de interferometria de dois feixes
31 Meacutetodo Tradicional
Um dos meacutetodos mais usados para medir o efeito eletrooacuteptico foi o proposto por
Henry [9] em 1986 Esta teacutecnica ilustrada na Fig31 baseia-se na alteraccedilatildeo do
estado de polarizaccedilatildeo de um feixe linearmente polarizado quando este atravessa
o meio Esta alteraccedilatildeo ocorre devido agrave birrefrigecircncia induzida por um campo
eleacutetrico aplicado e agrave atividade oacuteptica do meio A montagem eacute composta por uma
fonte de luz (S) um monocromador (M) uma lente (L) um diafragma (D) dois
polarizadores (P1 e P2) um cristal (BSO) de espessura d ao qual eacute aplicado um
campo eleacutetrico (E) e um fotomultiplicador (FM) ligado a um sistema de aquisiccedilatildeo
de dados
O procedimento experimental em si consiste no seguinte para um dado estado
de polarizaccedilatildeo do feixe incidente imposto pelo P1 vai-se alterando a posiccedilatildeo
angular do P2 de forma a encontrar as intensidades maacutexima e miacutenima e desta
forma calcular-se a visibilidade (ν) atraveacutes de [9]
νθ =Imax minus IminImax + Imin
(31)
15
CAPIacuteTULO 3 MEDICcedilAtildeO DO EFEITO ELECTROOacutePTICO
Figura 31 Montagem experimental proposta por Henry e a sua equipa (adaptadode [9])
De seguida altera-se P1 para a posiccedilatildeo angular de 45 e repete-se o procedi-
mento anterior Somando o quadrado das duas visibilidades obtidas tem-se que
[9]
ν2θ + ν2
θ+45 = 1 +
1minus δ2
2
sen(φ2 )φ2
2
2
(32)
sendo
δ =2πλn3rEyd (33)
e
φ =radicδ2 + ρ2 (34)
Sendo δ a diferenccedila de fase originada pela birrefringecircncia λ o comprimento
de onda do feixe no vaacutecuo ρ a diferenccedila de fase associada agrave actividade oacuteptica n o
iacutendice de refraccedilatildeo sem campo eleacutetrico aplicado Ey o campo eleacutectrico aplicado e
d a espessura do cristal na direccedilatildeo do campo eleacutectrico aplicado Destas equaccedilotildees
pode-se calcular o coeficiente electrooacuteptico r
Para o caso de φ pequenos
sen(φ2 )φ2
2
1 pelo que
ν2θ + ν2
θ+45 1 +(1minus δ
2
2
)2
(35)
Natildeo sendo nesta situaccedilatildeo necessaacuteria a actividade oacuteptica ρ Esta teacutecnica apre-
senta um erro de mediccedilatildeo de 10 a 15 em relaccedilatildeo ao valor tabelado
16
32 MEacuteTODOS POR INTERFEROMETRIA
32 Meacutetodos por Interferometria
321 Interferometria Oacuteptica
Quando duas ondas de uma mesma frequecircncia se sobrepotildeem num dado ponto
formam uma nova onda cuja amplitude eacute o resultado da soma da amplitude das
duas ondas iniciais em cada instante nesse ponto Quando a soma da duas ondas
resulta numa amplitude maior diz-se que houve interferecircncia construtiva quando
resulta numa amplitude inferior diz-se que ocorreu interferecircncia destrutiva
Supondo que uma das ondas tem a forma E1ei(φ1minuswt) e a outra forma E2e
i(φ2minuswt)
sendo E1 e E2 as amplitudes dos respetivos campos eleacutetricos φ1 e φ2 as fases
iniciais w a frequecircncia angular e t o tempo a onda resultante seraacute descrita por
[10]
ET = E1ei(φ1minuswt) +E2e
i(φ2minuswt) (36)
Se φ1 minusφ2 = 2Nπ com N = 012 entatildeo as duas ondas estaratildeo em fase e daacute-
se uma interferecircncia construtiva perfeita Se φ1 minusφ2 = (2N + 1)π e E1 = E2 entatildeo
as duas ondas estaratildeo em oposiccedilatildeo de fase e daacute-se uma interferecircncia destrutiva
completa Estas situaccedilotildees extremas encontram-se ilustradas na figura 32
Figura 32 Ilustraccedilatildeo de uma interferecircncia construtiva perfeita (a) e destrutivacompleta (b)
Matematicamente a coerecircncia eacute uma medida da correlaccedilatildeo entre as ondas
Quanto mais construtiva for a interferecircncia maior seraacute a coerecircncia Fisicamente
a coerecircncia eacute uma medida do quatildeo constante a diferenccedila de fase permanece entre
17
CAPIacuteTULO 3 MEDICcedilAtildeO DO EFEITO ELECTROOacutePTICO
as duas ondas A coerecircncia eacute usualmente medida num padratildeo de franjas de in-
terferecircncia atraveacutes da visibilidade de franja (ν) que pode ser experimentalmente
calculada atraveacutes de [10]
ν =Imax minus IminImax + Imin
= 1 coerecircncia total e contraste maacuteximo
0 lt ν lt 1 coerecircncia parcial
= 0 incoerecircncia total e contraste natildeo haacute franjas
(37)
Pode-se ver na Fig33 um exemplo da equaccedilatildeo 37 que representa a visibi-
lidade das franjas em funccedilatildeo da diferenccedila de fase entre duas ondas da mesma
frequecircncia que interferem Como a visibilidade das franjas depende da coerecircncia
das duas ondas qualquer diferenccedila iraacute traduzir-se numa diminuiccedilatildeo de visibili-
dade
Figura 33 Visibilidade num interferoacutemetro em funccedilatildeo da diferenccedila de fase entreduas ondas provenientes de ramos diferentes do interferoacutemetro (adaptado de[11])
Pode-se usar a interferometria para quantificar os efeitos electrooacutepticos natildeo
soacute linear mas tambeacutem o quadraacutetico (efeito de Kerr) Os interferoacutemetros mais
frequentemente utilizados para este efeito satildeo os interferoacutemetro de Michelson1 e1Albert Abraham Michelson foi um fiacutesico americano conhecido pela invenccedilatildeo do interferoacuteme-
tro de Michelson (1891) do seu trabalho na mediccedilatildeo da velocidade da luz e pelo seu trabalho naexperiecircncia de Michelson-Morley Em 1907 tornou-se o primeiro americano a receber o PreacutemioNobel da Fiacutesica
18
32 MEacuteTODOS POR INTERFEROMETRIA
o interferoacutemetro de Mach-Zehnder2
De salientar que as teacutecnicas interferomeacutetricas apresentam uma elevada sensibi-
lidade simplificaccedilatildeo na preparaccedilatildeo das amostras a estudar e uma menor sensibili-
dade a vibraccedilotildees mecacircnicas e a flutuaccedilotildees teacutermicas desde que estas ocorram com
a mesma intensidade em ambos os ramos do mesmo tamanho do interferoacutemetro
322 Interferoacutemetro de Mach-Zehnder
No interferoacutemetro de Mach-Zehnder (Fig 34) um separador de feixe divide o
feixe proveniente da fonte em dois feixes que vatildeo constituir os dois ramos do
interferoacutemetro o feixe-amostra e o feixe-referecircncia Ambos satildeo refletidos por um
espelho e ambos atravessam um novo separador de feixe antes de se juntarem de
novo e serem medidos nos detetores
Figura 34 Esquema de um interferoacutemetro de Mach-Zehnder (adaptado de [12])
Com os ramos agrave mesma distacircncia pode ainda observar-se que sem amostra
ambos os feixes vatildeo chegar em fase aos detetores havendo desta forma uma inter-
ferecircncia construtiva Ambos apresentaratildeo uma mudanccedila de fase correspondente
a λ devido ao facto de ambos sofrerem duas reflexotildees e uma transmissatildeo numa
placa de vidro(separador de feixe) ateacute chegarem aos detetores2Ludwig Zehnder foi um fiacutesico suiacuteccedilo e o inventor do interferoacutemetro de Mach-Zehnder Inter-
feroacutemetro esse depois aperfeiccediloado por Ludwig Mach
19
CAPIacuteTULO 3 MEDICcedilAtildeO DO EFEITO ELECTROOacutePTICO
Alterando o caminho oacuteptico do espelho do feixe-referecircncia em λ4 sem amos-
tra o feixe-amostra e o feixe-referecircncia vatildeo chegar com uma diferenccedila de fase de
λ2 ou seja vai haver uma interferecircncia destrutiva completa Isto porque o feixe-
referecircncia vai ter uma mudanccedila de fase de λ2 devido a uma reflexatildeo e duas trans-
missotildees provocadas pelos separadores de feixe Enquanto que o feixe-amostra
chegaraacute aos detetores com uma diferenccedila de fase de λ devido a duas reflexotildees
mais uma reflexatildeo com transmissatildeo no segundo separador de feixe Assim na
ausecircncia de amostra e desde que a diferenccedila de caminho oacuteptico ou retardaccedilatildeo
(δ) seja zero os feixes iratildeo interferir construtivamente [13]
Com a amostra colocada no caminho do feixe-amostra os feixes vatildeo chegar ao
detetor em diferentes situaccedilotildees de fase sendo possiacutevel determinar a diferenccedila de
fase provocada pela presenccedila da amostra
A intensidade do feixe (I) em ambos os detetores eacute descrita por [14]
I(δ) =12I(k)cos(2Nkδ) (38)
Com k o nuacutemero de onda (k = 2πλ) E fazendo δ = d com d = vt resulta
I(δ) =12I(k)cos(2Nk(vt)) (39)
323 Interferoacutemetro de Michelson
No interferoacutemetro do tipo Michelson um feixe de luz eacute dividido em dois que
percorrem caminhos diferentes para de seguida se recombinarem Apoacutes terem
percorrido caminhos diferentes o feixe resultante da recombinaccedilatildeo pode apresen-
tar um padratildeo de interferecircncia que depende da diferenccedila de caminhos oacutepticos
entre os feixes e que pode ser medido num detetor
A forma mais simples de implementar um interferoacutemetro de Michelson con-
siste em dois espelhos colocados entre si num plano perpendicular em que um
deles se pode mover na direccedilatildeo perpendicular agrave sua superfiacutecie refletora conforme
ilustrado na Fig35
Esse espelho iraacute movimentar-se num espaccedilo definido a uma velocidade cons-
tante Entre o espelho fixo e o espelho moacutevel estaacute um separador de feixe que
divide o feixe incidente inicial em dois de igual intensidade Aqui o feixe eacute parci-
almente refletido para um espelho e parcialmente transmitido para o outro
20
32 MEacuteTODOS POR INTERFEROMETRIA
Figura 35 Esquema de funcionamento de um interferoacutemetro de Michelson cominterferecircncia construtiva (a) e destrutiva (b) (adaptado de [15])
Assumindo que o separador de feixe eacute ideal e com uma reflectacircncia e transmi-
tacircncia de 50 se o espelho moacutevel se encontrar estacionaacuterio pode determinar-se
a intensidade do feixe num dado ponto do detetor Se a diferenccedila do caminho
oacuteptico ou retardaccedilatildeo (δ) for zero ou seja os espelhos estatildeo igualmente espaccedilados
do separador de feixe estes vatildeo percorrer a mesma distacircncia e interferir construti-
vamente pelo que a intensidade do feixe final eacute a soma das intensidades dos dois
feixes Nestas condiccedilotildees toda a luz que sai da fonte chega ao detetor
No caso do espelho moacutevel se deslocar uma distacircncia de λ4 a retardaccedilatildeo total
seraacute de λ2 pelo que os feixes estaratildeo desfasadas de 180ordm (π) Nestas condiccedilotildees ter-
se-aacute interferecircncia destrutiva completa na recombinaccedilatildeo dos feixes dando origem
agrave extinccedilatildeo total
Voltando a deslocar o espelho moacutevel de mais λ4 a diferenccedila do caminho
oacuteptico seraacute igual a λ e os dois feixes voltam a estar em fase havendo novamente
uma sobreposiccedilatildeo construtiva dos feixes
Com o espelho moacutevel a deslocar-se a uma velocidade constante o sinal do de-
tetor iraacute variar com uma forma perioacutedica sendo que atinge o seu maacuteximo quando
a retardaccedilatildeo (δ) for um muacuteltiplo inteiro de λ δ =Nλ
A expressatildeo da intensidade do feixe (I) no detector para o caso do interferoacute-
metro de Michelson eacute semelhante agrave equaccedilatildeo 38 para o interferoacutemetro de Mach-
Zehnder sendo que neste caso δ = 2d com d = vt jaacute que o feixe atravessa a
amostra duas vezes Nestas condiccedilotildees ter-se-aacute
I(δ) =12I(k)cos(4Nk(vt)) (310)
21
CAPIacuteTULO 3 MEDICcedilAtildeO DO EFEITO ELECTROOacutePTICO
22
Capiacutetulo
4Sistema Implementado
Este capiacutetulo descreve o sistema implementado para a mediccedilatildeo do coeficiente
electrooacuteptico usando a teacutecnica de interferoacutemetria de Michelson bem como a cali-
braccedilatildeo do mesmo
41 Interferoacutemetro
O sistema escolhido para a mediccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico baseia-se na teacutec-
nica de interferometria de Michelson (ver secccedilatildeo 323) onde se mediu a diferenccedila
de fase entre os ramos do interferoacutemetro Esta teacutecnica foi escolhida pela elevada
sensibilidade agrave diferenccedila de fase gerada entre os ramos do interferoacutemetro facili-
dade de preparaccedilatildeo das amostras e por ser menos sensiacutevel a vibraccedilotildees mecacircnicas
e a flutuaccedilotildees teacutermicas desde que estas ocorram com a mesma intensidade em
ambos os ramos do interferoacutemetro Para aleacutem das vantagens mencionadas e espe-
cificamente em comparaccedilatildeo com o interferoacutemetro mais usado o interferoacutemetro
do tipo Mach-Zehnder o interferoacutemetro de Michelson tem uma maior facilidade
de alinhamento dos espelhos e usa apenas um separador de feixe
A figura 41 esquematiza o sistema baseado no interferoacutemetro de Michelson
desenvolvido para a mediccedilatildeo do coeficiente eletrooacuteptico
23
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Figura 41 Esquematizaccedilatildeo do interferoacutemetro de Michelson e instrumentaccedilatildeoutilizada para a mediccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico em cristais
Como se pode ver no esquema da figura 41 o ramo do espelho vibrante fica
vazio enquanto que no ramo do espelho fixo se encontra a amostra entre dois
eleacutectrodos onde se aplicam um campo eleacutectrico E O sinal medido no detector
resulta da interferecircncia entre os feixes provenientes de cada ramo do interferoacute-
mentro dependendo da diferenccedila de fase entre os dois feixes Conforme referido
anteriormente a intensidade da luz (I) que chega ao detector eacute da ordem de [16]
I prop E21 +E2
2 + 2E1E2cos(∆φ) (41)
42 Electroacutenica Desenvolvida
421 Amplificador
Para o efeito electrooacuteptico se manisfestar eacute necessaacuterio aplicar-se uma tensatildeo eleacutec-
trica ao meio Uma vez que a tensatildeo de referecircncia fornecida pelo amplificador
lock-in utilizado eacute muito baixa para induzir efeito electrooacuteptico significativo por
volta dos 12V foi necessaacuterio construir um amplificador de tensatildeo (Fig 42)
24
42 ELECTROacuteNICA DESENVOLVIDA
Figura 42 Esquemaacutetico do amplificador de tensatildeo utilizado com base no ampli-ficador operacional LF356n
O amplificador construiacutedo conforme ilustra a figura 42 consiste numa mon-
tagem inversora de ganho variaacutevel com uma malha de controlo de offset e eacute
alimentado a plusmn12V
Assim o ganho G eacute determinado atraveacutes de
G = 1 +R2R1
(42)
Sendo R1 = 11kΩ R2 = 5kΩ R3 = 25kΩ e o amplificador em si utilizado foi
o LF356n
Obtendo-se desta forma um ganho de aproximadamente 55 Permitindo apli-
car uma tensatildeo de cerca de 66V ao cristal electrooacuteptico Uma vez que a tensatildeo
aplicada eacute baixa pode-se desprezar o efeito piezoeleacutectrico gerado na amostra e
que iria influenciar o valor do coeficiente electrooacuteptico medido
422 Gerador de Rampa
Para alimentar o excitador piezoeleacutectrico do espelho moacutevel foi utilizado um ge-
rador de sinais (Fig 43) de forma a induzir um deslocamento linear perioacutedico
na forma de rampa A frequecircncia de oscilaccedilatildeo cerca de 25Hz foi escolhida de
25
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
forma a ser suficientemente baixa para evitar fenoacutemenos de batimento com o sinal
de modulaccedilatildeo electrooacuteptico e suficientemente alta para que se consiga adquirir
dados em tempo uacutetil com uma tensatildeo variaacutevel entre os 4 e os 8V
Figura 43 Esquema eleacutectrico do gerador de rampa implementado baseado nocircuito temporizador NE555
Sendo R1 = 20kΩ R2 = 1kΩ e C1 = C2 = 47microF
O tempo de subida da rampa t1 eacute dado por
t1 = 0693(R1 +R2)C1 (43)
Enquanto que o tempo de descida t2 eacute
t2 = 0693R2C1 (44)
Obtendo assim um tempo de subida de 036s e um tempo de descida de 0033s
Assim a frequecircncia do gerador de rampa f seraacute dada por
f =1
t1 + t2=
144(R1 + 2R2)C1
(45)
O gerador de rampa foi construiacutedo aproveitando o espaccedilo livre no interior da
unidade de amplificaccedilatildeo onde se situa o amplificador
26
42 ELECTROacuteNICA DESENVOLVIDA
423 Seguidor de Tensatildeo
Devido agrave necessidade de acoplamento de impedacircncias entre o amplificador lock-
in e o osciloacutescopio natildeo foi possiacutevel a utilizaccedilatildeo de um repartidor coaxial que
repartisse o sinal proveniente do detector Assim de forma a se poder visuali-
zar o sinal proveniente do detector em simultacircneo com o sinal electrooacuteptico foi
necessaacuterio a construccedilatildeo de um seguidor de tensatildeo (Fig44)
Figura 44 Esquema do seguidor de tensatildeo utilizado construida com base nosamplifacores operacionais LF356n
Sendo que ambos os circuitos integrados foram alimentados por uma tensatildeo
positiva (V+) de 12V e uma negativa (Vminus) de minus12V Com R1 = R2 = 25kΩ Agrave
semelhanccedila do amplificador foi tambeacutem construida uma malha de controlo de
offset
Agrave semelhanccedila do gerador de rampa tambeacutem foi construido na unidade de
amplificaccedilatildeo e gerador de rampa como se pode ver na figura 45
27
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Figura 45 Imagem da unidade de amplificaccedilatildeo e geraccedilatildeo de rampa implemen-tada
43 Sistema Oacuteptico Desenvolvido
431 Espelho Vibrante
O espelho vibrante (Fig46) foi construiacutedo afixando um espelho a um disco pie-
zoeleacutectrico A vibraccedilatildeo do espelho iraacute fazer com que a distacircncia entre o divisor
de feixe e o espelho varie Fazendo deslocar a franja de interferecircncia em frente ao
detector permitindo a este medir as intensidades maacuteximas e miacutenimas das franjas
de interferecircncia (ver secccedilatildeo 323)
Figura 46 Imagem do espelho vibrante utilizado
28
43 SISTEMA OacutePTICO DESENVOLVIDO
432 Bancada Oacuteptica
De forma a colocar os componentes ao niacutevel do feixe do laser na mesa oacuteptica e a
tornar o sistema menos sensiacutevel a vibraccedilotildees mecacircnicas e flutuaccedilotildees teacutermicas os
componentes foram colocadas numa base quadrada de alumiacutenio
Figura 47 Imagem da bancada oacuteptica onde o interferoacutemetro de Michelson foiconstruiacutedo
Conforme se pode ver na figura 47 para completar o interferoacutemetro de Michel-
son para aleacutem dos componentes jaacute referidos foram ainda utilizados um separador
de feixe e um espelho (fixo) no suporte com uma lente oacuteptica agrave saiacuteda do mesmo
Faltando ainda o laser utilizado da Melles Griotreg que possui uma potecircncia de
635mW e um comprimento de onda de 6328nm
433 Detector
O detector utilizado foi um modelo 818-UVDB da Newport Corporationreg (Fig
48) de baixa potecircncia consistindo num fotodiacuteodo de siliacutecio capaz de operar entre
os 200 e os 1100nm As caracteriacutesticas principais deste detector encontram-se
listadas na tabela 433
29
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Tabela 41 Caracteriacutesticas principais do detector 818-UVDB [17]
Largura de Banda 200 a 1100(nm) Material Siliacutecio
Potecircncia
W λ(nm)
Incerteza de
λ(nm)
02 200 a 4008 200 a 219
Maacutexima Calibraccedilatildeo 2 220 a 349
005 400 a 11001 350 a 9494 950 a 1050
Densidade de02Wcm2 Aacuterea Activa 1cm2
Potecircncia Meacutedia
Energia Maacutexima05microJ
Diacircmetro113cm
de Pulso Activo
De forma a evitar que a luz ambiente interferisse nas medidas e para aumen-
tar a resoluccedilatildeo de mediccedilatildeo do perfil da franja de interferecircncia foi colocado um
diafragma com uma abertura no centro de 06mm conforme se pode ver na figura
48 reduzido desta maneira a aacuterea activa para 028 mm2
Figura 48 Imagem do detector e disco utilizado
Para a aquisiccedilatildeo do sinal electrooacuteptico e geraccedilatildeo de sinal electrooacuteptico de
referecircncia foi utilizado um osciloscoacutepio Lecroy Wavesufertrade422
30
43 SISTEMA OacutePTICO DESENVOLVIDO
434 Cristal Electrooacuteptico
Para a calibraccedilatildeo do sistema foi utilizado um cristal padratildeo de dihidrogenofosfato
de potaacutessio (KDP) Na tabela 42 pode-se observar algumas das propriedades
fiacutesicas desse cristal
Tabela 42 Propriedades fiacutesicas do cristal padratildeo KDP [18]
Material Simetria Densidade Classe Higroscopicidade
KDP Tetragonal (42m) 234gcm3 Uniaxial Higroscoacutepico
Uma vez que o cristal eacute uniaxial nx = ny = no e nz = ne sendo no e ne os
iacutendices de refraccedilatildeo ordinaacuterio e extraordinaacuterio do cristal KDP A figura 49 ilustra
o elipsoiacutede de iacutendices num cristal padratildeo KDP
Figura 49 Ilustraccedilatildeo de um cristal padratildeo KDP e seu respectivo elipsoiacutede deiacutendices
31
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Na Tabela 43 pode-se observar algumas das propriedades oacutepticas do cristal
padratildeo KDP
Tabela 43 Propriedades oacutepticas do cristal padratildeo KDP a 6328nm [7]
Material Foacutermula Quiacutemica Iacutendice de RefracccedilatildeoCoeficiente
Electrooacuteptico
KDPKH2PO4
no=15074 r41=86 pmV(λ = 6328nm) ne=14673 r63=106 pmV
Como se pode ver na tabela 42 o cristal do tipo KDP eacute higroscoacutepico sendo
assim necessaacuterio reduzir ao maacuteximo o contacto entre o cristal e a atmosfera para
evitar que as suas faces fiquem opacas interferindo assim na qualidade do feixe
transmitido
435 Porta Amostras
O porta amostras eacute constituiacutedo por uma base feita de latatildeo (Fig 410) onde se
coloca o cristal nivelado com o feixe laser Este suporte possui oito roscas para
parafusos M3 quatro em cima de forma a se fixar os encaixes laterais do porta
amostras e quatro em baixo de forma a afixar-se firmemente na bancada oacuteptica
Figura 410 Imagem da base do porta-amostras desenvolvido
32
43 SISTEMA OacutePTICO DESENVOLVIDO
De forma a aplicar-se a tensatildeo de excitaccedilatildeo ao cristal sem bloquear o feixe do
laser foram utilizadas duas placas de vidro com oacutexido de estanho dopado com
fluacuteor (FTO) Este permite que haja uma boa transparecircncia e conduccedilatildeo eleacutetrica
sendo usado em vaacuterios tipos de dispositivos como aplicaccedilotildees opto-eletroacutenicas
ecratildes touch screen filmes finos fotovoltaicos etc O oacutexido de estanho dopado
com fluacuteor [19] eacute reconhecido por ser altamente estaacutevel quimicamente inerte re-
siste a temperaturas elevadas e ao desgaste abrasivo sendo mais econoacutemico do
que o tradicional oacutexido de iacutendio e estanho (ITO)
De forma a garantir um bom contacto eleacutectrico entre o vidro FTO e o cristal
foram construidas duas peccedilas de afixaccedilatildeo idecircnticas (Fig 411) Trata-se de duas
peccedilas de alumiacutenio cada uma contendo uma abertura de forma a deixar passar
o feixe laser e dois rasgos para parafusos de forma a poder-se fixar no suporte e
desta maneira exercer uma pressatildeo constante sobre o cristal
Figura 411 Imagem das peccedilas de fixaccedilatildeo do cristal desenvolvidas com a vista defrente (a) e a vista de traacutes (b)
A ligaccedilatildeo eleacutectrica entre o sinal de referecircncia proveniente do amplificador ao
vidro FTO foi feita atraveacutes de uma cola condutora de prata de forma a assegurar
a ligaccedilatildeo oacutehmica entre o fio de cobre e a camada de FTO O cristal fica assim entre
duas placas de vidro FTO(Fig412)
33
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Figura 412 Imagem do porta Amostras desenvolvido
A figura 413 ilustra o sistema desenvolvido incluindo a bancada oacuteptica e
instrumentaccedilatildeo
Figura 413 Imagem do sistema desenvolvido para a mediccedilatildeo do efeito electrooacutep-tico
34
44 COEFICIENTE ELECTROOacutePTICO
44 Coeficiente Electrooacuteptico
Para o cristal utilizado o dihidrogenofosfato de potaacutessio (KDP) e para o efeito
electrooacuteptico linear a matriz de coeficientes electrooacutepticos eacute a seguinte
rij =
0 0 0
0 0 0
0 0 0
r41 0 0
0 r52 0
0 0 r63
com
i = 1 6
j = 123
Sendo que r41 = r52 pelo que existem apenas dois coeficientes independentes
o r41 e o r63
Usando a notaccedilatildeo condensada mencionada da secccedilatildeo 21 onde se aplica o
campo eleacutectrico (E) no plano do i (sendo i = m) enquanto que j eacute o eixo oacuteptico
Para o caso do KDP eacute costume utilizar o r63 Isto eacute aplicar o campo eleacutectrico nos
planos 12 ou 21 (ou seja i = 6) com o eixo oacuteptico no eixo 3 (j = 3) como demonstra
a figura 414
Figura 414 Ilustraccedilatildeo da configuraccedilatildeo utilizada para a mediccedilatildeo do coeficienter63 num cristal
35
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Para o caso do efeito electrooacuteptico quadraacutetico a matriz dos coeficientes elec-
trooacutepticos seraacute
sij =
s11 s12 s12 0 0 0
s12 s11 s12 0 0 0
s12 s12 s11 0 0 0
0 0 0 s11 minus s12 0 0
0 0 0 0 s11 minus s12 0
0 0 0 0 0 s11 minus s12
com i j = 1 6
45 Execuccedilatildeo Experimental
Para se medir o coeficiente electrooacuteptico aplica-se ao cristal uma tensatildeo com uma
frequecircncia de 2kHz frequecircncia essa que se revelou menos sensiacutevel aos ruiacutedos
ambientes sendo que o sinal electrooacuteptico teraacute a mesma frequecircncia Podendo-
se desta maneira atraveacutes de um amplificador de lock-in (modelo 393 da IthacoDynatrac) filtrar o sinal electrooacuteptico dos restantes sinais uma vez que a sua
frequecircncia eacute conhecida
A intensidade da equaccedilatildeo 41 eacute maacutexima quando cos(∆φ) = 1 e miacutenima quando
cos(∆φ) = minus1 Pelo que subtraindo estas duas equaccedilotildees
Imax minus Imin = 4E1E2 (46)
Assim combinando a equaccedilatildeo 41 com a equaccedilatildeo 46 obtem-se
I prop E21E
22 +
12
(Imax minus Imin)cos(∆φ) (47)
Juntando agora a equaccedilatildeo 246 agrave equaccedilatildeo 247 e tendo em conta que o feixe
passa duas vezes por cada ramo (=2l) a diferenccedila de fase para o efeito electrooacutep-
tico linear
∆φ = ∆φ0 +πrn3
oVoλ
2lh
cos(Ωt) (48)
Sendo ∆φ0 a diferenccedila de fase inicial sem o efeito electrooacuteptico
36
45 EXECUCcedilAtildeO EXPERIMENTAL
Substituindo o ∆φ da equaccedilatildeo 48 na equaccedilatildeo 47 a intensidade do sinal com
modulaccedilatildeo electrooacuteptica(Iseo) seraacute dado por
Iseo prop E21 +E2
2 +12
(Imax minus Imin)cos(∆φ0 +
πrn3oVoλ
2lh
cos(Ωt))
(49)
Usando cos(α plusmn β) = cos(α)cos(β)∓ sen(α) sen(β) e D = πrn3oVoλ
2lh fica-se com
Iseo prop E21 +E2
2+12
(Imax minus Imin)
[cos(∆φ0)cos(Dcos(Ωt)) minus sen(∆φ0) sen(D cos(Ωt))](410)
Como a modulaccedilatildeo electrooacuteptica eacute um efeito muito pequeno a equaccedilatildeo 410
pode-se escrever
Iseo asymp E21 +E2
2 +12
(Imax minus Imin) [cos(∆φ0)minusD cos(Ωt) sen(∆φ0)] (411)
Considerando soacute os termos de primeira ordem
Iseo asymp12
(Imax minus Imin) [cos(∆φ0)minusD cos(Ωt) sen(∆φ0)] (412)
A componente do sinal electrooacuteptico eacute entatildeo dado por
Iseo =12
(Imax minus Imin)D cos(Ωt) sen(∆φ0) (413)
Ou seja
Iseo =12
(Imax minus Imin)πrn3
oVoλ
2lh
cos(Ωt) sen(∆φ0) (414)
O acircngulo ∆φ0 varia linearmente com o tempo (t) a uma frequecircncia inferior
a Ω A franja de interferecircncia desloca-se continuamente em frente ao detector
devido a um dos espelho estar fixado num disco piezoeleacutectrico
37
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Na figura 415 pode-se ver uma exemplificaccedilatildeo do sinal no detector que incor-
pora o sinal da franja e electrooacuteptico dada pela equaccedilatildeo 414
Figura 415 Ilustraccedilatildeo do sinal de modulaccedilatildeo electrooacuteptica de um feixe de luzmedido num interferoacutemetro de Michelson
Uma vez que o sinal electrooacuteptico (cos(Ωt)) estaacute desfasado π2 do sinal da
franja ( sen(∆φ0)) A intensidade do sinal electrooacuteptico pode ser escrita como
Iseo asymp12
(Imax minus Imin)πrn3
oVoλ
2lh
∣∣∣ sen(∆φ0)∣∣∣ (415)
Assim a amplitude do sinal electrooacuteptico eacute
Iseo =12
(Imax minus Imin)πrn3
oVoλ
2lh
(416)
Pelo que o coeficiente electrooacuteptico linear seraacute dado por
r =|Iseo|
|Imax minus Imin|λ
πn3oVo
hl
(417)
38
46 RESULTADOS
Para o efeito electrooacuteptico quadraacutetico utilizando o procedimento anoacutelogo mas
a partir da equaccedilatildeo 248 em vez da equaccedilatildeo 247 O sinal electrooacuteptico quadraacutetico
Iseoq que ocorre ao dobro da frequecircncia de modulaccedilatildeo 2Ω eacute dado por
s =
∣∣∣Iseoq∣∣∣|Imax minus Imin|
2λ
πn3oV
2o
h2
l(418)
46 Resultados
Com o cristal de KDP devidamente alinhado no interferoacutemetro segundo o seu
eixo oacuteptico de maneira a se medir o coeficiente r63 Obtendo-se assim dois sinais
o sinal de franja e o sinal electrooacuteptico (Fig 416)
Figura 416 Padratildeo da franja produzida (a) e respectivos sinais de franja e elec-trooacuteptico obtidos para um cristal KDP padratildeo
De forma a se proceder a calibraccedilatildeo do sistema utilizou-se a equaccedilatildeo 417 na
forma
|Iseo||Imax minus Imin|
=πn3
o
λlhrVo (419)
39
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Usando o valor da razatildeo |Iseo ||ImaxminusImin|
em funccedilatildeo do potencial aplicado Vo pode-se
calcular o valor do coeficiente electrooacuteptico r atraveacutes do declive da recta obtida
Pode-se ver na figura 417 uma das rectas obtidas para o cristal utilizado na
calibraccedilatildeo do sistema
Figura 417 Razatildeo entre o sinal electrooacuteptico e a diferenccedila de intensidade defranjas em funccedilatildeo do potencial Vo aplicado ao cristal
A tabela 44 apresenta o valor do coeficiente electrooacuteptico obtido e respectiva
incerteza para o cristal de KDP tomando em conta os valores dos iacutendices de
refraccedilatildeo da tabela 43
Tabela 44 Valores e respectivas incertezas obtidas do coeficiente electrooacutepticopara o cristal KDP utilizado
Material Valor Padratildeo Valor Obtido Erro
KDPr63 = 106pmV r63 = 105plusmn 02pmV 1
(λ = 6328nm)
Como se pode ver na tabela 44 o resultado obtido situa-se muito proacuteximo
do teoacuterico encontrando-se dentro da incerteza obtida Os valores valores meacutedios
apresentam um desvio da ordem dos 02pmV
40
46 RESULTADOS
Apesar dos valores obtidos serem bastante positivos houve algumas dificul-
dades nomeadamente o vidro FTO que causou que o alinhamento fosse extrema-
mente complicado natildeo soacute pela sua espessura e dimensionamento como tambeacutem
pela refraccedilatildeo provocada no feixe laser Outro grande obstaacuteculo foi o alinhamento
do cristal uma vez que basta um ligeiro desvio no caminho oacuteptico para causar um
desalinhamento total algo que eacute agravado no interferoacutemetro do tipo Michelson
pelo facto de o feixe laser passar na amostra duas vezes
Apesar destas dificuldades o valor obtido para o coeficiente electrooacuteptico r63
foi de 105pmV valor esse muito proacuteximo do valor padratildeo da literatura que se
encontra nos 106pmV Assim pode-se considerar que o sistema desenvolvido
se encontra devidamente calibrado e pronto para futuras utilizaccedilotildees
41
Capiacutetulo
5Conclusotildees
O trabalho desenvolvido no decorrer desta dissertaccedilatildeo consistiu no desenvolvi-
mento de um sistema para a mediccedilatildeo do efeito electrooacuteptico aacuterea a ser ulilizada
na caracterizaccedilatildeo de novos materiais polimeacutericos para aplicaccedilatildeo em dispositivos
fotoacutenicos
Nesta conformidade foi desenhada construiacuteda e testado uma bancada oacuteptica
destinada agrave mediccedilatildeo do efeito electrooacuteptico baseado numa teacutecnica interferomeacute-
trica de mediccedilatildeo da diferenccedila de fase implementado atraveacutes de um interferoacutemetro
do tipo Michelson
O cristal escolhido para a calibraccedilatildeo do sistema desenvolvido foi um cristal de
KDP comercial tendo sido utilizado o coeficiente electrooacuteptico r63 como referecircn-
cia sendo o valor padratildeo de 106pmV
O sistema obtido permitiu medir um valor nominal de 105plusmn 02pmV com
um erro de aproximadamente 1 em relaccedilatildeo ao valor tabelado comprovando a
afericcedilatildeo do sistema para a mediccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico por transmissatildeo
O sistema desenvolvido estaacute portanto apto para futuras mediccedilotildees sendo ape-
nas necessaacuterio algumas alteraccedilotildees no porta-amostras mediante as dimensotildees e
forma da amostra a utilizar
Chegou-se ainda agrave conclusatildeo que para amostras como o cristal utilizado o
feixe laser passar duas vezes na amostra acaba por ser uma grande desvantagem
desvantagem essa inexistente para filmes polimeacutericos que ganham cada vez mais
importacircncia na aacuterea da fotoacutenica uma vez que satildeo materiais de grande interesse
cientiacutefico e tecnoloacutegico jaacute que podem ser utilizados no desenvolvimento de dispo-
sitivos oacutepticos nomeadamente moduladores de luz e memoacuterias oacutepticas
43
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46
Apecircndice
AApecircndice
A1 Desenhos Teacutecnicos
47
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311
23
35
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ccedilas
- Lista de Figuras
- Lista de Tabelas
- Introduccedilatildeo
- Efeito Electrooacuteptico
-
- Oacuteptica Natildeo-Linear
- Propagaccedilatildeo em Meios Anisotroacutepicos
-
- Vector de Poynting
- Elipsoiacutede dos Iacutendices
- Coeficientes Natildeo-Lineares
-
- Mediccedilatildeo do Efeito Electrooacuteptico
-
- Meacutetodo Tradicional
- Meacutetodos por Interferometria
-
- Interferometria Oacuteptica
- Interferoacutemetro de Mach-Zehnder
- Interferoacutemetro de Michelson
-
- Sistema Implementado
-
- Interferoacutemetro
- Electroacutenica Desenvolvida
-
- Amplificador
- Gerador de Rampa
- Seguidor de Tensatildeo
-
- Sistema Oacuteptico Desenvolvido
-
- Espelho Vibrante
- Bancada Oacuteptica
- Detector
- Cristal Electrooacuteptico
- Porta Amostras
-
- Coeficiente Electrooacuteptico
- Execuccedilatildeo Experimental
- Resultados
-
- Conclusotildees
- Bibliografia
- Apecircndice
-
- Desenhos Teacutecnicos
-
Abstract
A system for measuring the electro-optical activity of nonlinear-optical mate-
rials has been developed The system is based on a scanning Michelson interfer-
ometer working in transmission mode allowing the measurement of the phase
difference between the arms of the interferometer as a result of refractive index
change due to electro-optical effect induced in a sample through an applied exter-
nal electrical field The electro-optical coefficient to be measured can be chosen by
conveniently electroding and adequately aligning the sample in a proper sample
holder The system was calibrated with a standard nonlinear-optical potassium
dihydrogen phosphate crystal with respect to r63 electro-optical coefficient The
attained value of 105plusmn02pmV falls within the 1 of the expected standard val-
ues In addition the system revealed to be stable to overall environmental noise
This system will be used in the future for measuring the electro-optical coeffi-
cients of novel polymeric thin films containing nonlinear-optical chromophores
Keywords Optics Electro-optic effect Light modulation Interferometry Michel-
son interferometer
ix
Iacutendice
Lista de Figuras xiii
Lista de Tabelas xv
1 Introduccedilatildeo 1
2 Efeito Electrooacuteptico 3
21 Oacuteptica Natildeo-Linear 3
22 Propagaccedilatildeo em Meios Anisotroacutepicos 5
221 Vector de Poynting 7
222 Elipsoiacutede dos Iacutendices 9
223 Coeficientes Natildeo-Lineares 12
3 Mediccedilatildeo do Efeito Electrooacuteptico 15
31 Meacutetodo Tradicional 15
32 Meacutetodos por Interferometria 17
321 Interferometria Oacuteptica 17
322 Interferoacutemetro de Mach-Zehnder 19
323 Interferoacutemetro de Michelson 20
4 Sistema Implementado 23
41 Interferoacutemetro 23
42 Electroacutenica Desenvolvida 24
421 Amplificador 24
422 Gerador de Rampa 25
423 Seguidor de Tensatildeo 27
43 Sistema Oacuteptico Desenvolvido 28
431 Espelho Vibrante 28
432 Bancada Oacuteptica 29
433 Detector 29
434 Cristal Electrooacuteptico 31
xi
IacuteNDICE
435 Porta Amostras 32
44 Coeficiente Electrooacuteptico 35
45 Execuccedilatildeo Experimental 36
46 Resultados 39
5 Conclusotildees 43
Bibliografia 45
A Apecircndice 47A1 Desenhos Teacutecnicos 47
xii
Lista de Figuras
21 Cubo com secccedilatildeo de aacuterea A e ∆x de lado 8
22 Ilustraccedilatildeo do elipsoiacutede de iacutendices (retirado de [7]) 11
31 Montagem experimental proposta por Henry e a sua equipa (adaptado
de [9]) 16
32 Ilustraccedilatildeo de uma interferecircncia construtiva perfeita (a) e destrutiva
completa (b) 17
33 Visibilidade num interferoacutemetro em funccedilatildeo da diferenccedila de fase en-
tre duas ondas provenientes de ramos diferentes do interferoacutemetro
(adaptado de [11]) 18
34 Esquema de um interferoacutemetro de Mach-Zehnder (adaptado de [12]) 19
35 Esquema de funcionamento de um interferoacutemetro de Michelson com
interferecircncia construtiva (a) e destrutiva (b) (adaptado de [15]) 21
41 Esquematizaccedilatildeo do interferoacutemetro de Michelson e instrumentaccedilatildeo uti-
lizada para a mediccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico em cristais 24
42 Esquemaacutetico do amplificador de tensatildeo utilizado com base no ampli-
ficador operacional LF356n 25
43 Esquema eleacutectrico do gerador de rampa implementado baseado no
circuito temporizador NE555 26
44 Esquema do seguidor de tensatildeo utilizado construida com base nos
amplifacores operacionais LF356n 27
45 Imagem da unidade de amplificaccedilatildeo e geraccedilatildeo de rampa implementada 28
46 Imagem do espelho vibrante utilizado 28
47 Imagem da bancada oacuteptica onde o interferoacutemetro de Michelson foi
construiacutedo 29
48 Imagem do detector e disco utilizado 30
49 Ilustraccedilatildeo de um cristal padratildeo KDP e seu respectivo elipsoiacutede de
iacutendices 31
410 Imagem da base do porta-amostras desenvolvido 32
xiii
Lista de Figuras
411 Imagem das peccedilas de fixaccedilatildeo do cristal desenvolvidas com a vista de
frente (a) e a vista de traacutes (b) 33
412 Imagem do porta Amostras desenvolvido 34
413 Imagem do sistema desenvolvido para a mediccedilatildeo do efeito electrooacuteptico 34
414 Ilustraccedilatildeo da configuraccedilatildeo utilizada para a mediccedilatildeo do coeficiente r63
num cristal 35
415 Ilustraccedilatildeo do sinal de modulaccedilatildeo electrooacuteptica de um feixe de luz
medido num interferoacutemetro de Michelson 38
416 Padratildeo da franja produzida (a) e respectivos sinais de franja e elec-
trooacuteptico obtidos para um cristal KDP padratildeo 39
417 Razatildeo entre o sinal electrooacuteptico e a diferenccedila de intensidade de franjas
em funccedilatildeo do potencial Vo aplicado ao cristal 40
xiv
Lista de Tabelas
41 Caracteriacutesticas principais do detector 818-UVDB [17] 30
42 Propriedades fiacutesicas do cristal padratildeo KDP [18] 31
43 Propriedades oacutepticas do cristal padratildeo KDP a 6328nm [7] 32
44 Valores e respectivas incertezas obtidas do coeficiente electrooacuteptico
para o cristal KDP utilizado 40
xv
Lista de Siacutembolos
~S - Vector de Poynting
ε - Permissidade eleacutectrica
micro - Permeabilidade eleacutectrica
λ - Comprimento de onda
φ - Fase
ν - Visibilidade
δ - Retardaccedilatildeo
Ω - Frequecircncia de modulaccedilatildeo
χ(1) - Suscetibilidade eleacutectrica linear
χ(2) - Suscetibilidade eleacutectrica de segunda ordem
χ(3) - Suscetibilidade eleacutectrica de terceira ordem
ε0 - Permissidade eleacutectrica do vazio
B - Campo magneacutetico
D - Deslocamento eleacutectrico
E - Campo eleacutectrico
I - Intensidade
P - Polarizaccedilatildeo
Vo - Potencial eleacutectrico
c - Velocidade da luz no vazio
h - Distacircncia entre os eleacutetrodos
xvii
LISTA DE SIacuteMBOLOS
k - Nuacutemero de onda
l - Caminho percorrido pela luz num meio
n - Iacutendice de refraccedilatildeo
ne - Iacutendice de refraccedilatildeo extraordinaacuterio
no - Iacutendice de refraccedilatildeo ordinaacuterio
r - Coeficiente electrooacuteptico linear
s - Coeficiente electrooacuteptico quadraacutetico
u - Densidade de energia
w - Frequecircncia angular
xviii
Capiacutetulo
1Introduccedilatildeo
A fibra oacuteptica eacute hoje amplamente utilizada nas redes de telecomunicaccedilatildeo em subs-
tituiccedilatildeo dos tradicionais cabos eleacutectricos por permitir transportar uma grande
quantidade de informaccedilatildeo a alta velocidade e com perdas reduzidas sem ser
afetada pelo ruiacutedo eletromagneacutetico Por outro lado a transmissatildeo de informaccedilatildeo
atraveacutes da fibra oacuteptica requer o desenvolvimento de dispositivos capazes de pro-
cessar sinal oacuteptico tais como amplificadores comutadores e moduladores de luz
Eacute aqui que o efeito electrooacuteptico assume um papel de relevo jaacute que possibilita a
modulaccedilatildeo de luz a frequecircncias da ordem do gigahertz [1 2 3]
O efeito electrooacuteptico tambeacutem conhecido por efeito de Pockels1 consiste na
variaccedilatildeo do iacutendice de refraccedilatildeo de um meio quando a este eacute aplicado um campo
eleacutetrico externo Esta alteraccedilatildeo no iacutendice de refraccedilatildeo eacute o resultado de forccedilas elec-
trostaacuteticas que deformam as moleacuteculas (alteraccedilatildeo de posiccedilatildeo orientaccedilatildeo ou forma)
do meio que estaacute na origem de uma alteraccedilatildeo no momento dipolar Distinguem-
se dois tipos de efeito eletrooacuteptico o linear (efeito Pockels) e o quadraacutetico (efeito
Kerr2)
O efeito de Pockels estaacute na origem da criaccedilatildeo de uma birrefringecircncia ∆n
no meio oacuteptico proporcional ao campo eleacutetrico aplicado Este efeito observa-se
1Friedrich Carl Alwin Pockels foi um fiacutesico alematildeo que em 1893 descobriu que se for aplicadoum campo eleacutectrico estaacutevel a certos materiais birrefrigentes estes vatildeo sofrer uma variaccedilatildeo noiacutendice de refraccedilatildeo proporcional agrave forccedila do campo aplicado Este coeficiente de proporcionalidadeestaacute entre os 10times 10minus10V minus1 e os 10times 10minus12V minus1 Ficando este fenoacutemeno conhecido como Efeito dePockels
2John Kerr foi um fiacutesico escocecircs e um pioneiro no campo da electro-oacuteptica nomeadamentepelo efeito de Kerr em 1875 que consiste numa variaccedilatildeo do iacutendice de refraccedilatildeo que varia quadraacuteti-camente com o campo eleacutetrico aplicado
1
CAPIacuteTULO 1 INTRODUCcedilAtildeO
apenas em meios em que a sua estrutura natildeo apresenta centro de simetria
No efeito de Kerr a variaccedilatildeo no iacutendice de refraccedilatildeo do meio eacute proporcional ao
quadrado do campo eleacutetrico aplicado e portanto proporcional agrave intensidade da
luz e ao contraacuterio do efeito de Pockels ocorre dum modo geral como mais ou
menos intensidade em todos os materiais
O conhecimento das propriedades electrooacutepticas de um material eacute fundamen-
tal na avaliaccedilatildeo das suas capacidades para o desenvolvimentos de dispositivos
moduladores de luz O presente trabalho de dissertaccedilatildeo consistiu no desenvolvi-
mento de uma bancada oacuteptica para a mediccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico base-
ado em teacutecnica interferomeacutetrica de mediccedilatildeo da diferenccedila de fase induzida por
efeito eletrooacuteptico
Neste trabalho seraacute inicialmente descrita a teoria e os caacutelculos necessaacuterios
para a mediccedilatildeo do efeito electrooacuteptico atraveacutes dos seus coeficientes natildeo-lineares
Sendo de seguida apresentados alguns sistemas de mediccedilatildeo deste efeito e o seu
respectivo funcionamento No capiacutetulo seguinte seraacute descrito o funcionamento
do sistema desenvolvido o interferoacutemetro implementado o porta-amostras cons-
truiacutedo a eletroacutenica e os sistemas oacutepticos desenvolvidos que integram o sistema
bem como os caacutelculos finais para a obtenccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico do sis-
tema usado Por uacuteltimo as conclusotildees retiradas do trabalho desenvolvido bem
como as suas perspectivas futuras
2
Capiacutetulo
2Efeito Electrooacuteptico
Este capiacutetulo aborda do ponto de vista teoacuterico alguns aspectos relevantes para a
realizaccedilatildeo deste trabalho nomeadamente a propagaccedilatildeo da luz num meio as pro-
priedades da oacuteptica natildeo-linear e a alteraccedilatildeo no iacutendice de refraccedilatildeo linear em meios
anisotroacutepicos Estes conceitos permitiratildeo encontrar as expressotildees que determinam
os coeficientes natildeo-lineares
21 Oacuteptica Natildeo-Linear
Um dado material pode responder de forma natildeo-linear a um campo eleacutectrico
aplicado De um modo geral pode-se descrever a resposta da seguinte forma[4]
Pi = ε0
[χ
(1)ij Ej +χ(2)
ijkEjEk +χ(3)ijklEjEkEl +χ(N )
middotmiddotmiddot middot middot middot]
(21)
Onde P i eacute a polarizaccedilatildeo do meio ε0 eacute a permissidade eleacutectrica no vaacutecuo E
o campo eleacutectrico aplicado χ(1) a suscetibilidade eleacutectrica linear e χ(2) χ(3)
χ(n) as suscetibilidades natildeo lineares de segunda ordem de terceira ordem ateacute
N ordem sendo N um nuacutemero inteiro com i j k l um sistema de eixos de
laboratoacuterio com valores valores 1 2 e 3
Cada termo da equaccedilatildeo 21 estaacute associado a diferentes respostas do meio O
termo χ(1) estaacute associado ao iacutendice de refraccedilatildeo e absorccedilatildeo linear O termo χ(2) agrave
geraccedilatildeo de segunda harmoacutenica soma e diferenccedila de frequecircncias e o efeito elec-
trooacuteptico linear ou efeito de Pockels Este efeito eacute particularmente importante
3
CAPIacuteTULO 2 EFEITO ELECTROOacutePTICO
jaacute que permite a modulaccedilatildeo da luz De salientar que o tensor de terceira ordem
(χ(2)ijk) se reduz a dezoito elementos atendendo agraves simetrias resultantes de permu-
tas de iacutendices jaacute que χ(2)ijk = χ
(2)ikj = χ
(2)kij = χ
(2)jik = χ
(2)jki = χ
(2)kji Pode-se desta forma
representar atraveacutes da matriz
χ(2)ij =
χ
(2)11 χ
(2)12 χ
(2)13 χ
(2)14 χ
(2)15 χ
(2)16
χ(2)21 χ
(2)22 χ
(2)23 χ
(2)24 χ
(2)25 χ
(2)26
χ(2)31 χ
(2)32 χ
(2)33 χ
(2)34 χ
(2)35 χ
(2)36
Utilizando uma notaccedilatildeo condensada[5] ficamos com
χ(2)ijk = χ(2)
mk = com m =
1 quando ij = 11
2 quando ij = 22
3 quando ij = 33
4 quando ij = 2332
5 quando ij = 1331
6 quando ij = 1221
De notar que dependendo do meio soacute alguns dos elementos de χ(2)ijk seratildeo natildeo
nulos Para materiais que exibam centro de simetria o efeito electrooacuteptico linear
natildeo existe de todo sendo os elementos de χ(2)ijk nulos
O elemento χ(3) estaacute associado agrave geraccedilatildeo da terceira harmoacutenica soma e dife-
renccedila de frequecircncias e o efeito electrooacuteptico quadraacutetico ou efeito de Kerr que se
manifesta na variaccedilatildeo do iacutendice de refraccedilatildeo com o quadrado do campo eleacutectrico
aplicado
De salientar ainda que quanto maior o valor de ordem n mais difiacutecil se torna
observar os efeitos associados uma vez que estes se tornam cada vez menos inten-
sos
4
22 PROPAGACcedilAtildeO EM MEIOS ANISOTROacutePICOS
22 Propagaccedilatildeo em Meios Anisotroacutepicos
A propagaccedilatildeo de uma onda electromagneacutetica num meio pode ser descrita pelas
equaccedilotildees de Maxwell1 Para o caso de um meio homogeacuteneo isolante e neutro
pode-se escrever como
nabla middot ~E = 0 (22a)
nabla middot ~B = 0 (22b)
nablatimes ~E = minuspart~Bpartt
(22c)
nablatimes ~B = microεpart~Epartt
(22d)
Sendo ~B o campo magneacutetico ~E o campo eleacutectrico ε e micro a permissidade eleacutectrica
e permeabilidade magneacutetica do meio respectivamente
Tendo em conta que para um vector ~D geneacuterico
nablatimesnablatimes ~D = nabla(nabla middot ~D
)minusnabla2 ~D (23)
e
nablatimespart~Dpartt
=partnablatimes ~Dpartt
(24)
Comeccedilando pela equaccedilatildeo 22c
nablatimesnablatimes ~E = nablatimespart~Bpartt
(25)
Usando as propriedades matemaacuteticas das equaccedilotildees 23 e 24
nabla(nabla middot ~E
)minusnabla2~E =
partnablatimes ~Bpartt
(26)
Utilizando as equaccedilotildees 22a e 22d na equaccedilatildeo 26 verifica-se que
nabla2~E = microεpart2~E
partt2(27)
1James Clerk Maxwell foi um cientista escocecircs mais conhecido por ter combinado as teoriasdos campos da oacuteptica do magnetismo e da electricidade numa soacute e uacutenica teoria dando assimorigem as chamadas equaccedilotildees de Maxwell
5
CAPIacuteTULO 2 EFEITO ELECTROOacutePTICO
Obtendo-se desta maneira a equaccedilatildeo de onda para o campo eleacutectrico Analo-
gamente mas comeccedilando com a equaccedilatildeo 22d obteacutem-se para o campo magneacutetico
nabla2~B = microεpart2~B
partt2(28)
A sua velocidade de propagaccedilatildeo eacute dada por
v =1radicmicroε
(29)
Sendo que no vazio micro = micro0 e ε = ε0 o que resulta em v = c 3times 108ms
Resolvendo as equaccedilotildees 27 e 28 obtecircm-se as expressotildees para os campos eleacutec-
tricos e magneacuteticos que se propagam no meio
~E (~r t) = ~E0ei(~kmiddot~rminuswt
)(210)
e
~B (~r t) = ~B0ei(~kmiddot~rminuswt
)(211)
Onde ~r eacute o vector posiccedilatildeo ~k eacute o vector de onda que segue a direccedilatildeo de pro-
pagaccedilatildeo da onda w a frequecircncia angular e t o tempo Sendo que a parte real das
equaccedilotildees representa os seus respectivos campos A magnitude do vector ~k pode
ser escrita da seguinte maneira
k =2πλ
=wv
=wnc
(212)
Em que k eacute o nuacutemero de onda λ o comprimento de onda e n o iacutendice de
refraccedilatildeo
Escrevendo a parte real das equaccedilotildees 210 e 211 fica-se com
E = E0 cos(kr minuswt) (213)
e
B = B0 cos(kr minuswt) (214)
Manipulando a equaccedilatildeo 22c obtem-se
partEpartx
= minuspartBpartt
(215)
6
22 PROPAGACcedilAtildeO EM MEIOS ANISOTROacutePICOS
Utilizando a equaccedilatildeo 215 nas equaccedilotildees 213 e 213
kE0 = wB0 (216)
Usando a equaccedilatildeo 212 na equaccedilatildeo 216 verifica-se que
B0 =E0
v(217)
221 Vector de Poynting
O fluxo de energia (Wm2) dado pelo vector de Poynting2 (~S) pode ser escrito da
seguinte forma
~S =1micro~E times ~B (218)
A densidade de energia eleacutectrica ou a energia eleacutectrica armazenada por uni-
dade de volume (joulem3) a quantidade de energia contida num dado sistema
em relaccedilatildeo ao seu volume seraacute dada por
uE =12εE2 (219)
Agrave semelhanccedila da densidade de energia eleacutectrica a densidade de energia mag-
neacutetica (uB) eacute
uB =1
2microB2 (220)
Assim somando as equaccedilotildees 219 e 220 obtem-se a densidade de energia
total de uma onda electromagneacutetica
u =12εE2 +
12microB2 (221)
2John Henry Poynting foi um fiacutesico britacircnico autor de diversos trabalhos entre os quais um te-orema no qual se atribui um valor agrave taxa de fluxo de energia electromagneacutetica que ficou conhecidocomo vector de Poynting
7
CAPIacuteTULO 2 EFEITO ELECTROOacutePTICO
Substituindo as equaccedilotildees 29 e 217 na equaccedilatildeo 221 pode-se escrever a densi-
dade de energia total de uma onda electromagneacutetica num dado meio da seguinte
forma
u = εE2 (222)
Relacionando-se desta forma a densidade de energia com o campo eleacutectrico
De salientar que o campo magneacutetico e o campo eleacutectrico estatildeo relacionados atra-
veacutes da equaccedilatildeo 217
Considerando uma secccedilatildeo de aacuterea A (Fig 21) de um cubo com ∆x de lado
Figura 21 Cubo com secccedilatildeo de aacuterea A e ∆x de lado
A energia armazenada no cubo ou densidade de energia eacute igual a
∆U = uA∆x (223)
Sendo que a energia que atravessa a aacuterea A por unidade de tempo eacute
∆U∆t
=uA∆x∆xv
= uAv (224)
Assim a energia por unidade de tempo e aacuterea (Wm2) eacute igual a
uv = S (225)
Combinando a equaccedilatildeo 225 com a equaccedilatildeo 222 pode-se escrever a magnitude
do vector de Poynting da seguinte forma
S = εvE2 (226)
8
22 PROPAGACcedilAtildeO EM MEIOS ANISOTROacutePICOS
Substituindo a equaccedilatildeo 213 na equaccedilatildeo 225 a magnitude do vector de Poyn-
ting assume a seguinte forma
S = εvE20 cos2 (wt) (227)
Se na equaccedilatildeo 227 se fizer uma meacutedia no tempo obteacutem-se
〈S〉 = εvE20
langcos2 (wt)
rang(228)
Sendo quelangcos2 (wt)
rang= 1
2 tem-se que
I = 〈S〉 =12εvE2
0 =c
2nεE2
0 (229)
Sendo I a intensidade ou seja a potecircncia meacutedia por unidade de aacuterea que a
onda electromagneacutetica transporta
222 Elipsoiacutede dos Iacutendices
Nos meios anisotroacutepicos o iacutendice de refraccedilatildeo linear depende da direccedilatildeo da propa-
gaccedilatildeo da luz e do seu estado de polarizaccedilatildeo A resposta de um meio anisotroacutepico
eacute normalmente obtida atraveacutes do conceito de elipsoiacutede de iacutendices[5 6 7] que
a seguir seraacute descrita Ao se aplicar um campo eleacutectrico a um meio polarizaacutevel
este induz uma mudanccedila do estado de polarizaccedilatildeo descrito pelo deslocamento
eleacutectrico
~D = ε0~E + ~P (230)
Sendo
~P = ε0χ~E (231)
onde ε0 eacute a permissidade eleacutectrica no vazio ~P a polarizaccedilatildeo ~E o campo eleacutec-
trico ~D o deslocamento eleacutectrico e χ eacute o tensor das suscetibilidades Atraveacutes das
equaccedilotildees 230 e 231 tem-se que
~D = ε0~E(1 + χ) (232)
9
CAPIacuteTULO 2 EFEITO ELECTROOacutePTICO
Sendo que χ eacute dado por
χ =
χ11 χ12 χ13
χ21 χ22 χ23
χ31 χ32 χ33
(233)
Pelo teorema de eixos principais [7] seraacute possiacutevel escolher um sistema de co-
ordenadas onde apenas os elementos da diagonal principal sejam diferentes de
zero de tal forma que
χ =
χ11 0 0
0 χ22 0
0 0 χ33
(234)
Assim a equaccedilatildeo 231 pode ser escrita na forma no novo sistema de eixosP1
P2
P3
= ε0
χ11 0 0
0 χ22 0
0 0 χ33
E1
E2
E3
(235)
Da equaccedilatildeo 235 pode-se ainda retirar o seguinte
P1 = ε0χ11E1 D1 = ε11E1 ε11 = ε0 (1 +χ11)
P2 = ε0χ22E2 D2 = ε22E2 ε22 = ε0 (1 +χ22) (236)
P3 = ε0χ33E3 D3 = ε33E3 ε33 = ε0 (1 +χ33)
Combinando as equaccedilotildees 219 e 236 pode-se reescrever a densidade de energia
armazenada no campo eleacutectrico como
uE =12~E middot ~D (237)
Usando as expressotildees da equaccedilatildeo 236 para manipular a equaccedilatildeo 237 obtem-
se
D21
ε11+D2
2
ε22+D2
3
ε33= 2uE (238)
10
22 PROPAGACcedilAtildeO EM MEIOS ANISOTROacutePICOS
Substituiacutendo na equaccedilatildeo 238 D1 D2 e D3 pelos seus respectivos eixos em
coordenadas cartesianas tem-se que
x2
ε11ε0+
y2
ε22ε0+
z2
ε33ε0= 1 (239)
sendo x = D1radic2ε0UE
y = D2radic2ε0UE
e z = D3radic2ε0UE
Reescrevendo a equaccedilatildeo 239 fazendo n2x = ε11ε0 n2
y = ε22ε0 e n2z = ε33ε0
obteacutem-se forma a equaccedilatildeo do elipsoide de iacutendices
x2
n2x
+y2
n2y
+z2
n2z
= 1 (240)
Sendo nx ny e nz o iacutendice de refraccedilatildeo na sua respectiva direccedilatildeo como demons-
tra a figura 22
Figura 22 Ilustraccedilatildeo do elipsoiacutede de iacutendices (retirado de [7])
11
CAPIacuteTULO 2 EFEITO ELECTROOacutePTICO
223 Coeficientes Natildeo-Lineares
Quando eacute aplicado um campo eleacutectrico ao meio o elipsoiacutede de iacutendices pode
mudar a sua forma e orientaccedilatildeo no espaccedilo de tal forma que a equaccedilatildeo de elipsoide
de iacutendices passa a ser escrita de um modo geral como
( 1n2
)1x2 +
( 1n2
)2y2 +
( 1n2
)3z2 + 2
( 1n2
)4xy + 2
( 1n2
)5xz+ 2
( 1n2
)6yz = 1 (241)
Quando o campo eleacutectrico aplicado eacute nulo as equaccedilotildees 240 e 241 tecircm de ser
equivalentes pelo que para E = 0 tem-se
( 1n2
)1
=1
n2x( 1
n2
)2
=1
n2y( 1
n2
)3
=1
n2z( 1
n2
)4
=( 1n2
)5
=( 1n2
)6
= 0
(242)
Desta forma quando se aplica um campo eleacutectrico (E) verifica-se uma variaccedilatildeo
nos coeficientes(
1n2
)i Esta variaccedilatildeo induzida pelo efeito electrooacuteptico pode entatildeo
ser descrita atraveacutes de [8]
∆
( 1n2
)i
=3sumj=1
rijEj com i = 1 6 (243)
Sendo rij o coeficiente electrooacuteptico e E a magnitude do campo eleacutectrico apli-
cado
12
22 PROPAGACcedilAtildeO EM MEIOS ANISOTROacutePICOS
A equaccedilatildeo 243 tambeacutem pode ser escrita como
∆
( 1n2
)1
∆
( 1n2
)2
∆
( 1n2
)3
∆
( 1n2
)4
∆
( 1n2
)5
∆
( 1n2
)6
=
r11 r12 r13
r21 r22 r23
r31 r32 r33
r41 r42 r43
r51 r52 r53
r61 r62 r63
E1
E2
E3
(244)
Nesta conformidade o coeficiente electrooacuteptico pode ser escrito como
rij = minus 2
n3ij
[partnijpartEj
](245)
A diferenccedila de fase ∆φ resultante da variaccedilatildeo no iacutendice de refraccedilatildeo ∆n seraacute
∆φ =2πlλ
∆n (246)
Em que o l eacute o caminho percorrido pela luz de comprimento de onda λ no
meio Sendo a variaccedilatildeo no iacutendice de refraccedilatildeo devida aos efeitos electrooacutepticos
pode-se escrever
|∆n| =rno
3
2Voh
(247)
para o efeito electrooacuteptico linear e
|∆n| =sn3o
2
(Voh
)2(248)
para o efeito electrooacuteptico quadraacutetico
Onde os coefeciecircntes electrooacutepticos linear e quadraacutetico satildeo respectivamente
r e s Vo eacute o potencial eleacutectrico aplicado entre os eleacutetrodos que distam entre si a
uma distacircncia h criando assim o campo eleacutectrico aplicado
13
Capiacutetulo
3Mediccedilatildeo do Efeito Electrooacuteptico
Neste capiacutetulo satildeo apresentadas as teacutecnicas mais comuns utilizadas para a me-
diccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico destacando-se dois tipos de interferoacutemetros o
tradicional e os de interferometria de dois feixes
31 Meacutetodo Tradicional
Um dos meacutetodos mais usados para medir o efeito eletrooacuteptico foi o proposto por
Henry [9] em 1986 Esta teacutecnica ilustrada na Fig31 baseia-se na alteraccedilatildeo do
estado de polarizaccedilatildeo de um feixe linearmente polarizado quando este atravessa
o meio Esta alteraccedilatildeo ocorre devido agrave birrefrigecircncia induzida por um campo
eleacutetrico aplicado e agrave atividade oacuteptica do meio A montagem eacute composta por uma
fonte de luz (S) um monocromador (M) uma lente (L) um diafragma (D) dois
polarizadores (P1 e P2) um cristal (BSO) de espessura d ao qual eacute aplicado um
campo eleacutetrico (E) e um fotomultiplicador (FM) ligado a um sistema de aquisiccedilatildeo
de dados
O procedimento experimental em si consiste no seguinte para um dado estado
de polarizaccedilatildeo do feixe incidente imposto pelo P1 vai-se alterando a posiccedilatildeo
angular do P2 de forma a encontrar as intensidades maacutexima e miacutenima e desta
forma calcular-se a visibilidade (ν) atraveacutes de [9]
νθ =Imax minus IminImax + Imin
(31)
15
CAPIacuteTULO 3 MEDICcedilAtildeO DO EFEITO ELECTROOacutePTICO
Figura 31 Montagem experimental proposta por Henry e a sua equipa (adaptadode [9])
De seguida altera-se P1 para a posiccedilatildeo angular de 45 e repete-se o procedi-
mento anterior Somando o quadrado das duas visibilidades obtidas tem-se que
[9]
ν2θ + ν2
θ+45 = 1 +
1minus δ2
2
sen(φ2 )φ2
2
2
(32)
sendo
δ =2πλn3rEyd (33)
e
φ =radicδ2 + ρ2 (34)
Sendo δ a diferenccedila de fase originada pela birrefringecircncia λ o comprimento
de onda do feixe no vaacutecuo ρ a diferenccedila de fase associada agrave actividade oacuteptica n o
iacutendice de refraccedilatildeo sem campo eleacutetrico aplicado Ey o campo eleacutectrico aplicado e
d a espessura do cristal na direccedilatildeo do campo eleacutectrico aplicado Destas equaccedilotildees
pode-se calcular o coeficiente electrooacuteptico r
Para o caso de φ pequenos
sen(φ2 )φ2
2
1 pelo que
ν2θ + ν2
θ+45 1 +(1minus δ
2
2
)2
(35)
Natildeo sendo nesta situaccedilatildeo necessaacuteria a actividade oacuteptica ρ Esta teacutecnica apre-
senta um erro de mediccedilatildeo de 10 a 15 em relaccedilatildeo ao valor tabelado
16
32 MEacuteTODOS POR INTERFEROMETRIA
32 Meacutetodos por Interferometria
321 Interferometria Oacuteptica
Quando duas ondas de uma mesma frequecircncia se sobrepotildeem num dado ponto
formam uma nova onda cuja amplitude eacute o resultado da soma da amplitude das
duas ondas iniciais em cada instante nesse ponto Quando a soma da duas ondas
resulta numa amplitude maior diz-se que houve interferecircncia construtiva quando
resulta numa amplitude inferior diz-se que ocorreu interferecircncia destrutiva
Supondo que uma das ondas tem a forma E1ei(φ1minuswt) e a outra forma E2e
i(φ2minuswt)
sendo E1 e E2 as amplitudes dos respetivos campos eleacutetricos φ1 e φ2 as fases
iniciais w a frequecircncia angular e t o tempo a onda resultante seraacute descrita por
[10]
ET = E1ei(φ1minuswt) +E2e
i(φ2minuswt) (36)
Se φ1 minusφ2 = 2Nπ com N = 012 entatildeo as duas ondas estaratildeo em fase e daacute-
se uma interferecircncia construtiva perfeita Se φ1 minusφ2 = (2N + 1)π e E1 = E2 entatildeo
as duas ondas estaratildeo em oposiccedilatildeo de fase e daacute-se uma interferecircncia destrutiva
completa Estas situaccedilotildees extremas encontram-se ilustradas na figura 32
Figura 32 Ilustraccedilatildeo de uma interferecircncia construtiva perfeita (a) e destrutivacompleta (b)
Matematicamente a coerecircncia eacute uma medida da correlaccedilatildeo entre as ondas
Quanto mais construtiva for a interferecircncia maior seraacute a coerecircncia Fisicamente
a coerecircncia eacute uma medida do quatildeo constante a diferenccedila de fase permanece entre
17
CAPIacuteTULO 3 MEDICcedilAtildeO DO EFEITO ELECTROOacutePTICO
as duas ondas A coerecircncia eacute usualmente medida num padratildeo de franjas de in-
terferecircncia atraveacutes da visibilidade de franja (ν) que pode ser experimentalmente
calculada atraveacutes de [10]
ν =Imax minus IminImax + Imin
= 1 coerecircncia total e contraste maacuteximo
0 lt ν lt 1 coerecircncia parcial
= 0 incoerecircncia total e contraste natildeo haacute franjas
(37)
Pode-se ver na Fig33 um exemplo da equaccedilatildeo 37 que representa a visibi-
lidade das franjas em funccedilatildeo da diferenccedila de fase entre duas ondas da mesma
frequecircncia que interferem Como a visibilidade das franjas depende da coerecircncia
das duas ondas qualquer diferenccedila iraacute traduzir-se numa diminuiccedilatildeo de visibili-
dade
Figura 33 Visibilidade num interferoacutemetro em funccedilatildeo da diferenccedila de fase entreduas ondas provenientes de ramos diferentes do interferoacutemetro (adaptado de[11])
Pode-se usar a interferometria para quantificar os efeitos electrooacutepticos natildeo
soacute linear mas tambeacutem o quadraacutetico (efeito de Kerr) Os interferoacutemetros mais
frequentemente utilizados para este efeito satildeo os interferoacutemetro de Michelson1 e1Albert Abraham Michelson foi um fiacutesico americano conhecido pela invenccedilatildeo do interferoacuteme-
tro de Michelson (1891) do seu trabalho na mediccedilatildeo da velocidade da luz e pelo seu trabalho naexperiecircncia de Michelson-Morley Em 1907 tornou-se o primeiro americano a receber o PreacutemioNobel da Fiacutesica
18
32 MEacuteTODOS POR INTERFEROMETRIA
o interferoacutemetro de Mach-Zehnder2
De salientar que as teacutecnicas interferomeacutetricas apresentam uma elevada sensibi-
lidade simplificaccedilatildeo na preparaccedilatildeo das amostras a estudar e uma menor sensibili-
dade a vibraccedilotildees mecacircnicas e a flutuaccedilotildees teacutermicas desde que estas ocorram com
a mesma intensidade em ambos os ramos do mesmo tamanho do interferoacutemetro
322 Interferoacutemetro de Mach-Zehnder
No interferoacutemetro de Mach-Zehnder (Fig 34) um separador de feixe divide o
feixe proveniente da fonte em dois feixes que vatildeo constituir os dois ramos do
interferoacutemetro o feixe-amostra e o feixe-referecircncia Ambos satildeo refletidos por um
espelho e ambos atravessam um novo separador de feixe antes de se juntarem de
novo e serem medidos nos detetores
Figura 34 Esquema de um interferoacutemetro de Mach-Zehnder (adaptado de [12])
Com os ramos agrave mesma distacircncia pode ainda observar-se que sem amostra
ambos os feixes vatildeo chegar em fase aos detetores havendo desta forma uma inter-
ferecircncia construtiva Ambos apresentaratildeo uma mudanccedila de fase correspondente
a λ devido ao facto de ambos sofrerem duas reflexotildees e uma transmissatildeo numa
placa de vidro(separador de feixe) ateacute chegarem aos detetores2Ludwig Zehnder foi um fiacutesico suiacuteccedilo e o inventor do interferoacutemetro de Mach-Zehnder Inter-
feroacutemetro esse depois aperfeiccediloado por Ludwig Mach
19
CAPIacuteTULO 3 MEDICcedilAtildeO DO EFEITO ELECTROOacutePTICO
Alterando o caminho oacuteptico do espelho do feixe-referecircncia em λ4 sem amos-
tra o feixe-amostra e o feixe-referecircncia vatildeo chegar com uma diferenccedila de fase de
λ2 ou seja vai haver uma interferecircncia destrutiva completa Isto porque o feixe-
referecircncia vai ter uma mudanccedila de fase de λ2 devido a uma reflexatildeo e duas trans-
missotildees provocadas pelos separadores de feixe Enquanto que o feixe-amostra
chegaraacute aos detetores com uma diferenccedila de fase de λ devido a duas reflexotildees
mais uma reflexatildeo com transmissatildeo no segundo separador de feixe Assim na
ausecircncia de amostra e desde que a diferenccedila de caminho oacuteptico ou retardaccedilatildeo
(δ) seja zero os feixes iratildeo interferir construtivamente [13]
Com a amostra colocada no caminho do feixe-amostra os feixes vatildeo chegar ao
detetor em diferentes situaccedilotildees de fase sendo possiacutevel determinar a diferenccedila de
fase provocada pela presenccedila da amostra
A intensidade do feixe (I) em ambos os detetores eacute descrita por [14]
I(δ) =12I(k)cos(2Nkδ) (38)
Com k o nuacutemero de onda (k = 2πλ) E fazendo δ = d com d = vt resulta
I(δ) =12I(k)cos(2Nk(vt)) (39)
323 Interferoacutemetro de Michelson
No interferoacutemetro do tipo Michelson um feixe de luz eacute dividido em dois que
percorrem caminhos diferentes para de seguida se recombinarem Apoacutes terem
percorrido caminhos diferentes o feixe resultante da recombinaccedilatildeo pode apresen-
tar um padratildeo de interferecircncia que depende da diferenccedila de caminhos oacutepticos
entre os feixes e que pode ser medido num detetor
A forma mais simples de implementar um interferoacutemetro de Michelson con-
siste em dois espelhos colocados entre si num plano perpendicular em que um
deles se pode mover na direccedilatildeo perpendicular agrave sua superfiacutecie refletora conforme
ilustrado na Fig35
Esse espelho iraacute movimentar-se num espaccedilo definido a uma velocidade cons-
tante Entre o espelho fixo e o espelho moacutevel estaacute um separador de feixe que
divide o feixe incidente inicial em dois de igual intensidade Aqui o feixe eacute parci-
almente refletido para um espelho e parcialmente transmitido para o outro
20
32 MEacuteTODOS POR INTERFEROMETRIA
Figura 35 Esquema de funcionamento de um interferoacutemetro de Michelson cominterferecircncia construtiva (a) e destrutiva (b) (adaptado de [15])
Assumindo que o separador de feixe eacute ideal e com uma reflectacircncia e transmi-
tacircncia de 50 se o espelho moacutevel se encontrar estacionaacuterio pode determinar-se
a intensidade do feixe num dado ponto do detetor Se a diferenccedila do caminho
oacuteptico ou retardaccedilatildeo (δ) for zero ou seja os espelhos estatildeo igualmente espaccedilados
do separador de feixe estes vatildeo percorrer a mesma distacircncia e interferir construti-
vamente pelo que a intensidade do feixe final eacute a soma das intensidades dos dois
feixes Nestas condiccedilotildees toda a luz que sai da fonte chega ao detetor
No caso do espelho moacutevel se deslocar uma distacircncia de λ4 a retardaccedilatildeo total
seraacute de λ2 pelo que os feixes estaratildeo desfasadas de 180ordm (π) Nestas condiccedilotildees ter-
se-aacute interferecircncia destrutiva completa na recombinaccedilatildeo dos feixes dando origem
agrave extinccedilatildeo total
Voltando a deslocar o espelho moacutevel de mais λ4 a diferenccedila do caminho
oacuteptico seraacute igual a λ e os dois feixes voltam a estar em fase havendo novamente
uma sobreposiccedilatildeo construtiva dos feixes
Com o espelho moacutevel a deslocar-se a uma velocidade constante o sinal do de-
tetor iraacute variar com uma forma perioacutedica sendo que atinge o seu maacuteximo quando
a retardaccedilatildeo (δ) for um muacuteltiplo inteiro de λ δ =Nλ
A expressatildeo da intensidade do feixe (I) no detector para o caso do interferoacute-
metro de Michelson eacute semelhante agrave equaccedilatildeo 38 para o interferoacutemetro de Mach-
Zehnder sendo que neste caso δ = 2d com d = vt jaacute que o feixe atravessa a
amostra duas vezes Nestas condiccedilotildees ter-se-aacute
I(δ) =12I(k)cos(4Nk(vt)) (310)
21
CAPIacuteTULO 3 MEDICcedilAtildeO DO EFEITO ELECTROOacutePTICO
22
Capiacutetulo
4Sistema Implementado
Este capiacutetulo descreve o sistema implementado para a mediccedilatildeo do coeficiente
electrooacuteptico usando a teacutecnica de interferoacutemetria de Michelson bem como a cali-
braccedilatildeo do mesmo
41 Interferoacutemetro
O sistema escolhido para a mediccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico baseia-se na teacutec-
nica de interferometria de Michelson (ver secccedilatildeo 323) onde se mediu a diferenccedila
de fase entre os ramos do interferoacutemetro Esta teacutecnica foi escolhida pela elevada
sensibilidade agrave diferenccedila de fase gerada entre os ramos do interferoacutemetro facili-
dade de preparaccedilatildeo das amostras e por ser menos sensiacutevel a vibraccedilotildees mecacircnicas
e a flutuaccedilotildees teacutermicas desde que estas ocorram com a mesma intensidade em
ambos os ramos do interferoacutemetro Para aleacutem das vantagens mencionadas e espe-
cificamente em comparaccedilatildeo com o interferoacutemetro mais usado o interferoacutemetro
do tipo Mach-Zehnder o interferoacutemetro de Michelson tem uma maior facilidade
de alinhamento dos espelhos e usa apenas um separador de feixe
A figura 41 esquematiza o sistema baseado no interferoacutemetro de Michelson
desenvolvido para a mediccedilatildeo do coeficiente eletrooacuteptico
23
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Figura 41 Esquematizaccedilatildeo do interferoacutemetro de Michelson e instrumentaccedilatildeoutilizada para a mediccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico em cristais
Como se pode ver no esquema da figura 41 o ramo do espelho vibrante fica
vazio enquanto que no ramo do espelho fixo se encontra a amostra entre dois
eleacutectrodos onde se aplicam um campo eleacutectrico E O sinal medido no detector
resulta da interferecircncia entre os feixes provenientes de cada ramo do interferoacute-
mentro dependendo da diferenccedila de fase entre os dois feixes Conforme referido
anteriormente a intensidade da luz (I) que chega ao detector eacute da ordem de [16]
I prop E21 +E2
2 + 2E1E2cos(∆φ) (41)
42 Electroacutenica Desenvolvida
421 Amplificador
Para o efeito electrooacuteptico se manisfestar eacute necessaacuterio aplicar-se uma tensatildeo eleacutec-
trica ao meio Uma vez que a tensatildeo de referecircncia fornecida pelo amplificador
lock-in utilizado eacute muito baixa para induzir efeito electrooacuteptico significativo por
volta dos 12V foi necessaacuterio construir um amplificador de tensatildeo (Fig 42)
24
42 ELECTROacuteNICA DESENVOLVIDA
Figura 42 Esquemaacutetico do amplificador de tensatildeo utilizado com base no ampli-ficador operacional LF356n
O amplificador construiacutedo conforme ilustra a figura 42 consiste numa mon-
tagem inversora de ganho variaacutevel com uma malha de controlo de offset e eacute
alimentado a plusmn12V
Assim o ganho G eacute determinado atraveacutes de
G = 1 +R2R1
(42)
Sendo R1 = 11kΩ R2 = 5kΩ R3 = 25kΩ e o amplificador em si utilizado foi
o LF356n
Obtendo-se desta forma um ganho de aproximadamente 55 Permitindo apli-
car uma tensatildeo de cerca de 66V ao cristal electrooacuteptico Uma vez que a tensatildeo
aplicada eacute baixa pode-se desprezar o efeito piezoeleacutectrico gerado na amostra e
que iria influenciar o valor do coeficiente electrooacuteptico medido
422 Gerador de Rampa
Para alimentar o excitador piezoeleacutectrico do espelho moacutevel foi utilizado um ge-
rador de sinais (Fig 43) de forma a induzir um deslocamento linear perioacutedico
na forma de rampa A frequecircncia de oscilaccedilatildeo cerca de 25Hz foi escolhida de
25
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
forma a ser suficientemente baixa para evitar fenoacutemenos de batimento com o sinal
de modulaccedilatildeo electrooacuteptico e suficientemente alta para que se consiga adquirir
dados em tempo uacutetil com uma tensatildeo variaacutevel entre os 4 e os 8V
Figura 43 Esquema eleacutectrico do gerador de rampa implementado baseado nocircuito temporizador NE555
Sendo R1 = 20kΩ R2 = 1kΩ e C1 = C2 = 47microF
O tempo de subida da rampa t1 eacute dado por
t1 = 0693(R1 +R2)C1 (43)
Enquanto que o tempo de descida t2 eacute
t2 = 0693R2C1 (44)
Obtendo assim um tempo de subida de 036s e um tempo de descida de 0033s
Assim a frequecircncia do gerador de rampa f seraacute dada por
f =1
t1 + t2=
144(R1 + 2R2)C1
(45)
O gerador de rampa foi construiacutedo aproveitando o espaccedilo livre no interior da
unidade de amplificaccedilatildeo onde se situa o amplificador
26
42 ELECTROacuteNICA DESENVOLVIDA
423 Seguidor de Tensatildeo
Devido agrave necessidade de acoplamento de impedacircncias entre o amplificador lock-
in e o osciloacutescopio natildeo foi possiacutevel a utilizaccedilatildeo de um repartidor coaxial que
repartisse o sinal proveniente do detector Assim de forma a se poder visuali-
zar o sinal proveniente do detector em simultacircneo com o sinal electrooacuteptico foi
necessaacuterio a construccedilatildeo de um seguidor de tensatildeo (Fig44)
Figura 44 Esquema do seguidor de tensatildeo utilizado construida com base nosamplifacores operacionais LF356n
Sendo que ambos os circuitos integrados foram alimentados por uma tensatildeo
positiva (V+) de 12V e uma negativa (Vminus) de minus12V Com R1 = R2 = 25kΩ Agrave
semelhanccedila do amplificador foi tambeacutem construida uma malha de controlo de
offset
Agrave semelhanccedila do gerador de rampa tambeacutem foi construido na unidade de
amplificaccedilatildeo e gerador de rampa como se pode ver na figura 45
27
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Figura 45 Imagem da unidade de amplificaccedilatildeo e geraccedilatildeo de rampa implemen-tada
43 Sistema Oacuteptico Desenvolvido
431 Espelho Vibrante
O espelho vibrante (Fig46) foi construiacutedo afixando um espelho a um disco pie-
zoeleacutectrico A vibraccedilatildeo do espelho iraacute fazer com que a distacircncia entre o divisor
de feixe e o espelho varie Fazendo deslocar a franja de interferecircncia em frente ao
detector permitindo a este medir as intensidades maacuteximas e miacutenimas das franjas
de interferecircncia (ver secccedilatildeo 323)
Figura 46 Imagem do espelho vibrante utilizado
28
43 SISTEMA OacutePTICO DESENVOLVIDO
432 Bancada Oacuteptica
De forma a colocar os componentes ao niacutevel do feixe do laser na mesa oacuteptica e a
tornar o sistema menos sensiacutevel a vibraccedilotildees mecacircnicas e flutuaccedilotildees teacutermicas os
componentes foram colocadas numa base quadrada de alumiacutenio
Figura 47 Imagem da bancada oacuteptica onde o interferoacutemetro de Michelson foiconstruiacutedo
Conforme se pode ver na figura 47 para completar o interferoacutemetro de Michel-
son para aleacutem dos componentes jaacute referidos foram ainda utilizados um separador
de feixe e um espelho (fixo) no suporte com uma lente oacuteptica agrave saiacuteda do mesmo
Faltando ainda o laser utilizado da Melles Griotreg que possui uma potecircncia de
635mW e um comprimento de onda de 6328nm
433 Detector
O detector utilizado foi um modelo 818-UVDB da Newport Corporationreg (Fig
48) de baixa potecircncia consistindo num fotodiacuteodo de siliacutecio capaz de operar entre
os 200 e os 1100nm As caracteriacutesticas principais deste detector encontram-se
listadas na tabela 433
29
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Tabela 41 Caracteriacutesticas principais do detector 818-UVDB [17]
Largura de Banda 200 a 1100(nm) Material Siliacutecio
Potecircncia
W λ(nm)
Incerteza de
λ(nm)
02 200 a 4008 200 a 219
Maacutexima Calibraccedilatildeo 2 220 a 349
005 400 a 11001 350 a 9494 950 a 1050
Densidade de02Wcm2 Aacuterea Activa 1cm2
Potecircncia Meacutedia
Energia Maacutexima05microJ
Diacircmetro113cm
de Pulso Activo
De forma a evitar que a luz ambiente interferisse nas medidas e para aumen-
tar a resoluccedilatildeo de mediccedilatildeo do perfil da franja de interferecircncia foi colocado um
diafragma com uma abertura no centro de 06mm conforme se pode ver na figura
48 reduzido desta maneira a aacuterea activa para 028 mm2
Figura 48 Imagem do detector e disco utilizado
Para a aquisiccedilatildeo do sinal electrooacuteptico e geraccedilatildeo de sinal electrooacuteptico de
referecircncia foi utilizado um osciloscoacutepio Lecroy Wavesufertrade422
30
43 SISTEMA OacutePTICO DESENVOLVIDO
434 Cristal Electrooacuteptico
Para a calibraccedilatildeo do sistema foi utilizado um cristal padratildeo de dihidrogenofosfato
de potaacutessio (KDP) Na tabela 42 pode-se observar algumas das propriedades
fiacutesicas desse cristal
Tabela 42 Propriedades fiacutesicas do cristal padratildeo KDP [18]
Material Simetria Densidade Classe Higroscopicidade
KDP Tetragonal (42m) 234gcm3 Uniaxial Higroscoacutepico
Uma vez que o cristal eacute uniaxial nx = ny = no e nz = ne sendo no e ne os
iacutendices de refraccedilatildeo ordinaacuterio e extraordinaacuterio do cristal KDP A figura 49 ilustra
o elipsoiacutede de iacutendices num cristal padratildeo KDP
Figura 49 Ilustraccedilatildeo de um cristal padratildeo KDP e seu respectivo elipsoiacutede deiacutendices
31
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Na Tabela 43 pode-se observar algumas das propriedades oacutepticas do cristal
padratildeo KDP
Tabela 43 Propriedades oacutepticas do cristal padratildeo KDP a 6328nm [7]
Material Foacutermula Quiacutemica Iacutendice de RefracccedilatildeoCoeficiente
Electrooacuteptico
KDPKH2PO4
no=15074 r41=86 pmV(λ = 6328nm) ne=14673 r63=106 pmV
Como se pode ver na tabela 42 o cristal do tipo KDP eacute higroscoacutepico sendo
assim necessaacuterio reduzir ao maacuteximo o contacto entre o cristal e a atmosfera para
evitar que as suas faces fiquem opacas interferindo assim na qualidade do feixe
transmitido
435 Porta Amostras
O porta amostras eacute constituiacutedo por uma base feita de latatildeo (Fig 410) onde se
coloca o cristal nivelado com o feixe laser Este suporte possui oito roscas para
parafusos M3 quatro em cima de forma a se fixar os encaixes laterais do porta
amostras e quatro em baixo de forma a afixar-se firmemente na bancada oacuteptica
Figura 410 Imagem da base do porta-amostras desenvolvido
32
43 SISTEMA OacutePTICO DESENVOLVIDO
De forma a aplicar-se a tensatildeo de excitaccedilatildeo ao cristal sem bloquear o feixe do
laser foram utilizadas duas placas de vidro com oacutexido de estanho dopado com
fluacuteor (FTO) Este permite que haja uma boa transparecircncia e conduccedilatildeo eleacutetrica
sendo usado em vaacuterios tipos de dispositivos como aplicaccedilotildees opto-eletroacutenicas
ecratildes touch screen filmes finos fotovoltaicos etc O oacutexido de estanho dopado
com fluacuteor [19] eacute reconhecido por ser altamente estaacutevel quimicamente inerte re-
siste a temperaturas elevadas e ao desgaste abrasivo sendo mais econoacutemico do
que o tradicional oacutexido de iacutendio e estanho (ITO)
De forma a garantir um bom contacto eleacutectrico entre o vidro FTO e o cristal
foram construidas duas peccedilas de afixaccedilatildeo idecircnticas (Fig 411) Trata-se de duas
peccedilas de alumiacutenio cada uma contendo uma abertura de forma a deixar passar
o feixe laser e dois rasgos para parafusos de forma a poder-se fixar no suporte e
desta maneira exercer uma pressatildeo constante sobre o cristal
Figura 411 Imagem das peccedilas de fixaccedilatildeo do cristal desenvolvidas com a vista defrente (a) e a vista de traacutes (b)
A ligaccedilatildeo eleacutectrica entre o sinal de referecircncia proveniente do amplificador ao
vidro FTO foi feita atraveacutes de uma cola condutora de prata de forma a assegurar
a ligaccedilatildeo oacutehmica entre o fio de cobre e a camada de FTO O cristal fica assim entre
duas placas de vidro FTO(Fig412)
33
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Figura 412 Imagem do porta Amostras desenvolvido
A figura 413 ilustra o sistema desenvolvido incluindo a bancada oacuteptica e
instrumentaccedilatildeo
Figura 413 Imagem do sistema desenvolvido para a mediccedilatildeo do efeito electrooacutep-tico
34
44 COEFICIENTE ELECTROOacutePTICO
44 Coeficiente Electrooacuteptico
Para o cristal utilizado o dihidrogenofosfato de potaacutessio (KDP) e para o efeito
electrooacuteptico linear a matriz de coeficientes electrooacutepticos eacute a seguinte
rij =
0 0 0
0 0 0
0 0 0
r41 0 0
0 r52 0
0 0 r63
com
i = 1 6
j = 123
Sendo que r41 = r52 pelo que existem apenas dois coeficientes independentes
o r41 e o r63
Usando a notaccedilatildeo condensada mencionada da secccedilatildeo 21 onde se aplica o
campo eleacutectrico (E) no plano do i (sendo i = m) enquanto que j eacute o eixo oacuteptico
Para o caso do KDP eacute costume utilizar o r63 Isto eacute aplicar o campo eleacutectrico nos
planos 12 ou 21 (ou seja i = 6) com o eixo oacuteptico no eixo 3 (j = 3) como demonstra
a figura 414
Figura 414 Ilustraccedilatildeo da configuraccedilatildeo utilizada para a mediccedilatildeo do coeficienter63 num cristal
35
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Para o caso do efeito electrooacuteptico quadraacutetico a matriz dos coeficientes elec-
trooacutepticos seraacute
sij =
s11 s12 s12 0 0 0
s12 s11 s12 0 0 0
s12 s12 s11 0 0 0
0 0 0 s11 minus s12 0 0
0 0 0 0 s11 minus s12 0
0 0 0 0 0 s11 minus s12
com i j = 1 6
45 Execuccedilatildeo Experimental
Para se medir o coeficiente electrooacuteptico aplica-se ao cristal uma tensatildeo com uma
frequecircncia de 2kHz frequecircncia essa que se revelou menos sensiacutevel aos ruiacutedos
ambientes sendo que o sinal electrooacuteptico teraacute a mesma frequecircncia Podendo-
se desta maneira atraveacutes de um amplificador de lock-in (modelo 393 da IthacoDynatrac) filtrar o sinal electrooacuteptico dos restantes sinais uma vez que a sua
frequecircncia eacute conhecida
A intensidade da equaccedilatildeo 41 eacute maacutexima quando cos(∆φ) = 1 e miacutenima quando
cos(∆φ) = minus1 Pelo que subtraindo estas duas equaccedilotildees
Imax minus Imin = 4E1E2 (46)
Assim combinando a equaccedilatildeo 41 com a equaccedilatildeo 46 obtem-se
I prop E21E
22 +
12
(Imax minus Imin)cos(∆φ) (47)
Juntando agora a equaccedilatildeo 246 agrave equaccedilatildeo 247 e tendo em conta que o feixe
passa duas vezes por cada ramo (=2l) a diferenccedila de fase para o efeito electrooacutep-
tico linear
∆φ = ∆φ0 +πrn3
oVoλ
2lh
cos(Ωt) (48)
Sendo ∆φ0 a diferenccedila de fase inicial sem o efeito electrooacuteptico
36
45 EXECUCcedilAtildeO EXPERIMENTAL
Substituindo o ∆φ da equaccedilatildeo 48 na equaccedilatildeo 47 a intensidade do sinal com
modulaccedilatildeo electrooacuteptica(Iseo) seraacute dado por
Iseo prop E21 +E2
2 +12
(Imax minus Imin)cos(∆φ0 +
πrn3oVoλ
2lh
cos(Ωt))
(49)
Usando cos(α plusmn β) = cos(α)cos(β)∓ sen(α) sen(β) e D = πrn3oVoλ
2lh fica-se com
Iseo prop E21 +E2
2+12
(Imax minus Imin)
[cos(∆φ0)cos(Dcos(Ωt)) minus sen(∆φ0) sen(D cos(Ωt))](410)
Como a modulaccedilatildeo electrooacuteptica eacute um efeito muito pequeno a equaccedilatildeo 410
pode-se escrever
Iseo asymp E21 +E2
2 +12
(Imax minus Imin) [cos(∆φ0)minusD cos(Ωt) sen(∆φ0)] (411)
Considerando soacute os termos de primeira ordem
Iseo asymp12
(Imax minus Imin) [cos(∆φ0)minusD cos(Ωt) sen(∆φ0)] (412)
A componente do sinal electrooacuteptico eacute entatildeo dado por
Iseo =12
(Imax minus Imin)D cos(Ωt) sen(∆φ0) (413)
Ou seja
Iseo =12
(Imax minus Imin)πrn3
oVoλ
2lh
cos(Ωt) sen(∆φ0) (414)
O acircngulo ∆φ0 varia linearmente com o tempo (t) a uma frequecircncia inferior
a Ω A franja de interferecircncia desloca-se continuamente em frente ao detector
devido a um dos espelho estar fixado num disco piezoeleacutectrico
37
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Na figura 415 pode-se ver uma exemplificaccedilatildeo do sinal no detector que incor-
pora o sinal da franja e electrooacuteptico dada pela equaccedilatildeo 414
Figura 415 Ilustraccedilatildeo do sinal de modulaccedilatildeo electrooacuteptica de um feixe de luzmedido num interferoacutemetro de Michelson
Uma vez que o sinal electrooacuteptico (cos(Ωt)) estaacute desfasado π2 do sinal da
franja ( sen(∆φ0)) A intensidade do sinal electrooacuteptico pode ser escrita como
Iseo asymp12
(Imax minus Imin)πrn3
oVoλ
2lh
∣∣∣ sen(∆φ0)∣∣∣ (415)
Assim a amplitude do sinal electrooacuteptico eacute
Iseo =12
(Imax minus Imin)πrn3
oVoλ
2lh
(416)
Pelo que o coeficiente electrooacuteptico linear seraacute dado por
r =|Iseo|
|Imax minus Imin|λ
πn3oVo
hl
(417)
38
46 RESULTADOS
Para o efeito electrooacuteptico quadraacutetico utilizando o procedimento anoacutelogo mas
a partir da equaccedilatildeo 248 em vez da equaccedilatildeo 247 O sinal electrooacuteptico quadraacutetico
Iseoq que ocorre ao dobro da frequecircncia de modulaccedilatildeo 2Ω eacute dado por
s =
∣∣∣Iseoq∣∣∣|Imax minus Imin|
2λ
πn3oV
2o
h2
l(418)
46 Resultados
Com o cristal de KDP devidamente alinhado no interferoacutemetro segundo o seu
eixo oacuteptico de maneira a se medir o coeficiente r63 Obtendo-se assim dois sinais
o sinal de franja e o sinal electrooacuteptico (Fig 416)
Figura 416 Padratildeo da franja produzida (a) e respectivos sinais de franja e elec-trooacuteptico obtidos para um cristal KDP padratildeo
De forma a se proceder a calibraccedilatildeo do sistema utilizou-se a equaccedilatildeo 417 na
forma
|Iseo||Imax minus Imin|
=πn3
o
λlhrVo (419)
39
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Usando o valor da razatildeo |Iseo ||ImaxminusImin|
em funccedilatildeo do potencial aplicado Vo pode-se
calcular o valor do coeficiente electrooacuteptico r atraveacutes do declive da recta obtida
Pode-se ver na figura 417 uma das rectas obtidas para o cristal utilizado na
calibraccedilatildeo do sistema
Figura 417 Razatildeo entre o sinal electrooacuteptico e a diferenccedila de intensidade defranjas em funccedilatildeo do potencial Vo aplicado ao cristal
A tabela 44 apresenta o valor do coeficiente electrooacuteptico obtido e respectiva
incerteza para o cristal de KDP tomando em conta os valores dos iacutendices de
refraccedilatildeo da tabela 43
Tabela 44 Valores e respectivas incertezas obtidas do coeficiente electrooacutepticopara o cristal KDP utilizado
Material Valor Padratildeo Valor Obtido Erro
KDPr63 = 106pmV r63 = 105plusmn 02pmV 1
(λ = 6328nm)
Como se pode ver na tabela 44 o resultado obtido situa-se muito proacuteximo
do teoacuterico encontrando-se dentro da incerteza obtida Os valores valores meacutedios
apresentam um desvio da ordem dos 02pmV
40
46 RESULTADOS
Apesar dos valores obtidos serem bastante positivos houve algumas dificul-
dades nomeadamente o vidro FTO que causou que o alinhamento fosse extrema-
mente complicado natildeo soacute pela sua espessura e dimensionamento como tambeacutem
pela refraccedilatildeo provocada no feixe laser Outro grande obstaacuteculo foi o alinhamento
do cristal uma vez que basta um ligeiro desvio no caminho oacuteptico para causar um
desalinhamento total algo que eacute agravado no interferoacutemetro do tipo Michelson
pelo facto de o feixe laser passar na amostra duas vezes
Apesar destas dificuldades o valor obtido para o coeficiente electrooacuteptico r63
foi de 105pmV valor esse muito proacuteximo do valor padratildeo da literatura que se
encontra nos 106pmV Assim pode-se considerar que o sistema desenvolvido
se encontra devidamente calibrado e pronto para futuras utilizaccedilotildees
41
Capiacutetulo
5Conclusotildees
O trabalho desenvolvido no decorrer desta dissertaccedilatildeo consistiu no desenvolvi-
mento de um sistema para a mediccedilatildeo do efeito electrooacuteptico aacuterea a ser ulilizada
na caracterizaccedilatildeo de novos materiais polimeacutericos para aplicaccedilatildeo em dispositivos
fotoacutenicos
Nesta conformidade foi desenhada construiacuteda e testado uma bancada oacuteptica
destinada agrave mediccedilatildeo do efeito electrooacuteptico baseado numa teacutecnica interferomeacute-
trica de mediccedilatildeo da diferenccedila de fase implementado atraveacutes de um interferoacutemetro
do tipo Michelson
O cristal escolhido para a calibraccedilatildeo do sistema desenvolvido foi um cristal de
KDP comercial tendo sido utilizado o coeficiente electrooacuteptico r63 como referecircn-
cia sendo o valor padratildeo de 106pmV
O sistema obtido permitiu medir um valor nominal de 105plusmn 02pmV com
um erro de aproximadamente 1 em relaccedilatildeo ao valor tabelado comprovando a
afericcedilatildeo do sistema para a mediccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico por transmissatildeo
O sistema desenvolvido estaacute portanto apto para futuras mediccedilotildees sendo ape-
nas necessaacuterio algumas alteraccedilotildees no porta-amostras mediante as dimensotildees e
forma da amostra a utilizar
Chegou-se ainda agrave conclusatildeo que para amostras como o cristal utilizado o
feixe laser passar duas vezes na amostra acaba por ser uma grande desvantagem
desvantagem essa inexistente para filmes polimeacutericos que ganham cada vez mais
importacircncia na aacuterea da fotoacutenica uma vez que satildeo materiais de grande interesse
cientiacutefico e tecnoloacutegico jaacute que podem ser utilizados no desenvolvimento de dispo-
sitivos oacutepticos nomeadamente moduladores de luz e memoacuterias oacutepticas
43
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46
Apecircndice
AApecircndice
A1 Desenhos Teacutecnicos
47
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311
23
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311
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- Lista de Figuras
- Lista de Tabelas
- Introduccedilatildeo
- Efeito Electrooacuteptico
-
- Oacuteptica Natildeo-Linear
- Propagaccedilatildeo em Meios Anisotroacutepicos
-
- Vector de Poynting
- Elipsoiacutede dos Iacutendices
- Coeficientes Natildeo-Lineares
-
- Mediccedilatildeo do Efeito Electrooacuteptico
-
- Meacutetodo Tradicional
- Meacutetodos por Interferometria
-
- Interferometria Oacuteptica
- Interferoacutemetro de Mach-Zehnder
- Interferoacutemetro de Michelson
-
- Sistema Implementado
-
- Interferoacutemetro
- Electroacutenica Desenvolvida
-
- Amplificador
- Gerador de Rampa
- Seguidor de Tensatildeo
-
- Sistema Oacuteptico Desenvolvido
-
- Espelho Vibrante
- Bancada Oacuteptica
- Detector
- Cristal Electrooacuteptico
- Porta Amostras
-
- Coeficiente Electrooacuteptico
- Execuccedilatildeo Experimental
- Resultados
-
- Conclusotildees
- Bibliografia
- Apecircndice
-
- Desenhos Teacutecnicos
-
Iacutendice
Lista de Figuras xiii
Lista de Tabelas xv
1 Introduccedilatildeo 1
2 Efeito Electrooacuteptico 3
21 Oacuteptica Natildeo-Linear 3
22 Propagaccedilatildeo em Meios Anisotroacutepicos 5
221 Vector de Poynting 7
222 Elipsoiacutede dos Iacutendices 9
223 Coeficientes Natildeo-Lineares 12
3 Mediccedilatildeo do Efeito Electrooacuteptico 15
31 Meacutetodo Tradicional 15
32 Meacutetodos por Interferometria 17
321 Interferometria Oacuteptica 17
322 Interferoacutemetro de Mach-Zehnder 19
323 Interferoacutemetro de Michelson 20
4 Sistema Implementado 23
41 Interferoacutemetro 23
42 Electroacutenica Desenvolvida 24
421 Amplificador 24
422 Gerador de Rampa 25
423 Seguidor de Tensatildeo 27
43 Sistema Oacuteptico Desenvolvido 28
431 Espelho Vibrante 28
432 Bancada Oacuteptica 29
433 Detector 29
434 Cristal Electrooacuteptico 31
xi
IacuteNDICE
435 Porta Amostras 32
44 Coeficiente Electrooacuteptico 35
45 Execuccedilatildeo Experimental 36
46 Resultados 39
5 Conclusotildees 43
Bibliografia 45
A Apecircndice 47A1 Desenhos Teacutecnicos 47
xii
Lista de Figuras
21 Cubo com secccedilatildeo de aacuterea A e ∆x de lado 8
22 Ilustraccedilatildeo do elipsoiacutede de iacutendices (retirado de [7]) 11
31 Montagem experimental proposta por Henry e a sua equipa (adaptado
de [9]) 16
32 Ilustraccedilatildeo de uma interferecircncia construtiva perfeita (a) e destrutiva
completa (b) 17
33 Visibilidade num interferoacutemetro em funccedilatildeo da diferenccedila de fase en-
tre duas ondas provenientes de ramos diferentes do interferoacutemetro
(adaptado de [11]) 18
34 Esquema de um interferoacutemetro de Mach-Zehnder (adaptado de [12]) 19
35 Esquema de funcionamento de um interferoacutemetro de Michelson com
interferecircncia construtiva (a) e destrutiva (b) (adaptado de [15]) 21
41 Esquematizaccedilatildeo do interferoacutemetro de Michelson e instrumentaccedilatildeo uti-
lizada para a mediccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico em cristais 24
42 Esquemaacutetico do amplificador de tensatildeo utilizado com base no ampli-
ficador operacional LF356n 25
43 Esquema eleacutectrico do gerador de rampa implementado baseado no
circuito temporizador NE555 26
44 Esquema do seguidor de tensatildeo utilizado construida com base nos
amplifacores operacionais LF356n 27
45 Imagem da unidade de amplificaccedilatildeo e geraccedilatildeo de rampa implementada 28
46 Imagem do espelho vibrante utilizado 28
47 Imagem da bancada oacuteptica onde o interferoacutemetro de Michelson foi
construiacutedo 29
48 Imagem do detector e disco utilizado 30
49 Ilustraccedilatildeo de um cristal padratildeo KDP e seu respectivo elipsoiacutede de
iacutendices 31
410 Imagem da base do porta-amostras desenvolvido 32
xiii
Lista de Figuras
411 Imagem das peccedilas de fixaccedilatildeo do cristal desenvolvidas com a vista de
frente (a) e a vista de traacutes (b) 33
412 Imagem do porta Amostras desenvolvido 34
413 Imagem do sistema desenvolvido para a mediccedilatildeo do efeito electrooacuteptico 34
414 Ilustraccedilatildeo da configuraccedilatildeo utilizada para a mediccedilatildeo do coeficiente r63
num cristal 35
415 Ilustraccedilatildeo do sinal de modulaccedilatildeo electrooacuteptica de um feixe de luz
medido num interferoacutemetro de Michelson 38
416 Padratildeo da franja produzida (a) e respectivos sinais de franja e elec-
trooacuteptico obtidos para um cristal KDP padratildeo 39
417 Razatildeo entre o sinal electrooacuteptico e a diferenccedila de intensidade de franjas
em funccedilatildeo do potencial Vo aplicado ao cristal 40
xiv
Lista de Tabelas
41 Caracteriacutesticas principais do detector 818-UVDB [17] 30
42 Propriedades fiacutesicas do cristal padratildeo KDP [18] 31
43 Propriedades oacutepticas do cristal padratildeo KDP a 6328nm [7] 32
44 Valores e respectivas incertezas obtidas do coeficiente electrooacuteptico
para o cristal KDP utilizado 40
xv
Lista de Siacutembolos
~S - Vector de Poynting
ε - Permissidade eleacutectrica
micro - Permeabilidade eleacutectrica
λ - Comprimento de onda
φ - Fase
ν - Visibilidade
δ - Retardaccedilatildeo
Ω - Frequecircncia de modulaccedilatildeo
χ(1) - Suscetibilidade eleacutectrica linear
χ(2) - Suscetibilidade eleacutectrica de segunda ordem
χ(3) - Suscetibilidade eleacutectrica de terceira ordem
ε0 - Permissidade eleacutectrica do vazio
B - Campo magneacutetico
D - Deslocamento eleacutectrico
E - Campo eleacutectrico
I - Intensidade
P - Polarizaccedilatildeo
Vo - Potencial eleacutectrico
c - Velocidade da luz no vazio
h - Distacircncia entre os eleacutetrodos
xvii
LISTA DE SIacuteMBOLOS
k - Nuacutemero de onda
l - Caminho percorrido pela luz num meio
n - Iacutendice de refraccedilatildeo
ne - Iacutendice de refraccedilatildeo extraordinaacuterio
no - Iacutendice de refraccedilatildeo ordinaacuterio
r - Coeficiente electrooacuteptico linear
s - Coeficiente electrooacuteptico quadraacutetico
u - Densidade de energia
w - Frequecircncia angular
xviii
Capiacutetulo
1Introduccedilatildeo
A fibra oacuteptica eacute hoje amplamente utilizada nas redes de telecomunicaccedilatildeo em subs-
tituiccedilatildeo dos tradicionais cabos eleacutectricos por permitir transportar uma grande
quantidade de informaccedilatildeo a alta velocidade e com perdas reduzidas sem ser
afetada pelo ruiacutedo eletromagneacutetico Por outro lado a transmissatildeo de informaccedilatildeo
atraveacutes da fibra oacuteptica requer o desenvolvimento de dispositivos capazes de pro-
cessar sinal oacuteptico tais como amplificadores comutadores e moduladores de luz
Eacute aqui que o efeito electrooacuteptico assume um papel de relevo jaacute que possibilita a
modulaccedilatildeo de luz a frequecircncias da ordem do gigahertz [1 2 3]
O efeito electrooacuteptico tambeacutem conhecido por efeito de Pockels1 consiste na
variaccedilatildeo do iacutendice de refraccedilatildeo de um meio quando a este eacute aplicado um campo
eleacutetrico externo Esta alteraccedilatildeo no iacutendice de refraccedilatildeo eacute o resultado de forccedilas elec-
trostaacuteticas que deformam as moleacuteculas (alteraccedilatildeo de posiccedilatildeo orientaccedilatildeo ou forma)
do meio que estaacute na origem de uma alteraccedilatildeo no momento dipolar Distinguem-
se dois tipos de efeito eletrooacuteptico o linear (efeito Pockels) e o quadraacutetico (efeito
Kerr2)
O efeito de Pockels estaacute na origem da criaccedilatildeo de uma birrefringecircncia ∆n
no meio oacuteptico proporcional ao campo eleacutetrico aplicado Este efeito observa-se
1Friedrich Carl Alwin Pockels foi um fiacutesico alematildeo que em 1893 descobriu que se for aplicadoum campo eleacutectrico estaacutevel a certos materiais birrefrigentes estes vatildeo sofrer uma variaccedilatildeo noiacutendice de refraccedilatildeo proporcional agrave forccedila do campo aplicado Este coeficiente de proporcionalidadeestaacute entre os 10times 10minus10V minus1 e os 10times 10minus12V minus1 Ficando este fenoacutemeno conhecido como Efeito dePockels
2John Kerr foi um fiacutesico escocecircs e um pioneiro no campo da electro-oacuteptica nomeadamentepelo efeito de Kerr em 1875 que consiste numa variaccedilatildeo do iacutendice de refraccedilatildeo que varia quadraacuteti-camente com o campo eleacutetrico aplicado
1
CAPIacuteTULO 1 INTRODUCcedilAtildeO
apenas em meios em que a sua estrutura natildeo apresenta centro de simetria
No efeito de Kerr a variaccedilatildeo no iacutendice de refraccedilatildeo do meio eacute proporcional ao
quadrado do campo eleacutetrico aplicado e portanto proporcional agrave intensidade da
luz e ao contraacuterio do efeito de Pockels ocorre dum modo geral como mais ou
menos intensidade em todos os materiais
O conhecimento das propriedades electrooacutepticas de um material eacute fundamen-
tal na avaliaccedilatildeo das suas capacidades para o desenvolvimentos de dispositivos
moduladores de luz O presente trabalho de dissertaccedilatildeo consistiu no desenvolvi-
mento de uma bancada oacuteptica para a mediccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico base-
ado em teacutecnica interferomeacutetrica de mediccedilatildeo da diferenccedila de fase induzida por
efeito eletrooacuteptico
Neste trabalho seraacute inicialmente descrita a teoria e os caacutelculos necessaacuterios
para a mediccedilatildeo do efeito electrooacuteptico atraveacutes dos seus coeficientes natildeo-lineares
Sendo de seguida apresentados alguns sistemas de mediccedilatildeo deste efeito e o seu
respectivo funcionamento No capiacutetulo seguinte seraacute descrito o funcionamento
do sistema desenvolvido o interferoacutemetro implementado o porta-amostras cons-
truiacutedo a eletroacutenica e os sistemas oacutepticos desenvolvidos que integram o sistema
bem como os caacutelculos finais para a obtenccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico do sis-
tema usado Por uacuteltimo as conclusotildees retiradas do trabalho desenvolvido bem
como as suas perspectivas futuras
2
Capiacutetulo
2Efeito Electrooacuteptico
Este capiacutetulo aborda do ponto de vista teoacuterico alguns aspectos relevantes para a
realizaccedilatildeo deste trabalho nomeadamente a propagaccedilatildeo da luz num meio as pro-
priedades da oacuteptica natildeo-linear e a alteraccedilatildeo no iacutendice de refraccedilatildeo linear em meios
anisotroacutepicos Estes conceitos permitiratildeo encontrar as expressotildees que determinam
os coeficientes natildeo-lineares
21 Oacuteptica Natildeo-Linear
Um dado material pode responder de forma natildeo-linear a um campo eleacutectrico
aplicado De um modo geral pode-se descrever a resposta da seguinte forma[4]
Pi = ε0
[χ
(1)ij Ej +χ(2)
ijkEjEk +χ(3)ijklEjEkEl +χ(N )
middotmiddotmiddot middot middot middot]
(21)
Onde P i eacute a polarizaccedilatildeo do meio ε0 eacute a permissidade eleacutectrica no vaacutecuo E
o campo eleacutectrico aplicado χ(1) a suscetibilidade eleacutectrica linear e χ(2) χ(3)
χ(n) as suscetibilidades natildeo lineares de segunda ordem de terceira ordem ateacute
N ordem sendo N um nuacutemero inteiro com i j k l um sistema de eixos de
laboratoacuterio com valores valores 1 2 e 3
Cada termo da equaccedilatildeo 21 estaacute associado a diferentes respostas do meio O
termo χ(1) estaacute associado ao iacutendice de refraccedilatildeo e absorccedilatildeo linear O termo χ(2) agrave
geraccedilatildeo de segunda harmoacutenica soma e diferenccedila de frequecircncias e o efeito elec-
trooacuteptico linear ou efeito de Pockels Este efeito eacute particularmente importante
3
CAPIacuteTULO 2 EFEITO ELECTROOacutePTICO
jaacute que permite a modulaccedilatildeo da luz De salientar que o tensor de terceira ordem
(χ(2)ijk) se reduz a dezoito elementos atendendo agraves simetrias resultantes de permu-
tas de iacutendices jaacute que χ(2)ijk = χ
(2)ikj = χ
(2)kij = χ
(2)jik = χ
(2)jki = χ
(2)kji Pode-se desta forma
representar atraveacutes da matriz
χ(2)ij =
χ
(2)11 χ
(2)12 χ
(2)13 χ
(2)14 χ
(2)15 χ
(2)16
χ(2)21 χ
(2)22 χ
(2)23 χ
(2)24 χ
(2)25 χ
(2)26
χ(2)31 χ
(2)32 χ
(2)33 χ
(2)34 χ
(2)35 χ
(2)36
Utilizando uma notaccedilatildeo condensada[5] ficamos com
χ(2)ijk = χ(2)
mk = com m =
1 quando ij = 11
2 quando ij = 22
3 quando ij = 33
4 quando ij = 2332
5 quando ij = 1331
6 quando ij = 1221
De notar que dependendo do meio soacute alguns dos elementos de χ(2)ijk seratildeo natildeo
nulos Para materiais que exibam centro de simetria o efeito electrooacuteptico linear
natildeo existe de todo sendo os elementos de χ(2)ijk nulos
O elemento χ(3) estaacute associado agrave geraccedilatildeo da terceira harmoacutenica soma e dife-
renccedila de frequecircncias e o efeito electrooacuteptico quadraacutetico ou efeito de Kerr que se
manifesta na variaccedilatildeo do iacutendice de refraccedilatildeo com o quadrado do campo eleacutectrico
aplicado
De salientar ainda que quanto maior o valor de ordem n mais difiacutecil se torna
observar os efeitos associados uma vez que estes se tornam cada vez menos inten-
sos
4
22 PROPAGACcedilAtildeO EM MEIOS ANISOTROacutePICOS
22 Propagaccedilatildeo em Meios Anisotroacutepicos
A propagaccedilatildeo de uma onda electromagneacutetica num meio pode ser descrita pelas
equaccedilotildees de Maxwell1 Para o caso de um meio homogeacuteneo isolante e neutro
pode-se escrever como
nabla middot ~E = 0 (22a)
nabla middot ~B = 0 (22b)
nablatimes ~E = minuspart~Bpartt
(22c)
nablatimes ~B = microεpart~Epartt
(22d)
Sendo ~B o campo magneacutetico ~E o campo eleacutectrico ε e micro a permissidade eleacutectrica
e permeabilidade magneacutetica do meio respectivamente
Tendo em conta que para um vector ~D geneacuterico
nablatimesnablatimes ~D = nabla(nabla middot ~D
)minusnabla2 ~D (23)
e
nablatimespart~Dpartt
=partnablatimes ~Dpartt
(24)
Comeccedilando pela equaccedilatildeo 22c
nablatimesnablatimes ~E = nablatimespart~Bpartt
(25)
Usando as propriedades matemaacuteticas das equaccedilotildees 23 e 24
nabla(nabla middot ~E
)minusnabla2~E =
partnablatimes ~Bpartt
(26)
Utilizando as equaccedilotildees 22a e 22d na equaccedilatildeo 26 verifica-se que
nabla2~E = microεpart2~E
partt2(27)
1James Clerk Maxwell foi um cientista escocecircs mais conhecido por ter combinado as teoriasdos campos da oacuteptica do magnetismo e da electricidade numa soacute e uacutenica teoria dando assimorigem as chamadas equaccedilotildees de Maxwell
5
CAPIacuteTULO 2 EFEITO ELECTROOacutePTICO
Obtendo-se desta maneira a equaccedilatildeo de onda para o campo eleacutectrico Analo-
gamente mas comeccedilando com a equaccedilatildeo 22d obteacutem-se para o campo magneacutetico
nabla2~B = microεpart2~B
partt2(28)
A sua velocidade de propagaccedilatildeo eacute dada por
v =1radicmicroε
(29)
Sendo que no vazio micro = micro0 e ε = ε0 o que resulta em v = c 3times 108ms
Resolvendo as equaccedilotildees 27 e 28 obtecircm-se as expressotildees para os campos eleacutec-
tricos e magneacuteticos que se propagam no meio
~E (~r t) = ~E0ei(~kmiddot~rminuswt
)(210)
e
~B (~r t) = ~B0ei(~kmiddot~rminuswt
)(211)
Onde ~r eacute o vector posiccedilatildeo ~k eacute o vector de onda que segue a direccedilatildeo de pro-
pagaccedilatildeo da onda w a frequecircncia angular e t o tempo Sendo que a parte real das
equaccedilotildees representa os seus respectivos campos A magnitude do vector ~k pode
ser escrita da seguinte maneira
k =2πλ
=wv
=wnc
(212)
Em que k eacute o nuacutemero de onda λ o comprimento de onda e n o iacutendice de
refraccedilatildeo
Escrevendo a parte real das equaccedilotildees 210 e 211 fica-se com
E = E0 cos(kr minuswt) (213)
e
B = B0 cos(kr minuswt) (214)
Manipulando a equaccedilatildeo 22c obtem-se
partEpartx
= minuspartBpartt
(215)
6
22 PROPAGACcedilAtildeO EM MEIOS ANISOTROacutePICOS
Utilizando a equaccedilatildeo 215 nas equaccedilotildees 213 e 213
kE0 = wB0 (216)
Usando a equaccedilatildeo 212 na equaccedilatildeo 216 verifica-se que
B0 =E0
v(217)
221 Vector de Poynting
O fluxo de energia (Wm2) dado pelo vector de Poynting2 (~S) pode ser escrito da
seguinte forma
~S =1micro~E times ~B (218)
A densidade de energia eleacutectrica ou a energia eleacutectrica armazenada por uni-
dade de volume (joulem3) a quantidade de energia contida num dado sistema
em relaccedilatildeo ao seu volume seraacute dada por
uE =12εE2 (219)
Agrave semelhanccedila da densidade de energia eleacutectrica a densidade de energia mag-
neacutetica (uB) eacute
uB =1
2microB2 (220)
Assim somando as equaccedilotildees 219 e 220 obtem-se a densidade de energia
total de uma onda electromagneacutetica
u =12εE2 +
12microB2 (221)
2John Henry Poynting foi um fiacutesico britacircnico autor de diversos trabalhos entre os quais um te-orema no qual se atribui um valor agrave taxa de fluxo de energia electromagneacutetica que ficou conhecidocomo vector de Poynting
7
CAPIacuteTULO 2 EFEITO ELECTROOacutePTICO
Substituindo as equaccedilotildees 29 e 217 na equaccedilatildeo 221 pode-se escrever a densi-
dade de energia total de uma onda electromagneacutetica num dado meio da seguinte
forma
u = εE2 (222)
Relacionando-se desta forma a densidade de energia com o campo eleacutectrico
De salientar que o campo magneacutetico e o campo eleacutectrico estatildeo relacionados atra-
veacutes da equaccedilatildeo 217
Considerando uma secccedilatildeo de aacuterea A (Fig 21) de um cubo com ∆x de lado
Figura 21 Cubo com secccedilatildeo de aacuterea A e ∆x de lado
A energia armazenada no cubo ou densidade de energia eacute igual a
∆U = uA∆x (223)
Sendo que a energia que atravessa a aacuterea A por unidade de tempo eacute
∆U∆t
=uA∆x∆xv
= uAv (224)
Assim a energia por unidade de tempo e aacuterea (Wm2) eacute igual a
uv = S (225)
Combinando a equaccedilatildeo 225 com a equaccedilatildeo 222 pode-se escrever a magnitude
do vector de Poynting da seguinte forma
S = εvE2 (226)
8
22 PROPAGACcedilAtildeO EM MEIOS ANISOTROacutePICOS
Substituindo a equaccedilatildeo 213 na equaccedilatildeo 225 a magnitude do vector de Poyn-
ting assume a seguinte forma
S = εvE20 cos2 (wt) (227)
Se na equaccedilatildeo 227 se fizer uma meacutedia no tempo obteacutem-se
〈S〉 = εvE20
langcos2 (wt)
rang(228)
Sendo quelangcos2 (wt)
rang= 1
2 tem-se que
I = 〈S〉 =12εvE2
0 =c
2nεE2
0 (229)
Sendo I a intensidade ou seja a potecircncia meacutedia por unidade de aacuterea que a
onda electromagneacutetica transporta
222 Elipsoiacutede dos Iacutendices
Nos meios anisotroacutepicos o iacutendice de refraccedilatildeo linear depende da direccedilatildeo da propa-
gaccedilatildeo da luz e do seu estado de polarizaccedilatildeo A resposta de um meio anisotroacutepico
eacute normalmente obtida atraveacutes do conceito de elipsoiacutede de iacutendices[5 6 7] que
a seguir seraacute descrita Ao se aplicar um campo eleacutectrico a um meio polarizaacutevel
este induz uma mudanccedila do estado de polarizaccedilatildeo descrito pelo deslocamento
eleacutectrico
~D = ε0~E + ~P (230)
Sendo
~P = ε0χ~E (231)
onde ε0 eacute a permissidade eleacutectrica no vazio ~P a polarizaccedilatildeo ~E o campo eleacutec-
trico ~D o deslocamento eleacutectrico e χ eacute o tensor das suscetibilidades Atraveacutes das
equaccedilotildees 230 e 231 tem-se que
~D = ε0~E(1 + χ) (232)
9
CAPIacuteTULO 2 EFEITO ELECTROOacutePTICO
Sendo que χ eacute dado por
χ =
χ11 χ12 χ13
χ21 χ22 χ23
χ31 χ32 χ33
(233)
Pelo teorema de eixos principais [7] seraacute possiacutevel escolher um sistema de co-
ordenadas onde apenas os elementos da diagonal principal sejam diferentes de
zero de tal forma que
χ =
χ11 0 0
0 χ22 0
0 0 χ33
(234)
Assim a equaccedilatildeo 231 pode ser escrita na forma no novo sistema de eixosP1
P2
P3
= ε0
χ11 0 0
0 χ22 0
0 0 χ33
E1
E2
E3
(235)
Da equaccedilatildeo 235 pode-se ainda retirar o seguinte
P1 = ε0χ11E1 D1 = ε11E1 ε11 = ε0 (1 +χ11)
P2 = ε0χ22E2 D2 = ε22E2 ε22 = ε0 (1 +χ22) (236)
P3 = ε0χ33E3 D3 = ε33E3 ε33 = ε0 (1 +χ33)
Combinando as equaccedilotildees 219 e 236 pode-se reescrever a densidade de energia
armazenada no campo eleacutectrico como
uE =12~E middot ~D (237)
Usando as expressotildees da equaccedilatildeo 236 para manipular a equaccedilatildeo 237 obtem-
se
D21
ε11+D2
2
ε22+D2
3
ε33= 2uE (238)
10
22 PROPAGACcedilAtildeO EM MEIOS ANISOTROacutePICOS
Substituiacutendo na equaccedilatildeo 238 D1 D2 e D3 pelos seus respectivos eixos em
coordenadas cartesianas tem-se que
x2
ε11ε0+
y2
ε22ε0+
z2
ε33ε0= 1 (239)
sendo x = D1radic2ε0UE
y = D2radic2ε0UE
e z = D3radic2ε0UE
Reescrevendo a equaccedilatildeo 239 fazendo n2x = ε11ε0 n2
y = ε22ε0 e n2z = ε33ε0
obteacutem-se forma a equaccedilatildeo do elipsoide de iacutendices
x2
n2x
+y2
n2y
+z2
n2z
= 1 (240)
Sendo nx ny e nz o iacutendice de refraccedilatildeo na sua respectiva direccedilatildeo como demons-
tra a figura 22
Figura 22 Ilustraccedilatildeo do elipsoiacutede de iacutendices (retirado de [7])
11
CAPIacuteTULO 2 EFEITO ELECTROOacutePTICO
223 Coeficientes Natildeo-Lineares
Quando eacute aplicado um campo eleacutectrico ao meio o elipsoiacutede de iacutendices pode
mudar a sua forma e orientaccedilatildeo no espaccedilo de tal forma que a equaccedilatildeo de elipsoide
de iacutendices passa a ser escrita de um modo geral como
( 1n2
)1x2 +
( 1n2
)2y2 +
( 1n2
)3z2 + 2
( 1n2
)4xy + 2
( 1n2
)5xz+ 2
( 1n2
)6yz = 1 (241)
Quando o campo eleacutectrico aplicado eacute nulo as equaccedilotildees 240 e 241 tecircm de ser
equivalentes pelo que para E = 0 tem-se
( 1n2
)1
=1
n2x( 1
n2
)2
=1
n2y( 1
n2
)3
=1
n2z( 1
n2
)4
=( 1n2
)5
=( 1n2
)6
= 0
(242)
Desta forma quando se aplica um campo eleacutectrico (E) verifica-se uma variaccedilatildeo
nos coeficientes(
1n2
)i Esta variaccedilatildeo induzida pelo efeito electrooacuteptico pode entatildeo
ser descrita atraveacutes de [8]
∆
( 1n2
)i
=3sumj=1
rijEj com i = 1 6 (243)
Sendo rij o coeficiente electrooacuteptico e E a magnitude do campo eleacutectrico apli-
cado
12
22 PROPAGACcedilAtildeO EM MEIOS ANISOTROacutePICOS
A equaccedilatildeo 243 tambeacutem pode ser escrita como
∆
( 1n2
)1
∆
( 1n2
)2
∆
( 1n2
)3
∆
( 1n2
)4
∆
( 1n2
)5
∆
( 1n2
)6
=
r11 r12 r13
r21 r22 r23
r31 r32 r33
r41 r42 r43
r51 r52 r53
r61 r62 r63
E1
E2
E3
(244)
Nesta conformidade o coeficiente electrooacuteptico pode ser escrito como
rij = minus 2
n3ij
[partnijpartEj
](245)
A diferenccedila de fase ∆φ resultante da variaccedilatildeo no iacutendice de refraccedilatildeo ∆n seraacute
∆φ =2πlλ
∆n (246)
Em que o l eacute o caminho percorrido pela luz de comprimento de onda λ no
meio Sendo a variaccedilatildeo no iacutendice de refraccedilatildeo devida aos efeitos electrooacutepticos
pode-se escrever
|∆n| =rno
3
2Voh
(247)
para o efeito electrooacuteptico linear e
|∆n| =sn3o
2
(Voh
)2(248)
para o efeito electrooacuteptico quadraacutetico
Onde os coefeciecircntes electrooacutepticos linear e quadraacutetico satildeo respectivamente
r e s Vo eacute o potencial eleacutectrico aplicado entre os eleacutetrodos que distam entre si a
uma distacircncia h criando assim o campo eleacutectrico aplicado
13
Capiacutetulo
3Mediccedilatildeo do Efeito Electrooacuteptico
Neste capiacutetulo satildeo apresentadas as teacutecnicas mais comuns utilizadas para a me-
diccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico destacando-se dois tipos de interferoacutemetros o
tradicional e os de interferometria de dois feixes
31 Meacutetodo Tradicional
Um dos meacutetodos mais usados para medir o efeito eletrooacuteptico foi o proposto por
Henry [9] em 1986 Esta teacutecnica ilustrada na Fig31 baseia-se na alteraccedilatildeo do
estado de polarizaccedilatildeo de um feixe linearmente polarizado quando este atravessa
o meio Esta alteraccedilatildeo ocorre devido agrave birrefrigecircncia induzida por um campo
eleacutetrico aplicado e agrave atividade oacuteptica do meio A montagem eacute composta por uma
fonte de luz (S) um monocromador (M) uma lente (L) um diafragma (D) dois
polarizadores (P1 e P2) um cristal (BSO) de espessura d ao qual eacute aplicado um
campo eleacutetrico (E) e um fotomultiplicador (FM) ligado a um sistema de aquisiccedilatildeo
de dados
O procedimento experimental em si consiste no seguinte para um dado estado
de polarizaccedilatildeo do feixe incidente imposto pelo P1 vai-se alterando a posiccedilatildeo
angular do P2 de forma a encontrar as intensidades maacutexima e miacutenima e desta
forma calcular-se a visibilidade (ν) atraveacutes de [9]
νθ =Imax minus IminImax + Imin
(31)
15
CAPIacuteTULO 3 MEDICcedilAtildeO DO EFEITO ELECTROOacutePTICO
Figura 31 Montagem experimental proposta por Henry e a sua equipa (adaptadode [9])
De seguida altera-se P1 para a posiccedilatildeo angular de 45 e repete-se o procedi-
mento anterior Somando o quadrado das duas visibilidades obtidas tem-se que
[9]
ν2θ + ν2
θ+45 = 1 +
1minus δ2
2
sen(φ2 )φ2
2
2
(32)
sendo
δ =2πλn3rEyd (33)
e
φ =radicδ2 + ρ2 (34)
Sendo δ a diferenccedila de fase originada pela birrefringecircncia λ o comprimento
de onda do feixe no vaacutecuo ρ a diferenccedila de fase associada agrave actividade oacuteptica n o
iacutendice de refraccedilatildeo sem campo eleacutetrico aplicado Ey o campo eleacutectrico aplicado e
d a espessura do cristal na direccedilatildeo do campo eleacutectrico aplicado Destas equaccedilotildees
pode-se calcular o coeficiente electrooacuteptico r
Para o caso de φ pequenos
sen(φ2 )φ2
2
1 pelo que
ν2θ + ν2
θ+45 1 +(1minus δ
2
2
)2
(35)
Natildeo sendo nesta situaccedilatildeo necessaacuteria a actividade oacuteptica ρ Esta teacutecnica apre-
senta um erro de mediccedilatildeo de 10 a 15 em relaccedilatildeo ao valor tabelado
16
32 MEacuteTODOS POR INTERFEROMETRIA
32 Meacutetodos por Interferometria
321 Interferometria Oacuteptica
Quando duas ondas de uma mesma frequecircncia se sobrepotildeem num dado ponto
formam uma nova onda cuja amplitude eacute o resultado da soma da amplitude das
duas ondas iniciais em cada instante nesse ponto Quando a soma da duas ondas
resulta numa amplitude maior diz-se que houve interferecircncia construtiva quando
resulta numa amplitude inferior diz-se que ocorreu interferecircncia destrutiva
Supondo que uma das ondas tem a forma E1ei(φ1minuswt) e a outra forma E2e
i(φ2minuswt)
sendo E1 e E2 as amplitudes dos respetivos campos eleacutetricos φ1 e φ2 as fases
iniciais w a frequecircncia angular e t o tempo a onda resultante seraacute descrita por
[10]
ET = E1ei(φ1minuswt) +E2e
i(φ2minuswt) (36)
Se φ1 minusφ2 = 2Nπ com N = 012 entatildeo as duas ondas estaratildeo em fase e daacute-
se uma interferecircncia construtiva perfeita Se φ1 minusφ2 = (2N + 1)π e E1 = E2 entatildeo
as duas ondas estaratildeo em oposiccedilatildeo de fase e daacute-se uma interferecircncia destrutiva
completa Estas situaccedilotildees extremas encontram-se ilustradas na figura 32
Figura 32 Ilustraccedilatildeo de uma interferecircncia construtiva perfeita (a) e destrutivacompleta (b)
Matematicamente a coerecircncia eacute uma medida da correlaccedilatildeo entre as ondas
Quanto mais construtiva for a interferecircncia maior seraacute a coerecircncia Fisicamente
a coerecircncia eacute uma medida do quatildeo constante a diferenccedila de fase permanece entre
17
CAPIacuteTULO 3 MEDICcedilAtildeO DO EFEITO ELECTROOacutePTICO
as duas ondas A coerecircncia eacute usualmente medida num padratildeo de franjas de in-
terferecircncia atraveacutes da visibilidade de franja (ν) que pode ser experimentalmente
calculada atraveacutes de [10]
ν =Imax minus IminImax + Imin
= 1 coerecircncia total e contraste maacuteximo
0 lt ν lt 1 coerecircncia parcial
= 0 incoerecircncia total e contraste natildeo haacute franjas
(37)
Pode-se ver na Fig33 um exemplo da equaccedilatildeo 37 que representa a visibi-
lidade das franjas em funccedilatildeo da diferenccedila de fase entre duas ondas da mesma
frequecircncia que interferem Como a visibilidade das franjas depende da coerecircncia
das duas ondas qualquer diferenccedila iraacute traduzir-se numa diminuiccedilatildeo de visibili-
dade
Figura 33 Visibilidade num interferoacutemetro em funccedilatildeo da diferenccedila de fase entreduas ondas provenientes de ramos diferentes do interferoacutemetro (adaptado de[11])
Pode-se usar a interferometria para quantificar os efeitos electrooacutepticos natildeo
soacute linear mas tambeacutem o quadraacutetico (efeito de Kerr) Os interferoacutemetros mais
frequentemente utilizados para este efeito satildeo os interferoacutemetro de Michelson1 e1Albert Abraham Michelson foi um fiacutesico americano conhecido pela invenccedilatildeo do interferoacuteme-
tro de Michelson (1891) do seu trabalho na mediccedilatildeo da velocidade da luz e pelo seu trabalho naexperiecircncia de Michelson-Morley Em 1907 tornou-se o primeiro americano a receber o PreacutemioNobel da Fiacutesica
18
32 MEacuteTODOS POR INTERFEROMETRIA
o interferoacutemetro de Mach-Zehnder2
De salientar que as teacutecnicas interferomeacutetricas apresentam uma elevada sensibi-
lidade simplificaccedilatildeo na preparaccedilatildeo das amostras a estudar e uma menor sensibili-
dade a vibraccedilotildees mecacircnicas e a flutuaccedilotildees teacutermicas desde que estas ocorram com
a mesma intensidade em ambos os ramos do mesmo tamanho do interferoacutemetro
322 Interferoacutemetro de Mach-Zehnder
No interferoacutemetro de Mach-Zehnder (Fig 34) um separador de feixe divide o
feixe proveniente da fonte em dois feixes que vatildeo constituir os dois ramos do
interferoacutemetro o feixe-amostra e o feixe-referecircncia Ambos satildeo refletidos por um
espelho e ambos atravessam um novo separador de feixe antes de se juntarem de
novo e serem medidos nos detetores
Figura 34 Esquema de um interferoacutemetro de Mach-Zehnder (adaptado de [12])
Com os ramos agrave mesma distacircncia pode ainda observar-se que sem amostra
ambos os feixes vatildeo chegar em fase aos detetores havendo desta forma uma inter-
ferecircncia construtiva Ambos apresentaratildeo uma mudanccedila de fase correspondente
a λ devido ao facto de ambos sofrerem duas reflexotildees e uma transmissatildeo numa
placa de vidro(separador de feixe) ateacute chegarem aos detetores2Ludwig Zehnder foi um fiacutesico suiacuteccedilo e o inventor do interferoacutemetro de Mach-Zehnder Inter-
feroacutemetro esse depois aperfeiccediloado por Ludwig Mach
19
CAPIacuteTULO 3 MEDICcedilAtildeO DO EFEITO ELECTROOacutePTICO
Alterando o caminho oacuteptico do espelho do feixe-referecircncia em λ4 sem amos-
tra o feixe-amostra e o feixe-referecircncia vatildeo chegar com uma diferenccedila de fase de
λ2 ou seja vai haver uma interferecircncia destrutiva completa Isto porque o feixe-
referecircncia vai ter uma mudanccedila de fase de λ2 devido a uma reflexatildeo e duas trans-
missotildees provocadas pelos separadores de feixe Enquanto que o feixe-amostra
chegaraacute aos detetores com uma diferenccedila de fase de λ devido a duas reflexotildees
mais uma reflexatildeo com transmissatildeo no segundo separador de feixe Assim na
ausecircncia de amostra e desde que a diferenccedila de caminho oacuteptico ou retardaccedilatildeo
(δ) seja zero os feixes iratildeo interferir construtivamente [13]
Com a amostra colocada no caminho do feixe-amostra os feixes vatildeo chegar ao
detetor em diferentes situaccedilotildees de fase sendo possiacutevel determinar a diferenccedila de
fase provocada pela presenccedila da amostra
A intensidade do feixe (I) em ambos os detetores eacute descrita por [14]
I(δ) =12I(k)cos(2Nkδ) (38)
Com k o nuacutemero de onda (k = 2πλ) E fazendo δ = d com d = vt resulta
I(δ) =12I(k)cos(2Nk(vt)) (39)
323 Interferoacutemetro de Michelson
No interferoacutemetro do tipo Michelson um feixe de luz eacute dividido em dois que
percorrem caminhos diferentes para de seguida se recombinarem Apoacutes terem
percorrido caminhos diferentes o feixe resultante da recombinaccedilatildeo pode apresen-
tar um padratildeo de interferecircncia que depende da diferenccedila de caminhos oacutepticos
entre os feixes e que pode ser medido num detetor
A forma mais simples de implementar um interferoacutemetro de Michelson con-
siste em dois espelhos colocados entre si num plano perpendicular em que um
deles se pode mover na direccedilatildeo perpendicular agrave sua superfiacutecie refletora conforme
ilustrado na Fig35
Esse espelho iraacute movimentar-se num espaccedilo definido a uma velocidade cons-
tante Entre o espelho fixo e o espelho moacutevel estaacute um separador de feixe que
divide o feixe incidente inicial em dois de igual intensidade Aqui o feixe eacute parci-
almente refletido para um espelho e parcialmente transmitido para o outro
20
32 MEacuteTODOS POR INTERFEROMETRIA
Figura 35 Esquema de funcionamento de um interferoacutemetro de Michelson cominterferecircncia construtiva (a) e destrutiva (b) (adaptado de [15])
Assumindo que o separador de feixe eacute ideal e com uma reflectacircncia e transmi-
tacircncia de 50 se o espelho moacutevel se encontrar estacionaacuterio pode determinar-se
a intensidade do feixe num dado ponto do detetor Se a diferenccedila do caminho
oacuteptico ou retardaccedilatildeo (δ) for zero ou seja os espelhos estatildeo igualmente espaccedilados
do separador de feixe estes vatildeo percorrer a mesma distacircncia e interferir construti-
vamente pelo que a intensidade do feixe final eacute a soma das intensidades dos dois
feixes Nestas condiccedilotildees toda a luz que sai da fonte chega ao detetor
No caso do espelho moacutevel se deslocar uma distacircncia de λ4 a retardaccedilatildeo total
seraacute de λ2 pelo que os feixes estaratildeo desfasadas de 180ordm (π) Nestas condiccedilotildees ter-
se-aacute interferecircncia destrutiva completa na recombinaccedilatildeo dos feixes dando origem
agrave extinccedilatildeo total
Voltando a deslocar o espelho moacutevel de mais λ4 a diferenccedila do caminho
oacuteptico seraacute igual a λ e os dois feixes voltam a estar em fase havendo novamente
uma sobreposiccedilatildeo construtiva dos feixes
Com o espelho moacutevel a deslocar-se a uma velocidade constante o sinal do de-
tetor iraacute variar com uma forma perioacutedica sendo que atinge o seu maacuteximo quando
a retardaccedilatildeo (δ) for um muacuteltiplo inteiro de λ δ =Nλ
A expressatildeo da intensidade do feixe (I) no detector para o caso do interferoacute-
metro de Michelson eacute semelhante agrave equaccedilatildeo 38 para o interferoacutemetro de Mach-
Zehnder sendo que neste caso δ = 2d com d = vt jaacute que o feixe atravessa a
amostra duas vezes Nestas condiccedilotildees ter-se-aacute
I(δ) =12I(k)cos(4Nk(vt)) (310)
21
CAPIacuteTULO 3 MEDICcedilAtildeO DO EFEITO ELECTROOacutePTICO
22
Capiacutetulo
4Sistema Implementado
Este capiacutetulo descreve o sistema implementado para a mediccedilatildeo do coeficiente
electrooacuteptico usando a teacutecnica de interferoacutemetria de Michelson bem como a cali-
braccedilatildeo do mesmo
41 Interferoacutemetro
O sistema escolhido para a mediccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico baseia-se na teacutec-
nica de interferometria de Michelson (ver secccedilatildeo 323) onde se mediu a diferenccedila
de fase entre os ramos do interferoacutemetro Esta teacutecnica foi escolhida pela elevada
sensibilidade agrave diferenccedila de fase gerada entre os ramos do interferoacutemetro facili-
dade de preparaccedilatildeo das amostras e por ser menos sensiacutevel a vibraccedilotildees mecacircnicas
e a flutuaccedilotildees teacutermicas desde que estas ocorram com a mesma intensidade em
ambos os ramos do interferoacutemetro Para aleacutem das vantagens mencionadas e espe-
cificamente em comparaccedilatildeo com o interferoacutemetro mais usado o interferoacutemetro
do tipo Mach-Zehnder o interferoacutemetro de Michelson tem uma maior facilidade
de alinhamento dos espelhos e usa apenas um separador de feixe
A figura 41 esquematiza o sistema baseado no interferoacutemetro de Michelson
desenvolvido para a mediccedilatildeo do coeficiente eletrooacuteptico
23
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Figura 41 Esquematizaccedilatildeo do interferoacutemetro de Michelson e instrumentaccedilatildeoutilizada para a mediccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico em cristais
Como se pode ver no esquema da figura 41 o ramo do espelho vibrante fica
vazio enquanto que no ramo do espelho fixo se encontra a amostra entre dois
eleacutectrodos onde se aplicam um campo eleacutectrico E O sinal medido no detector
resulta da interferecircncia entre os feixes provenientes de cada ramo do interferoacute-
mentro dependendo da diferenccedila de fase entre os dois feixes Conforme referido
anteriormente a intensidade da luz (I) que chega ao detector eacute da ordem de [16]
I prop E21 +E2
2 + 2E1E2cos(∆φ) (41)
42 Electroacutenica Desenvolvida
421 Amplificador
Para o efeito electrooacuteptico se manisfestar eacute necessaacuterio aplicar-se uma tensatildeo eleacutec-
trica ao meio Uma vez que a tensatildeo de referecircncia fornecida pelo amplificador
lock-in utilizado eacute muito baixa para induzir efeito electrooacuteptico significativo por
volta dos 12V foi necessaacuterio construir um amplificador de tensatildeo (Fig 42)
24
42 ELECTROacuteNICA DESENVOLVIDA
Figura 42 Esquemaacutetico do amplificador de tensatildeo utilizado com base no ampli-ficador operacional LF356n
O amplificador construiacutedo conforme ilustra a figura 42 consiste numa mon-
tagem inversora de ganho variaacutevel com uma malha de controlo de offset e eacute
alimentado a plusmn12V
Assim o ganho G eacute determinado atraveacutes de
G = 1 +R2R1
(42)
Sendo R1 = 11kΩ R2 = 5kΩ R3 = 25kΩ e o amplificador em si utilizado foi
o LF356n
Obtendo-se desta forma um ganho de aproximadamente 55 Permitindo apli-
car uma tensatildeo de cerca de 66V ao cristal electrooacuteptico Uma vez que a tensatildeo
aplicada eacute baixa pode-se desprezar o efeito piezoeleacutectrico gerado na amostra e
que iria influenciar o valor do coeficiente electrooacuteptico medido
422 Gerador de Rampa
Para alimentar o excitador piezoeleacutectrico do espelho moacutevel foi utilizado um ge-
rador de sinais (Fig 43) de forma a induzir um deslocamento linear perioacutedico
na forma de rampa A frequecircncia de oscilaccedilatildeo cerca de 25Hz foi escolhida de
25
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
forma a ser suficientemente baixa para evitar fenoacutemenos de batimento com o sinal
de modulaccedilatildeo electrooacuteptico e suficientemente alta para que se consiga adquirir
dados em tempo uacutetil com uma tensatildeo variaacutevel entre os 4 e os 8V
Figura 43 Esquema eleacutectrico do gerador de rampa implementado baseado nocircuito temporizador NE555
Sendo R1 = 20kΩ R2 = 1kΩ e C1 = C2 = 47microF
O tempo de subida da rampa t1 eacute dado por
t1 = 0693(R1 +R2)C1 (43)
Enquanto que o tempo de descida t2 eacute
t2 = 0693R2C1 (44)
Obtendo assim um tempo de subida de 036s e um tempo de descida de 0033s
Assim a frequecircncia do gerador de rampa f seraacute dada por
f =1
t1 + t2=
144(R1 + 2R2)C1
(45)
O gerador de rampa foi construiacutedo aproveitando o espaccedilo livre no interior da
unidade de amplificaccedilatildeo onde se situa o amplificador
26
42 ELECTROacuteNICA DESENVOLVIDA
423 Seguidor de Tensatildeo
Devido agrave necessidade de acoplamento de impedacircncias entre o amplificador lock-
in e o osciloacutescopio natildeo foi possiacutevel a utilizaccedilatildeo de um repartidor coaxial que
repartisse o sinal proveniente do detector Assim de forma a se poder visuali-
zar o sinal proveniente do detector em simultacircneo com o sinal electrooacuteptico foi
necessaacuterio a construccedilatildeo de um seguidor de tensatildeo (Fig44)
Figura 44 Esquema do seguidor de tensatildeo utilizado construida com base nosamplifacores operacionais LF356n
Sendo que ambos os circuitos integrados foram alimentados por uma tensatildeo
positiva (V+) de 12V e uma negativa (Vminus) de minus12V Com R1 = R2 = 25kΩ Agrave
semelhanccedila do amplificador foi tambeacutem construida uma malha de controlo de
offset
Agrave semelhanccedila do gerador de rampa tambeacutem foi construido na unidade de
amplificaccedilatildeo e gerador de rampa como se pode ver na figura 45
27
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Figura 45 Imagem da unidade de amplificaccedilatildeo e geraccedilatildeo de rampa implemen-tada
43 Sistema Oacuteptico Desenvolvido
431 Espelho Vibrante
O espelho vibrante (Fig46) foi construiacutedo afixando um espelho a um disco pie-
zoeleacutectrico A vibraccedilatildeo do espelho iraacute fazer com que a distacircncia entre o divisor
de feixe e o espelho varie Fazendo deslocar a franja de interferecircncia em frente ao
detector permitindo a este medir as intensidades maacuteximas e miacutenimas das franjas
de interferecircncia (ver secccedilatildeo 323)
Figura 46 Imagem do espelho vibrante utilizado
28
43 SISTEMA OacutePTICO DESENVOLVIDO
432 Bancada Oacuteptica
De forma a colocar os componentes ao niacutevel do feixe do laser na mesa oacuteptica e a
tornar o sistema menos sensiacutevel a vibraccedilotildees mecacircnicas e flutuaccedilotildees teacutermicas os
componentes foram colocadas numa base quadrada de alumiacutenio
Figura 47 Imagem da bancada oacuteptica onde o interferoacutemetro de Michelson foiconstruiacutedo
Conforme se pode ver na figura 47 para completar o interferoacutemetro de Michel-
son para aleacutem dos componentes jaacute referidos foram ainda utilizados um separador
de feixe e um espelho (fixo) no suporte com uma lente oacuteptica agrave saiacuteda do mesmo
Faltando ainda o laser utilizado da Melles Griotreg que possui uma potecircncia de
635mW e um comprimento de onda de 6328nm
433 Detector
O detector utilizado foi um modelo 818-UVDB da Newport Corporationreg (Fig
48) de baixa potecircncia consistindo num fotodiacuteodo de siliacutecio capaz de operar entre
os 200 e os 1100nm As caracteriacutesticas principais deste detector encontram-se
listadas na tabela 433
29
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Tabela 41 Caracteriacutesticas principais do detector 818-UVDB [17]
Largura de Banda 200 a 1100(nm) Material Siliacutecio
Potecircncia
W λ(nm)
Incerteza de
λ(nm)
02 200 a 4008 200 a 219
Maacutexima Calibraccedilatildeo 2 220 a 349
005 400 a 11001 350 a 9494 950 a 1050
Densidade de02Wcm2 Aacuterea Activa 1cm2
Potecircncia Meacutedia
Energia Maacutexima05microJ
Diacircmetro113cm
de Pulso Activo
De forma a evitar que a luz ambiente interferisse nas medidas e para aumen-
tar a resoluccedilatildeo de mediccedilatildeo do perfil da franja de interferecircncia foi colocado um
diafragma com uma abertura no centro de 06mm conforme se pode ver na figura
48 reduzido desta maneira a aacuterea activa para 028 mm2
Figura 48 Imagem do detector e disco utilizado
Para a aquisiccedilatildeo do sinal electrooacuteptico e geraccedilatildeo de sinal electrooacuteptico de
referecircncia foi utilizado um osciloscoacutepio Lecroy Wavesufertrade422
30
43 SISTEMA OacutePTICO DESENVOLVIDO
434 Cristal Electrooacuteptico
Para a calibraccedilatildeo do sistema foi utilizado um cristal padratildeo de dihidrogenofosfato
de potaacutessio (KDP) Na tabela 42 pode-se observar algumas das propriedades
fiacutesicas desse cristal
Tabela 42 Propriedades fiacutesicas do cristal padratildeo KDP [18]
Material Simetria Densidade Classe Higroscopicidade
KDP Tetragonal (42m) 234gcm3 Uniaxial Higroscoacutepico
Uma vez que o cristal eacute uniaxial nx = ny = no e nz = ne sendo no e ne os
iacutendices de refraccedilatildeo ordinaacuterio e extraordinaacuterio do cristal KDP A figura 49 ilustra
o elipsoiacutede de iacutendices num cristal padratildeo KDP
Figura 49 Ilustraccedilatildeo de um cristal padratildeo KDP e seu respectivo elipsoiacutede deiacutendices
31
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Na Tabela 43 pode-se observar algumas das propriedades oacutepticas do cristal
padratildeo KDP
Tabela 43 Propriedades oacutepticas do cristal padratildeo KDP a 6328nm [7]
Material Foacutermula Quiacutemica Iacutendice de RefracccedilatildeoCoeficiente
Electrooacuteptico
KDPKH2PO4
no=15074 r41=86 pmV(λ = 6328nm) ne=14673 r63=106 pmV
Como se pode ver na tabela 42 o cristal do tipo KDP eacute higroscoacutepico sendo
assim necessaacuterio reduzir ao maacuteximo o contacto entre o cristal e a atmosfera para
evitar que as suas faces fiquem opacas interferindo assim na qualidade do feixe
transmitido
435 Porta Amostras
O porta amostras eacute constituiacutedo por uma base feita de latatildeo (Fig 410) onde se
coloca o cristal nivelado com o feixe laser Este suporte possui oito roscas para
parafusos M3 quatro em cima de forma a se fixar os encaixes laterais do porta
amostras e quatro em baixo de forma a afixar-se firmemente na bancada oacuteptica
Figura 410 Imagem da base do porta-amostras desenvolvido
32
43 SISTEMA OacutePTICO DESENVOLVIDO
De forma a aplicar-se a tensatildeo de excitaccedilatildeo ao cristal sem bloquear o feixe do
laser foram utilizadas duas placas de vidro com oacutexido de estanho dopado com
fluacuteor (FTO) Este permite que haja uma boa transparecircncia e conduccedilatildeo eleacutetrica
sendo usado em vaacuterios tipos de dispositivos como aplicaccedilotildees opto-eletroacutenicas
ecratildes touch screen filmes finos fotovoltaicos etc O oacutexido de estanho dopado
com fluacuteor [19] eacute reconhecido por ser altamente estaacutevel quimicamente inerte re-
siste a temperaturas elevadas e ao desgaste abrasivo sendo mais econoacutemico do
que o tradicional oacutexido de iacutendio e estanho (ITO)
De forma a garantir um bom contacto eleacutectrico entre o vidro FTO e o cristal
foram construidas duas peccedilas de afixaccedilatildeo idecircnticas (Fig 411) Trata-se de duas
peccedilas de alumiacutenio cada uma contendo uma abertura de forma a deixar passar
o feixe laser e dois rasgos para parafusos de forma a poder-se fixar no suporte e
desta maneira exercer uma pressatildeo constante sobre o cristal
Figura 411 Imagem das peccedilas de fixaccedilatildeo do cristal desenvolvidas com a vista defrente (a) e a vista de traacutes (b)
A ligaccedilatildeo eleacutectrica entre o sinal de referecircncia proveniente do amplificador ao
vidro FTO foi feita atraveacutes de uma cola condutora de prata de forma a assegurar
a ligaccedilatildeo oacutehmica entre o fio de cobre e a camada de FTO O cristal fica assim entre
duas placas de vidro FTO(Fig412)
33
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Figura 412 Imagem do porta Amostras desenvolvido
A figura 413 ilustra o sistema desenvolvido incluindo a bancada oacuteptica e
instrumentaccedilatildeo
Figura 413 Imagem do sistema desenvolvido para a mediccedilatildeo do efeito electrooacutep-tico
34
44 COEFICIENTE ELECTROOacutePTICO
44 Coeficiente Electrooacuteptico
Para o cristal utilizado o dihidrogenofosfato de potaacutessio (KDP) e para o efeito
electrooacuteptico linear a matriz de coeficientes electrooacutepticos eacute a seguinte
rij =
0 0 0
0 0 0
0 0 0
r41 0 0
0 r52 0
0 0 r63
com
i = 1 6
j = 123
Sendo que r41 = r52 pelo que existem apenas dois coeficientes independentes
o r41 e o r63
Usando a notaccedilatildeo condensada mencionada da secccedilatildeo 21 onde se aplica o
campo eleacutectrico (E) no plano do i (sendo i = m) enquanto que j eacute o eixo oacuteptico
Para o caso do KDP eacute costume utilizar o r63 Isto eacute aplicar o campo eleacutectrico nos
planos 12 ou 21 (ou seja i = 6) com o eixo oacuteptico no eixo 3 (j = 3) como demonstra
a figura 414
Figura 414 Ilustraccedilatildeo da configuraccedilatildeo utilizada para a mediccedilatildeo do coeficienter63 num cristal
35
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Para o caso do efeito electrooacuteptico quadraacutetico a matriz dos coeficientes elec-
trooacutepticos seraacute
sij =
s11 s12 s12 0 0 0
s12 s11 s12 0 0 0
s12 s12 s11 0 0 0
0 0 0 s11 minus s12 0 0
0 0 0 0 s11 minus s12 0
0 0 0 0 0 s11 minus s12
com i j = 1 6
45 Execuccedilatildeo Experimental
Para se medir o coeficiente electrooacuteptico aplica-se ao cristal uma tensatildeo com uma
frequecircncia de 2kHz frequecircncia essa que se revelou menos sensiacutevel aos ruiacutedos
ambientes sendo que o sinal electrooacuteptico teraacute a mesma frequecircncia Podendo-
se desta maneira atraveacutes de um amplificador de lock-in (modelo 393 da IthacoDynatrac) filtrar o sinal electrooacuteptico dos restantes sinais uma vez que a sua
frequecircncia eacute conhecida
A intensidade da equaccedilatildeo 41 eacute maacutexima quando cos(∆φ) = 1 e miacutenima quando
cos(∆φ) = minus1 Pelo que subtraindo estas duas equaccedilotildees
Imax minus Imin = 4E1E2 (46)
Assim combinando a equaccedilatildeo 41 com a equaccedilatildeo 46 obtem-se
I prop E21E
22 +
12
(Imax minus Imin)cos(∆φ) (47)
Juntando agora a equaccedilatildeo 246 agrave equaccedilatildeo 247 e tendo em conta que o feixe
passa duas vezes por cada ramo (=2l) a diferenccedila de fase para o efeito electrooacutep-
tico linear
∆φ = ∆φ0 +πrn3
oVoλ
2lh
cos(Ωt) (48)
Sendo ∆φ0 a diferenccedila de fase inicial sem o efeito electrooacuteptico
36
45 EXECUCcedilAtildeO EXPERIMENTAL
Substituindo o ∆φ da equaccedilatildeo 48 na equaccedilatildeo 47 a intensidade do sinal com
modulaccedilatildeo electrooacuteptica(Iseo) seraacute dado por
Iseo prop E21 +E2
2 +12
(Imax minus Imin)cos(∆φ0 +
πrn3oVoλ
2lh
cos(Ωt))
(49)
Usando cos(α plusmn β) = cos(α)cos(β)∓ sen(α) sen(β) e D = πrn3oVoλ
2lh fica-se com
Iseo prop E21 +E2
2+12
(Imax minus Imin)
[cos(∆φ0)cos(Dcos(Ωt)) minus sen(∆φ0) sen(D cos(Ωt))](410)
Como a modulaccedilatildeo electrooacuteptica eacute um efeito muito pequeno a equaccedilatildeo 410
pode-se escrever
Iseo asymp E21 +E2
2 +12
(Imax minus Imin) [cos(∆φ0)minusD cos(Ωt) sen(∆φ0)] (411)
Considerando soacute os termos de primeira ordem
Iseo asymp12
(Imax minus Imin) [cos(∆φ0)minusD cos(Ωt) sen(∆φ0)] (412)
A componente do sinal electrooacuteptico eacute entatildeo dado por
Iseo =12
(Imax minus Imin)D cos(Ωt) sen(∆φ0) (413)
Ou seja
Iseo =12
(Imax minus Imin)πrn3
oVoλ
2lh
cos(Ωt) sen(∆φ0) (414)
O acircngulo ∆φ0 varia linearmente com o tempo (t) a uma frequecircncia inferior
a Ω A franja de interferecircncia desloca-se continuamente em frente ao detector
devido a um dos espelho estar fixado num disco piezoeleacutectrico
37
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Na figura 415 pode-se ver uma exemplificaccedilatildeo do sinal no detector que incor-
pora o sinal da franja e electrooacuteptico dada pela equaccedilatildeo 414
Figura 415 Ilustraccedilatildeo do sinal de modulaccedilatildeo electrooacuteptica de um feixe de luzmedido num interferoacutemetro de Michelson
Uma vez que o sinal electrooacuteptico (cos(Ωt)) estaacute desfasado π2 do sinal da
franja ( sen(∆φ0)) A intensidade do sinal electrooacuteptico pode ser escrita como
Iseo asymp12
(Imax minus Imin)πrn3
oVoλ
2lh
∣∣∣ sen(∆φ0)∣∣∣ (415)
Assim a amplitude do sinal electrooacuteptico eacute
Iseo =12
(Imax minus Imin)πrn3
oVoλ
2lh
(416)
Pelo que o coeficiente electrooacuteptico linear seraacute dado por
r =|Iseo|
|Imax minus Imin|λ
πn3oVo
hl
(417)
38
46 RESULTADOS
Para o efeito electrooacuteptico quadraacutetico utilizando o procedimento anoacutelogo mas
a partir da equaccedilatildeo 248 em vez da equaccedilatildeo 247 O sinal electrooacuteptico quadraacutetico
Iseoq que ocorre ao dobro da frequecircncia de modulaccedilatildeo 2Ω eacute dado por
s =
∣∣∣Iseoq∣∣∣|Imax minus Imin|
2λ
πn3oV
2o
h2
l(418)
46 Resultados
Com o cristal de KDP devidamente alinhado no interferoacutemetro segundo o seu
eixo oacuteptico de maneira a se medir o coeficiente r63 Obtendo-se assim dois sinais
o sinal de franja e o sinal electrooacuteptico (Fig 416)
Figura 416 Padratildeo da franja produzida (a) e respectivos sinais de franja e elec-trooacuteptico obtidos para um cristal KDP padratildeo
De forma a se proceder a calibraccedilatildeo do sistema utilizou-se a equaccedilatildeo 417 na
forma
|Iseo||Imax minus Imin|
=πn3
o
λlhrVo (419)
39
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Usando o valor da razatildeo |Iseo ||ImaxminusImin|
em funccedilatildeo do potencial aplicado Vo pode-se
calcular o valor do coeficiente electrooacuteptico r atraveacutes do declive da recta obtida
Pode-se ver na figura 417 uma das rectas obtidas para o cristal utilizado na
calibraccedilatildeo do sistema
Figura 417 Razatildeo entre o sinal electrooacuteptico e a diferenccedila de intensidade defranjas em funccedilatildeo do potencial Vo aplicado ao cristal
A tabela 44 apresenta o valor do coeficiente electrooacuteptico obtido e respectiva
incerteza para o cristal de KDP tomando em conta os valores dos iacutendices de
refraccedilatildeo da tabela 43
Tabela 44 Valores e respectivas incertezas obtidas do coeficiente electrooacutepticopara o cristal KDP utilizado
Material Valor Padratildeo Valor Obtido Erro
KDPr63 = 106pmV r63 = 105plusmn 02pmV 1
(λ = 6328nm)
Como se pode ver na tabela 44 o resultado obtido situa-se muito proacuteximo
do teoacuterico encontrando-se dentro da incerteza obtida Os valores valores meacutedios
apresentam um desvio da ordem dos 02pmV
40
46 RESULTADOS
Apesar dos valores obtidos serem bastante positivos houve algumas dificul-
dades nomeadamente o vidro FTO que causou que o alinhamento fosse extrema-
mente complicado natildeo soacute pela sua espessura e dimensionamento como tambeacutem
pela refraccedilatildeo provocada no feixe laser Outro grande obstaacuteculo foi o alinhamento
do cristal uma vez que basta um ligeiro desvio no caminho oacuteptico para causar um
desalinhamento total algo que eacute agravado no interferoacutemetro do tipo Michelson
pelo facto de o feixe laser passar na amostra duas vezes
Apesar destas dificuldades o valor obtido para o coeficiente electrooacuteptico r63
foi de 105pmV valor esse muito proacuteximo do valor padratildeo da literatura que se
encontra nos 106pmV Assim pode-se considerar que o sistema desenvolvido
se encontra devidamente calibrado e pronto para futuras utilizaccedilotildees
41
Capiacutetulo
5Conclusotildees
O trabalho desenvolvido no decorrer desta dissertaccedilatildeo consistiu no desenvolvi-
mento de um sistema para a mediccedilatildeo do efeito electrooacuteptico aacuterea a ser ulilizada
na caracterizaccedilatildeo de novos materiais polimeacutericos para aplicaccedilatildeo em dispositivos
fotoacutenicos
Nesta conformidade foi desenhada construiacuteda e testado uma bancada oacuteptica
destinada agrave mediccedilatildeo do efeito electrooacuteptico baseado numa teacutecnica interferomeacute-
trica de mediccedilatildeo da diferenccedila de fase implementado atraveacutes de um interferoacutemetro
do tipo Michelson
O cristal escolhido para a calibraccedilatildeo do sistema desenvolvido foi um cristal de
KDP comercial tendo sido utilizado o coeficiente electrooacuteptico r63 como referecircn-
cia sendo o valor padratildeo de 106pmV
O sistema obtido permitiu medir um valor nominal de 105plusmn 02pmV com
um erro de aproximadamente 1 em relaccedilatildeo ao valor tabelado comprovando a
afericcedilatildeo do sistema para a mediccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico por transmissatildeo
O sistema desenvolvido estaacute portanto apto para futuras mediccedilotildees sendo ape-
nas necessaacuterio algumas alteraccedilotildees no porta-amostras mediante as dimensotildees e
forma da amostra a utilizar
Chegou-se ainda agrave conclusatildeo que para amostras como o cristal utilizado o
feixe laser passar duas vezes na amostra acaba por ser uma grande desvantagem
desvantagem essa inexistente para filmes polimeacutericos que ganham cada vez mais
importacircncia na aacuterea da fotoacutenica uma vez que satildeo materiais de grande interesse
cientiacutefico e tecnoloacutegico jaacute que podem ser utilizados no desenvolvimento de dispo-
sitivos oacutepticos nomeadamente moduladores de luz e memoacuterias oacutepticas
43
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46
Apecircndice
AApecircndice
A1 Desenhos Teacutecnicos
47
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01
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- Lista de Figuras
- Lista de Tabelas
- Introduccedilatildeo
- Efeito Electrooacuteptico
-
- Oacuteptica Natildeo-Linear
- Propagaccedilatildeo em Meios Anisotroacutepicos
-
- Vector de Poynting
- Elipsoiacutede dos Iacutendices
- Coeficientes Natildeo-Lineares
-
- Mediccedilatildeo do Efeito Electrooacuteptico
-
- Meacutetodo Tradicional
- Meacutetodos por Interferometria
-
- Interferometria Oacuteptica
- Interferoacutemetro de Mach-Zehnder
- Interferoacutemetro de Michelson
-
- Sistema Implementado
-
- Interferoacutemetro
- Electroacutenica Desenvolvida
-
- Amplificador
- Gerador de Rampa
- Seguidor de Tensatildeo
-
- Sistema Oacuteptico Desenvolvido
-
- Espelho Vibrante
- Bancada Oacuteptica
- Detector
- Cristal Electrooacuteptico
- Porta Amostras
-
- Coeficiente Electrooacuteptico
- Execuccedilatildeo Experimental
- Resultados
-
- Conclusotildees
- Bibliografia
- Apecircndice
-
- Desenhos Teacutecnicos
-
IacuteNDICE
435 Porta Amostras 32
44 Coeficiente Electrooacuteptico 35
45 Execuccedilatildeo Experimental 36
46 Resultados 39
5 Conclusotildees 43
Bibliografia 45
A Apecircndice 47A1 Desenhos Teacutecnicos 47
xii
Lista de Figuras
21 Cubo com secccedilatildeo de aacuterea A e ∆x de lado 8
22 Ilustraccedilatildeo do elipsoiacutede de iacutendices (retirado de [7]) 11
31 Montagem experimental proposta por Henry e a sua equipa (adaptado
de [9]) 16
32 Ilustraccedilatildeo de uma interferecircncia construtiva perfeita (a) e destrutiva
completa (b) 17
33 Visibilidade num interferoacutemetro em funccedilatildeo da diferenccedila de fase en-
tre duas ondas provenientes de ramos diferentes do interferoacutemetro
(adaptado de [11]) 18
34 Esquema de um interferoacutemetro de Mach-Zehnder (adaptado de [12]) 19
35 Esquema de funcionamento de um interferoacutemetro de Michelson com
interferecircncia construtiva (a) e destrutiva (b) (adaptado de [15]) 21
41 Esquematizaccedilatildeo do interferoacutemetro de Michelson e instrumentaccedilatildeo uti-
lizada para a mediccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico em cristais 24
42 Esquemaacutetico do amplificador de tensatildeo utilizado com base no ampli-
ficador operacional LF356n 25
43 Esquema eleacutectrico do gerador de rampa implementado baseado no
circuito temporizador NE555 26
44 Esquema do seguidor de tensatildeo utilizado construida com base nos
amplifacores operacionais LF356n 27
45 Imagem da unidade de amplificaccedilatildeo e geraccedilatildeo de rampa implementada 28
46 Imagem do espelho vibrante utilizado 28
47 Imagem da bancada oacuteptica onde o interferoacutemetro de Michelson foi
construiacutedo 29
48 Imagem do detector e disco utilizado 30
49 Ilustraccedilatildeo de um cristal padratildeo KDP e seu respectivo elipsoiacutede de
iacutendices 31
410 Imagem da base do porta-amostras desenvolvido 32
xiii
Lista de Figuras
411 Imagem das peccedilas de fixaccedilatildeo do cristal desenvolvidas com a vista de
frente (a) e a vista de traacutes (b) 33
412 Imagem do porta Amostras desenvolvido 34
413 Imagem do sistema desenvolvido para a mediccedilatildeo do efeito electrooacuteptico 34
414 Ilustraccedilatildeo da configuraccedilatildeo utilizada para a mediccedilatildeo do coeficiente r63
num cristal 35
415 Ilustraccedilatildeo do sinal de modulaccedilatildeo electrooacuteptica de um feixe de luz
medido num interferoacutemetro de Michelson 38
416 Padratildeo da franja produzida (a) e respectivos sinais de franja e elec-
trooacuteptico obtidos para um cristal KDP padratildeo 39
417 Razatildeo entre o sinal electrooacuteptico e a diferenccedila de intensidade de franjas
em funccedilatildeo do potencial Vo aplicado ao cristal 40
xiv
Lista de Tabelas
41 Caracteriacutesticas principais do detector 818-UVDB [17] 30
42 Propriedades fiacutesicas do cristal padratildeo KDP [18] 31
43 Propriedades oacutepticas do cristal padratildeo KDP a 6328nm [7] 32
44 Valores e respectivas incertezas obtidas do coeficiente electrooacuteptico
para o cristal KDP utilizado 40
xv
Lista de Siacutembolos
~S - Vector de Poynting
ε - Permissidade eleacutectrica
micro - Permeabilidade eleacutectrica
λ - Comprimento de onda
φ - Fase
ν - Visibilidade
δ - Retardaccedilatildeo
Ω - Frequecircncia de modulaccedilatildeo
χ(1) - Suscetibilidade eleacutectrica linear
χ(2) - Suscetibilidade eleacutectrica de segunda ordem
χ(3) - Suscetibilidade eleacutectrica de terceira ordem
ε0 - Permissidade eleacutectrica do vazio
B - Campo magneacutetico
D - Deslocamento eleacutectrico
E - Campo eleacutectrico
I - Intensidade
P - Polarizaccedilatildeo
Vo - Potencial eleacutectrico
c - Velocidade da luz no vazio
h - Distacircncia entre os eleacutetrodos
xvii
LISTA DE SIacuteMBOLOS
k - Nuacutemero de onda
l - Caminho percorrido pela luz num meio
n - Iacutendice de refraccedilatildeo
ne - Iacutendice de refraccedilatildeo extraordinaacuterio
no - Iacutendice de refraccedilatildeo ordinaacuterio
r - Coeficiente electrooacuteptico linear
s - Coeficiente electrooacuteptico quadraacutetico
u - Densidade de energia
w - Frequecircncia angular
xviii
Capiacutetulo
1Introduccedilatildeo
A fibra oacuteptica eacute hoje amplamente utilizada nas redes de telecomunicaccedilatildeo em subs-
tituiccedilatildeo dos tradicionais cabos eleacutectricos por permitir transportar uma grande
quantidade de informaccedilatildeo a alta velocidade e com perdas reduzidas sem ser
afetada pelo ruiacutedo eletromagneacutetico Por outro lado a transmissatildeo de informaccedilatildeo
atraveacutes da fibra oacuteptica requer o desenvolvimento de dispositivos capazes de pro-
cessar sinal oacuteptico tais como amplificadores comutadores e moduladores de luz
Eacute aqui que o efeito electrooacuteptico assume um papel de relevo jaacute que possibilita a
modulaccedilatildeo de luz a frequecircncias da ordem do gigahertz [1 2 3]
O efeito electrooacuteptico tambeacutem conhecido por efeito de Pockels1 consiste na
variaccedilatildeo do iacutendice de refraccedilatildeo de um meio quando a este eacute aplicado um campo
eleacutetrico externo Esta alteraccedilatildeo no iacutendice de refraccedilatildeo eacute o resultado de forccedilas elec-
trostaacuteticas que deformam as moleacuteculas (alteraccedilatildeo de posiccedilatildeo orientaccedilatildeo ou forma)
do meio que estaacute na origem de uma alteraccedilatildeo no momento dipolar Distinguem-
se dois tipos de efeito eletrooacuteptico o linear (efeito Pockels) e o quadraacutetico (efeito
Kerr2)
O efeito de Pockels estaacute na origem da criaccedilatildeo de uma birrefringecircncia ∆n
no meio oacuteptico proporcional ao campo eleacutetrico aplicado Este efeito observa-se
1Friedrich Carl Alwin Pockels foi um fiacutesico alematildeo que em 1893 descobriu que se for aplicadoum campo eleacutectrico estaacutevel a certos materiais birrefrigentes estes vatildeo sofrer uma variaccedilatildeo noiacutendice de refraccedilatildeo proporcional agrave forccedila do campo aplicado Este coeficiente de proporcionalidadeestaacute entre os 10times 10minus10V minus1 e os 10times 10minus12V minus1 Ficando este fenoacutemeno conhecido como Efeito dePockels
2John Kerr foi um fiacutesico escocecircs e um pioneiro no campo da electro-oacuteptica nomeadamentepelo efeito de Kerr em 1875 que consiste numa variaccedilatildeo do iacutendice de refraccedilatildeo que varia quadraacuteti-camente com o campo eleacutetrico aplicado
1
CAPIacuteTULO 1 INTRODUCcedilAtildeO
apenas em meios em que a sua estrutura natildeo apresenta centro de simetria
No efeito de Kerr a variaccedilatildeo no iacutendice de refraccedilatildeo do meio eacute proporcional ao
quadrado do campo eleacutetrico aplicado e portanto proporcional agrave intensidade da
luz e ao contraacuterio do efeito de Pockels ocorre dum modo geral como mais ou
menos intensidade em todos os materiais
O conhecimento das propriedades electrooacutepticas de um material eacute fundamen-
tal na avaliaccedilatildeo das suas capacidades para o desenvolvimentos de dispositivos
moduladores de luz O presente trabalho de dissertaccedilatildeo consistiu no desenvolvi-
mento de uma bancada oacuteptica para a mediccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico base-
ado em teacutecnica interferomeacutetrica de mediccedilatildeo da diferenccedila de fase induzida por
efeito eletrooacuteptico
Neste trabalho seraacute inicialmente descrita a teoria e os caacutelculos necessaacuterios
para a mediccedilatildeo do efeito electrooacuteptico atraveacutes dos seus coeficientes natildeo-lineares
Sendo de seguida apresentados alguns sistemas de mediccedilatildeo deste efeito e o seu
respectivo funcionamento No capiacutetulo seguinte seraacute descrito o funcionamento
do sistema desenvolvido o interferoacutemetro implementado o porta-amostras cons-
truiacutedo a eletroacutenica e os sistemas oacutepticos desenvolvidos que integram o sistema
bem como os caacutelculos finais para a obtenccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico do sis-
tema usado Por uacuteltimo as conclusotildees retiradas do trabalho desenvolvido bem
como as suas perspectivas futuras
2
Capiacutetulo
2Efeito Electrooacuteptico
Este capiacutetulo aborda do ponto de vista teoacuterico alguns aspectos relevantes para a
realizaccedilatildeo deste trabalho nomeadamente a propagaccedilatildeo da luz num meio as pro-
priedades da oacuteptica natildeo-linear e a alteraccedilatildeo no iacutendice de refraccedilatildeo linear em meios
anisotroacutepicos Estes conceitos permitiratildeo encontrar as expressotildees que determinam
os coeficientes natildeo-lineares
21 Oacuteptica Natildeo-Linear
Um dado material pode responder de forma natildeo-linear a um campo eleacutectrico
aplicado De um modo geral pode-se descrever a resposta da seguinte forma[4]
Pi = ε0
[χ
(1)ij Ej +χ(2)
ijkEjEk +χ(3)ijklEjEkEl +χ(N )
middotmiddotmiddot middot middot middot]
(21)
Onde P i eacute a polarizaccedilatildeo do meio ε0 eacute a permissidade eleacutectrica no vaacutecuo E
o campo eleacutectrico aplicado χ(1) a suscetibilidade eleacutectrica linear e χ(2) χ(3)
χ(n) as suscetibilidades natildeo lineares de segunda ordem de terceira ordem ateacute
N ordem sendo N um nuacutemero inteiro com i j k l um sistema de eixos de
laboratoacuterio com valores valores 1 2 e 3
Cada termo da equaccedilatildeo 21 estaacute associado a diferentes respostas do meio O
termo χ(1) estaacute associado ao iacutendice de refraccedilatildeo e absorccedilatildeo linear O termo χ(2) agrave
geraccedilatildeo de segunda harmoacutenica soma e diferenccedila de frequecircncias e o efeito elec-
trooacuteptico linear ou efeito de Pockels Este efeito eacute particularmente importante
3
CAPIacuteTULO 2 EFEITO ELECTROOacutePTICO
jaacute que permite a modulaccedilatildeo da luz De salientar que o tensor de terceira ordem
(χ(2)ijk) se reduz a dezoito elementos atendendo agraves simetrias resultantes de permu-
tas de iacutendices jaacute que χ(2)ijk = χ
(2)ikj = χ
(2)kij = χ
(2)jik = χ
(2)jki = χ
(2)kji Pode-se desta forma
representar atraveacutes da matriz
χ(2)ij =
χ
(2)11 χ
(2)12 χ
(2)13 χ
(2)14 χ
(2)15 χ
(2)16
χ(2)21 χ
(2)22 χ
(2)23 χ
(2)24 χ
(2)25 χ
(2)26
χ(2)31 χ
(2)32 χ
(2)33 χ
(2)34 χ
(2)35 χ
(2)36
Utilizando uma notaccedilatildeo condensada[5] ficamos com
χ(2)ijk = χ(2)
mk = com m =
1 quando ij = 11
2 quando ij = 22
3 quando ij = 33
4 quando ij = 2332
5 quando ij = 1331
6 quando ij = 1221
De notar que dependendo do meio soacute alguns dos elementos de χ(2)ijk seratildeo natildeo
nulos Para materiais que exibam centro de simetria o efeito electrooacuteptico linear
natildeo existe de todo sendo os elementos de χ(2)ijk nulos
O elemento χ(3) estaacute associado agrave geraccedilatildeo da terceira harmoacutenica soma e dife-
renccedila de frequecircncias e o efeito electrooacuteptico quadraacutetico ou efeito de Kerr que se
manifesta na variaccedilatildeo do iacutendice de refraccedilatildeo com o quadrado do campo eleacutectrico
aplicado
De salientar ainda que quanto maior o valor de ordem n mais difiacutecil se torna
observar os efeitos associados uma vez que estes se tornam cada vez menos inten-
sos
4
22 PROPAGACcedilAtildeO EM MEIOS ANISOTROacutePICOS
22 Propagaccedilatildeo em Meios Anisotroacutepicos
A propagaccedilatildeo de uma onda electromagneacutetica num meio pode ser descrita pelas
equaccedilotildees de Maxwell1 Para o caso de um meio homogeacuteneo isolante e neutro
pode-se escrever como
nabla middot ~E = 0 (22a)
nabla middot ~B = 0 (22b)
nablatimes ~E = minuspart~Bpartt
(22c)
nablatimes ~B = microεpart~Epartt
(22d)
Sendo ~B o campo magneacutetico ~E o campo eleacutectrico ε e micro a permissidade eleacutectrica
e permeabilidade magneacutetica do meio respectivamente
Tendo em conta que para um vector ~D geneacuterico
nablatimesnablatimes ~D = nabla(nabla middot ~D
)minusnabla2 ~D (23)
e
nablatimespart~Dpartt
=partnablatimes ~Dpartt
(24)
Comeccedilando pela equaccedilatildeo 22c
nablatimesnablatimes ~E = nablatimespart~Bpartt
(25)
Usando as propriedades matemaacuteticas das equaccedilotildees 23 e 24
nabla(nabla middot ~E
)minusnabla2~E =
partnablatimes ~Bpartt
(26)
Utilizando as equaccedilotildees 22a e 22d na equaccedilatildeo 26 verifica-se que
nabla2~E = microεpart2~E
partt2(27)
1James Clerk Maxwell foi um cientista escocecircs mais conhecido por ter combinado as teoriasdos campos da oacuteptica do magnetismo e da electricidade numa soacute e uacutenica teoria dando assimorigem as chamadas equaccedilotildees de Maxwell
5
CAPIacuteTULO 2 EFEITO ELECTROOacutePTICO
Obtendo-se desta maneira a equaccedilatildeo de onda para o campo eleacutectrico Analo-
gamente mas comeccedilando com a equaccedilatildeo 22d obteacutem-se para o campo magneacutetico
nabla2~B = microεpart2~B
partt2(28)
A sua velocidade de propagaccedilatildeo eacute dada por
v =1radicmicroε
(29)
Sendo que no vazio micro = micro0 e ε = ε0 o que resulta em v = c 3times 108ms
Resolvendo as equaccedilotildees 27 e 28 obtecircm-se as expressotildees para os campos eleacutec-
tricos e magneacuteticos que se propagam no meio
~E (~r t) = ~E0ei(~kmiddot~rminuswt
)(210)
e
~B (~r t) = ~B0ei(~kmiddot~rminuswt
)(211)
Onde ~r eacute o vector posiccedilatildeo ~k eacute o vector de onda que segue a direccedilatildeo de pro-
pagaccedilatildeo da onda w a frequecircncia angular e t o tempo Sendo que a parte real das
equaccedilotildees representa os seus respectivos campos A magnitude do vector ~k pode
ser escrita da seguinte maneira
k =2πλ
=wv
=wnc
(212)
Em que k eacute o nuacutemero de onda λ o comprimento de onda e n o iacutendice de
refraccedilatildeo
Escrevendo a parte real das equaccedilotildees 210 e 211 fica-se com
E = E0 cos(kr minuswt) (213)
e
B = B0 cos(kr minuswt) (214)
Manipulando a equaccedilatildeo 22c obtem-se
partEpartx
= minuspartBpartt
(215)
6
22 PROPAGACcedilAtildeO EM MEIOS ANISOTROacutePICOS
Utilizando a equaccedilatildeo 215 nas equaccedilotildees 213 e 213
kE0 = wB0 (216)
Usando a equaccedilatildeo 212 na equaccedilatildeo 216 verifica-se que
B0 =E0
v(217)
221 Vector de Poynting
O fluxo de energia (Wm2) dado pelo vector de Poynting2 (~S) pode ser escrito da
seguinte forma
~S =1micro~E times ~B (218)
A densidade de energia eleacutectrica ou a energia eleacutectrica armazenada por uni-
dade de volume (joulem3) a quantidade de energia contida num dado sistema
em relaccedilatildeo ao seu volume seraacute dada por
uE =12εE2 (219)
Agrave semelhanccedila da densidade de energia eleacutectrica a densidade de energia mag-
neacutetica (uB) eacute
uB =1
2microB2 (220)
Assim somando as equaccedilotildees 219 e 220 obtem-se a densidade de energia
total de uma onda electromagneacutetica
u =12εE2 +
12microB2 (221)
2John Henry Poynting foi um fiacutesico britacircnico autor de diversos trabalhos entre os quais um te-orema no qual se atribui um valor agrave taxa de fluxo de energia electromagneacutetica que ficou conhecidocomo vector de Poynting
7
CAPIacuteTULO 2 EFEITO ELECTROOacutePTICO
Substituindo as equaccedilotildees 29 e 217 na equaccedilatildeo 221 pode-se escrever a densi-
dade de energia total de uma onda electromagneacutetica num dado meio da seguinte
forma
u = εE2 (222)
Relacionando-se desta forma a densidade de energia com o campo eleacutectrico
De salientar que o campo magneacutetico e o campo eleacutectrico estatildeo relacionados atra-
veacutes da equaccedilatildeo 217
Considerando uma secccedilatildeo de aacuterea A (Fig 21) de um cubo com ∆x de lado
Figura 21 Cubo com secccedilatildeo de aacuterea A e ∆x de lado
A energia armazenada no cubo ou densidade de energia eacute igual a
∆U = uA∆x (223)
Sendo que a energia que atravessa a aacuterea A por unidade de tempo eacute
∆U∆t
=uA∆x∆xv
= uAv (224)
Assim a energia por unidade de tempo e aacuterea (Wm2) eacute igual a
uv = S (225)
Combinando a equaccedilatildeo 225 com a equaccedilatildeo 222 pode-se escrever a magnitude
do vector de Poynting da seguinte forma
S = εvE2 (226)
8
22 PROPAGACcedilAtildeO EM MEIOS ANISOTROacutePICOS
Substituindo a equaccedilatildeo 213 na equaccedilatildeo 225 a magnitude do vector de Poyn-
ting assume a seguinte forma
S = εvE20 cos2 (wt) (227)
Se na equaccedilatildeo 227 se fizer uma meacutedia no tempo obteacutem-se
〈S〉 = εvE20
langcos2 (wt)
rang(228)
Sendo quelangcos2 (wt)
rang= 1
2 tem-se que
I = 〈S〉 =12εvE2
0 =c
2nεE2
0 (229)
Sendo I a intensidade ou seja a potecircncia meacutedia por unidade de aacuterea que a
onda electromagneacutetica transporta
222 Elipsoiacutede dos Iacutendices
Nos meios anisotroacutepicos o iacutendice de refraccedilatildeo linear depende da direccedilatildeo da propa-
gaccedilatildeo da luz e do seu estado de polarizaccedilatildeo A resposta de um meio anisotroacutepico
eacute normalmente obtida atraveacutes do conceito de elipsoiacutede de iacutendices[5 6 7] que
a seguir seraacute descrita Ao se aplicar um campo eleacutectrico a um meio polarizaacutevel
este induz uma mudanccedila do estado de polarizaccedilatildeo descrito pelo deslocamento
eleacutectrico
~D = ε0~E + ~P (230)
Sendo
~P = ε0χ~E (231)
onde ε0 eacute a permissidade eleacutectrica no vazio ~P a polarizaccedilatildeo ~E o campo eleacutec-
trico ~D o deslocamento eleacutectrico e χ eacute o tensor das suscetibilidades Atraveacutes das
equaccedilotildees 230 e 231 tem-se que
~D = ε0~E(1 + χ) (232)
9
CAPIacuteTULO 2 EFEITO ELECTROOacutePTICO
Sendo que χ eacute dado por
χ =
χ11 χ12 χ13
χ21 χ22 χ23
χ31 χ32 χ33
(233)
Pelo teorema de eixos principais [7] seraacute possiacutevel escolher um sistema de co-
ordenadas onde apenas os elementos da diagonal principal sejam diferentes de
zero de tal forma que
χ =
χ11 0 0
0 χ22 0
0 0 χ33
(234)
Assim a equaccedilatildeo 231 pode ser escrita na forma no novo sistema de eixosP1
P2
P3
= ε0
χ11 0 0
0 χ22 0
0 0 χ33
E1
E2
E3
(235)
Da equaccedilatildeo 235 pode-se ainda retirar o seguinte
P1 = ε0χ11E1 D1 = ε11E1 ε11 = ε0 (1 +χ11)
P2 = ε0χ22E2 D2 = ε22E2 ε22 = ε0 (1 +χ22) (236)
P3 = ε0χ33E3 D3 = ε33E3 ε33 = ε0 (1 +χ33)
Combinando as equaccedilotildees 219 e 236 pode-se reescrever a densidade de energia
armazenada no campo eleacutectrico como
uE =12~E middot ~D (237)
Usando as expressotildees da equaccedilatildeo 236 para manipular a equaccedilatildeo 237 obtem-
se
D21
ε11+D2
2
ε22+D2
3
ε33= 2uE (238)
10
22 PROPAGACcedilAtildeO EM MEIOS ANISOTROacutePICOS
Substituiacutendo na equaccedilatildeo 238 D1 D2 e D3 pelos seus respectivos eixos em
coordenadas cartesianas tem-se que
x2
ε11ε0+
y2
ε22ε0+
z2
ε33ε0= 1 (239)
sendo x = D1radic2ε0UE
y = D2radic2ε0UE
e z = D3radic2ε0UE
Reescrevendo a equaccedilatildeo 239 fazendo n2x = ε11ε0 n2
y = ε22ε0 e n2z = ε33ε0
obteacutem-se forma a equaccedilatildeo do elipsoide de iacutendices
x2
n2x
+y2
n2y
+z2
n2z
= 1 (240)
Sendo nx ny e nz o iacutendice de refraccedilatildeo na sua respectiva direccedilatildeo como demons-
tra a figura 22
Figura 22 Ilustraccedilatildeo do elipsoiacutede de iacutendices (retirado de [7])
11
CAPIacuteTULO 2 EFEITO ELECTROOacutePTICO
223 Coeficientes Natildeo-Lineares
Quando eacute aplicado um campo eleacutectrico ao meio o elipsoiacutede de iacutendices pode
mudar a sua forma e orientaccedilatildeo no espaccedilo de tal forma que a equaccedilatildeo de elipsoide
de iacutendices passa a ser escrita de um modo geral como
( 1n2
)1x2 +
( 1n2
)2y2 +
( 1n2
)3z2 + 2
( 1n2
)4xy + 2
( 1n2
)5xz+ 2
( 1n2
)6yz = 1 (241)
Quando o campo eleacutectrico aplicado eacute nulo as equaccedilotildees 240 e 241 tecircm de ser
equivalentes pelo que para E = 0 tem-se
( 1n2
)1
=1
n2x( 1
n2
)2
=1
n2y( 1
n2
)3
=1
n2z( 1
n2
)4
=( 1n2
)5
=( 1n2
)6
= 0
(242)
Desta forma quando se aplica um campo eleacutectrico (E) verifica-se uma variaccedilatildeo
nos coeficientes(
1n2
)i Esta variaccedilatildeo induzida pelo efeito electrooacuteptico pode entatildeo
ser descrita atraveacutes de [8]
∆
( 1n2
)i
=3sumj=1
rijEj com i = 1 6 (243)
Sendo rij o coeficiente electrooacuteptico e E a magnitude do campo eleacutectrico apli-
cado
12
22 PROPAGACcedilAtildeO EM MEIOS ANISOTROacutePICOS
A equaccedilatildeo 243 tambeacutem pode ser escrita como
∆
( 1n2
)1
∆
( 1n2
)2
∆
( 1n2
)3
∆
( 1n2
)4
∆
( 1n2
)5
∆
( 1n2
)6
=
r11 r12 r13
r21 r22 r23
r31 r32 r33
r41 r42 r43
r51 r52 r53
r61 r62 r63
E1
E2
E3
(244)
Nesta conformidade o coeficiente electrooacuteptico pode ser escrito como
rij = minus 2
n3ij
[partnijpartEj
](245)
A diferenccedila de fase ∆φ resultante da variaccedilatildeo no iacutendice de refraccedilatildeo ∆n seraacute
∆φ =2πlλ
∆n (246)
Em que o l eacute o caminho percorrido pela luz de comprimento de onda λ no
meio Sendo a variaccedilatildeo no iacutendice de refraccedilatildeo devida aos efeitos electrooacutepticos
pode-se escrever
|∆n| =rno
3
2Voh
(247)
para o efeito electrooacuteptico linear e
|∆n| =sn3o
2
(Voh
)2(248)
para o efeito electrooacuteptico quadraacutetico
Onde os coefeciecircntes electrooacutepticos linear e quadraacutetico satildeo respectivamente
r e s Vo eacute o potencial eleacutectrico aplicado entre os eleacutetrodos que distam entre si a
uma distacircncia h criando assim o campo eleacutectrico aplicado
13
Capiacutetulo
3Mediccedilatildeo do Efeito Electrooacuteptico
Neste capiacutetulo satildeo apresentadas as teacutecnicas mais comuns utilizadas para a me-
diccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico destacando-se dois tipos de interferoacutemetros o
tradicional e os de interferometria de dois feixes
31 Meacutetodo Tradicional
Um dos meacutetodos mais usados para medir o efeito eletrooacuteptico foi o proposto por
Henry [9] em 1986 Esta teacutecnica ilustrada na Fig31 baseia-se na alteraccedilatildeo do
estado de polarizaccedilatildeo de um feixe linearmente polarizado quando este atravessa
o meio Esta alteraccedilatildeo ocorre devido agrave birrefrigecircncia induzida por um campo
eleacutetrico aplicado e agrave atividade oacuteptica do meio A montagem eacute composta por uma
fonte de luz (S) um monocromador (M) uma lente (L) um diafragma (D) dois
polarizadores (P1 e P2) um cristal (BSO) de espessura d ao qual eacute aplicado um
campo eleacutetrico (E) e um fotomultiplicador (FM) ligado a um sistema de aquisiccedilatildeo
de dados
O procedimento experimental em si consiste no seguinte para um dado estado
de polarizaccedilatildeo do feixe incidente imposto pelo P1 vai-se alterando a posiccedilatildeo
angular do P2 de forma a encontrar as intensidades maacutexima e miacutenima e desta
forma calcular-se a visibilidade (ν) atraveacutes de [9]
νθ =Imax minus IminImax + Imin
(31)
15
CAPIacuteTULO 3 MEDICcedilAtildeO DO EFEITO ELECTROOacutePTICO
Figura 31 Montagem experimental proposta por Henry e a sua equipa (adaptadode [9])
De seguida altera-se P1 para a posiccedilatildeo angular de 45 e repete-se o procedi-
mento anterior Somando o quadrado das duas visibilidades obtidas tem-se que
[9]
ν2θ + ν2
θ+45 = 1 +
1minus δ2
2
sen(φ2 )φ2
2
2
(32)
sendo
δ =2πλn3rEyd (33)
e
φ =radicδ2 + ρ2 (34)
Sendo δ a diferenccedila de fase originada pela birrefringecircncia λ o comprimento
de onda do feixe no vaacutecuo ρ a diferenccedila de fase associada agrave actividade oacuteptica n o
iacutendice de refraccedilatildeo sem campo eleacutetrico aplicado Ey o campo eleacutectrico aplicado e
d a espessura do cristal na direccedilatildeo do campo eleacutectrico aplicado Destas equaccedilotildees
pode-se calcular o coeficiente electrooacuteptico r
Para o caso de φ pequenos
sen(φ2 )φ2
2
1 pelo que
ν2θ + ν2
θ+45 1 +(1minus δ
2
2
)2
(35)
Natildeo sendo nesta situaccedilatildeo necessaacuteria a actividade oacuteptica ρ Esta teacutecnica apre-
senta um erro de mediccedilatildeo de 10 a 15 em relaccedilatildeo ao valor tabelado
16
32 MEacuteTODOS POR INTERFEROMETRIA
32 Meacutetodos por Interferometria
321 Interferometria Oacuteptica
Quando duas ondas de uma mesma frequecircncia se sobrepotildeem num dado ponto
formam uma nova onda cuja amplitude eacute o resultado da soma da amplitude das
duas ondas iniciais em cada instante nesse ponto Quando a soma da duas ondas
resulta numa amplitude maior diz-se que houve interferecircncia construtiva quando
resulta numa amplitude inferior diz-se que ocorreu interferecircncia destrutiva
Supondo que uma das ondas tem a forma E1ei(φ1minuswt) e a outra forma E2e
i(φ2minuswt)
sendo E1 e E2 as amplitudes dos respetivos campos eleacutetricos φ1 e φ2 as fases
iniciais w a frequecircncia angular e t o tempo a onda resultante seraacute descrita por
[10]
ET = E1ei(φ1minuswt) +E2e
i(φ2minuswt) (36)
Se φ1 minusφ2 = 2Nπ com N = 012 entatildeo as duas ondas estaratildeo em fase e daacute-
se uma interferecircncia construtiva perfeita Se φ1 minusφ2 = (2N + 1)π e E1 = E2 entatildeo
as duas ondas estaratildeo em oposiccedilatildeo de fase e daacute-se uma interferecircncia destrutiva
completa Estas situaccedilotildees extremas encontram-se ilustradas na figura 32
Figura 32 Ilustraccedilatildeo de uma interferecircncia construtiva perfeita (a) e destrutivacompleta (b)
Matematicamente a coerecircncia eacute uma medida da correlaccedilatildeo entre as ondas
Quanto mais construtiva for a interferecircncia maior seraacute a coerecircncia Fisicamente
a coerecircncia eacute uma medida do quatildeo constante a diferenccedila de fase permanece entre
17
CAPIacuteTULO 3 MEDICcedilAtildeO DO EFEITO ELECTROOacutePTICO
as duas ondas A coerecircncia eacute usualmente medida num padratildeo de franjas de in-
terferecircncia atraveacutes da visibilidade de franja (ν) que pode ser experimentalmente
calculada atraveacutes de [10]
ν =Imax minus IminImax + Imin
= 1 coerecircncia total e contraste maacuteximo
0 lt ν lt 1 coerecircncia parcial
= 0 incoerecircncia total e contraste natildeo haacute franjas
(37)
Pode-se ver na Fig33 um exemplo da equaccedilatildeo 37 que representa a visibi-
lidade das franjas em funccedilatildeo da diferenccedila de fase entre duas ondas da mesma
frequecircncia que interferem Como a visibilidade das franjas depende da coerecircncia
das duas ondas qualquer diferenccedila iraacute traduzir-se numa diminuiccedilatildeo de visibili-
dade
Figura 33 Visibilidade num interferoacutemetro em funccedilatildeo da diferenccedila de fase entreduas ondas provenientes de ramos diferentes do interferoacutemetro (adaptado de[11])
Pode-se usar a interferometria para quantificar os efeitos electrooacutepticos natildeo
soacute linear mas tambeacutem o quadraacutetico (efeito de Kerr) Os interferoacutemetros mais
frequentemente utilizados para este efeito satildeo os interferoacutemetro de Michelson1 e1Albert Abraham Michelson foi um fiacutesico americano conhecido pela invenccedilatildeo do interferoacuteme-
tro de Michelson (1891) do seu trabalho na mediccedilatildeo da velocidade da luz e pelo seu trabalho naexperiecircncia de Michelson-Morley Em 1907 tornou-se o primeiro americano a receber o PreacutemioNobel da Fiacutesica
18
32 MEacuteTODOS POR INTERFEROMETRIA
o interferoacutemetro de Mach-Zehnder2
De salientar que as teacutecnicas interferomeacutetricas apresentam uma elevada sensibi-
lidade simplificaccedilatildeo na preparaccedilatildeo das amostras a estudar e uma menor sensibili-
dade a vibraccedilotildees mecacircnicas e a flutuaccedilotildees teacutermicas desde que estas ocorram com
a mesma intensidade em ambos os ramos do mesmo tamanho do interferoacutemetro
322 Interferoacutemetro de Mach-Zehnder
No interferoacutemetro de Mach-Zehnder (Fig 34) um separador de feixe divide o
feixe proveniente da fonte em dois feixes que vatildeo constituir os dois ramos do
interferoacutemetro o feixe-amostra e o feixe-referecircncia Ambos satildeo refletidos por um
espelho e ambos atravessam um novo separador de feixe antes de se juntarem de
novo e serem medidos nos detetores
Figura 34 Esquema de um interferoacutemetro de Mach-Zehnder (adaptado de [12])
Com os ramos agrave mesma distacircncia pode ainda observar-se que sem amostra
ambos os feixes vatildeo chegar em fase aos detetores havendo desta forma uma inter-
ferecircncia construtiva Ambos apresentaratildeo uma mudanccedila de fase correspondente
a λ devido ao facto de ambos sofrerem duas reflexotildees e uma transmissatildeo numa
placa de vidro(separador de feixe) ateacute chegarem aos detetores2Ludwig Zehnder foi um fiacutesico suiacuteccedilo e o inventor do interferoacutemetro de Mach-Zehnder Inter-
feroacutemetro esse depois aperfeiccediloado por Ludwig Mach
19
CAPIacuteTULO 3 MEDICcedilAtildeO DO EFEITO ELECTROOacutePTICO
Alterando o caminho oacuteptico do espelho do feixe-referecircncia em λ4 sem amos-
tra o feixe-amostra e o feixe-referecircncia vatildeo chegar com uma diferenccedila de fase de
λ2 ou seja vai haver uma interferecircncia destrutiva completa Isto porque o feixe-
referecircncia vai ter uma mudanccedila de fase de λ2 devido a uma reflexatildeo e duas trans-
missotildees provocadas pelos separadores de feixe Enquanto que o feixe-amostra
chegaraacute aos detetores com uma diferenccedila de fase de λ devido a duas reflexotildees
mais uma reflexatildeo com transmissatildeo no segundo separador de feixe Assim na
ausecircncia de amostra e desde que a diferenccedila de caminho oacuteptico ou retardaccedilatildeo
(δ) seja zero os feixes iratildeo interferir construtivamente [13]
Com a amostra colocada no caminho do feixe-amostra os feixes vatildeo chegar ao
detetor em diferentes situaccedilotildees de fase sendo possiacutevel determinar a diferenccedila de
fase provocada pela presenccedila da amostra
A intensidade do feixe (I) em ambos os detetores eacute descrita por [14]
I(δ) =12I(k)cos(2Nkδ) (38)
Com k o nuacutemero de onda (k = 2πλ) E fazendo δ = d com d = vt resulta
I(δ) =12I(k)cos(2Nk(vt)) (39)
323 Interferoacutemetro de Michelson
No interferoacutemetro do tipo Michelson um feixe de luz eacute dividido em dois que
percorrem caminhos diferentes para de seguida se recombinarem Apoacutes terem
percorrido caminhos diferentes o feixe resultante da recombinaccedilatildeo pode apresen-
tar um padratildeo de interferecircncia que depende da diferenccedila de caminhos oacutepticos
entre os feixes e que pode ser medido num detetor
A forma mais simples de implementar um interferoacutemetro de Michelson con-
siste em dois espelhos colocados entre si num plano perpendicular em que um
deles se pode mover na direccedilatildeo perpendicular agrave sua superfiacutecie refletora conforme
ilustrado na Fig35
Esse espelho iraacute movimentar-se num espaccedilo definido a uma velocidade cons-
tante Entre o espelho fixo e o espelho moacutevel estaacute um separador de feixe que
divide o feixe incidente inicial em dois de igual intensidade Aqui o feixe eacute parci-
almente refletido para um espelho e parcialmente transmitido para o outro
20
32 MEacuteTODOS POR INTERFEROMETRIA
Figura 35 Esquema de funcionamento de um interferoacutemetro de Michelson cominterferecircncia construtiva (a) e destrutiva (b) (adaptado de [15])
Assumindo que o separador de feixe eacute ideal e com uma reflectacircncia e transmi-
tacircncia de 50 se o espelho moacutevel se encontrar estacionaacuterio pode determinar-se
a intensidade do feixe num dado ponto do detetor Se a diferenccedila do caminho
oacuteptico ou retardaccedilatildeo (δ) for zero ou seja os espelhos estatildeo igualmente espaccedilados
do separador de feixe estes vatildeo percorrer a mesma distacircncia e interferir construti-
vamente pelo que a intensidade do feixe final eacute a soma das intensidades dos dois
feixes Nestas condiccedilotildees toda a luz que sai da fonte chega ao detetor
No caso do espelho moacutevel se deslocar uma distacircncia de λ4 a retardaccedilatildeo total
seraacute de λ2 pelo que os feixes estaratildeo desfasadas de 180ordm (π) Nestas condiccedilotildees ter-
se-aacute interferecircncia destrutiva completa na recombinaccedilatildeo dos feixes dando origem
agrave extinccedilatildeo total
Voltando a deslocar o espelho moacutevel de mais λ4 a diferenccedila do caminho
oacuteptico seraacute igual a λ e os dois feixes voltam a estar em fase havendo novamente
uma sobreposiccedilatildeo construtiva dos feixes
Com o espelho moacutevel a deslocar-se a uma velocidade constante o sinal do de-
tetor iraacute variar com uma forma perioacutedica sendo que atinge o seu maacuteximo quando
a retardaccedilatildeo (δ) for um muacuteltiplo inteiro de λ δ =Nλ
A expressatildeo da intensidade do feixe (I) no detector para o caso do interferoacute-
metro de Michelson eacute semelhante agrave equaccedilatildeo 38 para o interferoacutemetro de Mach-
Zehnder sendo que neste caso δ = 2d com d = vt jaacute que o feixe atravessa a
amostra duas vezes Nestas condiccedilotildees ter-se-aacute
I(δ) =12I(k)cos(4Nk(vt)) (310)
21
CAPIacuteTULO 3 MEDICcedilAtildeO DO EFEITO ELECTROOacutePTICO
22
Capiacutetulo
4Sistema Implementado
Este capiacutetulo descreve o sistema implementado para a mediccedilatildeo do coeficiente
electrooacuteptico usando a teacutecnica de interferoacutemetria de Michelson bem como a cali-
braccedilatildeo do mesmo
41 Interferoacutemetro
O sistema escolhido para a mediccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico baseia-se na teacutec-
nica de interferometria de Michelson (ver secccedilatildeo 323) onde se mediu a diferenccedila
de fase entre os ramos do interferoacutemetro Esta teacutecnica foi escolhida pela elevada
sensibilidade agrave diferenccedila de fase gerada entre os ramos do interferoacutemetro facili-
dade de preparaccedilatildeo das amostras e por ser menos sensiacutevel a vibraccedilotildees mecacircnicas
e a flutuaccedilotildees teacutermicas desde que estas ocorram com a mesma intensidade em
ambos os ramos do interferoacutemetro Para aleacutem das vantagens mencionadas e espe-
cificamente em comparaccedilatildeo com o interferoacutemetro mais usado o interferoacutemetro
do tipo Mach-Zehnder o interferoacutemetro de Michelson tem uma maior facilidade
de alinhamento dos espelhos e usa apenas um separador de feixe
A figura 41 esquematiza o sistema baseado no interferoacutemetro de Michelson
desenvolvido para a mediccedilatildeo do coeficiente eletrooacuteptico
23
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Figura 41 Esquematizaccedilatildeo do interferoacutemetro de Michelson e instrumentaccedilatildeoutilizada para a mediccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico em cristais
Como se pode ver no esquema da figura 41 o ramo do espelho vibrante fica
vazio enquanto que no ramo do espelho fixo se encontra a amostra entre dois
eleacutectrodos onde se aplicam um campo eleacutectrico E O sinal medido no detector
resulta da interferecircncia entre os feixes provenientes de cada ramo do interferoacute-
mentro dependendo da diferenccedila de fase entre os dois feixes Conforme referido
anteriormente a intensidade da luz (I) que chega ao detector eacute da ordem de [16]
I prop E21 +E2
2 + 2E1E2cos(∆φ) (41)
42 Electroacutenica Desenvolvida
421 Amplificador
Para o efeito electrooacuteptico se manisfestar eacute necessaacuterio aplicar-se uma tensatildeo eleacutec-
trica ao meio Uma vez que a tensatildeo de referecircncia fornecida pelo amplificador
lock-in utilizado eacute muito baixa para induzir efeito electrooacuteptico significativo por
volta dos 12V foi necessaacuterio construir um amplificador de tensatildeo (Fig 42)
24
42 ELECTROacuteNICA DESENVOLVIDA
Figura 42 Esquemaacutetico do amplificador de tensatildeo utilizado com base no ampli-ficador operacional LF356n
O amplificador construiacutedo conforme ilustra a figura 42 consiste numa mon-
tagem inversora de ganho variaacutevel com uma malha de controlo de offset e eacute
alimentado a plusmn12V
Assim o ganho G eacute determinado atraveacutes de
G = 1 +R2R1
(42)
Sendo R1 = 11kΩ R2 = 5kΩ R3 = 25kΩ e o amplificador em si utilizado foi
o LF356n
Obtendo-se desta forma um ganho de aproximadamente 55 Permitindo apli-
car uma tensatildeo de cerca de 66V ao cristal electrooacuteptico Uma vez que a tensatildeo
aplicada eacute baixa pode-se desprezar o efeito piezoeleacutectrico gerado na amostra e
que iria influenciar o valor do coeficiente electrooacuteptico medido
422 Gerador de Rampa
Para alimentar o excitador piezoeleacutectrico do espelho moacutevel foi utilizado um ge-
rador de sinais (Fig 43) de forma a induzir um deslocamento linear perioacutedico
na forma de rampa A frequecircncia de oscilaccedilatildeo cerca de 25Hz foi escolhida de
25
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
forma a ser suficientemente baixa para evitar fenoacutemenos de batimento com o sinal
de modulaccedilatildeo electrooacuteptico e suficientemente alta para que se consiga adquirir
dados em tempo uacutetil com uma tensatildeo variaacutevel entre os 4 e os 8V
Figura 43 Esquema eleacutectrico do gerador de rampa implementado baseado nocircuito temporizador NE555
Sendo R1 = 20kΩ R2 = 1kΩ e C1 = C2 = 47microF
O tempo de subida da rampa t1 eacute dado por
t1 = 0693(R1 +R2)C1 (43)
Enquanto que o tempo de descida t2 eacute
t2 = 0693R2C1 (44)
Obtendo assim um tempo de subida de 036s e um tempo de descida de 0033s
Assim a frequecircncia do gerador de rampa f seraacute dada por
f =1
t1 + t2=
144(R1 + 2R2)C1
(45)
O gerador de rampa foi construiacutedo aproveitando o espaccedilo livre no interior da
unidade de amplificaccedilatildeo onde se situa o amplificador
26
42 ELECTROacuteNICA DESENVOLVIDA
423 Seguidor de Tensatildeo
Devido agrave necessidade de acoplamento de impedacircncias entre o amplificador lock-
in e o osciloacutescopio natildeo foi possiacutevel a utilizaccedilatildeo de um repartidor coaxial que
repartisse o sinal proveniente do detector Assim de forma a se poder visuali-
zar o sinal proveniente do detector em simultacircneo com o sinal electrooacuteptico foi
necessaacuterio a construccedilatildeo de um seguidor de tensatildeo (Fig44)
Figura 44 Esquema do seguidor de tensatildeo utilizado construida com base nosamplifacores operacionais LF356n
Sendo que ambos os circuitos integrados foram alimentados por uma tensatildeo
positiva (V+) de 12V e uma negativa (Vminus) de minus12V Com R1 = R2 = 25kΩ Agrave
semelhanccedila do amplificador foi tambeacutem construida uma malha de controlo de
offset
Agrave semelhanccedila do gerador de rampa tambeacutem foi construido na unidade de
amplificaccedilatildeo e gerador de rampa como se pode ver na figura 45
27
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Figura 45 Imagem da unidade de amplificaccedilatildeo e geraccedilatildeo de rampa implemen-tada
43 Sistema Oacuteptico Desenvolvido
431 Espelho Vibrante
O espelho vibrante (Fig46) foi construiacutedo afixando um espelho a um disco pie-
zoeleacutectrico A vibraccedilatildeo do espelho iraacute fazer com que a distacircncia entre o divisor
de feixe e o espelho varie Fazendo deslocar a franja de interferecircncia em frente ao
detector permitindo a este medir as intensidades maacuteximas e miacutenimas das franjas
de interferecircncia (ver secccedilatildeo 323)
Figura 46 Imagem do espelho vibrante utilizado
28
43 SISTEMA OacutePTICO DESENVOLVIDO
432 Bancada Oacuteptica
De forma a colocar os componentes ao niacutevel do feixe do laser na mesa oacuteptica e a
tornar o sistema menos sensiacutevel a vibraccedilotildees mecacircnicas e flutuaccedilotildees teacutermicas os
componentes foram colocadas numa base quadrada de alumiacutenio
Figura 47 Imagem da bancada oacuteptica onde o interferoacutemetro de Michelson foiconstruiacutedo
Conforme se pode ver na figura 47 para completar o interferoacutemetro de Michel-
son para aleacutem dos componentes jaacute referidos foram ainda utilizados um separador
de feixe e um espelho (fixo) no suporte com uma lente oacuteptica agrave saiacuteda do mesmo
Faltando ainda o laser utilizado da Melles Griotreg que possui uma potecircncia de
635mW e um comprimento de onda de 6328nm
433 Detector
O detector utilizado foi um modelo 818-UVDB da Newport Corporationreg (Fig
48) de baixa potecircncia consistindo num fotodiacuteodo de siliacutecio capaz de operar entre
os 200 e os 1100nm As caracteriacutesticas principais deste detector encontram-se
listadas na tabela 433
29
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Tabela 41 Caracteriacutesticas principais do detector 818-UVDB [17]
Largura de Banda 200 a 1100(nm) Material Siliacutecio
Potecircncia
W λ(nm)
Incerteza de
λ(nm)
02 200 a 4008 200 a 219
Maacutexima Calibraccedilatildeo 2 220 a 349
005 400 a 11001 350 a 9494 950 a 1050
Densidade de02Wcm2 Aacuterea Activa 1cm2
Potecircncia Meacutedia
Energia Maacutexima05microJ
Diacircmetro113cm
de Pulso Activo
De forma a evitar que a luz ambiente interferisse nas medidas e para aumen-
tar a resoluccedilatildeo de mediccedilatildeo do perfil da franja de interferecircncia foi colocado um
diafragma com uma abertura no centro de 06mm conforme se pode ver na figura
48 reduzido desta maneira a aacuterea activa para 028 mm2
Figura 48 Imagem do detector e disco utilizado
Para a aquisiccedilatildeo do sinal electrooacuteptico e geraccedilatildeo de sinal electrooacuteptico de
referecircncia foi utilizado um osciloscoacutepio Lecroy Wavesufertrade422
30
43 SISTEMA OacutePTICO DESENVOLVIDO
434 Cristal Electrooacuteptico
Para a calibraccedilatildeo do sistema foi utilizado um cristal padratildeo de dihidrogenofosfato
de potaacutessio (KDP) Na tabela 42 pode-se observar algumas das propriedades
fiacutesicas desse cristal
Tabela 42 Propriedades fiacutesicas do cristal padratildeo KDP [18]
Material Simetria Densidade Classe Higroscopicidade
KDP Tetragonal (42m) 234gcm3 Uniaxial Higroscoacutepico
Uma vez que o cristal eacute uniaxial nx = ny = no e nz = ne sendo no e ne os
iacutendices de refraccedilatildeo ordinaacuterio e extraordinaacuterio do cristal KDP A figura 49 ilustra
o elipsoiacutede de iacutendices num cristal padratildeo KDP
Figura 49 Ilustraccedilatildeo de um cristal padratildeo KDP e seu respectivo elipsoiacutede deiacutendices
31
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Na Tabela 43 pode-se observar algumas das propriedades oacutepticas do cristal
padratildeo KDP
Tabela 43 Propriedades oacutepticas do cristal padratildeo KDP a 6328nm [7]
Material Foacutermula Quiacutemica Iacutendice de RefracccedilatildeoCoeficiente
Electrooacuteptico
KDPKH2PO4
no=15074 r41=86 pmV(λ = 6328nm) ne=14673 r63=106 pmV
Como se pode ver na tabela 42 o cristal do tipo KDP eacute higroscoacutepico sendo
assim necessaacuterio reduzir ao maacuteximo o contacto entre o cristal e a atmosfera para
evitar que as suas faces fiquem opacas interferindo assim na qualidade do feixe
transmitido
435 Porta Amostras
O porta amostras eacute constituiacutedo por uma base feita de latatildeo (Fig 410) onde se
coloca o cristal nivelado com o feixe laser Este suporte possui oito roscas para
parafusos M3 quatro em cima de forma a se fixar os encaixes laterais do porta
amostras e quatro em baixo de forma a afixar-se firmemente na bancada oacuteptica
Figura 410 Imagem da base do porta-amostras desenvolvido
32
43 SISTEMA OacutePTICO DESENVOLVIDO
De forma a aplicar-se a tensatildeo de excitaccedilatildeo ao cristal sem bloquear o feixe do
laser foram utilizadas duas placas de vidro com oacutexido de estanho dopado com
fluacuteor (FTO) Este permite que haja uma boa transparecircncia e conduccedilatildeo eleacutetrica
sendo usado em vaacuterios tipos de dispositivos como aplicaccedilotildees opto-eletroacutenicas
ecratildes touch screen filmes finos fotovoltaicos etc O oacutexido de estanho dopado
com fluacuteor [19] eacute reconhecido por ser altamente estaacutevel quimicamente inerte re-
siste a temperaturas elevadas e ao desgaste abrasivo sendo mais econoacutemico do
que o tradicional oacutexido de iacutendio e estanho (ITO)
De forma a garantir um bom contacto eleacutectrico entre o vidro FTO e o cristal
foram construidas duas peccedilas de afixaccedilatildeo idecircnticas (Fig 411) Trata-se de duas
peccedilas de alumiacutenio cada uma contendo uma abertura de forma a deixar passar
o feixe laser e dois rasgos para parafusos de forma a poder-se fixar no suporte e
desta maneira exercer uma pressatildeo constante sobre o cristal
Figura 411 Imagem das peccedilas de fixaccedilatildeo do cristal desenvolvidas com a vista defrente (a) e a vista de traacutes (b)
A ligaccedilatildeo eleacutectrica entre o sinal de referecircncia proveniente do amplificador ao
vidro FTO foi feita atraveacutes de uma cola condutora de prata de forma a assegurar
a ligaccedilatildeo oacutehmica entre o fio de cobre e a camada de FTO O cristal fica assim entre
duas placas de vidro FTO(Fig412)
33
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Figura 412 Imagem do porta Amostras desenvolvido
A figura 413 ilustra o sistema desenvolvido incluindo a bancada oacuteptica e
instrumentaccedilatildeo
Figura 413 Imagem do sistema desenvolvido para a mediccedilatildeo do efeito electrooacutep-tico
34
44 COEFICIENTE ELECTROOacutePTICO
44 Coeficiente Electrooacuteptico
Para o cristal utilizado o dihidrogenofosfato de potaacutessio (KDP) e para o efeito
electrooacuteptico linear a matriz de coeficientes electrooacutepticos eacute a seguinte
rij =
0 0 0
0 0 0
0 0 0
r41 0 0
0 r52 0
0 0 r63
com
i = 1 6
j = 123
Sendo que r41 = r52 pelo que existem apenas dois coeficientes independentes
o r41 e o r63
Usando a notaccedilatildeo condensada mencionada da secccedilatildeo 21 onde se aplica o
campo eleacutectrico (E) no plano do i (sendo i = m) enquanto que j eacute o eixo oacuteptico
Para o caso do KDP eacute costume utilizar o r63 Isto eacute aplicar o campo eleacutectrico nos
planos 12 ou 21 (ou seja i = 6) com o eixo oacuteptico no eixo 3 (j = 3) como demonstra
a figura 414
Figura 414 Ilustraccedilatildeo da configuraccedilatildeo utilizada para a mediccedilatildeo do coeficienter63 num cristal
35
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Para o caso do efeito electrooacuteptico quadraacutetico a matriz dos coeficientes elec-
trooacutepticos seraacute
sij =
s11 s12 s12 0 0 0
s12 s11 s12 0 0 0
s12 s12 s11 0 0 0
0 0 0 s11 minus s12 0 0
0 0 0 0 s11 minus s12 0
0 0 0 0 0 s11 minus s12
com i j = 1 6
45 Execuccedilatildeo Experimental
Para se medir o coeficiente electrooacuteptico aplica-se ao cristal uma tensatildeo com uma
frequecircncia de 2kHz frequecircncia essa que se revelou menos sensiacutevel aos ruiacutedos
ambientes sendo que o sinal electrooacuteptico teraacute a mesma frequecircncia Podendo-
se desta maneira atraveacutes de um amplificador de lock-in (modelo 393 da IthacoDynatrac) filtrar o sinal electrooacuteptico dos restantes sinais uma vez que a sua
frequecircncia eacute conhecida
A intensidade da equaccedilatildeo 41 eacute maacutexima quando cos(∆φ) = 1 e miacutenima quando
cos(∆φ) = minus1 Pelo que subtraindo estas duas equaccedilotildees
Imax minus Imin = 4E1E2 (46)
Assim combinando a equaccedilatildeo 41 com a equaccedilatildeo 46 obtem-se
I prop E21E
22 +
12
(Imax minus Imin)cos(∆φ) (47)
Juntando agora a equaccedilatildeo 246 agrave equaccedilatildeo 247 e tendo em conta que o feixe
passa duas vezes por cada ramo (=2l) a diferenccedila de fase para o efeito electrooacutep-
tico linear
∆φ = ∆φ0 +πrn3
oVoλ
2lh
cos(Ωt) (48)
Sendo ∆φ0 a diferenccedila de fase inicial sem o efeito electrooacuteptico
36
45 EXECUCcedilAtildeO EXPERIMENTAL
Substituindo o ∆φ da equaccedilatildeo 48 na equaccedilatildeo 47 a intensidade do sinal com
modulaccedilatildeo electrooacuteptica(Iseo) seraacute dado por
Iseo prop E21 +E2
2 +12
(Imax minus Imin)cos(∆φ0 +
πrn3oVoλ
2lh
cos(Ωt))
(49)
Usando cos(α plusmn β) = cos(α)cos(β)∓ sen(α) sen(β) e D = πrn3oVoλ
2lh fica-se com
Iseo prop E21 +E2
2+12
(Imax minus Imin)
[cos(∆φ0)cos(Dcos(Ωt)) minus sen(∆φ0) sen(D cos(Ωt))](410)
Como a modulaccedilatildeo electrooacuteptica eacute um efeito muito pequeno a equaccedilatildeo 410
pode-se escrever
Iseo asymp E21 +E2
2 +12
(Imax minus Imin) [cos(∆φ0)minusD cos(Ωt) sen(∆φ0)] (411)
Considerando soacute os termos de primeira ordem
Iseo asymp12
(Imax minus Imin) [cos(∆φ0)minusD cos(Ωt) sen(∆φ0)] (412)
A componente do sinal electrooacuteptico eacute entatildeo dado por
Iseo =12
(Imax minus Imin)D cos(Ωt) sen(∆φ0) (413)
Ou seja
Iseo =12
(Imax minus Imin)πrn3
oVoλ
2lh
cos(Ωt) sen(∆φ0) (414)
O acircngulo ∆φ0 varia linearmente com o tempo (t) a uma frequecircncia inferior
a Ω A franja de interferecircncia desloca-se continuamente em frente ao detector
devido a um dos espelho estar fixado num disco piezoeleacutectrico
37
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Na figura 415 pode-se ver uma exemplificaccedilatildeo do sinal no detector que incor-
pora o sinal da franja e electrooacuteptico dada pela equaccedilatildeo 414
Figura 415 Ilustraccedilatildeo do sinal de modulaccedilatildeo electrooacuteptica de um feixe de luzmedido num interferoacutemetro de Michelson
Uma vez que o sinal electrooacuteptico (cos(Ωt)) estaacute desfasado π2 do sinal da
franja ( sen(∆φ0)) A intensidade do sinal electrooacuteptico pode ser escrita como
Iseo asymp12
(Imax minus Imin)πrn3
oVoλ
2lh
∣∣∣ sen(∆φ0)∣∣∣ (415)
Assim a amplitude do sinal electrooacuteptico eacute
Iseo =12
(Imax minus Imin)πrn3
oVoλ
2lh
(416)
Pelo que o coeficiente electrooacuteptico linear seraacute dado por
r =|Iseo|
|Imax minus Imin|λ
πn3oVo
hl
(417)
38
46 RESULTADOS
Para o efeito electrooacuteptico quadraacutetico utilizando o procedimento anoacutelogo mas
a partir da equaccedilatildeo 248 em vez da equaccedilatildeo 247 O sinal electrooacuteptico quadraacutetico
Iseoq que ocorre ao dobro da frequecircncia de modulaccedilatildeo 2Ω eacute dado por
s =
∣∣∣Iseoq∣∣∣|Imax minus Imin|
2λ
πn3oV
2o
h2
l(418)
46 Resultados
Com o cristal de KDP devidamente alinhado no interferoacutemetro segundo o seu
eixo oacuteptico de maneira a se medir o coeficiente r63 Obtendo-se assim dois sinais
o sinal de franja e o sinal electrooacuteptico (Fig 416)
Figura 416 Padratildeo da franja produzida (a) e respectivos sinais de franja e elec-trooacuteptico obtidos para um cristal KDP padratildeo
De forma a se proceder a calibraccedilatildeo do sistema utilizou-se a equaccedilatildeo 417 na
forma
|Iseo||Imax minus Imin|
=πn3
o
λlhrVo (419)
39
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Usando o valor da razatildeo |Iseo ||ImaxminusImin|
em funccedilatildeo do potencial aplicado Vo pode-se
calcular o valor do coeficiente electrooacuteptico r atraveacutes do declive da recta obtida
Pode-se ver na figura 417 uma das rectas obtidas para o cristal utilizado na
calibraccedilatildeo do sistema
Figura 417 Razatildeo entre o sinal electrooacuteptico e a diferenccedila de intensidade defranjas em funccedilatildeo do potencial Vo aplicado ao cristal
A tabela 44 apresenta o valor do coeficiente electrooacuteptico obtido e respectiva
incerteza para o cristal de KDP tomando em conta os valores dos iacutendices de
refraccedilatildeo da tabela 43
Tabela 44 Valores e respectivas incertezas obtidas do coeficiente electrooacutepticopara o cristal KDP utilizado
Material Valor Padratildeo Valor Obtido Erro
KDPr63 = 106pmV r63 = 105plusmn 02pmV 1
(λ = 6328nm)
Como se pode ver na tabela 44 o resultado obtido situa-se muito proacuteximo
do teoacuterico encontrando-se dentro da incerteza obtida Os valores valores meacutedios
apresentam um desvio da ordem dos 02pmV
40
46 RESULTADOS
Apesar dos valores obtidos serem bastante positivos houve algumas dificul-
dades nomeadamente o vidro FTO que causou que o alinhamento fosse extrema-
mente complicado natildeo soacute pela sua espessura e dimensionamento como tambeacutem
pela refraccedilatildeo provocada no feixe laser Outro grande obstaacuteculo foi o alinhamento
do cristal uma vez que basta um ligeiro desvio no caminho oacuteptico para causar um
desalinhamento total algo que eacute agravado no interferoacutemetro do tipo Michelson
pelo facto de o feixe laser passar na amostra duas vezes
Apesar destas dificuldades o valor obtido para o coeficiente electrooacuteptico r63
foi de 105pmV valor esse muito proacuteximo do valor padratildeo da literatura que se
encontra nos 106pmV Assim pode-se considerar que o sistema desenvolvido
se encontra devidamente calibrado e pronto para futuras utilizaccedilotildees
41
Capiacutetulo
5Conclusotildees
O trabalho desenvolvido no decorrer desta dissertaccedilatildeo consistiu no desenvolvi-
mento de um sistema para a mediccedilatildeo do efeito electrooacuteptico aacuterea a ser ulilizada
na caracterizaccedilatildeo de novos materiais polimeacutericos para aplicaccedilatildeo em dispositivos
fotoacutenicos
Nesta conformidade foi desenhada construiacuteda e testado uma bancada oacuteptica
destinada agrave mediccedilatildeo do efeito electrooacuteptico baseado numa teacutecnica interferomeacute-
trica de mediccedilatildeo da diferenccedila de fase implementado atraveacutes de um interferoacutemetro
do tipo Michelson
O cristal escolhido para a calibraccedilatildeo do sistema desenvolvido foi um cristal de
KDP comercial tendo sido utilizado o coeficiente electrooacuteptico r63 como referecircn-
cia sendo o valor padratildeo de 106pmV
O sistema obtido permitiu medir um valor nominal de 105plusmn 02pmV com
um erro de aproximadamente 1 em relaccedilatildeo ao valor tabelado comprovando a
afericcedilatildeo do sistema para a mediccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico por transmissatildeo
O sistema desenvolvido estaacute portanto apto para futuras mediccedilotildees sendo ape-
nas necessaacuterio algumas alteraccedilotildees no porta-amostras mediante as dimensotildees e
forma da amostra a utilizar
Chegou-se ainda agrave conclusatildeo que para amostras como o cristal utilizado o
feixe laser passar duas vezes na amostra acaba por ser uma grande desvantagem
desvantagem essa inexistente para filmes polimeacutericos que ganham cada vez mais
importacircncia na aacuterea da fotoacutenica uma vez que satildeo materiais de grande interesse
cientiacutefico e tecnoloacutegico jaacute que podem ser utilizados no desenvolvimento de dispo-
sitivos oacutepticos nomeadamente moduladores de luz e memoacuterias oacutepticas
43
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46
Apecircndice
AApecircndice
A1 Desenhos Teacutecnicos
47
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311
23
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- Lista de Figuras
- Lista de Tabelas
- Introduccedilatildeo
- Efeito Electrooacuteptico
-
- Oacuteptica Natildeo-Linear
- Propagaccedilatildeo em Meios Anisotroacutepicos
-
- Vector de Poynting
- Elipsoiacutede dos Iacutendices
- Coeficientes Natildeo-Lineares
-
- Mediccedilatildeo do Efeito Electrooacuteptico
-
- Meacutetodo Tradicional
- Meacutetodos por Interferometria
-
- Interferometria Oacuteptica
- Interferoacutemetro de Mach-Zehnder
- Interferoacutemetro de Michelson
-
- Sistema Implementado
-
- Interferoacutemetro
- Electroacutenica Desenvolvida
-
- Amplificador
- Gerador de Rampa
- Seguidor de Tensatildeo
-
- Sistema Oacuteptico Desenvolvido
-
- Espelho Vibrante
- Bancada Oacuteptica
- Detector
- Cristal Electrooacuteptico
- Porta Amostras
-
- Coeficiente Electrooacuteptico
- Execuccedilatildeo Experimental
- Resultados
-
- Conclusotildees
- Bibliografia
- Apecircndice
-
- Desenhos Teacutecnicos
-
Lista de Figuras
21 Cubo com secccedilatildeo de aacuterea A e ∆x de lado 8
22 Ilustraccedilatildeo do elipsoiacutede de iacutendices (retirado de [7]) 11
31 Montagem experimental proposta por Henry e a sua equipa (adaptado
de [9]) 16
32 Ilustraccedilatildeo de uma interferecircncia construtiva perfeita (a) e destrutiva
completa (b) 17
33 Visibilidade num interferoacutemetro em funccedilatildeo da diferenccedila de fase en-
tre duas ondas provenientes de ramos diferentes do interferoacutemetro
(adaptado de [11]) 18
34 Esquema de um interferoacutemetro de Mach-Zehnder (adaptado de [12]) 19
35 Esquema de funcionamento de um interferoacutemetro de Michelson com
interferecircncia construtiva (a) e destrutiva (b) (adaptado de [15]) 21
41 Esquematizaccedilatildeo do interferoacutemetro de Michelson e instrumentaccedilatildeo uti-
lizada para a mediccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico em cristais 24
42 Esquemaacutetico do amplificador de tensatildeo utilizado com base no ampli-
ficador operacional LF356n 25
43 Esquema eleacutectrico do gerador de rampa implementado baseado no
circuito temporizador NE555 26
44 Esquema do seguidor de tensatildeo utilizado construida com base nos
amplifacores operacionais LF356n 27
45 Imagem da unidade de amplificaccedilatildeo e geraccedilatildeo de rampa implementada 28
46 Imagem do espelho vibrante utilizado 28
47 Imagem da bancada oacuteptica onde o interferoacutemetro de Michelson foi
construiacutedo 29
48 Imagem do detector e disco utilizado 30
49 Ilustraccedilatildeo de um cristal padratildeo KDP e seu respectivo elipsoiacutede de
iacutendices 31
410 Imagem da base do porta-amostras desenvolvido 32
xiii
Lista de Figuras
411 Imagem das peccedilas de fixaccedilatildeo do cristal desenvolvidas com a vista de
frente (a) e a vista de traacutes (b) 33
412 Imagem do porta Amostras desenvolvido 34
413 Imagem do sistema desenvolvido para a mediccedilatildeo do efeito electrooacuteptico 34
414 Ilustraccedilatildeo da configuraccedilatildeo utilizada para a mediccedilatildeo do coeficiente r63
num cristal 35
415 Ilustraccedilatildeo do sinal de modulaccedilatildeo electrooacuteptica de um feixe de luz
medido num interferoacutemetro de Michelson 38
416 Padratildeo da franja produzida (a) e respectivos sinais de franja e elec-
trooacuteptico obtidos para um cristal KDP padratildeo 39
417 Razatildeo entre o sinal electrooacuteptico e a diferenccedila de intensidade de franjas
em funccedilatildeo do potencial Vo aplicado ao cristal 40
xiv
Lista de Tabelas
41 Caracteriacutesticas principais do detector 818-UVDB [17] 30
42 Propriedades fiacutesicas do cristal padratildeo KDP [18] 31
43 Propriedades oacutepticas do cristal padratildeo KDP a 6328nm [7] 32
44 Valores e respectivas incertezas obtidas do coeficiente electrooacuteptico
para o cristal KDP utilizado 40
xv
Lista de Siacutembolos
~S - Vector de Poynting
ε - Permissidade eleacutectrica
micro - Permeabilidade eleacutectrica
λ - Comprimento de onda
φ - Fase
ν - Visibilidade
δ - Retardaccedilatildeo
Ω - Frequecircncia de modulaccedilatildeo
χ(1) - Suscetibilidade eleacutectrica linear
χ(2) - Suscetibilidade eleacutectrica de segunda ordem
χ(3) - Suscetibilidade eleacutectrica de terceira ordem
ε0 - Permissidade eleacutectrica do vazio
B - Campo magneacutetico
D - Deslocamento eleacutectrico
E - Campo eleacutectrico
I - Intensidade
P - Polarizaccedilatildeo
Vo - Potencial eleacutectrico
c - Velocidade da luz no vazio
h - Distacircncia entre os eleacutetrodos
xvii
LISTA DE SIacuteMBOLOS
k - Nuacutemero de onda
l - Caminho percorrido pela luz num meio
n - Iacutendice de refraccedilatildeo
ne - Iacutendice de refraccedilatildeo extraordinaacuterio
no - Iacutendice de refraccedilatildeo ordinaacuterio
r - Coeficiente electrooacuteptico linear
s - Coeficiente electrooacuteptico quadraacutetico
u - Densidade de energia
w - Frequecircncia angular
xviii
Capiacutetulo
1Introduccedilatildeo
A fibra oacuteptica eacute hoje amplamente utilizada nas redes de telecomunicaccedilatildeo em subs-
tituiccedilatildeo dos tradicionais cabos eleacutectricos por permitir transportar uma grande
quantidade de informaccedilatildeo a alta velocidade e com perdas reduzidas sem ser
afetada pelo ruiacutedo eletromagneacutetico Por outro lado a transmissatildeo de informaccedilatildeo
atraveacutes da fibra oacuteptica requer o desenvolvimento de dispositivos capazes de pro-
cessar sinal oacuteptico tais como amplificadores comutadores e moduladores de luz
Eacute aqui que o efeito electrooacuteptico assume um papel de relevo jaacute que possibilita a
modulaccedilatildeo de luz a frequecircncias da ordem do gigahertz [1 2 3]
O efeito electrooacuteptico tambeacutem conhecido por efeito de Pockels1 consiste na
variaccedilatildeo do iacutendice de refraccedilatildeo de um meio quando a este eacute aplicado um campo
eleacutetrico externo Esta alteraccedilatildeo no iacutendice de refraccedilatildeo eacute o resultado de forccedilas elec-
trostaacuteticas que deformam as moleacuteculas (alteraccedilatildeo de posiccedilatildeo orientaccedilatildeo ou forma)
do meio que estaacute na origem de uma alteraccedilatildeo no momento dipolar Distinguem-
se dois tipos de efeito eletrooacuteptico o linear (efeito Pockels) e o quadraacutetico (efeito
Kerr2)
O efeito de Pockels estaacute na origem da criaccedilatildeo de uma birrefringecircncia ∆n
no meio oacuteptico proporcional ao campo eleacutetrico aplicado Este efeito observa-se
1Friedrich Carl Alwin Pockels foi um fiacutesico alematildeo que em 1893 descobriu que se for aplicadoum campo eleacutectrico estaacutevel a certos materiais birrefrigentes estes vatildeo sofrer uma variaccedilatildeo noiacutendice de refraccedilatildeo proporcional agrave forccedila do campo aplicado Este coeficiente de proporcionalidadeestaacute entre os 10times 10minus10V minus1 e os 10times 10minus12V minus1 Ficando este fenoacutemeno conhecido como Efeito dePockels
2John Kerr foi um fiacutesico escocecircs e um pioneiro no campo da electro-oacuteptica nomeadamentepelo efeito de Kerr em 1875 que consiste numa variaccedilatildeo do iacutendice de refraccedilatildeo que varia quadraacuteti-camente com o campo eleacutetrico aplicado
1
CAPIacuteTULO 1 INTRODUCcedilAtildeO
apenas em meios em que a sua estrutura natildeo apresenta centro de simetria
No efeito de Kerr a variaccedilatildeo no iacutendice de refraccedilatildeo do meio eacute proporcional ao
quadrado do campo eleacutetrico aplicado e portanto proporcional agrave intensidade da
luz e ao contraacuterio do efeito de Pockels ocorre dum modo geral como mais ou
menos intensidade em todos os materiais
O conhecimento das propriedades electrooacutepticas de um material eacute fundamen-
tal na avaliaccedilatildeo das suas capacidades para o desenvolvimentos de dispositivos
moduladores de luz O presente trabalho de dissertaccedilatildeo consistiu no desenvolvi-
mento de uma bancada oacuteptica para a mediccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico base-
ado em teacutecnica interferomeacutetrica de mediccedilatildeo da diferenccedila de fase induzida por
efeito eletrooacuteptico
Neste trabalho seraacute inicialmente descrita a teoria e os caacutelculos necessaacuterios
para a mediccedilatildeo do efeito electrooacuteptico atraveacutes dos seus coeficientes natildeo-lineares
Sendo de seguida apresentados alguns sistemas de mediccedilatildeo deste efeito e o seu
respectivo funcionamento No capiacutetulo seguinte seraacute descrito o funcionamento
do sistema desenvolvido o interferoacutemetro implementado o porta-amostras cons-
truiacutedo a eletroacutenica e os sistemas oacutepticos desenvolvidos que integram o sistema
bem como os caacutelculos finais para a obtenccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico do sis-
tema usado Por uacuteltimo as conclusotildees retiradas do trabalho desenvolvido bem
como as suas perspectivas futuras
2
Capiacutetulo
2Efeito Electrooacuteptico
Este capiacutetulo aborda do ponto de vista teoacuterico alguns aspectos relevantes para a
realizaccedilatildeo deste trabalho nomeadamente a propagaccedilatildeo da luz num meio as pro-
priedades da oacuteptica natildeo-linear e a alteraccedilatildeo no iacutendice de refraccedilatildeo linear em meios
anisotroacutepicos Estes conceitos permitiratildeo encontrar as expressotildees que determinam
os coeficientes natildeo-lineares
21 Oacuteptica Natildeo-Linear
Um dado material pode responder de forma natildeo-linear a um campo eleacutectrico
aplicado De um modo geral pode-se descrever a resposta da seguinte forma[4]
Pi = ε0
[χ
(1)ij Ej +χ(2)
ijkEjEk +χ(3)ijklEjEkEl +χ(N )
middotmiddotmiddot middot middot middot]
(21)
Onde P i eacute a polarizaccedilatildeo do meio ε0 eacute a permissidade eleacutectrica no vaacutecuo E
o campo eleacutectrico aplicado χ(1) a suscetibilidade eleacutectrica linear e χ(2) χ(3)
χ(n) as suscetibilidades natildeo lineares de segunda ordem de terceira ordem ateacute
N ordem sendo N um nuacutemero inteiro com i j k l um sistema de eixos de
laboratoacuterio com valores valores 1 2 e 3
Cada termo da equaccedilatildeo 21 estaacute associado a diferentes respostas do meio O
termo χ(1) estaacute associado ao iacutendice de refraccedilatildeo e absorccedilatildeo linear O termo χ(2) agrave
geraccedilatildeo de segunda harmoacutenica soma e diferenccedila de frequecircncias e o efeito elec-
trooacuteptico linear ou efeito de Pockels Este efeito eacute particularmente importante
3
CAPIacuteTULO 2 EFEITO ELECTROOacutePTICO
jaacute que permite a modulaccedilatildeo da luz De salientar que o tensor de terceira ordem
(χ(2)ijk) se reduz a dezoito elementos atendendo agraves simetrias resultantes de permu-
tas de iacutendices jaacute que χ(2)ijk = χ
(2)ikj = χ
(2)kij = χ
(2)jik = χ
(2)jki = χ
(2)kji Pode-se desta forma
representar atraveacutes da matriz
χ(2)ij =
χ
(2)11 χ
(2)12 χ
(2)13 χ
(2)14 χ
(2)15 χ
(2)16
χ(2)21 χ
(2)22 χ
(2)23 χ
(2)24 χ
(2)25 χ
(2)26
χ(2)31 χ
(2)32 χ
(2)33 χ
(2)34 χ
(2)35 χ
(2)36
Utilizando uma notaccedilatildeo condensada[5] ficamos com
χ(2)ijk = χ(2)
mk = com m =
1 quando ij = 11
2 quando ij = 22
3 quando ij = 33
4 quando ij = 2332
5 quando ij = 1331
6 quando ij = 1221
De notar que dependendo do meio soacute alguns dos elementos de χ(2)ijk seratildeo natildeo
nulos Para materiais que exibam centro de simetria o efeito electrooacuteptico linear
natildeo existe de todo sendo os elementos de χ(2)ijk nulos
O elemento χ(3) estaacute associado agrave geraccedilatildeo da terceira harmoacutenica soma e dife-
renccedila de frequecircncias e o efeito electrooacuteptico quadraacutetico ou efeito de Kerr que se
manifesta na variaccedilatildeo do iacutendice de refraccedilatildeo com o quadrado do campo eleacutectrico
aplicado
De salientar ainda que quanto maior o valor de ordem n mais difiacutecil se torna
observar os efeitos associados uma vez que estes se tornam cada vez menos inten-
sos
4
22 PROPAGACcedilAtildeO EM MEIOS ANISOTROacutePICOS
22 Propagaccedilatildeo em Meios Anisotroacutepicos
A propagaccedilatildeo de uma onda electromagneacutetica num meio pode ser descrita pelas
equaccedilotildees de Maxwell1 Para o caso de um meio homogeacuteneo isolante e neutro
pode-se escrever como
nabla middot ~E = 0 (22a)
nabla middot ~B = 0 (22b)
nablatimes ~E = minuspart~Bpartt
(22c)
nablatimes ~B = microεpart~Epartt
(22d)
Sendo ~B o campo magneacutetico ~E o campo eleacutectrico ε e micro a permissidade eleacutectrica
e permeabilidade magneacutetica do meio respectivamente
Tendo em conta que para um vector ~D geneacuterico
nablatimesnablatimes ~D = nabla(nabla middot ~D
)minusnabla2 ~D (23)
e
nablatimespart~Dpartt
=partnablatimes ~Dpartt
(24)
Comeccedilando pela equaccedilatildeo 22c
nablatimesnablatimes ~E = nablatimespart~Bpartt
(25)
Usando as propriedades matemaacuteticas das equaccedilotildees 23 e 24
nabla(nabla middot ~E
)minusnabla2~E =
partnablatimes ~Bpartt
(26)
Utilizando as equaccedilotildees 22a e 22d na equaccedilatildeo 26 verifica-se que
nabla2~E = microεpart2~E
partt2(27)
1James Clerk Maxwell foi um cientista escocecircs mais conhecido por ter combinado as teoriasdos campos da oacuteptica do magnetismo e da electricidade numa soacute e uacutenica teoria dando assimorigem as chamadas equaccedilotildees de Maxwell
5
CAPIacuteTULO 2 EFEITO ELECTROOacutePTICO
Obtendo-se desta maneira a equaccedilatildeo de onda para o campo eleacutectrico Analo-
gamente mas comeccedilando com a equaccedilatildeo 22d obteacutem-se para o campo magneacutetico
nabla2~B = microεpart2~B
partt2(28)
A sua velocidade de propagaccedilatildeo eacute dada por
v =1radicmicroε
(29)
Sendo que no vazio micro = micro0 e ε = ε0 o que resulta em v = c 3times 108ms
Resolvendo as equaccedilotildees 27 e 28 obtecircm-se as expressotildees para os campos eleacutec-
tricos e magneacuteticos que se propagam no meio
~E (~r t) = ~E0ei(~kmiddot~rminuswt
)(210)
e
~B (~r t) = ~B0ei(~kmiddot~rminuswt
)(211)
Onde ~r eacute o vector posiccedilatildeo ~k eacute o vector de onda que segue a direccedilatildeo de pro-
pagaccedilatildeo da onda w a frequecircncia angular e t o tempo Sendo que a parte real das
equaccedilotildees representa os seus respectivos campos A magnitude do vector ~k pode
ser escrita da seguinte maneira
k =2πλ
=wv
=wnc
(212)
Em que k eacute o nuacutemero de onda λ o comprimento de onda e n o iacutendice de
refraccedilatildeo
Escrevendo a parte real das equaccedilotildees 210 e 211 fica-se com
E = E0 cos(kr minuswt) (213)
e
B = B0 cos(kr minuswt) (214)
Manipulando a equaccedilatildeo 22c obtem-se
partEpartx
= minuspartBpartt
(215)
6
22 PROPAGACcedilAtildeO EM MEIOS ANISOTROacutePICOS
Utilizando a equaccedilatildeo 215 nas equaccedilotildees 213 e 213
kE0 = wB0 (216)
Usando a equaccedilatildeo 212 na equaccedilatildeo 216 verifica-se que
B0 =E0
v(217)
221 Vector de Poynting
O fluxo de energia (Wm2) dado pelo vector de Poynting2 (~S) pode ser escrito da
seguinte forma
~S =1micro~E times ~B (218)
A densidade de energia eleacutectrica ou a energia eleacutectrica armazenada por uni-
dade de volume (joulem3) a quantidade de energia contida num dado sistema
em relaccedilatildeo ao seu volume seraacute dada por
uE =12εE2 (219)
Agrave semelhanccedila da densidade de energia eleacutectrica a densidade de energia mag-
neacutetica (uB) eacute
uB =1
2microB2 (220)
Assim somando as equaccedilotildees 219 e 220 obtem-se a densidade de energia
total de uma onda electromagneacutetica
u =12εE2 +
12microB2 (221)
2John Henry Poynting foi um fiacutesico britacircnico autor de diversos trabalhos entre os quais um te-orema no qual se atribui um valor agrave taxa de fluxo de energia electromagneacutetica que ficou conhecidocomo vector de Poynting
7
CAPIacuteTULO 2 EFEITO ELECTROOacutePTICO
Substituindo as equaccedilotildees 29 e 217 na equaccedilatildeo 221 pode-se escrever a densi-
dade de energia total de uma onda electromagneacutetica num dado meio da seguinte
forma
u = εE2 (222)
Relacionando-se desta forma a densidade de energia com o campo eleacutectrico
De salientar que o campo magneacutetico e o campo eleacutectrico estatildeo relacionados atra-
veacutes da equaccedilatildeo 217
Considerando uma secccedilatildeo de aacuterea A (Fig 21) de um cubo com ∆x de lado
Figura 21 Cubo com secccedilatildeo de aacuterea A e ∆x de lado
A energia armazenada no cubo ou densidade de energia eacute igual a
∆U = uA∆x (223)
Sendo que a energia que atravessa a aacuterea A por unidade de tempo eacute
∆U∆t
=uA∆x∆xv
= uAv (224)
Assim a energia por unidade de tempo e aacuterea (Wm2) eacute igual a
uv = S (225)
Combinando a equaccedilatildeo 225 com a equaccedilatildeo 222 pode-se escrever a magnitude
do vector de Poynting da seguinte forma
S = εvE2 (226)
8
22 PROPAGACcedilAtildeO EM MEIOS ANISOTROacutePICOS
Substituindo a equaccedilatildeo 213 na equaccedilatildeo 225 a magnitude do vector de Poyn-
ting assume a seguinte forma
S = εvE20 cos2 (wt) (227)
Se na equaccedilatildeo 227 se fizer uma meacutedia no tempo obteacutem-se
〈S〉 = εvE20
langcos2 (wt)
rang(228)
Sendo quelangcos2 (wt)
rang= 1
2 tem-se que
I = 〈S〉 =12εvE2
0 =c
2nεE2
0 (229)
Sendo I a intensidade ou seja a potecircncia meacutedia por unidade de aacuterea que a
onda electromagneacutetica transporta
222 Elipsoiacutede dos Iacutendices
Nos meios anisotroacutepicos o iacutendice de refraccedilatildeo linear depende da direccedilatildeo da propa-
gaccedilatildeo da luz e do seu estado de polarizaccedilatildeo A resposta de um meio anisotroacutepico
eacute normalmente obtida atraveacutes do conceito de elipsoiacutede de iacutendices[5 6 7] que
a seguir seraacute descrita Ao se aplicar um campo eleacutectrico a um meio polarizaacutevel
este induz uma mudanccedila do estado de polarizaccedilatildeo descrito pelo deslocamento
eleacutectrico
~D = ε0~E + ~P (230)
Sendo
~P = ε0χ~E (231)
onde ε0 eacute a permissidade eleacutectrica no vazio ~P a polarizaccedilatildeo ~E o campo eleacutec-
trico ~D o deslocamento eleacutectrico e χ eacute o tensor das suscetibilidades Atraveacutes das
equaccedilotildees 230 e 231 tem-se que
~D = ε0~E(1 + χ) (232)
9
CAPIacuteTULO 2 EFEITO ELECTROOacutePTICO
Sendo que χ eacute dado por
χ =
χ11 χ12 χ13
χ21 χ22 χ23
χ31 χ32 χ33
(233)
Pelo teorema de eixos principais [7] seraacute possiacutevel escolher um sistema de co-
ordenadas onde apenas os elementos da diagonal principal sejam diferentes de
zero de tal forma que
χ =
χ11 0 0
0 χ22 0
0 0 χ33
(234)
Assim a equaccedilatildeo 231 pode ser escrita na forma no novo sistema de eixosP1
P2
P3
= ε0
χ11 0 0
0 χ22 0
0 0 χ33
E1
E2
E3
(235)
Da equaccedilatildeo 235 pode-se ainda retirar o seguinte
P1 = ε0χ11E1 D1 = ε11E1 ε11 = ε0 (1 +χ11)
P2 = ε0χ22E2 D2 = ε22E2 ε22 = ε0 (1 +χ22) (236)
P3 = ε0χ33E3 D3 = ε33E3 ε33 = ε0 (1 +χ33)
Combinando as equaccedilotildees 219 e 236 pode-se reescrever a densidade de energia
armazenada no campo eleacutectrico como
uE =12~E middot ~D (237)
Usando as expressotildees da equaccedilatildeo 236 para manipular a equaccedilatildeo 237 obtem-
se
D21
ε11+D2
2
ε22+D2
3
ε33= 2uE (238)
10
22 PROPAGACcedilAtildeO EM MEIOS ANISOTROacutePICOS
Substituiacutendo na equaccedilatildeo 238 D1 D2 e D3 pelos seus respectivos eixos em
coordenadas cartesianas tem-se que
x2
ε11ε0+
y2
ε22ε0+
z2
ε33ε0= 1 (239)
sendo x = D1radic2ε0UE
y = D2radic2ε0UE
e z = D3radic2ε0UE
Reescrevendo a equaccedilatildeo 239 fazendo n2x = ε11ε0 n2
y = ε22ε0 e n2z = ε33ε0
obteacutem-se forma a equaccedilatildeo do elipsoide de iacutendices
x2
n2x
+y2
n2y
+z2
n2z
= 1 (240)
Sendo nx ny e nz o iacutendice de refraccedilatildeo na sua respectiva direccedilatildeo como demons-
tra a figura 22
Figura 22 Ilustraccedilatildeo do elipsoiacutede de iacutendices (retirado de [7])
11
CAPIacuteTULO 2 EFEITO ELECTROOacutePTICO
223 Coeficientes Natildeo-Lineares
Quando eacute aplicado um campo eleacutectrico ao meio o elipsoiacutede de iacutendices pode
mudar a sua forma e orientaccedilatildeo no espaccedilo de tal forma que a equaccedilatildeo de elipsoide
de iacutendices passa a ser escrita de um modo geral como
( 1n2
)1x2 +
( 1n2
)2y2 +
( 1n2
)3z2 + 2
( 1n2
)4xy + 2
( 1n2
)5xz+ 2
( 1n2
)6yz = 1 (241)
Quando o campo eleacutectrico aplicado eacute nulo as equaccedilotildees 240 e 241 tecircm de ser
equivalentes pelo que para E = 0 tem-se
( 1n2
)1
=1
n2x( 1
n2
)2
=1
n2y( 1
n2
)3
=1
n2z( 1
n2
)4
=( 1n2
)5
=( 1n2
)6
= 0
(242)
Desta forma quando se aplica um campo eleacutectrico (E) verifica-se uma variaccedilatildeo
nos coeficientes(
1n2
)i Esta variaccedilatildeo induzida pelo efeito electrooacuteptico pode entatildeo
ser descrita atraveacutes de [8]
∆
( 1n2
)i
=3sumj=1
rijEj com i = 1 6 (243)
Sendo rij o coeficiente electrooacuteptico e E a magnitude do campo eleacutectrico apli-
cado
12
22 PROPAGACcedilAtildeO EM MEIOS ANISOTROacutePICOS
A equaccedilatildeo 243 tambeacutem pode ser escrita como
∆
( 1n2
)1
∆
( 1n2
)2
∆
( 1n2
)3
∆
( 1n2
)4
∆
( 1n2
)5
∆
( 1n2
)6
=
r11 r12 r13
r21 r22 r23
r31 r32 r33
r41 r42 r43
r51 r52 r53
r61 r62 r63
E1
E2
E3
(244)
Nesta conformidade o coeficiente electrooacuteptico pode ser escrito como
rij = minus 2
n3ij
[partnijpartEj
](245)
A diferenccedila de fase ∆φ resultante da variaccedilatildeo no iacutendice de refraccedilatildeo ∆n seraacute
∆φ =2πlλ
∆n (246)
Em que o l eacute o caminho percorrido pela luz de comprimento de onda λ no
meio Sendo a variaccedilatildeo no iacutendice de refraccedilatildeo devida aos efeitos electrooacutepticos
pode-se escrever
|∆n| =rno
3
2Voh
(247)
para o efeito electrooacuteptico linear e
|∆n| =sn3o
2
(Voh
)2(248)
para o efeito electrooacuteptico quadraacutetico
Onde os coefeciecircntes electrooacutepticos linear e quadraacutetico satildeo respectivamente
r e s Vo eacute o potencial eleacutectrico aplicado entre os eleacutetrodos que distam entre si a
uma distacircncia h criando assim o campo eleacutectrico aplicado
13
Capiacutetulo
3Mediccedilatildeo do Efeito Electrooacuteptico
Neste capiacutetulo satildeo apresentadas as teacutecnicas mais comuns utilizadas para a me-
diccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico destacando-se dois tipos de interferoacutemetros o
tradicional e os de interferometria de dois feixes
31 Meacutetodo Tradicional
Um dos meacutetodos mais usados para medir o efeito eletrooacuteptico foi o proposto por
Henry [9] em 1986 Esta teacutecnica ilustrada na Fig31 baseia-se na alteraccedilatildeo do
estado de polarizaccedilatildeo de um feixe linearmente polarizado quando este atravessa
o meio Esta alteraccedilatildeo ocorre devido agrave birrefrigecircncia induzida por um campo
eleacutetrico aplicado e agrave atividade oacuteptica do meio A montagem eacute composta por uma
fonte de luz (S) um monocromador (M) uma lente (L) um diafragma (D) dois
polarizadores (P1 e P2) um cristal (BSO) de espessura d ao qual eacute aplicado um
campo eleacutetrico (E) e um fotomultiplicador (FM) ligado a um sistema de aquisiccedilatildeo
de dados
O procedimento experimental em si consiste no seguinte para um dado estado
de polarizaccedilatildeo do feixe incidente imposto pelo P1 vai-se alterando a posiccedilatildeo
angular do P2 de forma a encontrar as intensidades maacutexima e miacutenima e desta
forma calcular-se a visibilidade (ν) atraveacutes de [9]
νθ =Imax minus IminImax + Imin
(31)
15
CAPIacuteTULO 3 MEDICcedilAtildeO DO EFEITO ELECTROOacutePTICO
Figura 31 Montagem experimental proposta por Henry e a sua equipa (adaptadode [9])
De seguida altera-se P1 para a posiccedilatildeo angular de 45 e repete-se o procedi-
mento anterior Somando o quadrado das duas visibilidades obtidas tem-se que
[9]
ν2θ + ν2
θ+45 = 1 +
1minus δ2
2
sen(φ2 )φ2
2
2
(32)
sendo
δ =2πλn3rEyd (33)
e
φ =radicδ2 + ρ2 (34)
Sendo δ a diferenccedila de fase originada pela birrefringecircncia λ o comprimento
de onda do feixe no vaacutecuo ρ a diferenccedila de fase associada agrave actividade oacuteptica n o
iacutendice de refraccedilatildeo sem campo eleacutetrico aplicado Ey o campo eleacutectrico aplicado e
d a espessura do cristal na direccedilatildeo do campo eleacutectrico aplicado Destas equaccedilotildees
pode-se calcular o coeficiente electrooacuteptico r
Para o caso de φ pequenos
sen(φ2 )φ2
2
1 pelo que
ν2θ + ν2
θ+45 1 +(1minus δ
2
2
)2
(35)
Natildeo sendo nesta situaccedilatildeo necessaacuteria a actividade oacuteptica ρ Esta teacutecnica apre-
senta um erro de mediccedilatildeo de 10 a 15 em relaccedilatildeo ao valor tabelado
16
32 MEacuteTODOS POR INTERFEROMETRIA
32 Meacutetodos por Interferometria
321 Interferometria Oacuteptica
Quando duas ondas de uma mesma frequecircncia se sobrepotildeem num dado ponto
formam uma nova onda cuja amplitude eacute o resultado da soma da amplitude das
duas ondas iniciais em cada instante nesse ponto Quando a soma da duas ondas
resulta numa amplitude maior diz-se que houve interferecircncia construtiva quando
resulta numa amplitude inferior diz-se que ocorreu interferecircncia destrutiva
Supondo que uma das ondas tem a forma E1ei(φ1minuswt) e a outra forma E2e
i(φ2minuswt)
sendo E1 e E2 as amplitudes dos respetivos campos eleacutetricos φ1 e φ2 as fases
iniciais w a frequecircncia angular e t o tempo a onda resultante seraacute descrita por
[10]
ET = E1ei(φ1minuswt) +E2e
i(φ2minuswt) (36)
Se φ1 minusφ2 = 2Nπ com N = 012 entatildeo as duas ondas estaratildeo em fase e daacute-
se uma interferecircncia construtiva perfeita Se φ1 minusφ2 = (2N + 1)π e E1 = E2 entatildeo
as duas ondas estaratildeo em oposiccedilatildeo de fase e daacute-se uma interferecircncia destrutiva
completa Estas situaccedilotildees extremas encontram-se ilustradas na figura 32
Figura 32 Ilustraccedilatildeo de uma interferecircncia construtiva perfeita (a) e destrutivacompleta (b)
Matematicamente a coerecircncia eacute uma medida da correlaccedilatildeo entre as ondas
Quanto mais construtiva for a interferecircncia maior seraacute a coerecircncia Fisicamente
a coerecircncia eacute uma medida do quatildeo constante a diferenccedila de fase permanece entre
17
CAPIacuteTULO 3 MEDICcedilAtildeO DO EFEITO ELECTROOacutePTICO
as duas ondas A coerecircncia eacute usualmente medida num padratildeo de franjas de in-
terferecircncia atraveacutes da visibilidade de franja (ν) que pode ser experimentalmente
calculada atraveacutes de [10]
ν =Imax minus IminImax + Imin
= 1 coerecircncia total e contraste maacuteximo
0 lt ν lt 1 coerecircncia parcial
= 0 incoerecircncia total e contraste natildeo haacute franjas
(37)
Pode-se ver na Fig33 um exemplo da equaccedilatildeo 37 que representa a visibi-
lidade das franjas em funccedilatildeo da diferenccedila de fase entre duas ondas da mesma
frequecircncia que interferem Como a visibilidade das franjas depende da coerecircncia
das duas ondas qualquer diferenccedila iraacute traduzir-se numa diminuiccedilatildeo de visibili-
dade
Figura 33 Visibilidade num interferoacutemetro em funccedilatildeo da diferenccedila de fase entreduas ondas provenientes de ramos diferentes do interferoacutemetro (adaptado de[11])
Pode-se usar a interferometria para quantificar os efeitos electrooacutepticos natildeo
soacute linear mas tambeacutem o quadraacutetico (efeito de Kerr) Os interferoacutemetros mais
frequentemente utilizados para este efeito satildeo os interferoacutemetro de Michelson1 e1Albert Abraham Michelson foi um fiacutesico americano conhecido pela invenccedilatildeo do interferoacuteme-
tro de Michelson (1891) do seu trabalho na mediccedilatildeo da velocidade da luz e pelo seu trabalho naexperiecircncia de Michelson-Morley Em 1907 tornou-se o primeiro americano a receber o PreacutemioNobel da Fiacutesica
18
32 MEacuteTODOS POR INTERFEROMETRIA
o interferoacutemetro de Mach-Zehnder2
De salientar que as teacutecnicas interferomeacutetricas apresentam uma elevada sensibi-
lidade simplificaccedilatildeo na preparaccedilatildeo das amostras a estudar e uma menor sensibili-
dade a vibraccedilotildees mecacircnicas e a flutuaccedilotildees teacutermicas desde que estas ocorram com
a mesma intensidade em ambos os ramos do mesmo tamanho do interferoacutemetro
322 Interferoacutemetro de Mach-Zehnder
No interferoacutemetro de Mach-Zehnder (Fig 34) um separador de feixe divide o
feixe proveniente da fonte em dois feixes que vatildeo constituir os dois ramos do
interferoacutemetro o feixe-amostra e o feixe-referecircncia Ambos satildeo refletidos por um
espelho e ambos atravessam um novo separador de feixe antes de se juntarem de
novo e serem medidos nos detetores
Figura 34 Esquema de um interferoacutemetro de Mach-Zehnder (adaptado de [12])
Com os ramos agrave mesma distacircncia pode ainda observar-se que sem amostra
ambos os feixes vatildeo chegar em fase aos detetores havendo desta forma uma inter-
ferecircncia construtiva Ambos apresentaratildeo uma mudanccedila de fase correspondente
a λ devido ao facto de ambos sofrerem duas reflexotildees e uma transmissatildeo numa
placa de vidro(separador de feixe) ateacute chegarem aos detetores2Ludwig Zehnder foi um fiacutesico suiacuteccedilo e o inventor do interferoacutemetro de Mach-Zehnder Inter-
feroacutemetro esse depois aperfeiccediloado por Ludwig Mach
19
CAPIacuteTULO 3 MEDICcedilAtildeO DO EFEITO ELECTROOacutePTICO
Alterando o caminho oacuteptico do espelho do feixe-referecircncia em λ4 sem amos-
tra o feixe-amostra e o feixe-referecircncia vatildeo chegar com uma diferenccedila de fase de
λ2 ou seja vai haver uma interferecircncia destrutiva completa Isto porque o feixe-
referecircncia vai ter uma mudanccedila de fase de λ2 devido a uma reflexatildeo e duas trans-
missotildees provocadas pelos separadores de feixe Enquanto que o feixe-amostra
chegaraacute aos detetores com uma diferenccedila de fase de λ devido a duas reflexotildees
mais uma reflexatildeo com transmissatildeo no segundo separador de feixe Assim na
ausecircncia de amostra e desde que a diferenccedila de caminho oacuteptico ou retardaccedilatildeo
(δ) seja zero os feixes iratildeo interferir construtivamente [13]
Com a amostra colocada no caminho do feixe-amostra os feixes vatildeo chegar ao
detetor em diferentes situaccedilotildees de fase sendo possiacutevel determinar a diferenccedila de
fase provocada pela presenccedila da amostra
A intensidade do feixe (I) em ambos os detetores eacute descrita por [14]
I(δ) =12I(k)cos(2Nkδ) (38)
Com k o nuacutemero de onda (k = 2πλ) E fazendo δ = d com d = vt resulta
I(δ) =12I(k)cos(2Nk(vt)) (39)
323 Interferoacutemetro de Michelson
No interferoacutemetro do tipo Michelson um feixe de luz eacute dividido em dois que
percorrem caminhos diferentes para de seguida se recombinarem Apoacutes terem
percorrido caminhos diferentes o feixe resultante da recombinaccedilatildeo pode apresen-
tar um padratildeo de interferecircncia que depende da diferenccedila de caminhos oacutepticos
entre os feixes e que pode ser medido num detetor
A forma mais simples de implementar um interferoacutemetro de Michelson con-
siste em dois espelhos colocados entre si num plano perpendicular em que um
deles se pode mover na direccedilatildeo perpendicular agrave sua superfiacutecie refletora conforme
ilustrado na Fig35
Esse espelho iraacute movimentar-se num espaccedilo definido a uma velocidade cons-
tante Entre o espelho fixo e o espelho moacutevel estaacute um separador de feixe que
divide o feixe incidente inicial em dois de igual intensidade Aqui o feixe eacute parci-
almente refletido para um espelho e parcialmente transmitido para o outro
20
32 MEacuteTODOS POR INTERFEROMETRIA
Figura 35 Esquema de funcionamento de um interferoacutemetro de Michelson cominterferecircncia construtiva (a) e destrutiva (b) (adaptado de [15])
Assumindo que o separador de feixe eacute ideal e com uma reflectacircncia e transmi-
tacircncia de 50 se o espelho moacutevel se encontrar estacionaacuterio pode determinar-se
a intensidade do feixe num dado ponto do detetor Se a diferenccedila do caminho
oacuteptico ou retardaccedilatildeo (δ) for zero ou seja os espelhos estatildeo igualmente espaccedilados
do separador de feixe estes vatildeo percorrer a mesma distacircncia e interferir construti-
vamente pelo que a intensidade do feixe final eacute a soma das intensidades dos dois
feixes Nestas condiccedilotildees toda a luz que sai da fonte chega ao detetor
No caso do espelho moacutevel se deslocar uma distacircncia de λ4 a retardaccedilatildeo total
seraacute de λ2 pelo que os feixes estaratildeo desfasadas de 180ordm (π) Nestas condiccedilotildees ter-
se-aacute interferecircncia destrutiva completa na recombinaccedilatildeo dos feixes dando origem
agrave extinccedilatildeo total
Voltando a deslocar o espelho moacutevel de mais λ4 a diferenccedila do caminho
oacuteptico seraacute igual a λ e os dois feixes voltam a estar em fase havendo novamente
uma sobreposiccedilatildeo construtiva dos feixes
Com o espelho moacutevel a deslocar-se a uma velocidade constante o sinal do de-
tetor iraacute variar com uma forma perioacutedica sendo que atinge o seu maacuteximo quando
a retardaccedilatildeo (δ) for um muacuteltiplo inteiro de λ δ =Nλ
A expressatildeo da intensidade do feixe (I) no detector para o caso do interferoacute-
metro de Michelson eacute semelhante agrave equaccedilatildeo 38 para o interferoacutemetro de Mach-
Zehnder sendo que neste caso δ = 2d com d = vt jaacute que o feixe atravessa a
amostra duas vezes Nestas condiccedilotildees ter-se-aacute
I(δ) =12I(k)cos(4Nk(vt)) (310)
21
CAPIacuteTULO 3 MEDICcedilAtildeO DO EFEITO ELECTROOacutePTICO
22
Capiacutetulo
4Sistema Implementado
Este capiacutetulo descreve o sistema implementado para a mediccedilatildeo do coeficiente
electrooacuteptico usando a teacutecnica de interferoacutemetria de Michelson bem como a cali-
braccedilatildeo do mesmo
41 Interferoacutemetro
O sistema escolhido para a mediccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico baseia-se na teacutec-
nica de interferometria de Michelson (ver secccedilatildeo 323) onde se mediu a diferenccedila
de fase entre os ramos do interferoacutemetro Esta teacutecnica foi escolhida pela elevada
sensibilidade agrave diferenccedila de fase gerada entre os ramos do interferoacutemetro facili-
dade de preparaccedilatildeo das amostras e por ser menos sensiacutevel a vibraccedilotildees mecacircnicas
e a flutuaccedilotildees teacutermicas desde que estas ocorram com a mesma intensidade em
ambos os ramos do interferoacutemetro Para aleacutem das vantagens mencionadas e espe-
cificamente em comparaccedilatildeo com o interferoacutemetro mais usado o interferoacutemetro
do tipo Mach-Zehnder o interferoacutemetro de Michelson tem uma maior facilidade
de alinhamento dos espelhos e usa apenas um separador de feixe
A figura 41 esquematiza o sistema baseado no interferoacutemetro de Michelson
desenvolvido para a mediccedilatildeo do coeficiente eletrooacuteptico
23
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Figura 41 Esquematizaccedilatildeo do interferoacutemetro de Michelson e instrumentaccedilatildeoutilizada para a mediccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico em cristais
Como se pode ver no esquema da figura 41 o ramo do espelho vibrante fica
vazio enquanto que no ramo do espelho fixo se encontra a amostra entre dois
eleacutectrodos onde se aplicam um campo eleacutectrico E O sinal medido no detector
resulta da interferecircncia entre os feixes provenientes de cada ramo do interferoacute-
mentro dependendo da diferenccedila de fase entre os dois feixes Conforme referido
anteriormente a intensidade da luz (I) que chega ao detector eacute da ordem de [16]
I prop E21 +E2
2 + 2E1E2cos(∆φ) (41)
42 Electroacutenica Desenvolvida
421 Amplificador
Para o efeito electrooacuteptico se manisfestar eacute necessaacuterio aplicar-se uma tensatildeo eleacutec-
trica ao meio Uma vez que a tensatildeo de referecircncia fornecida pelo amplificador
lock-in utilizado eacute muito baixa para induzir efeito electrooacuteptico significativo por
volta dos 12V foi necessaacuterio construir um amplificador de tensatildeo (Fig 42)
24
42 ELECTROacuteNICA DESENVOLVIDA
Figura 42 Esquemaacutetico do amplificador de tensatildeo utilizado com base no ampli-ficador operacional LF356n
O amplificador construiacutedo conforme ilustra a figura 42 consiste numa mon-
tagem inversora de ganho variaacutevel com uma malha de controlo de offset e eacute
alimentado a plusmn12V
Assim o ganho G eacute determinado atraveacutes de
G = 1 +R2R1
(42)
Sendo R1 = 11kΩ R2 = 5kΩ R3 = 25kΩ e o amplificador em si utilizado foi
o LF356n
Obtendo-se desta forma um ganho de aproximadamente 55 Permitindo apli-
car uma tensatildeo de cerca de 66V ao cristal electrooacuteptico Uma vez que a tensatildeo
aplicada eacute baixa pode-se desprezar o efeito piezoeleacutectrico gerado na amostra e
que iria influenciar o valor do coeficiente electrooacuteptico medido
422 Gerador de Rampa
Para alimentar o excitador piezoeleacutectrico do espelho moacutevel foi utilizado um ge-
rador de sinais (Fig 43) de forma a induzir um deslocamento linear perioacutedico
na forma de rampa A frequecircncia de oscilaccedilatildeo cerca de 25Hz foi escolhida de
25
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
forma a ser suficientemente baixa para evitar fenoacutemenos de batimento com o sinal
de modulaccedilatildeo electrooacuteptico e suficientemente alta para que se consiga adquirir
dados em tempo uacutetil com uma tensatildeo variaacutevel entre os 4 e os 8V
Figura 43 Esquema eleacutectrico do gerador de rampa implementado baseado nocircuito temporizador NE555
Sendo R1 = 20kΩ R2 = 1kΩ e C1 = C2 = 47microF
O tempo de subida da rampa t1 eacute dado por
t1 = 0693(R1 +R2)C1 (43)
Enquanto que o tempo de descida t2 eacute
t2 = 0693R2C1 (44)
Obtendo assim um tempo de subida de 036s e um tempo de descida de 0033s
Assim a frequecircncia do gerador de rampa f seraacute dada por
f =1
t1 + t2=
144(R1 + 2R2)C1
(45)
O gerador de rampa foi construiacutedo aproveitando o espaccedilo livre no interior da
unidade de amplificaccedilatildeo onde se situa o amplificador
26
42 ELECTROacuteNICA DESENVOLVIDA
423 Seguidor de Tensatildeo
Devido agrave necessidade de acoplamento de impedacircncias entre o amplificador lock-
in e o osciloacutescopio natildeo foi possiacutevel a utilizaccedilatildeo de um repartidor coaxial que
repartisse o sinal proveniente do detector Assim de forma a se poder visuali-
zar o sinal proveniente do detector em simultacircneo com o sinal electrooacuteptico foi
necessaacuterio a construccedilatildeo de um seguidor de tensatildeo (Fig44)
Figura 44 Esquema do seguidor de tensatildeo utilizado construida com base nosamplifacores operacionais LF356n
Sendo que ambos os circuitos integrados foram alimentados por uma tensatildeo
positiva (V+) de 12V e uma negativa (Vminus) de minus12V Com R1 = R2 = 25kΩ Agrave
semelhanccedila do amplificador foi tambeacutem construida uma malha de controlo de
offset
Agrave semelhanccedila do gerador de rampa tambeacutem foi construido na unidade de
amplificaccedilatildeo e gerador de rampa como se pode ver na figura 45
27
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Figura 45 Imagem da unidade de amplificaccedilatildeo e geraccedilatildeo de rampa implemen-tada
43 Sistema Oacuteptico Desenvolvido
431 Espelho Vibrante
O espelho vibrante (Fig46) foi construiacutedo afixando um espelho a um disco pie-
zoeleacutectrico A vibraccedilatildeo do espelho iraacute fazer com que a distacircncia entre o divisor
de feixe e o espelho varie Fazendo deslocar a franja de interferecircncia em frente ao
detector permitindo a este medir as intensidades maacuteximas e miacutenimas das franjas
de interferecircncia (ver secccedilatildeo 323)
Figura 46 Imagem do espelho vibrante utilizado
28
43 SISTEMA OacutePTICO DESENVOLVIDO
432 Bancada Oacuteptica
De forma a colocar os componentes ao niacutevel do feixe do laser na mesa oacuteptica e a
tornar o sistema menos sensiacutevel a vibraccedilotildees mecacircnicas e flutuaccedilotildees teacutermicas os
componentes foram colocadas numa base quadrada de alumiacutenio
Figura 47 Imagem da bancada oacuteptica onde o interferoacutemetro de Michelson foiconstruiacutedo
Conforme se pode ver na figura 47 para completar o interferoacutemetro de Michel-
son para aleacutem dos componentes jaacute referidos foram ainda utilizados um separador
de feixe e um espelho (fixo) no suporte com uma lente oacuteptica agrave saiacuteda do mesmo
Faltando ainda o laser utilizado da Melles Griotreg que possui uma potecircncia de
635mW e um comprimento de onda de 6328nm
433 Detector
O detector utilizado foi um modelo 818-UVDB da Newport Corporationreg (Fig
48) de baixa potecircncia consistindo num fotodiacuteodo de siliacutecio capaz de operar entre
os 200 e os 1100nm As caracteriacutesticas principais deste detector encontram-se
listadas na tabela 433
29
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Tabela 41 Caracteriacutesticas principais do detector 818-UVDB [17]
Largura de Banda 200 a 1100(nm) Material Siliacutecio
Potecircncia
W λ(nm)
Incerteza de
λ(nm)
02 200 a 4008 200 a 219
Maacutexima Calibraccedilatildeo 2 220 a 349
005 400 a 11001 350 a 9494 950 a 1050
Densidade de02Wcm2 Aacuterea Activa 1cm2
Potecircncia Meacutedia
Energia Maacutexima05microJ
Diacircmetro113cm
de Pulso Activo
De forma a evitar que a luz ambiente interferisse nas medidas e para aumen-
tar a resoluccedilatildeo de mediccedilatildeo do perfil da franja de interferecircncia foi colocado um
diafragma com uma abertura no centro de 06mm conforme se pode ver na figura
48 reduzido desta maneira a aacuterea activa para 028 mm2
Figura 48 Imagem do detector e disco utilizado
Para a aquisiccedilatildeo do sinal electrooacuteptico e geraccedilatildeo de sinal electrooacuteptico de
referecircncia foi utilizado um osciloscoacutepio Lecroy Wavesufertrade422
30
43 SISTEMA OacutePTICO DESENVOLVIDO
434 Cristal Electrooacuteptico
Para a calibraccedilatildeo do sistema foi utilizado um cristal padratildeo de dihidrogenofosfato
de potaacutessio (KDP) Na tabela 42 pode-se observar algumas das propriedades
fiacutesicas desse cristal
Tabela 42 Propriedades fiacutesicas do cristal padratildeo KDP [18]
Material Simetria Densidade Classe Higroscopicidade
KDP Tetragonal (42m) 234gcm3 Uniaxial Higroscoacutepico
Uma vez que o cristal eacute uniaxial nx = ny = no e nz = ne sendo no e ne os
iacutendices de refraccedilatildeo ordinaacuterio e extraordinaacuterio do cristal KDP A figura 49 ilustra
o elipsoiacutede de iacutendices num cristal padratildeo KDP
Figura 49 Ilustraccedilatildeo de um cristal padratildeo KDP e seu respectivo elipsoiacutede deiacutendices
31
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Na Tabela 43 pode-se observar algumas das propriedades oacutepticas do cristal
padratildeo KDP
Tabela 43 Propriedades oacutepticas do cristal padratildeo KDP a 6328nm [7]
Material Foacutermula Quiacutemica Iacutendice de RefracccedilatildeoCoeficiente
Electrooacuteptico
KDPKH2PO4
no=15074 r41=86 pmV(λ = 6328nm) ne=14673 r63=106 pmV
Como se pode ver na tabela 42 o cristal do tipo KDP eacute higroscoacutepico sendo
assim necessaacuterio reduzir ao maacuteximo o contacto entre o cristal e a atmosfera para
evitar que as suas faces fiquem opacas interferindo assim na qualidade do feixe
transmitido
435 Porta Amostras
O porta amostras eacute constituiacutedo por uma base feita de latatildeo (Fig 410) onde se
coloca o cristal nivelado com o feixe laser Este suporte possui oito roscas para
parafusos M3 quatro em cima de forma a se fixar os encaixes laterais do porta
amostras e quatro em baixo de forma a afixar-se firmemente na bancada oacuteptica
Figura 410 Imagem da base do porta-amostras desenvolvido
32
43 SISTEMA OacutePTICO DESENVOLVIDO
De forma a aplicar-se a tensatildeo de excitaccedilatildeo ao cristal sem bloquear o feixe do
laser foram utilizadas duas placas de vidro com oacutexido de estanho dopado com
fluacuteor (FTO) Este permite que haja uma boa transparecircncia e conduccedilatildeo eleacutetrica
sendo usado em vaacuterios tipos de dispositivos como aplicaccedilotildees opto-eletroacutenicas
ecratildes touch screen filmes finos fotovoltaicos etc O oacutexido de estanho dopado
com fluacuteor [19] eacute reconhecido por ser altamente estaacutevel quimicamente inerte re-
siste a temperaturas elevadas e ao desgaste abrasivo sendo mais econoacutemico do
que o tradicional oacutexido de iacutendio e estanho (ITO)
De forma a garantir um bom contacto eleacutectrico entre o vidro FTO e o cristal
foram construidas duas peccedilas de afixaccedilatildeo idecircnticas (Fig 411) Trata-se de duas
peccedilas de alumiacutenio cada uma contendo uma abertura de forma a deixar passar
o feixe laser e dois rasgos para parafusos de forma a poder-se fixar no suporte e
desta maneira exercer uma pressatildeo constante sobre o cristal
Figura 411 Imagem das peccedilas de fixaccedilatildeo do cristal desenvolvidas com a vista defrente (a) e a vista de traacutes (b)
A ligaccedilatildeo eleacutectrica entre o sinal de referecircncia proveniente do amplificador ao
vidro FTO foi feita atraveacutes de uma cola condutora de prata de forma a assegurar
a ligaccedilatildeo oacutehmica entre o fio de cobre e a camada de FTO O cristal fica assim entre
duas placas de vidro FTO(Fig412)
33
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Figura 412 Imagem do porta Amostras desenvolvido
A figura 413 ilustra o sistema desenvolvido incluindo a bancada oacuteptica e
instrumentaccedilatildeo
Figura 413 Imagem do sistema desenvolvido para a mediccedilatildeo do efeito electrooacutep-tico
34
44 COEFICIENTE ELECTROOacutePTICO
44 Coeficiente Electrooacuteptico
Para o cristal utilizado o dihidrogenofosfato de potaacutessio (KDP) e para o efeito
electrooacuteptico linear a matriz de coeficientes electrooacutepticos eacute a seguinte
rij =
0 0 0
0 0 0
0 0 0
r41 0 0
0 r52 0
0 0 r63
com
i = 1 6
j = 123
Sendo que r41 = r52 pelo que existem apenas dois coeficientes independentes
o r41 e o r63
Usando a notaccedilatildeo condensada mencionada da secccedilatildeo 21 onde se aplica o
campo eleacutectrico (E) no plano do i (sendo i = m) enquanto que j eacute o eixo oacuteptico
Para o caso do KDP eacute costume utilizar o r63 Isto eacute aplicar o campo eleacutectrico nos
planos 12 ou 21 (ou seja i = 6) com o eixo oacuteptico no eixo 3 (j = 3) como demonstra
a figura 414
Figura 414 Ilustraccedilatildeo da configuraccedilatildeo utilizada para a mediccedilatildeo do coeficienter63 num cristal
35
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Para o caso do efeito electrooacuteptico quadraacutetico a matriz dos coeficientes elec-
trooacutepticos seraacute
sij =
s11 s12 s12 0 0 0
s12 s11 s12 0 0 0
s12 s12 s11 0 0 0
0 0 0 s11 minus s12 0 0
0 0 0 0 s11 minus s12 0
0 0 0 0 0 s11 minus s12
com i j = 1 6
45 Execuccedilatildeo Experimental
Para se medir o coeficiente electrooacuteptico aplica-se ao cristal uma tensatildeo com uma
frequecircncia de 2kHz frequecircncia essa que se revelou menos sensiacutevel aos ruiacutedos
ambientes sendo que o sinal electrooacuteptico teraacute a mesma frequecircncia Podendo-
se desta maneira atraveacutes de um amplificador de lock-in (modelo 393 da IthacoDynatrac) filtrar o sinal electrooacuteptico dos restantes sinais uma vez que a sua
frequecircncia eacute conhecida
A intensidade da equaccedilatildeo 41 eacute maacutexima quando cos(∆φ) = 1 e miacutenima quando
cos(∆φ) = minus1 Pelo que subtraindo estas duas equaccedilotildees
Imax minus Imin = 4E1E2 (46)
Assim combinando a equaccedilatildeo 41 com a equaccedilatildeo 46 obtem-se
I prop E21E
22 +
12
(Imax minus Imin)cos(∆φ) (47)
Juntando agora a equaccedilatildeo 246 agrave equaccedilatildeo 247 e tendo em conta que o feixe
passa duas vezes por cada ramo (=2l) a diferenccedila de fase para o efeito electrooacutep-
tico linear
∆φ = ∆φ0 +πrn3
oVoλ
2lh
cos(Ωt) (48)
Sendo ∆φ0 a diferenccedila de fase inicial sem o efeito electrooacuteptico
36
45 EXECUCcedilAtildeO EXPERIMENTAL
Substituindo o ∆φ da equaccedilatildeo 48 na equaccedilatildeo 47 a intensidade do sinal com
modulaccedilatildeo electrooacuteptica(Iseo) seraacute dado por
Iseo prop E21 +E2
2 +12
(Imax minus Imin)cos(∆φ0 +
πrn3oVoλ
2lh
cos(Ωt))
(49)
Usando cos(α plusmn β) = cos(α)cos(β)∓ sen(α) sen(β) e D = πrn3oVoλ
2lh fica-se com
Iseo prop E21 +E2
2+12
(Imax minus Imin)
[cos(∆φ0)cos(Dcos(Ωt)) minus sen(∆φ0) sen(D cos(Ωt))](410)
Como a modulaccedilatildeo electrooacuteptica eacute um efeito muito pequeno a equaccedilatildeo 410
pode-se escrever
Iseo asymp E21 +E2
2 +12
(Imax minus Imin) [cos(∆φ0)minusD cos(Ωt) sen(∆φ0)] (411)
Considerando soacute os termos de primeira ordem
Iseo asymp12
(Imax minus Imin) [cos(∆φ0)minusD cos(Ωt) sen(∆φ0)] (412)
A componente do sinal electrooacuteptico eacute entatildeo dado por
Iseo =12
(Imax minus Imin)D cos(Ωt) sen(∆φ0) (413)
Ou seja
Iseo =12
(Imax minus Imin)πrn3
oVoλ
2lh
cos(Ωt) sen(∆φ0) (414)
O acircngulo ∆φ0 varia linearmente com o tempo (t) a uma frequecircncia inferior
a Ω A franja de interferecircncia desloca-se continuamente em frente ao detector
devido a um dos espelho estar fixado num disco piezoeleacutectrico
37
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Na figura 415 pode-se ver uma exemplificaccedilatildeo do sinal no detector que incor-
pora o sinal da franja e electrooacuteptico dada pela equaccedilatildeo 414
Figura 415 Ilustraccedilatildeo do sinal de modulaccedilatildeo electrooacuteptica de um feixe de luzmedido num interferoacutemetro de Michelson
Uma vez que o sinal electrooacuteptico (cos(Ωt)) estaacute desfasado π2 do sinal da
franja ( sen(∆φ0)) A intensidade do sinal electrooacuteptico pode ser escrita como
Iseo asymp12
(Imax minus Imin)πrn3
oVoλ
2lh
∣∣∣ sen(∆φ0)∣∣∣ (415)
Assim a amplitude do sinal electrooacuteptico eacute
Iseo =12
(Imax minus Imin)πrn3
oVoλ
2lh
(416)
Pelo que o coeficiente electrooacuteptico linear seraacute dado por
r =|Iseo|
|Imax minus Imin|λ
πn3oVo
hl
(417)
38
46 RESULTADOS
Para o efeito electrooacuteptico quadraacutetico utilizando o procedimento anoacutelogo mas
a partir da equaccedilatildeo 248 em vez da equaccedilatildeo 247 O sinal electrooacuteptico quadraacutetico
Iseoq que ocorre ao dobro da frequecircncia de modulaccedilatildeo 2Ω eacute dado por
s =
∣∣∣Iseoq∣∣∣|Imax minus Imin|
2λ
πn3oV
2o
h2
l(418)
46 Resultados
Com o cristal de KDP devidamente alinhado no interferoacutemetro segundo o seu
eixo oacuteptico de maneira a se medir o coeficiente r63 Obtendo-se assim dois sinais
o sinal de franja e o sinal electrooacuteptico (Fig 416)
Figura 416 Padratildeo da franja produzida (a) e respectivos sinais de franja e elec-trooacuteptico obtidos para um cristal KDP padratildeo
De forma a se proceder a calibraccedilatildeo do sistema utilizou-se a equaccedilatildeo 417 na
forma
|Iseo||Imax minus Imin|
=πn3
o
λlhrVo (419)
39
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Usando o valor da razatildeo |Iseo ||ImaxminusImin|
em funccedilatildeo do potencial aplicado Vo pode-se
calcular o valor do coeficiente electrooacuteptico r atraveacutes do declive da recta obtida
Pode-se ver na figura 417 uma das rectas obtidas para o cristal utilizado na
calibraccedilatildeo do sistema
Figura 417 Razatildeo entre o sinal electrooacuteptico e a diferenccedila de intensidade defranjas em funccedilatildeo do potencial Vo aplicado ao cristal
A tabela 44 apresenta o valor do coeficiente electrooacuteptico obtido e respectiva
incerteza para o cristal de KDP tomando em conta os valores dos iacutendices de
refraccedilatildeo da tabela 43
Tabela 44 Valores e respectivas incertezas obtidas do coeficiente electrooacutepticopara o cristal KDP utilizado
Material Valor Padratildeo Valor Obtido Erro
KDPr63 = 106pmV r63 = 105plusmn 02pmV 1
(λ = 6328nm)
Como se pode ver na tabela 44 o resultado obtido situa-se muito proacuteximo
do teoacuterico encontrando-se dentro da incerteza obtida Os valores valores meacutedios
apresentam um desvio da ordem dos 02pmV
40
46 RESULTADOS
Apesar dos valores obtidos serem bastante positivos houve algumas dificul-
dades nomeadamente o vidro FTO que causou que o alinhamento fosse extrema-
mente complicado natildeo soacute pela sua espessura e dimensionamento como tambeacutem
pela refraccedilatildeo provocada no feixe laser Outro grande obstaacuteculo foi o alinhamento
do cristal uma vez que basta um ligeiro desvio no caminho oacuteptico para causar um
desalinhamento total algo que eacute agravado no interferoacutemetro do tipo Michelson
pelo facto de o feixe laser passar na amostra duas vezes
Apesar destas dificuldades o valor obtido para o coeficiente electrooacuteptico r63
foi de 105pmV valor esse muito proacuteximo do valor padratildeo da literatura que se
encontra nos 106pmV Assim pode-se considerar que o sistema desenvolvido
se encontra devidamente calibrado e pronto para futuras utilizaccedilotildees
41
Capiacutetulo
5Conclusotildees
O trabalho desenvolvido no decorrer desta dissertaccedilatildeo consistiu no desenvolvi-
mento de um sistema para a mediccedilatildeo do efeito electrooacuteptico aacuterea a ser ulilizada
na caracterizaccedilatildeo de novos materiais polimeacutericos para aplicaccedilatildeo em dispositivos
fotoacutenicos
Nesta conformidade foi desenhada construiacuteda e testado uma bancada oacuteptica
destinada agrave mediccedilatildeo do efeito electrooacuteptico baseado numa teacutecnica interferomeacute-
trica de mediccedilatildeo da diferenccedila de fase implementado atraveacutes de um interferoacutemetro
do tipo Michelson
O cristal escolhido para a calibraccedilatildeo do sistema desenvolvido foi um cristal de
KDP comercial tendo sido utilizado o coeficiente electrooacuteptico r63 como referecircn-
cia sendo o valor padratildeo de 106pmV
O sistema obtido permitiu medir um valor nominal de 105plusmn 02pmV com
um erro de aproximadamente 1 em relaccedilatildeo ao valor tabelado comprovando a
afericcedilatildeo do sistema para a mediccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico por transmissatildeo
O sistema desenvolvido estaacute portanto apto para futuras mediccedilotildees sendo ape-
nas necessaacuterio algumas alteraccedilotildees no porta-amostras mediante as dimensotildees e
forma da amostra a utilizar
Chegou-se ainda agrave conclusatildeo que para amostras como o cristal utilizado o
feixe laser passar duas vezes na amostra acaba por ser uma grande desvantagem
desvantagem essa inexistente para filmes polimeacutericos que ganham cada vez mais
importacircncia na aacuterea da fotoacutenica uma vez que satildeo materiais de grande interesse
cientiacutefico e tecnoloacutegico jaacute que podem ser utilizados no desenvolvimento de dispo-
sitivos oacutepticos nomeadamente moduladores de luz e memoacuterias oacutepticas
43
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46
Apecircndice
AApecircndice
A1 Desenhos Teacutecnicos
47
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- Lista de Figuras
- Lista de Tabelas
- Introduccedilatildeo
- Efeito Electrooacuteptico
-
- Oacuteptica Natildeo-Linear
- Propagaccedilatildeo em Meios Anisotroacutepicos
-
- Vector de Poynting
- Elipsoiacutede dos Iacutendices
- Coeficientes Natildeo-Lineares
-
- Mediccedilatildeo do Efeito Electrooacuteptico
-
- Meacutetodo Tradicional
- Meacutetodos por Interferometria
-
- Interferometria Oacuteptica
- Interferoacutemetro de Mach-Zehnder
- Interferoacutemetro de Michelson
-
- Sistema Implementado
-
- Interferoacutemetro
- Electroacutenica Desenvolvida
-
- Amplificador
- Gerador de Rampa
- Seguidor de Tensatildeo
-
- Sistema Oacuteptico Desenvolvido
-
- Espelho Vibrante
- Bancada Oacuteptica
- Detector
- Cristal Electrooacuteptico
- Porta Amostras
-
- Coeficiente Electrooacuteptico
- Execuccedilatildeo Experimental
- Resultados
-
- Conclusotildees
- Bibliografia
- Apecircndice
-
- Desenhos Teacutecnicos
-
Lista de Figuras
411 Imagem das peccedilas de fixaccedilatildeo do cristal desenvolvidas com a vista de
frente (a) e a vista de traacutes (b) 33
412 Imagem do porta Amostras desenvolvido 34
413 Imagem do sistema desenvolvido para a mediccedilatildeo do efeito electrooacuteptico 34
414 Ilustraccedilatildeo da configuraccedilatildeo utilizada para a mediccedilatildeo do coeficiente r63
num cristal 35
415 Ilustraccedilatildeo do sinal de modulaccedilatildeo electrooacuteptica de um feixe de luz
medido num interferoacutemetro de Michelson 38
416 Padratildeo da franja produzida (a) e respectivos sinais de franja e elec-
trooacuteptico obtidos para um cristal KDP padratildeo 39
417 Razatildeo entre o sinal electrooacuteptico e a diferenccedila de intensidade de franjas
em funccedilatildeo do potencial Vo aplicado ao cristal 40
xiv
Lista de Tabelas
41 Caracteriacutesticas principais do detector 818-UVDB [17] 30
42 Propriedades fiacutesicas do cristal padratildeo KDP [18] 31
43 Propriedades oacutepticas do cristal padratildeo KDP a 6328nm [7] 32
44 Valores e respectivas incertezas obtidas do coeficiente electrooacuteptico
para o cristal KDP utilizado 40
xv
Lista de Siacutembolos
~S - Vector de Poynting
ε - Permissidade eleacutectrica
micro - Permeabilidade eleacutectrica
λ - Comprimento de onda
φ - Fase
ν - Visibilidade
δ - Retardaccedilatildeo
Ω - Frequecircncia de modulaccedilatildeo
χ(1) - Suscetibilidade eleacutectrica linear
χ(2) - Suscetibilidade eleacutectrica de segunda ordem
χ(3) - Suscetibilidade eleacutectrica de terceira ordem
ε0 - Permissidade eleacutectrica do vazio
B - Campo magneacutetico
D - Deslocamento eleacutectrico
E - Campo eleacutectrico
I - Intensidade
P - Polarizaccedilatildeo
Vo - Potencial eleacutectrico
c - Velocidade da luz no vazio
h - Distacircncia entre os eleacutetrodos
xvii
LISTA DE SIacuteMBOLOS
k - Nuacutemero de onda
l - Caminho percorrido pela luz num meio
n - Iacutendice de refraccedilatildeo
ne - Iacutendice de refraccedilatildeo extraordinaacuterio
no - Iacutendice de refraccedilatildeo ordinaacuterio
r - Coeficiente electrooacuteptico linear
s - Coeficiente electrooacuteptico quadraacutetico
u - Densidade de energia
w - Frequecircncia angular
xviii
Capiacutetulo
1Introduccedilatildeo
A fibra oacuteptica eacute hoje amplamente utilizada nas redes de telecomunicaccedilatildeo em subs-
tituiccedilatildeo dos tradicionais cabos eleacutectricos por permitir transportar uma grande
quantidade de informaccedilatildeo a alta velocidade e com perdas reduzidas sem ser
afetada pelo ruiacutedo eletromagneacutetico Por outro lado a transmissatildeo de informaccedilatildeo
atraveacutes da fibra oacuteptica requer o desenvolvimento de dispositivos capazes de pro-
cessar sinal oacuteptico tais como amplificadores comutadores e moduladores de luz
Eacute aqui que o efeito electrooacuteptico assume um papel de relevo jaacute que possibilita a
modulaccedilatildeo de luz a frequecircncias da ordem do gigahertz [1 2 3]
O efeito electrooacuteptico tambeacutem conhecido por efeito de Pockels1 consiste na
variaccedilatildeo do iacutendice de refraccedilatildeo de um meio quando a este eacute aplicado um campo
eleacutetrico externo Esta alteraccedilatildeo no iacutendice de refraccedilatildeo eacute o resultado de forccedilas elec-
trostaacuteticas que deformam as moleacuteculas (alteraccedilatildeo de posiccedilatildeo orientaccedilatildeo ou forma)
do meio que estaacute na origem de uma alteraccedilatildeo no momento dipolar Distinguem-
se dois tipos de efeito eletrooacuteptico o linear (efeito Pockels) e o quadraacutetico (efeito
Kerr2)
O efeito de Pockels estaacute na origem da criaccedilatildeo de uma birrefringecircncia ∆n
no meio oacuteptico proporcional ao campo eleacutetrico aplicado Este efeito observa-se
1Friedrich Carl Alwin Pockels foi um fiacutesico alematildeo que em 1893 descobriu que se for aplicadoum campo eleacutectrico estaacutevel a certos materiais birrefrigentes estes vatildeo sofrer uma variaccedilatildeo noiacutendice de refraccedilatildeo proporcional agrave forccedila do campo aplicado Este coeficiente de proporcionalidadeestaacute entre os 10times 10minus10V minus1 e os 10times 10minus12V minus1 Ficando este fenoacutemeno conhecido como Efeito dePockels
2John Kerr foi um fiacutesico escocecircs e um pioneiro no campo da electro-oacuteptica nomeadamentepelo efeito de Kerr em 1875 que consiste numa variaccedilatildeo do iacutendice de refraccedilatildeo que varia quadraacuteti-camente com o campo eleacutetrico aplicado
1
CAPIacuteTULO 1 INTRODUCcedilAtildeO
apenas em meios em que a sua estrutura natildeo apresenta centro de simetria
No efeito de Kerr a variaccedilatildeo no iacutendice de refraccedilatildeo do meio eacute proporcional ao
quadrado do campo eleacutetrico aplicado e portanto proporcional agrave intensidade da
luz e ao contraacuterio do efeito de Pockels ocorre dum modo geral como mais ou
menos intensidade em todos os materiais
O conhecimento das propriedades electrooacutepticas de um material eacute fundamen-
tal na avaliaccedilatildeo das suas capacidades para o desenvolvimentos de dispositivos
moduladores de luz O presente trabalho de dissertaccedilatildeo consistiu no desenvolvi-
mento de uma bancada oacuteptica para a mediccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico base-
ado em teacutecnica interferomeacutetrica de mediccedilatildeo da diferenccedila de fase induzida por
efeito eletrooacuteptico
Neste trabalho seraacute inicialmente descrita a teoria e os caacutelculos necessaacuterios
para a mediccedilatildeo do efeito electrooacuteptico atraveacutes dos seus coeficientes natildeo-lineares
Sendo de seguida apresentados alguns sistemas de mediccedilatildeo deste efeito e o seu
respectivo funcionamento No capiacutetulo seguinte seraacute descrito o funcionamento
do sistema desenvolvido o interferoacutemetro implementado o porta-amostras cons-
truiacutedo a eletroacutenica e os sistemas oacutepticos desenvolvidos que integram o sistema
bem como os caacutelculos finais para a obtenccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico do sis-
tema usado Por uacuteltimo as conclusotildees retiradas do trabalho desenvolvido bem
como as suas perspectivas futuras
2
Capiacutetulo
2Efeito Electrooacuteptico
Este capiacutetulo aborda do ponto de vista teoacuterico alguns aspectos relevantes para a
realizaccedilatildeo deste trabalho nomeadamente a propagaccedilatildeo da luz num meio as pro-
priedades da oacuteptica natildeo-linear e a alteraccedilatildeo no iacutendice de refraccedilatildeo linear em meios
anisotroacutepicos Estes conceitos permitiratildeo encontrar as expressotildees que determinam
os coeficientes natildeo-lineares
21 Oacuteptica Natildeo-Linear
Um dado material pode responder de forma natildeo-linear a um campo eleacutectrico
aplicado De um modo geral pode-se descrever a resposta da seguinte forma[4]
Pi = ε0
[χ
(1)ij Ej +χ(2)
ijkEjEk +χ(3)ijklEjEkEl +χ(N )
middotmiddotmiddot middot middot middot]
(21)
Onde P i eacute a polarizaccedilatildeo do meio ε0 eacute a permissidade eleacutectrica no vaacutecuo E
o campo eleacutectrico aplicado χ(1) a suscetibilidade eleacutectrica linear e χ(2) χ(3)
χ(n) as suscetibilidades natildeo lineares de segunda ordem de terceira ordem ateacute
N ordem sendo N um nuacutemero inteiro com i j k l um sistema de eixos de
laboratoacuterio com valores valores 1 2 e 3
Cada termo da equaccedilatildeo 21 estaacute associado a diferentes respostas do meio O
termo χ(1) estaacute associado ao iacutendice de refraccedilatildeo e absorccedilatildeo linear O termo χ(2) agrave
geraccedilatildeo de segunda harmoacutenica soma e diferenccedila de frequecircncias e o efeito elec-
trooacuteptico linear ou efeito de Pockels Este efeito eacute particularmente importante
3
CAPIacuteTULO 2 EFEITO ELECTROOacutePTICO
jaacute que permite a modulaccedilatildeo da luz De salientar que o tensor de terceira ordem
(χ(2)ijk) se reduz a dezoito elementos atendendo agraves simetrias resultantes de permu-
tas de iacutendices jaacute que χ(2)ijk = χ
(2)ikj = χ
(2)kij = χ
(2)jik = χ
(2)jki = χ
(2)kji Pode-se desta forma
representar atraveacutes da matriz
χ(2)ij =
χ
(2)11 χ
(2)12 χ
(2)13 χ
(2)14 χ
(2)15 χ
(2)16
χ(2)21 χ
(2)22 χ
(2)23 χ
(2)24 χ
(2)25 χ
(2)26
χ(2)31 χ
(2)32 χ
(2)33 χ
(2)34 χ
(2)35 χ
(2)36
Utilizando uma notaccedilatildeo condensada[5] ficamos com
χ(2)ijk = χ(2)
mk = com m =
1 quando ij = 11
2 quando ij = 22
3 quando ij = 33
4 quando ij = 2332
5 quando ij = 1331
6 quando ij = 1221
De notar que dependendo do meio soacute alguns dos elementos de χ(2)ijk seratildeo natildeo
nulos Para materiais que exibam centro de simetria o efeito electrooacuteptico linear
natildeo existe de todo sendo os elementos de χ(2)ijk nulos
O elemento χ(3) estaacute associado agrave geraccedilatildeo da terceira harmoacutenica soma e dife-
renccedila de frequecircncias e o efeito electrooacuteptico quadraacutetico ou efeito de Kerr que se
manifesta na variaccedilatildeo do iacutendice de refraccedilatildeo com o quadrado do campo eleacutectrico
aplicado
De salientar ainda que quanto maior o valor de ordem n mais difiacutecil se torna
observar os efeitos associados uma vez que estes se tornam cada vez menos inten-
sos
4
22 PROPAGACcedilAtildeO EM MEIOS ANISOTROacutePICOS
22 Propagaccedilatildeo em Meios Anisotroacutepicos
A propagaccedilatildeo de uma onda electromagneacutetica num meio pode ser descrita pelas
equaccedilotildees de Maxwell1 Para o caso de um meio homogeacuteneo isolante e neutro
pode-se escrever como
nabla middot ~E = 0 (22a)
nabla middot ~B = 0 (22b)
nablatimes ~E = minuspart~Bpartt
(22c)
nablatimes ~B = microεpart~Epartt
(22d)
Sendo ~B o campo magneacutetico ~E o campo eleacutectrico ε e micro a permissidade eleacutectrica
e permeabilidade magneacutetica do meio respectivamente
Tendo em conta que para um vector ~D geneacuterico
nablatimesnablatimes ~D = nabla(nabla middot ~D
)minusnabla2 ~D (23)
e
nablatimespart~Dpartt
=partnablatimes ~Dpartt
(24)
Comeccedilando pela equaccedilatildeo 22c
nablatimesnablatimes ~E = nablatimespart~Bpartt
(25)
Usando as propriedades matemaacuteticas das equaccedilotildees 23 e 24
nabla(nabla middot ~E
)minusnabla2~E =
partnablatimes ~Bpartt
(26)
Utilizando as equaccedilotildees 22a e 22d na equaccedilatildeo 26 verifica-se que
nabla2~E = microεpart2~E
partt2(27)
1James Clerk Maxwell foi um cientista escocecircs mais conhecido por ter combinado as teoriasdos campos da oacuteptica do magnetismo e da electricidade numa soacute e uacutenica teoria dando assimorigem as chamadas equaccedilotildees de Maxwell
5
CAPIacuteTULO 2 EFEITO ELECTROOacutePTICO
Obtendo-se desta maneira a equaccedilatildeo de onda para o campo eleacutectrico Analo-
gamente mas comeccedilando com a equaccedilatildeo 22d obteacutem-se para o campo magneacutetico
nabla2~B = microεpart2~B
partt2(28)
A sua velocidade de propagaccedilatildeo eacute dada por
v =1radicmicroε
(29)
Sendo que no vazio micro = micro0 e ε = ε0 o que resulta em v = c 3times 108ms
Resolvendo as equaccedilotildees 27 e 28 obtecircm-se as expressotildees para os campos eleacutec-
tricos e magneacuteticos que se propagam no meio
~E (~r t) = ~E0ei(~kmiddot~rminuswt
)(210)
e
~B (~r t) = ~B0ei(~kmiddot~rminuswt
)(211)
Onde ~r eacute o vector posiccedilatildeo ~k eacute o vector de onda que segue a direccedilatildeo de pro-
pagaccedilatildeo da onda w a frequecircncia angular e t o tempo Sendo que a parte real das
equaccedilotildees representa os seus respectivos campos A magnitude do vector ~k pode
ser escrita da seguinte maneira
k =2πλ
=wv
=wnc
(212)
Em que k eacute o nuacutemero de onda λ o comprimento de onda e n o iacutendice de
refraccedilatildeo
Escrevendo a parte real das equaccedilotildees 210 e 211 fica-se com
E = E0 cos(kr minuswt) (213)
e
B = B0 cos(kr minuswt) (214)
Manipulando a equaccedilatildeo 22c obtem-se
partEpartx
= minuspartBpartt
(215)
6
22 PROPAGACcedilAtildeO EM MEIOS ANISOTROacutePICOS
Utilizando a equaccedilatildeo 215 nas equaccedilotildees 213 e 213
kE0 = wB0 (216)
Usando a equaccedilatildeo 212 na equaccedilatildeo 216 verifica-se que
B0 =E0
v(217)
221 Vector de Poynting
O fluxo de energia (Wm2) dado pelo vector de Poynting2 (~S) pode ser escrito da
seguinte forma
~S =1micro~E times ~B (218)
A densidade de energia eleacutectrica ou a energia eleacutectrica armazenada por uni-
dade de volume (joulem3) a quantidade de energia contida num dado sistema
em relaccedilatildeo ao seu volume seraacute dada por
uE =12εE2 (219)
Agrave semelhanccedila da densidade de energia eleacutectrica a densidade de energia mag-
neacutetica (uB) eacute
uB =1
2microB2 (220)
Assim somando as equaccedilotildees 219 e 220 obtem-se a densidade de energia
total de uma onda electromagneacutetica
u =12εE2 +
12microB2 (221)
2John Henry Poynting foi um fiacutesico britacircnico autor de diversos trabalhos entre os quais um te-orema no qual se atribui um valor agrave taxa de fluxo de energia electromagneacutetica que ficou conhecidocomo vector de Poynting
7
CAPIacuteTULO 2 EFEITO ELECTROOacutePTICO
Substituindo as equaccedilotildees 29 e 217 na equaccedilatildeo 221 pode-se escrever a densi-
dade de energia total de uma onda electromagneacutetica num dado meio da seguinte
forma
u = εE2 (222)
Relacionando-se desta forma a densidade de energia com o campo eleacutectrico
De salientar que o campo magneacutetico e o campo eleacutectrico estatildeo relacionados atra-
veacutes da equaccedilatildeo 217
Considerando uma secccedilatildeo de aacuterea A (Fig 21) de um cubo com ∆x de lado
Figura 21 Cubo com secccedilatildeo de aacuterea A e ∆x de lado
A energia armazenada no cubo ou densidade de energia eacute igual a
∆U = uA∆x (223)
Sendo que a energia que atravessa a aacuterea A por unidade de tempo eacute
∆U∆t
=uA∆x∆xv
= uAv (224)
Assim a energia por unidade de tempo e aacuterea (Wm2) eacute igual a
uv = S (225)
Combinando a equaccedilatildeo 225 com a equaccedilatildeo 222 pode-se escrever a magnitude
do vector de Poynting da seguinte forma
S = εvE2 (226)
8
22 PROPAGACcedilAtildeO EM MEIOS ANISOTROacutePICOS
Substituindo a equaccedilatildeo 213 na equaccedilatildeo 225 a magnitude do vector de Poyn-
ting assume a seguinte forma
S = εvE20 cos2 (wt) (227)
Se na equaccedilatildeo 227 se fizer uma meacutedia no tempo obteacutem-se
〈S〉 = εvE20
langcos2 (wt)
rang(228)
Sendo quelangcos2 (wt)
rang= 1
2 tem-se que
I = 〈S〉 =12εvE2
0 =c
2nεE2
0 (229)
Sendo I a intensidade ou seja a potecircncia meacutedia por unidade de aacuterea que a
onda electromagneacutetica transporta
222 Elipsoiacutede dos Iacutendices
Nos meios anisotroacutepicos o iacutendice de refraccedilatildeo linear depende da direccedilatildeo da propa-
gaccedilatildeo da luz e do seu estado de polarizaccedilatildeo A resposta de um meio anisotroacutepico
eacute normalmente obtida atraveacutes do conceito de elipsoiacutede de iacutendices[5 6 7] que
a seguir seraacute descrita Ao se aplicar um campo eleacutectrico a um meio polarizaacutevel
este induz uma mudanccedila do estado de polarizaccedilatildeo descrito pelo deslocamento
eleacutectrico
~D = ε0~E + ~P (230)
Sendo
~P = ε0χ~E (231)
onde ε0 eacute a permissidade eleacutectrica no vazio ~P a polarizaccedilatildeo ~E o campo eleacutec-
trico ~D o deslocamento eleacutectrico e χ eacute o tensor das suscetibilidades Atraveacutes das
equaccedilotildees 230 e 231 tem-se que
~D = ε0~E(1 + χ) (232)
9
CAPIacuteTULO 2 EFEITO ELECTROOacutePTICO
Sendo que χ eacute dado por
χ =
χ11 χ12 χ13
χ21 χ22 χ23
χ31 χ32 χ33
(233)
Pelo teorema de eixos principais [7] seraacute possiacutevel escolher um sistema de co-
ordenadas onde apenas os elementos da diagonal principal sejam diferentes de
zero de tal forma que
χ =
χ11 0 0
0 χ22 0
0 0 χ33
(234)
Assim a equaccedilatildeo 231 pode ser escrita na forma no novo sistema de eixosP1
P2
P3
= ε0
χ11 0 0
0 χ22 0
0 0 χ33
E1
E2
E3
(235)
Da equaccedilatildeo 235 pode-se ainda retirar o seguinte
P1 = ε0χ11E1 D1 = ε11E1 ε11 = ε0 (1 +χ11)
P2 = ε0χ22E2 D2 = ε22E2 ε22 = ε0 (1 +χ22) (236)
P3 = ε0χ33E3 D3 = ε33E3 ε33 = ε0 (1 +χ33)
Combinando as equaccedilotildees 219 e 236 pode-se reescrever a densidade de energia
armazenada no campo eleacutectrico como
uE =12~E middot ~D (237)
Usando as expressotildees da equaccedilatildeo 236 para manipular a equaccedilatildeo 237 obtem-
se
D21
ε11+D2
2
ε22+D2
3
ε33= 2uE (238)
10
22 PROPAGACcedilAtildeO EM MEIOS ANISOTROacutePICOS
Substituiacutendo na equaccedilatildeo 238 D1 D2 e D3 pelos seus respectivos eixos em
coordenadas cartesianas tem-se que
x2
ε11ε0+
y2
ε22ε0+
z2
ε33ε0= 1 (239)
sendo x = D1radic2ε0UE
y = D2radic2ε0UE
e z = D3radic2ε0UE
Reescrevendo a equaccedilatildeo 239 fazendo n2x = ε11ε0 n2
y = ε22ε0 e n2z = ε33ε0
obteacutem-se forma a equaccedilatildeo do elipsoide de iacutendices
x2
n2x
+y2
n2y
+z2
n2z
= 1 (240)
Sendo nx ny e nz o iacutendice de refraccedilatildeo na sua respectiva direccedilatildeo como demons-
tra a figura 22
Figura 22 Ilustraccedilatildeo do elipsoiacutede de iacutendices (retirado de [7])
11
CAPIacuteTULO 2 EFEITO ELECTROOacutePTICO
223 Coeficientes Natildeo-Lineares
Quando eacute aplicado um campo eleacutectrico ao meio o elipsoiacutede de iacutendices pode
mudar a sua forma e orientaccedilatildeo no espaccedilo de tal forma que a equaccedilatildeo de elipsoide
de iacutendices passa a ser escrita de um modo geral como
( 1n2
)1x2 +
( 1n2
)2y2 +
( 1n2
)3z2 + 2
( 1n2
)4xy + 2
( 1n2
)5xz+ 2
( 1n2
)6yz = 1 (241)
Quando o campo eleacutectrico aplicado eacute nulo as equaccedilotildees 240 e 241 tecircm de ser
equivalentes pelo que para E = 0 tem-se
( 1n2
)1
=1
n2x( 1
n2
)2
=1
n2y( 1
n2
)3
=1
n2z( 1
n2
)4
=( 1n2
)5
=( 1n2
)6
= 0
(242)
Desta forma quando se aplica um campo eleacutectrico (E) verifica-se uma variaccedilatildeo
nos coeficientes(
1n2
)i Esta variaccedilatildeo induzida pelo efeito electrooacuteptico pode entatildeo
ser descrita atraveacutes de [8]
∆
( 1n2
)i
=3sumj=1
rijEj com i = 1 6 (243)
Sendo rij o coeficiente electrooacuteptico e E a magnitude do campo eleacutectrico apli-
cado
12
22 PROPAGACcedilAtildeO EM MEIOS ANISOTROacutePICOS
A equaccedilatildeo 243 tambeacutem pode ser escrita como
∆
( 1n2
)1
∆
( 1n2
)2
∆
( 1n2
)3
∆
( 1n2
)4
∆
( 1n2
)5
∆
( 1n2
)6
=
r11 r12 r13
r21 r22 r23
r31 r32 r33
r41 r42 r43
r51 r52 r53
r61 r62 r63
E1
E2
E3
(244)
Nesta conformidade o coeficiente electrooacuteptico pode ser escrito como
rij = minus 2
n3ij
[partnijpartEj
](245)
A diferenccedila de fase ∆φ resultante da variaccedilatildeo no iacutendice de refraccedilatildeo ∆n seraacute
∆φ =2πlλ
∆n (246)
Em que o l eacute o caminho percorrido pela luz de comprimento de onda λ no
meio Sendo a variaccedilatildeo no iacutendice de refraccedilatildeo devida aos efeitos electrooacutepticos
pode-se escrever
|∆n| =rno
3
2Voh
(247)
para o efeito electrooacuteptico linear e
|∆n| =sn3o
2
(Voh
)2(248)
para o efeito electrooacuteptico quadraacutetico
Onde os coefeciecircntes electrooacutepticos linear e quadraacutetico satildeo respectivamente
r e s Vo eacute o potencial eleacutectrico aplicado entre os eleacutetrodos que distam entre si a
uma distacircncia h criando assim o campo eleacutectrico aplicado
13
Capiacutetulo
3Mediccedilatildeo do Efeito Electrooacuteptico
Neste capiacutetulo satildeo apresentadas as teacutecnicas mais comuns utilizadas para a me-
diccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico destacando-se dois tipos de interferoacutemetros o
tradicional e os de interferometria de dois feixes
31 Meacutetodo Tradicional
Um dos meacutetodos mais usados para medir o efeito eletrooacuteptico foi o proposto por
Henry [9] em 1986 Esta teacutecnica ilustrada na Fig31 baseia-se na alteraccedilatildeo do
estado de polarizaccedilatildeo de um feixe linearmente polarizado quando este atravessa
o meio Esta alteraccedilatildeo ocorre devido agrave birrefrigecircncia induzida por um campo
eleacutetrico aplicado e agrave atividade oacuteptica do meio A montagem eacute composta por uma
fonte de luz (S) um monocromador (M) uma lente (L) um diafragma (D) dois
polarizadores (P1 e P2) um cristal (BSO) de espessura d ao qual eacute aplicado um
campo eleacutetrico (E) e um fotomultiplicador (FM) ligado a um sistema de aquisiccedilatildeo
de dados
O procedimento experimental em si consiste no seguinte para um dado estado
de polarizaccedilatildeo do feixe incidente imposto pelo P1 vai-se alterando a posiccedilatildeo
angular do P2 de forma a encontrar as intensidades maacutexima e miacutenima e desta
forma calcular-se a visibilidade (ν) atraveacutes de [9]
νθ =Imax minus IminImax + Imin
(31)
15
CAPIacuteTULO 3 MEDICcedilAtildeO DO EFEITO ELECTROOacutePTICO
Figura 31 Montagem experimental proposta por Henry e a sua equipa (adaptadode [9])
De seguida altera-se P1 para a posiccedilatildeo angular de 45 e repete-se o procedi-
mento anterior Somando o quadrado das duas visibilidades obtidas tem-se que
[9]
ν2θ + ν2
θ+45 = 1 +
1minus δ2
2
sen(φ2 )φ2
2
2
(32)
sendo
δ =2πλn3rEyd (33)
e
φ =radicδ2 + ρ2 (34)
Sendo δ a diferenccedila de fase originada pela birrefringecircncia λ o comprimento
de onda do feixe no vaacutecuo ρ a diferenccedila de fase associada agrave actividade oacuteptica n o
iacutendice de refraccedilatildeo sem campo eleacutetrico aplicado Ey o campo eleacutectrico aplicado e
d a espessura do cristal na direccedilatildeo do campo eleacutectrico aplicado Destas equaccedilotildees
pode-se calcular o coeficiente electrooacuteptico r
Para o caso de φ pequenos
sen(φ2 )φ2
2
1 pelo que
ν2θ + ν2
θ+45 1 +(1minus δ
2
2
)2
(35)
Natildeo sendo nesta situaccedilatildeo necessaacuteria a actividade oacuteptica ρ Esta teacutecnica apre-
senta um erro de mediccedilatildeo de 10 a 15 em relaccedilatildeo ao valor tabelado
16
32 MEacuteTODOS POR INTERFEROMETRIA
32 Meacutetodos por Interferometria
321 Interferometria Oacuteptica
Quando duas ondas de uma mesma frequecircncia se sobrepotildeem num dado ponto
formam uma nova onda cuja amplitude eacute o resultado da soma da amplitude das
duas ondas iniciais em cada instante nesse ponto Quando a soma da duas ondas
resulta numa amplitude maior diz-se que houve interferecircncia construtiva quando
resulta numa amplitude inferior diz-se que ocorreu interferecircncia destrutiva
Supondo que uma das ondas tem a forma E1ei(φ1minuswt) e a outra forma E2e
i(φ2minuswt)
sendo E1 e E2 as amplitudes dos respetivos campos eleacutetricos φ1 e φ2 as fases
iniciais w a frequecircncia angular e t o tempo a onda resultante seraacute descrita por
[10]
ET = E1ei(φ1minuswt) +E2e
i(φ2minuswt) (36)
Se φ1 minusφ2 = 2Nπ com N = 012 entatildeo as duas ondas estaratildeo em fase e daacute-
se uma interferecircncia construtiva perfeita Se φ1 minusφ2 = (2N + 1)π e E1 = E2 entatildeo
as duas ondas estaratildeo em oposiccedilatildeo de fase e daacute-se uma interferecircncia destrutiva
completa Estas situaccedilotildees extremas encontram-se ilustradas na figura 32
Figura 32 Ilustraccedilatildeo de uma interferecircncia construtiva perfeita (a) e destrutivacompleta (b)
Matematicamente a coerecircncia eacute uma medida da correlaccedilatildeo entre as ondas
Quanto mais construtiva for a interferecircncia maior seraacute a coerecircncia Fisicamente
a coerecircncia eacute uma medida do quatildeo constante a diferenccedila de fase permanece entre
17
CAPIacuteTULO 3 MEDICcedilAtildeO DO EFEITO ELECTROOacutePTICO
as duas ondas A coerecircncia eacute usualmente medida num padratildeo de franjas de in-
terferecircncia atraveacutes da visibilidade de franja (ν) que pode ser experimentalmente
calculada atraveacutes de [10]
ν =Imax minus IminImax + Imin
= 1 coerecircncia total e contraste maacuteximo
0 lt ν lt 1 coerecircncia parcial
= 0 incoerecircncia total e contraste natildeo haacute franjas
(37)
Pode-se ver na Fig33 um exemplo da equaccedilatildeo 37 que representa a visibi-
lidade das franjas em funccedilatildeo da diferenccedila de fase entre duas ondas da mesma
frequecircncia que interferem Como a visibilidade das franjas depende da coerecircncia
das duas ondas qualquer diferenccedila iraacute traduzir-se numa diminuiccedilatildeo de visibili-
dade
Figura 33 Visibilidade num interferoacutemetro em funccedilatildeo da diferenccedila de fase entreduas ondas provenientes de ramos diferentes do interferoacutemetro (adaptado de[11])
Pode-se usar a interferometria para quantificar os efeitos electrooacutepticos natildeo
soacute linear mas tambeacutem o quadraacutetico (efeito de Kerr) Os interferoacutemetros mais
frequentemente utilizados para este efeito satildeo os interferoacutemetro de Michelson1 e1Albert Abraham Michelson foi um fiacutesico americano conhecido pela invenccedilatildeo do interferoacuteme-
tro de Michelson (1891) do seu trabalho na mediccedilatildeo da velocidade da luz e pelo seu trabalho naexperiecircncia de Michelson-Morley Em 1907 tornou-se o primeiro americano a receber o PreacutemioNobel da Fiacutesica
18
32 MEacuteTODOS POR INTERFEROMETRIA
o interferoacutemetro de Mach-Zehnder2
De salientar que as teacutecnicas interferomeacutetricas apresentam uma elevada sensibi-
lidade simplificaccedilatildeo na preparaccedilatildeo das amostras a estudar e uma menor sensibili-
dade a vibraccedilotildees mecacircnicas e a flutuaccedilotildees teacutermicas desde que estas ocorram com
a mesma intensidade em ambos os ramos do mesmo tamanho do interferoacutemetro
322 Interferoacutemetro de Mach-Zehnder
No interferoacutemetro de Mach-Zehnder (Fig 34) um separador de feixe divide o
feixe proveniente da fonte em dois feixes que vatildeo constituir os dois ramos do
interferoacutemetro o feixe-amostra e o feixe-referecircncia Ambos satildeo refletidos por um
espelho e ambos atravessam um novo separador de feixe antes de se juntarem de
novo e serem medidos nos detetores
Figura 34 Esquema de um interferoacutemetro de Mach-Zehnder (adaptado de [12])
Com os ramos agrave mesma distacircncia pode ainda observar-se que sem amostra
ambos os feixes vatildeo chegar em fase aos detetores havendo desta forma uma inter-
ferecircncia construtiva Ambos apresentaratildeo uma mudanccedila de fase correspondente
a λ devido ao facto de ambos sofrerem duas reflexotildees e uma transmissatildeo numa
placa de vidro(separador de feixe) ateacute chegarem aos detetores2Ludwig Zehnder foi um fiacutesico suiacuteccedilo e o inventor do interferoacutemetro de Mach-Zehnder Inter-
feroacutemetro esse depois aperfeiccediloado por Ludwig Mach
19
CAPIacuteTULO 3 MEDICcedilAtildeO DO EFEITO ELECTROOacutePTICO
Alterando o caminho oacuteptico do espelho do feixe-referecircncia em λ4 sem amos-
tra o feixe-amostra e o feixe-referecircncia vatildeo chegar com uma diferenccedila de fase de
λ2 ou seja vai haver uma interferecircncia destrutiva completa Isto porque o feixe-
referecircncia vai ter uma mudanccedila de fase de λ2 devido a uma reflexatildeo e duas trans-
missotildees provocadas pelos separadores de feixe Enquanto que o feixe-amostra
chegaraacute aos detetores com uma diferenccedila de fase de λ devido a duas reflexotildees
mais uma reflexatildeo com transmissatildeo no segundo separador de feixe Assim na
ausecircncia de amostra e desde que a diferenccedila de caminho oacuteptico ou retardaccedilatildeo
(δ) seja zero os feixes iratildeo interferir construtivamente [13]
Com a amostra colocada no caminho do feixe-amostra os feixes vatildeo chegar ao
detetor em diferentes situaccedilotildees de fase sendo possiacutevel determinar a diferenccedila de
fase provocada pela presenccedila da amostra
A intensidade do feixe (I) em ambos os detetores eacute descrita por [14]
I(δ) =12I(k)cos(2Nkδ) (38)
Com k o nuacutemero de onda (k = 2πλ) E fazendo δ = d com d = vt resulta
I(δ) =12I(k)cos(2Nk(vt)) (39)
323 Interferoacutemetro de Michelson
No interferoacutemetro do tipo Michelson um feixe de luz eacute dividido em dois que
percorrem caminhos diferentes para de seguida se recombinarem Apoacutes terem
percorrido caminhos diferentes o feixe resultante da recombinaccedilatildeo pode apresen-
tar um padratildeo de interferecircncia que depende da diferenccedila de caminhos oacutepticos
entre os feixes e que pode ser medido num detetor
A forma mais simples de implementar um interferoacutemetro de Michelson con-
siste em dois espelhos colocados entre si num plano perpendicular em que um
deles se pode mover na direccedilatildeo perpendicular agrave sua superfiacutecie refletora conforme
ilustrado na Fig35
Esse espelho iraacute movimentar-se num espaccedilo definido a uma velocidade cons-
tante Entre o espelho fixo e o espelho moacutevel estaacute um separador de feixe que
divide o feixe incidente inicial em dois de igual intensidade Aqui o feixe eacute parci-
almente refletido para um espelho e parcialmente transmitido para o outro
20
32 MEacuteTODOS POR INTERFEROMETRIA
Figura 35 Esquema de funcionamento de um interferoacutemetro de Michelson cominterferecircncia construtiva (a) e destrutiva (b) (adaptado de [15])
Assumindo que o separador de feixe eacute ideal e com uma reflectacircncia e transmi-
tacircncia de 50 se o espelho moacutevel se encontrar estacionaacuterio pode determinar-se
a intensidade do feixe num dado ponto do detetor Se a diferenccedila do caminho
oacuteptico ou retardaccedilatildeo (δ) for zero ou seja os espelhos estatildeo igualmente espaccedilados
do separador de feixe estes vatildeo percorrer a mesma distacircncia e interferir construti-
vamente pelo que a intensidade do feixe final eacute a soma das intensidades dos dois
feixes Nestas condiccedilotildees toda a luz que sai da fonte chega ao detetor
No caso do espelho moacutevel se deslocar uma distacircncia de λ4 a retardaccedilatildeo total
seraacute de λ2 pelo que os feixes estaratildeo desfasadas de 180ordm (π) Nestas condiccedilotildees ter-
se-aacute interferecircncia destrutiva completa na recombinaccedilatildeo dos feixes dando origem
agrave extinccedilatildeo total
Voltando a deslocar o espelho moacutevel de mais λ4 a diferenccedila do caminho
oacuteptico seraacute igual a λ e os dois feixes voltam a estar em fase havendo novamente
uma sobreposiccedilatildeo construtiva dos feixes
Com o espelho moacutevel a deslocar-se a uma velocidade constante o sinal do de-
tetor iraacute variar com uma forma perioacutedica sendo que atinge o seu maacuteximo quando
a retardaccedilatildeo (δ) for um muacuteltiplo inteiro de λ δ =Nλ
A expressatildeo da intensidade do feixe (I) no detector para o caso do interferoacute-
metro de Michelson eacute semelhante agrave equaccedilatildeo 38 para o interferoacutemetro de Mach-
Zehnder sendo que neste caso δ = 2d com d = vt jaacute que o feixe atravessa a
amostra duas vezes Nestas condiccedilotildees ter-se-aacute
I(δ) =12I(k)cos(4Nk(vt)) (310)
21
CAPIacuteTULO 3 MEDICcedilAtildeO DO EFEITO ELECTROOacutePTICO
22
Capiacutetulo
4Sistema Implementado
Este capiacutetulo descreve o sistema implementado para a mediccedilatildeo do coeficiente
electrooacuteptico usando a teacutecnica de interferoacutemetria de Michelson bem como a cali-
braccedilatildeo do mesmo
41 Interferoacutemetro
O sistema escolhido para a mediccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico baseia-se na teacutec-
nica de interferometria de Michelson (ver secccedilatildeo 323) onde se mediu a diferenccedila
de fase entre os ramos do interferoacutemetro Esta teacutecnica foi escolhida pela elevada
sensibilidade agrave diferenccedila de fase gerada entre os ramos do interferoacutemetro facili-
dade de preparaccedilatildeo das amostras e por ser menos sensiacutevel a vibraccedilotildees mecacircnicas
e a flutuaccedilotildees teacutermicas desde que estas ocorram com a mesma intensidade em
ambos os ramos do interferoacutemetro Para aleacutem das vantagens mencionadas e espe-
cificamente em comparaccedilatildeo com o interferoacutemetro mais usado o interferoacutemetro
do tipo Mach-Zehnder o interferoacutemetro de Michelson tem uma maior facilidade
de alinhamento dos espelhos e usa apenas um separador de feixe
A figura 41 esquematiza o sistema baseado no interferoacutemetro de Michelson
desenvolvido para a mediccedilatildeo do coeficiente eletrooacuteptico
23
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Figura 41 Esquematizaccedilatildeo do interferoacutemetro de Michelson e instrumentaccedilatildeoutilizada para a mediccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico em cristais
Como se pode ver no esquema da figura 41 o ramo do espelho vibrante fica
vazio enquanto que no ramo do espelho fixo se encontra a amostra entre dois
eleacutectrodos onde se aplicam um campo eleacutectrico E O sinal medido no detector
resulta da interferecircncia entre os feixes provenientes de cada ramo do interferoacute-
mentro dependendo da diferenccedila de fase entre os dois feixes Conforme referido
anteriormente a intensidade da luz (I) que chega ao detector eacute da ordem de [16]
I prop E21 +E2
2 + 2E1E2cos(∆φ) (41)
42 Electroacutenica Desenvolvida
421 Amplificador
Para o efeito electrooacuteptico se manisfestar eacute necessaacuterio aplicar-se uma tensatildeo eleacutec-
trica ao meio Uma vez que a tensatildeo de referecircncia fornecida pelo amplificador
lock-in utilizado eacute muito baixa para induzir efeito electrooacuteptico significativo por
volta dos 12V foi necessaacuterio construir um amplificador de tensatildeo (Fig 42)
24
42 ELECTROacuteNICA DESENVOLVIDA
Figura 42 Esquemaacutetico do amplificador de tensatildeo utilizado com base no ampli-ficador operacional LF356n
O amplificador construiacutedo conforme ilustra a figura 42 consiste numa mon-
tagem inversora de ganho variaacutevel com uma malha de controlo de offset e eacute
alimentado a plusmn12V
Assim o ganho G eacute determinado atraveacutes de
G = 1 +R2R1
(42)
Sendo R1 = 11kΩ R2 = 5kΩ R3 = 25kΩ e o amplificador em si utilizado foi
o LF356n
Obtendo-se desta forma um ganho de aproximadamente 55 Permitindo apli-
car uma tensatildeo de cerca de 66V ao cristal electrooacuteptico Uma vez que a tensatildeo
aplicada eacute baixa pode-se desprezar o efeito piezoeleacutectrico gerado na amostra e
que iria influenciar o valor do coeficiente electrooacuteptico medido
422 Gerador de Rampa
Para alimentar o excitador piezoeleacutectrico do espelho moacutevel foi utilizado um ge-
rador de sinais (Fig 43) de forma a induzir um deslocamento linear perioacutedico
na forma de rampa A frequecircncia de oscilaccedilatildeo cerca de 25Hz foi escolhida de
25
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
forma a ser suficientemente baixa para evitar fenoacutemenos de batimento com o sinal
de modulaccedilatildeo electrooacuteptico e suficientemente alta para que se consiga adquirir
dados em tempo uacutetil com uma tensatildeo variaacutevel entre os 4 e os 8V
Figura 43 Esquema eleacutectrico do gerador de rampa implementado baseado nocircuito temporizador NE555
Sendo R1 = 20kΩ R2 = 1kΩ e C1 = C2 = 47microF
O tempo de subida da rampa t1 eacute dado por
t1 = 0693(R1 +R2)C1 (43)
Enquanto que o tempo de descida t2 eacute
t2 = 0693R2C1 (44)
Obtendo assim um tempo de subida de 036s e um tempo de descida de 0033s
Assim a frequecircncia do gerador de rampa f seraacute dada por
f =1
t1 + t2=
144(R1 + 2R2)C1
(45)
O gerador de rampa foi construiacutedo aproveitando o espaccedilo livre no interior da
unidade de amplificaccedilatildeo onde se situa o amplificador
26
42 ELECTROacuteNICA DESENVOLVIDA
423 Seguidor de Tensatildeo
Devido agrave necessidade de acoplamento de impedacircncias entre o amplificador lock-
in e o osciloacutescopio natildeo foi possiacutevel a utilizaccedilatildeo de um repartidor coaxial que
repartisse o sinal proveniente do detector Assim de forma a se poder visuali-
zar o sinal proveniente do detector em simultacircneo com o sinal electrooacuteptico foi
necessaacuterio a construccedilatildeo de um seguidor de tensatildeo (Fig44)
Figura 44 Esquema do seguidor de tensatildeo utilizado construida com base nosamplifacores operacionais LF356n
Sendo que ambos os circuitos integrados foram alimentados por uma tensatildeo
positiva (V+) de 12V e uma negativa (Vminus) de minus12V Com R1 = R2 = 25kΩ Agrave
semelhanccedila do amplificador foi tambeacutem construida uma malha de controlo de
offset
Agrave semelhanccedila do gerador de rampa tambeacutem foi construido na unidade de
amplificaccedilatildeo e gerador de rampa como se pode ver na figura 45
27
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Figura 45 Imagem da unidade de amplificaccedilatildeo e geraccedilatildeo de rampa implemen-tada
43 Sistema Oacuteptico Desenvolvido
431 Espelho Vibrante
O espelho vibrante (Fig46) foi construiacutedo afixando um espelho a um disco pie-
zoeleacutectrico A vibraccedilatildeo do espelho iraacute fazer com que a distacircncia entre o divisor
de feixe e o espelho varie Fazendo deslocar a franja de interferecircncia em frente ao
detector permitindo a este medir as intensidades maacuteximas e miacutenimas das franjas
de interferecircncia (ver secccedilatildeo 323)
Figura 46 Imagem do espelho vibrante utilizado
28
43 SISTEMA OacutePTICO DESENVOLVIDO
432 Bancada Oacuteptica
De forma a colocar os componentes ao niacutevel do feixe do laser na mesa oacuteptica e a
tornar o sistema menos sensiacutevel a vibraccedilotildees mecacircnicas e flutuaccedilotildees teacutermicas os
componentes foram colocadas numa base quadrada de alumiacutenio
Figura 47 Imagem da bancada oacuteptica onde o interferoacutemetro de Michelson foiconstruiacutedo
Conforme se pode ver na figura 47 para completar o interferoacutemetro de Michel-
son para aleacutem dos componentes jaacute referidos foram ainda utilizados um separador
de feixe e um espelho (fixo) no suporte com uma lente oacuteptica agrave saiacuteda do mesmo
Faltando ainda o laser utilizado da Melles Griotreg que possui uma potecircncia de
635mW e um comprimento de onda de 6328nm
433 Detector
O detector utilizado foi um modelo 818-UVDB da Newport Corporationreg (Fig
48) de baixa potecircncia consistindo num fotodiacuteodo de siliacutecio capaz de operar entre
os 200 e os 1100nm As caracteriacutesticas principais deste detector encontram-se
listadas na tabela 433
29
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Tabela 41 Caracteriacutesticas principais do detector 818-UVDB [17]
Largura de Banda 200 a 1100(nm) Material Siliacutecio
Potecircncia
W λ(nm)
Incerteza de
λ(nm)
02 200 a 4008 200 a 219
Maacutexima Calibraccedilatildeo 2 220 a 349
005 400 a 11001 350 a 9494 950 a 1050
Densidade de02Wcm2 Aacuterea Activa 1cm2
Potecircncia Meacutedia
Energia Maacutexima05microJ
Diacircmetro113cm
de Pulso Activo
De forma a evitar que a luz ambiente interferisse nas medidas e para aumen-
tar a resoluccedilatildeo de mediccedilatildeo do perfil da franja de interferecircncia foi colocado um
diafragma com uma abertura no centro de 06mm conforme se pode ver na figura
48 reduzido desta maneira a aacuterea activa para 028 mm2
Figura 48 Imagem do detector e disco utilizado
Para a aquisiccedilatildeo do sinal electrooacuteptico e geraccedilatildeo de sinal electrooacuteptico de
referecircncia foi utilizado um osciloscoacutepio Lecroy Wavesufertrade422
30
43 SISTEMA OacutePTICO DESENVOLVIDO
434 Cristal Electrooacuteptico
Para a calibraccedilatildeo do sistema foi utilizado um cristal padratildeo de dihidrogenofosfato
de potaacutessio (KDP) Na tabela 42 pode-se observar algumas das propriedades
fiacutesicas desse cristal
Tabela 42 Propriedades fiacutesicas do cristal padratildeo KDP [18]
Material Simetria Densidade Classe Higroscopicidade
KDP Tetragonal (42m) 234gcm3 Uniaxial Higroscoacutepico
Uma vez que o cristal eacute uniaxial nx = ny = no e nz = ne sendo no e ne os
iacutendices de refraccedilatildeo ordinaacuterio e extraordinaacuterio do cristal KDP A figura 49 ilustra
o elipsoiacutede de iacutendices num cristal padratildeo KDP
Figura 49 Ilustraccedilatildeo de um cristal padratildeo KDP e seu respectivo elipsoiacutede deiacutendices
31
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Na Tabela 43 pode-se observar algumas das propriedades oacutepticas do cristal
padratildeo KDP
Tabela 43 Propriedades oacutepticas do cristal padratildeo KDP a 6328nm [7]
Material Foacutermula Quiacutemica Iacutendice de RefracccedilatildeoCoeficiente
Electrooacuteptico
KDPKH2PO4
no=15074 r41=86 pmV(λ = 6328nm) ne=14673 r63=106 pmV
Como se pode ver na tabela 42 o cristal do tipo KDP eacute higroscoacutepico sendo
assim necessaacuterio reduzir ao maacuteximo o contacto entre o cristal e a atmosfera para
evitar que as suas faces fiquem opacas interferindo assim na qualidade do feixe
transmitido
435 Porta Amostras
O porta amostras eacute constituiacutedo por uma base feita de latatildeo (Fig 410) onde se
coloca o cristal nivelado com o feixe laser Este suporte possui oito roscas para
parafusos M3 quatro em cima de forma a se fixar os encaixes laterais do porta
amostras e quatro em baixo de forma a afixar-se firmemente na bancada oacuteptica
Figura 410 Imagem da base do porta-amostras desenvolvido
32
43 SISTEMA OacutePTICO DESENVOLVIDO
De forma a aplicar-se a tensatildeo de excitaccedilatildeo ao cristal sem bloquear o feixe do
laser foram utilizadas duas placas de vidro com oacutexido de estanho dopado com
fluacuteor (FTO) Este permite que haja uma boa transparecircncia e conduccedilatildeo eleacutetrica
sendo usado em vaacuterios tipos de dispositivos como aplicaccedilotildees opto-eletroacutenicas
ecratildes touch screen filmes finos fotovoltaicos etc O oacutexido de estanho dopado
com fluacuteor [19] eacute reconhecido por ser altamente estaacutevel quimicamente inerte re-
siste a temperaturas elevadas e ao desgaste abrasivo sendo mais econoacutemico do
que o tradicional oacutexido de iacutendio e estanho (ITO)
De forma a garantir um bom contacto eleacutectrico entre o vidro FTO e o cristal
foram construidas duas peccedilas de afixaccedilatildeo idecircnticas (Fig 411) Trata-se de duas
peccedilas de alumiacutenio cada uma contendo uma abertura de forma a deixar passar
o feixe laser e dois rasgos para parafusos de forma a poder-se fixar no suporte e
desta maneira exercer uma pressatildeo constante sobre o cristal
Figura 411 Imagem das peccedilas de fixaccedilatildeo do cristal desenvolvidas com a vista defrente (a) e a vista de traacutes (b)
A ligaccedilatildeo eleacutectrica entre o sinal de referecircncia proveniente do amplificador ao
vidro FTO foi feita atraveacutes de uma cola condutora de prata de forma a assegurar
a ligaccedilatildeo oacutehmica entre o fio de cobre e a camada de FTO O cristal fica assim entre
duas placas de vidro FTO(Fig412)
33
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Figura 412 Imagem do porta Amostras desenvolvido
A figura 413 ilustra o sistema desenvolvido incluindo a bancada oacuteptica e
instrumentaccedilatildeo
Figura 413 Imagem do sistema desenvolvido para a mediccedilatildeo do efeito electrooacutep-tico
34
44 COEFICIENTE ELECTROOacutePTICO
44 Coeficiente Electrooacuteptico
Para o cristal utilizado o dihidrogenofosfato de potaacutessio (KDP) e para o efeito
electrooacuteptico linear a matriz de coeficientes electrooacutepticos eacute a seguinte
rij =
0 0 0
0 0 0
0 0 0
r41 0 0
0 r52 0
0 0 r63
com
i = 1 6
j = 123
Sendo que r41 = r52 pelo que existem apenas dois coeficientes independentes
o r41 e o r63
Usando a notaccedilatildeo condensada mencionada da secccedilatildeo 21 onde se aplica o
campo eleacutectrico (E) no plano do i (sendo i = m) enquanto que j eacute o eixo oacuteptico
Para o caso do KDP eacute costume utilizar o r63 Isto eacute aplicar o campo eleacutectrico nos
planos 12 ou 21 (ou seja i = 6) com o eixo oacuteptico no eixo 3 (j = 3) como demonstra
a figura 414
Figura 414 Ilustraccedilatildeo da configuraccedilatildeo utilizada para a mediccedilatildeo do coeficienter63 num cristal
35
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Para o caso do efeito electrooacuteptico quadraacutetico a matriz dos coeficientes elec-
trooacutepticos seraacute
sij =
s11 s12 s12 0 0 0
s12 s11 s12 0 0 0
s12 s12 s11 0 0 0
0 0 0 s11 minus s12 0 0
0 0 0 0 s11 minus s12 0
0 0 0 0 0 s11 minus s12
com i j = 1 6
45 Execuccedilatildeo Experimental
Para se medir o coeficiente electrooacuteptico aplica-se ao cristal uma tensatildeo com uma
frequecircncia de 2kHz frequecircncia essa que se revelou menos sensiacutevel aos ruiacutedos
ambientes sendo que o sinal electrooacuteptico teraacute a mesma frequecircncia Podendo-
se desta maneira atraveacutes de um amplificador de lock-in (modelo 393 da IthacoDynatrac) filtrar o sinal electrooacuteptico dos restantes sinais uma vez que a sua
frequecircncia eacute conhecida
A intensidade da equaccedilatildeo 41 eacute maacutexima quando cos(∆φ) = 1 e miacutenima quando
cos(∆φ) = minus1 Pelo que subtraindo estas duas equaccedilotildees
Imax minus Imin = 4E1E2 (46)
Assim combinando a equaccedilatildeo 41 com a equaccedilatildeo 46 obtem-se
I prop E21E
22 +
12
(Imax minus Imin)cos(∆φ) (47)
Juntando agora a equaccedilatildeo 246 agrave equaccedilatildeo 247 e tendo em conta que o feixe
passa duas vezes por cada ramo (=2l) a diferenccedila de fase para o efeito electrooacutep-
tico linear
∆φ = ∆φ0 +πrn3
oVoλ
2lh
cos(Ωt) (48)
Sendo ∆φ0 a diferenccedila de fase inicial sem o efeito electrooacuteptico
36
45 EXECUCcedilAtildeO EXPERIMENTAL
Substituindo o ∆φ da equaccedilatildeo 48 na equaccedilatildeo 47 a intensidade do sinal com
modulaccedilatildeo electrooacuteptica(Iseo) seraacute dado por
Iseo prop E21 +E2
2 +12
(Imax minus Imin)cos(∆φ0 +
πrn3oVoλ
2lh
cos(Ωt))
(49)
Usando cos(α plusmn β) = cos(α)cos(β)∓ sen(α) sen(β) e D = πrn3oVoλ
2lh fica-se com
Iseo prop E21 +E2
2+12
(Imax minus Imin)
[cos(∆φ0)cos(Dcos(Ωt)) minus sen(∆φ0) sen(D cos(Ωt))](410)
Como a modulaccedilatildeo electrooacuteptica eacute um efeito muito pequeno a equaccedilatildeo 410
pode-se escrever
Iseo asymp E21 +E2
2 +12
(Imax minus Imin) [cos(∆φ0)minusD cos(Ωt) sen(∆φ0)] (411)
Considerando soacute os termos de primeira ordem
Iseo asymp12
(Imax minus Imin) [cos(∆φ0)minusD cos(Ωt) sen(∆φ0)] (412)
A componente do sinal electrooacuteptico eacute entatildeo dado por
Iseo =12
(Imax minus Imin)D cos(Ωt) sen(∆φ0) (413)
Ou seja
Iseo =12
(Imax minus Imin)πrn3
oVoλ
2lh
cos(Ωt) sen(∆φ0) (414)
O acircngulo ∆φ0 varia linearmente com o tempo (t) a uma frequecircncia inferior
a Ω A franja de interferecircncia desloca-se continuamente em frente ao detector
devido a um dos espelho estar fixado num disco piezoeleacutectrico
37
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Na figura 415 pode-se ver uma exemplificaccedilatildeo do sinal no detector que incor-
pora o sinal da franja e electrooacuteptico dada pela equaccedilatildeo 414
Figura 415 Ilustraccedilatildeo do sinal de modulaccedilatildeo electrooacuteptica de um feixe de luzmedido num interferoacutemetro de Michelson
Uma vez que o sinal electrooacuteptico (cos(Ωt)) estaacute desfasado π2 do sinal da
franja ( sen(∆φ0)) A intensidade do sinal electrooacuteptico pode ser escrita como
Iseo asymp12
(Imax minus Imin)πrn3
oVoλ
2lh
∣∣∣ sen(∆φ0)∣∣∣ (415)
Assim a amplitude do sinal electrooacuteptico eacute
Iseo =12
(Imax minus Imin)πrn3
oVoλ
2lh
(416)
Pelo que o coeficiente electrooacuteptico linear seraacute dado por
r =|Iseo|
|Imax minus Imin|λ
πn3oVo
hl
(417)
38
46 RESULTADOS
Para o efeito electrooacuteptico quadraacutetico utilizando o procedimento anoacutelogo mas
a partir da equaccedilatildeo 248 em vez da equaccedilatildeo 247 O sinal electrooacuteptico quadraacutetico
Iseoq que ocorre ao dobro da frequecircncia de modulaccedilatildeo 2Ω eacute dado por
s =
∣∣∣Iseoq∣∣∣|Imax minus Imin|
2λ
πn3oV
2o
h2
l(418)
46 Resultados
Com o cristal de KDP devidamente alinhado no interferoacutemetro segundo o seu
eixo oacuteptico de maneira a se medir o coeficiente r63 Obtendo-se assim dois sinais
o sinal de franja e o sinal electrooacuteptico (Fig 416)
Figura 416 Padratildeo da franja produzida (a) e respectivos sinais de franja e elec-trooacuteptico obtidos para um cristal KDP padratildeo
De forma a se proceder a calibraccedilatildeo do sistema utilizou-se a equaccedilatildeo 417 na
forma
|Iseo||Imax minus Imin|
=πn3
o
λlhrVo (419)
39
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Usando o valor da razatildeo |Iseo ||ImaxminusImin|
em funccedilatildeo do potencial aplicado Vo pode-se
calcular o valor do coeficiente electrooacuteptico r atraveacutes do declive da recta obtida
Pode-se ver na figura 417 uma das rectas obtidas para o cristal utilizado na
calibraccedilatildeo do sistema
Figura 417 Razatildeo entre o sinal electrooacuteptico e a diferenccedila de intensidade defranjas em funccedilatildeo do potencial Vo aplicado ao cristal
A tabela 44 apresenta o valor do coeficiente electrooacuteptico obtido e respectiva
incerteza para o cristal de KDP tomando em conta os valores dos iacutendices de
refraccedilatildeo da tabela 43
Tabela 44 Valores e respectivas incertezas obtidas do coeficiente electrooacutepticopara o cristal KDP utilizado
Material Valor Padratildeo Valor Obtido Erro
KDPr63 = 106pmV r63 = 105plusmn 02pmV 1
(λ = 6328nm)
Como se pode ver na tabela 44 o resultado obtido situa-se muito proacuteximo
do teoacuterico encontrando-se dentro da incerteza obtida Os valores valores meacutedios
apresentam um desvio da ordem dos 02pmV
40
46 RESULTADOS
Apesar dos valores obtidos serem bastante positivos houve algumas dificul-
dades nomeadamente o vidro FTO que causou que o alinhamento fosse extrema-
mente complicado natildeo soacute pela sua espessura e dimensionamento como tambeacutem
pela refraccedilatildeo provocada no feixe laser Outro grande obstaacuteculo foi o alinhamento
do cristal uma vez que basta um ligeiro desvio no caminho oacuteptico para causar um
desalinhamento total algo que eacute agravado no interferoacutemetro do tipo Michelson
pelo facto de o feixe laser passar na amostra duas vezes
Apesar destas dificuldades o valor obtido para o coeficiente electrooacuteptico r63
foi de 105pmV valor esse muito proacuteximo do valor padratildeo da literatura que se
encontra nos 106pmV Assim pode-se considerar que o sistema desenvolvido
se encontra devidamente calibrado e pronto para futuras utilizaccedilotildees
41
Capiacutetulo
5Conclusotildees
O trabalho desenvolvido no decorrer desta dissertaccedilatildeo consistiu no desenvolvi-
mento de um sistema para a mediccedilatildeo do efeito electrooacuteptico aacuterea a ser ulilizada
na caracterizaccedilatildeo de novos materiais polimeacutericos para aplicaccedilatildeo em dispositivos
fotoacutenicos
Nesta conformidade foi desenhada construiacuteda e testado uma bancada oacuteptica
destinada agrave mediccedilatildeo do efeito electrooacuteptico baseado numa teacutecnica interferomeacute-
trica de mediccedilatildeo da diferenccedila de fase implementado atraveacutes de um interferoacutemetro
do tipo Michelson
O cristal escolhido para a calibraccedilatildeo do sistema desenvolvido foi um cristal de
KDP comercial tendo sido utilizado o coeficiente electrooacuteptico r63 como referecircn-
cia sendo o valor padratildeo de 106pmV
O sistema obtido permitiu medir um valor nominal de 105plusmn 02pmV com
um erro de aproximadamente 1 em relaccedilatildeo ao valor tabelado comprovando a
afericcedilatildeo do sistema para a mediccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico por transmissatildeo
O sistema desenvolvido estaacute portanto apto para futuras mediccedilotildees sendo ape-
nas necessaacuterio algumas alteraccedilotildees no porta-amostras mediante as dimensotildees e
forma da amostra a utilizar
Chegou-se ainda agrave conclusatildeo que para amostras como o cristal utilizado o
feixe laser passar duas vezes na amostra acaba por ser uma grande desvantagem
desvantagem essa inexistente para filmes polimeacutericos que ganham cada vez mais
importacircncia na aacuterea da fotoacutenica uma vez que satildeo materiais de grande interesse
cientiacutefico e tecnoloacutegico jaacute que podem ser utilizados no desenvolvimento de dispo-
sitivos oacutepticos nomeadamente moduladores de luz e memoacuterias oacutepticas
43
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46
Apecircndice
AApecircndice
A1 Desenhos Teacutecnicos
47
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311
23
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- Lista de Figuras
- Lista de Tabelas
- Introduccedilatildeo
- Efeito Electrooacuteptico
-
- Oacuteptica Natildeo-Linear
- Propagaccedilatildeo em Meios Anisotroacutepicos
-
- Vector de Poynting
- Elipsoiacutede dos Iacutendices
- Coeficientes Natildeo-Lineares
-
- Mediccedilatildeo do Efeito Electrooacuteptico
-
- Meacutetodo Tradicional
- Meacutetodos por Interferometria
-
- Interferometria Oacuteptica
- Interferoacutemetro de Mach-Zehnder
- Interferoacutemetro de Michelson
-
- Sistema Implementado
-
- Interferoacutemetro
- Electroacutenica Desenvolvida
-
- Amplificador
- Gerador de Rampa
- Seguidor de Tensatildeo
-
- Sistema Oacuteptico Desenvolvido
-
- Espelho Vibrante
- Bancada Oacuteptica
- Detector
- Cristal Electrooacuteptico
- Porta Amostras
-
- Coeficiente Electrooacuteptico
- Execuccedilatildeo Experimental
- Resultados
-
- Conclusotildees
- Bibliografia
- Apecircndice
-
- Desenhos Teacutecnicos
-
Lista de Tabelas
41 Caracteriacutesticas principais do detector 818-UVDB [17] 30
42 Propriedades fiacutesicas do cristal padratildeo KDP [18] 31
43 Propriedades oacutepticas do cristal padratildeo KDP a 6328nm [7] 32
44 Valores e respectivas incertezas obtidas do coeficiente electrooacuteptico
para o cristal KDP utilizado 40
xv
Lista de Siacutembolos
~S - Vector de Poynting
ε - Permissidade eleacutectrica
micro - Permeabilidade eleacutectrica
λ - Comprimento de onda
φ - Fase
ν - Visibilidade
δ - Retardaccedilatildeo
Ω - Frequecircncia de modulaccedilatildeo
χ(1) - Suscetibilidade eleacutectrica linear
χ(2) - Suscetibilidade eleacutectrica de segunda ordem
χ(3) - Suscetibilidade eleacutectrica de terceira ordem
ε0 - Permissidade eleacutectrica do vazio
B - Campo magneacutetico
D - Deslocamento eleacutectrico
E - Campo eleacutectrico
I - Intensidade
P - Polarizaccedilatildeo
Vo - Potencial eleacutectrico
c - Velocidade da luz no vazio
h - Distacircncia entre os eleacutetrodos
xvii
LISTA DE SIacuteMBOLOS
k - Nuacutemero de onda
l - Caminho percorrido pela luz num meio
n - Iacutendice de refraccedilatildeo
ne - Iacutendice de refraccedilatildeo extraordinaacuterio
no - Iacutendice de refraccedilatildeo ordinaacuterio
r - Coeficiente electrooacuteptico linear
s - Coeficiente electrooacuteptico quadraacutetico
u - Densidade de energia
w - Frequecircncia angular
xviii
Capiacutetulo
1Introduccedilatildeo
A fibra oacuteptica eacute hoje amplamente utilizada nas redes de telecomunicaccedilatildeo em subs-
tituiccedilatildeo dos tradicionais cabos eleacutectricos por permitir transportar uma grande
quantidade de informaccedilatildeo a alta velocidade e com perdas reduzidas sem ser
afetada pelo ruiacutedo eletromagneacutetico Por outro lado a transmissatildeo de informaccedilatildeo
atraveacutes da fibra oacuteptica requer o desenvolvimento de dispositivos capazes de pro-
cessar sinal oacuteptico tais como amplificadores comutadores e moduladores de luz
Eacute aqui que o efeito electrooacuteptico assume um papel de relevo jaacute que possibilita a
modulaccedilatildeo de luz a frequecircncias da ordem do gigahertz [1 2 3]
O efeito electrooacuteptico tambeacutem conhecido por efeito de Pockels1 consiste na
variaccedilatildeo do iacutendice de refraccedilatildeo de um meio quando a este eacute aplicado um campo
eleacutetrico externo Esta alteraccedilatildeo no iacutendice de refraccedilatildeo eacute o resultado de forccedilas elec-
trostaacuteticas que deformam as moleacuteculas (alteraccedilatildeo de posiccedilatildeo orientaccedilatildeo ou forma)
do meio que estaacute na origem de uma alteraccedilatildeo no momento dipolar Distinguem-
se dois tipos de efeito eletrooacuteptico o linear (efeito Pockels) e o quadraacutetico (efeito
Kerr2)
O efeito de Pockels estaacute na origem da criaccedilatildeo de uma birrefringecircncia ∆n
no meio oacuteptico proporcional ao campo eleacutetrico aplicado Este efeito observa-se
1Friedrich Carl Alwin Pockels foi um fiacutesico alematildeo que em 1893 descobriu que se for aplicadoum campo eleacutectrico estaacutevel a certos materiais birrefrigentes estes vatildeo sofrer uma variaccedilatildeo noiacutendice de refraccedilatildeo proporcional agrave forccedila do campo aplicado Este coeficiente de proporcionalidadeestaacute entre os 10times 10minus10V minus1 e os 10times 10minus12V minus1 Ficando este fenoacutemeno conhecido como Efeito dePockels
2John Kerr foi um fiacutesico escocecircs e um pioneiro no campo da electro-oacuteptica nomeadamentepelo efeito de Kerr em 1875 que consiste numa variaccedilatildeo do iacutendice de refraccedilatildeo que varia quadraacuteti-camente com o campo eleacutetrico aplicado
1
CAPIacuteTULO 1 INTRODUCcedilAtildeO
apenas em meios em que a sua estrutura natildeo apresenta centro de simetria
No efeito de Kerr a variaccedilatildeo no iacutendice de refraccedilatildeo do meio eacute proporcional ao
quadrado do campo eleacutetrico aplicado e portanto proporcional agrave intensidade da
luz e ao contraacuterio do efeito de Pockels ocorre dum modo geral como mais ou
menos intensidade em todos os materiais
O conhecimento das propriedades electrooacutepticas de um material eacute fundamen-
tal na avaliaccedilatildeo das suas capacidades para o desenvolvimentos de dispositivos
moduladores de luz O presente trabalho de dissertaccedilatildeo consistiu no desenvolvi-
mento de uma bancada oacuteptica para a mediccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico base-
ado em teacutecnica interferomeacutetrica de mediccedilatildeo da diferenccedila de fase induzida por
efeito eletrooacuteptico
Neste trabalho seraacute inicialmente descrita a teoria e os caacutelculos necessaacuterios
para a mediccedilatildeo do efeito electrooacuteptico atraveacutes dos seus coeficientes natildeo-lineares
Sendo de seguida apresentados alguns sistemas de mediccedilatildeo deste efeito e o seu
respectivo funcionamento No capiacutetulo seguinte seraacute descrito o funcionamento
do sistema desenvolvido o interferoacutemetro implementado o porta-amostras cons-
truiacutedo a eletroacutenica e os sistemas oacutepticos desenvolvidos que integram o sistema
bem como os caacutelculos finais para a obtenccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico do sis-
tema usado Por uacuteltimo as conclusotildees retiradas do trabalho desenvolvido bem
como as suas perspectivas futuras
2
Capiacutetulo
2Efeito Electrooacuteptico
Este capiacutetulo aborda do ponto de vista teoacuterico alguns aspectos relevantes para a
realizaccedilatildeo deste trabalho nomeadamente a propagaccedilatildeo da luz num meio as pro-
priedades da oacuteptica natildeo-linear e a alteraccedilatildeo no iacutendice de refraccedilatildeo linear em meios
anisotroacutepicos Estes conceitos permitiratildeo encontrar as expressotildees que determinam
os coeficientes natildeo-lineares
21 Oacuteptica Natildeo-Linear
Um dado material pode responder de forma natildeo-linear a um campo eleacutectrico
aplicado De um modo geral pode-se descrever a resposta da seguinte forma[4]
Pi = ε0
[χ
(1)ij Ej +χ(2)
ijkEjEk +χ(3)ijklEjEkEl +χ(N )
middotmiddotmiddot middot middot middot]
(21)
Onde P i eacute a polarizaccedilatildeo do meio ε0 eacute a permissidade eleacutectrica no vaacutecuo E
o campo eleacutectrico aplicado χ(1) a suscetibilidade eleacutectrica linear e χ(2) χ(3)
χ(n) as suscetibilidades natildeo lineares de segunda ordem de terceira ordem ateacute
N ordem sendo N um nuacutemero inteiro com i j k l um sistema de eixos de
laboratoacuterio com valores valores 1 2 e 3
Cada termo da equaccedilatildeo 21 estaacute associado a diferentes respostas do meio O
termo χ(1) estaacute associado ao iacutendice de refraccedilatildeo e absorccedilatildeo linear O termo χ(2) agrave
geraccedilatildeo de segunda harmoacutenica soma e diferenccedila de frequecircncias e o efeito elec-
trooacuteptico linear ou efeito de Pockels Este efeito eacute particularmente importante
3
CAPIacuteTULO 2 EFEITO ELECTROOacutePTICO
jaacute que permite a modulaccedilatildeo da luz De salientar que o tensor de terceira ordem
(χ(2)ijk) se reduz a dezoito elementos atendendo agraves simetrias resultantes de permu-
tas de iacutendices jaacute que χ(2)ijk = χ
(2)ikj = χ
(2)kij = χ
(2)jik = χ
(2)jki = χ
(2)kji Pode-se desta forma
representar atraveacutes da matriz
χ(2)ij =
χ
(2)11 χ
(2)12 χ
(2)13 χ
(2)14 χ
(2)15 χ
(2)16
χ(2)21 χ
(2)22 χ
(2)23 χ
(2)24 χ
(2)25 χ
(2)26
χ(2)31 χ
(2)32 χ
(2)33 χ
(2)34 χ
(2)35 χ
(2)36
Utilizando uma notaccedilatildeo condensada[5] ficamos com
χ(2)ijk = χ(2)
mk = com m =
1 quando ij = 11
2 quando ij = 22
3 quando ij = 33
4 quando ij = 2332
5 quando ij = 1331
6 quando ij = 1221
De notar que dependendo do meio soacute alguns dos elementos de χ(2)ijk seratildeo natildeo
nulos Para materiais que exibam centro de simetria o efeito electrooacuteptico linear
natildeo existe de todo sendo os elementos de χ(2)ijk nulos
O elemento χ(3) estaacute associado agrave geraccedilatildeo da terceira harmoacutenica soma e dife-
renccedila de frequecircncias e o efeito electrooacuteptico quadraacutetico ou efeito de Kerr que se
manifesta na variaccedilatildeo do iacutendice de refraccedilatildeo com o quadrado do campo eleacutectrico
aplicado
De salientar ainda que quanto maior o valor de ordem n mais difiacutecil se torna
observar os efeitos associados uma vez que estes se tornam cada vez menos inten-
sos
4
22 PROPAGACcedilAtildeO EM MEIOS ANISOTROacutePICOS
22 Propagaccedilatildeo em Meios Anisotroacutepicos
A propagaccedilatildeo de uma onda electromagneacutetica num meio pode ser descrita pelas
equaccedilotildees de Maxwell1 Para o caso de um meio homogeacuteneo isolante e neutro
pode-se escrever como
nabla middot ~E = 0 (22a)
nabla middot ~B = 0 (22b)
nablatimes ~E = minuspart~Bpartt
(22c)
nablatimes ~B = microεpart~Epartt
(22d)
Sendo ~B o campo magneacutetico ~E o campo eleacutectrico ε e micro a permissidade eleacutectrica
e permeabilidade magneacutetica do meio respectivamente
Tendo em conta que para um vector ~D geneacuterico
nablatimesnablatimes ~D = nabla(nabla middot ~D
)minusnabla2 ~D (23)
e
nablatimespart~Dpartt
=partnablatimes ~Dpartt
(24)
Comeccedilando pela equaccedilatildeo 22c
nablatimesnablatimes ~E = nablatimespart~Bpartt
(25)
Usando as propriedades matemaacuteticas das equaccedilotildees 23 e 24
nabla(nabla middot ~E
)minusnabla2~E =
partnablatimes ~Bpartt
(26)
Utilizando as equaccedilotildees 22a e 22d na equaccedilatildeo 26 verifica-se que
nabla2~E = microεpart2~E
partt2(27)
1James Clerk Maxwell foi um cientista escocecircs mais conhecido por ter combinado as teoriasdos campos da oacuteptica do magnetismo e da electricidade numa soacute e uacutenica teoria dando assimorigem as chamadas equaccedilotildees de Maxwell
5
CAPIacuteTULO 2 EFEITO ELECTROOacutePTICO
Obtendo-se desta maneira a equaccedilatildeo de onda para o campo eleacutectrico Analo-
gamente mas comeccedilando com a equaccedilatildeo 22d obteacutem-se para o campo magneacutetico
nabla2~B = microεpart2~B
partt2(28)
A sua velocidade de propagaccedilatildeo eacute dada por
v =1radicmicroε
(29)
Sendo que no vazio micro = micro0 e ε = ε0 o que resulta em v = c 3times 108ms
Resolvendo as equaccedilotildees 27 e 28 obtecircm-se as expressotildees para os campos eleacutec-
tricos e magneacuteticos que se propagam no meio
~E (~r t) = ~E0ei(~kmiddot~rminuswt
)(210)
e
~B (~r t) = ~B0ei(~kmiddot~rminuswt
)(211)
Onde ~r eacute o vector posiccedilatildeo ~k eacute o vector de onda que segue a direccedilatildeo de pro-
pagaccedilatildeo da onda w a frequecircncia angular e t o tempo Sendo que a parte real das
equaccedilotildees representa os seus respectivos campos A magnitude do vector ~k pode
ser escrita da seguinte maneira
k =2πλ
=wv
=wnc
(212)
Em que k eacute o nuacutemero de onda λ o comprimento de onda e n o iacutendice de
refraccedilatildeo
Escrevendo a parte real das equaccedilotildees 210 e 211 fica-se com
E = E0 cos(kr minuswt) (213)
e
B = B0 cos(kr minuswt) (214)
Manipulando a equaccedilatildeo 22c obtem-se
partEpartx
= minuspartBpartt
(215)
6
22 PROPAGACcedilAtildeO EM MEIOS ANISOTROacutePICOS
Utilizando a equaccedilatildeo 215 nas equaccedilotildees 213 e 213
kE0 = wB0 (216)
Usando a equaccedilatildeo 212 na equaccedilatildeo 216 verifica-se que
B0 =E0
v(217)
221 Vector de Poynting
O fluxo de energia (Wm2) dado pelo vector de Poynting2 (~S) pode ser escrito da
seguinte forma
~S =1micro~E times ~B (218)
A densidade de energia eleacutectrica ou a energia eleacutectrica armazenada por uni-
dade de volume (joulem3) a quantidade de energia contida num dado sistema
em relaccedilatildeo ao seu volume seraacute dada por
uE =12εE2 (219)
Agrave semelhanccedila da densidade de energia eleacutectrica a densidade de energia mag-
neacutetica (uB) eacute
uB =1
2microB2 (220)
Assim somando as equaccedilotildees 219 e 220 obtem-se a densidade de energia
total de uma onda electromagneacutetica
u =12εE2 +
12microB2 (221)
2John Henry Poynting foi um fiacutesico britacircnico autor de diversos trabalhos entre os quais um te-orema no qual se atribui um valor agrave taxa de fluxo de energia electromagneacutetica que ficou conhecidocomo vector de Poynting
7
CAPIacuteTULO 2 EFEITO ELECTROOacutePTICO
Substituindo as equaccedilotildees 29 e 217 na equaccedilatildeo 221 pode-se escrever a densi-
dade de energia total de uma onda electromagneacutetica num dado meio da seguinte
forma
u = εE2 (222)
Relacionando-se desta forma a densidade de energia com o campo eleacutectrico
De salientar que o campo magneacutetico e o campo eleacutectrico estatildeo relacionados atra-
veacutes da equaccedilatildeo 217
Considerando uma secccedilatildeo de aacuterea A (Fig 21) de um cubo com ∆x de lado
Figura 21 Cubo com secccedilatildeo de aacuterea A e ∆x de lado
A energia armazenada no cubo ou densidade de energia eacute igual a
∆U = uA∆x (223)
Sendo que a energia que atravessa a aacuterea A por unidade de tempo eacute
∆U∆t
=uA∆x∆xv
= uAv (224)
Assim a energia por unidade de tempo e aacuterea (Wm2) eacute igual a
uv = S (225)
Combinando a equaccedilatildeo 225 com a equaccedilatildeo 222 pode-se escrever a magnitude
do vector de Poynting da seguinte forma
S = εvE2 (226)
8
22 PROPAGACcedilAtildeO EM MEIOS ANISOTROacutePICOS
Substituindo a equaccedilatildeo 213 na equaccedilatildeo 225 a magnitude do vector de Poyn-
ting assume a seguinte forma
S = εvE20 cos2 (wt) (227)
Se na equaccedilatildeo 227 se fizer uma meacutedia no tempo obteacutem-se
〈S〉 = εvE20
langcos2 (wt)
rang(228)
Sendo quelangcos2 (wt)
rang= 1
2 tem-se que
I = 〈S〉 =12εvE2
0 =c
2nεE2
0 (229)
Sendo I a intensidade ou seja a potecircncia meacutedia por unidade de aacuterea que a
onda electromagneacutetica transporta
222 Elipsoiacutede dos Iacutendices
Nos meios anisotroacutepicos o iacutendice de refraccedilatildeo linear depende da direccedilatildeo da propa-
gaccedilatildeo da luz e do seu estado de polarizaccedilatildeo A resposta de um meio anisotroacutepico
eacute normalmente obtida atraveacutes do conceito de elipsoiacutede de iacutendices[5 6 7] que
a seguir seraacute descrita Ao se aplicar um campo eleacutectrico a um meio polarizaacutevel
este induz uma mudanccedila do estado de polarizaccedilatildeo descrito pelo deslocamento
eleacutectrico
~D = ε0~E + ~P (230)
Sendo
~P = ε0χ~E (231)
onde ε0 eacute a permissidade eleacutectrica no vazio ~P a polarizaccedilatildeo ~E o campo eleacutec-
trico ~D o deslocamento eleacutectrico e χ eacute o tensor das suscetibilidades Atraveacutes das
equaccedilotildees 230 e 231 tem-se que
~D = ε0~E(1 + χ) (232)
9
CAPIacuteTULO 2 EFEITO ELECTROOacutePTICO
Sendo que χ eacute dado por
χ =
χ11 χ12 χ13
χ21 χ22 χ23
χ31 χ32 χ33
(233)
Pelo teorema de eixos principais [7] seraacute possiacutevel escolher um sistema de co-
ordenadas onde apenas os elementos da diagonal principal sejam diferentes de
zero de tal forma que
χ =
χ11 0 0
0 χ22 0
0 0 χ33
(234)
Assim a equaccedilatildeo 231 pode ser escrita na forma no novo sistema de eixosP1
P2
P3
= ε0
χ11 0 0
0 χ22 0
0 0 χ33
E1
E2
E3
(235)
Da equaccedilatildeo 235 pode-se ainda retirar o seguinte
P1 = ε0χ11E1 D1 = ε11E1 ε11 = ε0 (1 +χ11)
P2 = ε0χ22E2 D2 = ε22E2 ε22 = ε0 (1 +χ22) (236)
P3 = ε0χ33E3 D3 = ε33E3 ε33 = ε0 (1 +χ33)
Combinando as equaccedilotildees 219 e 236 pode-se reescrever a densidade de energia
armazenada no campo eleacutectrico como
uE =12~E middot ~D (237)
Usando as expressotildees da equaccedilatildeo 236 para manipular a equaccedilatildeo 237 obtem-
se
D21
ε11+D2
2
ε22+D2
3
ε33= 2uE (238)
10
22 PROPAGACcedilAtildeO EM MEIOS ANISOTROacutePICOS
Substituiacutendo na equaccedilatildeo 238 D1 D2 e D3 pelos seus respectivos eixos em
coordenadas cartesianas tem-se que
x2
ε11ε0+
y2
ε22ε0+
z2
ε33ε0= 1 (239)
sendo x = D1radic2ε0UE
y = D2radic2ε0UE
e z = D3radic2ε0UE
Reescrevendo a equaccedilatildeo 239 fazendo n2x = ε11ε0 n2
y = ε22ε0 e n2z = ε33ε0
obteacutem-se forma a equaccedilatildeo do elipsoide de iacutendices
x2
n2x
+y2
n2y
+z2
n2z
= 1 (240)
Sendo nx ny e nz o iacutendice de refraccedilatildeo na sua respectiva direccedilatildeo como demons-
tra a figura 22
Figura 22 Ilustraccedilatildeo do elipsoiacutede de iacutendices (retirado de [7])
11
CAPIacuteTULO 2 EFEITO ELECTROOacutePTICO
223 Coeficientes Natildeo-Lineares
Quando eacute aplicado um campo eleacutectrico ao meio o elipsoiacutede de iacutendices pode
mudar a sua forma e orientaccedilatildeo no espaccedilo de tal forma que a equaccedilatildeo de elipsoide
de iacutendices passa a ser escrita de um modo geral como
( 1n2
)1x2 +
( 1n2
)2y2 +
( 1n2
)3z2 + 2
( 1n2
)4xy + 2
( 1n2
)5xz+ 2
( 1n2
)6yz = 1 (241)
Quando o campo eleacutectrico aplicado eacute nulo as equaccedilotildees 240 e 241 tecircm de ser
equivalentes pelo que para E = 0 tem-se
( 1n2
)1
=1
n2x( 1
n2
)2
=1
n2y( 1
n2
)3
=1
n2z( 1
n2
)4
=( 1n2
)5
=( 1n2
)6
= 0
(242)
Desta forma quando se aplica um campo eleacutectrico (E) verifica-se uma variaccedilatildeo
nos coeficientes(
1n2
)i Esta variaccedilatildeo induzida pelo efeito electrooacuteptico pode entatildeo
ser descrita atraveacutes de [8]
∆
( 1n2
)i
=3sumj=1
rijEj com i = 1 6 (243)
Sendo rij o coeficiente electrooacuteptico e E a magnitude do campo eleacutectrico apli-
cado
12
22 PROPAGACcedilAtildeO EM MEIOS ANISOTROacutePICOS
A equaccedilatildeo 243 tambeacutem pode ser escrita como
∆
( 1n2
)1
∆
( 1n2
)2
∆
( 1n2
)3
∆
( 1n2
)4
∆
( 1n2
)5
∆
( 1n2
)6
=
r11 r12 r13
r21 r22 r23
r31 r32 r33
r41 r42 r43
r51 r52 r53
r61 r62 r63
E1
E2
E3
(244)
Nesta conformidade o coeficiente electrooacuteptico pode ser escrito como
rij = minus 2
n3ij
[partnijpartEj
](245)
A diferenccedila de fase ∆φ resultante da variaccedilatildeo no iacutendice de refraccedilatildeo ∆n seraacute
∆φ =2πlλ
∆n (246)
Em que o l eacute o caminho percorrido pela luz de comprimento de onda λ no
meio Sendo a variaccedilatildeo no iacutendice de refraccedilatildeo devida aos efeitos electrooacutepticos
pode-se escrever
|∆n| =rno
3
2Voh
(247)
para o efeito electrooacuteptico linear e
|∆n| =sn3o
2
(Voh
)2(248)
para o efeito electrooacuteptico quadraacutetico
Onde os coefeciecircntes electrooacutepticos linear e quadraacutetico satildeo respectivamente
r e s Vo eacute o potencial eleacutectrico aplicado entre os eleacutetrodos que distam entre si a
uma distacircncia h criando assim o campo eleacutectrico aplicado
13
Capiacutetulo
3Mediccedilatildeo do Efeito Electrooacuteptico
Neste capiacutetulo satildeo apresentadas as teacutecnicas mais comuns utilizadas para a me-
diccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico destacando-se dois tipos de interferoacutemetros o
tradicional e os de interferometria de dois feixes
31 Meacutetodo Tradicional
Um dos meacutetodos mais usados para medir o efeito eletrooacuteptico foi o proposto por
Henry [9] em 1986 Esta teacutecnica ilustrada na Fig31 baseia-se na alteraccedilatildeo do
estado de polarizaccedilatildeo de um feixe linearmente polarizado quando este atravessa
o meio Esta alteraccedilatildeo ocorre devido agrave birrefrigecircncia induzida por um campo
eleacutetrico aplicado e agrave atividade oacuteptica do meio A montagem eacute composta por uma
fonte de luz (S) um monocromador (M) uma lente (L) um diafragma (D) dois
polarizadores (P1 e P2) um cristal (BSO) de espessura d ao qual eacute aplicado um
campo eleacutetrico (E) e um fotomultiplicador (FM) ligado a um sistema de aquisiccedilatildeo
de dados
O procedimento experimental em si consiste no seguinte para um dado estado
de polarizaccedilatildeo do feixe incidente imposto pelo P1 vai-se alterando a posiccedilatildeo
angular do P2 de forma a encontrar as intensidades maacutexima e miacutenima e desta
forma calcular-se a visibilidade (ν) atraveacutes de [9]
νθ =Imax minus IminImax + Imin
(31)
15
CAPIacuteTULO 3 MEDICcedilAtildeO DO EFEITO ELECTROOacutePTICO
Figura 31 Montagem experimental proposta por Henry e a sua equipa (adaptadode [9])
De seguida altera-se P1 para a posiccedilatildeo angular de 45 e repete-se o procedi-
mento anterior Somando o quadrado das duas visibilidades obtidas tem-se que
[9]
ν2θ + ν2
θ+45 = 1 +
1minus δ2
2
sen(φ2 )φ2
2
2
(32)
sendo
δ =2πλn3rEyd (33)
e
φ =radicδ2 + ρ2 (34)
Sendo δ a diferenccedila de fase originada pela birrefringecircncia λ o comprimento
de onda do feixe no vaacutecuo ρ a diferenccedila de fase associada agrave actividade oacuteptica n o
iacutendice de refraccedilatildeo sem campo eleacutetrico aplicado Ey o campo eleacutectrico aplicado e
d a espessura do cristal na direccedilatildeo do campo eleacutectrico aplicado Destas equaccedilotildees
pode-se calcular o coeficiente electrooacuteptico r
Para o caso de φ pequenos
sen(φ2 )φ2
2
1 pelo que
ν2θ + ν2
θ+45 1 +(1minus δ
2
2
)2
(35)
Natildeo sendo nesta situaccedilatildeo necessaacuteria a actividade oacuteptica ρ Esta teacutecnica apre-
senta um erro de mediccedilatildeo de 10 a 15 em relaccedilatildeo ao valor tabelado
16
32 MEacuteTODOS POR INTERFEROMETRIA
32 Meacutetodos por Interferometria
321 Interferometria Oacuteptica
Quando duas ondas de uma mesma frequecircncia se sobrepotildeem num dado ponto
formam uma nova onda cuja amplitude eacute o resultado da soma da amplitude das
duas ondas iniciais em cada instante nesse ponto Quando a soma da duas ondas
resulta numa amplitude maior diz-se que houve interferecircncia construtiva quando
resulta numa amplitude inferior diz-se que ocorreu interferecircncia destrutiva
Supondo que uma das ondas tem a forma E1ei(φ1minuswt) e a outra forma E2e
i(φ2minuswt)
sendo E1 e E2 as amplitudes dos respetivos campos eleacutetricos φ1 e φ2 as fases
iniciais w a frequecircncia angular e t o tempo a onda resultante seraacute descrita por
[10]
ET = E1ei(φ1minuswt) +E2e
i(φ2minuswt) (36)
Se φ1 minusφ2 = 2Nπ com N = 012 entatildeo as duas ondas estaratildeo em fase e daacute-
se uma interferecircncia construtiva perfeita Se φ1 minusφ2 = (2N + 1)π e E1 = E2 entatildeo
as duas ondas estaratildeo em oposiccedilatildeo de fase e daacute-se uma interferecircncia destrutiva
completa Estas situaccedilotildees extremas encontram-se ilustradas na figura 32
Figura 32 Ilustraccedilatildeo de uma interferecircncia construtiva perfeita (a) e destrutivacompleta (b)
Matematicamente a coerecircncia eacute uma medida da correlaccedilatildeo entre as ondas
Quanto mais construtiva for a interferecircncia maior seraacute a coerecircncia Fisicamente
a coerecircncia eacute uma medida do quatildeo constante a diferenccedila de fase permanece entre
17
CAPIacuteTULO 3 MEDICcedilAtildeO DO EFEITO ELECTROOacutePTICO
as duas ondas A coerecircncia eacute usualmente medida num padratildeo de franjas de in-
terferecircncia atraveacutes da visibilidade de franja (ν) que pode ser experimentalmente
calculada atraveacutes de [10]
ν =Imax minus IminImax + Imin
= 1 coerecircncia total e contraste maacuteximo
0 lt ν lt 1 coerecircncia parcial
= 0 incoerecircncia total e contraste natildeo haacute franjas
(37)
Pode-se ver na Fig33 um exemplo da equaccedilatildeo 37 que representa a visibi-
lidade das franjas em funccedilatildeo da diferenccedila de fase entre duas ondas da mesma
frequecircncia que interferem Como a visibilidade das franjas depende da coerecircncia
das duas ondas qualquer diferenccedila iraacute traduzir-se numa diminuiccedilatildeo de visibili-
dade
Figura 33 Visibilidade num interferoacutemetro em funccedilatildeo da diferenccedila de fase entreduas ondas provenientes de ramos diferentes do interferoacutemetro (adaptado de[11])
Pode-se usar a interferometria para quantificar os efeitos electrooacutepticos natildeo
soacute linear mas tambeacutem o quadraacutetico (efeito de Kerr) Os interferoacutemetros mais
frequentemente utilizados para este efeito satildeo os interferoacutemetro de Michelson1 e1Albert Abraham Michelson foi um fiacutesico americano conhecido pela invenccedilatildeo do interferoacuteme-
tro de Michelson (1891) do seu trabalho na mediccedilatildeo da velocidade da luz e pelo seu trabalho naexperiecircncia de Michelson-Morley Em 1907 tornou-se o primeiro americano a receber o PreacutemioNobel da Fiacutesica
18
32 MEacuteTODOS POR INTERFEROMETRIA
o interferoacutemetro de Mach-Zehnder2
De salientar que as teacutecnicas interferomeacutetricas apresentam uma elevada sensibi-
lidade simplificaccedilatildeo na preparaccedilatildeo das amostras a estudar e uma menor sensibili-
dade a vibraccedilotildees mecacircnicas e a flutuaccedilotildees teacutermicas desde que estas ocorram com
a mesma intensidade em ambos os ramos do mesmo tamanho do interferoacutemetro
322 Interferoacutemetro de Mach-Zehnder
No interferoacutemetro de Mach-Zehnder (Fig 34) um separador de feixe divide o
feixe proveniente da fonte em dois feixes que vatildeo constituir os dois ramos do
interferoacutemetro o feixe-amostra e o feixe-referecircncia Ambos satildeo refletidos por um
espelho e ambos atravessam um novo separador de feixe antes de se juntarem de
novo e serem medidos nos detetores
Figura 34 Esquema de um interferoacutemetro de Mach-Zehnder (adaptado de [12])
Com os ramos agrave mesma distacircncia pode ainda observar-se que sem amostra
ambos os feixes vatildeo chegar em fase aos detetores havendo desta forma uma inter-
ferecircncia construtiva Ambos apresentaratildeo uma mudanccedila de fase correspondente
a λ devido ao facto de ambos sofrerem duas reflexotildees e uma transmissatildeo numa
placa de vidro(separador de feixe) ateacute chegarem aos detetores2Ludwig Zehnder foi um fiacutesico suiacuteccedilo e o inventor do interferoacutemetro de Mach-Zehnder Inter-
feroacutemetro esse depois aperfeiccediloado por Ludwig Mach
19
CAPIacuteTULO 3 MEDICcedilAtildeO DO EFEITO ELECTROOacutePTICO
Alterando o caminho oacuteptico do espelho do feixe-referecircncia em λ4 sem amos-
tra o feixe-amostra e o feixe-referecircncia vatildeo chegar com uma diferenccedila de fase de
λ2 ou seja vai haver uma interferecircncia destrutiva completa Isto porque o feixe-
referecircncia vai ter uma mudanccedila de fase de λ2 devido a uma reflexatildeo e duas trans-
missotildees provocadas pelos separadores de feixe Enquanto que o feixe-amostra
chegaraacute aos detetores com uma diferenccedila de fase de λ devido a duas reflexotildees
mais uma reflexatildeo com transmissatildeo no segundo separador de feixe Assim na
ausecircncia de amostra e desde que a diferenccedila de caminho oacuteptico ou retardaccedilatildeo
(δ) seja zero os feixes iratildeo interferir construtivamente [13]
Com a amostra colocada no caminho do feixe-amostra os feixes vatildeo chegar ao
detetor em diferentes situaccedilotildees de fase sendo possiacutevel determinar a diferenccedila de
fase provocada pela presenccedila da amostra
A intensidade do feixe (I) em ambos os detetores eacute descrita por [14]
I(δ) =12I(k)cos(2Nkδ) (38)
Com k o nuacutemero de onda (k = 2πλ) E fazendo δ = d com d = vt resulta
I(δ) =12I(k)cos(2Nk(vt)) (39)
323 Interferoacutemetro de Michelson
No interferoacutemetro do tipo Michelson um feixe de luz eacute dividido em dois que
percorrem caminhos diferentes para de seguida se recombinarem Apoacutes terem
percorrido caminhos diferentes o feixe resultante da recombinaccedilatildeo pode apresen-
tar um padratildeo de interferecircncia que depende da diferenccedila de caminhos oacutepticos
entre os feixes e que pode ser medido num detetor
A forma mais simples de implementar um interferoacutemetro de Michelson con-
siste em dois espelhos colocados entre si num plano perpendicular em que um
deles se pode mover na direccedilatildeo perpendicular agrave sua superfiacutecie refletora conforme
ilustrado na Fig35
Esse espelho iraacute movimentar-se num espaccedilo definido a uma velocidade cons-
tante Entre o espelho fixo e o espelho moacutevel estaacute um separador de feixe que
divide o feixe incidente inicial em dois de igual intensidade Aqui o feixe eacute parci-
almente refletido para um espelho e parcialmente transmitido para o outro
20
32 MEacuteTODOS POR INTERFEROMETRIA
Figura 35 Esquema de funcionamento de um interferoacutemetro de Michelson cominterferecircncia construtiva (a) e destrutiva (b) (adaptado de [15])
Assumindo que o separador de feixe eacute ideal e com uma reflectacircncia e transmi-
tacircncia de 50 se o espelho moacutevel se encontrar estacionaacuterio pode determinar-se
a intensidade do feixe num dado ponto do detetor Se a diferenccedila do caminho
oacuteptico ou retardaccedilatildeo (δ) for zero ou seja os espelhos estatildeo igualmente espaccedilados
do separador de feixe estes vatildeo percorrer a mesma distacircncia e interferir construti-
vamente pelo que a intensidade do feixe final eacute a soma das intensidades dos dois
feixes Nestas condiccedilotildees toda a luz que sai da fonte chega ao detetor
No caso do espelho moacutevel se deslocar uma distacircncia de λ4 a retardaccedilatildeo total
seraacute de λ2 pelo que os feixes estaratildeo desfasadas de 180ordm (π) Nestas condiccedilotildees ter-
se-aacute interferecircncia destrutiva completa na recombinaccedilatildeo dos feixes dando origem
agrave extinccedilatildeo total
Voltando a deslocar o espelho moacutevel de mais λ4 a diferenccedila do caminho
oacuteptico seraacute igual a λ e os dois feixes voltam a estar em fase havendo novamente
uma sobreposiccedilatildeo construtiva dos feixes
Com o espelho moacutevel a deslocar-se a uma velocidade constante o sinal do de-
tetor iraacute variar com uma forma perioacutedica sendo que atinge o seu maacuteximo quando
a retardaccedilatildeo (δ) for um muacuteltiplo inteiro de λ δ =Nλ
A expressatildeo da intensidade do feixe (I) no detector para o caso do interferoacute-
metro de Michelson eacute semelhante agrave equaccedilatildeo 38 para o interferoacutemetro de Mach-
Zehnder sendo que neste caso δ = 2d com d = vt jaacute que o feixe atravessa a
amostra duas vezes Nestas condiccedilotildees ter-se-aacute
I(δ) =12I(k)cos(4Nk(vt)) (310)
21
CAPIacuteTULO 3 MEDICcedilAtildeO DO EFEITO ELECTROOacutePTICO
22
Capiacutetulo
4Sistema Implementado
Este capiacutetulo descreve o sistema implementado para a mediccedilatildeo do coeficiente
electrooacuteptico usando a teacutecnica de interferoacutemetria de Michelson bem como a cali-
braccedilatildeo do mesmo
41 Interferoacutemetro
O sistema escolhido para a mediccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico baseia-se na teacutec-
nica de interferometria de Michelson (ver secccedilatildeo 323) onde se mediu a diferenccedila
de fase entre os ramos do interferoacutemetro Esta teacutecnica foi escolhida pela elevada
sensibilidade agrave diferenccedila de fase gerada entre os ramos do interferoacutemetro facili-
dade de preparaccedilatildeo das amostras e por ser menos sensiacutevel a vibraccedilotildees mecacircnicas
e a flutuaccedilotildees teacutermicas desde que estas ocorram com a mesma intensidade em
ambos os ramos do interferoacutemetro Para aleacutem das vantagens mencionadas e espe-
cificamente em comparaccedilatildeo com o interferoacutemetro mais usado o interferoacutemetro
do tipo Mach-Zehnder o interferoacutemetro de Michelson tem uma maior facilidade
de alinhamento dos espelhos e usa apenas um separador de feixe
A figura 41 esquematiza o sistema baseado no interferoacutemetro de Michelson
desenvolvido para a mediccedilatildeo do coeficiente eletrooacuteptico
23
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Figura 41 Esquematizaccedilatildeo do interferoacutemetro de Michelson e instrumentaccedilatildeoutilizada para a mediccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico em cristais
Como se pode ver no esquema da figura 41 o ramo do espelho vibrante fica
vazio enquanto que no ramo do espelho fixo se encontra a amostra entre dois
eleacutectrodos onde se aplicam um campo eleacutectrico E O sinal medido no detector
resulta da interferecircncia entre os feixes provenientes de cada ramo do interferoacute-
mentro dependendo da diferenccedila de fase entre os dois feixes Conforme referido
anteriormente a intensidade da luz (I) que chega ao detector eacute da ordem de [16]
I prop E21 +E2
2 + 2E1E2cos(∆φ) (41)
42 Electroacutenica Desenvolvida
421 Amplificador
Para o efeito electrooacuteptico se manisfestar eacute necessaacuterio aplicar-se uma tensatildeo eleacutec-
trica ao meio Uma vez que a tensatildeo de referecircncia fornecida pelo amplificador
lock-in utilizado eacute muito baixa para induzir efeito electrooacuteptico significativo por
volta dos 12V foi necessaacuterio construir um amplificador de tensatildeo (Fig 42)
24
42 ELECTROacuteNICA DESENVOLVIDA
Figura 42 Esquemaacutetico do amplificador de tensatildeo utilizado com base no ampli-ficador operacional LF356n
O amplificador construiacutedo conforme ilustra a figura 42 consiste numa mon-
tagem inversora de ganho variaacutevel com uma malha de controlo de offset e eacute
alimentado a plusmn12V
Assim o ganho G eacute determinado atraveacutes de
G = 1 +R2R1
(42)
Sendo R1 = 11kΩ R2 = 5kΩ R3 = 25kΩ e o amplificador em si utilizado foi
o LF356n
Obtendo-se desta forma um ganho de aproximadamente 55 Permitindo apli-
car uma tensatildeo de cerca de 66V ao cristal electrooacuteptico Uma vez que a tensatildeo
aplicada eacute baixa pode-se desprezar o efeito piezoeleacutectrico gerado na amostra e
que iria influenciar o valor do coeficiente electrooacuteptico medido
422 Gerador de Rampa
Para alimentar o excitador piezoeleacutectrico do espelho moacutevel foi utilizado um ge-
rador de sinais (Fig 43) de forma a induzir um deslocamento linear perioacutedico
na forma de rampa A frequecircncia de oscilaccedilatildeo cerca de 25Hz foi escolhida de
25
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
forma a ser suficientemente baixa para evitar fenoacutemenos de batimento com o sinal
de modulaccedilatildeo electrooacuteptico e suficientemente alta para que se consiga adquirir
dados em tempo uacutetil com uma tensatildeo variaacutevel entre os 4 e os 8V
Figura 43 Esquema eleacutectrico do gerador de rampa implementado baseado nocircuito temporizador NE555
Sendo R1 = 20kΩ R2 = 1kΩ e C1 = C2 = 47microF
O tempo de subida da rampa t1 eacute dado por
t1 = 0693(R1 +R2)C1 (43)
Enquanto que o tempo de descida t2 eacute
t2 = 0693R2C1 (44)
Obtendo assim um tempo de subida de 036s e um tempo de descida de 0033s
Assim a frequecircncia do gerador de rampa f seraacute dada por
f =1
t1 + t2=
144(R1 + 2R2)C1
(45)
O gerador de rampa foi construiacutedo aproveitando o espaccedilo livre no interior da
unidade de amplificaccedilatildeo onde se situa o amplificador
26
42 ELECTROacuteNICA DESENVOLVIDA
423 Seguidor de Tensatildeo
Devido agrave necessidade de acoplamento de impedacircncias entre o amplificador lock-
in e o osciloacutescopio natildeo foi possiacutevel a utilizaccedilatildeo de um repartidor coaxial que
repartisse o sinal proveniente do detector Assim de forma a se poder visuali-
zar o sinal proveniente do detector em simultacircneo com o sinal electrooacuteptico foi
necessaacuterio a construccedilatildeo de um seguidor de tensatildeo (Fig44)
Figura 44 Esquema do seguidor de tensatildeo utilizado construida com base nosamplifacores operacionais LF356n
Sendo que ambos os circuitos integrados foram alimentados por uma tensatildeo
positiva (V+) de 12V e uma negativa (Vminus) de minus12V Com R1 = R2 = 25kΩ Agrave
semelhanccedila do amplificador foi tambeacutem construida uma malha de controlo de
offset
Agrave semelhanccedila do gerador de rampa tambeacutem foi construido na unidade de
amplificaccedilatildeo e gerador de rampa como se pode ver na figura 45
27
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Figura 45 Imagem da unidade de amplificaccedilatildeo e geraccedilatildeo de rampa implemen-tada
43 Sistema Oacuteptico Desenvolvido
431 Espelho Vibrante
O espelho vibrante (Fig46) foi construiacutedo afixando um espelho a um disco pie-
zoeleacutectrico A vibraccedilatildeo do espelho iraacute fazer com que a distacircncia entre o divisor
de feixe e o espelho varie Fazendo deslocar a franja de interferecircncia em frente ao
detector permitindo a este medir as intensidades maacuteximas e miacutenimas das franjas
de interferecircncia (ver secccedilatildeo 323)
Figura 46 Imagem do espelho vibrante utilizado
28
43 SISTEMA OacutePTICO DESENVOLVIDO
432 Bancada Oacuteptica
De forma a colocar os componentes ao niacutevel do feixe do laser na mesa oacuteptica e a
tornar o sistema menos sensiacutevel a vibraccedilotildees mecacircnicas e flutuaccedilotildees teacutermicas os
componentes foram colocadas numa base quadrada de alumiacutenio
Figura 47 Imagem da bancada oacuteptica onde o interferoacutemetro de Michelson foiconstruiacutedo
Conforme se pode ver na figura 47 para completar o interferoacutemetro de Michel-
son para aleacutem dos componentes jaacute referidos foram ainda utilizados um separador
de feixe e um espelho (fixo) no suporte com uma lente oacuteptica agrave saiacuteda do mesmo
Faltando ainda o laser utilizado da Melles Griotreg que possui uma potecircncia de
635mW e um comprimento de onda de 6328nm
433 Detector
O detector utilizado foi um modelo 818-UVDB da Newport Corporationreg (Fig
48) de baixa potecircncia consistindo num fotodiacuteodo de siliacutecio capaz de operar entre
os 200 e os 1100nm As caracteriacutesticas principais deste detector encontram-se
listadas na tabela 433
29
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Tabela 41 Caracteriacutesticas principais do detector 818-UVDB [17]
Largura de Banda 200 a 1100(nm) Material Siliacutecio
Potecircncia
W λ(nm)
Incerteza de
λ(nm)
02 200 a 4008 200 a 219
Maacutexima Calibraccedilatildeo 2 220 a 349
005 400 a 11001 350 a 9494 950 a 1050
Densidade de02Wcm2 Aacuterea Activa 1cm2
Potecircncia Meacutedia
Energia Maacutexima05microJ
Diacircmetro113cm
de Pulso Activo
De forma a evitar que a luz ambiente interferisse nas medidas e para aumen-
tar a resoluccedilatildeo de mediccedilatildeo do perfil da franja de interferecircncia foi colocado um
diafragma com uma abertura no centro de 06mm conforme se pode ver na figura
48 reduzido desta maneira a aacuterea activa para 028 mm2
Figura 48 Imagem do detector e disco utilizado
Para a aquisiccedilatildeo do sinal electrooacuteptico e geraccedilatildeo de sinal electrooacuteptico de
referecircncia foi utilizado um osciloscoacutepio Lecroy Wavesufertrade422
30
43 SISTEMA OacutePTICO DESENVOLVIDO
434 Cristal Electrooacuteptico
Para a calibraccedilatildeo do sistema foi utilizado um cristal padratildeo de dihidrogenofosfato
de potaacutessio (KDP) Na tabela 42 pode-se observar algumas das propriedades
fiacutesicas desse cristal
Tabela 42 Propriedades fiacutesicas do cristal padratildeo KDP [18]
Material Simetria Densidade Classe Higroscopicidade
KDP Tetragonal (42m) 234gcm3 Uniaxial Higroscoacutepico
Uma vez que o cristal eacute uniaxial nx = ny = no e nz = ne sendo no e ne os
iacutendices de refraccedilatildeo ordinaacuterio e extraordinaacuterio do cristal KDP A figura 49 ilustra
o elipsoiacutede de iacutendices num cristal padratildeo KDP
Figura 49 Ilustraccedilatildeo de um cristal padratildeo KDP e seu respectivo elipsoiacutede deiacutendices
31
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Na Tabela 43 pode-se observar algumas das propriedades oacutepticas do cristal
padratildeo KDP
Tabela 43 Propriedades oacutepticas do cristal padratildeo KDP a 6328nm [7]
Material Foacutermula Quiacutemica Iacutendice de RefracccedilatildeoCoeficiente
Electrooacuteptico
KDPKH2PO4
no=15074 r41=86 pmV(λ = 6328nm) ne=14673 r63=106 pmV
Como se pode ver na tabela 42 o cristal do tipo KDP eacute higroscoacutepico sendo
assim necessaacuterio reduzir ao maacuteximo o contacto entre o cristal e a atmosfera para
evitar que as suas faces fiquem opacas interferindo assim na qualidade do feixe
transmitido
435 Porta Amostras
O porta amostras eacute constituiacutedo por uma base feita de latatildeo (Fig 410) onde se
coloca o cristal nivelado com o feixe laser Este suporte possui oito roscas para
parafusos M3 quatro em cima de forma a se fixar os encaixes laterais do porta
amostras e quatro em baixo de forma a afixar-se firmemente na bancada oacuteptica
Figura 410 Imagem da base do porta-amostras desenvolvido
32
43 SISTEMA OacutePTICO DESENVOLVIDO
De forma a aplicar-se a tensatildeo de excitaccedilatildeo ao cristal sem bloquear o feixe do
laser foram utilizadas duas placas de vidro com oacutexido de estanho dopado com
fluacuteor (FTO) Este permite que haja uma boa transparecircncia e conduccedilatildeo eleacutetrica
sendo usado em vaacuterios tipos de dispositivos como aplicaccedilotildees opto-eletroacutenicas
ecratildes touch screen filmes finos fotovoltaicos etc O oacutexido de estanho dopado
com fluacuteor [19] eacute reconhecido por ser altamente estaacutevel quimicamente inerte re-
siste a temperaturas elevadas e ao desgaste abrasivo sendo mais econoacutemico do
que o tradicional oacutexido de iacutendio e estanho (ITO)
De forma a garantir um bom contacto eleacutectrico entre o vidro FTO e o cristal
foram construidas duas peccedilas de afixaccedilatildeo idecircnticas (Fig 411) Trata-se de duas
peccedilas de alumiacutenio cada uma contendo uma abertura de forma a deixar passar
o feixe laser e dois rasgos para parafusos de forma a poder-se fixar no suporte e
desta maneira exercer uma pressatildeo constante sobre o cristal
Figura 411 Imagem das peccedilas de fixaccedilatildeo do cristal desenvolvidas com a vista defrente (a) e a vista de traacutes (b)
A ligaccedilatildeo eleacutectrica entre o sinal de referecircncia proveniente do amplificador ao
vidro FTO foi feita atraveacutes de uma cola condutora de prata de forma a assegurar
a ligaccedilatildeo oacutehmica entre o fio de cobre e a camada de FTO O cristal fica assim entre
duas placas de vidro FTO(Fig412)
33
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Figura 412 Imagem do porta Amostras desenvolvido
A figura 413 ilustra o sistema desenvolvido incluindo a bancada oacuteptica e
instrumentaccedilatildeo
Figura 413 Imagem do sistema desenvolvido para a mediccedilatildeo do efeito electrooacutep-tico
34
44 COEFICIENTE ELECTROOacutePTICO
44 Coeficiente Electrooacuteptico
Para o cristal utilizado o dihidrogenofosfato de potaacutessio (KDP) e para o efeito
electrooacuteptico linear a matriz de coeficientes electrooacutepticos eacute a seguinte
rij =
0 0 0
0 0 0
0 0 0
r41 0 0
0 r52 0
0 0 r63
com
i = 1 6
j = 123
Sendo que r41 = r52 pelo que existem apenas dois coeficientes independentes
o r41 e o r63
Usando a notaccedilatildeo condensada mencionada da secccedilatildeo 21 onde se aplica o
campo eleacutectrico (E) no plano do i (sendo i = m) enquanto que j eacute o eixo oacuteptico
Para o caso do KDP eacute costume utilizar o r63 Isto eacute aplicar o campo eleacutectrico nos
planos 12 ou 21 (ou seja i = 6) com o eixo oacuteptico no eixo 3 (j = 3) como demonstra
a figura 414
Figura 414 Ilustraccedilatildeo da configuraccedilatildeo utilizada para a mediccedilatildeo do coeficienter63 num cristal
35
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Para o caso do efeito electrooacuteptico quadraacutetico a matriz dos coeficientes elec-
trooacutepticos seraacute
sij =
s11 s12 s12 0 0 0
s12 s11 s12 0 0 0
s12 s12 s11 0 0 0
0 0 0 s11 minus s12 0 0
0 0 0 0 s11 minus s12 0
0 0 0 0 0 s11 minus s12
com i j = 1 6
45 Execuccedilatildeo Experimental
Para se medir o coeficiente electrooacuteptico aplica-se ao cristal uma tensatildeo com uma
frequecircncia de 2kHz frequecircncia essa que se revelou menos sensiacutevel aos ruiacutedos
ambientes sendo que o sinal electrooacuteptico teraacute a mesma frequecircncia Podendo-
se desta maneira atraveacutes de um amplificador de lock-in (modelo 393 da IthacoDynatrac) filtrar o sinal electrooacuteptico dos restantes sinais uma vez que a sua
frequecircncia eacute conhecida
A intensidade da equaccedilatildeo 41 eacute maacutexima quando cos(∆φ) = 1 e miacutenima quando
cos(∆φ) = minus1 Pelo que subtraindo estas duas equaccedilotildees
Imax minus Imin = 4E1E2 (46)
Assim combinando a equaccedilatildeo 41 com a equaccedilatildeo 46 obtem-se
I prop E21E
22 +
12
(Imax minus Imin)cos(∆φ) (47)
Juntando agora a equaccedilatildeo 246 agrave equaccedilatildeo 247 e tendo em conta que o feixe
passa duas vezes por cada ramo (=2l) a diferenccedila de fase para o efeito electrooacutep-
tico linear
∆φ = ∆φ0 +πrn3
oVoλ
2lh
cos(Ωt) (48)
Sendo ∆φ0 a diferenccedila de fase inicial sem o efeito electrooacuteptico
36
45 EXECUCcedilAtildeO EXPERIMENTAL
Substituindo o ∆φ da equaccedilatildeo 48 na equaccedilatildeo 47 a intensidade do sinal com
modulaccedilatildeo electrooacuteptica(Iseo) seraacute dado por
Iseo prop E21 +E2
2 +12
(Imax minus Imin)cos(∆φ0 +
πrn3oVoλ
2lh
cos(Ωt))
(49)
Usando cos(α plusmn β) = cos(α)cos(β)∓ sen(α) sen(β) e D = πrn3oVoλ
2lh fica-se com
Iseo prop E21 +E2
2+12
(Imax minus Imin)
[cos(∆φ0)cos(Dcos(Ωt)) minus sen(∆φ0) sen(D cos(Ωt))](410)
Como a modulaccedilatildeo electrooacuteptica eacute um efeito muito pequeno a equaccedilatildeo 410
pode-se escrever
Iseo asymp E21 +E2
2 +12
(Imax minus Imin) [cos(∆φ0)minusD cos(Ωt) sen(∆φ0)] (411)
Considerando soacute os termos de primeira ordem
Iseo asymp12
(Imax minus Imin) [cos(∆φ0)minusD cos(Ωt) sen(∆φ0)] (412)
A componente do sinal electrooacuteptico eacute entatildeo dado por
Iseo =12
(Imax minus Imin)D cos(Ωt) sen(∆φ0) (413)
Ou seja
Iseo =12
(Imax minus Imin)πrn3
oVoλ
2lh
cos(Ωt) sen(∆φ0) (414)
O acircngulo ∆φ0 varia linearmente com o tempo (t) a uma frequecircncia inferior
a Ω A franja de interferecircncia desloca-se continuamente em frente ao detector
devido a um dos espelho estar fixado num disco piezoeleacutectrico
37
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Na figura 415 pode-se ver uma exemplificaccedilatildeo do sinal no detector que incor-
pora o sinal da franja e electrooacuteptico dada pela equaccedilatildeo 414
Figura 415 Ilustraccedilatildeo do sinal de modulaccedilatildeo electrooacuteptica de um feixe de luzmedido num interferoacutemetro de Michelson
Uma vez que o sinal electrooacuteptico (cos(Ωt)) estaacute desfasado π2 do sinal da
franja ( sen(∆φ0)) A intensidade do sinal electrooacuteptico pode ser escrita como
Iseo asymp12
(Imax minus Imin)πrn3
oVoλ
2lh
∣∣∣ sen(∆φ0)∣∣∣ (415)
Assim a amplitude do sinal electrooacuteptico eacute
Iseo =12
(Imax minus Imin)πrn3
oVoλ
2lh
(416)
Pelo que o coeficiente electrooacuteptico linear seraacute dado por
r =|Iseo|
|Imax minus Imin|λ
πn3oVo
hl
(417)
38
46 RESULTADOS
Para o efeito electrooacuteptico quadraacutetico utilizando o procedimento anoacutelogo mas
a partir da equaccedilatildeo 248 em vez da equaccedilatildeo 247 O sinal electrooacuteptico quadraacutetico
Iseoq que ocorre ao dobro da frequecircncia de modulaccedilatildeo 2Ω eacute dado por
s =
∣∣∣Iseoq∣∣∣|Imax minus Imin|
2λ
πn3oV
2o
h2
l(418)
46 Resultados
Com o cristal de KDP devidamente alinhado no interferoacutemetro segundo o seu
eixo oacuteptico de maneira a se medir o coeficiente r63 Obtendo-se assim dois sinais
o sinal de franja e o sinal electrooacuteptico (Fig 416)
Figura 416 Padratildeo da franja produzida (a) e respectivos sinais de franja e elec-trooacuteptico obtidos para um cristal KDP padratildeo
De forma a se proceder a calibraccedilatildeo do sistema utilizou-se a equaccedilatildeo 417 na
forma
|Iseo||Imax minus Imin|
=πn3
o
λlhrVo (419)
39
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Usando o valor da razatildeo |Iseo ||ImaxminusImin|
em funccedilatildeo do potencial aplicado Vo pode-se
calcular o valor do coeficiente electrooacuteptico r atraveacutes do declive da recta obtida
Pode-se ver na figura 417 uma das rectas obtidas para o cristal utilizado na
calibraccedilatildeo do sistema
Figura 417 Razatildeo entre o sinal electrooacuteptico e a diferenccedila de intensidade defranjas em funccedilatildeo do potencial Vo aplicado ao cristal
A tabela 44 apresenta o valor do coeficiente electrooacuteptico obtido e respectiva
incerteza para o cristal de KDP tomando em conta os valores dos iacutendices de
refraccedilatildeo da tabela 43
Tabela 44 Valores e respectivas incertezas obtidas do coeficiente electrooacutepticopara o cristal KDP utilizado
Material Valor Padratildeo Valor Obtido Erro
KDPr63 = 106pmV r63 = 105plusmn 02pmV 1
(λ = 6328nm)
Como se pode ver na tabela 44 o resultado obtido situa-se muito proacuteximo
do teoacuterico encontrando-se dentro da incerteza obtida Os valores valores meacutedios
apresentam um desvio da ordem dos 02pmV
40
46 RESULTADOS
Apesar dos valores obtidos serem bastante positivos houve algumas dificul-
dades nomeadamente o vidro FTO que causou que o alinhamento fosse extrema-
mente complicado natildeo soacute pela sua espessura e dimensionamento como tambeacutem
pela refraccedilatildeo provocada no feixe laser Outro grande obstaacuteculo foi o alinhamento
do cristal uma vez que basta um ligeiro desvio no caminho oacuteptico para causar um
desalinhamento total algo que eacute agravado no interferoacutemetro do tipo Michelson
pelo facto de o feixe laser passar na amostra duas vezes
Apesar destas dificuldades o valor obtido para o coeficiente electrooacuteptico r63
foi de 105pmV valor esse muito proacuteximo do valor padratildeo da literatura que se
encontra nos 106pmV Assim pode-se considerar que o sistema desenvolvido
se encontra devidamente calibrado e pronto para futuras utilizaccedilotildees
41
Capiacutetulo
5Conclusotildees
O trabalho desenvolvido no decorrer desta dissertaccedilatildeo consistiu no desenvolvi-
mento de um sistema para a mediccedilatildeo do efeito electrooacuteptico aacuterea a ser ulilizada
na caracterizaccedilatildeo de novos materiais polimeacutericos para aplicaccedilatildeo em dispositivos
fotoacutenicos
Nesta conformidade foi desenhada construiacuteda e testado uma bancada oacuteptica
destinada agrave mediccedilatildeo do efeito electrooacuteptico baseado numa teacutecnica interferomeacute-
trica de mediccedilatildeo da diferenccedila de fase implementado atraveacutes de um interferoacutemetro
do tipo Michelson
O cristal escolhido para a calibraccedilatildeo do sistema desenvolvido foi um cristal de
KDP comercial tendo sido utilizado o coeficiente electrooacuteptico r63 como referecircn-
cia sendo o valor padratildeo de 106pmV
O sistema obtido permitiu medir um valor nominal de 105plusmn 02pmV com
um erro de aproximadamente 1 em relaccedilatildeo ao valor tabelado comprovando a
afericcedilatildeo do sistema para a mediccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico por transmissatildeo
O sistema desenvolvido estaacute portanto apto para futuras mediccedilotildees sendo ape-
nas necessaacuterio algumas alteraccedilotildees no porta-amostras mediante as dimensotildees e
forma da amostra a utilizar
Chegou-se ainda agrave conclusatildeo que para amostras como o cristal utilizado o
feixe laser passar duas vezes na amostra acaba por ser uma grande desvantagem
desvantagem essa inexistente para filmes polimeacutericos que ganham cada vez mais
importacircncia na aacuterea da fotoacutenica uma vez que satildeo materiais de grande interesse
cientiacutefico e tecnoloacutegico jaacute que podem ser utilizados no desenvolvimento de dispo-
sitivos oacutepticos nomeadamente moduladores de luz e memoacuterias oacutepticas
43
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46
Apecircndice
AApecircndice
A1 Desenhos Teacutecnicos
47
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311
23
35
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- Lista de Figuras
- Lista de Tabelas
- Introduccedilatildeo
- Efeito Electrooacuteptico
-
- Oacuteptica Natildeo-Linear
- Propagaccedilatildeo em Meios Anisotroacutepicos
-
- Vector de Poynting
- Elipsoiacutede dos Iacutendices
- Coeficientes Natildeo-Lineares
-
- Mediccedilatildeo do Efeito Electrooacuteptico
-
- Meacutetodo Tradicional
- Meacutetodos por Interferometria
-
- Interferometria Oacuteptica
- Interferoacutemetro de Mach-Zehnder
- Interferoacutemetro de Michelson
-
- Sistema Implementado
-
- Interferoacutemetro
- Electroacutenica Desenvolvida
-
- Amplificador
- Gerador de Rampa
- Seguidor de Tensatildeo
-
- Sistema Oacuteptico Desenvolvido
-
- Espelho Vibrante
- Bancada Oacuteptica
- Detector
- Cristal Electrooacuteptico
- Porta Amostras
-
- Coeficiente Electrooacuteptico
- Execuccedilatildeo Experimental
- Resultados
-
- Conclusotildees
- Bibliografia
- Apecircndice
-
- Desenhos Teacutecnicos
-
Lista de Siacutembolos
~S - Vector de Poynting
ε - Permissidade eleacutectrica
micro - Permeabilidade eleacutectrica
λ - Comprimento de onda
φ - Fase
ν - Visibilidade
δ - Retardaccedilatildeo
Ω - Frequecircncia de modulaccedilatildeo
χ(1) - Suscetibilidade eleacutectrica linear
χ(2) - Suscetibilidade eleacutectrica de segunda ordem
χ(3) - Suscetibilidade eleacutectrica de terceira ordem
ε0 - Permissidade eleacutectrica do vazio
B - Campo magneacutetico
D - Deslocamento eleacutectrico
E - Campo eleacutectrico
I - Intensidade
P - Polarizaccedilatildeo
Vo - Potencial eleacutectrico
c - Velocidade da luz no vazio
h - Distacircncia entre os eleacutetrodos
xvii
LISTA DE SIacuteMBOLOS
k - Nuacutemero de onda
l - Caminho percorrido pela luz num meio
n - Iacutendice de refraccedilatildeo
ne - Iacutendice de refraccedilatildeo extraordinaacuterio
no - Iacutendice de refraccedilatildeo ordinaacuterio
r - Coeficiente electrooacuteptico linear
s - Coeficiente electrooacuteptico quadraacutetico
u - Densidade de energia
w - Frequecircncia angular
xviii
Capiacutetulo
1Introduccedilatildeo
A fibra oacuteptica eacute hoje amplamente utilizada nas redes de telecomunicaccedilatildeo em subs-
tituiccedilatildeo dos tradicionais cabos eleacutectricos por permitir transportar uma grande
quantidade de informaccedilatildeo a alta velocidade e com perdas reduzidas sem ser
afetada pelo ruiacutedo eletromagneacutetico Por outro lado a transmissatildeo de informaccedilatildeo
atraveacutes da fibra oacuteptica requer o desenvolvimento de dispositivos capazes de pro-
cessar sinal oacuteptico tais como amplificadores comutadores e moduladores de luz
Eacute aqui que o efeito electrooacuteptico assume um papel de relevo jaacute que possibilita a
modulaccedilatildeo de luz a frequecircncias da ordem do gigahertz [1 2 3]
O efeito electrooacuteptico tambeacutem conhecido por efeito de Pockels1 consiste na
variaccedilatildeo do iacutendice de refraccedilatildeo de um meio quando a este eacute aplicado um campo
eleacutetrico externo Esta alteraccedilatildeo no iacutendice de refraccedilatildeo eacute o resultado de forccedilas elec-
trostaacuteticas que deformam as moleacuteculas (alteraccedilatildeo de posiccedilatildeo orientaccedilatildeo ou forma)
do meio que estaacute na origem de uma alteraccedilatildeo no momento dipolar Distinguem-
se dois tipos de efeito eletrooacuteptico o linear (efeito Pockels) e o quadraacutetico (efeito
Kerr2)
O efeito de Pockels estaacute na origem da criaccedilatildeo de uma birrefringecircncia ∆n
no meio oacuteptico proporcional ao campo eleacutetrico aplicado Este efeito observa-se
1Friedrich Carl Alwin Pockels foi um fiacutesico alematildeo que em 1893 descobriu que se for aplicadoum campo eleacutectrico estaacutevel a certos materiais birrefrigentes estes vatildeo sofrer uma variaccedilatildeo noiacutendice de refraccedilatildeo proporcional agrave forccedila do campo aplicado Este coeficiente de proporcionalidadeestaacute entre os 10times 10minus10V minus1 e os 10times 10minus12V minus1 Ficando este fenoacutemeno conhecido como Efeito dePockels
2John Kerr foi um fiacutesico escocecircs e um pioneiro no campo da electro-oacuteptica nomeadamentepelo efeito de Kerr em 1875 que consiste numa variaccedilatildeo do iacutendice de refraccedilatildeo que varia quadraacuteti-camente com o campo eleacutetrico aplicado
1
CAPIacuteTULO 1 INTRODUCcedilAtildeO
apenas em meios em que a sua estrutura natildeo apresenta centro de simetria
No efeito de Kerr a variaccedilatildeo no iacutendice de refraccedilatildeo do meio eacute proporcional ao
quadrado do campo eleacutetrico aplicado e portanto proporcional agrave intensidade da
luz e ao contraacuterio do efeito de Pockels ocorre dum modo geral como mais ou
menos intensidade em todos os materiais
O conhecimento das propriedades electrooacutepticas de um material eacute fundamen-
tal na avaliaccedilatildeo das suas capacidades para o desenvolvimentos de dispositivos
moduladores de luz O presente trabalho de dissertaccedilatildeo consistiu no desenvolvi-
mento de uma bancada oacuteptica para a mediccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico base-
ado em teacutecnica interferomeacutetrica de mediccedilatildeo da diferenccedila de fase induzida por
efeito eletrooacuteptico
Neste trabalho seraacute inicialmente descrita a teoria e os caacutelculos necessaacuterios
para a mediccedilatildeo do efeito electrooacuteptico atraveacutes dos seus coeficientes natildeo-lineares
Sendo de seguida apresentados alguns sistemas de mediccedilatildeo deste efeito e o seu
respectivo funcionamento No capiacutetulo seguinte seraacute descrito o funcionamento
do sistema desenvolvido o interferoacutemetro implementado o porta-amostras cons-
truiacutedo a eletroacutenica e os sistemas oacutepticos desenvolvidos que integram o sistema
bem como os caacutelculos finais para a obtenccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico do sis-
tema usado Por uacuteltimo as conclusotildees retiradas do trabalho desenvolvido bem
como as suas perspectivas futuras
2
Capiacutetulo
2Efeito Electrooacuteptico
Este capiacutetulo aborda do ponto de vista teoacuterico alguns aspectos relevantes para a
realizaccedilatildeo deste trabalho nomeadamente a propagaccedilatildeo da luz num meio as pro-
priedades da oacuteptica natildeo-linear e a alteraccedilatildeo no iacutendice de refraccedilatildeo linear em meios
anisotroacutepicos Estes conceitos permitiratildeo encontrar as expressotildees que determinam
os coeficientes natildeo-lineares
21 Oacuteptica Natildeo-Linear
Um dado material pode responder de forma natildeo-linear a um campo eleacutectrico
aplicado De um modo geral pode-se descrever a resposta da seguinte forma[4]
Pi = ε0
[χ
(1)ij Ej +χ(2)
ijkEjEk +χ(3)ijklEjEkEl +χ(N )
middotmiddotmiddot middot middot middot]
(21)
Onde P i eacute a polarizaccedilatildeo do meio ε0 eacute a permissidade eleacutectrica no vaacutecuo E
o campo eleacutectrico aplicado χ(1) a suscetibilidade eleacutectrica linear e χ(2) χ(3)
χ(n) as suscetibilidades natildeo lineares de segunda ordem de terceira ordem ateacute
N ordem sendo N um nuacutemero inteiro com i j k l um sistema de eixos de
laboratoacuterio com valores valores 1 2 e 3
Cada termo da equaccedilatildeo 21 estaacute associado a diferentes respostas do meio O
termo χ(1) estaacute associado ao iacutendice de refraccedilatildeo e absorccedilatildeo linear O termo χ(2) agrave
geraccedilatildeo de segunda harmoacutenica soma e diferenccedila de frequecircncias e o efeito elec-
trooacuteptico linear ou efeito de Pockels Este efeito eacute particularmente importante
3
CAPIacuteTULO 2 EFEITO ELECTROOacutePTICO
jaacute que permite a modulaccedilatildeo da luz De salientar que o tensor de terceira ordem
(χ(2)ijk) se reduz a dezoito elementos atendendo agraves simetrias resultantes de permu-
tas de iacutendices jaacute que χ(2)ijk = χ
(2)ikj = χ
(2)kij = χ
(2)jik = χ
(2)jki = χ
(2)kji Pode-se desta forma
representar atraveacutes da matriz
χ(2)ij =
χ
(2)11 χ
(2)12 χ
(2)13 χ
(2)14 χ
(2)15 χ
(2)16
χ(2)21 χ
(2)22 χ
(2)23 χ
(2)24 χ
(2)25 χ
(2)26
χ(2)31 χ
(2)32 χ
(2)33 χ
(2)34 χ
(2)35 χ
(2)36
Utilizando uma notaccedilatildeo condensada[5] ficamos com
χ(2)ijk = χ(2)
mk = com m =
1 quando ij = 11
2 quando ij = 22
3 quando ij = 33
4 quando ij = 2332
5 quando ij = 1331
6 quando ij = 1221
De notar que dependendo do meio soacute alguns dos elementos de χ(2)ijk seratildeo natildeo
nulos Para materiais que exibam centro de simetria o efeito electrooacuteptico linear
natildeo existe de todo sendo os elementos de χ(2)ijk nulos
O elemento χ(3) estaacute associado agrave geraccedilatildeo da terceira harmoacutenica soma e dife-
renccedila de frequecircncias e o efeito electrooacuteptico quadraacutetico ou efeito de Kerr que se
manifesta na variaccedilatildeo do iacutendice de refraccedilatildeo com o quadrado do campo eleacutectrico
aplicado
De salientar ainda que quanto maior o valor de ordem n mais difiacutecil se torna
observar os efeitos associados uma vez que estes se tornam cada vez menos inten-
sos
4
22 PROPAGACcedilAtildeO EM MEIOS ANISOTROacutePICOS
22 Propagaccedilatildeo em Meios Anisotroacutepicos
A propagaccedilatildeo de uma onda electromagneacutetica num meio pode ser descrita pelas
equaccedilotildees de Maxwell1 Para o caso de um meio homogeacuteneo isolante e neutro
pode-se escrever como
nabla middot ~E = 0 (22a)
nabla middot ~B = 0 (22b)
nablatimes ~E = minuspart~Bpartt
(22c)
nablatimes ~B = microεpart~Epartt
(22d)
Sendo ~B o campo magneacutetico ~E o campo eleacutectrico ε e micro a permissidade eleacutectrica
e permeabilidade magneacutetica do meio respectivamente
Tendo em conta que para um vector ~D geneacuterico
nablatimesnablatimes ~D = nabla(nabla middot ~D
)minusnabla2 ~D (23)
e
nablatimespart~Dpartt
=partnablatimes ~Dpartt
(24)
Comeccedilando pela equaccedilatildeo 22c
nablatimesnablatimes ~E = nablatimespart~Bpartt
(25)
Usando as propriedades matemaacuteticas das equaccedilotildees 23 e 24
nabla(nabla middot ~E
)minusnabla2~E =
partnablatimes ~Bpartt
(26)
Utilizando as equaccedilotildees 22a e 22d na equaccedilatildeo 26 verifica-se que
nabla2~E = microεpart2~E
partt2(27)
1James Clerk Maxwell foi um cientista escocecircs mais conhecido por ter combinado as teoriasdos campos da oacuteptica do magnetismo e da electricidade numa soacute e uacutenica teoria dando assimorigem as chamadas equaccedilotildees de Maxwell
5
CAPIacuteTULO 2 EFEITO ELECTROOacutePTICO
Obtendo-se desta maneira a equaccedilatildeo de onda para o campo eleacutectrico Analo-
gamente mas comeccedilando com a equaccedilatildeo 22d obteacutem-se para o campo magneacutetico
nabla2~B = microεpart2~B
partt2(28)
A sua velocidade de propagaccedilatildeo eacute dada por
v =1radicmicroε
(29)
Sendo que no vazio micro = micro0 e ε = ε0 o que resulta em v = c 3times 108ms
Resolvendo as equaccedilotildees 27 e 28 obtecircm-se as expressotildees para os campos eleacutec-
tricos e magneacuteticos que se propagam no meio
~E (~r t) = ~E0ei(~kmiddot~rminuswt
)(210)
e
~B (~r t) = ~B0ei(~kmiddot~rminuswt
)(211)
Onde ~r eacute o vector posiccedilatildeo ~k eacute o vector de onda que segue a direccedilatildeo de pro-
pagaccedilatildeo da onda w a frequecircncia angular e t o tempo Sendo que a parte real das
equaccedilotildees representa os seus respectivos campos A magnitude do vector ~k pode
ser escrita da seguinte maneira
k =2πλ
=wv
=wnc
(212)
Em que k eacute o nuacutemero de onda λ o comprimento de onda e n o iacutendice de
refraccedilatildeo
Escrevendo a parte real das equaccedilotildees 210 e 211 fica-se com
E = E0 cos(kr minuswt) (213)
e
B = B0 cos(kr minuswt) (214)
Manipulando a equaccedilatildeo 22c obtem-se
partEpartx
= minuspartBpartt
(215)
6
22 PROPAGACcedilAtildeO EM MEIOS ANISOTROacutePICOS
Utilizando a equaccedilatildeo 215 nas equaccedilotildees 213 e 213
kE0 = wB0 (216)
Usando a equaccedilatildeo 212 na equaccedilatildeo 216 verifica-se que
B0 =E0
v(217)
221 Vector de Poynting
O fluxo de energia (Wm2) dado pelo vector de Poynting2 (~S) pode ser escrito da
seguinte forma
~S =1micro~E times ~B (218)
A densidade de energia eleacutectrica ou a energia eleacutectrica armazenada por uni-
dade de volume (joulem3) a quantidade de energia contida num dado sistema
em relaccedilatildeo ao seu volume seraacute dada por
uE =12εE2 (219)
Agrave semelhanccedila da densidade de energia eleacutectrica a densidade de energia mag-
neacutetica (uB) eacute
uB =1
2microB2 (220)
Assim somando as equaccedilotildees 219 e 220 obtem-se a densidade de energia
total de uma onda electromagneacutetica
u =12εE2 +
12microB2 (221)
2John Henry Poynting foi um fiacutesico britacircnico autor de diversos trabalhos entre os quais um te-orema no qual se atribui um valor agrave taxa de fluxo de energia electromagneacutetica que ficou conhecidocomo vector de Poynting
7
CAPIacuteTULO 2 EFEITO ELECTROOacutePTICO
Substituindo as equaccedilotildees 29 e 217 na equaccedilatildeo 221 pode-se escrever a densi-
dade de energia total de uma onda electromagneacutetica num dado meio da seguinte
forma
u = εE2 (222)
Relacionando-se desta forma a densidade de energia com o campo eleacutectrico
De salientar que o campo magneacutetico e o campo eleacutectrico estatildeo relacionados atra-
veacutes da equaccedilatildeo 217
Considerando uma secccedilatildeo de aacuterea A (Fig 21) de um cubo com ∆x de lado
Figura 21 Cubo com secccedilatildeo de aacuterea A e ∆x de lado
A energia armazenada no cubo ou densidade de energia eacute igual a
∆U = uA∆x (223)
Sendo que a energia que atravessa a aacuterea A por unidade de tempo eacute
∆U∆t
=uA∆x∆xv
= uAv (224)
Assim a energia por unidade de tempo e aacuterea (Wm2) eacute igual a
uv = S (225)
Combinando a equaccedilatildeo 225 com a equaccedilatildeo 222 pode-se escrever a magnitude
do vector de Poynting da seguinte forma
S = εvE2 (226)
8
22 PROPAGACcedilAtildeO EM MEIOS ANISOTROacutePICOS
Substituindo a equaccedilatildeo 213 na equaccedilatildeo 225 a magnitude do vector de Poyn-
ting assume a seguinte forma
S = εvE20 cos2 (wt) (227)
Se na equaccedilatildeo 227 se fizer uma meacutedia no tempo obteacutem-se
〈S〉 = εvE20
langcos2 (wt)
rang(228)
Sendo quelangcos2 (wt)
rang= 1
2 tem-se que
I = 〈S〉 =12εvE2
0 =c
2nεE2
0 (229)
Sendo I a intensidade ou seja a potecircncia meacutedia por unidade de aacuterea que a
onda electromagneacutetica transporta
222 Elipsoiacutede dos Iacutendices
Nos meios anisotroacutepicos o iacutendice de refraccedilatildeo linear depende da direccedilatildeo da propa-
gaccedilatildeo da luz e do seu estado de polarizaccedilatildeo A resposta de um meio anisotroacutepico
eacute normalmente obtida atraveacutes do conceito de elipsoiacutede de iacutendices[5 6 7] que
a seguir seraacute descrita Ao se aplicar um campo eleacutectrico a um meio polarizaacutevel
este induz uma mudanccedila do estado de polarizaccedilatildeo descrito pelo deslocamento
eleacutectrico
~D = ε0~E + ~P (230)
Sendo
~P = ε0χ~E (231)
onde ε0 eacute a permissidade eleacutectrica no vazio ~P a polarizaccedilatildeo ~E o campo eleacutec-
trico ~D o deslocamento eleacutectrico e χ eacute o tensor das suscetibilidades Atraveacutes das
equaccedilotildees 230 e 231 tem-se que
~D = ε0~E(1 + χ) (232)
9
CAPIacuteTULO 2 EFEITO ELECTROOacutePTICO
Sendo que χ eacute dado por
χ =
χ11 χ12 χ13
χ21 χ22 χ23
χ31 χ32 χ33
(233)
Pelo teorema de eixos principais [7] seraacute possiacutevel escolher um sistema de co-
ordenadas onde apenas os elementos da diagonal principal sejam diferentes de
zero de tal forma que
χ =
χ11 0 0
0 χ22 0
0 0 χ33
(234)
Assim a equaccedilatildeo 231 pode ser escrita na forma no novo sistema de eixosP1
P2
P3
= ε0
χ11 0 0
0 χ22 0
0 0 χ33
E1
E2
E3
(235)
Da equaccedilatildeo 235 pode-se ainda retirar o seguinte
P1 = ε0χ11E1 D1 = ε11E1 ε11 = ε0 (1 +χ11)
P2 = ε0χ22E2 D2 = ε22E2 ε22 = ε0 (1 +χ22) (236)
P3 = ε0χ33E3 D3 = ε33E3 ε33 = ε0 (1 +χ33)
Combinando as equaccedilotildees 219 e 236 pode-se reescrever a densidade de energia
armazenada no campo eleacutectrico como
uE =12~E middot ~D (237)
Usando as expressotildees da equaccedilatildeo 236 para manipular a equaccedilatildeo 237 obtem-
se
D21
ε11+D2
2
ε22+D2
3
ε33= 2uE (238)
10
22 PROPAGACcedilAtildeO EM MEIOS ANISOTROacutePICOS
Substituiacutendo na equaccedilatildeo 238 D1 D2 e D3 pelos seus respectivos eixos em
coordenadas cartesianas tem-se que
x2
ε11ε0+
y2
ε22ε0+
z2
ε33ε0= 1 (239)
sendo x = D1radic2ε0UE
y = D2radic2ε0UE
e z = D3radic2ε0UE
Reescrevendo a equaccedilatildeo 239 fazendo n2x = ε11ε0 n2
y = ε22ε0 e n2z = ε33ε0
obteacutem-se forma a equaccedilatildeo do elipsoide de iacutendices
x2
n2x
+y2
n2y
+z2
n2z
= 1 (240)
Sendo nx ny e nz o iacutendice de refraccedilatildeo na sua respectiva direccedilatildeo como demons-
tra a figura 22
Figura 22 Ilustraccedilatildeo do elipsoiacutede de iacutendices (retirado de [7])
11
CAPIacuteTULO 2 EFEITO ELECTROOacutePTICO
223 Coeficientes Natildeo-Lineares
Quando eacute aplicado um campo eleacutectrico ao meio o elipsoiacutede de iacutendices pode
mudar a sua forma e orientaccedilatildeo no espaccedilo de tal forma que a equaccedilatildeo de elipsoide
de iacutendices passa a ser escrita de um modo geral como
( 1n2
)1x2 +
( 1n2
)2y2 +
( 1n2
)3z2 + 2
( 1n2
)4xy + 2
( 1n2
)5xz+ 2
( 1n2
)6yz = 1 (241)
Quando o campo eleacutectrico aplicado eacute nulo as equaccedilotildees 240 e 241 tecircm de ser
equivalentes pelo que para E = 0 tem-se
( 1n2
)1
=1
n2x( 1
n2
)2
=1
n2y( 1
n2
)3
=1
n2z( 1
n2
)4
=( 1n2
)5
=( 1n2
)6
= 0
(242)
Desta forma quando se aplica um campo eleacutectrico (E) verifica-se uma variaccedilatildeo
nos coeficientes(
1n2
)i Esta variaccedilatildeo induzida pelo efeito electrooacuteptico pode entatildeo
ser descrita atraveacutes de [8]
∆
( 1n2
)i
=3sumj=1
rijEj com i = 1 6 (243)
Sendo rij o coeficiente electrooacuteptico e E a magnitude do campo eleacutectrico apli-
cado
12
22 PROPAGACcedilAtildeO EM MEIOS ANISOTROacutePICOS
A equaccedilatildeo 243 tambeacutem pode ser escrita como
∆
( 1n2
)1
∆
( 1n2
)2
∆
( 1n2
)3
∆
( 1n2
)4
∆
( 1n2
)5
∆
( 1n2
)6
=
r11 r12 r13
r21 r22 r23
r31 r32 r33
r41 r42 r43
r51 r52 r53
r61 r62 r63
E1
E2
E3
(244)
Nesta conformidade o coeficiente electrooacuteptico pode ser escrito como
rij = minus 2
n3ij
[partnijpartEj
](245)
A diferenccedila de fase ∆φ resultante da variaccedilatildeo no iacutendice de refraccedilatildeo ∆n seraacute
∆φ =2πlλ
∆n (246)
Em que o l eacute o caminho percorrido pela luz de comprimento de onda λ no
meio Sendo a variaccedilatildeo no iacutendice de refraccedilatildeo devida aos efeitos electrooacutepticos
pode-se escrever
|∆n| =rno
3
2Voh
(247)
para o efeito electrooacuteptico linear e
|∆n| =sn3o
2
(Voh
)2(248)
para o efeito electrooacuteptico quadraacutetico
Onde os coefeciecircntes electrooacutepticos linear e quadraacutetico satildeo respectivamente
r e s Vo eacute o potencial eleacutectrico aplicado entre os eleacutetrodos que distam entre si a
uma distacircncia h criando assim o campo eleacutectrico aplicado
13
Capiacutetulo
3Mediccedilatildeo do Efeito Electrooacuteptico
Neste capiacutetulo satildeo apresentadas as teacutecnicas mais comuns utilizadas para a me-
diccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico destacando-se dois tipos de interferoacutemetros o
tradicional e os de interferometria de dois feixes
31 Meacutetodo Tradicional
Um dos meacutetodos mais usados para medir o efeito eletrooacuteptico foi o proposto por
Henry [9] em 1986 Esta teacutecnica ilustrada na Fig31 baseia-se na alteraccedilatildeo do
estado de polarizaccedilatildeo de um feixe linearmente polarizado quando este atravessa
o meio Esta alteraccedilatildeo ocorre devido agrave birrefrigecircncia induzida por um campo
eleacutetrico aplicado e agrave atividade oacuteptica do meio A montagem eacute composta por uma
fonte de luz (S) um monocromador (M) uma lente (L) um diafragma (D) dois
polarizadores (P1 e P2) um cristal (BSO) de espessura d ao qual eacute aplicado um
campo eleacutetrico (E) e um fotomultiplicador (FM) ligado a um sistema de aquisiccedilatildeo
de dados
O procedimento experimental em si consiste no seguinte para um dado estado
de polarizaccedilatildeo do feixe incidente imposto pelo P1 vai-se alterando a posiccedilatildeo
angular do P2 de forma a encontrar as intensidades maacutexima e miacutenima e desta
forma calcular-se a visibilidade (ν) atraveacutes de [9]
νθ =Imax minus IminImax + Imin
(31)
15
CAPIacuteTULO 3 MEDICcedilAtildeO DO EFEITO ELECTROOacutePTICO
Figura 31 Montagem experimental proposta por Henry e a sua equipa (adaptadode [9])
De seguida altera-se P1 para a posiccedilatildeo angular de 45 e repete-se o procedi-
mento anterior Somando o quadrado das duas visibilidades obtidas tem-se que
[9]
ν2θ + ν2
θ+45 = 1 +
1minus δ2
2
sen(φ2 )φ2
2
2
(32)
sendo
δ =2πλn3rEyd (33)
e
φ =radicδ2 + ρ2 (34)
Sendo δ a diferenccedila de fase originada pela birrefringecircncia λ o comprimento
de onda do feixe no vaacutecuo ρ a diferenccedila de fase associada agrave actividade oacuteptica n o
iacutendice de refraccedilatildeo sem campo eleacutetrico aplicado Ey o campo eleacutectrico aplicado e
d a espessura do cristal na direccedilatildeo do campo eleacutectrico aplicado Destas equaccedilotildees
pode-se calcular o coeficiente electrooacuteptico r
Para o caso de φ pequenos
sen(φ2 )φ2
2
1 pelo que
ν2θ + ν2
θ+45 1 +(1minus δ
2
2
)2
(35)
Natildeo sendo nesta situaccedilatildeo necessaacuteria a actividade oacuteptica ρ Esta teacutecnica apre-
senta um erro de mediccedilatildeo de 10 a 15 em relaccedilatildeo ao valor tabelado
16
32 MEacuteTODOS POR INTERFEROMETRIA
32 Meacutetodos por Interferometria
321 Interferometria Oacuteptica
Quando duas ondas de uma mesma frequecircncia se sobrepotildeem num dado ponto
formam uma nova onda cuja amplitude eacute o resultado da soma da amplitude das
duas ondas iniciais em cada instante nesse ponto Quando a soma da duas ondas
resulta numa amplitude maior diz-se que houve interferecircncia construtiva quando
resulta numa amplitude inferior diz-se que ocorreu interferecircncia destrutiva
Supondo que uma das ondas tem a forma E1ei(φ1minuswt) e a outra forma E2e
i(φ2minuswt)
sendo E1 e E2 as amplitudes dos respetivos campos eleacutetricos φ1 e φ2 as fases
iniciais w a frequecircncia angular e t o tempo a onda resultante seraacute descrita por
[10]
ET = E1ei(φ1minuswt) +E2e
i(φ2minuswt) (36)
Se φ1 minusφ2 = 2Nπ com N = 012 entatildeo as duas ondas estaratildeo em fase e daacute-
se uma interferecircncia construtiva perfeita Se φ1 minusφ2 = (2N + 1)π e E1 = E2 entatildeo
as duas ondas estaratildeo em oposiccedilatildeo de fase e daacute-se uma interferecircncia destrutiva
completa Estas situaccedilotildees extremas encontram-se ilustradas na figura 32
Figura 32 Ilustraccedilatildeo de uma interferecircncia construtiva perfeita (a) e destrutivacompleta (b)
Matematicamente a coerecircncia eacute uma medida da correlaccedilatildeo entre as ondas
Quanto mais construtiva for a interferecircncia maior seraacute a coerecircncia Fisicamente
a coerecircncia eacute uma medida do quatildeo constante a diferenccedila de fase permanece entre
17
CAPIacuteTULO 3 MEDICcedilAtildeO DO EFEITO ELECTROOacutePTICO
as duas ondas A coerecircncia eacute usualmente medida num padratildeo de franjas de in-
terferecircncia atraveacutes da visibilidade de franja (ν) que pode ser experimentalmente
calculada atraveacutes de [10]
ν =Imax minus IminImax + Imin
= 1 coerecircncia total e contraste maacuteximo
0 lt ν lt 1 coerecircncia parcial
= 0 incoerecircncia total e contraste natildeo haacute franjas
(37)
Pode-se ver na Fig33 um exemplo da equaccedilatildeo 37 que representa a visibi-
lidade das franjas em funccedilatildeo da diferenccedila de fase entre duas ondas da mesma
frequecircncia que interferem Como a visibilidade das franjas depende da coerecircncia
das duas ondas qualquer diferenccedila iraacute traduzir-se numa diminuiccedilatildeo de visibili-
dade
Figura 33 Visibilidade num interferoacutemetro em funccedilatildeo da diferenccedila de fase entreduas ondas provenientes de ramos diferentes do interferoacutemetro (adaptado de[11])
Pode-se usar a interferometria para quantificar os efeitos electrooacutepticos natildeo
soacute linear mas tambeacutem o quadraacutetico (efeito de Kerr) Os interferoacutemetros mais
frequentemente utilizados para este efeito satildeo os interferoacutemetro de Michelson1 e1Albert Abraham Michelson foi um fiacutesico americano conhecido pela invenccedilatildeo do interferoacuteme-
tro de Michelson (1891) do seu trabalho na mediccedilatildeo da velocidade da luz e pelo seu trabalho naexperiecircncia de Michelson-Morley Em 1907 tornou-se o primeiro americano a receber o PreacutemioNobel da Fiacutesica
18
32 MEacuteTODOS POR INTERFEROMETRIA
o interferoacutemetro de Mach-Zehnder2
De salientar que as teacutecnicas interferomeacutetricas apresentam uma elevada sensibi-
lidade simplificaccedilatildeo na preparaccedilatildeo das amostras a estudar e uma menor sensibili-
dade a vibraccedilotildees mecacircnicas e a flutuaccedilotildees teacutermicas desde que estas ocorram com
a mesma intensidade em ambos os ramos do mesmo tamanho do interferoacutemetro
322 Interferoacutemetro de Mach-Zehnder
No interferoacutemetro de Mach-Zehnder (Fig 34) um separador de feixe divide o
feixe proveniente da fonte em dois feixes que vatildeo constituir os dois ramos do
interferoacutemetro o feixe-amostra e o feixe-referecircncia Ambos satildeo refletidos por um
espelho e ambos atravessam um novo separador de feixe antes de se juntarem de
novo e serem medidos nos detetores
Figura 34 Esquema de um interferoacutemetro de Mach-Zehnder (adaptado de [12])
Com os ramos agrave mesma distacircncia pode ainda observar-se que sem amostra
ambos os feixes vatildeo chegar em fase aos detetores havendo desta forma uma inter-
ferecircncia construtiva Ambos apresentaratildeo uma mudanccedila de fase correspondente
a λ devido ao facto de ambos sofrerem duas reflexotildees e uma transmissatildeo numa
placa de vidro(separador de feixe) ateacute chegarem aos detetores2Ludwig Zehnder foi um fiacutesico suiacuteccedilo e o inventor do interferoacutemetro de Mach-Zehnder Inter-
feroacutemetro esse depois aperfeiccediloado por Ludwig Mach
19
CAPIacuteTULO 3 MEDICcedilAtildeO DO EFEITO ELECTROOacutePTICO
Alterando o caminho oacuteptico do espelho do feixe-referecircncia em λ4 sem amos-
tra o feixe-amostra e o feixe-referecircncia vatildeo chegar com uma diferenccedila de fase de
λ2 ou seja vai haver uma interferecircncia destrutiva completa Isto porque o feixe-
referecircncia vai ter uma mudanccedila de fase de λ2 devido a uma reflexatildeo e duas trans-
missotildees provocadas pelos separadores de feixe Enquanto que o feixe-amostra
chegaraacute aos detetores com uma diferenccedila de fase de λ devido a duas reflexotildees
mais uma reflexatildeo com transmissatildeo no segundo separador de feixe Assim na
ausecircncia de amostra e desde que a diferenccedila de caminho oacuteptico ou retardaccedilatildeo
(δ) seja zero os feixes iratildeo interferir construtivamente [13]
Com a amostra colocada no caminho do feixe-amostra os feixes vatildeo chegar ao
detetor em diferentes situaccedilotildees de fase sendo possiacutevel determinar a diferenccedila de
fase provocada pela presenccedila da amostra
A intensidade do feixe (I) em ambos os detetores eacute descrita por [14]
I(δ) =12I(k)cos(2Nkδ) (38)
Com k o nuacutemero de onda (k = 2πλ) E fazendo δ = d com d = vt resulta
I(δ) =12I(k)cos(2Nk(vt)) (39)
323 Interferoacutemetro de Michelson
No interferoacutemetro do tipo Michelson um feixe de luz eacute dividido em dois que
percorrem caminhos diferentes para de seguida se recombinarem Apoacutes terem
percorrido caminhos diferentes o feixe resultante da recombinaccedilatildeo pode apresen-
tar um padratildeo de interferecircncia que depende da diferenccedila de caminhos oacutepticos
entre os feixes e que pode ser medido num detetor
A forma mais simples de implementar um interferoacutemetro de Michelson con-
siste em dois espelhos colocados entre si num plano perpendicular em que um
deles se pode mover na direccedilatildeo perpendicular agrave sua superfiacutecie refletora conforme
ilustrado na Fig35
Esse espelho iraacute movimentar-se num espaccedilo definido a uma velocidade cons-
tante Entre o espelho fixo e o espelho moacutevel estaacute um separador de feixe que
divide o feixe incidente inicial em dois de igual intensidade Aqui o feixe eacute parci-
almente refletido para um espelho e parcialmente transmitido para o outro
20
32 MEacuteTODOS POR INTERFEROMETRIA
Figura 35 Esquema de funcionamento de um interferoacutemetro de Michelson cominterferecircncia construtiva (a) e destrutiva (b) (adaptado de [15])
Assumindo que o separador de feixe eacute ideal e com uma reflectacircncia e transmi-
tacircncia de 50 se o espelho moacutevel se encontrar estacionaacuterio pode determinar-se
a intensidade do feixe num dado ponto do detetor Se a diferenccedila do caminho
oacuteptico ou retardaccedilatildeo (δ) for zero ou seja os espelhos estatildeo igualmente espaccedilados
do separador de feixe estes vatildeo percorrer a mesma distacircncia e interferir construti-
vamente pelo que a intensidade do feixe final eacute a soma das intensidades dos dois
feixes Nestas condiccedilotildees toda a luz que sai da fonte chega ao detetor
No caso do espelho moacutevel se deslocar uma distacircncia de λ4 a retardaccedilatildeo total
seraacute de λ2 pelo que os feixes estaratildeo desfasadas de 180ordm (π) Nestas condiccedilotildees ter-
se-aacute interferecircncia destrutiva completa na recombinaccedilatildeo dos feixes dando origem
agrave extinccedilatildeo total
Voltando a deslocar o espelho moacutevel de mais λ4 a diferenccedila do caminho
oacuteptico seraacute igual a λ e os dois feixes voltam a estar em fase havendo novamente
uma sobreposiccedilatildeo construtiva dos feixes
Com o espelho moacutevel a deslocar-se a uma velocidade constante o sinal do de-
tetor iraacute variar com uma forma perioacutedica sendo que atinge o seu maacuteximo quando
a retardaccedilatildeo (δ) for um muacuteltiplo inteiro de λ δ =Nλ
A expressatildeo da intensidade do feixe (I) no detector para o caso do interferoacute-
metro de Michelson eacute semelhante agrave equaccedilatildeo 38 para o interferoacutemetro de Mach-
Zehnder sendo que neste caso δ = 2d com d = vt jaacute que o feixe atravessa a
amostra duas vezes Nestas condiccedilotildees ter-se-aacute
I(δ) =12I(k)cos(4Nk(vt)) (310)
21
CAPIacuteTULO 3 MEDICcedilAtildeO DO EFEITO ELECTROOacutePTICO
22
Capiacutetulo
4Sistema Implementado
Este capiacutetulo descreve o sistema implementado para a mediccedilatildeo do coeficiente
electrooacuteptico usando a teacutecnica de interferoacutemetria de Michelson bem como a cali-
braccedilatildeo do mesmo
41 Interferoacutemetro
O sistema escolhido para a mediccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico baseia-se na teacutec-
nica de interferometria de Michelson (ver secccedilatildeo 323) onde se mediu a diferenccedila
de fase entre os ramos do interferoacutemetro Esta teacutecnica foi escolhida pela elevada
sensibilidade agrave diferenccedila de fase gerada entre os ramos do interferoacutemetro facili-
dade de preparaccedilatildeo das amostras e por ser menos sensiacutevel a vibraccedilotildees mecacircnicas
e a flutuaccedilotildees teacutermicas desde que estas ocorram com a mesma intensidade em
ambos os ramos do interferoacutemetro Para aleacutem das vantagens mencionadas e espe-
cificamente em comparaccedilatildeo com o interferoacutemetro mais usado o interferoacutemetro
do tipo Mach-Zehnder o interferoacutemetro de Michelson tem uma maior facilidade
de alinhamento dos espelhos e usa apenas um separador de feixe
A figura 41 esquematiza o sistema baseado no interferoacutemetro de Michelson
desenvolvido para a mediccedilatildeo do coeficiente eletrooacuteptico
23
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Figura 41 Esquematizaccedilatildeo do interferoacutemetro de Michelson e instrumentaccedilatildeoutilizada para a mediccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico em cristais
Como se pode ver no esquema da figura 41 o ramo do espelho vibrante fica
vazio enquanto que no ramo do espelho fixo se encontra a amostra entre dois
eleacutectrodos onde se aplicam um campo eleacutectrico E O sinal medido no detector
resulta da interferecircncia entre os feixes provenientes de cada ramo do interferoacute-
mentro dependendo da diferenccedila de fase entre os dois feixes Conforme referido
anteriormente a intensidade da luz (I) que chega ao detector eacute da ordem de [16]
I prop E21 +E2
2 + 2E1E2cos(∆φ) (41)
42 Electroacutenica Desenvolvida
421 Amplificador
Para o efeito electrooacuteptico se manisfestar eacute necessaacuterio aplicar-se uma tensatildeo eleacutec-
trica ao meio Uma vez que a tensatildeo de referecircncia fornecida pelo amplificador
lock-in utilizado eacute muito baixa para induzir efeito electrooacuteptico significativo por
volta dos 12V foi necessaacuterio construir um amplificador de tensatildeo (Fig 42)
24
42 ELECTROacuteNICA DESENVOLVIDA
Figura 42 Esquemaacutetico do amplificador de tensatildeo utilizado com base no ampli-ficador operacional LF356n
O amplificador construiacutedo conforme ilustra a figura 42 consiste numa mon-
tagem inversora de ganho variaacutevel com uma malha de controlo de offset e eacute
alimentado a plusmn12V
Assim o ganho G eacute determinado atraveacutes de
G = 1 +R2R1
(42)
Sendo R1 = 11kΩ R2 = 5kΩ R3 = 25kΩ e o amplificador em si utilizado foi
o LF356n
Obtendo-se desta forma um ganho de aproximadamente 55 Permitindo apli-
car uma tensatildeo de cerca de 66V ao cristal electrooacuteptico Uma vez que a tensatildeo
aplicada eacute baixa pode-se desprezar o efeito piezoeleacutectrico gerado na amostra e
que iria influenciar o valor do coeficiente electrooacuteptico medido
422 Gerador de Rampa
Para alimentar o excitador piezoeleacutectrico do espelho moacutevel foi utilizado um ge-
rador de sinais (Fig 43) de forma a induzir um deslocamento linear perioacutedico
na forma de rampa A frequecircncia de oscilaccedilatildeo cerca de 25Hz foi escolhida de
25
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
forma a ser suficientemente baixa para evitar fenoacutemenos de batimento com o sinal
de modulaccedilatildeo electrooacuteptico e suficientemente alta para que se consiga adquirir
dados em tempo uacutetil com uma tensatildeo variaacutevel entre os 4 e os 8V
Figura 43 Esquema eleacutectrico do gerador de rampa implementado baseado nocircuito temporizador NE555
Sendo R1 = 20kΩ R2 = 1kΩ e C1 = C2 = 47microF
O tempo de subida da rampa t1 eacute dado por
t1 = 0693(R1 +R2)C1 (43)
Enquanto que o tempo de descida t2 eacute
t2 = 0693R2C1 (44)
Obtendo assim um tempo de subida de 036s e um tempo de descida de 0033s
Assim a frequecircncia do gerador de rampa f seraacute dada por
f =1
t1 + t2=
144(R1 + 2R2)C1
(45)
O gerador de rampa foi construiacutedo aproveitando o espaccedilo livre no interior da
unidade de amplificaccedilatildeo onde se situa o amplificador
26
42 ELECTROacuteNICA DESENVOLVIDA
423 Seguidor de Tensatildeo
Devido agrave necessidade de acoplamento de impedacircncias entre o amplificador lock-
in e o osciloacutescopio natildeo foi possiacutevel a utilizaccedilatildeo de um repartidor coaxial que
repartisse o sinal proveniente do detector Assim de forma a se poder visuali-
zar o sinal proveniente do detector em simultacircneo com o sinal electrooacuteptico foi
necessaacuterio a construccedilatildeo de um seguidor de tensatildeo (Fig44)
Figura 44 Esquema do seguidor de tensatildeo utilizado construida com base nosamplifacores operacionais LF356n
Sendo que ambos os circuitos integrados foram alimentados por uma tensatildeo
positiva (V+) de 12V e uma negativa (Vminus) de minus12V Com R1 = R2 = 25kΩ Agrave
semelhanccedila do amplificador foi tambeacutem construida uma malha de controlo de
offset
Agrave semelhanccedila do gerador de rampa tambeacutem foi construido na unidade de
amplificaccedilatildeo e gerador de rampa como se pode ver na figura 45
27
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Figura 45 Imagem da unidade de amplificaccedilatildeo e geraccedilatildeo de rampa implemen-tada
43 Sistema Oacuteptico Desenvolvido
431 Espelho Vibrante
O espelho vibrante (Fig46) foi construiacutedo afixando um espelho a um disco pie-
zoeleacutectrico A vibraccedilatildeo do espelho iraacute fazer com que a distacircncia entre o divisor
de feixe e o espelho varie Fazendo deslocar a franja de interferecircncia em frente ao
detector permitindo a este medir as intensidades maacuteximas e miacutenimas das franjas
de interferecircncia (ver secccedilatildeo 323)
Figura 46 Imagem do espelho vibrante utilizado
28
43 SISTEMA OacutePTICO DESENVOLVIDO
432 Bancada Oacuteptica
De forma a colocar os componentes ao niacutevel do feixe do laser na mesa oacuteptica e a
tornar o sistema menos sensiacutevel a vibraccedilotildees mecacircnicas e flutuaccedilotildees teacutermicas os
componentes foram colocadas numa base quadrada de alumiacutenio
Figura 47 Imagem da bancada oacuteptica onde o interferoacutemetro de Michelson foiconstruiacutedo
Conforme se pode ver na figura 47 para completar o interferoacutemetro de Michel-
son para aleacutem dos componentes jaacute referidos foram ainda utilizados um separador
de feixe e um espelho (fixo) no suporte com uma lente oacuteptica agrave saiacuteda do mesmo
Faltando ainda o laser utilizado da Melles Griotreg que possui uma potecircncia de
635mW e um comprimento de onda de 6328nm
433 Detector
O detector utilizado foi um modelo 818-UVDB da Newport Corporationreg (Fig
48) de baixa potecircncia consistindo num fotodiacuteodo de siliacutecio capaz de operar entre
os 200 e os 1100nm As caracteriacutesticas principais deste detector encontram-se
listadas na tabela 433
29
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Tabela 41 Caracteriacutesticas principais do detector 818-UVDB [17]
Largura de Banda 200 a 1100(nm) Material Siliacutecio
Potecircncia
W λ(nm)
Incerteza de
λ(nm)
02 200 a 4008 200 a 219
Maacutexima Calibraccedilatildeo 2 220 a 349
005 400 a 11001 350 a 9494 950 a 1050
Densidade de02Wcm2 Aacuterea Activa 1cm2
Potecircncia Meacutedia
Energia Maacutexima05microJ
Diacircmetro113cm
de Pulso Activo
De forma a evitar que a luz ambiente interferisse nas medidas e para aumen-
tar a resoluccedilatildeo de mediccedilatildeo do perfil da franja de interferecircncia foi colocado um
diafragma com uma abertura no centro de 06mm conforme se pode ver na figura
48 reduzido desta maneira a aacuterea activa para 028 mm2
Figura 48 Imagem do detector e disco utilizado
Para a aquisiccedilatildeo do sinal electrooacuteptico e geraccedilatildeo de sinal electrooacuteptico de
referecircncia foi utilizado um osciloscoacutepio Lecroy Wavesufertrade422
30
43 SISTEMA OacutePTICO DESENVOLVIDO
434 Cristal Electrooacuteptico
Para a calibraccedilatildeo do sistema foi utilizado um cristal padratildeo de dihidrogenofosfato
de potaacutessio (KDP) Na tabela 42 pode-se observar algumas das propriedades
fiacutesicas desse cristal
Tabela 42 Propriedades fiacutesicas do cristal padratildeo KDP [18]
Material Simetria Densidade Classe Higroscopicidade
KDP Tetragonal (42m) 234gcm3 Uniaxial Higroscoacutepico
Uma vez que o cristal eacute uniaxial nx = ny = no e nz = ne sendo no e ne os
iacutendices de refraccedilatildeo ordinaacuterio e extraordinaacuterio do cristal KDP A figura 49 ilustra
o elipsoiacutede de iacutendices num cristal padratildeo KDP
Figura 49 Ilustraccedilatildeo de um cristal padratildeo KDP e seu respectivo elipsoiacutede deiacutendices
31
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Na Tabela 43 pode-se observar algumas das propriedades oacutepticas do cristal
padratildeo KDP
Tabela 43 Propriedades oacutepticas do cristal padratildeo KDP a 6328nm [7]
Material Foacutermula Quiacutemica Iacutendice de RefracccedilatildeoCoeficiente
Electrooacuteptico
KDPKH2PO4
no=15074 r41=86 pmV(λ = 6328nm) ne=14673 r63=106 pmV
Como se pode ver na tabela 42 o cristal do tipo KDP eacute higroscoacutepico sendo
assim necessaacuterio reduzir ao maacuteximo o contacto entre o cristal e a atmosfera para
evitar que as suas faces fiquem opacas interferindo assim na qualidade do feixe
transmitido
435 Porta Amostras
O porta amostras eacute constituiacutedo por uma base feita de latatildeo (Fig 410) onde se
coloca o cristal nivelado com o feixe laser Este suporte possui oito roscas para
parafusos M3 quatro em cima de forma a se fixar os encaixes laterais do porta
amostras e quatro em baixo de forma a afixar-se firmemente na bancada oacuteptica
Figura 410 Imagem da base do porta-amostras desenvolvido
32
43 SISTEMA OacutePTICO DESENVOLVIDO
De forma a aplicar-se a tensatildeo de excitaccedilatildeo ao cristal sem bloquear o feixe do
laser foram utilizadas duas placas de vidro com oacutexido de estanho dopado com
fluacuteor (FTO) Este permite que haja uma boa transparecircncia e conduccedilatildeo eleacutetrica
sendo usado em vaacuterios tipos de dispositivos como aplicaccedilotildees opto-eletroacutenicas
ecratildes touch screen filmes finos fotovoltaicos etc O oacutexido de estanho dopado
com fluacuteor [19] eacute reconhecido por ser altamente estaacutevel quimicamente inerte re-
siste a temperaturas elevadas e ao desgaste abrasivo sendo mais econoacutemico do
que o tradicional oacutexido de iacutendio e estanho (ITO)
De forma a garantir um bom contacto eleacutectrico entre o vidro FTO e o cristal
foram construidas duas peccedilas de afixaccedilatildeo idecircnticas (Fig 411) Trata-se de duas
peccedilas de alumiacutenio cada uma contendo uma abertura de forma a deixar passar
o feixe laser e dois rasgos para parafusos de forma a poder-se fixar no suporte e
desta maneira exercer uma pressatildeo constante sobre o cristal
Figura 411 Imagem das peccedilas de fixaccedilatildeo do cristal desenvolvidas com a vista defrente (a) e a vista de traacutes (b)
A ligaccedilatildeo eleacutectrica entre o sinal de referecircncia proveniente do amplificador ao
vidro FTO foi feita atraveacutes de uma cola condutora de prata de forma a assegurar
a ligaccedilatildeo oacutehmica entre o fio de cobre e a camada de FTO O cristal fica assim entre
duas placas de vidro FTO(Fig412)
33
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Figura 412 Imagem do porta Amostras desenvolvido
A figura 413 ilustra o sistema desenvolvido incluindo a bancada oacuteptica e
instrumentaccedilatildeo
Figura 413 Imagem do sistema desenvolvido para a mediccedilatildeo do efeito electrooacutep-tico
34
44 COEFICIENTE ELECTROOacutePTICO
44 Coeficiente Electrooacuteptico
Para o cristal utilizado o dihidrogenofosfato de potaacutessio (KDP) e para o efeito
electrooacuteptico linear a matriz de coeficientes electrooacutepticos eacute a seguinte
rij =
0 0 0
0 0 0
0 0 0
r41 0 0
0 r52 0
0 0 r63
com
i = 1 6
j = 123
Sendo que r41 = r52 pelo que existem apenas dois coeficientes independentes
o r41 e o r63
Usando a notaccedilatildeo condensada mencionada da secccedilatildeo 21 onde se aplica o
campo eleacutectrico (E) no plano do i (sendo i = m) enquanto que j eacute o eixo oacuteptico
Para o caso do KDP eacute costume utilizar o r63 Isto eacute aplicar o campo eleacutectrico nos
planos 12 ou 21 (ou seja i = 6) com o eixo oacuteptico no eixo 3 (j = 3) como demonstra
a figura 414
Figura 414 Ilustraccedilatildeo da configuraccedilatildeo utilizada para a mediccedilatildeo do coeficienter63 num cristal
35
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Para o caso do efeito electrooacuteptico quadraacutetico a matriz dos coeficientes elec-
trooacutepticos seraacute
sij =
s11 s12 s12 0 0 0
s12 s11 s12 0 0 0
s12 s12 s11 0 0 0
0 0 0 s11 minus s12 0 0
0 0 0 0 s11 minus s12 0
0 0 0 0 0 s11 minus s12
com i j = 1 6
45 Execuccedilatildeo Experimental
Para se medir o coeficiente electrooacuteptico aplica-se ao cristal uma tensatildeo com uma
frequecircncia de 2kHz frequecircncia essa que se revelou menos sensiacutevel aos ruiacutedos
ambientes sendo que o sinal electrooacuteptico teraacute a mesma frequecircncia Podendo-
se desta maneira atraveacutes de um amplificador de lock-in (modelo 393 da IthacoDynatrac) filtrar o sinal electrooacuteptico dos restantes sinais uma vez que a sua
frequecircncia eacute conhecida
A intensidade da equaccedilatildeo 41 eacute maacutexima quando cos(∆φ) = 1 e miacutenima quando
cos(∆φ) = minus1 Pelo que subtraindo estas duas equaccedilotildees
Imax minus Imin = 4E1E2 (46)
Assim combinando a equaccedilatildeo 41 com a equaccedilatildeo 46 obtem-se
I prop E21E
22 +
12
(Imax minus Imin)cos(∆φ) (47)
Juntando agora a equaccedilatildeo 246 agrave equaccedilatildeo 247 e tendo em conta que o feixe
passa duas vezes por cada ramo (=2l) a diferenccedila de fase para o efeito electrooacutep-
tico linear
∆φ = ∆φ0 +πrn3
oVoλ
2lh
cos(Ωt) (48)
Sendo ∆φ0 a diferenccedila de fase inicial sem o efeito electrooacuteptico
36
45 EXECUCcedilAtildeO EXPERIMENTAL
Substituindo o ∆φ da equaccedilatildeo 48 na equaccedilatildeo 47 a intensidade do sinal com
modulaccedilatildeo electrooacuteptica(Iseo) seraacute dado por
Iseo prop E21 +E2
2 +12
(Imax minus Imin)cos(∆φ0 +
πrn3oVoλ
2lh
cos(Ωt))
(49)
Usando cos(α plusmn β) = cos(α)cos(β)∓ sen(α) sen(β) e D = πrn3oVoλ
2lh fica-se com
Iseo prop E21 +E2
2+12
(Imax minus Imin)
[cos(∆φ0)cos(Dcos(Ωt)) minus sen(∆φ0) sen(D cos(Ωt))](410)
Como a modulaccedilatildeo electrooacuteptica eacute um efeito muito pequeno a equaccedilatildeo 410
pode-se escrever
Iseo asymp E21 +E2
2 +12
(Imax minus Imin) [cos(∆φ0)minusD cos(Ωt) sen(∆φ0)] (411)
Considerando soacute os termos de primeira ordem
Iseo asymp12
(Imax minus Imin) [cos(∆φ0)minusD cos(Ωt) sen(∆φ0)] (412)
A componente do sinal electrooacuteptico eacute entatildeo dado por
Iseo =12
(Imax minus Imin)D cos(Ωt) sen(∆φ0) (413)
Ou seja
Iseo =12
(Imax minus Imin)πrn3
oVoλ
2lh
cos(Ωt) sen(∆φ0) (414)
O acircngulo ∆φ0 varia linearmente com o tempo (t) a uma frequecircncia inferior
a Ω A franja de interferecircncia desloca-se continuamente em frente ao detector
devido a um dos espelho estar fixado num disco piezoeleacutectrico
37
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Na figura 415 pode-se ver uma exemplificaccedilatildeo do sinal no detector que incor-
pora o sinal da franja e electrooacuteptico dada pela equaccedilatildeo 414
Figura 415 Ilustraccedilatildeo do sinal de modulaccedilatildeo electrooacuteptica de um feixe de luzmedido num interferoacutemetro de Michelson
Uma vez que o sinal electrooacuteptico (cos(Ωt)) estaacute desfasado π2 do sinal da
franja ( sen(∆φ0)) A intensidade do sinal electrooacuteptico pode ser escrita como
Iseo asymp12
(Imax minus Imin)πrn3
oVoλ
2lh
∣∣∣ sen(∆φ0)∣∣∣ (415)
Assim a amplitude do sinal electrooacuteptico eacute
Iseo =12
(Imax minus Imin)πrn3
oVoλ
2lh
(416)
Pelo que o coeficiente electrooacuteptico linear seraacute dado por
r =|Iseo|
|Imax minus Imin|λ
πn3oVo
hl
(417)
38
46 RESULTADOS
Para o efeito electrooacuteptico quadraacutetico utilizando o procedimento anoacutelogo mas
a partir da equaccedilatildeo 248 em vez da equaccedilatildeo 247 O sinal electrooacuteptico quadraacutetico
Iseoq que ocorre ao dobro da frequecircncia de modulaccedilatildeo 2Ω eacute dado por
s =
∣∣∣Iseoq∣∣∣|Imax minus Imin|
2λ
πn3oV
2o
h2
l(418)
46 Resultados
Com o cristal de KDP devidamente alinhado no interferoacutemetro segundo o seu
eixo oacuteptico de maneira a se medir o coeficiente r63 Obtendo-se assim dois sinais
o sinal de franja e o sinal electrooacuteptico (Fig 416)
Figura 416 Padratildeo da franja produzida (a) e respectivos sinais de franja e elec-trooacuteptico obtidos para um cristal KDP padratildeo
De forma a se proceder a calibraccedilatildeo do sistema utilizou-se a equaccedilatildeo 417 na
forma
|Iseo||Imax minus Imin|
=πn3
o
λlhrVo (419)
39
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Usando o valor da razatildeo |Iseo ||ImaxminusImin|
em funccedilatildeo do potencial aplicado Vo pode-se
calcular o valor do coeficiente electrooacuteptico r atraveacutes do declive da recta obtida
Pode-se ver na figura 417 uma das rectas obtidas para o cristal utilizado na
calibraccedilatildeo do sistema
Figura 417 Razatildeo entre o sinal electrooacuteptico e a diferenccedila de intensidade defranjas em funccedilatildeo do potencial Vo aplicado ao cristal
A tabela 44 apresenta o valor do coeficiente electrooacuteptico obtido e respectiva
incerteza para o cristal de KDP tomando em conta os valores dos iacutendices de
refraccedilatildeo da tabela 43
Tabela 44 Valores e respectivas incertezas obtidas do coeficiente electrooacutepticopara o cristal KDP utilizado
Material Valor Padratildeo Valor Obtido Erro
KDPr63 = 106pmV r63 = 105plusmn 02pmV 1
(λ = 6328nm)
Como se pode ver na tabela 44 o resultado obtido situa-se muito proacuteximo
do teoacuterico encontrando-se dentro da incerteza obtida Os valores valores meacutedios
apresentam um desvio da ordem dos 02pmV
40
46 RESULTADOS
Apesar dos valores obtidos serem bastante positivos houve algumas dificul-
dades nomeadamente o vidro FTO que causou que o alinhamento fosse extrema-
mente complicado natildeo soacute pela sua espessura e dimensionamento como tambeacutem
pela refraccedilatildeo provocada no feixe laser Outro grande obstaacuteculo foi o alinhamento
do cristal uma vez que basta um ligeiro desvio no caminho oacuteptico para causar um
desalinhamento total algo que eacute agravado no interferoacutemetro do tipo Michelson
pelo facto de o feixe laser passar na amostra duas vezes
Apesar destas dificuldades o valor obtido para o coeficiente electrooacuteptico r63
foi de 105pmV valor esse muito proacuteximo do valor padratildeo da literatura que se
encontra nos 106pmV Assim pode-se considerar que o sistema desenvolvido
se encontra devidamente calibrado e pronto para futuras utilizaccedilotildees
41
Capiacutetulo
5Conclusotildees
O trabalho desenvolvido no decorrer desta dissertaccedilatildeo consistiu no desenvolvi-
mento de um sistema para a mediccedilatildeo do efeito electrooacuteptico aacuterea a ser ulilizada
na caracterizaccedilatildeo de novos materiais polimeacutericos para aplicaccedilatildeo em dispositivos
fotoacutenicos
Nesta conformidade foi desenhada construiacuteda e testado uma bancada oacuteptica
destinada agrave mediccedilatildeo do efeito electrooacuteptico baseado numa teacutecnica interferomeacute-
trica de mediccedilatildeo da diferenccedila de fase implementado atraveacutes de um interferoacutemetro
do tipo Michelson
O cristal escolhido para a calibraccedilatildeo do sistema desenvolvido foi um cristal de
KDP comercial tendo sido utilizado o coeficiente electrooacuteptico r63 como referecircn-
cia sendo o valor padratildeo de 106pmV
O sistema obtido permitiu medir um valor nominal de 105plusmn 02pmV com
um erro de aproximadamente 1 em relaccedilatildeo ao valor tabelado comprovando a
afericcedilatildeo do sistema para a mediccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico por transmissatildeo
O sistema desenvolvido estaacute portanto apto para futuras mediccedilotildees sendo ape-
nas necessaacuterio algumas alteraccedilotildees no porta-amostras mediante as dimensotildees e
forma da amostra a utilizar
Chegou-se ainda agrave conclusatildeo que para amostras como o cristal utilizado o
feixe laser passar duas vezes na amostra acaba por ser uma grande desvantagem
desvantagem essa inexistente para filmes polimeacutericos que ganham cada vez mais
importacircncia na aacuterea da fotoacutenica uma vez que satildeo materiais de grande interesse
cientiacutefico e tecnoloacutegico jaacute que podem ser utilizados no desenvolvimento de dispo-
sitivos oacutepticos nomeadamente moduladores de luz e memoacuterias oacutepticas
43
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electric Phaserdquo Em physica status solidi (a) 1172 (1990) K93ndashK96 issn
1521-396X doi 101002pssa2211170234
[19] SIGMA-ALDRICH Fluorine doped Tin Oxide (FTO) Glass httpwwwsigmaaldrichcommaterials-sciencematerial-science-products
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46
Apecircndice
AApecircndice
A1 Desenhos Teacutecnicos
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- Lista de Figuras
- Lista de Tabelas
- Introduccedilatildeo
- Efeito Electrooacuteptico
-
- Oacuteptica Natildeo-Linear
- Propagaccedilatildeo em Meios Anisotroacutepicos
-
- Vector de Poynting
- Elipsoiacutede dos Iacutendices
- Coeficientes Natildeo-Lineares
-
- Mediccedilatildeo do Efeito Electrooacuteptico
-
- Meacutetodo Tradicional
- Meacutetodos por Interferometria
-
- Interferometria Oacuteptica
- Interferoacutemetro de Mach-Zehnder
- Interferoacutemetro de Michelson
-
- Sistema Implementado
-
- Interferoacutemetro
- Electroacutenica Desenvolvida
-
- Amplificador
- Gerador de Rampa
- Seguidor de Tensatildeo
-
- Sistema Oacuteptico Desenvolvido
-
- Espelho Vibrante
- Bancada Oacuteptica
- Detector
- Cristal Electrooacuteptico
- Porta Amostras
-
- Coeficiente Electrooacuteptico
- Execuccedilatildeo Experimental
- Resultados
-
- Conclusotildees
- Bibliografia
- Apecircndice
-
- Desenhos Teacutecnicos
-
LISTA DE SIacuteMBOLOS
k - Nuacutemero de onda
l - Caminho percorrido pela luz num meio
n - Iacutendice de refraccedilatildeo
ne - Iacutendice de refraccedilatildeo extraordinaacuterio
no - Iacutendice de refraccedilatildeo ordinaacuterio
r - Coeficiente electrooacuteptico linear
s - Coeficiente electrooacuteptico quadraacutetico
u - Densidade de energia
w - Frequecircncia angular
xviii
Capiacutetulo
1Introduccedilatildeo
A fibra oacuteptica eacute hoje amplamente utilizada nas redes de telecomunicaccedilatildeo em subs-
tituiccedilatildeo dos tradicionais cabos eleacutectricos por permitir transportar uma grande
quantidade de informaccedilatildeo a alta velocidade e com perdas reduzidas sem ser
afetada pelo ruiacutedo eletromagneacutetico Por outro lado a transmissatildeo de informaccedilatildeo
atraveacutes da fibra oacuteptica requer o desenvolvimento de dispositivos capazes de pro-
cessar sinal oacuteptico tais como amplificadores comutadores e moduladores de luz
Eacute aqui que o efeito electrooacuteptico assume um papel de relevo jaacute que possibilita a
modulaccedilatildeo de luz a frequecircncias da ordem do gigahertz [1 2 3]
O efeito electrooacuteptico tambeacutem conhecido por efeito de Pockels1 consiste na
variaccedilatildeo do iacutendice de refraccedilatildeo de um meio quando a este eacute aplicado um campo
eleacutetrico externo Esta alteraccedilatildeo no iacutendice de refraccedilatildeo eacute o resultado de forccedilas elec-
trostaacuteticas que deformam as moleacuteculas (alteraccedilatildeo de posiccedilatildeo orientaccedilatildeo ou forma)
do meio que estaacute na origem de uma alteraccedilatildeo no momento dipolar Distinguem-
se dois tipos de efeito eletrooacuteptico o linear (efeito Pockels) e o quadraacutetico (efeito
Kerr2)
O efeito de Pockels estaacute na origem da criaccedilatildeo de uma birrefringecircncia ∆n
no meio oacuteptico proporcional ao campo eleacutetrico aplicado Este efeito observa-se
1Friedrich Carl Alwin Pockels foi um fiacutesico alematildeo que em 1893 descobriu que se for aplicadoum campo eleacutectrico estaacutevel a certos materiais birrefrigentes estes vatildeo sofrer uma variaccedilatildeo noiacutendice de refraccedilatildeo proporcional agrave forccedila do campo aplicado Este coeficiente de proporcionalidadeestaacute entre os 10times 10minus10V minus1 e os 10times 10minus12V minus1 Ficando este fenoacutemeno conhecido como Efeito dePockels
2John Kerr foi um fiacutesico escocecircs e um pioneiro no campo da electro-oacuteptica nomeadamentepelo efeito de Kerr em 1875 que consiste numa variaccedilatildeo do iacutendice de refraccedilatildeo que varia quadraacuteti-camente com o campo eleacutetrico aplicado
1
CAPIacuteTULO 1 INTRODUCcedilAtildeO
apenas em meios em que a sua estrutura natildeo apresenta centro de simetria
No efeito de Kerr a variaccedilatildeo no iacutendice de refraccedilatildeo do meio eacute proporcional ao
quadrado do campo eleacutetrico aplicado e portanto proporcional agrave intensidade da
luz e ao contraacuterio do efeito de Pockels ocorre dum modo geral como mais ou
menos intensidade em todos os materiais
O conhecimento das propriedades electrooacutepticas de um material eacute fundamen-
tal na avaliaccedilatildeo das suas capacidades para o desenvolvimentos de dispositivos
moduladores de luz O presente trabalho de dissertaccedilatildeo consistiu no desenvolvi-
mento de uma bancada oacuteptica para a mediccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico base-
ado em teacutecnica interferomeacutetrica de mediccedilatildeo da diferenccedila de fase induzida por
efeito eletrooacuteptico
Neste trabalho seraacute inicialmente descrita a teoria e os caacutelculos necessaacuterios
para a mediccedilatildeo do efeito electrooacuteptico atraveacutes dos seus coeficientes natildeo-lineares
Sendo de seguida apresentados alguns sistemas de mediccedilatildeo deste efeito e o seu
respectivo funcionamento No capiacutetulo seguinte seraacute descrito o funcionamento
do sistema desenvolvido o interferoacutemetro implementado o porta-amostras cons-
truiacutedo a eletroacutenica e os sistemas oacutepticos desenvolvidos que integram o sistema
bem como os caacutelculos finais para a obtenccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico do sis-
tema usado Por uacuteltimo as conclusotildees retiradas do trabalho desenvolvido bem
como as suas perspectivas futuras
2
Capiacutetulo
2Efeito Electrooacuteptico
Este capiacutetulo aborda do ponto de vista teoacuterico alguns aspectos relevantes para a
realizaccedilatildeo deste trabalho nomeadamente a propagaccedilatildeo da luz num meio as pro-
priedades da oacuteptica natildeo-linear e a alteraccedilatildeo no iacutendice de refraccedilatildeo linear em meios
anisotroacutepicos Estes conceitos permitiratildeo encontrar as expressotildees que determinam
os coeficientes natildeo-lineares
21 Oacuteptica Natildeo-Linear
Um dado material pode responder de forma natildeo-linear a um campo eleacutectrico
aplicado De um modo geral pode-se descrever a resposta da seguinte forma[4]
Pi = ε0
[χ
(1)ij Ej +χ(2)
ijkEjEk +χ(3)ijklEjEkEl +χ(N )
middotmiddotmiddot middot middot middot]
(21)
Onde P i eacute a polarizaccedilatildeo do meio ε0 eacute a permissidade eleacutectrica no vaacutecuo E
o campo eleacutectrico aplicado χ(1) a suscetibilidade eleacutectrica linear e χ(2) χ(3)
χ(n) as suscetibilidades natildeo lineares de segunda ordem de terceira ordem ateacute
N ordem sendo N um nuacutemero inteiro com i j k l um sistema de eixos de
laboratoacuterio com valores valores 1 2 e 3
Cada termo da equaccedilatildeo 21 estaacute associado a diferentes respostas do meio O
termo χ(1) estaacute associado ao iacutendice de refraccedilatildeo e absorccedilatildeo linear O termo χ(2) agrave
geraccedilatildeo de segunda harmoacutenica soma e diferenccedila de frequecircncias e o efeito elec-
trooacuteptico linear ou efeito de Pockels Este efeito eacute particularmente importante
3
CAPIacuteTULO 2 EFEITO ELECTROOacutePTICO
jaacute que permite a modulaccedilatildeo da luz De salientar que o tensor de terceira ordem
(χ(2)ijk) se reduz a dezoito elementos atendendo agraves simetrias resultantes de permu-
tas de iacutendices jaacute que χ(2)ijk = χ
(2)ikj = χ
(2)kij = χ
(2)jik = χ
(2)jki = χ
(2)kji Pode-se desta forma
representar atraveacutes da matriz
χ(2)ij =
χ
(2)11 χ
(2)12 χ
(2)13 χ
(2)14 χ
(2)15 χ
(2)16
χ(2)21 χ
(2)22 χ
(2)23 χ
(2)24 χ
(2)25 χ
(2)26
χ(2)31 χ
(2)32 χ
(2)33 χ
(2)34 χ
(2)35 χ
(2)36
Utilizando uma notaccedilatildeo condensada[5] ficamos com
χ(2)ijk = χ(2)
mk = com m =
1 quando ij = 11
2 quando ij = 22
3 quando ij = 33
4 quando ij = 2332
5 quando ij = 1331
6 quando ij = 1221
De notar que dependendo do meio soacute alguns dos elementos de χ(2)ijk seratildeo natildeo
nulos Para materiais que exibam centro de simetria o efeito electrooacuteptico linear
natildeo existe de todo sendo os elementos de χ(2)ijk nulos
O elemento χ(3) estaacute associado agrave geraccedilatildeo da terceira harmoacutenica soma e dife-
renccedila de frequecircncias e o efeito electrooacuteptico quadraacutetico ou efeito de Kerr que se
manifesta na variaccedilatildeo do iacutendice de refraccedilatildeo com o quadrado do campo eleacutectrico
aplicado
De salientar ainda que quanto maior o valor de ordem n mais difiacutecil se torna
observar os efeitos associados uma vez que estes se tornam cada vez menos inten-
sos
4
22 PROPAGACcedilAtildeO EM MEIOS ANISOTROacutePICOS
22 Propagaccedilatildeo em Meios Anisotroacutepicos
A propagaccedilatildeo de uma onda electromagneacutetica num meio pode ser descrita pelas
equaccedilotildees de Maxwell1 Para o caso de um meio homogeacuteneo isolante e neutro
pode-se escrever como
nabla middot ~E = 0 (22a)
nabla middot ~B = 0 (22b)
nablatimes ~E = minuspart~Bpartt
(22c)
nablatimes ~B = microεpart~Epartt
(22d)
Sendo ~B o campo magneacutetico ~E o campo eleacutectrico ε e micro a permissidade eleacutectrica
e permeabilidade magneacutetica do meio respectivamente
Tendo em conta que para um vector ~D geneacuterico
nablatimesnablatimes ~D = nabla(nabla middot ~D
)minusnabla2 ~D (23)
e
nablatimespart~Dpartt
=partnablatimes ~Dpartt
(24)
Comeccedilando pela equaccedilatildeo 22c
nablatimesnablatimes ~E = nablatimespart~Bpartt
(25)
Usando as propriedades matemaacuteticas das equaccedilotildees 23 e 24
nabla(nabla middot ~E
)minusnabla2~E =
partnablatimes ~Bpartt
(26)
Utilizando as equaccedilotildees 22a e 22d na equaccedilatildeo 26 verifica-se que
nabla2~E = microεpart2~E
partt2(27)
1James Clerk Maxwell foi um cientista escocecircs mais conhecido por ter combinado as teoriasdos campos da oacuteptica do magnetismo e da electricidade numa soacute e uacutenica teoria dando assimorigem as chamadas equaccedilotildees de Maxwell
5
CAPIacuteTULO 2 EFEITO ELECTROOacutePTICO
Obtendo-se desta maneira a equaccedilatildeo de onda para o campo eleacutectrico Analo-
gamente mas comeccedilando com a equaccedilatildeo 22d obteacutem-se para o campo magneacutetico
nabla2~B = microεpart2~B
partt2(28)
A sua velocidade de propagaccedilatildeo eacute dada por
v =1radicmicroε
(29)
Sendo que no vazio micro = micro0 e ε = ε0 o que resulta em v = c 3times 108ms
Resolvendo as equaccedilotildees 27 e 28 obtecircm-se as expressotildees para os campos eleacutec-
tricos e magneacuteticos que se propagam no meio
~E (~r t) = ~E0ei(~kmiddot~rminuswt
)(210)
e
~B (~r t) = ~B0ei(~kmiddot~rminuswt
)(211)
Onde ~r eacute o vector posiccedilatildeo ~k eacute o vector de onda que segue a direccedilatildeo de pro-
pagaccedilatildeo da onda w a frequecircncia angular e t o tempo Sendo que a parte real das
equaccedilotildees representa os seus respectivos campos A magnitude do vector ~k pode
ser escrita da seguinte maneira
k =2πλ
=wv
=wnc
(212)
Em que k eacute o nuacutemero de onda λ o comprimento de onda e n o iacutendice de
refraccedilatildeo
Escrevendo a parte real das equaccedilotildees 210 e 211 fica-se com
E = E0 cos(kr minuswt) (213)
e
B = B0 cos(kr minuswt) (214)
Manipulando a equaccedilatildeo 22c obtem-se
partEpartx
= minuspartBpartt
(215)
6
22 PROPAGACcedilAtildeO EM MEIOS ANISOTROacutePICOS
Utilizando a equaccedilatildeo 215 nas equaccedilotildees 213 e 213
kE0 = wB0 (216)
Usando a equaccedilatildeo 212 na equaccedilatildeo 216 verifica-se que
B0 =E0
v(217)
221 Vector de Poynting
O fluxo de energia (Wm2) dado pelo vector de Poynting2 (~S) pode ser escrito da
seguinte forma
~S =1micro~E times ~B (218)
A densidade de energia eleacutectrica ou a energia eleacutectrica armazenada por uni-
dade de volume (joulem3) a quantidade de energia contida num dado sistema
em relaccedilatildeo ao seu volume seraacute dada por
uE =12εE2 (219)
Agrave semelhanccedila da densidade de energia eleacutectrica a densidade de energia mag-
neacutetica (uB) eacute
uB =1
2microB2 (220)
Assim somando as equaccedilotildees 219 e 220 obtem-se a densidade de energia
total de uma onda electromagneacutetica
u =12εE2 +
12microB2 (221)
2John Henry Poynting foi um fiacutesico britacircnico autor de diversos trabalhos entre os quais um te-orema no qual se atribui um valor agrave taxa de fluxo de energia electromagneacutetica que ficou conhecidocomo vector de Poynting
7
CAPIacuteTULO 2 EFEITO ELECTROOacutePTICO
Substituindo as equaccedilotildees 29 e 217 na equaccedilatildeo 221 pode-se escrever a densi-
dade de energia total de uma onda electromagneacutetica num dado meio da seguinte
forma
u = εE2 (222)
Relacionando-se desta forma a densidade de energia com o campo eleacutectrico
De salientar que o campo magneacutetico e o campo eleacutectrico estatildeo relacionados atra-
veacutes da equaccedilatildeo 217
Considerando uma secccedilatildeo de aacuterea A (Fig 21) de um cubo com ∆x de lado
Figura 21 Cubo com secccedilatildeo de aacuterea A e ∆x de lado
A energia armazenada no cubo ou densidade de energia eacute igual a
∆U = uA∆x (223)
Sendo que a energia que atravessa a aacuterea A por unidade de tempo eacute
∆U∆t
=uA∆x∆xv
= uAv (224)
Assim a energia por unidade de tempo e aacuterea (Wm2) eacute igual a
uv = S (225)
Combinando a equaccedilatildeo 225 com a equaccedilatildeo 222 pode-se escrever a magnitude
do vector de Poynting da seguinte forma
S = εvE2 (226)
8
22 PROPAGACcedilAtildeO EM MEIOS ANISOTROacutePICOS
Substituindo a equaccedilatildeo 213 na equaccedilatildeo 225 a magnitude do vector de Poyn-
ting assume a seguinte forma
S = εvE20 cos2 (wt) (227)
Se na equaccedilatildeo 227 se fizer uma meacutedia no tempo obteacutem-se
〈S〉 = εvE20
langcos2 (wt)
rang(228)
Sendo quelangcos2 (wt)
rang= 1
2 tem-se que
I = 〈S〉 =12εvE2
0 =c
2nεE2
0 (229)
Sendo I a intensidade ou seja a potecircncia meacutedia por unidade de aacuterea que a
onda electromagneacutetica transporta
222 Elipsoiacutede dos Iacutendices
Nos meios anisotroacutepicos o iacutendice de refraccedilatildeo linear depende da direccedilatildeo da propa-
gaccedilatildeo da luz e do seu estado de polarizaccedilatildeo A resposta de um meio anisotroacutepico
eacute normalmente obtida atraveacutes do conceito de elipsoiacutede de iacutendices[5 6 7] que
a seguir seraacute descrita Ao se aplicar um campo eleacutectrico a um meio polarizaacutevel
este induz uma mudanccedila do estado de polarizaccedilatildeo descrito pelo deslocamento
eleacutectrico
~D = ε0~E + ~P (230)
Sendo
~P = ε0χ~E (231)
onde ε0 eacute a permissidade eleacutectrica no vazio ~P a polarizaccedilatildeo ~E o campo eleacutec-
trico ~D o deslocamento eleacutectrico e χ eacute o tensor das suscetibilidades Atraveacutes das
equaccedilotildees 230 e 231 tem-se que
~D = ε0~E(1 + χ) (232)
9
CAPIacuteTULO 2 EFEITO ELECTROOacutePTICO
Sendo que χ eacute dado por
χ =
χ11 χ12 χ13
χ21 χ22 χ23
χ31 χ32 χ33
(233)
Pelo teorema de eixos principais [7] seraacute possiacutevel escolher um sistema de co-
ordenadas onde apenas os elementos da diagonal principal sejam diferentes de
zero de tal forma que
χ =
χ11 0 0
0 χ22 0
0 0 χ33
(234)
Assim a equaccedilatildeo 231 pode ser escrita na forma no novo sistema de eixosP1
P2
P3
= ε0
χ11 0 0
0 χ22 0
0 0 χ33
E1
E2
E3
(235)
Da equaccedilatildeo 235 pode-se ainda retirar o seguinte
P1 = ε0χ11E1 D1 = ε11E1 ε11 = ε0 (1 +χ11)
P2 = ε0χ22E2 D2 = ε22E2 ε22 = ε0 (1 +χ22) (236)
P3 = ε0χ33E3 D3 = ε33E3 ε33 = ε0 (1 +χ33)
Combinando as equaccedilotildees 219 e 236 pode-se reescrever a densidade de energia
armazenada no campo eleacutectrico como
uE =12~E middot ~D (237)
Usando as expressotildees da equaccedilatildeo 236 para manipular a equaccedilatildeo 237 obtem-
se
D21
ε11+D2
2
ε22+D2
3
ε33= 2uE (238)
10
22 PROPAGACcedilAtildeO EM MEIOS ANISOTROacutePICOS
Substituiacutendo na equaccedilatildeo 238 D1 D2 e D3 pelos seus respectivos eixos em
coordenadas cartesianas tem-se que
x2
ε11ε0+
y2
ε22ε0+
z2
ε33ε0= 1 (239)
sendo x = D1radic2ε0UE
y = D2radic2ε0UE
e z = D3radic2ε0UE
Reescrevendo a equaccedilatildeo 239 fazendo n2x = ε11ε0 n2
y = ε22ε0 e n2z = ε33ε0
obteacutem-se forma a equaccedilatildeo do elipsoide de iacutendices
x2
n2x
+y2
n2y
+z2
n2z
= 1 (240)
Sendo nx ny e nz o iacutendice de refraccedilatildeo na sua respectiva direccedilatildeo como demons-
tra a figura 22
Figura 22 Ilustraccedilatildeo do elipsoiacutede de iacutendices (retirado de [7])
11
CAPIacuteTULO 2 EFEITO ELECTROOacutePTICO
223 Coeficientes Natildeo-Lineares
Quando eacute aplicado um campo eleacutectrico ao meio o elipsoiacutede de iacutendices pode
mudar a sua forma e orientaccedilatildeo no espaccedilo de tal forma que a equaccedilatildeo de elipsoide
de iacutendices passa a ser escrita de um modo geral como
( 1n2
)1x2 +
( 1n2
)2y2 +
( 1n2
)3z2 + 2
( 1n2
)4xy + 2
( 1n2
)5xz+ 2
( 1n2
)6yz = 1 (241)
Quando o campo eleacutectrico aplicado eacute nulo as equaccedilotildees 240 e 241 tecircm de ser
equivalentes pelo que para E = 0 tem-se
( 1n2
)1
=1
n2x( 1
n2
)2
=1
n2y( 1
n2
)3
=1
n2z( 1
n2
)4
=( 1n2
)5
=( 1n2
)6
= 0
(242)
Desta forma quando se aplica um campo eleacutectrico (E) verifica-se uma variaccedilatildeo
nos coeficientes(
1n2
)i Esta variaccedilatildeo induzida pelo efeito electrooacuteptico pode entatildeo
ser descrita atraveacutes de [8]
∆
( 1n2
)i
=3sumj=1
rijEj com i = 1 6 (243)
Sendo rij o coeficiente electrooacuteptico e E a magnitude do campo eleacutectrico apli-
cado
12
22 PROPAGACcedilAtildeO EM MEIOS ANISOTROacutePICOS
A equaccedilatildeo 243 tambeacutem pode ser escrita como
∆
( 1n2
)1
∆
( 1n2
)2
∆
( 1n2
)3
∆
( 1n2
)4
∆
( 1n2
)5
∆
( 1n2
)6
=
r11 r12 r13
r21 r22 r23
r31 r32 r33
r41 r42 r43
r51 r52 r53
r61 r62 r63
E1
E2
E3
(244)
Nesta conformidade o coeficiente electrooacuteptico pode ser escrito como
rij = minus 2
n3ij
[partnijpartEj
](245)
A diferenccedila de fase ∆φ resultante da variaccedilatildeo no iacutendice de refraccedilatildeo ∆n seraacute
∆φ =2πlλ
∆n (246)
Em que o l eacute o caminho percorrido pela luz de comprimento de onda λ no
meio Sendo a variaccedilatildeo no iacutendice de refraccedilatildeo devida aos efeitos electrooacutepticos
pode-se escrever
|∆n| =rno
3
2Voh
(247)
para o efeito electrooacuteptico linear e
|∆n| =sn3o
2
(Voh
)2(248)
para o efeito electrooacuteptico quadraacutetico
Onde os coefeciecircntes electrooacutepticos linear e quadraacutetico satildeo respectivamente
r e s Vo eacute o potencial eleacutectrico aplicado entre os eleacutetrodos que distam entre si a
uma distacircncia h criando assim o campo eleacutectrico aplicado
13
Capiacutetulo
3Mediccedilatildeo do Efeito Electrooacuteptico
Neste capiacutetulo satildeo apresentadas as teacutecnicas mais comuns utilizadas para a me-
diccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico destacando-se dois tipos de interferoacutemetros o
tradicional e os de interferometria de dois feixes
31 Meacutetodo Tradicional
Um dos meacutetodos mais usados para medir o efeito eletrooacuteptico foi o proposto por
Henry [9] em 1986 Esta teacutecnica ilustrada na Fig31 baseia-se na alteraccedilatildeo do
estado de polarizaccedilatildeo de um feixe linearmente polarizado quando este atravessa
o meio Esta alteraccedilatildeo ocorre devido agrave birrefrigecircncia induzida por um campo
eleacutetrico aplicado e agrave atividade oacuteptica do meio A montagem eacute composta por uma
fonte de luz (S) um monocromador (M) uma lente (L) um diafragma (D) dois
polarizadores (P1 e P2) um cristal (BSO) de espessura d ao qual eacute aplicado um
campo eleacutetrico (E) e um fotomultiplicador (FM) ligado a um sistema de aquisiccedilatildeo
de dados
O procedimento experimental em si consiste no seguinte para um dado estado
de polarizaccedilatildeo do feixe incidente imposto pelo P1 vai-se alterando a posiccedilatildeo
angular do P2 de forma a encontrar as intensidades maacutexima e miacutenima e desta
forma calcular-se a visibilidade (ν) atraveacutes de [9]
νθ =Imax minus IminImax + Imin
(31)
15
CAPIacuteTULO 3 MEDICcedilAtildeO DO EFEITO ELECTROOacutePTICO
Figura 31 Montagem experimental proposta por Henry e a sua equipa (adaptadode [9])
De seguida altera-se P1 para a posiccedilatildeo angular de 45 e repete-se o procedi-
mento anterior Somando o quadrado das duas visibilidades obtidas tem-se que
[9]
ν2θ + ν2
θ+45 = 1 +
1minus δ2
2
sen(φ2 )φ2
2
2
(32)
sendo
δ =2πλn3rEyd (33)
e
φ =radicδ2 + ρ2 (34)
Sendo δ a diferenccedila de fase originada pela birrefringecircncia λ o comprimento
de onda do feixe no vaacutecuo ρ a diferenccedila de fase associada agrave actividade oacuteptica n o
iacutendice de refraccedilatildeo sem campo eleacutetrico aplicado Ey o campo eleacutectrico aplicado e
d a espessura do cristal na direccedilatildeo do campo eleacutectrico aplicado Destas equaccedilotildees
pode-se calcular o coeficiente electrooacuteptico r
Para o caso de φ pequenos
sen(φ2 )φ2
2
1 pelo que
ν2θ + ν2
θ+45 1 +(1minus δ
2
2
)2
(35)
Natildeo sendo nesta situaccedilatildeo necessaacuteria a actividade oacuteptica ρ Esta teacutecnica apre-
senta um erro de mediccedilatildeo de 10 a 15 em relaccedilatildeo ao valor tabelado
16
32 MEacuteTODOS POR INTERFEROMETRIA
32 Meacutetodos por Interferometria
321 Interferometria Oacuteptica
Quando duas ondas de uma mesma frequecircncia se sobrepotildeem num dado ponto
formam uma nova onda cuja amplitude eacute o resultado da soma da amplitude das
duas ondas iniciais em cada instante nesse ponto Quando a soma da duas ondas
resulta numa amplitude maior diz-se que houve interferecircncia construtiva quando
resulta numa amplitude inferior diz-se que ocorreu interferecircncia destrutiva
Supondo que uma das ondas tem a forma E1ei(φ1minuswt) e a outra forma E2e
i(φ2minuswt)
sendo E1 e E2 as amplitudes dos respetivos campos eleacutetricos φ1 e φ2 as fases
iniciais w a frequecircncia angular e t o tempo a onda resultante seraacute descrita por
[10]
ET = E1ei(φ1minuswt) +E2e
i(φ2minuswt) (36)
Se φ1 minusφ2 = 2Nπ com N = 012 entatildeo as duas ondas estaratildeo em fase e daacute-
se uma interferecircncia construtiva perfeita Se φ1 minusφ2 = (2N + 1)π e E1 = E2 entatildeo
as duas ondas estaratildeo em oposiccedilatildeo de fase e daacute-se uma interferecircncia destrutiva
completa Estas situaccedilotildees extremas encontram-se ilustradas na figura 32
Figura 32 Ilustraccedilatildeo de uma interferecircncia construtiva perfeita (a) e destrutivacompleta (b)
Matematicamente a coerecircncia eacute uma medida da correlaccedilatildeo entre as ondas
Quanto mais construtiva for a interferecircncia maior seraacute a coerecircncia Fisicamente
a coerecircncia eacute uma medida do quatildeo constante a diferenccedila de fase permanece entre
17
CAPIacuteTULO 3 MEDICcedilAtildeO DO EFEITO ELECTROOacutePTICO
as duas ondas A coerecircncia eacute usualmente medida num padratildeo de franjas de in-
terferecircncia atraveacutes da visibilidade de franja (ν) que pode ser experimentalmente
calculada atraveacutes de [10]
ν =Imax minus IminImax + Imin
= 1 coerecircncia total e contraste maacuteximo
0 lt ν lt 1 coerecircncia parcial
= 0 incoerecircncia total e contraste natildeo haacute franjas
(37)
Pode-se ver na Fig33 um exemplo da equaccedilatildeo 37 que representa a visibi-
lidade das franjas em funccedilatildeo da diferenccedila de fase entre duas ondas da mesma
frequecircncia que interferem Como a visibilidade das franjas depende da coerecircncia
das duas ondas qualquer diferenccedila iraacute traduzir-se numa diminuiccedilatildeo de visibili-
dade
Figura 33 Visibilidade num interferoacutemetro em funccedilatildeo da diferenccedila de fase entreduas ondas provenientes de ramos diferentes do interferoacutemetro (adaptado de[11])
Pode-se usar a interferometria para quantificar os efeitos electrooacutepticos natildeo
soacute linear mas tambeacutem o quadraacutetico (efeito de Kerr) Os interferoacutemetros mais
frequentemente utilizados para este efeito satildeo os interferoacutemetro de Michelson1 e1Albert Abraham Michelson foi um fiacutesico americano conhecido pela invenccedilatildeo do interferoacuteme-
tro de Michelson (1891) do seu trabalho na mediccedilatildeo da velocidade da luz e pelo seu trabalho naexperiecircncia de Michelson-Morley Em 1907 tornou-se o primeiro americano a receber o PreacutemioNobel da Fiacutesica
18
32 MEacuteTODOS POR INTERFEROMETRIA
o interferoacutemetro de Mach-Zehnder2
De salientar que as teacutecnicas interferomeacutetricas apresentam uma elevada sensibi-
lidade simplificaccedilatildeo na preparaccedilatildeo das amostras a estudar e uma menor sensibili-
dade a vibraccedilotildees mecacircnicas e a flutuaccedilotildees teacutermicas desde que estas ocorram com
a mesma intensidade em ambos os ramos do mesmo tamanho do interferoacutemetro
322 Interferoacutemetro de Mach-Zehnder
No interferoacutemetro de Mach-Zehnder (Fig 34) um separador de feixe divide o
feixe proveniente da fonte em dois feixes que vatildeo constituir os dois ramos do
interferoacutemetro o feixe-amostra e o feixe-referecircncia Ambos satildeo refletidos por um
espelho e ambos atravessam um novo separador de feixe antes de se juntarem de
novo e serem medidos nos detetores
Figura 34 Esquema de um interferoacutemetro de Mach-Zehnder (adaptado de [12])
Com os ramos agrave mesma distacircncia pode ainda observar-se que sem amostra
ambos os feixes vatildeo chegar em fase aos detetores havendo desta forma uma inter-
ferecircncia construtiva Ambos apresentaratildeo uma mudanccedila de fase correspondente
a λ devido ao facto de ambos sofrerem duas reflexotildees e uma transmissatildeo numa
placa de vidro(separador de feixe) ateacute chegarem aos detetores2Ludwig Zehnder foi um fiacutesico suiacuteccedilo e o inventor do interferoacutemetro de Mach-Zehnder Inter-
feroacutemetro esse depois aperfeiccediloado por Ludwig Mach
19
CAPIacuteTULO 3 MEDICcedilAtildeO DO EFEITO ELECTROOacutePTICO
Alterando o caminho oacuteptico do espelho do feixe-referecircncia em λ4 sem amos-
tra o feixe-amostra e o feixe-referecircncia vatildeo chegar com uma diferenccedila de fase de
λ2 ou seja vai haver uma interferecircncia destrutiva completa Isto porque o feixe-
referecircncia vai ter uma mudanccedila de fase de λ2 devido a uma reflexatildeo e duas trans-
missotildees provocadas pelos separadores de feixe Enquanto que o feixe-amostra
chegaraacute aos detetores com uma diferenccedila de fase de λ devido a duas reflexotildees
mais uma reflexatildeo com transmissatildeo no segundo separador de feixe Assim na
ausecircncia de amostra e desde que a diferenccedila de caminho oacuteptico ou retardaccedilatildeo
(δ) seja zero os feixes iratildeo interferir construtivamente [13]
Com a amostra colocada no caminho do feixe-amostra os feixes vatildeo chegar ao
detetor em diferentes situaccedilotildees de fase sendo possiacutevel determinar a diferenccedila de
fase provocada pela presenccedila da amostra
A intensidade do feixe (I) em ambos os detetores eacute descrita por [14]
I(δ) =12I(k)cos(2Nkδ) (38)
Com k o nuacutemero de onda (k = 2πλ) E fazendo δ = d com d = vt resulta
I(δ) =12I(k)cos(2Nk(vt)) (39)
323 Interferoacutemetro de Michelson
No interferoacutemetro do tipo Michelson um feixe de luz eacute dividido em dois que
percorrem caminhos diferentes para de seguida se recombinarem Apoacutes terem
percorrido caminhos diferentes o feixe resultante da recombinaccedilatildeo pode apresen-
tar um padratildeo de interferecircncia que depende da diferenccedila de caminhos oacutepticos
entre os feixes e que pode ser medido num detetor
A forma mais simples de implementar um interferoacutemetro de Michelson con-
siste em dois espelhos colocados entre si num plano perpendicular em que um
deles se pode mover na direccedilatildeo perpendicular agrave sua superfiacutecie refletora conforme
ilustrado na Fig35
Esse espelho iraacute movimentar-se num espaccedilo definido a uma velocidade cons-
tante Entre o espelho fixo e o espelho moacutevel estaacute um separador de feixe que
divide o feixe incidente inicial em dois de igual intensidade Aqui o feixe eacute parci-
almente refletido para um espelho e parcialmente transmitido para o outro
20
32 MEacuteTODOS POR INTERFEROMETRIA
Figura 35 Esquema de funcionamento de um interferoacutemetro de Michelson cominterferecircncia construtiva (a) e destrutiva (b) (adaptado de [15])
Assumindo que o separador de feixe eacute ideal e com uma reflectacircncia e transmi-
tacircncia de 50 se o espelho moacutevel se encontrar estacionaacuterio pode determinar-se
a intensidade do feixe num dado ponto do detetor Se a diferenccedila do caminho
oacuteptico ou retardaccedilatildeo (δ) for zero ou seja os espelhos estatildeo igualmente espaccedilados
do separador de feixe estes vatildeo percorrer a mesma distacircncia e interferir construti-
vamente pelo que a intensidade do feixe final eacute a soma das intensidades dos dois
feixes Nestas condiccedilotildees toda a luz que sai da fonte chega ao detetor
No caso do espelho moacutevel se deslocar uma distacircncia de λ4 a retardaccedilatildeo total
seraacute de λ2 pelo que os feixes estaratildeo desfasadas de 180ordm (π) Nestas condiccedilotildees ter-
se-aacute interferecircncia destrutiva completa na recombinaccedilatildeo dos feixes dando origem
agrave extinccedilatildeo total
Voltando a deslocar o espelho moacutevel de mais λ4 a diferenccedila do caminho
oacuteptico seraacute igual a λ e os dois feixes voltam a estar em fase havendo novamente
uma sobreposiccedilatildeo construtiva dos feixes
Com o espelho moacutevel a deslocar-se a uma velocidade constante o sinal do de-
tetor iraacute variar com uma forma perioacutedica sendo que atinge o seu maacuteximo quando
a retardaccedilatildeo (δ) for um muacuteltiplo inteiro de λ δ =Nλ
A expressatildeo da intensidade do feixe (I) no detector para o caso do interferoacute-
metro de Michelson eacute semelhante agrave equaccedilatildeo 38 para o interferoacutemetro de Mach-
Zehnder sendo que neste caso δ = 2d com d = vt jaacute que o feixe atravessa a
amostra duas vezes Nestas condiccedilotildees ter-se-aacute
I(δ) =12I(k)cos(4Nk(vt)) (310)
21
CAPIacuteTULO 3 MEDICcedilAtildeO DO EFEITO ELECTROOacutePTICO
22
Capiacutetulo
4Sistema Implementado
Este capiacutetulo descreve o sistema implementado para a mediccedilatildeo do coeficiente
electrooacuteptico usando a teacutecnica de interferoacutemetria de Michelson bem como a cali-
braccedilatildeo do mesmo
41 Interferoacutemetro
O sistema escolhido para a mediccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico baseia-se na teacutec-
nica de interferometria de Michelson (ver secccedilatildeo 323) onde se mediu a diferenccedila
de fase entre os ramos do interferoacutemetro Esta teacutecnica foi escolhida pela elevada
sensibilidade agrave diferenccedila de fase gerada entre os ramos do interferoacutemetro facili-
dade de preparaccedilatildeo das amostras e por ser menos sensiacutevel a vibraccedilotildees mecacircnicas
e a flutuaccedilotildees teacutermicas desde que estas ocorram com a mesma intensidade em
ambos os ramos do interferoacutemetro Para aleacutem das vantagens mencionadas e espe-
cificamente em comparaccedilatildeo com o interferoacutemetro mais usado o interferoacutemetro
do tipo Mach-Zehnder o interferoacutemetro de Michelson tem uma maior facilidade
de alinhamento dos espelhos e usa apenas um separador de feixe
A figura 41 esquematiza o sistema baseado no interferoacutemetro de Michelson
desenvolvido para a mediccedilatildeo do coeficiente eletrooacuteptico
23
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Figura 41 Esquematizaccedilatildeo do interferoacutemetro de Michelson e instrumentaccedilatildeoutilizada para a mediccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico em cristais
Como se pode ver no esquema da figura 41 o ramo do espelho vibrante fica
vazio enquanto que no ramo do espelho fixo se encontra a amostra entre dois
eleacutectrodos onde se aplicam um campo eleacutectrico E O sinal medido no detector
resulta da interferecircncia entre os feixes provenientes de cada ramo do interferoacute-
mentro dependendo da diferenccedila de fase entre os dois feixes Conforme referido
anteriormente a intensidade da luz (I) que chega ao detector eacute da ordem de [16]
I prop E21 +E2
2 + 2E1E2cos(∆φ) (41)
42 Electroacutenica Desenvolvida
421 Amplificador
Para o efeito electrooacuteptico se manisfestar eacute necessaacuterio aplicar-se uma tensatildeo eleacutec-
trica ao meio Uma vez que a tensatildeo de referecircncia fornecida pelo amplificador
lock-in utilizado eacute muito baixa para induzir efeito electrooacuteptico significativo por
volta dos 12V foi necessaacuterio construir um amplificador de tensatildeo (Fig 42)
24
42 ELECTROacuteNICA DESENVOLVIDA
Figura 42 Esquemaacutetico do amplificador de tensatildeo utilizado com base no ampli-ficador operacional LF356n
O amplificador construiacutedo conforme ilustra a figura 42 consiste numa mon-
tagem inversora de ganho variaacutevel com uma malha de controlo de offset e eacute
alimentado a plusmn12V
Assim o ganho G eacute determinado atraveacutes de
G = 1 +R2R1
(42)
Sendo R1 = 11kΩ R2 = 5kΩ R3 = 25kΩ e o amplificador em si utilizado foi
o LF356n
Obtendo-se desta forma um ganho de aproximadamente 55 Permitindo apli-
car uma tensatildeo de cerca de 66V ao cristal electrooacuteptico Uma vez que a tensatildeo
aplicada eacute baixa pode-se desprezar o efeito piezoeleacutectrico gerado na amostra e
que iria influenciar o valor do coeficiente electrooacuteptico medido
422 Gerador de Rampa
Para alimentar o excitador piezoeleacutectrico do espelho moacutevel foi utilizado um ge-
rador de sinais (Fig 43) de forma a induzir um deslocamento linear perioacutedico
na forma de rampa A frequecircncia de oscilaccedilatildeo cerca de 25Hz foi escolhida de
25
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
forma a ser suficientemente baixa para evitar fenoacutemenos de batimento com o sinal
de modulaccedilatildeo electrooacuteptico e suficientemente alta para que se consiga adquirir
dados em tempo uacutetil com uma tensatildeo variaacutevel entre os 4 e os 8V
Figura 43 Esquema eleacutectrico do gerador de rampa implementado baseado nocircuito temporizador NE555
Sendo R1 = 20kΩ R2 = 1kΩ e C1 = C2 = 47microF
O tempo de subida da rampa t1 eacute dado por
t1 = 0693(R1 +R2)C1 (43)
Enquanto que o tempo de descida t2 eacute
t2 = 0693R2C1 (44)
Obtendo assim um tempo de subida de 036s e um tempo de descida de 0033s
Assim a frequecircncia do gerador de rampa f seraacute dada por
f =1
t1 + t2=
144(R1 + 2R2)C1
(45)
O gerador de rampa foi construiacutedo aproveitando o espaccedilo livre no interior da
unidade de amplificaccedilatildeo onde se situa o amplificador
26
42 ELECTROacuteNICA DESENVOLVIDA
423 Seguidor de Tensatildeo
Devido agrave necessidade de acoplamento de impedacircncias entre o amplificador lock-
in e o osciloacutescopio natildeo foi possiacutevel a utilizaccedilatildeo de um repartidor coaxial que
repartisse o sinal proveniente do detector Assim de forma a se poder visuali-
zar o sinal proveniente do detector em simultacircneo com o sinal electrooacuteptico foi
necessaacuterio a construccedilatildeo de um seguidor de tensatildeo (Fig44)
Figura 44 Esquema do seguidor de tensatildeo utilizado construida com base nosamplifacores operacionais LF356n
Sendo que ambos os circuitos integrados foram alimentados por uma tensatildeo
positiva (V+) de 12V e uma negativa (Vminus) de minus12V Com R1 = R2 = 25kΩ Agrave
semelhanccedila do amplificador foi tambeacutem construida uma malha de controlo de
offset
Agrave semelhanccedila do gerador de rampa tambeacutem foi construido na unidade de
amplificaccedilatildeo e gerador de rampa como se pode ver na figura 45
27
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Figura 45 Imagem da unidade de amplificaccedilatildeo e geraccedilatildeo de rampa implemen-tada
43 Sistema Oacuteptico Desenvolvido
431 Espelho Vibrante
O espelho vibrante (Fig46) foi construiacutedo afixando um espelho a um disco pie-
zoeleacutectrico A vibraccedilatildeo do espelho iraacute fazer com que a distacircncia entre o divisor
de feixe e o espelho varie Fazendo deslocar a franja de interferecircncia em frente ao
detector permitindo a este medir as intensidades maacuteximas e miacutenimas das franjas
de interferecircncia (ver secccedilatildeo 323)
Figura 46 Imagem do espelho vibrante utilizado
28
43 SISTEMA OacutePTICO DESENVOLVIDO
432 Bancada Oacuteptica
De forma a colocar os componentes ao niacutevel do feixe do laser na mesa oacuteptica e a
tornar o sistema menos sensiacutevel a vibraccedilotildees mecacircnicas e flutuaccedilotildees teacutermicas os
componentes foram colocadas numa base quadrada de alumiacutenio
Figura 47 Imagem da bancada oacuteptica onde o interferoacutemetro de Michelson foiconstruiacutedo
Conforme se pode ver na figura 47 para completar o interferoacutemetro de Michel-
son para aleacutem dos componentes jaacute referidos foram ainda utilizados um separador
de feixe e um espelho (fixo) no suporte com uma lente oacuteptica agrave saiacuteda do mesmo
Faltando ainda o laser utilizado da Melles Griotreg que possui uma potecircncia de
635mW e um comprimento de onda de 6328nm
433 Detector
O detector utilizado foi um modelo 818-UVDB da Newport Corporationreg (Fig
48) de baixa potecircncia consistindo num fotodiacuteodo de siliacutecio capaz de operar entre
os 200 e os 1100nm As caracteriacutesticas principais deste detector encontram-se
listadas na tabela 433
29
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Tabela 41 Caracteriacutesticas principais do detector 818-UVDB [17]
Largura de Banda 200 a 1100(nm) Material Siliacutecio
Potecircncia
W λ(nm)
Incerteza de
λ(nm)
02 200 a 4008 200 a 219
Maacutexima Calibraccedilatildeo 2 220 a 349
005 400 a 11001 350 a 9494 950 a 1050
Densidade de02Wcm2 Aacuterea Activa 1cm2
Potecircncia Meacutedia
Energia Maacutexima05microJ
Diacircmetro113cm
de Pulso Activo
De forma a evitar que a luz ambiente interferisse nas medidas e para aumen-
tar a resoluccedilatildeo de mediccedilatildeo do perfil da franja de interferecircncia foi colocado um
diafragma com uma abertura no centro de 06mm conforme se pode ver na figura
48 reduzido desta maneira a aacuterea activa para 028 mm2
Figura 48 Imagem do detector e disco utilizado
Para a aquisiccedilatildeo do sinal electrooacuteptico e geraccedilatildeo de sinal electrooacuteptico de
referecircncia foi utilizado um osciloscoacutepio Lecroy Wavesufertrade422
30
43 SISTEMA OacutePTICO DESENVOLVIDO
434 Cristal Electrooacuteptico
Para a calibraccedilatildeo do sistema foi utilizado um cristal padratildeo de dihidrogenofosfato
de potaacutessio (KDP) Na tabela 42 pode-se observar algumas das propriedades
fiacutesicas desse cristal
Tabela 42 Propriedades fiacutesicas do cristal padratildeo KDP [18]
Material Simetria Densidade Classe Higroscopicidade
KDP Tetragonal (42m) 234gcm3 Uniaxial Higroscoacutepico
Uma vez que o cristal eacute uniaxial nx = ny = no e nz = ne sendo no e ne os
iacutendices de refraccedilatildeo ordinaacuterio e extraordinaacuterio do cristal KDP A figura 49 ilustra
o elipsoiacutede de iacutendices num cristal padratildeo KDP
Figura 49 Ilustraccedilatildeo de um cristal padratildeo KDP e seu respectivo elipsoiacutede deiacutendices
31
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Na Tabela 43 pode-se observar algumas das propriedades oacutepticas do cristal
padratildeo KDP
Tabela 43 Propriedades oacutepticas do cristal padratildeo KDP a 6328nm [7]
Material Foacutermula Quiacutemica Iacutendice de RefracccedilatildeoCoeficiente
Electrooacuteptico
KDPKH2PO4
no=15074 r41=86 pmV(λ = 6328nm) ne=14673 r63=106 pmV
Como se pode ver na tabela 42 o cristal do tipo KDP eacute higroscoacutepico sendo
assim necessaacuterio reduzir ao maacuteximo o contacto entre o cristal e a atmosfera para
evitar que as suas faces fiquem opacas interferindo assim na qualidade do feixe
transmitido
435 Porta Amostras
O porta amostras eacute constituiacutedo por uma base feita de latatildeo (Fig 410) onde se
coloca o cristal nivelado com o feixe laser Este suporte possui oito roscas para
parafusos M3 quatro em cima de forma a se fixar os encaixes laterais do porta
amostras e quatro em baixo de forma a afixar-se firmemente na bancada oacuteptica
Figura 410 Imagem da base do porta-amostras desenvolvido
32
43 SISTEMA OacutePTICO DESENVOLVIDO
De forma a aplicar-se a tensatildeo de excitaccedilatildeo ao cristal sem bloquear o feixe do
laser foram utilizadas duas placas de vidro com oacutexido de estanho dopado com
fluacuteor (FTO) Este permite que haja uma boa transparecircncia e conduccedilatildeo eleacutetrica
sendo usado em vaacuterios tipos de dispositivos como aplicaccedilotildees opto-eletroacutenicas
ecratildes touch screen filmes finos fotovoltaicos etc O oacutexido de estanho dopado
com fluacuteor [19] eacute reconhecido por ser altamente estaacutevel quimicamente inerte re-
siste a temperaturas elevadas e ao desgaste abrasivo sendo mais econoacutemico do
que o tradicional oacutexido de iacutendio e estanho (ITO)
De forma a garantir um bom contacto eleacutectrico entre o vidro FTO e o cristal
foram construidas duas peccedilas de afixaccedilatildeo idecircnticas (Fig 411) Trata-se de duas
peccedilas de alumiacutenio cada uma contendo uma abertura de forma a deixar passar
o feixe laser e dois rasgos para parafusos de forma a poder-se fixar no suporte e
desta maneira exercer uma pressatildeo constante sobre o cristal
Figura 411 Imagem das peccedilas de fixaccedilatildeo do cristal desenvolvidas com a vista defrente (a) e a vista de traacutes (b)
A ligaccedilatildeo eleacutectrica entre o sinal de referecircncia proveniente do amplificador ao
vidro FTO foi feita atraveacutes de uma cola condutora de prata de forma a assegurar
a ligaccedilatildeo oacutehmica entre o fio de cobre e a camada de FTO O cristal fica assim entre
duas placas de vidro FTO(Fig412)
33
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Figura 412 Imagem do porta Amostras desenvolvido
A figura 413 ilustra o sistema desenvolvido incluindo a bancada oacuteptica e
instrumentaccedilatildeo
Figura 413 Imagem do sistema desenvolvido para a mediccedilatildeo do efeito electrooacutep-tico
34
44 COEFICIENTE ELECTROOacutePTICO
44 Coeficiente Electrooacuteptico
Para o cristal utilizado o dihidrogenofosfato de potaacutessio (KDP) e para o efeito
electrooacuteptico linear a matriz de coeficientes electrooacutepticos eacute a seguinte
rij =
0 0 0
0 0 0
0 0 0
r41 0 0
0 r52 0
0 0 r63
com
i = 1 6
j = 123
Sendo que r41 = r52 pelo que existem apenas dois coeficientes independentes
o r41 e o r63
Usando a notaccedilatildeo condensada mencionada da secccedilatildeo 21 onde se aplica o
campo eleacutectrico (E) no plano do i (sendo i = m) enquanto que j eacute o eixo oacuteptico
Para o caso do KDP eacute costume utilizar o r63 Isto eacute aplicar o campo eleacutectrico nos
planos 12 ou 21 (ou seja i = 6) com o eixo oacuteptico no eixo 3 (j = 3) como demonstra
a figura 414
Figura 414 Ilustraccedilatildeo da configuraccedilatildeo utilizada para a mediccedilatildeo do coeficienter63 num cristal
35
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Para o caso do efeito electrooacuteptico quadraacutetico a matriz dos coeficientes elec-
trooacutepticos seraacute
sij =
s11 s12 s12 0 0 0
s12 s11 s12 0 0 0
s12 s12 s11 0 0 0
0 0 0 s11 minus s12 0 0
0 0 0 0 s11 minus s12 0
0 0 0 0 0 s11 minus s12
com i j = 1 6
45 Execuccedilatildeo Experimental
Para se medir o coeficiente electrooacuteptico aplica-se ao cristal uma tensatildeo com uma
frequecircncia de 2kHz frequecircncia essa que se revelou menos sensiacutevel aos ruiacutedos
ambientes sendo que o sinal electrooacuteptico teraacute a mesma frequecircncia Podendo-
se desta maneira atraveacutes de um amplificador de lock-in (modelo 393 da IthacoDynatrac) filtrar o sinal electrooacuteptico dos restantes sinais uma vez que a sua
frequecircncia eacute conhecida
A intensidade da equaccedilatildeo 41 eacute maacutexima quando cos(∆φ) = 1 e miacutenima quando
cos(∆φ) = minus1 Pelo que subtraindo estas duas equaccedilotildees
Imax minus Imin = 4E1E2 (46)
Assim combinando a equaccedilatildeo 41 com a equaccedilatildeo 46 obtem-se
I prop E21E
22 +
12
(Imax minus Imin)cos(∆φ) (47)
Juntando agora a equaccedilatildeo 246 agrave equaccedilatildeo 247 e tendo em conta que o feixe
passa duas vezes por cada ramo (=2l) a diferenccedila de fase para o efeito electrooacutep-
tico linear
∆φ = ∆φ0 +πrn3
oVoλ
2lh
cos(Ωt) (48)
Sendo ∆φ0 a diferenccedila de fase inicial sem o efeito electrooacuteptico
36
45 EXECUCcedilAtildeO EXPERIMENTAL
Substituindo o ∆φ da equaccedilatildeo 48 na equaccedilatildeo 47 a intensidade do sinal com
modulaccedilatildeo electrooacuteptica(Iseo) seraacute dado por
Iseo prop E21 +E2
2 +12
(Imax minus Imin)cos(∆φ0 +
πrn3oVoλ
2lh
cos(Ωt))
(49)
Usando cos(α plusmn β) = cos(α)cos(β)∓ sen(α) sen(β) e D = πrn3oVoλ
2lh fica-se com
Iseo prop E21 +E2
2+12
(Imax minus Imin)
[cos(∆φ0)cos(Dcos(Ωt)) minus sen(∆φ0) sen(D cos(Ωt))](410)
Como a modulaccedilatildeo electrooacuteptica eacute um efeito muito pequeno a equaccedilatildeo 410
pode-se escrever
Iseo asymp E21 +E2
2 +12
(Imax minus Imin) [cos(∆φ0)minusD cos(Ωt) sen(∆φ0)] (411)
Considerando soacute os termos de primeira ordem
Iseo asymp12
(Imax minus Imin) [cos(∆φ0)minusD cos(Ωt) sen(∆φ0)] (412)
A componente do sinal electrooacuteptico eacute entatildeo dado por
Iseo =12
(Imax minus Imin)D cos(Ωt) sen(∆φ0) (413)
Ou seja
Iseo =12
(Imax minus Imin)πrn3
oVoλ
2lh
cos(Ωt) sen(∆φ0) (414)
O acircngulo ∆φ0 varia linearmente com o tempo (t) a uma frequecircncia inferior
a Ω A franja de interferecircncia desloca-se continuamente em frente ao detector
devido a um dos espelho estar fixado num disco piezoeleacutectrico
37
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Na figura 415 pode-se ver uma exemplificaccedilatildeo do sinal no detector que incor-
pora o sinal da franja e electrooacuteptico dada pela equaccedilatildeo 414
Figura 415 Ilustraccedilatildeo do sinal de modulaccedilatildeo electrooacuteptica de um feixe de luzmedido num interferoacutemetro de Michelson
Uma vez que o sinal electrooacuteptico (cos(Ωt)) estaacute desfasado π2 do sinal da
franja ( sen(∆φ0)) A intensidade do sinal electrooacuteptico pode ser escrita como
Iseo asymp12
(Imax minus Imin)πrn3
oVoλ
2lh
∣∣∣ sen(∆φ0)∣∣∣ (415)
Assim a amplitude do sinal electrooacuteptico eacute
Iseo =12
(Imax minus Imin)πrn3
oVoλ
2lh
(416)
Pelo que o coeficiente electrooacuteptico linear seraacute dado por
r =|Iseo|
|Imax minus Imin|λ
πn3oVo
hl
(417)
38
46 RESULTADOS
Para o efeito electrooacuteptico quadraacutetico utilizando o procedimento anoacutelogo mas
a partir da equaccedilatildeo 248 em vez da equaccedilatildeo 247 O sinal electrooacuteptico quadraacutetico
Iseoq que ocorre ao dobro da frequecircncia de modulaccedilatildeo 2Ω eacute dado por
s =
∣∣∣Iseoq∣∣∣|Imax minus Imin|
2λ
πn3oV
2o
h2
l(418)
46 Resultados
Com o cristal de KDP devidamente alinhado no interferoacutemetro segundo o seu
eixo oacuteptico de maneira a se medir o coeficiente r63 Obtendo-se assim dois sinais
o sinal de franja e o sinal electrooacuteptico (Fig 416)
Figura 416 Padratildeo da franja produzida (a) e respectivos sinais de franja e elec-trooacuteptico obtidos para um cristal KDP padratildeo
De forma a se proceder a calibraccedilatildeo do sistema utilizou-se a equaccedilatildeo 417 na
forma
|Iseo||Imax minus Imin|
=πn3
o
λlhrVo (419)
39
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Usando o valor da razatildeo |Iseo ||ImaxminusImin|
em funccedilatildeo do potencial aplicado Vo pode-se
calcular o valor do coeficiente electrooacuteptico r atraveacutes do declive da recta obtida
Pode-se ver na figura 417 uma das rectas obtidas para o cristal utilizado na
calibraccedilatildeo do sistema
Figura 417 Razatildeo entre o sinal electrooacuteptico e a diferenccedila de intensidade defranjas em funccedilatildeo do potencial Vo aplicado ao cristal
A tabela 44 apresenta o valor do coeficiente electrooacuteptico obtido e respectiva
incerteza para o cristal de KDP tomando em conta os valores dos iacutendices de
refraccedilatildeo da tabela 43
Tabela 44 Valores e respectivas incertezas obtidas do coeficiente electrooacutepticopara o cristal KDP utilizado
Material Valor Padratildeo Valor Obtido Erro
KDPr63 = 106pmV r63 = 105plusmn 02pmV 1
(λ = 6328nm)
Como se pode ver na tabela 44 o resultado obtido situa-se muito proacuteximo
do teoacuterico encontrando-se dentro da incerteza obtida Os valores valores meacutedios
apresentam um desvio da ordem dos 02pmV
40
46 RESULTADOS
Apesar dos valores obtidos serem bastante positivos houve algumas dificul-
dades nomeadamente o vidro FTO que causou que o alinhamento fosse extrema-
mente complicado natildeo soacute pela sua espessura e dimensionamento como tambeacutem
pela refraccedilatildeo provocada no feixe laser Outro grande obstaacuteculo foi o alinhamento
do cristal uma vez que basta um ligeiro desvio no caminho oacuteptico para causar um
desalinhamento total algo que eacute agravado no interferoacutemetro do tipo Michelson
pelo facto de o feixe laser passar na amostra duas vezes
Apesar destas dificuldades o valor obtido para o coeficiente electrooacuteptico r63
foi de 105pmV valor esse muito proacuteximo do valor padratildeo da literatura que se
encontra nos 106pmV Assim pode-se considerar que o sistema desenvolvido
se encontra devidamente calibrado e pronto para futuras utilizaccedilotildees
41
Capiacutetulo
5Conclusotildees
O trabalho desenvolvido no decorrer desta dissertaccedilatildeo consistiu no desenvolvi-
mento de um sistema para a mediccedilatildeo do efeito electrooacuteptico aacuterea a ser ulilizada
na caracterizaccedilatildeo de novos materiais polimeacutericos para aplicaccedilatildeo em dispositivos
fotoacutenicos
Nesta conformidade foi desenhada construiacuteda e testado uma bancada oacuteptica
destinada agrave mediccedilatildeo do efeito electrooacuteptico baseado numa teacutecnica interferomeacute-
trica de mediccedilatildeo da diferenccedila de fase implementado atraveacutes de um interferoacutemetro
do tipo Michelson
O cristal escolhido para a calibraccedilatildeo do sistema desenvolvido foi um cristal de
KDP comercial tendo sido utilizado o coeficiente electrooacuteptico r63 como referecircn-
cia sendo o valor padratildeo de 106pmV
O sistema obtido permitiu medir um valor nominal de 105plusmn 02pmV com
um erro de aproximadamente 1 em relaccedilatildeo ao valor tabelado comprovando a
afericcedilatildeo do sistema para a mediccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico por transmissatildeo
O sistema desenvolvido estaacute portanto apto para futuras mediccedilotildees sendo ape-
nas necessaacuterio algumas alteraccedilotildees no porta-amostras mediante as dimensotildees e
forma da amostra a utilizar
Chegou-se ainda agrave conclusatildeo que para amostras como o cristal utilizado o
feixe laser passar duas vezes na amostra acaba por ser uma grande desvantagem
desvantagem essa inexistente para filmes polimeacutericos que ganham cada vez mais
importacircncia na aacuterea da fotoacutenica uma vez que satildeo materiais de grande interesse
cientiacutefico e tecnoloacutegico jaacute que podem ser utilizados no desenvolvimento de dispo-
sitivos oacutepticos nomeadamente moduladores de luz e memoacuterias oacutepticas
43
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46
Apecircndice
AApecircndice
A1 Desenhos Teacutecnicos
47
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311
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- Lista de Figuras
- Lista de Tabelas
- Introduccedilatildeo
- Efeito Electrooacuteptico
-
- Oacuteptica Natildeo-Linear
- Propagaccedilatildeo em Meios Anisotroacutepicos
-
- Vector de Poynting
- Elipsoiacutede dos Iacutendices
- Coeficientes Natildeo-Lineares
-
- Mediccedilatildeo do Efeito Electrooacuteptico
-
- Meacutetodo Tradicional
- Meacutetodos por Interferometria
-
- Interferometria Oacuteptica
- Interferoacutemetro de Mach-Zehnder
- Interferoacutemetro de Michelson
-
- Sistema Implementado
-
- Interferoacutemetro
- Electroacutenica Desenvolvida
-
- Amplificador
- Gerador de Rampa
- Seguidor de Tensatildeo
-
- Sistema Oacuteptico Desenvolvido
-
- Espelho Vibrante
- Bancada Oacuteptica
- Detector
- Cristal Electrooacuteptico
- Porta Amostras
-
- Coeficiente Electrooacuteptico
- Execuccedilatildeo Experimental
- Resultados
-
- Conclusotildees
- Bibliografia
- Apecircndice
-
- Desenhos Teacutecnicos
-
Capiacutetulo
1Introduccedilatildeo
A fibra oacuteptica eacute hoje amplamente utilizada nas redes de telecomunicaccedilatildeo em subs-
tituiccedilatildeo dos tradicionais cabos eleacutectricos por permitir transportar uma grande
quantidade de informaccedilatildeo a alta velocidade e com perdas reduzidas sem ser
afetada pelo ruiacutedo eletromagneacutetico Por outro lado a transmissatildeo de informaccedilatildeo
atraveacutes da fibra oacuteptica requer o desenvolvimento de dispositivos capazes de pro-
cessar sinal oacuteptico tais como amplificadores comutadores e moduladores de luz
Eacute aqui que o efeito electrooacuteptico assume um papel de relevo jaacute que possibilita a
modulaccedilatildeo de luz a frequecircncias da ordem do gigahertz [1 2 3]
O efeito electrooacuteptico tambeacutem conhecido por efeito de Pockels1 consiste na
variaccedilatildeo do iacutendice de refraccedilatildeo de um meio quando a este eacute aplicado um campo
eleacutetrico externo Esta alteraccedilatildeo no iacutendice de refraccedilatildeo eacute o resultado de forccedilas elec-
trostaacuteticas que deformam as moleacuteculas (alteraccedilatildeo de posiccedilatildeo orientaccedilatildeo ou forma)
do meio que estaacute na origem de uma alteraccedilatildeo no momento dipolar Distinguem-
se dois tipos de efeito eletrooacuteptico o linear (efeito Pockels) e o quadraacutetico (efeito
Kerr2)
O efeito de Pockels estaacute na origem da criaccedilatildeo de uma birrefringecircncia ∆n
no meio oacuteptico proporcional ao campo eleacutetrico aplicado Este efeito observa-se
1Friedrich Carl Alwin Pockels foi um fiacutesico alematildeo que em 1893 descobriu que se for aplicadoum campo eleacutectrico estaacutevel a certos materiais birrefrigentes estes vatildeo sofrer uma variaccedilatildeo noiacutendice de refraccedilatildeo proporcional agrave forccedila do campo aplicado Este coeficiente de proporcionalidadeestaacute entre os 10times 10minus10V minus1 e os 10times 10minus12V minus1 Ficando este fenoacutemeno conhecido como Efeito dePockels
2John Kerr foi um fiacutesico escocecircs e um pioneiro no campo da electro-oacuteptica nomeadamentepelo efeito de Kerr em 1875 que consiste numa variaccedilatildeo do iacutendice de refraccedilatildeo que varia quadraacuteti-camente com o campo eleacutetrico aplicado
1
CAPIacuteTULO 1 INTRODUCcedilAtildeO
apenas em meios em que a sua estrutura natildeo apresenta centro de simetria
No efeito de Kerr a variaccedilatildeo no iacutendice de refraccedilatildeo do meio eacute proporcional ao
quadrado do campo eleacutetrico aplicado e portanto proporcional agrave intensidade da
luz e ao contraacuterio do efeito de Pockels ocorre dum modo geral como mais ou
menos intensidade em todos os materiais
O conhecimento das propriedades electrooacutepticas de um material eacute fundamen-
tal na avaliaccedilatildeo das suas capacidades para o desenvolvimentos de dispositivos
moduladores de luz O presente trabalho de dissertaccedilatildeo consistiu no desenvolvi-
mento de uma bancada oacuteptica para a mediccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico base-
ado em teacutecnica interferomeacutetrica de mediccedilatildeo da diferenccedila de fase induzida por
efeito eletrooacuteptico
Neste trabalho seraacute inicialmente descrita a teoria e os caacutelculos necessaacuterios
para a mediccedilatildeo do efeito electrooacuteptico atraveacutes dos seus coeficientes natildeo-lineares
Sendo de seguida apresentados alguns sistemas de mediccedilatildeo deste efeito e o seu
respectivo funcionamento No capiacutetulo seguinte seraacute descrito o funcionamento
do sistema desenvolvido o interferoacutemetro implementado o porta-amostras cons-
truiacutedo a eletroacutenica e os sistemas oacutepticos desenvolvidos que integram o sistema
bem como os caacutelculos finais para a obtenccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico do sis-
tema usado Por uacuteltimo as conclusotildees retiradas do trabalho desenvolvido bem
como as suas perspectivas futuras
2
Capiacutetulo
2Efeito Electrooacuteptico
Este capiacutetulo aborda do ponto de vista teoacuterico alguns aspectos relevantes para a
realizaccedilatildeo deste trabalho nomeadamente a propagaccedilatildeo da luz num meio as pro-
priedades da oacuteptica natildeo-linear e a alteraccedilatildeo no iacutendice de refraccedilatildeo linear em meios
anisotroacutepicos Estes conceitos permitiratildeo encontrar as expressotildees que determinam
os coeficientes natildeo-lineares
21 Oacuteptica Natildeo-Linear
Um dado material pode responder de forma natildeo-linear a um campo eleacutectrico
aplicado De um modo geral pode-se descrever a resposta da seguinte forma[4]
Pi = ε0
[χ
(1)ij Ej +χ(2)
ijkEjEk +χ(3)ijklEjEkEl +χ(N )
middotmiddotmiddot middot middot middot]
(21)
Onde P i eacute a polarizaccedilatildeo do meio ε0 eacute a permissidade eleacutectrica no vaacutecuo E
o campo eleacutectrico aplicado χ(1) a suscetibilidade eleacutectrica linear e χ(2) χ(3)
χ(n) as suscetibilidades natildeo lineares de segunda ordem de terceira ordem ateacute
N ordem sendo N um nuacutemero inteiro com i j k l um sistema de eixos de
laboratoacuterio com valores valores 1 2 e 3
Cada termo da equaccedilatildeo 21 estaacute associado a diferentes respostas do meio O
termo χ(1) estaacute associado ao iacutendice de refraccedilatildeo e absorccedilatildeo linear O termo χ(2) agrave
geraccedilatildeo de segunda harmoacutenica soma e diferenccedila de frequecircncias e o efeito elec-
trooacuteptico linear ou efeito de Pockels Este efeito eacute particularmente importante
3
CAPIacuteTULO 2 EFEITO ELECTROOacutePTICO
jaacute que permite a modulaccedilatildeo da luz De salientar que o tensor de terceira ordem
(χ(2)ijk) se reduz a dezoito elementos atendendo agraves simetrias resultantes de permu-
tas de iacutendices jaacute que χ(2)ijk = χ
(2)ikj = χ
(2)kij = χ
(2)jik = χ
(2)jki = χ
(2)kji Pode-se desta forma
representar atraveacutes da matriz
χ(2)ij =
χ
(2)11 χ
(2)12 χ
(2)13 χ
(2)14 χ
(2)15 χ
(2)16
χ(2)21 χ
(2)22 χ
(2)23 χ
(2)24 χ
(2)25 χ
(2)26
χ(2)31 χ
(2)32 χ
(2)33 χ
(2)34 χ
(2)35 χ
(2)36
Utilizando uma notaccedilatildeo condensada[5] ficamos com
χ(2)ijk = χ(2)
mk = com m =
1 quando ij = 11
2 quando ij = 22
3 quando ij = 33
4 quando ij = 2332
5 quando ij = 1331
6 quando ij = 1221
De notar que dependendo do meio soacute alguns dos elementos de χ(2)ijk seratildeo natildeo
nulos Para materiais que exibam centro de simetria o efeito electrooacuteptico linear
natildeo existe de todo sendo os elementos de χ(2)ijk nulos
O elemento χ(3) estaacute associado agrave geraccedilatildeo da terceira harmoacutenica soma e dife-
renccedila de frequecircncias e o efeito electrooacuteptico quadraacutetico ou efeito de Kerr que se
manifesta na variaccedilatildeo do iacutendice de refraccedilatildeo com o quadrado do campo eleacutectrico
aplicado
De salientar ainda que quanto maior o valor de ordem n mais difiacutecil se torna
observar os efeitos associados uma vez que estes se tornam cada vez menos inten-
sos
4
22 PROPAGACcedilAtildeO EM MEIOS ANISOTROacutePICOS
22 Propagaccedilatildeo em Meios Anisotroacutepicos
A propagaccedilatildeo de uma onda electromagneacutetica num meio pode ser descrita pelas
equaccedilotildees de Maxwell1 Para o caso de um meio homogeacuteneo isolante e neutro
pode-se escrever como
nabla middot ~E = 0 (22a)
nabla middot ~B = 0 (22b)
nablatimes ~E = minuspart~Bpartt
(22c)
nablatimes ~B = microεpart~Epartt
(22d)
Sendo ~B o campo magneacutetico ~E o campo eleacutectrico ε e micro a permissidade eleacutectrica
e permeabilidade magneacutetica do meio respectivamente
Tendo em conta que para um vector ~D geneacuterico
nablatimesnablatimes ~D = nabla(nabla middot ~D
)minusnabla2 ~D (23)
e
nablatimespart~Dpartt
=partnablatimes ~Dpartt
(24)
Comeccedilando pela equaccedilatildeo 22c
nablatimesnablatimes ~E = nablatimespart~Bpartt
(25)
Usando as propriedades matemaacuteticas das equaccedilotildees 23 e 24
nabla(nabla middot ~E
)minusnabla2~E =
partnablatimes ~Bpartt
(26)
Utilizando as equaccedilotildees 22a e 22d na equaccedilatildeo 26 verifica-se que
nabla2~E = microεpart2~E
partt2(27)
1James Clerk Maxwell foi um cientista escocecircs mais conhecido por ter combinado as teoriasdos campos da oacuteptica do magnetismo e da electricidade numa soacute e uacutenica teoria dando assimorigem as chamadas equaccedilotildees de Maxwell
5
CAPIacuteTULO 2 EFEITO ELECTROOacutePTICO
Obtendo-se desta maneira a equaccedilatildeo de onda para o campo eleacutectrico Analo-
gamente mas comeccedilando com a equaccedilatildeo 22d obteacutem-se para o campo magneacutetico
nabla2~B = microεpart2~B
partt2(28)
A sua velocidade de propagaccedilatildeo eacute dada por
v =1radicmicroε
(29)
Sendo que no vazio micro = micro0 e ε = ε0 o que resulta em v = c 3times 108ms
Resolvendo as equaccedilotildees 27 e 28 obtecircm-se as expressotildees para os campos eleacutec-
tricos e magneacuteticos que se propagam no meio
~E (~r t) = ~E0ei(~kmiddot~rminuswt
)(210)
e
~B (~r t) = ~B0ei(~kmiddot~rminuswt
)(211)
Onde ~r eacute o vector posiccedilatildeo ~k eacute o vector de onda que segue a direccedilatildeo de pro-
pagaccedilatildeo da onda w a frequecircncia angular e t o tempo Sendo que a parte real das
equaccedilotildees representa os seus respectivos campos A magnitude do vector ~k pode
ser escrita da seguinte maneira
k =2πλ
=wv
=wnc
(212)
Em que k eacute o nuacutemero de onda λ o comprimento de onda e n o iacutendice de
refraccedilatildeo
Escrevendo a parte real das equaccedilotildees 210 e 211 fica-se com
E = E0 cos(kr minuswt) (213)
e
B = B0 cos(kr minuswt) (214)
Manipulando a equaccedilatildeo 22c obtem-se
partEpartx
= minuspartBpartt
(215)
6
22 PROPAGACcedilAtildeO EM MEIOS ANISOTROacutePICOS
Utilizando a equaccedilatildeo 215 nas equaccedilotildees 213 e 213
kE0 = wB0 (216)
Usando a equaccedilatildeo 212 na equaccedilatildeo 216 verifica-se que
B0 =E0
v(217)
221 Vector de Poynting
O fluxo de energia (Wm2) dado pelo vector de Poynting2 (~S) pode ser escrito da
seguinte forma
~S =1micro~E times ~B (218)
A densidade de energia eleacutectrica ou a energia eleacutectrica armazenada por uni-
dade de volume (joulem3) a quantidade de energia contida num dado sistema
em relaccedilatildeo ao seu volume seraacute dada por
uE =12εE2 (219)
Agrave semelhanccedila da densidade de energia eleacutectrica a densidade de energia mag-
neacutetica (uB) eacute
uB =1
2microB2 (220)
Assim somando as equaccedilotildees 219 e 220 obtem-se a densidade de energia
total de uma onda electromagneacutetica
u =12εE2 +
12microB2 (221)
2John Henry Poynting foi um fiacutesico britacircnico autor de diversos trabalhos entre os quais um te-orema no qual se atribui um valor agrave taxa de fluxo de energia electromagneacutetica que ficou conhecidocomo vector de Poynting
7
CAPIacuteTULO 2 EFEITO ELECTROOacutePTICO
Substituindo as equaccedilotildees 29 e 217 na equaccedilatildeo 221 pode-se escrever a densi-
dade de energia total de uma onda electromagneacutetica num dado meio da seguinte
forma
u = εE2 (222)
Relacionando-se desta forma a densidade de energia com o campo eleacutectrico
De salientar que o campo magneacutetico e o campo eleacutectrico estatildeo relacionados atra-
veacutes da equaccedilatildeo 217
Considerando uma secccedilatildeo de aacuterea A (Fig 21) de um cubo com ∆x de lado
Figura 21 Cubo com secccedilatildeo de aacuterea A e ∆x de lado
A energia armazenada no cubo ou densidade de energia eacute igual a
∆U = uA∆x (223)
Sendo que a energia que atravessa a aacuterea A por unidade de tempo eacute
∆U∆t
=uA∆x∆xv
= uAv (224)
Assim a energia por unidade de tempo e aacuterea (Wm2) eacute igual a
uv = S (225)
Combinando a equaccedilatildeo 225 com a equaccedilatildeo 222 pode-se escrever a magnitude
do vector de Poynting da seguinte forma
S = εvE2 (226)
8
22 PROPAGACcedilAtildeO EM MEIOS ANISOTROacutePICOS
Substituindo a equaccedilatildeo 213 na equaccedilatildeo 225 a magnitude do vector de Poyn-
ting assume a seguinte forma
S = εvE20 cos2 (wt) (227)
Se na equaccedilatildeo 227 se fizer uma meacutedia no tempo obteacutem-se
〈S〉 = εvE20
langcos2 (wt)
rang(228)
Sendo quelangcos2 (wt)
rang= 1
2 tem-se que
I = 〈S〉 =12εvE2
0 =c
2nεE2
0 (229)
Sendo I a intensidade ou seja a potecircncia meacutedia por unidade de aacuterea que a
onda electromagneacutetica transporta
222 Elipsoiacutede dos Iacutendices
Nos meios anisotroacutepicos o iacutendice de refraccedilatildeo linear depende da direccedilatildeo da propa-
gaccedilatildeo da luz e do seu estado de polarizaccedilatildeo A resposta de um meio anisotroacutepico
eacute normalmente obtida atraveacutes do conceito de elipsoiacutede de iacutendices[5 6 7] que
a seguir seraacute descrita Ao se aplicar um campo eleacutectrico a um meio polarizaacutevel
este induz uma mudanccedila do estado de polarizaccedilatildeo descrito pelo deslocamento
eleacutectrico
~D = ε0~E + ~P (230)
Sendo
~P = ε0χ~E (231)
onde ε0 eacute a permissidade eleacutectrica no vazio ~P a polarizaccedilatildeo ~E o campo eleacutec-
trico ~D o deslocamento eleacutectrico e χ eacute o tensor das suscetibilidades Atraveacutes das
equaccedilotildees 230 e 231 tem-se que
~D = ε0~E(1 + χ) (232)
9
CAPIacuteTULO 2 EFEITO ELECTROOacutePTICO
Sendo que χ eacute dado por
χ =
χ11 χ12 χ13
χ21 χ22 χ23
χ31 χ32 χ33
(233)
Pelo teorema de eixos principais [7] seraacute possiacutevel escolher um sistema de co-
ordenadas onde apenas os elementos da diagonal principal sejam diferentes de
zero de tal forma que
χ =
χ11 0 0
0 χ22 0
0 0 χ33
(234)
Assim a equaccedilatildeo 231 pode ser escrita na forma no novo sistema de eixosP1
P2
P3
= ε0
χ11 0 0
0 χ22 0
0 0 χ33
E1
E2
E3
(235)
Da equaccedilatildeo 235 pode-se ainda retirar o seguinte
P1 = ε0χ11E1 D1 = ε11E1 ε11 = ε0 (1 +χ11)
P2 = ε0χ22E2 D2 = ε22E2 ε22 = ε0 (1 +χ22) (236)
P3 = ε0χ33E3 D3 = ε33E3 ε33 = ε0 (1 +χ33)
Combinando as equaccedilotildees 219 e 236 pode-se reescrever a densidade de energia
armazenada no campo eleacutectrico como
uE =12~E middot ~D (237)
Usando as expressotildees da equaccedilatildeo 236 para manipular a equaccedilatildeo 237 obtem-
se
D21
ε11+D2
2
ε22+D2
3
ε33= 2uE (238)
10
22 PROPAGACcedilAtildeO EM MEIOS ANISOTROacutePICOS
Substituiacutendo na equaccedilatildeo 238 D1 D2 e D3 pelos seus respectivos eixos em
coordenadas cartesianas tem-se que
x2
ε11ε0+
y2
ε22ε0+
z2
ε33ε0= 1 (239)
sendo x = D1radic2ε0UE
y = D2radic2ε0UE
e z = D3radic2ε0UE
Reescrevendo a equaccedilatildeo 239 fazendo n2x = ε11ε0 n2
y = ε22ε0 e n2z = ε33ε0
obteacutem-se forma a equaccedilatildeo do elipsoide de iacutendices
x2
n2x
+y2
n2y
+z2
n2z
= 1 (240)
Sendo nx ny e nz o iacutendice de refraccedilatildeo na sua respectiva direccedilatildeo como demons-
tra a figura 22
Figura 22 Ilustraccedilatildeo do elipsoiacutede de iacutendices (retirado de [7])
11
CAPIacuteTULO 2 EFEITO ELECTROOacutePTICO
223 Coeficientes Natildeo-Lineares
Quando eacute aplicado um campo eleacutectrico ao meio o elipsoiacutede de iacutendices pode
mudar a sua forma e orientaccedilatildeo no espaccedilo de tal forma que a equaccedilatildeo de elipsoide
de iacutendices passa a ser escrita de um modo geral como
( 1n2
)1x2 +
( 1n2
)2y2 +
( 1n2
)3z2 + 2
( 1n2
)4xy + 2
( 1n2
)5xz+ 2
( 1n2
)6yz = 1 (241)
Quando o campo eleacutectrico aplicado eacute nulo as equaccedilotildees 240 e 241 tecircm de ser
equivalentes pelo que para E = 0 tem-se
( 1n2
)1
=1
n2x( 1
n2
)2
=1
n2y( 1
n2
)3
=1
n2z( 1
n2
)4
=( 1n2
)5
=( 1n2
)6
= 0
(242)
Desta forma quando se aplica um campo eleacutectrico (E) verifica-se uma variaccedilatildeo
nos coeficientes(
1n2
)i Esta variaccedilatildeo induzida pelo efeito electrooacuteptico pode entatildeo
ser descrita atraveacutes de [8]
∆
( 1n2
)i
=3sumj=1
rijEj com i = 1 6 (243)
Sendo rij o coeficiente electrooacuteptico e E a magnitude do campo eleacutectrico apli-
cado
12
22 PROPAGACcedilAtildeO EM MEIOS ANISOTROacutePICOS
A equaccedilatildeo 243 tambeacutem pode ser escrita como
∆
( 1n2
)1
∆
( 1n2
)2
∆
( 1n2
)3
∆
( 1n2
)4
∆
( 1n2
)5
∆
( 1n2
)6
=
r11 r12 r13
r21 r22 r23
r31 r32 r33
r41 r42 r43
r51 r52 r53
r61 r62 r63
E1
E2
E3
(244)
Nesta conformidade o coeficiente electrooacuteptico pode ser escrito como
rij = minus 2
n3ij
[partnijpartEj
](245)
A diferenccedila de fase ∆φ resultante da variaccedilatildeo no iacutendice de refraccedilatildeo ∆n seraacute
∆φ =2πlλ
∆n (246)
Em que o l eacute o caminho percorrido pela luz de comprimento de onda λ no
meio Sendo a variaccedilatildeo no iacutendice de refraccedilatildeo devida aos efeitos electrooacutepticos
pode-se escrever
|∆n| =rno
3
2Voh
(247)
para o efeito electrooacuteptico linear e
|∆n| =sn3o
2
(Voh
)2(248)
para o efeito electrooacuteptico quadraacutetico
Onde os coefeciecircntes electrooacutepticos linear e quadraacutetico satildeo respectivamente
r e s Vo eacute o potencial eleacutectrico aplicado entre os eleacutetrodos que distam entre si a
uma distacircncia h criando assim o campo eleacutectrico aplicado
13
Capiacutetulo
3Mediccedilatildeo do Efeito Electrooacuteptico
Neste capiacutetulo satildeo apresentadas as teacutecnicas mais comuns utilizadas para a me-
diccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico destacando-se dois tipos de interferoacutemetros o
tradicional e os de interferometria de dois feixes
31 Meacutetodo Tradicional
Um dos meacutetodos mais usados para medir o efeito eletrooacuteptico foi o proposto por
Henry [9] em 1986 Esta teacutecnica ilustrada na Fig31 baseia-se na alteraccedilatildeo do
estado de polarizaccedilatildeo de um feixe linearmente polarizado quando este atravessa
o meio Esta alteraccedilatildeo ocorre devido agrave birrefrigecircncia induzida por um campo
eleacutetrico aplicado e agrave atividade oacuteptica do meio A montagem eacute composta por uma
fonte de luz (S) um monocromador (M) uma lente (L) um diafragma (D) dois
polarizadores (P1 e P2) um cristal (BSO) de espessura d ao qual eacute aplicado um
campo eleacutetrico (E) e um fotomultiplicador (FM) ligado a um sistema de aquisiccedilatildeo
de dados
O procedimento experimental em si consiste no seguinte para um dado estado
de polarizaccedilatildeo do feixe incidente imposto pelo P1 vai-se alterando a posiccedilatildeo
angular do P2 de forma a encontrar as intensidades maacutexima e miacutenima e desta
forma calcular-se a visibilidade (ν) atraveacutes de [9]
νθ =Imax minus IminImax + Imin
(31)
15
CAPIacuteTULO 3 MEDICcedilAtildeO DO EFEITO ELECTROOacutePTICO
Figura 31 Montagem experimental proposta por Henry e a sua equipa (adaptadode [9])
De seguida altera-se P1 para a posiccedilatildeo angular de 45 e repete-se o procedi-
mento anterior Somando o quadrado das duas visibilidades obtidas tem-se que
[9]
ν2θ + ν2
θ+45 = 1 +
1minus δ2
2
sen(φ2 )φ2
2
2
(32)
sendo
δ =2πλn3rEyd (33)
e
φ =radicδ2 + ρ2 (34)
Sendo δ a diferenccedila de fase originada pela birrefringecircncia λ o comprimento
de onda do feixe no vaacutecuo ρ a diferenccedila de fase associada agrave actividade oacuteptica n o
iacutendice de refraccedilatildeo sem campo eleacutetrico aplicado Ey o campo eleacutectrico aplicado e
d a espessura do cristal na direccedilatildeo do campo eleacutectrico aplicado Destas equaccedilotildees
pode-se calcular o coeficiente electrooacuteptico r
Para o caso de φ pequenos
sen(φ2 )φ2
2
1 pelo que
ν2θ + ν2
θ+45 1 +(1minus δ
2
2
)2
(35)
Natildeo sendo nesta situaccedilatildeo necessaacuteria a actividade oacuteptica ρ Esta teacutecnica apre-
senta um erro de mediccedilatildeo de 10 a 15 em relaccedilatildeo ao valor tabelado
16
32 MEacuteTODOS POR INTERFEROMETRIA
32 Meacutetodos por Interferometria
321 Interferometria Oacuteptica
Quando duas ondas de uma mesma frequecircncia se sobrepotildeem num dado ponto
formam uma nova onda cuja amplitude eacute o resultado da soma da amplitude das
duas ondas iniciais em cada instante nesse ponto Quando a soma da duas ondas
resulta numa amplitude maior diz-se que houve interferecircncia construtiva quando
resulta numa amplitude inferior diz-se que ocorreu interferecircncia destrutiva
Supondo que uma das ondas tem a forma E1ei(φ1minuswt) e a outra forma E2e
i(φ2minuswt)
sendo E1 e E2 as amplitudes dos respetivos campos eleacutetricos φ1 e φ2 as fases
iniciais w a frequecircncia angular e t o tempo a onda resultante seraacute descrita por
[10]
ET = E1ei(φ1minuswt) +E2e
i(φ2minuswt) (36)
Se φ1 minusφ2 = 2Nπ com N = 012 entatildeo as duas ondas estaratildeo em fase e daacute-
se uma interferecircncia construtiva perfeita Se φ1 minusφ2 = (2N + 1)π e E1 = E2 entatildeo
as duas ondas estaratildeo em oposiccedilatildeo de fase e daacute-se uma interferecircncia destrutiva
completa Estas situaccedilotildees extremas encontram-se ilustradas na figura 32
Figura 32 Ilustraccedilatildeo de uma interferecircncia construtiva perfeita (a) e destrutivacompleta (b)
Matematicamente a coerecircncia eacute uma medida da correlaccedilatildeo entre as ondas
Quanto mais construtiva for a interferecircncia maior seraacute a coerecircncia Fisicamente
a coerecircncia eacute uma medida do quatildeo constante a diferenccedila de fase permanece entre
17
CAPIacuteTULO 3 MEDICcedilAtildeO DO EFEITO ELECTROOacutePTICO
as duas ondas A coerecircncia eacute usualmente medida num padratildeo de franjas de in-
terferecircncia atraveacutes da visibilidade de franja (ν) que pode ser experimentalmente
calculada atraveacutes de [10]
ν =Imax minus IminImax + Imin
= 1 coerecircncia total e contraste maacuteximo
0 lt ν lt 1 coerecircncia parcial
= 0 incoerecircncia total e contraste natildeo haacute franjas
(37)
Pode-se ver na Fig33 um exemplo da equaccedilatildeo 37 que representa a visibi-
lidade das franjas em funccedilatildeo da diferenccedila de fase entre duas ondas da mesma
frequecircncia que interferem Como a visibilidade das franjas depende da coerecircncia
das duas ondas qualquer diferenccedila iraacute traduzir-se numa diminuiccedilatildeo de visibili-
dade
Figura 33 Visibilidade num interferoacutemetro em funccedilatildeo da diferenccedila de fase entreduas ondas provenientes de ramos diferentes do interferoacutemetro (adaptado de[11])
Pode-se usar a interferometria para quantificar os efeitos electrooacutepticos natildeo
soacute linear mas tambeacutem o quadraacutetico (efeito de Kerr) Os interferoacutemetros mais
frequentemente utilizados para este efeito satildeo os interferoacutemetro de Michelson1 e1Albert Abraham Michelson foi um fiacutesico americano conhecido pela invenccedilatildeo do interferoacuteme-
tro de Michelson (1891) do seu trabalho na mediccedilatildeo da velocidade da luz e pelo seu trabalho naexperiecircncia de Michelson-Morley Em 1907 tornou-se o primeiro americano a receber o PreacutemioNobel da Fiacutesica
18
32 MEacuteTODOS POR INTERFEROMETRIA
o interferoacutemetro de Mach-Zehnder2
De salientar que as teacutecnicas interferomeacutetricas apresentam uma elevada sensibi-
lidade simplificaccedilatildeo na preparaccedilatildeo das amostras a estudar e uma menor sensibili-
dade a vibraccedilotildees mecacircnicas e a flutuaccedilotildees teacutermicas desde que estas ocorram com
a mesma intensidade em ambos os ramos do mesmo tamanho do interferoacutemetro
322 Interferoacutemetro de Mach-Zehnder
No interferoacutemetro de Mach-Zehnder (Fig 34) um separador de feixe divide o
feixe proveniente da fonte em dois feixes que vatildeo constituir os dois ramos do
interferoacutemetro o feixe-amostra e o feixe-referecircncia Ambos satildeo refletidos por um
espelho e ambos atravessam um novo separador de feixe antes de se juntarem de
novo e serem medidos nos detetores
Figura 34 Esquema de um interferoacutemetro de Mach-Zehnder (adaptado de [12])
Com os ramos agrave mesma distacircncia pode ainda observar-se que sem amostra
ambos os feixes vatildeo chegar em fase aos detetores havendo desta forma uma inter-
ferecircncia construtiva Ambos apresentaratildeo uma mudanccedila de fase correspondente
a λ devido ao facto de ambos sofrerem duas reflexotildees e uma transmissatildeo numa
placa de vidro(separador de feixe) ateacute chegarem aos detetores2Ludwig Zehnder foi um fiacutesico suiacuteccedilo e o inventor do interferoacutemetro de Mach-Zehnder Inter-
feroacutemetro esse depois aperfeiccediloado por Ludwig Mach
19
CAPIacuteTULO 3 MEDICcedilAtildeO DO EFEITO ELECTROOacutePTICO
Alterando o caminho oacuteptico do espelho do feixe-referecircncia em λ4 sem amos-
tra o feixe-amostra e o feixe-referecircncia vatildeo chegar com uma diferenccedila de fase de
λ2 ou seja vai haver uma interferecircncia destrutiva completa Isto porque o feixe-
referecircncia vai ter uma mudanccedila de fase de λ2 devido a uma reflexatildeo e duas trans-
missotildees provocadas pelos separadores de feixe Enquanto que o feixe-amostra
chegaraacute aos detetores com uma diferenccedila de fase de λ devido a duas reflexotildees
mais uma reflexatildeo com transmissatildeo no segundo separador de feixe Assim na
ausecircncia de amostra e desde que a diferenccedila de caminho oacuteptico ou retardaccedilatildeo
(δ) seja zero os feixes iratildeo interferir construtivamente [13]
Com a amostra colocada no caminho do feixe-amostra os feixes vatildeo chegar ao
detetor em diferentes situaccedilotildees de fase sendo possiacutevel determinar a diferenccedila de
fase provocada pela presenccedila da amostra
A intensidade do feixe (I) em ambos os detetores eacute descrita por [14]
I(δ) =12I(k)cos(2Nkδ) (38)
Com k o nuacutemero de onda (k = 2πλ) E fazendo δ = d com d = vt resulta
I(δ) =12I(k)cos(2Nk(vt)) (39)
323 Interferoacutemetro de Michelson
No interferoacutemetro do tipo Michelson um feixe de luz eacute dividido em dois que
percorrem caminhos diferentes para de seguida se recombinarem Apoacutes terem
percorrido caminhos diferentes o feixe resultante da recombinaccedilatildeo pode apresen-
tar um padratildeo de interferecircncia que depende da diferenccedila de caminhos oacutepticos
entre os feixes e que pode ser medido num detetor
A forma mais simples de implementar um interferoacutemetro de Michelson con-
siste em dois espelhos colocados entre si num plano perpendicular em que um
deles se pode mover na direccedilatildeo perpendicular agrave sua superfiacutecie refletora conforme
ilustrado na Fig35
Esse espelho iraacute movimentar-se num espaccedilo definido a uma velocidade cons-
tante Entre o espelho fixo e o espelho moacutevel estaacute um separador de feixe que
divide o feixe incidente inicial em dois de igual intensidade Aqui o feixe eacute parci-
almente refletido para um espelho e parcialmente transmitido para o outro
20
32 MEacuteTODOS POR INTERFEROMETRIA
Figura 35 Esquema de funcionamento de um interferoacutemetro de Michelson cominterferecircncia construtiva (a) e destrutiva (b) (adaptado de [15])
Assumindo que o separador de feixe eacute ideal e com uma reflectacircncia e transmi-
tacircncia de 50 se o espelho moacutevel se encontrar estacionaacuterio pode determinar-se
a intensidade do feixe num dado ponto do detetor Se a diferenccedila do caminho
oacuteptico ou retardaccedilatildeo (δ) for zero ou seja os espelhos estatildeo igualmente espaccedilados
do separador de feixe estes vatildeo percorrer a mesma distacircncia e interferir construti-
vamente pelo que a intensidade do feixe final eacute a soma das intensidades dos dois
feixes Nestas condiccedilotildees toda a luz que sai da fonte chega ao detetor
No caso do espelho moacutevel se deslocar uma distacircncia de λ4 a retardaccedilatildeo total
seraacute de λ2 pelo que os feixes estaratildeo desfasadas de 180ordm (π) Nestas condiccedilotildees ter-
se-aacute interferecircncia destrutiva completa na recombinaccedilatildeo dos feixes dando origem
agrave extinccedilatildeo total
Voltando a deslocar o espelho moacutevel de mais λ4 a diferenccedila do caminho
oacuteptico seraacute igual a λ e os dois feixes voltam a estar em fase havendo novamente
uma sobreposiccedilatildeo construtiva dos feixes
Com o espelho moacutevel a deslocar-se a uma velocidade constante o sinal do de-
tetor iraacute variar com uma forma perioacutedica sendo que atinge o seu maacuteximo quando
a retardaccedilatildeo (δ) for um muacuteltiplo inteiro de λ δ =Nλ
A expressatildeo da intensidade do feixe (I) no detector para o caso do interferoacute-
metro de Michelson eacute semelhante agrave equaccedilatildeo 38 para o interferoacutemetro de Mach-
Zehnder sendo que neste caso δ = 2d com d = vt jaacute que o feixe atravessa a
amostra duas vezes Nestas condiccedilotildees ter-se-aacute
I(δ) =12I(k)cos(4Nk(vt)) (310)
21
CAPIacuteTULO 3 MEDICcedilAtildeO DO EFEITO ELECTROOacutePTICO
22
Capiacutetulo
4Sistema Implementado
Este capiacutetulo descreve o sistema implementado para a mediccedilatildeo do coeficiente
electrooacuteptico usando a teacutecnica de interferoacutemetria de Michelson bem como a cali-
braccedilatildeo do mesmo
41 Interferoacutemetro
O sistema escolhido para a mediccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico baseia-se na teacutec-
nica de interferometria de Michelson (ver secccedilatildeo 323) onde se mediu a diferenccedila
de fase entre os ramos do interferoacutemetro Esta teacutecnica foi escolhida pela elevada
sensibilidade agrave diferenccedila de fase gerada entre os ramos do interferoacutemetro facili-
dade de preparaccedilatildeo das amostras e por ser menos sensiacutevel a vibraccedilotildees mecacircnicas
e a flutuaccedilotildees teacutermicas desde que estas ocorram com a mesma intensidade em
ambos os ramos do interferoacutemetro Para aleacutem das vantagens mencionadas e espe-
cificamente em comparaccedilatildeo com o interferoacutemetro mais usado o interferoacutemetro
do tipo Mach-Zehnder o interferoacutemetro de Michelson tem uma maior facilidade
de alinhamento dos espelhos e usa apenas um separador de feixe
A figura 41 esquematiza o sistema baseado no interferoacutemetro de Michelson
desenvolvido para a mediccedilatildeo do coeficiente eletrooacuteptico
23
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Figura 41 Esquematizaccedilatildeo do interferoacutemetro de Michelson e instrumentaccedilatildeoutilizada para a mediccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico em cristais
Como se pode ver no esquema da figura 41 o ramo do espelho vibrante fica
vazio enquanto que no ramo do espelho fixo se encontra a amostra entre dois
eleacutectrodos onde se aplicam um campo eleacutectrico E O sinal medido no detector
resulta da interferecircncia entre os feixes provenientes de cada ramo do interferoacute-
mentro dependendo da diferenccedila de fase entre os dois feixes Conforme referido
anteriormente a intensidade da luz (I) que chega ao detector eacute da ordem de [16]
I prop E21 +E2
2 + 2E1E2cos(∆φ) (41)
42 Electroacutenica Desenvolvida
421 Amplificador
Para o efeito electrooacuteptico se manisfestar eacute necessaacuterio aplicar-se uma tensatildeo eleacutec-
trica ao meio Uma vez que a tensatildeo de referecircncia fornecida pelo amplificador
lock-in utilizado eacute muito baixa para induzir efeito electrooacuteptico significativo por
volta dos 12V foi necessaacuterio construir um amplificador de tensatildeo (Fig 42)
24
42 ELECTROacuteNICA DESENVOLVIDA
Figura 42 Esquemaacutetico do amplificador de tensatildeo utilizado com base no ampli-ficador operacional LF356n
O amplificador construiacutedo conforme ilustra a figura 42 consiste numa mon-
tagem inversora de ganho variaacutevel com uma malha de controlo de offset e eacute
alimentado a plusmn12V
Assim o ganho G eacute determinado atraveacutes de
G = 1 +R2R1
(42)
Sendo R1 = 11kΩ R2 = 5kΩ R3 = 25kΩ e o amplificador em si utilizado foi
o LF356n
Obtendo-se desta forma um ganho de aproximadamente 55 Permitindo apli-
car uma tensatildeo de cerca de 66V ao cristal electrooacuteptico Uma vez que a tensatildeo
aplicada eacute baixa pode-se desprezar o efeito piezoeleacutectrico gerado na amostra e
que iria influenciar o valor do coeficiente electrooacuteptico medido
422 Gerador de Rampa
Para alimentar o excitador piezoeleacutectrico do espelho moacutevel foi utilizado um ge-
rador de sinais (Fig 43) de forma a induzir um deslocamento linear perioacutedico
na forma de rampa A frequecircncia de oscilaccedilatildeo cerca de 25Hz foi escolhida de
25
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
forma a ser suficientemente baixa para evitar fenoacutemenos de batimento com o sinal
de modulaccedilatildeo electrooacuteptico e suficientemente alta para que se consiga adquirir
dados em tempo uacutetil com uma tensatildeo variaacutevel entre os 4 e os 8V
Figura 43 Esquema eleacutectrico do gerador de rampa implementado baseado nocircuito temporizador NE555
Sendo R1 = 20kΩ R2 = 1kΩ e C1 = C2 = 47microF
O tempo de subida da rampa t1 eacute dado por
t1 = 0693(R1 +R2)C1 (43)
Enquanto que o tempo de descida t2 eacute
t2 = 0693R2C1 (44)
Obtendo assim um tempo de subida de 036s e um tempo de descida de 0033s
Assim a frequecircncia do gerador de rampa f seraacute dada por
f =1
t1 + t2=
144(R1 + 2R2)C1
(45)
O gerador de rampa foi construiacutedo aproveitando o espaccedilo livre no interior da
unidade de amplificaccedilatildeo onde se situa o amplificador
26
42 ELECTROacuteNICA DESENVOLVIDA
423 Seguidor de Tensatildeo
Devido agrave necessidade de acoplamento de impedacircncias entre o amplificador lock-
in e o osciloacutescopio natildeo foi possiacutevel a utilizaccedilatildeo de um repartidor coaxial que
repartisse o sinal proveniente do detector Assim de forma a se poder visuali-
zar o sinal proveniente do detector em simultacircneo com o sinal electrooacuteptico foi
necessaacuterio a construccedilatildeo de um seguidor de tensatildeo (Fig44)
Figura 44 Esquema do seguidor de tensatildeo utilizado construida com base nosamplifacores operacionais LF356n
Sendo que ambos os circuitos integrados foram alimentados por uma tensatildeo
positiva (V+) de 12V e uma negativa (Vminus) de minus12V Com R1 = R2 = 25kΩ Agrave
semelhanccedila do amplificador foi tambeacutem construida uma malha de controlo de
offset
Agrave semelhanccedila do gerador de rampa tambeacutem foi construido na unidade de
amplificaccedilatildeo e gerador de rampa como se pode ver na figura 45
27
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Figura 45 Imagem da unidade de amplificaccedilatildeo e geraccedilatildeo de rampa implemen-tada
43 Sistema Oacuteptico Desenvolvido
431 Espelho Vibrante
O espelho vibrante (Fig46) foi construiacutedo afixando um espelho a um disco pie-
zoeleacutectrico A vibraccedilatildeo do espelho iraacute fazer com que a distacircncia entre o divisor
de feixe e o espelho varie Fazendo deslocar a franja de interferecircncia em frente ao
detector permitindo a este medir as intensidades maacuteximas e miacutenimas das franjas
de interferecircncia (ver secccedilatildeo 323)
Figura 46 Imagem do espelho vibrante utilizado
28
43 SISTEMA OacutePTICO DESENVOLVIDO
432 Bancada Oacuteptica
De forma a colocar os componentes ao niacutevel do feixe do laser na mesa oacuteptica e a
tornar o sistema menos sensiacutevel a vibraccedilotildees mecacircnicas e flutuaccedilotildees teacutermicas os
componentes foram colocadas numa base quadrada de alumiacutenio
Figura 47 Imagem da bancada oacuteptica onde o interferoacutemetro de Michelson foiconstruiacutedo
Conforme se pode ver na figura 47 para completar o interferoacutemetro de Michel-
son para aleacutem dos componentes jaacute referidos foram ainda utilizados um separador
de feixe e um espelho (fixo) no suporte com uma lente oacuteptica agrave saiacuteda do mesmo
Faltando ainda o laser utilizado da Melles Griotreg que possui uma potecircncia de
635mW e um comprimento de onda de 6328nm
433 Detector
O detector utilizado foi um modelo 818-UVDB da Newport Corporationreg (Fig
48) de baixa potecircncia consistindo num fotodiacuteodo de siliacutecio capaz de operar entre
os 200 e os 1100nm As caracteriacutesticas principais deste detector encontram-se
listadas na tabela 433
29
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Tabela 41 Caracteriacutesticas principais do detector 818-UVDB [17]
Largura de Banda 200 a 1100(nm) Material Siliacutecio
Potecircncia
W λ(nm)
Incerteza de
λ(nm)
02 200 a 4008 200 a 219
Maacutexima Calibraccedilatildeo 2 220 a 349
005 400 a 11001 350 a 9494 950 a 1050
Densidade de02Wcm2 Aacuterea Activa 1cm2
Potecircncia Meacutedia
Energia Maacutexima05microJ
Diacircmetro113cm
de Pulso Activo
De forma a evitar que a luz ambiente interferisse nas medidas e para aumen-
tar a resoluccedilatildeo de mediccedilatildeo do perfil da franja de interferecircncia foi colocado um
diafragma com uma abertura no centro de 06mm conforme se pode ver na figura
48 reduzido desta maneira a aacuterea activa para 028 mm2
Figura 48 Imagem do detector e disco utilizado
Para a aquisiccedilatildeo do sinal electrooacuteptico e geraccedilatildeo de sinal electrooacuteptico de
referecircncia foi utilizado um osciloscoacutepio Lecroy Wavesufertrade422
30
43 SISTEMA OacutePTICO DESENVOLVIDO
434 Cristal Electrooacuteptico
Para a calibraccedilatildeo do sistema foi utilizado um cristal padratildeo de dihidrogenofosfato
de potaacutessio (KDP) Na tabela 42 pode-se observar algumas das propriedades
fiacutesicas desse cristal
Tabela 42 Propriedades fiacutesicas do cristal padratildeo KDP [18]
Material Simetria Densidade Classe Higroscopicidade
KDP Tetragonal (42m) 234gcm3 Uniaxial Higroscoacutepico
Uma vez que o cristal eacute uniaxial nx = ny = no e nz = ne sendo no e ne os
iacutendices de refraccedilatildeo ordinaacuterio e extraordinaacuterio do cristal KDP A figura 49 ilustra
o elipsoiacutede de iacutendices num cristal padratildeo KDP
Figura 49 Ilustraccedilatildeo de um cristal padratildeo KDP e seu respectivo elipsoiacutede deiacutendices
31
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Na Tabela 43 pode-se observar algumas das propriedades oacutepticas do cristal
padratildeo KDP
Tabela 43 Propriedades oacutepticas do cristal padratildeo KDP a 6328nm [7]
Material Foacutermula Quiacutemica Iacutendice de RefracccedilatildeoCoeficiente
Electrooacuteptico
KDPKH2PO4
no=15074 r41=86 pmV(λ = 6328nm) ne=14673 r63=106 pmV
Como se pode ver na tabela 42 o cristal do tipo KDP eacute higroscoacutepico sendo
assim necessaacuterio reduzir ao maacuteximo o contacto entre o cristal e a atmosfera para
evitar que as suas faces fiquem opacas interferindo assim na qualidade do feixe
transmitido
435 Porta Amostras
O porta amostras eacute constituiacutedo por uma base feita de latatildeo (Fig 410) onde se
coloca o cristal nivelado com o feixe laser Este suporte possui oito roscas para
parafusos M3 quatro em cima de forma a se fixar os encaixes laterais do porta
amostras e quatro em baixo de forma a afixar-se firmemente na bancada oacuteptica
Figura 410 Imagem da base do porta-amostras desenvolvido
32
43 SISTEMA OacutePTICO DESENVOLVIDO
De forma a aplicar-se a tensatildeo de excitaccedilatildeo ao cristal sem bloquear o feixe do
laser foram utilizadas duas placas de vidro com oacutexido de estanho dopado com
fluacuteor (FTO) Este permite que haja uma boa transparecircncia e conduccedilatildeo eleacutetrica
sendo usado em vaacuterios tipos de dispositivos como aplicaccedilotildees opto-eletroacutenicas
ecratildes touch screen filmes finos fotovoltaicos etc O oacutexido de estanho dopado
com fluacuteor [19] eacute reconhecido por ser altamente estaacutevel quimicamente inerte re-
siste a temperaturas elevadas e ao desgaste abrasivo sendo mais econoacutemico do
que o tradicional oacutexido de iacutendio e estanho (ITO)
De forma a garantir um bom contacto eleacutectrico entre o vidro FTO e o cristal
foram construidas duas peccedilas de afixaccedilatildeo idecircnticas (Fig 411) Trata-se de duas
peccedilas de alumiacutenio cada uma contendo uma abertura de forma a deixar passar
o feixe laser e dois rasgos para parafusos de forma a poder-se fixar no suporte e
desta maneira exercer uma pressatildeo constante sobre o cristal
Figura 411 Imagem das peccedilas de fixaccedilatildeo do cristal desenvolvidas com a vista defrente (a) e a vista de traacutes (b)
A ligaccedilatildeo eleacutectrica entre o sinal de referecircncia proveniente do amplificador ao
vidro FTO foi feita atraveacutes de uma cola condutora de prata de forma a assegurar
a ligaccedilatildeo oacutehmica entre o fio de cobre e a camada de FTO O cristal fica assim entre
duas placas de vidro FTO(Fig412)
33
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Figura 412 Imagem do porta Amostras desenvolvido
A figura 413 ilustra o sistema desenvolvido incluindo a bancada oacuteptica e
instrumentaccedilatildeo
Figura 413 Imagem do sistema desenvolvido para a mediccedilatildeo do efeito electrooacutep-tico
34
44 COEFICIENTE ELECTROOacutePTICO
44 Coeficiente Electrooacuteptico
Para o cristal utilizado o dihidrogenofosfato de potaacutessio (KDP) e para o efeito
electrooacuteptico linear a matriz de coeficientes electrooacutepticos eacute a seguinte
rij =
0 0 0
0 0 0
0 0 0
r41 0 0
0 r52 0
0 0 r63
com
i = 1 6
j = 123
Sendo que r41 = r52 pelo que existem apenas dois coeficientes independentes
o r41 e o r63
Usando a notaccedilatildeo condensada mencionada da secccedilatildeo 21 onde se aplica o
campo eleacutectrico (E) no plano do i (sendo i = m) enquanto que j eacute o eixo oacuteptico
Para o caso do KDP eacute costume utilizar o r63 Isto eacute aplicar o campo eleacutectrico nos
planos 12 ou 21 (ou seja i = 6) com o eixo oacuteptico no eixo 3 (j = 3) como demonstra
a figura 414
Figura 414 Ilustraccedilatildeo da configuraccedilatildeo utilizada para a mediccedilatildeo do coeficienter63 num cristal
35
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Para o caso do efeito electrooacuteptico quadraacutetico a matriz dos coeficientes elec-
trooacutepticos seraacute
sij =
s11 s12 s12 0 0 0
s12 s11 s12 0 0 0
s12 s12 s11 0 0 0
0 0 0 s11 minus s12 0 0
0 0 0 0 s11 minus s12 0
0 0 0 0 0 s11 minus s12
com i j = 1 6
45 Execuccedilatildeo Experimental
Para se medir o coeficiente electrooacuteptico aplica-se ao cristal uma tensatildeo com uma
frequecircncia de 2kHz frequecircncia essa que se revelou menos sensiacutevel aos ruiacutedos
ambientes sendo que o sinal electrooacuteptico teraacute a mesma frequecircncia Podendo-
se desta maneira atraveacutes de um amplificador de lock-in (modelo 393 da IthacoDynatrac) filtrar o sinal electrooacuteptico dos restantes sinais uma vez que a sua
frequecircncia eacute conhecida
A intensidade da equaccedilatildeo 41 eacute maacutexima quando cos(∆φ) = 1 e miacutenima quando
cos(∆φ) = minus1 Pelo que subtraindo estas duas equaccedilotildees
Imax minus Imin = 4E1E2 (46)
Assim combinando a equaccedilatildeo 41 com a equaccedilatildeo 46 obtem-se
I prop E21E
22 +
12
(Imax minus Imin)cos(∆φ) (47)
Juntando agora a equaccedilatildeo 246 agrave equaccedilatildeo 247 e tendo em conta que o feixe
passa duas vezes por cada ramo (=2l) a diferenccedila de fase para o efeito electrooacutep-
tico linear
∆φ = ∆φ0 +πrn3
oVoλ
2lh
cos(Ωt) (48)
Sendo ∆φ0 a diferenccedila de fase inicial sem o efeito electrooacuteptico
36
45 EXECUCcedilAtildeO EXPERIMENTAL
Substituindo o ∆φ da equaccedilatildeo 48 na equaccedilatildeo 47 a intensidade do sinal com
modulaccedilatildeo electrooacuteptica(Iseo) seraacute dado por
Iseo prop E21 +E2
2 +12
(Imax minus Imin)cos(∆φ0 +
πrn3oVoλ
2lh
cos(Ωt))
(49)
Usando cos(α plusmn β) = cos(α)cos(β)∓ sen(α) sen(β) e D = πrn3oVoλ
2lh fica-se com
Iseo prop E21 +E2
2+12
(Imax minus Imin)
[cos(∆φ0)cos(Dcos(Ωt)) minus sen(∆φ0) sen(D cos(Ωt))](410)
Como a modulaccedilatildeo electrooacuteptica eacute um efeito muito pequeno a equaccedilatildeo 410
pode-se escrever
Iseo asymp E21 +E2
2 +12
(Imax minus Imin) [cos(∆φ0)minusD cos(Ωt) sen(∆φ0)] (411)
Considerando soacute os termos de primeira ordem
Iseo asymp12
(Imax minus Imin) [cos(∆φ0)minusD cos(Ωt) sen(∆φ0)] (412)
A componente do sinal electrooacuteptico eacute entatildeo dado por
Iseo =12
(Imax minus Imin)D cos(Ωt) sen(∆φ0) (413)
Ou seja
Iseo =12
(Imax minus Imin)πrn3
oVoλ
2lh
cos(Ωt) sen(∆φ0) (414)
O acircngulo ∆φ0 varia linearmente com o tempo (t) a uma frequecircncia inferior
a Ω A franja de interferecircncia desloca-se continuamente em frente ao detector
devido a um dos espelho estar fixado num disco piezoeleacutectrico
37
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Na figura 415 pode-se ver uma exemplificaccedilatildeo do sinal no detector que incor-
pora o sinal da franja e electrooacuteptico dada pela equaccedilatildeo 414
Figura 415 Ilustraccedilatildeo do sinal de modulaccedilatildeo electrooacuteptica de um feixe de luzmedido num interferoacutemetro de Michelson
Uma vez que o sinal electrooacuteptico (cos(Ωt)) estaacute desfasado π2 do sinal da
franja ( sen(∆φ0)) A intensidade do sinal electrooacuteptico pode ser escrita como
Iseo asymp12
(Imax minus Imin)πrn3
oVoλ
2lh
∣∣∣ sen(∆φ0)∣∣∣ (415)
Assim a amplitude do sinal electrooacuteptico eacute
Iseo =12
(Imax minus Imin)πrn3
oVoλ
2lh
(416)
Pelo que o coeficiente electrooacuteptico linear seraacute dado por
r =|Iseo|
|Imax minus Imin|λ
πn3oVo
hl
(417)
38
46 RESULTADOS
Para o efeito electrooacuteptico quadraacutetico utilizando o procedimento anoacutelogo mas
a partir da equaccedilatildeo 248 em vez da equaccedilatildeo 247 O sinal electrooacuteptico quadraacutetico
Iseoq que ocorre ao dobro da frequecircncia de modulaccedilatildeo 2Ω eacute dado por
s =
∣∣∣Iseoq∣∣∣|Imax minus Imin|
2λ
πn3oV
2o
h2
l(418)
46 Resultados
Com o cristal de KDP devidamente alinhado no interferoacutemetro segundo o seu
eixo oacuteptico de maneira a se medir o coeficiente r63 Obtendo-se assim dois sinais
o sinal de franja e o sinal electrooacuteptico (Fig 416)
Figura 416 Padratildeo da franja produzida (a) e respectivos sinais de franja e elec-trooacuteptico obtidos para um cristal KDP padratildeo
De forma a se proceder a calibraccedilatildeo do sistema utilizou-se a equaccedilatildeo 417 na
forma
|Iseo||Imax minus Imin|
=πn3
o
λlhrVo (419)
39
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Usando o valor da razatildeo |Iseo ||ImaxminusImin|
em funccedilatildeo do potencial aplicado Vo pode-se
calcular o valor do coeficiente electrooacuteptico r atraveacutes do declive da recta obtida
Pode-se ver na figura 417 uma das rectas obtidas para o cristal utilizado na
calibraccedilatildeo do sistema
Figura 417 Razatildeo entre o sinal electrooacuteptico e a diferenccedila de intensidade defranjas em funccedilatildeo do potencial Vo aplicado ao cristal
A tabela 44 apresenta o valor do coeficiente electrooacuteptico obtido e respectiva
incerteza para o cristal de KDP tomando em conta os valores dos iacutendices de
refraccedilatildeo da tabela 43
Tabela 44 Valores e respectivas incertezas obtidas do coeficiente electrooacutepticopara o cristal KDP utilizado
Material Valor Padratildeo Valor Obtido Erro
KDPr63 = 106pmV r63 = 105plusmn 02pmV 1
(λ = 6328nm)
Como se pode ver na tabela 44 o resultado obtido situa-se muito proacuteximo
do teoacuterico encontrando-se dentro da incerteza obtida Os valores valores meacutedios
apresentam um desvio da ordem dos 02pmV
40
46 RESULTADOS
Apesar dos valores obtidos serem bastante positivos houve algumas dificul-
dades nomeadamente o vidro FTO que causou que o alinhamento fosse extrema-
mente complicado natildeo soacute pela sua espessura e dimensionamento como tambeacutem
pela refraccedilatildeo provocada no feixe laser Outro grande obstaacuteculo foi o alinhamento
do cristal uma vez que basta um ligeiro desvio no caminho oacuteptico para causar um
desalinhamento total algo que eacute agravado no interferoacutemetro do tipo Michelson
pelo facto de o feixe laser passar na amostra duas vezes
Apesar destas dificuldades o valor obtido para o coeficiente electrooacuteptico r63
foi de 105pmV valor esse muito proacuteximo do valor padratildeo da literatura que se
encontra nos 106pmV Assim pode-se considerar que o sistema desenvolvido
se encontra devidamente calibrado e pronto para futuras utilizaccedilotildees
41
Capiacutetulo
5Conclusotildees
O trabalho desenvolvido no decorrer desta dissertaccedilatildeo consistiu no desenvolvi-
mento de um sistema para a mediccedilatildeo do efeito electrooacuteptico aacuterea a ser ulilizada
na caracterizaccedilatildeo de novos materiais polimeacutericos para aplicaccedilatildeo em dispositivos
fotoacutenicos
Nesta conformidade foi desenhada construiacuteda e testado uma bancada oacuteptica
destinada agrave mediccedilatildeo do efeito electrooacuteptico baseado numa teacutecnica interferomeacute-
trica de mediccedilatildeo da diferenccedila de fase implementado atraveacutes de um interferoacutemetro
do tipo Michelson
O cristal escolhido para a calibraccedilatildeo do sistema desenvolvido foi um cristal de
KDP comercial tendo sido utilizado o coeficiente electrooacuteptico r63 como referecircn-
cia sendo o valor padratildeo de 106pmV
O sistema obtido permitiu medir um valor nominal de 105plusmn 02pmV com
um erro de aproximadamente 1 em relaccedilatildeo ao valor tabelado comprovando a
afericcedilatildeo do sistema para a mediccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico por transmissatildeo
O sistema desenvolvido estaacute portanto apto para futuras mediccedilotildees sendo ape-
nas necessaacuterio algumas alteraccedilotildees no porta-amostras mediante as dimensotildees e
forma da amostra a utilizar
Chegou-se ainda agrave conclusatildeo que para amostras como o cristal utilizado o
feixe laser passar duas vezes na amostra acaba por ser uma grande desvantagem
desvantagem essa inexistente para filmes polimeacutericos que ganham cada vez mais
importacircncia na aacuterea da fotoacutenica uma vez que satildeo materiais de grande interesse
cientiacutefico e tecnoloacutegico jaacute que podem ser utilizados no desenvolvimento de dispo-
sitivos oacutepticos nomeadamente moduladores de luz e memoacuterias oacutepticas
43
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46
Apecircndice
AApecircndice
A1 Desenhos Teacutecnicos
47
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- Lista de Figuras
- Lista de Tabelas
- Introduccedilatildeo
- Efeito Electrooacuteptico
-
- Oacuteptica Natildeo-Linear
- Propagaccedilatildeo em Meios Anisotroacutepicos
-
- Vector de Poynting
- Elipsoiacutede dos Iacutendices
- Coeficientes Natildeo-Lineares
-
- Mediccedilatildeo do Efeito Electrooacuteptico
-
- Meacutetodo Tradicional
- Meacutetodos por Interferometria
-
- Interferometria Oacuteptica
- Interferoacutemetro de Mach-Zehnder
- Interferoacutemetro de Michelson
-
- Sistema Implementado
-
- Interferoacutemetro
- Electroacutenica Desenvolvida
-
- Amplificador
- Gerador de Rampa
- Seguidor de Tensatildeo
-
- Sistema Oacuteptico Desenvolvido
-
- Espelho Vibrante
- Bancada Oacuteptica
- Detector
- Cristal Electrooacuteptico
- Porta Amostras
-
- Coeficiente Electrooacuteptico
- Execuccedilatildeo Experimental
- Resultados
-
- Conclusotildees
- Bibliografia
- Apecircndice
-
- Desenhos Teacutecnicos
-
CAPIacuteTULO 1 INTRODUCcedilAtildeO
apenas em meios em que a sua estrutura natildeo apresenta centro de simetria
No efeito de Kerr a variaccedilatildeo no iacutendice de refraccedilatildeo do meio eacute proporcional ao
quadrado do campo eleacutetrico aplicado e portanto proporcional agrave intensidade da
luz e ao contraacuterio do efeito de Pockels ocorre dum modo geral como mais ou
menos intensidade em todos os materiais
O conhecimento das propriedades electrooacutepticas de um material eacute fundamen-
tal na avaliaccedilatildeo das suas capacidades para o desenvolvimentos de dispositivos
moduladores de luz O presente trabalho de dissertaccedilatildeo consistiu no desenvolvi-
mento de uma bancada oacuteptica para a mediccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico base-
ado em teacutecnica interferomeacutetrica de mediccedilatildeo da diferenccedila de fase induzida por
efeito eletrooacuteptico
Neste trabalho seraacute inicialmente descrita a teoria e os caacutelculos necessaacuterios
para a mediccedilatildeo do efeito electrooacuteptico atraveacutes dos seus coeficientes natildeo-lineares
Sendo de seguida apresentados alguns sistemas de mediccedilatildeo deste efeito e o seu
respectivo funcionamento No capiacutetulo seguinte seraacute descrito o funcionamento
do sistema desenvolvido o interferoacutemetro implementado o porta-amostras cons-
truiacutedo a eletroacutenica e os sistemas oacutepticos desenvolvidos que integram o sistema
bem como os caacutelculos finais para a obtenccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico do sis-
tema usado Por uacuteltimo as conclusotildees retiradas do trabalho desenvolvido bem
como as suas perspectivas futuras
2
Capiacutetulo
2Efeito Electrooacuteptico
Este capiacutetulo aborda do ponto de vista teoacuterico alguns aspectos relevantes para a
realizaccedilatildeo deste trabalho nomeadamente a propagaccedilatildeo da luz num meio as pro-
priedades da oacuteptica natildeo-linear e a alteraccedilatildeo no iacutendice de refraccedilatildeo linear em meios
anisotroacutepicos Estes conceitos permitiratildeo encontrar as expressotildees que determinam
os coeficientes natildeo-lineares
21 Oacuteptica Natildeo-Linear
Um dado material pode responder de forma natildeo-linear a um campo eleacutectrico
aplicado De um modo geral pode-se descrever a resposta da seguinte forma[4]
Pi = ε0
[χ
(1)ij Ej +χ(2)
ijkEjEk +χ(3)ijklEjEkEl +χ(N )
middotmiddotmiddot middot middot middot]
(21)
Onde P i eacute a polarizaccedilatildeo do meio ε0 eacute a permissidade eleacutectrica no vaacutecuo E
o campo eleacutectrico aplicado χ(1) a suscetibilidade eleacutectrica linear e χ(2) χ(3)
χ(n) as suscetibilidades natildeo lineares de segunda ordem de terceira ordem ateacute
N ordem sendo N um nuacutemero inteiro com i j k l um sistema de eixos de
laboratoacuterio com valores valores 1 2 e 3
Cada termo da equaccedilatildeo 21 estaacute associado a diferentes respostas do meio O
termo χ(1) estaacute associado ao iacutendice de refraccedilatildeo e absorccedilatildeo linear O termo χ(2) agrave
geraccedilatildeo de segunda harmoacutenica soma e diferenccedila de frequecircncias e o efeito elec-
trooacuteptico linear ou efeito de Pockels Este efeito eacute particularmente importante
3
CAPIacuteTULO 2 EFEITO ELECTROOacutePTICO
jaacute que permite a modulaccedilatildeo da luz De salientar que o tensor de terceira ordem
(χ(2)ijk) se reduz a dezoito elementos atendendo agraves simetrias resultantes de permu-
tas de iacutendices jaacute que χ(2)ijk = χ
(2)ikj = χ
(2)kij = χ
(2)jik = χ
(2)jki = χ
(2)kji Pode-se desta forma
representar atraveacutes da matriz
χ(2)ij =
χ
(2)11 χ
(2)12 χ
(2)13 χ
(2)14 χ
(2)15 χ
(2)16
χ(2)21 χ
(2)22 χ
(2)23 χ
(2)24 χ
(2)25 χ
(2)26
χ(2)31 χ
(2)32 χ
(2)33 χ
(2)34 χ
(2)35 χ
(2)36
Utilizando uma notaccedilatildeo condensada[5] ficamos com
χ(2)ijk = χ(2)
mk = com m =
1 quando ij = 11
2 quando ij = 22
3 quando ij = 33
4 quando ij = 2332
5 quando ij = 1331
6 quando ij = 1221
De notar que dependendo do meio soacute alguns dos elementos de χ(2)ijk seratildeo natildeo
nulos Para materiais que exibam centro de simetria o efeito electrooacuteptico linear
natildeo existe de todo sendo os elementos de χ(2)ijk nulos
O elemento χ(3) estaacute associado agrave geraccedilatildeo da terceira harmoacutenica soma e dife-
renccedila de frequecircncias e o efeito electrooacuteptico quadraacutetico ou efeito de Kerr que se
manifesta na variaccedilatildeo do iacutendice de refraccedilatildeo com o quadrado do campo eleacutectrico
aplicado
De salientar ainda que quanto maior o valor de ordem n mais difiacutecil se torna
observar os efeitos associados uma vez que estes se tornam cada vez menos inten-
sos
4
22 PROPAGACcedilAtildeO EM MEIOS ANISOTROacutePICOS
22 Propagaccedilatildeo em Meios Anisotroacutepicos
A propagaccedilatildeo de uma onda electromagneacutetica num meio pode ser descrita pelas
equaccedilotildees de Maxwell1 Para o caso de um meio homogeacuteneo isolante e neutro
pode-se escrever como
nabla middot ~E = 0 (22a)
nabla middot ~B = 0 (22b)
nablatimes ~E = minuspart~Bpartt
(22c)
nablatimes ~B = microεpart~Epartt
(22d)
Sendo ~B o campo magneacutetico ~E o campo eleacutectrico ε e micro a permissidade eleacutectrica
e permeabilidade magneacutetica do meio respectivamente
Tendo em conta que para um vector ~D geneacuterico
nablatimesnablatimes ~D = nabla(nabla middot ~D
)minusnabla2 ~D (23)
e
nablatimespart~Dpartt
=partnablatimes ~Dpartt
(24)
Comeccedilando pela equaccedilatildeo 22c
nablatimesnablatimes ~E = nablatimespart~Bpartt
(25)
Usando as propriedades matemaacuteticas das equaccedilotildees 23 e 24
nabla(nabla middot ~E
)minusnabla2~E =
partnablatimes ~Bpartt
(26)
Utilizando as equaccedilotildees 22a e 22d na equaccedilatildeo 26 verifica-se que
nabla2~E = microεpart2~E
partt2(27)
1James Clerk Maxwell foi um cientista escocecircs mais conhecido por ter combinado as teoriasdos campos da oacuteptica do magnetismo e da electricidade numa soacute e uacutenica teoria dando assimorigem as chamadas equaccedilotildees de Maxwell
5
CAPIacuteTULO 2 EFEITO ELECTROOacutePTICO
Obtendo-se desta maneira a equaccedilatildeo de onda para o campo eleacutectrico Analo-
gamente mas comeccedilando com a equaccedilatildeo 22d obteacutem-se para o campo magneacutetico
nabla2~B = microεpart2~B
partt2(28)
A sua velocidade de propagaccedilatildeo eacute dada por
v =1radicmicroε
(29)
Sendo que no vazio micro = micro0 e ε = ε0 o que resulta em v = c 3times 108ms
Resolvendo as equaccedilotildees 27 e 28 obtecircm-se as expressotildees para os campos eleacutec-
tricos e magneacuteticos que se propagam no meio
~E (~r t) = ~E0ei(~kmiddot~rminuswt
)(210)
e
~B (~r t) = ~B0ei(~kmiddot~rminuswt
)(211)
Onde ~r eacute o vector posiccedilatildeo ~k eacute o vector de onda que segue a direccedilatildeo de pro-
pagaccedilatildeo da onda w a frequecircncia angular e t o tempo Sendo que a parte real das
equaccedilotildees representa os seus respectivos campos A magnitude do vector ~k pode
ser escrita da seguinte maneira
k =2πλ
=wv
=wnc
(212)
Em que k eacute o nuacutemero de onda λ o comprimento de onda e n o iacutendice de
refraccedilatildeo
Escrevendo a parte real das equaccedilotildees 210 e 211 fica-se com
E = E0 cos(kr minuswt) (213)
e
B = B0 cos(kr minuswt) (214)
Manipulando a equaccedilatildeo 22c obtem-se
partEpartx
= minuspartBpartt
(215)
6
22 PROPAGACcedilAtildeO EM MEIOS ANISOTROacutePICOS
Utilizando a equaccedilatildeo 215 nas equaccedilotildees 213 e 213
kE0 = wB0 (216)
Usando a equaccedilatildeo 212 na equaccedilatildeo 216 verifica-se que
B0 =E0
v(217)
221 Vector de Poynting
O fluxo de energia (Wm2) dado pelo vector de Poynting2 (~S) pode ser escrito da
seguinte forma
~S =1micro~E times ~B (218)
A densidade de energia eleacutectrica ou a energia eleacutectrica armazenada por uni-
dade de volume (joulem3) a quantidade de energia contida num dado sistema
em relaccedilatildeo ao seu volume seraacute dada por
uE =12εE2 (219)
Agrave semelhanccedila da densidade de energia eleacutectrica a densidade de energia mag-
neacutetica (uB) eacute
uB =1
2microB2 (220)
Assim somando as equaccedilotildees 219 e 220 obtem-se a densidade de energia
total de uma onda electromagneacutetica
u =12εE2 +
12microB2 (221)
2John Henry Poynting foi um fiacutesico britacircnico autor de diversos trabalhos entre os quais um te-orema no qual se atribui um valor agrave taxa de fluxo de energia electromagneacutetica que ficou conhecidocomo vector de Poynting
7
CAPIacuteTULO 2 EFEITO ELECTROOacutePTICO
Substituindo as equaccedilotildees 29 e 217 na equaccedilatildeo 221 pode-se escrever a densi-
dade de energia total de uma onda electromagneacutetica num dado meio da seguinte
forma
u = εE2 (222)
Relacionando-se desta forma a densidade de energia com o campo eleacutectrico
De salientar que o campo magneacutetico e o campo eleacutectrico estatildeo relacionados atra-
veacutes da equaccedilatildeo 217
Considerando uma secccedilatildeo de aacuterea A (Fig 21) de um cubo com ∆x de lado
Figura 21 Cubo com secccedilatildeo de aacuterea A e ∆x de lado
A energia armazenada no cubo ou densidade de energia eacute igual a
∆U = uA∆x (223)
Sendo que a energia que atravessa a aacuterea A por unidade de tempo eacute
∆U∆t
=uA∆x∆xv
= uAv (224)
Assim a energia por unidade de tempo e aacuterea (Wm2) eacute igual a
uv = S (225)
Combinando a equaccedilatildeo 225 com a equaccedilatildeo 222 pode-se escrever a magnitude
do vector de Poynting da seguinte forma
S = εvE2 (226)
8
22 PROPAGACcedilAtildeO EM MEIOS ANISOTROacutePICOS
Substituindo a equaccedilatildeo 213 na equaccedilatildeo 225 a magnitude do vector de Poyn-
ting assume a seguinte forma
S = εvE20 cos2 (wt) (227)
Se na equaccedilatildeo 227 se fizer uma meacutedia no tempo obteacutem-se
〈S〉 = εvE20
langcos2 (wt)
rang(228)
Sendo quelangcos2 (wt)
rang= 1
2 tem-se que
I = 〈S〉 =12εvE2
0 =c
2nεE2
0 (229)
Sendo I a intensidade ou seja a potecircncia meacutedia por unidade de aacuterea que a
onda electromagneacutetica transporta
222 Elipsoiacutede dos Iacutendices
Nos meios anisotroacutepicos o iacutendice de refraccedilatildeo linear depende da direccedilatildeo da propa-
gaccedilatildeo da luz e do seu estado de polarizaccedilatildeo A resposta de um meio anisotroacutepico
eacute normalmente obtida atraveacutes do conceito de elipsoiacutede de iacutendices[5 6 7] que
a seguir seraacute descrita Ao se aplicar um campo eleacutectrico a um meio polarizaacutevel
este induz uma mudanccedila do estado de polarizaccedilatildeo descrito pelo deslocamento
eleacutectrico
~D = ε0~E + ~P (230)
Sendo
~P = ε0χ~E (231)
onde ε0 eacute a permissidade eleacutectrica no vazio ~P a polarizaccedilatildeo ~E o campo eleacutec-
trico ~D o deslocamento eleacutectrico e χ eacute o tensor das suscetibilidades Atraveacutes das
equaccedilotildees 230 e 231 tem-se que
~D = ε0~E(1 + χ) (232)
9
CAPIacuteTULO 2 EFEITO ELECTROOacutePTICO
Sendo que χ eacute dado por
χ =
χ11 χ12 χ13
χ21 χ22 χ23
χ31 χ32 χ33
(233)
Pelo teorema de eixos principais [7] seraacute possiacutevel escolher um sistema de co-
ordenadas onde apenas os elementos da diagonal principal sejam diferentes de
zero de tal forma que
χ =
χ11 0 0
0 χ22 0
0 0 χ33
(234)
Assim a equaccedilatildeo 231 pode ser escrita na forma no novo sistema de eixosP1
P2
P3
= ε0
χ11 0 0
0 χ22 0
0 0 χ33
E1
E2
E3
(235)
Da equaccedilatildeo 235 pode-se ainda retirar o seguinte
P1 = ε0χ11E1 D1 = ε11E1 ε11 = ε0 (1 +χ11)
P2 = ε0χ22E2 D2 = ε22E2 ε22 = ε0 (1 +χ22) (236)
P3 = ε0χ33E3 D3 = ε33E3 ε33 = ε0 (1 +χ33)
Combinando as equaccedilotildees 219 e 236 pode-se reescrever a densidade de energia
armazenada no campo eleacutectrico como
uE =12~E middot ~D (237)
Usando as expressotildees da equaccedilatildeo 236 para manipular a equaccedilatildeo 237 obtem-
se
D21
ε11+D2
2
ε22+D2
3
ε33= 2uE (238)
10
22 PROPAGACcedilAtildeO EM MEIOS ANISOTROacutePICOS
Substituiacutendo na equaccedilatildeo 238 D1 D2 e D3 pelos seus respectivos eixos em
coordenadas cartesianas tem-se que
x2
ε11ε0+
y2
ε22ε0+
z2
ε33ε0= 1 (239)
sendo x = D1radic2ε0UE
y = D2radic2ε0UE
e z = D3radic2ε0UE
Reescrevendo a equaccedilatildeo 239 fazendo n2x = ε11ε0 n2
y = ε22ε0 e n2z = ε33ε0
obteacutem-se forma a equaccedilatildeo do elipsoide de iacutendices
x2
n2x
+y2
n2y
+z2
n2z
= 1 (240)
Sendo nx ny e nz o iacutendice de refraccedilatildeo na sua respectiva direccedilatildeo como demons-
tra a figura 22
Figura 22 Ilustraccedilatildeo do elipsoiacutede de iacutendices (retirado de [7])
11
CAPIacuteTULO 2 EFEITO ELECTROOacutePTICO
223 Coeficientes Natildeo-Lineares
Quando eacute aplicado um campo eleacutectrico ao meio o elipsoiacutede de iacutendices pode
mudar a sua forma e orientaccedilatildeo no espaccedilo de tal forma que a equaccedilatildeo de elipsoide
de iacutendices passa a ser escrita de um modo geral como
( 1n2
)1x2 +
( 1n2
)2y2 +
( 1n2
)3z2 + 2
( 1n2
)4xy + 2
( 1n2
)5xz+ 2
( 1n2
)6yz = 1 (241)
Quando o campo eleacutectrico aplicado eacute nulo as equaccedilotildees 240 e 241 tecircm de ser
equivalentes pelo que para E = 0 tem-se
( 1n2
)1
=1
n2x( 1
n2
)2
=1
n2y( 1
n2
)3
=1
n2z( 1
n2
)4
=( 1n2
)5
=( 1n2
)6
= 0
(242)
Desta forma quando se aplica um campo eleacutectrico (E) verifica-se uma variaccedilatildeo
nos coeficientes(
1n2
)i Esta variaccedilatildeo induzida pelo efeito electrooacuteptico pode entatildeo
ser descrita atraveacutes de [8]
∆
( 1n2
)i
=3sumj=1
rijEj com i = 1 6 (243)
Sendo rij o coeficiente electrooacuteptico e E a magnitude do campo eleacutectrico apli-
cado
12
22 PROPAGACcedilAtildeO EM MEIOS ANISOTROacutePICOS
A equaccedilatildeo 243 tambeacutem pode ser escrita como
∆
( 1n2
)1
∆
( 1n2
)2
∆
( 1n2
)3
∆
( 1n2
)4
∆
( 1n2
)5
∆
( 1n2
)6
=
r11 r12 r13
r21 r22 r23
r31 r32 r33
r41 r42 r43
r51 r52 r53
r61 r62 r63
E1
E2
E3
(244)
Nesta conformidade o coeficiente electrooacuteptico pode ser escrito como
rij = minus 2
n3ij
[partnijpartEj
](245)
A diferenccedila de fase ∆φ resultante da variaccedilatildeo no iacutendice de refraccedilatildeo ∆n seraacute
∆φ =2πlλ
∆n (246)
Em que o l eacute o caminho percorrido pela luz de comprimento de onda λ no
meio Sendo a variaccedilatildeo no iacutendice de refraccedilatildeo devida aos efeitos electrooacutepticos
pode-se escrever
|∆n| =rno
3
2Voh
(247)
para o efeito electrooacuteptico linear e
|∆n| =sn3o
2
(Voh
)2(248)
para o efeito electrooacuteptico quadraacutetico
Onde os coefeciecircntes electrooacutepticos linear e quadraacutetico satildeo respectivamente
r e s Vo eacute o potencial eleacutectrico aplicado entre os eleacutetrodos que distam entre si a
uma distacircncia h criando assim o campo eleacutectrico aplicado
13
Capiacutetulo
3Mediccedilatildeo do Efeito Electrooacuteptico
Neste capiacutetulo satildeo apresentadas as teacutecnicas mais comuns utilizadas para a me-
diccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico destacando-se dois tipos de interferoacutemetros o
tradicional e os de interferometria de dois feixes
31 Meacutetodo Tradicional
Um dos meacutetodos mais usados para medir o efeito eletrooacuteptico foi o proposto por
Henry [9] em 1986 Esta teacutecnica ilustrada na Fig31 baseia-se na alteraccedilatildeo do
estado de polarizaccedilatildeo de um feixe linearmente polarizado quando este atravessa
o meio Esta alteraccedilatildeo ocorre devido agrave birrefrigecircncia induzida por um campo
eleacutetrico aplicado e agrave atividade oacuteptica do meio A montagem eacute composta por uma
fonte de luz (S) um monocromador (M) uma lente (L) um diafragma (D) dois
polarizadores (P1 e P2) um cristal (BSO) de espessura d ao qual eacute aplicado um
campo eleacutetrico (E) e um fotomultiplicador (FM) ligado a um sistema de aquisiccedilatildeo
de dados
O procedimento experimental em si consiste no seguinte para um dado estado
de polarizaccedilatildeo do feixe incidente imposto pelo P1 vai-se alterando a posiccedilatildeo
angular do P2 de forma a encontrar as intensidades maacutexima e miacutenima e desta
forma calcular-se a visibilidade (ν) atraveacutes de [9]
νθ =Imax minus IminImax + Imin
(31)
15
CAPIacuteTULO 3 MEDICcedilAtildeO DO EFEITO ELECTROOacutePTICO
Figura 31 Montagem experimental proposta por Henry e a sua equipa (adaptadode [9])
De seguida altera-se P1 para a posiccedilatildeo angular de 45 e repete-se o procedi-
mento anterior Somando o quadrado das duas visibilidades obtidas tem-se que
[9]
ν2θ + ν2
θ+45 = 1 +
1minus δ2
2
sen(φ2 )φ2
2
2
(32)
sendo
δ =2πλn3rEyd (33)
e
φ =radicδ2 + ρ2 (34)
Sendo δ a diferenccedila de fase originada pela birrefringecircncia λ o comprimento
de onda do feixe no vaacutecuo ρ a diferenccedila de fase associada agrave actividade oacuteptica n o
iacutendice de refraccedilatildeo sem campo eleacutetrico aplicado Ey o campo eleacutectrico aplicado e
d a espessura do cristal na direccedilatildeo do campo eleacutectrico aplicado Destas equaccedilotildees
pode-se calcular o coeficiente electrooacuteptico r
Para o caso de φ pequenos
sen(φ2 )φ2
2
1 pelo que
ν2θ + ν2
θ+45 1 +(1minus δ
2
2
)2
(35)
Natildeo sendo nesta situaccedilatildeo necessaacuteria a actividade oacuteptica ρ Esta teacutecnica apre-
senta um erro de mediccedilatildeo de 10 a 15 em relaccedilatildeo ao valor tabelado
16
32 MEacuteTODOS POR INTERFEROMETRIA
32 Meacutetodos por Interferometria
321 Interferometria Oacuteptica
Quando duas ondas de uma mesma frequecircncia se sobrepotildeem num dado ponto
formam uma nova onda cuja amplitude eacute o resultado da soma da amplitude das
duas ondas iniciais em cada instante nesse ponto Quando a soma da duas ondas
resulta numa amplitude maior diz-se que houve interferecircncia construtiva quando
resulta numa amplitude inferior diz-se que ocorreu interferecircncia destrutiva
Supondo que uma das ondas tem a forma E1ei(φ1minuswt) e a outra forma E2e
i(φ2minuswt)
sendo E1 e E2 as amplitudes dos respetivos campos eleacutetricos φ1 e φ2 as fases
iniciais w a frequecircncia angular e t o tempo a onda resultante seraacute descrita por
[10]
ET = E1ei(φ1minuswt) +E2e
i(φ2minuswt) (36)
Se φ1 minusφ2 = 2Nπ com N = 012 entatildeo as duas ondas estaratildeo em fase e daacute-
se uma interferecircncia construtiva perfeita Se φ1 minusφ2 = (2N + 1)π e E1 = E2 entatildeo
as duas ondas estaratildeo em oposiccedilatildeo de fase e daacute-se uma interferecircncia destrutiva
completa Estas situaccedilotildees extremas encontram-se ilustradas na figura 32
Figura 32 Ilustraccedilatildeo de uma interferecircncia construtiva perfeita (a) e destrutivacompleta (b)
Matematicamente a coerecircncia eacute uma medida da correlaccedilatildeo entre as ondas
Quanto mais construtiva for a interferecircncia maior seraacute a coerecircncia Fisicamente
a coerecircncia eacute uma medida do quatildeo constante a diferenccedila de fase permanece entre
17
CAPIacuteTULO 3 MEDICcedilAtildeO DO EFEITO ELECTROOacutePTICO
as duas ondas A coerecircncia eacute usualmente medida num padratildeo de franjas de in-
terferecircncia atraveacutes da visibilidade de franja (ν) que pode ser experimentalmente
calculada atraveacutes de [10]
ν =Imax minus IminImax + Imin
= 1 coerecircncia total e contraste maacuteximo
0 lt ν lt 1 coerecircncia parcial
= 0 incoerecircncia total e contraste natildeo haacute franjas
(37)
Pode-se ver na Fig33 um exemplo da equaccedilatildeo 37 que representa a visibi-
lidade das franjas em funccedilatildeo da diferenccedila de fase entre duas ondas da mesma
frequecircncia que interferem Como a visibilidade das franjas depende da coerecircncia
das duas ondas qualquer diferenccedila iraacute traduzir-se numa diminuiccedilatildeo de visibili-
dade
Figura 33 Visibilidade num interferoacutemetro em funccedilatildeo da diferenccedila de fase entreduas ondas provenientes de ramos diferentes do interferoacutemetro (adaptado de[11])
Pode-se usar a interferometria para quantificar os efeitos electrooacutepticos natildeo
soacute linear mas tambeacutem o quadraacutetico (efeito de Kerr) Os interferoacutemetros mais
frequentemente utilizados para este efeito satildeo os interferoacutemetro de Michelson1 e1Albert Abraham Michelson foi um fiacutesico americano conhecido pela invenccedilatildeo do interferoacuteme-
tro de Michelson (1891) do seu trabalho na mediccedilatildeo da velocidade da luz e pelo seu trabalho naexperiecircncia de Michelson-Morley Em 1907 tornou-se o primeiro americano a receber o PreacutemioNobel da Fiacutesica
18
32 MEacuteTODOS POR INTERFEROMETRIA
o interferoacutemetro de Mach-Zehnder2
De salientar que as teacutecnicas interferomeacutetricas apresentam uma elevada sensibi-
lidade simplificaccedilatildeo na preparaccedilatildeo das amostras a estudar e uma menor sensibili-
dade a vibraccedilotildees mecacircnicas e a flutuaccedilotildees teacutermicas desde que estas ocorram com
a mesma intensidade em ambos os ramos do mesmo tamanho do interferoacutemetro
322 Interferoacutemetro de Mach-Zehnder
No interferoacutemetro de Mach-Zehnder (Fig 34) um separador de feixe divide o
feixe proveniente da fonte em dois feixes que vatildeo constituir os dois ramos do
interferoacutemetro o feixe-amostra e o feixe-referecircncia Ambos satildeo refletidos por um
espelho e ambos atravessam um novo separador de feixe antes de se juntarem de
novo e serem medidos nos detetores
Figura 34 Esquema de um interferoacutemetro de Mach-Zehnder (adaptado de [12])
Com os ramos agrave mesma distacircncia pode ainda observar-se que sem amostra
ambos os feixes vatildeo chegar em fase aos detetores havendo desta forma uma inter-
ferecircncia construtiva Ambos apresentaratildeo uma mudanccedila de fase correspondente
a λ devido ao facto de ambos sofrerem duas reflexotildees e uma transmissatildeo numa
placa de vidro(separador de feixe) ateacute chegarem aos detetores2Ludwig Zehnder foi um fiacutesico suiacuteccedilo e o inventor do interferoacutemetro de Mach-Zehnder Inter-
feroacutemetro esse depois aperfeiccediloado por Ludwig Mach
19
CAPIacuteTULO 3 MEDICcedilAtildeO DO EFEITO ELECTROOacutePTICO
Alterando o caminho oacuteptico do espelho do feixe-referecircncia em λ4 sem amos-
tra o feixe-amostra e o feixe-referecircncia vatildeo chegar com uma diferenccedila de fase de
λ2 ou seja vai haver uma interferecircncia destrutiva completa Isto porque o feixe-
referecircncia vai ter uma mudanccedila de fase de λ2 devido a uma reflexatildeo e duas trans-
missotildees provocadas pelos separadores de feixe Enquanto que o feixe-amostra
chegaraacute aos detetores com uma diferenccedila de fase de λ devido a duas reflexotildees
mais uma reflexatildeo com transmissatildeo no segundo separador de feixe Assim na
ausecircncia de amostra e desde que a diferenccedila de caminho oacuteptico ou retardaccedilatildeo
(δ) seja zero os feixes iratildeo interferir construtivamente [13]
Com a amostra colocada no caminho do feixe-amostra os feixes vatildeo chegar ao
detetor em diferentes situaccedilotildees de fase sendo possiacutevel determinar a diferenccedila de
fase provocada pela presenccedila da amostra
A intensidade do feixe (I) em ambos os detetores eacute descrita por [14]
I(δ) =12I(k)cos(2Nkδ) (38)
Com k o nuacutemero de onda (k = 2πλ) E fazendo δ = d com d = vt resulta
I(δ) =12I(k)cos(2Nk(vt)) (39)
323 Interferoacutemetro de Michelson
No interferoacutemetro do tipo Michelson um feixe de luz eacute dividido em dois que
percorrem caminhos diferentes para de seguida se recombinarem Apoacutes terem
percorrido caminhos diferentes o feixe resultante da recombinaccedilatildeo pode apresen-
tar um padratildeo de interferecircncia que depende da diferenccedila de caminhos oacutepticos
entre os feixes e que pode ser medido num detetor
A forma mais simples de implementar um interferoacutemetro de Michelson con-
siste em dois espelhos colocados entre si num plano perpendicular em que um
deles se pode mover na direccedilatildeo perpendicular agrave sua superfiacutecie refletora conforme
ilustrado na Fig35
Esse espelho iraacute movimentar-se num espaccedilo definido a uma velocidade cons-
tante Entre o espelho fixo e o espelho moacutevel estaacute um separador de feixe que
divide o feixe incidente inicial em dois de igual intensidade Aqui o feixe eacute parci-
almente refletido para um espelho e parcialmente transmitido para o outro
20
32 MEacuteTODOS POR INTERFEROMETRIA
Figura 35 Esquema de funcionamento de um interferoacutemetro de Michelson cominterferecircncia construtiva (a) e destrutiva (b) (adaptado de [15])
Assumindo que o separador de feixe eacute ideal e com uma reflectacircncia e transmi-
tacircncia de 50 se o espelho moacutevel se encontrar estacionaacuterio pode determinar-se
a intensidade do feixe num dado ponto do detetor Se a diferenccedila do caminho
oacuteptico ou retardaccedilatildeo (δ) for zero ou seja os espelhos estatildeo igualmente espaccedilados
do separador de feixe estes vatildeo percorrer a mesma distacircncia e interferir construti-
vamente pelo que a intensidade do feixe final eacute a soma das intensidades dos dois
feixes Nestas condiccedilotildees toda a luz que sai da fonte chega ao detetor
No caso do espelho moacutevel se deslocar uma distacircncia de λ4 a retardaccedilatildeo total
seraacute de λ2 pelo que os feixes estaratildeo desfasadas de 180ordm (π) Nestas condiccedilotildees ter-
se-aacute interferecircncia destrutiva completa na recombinaccedilatildeo dos feixes dando origem
agrave extinccedilatildeo total
Voltando a deslocar o espelho moacutevel de mais λ4 a diferenccedila do caminho
oacuteptico seraacute igual a λ e os dois feixes voltam a estar em fase havendo novamente
uma sobreposiccedilatildeo construtiva dos feixes
Com o espelho moacutevel a deslocar-se a uma velocidade constante o sinal do de-
tetor iraacute variar com uma forma perioacutedica sendo que atinge o seu maacuteximo quando
a retardaccedilatildeo (δ) for um muacuteltiplo inteiro de λ δ =Nλ
A expressatildeo da intensidade do feixe (I) no detector para o caso do interferoacute-
metro de Michelson eacute semelhante agrave equaccedilatildeo 38 para o interferoacutemetro de Mach-
Zehnder sendo que neste caso δ = 2d com d = vt jaacute que o feixe atravessa a
amostra duas vezes Nestas condiccedilotildees ter-se-aacute
I(δ) =12I(k)cos(4Nk(vt)) (310)
21
CAPIacuteTULO 3 MEDICcedilAtildeO DO EFEITO ELECTROOacutePTICO
22
Capiacutetulo
4Sistema Implementado
Este capiacutetulo descreve o sistema implementado para a mediccedilatildeo do coeficiente
electrooacuteptico usando a teacutecnica de interferoacutemetria de Michelson bem como a cali-
braccedilatildeo do mesmo
41 Interferoacutemetro
O sistema escolhido para a mediccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico baseia-se na teacutec-
nica de interferometria de Michelson (ver secccedilatildeo 323) onde se mediu a diferenccedila
de fase entre os ramos do interferoacutemetro Esta teacutecnica foi escolhida pela elevada
sensibilidade agrave diferenccedila de fase gerada entre os ramos do interferoacutemetro facili-
dade de preparaccedilatildeo das amostras e por ser menos sensiacutevel a vibraccedilotildees mecacircnicas
e a flutuaccedilotildees teacutermicas desde que estas ocorram com a mesma intensidade em
ambos os ramos do interferoacutemetro Para aleacutem das vantagens mencionadas e espe-
cificamente em comparaccedilatildeo com o interferoacutemetro mais usado o interferoacutemetro
do tipo Mach-Zehnder o interferoacutemetro de Michelson tem uma maior facilidade
de alinhamento dos espelhos e usa apenas um separador de feixe
A figura 41 esquematiza o sistema baseado no interferoacutemetro de Michelson
desenvolvido para a mediccedilatildeo do coeficiente eletrooacuteptico
23
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Figura 41 Esquematizaccedilatildeo do interferoacutemetro de Michelson e instrumentaccedilatildeoutilizada para a mediccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico em cristais
Como se pode ver no esquema da figura 41 o ramo do espelho vibrante fica
vazio enquanto que no ramo do espelho fixo se encontra a amostra entre dois
eleacutectrodos onde se aplicam um campo eleacutectrico E O sinal medido no detector
resulta da interferecircncia entre os feixes provenientes de cada ramo do interferoacute-
mentro dependendo da diferenccedila de fase entre os dois feixes Conforme referido
anteriormente a intensidade da luz (I) que chega ao detector eacute da ordem de [16]
I prop E21 +E2
2 + 2E1E2cos(∆φ) (41)
42 Electroacutenica Desenvolvida
421 Amplificador
Para o efeito electrooacuteptico se manisfestar eacute necessaacuterio aplicar-se uma tensatildeo eleacutec-
trica ao meio Uma vez que a tensatildeo de referecircncia fornecida pelo amplificador
lock-in utilizado eacute muito baixa para induzir efeito electrooacuteptico significativo por
volta dos 12V foi necessaacuterio construir um amplificador de tensatildeo (Fig 42)
24
42 ELECTROacuteNICA DESENVOLVIDA
Figura 42 Esquemaacutetico do amplificador de tensatildeo utilizado com base no ampli-ficador operacional LF356n
O amplificador construiacutedo conforme ilustra a figura 42 consiste numa mon-
tagem inversora de ganho variaacutevel com uma malha de controlo de offset e eacute
alimentado a plusmn12V
Assim o ganho G eacute determinado atraveacutes de
G = 1 +R2R1
(42)
Sendo R1 = 11kΩ R2 = 5kΩ R3 = 25kΩ e o amplificador em si utilizado foi
o LF356n
Obtendo-se desta forma um ganho de aproximadamente 55 Permitindo apli-
car uma tensatildeo de cerca de 66V ao cristal electrooacuteptico Uma vez que a tensatildeo
aplicada eacute baixa pode-se desprezar o efeito piezoeleacutectrico gerado na amostra e
que iria influenciar o valor do coeficiente electrooacuteptico medido
422 Gerador de Rampa
Para alimentar o excitador piezoeleacutectrico do espelho moacutevel foi utilizado um ge-
rador de sinais (Fig 43) de forma a induzir um deslocamento linear perioacutedico
na forma de rampa A frequecircncia de oscilaccedilatildeo cerca de 25Hz foi escolhida de
25
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
forma a ser suficientemente baixa para evitar fenoacutemenos de batimento com o sinal
de modulaccedilatildeo electrooacuteptico e suficientemente alta para que se consiga adquirir
dados em tempo uacutetil com uma tensatildeo variaacutevel entre os 4 e os 8V
Figura 43 Esquema eleacutectrico do gerador de rampa implementado baseado nocircuito temporizador NE555
Sendo R1 = 20kΩ R2 = 1kΩ e C1 = C2 = 47microF
O tempo de subida da rampa t1 eacute dado por
t1 = 0693(R1 +R2)C1 (43)
Enquanto que o tempo de descida t2 eacute
t2 = 0693R2C1 (44)
Obtendo assim um tempo de subida de 036s e um tempo de descida de 0033s
Assim a frequecircncia do gerador de rampa f seraacute dada por
f =1
t1 + t2=
144(R1 + 2R2)C1
(45)
O gerador de rampa foi construiacutedo aproveitando o espaccedilo livre no interior da
unidade de amplificaccedilatildeo onde se situa o amplificador
26
42 ELECTROacuteNICA DESENVOLVIDA
423 Seguidor de Tensatildeo
Devido agrave necessidade de acoplamento de impedacircncias entre o amplificador lock-
in e o osciloacutescopio natildeo foi possiacutevel a utilizaccedilatildeo de um repartidor coaxial que
repartisse o sinal proveniente do detector Assim de forma a se poder visuali-
zar o sinal proveniente do detector em simultacircneo com o sinal electrooacuteptico foi
necessaacuterio a construccedilatildeo de um seguidor de tensatildeo (Fig44)
Figura 44 Esquema do seguidor de tensatildeo utilizado construida com base nosamplifacores operacionais LF356n
Sendo que ambos os circuitos integrados foram alimentados por uma tensatildeo
positiva (V+) de 12V e uma negativa (Vminus) de minus12V Com R1 = R2 = 25kΩ Agrave
semelhanccedila do amplificador foi tambeacutem construida uma malha de controlo de
offset
Agrave semelhanccedila do gerador de rampa tambeacutem foi construido na unidade de
amplificaccedilatildeo e gerador de rampa como se pode ver na figura 45
27
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Figura 45 Imagem da unidade de amplificaccedilatildeo e geraccedilatildeo de rampa implemen-tada
43 Sistema Oacuteptico Desenvolvido
431 Espelho Vibrante
O espelho vibrante (Fig46) foi construiacutedo afixando um espelho a um disco pie-
zoeleacutectrico A vibraccedilatildeo do espelho iraacute fazer com que a distacircncia entre o divisor
de feixe e o espelho varie Fazendo deslocar a franja de interferecircncia em frente ao
detector permitindo a este medir as intensidades maacuteximas e miacutenimas das franjas
de interferecircncia (ver secccedilatildeo 323)
Figura 46 Imagem do espelho vibrante utilizado
28
43 SISTEMA OacutePTICO DESENVOLVIDO
432 Bancada Oacuteptica
De forma a colocar os componentes ao niacutevel do feixe do laser na mesa oacuteptica e a
tornar o sistema menos sensiacutevel a vibraccedilotildees mecacircnicas e flutuaccedilotildees teacutermicas os
componentes foram colocadas numa base quadrada de alumiacutenio
Figura 47 Imagem da bancada oacuteptica onde o interferoacutemetro de Michelson foiconstruiacutedo
Conforme se pode ver na figura 47 para completar o interferoacutemetro de Michel-
son para aleacutem dos componentes jaacute referidos foram ainda utilizados um separador
de feixe e um espelho (fixo) no suporte com uma lente oacuteptica agrave saiacuteda do mesmo
Faltando ainda o laser utilizado da Melles Griotreg que possui uma potecircncia de
635mW e um comprimento de onda de 6328nm
433 Detector
O detector utilizado foi um modelo 818-UVDB da Newport Corporationreg (Fig
48) de baixa potecircncia consistindo num fotodiacuteodo de siliacutecio capaz de operar entre
os 200 e os 1100nm As caracteriacutesticas principais deste detector encontram-se
listadas na tabela 433
29
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Tabela 41 Caracteriacutesticas principais do detector 818-UVDB [17]
Largura de Banda 200 a 1100(nm) Material Siliacutecio
Potecircncia
W λ(nm)
Incerteza de
λ(nm)
02 200 a 4008 200 a 219
Maacutexima Calibraccedilatildeo 2 220 a 349
005 400 a 11001 350 a 9494 950 a 1050
Densidade de02Wcm2 Aacuterea Activa 1cm2
Potecircncia Meacutedia
Energia Maacutexima05microJ
Diacircmetro113cm
de Pulso Activo
De forma a evitar que a luz ambiente interferisse nas medidas e para aumen-
tar a resoluccedilatildeo de mediccedilatildeo do perfil da franja de interferecircncia foi colocado um
diafragma com uma abertura no centro de 06mm conforme se pode ver na figura
48 reduzido desta maneira a aacuterea activa para 028 mm2
Figura 48 Imagem do detector e disco utilizado
Para a aquisiccedilatildeo do sinal electrooacuteptico e geraccedilatildeo de sinal electrooacuteptico de
referecircncia foi utilizado um osciloscoacutepio Lecroy Wavesufertrade422
30
43 SISTEMA OacutePTICO DESENVOLVIDO
434 Cristal Electrooacuteptico
Para a calibraccedilatildeo do sistema foi utilizado um cristal padratildeo de dihidrogenofosfato
de potaacutessio (KDP) Na tabela 42 pode-se observar algumas das propriedades
fiacutesicas desse cristal
Tabela 42 Propriedades fiacutesicas do cristal padratildeo KDP [18]
Material Simetria Densidade Classe Higroscopicidade
KDP Tetragonal (42m) 234gcm3 Uniaxial Higroscoacutepico
Uma vez que o cristal eacute uniaxial nx = ny = no e nz = ne sendo no e ne os
iacutendices de refraccedilatildeo ordinaacuterio e extraordinaacuterio do cristal KDP A figura 49 ilustra
o elipsoiacutede de iacutendices num cristal padratildeo KDP
Figura 49 Ilustraccedilatildeo de um cristal padratildeo KDP e seu respectivo elipsoiacutede deiacutendices
31
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Na Tabela 43 pode-se observar algumas das propriedades oacutepticas do cristal
padratildeo KDP
Tabela 43 Propriedades oacutepticas do cristal padratildeo KDP a 6328nm [7]
Material Foacutermula Quiacutemica Iacutendice de RefracccedilatildeoCoeficiente
Electrooacuteptico
KDPKH2PO4
no=15074 r41=86 pmV(λ = 6328nm) ne=14673 r63=106 pmV
Como se pode ver na tabela 42 o cristal do tipo KDP eacute higroscoacutepico sendo
assim necessaacuterio reduzir ao maacuteximo o contacto entre o cristal e a atmosfera para
evitar que as suas faces fiquem opacas interferindo assim na qualidade do feixe
transmitido
435 Porta Amostras
O porta amostras eacute constituiacutedo por uma base feita de latatildeo (Fig 410) onde se
coloca o cristal nivelado com o feixe laser Este suporte possui oito roscas para
parafusos M3 quatro em cima de forma a se fixar os encaixes laterais do porta
amostras e quatro em baixo de forma a afixar-se firmemente na bancada oacuteptica
Figura 410 Imagem da base do porta-amostras desenvolvido
32
43 SISTEMA OacutePTICO DESENVOLVIDO
De forma a aplicar-se a tensatildeo de excitaccedilatildeo ao cristal sem bloquear o feixe do
laser foram utilizadas duas placas de vidro com oacutexido de estanho dopado com
fluacuteor (FTO) Este permite que haja uma boa transparecircncia e conduccedilatildeo eleacutetrica
sendo usado em vaacuterios tipos de dispositivos como aplicaccedilotildees opto-eletroacutenicas
ecratildes touch screen filmes finos fotovoltaicos etc O oacutexido de estanho dopado
com fluacuteor [19] eacute reconhecido por ser altamente estaacutevel quimicamente inerte re-
siste a temperaturas elevadas e ao desgaste abrasivo sendo mais econoacutemico do
que o tradicional oacutexido de iacutendio e estanho (ITO)
De forma a garantir um bom contacto eleacutectrico entre o vidro FTO e o cristal
foram construidas duas peccedilas de afixaccedilatildeo idecircnticas (Fig 411) Trata-se de duas
peccedilas de alumiacutenio cada uma contendo uma abertura de forma a deixar passar
o feixe laser e dois rasgos para parafusos de forma a poder-se fixar no suporte e
desta maneira exercer uma pressatildeo constante sobre o cristal
Figura 411 Imagem das peccedilas de fixaccedilatildeo do cristal desenvolvidas com a vista defrente (a) e a vista de traacutes (b)
A ligaccedilatildeo eleacutectrica entre o sinal de referecircncia proveniente do amplificador ao
vidro FTO foi feita atraveacutes de uma cola condutora de prata de forma a assegurar
a ligaccedilatildeo oacutehmica entre o fio de cobre e a camada de FTO O cristal fica assim entre
duas placas de vidro FTO(Fig412)
33
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Figura 412 Imagem do porta Amostras desenvolvido
A figura 413 ilustra o sistema desenvolvido incluindo a bancada oacuteptica e
instrumentaccedilatildeo
Figura 413 Imagem do sistema desenvolvido para a mediccedilatildeo do efeito electrooacutep-tico
34
44 COEFICIENTE ELECTROOacutePTICO
44 Coeficiente Electrooacuteptico
Para o cristal utilizado o dihidrogenofosfato de potaacutessio (KDP) e para o efeito
electrooacuteptico linear a matriz de coeficientes electrooacutepticos eacute a seguinte
rij =
0 0 0
0 0 0
0 0 0
r41 0 0
0 r52 0
0 0 r63
com
i = 1 6
j = 123
Sendo que r41 = r52 pelo que existem apenas dois coeficientes independentes
o r41 e o r63
Usando a notaccedilatildeo condensada mencionada da secccedilatildeo 21 onde se aplica o
campo eleacutectrico (E) no plano do i (sendo i = m) enquanto que j eacute o eixo oacuteptico
Para o caso do KDP eacute costume utilizar o r63 Isto eacute aplicar o campo eleacutectrico nos
planos 12 ou 21 (ou seja i = 6) com o eixo oacuteptico no eixo 3 (j = 3) como demonstra
a figura 414
Figura 414 Ilustraccedilatildeo da configuraccedilatildeo utilizada para a mediccedilatildeo do coeficienter63 num cristal
35
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Para o caso do efeito electrooacuteptico quadraacutetico a matriz dos coeficientes elec-
trooacutepticos seraacute
sij =
s11 s12 s12 0 0 0
s12 s11 s12 0 0 0
s12 s12 s11 0 0 0
0 0 0 s11 minus s12 0 0
0 0 0 0 s11 minus s12 0
0 0 0 0 0 s11 minus s12
com i j = 1 6
45 Execuccedilatildeo Experimental
Para se medir o coeficiente electrooacuteptico aplica-se ao cristal uma tensatildeo com uma
frequecircncia de 2kHz frequecircncia essa que se revelou menos sensiacutevel aos ruiacutedos
ambientes sendo que o sinal electrooacuteptico teraacute a mesma frequecircncia Podendo-
se desta maneira atraveacutes de um amplificador de lock-in (modelo 393 da IthacoDynatrac) filtrar o sinal electrooacuteptico dos restantes sinais uma vez que a sua
frequecircncia eacute conhecida
A intensidade da equaccedilatildeo 41 eacute maacutexima quando cos(∆φ) = 1 e miacutenima quando
cos(∆φ) = minus1 Pelo que subtraindo estas duas equaccedilotildees
Imax minus Imin = 4E1E2 (46)
Assim combinando a equaccedilatildeo 41 com a equaccedilatildeo 46 obtem-se
I prop E21E
22 +
12
(Imax minus Imin)cos(∆φ) (47)
Juntando agora a equaccedilatildeo 246 agrave equaccedilatildeo 247 e tendo em conta que o feixe
passa duas vezes por cada ramo (=2l) a diferenccedila de fase para o efeito electrooacutep-
tico linear
∆φ = ∆φ0 +πrn3
oVoλ
2lh
cos(Ωt) (48)
Sendo ∆φ0 a diferenccedila de fase inicial sem o efeito electrooacuteptico
36
45 EXECUCcedilAtildeO EXPERIMENTAL
Substituindo o ∆φ da equaccedilatildeo 48 na equaccedilatildeo 47 a intensidade do sinal com
modulaccedilatildeo electrooacuteptica(Iseo) seraacute dado por
Iseo prop E21 +E2
2 +12
(Imax minus Imin)cos(∆φ0 +
πrn3oVoλ
2lh
cos(Ωt))
(49)
Usando cos(α plusmn β) = cos(α)cos(β)∓ sen(α) sen(β) e D = πrn3oVoλ
2lh fica-se com
Iseo prop E21 +E2
2+12
(Imax minus Imin)
[cos(∆φ0)cos(Dcos(Ωt)) minus sen(∆φ0) sen(D cos(Ωt))](410)
Como a modulaccedilatildeo electrooacuteptica eacute um efeito muito pequeno a equaccedilatildeo 410
pode-se escrever
Iseo asymp E21 +E2
2 +12
(Imax minus Imin) [cos(∆φ0)minusD cos(Ωt) sen(∆φ0)] (411)
Considerando soacute os termos de primeira ordem
Iseo asymp12
(Imax minus Imin) [cos(∆φ0)minusD cos(Ωt) sen(∆φ0)] (412)
A componente do sinal electrooacuteptico eacute entatildeo dado por
Iseo =12
(Imax minus Imin)D cos(Ωt) sen(∆φ0) (413)
Ou seja
Iseo =12
(Imax minus Imin)πrn3
oVoλ
2lh
cos(Ωt) sen(∆φ0) (414)
O acircngulo ∆φ0 varia linearmente com o tempo (t) a uma frequecircncia inferior
a Ω A franja de interferecircncia desloca-se continuamente em frente ao detector
devido a um dos espelho estar fixado num disco piezoeleacutectrico
37
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Na figura 415 pode-se ver uma exemplificaccedilatildeo do sinal no detector que incor-
pora o sinal da franja e electrooacuteptico dada pela equaccedilatildeo 414
Figura 415 Ilustraccedilatildeo do sinal de modulaccedilatildeo electrooacuteptica de um feixe de luzmedido num interferoacutemetro de Michelson
Uma vez que o sinal electrooacuteptico (cos(Ωt)) estaacute desfasado π2 do sinal da
franja ( sen(∆φ0)) A intensidade do sinal electrooacuteptico pode ser escrita como
Iseo asymp12
(Imax minus Imin)πrn3
oVoλ
2lh
∣∣∣ sen(∆φ0)∣∣∣ (415)
Assim a amplitude do sinal electrooacuteptico eacute
Iseo =12
(Imax minus Imin)πrn3
oVoλ
2lh
(416)
Pelo que o coeficiente electrooacuteptico linear seraacute dado por
r =|Iseo|
|Imax minus Imin|λ
πn3oVo
hl
(417)
38
46 RESULTADOS
Para o efeito electrooacuteptico quadraacutetico utilizando o procedimento anoacutelogo mas
a partir da equaccedilatildeo 248 em vez da equaccedilatildeo 247 O sinal electrooacuteptico quadraacutetico
Iseoq que ocorre ao dobro da frequecircncia de modulaccedilatildeo 2Ω eacute dado por
s =
∣∣∣Iseoq∣∣∣|Imax minus Imin|
2λ
πn3oV
2o
h2
l(418)
46 Resultados
Com o cristal de KDP devidamente alinhado no interferoacutemetro segundo o seu
eixo oacuteptico de maneira a se medir o coeficiente r63 Obtendo-se assim dois sinais
o sinal de franja e o sinal electrooacuteptico (Fig 416)
Figura 416 Padratildeo da franja produzida (a) e respectivos sinais de franja e elec-trooacuteptico obtidos para um cristal KDP padratildeo
De forma a se proceder a calibraccedilatildeo do sistema utilizou-se a equaccedilatildeo 417 na
forma
|Iseo||Imax minus Imin|
=πn3
o
λlhrVo (419)
39
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Usando o valor da razatildeo |Iseo ||ImaxminusImin|
em funccedilatildeo do potencial aplicado Vo pode-se
calcular o valor do coeficiente electrooacuteptico r atraveacutes do declive da recta obtida
Pode-se ver na figura 417 uma das rectas obtidas para o cristal utilizado na
calibraccedilatildeo do sistema
Figura 417 Razatildeo entre o sinal electrooacuteptico e a diferenccedila de intensidade defranjas em funccedilatildeo do potencial Vo aplicado ao cristal
A tabela 44 apresenta o valor do coeficiente electrooacuteptico obtido e respectiva
incerteza para o cristal de KDP tomando em conta os valores dos iacutendices de
refraccedilatildeo da tabela 43
Tabela 44 Valores e respectivas incertezas obtidas do coeficiente electrooacutepticopara o cristal KDP utilizado
Material Valor Padratildeo Valor Obtido Erro
KDPr63 = 106pmV r63 = 105plusmn 02pmV 1
(λ = 6328nm)
Como se pode ver na tabela 44 o resultado obtido situa-se muito proacuteximo
do teoacuterico encontrando-se dentro da incerteza obtida Os valores valores meacutedios
apresentam um desvio da ordem dos 02pmV
40
46 RESULTADOS
Apesar dos valores obtidos serem bastante positivos houve algumas dificul-
dades nomeadamente o vidro FTO que causou que o alinhamento fosse extrema-
mente complicado natildeo soacute pela sua espessura e dimensionamento como tambeacutem
pela refraccedilatildeo provocada no feixe laser Outro grande obstaacuteculo foi o alinhamento
do cristal uma vez que basta um ligeiro desvio no caminho oacuteptico para causar um
desalinhamento total algo que eacute agravado no interferoacutemetro do tipo Michelson
pelo facto de o feixe laser passar na amostra duas vezes
Apesar destas dificuldades o valor obtido para o coeficiente electrooacuteptico r63
foi de 105pmV valor esse muito proacuteximo do valor padratildeo da literatura que se
encontra nos 106pmV Assim pode-se considerar que o sistema desenvolvido
se encontra devidamente calibrado e pronto para futuras utilizaccedilotildees
41
Capiacutetulo
5Conclusotildees
O trabalho desenvolvido no decorrer desta dissertaccedilatildeo consistiu no desenvolvi-
mento de um sistema para a mediccedilatildeo do efeito electrooacuteptico aacuterea a ser ulilizada
na caracterizaccedilatildeo de novos materiais polimeacutericos para aplicaccedilatildeo em dispositivos
fotoacutenicos
Nesta conformidade foi desenhada construiacuteda e testado uma bancada oacuteptica
destinada agrave mediccedilatildeo do efeito electrooacuteptico baseado numa teacutecnica interferomeacute-
trica de mediccedilatildeo da diferenccedila de fase implementado atraveacutes de um interferoacutemetro
do tipo Michelson
O cristal escolhido para a calibraccedilatildeo do sistema desenvolvido foi um cristal de
KDP comercial tendo sido utilizado o coeficiente electrooacuteptico r63 como referecircn-
cia sendo o valor padratildeo de 106pmV
O sistema obtido permitiu medir um valor nominal de 105plusmn 02pmV com
um erro de aproximadamente 1 em relaccedilatildeo ao valor tabelado comprovando a
afericcedilatildeo do sistema para a mediccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico por transmissatildeo
O sistema desenvolvido estaacute portanto apto para futuras mediccedilotildees sendo ape-
nas necessaacuterio algumas alteraccedilotildees no porta-amostras mediante as dimensotildees e
forma da amostra a utilizar
Chegou-se ainda agrave conclusatildeo que para amostras como o cristal utilizado o
feixe laser passar duas vezes na amostra acaba por ser uma grande desvantagem
desvantagem essa inexistente para filmes polimeacutericos que ganham cada vez mais
importacircncia na aacuterea da fotoacutenica uma vez que satildeo materiais de grande interesse
cientiacutefico e tecnoloacutegico jaacute que podem ser utilizados no desenvolvimento de dispo-
sitivos oacutepticos nomeadamente moduladores de luz e memoacuterias oacutepticas
43
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46
Apecircndice
AApecircndice
A1 Desenhos Teacutecnicos
47
4xM
311
23
35
40
4xM
311
MA
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- Lista de Figuras
- Lista de Tabelas
- Introduccedilatildeo
- Efeito Electrooacuteptico
-
- Oacuteptica Natildeo-Linear
- Propagaccedilatildeo em Meios Anisotroacutepicos
-
- Vector de Poynting
- Elipsoiacutede dos Iacutendices
- Coeficientes Natildeo-Lineares
-
- Mediccedilatildeo do Efeito Electrooacuteptico
-
- Meacutetodo Tradicional
- Meacutetodos por Interferometria
-
- Interferometria Oacuteptica
- Interferoacutemetro de Mach-Zehnder
- Interferoacutemetro de Michelson
-
- Sistema Implementado
-
- Interferoacutemetro
- Electroacutenica Desenvolvida
-
- Amplificador
- Gerador de Rampa
- Seguidor de Tensatildeo
-
- Sistema Oacuteptico Desenvolvido
-
- Espelho Vibrante
- Bancada Oacuteptica
- Detector
- Cristal Electrooacuteptico
- Porta Amostras
-
- Coeficiente Electrooacuteptico
- Execuccedilatildeo Experimental
- Resultados
-
- Conclusotildees
- Bibliografia
- Apecircndice
-
- Desenhos Teacutecnicos
-
Capiacutetulo
2Efeito Electrooacuteptico
Este capiacutetulo aborda do ponto de vista teoacuterico alguns aspectos relevantes para a
realizaccedilatildeo deste trabalho nomeadamente a propagaccedilatildeo da luz num meio as pro-
priedades da oacuteptica natildeo-linear e a alteraccedilatildeo no iacutendice de refraccedilatildeo linear em meios
anisotroacutepicos Estes conceitos permitiratildeo encontrar as expressotildees que determinam
os coeficientes natildeo-lineares
21 Oacuteptica Natildeo-Linear
Um dado material pode responder de forma natildeo-linear a um campo eleacutectrico
aplicado De um modo geral pode-se descrever a resposta da seguinte forma[4]
Pi = ε0
[χ
(1)ij Ej +χ(2)
ijkEjEk +χ(3)ijklEjEkEl +χ(N )
middotmiddotmiddot middot middot middot]
(21)
Onde P i eacute a polarizaccedilatildeo do meio ε0 eacute a permissidade eleacutectrica no vaacutecuo E
o campo eleacutectrico aplicado χ(1) a suscetibilidade eleacutectrica linear e χ(2) χ(3)
χ(n) as suscetibilidades natildeo lineares de segunda ordem de terceira ordem ateacute
N ordem sendo N um nuacutemero inteiro com i j k l um sistema de eixos de
laboratoacuterio com valores valores 1 2 e 3
Cada termo da equaccedilatildeo 21 estaacute associado a diferentes respostas do meio O
termo χ(1) estaacute associado ao iacutendice de refraccedilatildeo e absorccedilatildeo linear O termo χ(2) agrave
geraccedilatildeo de segunda harmoacutenica soma e diferenccedila de frequecircncias e o efeito elec-
trooacuteptico linear ou efeito de Pockels Este efeito eacute particularmente importante
3
CAPIacuteTULO 2 EFEITO ELECTROOacutePTICO
jaacute que permite a modulaccedilatildeo da luz De salientar que o tensor de terceira ordem
(χ(2)ijk) se reduz a dezoito elementos atendendo agraves simetrias resultantes de permu-
tas de iacutendices jaacute que χ(2)ijk = χ
(2)ikj = χ
(2)kij = χ
(2)jik = χ
(2)jki = χ
(2)kji Pode-se desta forma
representar atraveacutes da matriz
χ(2)ij =
χ
(2)11 χ
(2)12 χ
(2)13 χ
(2)14 χ
(2)15 χ
(2)16
χ(2)21 χ
(2)22 χ
(2)23 χ
(2)24 χ
(2)25 χ
(2)26
χ(2)31 χ
(2)32 χ
(2)33 χ
(2)34 χ
(2)35 χ
(2)36
Utilizando uma notaccedilatildeo condensada[5] ficamos com
χ(2)ijk = χ(2)
mk = com m =
1 quando ij = 11
2 quando ij = 22
3 quando ij = 33
4 quando ij = 2332
5 quando ij = 1331
6 quando ij = 1221
De notar que dependendo do meio soacute alguns dos elementos de χ(2)ijk seratildeo natildeo
nulos Para materiais que exibam centro de simetria o efeito electrooacuteptico linear
natildeo existe de todo sendo os elementos de χ(2)ijk nulos
O elemento χ(3) estaacute associado agrave geraccedilatildeo da terceira harmoacutenica soma e dife-
renccedila de frequecircncias e o efeito electrooacuteptico quadraacutetico ou efeito de Kerr que se
manifesta na variaccedilatildeo do iacutendice de refraccedilatildeo com o quadrado do campo eleacutectrico
aplicado
De salientar ainda que quanto maior o valor de ordem n mais difiacutecil se torna
observar os efeitos associados uma vez que estes se tornam cada vez menos inten-
sos
4
22 PROPAGACcedilAtildeO EM MEIOS ANISOTROacutePICOS
22 Propagaccedilatildeo em Meios Anisotroacutepicos
A propagaccedilatildeo de uma onda electromagneacutetica num meio pode ser descrita pelas
equaccedilotildees de Maxwell1 Para o caso de um meio homogeacuteneo isolante e neutro
pode-se escrever como
nabla middot ~E = 0 (22a)
nabla middot ~B = 0 (22b)
nablatimes ~E = minuspart~Bpartt
(22c)
nablatimes ~B = microεpart~Epartt
(22d)
Sendo ~B o campo magneacutetico ~E o campo eleacutectrico ε e micro a permissidade eleacutectrica
e permeabilidade magneacutetica do meio respectivamente
Tendo em conta que para um vector ~D geneacuterico
nablatimesnablatimes ~D = nabla(nabla middot ~D
)minusnabla2 ~D (23)
e
nablatimespart~Dpartt
=partnablatimes ~Dpartt
(24)
Comeccedilando pela equaccedilatildeo 22c
nablatimesnablatimes ~E = nablatimespart~Bpartt
(25)
Usando as propriedades matemaacuteticas das equaccedilotildees 23 e 24
nabla(nabla middot ~E
)minusnabla2~E =
partnablatimes ~Bpartt
(26)
Utilizando as equaccedilotildees 22a e 22d na equaccedilatildeo 26 verifica-se que
nabla2~E = microεpart2~E
partt2(27)
1James Clerk Maxwell foi um cientista escocecircs mais conhecido por ter combinado as teoriasdos campos da oacuteptica do magnetismo e da electricidade numa soacute e uacutenica teoria dando assimorigem as chamadas equaccedilotildees de Maxwell
5
CAPIacuteTULO 2 EFEITO ELECTROOacutePTICO
Obtendo-se desta maneira a equaccedilatildeo de onda para o campo eleacutectrico Analo-
gamente mas comeccedilando com a equaccedilatildeo 22d obteacutem-se para o campo magneacutetico
nabla2~B = microεpart2~B
partt2(28)
A sua velocidade de propagaccedilatildeo eacute dada por
v =1radicmicroε
(29)
Sendo que no vazio micro = micro0 e ε = ε0 o que resulta em v = c 3times 108ms
Resolvendo as equaccedilotildees 27 e 28 obtecircm-se as expressotildees para os campos eleacutec-
tricos e magneacuteticos que se propagam no meio
~E (~r t) = ~E0ei(~kmiddot~rminuswt
)(210)
e
~B (~r t) = ~B0ei(~kmiddot~rminuswt
)(211)
Onde ~r eacute o vector posiccedilatildeo ~k eacute o vector de onda que segue a direccedilatildeo de pro-
pagaccedilatildeo da onda w a frequecircncia angular e t o tempo Sendo que a parte real das
equaccedilotildees representa os seus respectivos campos A magnitude do vector ~k pode
ser escrita da seguinte maneira
k =2πλ
=wv
=wnc
(212)
Em que k eacute o nuacutemero de onda λ o comprimento de onda e n o iacutendice de
refraccedilatildeo
Escrevendo a parte real das equaccedilotildees 210 e 211 fica-se com
E = E0 cos(kr minuswt) (213)
e
B = B0 cos(kr minuswt) (214)
Manipulando a equaccedilatildeo 22c obtem-se
partEpartx
= minuspartBpartt
(215)
6
22 PROPAGACcedilAtildeO EM MEIOS ANISOTROacutePICOS
Utilizando a equaccedilatildeo 215 nas equaccedilotildees 213 e 213
kE0 = wB0 (216)
Usando a equaccedilatildeo 212 na equaccedilatildeo 216 verifica-se que
B0 =E0
v(217)
221 Vector de Poynting
O fluxo de energia (Wm2) dado pelo vector de Poynting2 (~S) pode ser escrito da
seguinte forma
~S =1micro~E times ~B (218)
A densidade de energia eleacutectrica ou a energia eleacutectrica armazenada por uni-
dade de volume (joulem3) a quantidade de energia contida num dado sistema
em relaccedilatildeo ao seu volume seraacute dada por
uE =12εE2 (219)
Agrave semelhanccedila da densidade de energia eleacutectrica a densidade de energia mag-
neacutetica (uB) eacute
uB =1
2microB2 (220)
Assim somando as equaccedilotildees 219 e 220 obtem-se a densidade de energia
total de uma onda electromagneacutetica
u =12εE2 +
12microB2 (221)
2John Henry Poynting foi um fiacutesico britacircnico autor de diversos trabalhos entre os quais um te-orema no qual se atribui um valor agrave taxa de fluxo de energia electromagneacutetica que ficou conhecidocomo vector de Poynting
7
CAPIacuteTULO 2 EFEITO ELECTROOacutePTICO
Substituindo as equaccedilotildees 29 e 217 na equaccedilatildeo 221 pode-se escrever a densi-
dade de energia total de uma onda electromagneacutetica num dado meio da seguinte
forma
u = εE2 (222)
Relacionando-se desta forma a densidade de energia com o campo eleacutectrico
De salientar que o campo magneacutetico e o campo eleacutectrico estatildeo relacionados atra-
veacutes da equaccedilatildeo 217
Considerando uma secccedilatildeo de aacuterea A (Fig 21) de um cubo com ∆x de lado
Figura 21 Cubo com secccedilatildeo de aacuterea A e ∆x de lado
A energia armazenada no cubo ou densidade de energia eacute igual a
∆U = uA∆x (223)
Sendo que a energia que atravessa a aacuterea A por unidade de tempo eacute
∆U∆t
=uA∆x∆xv
= uAv (224)
Assim a energia por unidade de tempo e aacuterea (Wm2) eacute igual a
uv = S (225)
Combinando a equaccedilatildeo 225 com a equaccedilatildeo 222 pode-se escrever a magnitude
do vector de Poynting da seguinte forma
S = εvE2 (226)
8
22 PROPAGACcedilAtildeO EM MEIOS ANISOTROacutePICOS
Substituindo a equaccedilatildeo 213 na equaccedilatildeo 225 a magnitude do vector de Poyn-
ting assume a seguinte forma
S = εvE20 cos2 (wt) (227)
Se na equaccedilatildeo 227 se fizer uma meacutedia no tempo obteacutem-se
〈S〉 = εvE20
langcos2 (wt)
rang(228)
Sendo quelangcos2 (wt)
rang= 1
2 tem-se que
I = 〈S〉 =12εvE2
0 =c
2nεE2
0 (229)
Sendo I a intensidade ou seja a potecircncia meacutedia por unidade de aacuterea que a
onda electromagneacutetica transporta
222 Elipsoiacutede dos Iacutendices
Nos meios anisotroacutepicos o iacutendice de refraccedilatildeo linear depende da direccedilatildeo da propa-
gaccedilatildeo da luz e do seu estado de polarizaccedilatildeo A resposta de um meio anisotroacutepico
eacute normalmente obtida atraveacutes do conceito de elipsoiacutede de iacutendices[5 6 7] que
a seguir seraacute descrita Ao se aplicar um campo eleacutectrico a um meio polarizaacutevel
este induz uma mudanccedila do estado de polarizaccedilatildeo descrito pelo deslocamento
eleacutectrico
~D = ε0~E + ~P (230)
Sendo
~P = ε0χ~E (231)
onde ε0 eacute a permissidade eleacutectrica no vazio ~P a polarizaccedilatildeo ~E o campo eleacutec-
trico ~D o deslocamento eleacutectrico e χ eacute o tensor das suscetibilidades Atraveacutes das
equaccedilotildees 230 e 231 tem-se que
~D = ε0~E(1 + χ) (232)
9
CAPIacuteTULO 2 EFEITO ELECTROOacutePTICO
Sendo que χ eacute dado por
χ =
χ11 χ12 χ13
χ21 χ22 χ23
χ31 χ32 χ33
(233)
Pelo teorema de eixos principais [7] seraacute possiacutevel escolher um sistema de co-
ordenadas onde apenas os elementos da diagonal principal sejam diferentes de
zero de tal forma que
χ =
χ11 0 0
0 χ22 0
0 0 χ33
(234)
Assim a equaccedilatildeo 231 pode ser escrita na forma no novo sistema de eixosP1
P2
P3
= ε0
χ11 0 0
0 χ22 0
0 0 χ33
E1
E2
E3
(235)
Da equaccedilatildeo 235 pode-se ainda retirar o seguinte
P1 = ε0χ11E1 D1 = ε11E1 ε11 = ε0 (1 +χ11)
P2 = ε0χ22E2 D2 = ε22E2 ε22 = ε0 (1 +χ22) (236)
P3 = ε0χ33E3 D3 = ε33E3 ε33 = ε0 (1 +χ33)
Combinando as equaccedilotildees 219 e 236 pode-se reescrever a densidade de energia
armazenada no campo eleacutectrico como
uE =12~E middot ~D (237)
Usando as expressotildees da equaccedilatildeo 236 para manipular a equaccedilatildeo 237 obtem-
se
D21
ε11+D2
2
ε22+D2
3
ε33= 2uE (238)
10
22 PROPAGACcedilAtildeO EM MEIOS ANISOTROacutePICOS
Substituiacutendo na equaccedilatildeo 238 D1 D2 e D3 pelos seus respectivos eixos em
coordenadas cartesianas tem-se que
x2
ε11ε0+
y2
ε22ε0+
z2
ε33ε0= 1 (239)
sendo x = D1radic2ε0UE
y = D2radic2ε0UE
e z = D3radic2ε0UE
Reescrevendo a equaccedilatildeo 239 fazendo n2x = ε11ε0 n2
y = ε22ε0 e n2z = ε33ε0
obteacutem-se forma a equaccedilatildeo do elipsoide de iacutendices
x2
n2x
+y2
n2y
+z2
n2z
= 1 (240)
Sendo nx ny e nz o iacutendice de refraccedilatildeo na sua respectiva direccedilatildeo como demons-
tra a figura 22
Figura 22 Ilustraccedilatildeo do elipsoiacutede de iacutendices (retirado de [7])
11
CAPIacuteTULO 2 EFEITO ELECTROOacutePTICO
223 Coeficientes Natildeo-Lineares
Quando eacute aplicado um campo eleacutectrico ao meio o elipsoiacutede de iacutendices pode
mudar a sua forma e orientaccedilatildeo no espaccedilo de tal forma que a equaccedilatildeo de elipsoide
de iacutendices passa a ser escrita de um modo geral como
( 1n2
)1x2 +
( 1n2
)2y2 +
( 1n2
)3z2 + 2
( 1n2
)4xy + 2
( 1n2
)5xz+ 2
( 1n2
)6yz = 1 (241)
Quando o campo eleacutectrico aplicado eacute nulo as equaccedilotildees 240 e 241 tecircm de ser
equivalentes pelo que para E = 0 tem-se
( 1n2
)1
=1
n2x( 1
n2
)2
=1
n2y( 1
n2
)3
=1
n2z( 1
n2
)4
=( 1n2
)5
=( 1n2
)6
= 0
(242)
Desta forma quando se aplica um campo eleacutectrico (E) verifica-se uma variaccedilatildeo
nos coeficientes(
1n2
)i Esta variaccedilatildeo induzida pelo efeito electrooacuteptico pode entatildeo
ser descrita atraveacutes de [8]
∆
( 1n2
)i
=3sumj=1
rijEj com i = 1 6 (243)
Sendo rij o coeficiente electrooacuteptico e E a magnitude do campo eleacutectrico apli-
cado
12
22 PROPAGACcedilAtildeO EM MEIOS ANISOTROacutePICOS
A equaccedilatildeo 243 tambeacutem pode ser escrita como
∆
( 1n2
)1
∆
( 1n2
)2
∆
( 1n2
)3
∆
( 1n2
)4
∆
( 1n2
)5
∆
( 1n2
)6
=
r11 r12 r13
r21 r22 r23
r31 r32 r33
r41 r42 r43
r51 r52 r53
r61 r62 r63
E1
E2
E3
(244)
Nesta conformidade o coeficiente electrooacuteptico pode ser escrito como
rij = minus 2
n3ij
[partnijpartEj
](245)
A diferenccedila de fase ∆φ resultante da variaccedilatildeo no iacutendice de refraccedilatildeo ∆n seraacute
∆φ =2πlλ
∆n (246)
Em que o l eacute o caminho percorrido pela luz de comprimento de onda λ no
meio Sendo a variaccedilatildeo no iacutendice de refraccedilatildeo devida aos efeitos electrooacutepticos
pode-se escrever
|∆n| =rno
3
2Voh
(247)
para o efeito electrooacuteptico linear e
|∆n| =sn3o
2
(Voh
)2(248)
para o efeito electrooacuteptico quadraacutetico
Onde os coefeciecircntes electrooacutepticos linear e quadraacutetico satildeo respectivamente
r e s Vo eacute o potencial eleacutectrico aplicado entre os eleacutetrodos que distam entre si a
uma distacircncia h criando assim o campo eleacutectrico aplicado
13
Capiacutetulo
3Mediccedilatildeo do Efeito Electrooacuteptico
Neste capiacutetulo satildeo apresentadas as teacutecnicas mais comuns utilizadas para a me-
diccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico destacando-se dois tipos de interferoacutemetros o
tradicional e os de interferometria de dois feixes
31 Meacutetodo Tradicional
Um dos meacutetodos mais usados para medir o efeito eletrooacuteptico foi o proposto por
Henry [9] em 1986 Esta teacutecnica ilustrada na Fig31 baseia-se na alteraccedilatildeo do
estado de polarizaccedilatildeo de um feixe linearmente polarizado quando este atravessa
o meio Esta alteraccedilatildeo ocorre devido agrave birrefrigecircncia induzida por um campo
eleacutetrico aplicado e agrave atividade oacuteptica do meio A montagem eacute composta por uma
fonte de luz (S) um monocromador (M) uma lente (L) um diafragma (D) dois
polarizadores (P1 e P2) um cristal (BSO) de espessura d ao qual eacute aplicado um
campo eleacutetrico (E) e um fotomultiplicador (FM) ligado a um sistema de aquisiccedilatildeo
de dados
O procedimento experimental em si consiste no seguinte para um dado estado
de polarizaccedilatildeo do feixe incidente imposto pelo P1 vai-se alterando a posiccedilatildeo
angular do P2 de forma a encontrar as intensidades maacutexima e miacutenima e desta
forma calcular-se a visibilidade (ν) atraveacutes de [9]
νθ =Imax minus IminImax + Imin
(31)
15
CAPIacuteTULO 3 MEDICcedilAtildeO DO EFEITO ELECTROOacutePTICO
Figura 31 Montagem experimental proposta por Henry e a sua equipa (adaptadode [9])
De seguida altera-se P1 para a posiccedilatildeo angular de 45 e repete-se o procedi-
mento anterior Somando o quadrado das duas visibilidades obtidas tem-se que
[9]
ν2θ + ν2
θ+45 = 1 +
1minus δ2
2
sen(φ2 )φ2
2
2
(32)
sendo
δ =2πλn3rEyd (33)
e
φ =radicδ2 + ρ2 (34)
Sendo δ a diferenccedila de fase originada pela birrefringecircncia λ o comprimento
de onda do feixe no vaacutecuo ρ a diferenccedila de fase associada agrave actividade oacuteptica n o
iacutendice de refraccedilatildeo sem campo eleacutetrico aplicado Ey o campo eleacutectrico aplicado e
d a espessura do cristal na direccedilatildeo do campo eleacutectrico aplicado Destas equaccedilotildees
pode-se calcular o coeficiente electrooacuteptico r
Para o caso de φ pequenos
sen(φ2 )φ2
2
1 pelo que
ν2θ + ν2
θ+45 1 +(1minus δ
2
2
)2
(35)
Natildeo sendo nesta situaccedilatildeo necessaacuteria a actividade oacuteptica ρ Esta teacutecnica apre-
senta um erro de mediccedilatildeo de 10 a 15 em relaccedilatildeo ao valor tabelado
16
32 MEacuteTODOS POR INTERFEROMETRIA
32 Meacutetodos por Interferometria
321 Interferometria Oacuteptica
Quando duas ondas de uma mesma frequecircncia se sobrepotildeem num dado ponto
formam uma nova onda cuja amplitude eacute o resultado da soma da amplitude das
duas ondas iniciais em cada instante nesse ponto Quando a soma da duas ondas
resulta numa amplitude maior diz-se que houve interferecircncia construtiva quando
resulta numa amplitude inferior diz-se que ocorreu interferecircncia destrutiva
Supondo que uma das ondas tem a forma E1ei(φ1minuswt) e a outra forma E2e
i(φ2minuswt)
sendo E1 e E2 as amplitudes dos respetivos campos eleacutetricos φ1 e φ2 as fases
iniciais w a frequecircncia angular e t o tempo a onda resultante seraacute descrita por
[10]
ET = E1ei(φ1minuswt) +E2e
i(φ2minuswt) (36)
Se φ1 minusφ2 = 2Nπ com N = 012 entatildeo as duas ondas estaratildeo em fase e daacute-
se uma interferecircncia construtiva perfeita Se φ1 minusφ2 = (2N + 1)π e E1 = E2 entatildeo
as duas ondas estaratildeo em oposiccedilatildeo de fase e daacute-se uma interferecircncia destrutiva
completa Estas situaccedilotildees extremas encontram-se ilustradas na figura 32
Figura 32 Ilustraccedilatildeo de uma interferecircncia construtiva perfeita (a) e destrutivacompleta (b)
Matematicamente a coerecircncia eacute uma medida da correlaccedilatildeo entre as ondas
Quanto mais construtiva for a interferecircncia maior seraacute a coerecircncia Fisicamente
a coerecircncia eacute uma medida do quatildeo constante a diferenccedila de fase permanece entre
17
CAPIacuteTULO 3 MEDICcedilAtildeO DO EFEITO ELECTROOacutePTICO
as duas ondas A coerecircncia eacute usualmente medida num padratildeo de franjas de in-
terferecircncia atraveacutes da visibilidade de franja (ν) que pode ser experimentalmente
calculada atraveacutes de [10]
ν =Imax minus IminImax + Imin
= 1 coerecircncia total e contraste maacuteximo
0 lt ν lt 1 coerecircncia parcial
= 0 incoerecircncia total e contraste natildeo haacute franjas
(37)
Pode-se ver na Fig33 um exemplo da equaccedilatildeo 37 que representa a visibi-
lidade das franjas em funccedilatildeo da diferenccedila de fase entre duas ondas da mesma
frequecircncia que interferem Como a visibilidade das franjas depende da coerecircncia
das duas ondas qualquer diferenccedila iraacute traduzir-se numa diminuiccedilatildeo de visibili-
dade
Figura 33 Visibilidade num interferoacutemetro em funccedilatildeo da diferenccedila de fase entreduas ondas provenientes de ramos diferentes do interferoacutemetro (adaptado de[11])
Pode-se usar a interferometria para quantificar os efeitos electrooacutepticos natildeo
soacute linear mas tambeacutem o quadraacutetico (efeito de Kerr) Os interferoacutemetros mais
frequentemente utilizados para este efeito satildeo os interferoacutemetro de Michelson1 e1Albert Abraham Michelson foi um fiacutesico americano conhecido pela invenccedilatildeo do interferoacuteme-
tro de Michelson (1891) do seu trabalho na mediccedilatildeo da velocidade da luz e pelo seu trabalho naexperiecircncia de Michelson-Morley Em 1907 tornou-se o primeiro americano a receber o PreacutemioNobel da Fiacutesica
18
32 MEacuteTODOS POR INTERFEROMETRIA
o interferoacutemetro de Mach-Zehnder2
De salientar que as teacutecnicas interferomeacutetricas apresentam uma elevada sensibi-
lidade simplificaccedilatildeo na preparaccedilatildeo das amostras a estudar e uma menor sensibili-
dade a vibraccedilotildees mecacircnicas e a flutuaccedilotildees teacutermicas desde que estas ocorram com
a mesma intensidade em ambos os ramos do mesmo tamanho do interferoacutemetro
322 Interferoacutemetro de Mach-Zehnder
No interferoacutemetro de Mach-Zehnder (Fig 34) um separador de feixe divide o
feixe proveniente da fonte em dois feixes que vatildeo constituir os dois ramos do
interferoacutemetro o feixe-amostra e o feixe-referecircncia Ambos satildeo refletidos por um
espelho e ambos atravessam um novo separador de feixe antes de se juntarem de
novo e serem medidos nos detetores
Figura 34 Esquema de um interferoacutemetro de Mach-Zehnder (adaptado de [12])
Com os ramos agrave mesma distacircncia pode ainda observar-se que sem amostra
ambos os feixes vatildeo chegar em fase aos detetores havendo desta forma uma inter-
ferecircncia construtiva Ambos apresentaratildeo uma mudanccedila de fase correspondente
a λ devido ao facto de ambos sofrerem duas reflexotildees e uma transmissatildeo numa
placa de vidro(separador de feixe) ateacute chegarem aos detetores2Ludwig Zehnder foi um fiacutesico suiacuteccedilo e o inventor do interferoacutemetro de Mach-Zehnder Inter-
feroacutemetro esse depois aperfeiccediloado por Ludwig Mach
19
CAPIacuteTULO 3 MEDICcedilAtildeO DO EFEITO ELECTROOacutePTICO
Alterando o caminho oacuteptico do espelho do feixe-referecircncia em λ4 sem amos-
tra o feixe-amostra e o feixe-referecircncia vatildeo chegar com uma diferenccedila de fase de
λ2 ou seja vai haver uma interferecircncia destrutiva completa Isto porque o feixe-
referecircncia vai ter uma mudanccedila de fase de λ2 devido a uma reflexatildeo e duas trans-
missotildees provocadas pelos separadores de feixe Enquanto que o feixe-amostra
chegaraacute aos detetores com uma diferenccedila de fase de λ devido a duas reflexotildees
mais uma reflexatildeo com transmissatildeo no segundo separador de feixe Assim na
ausecircncia de amostra e desde que a diferenccedila de caminho oacuteptico ou retardaccedilatildeo
(δ) seja zero os feixes iratildeo interferir construtivamente [13]
Com a amostra colocada no caminho do feixe-amostra os feixes vatildeo chegar ao
detetor em diferentes situaccedilotildees de fase sendo possiacutevel determinar a diferenccedila de
fase provocada pela presenccedila da amostra
A intensidade do feixe (I) em ambos os detetores eacute descrita por [14]
I(δ) =12I(k)cos(2Nkδ) (38)
Com k o nuacutemero de onda (k = 2πλ) E fazendo δ = d com d = vt resulta
I(δ) =12I(k)cos(2Nk(vt)) (39)
323 Interferoacutemetro de Michelson
No interferoacutemetro do tipo Michelson um feixe de luz eacute dividido em dois que
percorrem caminhos diferentes para de seguida se recombinarem Apoacutes terem
percorrido caminhos diferentes o feixe resultante da recombinaccedilatildeo pode apresen-
tar um padratildeo de interferecircncia que depende da diferenccedila de caminhos oacutepticos
entre os feixes e que pode ser medido num detetor
A forma mais simples de implementar um interferoacutemetro de Michelson con-
siste em dois espelhos colocados entre si num plano perpendicular em que um
deles se pode mover na direccedilatildeo perpendicular agrave sua superfiacutecie refletora conforme
ilustrado na Fig35
Esse espelho iraacute movimentar-se num espaccedilo definido a uma velocidade cons-
tante Entre o espelho fixo e o espelho moacutevel estaacute um separador de feixe que
divide o feixe incidente inicial em dois de igual intensidade Aqui o feixe eacute parci-
almente refletido para um espelho e parcialmente transmitido para o outro
20
32 MEacuteTODOS POR INTERFEROMETRIA
Figura 35 Esquema de funcionamento de um interferoacutemetro de Michelson cominterferecircncia construtiva (a) e destrutiva (b) (adaptado de [15])
Assumindo que o separador de feixe eacute ideal e com uma reflectacircncia e transmi-
tacircncia de 50 se o espelho moacutevel se encontrar estacionaacuterio pode determinar-se
a intensidade do feixe num dado ponto do detetor Se a diferenccedila do caminho
oacuteptico ou retardaccedilatildeo (δ) for zero ou seja os espelhos estatildeo igualmente espaccedilados
do separador de feixe estes vatildeo percorrer a mesma distacircncia e interferir construti-
vamente pelo que a intensidade do feixe final eacute a soma das intensidades dos dois
feixes Nestas condiccedilotildees toda a luz que sai da fonte chega ao detetor
No caso do espelho moacutevel se deslocar uma distacircncia de λ4 a retardaccedilatildeo total
seraacute de λ2 pelo que os feixes estaratildeo desfasadas de 180ordm (π) Nestas condiccedilotildees ter-
se-aacute interferecircncia destrutiva completa na recombinaccedilatildeo dos feixes dando origem
agrave extinccedilatildeo total
Voltando a deslocar o espelho moacutevel de mais λ4 a diferenccedila do caminho
oacuteptico seraacute igual a λ e os dois feixes voltam a estar em fase havendo novamente
uma sobreposiccedilatildeo construtiva dos feixes
Com o espelho moacutevel a deslocar-se a uma velocidade constante o sinal do de-
tetor iraacute variar com uma forma perioacutedica sendo que atinge o seu maacuteximo quando
a retardaccedilatildeo (δ) for um muacuteltiplo inteiro de λ δ =Nλ
A expressatildeo da intensidade do feixe (I) no detector para o caso do interferoacute-
metro de Michelson eacute semelhante agrave equaccedilatildeo 38 para o interferoacutemetro de Mach-
Zehnder sendo que neste caso δ = 2d com d = vt jaacute que o feixe atravessa a
amostra duas vezes Nestas condiccedilotildees ter-se-aacute
I(δ) =12I(k)cos(4Nk(vt)) (310)
21
CAPIacuteTULO 3 MEDICcedilAtildeO DO EFEITO ELECTROOacutePTICO
22
Capiacutetulo
4Sistema Implementado
Este capiacutetulo descreve o sistema implementado para a mediccedilatildeo do coeficiente
electrooacuteptico usando a teacutecnica de interferoacutemetria de Michelson bem como a cali-
braccedilatildeo do mesmo
41 Interferoacutemetro
O sistema escolhido para a mediccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico baseia-se na teacutec-
nica de interferometria de Michelson (ver secccedilatildeo 323) onde se mediu a diferenccedila
de fase entre os ramos do interferoacutemetro Esta teacutecnica foi escolhida pela elevada
sensibilidade agrave diferenccedila de fase gerada entre os ramos do interferoacutemetro facili-
dade de preparaccedilatildeo das amostras e por ser menos sensiacutevel a vibraccedilotildees mecacircnicas
e a flutuaccedilotildees teacutermicas desde que estas ocorram com a mesma intensidade em
ambos os ramos do interferoacutemetro Para aleacutem das vantagens mencionadas e espe-
cificamente em comparaccedilatildeo com o interferoacutemetro mais usado o interferoacutemetro
do tipo Mach-Zehnder o interferoacutemetro de Michelson tem uma maior facilidade
de alinhamento dos espelhos e usa apenas um separador de feixe
A figura 41 esquematiza o sistema baseado no interferoacutemetro de Michelson
desenvolvido para a mediccedilatildeo do coeficiente eletrooacuteptico
23
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Figura 41 Esquematizaccedilatildeo do interferoacutemetro de Michelson e instrumentaccedilatildeoutilizada para a mediccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico em cristais
Como se pode ver no esquema da figura 41 o ramo do espelho vibrante fica
vazio enquanto que no ramo do espelho fixo se encontra a amostra entre dois
eleacutectrodos onde se aplicam um campo eleacutectrico E O sinal medido no detector
resulta da interferecircncia entre os feixes provenientes de cada ramo do interferoacute-
mentro dependendo da diferenccedila de fase entre os dois feixes Conforme referido
anteriormente a intensidade da luz (I) que chega ao detector eacute da ordem de [16]
I prop E21 +E2
2 + 2E1E2cos(∆φ) (41)
42 Electroacutenica Desenvolvida
421 Amplificador
Para o efeito electrooacuteptico se manisfestar eacute necessaacuterio aplicar-se uma tensatildeo eleacutec-
trica ao meio Uma vez que a tensatildeo de referecircncia fornecida pelo amplificador
lock-in utilizado eacute muito baixa para induzir efeito electrooacuteptico significativo por
volta dos 12V foi necessaacuterio construir um amplificador de tensatildeo (Fig 42)
24
42 ELECTROacuteNICA DESENVOLVIDA
Figura 42 Esquemaacutetico do amplificador de tensatildeo utilizado com base no ampli-ficador operacional LF356n
O amplificador construiacutedo conforme ilustra a figura 42 consiste numa mon-
tagem inversora de ganho variaacutevel com uma malha de controlo de offset e eacute
alimentado a plusmn12V
Assim o ganho G eacute determinado atraveacutes de
G = 1 +R2R1
(42)
Sendo R1 = 11kΩ R2 = 5kΩ R3 = 25kΩ e o amplificador em si utilizado foi
o LF356n
Obtendo-se desta forma um ganho de aproximadamente 55 Permitindo apli-
car uma tensatildeo de cerca de 66V ao cristal electrooacuteptico Uma vez que a tensatildeo
aplicada eacute baixa pode-se desprezar o efeito piezoeleacutectrico gerado na amostra e
que iria influenciar o valor do coeficiente electrooacuteptico medido
422 Gerador de Rampa
Para alimentar o excitador piezoeleacutectrico do espelho moacutevel foi utilizado um ge-
rador de sinais (Fig 43) de forma a induzir um deslocamento linear perioacutedico
na forma de rampa A frequecircncia de oscilaccedilatildeo cerca de 25Hz foi escolhida de
25
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
forma a ser suficientemente baixa para evitar fenoacutemenos de batimento com o sinal
de modulaccedilatildeo electrooacuteptico e suficientemente alta para que se consiga adquirir
dados em tempo uacutetil com uma tensatildeo variaacutevel entre os 4 e os 8V
Figura 43 Esquema eleacutectrico do gerador de rampa implementado baseado nocircuito temporizador NE555
Sendo R1 = 20kΩ R2 = 1kΩ e C1 = C2 = 47microF
O tempo de subida da rampa t1 eacute dado por
t1 = 0693(R1 +R2)C1 (43)
Enquanto que o tempo de descida t2 eacute
t2 = 0693R2C1 (44)
Obtendo assim um tempo de subida de 036s e um tempo de descida de 0033s
Assim a frequecircncia do gerador de rampa f seraacute dada por
f =1
t1 + t2=
144(R1 + 2R2)C1
(45)
O gerador de rampa foi construiacutedo aproveitando o espaccedilo livre no interior da
unidade de amplificaccedilatildeo onde se situa o amplificador
26
42 ELECTROacuteNICA DESENVOLVIDA
423 Seguidor de Tensatildeo
Devido agrave necessidade de acoplamento de impedacircncias entre o amplificador lock-
in e o osciloacutescopio natildeo foi possiacutevel a utilizaccedilatildeo de um repartidor coaxial que
repartisse o sinal proveniente do detector Assim de forma a se poder visuali-
zar o sinal proveniente do detector em simultacircneo com o sinal electrooacuteptico foi
necessaacuterio a construccedilatildeo de um seguidor de tensatildeo (Fig44)
Figura 44 Esquema do seguidor de tensatildeo utilizado construida com base nosamplifacores operacionais LF356n
Sendo que ambos os circuitos integrados foram alimentados por uma tensatildeo
positiva (V+) de 12V e uma negativa (Vminus) de minus12V Com R1 = R2 = 25kΩ Agrave
semelhanccedila do amplificador foi tambeacutem construida uma malha de controlo de
offset
Agrave semelhanccedila do gerador de rampa tambeacutem foi construido na unidade de
amplificaccedilatildeo e gerador de rampa como se pode ver na figura 45
27
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Figura 45 Imagem da unidade de amplificaccedilatildeo e geraccedilatildeo de rampa implemen-tada
43 Sistema Oacuteptico Desenvolvido
431 Espelho Vibrante
O espelho vibrante (Fig46) foi construiacutedo afixando um espelho a um disco pie-
zoeleacutectrico A vibraccedilatildeo do espelho iraacute fazer com que a distacircncia entre o divisor
de feixe e o espelho varie Fazendo deslocar a franja de interferecircncia em frente ao
detector permitindo a este medir as intensidades maacuteximas e miacutenimas das franjas
de interferecircncia (ver secccedilatildeo 323)
Figura 46 Imagem do espelho vibrante utilizado
28
43 SISTEMA OacutePTICO DESENVOLVIDO
432 Bancada Oacuteptica
De forma a colocar os componentes ao niacutevel do feixe do laser na mesa oacuteptica e a
tornar o sistema menos sensiacutevel a vibraccedilotildees mecacircnicas e flutuaccedilotildees teacutermicas os
componentes foram colocadas numa base quadrada de alumiacutenio
Figura 47 Imagem da bancada oacuteptica onde o interferoacutemetro de Michelson foiconstruiacutedo
Conforme se pode ver na figura 47 para completar o interferoacutemetro de Michel-
son para aleacutem dos componentes jaacute referidos foram ainda utilizados um separador
de feixe e um espelho (fixo) no suporte com uma lente oacuteptica agrave saiacuteda do mesmo
Faltando ainda o laser utilizado da Melles Griotreg que possui uma potecircncia de
635mW e um comprimento de onda de 6328nm
433 Detector
O detector utilizado foi um modelo 818-UVDB da Newport Corporationreg (Fig
48) de baixa potecircncia consistindo num fotodiacuteodo de siliacutecio capaz de operar entre
os 200 e os 1100nm As caracteriacutesticas principais deste detector encontram-se
listadas na tabela 433
29
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Tabela 41 Caracteriacutesticas principais do detector 818-UVDB [17]
Largura de Banda 200 a 1100(nm) Material Siliacutecio
Potecircncia
W λ(nm)
Incerteza de
λ(nm)
02 200 a 4008 200 a 219
Maacutexima Calibraccedilatildeo 2 220 a 349
005 400 a 11001 350 a 9494 950 a 1050
Densidade de02Wcm2 Aacuterea Activa 1cm2
Potecircncia Meacutedia
Energia Maacutexima05microJ
Diacircmetro113cm
de Pulso Activo
De forma a evitar que a luz ambiente interferisse nas medidas e para aumen-
tar a resoluccedilatildeo de mediccedilatildeo do perfil da franja de interferecircncia foi colocado um
diafragma com uma abertura no centro de 06mm conforme se pode ver na figura
48 reduzido desta maneira a aacuterea activa para 028 mm2
Figura 48 Imagem do detector e disco utilizado
Para a aquisiccedilatildeo do sinal electrooacuteptico e geraccedilatildeo de sinal electrooacuteptico de
referecircncia foi utilizado um osciloscoacutepio Lecroy Wavesufertrade422
30
43 SISTEMA OacutePTICO DESENVOLVIDO
434 Cristal Electrooacuteptico
Para a calibraccedilatildeo do sistema foi utilizado um cristal padratildeo de dihidrogenofosfato
de potaacutessio (KDP) Na tabela 42 pode-se observar algumas das propriedades
fiacutesicas desse cristal
Tabela 42 Propriedades fiacutesicas do cristal padratildeo KDP [18]
Material Simetria Densidade Classe Higroscopicidade
KDP Tetragonal (42m) 234gcm3 Uniaxial Higroscoacutepico
Uma vez que o cristal eacute uniaxial nx = ny = no e nz = ne sendo no e ne os
iacutendices de refraccedilatildeo ordinaacuterio e extraordinaacuterio do cristal KDP A figura 49 ilustra
o elipsoiacutede de iacutendices num cristal padratildeo KDP
Figura 49 Ilustraccedilatildeo de um cristal padratildeo KDP e seu respectivo elipsoiacutede deiacutendices
31
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Na Tabela 43 pode-se observar algumas das propriedades oacutepticas do cristal
padratildeo KDP
Tabela 43 Propriedades oacutepticas do cristal padratildeo KDP a 6328nm [7]
Material Foacutermula Quiacutemica Iacutendice de RefracccedilatildeoCoeficiente
Electrooacuteptico
KDPKH2PO4
no=15074 r41=86 pmV(λ = 6328nm) ne=14673 r63=106 pmV
Como se pode ver na tabela 42 o cristal do tipo KDP eacute higroscoacutepico sendo
assim necessaacuterio reduzir ao maacuteximo o contacto entre o cristal e a atmosfera para
evitar que as suas faces fiquem opacas interferindo assim na qualidade do feixe
transmitido
435 Porta Amostras
O porta amostras eacute constituiacutedo por uma base feita de latatildeo (Fig 410) onde se
coloca o cristal nivelado com o feixe laser Este suporte possui oito roscas para
parafusos M3 quatro em cima de forma a se fixar os encaixes laterais do porta
amostras e quatro em baixo de forma a afixar-se firmemente na bancada oacuteptica
Figura 410 Imagem da base do porta-amostras desenvolvido
32
43 SISTEMA OacutePTICO DESENVOLVIDO
De forma a aplicar-se a tensatildeo de excitaccedilatildeo ao cristal sem bloquear o feixe do
laser foram utilizadas duas placas de vidro com oacutexido de estanho dopado com
fluacuteor (FTO) Este permite que haja uma boa transparecircncia e conduccedilatildeo eleacutetrica
sendo usado em vaacuterios tipos de dispositivos como aplicaccedilotildees opto-eletroacutenicas
ecratildes touch screen filmes finos fotovoltaicos etc O oacutexido de estanho dopado
com fluacuteor [19] eacute reconhecido por ser altamente estaacutevel quimicamente inerte re-
siste a temperaturas elevadas e ao desgaste abrasivo sendo mais econoacutemico do
que o tradicional oacutexido de iacutendio e estanho (ITO)
De forma a garantir um bom contacto eleacutectrico entre o vidro FTO e o cristal
foram construidas duas peccedilas de afixaccedilatildeo idecircnticas (Fig 411) Trata-se de duas
peccedilas de alumiacutenio cada uma contendo uma abertura de forma a deixar passar
o feixe laser e dois rasgos para parafusos de forma a poder-se fixar no suporte e
desta maneira exercer uma pressatildeo constante sobre o cristal
Figura 411 Imagem das peccedilas de fixaccedilatildeo do cristal desenvolvidas com a vista defrente (a) e a vista de traacutes (b)
A ligaccedilatildeo eleacutectrica entre o sinal de referecircncia proveniente do amplificador ao
vidro FTO foi feita atraveacutes de uma cola condutora de prata de forma a assegurar
a ligaccedilatildeo oacutehmica entre o fio de cobre e a camada de FTO O cristal fica assim entre
duas placas de vidro FTO(Fig412)
33
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Figura 412 Imagem do porta Amostras desenvolvido
A figura 413 ilustra o sistema desenvolvido incluindo a bancada oacuteptica e
instrumentaccedilatildeo
Figura 413 Imagem do sistema desenvolvido para a mediccedilatildeo do efeito electrooacutep-tico
34
44 COEFICIENTE ELECTROOacutePTICO
44 Coeficiente Electrooacuteptico
Para o cristal utilizado o dihidrogenofosfato de potaacutessio (KDP) e para o efeito
electrooacuteptico linear a matriz de coeficientes electrooacutepticos eacute a seguinte
rij =
0 0 0
0 0 0
0 0 0
r41 0 0
0 r52 0
0 0 r63
com
i = 1 6
j = 123
Sendo que r41 = r52 pelo que existem apenas dois coeficientes independentes
o r41 e o r63
Usando a notaccedilatildeo condensada mencionada da secccedilatildeo 21 onde se aplica o
campo eleacutectrico (E) no plano do i (sendo i = m) enquanto que j eacute o eixo oacuteptico
Para o caso do KDP eacute costume utilizar o r63 Isto eacute aplicar o campo eleacutectrico nos
planos 12 ou 21 (ou seja i = 6) com o eixo oacuteptico no eixo 3 (j = 3) como demonstra
a figura 414
Figura 414 Ilustraccedilatildeo da configuraccedilatildeo utilizada para a mediccedilatildeo do coeficienter63 num cristal
35
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Para o caso do efeito electrooacuteptico quadraacutetico a matriz dos coeficientes elec-
trooacutepticos seraacute
sij =
s11 s12 s12 0 0 0
s12 s11 s12 0 0 0
s12 s12 s11 0 0 0
0 0 0 s11 minus s12 0 0
0 0 0 0 s11 minus s12 0
0 0 0 0 0 s11 minus s12
com i j = 1 6
45 Execuccedilatildeo Experimental
Para se medir o coeficiente electrooacuteptico aplica-se ao cristal uma tensatildeo com uma
frequecircncia de 2kHz frequecircncia essa que se revelou menos sensiacutevel aos ruiacutedos
ambientes sendo que o sinal electrooacuteptico teraacute a mesma frequecircncia Podendo-
se desta maneira atraveacutes de um amplificador de lock-in (modelo 393 da IthacoDynatrac) filtrar o sinal electrooacuteptico dos restantes sinais uma vez que a sua
frequecircncia eacute conhecida
A intensidade da equaccedilatildeo 41 eacute maacutexima quando cos(∆φ) = 1 e miacutenima quando
cos(∆φ) = minus1 Pelo que subtraindo estas duas equaccedilotildees
Imax minus Imin = 4E1E2 (46)
Assim combinando a equaccedilatildeo 41 com a equaccedilatildeo 46 obtem-se
I prop E21E
22 +
12
(Imax minus Imin)cos(∆φ) (47)
Juntando agora a equaccedilatildeo 246 agrave equaccedilatildeo 247 e tendo em conta que o feixe
passa duas vezes por cada ramo (=2l) a diferenccedila de fase para o efeito electrooacutep-
tico linear
∆φ = ∆φ0 +πrn3
oVoλ
2lh
cos(Ωt) (48)
Sendo ∆φ0 a diferenccedila de fase inicial sem o efeito electrooacuteptico
36
45 EXECUCcedilAtildeO EXPERIMENTAL
Substituindo o ∆φ da equaccedilatildeo 48 na equaccedilatildeo 47 a intensidade do sinal com
modulaccedilatildeo electrooacuteptica(Iseo) seraacute dado por
Iseo prop E21 +E2
2 +12
(Imax minus Imin)cos(∆φ0 +
πrn3oVoλ
2lh
cos(Ωt))
(49)
Usando cos(α plusmn β) = cos(α)cos(β)∓ sen(α) sen(β) e D = πrn3oVoλ
2lh fica-se com
Iseo prop E21 +E2
2+12
(Imax minus Imin)
[cos(∆φ0)cos(Dcos(Ωt)) minus sen(∆φ0) sen(D cos(Ωt))](410)
Como a modulaccedilatildeo electrooacuteptica eacute um efeito muito pequeno a equaccedilatildeo 410
pode-se escrever
Iseo asymp E21 +E2
2 +12
(Imax minus Imin) [cos(∆φ0)minusD cos(Ωt) sen(∆φ0)] (411)
Considerando soacute os termos de primeira ordem
Iseo asymp12
(Imax minus Imin) [cos(∆φ0)minusD cos(Ωt) sen(∆φ0)] (412)
A componente do sinal electrooacuteptico eacute entatildeo dado por
Iseo =12
(Imax minus Imin)D cos(Ωt) sen(∆φ0) (413)
Ou seja
Iseo =12
(Imax minus Imin)πrn3
oVoλ
2lh
cos(Ωt) sen(∆φ0) (414)
O acircngulo ∆φ0 varia linearmente com o tempo (t) a uma frequecircncia inferior
a Ω A franja de interferecircncia desloca-se continuamente em frente ao detector
devido a um dos espelho estar fixado num disco piezoeleacutectrico
37
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Na figura 415 pode-se ver uma exemplificaccedilatildeo do sinal no detector que incor-
pora o sinal da franja e electrooacuteptico dada pela equaccedilatildeo 414
Figura 415 Ilustraccedilatildeo do sinal de modulaccedilatildeo electrooacuteptica de um feixe de luzmedido num interferoacutemetro de Michelson
Uma vez que o sinal electrooacuteptico (cos(Ωt)) estaacute desfasado π2 do sinal da
franja ( sen(∆φ0)) A intensidade do sinal electrooacuteptico pode ser escrita como
Iseo asymp12
(Imax minus Imin)πrn3
oVoλ
2lh
∣∣∣ sen(∆φ0)∣∣∣ (415)
Assim a amplitude do sinal electrooacuteptico eacute
Iseo =12
(Imax minus Imin)πrn3
oVoλ
2lh
(416)
Pelo que o coeficiente electrooacuteptico linear seraacute dado por
r =|Iseo|
|Imax minus Imin|λ
πn3oVo
hl
(417)
38
46 RESULTADOS
Para o efeito electrooacuteptico quadraacutetico utilizando o procedimento anoacutelogo mas
a partir da equaccedilatildeo 248 em vez da equaccedilatildeo 247 O sinal electrooacuteptico quadraacutetico
Iseoq que ocorre ao dobro da frequecircncia de modulaccedilatildeo 2Ω eacute dado por
s =
∣∣∣Iseoq∣∣∣|Imax minus Imin|
2λ
πn3oV
2o
h2
l(418)
46 Resultados
Com o cristal de KDP devidamente alinhado no interferoacutemetro segundo o seu
eixo oacuteptico de maneira a se medir o coeficiente r63 Obtendo-se assim dois sinais
o sinal de franja e o sinal electrooacuteptico (Fig 416)
Figura 416 Padratildeo da franja produzida (a) e respectivos sinais de franja e elec-trooacuteptico obtidos para um cristal KDP padratildeo
De forma a se proceder a calibraccedilatildeo do sistema utilizou-se a equaccedilatildeo 417 na
forma
|Iseo||Imax minus Imin|
=πn3
o
λlhrVo (419)
39
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Usando o valor da razatildeo |Iseo ||ImaxminusImin|
em funccedilatildeo do potencial aplicado Vo pode-se
calcular o valor do coeficiente electrooacuteptico r atraveacutes do declive da recta obtida
Pode-se ver na figura 417 uma das rectas obtidas para o cristal utilizado na
calibraccedilatildeo do sistema
Figura 417 Razatildeo entre o sinal electrooacuteptico e a diferenccedila de intensidade defranjas em funccedilatildeo do potencial Vo aplicado ao cristal
A tabela 44 apresenta o valor do coeficiente electrooacuteptico obtido e respectiva
incerteza para o cristal de KDP tomando em conta os valores dos iacutendices de
refraccedilatildeo da tabela 43
Tabela 44 Valores e respectivas incertezas obtidas do coeficiente electrooacutepticopara o cristal KDP utilizado
Material Valor Padratildeo Valor Obtido Erro
KDPr63 = 106pmV r63 = 105plusmn 02pmV 1
(λ = 6328nm)
Como se pode ver na tabela 44 o resultado obtido situa-se muito proacuteximo
do teoacuterico encontrando-se dentro da incerteza obtida Os valores valores meacutedios
apresentam um desvio da ordem dos 02pmV
40
46 RESULTADOS
Apesar dos valores obtidos serem bastante positivos houve algumas dificul-
dades nomeadamente o vidro FTO que causou que o alinhamento fosse extrema-
mente complicado natildeo soacute pela sua espessura e dimensionamento como tambeacutem
pela refraccedilatildeo provocada no feixe laser Outro grande obstaacuteculo foi o alinhamento
do cristal uma vez que basta um ligeiro desvio no caminho oacuteptico para causar um
desalinhamento total algo que eacute agravado no interferoacutemetro do tipo Michelson
pelo facto de o feixe laser passar na amostra duas vezes
Apesar destas dificuldades o valor obtido para o coeficiente electrooacuteptico r63
foi de 105pmV valor esse muito proacuteximo do valor padratildeo da literatura que se
encontra nos 106pmV Assim pode-se considerar que o sistema desenvolvido
se encontra devidamente calibrado e pronto para futuras utilizaccedilotildees
41
Capiacutetulo
5Conclusotildees
O trabalho desenvolvido no decorrer desta dissertaccedilatildeo consistiu no desenvolvi-
mento de um sistema para a mediccedilatildeo do efeito electrooacuteptico aacuterea a ser ulilizada
na caracterizaccedilatildeo de novos materiais polimeacutericos para aplicaccedilatildeo em dispositivos
fotoacutenicos
Nesta conformidade foi desenhada construiacuteda e testado uma bancada oacuteptica
destinada agrave mediccedilatildeo do efeito electrooacuteptico baseado numa teacutecnica interferomeacute-
trica de mediccedilatildeo da diferenccedila de fase implementado atraveacutes de um interferoacutemetro
do tipo Michelson
O cristal escolhido para a calibraccedilatildeo do sistema desenvolvido foi um cristal de
KDP comercial tendo sido utilizado o coeficiente electrooacuteptico r63 como referecircn-
cia sendo o valor padratildeo de 106pmV
O sistema obtido permitiu medir um valor nominal de 105plusmn 02pmV com
um erro de aproximadamente 1 em relaccedilatildeo ao valor tabelado comprovando a
afericcedilatildeo do sistema para a mediccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico por transmissatildeo
O sistema desenvolvido estaacute portanto apto para futuras mediccedilotildees sendo ape-
nas necessaacuterio algumas alteraccedilotildees no porta-amostras mediante as dimensotildees e
forma da amostra a utilizar
Chegou-se ainda agrave conclusatildeo que para amostras como o cristal utilizado o
feixe laser passar duas vezes na amostra acaba por ser uma grande desvantagem
desvantagem essa inexistente para filmes polimeacutericos que ganham cada vez mais
importacircncia na aacuterea da fotoacutenica uma vez que satildeo materiais de grande interesse
cientiacutefico e tecnoloacutegico jaacute que podem ser utilizados no desenvolvimento de dispo-
sitivos oacutepticos nomeadamente moduladores de luz e memoacuterias oacutepticas
43
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46
Apecircndice
AApecircndice
A1 Desenhos Teacutecnicos
47
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23
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- Lista de Figuras
- Lista de Tabelas
- Introduccedilatildeo
- Efeito Electrooacuteptico
-
- Oacuteptica Natildeo-Linear
- Propagaccedilatildeo em Meios Anisotroacutepicos
-
- Vector de Poynting
- Elipsoiacutede dos Iacutendices
- Coeficientes Natildeo-Lineares
-
- Mediccedilatildeo do Efeito Electrooacuteptico
-
- Meacutetodo Tradicional
- Meacutetodos por Interferometria
-
- Interferometria Oacuteptica
- Interferoacutemetro de Mach-Zehnder
- Interferoacutemetro de Michelson
-
- Sistema Implementado
-
- Interferoacutemetro
- Electroacutenica Desenvolvida
-
- Amplificador
- Gerador de Rampa
- Seguidor de Tensatildeo
-
- Sistema Oacuteptico Desenvolvido
-
- Espelho Vibrante
- Bancada Oacuteptica
- Detector
- Cristal Electrooacuteptico
- Porta Amostras
-
- Coeficiente Electrooacuteptico
- Execuccedilatildeo Experimental
- Resultados
-
- Conclusotildees
- Bibliografia
- Apecircndice
-
- Desenhos Teacutecnicos
-
CAPIacuteTULO 2 EFEITO ELECTROOacutePTICO
jaacute que permite a modulaccedilatildeo da luz De salientar que o tensor de terceira ordem
(χ(2)ijk) se reduz a dezoito elementos atendendo agraves simetrias resultantes de permu-
tas de iacutendices jaacute que χ(2)ijk = χ
(2)ikj = χ
(2)kij = χ
(2)jik = χ
(2)jki = χ
(2)kji Pode-se desta forma
representar atraveacutes da matriz
χ(2)ij =
χ
(2)11 χ
(2)12 χ
(2)13 χ
(2)14 χ
(2)15 χ
(2)16
χ(2)21 χ
(2)22 χ
(2)23 χ
(2)24 χ
(2)25 χ
(2)26
χ(2)31 χ
(2)32 χ
(2)33 χ
(2)34 χ
(2)35 χ
(2)36
Utilizando uma notaccedilatildeo condensada[5] ficamos com
χ(2)ijk = χ(2)
mk = com m =
1 quando ij = 11
2 quando ij = 22
3 quando ij = 33
4 quando ij = 2332
5 quando ij = 1331
6 quando ij = 1221
De notar que dependendo do meio soacute alguns dos elementos de χ(2)ijk seratildeo natildeo
nulos Para materiais que exibam centro de simetria o efeito electrooacuteptico linear
natildeo existe de todo sendo os elementos de χ(2)ijk nulos
O elemento χ(3) estaacute associado agrave geraccedilatildeo da terceira harmoacutenica soma e dife-
renccedila de frequecircncias e o efeito electrooacuteptico quadraacutetico ou efeito de Kerr que se
manifesta na variaccedilatildeo do iacutendice de refraccedilatildeo com o quadrado do campo eleacutectrico
aplicado
De salientar ainda que quanto maior o valor de ordem n mais difiacutecil se torna
observar os efeitos associados uma vez que estes se tornam cada vez menos inten-
sos
4
22 PROPAGACcedilAtildeO EM MEIOS ANISOTROacutePICOS
22 Propagaccedilatildeo em Meios Anisotroacutepicos
A propagaccedilatildeo de uma onda electromagneacutetica num meio pode ser descrita pelas
equaccedilotildees de Maxwell1 Para o caso de um meio homogeacuteneo isolante e neutro
pode-se escrever como
nabla middot ~E = 0 (22a)
nabla middot ~B = 0 (22b)
nablatimes ~E = minuspart~Bpartt
(22c)
nablatimes ~B = microεpart~Epartt
(22d)
Sendo ~B o campo magneacutetico ~E o campo eleacutectrico ε e micro a permissidade eleacutectrica
e permeabilidade magneacutetica do meio respectivamente
Tendo em conta que para um vector ~D geneacuterico
nablatimesnablatimes ~D = nabla(nabla middot ~D
)minusnabla2 ~D (23)
e
nablatimespart~Dpartt
=partnablatimes ~Dpartt
(24)
Comeccedilando pela equaccedilatildeo 22c
nablatimesnablatimes ~E = nablatimespart~Bpartt
(25)
Usando as propriedades matemaacuteticas das equaccedilotildees 23 e 24
nabla(nabla middot ~E
)minusnabla2~E =
partnablatimes ~Bpartt
(26)
Utilizando as equaccedilotildees 22a e 22d na equaccedilatildeo 26 verifica-se que
nabla2~E = microεpart2~E
partt2(27)
1James Clerk Maxwell foi um cientista escocecircs mais conhecido por ter combinado as teoriasdos campos da oacuteptica do magnetismo e da electricidade numa soacute e uacutenica teoria dando assimorigem as chamadas equaccedilotildees de Maxwell
5
CAPIacuteTULO 2 EFEITO ELECTROOacutePTICO
Obtendo-se desta maneira a equaccedilatildeo de onda para o campo eleacutectrico Analo-
gamente mas comeccedilando com a equaccedilatildeo 22d obteacutem-se para o campo magneacutetico
nabla2~B = microεpart2~B
partt2(28)
A sua velocidade de propagaccedilatildeo eacute dada por
v =1radicmicroε
(29)
Sendo que no vazio micro = micro0 e ε = ε0 o que resulta em v = c 3times 108ms
Resolvendo as equaccedilotildees 27 e 28 obtecircm-se as expressotildees para os campos eleacutec-
tricos e magneacuteticos que se propagam no meio
~E (~r t) = ~E0ei(~kmiddot~rminuswt
)(210)
e
~B (~r t) = ~B0ei(~kmiddot~rminuswt
)(211)
Onde ~r eacute o vector posiccedilatildeo ~k eacute o vector de onda que segue a direccedilatildeo de pro-
pagaccedilatildeo da onda w a frequecircncia angular e t o tempo Sendo que a parte real das
equaccedilotildees representa os seus respectivos campos A magnitude do vector ~k pode
ser escrita da seguinte maneira
k =2πλ
=wv
=wnc
(212)
Em que k eacute o nuacutemero de onda λ o comprimento de onda e n o iacutendice de
refraccedilatildeo
Escrevendo a parte real das equaccedilotildees 210 e 211 fica-se com
E = E0 cos(kr minuswt) (213)
e
B = B0 cos(kr minuswt) (214)
Manipulando a equaccedilatildeo 22c obtem-se
partEpartx
= minuspartBpartt
(215)
6
22 PROPAGACcedilAtildeO EM MEIOS ANISOTROacutePICOS
Utilizando a equaccedilatildeo 215 nas equaccedilotildees 213 e 213
kE0 = wB0 (216)
Usando a equaccedilatildeo 212 na equaccedilatildeo 216 verifica-se que
B0 =E0
v(217)
221 Vector de Poynting
O fluxo de energia (Wm2) dado pelo vector de Poynting2 (~S) pode ser escrito da
seguinte forma
~S =1micro~E times ~B (218)
A densidade de energia eleacutectrica ou a energia eleacutectrica armazenada por uni-
dade de volume (joulem3) a quantidade de energia contida num dado sistema
em relaccedilatildeo ao seu volume seraacute dada por
uE =12εE2 (219)
Agrave semelhanccedila da densidade de energia eleacutectrica a densidade de energia mag-
neacutetica (uB) eacute
uB =1
2microB2 (220)
Assim somando as equaccedilotildees 219 e 220 obtem-se a densidade de energia
total de uma onda electromagneacutetica
u =12εE2 +
12microB2 (221)
2John Henry Poynting foi um fiacutesico britacircnico autor de diversos trabalhos entre os quais um te-orema no qual se atribui um valor agrave taxa de fluxo de energia electromagneacutetica que ficou conhecidocomo vector de Poynting
7
CAPIacuteTULO 2 EFEITO ELECTROOacutePTICO
Substituindo as equaccedilotildees 29 e 217 na equaccedilatildeo 221 pode-se escrever a densi-
dade de energia total de uma onda electromagneacutetica num dado meio da seguinte
forma
u = εE2 (222)
Relacionando-se desta forma a densidade de energia com o campo eleacutectrico
De salientar que o campo magneacutetico e o campo eleacutectrico estatildeo relacionados atra-
veacutes da equaccedilatildeo 217
Considerando uma secccedilatildeo de aacuterea A (Fig 21) de um cubo com ∆x de lado
Figura 21 Cubo com secccedilatildeo de aacuterea A e ∆x de lado
A energia armazenada no cubo ou densidade de energia eacute igual a
∆U = uA∆x (223)
Sendo que a energia que atravessa a aacuterea A por unidade de tempo eacute
∆U∆t
=uA∆x∆xv
= uAv (224)
Assim a energia por unidade de tempo e aacuterea (Wm2) eacute igual a
uv = S (225)
Combinando a equaccedilatildeo 225 com a equaccedilatildeo 222 pode-se escrever a magnitude
do vector de Poynting da seguinte forma
S = εvE2 (226)
8
22 PROPAGACcedilAtildeO EM MEIOS ANISOTROacutePICOS
Substituindo a equaccedilatildeo 213 na equaccedilatildeo 225 a magnitude do vector de Poyn-
ting assume a seguinte forma
S = εvE20 cos2 (wt) (227)
Se na equaccedilatildeo 227 se fizer uma meacutedia no tempo obteacutem-se
〈S〉 = εvE20
langcos2 (wt)
rang(228)
Sendo quelangcos2 (wt)
rang= 1
2 tem-se que
I = 〈S〉 =12εvE2
0 =c
2nεE2
0 (229)
Sendo I a intensidade ou seja a potecircncia meacutedia por unidade de aacuterea que a
onda electromagneacutetica transporta
222 Elipsoiacutede dos Iacutendices
Nos meios anisotroacutepicos o iacutendice de refraccedilatildeo linear depende da direccedilatildeo da propa-
gaccedilatildeo da luz e do seu estado de polarizaccedilatildeo A resposta de um meio anisotroacutepico
eacute normalmente obtida atraveacutes do conceito de elipsoiacutede de iacutendices[5 6 7] que
a seguir seraacute descrita Ao se aplicar um campo eleacutectrico a um meio polarizaacutevel
este induz uma mudanccedila do estado de polarizaccedilatildeo descrito pelo deslocamento
eleacutectrico
~D = ε0~E + ~P (230)
Sendo
~P = ε0χ~E (231)
onde ε0 eacute a permissidade eleacutectrica no vazio ~P a polarizaccedilatildeo ~E o campo eleacutec-
trico ~D o deslocamento eleacutectrico e χ eacute o tensor das suscetibilidades Atraveacutes das
equaccedilotildees 230 e 231 tem-se que
~D = ε0~E(1 + χ) (232)
9
CAPIacuteTULO 2 EFEITO ELECTROOacutePTICO
Sendo que χ eacute dado por
χ =
χ11 χ12 χ13
χ21 χ22 χ23
χ31 χ32 χ33
(233)
Pelo teorema de eixos principais [7] seraacute possiacutevel escolher um sistema de co-
ordenadas onde apenas os elementos da diagonal principal sejam diferentes de
zero de tal forma que
χ =
χ11 0 0
0 χ22 0
0 0 χ33
(234)
Assim a equaccedilatildeo 231 pode ser escrita na forma no novo sistema de eixosP1
P2
P3
= ε0
χ11 0 0
0 χ22 0
0 0 χ33
E1
E2
E3
(235)
Da equaccedilatildeo 235 pode-se ainda retirar o seguinte
P1 = ε0χ11E1 D1 = ε11E1 ε11 = ε0 (1 +χ11)
P2 = ε0χ22E2 D2 = ε22E2 ε22 = ε0 (1 +χ22) (236)
P3 = ε0χ33E3 D3 = ε33E3 ε33 = ε0 (1 +χ33)
Combinando as equaccedilotildees 219 e 236 pode-se reescrever a densidade de energia
armazenada no campo eleacutectrico como
uE =12~E middot ~D (237)
Usando as expressotildees da equaccedilatildeo 236 para manipular a equaccedilatildeo 237 obtem-
se
D21
ε11+D2
2
ε22+D2
3
ε33= 2uE (238)
10
22 PROPAGACcedilAtildeO EM MEIOS ANISOTROacutePICOS
Substituiacutendo na equaccedilatildeo 238 D1 D2 e D3 pelos seus respectivos eixos em
coordenadas cartesianas tem-se que
x2
ε11ε0+
y2
ε22ε0+
z2
ε33ε0= 1 (239)
sendo x = D1radic2ε0UE
y = D2radic2ε0UE
e z = D3radic2ε0UE
Reescrevendo a equaccedilatildeo 239 fazendo n2x = ε11ε0 n2
y = ε22ε0 e n2z = ε33ε0
obteacutem-se forma a equaccedilatildeo do elipsoide de iacutendices
x2
n2x
+y2
n2y
+z2
n2z
= 1 (240)
Sendo nx ny e nz o iacutendice de refraccedilatildeo na sua respectiva direccedilatildeo como demons-
tra a figura 22
Figura 22 Ilustraccedilatildeo do elipsoiacutede de iacutendices (retirado de [7])
11
CAPIacuteTULO 2 EFEITO ELECTROOacutePTICO
223 Coeficientes Natildeo-Lineares
Quando eacute aplicado um campo eleacutectrico ao meio o elipsoiacutede de iacutendices pode
mudar a sua forma e orientaccedilatildeo no espaccedilo de tal forma que a equaccedilatildeo de elipsoide
de iacutendices passa a ser escrita de um modo geral como
( 1n2
)1x2 +
( 1n2
)2y2 +
( 1n2
)3z2 + 2
( 1n2
)4xy + 2
( 1n2
)5xz+ 2
( 1n2
)6yz = 1 (241)
Quando o campo eleacutectrico aplicado eacute nulo as equaccedilotildees 240 e 241 tecircm de ser
equivalentes pelo que para E = 0 tem-se
( 1n2
)1
=1
n2x( 1
n2
)2
=1
n2y( 1
n2
)3
=1
n2z( 1
n2
)4
=( 1n2
)5
=( 1n2
)6
= 0
(242)
Desta forma quando se aplica um campo eleacutectrico (E) verifica-se uma variaccedilatildeo
nos coeficientes(
1n2
)i Esta variaccedilatildeo induzida pelo efeito electrooacuteptico pode entatildeo
ser descrita atraveacutes de [8]
∆
( 1n2
)i
=3sumj=1
rijEj com i = 1 6 (243)
Sendo rij o coeficiente electrooacuteptico e E a magnitude do campo eleacutectrico apli-
cado
12
22 PROPAGACcedilAtildeO EM MEIOS ANISOTROacutePICOS
A equaccedilatildeo 243 tambeacutem pode ser escrita como
∆
( 1n2
)1
∆
( 1n2
)2
∆
( 1n2
)3
∆
( 1n2
)4
∆
( 1n2
)5
∆
( 1n2
)6
=
r11 r12 r13
r21 r22 r23
r31 r32 r33
r41 r42 r43
r51 r52 r53
r61 r62 r63
E1
E2
E3
(244)
Nesta conformidade o coeficiente electrooacuteptico pode ser escrito como
rij = minus 2
n3ij
[partnijpartEj
](245)
A diferenccedila de fase ∆φ resultante da variaccedilatildeo no iacutendice de refraccedilatildeo ∆n seraacute
∆φ =2πlλ
∆n (246)
Em que o l eacute o caminho percorrido pela luz de comprimento de onda λ no
meio Sendo a variaccedilatildeo no iacutendice de refraccedilatildeo devida aos efeitos electrooacutepticos
pode-se escrever
|∆n| =rno
3
2Voh
(247)
para o efeito electrooacuteptico linear e
|∆n| =sn3o
2
(Voh
)2(248)
para o efeito electrooacuteptico quadraacutetico
Onde os coefeciecircntes electrooacutepticos linear e quadraacutetico satildeo respectivamente
r e s Vo eacute o potencial eleacutectrico aplicado entre os eleacutetrodos que distam entre si a
uma distacircncia h criando assim o campo eleacutectrico aplicado
13
Capiacutetulo
3Mediccedilatildeo do Efeito Electrooacuteptico
Neste capiacutetulo satildeo apresentadas as teacutecnicas mais comuns utilizadas para a me-
diccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico destacando-se dois tipos de interferoacutemetros o
tradicional e os de interferometria de dois feixes
31 Meacutetodo Tradicional
Um dos meacutetodos mais usados para medir o efeito eletrooacuteptico foi o proposto por
Henry [9] em 1986 Esta teacutecnica ilustrada na Fig31 baseia-se na alteraccedilatildeo do
estado de polarizaccedilatildeo de um feixe linearmente polarizado quando este atravessa
o meio Esta alteraccedilatildeo ocorre devido agrave birrefrigecircncia induzida por um campo
eleacutetrico aplicado e agrave atividade oacuteptica do meio A montagem eacute composta por uma
fonte de luz (S) um monocromador (M) uma lente (L) um diafragma (D) dois
polarizadores (P1 e P2) um cristal (BSO) de espessura d ao qual eacute aplicado um
campo eleacutetrico (E) e um fotomultiplicador (FM) ligado a um sistema de aquisiccedilatildeo
de dados
O procedimento experimental em si consiste no seguinte para um dado estado
de polarizaccedilatildeo do feixe incidente imposto pelo P1 vai-se alterando a posiccedilatildeo
angular do P2 de forma a encontrar as intensidades maacutexima e miacutenima e desta
forma calcular-se a visibilidade (ν) atraveacutes de [9]
νθ =Imax minus IminImax + Imin
(31)
15
CAPIacuteTULO 3 MEDICcedilAtildeO DO EFEITO ELECTROOacutePTICO
Figura 31 Montagem experimental proposta por Henry e a sua equipa (adaptadode [9])
De seguida altera-se P1 para a posiccedilatildeo angular de 45 e repete-se o procedi-
mento anterior Somando o quadrado das duas visibilidades obtidas tem-se que
[9]
ν2θ + ν2
θ+45 = 1 +
1minus δ2
2
sen(φ2 )φ2
2
2
(32)
sendo
δ =2πλn3rEyd (33)
e
φ =radicδ2 + ρ2 (34)
Sendo δ a diferenccedila de fase originada pela birrefringecircncia λ o comprimento
de onda do feixe no vaacutecuo ρ a diferenccedila de fase associada agrave actividade oacuteptica n o
iacutendice de refraccedilatildeo sem campo eleacutetrico aplicado Ey o campo eleacutectrico aplicado e
d a espessura do cristal na direccedilatildeo do campo eleacutectrico aplicado Destas equaccedilotildees
pode-se calcular o coeficiente electrooacuteptico r
Para o caso de φ pequenos
sen(φ2 )φ2
2
1 pelo que
ν2θ + ν2
θ+45 1 +(1minus δ
2
2
)2
(35)
Natildeo sendo nesta situaccedilatildeo necessaacuteria a actividade oacuteptica ρ Esta teacutecnica apre-
senta um erro de mediccedilatildeo de 10 a 15 em relaccedilatildeo ao valor tabelado
16
32 MEacuteTODOS POR INTERFEROMETRIA
32 Meacutetodos por Interferometria
321 Interferometria Oacuteptica
Quando duas ondas de uma mesma frequecircncia se sobrepotildeem num dado ponto
formam uma nova onda cuja amplitude eacute o resultado da soma da amplitude das
duas ondas iniciais em cada instante nesse ponto Quando a soma da duas ondas
resulta numa amplitude maior diz-se que houve interferecircncia construtiva quando
resulta numa amplitude inferior diz-se que ocorreu interferecircncia destrutiva
Supondo que uma das ondas tem a forma E1ei(φ1minuswt) e a outra forma E2e
i(φ2minuswt)
sendo E1 e E2 as amplitudes dos respetivos campos eleacutetricos φ1 e φ2 as fases
iniciais w a frequecircncia angular e t o tempo a onda resultante seraacute descrita por
[10]
ET = E1ei(φ1minuswt) +E2e
i(φ2minuswt) (36)
Se φ1 minusφ2 = 2Nπ com N = 012 entatildeo as duas ondas estaratildeo em fase e daacute-
se uma interferecircncia construtiva perfeita Se φ1 minusφ2 = (2N + 1)π e E1 = E2 entatildeo
as duas ondas estaratildeo em oposiccedilatildeo de fase e daacute-se uma interferecircncia destrutiva
completa Estas situaccedilotildees extremas encontram-se ilustradas na figura 32
Figura 32 Ilustraccedilatildeo de uma interferecircncia construtiva perfeita (a) e destrutivacompleta (b)
Matematicamente a coerecircncia eacute uma medida da correlaccedilatildeo entre as ondas
Quanto mais construtiva for a interferecircncia maior seraacute a coerecircncia Fisicamente
a coerecircncia eacute uma medida do quatildeo constante a diferenccedila de fase permanece entre
17
CAPIacuteTULO 3 MEDICcedilAtildeO DO EFEITO ELECTROOacutePTICO
as duas ondas A coerecircncia eacute usualmente medida num padratildeo de franjas de in-
terferecircncia atraveacutes da visibilidade de franja (ν) que pode ser experimentalmente
calculada atraveacutes de [10]
ν =Imax minus IminImax + Imin
= 1 coerecircncia total e contraste maacuteximo
0 lt ν lt 1 coerecircncia parcial
= 0 incoerecircncia total e contraste natildeo haacute franjas
(37)
Pode-se ver na Fig33 um exemplo da equaccedilatildeo 37 que representa a visibi-
lidade das franjas em funccedilatildeo da diferenccedila de fase entre duas ondas da mesma
frequecircncia que interferem Como a visibilidade das franjas depende da coerecircncia
das duas ondas qualquer diferenccedila iraacute traduzir-se numa diminuiccedilatildeo de visibili-
dade
Figura 33 Visibilidade num interferoacutemetro em funccedilatildeo da diferenccedila de fase entreduas ondas provenientes de ramos diferentes do interferoacutemetro (adaptado de[11])
Pode-se usar a interferometria para quantificar os efeitos electrooacutepticos natildeo
soacute linear mas tambeacutem o quadraacutetico (efeito de Kerr) Os interferoacutemetros mais
frequentemente utilizados para este efeito satildeo os interferoacutemetro de Michelson1 e1Albert Abraham Michelson foi um fiacutesico americano conhecido pela invenccedilatildeo do interferoacuteme-
tro de Michelson (1891) do seu trabalho na mediccedilatildeo da velocidade da luz e pelo seu trabalho naexperiecircncia de Michelson-Morley Em 1907 tornou-se o primeiro americano a receber o PreacutemioNobel da Fiacutesica
18
32 MEacuteTODOS POR INTERFEROMETRIA
o interferoacutemetro de Mach-Zehnder2
De salientar que as teacutecnicas interferomeacutetricas apresentam uma elevada sensibi-
lidade simplificaccedilatildeo na preparaccedilatildeo das amostras a estudar e uma menor sensibili-
dade a vibraccedilotildees mecacircnicas e a flutuaccedilotildees teacutermicas desde que estas ocorram com
a mesma intensidade em ambos os ramos do mesmo tamanho do interferoacutemetro
322 Interferoacutemetro de Mach-Zehnder
No interferoacutemetro de Mach-Zehnder (Fig 34) um separador de feixe divide o
feixe proveniente da fonte em dois feixes que vatildeo constituir os dois ramos do
interferoacutemetro o feixe-amostra e o feixe-referecircncia Ambos satildeo refletidos por um
espelho e ambos atravessam um novo separador de feixe antes de se juntarem de
novo e serem medidos nos detetores
Figura 34 Esquema de um interferoacutemetro de Mach-Zehnder (adaptado de [12])
Com os ramos agrave mesma distacircncia pode ainda observar-se que sem amostra
ambos os feixes vatildeo chegar em fase aos detetores havendo desta forma uma inter-
ferecircncia construtiva Ambos apresentaratildeo uma mudanccedila de fase correspondente
a λ devido ao facto de ambos sofrerem duas reflexotildees e uma transmissatildeo numa
placa de vidro(separador de feixe) ateacute chegarem aos detetores2Ludwig Zehnder foi um fiacutesico suiacuteccedilo e o inventor do interferoacutemetro de Mach-Zehnder Inter-
feroacutemetro esse depois aperfeiccediloado por Ludwig Mach
19
CAPIacuteTULO 3 MEDICcedilAtildeO DO EFEITO ELECTROOacutePTICO
Alterando o caminho oacuteptico do espelho do feixe-referecircncia em λ4 sem amos-
tra o feixe-amostra e o feixe-referecircncia vatildeo chegar com uma diferenccedila de fase de
λ2 ou seja vai haver uma interferecircncia destrutiva completa Isto porque o feixe-
referecircncia vai ter uma mudanccedila de fase de λ2 devido a uma reflexatildeo e duas trans-
missotildees provocadas pelos separadores de feixe Enquanto que o feixe-amostra
chegaraacute aos detetores com uma diferenccedila de fase de λ devido a duas reflexotildees
mais uma reflexatildeo com transmissatildeo no segundo separador de feixe Assim na
ausecircncia de amostra e desde que a diferenccedila de caminho oacuteptico ou retardaccedilatildeo
(δ) seja zero os feixes iratildeo interferir construtivamente [13]
Com a amostra colocada no caminho do feixe-amostra os feixes vatildeo chegar ao
detetor em diferentes situaccedilotildees de fase sendo possiacutevel determinar a diferenccedila de
fase provocada pela presenccedila da amostra
A intensidade do feixe (I) em ambos os detetores eacute descrita por [14]
I(δ) =12I(k)cos(2Nkδ) (38)
Com k o nuacutemero de onda (k = 2πλ) E fazendo δ = d com d = vt resulta
I(δ) =12I(k)cos(2Nk(vt)) (39)
323 Interferoacutemetro de Michelson
No interferoacutemetro do tipo Michelson um feixe de luz eacute dividido em dois que
percorrem caminhos diferentes para de seguida se recombinarem Apoacutes terem
percorrido caminhos diferentes o feixe resultante da recombinaccedilatildeo pode apresen-
tar um padratildeo de interferecircncia que depende da diferenccedila de caminhos oacutepticos
entre os feixes e que pode ser medido num detetor
A forma mais simples de implementar um interferoacutemetro de Michelson con-
siste em dois espelhos colocados entre si num plano perpendicular em que um
deles se pode mover na direccedilatildeo perpendicular agrave sua superfiacutecie refletora conforme
ilustrado na Fig35
Esse espelho iraacute movimentar-se num espaccedilo definido a uma velocidade cons-
tante Entre o espelho fixo e o espelho moacutevel estaacute um separador de feixe que
divide o feixe incidente inicial em dois de igual intensidade Aqui o feixe eacute parci-
almente refletido para um espelho e parcialmente transmitido para o outro
20
32 MEacuteTODOS POR INTERFEROMETRIA
Figura 35 Esquema de funcionamento de um interferoacutemetro de Michelson cominterferecircncia construtiva (a) e destrutiva (b) (adaptado de [15])
Assumindo que o separador de feixe eacute ideal e com uma reflectacircncia e transmi-
tacircncia de 50 se o espelho moacutevel se encontrar estacionaacuterio pode determinar-se
a intensidade do feixe num dado ponto do detetor Se a diferenccedila do caminho
oacuteptico ou retardaccedilatildeo (δ) for zero ou seja os espelhos estatildeo igualmente espaccedilados
do separador de feixe estes vatildeo percorrer a mesma distacircncia e interferir construti-
vamente pelo que a intensidade do feixe final eacute a soma das intensidades dos dois
feixes Nestas condiccedilotildees toda a luz que sai da fonte chega ao detetor
No caso do espelho moacutevel se deslocar uma distacircncia de λ4 a retardaccedilatildeo total
seraacute de λ2 pelo que os feixes estaratildeo desfasadas de 180ordm (π) Nestas condiccedilotildees ter-
se-aacute interferecircncia destrutiva completa na recombinaccedilatildeo dos feixes dando origem
agrave extinccedilatildeo total
Voltando a deslocar o espelho moacutevel de mais λ4 a diferenccedila do caminho
oacuteptico seraacute igual a λ e os dois feixes voltam a estar em fase havendo novamente
uma sobreposiccedilatildeo construtiva dos feixes
Com o espelho moacutevel a deslocar-se a uma velocidade constante o sinal do de-
tetor iraacute variar com uma forma perioacutedica sendo que atinge o seu maacuteximo quando
a retardaccedilatildeo (δ) for um muacuteltiplo inteiro de λ δ =Nλ
A expressatildeo da intensidade do feixe (I) no detector para o caso do interferoacute-
metro de Michelson eacute semelhante agrave equaccedilatildeo 38 para o interferoacutemetro de Mach-
Zehnder sendo que neste caso δ = 2d com d = vt jaacute que o feixe atravessa a
amostra duas vezes Nestas condiccedilotildees ter-se-aacute
I(δ) =12I(k)cos(4Nk(vt)) (310)
21
CAPIacuteTULO 3 MEDICcedilAtildeO DO EFEITO ELECTROOacutePTICO
22
Capiacutetulo
4Sistema Implementado
Este capiacutetulo descreve o sistema implementado para a mediccedilatildeo do coeficiente
electrooacuteptico usando a teacutecnica de interferoacutemetria de Michelson bem como a cali-
braccedilatildeo do mesmo
41 Interferoacutemetro
O sistema escolhido para a mediccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico baseia-se na teacutec-
nica de interferometria de Michelson (ver secccedilatildeo 323) onde se mediu a diferenccedila
de fase entre os ramos do interferoacutemetro Esta teacutecnica foi escolhida pela elevada
sensibilidade agrave diferenccedila de fase gerada entre os ramos do interferoacutemetro facili-
dade de preparaccedilatildeo das amostras e por ser menos sensiacutevel a vibraccedilotildees mecacircnicas
e a flutuaccedilotildees teacutermicas desde que estas ocorram com a mesma intensidade em
ambos os ramos do interferoacutemetro Para aleacutem das vantagens mencionadas e espe-
cificamente em comparaccedilatildeo com o interferoacutemetro mais usado o interferoacutemetro
do tipo Mach-Zehnder o interferoacutemetro de Michelson tem uma maior facilidade
de alinhamento dos espelhos e usa apenas um separador de feixe
A figura 41 esquematiza o sistema baseado no interferoacutemetro de Michelson
desenvolvido para a mediccedilatildeo do coeficiente eletrooacuteptico
23
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Figura 41 Esquematizaccedilatildeo do interferoacutemetro de Michelson e instrumentaccedilatildeoutilizada para a mediccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico em cristais
Como se pode ver no esquema da figura 41 o ramo do espelho vibrante fica
vazio enquanto que no ramo do espelho fixo se encontra a amostra entre dois
eleacutectrodos onde se aplicam um campo eleacutectrico E O sinal medido no detector
resulta da interferecircncia entre os feixes provenientes de cada ramo do interferoacute-
mentro dependendo da diferenccedila de fase entre os dois feixes Conforme referido
anteriormente a intensidade da luz (I) que chega ao detector eacute da ordem de [16]
I prop E21 +E2
2 + 2E1E2cos(∆φ) (41)
42 Electroacutenica Desenvolvida
421 Amplificador
Para o efeito electrooacuteptico se manisfestar eacute necessaacuterio aplicar-se uma tensatildeo eleacutec-
trica ao meio Uma vez que a tensatildeo de referecircncia fornecida pelo amplificador
lock-in utilizado eacute muito baixa para induzir efeito electrooacuteptico significativo por
volta dos 12V foi necessaacuterio construir um amplificador de tensatildeo (Fig 42)
24
42 ELECTROacuteNICA DESENVOLVIDA
Figura 42 Esquemaacutetico do amplificador de tensatildeo utilizado com base no ampli-ficador operacional LF356n
O amplificador construiacutedo conforme ilustra a figura 42 consiste numa mon-
tagem inversora de ganho variaacutevel com uma malha de controlo de offset e eacute
alimentado a plusmn12V
Assim o ganho G eacute determinado atraveacutes de
G = 1 +R2R1
(42)
Sendo R1 = 11kΩ R2 = 5kΩ R3 = 25kΩ e o amplificador em si utilizado foi
o LF356n
Obtendo-se desta forma um ganho de aproximadamente 55 Permitindo apli-
car uma tensatildeo de cerca de 66V ao cristal electrooacuteptico Uma vez que a tensatildeo
aplicada eacute baixa pode-se desprezar o efeito piezoeleacutectrico gerado na amostra e
que iria influenciar o valor do coeficiente electrooacuteptico medido
422 Gerador de Rampa
Para alimentar o excitador piezoeleacutectrico do espelho moacutevel foi utilizado um ge-
rador de sinais (Fig 43) de forma a induzir um deslocamento linear perioacutedico
na forma de rampa A frequecircncia de oscilaccedilatildeo cerca de 25Hz foi escolhida de
25
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
forma a ser suficientemente baixa para evitar fenoacutemenos de batimento com o sinal
de modulaccedilatildeo electrooacuteptico e suficientemente alta para que se consiga adquirir
dados em tempo uacutetil com uma tensatildeo variaacutevel entre os 4 e os 8V
Figura 43 Esquema eleacutectrico do gerador de rampa implementado baseado nocircuito temporizador NE555
Sendo R1 = 20kΩ R2 = 1kΩ e C1 = C2 = 47microF
O tempo de subida da rampa t1 eacute dado por
t1 = 0693(R1 +R2)C1 (43)
Enquanto que o tempo de descida t2 eacute
t2 = 0693R2C1 (44)
Obtendo assim um tempo de subida de 036s e um tempo de descida de 0033s
Assim a frequecircncia do gerador de rampa f seraacute dada por
f =1
t1 + t2=
144(R1 + 2R2)C1
(45)
O gerador de rampa foi construiacutedo aproveitando o espaccedilo livre no interior da
unidade de amplificaccedilatildeo onde se situa o amplificador
26
42 ELECTROacuteNICA DESENVOLVIDA
423 Seguidor de Tensatildeo
Devido agrave necessidade de acoplamento de impedacircncias entre o amplificador lock-
in e o osciloacutescopio natildeo foi possiacutevel a utilizaccedilatildeo de um repartidor coaxial que
repartisse o sinal proveniente do detector Assim de forma a se poder visuali-
zar o sinal proveniente do detector em simultacircneo com o sinal electrooacuteptico foi
necessaacuterio a construccedilatildeo de um seguidor de tensatildeo (Fig44)
Figura 44 Esquema do seguidor de tensatildeo utilizado construida com base nosamplifacores operacionais LF356n
Sendo que ambos os circuitos integrados foram alimentados por uma tensatildeo
positiva (V+) de 12V e uma negativa (Vminus) de minus12V Com R1 = R2 = 25kΩ Agrave
semelhanccedila do amplificador foi tambeacutem construida uma malha de controlo de
offset
Agrave semelhanccedila do gerador de rampa tambeacutem foi construido na unidade de
amplificaccedilatildeo e gerador de rampa como se pode ver na figura 45
27
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Figura 45 Imagem da unidade de amplificaccedilatildeo e geraccedilatildeo de rampa implemen-tada
43 Sistema Oacuteptico Desenvolvido
431 Espelho Vibrante
O espelho vibrante (Fig46) foi construiacutedo afixando um espelho a um disco pie-
zoeleacutectrico A vibraccedilatildeo do espelho iraacute fazer com que a distacircncia entre o divisor
de feixe e o espelho varie Fazendo deslocar a franja de interferecircncia em frente ao
detector permitindo a este medir as intensidades maacuteximas e miacutenimas das franjas
de interferecircncia (ver secccedilatildeo 323)
Figura 46 Imagem do espelho vibrante utilizado
28
43 SISTEMA OacutePTICO DESENVOLVIDO
432 Bancada Oacuteptica
De forma a colocar os componentes ao niacutevel do feixe do laser na mesa oacuteptica e a
tornar o sistema menos sensiacutevel a vibraccedilotildees mecacircnicas e flutuaccedilotildees teacutermicas os
componentes foram colocadas numa base quadrada de alumiacutenio
Figura 47 Imagem da bancada oacuteptica onde o interferoacutemetro de Michelson foiconstruiacutedo
Conforme se pode ver na figura 47 para completar o interferoacutemetro de Michel-
son para aleacutem dos componentes jaacute referidos foram ainda utilizados um separador
de feixe e um espelho (fixo) no suporte com uma lente oacuteptica agrave saiacuteda do mesmo
Faltando ainda o laser utilizado da Melles Griotreg que possui uma potecircncia de
635mW e um comprimento de onda de 6328nm
433 Detector
O detector utilizado foi um modelo 818-UVDB da Newport Corporationreg (Fig
48) de baixa potecircncia consistindo num fotodiacuteodo de siliacutecio capaz de operar entre
os 200 e os 1100nm As caracteriacutesticas principais deste detector encontram-se
listadas na tabela 433
29
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Tabela 41 Caracteriacutesticas principais do detector 818-UVDB [17]
Largura de Banda 200 a 1100(nm) Material Siliacutecio
Potecircncia
W λ(nm)
Incerteza de
λ(nm)
02 200 a 4008 200 a 219
Maacutexima Calibraccedilatildeo 2 220 a 349
005 400 a 11001 350 a 9494 950 a 1050
Densidade de02Wcm2 Aacuterea Activa 1cm2
Potecircncia Meacutedia
Energia Maacutexima05microJ
Diacircmetro113cm
de Pulso Activo
De forma a evitar que a luz ambiente interferisse nas medidas e para aumen-
tar a resoluccedilatildeo de mediccedilatildeo do perfil da franja de interferecircncia foi colocado um
diafragma com uma abertura no centro de 06mm conforme se pode ver na figura
48 reduzido desta maneira a aacuterea activa para 028 mm2
Figura 48 Imagem do detector e disco utilizado
Para a aquisiccedilatildeo do sinal electrooacuteptico e geraccedilatildeo de sinal electrooacuteptico de
referecircncia foi utilizado um osciloscoacutepio Lecroy Wavesufertrade422
30
43 SISTEMA OacutePTICO DESENVOLVIDO
434 Cristal Electrooacuteptico
Para a calibraccedilatildeo do sistema foi utilizado um cristal padratildeo de dihidrogenofosfato
de potaacutessio (KDP) Na tabela 42 pode-se observar algumas das propriedades
fiacutesicas desse cristal
Tabela 42 Propriedades fiacutesicas do cristal padratildeo KDP [18]
Material Simetria Densidade Classe Higroscopicidade
KDP Tetragonal (42m) 234gcm3 Uniaxial Higroscoacutepico
Uma vez que o cristal eacute uniaxial nx = ny = no e nz = ne sendo no e ne os
iacutendices de refraccedilatildeo ordinaacuterio e extraordinaacuterio do cristal KDP A figura 49 ilustra
o elipsoiacutede de iacutendices num cristal padratildeo KDP
Figura 49 Ilustraccedilatildeo de um cristal padratildeo KDP e seu respectivo elipsoiacutede deiacutendices
31
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Na Tabela 43 pode-se observar algumas das propriedades oacutepticas do cristal
padratildeo KDP
Tabela 43 Propriedades oacutepticas do cristal padratildeo KDP a 6328nm [7]
Material Foacutermula Quiacutemica Iacutendice de RefracccedilatildeoCoeficiente
Electrooacuteptico
KDPKH2PO4
no=15074 r41=86 pmV(λ = 6328nm) ne=14673 r63=106 pmV
Como se pode ver na tabela 42 o cristal do tipo KDP eacute higroscoacutepico sendo
assim necessaacuterio reduzir ao maacuteximo o contacto entre o cristal e a atmosfera para
evitar que as suas faces fiquem opacas interferindo assim na qualidade do feixe
transmitido
435 Porta Amostras
O porta amostras eacute constituiacutedo por uma base feita de latatildeo (Fig 410) onde se
coloca o cristal nivelado com o feixe laser Este suporte possui oito roscas para
parafusos M3 quatro em cima de forma a se fixar os encaixes laterais do porta
amostras e quatro em baixo de forma a afixar-se firmemente na bancada oacuteptica
Figura 410 Imagem da base do porta-amostras desenvolvido
32
43 SISTEMA OacutePTICO DESENVOLVIDO
De forma a aplicar-se a tensatildeo de excitaccedilatildeo ao cristal sem bloquear o feixe do
laser foram utilizadas duas placas de vidro com oacutexido de estanho dopado com
fluacuteor (FTO) Este permite que haja uma boa transparecircncia e conduccedilatildeo eleacutetrica
sendo usado em vaacuterios tipos de dispositivos como aplicaccedilotildees opto-eletroacutenicas
ecratildes touch screen filmes finos fotovoltaicos etc O oacutexido de estanho dopado
com fluacuteor [19] eacute reconhecido por ser altamente estaacutevel quimicamente inerte re-
siste a temperaturas elevadas e ao desgaste abrasivo sendo mais econoacutemico do
que o tradicional oacutexido de iacutendio e estanho (ITO)
De forma a garantir um bom contacto eleacutectrico entre o vidro FTO e o cristal
foram construidas duas peccedilas de afixaccedilatildeo idecircnticas (Fig 411) Trata-se de duas
peccedilas de alumiacutenio cada uma contendo uma abertura de forma a deixar passar
o feixe laser e dois rasgos para parafusos de forma a poder-se fixar no suporte e
desta maneira exercer uma pressatildeo constante sobre o cristal
Figura 411 Imagem das peccedilas de fixaccedilatildeo do cristal desenvolvidas com a vista defrente (a) e a vista de traacutes (b)
A ligaccedilatildeo eleacutectrica entre o sinal de referecircncia proveniente do amplificador ao
vidro FTO foi feita atraveacutes de uma cola condutora de prata de forma a assegurar
a ligaccedilatildeo oacutehmica entre o fio de cobre e a camada de FTO O cristal fica assim entre
duas placas de vidro FTO(Fig412)
33
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Figura 412 Imagem do porta Amostras desenvolvido
A figura 413 ilustra o sistema desenvolvido incluindo a bancada oacuteptica e
instrumentaccedilatildeo
Figura 413 Imagem do sistema desenvolvido para a mediccedilatildeo do efeito electrooacutep-tico
34
44 COEFICIENTE ELECTROOacutePTICO
44 Coeficiente Electrooacuteptico
Para o cristal utilizado o dihidrogenofosfato de potaacutessio (KDP) e para o efeito
electrooacuteptico linear a matriz de coeficientes electrooacutepticos eacute a seguinte
rij =
0 0 0
0 0 0
0 0 0
r41 0 0
0 r52 0
0 0 r63
com
i = 1 6
j = 123
Sendo que r41 = r52 pelo que existem apenas dois coeficientes independentes
o r41 e o r63
Usando a notaccedilatildeo condensada mencionada da secccedilatildeo 21 onde se aplica o
campo eleacutectrico (E) no plano do i (sendo i = m) enquanto que j eacute o eixo oacuteptico
Para o caso do KDP eacute costume utilizar o r63 Isto eacute aplicar o campo eleacutectrico nos
planos 12 ou 21 (ou seja i = 6) com o eixo oacuteptico no eixo 3 (j = 3) como demonstra
a figura 414
Figura 414 Ilustraccedilatildeo da configuraccedilatildeo utilizada para a mediccedilatildeo do coeficienter63 num cristal
35
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Para o caso do efeito electrooacuteptico quadraacutetico a matriz dos coeficientes elec-
trooacutepticos seraacute
sij =
s11 s12 s12 0 0 0
s12 s11 s12 0 0 0
s12 s12 s11 0 0 0
0 0 0 s11 minus s12 0 0
0 0 0 0 s11 minus s12 0
0 0 0 0 0 s11 minus s12
com i j = 1 6
45 Execuccedilatildeo Experimental
Para se medir o coeficiente electrooacuteptico aplica-se ao cristal uma tensatildeo com uma
frequecircncia de 2kHz frequecircncia essa que se revelou menos sensiacutevel aos ruiacutedos
ambientes sendo que o sinal electrooacuteptico teraacute a mesma frequecircncia Podendo-
se desta maneira atraveacutes de um amplificador de lock-in (modelo 393 da IthacoDynatrac) filtrar o sinal electrooacuteptico dos restantes sinais uma vez que a sua
frequecircncia eacute conhecida
A intensidade da equaccedilatildeo 41 eacute maacutexima quando cos(∆φ) = 1 e miacutenima quando
cos(∆φ) = minus1 Pelo que subtraindo estas duas equaccedilotildees
Imax minus Imin = 4E1E2 (46)
Assim combinando a equaccedilatildeo 41 com a equaccedilatildeo 46 obtem-se
I prop E21E
22 +
12
(Imax minus Imin)cos(∆φ) (47)
Juntando agora a equaccedilatildeo 246 agrave equaccedilatildeo 247 e tendo em conta que o feixe
passa duas vezes por cada ramo (=2l) a diferenccedila de fase para o efeito electrooacutep-
tico linear
∆φ = ∆φ0 +πrn3
oVoλ
2lh
cos(Ωt) (48)
Sendo ∆φ0 a diferenccedila de fase inicial sem o efeito electrooacuteptico
36
45 EXECUCcedilAtildeO EXPERIMENTAL
Substituindo o ∆φ da equaccedilatildeo 48 na equaccedilatildeo 47 a intensidade do sinal com
modulaccedilatildeo electrooacuteptica(Iseo) seraacute dado por
Iseo prop E21 +E2
2 +12
(Imax minus Imin)cos(∆φ0 +
πrn3oVoλ
2lh
cos(Ωt))
(49)
Usando cos(α plusmn β) = cos(α)cos(β)∓ sen(α) sen(β) e D = πrn3oVoλ
2lh fica-se com
Iseo prop E21 +E2
2+12
(Imax minus Imin)
[cos(∆φ0)cos(Dcos(Ωt)) minus sen(∆φ0) sen(D cos(Ωt))](410)
Como a modulaccedilatildeo electrooacuteptica eacute um efeito muito pequeno a equaccedilatildeo 410
pode-se escrever
Iseo asymp E21 +E2
2 +12
(Imax minus Imin) [cos(∆φ0)minusD cos(Ωt) sen(∆φ0)] (411)
Considerando soacute os termos de primeira ordem
Iseo asymp12
(Imax minus Imin) [cos(∆φ0)minusD cos(Ωt) sen(∆φ0)] (412)
A componente do sinal electrooacuteptico eacute entatildeo dado por
Iseo =12
(Imax minus Imin)D cos(Ωt) sen(∆φ0) (413)
Ou seja
Iseo =12
(Imax minus Imin)πrn3
oVoλ
2lh
cos(Ωt) sen(∆φ0) (414)
O acircngulo ∆φ0 varia linearmente com o tempo (t) a uma frequecircncia inferior
a Ω A franja de interferecircncia desloca-se continuamente em frente ao detector
devido a um dos espelho estar fixado num disco piezoeleacutectrico
37
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Na figura 415 pode-se ver uma exemplificaccedilatildeo do sinal no detector que incor-
pora o sinal da franja e electrooacuteptico dada pela equaccedilatildeo 414
Figura 415 Ilustraccedilatildeo do sinal de modulaccedilatildeo electrooacuteptica de um feixe de luzmedido num interferoacutemetro de Michelson
Uma vez que o sinal electrooacuteptico (cos(Ωt)) estaacute desfasado π2 do sinal da
franja ( sen(∆φ0)) A intensidade do sinal electrooacuteptico pode ser escrita como
Iseo asymp12
(Imax minus Imin)πrn3
oVoλ
2lh
∣∣∣ sen(∆φ0)∣∣∣ (415)
Assim a amplitude do sinal electrooacuteptico eacute
Iseo =12
(Imax minus Imin)πrn3
oVoλ
2lh
(416)
Pelo que o coeficiente electrooacuteptico linear seraacute dado por
r =|Iseo|
|Imax minus Imin|λ
πn3oVo
hl
(417)
38
46 RESULTADOS
Para o efeito electrooacuteptico quadraacutetico utilizando o procedimento anoacutelogo mas
a partir da equaccedilatildeo 248 em vez da equaccedilatildeo 247 O sinal electrooacuteptico quadraacutetico
Iseoq que ocorre ao dobro da frequecircncia de modulaccedilatildeo 2Ω eacute dado por
s =
∣∣∣Iseoq∣∣∣|Imax minus Imin|
2λ
πn3oV
2o
h2
l(418)
46 Resultados
Com o cristal de KDP devidamente alinhado no interferoacutemetro segundo o seu
eixo oacuteptico de maneira a se medir o coeficiente r63 Obtendo-se assim dois sinais
o sinal de franja e o sinal electrooacuteptico (Fig 416)
Figura 416 Padratildeo da franja produzida (a) e respectivos sinais de franja e elec-trooacuteptico obtidos para um cristal KDP padratildeo
De forma a se proceder a calibraccedilatildeo do sistema utilizou-se a equaccedilatildeo 417 na
forma
|Iseo||Imax minus Imin|
=πn3
o
λlhrVo (419)
39
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Usando o valor da razatildeo |Iseo ||ImaxminusImin|
em funccedilatildeo do potencial aplicado Vo pode-se
calcular o valor do coeficiente electrooacuteptico r atraveacutes do declive da recta obtida
Pode-se ver na figura 417 uma das rectas obtidas para o cristal utilizado na
calibraccedilatildeo do sistema
Figura 417 Razatildeo entre o sinal electrooacuteptico e a diferenccedila de intensidade defranjas em funccedilatildeo do potencial Vo aplicado ao cristal
A tabela 44 apresenta o valor do coeficiente electrooacuteptico obtido e respectiva
incerteza para o cristal de KDP tomando em conta os valores dos iacutendices de
refraccedilatildeo da tabela 43
Tabela 44 Valores e respectivas incertezas obtidas do coeficiente electrooacutepticopara o cristal KDP utilizado
Material Valor Padratildeo Valor Obtido Erro
KDPr63 = 106pmV r63 = 105plusmn 02pmV 1
(λ = 6328nm)
Como se pode ver na tabela 44 o resultado obtido situa-se muito proacuteximo
do teoacuterico encontrando-se dentro da incerteza obtida Os valores valores meacutedios
apresentam um desvio da ordem dos 02pmV
40
46 RESULTADOS
Apesar dos valores obtidos serem bastante positivos houve algumas dificul-
dades nomeadamente o vidro FTO que causou que o alinhamento fosse extrema-
mente complicado natildeo soacute pela sua espessura e dimensionamento como tambeacutem
pela refraccedilatildeo provocada no feixe laser Outro grande obstaacuteculo foi o alinhamento
do cristal uma vez que basta um ligeiro desvio no caminho oacuteptico para causar um
desalinhamento total algo que eacute agravado no interferoacutemetro do tipo Michelson
pelo facto de o feixe laser passar na amostra duas vezes
Apesar destas dificuldades o valor obtido para o coeficiente electrooacuteptico r63
foi de 105pmV valor esse muito proacuteximo do valor padratildeo da literatura que se
encontra nos 106pmV Assim pode-se considerar que o sistema desenvolvido
se encontra devidamente calibrado e pronto para futuras utilizaccedilotildees
41
Capiacutetulo
5Conclusotildees
O trabalho desenvolvido no decorrer desta dissertaccedilatildeo consistiu no desenvolvi-
mento de um sistema para a mediccedilatildeo do efeito electrooacuteptico aacuterea a ser ulilizada
na caracterizaccedilatildeo de novos materiais polimeacutericos para aplicaccedilatildeo em dispositivos
fotoacutenicos
Nesta conformidade foi desenhada construiacuteda e testado uma bancada oacuteptica
destinada agrave mediccedilatildeo do efeito electrooacuteptico baseado numa teacutecnica interferomeacute-
trica de mediccedilatildeo da diferenccedila de fase implementado atraveacutes de um interferoacutemetro
do tipo Michelson
O cristal escolhido para a calibraccedilatildeo do sistema desenvolvido foi um cristal de
KDP comercial tendo sido utilizado o coeficiente electrooacuteptico r63 como referecircn-
cia sendo o valor padratildeo de 106pmV
O sistema obtido permitiu medir um valor nominal de 105plusmn 02pmV com
um erro de aproximadamente 1 em relaccedilatildeo ao valor tabelado comprovando a
afericcedilatildeo do sistema para a mediccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico por transmissatildeo
O sistema desenvolvido estaacute portanto apto para futuras mediccedilotildees sendo ape-
nas necessaacuterio algumas alteraccedilotildees no porta-amostras mediante as dimensotildees e
forma da amostra a utilizar
Chegou-se ainda agrave conclusatildeo que para amostras como o cristal utilizado o
feixe laser passar duas vezes na amostra acaba por ser uma grande desvantagem
desvantagem essa inexistente para filmes polimeacutericos que ganham cada vez mais
importacircncia na aacuterea da fotoacutenica uma vez que satildeo materiais de grande interesse
cientiacutefico e tecnoloacutegico jaacute que podem ser utilizados no desenvolvimento de dispo-
sitivos oacutepticos nomeadamente moduladores de luz e memoacuterias oacutepticas
43
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46
Apecircndice
AApecircndice
A1 Desenhos Teacutecnicos
47
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311
23
35
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311
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- Lista de Figuras
- Lista de Tabelas
- Introduccedilatildeo
- Efeito Electrooacuteptico
-
- Oacuteptica Natildeo-Linear
- Propagaccedilatildeo em Meios Anisotroacutepicos
-
- Vector de Poynting
- Elipsoiacutede dos Iacutendices
- Coeficientes Natildeo-Lineares
-
- Mediccedilatildeo do Efeito Electrooacuteptico
-
- Meacutetodo Tradicional
- Meacutetodos por Interferometria
-
- Interferometria Oacuteptica
- Interferoacutemetro de Mach-Zehnder
- Interferoacutemetro de Michelson
-
- Sistema Implementado
-
- Interferoacutemetro
- Electroacutenica Desenvolvida
-
- Amplificador
- Gerador de Rampa
- Seguidor de Tensatildeo
-
- Sistema Oacuteptico Desenvolvido
-
- Espelho Vibrante
- Bancada Oacuteptica
- Detector
- Cristal Electrooacuteptico
- Porta Amostras
-
- Coeficiente Electrooacuteptico
- Execuccedilatildeo Experimental
- Resultados
-
- Conclusotildees
- Bibliografia
- Apecircndice
-
- Desenhos Teacutecnicos
-
22 PROPAGACcedilAtildeO EM MEIOS ANISOTROacutePICOS
22 Propagaccedilatildeo em Meios Anisotroacutepicos
A propagaccedilatildeo de uma onda electromagneacutetica num meio pode ser descrita pelas
equaccedilotildees de Maxwell1 Para o caso de um meio homogeacuteneo isolante e neutro
pode-se escrever como
nabla middot ~E = 0 (22a)
nabla middot ~B = 0 (22b)
nablatimes ~E = minuspart~Bpartt
(22c)
nablatimes ~B = microεpart~Epartt
(22d)
Sendo ~B o campo magneacutetico ~E o campo eleacutectrico ε e micro a permissidade eleacutectrica
e permeabilidade magneacutetica do meio respectivamente
Tendo em conta que para um vector ~D geneacuterico
nablatimesnablatimes ~D = nabla(nabla middot ~D
)minusnabla2 ~D (23)
e
nablatimespart~Dpartt
=partnablatimes ~Dpartt
(24)
Comeccedilando pela equaccedilatildeo 22c
nablatimesnablatimes ~E = nablatimespart~Bpartt
(25)
Usando as propriedades matemaacuteticas das equaccedilotildees 23 e 24
nabla(nabla middot ~E
)minusnabla2~E =
partnablatimes ~Bpartt
(26)
Utilizando as equaccedilotildees 22a e 22d na equaccedilatildeo 26 verifica-se que
nabla2~E = microεpart2~E
partt2(27)
1James Clerk Maxwell foi um cientista escocecircs mais conhecido por ter combinado as teoriasdos campos da oacuteptica do magnetismo e da electricidade numa soacute e uacutenica teoria dando assimorigem as chamadas equaccedilotildees de Maxwell
5
CAPIacuteTULO 2 EFEITO ELECTROOacutePTICO
Obtendo-se desta maneira a equaccedilatildeo de onda para o campo eleacutectrico Analo-
gamente mas comeccedilando com a equaccedilatildeo 22d obteacutem-se para o campo magneacutetico
nabla2~B = microεpart2~B
partt2(28)
A sua velocidade de propagaccedilatildeo eacute dada por
v =1radicmicroε
(29)
Sendo que no vazio micro = micro0 e ε = ε0 o que resulta em v = c 3times 108ms
Resolvendo as equaccedilotildees 27 e 28 obtecircm-se as expressotildees para os campos eleacutec-
tricos e magneacuteticos que se propagam no meio
~E (~r t) = ~E0ei(~kmiddot~rminuswt
)(210)
e
~B (~r t) = ~B0ei(~kmiddot~rminuswt
)(211)
Onde ~r eacute o vector posiccedilatildeo ~k eacute o vector de onda que segue a direccedilatildeo de pro-
pagaccedilatildeo da onda w a frequecircncia angular e t o tempo Sendo que a parte real das
equaccedilotildees representa os seus respectivos campos A magnitude do vector ~k pode
ser escrita da seguinte maneira
k =2πλ
=wv
=wnc
(212)
Em que k eacute o nuacutemero de onda λ o comprimento de onda e n o iacutendice de
refraccedilatildeo
Escrevendo a parte real das equaccedilotildees 210 e 211 fica-se com
E = E0 cos(kr minuswt) (213)
e
B = B0 cos(kr minuswt) (214)
Manipulando a equaccedilatildeo 22c obtem-se
partEpartx
= minuspartBpartt
(215)
6
22 PROPAGACcedilAtildeO EM MEIOS ANISOTROacutePICOS
Utilizando a equaccedilatildeo 215 nas equaccedilotildees 213 e 213
kE0 = wB0 (216)
Usando a equaccedilatildeo 212 na equaccedilatildeo 216 verifica-se que
B0 =E0
v(217)
221 Vector de Poynting
O fluxo de energia (Wm2) dado pelo vector de Poynting2 (~S) pode ser escrito da
seguinte forma
~S =1micro~E times ~B (218)
A densidade de energia eleacutectrica ou a energia eleacutectrica armazenada por uni-
dade de volume (joulem3) a quantidade de energia contida num dado sistema
em relaccedilatildeo ao seu volume seraacute dada por
uE =12εE2 (219)
Agrave semelhanccedila da densidade de energia eleacutectrica a densidade de energia mag-
neacutetica (uB) eacute
uB =1
2microB2 (220)
Assim somando as equaccedilotildees 219 e 220 obtem-se a densidade de energia
total de uma onda electromagneacutetica
u =12εE2 +
12microB2 (221)
2John Henry Poynting foi um fiacutesico britacircnico autor de diversos trabalhos entre os quais um te-orema no qual se atribui um valor agrave taxa de fluxo de energia electromagneacutetica que ficou conhecidocomo vector de Poynting
7
CAPIacuteTULO 2 EFEITO ELECTROOacutePTICO
Substituindo as equaccedilotildees 29 e 217 na equaccedilatildeo 221 pode-se escrever a densi-
dade de energia total de uma onda electromagneacutetica num dado meio da seguinte
forma
u = εE2 (222)
Relacionando-se desta forma a densidade de energia com o campo eleacutectrico
De salientar que o campo magneacutetico e o campo eleacutectrico estatildeo relacionados atra-
veacutes da equaccedilatildeo 217
Considerando uma secccedilatildeo de aacuterea A (Fig 21) de um cubo com ∆x de lado
Figura 21 Cubo com secccedilatildeo de aacuterea A e ∆x de lado
A energia armazenada no cubo ou densidade de energia eacute igual a
∆U = uA∆x (223)
Sendo que a energia que atravessa a aacuterea A por unidade de tempo eacute
∆U∆t
=uA∆x∆xv
= uAv (224)
Assim a energia por unidade de tempo e aacuterea (Wm2) eacute igual a
uv = S (225)
Combinando a equaccedilatildeo 225 com a equaccedilatildeo 222 pode-se escrever a magnitude
do vector de Poynting da seguinte forma
S = εvE2 (226)
8
22 PROPAGACcedilAtildeO EM MEIOS ANISOTROacutePICOS
Substituindo a equaccedilatildeo 213 na equaccedilatildeo 225 a magnitude do vector de Poyn-
ting assume a seguinte forma
S = εvE20 cos2 (wt) (227)
Se na equaccedilatildeo 227 se fizer uma meacutedia no tempo obteacutem-se
〈S〉 = εvE20
langcos2 (wt)
rang(228)
Sendo quelangcos2 (wt)
rang= 1
2 tem-se que
I = 〈S〉 =12εvE2
0 =c
2nεE2
0 (229)
Sendo I a intensidade ou seja a potecircncia meacutedia por unidade de aacuterea que a
onda electromagneacutetica transporta
222 Elipsoiacutede dos Iacutendices
Nos meios anisotroacutepicos o iacutendice de refraccedilatildeo linear depende da direccedilatildeo da propa-
gaccedilatildeo da luz e do seu estado de polarizaccedilatildeo A resposta de um meio anisotroacutepico
eacute normalmente obtida atraveacutes do conceito de elipsoiacutede de iacutendices[5 6 7] que
a seguir seraacute descrita Ao se aplicar um campo eleacutectrico a um meio polarizaacutevel
este induz uma mudanccedila do estado de polarizaccedilatildeo descrito pelo deslocamento
eleacutectrico
~D = ε0~E + ~P (230)
Sendo
~P = ε0χ~E (231)
onde ε0 eacute a permissidade eleacutectrica no vazio ~P a polarizaccedilatildeo ~E o campo eleacutec-
trico ~D o deslocamento eleacutectrico e χ eacute o tensor das suscetibilidades Atraveacutes das
equaccedilotildees 230 e 231 tem-se que
~D = ε0~E(1 + χ) (232)
9
CAPIacuteTULO 2 EFEITO ELECTROOacutePTICO
Sendo que χ eacute dado por
χ =
χ11 χ12 χ13
χ21 χ22 χ23
χ31 χ32 χ33
(233)
Pelo teorema de eixos principais [7] seraacute possiacutevel escolher um sistema de co-
ordenadas onde apenas os elementos da diagonal principal sejam diferentes de
zero de tal forma que
χ =
χ11 0 0
0 χ22 0
0 0 χ33
(234)
Assim a equaccedilatildeo 231 pode ser escrita na forma no novo sistema de eixosP1
P2
P3
= ε0
χ11 0 0
0 χ22 0
0 0 χ33
E1
E2
E3
(235)
Da equaccedilatildeo 235 pode-se ainda retirar o seguinte
P1 = ε0χ11E1 D1 = ε11E1 ε11 = ε0 (1 +χ11)
P2 = ε0χ22E2 D2 = ε22E2 ε22 = ε0 (1 +χ22) (236)
P3 = ε0χ33E3 D3 = ε33E3 ε33 = ε0 (1 +χ33)
Combinando as equaccedilotildees 219 e 236 pode-se reescrever a densidade de energia
armazenada no campo eleacutectrico como
uE =12~E middot ~D (237)
Usando as expressotildees da equaccedilatildeo 236 para manipular a equaccedilatildeo 237 obtem-
se
D21
ε11+D2
2
ε22+D2
3
ε33= 2uE (238)
10
22 PROPAGACcedilAtildeO EM MEIOS ANISOTROacutePICOS
Substituiacutendo na equaccedilatildeo 238 D1 D2 e D3 pelos seus respectivos eixos em
coordenadas cartesianas tem-se que
x2
ε11ε0+
y2
ε22ε0+
z2
ε33ε0= 1 (239)
sendo x = D1radic2ε0UE
y = D2radic2ε0UE
e z = D3radic2ε0UE
Reescrevendo a equaccedilatildeo 239 fazendo n2x = ε11ε0 n2
y = ε22ε0 e n2z = ε33ε0
obteacutem-se forma a equaccedilatildeo do elipsoide de iacutendices
x2
n2x
+y2
n2y
+z2
n2z
= 1 (240)
Sendo nx ny e nz o iacutendice de refraccedilatildeo na sua respectiva direccedilatildeo como demons-
tra a figura 22
Figura 22 Ilustraccedilatildeo do elipsoiacutede de iacutendices (retirado de [7])
11
CAPIacuteTULO 2 EFEITO ELECTROOacutePTICO
223 Coeficientes Natildeo-Lineares
Quando eacute aplicado um campo eleacutectrico ao meio o elipsoiacutede de iacutendices pode
mudar a sua forma e orientaccedilatildeo no espaccedilo de tal forma que a equaccedilatildeo de elipsoide
de iacutendices passa a ser escrita de um modo geral como
( 1n2
)1x2 +
( 1n2
)2y2 +
( 1n2
)3z2 + 2
( 1n2
)4xy + 2
( 1n2
)5xz+ 2
( 1n2
)6yz = 1 (241)
Quando o campo eleacutectrico aplicado eacute nulo as equaccedilotildees 240 e 241 tecircm de ser
equivalentes pelo que para E = 0 tem-se
( 1n2
)1
=1
n2x( 1
n2
)2
=1
n2y( 1
n2
)3
=1
n2z( 1
n2
)4
=( 1n2
)5
=( 1n2
)6
= 0
(242)
Desta forma quando se aplica um campo eleacutectrico (E) verifica-se uma variaccedilatildeo
nos coeficientes(
1n2
)i Esta variaccedilatildeo induzida pelo efeito electrooacuteptico pode entatildeo
ser descrita atraveacutes de [8]
∆
( 1n2
)i
=3sumj=1
rijEj com i = 1 6 (243)
Sendo rij o coeficiente electrooacuteptico e E a magnitude do campo eleacutectrico apli-
cado
12
22 PROPAGACcedilAtildeO EM MEIOS ANISOTROacutePICOS
A equaccedilatildeo 243 tambeacutem pode ser escrita como
∆
( 1n2
)1
∆
( 1n2
)2
∆
( 1n2
)3
∆
( 1n2
)4
∆
( 1n2
)5
∆
( 1n2
)6
=
r11 r12 r13
r21 r22 r23
r31 r32 r33
r41 r42 r43
r51 r52 r53
r61 r62 r63
E1
E2
E3
(244)
Nesta conformidade o coeficiente electrooacuteptico pode ser escrito como
rij = minus 2
n3ij
[partnijpartEj
](245)
A diferenccedila de fase ∆φ resultante da variaccedilatildeo no iacutendice de refraccedilatildeo ∆n seraacute
∆φ =2πlλ
∆n (246)
Em que o l eacute o caminho percorrido pela luz de comprimento de onda λ no
meio Sendo a variaccedilatildeo no iacutendice de refraccedilatildeo devida aos efeitos electrooacutepticos
pode-se escrever
|∆n| =rno
3
2Voh
(247)
para o efeito electrooacuteptico linear e
|∆n| =sn3o
2
(Voh
)2(248)
para o efeito electrooacuteptico quadraacutetico
Onde os coefeciecircntes electrooacutepticos linear e quadraacutetico satildeo respectivamente
r e s Vo eacute o potencial eleacutectrico aplicado entre os eleacutetrodos que distam entre si a
uma distacircncia h criando assim o campo eleacutectrico aplicado
13
Capiacutetulo
3Mediccedilatildeo do Efeito Electrooacuteptico
Neste capiacutetulo satildeo apresentadas as teacutecnicas mais comuns utilizadas para a me-
diccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico destacando-se dois tipos de interferoacutemetros o
tradicional e os de interferometria de dois feixes
31 Meacutetodo Tradicional
Um dos meacutetodos mais usados para medir o efeito eletrooacuteptico foi o proposto por
Henry [9] em 1986 Esta teacutecnica ilustrada na Fig31 baseia-se na alteraccedilatildeo do
estado de polarizaccedilatildeo de um feixe linearmente polarizado quando este atravessa
o meio Esta alteraccedilatildeo ocorre devido agrave birrefrigecircncia induzida por um campo
eleacutetrico aplicado e agrave atividade oacuteptica do meio A montagem eacute composta por uma
fonte de luz (S) um monocromador (M) uma lente (L) um diafragma (D) dois
polarizadores (P1 e P2) um cristal (BSO) de espessura d ao qual eacute aplicado um
campo eleacutetrico (E) e um fotomultiplicador (FM) ligado a um sistema de aquisiccedilatildeo
de dados
O procedimento experimental em si consiste no seguinte para um dado estado
de polarizaccedilatildeo do feixe incidente imposto pelo P1 vai-se alterando a posiccedilatildeo
angular do P2 de forma a encontrar as intensidades maacutexima e miacutenima e desta
forma calcular-se a visibilidade (ν) atraveacutes de [9]
νθ =Imax minus IminImax + Imin
(31)
15
CAPIacuteTULO 3 MEDICcedilAtildeO DO EFEITO ELECTROOacutePTICO
Figura 31 Montagem experimental proposta por Henry e a sua equipa (adaptadode [9])
De seguida altera-se P1 para a posiccedilatildeo angular de 45 e repete-se o procedi-
mento anterior Somando o quadrado das duas visibilidades obtidas tem-se que
[9]
ν2θ + ν2
θ+45 = 1 +
1minus δ2
2
sen(φ2 )φ2
2
2
(32)
sendo
δ =2πλn3rEyd (33)
e
φ =radicδ2 + ρ2 (34)
Sendo δ a diferenccedila de fase originada pela birrefringecircncia λ o comprimento
de onda do feixe no vaacutecuo ρ a diferenccedila de fase associada agrave actividade oacuteptica n o
iacutendice de refraccedilatildeo sem campo eleacutetrico aplicado Ey o campo eleacutectrico aplicado e
d a espessura do cristal na direccedilatildeo do campo eleacutectrico aplicado Destas equaccedilotildees
pode-se calcular o coeficiente electrooacuteptico r
Para o caso de φ pequenos
sen(φ2 )φ2
2
1 pelo que
ν2θ + ν2
θ+45 1 +(1minus δ
2
2
)2
(35)
Natildeo sendo nesta situaccedilatildeo necessaacuteria a actividade oacuteptica ρ Esta teacutecnica apre-
senta um erro de mediccedilatildeo de 10 a 15 em relaccedilatildeo ao valor tabelado
16
32 MEacuteTODOS POR INTERFEROMETRIA
32 Meacutetodos por Interferometria
321 Interferometria Oacuteptica
Quando duas ondas de uma mesma frequecircncia se sobrepotildeem num dado ponto
formam uma nova onda cuja amplitude eacute o resultado da soma da amplitude das
duas ondas iniciais em cada instante nesse ponto Quando a soma da duas ondas
resulta numa amplitude maior diz-se que houve interferecircncia construtiva quando
resulta numa amplitude inferior diz-se que ocorreu interferecircncia destrutiva
Supondo que uma das ondas tem a forma E1ei(φ1minuswt) e a outra forma E2e
i(φ2minuswt)
sendo E1 e E2 as amplitudes dos respetivos campos eleacutetricos φ1 e φ2 as fases
iniciais w a frequecircncia angular e t o tempo a onda resultante seraacute descrita por
[10]
ET = E1ei(φ1minuswt) +E2e
i(φ2minuswt) (36)
Se φ1 minusφ2 = 2Nπ com N = 012 entatildeo as duas ondas estaratildeo em fase e daacute-
se uma interferecircncia construtiva perfeita Se φ1 minusφ2 = (2N + 1)π e E1 = E2 entatildeo
as duas ondas estaratildeo em oposiccedilatildeo de fase e daacute-se uma interferecircncia destrutiva
completa Estas situaccedilotildees extremas encontram-se ilustradas na figura 32
Figura 32 Ilustraccedilatildeo de uma interferecircncia construtiva perfeita (a) e destrutivacompleta (b)
Matematicamente a coerecircncia eacute uma medida da correlaccedilatildeo entre as ondas
Quanto mais construtiva for a interferecircncia maior seraacute a coerecircncia Fisicamente
a coerecircncia eacute uma medida do quatildeo constante a diferenccedila de fase permanece entre
17
CAPIacuteTULO 3 MEDICcedilAtildeO DO EFEITO ELECTROOacutePTICO
as duas ondas A coerecircncia eacute usualmente medida num padratildeo de franjas de in-
terferecircncia atraveacutes da visibilidade de franja (ν) que pode ser experimentalmente
calculada atraveacutes de [10]
ν =Imax minus IminImax + Imin
= 1 coerecircncia total e contraste maacuteximo
0 lt ν lt 1 coerecircncia parcial
= 0 incoerecircncia total e contraste natildeo haacute franjas
(37)
Pode-se ver na Fig33 um exemplo da equaccedilatildeo 37 que representa a visibi-
lidade das franjas em funccedilatildeo da diferenccedila de fase entre duas ondas da mesma
frequecircncia que interferem Como a visibilidade das franjas depende da coerecircncia
das duas ondas qualquer diferenccedila iraacute traduzir-se numa diminuiccedilatildeo de visibili-
dade
Figura 33 Visibilidade num interferoacutemetro em funccedilatildeo da diferenccedila de fase entreduas ondas provenientes de ramos diferentes do interferoacutemetro (adaptado de[11])
Pode-se usar a interferometria para quantificar os efeitos electrooacutepticos natildeo
soacute linear mas tambeacutem o quadraacutetico (efeito de Kerr) Os interferoacutemetros mais
frequentemente utilizados para este efeito satildeo os interferoacutemetro de Michelson1 e1Albert Abraham Michelson foi um fiacutesico americano conhecido pela invenccedilatildeo do interferoacuteme-
tro de Michelson (1891) do seu trabalho na mediccedilatildeo da velocidade da luz e pelo seu trabalho naexperiecircncia de Michelson-Morley Em 1907 tornou-se o primeiro americano a receber o PreacutemioNobel da Fiacutesica
18
32 MEacuteTODOS POR INTERFEROMETRIA
o interferoacutemetro de Mach-Zehnder2
De salientar que as teacutecnicas interferomeacutetricas apresentam uma elevada sensibi-
lidade simplificaccedilatildeo na preparaccedilatildeo das amostras a estudar e uma menor sensibili-
dade a vibraccedilotildees mecacircnicas e a flutuaccedilotildees teacutermicas desde que estas ocorram com
a mesma intensidade em ambos os ramos do mesmo tamanho do interferoacutemetro
322 Interferoacutemetro de Mach-Zehnder
No interferoacutemetro de Mach-Zehnder (Fig 34) um separador de feixe divide o
feixe proveniente da fonte em dois feixes que vatildeo constituir os dois ramos do
interferoacutemetro o feixe-amostra e o feixe-referecircncia Ambos satildeo refletidos por um
espelho e ambos atravessam um novo separador de feixe antes de se juntarem de
novo e serem medidos nos detetores
Figura 34 Esquema de um interferoacutemetro de Mach-Zehnder (adaptado de [12])
Com os ramos agrave mesma distacircncia pode ainda observar-se que sem amostra
ambos os feixes vatildeo chegar em fase aos detetores havendo desta forma uma inter-
ferecircncia construtiva Ambos apresentaratildeo uma mudanccedila de fase correspondente
a λ devido ao facto de ambos sofrerem duas reflexotildees e uma transmissatildeo numa
placa de vidro(separador de feixe) ateacute chegarem aos detetores2Ludwig Zehnder foi um fiacutesico suiacuteccedilo e o inventor do interferoacutemetro de Mach-Zehnder Inter-
feroacutemetro esse depois aperfeiccediloado por Ludwig Mach
19
CAPIacuteTULO 3 MEDICcedilAtildeO DO EFEITO ELECTROOacutePTICO
Alterando o caminho oacuteptico do espelho do feixe-referecircncia em λ4 sem amos-
tra o feixe-amostra e o feixe-referecircncia vatildeo chegar com uma diferenccedila de fase de
λ2 ou seja vai haver uma interferecircncia destrutiva completa Isto porque o feixe-
referecircncia vai ter uma mudanccedila de fase de λ2 devido a uma reflexatildeo e duas trans-
missotildees provocadas pelos separadores de feixe Enquanto que o feixe-amostra
chegaraacute aos detetores com uma diferenccedila de fase de λ devido a duas reflexotildees
mais uma reflexatildeo com transmissatildeo no segundo separador de feixe Assim na
ausecircncia de amostra e desde que a diferenccedila de caminho oacuteptico ou retardaccedilatildeo
(δ) seja zero os feixes iratildeo interferir construtivamente [13]
Com a amostra colocada no caminho do feixe-amostra os feixes vatildeo chegar ao
detetor em diferentes situaccedilotildees de fase sendo possiacutevel determinar a diferenccedila de
fase provocada pela presenccedila da amostra
A intensidade do feixe (I) em ambos os detetores eacute descrita por [14]
I(δ) =12I(k)cos(2Nkδ) (38)
Com k o nuacutemero de onda (k = 2πλ) E fazendo δ = d com d = vt resulta
I(δ) =12I(k)cos(2Nk(vt)) (39)
323 Interferoacutemetro de Michelson
No interferoacutemetro do tipo Michelson um feixe de luz eacute dividido em dois que
percorrem caminhos diferentes para de seguida se recombinarem Apoacutes terem
percorrido caminhos diferentes o feixe resultante da recombinaccedilatildeo pode apresen-
tar um padratildeo de interferecircncia que depende da diferenccedila de caminhos oacutepticos
entre os feixes e que pode ser medido num detetor
A forma mais simples de implementar um interferoacutemetro de Michelson con-
siste em dois espelhos colocados entre si num plano perpendicular em que um
deles se pode mover na direccedilatildeo perpendicular agrave sua superfiacutecie refletora conforme
ilustrado na Fig35
Esse espelho iraacute movimentar-se num espaccedilo definido a uma velocidade cons-
tante Entre o espelho fixo e o espelho moacutevel estaacute um separador de feixe que
divide o feixe incidente inicial em dois de igual intensidade Aqui o feixe eacute parci-
almente refletido para um espelho e parcialmente transmitido para o outro
20
32 MEacuteTODOS POR INTERFEROMETRIA
Figura 35 Esquema de funcionamento de um interferoacutemetro de Michelson cominterferecircncia construtiva (a) e destrutiva (b) (adaptado de [15])
Assumindo que o separador de feixe eacute ideal e com uma reflectacircncia e transmi-
tacircncia de 50 se o espelho moacutevel se encontrar estacionaacuterio pode determinar-se
a intensidade do feixe num dado ponto do detetor Se a diferenccedila do caminho
oacuteptico ou retardaccedilatildeo (δ) for zero ou seja os espelhos estatildeo igualmente espaccedilados
do separador de feixe estes vatildeo percorrer a mesma distacircncia e interferir construti-
vamente pelo que a intensidade do feixe final eacute a soma das intensidades dos dois
feixes Nestas condiccedilotildees toda a luz que sai da fonte chega ao detetor
No caso do espelho moacutevel se deslocar uma distacircncia de λ4 a retardaccedilatildeo total
seraacute de λ2 pelo que os feixes estaratildeo desfasadas de 180ordm (π) Nestas condiccedilotildees ter-
se-aacute interferecircncia destrutiva completa na recombinaccedilatildeo dos feixes dando origem
agrave extinccedilatildeo total
Voltando a deslocar o espelho moacutevel de mais λ4 a diferenccedila do caminho
oacuteptico seraacute igual a λ e os dois feixes voltam a estar em fase havendo novamente
uma sobreposiccedilatildeo construtiva dos feixes
Com o espelho moacutevel a deslocar-se a uma velocidade constante o sinal do de-
tetor iraacute variar com uma forma perioacutedica sendo que atinge o seu maacuteximo quando
a retardaccedilatildeo (δ) for um muacuteltiplo inteiro de λ δ =Nλ
A expressatildeo da intensidade do feixe (I) no detector para o caso do interferoacute-
metro de Michelson eacute semelhante agrave equaccedilatildeo 38 para o interferoacutemetro de Mach-
Zehnder sendo que neste caso δ = 2d com d = vt jaacute que o feixe atravessa a
amostra duas vezes Nestas condiccedilotildees ter-se-aacute
I(δ) =12I(k)cos(4Nk(vt)) (310)
21
CAPIacuteTULO 3 MEDICcedilAtildeO DO EFEITO ELECTROOacutePTICO
22
Capiacutetulo
4Sistema Implementado
Este capiacutetulo descreve o sistema implementado para a mediccedilatildeo do coeficiente
electrooacuteptico usando a teacutecnica de interferoacutemetria de Michelson bem como a cali-
braccedilatildeo do mesmo
41 Interferoacutemetro
O sistema escolhido para a mediccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico baseia-se na teacutec-
nica de interferometria de Michelson (ver secccedilatildeo 323) onde se mediu a diferenccedila
de fase entre os ramos do interferoacutemetro Esta teacutecnica foi escolhida pela elevada
sensibilidade agrave diferenccedila de fase gerada entre os ramos do interferoacutemetro facili-
dade de preparaccedilatildeo das amostras e por ser menos sensiacutevel a vibraccedilotildees mecacircnicas
e a flutuaccedilotildees teacutermicas desde que estas ocorram com a mesma intensidade em
ambos os ramos do interferoacutemetro Para aleacutem das vantagens mencionadas e espe-
cificamente em comparaccedilatildeo com o interferoacutemetro mais usado o interferoacutemetro
do tipo Mach-Zehnder o interferoacutemetro de Michelson tem uma maior facilidade
de alinhamento dos espelhos e usa apenas um separador de feixe
A figura 41 esquematiza o sistema baseado no interferoacutemetro de Michelson
desenvolvido para a mediccedilatildeo do coeficiente eletrooacuteptico
23
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Figura 41 Esquematizaccedilatildeo do interferoacutemetro de Michelson e instrumentaccedilatildeoutilizada para a mediccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico em cristais
Como se pode ver no esquema da figura 41 o ramo do espelho vibrante fica
vazio enquanto que no ramo do espelho fixo se encontra a amostra entre dois
eleacutectrodos onde se aplicam um campo eleacutectrico E O sinal medido no detector
resulta da interferecircncia entre os feixes provenientes de cada ramo do interferoacute-
mentro dependendo da diferenccedila de fase entre os dois feixes Conforme referido
anteriormente a intensidade da luz (I) que chega ao detector eacute da ordem de [16]
I prop E21 +E2
2 + 2E1E2cos(∆φ) (41)
42 Electroacutenica Desenvolvida
421 Amplificador
Para o efeito electrooacuteptico se manisfestar eacute necessaacuterio aplicar-se uma tensatildeo eleacutec-
trica ao meio Uma vez que a tensatildeo de referecircncia fornecida pelo amplificador
lock-in utilizado eacute muito baixa para induzir efeito electrooacuteptico significativo por
volta dos 12V foi necessaacuterio construir um amplificador de tensatildeo (Fig 42)
24
42 ELECTROacuteNICA DESENVOLVIDA
Figura 42 Esquemaacutetico do amplificador de tensatildeo utilizado com base no ampli-ficador operacional LF356n
O amplificador construiacutedo conforme ilustra a figura 42 consiste numa mon-
tagem inversora de ganho variaacutevel com uma malha de controlo de offset e eacute
alimentado a plusmn12V
Assim o ganho G eacute determinado atraveacutes de
G = 1 +R2R1
(42)
Sendo R1 = 11kΩ R2 = 5kΩ R3 = 25kΩ e o amplificador em si utilizado foi
o LF356n
Obtendo-se desta forma um ganho de aproximadamente 55 Permitindo apli-
car uma tensatildeo de cerca de 66V ao cristal electrooacuteptico Uma vez que a tensatildeo
aplicada eacute baixa pode-se desprezar o efeito piezoeleacutectrico gerado na amostra e
que iria influenciar o valor do coeficiente electrooacuteptico medido
422 Gerador de Rampa
Para alimentar o excitador piezoeleacutectrico do espelho moacutevel foi utilizado um ge-
rador de sinais (Fig 43) de forma a induzir um deslocamento linear perioacutedico
na forma de rampa A frequecircncia de oscilaccedilatildeo cerca de 25Hz foi escolhida de
25
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
forma a ser suficientemente baixa para evitar fenoacutemenos de batimento com o sinal
de modulaccedilatildeo electrooacuteptico e suficientemente alta para que se consiga adquirir
dados em tempo uacutetil com uma tensatildeo variaacutevel entre os 4 e os 8V
Figura 43 Esquema eleacutectrico do gerador de rampa implementado baseado nocircuito temporizador NE555
Sendo R1 = 20kΩ R2 = 1kΩ e C1 = C2 = 47microF
O tempo de subida da rampa t1 eacute dado por
t1 = 0693(R1 +R2)C1 (43)
Enquanto que o tempo de descida t2 eacute
t2 = 0693R2C1 (44)
Obtendo assim um tempo de subida de 036s e um tempo de descida de 0033s
Assim a frequecircncia do gerador de rampa f seraacute dada por
f =1
t1 + t2=
144(R1 + 2R2)C1
(45)
O gerador de rampa foi construiacutedo aproveitando o espaccedilo livre no interior da
unidade de amplificaccedilatildeo onde se situa o amplificador
26
42 ELECTROacuteNICA DESENVOLVIDA
423 Seguidor de Tensatildeo
Devido agrave necessidade de acoplamento de impedacircncias entre o amplificador lock-
in e o osciloacutescopio natildeo foi possiacutevel a utilizaccedilatildeo de um repartidor coaxial que
repartisse o sinal proveniente do detector Assim de forma a se poder visuali-
zar o sinal proveniente do detector em simultacircneo com o sinal electrooacuteptico foi
necessaacuterio a construccedilatildeo de um seguidor de tensatildeo (Fig44)
Figura 44 Esquema do seguidor de tensatildeo utilizado construida com base nosamplifacores operacionais LF356n
Sendo que ambos os circuitos integrados foram alimentados por uma tensatildeo
positiva (V+) de 12V e uma negativa (Vminus) de minus12V Com R1 = R2 = 25kΩ Agrave
semelhanccedila do amplificador foi tambeacutem construida uma malha de controlo de
offset
Agrave semelhanccedila do gerador de rampa tambeacutem foi construido na unidade de
amplificaccedilatildeo e gerador de rampa como se pode ver na figura 45
27
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Figura 45 Imagem da unidade de amplificaccedilatildeo e geraccedilatildeo de rampa implemen-tada
43 Sistema Oacuteptico Desenvolvido
431 Espelho Vibrante
O espelho vibrante (Fig46) foi construiacutedo afixando um espelho a um disco pie-
zoeleacutectrico A vibraccedilatildeo do espelho iraacute fazer com que a distacircncia entre o divisor
de feixe e o espelho varie Fazendo deslocar a franja de interferecircncia em frente ao
detector permitindo a este medir as intensidades maacuteximas e miacutenimas das franjas
de interferecircncia (ver secccedilatildeo 323)
Figura 46 Imagem do espelho vibrante utilizado
28
43 SISTEMA OacutePTICO DESENVOLVIDO
432 Bancada Oacuteptica
De forma a colocar os componentes ao niacutevel do feixe do laser na mesa oacuteptica e a
tornar o sistema menos sensiacutevel a vibraccedilotildees mecacircnicas e flutuaccedilotildees teacutermicas os
componentes foram colocadas numa base quadrada de alumiacutenio
Figura 47 Imagem da bancada oacuteptica onde o interferoacutemetro de Michelson foiconstruiacutedo
Conforme se pode ver na figura 47 para completar o interferoacutemetro de Michel-
son para aleacutem dos componentes jaacute referidos foram ainda utilizados um separador
de feixe e um espelho (fixo) no suporte com uma lente oacuteptica agrave saiacuteda do mesmo
Faltando ainda o laser utilizado da Melles Griotreg que possui uma potecircncia de
635mW e um comprimento de onda de 6328nm
433 Detector
O detector utilizado foi um modelo 818-UVDB da Newport Corporationreg (Fig
48) de baixa potecircncia consistindo num fotodiacuteodo de siliacutecio capaz de operar entre
os 200 e os 1100nm As caracteriacutesticas principais deste detector encontram-se
listadas na tabela 433
29
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Tabela 41 Caracteriacutesticas principais do detector 818-UVDB [17]
Largura de Banda 200 a 1100(nm) Material Siliacutecio
Potecircncia
W λ(nm)
Incerteza de
λ(nm)
02 200 a 4008 200 a 219
Maacutexima Calibraccedilatildeo 2 220 a 349
005 400 a 11001 350 a 9494 950 a 1050
Densidade de02Wcm2 Aacuterea Activa 1cm2
Potecircncia Meacutedia
Energia Maacutexima05microJ
Diacircmetro113cm
de Pulso Activo
De forma a evitar que a luz ambiente interferisse nas medidas e para aumen-
tar a resoluccedilatildeo de mediccedilatildeo do perfil da franja de interferecircncia foi colocado um
diafragma com uma abertura no centro de 06mm conforme se pode ver na figura
48 reduzido desta maneira a aacuterea activa para 028 mm2
Figura 48 Imagem do detector e disco utilizado
Para a aquisiccedilatildeo do sinal electrooacuteptico e geraccedilatildeo de sinal electrooacuteptico de
referecircncia foi utilizado um osciloscoacutepio Lecroy Wavesufertrade422
30
43 SISTEMA OacutePTICO DESENVOLVIDO
434 Cristal Electrooacuteptico
Para a calibraccedilatildeo do sistema foi utilizado um cristal padratildeo de dihidrogenofosfato
de potaacutessio (KDP) Na tabela 42 pode-se observar algumas das propriedades
fiacutesicas desse cristal
Tabela 42 Propriedades fiacutesicas do cristal padratildeo KDP [18]
Material Simetria Densidade Classe Higroscopicidade
KDP Tetragonal (42m) 234gcm3 Uniaxial Higroscoacutepico
Uma vez que o cristal eacute uniaxial nx = ny = no e nz = ne sendo no e ne os
iacutendices de refraccedilatildeo ordinaacuterio e extraordinaacuterio do cristal KDP A figura 49 ilustra
o elipsoiacutede de iacutendices num cristal padratildeo KDP
Figura 49 Ilustraccedilatildeo de um cristal padratildeo KDP e seu respectivo elipsoiacutede deiacutendices
31
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Na Tabela 43 pode-se observar algumas das propriedades oacutepticas do cristal
padratildeo KDP
Tabela 43 Propriedades oacutepticas do cristal padratildeo KDP a 6328nm [7]
Material Foacutermula Quiacutemica Iacutendice de RefracccedilatildeoCoeficiente
Electrooacuteptico
KDPKH2PO4
no=15074 r41=86 pmV(λ = 6328nm) ne=14673 r63=106 pmV
Como se pode ver na tabela 42 o cristal do tipo KDP eacute higroscoacutepico sendo
assim necessaacuterio reduzir ao maacuteximo o contacto entre o cristal e a atmosfera para
evitar que as suas faces fiquem opacas interferindo assim na qualidade do feixe
transmitido
435 Porta Amostras
O porta amostras eacute constituiacutedo por uma base feita de latatildeo (Fig 410) onde se
coloca o cristal nivelado com o feixe laser Este suporte possui oito roscas para
parafusos M3 quatro em cima de forma a se fixar os encaixes laterais do porta
amostras e quatro em baixo de forma a afixar-se firmemente na bancada oacuteptica
Figura 410 Imagem da base do porta-amostras desenvolvido
32
43 SISTEMA OacutePTICO DESENVOLVIDO
De forma a aplicar-se a tensatildeo de excitaccedilatildeo ao cristal sem bloquear o feixe do
laser foram utilizadas duas placas de vidro com oacutexido de estanho dopado com
fluacuteor (FTO) Este permite que haja uma boa transparecircncia e conduccedilatildeo eleacutetrica
sendo usado em vaacuterios tipos de dispositivos como aplicaccedilotildees opto-eletroacutenicas
ecratildes touch screen filmes finos fotovoltaicos etc O oacutexido de estanho dopado
com fluacuteor [19] eacute reconhecido por ser altamente estaacutevel quimicamente inerte re-
siste a temperaturas elevadas e ao desgaste abrasivo sendo mais econoacutemico do
que o tradicional oacutexido de iacutendio e estanho (ITO)
De forma a garantir um bom contacto eleacutectrico entre o vidro FTO e o cristal
foram construidas duas peccedilas de afixaccedilatildeo idecircnticas (Fig 411) Trata-se de duas
peccedilas de alumiacutenio cada uma contendo uma abertura de forma a deixar passar
o feixe laser e dois rasgos para parafusos de forma a poder-se fixar no suporte e
desta maneira exercer uma pressatildeo constante sobre o cristal
Figura 411 Imagem das peccedilas de fixaccedilatildeo do cristal desenvolvidas com a vista defrente (a) e a vista de traacutes (b)
A ligaccedilatildeo eleacutectrica entre o sinal de referecircncia proveniente do amplificador ao
vidro FTO foi feita atraveacutes de uma cola condutora de prata de forma a assegurar
a ligaccedilatildeo oacutehmica entre o fio de cobre e a camada de FTO O cristal fica assim entre
duas placas de vidro FTO(Fig412)
33
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Figura 412 Imagem do porta Amostras desenvolvido
A figura 413 ilustra o sistema desenvolvido incluindo a bancada oacuteptica e
instrumentaccedilatildeo
Figura 413 Imagem do sistema desenvolvido para a mediccedilatildeo do efeito electrooacutep-tico
34
44 COEFICIENTE ELECTROOacutePTICO
44 Coeficiente Electrooacuteptico
Para o cristal utilizado o dihidrogenofosfato de potaacutessio (KDP) e para o efeito
electrooacuteptico linear a matriz de coeficientes electrooacutepticos eacute a seguinte
rij =
0 0 0
0 0 0
0 0 0
r41 0 0
0 r52 0
0 0 r63
com
i = 1 6
j = 123
Sendo que r41 = r52 pelo que existem apenas dois coeficientes independentes
o r41 e o r63
Usando a notaccedilatildeo condensada mencionada da secccedilatildeo 21 onde se aplica o
campo eleacutectrico (E) no plano do i (sendo i = m) enquanto que j eacute o eixo oacuteptico
Para o caso do KDP eacute costume utilizar o r63 Isto eacute aplicar o campo eleacutectrico nos
planos 12 ou 21 (ou seja i = 6) com o eixo oacuteptico no eixo 3 (j = 3) como demonstra
a figura 414
Figura 414 Ilustraccedilatildeo da configuraccedilatildeo utilizada para a mediccedilatildeo do coeficienter63 num cristal
35
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Para o caso do efeito electrooacuteptico quadraacutetico a matriz dos coeficientes elec-
trooacutepticos seraacute
sij =
s11 s12 s12 0 0 0
s12 s11 s12 0 0 0
s12 s12 s11 0 0 0
0 0 0 s11 minus s12 0 0
0 0 0 0 s11 minus s12 0
0 0 0 0 0 s11 minus s12
com i j = 1 6
45 Execuccedilatildeo Experimental
Para se medir o coeficiente electrooacuteptico aplica-se ao cristal uma tensatildeo com uma
frequecircncia de 2kHz frequecircncia essa que se revelou menos sensiacutevel aos ruiacutedos
ambientes sendo que o sinal electrooacuteptico teraacute a mesma frequecircncia Podendo-
se desta maneira atraveacutes de um amplificador de lock-in (modelo 393 da IthacoDynatrac) filtrar o sinal electrooacuteptico dos restantes sinais uma vez que a sua
frequecircncia eacute conhecida
A intensidade da equaccedilatildeo 41 eacute maacutexima quando cos(∆φ) = 1 e miacutenima quando
cos(∆φ) = minus1 Pelo que subtraindo estas duas equaccedilotildees
Imax minus Imin = 4E1E2 (46)
Assim combinando a equaccedilatildeo 41 com a equaccedilatildeo 46 obtem-se
I prop E21E
22 +
12
(Imax minus Imin)cos(∆φ) (47)
Juntando agora a equaccedilatildeo 246 agrave equaccedilatildeo 247 e tendo em conta que o feixe
passa duas vezes por cada ramo (=2l) a diferenccedila de fase para o efeito electrooacutep-
tico linear
∆φ = ∆φ0 +πrn3
oVoλ
2lh
cos(Ωt) (48)
Sendo ∆φ0 a diferenccedila de fase inicial sem o efeito electrooacuteptico
36
45 EXECUCcedilAtildeO EXPERIMENTAL
Substituindo o ∆φ da equaccedilatildeo 48 na equaccedilatildeo 47 a intensidade do sinal com
modulaccedilatildeo electrooacuteptica(Iseo) seraacute dado por
Iseo prop E21 +E2
2 +12
(Imax minus Imin)cos(∆φ0 +
πrn3oVoλ
2lh
cos(Ωt))
(49)
Usando cos(α plusmn β) = cos(α)cos(β)∓ sen(α) sen(β) e D = πrn3oVoλ
2lh fica-se com
Iseo prop E21 +E2
2+12
(Imax minus Imin)
[cos(∆φ0)cos(Dcos(Ωt)) minus sen(∆φ0) sen(D cos(Ωt))](410)
Como a modulaccedilatildeo electrooacuteptica eacute um efeito muito pequeno a equaccedilatildeo 410
pode-se escrever
Iseo asymp E21 +E2
2 +12
(Imax minus Imin) [cos(∆φ0)minusD cos(Ωt) sen(∆φ0)] (411)
Considerando soacute os termos de primeira ordem
Iseo asymp12
(Imax minus Imin) [cos(∆φ0)minusD cos(Ωt) sen(∆φ0)] (412)
A componente do sinal electrooacuteptico eacute entatildeo dado por
Iseo =12
(Imax minus Imin)D cos(Ωt) sen(∆φ0) (413)
Ou seja
Iseo =12
(Imax minus Imin)πrn3
oVoλ
2lh
cos(Ωt) sen(∆φ0) (414)
O acircngulo ∆φ0 varia linearmente com o tempo (t) a uma frequecircncia inferior
a Ω A franja de interferecircncia desloca-se continuamente em frente ao detector
devido a um dos espelho estar fixado num disco piezoeleacutectrico
37
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Na figura 415 pode-se ver uma exemplificaccedilatildeo do sinal no detector que incor-
pora o sinal da franja e electrooacuteptico dada pela equaccedilatildeo 414
Figura 415 Ilustraccedilatildeo do sinal de modulaccedilatildeo electrooacuteptica de um feixe de luzmedido num interferoacutemetro de Michelson
Uma vez que o sinal electrooacuteptico (cos(Ωt)) estaacute desfasado π2 do sinal da
franja ( sen(∆φ0)) A intensidade do sinal electrooacuteptico pode ser escrita como
Iseo asymp12
(Imax minus Imin)πrn3
oVoλ
2lh
∣∣∣ sen(∆φ0)∣∣∣ (415)
Assim a amplitude do sinal electrooacuteptico eacute
Iseo =12
(Imax minus Imin)πrn3
oVoλ
2lh
(416)
Pelo que o coeficiente electrooacuteptico linear seraacute dado por
r =|Iseo|
|Imax minus Imin|λ
πn3oVo
hl
(417)
38
46 RESULTADOS
Para o efeito electrooacuteptico quadraacutetico utilizando o procedimento anoacutelogo mas
a partir da equaccedilatildeo 248 em vez da equaccedilatildeo 247 O sinal electrooacuteptico quadraacutetico
Iseoq que ocorre ao dobro da frequecircncia de modulaccedilatildeo 2Ω eacute dado por
s =
∣∣∣Iseoq∣∣∣|Imax minus Imin|
2λ
πn3oV
2o
h2
l(418)
46 Resultados
Com o cristal de KDP devidamente alinhado no interferoacutemetro segundo o seu
eixo oacuteptico de maneira a se medir o coeficiente r63 Obtendo-se assim dois sinais
o sinal de franja e o sinal electrooacuteptico (Fig 416)
Figura 416 Padratildeo da franja produzida (a) e respectivos sinais de franja e elec-trooacuteptico obtidos para um cristal KDP padratildeo
De forma a se proceder a calibraccedilatildeo do sistema utilizou-se a equaccedilatildeo 417 na
forma
|Iseo||Imax minus Imin|
=πn3
o
λlhrVo (419)
39
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Usando o valor da razatildeo |Iseo ||ImaxminusImin|
em funccedilatildeo do potencial aplicado Vo pode-se
calcular o valor do coeficiente electrooacuteptico r atraveacutes do declive da recta obtida
Pode-se ver na figura 417 uma das rectas obtidas para o cristal utilizado na
calibraccedilatildeo do sistema
Figura 417 Razatildeo entre o sinal electrooacuteptico e a diferenccedila de intensidade defranjas em funccedilatildeo do potencial Vo aplicado ao cristal
A tabela 44 apresenta o valor do coeficiente electrooacuteptico obtido e respectiva
incerteza para o cristal de KDP tomando em conta os valores dos iacutendices de
refraccedilatildeo da tabela 43
Tabela 44 Valores e respectivas incertezas obtidas do coeficiente electrooacutepticopara o cristal KDP utilizado
Material Valor Padratildeo Valor Obtido Erro
KDPr63 = 106pmV r63 = 105plusmn 02pmV 1
(λ = 6328nm)
Como se pode ver na tabela 44 o resultado obtido situa-se muito proacuteximo
do teoacuterico encontrando-se dentro da incerteza obtida Os valores valores meacutedios
apresentam um desvio da ordem dos 02pmV
40
46 RESULTADOS
Apesar dos valores obtidos serem bastante positivos houve algumas dificul-
dades nomeadamente o vidro FTO que causou que o alinhamento fosse extrema-
mente complicado natildeo soacute pela sua espessura e dimensionamento como tambeacutem
pela refraccedilatildeo provocada no feixe laser Outro grande obstaacuteculo foi o alinhamento
do cristal uma vez que basta um ligeiro desvio no caminho oacuteptico para causar um
desalinhamento total algo que eacute agravado no interferoacutemetro do tipo Michelson
pelo facto de o feixe laser passar na amostra duas vezes
Apesar destas dificuldades o valor obtido para o coeficiente electrooacuteptico r63
foi de 105pmV valor esse muito proacuteximo do valor padratildeo da literatura que se
encontra nos 106pmV Assim pode-se considerar que o sistema desenvolvido
se encontra devidamente calibrado e pronto para futuras utilizaccedilotildees
41
Capiacutetulo
5Conclusotildees
O trabalho desenvolvido no decorrer desta dissertaccedilatildeo consistiu no desenvolvi-
mento de um sistema para a mediccedilatildeo do efeito electrooacuteptico aacuterea a ser ulilizada
na caracterizaccedilatildeo de novos materiais polimeacutericos para aplicaccedilatildeo em dispositivos
fotoacutenicos
Nesta conformidade foi desenhada construiacuteda e testado uma bancada oacuteptica
destinada agrave mediccedilatildeo do efeito electrooacuteptico baseado numa teacutecnica interferomeacute-
trica de mediccedilatildeo da diferenccedila de fase implementado atraveacutes de um interferoacutemetro
do tipo Michelson
O cristal escolhido para a calibraccedilatildeo do sistema desenvolvido foi um cristal de
KDP comercial tendo sido utilizado o coeficiente electrooacuteptico r63 como referecircn-
cia sendo o valor padratildeo de 106pmV
O sistema obtido permitiu medir um valor nominal de 105plusmn 02pmV com
um erro de aproximadamente 1 em relaccedilatildeo ao valor tabelado comprovando a
afericcedilatildeo do sistema para a mediccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico por transmissatildeo
O sistema desenvolvido estaacute portanto apto para futuras mediccedilotildees sendo ape-
nas necessaacuterio algumas alteraccedilotildees no porta-amostras mediante as dimensotildees e
forma da amostra a utilizar
Chegou-se ainda agrave conclusatildeo que para amostras como o cristal utilizado o
feixe laser passar duas vezes na amostra acaba por ser uma grande desvantagem
desvantagem essa inexistente para filmes polimeacutericos que ganham cada vez mais
importacircncia na aacuterea da fotoacutenica uma vez que satildeo materiais de grande interesse
cientiacutefico e tecnoloacutegico jaacute que podem ser utilizados no desenvolvimento de dispo-
sitivos oacutepticos nomeadamente moduladores de luz e memoacuterias oacutepticas
43
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46
Apecircndice
AApecircndice
A1 Desenhos Teacutecnicos
47
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- Lista de Figuras
- Lista de Tabelas
- Introduccedilatildeo
- Efeito Electrooacuteptico
-
- Oacuteptica Natildeo-Linear
- Propagaccedilatildeo em Meios Anisotroacutepicos
-
- Vector de Poynting
- Elipsoiacutede dos Iacutendices
- Coeficientes Natildeo-Lineares
-
- Mediccedilatildeo do Efeito Electrooacuteptico
-
- Meacutetodo Tradicional
- Meacutetodos por Interferometria
-
- Interferometria Oacuteptica
- Interferoacutemetro de Mach-Zehnder
- Interferoacutemetro de Michelson
-
- Sistema Implementado
-
- Interferoacutemetro
- Electroacutenica Desenvolvida
-
- Amplificador
- Gerador de Rampa
- Seguidor de Tensatildeo
-
- Sistema Oacuteptico Desenvolvido
-
- Espelho Vibrante
- Bancada Oacuteptica
- Detector
- Cristal Electrooacuteptico
- Porta Amostras
-
- Coeficiente Electrooacuteptico
- Execuccedilatildeo Experimental
- Resultados
-
- Conclusotildees
- Bibliografia
- Apecircndice
-
- Desenhos Teacutecnicos
-
CAPIacuteTULO 2 EFEITO ELECTROOacutePTICO
Obtendo-se desta maneira a equaccedilatildeo de onda para o campo eleacutectrico Analo-
gamente mas comeccedilando com a equaccedilatildeo 22d obteacutem-se para o campo magneacutetico
nabla2~B = microεpart2~B
partt2(28)
A sua velocidade de propagaccedilatildeo eacute dada por
v =1radicmicroε
(29)
Sendo que no vazio micro = micro0 e ε = ε0 o que resulta em v = c 3times 108ms
Resolvendo as equaccedilotildees 27 e 28 obtecircm-se as expressotildees para os campos eleacutec-
tricos e magneacuteticos que se propagam no meio
~E (~r t) = ~E0ei(~kmiddot~rminuswt
)(210)
e
~B (~r t) = ~B0ei(~kmiddot~rminuswt
)(211)
Onde ~r eacute o vector posiccedilatildeo ~k eacute o vector de onda que segue a direccedilatildeo de pro-
pagaccedilatildeo da onda w a frequecircncia angular e t o tempo Sendo que a parte real das
equaccedilotildees representa os seus respectivos campos A magnitude do vector ~k pode
ser escrita da seguinte maneira
k =2πλ
=wv
=wnc
(212)
Em que k eacute o nuacutemero de onda λ o comprimento de onda e n o iacutendice de
refraccedilatildeo
Escrevendo a parte real das equaccedilotildees 210 e 211 fica-se com
E = E0 cos(kr minuswt) (213)
e
B = B0 cos(kr minuswt) (214)
Manipulando a equaccedilatildeo 22c obtem-se
partEpartx
= minuspartBpartt
(215)
6
22 PROPAGACcedilAtildeO EM MEIOS ANISOTROacutePICOS
Utilizando a equaccedilatildeo 215 nas equaccedilotildees 213 e 213
kE0 = wB0 (216)
Usando a equaccedilatildeo 212 na equaccedilatildeo 216 verifica-se que
B0 =E0
v(217)
221 Vector de Poynting
O fluxo de energia (Wm2) dado pelo vector de Poynting2 (~S) pode ser escrito da
seguinte forma
~S =1micro~E times ~B (218)
A densidade de energia eleacutectrica ou a energia eleacutectrica armazenada por uni-
dade de volume (joulem3) a quantidade de energia contida num dado sistema
em relaccedilatildeo ao seu volume seraacute dada por
uE =12εE2 (219)
Agrave semelhanccedila da densidade de energia eleacutectrica a densidade de energia mag-
neacutetica (uB) eacute
uB =1
2microB2 (220)
Assim somando as equaccedilotildees 219 e 220 obtem-se a densidade de energia
total de uma onda electromagneacutetica
u =12εE2 +
12microB2 (221)
2John Henry Poynting foi um fiacutesico britacircnico autor de diversos trabalhos entre os quais um te-orema no qual se atribui um valor agrave taxa de fluxo de energia electromagneacutetica que ficou conhecidocomo vector de Poynting
7
CAPIacuteTULO 2 EFEITO ELECTROOacutePTICO
Substituindo as equaccedilotildees 29 e 217 na equaccedilatildeo 221 pode-se escrever a densi-
dade de energia total de uma onda electromagneacutetica num dado meio da seguinte
forma
u = εE2 (222)
Relacionando-se desta forma a densidade de energia com o campo eleacutectrico
De salientar que o campo magneacutetico e o campo eleacutectrico estatildeo relacionados atra-
veacutes da equaccedilatildeo 217
Considerando uma secccedilatildeo de aacuterea A (Fig 21) de um cubo com ∆x de lado
Figura 21 Cubo com secccedilatildeo de aacuterea A e ∆x de lado
A energia armazenada no cubo ou densidade de energia eacute igual a
∆U = uA∆x (223)
Sendo que a energia que atravessa a aacuterea A por unidade de tempo eacute
∆U∆t
=uA∆x∆xv
= uAv (224)
Assim a energia por unidade de tempo e aacuterea (Wm2) eacute igual a
uv = S (225)
Combinando a equaccedilatildeo 225 com a equaccedilatildeo 222 pode-se escrever a magnitude
do vector de Poynting da seguinte forma
S = εvE2 (226)
8
22 PROPAGACcedilAtildeO EM MEIOS ANISOTROacutePICOS
Substituindo a equaccedilatildeo 213 na equaccedilatildeo 225 a magnitude do vector de Poyn-
ting assume a seguinte forma
S = εvE20 cos2 (wt) (227)
Se na equaccedilatildeo 227 se fizer uma meacutedia no tempo obteacutem-se
〈S〉 = εvE20
langcos2 (wt)
rang(228)
Sendo quelangcos2 (wt)
rang= 1
2 tem-se que
I = 〈S〉 =12εvE2
0 =c
2nεE2
0 (229)
Sendo I a intensidade ou seja a potecircncia meacutedia por unidade de aacuterea que a
onda electromagneacutetica transporta
222 Elipsoiacutede dos Iacutendices
Nos meios anisotroacutepicos o iacutendice de refraccedilatildeo linear depende da direccedilatildeo da propa-
gaccedilatildeo da luz e do seu estado de polarizaccedilatildeo A resposta de um meio anisotroacutepico
eacute normalmente obtida atraveacutes do conceito de elipsoiacutede de iacutendices[5 6 7] que
a seguir seraacute descrita Ao se aplicar um campo eleacutectrico a um meio polarizaacutevel
este induz uma mudanccedila do estado de polarizaccedilatildeo descrito pelo deslocamento
eleacutectrico
~D = ε0~E + ~P (230)
Sendo
~P = ε0χ~E (231)
onde ε0 eacute a permissidade eleacutectrica no vazio ~P a polarizaccedilatildeo ~E o campo eleacutec-
trico ~D o deslocamento eleacutectrico e χ eacute o tensor das suscetibilidades Atraveacutes das
equaccedilotildees 230 e 231 tem-se que
~D = ε0~E(1 + χ) (232)
9
CAPIacuteTULO 2 EFEITO ELECTROOacutePTICO
Sendo que χ eacute dado por
χ =
χ11 χ12 χ13
χ21 χ22 χ23
χ31 χ32 χ33
(233)
Pelo teorema de eixos principais [7] seraacute possiacutevel escolher um sistema de co-
ordenadas onde apenas os elementos da diagonal principal sejam diferentes de
zero de tal forma que
χ =
χ11 0 0
0 χ22 0
0 0 χ33
(234)
Assim a equaccedilatildeo 231 pode ser escrita na forma no novo sistema de eixosP1
P2
P3
= ε0
χ11 0 0
0 χ22 0
0 0 χ33
E1
E2
E3
(235)
Da equaccedilatildeo 235 pode-se ainda retirar o seguinte
P1 = ε0χ11E1 D1 = ε11E1 ε11 = ε0 (1 +χ11)
P2 = ε0χ22E2 D2 = ε22E2 ε22 = ε0 (1 +χ22) (236)
P3 = ε0χ33E3 D3 = ε33E3 ε33 = ε0 (1 +χ33)
Combinando as equaccedilotildees 219 e 236 pode-se reescrever a densidade de energia
armazenada no campo eleacutectrico como
uE =12~E middot ~D (237)
Usando as expressotildees da equaccedilatildeo 236 para manipular a equaccedilatildeo 237 obtem-
se
D21
ε11+D2
2
ε22+D2
3
ε33= 2uE (238)
10
22 PROPAGACcedilAtildeO EM MEIOS ANISOTROacutePICOS
Substituiacutendo na equaccedilatildeo 238 D1 D2 e D3 pelos seus respectivos eixos em
coordenadas cartesianas tem-se que
x2
ε11ε0+
y2
ε22ε0+
z2
ε33ε0= 1 (239)
sendo x = D1radic2ε0UE
y = D2radic2ε0UE
e z = D3radic2ε0UE
Reescrevendo a equaccedilatildeo 239 fazendo n2x = ε11ε0 n2
y = ε22ε0 e n2z = ε33ε0
obteacutem-se forma a equaccedilatildeo do elipsoide de iacutendices
x2
n2x
+y2
n2y
+z2
n2z
= 1 (240)
Sendo nx ny e nz o iacutendice de refraccedilatildeo na sua respectiva direccedilatildeo como demons-
tra a figura 22
Figura 22 Ilustraccedilatildeo do elipsoiacutede de iacutendices (retirado de [7])
11
CAPIacuteTULO 2 EFEITO ELECTROOacutePTICO
223 Coeficientes Natildeo-Lineares
Quando eacute aplicado um campo eleacutectrico ao meio o elipsoiacutede de iacutendices pode
mudar a sua forma e orientaccedilatildeo no espaccedilo de tal forma que a equaccedilatildeo de elipsoide
de iacutendices passa a ser escrita de um modo geral como
( 1n2
)1x2 +
( 1n2
)2y2 +
( 1n2
)3z2 + 2
( 1n2
)4xy + 2
( 1n2
)5xz+ 2
( 1n2
)6yz = 1 (241)
Quando o campo eleacutectrico aplicado eacute nulo as equaccedilotildees 240 e 241 tecircm de ser
equivalentes pelo que para E = 0 tem-se
( 1n2
)1
=1
n2x( 1
n2
)2
=1
n2y( 1
n2
)3
=1
n2z( 1
n2
)4
=( 1n2
)5
=( 1n2
)6
= 0
(242)
Desta forma quando se aplica um campo eleacutectrico (E) verifica-se uma variaccedilatildeo
nos coeficientes(
1n2
)i Esta variaccedilatildeo induzida pelo efeito electrooacuteptico pode entatildeo
ser descrita atraveacutes de [8]
∆
( 1n2
)i
=3sumj=1
rijEj com i = 1 6 (243)
Sendo rij o coeficiente electrooacuteptico e E a magnitude do campo eleacutectrico apli-
cado
12
22 PROPAGACcedilAtildeO EM MEIOS ANISOTROacutePICOS
A equaccedilatildeo 243 tambeacutem pode ser escrita como
∆
( 1n2
)1
∆
( 1n2
)2
∆
( 1n2
)3
∆
( 1n2
)4
∆
( 1n2
)5
∆
( 1n2
)6
=
r11 r12 r13
r21 r22 r23
r31 r32 r33
r41 r42 r43
r51 r52 r53
r61 r62 r63
E1
E2
E3
(244)
Nesta conformidade o coeficiente electrooacuteptico pode ser escrito como
rij = minus 2
n3ij
[partnijpartEj
](245)
A diferenccedila de fase ∆φ resultante da variaccedilatildeo no iacutendice de refraccedilatildeo ∆n seraacute
∆φ =2πlλ
∆n (246)
Em que o l eacute o caminho percorrido pela luz de comprimento de onda λ no
meio Sendo a variaccedilatildeo no iacutendice de refraccedilatildeo devida aos efeitos electrooacutepticos
pode-se escrever
|∆n| =rno
3
2Voh
(247)
para o efeito electrooacuteptico linear e
|∆n| =sn3o
2
(Voh
)2(248)
para o efeito electrooacuteptico quadraacutetico
Onde os coefeciecircntes electrooacutepticos linear e quadraacutetico satildeo respectivamente
r e s Vo eacute o potencial eleacutectrico aplicado entre os eleacutetrodos que distam entre si a
uma distacircncia h criando assim o campo eleacutectrico aplicado
13
Capiacutetulo
3Mediccedilatildeo do Efeito Electrooacuteptico
Neste capiacutetulo satildeo apresentadas as teacutecnicas mais comuns utilizadas para a me-
diccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico destacando-se dois tipos de interferoacutemetros o
tradicional e os de interferometria de dois feixes
31 Meacutetodo Tradicional
Um dos meacutetodos mais usados para medir o efeito eletrooacuteptico foi o proposto por
Henry [9] em 1986 Esta teacutecnica ilustrada na Fig31 baseia-se na alteraccedilatildeo do
estado de polarizaccedilatildeo de um feixe linearmente polarizado quando este atravessa
o meio Esta alteraccedilatildeo ocorre devido agrave birrefrigecircncia induzida por um campo
eleacutetrico aplicado e agrave atividade oacuteptica do meio A montagem eacute composta por uma
fonte de luz (S) um monocromador (M) uma lente (L) um diafragma (D) dois
polarizadores (P1 e P2) um cristal (BSO) de espessura d ao qual eacute aplicado um
campo eleacutetrico (E) e um fotomultiplicador (FM) ligado a um sistema de aquisiccedilatildeo
de dados
O procedimento experimental em si consiste no seguinte para um dado estado
de polarizaccedilatildeo do feixe incidente imposto pelo P1 vai-se alterando a posiccedilatildeo
angular do P2 de forma a encontrar as intensidades maacutexima e miacutenima e desta
forma calcular-se a visibilidade (ν) atraveacutes de [9]
νθ =Imax minus IminImax + Imin
(31)
15
CAPIacuteTULO 3 MEDICcedilAtildeO DO EFEITO ELECTROOacutePTICO
Figura 31 Montagem experimental proposta por Henry e a sua equipa (adaptadode [9])
De seguida altera-se P1 para a posiccedilatildeo angular de 45 e repete-se o procedi-
mento anterior Somando o quadrado das duas visibilidades obtidas tem-se que
[9]
ν2θ + ν2
θ+45 = 1 +
1minus δ2
2
sen(φ2 )φ2
2
2
(32)
sendo
δ =2πλn3rEyd (33)
e
φ =radicδ2 + ρ2 (34)
Sendo δ a diferenccedila de fase originada pela birrefringecircncia λ o comprimento
de onda do feixe no vaacutecuo ρ a diferenccedila de fase associada agrave actividade oacuteptica n o
iacutendice de refraccedilatildeo sem campo eleacutetrico aplicado Ey o campo eleacutectrico aplicado e
d a espessura do cristal na direccedilatildeo do campo eleacutectrico aplicado Destas equaccedilotildees
pode-se calcular o coeficiente electrooacuteptico r
Para o caso de φ pequenos
sen(φ2 )φ2
2
1 pelo que
ν2θ + ν2
θ+45 1 +(1minus δ
2
2
)2
(35)
Natildeo sendo nesta situaccedilatildeo necessaacuteria a actividade oacuteptica ρ Esta teacutecnica apre-
senta um erro de mediccedilatildeo de 10 a 15 em relaccedilatildeo ao valor tabelado
16
32 MEacuteTODOS POR INTERFEROMETRIA
32 Meacutetodos por Interferometria
321 Interferometria Oacuteptica
Quando duas ondas de uma mesma frequecircncia se sobrepotildeem num dado ponto
formam uma nova onda cuja amplitude eacute o resultado da soma da amplitude das
duas ondas iniciais em cada instante nesse ponto Quando a soma da duas ondas
resulta numa amplitude maior diz-se que houve interferecircncia construtiva quando
resulta numa amplitude inferior diz-se que ocorreu interferecircncia destrutiva
Supondo que uma das ondas tem a forma E1ei(φ1minuswt) e a outra forma E2e
i(φ2minuswt)
sendo E1 e E2 as amplitudes dos respetivos campos eleacutetricos φ1 e φ2 as fases
iniciais w a frequecircncia angular e t o tempo a onda resultante seraacute descrita por
[10]
ET = E1ei(φ1minuswt) +E2e
i(φ2minuswt) (36)
Se φ1 minusφ2 = 2Nπ com N = 012 entatildeo as duas ondas estaratildeo em fase e daacute-
se uma interferecircncia construtiva perfeita Se φ1 minusφ2 = (2N + 1)π e E1 = E2 entatildeo
as duas ondas estaratildeo em oposiccedilatildeo de fase e daacute-se uma interferecircncia destrutiva
completa Estas situaccedilotildees extremas encontram-se ilustradas na figura 32
Figura 32 Ilustraccedilatildeo de uma interferecircncia construtiva perfeita (a) e destrutivacompleta (b)
Matematicamente a coerecircncia eacute uma medida da correlaccedilatildeo entre as ondas
Quanto mais construtiva for a interferecircncia maior seraacute a coerecircncia Fisicamente
a coerecircncia eacute uma medida do quatildeo constante a diferenccedila de fase permanece entre
17
CAPIacuteTULO 3 MEDICcedilAtildeO DO EFEITO ELECTROOacutePTICO
as duas ondas A coerecircncia eacute usualmente medida num padratildeo de franjas de in-
terferecircncia atraveacutes da visibilidade de franja (ν) que pode ser experimentalmente
calculada atraveacutes de [10]
ν =Imax minus IminImax + Imin
= 1 coerecircncia total e contraste maacuteximo
0 lt ν lt 1 coerecircncia parcial
= 0 incoerecircncia total e contraste natildeo haacute franjas
(37)
Pode-se ver na Fig33 um exemplo da equaccedilatildeo 37 que representa a visibi-
lidade das franjas em funccedilatildeo da diferenccedila de fase entre duas ondas da mesma
frequecircncia que interferem Como a visibilidade das franjas depende da coerecircncia
das duas ondas qualquer diferenccedila iraacute traduzir-se numa diminuiccedilatildeo de visibili-
dade
Figura 33 Visibilidade num interferoacutemetro em funccedilatildeo da diferenccedila de fase entreduas ondas provenientes de ramos diferentes do interferoacutemetro (adaptado de[11])
Pode-se usar a interferometria para quantificar os efeitos electrooacutepticos natildeo
soacute linear mas tambeacutem o quadraacutetico (efeito de Kerr) Os interferoacutemetros mais
frequentemente utilizados para este efeito satildeo os interferoacutemetro de Michelson1 e1Albert Abraham Michelson foi um fiacutesico americano conhecido pela invenccedilatildeo do interferoacuteme-
tro de Michelson (1891) do seu trabalho na mediccedilatildeo da velocidade da luz e pelo seu trabalho naexperiecircncia de Michelson-Morley Em 1907 tornou-se o primeiro americano a receber o PreacutemioNobel da Fiacutesica
18
32 MEacuteTODOS POR INTERFEROMETRIA
o interferoacutemetro de Mach-Zehnder2
De salientar que as teacutecnicas interferomeacutetricas apresentam uma elevada sensibi-
lidade simplificaccedilatildeo na preparaccedilatildeo das amostras a estudar e uma menor sensibili-
dade a vibraccedilotildees mecacircnicas e a flutuaccedilotildees teacutermicas desde que estas ocorram com
a mesma intensidade em ambos os ramos do mesmo tamanho do interferoacutemetro
322 Interferoacutemetro de Mach-Zehnder
No interferoacutemetro de Mach-Zehnder (Fig 34) um separador de feixe divide o
feixe proveniente da fonte em dois feixes que vatildeo constituir os dois ramos do
interferoacutemetro o feixe-amostra e o feixe-referecircncia Ambos satildeo refletidos por um
espelho e ambos atravessam um novo separador de feixe antes de se juntarem de
novo e serem medidos nos detetores
Figura 34 Esquema de um interferoacutemetro de Mach-Zehnder (adaptado de [12])
Com os ramos agrave mesma distacircncia pode ainda observar-se que sem amostra
ambos os feixes vatildeo chegar em fase aos detetores havendo desta forma uma inter-
ferecircncia construtiva Ambos apresentaratildeo uma mudanccedila de fase correspondente
a λ devido ao facto de ambos sofrerem duas reflexotildees e uma transmissatildeo numa
placa de vidro(separador de feixe) ateacute chegarem aos detetores2Ludwig Zehnder foi um fiacutesico suiacuteccedilo e o inventor do interferoacutemetro de Mach-Zehnder Inter-
feroacutemetro esse depois aperfeiccediloado por Ludwig Mach
19
CAPIacuteTULO 3 MEDICcedilAtildeO DO EFEITO ELECTROOacutePTICO
Alterando o caminho oacuteptico do espelho do feixe-referecircncia em λ4 sem amos-
tra o feixe-amostra e o feixe-referecircncia vatildeo chegar com uma diferenccedila de fase de
λ2 ou seja vai haver uma interferecircncia destrutiva completa Isto porque o feixe-
referecircncia vai ter uma mudanccedila de fase de λ2 devido a uma reflexatildeo e duas trans-
missotildees provocadas pelos separadores de feixe Enquanto que o feixe-amostra
chegaraacute aos detetores com uma diferenccedila de fase de λ devido a duas reflexotildees
mais uma reflexatildeo com transmissatildeo no segundo separador de feixe Assim na
ausecircncia de amostra e desde que a diferenccedila de caminho oacuteptico ou retardaccedilatildeo
(δ) seja zero os feixes iratildeo interferir construtivamente [13]
Com a amostra colocada no caminho do feixe-amostra os feixes vatildeo chegar ao
detetor em diferentes situaccedilotildees de fase sendo possiacutevel determinar a diferenccedila de
fase provocada pela presenccedila da amostra
A intensidade do feixe (I) em ambos os detetores eacute descrita por [14]
I(δ) =12I(k)cos(2Nkδ) (38)
Com k o nuacutemero de onda (k = 2πλ) E fazendo δ = d com d = vt resulta
I(δ) =12I(k)cos(2Nk(vt)) (39)
323 Interferoacutemetro de Michelson
No interferoacutemetro do tipo Michelson um feixe de luz eacute dividido em dois que
percorrem caminhos diferentes para de seguida se recombinarem Apoacutes terem
percorrido caminhos diferentes o feixe resultante da recombinaccedilatildeo pode apresen-
tar um padratildeo de interferecircncia que depende da diferenccedila de caminhos oacutepticos
entre os feixes e que pode ser medido num detetor
A forma mais simples de implementar um interferoacutemetro de Michelson con-
siste em dois espelhos colocados entre si num plano perpendicular em que um
deles se pode mover na direccedilatildeo perpendicular agrave sua superfiacutecie refletora conforme
ilustrado na Fig35
Esse espelho iraacute movimentar-se num espaccedilo definido a uma velocidade cons-
tante Entre o espelho fixo e o espelho moacutevel estaacute um separador de feixe que
divide o feixe incidente inicial em dois de igual intensidade Aqui o feixe eacute parci-
almente refletido para um espelho e parcialmente transmitido para o outro
20
32 MEacuteTODOS POR INTERFEROMETRIA
Figura 35 Esquema de funcionamento de um interferoacutemetro de Michelson cominterferecircncia construtiva (a) e destrutiva (b) (adaptado de [15])
Assumindo que o separador de feixe eacute ideal e com uma reflectacircncia e transmi-
tacircncia de 50 se o espelho moacutevel se encontrar estacionaacuterio pode determinar-se
a intensidade do feixe num dado ponto do detetor Se a diferenccedila do caminho
oacuteptico ou retardaccedilatildeo (δ) for zero ou seja os espelhos estatildeo igualmente espaccedilados
do separador de feixe estes vatildeo percorrer a mesma distacircncia e interferir construti-
vamente pelo que a intensidade do feixe final eacute a soma das intensidades dos dois
feixes Nestas condiccedilotildees toda a luz que sai da fonte chega ao detetor
No caso do espelho moacutevel se deslocar uma distacircncia de λ4 a retardaccedilatildeo total
seraacute de λ2 pelo que os feixes estaratildeo desfasadas de 180ordm (π) Nestas condiccedilotildees ter-
se-aacute interferecircncia destrutiva completa na recombinaccedilatildeo dos feixes dando origem
agrave extinccedilatildeo total
Voltando a deslocar o espelho moacutevel de mais λ4 a diferenccedila do caminho
oacuteptico seraacute igual a λ e os dois feixes voltam a estar em fase havendo novamente
uma sobreposiccedilatildeo construtiva dos feixes
Com o espelho moacutevel a deslocar-se a uma velocidade constante o sinal do de-
tetor iraacute variar com uma forma perioacutedica sendo que atinge o seu maacuteximo quando
a retardaccedilatildeo (δ) for um muacuteltiplo inteiro de λ δ =Nλ
A expressatildeo da intensidade do feixe (I) no detector para o caso do interferoacute-
metro de Michelson eacute semelhante agrave equaccedilatildeo 38 para o interferoacutemetro de Mach-
Zehnder sendo que neste caso δ = 2d com d = vt jaacute que o feixe atravessa a
amostra duas vezes Nestas condiccedilotildees ter-se-aacute
I(δ) =12I(k)cos(4Nk(vt)) (310)
21
CAPIacuteTULO 3 MEDICcedilAtildeO DO EFEITO ELECTROOacutePTICO
22
Capiacutetulo
4Sistema Implementado
Este capiacutetulo descreve o sistema implementado para a mediccedilatildeo do coeficiente
electrooacuteptico usando a teacutecnica de interferoacutemetria de Michelson bem como a cali-
braccedilatildeo do mesmo
41 Interferoacutemetro
O sistema escolhido para a mediccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico baseia-se na teacutec-
nica de interferometria de Michelson (ver secccedilatildeo 323) onde se mediu a diferenccedila
de fase entre os ramos do interferoacutemetro Esta teacutecnica foi escolhida pela elevada
sensibilidade agrave diferenccedila de fase gerada entre os ramos do interferoacutemetro facili-
dade de preparaccedilatildeo das amostras e por ser menos sensiacutevel a vibraccedilotildees mecacircnicas
e a flutuaccedilotildees teacutermicas desde que estas ocorram com a mesma intensidade em
ambos os ramos do interferoacutemetro Para aleacutem das vantagens mencionadas e espe-
cificamente em comparaccedilatildeo com o interferoacutemetro mais usado o interferoacutemetro
do tipo Mach-Zehnder o interferoacutemetro de Michelson tem uma maior facilidade
de alinhamento dos espelhos e usa apenas um separador de feixe
A figura 41 esquematiza o sistema baseado no interferoacutemetro de Michelson
desenvolvido para a mediccedilatildeo do coeficiente eletrooacuteptico
23
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Figura 41 Esquematizaccedilatildeo do interferoacutemetro de Michelson e instrumentaccedilatildeoutilizada para a mediccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico em cristais
Como se pode ver no esquema da figura 41 o ramo do espelho vibrante fica
vazio enquanto que no ramo do espelho fixo se encontra a amostra entre dois
eleacutectrodos onde se aplicam um campo eleacutectrico E O sinal medido no detector
resulta da interferecircncia entre os feixes provenientes de cada ramo do interferoacute-
mentro dependendo da diferenccedila de fase entre os dois feixes Conforme referido
anteriormente a intensidade da luz (I) que chega ao detector eacute da ordem de [16]
I prop E21 +E2
2 + 2E1E2cos(∆φ) (41)
42 Electroacutenica Desenvolvida
421 Amplificador
Para o efeito electrooacuteptico se manisfestar eacute necessaacuterio aplicar-se uma tensatildeo eleacutec-
trica ao meio Uma vez que a tensatildeo de referecircncia fornecida pelo amplificador
lock-in utilizado eacute muito baixa para induzir efeito electrooacuteptico significativo por
volta dos 12V foi necessaacuterio construir um amplificador de tensatildeo (Fig 42)
24
42 ELECTROacuteNICA DESENVOLVIDA
Figura 42 Esquemaacutetico do amplificador de tensatildeo utilizado com base no ampli-ficador operacional LF356n
O amplificador construiacutedo conforme ilustra a figura 42 consiste numa mon-
tagem inversora de ganho variaacutevel com uma malha de controlo de offset e eacute
alimentado a plusmn12V
Assim o ganho G eacute determinado atraveacutes de
G = 1 +R2R1
(42)
Sendo R1 = 11kΩ R2 = 5kΩ R3 = 25kΩ e o amplificador em si utilizado foi
o LF356n
Obtendo-se desta forma um ganho de aproximadamente 55 Permitindo apli-
car uma tensatildeo de cerca de 66V ao cristal electrooacuteptico Uma vez que a tensatildeo
aplicada eacute baixa pode-se desprezar o efeito piezoeleacutectrico gerado na amostra e
que iria influenciar o valor do coeficiente electrooacuteptico medido
422 Gerador de Rampa
Para alimentar o excitador piezoeleacutectrico do espelho moacutevel foi utilizado um ge-
rador de sinais (Fig 43) de forma a induzir um deslocamento linear perioacutedico
na forma de rampa A frequecircncia de oscilaccedilatildeo cerca de 25Hz foi escolhida de
25
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
forma a ser suficientemente baixa para evitar fenoacutemenos de batimento com o sinal
de modulaccedilatildeo electrooacuteptico e suficientemente alta para que se consiga adquirir
dados em tempo uacutetil com uma tensatildeo variaacutevel entre os 4 e os 8V
Figura 43 Esquema eleacutectrico do gerador de rampa implementado baseado nocircuito temporizador NE555
Sendo R1 = 20kΩ R2 = 1kΩ e C1 = C2 = 47microF
O tempo de subida da rampa t1 eacute dado por
t1 = 0693(R1 +R2)C1 (43)
Enquanto que o tempo de descida t2 eacute
t2 = 0693R2C1 (44)
Obtendo assim um tempo de subida de 036s e um tempo de descida de 0033s
Assim a frequecircncia do gerador de rampa f seraacute dada por
f =1
t1 + t2=
144(R1 + 2R2)C1
(45)
O gerador de rampa foi construiacutedo aproveitando o espaccedilo livre no interior da
unidade de amplificaccedilatildeo onde se situa o amplificador
26
42 ELECTROacuteNICA DESENVOLVIDA
423 Seguidor de Tensatildeo
Devido agrave necessidade de acoplamento de impedacircncias entre o amplificador lock-
in e o osciloacutescopio natildeo foi possiacutevel a utilizaccedilatildeo de um repartidor coaxial que
repartisse o sinal proveniente do detector Assim de forma a se poder visuali-
zar o sinal proveniente do detector em simultacircneo com o sinal electrooacuteptico foi
necessaacuterio a construccedilatildeo de um seguidor de tensatildeo (Fig44)
Figura 44 Esquema do seguidor de tensatildeo utilizado construida com base nosamplifacores operacionais LF356n
Sendo que ambos os circuitos integrados foram alimentados por uma tensatildeo
positiva (V+) de 12V e uma negativa (Vminus) de minus12V Com R1 = R2 = 25kΩ Agrave
semelhanccedila do amplificador foi tambeacutem construida uma malha de controlo de
offset
Agrave semelhanccedila do gerador de rampa tambeacutem foi construido na unidade de
amplificaccedilatildeo e gerador de rampa como se pode ver na figura 45
27
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Figura 45 Imagem da unidade de amplificaccedilatildeo e geraccedilatildeo de rampa implemen-tada
43 Sistema Oacuteptico Desenvolvido
431 Espelho Vibrante
O espelho vibrante (Fig46) foi construiacutedo afixando um espelho a um disco pie-
zoeleacutectrico A vibraccedilatildeo do espelho iraacute fazer com que a distacircncia entre o divisor
de feixe e o espelho varie Fazendo deslocar a franja de interferecircncia em frente ao
detector permitindo a este medir as intensidades maacuteximas e miacutenimas das franjas
de interferecircncia (ver secccedilatildeo 323)
Figura 46 Imagem do espelho vibrante utilizado
28
43 SISTEMA OacutePTICO DESENVOLVIDO
432 Bancada Oacuteptica
De forma a colocar os componentes ao niacutevel do feixe do laser na mesa oacuteptica e a
tornar o sistema menos sensiacutevel a vibraccedilotildees mecacircnicas e flutuaccedilotildees teacutermicas os
componentes foram colocadas numa base quadrada de alumiacutenio
Figura 47 Imagem da bancada oacuteptica onde o interferoacutemetro de Michelson foiconstruiacutedo
Conforme se pode ver na figura 47 para completar o interferoacutemetro de Michel-
son para aleacutem dos componentes jaacute referidos foram ainda utilizados um separador
de feixe e um espelho (fixo) no suporte com uma lente oacuteptica agrave saiacuteda do mesmo
Faltando ainda o laser utilizado da Melles Griotreg que possui uma potecircncia de
635mW e um comprimento de onda de 6328nm
433 Detector
O detector utilizado foi um modelo 818-UVDB da Newport Corporationreg (Fig
48) de baixa potecircncia consistindo num fotodiacuteodo de siliacutecio capaz de operar entre
os 200 e os 1100nm As caracteriacutesticas principais deste detector encontram-se
listadas na tabela 433
29
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Tabela 41 Caracteriacutesticas principais do detector 818-UVDB [17]
Largura de Banda 200 a 1100(nm) Material Siliacutecio
Potecircncia
W λ(nm)
Incerteza de
λ(nm)
02 200 a 4008 200 a 219
Maacutexima Calibraccedilatildeo 2 220 a 349
005 400 a 11001 350 a 9494 950 a 1050
Densidade de02Wcm2 Aacuterea Activa 1cm2
Potecircncia Meacutedia
Energia Maacutexima05microJ
Diacircmetro113cm
de Pulso Activo
De forma a evitar que a luz ambiente interferisse nas medidas e para aumen-
tar a resoluccedilatildeo de mediccedilatildeo do perfil da franja de interferecircncia foi colocado um
diafragma com uma abertura no centro de 06mm conforme se pode ver na figura
48 reduzido desta maneira a aacuterea activa para 028 mm2
Figura 48 Imagem do detector e disco utilizado
Para a aquisiccedilatildeo do sinal electrooacuteptico e geraccedilatildeo de sinal electrooacuteptico de
referecircncia foi utilizado um osciloscoacutepio Lecroy Wavesufertrade422
30
43 SISTEMA OacutePTICO DESENVOLVIDO
434 Cristal Electrooacuteptico
Para a calibraccedilatildeo do sistema foi utilizado um cristal padratildeo de dihidrogenofosfato
de potaacutessio (KDP) Na tabela 42 pode-se observar algumas das propriedades
fiacutesicas desse cristal
Tabela 42 Propriedades fiacutesicas do cristal padratildeo KDP [18]
Material Simetria Densidade Classe Higroscopicidade
KDP Tetragonal (42m) 234gcm3 Uniaxial Higroscoacutepico
Uma vez que o cristal eacute uniaxial nx = ny = no e nz = ne sendo no e ne os
iacutendices de refraccedilatildeo ordinaacuterio e extraordinaacuterio do cristal KDP A figura 49 ilustra
o elipsoiacutede de iacutendices num cristal padratildeo KDP
Figura 49 Ilustraccedilatildeo de um cristal padratildeo KDP e seu respectivo elipsoiacutede deiacutendices
31
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Na Tabela 43 pode-se observar algumas das propriedades oacutepticas do cristal
padratildeo KDP
Tabela 43 Propriedades oacutepticas do cristal padratildeo KDP a 6328nm [7]
Material Foacutermula Quiacutemica Iacutendice de RefracccedilatildeoCoeficiente
Electrooacuteptico
KDPKH2PO4
no=15074 r41=86 pmV(λ = 6328nm) ne=14673 r63=106 pmV
Como se pode ver na tabela 42 o cristal do tipo KDP eacute higroscoacutepico sendo
assim necessaacuterio reduzir ao maacuteximo o contacto entre o cristal e a atmosfera para
evitar que as suas faces fiquem opacas interferindo assim na qualidade do feixe
transmitido
435 Porta Amostras
O porta amostras eacute constituiacutedo por uma base feita de latatildeo (Fig 410) onde se
coloca o cristal nivelado com o feixe laser Este suporte possui oito roscas para
parafusos M3 quatro em cima de forma a se fixar os encaixes laterais do porta
amostras e quatro em baixo de forma a afixar-se firmemente na bancada oacuteptica
Figura 410 Imagem da base do porta-amostras desenvolvido
32
43 SISTEMA OacutePTICO DESENVOLVIDO
De forma a aplicar-se a tensatildeo de excitaccedilatildeo ao cristal sem bloquear o feixe do
laser foram utilizadas duas placas de vidro com oacutexido de estanho dopado com
fluacuteor (FTO) Este permite que haja uma boa transparecircncia e conduccedilatildeo eleacutetrica
sendo usado em vaacuterios tipos de dispositivos como aplicaccedilotildees opto-eletroacutenicas
ecratildes touch screen filmes finos fotovoltaicos etc O oacutexido de estanho dopado
com fluacuteor [19] eacute reconhecido por ser altamente estaacutevel quimicamente inerte re-
siste a temperaturas elevadas e ao desgaste abrasivo sendo mais econoacutemico do
que o tradicional oacutexido de iacutendio e estanho (ITO)
De forma a garantir um bom contacto eleacutectrico entre o vidro FTO e o cristal
foram construidas duas peccedilas de afixaccedilatildeo idecircnticas (Fig 411) Trata-se de duas
peccedilas de alumiacutenio cada uma contendo uma abertura de forma a deixar passar
o feixe laser e dois rasgos para parafusos de forma a poder-se fixar no suporte e
desta maneira exercer uma pressatildeo constante sobre o cristal
Figura 411 Imagem das peccedilas de fixaccedilatildeo do cristal desenvolvidas com a vista defrente (a) e a vista de traacutes (b)
A ligaccedilatildeo eleacutectrica entre o sinal de referecircncia proveniente do amplificador ao
vidro FTO foi feita atraveacutes de uma cola condutora de prata de forma a assegurar
a ligaccedilatildeo oacutehmica entre o fio de cobre e a camada de FTO O cristal fica assim entre
duas placas de vidro FTO(Fig412)
33
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Figura 412 Imagem do porta Amostras desenvolvido
A figura 413 ilustra o sistema desenvolvido incluindo a bancada oacuteptica e
instrumentaccedilatildeo
Figura 413 Imagem do sistema desenvolvido para a mediccedilatildeo do efeito electrooacutep-tico
34
44 COEFICIENTE ELECTROOacutePTICO
44 Coeficiente Electrooacuteptico
Para o cristal utilizado o dihidrogenofosfato de potaacutessio (KDP) e para o efeito
electrooacuteptico linear a matriz de coeficientes electrooacutepticos eacute a seguinte
rij =
0 0 0
0 0 0
0 0 0
r41 0 0
0 r52 0
0 0 r63
com
i = 1 6
j = 123
Sendo que r41 = r52 pelo que existem apenas dois coeficientes independentes
o r41 e o r63
Usando a notaccedilatildeo condensada mencionada da secccedilatildeo 21 onde se aplica o
campo eleacutectrico (E) no plano do i (sendo i = m) enquanto que j eacute o eixo oacuteptico
Para o caso do KDP eacute costume utilizar o r63 Isto eacute aplicar o campo eleacutectrico nos
planos 12 ou 21 (ou seja i = 6) com o eixo oacuteptico no eixo 3 (j = 3) como demonstra
a figura 414
Figura 414 Ilustraccedilatildeo da configuraccedilatildeo utilizada para a mediccedilatildeo do coeficienter63 num cristal
35
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Para o caso do efeito electrooacuteptico quadraacutetico a matriz dos coeficientes elec-
trooacutepticos seraacute
sij =
s11 s12 s12 0 0 0
s12 s11 s12 0 0 0
s12 s12 s11 0 0 0
0 0 0 s11 minus s12 0 0
0 0 0 0 s11 minus s12 0
0 0 0 0 0 s11 minus s12
com i j = 1 6
45 Execuccedilatildeo Experimental
Para se medir o coeficiente electrooacuteptico aplica-se ao cristal uma tensatildeo com uma
frequecircncia de 2kHz frequecircncia essa que se revelou menos sensiacutevel aos ruiacutedos
ambientes sendo que o sinal electrooacuteptico teraacute a mesma frequecircncia Podendo-
se desta maneira atraveacutes de um amplificador de lock-in (modelo 393 da IthacoDynatrac) filtrar o sinal electrooacuteptico dos restantes sinais uma vez que a sua
frequecircncia eacute conhecida
A intensidade da equaccedilatildeo 41 eacute maacutexima quando cos(∆φ) = 1 e miacutenima quando
cos(∆φ) = minus1 Pelo que subtraindo estas duas equaccedilotildees
Imax minus Imin = 4E1E2 (46)
Assim combinando a equaccedilatildeo 41 com a equaccedilatildeo 46 obtem-se
I prop E21E
22 +
12
(Imax minus Imin)cos(∆φ) (47)
Juntando agora a equaccedilatildeo 246 agrave equaccedilatildeo 247 e tendo em conta que o feixe
passa duas vezes por cada ramo (=2l) a diferenccedila de fase para o efeito electrooacutep-
tico linear
∆φ = ∆φ0 +πrn3
oVoλ
2lh
cos(Ωt) (48)
Sendo ∆φ0 a diferenccedila de fase inicial sem o efeito electrooacuteptico
36
45 EXECUCcedilAtildeO EXPERIMENTAL
Substituindo o ∆φ da equaccedilatildeo 48 na equaccedilatildeo 47 a intensidade do sinal com
modulaccedilatildeo electrooacuteptica(Iseo) seraacute dado por
Iseo prop E21 +E2
2 +12
(Imax minus Imin)cos(∆φ0 +
πrn3oVoλ
2lh
cos(Ωt))
(49)
Usando cos(α plusmn β) = cos(α)cos(β)∓ sen(α) sen(β) e D = πrn3oVoλ
2lh fica-se com
Iseo prop E21 +E2
2+12
(Imax minus Imin)
[cos(∆φ0)cos(Dcos(Ωt)) minus sen(∆φ0) sen(D cos(Ωt))](410)
Como a modulaccedilatildeo electrooacuteptica eacute um efeito muito pequeno a equaccedilatildeo 410
pode-se escrever
Iseo asymp E21 +E2
2 +12
(Imax minus Imin) [cos(∆φ0)minusD cos(Ωt) sen(∆φ0)] (411)
Considerando soacute os termos de primeira ordem
Iseo asymp12
(Imax minus Imin) [cos(∆φ0)minusD cos(Ωt) sen(∆φ0)] (412)
A componente do sinal electrooacuteptico eacute entatildeo dado por
Iseo =12
(Imax minus Imin)D cos(Ωt) sen(∆φ0) (413)
Ou seja
Iseo =12
(Imax minus Imin)πrn3
oVoλ
2lh
cos(Ωt) sen(∆φ0) (414)
O acircngulo ∆φ0 varia linearmente com o tempo (t) a uma frequecircncia inferior
a Ω A franja de interferecircncia desloca-se continuamente em frente ao detector
devido a um dos espelho estar fixado num disco piezoeleacutectrico
37
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Na figura 415 pode-se ver uma exemplificaccedilatildeo do sinal no detector que incor-
pora o sinal da franja e electrooacuteptico dada pela equaccedilatildeo 414
Figura 415 Ilustraccedilatildeo do sinal de modulaccedilatildeo electrooacuteptica de um feixe de luzmedido num interferoacutemetro de Michelson
Uma vez que o sinal electrooacuteptico (cos(Ωt)) estaacute desfasado π2 do sinal da
franja ( sen(∆φ0)) A intensidade do sinal electrooacuteptico pode ser escrita como
Iseo asymp12
(Imax minus Imin)πrn3
oVoλ
2lh
∣∣∣ sen(∆φ0)∣∣∣ (415)
Assim a amplitude do sinal electrooacuteptico eacute
Iseo =12
(Imax minus Imin)πrn3
oVoλ
2lh
(416)
Pelo que o coeficiente electrooacuteptico linear seraacute dado por
r =|Iseo|
|Imax minus Imin|λ
πn3oVo
hl
(417)
38
46 RESULTADOS
Para o efeito electrooacuteptico quadraacutetico utilizando o procedimento anoacutelogo mas
a partir da equaccedilatildeo 248 em vez da equaccedilatildeo 247 O sinal electrooacuteptico quadraacutetico
Iseoq que ocorre ao dobro da frequecircncia de modulaccedilatildeo 2Ω eacute dado por
s =
∣∣∣Iseoq∣∣∣|Imax minus Imin|
2λ
πn3oV
2o
h2
l(418)
46 Resultados
Com o cristal de KDP devidamente alinhado no interferoacutemetro segundo o seu
eixo oacuteptico de maneira a se medir o coeficiente r63 Obtendo-se assim dois sinais
o sinal de franja e o sinal electrooacuteptico (Fig 416)
Figura 416 Padratildeo da franja produzida (a) e respectivos sinais de franja e elec-trooacuteptico obtidos para um cristal KDP padratildeo
De forma a se proceder a calibraccedilatildeo do sistema utilizou-se a equaccedilatildeo 417 na
forma
|Iseo||Imax minus Imin|
=πn3
o
λlhrVo (419)
39
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Usando o valor da razatildeo |Iseo ||ImaxminusImin|
em funccedilatildeo do potencial aplicado Vo pode-se
calcular o valor do coeficiente electrooacuteptico r atraveacutes do declive da recta obtida
Pode-se ver na figura 417 uma das rectas obtidas para o cristal utilizado na
calibraccedilatildeo do sistema
Figura 417 Razatildeo entre o sinal electrooacuteptico e a diferenccedila de intensidade defranjas em funccedilatildeo do potencial Vo aplicado ao cristal
A tabela 44 apresenta o valor do coeficiente electrooacuteptico obtido e respectiva
incerteza para o cristal de KDP tomando em conta os valores dos iacutendices de
refraccedilatildeo da tabela 43
Tabela 44 Valores e respectivas incertezas obtidas do coeficiente electrooacutepticopara o cristal KDP utilizado
Material Valor Padratildeo Valor Obtido Erro
KDPr63 = 106pmV r63 = 105plusmn 02pmV 1
(λ = 6328nm)
Como se pode ver na tabela 44 o resultado obtido situa-se muito proacuteximo
do teoacuterico encontrando-se dentro da incerteza obtida Os valores valores meacutedios
apresentam um desvio da ordem dos 02pmV
40
46 RESULTADOS
Apesar dos valores obtidos serem bastante positivos houve algumas dificul-
dades nomeadamente o vidro FTO que causou que o alinhamento fosse extrema-
mente complicado natildeo soacute pela sua espessura e dimensionamento como tambeacutem
pela refraccedilatildeo provocada no feixe laser Outro grande obstaacuteculo foi o alinhamento
do cristal uma vez que basta um ligeiro desvio no caminho oacuteptico para causar um
desalinhamento total algo que eacute agravado no interferoacutemetro do tipo Michelson
pelo facto de o feixe laser passar na amostra duas vezes
Apesar destas dificuldades o valor obtido para o coeficiente electrooacuteptico r63
foi de 105pmV valor esse muito proacuteximo do valor padratildeo da literatura que se
encontra nos 106pmV Assim pode-se considerar que o sistema desenvolvido
se encontra devidamente calibrado e pronto para futuras utilizaccedilotildees
41
Capiacutetulo
5Conclusotildees
O trabalho desenvolvido no decorrer desta dissertaccedilatildeo consistiu no desenvolvi-
mento de um sistema para a mediccedilatildeo do efeito electrooacuteptico aacuterea a ser ulilizada
na caracterizaccedilatildeo de novos materiais polimeacutericos para aplicaccedilatildeo em dispositivos
fotoacutenicos
Nesta conformidade foi desenhada construiacuteda e testado uma bancada oacuteptica
destinada agrave mediccedilatildeo do efeito electrooacuteptico baseado numa teacutecnica interferomeacute-
trica de mediccedilatildeo da diferenccedila de fase implementado atraveacutes de um interferoacutemetro
do tipo Michelson
O cristal escolhido para a calibraccedilatildeo do sistema desenvolvido foi um cristal de
KDP comercial tendo sido utilizado o coeficiente electrooacuteptico r63 como referecircn-
cia sendo o valor padratildeo de 106pmV
O sistema obtido permitiu medir um valor nominal de 105plusmn 02pmV com
um erro de aproximadamente 1 em relaccedilatildeo ao valor tabelado comprovando a
afericcedilatildeo do sistema para a mediccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico por transmissatildeo
O sistema desenvolvido estaacute portanto apto para futuras mediccedilotildees sendo ape-
nas necessaacuterio algumas alteraccedilotildees no porta-amostras mediante as dimensotildees e
forma da amostra a utilizar
Chegou-se ainda agrave conclusatildeo que para amostras como o cristal utilizado o
feixe laser passar duas vezes na amostra acaba por ser uma grande desvantagem
desvantagem essa inexistente para filmes polimeacutericos que ganham cada vez mais
importacircncia na aacuterea da fotoacutenica uma vez que satildeo materiais de grande interesse
cientiacutefico e tecnoloacutegico jaacute que podem ser utilizados no desenvolvimento de dispo-
sitivos oacutepticos nomeadamente moduladores de luz e memoacuterias oacutepticas
43
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46
Apecircndice
AApecircndice
A1 Desenhos Teacutecnicos
47
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311
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311
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- Lista de Figuras
- Lista de Tabelas
- Introduccedilatildeo
- Efeito Electrooacuteptico
-
- Oacuteptica Natildeo-Linear
- Propagaccedilatildeo em Meios Anisotroacutepicos
-
- Vector de Poynting
- Elipsoiacutede dos Iacutendices
- Coeficientes Natildeo-Lineares
-
- Mediccedilatildeo do Efeito Electrooacuteptico
-
- Meacutetodo Tradicional
- Meacutetodos por Interferometria
-
- Interferometria Oacuteptica
- Interferoacutemetro de Mach-Zehnder
- Interferoacutemetro de Michelson
-
- Sistema Implementado
-
- Interferoacutemetro
- Electroacutenica Desenvolvida
-
- Amplificador
- Gerador de Rampa
- Seguidor de Tensatildeo
-
- Sistema Oacuteptico Desenvolvido
-
- Espelho Vibrante
- Bancada Oacuteptica
- Detector
- Cristal Electrooacuteptico
- Porta Amostras
-
- Coeficiente Electrooacuteptico
- Execuccedilatildeo Experimental
- Resultados
-
- Conclusotildees
- Bibliografia
- Apecircndice
-
- Desenhos Teacutecnicos
-
22 PROPAGACcedilAtildeO EM MEIOS ANISOTROacutePICOS
Utilizando a equaccedilatildeo 215 nas equaccedilotildees 213 e 213
kE0 = wB0 (216)
Usando a equaccedilatildeo 212 na equaccedilatildeo 216 verifica-se que
B0 =E0
v(217)
221 Vector de Poynting
O fluxo de energia (Wm2) dado pelo vector de Poynting2 (~S) pode ser escrito da
seguinte forma
~S =1micro~E times ~B (218)
A densidade de energia eleacutectrica ou a energia eleacutectrica armazenada por uni-
dade de volume (joulem3) a quantidade de energia contida num dado sistema
em relaccedilatildeo ao seu volume seraacute dada por
uE =12εE2 (219)
Agrave semelhanccedila da densidade de energia eleacutectrica a densidade de energia mag-
neacutetica (uB) eacute
uB =1
2microB2 (220)
Assim somando as equaccedilotildees 219 e 220 obtem-se a densidade de energia
total de uma onda electromagneacutetica
u =12εE2 +
12microB2 (221)
2John Henry Poynting foi um fiacutesico britacircnico autor de diversos trabalhos entre os quais um te-orema no qual se atribui um valor agrave taxa de fluxo de energia electromagneacutetica que ficou conhecidocomo vector de Poynting
7
CAPIacuteTULO 2 EFEITO ELECTROOacutePTICO
Substituindo as equaccedilotildees 29 e 217 na equaccedilatildeo 221 pode-se escrever a densi-
dade de energia total de uma onda electromagneacutetica num dado meio da seguinte
forma
u = εE2 (222)
Relacionando-se desta forma a densidade de energia com o campo eleacutectrico
De salientar que o campo magneacutetico e o campo eleacutectrico estatildeo relacionados atra-
veacutes da equaccedilatildeo 217
Considerando uma secccedilatildeo de aacuterea A (Fig 21) de um cubo com ∆x de lado
Figura 21 Cubo com secccedilatildeo de aacuterea A e ∆x de lado
A energia armazenada no cubo ou densidade de energia eacute igual a
∆U = uA∆x (223)
Sendo que a energia que atravessa a aacuterea A por unidade de tempo eacute
∆U∆t
=uA∆x∆xv
= uAv (224)
Assim a energia por unidade de tempo e aacuterea (Wm2) eacute igual a
uv = S (225)
Combinando a equaccedilatildeo 225 com a equaccedilatildeo 222 pode-se escrever a magnitude
do vector de Poynting da seguinte forma
S = εvE2 (226)
8
22 PROPAGACcedilAtildeO EM MEIOS ANISOTROacutePICOS
Substituindo a equaccedilatildeo 213 na equaccedilatildeo 225 a magnitude do vector de Poyn-
ting assume a seguinte forma
S = εvE20 cos2 (wt) (227)
Se na equaccedilatildeo 227 se fizer uma meacutedia no tempo obteacutem-se
〈S〉 = εvE20
langcos2 (wt)
rang(228)
Sendo quelangcos2 (wt)
rang= 1
2 tem-se que
I = 〈S〉 =12εvE2
0 =c
2nεE2
0 (229)
Sendo I a intensidade ou seja a potecircncia meacutedia por unidade de aacuterea que a
onda electromagneacutetica transporta
222 Elipsoiacutede dos Iacutendices
Nos meios anisotroacutepicos o iacutendice de refraccedilatildeo linear depende da direccedilatildeo da propa-
gaccedilatildeo da luz e do seu estado de polarizaccedilatildeo A resposta de um meio anisotroacutepico
eacute normalmente obtida atraveacutes do conceito de elipsoiacutede de iacutendices[5 6 7] que
a seguir seraacute descrita Ao se aplicar um campo eleacutectrico a um meio polarizaacutevel
este induz uma mudanccedila do estado de polarizaccedilatildeo descrito pelo deslocamento
eleacutectrico
~D = ε0~E + ~P (230)
Sendo
~P = ε0χ~E (231)
onde ε0 eacute a permissidade eleacutectrica no vazio ~P a polarizaccedilatildeo ~E o campo eleacutec-
trico ~D o deslocamento eleacutectrico e χ eacute o tensor das suscetibilidades Atraveacutes das
equaccedilotildees 230 e 231 tem-se que
~D = ε0~E(1 + χ) (232)
9
CAPIacuteTULO 2 EFEITO ELECTROOacutePTICO
Sendo que χ eacute dado por
χ =
χ11 χ12 χ13
χ21 χ22 χ23
χ31 χ32 χ33
(233)
Pelo teorema de eixos principais [7] seraacute possiacutevel escolher um sistema de co-
ordenadas onde apenas os elementos da diagonal principal sejam diferentes de
zero de tal forma que
χ =
χ11 0 0
0 χ22 0
0 0 χ33
(234)
Assim a equaccedilatildeo 231 pode ser escrita na forma no novo sistema de eixosP1
P2
P3
= ε0
χ11 0 0
0 χ22 0
0 0 χ33
E1
E2
E3
(235)
Da equaccedilatildeo 235 pode-se ainda retirar o seguinte
P1 = ε0χ11E1 D1 = ε11E1 ε11 = ε0 (1 +χ11)
P2 = ε0χ22E2 D2 = ε22E2 ε22 = ε0 (1 +χ22) (236)
P3 = ε0χ33E3 D3 = ε33E3 ε33 = ε0 (1 +χ33)
Combinando as equaccedilotildees 219 e 236 pode-se reescrever a densidade de energia
armazenada no campo eleacutectrico como
uE =12~E middot ~D (237)
Usando as expressotildees da equaccedilatildeo 236 para manipular a equaccedilatildeo 237 obtem-
se
D21
ε11+D2
2
ε22+D2
3
ε33= 2uE (238)
10
22 PROPAGACcedilAtildeO EM MEIOS ANISOTROacutePICOS
Substituiacutendo na equaccedilatildeo 238 D1 D2 e D3 pelos seus respectivos eixos em
coordenadas cartesianas tem-se que
x2
ε11ε0+
y2
ε22ε0+
z2
ε33ε0= 1 (239)
sendo x = D1radic2ε0UE
y = D2radic2ε0UE
e z = D3radic2ε0UE
Reescrevendo a equaccedilatildeo 239 fazendo n2x = ε11ε0 n2
y = ε22ε0 e n2z = ε33ε0
obteacutem-se forma a equaccedilatildeo do elipsoide de iacutendices
x2
n2x
+y2
n2y
+z2
n2z
= 1 (240)
Sendo nx ny e nz o iacutendice de refraccedilatildeo na sua respectiva direccedilatildeo como demons-
tra a figura 22
Figura 22 Ilustraccedilatildeo do elipsoiacutede de iacutendices (retirado de [7])
11
CAPIacuteTULO 2 EFEITO ELECTROOacutePTICO
223 Coeficientes Natildeo-Lineares
Quando eacute aplicado um campo eleacutectrico ao meio o elipsoiacutede de iacutendices pode
mudar a sua forma e orientaccedilatildeo no espaccedilo de tal forma que a equaccedilatildeo de elipsoide
de iacutendices passa a ser escrita de um modo geral como
( 1n2
)1x2 +
( 1n2
)2y2 +
( 1n2
)3z2 + 2
( 1n2
)4xy + 2
( 1n2
)5xz+ 2
( 1n2
)6yz = 1 (241)
Quando o campo eleacutectrico aplicado eacute nulo as equaccedilotildees 240 e 241 tecircm de ser
equivalentes pelo que para E = 0 tem-se
( 1n2
)1
=1
n2x( 1
n2
)2
=1
n2y( 1
n2
)3
=1
n2z( 1
n2
)4
=( 1n2
)5
=( 1n2
)6
= 0
(242)
Desta forma quando se aplica um campo eleacutectrico (E) verifica-se uma variaccedilatildeo
nos coeficientes(
1n2
)i Esta variaccedilatildeo induzida pelo efeito electrooacuteptico pode entatildeo
ser descrita atraveacutes de [8]
∆
( 1n2
)i
=3sumj=1
rijEj com i = 1 6 (243)
Sendo rij o coeficiente electrooacuteptico e E a magnitude do campo eleacutectrico apli-
cado
12
22 PROPAGACcedilAtildeO EM MEIOS ANISOTROacutePICOS
A equaccedilatildeo 243 tambeacutem pode ser escrita como
∆
( 1n2
)1
∆
( 1n2
)2
∆
( 1n2
)3
∆
( 1n2
)4
∆
( 1n2
)5
∆
( 1n2
)6
=
r11 r12 r13
r21 r22 r23
r31 r32 r33
r41 r42 r43
r51 r52 r53
r61 r62 r63
E1
E2
E3
(244)
Nesta conformidade o coeficiente electrooacuteptico pode ser escrito como
rij = minus 2
n3ij
[partnijpartEj
](245)
A diferenccedila de fase ∆φ resultante da variaccedilatildeo no iacutendice de refraccedilatildeo ∆n seraacute
∆φ =2πlλ
∆n (246)
Em que o l eacute o caminho percorrido pela luz de comprimento de onda λ no
meio Sendo a variaccedilatildeo no iacutendice de refraccedilatildeo devida aos efeitos electrooacutepticos
pode-se escrever
|∆n| =rno
3
2Voh
(247)
para o efeito electrooacuteptico linear e
|∆n| =sn3o
2
(Voh
)2(248)
para o efeito electrooacuteptico quadraacutetico
Onde os coefeciecircntes electrooacutepticos linear e quadraacutetico satildeo respectivamente
r e s Vo eacute o potencial eleacutectrico aplicado entre os eleacutetrodos que distam entre si a
uma distacircncia h criando assim o campo eleacutectrico aplicado
13
Capiacutetulo
3Mediccedilatildeo do Efeito Electrooacuteptico
Neste capiacutetulo satildeo apresentadas as teacutecnicas mais comuns utilizadas para a me-
diccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico destacando-se dois tipos de interferoacutemetros o
tradicional e os de interferometria de dois feixes
31 Meacutetodo Tradicional
Um dos meacutetodos mais usados para medir o efeito eletrooacuteptico foi o proposto por
Henry [9] em 1986 Esta teacutecnica ilustrada na Fig31 baseia-se na alteraccedilatildeo do
estado de polarizaccedilatildeo de um feixe linearmente polarizado quando este atravessa
o meio Esta alteraccedilatildeo ocorre devido agrave birrefrigecircncia induzida por um campo
eleacutetrico aplicado e agrave atividade oacuteptica do meio A montagem eacute composta por uma
fonte de luz (S) um monocromador (M) uma lente (L) um diafragma (D) dois
polarizadores (P1 e P2) um cristal (BSO) de espessura d ao qual eacute aplicado um
campo eleacutetrico (E) e um fotomultiplicador (FM) ligado a um sistema de aquisiccedilatildeo
de dados
O procedimento experimental em si consiste no seguinte para um dado estado
de polarizaccedilatildeo do feixe incidente imposto pelo P1 vai-se alterando a posiccedilatildeo
angular do P2 de forma a encontrar as intensidades maacutexima e miacutenima e desta
forma calcular-se a visibilidade (ν) atraveacutes de [9]
νθ =Imax minus IminImax + Imin
(31)
15
CAPIacuteTULO 3 MEDICcedilAtildeO DO EFEITO ELECTROOacutePTICO
Figura 31 Montagem experimental proposta por Henry e a sua equipa (adaptadode [9])
De seguida altera-se P1 para a posiccedilatildeo angular de 45 e repete-se o procedi-
mento anterior Somando o quadrado das duas visibilidades obtidas tem-se que
[9]
ν2θ + ν2
θ+45 = 1 +
1minus δ2
2
sen(φ2 )φ2
2
2
(32)
sendo
δ =2πλn3rEyd (33)
e
φ =radicδ2 + ρ2 (34)
Sendo δ a diferenccedila de fase originada pela birrefringecircncia λ o comprimento
de onda do feixe no vaacutecuo ρ a diferenccedila de fase associada agrave actividade oacuteptica n o
iacutendice de refraccedilatildeo sem campo eleacutetrico aplicado Ey o campo eleacutectrico aplicado e
d a espessura do cristal na direccedilatildeo do campo eleacutectrico aplicado Destas equaccedilotildees
pode-se calcular o coeficiente electrooacuteptico r
Para o caso de φ pequenos
sen(φ2 )φ2
2
1 pelo que
ν2θ + ν2
θ+45 1 +(1minus δ
2
2
)2
(35)
Natildeo sendo nesta situaccedilatildeo necessaacuteria a actividade oacuteptica ρ Esta teacutecnica apre-
senta um erro de mediccedilatildeo de 10 a 15 em relaccedilatildeo ao valor tabelado
16
32 MEacuteTODOS POR INTERFEROMETRIA
32 Meacutetodos por Interferometria
321 Interferometria Oacuteptica
Quando duas ondas de uma mesma frequecircncia se sobrepotildeem num dado ponto
formam uma nova onda cuja amplitude eacute o resultado da soma da amplitude das
duas ondas iniciais em cada instante nesse ponto Quando a soma da duas ondas
resulta numa amplitude maior diz-se que houve interferecircncia construtiva quando
resulta numa amplitude inferior diz-se que ocorreu interferecircncia destrutiva
Supondo que uma das ondas tem a forma E1ei(φ1minuswt) e a outra forma E2e
i(φ2minuswt)
sendo E1 e E2 as amplitudes dos respetivos campos eleacutetricos φ1 e φ2 as fases
iniciais w a frequecircncia angular e t o tempo a onda resultante seraacute descrita por
[10]
ET = E1ei(φ1minuswt) +E2e
i(φ2minuswt) (36)
Se φ1 minusφ2 = 2Nπ com N = 012 entatildeo as duas ondas estaratildeo em fase e daacute-
se uma interferecircncia construtiva perfeita Se φ1 minusφ2 = (2N + 1)π e E1 = E2 entatildeo
as duas ondas estaratildeo em oposiccedilatildeo de fase e daacute-se uma interferecircncia destrutiva
completa Estas situaccedilotildees extremas encontram-se ilustradas na figura 32
Figura 32 Ilustraccedilatildeo de uma interferecircncia construtiva perfeita (a) e destrutivacompleta (b)
Matematicamente a coerecircncia eacute uma medida da correlaccedilatildeo entre as ondas
Quanto mais construtiva for a interferecircncia maior seraacute a coerecircncia Fisicamente
a coerecircncia eacute uma medida do quatildeo constante a diferenccedila de fase permanece entre
17
CAPIacuteTULO 3 MEDICcedilAtildeO DO EFEITO ELECTROOacutePTICO
as duas ondas A coerecircncia eacute usualmente medida num padratildeo de franjas de in-
terferecircncia atraveacutes da visibilidade de franja (ν) que pode ser experimentalmente
calculada atraveacutes de [10]
ν =Imax minus IminImax + Imin
= 1 coerecircncia total e contraste maacuteximo
0 lt ν lt 1 coerecircncia parcial
= 0 incoerecircncia total e contraste natildeo haacute franjas
(37)
Pode-se ver na Fig33 um exemplo da equaccedilatildeo 37 que representa a visibi-
lidade das franjas em funccedilatildeo da diferenccedila de fase entre duas ondas da mesma
frequecircncia que interferem Como a visibilidade das franjas depende da coerecircncia
das duas ondas qualquer diferenccedila iraacute traduzir-se numa diminuiccedilatildeo de visibili-
dade
Figura 33 Visibilidade num interferoacutemetro em funccedilatildeo da diferenccedila de fase entreduas ondas provenientes de ramos diferentes do interferoacutemetro (adaptado de[11])
Pode-se usar a interferometria para quantificar os efeitos electrooacutepticos natildeo
soacute linear mas tambeacutem o quadraacutetico (efeito de Kerr) Os interferoacutemetros mais
frequentemente utilizados para este efeito satildeo os interferoacutemetro de Michelson1 e1Albert Abraham Michelson foi um fiacutesico americano conhecido pela invenccedilatildeo do interferoacuteme-
tro de Michelson (1891) do seu trabalho na mediccedilatildeo da velocidade da luz e pelo seu trabalho naexperiecircncia de Michelson-Morley Em 1907 tornou-se o primeiro americano a receber o PreacutemioNobel da Fiacutesica
18
32 MEacuteTODOS POR INTERFEROMETRIA
o interferoacutemetro de Mach-Zehnder2
De salientar que as teacutecnicas interferomeacutetricas apresentam uma elevada sensibi-
lidade simplificaccedilatildeo na preparaccedilatildeo das amostras a estudar e uma menor sensibili-
dade a vibraccedilotildees mecacircnicas e a flutuaccedilotildees teacutermicas desde que estas ocorram com
a mesma intensidade em ambos os ramos do mesmo tamanho do interferoacutemetro
322 Interferoacutemetro de Mach-Zehnder
No interferoacutemetro de Mach-Zehnder (Fig 34) um separador de feixe divide o
feixe proveniente da fonte em dois feixes que vatildeo constituir os dois ramos do
interferoacutemetro o feixe-amostra e o feixe-referecircncia Ambos satildeo refletidos por um
espelho e ambos atravessam um novo separador de feixe antes de se juntarem de
novo e serem medidos nos detetores
Figura 34 Esquema de um interferoacutemetro de Mach-Zehnder (adaptado de [12])
Com os ramos agrave mesma distacircncia pode ainda observar-se que sem amostra
ambos os feixes vatildeo chegar em fase aos detetores havendo desta forma uma inter-
ferecircncia construtiva Ambos apresentaratildeo uma mudanccedila de fase correspondente
a λ devido ao facto de ambos sofrerem duas reflexotildees e uma transmissatildeo numa
placa de vidro(separador de feixe) ateacute chegarem aos detetores2Ludwig Zehnder foi um fiacutesico suiacuteccedilo e o inventor do interferoacutemetro de Mach-Zehnder Inter-
feroacutemetro esse depois aperfeiccediloado por Ludwig Mach
19
CAPIacuteTULO 3 MEDICcedilAtildeO DO EFEITO ELECTROOacutePTICO
Alterando o caminho oacuteptico do espelho do feixe-referecircncia em λ4 sem amos-
tra o feixe-amostra e o feixe-referecircncia vatildeo chegar com uma diferenccedila de fase de
λ2 ou seja vai haver uma interferecircncia destrutiva completa Isto porque o feixe-
referecircncia vai ter uma mudanccedila de fase de λ2 devido a uma reflexatildeo e duas trans-
missotildees provocadas pelos separadores de feixe Enquanto que o feixe-amostra
chegaraacute aos detetores com uma diferenccedila de fase de λ devido a duas reflexotildees
mais uma reflexatildeo com transmissatildeo no segundo separador de feixe Assim na
ausecircncia de amostra e desde que a diferenccedila de caminho oacuteptico ou retardaccedilatildeo
(δ) seja zero os feixes iratildeo interferir construtivamente [13]
Com a amostra colocada no caminho do feixe-amostra os feixes vatildeo chegar ao
detetor em diferentes situaccedilotildees de fase sendo possiacutevel determinar a diferenccedila de
fase provocada pela presenccedila da amostra
A intensidade do feixe (I) em ambos os detetores eacute descrita por [14]
I(δ) =12I(k)cos(2Nkδ) (38)
Com k o nuacutemero de onda (k = 2πλ) E fazendo δ = d com d = vt resulta
I(δ) =12I(k)cos(2Nk(vt)) (39)
323 Interferoacutemetro de Michelson
No interferoacutemetro do tipo Michelson um feixe de luz eacute dividido em dois que
percorrem caminhos diferentes para de seguida se recombinarem Apoacutes terem
percorrido caminhos diferentes o feixe resultante da recombinaccedilatildeo pode apresen-
tar um padratildeo de interferecircncia que depende da diferenccedila de caminhos oacutepticos
entre os feixes e que pode ser medido num detetor
A forma mais simples de implementar um interferoacutemetro de Michelson con-
siste em dois espelhos colocados entre si num plano perpendicular em que um
deles se pode mover na direccedilatildeo perpendicular agrave sua superfiacutecie refletora conforme
ilustrado na Fig35
Esse espelho iraacute movimentar-se num espaccedilo definido a uma velocidade cons-
tante Entre o espelho fixo e o espelho moacutevel estaacute um separador de feixe que
divide o feixe incidente inicial em dois de igual intensidade Aqui o feixe eacute parci-
almente refletido para um espelho e parcialmente transmitido para o outro
20
32 MEacuteTODOS POR INTERFEROMETRIA
Figura 35 Esquema de funcionamento de um interferoacutemetro de Michelson cominterferecircncia construtiva (a) e destrutiva (b) (adaptado de [15])
Assumindo que o separador de feixe eacute ideal e com uma reflectacircncia e transmi-
tacircncia de 50 se o espelho moacutevel se encontrar estacionaacuterio pode determinar-se
a intensidade do feixe num dado ponto do detetor Se a diferenccedila do caminho
oacuteptico ou retardaccedilatildeo (δ) for zero ou seja os espelhos estatildeo igualmente espaccedilados
do separador de feixe estes vatildeo percorrer a mesma distacircncia e interferir construti-
vamente pelo que a intensidade do feixe final eacute a soma das intensidades dos dois
feixes Nestas condiccedilotildees toda a luz que sai da fonte chega ao detetor
No caso do espelho moacutevel se deslocar uma distacircncia de λ4 a retardaccedilatildeo total
seraacute de λ2 pelo que os feixes estaratildeo desfasadas de 180ordm (π) Nestas condiccedilotildees ter-
se-aacute interferecircncia destrutiva completa na recombinaccedilatildeo dos feixes dando origem
agrave extinccedilatildeo total
Voltando a deslocar o espelho moacutevel de mais λ4 a diferenccedila do caminho
oacuteptico seraacute igual a λ e os dois feixes voltam a estar em fase havendo novamente
uma sobreposiccedilatildeo construtiva dos feixes
Com o espelho moacutevel a deslocar-se a uma velocidade constante o sinal do de-
tetor iraacute variar com uma forma perioacutedica sendo que atinge o seu maacuteximo quando
a retardaccedilatildeo (δ) for um muacuteltiplo inteiro de λ δ =Nλ
A expressatildeo da intensidade do feixe (I) no detector para o caso do interferoacute-
metro de Michelson eacute semelhante agrave equaccedilatildeo 38 para o interferoacutemetro de Mach-
Zehnder sendo que neste caso δ = 2d com d = vt jaacute que o feixe atravessa a
amostra duas vezes Nestas condiccedilotildees ter-se-aacute
I(δ) =12I(k)cos(4Nk(vt)) (310)
21
CAPIacuteTULO 3 MEDICcedilAtildeO DO EFEITO ELECTROOacutePTICO
22
Capiacutetulo
4Sistema Implementado
Este capiacutetulo descreve o sistema implementado para a mediccedilatildeo do coeficiente
electrooacuteptico usando a teacutecnica de interferoacutemetria de Michelson bem como a cali-
braccedilatildeo do mesmo
41 Interferoacutemetro
O sistema escolhido para a mediccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico baseia-se na teacutec-
nica de interferometria de Michelson (ver secccedilatildeo 323) onde se mediu a diferenccedila
de fase entre os ramos do interferoacutemetro Esta teacutecnica foi escolhida pela elevada
sensibilidade agrave diferenccedila de fase gerada entre os ramos do interferoacutemetro facili-
dade de preparaccedilatildeo das amostras e por ser menos sensiacutevel a vibraccedilotildees mecacircnicas
e a flutuaccedilotildees teacutermicas desde que estas ocorram com a mesma intensidade em
ambos os ramos do interferoacutemetro Para aleacutem das vantagens mencionadas e espe-
cificamente em comparaccedilatildeo com o interferoacutemetro mais usado o interferoacutemetro
do tipo Mach-Zehnder o interferoacutemetro de Michelson tem uma maior facilidade
de alinhamento dos espelhos e usa apenas um separador de feixe
A figura 41 esquematiza o sistema baseado no interferoacutemetro de Michelson
desenvolvido para a mediccedilatildeo do coeficiente eletrooacuteptico
23
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Figura 41 Esquematizaccedilatildeo do interferoacutemetro de Michelson e instrumentaccedilatildeoutilizada para a mediccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico em cristais
Como se pode ver no esquema da figura 41 o ramo do espelho vibrante fica
vazio enquanto que no ramo do espelho fixo se encontra a amostra entre dois
eleacutectrodos onde se aplicam um campo eleacutectrico E O sinal medido no detector
resulta da interferecircncia entre os feixes provenientes de cada ramo do interferoacute-
mentro dependendo da diferenccedila de fase entre os dois feixes Conforme referido
anteriormente a intensidade da luz (I) que chega ao detector eacute da ordem de [16]
I prop E21 +E2
2 + 2E1E2cos(∆φ) (41)
42 Electroacutenica Desenvolvida
421 Amplificador
Para o efeito electrooacuteptico se manisfestar eacute necessaacuterio aplicar-se uma tensatildeo eleacutec-
trica ao meio Uma vez que a tensatildeo de referecircncia fornecida pelo amplificador
lock-in utilizado eacute muito baixa para induzir efeito electrooacuteptico significativo por
volta dos 12V foi necessaacuterio construir um amplificador de tensatildeo (Fig 42)
24
42 ELECTROacuteNICA DESENVOLVIDA
Figura 42 Esquemaacutetico do amplificador de tensatildeo utilizado com base no ampli-ficador operacional LF356n
O amplificador construiacutedo conforme ilustra a figura 42 consiste numa mon-
tagem inversora de ganho variaacutevel com uma malha de controlo de offset e eacute
alimentado a plusmn12V
Assim o ganho G eacute determinado atraveacutes de
G = 1 +R2R1
(42)
Sendo R1 = 11kΩ R2 = 5kΩ R3 = 25kΩ e o amplificador em si utilizado foi
o LF356n
Obtendo-se desta forma um ganho de aproximadamente 55 Permitindo apli-
car uma tensatildeo de cerca de 66V ao cristal electrooacuteptico Uma vez que a tensatildeo
aplicada eacute baixa pode-se desprezar o efeito piezoeleacutectrico gerado na amostra e
que iria influenciar o valor do coeficiente electrooacuteptico medido
422 Gerador de Rampa
Para alimentar o excitador piezoeleacutectrico do espelho moacutevel foi utilizado um ge-
rador de sinais (Fig 43) de forma a induzir um deslocamento linear perioacutedico
na forma de rampa A frequecircncia de oscilaccedilatildeo cerca de 25Hz foi escolhida de
25
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
forma a ser suficientemente baixa para evitar fenoacutemenos de batimento com o sinal
de modulaccedilatildeo electrooacuteptico e suficientemente alta para que se consiga adquirir
dados em tempo uacutetil com uma tensatildeo variaacutevel entre os 4 e os 8V
Figura 43 Esquema eleacutectrico do gerador de rampa implementado baseado nocircuito temporizador NE555
Sendo R1 = 20kΩ R2 = 1kΩ e C1 = C2 = 47microF
O tempo de subida da rampa t1 eacute dado por
t1 = 0693(R1 +R2)C1 (43)
Enquanto que o tempo de descida t2 eacute
t2 = 0693R2C1 (44)
Obtendo assim um tempo de subida de 036s e um tempo de descida de 0033s
Assim a frequecircncia do gerador de rampa f seraacute dada por
f =1
t1 + t2=
144(R1 + 2R2)C1
(45)
O gerador de rampa foi construiacutedo aproveitando o espaccedilo livre no interior da
unidade de amplificaccedilatildeo onde se situa o amplificador
26
42 ELECTROacuteNICA DESENVOLVIDA
423 Seguidor de Tensatildeo
Devido agrave necessidade de acoplamento de impedacircncias entre o amplificador lock-
in e o osciloacutescopio natildeo foi possiacutevel a utilizaccedilatildeo de um repartidor coaxial que
repartisse o sinal proveniente do detector Assim de forma a se poder visuali-
zar o sinal proveniente do detector em simultacircneo com o sinal electrooacuteptico foi
necessaacuterio a construccedilatildeo de um seguidor de tensatildeo (Fig44)
Figura 44 Esquema do seguidor de tensatildeo utilizado construida com base nosamplifacores operacionais LF356n
Sendo que ambos os circuitos integrados foram alimentados por uma tensatildeo
positiva (V+) de 12V e uma negativa (Vminus) de minus12V Com R1 = R2 = 25kΩ Agrave
semelhanccedila do amplificador foi tambeacutem construida uma malha de controlo de
offset
Agrave semelhanccedila do gerador de rampa tambeacutem foi construido na unidade de
amplificaccedilatildeo e gerador de rampa como se pode ver na figura 45
27
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Figura 45 Imagem da unidade de amplificaccedilatildeo e geraccedilatildeo de rampa implemen-tada
43 Sistema Oacuteptico Desenvolvido
431 Espelho Vibrante
O espelho vibrante (Fig46) foi construiacutedo afixando um espelho a um disco pie-
zoeleacutectrico A vibraccedilatildeo do espelho iraacute fazer com que a distacircncia entre o divisor
de feixe e o espelho varie Fazendo deslocar a franja de interferecircncia em frente ao
detector permitindo a este medir as intensidades maacuteximas e miacutenimas das franjas
de interferecircncia (ver secccedilatildeo 323)
Figura 46 Imagem do espelho vibrante utilizado
28
43 SISTEMA OacutePTICO DESENVOLVIDO
432 Bancada Oacuteptica
De forma a colocar os componentes ao niacutevel do feixe do laser na mesa oacuteptica e a
tornar o sistema menos sensiacutevel a vibraccedilotildees mecacircnicas e flutuaccedilotildees teacutermicas os
componentes foram colocadas numa base quadrada de alumiacutenio
Figura 47 Imagem da bancada oacuteptica onde o interferoacutemetro de Michelson foiconstruiacutedo
Conforme se pode ver na figura 47 para completar o interferoacutemetro de Michel-
son para aleacutem dos componentes jaacute referidos foram ainda utilizados um separador
de feixe e um espelho (fixo) no suporte com uma lente oacuteptica agrave saiacuteda do mesmo
Faltando ainda o laser utilizado da Melles Griotreg que possui uma potecircncia de
635mW e um comprimento de onda de 6328nm
433 Detector
O detector utilizado foi um modelo 818-UVDB da Newport Corporationreg (Fig
48) de baixa potecircncia consistindo num fotodiacuteodo de siliacutecio capaz de operar entre
os 200 e os 1100nm As caracteriacutesticas principais deste detector encontram-se
listadas na tabela 433
29
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Tabela 41 Caracteriacutesticas principais do detector 818-UVDB [17]
Largura de Banda 200 a 1100(nm) Material Siliacutecio
Potecircncia
W λ(nm)
Incerteza de
λ(nm)
02 200 a 4008 200 a 219
Maacutexima Calibraccedilatildeo 2 220 a 349
005 400 a 11001 350 a 9494 950 a 1050
Densidade de02Wcm2 Aacuterea Activa 1cm2
Potecircncia Meacutedia
Energia Maacutexima05microJ
Diacircmetro113cm
de Pulso Activo
De forma a evitar que a luz ambiente interferisse nas medidas e para aumen-
tar a resoluccedilatildeo de mediccedilatildeo do perfil da franja de interferecircncia foi colocado um
diafragma com uma abertura no centro de 06mm conforme se pode ver na figura
48 reduzido desta maneira a aacuterea activa para 028 mm2
Figura 48 Imagem do detector e disco utilizado
Para a aquisiccedilatildeo do sinal electrooacuteptico e geraccedilatildeo de sinal electrooacuteptico de
referecircncia foi utilizado um osciloscoacutepio Lecroy Wavesufertrade422
30
43 SISTEMA OacutePTICO DESENVOLVIDO
434 Cristal Electrooacuteptico
Para a calibraccedilatildeo do sistema foi utilizado um cristal padratildeo de dihidrogenofosfato
de potaacutessio (KDP) Na tabela 42 pode-se observar algumas das propriedades
fiacutesicas desse cristal
Tabela 42 Propriedades fiacutesicas do cristal padratildeo KDP [18]
Material Simetria Densidade Classe Higroscopicidade
KDP Tetragonal (42m) 234gcm3 Uniaxial Higroscoacutepico
Uma vez que o cristal eacute uniaxial nx = ny = no e nz = ne sendo no e ne os
iacutendices de refraccedilatildeo ordinaacuterio e extraordinaacuterio do cristal KDP A figura 49 ilustra
o elipsoiacutede de iacutendices num cristal padratildeo KDP
Figura 49 Ilustraccedilatildeo de um cristal padratildeo KDP e seu respectivo elipsoiacutede deiacutendices
31
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Na Tabela 43 pode-se observar algumas das propriedades oacutepticas do cristal
padratildeo KDP
Tabela 43 Propriedades oacutepticas do cristal padratildeo KDP a 6328nm [7]
Material Foacutermula Quiacutemica Iacutendice de RefracccedilatildeoCoeficiente
Electrooacuteptico
KDPKH2PO4
no=15074 r41=86 pmV(λ = 6328nm) ne=14673 r63=106 pmV
Como se pode ver na tabela 42 o cristal do tipo KDP eacute higroscoacutepico sendo
assim necessaacuterio reduzir ao maacuteximo o contacto entre o cristal e a atmosfera para
evitar que as suas faces fiquem opacas interferindo assim na qualidade do feixe
transmitido
435 Porta Amostras
O porta amostras eacute constituiacutedo por uma base feita de latatildeo (Fig 410) onde se
coloca o cristal nivelado com o feixe laser Este suporte possui oito roscas para
parafusos M3 quatro em cima de forma a se fixar os encaixes laterais do porta
amostras e quatro em baixo de forma a afixar-se firmemente na bancada oacuteptica
Figura 410 Imagem da base do porta-amostras desenvolvido
32
43 SISTEMA OacutePTICO DESENVOLVIDO
De forma a aplicar-se a tensatildeo de excitaccedilatildeo ao cristal sem bloquear o feixe do
laser foram utilizadas duas placas de vidro com oacutexido de estanho dopado com
fluacuteor (FTO) Este permite que haja uma boa transparecircncia e conduccedilatildeo eleacutetrica
sendo usado em vaacuterios tipos de dispositivos como aplicaccedilotildees opto-eletroacutenicas
ecratildes touch screen filmes finos fotovoltaicos etc O oacutexido de estanho dopado
com fluacuteor [19] eacute reconhecido por ser altamente estaacutevel quimicamente inerte re-
siste a temperaturas elevadas e ao desgaste abrasivo sendo mais econoacutemico do
que o tradicional oacutexido de iacutendio e estanho (ITO)
De forma a garantir um bom contacto eleacutectrico entre o vidro FTO e o cristal
foram construidas duas peccedilas de afixaccedilatildeo idecircnticas (Fig 411) Trata-se de duas
peccedilas de alumiacutenio cada uma contendo uma abertura de forma a deixar passar
o feixe laser e dois rasgos para parafusos de forma a poder-se fixar no suporte e
desta maneira exercer uma pressatildeo constante sobre o cristal
Figura 411 Imagem das peccedilas de fixaccedilatildeo do cristal desenvolvidas com a vista defrente (a) e a vista de traacutes (b)
A ligaccedilatildeo eleacutectrica entre o sinal de referecircncia proveniente do amplificador ao
vidro FTO foi feita atraveacutes de uma cola condutora de prata de forma a assegurar
a ligaccedilatildeo oacutehmica entre o fio de cobre e a camada de FTO O cristal fica assim entre
duas placas de vidro FTO(Fig412)
33
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Figura 412 Imagem do porta Amostras desenvolvido
A figura 413 ilustra o sistema desenvolvido incluindo a bancada oacuteptica e
instrumentaccedilatildeo
Figura 413 Imagem do sistema desenvolvido para a mediccedilatildeo do efeito electrooacutep-tico
34
44 COEFICIENTE ELECTROOacutePTICO
44 Coeficiente Electrooacuteptico
Para o cristal utilizado o dihidrogenofosfato de potaacutessio (KDP) e para o efeito
electrooacuteptico linear a matriz de coeficientes electrooacutepticos eacute a seguinte
rij =
0 0 0
0 0 0
0 0 0
r41 0 0
0 r52 0
0 0 r63
com
i = 1 6
j = 123
Sendo que r41 = r52 pelo que existem apenas dois coeficientes independentes
o r41 e o r63
Usando a notaccedilatildeo condensada mencionada da secccedilatildeo 21 onde se aplica o
campo eleacutectrico (E) no plano do i (sendo i = m) enquanto que j eacute o eixo oacuteptico
Para o caso do KDP eacute costume utilizar o r63 Isto eacute aplicar o campo eleacutectrico nos
planos 12 ou 21 (ou seja i = 6) com o eixo oacuteptico no eixo 3 (j = 3) como demonstra
a figura 414
Figura 414 Ilustraccedilatildeo da configuraccedilatildeo utilizada para a mediccedilatildeo do coeficienter63 num cristal
35
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Para o caso do efeito electrooacuteptico quadraacutetico a matriz dos coeficientes elec-
trooacutepticos seraacute
sij =
s11 s12 s12 0 0 0
s12 s11 s12 0 0 0
s12 s12 s11 0 0 0
0 0 0 s11 minus s12 0 0
0 0 0 0 s11 minus s12 0
0 0 0 0 0 s11 minus s12
com i j = 1 6
45 Execuccedilatildeo Experimental
Para se medir o coeficiente electrooacuteptico aplica-se ao cristal uma tensatildeo com uma
frequecircncia de 2kHz frequecircncia essa que se revelou menos sensiacutevel aos ruiacutedos
ambientes sendo que o sinal electrooacuteptico teraacute a mesma frequecircncia Podendo-
se desta maneira atraveacutes de um amplificador de lock-in (modelo 393 da IthacoDynatrac) filtrar o sinal electrooacuteptico dos restantes sinais uma vez que a sua
frequecircncia eacute conhecida
A intensidade da equaccedilatildeo 41 eacute maacutexima quando cos(∆φ) = 1 e miacutenima quando
cos(∆φ) = minus1 Pelo que subtraindo estas duas equaccedilotildees
Imax minus Imin = 4E1E2 (46)
Assim combinando a equaccedilatildeo 41 com a equaccedilatildeo 46 obtem-se
I prop E21E
22 +
12
(Imax minus Imin)cos(∆φ) (47)
Juntando agora a equaccedilatildeo 246 agrave equaccedilatildeo 247 e tendo em conta que o feixe
passa duas vezes por cada ramo (=2l) a diferenccedila de fase para o efeito electrooacutep-
tico linear
∆φ = ∆φ0 +πrn3
oVoλ
2lh
cos(Ωt) (48)
Sendo ∆φ0 a diferenccedila de fase inicial sem o efeito electrooacuteptico
36
45 EXECUCcedilAtildeO EXPERIMENTAL
Substituindo o ∆φ da equaccedilatildeo 48 na equaccedilatildeo 47 a intensidade do sinal com
modulaccedilatildeo electrooacuteptica(Iseo) seraacute dado por
Iseo prop E21 +E2
2 +12
(Imax minus Imin)cos(∆φ0 +
πrn3oVoλ
2lh
cos(Ωt))
(49)
Usando cos(α plusmn β) = cos(α)cos(β)∓ sen(α) sen(β) e D = πrn3oVoλ
2lh fica-se com
Iseo prop E21 +E2
2+12
(Imax minus Imin)
[cos(∆φ0)cos(Dcos(Ωt)) minus sen(∆φ0) sen(D cos(Ωt))](410)
Como a modulaccedilatildeo electrooacuteptica eacute um efeito muito pequeno a equaccedilatildeo 410
pode-se escrever
Iseo asymp E21 +E2
2 +12
(Imax minus Imin) [cos(∆φ0)minusD cos(Ωt) sen(∆φ0)] (411)
Considerando soacute os termos de primeira ordem
Iseo asymp12
(Imax minus Imin) [cos(∆φ0)minusD cos(Ωt) sen(∆φ0)] (412)
A componente do sinal electrooacuteptico eacute entatildeo dado por
Iseo =12
(Imax minus Imin)D cos(Ωt) sen(∆φ0) (413)
Ou seja
Iseo =12
(Imax minus Imin)πrn3
oVoλ
2lh
cos(Ωt) sen(∆φ0) (414)
O acircngulo ∆φ0 varia linearmente com o tempo (t) a uma frequecircncia inferior
a Ω A franja de interferecircncia desloca-se continuamente em frente ao detector
devido a um dos espelho estar fixado num disco piezoeleacutectrico
37
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Na figura 415 pode-se ver uma exemplificaccedilatildeo do sinal no detector que incor-
pora o sinal da franja e electrooacuteptico dada pela equaccedilatildeo 414
Figura 415 Ilustraccedilatildeo do sinal de modulaccedilatildeo electrooacuteptica de um feixe de luzmedido num interferoacutemetro de Michelson
Uma vez que o sinal electrooacuteptico (cos(Ωt)) estaacute desfasado π2 do sinal da
franja ( sen(∆φ0)) A intensidade do sinal electrooacuteptico pode ser escrita como
Iseo asymp12
(Imax minus Imin)πrn3
oVoλ
2lh
∣∣∣ sen(∆φ0)∣∣∣ (415)
Assim a amplitude do sinal electrooacuteptico eacute
Iseo =12
(Imax minus Imin)πrn3
oVoλ
2lh
(416)
Pelo que o coeficiente electrooacuteptico linear seraacute dado por
r =|Iseo|
|Imax minus Imin|λ
πn3oVo
hl
(417)
38
46 RESULTADOS
Para o efeito electrooacuteptico quadraacutetico utilizando o procedimento anoacutelogo mas
a partir da equaccedilatildeo 248 em vez da equaccedilatildeo 247 O sinal electrooacuteptico quadraacutetico
Iseoq que ocorre ao dobro da frequecircncia de modulaccedilatildeo 2Ω eacute dado por
s =
∣∣∣Iseoq∣∣∣|Imax minus Imin|
2λ
πn3oV
2o
h2
l(418)
46 Resultados
Com o cristal de KDP devidamente alinhado no interferoacutemetro segundo o seu
eixo oacuteptico de maneira a se medir o coeficiente r63 Obtendo-se assim dois sinais
o sinal de franja e o sinal electrooacuteptico (Fig 416)
Figura 416 Padratildeo da franja produzida (a) e respectivos sinais de franja e elec-trooacuteptico obtidos para um cristal KDP padratildeo
De forma a se proceder a calibraccedilatildeo do sistema utilizou-se a equaccedilatildeo 417 na
forma
|Iseo||Imax minus Imin|
=πn3
o
λlhrVo (419)
39
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Usando o valor da razatildeo |Iseo ||ImaxminusImin|
em funccedilatildeo do potencial aplicado Vo pode-se
calcular o valor do coeficiente electrooacuteptico r atraveacutes do declive da recta obtida
Pode-se ver na figura 417 uma das rectas obtidas para o cristal utilizado na
calibraccedilatildeo do sistema
Figura 417 Razatildeo entre o sinal electrooacuteptico e a diferenccedila de intensidade defranjas em funccedilatildeo do potencial Vo aplicado ao cristal
A tabela 44 apresenta o valor do coeficiente electrooacuteptico obtido e respectiva
incerteza para o cristal de KDP tomando em conta os valores dos iacutendices de
refraccedilatildeo da tabela 43
Tabela 44 Valores e respectivas incertezas obtidas do coeficiente electrooacutepticopara o cristal KDP utilizado
Material Valor Padratildeo Valor Obtido Erro
KDPr63 = 106pmV r63 = 105plusmn 02pmV 1
(λ = 6328nm)
Como se pode ver na tabela 44 o resultado obtido situa-se muito proacuteximo
do teoacuterico encontrando-se dentro da incerteza obtida Os valores valores meacutedios
apresentam um desvio da ordem dos 02pmV
40
46 RESULTADOS
Apesar dos valores obtidos serem bastante positivos houve algumas dificul-
dades nomeadamente o vidro FTO que causou que o alinhamento fosse extrema-
mente complicado natildeo soacute pela sua espessura e dimensionamento como tambeacutem
pela refraccedilatildeo provocada no feixe laser Outro grande obstaacuteculo foi o alinhamento
do cristal uma vez que basta um ligeiro desvio no caminho oacuteptico para causar um
desalinhamento total algo que eacute agravado no interferoacutemetro do tipo Michelson
pelo facto de o feixe laser passar na amostra duas vezes
Apesar destas dificuldades o valor obtido para o coeficiente electrooacuteptico r63
foi de 105pmV valor esse muito proacuteximo do valor padratildeo da literatura que se
encontra nos 106pmV Assim pode-se considerar que o sistema desenvolvido
se encontra devidamente calibrado e pronto para futuras utilizaccedilotildees
41
Capiacutetulo
5Conclusotildees
O trabalho desenvolvido no decorrer desta dissertaccedilatildeo consistiu no desenvolvi-
mento de um sistema para a mediccedilatildeo do efeito electrooacuteptico aacuterea a ser ulilizada
na caracterizaccedilatildeo de novos materiais polimeacutericos para aplicaccedilatildeo em dispositivos
fotoacutenicos
Nesta conformidade foi desenhada construiacuteda e testado uma bancada oacuteptica
destinada agrave mediccedilatildeo do efeito electrooacuteptico baseado numa teacutecnica interferomeacute-
trica de mediccedilatildeo da diferenccedila de fase implementado atraveacutes de um interferoacutemetro
do tipo Michelson
O cristal escolhido para a calibraccedilatildeo do sistema desenvolvido foi um cristal de
KDP comercial tendo sido utilizado o coeficiente electrooacuteptico r63 como referecircn-
cia sendo o valor padratildeo de 106pmV
O sistema obtido permitiu medir um valor nominal de 105plusmn 02pmV com
um erro de aproximadamente 1 em relaccedilatildeo ao valor tabelado comprovando a
afericcedilatildeo do sistema para a mediccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico por transmissatildeo
O sistema desenvolvido estaacute portanto apto para futuras mediccedilotildees sendo ape-
nas necessaacuterio algumas alteraccedilotildees no porta-amostras mediante as dimensotildees e
forma da amostra a utilizar
Chegou-se ainda agrave conclusatildeo que para amostras como o cristal utilizado o
feixe laser passar duas vezes na amostra acaba por ser uma grande desvantagem
desvantagem essa inexistente para filmes polimeacutericos que ganham cada vez mais
importacircncia na aacuterea da fotoacutenica uma vez que satildeo materiais de grande interesse
cientiacutefico e tecnoloacutegico jaacute que podem ser utilizados no desenvolvimento de dispo-
sitivos oacutepticos nomeadamente moduladores de luz e memoacuterias oacutepticas
43
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46
Apecircndice
AApecircndice
A1 Desenhos Teacutecnicos
47
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311
23
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311
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- Lista de Figuras
- Lista de Tabelas
- Introduccedilatildeo
- Efeito Electrooacuteptico
-
- Oacuteptica Natildeo-Linear
- Propagaccedilatildeo em Meios Anisotroacutepicos
-
- Vector de Poynting
- Elipsoiacutede dos Iacutendices
- Coeficientes Natildeo-Lineares
-
- Mediccedilatildeo do Efeito Electrooacuteptico
-
- Meacutetodo Tradicional
- Meacutetodos por Interferometria
-
- Interferometria Oacuteptica
- Interferoacutemetro de Mach-Zehnder
- Interferoacutemetro de Michelson
-
- Sistema Implementado
-
- Interferoacutemetro
- Electroacutenica Desenvolvida
-
- Amplificador
- Gerador de Rampa
- Seguidor de Tensatildeo
-
- Sistema Oacuteptico Desenvolvido
-
- Espelho Vibrante
- Bancada Oacuteptica
- Detector
- Cristal Electrooacuteptico
- Porta Amostras
-
- Coeficiente Electrooacuteptico
- Execuccedilatildeo Experimental
- Resultados
-
- Conclusotildees
- Bibliografia
- Apecircndice
-
- Desenhos Teacutecnicos
-
CAPIacuteTULO 2 EFEITO ELECTROOacutePTICO
Substituindo as equaccedilotildees 29 e 217 na equaccedilatildeo 221 pode-se escrever a densi-
dade de energia total de uma onda electromagneacutetica num dado meio da seguinte
forma
u = εE2 (222)
Relacionando-se desta forma a densidade de energia com o campo eleacutectrico
De salientar que o campo magneacutetico e o campo eleacutectrico estatildeo relacionados atra-
veacutes da equaccedilatildeo 217
Considerando uma secccedilatildeo de aacuterea A (Fig 21) de um cubo com ∆x de lado
Figura 21 Cubo com secccedilatildeo de aacuterea A e ∆x de lado
A energia armazenada no cubo ou densidade de energia eacute igual a
∆U = uA∆x (223)
Sendo que a energia que atravessa a aacuterea A por unidade de tempo eacute
∆U∆t
=uA∆x∆xv
= uAv (224)
Assim a energia por unidade de tempo e aacuterea (Wm2) eacute igual a
uv = S (225)
Combinando a equaccedilatildeo 225 com a equaccedilatildeo 222 pode-se escrever a magnitude
do vector de Poynting da seguinte forma
S = εvE2 (226)
8
22 PROPAGACcedilAtildeO EM MEIOS ANISOTROacutePICOS
Substituindo a equaccedilatildeo 213 na equaccedilatildeo 225 a magnitude do vector de Poyn-
ting assume a seguinte forma
S = εvE20 cos2 (wt) (227)
Se na equaccedilatildeo 227 se fizer uma meacutedia no tempo obteacutem-se
〈S〉 = εvE20
langcos2 (wt)
rang(228)
Sendo quelangcos2 (wt)
rang= 1
2 tem-se que
I = 〈S〉 =12εvE2
0 =c
2nεE2
0 (229)
Sendo I a intensidade ou seja a potecircncia meacutedia por unidade de aacuterea que a
onda electromagneacutetica transporta
222 Elipsoiacutede dos Iacutendices
Nos meios anisotroacutepicos o iacutendice de refraccedilatildeo linear depende da direccedilatildeo da propa-
gaccedilatildeo da luz e do seu estado de polarizaccedilatildeo A resposta de um meio anisotroacutepico
eacute normalmente obtida atraveacutes do conceito de elipsoiacutede de iacutendices[5 6 7] que
a seguir seraacute descrita Ao se aplicar um campo eleacutectrico a um meio polarizaacutevel
este induz uma mudanccedila do estado de polarizaccedilatildeo descrito pelo deslocamento
eleacutectrico
~D = ε0~E + ~P (230)
Sendo
~P = ε0χ~E (231)
onde ε0 eacute a permissidade eleacutectrica no vazio ~P a polarizaccedilatildeo ~E o campo eleacutec-
trico ~D o deslocamento eleacutectrico e χ eacute o tensor das suscetibilidades Atraveacutes das
equaccedilotildees 230 e 231 tem-se que
~D = ε0~E(1 + χ) (232)
9
CAPIacuteTULO 2 EFEITO ELECTROOacutePTICO
Sendo que χ eacute dado por
χ =
χ11 χ12 χ13
χ21 χ22 χ23
χ31 χ32 χ33
(233)
Pelo teorema de eixos principais [7] seraacute possiacutevel escolher um sistema de co-
ordenadas onde apenas os elementos da diagonal principal sejam diferentes de
zero de tal forma que
χ =
χ11 0 0
0 χ22 0
0 0 χ33
(234)
Assim a equaccedilatildeo 231 pode ser escrita na forma no novo sistema de eixosP1
P2
P3
= ε0
χ11 0 0
0 χ22 0
0 0 χ33
E1
E2
E3
(235)
Da equaccedilatildeo 235 pode-se ainda retirar o seguinte
P1 = ε0χ11E1 D1 = ε11E1 ε11 = ε0 (1 +χ11)
P2 = ε0χ22E2 D2 = ε22E2 ε22 = ε0 (1 +χ22) (236)
P3 = ε0χ33E3 D3 = ε33E3 ε33 = ε0 (1 +χ33)
Combinando as equaccedilotildees 219 e 236 pode-se reescrever a densidade de energia
armazenada no campo eleacutectrico como
uE =12~E middot ~D (237)
Usando as expressotildees da equaccedilatildeo 236 para manipular a equaccedilatildeo 237 obtem-
se
D21
ε11+D2
2
ε22+D2
3
ε33= 2uE (238)
10
22 PROPAGACcedilAtildeO EM MEIOS ANISOTROacutePICOS
Substituiacutendo na equaccedilatildeo 238 D1 D2 e D3 pelos seus respectivos eixos em
coordenadas cartesianas tem-se que
x2
ε11ε0+
y2
ε22ε0+
z2
ε33ε0= 1 (239)
sendo x = D1radic2ε0UE
y = D2radic2ε0UE
e z = D3radic2ε0UE
Reescrevendo a equaccedilatildeo 239 fazendo n2x = ε11ε0 n2
y = ε22ε0 e n2z = ε33ε0
obteacutem-se forma a equaccedilatildeo do elipsoide de iacutendices
x2
n2x
+y2
n2y
+z2
n2z
= 1 (240)
Sendo nx ny e nz o iacutendice de refraccedilatildeo na sua respectiva direccedilatildeo como demons-
tra a figura 22
Figura 22 Ilustraccedilatildeo do elipsoiacutede de iacutendices (retirado de [7])
11
CAPIacuteTULO 2 EFEITO ELECTROOacutePTICO
223 Coeficientes Natildeo-Lineares
Quando eacute aplicado um campo eleacutectrico ao meio o elipsoiacutede de iacutendices pode
mudar a sua forma e orientaccedilatildeo no espaccedilo de tal forma que a equaccedilatildeo de elipsoide
de iacutendices passa a ser escrita de um modo geral como
( 1n2
)1x2 +
( 1n2
)2y2 +
( 1n2
)3z2 + 2
( 1n2
)4xy + 2
( 1n2
)5xz+ 2
( 1n2
)6yz = 1 (241)
Quando o campo eleacutectrico aplicado eacute nulo as equaccedilotildees 240 e 241 tecircm de ser
equivalentes pelo que para E = 0 tem-se
( 1n2
)1
=1
n2x( 1
n2
)2
=1
n2y( 1
n2
)3
=1
n2z( 1
n2
)4
=( 1n2
)5
=( 1n2
)6
= 0
(242)
Desta forma quando se aplica um campo eleacutectrico (E) verifica-se uma variaccedilatildeo
nos coeficientes(
1n2
)i Esta variaccedilatildeo induzida pelo efeito electrooacuteptico pode entatildeo
ser descrita atraveacutes de [8]
∆
( 1n2
)i
=3sumj=1
rijEj com i = 1 6 (243)
Sendo rij o coeficiente electrooacuteptico e E a magnitude do campo eleacutectrico apli-
cado
12
22 PROPAGACcedilAtildeO EM MEIOS ANISOTROacutePICOS
A equaccedilatildeo 243 tambeacutem pode ser escrita como
∆
( 1n2
)1
∆
( 1n2
)2
∆
( 1n2
)3
∆
( 1n2
)4
∆
( 1n2
)5
∆
( 1n2
)6
=
r11 r12 r13
r21 r22 r23
r31 r32 r33
r41 r42 r43
r51 r52 r53
r61 r62 r63
E1
E2
E3
(244)
Nesta conformidade o coeficiente electrooacuteptico pode ser escrito como
rij = minus 2
n3ij
[partnijpartEj
](245)
A diferenccedila de fase ∆φ resultante da variaccedilatildeo no iacutendice de refraccedilatildeo ∆n seraacute
∆φ =2πlλ
∆n (246)
Em que o l eacute o caminho percorrido pela luz de comprimento de onda λ no
meio Sendo a variaccedilatildeo no iacutendice de refraccedilatildeo devida aos efeitos electrooacutepticos
pode-se escrever
|∆n| =rno
3
2Voh
(247)
para o efeito electrooacuteptico linear e
|∆n| =sn3o
2
(Voh
)2(248)
para o efeito electrooacuteptico quadraacutetico
Onde os coefeciecircntes electrooacutepticos linear e quadraacutetico satildeo respectivamente
r e s Vo eacute o potencial eleacutectrico aplicado entre os eleacutetrodos que distam entre si a
uma distacircncia h criando assim o campo eleacutectrico aplicado
13
Capiacutetulo
3Mediccedilatildeo do Efeito Electrooacuteptico
Neste capiacutetulo satildeo apresentadas as teacutecnicas mais comuns utilizadas para a me-
diccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico destacando-se dois tipos de interferoacutemetros o
tradicional e os de interferometria de dois feixes
31 Meacutetodo Tradicional
Um dos meacutetodos mais usados para medir o efeito eletrooacuteptico foi o proposto por
Henry [9] em 1986 Esta teacutecnica ilustrada na Fig31 baseia-se na alteraccedilatildeo do
estado de polarizaccedilatildeo de um feixe linearmente polarizado quando este atravessa
o meio Esta alteraccedilatildeo ocorre devido agrave birrefrigecircncia induzida por um campo
eleacutetrico aplicado e agrave atividade oacuteptica do meio A montagem eacute composta por uma
fonte de luz (S) um monocromador (M) uma lente (L) um diafragma (D) dois
polarizadores (P1 e P2) um cristal (BSO) de espessura d ao qual eacute aplicado um
campo eleacutetrico (E) e um fotomultiplicador (FM) ligado a um sistema de aquisiccedilatildeo
de dados
O procedimento experimental em si consiste no seguinte para um dado estado
de polarizaccedilatildeo do feixe incidente imposto pelo P1 vai-se alterando a posiccedilatildeo
angular do P2 de forma a encontrar as intensidades maacutexima e miacutenima e desta
forma calcular-se a visibilidade (ν) atraveacutes de [9]
νθ =Imax minus IminImax + Imin
(31)
15
CAPIacuteTULO 3 MEDICcedilAtildeO DO EFEITO ELECTROOacutePTICO
Figura 31 Montagem experimental proposta por Henry e a sua equipa (adaptadode [9])
De seguida altera-se P1 para a posiccedilatildeo angular de 45 e repete-se o procedi-
mento anterior Somando o quadrado das duas visibilidades obtidas tem-se que
[9]
ν2θ + ν2
θ+45 = 1 +
1minus δ2
2
sen(φ2 )φ2
2
2
(32)
sendo
δ =2πλn3rEyd (33)
e
φ =radicδ2 + ρ2 (34)
Sendo δ a diferenccedila de fase originada pela birrefringecircncia λ o comprimento
de onda do feixe no vaacutecuo ρ a diferenccedila de fase associada agrave actividade oacuteptica n o
iacutendice de refraccedilatildeo sem campo eleacutetrico aplicado Ey o campo eleacutectrico aplicado e
d a espessura do cristal na direccedilatildeo do campo eleacutectrico aplicado Destas equaccedilotildees
pode-se calcular o coeficiente electrooacuteptico r
Para o caso de φ pequenos
sen(φ2 )φ2
2
1 pelo que
ν2θ + ν2
θ+45 1 +(1minus δ
2
2
)2
(35)
Natildeo sendo nesta situaccedilatildeo necessaacuteria a actividade oacuteptica ρ Esta teacutecnica apre-
senta um erro de mediccedilatildeo de 10 a 15 em relaccedilatildeo ao valor tabelado
16
32 MEacuteTODOS POR INTERFEROMETRIA
32 Meacutetodos por Interferometria
321 Interferometria Oacuteptica
Quando duas ondas de uma mesma frequecircncia se sobrepotildeem num dado ponto
formam uma nova onda cuja amplitude eacute o resultado da soma da amplitude das
duas ondas iniciais em cada instante nesse ponto Quando a soma da duas ondas
resulta numa amplitude maior diz-se que houve interferecircncia construtiva quando
resulta numa amplitude inferior diz-se que ocorreu interferecircncia destrutiva
Supondo que uma das ondas tem a forma E1ei(φ1minuswt) e a outra forma E2e
i(φ2minuswt)
sendo E1 e E2 as amplitudes dos respetivos campos eleacutetricos φ1 e φ2 as fases
iniciais w a frequecircncia angular e t o tempo a onda resultante seraacute descrita por
[10]
ET = E1ei(φ1minuswt) +E2e
i(φ2minuswt) (36)
Se φ1 minusφ2 = 2Nπ com N = 012 entatildeo as duas ondas estaratildeo em fase e daacute-
se uma interferecircncia construtiva perfeita Se φ1 minusφ2 = (2N + 1)π e E1 = E2 entatildeo
as duas ondas estaratildeo em oposiccedilatildeo de fase e daacute-se uma interferecircncia destrutiva
completa Estas situaccedilotildees extremas encontram-se ilustradas na figura 32
Figura 32 Ilustraccedilatildeo de uma interferecircncia construtiva perfeita (a) e destrutivacompleta (b)
Matematicamente a coerecircncia eacute uma medida da correlaccedilatildeo entre as ondas
Quanto mais construtiva for a interferecircncia maior seraacute a coerecircncia Fisicamente
a coerecircncia eacute uma medida do quatildeo constante a diferenccedila de fase permanece entre
17
CAPIacuteTULO 3 MEDICcedilAtildeO DO EFEITO ELECTROOacutePTICO
as duas ondas A coerecircncia eacute usualmente medida num padratildeo de franjas de in-
terferecircncia atraveacutes da visibilidade de franja (ν) que pode ser experimentalmente
calculada atraveacutes de [10]
ν =Imax minus IminImax + Imin
= 1 coerecircncia total e contraste maacuteximo
0 lt ν lt 1 coerecircncia parcial
= 0 incoerecircncia total e contraste natildeo haacute franjas
(37)
Pode-se ver na Fig33 um exemplo da equaccedilatildeo 37 que representa a visibi-
lidade das franjas em funccedilatildeo da diferenccedila de fase entre duas ondas da mesma
frequecircncia que interferem Como a visibilidade das franjas depende da coerecircncia
das duas ondas qualquer diferenccedila iraacute traduzir-se numa diminuiccedilatildeo de visibili-
dade
Figura 33 Visibilidade num interferoacutemetro em funccedilatildeo da diferenccedila de fase entreduas ondas provenientes de ramos diferentes do interferoacutemetro (adaptado de[11])
Pode-se usar a interferometria para quantificar os efeitos electrooacutepticos natildeo
soacute linear mas tambeacutem o quadraacutetico (efeito de Kerr) Os interferoacutemetros mais
frequentemente utilizados para este efeito satildeo os interferoacutemetro de Michelson1 e1Albert Abraham Michelson foi um fiacutesico americano conhecido pela invenccedilatildeo do interferoacuteme-
tro de Michelson (1891) do seu trabalho na mediccedilatildeo da velocidade da luz e pelo seu trabalho naexperiecircncia de Michelson-Morley Em 1907 tornou-se o primeiro americano a receber o PreacutemioNobel da Fiacutesica
18
32 MEacuteTODOS POR INTERFEROMETRIA
o interferoacutemetro de Mach-Zehnder2
De salientar que as teacutecnicas interferomeacutetricas apresentam uma elevada sensibi-
lidade simplificaccedilatildeo na preparaccedilatildeo das amostras a estudar e uma menor sensibili-
dade a vibraccedilotildees mecacircnicas e a flutuaccedilotildees teacutermicas desde que estas ocorram com
a mesma intensidade em ambos os ramos do mesmo tamanho do interferoacutemetro
322 Interferoacutemetro de Mach-Zehnder
No interferoacutemetro de Mach-Zehnder (Fig 34) um separador de feixe divide o
feixe proveniente da fonte em dois feixes que vatildeo constituir os dois ramos do
interferoacutemetro o feixe-amostra e o feixe-referecircncia Ambos satildeo refletidos por um
espelho e ambos atravessam um novo separador de feixe antes de se juntarem de
novo e serem medidos nos detetores
Figura 34 Esquema de um interferoacutemetro de Mach-Zehnder (adaptado de [12])
Com os ramos agrave mesma distacircncia pode ainda observar-se que sem amostra
ambos os feixes vatildeo chegar em fase aos detetores havendo desta forma uma inter-
ferecircncia construtiva Ambos apresentaratildeo uma mudanccedila de fase correspondente
a λ devido ao facto de ambos sofrerem duas reflexotildees e uma transmissatildeo numa
placa de vidro(separador de feixe) ateacute chegarem aos detetores2Ludwig Zehnder foi um fiacutesico suiacuteccedilo e o inventor do interferoacutemetro de Mach-Zehnder Inter-
feroacutemetro esse depois aperfeiccediloado por Ludwig Mach
19
CAPIacuteTULO 3 MEDICcedilAtildeO DO EFEITO ELECTROOacutePTICO
Alterando o caminho oacuteptico do espelho do feixe-referecircncia em λ4 sem amos-
tra o feixe-amostra e o feixe-referecircncia vatildeo chegar com uma diferenccedila de fase de
λ2 ou seja vai haver uma interferecircncia destrutiva completa Isto porque o feixe-
referecircncia vai ter uma mudanccedila de fase de λ2 devido a uma reflexatildeo e duas trans-
missotildees provocadas pelos separadores de feixe Enquanto que o feixe-amostra
chegaraacute aos detetores com uma diferenccedila de fase de λ devido a duas reflexotildees
mais uma reflexatildeo com transmissatildeo no segundo separador de feixe Assim na
ausecircncia de amostra e desde que a diferenccedila de caminho oacuteptico ou retardaccedilatildeo
(δ) seja zero os feixes iratildeo interferir construtivamente [13]
Com a amostra colocada no caminho do feixe-amostra os feixes vatildeo chegar ao
detetor em diferentes situaccedilotildees de fase sendo possiacutevel determinar a diferenccedila de
fase provocada pela presenccedila da amostra
A intensidade do feixe (I) em ambos os detetores eacute descrita por [14]
I(δ) =12I(k)cos(2Nkδ) (38)
Com k o nuacutemero de onda (k = 2πλ) E fazendo δ = d com d = vt resulta
I(δ) =12I(k)cos(2Nk(vt)) (39)
323 Interferoacutemetro de Michelson
No interferoacutemetro do tipo Michelson um feixe de luz eacute dividido em dois que
percorrem caminhos diferentes para de seguida se recombinarem Apoacutes terem
percorrido caminhos diferentes o feixe resultante da recombinaccedilatildeo pode apresen-
tar um padratildeo de interferecircncia que depende da diferenccedila de caminhos oacutepticos
entre os feixes e que pode ser medido num detetor
A forma mais simples de implementar um interferoacutemetro de Michelson con-
siste em dois espelhos colocados entre si num plano perpendicular em que um
deles se pode mover na direccedilatildeo perpendicular agrave sua superfiacutecie refletora conforme
ilustrado na Fig35
Esse espelho iraacute movimentar-se num espaccedilo definido a uma velocidade cons-
tante Entre o espelho fixo e o espelho moacutevel estaacute um separador de feixe que
divide o feixe incidente inicial em dois de igual intensidade Aqui o feixe eacute parci-
almente refletido para um espelho e parcialmente transmitido para o outro
20
32 MEacuteTODOS POR INTERFEROMETRIA
Figura 35 Esquema de funcionamento de um interferoacutemetro de Michelson cominterferecircncia construtiva (a) e destrutiva (b) (adaptado de [15])
Assumindo que o separador de feixe eacute ideal e com uma reflectacircncia e transmi-
tacircncia de 50 se o espelho moacutevel se encontrar estacionaacuterio pode determinar-se
a intensidade do feixe num dado ponto do detetor Se a diferenccedila do caminho
oacuteptico ou retardaccedilatildeo (δ) for zero ou seja os espelhos estatildeo igualmente espaccedilados
do separador de feixe estes vatildeo percorrer a mesma distacircncia e interferir construti-
vamente pelo que a intensidade do feixe final eacute a soma das intensidades dos dois
feixes Nestas condiccedilotildees toda a luz que sai da fonte chega ao detetor
No caso do espelho moacutevel se deslocar uma distacircncia de λ4 a retardaccedilatildeo total
seraacute de λ2 pelo que os feixes estaratildeo desfasadas de 180ordm (π) Nestas condiccedilotildees ter-
se-aacute interferecircncia destrutiva completa na recombinaccedilatildeo dos feixes dando origem
agrave extinccedilatildeo total
Voltando a deslocar o espelho moacutevel de mais λ4 a diferenccedila do caminho
oacuteptico seraacute igual a λ e os dois feixes voltam a estar em fase havendo novamente
uma sobreposiccedilatildeo construtiva dos feixes
Com o espelho moacutevel a deslocar-se a uma velocidade constante o sinal do de-
tetor iraacute variar com uma forma perioacutedica sendo que atinge o seu maacuteximo quando
a retardaccedilatildeo (δ) for um muacuteltiplo inteiro de λ δ =Nλ
A expressatildeo da intensidade do feixe (I) no detector para o caso do interferoacute-
metro de Michelson eacute semelhante agrave equaccedilatildeo 38 para o interferoacutemetro de Mach-
Zehnder sendo que neste caso δ = 2d com d = vt jaacute que o feixe atravessa a
amostra duas vezes Nestas condiccedilotildees ter-se-aacute
I(δ) =12I(k)cos(4Nk(vt)) (310)
21
CAPIacuteTULO 3 MEDICcedilAtildeO DO EFEITO ELECTROOacutePTICO
22
Capiacutetulo
4Sistema Implementado
Este capiacutetulo descreve o sistema implementado para a mediccedilatildeo do coeficiente
electrooacuteptico usando a teacutecnica de interferoacutemetria de Michelson bem como a cali-
braccedilatildeo do mesmo
41 Interferoacutemetro
O sistema escolhido para a mediccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico baseia-se na teacutec-
nica de interferometria de Michelson (ver secccedilatildeo 323) onde se mediu a diferenccedila
de fase entre os ramos do interferoacutemetro Esta teacutecnica foi escolhida pela elevada
sensibilidade agrave diferenccedila de fase gerada entre os ramos do interferoacutemetro facili-
dade de preparaccedilatildeo das amostras e por ser menos sensiacutevel a vibraccedilotildees mecacircnicas
e a flutuaccedilotildees teacutermicas desde que estas ocorram com a mesma intensidade em
ambos os ramos do interferoacutemetro Para aleacutem das vantagens mencionadas e espe-
cificamente em comparaccedilatildeo com o interferoacutemetro mais usado o interferoacutemetro
do tipo Mach-Zehnder o interferoacutemetro de Michelson tem uma maior facilidade
de alinhamento dos espelhos e usa apenas um separador de feixe
A figura 41 esquematiza o sistema baseado no interferoacutemetro de Michelson
desenvolvido para a mediccedilatildeo do coeficiente eletrooacuteptico
23
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Figura 41 Esquematizaccedilatildeo do interferoacutemetro de Michelson e instrumentaccedilatildeoutilizada para a mediccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico em cristais
Como se pode ver no esquema da figura 41 o ramo do espelho vibrante fica
vazio enquanto que no ramo do espelho fixo se encontra a amostra entre dois
eleacutectrodos onde se aplicam um campo eleacutectrico E O sinal medido no detector
resulta da interferecircncia entre os feixes provenientes de cada ramo do interferoacute-
mentro dependendo da diferenccedila de fase entre os dois feixes Conforme referido
anteriormente a intensidade da luz (I) que chega ao detector eacute da ordem de [16]
I prop E21 +E2
2 + 2E1E2cos(∆φ) (41)
42 Electroacutenica Desenvolvida
421 Amplificador
Para o efeito electrooacuteptico se manisfestar eacute necessaacuterio aplicar-se uma tensatildeo eleacutec-
trica ao meio Uma vez que a tensatildeo de referecircncia fornecida pelo amplificador
lock-in utilizado eacute muito baixa para induzir efeito electrooacuteptico significativo por
volta dos 12V foi necessaacuterio construir um amplificador de tensatildeo (Fig 42)
24
42 ELECTROacuteNICA DESENVOLVIDA
Figura 42 Esquemaacutetico do amplificador de tensatildeo utilizado com base no ampli-ficador operacional LF356n
O amplificador construiacutedo conforme ilustra a figura 42 consiste numa mon-
tagem inversora de ganho variaacutevel com uma malha de controlo de offset e eacute
alimentado a plusmn12V
Assim o ganho G eacute determinado atraveacutes de
G = 1 +R2R1
(42)
Sendo R1 = 11kΩ R2 = 5kΩ R3 = 25kΩ e o amplificador em si utilizado foi
o LF356n
Obtendo-se desta forma um ganho de aproximadamente 55 Permitindo apli-
car uma tensatildeo de cerca de 66V ao cristal electrooacuteptico Uma vez que a tensatildeo
aplicada eacute baixa pode-se desprezar o efeito piezoeleacutectrico gerado na amostra e
que iria influenciar o valor do coeficiente electrooacuteptico medido
422 Gerador de Rampa
Para alimentar o excitador piezoeleacutectrico do espelho moacutevel foi utilizado um ge-
rador de sinais (Fig 43) de forma a induzir um deslocamento linear perioacutedico
na forma de rampa A frequecircncia de oscilaccedilatildeo cerca de 25Hz foi escolhida de
25
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
forma a ser suficientemente baixa para evitar fenoacutemenos de batimento com o sinal
de modulaccedilatildeo electrooacuteptico e suficientemente alta para que se consiga adquirir
dados em tempo uacutetil com uma tensatildeo variaacutevel entre os 4 e os 8V
Figura 43 Esquema eleacutectrico do gerador de rampa implementado baseado nocircuito temporizador NE555
Sendo R1 = 20kΩ R2 = 1kΩ e C1 = C2 = 47microF
O tempo de subida da rampa t1 eacute dado por
t1 = 0693(R1 +R2)C1 (43)
Enquanto que o tempo de descida t2 eacute
t2 = 0693R2C1 (44)
Obtendo assim um tempo de subida de 036s e um tempo de descida de 0033s
Assim a frequecircncia do gerador de rampa f seraacute dada por
f =1
t1 + t2=
144(R1 + 2R2)C1
(45)
O gerador de rampa foi construiacutedo aproveitando o espaccedilo livre no interior da
unidade de amplificaccedilatildeo onde se situa o amplificador
26
42 ELECTROacuteNICA DESENVOLVIDA
423 Seguidor de Tensatildeo
Devido agrave necessidade de acoplamento de impedacircncias entre o amplificador lock-
in e o osciloacutescopio natildeo foi possiacutevel a utilizaccedilatildeo de um repartidor coaxial que
repartisse o sinal proveniente do detector Assim de forma a se poder visuali-
zar o sinal proveniente do detector em simultacircneo com o sinal electrooacuteptico foi
necessaacuterio a construccedilatildeo de um seguidor de tensatildeo (Fig44)
Figura 44 Esquema do seguidor de tensatildeo utilizado construida com base nosamplifacores operacionais LF356n
Sendo que ambos os circuitos integrados foram alimentados por uma tensatildeo
positiva (V+) de 12V e uma negativa (Vminus) de minus12V Com R1 = R2 = 25kΩ Agrave
semelhanccedila do amplificador foi tambeacutem construida uma malha de controlo de
offset
Agrave semelhanccedila do gerador de rampa tambeacutem foi construido na unidade de
amplificaccedilatildeo e gerador de rampa como se pode ver na figura 45
27
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Figura 45 Imagem da unidade de amplificaccedilatildeo e geraccedilatildeo de rampa implemen-tada
43 Sistema Oacuteptico Desenvolvido
431 Espelho Vibrante
O espelho vibrante (Fig46) foi construiacutedo afixando um espelho a um disco pie-
zoeleacutectrico A vibraccedilatildeo do espelho iraacute fazer com que a distacircncia entre o divisor
de feixe e o espelho varie Fazendo deslocar a franja de interferecircncia em frente ao
detector permitindo a este medir as intensidades maacuteximas e miacutenimas das franjas
de interferecircncia (ver secccedilatildeo 323)
Figura 46 Imagem do espelho vibrante utilizado
28
43 SISTEMA OacutePTICO DESENVOLVIDO
432 Bancada Oacuteptica
De forma a colocar os componentes ao niacutevel do feixe do laser na mesa oacuteptica e a
tornar o sistema menos sensiacutevel a vibraccedilotildees mecacircnicas e flutuaccedilotildees teacutermicas os
componentes foram colocadas numa base quadrada de alumiacutenio
Figura 47 Imagem da bancada oacuteptica onde o interferoacutemetro de Michelson foiconstruiacutedo
Conforme se pode ver na figura 47 para completar o interferoacutemetro de Michel-
son para aleacutem dos componentes jaacute referidos foram ainda utilizados um separador
de feixe e um espelho (fixo) no suporte com uma lente oacuteptica agrave saiacuteda do mesmo
Faltando ainda o laser utilizado da Melles Griotreg que possui uma potecircncia de
635mW e um comprimento de onda de 6328nm
433 Detector
O detector utilizado foi um modelo 818-UVDB da Newport Corporationreg (Fig
48) de baixa potecircncia consistindo num fotodiacuteodo de siliacutecio capaz de operar entre
os 200 e os 1100nm As caracteriacutesticas principais deste detector encontram-se
listadas na tabela 433
29
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Tabela 41 Caracteriacutesticas principais do detector 818-UVDB [17]
Largura de Banda 200 a 1100(nm) Material Siliacutecio
Potecircncia
W λ(nm)
Incerteza de
λ(nm)
02 200 a 4008 200 a 219
Maacutexima Calibraccedilatildeo 2 220 a 349
005 400 a 11001 350 a 9494 950 a 1050
Densidade de02Wcm2 Aacuterea Activa 1cm2
Potecircncia Meacutedia
Energia Maacutexima05microJ
Diacircmetro113cm
de Pulso Activo
De forma a evitar que a luz ambiente interferisse nas medidas e para aumen-
tar a resoluccedilatildeo de mediccedilatildeo do perfil da franja de interferecircncia foi colocado um
diafragma com uma abertura no centro de 06mm conforme se pode ver na figura
48 reduzido desta maneira a aacuterea activa para 028 mm2
Figura 48 Imagem do detector e disco utilizado
Para a aquisiccedilatildeo do sinal electrooacuteptico e geraccedilatildeo de sinal electrooacuteptico de
referecircncia foi utilizado um osciloscoacutepio Lecroy Wavesufertrade422
30
43 SISTEMA OacutePTICO DESENVOLVIDO
434 Cristal Electrooacuteptico
Para a calibraccedilatildeo do sistema foi utilizado um cristal padratildeo de dihidrogenofosfato
de potaacutessio (KDP) Na tabela 42 pode-se observar algumas das propriedades
fiacutesicas desse cristal
Tabela 42 Propriedades fiacutesicas do cristal padratildeo KDP [18]
Material Simetria Densidade Classe Higroscopicidade
KDP Tetragonal (42m) 234gcm3 Uniaxial Higroscoacutepico
Uma vez que o cristal eacute uniaxial nx = ny = no e nz = ne sendo no e ne os
iacutendices de refraccedilatildeo ordinaacuterio e extraordinaacuterio do cristal KDP A figura 49 ilustra
o elipsoiacutede de iacutendices num cristal padratildeo KDP
Figura 49 Ilustraccedilatildeo de um cristal padratildeo KDP e seu respectivo elipsoiacutede deiacutendices
31
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Na Tabela 43 pode-se observar algumas das propriedades oacutepticas do cristal
padratildeo KDP
Tabela 43 Propriedades oacutepticas do cristal padratildeo KDP a 6328nm [7]
Material Foacutermula Quiacutemica Iacutendice de RefracccedilatildeoCoeficiente
Electrooacuteptico
KDPKH2PO4
no=15074 r41=86 pmV(λ = 6328nm) ne=14673 r63=106 pmV
Como se pode ver na tabela 42 o cristal do tipo KDP eacute higroscoacutepico sendo
assim necessaacuterio reduzir ao maacuteximo o contacto entre o cristal e a atmosfera para
evitar que as suas faces fiquem opacas interferindo assim na qualidade do feixe
transmitido
435 Porta Amostras
O porta amostras eacute constituiacutedo por uma base feita de latatildeo (Fig 410) onde se
coloca o cristal nivelado com o feixe laser Este suporte possui oito roscas para
parafusos M3 quatro em cima de forma a se fixar os encaixes laterais do porta
amostras e quatro em baixo de forma a afixar-se firmemente na bancada oacuteptica
Figura 410 Imagem da base do porta-amostras desenvolvido
32
43 SISTEMA OacutePTICO DESENVOLVIDO
De forma a aplicar-se a tensatildeo de excitaccedilatildeo ao cristal sem bloquear o feixe do
laser foram utilizadas duas placas de vidro com oacutexido de estanho dopado com
fluacuteor (FTO) Este permite que haja uma boa transparecircncia e conduccedilatildeo eleacutetrica
sendo usado em vaacuterios tipos de dispositivos como aplicaccedilotildees opto-eletroacutenicas
ecratildes touch screen filmes finos fotovoltaicos etc O oacutexido de estanho dopado
com fluacuteor [19] eacute reconhecido por ser altamente estaacutevel quimicamente inerte re-
siste a temperaturas elevadas e ao desgaste abrasivo sendo mais econoacutemico do
que o tradicional oacutexido de iacutendio e estanho (ITO)
De forma a garantir um bom contacto eleacutectrico entre o vidro FTO e o cristal
foram construidas duas peccedilas de afixaccedilatildeo idecircnticas (Fig 411) Trata-se de duas
peccedilas de alumiacutenio cada uma contendo uma abertura de forma a deixar passar
o feixe laser e dois rasgos para parafusos de forma a poder-se fixar no suporte e
desta maneira exercer uma pressatildeo constante sobre o cristal
Figura 411 Imagem das peccedilas de fixaccedilatildeo do cristal desenvolvidas com a vista defrente (a) e a vista de traacutes (b)
A ligaccedilatildeo eleacutectrica entre o sinal de referecircncia proveniente do amplificador ao
vidro FTO foi feita atraveacutes de uma cola condutora de prata de forma a assegurar
a ligaccedilatildeo oacutehmica entre o fio de cobre e a camada de FTO O cristal fica assim entre
duas placas de vidro FTO(Fig412)
33
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Figura 412 Imagem do porta Amostras desenvolvido
A figura 413 ilustra o sistema desenvolvido incluindo a bancada oacuteptica e
instrumentaccedilatildeo
Figura 413 Imagem do sistema desenvolvido para a mediccedilatildeo do efeito electrooacutep-tico
34
44 COEFICIENTE ELECTROOacutePTICO
44 Coeficiente Electrooacuteptico
Para o cristal utilizado o dihidrogenofosfato de potaacutessio (KDP) e para o efeito
electrooacuteptico linear a matriz de coeficientes electrooacutepticos eacute a seguinte
rij =
0 0 0
0 0 0
0 0 0
r41 0 0
0 r52 0
0 0 r63
com
i = 1 6
j = 123
Sendo que r41 = r52 pelo que existem apenas dois coeficientes independentes
o r41 e o r63
Usando a notaccedilatildeo condensada mencionada da secccedilatildeo 21 onde se aplica o
campo eleacutectrico (E) no plano do i (sendo i = m) enquanto que j eacute o eixo oacuteptico
Para o caso do KDP eacute costume utilizar o r63 Isto eacute aplicar o campo eleacutectrico nos
planos 12 ou 21 (ou seja i = 6) com o eixo oacuteptico no eixo 3 (j = 3) como demonstra
a figura 414
Figura 414 Ilustraccedilatildeo da configuraccedilatildeo utilizada para a mediccedilatildeo do coeficienter63 num cristal
35
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Para o caso do efeito electrooacuteptico quadraacutetico a matriz dos coeficientes elec-
trooacutepticos seraacute
sij =
s11 s12 s12 0 0 0
s12 s11 s12 0 0 0
s12 s12 s11 0 0 0
0 0 0 s11 minus s12 0 0
0 0 0 0 s11 minus s12 0
0 0 0 0 0 s11 minus s12
com i j = 1 6
45 Execuccedilatildeo Experimental
Para se medir o coeficiente electrooacuteptico aplica-se ao cristal uma tensatildeo com uma
frequecircncia de 2kHz frequecircncia essa que se revelou menos sensiacutevel aos ruiacutedos
ambientes sendo que o sinal electrooacuteptico teraacute a mesma frequecircncia Podendo-
se desta maneira atraveacutes de um amplificador de lock-in (modelo 393 da IthacoDynatrac) filtrar o sinal electrooacuteptico dos restantes sinais uma vez que a sua
frequecircncia eacute conhecida
A intensidade da equaccedilatildeo 41 eacute maacutexima quando cos(∆φ) = 1 e miacutenima quando
cos(∆φ) = minus1 Pelo que subtraindo estas duas equaccedilotildees
Imax minus Imin = 4E1E2 (46)
Assim combinando a equaccedilatildeo 41 com a equaccedilatildeo 46 obtem-se
I prop E21E
22 +
12
(Imax minus Imin)cos(∆φ) (47)
Juntando agora a equaccedilatildeo 246 agrave equaccedilatildeo 247 e tendo em conta que o feixe
passa duas vezes por cada ramo (=2l) a diferenccedila de fase para o efeito electrooacutep-
tico linear
∆φ = ∆φ0 +πrn3
oVoλ
2lh
cos(Ωt) (48)
Sendo ∆φ0 a diferenccedila de fase inicial sem o efeito electrooacuteptico
36
45 EXECUCcedilAtildeO EXPERIMENTAL
Substituindo o ∆φ da equaccedilatildeo 48 na equaccedilatildeo 47 a intensidade do sinal com
modulaccedilatildeo electrooacuteptica(Iseo) seraacute dado por
Iseo prop E21 +E2
2 +12
(Imax minus Imin)cos(∆φ0 +
πrn3oVoλ
2lh
cos(Ωt))
(49)
Usando cos(α plusmn β) = cos(α)cos(β)∓ sen(α) sen(β) e D = πrn3oVoλ
2lh fica-se com
Iseo prop E21 +E2
2+12
(Imax minus Imin)
[cos(∆φ0)cos(Dcos(Ωt)) minus sen(∆φ0) sen(D cos(Ωt))](410)
Como a modulaccedilatildeo electrooacuteptica eacute um efeito muito pequeno a equaccedilatildeo 410
pode-se escrever
Iseo asymp E21 +E2
2 +12
(Imax minus Imin) [cos(∆φ0)minusD cos(Ωt) sen(∆φ0)] (411)
Considerando soacute os termos de primeira ordem
Iseo asymp12
(Imax minus Imin) [cos(∆φ0)minusD cos(Ωt) sen(∆φ0)] (412)
A componente do sinal electrooacuteptico eacute entatildeo dado por
Iseo =12
(Imax minus Imin)D cos(Ωt) sen(∆φ0) (413)
Ou seja
Iseo =12
(Imax minus Imin)πrn3
oVoλ
2lh
cos(Ωt) sen(∆φ0) (414)
O acircngulo ∆φ0 varia linearmente com o tempo (t) a uma frequecircncia inferior
a Ω A franja de interferecircncia desloca-se continuamente em frente ao detector
devido a um dos espelho estar fixado num disco piezoeleacutectrico
37
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Na figura 415 pode-se ver uma exemplificaccedilatildeo do sinal no detector que incor-
pora o sinal da franja e electrooacuteptico dada pela equaccedilatildeo 414
Figura 415 Ilustraccedilatildeo do sinal de modulaccedilatildeo electrooacuteptica de um feixe de luzmedido num interferoacutemetro de Michelson
Uma vez que o sinal electrooacuteptico (cos(Ωt)) estaacute desfasado π2 do sinal da
franja ( sen(∆φ0)) A intensidade do sinal electrooacuteptico pode ser escrita como
Iseo asymp12
(Imax minus Imin)πrn3
oVoλ
2lh
∣∣∣ sen(∆φ0)∣∣∣ (415)
Assim a amplitude do sinal electrooacuteptico eacute
Iseo =12
(Imax minus Imin)πrn3
oVoλ
2lh
(416)
Pelo que o coeficiente electrooacuteptico linear seraacute dado por
r =|Iseo|
|Imax minus Imin|λ
πn3oVo
hl
(417)
38
46 RESULTADOS
Para o efeito electrooacuteptico quadraacutetico utilizando o procedimento anoacutelogo mas
a partir da equaccedilatildeo 248 em vez da equaccedilatildeo 247 O sinal electrooacuteptico quadraacutetico
Iseoq que ocorre ao dobro da frequecircncia de modulaccedilatildeo 2Ω eacute dado por
s =
∣∣∣Iseoq∣∣∣|Imax minus Imin|
2λ
πn3oV
2o
h2
l(418)
46 Resultados
Com o cristal de KDP devidamente alinhado no interferoacutemetro segundo o seu
eixo oacuteptico de maneira a se medir o coeficiente r63 Obtendo-se assim dois sinais
o sinal de franja e o sinal electrooacuteptico (Fig 416)
Figura 416 Padratildeo da franja produzida (a) e respectivos sinais de franja e elec-trooacuteptico obtidos para um cristal KDP padratildeo
De forma a se proceder a calibraccedilatildeo do sistema utilizou-se a equaccedilatildeo 417 na
forma
|Iseo||Imax minus Imin|
=πn3
o
λlhrVo (419)
39
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Usando o valor da razatildeo |Iseo ||ImaxminusImin|
em funccedilatildeo do potencial aplicado Vo pode-se
calcular o valor do coeficiente electrooacuteptico r atraveacutes do declive da recta obtida
Pode-se ver na figura 417 uma das rectas obtidas para o cristal utilizado na
calibraccedilatildeo do sistema
Figura 417 Razatildeo entre o sinal electrooacuteptico e a diferenccedila de intensidade defranjas em funccedilatildeo do potencial Vo aplicado ao cristal
A tabela 44 apresenta o valor do coeficiente electrooacuteptico obtido e respectiva
incerteza para o cristal de KDP tomando em conta os valores dos iacutendices de
refraccedilatildeo da tabela 43
Tabela 44 Valores e respectivas incertezas obtidas do coeficiente electrooacutepticopara o cristal KDP utilizado
Material Valor Padratildeo Valor Obtido Erro
KDPr63 = 106pmV r63 = 105plusmn 02pmV 1
(λ = 6328nm)
Como se pode ver na tabela 44 o resultado obtido situa-se muito proacuteximo
do teoacuterico encontrando-se dentro da incerteza obtida Os valores valores meacutedios
apresentam um desvio da ordem dos 02pmV
40
46 RESULTADOS
Apesar dos valores obtidos serem bastante positivos houve algumas dificul-
dades nomeadamente o vidro FTO que causou que o alinhamento fosse extrema-
mente complicado natildeo soacute pela sua espessura e dimensionamento como tambeacutem
pela refraccedilatildeo provocada no feixe laser Outro grande obstaacuteculo foi o alinhamento
do cristal uma vez que basta um ligeiro desvio no caminho oacuteptico para causar um
desalinhamento total algo que eacute agravado no interferoacutemetro do tipo Michelson
pelo facto de o feixe laser passar na amostra duas vezes
Apesar destas dificuldades o valor obtido para o coeficiente electrooacuteptico r63
foi de 105pmV valor esse muito proacuteximo do valor padratildeo da literatura que se
encontra nos 106pmV Assim pode-se considerar que o sistema desenvolvido
se encontra devidamente calibrado e pronto para futuras utilizaccedilotildees
41
Capiacutetulo
5Conclusotildees
O trabalho desenvolvido no decorrer desta dissertaccedilatildeo consistiu no desenvolvi-
mento de um sistema para a mediccedilatildeo do efeito electrooacuteptico aacuterea a ser ulilizada
na caracterizaccedilatildeo de novos materiais polimeacutericos para aplicaccedilatildeo em dispositivos
fotoacutenicos
Nesta conformidade foi desenhada construiacuteda e testado uma bancada oacuteptica
destinada agrave mediccedilatildeo do efeito electrooacuteptico baseado numa teacutecnica interferomeacute-
trica de mediccedilatildeo da diferenccedila de fase implementado atraveacutes de um interferoacutemetro
do tipo Michelson
O cristal escolhido para a calibraccedilatildeo do sistema desenvolvido foi um cristal de
KDP comercial tendo sido utilizado o coeficiente electrooacuteptico r63 como referecircn-
cia sendo o valor padratildeo de 106pmV
O sistema obtido permitiu medir um valor nominal de 105plusmn 02pmV com
um erro de aproximadamente 1 em relaccedilatildeo ao valor tabelado comprovando a
afericcedilatildeo do sistema para a mediccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico por transmissatildeo
O sistema desenvolvido estaacute portanto apto para futuras mediccedilotildees sendo ape-
nas necessaacuterio algumas alteraccedilotildees no porta-amostras mediante as dimensotildees e
forma da amostra a utilizar
Chegou-se ainda agrave conclusatildeo que para amostras como o cristal utilizado o
feixe laser passar duas vezes na amostra acaba por ser uma grande desvantagem
desvantagem essa inexistente para filmes polimeacutericos que ganham cada vez mais
importacircncia na aacuterea da fotoacutenica uma vez que satildeo materiais de grande interesse
cientiacutefico e tecnoloacutegico jaacute que podem ser utilizados no desenvolvimento de dispo-
sitivos oacutepticos nomeadamente moduladores de luz e memoacuterias oacutepticas
43
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46
Apecircndice
AApecircndice
A1 Desenhos Teacutecnicos
47
4xM
311
23
35
40
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311
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- Lista de Figuras
- Lista de Tabelas
- Introduccedilatildeo
- Efeito Electrooacuteptico
-
- Oacuteptica Natildeo-Linear
- Propagaccedilatildeo em Meios Anisotroacutepicos
-
- Vector de Poynting
- Elipsoiacutede dos Iacutendices
- Coeficientes Natildeo-Lineares
-
- Mediccedilatildeo do Efeito Electrooacuteptico
-
- Meacutetodo Tradicional
- Meacutetodos por Interferometria
-
- Interferometria Oacuteptica
- Interferoacutemetro de Mach-Zehnder
- Interferoacutemetro de Michelson
-
- Sistema Implementado
-
- Interferoacutemetro
- Electroacutenica Desenvolvida
-
- Amplificador
- Gerador de Rampa
- Seguidor de Tensatildeo
-
- Sistema Oacuteptico Desenvolvido
-
- Espelho Vibrante
- Bancada Oacuteptica
- Detector
- Cristal Electrooacuteptico
- Porta Amostras
-
- Coeficiente Electrooacuteptico
- Execuccedilatildeo Experimental
- Resultados
-
- Conclusotildees
- Bibliografia
- Apecircndice
-
- Desenhos Teacutecnicos
-
22 PROPAGACcedilAtildeO EM MEIOS ANISOTROacutePICOS
Substituindo a equaccedilatildeo 213 na equaccedilatildeo 225 a magnitude do vector de Poyn-
ting assume a seguinte forma
S = εvE20 cos2 (wt) (227)
Se na equaccedilatildeo 227 se fizer uma meacutedia no tempo obteacutem-se
〈S〉 = εvE20
langcos2 (wt)
rang(228)
Sendo quelangcos2 (wt)
rang= 1
2 tem-se que
I = 〈S〉 =12εvE2
0 =c
2nεE2
0 (229)
Sendo I a intensidade ou seja a potecircncia meacutedia por unidade de aacuterea que a
onda electromagneacutetica transporta
222 Elipsoiacutede dos Iacutendices
Nos meios anisotroacutepicos o iacutendice de refraccedilatildeo linear depende da direccedilatildeo da propa-
gaccedilatildeo da luz e do seu estado de polarizaccedilatildeo A resposta de um meio anisotroacutepico
eacute normalmente obtida atraveacutes do conceito de elipsoiacutede de iacutendices[5 6 7] que
a seguir seraacute descrita Ao se aplicar um campo eleacutectrico a um meio polarizaacutevel
este induz uma mudanccedila do estado de polarizaccedilatildeo descrito pelo deslocamento
eleacutectrico
~D = ε0~E + ~P (230)
Sendo
~P = ε0χ~E (231)
onde ε0 eacute a permissidade eleacutectrica no vazio ~P a polarizaccedilatildeo ~E o campo eleacutec-
trico ~D o deslocamento eleacutectrico e χ eacute o tensor das suscetibilidades Atraveacutes das
equaccedilotildees 230 e 231 tem-se que
~D = ε0~E(1 + χ) (232)
9
CAPIacuteTULO 2 EFEITO ELECTROOacutePTICO
Sendo que χ eacute dado por
χ =
χ11 χ12 χ13
χ21 χ22 χ23
χ31 χ32 χ33
(233)
Pelo teorema de eixos principais [7] seraacute possiacutevel escolher um sistema de co-
ordenadas onde apenas os elementos da diagonal principal sejam diferentes de
zero de tal forma que
χ =
χ11 0 0
0 χ22 0
0 0 χ33
(234)
Assim a equaccedilatildeo 231 pode ser escrita na forma no novo sistema de eixosP1
P2
P3
= ε0
χ11 0 0
0 χ22 0
0 0 χ33
E1
E2
E3
(235)
Da equaccedilatildeo 235 pode-se ainda retirar o seguinte
P1 = ε0χ11E1 D1 = ε11E1 ε11 = ε0 (1 +χ11)
P2 = ε0χ22E2 D2 = ε22E2 ε22 = ε0 (1 +χ22) (236)
P3 = ε0χ33E3 D3 = ε33E3 ε33 = ε0 (1 +χ33)
Combinando as equaccedilotildees 219 e 236 pode-se reescrever a densidade de energia
armazenada no campo eleacutectrico como
uE =12~E middot ~D (237)
Usando as expressotildees da equaccedilatildeo 236 para manipular a equaccedilatildeo 237 obtem-
se
D21
ε11+D2
2
ε22+D2
3
ε33= 2uE (238)
10
22 PROPAGACcedilAtildeO EM MEIOS ANISOTROacutePICOS
Substituiacutendo na equaccedilatildeo 238 D1 D2 e D3 pelos seus respectivos eixos em
coordenadas cartesianas tem-se que
x2
ε11ε0+
y2
ε22ε0+
z2
ε33ε0= 1 (239)
sendo x = D1radic2ε0UE
y = D2radic2ε0UE
e z = D3radic2ε0UE
Reescrevendo a equaccedilatildeo 239 fazendo n2x = ε11ε0 n2
y = ε22ε0 e n2z = ε33ε0
obteacutem-se forma a equaccedilatildeo do elipsoide de iacutendices
x2
n2x
+y2
n2y
+z2
n2z
= 1 (240)
Sendo nx ny e nz o iacutendice de refraccedilatildeo na sua respectiva direccedilatildeo como demons-
tra a figura 22
Figura 22 Ilustraccedilatildeo do elipsoiacutede de iacutendices (retirado de [7])
11
CAPIacuteTULO 2 EFEITO ELECTROOacutePTICO
223 Coeficientes Natildeo-Lineares
Quando eacute aplicado um campo eleacutectrico ao meio o elipsoiacutede de iacutendices pode
mudar a sua forma e orientaccedilatildeo no espaccedilo de tal forma que a equaccedilatildeo de elipsoide
de iacutendices passa a ser escrita de um modo geral como
( 1n2
)1x2 +
( 1n2
)2y2 +
( 1n2
)3z2 + 2
( 1n2
)4xy + 2
( 1n2
)5xz+ 2
( 1n2
)6yz = 1 (241)
Quando o campo eleacutectrico aplicado eacute nulo as equaccedilotildees 240 e 241 tecircm de ser
equivalentes pelo que para E = 0 tem-se
( 1n2
)1
=1
n2x( 1
n2
)2
=1
n2y( 1
n2
)3
=1
n2z( 1
n2
)4
=( 1n2
)5
=( 1n2
)6
= 0
(242)
Desta forma quando se aplica um campo eleacutectrico (E) verifica-se uma variaccedilatildeo
nos coeficientes(
1n2
)i Esta variaccedilatildeo induzida pelo efeito electrooacuteptico pode entatildeo
ser descrita atraveacutes de [8]
∆
( 1n2
)i
=3sumj=1
rijEj com i = 1 6 (243)
Sendo rij o coeficiente electrooacuteptico e E a magnitude do campo eleacutectrico apli-
cado
12
22 PROPAGACcedilAtildeO EM MEIOS ANISOTROacutePICOS
A equaccedilatildeo 243 tambeacutem pode ser escrita como
∆
( 1n2
)1
∆
( 1n2
)2
∆
( 1n2
)3
∆
( 1n2
)4
∆
( 1n2
)5
∆
( 1n2
)6
=
r11 r12 r13
r21 r22 r23
r31 r32 r33
r41 r42 r43
r51 r52 r53
r61 r62 r63
E1
E2
E3
(244)
Nesta conformidade o coeficiente electrooacuteptico pode ser escrito como
rij = minus 2
n3ij
[partnijpartEj
](245)
A diferenccedila de fase ∆φ resultante da variaccedilatildeo no iacutendice de refraccedilatildeo ∆n seraacute
∆φ =2πlλ
∆n (246)
Em que o l eacute o caminho percorrido pela luz de comprimento de onda λ no
meio Sendo a variaccedilatildeo no iacutendice de refraccedilatildeo devida aos efeitos electrooacutepticos
pode-se escrever
|∆n| =rno
3
2Voh
(247)
para o efeito electrooacuteptico linear e
|∆n| =sn3o
2
(Voh
)2(248)
para o efeito electrooacuteptico quadraacutetico
Onde os coefeciecircntes electrooacutepticos linear e quadraacutetico satildeo respectivamente
r e s Vo eacute o potencial eleacutectrico aplicado entre os eleacutetrodos que distam entre si a
uma distacircncia h criando assim o campo eleacutectrico aplicado
13
Capiacutetulo
3Mediccedilatildeo do Efeito Electrooacuteptico
Neste capiacutetulo satildeo apresentadas as teacutecnicas mais comuns utilizadas para a me-
diccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico destacando-se dois tipos de interferoacutemetros o
tradicional e os de interferometria de dois feixes
31 Meacutetodo Tradicional
Um dos meacutetodos mais usados para medir o efeito eletrooacuteptico foi o proposto por
Henry [9] em 1986 Esta teacutecnica ilustrada na Fig31 baseia-se na alteraccedilatildeo do
estado de polarizaccedilatildeo de um feixe linearmente polarizado quando este atravessa
o meio Esta alteraccedilatildeo ocorre devido agrave birrefrigecircncia induzida por um campo
eleacutetrico aplicado e agrave atividade oacuteptica do meio A montagem eacute composta por uma
fonte de luz (S) um monocromador (M) uma lente (L) um diafragma (D) dois
polarizadores (P1 e P2) um cristal (BSO) de espessura d ao qual eacute aplicado um
campo eleacutetrico (E) e um fotomultiplicador (FM) ligado a um sistema de aquisiccedilatildeo
de dados
O procedimento experimental em si consiste no seguinte para um dado estado
de polarizaccedilatildeo do feixe incidente imposto pelo P1 vai-se alterando a posiccedilatildeo
angular do P2 de forma a encontrar as intensidades maacutexima e miacutenima e desta
forma calcular-se a visibilidade (ν) atraveacutes de [9]
νθ =Imax minus IminImax + Imin
(31)
15
CAPIacuteTULO 3 MEDICcedilAtildeO DO EFEITO ELECTROOacutePTICO
Figura 31 Montagem experimental proposta por Henry e a sua equipa (adaptadode [9])
De seguida altera-se P1 para a posiccedilatildeo angular de 45 e repete-se o procedi-
mento anterior Somando o quadrado das duas visibilidades obtidas tem-se que
[9]
ν2θ + ν2
θ+45 = 1 +
1minus δ2
2
sen(φ2 )φ2
2
2
(32)
sendo
δ =2πλn3rEyd (33)
e
φ =radicδ2 + ρ2 (34)
Sendo δ a diferenccedila de fase originada pela birrefringecircncia λ o comprimento
de onda do feixe no vaacutecuo ρ a diferenccedila de fase associada agrave actividade oacuteptica n o
iacutendice de refraccedilatildeo sem campo eleacutetrico aplicado Ey o campo eleacutectrico aplicado e
d a espessura do cristal na direccedilatildeo do campo eleacutectrico aplicado Destas equaccedilotildees
pode-se calcular o coeficiente electrooacuteptico r
Para o caso de φ pequenos
sen(φ2 )φ2
2
1 pelo que
ν2θ + ν2
θ+45 1 +(1minus δ
2
2
)2
(35)
Natildeo sendo nesta situaccedilatildeo necessaacuteria a actividade oacuteptica ρ Esta teacutecnica apre-
senta um erro de mediccedilatildeo de 10 a 15 em relaccedilatildeo ao valor tabelado
16
32 MEacuteTODOS POR INTERFEROMETRIA
32 Meacutetodos por Interferometria
321 Interferometria Oacuteptica
Quando duas ondas de uma mesma frequecircncia se sobrepotildeem num dado ponto
formam uma nova onda cuja amplitude eacute o resultado da soma da amplitude das
duas ondas iniciais em cada instante nesse ponto Quando a soma da duas ondas
resulta numa amplitude maior diz-se que houve interferecircncia construtiva quando
resulta numa amplitude inferior diz-se que ocorreu interferecircncia destrutiva
Supondo que uma das ondas tem a forma E1ei(φ1minuswt) e a outra forma E2e
i(φ2minuswt)
sendo E1 e E2 as amplitudes dos respetivos campos eleacutetricos φ1 e φ2 as fases
iniciais w a frequecircncia angular e t o tempo a onda resultante seraacute descrita por
[10]
ET = E1ei(φ1minuswt) +E2e
i(φ2minuswt) (36)
Se φ1 minusφ2 = 2Nπ com N = 012 entatildeo as duas ondas estaratildeo em fase e daacute-
se uma interferecircncia construtiva perfeita Se φ1 minusφ2 = (2N + 1)π e E1 = E2 entatildeo
as duas ondas estaratildeo em oposiccedilatildeo de fase e daacute-se uma interferecircncia destrutiva
completa Estas situaccedilotildees extremas encontram-se ilustradas na figura 32
Figura 32 Ilustraccedilatildeo de uma interferecircncia construtiva perfeita (a) e destrutivacompleta (b)
Matematicamente a coerecircncia eacute uma medida da correlaccedilatildeo entre as ondas
Quanto mais construtiva for a interferecircncia maior seraacute a coerecircncia Fisicamente
a coerecircncia eacute uma medida do quatildeo constante a diferenccedila de fase permanece entre
17
CAPIacuteTULO 3 MEDICcedilAtildeO DO EFEITO ELECTROOacutePTICO
as duas ondas A coerecircncia eacute usualmente medida num padratildeo de franjas de in-
terferecircncia atraveacutes da visibilidade de franja (ν) que pode ser experimentalmente
calculada atraveacutes de [10]
ν =Imax minus IminImax + Imin
= 1 coerecircncia total e contraste maacuteximo
0 lt ν lt 1 coerecircncia parcial
= 0 incoerecircncia total e contraste natildeo haacute franjas
(37)
Pode-se ver na Fig33 um exemplo da equaccedilatildeo 37 que representa a visibi-
lidade das franjas em funccedilatildeo da diferenccedila de fase entre duas ondas da mesma
frequecircncia que interferem Como a visibilidade das franjas depende da coerecircncia
das duas ondas qualquer diferenccedila iraacute traduzir-se numa diminuiccedilatildeo de visibili-
dade
Figura 33 Visibilidade num interferoacutemetro em funccedilatildeo da diferenccedila de fase entreduas ondas provenientes de ramos diferentes do interferoacutemetro (adaptado de[11])
Pode-se usar a interferometria para quantificar os efeitos electrooacutepticos natildeo
soacute linear mas tambeacutem o quadraacutetico (efeito de Kerr) Os interferoacutemetros mais
frequentemente utilizados para este efeito satildeo os interferoacutemetro de Michelson1 e1Albert Abraham Michelson foi um fiacutesico americano conhecido pela invenccedilatildeo do interferoacuteme-
tro de Michelson (1891) do seu trabalho na mediccedilatildeo da velocidade da luz e pelo seu trabalho naexperiecircncia de Michelson-Morley Em 1907 tornou-se o primeiro americano a receber o PreacutemioNobel da Fiacutesica
18
32 MEacuteTODOS POR INTERFEROMETRIA
o interferoacutemetro de Mach-Zehnder2
De salientar que as teacutecnicas interferomeacutetricas apresentam uma elevada sensibi-
lidade simplificaccedilatildeo na preparaccedilatildeo das amostras a estudar e uma menor sensibili-
dade a vibraccedilotildees mecacircnicas e a flutuaccedilotildees teacutermicas desde que estas ocorram com
a mesma intensidade em ambos os ramos do mesmo tamanho do interferoacutemetro
322 Interferoacutemetro de Mach-Zehnder
No interferoacutemetro de Mach-Zehnder (Fig 34) um separador de feixe divide o
feixe proveniente da fonte em dois feixes que vatildeo constituir os dois ramos do
interferoacutemetro o feixe-amostra e o feixe-referecircncia Ambos satildeo refletidos por um
espelho e ambos atravessam um novo separador de feixe antes de se juntarem de
novo e serem medidos nos detetores
Figura 34 Esquema de um interferoacutemetro de Mach-Zehnder (adaptado de [12])
Com os ramos agrave mesma distacircncia pode ainda observar-se que sem amostra
ambos os feixes vatildeo chegar em fase aos detetores havendo desta forma uma inter-
ferecircncia construtiva Ambos apresentaratildeo uma mudanccedila de fase correspondente
a λ devido ao facto de ambos sofrerem duas reflexotildees e uma transmissatildeo numa
placa de vidro(separador de feixe) ateacute chegarem aos detetores2Ludwig Zehnder foi um fiacutesico suiacuteccedilo e o inventor do interferoacutemetro de Mach-Zehnder Inter-
feroacutemetro esse depois aperfeiccediloado por Ludwig Mach
19
CAPIacuteTULO 3 MEDICcedilAtildeO DO EFEITO ELECTROOacutePTICO
Alterando o caminho oacuteptico do espelho do feixe-referecircncia em λ4 sem amos-
tra o feixe-amostra e o feixe-referecircncia vatildeo chegar com uma diferenccedila de fase de
λ2 ou seja vai haver uma interferecircncia destrutiva completa Isto porque o feixe-
referecircncia vai ter uma mudanccedila de fase de λ2 devido a uma reflexatildeo e duas trans-
missotildees provocadas pelos separadores de feixe Enquanto que o feixe-amostra
chegaraacute aos detetores com uma diferenccedila de fase de λ devido a duas reflexotildees
mais uma reflexatildeo com transmissatildeo no segundo separador de feixe Assim na
ausecircncia de amostra e desde que a diferenccedila de caminho oacuteptico ou retardaccedilatildeo
(δ) seja zero os feixes iratildeo interferir construtivamente [13]
Com a amostra colocada no caminho do feixe-amostra os feixes vatildeo chegar ao
detetor em diferentes situaccedilotildees de fase sendo possiacutevel determinar a diferenccedila de
fase provocada pela presenccedila da amostra
A intensidade do feixe (I) em ambos os detetores eacute descrita por [14]
I(δ) =12I(k)cos(2Nkδ) (38)
Com k o nuacutemero de onda (k = 2πλ) E fazendo δ = d com d = vt resulta
I(δ) =12I(k)cos(2Nk(vt)) (39)
323 Interferoacutemetro de Michelson
No interferoacutemetro do tipo Michelson um feixe de luz eacute dividido em dois que
percorrem caminhos diferentes para de seguida se recombinarem Apoacutes terem
percorrido caminhos diferentes o feixe resultante da recombinaccedilatildeo pode apresen-
tar um padratildeo de interferecircncia que depende da diferenccedila de caminhos oacutepticos
entre os feixes e que pode ser medido num detetor
A forma mais simples de implementar um interferoacutemetro de Michelson con-
siste em dois espelhos colocados entre si num plano perpendicular em que um
deles se pode mover na direccedilatildeo perpendicular agrave sua superfiacutecie refletora conforme
ilustrado na Fig35
Esse espelho iraacute movimentar-se num espaccedilo definido a uma velocidade cons-
tante Entre o espelho fixo e o espelho moacutevel estaacute um separador de feixe que
divide o feixe incidente inicial em dois de igual intensidade Aqui o feixe eacute parci-
almente refletido para um espelho e parcialmente transmitido para o outro
20
32 MEacuteTODOS POR INTERFEROMETRIA
Figura 35 Esquema de funcionamento de um interferoacutemetro de Michelson cominterferecircncia construtiva (a) e destrutiva (b) (adaptado de [15])
Assumindo que o separador de feixe eacute ideal e com uma reflectacircncia e transmi-
tacircncia de 50 se o espelho moacutevel se encontrar estacionaacuterio pode determinar-se
a intensidade do feixe num dado ponto do detetor Se a diferenccedila do caminho
oacuteptico ou retardaccedilatildeo (δ) for zero ou seja os espelhos estatildeo igualmente espaccedilados
do separador de feixe estes vatildeo percorrer a mesma distacircncia e interferir construti-
vamente pelo que a intensidade do feixe final eacute a soma das intensidades dos dois
feixes Nestas condiccedilotildees toda a luz que sai da fonte chega ao detetor
No caso do espelho moacutevel se deslocar uma distacircncia de λ4 a retardaccedilatildeo total
seraacute de λ2 pelo que os feixes estaratildeo desfasadas de 180ordm (π) Nestas condiccedilotildees ter-
se-aacute interferecircncia destrutiva completa na recombinaccedilatildeo dos feixes dando origem
agrave extinccedilatildeo total
Voltando a deslocar o espelho moacutevel de mais λ4 a diferenccedila do caminho
oacuteptico seraacute igual a λ e os dois feixes voltam a estar em fase havendo novamente
uma sobreposiccedilatildeo construtiva dos feixes
Com o espelho moacutevel a deslocar-se a uma velocidade constante o sinal do de-
tetor iraacute variar com uma forma perioacutedica sendo que atinge o seu maacuteximo quando
a retardaccedilatildeo (δ) for um muacuteltiplo inteiro de λ δ =Nλ
A expressatildeo da intensidade do feixe (I) no detector para o caso do interferoacute-
metro de Michelson eacute semelhante agrave equaccedilatildeo 38 para o interferoacutemetro de Mach-
Zehnder sendo que neste caso δ = 2d com d = vt jaacute que o feixe atravessa a
amostra duas vezes Nestas condiccedilotildees ter-se-aacute
I(δ) =12I(k)cos(4Nk(vt)) (310)
21
CAPIacuteTULO 3 MEDICcedilAtildeO DO EFEITO ELECTROOacutePTICO
22
Capiacutetulo
4Sistema Implementado
Este capiacutetulo descreve o sistema implementado para a mediccedilatildeo do coeficiente
electrooacuteptico usando a teacutecnica de interferoacutemetria de Michelson bem como a cali-
braccedilatildeo do mesmo
41 Interferoacutemetro
O sistema escolhido para a mediccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico baseia-se na teacutec-
nica de interferometria de Michelson (ver secccedilatildeo 323) onde se mediu a diferenccedila
de fase entre os ramos do interferoacutemetro Esta teacutecnica foi escolhida pela elevada
sensibilidade agrave diferenccedila de fase gerada entre os ramos do interferoacutemetro facili-
dade de preparaccedilatildeo das amostras e por ser menos sensiacutevel a vibraccedilotildees mecacircnicas
e a flutuaccedilotildees teacutermicas desde que estas ocorram com a mesma intensidade em
ambos os ramos do interferoacutemetro Para aleacutem das vantagens mencionadas e espe-
cificamente em comparaccedilatildeo com o interferoacutemetro mais usado o interferoacutemetro
do tipo Mach-Zehnder o interferoacutemetro de Michelson tem uma maior facilidade
de alinhamento dos espelhos e usa apenas um separador de feixe
A figura 41 esquematiza o sistema baseado no interferoacutemetro de Michelson
desenvolvido para a mediccedilatildeo do coeficiente eletrooacuteptico
23
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Figura 41 Esquematizaccedilatildeo do interferoacutemetro de Michelson e instrumentaccedilatildeoutilizada para a mediccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico em cristais
Como se pode ver no esquema da figura 41 o ramo do espelho vibrante fica
vazio enquanto que no ramo do espelho fixo se encontra a amostra entre dois
eleacutectrodos onde se aplicam um campo eleacutectrico E O sinal medido no detector
resulta da interferecircncia entre os feixes provenientes de cada ramo do interferoacute-
mentro dependendo da diferenccedila de fase entre os dois feixes Conforme referido
anteriormente a intensidade da luz (I) que chega ao detector eacute da ordem de [16]
I prop E21 +E2
2 + 2E1E2cos(∆φ) (41)
42 Electroacutenica Desenvolvida
421 Amplificador
Para o efeito electrooacuteptico se manisfestar eacute necessaacuterio aplicar-se uma tensatildeo eleacutec-
trica ao meio Uma vez que a tensatildeo de referecircncia fornecida pelo amplificador
lock-in utilizado eacute muito baixa para induzir efeito electrooacuteptico significativo por
volta dos 12V foi necessaacuterio construir um amplificador de tensatildeo (Fig 42)
24
42 ELECTROacuteNICA DESENVOLVIDA
Figura 42 Esquemaacutetico do amplificador de tensatildeo utilizado com base no ampli-ficador operacional LF356n
O amplificador construiacutedo conforme ilustra a figura 42 consiste numa mon-
tagem inversora de ganho variaacutevel com uma malha de controlo de offset e eacute
alimentado a plusmn12V
Assim o ganho G eacute determinado atraveacutes de
G = 1 +R2R1
(42)
Sendo R1 = 11kΩ R2 = 5kΩ R3 = 25kΩ e o amplificador em si utilizado foi
o LF356n
Obtendo-se desta forma um ganho de aproximadamente 55 Permitindo apli-
car uma tensatildeo de cerca de 66V ao cristal electrooacuteptico Uma vez que a tensatildeo
aplicada eacute baixa pode-se desprezar o efeito piezoeleacutectrico gerado na amostra e
que iria influenciar o valor do coeficiente electrooacuteptico medido
422 Gerador de Rampa
Para alimentar o excitador piezoeleacutectrico do espelho moacutevel foi utilizado um ge-
rador de sinais (Fig 43) de forma a induzir um deslocamento linear perioacutedico
na forma de rampa A frequecircncia de oscilaccedilatildeo cerca de 25Hz foi escolhida de
25
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
forma a ser suficientemente baixa para evitar fenoacutemenos de batimento com o sinal
de modulaccedilatildeo electrooacuteptico e suficientemente alta para que se consiga adquirir
dados em tempo uacutetil com uma tensatildeo variaacutevel entre os 4 e os 8V
Figura 43 Esquema eleacutectrico do gerador de rampa implementado baseado nocircuito temporizador NE555
Sendo R1 = 20kΩ R2 = 1kΩ e C1 = C2 = 47microF
O tempo de subida da rampa t1 eacute dado por
t1 = 0693(R1 +R2)C1 (43)
Enquanto que o tempo de descida t2 eacute
t2 = 0693R2C1 (44)
Obtendo assim um tempo de subida de 036s e um tempo de descida de 0033s
Assim a frequecircncia do gerador de rampa f seraacute dada por
f =1
t1 + t2=
144(R1 + 2R2)C1
(45)
O gerador de rampa foi construiacutedo aproveitando o espaccedilo livre no interior da
unidade de amplificaccedilatildeo onde se situa o amplificador
26
42 ELECTROacuteNICA DESENVOLVIDA
423 Seguidor de Tensatildeo
Devido agrave necessidade de acoplamento de impedacircncias entre o amplificador lock-
in e o osciloacutescopio natildeo foi possiacutevel a utilizaccedilatildeo de um repartidor coaxial que
repartisse o sinal proveniente do detector Assim de forma a se poder visuali-
zar o sinal proveniente do detector em simultacircneo com o sinal electrooacuteptico foi
necessaacuterio a construccedilatildeo de um seguidor de tensatildeo (Fig44)
Figura 44 Esquema do seguidor de tensatildeo utilizado construida com base nosamplifacores operacionais LF356n
Sendo que ambos os circuitos integrados foram alimentados por uma tensatildeo
positiva (V+) de 12V e uma negativa (Vminus) de minus12V Com R1 = R2 = 25kΩ Agrave
semelhanccedila do amplificador foi tambeacutem construida uma malha de controlo de
offset
Agrave semelhanccedila do gerador de rampa tambeacutem foi construido na unidade de
amplificaccedilatildeo e gerador de rampa como se pode ver na figura 45
27
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Figura 45 Imagem da unidade de amplificaccedilatildeo e geraccedilatildeo de rampa implemen-tada
43 Sistema Oacuteptico Desenvolvido
431 Espelho Vibrante
O espelho vibrante (Fig46) foi construiacutedo afixando um espelho a um disco pie-
zoeleacutectrico A vibraccedilatildeo do espelho iraacute fazer com que a distacircncia entre o divisor
de feixe e o espelho varie Fazendo deslocar a franja de interferecircncia em frente ao
detector permitindo a este medir as intensidades maacuteximas e miacutenimas das franjas
de interferecircncia (ver secccedilatildeo 323)
Figura 46 Imagem do espelho vibrante utilizado
28
43 SISTEMA OacutePTICO DESENVOLVIDO
432 Bancada Oacuteptica
De forma a colocar os componentes ao niacutevel do feixe do laser na mesa oacuteptica e a
tornar o sistema menos sensiacutevel a vibraccedilotildees mecacircnicas e flutuaccedilotildees teacutermicas os
componentes foram colocadas numa base quadrada de alumiacutenio
Figura 47 Imagem da bancada oacuteptica onde o interferoacutemetro de Michelson foiconstruiacutedo
Conforme se pode ver na figura 47 para completar o interferoacutemetro de Michel-
son para aleacutem dos componentes jaacute referidos foram ainda utilizados um separador
de feixe e um espelho (fixo) no suporte com uma lente oacuteptica agrave saiacuteda do mesmo
Faltando ainda o laser utilizado da Melles Griotreg que possui uma potecircncia de
635mW e um comprimento de onda de 6328nm
433 Detector
O detector utilizado foi um modelo 818-UVDB da Newport Corporationreg (Fig
48) de baixa potecircncia consistindo num fotodiacuteodo de siliacutecio capaz de operar entre
os 200 e os 1100nm As caracteriacutesticas principais deste detector encontram-se
listadas na tabela 433
29
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Tabela 41 Caracteriacutesticas principais do detector 818-UVDB [17]
Largura de Banda 200 a 1100(nm) Material Siliacutecio
Potecircncia
W λ(nm)
Incerteza de
λ(nm)
02 200 a 4008 200 a 219
Maacutexima Calibraccedilatildeo 2 220 a 349
005 400 a 11001 350 a 9494 950 a 1050
Densidade de02Wcm2 Aacuterea Activa 1cm2
Potecircncia Meacutedia
Energia Maacutexima05microJ
Diacircmetro113cm
de Pulso Activo
De forma a evitar que a luz ambiente interferisse nas medidas e para aumen-
tar a resoluccedilatildeo de mediccedilatildeo do perfil da franja de interferecircncia foi colocado um
diafragma com uma abertura no centro de 06mm conforme se pode ver na figura
48 reduzido desta maneira a aacuterea activa para 028 mm2
Figura 48 Imagem do detector e disco utilizado
Para a aquisiccedilatildeo do sinal electrooacuteptico e geraccedilatildeo de sinal electrooacuteptico de
referecircncia foi utilizado um osciloscoacutepio Lecroy Wavesufertrade422
30
43 SISTEMA OacutePTICO DESENVOLVIDO
434 Cristal Electrooacuteptico
Para a calibraccedilatildeo do sistema foi utilizado um cristal padratildeo de dihidrogenofosfato
de potaacutessio (KDP) Na tabela 42 pode-se observar algumas das propriedades
fiacutesicas desse cristal
Tabela 42 Propriedades fiacutesicas do cristal padratildeo KDP [18]
Material Simetria Densidade Classe Higroscopicidade
KDP Tetragonal (42m) 234gcm3 Uniaxial Higroscoacutepico
Uma vez que o cristal eacute uniaxial nx = ny = no e nz = ne sendo no e ne os
iacutendices de refraccedilatildeo ordinaacuterio e extraordinaacuterio do cristal KDP A figura 49 ilustra
o elipsoiacutede de iacutendices num cristal padratildeo KDP
Figura 49 Ilustraccedilatildeo de um cristal padratildeo KDP e seu respectivo elipsoiacutede deiacutendices
31
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Na Tabela 43 pode-se observar algumas das propriedades oacutepticas do cristal
padratildeo KDP
Tabela 43 Propriedades oacutepticas do cristal padratildeo KDP a 6328nm [7]
Material Foacutermula Quiacutemica Iacutendice de RefracccedilatildeoCoeficiente
Electrooacuteptico
KDPKH2PO4
no=15074 r41=86 pmV(λ = 6328nm) ne=14673 r63=106 pmV
Como se pode ver na tabela 42 o cristal do tipo KDP eacute higroscoacutepico sendo
assim necessaacuterio reduzir ao maacuteximo o contacto entre o cristal e a atmosfera para
evitar que as suas faces fiquem opacas interferindo assim na qualidade do feixe
transmitido
435 Porta Amostras
O porta amostras eacute constituiacutedo por uma base feita de latatildeo (Fig 410) onde se
coloca o cristal nivelado com o feixe laser Este suporte possui oito roscas para
parafusos M3 quatro em cima de forma a se fixar os encaixes laterais do porta
amostras e quatro em baixo de forma a afixar-se firmemente na bancada oacuteptica
Figura 410 Imagem da base do porta-amostras desenvolvido
32
43 SISTEMA OacutePTICO DESENVOLVIDO
De forma a aplicar-se a tensatildeo de excitaccedilatildeo ao cristal sem bloquear o feixe do
laser foram utilizadas duas placas de vidro com oacutexido de estanho dopado com
fluacuteor (FTO) Este permite que haja uma boa transparecircncia e conduccedilatildeo eleacutetrica
sendo usado em vaacuterios tipos de dispositivos como aplicaccedilotildees opto-eletroacutenicas
ecratildes touch screen filmes finos fotovoltaicos etc O oacutexido de estanho dopado
com fluacuteor [19] eacute reconhecido por ser altamente estaacutevel quimicamente inerte re-
siste a temperaturas elevadas e ao desgaste abrasivo sendo mais econoacutemico do
que o tradicional oacutexido de iacutendio e estanho (ITO)
De forma a garantir um bom contacto eleacutectrico entre o vidro FTO e o cristal
foram construidas duas peccedilas de afixaccedilatildeo idecircnticas (Fig 411) Trata-se de duas
peccedilas de alumiacutenio cada uma contendo uma abertura de forma a deixar passar
o feixe laser e dois rasgos para parafusos de forma a poder-se fixar no suporte e
desta maneira exercer uma pressatildeo constante sobre o cristal
Figura 411 Imagem das peccedilas de fixaccedilatildeo do cristal desenvolvidas com a vista defrente (a) e a vista de traacutes (b)
A ligaccedilatildeo eleacutectrica entre o sinal de referecircncia proveniente do amplificador ao
vidro FTO foi feita atraveacutes de uma cola condutora de prata de forma a assegurar
a ligaccedilatildeo oacutehmica entre o fio de cobre e a camada de FTO O cristal fica assim entre
duas placas de vidro FTO(Fig412)
33
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Figura 412 Imagem do porta Amostras desenvolvido
A figura 413 ilustra o sistema desenvolvido incluindo a bancada oacuteptica e
instrumentaccedilatildeo
Figura 413 Imagem do sistema desenvolvido para a mediccedilatildeo do efeito electrooacutep-tico
34
44 COEFICIENTE ELECTROOacutePTICO
44 Coeficiente Electrooacuteptico
Para o cristal utilizado o dihidrogenofosfato de potaacutessio (KDP) e para o efeito
electrooacuteptico linear a matriz de coeficientes electrooacutepticos eacute a seguinte
rij =
0 0 0
0 0 0
0 0 0
r41 0 0
0 r52 0
0 0 r63
com
i = 1 6
j = 123
Sendo que r41 = r52 pelo que existem apenas dois coeficientes independentes
o r41 e o r63
Usando a notaccedilatildeo condensada mencionada da secccedilatildeo 21 onde se aplica o
campo eleacutectrico (E) no plano do i (sendo i = m) enquanto que j eacute o eixo oacuteptico
Para o caso do KDP eacute costume utilizar o r63 Isto eacute aplicar o campo eleacutectrico nos
planos 12 ou 21 (ou seja i = 6) com o eixo oacuteptico no eixo 3 (j = 3) como demonstra
a figura 414
Figura 414 Ilustraccedilatildeo da configuraccedilatildeo utilizada para a mediccedilatildeo do coeficienter63 num cristal
35
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Para o caso do efeito electrooacuteptico quadraacutetico a matriz dos coeficientes elec-
trooacutepticos seraacute
sij =
s11 s12 s12 0 0 0
s12 s11 s12 0 0 0
s12 s12 s11 0 0 0
0 0 0 s11 minus s12 0 0
0 0 0 0 s11 minus s12 0
0 0 0 0 0 s11 minus s12
com i j = 1 6
45 Execuccedilatildeo Experimental
Para se medir o coeficiente electrooacuteptico aplica-se ao cristal uma tensatildeo com uma
frequecircncia de 2kHz frequecircncia essa que se revelou menos sensiacutevel aos ruiacutedos
ambientes sendo que o sinal electrooacuteptico teraacute a mesma frequecircncia Podendo-
se desta maneira atraveacutes de um amplificador de lock-in (modelo 393 da IthacoDynatrac) filtrar o sinal electrooacuteptico dos restantes sinais uma vez que a sua
frequecircncia eacute conhecida
A intensidade da equaccedilatildeo 41 eacute maacutexima quando cos(∆φ) = 1 e miacutenima quando
cos(∆φ) = minus1 Pelo que subtraindo estas duas equaccedilotildees
Imax minus Imin = 4E1E2 (46)
Assim combinando a equaccedilatildeo 41 com a equaccedilatildeo 46 obtem-se
I prop E21E
22 +
12
(Imax minus Imin)cos(∆φ) (47)
Juntando agora a equaccedilatildeo 246 agrave equaccedilatildeo 247 e tendo em conta que o feixe
passa duas vezes por cada ramo (=2l) a diferenccedila de fase para o efeito electrooacutep-
tico linear
∆φ = ∆φ0 +πrn3
oVoλ
2lh
cos(Ωt) (48)
Sendo ∆φ0 a diferenccedila de fase inicial sem o efeito electrooacuteptico
36
45 EXECUCcedilAtildeO EXPERIMENTAL
Substituindo o ∆φ da equaccedilatildeo 48 na equaccedilatildeo 47 a intensidade do sinal com
modulaccedilatildeo electrooacuteptica(Iseo) seraacute dado por
Iseo prop E21 +E2
2 +12
(Imax minus Imin)cos(∆φ0 +
πrn3oVoλ
2lh
cos(Ωt))
(49)
Usando cos(α plusmn β) = cos(α)cos(β)∓ sen(α) sen(β) e D = πrn3oVoλ
2lh fica-se com
Iseo prop E21 +E2
2+12
(Imax minus Imin)
[cos(∆φ0)cos(Dcos(Ωt)) minus sen(∆φ0) sen(D cos(Ωt))](410)
Como a modulaccedilatildeo electrooacuteptica eacute um efeito muito pequeno a equaccedilatildeo 410
pode-se escrever
Iseo asymp E21 +E2
2 +12
(Imax minus Imin) [cos(∆φ0)minusD cos(Ωt) sen(∆φ0)] (411)
Considerando soacute os termos de primeira ordem
Iseo asymp12
(Imax minus Imin) [cos(∆φ0)minusD cos(Ωt) sen(∆φ0)] (412)
A componente do sinal electrooacuteptico eacute entatildeo dado por
Iseo =12
(Imax minus Imin)D cos(Ωt) sen(∆φ0) (413)
Ou seja
Iseo =12
(Imax minus Imin)πrn3
oVoλ
2lh
cos(Ωt) sen(∆φ0) (414)
O acircngulo ∆φ0 varia linearmente com o tempo (t) a uma frequecircncia inferior
a Ω A franja de interferecircncia desloca-se continuamente em frente ao detector
devido a um dos espelho estar fixado num disco piezoeleacutectrico
37
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Na figura 415 pode-se ver uma exemplificaccedilatildeo do sinal no detector que incor-
pora o sinal da franja e electrooacuteptico dada pela equaccedilatildeo 414
Figura 415 Ilustraccedilatildeo do sinal de modulaccedilatildeo electrooacuteptica de um feixe de luzmedido num interferoacutemetro de Michelson
Uma vez que o sinal electrooacuteptico (cos(Ωt)) estaacute desfasado π2 do sinal da
franja ( sen(∆φ0)) A intensidade do sinal electrooacuteptico pode ser escrita como
Iseo asymp12
(Imax minus Imin)πrn3
oVoλ
2lh
∣∣∣ sen(∆φ0)∣∣∣ (415)
Assim a amplitude do sinal electrooacuteptico eacute
Iseo =12
(Imax minus Imin)πrn3
oVoλ
2lh
(416)
Pelo que o coeficiente electrooacuteptico linear seraacute dado por
r =|Iseo|
|Imax minus Imin|λ
πn3oVo
hl
(417)
38
46 RESULTADOS
Para o efeito electrooacuteptico quadraacutetico utilizando o procedimento anoacutelogo mas
a partir da equaccedilatildeo 248 em vez da equaccedilatildeo 247 O sinal electrooacuteptico quadraacutetico
Iseoq que ocorre ao dobro da frequecircncia de modulaccedilatildeo 2Ω eacute dado por
s =
∣∣∣Iseoq∣∣∣|Imax minus Imin|
2λ
πn3oV
2o
h2
l(418)
46 Resultados
Com o cristal de KDP devidamente alinhado no interferoacutemetro segundo o seu
eixo oacuteptico de maneira a se medir o coeficiente r63 Obtendo-se assim dois sinais
o sinal de franja e o sinal electrooacuteptico (Fig 416)
Figura 416 Padratildeo da franja produzida (a) e respectivos sinais de franja e elec-trooacuteptico obtidos para um cristal KDP padratildeo
De forma a se proceder a calibraccedilatildeo do sistema utilizou-se a equaccedilatildeo 417 na
forma
|Iseo||Imax minus Imin|
=πn3
o
λlhrVo (419)
39
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Usando o valor da razatildeo |Iseo ||ImaxminusImin|
em funccedilatildeo do potencial aplicado Vo pode-se
calcular o valor do coeficiente electrooacuteptico r atraveacutes do declive da recta obtida
Pode-se ver na figura 417 uma das rectas obtidas para o cristal utilizado na
calibraccedilatildeo do sistema
Figura 417 Razatildeo entre o sinal electrooacuteptico e a diferenccedila de intensidade defranjas em funccedilatildeo do potencial Vo aplicado ao cristal
A tabela 44 apresenta o valor do coeficiente electrooacuteptico obtido e respectiva
incerteza para o cristal de KDP tomando em conta os valores dos iacutendices de
refraccedilatildeo da tabela 43
Tabela 44 Valores e respectivas incertezas obtidas do coeficiente electrooacutepticopara o cristal KDP utilizado
Material Valor Padratildeo Valor Obtido Erro
KDPr63 = 106pmV r63 = 105plusmn 02pmV 1
(λ = 6328nm)
Como se pode ver na tabela 44 o resultado obtido situa-se muito proacuteximo
do teoacuterico encontrando-se dentro da incerteza obtida Os valores valores meacutedios
apresentam um desvio da ordem dos 02pmV
40
46 RESULTADOS
Apesar dos valores obtidos serem bastante positivos houve algumas dificul-
dades nomeadamente o vidro FTO que causou que o alinhamento fosse extrema-
mente complicado natildeo soacute pela sua espessura e dimensionamento como tambeacutem
pela refraccedilatildeo provocada no feixe laser Outro grande obstaacuteculo foi o alinhamento
do cristal uma vez que basta um ligeiro desvio no caminho oacuteptico para causar um
desalinhamento total algo que eacute agravado no interferoacutemetro do tipo Michelson
pelo facto de o feixe laser passar na amostra duas vezes
Apesar destas dificuldades o valor obtido para o coeficiente electrooacuteptico r63
foi de 105pmV valor esse muito proacuteximo do valor padratildeo da literatura que se
encontra nos 106pmV Assim pode-se considerar que o sistema desenvolvido
se encontra devidamente calibrado e pronto para futuras utilizaccedilotildees
41
Capiacutetulo
5Conclusotildees
O trabalho desenvolvido no decorrer desta dissertaccedilatildeo consistiu no desenvolvi-
mento de um sistema para a mediccedilatildeo do efeito electrooacuteptico aacuterea a ser ulilizada
na caracterizaccedilatildeo de novos materiais polimeacutericos para aplicaccedilatildeo em dispositivos
fotoacutenicos
Nesta conformidade foi desenhada construiacuteda e testado uma bancada oacuteptica
destinada agrave mediccedilatildeo do efeito electrooacuteptico baseado numa teacutecnica interferomeacute-
trica de mediccedilatildeo da diferenccedila de fase implementado atraveacutes de um interferoacutemetro
do tipo Michelson
O cristal escolhido para a calibraccedilatildeo do sistema desenvolvido foi um cristal de
KDP comercial tendo sido utilizado o coeficiente electrooacuteptico r63 como referecircn-
cia sendo o valor padratildeo de 106pmV
O sistema obtido permitiu medir um valor nominal de 105plusmn 02pmV com
um erro de aproximadamente 1 em relaccedilatildeo ao valor tabelado comprovando a
afericcedilatildeo do sistema para a mediccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico por transmissatildeo
O sistema desenvolvido estaacute portanto apto para futuras mediccedilotildees sendo ape-
nas necessaacuterio algumas alteraccedilotildees no porta-amostras mediante as dimensotildees e
forma da amostra a utilizar
Chegou-se ainda agrave conclusatildeo que para amostras como o cristal utilizado o
feixe laser passar duas vezes na amostra acaba por ser uma grande desvantagem
desvantagem essa inexistente para filmes polimeacutericos que ganham cada vez mais
importacircncia na aacuterea da fotoacutenica uma vez que satildeo materiais de grande interesse
cientiacutefico e tecnoloacutegico jaacute que podem ser utilizados no desenvolvimento de dispo-
sitivos oacutepticos nomeadamente moduladores de luz e memoacuterias oacutepticas
43
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46
Apecircndice
AApecircndice
A1 Desenhos Teacutecnicos
47
4xM
311
23
35
40
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- Lista de Figuras
- Lista de Tabelas
- Introduccedilatildeo
- Efeito Electrooacuteptico
-
- Oacuteptica Natildeo-Linear
- Propagaccedilatildeo em Meios Anisotroacutepicos
-
- Vector de Poynting
- Elipsoiacutede dos Iacutendices
- Coeficientes Natildeo-Lineares
-
- Mediccedilatildeo do Efeito Electrooacuteptico
-
- Meacutetodo Tradicional
- Meacutetodos por Interferometria
-
- Interferometria Oacuteptica
- Interferoacutemetro de Mach-Zehnder
- Interferoacutemetro de Michelson
-
- Sistema Implementado
-
- Interferoacutemetro
- Electroacutenica Desenvolvida
-
- Amplificador
- Gerador de Rampa
- Seguidor de Tensatildeo
-
- Sistema Oacuteptico Desenvolvido
-
- Espelho Vibrante
- Bancada Oacuteptica
- Detector
- Cristal Electrooacuteptico
- Porta Amostras
-
- Coeficiente Electrooacuteptico
- Execuccedilatildeo Experimental
- Resultados
-
- Conclusotildees
- Bibliografia
- Apecircndice
-
- Desenhos Teacutecnicos
-
CAPIacuteTULO 2 EFEITO ELECTROOacutePTICO
Sendo que χ eacute dado por
χ =
χ11 χ12 χ13
χ21 χ22 χ23
χ31 χ32 χ33
(233)
Pelo teorema de eixos principais [7] seraacute possiacutevel escolher um sistema de co-
ordenadas onde apenas os elementos da diagonal principal sejam diferentes de
zero de tal forma que
χ =
χ11 0 0
0 χ22 0
0 0 χ33
(234)
Assim a equaccedilatildeo 231 pode ser escrita na forma no novo sistema de eixosP1
P2
P3
= ε0
χ11 0 0
0 χ22 0
0 0 χ33
E1
E2
E3
(235)
Da equaccedilatildeo 235 pode-se ainda retirar o seguinte
P1 = ε0χ11E1 D1 = ε11E1 ε11 = ε0 (1 +χ11)
P2 = ε0χ22E2 D2 = ε22E2 ε22 = ε0 (1 +χ22) (236)
P3 = ε0χ33E3 D3 = ε33E3 ε33 = ε0 (1 +χ33)
Combinando as equaccedilotildees 219 e 236 pode-se reescrever a densidade de energia
armazenada no campo eleacutectrico como
uE =12~E middot ~D (237)
Usando as expressotildees da equaccedilatildeo 236 para manipular a equaccedilatildeo 237 obtem-
se
D21
ε11+D2
2
ε22+D2
3
ε33= 2uE (238)
10
22 PROPAGACcedilAtildeO EM MEIOS ANISOTROacutePICOS
Substituiacutendo na equaccedilatildeo 238 D1 D2 e D3 pelos seus respectivos eixos em
coordenadas cartesianas tem-se que
x2
ε11ε0+
y2
ε22ε0+
z2
ε33ε0= 1 (239)
sendo x = D1radic2ε0UE
y = D2radic2ε0UE
e z = D3radic2ε0UE
Reescrevendo a equaccedilatildeo 239 fazendo n2x = ε11ε0 n2
y = ε22ε0 e n2z = ε33ε0
obteacutem-se forma a equaccedilatildeo do elipsoide de iacutendices
x2
n2x
+y2
n2y
+z2
n2z
= 1 (240)
Sendo nx ny e nz o iacutendice de refraccedilatildeo na sua respectiva direccedilatildeo como demons-
tra a figura 22
Figura 22 Ilustraccedilatildeo do elipsoiacutede de iacutendices (retirado de [7])
11
CAPIacuteTULO 2 EFEITO ELECTROOacutePTICO
223 Coeficientes Natildeo-Lineares
Quando eacute aplicado um campo eleacutectrico ao meio o elipsoiacutede de iacutendices pode
mudar a sua forma e orientaccedilatildeo no espaccedilo de tal forma que a equaccedilatildeo de elipsoide
de iacutendices passa a ser escrita de um modo geral como
( 1n2
)1x2 +
( 1n2
)2y2 +
( 1n2
)3z2 + 2
( 1n2
)4xy + 2
( 1n2
)5xz+ 2
( 1n2
)6yz = 1 (241)
Quando o campo eleacutectrico aplicado eacute nulo as equaccedilotildees 240 e 241 tecircm de ser
equivalentes pelo que para E = 0 tem-se
( 1n2
)1
=1
n2x( 1
n2
)2
=1
n2y( 1
n2
)3
=1
n2z( 1
n2
)4
=( 1n2
)5
=( 1n2
)6
= 0
(242)
Desta forma quando se aplica um campo eleacutectrico (E) verifica-se uma variaccedilatildeo
nos coeficientes(
1n2
)i Esta variaccedilatildeo induzida pelo efeito electrooacuteptico pode entatildeo
ser descrita atraveacutes de [8]
∆
( 1n2
)i
=3sumj=1
rijEj com i = 1 6 (243)
Sendo rij o coeficiente electrooacuteptico e E a magnitude do campo eleacutectrico apli-
cado
12
22 PROPAGACcedilAtildeO EM MEIOS ANISOTROacutePICOS
A equaccedilatildeo 243 tambeacutem pode ser escrita como
∆
( 1n2
)1
∆
( 1n2
)2
∆
( 1n2
)3
∆
( 1n2
)4
∆
( 1n2
)5
∆
( 1n2
)6
=
r11 r12 r13
r21 r22 r23
r31 r32 r33
r41 r42 r43
r51 r52 r53
r61 r62 r63
E1
E2
E3
(244)
Nesta conformidade o coeficiente electrooacuteptico pode ser escrito como
rij = minus 2
n3ij
[partnijpartEj
](245)
A diferenccedila de fase ∆φ resultante da variaccedilatildeo no iacutendice de refraccedilatildeo ∆n seraacute
∆φ =2πlλ
∆n (246)
Em que o l eacute o caminho percorrido pela luz de comprimento de onda λ no
meio Sendo a variaccedilatildeo no iacutendice de refraccedilatildeo devida aos efeitos electrooacutepticos
pode-se escrever
|∆n| =rno
3
2Voh
(247)
para o efeito electrooacuteptico linear e
|∆n| =sn3o
2
(Voh
)2(248)
para o efeito electrooacuteptico quadraacutetico
Onde os coefeciecircntes electrooacutepticos linear e quadraacutetico satildeo respectivamente
r e s Vo eacute o potencial eleacutectrico aplicado entre os eleacutetrodos que distam entre si a
uma distacircncia h criando assim o campo eleacutectrico aplicado
13
Capiacutetulo
3Mediccedilatildeo do Efeito Electrooacuteptico
Neste capiacutetulo satildeo apresentadas as teacutecnicas mais comuns utilizadas para a me-
diccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico destacando-se dois tipos de interferoacutemetros o
tradicional e os de interferometria de dois feixes
31 Meacutetodo Tradicional
Um dos meacutetodos mais usados para medir o efeito eletrooacuteptico foi o proposto por
Henry [9] em 1986 Esta teacutecnica ilustrada na Fig31 baseia-se na alteraccedilatildeo do
estado de polarizaccedilatildeo de um feixe linearmente polarizado quando este atravessa
o meio Esta alteraccedilatildeo ocorre devido agrave birrefrigecircncia induzida por um campo
eleacutetrico aplicado e agrave atividade oacuteptica do meio A montagem eacute composta por uma
fonte de luz (S) um monocromador (M) uma lente (L) um diafragma (D) dois
polarizadores (P1 e P2) um cristal (BSO) de espessura d ao qual eacute aplicado um
campo eleacutetrico (E) e um fotomultiplicador (FM) ligado a um sistema de aquisiccedilatildeo
de dados
O procedimento experimental em si consiste no seguinte para um dado estado
de polarizaccedilatildeo do feixe incidente imposto pelo P1 vai-se alterando a posiccedilatildeo
angular do P2 de forma a encontrar as intensidades maacutexima e miacutenima e desta
forma calcular-se a visibilidade (ν) atraveacutes de [9]
νθ =Imax minus IminImax + Imin
(31)
15
CAPIacuteTULO 3 MEDICcedilAtildeO DO EFEITO ELECTROOacutePTICO
Figura 31 Montagem experimental proposta por Henry e a sua equipa (adaptadode [9])
De seguida altera-se P1 para a posiccedilatildeo angular de 45 e repete-se o procedi-
mento anterior Somando o quadrado das duas visibilidades obtidas tem-se que
[9]
ν2θ + ν2
θ+45 = 1 +
1minus δ2
2
sen(φ2 )φ2
2
2
(32)
sendo
δ =2πλn3rEyd (33)
e
φ =radicδ2 + ρ2 (34)
Sendo δ a diferenccedila de fase originada pela birrefringecircncia λ o comprimento
de onda do feixe no vaacutecuo ρ a diferenccedila de fase associada agrave actividade oacuteptica n o
iacutendice de refraccedilatildeo sem campo eleacutetrico aplicado Ey o campo eleacutectrico aplicado e
d a espessura do cristal na direccedilatildeo do campo eleacutectrico aplicado Destas equaccedilotildees
pode-se calcular o coeficiente electrooacuteptico r
Para o caso de φ pequenos
sen(φ2 )φ2
2
1 pelo que
ν2θ + ν2
θ+45 1 +(1minus δ
2
2
)2
(35)
Natildeo sendo nesta situaccedilatildeo necessaacuteria a actividade oacuteptica ρ Esta teacutecnica apre-
senta um erro de mediccedilatildeo de 10 a 15 em relaccedilatildeo ao valor tabelado
16
32 MEacuteTODOS POR INTERFEROMETRIA
32 Meacutetodos por Interferometria
321 Interferometria Oacuteptica
Quando duas ondas de uma mesma frequecircncia se sobrepotildeem num dado ponto
formam uma nova onda cuja amplitude eacute o resultado da soma da amplitude das
duas ondas iniciais em cada instante nesse ponto Quando a soma da duas ondas
resulta numa amplitude maior diz-se que houve interferecircncia construtiva quando
resulta numa amplitude inferior diz-se que ocorreu interferecircncia destrutiva
Supondo que uma das ondas tem a forma E1ei(φ1minuswt) e a outra forma E2e
i(φ2minuswt)
sendo E1 e E2 as amplitudes dos respetivos campos eleacutetricos φ1 e φ2 as fases
iniciais w a frequecircncia angular e t o tempo a onda resultante seraacute descrita por
[10]
ET = E1ei(φ1minuswt) +E2e
i(φ2minuswt) (36)
Se φ1 minusφ2 = 2Nπ com N = 012 entatildeo as duas ondas estaratildeo em fase e daacute-
se uma interferecircncia construtiva perfeita Se φ1 minusφ2 = (2N + 1)π e E1 = E2 entatildeo
as duas ondas estaratildeo em oposiccedilatildeo de fase e daacute-se uma interferecircncia destrutiva
completa Estas situaccedilotildees extremas encontram-se ilustradas na figura 32
Figura 32 Ilustraccedilatildeo de uma interferecircncia construtiva perfeita (a) e destrutivacompleta (b)
Matematicamente a coerecircncia eacute uma medida da correlaccedilatildeo entre as ondas
Quanto mais construtiva for a interferecircncia maior seraacute a coerecircncia Fisicamente
a coerecircncia eacute uma medida do quatildeo constante a diferenccedila de fase permanece entre
17
CAPIacuteTULO 3 MEDICcedilAtildeO DO EFEITO ELECTROOacutePTICO
as duas ondas A coerecircncia eacute usualmente medida num padratildeo de franjas de in-
terferecircncia atraveacutes da visibilidade de franja (ν) que pode ser experimentalmente
calculada atraveacutes de [10]
ν =Imax minus IminImax + Imin
= 1 coerecircncia total e contraste maacuteximo
0 lt ν lt 1 coerecircncia parcial
= 0 incoerecircncia total e contraste natildeo haacute franjas
(37)
Pode-se ver na Fig33 um exemplo da equaccedilatildeo 37 que representa a visibi-
lidade das franjas em funccedilatildeo da diferenccedila de fase entre duas ondas da mesma
frequecircncia que interferem Como a visibilidade das franjas depende da coerecircncia
das duas ondas qualquer diferenccedila iraacute traduzir-se numa diminuiccedilatildeo de visibili-
dade
Figura 33 Visibilidade num interferoacutemetro em funccedilatildeo da diferenccedila de fase entreduas ondas provenientes de ramos diferentes do interferoacutemetro (adaptado de[11])
Pode-se usar a interferometria para quantificar os efeitos electrooacutepticos natildeo
soacute linear mas tambeacutem o quadraacutetico (efeito de Kerr) Os interferoacutemetros mais
frequentemente utilizados para este efeito satildeo os interferoacutemetro de Michelson1 e1Albert Abraham Michelson foi um fiacutesico americano conhecido pela invenccedilatildeo do interferoacuteme-
tro de Michelson (1891) do seu trabalho na mediccedilatildeo da velocidade da luz e pelo seu trabalho naexperiecircncia de Michelson-Morley Em 1907 tornou-se o primeiro americano a receber o PreacutemioNobel da Fiacutesica
18
32 MEacuteTODOS POR INTERFEROMETRIA
o interferoacutemetro de Mach-Zehnder2
De salientar que as teacutecnicas interferomeacutetricas apresentam uma elevada sensibi-
lidade simplificaccedilatildeo na preparaccedilatildeo das amostras a estudar e uma menor sensibili-
dade a vibraccedilotildees mecacircnicas e a flutuaccedilotildees teacutermicas desde que estas ocorram com
a mesma intensidade em ambos os ramos do mesmo tamanho do interferoacutemetro
322 Interferoacutemetro de Mach-Zehnder
No interferoacutemetro de Mach-Zehnder (Fig 34) um separador de feixe divide o
feixe proveniente da fonte em dois feixes que vatildeo constituir os dois ramos do
interferoacutemetro o feixe-amostra e o feixe-referecircncia Ambos satildeo refletidos por um
espelho e ambos atravessam um novo separador de feixe antes de se juntarem de
novo e serem medidos nos detetores
Figura 34 Esquema de um interferoacutemetro de Mach-Zehnder (adaptado de [12])
Com os ramos agrave mesma distacircncia pode ainda observar-se que sem amostra
ambos os feixes vatildeo chegar em fase aos detetores havendo desta forma uma inter-
ferecircncia construtiva Ambos apresentaratildeo uma mudanccedila de fase correspondente
a λ devido ao facto de ambos sofrerem duas reflexotildees e uma transmissatildeo numa
placa de vidro(separador de feixe) ateacute chegarem aos detetores2Ludwig Zehnder foi um fiacutesico suiacuteccedilo e o inventor do interferoacutemetro de Mach-Zehnder Inter-
feroacutemetro esse depois aperfeiccediloado por Ludwig Mach
19
CAPIacuteTULO 3 MEDICcedilAtildeO DO EFEITO ELECTROOacutePTICO
Alterando o caminho oacuteptico do espelho do feixe-referecircncia em λ4 sem amos-
tra o feixe-amostra e o feixe-referecircncia vatildeo chegar com uma diferenccedila de fase de
λ2 ou seja vai haver uma interferecircncia destrutiva completa Isto porque o feixe-
referecircncia vai ter uma mudanccedila de fase de λ2 devido a uma reflexatildeo e duas trans-
missotildees provocadas pelos separadores de feixe Enquanto que o feixe-amostra
chegaraacute aos detetores com uma diferenccedila de fase de λ devido a duas reflexotildees
mais uma reflexatildeo com transmissatildeo no segundo separador de feixe Assim na
ausecircncia de amostra e desde que a diferenccedila de caminho oacuteptico ou retardaccedilatildeo
(δ) seja zero os feixes iratildeo interferir construtivamente [13]
Com a amostra colocada no caminho do feixe-amostra os feixes vatildeo chegar ao
detetor em diferentes situaccedilotildees de fase sendo possiacutevel determinar a diferenccedila de
fase provocada pela presenccedila da amostra
A intensidade do feixe (I) em ambos os detetores eacute descrita por [14]
I(δ) =12I(k)cos(2Nkδ) (38)
Com k o nuacutemero de onda (k = 2πλ) E fazendo δ = d com d = vt resulta
I(δ) =12I(k)cos(2Nk(vt)) (39)
323 Interferoacutemetro de Michelson
No interferoacutemetro do tipo Michelson um feixe de luz eacute dividido em dois que
percorrem caminhos diferentes para de seguida se recombinarem Apoacutes terem
percorrido caminhos diferentes o feixe resultante da recombinaccedilatildeo pode apresen-
tar um padratildeo de interferecircncia que depende da diferenccedila de caminhos oacutepticos
entre os feixes e que pode ser medido num detetor
A forma mais simples de implementar um interferoacutemetro de Michelson con-
siste em dois espelhos colocados entre si num plano perpendicular em que um
deles se pode mover na direccedilatildeo perpendicular agrave sua superfiacutecie refletora conforme
ilustrado na Fig35
Esse espelho iraacute movimentar-se num espaccedilo definido a uma velocidade cons-
tante Entre o espelho fixo e o espelho moacutevel estaacute um separador de feixe que
divide o feixe incidente inicial em dois de igual intensidade Aqui o feixe eacute parci-
almente refletido para um espelho e parcialmente transmitido para o outro
20
32 MEacuteTODOS POR INTERFEROMETRIA
Figura 35 Esquema de funcionamento de um interferoacutemetro de Michelson cominterferecircncia construtiva (a) e destrutiva (b) (adaptado de [15])
Assumindo que o separador de feixe eacute ideal e com uma reflectacircncia e transmi-
tacircncia de 50 se o espelho moacutevel se encontrar estacionaacuterio pode determinar-se
a intensidade do feixe num dado ponto do detetor Se a diferenccedila do caminho
oacuteptico ou retardaccedilatildeo (δ) for zero ou seja os espelhos estatildeo igualmente espaccedilados
do separador de feixe estes vatildeo percorrer a mesma distacircncia e interferir construti-
vamente pelo que a intensidade do feixe final eacute a soma das intensidades dos dois
feixes Nestas condiccedilotildees toda a luz que sai da fonte chega ao detetor
No caso do espelho moacutevel se deslocar uma distacircncia de λ4 a retardaccedilatildeo total
seraacute de λ2 pelo que os feixes estaratildeo desfasadas de 180ordm (π) Nestas condiccedilotildees ter-
se-aacute interferecircncia destrutiva completa na recombinaccedilatildeo dos feixes dando origem
agrave extinccedilatildeo total
Voltando a deslocar o espelho moacutevel de mais λ4 a diferenccedila do caminho
oacuteptico seraacute igual a λ e os dois feixes voltam a estar em fase havendo novamente
uma sobreposiccedilatildeo construtiva dos feixes
Com o espelho moacutevel a deslocar-se a uma velocidade constante o sinal do de-
tetor iraacute variar com uma forma perioacutedica sendo que atinge o seu maacuteximo quando
a retardaccedilatildeo (δ) for um muacuteltiplo inteiro de λ δ =Nλ
A expressatildeo da intensidade do feixe (I) no detector para o caso do interferoacute-
metro de Michelson eacute semelhante agrave equaccedilatildeo 38 para o interferoacutemetro de Mach-
Zehnder sendo que neste caso δ = 2d com d = vt jaacute que o feixe atravessa a
amostra duas vezes Nestas condiccedilotildees ter-se-aacute
I(δ) =12I(k)cos(4Nk(vt)) (310)
21
CAPIacuteTULO 3 MEDICcedilAtildeO DO EFEITO ELECTROOacutePTICO
22
Capiacutetulo
4Sistema Implementado
Este capiacutetulo descreve o sistema implementado para a mediccedilatildeo do coeficiente
electrooacuteptico usando a teacutecnica de interferoacutemetria de Michelson bem como a cali-
braccedilatildeo do mesmo
41 Interferoacutemetro
O sistema escolhido para a mediccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico baseia-se na teacutec-
nica de interferometria de Michelson (ver secccedilatildeo 323) onde se mediu a diferenccedila
de fase entre os ramos do interferoacutemetro Esta teacutecnica foi escolhida pela elevada
sensibilidade agrave diferenccedila de fase gerada entre os ramos do interferoacutemetro facili-
dade de preparaccedilatildeo das amostras e por ser menos sensiacutevel a vibraccedilotildees mecacircnicas
e a flutuaccedilotildees teacutermicas desde que estas ocorram com a mesma intensidade em
ambos os ramos do interferoacutemetro Para aleacutem das vantagens mencionadas e espe-
cificamente em comparaccedilatildeo com o interferoacutemetro mais usado o interferoacutemetro
do tipo Mach-Zehnder o interferoacutemetro de Michelson tem uma maior facilidade
de alinhamento dos espelhos e usa apenas um separador de feixe
A figura 41 esquematiza o sistema baseado no interferoacutemetro de Michelson
desenvolvido para a mediccedilatildeo do coeficiente eletrooacuteptico
23
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Figura 41 Esquematizaccedilatildeo do interferoacutemetro de Michelson e instrumentaccedilatildeoutilizada para a mediccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico em cristais
Como se pode ver no esquema da figura 41 o ramo do espelho vibrante fica
vazio enquanto que no ramo do espelho fixo se encontra a amostra entre dois
eleacutectrodos onde se aplicam um campo eleacutectrico E O sinal medido no detector
resulta da interferecircncia entre os feixes provenientes de cada ramo do interferoacute-
mentro dependendo da diferenccedila de fase entre os dois feixes Conforme referido
anteriormente a intensidade da luz (I) que chega ao detector eacute da ordem de [16]
I prop E21 +E2
2 + 2E1E2cos(∆φ) (41)
42 Electroacutenica Desenvolvida
421 Amplificador
Para o efeito electrooacuteptico se manisfestar eacute necessaacuterio aplicar-se uma tensatildeo eleacutec-
trica ao meio Uma vez que a tensatildeo de referecircncia fornecida pelo amplificador
lock-in utilizado eacute muito baixa para induzir efeito electrooacuteptico significativo por
volta dos 12V foi necessaacuterio construir um amplificador de tensatildeo (Fig 42)
24
42 ELECTROacuteNICA DESENVOLVIDA
Figura 42 Esquemaacutetico do amplificador de tensatildeo utilizado com base no ampli-ficador operacional LF356n
O amplificador construiacutedo conforme ilustra a figura 42 consiste numa mon-
tagem inversora de ganho variaacutevel com uma malha de controlo de offset e eacute
alimentado a plusmn12V
Assim o ganho G eacute determinado atraveacutes de
G = 1 +R2R1
(42)
Sendo R1 = 11kΩ R2 = 5kΩ R3 = 25kΩ e o amplificador em si utilizado foi
o LF356n
Obtendo-se desta forma um ganho de aproximadamente 55 Permitindo apli-
car uma tensatildeo de cerca de 66V ao cristal electrooacuteptico Uma vez que a tensatildeo
aplicada eacute baixa pode-se desprezar o efeito piezoeleacutectrico gerado na amostra e
que iria influenciar o valor do coeficiente electrooacuteptico medido
422 Gerador de Rampa
Para alimentar o excitador piezoeleacutectrico do espelho moacutevel foi utilizado um ge-
rador de sinais (Fig 43) de forma a induzir um deslocamento linear perioacutedico
na forma de rampa A frequecircncia de oscilaccedilatildeo cerca de 25Hz foi escolhida de
25
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
forma a ser suficientemente baixa para evitar fenoacutemenos de batimento com o sinal
de modulaccedilatildeo electrooacuteptico e suficientemente alta para que se consiga adquirir
dados em tempo uacutetil com uma tensatildeo variaacutevel entre os 4 e os 8V
Figura 43 Esquema eleacutectrico do gerador de rampa implementado baseado nocircuito temporizador NE555
Sendo R1 = 20kΩ R2 = 1kΩ e C1 = C2 = 47microF
O tempo de subida da rampa t1 eacute dado por
t1 = 0693(R1 +R2)C1 (43)
Enquanto que o tempo de descida t2 eacute
t2 = 0693R2C1 (44)
Obtendo assim um tempo de subida de 036s e um tempo de descida de 0033s
Assim a frequecircncia do gerador de rampa f seraacute dada por
f =1
t1 + t2=
144(R1 + 2R2)C1
(45)
O gerador de rampa foi construiacutedo aproveitando o espaccedilo livre no interior da
unidade de amplificaccedilatildeo onde se situa o amplificador
26
42 ELECTROacuteNICA DESENVOLVIDA
423 Seguidor de Tensatildeo
Devido agrave necessidade de acoplamento de impedacircncias entre o amplificador lock-
in e o osciloacutescopio natildeo foi possiacutevel a utilizaccedilatildeo de um repartidor coaxial que
repartisse o sinal proveniente do detector Assim de forma a se poder visuali-
zar o sinal proveniente do detector em simultacircneo com o sinal electrooacuteptico foi
necessaacuterio a construccedilatildeo de um seguidor de tensatildeo (Fig44)
Figura 44 Esquema do seguidor de tensatildeo utilizado construida com base nosamplifacores operacionais LF356n
Sendo que ambos os circuitos integrados foram alimentados por uma tensatildeo
positiva (V+) de 12V e uma negativa (Vminus) de minus12V Com R1 = R2 = 25kΩ Agrave
semelhanccedila do amplificador foi tambeacutem construida uma malha de controlo de
offset
Agrave semelhanccedila do gerador de rampa tambeacutem foi construido na unidade de
amplificaccedilatildeo e gerador de rampa como se pode ver na figura 45
27
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Figura 45 Imagem da unidade de amplificaccedilatildeo e geraccedilatildeo de rampa implemen-tada
43 Sistema Oacuteptico Desenvolvido
431 Espelho Vibrante
O espelho vibrante (Fig46) foi construiacutedo afixando um espelho a um disco pie-
zoeleacutectrico A vibraccedilatildeo do espelho iraacute fazer com que a distacircncia entre o divisor
de feixe e o espelho varie Fazendo deslocar a franja de interferecircncia em frente ao
detector permitindo a este medir as intensidades maacuteximas e miacutenimas das franjas
de interferecircncia (ver secccedilatildeo 323)
Figura 46 Imagem do espelho vibrante utilizado
28
43 SISTEMA OacutePTICO DESENVOLVIDO
432 Bancada Oacuteptica
De forma a colocar os componentes ao niacutevel do feixe do laser na mesa oacuteptica e a
tornar o sistema menos sensiacutevel a vibraccedilotildees mecacircnicas e flutuaccedilotildees teacutermicas os
componentes foram colocadas numa base quadrada de alumiacutenio
Figura 47 Imagem da bancada oacuteptica onde o interferoacutemetro de Michelson foiconstruiacutedo
Conforme se pode ver na figura 47 para completar o interferoacutemetro de Michel-
son para aleacutem dos componentes jaacute referidos foram ainda utilizados um separador
de feixe e um espelho (fixo) no suporte com uma lente oacuteptica agrave saiacuteda do mesmo
Faltando ainda o laser utilizado da Melles Griotreg que possui uma potecircncia de
635mW e um comprimento de onda de 6328nm
433 Detector
O detector utilizado foi um modelo 818-UVDB da Newport Corporationreg (Fig
48) de baixa potecircncia consistindo num fotodiacuteodo de siliacutecio capaz de operar entre
os 200 e os 1100nm As caracteriacutesticas principais deste detector encontram-se
listadas na tabela 433
29
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Tabela 41 Caracteriacutesticas principais do detector 818-UVDB [17]
Largura de Banda 200 a 1100(nm) Material Siliacutecio
Potecircncia
W λ(nm)
Incerteza de
λ(nm)
02 200 a 4008 200 a 219
Maacutexima Calibraccedilatildeo 2 220 a 349
005 400 a 11001 350 a 9494 950 a 1050
Densidade de02Wcm2 Aacuterea Activa 1cm2
Potecircncia Meacutedia
Energia Maacutexima05microJ
Diacircmetro113cm
de Pulso Activo
De forma a evitar que a luz ambiente interferisse nas medidas e para aumen-
tar a resoluccedilatildeo de mediccedilatildeo do perfil da franja de interferecircncia foi colocado um
diafragma com uma abertura no centro de 06mm conforme se pode ver na figura
48 reduzido desta maneira a aacuterea activa para 028 mm2
Figura 48 Imagem do detector e disco utilizado
Para a aquisiccedilatildeo do sinal electrooacuteptico e geraccedilatildeo de sinal electrooacuteptico de
referecircncia foi utilizado um osciloscoacutepio Lecroy Wavesufertrade422
30
43 SISTEMA OacutePTICO DESENVOLVIDO
434 Cristal Electrooacuteptico
Para a calibraccedilatildeo do sistema foi utilizado um cristal padratildeo de dihidrogenofosfato
de potaacutessio (KDP) Na tabela 42 pode-se observar algumas das propriedades
fiacutesicas desse cristal
Tabela 42 Propriedades fiacutesicas do cristal padratildeo KDP [18]
Material Simetria Densidade Classe Higroscopicidade
KDP Tetragonal (42m) 234gcm3 Uniaxial Higroscoacutepico
Uma vez que o cristal eacute uniaxial nx = ny = no e nz = ne sendo no e ne os
iacutendices de refraccedilatildeo ordinaacuterio e extraordinaacuterio do cristal KDP A figura 49 ilustra
o elipsoiacutede de iacutendices num cristal padratildeo KDP
Figura 49 Ilustraccedilatildeo de um cristal padratildeo KDP e seu respectivo elipsoiacutede deiacutendices
31
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Na Tabela 43 pode-se observar algumas das propriedades oacutepticas do cristal
padratildeo KDP
Tabela 43 Propriedades oacutepticas do cristal padratildeo KDP a 6328nm [7]
Material Foacutermula Quiacutemica Iacutendice de RefracccedilatildeoCoeficiente
Electrooacuteptico
KDPKH2PO4
no=15074 r41=86 pmV(λ = 6328nm) ne=14673 r63=106 pmV
Como se pode ver na tabela 42 o cristal do tipo KDP eacute higroscoacutepico sendo
assim necessaacuterio reduzir ao maacuteximo o contacto entre o cristal e a atmosfera para
evitar que as suas faces fiquem opacas interferindo assim na qualidade do feixe
transmitido
435 Porta Amostras
O porta amostras eacute constituiacutedo por uma base feita de latatildeo (Fig 410) onde se
coloca o cristal nivelado com o feixe laser Este suporte possui oito roscas para
parafusos M3 quatro em cima de forma a se fixar os encaixes laterais do porta
amostras e quatro em baixo de forma a afixar-se firmemente na bancada oacuteptica
Figura 410 Imagem da base do porta-amostras desenvolvido
32
43 SISTEMA OacutePTICO DESENVOLVIDO
De forma a aplicar-se a tensatildeo de excitaccedilatildeo ao cristal sem bloquear o feixe do
laser foram utilizadas duas placas de vidro com oacutexido de estanho dopado com
fluacuteor (FTO) Este permite que haja uma boa transparecircncia e conduccedilatildeo eleacutetrica
sendo usado em vaacuterios tipos de dispositivos como aplicaccedilotildees opto-eletroacutenicas
ecratildes touch screen filmes finos fotovoltaicos etc O oacutexido de estanho dopado
com fluacuteor [19] eacute reconhecido por ser altamente estaacutevel quimicamente inerte re-
siste a temperaturas elevadas e ao desgaste abrasivo sendo mais econoacutemico do
que o tradicional oacutexido de iacutendio e estanho (ITO)
De forma a garantir um bom contacto eleacutectrico entre o vidro FTO e o cristal
foram construidas duas peccedilas de afixaccedilatildeo idecircnticas (Fig 411) Trata-se de duas
peccedilas de alumiacutenio cada uma contendo uma abertura de forma a deixar passar
o feixe laser e dois rasgos para parafusos de forma a poder-se fixar no suporte e
desta maneira exercer uma pressatildeo constante sobre o cristal
Figura 411 Imagem das peccedilas de fixaccedilatildeo do cristal desenvolvidas com a vista defrente (a) e a vista de traacutes (b)
A ligaccedilatildeo eleacutectrica entre o sinal de referecircncia proveniente do amplificador ao
vidro FTO foi feita atraveacutes de uma cola condutora de prata de forma a assegurar
a ligaccedilatildeo oacutehmica entre o fio de cobre e a camada de FTO O cristal fica assim entre
duas placas de vidro FTO(Fig412)
33
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Figura 412 Imagem do porta Amostras desenvolvido
A figura 413 ilustra o sistema desenvolvido incluindo a bancada oacuteptica e
instrumentaccedilatildeo
Figura 413 Imagem do sistema desenvolvido para a mediccedilatildeo do efeito electrooacutep-tico
34
44 COEFICIENTE ELECTROOacutePTICO
44 Coeficiente Electrooacuteptico
Para o cristal utilizado o dihidrogenofosfato de potaacutessio (KDP) e para o efeito
electrooacuteptico linear a matriz de coeficientes electrooacutepticos eacute a seguinte
rij =
0 0 0
0 0 0
0 0 0
r41 0 0
0 r52 0
0 0 r63
com
i = 1 6
j = 123
Sendo que r41 = r52 pelo que existem apenas dois coeficientes independentes
o r41 e o r63
Usando a notaccedilatildeo condensada mencionada da secccedilatildeo 21 onde se aplica o
campo eleacutectrico (E) no plano do i (sendo i = m) enquanto que j eacute o eixo oacuteptico
Para o caso do KDP eacute costume utilizar o r63 Isto eacute aplicar o campo eleacutectrico nos
planos 12 ou 21 (ou seja i = 6) com o eixo oacuteptico no eixo 3 (j = 3) como demonstra
a figura 414
Figura 414 Ilustraccedilatildeo da configuraccedilatildeo utilizada para a mediccedilatildeo do coeficienter63 num cristal
35
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Para o caso do efeito electrooacuteptico quadraacutetico a matriz dos coeficientes elec-
trooacutepticos seraacute
sij =
s11 s12 s12 0 0 0
s12 s11 s12 0 0 0
s12 s12 s11 0 0 0
0 0 0 s11 minus s12 0 0
0 0 0 0 s11 minus s12 0
0 0 0 0 0 s11 minus s12
com i j = 1 6
45 Execuccedilatildeo Experimental
Para se medir o coeficiente electrooacuteptico aplica-se ao cristal uma tensatildeo com uma
frequecircncia de 2kHz frequecircncia essa que se revelou menos sensiacutevel aos ruiacutedos
ambientes sendo que o sinal electrooacuteptico teraacute a mesma frequecircncia Podendo-
se desta maneira atraveacutes de um amplificador de lock-in (modelo 393 da IthacoDynatrac) filtrar o sinal electrooacuteptico dos restantes sinais uma vez que a sua
frequecircncia eacute conhecida
A intensidade da equaccedilatildeo 41 eacute maacutexima quando cos(∆φ) = 1 e miacutenima quando
cos(∆φ) = minus1 Pelo que subtraindo estas duas equaccedilotildees
Imax minus Imin = 4E1E2 (46)
Assim combinando a equaccedilatildeo 41 com a equaccedilatildeo 46 obtem-se
I prop E21E
22 +
12
(Imax minus Imin)cos(∆φ) (47)
Juntando agora a equaccedilatildeo 246 agrave equaccedilatildeo 247 e tendo em conta que o feixe
passa duas vezes por cada ramo (=2l) a diferenccedila de fase para o efeito electrooacutep-
tico linear
∆φ = ∆φ0 +πrn3
oVoλ
2lh
cos(Ωt) (48)
Sendo ∆φ0 a diferenccedila de fase inicial sem o efeito electrooacuteptico
36
45 EXECUCcedilAtildeO EXPERIMENTAL
Substituindo o ∆φ da equaccedilatildeo 48 na equaccedilatildeo 47 a intensidade do sinal com
modulaccedilatildeo electrooacuteptica(Iseo) seraacute dado por
Iseo prop E21 +E2
2 +12
(Imax minus Imin)cos(∆φ0 +
πrn3oVoλ
2lh
cos(Ωt))
(49)
Usando cos(α plusmn β) = cos(α)cos(β)∓ sen(α) sen(β) e D = πrn3oVoλ
2lh fica-se com
Iseo prop E21 +E2
2+12
(Imax minus Imin)
[cos(∆φ0)cos(Dcos(Ωt)) minus sen(∆φ0) sen(D cos(Ωt))](410)
Como a modulaccedilatildeo electrooacuteptica eacute um efeito muito pequeno a equaccedilatildeo 410
pode-se escrever
Iseo asymp E21 +E2
2 +12
(Imax minus Imin) [cos(∆φ0)minusD cos(Ωt) sen(∆φ0)] (411)
Considerando soacute os termos de primeira ordem
Iseo asymp12
(Imax minus Imin) [cos(∆φ0)minusD cos(Ωt) sen(∆φ0)] (412)
A componente do sinal electrooacuteptico eacute entatildeo dado por
Iseo =12
(Imax minus Imin)D cos(Ωt) sen(∆φ0) (413)
Ou seja
Iseo =12
(Imax minus Imin)πrn3
oVoλ
2lh
cos(Ωt) sen(∆φ0) (414)
O acircngulo ∆φ0 varia linearmente com o tempo (t) a uma frequecircncia inferior
a Ω A franja de interferecircncia desloca-se continuamente em frente ao detector
devido a um dos espelho estar fixado num disco piezoeleacutectrico
37
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Na figura 415 pode-se ver uma exemplificaccedilatildeo do sinal no detector que incor-
pora o sinal da franja e electrooacuteptico dada pela equaccedilatildeo 414
Figura 415 Ilustraccedilatildeo do sinal de modulaccedilatildeo electrooacuteptica de um feixe de luzmedido num interferoacutemetro de Michelson
Uma vez que o sinal electrooacuteptico (cos(Ωt)) estaacute desfasado π2 do sinal da
franja ( sen(∆φ0)) A intensidade do sinal electrooacuteptico pode ser escrita como
Iseo asymp12
(Imax minus Imin)πrn3
oVoλ
2lh
∣∣∣ sen(∆φ0)∣∣∣ (415)
Assim a amplitude do sinal electrooacuteptico eacute
Iseo =12
(Imax minus Imin)πrn3
oVoλ
2lh
(416)
Pelo que o coeficiente electrooacuteptico linear seraacute dado por
r =|Iseo|
|Imax minus Imin|λ
πn3oVo
hl
(417)
38
46 RESULTADOS
Para o efeito electrooacuteptico quadraacutetico utilizando o procedimento anoacutelogo mas
a partir da equaccedilatildeo 248 em vez da equaccedilatildeo 247 O sinal electrooacuteptico quadraacutetico
Iseoq que ocorre ao dobro da frequecircncia de modulaccedilatildeo 2Ω eacute dado por
s =
∣∣∣Iseoq∣∣∣|Imax minus Imin|
2λ
πn3oV
2o
h2
l(418)
46 Resultados
Com o cristal de KDP devidamente alinhado no interferoacutemetro segundo o seu
eixo oacuteptico de maneira a se medir o coeficiente r63 Obtendo-se assim dois sinais
o sinal de franja e o sinal electrooacuteptico (Fig 416)
Figura 416 Padratildeo da franja produzida (a) e respectivos sinais de franja e elec-trooacuteptico obtidos para um cristal KDP padratildeo
De forma a se proceder a calibraccedilatildeo do sistema utilizou-se a equaccedilatildeo 417 na
forma
|Iseo||Imax minus Imin|
=πn3
o
λlhrVo (419)
39
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Usando o valor da razatildeo |Iseo ||ImaxminusImin|
em funccedilatildeo do potencial aplicado Vo pode-se
calcular o valor do coeficiente electrooacuteptico r atraveacutes do declive da recta obtida
Pode-se ver na figura 417 uma das rectas obtidas para o cristal utilizado na
calibraccedilatildeo do sistema
Figura 417 Razatildeo entre o sinal electrooacuteptico e a diferenccedila de intensidade defranjas em funccedilatildeo do potencial Vo aplicado ao cristal
A tabela 44 apresenta o valor do coeficiente electrooacuteptico obtido e respectiva
incerteza para o cristal de KDP tomando em conta os valores dos iacutendices de
refraccedilatildeo da tabela 43
Tabela 44 Valores e respectivas incertezas obtidas do coeficiente electrooacutepticopara o cristal KDP utilizado
Material Valor Padratildeo Valor Obtido Erro
KDPr63 = 106pmV r63 = 105plusmn 02pmV 1
(λ = 6328nm)
Como se pode ver na tabela 44 o resultado obtido situa-se muito proacuteximo
do teoacuterico encontrando-se dentro da incerteza obtida Os valores valores meacutedios
apresentam um desvio da ordem dos 02pmV
40
46 RESULTADOS
Apesar dos valores obtidos serem bastante positivos houve algumas dificul-
dades nomeadamente o vidro FTO que causou que o alinhamento fosse extrema-
mente complicado natildeo soacute pela sua espessura e dimensionamento como tambeacutem
pela refraccedilatildeo provocada no feixe laser Outro grande obstaacuteculo foi o alinhamento
do cristal uma vez que basta um ligeiro desvio no caminho oacuteptico para causar um
desalinhamento total algo que eacute agravado no interferoacutemetro do tipo Michelson
pelo facto de o feixe laser passar na amostra duas vezes
Apesar destas dificuldades o valor obtido para o coeficiente electrooacuteptico r63
foi de 105pmV valor esse muito proacuteximo do valor padratildeo da literatura que se
encontra nos 106pmV Assim pode-se considerar que o sistema desenvolvido
se encontra devidamente calibrado e pronto para futuras utilizaccedilotildees
41
Capiacutetulo
5Conclusotildees
O trabalho desenvolvido no decorrer desta dissertaccedilatildeo consistiu no desenvolvi-
mento de um sistema para a mediccedilatildeo do efeito electrooacuteptico aacuterea a ser ulilizada
na caracterizaccedilatildeo de novos materiais polimeacutericos para aplicaccedilatildeo em dispositivos
fotoacutenicos
Nesta conformidade foi desenhada construiacuteda e testado uma bancada oacuteptica
destinada agrave mediccedilatildeo do efeito electrooacuteptico baseado numa teacutecnica interferomeacute-
trica de mediccedilatildeo da diferenccedila de fase implementado atraveacutes de um interferoacutemetro
do tipo Michelson
O cristal escolhido para a calibraccedilatildeo do sistema desenvolvido foi um cristal de
KDP comercial tendo sido utilizado o coeficiente electrooacuteptico r63 como referecircn-
cia sendo o valor padratildeo de 106pmV
O sistema obtido permitiu medir um valor nominal de 105plusmn 02pmV com
um erro de aproximadamente 1 em relaccedilatildeo ao valor tabelado comprovando a
afericcedilatildeo do sistema para a mediccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico por transmissatildeo
O sistema desenvolvido estaacute portanto apto para futuras mediccedilotildees sendo ape-
nas necessaacuterio algumas alteraccedilotildees no porta-amostras mediante as dimensotildees e
forma da amostra a utilizar
Chegou-se ainda agrave conclusatildeo que para amostras como o cristal utilizado o
feixe laser passar duas vezes na amostra acaba por ser uma grande desvantagem
desvantagem essa inexistente para filmes polimeacutericos que ganham cada vez mais
importacircncia na aacuterea da fotoacutenica uma vez que satildeo materiais de grande interesse
cientiacutefico e tecnoloacutegico jaacute que podem ser utilizados no desenvolvimento de dispo-
sitivos oacutepticos nomeadamente moduladores de luz e memoacuterias oacutepticas
43
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46
Apecircndice
AApecircndice
A1 Desenhos Teacutecnicos
47
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- Lista de Figuras
- Lista de Tabelas
- Introduccedilatildeo
- Efeito Electrooacuteptico
-
- Oacuteptica Natildeo-Linear
- Propagaccedilatildeo em Meios Anisotroacutepicos
-
- Vector de Poynting
- Elipsoiacutede dos Iacutendices
- Coeficientes Natildeo-Lineares
-
- Mediccedilatildeo do Efeito Electrooacuteptico
-
- Meacutetodo Tradicional
- Meacutetodos por Interferometria
-
- Interferometria Oacuteptica
- Interferoacutemetro de Mach-Zehnder
- Interferoacutemetro de Michelson
-
- Sistema Implementado
-
- Interferoacutemetro
- Electroacutenica Desenvolvida
-
- Amplificador
- Gerador de Rampa
- Seguidor de Tensatildeo
-
- Sistema Oacuteptico Desenvolvido
-
- Espelho Vibrante
- Bancada Oacuteptica
- Detector
- Cristal Electrooacuteptico
- Porta Amostras
-
- Coeficiente Electrooacuteptico
- Execuccedilatildeo Experimental
- Resultados
-
- Conclusotildees
- Bibliografia
- Apecircndice
-
- Desenhos Teacutecnicos
-
22 PROPAGACcedilAtildeO EM MEIOS ANISOTROacutePICOS
Substituiacutendo na equaccedilatildeo 238 D1 D2 e D3 pelos seus respectivos eixos em
coordenadas cartesianas tem-se que
x2
ε11ε0+
y2
ε22ε0+
z2
ε33ε0= 1 (239)
sendo x = D1radic2ε0UE
y = D2radic2ε0UE
e z = D3radic2ε0UE
Reescrevendo a equaccedilatildeo 239 fazendo n2x = ε11ε0 n2
y = ε22ε0 e n2z = ε33ε0
obteacutem-se forma a equaccedilatildeo do elipsoide de iacutendices
x2
n2x
+y2
n2y
+z2
n2z
= 1 (240)
Sendo nx ny e nz o iacutendice de refraccedilatildeo na sua respectiva direccedilatildeo como demons-
tra a figura 22
Figura 22 Ilustraccedilatildeo do elipsoiacutede de iacutendices (retirado de [7])
11
CAPIacuteTULO 2 EFEITO ELECTROOacutePTICO
223 Coeficientes Natildeo-Lineares
Quando eacute aplicado um campo eleacutectrico ao meio o elipsoiacutede de iacutendices pode
mudar a sua forma e orientaccedilatildeo no espaccedilo de tal forma que a equaccedilatildeo de elipsoide
de iacutendices passa a ser escrita de um modo geral como
( 1n2
)1x2 +
( 1n2
)2y2 +
( 1n2
)3z2 + 2
( 1n2
)4xy + 2
( 1n2
)5xz+ 2
( 1n2
)6yz = 1 (241)
Quando o campo eleacutectrico aplicado eacute nulo as equaccedilotildees 240 e 241 tecircm de ser
equivalentes pelo que para E = 0 tem-se
( 1n2
)1
=1
n2x( 1
n2
)2
=1
n2y( 1
n2
)3
=1
n2z( 1
n2
)4
=( 1n2
)5
=( 1n2
)6
= 0
(242)
Desta forma quando se aplica um campo eleacutectrico (E) verifica-se uma variaccedilatildeo
nos coeficientes(
1n2
)i Esta variaccedilatildeo induzida pelo efeito electrooacuteptico pode entatildeo
ser descrita atraveacutes de [8]
∆
( 1n2
)i
=3sumj=1
rijEj com i = 1 6 (243)
Sendo rij o coeficiente electrooacuteptico e E a magnitude do campo eleacutectrico apli-
cado
12
22 PROPAGACcedilAtildeO EM MEIOS ANISOTROacutePICOS
A equaccedilatildeo 243 tambeacutem pode ser escrita como
∆
( 1n2
)1
∆
( 1n2
)2
∆
( 1n2
)3
∆
( 1n2
)4
∆
( 1n2
)5
∆
( 1n2
)6
=
r11 r12 r13
r21 r22 r23
r31 r32 r33
r41 r42 r43
r51 r52 r53
r61 r62 r63
E1
E2
E3
(244)
Nesta conformidade o coeficiente electrooacuteptico pode ser escrito como
rij = minus 2
n3ij
[partnijpartEj
](245)
A diferenccedila de fase ∆φ resultante da variaccedilatildeo no iacutendice de refraccedilatildeo ∆n seraacute
∆φ =2πlλ
∆n (246)
Em que o l eacute o caminho percorrido pela luz de comprimento de onda λ no
meio Sendo a variaccedilatildeo no iacutendice de refraccedilatildeo devida aos efeitos electrooacutepticos
pode-se escrever
|∆n| =rno
3
2Voh
(247)
para o efeito electrooacuteptico linear e
|∆n| =sn3o
2
(Voh
)2(248)
para o efeito electrooacuteptico quadraacutetico
Onde os coefeciecircntes electrooacutepticos linear e quadraacutetico satildeo respectivamente
r e s Vo eacute o potencial eleacutectrico aplicado entre os eleacutetrodos que distam entre si a
uma distacircncia h criando assim o campo eleacutectrico aplicado
13
Capiacutetulo
3Mediccedilatildeo do Efeito Electrooacuteptico
Neste capiacutetulo satildeo apresentadas as teacutecnicas mais comuns utilizadas para a me-
diccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico destacando-se dois tipos de interferoacutemetros o
tradicional e os de interferometria de dois feixes
31 Meacutetodo Tradicional
Um dos meacutetodos mais usados para medir o efeito eletrooacuteptico foi o proposto por
Henry [9] em 1986 Esta teacutecnica ilustrada na Fig31 baseia-se na alteraccedilatildeo do
estado de polarizaccedilatildeo de um feixe linearmente polarizado quando este atravessa
o meio Esta alteraccedilatildeo ocorre devido agrave birrefrigecircncia induzida por um campo
eleacutetrico aplicado e agrave atividade oacuteptica do meio A montagem eacute composta por uma
fonte de luz (S) um monocromador (M) uma lente (L) um diafragma (D) dois
polarizadores (P1 e P2) um cristal (BSO) de espessura d ao qual eacute aplicado um
campo eleacutetrico (E) e um fotomultiplicador (FM) ligado a um sistema de aquisiccedilatildeo
de dados
O procedimento experimental em si consiste no seguinte para um dado estado
de polarizaccedilatildeo do feixe incidente imposto pelo P1 vai-se alterando a posiccedilatildeo
angular do P2 de forma a encontrar as intensidades maacutexima e miacutenima e desta
forma calcular-se a visibilidade (ν) atraveacutes de [9]
νθ =Imax minus IminImax + Imin
(31)
15
CAPIacuteTULO 3 MEDICcedilAtildeO DO EFEITO ELECTROOacutePTICO
Figura 31 Montagem experimental proposta por Henry e a sua equipa (adaptadode [9])
De seguida altera-se P1 para a posiccedilatildeo angular de 45 e repete-se o procedi-
mento anterior Somando o quadrado das duas visibilidades obtidas tem-se que
[9]
ν2θ + ν2
θ+45 = 1 +
1minus δ2
2
sen(φ2 )φ2
2
2
(32)
sendo
δ =2πλn3rEyd (33)
e
φ =radicδ2 + ρ2 (34)
Sendo δ a diferenccedila de fase originada pela birrefringecircncia λ o comprimento
de onda do feixe no vaacutecuo ρ a diferenccedila de fase associada agrave actividade oacuteptica n o
iacutendice de refraccedilatildeo sem campo eleacutetrico aplicado Ey o campo eleacutectrico aplicado e
d a espessura do cristal na direccedilatildeo do campo eleacutectrico aplicado Destas equaccedilotildees
pode-se calcular o coeficiente electrooacuteptico r
Para o caso de φ pequenos
sen(φ2 )φ2
2
1 pelo que
ν2θ + ν2
θ+45 1 +(1minus δ
2
2
)2
(35)
Natildeo sendo nesta situaccedilatildeo necessaacuteria a actividade oacuteptica ρ Esta teacutecnica apre-
senta um erro de mediccedilatildeo de 10 a 15 em relaccedilatildeo ao valor tabelado
16
32 MEacuteTODOS POR INTERFEROMETRIA
32 Meacutetodos por Interferometria
321 Interferometria Oacuteptica
Quando duas ondas de uma mesma frequecircncia se sobrepotildeem num dado ponto
formam uma nova onda cuja amplitude eacute o resultado da soma da amplitude das
duas ondas iniciais em cada instante nesse ponto Quando a soma da duas ondas
resulta numa amplitude maior diz-se que houve interferecircncia construtiva quando
resulta numa amplitude inferior diz-se que ocorreu interferecircncia destrutiva
Supondo que uma das ondas tem a forma E1ei(φ1minuswt) e a outra forma E2e
i(φ2minuswt)
sendo E1 e E2 as amplitudes dos respetivos campos eleacutetricos φ1 e φ2 as fases
iniciais w a frequecircncia angular e t o tempo a onda resultante seraacute descrita por
[10]
ET = E1ei(φ1minuswt) +E2e
i(φ2minuswt) (36)
Se φ1 minusφ2 = 2Nπ com N = 012 entatildeo as duas ondas estaratildeo em fase e daacute-
se uma interferecircncia construtiva perfeita Se φ1 minusφ2 = (2N + 1)π e E1 = E2 entatildeo
as duas ondas estaratildeo em oposiccedilatildeo de fase e daacute-se uma interferecircncia destrutiva
completa Estas situaccedilotildees extremas encontram-se ilustradas na figura 32
Figura 32 Ilustraccedilatildeo de uma interferecircncia construtiva perfeita (a) e destrutivacompleta (b)
Matematicamente a coerecircncia eacute uma medida da correlaccedilatildeo entre as ondas
Quanto mais construtiva for a interferecircncia maior seraacute a coerecircncia Fisicamente
a coerecircncia eacute uma medida do quatildeo constante a diferenccedila de fase permanece entre
17
CAPIacuteTULO 3 MEDICcedilAtildeO DO EFEITO ELECTROOacutePTICO
as duas ondas A coerecircncia eacute usualmente medida num padratildeo de franjas de in-
terferecircncia atraveacutes da visibilidade de franja (ν) que pode ser experimentalmente
calculada atraveacutes de [10]
ν =Imax minus IminImax + Imin
= 1 coerecircncia total e contraste maacuteximo
0 lt ν lt 1 coerecircncia parcial
= 0 incoerecircncia total e contraste natildeo haacute franjas
(37)
Pode-se ver na Fig33 um exemplo da equaccedilatildeo 37 que representa a visibi-
lidade das franjas em funccedilatildeo da diferenccedila de fase entre duas ondas da mesma
frequecircncia que interferem Como a visibilidade das franjas depende da coerecircncia
das duas ondas qualquer diferenccedila iraacute traduzir-se numa diminuiccedilatildeo de visibili-
dade
Figura 33 Visibilidade num interferoacutemetro em funccedilatildeo da diferenccedila de fase entreduas ondas provenientes de ramos diferentes do interferoacutemetro (adaptado de[11])
Pode-se usar a interferometria para quantificar os efeitos electrooacutepticos natildeo
soacute linear mas tambeacutem o quadraacutetico (efeito de Kerr) Os interferoacutemetros mais
frequentemente utilizados para este efeito satildeo os interferoacutemetro de Michelson1 e1Albert Abraham Michelson foi um fiacutesico americano conhecido pela invenccedilatildeo do interferoacuteme-
tro de Michelson (1891) do seu trabalho na mediccedilatildeo da velocidade da luz e pelo seu trabalho naexperiecircncia de Michelson-Morley Em 1907 tornou-se o primeiro americano a receber o PreacutemioNobel da Fiacutesica
18
32 MEacuteTODOS POR INTERFEROMETRIA
o interferoacutemetro de Mach-Zehnder2
De salientar que as teacutecnicas interferomeacutetricas apresentam uma elevada sensibi-
lidade simplificaccedilatildeo na preparaccedilatildeo das amostras a estudar e uma menor sensibili-
dade a vibraccedilotildees mecacircnicas e a flutuaccedilotildees teacutermicas desde que estas ocorram com
a mesma intensidade em ambos os ramos do mesmo tamanho do interferoacutemetro
322 Interferoacutemetro de Mach-Zehnder
No interferoacutemetro de Mach-Zehnder (Fig 34) um separador de feixe divide o
feixe proveniente da fonte em dois feixes que vatildeo constituir os dois ramos do
interferoacutemetro o feixe-amostra e o feixe-referecircncia Ambos satildeo refletidos por um
espelho e ambos atravessam um novo separador de feixe antes de se juntarem de
novo e serem medidos nos detetores
Figura 34 Esquema de um interferoacutemetro de Mach-Zehnder (adaptado de [12])
Com os ramos agrave mesma distacircncia pode ainda observar-se que sem amostra
ambos os feixes vatildeo chegar em fase aos detetores havendo desta forma uma inter-
ferecircncia construtiva Ambos apresentaratildeo uma mudanccedila de fase correspondente
a λ devido ao facto de ambos sofrerem duas reflexotildees e uma transmissatildeo numa
placa de vidro(separador de feixe) ateacute chegarem aos detetores2Ludwig Zehnder foi um fiacutesico suiacuteccedilo e o inventor do interferoacutemetro de Mach-Zehnder Inter-
feroacutemetro esse depois aperfeiccediloado por Ludwig Mach
19
CAPIacuteTULO 3 MEDICcedilAtildeO DO EFEITO ELECTROOacutePTICO
Alterando o caminho oacuteptico do espelho do feixe-referecircncia em λ4 sem amos-
tra o feixe-amostra e o feixe-referecircncia vatildeo chegar com uma diferenccedila de fase de
λ2 ou seja vai haver uma interferecircncia destrutiva completa Isto porque o feixe-
referecircncia vai ter uma mudanccedila de fase de λ2 devido a uma reflexatildeo e duas trans-
missotildees provocadas pelos separadores de feixe Enquanto que o feixe-amostra
chegaraacute aos detetores com uma diferenccedila de fase de λ devido a duas reflexotildees
mais uma reflexatildeo com transmissatildeo no segundo separador de feixe Assim na
ausecircncia de amostra e desde que a diferenccedila de caminho oacuteptico ou retardaccedilatildeo
(δ) seja zero os feixes iratildeo interferir construtivamente [13]
Com a amostra colocada no caminho do feixe-amostra os feixes vatildeo chegar ao
detetor em diferentes situaccedilotildees de fase sendo possiacutevel determinar a diferenccedila de
fase provocada pela presenccedila da amostra
A intensidade do feixe (I) em ambos os detetores eacute descrita por [14]
I(δ) =12I(k)cos(2Nkδ) (38)
Com k o nuacutemero de onda (k = 2πλ) E fazendo δ = d com d = vt resulta
I(δ) =12I(k)cos(2Nk(vt)) (39)
323 Interferoacutemetro de Michelson
No interferoacutemetro do tipo Michelson um feixe de luz eacute dividido em dois que
percorrem caminhos diferentes para de seguida se recombinarem Apoacutes terem
percorrido caminhos diferentes o feixe resultante da recombinaccedilatildeo pode apresen-
tar um padratildeo de interferecircncia que depende da diferenccedila de caminhos oacutepticos
entre os feixes e que pode ser medido num detetor
A forma mais simples de implementar um interferoacutemetro de Michelson con-
siste em dois espelhos colocados entre si num plano perpendicular em que um
deles se pode mover na direccedilatildeo perpendicular agrave sua superfiacutecie refletora conforme
ilustrado na Fig35
Esse espelho iraacute movimentar-se num espaccedilo definido a uma velocidade cons-
tante Entre o espelho fixo e o espelho moacutevel estaacute um separador de feixe que
divide o feixe incidente inicial em dois de igual intensidade Aqui o feixe eacute parci-
almente refletido para um espelho e parcialmente transmitido para o outro
20
32 MEacuteTODOS POR INTERFEROMETRIA
Figura 35 Esquema de funcionamento de um interferoacutemetro de Michelson cominterferecircncia construtiva (a) e destrutiva (b) (adaptado de [15])
Assumindo que o separador de feixe eacute ideal e com uma reflectacircncia e transmi-
tacircncia de 50 se o espelho moacutevel se encontrar estacionaacuterio pode determinar-se
a intensidade do feixe num dado ponto do detetor Se a diferenccedila do caminho
oacuteptico ou retardaccedilatildeo (δ) for zero ou seja os espelhos estatildeo igualmente espaccedilados
do separador de feixe estes vatildeo percorrer a mesma distacircncia e interferir construti-
vamente pelo que a intensidade do feixe final eacute a soma das intensidades dos dois
feixes Nestas condiccedilotildees toda a luz que sai da fonte chega ao detetor
No caso do espelho moacutevel se deslocar uma distacircncia de λ4 a retardaccedilatildeo total
seraacute de λ2 pelo que os feixes estaratildeo desfasadas de 180ordm (π) Nestas condiccedilotildees ter-
se-aacute interferecircncia destrutiva completa na recombinaccedilatildeo dos feixes dando origem
agrave extinccedilatildeo total
Voltando a deslocar o espelho moacutevel de mais λ4 a diferenccedila do caminho
oacuteptico seraacute igual a λ e os dois feixes voltam a estar em fase havendo novamente
uma sobreposiccedilatildeo construtiva dos feixes
Com o espelho moacutevel a deslocar-se a uma velocidade constante o sinal do de-
tetor iraacute variar com uma forma perioacutedica sendo que atinge o seu maacuteximo quando
a retardaccedilatildeo (δ) for um muacuteltiplo inteiro de λ δ =Nλ
A expressatildeo da intensidade do feixe (I) no detector para o caso do interferoacute-
metro de Michelson eacute semelhante agrave equaccedilatildeo 38 para o interferoacutemetro de Mach-
Zehnder sendo que neste caso δ = 2d com d = vt jaacute que o feixe atravessa a
amostra duas vezes Nestas condiccedilotildees ter-se-aacute
I(δ) =12I(k)cos(4Nk(vt)) (310)
21
CAPIacuteTULO 3 MEDICcedilAtildeO DO EFEITO ELECTROOacutePTICO
22
Capiacutetulo
4Sistema Implementado
Este capiacutetulo descreve o sistema implementado para a mediccedilatildeo do coeficiente
electrooacuteptico usando a teacutecnica de interferoacutemetria de Michelson bem como a cali-
braccedilatildeo do mesmo
41 Interferoacutemetro
O sistema escolhido para a mediccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico baseia-se na teacutec-
nica de interferometria de Michelson (ver secccedilatildeo 323) onde se mediu a diferenccedila
de fase entre os ramos do interferoacutemetro Esta teacutecnica foi escolhida pela elevada
sensibilidade agrave diferenccedila de fase gerada entre os ramos do interferoacutemetro facili-
dade de preparaccedilatildeo das amostras e por ser menos sensiacutevel a vibraccedilotildees mecacircnicas
e a flutuaccedilotildees teacutermicas desde que estas ocorram com a mesma intensidade em
ambos os ramos do interferoacutemetro Para aleacutem das vantagens mencionadas e espe-
cificamente em comparaccedilatildeo com o interferoacutemetro mais usado o interferoacutemetro
do tipo Mach-Zehnder o interferoacutemetro de Michelson tem uma maior facilidade
de alinhamento dos espelhos e usa apenas um separador de feixe
A figura 41 esquematiza o sistema baseado no interferoacutemetro de Michelson
desenvolvido para a mediccedilatildeo do coeficiente eletrooacuteptico
23
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Figura 41 Esquematizaccedilatildeo do interferoacutemetro de Michelson e instrumentaccedilatildeoutilizada para a mediccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico em cristais
Como se pode ver no esquema da figura 41 o ramo do espelho vibrante fica
vazio enquanto que no ramo do espelho fixo se encontra a amostra entre dois
eleacutectrodos onde se aplicam um campo eleacutectrico E O sinal medido no detector
resulta da interferecircncia entre os feixes provenientes de cada ramo do interferoacute-
mentro dependendo da diferenccedila de fase entre os dois feixes Conforme referido
anteriormente a intensidade da luz (I) que chega ao detector eacute da ordem de [16]
I prop E21 +E2
2 + 2E1E2cos(∆φ) (41)
42 Electroacutenica Desenvolvida
421 Amplificador
Para o efeito electrooacuteptico se manisfestar eacute necessaacuterio aplicar-se uma tensatildeo eleacutec-
trica ao meio Uma vez que a tensatildeo de referecircncia fornecida pelo amplificador
lock-in utilizado eacute muito baixa para induzir efeito electrooacuteptico significativo por
volta dos 12V foi necessaacuterio construir um amplificador de tensatildeo (Fig 42)
24
42 ELECTROacuteNICA DESENVOLVIDA
Figura 42 Esquemaacutetico do amplificador de tensatildeo utilizado com base no ampli-ficador operacional LF356n
O amplificador construiacutedo conforme ilustra a figura 42 consiste numa mon-
tagem inversora de ganho variaacutevel com uma malha de controlo de offset e eacute
alimentado a plusmn12V
Assim o ganho G eacute determinado atraveacutes de
G = 1 +R2R1
(42)
Sendo R1 = 11kΩ R2 = 5kΩ R3 = 25kΩ e o amplificador em si utilizado foi
o LF356n
Obtendo-se desta forma um ganho de aproximadamente 55 Permitindo apli-
car uma tensatildeo de cerca de 66V ao cristal electrooacuteptico Uma vez que a tensatildeo
aplicada eacute baixa pode-se desprezar o efeito piezoeleacutectrico gerado na amostra e
que iria influenciar o valor do coeficiente electrooacuteptico medido
422 Gerador de Rampa
Para alimentar o excitador piezoeleacutectrico do espelho moacutevel foi utilizado um ge-
rador de sinais (Fig 43) de forma a induzir um deslocamento linear perioacutedico
na forma de rampa A frequecircncia de oscilaccedilatildeo cerca de 25Hz foi escolhida de
25
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
forma a ser suficientemente baixa para evitar fenoacutemenos de batimento com o sinal
de modulaccedilatildeo electrooacuteptico e suficientemente alta para que se consiga adquirir
dados em tempo uacutetil com uma tensatildeo variaacutevel entre os 4 e os 8V
Figura 43 Esquema eleacutectrico do gerador de rampa implementado baseado nocircuito temporizador NE555
Sendo R1 = 20kΩ R2 = 1kΩ e C1 = C2 = 47microF
O tempo de subida da rampa t1 eacute dado por
t1 = 0693(R1 +R2)C1 (43)
Enquanto que o tempo de descida t2 eacute
t2 = 0693R2C1 (44)
Obtendo assim um tempo de subida de 036s e um tempo de descida de 0033s
Assim a frequecircncia do gerador de rampa f seraacute dada por
f =1
t1 + t2=
144(R1 + 2R2)C1
(45)
O gerador de rampa foi construiacutedo aproveitando o espaccedilo livre no interior da
unidade de amplificaccedilatildeo onde se situa o amplificador
26
42 ELECTROacuteNICA DESENVOLVIDA
423 Seguidor de Tensatildeo
Devido agrave necessidade de acoplamento de impedacircncias entre o amplificador lock-
in e o osciloacutescopio natildeo foi possiacutevel a utilizaccedilatildeo de um repartidor coaxial que
repartisse o sinal proveniente do detector Assim de forma a se poder visuali-
zar o sinal proveniente do detector em simultacircneo com o sinal electrooacuteptico foi
necessaacuterio a construccedilatildeo de um seguidor de tensatildeo (Fig44)
Figura 44 Esquema do seguidor de tensatildeo utilizado construida com base nosamplifacores operacionais LF356n
Sendo que ambos os circuitos integrados foram alimentados por uma tensatildeo
positiva (V+) de 12V e uma negativa (Vminus) de minus12V Com R1 = R2 = 25kΩ Agrave
semelhanccedila do amplificador foi tambeacutem construida uma malha de controlo de
offset
Agrave semelhanccedila do gerador de rampa tambeacutem foi construido na unidade de
amplificaccedilatildeo e gerador de rampa como se pode ver na figura 45
27
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Figura 45 Imagem da unidade de amplificaccedilatildeo e geraccedilatildeo de rampa implemen-tada
43 Sistema Oacuteptico Desenvolvido
431 Espelho Vibrante
O espelho vibrante (Fig46) foi construiacutedo afixando um espelho a um disco pie-
zoeleacutectrico A vibraccedilatildeo do espelho iraacute fazer com que a distacircncia entre o divisor
de feixe e o espelho varie Fazendo deslocar a franja de interferecircncia em frente ao
detector permitindo a este medir as intensidades maacuteximas e miacutenimas das franjas
de interferecircncia (ver secccedilatildeo 323)
Figura 46 Imagem do espelho vibrante utilizado
28
43 SISTEMA OacutePTICO DESENVOLVIDO
432 Bancada Oacuteptica
De forma a colocar os componentes ao niacutevel do feixe do laser na mesa oacuteptica e a
tornar o sistema menos sensiacutevel a vibraccedilotildees mecacircnicas e flutuaccedilotildees teacutermicas os
componentes foram colocadas numa base quadrada de alumiacutenio
Figura 47 Imagem da bancada oacuteptica onde o interferoacutemetro de Michelson foiconstruiacutedo
Conforme se pode ver na figura 47 para completar o interferoacutemetro de Michel-
son para aleacutem dos componentes jaacute referidos foram ainda utilizados um separador
de feixe e um espelho (fixo) no suporte com uma lente oacuteptica agrave saiacuteda do mesmo
Faltando ainda o laser utilizado da Melles Griotreg que possui uma potecircncia de
635mW e um comprimento de onda de 6328nm
433 Detector
O detector utilizado foi um modelo 818-UVDB da Newport Corporationreg (Fig
48) de baixa potecircncia consistindo num fotodiacuteodo de siliacutecio capaz de operar entre
os 200 e os 1100nm As caracteriacutesticas principais deste detector encontram-se
listadas na tabela 433
29
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Tabela 41 Caracteriacutesticas principais do detector 818-UVDB [17]
Largura de Banda 200 a 1100(nm) Material Siliacutecio
Potecircncia
W λ(nm)
Incerteza de
λ(nm)
02 200 a 4008 200 a 219
Maacutexima Calibraccedilatildeo 2 220 a 349
005 400 a 11001 350 a 9494 950 a 1050
Densidade de02Wcm2 Aacuterea Activa 1cm2
Potecircncia Meacutedia
Energia Maacutexima05microJ
Diacircmetro113cm
de Pulso Activo
De forma a evitar que a luz ambiente interferisse nas medidas e para aumen-
tar a resoluccedilatildeo de mediccedilatildeo do perfil da franja de interferecircncia foi colocado um
diafragma com uma abertura no centro de 06mm conforme se pode ver na figura
48 reduzido desta maneira a aacuterea activa para 028 mm2
Figura 48 Imagem do detector e disco utilizado
Para a aquisiccedilatildeo do sinal electrooacuteptico e geraccedilatildeo de sinal electrooacuteptico de
referecircncia foi utilizado um osciloscoacutepio Lecroy Wavesufertrade422
30
43 SISTEMA OacutePTICO DESENVOLVIDO
434 Cristal Electrooacuteptico
Para a calibraccedilatildeo do sistema foi utilizado um cristal padratildeo de dihidrogenofosfato
de potaacutessio (KDP) Na tabela 42 pode-se observar algumas das propriedades
fiacutesicas desse cristal
Tabela 42 Propriedades fiacutesicas do cristal padratildeo KDP [18]
Material Simetria Densidade Classe Higroscopicidade
KDP Tetragonal (42m) 234gcm3 Uniaxial Higroscoacutepico
Uma vez que o cristal eacute uniaxial nx = ny = no e nz = ne sendo no e ne os
iacutendices de refraccedilatildeo ordinaacuterio e extraordinaacuterio do cristal KDP A figura 49 ilustra
o elipsoiacutede de iacutendices num cristal padratildeo KDP
Figura 49 Ilustraccedilatildeo de um cristal padratildeo KDP e seu respectivo elipsoiacutede deiacutendices
31
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Na Tabela 43 pode-se observar algumas das propriedades oacutepticas do cristal
padratildeo KDP
Tabela 43 Propriedades oacutepticas do cristal padratildeo KDP a 6328nm [7]
Material Foacutermula Quiacutemica Iacutendice de RefracccedilatildeoCoeficiente
Electrooacuteptico
KDPKH2PO4
no=15074 r41=86 pmV(λ = 6328nm) ne=14673 r63=106 pmV
Como se pode ver na tabela 42 o cristal do tipo KDP eacute higroscoacutepico sendo
assim necessaacuterio reduzir ao maacuteximo o contacto entre o cristal e a atmosfera para
evitar que as suas faces fiquem opacas interferindo assim na qualidade do feixe
transmitido
435 Porta Amostras
O porta amostras eacute constituiacutedo por uma base feita de latatildeo (Fig 410) onde se
coloca o cristal nivelado com o feixe laser Este suporte possui oito roscas para
parafusos M3 quatro em cima de forma a se fixar os encaixes laterais do porta
amostras e quatro em baixo de forma a afixar-se firmemente na bancada oacuteptica
Figura 410 Imagem da base do porta-amostras desenvolvido
32
43 SISTEMA OacutePTICO DESENVOLVIDO
De forma a aplicar-se a tensatildeo de excitaccedilatildeo ao cristal sem bloquear o feixe do
laser foram utilizadas duas placas de vidro com oacutexido de estanho dopado com
fluacuteor (FTO) Este permite que haja uma boa transparecircncia e conduccedilatildeo eleacutetrica
sendo usado em vaacuterios tipos de dispositivos como aplicaccedilotildees opto-eletroacutenicas
ecratildes touch screen filmes finos fotovoltaicos etc O oacutexido de estanho dopado
com fluacuteor [19] eacute reconhecido por ser altamente estaacutevel quimicamente inerte re-
siste a temperaturas elevadas e ao desgaste abrasivo sendo mais econoacutemico do
que o tradicional oacutexido de iacutendio e estanho (ITO)
De forma a garantir um bom contacto eleacutectrico entre o vidro FTO e o cristal
foram construidas duas peccedilas de afixaccedilatildeo idecircnticas (Fig 411) Trata-se de duas
peccedilas de alumiacutenio cada uma contendo uma abertura de forma a deixar passar
o feixe laser e dois rasgos para parafusos de forma a poder-se fixar no suporte e
desta maneira exercer uma pressatildeo constante sobre o cristal
Figura 411 Imagem das peccedilas de fixaccedilatildeo do cristal desenvolvidas com a vista defrente (a) e a vista de traacutes (b)
A ligaccedilatildeo eleacutectrica entre o sinal de referecircncia proveniente do amplificador ao
vidro FTO foi feita atraveacutes de uma cola condutora de prata de forma a assegurar
a ligaccedilatildeo oacutehmica entre o fio de cobre e a camada de FTO O cristal fica assim entre
duas placas de vidro FTO(Fig412)
33
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Figura 412 Imagem do porta Amostras desenvolvido
A figura 413 ilustra o sistema desenvolvido incluindo a bancada oacuteptica e
instrumentaccedilatildeo
Figura 413 Imagem do sistema desenvolvido para a mediccedilatildeo do efeito electrooacutep-tico
34
44 COEFICIENTE ELECTROOacutePTICO
44 Coeficiente Electrooacuteptico
Para o cristal utilizado o dihidrogenofosfato de potaacutessio (KDP) e para o efeito
electrooacuteptico linear a matriz de coeficientes electrooacutepticos eacute a seguinte
rij =
0 0 0
0 0 0
0 0 0
r41 0 0
0 r52 0
0 0 r63
com
i = 1 6
j = 123
Sendo que r41 = r52 pelo que existem apenas dois coeficientes independentes
o r41 e o r63
Usando a notaccedilatildeo condensada mencionada da secccedilatildeo 21 onde se aplica o
campo eleacutectrico (E) no plano do i (sendo i = m) enquanto que j eacute o eixo oacuteptico
Para o caso do KDP eacute costume utilizar o r63 Isto eacute aplicar o campo eleacutectrico nos
planos 12 ou 21 (ou seja i = 6) com o eixo oacuteptico no eixo 3 (j = 3) como demonstra
a figura 414
Figura 414 Ilustraccedilatildeo da configuraccedilatildeo utilizada para a mediccedilatildeo do coeficienter63 num cristal
35
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Para o caso do efeito electrooacuteptico quadraacutetico a matriz dos coeficientes elec-
trooacutepticos seraacute
sij =
s11 s12 s12 0 0 0
s12 s11 s12 0 0 0
s12 s12 s11 0 0 0
0 0 0 s11 minus s12 0 0
0 0 0 0 s11 minus s12 0
0 0 0 0 0 s11 minus s12
com i j = 1 6
45 Execuccedilatildeo Experimental
Para se medir o coeficiente electrooacuteptico aplica-se ao cristal uma tensatildeo com uma
frequecircncia de 2kHz frequecircncia essa que se revelou menos sensiacutevel aos ruiacutedos
ambientes sendo que o sinal electrooacuteptico teraacute a mesma frequecircncia Podendo-
se desta maneira atraveacutes de um amplificador de lock-in (modelo 393 da IthacoDynatrac) filtrar o sinal electrooacuteptico dos restantes sinais uma vez que a sua
frequecircncia eacute conhecida
A intensidade da equaccedilatildeo 41 eacute maacutexima quando cos(∆φ) = 1 e miacutenima quando
cos(∆φ) = minus1 Pelo que subtraindo estas duas equaccedilotildees
Imax minus Imin = 4E1E2 (46)
Assim combinando a equaccedilatildeo 41 com a equaccedilatildeo 46 obtem-se
I prop E21E
22 +
12
(Imax minus Imin)cos(∆φ) (47)
Juntando agora a equaccedilatildeo 246 agrave equaccedilatildeo 247 e tendo em conta que o feixe
passa duas vezes por cada ramo (=2l) a diferenccedila de fase para o efeito electrooacutep-
tico linear
∆φ = ∆φ0 +πrn3
oVoλ
2lh
cos(Ωt) (48)
Sendo ∆φ0 a diferenccedila de fase inicial sem o efeito electrooacuteptico
36
45 EXECUCcedilAtildeO EXPERIMENTAL
Substituindo o ∆φ da equaccedilatildeo 48 na equaccedilatildeo 47 a intensidade do sinal com
modulaccedilatildeo electrooacuteptica(Iseo) seraacute dado por
Iseo prop E21 +E2
2 +12
(Imax minus Imin)cos(∆φ0 +
πrn3oVoλ
2lh
cos(Ωt))
(49)
Usando cos(α plusmn β) = cos(α)cos(β)∓ sen(α) sen(β) e D = πrn3oVoλ
2lh fica-se com
Iseo prop E21 +E2
2+12
(Imax minus Imin)
[cos(∆φ0)cos(Dcos(Ωt)) minus sen(∆φ0) sen(D cos(Ωt))](410)
Como a modulaccedilatildeo electrooacuteptica eacute um efeito muito pequeno a equaccedilatildeo 410
pode-se escrever
Iseo asymp E21 +E2
2 +12
(Imax minus Imin) [cos(∆φ0)minusD cos(Ωt) sen(∆φ0)] (411)
Considerando soacute os termos de primeira ordem
Iseo asymp12
(Imax minus Imin) [cos(∆φ0)minusD cos(Ωt) sen(∆φ0)] (412)
A componente do sinal electrooacuteptico eacute entatildeo dado por
Iseo =12
(Imax minus Imin)D cos(Ωt) sen(∆φ0) (413)
Ou seja
Iseo =12
(Imax minus Imin)πrn3
oVoλ
2lh
cos(Ωt) sen(∆φ0) (414)
O acircngulo ∆φ0 varia linearmente com o tempo (t) a uma frequecircncia inferior
a Ω A franja de interferecircncia desloca-se continuamente em frente ao detector
devido a um dos espelho estar fixado num disco piezoeleacutectrico
37
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Na figura 415 pode-se ver uma exemplificaccedilatildeo do sinal no detector que incor-
pora o sinal da franja e electrooacuteptico dada pela equaccedilatildeo 414
Figura 415 Ilustraccedilatildeo do sinal de modulaccedilatildeo electrooacuteptica de um feixe de luzmedido num interferoacutemetro de Michelson
Uma vez que o sinal electrooacuteptico (cos(Ωt)) estaacute desfasado π2 do sinal da
franja ( sen(∆φ0)) A intensidade do sinal electrooacuteptico pode ser escrita como
Iseo asymp12
(Imax minus Imin)πrn3
oVoλ
2lh
∣∣∣ sen(∆φ0)∣∣∣ (415)
Assim a amplitude do sinal electrooacuteptico eacute
Iseo =12
(Imax minus Imin)πrn3
oVoλ
2lh
(416)
Pelo que o coeficiente electrooacuteptico linear seraacute dado por
r =|Iseo|
|Imax minus Imin|λ
πn3oVo
hl
(417)
38
46 RESULTADOS
Para o efeito electrooacuteptico quadraacutetico utilizando o procedimento anoacutelogo mas
a partir da equaccedilatildeo 248 em vez da equaccedilatildeo 247 O sinal electrooacuteptico quadraacutetico
Iseoq que ocorre ao dobro da frequecircncia de modulaccedilatildeo 2Ω eacute dado por
s =
∣∣∣Iseoq∣∣∣|Imax minus Imin|
2λ
πn3oV
2o
h2
l(418)
46 Resultados
Com o cristal de KDP devidamente alinhado no interferoacutemetro segundo o seu
eixo oacuteptico de maneira a se medir o coeficiente r63 Obtendo-se assim dois sinais
o sinal de franja e o sinal electrooacuteptico (Fig 416)
Figura 416 Padratildeo da franja produzida (a) e respectivos sinais de franja e elec-trooacuteptico obtidos para um cristal KDP padratildeo
De forma a se proceder a calibraccedilatildeo do sistema utilizou-se a equaccedilatildeo 417 na
forma
|Iseo||Imax minus Imin|
=πn3
o
λlhrVo (419)
39
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Usando o valor da razatildeo |Iseo ||ImaxminusImin|
em funccedilatildeo do potencial aplicado Vo pode-se
calcular o valor do coeficiente electrooacuteptico r atraveacutes do declive da recta obtida
Pode-se ver na figura 417 uma das rectas obtidas para o cristal utilizado na
calibraccedilatildeo do sistema
Figura 417 Razatildeo entre o sinal electrooacuteptico e a diferenccedila de intensidade defranjas em funccedilatildeo do potencial Vo aplicado ao cristal
A tabela 44 apresenta o valor do coeficiente electrooacuteptico obtido e respectiva
incerteza para o cristal de KDP tomando em conta os valores dos iacutendices de
refraccedilatildeo da tabela 43
Tabela 44 Valores e respectivas incertezas obtidas do coeficiente electrooacutepticopara o cristal KDP utilizado
Material Valor Padratildeo Valor Obtido Erro
KDPr63 = 106pmV r63 = 105plusmn 02pmV 1
(λ = 6328nm)
Como se pode ver na tabela 44 o resultado obtido situa-se muito proacuteximo
do teoacuterico encontrando-se dentro da incerteza obtida Os valores valores meacutedios
apresentam um desvio da ordem dos 02pmV
40
46 RESULTADOS
Apesar dos valores obtidos serem bastante positivos houve algumas dificul-
dades nomeadamente o vidro FTO que causou que o alinhamento fosse extrema-
mente complicado natildeo soacute pela sua espessura e dimensionamento como tambeacutem
pela refraccedilatildeo provocada no feixe laser Outro grande obstaacuteculo foi o alinhamento
do cristal uma vez que basta um ligeiro desvio no caminho oacuteptico para causar um
desalinhamento total algo que eacute agravado no interferoacutemetro do tipo Michelson
pelo facto de o feixe laser passar na amostra duas vezes
Apesar destas dificuldades o valor obtido para o coeficiente electrooacuteptico r63
foi de 105pmV valor esse muito proacuteximo do valor padratildeo da literatura que se
encontra nos 106pmV Assim pode-se considerar que o sistema desenvolvido
se encontra devidamente calibrado e pronto para futuras utilizaccedilotildees
41
Capiacutetulo
5Conclusotildees
O trabalho desenvolvido no decorrer desta dissertaccedilatildeo consistiu no desenvolvi-
mento de um sistema para a mediccedilatildeo do efeito electrooacuteptico aacuterea a ser ulilizada
na caracterizaccedilatildeo de novos materiais polimeacutericos para aplicaccedilatildeo em dispositivos
fotoacutenicos
Nesta conformidade foi desenhada construiacuteda e testado uma bancada oacuteptica
destinada agrave mediccedilatildeo do efeito electrooacuteptico baseado numa teacutecnica interferomeacute-
trica de mediccedilatildeo da diferenccedila de fase implementado atraveacutes de um interferoacutemetro
do tipo Michelson
O cristal escolhido para a calibraccedilatildeo do sistema desenvolvido foi um cristal de
KDP comercial tendo sido utilizado o coeficiente electrooacuteptico r63 como referecircn-
cia sendo o valor padratildeo de 106pmV
O sistema obtido permitiu medir um valor nominal de 105plusmn 02pmV com
um erro de aproximadamente 1 em relaccedilatildeo ao valor tabelado comprovando a
afericcedilatildeo do sistema para a mediccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico por transmissatildeo
O sistema desenvolvido estaacute portanto apto para futuras mediccedilotildees sendo ape-
nas necessaacuterio algumas alteraccedilotildees no porta-amostras mediante as dimensotildees e
forma da amostra a utilizar
Chegou-se ainda agrave conclusatildeo que para amostras como o cristal utilizado o
feixe laser passar duas vezes na amostra acaba por ser uma grande desvantagem
desvantagem essa inexistente para filmes polimeacutericos que ganham cada vez mais
importacircncia na aacuterea da fotoacutenica uma vez que satildeo materiais de grande interesse
cientiacutefico e tecnoloacutegico jaacute que podem ser utilizados no desenvolvimento de dispo-
sitivos oacutepticos nomeadamente moduladores de luz e memoacuterias oacutepticas
43
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46
Apecircndice
AApecircndice
A1 Desenhos Teacutecnicos
47
4xM
311
23
35
40
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311
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XX
01
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ccedilas
- Lista de Figuras
- Lista de Tabelas
- Introduccedilatildeo
- Efeito Electrooacuteptico
-
- Oacuteptica Natildeo-Linear
- Propagaccedilatildeo em Meios Anisotroacutepicos
-
- Vector de Poynting
- Elipsoiacutede dos Iacutendices
- Coeficientes Natildeo-Lineares
-
- Mediccedilatildeo do Efeito Electrooacuteptico
-
- Meacutetodo Tradicional
- Meacutetodos por Interferometria
-
- Interferometria Oacuteptica
- Interferoacutemetro de Mach-Zehnder
- Interferoacutemetro de Michelson
-
- Sistema Implementado
-
- Interferoacutemetro
- Electroacutenica Desenvolvida
-
- Amplificador
- Gerador de Rampa
- Seguidor de Tensatildeo
-
- Sistema Oacuteptico Desenvolvido
-
- Espelho Vibrante
- Bancada Oacuteptica
- Detector
- Cristal Electrooacuteptico
- Porta Amostras
-
- Coeficiente Electrooacuteptico
- Execuccedilatildeo Experimental
- Resultados
-
- Conclusotildees
- Bibliografia
- Apecircndice
-
- Desenhos Teacutecnicos
-
CAPIacuteTULO 2 EFEITO ELECTROOacutePTICO
223 Coeficientes Natildeo-Lineares
Quando eacute aplicado um campo eleacutectrico ao meio o elipsoiacutede de iacutendices pode
mudar a sua forma e orientaccedilatildeo no espaccedilo de tal forma que a equaccedilatildeo de elipsoide
de iacutendices passa a ser escrita de um modo geral como
( 1n2
)1x2 +
( 1n2
)2y2 +
( 1n2
)3z2 + 2
( 1n2
)4xy + 2
( 1n2
)5xz+ 2
( 1n2
)6yz = 1 (241)
Quando o campo eleacutectrico aplicado eacute nulo as equaccedilotildees 240 e 241 tecircm de ser
equivalentes pelo que para E = 0 tem-se
( 1n2
)1
=1
n2x( 1
n2
)2
=1
n2y( 1
n2
)3
=1
n2z( 1
n2
)4
=( 1n2
)5
=( 1n2
)6
= 0
(242)
Desta forma quando se aplica um campo eleacutectrico (E) verifica-se uma variaccedilatildeo
nos coeficientes(
1n2
)i Esta variaccedilatildeo induzida pelo efeito electrooacuteptico pode entatildeo
ser descrita atraveacutes de [8]
∆
( 1n2
)i
=3sumj=1
rijEj com i = 1 6 (243)
Sendo rij o coeficiente electrooacuteptico e E a magnitude do campo eleacutectrico apli-
cado
12
22 PROPAGACcedilAtildeO EM MEIOS ANISOTROacutePICOS
A equaccedilatildeo 243 tambeacutem pode ser escrita como
∆
( 1n2
)1
∆
( 1n2
)2
∆
( 1n2
)3
∆
( 1n2
)4
∆
( 1n2
)5
∆
( 1n2
)6
=
r11 r12 r13
r21 r22 r23
r31 r32 r33
r41 r42 r43
r51 r52 r53
r61 r62 r63
E1
E2
E3
(244)
Nesta conformidade o coeficiente electrooacuteptico pode ser escrito como
rij = minus 2
n3ij
[partnijpartEj
](245)
A diferenccedila de fase ∆φ resultante da variaccedilatildeo no iacutendice de refraccedilatildeo ∆n seraacute
∆φ =2πlλ
∆n (246)
Em que o l eacute o caminho percorrido pela luz de comprimento de onda λ no
meio Sendo a variaccedilatildeo no iacutendice de refraccedilatildeo devida aos efeitos electrooacutepticos
pode-se escrever
|∆n| =rno
3
2Voh
(247)
para o efeito electrooacuteptico linear e
|∆n| =sn3o
2
(Voh
)2(248)
para o efeito electrooacuteptico quadraacutetico
Onde os coefeciecircntes electrooacutepticos linear e quadraacutetico satildeo respectivamente
r e s Vo eacute o potencial eleacutectrico aplicado entre os eleacutetrodos que distam entre si a
uma distacircncia h criando assim o campo eleacutectrico aplicado
13
Capiacutetulo
3Mediccedilatildeo do Efeito Electrooacuteptico
Neste capiacutetulo satildeo apresentadas as teacutecnicas mais comuns utilizadas para a me-
diccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico destacando-se dois tipos de interferoacutemetros o
tradicional e os de interferometria de dois feixes
31 Meacutetodo Tradicional
Um dos meacutetodos mais usados para medir o efeito eletrooacuteptico foi o proposto por
Henry [9] em 1986 Esta teacutecnica ilustrada na Fig31 baseia-se na alteraccedilatildeo do
estado de polarizaccedilatildeo de um feixe linearmente polarizado quando este atravessa
o meio Esta alteraccedilatildeo ocorre devido agrave birrefrigecircncia induzida por um campo
eleacutetrico aplicado e agrave atividade oacuteptica do meio A montagem eacute composta por uma
fonte de luz (S) um monocromador (M) uma lente (L) um diafragma (D) dois
polarizadores (P1 e P2) um cristal (BSO) de espessura d ao qual eacute aplicado um
campo eleacutetrico (E) e um fotomultiplicador (FM) ligado a um sistema de aquisiccedilatildeo
de dados
O procedimento experimental em si consiste no seguinte para um dado estado
de polarizaccedilatildeo do feixe incidente imposto pelo P1 vai-se alterando a posiccedilatildeo
angular do P2 de forma a encontrar as intensidades maacutexima e miacutenima e desta
forma calcular-se a visibilidade (ν) atraveacutes de [9]
νθ =Imax minus IminImax + Imin
(31)
15
CAPIacuteTULO 3 MEDICcedilAtildeO DO EFEITO ELECTROOacutePTICO
Figura 31 Montagem experimental proposta por Henry e a sua equipa (adaptadode [9])
De seguida altera-se P1 para a posiccedilatildeo angular de 45 e repete-se o procedi-
mento anterior Somando o quadrado das duas visibilidades obtidas tem-se que
[9]
ν2θ + ν2
θ+45 = 1 +
1minus δ2
2
sen(φ2 )φ2
2
2
(32)
sendo
δ =2πλn3rEyd (33)
e
φ =radicδ2 + ρ2 (34)
Sendo δ a diferenccedila de fase originada pela birrefringecircncia λ o comprimento
de onda do feixe no vaacutecuo ρ a diferenccedila de fase associada agrave actividade oacuteptica n o
iacutendice de refraccedilatildeo sem campo eleacutetrico aplicado Ey o campo eleacutectrico aplicado e
d a espessura do cristal na direccedilatildeo do campo eleacutectrico aplicado Destas equaccedilotildees
pode-se calcular o coeficiente electrooacuteptico r
Para o caso de φ pequenos
sen(φ2 )φ2
2
1 pelo que
ν2θ + ν2
θ+45 1 +(1minus δ
2
2
)2
(35)
Natildeo sendo nesta situaccedilatildeo necessaacuteria a actividade oacuteptica ρ Esta teacutecnica apre-
senta um erro de mediccedilatildeo de 10 a 15 em relaccedilatildeo ao valor tabelado
16
32 MEacuteTODOS POR INTERFEROMETRIA
32 Meacutetodos por Interferometria
321 Interferometria Oacuteptica
Quando duas ondas de uma mesma frequecircncia se sobrepotildeem num dado ponto
formam uma nova onda cuja amplitude eacute o resultado da soma da amplitude das
duas ondas iniciais em cada instante nesse ponto Quando a soma da duas ondas
resulta numa amplitude maior diz-se que houve interferecircncia construtiva quando
resulta numa amplitude inferior diz-se que ocorreu interferecircncia destrutiva
Supondo que uma das ondas tem a forma E1ei(φ1minuswt) e a outra forma E2e
i(φ2minuswt)
sendo E1 e E2 as amplitudes dos respetivos campos eleacutetricos φ1 e φ2 as fases
iniciais w a frequecircncia angular e t o tempo a onda resultante seraacute descrita por
[10]
ET = E1ei(φ1minuswt) +E2e
i(φ2minuswt) (36)
Se φ1 minusφ2 = 2Nπ com N = 012 entatildeo as duas ondas estaratildeo em fase e daacute-
se uma interferecircncia construtiva perfeita Se φ1 minusφ2 = (2N + 1)π e E1 = E2 entatildeo
as duas ondas estaratildeo em oposiccedilatildeo de fase e daacute-se uma interferecircncia destrutiva
completa Estas situaccedilotildees extremas encontram-se ilustradas na figura 32
Figura 32 Ilustraccedilatildeo de uma interferecircncia construtiva perfeita (a) e destrutivacompleta (b)
Matematicamente a coerecircncia eacute uma medida da correlaccedilatildeo entre as ondas
Quanto mais construtiva for a interferecircncia maior seraacute a coerecircncia Fisicamente
a coerecircncia eacute uma medida do quatildeo constante a diferenccedila de fase permanece entre
17
CAPIacuteTULO 3 MEDICcedilAtildeO DO EFEITO ELECTROOacutePTICO
as duas ondas A coerecircncia eacute usualmente medida num padratildeo de franjas de in-
terferecircncia atraveacutes da visibilidade de franja (ν) que pode ser experimentalmente
calculada atraveacutes de [10]
ν =Imax minus IminImax + Imin
= 1 coerecircncia total e contraste maacuteximo
0 lt ν lt 1 coerecircncia parcial
= 0 incoerecircncia total e contraste natildeo haacute franjas
(37)
Pode-se ver na Fig33 um exemplo da equaccedilatildeo 37 que representa a visibi-
lidade das franjas em funccedilatildeo da diferenccedila de fase entre duas ondas da mesma
frequecircncia que interferem Como a visibilidade das franjas depende da coerecircncia
das duas ondas qualquer diferenccedila iraacute traduzir-se numa diminuiccedilatildeo de visibili-
dade
Figura 33 Visibilidade num interferoacutemetro em funccedilatildeo da diferenccedila de fase entreduas ondas provenientes de ramos diferentes do interferoacutemetro (adaptado de[11])
Pode-se usar a interferometria para quantificar os efeitos electrooacutepticos natildeo
soacute linear mas tambeacutem o quadraacutetico (efeito de Kerr) Os interferoacutemetros mais
frequentemente utilizados para este efeito satildeo os interferoacutemetro de Michelson1 e1Albert Abraham Michelson foi um fiacutesico americano conhecido pela invenccedilatildeo do interferoacuteme-
tro de Michelson (1891) do seu trabalho na mediccedilatildeo da velocidade da luz e pelo seu trabalho naexperiecircncia de Michelson-Morley Em 1907 tornou-se o primeiro americano a receber o PreacutemioNobel da Fiacutesica
18
32 MEacuteTODOS POR INTERFEROMETRIA
o interferoacutemetro de Mach-Zehnder2
De salientar que as teacutecnicas interferomeacutetricas apresentam uma elevada sensibi-
lidade simplificaccedilatildeo na preparaccedilatildeo das amostras a estudar e uma menor sensibili-
dade a vibraccedilotildees mecacircnicas e a flutuaccedilotildees teacutermicas desde que estas ocorram com
a mesma intensidade em ambos os ramos do mesmo tamanho do interferoacutemetro
322 Interferoacutemetro de Mach-Zehnder
No interferoacutemetro de Mach-Zehnder (Fig 34) um separador de feixe divide o
feixe proveniente da fonte em dois feixes que vatildeo constituir os dois ramos do
interferoacutemetro o feixe-amostra e o feixe-referecircncia Ambos satildeo refletidos por um
espelho e ambos atravessam um novo separador de feixe antes de se juntarem de
novo e serem medidos nos detetores
Figura 34 Esquema de um interferoacutemetro de Mach-Zehnder (adaptado de [12])
Com os ramos agrave mesma distacircncia pode ainda observar-se que sem amostra
ambos os feixes vatildeo chegar em fase aos detetores havendo desta forma uma inter-
ferecircncia construtiva Ambos apresentaratildeo uma mudanccedila de fase correspondente
a λ devido ao facto de ambos sofrerem duas reflexotildees e uma transmissatildeo numa
placa de vidro(separador de feixe) ateacute chegarem aos detetores2Ludwig Zehnder foi um fiacutesico suiacuteccedilo e o inventor do interferoacutemetro de Mach-Zehnder Inter-
feroacutemetro esse depois aperfeiccediloado por Ludwig Mach
19
CAPIacuteTULO 3 MEDICcedilAtildeO DO EFEITO ELECTROOacutePTICO
Alterando o caminho oacuteptico do espelho do feixe-referecircncia em λ4 sem amos-
tra o feixe-amostra e o feixe-referecircncia vatildeo chegar com uma diferenccedila de fase de
λ2 ou seja vai haver uma interferecircncia destrutiva completa Isto porque o feixe-
referecircncia vai ter uma mudanccedila de fase de λ2 devido a uma reflexatildeo e duas trans-
missotildees provocadas pelos separadores de feixe Enquanto que o feixe-amostra
chegaraacute aos detetores com uma diferenccedila de fase de λ devido a duas reflexotildees
mais uma reflexatildeo com transmissatildeo no segundo separador de feixe Assim na
ausecircncia de amostra e desde que a diferenccedila de caminho oacuteptico ou retardaccedilatildeo
(δ) seja zero os feixes iratildeo interferir construtivamente [13]
Com a amostra colocada no caminho do feixe-amostra os feixes vatildeo chegar ao
detetor em diferentes situaccedilotildees de fase sendo possiacutevel determinar a diferenccedila de
fase provocada pela presenccedila da amostra
A intensidade do feixe (I) em ambos os detetores eacute descrita por [14]
I(δ) =12I(k)cos(2Nkδ) (38)
Com k o nuacutemero de onda (k = 2πλ) E fazendo δ = d com d = vt resulta
I(δ) =12I(k)cos(2Nk(vt)) (39)
323 Interferoacutemetro de Michelson
No interferoacutemetro do tipo Michelson um feixe de luz eacute dividido em dois que
percorrem caminhos diferentes para de seguida se recombinarem Apoacutes terem
percorrido caminhos diferentes o feixe resultante da recombinaccedilatildeo pode apresen-
tar um padratildeo de interferecircncia que depende da diferenccedila de caminhos oacutepticos
entre os feixes e que pode ser medido num detetor
A forma mais simples de implementar um interferoacutemetro de Michelson con-
siste em dois espelhos colocados entre si num plano perpendicular em que um
deles se pode mover na direccedilatildeo perpendicular agrave sua superfiacutecie refletora conforme
ilustrado na Fig35
Esse espelho iraacute movimentar-se num espaccedilo definido a uma velocidade cons-
tante Entre o espelho fixo e o espelho moacutevel estaacute um separador de feixe que
divide o feixe incidente inicial em dois de igual intensidade Aqui o feixe eacute parci-
almente refletido para um espelho e parcialmente transmitido para o outro
20
32 MEacuteTODOS POR INTERFEROMETRIA
Figura 35 Esquema de funcionamento de um interferoacutemetro de Michelson cominterferecircncia construtiva (a) e destrutiva (b) (adaptado de [15])
Assumindo que o separador de feixe eacute ideal e com uma reflectacircncia e transmi-
tacircncia de 50 se o espelho moacutevel se encontrar estacionaacuterio pode determinar-se
a intensidade do feixe num dado ponto do detetor Se a diferenccedila do caminho
oacuteptico ou retardaccedilatildeo (δ) for zero ou seja os espelhos estatildeo igualmente espaccedilados
do separador de feixe estes vatildeo percorrer a mesma distacircncia e interferir construti-
vamente pelo que a intensidade do feixe final eacute a soma das intensidades dos dois
feixes Nestas condiccedilotildees toda a luz que sai da fonte chega ao detetor
No caso do espelho moacutevel se deslocar uma distacircncia de λ4 a retardaccedilatildeo total
seraacute de λ2 pelo que os feixes estaratildeo desfasadas de 180ordm (π) Nestas condiccedilotildees ter-
se-aacute interferecircncia destrutiva completa na recombinaccedilatildeo dos feixes dando origem
agrave extinccedilatildeo total
Voltando a deslocar o espelho moacutevel de mais λ4 a diferenccedila do caminho
oacuteptico seraacute igual a λ e os dois feixes voltam a estar em fase havendo novamente
uma sobreposiccedilatildeo construtiva dos feixes
Com o espelho moacutevel a deslocar-se a uma velocidade constante o sinal do de-
tetor iraacute variar com uma forma perioacutedica sendo que atinge o seu maacuteximo quando
a retardaccedilatildeo (δ) for um muacuteltiplo inteiro de λ δ =Nλ
A expressatildeo da intensidade do feixe (I) no detector para o caso do interferoacute-
metro de Michelson eacute semelhante agrave equaccedilatildeo 38 para o interferoacutemetro de Mach-
Zehnder sendo que neste caso δ = 2d com d = vt jaacute que o feixe atravessa a
amostra duas vezes Nestas condiccedilotildees ter-se-aacute
I(δ) =12I(k)cos(4Nk(vt)) (310)
21
CAPIacuteTULO 3 MEDICcedilAtildeO DO EFEITO ELECTROOacutePTICO
22
Capiacutetulo
4Sistema Implementado
Este capiacutetulo descreve o sistema implementado para a mediccedilatildeo do coeficiente
electrooacuteptico usando a teacutecnica de interferoacutemetria de Michelson bem como a cali-
braccedilatildeo do mesmo
41 Interferoacutemetro
O sistema escolhido para a mediccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico baseia-se na teacutec-
nica de interferometria de Michelson (ver secccedilatildeo 323) onde se mediu a diferenccedila
de fase entre os ramos do interferoacutemetro Esta teacutecnica foi escolhida pela elevada
sensibilidade agrave diferenccedila de fase gerada entre os ramos do interferoacutemetro facili-
dade de preparaccedilatildeo das amostras e por ser menos sensiacutevel a vibraccedilotildees mecacircnicas
e a flutuaccedilotildees teacutermicas desde que estas ocorram com a mesma intensidade em
ambos os ramos do interferoacutemetro Para aleacutem das vantagens mencionadas e espe-
cificamente em comparaccedilatildeo com o interferoacutemetro mais usado o interferoacutemetro
do tipo Mach-Zehnder o interferoacutemetro de Michelson tem uma maior facilidade
de alinhamento dos espelhos e usa apenas um separador de feixe
A figura 41 esquematiza o sistema baseado no interferoacutemetro de Michelson
desenvolvido para a mediccedilatildeo do coeficiente eletrooacuteptico
23
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Figura 41 Esquematizaccedilatildeo do interferoacutemetro de Michelson e instrumentaccedilatildeoutilizada para a mediccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico em cristais
Como se pode ver no esquema da figura 41 o ramo do espelho vibrante fica
vazio enquanto que no ramo do espelho fixo se encontra a amostra entre dois
eleacutectrodos onde se aplicam um campo eleacutectrico E O sinal medido no detector
resulta da interferecircncia entre os feixes provenientes de cada ramo do interferoacute-
mentro dependendo da diferenccedila de fase entre os dois feixes Conforme referido
anteriormente a intensidade da luz (I) que chega ao detector eacute da ordem de [16]
I prop E21 +E2
2 + 2E1E2cos(∆φ) (41)
42 Electroacutenica Desenvolvida
421 Amplificador
Para o efeito electrooacuteptico se manisfestar eacute necessaacuterio aplicar-se uma tensatildeo eleacutec-
trica ao meio Uma vez que a tensatildeo de referecircncia fornecida pelo amplificador
lock-in utilizado eacute muito baixa para induzir efeito electrooacuteptico significativo por
volta dos 12V foi necessaacuterio construir um amplificador de tensatildeo (Fig 42)
24
42 ELECTROacuteNICA DESENVOLVIDA
Figura 42 Esquemaacutetico do amplificador de tensatildeo utilizado com base no ampli-ficador operacional LF356n
O amplificador construiacutedo conforme ilustra a figura 42 consiste numa mon-
tagem inversora de ganho variaacutevel com uma malha de controlo de offset e eacute
alimentado a plusmn12V
Assim o ganho G eacute determinado atraveacutes de
G = 1 +R2R1
(42)
Sendo R1 = 11kΩ R2 = 5kΩ R3 = 25kΩ e o amplificador em si utilizado foi
o LF356n
Obtendo-se desta forma um ganho de aproximadamente 55 Permitindo apli-
car uma tensatildeo de cerca de 66V ao cristal electrooacuteptico Uma vez que a tensatildeo
aplicada eacute baixa pode-se desprezar o efeito piezoeleacutectrico gerado na amostra e
que iria influenciar o valor do coeficiente electrooacuteptico medido
422 Gerador de Rampa
Para alimentar o excitador piezoeleacutectrico do espelho moacutevel foi utilizado um ge-
rador de sinais (Fig 43) de forma a induzir um deslocamento linear perioacutedico
na forma de rampa A frequecircncia de oscilaccedilatildeo cerca de 25Hz foi escolhida de
25
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
forma a ser suficientemente baixa para evitar fenoacutemenos de batimento com o sinal
de modulaccedilatildeo electrooacuteptico e suficientemente alta para que se consiga adquirir
dados em tempo uacutetil com uma tensatildeo variaacutevel entre os 4 e os 8V
Figura 43 Esquema eleacutectrico do gerador de rampa implementado baseado nocircuito temporizador NE555
Sendo R1 = 20kΩ R2 = 1kΩ e C1 = C2 = 47microF
O tempo de subida da rampa t1 eacute dado por
t1 = 0693(R1 +R2)C1 (43)
Enquanto que o tempo de descida t2 eacute
t2 = 0693R2C1 (44)
Obtendo assim um tempo de subida de 036s e um tempo de descida de 0033s
Assim a frequecircncia do gerador de rampa f seraacute dada por
f =1
t1 + t2=
144(R1 + 2R2)C1
(45)
O gerador de rampa foi construiacutedo aproveitando o espaccedilo livre no interior da
unidade de amplificaccedilatildeo onde se situa o amplificador
26
42 ELECTROacuteNICA DESENVOLVIDA
423 Seguidor de Tensatildeo
Devido agrave necessidade de acoplamento de impedacircncias entre o amplificador lock-
in e o osciloacutescopio natildeo foi possiacutevel a utilizaccedilatildeo de um repartidor coaxial que
repartisse o sinal proveniente do detector Assim de forma a se poder visuali-
zar o sinal proveniente do detector em simultacircneo com o sinal electrooacuteptico foi
necessaacuterio a construccedilatildeo de um seguidor de tensatildeo (Fig44)
Figura 44 Esquema do seguidor de tensatildeo utilizado construida com base nosamplifacores operacionais LF356n
Sendo que ambos os circuitos integrados foram alimentados por uma tensatildeo
positiva (V+) de 12V e uma negativa (Vminus) de minus12V Com R1 = R2 = 25kΩ Agrave
semelhanccedila do amplificador foi tambeacutem construida uma malha de controlo de
offset
Agrave semelhanccedila do gerador de rampa tambeacutem foi construido na unidade de
amplificaccedilatildeo e gerador de rampa como se pode ver na figura 45
27
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Figura 45 Imagem da unidade de amplificaccedilatildeo e geraccedilatildeo de rampa implemen-tada
43 Sistema Oacuteptico Desenvolvido
431 Espelho Vibrante
O espelho vibrante (Fig46) foi construiacutedo afixando um espelho a um disco pie-
zoeleacutectrico A vibraccedilatildeo do espelho iraacute fazer com que a distacircncia entre o divisor
de feixe e o espelho varie Fazendo deslocar a franja de interferecircncia em frente ao
detector permitindo a este medir as intensidades maacuteximas e miacutenimas das franjas
de interferecircncia (ver secccedilatildeo 323)
Figura 46 Imagem do espelho vibrante utilizado
28
43 SISTEMA OacutePTICO DESENVOLVIDO
432 Bancada Oacuteptica
De forma a colocar os componentes ao niacutevel do feixe do laser na mesa oacuteptica e a
tornar o sistema menos sensiacutevel a vibraccedilotildees mecacircnicas e flutuaccedilotildees teacutermicas os
componentes foram colocadas numa base quadrada de alumiacutenio
Figura 47 Imagem da bancada oacuteptica onde o interferoacutemetro de Michelson foiconstruiacutedo
Conforme se pode ver na figura 47 para completar o interferoacutemetro de Michel-
son para aleacutem dos componentes jaacute referidos foram ainda utilizados um separador
de feixe e um espelho (fixo) no suporte com uma lente oacuteptica agrave saiacuteda do mesmo
Faltando ainda o laser utilizado da Melles Griotreg que possui uma potecircncia de
635mW e um comprimento de onda de 6328nm
433 Detector
O detector utilizado foi um modelo 818-UVDB da Newport Corporationreg (Fig
48) de baixa potecircncia consistindo num fotodiacuteodo de siliacutecio capaz de operar entre
os 200 e os 1100nm As caracteriacutesticas principais deste detector encontram-se
listadas na tabela 433
29
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Tabela 41 Caracteriacutesticas principais do detector 818-UVDB [17]
Largura de Banda 200 a 1100(nm) Material Siliacutecio
Potecircncia
W λ(nm)
Incerteza de
λ(nm)
02 200 a 4008 200 a 219
Maacutexima Calibraccedilatildeo 2 220 a 349
005 400 a 11001 350 a 9494 950 a 1050
Densidade de02Wcm2 Aacuterea Activa 1cm2
Potecircncia Meacutedia
Energia Maacutexima05microJ
Diacircmetro113cm
de Pulso Activo
De forma a evitar que a luz ambiente interferisse nas medidas e para aumen-
tar a resoluccedilatildeo de mediccedilatildeo do perfil da franja de interferecircncia foi colocado um
diafragma com uma abertura no centro de 06mm conforme se pode ver na figura
48 reduzido desta maneira a aacuterea activa para 028 mm2
Figura 48 Imagem do detector e disco utilizado
Para a aquisiccedilatildeo do sinal electrooacuteptico e geraccedilatildeo de sinal electrooacuteptico de
referecircncia foi utilizado um osciloscoacutepio Lecroy Wavesufertrade422
30
43 SISTEMA OacutePTICO DESENVOLVIDO
434 Cristal Electrooacuteptico
Para a calibraccedilatildeo do sistema foi utilizado um cristal padratildeo de dihidrogenofosfato
de potaacutessio (KDP) Na tabela 42 pode-se observar algumas das propriedades
fiacutesicas desse cristal
Tabela 42 Propriedades fiacutesicas do cristal padratildeo KDP [18]
Material Simetria Densidade Classe Higroscopicidade
KDP Tetragonal (42m) 234gcm3 Uniaxial Higroscoacutepico
Uma vez que o cristal eacute uniaxial nx = ny = no e nz = ne sendo no e ne os
iacutendices de refraccedilatildeo ordinaacuterio e extraordinaacuterio do cristal KDP A figura 49 ilustra
o elipsoiacutede de iacutendices num cristal padratildeo KDP
Figura 49 Ilustraccedilatildeo de um cristal padratildeo KDP e seu respectivo elipsoiacutede deiacutendices
31
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Na Tabela 43 pode-se observar algumas das propriedades oacutepticas do cristal
padratildeo KDP
Tabela 43 Propriedades oacutepticas do cristal padratildeo KDP a 6328nm [7]
Material Foacutermula Quiacutemica Iacutendice de RefracccedilatildeoCoeficiente
Electrooacuteptico
KDPKH2PO4
no=15074 r41=86 pmV(λ = 6328nm) ne=14673 r63=106 pmV
Como se pode ver na tabela 42 o cristal do tipo KDP eacute higroscoacutepico sendo
assim necessaacuterio reduzir ao maacuteximo o contacto entre o cristal e a atmosfera para
evitar que as suas faces fiquem opacas interferindo assim na qualidade do feixe
transmitido
435 Porta Amostras
O porta amostras eacute constituiacutedo por uma base feita de latatildeo (Fig 410) onde se
coloca o cristal nivelado com o feixe laser Este suporte possui oito roscas para
parafusos M3 quatro em cima de forma a se fixar os encaixes laterais do porta
amostras e quatro em baixo de forma a afixar-se firmemente na bancada oacuteptica
Figura 410 Imagem da base do porta-amostras desenvolvido
32
43 SISTEMA OacutePTICO DESENVOLVIDO
De forma a aplicar-se a tensatildeo de excitaccedilatildeo ao cristal sem bloquear o feixe do
laser foram utilizadas duas placas de vidro com oacutexido de estanho dopado com
fluacuteor (FTO) Este permite que haja uma boa transparecircncia e conduccedilatildeo eleacutetrica
sendo usado em vaacuterios tipos de dispositivos como aplicaccedilotildees opto-eletroacutenicas
ecratildes touch screen filmes finos fotovoltaicos etc O oacutexido de estanho dopado
com fluacuteor [19] eacute reconhecido por ser altamente estaacutevel quimicamente inerte re-
siste a temperaturas elevadas e ao desgaste abrasivo sendo mais econoacutemico do
que o tradicional oacutexido de iacutendio e estanho (ITO)
De forma a garantir um bom contacto eleacutectrico entre o vidro FTO e o cristal
foram construidas duas peccedilas de afixaccedilatildeo idecircnticas (Fig 411) Trata-se de duas
peccedilas de alumiacutenio cada uma contendo uma abertura de forma a deixar passar
o feixe laser e dois rasgos para parafusos de forma a poder-se fixar no suporte e
desta maneira exercer uma pressatildeo constante sobre o cristal
Figura 411 Imagem das peccedilas de fixaccedilatildeo do cristal desenvolvidas com a vista defrente (a) e a vista de traacutes (b)
A ligaccedilatildeo eleacutectrica entre o sinal de referecircncia proveniente do amplificador ao
vidro FTO foi feita atraveacutes de uma cola condutora de prata de forma a assegurar
a ligaccedilatildeo oacutehmica entre o fio de cobre e a camada de FTO O cristal fica assim entre
duas placas de vidro FTO(Fig412)
33
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Figura 412 Imagem do porta Amostras desenvolvido
A figura 413 ilustra o sistema desenvolvido incluindo a bancada oacuteptica e
instrumentaccedilatildeo
Figura 413 Imagem do sistema desenvolvido para a mediccedilatildeo do efeito electrooacutep-tico
34
44 COEFICIENTE ELECTROOacutePTICO
44 Coeficiente Electrooacuteptico
Para o cristal utilizado o dihidrogenofosfato de potaacutessio (KDP) e para o efeito
electrooacuteptico linear a matriz de coeficientes electrooacutepticos eacute a seguinte
rij =
0 0 0
0 0 0
0 0 0
r41 0 0
0 r52 0
0 0 r63
com
i = 1 6
j = 123
Sendo que r41 = r52 pelo que existem apenas dois coeficientes independentes
o r41 e o r63
Usando a notaccedilatildeo condensada mencionada da secccedilatildeo 21 onde se aplica o
campo eleacutectrico (E) no plano do i (sendo i = m) enquanto que j eacute o eixo oacuteptico
Para o caso do KDP eacute costume utilizar o r63 Isto eacute aplicar o campo eleacutectrico nos
planos 12 ou 21 (ou seja i = 6) com o eixo oacuteptico no eixo 3 (j = 3) como demonstra
a figura 414
Figura 414 Ilustraccedilatildeo da configuraccedilatildeo utilizada para a mediccedilatildeo do coeficienter63 num cristal
35
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Para o caso do efeito electrooacuteptico quadraacutetico a matriz dos coeficientes elec-
trooacutepticos seraacute
sij =
s11 s12 s12 0 0 0
s12 s11 s12 0 0 0
s12 s12 s11 0 0 0
0 0 0 s11 minus s12 0 0
0 0 0 0 s11 minus s12 0
0 0 0 0 0 s11 minus s12
com i j = 1 6
45 Execuccedilatildeo Experimental
Para se medir o coeficiente electrooacuteptico aplica-se ao cristal uma tensatildeo com uma
frequecircncia de 2kHz frequecircncia essa que se revelou menos sensiacutevel aos ruiacutedos
ambientes sendo que o sinal electrooacuteptico teraacute a mesma frequecircncia Podendo-
se desta maneira atraveacutes de um amplificador de lock-in (modelo 393 da IthacoDynatrac) filtrar o sinal electrooacuteptico dos restantes sinais uma vez que a sua
frequecircncia eacute conhecida
A intensidade da equaccedilatildeo 41 eacute maacutexima quando cos(∆φ) = 1 e miacutenima quando
cos(∆φ) = minus1 Pelo que subtraindo estas duas equaccedilotildees
Imax minus Imin = 4E1E2 (46)
Assim combinando a equaccedilatildeo 41 com a equaccedilatildeo 46 obtem-se
I prop E21E
22 +
12
(Imax minus Imin)cos(∆φ) (47)
Juntando agora a equaccedilatildeo 246 agrave equaccedilatildeo 247 e tendo em conta que o feixe
passa duas vezes por cada ramo (=2l) a diferenccedila de fase para o efeito electrooacutep-
tico linear
∆φ = ∆φ0 +πrn3
oVoλ
2lh
cos(Ωt) (48)
Sendo ∆φ0 a diferenccedila de fase inicial sem o efeito electrooacuteptico
36
45 EXECUCcedilAtildeO EXPERIMENTAL
Substituindo o ∆φ da equaccedilatildeo 48 na equaccedilatildeo 47 a intensidade do sinal com
modulaccedilatildeo electrooacuteptica(Iseo) seraacute dado por
Iseo prop E21 +E2
2 +12
(Imax minus Imin)cos(∆φ0 +
πrn3oVoλ
2lh
cos(Ωt))
(49)
Usando cos(α plusmn β) = cos(α)cos(β)∓ sen(α) sen(β) e D = πrn3oVoλ
2lh fica-se com
Iseo prop E21 +E2
2+12
(Imax minus Imin)
[cos(∆φ0)cos(Dcos(Ωt)) minus sen(∆φ0) sen(D cos(Ωt))](410)
Como a modulaccedilatildeo electrooacuteptica eacute um efeito muito pequeno a equaccedilatildeo 410
pode-se escrever
Iseo asymp E21 +E2
2 +12
(Imax minus Imin) [cos(∆φ0)minusD cos(Ωt) sen(∆φ0)] (411)
Considerando soacute os termos de primeira ordem
Iseo asymp12
(Imax minus Imin) [cos(∆φ0)minusD cos(Ωt) sen(∆φ0)] (412)
A componente do sinal electrooacuteptico eacute entatildeo dado por
Iseo =12
(Imax minus Imin)D cos(Ωt) sen(∆φ0) (413)
Ou seja
Iseo =12
(Imax minus Imin)πrn3
oVoλ
2lh
cos(Ωt) sen(∆φ0) (414)
O acircngulo ∆φ0 varia linearmente com o tempo (t) a uma frequecircncia inferior
a Ω A franja de interferecircncia desloca-se continuamente em frente ao detector
devido a um dos espelho estar fixado num disco piezoeleacutectrico
37
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Na figura 415 pode-se ver uma exemplificaccedilatildeo do sinal no detector que incor-
pora o sinal da franja e electrooacuteptico dada pela equaccedilatildeo 414
Figura 415 Ilustraccedilatildeo do sinal de modulaccedilatildeo electrooacuteptica de um feixe de luzmedido num interferoacutemetro de Michelson
Uma vez que o sinal electrooacuteptico (cos(Ωt)) estaacute desfasado π2 do sinal da
franja ( sen(∆φ0)) A intensidade do sinal electrooacuteptico pode ser escrita como
Iseo asymp12
(Imax minus Imin)πrn3
oVoλ
2lh
∣∣∣ sen(∆φ0)∣∣∣ (415)
Assim a amplitude do sinal electrooacuteptico eacute
Iseo =12
(Imax minus Imin)πrn3
oVoλ
2lh
(416)
Pelo que o coeficiente electrooacuteptico linear seraacute dado por
r =|Iseo|
|Imax minus Imin|λ
πn3oVo
hl
(417)
38
46 RESULTADOS
Para o efeito electrooacuteptico quadraacutetico utilizando o procedimento anoacutelogo mas
a partir da equaccedilatildeo 248 em vez da equaccedilatildeo 247 O sinal electrooacuteptico quadraacutetico
Iseoq que ocorre ao dobro da frequecircncia de modulaccedilatildeo 2Ω eacute dado por
s =
∣∣∣Iseoq∣∣∣|Imax minus Imin|
2λ
πn3oV
2o
h2
l(418)
46 Resultados
Com o cristal de KDP devidamente alinhado no interferoacutemetro segundo o seu
eixo oacuteptico de maneira a se medir o coeficiente r63 Obtendo-se assim dois sinais
o sinal de franja e o sinal electrooacuteptico (Fig 416)
Figura 416 Padratildeo da franja produzida (a) e respectivos sinais de franja e elec-trooacuteptico obtidos para um cristal KDP padratildeo
De forma a se proceder a calibraccedilatildeo do sistema utilizou-se a equaccedilatildeo 417 na
forma
|Iseo||Imax minus Imin|
=πn3
o
λlhrVo (419)
39
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Usando o valor da razatildeo |Iseo ||ImaxminusImin|
em funccedilatildeo do potencial aplicado Vo pode-se
calcular o valor do coeficiente electrooacuteptico r atraveacutes do declive da recta obtida
Pode-se ver na figura 417 uma das rectas obtidas para o cristal utilizado na
calibraccedilatildeo do sistema
Figura 417 Razatildeo entre o sinal electrooacuteptico e a diferenccedila de intensidade defranjas em funccedilatildeo do potencial Vo aplicado ao cristal
A tabela 44 apresenta o valor do coeficiente electrooacuteptico obtido e respectiva
incerteza para o cristal de KDP tomando em conta os valores dos iacutendices de
refraccedilatildeo da tabela 43
Tabela 44 Valores e respectivas incertezas obtidas do coeficiente electrooacutepticopara o cristal KDP utilizado
Material Valor Padratildeo Valor Obtido Erro
KDPr63 = 106pmV r63 = 105plusmn 02pmV 1
(λ = 6328nm)
Como se pode ver na tabela 44 o resultado obtido situa-se muito proacuteximo
do teoacuterico encontrando-se dentro da incerteza obtida Os valores valores meacutedios
apresentam um desvio da ordem dos 02pmV
40
46 RESULTADOS
Apesar dos valores obtidos serem bastante positivos houve algumas dificul-
dades nomeadamente o vidro FTO que causou que o alinhamento fosse extrema-
mente complicado natildeo soacute pela sua espessura e dimensionamento como tambeacutem
pela refraccedilatildeo provocada no feixe laser Outro grande obstaacuteculo foi o alinhamento
do cristal uma vez que basta um ligeiro desvio no caminho oacuteptico para causar um
desalinhamento total algo que eacute agravado no interferoacutemetro do tipo Michelson
pelo facto de o feixe laser passar na amostra duas vezes
Apesar destas dificuldades o valor obtido para o coeficiente electrooacuteptico r63
foi de 105pmV valor esse muito proacuteximo do valor padratildeo da literatura que se
encontra nos 106pmV Assim pode-se considerar que o sistema desenvolvido
se encontra devidamente calibrado e pronto para futuras utilizaccedilotildees
41
Capiacutetulo
5Conclusotildees
O trabalho desenvolvido no decorrer desta dissertaccedilatildeo consistiu no desenvolvi-
mento de um sistema para a mediccedilatildeo do efeito electrooacuteptico aacuterea a ser ulilizada
na caracterizaccedilatildeo de novos materiais polimeacutericos para aplicaccedilatildeo em dispositivos
fotoacutenicos
Nesta conformidade foi desenhada construiacuteda e testado uma bancada oacuteptica
destinada agrave mediccedilatildeo do efeito electrooacuteptico baseado numa teacutecnica interferomeacute-
trica de mediccedilatildeo da diferenccedila de fase implementado atraveacutes de um interferoacutemetro
do tipo Michelson
O cristal escolhido para a calibraccedilatildeo do sistema desenvolvido foi um cristal de
KDP comercial tendo sido utilizado o coeficiente electrooacuteptico r63 como referecircn-
cia sendo o valor padratildeo de 106pmV
O sistema obtido permitiu medir um valor nominal de 105plusmn 02pmV com
um erro de aproximadamente 1 em relaccedilatildeo ao valor tabelado comprovando a
afericcedilatildeo do sistema para a mediccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico por transmissatildeo
O sistema desenvolvido estaacute portanto apto para futuras mediccedilotildees sendo ape-
nas necessaacuterio algumas alteraccedilotildees no porta-amostras mediante as dimensotildees e
forma da amostra a utilizar
Chegou-se ainda agrave conclusatildeo que para amostras como o cristal utilizado o
feixe laser passar duas vezes na amostra acaba por ser uma grande desvantagem
desvantagem essa inexistente para filmes polimeacutericos que ganham cada vez mais
importacircncia na aacuterea da fotoacutenica uma vez que satildeo materiais de grande interesse
cientiacutefico e tecnoloacutegico jaacute que podem ser utilizados no desenvolvimento de dispo-
sitivos oacutepticos nomeadamente moduladores de luz e memoacuterias oacutepticas
43
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46
Apecircndice
AApecircndice
A1 Desenhos Teacutecnicos
47
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311
23
35
40
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311
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- Lista de Figuras
- Lista de Tabelas
- Introduccedilatildeo
- Efeito Electrooacuteptico
-
- Oacuteptica Natildeo-Linear
- Propagaccedilatildeo em Meios Anisotroacutepicos
-
- Vector de Poynting
- Elipsoiacutede dos Iacutendices
- Coeficientes Natildeo-Lineares
-
- Mediccedilatildeo do Efeito Electrooacuteptico
-
- Meacutetodo Tradicional
- Meacutetodos por Interferometria
-
- Interferometria Oacuteptica
- Interferoacutemetro de Mach-Zehnder
- Interferoacutemetro de Michelson
-
- Sistema Implementado
-
- Interferoacutemetro
- Electroacutenica Desenvolvida
-
- Amplificador
- Gerador de Rampa
- Seguidor de Tensatildeo
-
- Sistema Oacuteptico Desenvolvido
-
- Espelho Vibrante
- Bancada Oacuteptica
- Detector
- Cristal Electrooacuteptico
- Porta Amostras
-
- Coeficiente Electrooacuteptico
- Execuccedilatildeo Experimental
- Resultados
-
- Conclusotildees
- Bibliografia
- Apecircndice
-
- Desenhos Teacutecnicos
-
22 PROPAGACcedilAtildeO EM MEIOS ANISOTROacutePICOS
A equaccedilatildeo 243 tambeacutem pode ser escrita como
∆
( 1n2
)1
∆
( 1n2
)2
∆
( 1n2
)3
∆
( 1n2
)4
∆
( 1n2
)5
∆
( 1n2
)6
=
r11 r12 r13
r21 r22 r23
r31 r32 r33
r41 r42 r43
r51 r52 r53
r61 r62 r63
E1
E2
E3
(244)
Nesta conformidade o coeficiente electrooacuteptico pode ser escrito como
rij = minus 2
n3ij
[partnijpartEj
](245)
A diferenccedila de fase ∆φ resultante da variaccedilatildeo no iacutendice de refraccedilatildeo ∆n seraacute
∆φ =2πlλ
∆n (246)
Em que o l eacute o caminho percorrido pela luz de comprimento de onda λ no
meio Sendo a variaccedilatildeo no iacutendice de refraccedilatildeo devida aos efeitos electrooacutepticos
pode-se escrever
|∆n| =rno
3
2Voh
(247)
para o efeito electrooacuteptico linear e
|∆n| =sn3o
2
(Voh
)2(248)
para o efeito electrooacuteptico quadraacutetico
Onde os coefeciecircntes electrooacutepticos linear e quadraacutetico satildeo respectivamente
r e s Vo eacute o potencial eleacutectrico aplicado entre os eleacutetrodos que distam entre si a
uma distacircncia h criando assim o campo eleacutectrico aplicado
13
Capiacutetulo
3Mediccedilatildeo do Efeito Electrooacuteptico
Neste capiacutetulo satildeo apresentadas as teacutecnicas mais comuns utilizadas para a me-
diccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico destacando-se dois tipos de interferoacutemetros o
tradicional e os de interferometria de dois feixes
31 Meacutetodo Tradicional
Um dos meacutetodos mais usados para medir o efeito eletrooacuteptico foi o proposto por
Henry [9] em 1986 Esta teacutecnica ilustrada na Fig31 baseia-se na alteraccedilatildeo do
estado de polarizaccedilatildeo de um feixe linearmente polarizado quando este atravessa
o meio Esta alteraccedilatildeo ocorre devido agrave birrefrigecircncia induzida por um campo
eleacutetrico aplicado e agrave atividade oacuteptica do meio A montagem eacute composta por uma
fonte de luz (S) um monocromador (M) uma lente (L) um diafragma (D) dois
polarizadores (P1 e P2) um cristal (BSO) de espessura d ao qual eacute aplicado um
campo eleacutetrico (E) e um fotomultiplicador (FM) ligado a um sistema de aquisiccedilatildeo
de dados
O procedimento experimental em si consiste no seguinte para um dado estado
de polarizaccedilatildeo do feixe incidente imposto pelo P1 vai-se alterando a posiccedilatildeo
angular do P2 de forma a encontrar as intensidades maacutexima e miacutenima e desta
forma calcular-se a visibilidade (ν) atraveacutes de [9]
νθ =Imax minus IminImax + Imin
(31)
15
CAPIacuteTULO 3 MEDICcedilAtildeO DO EFEITO ELECTROOacutePTICO
Figura 31 Montagem experimental proposta por Henry e a sua equipa (adaptadode [9])
De seguida altera-se P1 para a posiccedilatildeo angular de 45 e repete-se o procedi-
mento anterior Somando o quadrado das duas visibilidades obtidas tem-se que
[9]
ν2θ + ν2
θ+45 = 1 +
1minus δ2
2
sen(φ2 )φ2
2
2
(32)
sendo
δ =2πλn3rEyd (33)
e
φ =radicδ2 + ρ2 (34)
Sendo δ a diferenccedila de fase originada pela birrefringecircncia λ o comprimento
de onda do feixe no vaacutecuo ρ a diferenccedila de fase associada agrave actividade oacuteptica n o
iacutendice de refraccedilatildeo sem campo eleacutetrico aplicado Ey o campo eleacutectrico aplicado e
d a espessura do cristal na direccedilatildeo do campo eleacutectrico aplicado Destas equaccedilotildees
pode-se calcular o coeficiente electrooacuteptico r
Para o caso de φ pequenos
sen(φ2 )φ2
2
1 pelo que
ν2θ + ν2
θ+45 1 +(1minus δ
2
2
)2
(35)
Natildeo sendo nesta situaccedilatildeo necessaacuteria a actividade oacuteptica ρ Esta teacutecnica apre-
senta um erro de mediccedilatildeo de 10 a 15 em relaccedilatildeo ao valor tabelado
16
32 MEacuteTODOS POR INTERFEROMETRIA
32 Meacutetodos por Interferometria
321 Interferometria Oacuteptica
Quando duas ondas de uma mesma frequecircncia se sobrepotildeem num dado ponto
formam uma nova onda cuja amplitude eacute o resultado da soma da amplitude das
duas ondas iniciais em cada instante nesse ponto Quando a soma da duas ondas
resulta numa amplitude maior diz-se que houve interferecircncia construtiva quando
resulta numa amplitude inferior diz-se que ocorreu interferecircncia destrutiva
Supondo que uma das ondas tem a forma E1ei(φ1minuswt) e a outra forma E2e
i(φ2minuswt)
sendo E1 e E2 as amplitudes dos respetivos campos eleacutetricos φ1 e φ2 as fases
iniciais w a frequecircncia angular e t o tempo a onda resultante seraacute descrita por
[10]
ET = E1ei(φ1minuswt) +E2e
i(φ2minuswt) (36)
Se φ1 minusφ2 = 2Nπ com N = 012 entatildeo as duas ondas estaratildeo em fase e daacute-
se uma interferecircncia construtiva perfeita Se φ1 minusφ2 = (2N + 1)π e E1 = E2 entatildeo
as duas ondas estaratildeo em oposiccedilatildeo de fase e daacute-se uma interferecircncia destrutiva
completa Estas situaccedilotildees extremas encontram-se ilustradas na figura 32
Figura 32 Ilustraccedilatildeo de uma interferecircncia construtiva perfeita (a) e destrutivacompleta (b)
Matematicamente a coerecircncia eacute uma medida da correlaccedilatildeo entre as ondas
Quanto mais construtiva for a interferecircncia maior seraacute a coerecircncia Fisicamente
a coerecircncia eacute uma medida do quatildeo constante a diferenccedila de fase permanece entre
17
CAPIacuteTULO 3 MEDICcedilAtildeO DO EFEITO ELECTROOacutePTICO
as duas ondas A coerecircncia eacute usualmente medida num padratildeo de franjas de in-
terferecircncia atraveacutes da visibilidade de franja (ν) que pode ser experimentalmente
calculada atraveacutes de [10]
ν =Imax minus IminImax + Imin
= 1 coerecircncia total e contraste maacuteximo
0 lt ν lt 1 coerecircncia parcial
= 0 incoerecircncia total e contraste natildeo haacute franjas
(37)
Pode-se ver na Fig33 um exemplo da equaccedilatildeo 37 que representa a visibi-
lidade das franjas em funccedilatildeo da diferenccedila de fase entre duas ondas da mesma
frequecircncia que interferem Como a visibilidade das franjas depende da coerecircncia
das duas ondas qualquer diferenccedila iraacute traduzir-se numa diminuiccedilatildeo de visibili-
dade
Figura 33 Visibilidade num interferoacutemetro em funccedilatildeo da diferenccedila de fase entreduas ondas provenientes de ramos diferentes do interferoacutemetro (adaptado de[11])
Pode-se usar a interferometria para quantificar os efeitos electrooacutepticos natildeo
soacute linear mas tambeacutem o quadraacutetico (efeito de Kerr) Os interferoacutemetros mais
frequentemente utilizados para este efeito satildeo os interferoacutemetro de Michelson1 e1Albert Abraham Michelson foi um fiacutesico americano conhecido pela invenccedilatildeo do interferoacuteme-
tro de Michelson (1891) do seu trabalho na mediccedilatildeo da velocidade da luz e pelo seu trabalho naexperiecircncia de Michelson-Morley Em 1907 tornou-se o primeiro americano a receber o PreacutemioNobel da Fiacutesica
18
32 MEacuteTODOS POR INTERFEROMETRIA
o interferoacutemetro de Mach-Zehnder2
De salientar que as teacutecnicas interferomeacutetricas apresentam uma elevada sensibi-
lidade simplificaccedilatildeo na preparaccedilatildeo das amostras a estudar e uma menor sensibili-
dade a vibraccedilotildees mecacircnicas e a flutuaccedilotildees teacutermicas desde que estas ocorram com
a mesma intensidade em ambos os ramos do mesmo tamanho do interferoacutemetro
322 Interferoacutemetro de Mach-Zehnder
No interferoacutemetro de Mach-Zehnder (Fig 34) um separador de feixe divide o
feixe proveniente da fonte em dois feixes que vatildeo constituir os dois ramos do
interferoacutemetro o feixe-amostra e o feixe-referecircncia Ambos satildeo refletidos por um
espelho e ambos atravessam um novo separador de feixe antes de se juntarem de
novo e serem medidos nos detetores
Figura 34 Esquema de um interferoacutemetro de Mach-Zehnder (adaptado de [12])
Com os ramos agrave mesma distacircncia pode ainda observar-se que sem amostra
ambos os feixes vatildeo chegar em fase aos detetores havendo desta forma uma inter-
ferecircncia construtiva Ambos apresentaratildeo uma mudanccedila de fase correspondente
a λ devido ao facto de ambos sofrerem duas reflexotildees e uma transmissatildeo numa
placa de vidro(separador de feixe) ateacute chegarem aos detetores2Ludwig Zehnder foi um fiacutesico suiacuteccedilo e o inventor do interferoacutemetro de Mach-Zehnder Inter-
feroacutemetro esse depois aperfeiccediloado por Ludwig Mach
19
CAPIacuteTULO 3 MEDICcedilAtildeO DO EFEITO ELECTROOacutePTICO
Alterando o caminho oacuteptico do espelho do feixe-referecircncia em λ4 sem amos-
tra o feixe-amostra e o feixe-referecircncia vatildeo chegar com uma diferenccedila de fase de
λ2 ou seja vai haver uma interferecircncia destrutiva completa Isto porque o feixe-
referecircncia vai ter uma mudanccedila de fase de λ2 devido a uma reflexatildeo e duas trans-
missotildees provocadas pelos separadores de feixe Enquanto que o feixe-amostra
chegaraacute aos detetores com uma diferenccedila de fase de λ devido a duas reflexotildees
mais uma reflexatildeo com transmissatildeo no segundo separador de feixe Assim na
ausecircncia de amostra e desde que a diferenccedila de caminho oacuteptico ou retardaccedilatildeo
(δ) seja zero os feixes iratildeo interferir construtivamente [13]
Com a amostra colocada no caminho do feixe-amostra os feixes vatildeo chegar ao
detetor em diferentes situaccedilotildees de fase sendo possiacutevel determinar a diferenccedila de
fase provocada pela presenccedila da amostra
A intensidade do feixe (I) em ambos os detetores eacute descrita por [14]
I(δ) =12I(k)cos(2Nkδ) (38)
Com k o nuacutemero de onda (k = 2πλ) E fazendo δ = d com d = vt resulta
I(δ) =12I(k)cos(2Nk(vt)) (39)
323 Interferoacutemetro de Michelson
No interferoacutemetro do tipo Michelson um feixe de luz eacute dividido em dois que
percorrem caminhos diferentes para de seguida se recombinarem Apoacutes terem
percorrido caminhos diferentes o feixe resultante da recombinaccedilatildeo pode apresen-
tar um padratildeo de interferecircncia que depende da diferenccedila de caminhos oacutepticos
entre os feixes e que pode ser medido num detetor
A forma mais simples de implementar um interferoacutemetro de Michelson con-
siste em dois espelhos colocados entre si num plano perpendicular em que um
deles se pode mover na direccedilatildeo perpendicular agrave sua superfiacutecie refletora conforme
ilustrado na Fig35
Esse espelho iraacute movimentar-se num espaccedilo definido a uma velocidade cons-
tante Entre o espelho fixo e o espelho moacutevel estaacute um separador de feixe que
divide o feixe incidente inicial em dois de igual intensidade Aqui o feixe eacute parci-
almente refletido para um espelho e parcialmente transmitido para o outro
20
32 MEacuteTODOS POR INTERFEROMETRIA
Figura 35 Esquema de funcionamento de um interferoacutemetro de Michelson cominterferecircncia construtiva (a) e destrutiva (b) (adaptado de [15])
Assumindo que o separador de feixe eacute ideal e com uma reflectacircncia e transmi-
tacircncia de 50 se o espelho moacutevel se encontrar estacionaacuterio pode determinar-se
a intensidade do feixe num dado ponto do detetor Se a diferenccedila do caminho
oacuteptico ou retardaccedilatildeo (δ) for zero ou seja os espelhos estatildeo igualmente espaccedilados
do separador de feixe estes vatildeo percorrer a mesma distacircncia e interferir construti-
vamente pelo que a intensidade do feixe final eacute a soma das intensidades dos dois
feixes Nestas condiccedilotildees toda a luz que sai da fonte chega ao detetor
No caso do espelho moacutevel se deslocar uma distacircncia de λ4 a retardaccedilatildeo total
seraacute de λ2 pelo que os feixes estaratildeo desfasadas de 180ordm (π) Nestas condiccedilotildees ter-
se-aacute interferecircncia destrutiva completa na recombinaccedilatildeo dos feixes dando origem
agrave extinccedilatildeo total
Voltando a deslocar o espelho moacutevel de mais λ4 a diferenccedila do caminho
oacuteptico seraacute igual a λ e os dois feixes voltam a estar em fase havendo novamente
uma sobreposiccedilatildeo construtiva dos feixes
Com o espelho moacutevel a deslocar-se a uma velocidade constante o sinal do de-
tetor iraacute variar com uma forma perioacutedica sendo que atinge o seu maacuteximo quando
a retardaccedilatildeo (δ) for um muacuteltiplo inteiro de λ δ =Nλ
A expressatildeo da intensidade do feixe (I) no detector para o caso do interferoacute-
metro de Michelson eacute semelhante agrave equaccedilatildeo 38 para o interferoacutemetro de Mach-
Zehnder sendo que neste caso δ = 2d com d = vt jaacute que o feixe atravessa a
amostra duas vezes Nestas condiccedilotildees ter-se-aacute
I(δ) =12I(k)cos(4Nk(vt)) (310)
21
CAPIacuteTULO 3 MEDICcedilAtildeO DO EFEITO ELECTROOacutePTICO
22
Capiacutetulo
4Sistema Implementado
Este capiacutetulo descreve o sistema implementado para a mediccedilatildeo do coeficiente
electrooacuteptico usando a teacutecnica de interferoacutemetria de Michelson bem como a cali-
braccedilatildeo do mesmo
41 Interferoacutemetro
O sistema escolhido para a mediccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico baseia-se na teacutec-
nica de interferometria de Michelson (ver secccedilatildeo 323) onde se mediu a diferenccedila
de fase entre os ramos do interferoacutemetro Esta teacutecnica foi escolhida pela elevada
sensibilidade agrave diferenccedila de fase gerada entre os ramos do interferoacutemetro facili-
dade de preparaccedilatildeo das amostras e por ser menos sensiacutevel a vibraccedilotildees mecacircnicas
e a flutuaccedilotildees teacutermicas desde que estas ocorram com a mesma intensidade em
ambos os ramos do interferoacutemetro Para aleacutem das vantagens mencionadas e espe-
cificamente em comparaccedilatildeo com o interferoacutemetro mais usado o interferoacutemetro
do tipo Mach-Zehnder o interferoacutemetro de Michelson tem uma maior facilidade
de alinhamento dos espelhos e usa apenas um separador de feixe
A figura 41 esquematiza o sistema baseado no interferoacutemetro de Michelson
desenvolvido para a mediccedilatildeo do coeficiente eletrooacuteptico
23
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Figura 41 Esquematizaccedilatildeo do interferoacutemetro de Michelson e instrumentaccedilatildeoutilizada para a mediccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico em cristais
Como se pode ver no esquema da figura 41 o ramo do espelho vibrante fica
vazio enquanto que no ramo do espelho fixo se encontra a amostra entre dois
eleacutectrodos onde se aplicam um campo eleacutectrico E O sinal medido no detector
resulta da interferecircncia entre os feixes provenientes de cada ramo do interferoacute-
mentro dependendo da diferenccedila de fase entre os dois feixes Conforme referido
anteriormente a intensidade da luz (I) que chega ao detector eacute da ordem de [16]
I prop E21 +E2
2 + 2E1E2cos(∆φ) (41)
42 Electroacutenica Desenvolvida
421 Amplificador
Para o efeito electrooacuteptico se manisfestar eacute necessaacuterio aplicar-se uma tensatildeo eleacutec-
trica ao meio Uma vez que a tensatildeo de referecircncia fornecida pelo amplificador
lock-in utilizado eacute muito baixa para induzir efeito electrooacuteptico significativo por
volta dos 12V foi necessaacuterio construir um amplificador de tensatildeo (Fig 42)
24
42 ELECTROacuteNICA DESENVOLVIDA
Figura 42 Esquemaacutetico do amplificador de tensatildeo utilizado com base no ampli-ficador operacional LF356n
O amplificador construiacutedo conforme ilustra a figura 42 consiste numa mon-
tagem inversora de ganho variaacutevel com uma malha de controlo de offset e eacute
alimentado a plusmn12V
Assim o ganho G eacute determinado atraveacutes de
G = 1 +R2R1
(42)
Sendo R1 = 11kΩ R2 = 5kΩ R3 = 25kΩ e o amplificador em si utilizado foi
o LF356n
Obtendo-se desta forma um ganho de aproximadamente 55 Permitindo apli-
car uma tensatildeo de cerca de 66V ao cristal electrooacuteptico Uma vez que a tensatildeo
aplicada eacute baixa pode-se desprezar o efeito piezoeleacutectrico gerado na amostra e
que iria influenciar o valor do coeficiente electrooacuteptico medido
422 Gerador de Rampa
Para alimentar o excitador piezoeleacutectrico do espelho moacutevel foi utilizado um ge-
rador de sinais (Fig 43) de forma a induzir um deslocamento linear perioacutedico
na forma de rampa A frequecircncia de oscilaccedilatildeo cerca de 25Hz foi escolhida de
25
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
forma a ser suficientemente baixa para evitar fenoacutemenos de batimento com o sinal
de modulaccedilatildeo electrooacuteptico e suficientemente alta para que se consiga adquirir
dados em tempo uacutetil com uma tensatildeo variaacutevel entre os 4 e os 8V
Figura 43 Esquema eleacutectrico do gerador de rampa implementado baseado nocircuito temporizador NE555
Sendo R1 = 20kΩ R2 = 1kΩ e C1 = C2 = 47microF
O tempo de subida da rampa t1 eacute dado por
t1 = 0693(R1 +R2)C1 (43)
Enquanto que o tempo de descida t2 eacute
t2 = 0693R2C1 (44)
Obtendo assim um tempo de subida de 036s e um tempo de descida de 0033s
Assim a frequecircncia do gerador de rampa f seraacute dada por
f =1
t1 + t2=
144(R1 + 2R2)C1
(45)
O gerador de rampa foi construiacutedo aproveitando o espaccedilo livre no interior da
unidade de amplificaccedilatildeo onde se situa o amplificador
26
42 ELECTROacuteNICA DESENVOLVIDA
423 Seguidor de Tensatildeo
Devido agrave necessidade de acoplamento de impedacircncias entre o amplificador lock-
in e o osciloacutescopio natildeo foi possiacutevel a utilizaccedilatildeo de um repartidor coaxial que
repartisse o sinal proveniente do detector Assim de forma a se poder visuali-
zar o sinal proveniente do detector em simultacircneo com o sinal electrooacuteptico foi
necessaacuterio a construccedilatildeo de um seguidor de tensatildeo (Fig44)
Figura 44 Esquema do seguidor de tensatildeo utilizado construida com base nosamplifacores operacionais LF356n
Sendo que ambos os circuitos integrados foram alimentados por uma tensatildeo
positiva (V+) de 12V e uma negativa (Vminus) de minus12V Com R1 = R2 = 25kΩ Agrave
semelhanccedila do amplificador foi tambeacutem construida uma malha de controlo de
offset
Agrave semelhanccedila do gerador de rampa tambeacutem foi construido na unidade de
amplificaccedilatildeo e gerador de rampa como se pode ver na figura 45
27
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Figura 45 Imagem da unidade de amplificaccedilatildeo e geraccedilatildeo de rampa implemen-tada
43 Sistema Oacuteptico Desenvolvido
431 Espelho Vibrante
O espelho vibrante (Fig46) foi construiacutedo afixando um espelho a um disco pie-
zoeleacutectrico A vibraccedilatildeo do espelho iraacute fazer com que a distacircncia entre o divisor
de feixe e o espelho varie Fazendo deslocar a franja de interferecircncia em frente ao
detector permitindo a este medir as intensidades maacuteximas e miacutenimas das franjas
de interferecircncia (ver secccedilatildeo 323)
Figura 46 Imagem do espelho vibrante utilizado
28
43 SISTEMA OacutePTICO DESENVOLVIDO
432 Bancada Oacuteptica
De forma a colocar os componentes ao niacutevel do feixe do laser na mesa oacuteptica e a
tornar o sistema menos sensiacutevel a vibraccedilotildees mecacircnicas e flutuaccedilotildees teacutermicas os
componentes foram colocadas numa base quadrada de alumiacutenio
Figura 47 Imagem da bancada oacuteptica onde o interferoacutemetro de Michelson foiconstruiacutedo
Conforme se pode ver na figura 47 para completar o interferoacutemetro de Michel-
son para aleacutem dos componentes jaacute referidos foram ainda utilizados um separador
de feixe e um espelho (fixo) no suporte com uma lente oacuteptica agrave saiacuteda do mesmo
Faltando ainda o laser utilizado da Melles Griotreg que possui uma potecircncia de
635mW e um comprimento de onda de 6328nm
433 Detector
O detector utilizado foi um modelo 818-UVDB da Newport Corporationreg (Fig
48) de baixa potecircncia consistindo num fotodiacuteodo de siliacutecio capaz de operar entre
os 200 e os 1100nm As caracteriacutesticas principais deste detector encontram-se
listadas na tabela 433
29
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Tabela 41 Caracteriacutesticas principais do detector 818-UVDB [17]
Largura de Banda 200 a 1100(nm) Material Siliacutecio
Potecircncia
W λ(nm)
Incerteza de
λ(nm)
02 200 a 4008 200 a 219
Maacutexima Calibraccedilatildeo 2 220 a 349
005 400 a 11001 350 a 9494 950 a 1050
Densidade de02Wcm2 Aacuterea Activa 1cm2
Potecircncia Meacutedia
Energia Maacutexima05microJ
Diacircmetro113cm
de Pulso Activo
De forma a evitar que a luz ambiente interferisse nas medidas e para aumen-
tar a resoluccedilatildeo de mediccedilatildeo do perfil da franja de interferecircncia foi colocado um
diafragma com uma abertura no centro de 06mm conforme se pode ver na figura
48 reduzido desta maneira a aacuterea activa para 028 mm2
Figura 48 Imagem do detector e disco utilizado
Para a aquisiccedilatildeo do sinal electrooacuteptico e geraccedilatildeo de sinal electrooacuteptico de
referecircncia foi utilizado um osciloscoacutepio Lecroy Wavesufertrade422
30
43 SISTEMA OacutePTICO DESENVOLVIDO
434 Cristal Electrooacuteptico
Para a calibraccedilatildeo do sistema foi utilizado um cristal padratildeo de dihidrogenofosfato
de potaacutessio (KDP) Na tabela 42 pode-se observar algumas das propriedades
fiacutesicas desse cristal
Tabela 42 Propriedades fiacutesicas do cristal padratildeo KDP [18]
Material Simetria Densidade Classe Higroscopicidade
KDP Tetragonal (42m) 234gcm3 Uniaxial Higroscoacutepico
Uma vez que o cristal eacute uniaxial nx = ny = no e nz = ne sendo no e ne os
iacutendices de refraccedilatildeo ordinaacuterio e extraordinaacuterio do cristal KDP A figura 49 ilustra
o elipsoiacutede de iacutendices num cristal padratildeo KDP
Figura 49 Ilustraccedilatildeo de um cristal padratildeo KDP e seu respectivo elipsoiacutede deiacutendices
31
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Na Tabela 43 pode-se observar algumas das propriedades oacutepticas do cristal
padratildeo KDP
Tabela 43 Propriedades oacutepticas do cristal padratildeo KDP a 6328nm [7]
Material Foacutermula Quiacutemica Iacutendice de RefracccedilatildeoCoeficiente
Electrooacuteptico
KDPKH2PO4
no=15074 r41=86 pmV(λ = 6328nm) ne=14673 r63=106 pmV
Como se pode ver na tabela 42 o cristal do tipo KDP eacute higroscoacutepico sendo
assim necessaacuterio reduzir ao maacuteximo o contacto entre o cristal e a atmosfera para
evitar que as suas faces fiquem opacas interferindo assim na qualidade do feixe
transmitido
435 Porta Amostras
O porta amostras eacute constituiacutedo por uma base feita de latatildeo (Fig 410) onde se
coloca o cristal nivelado com o feixe laser Este suporte possui oito roscas para
parafusos M3 quatro em cima de forma a se fixar os encaixes laterais do porta
amostras e quatro em baixo de forma a afixar-se firmemente na bancada oacuteptica
Figura 410 Imagem da base do porta-amostras desenvolvido
32
43 SISTEMA OacutePTICO DESENVOLVIDO
De forma a aplicar-se a tensatildeo de excitaccedilatildeo ao cristal sem bloquear o feixe do
laser foram utilizadas duas placas de vidro com oacutexido de estanho dopado com
fluacuteor (FTO) Este permite que haja uma boa transparecircncia e conduccedilatildeo eleacutetrica
sendo usado em vaacuterios tipos de dispositivos como aplicaccedilotildees opto-eletroacutenicas
ecratildes touch screen filmes finos fotovoltaicos etc O oacutexido de estanho dopado
com fluacuteor [19] eacute reconhecido por ser altamente estaacutevel quimicamente inerte re-
siste a temperaturas elevadas e ao desgaste abrasivo sendo mais econoacutemico do
que o tradicional oacutexido de iacutendio e estanho (ITO)
De forma a garantir um bom contacto eleacutectrico entre o vidro FTO e o cristal
foram construidas duas peccedilas de afixaccedilatildeo idecircnticas (Fig 411) Trata-se de duas
peccedilas de alumiacutenio cada uma contendo uma abertura de forma a deixar passar
o feixe laser e dois rasgos para parafusos de forma a poder-se fixar no suporte e
desta maneira exercer uma pressatildeo constante sobre o cristal
Figura 411 Imagem das peccedilas de fixaccedilatildeo do cristal desenvolvidas com a vista defrente (a) e a vista de traacutes (b)
A ligaccedilatildeo eleacutectrica entre o sinal de referecircncia proveniente do amplificador ao
vidro FTO foi feita atraveacutes de uma cola condutora de prata de forma a assegurar
a ligaccedilatildeo oacutehmica entre o fio de cobre e a camada de FTO O cristal fica assim entre
duas placas de vidro FTO(Fig412)
33
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Figura 412 Imagem do porta Amostras desenvolvido
A figura 413 ilustra o sistema desenvolvido incluindo a bancada oacuteptica e
instrumentaccedilatildeo
Figura 413 Imagem do sistema desenvolvido para a mediccedilatildeo do efeito electrooacutep-tico
34
44 COEFICIENTE ELECTROOacutePTICO
44 Coeficiente Electrooacuteptico
Para o cristal utilizado o dihidrogenofosfato de potaacutessio (KDP) e para o efeito
electrooacuteptico linear a matriz de coeficientes electrooacutepticos eacute a seguinte
rij =
0 0 0
0 0 0
0 0 0
r41 0 0
0 r52 0
0 0 r63
com
i = 1 6
j = 123
Sendo que r41 = r52 pelo que existem apenas dois coeficientes independentes
o r41 e o r63
Usando a notaccedilatildeo condensada mencionada da secccedilatildeo 21 onde se aplica o
campo eleacutectrico (E) no plano do i (sendo i = m) enquanto que j eacute o eixo oacuteptico
Para o caso do KDP eacute costume utilizar o r63 Isto eacute aplicar o campo eleacutectrico nos
planos 12 ou 21 (ou seja i = 6) com o eixo oacuteptico no eixo 3 (j = 3) como demonstra
a figura 414
Figura 414 Ilustraccedilatildeo da configuraccedilatildeo utilizada para a mediccedilatildeo do coeficienter63 num cristal
35
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Para o caso do efeito electrooacuteptico quadraacutetico a matriz dos coeficientes elec-
trooacutepticos seraacute
sij =
s11 s12 s12 0 0 0
s12 s11 s12 0 0 0
s12 s12 s11 0 0 0
0 0 0 s11 minus s12 0 0
0 0 0 0 s11 minus s12 0
0 0 0 0 0 s11 minus s12
com i j = 1 6
45 Execuccedilatildeo Experimental
Para se medir o coeficiente electrooacuteptico aplica-se ao cristal uma tensatildeo com uma
frequecircncia de 2kHz frequecircncia essa que se revelou menos sensiacutevel aos ruiacutedos
ambientes sendo que o sinal electrooacuteptico teraacute a mesma frequecircncia Podendo-
se desta maneira atraveacutes de um amplificador de lock-in (modelo 393 da IthacoDynatrac) filtrar o sinal electrooacuteptico dos restantes sinais uma vez que a sua
frequecircncia eacute conhecida
A intensidade da equaccedilatildeo 41 eacute maacutexima quando cos(∆φ) = 1 e miacutenima quando
cos(∆φ) = minus1 Pelo que subtraindo estas duas equaccedilotildees
Imax minus Imin = 4E1E2 (46)
Assim combinando a equaccedilatildeo 41 com a equaccedilatildeo 46 obtem-se
I prop E21E
22 +
12
(Imax minus Imin)cos(∆φ) (47)
Juntando agora a equaccedilatildeo 246 agrave equaccedilatildeo 247 e tendo em conta que o feixe
passa duas vezes por cada ramo (=2l) a diferenccedila de fase para o efeito electrooacutep-
tico linear
∆φ = ∆φ0 +πrn3
oVoλ
2lh
cos(Ωt) (48)
Sendo ∆φ0 a diferenccedila de fase inicial sem o efeito electrooacuteptico
36
45 EXECUCcedilAtildeO EXPERIMENTAL
Substituindo o ∆φ da equaccedilatildeo 48 na equaccedilatildeo 47 a intensidade do sinal com
modulaccedilatildeo electrooacuteptica(Iseo) seraacute dado por
Iseo prop E21 +E2
2 +12
(Imax minus Imin)cos(∆φ0 +
πrn3oVoλ
2lh
cos(Ωt))
(49)
Usando cos(α plusmn β) = cos(α)cos(β)∓ sen(α) sen(β) e D = πrn3oVoλ
2lh fica-se com
Iseo prop E21 +E2
2+12
(Imax minus Imin)
[cos(∆φ0)cos(Dcos(Ωt)) minus sen(∆φ0) sen(D cos(Ωt))](410)
Como a modulaccedilatildeo electrooacuteptica eacute um efeito muito pequeno a equaccedilatildeo 410
pode-se escrever
Iseo asymp E21 +E2
2 +12
(Imax minus Imin) [cos(∆φ0)minusD cos(Ωt) sen(∆φ0)] (411)
Considerando soacute os termos de primeira ordem
Iseo asymp12
(Imax minus Imin) [cos(∆φ0)minusD cos(Ωt) sen(∆φ0)] (412)
A componente do sinal electrooacuteptico eacute entatildeo dado por
Iseo =12
(Imax minus Imin)D cos(Ωt) sen(∆φ0) (413)
Ou seja
Iseo =12
(Imax minus Imin)πrn3
oVoλ
2lh
cos(Ωt) sen(∆φ0) (414)
O acircngulo ∆φ0 varia linearmente com o tempo (t) a uma frequecircncia inferior
a Ω A franja de interferecircncia desloca-se continuamente em frente ao detector
devido a um dos espelho estar fixado num disco piezoeleacutectrico
37
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Na figura 415 pode-se ver uma exemplificaccedilatildeo do sinal no detector que incor-
pora o sinal da franja e electrooacuteptico dada pela equaccedilatildeo 414
Figura 415 Ilustraccedilatildeo do sinal de modulaccedilatildeo electrooacuteptica de um feixe de luzmedido num interferoacutemetro de Michelson
Uma vez que o sinal electrooacuteptico (cos(Ωt)) estaacute desfasado π2 do sinal da
franja ( sen(∆φ0)) A intensidade do sinal electrooacuteptico pode ser escrita como
Iseo asymp12
(Imax minus Imin)πrn3
oVoλ
2lh
∣∣∣ sen(∆φ0)∣∣∣ (415)
Assim a amplitude do sinal electrooacuteptico eacute
Iseo =12
(Imax minus Imin)πrn3
oVoλ
2lh
(416)
Pelo que o coeficiente electrooacuteptico linear seraacute dado por
r =|Iseo|
|Imax minus Imin|λ
πn3oVo
hl
(417)
38
46 RESULTADOS
Para o efeito electrooacuteptico quadraacutetico utilizando o procedimento anoacutelogo mas
a partir da equaccedilatildeo 248 em vez da equaccedilatildeo 247 O sinal electrooacuteptico quadraacutetico
Iseoq que ocorre ao dobro da frequecircncia de modulaccedilatildeo 2Ω eacute dado por
s =
∣∣∣Iseoq∣∣∣|Imax minus Imin|
2λ
πn3oV
2o
h2
l(418)
46 Resultados
Com o cristal de KDP devidamente alinhado no interferoacutemetro segundo o seu
eixo oacuteptico de maneira a se medir o coeficiente r63 Obtendo-se assim dois sinais
o sinal de franja e o sinal electrooacuteptico (Fig 416)
Figura 416 Padratildeo da franja produzida (a) e respectivos sinais de franja e elec-trooacuteptico obtidos para um cristal KDP padratildeo
De forma a se proceder a calibraccedilatildeo do sistema utilizou-se a equaccedilatildeo 417 na
forma
|Iseo||Imax minus Imin|
=πn3
o
λlhrVo (419)
39
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Usando o valor da razatildeo |Iseo ||ImaxminusImin|
em funccedilatildeo do potencial aplicado Vo pode-se
calcular o valor do coeficiente electrooacuteptico r atraveacutes do declive da recta obtida
Pode-se ver na figura 417 uma das rectas obtidas para o cristal utilizado na
calibraccedilatildeo do sistema
Figura 417 Razatildeo entre o sinal electrooacuteptico e a diferenccedila de intensidade defranjas em funccedilatildeo do potencial Vo aplicado ao cristal
A tabela 44 apresenta o valor do coeficiente electrooacuteptico obtido e respectiva
incerteza para o cristal de KDP tomando em conta os valores dos iacutendices de
refraccedilatildeo da tabela 43
Tabela 44 Valores e respectivas incertezas obtidas do coeficiente electrooacutepticopara o cristal KDP utilizado
Material Valor Padratildeo Valor Obtido Erro
KDPr63 = 106pmV r63 = 105plusmn 02pmV 1
(λ = 6328nm)
Como se pode ver na tabela 44 o resultado obtido situa-se muito proacuteximo
do teoacuterico encontrando-se dentro da incerteza obtida Os valores valores meacutedios
apresentam um desvio da ordem dos 02pmV
40
46 RESULTADOS
Apesar dos valores obtidos serem bastante positivos houve algumas dificul-
dades nomeadamente o vidro FTO que causou que o alinhamento fosse extrema-
mente complicado natildeo soacute pela sua espessura e dimensionamento como tambeacutem
pela refraccedilatildeo provocada no feixe laser Outro grande obstaacuteculo foi o alinhamento
do cristal uma vez que basta um ligeiro desvio no caminho oacuteptico para causar um
desalinhamento total algo que eacute agravado no interferoacutemetro do tipo Michelson
pelo facto de o feixe laser passar na amostra duas vezes
Apesar destas dificuldades o valor obtido para o coeficiente electrooacuteptico r63
foi de 105pmV valor esse muito proacuteximo do valor padratildeo da literatura que se
encontra nos 106pmV Assim pode-se considerar que o sistema desenvolvido
se encontra devidamente calibrado e pronto para futuras utilizaccedilotildees
41
Capiacutetulo
5Conclusotildees
O trabalho desenvolvido no decorrer desta dissertaccedilatildeo consistiu no desenvolvi-
mento de um sistema para a mediccedilatildeo do efeito electrooacuteptico aacuterea a ser ulilizada
na caracterizaccedilatildeo de novos materiais polimeacutericos para aplicaccedilatildeo em dispositivos
fotoacutenicos
Nesta conformidade foi desenhada construiacuteda e testado uma bancada oacuteptica
destinada agrave mediccedilatildeo do efeito electrooacuteptico baseado numa teacutecnica interferomeacute-
trica de mediccedilatildeo da diferenccedila de fase implementado atraveacutes de um interferoacutemetro
do tipo Michelson
O cristal escolhido para a calibraccedilatildeo do sistema desenvolvido foi um cristal de
KDP comercial tendo sido utilizado o coeficiente electrooacuteptico r63 como referecircn-
cia sendo o valor padratildeo de 106pmV
O sistema obtido permitiu medir um valor nominal de 105plusmn 02pmV com
um erro de aproximadamente 1 em relaccedilatildeo ao valor tabelado comprovando a
afericcedilatildeo do sistema para a mediccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico por transmissatildeo
O sistema desenvolvido estaacute portanto apto para futuras mediccedilotildees sendo ape-
nas necessaacuterio algumas alteraccedilotildees no porta-amostras mediante as dimensotildees e
forma da amostra a utilizar
Chegou-se ainda agrave conclusatildeo que para amostras como o cristal utilizado o
feixe laser passar duas vezes na amostra acaba por ser uma grande desvantagem
desvantagem essa inexistente para filmes polimeacutericos que ganham cada vez mais
importacircncia na aacuterea da fotoacutenica uma vez que satildeo materiais de grande interesse
cientiacutefico e tecnoloacutegico jaacute que podem ser utilizados no desenvolvimento de dispo-
sitivos oacutepticos nomeadamente moduladores de luz e memoacuterias oacutepticas
43
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46
Apecircndice
AApecircndice
A1 Desenhos Teacutecnicos
47
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23
35
40
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Tole
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01
2 pe
ccedilas
- Lista de Figuras
- Lista de Tabelas
- Introduccedilatildeo
- Efeito Electrooacuteptico
-
- Oacuteptica Natildeo-Linear
- Propagaccedilatildeo em Meios Anisotroacutepicos
-
- Vector de Poynting
- Elipsoiacutede dos Iacutendices
- Coeficientes Natildeo-Lineares
-
- Mediccedilatildeo do Efeito Electrooacuteptico
-
- Meacutetodo Tradicional
- Meacutetodos por Interferometria
-
- Interferometria Oacuteptica
- Interferoacutemetro de Mach-Zehnder
- Interferoacutemetro de Michelson
-
- Sistema Implementado
-
- Interferoacutemetro
- Electroacutenica Desenvolvida
-
- Amplificador
- Gerador de Rampa
- Seguidor de Tensatildeo
-
- Sistema Oacuteptico Desenvolvido
-
- Espelho Vibrante
- Bancada Oacuteptica
- Detector
- Cristal Electrooacuteptico
- Porta Amostras
-
- Coeficiente Electrooacuteptico
- Execuccedilatildeo Experimental
- Resultados
-
- Conclusotildees
- Bibliografia
- Apecircndice
-
- Desenhos Teacutecnicos
-
Capiacutetulo
3Mediccedilatildeo do Efeito Electrooacuteptico
Neste capiacutetulo satildeo apresentadas as teacutecnicas mais comuns utilizadas para a me-
diccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico destacando-se dois tipos de interferoacutemetros o
tradicional e os de interferometria de dois feixes
31 Meacutetodo Tradicional
Um dos meacutetodos mais usados para medir o efeito eletrooacuteptico foi o proposto por
Henry [9] em 1986 Esta teacutecnica ilustrada na Fig31 baseia-se na alteraccedilatildeo do
estado de polarizaccedilatildeo de um feixe linearmente polarizado quando este atravessa
o meio Esta alteraccedilatildeo ocorre devido agrave birrefrigecircncia induzida por um campo
eleacutetrico aplicado e agrave atividade oacuteptica do meio A montagem eacute composta por uma
fonte de luz (S) um monocromador (M) uma lente (L) um diafragma (D) dois
polarizadores (P1 e P2) um cristal (BSO) de espessura d ao qual eacute aplicado um
campo eleacutetrico (E) e um fotomultiplicador (FM) ligado a um sistema de aquisiccedilatildeo
de dados
O procedimento experimental em si consiste no seguinte para um dado estado
de polarizaccedilatildeo do feixe incidente imposto pelo P1 vai-se alterando a posiccedilatildeo
angular do P2 de forma a encontrar as intensidades maacutexima e miacutenima e desta
forma calcular-se a visibilidade (ν) atraveacutes de [9]
νθ =Imax minus IminImax + Imin
(31)
15
CAPIacuteTULO 3 MEDICcedilAtildeO DO EFEITO ELECTROOacutePTICO
Figura 31 Montagem experimental proposta por Henry e a sua equipa (adaptadode [9])
De seguida altera-se P1 para a posiccedilatildeo angular de 45 e repete-se o procedi-
mento anterior Somando o quadrado das duas visibilidades obtidas tem-se que
[9]
ν2θ + ν2
θ+45 = 1 +
1minus δ2
2
sen(φ2 )φ2
2
2
(32)
sendo
δ =2πλn3rEyd (33)
e
φ =radicδ2 + ρ2 (34)
Sendo δ a diferenccedila de fase originada pela birrefringecircncia λ o comprimento
de onda do feixe no vaacutecuo ρ a diferenccedila de fase associada agrave actividade oacuteptica n o
iacutendice de refraccedilatildeo sem campo eleacutetrico aplicado Ey o campo eleacutectrico aplicado e
d a espessura do cristal na direccedilatildeo do campo eleacutectrico aplicado Destas equaccedilotildees
pode-se calcular o coeficiente electrooacuteptico r
Para o caso de φ pequenos
sen(φ2 )φ2
2
1 pelo que
ν2θ + ν2
θ+45 1 +(1minus δ
2
2
)2
(35)
Natildeo sendo nesta situaccedilatildeo necessaacuteria a actividade oacuteptica ρ Esta teacutecnica apre-
senta um erro de mediccedilatildeo de 10 a 15 em relaccedilatildeo ao valor tabelado
16
32 MEacuteTODOS POR INTERFEROMETRIA
32 Meacutetodos por Interferometria
321 Interferometria Oacuteptica
Quando duas ondas de uma mesma frequecircncia se sobrepotildeem num dado ponto
formam uma nova onda cuja amplitude eacute o resultado da soma da amplitude das
duas ondas iniciais em cada instante nesse ponto Quando a soma da duas ondas
resulta numa amplitude maior diz-se que houve interferecircncia construtiva quando
resulta numa amplitude inferior diz-se que ocorreu interferecircncia destrutiva
Supondo que uma das ondas tem a forma E1ei(φ1minuswt) e a outra forma E2e
i(φ2minuswt)
sendo E1 e E2 as amplitudes dos respetivos campos eleacutetricos φ1 e φ2 as fases
iniciais w a frequecircncia angular e t o tempo a onda resultante seraacute descrita por
[10]
ET = E1ei(φ1minuswt) +E2e
i(φ2minuswt) (36)
Se φ1 minusφ2 = 2Nπ com N = 012 entatildeo as duas ondas estaratildeo em fase e daacute-
se uma interferecircncia construtiva perfeita Se φ1 minusφ2 = (2N + 1)π e E1 = E2 entatildeo
as duas ondas estaratildeo em oposiccedilatildeo de fase e daacute-se uma interferecircncia destrutiva
completa Estas situaccedilotildees extremas encontram-se ilustradas na figura 32
Figura 32 Ilustraccedilatildeo de uma interferecircncia construtiva perfeita (a) e destrutivacompleta (b)
Matematicamente a coerecircncia eacute uma medida da correlaccedilatildeo entre as ondas
Quanto mais construtiva for a interferecircncia maior seraacute a coerecircncia Fisicamente
a coerecircncia eacute uma medida do quatildeo constante a diferenccedila de fase permanece entre
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CAPIacuteTULO 3 MEDICcedilAtildeO DO EFEITO ELECTROOacutePTICO
as duas ondas A coerecircncia eacute usualmente medida num padratildeo de franjas de in-
terferecircncia atraveacutes da visibilidade de franja (ν) que pode ser experimentalmente
calculada atraveacutes de [10]
ν =Imax minus IminImax + Imin
= 1 coerecircncia total e contraste maacuteximo
0 lt ν lt 1 coerecircncia parcial
= 0 incoerecircncia total e contraste natildeo haacute franjas
(37)
Pode-se ver na Fig33 um exemplo da equaccedilatildeo 37 que representa a visibi-
lidade das franjas em funccedilatildeo da diferenccedila de fase entre duas ondas da mesma
frequecircncia que interferem Como a visibilidade das franjas depende da coerecircncia
das duas ondas qualquer diferenccedila iraacute traduzir-se numa diminuiccedilatildeo de visibili-
dade
Figura 33 Visibilidade num interferoacutemetro em funccedilatildeo da diferenccedila de fase entreduas ondas provenientes de ramos diferentes do interferoacutemetro (adaptado de[11])
Pode-se usar a interferometria para quantificar os efeitos electrooacutepticos natildeo
soacute linear mas tambeacutem o quadraacutetico (efeito de Kerr) Os interferoacutemetros mais
frequentemente utilizados para este efeito satildeo os interferoacutemetro de Michelson1 e1Albert Abraham Michelson foi um fiacutesico americano conhecido pela invenccedilatildeo do interferoacuteme-
tro de Michelson (1891) do seu trabalho na mediccedilatildeo da velocidade da luz e pelo seu trabalho naexperiecircncia de Michelson-Morley Em 1907 tornou-se o primeiro americano a receber o PreacutemioNobel da Fiacutesica
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32 MEacuteTODOS POR INTERFEROMETRIA
o interferoacutemetro de Mach-Zehnder2
De salientar que as teacutecnicas interferomeacutetricas apresentam uma elevada sensibi-
lidade simplificaccedilatildeo na preparaccedilatildeo das amostras a estudar e uma menor sensibili-
dade a vibraccedilotildees mecacircnicas e a flutuaccedilotildees teacutermicas desde que estas ocorram com
a mesma intensidade em ambos os ramos do mesmo tamanho do interferoacutemetro
322 Interferoacutemetro de Mach-Zehnder
No interferoacutemetro de Mach-Zehnder (Fig 34) um separador de feixe divide o
feixe proveniente da fonte em dois feixes que vatildeo constituir os dois ramos do
interferoacutemetro o feixe-amostra e o feixe-referecircncia Ambos satildeo refletidos por um
espelho e ambos atravessam um novo separador de feixe antes de se juntarem de
novo e serem medidos nos detetores
Figura 34 Esquema de um interferoacutemetro de Mach-Zehnder (adaptado de [12])
Com os ramos agrave mesma distacircncia pode ainda observar-se que sem amostra
ambos os feixes vatildeo chegar em fase aos detetores havendo desta forma uma inter-
ferecircncia construtiva Ambos apresentaratildeo uma mudanccedila de fase correspondente
a λ devido ao facto de ambos sofrerem duas reflexotildees e uma transmissatildeo numa
placa de vidro(separador de feixe) ateacute chegarem aos detetores2Ludwig Zehnder foi um fiacutesico suiacuteccedilo e o inventor do interferoacutemetro de Mach-Zehnder Inter-
feroacutemetro esse depois aperfeiccediloado por Ludwig Mach
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CAPIacuteTULO 3 MEDICcedilAtildeO DO EFEITO ELECTROOacutePTICO
Alterando o caminho oacuteptico do espelho do feixe-referecircncia em λ4 sem amos-
tra o feixe-amostra e o feixe-referecircncia vatildeo chegar com uma diferenccedila de fase de
λ2 ou seja vai haver uma interferecircncia destrutiva completa Isto porque o feixe-
referecircncia vai ter uma mudanccedila de fase de λ2 devido a uma reflexatildeo e duas trans-
missotildees provocadas pelos separadores de feixe Enquanto que o feixe-amostra
chegaraacute aos detetores com uma diferenccedila de fase de λ devido a duas reflexotildees
mais uma reflexatildeo com transmissatildeo no segundo separador de feixe Assim na
ausecircncia de amostra e desde que a diferenccedila de caminho oacuteptico ou retardaccedilatildeo
(δ) seja zero os feixes iratildeo interferir construtivamente [13]
Com a amostra colocada no caminho do feixe-amostra os feixes vatildeo chegar ao
detetor em diferentes situaccedilotildees de fase sendo possiacutevel determinar a diferenccedila de
fase provocada pela presenccedila da amostra
A intensidade do feixe (I) em ambos os detetores eacute descrita por [14]
I(δ) =12I(k)cos(2Nkδ) (38)
Com k o nuacutemero de onda (k = 2πλ) E fazendo δ = d com d = vt resulta
I(δ) =12I(k)cos(2Nk(vt)) (39)
323 Interferoacutemetro de Michelson
No interferoacutemetro do tipo Michelson um feixe de luz eacute dividido em dois que
percorrem caminhos diferentes para de seguida se recombinarem Apoacutes terem
percorrido caminhos diferentes o feixe resultante da recombinaccedilatildeo pode apresen-
tar um padratildeo de interferecircncia que depende da diferenccedila de caminhos oacutepticos
entre os feixes e que pode ser medido num detetor
A forma mais simples de implementar um interferoacutemetro de Michelson con-
siste em dois espelhos colocados entre si num plano perpendicular em que um
deles se pode mover na direccedilatildeo perpendicular agrave sua superfiacutecie refletora conforme
ilustrado na Fig35
Esse espelho iraacute movimentar-se num espaccedilo definido a uma velocidade cons-
tante Entre o espelho fixo e o espelho moacutevel estaacute um separador de feixe que
divide o feixe incidente inicial em dois de igual intensidade Aqui o feixe eacute parci-
almente refletido para um espelho e parcialmente transmitido para o outro
20
32 MEacuteTODOS POR INTERFEROMETRIA
Figura 35 Esquema de funcionamento de um interferoacutemetro de Michelson cominterferecircncia construtiva (a) e destrutiva (b) (adaptado de [15])
Assumindo que o separador de feixe eacute ideal e com uma reflectacircncia e transmi-
tacircncia de 50 se o espelho moacutevel se encontrar estacionaacuterio pode determinar-se
a intensidade do feixe num dado ponto do detetor Se a diferenccedila do caminho
oacuteptico ou retardaccedilatildeo (δ) for zero ou seja os espelhos estatildeo igualmente espaccedilados
do separador de feixe estes vatildeo percorrer a mesma distacircncia e interferir construti-
vamente pelo que a intensidade do feixe final eacute a soma das intensidades dos dois
feixes Nestas condiccedilotildees toda a luz que sai da fonte chega ao detetor
No caso do espelho moacutevel se deslocar uma distacircncia de λ4 a retardaccedilatildeo total
seraacute de λ2 pelo que os feixes estaratildeo desfasadas de 180ordm (π) Nestas condiccedilotildees ter-
se-aacute interferecircncia destrutiva completa na recombinaccedilatildeo dos feixes dando origem
agrave extinccedilatildeo total
Voltando a deslocar o espelho moacutevel de mais λ4 a diferenccedila do caminho
oacuteptico seraacute igual a λ e os dois feixes voltam a estar em fase havendo novamente
uma sobreposiccedilatildeo construtiva dos feixes
Com o espelho moacutevel a deslocar-se a uma velocidade constante o sinal do de-
tetor iraacute variar com uma forma perioacutedica sendo que atinge o seu maacuteximo quando
a retardaccedilatildeo (δ) for um muacuteltiplo inteiro de λ δ =Nλ
A expressatildeo da intensidade do feixe (I) no detector para o caso do interferoacute-
metro de Michelson eacute semelhante agrave equaccedilatildeo 38 para o interferoacutemetro de Mach-
Zehnder sendo que neste caso δ = 2d com d = vt jaacute que o feixe atravessa a
amostra duas vezes Nestas condiccedilotildees ter-se-aacute
I(δ) =12I(k)cos(4Nk(vt)) (310)
21
CAPIacuteTULO 3 MEDICcedilAtildeO DO EFEITO ELECTROOacutePTICO
22
Capiacutetulo
4Sistema Implementado
Este capiacutetulo descreve o sistema implementado para a mediccedilatildeo do coeficiente
electrooacuteptico usando a teacutecnica de interferoacutemetria de Michelson bem como a cali-
braccedilatildeo do mesmo
41 Interferoacutemetro
O sistema escolhido para a mediccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico baseia-se na teacutec-
nica de interferometria de Michelson (ver secccedilatildeo 323) onde se mediu a diferenccedila
de fase entre os ramos do interferoacutemetro Esta teacutecnica foi escolhida pela elevada
sensibilidade agrave diferenccedila de fase gerada entre os ramos do interferoacutemetro facili-
dade de preparaccedilatildeo das amostras e por ser menos sensiacutevel a vibraccedilotildees mecacircnicas
e a flutuaccedilotildees teacutermicas desde que estas ocorram com a mesma intensidade em
ambos os ramos do interferoacutemetro Para aleacutem das vantagens mencionadas e espe-
cificamente em comparaccedilatildeo com o interferoacutemetro mais usado o interferoacutemetro
do tipo Mach-Zehnder o interferoacutemetro de Michelson tem uma maior facilidade
de alinhamento dos espelhos e usa apenas um separador de feixe
A figura 41 esquematiza o sistema baseado no interferoacutemetro de Michelson
desenvolvido para a mediccedilatildeo do coeficiente eletrooacuteptico
23
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Figura 41 Esquematizaccedilatildeo do interferoacutemetro de Michelson e instrumentaccedilatildeoutilizada para a mediccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico em cristais
Como se pode ver no esquema da figura 41 o ramo do espelho vibrante fica
vazio enquanto que no ramo do espelho fixo se encontra a amostra entre dois
eleacutectrodos onde se aplicam um campo eleacutectrico E O sinal medido no detector
resulta da interferecircncia entre os feixes provenientes de cada ramo do interferoacute-
mentro dependendo da diferenccedila de fase entre os dois feixes Conforme referido
anteriormente a intensidade da luz (I) que chega ao detector eacute da ordem de [16]
I prop E21 +E2
2 + 2E1E2cos(∆φ) (41)
42 Electroacutenica Desenvolvida
421 Amplificador
Para o efeito electrooacuteptico se manisfestar eacute necessaacuterio aplicar-se uma tensatildeo eleacutec-
trica ao meio Uma vez que a tensatildeo de referecircncia fornecida pelo amplificador
lock-in utilizado eacute muito baixa para induzir efeito electrooacuteptico significativo por
volta dos 12V foi necessaacuterio construir um amplificador de tensatildeo (Fig 42)
24
42 ELECTROacuteNICA DESENVOLVIDA
Figura 42 Esquemaacutetico do amplificador de tensatildeo utilizado com base no ampli-ficador operacional LF356n
O amplificador construiacutedo conforme ilustra a figura 42 consiste numa mon-
tagem inversora de ganho variaacutevel com uma malha de controlo de offset e eacute
alimentado a plusmn12V
Assim o ganho G eacute determinado atraveacutes de
G = 1 +R2R1
(42)
Sendo R1 = 11kΩ R2 = 5kΩ R3 = 25kΩ e o amplificador em si utilizado foi
o LF356n
Obtendo-se desta forma um ganho de aproximadamente 55 Permitindo apli-
car uma tensatildeo de cerca de 66V ao cristal electrooacuteptico Uma vez que a tensatildeo
aplicada eacute baixa pode-se desprezar o efeito piezoeleacutectrico gerado na amostra e
que iria influenciar o valor do coeficiente electrooacuteptico medido
422 Gerador de Rampa
Para alimentar o excitador piezoeleacutectrico do espelho moacutevel foi utilizado um ge-
rador de sinais (Fig 43) de forma a induzir um deslocamento linear perioacutedico
na forma de rampa A frequecircncia de oscilaccedilatildeo cerca de 25Hz foi escolhida de
25
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
forma a ser suficientemente baixa para evitar fenoacutemenos de batimento com o sinal
de modulaccedilatildeo electrooacuteptico e suficientemente alta para que se consiga adquirir
dados em tempo uacutetil com uma tensatildeo variaacutevel entre os 4 e os 8V
Figura 43 Esquema eleacutectrico do gerador de rampa implementado baseado nocircuito temporizador NE555
Sendo R1 = 20kΩ R2 = 1kΩ e C1 = C2 = 47microF
O tempo de subida da rampa t1 eacute dado por
t1 = 0693(R1 +R2)C1 (43)
Enquanto que o tempo de descida t2 eacute
t2 = 0693R2C1 (44)
Obtendo assim um tempo de subida de 036s e um tempo de descida de 0033s
Assim a frequecircncia do gerador de rampa f seraacute dada por
f =1
t1 + t2=
144(R1 + 2R2)C1
(45)
O gerador de rampa foi construiacutedo aproveitando o espaccedilo livre no interior da
unidade de amplificaccedilatildeo onde se situa o amplificador
26
42 ELECTROacuteNICA DESENVOLVIDA
423 Seguidor de Tensatildeo
Devido agrave necessidade de acoplamento de impedacircncias entre o amplificador lock-
in e o osciloacutescopio natildeo foi possiacutevel a utilizaccedilatildeo de um repartidor coaxial que
repartisse o sinal proveniente do detector Assim de forma a se poder visuali-
zar o sinal proveniente do detector em simultacircneo com o sinal electrooacuteptico foi
necessaacuterio a construccedilatildeo de um seguidor de tensatildeo (Fig44)
Figura 44 Esquema do seguidor de tensatildeo utilizado construida com base nosamplifacores operacionais LF356n
Sendo que ambos os circuitos integrados foram alimentados por uma tensatildeo
positiva (V+) de 12V e uma negativa (Vminus) de minus12V Com R1 = R2 = 25kΩ Agrave
semelhanccedila do amplificador foi tambeacutem construida uma malha de controlo de
offset
Agrave semelhanccedila do gerador de rampa tambeacutem foi construido na unidade de
amplificaccedilatildeo e gerador de rampa como se pode ver na figura 45
27
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Figura 45 Imagem da unidade de amplificaccedilatildeo e geraccedilatildeo de rampa implemen-tada
43 Sistema Oacuteptico Desenvolvido
431 Espelho Vibrante
O espelho vibrante (Fig46) foi construiacutedo afixando um espelho a um disco pie-
zoeleacutectrico A vibraccedilatildeo do espelho iraacute fazer com que a distacircncia entre o divisor
de feixe e o espelho varie Fazendo deslocar a franja de interferecircncia em frente ao
detector permitindo a este medir as intensidades maacuteximas e miacutenimas das franjas
de interferecircncia (ver secccedilatildeo 323)
Figura 46 Imagem do espelho vibrante utilizado
28
43 SISTEMA OacutePTICO DESENVOLVIDO
432 Bancada Oacuteptica
De forma a colocar os componentes ao niacutevel do feixe do laser na mesa oacuteptica e a
tornar o sistema menos sensiacutevel a vibraccedilotildees mecacircnicas e flutuaccedilotildees teacutermicas os
componentes foram colocadas numa base quadrada de alumiacutenio
Figura 47 Imagem da bancada oacuteptica onde o interferoacutemetro de Michelson foiconstruiacutedo
Conforme se pode ver na figura 47 para completar o interferoacutemetro de Michel-
son para aleacutem dos componentes jaacute referidos foram ainda utilizados um separador
de feixe e um espelho (fixo) no suporte com uma lente oacuteptica agrave saiacuteda do mesmo
Faltando ainda o laser utilizado da Melles Griotreg que possui uma potecircncia de
635mW e um comprimento de onda de 6328nm
433 Detector
O detector utilizado foi um modelo 818-UVDB da Newport Corporationreg (Fig
48) de baixa potecircncia consistindo num fotodiacuteodo de siliacutecio capaz de operar entre
os 200 e os 1100nm As caracteriacutesticas principais deste detector encontram-se
listadas na tabela 433
29
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Tabela 41 Caracteriacutesticas principais do detector 818-UVDB [17]
Largura de Banda 200 a 1100(nm) Material Siliacutecio
Potecircncia
W λ(nm)
Incerteza de
λ(nm)
02 200 a 4008 200 a 219
Maacutexima Calibraccedilatildeo 2 220 a 349
005 400 a 11001 350 a 9494 950 a 1050
Densidade de02Wcm2 Aacuterea Activa 1cm2
Potecircncia Meacutedia
Energia Maacutexima05microJ
Diacircmetro113cm
de Pulso Activo
De forma a evitar que a luz ambiente interferisse nas medidas e para aumen-
tar a resoluccedilatildeo de mediccedilatildeo do perfil da franja de interferecircncia foi colocado um
diafragma com uma abertura no centro de 06mm conforme se pode ver na figura
48 reduzido desta maneira a aacuterea activa para 028 mm2
Figura 48 Imagem do detector e disco utilizado
Para a aquisiccedilatildeo do sinal electrooacuteptico e geraccedilatildeo de sinal electrooacuteptico de
referecircncia foi utilizado um osciloscoacutepio Lecroy Wavesufertrade422
30
43 SISTEMA OacutePTICO DESENVOLVIDO
434 Cristal Electrooacuteptico
Para a calibraccedilatildeo do sistema foi utilizado um cristal padratildeo de dihidrogenofosfato
de potaacutessio (KDP) Na tabela 42 pode-se observar algumas das propriedades
fiacutesicas desse cristal
Tabela 42 Propriedades fiacutesicas do cristal padratildeo KDP [18]
Material Simetria Densidade Classe Higroscopicidade
KDP Tetragonal (42m) 234gcm3 Uniaxial Higroscoacutepico
Uma vez que o cristal eacute uniaxial nx = ny = no e nz = ne sendo no e ne os
iacutendices de refraccedilatildeo ordinaacuterio e extraordinaacuterio do cristal KDP A figura 49 ilustra
o elipsoiacutede de iacutendices num cristal padratildeo KDP
Figura 49 Ilustraccedilatildeo de um cristal padratildeo KDP e seu respectivo elipsoiacutede deiacutendices
31
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Na Tabela 43 pode-se observar algumas das propriedades oacutepticas do cristal
padratildeo KDP
Tabela 43 Propriedades oacutepticas do cristal padratildeo KDP a 6328nm [7]
Material Foacutermula Quiacutemica Iacutendice de RefracccedilatildeoCoeficiente
Electrooacuteptico
KDPKH2PO4
no=15074 r41=86 pmV(λ = 6328nm) ne=14673 r63=106 pmV
Como se pode ver na tabela 42 o cristal do tipo KDP eacute higroscoacutepico sendo
assim necessaacuterio reduzir ao maacuteximo o contacto entre o cristal e a atmosfera para
evitar que as suas faces fiquem opacas interferindo assim na qualidade do feixe
transmitido
435 Porta Amostras
O porta amostras eacute constituiacutedo por uma base feita de latatildeo (Fig 410) onde se
coloca o cristal nivelado com o feixe laser Este suporte possui oito roscas para
parafusos M3 quatro em cima de forma a se fixar os encaixes laterais do porta
amostras e quatro em baixo de forma a afixar-se firmemente na bancada oacuteptica
Figura 410 Imagem da base do porta-amostras desenvolvido
32
43 SISTEMA OacutePTICO DESENVOLVIDO
De forma a aplicar-se a tensatildeo de excitaccedilatildeo ao cristal sem bloquear o feixe do
laser foram utilizadas duas placas de vidro com oacutexido de estanho dopado com
fluacuteor (FTO) Este permite que haja uma boa transparecircncia e conduccedilatildeo eleacutetrica
sendo usado em vaacuterios tipos de dispositivos como aplicaccedilotildees opto-eletroacutenicas
ecratildes touch screen filmes finos fotovoltaicos etc O oacutexido de estanho dopado
com fluacuteor [19] eacute reconhecido por ser altamente estaacutevel quimicamente inerte re-
siste a temperaturas elevadas e ao desgaste abrasivo sendo mais econoacutemico do
que o tradicional oacutexido de iacutendio e estanho (ITO)
De forma a garantir um bom contacto eleacutectrico entre o vidro FTO e o cristal
foram construidas duas peccedilas de afixaccedilatildeo idecircnticas (Fig 411) Trata-se de duas
peccedilas de alumiacutenio cada uma contendo uma abertura de forma a deixar passar
o feixe laser e dois rasgos para parafusos de forma a poder-se fixar no suporte e
desta maneira exercer uma pressatildeo constante sobre o cristal
Figura 411 Imagem das peccedilas de fixaccedilatildeo do cristal desenvolvidas com a vista defrente (a) e a vista de traacutes (b)
A ligaccedilatildeo eleacutectrica entre o sinal de referecircncia proveniente do amplificador ao
vidro FTO foi feita atraveacutes de uma cola condutora de prata de forma a assegurar
a ligaccedilatildeo oacutehmica entre o fio de cobre e a camada de FTO O cristal fica assim entre
duas placas de vidro FTO(Fig412)
33
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Figura 412 Imagem do porta Amostras desenvolvido
A figura 413 ilustra o sistema desenvolvido incluindo a bancada oacuteptica e
instrumentaccedilatildeo
Figura 413 Imagem do sistema desenvolvido para a mediccedilatildeo do efeito electrooacutep-tico
34
44 COEFICIENTE ELECTROOacutePTICO
44 Coeficiente Electrooacuteptico
Para o cristal utilizado o dihidrogenofosfato de potaacutessio (KDP) e para o efeito
electrooacuteptico linear a matriz de coeficientes electrooacutepticos eacute a seguinte
rij =
0 0 0
0 0 0
0 0 0
r41 0 0
0 r52 0
0 0 r63
com
i = 1 6
j = 123
Sendo que r41 = r52 pelo que existem apenas dois coeficientes independentes
o r41 e o r63
Usando a notaccedilatildeo condensada mencionada da secccedilatildeo 21 onde se aplica o
campo eleacutectrico (E) no plano do i (sendo i = m) enquanto que j eacute o eixo oacuteptico
Para o caso do KDP eacute costume utilizar o r63 Isto eacute aplicar o campo eleacutectrico nos
planos 12 ou 21 (ou seja i = 6) com o eixo oacuteptico no eixo 3 (j = 3) como demonstra
a figura 414
Figura 414 Ilustraccedilatildeo da configuraccedilatildeo utilizada para a mediccedilatildeo do coeficienter63 num cristal
35
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Para o caso do efeito electrooacuteptico quadraacutetico a matriz dos coeficientes elec-
trooacutepticos seraacute
sij =
s11 s12 s12 0 0 0
s12 s11 s12 0 0 0
s12 s12 s11 0 0 0
0 0 0 s11 minus s12 0 0
0 0 0 0 s11 minus s12 0
0 0 0 0 0 s11 minus s12
com i j = 1 6
45 Execuccedilatildeo Experimental
Para se medir o coeficiente electrooacuteptico aplica-se ao cristal uma tensatildeo com uma
frequecircncia de 2kHz frequecircncia essa que se revelou menos sensiacutevel aos ruiacutedos
ambientes sendo que o sinal electrooacuteptico teraacute a mesma frequecircncia Podendo-
se desta maneira atraveacutes de um amplificador de lock-in (modelo 393 da IthacoDynatrac) filtrar o sinal electrooacuteptico dos restantes sinais uma vez que a sua
frequecircncia eacute conhecida
A intensidade da equaccedilatildeo 41 eacute maacutexima quando cos(∆φ) = 1 e miacutenima quando
cos(∆φ) = minus1 Pelo que subtraindo estas duas equaccedilotildees
Imax minus Imin = 4E1E2 (46)
Assim combinando a equaccedilatildeo 41 com a equaccedilatildeo 46 obtem-se
I prop E21E
22 +
12
(Imax minus Imin)cos(∆φ) (47)
Juntando agora a equaccedilatildeo 246 agrave equaccedilatildeo 247 e tendo em conta que o feixe
passa duas vezes por cada ramo (=2l) a diferenccedila de fase para o efeito electrooacutep-
tico linear
∆φ = ∆φ0 +πrn3
oVoλ
2lh
cos(Ωt) (48)
Sendo ∆φ0 a diferenccedila de fase inicial sem o efeito electrooacuteptico
36
45 EXECUCcedilAtildeO EXPERIMENTAL
Substituindo o ∆φ da equaccedilatildeo 48 na equaccedilatildeo 47 a intensidade do sinal com
modulaccedilatildeo electrooacuteptica(Iseo) seraacute dado por
Iseo prop E21 +E2
2 +12
(Imax minus Imin)cos(∆φ0 +
πrn3oVoλ
2lh
cos(Ωt))
(49)
Usando cos(α plusmn β) = cos(α)cos(β)∓ sen(α) sen(β) e D = πrn3oVoλ
2lh fica-se com
Iseo prop E21 +E2
2+12
(Imax minus Imin)
[cos(∆φ0)cos(Dcos(Ωt)) minus sen(∆φ0) sen(D cos(Ωt))](410)
Como a modulaccedilatildeo electrooacuteptica eacute um efeito muito pequeno a equaccedilatildeo 410
pode-se escrever
Iseo asymp E21 +E2
2 +12
(Imax minus Imin) [cos(∆φ0)minusD cos(Ωt) sen(∆φ0)] (411)
Considerando soacute os termos de primeira ordem
Iseo asymp12
(Imax minus Imin) [cos(∆φ0)minusD cos(Ωt) sen(∆φ0)] (412)
A componente do sinal electrooacuteptico eacute entatildeo dado por
Iseo =12
(Imax minus Imin)D cos(Ωt) sen(∆φ0) (413)
Ou seja
Iseo =12
(Imax minus Imin)πrn3
oVoλ
2lh
cos(Ωt) sen(∆φ0) (414)
O acircngulo ∆φ0 varia linearmente com o tempo (t) a uma frequecircncia inferior
a Ω A franja de interferecircncia desloca-se continuamente em frente ao detector
devido a um dos espelho estar fixado num disco piezoeleacutectrico
37
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Na figura 415 pode-se ver uma exemplificaccedilatildeo do sinal no detector que incor-
pora o sinal da franja e electrooacuteptico dada pela equaccedilatildeo 414
Figura 415 Ilustraccedilatildeo do sinal de modulaccedilatildeo electrooacuteptica de um feixe de luzmedido num interferoacutemetro de Michelson
Uma vez que o sinal electrooacuteptico (cos(Ωt)) estaacute desfasado π2 do sinal da
franja ( sen(∆φ0)) A intensidade do sinal electrooacuteptico pode ser escrita como
Iseo asymp12
(Imax minus Imin)πrn3
oVoλ
2lh
∣∣∣ sen(∆φ0)∣∣∣ (415)
Assim a amplitude do sinal electrooacuteptico eacute
Iseo =12
(Imax minus Imin)πrn3
oVoλ
2lh
(416)
Pelo que o coeficiente electrooacuteptico linear seraacute dado por
r =|Iseo|
|Imax minus Imin|λ
πn3oVo
hl
(417)
38
46 RESULTADOS
Para o efeito electrooacuteptico quadraacutetico utilizando o procedimento anoacutelogo mas
a partir da equaccedilatildeo 248 em vez da equaccedilatildeo 247 O sinal electrooacuteptico quadraacutetico
Iseoq que ocorre ao dobro da frequecircncia de modulaccedilatildeo 2Ω eacute dado por
s =
∣∣∣Iseoq∣∣∣|Imax minus Imin|
2λ
πn3oV
2o
h2
l(418)
46 Resultados
Com o cristal de KDP devidamente alinhado no interferoacutemetro segundo o seu
eixo oacuteptico de maneira a se medir o coeficiente r63 Obtendo-se assim dois sinais
o sinal de franja e o sinal electrooacuteptico (Fig 416)
Figura 416 Padratildeo da franja produzida (a) e respectivos sinais de franja e elec-trooacuteptico obtidos para um cristal KDP padratildeo
De forma a se proceder a calibraccedilatildeo do sistema utilizou-se a equaccedilatildeo 417 na
forma
|Iseo||Imax minus Imin|
=πn3
o
λlhrVo (419)
39
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Usando o valor da razatildeo |Iseo ||ImaxminusImin|
em funccedilatildeo do potencial aplicado Vo pode-se
calcular o valor do coeficiente electrooacuteptico r atraveacutes do declive da recta obtida
Pode-se ver na figura 417 uma das rectas obtidas para o cristal utilizado na
calibraccedilatildeo do sistema
Figura 417 Razatildeo entre o sinal electrooacuteptico e a diferenccedila de intensidade defranjas em funccedilatildeo do potencial Vo aplicado ao cristal
A tabela 44 apresenta o valor do coeficiente electrooacuteptico obtido e respectiva
incerteza para o cristal de KDP tomando em conta os valores dos iacutendices de
refraccedilatildeo da tabela 43
Tabela 44 Valores e respectivas incertezas obtidas do coeficiente electrooacutepticopara o cristal KDP utilizado
Material Valor Padratildeo Valor Obtido Erro
KDPr63 = 106pmV r63 = 105plusmn 02pmV 1
(λ = 6328nm)
Como se pode ver na tabela 44 o resultado obtido situa-se muito proacuteximo
do teoacuterico encontrando-se dentro da incerteza obtida Os valores valores meacutedios
apresentam um desvio da ordem dos 02pmV
40
46 RESULTADOS
Apesar dos valores obtidos serem bastante positivos houve algumas dificul-
dades nomeadamente o vidro FTO que causou que o alinhamento fosse extrema-
mente complicado natildeo soacute pela sua espessura e dimensionamento como tambeacutem
pela refraccedilatildeo provocada no feixe laser Outro grande obstaacuteculo foi o alinhamento
do cristal uma vez que basta um ligeiro desvio no caminho oacuteptico para causar um
desalinhamento total algo que eacute agravado no interferoacutemetro do tipo Michelson
pelo facto de o feixe laser passar na amostra duas vezes
Apesar destas dificuldades o valor obtido para o coeficiente electrooacuteptico r63
foi de 105pmV valor esse muito proacuteximo do valor padratildeo da literatura que se
encontra nos 106pmV Assim pode-se considerar que o sistema desenvolvido
se encontra devidamente calibrado e pronto para futuras utilizaccedilotildees
41
Capiacutetulo
5Conclusotildees
O trabalho desenvolvido no decorrer desta dissertaccedilatildeo consistiu no desenvolvi-
mento de um sistema para a mediccedilatildeo do efeito electrooacuteptico aacuterea a ser ulilizada
na caracterizaccedilatildeo de novos materiais polimeacutericos para aplicaccedilatildeo em dispositivos
fotoacutenicos
Nesta conformidade foi desenhada construiacuteda e testado uma bancada oacuteptica
destinada agrave mediccedilatildeo do efeito electrooacuteptico baseado numa teacutecnica interferomeacute-
trica de mediccedilatildeo da diferenccedila de fase implementado atraveacutes de um interferoacutemetro
do tipo Michelson
O cristal escolhido para a calibraccedilatildeo do sistema desenvolvido foi um cristal de
KDP comercial tendo sido utilizado o coeficiente electrooacuteptico r63 como referecircn-
cia sendo o valor padratildeo de 106pmV
O sistema obtido permitiu medir um valor nominal de 105plusmn 02pmV com
um erro de aproximadamente 1 em relaccedilatildeo ao valor tabelado comprovando a
afericcedilatildeo do sistema para a mediccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico por transmissatildeo
O sistema desenvolvido estaacute portanto apto para futuras mediccedilotildees sendo ape-
nas necessaacuterio algumas alteraccedilotildees no porta-amostras mediante as dimensotildees e
forma da amostra a utilizar
Chegou-se ainda agrave conclusatildeo que para amostras como o cristal utilizado o
feixe laser passar duas vezes na amostra acaba por ser uma grande desvantagem
desvantagem essa inexistente para filmes polimeacutericos que ganham cada vez mais
importacircncia na aacuterea da fotoacutenica uma vez que satildeo materiais de grande interesse
cientiacutefico e tecnoloacutegico jaacute que podem ser utilizados no desenvolvimento de dispo-
sitivos oacutepticos nomeadamente moduladores de luz e memoacuterias oacutepticas
43
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46
Apecircndice
AApecircndice
A1 Desenhos Teacutecnicos
47
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23
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- Lista de Figuras
- Lista de Tabelas
- Introduccedilatildeo
- Efeito Electrooacuteptico
-
- Oacuteptica Natildeo-Linear
- Propagaccedilatildeo em Meios Anisotroacutepicos
-
- Vector de Poynting
- Elipsoiacutede dos Iacutendices
- Coeficientes Natildeo-Lineares
-
- Mediccedilatildeo do Efeito Electrooacuteptico
-
- Meacutetodo Tradicional
- Meacutetodos por Interferometria
-
- Interferometria Oacuteptica
- Interferoacutemetro de Mach-Zehnder
- Interferoacutemetro de Michelson
-
- Sistema Implementado
-
- Interferoacutemetro
- Electroacutenica Desenvolvida
-
- Amplificador
- Gerador de Rampa
- Seguidor de Tensatildeo
-
- Sistema Oacuteptico Desenvolvido
-
- Espelho Vibrante
- Bancada Oacuteptica
- Detector
- Cristal Electrooacuteptico
- Porta Amostras
-
- Coeficiente Electrooacuteptico
- Execuccedilatildeo Experimental
- Resultados
-
- Conclusotildees
- Bibliografia
- Apecircndice
-
- Desenhos Teacutecnicos
-
CAPIacuteTULO 3 MEDICcedilAtildeO DO EFEITO ELECTROOacutePTICO
Figura 31 Montagem experimental proposta por Henry e a sua equipa (adaptadode [9])
De seguida altera-se P1 para a posiccedilatildeo angular de 45 e repete-se o procedi-
mento anterior Somando o quadrado das duas visibilidades obtidas tem-se que
[9]
ν2θ + ν2
θ+45 = 1 +
1minus δ2
2
sen(φ2 )φ2
2
2
(32)
sendo
δ =2πλn3rEyd (33)
e
φ =radicδ2 + ρ2 (34)
Sendo δ a diferenccedila de fase originada pela birrefringecircncia λ o comprimento
de onda do feixe no vaacutecuo ρ a diferenccedila de fase associada agrave actividade oacuteptica n o
iacutendice de refraccedilatildeo sem campo eleacutetrico aplicado Ey o campo eleacutectrico aplicado e
d a espessura do cristal na direccedilatildeo do campo eleacutectrico aplicado Destas equaccedilotildees
pode-se calcular o coeficiente electrooacuteptico r
Para o caso de φ pequenos
sen(φ2 )φ2
2
1 pelo que
ν2θ + ν2
θ+45 1 +(1minus δ
2
2
)2
(35)
Natildeo sendo nesta situaccedilatildeo necessaacuteria a actividade oacuteptica ρ Esta teacutecnica apre-
senta um erro de mediccedilatildeo de 10 a 15 em relaccedilatildeo ao valor tabelado
16
32 MEacuteTODOS POR INTERFEROMETRIA
32 Meacutetodos por Interferometria
321 Interferometria Oacuteptica
Quando duas ondas de uma mesma frequecircncia se sobrepotildeem num dado ponto
formam uma nova onda cuja amplitude eacute o resultado da soma da amplitude das
duas ondas iniciais em cada instante nesse ponto Quando a soma da duas ondas
resulta numa amplitude maior diz-se que houve interferecircncia construtiva quando
resulta numa amplitude inferior diz-se que ocorreu interferecircncia destrutiva
Supondo que uma das ondas tem a forma E1ei(φ1minuswt) e a outra forma E2e
i(φ2minuswt)
sendo E1 e E2 as amplitudes dos respetivos campos eleacutetricos φ1 e φ2 as fases
iniciais w a frequecircncia angular e t o tempo a onda resultante seraacute descrita por
[10]
ET = E1ei(φ1minuswt) +E2e
i(φ2minuswt) (36)
Se φ1 minusφ2 = 2Nπ com N = 012 entatildeo as duas ondas estaratildeo em fase e daacute-
se uma interferecircncia construtiva perfeita Se φ1 minusφ2 = (2N + 1)π e E1 = E2 entatildeo
as duas ondas estaratildeo em oposiccedilatildeo de fase e daacute-se uma interferecircncia destrutiva
completa Estas situaccedilotildees extremas encontram-se ilustradas na figura 32
Figura 32 Ilustraccedilatildeo de uma interferecircncia construtiva perfeita (a) e destrutivacompleta (b)
Matematicamente a coerecircncia eacute uma medida da correlaccedilatildeo entre as ondas
Quanto mais construtiva for a interferecircncia maior seraacute a coerecircncia Fisicamente
a coerecircncia eacute uma medida do quatildeo constante a diferenccedila de fase permanece entre
17
CAPIacuteTULO 3 MEDICcedilAtildeO DO EFEITO ELECTROOacutePTICO
as duas ondas A coerecircncia eacute usualmente medida num padratildeo de franjas de in-
terferecircncia atraveacutes da visibilidade de franja (ν) que pode ser experimentalmente
calculada atraveacutes de [10]
ν =Imax minus IminImax + Imin
= 1 coerecircncia total e contraste maacuteximo
0 lt ν lt 1 coerecircncia parcial
= 0 incoerecircncia total e contraste natildeo haacute franjas
(37)
Pode-se ver na Fig33 um exemplo da equaccedilatildeo 37 que representa a visibi-
lidade das franjas em funccedilatildeo da diferenccedila de fase entre duas ondas da mesma
frequecircncia que interferem Como a visibilidade das franjas depende da coerecircncia
das duas ondas qualquer diferenccedila iraacute traduzir-se numa diminuiccedilatildeo de visibili-
dade
Figura 33 Visibilidade num interferoacutemetro em funccedilatildeo da diferenccedila de fase entreduas ondas provenientes de ramos diferentes do interferoacutemetro (adaptado de[11])
Pode-se usar a interferometria para quantificar os efeitos electrooacutepticos natildeo
soacute linear mas tambeacutem o quadraacutetico (efeito de Kerr) Os interferoacutemetros mais
frequentemente utilizados para este efeito satildeo os interferoacutemetro de Michelson1 e1Albert Abraham Michelson foi um fiacutesico americano conhecido pela invenccedilatildeo do interferoacuteme-
tro de Michelson (1891) do seu trabalho na mediccedilatildeo da velocidade da luz e pelo seu trabalho naexperiecircncia de Michelson-Morley Em 1907 tornou-se o primeiro americano a receber o PreacutemioNobel da Fiacutesica
18
32 MEacuteTODOS POR INTERFEROMETRIA
o interferoacutemetro de Mach-Zehnder2
De salientar que as teacutecnicas interferomeacutetricas apresentam uma elevada sensibi-
lidade simplificaccedilatildeo na preparaccedilatildeo das amostras a estudar e uma menor sensibili-
dade a vibraccedilotildees mecacircnicas e a flutuaccedilotildees teacutermicas desde que estas ocorram com
a mesma intensidade em ambos os ramos do mesmo tamanho do interferoacutemetro
322 Interferoacutemetro de Mach-Zehnder
No interferoacutemetro de Mach-Zehnder (Fig 34) um separador de feixe divide o
feixe proveniente da fonte em dois feixes que vatildeo constituir os dois ramos do
interferoacutemetro o feixe-amostra e o feixe-referecircncia Ambos satildeo refletidos por um
espelho e ambos atravessam um novo separador de feixe antes de se juntarem de
novo e serem medidos nos detetores
Figura 34 Esquema de um interferoacutemetro de Mach-Zehnder (adaptado de [12])
Com os ramos agrave mesma distacircncia pode ainda observar-se que sem amostra
ambos os feixes vatildeo chegar em fase aos detetores havendo desta forma uma inter-
ferecircncia construtiva Ambos apresentaratildeo uma mudanccedila de fase correspondente
a λ devido ao facto de ambos sofrerem duas reflexotildees e uma transmissatildeo numa
placa de vidro(separador de feixe) ateacute chegarem aos detetores2Ludwig Zehnder foi um fiacutesico suiacuteccedilo e o inventor do interferoacutemetro de Mach-Zehnder Inter-
feroacutemetro esse depois aperfeiccediloado por Ludwig Mach
19
CAPIacuteTULO 3 MEDICcedilAtildeO DO EFEITO ELECTROOacutePTICO
Alterando o caminho oacuteptico do espelho do feixe-referecircncia em λ4 sem amos-
tra o feixe-amostra e o feixe-referecircncia vatildeo chegar com uma diferenccedila de fase de
λ2 ou seja vai haver uma interferecircncia destrutiva completa Isto porque o feixe-
referecircncia vai ter uma mudanccedila de fase de λ2 devido a uma reflexatildeo e duas trans-
missotildees provocadas pelos separadores de feixe Enquanto que o feixe-amostra
chegaraacute aos detetores com uma diferenccedila de fase de λ devido a duas reflexotildees
mais uma reflexatildeo com transmissatildeo no segundo separador de feixe Assim na
ausecircncia de amostra e desde que a diferenccedila de caminho oacuteptico ou retardaccedilatildeo
(δ) seja zero os feixes iratildeo interferir construtivamente [13]
Com a amostra colocada no caminho do feixe-amostra os feixes vatildeo chegar ao
detetor em diferentes situaccedilotildees de fase sendo possiacutevel determinar a diferenccedila de
fase provocada pela presenccedila da amostra
A intensidade do feixe (I) em ambos os detetores eacute descrita por [14]
I(δ) =12I(k)cos(2Nkδ) (38)
Com k o nuacutemero de onda (k = 2πλ) E fazendo δ = d com d = vt resulta
I(δ) =12I(k)cos(2Nk(vt)) (39)
323 Interferoacutemetro de Michelson
No interferoacutemetro do tipo Michelson um feixe de luz eacute dividido em dois que
percorrem caminhos diferentes para de seguida se recombinarem Apoacutes terem
percorrido caminhos diferentes o feixe resultante da recombinaccedilatildeo pode apresen-
tar um padratildeo de interferecircncia que depende da diferenccedila de caminhos oacutepticos
entre os feixes e que pode ser medido num detetor
A forma mais simples de implementar um interferoacutemetro de Michelson con-
siste em dois espelhos colocados entre si num plano perpendicular em que um
deles se pode mover na direccedilatildeo perpendicular agrave sua superfiacutecie refletora conforme
ilustrado na Fig35
Esse espelho iraacute movimentar-se num espaccedilo definido a uma velocidade cons-
tante Entre o espelho fixo e o espelho moacutevel estaacute um separador de feixe que
divide o feixe incidente inicial em dois de igual intensidade Aqui o feixe eacute parci-
almente refletido para um espelho e parcialmente transmitido para o outro
20
32 MEacuteTODOS POR INTERFEROMETRIA
Figura 35 Esquema de funcionamento de um interferoacutemetro de Michelson cominterferecircncia construtiva (a) e destrutiva (b) (adaptado de [15])
Assumindo que o separador de feixe eacute ideal e com uma reflectacircncia e transmi-
tacircncia de 50 se o espelho moacutevel se encontrar estacionaacuterio pode determinar-se
a intensidade do feixe num dado ponto do detetor Se a diferenccedila do caminho
oacuteptico ou retardaccedilatildeo (δ) for zero ou seja os espelhos estatildeo igualmente espaccedilados
do separador de feixe estes vatildeo percorrer a mesma distacircncia e interferir construti-
vamente pelo que a intensidade do feixe final eacute a soma das intensidades dos dois
feixes Nestas condiccedilotildees toda a luz que sai da fonte chega ao detetor
No caso do espelho moacutevel se deslocar uma distacircncia de λ4 a retardaccedilatildeo total
seraacute de λ2 pelo que os feixes estaratildeo desfasadas de 180ordm (π) Nestas condiccedilotildees ter-
se-aacute interferecircncia destrutiva completa na recombinaccedilatildeo dos feixes dando origem
agrave extinccedilatildeo total
Voltando a deslocar o espelho moacutevel de mais λ4 a diferenccedila do caminho
oacuteptico seraacute igual a λ e os dois feixes voltam a estar em fase havendo novamente
uma sobreposiccedilatildeo construtiva dos feixes
Com o espelho moacutevel a deslocar-se a uma velocidade constante o sinal do de-
tetor iraacute variar com uma forma perioacutedica sendo que atinge o seu maacuteximo quando
a retardaccedilatildeo (δ) for um muacuteltiplo inteiro de λ δ =Nλ
A expressatildeo da intensidade do feixe (I) no detector para o caso do interferoacute-
metro de Michelson eacute semelhante agrave equaccedilatildeo 38 para o interferoacutemetro de Mach-
Zehnder sendo que neste caso δ = 2d com d = vt jaacute que o feixe atravessa a
amostra duas vezes Nestas condiccedilotildees ter-se-aacute
I(δ) =12I(k)cos(4Nk(vt)) (310)
21
CAPIacuteTULO 3 MEDICcedilAtildeO DO EFEITO ELECTROOacutePTICO
22
Capiacutetulo
4Sistema Implementado
Este capiacutetulo descreve o sistema implementado para a mediccedilatildeo do coeficiente
electrooacuteptico usando a teacutecnica de interferoacutemetria de Michelson bem como a cali-
braccedilatildeo do mesmo
41 Interferoacutemetro
O sistema escolhido para a mediccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico baseia-se na teacutec-
nica de interferometria de Michelson (ver secccedilatildeo 323) onde se mediu a diferenccedila
de fase entre os ramos do interferoacutemetro Esta teacutecnica foi escolhida pela elevada
sensibilidade agrave diferenccedila de fase gerada entre os ramos do interferoacutemetro facili-
dade de preparaccedilatildeo das amostras e por ser menos sensiacutevel a vibraccedilotildees mecacircnicas
e a flutuaccedilotildees teacutermicas desde que estas ocorram com a mesma intensidade em
ambos os ramos do interferoacutemetro Para aleacutem das vantagens mencionadas e espe-
cificamente em comparaccedilatildeo com o interferoacutemetro mais usado o interferoacutemetro
do tipo Mach-Zehnder o interferoacutemetro de Michelson tem uma maior facilidade
de alinhamento dos espelhos e usa apenas um separador de feixe
A figura 41 esquematiza o sistema baseado no interferoacutemetro de Michelson
desenvolvido para a mediccedilatildeo do coeficiente eletrooacuteptico
23
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Figura 41 Esquematizaccedilatildeo do interferoacutemetro de Michelson e instrumentaccedilatildeoutilizada para a mediccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico em cristais
Como se pode ver no esquema da figura 41 o ramo do espelho vibrante fica
vazio enquanto que no ramo do espelho fixo se encontra a amostra entre dois
eleacutectrodos onde se aplicam um campo eleacutectrico E O sinal medido no detector
resulta da interferecircncia entre os feixes provenientes de cada ramo do interferoacute-
mentro dependendo da diferenccedila de fase entre os dois feixes Conforme referido
anteriormente a intensidade da luz (I) que chega ao detector eacute da ordem de [16]
I prop E21 +E2
2 + 2E1E2cos(∆φ) (41)
42 Electroacutenica Desenvolvida
421 Amplificador
Para o efeito electrooacuteptico se manisfestar eacute necessaacuterio aplicar-se uma tensatildeo eleacutec-
trica ao meio Uma vez que a tensatildeo de referecircncia fornecida pelo amplificador
lock-in utilizado eacute muito baixa para induzir efeito electrooacuteptico significativo por
volta dos 12V foi necessaacuterio construir um amplificador de tensatildeo (Fig 42)
24
42 ELECTROacuteNICA DESENVOLVIDA
Figura 42 Esquemaacutetico do amplificador de tensatildeo utilizado com base no ampli-ficador operacional LF356n
O amplificador construiacutedo conforme ilustra a figura 42 consiste numa mon-
tagem inversora de ganho variaacutevel com uma malha de controlo de offset e eacute
alimentado a plusmn12V
Assim o ganho G eacute determinado atraveacutes de
G = 1 +R2R1
(42)
Sendo R1 = 11kΩ R2 = 5kΩ R3 = 25kΩ e o amplificador em si utilizado foi
o LF356n
Obtendo-se desta forma um ganho de aproximadamente 55 Permitindo apli-
car uma tensatildeo de cerca de 66V ao cristal electrooacuteptico Uma vez que a tensatildeo
aplicada eacute baixa pode-se desprezar o efeito piezoeleacutectrico gerado na amostra e
que iria influenciar o valor do coeficiente electrooacuteptico medido
422 Gerador de Rampa
Para alimentar o excitador piezoeleacutectrico do espelho moacutevel foi utilizado um ge-
rador de sinais (Fig 43) de forma a induzir um deslocamento linear perioacutedico
na forma de rampa A frequecircncia de oscilaccedilatildeo cerca de 25Hz foi escolhida de
25
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
forma a ser suficientemente baixa para evitar fenoacutemenos de batimento com o sinal
de modulaccedilatildeo electrooacuteptico e suficientemente alta para que se consiga adquirir
dados em tempo uacutetil com uma tensatildeo variaacutevel entre os 4 e os 8V
Figura 43 Esquema eleacutectrico do gerador de rampa implementado baseado nocircuito temporizador NE555
Sendo R1 = 20kΩ R2 = 1kΩ e C1 = C2 = 47microF
O tempo de subida da rampa t1 eacute dado por
t1 = 0693(R1 +R2)C1 (43)
Enquanto que o tempo de descida t2 eacute
t2 = 0693R2C1 (44)
Obtendo assim um tempo de subida de 036s e um tempo de descida de 0033s
Assim a frequecircncia do gerador de rampa f seraacute dada por
f =1
t1 + t2=
144(R1 + 2R2)C1
(45)
O gerador de rampa foi construiacutedo aproveitando o espaccedilo livre no interior da
unidade de amplificaccedilatildeo onde se situa o amplificador
26
42 ELECTROacuteNICA DESENVOLVIDA
423 Seguidor de Tensatildeo
Devido agrave necessidade de acoplamento de impedacircncias entre o amplificador lock-
in e o osciloacutescopio natildeo foi possiacutevel a utilizaccedilatildeo de um repartidor coaxial que
repartisse o sinal proveniente do detector Assim de forma a se poder visuali-
zar o sinal proveniente do detector em simultacircneo com o sinal electrooacuteptico foi
necessaacuterio a construccedilatildeo de um seguidor de tensatildeo (Fig44)
Figura 44 Esquema do seguidor de tensatildeo utilizado construida com base nosamplifacores operacionais LF356n
Sendo que ambos os circuitos integrados foram alimentados por uma tensatildeo
positiva (V+) de 12V e uma negativa (Vminus) de minus12V Com R1 = R2 = 25kΩ Agrave
semelhanccedila do amplificador foi tambeacutem construida uma malha de controlo de
offset
Agrave semelhanccedila do gerador de rampa tambeacutem foi construido na unidade de
amplificaccedilatildeo e gerador de rampa como se pode ver na figura 45
27
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Figura 45 Imagem da unidade de amplificaccedilatildeo e geraccedilatildeo de rampa implemen-tada
43 Sistema Oacuteptico Desenvolvido
431 Espelho Vibrante
O espelho vibrante (Fig46) foi construiacutedo afixando um espelho a um disco pie-
zoeleacutectrico A vibraccedilatildeo do espelho iraacute fazer com que a distacircncia entre o divisor
de feixe e o espelho varie Fazendo deslocar a franja de interferecircncia em frente ao
detector permitindo a este medir as intensidades maacuteximas e miacutenimas das franjas
de interferecircncia (ver secccedilatildeo 323)
Figura 46 Imagem do espelho vibrante utilizado
28
43 SISTEMA OacutePTICO DESENVOLVIDO
432 Bancada Oacuteptica
De forma a colocar os componentes ao niacutevel do feixe do laser na mesa oacuteptica e a
tornar o sistema menos sensiacutevel a vibraccedilotildees mecacircnicas e flutuaccedilotildees teacutermicas os
componentes foram colocadas numa base quadrada de alumiacutenio
Figura 47 Imagem da bancada oacuteptica onde o interferoacutemetro de Michelson foiconstruiacutedo
Conforme se pode ver na figura 47 para completar o interferoacutemetro de Michel-
son para aleacutem dos componentes jaacute referidos foram ainda utilizados um separador
de feixe e um espelho (fixo) no suporte com uma lente oacuteptica agrave saiacuteda do mesmo
Faltando ainda o laser utilizado da Melles Griotreg que possui uma potecircncia de
635mW e um comprimento de onda de 6328nm
433 Detector
O detector utilizado foi um modelo 818-UVDB da Newport Corporationreg (Fig
48) de baixa potecircncia consistindo num fotodiacuteodo de siliacutecio capaz de operar entre
os 200 e os 1100nm As caracteriacutesticas principais deste detector encontram-se
listadas na tabela 433
29
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Tabela 41 Caracteriacutesticas principais do detector 818-UVDB [17]
Largura de Banda 200 a 1100(nm) Material Siliacutecio
Potecircncia
W λ(nm)
Incerteza de
λ(nm)
02 200 a 4008 200 a 219
Maacutexima Calibraccedilatildeo 2 220 a 349
005 400 a 11001 350 a 9494 950 a 1050
Densidade de02Wcm2 Aacuterea Activa 1cm2
Potecircncia Meacutedia
Energia Maacutexima05microJ
Diacircmetro113cm
de Pulso Activo
De forma a evitar que a luz ambiente interferisse nas medidas e para aumen-
tar a resoluccedilatildeo de mediccedilatildeo do perfil da franja de interferecircncia foi colocado um
diafragma com uma abertura no centro de 06mm conforme se pode ver na figura
48 reduzido desta maneira a aacuterea activa para 028 mm2
Figura 48 Imagem do detector e disco utilizado
Para a aquisiccedilatildeo do sinal electrooacuteptico e geraccedilatildeo de sinal electrooacuteptico de
referecircncia foi utilizado um osciloscoacutepio Lecroy Wavesufertrade422
30
43 SISTEMA OacutePTICO DESENVOLVIDO
434 Cristal Electrooacuteptico
Para a calibraccedilatildeo do sistema foi utilizado um cristal padratildeo de dihidrogenofosfato
de potaacutessio (KDP) Na tabela 42 pode-se observar algumas das propriedades
fiacutesicas desse cristal
Tabela 42 Propriedades fiacutesicas do cristal padratildeo KDP [18]
Material Simetria Densidade Classe Higroscopicidade
KDP Tetragonal (42m) 234gcm3 Uniaxial Higroscoacutepico
Uma vez que o cristal eacute uniaxial nx = ny = no e nz = ne sendo no e ne os
iacutendices de refraccedilatildeo ordinaacuterio e extraordinaacuterio do cristal KDP A figura 49 ilustra
o elipsoiacutede de iacutendices num cristal padratildeo KDP
Figura 49 Ilustraccedilatildeo de um cristal padratildeo KDP e seu respectivo elipsoiacutede deiacutendices
31
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Na Tabela 43 pode-se observar algumas das propriedades oacutepticas do cristal
padratildeo KDP
Tabela 43 Propriedades oacutepticas do cristal padratildeo KDP a 6328nm [7]
Material Foacutermula Quiacutemica Iacutendice de RefracccedilatildeoCoeficiente
Electrooacuteptico
KDPKH2PO4
no=15074 r41=86 pmV(λ = 6328nm) ne=14673 r63=106 pmV
Como se pode ver na tabela 42 o cristal do tipo KDP eacute higroscoacutepico sendo
assim necessaacuterio reduzir ao maacuteximo o contacto entre o cristal e a atmosfera para
evitar que as suas faces fiquem opacas interferindo assim na qualidade do feixe
transmitido
435 Porta Amostras
O porta amostras eacute constituiacutedo por uma base feita de latatildeo (Fig 410) onde se
coloca o cristal nivelado com o feixe laser Este suporte possui oito roscas para
parafusos M3 quatro em cima de forma a se fixar os encaixes laterais do porta
amostras e quatro em baixo de forma a afixar-se firmemente na bancada oacuteptica
Figura 410 Imagem da base do porta-amostras desenvolvido
32
43 SISTEMA OacutePTICO DESENVOLVIDO
De forma a aplicar-se a tensatildeo de excitaccedilatildeo ao cristal sem bloquear o feixe do
laser foram utilizadas duas placas de vidro com oacutexido de estanho dopado com
fluacuteor (FTO) Este permite que haja uma boa transparecircncia e conduccedilatildeo eleacutetrica
sendo usado em vaacuterios tipos de dispositivos como aplicaccedilotildees opto-eletroacutenicas
ecratildes touch screen filmes finos fotovoltaicos etc O oacutexido de estanho dopado
com fluacuteor [19] eacute reconhecido por ser altamente estaacutevel quimicamente inerte re-
siste a temperaturas elevadas e ao desgaste abrasivo sendo mais econoacutemico do
que o tradicional oacutexido de iacutendio e estanho (ITO)
De forma a garantir um bom contacto eleacutectrico entre o vidro FTO e o cristal
foram construidas duas peccedilas de afixaccedilatildeo idecircnticas (Fig 411) Trata-se de duas
peccedilas de alumiacutenio cada uma contendo uma abertura de forma a deixar passar
o feixe laser e dois rasgos para parafusos de forma a poder-se fixar no suporte e
desta maneira exercer uma pressatildeo constante sobre o cristal
Figura 411 Imagem das peccedilas de fixaccedilatildeo do cristal desenvolvidas com a vista defrente (a) e a vista de traacutes (b)
A ligaccedilatildeo eleacutectrica entre o sinal de referecircncia proveniente do amplificador ao
vidro FTO foi feita atraveacutes de uma cola condutora de prata de forma a assegurar
a ligaccedilatildeo oacutehmica entre o fio de cobre e a camada de FTO O cristal fica assim entre
duas placas de vidro FTO(Fig412)
33
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Figura 412 Imagem do porta Amostras desenvolvido
A figura 413 ilustra o sistema desenvolvido incluindo a bancada oacuteptica e
instrumentaccedilatildeo
Figura 413 Imagem do sistema desenvolvido para a mediccedilatildeo do efeito electrooacutep-tico
34
44 COEFICIENTE ELECTROOacutePTICO
44 Coeficiente Electrooacuteptico
Para o cristal utilizado o dihidrogenofosfato de potaacutessio (KDP) e para o efeito
electrooacuteptico linear a matriz de coeficientes electrooacutepticos eacute a seguinte
rij =
0 0 0
0 0 0
0 0 0
r41 0 0
0 r52 0
0 0 r63
com
i = 1 6
j = 123
Sendo que r41 = r52 pelo que existem apenas dois coeficientes independentes
o r41 e o r63
Usando a notaccedilatildeo condensada mencionada da secccedilatildeo 21 onde se aplica o
campo eleacutectrico (E) no plano do i (sendo i = m) enquanto que j eacute o eixo oacuteptico
Para o caso do KDP eacute costume utilizar o r63 Isto eacute aplicar o campo eleacutectrico nos
planos 12 ou 21 (ou seja i = 6) com o eixo oacuteptico no eixo 3 (j = 3) como demonstra
a figura 414
Figura 414 Ilustraccedilatildeo da configuraccedilatildeo utilizada para a mediccedilatildeo do coeficienter63 num cristal
35
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Para o caso do efeito electrooacuteptico quadraacutetico a matriz dos coeficientes elec-
trooacutepticos seraacute
sij =
s11 s12 s12 0 0 0
s12 s11 s12 0 0 0
s12 s12 s11 0 0 0
0 0 0 s11 minus s12 0 0
0 0 0 0 s11 minus s12 0
0 0 0 0 0 s11 minus s12
com i j = 1 6
45 Execuccedilatildeo Experimental
Para se medir o coeficiente electrooacuteptico aplica-se ao cristal uma tensatildeo com uma
frequecircncia de 2kHz frequecircncia essa que se revelou menos sensiacutevel aos ruiacutedos
ambientes sendo que o sinal electrooacuteptico teraacute a mesma frequecircncia Podendo-
se desta maneira atraveacutes de um amplificador de lock-in (modelo 393 da IthacoDynatrac) filtrar o sinal electrooacuteptico dos restantes sinais uma vez que a sua
frequecircncia eacute conhecida
A intensidade da equaccedilatildeo 41 eacute maacutexima quando cos(∆φ) = 1 e miacutenima quando
cos(∆φ) = minus1 Pelo que subtraindo estas duas equaccedilotildees
Imax minus Imin = 4E1E2 (46)
Assim combinando a equaccedilatildeo 41 com a equaccedilatildeo 46 obtem-se
I prop E21E
22 +
12
(Imax minus Imin)cos(∆φ) (47)
Juntando agora a equaccedilatildeo 246 agrave equaccedilatildeo 247 e tendo em conta que o feixe
passa duas vezes por cada ramo (=2l) a diferenccedila de fase para o efeito electrooacutep-
tico linear
∆φ = ∆φ0 +πrn3
oVoλ
2lh
cos(Ωt) (48)
Sendo ∆φ0 a diferenccedila de fase inicial sem o efeito electrooacuteptico
36
45 EXECUCcedilAtildeO EXPERIMENTAL
Substituindo o ∆φ da equaccedilatildeo 48 na equaccedilatildeo 47 a intensidade do sinal com
modulaccedilatildeo electrooacuteptica(Iseo) seraacute dado por
Iseo prop E21 +E2
2 +12
(Imax minus Imin)cos(∆φ0 +
πrn3oVoλ
2lh
cos(Ωt))
(49)
Usando cos(α plusmn β) = cos(α)cos(β)∓ sen(α) sen(β) e D = πrn3oVoλ
2lh fica-se com
Iseo prop E21 +E2
2+12
(Imax minus Imin)
[cos(∆φ0)cos(Dcos(Ωt)) minus sen(∆φ0) sen(D cos(Ωt))](410)
Como a modulaccedilatildeo electrooacuteptica eacute um efeito muito pequeno a equaccedilatildeo 410
pode-se escrever
Iseo asymp E21 +E2
2 +12
(Imax minus Imin) [cos(∆φ0)minusD cos(Ωt) sen(∆φ0)] (411)
Considerando soacute os termos de primeira ordem
Iseo asymp12
(Imax minus Imin) [cos(∆φ0)minusD cos(Ωt) sen(∆φ0)] (412)
A componente do sinal electrooacuteptico eacute entatildeo dado por
Iseo =12
(Imax minus Imin)D cos(Ωt) sen(∆φ0) (413)
Ou seja
Iseo =12
(Imax minus Imin)πrn3
oVoλ
2lh
cos(Ωt) sen(∆φ0) (414)
O acircngulo ∆φ0 varia linearmente com o tempo (t) a uma frequecircncia inferior
a Ω A franja de interferecircncia desloca-se continuamente em frente ao detector
devido a um dos espelho estar fixado num disco piezoeleacutectrico
37
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Na figura 415 pode-se ver uma exemplificaccedilatildeo do sinal no detector que incor-
pora o sinal da franja e electrooacuteptico dada pela equaccedilatildeo 414
Figura 415 Ilustraccedilatildeo do sinal de modulaccedilatildeo electrooacuteptica de um feixe de luzmedido num interferoacutemetro de Michelson
Uma vez que o sinal electrooacuteptico (cos(Ωt)) estaacute desfasado π2 do sinal da
franja ( sen(∆φ0)) A intensidade do sinal electrooacuteptico pode ser escrita como
Iseo asymp12
(Imax minus Imin)πrn3
oVoλ
2lh
∣∣∣ sen(∆φ0)∣∣∣ (415)
Assim a amplitude do sinal electrooacuteptico eacute
Iseo =12
(Imax minus Imin)πrn3
oVoλ
2lh
(416)
Pelo que o coeficiente electrooacuteptico linear seraacute dado por
r =|Iseo|
|Imax minus Imin|λ
πn3oVo
hl
(417)
38
46 RESULTADOS
Para o efeito electrooacuteptico quadraacutetico utilizando o procedimento anoacutelogo mas
a partir da equaccedilatildeo 248 em vez da equaccedilatildeo 247 O sinal electrooacuteptico quadraacutetico
Iseoq que ocorre ao dobro da frequecircncia de modulaccedilatildeo 2Ω eacute dado por
s =
∣∣∣Iseoq∣∣∣|Imax minus Imin|
2λ
πn3oV
2o
h2
l(418)
46 Resultados
Com o cristal de KDP devidamente alinhado no interferoacutemetro segundo o seu
eixo oacuteptico de maneira a se medir o coeficiente r63 Obtendo-se assim dois sinais
o sinal de franja e o sinal electrooacuteptico (Fig 416)
Figura 416 Padratildeo da franja produzida (a) e respectivos sinais de franja e elec-trooacuteptico obtidos para um cristal KDP padratildeo
De forma a se proceder a calibraccedilatildeo do sistema utilizou-se a equaccedilatildeo 417 na
forma
|Iseo||Imax minus Imin|
=πn3
o
λlhrVo (419)
39
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Usando o valor da razatildeo |Iseo ||ImaxminusImin|
em funccedilatildeo do potencial aplicado Vo pode-se
calcular o valor do coeficiente electrooacuteptico r atraveacutes do declive da recta obtida
Pode-se ver na figura 417 uma das rectas obtidas para o cristal utilizado na
calibraccedilatildeo do sistema
Figura 417 Razatildeo entre o sinal electrooacuteptico e a diferenccedila de intensidade defranjas em funccedilatildeo do potencial Vo aplicado ao cristal
A tabela 44 apresenta o valor do coeficiente electrooacuteptico obtido e respectiva
incerteza para o cristal de KDP tomando em conta os valores dos iacutendices de
refraccedilatildeo da tabela 43
Tabela 44 Valores e respectivas incertezas obtidas do coeficiente electrooacutepticopara o cristal KDP utilizado
Material Valor Padratildeo Valor Obtido Erro
KDPr63 = 106pmV r63 = 105plusmn 02pmV 1
(λ = 6328nm)
Como se pode ver na tabela 44 o resultado obtido situa-se muito proacuteximo
do teoacuterico encontrando-se dentro da incerteza obtida Os valores valores meacutedios
apresentam um desvio da ordem dos 02pmV
40
46 RESULTADOS
Apesar dos valores obtidos serem bastante positivos houve algumas dificul-
dades nomeadamente o vidro FTO que causou que o alinhamento fosse extrema-
mente complicado natildeo soacute pela sua espessura e dimensionamento como tambeacutem
pela refraccedilatildeo provocada no feixe laser Outro grande obstaacuteculo foi o alinhamento
do cristal uma vez que basta um ligeiro desvio no caminho oacuteptico para causar um
desalinhamento total algo que eacute agravado no interferoacutemetro do tipo Michelson
pelo facto de o feixe laser passar na amostra duas vezes
Apesar destas dificuldades o valor obtido para o coeficiente electrooacuteptico r63
foi de 105pmV valor esse muito proacuteximo do valor padratildeo da literatura que se
encontra nos 106pmV Assim pode-se considerar que o sistema desenvolvido
se encontra devidamente calibrado e pronto para futuras utilizaccedilotildees
41
Capiacutetulo
5Conclusotildees
O trabalho desenvolvido no decorrer desta dissertaccedilatildeo consistiu no desenvolvi-
mento de um sistema para a mediccedilatildeo do efeito electrooacuteptico aacuterea a ser ulilizada
na caracterizaccedilatildeo de novos materiais polimeacutericos para aplicaccedilatildeo em dispositivos
fotoacutenicos
Nesta conformidade foi desenhada construiacuteda e testado uma bancada oacuteptica
destinada agrave mediccedilatildeo do efeito electrooacuteptico baseado numa teacutecnica interferomeacute-
trica de mediccedilatildeo da diferenccedila de fase implementado atraveacutes de um interferoacutemetro
do tipo Michelson
O cristal escolhido para a calibraccedilatildeo do sistema desenvolvido foi um cristal de
KDP comercial tendo sido utilizado o coeficiente electrooacuteptico r63 como referecircn-
cia sendo o valor padratildeo de 106pmV
O sistema obtido permitiu medir um valor nominal de 105plusmn 02pmV com
um erro de aproximadamente 1 em relaccedilatildeo ao valor tabelado comprovando a
afericcedilatildeo do sistema para a mediccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico por transmissatildeo
O sistema desenvolvido estaacute portanto apto para futuras mediccedilotildees sendo ape-
nas necessaacuterio algumas alteraccedilotildees no porta-amostras mediante as dimensotildees e
forma da amostra a utilizar
Chegou-se ainda agrave conclusatildeo que para amostras como o cristal utilizado o
feixe laser passar duas vezes na amostra acaba por ser uma grande desvantagem
desvantagem essa inexistente para filmes polimeacutericos que ganham cada vez mais
importacircncia na aacuterea da fotoacutenica uma vez que satildeo materiais de grande interesse
cientiacutefico e tecnoloacutegico jaacute que podem ser utilizados no desenvolvimento de dispo-
sitivos oacutepticos nomeadamente moduladores de luz e memoacuterias oacutepticas
43
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1521-396X doi 101002pssa2211170234
[19] SIGMA-ALDRICH Fluorine doped Tin Oxide (FTO) Glass httpwwwsigmaaldrichcommaterials-sciencematerial-science-products
htmlTablePage=106837645 [Consultado em 17-05-2015]
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Apecircndice
AApecircndice
A1 Desenhos Teacutecnicos
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- Lista de Figuras
- Lista de Tabelas
- Introduccedilatildeo
- Efeito Electrooacuteptico
-
- Oacuteptica Natildeo-Linear
- Propagaccedilatildeo em Meios Anisotroacutepicos
-
- Vector de Poynting
- Elipsoiacutede dos Iacutendices
- Coeficientes Natildeo-Lineares
-
- Mediccedilatildeo do Efeito Electrooacuteptico
-
- Meacutetodo Tradicional
- Meacutetodos por Interferometria
-
- Interferometria Oacuteptica
- Interferoacutemetro de Mach-Zehnder
- Interferoacutemetro de Michelson
-
- Sistema Implementado
-
- Interferoacutemetro
- Electroacutenica Desenvolvida
-
- Amplificador
- Gerador de Rampa
- Seguidor de Tensatildeo
-
- Sistema Oacuteptico Desenvolvido
-
- Espelho Vibrante
- Bancada Oacuteptica
- Detector
- Cristal Electrooacuteptico
- Porta Amostras
-
- Coeficiente Electrooacuteptico
- Execuccedilatildeo Experimental
- Resultados
-
- Conclusotildees
- Bibliografia
- Apecircndice
-
- Desenhos Teacutecnicos
-
32 MEacuteTODOS POR INTERFEROMETRIA
32 Meacutetodos por Interferometria
321 Interferometria Oacuteptica
Quando duas ondas de uma mesma frequecircncia se sobrepotildeem num dado ponto
formam uma nova onda cuja amplitude eacute o resultado da soma da amplitude das
duas ondas iniciais em cada instante nesse ponto Quando a soma da duas ondas
resulta numa amplitude maior diz-se que houve interferecircncia construtiva quando
resulta numa amplitude inferior diz-se que ocorreu interferecircncia destrutiva
Supondo que uma das ondas tem a forma E1ei(φ1minuswt) e a outra forma E2e
i(φ2minuswt)
sendo E1 e E2 as amplitudes dos respetivos campos eleacutetricos φ1 e φ2 as fases
iniciais w a frequecircncia angular e t o tempo a onda resultante seraacute descrita por
[10]
ET = E1ei(φ1minuswt) +E2e
i(φ2minuswt) (36)
Se φ1 minusφ2 = 2Nπ com N = 012 entatildeo as duas ondas estaratildeo em fase e daacute-
se uma interferecircncia construtiva perfeita Se φ1 minusφ2 = (2N + 1)π e E1 = E2 entatildeo
as duas ondas estaratildeo em oposiccedilatildeo de fase e daacute-se uma interferecircncia destrutiva
completa Estas situaccedilotildees extremas encontram-se ilustradas na figura 32
Figura 32 Ilustraccedilatildeo de uma interferecircncia construtiva perfeita (a) e destrutivacompleta (b)
Matematicamente a coerecircncia eacute uma medida da correlaccedilatildeo entre as ondas
Quanto mais construtiva for a interferecircncia maior seraacute a coerecircncia Fisicamente
a coerecircncia eacute uma medida do quatildeo constante a diferenccedila de fase permanece entre
17
CAPIacuteTULO 3 MEDICcedilAtildeO DO EFEITO ELECTROOacutePTICO
as duas ondas A coerecircncia eacute usualmente medida num padratildeo de franjas de in-
terferecircncia atraveacutes da visibilidade de franja (ν) que pode ser experimentalmente
calculada atraveacutes de [10]
ν =Imax minus IminImax + Imin
= 1 coerecircncia total e contraste maacuteximo
0 lt ν lt 1 coerecircncia parcial
= 0 incoerecircncia total e contraste natildeo haacute franjas
(37)
Pode-se ver na Fig33 um exemplo da equaccedilatildeo 37 que representa a visibi-
lidade das franjas em funccedilatildeo da diferenccedila de fase entre duas ondas da mesma
frequecircncia que interferem Como a visibilidade das franjas depende da coerecircncia
das duas ondas qualquer diferenccedila iraacute traduzir-se numa diminuiccedilatildeo de visibili-
dade
Figura 33 Visibilidade num interferoacutemetro em funccedilatildeo da diferenccedila de fase entreduas ondas provenientes de ramos diferentes do interferoacutemetro (adaptado de[11])
Pode-se usar a interferometria para quantificar os efeitos electrooacutepticos natildeo
soacute linear mas tambeacutem o quadraacutetico (efeito de Kerr) Os interferoacutemetros mais
frequentemente utilizados para este efeito satildeo os interferoacutemetro de Michelson1 e1Albert Abraham Michelson foi um fiacutesico americano conhecido pela invenccedilatildeo do interferoacuteme-
tro de Michelson (1891) do seu trabalho na mediccedilatildeo da velocidade da luz e pelo seu trabalho naexperiecircncia de Michelson-Morley Em 1907 tornou-se o primeiro americano a receber o PreacutemioNobel da Fiacutesica
18
32 MEacuteTODOS POR INTERFEROMETRIA
o interferoacutemetro de Mach-Zehnder2
De salientar que as teacutecnicas interferomeacutetricas apresentam uma elevada sensibi-
lidade simplificaccedilatildeo na preparaccedilatildeo das amostras a estudar e uma menor sensibili-
dade a vibraccedilotildees mecacircnicas e a flutuaccedilotildees teacutermicas desde que estas ocorram com
a mesma intensidade em ambos os ramos do mesmo tamanho do interferoacutemetro
322 Interferoacutemetro de Mach-Zehnder
No interferoacutemetro de Mach-Zehnder (Fig 34) um separador de feixe divide o
feixe proveniente da fonte em dois feixes que vatildeo constituir os dois ramos do
interferoacutemetro o feixe-amostra e o feixe-referecircncia Ambos satildeo refletidos por um
espelho e ambos atravessam um novo separador de feixe antes de se juntarem de
novo e serem medidos nos detetores
Figura 34 Esquema de um interferoacutemetro de Mach-Zehnder (adaptado de [12])
Com os ramos agrave mesma distacircncia pode ainda observar-se que sem amostra
ambos os feixes vatildeo chegar em fase aos detetores havendo desta forma uma inter-
ferecircncia construtiva Ambos apresentaratildeo uma mudanccedila de fase correspondente
a λ devido ao facto de ambos sofrerem duas reflexotildees e uma transmissatildeo numa
placa de vidro(separador de feixe) ateacute chegarem aos detetores2Ludwig Zehnder foi um fiacutesico suiacuteccedilo e o inventor do interferoacutemetro de Mach-Zehnder Inter-
feroacutemetro esse depois aperfeiccediloado por Ludwig Mach
19
CAPIacuteTULO 3 MEDICcedilAtildeO DO EFEITO ELECTROOacutePTICO
Alterando o caminho oacuteptico do espelho do feixe-referecircncia em λ4 sem amos-
tra o feixe-amostra e o feixe-referecircncia vatildeo chegar com uma diferenccedila de fase de
λ2 ou seja vai haver uma interferecircncia destrutiva completa Isto porque o feixe-
referecircncia vai ter uma mudanccedila de fase de λ2 devido a uma reflexatildeo e duas trans-
missotildees provocadas pelos separadores de feixe Enquanto que o feixe-amostra
chegaraacute aos detetores com uma diferenccedila de fase de λ devido a duas reflexotildees
mais uma reflexatildeo com transmissatildeo no segundo separador de feixe Assim na
ausecircncia de amostra e desde que a diferenccedila de caminho oacuteptico ou retardaccedilatildeo
(δ) seja zero os feixes iratildeo interferir construtivamente [13]
Com a amostra colocada no caminho do feixe-amostra os feixes vatildeo chegar ao
detetor em diferentes situaccedilotildees de fase sendo possiacutevel determinar a diferenccedila de
fase provocada pela presenccedila da amostra
A intensidade do feixe (I) em ambos os detetores eacute descrita por [14]
I(δ) =12I(k)cos(2Nkδ) (38)
Com k o nuacutemero de onda (k = 2πλ) E fazendo δ = d com d = vt resulta
I(δ) =12I(k)cos(2Nk(vt)) (39)
323 Interferoacutemetro de Michelson
No interferoacutemetro do tipo Michelson um feixe de luz eacute dividido em dois que
percorrem caminhos diferentes para de seguida se recombinarem Apoacutes terem
percorrido caminhos diferentes o feixe resultante da recombinaccedilatildeo pode apresen-
tar um padratildeo de interferecircncia que depende da diferenccedila de caminhos oacutepticos
entre os feixes e que pode ser medido num detetor
A forma mais simples de implementar um interferoacutemetro de Michelson con-
siste em dois espelhos colocados entre si num plano perpendicular em que um
deles se pode mover na direccedilatildeo perpendicular agrave sua superfiacutecie refletora conforme
ilustrado na Fig35
Esse espelho iraacute movimentar-se num espaccedilo definido a uma velocidade cons-
tante Entre o espelho fixo e o espelho moacutevel estaacute um separador de feixe que
divide o feixe incidente inicial em dois de igual intensidade Aqui o feixe eacute parci-
almente refletido para um espelho e parcialmente transmitido para o outro
20
32 MEacuteTODOS POR INTERFEROMETRIA
Figura 35 Esquema de funcionamento de um interferoacutemetro de Michelson cominterferecircncia construtiva (a) e destrutiva (b) (adaptado de [15])
Assumindo que o separador de feixe eacute ideal e com uma reflectacircncia e transmi-
tacircncia de 50 se o espelho moacutevel se encontrar estacionaacuterio pode determinar-se
a intensidade do feixe num dado ponto do detetor Se a diferenccedila do caminho
oacuteptico ou retardaccedilatildeo (δ) for zero ou seja os espelhos estatildeo igualmente espaccedilados
do separador de feixe estes vatildeo percorrer a mesma distacircncia e interferir construti-
vamente pelo que a intensidade do feixe final eacute a soma das intensidades dos dois
feixes Nestas condiccedilotildees toda a luz que sai da fonte chega ao detetor
No caso do espelho moacutevel se deslocar uma distacircncia de λ4 a retardaccedilatildeo total
seraacute de λ2 pelo que os feixes estaratildeo desfasadas de 180ordm (π) Nestas condiccedilotildees ter-
se-aacute interferecircncia destrutiva completa na recombinaccedilatildeo dos feixes dando origem
agrave extinccedilatildeo total
Voltando a deslocar o espelho moacutevel de mais λ4 a diferenccedila do caminho
oacuteptico seraacute igual a λ e os dois feixes voltam a estar em fase havendo novamente
uma sobreposiccedilatildeo construtiva dos feixes
Com o espelho moacutevel a deslocar-se a uma velocidade constante o sinal do de-
tetor iraacute variar com uma forma perioacutedica sendo que atinge o seu maacuteximo quando
a retardaccedilatildeo (δ) for um muacuteltiplo inteiro de λ δ =Nλ
A expressatildeo da intensidade do feixe (I) no detector para o caso do interferoacute-
metro de Michelson eacute semelhante agrave equaccedilatildeo 38 para o interferoacutemetro de Mach-
Zehnder sendo que neste caso δ = 2d com d = vt jaacute que o feixe atravessa a
amostra duas vezes Nestas condiccedilotildees ter-se-aacute
I(δ) =12I(k)cos(4Nk(vt)) (310)
21
CAPIacuteTULO 3 MEDICcedilAtildeO DO EFEITO ELECTROOacutePTICO
22
Capiacutetulo
4Sistema Implementado
Este capiacutetulo descreve o sistema implementado para a mediccedilatildeo do coeficiente
electrooacuteptico usando a teacutecnica de interferoacutemetria de Michelson bem como a cali-
braccedilatildeo do mesmo
41 Interferoacutemetro
O sistema escolhido para a mediccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico baseia-se na teacutec-
nica de interferometria de Michelson (ver secccedilatildeo 323) onde se mediu a diferenccedila
de fase entre os ramos do interferoacutemetro Esta teacutecnica foi escolhida pela elevada
sensibilidade agrave diferenccedila de fase gerada entre os ramos do interferoacutemetro facili-
dade de preparaccedilatildeo das amostras e por ser menos sensiacutevel a vibraccedilotildees mecacircnicas
e a flutuaccedilotildees teacutermicas desde que estas ocorram com a mesma intensidade em
ambos os ramos do interferoacutemetro Para aleacutem das vantagens mencionadas e espe-
cificamente em comparaccedilatildeo com o interferoacutemetro mais usado o interferoacutemetro
do tipo Mach-Zehnder o interferoacutemetro de Michelson tem uma maior facilidade
de alinhamento dos espelhos e usa apenas um separador de feixe
A figura 41 esquematiza o sistema baseado no interferoacutemetro de Michelson
desenvolvido para a mediccedilatildeo do coeficiente eletrooacuteptico
23
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Figura 41 Esquematizaccedilatildeo do interferoacutemetro de Michelson e instrumentaccedilatildeoutilizada para a mediccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico em cristais
Como se pode ver no esquema da figura 41 o ramo do espelho vibrante fica
vazio enquanto que no ramo do espelho fixo se encontra a amostra entre dois
eleacutectrodos onde se aplicam um campo eleacutectrico E O sinal medido no detector
resulta da interferecircncia entre os feixes provenientes de cada ramo do interferoacute-
mentro dependendo da diferenccedila de fase entre os dois feixes Conforme referido
anteriormente a intensidade da luz (I) que chega ao detector eacute da ordem de [16]
I prop E21 +E2
2 + 2E1E2cos(∆φ) (41)
42 Electroacutenica Desenvolvida
421 Amplificador
Para o efeito electrooacuteptico se manisfestar eacute necessaacuterio aplicar-se uma tensatildeo eleacutec-
trica ao meio Uma vez que a tensatildeo de referecircncia fornecida pelo amplificador
lock-in utilizado eacute muito baixa para induzir efeito electrooacuteptico significativo por
volta dos 12V foi necessaacuterio construir um amplificador de tensatildeo (Fig 42)
24
42 ELECTROacuteNICA DESENVOLVIDA
Figura 42 Esquemaacutetico do amplificador de tensatildeo utilizado com base no ampli-ficador operacional LF356n
O amplificador construiacutedo conforme ilustra a figura 42 consiste numa mon-
tagem inversora de ganho variaacutevel com uma malha de controlo de offset e eacute
alimentado a plusmn12V
Assim o ganho G eacute determinado atraveacutes de
G = 1 +R2R1
(42)
Sendo R1 = 11kΩ R2 = 5kΩ R3 = 25kΩ e o amplificador em si utilizado foi
o LF356n
Obtendo-se desta forma um ganho de aproximadamente 55 Permitindo apli-
car uma tensatildeo de cerca de 66V ao cristal electrooacuteptico Uma vez que a tensatildeo
aplicada eacute baixa pode-se desprezar o efeito piezoeleacutectrico gerado na amostra e
que iria influenciar o valor do coeficiente electrooacuteptico medido
422 Gerador de Rampa
Para alimentar o excitador piezoeleacutectrico do espelho moacutevel foi utilizado um ge-
rador de sinais (Fig 43) de forma a induzir um deslocamento linear perioacutedico
na forma de rampa A frequecircncia de oscilaccedilatildeo cerca de 25Hz foi escolhida de
25
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
forma a ser suficientemente baixa para evitar fenoacutemenos de batimento com o sinal
de modulaccedilatildeo electrooacuteptico e suficientemente alta para que se consiga adquirir
dados em tempo uacutetil com uma tensatildeo variaacutevel entre os 4 e os 8V
Figura 43 Esquema eleacutectrico do gerador de rampa implementado baseado nocircuito temporizador NE555
Sendo R1 = 20kΩ R2 = 1kΩ e C1 = C2 = 47microF
O tempo de subida da rampa t1 eacute dado por
t1 = 0693(R1 +R2)C1 (43)
Enquanto que o tempo de descida t2 eacute
t2 = 0693R2C1 (44)
Obtendo assim um tempo de subida de 036s e um tempo de descida de 0033s
Assim a frequecircncia do gerador de rampa f seraacute dada por
f =1
t1 + t2=
144(R1 + 2R2)C1
(45)
O gerador de rampa foi construiacutedo aproveitando o espaccedilo livre no interior da
unidade de amplificaccedilatildeo onde se situa o amplificador
26
42 ELECTROacuteNICA DESENVOLVIDA
423 Seguidor de Tensatildeo
Devido agrave necessidade de acoplamento de impedacircncias entre o amplificador lock-
in e o osciloacutescopio natildeo foi possiacutevel a utilizaccedilatildeo de um repartidor coaxial que
repartisse o sinal proveniente do detector Assim de forma a se poder visuali-
zar o sinal proveniente do detector em simultacircneo com o sinal electrooacuteptico foi
necessaacuterio a construccedilatildeo de um seguidor de tensatildeo (Fig44)
Figura 44 Esquema do seguidor de tensatildeo utilizado construida com base nosamplifacores operacionais LF356n
Sendo que ambos os circuitos integrados foram alimentados por uma tensatildeo
positiva (V+) de 12V e uma negativa (Vminus) de minus12V Com R1 = R2 = 25kΩ Agrave
semelhanccedila do amplificador foi tambeacutem construida uma malha de controlo de
offset
Agrave semelhanccedila do gerador de rampa tambeacutem foi construido na unidade de
amplificaccedilatildeo e gerador de rampa como se pode ver na figura 45
27
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Figura 45 Imagem da unidade de amplificaccedilatildeo e geraccedilatildeo de rampa implemen-tada
43 Sistema Oacuteptico Desenvolvido
431 Espelho Vibrante
O espelho vibrante (Fig46) foi construiacutedo afixando um espelho a um disco pie-
zoeleacutectrico A vibraccedilatildeo do espelho iraacute fazer com que a distacircncia entre o divisor
de feixe e o espelho varie Fazendo deslocar a franja de interferecircncia em frente ao
detector permitindo a este medir as intensidades maacuteximas e miacutenimas das franjas
de interferecircncia (ver secccedilatildeo 323)
Figura 46 Imagem do espelho vibrante utilizado
28
43 SISTEMA OacutePTICO DESENVOLVIDO
432 Bancada Oacuteptica
De forma a colocar os componentes ao niacutevel do feixe do laser na mesa oacuteptica e a
tornar o sistema menos sensiacutevel a vibraccedilotildees mecacircnicas e flutuaccedilotildees teacutermicas os
componentes foram colocadas numa base quadrada de alumiacutenio
Figura 47 Imagem da bancada oacuteptica onde o interferoacutemetro de Michelson foiconstruiacutedo
Conforme se pode ver na figura 47 para completar o interferoacutemetro de Michel-
son para aleacutem dos componentes jaacute referidos foram ainda utilizados um separador
de feixe e um espelho (fixo) no suporte com uma lente oacuteptica agrave saiacuteda do mesmo
Faltando ainda o laser utilizado da Melles Griotreg que possui uma potecircncia de
635mW e um comprimento de onda de 6328nm
433 Detector
O detector utilizado foi um modelo 818-UVDB da Newport Corporationreg (Fig
48) de baixa potecircncia consistindo num fotodiacuteodo de siliacutecio capaz de operar entre
os 200 e os 1100nm As caracteriacutesticas principais deste detector encontram-se
listadas na tabela 433
29
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Tabela 41 Caracteriacutesticas principais do detector 818-UVDB [17]
Largura de Banda 200 a 1100(nm) Material Siliacutecio
Potecircncia
W λ(nm)
Incerteza de
λ(nm)
02 200 a 4008 200 a 219
Maacutexima Calibraccedilatildeo 2 220 a 349
005 400 a 11001 350 a 9494 950 a 1050
Densidade de02Wcm2 Aacuterea Activa 1cm2
Potecircncia Meacutedia
Energia Maacutexima05microJ
Diacircmetro113cm
de Pulso Activo
De forma a evitar que a luz ambiente interferisse nas medidas e para aumen-
tar a resoluccedilatildeo de mediccedilatildeo do perfil da franja de interferecircncia foi colocado um
diafragma com uma abertura no centro de 06mm conforme se pode ver na figura
48 reduzido desta maneira a aacuterea activa para 028 mm2
Figura 48 Imagem do detector e disco utilizado
Para a aquisiccedilatildeo do sinal electrooacuteptico e geraccedilatildeo de sinal electrooacuteptico de
referecircncia foi utilizado um osciloscoacutepio Lecroy Wavesufertrade422
30
43 SISTEMA OacutePTICO DESENVOLVIDO
434 Cristal Electrooacuteptico
Para a calibraccedilatildeo do sistema foi utilizado um cristal padratildeo de dihidrogenofosfato
de potaacutessio (KDP) Na tabela 42 pode-se observar algumas das propriedades
fiacutesicas desse cristal
Tabela 42 Propriedades fiacutesicas do cristal padratildeo KDP [18]
Material Simetria Densidade Classe Higroscopicidade
KDP Tetragonal (42m) 234gcm3 Uniaxial Higroscoacutepico
Uma vez que o cristal eacute uniaxial nx = ny = no e nz = ne sendo no e ne os
iacutendices de refraccedilatildeo ordinaacuterio e extraordinaacuterio do cristal KDP A figura 49 ilustra
o elipsoiacutede de iacutendices num cristal padratildeo KDP
Figura 49 Ilustraccedilatildeo de um cristal padratildeo KDP e seu respectivo elipsoiacutede deiacutendices
31
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Na Tabela 43 pode-se observar algumas das propriedades oacutepticas do cristal
padratildeo KDP
Tabela 43 Propriedades oacutepticas do cristal padratildeo KDP a 6328nm [7]
Material Foacutermula Quiacutemica Iacutendice de RefracccedilatildeoCoeficiente
Electrooacuteptico
KDPKH2PO4
no=15074 r41=86 pmV(λ = 6328nm) ne=14673 r63=106 pmV
Como se pode ver na tabela 42 o cristal do tipo KDP eacute higroscoacutepico sendo
assim necessaacuterio reduzir ao maacuteximo o contacto entre o cristal e a atmosfera para
evitar que as suas faces fiquem opacas interferindo assim na qualidade do feixe
transmitido
435 Porta Amostras
O porta amostras eacute constituiacutedo por uma base feita de latatildeo (Fig 410) onde se
coloca o cristal nivelado com o feixe laser Este suporte possui oito roscas para
parafusos M3 quatro em cima de forma a se fixar os encaixes laterais do porta
amostras e quatro em baixo de forma a afixar-se firmemente na bancada oacuteptica
Figura 410 Imagem da base do porta-amostras desenvolvido
32
43 SISTEMA OacutePTICO DESENVOLVIDO
De forma a aplicar-se a tensatildeo de excitaccedilatildeo ao cristal sem bloquear o feixe do
laser foram utilizadas duas placas de vidro com oacutexido de estanho dopado com
fluacuteor (FTO) Este permite que haja uma boa transparecircncia e conduccedilatildeo eleacutetrica
sendo usado em vaacuterios tipos de dispositivos como aplicaccedilotildees opto-eletroacutenicas
ecratildes touch screen filmes finos fotovoltaicos etc O oacutexido de estanho dopado
com fluacuteor [19] eacute reconhecido por ser altamente estaacutevel quimicamente inerte re-
siste a temperaturas elevadas e ao desgaste abrasivo sendo mais econoacutemico do
que o tradicional oacutexido de iacutendio e estanho (ITO)
De forma a garantir um bom contacto eleacutectrico entre o vidro FTO e o cristal
foram construidas duas peccedilas de afixaccedilatildeo idecircnticas (Fig 411) Trata-se de duas
peccedilas de alumiacutenio cada uma contendo uma abertura de forma a deixar passar
o feixe laser e dois rasgos para parafusos de forma a poder-se fixar no suporte e
desta maneira exercer uma pressatildeo constante sobre o cristal
Figura 411 Imagem das peccedilas de fixaccedilatildeo do cristal desenvolvidas com a vista defrente (a) e a vista de traacutes (b)
A ligaccedilatildeo eleacutectrica entre o sinal de referecircncia proveniente do amplificador ao
vidro FTO foi feita atraveacutes de uma cola condutora de prata de forma a assegurar
a ligaccedilatildeo oacutehmica entre o fio de cobre e a camada de FTO O cristal fica assim entre
duas placas de vidro FTO(Fig412)
33
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Figura 412 Imagem do porta Amostras desenvolvido
A figura 413 ilustra o sistema desenvolvido incluindo a bancada oacuteptica e
instrumentaccedilatildeo
Figura 413 Imagem do sistema desenvolvido para a mediccedilatildeo do efeito electrooacutep-tico
34
44 COEFICIENTE ELECTROOacutePTICO
44 Coeficiente Electrooacuteptico
Para o cristal utilizado o dihidrogenofosfato de potaacutessio (KDP) e para o efeito
electrooacuteptico linear a matriz de coeficientes electrooacutepticos eacute a seguinte
rij =
0 0 0
0 0 0
0 0 0
r41 0 0
0 r52 0
0 0 r63
com
i = 1 6
j = 123
Sendo que r41 = r52 pelo que existem apenas dois coeficientes independentes
o r41 e o r63
Usando a notaccedilatildeo condensada mencionada da secccedilatildeo 21 onde se aplica o
campo eleacutectrico (E) no plano do i (sendo i = m) enquanto que j eacute o eixo oacuteptico
Para o caso do KDP eacute costume utilizar o r63 Isto eacute aplicar o campo eleacutectrico nos
planos 12 ou 21 (ou seja i = 6) com o eixo oacuteptico no eixo 3 (j = 3) como demonstra
a figura 414
Figura 414 Ilustraccedilatildeo da configuraccedilatildeo utilizada para a mediccedilatildeo do coeficienter63 num cristal
35
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Para o caso do efeito electrooacuteptico quadraacutetico a matriz dos coeficientes elec-
trooacutepticos seraacute
sij =
s11 s12 s12 0 0 0
s12 s11 s12 0 0 0
s12 s12 s11 0 0 0
0 0 0 s11 minus s12 0 0
0 0 0 0 s11 minus s12 0
0 0 0 0 0 s11 minus s12
com i j = 1 6
45 Execuccedilatildeo Experimental
Para se medir o coeficiente electrooacuteptico aplica-se ao cristal uma tensatildeo com uma
frequecircncia de 2kHz frequecircncia essa que se revelou menos sensiacutevel aos ruiacutedos
ambientes sendo que o sinal electrooacuteptico teraacute a mesma frequecircncia Podendo-
se desta maneira atraveacutes de um amplificador de lock-in (modelo 393 da IthacoDynatrac) filtrar o sinal electrooacuteptico dos restantes sinais uma vez que a sua
frequecircncia eacute conhecida
A intensidade da equaccedilatildeo 41 eacute maacutexima quando cos(∆φ) = 1 e miacutenima quando
cos(∆φ) = minus1 Pelo que subtraindo estas duas equaccedilotildees
Imax minus Imin = 4E1E2 (46)
Assim combinando a equaccedilatildeo 41 com a equaccedilatildeo 46 obtem-se
I prop E21E
22 +
12
(Imax minus Imin)cos(∆φ) (47)
Juntando agora a equaccedilatildeo 246 agrave equaccedilatildeo 247 e tendo em conta que o feixe
passa duas vezes por cada ramo (=2l) a diferenccedila de fase para o efeito electrooacutep-
tico linear
∆φ = ∆φ0 +πrn3
oVoλ
2lh
cos(Ωt) (48)
Sendo ∆φ0 a diferenccedila de fase inicial sem o efeito electrooacuteptico
36
45 EXECUCcedilAtildeO EXPERIMENTAL
Substituindo o ∆φ da equaccedilatildeo 48 na equaccedilatildeo 47 a intensidade do sinal com
modulaccedilatildeo electrooacuteptica(Iseo) seraacute dado por
Iseo prop E21 +E2
2 +12
(Imax minus Imin)cos(∆φ0 +
πrn3oVoλ
2lh
cos(Ωt))
(49)
Usando cos(α plusmn β) = cos(α)cos(β)∓ sen(α) sen(β) e D = πrn3oVoλ
2lh fica-se com
Iseo prop E21 +E2
2+12
(Imax minus Imin)
[cos(∆φ0)cos(Dcos(Ωt)) minus sen(∆φ0) sen(D cos(Ωt))](410)
Como a modulaccedilatildeo electrooacuteptica eacute um efeito muito pequeno a equaccedilatildeo 410
pode-se escrever
Iseo asymp E21 +E2
2 +12
(Imax minus Imin) [cos(∆φ0)minusD cos(Ωt) sen(∆φ0)] (411)
Considerando soacute os termos de primeira ordem
Iseo asymp12
(Imax minus Imin) [cos(∆φ0)minusD cos(Ωt) sen(∆φ0)] (412)
A componente do sinal electrooacuteptico eacute entatildeo dado por
Iseo =12
(Imax minus Imin)D cos(Ωt) sen(∆φ0) (413)
Ou seja
Iseo =12
(Imax minus Imin)πrn3
oVoλ
2lh
cos(Ωt) sen(∆φ0) (414)
O acircngulo ∆φ0 varia linearmente com o tempo (t) a uma frequecircncia inferior
a Ω A franja de interferecircncia desloca-se continuamente em frente ao detector
devido a um dos espelho estar fixado num disco piezoeleacutectrico
37
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Na figura 415 pode-se ver uma exemplificaccedilatildeo do sinal no detector que incor-
pora o sinal da franja e electrooacuteptico dada pela equaccedilatildeo 414
Figura 415 Ilustraccedilatildeo do sinal de modulaccedilatildeo electrooacuteptica de um feixe de luzmedido num interferoacutemetro de Michelson
Uma vez que o sinal electrooacuteptico (cos(Ωt)) estaacute desfasado π2 do sinal da
franja ( sen(∆φ0)) A intensidade do sinal electrooacuteptico pode ser escrita como
Iseo asymp12
(Imax minus Imin)πrn3
oVoλ
2lh
∣∣∣ sen(∆φ0)∣∣∣ (415)
Assim a amplitude do sinal electrooacuteptico eacute
Iseo =12
(Imax minus Imin)πrn3
oVoλ
2lh
(416)
Pelo que o coeficiente electrooacuteptico linear seraacute dado por
r =|Iseo|
|Imax minus Imin|λ
πn3oVo
hl
(417)
38
46 RESULTADOS
Para o efeito electrooacuteptico quadraacutetico utilizando o procedimento anoacutelogo mas
a partir da equaccedilatildeo 248 em vez da equaccedilatildeo 247 O sinal electrooacuteptico quadraacutetico
Iseoq que ocorre ao dobro da frequecircncia de modulaccedilatildeo 2Ω eacute dado por
s =
∣∣∣Iseoq∣∣∣|Imax minus Imin|
2λ
πn3oV
2o
h2
l(418)
46 Resultados
Com o cristal de KDP devidamente alinhado no interferoacutemetro segundo o seu
eixo oacuteptico de maneira a se medir o coeficiente r63 Obtendo-se assim dois sinais
o sinal de franja e o sinal electrooacuteptico (Fig 416)
Figura 416 Padratildeo da franja produzida (a) e respectivos sinais de franja e elec-trooacuteptico obtidos para um cristal KDP padratildeo
De forma a se proceder a calibraccedilatildeo do sistema utilizou-se a equaccedilatildeo 417 na
forma
|Iseo||Imax minus Imin|
=πn3
o
λlhrVo (419)
39
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Usando o valor da razatildeo |Iseo ||ImaxminusImin|
em funccedilatildeo do potencial aplicado Vo pode-se
calcular o valor do coeficiente electrooacuteptico r atraveacutes do declive da recta obtida
Pode-se ver na figura 417 uma das rectas obtidas para o cristal utilizado na
calibraccedilatildeo do sistema
Figura 417 Razatildeo entre o sinal electrooacuteptico e a diferenccedila de intensidade defranjas em funccedilatildeo do potencial Vo aplicado ao cristal
A tabela 44 apresenta o valor do coeficiente electrooacuteptico obtido e respectiva
incerteza para o cristal de KDP tomando em conta os valores dos iacutendices de
refraccedilatildeo da tabela 43
Tabela 44 Valores e respectivas incertezas obtidas do coeficiente electrooacutepticopara o cristal KDP utilizado
Material Valor Padratildeo Valor Obtido Erro
KDPr63 = 106pmV r63 = 105plusmn 02pmV 1
(λ = 6328nm)
Como se pode ver na tabela 44 o resultado obtido situa-se muito proacuteximo
do teoacuterico encontrando-se dentro da incerteza obtida Os valores valores meacutedios
apresentam um desvio da ordem dos 02pmV
40
46 RESULTADOS
Apesar dos valores obtidos serem bastante positivos houve algumas dificul-
dades nomeadamente o vidro FTO que causou que o alinhamento fosse extrema-
mente complicado natildeo soacute pela sua espessura e dimensionamento como tambeacutem
pela refraccedilatildeo provocada no feixe laser Outro grande obstaacuteculo foi o alinhamento
do cristal uma vez que basta um ligeiro desvio no caminho oacuteptico para causar um
desalinhamento total algo que eacute agravado no interferoacutemetro do tipo Michelson
pelo facto de o feixe laser passar na amostra duas vezes
Apesar destas dificuldades o valor obtido para o coeficiente electrooacuteptico r63
foi de 105pmV valor esse muito proacuteximo do valor padratildeo da literatura que se
encontra nos 106pmV Assim pode-se considerar que o sistema desenvolvido
se encontra devidamente calibrado e pronto para futuras utilizaccedilotildees
41
Capiacutetulo
5Conclusotildees
O trabalho desenvolvido no decorrer desta dissertaccedilatildeo consistiu no desenvolvi-
mento de um sistema para a mediccedilatildeo do efeito electrooacuteptico aacuterea a ser ulilizada
na caracterizaccedilatildeo de novos materiais polimeacutericos para aplicaccedilatildeo em dispositivos
fotoacutenicos
Nesta conformidade foi desenhada construiacuteda e testado uma bancada oacuteptica
destinada agrave mediccedilatildeo do efeito electrooacuteptico baseado numa teacutecnica interferomeacute-
trica de mediccedilatildeo da diferenccedila de fase implementado atraveacutes de um interferoacutemetro
do tipo Michelson
O cristal escolhido para a calibraccedilatildeo do sistema desenvolvido foi um cristal de
KDP comercial tendo sido utilizado o coeficiente electrooacuteptico r63 como referecircn-
cia sendo o valor padratildeo de 106pmV
O sistema obtido permitiu medir um valor nominal de 105plusmn 02pmV com
um erro de aproximadamente 1 em relaccedilatildeo ao valor tabelado comprovando a
afericcedilatildeo do sistema para a mediccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico por transmissatildeo
O sistema desenvolvido estaacute portanto apto para futuras mediccedilotildees sendo ape-
nas necessaacuterio algumas alteraccedilotildees no porta-amostras mediante as dimensotildees e
forma da amostra a utilizar
Chegou-se ainda agrave conclusatildeo que para amostras como o cristal utilizado o
feixe laser passar duas vezes na amostra acaba por ser uma grande desvantagem
desvantagem essa inexistente para filmes polimeacutericos que ganham cada vez mais
importacircncia na aacuterea da fotoacutenica uma vez que satildeo materiais de grande interesse
cientiacutefico e tecnoloacutegico jaacute que podem ser utilizados no desenvolvimento de dispo-
sitivos oacutepticos nomeadamente moduladores de luz e memoacuterias oacutepticas
43
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46
Apecircndice
AApecircndice
A1 Desenhos Teacutecnicos
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- Lista de Figuras
- Lista de Tabelas
- Introduccedilatildeo
- Efeito Electrooacuteptico
-
- Oacuteptica Natildeo-Linear
- Propagaccedilatildeo em Meios Anisotroacutepicos
-
- Vector de Poynting
- Elipsoiacutede dos Iacutendices
- Coeficientes Natildeo-Lineares
-
- Mediccedilatildeo do Efeito Electrooacuteptico
-
- Meacutetodo Tradicional
- Meacutetodos por Interferometria
-
- Interferometria Oacuteptica
- Interferoacutemetro de Mach-Zehnder
- Interferoacutemetro de Michelson
-
- Sistema Implementado
-
- Interferoacutemetro
- Electroacutenica Desenvolvida
-
- Amplificador
- Gerador de Rampa
- Seguidor de Tensatildeo
-
- Sistema Oacuteptico Desenvolvido
-
- Espelho Vibrante
- Bancada Oacuteptica
- Detector
- Cristal Electrooacuteptico
- Porta Amostras
-
- Coeficiente Electrooacuteptico
- Execuccedilatildeo Experimental
- Resultados
-
- Conclusotildees
- Bibliografia
- Apecircndice
-
- Desenhos Teacutecnicos
-
CAPIacuteTULO 3 MEDICcedilAtildeO DO EFEITO ELECTROOacutePTICO
as duas ondas A coerecircncia eacute usualmente medida num padratildeo de franjas de in-
terferecircncia atraveacutes da visibilidade de franja (ν) que pode ser experimentalmente
calculada atraveacutes de [10]
ν =Imax minus IminImax + Imin
= 1 coerecircncia total e contraste maacuteximo
0 lt ν lt 1 coerecircncia parcial
= 0 incoerecircncia total e contraste natildeo haacute franjas
(37)
Pode-se ver na Fig33 um exemplo da equaccedilatildeo 37 que representa a visibi-
lidade das franjas em funccedilatildeo da diferenccedila de fase entre duas ondas da mesma
frequecircncia que interferem Como a visibilidade das franjas depende da coerecircncia
das duas ondas qualquer diferenccedila iraacute traduzir-se numa diminuiccedilatildeo de visibili-
dade
Figura 33 Visibilidade num interferoacutemetro em funccedilatildeo da diferenccedila de fase entreduas ondas provenientes de ramos diferentes do interferoacutemetro (adaptado de[11])
Pode-se usar a interferometria para quantificar os efeitos electrooacutepticos natildeo
soacute linear mas tambeacutem o quadraacutetico (efeito de Kerr) Os interferoacutemetros mais
frequentemente utilizados para este efeito satildeo os interferoacutemetro de Michelson1 e1Albert Abraham Michelson foi um fiacutesico americano conhecido pela invenccedilatildeo do interferoacuteme-
tro de Michelson (1891) do seu trabalho na mediccedilatildeo da velocidade da luz e pelo seu trabalho naexperiecircncia de Michelson-Morley Em 1907 tornou-se o primeiro americano a receber o PreacutemioNobel da Fiacutesica
18
32 MEacuteTODOS POR INTERFEROMETRIA
o interferoacutemetro de Mach-Zehnder2
De salientar que as teacutecnicas interferomeacutetricas apresentam uma elevada sensibi-
lidade simplificaccedilatildeo na preparaccedilatildeo das amostras a estudar e uma menor sensibili-
dade a vibraccedilotildees mecacircnicas e a flutuaccedilotildees teacutermicas desde que estas ocorram com
a mesma intensidade em ambos os ramos do mesmo tamanho do interferoacutemetro
322 Interferoacutemetro de Mach-Zehnder
No interferoacutemetro de Mach-Zehnder (Fig 34) um separador de feixe divide o
feixe proveniente da fonte em dois feixes que vatildeo constituir os dois ramos do
interferoacutemetro o feixe-amostra e o feixe-referecircncia Ambos satildeo refletidos por um
espelho e ambos atravessam um novo separador de feixe antes de se juntarem de
novo e serem medidos nos detetores
Figura 34 Esquema de um interferoacutemetro de Mach-Zehnder (adaptado de [12])
Com os ramos agrave mesma distacircncia pode ainda observar-se que sem amostra
ambos os feixes vatildeo chegar em fase aos detetores havendo desta forma uma inter-
ferecircncia construtiva Ambos apresentaratildeo uma mudanccedila de fase correspondente
a λ devido ao facto de ambos sofrerem duas reflexotildees e uma transmissatildeo numa
placa de vidro(separador de feixe) ateacute chegarem aos detetores2Ludwig Zehnder foi um fiacutesico suiacuteccedilo e o inventor do interferoacutemetro de Mach-Zehnder Inter-
feroacutemetro esse depois aperfeiccediloado por Ludwig Mach
19
CAPIacuteTULO 3 MEDICcedilAtildeO DO EFEITO ELECTROOacutePTICO
Alterando o caminho oacuteptico do espelho do feixe-referecircncia em λ4 sem amos-
tra o feixe-amostra e o feixe-referecircncia vatildeo chegar com uma diferenccedila de fase de
λ2 ou seja vai haver uma interferecircncia destrutiva completa Isto porque o feixe-
referecircncia vai ter uma mudanccedila de fase de λ2 devido a uma reflexatildeo e duas trans-
missotildees provocadas pelos separadores de feixe Enquanto que o feixe-amostra
chegaraacute aos detetores com uma diferenccedila de fase de λ devido a duas reflexotildees
mais uma reflexatildeo com transmissatildeo no segundo separador de feixe Assim na
ausecircncia de amostra e desde que a diferenccedila de caminho oacuteptico ou retardaccedilatildeo
(δ) seja zero os feixes iratildeo interferir construtivamente [13]
Com a amostra colocada no caminho do feixe-amostra os feixes vatildeo chegar ao
detetor em diferentes situaccedilotildees de fase sendo possiacutevel determinar a diferenccedila de
fase provocada pela presenccedila da amostra
A intensidade do feixe (I) em ambos os detetores eacute descrita por [14]
I(δ) =12I(k)cos(2Nkδ) (38)
Com k o nuacutemero de onda (k = 2πλ) E fazendo δ = d com d = vt resulta
I(δ) =12I(k)cos(2Nk(vt)) (39)
323 Interferoacutemetro de Michelson
No interferoacutemetro do tipo Michelson um feixe de luz eacute dividido em dois que
percorrem caminhos diferentes para de seguida se recombinarem Apoacutes terem
percorrido caminhos diferentes o feixe resultante da recombinaccedilatildeo pode apresen-
tar um padratildeo de interferecircncia que depende da diferenccedila de caminhos oacutepticos
entre os feixes e que pode ser medido num detetor
A forma mais simples de implementar um interferoacutemetro de Michelson con-
siste em dois espelhos colocados entre si num plano perpendicular em que um
deles se pode mover na direccedilatildeo perpendicular agrave sua superfiacutecie refletora conforme
ilustrado na Fig35
Esse espelho iraacute movimentar-se num espaccedilo definido a uma velocidade cons-
tante Entre o espelho fixo e o espelho moacutevel estaacute um separador de feixe que
divide o feixe incidente inicial em dois de igual intensidade Aqui o feixe eacute parci-
almente refletido para um espelho e parcialmente transmitido para o outro
20
32 MEacuteTODOS POR INTERFEROMETRIA
Figura 35 Esquema de funcionamento de um interferoacutemetro de Michelson cominterferecircncia construtiva (a) e destrutiva (b) (adaptado de [15])
Assumindo que o separador de feixe eacute ideal e com uma reflectacircncia e transmi-
tacircncia de 50 se o espelho moacutevel se encontrar estacionaacuterio pode determinar-se
a intensidade do feixe num dado ponto do detetor Se a diferenccedila do caminho
oacuteptico ou retardaccedilatildeo (δ) for zero ou seja os espelhos estatildeo igualmente espaccedilados
do separador de feixe estes vatildeo percorrer a mesma distacircncia e interferir construti-
vamente pelo que a intensidade do feixe final eacute a soma das intensidades dos dois
feixes Nestas condiccedilotildees toda a luz que sai da fonte chega ao detetor
No caso do espelho moacutevel se deslocar uma distacircncia de λ4 a retardaccedilatildeo total
seraacute de λ2 pelo que os feixes estaratildeo desfasadas de 180ordm (π) Nestas condiccedilotildees ter-
se-aacute interferecircncia destrutiva completa na recombinaccedilatildeo dos feixes dando origem
agrave extinccedilatildeo total
Voltando a deslocar o espelho moacutevel de mais λ4 a diferenccedila do caminho
oacuteptico seraacute igual a λ e os dois feixes voltam a estar em fase havendo novamente
uma sobreposiccedilatildeo construtiva dos feixes
Com o espelho moacutevel a deslocar-se a uma velocidade constante o sinal do de-
tetor iraacute variar com uma forma perioacutedica sendo que atinge o seu maacuteximo quando
a retardaccedilatildeo (δ) for um muacuteltiplo inteiro de λ δ =Nλ
A expressatildeo da intensidade do feixe (I) no detector para o caso do interferoacute-
metro de Michelson eacute semelhante agrave equaccedilatildeo 38 para o interferoacutemetro de Mach-
Zehnder sendo que neste caso δ = 2d com d = vt jaacute que o feixe atravessa a
amostra duas vezes Nestas condiccedilotildees ter-se-aacute
I(δ) =12I(k)cos(4Nk(vt)) (310)
21
CAPIacuteTULO 3 MEDICcedilAtildeO DO EFEITO ELECTROOacutePTICO
22
Capiacutetulo
4Sistema Implementado
Este capiacutetulo descreve o sistema implementado para a mediccedilatildeo do coeficiente
electrooacuteptico usando a teacutecnica de interferoacutemetria de Michelson bem como a cali-
braccedilatildeo do mesmo
41 Interferoacutemetro
O sistema escolhido para a mediccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico baseia-se na teacutec-
nica de interferometria de Michelson (ver secccedilatildeo 323) onde se mediu a diferenccedila
de fase entre os ramos do interferoacutemetro Esta teacutecnica foi escolhida pela elevada
sensibilidade agrave diferenccedila de fase gerada entre os ramos do interferoacutemetro facili-
dade de preparaccedilatildeo das amostras e por ser menos sensiacutevel a vibraccedilotildees mecacircnicas
e a flutuaccedilotildees teacutermicas desde que estas ocorram com a mesma intensidade em
ambos os ramos do interferoacutemetro Para aleacutem das vantagens mencionadas e espe-
cificamente em comparaccedilatildeo com o interferoacutemetro mais usado o interferoacutemetro
do tipo Mach-Zehnder o interferoacutemetro de Michelson tem uma maior facilidade
de alinhamento dos espelhos e usa apenas um separador de feixe
A figura 41 esquematiza o sistema baseado no interferoacutemetro de Michelson
desenvolvido para a mediccedilatildeo do coeficiente eletrooacuteptico
23
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Figura 41 Esquematizaccedilatildeo do interferoacutemetro de Michelson e instrumentaccedilatildeoutilizada para a mediccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico em cristais
Como se pode ver no esquema da figura 41 o ramo do espelho vibrante fica
vazio enquanto que no ramo do espelho fixo se encontra a amostra entre dois
eleacutectrodos onde se aplicam um campo eleacutectrico E O sinal medido no detector
resulta da interferecircncia entre os feixes provenientes de cada ramo do interferoacute-
mentro dependendo da diferenccedila de fase entre os dois feixes Conforme referido
anteriormente a intensidade da luz (I) que chega ao detector eacute da ordem de [16]
I prop E21 +E2
2 + 2E1E2cos(∆φ) (41)
42 Electroacutenica Desenvolvida
421 Amplificador
Para o efeito electrooacuteptico se manisfestar eacute necessaacuterio aplicar-se uma tensatildeo eleacutec-
trica ao meio Uma vez que a tensatildeo de referecircncia fornecida pelo amplificador
lock-in utilizado eacute muito baixa para induzir efeito electrooacuteptico significativo por
volta dos 12V foi necessaacuterio construir um amplificador de tensatildeo (Fig 42)
24
42 ELECTROacuteNICA DESENVOLVIDA
Figura 42 Esquemaacutetico do amplificador de tensatildeo utilizado com base no ampli-ficador operacional LF356n
O amplificador construiacutedo conforme ilustra a figura 42 consiste numa mon-
tagem inversora de ganho variaacutevel com uma malha de controlo de offset e eacute
alimentado a plusmn12V
Assim o ganho G eacute determinado atraveacutes de
G = 1 +R2R1
(42)
Sendo R1 = 11kΩ R2 = 5kΩ R3 = 25kΩ e o amplificador em si utilizado foi
o LF356n
Obtendo-se desta forma um ganho de aproximadamente 55 Permitindo apli-
car uma tensatildeo de cerca de 66V ao cristal electrooacuteptico Uma vez que a tensatildeo
aplicada eacute baixa pode-se desprezar o efeito piezoeleacutectrico gerado na amostra e
que iria influenciar o valor do coeficiente electrooacuteptico medido
422 Gerador de Rampa
Para alimentar o excitador piezoeleacutectrico do espelho moacutevel foi utilizado um ge-
rador de sinais (Fig 43) de forma a induzir um deslocamento linear perioacutedico
na forma de rampa A frequecircncia de oscilaccedilatildeo cerca de 25Hz foi escolhida de
25
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
forma a ser suficientemente baixa para evitar fenoacutemenos de batimento com o sinal
de modulaccedilatildeo electrooacuteptico e suficientemente alta para que se consiga adquirir
dados em tempo uacutetil com uma tensatildeo variaacutevel entre os 4 e os 8V
Figura 43 Esquema eleacutectrico do gerador de rampa implementado baseado nocircuito temporizador NE555
Sendo R1 = 20kΩ R2 = 1kΩ e C1 = C2 = 47microF
O tempo de subida da rampa t1 eacute dado por
t1 = 0693(R1 +R2)C1 (43)
Enquanto que o tempo de descida t2 eacute
t2 = 0693R2C1 (44)
Obtendo assim um tempo de subida de 036s e um tempo de descida de 0033s
Assim a frequecircncia do gerador de rampa f seraacute dada por
f =1
t1 + t2=
144(R1 + 2R2)C1
(45)
O gerador de rampa foi construiacutedo aproveitando o espaccedilo livre no interior da
unidade de amplificaccedilatildeo onde se situa o amplificador
26
42 ELECTROacuteNICA DESENVOLVIDA
423 Seguidor de Tensatildeo
Devido agrave necessidade de acoplamento de impedacircncias entre o amplificador lock-
in e o osciloacutescopio natildeo foi possiacutevel a utilizaccedilatildeo de um repartidor coaxial que
repartisse o sinal proveniente do detector Assim de forma a se poder visuali-
zar o sinal proveniente do detector em simultacircneo com o sinal electrooacuteptico foi
necessaacuterio a construccedilatildeo de um seguidor de tensatildeo (Fig44)
Figura 44 Esquema do seguidor de tensatildeo utilizado construida com base nosamplifacores operacionais LF356n
Sendo que ambos os circuitos integrados foram alimentados por uma tensatildeo
positiva (V+) de 12V e uma negativa (Vminus) de minus12V Com R1 = R2 = 25kΩ Agrave
semelhanccedila do amplificador foi tambeacutem construida uma malha de controlo de
offset
Agrave semelhanccedila do gerador de rampa tambeacutem foi construido na unidade de
amplificaccedilatildeo e gerador de rampa como se pode ver na figura 45
27
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Figura 45 Imagem da unidade de amplificaccedilatildeo e geraccedilatildeo de rampa implemen-tada
43 Sistema Oacuteptico Desenvolvido
431 Espelho Vibrante
O espelho vibrante (Fig46) foi construiacutedo afixando um espelho a um disco pie-
zoeleacutectrico A vibraccedilatildeo do espelho iraacute fazer com que a distacircncia entre o divisor
de feixe e o espelho varie Fazendo deslocar a franja de interferecircncia em frente ao
detector permitindo a este medir as intensidades maacuteximas e miacutenimas das franjas
de interferecircncia (ver secccedilatildeo 323)
Figura 46 Imagem do espelho vibrante utilizado
28
43 SISTEMA OacutePTICO DESENVOLVIDO
432 Bancada Oacuteptica
De forma a colocar os componentes ao niacutevel do feixe do laser na mesa oacuteptica e a
tornar o sistema menos sensiacutevel a vibraccedilotildees mecacircnicas e flutuaccedilotildees teacutermicas os
componentes foram colocadas numa base quadrada de alumiacutenio
Figura 47 Imagem da bancada oacuteptica onde o interferoacutemetro de Michelson foiconstruiacutedo
Conforme se pode ver na figura 47 para completar o interferoacutemetro de Michel-
son para aleacutem dos componentes jaacute referidos foram ainda utilizados um separador
de feixe e um espelho (fixo) no suporte com uma lente oacuteptica agrave saiacuteda do mesmo
Faltando ainda o laser utilizado da Melles Griotreg que possui uma potecircncia de
635mW e um comprimento de onda de 6328nm
433 Detector
O detector utilizado foi um modelo 818-UVDB da Newport Corporationreg (Fig
48) de baixa potecircncia consistindo num fotodiacuteodo de siliacutecio capaz de operar entre
os 200 e os 1100nm As caracteriacutesticas principais deste detector encontram-se
listadas na tabela 433
29
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Tabela 41 Caracteriacutesticas principais do detector 818-UVDB [17]
Largura de Banda 200 a 1100(nm) Material Siliacutecio
Potecircncia
W λ(nm)
Incerteza de
λ(nm)
02 200 a 4008 200 a 219
Maacutexima Calibraccedilatildeo 2 220 a 349
005 400 a 11001 350 a 9494 950 a 1050
Densidade de02Wcm2 Aacuterea Activa 1cm2
Potecircncia Meacutedia
Energia Maacutexima05microJ
Diacircmetro113cm
de Pulso Activo
De forma a evitar que a luz ambiente interferisse nas medidas e para aumen-
tar a resoluccedilatildeo de mediccedilatildeo do perfil da franja de interferecircncia foi colocado um
diafragma com uma abertura no centro de 06mm conforme se pode ver na figura
48 reduzido desta maneira a aacuterea activa para 028 mm2
Figura 48 Imagem do detector e disco utilizado
Para a aquisiccedilatildeo do sinal electrooacuteptico e geraccedilatildeo de sinal electrooacuteptico de
referecircncia foi utilizado um osciloscoacutepio Lecroy Wavesufertrade422
30
43 SISTEMA OacutePTICO DESENVOLVIDO
434 Cristal Electrooacuteptico
Para a calibraccedilatildeo do sistema foi utilizado um cristal padratildeo de dihidrogenofosfato
de potaacutessio (KDP) Na tabela 42 pode-se observar algumas das propriedades
fiacutesicas desse cristal
Tabela 42 Propriedades fiacutesicas do cristal padratildeo KDP [18]
Material Simetria Densidade Classe Higroscopicidade
KDP Tetragonal (42m) 234gcm3 Uniaxial Higroscoacutepico
Uma vez que o cristal eacute uniaxial nx = ny = no e nz = ne sendo no e ne os
iacutendices de refraccedilatildeo ordinaacuterio e extraordinaacuterio do cristal KDP A figura 49 ilustra
o elipsoiacutede de iacutendices num cristal padratildeo KDP
Figura 49 Ilustraccedilatildeo de um cristal padratildeo KDP e seu respectivo elipsoiacutede deiacutendices
31
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Na Tabela 43 pode-se observar algumas das propriedades oacutepticas do cristal
padratildeo KDP
Tabela 43 Propriedades oacutepticas do cristal padratildeo KDP a 6328nm [7]
Material Foacutermula Quiacutemica Iacutendice de RefracccedilatildeoCoeficiente
Electrooacuteptico
KDPKH2PO4
no=15074 r41=86 pmV(λ = 6328nm) ne=14673 r63=106 pmV
Como se pode ver na tabela 42 o cristal do tipo KDP eacute higroscoacutepico sendo
assim necessaacuterio reduzir ao maacuteximo o contacto entre o cristal e a atmosfera para
evitar que as suas faces fiquem opacas interferindo assim na qualidade do feixe
transmitido
435 Porta Amostras
O porta amostras eacute constituiacutedo por uma base feita de latatildeo (Fig 410) onde se
coloca o cristal nivelado com o feixe laser Este suporte possui oito roscas para
parafusos M3 quatro em cima de forma a se fixar os encaixes laterais do porta
amostras e quatro em baixo de forma a afixar-se firmemente na bancada oacuteptica
Figura 410 Imagem da base do porta-amostras desenvolvido
32
43 SISTEMA OacutePTICO DESENVOLVIDO
De forma a aplicar-se a tensatildeo de excitaccedilatildeo ao cristal sem bloquear o feixe do
laser foram utilizadas duas placas de vidro com oacutexido de estanho dopado com
fluacuteor (FTO) Este permite que haja uma boa transparecircncia e conduccedilatildeo eleacutetrica
sendo usado em vaacuterios tipos de dispositivos como aplicaccedilotildees opto-eletroacutenicas
ecratildes touch screen filmes finos fotovoltaicos etc O oacutexido de estanho dopado
com fluacuteor [19] eacute reconhecido por ser altamente estaacutevel quimicamente inerte re-
siste a temperaturas elevadas e ao desgaste abrasivo sendo mais econoacutemico do
que o tradicional oacutexido de iacutendio e estanho (ITO)
De forma a garantir um bom contacto eleacutectrico entre o vidro FTO e o cristal
foram construidas duas peccedilas de afixaccedilatildeo idecircnticas (Fig 411) Trata-se de duas
peccedilas de alumiacutenio cada uma contendo uma abertura de forma a deixar passar
o feixe laser e dois rasgos para parafusos de forma a poder-se fixar no suporte e
desta maneira exercer uma pressatildeo constante sobre o cristal
Figura 411 Imagem das peccedilas de fixaccedilatildeo do cristal desenvolvidas com a vista defrente (a) e a vista de traacutes (b)
A ligaccedilatildeo eleacutectrica entre o sinal de referecircncia proveniente do amplificador ao
vidro FTO foi feita atraveacutes de uma cola condutora de prata de forma a assegurar
a ligaccedilatildeo oacutehmica entre o fio de cobre e a camada de FTO O cristal fica assim entre
duas placas de vidro FTO(Fig412)
33
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Figura 412 Imagem do porta Amostras desenvolvido
A figura 413 ilustra o sistema desenvolvido incluindo a bancada oacuteptica e
instrumentaccedilatildeo
Figura 413 Imagem do sistema desenvolvido para a mediccedilatildeo do efeito electrooacutep-tico
34
44 COEFICIENTE ELECTROOacutePTICO
44 Coeficiente Electrooacuteptico
Para o cristal utilizado o dihidrogenofosfato de potaacutessio (KDP) e para o efeito
electrooacuteptico linear a matriz de coeficientes electrooacutepticos eacute a seguinte
rij =
0 0 0
0 0 0
0 0 0
r41 0 0
0 r52 0
0 0 r63
com
i = 1 6
j = 123
Sendo que r41 = r52 pelo que existem apenas dois coeficientes independentes
o r41 e o r63
Usando a notaccedilatildeo condensada mencionada da secccedilatildeo 21 onde se aplica o
campo eleacutectrico (E) no plano do i (sendo i = m) enquanto que j eacute o eixo oacuteptico
Para o caso do KDP eacute costume utilizar o r63 Isto eacute aplicar o campo eleacutectrico nos
planos 12 ou 21 (ou seja i = 6) com o eixo oacuteptico no eixo 3 (j = 3) como demonstra
a figura 414
Figura 414 Ilustraccedilatildeo da configuraccedilatildeo utilizada para a mediccedilatildeo do coeficienter63 num cristal
35
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Para o caso do efeito electrooacuteptico quadraacutetico a matriz dos coeficientes elec-
trooacutepticos seraacute
sij =
s11 s12 s12 0 0 0
s12 s11 s12 0 0 0
s12 s12 s11 0 0 0
0 0 0 s11 minus s12 0 0
0 0 0 0 s11 minus s12 0
0 0 0 0 0 s11 minus s12
com i j = 1 6
45 Execuccedilatildeo Experimental
Para se medir o coeficiente electrooacuteptico aplica-se ao cristal uma tensatildeo com uma
frequecircncia de 2kHz frequecircncia essa que se revelou menos sensiacutevel aos ruiacutedos
ambientes sendo que o sinal electrooacuteptico teraacute a mesma frequecircncia Podendo-
se desta maneira atraveacutes de um amplificador de lock-in (modelo 393 da IthacoDynatrac) filtrar o sinal electrooacuteptico dos restantes sinais uma vez que a sua
frequecircncia eacute conhecida
A intensidade da equaccedilatildeo 41 eacute maacutexima quando cos(∆φ) = 1 e miacutenima quando
cos(∆φ) = minus1 Pelo que subtraindo estas duas equaccedilotildees
Imax minus Imin = 4E1E2 (46)
Assim combinando a equaccedilatildeo 41 com a equaccedilatildeo 46 obtem-se
I prop E21E
22 +
12
(Imax minus Imin)cos(∆φ) (47)
Juntando agora a equaccedilatildeo 246 agrave equaccedilatildeo 247 e tendo em conta que o feixe
passa duas vezes por cada ramo (=2l) a diferenccedila de fase para o efeito electrooacutep-
tico linear
∆φ = ∆φ0 +πrn3
oVoλ
2lh
cos(Ωt) (48)
Sendo ∆φ0 a diferenccedila de fase inicial sem o efeito electrooacuteptico
36
45 EXECUCcedilAtildeO EXPERIMENTAL
Substituindo o ∆φ da equaccedilatildeo 48 na equaccedilatildeo 47 a intensidade do sinal com
modulaccedilatildeo electrooacuteptica(Iseo) seraacute dado por
Iseo prop E21 +E2
2 +12
(Imax minus Imin)cos(∆φ0 +
πrn3oVoλ
2lh
cos(Ωt))
(49)
Usando cos(α plusmn β) = cos(α)cos(β)∓ sen(α) sen(β) e D = πrn3oVoλ
2lh fica-se com
Iseo prop E21 +E2
2+12
(Imax minus Imin)
[cos(∆φ0)cos(Dcos(Ωt)) minus sen(∆φ0) sen(D cos(Ωt))](410)
Como a modulaccedilatildeo electrooacuteptica eacute um efeito muito pequeno a equaccedilatildeo 410
pode-se escrever
Iseo asymp E21 +E2
2 +12
(Imax minus Imin) [cos(∆φ0)minusD cos(Ωt) sen(∆φ0)] (411)
Considerando soacute os termos de primeira ordem
Iseo asymp12
(Imax minus Imin) [cos(∆φ0)minusD cos(Ωt) sen(∆φ0)] (412)
A componente do sinal electrooacuteptico eacute entatildeo dado por
Iseo =12
(Imax minus Imin)D cos(Ωt) sen(∆φ0) (413)
Ou seja
Iseo =12
(Imax minus Imin)πrn3
oVoλ
2lh
cos(Ωt) sen(∆φ0) (414)
O acircngulo ∆φ0 varia linearmente com o tempo (t) a uma frequecircncia inferior
a Ω A franja de interferecircncia desloca-se continuamente em frente ao detector
devido a um dos espelho estar fixado num disco piezoeleacutectrico
37
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Na figura 415 pode-se ver uma exemplificaccedilatildeo do sinal no detector que incor-
pora o sinal da franja e electrooacuteptico dada pela equaccedilatildeo 414
Figura 415 Ilustraccedilatildeo do sinal de modulaccedilatildeo electrooacuteptica de um feixe de luzmedido num interferoacutemetro de Michelson
Uma vez que o sinal electrooacuteptico (cos(Ωt)) estaacute desfasado π2 do sinal da
franja ( sen(∆φ0)) A intensidade do sinal electrooacuteptico pode ser escrita como
Iseo asymp12
(Imax minus Imin)πrn3
oVoλ
2lh
∣∣∣ sen(∆φ0)∣∣∣ (415)
Assim a amplitude do sinal electrooacuteptico eacute
Iseo =12
(Imax minus Imin)πrn3
oVoλ
2lh
(416)
Pelo que o coeficiente electrooacuteptico linear seraacute dado por
r =|Iseo|
|Imax minus Imin|λ
πn3oVo
hl
(417)
38
46 RESULTADOS
Para o efeito electrooacuteptico quadraacutetico utilizando o procedimento anoacutelogo mas
a partir da equaccedilatildeo 248 em vez da equaccedilatildeo 247 O sinal electrooacuteptico quadraacutetico
Iseoq que ocorre ao dobro da frequecircncia de modulaccedilatildeo 2Ω eacute dado por
s =
∣∣∣Iseoq∣∣∣|Imax minus Imin|
2λ
πn3oV
2o
h2
l(418)
46 Resultados
Com o cristal de KDP devidamente alinhado no interferoacutemetro segundo o seu
eixo oacuteptico de maneira a se medir o coeficiente r63 Obtendo-se assim dois sinais
o sinal de franja e o sinal electrooacuteptico (Fig 416)
Figura 416 Padratildeo da franja produzida (a) e respectivos sinais de franja e elec-trooacuteptico obtidos para um cristal KDP padratildeo
De forma a se proceder a calibraccedilatildeo do sistema utilizou-se a equaccedilatildeo 417 na
forma
|Iseo||Imax minus Imin|
=πn3
o
λlhrVo (419)
39
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Usando o valor da razatildeo |Iseo ||ImaxminusImin|
em funccedilatildeo do potencial aplicado Vo pode-se
calcular o valor do coeficiente electrooacuteptico r atraveacutes do declive da recta obtida
Pode-se ver na figura 417 uma das rectas obtidas para o cristal utilizado na
calibraccedilatildeo do sistema
Figura 417 Razatildeo entre o sinal electrooacuteptico e a diferenccedila de intensidade defranjas em funccedilatildeo do potencial Vo aplicado ao cristal
A tabela 44 apresenta o valor do coeficiente electrooacuteptico obtido e respectiva
incerteza para o cristal de KDP tomando em conta os valores dos iacutendices de
refraccedilatildeo da tabela 43
Tabela 44 Valores e respectivas incertezas obtidas do coeficiente electrooacutepticopara o cristal KDP utilizado
Material Valor Padratildeo Valor Obtido Erro
KDPr63 = 106pmV r63 = 105plusmn 02pmV 1
(λ = 6328nm)
Como se pode ver na tabela 44 o resultado obtido situa-se muito proacuteximo
do teoacuterico encontrando-se dentro da incerteza obtida Os valores valores meacutedios
apresentam um desvio da ordem dos 02pmV
40
46 RESULTADOS
Apesar dos valores obtidos serem bastante positivos houve algumas dificul-
dades nomeadamente o vidro FTO que causou que o alinhamento fosse extrema-
mente complicado natildeo soacute pela sua espessura e dimensionamento como tambeacutem
pela refraccedilatildeo provocada no feixe laser Outro grande obstaacuteculo foi o alinhamento
do cristal uma vez que basta um ligeiro desvio no caminho oacuteptico para causar um
desalinhamento total algo que eacute agravado no interferoacutemetro do tipo Michelson
pelo facto de o feixe laser passar na amostra duas vezes
Apesar destas dificuldades o valor obtido para o coeficiente electrooacuteptico r63
foi de 105pmV valor esse muito proacuteximo do valor padratildeo da literatura que se
encontra nos 106pmV Assim pode-se considerar que o sistema desenvolvido
se encontra devidamente calibrado e pronto para futuras utilizaccedilotildees
41
Capiacutetulo
5Conclusotildees
O trabalho desenvolvido no decorrer desta dissertaccedilatildeo consistiu no desenvolvi-
mento de um sistema para a mediccedilatildeo do efeito electrooacuteptico aacuterea a ser ulilizada
na caracterizaccedilatildeo de novos materiais polimeacutericos para aplicaccedilatildeo em dispositivos
fotoacutenicos
Nesta conformidade foi desenhada construiacuteda e testado uma bancada oacuteptica
destinada agrave mediccedilatildeo do efeito electrooacuteptico baseado numa teacutecnica interferomeacute-
trica de mediccedilatildeo da diferenccedila de fase implementado atraveacutes de um interferoacutemetro
do tipo Michelson
O cristal escolhido para a calibraccedilatildeo do sistema desenvolvido foi um cristal de
KDP comercial tendo sido utilizado o coeficiente electrooacuteptico r63 como referecircn-
cia sendo o valor padratildeo de 106pmV
O sistema obtido permitiu medir um valor nominal de 105plusmn 02pmV com
um erro de aproximadamente 1 em relaccedilatildeo ao valor tabelado comprovando a
afericcedilatildeo do sistema para a mediccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico por transmissatildeo
O sistema desenvolvido estaacute portanto apto para futuras mediccedilotildees sendo ape-
nas necessaacuterio algumas alteraccedilotildees no porta-amostras mediante as dimensotildees e
forma da amostra a utilizar
Chegou-se ainda agrave conclusatildeo que para amostras como o cristal utilizado o
feixe laser passar duas vezes na amostra acaba por ser uma grande desvantagem
desvantagem essa inexistente para filmes polimeacutericos que ganham cada vez mais
importacircncia na aacuterea da fotoacutenica uma vez que satildeo materiais de grande interesse
cientiacutefico e tecnoloacutegico jaacute que podem ser utilizados no desenvolvimento de dispo-
sitivos oacutepticos nomeadamente moduladores de luz e memoacuterias oacutepticas
43
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46
Apecircndice
AApecircndice
A1 Desenhos Teacutecnicos
47
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311
23
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01
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- Lista de Figuras
- Lista de Tabelas
- Introduccedilatildeo
- Efeito Electrooacuteptico
-
- Oacuteptica Natildeo-Linear
- Propagaccedilatildeo em Meios Anisotroacutepicos
-
- Vector de Poynting
- Elipsoiacutede dos Iacutendices
- Coeficientes Natildeo-Lineares
-
- Mediccedilatildeo do Efeito Electrooacuteptico
-
- Meacutetodo Tradicional
- Meacutetodos por Interferometria
-
- Interferometria Oacuteptica
- Interferoacutemetro de Mach-Zehnder
- Interferoacutemetro de Michelson
-
- Sistema Implementado
-
- Interferoacutemetro
- Electroacutenica Desenvolvida
-
- Amplificador
- Gerador de Rampa
- Seguidor de Tensatildeo
-
- Sistema Oacuteptico Desenvolvido
-
- Espelho Vibrante
- Bancada Oacuteptica
- Detector
- Cristal Electrooacuteptico
- Porta Amostras
-
- Coeficiente Electrooacuteptico
- Execuccedilatildeo Experimental
- Resultados
-
- Conclusotildees
- Bibliografia
- Apecircndice
-
- Desenhos Teacutecnicos
-
32 MEacuteTODOS POR INTERFEROMETRIA
o interferoacutemetro de Mach-Zehnder2
De salientar que as teacutecnicas interferomeacutetricas apresentam uma elevada sensibi-
lidade simplificaccedilatildeo na preparaccedilatildeo das amostras a estudar e uma menor sensibili-
dade a vibraccedilotildees mecacircnicas e a flutuaccedilotildees teacutermicas desde que estas ocorram com
a mesma intensidade em ambos os ramos do mesmo tamanho do interferoacutemetro
322 Interferoacutemetro de Mach-Zehnder
No interferoacutemetro de Mach-Zehnder (Fig 34) um separador de feixe divide o
feixe proveniente da fonte em dois feixes que vatildeo constituir os dois ramos do
interferoacutemetro o feixe-amostra e o feixe-referecircncia Ambos satildeo refletidos por um
espelho e ambos atravessam um novo separador de feixe antes de se juntarem de
novo e serem medidos nos detetores
Figura 34 Esquema de um interferoacutemetro de Mach-Zehnder (adaptado de [12])
Com os ramos agrave mesma distacircncia pode ainda observar-se que sem amostra
ambos os feixes vatildeo chegar em fase aos detetores havendo desta forma uma inter-
ferecircncia construtiva Ambos apresentaratildeo uma mudanccedila de fase correspondente
a λ devido ao facto de ambos sofrerem duas reflexotildees e uma transmissatildeo numa
placa de vidro(separador de feixe) ateacute chegarem aos detetores2Ludwig Zehnder foi um fiacutesico suiacuteccedilo e o inventor do interferoacutemetro de Mach-Zehnder Inter-
feroacutemetro esse depois aperfeiccediloado por Ludwig Mach
19
CAPIacuteTULO 3 MEDICcedilAtildeO DO EFEITO ELECTROOacutePTICO
Alterando o caminho oacuteptico do espelho do feixe-referecircncia em λ4 sem amos-
tra o feixe-amostra e o feixe-referecircncia vatildeo chegar com uma diferenccedila de fase de
λ2 ou seja vai haver uma interferecircncia destrutiva completa Isto porque o feixe-
referecircncia vai ter uma mudanccedila de fase de λ2 devido a uma reflexatildeo e duas trans-
missotildees provocadas pelos separadores de feixe Enquanto que o feixe-amostra
chegaraacute aos detetores com uma diferenccedila de fase de λ devido a duas reflexotildees
mais uma reflexatildeo com transmissatildeo no segundo separador de feixe Assim na
ausecircncia de amostra e desde que a diferenccedila de caminho oacuteptico ou retardaccedilatildeo
(δ) seja zero os feixes iratildeo interferir construtivamente [13]
Com a amostra colocada no caminho do feixe-amostra os feixes vatildeo chegar ao
detetor em diferentes situaccedilotildees de fase sendo possiacutevel determinar a diferenccedila de
fase provocada pela presenccedila da amostra
A intensidade do feixe (I) em ambos os detetores eacute descrita por [14]
I(δ) =12I(k)cos(2Nkδ) (38)
Com k o nuacutemero de onda (k = 2πλ) E fazendo δ = d com d = vt resulta
I(δ) =12I(k)cos(2Nk(vt)) (39)
323 Interferoacutemetro de Michelson
No interferoacutemetro do tipo Michelson um feixe de luz eacute dividido em dois que
percorrem caminhos diferentes para de seguida se recombinarem Apoacutes terem
percorrido caminhos diferentes o feixe resultante da recombinaccedilatildeo pode apresen-
tar um padratildeo de interferecircncia que depende da diferenccedila de caminhos oacutepticos
entre os feixes e que pode ser medido num detetor
A forma mais simples de implementar um interferoacutemetro de Michelson con-
siste em dois espelhos colocados entre si num plano perpendicular em que um
deles se pode mover na direccedilatildeo perpendicular agrave sua superfiacutecie refletora conforme
ilustrado na Fig35
Esse espelho iraacute movimentar-se num espaccedilo definido a uma velocidade cons-
tante Entre o espelho fixo e o espelho moacutevel estaacute um separador de feixe que
divide o feixe incidente inicial em dois de igual intensidade Aqui o feixe eacute parci-
almente refletido para um espelho e parcialmente transmitido para o outro
20
32 MEacuteTODOS POR INTERFEROMETRIA
Figura 35 Esquema de funcionamento de um interferoacutemetro de Michelson cominterferecircncia construtiva (a) e destrutiva (b) (adaptado de [15])
Assumindo que o separador de feixe eacute ideal e com uma reflectacircncia e transmi-
tacircncia de 50 se o espelho moacutevel se encontrar estacionaacuterio pode determinar-se
a intensidade do feixe num dado ponto do detetor Se a diferenccedila do caminho
oacuteptico ou retardaccedilatildeo (δ) for zero ou seja os espelhos estatildeo igualmente espaccedilados
do separador de feixe estes vatildeo percorrer a mesma distacircncia e interferir construti-
vamente pelo que a intensidade do feixe final eacute a soma das intensidades dos dois
feixes Nestas condiccedilotildees toda a luz que sai da fonte chega ao detetor
No caso do espelho moacutevel se deslocar uma distacircncia de λ4 a retardaccedilatildeo total
seraacute de λ2 pelo que os feixes estaratildeo desfasadas de 180ordm (π) Nestas condiccedilotildees ter-
se-aacute interferecircncia destrutiva completa na recombinaccedilatildeo dos feixes dando origem
agrave extinccedilatildeo total
Voltando a deslocar o espelho moacutevel de mais λ4 a diferenccedila do caminho
oacuteptico seraacute igual a λ e os dois feixes voltam a estar em fase havendo novamente
uma sobreposiccedilatildeo construtiva dos feixes
Com o espelho moacutevel a deslocar-se a uma velocidade constante o sinal do de-
tetor iraacute variar com uma forma perioacutedica sendo que atinge o seu maacuteximo quando
a retardaccedilatildeo (δ) for um muacuteltiplo inteiro de λ δ =Nλ
A expressatildeo da intensidade do feixe (I) no detector para o caso do interferoacute-
metro de Michelson eacute semelhante agrave equaccedilatildeo 38 para o interferoacutemetro de Mach-
Zehnder sendo que neste caso δ = 2d com d = vt jaacute que o feixe atravessa a
amostra duas vezes Nestas condiccedilotildees ter-se-aacute
I(δ) =12I(k)cos(4Nk(vt)) (310)
21
CAPIacuteTULO 3 MEDICcedilAtildeO DO EFEITO ELECTROOacutePTICO
22
Capiacutetulo
4Sistema Implementado
Este capiacutetulo descreve o sistema implementado para a mediccedilatildeo do coeficiente
electrooacuteptico usando a teacutecnica de interferoacutemetria de Michelson bem como a cali-
braccedilatildeo do mesmo
41 Interferoacutemetro
O sistema escolhido para a mediccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico baseia-se na teacutec-
nica de interferometria de Michelson (ver secccedilatildeo 323) onde se mediu a diferenccedila
de fase entre os ramos do interferoacutemetro Esta teacutecnica foi escolhida pela elevada
sensibilidade agrave diferenccedila de fase gerada entre os ramos do interferoacutemetro facili-
dade de preparaccedilatildeo das amostras e por ser menos sensiacutevel a vibraccedilotildees mecacircnicas
e a flutuaccedilotildees teacutermicas desde que estas ocorram com a mesma intensidade em
ambos os ramos do interferoacutemetro Para aleacutem das vantagens mencionadas e espe-
cificamente em comparaccedilatildeo com o interferoacutemetro mais usado o interferoacutemetro
do tipo Mach-Zehnder o interferoacutemetro de Michelson tem uma maior facilidade
de alinhamento dos espelhos e usa apenas um separador de feixe
A figura 41 esquematiza o sistema baseado no interferoacutemetro de Michelson
desenvolvido para a mediccedilatildeo do coeficiente eletrooacuteptico
23
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Figura 41 Esquematizaccedilatildeo do interferoacutemetro de Michelson e instrumentaccedilatildeoutilizada para a mediccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico em cristais
Como se pode ver no esquema da figura 41 o ramo do espelho vibrante fica
vazio enquanto que no ramo do espelho fixo se encontra a amostra entre dois
eleacutectrodos onde se aplicam um campo eleacutectrico E O sinal medido no detector
resulta da interferecircncia entre os feixes provenientes de cada ramo do interferoacute-
mentro dependendo da diferenccedila de fase entre os dois feixes Conforme referido
anteriormente a intensidade da luz (I) que chega ao detector eacute da ordem de [16]
I prop E21 +E2
2 + 2E1E2cos(∆φ) (41)
42 Electroacutenica Desenvolvida
421 Amplificador
Para o efeito electrooacuteptico se manisfestar eacute necessaacuterio aplicar-se uma tensatildeo eleacutec-
trica ao meio Uma vez que a tensatildeo de referecircncia fornecida pelo amplificador
lock-in utilizado eacute muito baixa para induzir efeito electrooacuteptico significativo por
volta dos 12V foi necessaacuterio construir um amplificador de tensatildeo (Fig 42)
24
42 ELECTROacuteNICA DESENVOLVIDA
Figura 42 Esquemaacutetico do amplificador de tensatildeo utilizado com base no ampli-ficador operacional LF356n
O amplificador construiacutedo conforme ilustra a figura 42 consiste numa mon-
tagem inversora de ganho variaacutevel com uma malha de controlo de offset e eacute
alimentado a plusmn12V
Assim o ganho G eacute determinado atraveacutes de
G = 1 +R2R1
(42)
Sendo R1 = 11kΩ R2 = 5kΩ R3 = 25kΩ e o amplificador em si utilizado foi
o LF356n
Obtendo-se desta forma um ganho de aproximadamente 55 Permitindo apli-
car uma tensatildeo de cerca de 66V ao cristal electrooacuteptico Uma vez que a tensatildeo
aplicada eacute baixa pode-se desprezar o efeito piezoeleacutectrico gerado na amostra e
que iria influenciar o valor do coeficiente electrooacuteptico medido
422 Gerador de Rampa
Para alimentar o excitador piezoeleacutectrico do espelho moacutevel foi utilizado um ge-
rador de sinais (Fig 43) de forma a induzir um deslocamento linear perioacutedico
na forma de rampa A frequecircncia de oscilaccedilatildeo cerca de 25Hz foi escolhida de
25
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
forma a ser suficientemente baixa para evitar fenoacutemenos de batimento com o sinal
de modulaccedilatildeo electrooacuteptico e suficientemente alta para que se consiga adquirir
dados em tempo uacutetil com uma tensatildeo variaacutevel entre os 4 e os 8V
Figura 43 Esquema eleacutectrico do gerador de rampa implementado baseado nocircuito temporizador NE555
Sendo R1 = 20kΩ R2 = 1kΩ e C1 = C2 = 47microF
O tempo de subida da rampa t1 eacute dado por
t1 = 0693(R1 +R2)C1 (43)
Enquanto que o tempo de descida t2 eacute
t2 = 0693R2C1 (44)
Obtendo assim um tempo de subida de 036s e um tempo de descida de 0033s
Assim a frequecircncia do gerador de rampa f seraacute dada por
f =1
t1 + t2=
144(R1 + 2R2)C1
(45)
O gerador de rampa foi construiacutedo aproveitando o espaccedilo livre no interior da
unidade de amplificaccedilatildeo onde se situa o amplificador
26
42 ELECTROacuteNICA DESENVOLVIDA
423 Seguidor de Tensatildeo
Devido agrave necessidade de acoplamento de impedacircncias entre o amplificador lock-
in e o osciloacutescopio natildeo foi possiacutevel a utilizaccedilatildeo de um repartidor coaxial que
repartisse o sinal proveniente do detector Assim de forma a se poder visuali-
zar o sinal proveniente do detector em simultacircneo com o sinal electrooacuteptico foi
necessaacuterio a construccedilatildeo de um seguidor de tensatildeo (Fig44)
Figura 44 Esquema do seguidor de tensatildeo utilizado construida com base nosamplifacores operacionais LF356n
Sendo que ambos os circuitos integrados foram alimentados por uma tensatildeo
positiva (V+) de 12V e uma negativa (Vminus) de minus12V Com R1 = R2 = 25kΩ Agrave
semelhanccedila do amplificador foi tambeacutem construida uma malha de controlo de
offset
Agrave semelhanccedila do gerador de rampa tambeacutem foi construido na unidade de
amplificaccedilatildeo e gerador de rampa como se pode ver na figura 45
27
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Figura 45 Imagem da unidade de amplificaccedilatildeo e geraccedilatildeo de rampa implemen-tada
43 Sistema Oacuteptico Desenvolvido
431 Espelho Vibrante
O espelho vibrante (Fig46) foi construiacutedo afixando um espelho a um disco pie-
zoeleacutectrico A vibraccedilatildeo do espelho iraacute fazer com que a distacircncia entre o divisor
de feixe e o espelho varie Fazendo deslocar a franja de interferecircncia em frente ao
detector permitindo a este medir as intensidades maacuteximas e miacutenimas das franjas
de interferecircncia (ver secccedilatildeo 323)
Figura 46 Imagem do espelho vibrante utilizado
28
43 SISTEMA OacutePTICO DESENVOLVIDO
432 Bancada Oacuteptica
De forma a colocar os componentes ao niacutevel do feixe do laser na mesa oacuteptica e a
tornar o sistema menos sensiacutevel a vibraccedilotildees mecacircnicas e flutuaccedilotildees teacutermicas os
componentes foram colocadas numa base quadrada de alumiacutenio
Figura 47 Imagem da bancada oacuteptica onde o interferoacutemetro de Michelson foiconstruiacutedo
Conforme se pode ver na figura 47 para completar o interferoacutemetro de Michel-
son para aleacutem dos componentes jaacute referidos foram ainda utilizados um separador
de feixe e um espelho (fixo) no suporte com uma lente oacuteptica agrave saiacuteda do mesmo
Faltando ainda o laser utilizado da Melles Griotreg que possui uma potecircncia de
635mW e um comprimento de onda de 6328nm
433 Detector
O detector utilizado foi um modelo 818-UVDB da Newport Corporationreg (Fig
48) de baixa potecircncia consistindo num fotodiacuteodo de siliacutecio capaz de operar entre
os 200 e os 1100nm As caracteriacutesticas principais deste detector encontram-se
listadas na tabela 433
29
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Tabela 41 Caracteriacutesticas principais do detector 818-UVDB [17]
Largura de Banda 200 a 1100(nm) Material Siliacutecio
Potecircncia
W λ(nm)
Incerteza de
λ(nm)
02 200 a 4008 200 a 219
Maacutexima Calibraccedilatildeo 2 220 a 349
005 400 a 11001 350 a 9494 950 a 1050
Densidade de02Wcm2 Aacuterea Activa 1cm2
Potecircncia Meacutedia
Energia Maacutexima05microJ
Diacircmetro113cm
de Pulso Activo
De forma a evitar que a luz ambiente interferisse nas medidas e para aumen-
tar a resoluccedilatildeo de mediccedilatildeo do perfil da franja de interferecircncia foi colocado um
diafragma com uma abertura no centro de 06mm conforme se pode ver na figura
48 reduzido desta maneira a aacuterea activa para 028 mm2
Figura 48 Imagem do detector e disco utilizado
Para a aquisiccedilatildeo do sinal electrooacuteptico e geraccedilatildeo de sinal electrooacuteptico de
referecircncia foi utilizado um osciloscoacutepio Lecroy Wavesufertrade422
30
43 SISTEMA OacutePTICO DESENVOLVIDO
434 Cristal Electrooacuteptico
Para a calibraccedilatildeo do sistema foi utilizado um cristal padratildeo de dihidrogenofosfato
de potaacutessio (KDP) Na tabela 42 pode-se observar algumas das propriedades
fiacutesicas desse cristal
Tabela 42 Propriedades fiacutesicas do cristal padratildeo KDP [18]
Material Simetria Densidade Classe Higroscopicidade
KDP Tetragonal (42m) 234gcm3 Uniaxial Higroscoacutepico
Uma vez que o cristal eacute uniaxial nx = ny = no e nz = ne sendo no e ne os
iacutendices de refraccedilatildeo ordinaacuterio e extraordinaacuterio do cristal KDP A figura 49 ilustra
o elipsoiacutede de iacutendices num cristal padratildeo KDP
Figura 49 Ilustraccedilatildeo de um cristal padratildeo KDP e seu respectivo elipsoiacutede deiacutendices
31
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Na Tabela 43 pode-se observar algumas das propriedades oacutepticas do cristal
padratildeo KDP
Tabela 43 Propriedades oacutepticas do cristal padratildeo KDP a 6328nm [7]
Material Foacutermula Quiacutemica Iacutendice de RefracccedilatildeoCoeficiente
Electrooacuteptico
KDPKH2PO4
no=15074 r41=86 pmV(λ = 6328nm) ne=14673 r63=106 pmV
Como se pode ver na tabela 42 o cristal do tipo KDP eacute higroscoacutepico sendo
assim necessaacuterio reduzir ao maacuteximo o contacto entre o cristal e a atmosfera para
evitar que as suas faces fiquem opacas interferindo assim na qualidade do feixe
transmitido
435 Porta Amostras
O porta amostras eacute constituiacutedo por uma base feita de latatildeo (Fig 410) onde se
coloca o cristal nivelado com o feixe laser Este suporte possui oito roscas para
parafusos M3 quatro em cima de forma a se fixar os encaixes laterais do porta
amostras e quatro em baixo de forma a afixar-se firmemente na bancada oacuteptica
Figura 410 Imagem da base do porta-amostras desenvolvido
32
43 SISTEMA OacutePTICO DESENVOLVIDO
De forma a aplicar-se a tensatildeo de excitaccedilatildeo ao cristal sem bloquear o feixe do
laser foram utilizadas duas placas de vidro com oacutexido de estanho dopado com
fluacuteor (FTO) Este permite que haja uma boa transparecircncia e conduccedilatildeo eleacutetrica
sendo usado em vaacuterios tipos de dispositivos como aplicaccedilotildees opto-eletroacutenicas
ecratildes touch screen filmes finos fotovoltaicos etc O oacutexido de estanho dopado
com fluacuteor [19] eacute reconhecido por ser altamente estaacutevel quimicamente inerte re-
siste a temperaturas elevadas e ao desgaste abrasivo sendo mais econoacutemico do
que o tradicional oacutexido de iacutendio e estanho (ITO)
De forma a garantir um bom contacto eleacutectrico entre o vidro FTO e o cristal
foram construidas duas peccedilas de afixaccedilatildeo idecircnticas (Fig 411) Trata-se de duas
peccedilas de alumiacutenio cada uma contendo uma abertura de forma a deixar passar
o feixe laser e dois rasgos para parafusos de forma a poder-se fixar no suporte e
desta maneira exercer uma pressatildeo constante sobre o cristal
Figura 411 Imagem das peccedilas de fixaccedilatildeo do cristal desenvolvidas com a vista defrente (a) e a vista de traacutes (b)
A ligaccedilatildeo eleacutectrica entre o sinal de referecircncia proveniente do amplificador ao
vidro FTO foi feita atraveacutes de uma cola condutora de prata de forma a assegurar
a ligaccedilatildeo oacutehmica entre o fio de cobre e a camada de FTO O cristal fica assim entre
duas placas de vidro FTO(Fig412)
33
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Figura 412 Imagem do porta Amostras desenvolvido
A figura 413 ilustra o sistema desenvolvido incluindo a bancada oacuteptica e
instrumentaccedilatildeo
Figura 413 Imagem do sistema desenvolvido para a mediccedilatildeo do efeito electrooacutep-tico
34
44 COEFICIENTE ELECTROOacutePTICO
44 Coeficiente Electrooacuteptico
Para o cristal utilizado o dihidrogenofosfato de potaacutessio (KDP) e para o efeito
electrooacuteptico linear a matriz de coeficientes electrooacutepticos eacute a seguinte
rij =
0 0 0
0 0 0
0 0 0
r41 0 0
0 r52 0
0 0 r63
com
i = 1 6
j = 123
Sendo que r41 = r52 pelo que existem apenas dois coeficientes independentes
o r41 e o r63
Usando a notaccedilatildeo condensada mencionada da secccedilatildeo 21 onde se aplica o
campo eleacutectrico (E) no plano do i (sendo i = m) enquanto que j eacute o eixo oacuteptico
Para o caso do KDP eacute costume utilizar o r63 Isto eacute aplicar o campo eleacutectrico nos
planos 12 ou 21 (ou seja i = 6) com o eixo oacuteptico no eixo 3 (j = 3) como demonstra
a figura 414
Figura 414 Ilustraccedilatildeo da configuraccedilatildeo utilizada para a mediccedilatildeo do coeficienter63 num cristal
35
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Para o caso do efeito electrooacuteptico quadraacutetico a matriz dos coeficientes elec-
trooacutepticos seraacute
sij =
s11 s12 s12 0 0 0
s12 s11 s12 0 0 0
s12 s12 s11 0 0 0
0 0 0 s11 minus s12 0 0
0 0 0 0 s11 minus s12 0
0 0 0 0 0 s11 minus s12
com i j = 1 6
45 Execuccedilatildeo Experimental
Para se medir o coeficiente electrooacuteptico aplica-se ao cristal uma tensatildeo com uma
frequecircncia de 2kHz frequecircncia essa que se revelou menos sensiacutevel aos ruiacutedos
ambientes sendo que o sinal electrooacuteptico teraacute a mesma frequecircncia Podendo-
se desta maneira atraveacutes de um amplificador de lock-in (modelo 393 da IthacoDynatrac) filtrar o sinal electrooacuteptico dos restantes sinais uma vez que a sua
frequecircncia eacute conhecida
A intensidade da equaccedilatildeo 41 eacute maacutexima quando cos(∆φ) = 1 e miacutenima quando
cos(∆φ) = minus1 Pelo que subtraindo estas duas equaccedilotildees
Imax minus Imin = 4E1E2 (46)
Assim combinando a equaccedilatildeo 41 com a equaccedilatildeo 46 obtem-se
I prop E21E
22 +
12
(Imax minus Imin)cos(∆φ) (47)
Juntando agora a equaccedilatildeo 246 agrave equaccedilatildeo 247 e tendo em conta que o feixe
passa duas vezes por cada ramo (=2l) a diferenccedila de fase para o efeito electrooacutep-
tico linear
∆φ = ∆φ0 +πrn3
oVoλ
2lh
cos(Ωt) (48)
Sendo ∆φ0 a diferenccedila de fase inicial sem o efeito electrooacuteptico
36
45 EXECUCcedilAtildeO EXPERIMENTAL
Substituindo o ∆φ da equaccedilatildeo 48 na equaccedilatildeo 47 a intensidade do sinal com
modulaccedilatildeo electrooacuteptica(Iseo) seraacute dado por
Iseo prop E21 +E2
2 +12
(Imax minus Imin)cos(∆φ0 +
πrn3oVoλ
2lh
cos(Ωt))
(49)
Usando cos(α plusmn β) = cos(α)cos(β)∓ sen(α) sen(β) e D = πrn3oVoλ
2lh fica-se com
Iseo prop E21 +E2
2+12
(Imax minus Imin)
[cos(∆φ0)cos(Dcos(Ωt)) minus sen(∆φ0) sen(D cos(Ωt))](410)
Como a modulaccedilatildeo electrooacuteptica eacute um efeito muito pequeno a equaccedilatildeo 410
pode-se escrever
Iseo asymp E21 +E2
2 +12
(Imax minus Imin) [cos(∆φ0)minusD cos(Ωt) sen(∆φ0)] (411)
Considerando soacute os termos de primeira ordem
Iseo asymp12
(Imax minus Imin) [cos(∆φ0)minusD cos(Ωt) sen(∆φ0)] (412)
A componente do sinal electrooacuteptico eacute entatildeo dado por
Iseo =12
(Imax minus Imin)D cos(Ωt) sen(∆φ0) (413)
Ou seja
Iseo =12
(Imax minus Imin)πrn3
oVoλ
2lh
cos(Ωt) sen(∆φ0) (414)
O acircngulo ∆φ0 varia linearmente com o tempo (t) a uma frequecircncia inferior
a Ω A franja de interferecircncia desloca-se continuamente em frente ao detector
devido a um dos espelho estar fixado num disco piezoeleacutectrico
37
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Na figura 415 pode-se ver uma exemplificaccedilatildeo do sinal no detector que incor-
pora o sinal da franja e electrooacuteptico dada pela equaccedilatildeo 414
Figura 415 Ilustraccedilatildeo do sinal de modulaccedilatildeo electrooacuteptica de um feixe de luzmedido num interferoacutemetro de Michelson
Uma vez que o sinal electrooacuteptico (cos(Ωt)) estaacute desfasado π2 do sinal da
franja ( sen(∆φ0)) A intensidade do sinal electrooacuteptico pode ser escrita como
Iseo asymp12
(Imax minus Imin)πrn3
oVoλ
2lh
∣∣∣ sen(∆φ0)∣∣∣ (415)
Assim a amplitude do sinal electrooacuteptico eacute
Iseo =12
(Imax minus Imin)πrn3
oVoλ
2lh
(416)
Pelo que o coeficiente electrooacuteptico linear seraacute dado por
r =|Iseo|
|Imax minus Imin|λ
πn3oVo
hl
(417)
38
46 RESULTADOS
Para o efeito electrooacuteptico quadraacutetico utilizando o procedimento anoacutelogo mas
a partir da equaccedilatildeo 248 em vez da equaccedilatildeo 247 O sinal electrooacuteptico quadraacutetico
Iseoq que ocorre ao dobro da frequecircncia de modulaccedilatildeo 2Ω eacute dado por
s =
∣∣∣Iseoq∣∣∣|Imax minus Imin|
2λ
πn3oV
2o
h2
l(418)
46 Resultados
Com o cristal de KDP devidamente alinhado no interferoacutemetro segundo o seu
eixo oacuteptico de maneira a se medir o coeficiente r63 Obtendo-se assim dois sinais
o sinal de franja e o sinal electrooacuteptico (Fig 416)
Figura 416 Padratildeo da franja produzida (a) e respectivos sinais de franja e elec-trooacuteptico obtidos para um cristal KDP padratildeo
De forma a se proceder a calibraccedilatildeo do sistema utilizou-se a equaccedilatildeo 417 na
forma
|Iseo||Imax minus Imin|
=πn3
o
λlhrVo (419)
39
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Usando o valor da razatildeo |Iseo ||ImaxminusImin|
em funccedilatildeo do potencial aplicado Vo pode-se
calcular o valor do coeficiente electrooacuteptico r atraveacutes do declive da recta obtida
Pode-se ver na figura 417 uma das rectas obtidas para o cristal utilizado na
calibraccedilatildeo do sistema
Figura 417 Razatildeo entre o sinal electrooacuteptico e a diferenccedila de intensidade defranjas em funccedilatildeo do potencial Vo aplicado ao cristal
A tabela 44 apresenta o valor do coeficiente electrooacuteptico obtido e respectiva
incerteza para o cristal de KDP tomando em conta os valores dos iacutendices de
refraccedilatildeo da tabela 43
Tabela 44 Valores e respectivas incertezas obtidas do coeficiente electrooacutepticopara o cristal KDP utilizado
Material Valor Padratildeo Valor Obtido Erro
KDPr63 = 106pmV r63 = 105plusmn 02pmV 1
(λ = 6328nm)
Como se pode ver na tabela 44 o resultado obtido situa-se muito proacuteximo
do teoacuterico encontrando-se dentro da incerteza obtida Os valores valores meacutedios
apresentam um desvio da ordem dos 02pmV
40
46 RESULTADOS
Apesar dos valores obtidos serem bastante positivos houve algumas dificul-
dades nomeadamente o vidro FTO que causou que o alinhamento fosse extrema-
mente complicado natildeo soacute pela sua espessura e dimensionamento como tambeacutem
pela refraccedilatildeo provocada no feixe laser Outro grande obstaacuteculo foi o alinhamento
do cristal uma vez que basta um ligeiro desvio no caminho oacuteptico para causar um
desalinhamento total algo que eacute agravado no interferoacutemetro do tipo Michelson
pelo facto de o feixe laser passar na amostra duas vezes
Apesar destas dificuldades o valor obtido para o coeficiente electrooacuteptico r63
foi de 105pmV valor esse muito proacuteximo do valor padratildeo da literatura que se
encontra nos 106pmV Assim pode-se considerar que o sistema desenvolvido
se encontra devidamente calibrado e pronto para futuras utilizaccedilotildees
41
Capiacutetulo
5Conclusotildees
O trabalho desenvolvido no decorrer desta dissertaccedilatildeo consistiu no desenvolvi-
mento de um sistema para a mediccedilatildeo do efeito electrooacuteptico aacuterea a ser ulilizada
na caracterizaccedilatildeo de novos materiais polimeacutericos para aplicaccedilatildeo em dispositivos
fotoacutenicos
Nesta conformidade foi desenhada construiacuteda e testado uma bancada oacuteptica
destinada agrave mediccedilatildeo do efeito electrooacuteptico baseado numa teacutecnica interferomeacute-
trica de mediccedilatildeo da diferenccedila de fase implementado atraveacutes de um interferoacutemetro
do tipo Michelson
O cristal escolhido para a calibraccedilatildeo do sistema desenvolvido foi um cristal de
KDP comercial tendo sido utilizado o coeficiente electrooacuteptico r63 como referecircn-
cia sendo o valor padratildeo de 106pmV
O sistema obtido permitiu medir um valor nominal de 105plusmn 02pmV com
um erro de aproximadamente 1 em relaccedilatildeo ao valor tabelado comprovando a
afericcedilatildeo do sistema para a mediccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico por transmissatildeo
O sistema desenvolvido estaacute portanto apto para futuras mediccedilotildees sendo ape-
nas necessaacuterio algumas alteraccedilotildees no porta-amostras mediante as dimensotildees e
forma da amostra a utilizar
Chegou-se ainda agrave conclusatildeo que para amostras como o cristal utilizado o
feixe laser passar duas vezes na amostra acaba por ser uma grande desvantagem
desvantagem essa inexistente para filmes polimeacutericos que ganham cada vez mais
importacircncia na aacuterea da fotoacutenica uma vez que satildeo materiais de grande interesse
cientiacutefico e tecnoloacutegico jaacute que podem ser utilizados no desenvolvimento de dispo-
sitivos oacutepticos nomeadamente moduladores de luz e memoacuterias oacutepticas
43
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46
Apecircndice
AApecircndice
A1 Desenhos Teacutecnicos
47
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- Lista de Figuras
- Lista de Tabelas
- Introduccedilatildeo
- Efeito Electrooacuteptico
-
- Oacuteptica Natildeo-Linear
- Propagaccedilatildeo em Meios Anisotroacutepicos
-
- Vector de Poynting
- Elipsoiacutede dos Iacutendices
- Coeficientes Natildeo-Lineares
-
- Mediccedilatildeo do Efeito Electrooacuteptico
-
- Meacutetodo Tradicional
- Meacutetodos por Interferometria
-
- Interferometria Oacuteptica
- Interferoacutemetro de Mach-Zehnder
- Interferoacutemetro de Michelson
-
- Sistema Implementado
-
- Interferoacutemetro
- Electroacutenica Desenvolvida
-
- Amplificador
- Gerador de Rampa
- Seguidor de Tensatildeo
-
- Sistema Oacuteptico Desenvolvido
-
- Espelho Vibrante
- Bancada Oacuteptica
- Detector
- Cristal Electrooacuteptico
- Porta Amostras
-
- Coeficiente Electrooacuteptico
- Execuccedilatildeo Experimental
- Resultados
-
- Conclusotildees
- Bibliografia
- Apecircndice
-
- Desenhos Teacutecnicos
-
CAPIacuteTULO 3 MEDICcedilAtildeO DO EFEITO ELECTROOacutePTICO
Alterando o caminho oacuteptico do espelho do feixe-referecircncia em λ4 sem amos-
tra o feixe-amostra e o feixe-referecircncia vatildeo chegar com uma diferenccedila de fase de
λ2 ou seja vai haver uma interferecircncia destrutiva completa Isto porque o feixe-
referecircncia vai ter uma mudanccedila de fase de λ2 devido a uma reflexatildeo e duas trans-
missotildees provocadas pelos separadores de feixe Enquanto que o feixe-amostra
chegaraacute aos detetores com uma diferenccedila de fase de λ devido a duas reflexotildees
mais uma reflexatildeo com transmissatildeo no segundo separador de feixe Assim na
ausecircncia de amostra e desde que a diferenccedila de caminho oacuteptico ou retardaccedilatildeo
(δ) seja zero os feixes iratildeo interferir construtivamente [13]
Com a amostra colocada no caminho do feixe-amostra os feixes vatildeo chegar ao
detetor em diferentes situaccedilotildees de fase sendo possiacutevel determinar a diferenccedila de
fase provocada pela presenccedila da amostra
A intensidade do feixe (I) em ambos os detetores eacute descrita por [14]
I(δ) =12I(k)cos(2Nkδ) (38)
Com k o nuacutemero de onda (k = 2πλ) E fazendo δ = d com d = vt resulta
I(δ) =12I(k)cos(2Nk(vt)) (39)
323 Interferoacutemetro de Michelson
No interferoacutemetro do tipo Michelson um feixe de luz eacute dividido em dois que
percorrem caminhos diferentes para de seguida se recombinarem Apoacutes terem
percorrido caminhos diferentes o feixe resultante da recombinaccedilatildeo pode apresen-
tar um padratildeo de interferecircncia que depende da diferenccedila de caminhos oacutepticos
entre os feixes e que pode ser medido num detetor
A forma mais simples de implementar um interferoacutemetro de Michelson con-
siste em dois espelhos colocados entre si num plano perpendicular em que um
deles se pode mover na direccedilatildeo perpendicular agrave sua superfiacutecie refletora conforme
ilustrado na Fig35
Esse espelho iraacute movimentar-se num espaccedilo definido a uma velocidade cons-
tante Entre o espelho fixo e o espelho moacutevel estaacute um separador de feixe que
divide o feixe incidente inicial em dois de igual intensidade Aqui o feixe eacute parci-
almente refletido para um espelho e parcialmente transmitido para o outro
20
32 MEacuteTODOS POR INTERFEROMETRIA
Figura 35 Esquema de funcionamento de um interferoacutemetro de Michelson cominterferecircncia construtiva (a) e destrutiva (b) (adaptado de [15])
Assumindo que o separador de feixe eacute ideal e com uma reflectacircncia e transmi-
tacircncia de 50 se o espelho moacutevel se encontrar estacionaacuterio pode determinar-se
a intensidade do feixe num dado ponto do detetor Se a diferenccedila do caminho
oacuteptico ou retardaccedilatildeo (δ) for zero ou seja os espelhos estatildeo igualmente espaccedilados
do separador de feixe estes vatildeo percorrer a mesma distacircncia e interferir construti-
vamente pelo que a intensidade do feixe final eacute a soma das intensidades dos dois
feixes Nestas condiccedilotildees toda a luz que sai da fonte chega ao detetor
No caso do espelho moacutevel se deslocar uma distacircncia de λ4 a retardaccedilatildeo total
seraacute de λ2 pelo que os feixes estaratildeo desfasadas de 180ordm (π) Nestas condiccedilotildees ter-
se-aacute interferecircncia destrutiva completa na recombinaccedilatildeo dos feixes dando origem
agrave extinccedilatildeo total
Voltando a deslocar o espelho moacutevel de mais λ4 a diferenccedila do caminho
oacuteptico seraacute igual a λ e os dois feixes voltam a estar em fase havendo novamente
uma sobreposiccedilatildeo construtiva dos feixes
Com o espelho moacutevel a deslocar-se a uma velocidade constante o sinal do de-
tetor iraacute variar com uma forma perioacutedica sendo que atinge o seu maacuteximo quando
a retardaccedilatildeo (δ) for um muacuteltiplo inteiro de λ δ =Nλ
A expressatildeo da intensidade do feixe (I) no detector para o caso do interferoacute-
metro de Michelson eacute semelhante agrave equaccedilatildeo 38 para o interferoacutemetro de Mach-
Zehnder sendo que neste caso δ = 2d com d = vt jaacute que o feixe atravessa a
amostra duas vezes Nestas condiccedilotildees ter-se-aacute
I(δ) =12I(k)cos(4Nk(vt)) (310)
21
CAPIacuteTULO 3 MEDICcedilAtildeO DO EFEITO ELECTROOacutePTICO
22
Capiacutetulo
4Sistema Implementado
Este capiacutetulo descreve o sistema implementado para a mediccedilatildeo do coeficiente
electrooacuteptico usando a teacutecnica de interferoacutemetria de Michelson bem como a cali-
braccedilatildeo do mesmo
41 Interferoacutemetro
O sistema escolhido para a mediccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico baseia-se na teacutec-
nica de interferometria de Michelson (ver secccedilatildeo 323) onde se mediu a diferenccedila
de fase entre os ramos do interferoacutemetro Esta teacutecnica foi escolhida pela elevada
sensibilidade agrave diferenccedila de fase gerada entre os ramos do interferoacutemetro facili-
dade de preparaccedilatildeo das amostras e por ser menos sensiacutevel a vibraccedilotildees mecacircnicas
e a flutuaccedilotildees teacutermicas desde que estas ocorram com a mesma intensidade em
ambos os ramos do interferoacutemetro Para aleacutem das vantagens mencionadas e espe-
cificamente em comparaccedilatildeo com o interferoacutemetro mais usado o interferoacutemetro
do tipo Mach-Zehnder o interferoacutemetro de Michelson tem uma maior facilidade
de alinhamento dos espelhos e usa apenas um separador de feixe
A figura 41 esquematiza o sistema baseado no interferoacutemetro de Michelson
desenvolvido para a mediccedilatildeo do coeficiente eletrooacuteptico
23
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Figura 41 Esquematizaccedilatildeo do interferoacutemetro de Michelson e instrumentaccedilatildeoutilizada para a mediccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico em cristais
Como se pode ver no esquema da figura 41 o ramo do espelho vibrante fica
vazio enquanto que no ramo do espelho fixo se encontra a amostra entre dois
eleacutectrodos onde se aplicam um campo eleacutectrico E O sinal medido no detector
resulta da interferecircncia entre os feixes provenientes de cada ramo do interferoacute-
mentro dependendo da diferenccedila de fase entre os dois feixes Conforme referido
anteriormente a intensidade da luz (I) que chega ao detector eacute da ordem de [16]
I prop E21 +E2
2 + 2E1E2cos(∆φ) (41)
42 Electroacutenica Desenvolvida
421 Amplificador
Para o efeito electrooacuteptico se manisfestar eacute necessaacuterio aplicar-se uma tensatildeo eleacutec-
trica ao meio Uma vez que a tensatildeo de referecircncia fornecida pelo amplificador
lock-in utilizado eacute muito baixa para induzir efeito electrooacuteptico significativo por
volta dos 12V foi necessaacuterio construir um amplificador de tensatildeo (Fig 42)
24
42 ELECTROacuteNICA DESENVOLVIDA
Figura 42 Esquemaacutetico do amplificador de tensatildeo utilizado com base no ampli-ficador operacional LF356n
O amplificador construiacutedo conforme ilustra a figura 42 consiste numa mon-
tagem inversora de ganho variaacutevel com uma malha de controlo de offset e eacute
alimentado a plusmn12V
Assim o ganho G eacute determinado atraveacutes de
G = 1 +R2R1
(42)
Sendo R1 = 11kΩ R2 = 5kΩ R3 = 25kΩ e o amplificador em si utilizado foi
o LF356n
Obtendo-se desta forma um ganho de aproximadamente 55 Permitindo apli-
car uma tensatildeo de cerca de 66V ao cristal electrooacuteptico Uma vez que a tensatildeo
aplicada eacute baixa pode-se desprezar o efeito piezoeleacutectrico gerado na amostra e
que iria influenciar o valor do coeficiente electrooacuteptico medido
422 Gerador de Rampa
Para alimentar o excitador piezoeleacutectrico do espelho moacutevel foi utilizado um ge-
rador de sinais (Fig 43) de forma a induzir um deslocamento linear perioacutedico
na forma de rampa A frequecircncia de oscilaccedilatildeo cerca de 25Hz foi escolhida de
25
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
forma a ser suficientemente baixa para evitar fenoacutemenos de batimento com o sinal
de modulaccedilatildeo electrooacuteptico e suficientemente alta para que se consiga adquirir
dados em tempo uacutetil com uma tensatildeo variaacutevel entre os 4 e os 8V
Figura 43 Esquema eleacutectrico do gerador de rampa implementado baseado nocircuito temporizador NE555
Sendo R1 = 20kΩ R2 = 1kΩ e C1 = C2 = 47microF
O tempo de subida da rampa t1 eacute dado por
t1 = 0693(R1 +R2)C1 (43)
Enquanto que o tempo de descida t2 eacute
t2 = 0693R2C1 (44)
Obtendo assim um tempo de subida de 036s e um tempo de descida de 0033s
Assim a frequecircncia do gerador de rampa f seraacute dada por
f =1
t1 + t2=
144(R1 + 2R2)C1
(45)
O gerador de rampa foi construiacutedo aproveitando o espaccedilo livre no interior da
unidade de amplificaccedilatildeo onde se situa o amplificador
26
42 ELECTROacuteNICA DESENVOLVIDA
423 Seguidor de Tensatildeo
Devido agrave necessidade de acoplamento de impedacircncias entre o amplificador lock-
in e o osciloacutescopio natildeo foi possiacutevel a utilizaccedilatildeo de um repartidor coaxial que
repartisse o sinal proveniente do detector Assim de forma a se poder visuali-
zar o sinal proveniente do detector em simultacircneo com o sinal electrooacuteptico foi
necessaacuterio a construccedilatildeo de um seguidor de tensatildeo (Fig44)
Figura 44 Esquema do seguidor de tensatildeo utilizado construida com base nosamplifacores operacionais LF356n
Sendo que ambos os circuitos integrados foram alimentados por uma tensatildeo
positiva (V+) de 12V e uma negativa (Vminus) de minus12V Com R1 = R2 = 25kΩ Agrave
semelhanccedila do amplificador foi tambeacutem construida uma malha de controlo de
offset
Agrave semelhanccedila do gerador de rampa tambeacutem foi construido na unidade de
amplificaccedilatildeo e gerador de rampa como se pode ver na figura 45
27
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Figura 45 Imagem da unidade de amplificaccedilatildeo e geraccedilatildeo de rampa implemen-tada
43 Sistema Oacuteptico Desenvolvido
431 Espelho Vibrante
O espelho vibrante (Fig46) foi construiacutedo afixando um espelho a um disco pie-
zoeleacutectrico A vibraccedilatildeo do espelho iraacute fazer com que a distacircncia entre o divisor
de feixe e o espelho varie Fazendo deslocar a franja de interferecircncia em frente ao
detector permitindo a este medir as intensidades maacuteximas e miacutenimas das franjas
de interferecircncia (ver secccedilatildeo 323)
Figura 46 Imagem do espelho vibrante utilizado
28
43 SISTEMA OacutePTICO DESENVOLVIDO
432 Bancada Oacuteptica
De forma a colocar os componentes ao niacutevel do feixe do laser na mesa oacuteptica e a
tornar o sistema menos sensiacutevel a vibraccedilotildees mecacircnicas e flutuaccedilotildees teacutermicas os
componentes foram colocadas numa base quadrada de alumiacutenio
Figura 47 Imagem da bancada oacuteptica onde o interferoacutemetro de Michelson foiconstruiacutedo
Conforme se pode ver na figura 47 para completar o interferoacutemetro de Michel-
son para aleacutem dos componentes jaacute referidos foram ainda utilizados um separador
de feixe e um espelho (fixo) no suporte com uma lente oacuteptica agrave saiacuteda do mesmo
Faltando ainda o laser utilizado da Melles Griotreg que possui uma potecircncia de
635mW e um comprimento de onda de 6328nm
433 Detector
O detector utilizado foi um modelo 818-UVDB da Newport Corporationreg (Fig
48) de baixa potecircncia consistindo num fotodiacuteodo de siliacutecio capaz de operar entre
os 200 e os 1100nm As caracteriacutesticas principais deste detector encontram-se
listadas na tabela 433
29
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Tabela 41 Caracteriacutesticas principais do detector 818-UVDB [17]
Largura de Banda 200 a 1100(nm) Material Siliacutecio
Potecircncia
W λ(nm)
Incerteza de
λ(nm)
02 200 a 4008 200 a 219
Maacutexima Calibraccedilatildeo 2 220 a 349
005 400 a 11001 350 a 9494 950 a 1050
Densidade de02Wcm2 Aacuterea Activa 1cm2
Potecircncia Meacutedia
Energia Maacutexima05microJ
Diacircmetro113cm
de Pulso Activo
De forma a evitar que a luz ambiente interferisse nas medidas e para aumen-
tar a resoluccedilatildeo de mediccedilatildeo do perfil da franja de interferecircncia foi colocado um
diafragma com uma abertura no centro de 06mm conforme se pode ver na figura
48 reduzido desta maneira a aacuterea activa para 028 mm2
Figura 48 Imagem do detector e disco utilizado
Para a aquisiccedilatildeo do sinal electrooacuteptico e geraccedilatildeo de sinal electrooacuteptico de
referecircncia foi utilizado um osciloscoacutepio Lecroy Wavesufertrade422
30
43 SISTEMA OacutePTICO DESENVOLVIDO
434 Cristal Electrooacuteptico
Para a calibraccedilatildeo do sistema foi utilizado um cristal padratildeo de dihidrogenofosfato
de potaacutessio (KDP) Na tabela 42 pode-se observar algumas das propriedades
fiacutesicas desse cristal
Tabela 42 Propriedades fiacutesicas do cristal padratildeo KDP [18]
Material Simetria Densidade Classe Higroscopicidade
KDP Tetragonal (42m) 234gcm3 Uniaxial Higroscoacutepico
Uma vez que o cristal eacute uniaxial nx = ny = no e nz = ne sendo no e ne os
iacutendices de refraccedilatildeo ordinaacuterio e extraordinaacuterio do cristal KDP A figura 49 ilustra
o elipsoiacutede de iacutendices num cristal padratildeo KDP
Figura 49 Ilustraccedilatildeo de um cristal padratildeo KDP e seu respectivo elipsoiacutede deiacutendices
31
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Na Tabela 43 pode-se observar algumas das propriedades oacutepticas do cristal
padratildeo KDP
Tabela 43 Propriedades oacutepticas do cristal padratildeo KDP a 6328nm [7]
Material Foacutermula Quiacutemica Iacutendice de RefracccedilatildeoCoeficiente
Electrooacuteptico
KDPKH2PO4
no=15074 r41=86 pmV(λ = 6328nm) ne=14673 r63=106 pmV
Como se pode ver na tabela 42 o cristal do tipo KDP eacute higroscoacutepico sendo
assim necessaacuterio reduzir ao maacuteximo o contacto entre o cristal e a atmosfera para
evitar que as suas faces fiquem opacas interferindo assim na qualidade do feixe
transmitido
435 Porta Amostras
O porta amostras eacute constituiacutedo por uma base feita de latatildeo (Fig 410) onde se
coloca o cristal nivelado com o feixe laser Este suporte possui oito roscas para
parafusos M3 quatro em cima de forma a se fixar os encaixes laterais do porta
amostras e quatro em baixo de forma a afixar-se firmemente na bancada oacuteptica
Figura 410 Imagem da base do porta-amostras desenvolvido
32
43 SISTEMA OacutePTICO DESENVOLVIDO
De forma a aplicar-se a tensatildeo de excitaccedilatildeo ao cristal sem bloquear o feixe do
laser foram utilizadas duas placas de vidro com oacutexido de estanho dopado com
fluacuteor (FTO) Este permite que haja uma boa transparecircncia e conduccedilatildeo eleacutetrica
sendo usado em vaacuterios tipos de dispositivos como aplicaccedilotildees opto-eletroacutenicas
ecratildes touch screen filmes finos fotovoltaicos etc O oacutexido de estanho dopado
com fluacuteor [19] eacute reconhecido por ser altamente estaacutevel quimicamente inerte re-
siste a temperaturas elevadas e ao desgaste abrasivo sendo mais econoacutemico do
que o tradicional oacutexido de iacutendio e estanho (ITO)
De forma a garantir um bom contacto eleacutectrico entre o vidro FTO e o cristal
foram construidas duas peccedilas de afixaccedilatildeo idecircnticas (Fig 411) Trata-se de duas
peccedilas de alumiacutenio cada uma contendo uma abertura de forma a deixar passar
o feixe laser e dois rasgos para parafusos de forma a poder-se fixar no suporte e
desta maneira exercer uma pressatildeo constante sobre o cristal
Figura 411 Imagem das peccedilas de fixaccedilatildeo do cristal desenvolvidas com a vista defrente (a) e a vista de traacutes (b)
A ligaccedilatildeo eleacutectrica entre o sinal de referecircncia proveniente do amplificador ao
vidro FTO foi feita atraveacutes de uma cola condutora de prata de forma a assegurar
a ligaccedilatildeo oacutehmica entre o fio de cobre e a camada de FTO O cristal fica assim entre
duas placas de vidro FTO(Fig412)
33
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Figura 412 Imagem do porta Amostras desenvolvido
A figura 413 ilustra o sistema desenvolvido incluindo a bancada oacuteptica e
instrumentaccedilatildeo
Figura 413 Imagem do sistema desenvolvido para a mediccedilatildeo do efeito electrooacutep-tico
34
44 COEFICIENTE ELECTROOacutePTICO
44 Coeficiente Electrooacuteptico
Para o cristal utilizado o dihidrogenofosfato de potaacutessio (KDP) e para o efeito
electrooacuteptico linear a matriz de coeficientes electrooacutepticos eacute a seguinte
rij =
0 0 0
0 0 0
0 0 0
r41 0 0
0 r52 0
0 0 r63
com
i = 1 6
j = 123
Sendo que r41 = r52 pelo que existem apenas dois coeficientes independentes
o r41 e o r63
Usando a notaccedilatildeo condensada mencionada da secccedilatildeo 21 onde se aplica o
campo eleacutectrico (E) no plano do i (sendo i = m) enquanto que j eacute o eixo oacuteptico
Para o caso do KDP eacute costume utilizar o r63 Isto eacute aplicar o campo eleacutectrico nos
planos 12 ou 21 (ou seja i = 6) com o eixo oacuteptico no eixo 3 (j = 3) como demonstra
a figura 414
Figura 414 Ilustraccedilatildeo da configuraccedilatildeo utilizada para a mediccedilatildeo do coeficienter63 num cristal
35
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Para o caso do efeito electrooacuteptico quadraacutetico a matriz dos coeficientes elec-
trooacutepticos seraacute
sij =
s11 s12 s12 0 0 0
s12 s11 s12 0 0 0
s12 s12 s11 0 0 0
0 0 0 s11 minus s12 0 0
0 0 0 0 s11 minus s12 0
0 0 0 0 0 s11 minus s12
com i j = 1 6
45 Execuccedilatildeo Experimental
Para se medir o coeficiente electrooacuteptico aplica-se ao cristal uma tensatildeo com uma
frequecircncia de 2kHz frequecircncia essa que se revelou menos sensiacutevel aos ruiacutedos
ambientes sendo que o sinal electrooacuteptico teraacute a mesma frequecircncia Podendo-
se desta maneira atraveacutes de um amplificador de lock-in (modelo 393 da IthacoDynatrac) filtrar o sinal electrooacuteptico dos restantes sinais uma vez que a sua
frequecircncia eacute conhecida
A intensidade da equaccedilatildeo 41 eacute maacutexima quando cos(∆φ) = 1 e miacutenima quando
cos(∆φ) = minus1 Pelo que subtraindo estas duas equaccedilotildees
Imax minus Imin = 4E1E2 (46)
Assim combinando a equaccedilatildeo 41 com a equaccedilatildeo 46 obtem-se
I prop E21E
22 +
12
(Imax minus Imin)cos(∆φ) (47)
Juntando agora a equaccedilatildeo 246 agrave equaccedilatildeo 247 e tendo em conta que o feixe
passa duas vezes por cada ramo (=2l) a diferenccedila de fase para o efeito electrooacutep-
tico linear
∆φ = ∆φ0 +πrn3
oVoλ
2lh
cos(Ωt) (48)
Sendo ∆φ0 a diferenccedila de fase inicial sem o efeito electrooacuteptico
36
45 EXECUCcedilAtildeO EXPERIMENTAL
Substituindo o ∆φ da equaccedilatildeo 48 na equaccedilatildeo 47 a intensidade do sinal com
modulaccedilatildeo electrooacuteptica(Iseo) seraacute dado por
Iseo prop E21 +E2
2 +12
(Imax minus Imin)cos(∆φ0 +
πrn3oVoλ
2lh
cos(Ωt))
(49)
Usando cos(α plusmn β) = cos(α)cos(β)∓ sen(α) sen(β) e D = πrn3oVoλ
2lh fica-se com
Iseo prop E21 +E2
2+12
(Imax minus Imin)
[cos(∆φ0)cos(Dcos(Ωt)) minus sen(∆φ0) sen(D cos(Ωt))](410)
Como a modulaccedilatildeo electrooacuteptica eacute um efeito muito pequeno a equaccedilatildeo 410
pode-se escrever
Iseo asymp E21 +E2
2 +12
(Imax minus Imin) [cos(∆φ0)minusD cos(Ωt) sen(∆φ0)] (411)
Considerando soacute os termos de primeira ordem
Iseo asymp12
(Imax minus Imin) [cos(∆φ0)minusD cos(Ωt) sen(∆φ0)] (412)
A componente do sinal electrooacuteptico eacute entatildeo dado por
Iseo =12
(Imax minus Imin)D cos(Ωt) sen(∆φ0) (413)
Ou seja
Iseo =12
(Imax minus Imin)πrn3
oVoλ
2lh
cos(Ωt) sen(∆φ0) (414)
O acircngulo ∆φ0 varia linearmente com o tempo (t) a uma frequecircncia inferior
a Ω A franja de interferecircncia desloca-se continuamente em frente ao detector
devido a um dos espelho estar fixado num disco piezoeleacutectrico
37
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Na figura 415 pode-se ver uma exemplificaccedilatildeo do sinal no detector que incor-
pora o sinal da franja e electrooacuteptico dada pela equaccedilatildeo 414
Figura 415 Ilustraccedilatildeo do sinal de modulaccedilatildeo electrooacuteptica de um feixe de luzmedido num interferoacutemetro de Michelson
Uma vez que o sinal electrooacuteptico (cos(Ωt)) estaacute desfasado π2 do sinal da
franja ( sen(∆φ0)) A intensidade do sinal electrooacuteptico pode ser escrita como
Iseo asymp12
(Imax minus Imin)πrn3
oVoλ
2lh
∣∣∣ sen(∆φ0)∣∣∣ (415)
Assim a amplitude do sinal electrooacuteptico eacute
Iseo =12
(Imax minus Imin)πrn3
oVoλ
2lh
(416)
Pelo que o coeficiente electrooacuteptico linear seraacute dado por
r =|Iseo|
|Imax minus Imin|λ
πn3oVo
hl
(417)
38
46 RESULTADOS
Para o efeito electrooacuteptico quadraacutetico utilizando o procedimento anoacutelogo mas
a partir da equaccedilatildeo 248 em vez da equaccedilatildeo 247 O sinal electrooacuteptico quadraacutetico
Iseoq que ocorre ao dobro da frequecircncia de modulaccedilatildeo 2Ω eacute dado por
s =
∣∣∣Iseoq∣∣∣|Imax minus Imin|
2λ
πn3oV
2o
h2
l(418)
46 Resultados
Com o cristal de KDP devidamente alinhado no interferoacutemetro segundo o seu
eixo oacuteptico de maneira a se medir o coeficiente r63 Obtendo-se assim dois sinais
o sinal de franja e o sinal electrooacuteptico (Fig 416)
Figura 416 Padratildeo da franja produzida (a) e respectivos sinais de franja e elec-trooacuteptico obtidos para um cristal KDP padratildeo
De forma a se proceder a calibraccedilatildeo do sistema utilizou-se a equaccedilatildeo 417 na
forma
|Iseo||Imax minus Imin|
=πn3
o
λlhrVo (419)
39
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Usando o valor da razatildeo |Iseo ||ImaxminusImin|
em funccedilatildeo do potencial aplicado Vo pode-se
calcular o valor do coeficiente electrooacuteptico r atraveacutes do declive da recta obtida
Pode-se ver na figura 417 uma das rectas obtidas para o cristal utilizado na
calibraccedilatildeo do sistema
Figura 417 Razatildeo entre o sinal electrooacuteptico e a diferenccedila de intensidade defranjas em funccedilatildeo do potencial Vo aplicado ao cristal
A tabela 44 apresenta o valor do coeficiente electrooacuteptico obtido e respectiva
incerteza para o cristal de KDP tomando em conta os valores dos iacutendices de
refraccedilatildeo da tabela 43
Tabela 44 Valores e respectivas incertezas obtidas do coeficiente electrooacutepticopara o cristal KDP utilizado
Material Valor Padratildeo Valor Obtido Erro
KDPr63 = 106pmV r63 = 105plusmn 02pmV 1
(λ = 6328nm)
Como se pode ver na tabela 44 o resultado obtido situa-se muito proacuteximo
do teoacuterico encontrando-se dentro da incerteza obtida Os valores valores meacutedios
apresentam um desvio da ordem dos 02pmV
40
46 RESULTADOS
Apesar dos valores obtidos serem bastante positivos houve algumas dificul-
dades nomeadamente o vidro FTO que causou que o alinhamento fosse extrema-
mente complicado natildeo soacute pela sua espessura e dimensionamento como tambeacutem
pela refraccedilatildeo provocada no feixe laser Outro grande obstaacuteculo foi o alinhamento
do cristal uma vez que basta um ligeiro desvio no caminho oacuteptico para causar um
desalinhamento total algo que eacute agravado no interferoacutemetro do tipo Michelson
pelo facto de o feixe laser passar na amostra duas vezes
Apesar destas dificuldades o valor obtido para o coeficiente electrooacuteptico r63
foi de 105pmV valor esse muito proacuteximo do valor padratildeo da literatura que se
encontra nos 106pmV Assim pode-se considerar que o sistema desenvolvido
se encontra devidamente calibrado e pronto para futuras utilizaccedilotildees
41
Capiacutetulo
5Conclusotildees
O trabalho desenvolvido no decorrer desta dissertaccedilatildeo consistiu no desenvolvi-
mento de um sistema para a mediccedilatildeo do efeito electrooacuteptico aacuterea a ser ulilizada
na caracterizaccedilatildeo de novos materiais polimeacutericos para aplicaccedilatildeo em dispositivos
fotoacutenicos
Nesta conformidade foi desenhada construiacuteda e testado uma bancada oacuteptica
destinada agrave mediccedilatildeo do efeito electrooacuteptico baseado numa teacutecnica interferomeacute-
trica de mediccedilatildeo da diferenccedila de fase implementado atraveacutes de um interferoacutemetro
do tipo Michelson
O cristal escolhido para a calibraccedilatildeo do sistema desenvolvido foi um cristal de
KDP comercial tendo sido utilizado o coeficiente electrooacuteptico r63 como referecircn-
cia sendo o valor padratildeo de 106pmV
O sistema obtido permitiu medir um valor nominal de 105plusmn 02pmV com
um erro de aproximadamente 1 em relaccedilatildeo ao valor tabelado comprovando a
afericcedilatildeo do sistema para a mediccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico por transmissatildeo
O sistema desenvolvido estaacute portanto apto para futuras mediccedilotildees sendo ape-
nas necessaacuterio algumas alteraccedilotildees no porta-amostras mediante as dimensotildees e
forma da amostra a utilizar
Chegou-se ainda agrave conclusatildeo que para amostras como o cristal utilizado o
feixe laser passar duas vezes na amostra acaba por ser uma grande desvantagem
desvantagem essa inexistente para filmes polimeacutericos que ganham cada vez mais
importacircncia na aacuterea da fotoacutenica uma vez que satildeo materiais de grande interesse
cientiacutefico e tecnoloacutegico jaacute que podem ser utilizados no desenvolvimento de dispo-
sitivos oacutepticos nomeadamente moduladores de luz e memoacuterias oacutepticas
43
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46
Apecircndice
AApecircndice
A1 Desenhos Teacutecnicos
47
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- Lista de Figuras
- Lista de Tabelas
- Introduccedilatildeo
- Efeito Electrooacuteptico
-
- Oacuteptica Natildeo-Linear
- Propagaccedilatildeo em Meios Anisotroacutepicos
-
- Vector de Poynting
- Elipsoiacutede dos Iacutendices
- Coeficientes Natildeo-Lineares
-
- Mediccedilatildeo do Efeito Electrooacuteptico
-
- Meacutetodo Tradicional
- Meacutetodos por Interferometria
-
- Interferometria Oacuteptica
- Interferoacutemetro de Mach-Zehnder
- Interferoacutemetro de Michelson
-
- Sistema Implementado
-
- Interferoacutemetro
- Electroacutenica Desenvolvida
-
- Amplificador
- Gerador de Rampa
- Seguidor de Tensatildeo
-
- Sistema Oacuteptico Desenvolvido
-
- Espelho Vibrante
- Bancada Oacuteptica
- Detector
- Cristal Electrooacuteptico
- Porta Amostras
-
- Coeficiente Electrooacuteptico
- Execuccedilatildeo Experimental
- Resultados
-
- Conclusotildees
- Bibliografia
- Apecircndice
-
- Desenhos Teacutecnicos
-
32 MEacuteTODOS POR INTERFEROMETRIA
Figura 35 Esquema de funcionamento de um interferoacutemetro de Michelson cominterferecircncia construtiva (a) e destrutiva (b) (adaptado de [15])
Assumindo que o separador de feixe eacute ideal e com uma reflectacircncia e transmi-
tacircncia de 50 se o espelho moacutevel se encontrar estacionaacuterio pode determinar-se
a intensidade do feixe num dado ponto do detetor Se a diferenccedila do caminho
oacuteptico ou retardaccedilatildeo (δ) for zero ou seja os espelhos estatildeo igualmente espaccedilados
do separador de feixe estes vatildeo percorrer a mesma distacircncia e interferir construti-
vamente pelo que a intensidade do feixe final eacute a soma das intensidades dos dois
feixes Nestas condiccedilotildees toda a luz que sai da fonte chega ao detetor
No caso do espelho moacutevel se deslocar uma distacircncia de λ4 a retardaccedilatildeo total
seraacute de λ2 pelo que os feixes estaratildeo desfasadas de 180ordm (π) Nestas condiccedilotildees ter-
se-aacute interferecircncia destrutiva completa na recombinaccedilatildeo dos feixes dando origem
agrave extinccedilatildeo total
Voltando a deslocar o espelho moacutevel de mais λ4 a diferenccedila do caminho
oacuteptico seraacute igual a λ e os dois feixes voltam a estar em fase havendo novamente
uma sobreposiccedilatildeo construtiva dos feixes
Com o espelho moacutevel a deslocar-se a uma velocidade constante o sinal do de-
tetor iraacute variar com uma forma perioacutedica sendo que atinge o seu maacuteximo quando
a retardaccedilatildeo (δ) for um muacuteltiplo inteiro de λ δ =Nλ
A expressatildeo da intensidade do feixe (I) no detector para o caso do interferoacute-
metro de Michelson eacute semelhante agrave equaccedilatildeo 38 para o interferoacutemetro de Mach-
Zehnder sendo que neste caso δ = 2d com d = vt jaacute que o feixe atravessa a
amostra duas vezes Nestas condiccedilotildees ter-se-aacute
I(δ) =12I(k)cos(4Nk(vt)) (310)
21
CAPIacuteTULO 3 MEDICcedilAtildeO DO EFEITO ELECTROOacutePTICO
22
Capiacutetulo
4Sistema Implementado
Este capiacutetulo descreve o sistema implementado para a mediccedilatildeo do coeficiente
electrooacuteptico usando a teacutecnica de interferoacutemetria de Michelson bem como a cali-
braccedilatildeo do mesmo
41 Interferoacutemetro
O sistema escolhido para a mediccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico baseia-se na teacutec-
nica de interferometria de Michelson (ver secccedilatildeo 323) onde se mediu a diferenccedila
de fase entre os ramos do interferoacutemetro Esta teacutecnica foi escolhida pela elevada
sensibilidade agrave diferenccedila de fase gerada entre os ramos do interferoacutemetro facili-
dade de preparaccedilatildeo das amostras e por ser menos sensiacutevel a vibraccedilotildees mecacircnicas
e a flutuaccedilotildees teacutermicas desde que estas ocorram com a mesma intensidade em
ambos os ramos do interferoacutemetro Para aleacutem das vantagens mencionadas e espe-
cificamente em comparaccedilatildeo com o interferoacutemetro mais usado o interferoacutemetro
do tipo Mach-Zehnder o interferoacutemetro de Michelson tem uma maior facilidade
de alinhamento dos espelhos e usa apenas um separador de feixe
A figura 41 esquematiza o sistema baseado no interferoacutemetro de Michelson
desenvolvido para a mediccedilatildeo do coeficiente eletrooacuteptico
23
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Figura 41 Esquematizaccedilatildeo do interferoacutemetro de Michelson e instrumentaccedilatildeoutilizada para a mediccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico em cristais
Como se pode ver no esquema da figura 41 o ramo do espelho vibrante fica
vazio enquanto que no ramo do espelho fixo se encontra a amostra entre dois
eleacutectrodos onde se aplicam um campo eleacutectrico E O sinal medido no detector
resulta da interferecircncia entre os feixes provenientes de cada ramo do interferoacute-
mentro dependendo da diferenccedila de fase entre os dois feixes Conforme referido
anteriormente a intensidade da luz (I) que chega ao detector eacute da ordem de [16]
I prop E21 +E2
2 + 2E1E2cos(∆φ) (41)
42 Electroacutenica Desenvolvida
421 Amplificador
Para o efeito electrooacuteptico se manisfestar eacute necessaacuterio aplicar-se uma tensatildeo eleacutec-
trica ao meio Uma vez que a tensatildeo de referecircncia fornecida pelo amplificador
lock-in utilizado eacute muito baixa para induzir efeito electrooacuteptico significativo por
volta dos 12V foi necessaacuterio construir um amplificador de tensatildeo (Fig 42)
24
42 ELECTROacuteNICA DESENVOLVIDA
Figura 42 Esquemaacutetico do amplificador de tensatildeo utilizado com base no ampli-ficador operacional LF356n
O amplificador construiacutedo conforme ilustra a figura 42 consiste numa mon-
tagem inversora de ganho variaacutevel com uma malha de controlo de offset e eacute
alimentado a plusmn12V
Assim o ganho G eacute determinado atraveacutes de
G = 1 +R2R1
(42)
Sendo R1 = 11kΩ R2 = 5kΩ R3 = 25kΩ e o amplificador em si utilizado foi
o LF356n
Obtendo-se desta forma um ganho de aproximadamente 55 Permitindo apli-
car uma tensatildeo de cerca de 66V ao cristal electrooacuteptico Uma vez que a tensatildeo
aplicada eacute baixa pode-se desprezar o efeito piezoeleacutectrico gerado na amostra e
que iria influenciar o valor do coeficiente electrooacuteptico medido
422 Gerador de Rampa
Para alimentar o excitador piezoeleacutectrico do espelho moacutevel foi utilizado um ge-
rador de sinais (Fig 43) de forma a induzir um deslocamento linear perioacutedico
na forma de rampa A frequecircncia de oscilaccedilatildeo cerca de 25Hz foi escolhida de
25
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
forma a ser suficientemente baixa para evitar fenoacutemenos de batimento com o sinal
de modulaccedilatildeo electrooacuteptico e suficientemente alta para que se consiga adquirir
dados em tempo uacutetil com uma tensatildeo variaacutevel entre os 4 e os 8V
Figura 43 Esquema eleacutectrico do gerador de rampa implementado baseado nocircuito temporizador NE555
Sendo R1 = 20kΩ R2 = 1kΩ e C1 = C2 = 47microF
O tempo de subida da rampa t1 eacute dado por
t1 = 0693(R1 +R2)C1 (43)
Enquanto que o tempo de descida t2 eacute
t2 = 0693R2C1 (44)
Obtendo assim um tempo de subida de 036s e um tempo de descida de 0033s
Assim a frequecircncia do gerador de rampa f seraacute dada por
f =1
t1 + t2=
144(R1 + 2R2)C1
(45)
O gerador de rampa foi construiacutedo aproveitando o espaccedilo livre no interior da
unidade de amplificaccedilatildeo onde se situa o amplificador
26
42 ELECTROacuteNICA DESENVOLVIDA
423 Seguidor de Tensatildeo
Devido agrave necessidade de acoplamento de impedacircncias entre o amplificador lock-
in e o osciloacutescopio natildeo foi possiacutevel a utilizaccedilatildeo de um repartidor coaxial que
repartisse o sinal proveniente do detector Assim de forma a se poder visuali-
zar o sinal proveniente do detector em simultacircneo com o sinal electrooacuteptico foi
necessaacuterio a construccedilatildeo de um seguidor de tensatildeo (Fig44)
Figura 44 Esquema do seguidor de tensatildeo utilizado construida com base nosamplifacores operacionais LF356n
Sendo que ambos os circuitos integrados foram alimentados por uma tensatildeo
positiva (V+) de 12V e uma negativa (Vminus) de minus12V Com R1 = R2 = 25kΩ Agrave
semelhanccedila do amplificador foi tambeacutem construida uma malha de controlo de
offset
Agrave semelhanccedila do gerador de rampa tambeacutem foi construido na unidade de
amplificaccedilatildeo e gerador de rampa como se pode ver na figura 45
27
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Figura 45 Imagem da unidade de amplificaccedilatildeo e geraccedilatildeo de rampa implemen-tada
43 Sistema Oacuteptico Desenvolvido
431 Espelho Vibrante
O espelho vibrante (Fig46) foi construiacutedo afixando um espelho a um disco pie-
zoeleacutectrico A vibraccedilatildeo do espelho iraacute fazer com que a distacircncia entre o divisor
de feixe e o espelho varie Fazendo deslocar a franja de interferecircncia em frente ao
detector permitindo a este medir as intensidades maacuteximas e miacutenimas das franjas
de interferecircncia (ver secccedilatildeo 323)
Figura 46 Imagem do espelho vibrante utilizado
28
43 SISTEMA OacutePTICO DESENVOLVIDO
432 Bancada Oacuteptica
De forma a colocar os componentes ao niacutevel do feixe do laser na mesa oacuteptica e a
tornar o sistema menos sensiacutevel a vibraccedilotildees mecacircnicas e flutuaccedilotildees teacutermicas os
componentes foram colocadas numa base quadrada de alumiacutenio
Figura 47 Imagem da bancada oacuteptica onde o interferoacutemetro de Michelson foiconstruiacutedo
Conforme se pode ver na figura 47 para completar o interferoacutemetro de Michel-
son para aleacutem dos componentes jaacute referidos foram ainda utilizados um separador
de feixe e um espelho (fixo) no suporte com uma lente oacuteptica agrave saiacuteda do mesmo
Faltando ainda o laser utilizado da Melles Griotreg que possui uma potecircncia de
635mW e um comprimento de onda de 6328nm
433 Detector
O detector utilizado foi um modelo 818-UVDB da Newport Corporationreg (Fig
48) de baixa potecircncia consistindo num fotodiacuteodo de siliacutecio capaz de operar entre
os 200 e os 1100nm As caracteriacutesticas principais deste detector encontram-se
listadas na tabela 433
29
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Tabela 41 Caracteriacutesticas principais do detector 818-UVDB [17]
Largura de Banda 200 a 1100(nm) Material Siliacutecio
Potecircncia
W λ(nm)
Incerteza de
λ(nm)
02 200 a 4008 200 a 219
Maacutexima Calibraccedilatildeo 2 220 a 349
005 400 a 11001 350 a 9494 950 a 1050
Densidade de02Wcm2 Aacuterea Activa 1cm2
Potecircncia Meacutedia
Energia Maacutexima05microJ
Diacircmetro113cm
de Pulso Activo
De forma a evitar que a luz ambiente interferisse nas medidas e para aumen-
tar a resoluccedilatildeo de mediccedilatildeo do perfil da franja de interferecircncia foi colocado um
diafragma com uma abertura no centro de 06mm conforme se pode ver na figura
48 reduzido desta maneira a aacuterea activa para 028 mm2
Figura 48 Imagem do detector e disco utilizado
Para a aquisiccedilatildeo do sinal electrooacuteptico e geraccedilatildeo de sinal electrooacuteptico de
referecircncia foi utilizado um osciloscoacutepio Lecroy Wavesufertrade422
30
43 SISTEMA OacutePTICO DESENVOLVIDO
434 Cristal Electrooacuteptico
Para a calibraccedilatildeo do sistema foi utilizado um cristal padratildeo de dihidrogenofosfato
de potaacutessio (KDP) Na tabela 42 pode-se observar algumas das propriedades
fiacutesicas desse cristal
Tabela 42 Propriedades fiacutesicas do cristal padratildeo KDP [18]
Material Simetria Densidade Classe Higroscopicidade
KDP Tetragonal (42m) 234gcm3 Uniaxial Higroscoacutepico
Uma vez que o cristal eacute uniaxial nx = ny = no e nz = ne sendo no e ne os
iacutendices de refraccedilatildeo ordinaacuterio e extraordinaacuterio do cristal KDP A figura 49 ilustra
o elipsoiacutede de iacutendices num cristal padratildeo KDP
Figura 49 Ilustraccedilatildeo de um cristal padratildeo KDP e seu respectivo elipsoiacutede deiacutendices
31
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Na Tabela 43 pode-se observar algumas das propriedades oacutepticas do cristal
padratildeo KDP
Tabela 43 Propriedades oacutepticas do cristal padratildeo KDP a 6328nm [7]
Material Foacutermula Quiacutemica Iacutendice de RefracccedilatildeoCoeficiente
Electrooacuteptico
KDPKH2PO4
no=15074 r41=86 pmV(λ = 6328nm) ne=14673 r63=106 pmV
Como se pode ver na tabela 42 o cristal do tipo KDP eacute higroscoacutepico sendo
assim necessaacuterio reduzir ao maacuteximo o contacto entre o cristal e a atmosfera para
evitar que as suas faces fiquem opacas interferindo assim na qualidade do feixe
transmitido
435 Porta Amostras
O porta amostras eacute constituiacutedo por uma base feita de latatildeo (Fig 410) onde se
coloca o cristal nivelado com o feixe laser Este suporte possui oito roscas para
parafusos M3 quatro em cima de forma a se fixar os encaixes laterais do porta
amostras e quatro em baixo de forma a afixar-se firmemente na bancada oacuteptica
Figura 410 Imagem da base do porta-amostras desenvolvido
32
43 SISTEMA OacutePTICO DESENVOLVIDO
De forma a aplicar-se a tensatildeo de excitaccedilatildeo ao cristal sem bloquear o feixe do
laser foram utilizadas duas placas de vidro com oacutexido de estanho dopado com
fluacuteor (FTO) Este permite que haja uma boa transparecircncia e conduccedilatildeo eleacutetrica
sendo usado em vaacuterios tipos de dispositivos como aplicaccedilotildees opto-eletroacutenicas
ecratildes touch screen filmes finos fotovoltaicos etc O oacutexido de estanho dopado
com fluacuteor [19] eacute reconhecido por ser altamente estaacutevel quimicamente inerte re-
siste a temperaturas elevadas e ao desgaste abrasivo sendo mais econoacutemico do
que o tradicional oacutexido de iacutendio e estanho (ITO)
De forma a garantir um bom contacto eleacutectrico entre o vidro FTO e o cristal
foram construidas duas peccedilas de afixaccedilatildeo idecircnticas (Fig 411) Trata-se de duas
peccedilas de alumiacutenio cada uma contendo uma abertura de forma a deixar passar
o feixe laser e dois rasgos para parafusos de forma a poder-se fixar no suporte e
desta maneira exercer uma pressatildeo constante sobre o cristal
Figura 411 Imagem das peccedilas de fixaccedilatildeo do cristal desenvolvidas com a vista defrente (a) e a vista de traacutes (b)
A ligaccedilatildeo eleacutectrica entre o sinal de referecircncia proveniente do amplificador ao
vidro FTO foi feita atraveacutes de uma cola condutora de prata de forma a assegurar
a ligaccedilatildeo oacutehmica entre o fio de cobre e a camada de FTO O cristal fica assim entre
duas placas de vidro FTO(Fig412)
33
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Figura 412 Imagem do porta Amostras desenvolvido
A figura 413 ilustra o sistema desenvolvido incluindo a bancada oacuteptica e
instrumentaccedilatildeo
Figura 413 Imagem do sistema desenvolvido para a mediccedilatildeo do efeito electrooacutep-tico
34
44 COEFICIENTE ELECTROOacutePTICO
44 Coeficiente Electrooacuteptico
Para o cristal utilizado o dihidrogenofosfato de potaacutessio (KDP) e para o efeito
electrooacuteptico linear a matriz de coeficientes electrooacutepticos eacute a seguinte
rij =
0 0 0
0 0 0
0 0 0
r41 0 0
0 r52 0
0 0 r63
com
i = 1 6
j = 123
Sendo que r41 = r52 pelo que existem apenas dois coeficientes independentes
o r41 e o r63
Usando a notaccedilatildeo condensada mencionada da secccedilatildeo 21 onde se aplica o
campo eleacutectrico (E) no plano do i (sendo i = m) enquanto que j eacute o eixo oacuteptico
Para o caso do KDP eacute costume utilizar o r63 Isto eacute aplicar o campo eleacutectrico nos
planos 12 ou 21 (ou seja i = 6) com o eixo oacuteptico no eixo 3 (j = 3) como demonstra
a figura 414
Figura 414 Ilustraccedilatildeo da configuraccedilatildeo utilizada para a mediccedilatildeo do coeficienter63 num cristal
35
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Para o caso do efeito electrooacuteptico quadraacutetico a matriz dos coeficientes elec-
trooacutepticos seraacute
sij =
s11 s12 s12 0 0 0
s12 s11 s12 0 0 0
s12 s12 s11 0 0 0
0 0 0 s11 minus s12 0 0
0 0 0 0 s11 minus s12 0
0 0 0 0 0 s11 minus s12
com i j = 1 6
45 Execuccedilatildeo Experimental
Para se medir o coeficiente electrooacuteptico aplica-se ao cristal uma tensatildeo com uma
frequecircncia de 2kHz frequecircncia essa que se revelou menos sensiacutevel aos ruiacutedos
ambientes sendo que o sinal electrooacuteptico teraacute a mesma frequecircncia Podendo-
se desta maneira atraveacutes de um amplificador de lock-in (modelo 393 da IthacoDynatrac) filtrar o sinal electrooacuteptico dos restantes sinais uma vez que a sua
frequecircncia eacute conhecida
A intensidade da equaccedilatildeo 41 eacute maacutexima quando cos(∆φ) = 1 e miacutenima quando
cos(∆φ) = minus1 Pelo que subtraindo estas duas equaccedilotildees
Imax minus Imin = 4E1E2 (46)
Assim combinando a equaccedilatildeo 41 com a equaccedilatildeo 46 obtem-se
I prop E21E
22 +
12
(Imax minus Imin)cos(∆φ) (47)
Juntando agora a equaccedilatildeo 246 agrave equaccedilatildeo 247 e tendo em conta que o feixe
passa duas vezes por cada ramo (=2l) a diferenccedila de fase para o efeito electrooacutep-
tico linear
∆φ = ∆φ0 +πrn3
oVoλ
2lh
cos(Ωt) (48)
Sendo ∆φ0 a diferenccedila de fase inicial sem o efeito electrooacuteptico
36
45 EXECUCcedilAtildeO EXPERIMENTAL
Substituindo o ∆φ da equaccedilatildeo 48 na equaccedilatildeo 47 a intensidade do sinal com
modulaccedilatildeo electrooacuteptica(Iseo) seraacute dado por
Iseo prop E21 +E2
2 +12
(Imax minus Imin)cos(∆φ0 +
πrn3oVoλ
2lh
cos(Ωt))
(49)
Usando cos(α plusmn β) = cos(α)cos(β)∓ sen(α) sen(β) e D = πrn3oVoλ
2lh fica-se com
Iseo prop E21 +E2
2+12
(Imax minus Imin)
[cos(∆φ0)cos(Dcos(Ωt)) minus sen(∆φ0) sen(D cos(Ωt))](410)
Como a modulaccedilatildeo electrooacuteptica eacute um efeito muito pequeno a equaccedilatildeo 410
pode-se escrever
Iseo asymp E21 +E2
2 +12
(Imax minus Imin) [cos(∆φ0)minusD cos(Ωt) sen(∆φ0)] (411)
Considerando soacute os termos de primeira ordem
Iseo asymp12
(Imax minus Imin) [cos(∆φ0)minusD cos(Ωt) sen(∆φ0)] (412)
A componente do sinal electrooacuteptico eacute entatildeo dado por
Iseo =12
(Imax minus Imin)D cos(Ωt) sen(∆φ0) (413)
Ou seja
Iseo =12
(Imax minus Imin)πrn3
oVoλ
2lh
cos(Ωt) sen(∆φ0) (414)
O acircngulo ∆φ0 varia linearmente com o tempo (t) a uma frequecircncia inferior
a Ω A franja de interferecircncia desloca-se continuamente em frente ao detector
devido a um dos espelho estar fixado num disco piezoeleacutectrico
37
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Na figura 415 pode-se ver uma exemplificaccedilatildeo do sinal no detector que incor-
pora o sinal da franja e electrooacuteptico dada pela equaccedilatildeo 414
Figura 415 Ilustraccedilatildeo do sinal de modulaccedilatildeo electrooacuteptica de um feixe de luzmedido num interferoacutemetro de Michelson
Uma vez que o sinal electrooacuteptico (cos(Ωt)) estaacute desfasado π2 do sinal da
franja ( sen(∆φ0)) A intensidade do sinal electrooacuteptico pode ser escrita como
Iseo asymp12
(Imax minus Imin)πrn3
oVoλ
2lh
∣∣∣ sen(∆φ0)∣∣∣ (415)
Assim a amplitude do sinal electrooacuteptico eacute
Iseo =12
(Imax minus Imin)πrn3
oVoλ
2lh
(416)
Pelo que o coeficiente electrooacuteptico linear seraacute dado por
r =|Iseo|
|Imax minus Imin|λ
πn3oVo
hl
(417)
38
46 RESULTADOS
Para o efeito electrooacuteptico quadraacutetico utilizando o procedimento anoacutelogo mas
a partir da equaccedilatildeo 248 em vez da equaccedilatildeo 247 O sinal electrooacuteptico quadraacutetico
Iseoq que ocorre ao dobro da frequecircncia de modulaccedilatildeo 2Ω eacute dado por
s =
∣∣∣Iseoq∣∣∣|Imax minus Imin|
2λ
πn3oV
2o
h2
l(418)
46 Resultados
Com o cristal de KDP devidamente alinhado no interferoacutemetro segundo o seu
eixo oacuteptico de maneira a se medir o coeficiente r63 Obtendo-se assim dois sinais
o sinal de franja e o sinal electrooacuteptico (Fig 416)
Figura 416 Padratildeo da franja produzida (a) e respectivos sinais de franja e elec-trooacuteptico obtidos para um cristal KDP padratildeo
De forma a se proceder a calibraccedilatildeo do sistema utilizou-se a equaccedilatildeo 417 na
forma
|Iseo||Imax minus Imin|
=πn3
o
λlhrVo (419)
39
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Usando o valor da razatildeo |Iseo ||ImaxminusImin|
em funccedilatildeo do potencial aplicado Vo pode-se
calcular o valor do coeficiente electrooacuteptico r atraveacutes do declive da recta obtida
Pode-se ver na figura 417 uma das rectas obtidas para o cristal utilizado na
calibraccedilatildeo do sistema
Figura 417 Razatildeo entre o sinal electrooacuteptico e a diferenccedila de intensidade defranjas em funccedilatildeo do potencial Vo aplicado ao cristal
A tabela 44 apresenta o valor do coeficiente electrooacuteptico obtido e respectiva
incerteza para o cristal de KDP tomando em conta os valores dos iacutendices de
refraccedilatildeo da tabela 43
Tabela 44 Valores e respectivas incertezas obtidas do coeficiente electrooacutepticopara o cristal KDP utilizado
Material Valor Padratildeo Valor Obtido Erro
KDPr63 = 106pmV r63 = 105plusmn 02pmV 1
(λ = 6328nm)
Como se pode ver na tabela 44 o resultado obtido situa-se muito proacuteximo
do teoacuterico encontrando-se dentro da incerteza obtida Os valores valores meacutedios
apresentam um desvio da ordem dos 02pmV
40
46 RESULTADOS
Apesar dos valores obtidos serem bastante positivos houve algumas dificul-
dades nomeadamente o vidro FTO que causou que o alinhamento fosse extrema-
mente complicado natildeo soacute pela sua espessura e dimensionamento como tambeacutem
pela refraccedilatildeo provocada no feixe laser Outro grande obstaacuteculo foi o alinhamento
do cristal uma vez que basta um ligeiro desvio no caminho oacuteptico para causar um
desalinhamento total algo que eacute agravado no interferoacutemetro do tipo Michelson
pelo facto de o feixe laser passar na amostra duas vezes
Apesar destas dificuldades o valor obtido para o coeficiente electrooacuteptico r63
foi de 105pmV valor esse muito proacuteximo do valor padratildeo da literatura que se
encontra nos 106pmV Assim pode-se considerar que o sistema desenvolvido
se encontra devidamente calibrado e pronto para futuras utilizaccedilotildees
41
Capiacutetulo
5Conclusotildees
O trabalho desenvolvido no decorrer desta dissertaccedilatildeo consistiu no desenvolvi-
mento de um sistema para a mediccedilatildeo do efeito electrooacuteptico aacuterea a ser ulilizada
na caracterizaccedilatildeo de novos materiais polimeacutericos para aplicaccedilatildeo em dispositivos
fotoacutenicos
Nesta conformidade foi desenhada construiacuteda e testado uma bancada oacuteptica
destinada agrave mediccedilatildeo do efeito electrooacuteptico baseado numa teacutecnica interferomeacute-
trica de mediccedilatildeo da diferenccedila de fase implementado atraveacutes de um interferoacutemetro
do tipo Michelson
O cristal escolhido para a calibraccedilatildeo do sistema desenvolvido foi um cristal de
KDP comercial tendo sido utilizado o coeficiente electrooacuteptico r63 como referecircn-
cia sendo o valor padratildeo de 106pmV
O sistema obtido permitiu medir um valor nominal de 105plusmn 02pmV com
um erro de aproximadamente 1 em relaccedilatildeo ao valor tabelado comprovando a
afericcedilatildeo do sistema para a mediccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico por transmissatildeo
O sistema desenvolvido estaacute portanto apto para futuras mediccedilotildees sendo ape-
nas necessaacuterio algumas alteraccedilotildees no porta-amostras mediante as dimensotildees e
forma da amostra a utilizar
Chegou-se ainda agrave conclusatildeo que para amostras como o cristal utilizado o
feixe laser passar duas vezes na amostra acaba por ser uma grande desvantagem
desvantagem essa inexistente para filmes polimeacutericos que ganham cada vez mais
importacircncia na aacuterea da fotoacutenica uma vez que satildeo materiais de grande interesse
cientiacutefico e tecnoloacutegico jaacute que podem ser utilizados no desenvolvimento de dispo-
sitivos oacutepticos nomeadamente moduladores de luz e memoacuterias oacutepticas
43
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46
Apecircndice
AApecircndice
A1 Desenhos Teacutecnicos
47
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- Lista de Figuras
- Lista de Tabelas
- Introduccedilatildeo
- Efeito Electrooacuteptico
-
- Oacuteptica Natildeo-Linear
- Propagaccedilatildeo em Meios Anisotroacutepicos
-
- Vector de Poynting
- Elipsoiacutede dos Iacutendices
- Coeficientes Natildeo-Lineares
-
- Mediccedilatildeo do Efeito Electrooacuteptico
-
- Meacutetodo Tradicional
- Meacutetodos por Interferometria
-
- Interferometria Oacuteptica
- Interferoacutemetro de Mach-Zehnder
- Interferoacutemetro de Michelson
-
- Sistema Implementado
-
- Interferoacutemetro
- Electroacutenica Desenvolvida
-
- Amplificador
- Gerador de Rampa
- Seguidor de Tensatildeo
-
- Sistema Oacuteptico Desenvolvido
-
- Espelho Vibrante
- Bancada Oacuteptica
- Detector
- Cristal Electrooacuteptico
- Porta Amostras
-
- Coeficiente Electrooacuteptico
- Execuccedilatildeo Experimental
- Resultados
-
- Conclusotildees
- Bibliografia
- Apecircndice
-
- Desenhos Teacutecnicos
-
CAPIacuteTULO 3 MEDICcedilAtildeO DO EFEITO ELECTROOacutePTICO
22
Capiacutetulo
4Sistema Implementado
Este capiacutetulo descreve o sistema implementado para a mediccedilatildeo do coeficiente
electrooacuteptico usando a teacutecnica de interferoacutemetria de Michelson bem como a cali-
braccedilatildeo do mesmo
41 Interferoacutemetro
O sistema escolhido para a mediccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico baseia-se na teacutec-
nica de interferometria de Michelson (ver secccedilatildeo 323) onde se mediu a diferenccedila
de fase entre os ramos do interferoacutemetro Esta teacutecnica foi escolhida pela elevada
sensibilidade agrave diferenccedila de fase gerada entre os ramos do interferoacutemetro facili-
dade de preparaccedilatildeo das amostras e por ser menos sensiacutevel a vibraccedilotildees mecacircnicas
e a flutuaccedilotildees teacutermicas desde que estas ocorram com a mesma intensidade em
ambos os ramos do interferoacutemetro Para aleacutem das vantagens mencionadas e espe-
cificamente em comparaccedilatildeo com o interferoacutemetro mais usado o interferoacutemetro
do tipo Mach-Zehnder o interferoacutemetro de Michelson tem uma maior facilidade
de alinhamento dos espelhos e usa apenas um separador de feixe
A figura 41 esquematiza o sistema baseado no interferoacutemetro de Michelson
desenvolvido para a mediccedilatildeo do coeficiente eletrooacuteptico
23
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Figura 41 Esquematizaccedilatildeo do interferoacutemetro de Michelson e instrumentaccedilatildeoutilizada para a mediccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico em cristais
Como se pode ver no esquema da figura 41 o ramo do espelho vibrante fica
vazio enquanto que no ramo do espelho fixo se encontra a amostra entre dois
eleacutectrodos onde se aplicam um campo eleacutectrico E O sinal medido no detector
resulta da interferecircncia entre os feixes provenientes de cada ramo do interferoacute-
mentro dependendo da diferenccedila de fase entre os dois feixes Conforme referido
anteriormente a intensidade da luz (I) que chega ao detector eacute da ordem de [16]
I prop E21 +E2
2 + 2E1E2cos(∆φ) (41)
42 Electroacutenica Desenvolvida
421 Amplificador
Para o efeito electrooacuteptico se manisfestar eacute necessaacuterio aplicar-se uma tensatildeo eleacutec-
trica ao meio Uma vez que a tensatildeo de referecircncia fornecida pelo amplificador
lock-in utilizado eacute muito baixa para induzir efeito electrooacuteptico significativo por
volta dos 12V foi necessaacuterio construir um amplificador de tensatildeo (Fig 42)
24
42 ELECTROacuteNICA DESENVOLVIDA
Figura 42 Esquemaacutetico do amplificador de tensatildeo utilizado com base no ampli-ficador operacional LF356n
O amplificador construiacutedo conforme ilustra a figura 42 consiste numa mon-
tagem inversora de ganho variaacutevel com uma malha de controlo de offset e eacute
alimentado a plusmn12V
Assim o ganho G eacute determinado atraveacutes de
G = 1 +R2R1
(42)
Sendo R1 = 11kΩ R2 = 5kΩ R3 = 25kΩ e o amplificador em si utilizado foi
o LF356n
Obtendo-se desta forma um ganho de aproximadamente 55 Permitindo apli-
car uma tensatildeo de cerca de 66V ao cristal electrooacuteptico Uma vez que a tensatildeo
aplicada eacute baixa pode-se desprezar o efeito piezoeleacutectrico gerado na amostra e
que iria influenciar o valor do coeficiente electrooacuteptico medido
422 Gerador de Rampa
Para alimentar o excitador piezoeleacutectrico do espelho moacutevel foi utilizado um ge-
rador de sinais (Fig 43) de forma a induzir um deslocamento linear perioacutedico
na forma de rampa A frequecircncia de oscilaccedilatildeo cerca de 25Hz foi escolhida de
25
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
forma a ser suficientemente baixa para evitar fenoacutemenos de batimento com o sinal
de modulaccedilatildeo electrooacuteptico e suficientemente alta para que se consiga adquirir
dados em tempo uacutetil com uma tensatildeo variaacutevel entre os 4 e os 8V
Figura 43 Esquema eleacutectrico do gerador de rampa implementado baseado nocircuito temporizador NE555
Sendo R1 = 20kΩ R2 = 1kΩ e C1 = C2 = 47microF
O tempo de subida da rampa t1 eacute dado por
t1 = 0693(R1 +R2)C1 (43)
Enquanto que o tempo de descida t2 eacute
t2 = 0693R2C1 (44)
Obtendo assim um tempo de subida de 036s e um tempo de descida de 0033s
Assim a frequecircncia do gerador de rampa f seraacute dada por
f =1
t1 + t2=
144(R1 + 2R2)C1
(45)
O gerador de rampa foi construiacutedo aproveitando o espaccedilo livre no interior da
unidade de amplificaccedilatildeo onde se situa o amplificador
26
42 ELECTROacuteNICA DESENVOLVIDA
423 Seguidor de Tensatildeo
Devido agrave necessidade de acoplamento de impedacircncias entre o amplificador lock-
in e o osciloacutescopio natildeo foi possiacutevel a utilizaccedilatildeo de um repartidor coaxial que
repartisse o sinal proveniente do detector Assim de forma a se poder visuali-
zar o sinal proveniente do detector em simultacircneo com o sinal electrooacuteptico foi
necessaacuterio a construccedilatildeo de um seguidor de tensatildeo (Fig44)
Figura 44 Esquema do seguidor de tensatildeo utilizado construida com base nosamplifacores operacionais LF356n
Sendo que ambos os circuitos integrados foram alimentados por uma tensatildeo
positiva (V+) de 12V e uma negativa (Vminus) de minus12V Com R1 = R2 = 25kΩ Agrave
semelhanccedila do amplificador foi tambeacutem construida uma malha de controlo de
offset
Agrave semelhanccedila do gerador de rampa tambeacutem foi construido na unidade de
amplificaccedilatildeo e gerador de rampa como se pode ver na figura 45
27
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Figura 45 Imagem da unidade de amplificaccedilatildeo e geraccedilatildeo de rampa implemen-tada
43 Sistema Oacuteptico Desenvolvido
431 Espelho Vibrante
O espelho vibrante (Fig46) foi construiacutedo afixando um espelho a um disco pie-
zoeleacutectrico A vibraccedilatildeo do espelho iraacute fazer com que a distacircncia entre o divisor
de feixe e o espelho varie Fazendo deslocar a franja de interferecircncia em frente ao
detector permitindo a este medir as intensidades maacuteximas e miacutenimas das franjas
de interferecircncia (ver secccedilatildeo 323)
Figura 46 Imagem do espelho vibrante utilizado
28
43 SISTEMA OacutePTICO DESENVOLVIDO
432 Bancada Oacuteptica
De forma a colocar os componentes ao niacutevel do feixe do laser na mesa oacuteptica e a
tornar o sistema menos sensiacutevel a vibraccedilotildees mecacircnicas e flutuaccedilotildees teacutermicas os
componentes foram colocadas numa base quadrada de alumiacutenio
Figura 47 Imagem da bancada oacuteptica onde o interferoacutemetro de Michelson foiconstruiacutedo
Conforme se pode ver na figura 47 para completar o interferoacutemetro de Michel-
son para aleacutem dos componentes jaacute referidos foram ainda utilizados um separador
de feixe e um espelho (fixo) no suporte com uma lente oacuteptica agrave saiacuteda do mesmo
Faltando ainda o laser utilizado da Melles Griotreg que possui uma potecircncia de
635mW e um comprimento de onda de 6328nm
433 Detector
O detector utilizado foi um modelo 818-UVDB da Newport Corporationreg (Fig
48) de baixa potecircncia consistindo num fotodiacuteodo de siliacutecio capaz de operar entre
os 200 e os 1100nm As caracteriacutesticas principais deste detector encontram-se
listadas na tabela 433
29
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Tabela 41 Caracteriacutesticas principais do detector 818-UVDB [17]
Largura de Banda 200 a 1100(nm) Material Siliacutecio
Potecircncia
W λ(nm)
Incerteza de
λ(nm)
02 200 a 4008 200 a 219
Maacutexima Calibraccedilatildeo 2 220 a 349
005 400 a 11001 350 a 9494 950 a 1050
Densidade de02Wcm2 Aacuterea Activa 1cm2
Potecircncia Meacutedia
Energia Maacutexima05microJ
Diacircmetro113cm
de Pulso Activo
De forma a evitar que a luz ambiente interferisse nas medidas e para aumen-
tar a resoluccedilatildeo de mediccedilatildeo do perfil da franja de interferecircncia foi colocado um
diafragma com uma abertura no centro de 06mm conforme se pode ver na figura
48 reduzido desta maneira a aacuterea activa para 028 mm2
Figura 48 Imagem do detector e disco utilizado
Para a aquisiccedilatildeo do sinal electrooacuteptico e geraccedilatildeo de sinal electrooacuteptico de
referecircncia foi utilizado um osciloscoacutepio Lecroy Wavesufertrade422
30
43 SISTEMA OacutePTICO DESENVOLVIDO
434 Cristal Electrooacuteptico
Para a calibraccedilatildeo do sistema foi utilizado um cristal padratildeo de dihidrogenofosfato
de potaacutessio (KDP) Na tabela 42 pode-se observar algumas das propriedades
fiacutesicas desse cristal
Tabela 42 Propriedades fiacutesicas do cristal padratildeo KDP [18]
Material Simetria Densidade Classe Higroscopicidade
KDP Tetragonal (42m) 234gcm3 Uniaxial Higroscoacutepico
Uma vez que o cristal eacute uniaxial nx = ny = no e nz = ne sendo no e ne os
iacutendices de refraccedilatildeo ordinaacuterio e extraordinaacuterio do cristal KDP A figura 49 ilustra
o elipsoiacutede de iacutendices num cristal padratildeo KDP
Figura 49 Ilustraccedilatildeo de um cristal padratildeo KDP e seu respectivo elipsoiacutede deiacutendices
31
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Na Tabela 43 pode-se observar algumas das propriedades oacutepticas do cristal
padratildeo KDP
Tabela 43 Propriedades oacutepticas do cristal padratildeo KDP a 6328nm [7]
Material Foacutermula Quiacutemica Iacutendice de RefracccedilatildeoCoeficiente
Electrooacuteptico
KDPKH2PO4
no=15074 r41=86 pmV(λ = 6328nm) ne=14673 r63=106 pmV
Como se pode ver na tabela 42 o cristal do tipo KDP eacute higroscoacutepico sendo
assim necessaacuterio reduzir ao maacuteximo o contacto entre o cristal e a atmosfera para
evitar que as suas faces fiquem opacas interferindo assim na qualidade do feixe
transmitido
435 Porta Amostras
O porta amostras eacute constituiacutedo por uma base feita de latatildeo (Fig 410) onde se
coloca o cristal nivelado com o feixe laser Este suporte possui oito roscas para
parafusos M3 quatro em cima de forma a se fixar os encaixes laterais do porta
amostras e quatro em baixo de forma a afixar-se firmemente na bancada oacuteptica
Figura 410 Imagem da base do porta-amostras desenvolvido
32
43 SISTEMA OacutePTICO DESENVOLVIDO
De forma a aplicar-se a tensatildeo de excitaccedilatildeo ao cristal sem bloquear o feixe do
laser foram utilizadas duas placas de vidro com oacutexido de estanho dopado com
fluacuteor (FTO) Este permite que haja uma boa transparecircncia e conduccedilatildeo eleacutetrica
sendo usado em vaacuterios tipos de dispositivos como aplicaccedilotildees opto-eletroacutenicas
ecratildes touch screen filmes finos fotovoltaicos etc O oacutexido de estanho dopado
com fluacuteor [19] eacute reconhecido por ser altamente estaacutevel quimicamente inerte re-
siste a temperaturas elevadas e ao desgaste abrasivo sendo mais econoacutemico do
que o tradicional oacutexido de iacutendio e estanho (ITO)
De forma a garantir um bom contacto eleacutectrico entre o vidro FTO e o cristal
foram construidas duas peccedilas de afixaccedilatildeo idecircnticas (Fig 411) Trata-se de duas
peccedilas de alumiacutenio cada uma contendo uma abertura de forma a deixar passar
o feixe laser e dois rasgos para parafusos de forma a poder-se fixar no suporte e
desta maneira exercer uma pressatildeo constante sobre o cristal
Figura 411 Imagem das peccedilas de fixaccedilatildeo do cristal desenvolvidas com a vista defrente (a) e a vista de traacutes (b)
A ligaccedilatildeo eleacutectrica entre o sinal de referecircncia proveniente do amplificador ao
vidro FTO foi feita atraveacutes de uma cola condutora de prata de forma a assegurar
a ligaccedilatildeo oacutehmica entre o fio de cobre e a camada de FTO O cristal fica assim entre
duas placas de vidro FTO(Fig412)
33
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Figura 412 Imagem do porta Amostras desenvolvido
A figura 413 ilustra o sistema desenvolvido incluindo a bancada oacuteptica e
instrumentaccedilatildeo
Figura 413 Imagem do sistema desenvolvido para a mediccedilatildeo do efeito electrooacutep-tico
34
44 COEFICIENTE ELECTROOacutePTICO
44 Coeficiente Electrooacuteptico
Para o cristal utilizado o dihidrogenofosfato de potaacutessio (KDP) e para o efeito
electrooacuteptico linear a matriz de coeficientes electrooacutepticos eacute a seguinte
rij =
0 0 0
0 0 0
0 0 0
r41 0 0
0 r52 0
0 0 r63
com
i = 1 6
j = 123
Sendo que r41 = r52 pelo que existem apenas dois coeficientes independentes
o r41 e o r63
Usando a notaccedilatildeo condensada mencionada da secccedilatildeo 21 onde se aplica o
campo eleacutectrico (E) no plano do i (sendo i = m) enquanto que j eacute o eixo oacuteptico
Para o caso do KDP eacute costume utilizar o r63 Isto eacute aplicar o campo eleacutectrico nos
planos 12 ou 21 (ou seja i = 6) com o eixo oacuteptico no eixo 3 (j = 3) como demonstra
a figura 414
Figura 414 Ilustraccedilatildeo da configuraccedilatildeo utilizada para a mediccedilatildeo do coeficienter63 num cristal
35
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Para o caso do efeito electrooacuteptico quadraacutetico a matriz dos coeficientes elec-
trooacutepticos seraacute
sij =
s11 s12 s12 0 0 0
s12 s11 s12 0 0 0
s12 s12 s11 0 0 0
0 0 0 s11 minus s12 0 0
0 0 0 0 s11 minus s12 0
0 0 0 0 0 s11 minus s12
com i j = 1 6
45 Execuccedilatildeo Experimental
Para se medir o coeficiente electrooacuteptico aplica-se ao cristal uma tensatildeo com uma
frequecircncia de 2kHz frequecircncia essa que se revelou menos sensiacutevel aos ruiacutedos
ambientes sendo que o sinal electrooacuteptico teraacute a mesma frequecircncia Podendo-
se desta maneira atraveacutes de um amplificador de lock-in (modelo 393 da IthacoDynatrac) filtrar o sinal electrooacuteptico dos restantes sinais uma vez que a sua
frequecircncia eacute conhecida
A intensidade da equaccedilatildeo 41 eacute maacutexima quando cos(∆φ) = 1 e miacutenima quando
cos(∆φ) = minus1 Pelo que subtraindo estas duas equaccedilotildees
Imax minus Imin = 4E1E2 (46)
Assim combinando a equaccedilatildeo 41 com a equaccedilatildeo 46 obtem-se
I prop E21E
22 +
12
(Imax minus Imin)cos(∆φ) (47)
Juntando agora a equaccedilatildeo 246 agrave equaccedilatildeo 247 e tendo em conta que o feixe
passa duas vezes por cada ramo (=2l) a diferenccedila de fase para o efeito electrooacutep-
tico linear
∆φ = ∆φ0 +πrn3
oVoλ
2lh
cos(Ωt) (48)
Sendo ∆φ0 a diferenccedila de fase inicial sem o efeito electrooacuteptico
36
45 EXECUCcedilAtildeO EXPERIMENTAL
Substituindo o ∆φ da equaccedilatildeo 48 na equaccedilatildeo 47 a intensidade do sinal com
modulaccedilatildeo electrooacuteptica(Iseo) seraacute dado por
Iseo prop E21 +E2
2 +12
(Imax minus Imin)cos(∆φ0 +
πrn3oVoλ
2lh
cos(Ωt))
(49)
Usando cos(α plusmn β) = cos(α)cos(β)∓ sen(α) sen(β) e D = πrn3oVoλ
2lh fica-se com
Iseo prop E21 +E2
2+12
(Imax minus Imin)
[cos(∆φ0)cos(Dcos(Ωt)) minus sen(∆φ0) sen(D cos(Ωt))](410)
Como a modulaccedilatildeo electrooacuteptica eacute um efeito muito pequeno a equaccedilatildeo 410
pode-se escrever
Iseo asymp E21 +E2
2 +12
(Imax minus Imin) [cos(∆φ0)minusD cos(Ωt) sen(∆φ0)] (411)
Considerando soacute os termos de primeira ordem
Iseo asymp12
(Imax minus Imin) [cos(∆φ0)minusD cos(Ωt) sen(∆φ0)] (412)
A componente do sinal electrooacuteptico eacute entatildeo dado por
Iseo =12
(Imax minus Imin)D cos(Ωt) sen(∆φ0) (413)
Ou seja
Iseo =12
(Imax minus Imin)πrn3
oVoλ
2lh
cos(Ωt) sen(∆φ0) (414)
O acircngulo ∆φ0 varia linearmente com o tempo (t) a uma frequecircncia inferior
a Ω A franja de interferecircncia desloca-se continuamente em frente ao detector
devido a um dos espelho estar fixado num disco piezoeleacutectrico
37
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Na figura 415 pode-se ver uma exemplificaccedilatildeo do sinal no detector que incor-
pora o sinal da franja e electrooacuteptico dada pela equaccedilatildeo 414
Figura 415 Ilustraccedilatildeo do sinal de modulaccedilatildeo electrooacuteptica de um feixe de luzmedido num interferoacutemetro de Michelson
Uma vez que o sinal electrooacuteptico (cos(Ωt)) estaacute desfasado π2 do sinal da
franja ( sen(∆φ0)) A intensidade do sinal electrooacuteptico pode ser escrita como
Iseo asymp12
(Imax minus Imin)πrn3
oVoλ
2lh
∣∣∣ sen(∆φ0)∣∣∣ (415)
Assim a amplitude do sinal electrooacuteptico eacute
Iseo =12
(Imax minus Imin)πrn3
oVoλ
2lh
(416)
Pelo que o coeficiente electrooacuteptico linear seraacute dado por
r =|Iseo|
|Imax minus Imin|λ
πn3oVo
hl
(417)
38
46 RESULTADOS
Para o efeito electrooacuteptico quadraacutetico utilizando o procedimento anoacutelogo mas
a partir da equaccedilatildeo 248 em vez da equaccedilatildeo 247 O sinal electrooacuteptico quadraacutetico
Iseoq que ocorre ao dobro da frequecircncia de modulaccedilatildeo 2Ω eacute dado por
s =
∣∣∣Iseoq∣∣∣|Imax minus Imin|
2λ
πn3oV
2o
h2
l(418)
46 Resultados
Com o cristal de KDP devidamente alinhado no interferoacutemetro segundo o seu
eixo oacuteptico de maneira a se medir o coeficiente r63 Obtendo-se assim dois sinais
o sinal de franja e o sinal electrooacuteptico (Fig 416)
Figura 416 Padratildeo da franja produzida (a) e respectivos sinais de franja e elec-trooacuteptico obtidos para um cristal KDP padratildeo
De forma a se proceder a calibraccedilatildeo do sistema utilizou-se a equaccedilatildeo 417 na
forma
|Iseo||Imax minus Imin|
=πn3
o
λlhrVo (419)
39
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Usando o valor da razatildeo |Iseo ||ImaxminusImin|
em funccedilatildeo do potencial aplicado Vo pode-se
calcular o valor do coeficiente electrooacuteptico r atraveacutes do declive da recta obtida
Pode-se ver na figura 417 uma das rectas obtidas para o cristal utilizado na
calibraccedilatildeo do sistema
Figura 417 Razatildeo entre o sinal electrooacuteptico e a diferenccedila de intensidade defranjas em funccedilatildeo do potencial Vo aplicado ao cristal
A tabela 44 apresenta o valor do coeficiente electrooacuteptico obtido e respectiva
incerteza para o cristal de KDP tomando em conta os valores dos iacutendices de
refraccedilatildeo da tabela 43
Tabela 44 Valores e respectivas incertezas obtidas do coeficiente electrooacutepticopara o cristal KDP utilizado
Material Valor Padratildeo Valor Obtido Erro
KDPr63 = 106pmV r63 = 105plusmn 02pmV 1
(λ = 6328nm)
Como se pode ver na tabela 44 o resultado obtido situa-se muito proacuteximo
do teoacuterico encontrando-se dentro da incerteza obtida Os valores valores meacutedios
apresentam um desvio da ordem dos 02pmV
40
46 RESULTADOS
Apesar dos valores obtidos serem bastante positivos houve algumas dificul-
dades nomeadamente o vidro FTO que causou que o alinhamento fosse extrema-
mente complicado natildeo soacute pela sua espessura e dimensionamento como tambeacutem
pela refraccedilatildeo provocada no feixe laser Outro grande obstaacuteculo foi o alinhamento
do cristal uma vez que basta um ligeiro desvio no caminho oacuteptico para causar um
desalinhamento total algo que eacute agravado no interferoacutemetro do tipo Michelson
pelo facto de o feixe laser passar na amostra duas vezes
Apesar destas dificuldades o valor obtido para o coeficiente electrooacuteptico r63
foi de 105pmV valor esse muito proacuteximo do valor padratildeo da literatura que se
encontra nos 106pmV Assim pode-se considerar que o sistema desenvolvido
se encontra devidamente calibrado e pronto para futuras utilizaccedilotildees
41
Capiacutetulo
5Conclusotildees
O trabalho desenvolvido no decorrer desta dissertaccedilatildeo consistiu no desenvolvi-
mento de um sistema para a mediccedilatildeo do efeito electrooacuteptico aacuterea a ser ulilizada
na caracterizaccedilatildeo de novos materiais polimeacutericos para aplicaccedilatildeo em dispositivos
fotoacutenicos
Nesta conformidade foi desenhada construiacuteda e testado uma bancada oacuteptica
destinada agrave mediccedilatildeo do efeito electrooacuteptico baseado numa teacutecnica interferomeacute-
trica de mediccedilatildeo da diferenccedila de fase implementado atraveacutes de um interferoacutemetro
do tipo Michelson
O cristal escolhido para a calibraccedilatildeo do sistema desenvolvido foi um cristal de
KDP comercial tendo sido utilizado o coeficiente electrooacuteptico r63 como referecircn-
cia sendo o valor padratildeo de 106pmV
O sistema obtido permitiu medir um valor nominal de 105plusmn 02pmV com
um erro de aproximadamente 1 em relaccedilatildeo ao valor tabelado comprovando a
afericcedilatildeo do sistema para a mediccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico por transmissatildeo
O sistema desenvolvido estaacute portanto apto para futuras mediccedilotildees sendo ape-
nas necessaacuterio algumas alteraccedilotildees no porta-amostras mediante as dimensotildees e
forma da amostra a utilizar
Chegou-se ainda agrave conclusatildeo que para amostras como o cristal utilizado o
feixe laser passar duas vezes na amostra acaba por ser uma grande desvantagem
desvantagem essa inexistente para filmes polimeacutericos que ganham cada vez mais
importacircncia na aacuterea da fotoacutenica uma vez que satildeo materiais de grande interesse
cientiacutefico e tecnoloacutegico jaacute que podem ser utilizados no desenvolvimento de dispo-
sitivos oacutepticos nomeadamente moduladores de luz e memoacuterias oacutepticas
43
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46
Apecircndice
AApecircndice
A1 Desenhos Teacutecnicos
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- Lista de Figuras
- Lista de Tabelas
- Introduccedilatildeo
- Efeito Electrooacuteptico
-
- Oacuteptica Natildeo-Linear
- Propagaccedilatildeo em Meios Anisotroacutepicos
-
- Vector de Poynting
- Elipsoiacutede dos Iacutendices
- Coeficientes Natildeo-Lineares
-
- Mediccedilatildeo do Efeito Electrooacuteptico
-
- Meacutetodo Tradicional
- Meacutetodos por Interferometria
-
- Interferometria Oacuteptica
- Interferoacutemetro de Mach-Zehnder
- Interferoacutemetro de Michelson
-
- Sistema Implementado
-
- Interferoacutemetro
- Electroacutenica Desenvolvida
-
- Amplificador
- Gerador de Rampa
- Seguidor de Tensatildeo
-
- Sistema Oacuteptico Desenvolvido
-
- Espelho Vibrante
- Bancada Oacuteptica
- Detector
- Cristal Electrooacuteptico
- Porta Amostras
-
- Coeficiente Electrooacuteptico
- Execuccedilatildeo Experimental
- Resultados
-
- Conclusotildees
- Bibliografia
- Apecircndice
-
- Desenhos Teacutecnicos
-
Capiacutetulo
4Sistema Implementado
Este capiacutetulo descreve o sistema implementado para a mediccedilatildeo do coeficiente
electrooacuteptico usando a teacutecnica de interferoacutemetria de Michelson bem como a cali-
braccedilatildeo do mesmo
41 Interferoacutemetro
O sistema escolhido para a mediccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico baseia-se na teacutec-
nica de interferometria de Michelson (ver secccedilatildeo 323) onde se mediu a diferenccedila
de fase entre os ramos do interferoacutemetro Esta teacutecnica foi escolhida pela elevada
sensibilidade agrave diferenccedila de fase gerada entre os ramos do interferoacutemetro facili-
dade de preparaccedilatildeo das amostras e por ser menos sensiacutevel a vibraccedilotildees mecacircnicas
e a flutuaccedilotildees teacutermicas desde que estas ocorram com a mesma intensidade em
ambos os ramos do interferoacutemetro Para aleacutem das vantagens mencionadas e espe-
cificamente em comparaccedilatildeo com o interferoacutemetro mais usado o interferoacutemetro
do tipo Mach-Zehnder o interferoacutemetro de Michelson tem uma maior facilidade
de alinhamento dos espelhos e usa apenas um separador de feixe
A figura 41 esquematiza o sistema baseado no interferoacutemetro de Michelson
desenvolvido para a mediccedilatildeo do coeficiente eletrooacuteptico
23
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Figura 41 Esquematizaccedilatildeo do interferoacutemetro de Michelson e instrumentaccedilatildeoutilizada para a mediccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico em cristais
Como se pode ver no esquema da figura 41 o ramo do espelho vibrante fica
vazio enquanto que no ramo do espelho fixo se encontra a amostra entre dois
eleacutectrodos onde se aplicam um campo eleacutectrico E O sinal medido no detector
resulta da interferecircncia entre os feixes provenientes de cada ramo do interferoacute-
mentro dependendo da diferenccedila de fase entre os dois feixes Conforme referido
anteriormente a intensidade da luz (I) que chega ao detector eacute da ordem de [16]
I prop E21 +E2
2 + 2E1E2cos(∆φ) (41)
42 Electroacutenica Desenvolvida
421 Amplificador
Para o efeito electrooacuteptico se manisfestar eacute necessaacuterio aplicar-se uma tensatildeo eleacutec-
trica ao meio Uma vez que a tensatildeo de referecircncia fornecida pelo amplificador
lock-in utilizado eacute muito baixa para induzir efeito electrooacuteptico significativo por
volta dos 12V foi necessaacuterio construir um amplificador de tensatildeo (Fig 42)
24
42 ELECTROacuteNICA DESENVOLVIDA
Figura 42 Esquemaacutetico do amplificador de tensatildeo utilizado com base no ampli-ficador operacional LF356n
O amplificador construiacutedo conforme ilustra a figura 42 consiste numa mon-
tagem inversora de ganho variaacutevel com uma malha de controlo de offset e eacute
alimentado a plusmn12V
Assim o ganho G eacute determinado atraveacutes de
G = 1 +R2R1
(42)
Sendo R1 = 11kΩ R2 = 5kΩ R3 = 25kΩ e o amplificador em si utilizado foi
o LF356n
Obtendo-se desta forma um ganho de aproximadamente 55 Permitindo apli-
car uma tensatildeo de cerca de 66V ao cristal electrooacuteptico Uma vez que a tensatildeo
aplicada eacute baixa pode-se desprezar o efeito piezoeleacutectrico gerado na amostra e
que iria influenciar o valor do coeficiente electrooacuteptico medido
422 Gerador de Rampa
Para alimentar o excitador piezoeleacutectrico do espelho moacutevel foi utilizado um ge-
rador de sinais (Fig 43) de forma a induzir um deslocamento linear perioacutedico
na forma de rampa A frequecircncia de oscilaccedilatildeo cerca de 25Hz foi escolhida de
25
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
forma a ser suficientemente baixa para evitar fenoacutemenos de batimento com o sinal
de modulaccedilatildeo electrooacuteptico e suficientemente alta para que se consiga adquirir
dados em tempo uacutetil com uma tensatildeo variaacutevel entre os 4 e os 8V
Figura 43 Esquema eleacutectrico do gerador de rampa implementado baseado nocircuito temporizador NE555
Sendo R1 = 20kΩ R2 = 1kΩ e C1 = C2 = 47microF
O tempo de subida da rampa t1 eacute dado por
t1 = 0693(R1 +R2)C1 (43)
Enquanto que o tempo de descida t2 eacute
t2 = 0693R2C1 (44)
Obtendo assim um tempo de subida de 036s e um tempo de descida de 0033s
Assim a frequecircncia do gerador de rampa f seraacute dada por
f =1
t1 + t2=
144(R1 + 2R2)C1
(45)
O gerador de rampa foi construiacutedo aproveitando o espaccedilo livre no interior da
unidade de amplificaccedilatildeo onde se situa o amplificador
26
42 ELECTROacuteNICA DESENVOLVIDA
423 Seguidor de Tensatildeo
Devido agrave necessidade de acoplamento de impedacircncias entre o amplificador lock-
in e o osciloacutescopio natildeo foi possiacutevel a utilizaccedilatildeo de um repartidor coaxial que
repartisse o sinal proveniente do detector Assim de forma a se poder visuali-
zar o sinal proveniente do detector em simultacircneo com o sinal electrooacuteptico foi
necessaacuterio a construccedilatildeo de um seguidor de tensatildeo (Fig44)
Figura 44 Esquema do seguidor de tensatildeo utilizado construida com base nosamplifacores operacionais LF356n
Sendo que ambos os circuitos integrados foram alimentados por uma tensatildeo
positiva (V+) de 12V e uma negativa (Vminus) de minus12V Com R1 = R2 = 25kΩ Agrave
semelhanccedila do amplificador foi tambeacutem construida uma malha de controlo de
offset
Agrave semelhanccedila do gerador de rampa tambeacutem foi construido na unidade de
amplificaccedilatildeo e gerador de rampa como se pode ver na figura 45
27
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Figura 45 Imagem da unidade de amplificaccedilatildeo e geraccedilatildeo de rampa implemen-tada
43 Sistema Oacuteptico Desenvolvido
431 Espelho Vibrante
O espelho vibrante (Fig46) foi construiacutedo afixando um espelho a um disco pie-
zoeleacutectrico A vibraccedilatildeo do espelho iraacute fazer com que a distacircncia entre o divisor
de feixe e o espelho varie Fazendo deslocar a franja de interferecircncia em frente ao
detector permitindo a este medir as intensidades maacuteximas e miacutenimas das franjas
de interferecircncia (ver secccedilatildeo 323)
Figura 46 Imagem do espelho vibrante utilizado
28
43 SISTEMA OacutePTICO DESENVOLVIDO
432 Bancada Oacuteptica
De forma a colocar os componentes ao niacutevel do feixe do laser na mesa oacuteptica e a
tornar o sistema menos sensiacutevel a vibraccedilotildees mecacircnicas e flutuaccedilotildees teacutermicas os
componentes foram colocadas numa base quadrada de alumiacutenio
Figura 47 Imagem da bancada oacuteptica onde o interferoacutemetro de Michelson foiconstruiacutedo
Conforme se pode ver na figura 47 para completar o interferoacutemetro de Michel-
son para aleacutem dos componentes jaacute referidos foram ainda utilizados um separador
de feixe e um espelho (fixo) no suporte com uma lente oacuteptica agrave saiacuteda do mesmo
Faltando ainda o laser utilizado da Melles Griotreg que possui uma potecircncia de
635mW e um comprimento de onda de 6328nm
433 Detector
O detector utilizado foi um modelo 818-UVDB da Newport Corporationreg (Fig
48) de baixa potecircncia consistindo num fotodiacuteodo de siliacutecio capaz de operar entre
os 200 e os 1100nm As caracteriacutesticas principais deste detector encontram-se
listadas na tabela 433
29
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Tabela 41 Caracteriacutesticas principais do detector 818-UVDB [17]
Largura de Banda 200 a 1100(nm) Material Siliacutecio
Potecircncia
W λ(nm)
Incerteza de
λ(nm)
02 200 a 4008 200 a 219
Maacutexima Calibraccedilatildeo 2 220 a 349
005 400 a 11001 350 a 9494 950 a 1050
Densidade de02Wcm2 Aacuterea Activa 1cm2
Potecircncia Meacutedia
Energia Maacutexima05microJ
Diacircmetro113cm
de Pulso Activo
De forma a evitar que a luz ambiente interferisse nas medidas e para aumen-
tar a resoluccedilatildeo de mediccedilatildeo do perfil da franja de interferecircncia foi colocado um
diafragma com uma abertura no centro de 06mm conforme se pode ver na figura
48 reduzido desta maneira a aacuterea activa para 028 mm2
Figura 48 Imagem do detector e disco utilizado
Para a aquisiccedilatildeo do sinal electrooacuteptico e geraccedilatildeo de sinal electrooacuteptico de
referecircncia foi utilizado um osciloscoacutepio Lecroy Wavesufertrade422
30
43 SISTEMA OacutePTICO DESENVOLVIDO
434 Cristal Electrooacuteptico
Para a calibraccedilatildeo do sistema foi utilizado um cristal padratildeo de dihidrogenofosfato
de potaacutessio (KDP) Na tabela 42 pode-se observar algumas das propriedades
fiacutesicas desse cristal
Tabela 42 Propriedades fiacutesicas do cristal padratildeo KDP [18]
Material Simetria Densidade Classe Higroscopicidade
KDP Tetragonal (42m) 234gcm3 Uniaxial Higroscoacutepico
Uma vez que o cristal eacute uniaxial nx = ny = no e nz = ne sendo no e ne os
iacutendices de refraccedilatildeo ordinaacuterio e extraordinaacuterio do cristal KDP A figura 49 ilustra
o elipsoiacutede de iacutendices num cristal padratildeo KDP
Figura 49 Ilustraccedilatildeo de um cristal padratildeo KDP e seu respectivo elipsoiacutede deiacutendices
31
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Na Tabela 43 pode-se observar algumas das propriedades oacutepticas do cristal
padratildeo KDP
Tabela 43 Propriedades oacutepticas do cristal padratildeo KDP a 6328nm [7]
Material Foacutermula Quiacutemica Iacutendice de RefracccedilatildeoCoeficiente
Electrooacuteptico
KDPKH2PO4
no=15074 r41=86 pmV(λ = 6328nm) ne=14673 r63=106 pmV
Como se pode ver na tabela 42 o cristal do tipo KDP eacute higroscoacutepico sendo
assim necessaacuterio reduzir ao maacuteximo o contacto entre o cristal e a atmosfera para
evitar que as suas faces fiquem opacas interferindo assim na qualidade do feixe
transmitido
435 Porta Amostras
O porta amostras eacute constituiacutedo por uma base feita de latatildeo (Fig 410) onde se
coloca o cristal nivelado com o feixe laser Este suporte possui oito roscas para
parafusos M3 quatro em cima de forma a se fixar os encaixes laterais do porta
amostras e quatro em baixo de forma a afixar-se firmemente na bancada oacuteptica
Figura 410 Imagem da base do porta-amostras desenvolvido
32
43 SISTEMA OacutePTICO DESENVOLVIDO
De forma a aplicar-se a tensatildeo de excitaccedilatildeo ao cristal sem bloquear o feixe do
laser foram utilizadas duas placas de vidro com oacutexido de estanho dopado com
fluacuteor (FTO) Este permite que haja uma boa transparecircncia e conduccedilatildeo eleacutetrica
sendo usado em vaacuterios tipos de dispositivos como aplicaccedilotildees opto-eletroacutenicas
ecratildes touch screen filmes finos fotovoltaicos etc O oacutexido de estanho dopado
com fluacuteor [19] eacute reconhecido por ser altamente estaacutevel quimicamente inerte re-
siste a temperaturas elevadas e ao desgaste abrasivo sendo mais econoacutemico do
que o tradicional oacutexido de iacutendio e estanho (ITO)
De forma a garantir um bom contacto eleacutectrico entre o vidro FTO e o cristal
foram construidas duas peccedilas de afixaccedilatildeo idecircnticas (Fig 411) Trata-se de duas
peccedilas de alumiacutenio cada uma contendo uma abertura de forma a deixar passar
o feixe laser e dois rasgos para parafusos de forma a poder-se fixar no suporte e
desta maneira exercer uma pressatildeo constante sobre o cristal
Figura 411 Imagem das peccedilas de fixaccedilatildeo do cristal desenvolvidas com a vista defrente (a) e a vista de traacutes (b)
A ligaccedilatildeo eleacutectrica entre o sinal de referecircncia proveniente do amplificador ao
vidro FTO foi feita atraveacutes de uma cola condutora de prata de forma a assegurar
a ligaccedilatildeo oacutehmica entre o fio de cobre e a camada de FTO O cristal fica assim entre
duas placas de vidro FTO(Fig412)
33
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Figura 412 Imagem do porta Amostras desenvolvido
A figura 413 ilustra o sistema desenvolvido incluindo a bancada oacuteptica e
instrumentaccedilatildeo
Figura 413 Imagem do sistema desenvolvido para a mediccedilatildeo do efeito electrooacutep-tico
34
44 COEFICIENTE ELECTROOacutePTICO
44 Coeficiente Electrooacuteptico
Para o cristal utilizado o dihidrogenofosfato de potaacutessio (KDP) e para o efeito
electrooacuteptico linear a matriz de coeficientes electrooacutepticos eacute a seguinte
rij =
0 0 0
0 0 0
0 0 0
r41 0 0
0 r52 0
0 0 r63
com
i = 1 6
j = 123
Sendo que r41 = r52 pelo que existem apenas dois coeficientes independentes
o r41 e o r63
Usando a notaccedilatildeo condensada mencionada da secccedilatildeo 21 onde se aplica o
campo eleacutectrico (E) no plano do i (sendo i = m) enquanto que j eacute o eixo oacuteptico
Para o caso do KDP eacute costume utilizar o r63 Isto eacute aplicar o campo eleacutectrico nos
planos 12 ou 21 (ou seja i = 6) com o eixo oacuteptico no eixo 3 (j = 3) como demonstra
a figura 414
Figura 414 Ilustraccedilatildeo da configuraccedilatildeo utilizada para a mediccedilatildeo do coeficienter63 num cristal
35
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Para o caso do efeito electrooacuteptico quadraacutetico a matriz dos coeficientes elec-
trooacutepticos seraacute
sij =
s11 s12 s12 0 0 0
s12 s11 s12 0 0 0
s12 s12 s11 0 0 0
0 0 0 s11 minus s12 0 0
0 0 0 0 s11 minus s12 0
0 0 0 0 0 s11 minus s12
com i j = 1 6
45 Execuccedilatildeo Experimental
Para se medir o coeficiente electrooacuteptico aplica-se ao cristal uma tensatildeo com uma
frequecircncia de 2kHz frequecircncia essa que se revelou menos sensiacutevel aos ruiacutedos
ambientes sendo que o sinal electrooacuteptico teraacute a mesma frequecircncia Podendo-
se desta maneira atraveacutes de um amplificador de lock-in (modelo 393 da IthacoDynatrac) filtrar o sinal electrooacuteptico dos restantes sinais uma vez que a sua
frequecircncia eacute conhecida
A intensidade da equaccedilatildeo 41 eacute maacutexima quando cos(∆φ) = 1 e miacutenima quando
cos(∆φ) = minus1 Pelo que subtraindo estas duas equaccedilotildees
Imax minus Imin = 4E1E2 (46)
Assim combinando a equaccedilatildeo 41 com a equaccedilatildeo 46 obtem-se
I prop E21E
22 +
12
(Imax minus Imin)cos(∆φ) (47)
Juntando agora a equaccedilatildeo 246 agrave equaccedilatildeo 247 e tendo em conta que o feixe
passa duas vezes por cada ramo (=2l) a diferenccedila de fase para o efeito electrooacutep-
tico linear
∆φ = ∆φ0 +πrn3
oVoλ
2lh
cos(Ωt) (48)
Sendo ∆φ0 a diferenccedila de fase inicial sem o efeito electrooacuteptico
36
45 EXECUCcedilAtildeO EXPERIMENTAL
Substituindo o ∆φ da equaccedilatildeo 48 na equaccedilatildeo 47 a intensidade do sinal com
modulaccedilatildeo electrooacuteptica(Iseo) seraacute dado por
Iseo prop E21 +E2
2 +12
(Imax minus Imin)cos(∆φ0 +
πrn3oVoλ
2lh
cos(Ωt))
(49)
Usando cos(α plusmn β) = cos(α)cos(β)∓ sen(α) sen(β) e D = πrn3oVoλ
2lh fica-se com
Iseo prop E21 +E2
2+12
(Imax minus Imin)
[cos(∆φ0)cos(Dcos(Ωt)) minus sen(∆φ0) sen(D cos(Ωt))](410)
Como a modulaccedilatildeo electrooacuteptica eacute um efeito muito pequeno a equaccedilatildeo 410
pode-se escrever
Iseo asymp E21 +E2
2 +12
(Imax minus Imin) [cos(∆φ0)minusD cos(Ωt) sen(∆φ0)] (411)
Considerando soacute os termos de primeira ordem
Iseo asymp12
(Imax minus Imin) [cos(∆φ0)minusD cos(Ωt) sen(∆φ0)] (412)
A componente do sinal electrooacuteptico eacute entatildeo dado por
Iseo =12
(Imax minus Imin)D cos(Ωt) sen(∆φ0) (413)
Ou seja
Iseo =12
(Imax minus Imin)πrn3
oVoλ
2lh
cos(Ωt) sen(∆φ0) (414)
O acircngulo ∆φ0 varia linearmente com o tempo (t) a uma frequecircncia inferior
a Ω A franja de interferecircncia desloca-se continuamente em frente ao detector
devido a um dos espelho estar fixado num disco piezoeleacutectrico
37
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Na figura 415 pode-se ver uma exemplificaccedilatildeo do sinal no detector que incor-
pora o sinal da franja e electrooacuteptico dada pela equaccedilatildeo 414
Figura 415 Ilustraccedilatildeo do sinal de modulaccedilatildeo electrooacuteptica de um feixe de luzmedido num interferoacutemetro de Michelson
Uma vez que o sinal electrooacuteptico (cos(Ωt)) estaacute desfasado π2 do sinal da
franja ( sen(∆φ0)) A intensidade do sinal electrooacuteptico pode ser escrita como
Iseo asymp12
(Imax minus Imin)πrn3
oVoλ
2lh
∣∣∣ sen(∆φ0)∣∣∣ (415)
Assim a amplitude do sinal electrooacuteptico eacute
Iseo =12
(Imax minus Imin)πrn3
oVoλ
2lh
(416)
Pelo que o coeficiente electrooacuteptico linear seraacute dado por
r =|Iseo|
|Imax minus Imin|λ
πn3oVo
hl
(417)
38
46 RESULTADOS
Para o efeito electrooacuteptico quadraacutetico utilizando o procedimento anoacutelogo mas
a partir da equaccedilatildeo 248 em vez da equaccedilatildeo 247 O sinal electrooacuteptico quadraacutetico
Iseoq que ocorre ao dobro da frequecircncia de modulaccedilatildeo 2Ω eacute dado por
s =
∣∣∣Iseoq∣∣∣|Imax minus Imin|
2λ
πn3oV
2o
h2
l(418)
46 Resultados
Com o cristal de KDP devidamente alinhado no interferoacutemetro segundo o seu
eixo oacuteptico de maneira a se medir o coeficiente r63 Obtendo-se assim dois sinais
o sinal de franja e o sinal electrooacuteptico (Fig 416)
Figura 416 Padratildeo da franja produzida (a) e respectivos sinais de franja e elec-trooacuteptico obtidos para um cristal KDP padratildeo
De forma a se proceder a calibraccedilatildeo do sistema utilizou-se a equaccedilatildeo 417 na
forma
|Iseo||Imax minus Imin|
=πn3
o
λlhrVo (419)
39
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Usando o valor da razatildeo |Iseo ||ImaxminusImin|
em funccedilatildeo do potencial aplicado Vo pode-se
calcular o valor do coeficiente electrooacuteptico r atraveacutes do declive da recta obtida
Pode-se ver na figura 417 uma das rectas obtidas para o cristal utilizado na
calibraccedilatildeo do sistema
Figura 417 Razatildeo entre o sinal electrooacuteptico e a diferenccedila de intensidade defranjas em funccedilatildeo do potencial Vo aplicado ao cristal
A tabela 44 apresenta o valor do coeficiente electrooacuteptico obtido e respectiva
incerteza para o cristal de KDP tomando em conta os valores dos iacutendices de
refraccedilatildeo da tabela 43
Tabela 44 Valores e respectivas incertezas obtidas do coeficiente electrooacutepticopara o cristal KDP utilizado
Material Valor Padratildeo Valor Obtido Erro
KDPr63 = 106pmV r63 = 105plusmn 02pmV 1
(λ = 6328nm)
Como se pode ver na tabela 44 o resultado obtido situa-se muito proacuteximo
do teoacuterico encontrando-se dentro da incerteza obtida Os valores valores meacutedios
apresentam um desvio da ordem dos 02pmV
40
46 RESULTADOS
Apesar dos valores obtidos serem bastante positivos houve algumas dificul-
dades nomeadamente o vidro FTO que causou que o alinhamento fosse extrema-
mente complicado natildeo soacute pela sua espessura e dimensionamento como tambeacutem
pela refraccedilatildeo provocada no feixe laser Outro grande obstaacuteculo foi o alinhamento
do cristal uma vez que basta um ligeiro desvio no caminho oacuteptico para causar um
desalinhamento total algo que eacute agravado no interferoacutemetro do tipo Michelson
pelo facto de o feixe laser passar na amostra duas vezes
Apesar destas dificuldades o valor obtido para o coeficiente electrooacuteptico r63
foi de 105pmV valor esse muito proacuteximo do valor padratildeo da literatura que se
encontra nos 106pmV Assim pode-se considerar que o sistema desenvolvido
se encontra devidamente calibrado e pronto para futuras utilizaccedilotildees
41
Capiacutetulo
5Conclusotildees
O trabalho desenvolvido no decorrer desta dissertaccedilatildeo consistiu no desenvolvi-
mento de um sistema para a mediccedilatildeo do efeito electrooacuteptico aacuterea a ser ulilizada
na caracterizaccedilatildeo de novos materiais polimeacutericos para aplicaccedilatildeo em dispositivos
fotoacutenicos
Nesta conformidade foi desenhada construiacuteda e testado uma bancada oacuteptica
destinada agrave mediccedilatildeo do efeito electrooacuteptico baseado numa teacutecnica interferomeacute-
trica de mediccedilatildeo da diferenccedila de fase implementado atraveacutes de um interferoacutemetro
do tipo Michelson
O cristal escolhido para a calibraccedilatildeo do sistema desenvolvido foi um cristal de
KDP comercial tendo sido utilizado o coeficiente electrooacuteptico r63 como referecircn-
cia sendo o valor padratildeo de 106pmV
O sistema obtido permitiu medir um valor nominal de 105plusmn 02pmV com
um erro de aproximadamente 1 em relaccedilatildeo ao valor tabelado comprovando a
afericcedilatildeo do sistema para a mediccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico por transmissatildeo
O sistema desenvolvido estaacute portanto apto para futuras mediccedilotildees sendo ape-
nas necessaacuterio algumas alteraccedilotildees no porta-amostras mediante as dimensotildees e
forma da amostra a utilizar
Chegou-se ainda agrave conclusatildeo que para amostras como o cristal utilizado o
feixe laser passar duas vezes na amostra acaba por ser uma grande desvantagem
desvantagem essa inexistente para filmes polimeacutericos que ganham cada vez mais
importacircncia na aacuterea da fotoacutenica uma vez que satildeo materiais de grande interesse
cientiacutefico e tecnoloacutegico jaacute que podem ser utilizados no desenvolvimento de dispo-
sitivos oacutepticos nomeadamente moduladores de luz e memoacuterias oacutepticas
43
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46
Apecircndice
AApecircndice
A1 Desenhos Teacutecnicos
47
4xM
311
23
35
40
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- Lista de Figuras
- Lista de Tabelas
- Introduccedilatildeo
- Efeito Electrooacuteptico
-
- Oacuteptica Natildeo-Linear
- Propagaccedilatildeo em Meios Anisotroacutepicos
-
- Vector de Poynting
- Elipsoiacutede dos Iacutendices
- Coeficientes Natildeo-Lineares
-
- Mediccedilatildeo do Efeito Electrooacuteptico
-
- Meacutetodo Tradicional
- Meacutetodos por Interferometria
-
- Interferometria Oacuteptica
- Interferoacutemetro de Mach-Zehnder
- Interferoacutemetro de Michelson
-
- Sistema Implementado
-
- Interferoacutemetro
- Electroacutenica Desenvolvida
-
- Amplificador
- Gerador de Rampa
- Seguidor de Tensatildeo
-
- Sistema Oacuteptico Desenvolvido
-
- Espelho Vibrante
- Bancada Oacuteptica
- Detector
- Cristal Electrooacuteptico
- Porta Amostras
-
- Coeficiente Electrooacuteptico
- Execuccedilatildeo Experimental
- Resultados
-
- Conclusotildees
- Bibliografia
- Apecircndice
-
- Desenhos Teacutecnicos
-
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Figura 41 Esquematizaccedilatildeo do interferoacutemetro de Michelson e instrumentaccedilatildeoutilizada para a mediccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico em cristais
Como se pode ver no esquema da figura 41 o ramo do espelho vibrante fica
vazio enquanto que no ramo do espelho fixo se encontra a amostra entre dois
eleacutectrodos onde se aplicam um campo eleacutectrico E O sinal medido no detector
resulta da interferecircncia entre os feixes provenientes de cada ramo do interferoacute-
mentro dependendo da diferenccedila de fase entre os dois feixes Conforme referido
anteriormente a intensidade da luz (I) que chega ao detector eacute da ordem de [16]
I prop E21 +E2
2 + 2E1E2cos(∆φ) (41)
42 Electroacutenica Desenvolvida
421 Amplificador
Para o efeito electrooacuteptico se manisfestar eacute necessaacuterio aplicar-se uma tensatildeo eleacutec-
trica ao meio Uma vez que a tensatildeo de referecircncia fornecida pelo amplificador
lock-in utilizado eacute muito baixa para induzir efeito electrooacuteptico significativo por
volta dos 12V foi necessaacuterio construir um amplificador de tensatildeo (Fig 42)
24
42 ELECTROacuteNICA DESENVOLVIDA
Figura 42 Esquemaacutetico do amplificador de tensatildeo utilizado com base no ampli-ficador operacional LF356n
O amplificador construiacutedo conforme ilustra a figura 42 consiste numa mon-
tagem inversora de ganho variaacutevel com uma malha de controlo de offset e eacute
alimentado a plusmn12V
Assim o ganho G eacute determinado atraveacutes de
G = 1 +R2R1
(42)
Sendo R1 = 11kΩ R2 = 5kΩ R3 = 25kΩ e o amplificador em si utilizado foi
o LF356n
Obtendo-se desta forma um ganho de aproximadamente 55 Permitindo apli-
car uma tensatildeo de cerca de 66V ao cristal electrooacuteptico Uma vez que a tensatildeo
aplicada eacute baixa pode-se desprezar o efeito piezoeleacutectrico gerado na amostra e
que iria influenciar o valor do coeficiente electrooacuteptico medido
422 Gerador de Rampa
Para alimentar o excitador piezoeleacutectrico do espelho moacutevel foi utilizado um ge-
rador de sinais (Fig 43) de forma a induzir um deslocamento linear perioacutedico
na forma de rampa A frequecircncia de oscilaccedilatildeo cerca de 25Hz foi escolhida de
25
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
forma a ser suficientemente baixa para evitar fenoacutemenos de batimento com o sinal
de modulaccedilatildeo electrooacuteptico e suficientemente alta para que se consiga adquirir
dados em tempo uacutetil com uma tensatildeo variaacutevel entre os 4 e os 8V
Figura 43 Esquema eleacutectrico do gerador de rampa implementado baseado nocircuito temporizador NE555
Sendo R1 = 20kΩ R2 = 1kΩ e C1 = C2 = 47microF
O tempo de subida da rampa t1 eacute dado por
t1 = 0693(R1 +R2)C1 (43)
Enquanto que o tempo de descida t2 eacute
t2 = 0693R2C1 (44)
Obtendo assim um tempo de subida de 036s e um tempo de descida de 0033s
Assim a frequecircncia do gerador de rampa f seraacute dada por
f =1
t1 + t2=
144(R1 + 2R2)C1
(45)
O gerador de rampa foi construiacutedo aproveitando o espaccedilo livre no interior da
unidade de amplificaccedilatildeo onde se situa o amplificador
26
42 ELECTROacuteNICA DESENVOLVIDA
423 Seguidor de Tensatildeo
Devido agrave necessidade de acoplamento de impedacircncias entre o amplificador lock-
in e o osciloacutescopio natildeo foi possiacutevel a utilizaccedilatildeo de um repartidor coaxial que
repartisse o sinal proveniente do detector Assim de forma a se poder visuali-
zar o sinal proveniente do detector em simultacircneo com o sinal electrooacuteptico foi
necessaacuterio a construccedilatildeo de um seguidor de tensatildeo (Fig44)
Figura 44 Esquema do seguidor de tensatildeo utilizado construida com base nosamplifacores operacionais LF356n
Sendo que ambos os circuitos integrados foram alimentados por uma tensatildeo
positiva (V+) de 12V e uma negativa (Vminus) de minus12V Com R1 = R2 = 25kΩ Agrave
semelhanccedila do amplificador foi tambeacutem construida uma malha de controlo de
offset
Agrave semelhanccedila do gerador de rampa tambeacutem foi construido na unidade de
amplificaccedilatildeo e gerador de rampa como se pode ver na figura 45
27
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Figura 45 Imagem da unidade de amplificaccedilatildeo e geraccedilatildeo de rampa implemen-tada
43 Sistema Oacuteptico Desenvolvido
431 Espelho Vibrante
O espelho vibrante (Fig46) foi construiacutedo afixando um espelho a um disco pie-
zoeleacutectrico A vibraccedilatildeo do espelho iraacute fazer com que a distacircncia entre o divisor
de feixe e o espelho varie Fazendo deslocar a franja de interferecircncia em frente ao
detector permitindo a este medir as intensidades maacuteximas e miacutenimas das franjas
de interferecircncia (ver secccedilatildeo 323)
Figura 46 Imagem do espelho vibrante utilizado
28
43 SISTEMA OacutePTICO DESENVOLVIDO
432 Bancada Oacuteptica
De forma a colocar os componentes ao niacutevel do feixe do laser na mesa oacuteptica e a
tornar o sistema menos sensiacutevel a vibraccedilotildees mecacircnicas e flutuaccedilotildees teacutermicas os
componentes foram colocadas numa base quadrada de alumiacutenio
Figura 47 Imagem da bancada oacuteptica onde o interferoacutemetro de Michelson foiconstruiacutedo
Conforme se pode ver na figura 47 para completar o interferoacutemetro de Michel-
son para aleacutem dos componentes jaacute referidos foram ainda utilizados um separador
de feixe e um espelho (fixo) no suporte com uma lente oacuteptica agrave saiacuteda do mesmo
Faltando ainda o laser utilizado da Melles Griotreg que possui uma potecircncia de
635mW e um comprimento de onda de 6328nm
433 Detector
O detector utilizado foi um modelo 818-UVDB da Newport Corporationreg (Fig
48) de baixa potecircncia consistindo num fotodiacuteodo de siliacutecio capaz de operar entre
os 200 e os 1100nm As caracteriacutesticas principais deste detector encontram-se
listadas na tabela 433
29
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Tabela 41 Caracteriacutesticas principais do detector 818-UVDB [17]
Largura de Banda 200 a 1100(nm) Material Siliacutecio
Potecircncia
W λ(nm)
Incerteza de
λ(nm)
02 200 a 4008 200 a 219
Maacutexima Calibraccedilatildeo 2 220 a 349
005 400 a 11001 350 a 9494 950 a 1050
Densidade de02Wcm2 Aacuterea Activa 1cm2
Potecircncia Meacutedia
Energia Maacutexima05microJ
Diacircmetro113cm
de Pulso Activo
De forma a evitar que a luz ambiente interferisse nas medidas e para aumen-
tar a resoluccedilatildeo de mediccedilatildeo do perfil da franja de interferecircncia foi colocado um
diafragma com uma abertura no centro de 06mm conforme se pode ver na figura
48 reduzido desta maneira a aacuterea activa para 028 mm2
Figura 48 Imagem do detector e disco utilizado
Para a aquisiccedilatildeo do sinal electrooacuteptico e geraccedilatildeo de sinal electrooacuteptico de
referecircncia foi utilizado um osciloscoacutepio Lecroy Wavesufertrade422
30
43 SISTEMA OacutePTICO DESENVOLVIDO
434 Cristal Electrooacuteptico
Para a calibraccedilatildeo do sistema foi utilizado um cristal padratildeo de dihidrogenofosfato
de potaacutessio (KDP) Na tabela 42 pode-se observar algumas das propriedades
fiacutesicas desse cristal
Tabela 42 Propriedades fiacutesicas do cristal padratildeo KDP [18]
Material Simetria Densidade Classe Higroscopicidade
KDP Tetragonal (42m) 234gcm3 Uniaxial Higroscoacutepico
Uma vez que o cristal eacute uniaxial nx = ny = no e nz = ne sendo no e ne os
iacutendices de refraccedilatildeo ordinaacuterio e extraordinaacuterio do cristal KDP A figura 49 ilustra
o elipsoiacutede de iacutendices num cristal padratildeo KDP
Figura 49 Ilustraccedilatildeo de um cristal padratildeo KDP e seu respectivo elipsoiacutede deiacutendices
31
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Na Tabela 43 pode-se observar algumas das propriedades oacutepticas do cristal
padratildeo KDP
Tabela 43 Propriedades oacutepticas do cristal padratildeo KDP a 6328nm [7]
Material Foacutermula Quiacutemica Iacutendice de RefracccedilatildeoCoeficiente
Electrooacuteptico
KDPKH2PO4
no=15074 r41=86 pmV(λ = 6328nm) ne=14673 r63=106 pmV
Como se pode ver na tabela 42 o cristal do tipo KDP eacute higroscoacutepico sendo
assim necessaacuterio reduzir ao maacuteximo o contacto entre o cristal e a atmosfera para
evitar que as suas faces fiquem opacas interferindo assim na qualidade do feixe
transmitido
435 Porta Amostras
O porta amostras eacute constituiacutedo por uma base feita de latatildeo (Fig 410) onde se
coloca o cristal nivelado com o feixe laser Este suporte possui oito roscas para
parafusos M3 quatro em cima de forma a se fixar os encaixes laterais do porta
amostras e quatro em baixo de forma a afixar-se firmemente na bancada oacuteptica
Figura 410 Imagem da base do porta-amostras desenvolvido
32
43 SISTEMA OacutePTICO DESENVOLVIDO
De forma a aplicar-se a tensatildeo de excitaccedilatildeo ao cristal sem bloquear o feixe do
laser foram utilizadas duas placas de vidro com oacutexido de estanho dopado com
fluacuteor (FTO) Este permite que haja uma boa transparecircncia e conduccedilatildeo eleacutetrica
sendo usado em vaacuterios tipos de dispositivos como aplicaccedilotildees opto-eletroacutenicas
ecratildes touch screen filmes finos fotovoltaicos etc O oacutexido de estanho dopado
com fluacuteor [19] eacute reconhecido por ser altamente estaacutevel quimicamente inerte re-
siste a temperaturas elevadas e ao desgaste abrasivo sendo mais econoacutemico do
que o tradicional oacutexido de iacutendio e estanho (ITO)
De forma a garantir um bom contacto eleacutectrico entre o vidro FTO e o cristal
foram construidas duas peccedilas de afixaccedilatildeo idecircnticas (Fig 411) Trata-se de duas
peccedilas de alumiacutenio cada uma contendo uma abertura de forma a deixar passar
o feixe laser e dois rasgos para parafusos de forma a poder-se fixar no suporte e
desta maneira exercer uma pressatildeo constante sobre o cristal
Figura 411 Imagem das peccedilas de fixaccedilatildeo do cristal desenvolvidas com a vista defrente (a) e a vista de traacutes (b)
A ligaccedilatildeo eleacutectrica entre o sinal de referecircncia proveniente do amplificador ao
vidro FTO foi feita atraveacutes de uma cola condutora de prata de forma a assegurar
a ligaccedilatildeo oacutehmica entre o fio de cobre e a camada de FTO O cristal fica assim entre
duas placas de vidro FTO(Fig412)
33
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Figura 412 Imagem do porta Amostras desenvolvido
A figura 413 ilustra o sistema desenvolvido incluindo a bancada oacuteptica e
instrumentaccedilatildeo
Figura 413 Imagem do sistema desenvolvido para a mediccedilatildeo do efeito electrooacutep-tico
34
44 COEFICIENTE ELECTROOacutePTICO
44 Coeficiente Electrooacuteptico
Para o cristal utilizado o dihidrogenofosfato de potaacutessio (KDP) e para o efeito
electrooacuteptico linear a matriz de coeficientes electrooacutepticos eacute a seguinte
rij =
0 0 0
0 0 0
0 0 0
r41 0 0
0 r52 0
0 0 r63
com
i = 1 6
j = 123
Sendo que r41 = r52 pelo que existem apenas dois coeficientes independentes
o r41 e o r63
Usando a notaccedilatildeo condensada mencionada da secccedilatildeo 21 onde se aplica o
campo eleacutectrico (E) no plano do i (sendo i = m) enquanto que j eacute o eixo oacuteptico
Para o caso do KDP eacute costume utilizar o r63 Isto eacute aplicar o campo eleacutectrico nos
planos 12 ou 21 (ou seja i = 6) com o eixo oacuteptico no eixo 3 (j = 3) como demonstra
a figura 414
Figura 414 Ilustraccedilatildeo da configuraccedilatildeo utilizada para a mediccedilatildeo do coeficienter63 num cristal
35
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Para o caso do efeito electrooacuteptico quadraacutetico a matriz dos coeficientes elec-
trooacutepticos seraacute
sij =
s11 s12 s12 0 0 0
s12 s11 s12 0 0 0
s12 s12 s11 0 0 0
0 0 0 s11 minus s12 0 0
0 0 0 0 s11 minus s12 0
0 0 0 0 0 s11 minus s12
com i j = 1 6
45 Execuccedilatildeo Experimental
Para se medir o coeficiente electrooacuteptico aplica-se ao cristal uma tensatildeo com uma
frequecircncia de 2kHz frequecircncia essa que se revelou menos sensiacutevel aos ruiacutedos
ambientes sendo que o sinal electrooacuteptico teraacute a mesma frequecircncia Podendo-
se desta maneira atraveacutes de um amplificador de lock-in (modelo 393 da IthacoDynatrac) filtrar o sinal electrooacuteptico dos restantes sinais uma vez que a sua
frequecircncia eacute conhecida
A intensidade da equaccedilatildeo 41 eacute maacutexima quando cos(∆φ) = 1 e miacutenima quando
cos(∆φ) = minus1 Pelo que subtraindo estas duas equaccedilotildees
Imax minus Imin = 4E1E2 (46)
Assim combinando a equaccedilatildeo 41 com a equaccedilatildeo 46 obtem-se
I prop E21E
22 +
12
(Imax minus Imin)cos(∆φ) (47)
Juntando agora a equaccedilatildeo 246 agrave equaccedilatildeo 247 e tendo em conta que o feixe
passa duas vezes por cada ramo (=2l) a diferenccedila de fase para o efeito electrooacutep-
tico linear
∆φ = ∆φ0 +πrn3
oVoλ
2lh
cos(Ωt) (48)
Sendo ∆φ0 a diferenccedila de fase inicial sem o efeito electrooacuteptico
36
45 EXECUCcedilAtildeO EXPERIMENTAL
Substituindo o ∆φ da equaccedilatildeo 48 na equaccedilatildeo 47 a intensidade do sinal com
modulaccedilatildeo electrooacuteptica(Iseo) seraacute dado por
Iseo prop E21 +E2
2 +12
(Imax minus Imin)cos(∆φ0 +
πrn3oVoλ
2lh
cos(Ωt))
(49)
Usando cos(α plusmn β) = cos(α)cos(β)∓ sen(α) sen(β) e D = πrn3oVoλ
2lh fica-se com
Iseo prop E21 +E2
2+12
(Imax minus Imin)
[cos(∆φ0)cos(Dcos(Ωt)) minus sen(∆φ0) sen(D cos(Ωt))](410)
Como a modulaccedilatildeo electrooacuteptica eacute um efeito muito pequeno a equaccedilatildeo 410
pode-se escrever
Iseo asymp E21 +E2
2 +12
(Imax minus Imin) [cos(∆φ0)minusD cos(Ωt) sen(∆φ0)] (411)
Considerando soacute os termos de primeira ordem
Iseo asymp12
(Imax minus Imin) [cos(∆φ0)minusD cos(Ωt) sen(∆φ0)] (412)
A componente do sinal electrooacuteptico eacute entatildeo dado por
Iseo =12
(Imax minus Imin)D cos(Ωt) sen(∆φ0) (413)
Ou seja
Iseo =12
(Imax minus Imin)πrn3
oVoλ
2lh
cos(Ωt) sen(∆φ0) (414)
O acircngulo ∆φ0 varia linearmente com o tempo (t) a uma frequecircncia inferior
a Ω A franja de interferecircncia desloca-se continuamente em frente ao detector
devido a um dos espelho estar fixado num disco piezoeleacutectrico
37
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Na figura 415 pode-se ver uma exemplificaccedilatildeo do sinal no detector que incor-
pora o sinal da franja e electrooacuteptico dada pela equaccedilatildeo 414
Figura 415 Ilustraccedilatildeo do sinal de modulaccedilatildeo electrooacuteptica de um feixe de luzmedido num interferoacutemetro de Michelson
Uma vez que o sinal electrooacuteptico (cos(Ωt)) estaacute desfasado π2 do sinal da
franja ( sen(∆φ0)) A intensidade do sinal electrooacuteptico pode ser escrita como
Iseo asymp12
(Imax minus Imin)πrn3
oVoλ
2lh
∣∣∣ sen(∆φ0)∣∣∣ (415)
Assim a amplitude do sinal electrooacuteptico eacute
Iseo =12
(Imax minus Imin)πrn3
oVoλ
2lh
(416)
Pelo que o coeficiente electrooacuteptico linear seraacute dado por
r =|Iseo|
|Imax minus Imin|λ
πn3oVo
hl
(417)
38
46 RESULTADOS
Para o efeito electrooacuteptico quadraacutetico utilizando o procedimento anoacutelogo mas
a partir da equaccedilatildeo 248 em vez da equaccedilatildeo 247 O sinal electrooacuteptico quadraacutetico
Iseoq que ocorre ao dobro da frequecircncia de modulaccedilatildeo 2Ω eacute dado por
s =
∣∣∣Iseoq∣∣∣|Imax minus Imin|
2λ
πn3oV
2o
h2
l(418)
46 Resultados
Com o cristal de KDP devidamente alinhado no interferoacutemetro segundo o seu
eixo oacuteptico de maneira a se medir o coeficiente r63 Obtendo-se assim dois sinais
o sinal de franja e o sinal electrooacuteptico (Fig 416)
Figura 416 Padratildeo da franja produzida (a) e respectivos sinais de franja e elec-trooacuteptico obtidos para um cristal KDP padratildeo
De forma a se proceder a calibraccedilatildeo do sistema utilizou-se a equaccedilatildeo 417 na
forma
|Iseo||Imax minus Imin|
=πn3
o
λlhrVo (419)
39
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Usando o valor da razatildeo |Iseo ||ImaxminusImin|
em funccedilatildeo do potencial aplicado Vo pode-se
calcular o valor do coeficiente electrooacuteptico r atraveacutes do declive da recta obtida
Pode-se ver na figura 417 uma das rectas obtidas para o cristal utilizado na
calibraccedilatildeo do sistema
Figura 417 Razatildeo entre o sinal electrooacuteptico e a diferenccedila de intensidade defranjas em funccedilatildeo do potencial Vo aplicado ao cristal
A tabela 44 apresenta o valor do coeficiente electrooacuteptico obtido e respectiva
incerteza para o cristal de KDP tomando em conta os valores dos iacutendices de
refraccedilatildeo da tabela 43
Tabela 44 Valores e respectivas incertezas obtidas do coeficiente electrooacutepticopara o cristal KDP utilizado
Material Valor Padratildeo Valor Obtido Erro
KDPr63 = 106pmV r63 = 105plusmn 02pmV 1
(λ = 6328nm)
Como se pode ver na tabela 44 o resultado obtido situa-se muito proacuteximo
do teoacuterico encontrando-se dentro da incerteza obtida Os valores valores meacutedios
apresentam um desvio da ordem dos 02pmV
40
46 RESULTADOS
Apesar dos valores obtidos serem bastante positivos houve algumas dificul-
dades nomeadamente o vidro FTO que causou que o alinhamento fosse extrema-
mente complicado natildeo soacute pela sua espessura e dimensionamento como tambeacutem
pela refraccedilatildeo provocada no feixe laser Outro grande obstaacuteculo foi o alinhamento
do cristal uma vez que basta um ligeiro desvio no caminho oacuteptico para causar um
desalinhamento total algo que eacute agravado no interferoacutemetro do tipo Michelson
pelo facto de o feixe laser passar na amostra duas vezes
Apesar destas dificuldades o valor obtido para o coeficiente electrooacuteptico r63
foi de 105pmV valor esse muito proacuteximo do valor padratildeo da literatura que se
encontra nos 106pmV Assim pode-se considerar que o sistema desenvolvido
se encontra devidamente calibrado e pronto para futuras utilizaccedilotildees
41
Capiacutetulo
5Conclusotildees
O trabalho desenvolvido no decorrer desta dissertaccedilatildeo consistiu no desenvolvi-
mento de um sistema para a mediccedilatildeo do efeito electrooacuteptico aacuterea a ser ulilizada
na caracterizaccedilatildeo de novos materiais polimeacutericos para aplicaccedilatildeo em dispositivos
fotoacutenicos
Nesta conformidade foi desenhada construiacuteda e testado uma bancada oacuteptica
destinada agrave mediccedilatildeo do efeito electrooacuteptico baseado numa teacutecnica interferomeacute-
trica de mediccedilatildeo da diferenccedila de fase implementado atraveacutes de um interferoacutemetro
do tipo Michelson
O cristal escolhido para a calibraccedilatildeo do sistema desenvolvido foi um cristal de
KDP comercial tendo sido utilizado o coeficiente electrooacuteptico r63 como referecircn-
cia sendo o valor padratildeo de 106pmV
O sistema obtido permitiu medir um valor nominal de 105plusmn 02pmV com
um erro de aproximadamente 1 em relaccedilatildeo ao valor tabelado comprovando a
afericcedilatildeo do sistema para a mediccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico por transmissatildeo
O sistema desenvolvido estaacute portanto apto para futuras mediccedilotildees sendo ape-
nas necessaacuterio algumas alteraccedilotildees no porta-amostras mediante as dimensotildees e
forma da amostra a utilizar
Chegou-se ainda agrave conclusatildeo que para amostras como o cristal utilizado o
feixe laser passar duas vezes na amostra acaba por ser uma grande desvantagem
desvantagem essa inexistente para filmes polimeacutericos que ganham cada vez mais
importacircncia na aacuterea da fotoacutenica uma vez que satildeo materiais de grande interesse
cientiacutefico e tecnoloacutegico jaacute que podem ser utilizados no desenvolvimento de dispo-
sitivos oacutepticos nomeadamente moduladores de luz e memoacuterias oacutepticas
43
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htmlTablePage=106837645 [Consultado em 17-05-2015]
46
Apecircndice
AApecircndice
A1 Desenhos Teacutecnicos
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- Lista de Figuras
- Lista de Tabelas
- Introduccedilatildeo
- Efeito Electrooacuteptico
-
- Oacuteptica Natildeo-Linear
- Propagaccedilatildeo em Meios Anisotroacutepicos
-
- Vector de Poynting
- Elipsoiacutede dos Iacutendices
- Coeficientes Natildeo-Lineares
-
- Mediccedilatildeo do Efeito Electrooacuteptico
-
- Meacutetodo Tradicional
- Meacutetodos por Interferometria
-
- Interferometria Oacuteptica
- Interferoacutemetro de Mach-Zehnder
- Interferoacutemetro de Michelson
-
- Sistema Implementado
-
- Interferoacutemetro
- Electroacutenica Desenvolvida
-
- Amplificador
- Gerador de Rampa
- Seguidor de Tensatildeo
-
- Sistema Oacuteptico Desenvolvido
-
- Espelho Vibrante
- Bancada Oacuteptica
- Detector
- Cristal Electrooacuteptico
- Porta Amostras
-
- Coeficiente Electrooacuteptico
- Execuccedilatildeo Experimental
- Resultados
-
- Conclusotildees
- Bibliografia
- Apecircndice
-
- Desenhos Teacutecnicos
-
42 ELECTROacuteNICA DESENVOLVIDA
Figura 42 Esquemaacutetico do amplificador de tensatildeo utilizado com base no ampli-ficador operacional LF356n
O amplificador construiacutedo conforme ilustra a figura 42 consiste numa mon-
tagem inversora de ganho variaacutevel com uma malha de controlo de offset e eacute
alimentado a plusmn12V
Assim o ganho G eacute determinado atraveacutes de
G = 1 +R2R1
(42)
Sendo R1 = 11kΩ R2 = 5kΩ R3 = 25kΩ e o amplificador em si utilizado foi
o LF356n
Obtendo-se desta forma um ganho de aproximadamente 55 Permitindo apli-
car uma tensatildeo de cerca de 66V ao cristal electrooacuteptico Uma vez que a tensatildeo
aplicada eacute baixa pode-se desprezar o efeito piezoeleacutectrico gerado na amostra e
que iria influenciar o valor do coeficiente electrooacuteptico medido
422 Gerador de Rampa
Para alimentar o excitador piezoeleacutectrico do espelho moacutevel foi utilizado um ge-
rador de sinais (Fig 43) de forma a induzir um deslocamento linear perioacutedico
na forma de rampa A frequecircncia de oscilaccedilatildeo cerca de 25Hz foi escolhida de
25
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
forma a ser suficientemente baixa para evitar fenoacutemenos de batimento com o sinal
de modulaccedilatildeo electrooacuteptico e suficientemente alta para que se consiga adquirir
dados em tempo uacutetil com uma tensatildeo variaacutevel entre os 4 e os 8V
Figura 43 Esquema eleacutectrico do gerador de rampa implementado baseado nocircuito temporizador NE555
Sendo R1 = 20kΩ R2 = 1kΩ e C1 = C2 = 47microF
O tempo de subida da rampa t1 eacute dado por
t1 = 0693(R1 +R2)C1 (43)
Enquanto que o tempo de descida t2 eacute
t2 = 0693R2C1 (44)
Obtendo assim um tempo de subida de 036s e um tempo de descida de 0033s
Assim a frequecircncia do gerador de rampa f seraacute dada por
f =1
t1 + t2=
144(R1 + 2R2)C1
(45)
O gerador de rampa foi construiacutedo aproveitando o espaccedilo livre no interior da
unidade de amplificaccedilatildeo onde se situa o amplificador
26
42 ELECTROacuteNICA DESENVOLVIDA
423 Seguidor de Tensatildeo
Devido agrave necessidade de acoplamento de impedacircncias entre o amplificador lock-
in e o osciloacutescopio natildeo foi possiacutevel a utilizaccedilatildeo de um repartidor coaxial que
repartisse o sinal proveniente do detector Assim de forma a se poder visuali-
zar o sinal proveniente do detector em simultacircneo com o sinal electrooacuteptico foi
necessaacuterio a construccedilatildeo de um seguidor de tensatildeo (Fig44)
Figura 44 Esquema do seguidor de tensatildeo utilizado construida com base nosamplifacores operacionais LF356n
Sendo que ambos os circuitos integrados foram alimentados por uma tensatildeo
positiva (V+) de 12V e uma negativa (Vminus) de minus12V Com R1 = R2 = 25kΩ Agrave
semelhanccedila do amplificador foi tambeacutem construida uma malha de controlo de
offset
Agrave semelhanccedila do gerador de rampa tambeacutem foi construido na unidade de
amplificaccedilatildeo e gerador de rampa como se pode ver na figura 45
27
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Figura 45 Imagem da unidade de amplificaccedilatildeo e geraccedilatildeo de rampa implemen-tada
43 Sistema Oacuteptico Desenvolvido
431 Espelho Vibrante
O espelho vibrante (Fig46) foi construiacutedo afixando um espelho a um disco pie-
zoeleacutectrico A vibraccedilatildeo do espelho iraacute fazer com que a distacircncia entre o divisor
de feixe e o espelho varie Fazendo deslocar a franja de interferecircncia em frente ao
detector permitindo a este medir as intensidades maacuteximas e miacutenimas das franjas
de interferecircncia (ver secccedilatildeo 323)
Figura 46 Imagem do espelho vibrante utilizado
28
43 SISTEMA OacutePTICO DESENVOLVIDO
432 Bancada Oacuteptica
De forma a colocar os componentes ao niacutevel do feixe do laser na mesa oacuteptica e a
tornar o sistema menos sensiacutevel a vibraccedilotildees mecacircnicas e flutuaccedilotildees teacutermicas os
componentes foram colocadas numa base quadrada de alumiacutenio
Figura 47 Imagem da bancada oacuteptica onde o interferoacutemetro de Michelson foiconstruiacutedo
Conforme se pode ver na figura 47 para completar o interferoacutemetro de Michel-
son para aleacutem dos componentes jaacute referidos foram ainda utilizados um separador
de feixe e um espelho (fixo) no suporte com uma lente oacuteptica agrave saiacuteda do mesmo
Faltando ainda o laser utilizado da Melles Griotreg que possui uma potecircncia de
635mW e um comprimento de onda de 6328nm
433 Detector
O detector utilizado foi um modelo 818-UVDB da Newport Corporationreg (Fig
48) de baixa potecircncia consistindo num fotodiacuteodo de siliacutecio capaz de operar entre
os 200 e os 1100nm As caracteriacutesticas principais deste detector encontram-se
listadas na tabela 433
29
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Tabela 41 Caracteriacutesticas principais do detector 818-UVDB [17]
Largura de Banda 200 a 1100(nm) Material Siliacutecio
Potecircncia
W λ(nm)
Incerteza de
λ(nm)
02 200 a 4008 200 a 219
Maacutexima Calibraccedilatildeo 2 220 a 349
005 400 a 11001 350 a 9494 950 a 1050
Densidade de02Wcm2 Aacuterea Activa 1cm2
Potecircncia Meacutedia
Energia Maacutexima05microJ
Diacircmetro113cm
de Pulso Activo
De forma a evitar que a luz ambiente interferisse nas medidas e para aumen-
tar a resoluccedilatildeo de mediccedilatildeo do perfil da franja de interferecircncia foi colocado um
diafragma com uma abertura no centro de 06mm conforme se pode ver na figura
48 reduzido desta maneira a aacuterea activa para 028 mm2
Figura 48 Imagem do detector e disco utilizado
Para a aquisiccedilatildeo do sinal electrooacuteptico e geraccedilatildeo de sinal electrooacuteptico de
referecircncia foi utilizado um osciloscoacutepio Lecroy Wavesufertrade422
30
43 SISTEMA OacutePTICO DESENVOLVIDO
434 Cristal Electrooacuteptico
Para a calibraccedilatildeo do sistema foi utilizado um cristal padratildeo de dihidrogenofosfato
de potaacutessio (KDP) Na tabela 42 pode-se observar algumas das propriedades
fiacutesicas desse cristal
Tabela 42 Propriedades fiacutesicas do cristal padratildeo KDP [18]
Material Simetria Densidade Classe Higroscopicidade
KDP Tetragonal (42m) 234gcm3 Uniaxial Higroscoacutepico
Uma vez que o cristal eacute uniaxial nx = ny = no e nz = ne sendo no e ne os
iacutendices de refraccedilatildeo ordinaacuterio e extraordinaacuterio do cristal KDP A figura 49 ilustra
o elipsoiacutede de iacutendices num cristal padratildeo KDP
Figura 49 Ilustraccedilatildeo de um cristal padratildeo KDP e seu respectivo elipsoiacutede deiacutendices
31
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Na Tabela 43 pode-se observar algumas das propriedades oacutepticas do cristal
padratildeo KDP
Tabela 43 Propriedades oacutepticas do cristal padratildeo KDP a 6328nm [7]
Material Foacutermula Quiacutemica Iacutendice de RefracccedilatildeoCoeficiente
Electrooacuteptico
KDPKH2PO4
no=15074 r41=86 pmV(λ = 6328nm) ne=14673 r63=106 pmV
Como se pode ver na tabela 42 o cristal do tipo KDP eacute higroscoacutepico sendo
assim necessaacuterio reduzir ao maacuteximo o contacto entre o cristal e a atmosfera para
evitar que as suas faces fiquem opacas interferindo assim na qualidade do feixe
transmitido
435 Porta Amostras
O porta amostras eacute constituiacutedo por uma base feita de latatildeo (Fig 410) onde se
coloca o cristal nivelado com o feixe laser Este suporte possui oito roscas para
parafusos M3 quatro em cima de forma a se fixar os encaixes laterais do porta
amostras e quatro em baixo de forma a afixar-se firmemente na bancada oacuteptica
Figura 410 Imagem da base do porta-amostras desenvolvido
32
43 SISTEMA OacutePTICO DESENVOLVIDO
De forma a aplicar-se a tensatildeo de excitaccedilatildeo ao cristal sem bloquear o feixe do
laser foram utilizadas duas placas de vidro com oacutexido de estanho dopado com
fluacuteor (FTO) Este permite que haja uma boa transparecircncia e conduccedilatildeo eleacutetrica
sendo usado em vaacuterios tipos de dispositivos como aplicaccedilotildees opto-eletroacutenicas
ecratildes touch screen filmes finos fotovoltaicos etc O oacutexido de estanho dopado
com fluacuteor [19] eacute reconhecido por ser altamente estaacutevel quimicamente inerte re-
siste a temperaturas elevadas e ao desgaste abrasivo sendo mais econoacutemico do
que o tradicional oacutexido de iacutendio e estanho (ITO)
De forma a garantir um bom contacto eleacutectrico entre o vidro FTO e o cristal
foram construidas duas peccedilas de afixaccedilatildeo idecircnticas (Fig 411) Trata-se de duas
peccedilas de alumiacutenio cada uma contendo uma abertura de forma a deixar passar
o feixe laser e dois rasgos para parafusos de forma a poder-se fixar no suporte e
desta maneira exercer uma pressatildeo constante sobre o cristal
Figura 411 Imagem das peccedilas de fixaccedilatildeo do cristal desenvolvidas com a vista defrente (a) e a vista de traacutes (b)
A ligaccedilatildeo eleacutectrica entre o sinal de referecircncia proveniente do amplificador ao
vidro FTO foi feita atraveacutes de uma cola condutora de prata de forma a assegurar
a ligaccedilatildeo oacutehmica entre o fio de cobre e a camada de FTO O cristal fica assim entre
duas placas de vidro FTO(Fig412)
33
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Figura 412 Imagem do porta Amostras desenvolvido
A figura 413 ilustra o sistema desenvolvido incluindo a bancada oacuteptica e
instrumentaccedilatildeo
Figura 413 Imagem do sistema desenvolvido para a mediccedilatildeo do efeito electrooacutep-tico
34
44 COEFICIENTE ELECTROOacutePTICO
44 Coeficiente Electrooacuteptico
Para o cristal utilizado o dihidrogenofosfato de potaacutessio (KDP) e para o efeito
electrooacuteptico linear a matriz de coeficientes electrooacutepticos eacute a seguinte
rij =
0 0 0
0 0 0
0 0 0
r41 0 0
0 r52 0
0 0 r63
com
i = 1 6
j = 123
Sendo que r41 = r52 pelo que existem apenas dois coeficientes independentes
o r41 e o r63
Usando a notaccedilatildeo condensada mencionada da secccedilatildeo 21 onde se aplica o
campo eleacutectrico (E) no plano do i (sendo i = m) enquanto que j eacute o eixo oacuteptico
Para o caso do KDP eacute costume utilizar o r63 Isto eacute aplicar o campo eleacutectrico nos
planos 12 ou 21 (ou seja i = 6) com o eixo oacuteptico no eixo 3 (j = 3) como demonstra
a figura 414
Figura 414 Ilustraccedilatildeo da configuraccedilatildeo utilizada para a mediccedilatildeo do coeficienter63 num cristal
35
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Para o caso do efeito electrooacuteptico quadraacutetico a matriz dos coeficientes elec-
trooacutepticos seraacute
sij =
s11 s12 s12 0 0 0
s12 s11 s12 0 0 0
s12 s12 s11 0 0 0
0 0 0 s11 minus s12 0 0
0 0 0 0 s11 minus s12 0
0 0 0 0 0 s11 minus s12
com i j = 1 6
45 Execuccedilatildeo Experimental
Para se medir o coeficiente electrooacuteptico aplica-se ao cristal uma tensatildeo com uma
frequecircncia de 2kHz frequecircncia essa que se revelou menos sensiacutevel aos ruiacutedos
ambientes sendo que o sinal electrooacuteptico teraacute a mesma frequecircncia Podendo-
se desta maneira atraveacutes de um amplificador de lock-in (modelo 393 da IthacoDynatrac) filtrar o sinal electrooacuteptico dos restantes sinais uma vez que a sua
frequecircncia eacute conhecida
A intensidade da equaccedilatildeo 41 eacute maacutexima quando cos(∆φ) = 1 e miacutenima quando
cos(∆φ) = minus1 Pelo que subtraindo estas duas equaccedilotildees
Imax minus Imin = 4E1E2 (46)
Assim combinando a equaccedilatildeo 41 com a equaccedilatildeo 46 obtem-se
I prop E21E
22 +
12
(Imax minus Imin)cos(∆φ) (47)
Juntando agora a equaccedilatildeo 246 agrave equaccedilatildeo 247 e tendo em conta que o feixe
passa duas vezes por cada ramo (=2l) a diferenccedila de fase para o efeito electrooacutep-
tico linear
∆φ = ∆φ0 +πrn3
oVoλ
2lh
cos(Ωt) (48)
Sendo ∆φ0 a diferenccedila de fase inicial sem o efeito electrooacuteptico
36
45 EXECUCcedilAtildeO EXPERIMENTAL
Substituindo o ∆φ da equaccedilatildeo 48 na equaccedilatildeo 47 a intensidade do sinal com
modulaccedilatildeo electrooacuteptica(Iseo) seraacute dado por
Iseo prop E21 +E2
2 +12
(Imax minus Imin)cos(∆φ0 +
πrn3oVoλ
2lh
cos(Ωt))
(49)
Usando cos(α plusmn β) = cos(α)cos(β)∓ sen(α) sen(β) e D = πrn3oVoλ
2lh fica-se com
Iseo prop E21 +E2
2+12
(Imax minus Imin)
[cos(∆φ0)cos(Dcos(Ωt)) minus sen(∆φ0) sen(D cos(Ωt))](410)
Como a modulaccedilatildeo electrooacuteptica eacute um efeito muito pequeno a equaccedilatildeo 410
pode-se escrever
Iseo asymp E21 +E2
2 +12
(Imax minus Imin) [cos(∆φ0)minusD cos(Ωt) sen(∆φ0)] (411)
Considerando soacute os termos de primeira ordem
Iseo asymp12
(Imax minus Imin) [cos(∆φ0)minusD cos(Ωt) sen(∆φ0)] (412)
A componente do sinal electrooacuteptico eacute entatildeo dado por
Iseo =12
(Imax minus Imin)D cos(Ωt) sen(∆φ0) (413)
Ou seja
Iseo =12
(Imax minus Imin)πrn3
oVoλ
2lh
cos(Ωt) sen(∆φ0) (414)
O acircngulo ∆φ0 varia linearmente com o tempo (t) a uma frequecircncia inferior
a Ω A franja de interferecircncia desloca-se continuamente em frente ao detector
devido a um dos espelho estar fixado num disco piezoeleacutectrico
37
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Na figura 415 pode-se ver uma exemplificaccedilatildeo do sinal no detector que incor-
pora o sinal da franja e electrooacuteptico dada pela equaccedilatildeo 414
Figura 415 Ilustraccedilatildeo do sinal de modulaccedilatildeo electrooacuteptica de um feixe de luzmedido num interferoacutemetro de Michelson
Uma vez que o sinal electrooacuteptico (cos(Ωt)) estaacute desfasado π2 do sinal da
franja ( sen(∆φ0)) A intensidade do sinal electrooacuteptico pode ser escrita como
Iseo asymp12
(Imax minus Imin)πrn3
oVoλ
2lh
∣∣∣ sen(∆φ0)∣∣∣ (415)
Assim a amplitude do sinal electrooacuteptico eacute
Iseo =12
(Imax minus Imin)πrn3
oVoλ
2lh
(416)
Pelo que o coeficiente electrooacuteptico linear seraacute dado por
r =|Iseo|
|Imax minus Imin|λ
πn3oVo
hl
(417)
38
46 RESULTADOS
Para o efeito electrooacuteptico quadraacutetico utilizando o procedimento anoacutelogo mas
a partir da equaccedilatildeo 248 em vez da equaccedilatildeo 247 O sinal electrooacuteptico quadraacutetico
Iseoq que ocorre ao dobro da frequecircncia de modulaccedilatildeo 2Ω eacute dado por
s =
∣∣∣Iseoq∣∣∣|Imax minus Imin|
2λ
πn3oV
2o
h2
l(418)
46 Resultados
Com o cristal de KDP devidamente alinhado no interferoacutemetro segundo o seu
eixo oacuteptico de maneira a se medir o coeficiente r63 Obtendo-se assim dois sinais
o sinal de franja e o sinal electrooacuteptico (Fig 416)
Figura 416 Padratildeo da franja produzida (a) e respectivos sinais de franja e elec-trooacuteptico obtidos para um cristal KDP padratildeo
De forma a se proceder a calibraccedilatildeo do sistema utilizou-se a equaccedilatildeo 417 na
forma
|Iseo||Imax minus Imin|
=πn3
o
λlhrVo (419)
39
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Usando o valor da razatildeo |Iseo ||ImaxminusImin|
em funccedilatildeo do potencial aplicado Vo pode-se
calcular o valor do coeficiente electrooacuteptico r atraveacutes do declive da recta obtida
Pode-se ver na figura 417 uma das rectas obtidas para o cristal utilizado na
calibraccedilatildeo do sistema
Figura 417 Razatildeo entre o sinal electrooacuteptico e a diferenccedila de intensidade defranjas em funccedilatildeo do potencial Vo aplicado ao cristal
A tabela 44 apresenta o valor do coeficiente electrooacuteptico obtido e respectiva
incerteza para o cristal de KDP tomando em conta os valores dos iacutendices de
refraccedilatildeo da tabela 43
Tabela 44 Valores e respectivas incertezas obtidas do coeficiente electrooacutepticopara o cristal KDP utilizado
Material Valor Padratildeo Valor Obtido Erro
KDPr63 = 106pmV r63 = 105plusmn 02pmV 1
(λ = 6328nm)
Como se pode ver na tabela 44 o resultado obtido situa-se muito proacuteximo
do teoacuterico encontrando-se dentro da incerteza obtida Os valores valores meacutedios
apresentam um desvio da ordem dos 02pmV
40
46 RESULTADOS
Apesar dos valores obtidos serem bastante positivos houve algumas dificul-
dades nomeadamente o vidro FTO que causou que o alinhamento fosse extrema-
mente complicado natildeo soacute pela sua espessura e dimensionamento como tambeacutem
pela refraccedilatildeo provocada no feixe laser Outro grande obstaacuteculo foi o alinhamento
do cristal uma vez que basta um ligeiro desvio no caminho oacuteptico para causar um
desalinhamento total algo que eacute agravado no interferoacutemetro do tipo Michelson
pelo facto de o feixe laser passar na amostra duas vezes
Apesar destas dificuldades o valor obtido para o coeficiente electrooacuteptico r63
foi de 105pmV valor esse muito proacuteximo do valor padratildeo da literatura que se
encontra nos 106pmV Assim pode-se considerar que o sistema desenvolvido
se encontra devidamente calibrado e pronto para futuras utilizaccedilotildees
41
Capiacutetulo
5Conclusotildees
O trabalho desenvolvido no decorrer desta dissertaccedilatildeo consistiu no desenvolvi-
mento de um sistema para a mediccedilatildeo do efeito electrooacuteptico aacuterea a ser ulilizada
na caracterizaccedilatildeo de novos materiais polimeacutericos para aplicaccedilatildeo em dispositivos
fotoacutenicos
Nesta conformidade foi desenhada construiacuteda e testado uma bancada oacuteptica
destinada agrave mediccedilatildeo do efeito electrooacuteptico baseado numa teacutecnica interferomeacute-
trica de mediccedilatildeo da diferenccedila de fase implementado atraveacutes de um interferoacutemetro
do tipo Michelson
O cristal escolhido para a calibraccedilatildeo do sistema desenvolvido foi um cristal de
KDP comercial tendo sido utilizado o coeficiente electrooacuteptico r63 como referecircn-
cia sendo o valor padratildeo de 106pmV
O sistema obtido permitiu medir um valor nominal de 105plusmn 02pmV com
um erro de aproximadamente 1 em relaccedilatildeo ao valor tabelado comprovando a
afericcedilatildeo do sistema para a mediccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico por transmissatildeo
O sistema desenvolvido estaacute portanto apto para futuras mediccedilotildees sendo ape-
nas necessaacuterio algumas alteraccedilotildees no porta-amostras mediante as dimensotildees e
forma da amostra a utilizar
Chegou-se ainda agrave conclusatildeo que para amostras como o cristal utilizado o
feixe laser passar duas vezes na amostra acaba por ser uma grande desvantagem
desvantagem essa inexistente para filmes polimeacutericos que ganham cada vez mais
importacircncia na aacuterea da fotoacutenica uma vez que satildeo materiais de grande interesse
cientiacutefico e tecnoloacutegico jaacute que podem ser utilizados no desenvolvimento de dispo-
sitivos oacutepticos nomeadamente moduladores de luz e memoacuterias oacutepticas
43
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46
Apecircndice
AApecircndice
A1 Desenhos Teacutecnicos
47
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311
23
35
40
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311
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- Lista de Figuras
- Lista de Tabelas
- Introduccedilatildeo
- Efeito Electrooacuteptico
-
- Oacuteptica Natildeo-Linear
- Propagaccedilatildeo em Meios Anisotroacutepicos
-
- Vector de Poynting
- Elipsoiacutede dos Iacutendices
- Coeficientes Natildeo-Lineares
-
- Mediccedilatildeo do Efeito Electrooacuteptico
-
- Meacutetodo Tradicional
- Meacutetodos por Interferometria
-
- Interferometria Oacuteptica
- Interferoacutemetro de Mach-Zehnder
- Interferoacutemetro de Michelson
-
- Sistema Implementado
-
- Interferoacutemetro
- Electroacutenica Desenvolvida
-
- Amplificador
- Gerador de Rampa
- Seguidor de Tensatildeo
-
- Sistema Oacuteptico Desenvolvido
-
- Espelho Vibrante
- Bancada Oacuteptica
- Detector
- Cristal Electrooacuteptico
- Porta Amostras
-
- Coeficiente Electrooacuteptico
- Execuccedilatildeo Experimental
- Resultados
-
- Conclusotildees
- Bibliografia
- Apecircndice
-
- Desenhos Teacutecnicos
-
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
forma a ser suficientemente baixa para evitar fenoacutemenos de batimento com o sinal
de modulaccedilatildeo electrooacuteptico e suficientemente alta para que se consiga adquirir
dados em tempo uacutetil com uma tensatildeo variaacutevel entre os 4 e os 8V
Figura 43 Esquema eleacutectrico do gerador de rampa implementado baseado nocircuito temporizador NE555
Sendo R1 = 20kΩ R2 = 1kΩ e C1 = C2 = 47microF
O tempo de subida da rampa t1 eacute dado por
t1 = 0693(R1 +R2)C1 (43)
Enquanto que o tempo de descida t2 eacute
t2 = 0693R2C1 (44)
Obtendo assim um tempo de subida de 036s e um tempo de descida de 0033s
Assim a frequecircncia do gerador de rampa f seraacute dada por
f =1
t1 + t2=
144(R1 + 2R2)C1
(45)
O gerador de rampa foi construiacutedo aproveitando o espaccedilo livre no interior da
unidade de amplificaccedilatildeo onde se situa o amplificador
26
42 ELECTROacuteNICA DESENVOLVIDA
423 Seguidor de Tensatildeo
Devido agrave necessidade de acoplamento de impedacircncias entre o amplificador lock-
in e o osciloacutescopio natildeo foi possiacutevel a utilizaccedilatildeo de um repartidor coaxial que
repartisse o sinal proveniente do detector Assim de forma a se poder visuali-
zar o sinal proveniente do detector em simultacircneo com o sinal electrooacuteptico foi
necessaacuterio a construccedilatildeo de um seguidor de tensatildeo (Fig44)
Figura 44 Esquema do seguidor de tensatildeo utilizado construida com base nosamplifacores operacionais LF356n
Sendo que ambos os circuitos integrados foram alimentados por uma tensatildeo
positiva (V+) de 12V e uma negativa (Vminus) de minus12V Com R1 = R2 = 25kΩ Agrave
semelhanccedila do amplificador foi tambeacutem construida uma malha de controlo de
offset
Agrave semelhanccedila do gerador de rampa tambeacutem foi construido na unidade de
amplificaccedilatildeo e gerador de rampa como se pode ver na figura 45
27
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Figura 45 Imagem da unidade de amplificaccedilatildeo e geraccedilatildeo de rampa implemen-tada
43 Sistema Oacuteptico Desenvolvido
431 Espelho Vibrante
O espelho vibrante (Fig46) foi construiacutedo afixando um espelho a um disco pie-
zoeleacutectrico A vibraccedilatildeo do espelho iraacute fazer com que a distacircncia entre o divisor
de feixe e o espelho varie Fazendo deslocar a franja de interferecircncia em frente ao
detector permitindo a este medir as intensidades maacuteximas e miacutenimas das franjas
de interferecircncia (ver secccedilatildeo 323)
Figura 46 Imagem do espelho vibrante utilizado
28
43 SISTEMA OacutePTICO DESENVOLVIDO
432 Bancada Oacuteptica
De forma a colocar os componentes ao niacutevel do feixe do laser na mesa oacuteptica e a
tornar o sistema menos sensiacutevel a vibraccedilotildees mecacircnicas e flutuaccedilotildees teacutermicas os
componentes foram colocadas numa base quadrada de alumiacutenio
Figura 47 Imagem da bancada oacuteptica onde o interferoacutemetro de Michelson foiconstruiacutedo
Conforme se pode ver na figura 47 para completar o interferoacutemetro de Michel-
son para aleacutem dos componentes jaacute referidos foram ainda utilizados um separador
de feixe e um espelho (fixo) no suporte com uma lente oacuteptica agrave saiacuteda do mesmo
Faltando ainda o laser utilizado da Melles Griotreg que possui uma potecircncia de
635mW e um comprimento de onda de 6328nm
433 Detector
O detector utilizado foi um modelo 818-UVDB da Newport Corporationreg (Fig
48) de baixa potecircncia consistindo num fotodiacuteodo de siliacutecio capaz de operar entre
os 200 e os 1100nm As caracteriacutesticas principais deste detector encontram-se
listadas na tabela 433
29
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Tabela 41 Caracteriacutesticas principais do detector 818-UVDB [17]
Largura de Banda 200 a 1100(nm) Material Siliacutecio
Potecircncia
W λ(nm)
Incerteza de
λ(nm)
02 200 a 4008 200 a 219
Maacutexima Calibraccedilatildeo 2 220 a 349
005 400 a 11001 350 a 9494 950 a 1050
Densidade de02Wcm2 Aacuterea Activa 1cm2
Potecircncia Meacutedia
Energia Maacutexima05microJ
Diacircmetro113cm
de Pulso Activo
De forma a evitar que a luz ambiente interferisse nas medidas e para aumen-
tar a resoluccedilatildeo de mediccedilatildeo do perfil da franja de interferecircncia foi colocado um
diafragma com uma abertura no centro de 06mm conforme se pode ver na figura
48 reduzido desta maneira a aacuterea activa para 028 mm2
Figura 48 Imagem do detector e disco utilizado
Para a aquisiccedilatildeo do sinal electrooacuteptico e geraccedilatildeo de sinal electrooacuteptico de
referecircncia foi utilizado um osciloscoacutepio Lecroy Wavesufertrade422
30
43 SISTEMA OacutePTICO DESENVOLVIDO
434 Cristal Electrooacuteptico
Para a calibraccedilatildeo do sistema foi utilizado um cristal padratildeo de dihidrogenofosfato
de potaacutessio (KDP) Na tabela 42 pode-se observar algumas das propriedades
fiacutesicas desse cristal
Tabela 42 Propriedades fiacutesicas do cristal padratildeo KDP [18]
Material Simetria Densidade Classe Higroscopicidade
KDP Tetragonal (42m) 234gcm3 Uniaxial Higroscoacutepico
Uma vez que o cristal eacute uniaxial nx = ny = no e nz = ne sendo no e ne os
iacutendices de refraccedilatildeo ordinaacuterio e extraordinaacuterio do cristal KDP A figura 49 ilustra
o elipsoiacutede de iacutendices num cristal padratildeo KDP
Figura 49 Ilustraccedilatildeo de um cristal padratildeo KDP e seu respectivo elipsoiacutede deiacutendices
31
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Na Tabela 43 pode-se observar algumas das propriedades oacutepticas do cristal
padratildeo KDP
Tabela 43 Propriedades oacutepticas do cristal padratildeo KDP a 6328nm [7]
Material Foacutermula Quiacutemica Iacutendice de RefracccedilatildeoCoeficiente
Electrooacuteptico
KDPKH2PO4
no=15074 r41=86 pmV(λ = 6328nm) ne=14673 r63=106 pmV
Como se pode ver na tabela 42 o cristal do tipo KDP eacute higroscoacutepico sendo
assim necessaacuterio reduzir ao maacuteximo o contacto entre o cristal e a atmosfera para
evitar que as suas faces fiquem opacas interferindo assim na qualidade do feixe
transmitido
435 Porta Amostras
O porta amostras eacute constituiacutedo por uma base feita de latatildeo (Fig 410) onde se
coloca o cristal nivelado com o feixe laser Este suporte possui oito roscas para
parafusos M3 quatro em cima de forma a se fixar os encaixes laterais do porta
amostras e quatro em baixo de forma a afixar-se firmemente na bancada oacuteptica
Figura 410 Imagem da base do porta-amostras desenvolvido
32
43 SISTEMA OacutePTICO DESENVOLVIDO
De forma a aplicar-se a tensatildeo de excitaccedilatildeo ao cristal sem bloquear o feixe do
laser foram utilizadas duas placas de vidro com oacutexido de estanho dopado com
fluacuteor (FTO) Este permite que haja uma boa transparecircncia e conduccedilatildeo eleacutetrica
sendo usado em vaacuterios tipos de dispositivos como aplicaccedilotildees opto-eletroacutenicas
ecratildes touch screen filmes finos fotovoltaicos etc O oacutexido de estanho dopado
com fluacuteor [19] eacute reconhecido por ser altamente estaacutevel quimicamente inerte re-
siste a temperaturas elevadas e ao desgaste abrasivo sendo mais econoacutemico do
que o tradicional oacutexido de iacutendio e estanho (ITO)
De forma a garantir um bom contacto eleacutectrico entre o vidro FTO e o cristal
foram construidas duas peccedilas de afixaccedilatildeo idecircnticas (Fig 411) Trata-se de duas
peccedilas de alumiacutenio cada uma contendo uma abertura de forma a deixar passar
o feixe laser e dois rasgos para parafusos de forma a poder-se fixar no suporte e
desta maneira exercer uma pressatildeo constante sobre o cristal
Figura 411 Imagem das peccedilas de fixaccedilatildeo do cristal desenvolvidas com a vista defrente (a) e a vista de traacutes (b)
A ligaccedilatildeo eleacutectrica entre o sinal de referecircncia proveniente do amplificador ao
vidro FTO foi feita atraveacutes de uma cola condutora de prata de forma a assegurar
a ligaccedilatildeo oacutehmica entre o fio de cobre e a camada de FTO O cristal fica assim entre
duas placas de vidro FTO(Fig412)
33
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Figura 412 Imagem do porta Amostras desenvolvido
A figura 413 ilustra o sistema desenvolvido incluindo a bancada oacuteptica e
instrumentaccedilatildeo
Figura 413 Imagem do sistema desenvolvido para a mediccedilatildeo do efeito electrooacutep-tico
34
44 COEFICIENTE ELECTROOacutePTICO
44 Coeficiente Electrooacuteptico
Para o cristal utilizado o dihidrogenofosfato de potaacutessio (KDP) e para o efeito
electrooacuteptico linear a matriz de coeficientes electrooacutepticos eacute a seguinte
rij =
0 0 0
0 0 0
0 0 0
r41 0 0
0 r52 0
0 0 r63
com
i = 1 6
j = 123
Sendo que r41 = r52 pelo que existem apenas dois coeficientes independentes
o r41 e o r63
Usando a notaccedilatildeo condensada mencionada da secccedilatildeo 21 onde se aplica o
campo eleacutectrico (E) no plano do i (sendo i = m) enquanto que j eacute o eixo oacuteptico
Para o caso do KDP eacute costume utilizar o r63 Isto eacute aplicar o campo eleacutectrico nos
planos 12 ou 21 (ou seja i = 6) com o eixo oacuteptico no eixo 3 (j = 3) como demonstra
a figura 414
Figura 414 Ilustraccedilatildeo da configuraccedilatildeo utilizada para a mediccedilatildeo do coeficienter63 num cristal
35
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Para o caso do efeito electrooacuteptico quadraacutetico a matriz dos coeficientes elec-
trooacutepticos seraacute
sij =
s11 s12 s12 0 0 0
s12 s11 s12 0 0 0
s12 s12 s11 0 0 0
0 0 0 s11 minus s12 0 0
0 0 0 0 s11 minus s12 0
0 0 0 0 0 s11 minus s12
com i j = 1 6
45 Execuccedilatildeo Experimental
Para se medir o coeficiente electrooacuteptico aplica-se ao cristal uma tensatildeo com uma
frequecircncia de 2kHz frequecircncia essa que se revelou menos sensiacutevel aos ruiacutedos
ambientes sendo que o sinal electrooacuteptico teraacute a mesma frequecircncia Podendo-
se desta maneira atraveacutes de um amplificador de lock-in (modelo 393 da IthacoDynatrac) filtrar o sinal electrooacuteptico dos restantes sinais uma vez que a sua
frequecircncia eacute conhecida
A intensidade da equaccedilatildeo 41 eacute maacutexima quando cos(∆φ) = 1 e miacutenima quando
cos(∆φ) = minus1 Pelo que subtraindo estas duas equaccedilotildees
Imax minus Imin = 4E1E2 (46)
Assim combinando a equaccedilatildeo 41 com a equaccedilatildeo 46 obtem-se
I prop E21E
22 +
12
(Imax minus Imin)cos(∆φ) (47)
Juntando agora a equaccedilatildeo 246 agrave equaccedilatildeo 247 e tendo em conta que o feixe
passa duas vezes por cada ramo (=2l) a diferenccedila de fase para o efeito electrooacutep-
tico linear
∆φ = ∆φ0 +πrn3
oVoλ
2lh
cos(Ωt) (48)
Sendo ∆φ0 a diferenccedila de fase inicial sem o efeito electrooacuteptico
36
45 EXECUCcedilAtildeO EXPERIMENTAL
Substituindo o ∆φ da equaccedilatildeo 48 na equaccedilatildeo 47 a intensidade do sinal com
modulaccedilatildeo electrooacuteptica(Iseo) seraacute dado por
Iseo prop E21 +E2
2 +12
(Imax minus Imin)cos(∆φ0 +
πrn3oVoλ
2lh
cos(Ωt))
(49)
Usando cos(α plusmn β) = cos(α)cos(β)∓ sen(α) sen(β) e D = πrn3oVoλ
2lh fica-se com
Iseo prop E21 +E2
2+12
(Imax minus Imin)
[cos(∆φ0)cos(Dcos(Ωt)) minus sen(∆φ0) sen(D cos(Ωt))](410)
Como a modulaccedilatildeo electrooacuteptica eacute um efeito muito pequeno a equaccedilatildeo 410
pode-se escrever
Iseo asymp E21 +E2
2 +12
(Imax minus Imin) [cos(∆φ0)minusD cos(Ωt) sen(∆φ0)] (411)
Considerando soacute os termos de primeira ordem
Iseo asymp12
(Imax minus Imin) [cos(∆φ0)minusD cos(Ωt) sen(∆φ0)] (412)
A componente do sinal electrooacuteptico eacute entatildeo dado por
Iseo =12
(Imax minus Imin)D cos(Ωt) sen(∆φ0) (413)
Ou seja
Iseo =12
(Imax minus Imin)πrn3
oVoλ
2lh
cos(Ωt) sen(∆φ0) (414)
O acircngulo ∆φ0 varia linearmente com o tempo (t) a uma frequecircncia inferior
a Ω A franja de interferecircncia desloca-se continuamente em frente ao detector
devido a um dos espelho estar fixado num disco piezoeleacutectrico
37
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Na figura 415 pode-se ver uma exemplificaccedilatildeo do sinal no detector que incor-
pora o sinal da franja e electrooacuteptico dada pela equaccedilatildeo 414
Figura 415 Ilustraccedilatildeo do sinal de modulaccedilatildeo electrooacuteptica de um feixe de luzmedido num interferoacutemetro de Michelson
Uma vez que o sinal electrooacuteptico (cos(Ωt)) estaacute desfasado π2 do sinal da
franja ( sen(∆φ0)) A intensidade do sinal electrooacuteptico pode ser escrita como
Iseo asymp12
(Imax minus Imin)πrn3
oVoλ
2lh
∣∣∣ sen(∆φ0)∣∣∣ (415)
Assim a amplitude do sinal electrooacuteptico eacute
Iseo =12
(Imax minus Imin)πrn3
oVoλ
2lh
(416)
Pelo que o coeficiente electrooacuteptico linear seraacute dado por
r =|Iseo|
|Imax minus Imin|λ
πn3oVo
hl
(417)
38
46 RESULTADOS
Para o efeito electrooacuteptico quadraacutetico utilizando o procedimento anoacutelogo mas
a partir da equaccedilatildeo 248 em vez da equaccedilatildeo 247 O sinal electrooacuteptico quadraacutetico
Iseoq que ocorre ao dobro da frequecircncia de modulaccedilatildeo 2Ω eacute dado por
s =
∣∣∣Iseoq∣∣∣|Imax minus Imin|
2λ
πn3oV
2o
h2
l(418)
46 Resultados
Com o cristal de KDP devidamente alinhado no interferoacutemetro segundo o seu
eixo oacuteptico de maneira a se medir o coeficiente r63 Obtendo-se assim dois sinais
o sinal de franja e o sinal electrooacuteptico (Fig 416)
Figura 416 Padratildeo da franja produzida (a) e respectivos sinais de franja e elec-trooacuteptico obtidos para um cristal KDP padratildeo
De forma a se proceder a calibraccedilatildeo do sistema utilizou-se a equaccedilatildeo 417 na
forma
|Iseo||Imax minus Imin|
=πn3
o
λlhrVo (419)
39
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Usando o valor da razatildeo |Iseo ||ImaxminusImin|
em funccedilatildeo do potencial aplicado Vo pode-se
calcular o valor do coeficiente electrooacuteptico r atraveacutes do declive da recta obtida
Pode-se ver na figura 417 uma das rectas obtidas para o cristal utilizado na
calibraccedilatildeo do sistema
Figura 417 Razatildeo entre o sinal electrooacuteptico e a diferenccedila de intensidade defranjas em funccedilatildeo do potencial Vo aplicado ao cristal
A tabela 44 apresenta o valor do coeficiente electrooacuteptico obtido e respectiva
incerteza para o cristal de KDP tomando em conta os valores dos iacutendices de
refraccedilatildeo da tabela 43
Tabela 44 Valores e respectivas incertezas obtidas do coeficiente electrooacutepticopara o cristal KDP utilizado
Material Valor Padratildeo Valor Obtido Erro
KDPr63 = 106pmV r63 = 105plusmn 02pmV 1
(λ = 6328nm)
Como se pode ver na tabela 44 o resultado obtido situa-se muito proacuteximo
do teoacuterico encontrando-se dentro da incerteza obtida Os valores valores meacutedios
apresentam um desvio da ordem dos 02pmV
40
46 RESULTADOS
Apesar dos valores obtidos serem bastante positivos houve algumas dificul-
dades nomeadamente o vidro FTO que causou que o alinhamento fosse extrema-
mente complicado natildeo soacute pela sua espessura e dimensionamento como tambeacutem
pela refraccedilatildeo provocada no feixe laser Outro grande obstaacuteculo foi o alinhamento
do cristal uma vez que basta um ligeiro desvio no caminho oacuteptico para causar um
desalinhamento total algo que eacute agravado no interferoacutemetro do tipo Michelson
pelo facto de o feixe laser passar na amostra duas vezes
Apesar destas dificuldades o valor obtido para o coeficiente electrooacuteptico r63
foi de 105pmV valor esse muito proacuteximo do valor padratildeo da literatura que se
encontra nos 106pmV Assim pode-se considerar que o sistema desenvolvido
se encontra devidamente calibrado e pronto para futuras utilizaccedilotildees
41
Capiacutetulo
5Conclusotildees
O trabalho desenvolvido no decorrer desta dissertaccedilatildeo consistiu no desenvolvi-
mento de um sistema para a mediccedilatildeo do efeito electrooacuteptico aacuterea a ser ulilizada
na caracterizaccedilatildeo de novos materiais polimeacutericos para aplicaccedilatildeo em dispositivos
fotoacutenicos
Nesta conformidade foi desenhada construiacuteda e testado uma bancada oacuteptica
destinada agrave mediccedilatildeo do efeito electrooacuteptico baseado numa teacutecnica interferomeacute-
trica de mediccedilatildeo da diferenccedila de fase implementado atraveacutes de um interferoacutemetro
do tipo Michelson
O cristal escolhido para a calibraccedilatildeo do sistema desenvolvido foi um cristal de
KDP comercial tendo sido utilizado o coeficiente electrooacuteptico r63 como referecircn-
cia sendo o valor padratildeo de 106pmV
O sistema obtido permitiu medir um valor nominal de 105plusmn 02pmV com
um erro de aproximadamente 1 em relaccedilatildeo ao valor tabelado comprovando a
afericcedilatildeo do sistema para a mediccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico por transmissatildeo
O sistema desenvolvido estaacute portanto apto para futuras mediccedilotildees sendo ape-
nas necessaacuterio algumas alteraccedilotildees no porta-amostras mediante as dimensotildees e
forma da amostra a utilizar
Chegou-se ainda agrave conclusatildeo que para amostras como o cristal utilizado o
feixe laser passar duas vezes na amostra acaba por ser uma grande desvantagem
desvantagem essa inexistente para filmes polimeacutericos que ganham cada vez mais
importacircncia na aacuterea da fotoacutenica uma vez que satildeo materiais de grande interesse
cientiacutefico e tecnoloacutegico jaacute que podem ser utilizados no desenvolvimento de dispo-
sitivos oacutepticos nomeadamente moduladores de luz e memoacuterias oacutepticas
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46
Apecircndice
AApecircndice
A1 Desenhos Teacutecnicos
47
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311
23
35
40
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311
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- Lista de Figuras
- Lista de Tabelas
- Introduccedilatildeo
- Efeito Electrooacuteptico
-
- Oacuteptica Natildeo-Linear
- Propagaccedilatildeo em Meios Anisotroacutepicos
-
- Vector de Poynting
- Elipsoiacutede dos Iacutendices
- Coeficientes Natildeo-Lineares
-
- Mediccedilatildeo do Efeito Electrooacuteptico
-
- Meacutetodo Tradicional
- Meacutetodos por Interferometria
-
- Interferometria Oacuteptica
- Interferoacutemetro de Mach-Zehnder
- Interferoacutemetro de Michelson
-
- Sistema Implementado
-
- Interferoacutemetro
- Electroacutenica Desenvolvida
-
- Amplificador
- Gerador de Rampa
- Seguidor de Tensatildeo
-
- Sistema Oacuteptico Desenvolvido
-
- Espelho Vibrante
- Bancada Oacuteptica
- Detector
- Cristal Electrooacuteptico
- Porta Amostras
-
- Coeficiente Electrooacuteptico
- Execuccedilatildeo Experimental
- Resultados
-
- Conclusotildees
- Bibliografia
- Apecircndice
-
- Desenhos Teacutecnicos
-
42 ELECTROacuteNICA DESENVOLVIDA
423 Seguidor de Tensatildeo
Devido agrave necessidade de acoplamento de impedacircncias entre o amplificador lock-
in e o osciloacutescopio natildeo foi possiacutevel a utilizaccedilatildeo de um repartidor coaxial que
repartisse o sinal proveniente do detector Assim de forma a se poder visuali-
zar o sinal proveniente do detector em simultacircneo com o sinal electrooacuteptico foi
necessaacuterio a construccedilatildeo de um seguidor de tensatildeo (Fig44)
Figura 44 Esquema do seguidor de tensatildeo utilizado construida com base nosamplifacores operacionais LF356n
Sendo que ambos os circuitos integrados foram alimentados por uma tensatildeo
positiva (V+) de 12V e uma negativa (Vminus) de minus12V Com R1 = R2 = 25kΩ Agrave
semelhanccedila do amplificador foi tambeacutem construida uma malha de controlo de
offset
Agrave semelhanccedila do gerador de rampa tambeacutem foi construido na unidade de
amplificaccedilatildeo e gerador de rampa como se pode ver na figura 45
27
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Figura 45 Imagem da unidade de amplificaccedilatildeo e geraccedilatildeo de rampa implemen-tada
43 Sistema Oacuteptico Desenvolvido
431 Espelho Vibrante
O espelho vibrante (Fig46) foi construiacutedo afixando um espelho a um disco pie-
zoeleacutectrico A vibraccedilatildeo do espelho iraacute fazer com que a distacircncia entre o divisor
de feixe e o espelho varie Fazendo deslocar a franja de interferecircncia em frente ao
detector permitindo a este medir as intensidades maacuteximas e miacutenimas das franjas
de interferecircncia (ver secccedilatildeo 323)
Figura 46 Imagem do espelho vibrante utilizado
28
43 SISTEMA OacutePTICO DESENVOLVIDO
432 Bancada Oacuteptica
De forma a colocar os componentes ao niacutevel do feixe do laser na mesa oacuteptica e a
tornar o sistema menos sensiacutevel a vibraccedilotildees mecacircnicas e flutuaccedilotildees teacutermicas os
componentes foram colocadas numa base quadrada de alumiacutenio
Figura 47 Imagem da bancada oacuteptica onde o interferoacutemetro de Michelson foiconstruiacutedo
Conforme se pode ver na figura 47 para completar o interferoacutemetro de Michel-
son para aleacutem dos componentes jaacute referidos foram ainda utilizados um separador
de feixe e um espelho (fixo) no suporte com uma lente oacuteptica agrave saiacuteda do mesmo
Faltando ainda o laser utilizado da Melles Griotreg que possui uma potecircncia de
635mW e um comprimento de onda de 6328nm
433 Detector
O detector utilizado foi um modelo 818-UVDB da Newport Corporationreg (Fig
48) de baixa potecircncia consistindo num fotodiacuteodo de siliacutecio capaz de operar entre
os 200 e os 1100nm As caracteriacutesticas principais deste detector encontram-se
listadas na tabela 433
29
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Tabela 41 Caracteriacutesticas principais do detector 818-UVDB [17]
Largura de Banda 200 a 1100(nm) Material Siliacutecio
Potecircncia
W λ(nm)
Incerteza de
λ(nm)
02 200 a 4008 200 a 219
Maacutexima Calibraccedilatildeo 2 220 a 349
005 400 a 11001 350 a 9494 950 a 1050
Densidade de02Wcm2 Aacuterea Activa 1cm2
Potecircncia Meacutedia
Energia Maacutexima05microJ
Diacircmetro113cm
de Pulso Activo
De forma a evitar que a luz ambiente interferisse nas medidas e para aumen-
tar a resoluccedilatildeo de mediccedilatildeo do perfil da franja de interferecircncia foi colocado um
diafragma com uma abertura no centro de 06mm conforme se pode ver na figura
48 reduzido desta maneira a aacuterea activa para 028 mm2
Figura 48 Imagem do detector e disco utilizado
Para a aquisiccedilatildeo do sinal electrooacuteptico e geraccedilatildeo de sinal electrooacuteptico de
referecircncia foi utilizado um osciloscoacutepio Lecroy Wavesufertrade422
30
43 SISTEMA OacutePTICO DESENVOLVIDO
434 Cristal Electrooacuteptico
Para a calibraccedilatildeo do sistema foi utilizado um cristal padratildeo de dihidrogenofosfato
de potaacutessio (KDP) Na tabela 42 pode-se observar algumas das propriedades
fiacutesicas desse cristal
Tabela 42 Propriedades fiacutesicas do cristal padratildeo KDP [18]
Material Simetria Densidade Classe Higroscopicidade
KDP Tetragonal (42m) 234gcm3 Uniaxial Higroscoacutepico
Uma vez que o cristal eacute uniaxial nx = ny = no e nz = ne sendo no e ne os
iacutendices de refraccedilatildeo ordinaacuterio e extraordinaacuterio do cristal KDP A figura 49 ilustra
o elipsoiacutede de iacutendices num cristal padratildeo KDP
Figura 49 Ilustraccedilatildeo de um cristal padratildeo KDP e seu respectivo elipsoiacutede deiacutendices
31
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Na Tabela 43 pode-se observar algumas das propriedades oacutepticas do cristal
padratildeo KDP
Tabela 43 Propriedades oacutepticas do cristal padratildeo KDP a 6328nm [7]
Material Foacutermula Quiacutemica Iacutendice de RefracccedilatildeoCoeficiente
Electrooacuteptico
KDPKH2PO4
no=15074 r41=86 pmV(λ = 6328nm) ne=14673 r63=106 pmV
Como se pode ver na tabela 42 o cristal do tipo KDP eacute higroscoacutepico sendo
assim necessaacuterio reduzir ao maacuteximo o contacto entre o cristal e a atmosfera para
evitar que as suas faces fiquem opacas interferindo assim na qualidade do feixe
transmitido
435 Porta Amostras
O porta amostras eacute constituiacutedo por uma base feita de latatildeo (Fig 410) onde se
coloca o cristal nivelado com o feixe laser Este suporte possui oito roscas para
parafusos M3 quatro em cima de forma a se fixar os encaixes laterais do porta
amostras e quatro em baixo de forma a afixar-se firmemente na bancada oacuteptica
Figura 410 Imagem da base do porta-amostras desenvolvido
32
43 SISTEMA OacutePTICO DESENVOLVIDO
De forma a aplicar-se a tensatildeo de excitaccedilatildeo ao cristal sem bloquear o feixe do
laser foram utilizadas duas placas de vidro com oacutexido de estanho dopado com
fluacuteor (FTO) Este permite que haja uma boa transparecircncia e conduccedilatildeo eleacutetrica
sendo usado em vaacuterios tipos de dispositivos como aplicaccedilotildees opto-eletroacutenicas
ecratildes touch screen filmes finos fotovoltaicos etc O oacutexido de estanho dopado
com fluacuteor [19] eacute reconhecido por ser altamente estaacutevel quimicamente inerte re-
siste a temperaturas elevadas e ao desgaste abrasivo sendo mais econoacutemico do
que o tradicional oacutexido de iacutendio e estanho (ITO)
De forma a garantir um bom contacto eleacutectrico entre o vidro FTO e o cristal
foram construidas duas peccedilas de afixaccedilatildeo idecircnticas (Fig 411) Trata-se de duas
peccedilas de alumiacutenio cada uma contendo uma abertura de forma a deixar passar
o feixe laser e dois rasgos para parafusos de forma a poder-se fixar no suporte e
desta maneira exercer uma pressatildeo constante sobre o cristal
Figura 411 Imagem das peccedilas de fixaccedilatildeo do cristal desenvolvidas com a vista defrente (a) e a vista de traacutes (b)
A ligaccedilatildeo eleacutectrica entre o sinal de referecircncia proveniente do amplificador ao
vidro FTO foi feita atraveacutes de uma cola condutora de prata de forma a assegurar
a ligaccedilatildeo oacutehmica entre o fio de cobre e a camada de FTO O cristal fica assim entre
duas placas de vidro FTO(Fig412)
33
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Figura 412 Imagem do porta Amostras desenvolvido
A figura 413 ilustra o sistema desenvolvido incluindo a bancada oacuteptica e
instrumentaccedilatildeo
Figura 413 Imagem do sistema desenvolvido para a mediccedilatildeo do efeito electrooacutep-tico
34
44 COEFICIENTE ELECTROOacutePTICO
44 Coeficiente Electrooacuteptico
Para o cristal utilizado o dihidrogenofosfato de potaacutessio (KDP) e para o efeito
electrooacuteptico linear a matriz de coeficientes electrooacutepticos eacute a seguinte
rij =
0 0 0
0 0 0
0 0 0
r41 0 0
0 r52 0
0 0 r63
com
i = 1 6
j = 123
Sendo que r41 = r52 pelo que existem apenas dois coeficientes independentes
o r41 e o r63
Usando a notaccedilatildeo condensada mencionada da secccedilatildeo 21 onde se aplica o
campo eleacutectrico (E) no plano do i (sendo i = m) enquanto que j eacute o eixo oacuteptico
Para o caso do KDP eacute costume utilizar o r63 Isto eacute aplicar o campo eleacutectrico nos
planos 12 ou 21 (ou seja i = 6) com o eixo oacuteptico no eixo 3 (j = 3) como demonstra
a figura 414
Figura 414 Ilustraccedilatildeo da configuraccedilatildeo utilizada para a mediccedilatildeo do coeficienter63 num cristal
35
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Para o caso do efeito electrooacuteptico quadraacutetico a matriz dos coeficientes elec-
trooacutepticos seraacute
sij =
s11 s12 s12 0 0 0
s12 s11 s12 0 0 0
s12 s12 s11 0 0 0
0 0 0 s11 minus s12 0 0
0 0 0 0 s11 minus s12 0
0 0 0 0 0 s11 minus s12
com i j = 1 6
45 Execuccedilatildeo Experimental
Para se medir o coeficiente electrooacuteptico aplica-se ao cristal uma tensatildeo com uma
frequecircncia de 2kHz frequecircncia essa que se revelou menos sensiacutevel aos ruiacutedos
ambientes sendo que o sinal electrooacuteptico teraacute a mesma frequecircncia Podendo-
se desta maneira atraveacutes de um amplificador de lock-in (modelo 393 da IthacoDynatrac) filtrar o sinal electrooacuteptico dos restantes sinais uma vez que a sua
frequecircncia eacute conhecida
A intensidade da equaccedilatildeo 41 eacute maacutexima quando cos(∆φ) = 1 e miacutenima quando
cos(∆φ) = minus1 Pelo que subtraindo estas duas equaccedilotildees
Imax minus Imin = 4E1E2 (46)
Assim combinando a equaccedilatildeo 41 com a equaccedilatildeo 46 obtem-se
I prop E21E
22 +
12
(Imax minus Imin)cos(∆φ) (47)
Juntando agora a equaccedilatildeo 246 agrave equaccedilatildeo 247 e tendo em conta que o feixe
passa duas vezes por cada ramo (=2l) a diferenccedila de fase para o efeito electrooacutep-
tico linear
∆φ = ∆φ0 +πrn3
oVoλ
2lh
cos(Ωt) (48)
Sendo ∆φ0 a diferenccedila de fase inicial sem o efeito electrooacuteptico
36
45 EXECUCcedilAtildeO EXPERIMENTAL
Substituindo o ∆φ da equaccedilatildeo 48 na equaccedilatildeo 47 a intensidade do sinal com
modulaccedilatildeo electrooacuteptica(Iseo) seraacute dado por
Iseo prop E21 +E2
2 +12
(Imax minus Imin)cos(∆φ0 +
πrn3oVoλ
2lh
cos(Ωt))
(49)
Usando cos(α plusmn β) = cos(α)cos(β)∓ sen(α) sen(β) e D = πrn3oVoλ
2lh fica-se com
Iseo prop E21 +E2
2+12
(Imax minus Imin)
[cos(∆φ0)cos(Dcos(Ωt)) minus sen(∆φ0) sen(D cos(Ωt))](410)
Como a modulaccedilatildeo electrooacuteptica eacute um efeito muito pequeno a equaccedilatildeo 410
pode-se escrever
Iseo asymp E21 +E2
2 +12
(Imax minus Imin) [cos(∆φ0)minusD cos(Ωt) sen(∆φ0)] (411)
Considerando soacute os termos de primeira ordem
Iseo asymp12
(Imax minus Imin) [cos(∆φ0)minusD cos(Ωt) sen(∆φ0)] (412)
A componente do sinal electrooacuteptico eacute entatildeo dado por
Iseo =12
(Imax minus Imin)D cos(Ωt) sen(∆φ0) (413)
Ou seja
Iseo =12
(Imax minus Imin)πrn3
oVoλ
2lh
cos(Ωt) sen(∆φ0) (414)
O acircngulo ∆φ0 varia linearmente com o tempo (t) a uma frequecircncia inferior
a Ω A franja de interferecircncia desloca-se continuamente em frente ao detector
devido a um dos espelho estar fixado num disco piezoeleacutectrico
37
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Na figura 415 pode-se ver uma exemplificaccedilatildeo do sinal no detector que incor-
pora o sinal da franja e electrooacuteptico dada pela equaccedilatildeo 414
Figura 415 Ilustraccedilatildeo do sinal de modulaccedilatildeo electrooacuteptica de um feixe de luzmedido num interferoacutemetro de Michelson
Uma vez que o sinal electrooacuteptico (cos(Ωt)) estaacute desfasado π2 do sinal da
franja ( sen(∆φ0)) A intensidade do sinal electrooacuteptico pode ser escrita como
Iseo asymp12
(Imax minus Imin)πrn3
oVoλ
2lh
∣∣∣ sen(∆φ0)∣∣∣ (415)
Assim a amplitude do sinal electrooacuteptico eacute
Iseo =12
(Imax minus Imin)πrn3
oVoλ
2lh
(416)
Pelo que o coeficiente electrooacuteptico linear seraacute dado por
r =|Iseo|
|Imax minus Imin|λ
πn3oVo
hl
(417)
38
46 RESULTADOS
Para o efeito electrooacuteptico quadraacutetico utilizando o procedimento anoacutelogo mas
a partir da equaccedilatildeo 248 em vez da equaccedilatildeo 247 O sinal electrooacuteptico quadraacutetico
Iseoq que ocorre ao dobro da frequecircncia de modulaccedilatildeo 2Ω eacute dado por
s =
∣∣∣Iseoq∣∣∣|Imax minus Imin|
2λ
πn3oV
2o
h2
l(418)
46 Resultados
Com o cristal de KDP devidamente alinhado no interferoacutemetro segundo o seu
eixo oacuteptico de maneira a se medir o coeficiente r63 Obtendo-se assim dois sinais
o sinal de franja e o sinal electrooacuteptico (Fig 416)
Figura 416 Padratildeo da franja produzida (a) e respectivos sinais de franja e elec-trooacuteptico obtidos para um cristal KDP padratildeo
De forma a se proceder a calibraccedilatildeo do sistema utilizou-se a equaccedilatildeo 417 na
forma
|Iseo||Imax minus Imin|
=πn3
o
λlhrVo (419)
39
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Usando o valor da razatildeo |Iseo ||ImaxminusImin|
em funccedilatildeo do potencial aplicado Vo pode-se
calcular o valor do coeficiente electrooacuteptico r atraveacutes do declive da recta obtida
Pode-se ver na figura 417 uma das rectas obtidas para o cristal utilizado na
calibraccedilatildeo do sistema
Figura 417 Razatildeo entre o sinal electrooacuteptico e a diferenccedila de intensidade defranjas em funccedilatildeo do potencial Vo aplicado ao cristal
A tabela 44 apresenta o valor do coeficiente electrooacuteptico obtido e respectiva
incerteza para o cristal de KDP tomando em conta os valores dos iacutendices de
refraccedilatildeo da tabela 43
Tabela 44 Valores e respectivas incertezas obtidas do coeficiente electrooacutepticopara o cristal KDP utilizado
Material Valor Padratildeo Valor Obtido Erro
KDPr63 = 106pmV r63 = 105plusmn 02pmV 1
(λ = 6328nm)
Como se pode ver na tabela 44 o resultado obtido situa-se muito proacuteximo
do teoacuterico encontrando-se dentro da incerteza obtida Os valores valores meacutedios
apresentam um desvio da ordem dos 02pmV
40
46 RESULTADOS
Apesar dos valores obtidos serem bastante positivos houve algumas dificul-
dades nomeadamente o vidro FTO que causou que o alinhamento fosse extrema-
mente complicado natildeo soacute pela sua espessura e dimensionamento como tambeacutem
pela refraccedilatildeo provocada no feixe laser Outro grande obstaacuteculo foi o alinhamento
do cristal uma vez que basta um ligeiro desvio no caminho oacuteptico para causar um
desalinhamento total algo que eacute agravado no interferoacutemetro do tipo Michelson
pelo facto de o feixe laser passar na amostra duas vezes
Apesar destas dificuldades o valor obtido para o coeficiente electrooacuteptico r63
foi de 105pmV valor esse muito proacuteximo do valor padratildeo da literatura que se
encontra nos 106pmV Assim pode-se considerar que o sistema desenvolvido
se encontra devidamente calibrado e pronto para futuras utilizaccedilotildees
41
Capiacutetulo
5Conclusotildees
O trabalho desenvolvido no decorrer desta dissertaccedilatildeo consistiu no desenvolvi-
mento de um sistema para a mediccedilatildeo do efeito electrooacuteptico aacuterea a ser ulilizada
na caracterizaccedilatildeo de novos materiais polimeacutericos para aplicaccedilatildeo em dispositivos
fotoacutenicos
Nesta conformidade foi desenhada construiacuteda e testado uma bancada oacuteptica
destinada agrave mediccedilatildeo do efeito electrooacuteptico baseado numa teacutecnica interferomeacute-
trica de mediccedilatildeo da diferenccedila de fase implementado atraveacutes de um interferoacutemetro
do tipo Michelson
O cristal escolhido para a calibraccedilatildeo do sistema desenvolvido foi um cristal de
KDP comercial tendo sido utilizado o coeficiente electrooacuteptico r63 como referecircn-
cia sendo o valor padratildeo de 106pmV
O sistema obtido permitiu medir um valor nominal de 105plusmn 02pmV com
um erro de aproximadamente 1 em relaccedilatildeo ao valor tabelado comprovando a
afericcedilatildeo do sistema para a mediccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico por transmissatildeo
O sistema desenvolvido estaacute portanto apto para futuras mediccedilotildees sendo ape-
nas necessaacuterio algumas alteraccedilotildees no porta-amostras mediante as dimensotildees e
forma da amostra a utilizar
Chegou-se ainda agrave conclusatildeo que para amostras como o cristal utilizado o
feixe laser passar duas vezes na amostra acaba por ser uma grande desvantagem
desvantagem essa inexistente para filmes polimeacutericos que ganham cada vez mais
importacircncia na aacuterea da fotoacutenica uma vez que satildeo materiais de grande interesse
cientiacutefico e tecnoloacutegico jaacute que podem ser utilizados no desenvolvimento de dispo-
sitivos oacutepticos nomeadamente moduladores de luz e memoacuterias oacutepticas
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htmlTablePage=106837645 [Consultado em 17-05-2015]
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Apecircndice
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A1 Desenhos Teacutecnicos
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- Lista de Figuras
- Lista de Tabelas
- Introduccedilatildeo
- Efeito Electrooacuteptico
-
- Oacuteptica Natildeo-Linear
- Propagaccedilatildeo em Meios Anisotroacutepicos
-
- Vector de Poynting
- Elipsoiacutede dos Iacutendices
- Coeficientes Natildeo-Lineares
-
- Mediccedilatildeo do Efeito Electrooacuteptico
-
- Meacutetodo Tradicional
- Meacutetodos por Interferometria
-
- Interferometria Oacuteptica
- Interferoacutemetro de Mach-Zehnder
- Interferoacutemetro de Michelson
-
- Sistema Implementado
-
- Interferoacutemetro
- Electroacutenica Desenvolvida
-
- Amplificador
- Gerador de Rampa
- Seguidor de Tensatildeo
-
- Sistema Oacuteptico Desenvolvido
-
- Espelho Vibrante
- Bancada Oacuteptica
- Detector
- Cristal Electrooacuteptico
- Porta Amostras
-
- Coeficiente Electrooacuteptico
- Execuccedilatildeo Experimental
- Resultados
-
- Conclusotildees
- Bibliografia
- Apecircndice
-
- Desenhos Teacutecnicos
-
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Figura 45 Imagem da unidade de amplificaccedilatildeo e geraccedilatildeo de rampa implemen-tada
43 Sistema Oacuteptico Desenvolvido
431 Espelho Vibrante
O espelho vibrante (Fig46) foi construiacutedo afixando um espelho a um disco pie-
zoeleacutectrico A vibraccedilatildeo do espelho iraacute fazer com que a distacircncia entre o divisor
de feixe e o espelho varie Fazendo deslocar a franja de interferecircncia em frente ao
detector permitindo a este medir as intensidades maacuteximas e miacutenimas das franjas
de interferecircncia (ver secccedilatildeo 323)
Figura 46 Imagem do espelho vibrante utilizado
28
43 SISTEMA OacutePTICO DESENVOLVIDO
432 Bancada Oacuteptica
De forma a colocar os componentes ao niacutevel do feixe do laser na mesa oacuteptica e a
tornar o sistema menos sensiacutevel a vibraccedilotildees mecacircnicas e flutuaccedilotildees teacutermicas os
componentes foram colocadas numa base quadrada de alumiacutenio
Figura 47 Imagem da bancada oacuteptica onde o interferoacutemetro de Michelson foiconstruiacutedo
Conforme se pode ver na figura 47 para completar o interferoacutemetro de Michel-
son para aleacutem dos componentes jaacute referidos foram ainda utilizados um separador
de feixe e um espelho (fixo) no suporte com uma lente oacuteptica agrave saiacuteda do mesmo
Faltando ainda o laser utilizado da Melles Griotreg que possui uma potecircncia de
635mW e um comprimento de onda de 6328nm
433 Detector
O detector utilizado foi um modelo 818-UVDB da Newport Corporationreg (Fig
48) de baixa potecircncia consistindo num fotodiacuteodo de siliacutecio capaz de operar entre
os 200 e os 1100nm As caracteriacutesticas principais deste detector encontram-se
listadas na tabela 433
29
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Tabela 41 Caracteriacutesticas principais do detector 818-UVDB [17]
Largura de Banda 200 a 1100(nm) Material Siliacutecio
Potecircncia
W λ(nm)
Incerteza de
λ(nm)
02 200 a 4008 200 a 219
Maacutexima Calibraccedilatildeo 2 220 a 349
005 400 a 11001 350 a 9494 950 a 1050
Densidade de02Wcm2 Aacuterea Activa 1cm2
Potecircncia Meacutedia
Energia Maacutexima05microJ
Diacircmetro113cm
de Pulso Activo
De forma a evitar que a luz ambiente interferisse nas medidas e para aumen-
tar a resoluccedilatildeo de mediccedilatildeo do perfil da franja de interferecircncia foi colocado um
diafragma com uma abertura no centro de 06mm conforme se pode ver na figura
48 reduzido desta maneira a aacuterea activa para 028 mm2
Figura 48 Imagem do detector e disco utilizado
Para a aquisiccedilatildeo do sinal electrooacuteptico e geraccedilatildeo de sinal electrooacuteptico de
referecircncia foi utilizado um osciloscoacutepio Lecroy Wavesufertrade422
30
43 SISTEMA OacutePTICO DESENVOLVIDO
434 Cristal Electrooacuteptico
Para a calibraccedilatildeo do sistema foi utilizado um cristal padratildeo de dihidrogenofosfato
de potaacutessio (KDP) Na tabela 42 pode-se observar algumas das propriedades
fiacutesicas desse cristal
Tabela 42 Propriedades fiacutesicas do cristal padratildeo KDP [18]
Material Simetria Densidade Classe Higroscopicidade
KDP Tetragonal (42m) 234gcm3 Uniaxial Higroscoacutepico
Uma vez que o cristal eacute uniaxial nx = ny = no e nz = ne sendo no e ne os
iacutendices de refraccedilatildeo ordinaacuterio e extraordinaacuterio do cristal KDP A figura 49 ilustra
o elipsoiacutede de iacutendices num cristal padratildeo KDP
Figura 49 Ilustraccedilatildeo de um cristal padratildeo KDP e seu respectivo elipsoiacutede deiacutendices
31
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Na Tabela 43 pode-se observar algumas das propriedades oacutepticas do cristal
padratildeo KDP
Tabela 43 Propriedades oacutepticas do cristal padratildeo KDP a 6328nm [7]
Material Foacutermula Quiacutemica Iacutendice de RefracccedilatildeoCoeficiente
Electrooacuteptico
KDPKH2PO4
no=15074 r41=86 pmV(λ = 6328nm) ne=14673 r63=106 pmV
Como se pode ver na tabela 42 o cristal do tipo KDP eacute higroscoacutepico sendo
assim necessaacuterio reduzir ao maacuteximo o contacto entre o cristal e a atmosfera para
evitar que as suas faces fiquem opacas interferindo assim na qualidade do feixe
transmitido
435 Porta Amostras
O porta amostras eacute constituiacutedo por uma base feita de latatildeo (Fig 410) onde se
coloca o cristal nivelado com o feixe laser Este suporte possui oito roscas para
parafusos M3 quatro em cima de forma a se fixar os encaixes laterais do porta
amostras e quatro em baixo de forma a afixar-se firmemente na bancada oacuteptica
Figura 410 Imagem da base do porta-amostras desenvolvido
32
43 SISTEMA OacutePTICO DESENVOLVIDO
De forma a aplicar-se a tensatildeo de excitaccedilatildeo ao cristal sem bloquear o feixe do
laser foram utilizadas duas placas de vidro com oacutexido de estanho dopado com
fluacuteor (FTO) Este permite que haja uma boa transparecircncia e conduccedilatildeo eleacutetrica
sendo usado em vaacuterios tipos de dispositivos como aplicaccedilotildees opto-eletroacutenicas
ecratildes touch screen filmes finos fotovoltaicos etc O oacutexido de estanho dopado
com fluacuteor [19] eacute reconhecido por ser altamente estaacutevel quimicamente inerte re-
siste a temperaturas elevadas e ao desgaste abrasivo sendo mais econoacutemico do
que o tradicional oacutexido de iacutendio e estanho (ITO)
De forma a garantir um bom contacto eleacutectrico entre o vidro FTO e o cristal
foram construidas duas peccedilas de afixaccedilatildeo idecircnticas (Fig 411) Trata-se de duas
peccedilas de alumiacutenio cada uma contendo uma abertura de forma a deixar passar
o feixe laser e dois rasgos para parafusos de forma a poder-se fixar no suporte e
desta maneira exercer uma pressatildeo constante sobre o cristal
Figura 411 Imagem das peccedilas de fixaccedilatildeo do cristal desenvolvidas com a vista defrente (a) e a vista de traacutes (b)
A ligaccedilatildeo eleacutectrica entre o sinal de referecircncia proveniente do amplificador ao
vidro FTO foi feita atraveacutes de uma cola condutora de prata de forma a assegurar
a ligaccedilatildeo oacutehmica entre o fio de cobre e a camada de FTO O cristal fica assim entre
duas placas de vidro FTO(Fig412)
33
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Figura 412 Imagem do porta Amostras desenvolvido
A figura 413 ilustra o sistema desenvolvido incluindo a bancada oacuteptica e
instrumentaccedilatildeo
Figura 413 Imagem do sistema desenvolvido para a mediccedilatildeo do efeito electrooacutep-tico
34
44 COEFICIENTE ELECTROOacutePTICO
44 Coeficiente Electrooacuteptico
Para o cristal utilizado o dihidrogenofosfato de potaacutessio (KDP) e para o efeito
electrooacuteptico linear a matriz de coeficientes electrooacutepticos eacute a seguinte
rij =
0 0 0
0 0 0
0 0 0
r41 0 0
0 r52 0
0 0 r63
com
i = 1 6
j = 123
Sendo que r41 = r52 pelo que existem apenas dois coeficientes independentes
o r41 e o r63
Usando a notaccedilatildeo condensada mencionada da secccedilatildeo 21 onde se aplica o
campo eleacutectrico (E) no plano do i (sendo i = m) enquanto que j eacute o eixo oacuteptico
Para o caso do KDP eacute costume utilizar o r63 Isto eacute aplicar o campo eleacutectrico nos
planos 12 ou 21 (ou seja i = 6) com o eixo oacuteptico no eixo 3 (j = 3) como demonstra
a figura 414
Figura 414 Ilustraccedilatildeo da configuraccedilatildeo utilizada para a mediccedilatildeo do coeficienter63 num cristal
35
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Para o caso do efeito electrooacuteptico quadraacutetico a matriz dos coeficientes elec-
trooacutepticos seraacute
sij =
s11 s12 s12 0 0 0
s12 s11 s12 0 0 0
s12 s12 s11 0 0 0
0 0 0 s11 minus s12 0 0
0 0 0 0 s11 minus s12 0
0 0 0 0 0 s11 minus s12
com i j = 1 6
45 Execuccedilatildeo Experimental
Para se medir o coeficiente electrooacuteptico aplica-se ao cristal uma tensatildeo com uma
frequecircncia de 2kHz frequecircncia essa que se revelou menos sensiacutevel aos ruiacutedos
ambientes sendo que o sinal electrooacuteptico teraacute a mesma frequecircncia Podendo-
se desta maneira atraveacutes de um amplificador de lock-in (modelo 393 da IthacoDynatrac) filtrar o sinal electrooacuteptico dos restantes sinais uma vez que a sua
frequecircncia eacute conhecida
A intensidade da equaccedilatildeo 41 eacute maacutexima quando cos(∆φ) = 1 e miacutenima quando
cos(∆φ) = minus1 Pelo que subtraindo estas duas equaccedilotildees
Imax minus Imin = 4E1E2 (46)
Assim combinando a equaccedilatildeo 41 com a equaccedilatildeo 46 obtem-se
I prop E21E
22 +
12
(Imax minus Imin)cos(∆φ) (47)
Juntando agora a equaccedilatildeo 246 agrave equaccedilatildeo 247 e tendo em conta que o feixe
passa duas vezes por cada ramo (=2l) a diferenccedila de fase para o efeito electrooacutep-
tico linear
∆φ = ∆φ0 +πrn3
oVoλ
2lh
cos(Ωt) (48)
Sendo ∆φ0 a diferenccedila de fase inicial sem o efeito electrooacuteptico
36
45 EXECUCcedilAtildeO EXPERIMENTAL
Substituindo o ∆φ da equaccedilatildeo 48 na equaccedilatildeo 47 a intensidade do sinal com
modulaccedilatildeo electrooacuteptica(Iseo) seraacute dado por
Iseo prop E21 +E2
2 +12
(Imax minus Imin)cos(∆φ0 +
πrn3oVoλ
2lh
cos(Ωt))
(49)
Usando cos(α plusmn β) = cos(α)cos(β)∓ sen(α) sen(β) e D = πrn3oVoλ
2lh fica-se com
Iseo prop E21 +E2
2+12
(Imax minus Imin)
[cos(∆φ0)cos(Dcos(Ωt)) minus sen(∆φ0) sen(D cos(Ωt))](410)
Como a modulaccedilatildeo electrooacuteptica eacute um efeito muito pequeno a equaccedilatildeo 410
pode-se escrever
Iseo asymp E21 +E2
2 +12
(Imax minus Imin) [cos(∆φ0)minusD cos(Ωt) sen(∆φ0)] (411)
Considerando soacute os termos de primeira ordem
Iseo asymp12
(Imax minus Imin) [cos(∆φ0)minusD cos(Ωt) sen(∆φ0)] (412)
A componente do sinal electrooacuteptico eacute entatildeo dado por
Iseo =12
(Imax minus Imin)D cos(Ωt) sen(∆φ0) (413)
Ou seja
Iseo =12
(Imax minus Imin)πrn3
oVoλ
2lh
cos(Ωt) sen(∆φ0) (414)
O acircngulo ∆φ0 varia linearmente com o tempo (t) a uma frequecircncia inferior
a Ω A franja de interferecircncia desloca-se continuamente em frente ao detector
devido a um dos espelho estar fixado num disco piezoeleacutectrico
37
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Na figura 415 pode-se ver uma exemplificaccedilatildeo do sinal no detector que incor-
pora o sinal da franja e electrooacuteptico dada pela equaccedilatildeo 414
Figura 415 Ilustraccedilatildeo do sinal de modulaccedilatildeo electrooacuteptica de um feixe de luzmedido num interferoacutemetro de Michelson
Uma vez que o sinal electrooacuteptico (cos(Ωt)) estaacute desfasado π2 do sinal da
franja ( sen(∆φ0)) A intensidade do sinal electrooacuteptico pode ser escrita como
Iseo asymp12
(Imax minus Imin)πrn3
oVoλ
2lh
∣∣∣ sen(∆φ0)∣∣∣ (415)
Assim a amplitude do sinal electrooacuteptico eacute
Iseo =12
(Imax minus Imin)πrn3
oVoλ
2lh
(416)
Pelo que o coeficiente electrooacuteptico linear seraacute dado por
r =|Iseo|
|Imax minus Imin|λ
πn3oVo
hl
(417)
38
46 RESULTADOS
Para o efeito electrooacuteptico quadraacutetico utilizando o procedimento anoacutelogo mas
a partir da equaccedilatildeo 248 em vez da equaccedilatildeo 247 O sinal electrooacuteptico quadraacutetico
Iseoq que ocorre ao dobro da frequecircncia de modulaccedilatildeo 2Ω eacute dado por
s =
∣∣∣Iseoq∣∣∣|Imax minus Imin|
2λ
πn3oV
2o
h2
l(418)
46 Resultados
Com o cristal de KDP devidamente alinhado no interferoacutemetro segundo o seu
eixo oacuteptico de maneira a se medir o coeficiente r63 Obtendo-se assim dois sinais
o sinal de franja e o sinal electrooacuteptico (Fig 416)
Figura 416 Padratildeo da franja produzida (a) e respectivos sinais de franja e elec-trooacuteptico obtidos para um cristal KDP padratildeo
De forma a se proceder a calibraccedilatildeo do sistema utilizou-se a equaccedilatildeo 417 na
forma
|Iseo||Imax minus Imin|
=πn3
o
λlhrVo (419)
39
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Usando o valor da razatildeo |Iseo ||ImaxminusImin|
em funccedilatildeo do potencial aplicado Vo pode-se
calcular o valor do coeficiente electrooacuteptico r atraveacutes do declive da recta obtida
Pode-se ver na figura 417 uma das rectas obtidas para o cristal utilizado na
calibraccedilatildeo do sistema
Figura 417 Razatildeo entre o sinal electrooacuteptico e a diferenccedila de intensidade defranjas em funccedilatildeo do potencial Vo aplicado ao cristal
A tabela 44 apresenta o valor do coeficiente electrooacuteptico obtido e respectiva
incerteza para o cristal de KDP tomando em conta os valores dos iacutendices de
refraccedilatildeo da tabela 43
Tabela 44 Valores e respectivas incertezas obtidas do coeficiente electrooacutepticopara o cristal KDP utilizado
Material Valor Padratildeo Valor Obtido Erro
KDPr63 = 106pmV r63 = 105plusmn 02pmV 1
(λ = 6328nm)
Como se pode ver na tabela 44 o resultado obtido situa-se muito proacuteximo
do teoacuterico encontrando-se dentro da incerteza obtida Os valores valores meacutedios
apresentam um desvio da ordem dos 02pmV
40
46 RESULTADOS
Apesar dos valores obtidos serem bastante positivos houve algumas dificul-
dades nomeadamente o vidro FTO que causou que o alinhamento fosse extrema-
mente complicado natildeo soacute pela sua espessura e dimensionamento como tambeacutem
pela refraccedilatildeo provocada no feixe laser Outro grande obstaacuteculo foi o alinhamento
do cristal uma vez que basta um ligeiro desvio no caminho oacuteptico para causar um
desalinhamento total algo que eacute agravado no interferoacutemetro do tipo Michelson
pelo facto de o feixe laser passar na amostra duas vezes
Apesar destas dificuldades o valor obtido para o coeficiente electrooacuteptico r63
foi de 105pmV valor esse muito proacuteximo do valor padratildeo da literatura que se
encontra nos 106pmV Assim pode-se considerar que o sistema desenvolvido
se encontra devidamente calibrado e pronto para futuras utilizaccedilotildees
41
Capiacutetulo
5Conclusotildees
O trabalho desenvolvido no decorrer desta dissertaccedilatildeo consistiu no desenvolvi-
mento de um sistema para a mediccedilatildeo do efeito electrooacuteptico aacuterea a ser ulilizada
na caracterizaccedilatildeo de novos materiais polimeacutericos para aplicaccedilatildeo em dispositivos
fotoacutenicos
Nesta conformidade foi desenhada construiacuteda e testado uma bancada oacuteptica
destinada agrave mediccedilatildeo do efeito electrooacuteptico baseado numa teacutecnica interferomeacute-
trica de mediccedilatildeo da diferenccedila de fase implementado atraveacutes de um interferoacutemetro
do tipo Michelson
O cristal escolhido para a calibraccedilatildeo do sistema desenvolvido foi um cristal de
KDP comercial tendo sido utilizado o coeficiente electrooacuteptico r63 como referecircn-
cia sendo o valor padratildeo de 106pmV
O sistema obtido permitiu medir um valor nominal de 105plusmn 02pmV com
um erro de aproximadamente 1 em relaccedilatildeo ao valor tabelado comprovando a
afericcedilatildeo do sistema para a mediccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico por transmissatildeo
O sistema desenvolvido estaacute portanto apto para futuras mediccedilotildees sendo ape-
nas necessaacuterio algumas alteraccedilotildees no porta-amostras mediante as dimensotildees e
forma da amostra a utilizar
Chegou-se ainda agrave conclusatildeo que para amostras como o cristal utilizado o
feixe laser passar duas vezes na amostra acaba por ser uma grande desvantagem
desvantagem essa inexistente para filmes polimeacutericos que ganham cada vez mais
importacircncia na aacuterea da fotoacutenica uma vez que satildeo materiais de grande interesse
cientiacutefico e tecnoloacutegico jaacute que podem ser utilizados no desenvolvimento de dispo-
sitivos oacutepticos nomeadamente moduladores de luz e memoacuterias oacutepticas
43
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- Lista de Figuras
- Lista de Tabelas
- Introduccedilatildeo
- Efeito Electrooacuteptico
-
- Oacuteptica Natildeo-Linear
- Propagaccedilatildeo em Meios Anisotroacutepicos
-
- Vector de Poynting
- Elipsoiacutede dos Iacutendices
- Coeficientes Natildeo-Lineares
-
- Mediccedilatildeo do Efeito Electrooacuteptico
-
- Meacutetodo Tradicional
- Meacutetodos por Interferometria
-
- Interferometria Oacuteptica
- Interferoacutemetro de Mach-Zehnder
- Interferoacutemetro de Michelson
-
- Sistema Implementado
-
- Interferoacutemetro
- Electroacutenica Desenvolvida
-
- Amplificador
- Gerador de Rampa
- Seguidor de Tensatildeo
-
- Sistema Oacuteptico Desenvolvido
-
- Espelho Vibrante
- Bancada Oacuteptica
- Detector
- Cristal Electrooacuteptico
- Porta Amostras
-
- Coeficiente Electrooacuteptico
- Execuccedilatildeo Experimental
- Resultados
-
- Conclusotildees
- Bibliografia
- Apecircndice
-
- Desenhos Teacutecnicos
-
43 SISTEMA OacutePTICO DESENVOLVIDO
432 Bancada Oacuteptica
De forma a colocar os componentes ao niacutevel do feixe do laser na mesa oacuteptica e a
tornar o sistema menos sensiacutevel a vibraccedilotildees mecacircnicas e flutuaccedilotildees teacutermicas os
componentes foram colocadas numa base quadrada de alumiacutenio
Figura 47 Imagem da bancada oacuteptica onde o interferoacutemetro de Michelson foiconstruiacutedo
Conforme se pode ver na figura 47 para completar o interferoacutemetro de Michel-
son para aleacutem dos componentes jaacute referidos foram ainda utilizados um separador
de feixe e um espelho (fixo) no suporte com uma lente oacuteptica agrave saiacuteda do mesmo
Faltando ainda o laser utilizado da Melles Griotreg que possui uma potecircncia de
635mW e um comprimento de onda de 6328nm
433 Detector
O detector utilizado foi um modelo 818-UVDB da Newport Corporationreg (Fig
48) de baixa potecircncia consistindo num fotodiacuteodo de siliacutecio capaz de operar entre
os 200 e os 1100nm As caracteriacutesticas principais deste detector encontram-se
listadas na tabela 433
29
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Tabela 41 Caracteriacutesticas principais do detector 818-UVDB [17]
Largura de Banda 200 a 1100(nm) Material Siliacutecio
Potecircncia
W λ(nm)
Incerteza de
λ(nm)
02 200 a 4008 200 a 219
Maacutexima Calibraccedilatildeo 2 220 a 349
005 400 a 11001 350 a 9494 950 a 1050
Densidade de02Wcm2 Aacuterea Activa 1cm2
Potecircncia Meacutedia
Energia Maacutexima05microJ
Diacircmetro113cm
de Pulso Activo
De forma a evitar que a luz ambiente interferisse nas medidas e para aumen-
tar a resoluccedilatildeo de mediccedilatildeo do perfil da franja de interferecircncia foi colocado um
diafragma com uma abertura no centro de 06mm conforme se pode ver na figura
48 reduzido desta maneira a aacuterea activa para 028 mm2
Figura 48 Imagem do detector e disco utilizado
Para a aquisiccedilatildeo do sinal electrooacuteptico e geraccedilatildeo de sinal electrooacuteptico de
referecircncia foi utilizado um osciloscoacutepio Lecroy Wavesufertrade422
30
43 SISTEMA OacutePTICO DESENVOLVIDO
434 Cristal Electrooacuteptico
Para a calibraccedilatildeo do sistema foi utilizado um cristal padratildeo de dihidrogenofosfato
de potaacutessio (KDP) Na tabela 42 pode-se observar algumas das propriedades
fiacutesicas desse cristal
Tabela 42 Propriedades fiacutesicas do cristal padratildeo KDP [18]
Material Simetria Densidade Classe Higroscopicidade
KDP Tetragonal (42m) 234gcm3 Uniaxial Higroscoacutepico
Uma vez que o cristal eacute uniaxial nx = ny = no e nz = ne sendo no e ne os
iacutendices de refraccedilatildeo ordinaacuterio e extraordinaacuterio do cristal KDP A figura 49 ilustra
o elipsoiacutede de iacutendices num cristal padratildeo KDP
Figura 49 Ilustraccedilatildeo de um cristal padratildeo KDP e seu respectivo elipsoiacutede deiacutendices
31
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Na Tabela 43 pode-se observar algumas das propriedades oacutepticas do cristal
padratildeo KDP
Tabela 43 Propriedades oacutepticas do cristal padratildeo KDP a 6328nm [7]
Material Foacutermula Quiacutemica Iacutendice de RefracccedilatildeoCoeficiente
Electrooacuteptico
KDPKH2PO4
no=15074 r41=86 pmV(λ = 6328nm) ne=14673 r63=106 pmV
Como se pode ver na tabela 42 o cristal do tipo KDP eacute higroscoacutepico sendo
assim necessaacuterio reduzir ao maacuteximo o contacto entre o cristal e a atmosfera para
evitar que as suas faces fiquem opacas interferindo assim na qualidade do feixe
transmitido
435 Porta Amostras
O porta amostras eacute constituiacutedo por uma base feita de latatildeo (Fig 410) onde se
coloca o cristal nivelado com o feixe laser Este suporte possui oito roscas para
parafusos M3 quatro em cima de forma a se fixar os encaixes laterais do porta
amostras e quatro em baixo de forma a afixar-se firmemente na bancada oacuteptica
Figura 410 Imagem da base do porta-amostras desenvolvido
32
43 SISTEMA OacutePTICO DESENVOLVIDO
De forma a aplicar-se a tensatildeo de excitaccedilatildeo ao cristal sem bloquear o feixe do
laser foram utilizadas duas placas de vidro com oacutexido de estanho dopado com
fluacuteor (FTO) Este permite que haja uma boa transparecircncia e conduccedilatildeo eleacutetrica
sendo usado em vaacuterios tipos de dispositivos como aplicaccedilotildees opto-eletroacutenicas
ecratildes touch screen filmes finos fotovoltaicos etc O oacutexido de estanho dopado
com fluacuteor [19] eacute reconhecido por ser altamente estaacutevel quimicamente inerte re-
siste a temperaturas elevadas e ao desgaste abrasivo sendo mais econoacutemico do
que o tradicional oacutexido de iacutendio e estanho (ITO)
De forma a garantir um bom contacto eleacutectrico entre o vidro FTO e o cristal
foram construidas duas peccedilas de afixaccedilatildeo idecircnticas (Fig 411) Trata-se de duas
peccedilas de alumiacutenio cada uma contendo uma abertura de forma a deixar passar
o feixe laser e dois rasgos para parafusos de forma a poder-se fixar no suporte e
desta maneira exercer uma pressatildeo constante sobre o cristal
Figura 411 Imagem das peccedilas de fixaccedilatildeo do cristal desenvolvidas com a vista defrente (a) e a vista de traacutes (b)
A ligaccedilatildeo eleacutectrica entre o sinal de referecircncia proveniente do amplificador ao
vidro FTO foi feita atraveacutes de uma cola condutora de prata de forma a assegurar
a ligaccedilatildeo oacutehmica entre o fio de cobre e a camada de FTO O cristal fica assim entre
duas placas de vidro FTO(Fig412)
33
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Figura 412 Imagem do porta Amostras desenvolvido
A figura 413 ilustra o sistema desenvolvido incluindo a bancada oacuteptica e
instrumentaccedilatildeo
Figura 413 Imagem do sistema desenvolvido para a mediccedilatildeo do efeito electrooacutep-tico
34
44 COEFICIENTE ELECTROOacutePTICO
44 Coeficiente Electrooacuteptico
Para o cristal utilizado o dihidrogenofosfato de potaacutessio (KDP) e para o efeito
electrooacuteptico linear a matriz de coeficientes electrooacutepticos eacute a seguinte
rij =
0 0 0
0 0 0
0 0 0
r41 0 0
0 r52 0
0 0 r63
com
i = 1 6
j = 123
Sendo que r41 = r52 pelo que existem apenas dois coeficientes independentes
o r41 e o r63
Usando a notaccedilatildeo condensada mencionada da secccedilatildeo 21 onde se aplica o
campo eleacutectrico (E) no plano do i (sendo i = m) enquanto que j eacute o eixo oacuteptico
Para o caso do KDP eacute costume utilizar o r63 Isto eacute aplicar o campo eleacutectrico nos
planos 12 ou 21 (ou seja i = 6) com o eixo oacuteptico no eixo 3 (j = 3) como demonstra
a figura 414
Figura 414 Ilustraccedilatildeo da configuraccedilatildeo utilizada para a mediccedilatildeo do coeficienter63 num cristal
35
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Para o caso do efeito electrooacuteptico quadraacutetico a matriz dos coeficientes elec-
trooacutepticos seraacute
sij =
s11 s12 s12 0 0 0
s12 s11 s12 0 0 0
s12 s12 s11 0 0 0
0 0 0 s11 minus s12 0 0
0 0 0 0 s11 minus s12 0
0 0 0 0 0 s11 minus s12
com i j = 1 6
45 Execuccedilatildeo Experimental
Para se medir o coeficiente electrooacuteptico aplica-se ao cristal uma tensatildeo com uma
frequecircncia de 2kHz frequecircncia essa que se revelou menos sensiacutevel aos ruiacutedos
ambientes sendo que o sinal electrooacuteptico teraacute a mesma frequecircncia Podendo-
se desta maneira atraveacutes de um amplificador de lock-in (modelo 393 da IthacoDynatrac) filtrar o sinal electrooacuteptico dos restantes sinais uma vez que a sua
frequecircncia eacute conhecida
A intensidade da equaccedilatildeo 41 eacute maacutexima quando cos(∆φ) = 1 e miacutenima quando
cos(∆φ) = minus1 Pelo que subtraindo estas duas equaccedilotildees
Imax minus Imin = 4E1E2 (46)
Assim combinando a equaccedilatildeo 41 com a equaccedilatildeo 46 obtem-se
I prop E21E
22 +
12
(Imax minus Imin)cos(∆φ) (47)
Juntando agora a equaccedilatildeo 246 agrave equaccedilatildeo 247 e tendo em conta que o feixe
passa duas vezes por cada ramo (=2l) a diferenccedila de fase para o efeito electrooacutep-
tico linear
∆φ = ∆φ0 +πrn3
oVoλ
2lh
cos(Ωt) (48)
Sendo ∆φ0 a diferenccedila de fase inicial sem o efeito electrooacuteptico
36
45 EXECUCcedilAtildeO EXPERIMENTAL
Substituindo o ∆φ da equaccedilatildeo 48 na equaccedilatildeo 47 a intensidade do sinal com
modulaccedilatildeo electrooacuteptica(Iseo) seraacute dado por
Iseo prop E21 +E2
2 +12
(Imax minus Imin)cos(∆φ0 +
πrn3oVoλ
2lh
cos(Ωt))
(49)
Usando cos(α plusmn β) = cos(α)cos(β)∓ sen(α) sen(β) e D = πrn3oVoλ
2lh fica-se com
Iseo prop E21 +E2
2+12
(Imax minus Imin)
[cos(∆φ0)cos(Dcos(Ωt)) minus sen(∆φ0) sen(D cos(Ωt))](410)
Como a modulaccedilatildeo electrooacuteptica eacute um efeito muito pequeno a equaccedilatildeo 410
pode-se escrever
Iseo asymp E21 +E2
2 +12
(Imax minus Imin) [cos(∆φ0)minusD cos(Ωt) sen(∆φ0)] (411)
Considerando soacute os termos de primeira ordem
Iseo asymp12
(Imax minus Imin) [cos(∆φ0)minusD cos(Ωt) sen(∆φ0)] (412)
A componente do sinal electrooacuteptico eacute entatildeo dado por
Iseo =12
(Imax minus Imin)D cos(Ωt) sen(∆φ0) (413)
Ou seja
Iseo =12
(Imax minus Imin)πrn3
oVoλ
2lh
cos(Ωt) sen(∆φ0) (414)
O acircngulo ∆φ0 varia linearmente com o tempo (t) a uma frequecircncia inferior
a Ω A franja de interferecircncia desloca-se continuamente em frente ao detector
devido a um dos espelho estar fixado num disco piezoeleacutectrico
37
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Na figura 415 pode-se ver uma exemplificaccedilatildeo do sinal no detector que incor-
pora o sinal da franja e electrooacuteptico dada pela equaccedilatildeo 414
Figura 415 Ilustraccedilatildeo do sinal de modulaccedilatildeo electrooacuteptica de um feixe de luzmedido num interferoacutemetro de Michelson
Uma vez que o sinal electrooacuteptico (cos(Ωt)) estaacute desfasado π2 do sinal da
franja ( sen(∆φ0)) A intensidade do sinal electrooacuteptico pode ser escrita como
Iseo asymp12
(Imax minus Imin)πrn3
oVoλ
2lh
∣∣∣ sen(∆φ0)∣∣∣ (415)
Assim a amplitude do sinal electrooacuteptico eacute
Iseo =12
(Imax minus Imin)πrn3
oVoλ
2lh
(416)
Pelo que o coeficiente electrooacuteptico linear seraacute dado por
r =|Iseo|
|Imax minus Imin|λ
πn3oVo
hl
(417)
38
46 RESULTADOS
Para o efeito electrooacuteptico quadraacutetico utilizando o procedimento anoacutelogo mas
a partir da equaccedilatildeo 248 em vez da equaccedilatildeo 247 O sinal electrooacuteptico quadraacutetico
Iseoq que ocorre ao dobro da frequecircncia de modulaccedilatildeo 2Ω eacute dado por
s =
∣∣∣Iseoq∣∣∣|Imax minus Imin|
2λ
πn3oV
2o
h2
l(418)
46 Resultados
Com o cristal de KDP devidamente alinhado no interferoacutemetro segundo o seu
eixo oacuteptico de maneira a se medir o coeficiente r63 Obtendo-se assim dois sinais
o sinal de franja e o sinal electrooacuteptico (Fig 416)
Figura 416 Padratildeo da franja produzida (a) e respectivos sinais de franja e elec-trooacuteptico obtidos para um cristal KDP padratildeo
De forma a se proceder a calibraccedilatildeo do sistema utilizou-se a equaccedilatildeo 417 na
forma
|Iseo||Imax minus Imin|
=πn3
o
λlhrVo (419)
39
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Usando o valor da razatildeo |Iseo ||ImaxminusImin|
em funccedilatildeo do potencial aplicado Vo pode-se
calcular o valor do coeficiente electrooacuteptico r atraveacutes do declive da recta obtida
Pode-se ver na figura 417 uma das rectas obtidas para o cristal utilizado na
calibraccedilatildeo do sistema
Figura 417 Razatildeo entre o sinal electrooacuteptico e a diferenccedila de intensidade defranjas em funccedilatildeo do potencial Vo aplicado ao cristal
A tabela 44 apresenta o valor do coeficiente electrooacuteptico obtido e respectiva
incerteza para o cristal de KDP tomando em conta os valores dos iacutendices de
refraccedilatildeo da tabela 43
Tabela 44 Valores e respectivas incertezas obtidas do coeficiente electrooacutepticopara o cristal KDP utilizado
Material Valor Padratildeo Valor Obtido Erro
KDPr63 = 106pmV r63 = 105plusmn 02pmV 1
(λ = 6328nm)
Como se pode ver na tabela 44 o resultado obtido situa-se muito proacuteximo
do teoacuterico encontrando-se dentro da incerteza obtida Os valores valores meacutedios
apresentam um desvio da ordem dos 02pmV
40
46 RESULTADOS
Apesar dos valores obtidos serem bastante positivos houve algumas dificul-
dades nomeadamente o vidro FTO que causou que o alinhamento fosse extrema-
mente complicado natildeo soacute pela sua espessura e dimensionamento como tambeacutem
pela refraccedilatildeo provocada no feixe laser Outro grande obstaacuteculo foi o alinhamento
do cristal uma vez que basta um ligeiro desvio no caminho oacuteptico para causar um
desalinhamento total algo que eacute agravado no interferoacutemetro do tipo Michelson
pelo facto de o feixe laser passar na amostra duas vezes
Apesar destas dificuldades o valor obtido para o coeficiente electrooacuteptico r63
foi de 105pmV valor esse muito proacuteximo do valor padratildeo da literatura que se
encontra nos 106pmV Assim pode-se considerar que o sistema desenvolvido
se encontra devidamente calibrado e pronto para futuras utilizaccedilotildees
41
Capiacutetulo
5Conclusotildees
O trabalho desenvolvido no decorrer desta dissertaccedilatildeo consistiu no desenvolvi-
mento de um sistema para a mediccedilatildeo do efeito electrooacuteptico aacuterea a ser ulilizada
na caracterizaccedilatildeo de novos materiais polimeacutericos para aplicaccedilatildeo em dispositivos
fotoacutenicos
Nesta conformidade foi desenhada construiacuteda e testado uma bancada oacuteptica
destinada agrave mediccedilatildeo do efeito electrooacuteptico baseado numa teacutecnica interferomeacute-
trica de mediccedilatildeo da diferenccedila de fase implementado atraveacutes de um interferoacutemetro
do tipo Michelson
O cristal escolhido para a calibraccedilatildeo do sistema desenvolvido foi um cristal de
KDP comercial tendo sido utilizado o coeficiente electrooacuteptico r63 como referecircn-
cia sendo o valor padratildeo de 106pmV
O sistema obtido permitiu medir um valor nominal de 105plusmn 02pmV com
um erro de aproximadamente 1 em relaccedilatildeo ao valor tabelado comprovando a
afericcedilatildeo do sistema para a mediccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico por transmissatildeo
O sistema desenvolvido estaacute portanto apto para futuras mediccedilotildees sendo ape-
nas necessaacuterio algumas alteraccedilotildees no porta-amostras mediante as dimensotildees e
forma da amostra a utilizar
Chegou-se ainda agrave conclusatildeo que para amostras como o cristal utilizado o
feixe laser passar duas vezes na amostra acaba por ser uma grande desvantagem
desvantagem essa inexistente para filmes polimeacutericos que ganham cada vez mais
importacircncia na aacuterea da fotoacutenica uma vez que satildeo materiais de grande interesse
cientiacutefico e tecnoloacutegico jaacute que podem ser utilizados no desenvolvimento de dispo-
sitivos oacutepticos nomeadamente moduladores de luz e memoacuterias oacutepticas
43
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46
Apecircndice
AApecircndice
A1 Desenhos Teacutecnicos
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- Lista de Figuras
- Lista de Tabelas
- Introduccedilatildeo
- Efeito Electrooacuteptico
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- Oacuteptica Natildeo-Linear
- Propagaccedilatildeo em Meios Anisotroacutepicos
-
- Vector de Poynting
- Elipsoiacutede dos Iacutendices
- Coeficientes Natildeo-Lineares
-
- Mediccedilatildeo do Efeito Electrooacuteptico
-
- Meacutetodo Tradicional
- Meacutetodos por Interferometria
-
- Interferometria Oacuteptica
- Interferoacutemetro de Mach-Zehnder
- Interferoacutemetro de Michelson
-
- Sistema Implementado
-
- Interferoacutemetro
- Electroacutenica Desenvolvida
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- Gerador de Rampa
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- Detector
- Cristal Electrooacuteptico
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CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Tabela 41 Caracteriacutesticas principais do detector 818-UVDB [17]
Largura de Banda 200 a 1100(nm) Material Siliacutecio
Potecircncia
W λ(nm)
Incerteza de
λ(nm)
02 200 a 4008 200 a 219
Maacutexima Calibraccedilatildeo 2 220 a 349
005 400 a 11001 350 a 9494 950 a 1050
Densidade de02Wcm2 Aacuterea Activa 1cm2
Potecircncia Meacutedia
Energia Maacutexima05microJ
Diacircmetro113cm
de Pulso Activo
De forma a evitar que a luz ambiente interferisse nas medidas e para aumen-
tar a resoluccedilatildeo de mediccedilatildeo do perfil da franja de interferecircncia foi colocado um
diafragma com uma abertura no centro de 06mm conforme se pode ver na figura
48 reduzido desta maneira a aacuterea activa para 028 mm2
Figura 48 Imagem do detector e disco utilizado
Para a aquisiccedilatildeo do sinal electrooacuteptico e geraccedilatildeo de sinal electrooacuteptico de
referecircncia foi utilizado um osciloscoacutepio Lecroy Wavesufertrade422
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43 SISTEMA OacutePTICO DESENVOLVIDO
434 Cristal Electrooacuteptico
Para a calibraccedilatildeo do sistema foi utilizado um cristal padratildeo de dihidrogenofosfato
de potaacutessio (KDP) Na tabela 42 pode-se observar algumas das propriedades
fiacutesicas desse cristal
Tabela 42 Propriedades fiacutesicas do cristal padratildeo KDP [18]
Material Simetria Densidade Classe Higroscopicidade
KDP Tetragonal (42m) 234gcm3 Uniaxial Higroscoacutepico
Uma vez que o cristal eacute uniaxial nx = ny = no e nz = ne sendo no e ne os
iacutendices de refraccedilatildeo ordinaacuterio e extraordinaacuterio do cristal KDP A figura 49 ilustra
o elipsoiacutede de iacutendices num cristal padratildeo KDP
Figura 49 Ilustraccedilatildeo de um cristal padratildeo KDP e seu respectivo elipsoiacutede deiacutendices
31
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Na Tabela 43 pode-se observar algumas das propriedades oacutepticas do cristal
padratildeo KDP
Tabela 43 Propriedades oacutepticas do cristal padratildeo KDP a 6328nm [7]
Material Foacutermula Quiacutemica Iacutendice de RefracccedilatildeoCoeficiente
Electrooacuteptico
KDPKH2PO4
no=15074 r41=86 pmV(λ = 6328nm) ne=14673 r63=106 pmV
Como se pode ver na tabela 42 o cristal do tipo KDP eacute higroscoacutepico sendo
assim necessaacuterio reduzir ao maacuteximo o contacto entre o cristal e a atmosfera para
evitar que as suas faces fiquem opacas interferindo assim na qualidade do feixe
transmitido
435 Porta Amostras
O porta amostras eacute constituiacutedo por uma base feita de latatildeo (Fig 410) onde se
coloca o cristal nivelado com o feixe laser Este suporte possui oito roscas para
parafusos M3 quatro em cima de forma a se fixar os encaixes laterais do porta
amostras e quatro em baixo de forma a afixar-se firmemente na bancada oacuteptica
Figura 410 Imagem da base do porta-amostras desenvolvido
32
43 SISTEMA OacutePTICO DESENVOLVIDO
De forma a aplicar-se a tensatildeo de excitaccedilatildeo ao cristal sem bloquear o feixe do
laser foram utilizadas duas placas de vidro com oacutexido de estanho dopado com
fluacuteor (FTO) Este permite que haja uma boa transparecircncia e conduccedilatildeo eleacutetrica
sendo usado em vaacuterios tipos de dispositivos como aplicaccedilotildees opto-eletroacutenicas
ecratildes touch screen filmes finos fotovoltaicos etc O oacutexido de estanho dopado
com fluacuteor [19] eacute reconhecido por ser altamente estaacutevel quimicamente inerte re-
siste a temperaturas elevadas e ao desgaste abrasivo sendo mais econoacutemico do
que o tradicional oacutexido de iacutendio e estanho (ITO)
De forma a garantir um bom contacto eleacutectrico entre o vidro FTO e o cristal
foram construidas duas peccedilas de afixaccedilatildeo idecircnticas (Fig 411) Trata-se de duas
peccedilas de alumiacutenio cada uma contendo uma abertura de forma a deixar passar
o feixe laser e dois rasgos para parafusos de forma a poder-se fixar no suporte e
desta maneira exercer uma pressatildeo constante sobre o cristal
Figura 411 Imagem das peccedilas de fixaccedilatildeo do cristal desenvolvidas com a vista defrente (a) e a vista de traacutes (b)
A ligaccedilatildeo eleacutectrica entre o sinal de referecircncia proveniente do amplificador ao
vidro FTO foi feita atraveacutes de uma cola condutora de prata de forma a assegurar
a ligaccedilatildeo oacutehmica entre o fio de cobre e a camada de FTO O cristal fica assim entre
duas placas de vidro FTO(Fig412)
33
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Figura 412 Imagem do porta Amostras desenvolvido
A figura 413 ilustra o sistema desenvolvido incluindo a bancada oacuteptica e
instrumentaccedilatildeo
Figura 413 Imagem do sistema desenvolvido para a mediccedilatildeo do efeito electrooacutep-tico
34
44 COEFICIENTE ELECTROOacutePTICO
44 Coeficiente Electrooacuteptico
Para o cristal utilizado o dihidrogenofosfato de potaacutessio (KDP) e para o efeito
electrooacuteptico linear a matriz de coeficientes electrooacutepticos eacute a seguinte
rij =
0 0 0
0 0 0
0 0 0
r41 0 0
0 r52 0
0 0 r63
com
i = 1 6
j = 123
Sendo que r41 = r52 pelo que existem apenas dois coeficientes independentes
o r41 e o r63
Usando a notaccedilatildeo condensada mencionada da secccedilatildeo 21 onde se aplica o
campo eleacutectrico (E) no plano do i (sendo i = m) enquanto que j eacute o eixo oacuteptico
Para o caso do KDP eacute costume utilizar o r63 Isto eacute aplicar o campo eleacutectrico nos
planos 12 ou 21 (ou seja i = 6) com o eixo oacuteptico no eixo 3 (j = 3) como demonstra
a figura 414
Figura 414 Ilustraccedilatildeo da configuraccedilatildeo utilizada para a mediccedilatildeo do coeficienter63 num cristal
35
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Para o caso do efeito electrooacuteptico quadraacutetico a matriz dos coeficientes elec-
trooacutepticos seraacute
sij =
s11 s12 s12 0 0 0
s12 s11 s12 0 0 0
s12 s12 s11 0 0 0
0 0 0 s11 minus s12 0 0
0 0 0 0 s11 minus s12 0
0 0 0 0 0 s11 minus s12
com i j = 1 6
45 Execuccedilatildeo Experimental
Para se medir o coeficiente electrooacuteptico aplica-se ao cristal uma tensatildeo com uma
frequecircncia de 2kHz frequecircncia essa que se revelou menos sensiacutevel aos ruiacutedos
ambientes sendo que o sinal electrooacuteptico teraacute a mesma frequecircncia Podendo-
se desta maneira atraveacutes de um amplificador de lock-in (modelo 393 da IthacoDynatrac) filtrar o sinal electrooacuteptico dos restantes sinais uma vez que a sua
frequecircncia eacute conhecida
A intensidade da equaccedilatildeo 41 eacute maacutexima quando cos(∆φ) = 1 e miacutenima quando
cos(∆φ) = minus1 Pelo que subtraindo estas duas equaccedilotildees
Imax minus Imin = 4E1E2 (46)
Assim combinando a equaccedilatildeo 41 com a equaccedilatildeo 46 obtem-se
I prop E21E
22 +
12
(Imax minus Imin)cos(∆φ) (47)
Juntando agora a equaccedilatildeo 246 agrave equaccedilatildeo 247 e tendo em conta que o feixe
passa duas vezes por cada ramo (=2l) a diferenccedila de fase para o efeito electrooacutep-
tico linear
∆φ = ∆φ0 +πrn3
oVoλ
2lh
cos(Ωt) (48)
Sendo ∆φ0 a diferenccedila de fase inicial sem o efeito electrooacuteptico
36
45 EXECUCcedilAtildeO EXPERIMENTAL
Substituindo o ∆φ da equaccedilatildeo 48 na equaccedilatildeo 47 a intensidade do sinal com
modulaccedilatildeo electrooacuteptica(Iseo) seraacute dado por
Iseo prop E21 +E2
2 +12
(Imax minus Imin)cos(∆φ0 +
πrn3oVoλ
2lh
cos(Ωt))
(49)
Usando cos(α plusmn β) = cos(α)cos(β)∓ sen(α) sen(β) e D = πrn3oVoλ
2lh fica-se com
Iseo prop E21 +E2
2+12
(Imax minus Imin)
[cos(∆φ0)cos(Dcos(Ωt)) minus sen(∆φ0) sen(D cos(Ωt))](410)
Como a modulaccedilatildeo electrooacuteptica eacute um efeito muito pequeno a equaccedilatildeo 410
pode-se escrever
Iseo asymp E21 +E2
2 +12
(Imax minus Imin) [cos(∆φ0)minusD cos(Ωt) sen(∆φ0)] (411)
Considerando soacute os termos de primeira ordem
Iseo asymp12
(Imax minus Imin) [cos(∆φ0)minusD cos(Ωt) sen(∆φ0)] (412)
A componente do sinal electrooacuteptico eacute entatildeo dado por
Iseo =12
(Imax minus Imin)D cos(Ωt) sen(∆φ0) (413)
Ou seja
Iseo =12
(Imax minus Imin)πrn3
oVoλ
2lh
cos(Ωt) sen(∆φ0) (414)
O acircngulo ∆φ0 varia linearmente com o tempo (t) a uma frequecircncia inferior
a Ω A franja de interferecircncia desloca-se continuamente em frente ao detector
devido a um dos espelho estar fixado num disco piezoeleacutectrico
37
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Na figura 415 pode-se ver uma exemplificaccedilatildeo do sinal no detector que incor-
pora o sinal da franja e electrooacuteptico dada pela equaccedilatildeo 414
Figura 415 Ilustraccedilatildeo do sinal de modulaccedilatildeo electrooacuteptica de um feixe de luzmedido num interferoacutemetro de Michelson
Uma vez que o sinal electrooacuteptico (cos(Ωt)) estaacute desfasado π2 do sinal da
franja ( sen(∆φ0)) A intensidade do sinal electrooacuteptico pode ser escrita como
Iseo asymp12
(Imax minus Imin)πrn3
oVoλ
2lh
∣∣∣ sen(∆φ0)∣∣∣ (415)
Assim a amplitude do sinal electrooacuteptico eacute
Iseo =12
(Imax minus Imin)πrn3
oVoλ
2lh
(416)
Pelo que o coeficiente electrooacuteptico linear seraacute dado por
r =|Iseo|
|Imax minus Imin|λ
πn3oVo
hl
(417)
38
46 RESULTADOS
Para o efeito electrooacuteptico quadraacutetico utilizando o procedimento anoacutelogo mas
a partir da equaccedilatildeo 248 em vez da equaccedilatildeo 247 O sinal electrooacuteptico quadraacutetico
Iseoq que ocorre ao dobro da frequecircncia de modulaccedilatildeo 2Ω eacute dado por
s =
∣∣∣Iseoq∣∣∣|Imax minus Imin|
2λ
πn3oV
2o
h2
l(418)
46 Resultados
Com o cristal de KDP devidamente alinhado no interferoacutemetro segundo o seu
eixo oacuteptico de maneira a se medir o coeficiente r63 Obtendo-se assim dois sinais
o sinal de franja e o sinal electrooacuteptico (Fig 416)
Figura 416 Padratildeo da franja produzida (a) e respectivos sinais de franja e elec-trooacuteptico obtidos para um cristal KDP padratildeo
De forma a se proceder a calibraccedilatildeo do sistema utilizou-se a equaccedilatildeo 417 na
forma
|Iseo||Imax minus Imin|
=πn3
o
λlhrVo (419)
39
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Usando o valor da razatildeo |Iseo ||ImaxminusImin|
em funccedilatildeo do potencial aplicado Vo pode-se
calcular o valor do coeficiente electrooacuteptico r atraveacutes do declive da recta obtida
Pode-se ver na figura 417 uma das rectas obtidas para o cristal utilizado na
calibraccedilatildeo do sistema
Figura 417 Razatildeo entre o sinal electrooacuteptico e a diferenccedila de intensidade defranjas em funccedilatildeo do potencial Vo aplicado ao cristal
A tabela 44 apresenta o valor do coeficiente electrooacuteptico obtido e respectiva
incerteza para o cristal de KDP tomando em conta os valores dos iacutendices de
refraccedilatildeo da tabela 43
Tabela 44 Valores e respectivas incertezas obtidas do coeficiente electrooacutepticopara o cristal KDP utilizado
Material Valor Padratildeo Valor Obtido Erro
KDPr63 = 106pmV r63 = 105plusmn 02pmV 1
(λ = 6328nm)
Como se pode ver na tabela 44 o resultado obtido situa-se muito proacuteximo
do teoacuterico encontrando-se dentro da incerteza obtida Os valores valores meacutedios
apresentam um desvio da ordem dos 02pmV
40
46 RESULTADOS
Apesar dos valores obtidos serem bastante positivos houve algumas dificul-
dades nomeadamente o vidro FTO que causou que o alinhamento fosse extrema-
mente complicado natildeo soacute pela sua espessura e dimensionamento como tambeacutem
pela refraccedilatildeo provocada no feixe laser Outro grande obstaacuteculo foi o alinhamento
do cristal uma vez que basta um ligeiro desvio no caminho oacuteptico para causar um
desalinhamento total algo que eacute agravado no interferoacutemetro do tipo Michelson
pelo facto de o feixe laser passar na amostra duas vezes
Apesar destas dificuldades o valor obtido para o coeficiente electrooacuteptico r63
foi de 105pmV valor esse muito proacuteximo do valor padratildeo da literatura que se
encontra nos 106pmV Assim pode-se considerar que o sistema desenvolvido
se encontra devidamente calibrado e pronto para futuras utilizaccedilotildees
41
Capiacutetulo
5Conclusotildees
O trabalho desenvolvido no decorrer desta dissertaccedilatildeo consistiu no desenvolvi-
mento de um sistema para a mediccedilatildeo do efeito electrooacuteptico aacuterea a ser ulilizada
na caracterizaccedilatildeo de novos materiais polimeacutericos para aplicaccedilatildeo em dispositivos
fotoacutenicos
Nesta conformidade foi desenhada construiacuteda e testado uma bancada oacuteptica
destinada agrave mediccedilatildeo do efeito electrooacuteptico baseado numa teacutecnica interferomeacute-
trica de mediccedilatildeo da diferenccedila de fase implementado atraveacutes de um interferoacutemetro
do tipo Michelson
O cristal escolhido para a calibraccedilatildeo do sistema desenvolvido foi um cristal de
KDP comercial tendo sido utilizado o coeficiente electrooacuteptico r63 como referecircn-
cia sendo o valor padratildeo de 106pmV
O sistema obtido permitiu medir um valor nominal de 105plusmn 02pmV com
um erro de aproximadamente 1 em relaccedilatildeo ao valor tabelado comprovando a
afericcedilatildeo do sistema para a mediccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico por transmissatildeo
O sistema desenvolvido estaacute portanto apto para futuras mediccedilotildees sendo ape-
nas necessaacuterio algumas alteraccedilotildees no porta-amostras mediante as dimensotildees e
forma da amostra a utilizar
Chegou-se ainda agrave conclusatildeo que para amostras como o cristal utilizado o
feixe laser passar duas vezes na amostra acaba por ser uma grande desvantagem
desvantagem essa inexistente para filmes polimeacutericos que ganham cada vez mais
importacircncia na aacuterea da fotoacutenica uma vez que satildeo materiais de grande interesse
cientiacutefico e tecnoloacutegico jaacute que podem ser utilizados no desenvolvimento de dispo-
sitivos oacutepticos nomeadamente moduladores de luz e memoacuterias oacutepticas
43
Bibliografia
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46
Apecircndice
AApecircndice
A1 Desenhos Teacutecnicos
47
4xM
311
23
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311
MA
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Tole
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XX
01
2 pe
ccedilas
- Lista de Figuras
- Lista de Tabelas
- Introduccedilatildeo
- Efeito Electrooacuteptico
-
- Oacuteptica Natildeo-Linear
- Propagaccedilatildeo em Meios Anisotroacutepicos
-
- Vector de Poynting
- Elipsoiacutede dos Iacutendices
- Coeficientes Natildeo-Lineares
-
- Mediccedilatildeo do Efeito Electrooacuteptico
-
- Meacutetodo Tradicional
- Meacutetodos por Interferometria
-
- Interferometria Oacuteptica
- Interferoacutemetro de Mach-Zehnder
- Interferoacutemetro de Michelson
-
- Sistema Implementado
-
- Interferoacutemetro
- Electroacutenica Desenvolvida
-
- Amplificador
- Gerador de Rampa
- Seguidor de Tensatildeo
-
- Sistema Oacuteptico Desenvolvido
-
- Espelho Vibrante
- Bancada Oacuteptica
- Detector
- Cristal Electrooacuteptico
- Porta Amostras
-
- Coeficiente Electrooacuteptico
- Execuccedilatildeo Experimental
- Resultados
-
- Conclusotildees
- Bibliografia
- Apecircndice
-
- Desenhos Teacutecnicos
-
43 SISTEMA OacutePTICO DESENVOLVIDO
434 Cristal Electrooacuteptico
Para a calibraccedilatildeo do sistema foi utilizado um cristal padratildeo de dihidrogenofosfato
de potaacutessio (KDP) Na tabela 42 pode-se observar algumas das propriedades
fiacutesicas desse cristal
Tabela 42 Propriedades fiacutesicas do cristal padratildeo KDP [18]
Material Simetria Densidade Classe Higroscopicidade
KDP Tetragonal (42m) 234gcm3 Uniaxial Higroscoacutepico
Uma vez que o cristal eacute uniaxial nx = ny = no e nz = ne sendo no e ne os
iacutendices de refraccedilatildeo ordinaacuterio e extraordinaacuterio do cristal KDP A figura 49 ilustra
o elipsoiacutede de iacutendices num cristal padratildeo KDP
Figura 49 Ilustraccedilatildeo de um cristal padratildeo KDP e seu respectivo elipsoiacutede deiacutendices
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CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Na Tabela 43 pode-se observar algumas das propriedades oacutepticas do cristal
padratildeo KDP
Tabela 43 Propriedades oacutepticas do cristal padratildeo KDP a 6328nm [7]
Material Foacutermula Quiacutemica Iacutendice de RefracccedilatildeoCoeficiente
Electrooacuteptico
KDPKH2PO4
no=15074 r41=86 pmV(λ = 6328nm) ne=14673 r63=106 pmV
Como se pode ver na tabela 42 o cristal do tipo KDP eacute higroscoacutepico sendo
assim necessaacuterio reduzir ao maacuteximo o contacto entre o cristal e a atmosfera para
evitar que as suas faces fiquem opacas interferindo assim na qualidade do feixe
transmitido
435 Porta Amostras
O porta amostras eacute constituiacutedo por uma base feita de latatildeo (Fig 410) onde se
coloca o cristal nivelado com o feixe laser Este suporte possui oito roscas para
parafusos M3 quatro em cima de forma a se fixar os encaixes laterais do porta
amostras e quatro em baixo de forma a afixar-se firmemente na bancada oacuteptica
Figura 410 Imagem da base do porta-amostras desenvolvido
32
43 SISTEMA OacutePTICO DESENVOLVIDO
De forma a aplicar-se a tensatildeo de excitaccedilatildeo ao cristal sem bloquear o feixe do
laser foram utilizadas duas placas de vidro com oacutexido de estanho dopado com
fluacuteor (FTO) Este permite que haja uma boa transparecircncia e conduccedilatildeo eleacutetrica
sendo usado em vaacuterios tipos de dispositivos como aplicaccedilotildees opto-eletroacutenicas
ecratildes touch screen filmes finos fotovoltaicos etc O oacutexido de estanho dopado
com fluacuteor [19] eacute reconhecido por ser altamente estaacutevel quimicamente inerte re-
siste a temperaturas elevadas e ao desgaste abrasivo sendo mais econoacutemico do
que o tradicional oacutexido de iacutendio e estanho (ITO)
De forma a garantir um bom contacto eleacutectrico entre o vidro FTO e o cristal
foram construidas duas peccedilas de afixaccedilatildeo idecircnticas (Fig 411) Trata-se de duas
peccedilas de alumiacutenio cada uma contendo uma abertura de forma a deixar passar
o feixe laser e dois rasgos para parafusos de forma a poder-se fixar no suporte e
desta maneira exercer uma pressatildeo constante sobre o cristal
Figura 411 Imagem das peccedilas de fixaccedilatildeo do cristal desenvolvidas com a vista defrente (a) e a vista de traacutes (b)
A ligaccedilatildeo eleacutectrica entre o sinal de referecircncia proveniente do amplificador ao
vidro FTO foi feita atraveacutes de uma cola condutora de prata de forma a assegurar
a ligaccedilatildeo oacutehmica entre o fio de cobre e a camada de FTO O cristal fica assim entre
duas placas de vidro FTO(Fig412)
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CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Figura 412 Imagem do porta Amostras desenvolvido
A figura 413 ilustra o sistema desenvolvido incluindo a bancada oacuteptica e
instrumentaccedilatildeo
Figura 413 Imagem do sistema desenvolvido para a mediccedilatildeo do efeito electrooacutep-tico
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44 COEFICIENTE ELECTROOacutePTICO
44 Coeficiente Electrooacuteptico
Para o cristal utilizado o dihidrogenofosfato de potaacutessio (KDP) e para o efeito
electrooacuteptico linear a matriz de coeficientes electrooacutepticos eacute a seguinte
rij =
0 0 0
0 0 0
0 0 0
r41 0 0
0 r52 0
0 0 r63
com
i = 1 6
j = 123
Sendo que r41 = r52 pelo que existem apenas dois coeficientes independentes
o r41 e o r63
Usando a notaccedilatildeo condensada mencionada da secccedilatildeo 21 onde se aplica o
campo eleacutectrico (E) no plano do i (sendo i = m) enquanto que j eacute o eixo oacuteptico
Para o caso do KDP eacute costume utilizar o r63 Isto eacute aplicar o campo eleacutectrico nos
planos 12 ou 21 (ou seja i = 6) com o eixo oacuteptico no eixo 3 (j = 3) como demonstra
a figura 414
Figura 414 Ilustraccedilatildeo da configuraccedilatildeo utilizada para a mediccedilatildeo do coeficienter63 num cristal
35
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Para o caso do efeito electrooacuteptico quadraacutetico a matriz dos coeficientes elec-
trooacutepticos seraacute
sij =
s11 s12 s12 0 0 0
s12 s11 s12 0 0 0
s12 s12 s11 0 0 0
0 0 0 s11 minus s12 0 0
0 0 0 0 s11 minus s12 0
0 0 0 0 0 s11 minus s12
com i j = 1 6
45 Execuccedilatildeo Experimental
Para se medir o coeficiente electrooacuteptico aplica-se ao cristal uma tensatildeo com uma
frequecircncia de 2kHz frequecircncia essa que se revelou menos sensiacutevel aos ruiacutedos
ambientes sendo que o sinal electrooacuteptico teraacute a mesma frequecircncia Podendo-
se desta maneira atraveacutes de um amplificador de lock-in (modelo 393 da IthacoDynatrac) filtrar o sinal electrooacuteptico dos restantes sinais uma vez que a sua
frequecircncia eacute conhecida
A intensidade da equaccedilatildeo 41 eacute maacutexima quando cos(∆φ) = 1 e miacutenima quando
cos(∆φ) = minus1 Pelo que subtraindo estas duas equaccedilotildees
Imax minus Imin = 4E1E2 (46)
Assim combinando a equaccedilatildeo 41 com a equaccedilatildeo 46 obtem-se
I prop E21E
22 +
12
(Imax minus Imin)cos(∆φ) (47)
Juntando agora a equaccedilatildeo 246 agrave equaccedilatildeo 247 e tendo em conta que o feixe
passa duas vezes por cada ramo (=2l) a diferenccedila de fase para o efeito electrooacutep-
tico linear
∆φ = ∆φ0 +πrn3
oVoλ
2lh
cos(Ωt) (48)
Sendo ∆φ0 a diferenccedila de fase inicial sem o efeito electrooacuteptico
36
45 EXECUCcedilAtildeO EXPERIMENTAL
Substituindo o ∆φ da equaccedilatildeo 48 na equaccedilatildeo 47 a intensidade do sinal com
modulaccedilatildeo electrooacuteptica(Iseo) seraacute dado por
Iseo prop E21 +E2
2 +12
(Imax minus Imin)cos(∆φ0 +
πrn3oVoλ
2lh
cos(Ωt))
(49)
Usando cos(α plusmn β) = cos(α)cos(β)∓ sen(α) sen(β) e D = πrn3oVoλ
2lh fica-se com
Iseo prop E21 +E2
2+12
(Imax minus Imin)
[cos(∆φ0)cos(Dcos(Ωt)) minus sen(∆φ0) sen(D cos(Ωt))](410)
Como a modulaccedilatildeo electrooacuteptica eacute um efeito muito pequeno a equaccedilatildeo 410
pode-se escrever
Iseo asymp E21 +E2
2 +12
(Imax minus Imin) [cos(∆φ0)minusD cos(Ωt) sen(∆φ0)] (411)
Considerando soacute os termos de primeira ordem
Iseo asymp12
(Imax minus Imin) [cos(∆φ0)minusD cos(Ωt) sen(∆φ0)] (412)
A componente do sinal electrooacuteptico eacute entatildeo dado por
Iseo =12
(Imax minus Imin)D cos(Ωt) sen(∆φ0) (413)
Ou seja
Iseo =12
(Imax minus Imin)πrn3
oVoλ
2lh
cos(Ωt) sen(∆φ0) (414)
O acircngulo ∆φ0 varia linearmente com o tempo (t) a uma frequecircncia inferior
a Ω A franja de interferecircncia desloca-se continuamente em frente ao detector
devido a um dos espelho estar fixado num disco piezoeleacutectrico
37
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Na figura 415 pode-se ver uma exemplificaccedilatildeo do sinal no detector que incor-
pora o sinal da franja e electrooacuteptico dada pela equaccedilatildeo 414
Figura 415 Ilustraccedilatildeo do sinal de modulaccedilatildeo electrooacuteptica de um feixe de luzmedido num interferoacutemetro de Michelson
Uma vez que o sinal electrooacuteptico (cos(Ωt)) estaacute desfasado π2 do sinal da
franja ( sen(∆φ0)) A intensidade do sinal electrooacuteptico pode ser escrita como
Iseo asymp12
(Imax minus Imin)πrn3
oVoλ
2lh
∣∣∣ sen(∆φ0)∣∣∣ (415)
Assim a amplitude do sinal electrooacuteptico eacute
Iseo =12
(Imax minus Imin)πrn3
oVoλ
2lh
(416)
Pelo que o coeficiente electrooacuteptico linear seraacute dado por
r =|Iseo|
|Imax minus Imin|λ
πn3oVo
hl
(417)
38
46 RESULTADOS
Para o efeito electrooacuteptico quadraacutetico utilizando o procedimento anoacutelogo mas
a partir da equaccedilatildeo 248 em vez da equaccedilatildeo 247 O sinal electrooacuteptico quadraacutetico
Iseoq que ocorre ao dobro da frequecircncia de modulaccedilatildeo 2Ω eacute dado por
s =
∣∣∣Iseoq∣∣∣|Imax minus Imin|
2λ
πn3oV
2o
h2
l(418)
46 Resultados
Com o cristal de KDP devidamente alinhado no interferoacutemetro segundo o seu
eixo oacuteptico de maneira a se medir o coeficiente r63 Obtendo-se assim dois sinais
o sinal de franja e o sinal electrooacuteptico (Fig 416)
Figura 416 Padratildeo da franja produzida (a) e respectivos sinais de franja e elec-trooacuteptico obtidos para um cristal KDP padratildeo
De forma a se proceder a calibraccedilatildeo do sistema utilizou-se a equaccedilatildeo 417 na
forma
|Iseo||Imax minus Imin|
=πn3
o
λlhrVo (419)
39
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Usando o valor da razatildeo |Iseo ||ImaxminusImin|
em funccedilatildeo do potencial aplicado Vo pode-se
calcular o valor do coeficiente electrooacuteptico r atraveacutes do declive da recta obtida
Pode-se ver na figura 417 uma das rectas obtidas para o cristal utilizado na
calibraccedilatildeo do sistema
Figura 417 Razatildeo entre o sinal electrooacuteptico e a diferenccedila de intensidade defranjas em funccedilatildeo do potencial Vo aplicado ao cristal
A tabela 44 apresenta o valor do coeficiente electrooacuteptico obtido e respectiva
incerteza para o cristal de KDP tomando em conta os valores dos iacutendices de
refraccedilatildeo da tabela 43
Tabela 44 Valores e respectivas incertezas obtidas do coeficiente electrooacutepticopara o cristal KDP utilizado
Material Valor Padratildeo Valor Obtido Erro
KDPr63 = 106pmV r63 = 105plusmn 02pmV 1
(λ = 6328nm)
Como se pode ver na tabela 44 o resultado obtido situa-se muito proacuteximo
do teoacuterico encontrando-se dentro da incerteza obtida Os valores valores meacutedios
apresentam um desvio da ordem dos 02pmV
40
46 RESULTADOS
Apesar dos valores obtidos serem bastante positivos houve algumas dificul-
dades nomeadamente o vidro FTO que causou que o alinhamento fosse extrema-
mente complicado natildeo soacute pela sua espessura e dimensionamento como tambeacutem
pela refraccedilatildeo provocada no feixe laser Outro grande obstaacuteculo foi o alinhamento
do cristal uma vez que basta um ligeiro desvio no caminho oacuteptico para causar um
desalinhamento total algo que eacute agravado no interferoacutemetro do tipo Michelson
pelo facto de o feixe laser passar na amostra duas vezes
Apesar destas dificuldades o valor obtido para o coeficiente electrooacuteptico r63
foi de 105pmV valor esse muito proacuteximo do valor padratildeo da literatura que se
encontra nos 106pmV Assim pode-se considerar que o sistema desenvolvido
se encontra devidamente calibrado e pronto para futuras utilizaccedilotildees
41
Capiacutetulo
5Conclusotildees
O trabalho desenvolvido no decorrer desta dissertaccedilatildeo consistiu no desenvolvi-
mento de um sistema para a mediccedilatildeo do efeito electrooacuteptico aacuterea a ser ulilizada
na caracterizaccedilatildeo de novos materiais polimeacutericos para aplicaccedilatildeo em dispositivos
fotoacutenicos
Nesta conformidade foi desenhada construiacuteda e testado uma bancada oacuteptica
destinada agrave mediccedilatildeo do efeito electrooacuteptico baseado numa teacutecnica interferomeacute-
trica de mediccedilatildeo da diferenccedila de fase implementado atraveacutes de um interferoacutemetro
do tipo Michelson
O cristal escolhido para a calibraccedilatildeo do sistema desenvolvido foi um cristal de
KDP comercial tendo sido utilizado o coeficiente electrooacuteptico r63 como referecircn-
cia sendo o valor padratildeo de 106pmV
O sistema obtido permitiu medir um valor nominal de 105plusmn 02pmV com
um erro de aproximadamente 1 em relaccedilatildeo ao valor tabelado comprovando a
afericcedilatildeo do sistema para a mediccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico por transmissatildeo
O sistema desenvolvido estaacute portanto apto para futuras mediccedilotildees sendo ape-
nas necessaacuterio algumas alteraccedilotildees no porta-amostras mediante as dimensotildees e
forma da amostra a utilizar
Chegou-se ainda agrave conclusatildeo que para amostras como o cristal utilizado o
feixe laser passar duas vezes na amostra acaba por ser uma grande desvantagem
desvantagem essa inexistente para filmes polimeacutericos que ganham cada vez mais
importacircncia na aacuterea da fotoacutenica uma vez que satildeo materiais de grande interesse
cientiacutefico e tecnoloacutegico jaacute que podem ser utilizados no desenvolvimento de dispo-
sitivos oacutepticos nomeadamente moduladores de luz e memoacuterias oacutepticas
43
Bibliografia
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46
Apecircndice
AApecircndice
A1 Desenhos Teacutecnicos
47
4xM
311
23
35
40
4xM
311
MA
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Peccedila
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Tole
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ia
XX
01
2 pe
ccedilas
- Lista de Figuras
- Lista de Tabelas
- Introduccedilatildeo
- Efeito Electrooacuteptico
-
- Oacuteptica Natildeo-Linear
- Propagaccedilatildeo em Meios Anisotroacutepicos
-
- Vector de Poynting
- Elipsoiacutede dos Iacutendices
- Coeficientes Natildeo-Lineares
-
- Mediccedilatildeo do Efeito Electrooacuteptico
-
- Meacutetodo Tradicional
- Meacutetodos por Interferometria
-
- Interferometria Oacuteptica
- Interferoacutemetro de Mach-Zehnder
- Interferoacutemetro de Michelson
-
- Sistema Implementado
-
- Interferoacutemetro
- Electroacutenica Desenvolvida
-
- Amplificador
- Gerador de Rampa
- Seguidor de Tensatildeo
-
- Sistema Oacuteptico Desenvolvido
-
- Espelho Vibrante
- Bancada Oacuteptica
- Detector
- Cristal Electrooacuteptico
- Porta Amostras
-
- Coeficiente Electrooacuteptico
- Execuccedilatildeo Experimental
- Resultados
-
- Conclusotildees
- Bibliografia
- Apecircndice
-
- Desenhos Teacutecnicos
-
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Na Tabela 43 pode-se observar algumas das propriedades oacutepticas do cristal
padratildeo KDP
Tabela 43 Propriedades oacutepticas do cristal padratildeo KDP a 6328nm [7]
Material Foacutermula Quiacutemica Iacutendice de RefracccedilatildeoCoeficiente
Electrooacuteptico
KDPKH2PO4
no=15074 r41=86 pmV(λ = 6328nm) ne=14673 r63=106 pmV
Como se pode ver na tabela 42 o cristal do tipo KDP eacute higroscoacutepico sendo
assim necessaacuterio reduzir ao maacuteximo o contacto entre o cristal e a atmosfera para
evitar que as suas faces fiquem opacas interferindo assim na qualidade do feixe
transmitido
435 Porta Amostras
O porta amostras eacute constituiacutedo por uma base feita de latatildeo (Fig 410) onde se
coloca o cristal nivelado com o feixe laser Este suporte possui oito roscas para
parafusos M3 quatro em cima de forma a se fixar os encaixes laterais do porta
amostras e quatro em baixo de forma a afixar-se firmemente na bancada oacuteptica
Figura 410 Imagem da base do porta-amostras desenvolvido
32
43 SISTEMA OacutePTICO DESENVOLVIDO
De forma a aplicar-se a tensatildeo de excitaccedilatildeo ao cristal sem bloquear o feixe do
laser foram utilizadas duas placas de vidro com oacutexido de estanho dopado com
fluacuteor (FTO) Este permite que haja uma boa transparecircncia e conduccedilatildeo eleacutetrica
sendo usado em vaacuterios tipos de dispositivos como aplicaccedilotildees opto-eletroacutenicas
ecratildes touch screen filmes finos fotovoltaicos etc O oacutexido de estanho dopado
com fluacuteor [19] eacute reconhecido por ser altamente estaacutevel quimicamente inerte re-
siste a temperaturas elevadas e ao desgaste abrasivo sendo mais econoacutemico do
que o tradicional oacutexido de iacutendio e estanho (ITO)
De forma a garantir um bom contacto eleacutectrico entre o vidro FTO e o cristal
foram construidas duas peccedilas de afixaccedilatildeo idecircnticas (Fig 411) Trata-se de duas
peccedilas de alumiacutenio cada uma contendo uma abertura de forma a deixar passar
o feixe laser e dois rasgos para parafusos de forma a poder-se fixar no suporte e
desta maneira exercer uma pressatildeo constante sobre o cristal
Figura 411 Imagem das peccedilas de fixaccedilatildeo do cristal desenvolvidas com a vista defrente (a) e a vista de traacutes (b)
A ligaccedilatildeo eleacutectrica entre o sinal de referecircncia proveniente do amplificador ao
vidro FTO foi feita atraveacutes de uma cola condutora de prata de forma a assegurar
a ligaccedilatildeo oacutehmica entre o fio de cobre e a camada de FTO O cristal fica assim entre
duas placas de vidro FTO(Fig412)
33
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Figura 412 Imagem do porta Amostras desenvolvido
A figura 413 ilustra o sistema desenvolvido incluindo a bancada oacuteptica e
instrumentaccedilatildeo
Figura 413 Imagem do sistema desenvolvido para a mediccedilatildeo do efeito electrooacutep-tico
34
44 COEFICIENTE ELECTROOacutePTICO
44 Coeficiente Electrooacuteptico
Para o cristal utilizado o dihidrogenofosfato de potaacutessio (KDP) e para o efeito
electrooacuteptico linear a matriz de coeficientes electrooacutepticos eacute a seguinte
rij =
0 0 0
0 0 0
0 0 0
r41 0 0
0 r52 0
0 0 r63
com
i = 1 6
j = 123
Sendo que r41 = r52 pelo que existem apenas dois coeficientes independentes
o r41 e o r63
Usando a notaccedilatildeo condensada mencionada da secccedilatildeo 21 onde se aplica o
campo eleacutectrico (E) no plano do i (sendo i = m) enquanto que j eacute o eixo oacuteptico
Para o caso do KDP eacute costume utilizar o r63 Isto eacute aplicar o campo eleacutectrico nos
planos 12 ou 21 (ou seja i = 6) com o eixo oacuteptico no eixo 3 (j = 3) como demonstra
a figura 414
Figura 414 Ilustraccedilatildeo da configuraccedilatildeo utilizada para a mediccedilatildeo do coeficienter63 num cristal
35
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Para o caso do efeito electrooacuteptico quadraacutetico a matriz dos coeficientes elec-
trooacutepticos seraacute
sij =
s11 s12 s12 0 0 0
s12 s11 s12 0 0 0
s12 s12 s11 0 0 0
0 0 0 s11 minus s12 0 0
0 0 0 0 s11 minus s12 0
0 0 0 0 0 s11 minus s12
com i j = 1 6
45 Execuccedilatildeo Experimental
Para se medir o coeficiente electrooacuteptico aplica-se ao cristal uma tensatildeo com uma
frequecircncia de 2kHz frequecircncia essa que se revelou menos sensiacutevel aos ruiacutedos
ambientes sendo que o sinal electrooacuteptico teraacute a mesma frequecircncia Podendo-
se desta maneira atraveacutes de um amplificador de lock-in (modelo 393 da IthacoDynatrac) filtrar o sinal electrooacuteptico dos restantes sinais uma vez que a sua
frequecircncia eacute conhecida
A intensidade da equaccedilatildeo 41 eacute maacutexima quando cos(∆φ) = 1 e miacutenima quando
cos(∆φ) = minus1 Pelo que subtraindo estas duas equaccedilotildees
Imax minus Imin = 4E1E2 (46)
Assim combinando a equaccedilatildeo 41 com a equaccedilatildeo 46 obtem-se
I prop E21E
22 +
12
(Imax minus Imin)cos(∆φ) (47)
Juntando agora a equaccedilatildeo 246 agrave equaccedilatildeo 247 e tendo em conta que o feixe
passa duas vezes por cada ramo (=2l) a diferenccedila de fase para o efeito electrooacutep-
tico linear
∆φ = ∆φ0 +πrn3
oVoλ
2lh
cos(Ωt) (48)
Sendo ∆φ0 a diferenccedila de fase inicial sem o efeito electrooacuteptico
36
45 EXECUCcedilAtildeO EXPERIMENTAL
Substituindo o ∆φ da equaccedilatildeo 48 na equaccedilatildeo 47 a intensidade do sinal com
modulaccedilatildeo electrooacuteptica(Iseo) seraacute dado por
Iseo prop E21 +E2
2 +12
(Imax minus Imin)cos(∆φ0 +
πrn3oVoλ
2lh
cos(Ωt))
(49)
Usando cos(α plusmn β) = cos(α)cos(β)∓ sen(α) sen(β) e D = πrn3oVoλ
2lh fica-se com
Iseo prop E21 +E2
2+12
(Imax minus Imin)
[cos(∆φ0)cos(Dcos(Ωt)) minus sen(∆φ0) sen(D cos(Ωt))](410)
Como a modulaccedilatildeo electrooacuteptica eacute um efeito muito pequeno a equaccedilatildeo 410
pode-se escrever
Iseo asymp E21 +E2
2 +12
(Imax minus Imin) [cos(∆φ0)minusD cos(Ωt) sen(∆φ0)] (411)
Considerando soacute os termos de primeira ordem
Iseo asymp12
(Imax minus Imin) [cos(∆φ0)minusD cos(Ωt) sen(∆φ0)] (412)
A componente do sinal electrooacuteptico eacute entatildeo dado por
Iseo =12
(Imax minus Imin)D cos(Ωt) sen(∆φ0) (413)
Ou seja
Iseo =12
(Imax minus Imin)πrn3
oVoλ
2lh
cos(Ωt) sen(∆φ0) (414)
O acircngulo ∆φ0 varia linearmente com o tempo (t) a uma frequecircncia inferior
a Ω A franja de interferecircncia desloca-se continuamente em frente ao detector
devido a um dos espelho estar fixado num disco piezoeleacutectrico
37
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Na figura 415 pode-se ver uma exemplificaccedilatildeo do sinal no detector que incor-
pora o sinal da franja e electrooacuteptico dada pela equaccedilatildeo 414
Figura 415 Ilustraccedilatildeo do sinal de modulaccedilatildeo electrooacuteptica de um feixe de luzmedido num interferoacutemetro de Michelson
Uma vez que o sinal electrooacuteptico (cos(Ωt)) estaacute desfasado π2 do sinal da
franja ( sen(∆φ0)) A intensidade do sinal electrooacuteptico pode ser escrita como
Iseo asymp12
(Imax minus Imin)πrn3
oVoλ
2lh
∣∣∣ sen(∆φ0)∣∣∣ (415)
Assim a amplitude do sinal electrooacuteptico eacute
Iseo =12
(Imax minus Imin)πrn3
oVoλ
2lh
(416)
Pelo que o coeficiente electrooacuteptico linear seraacute dado por
r =|Iseo|
|Imax minus Imin|λ
πn3oVo
hl
(417)
38
46 RESULTADOS
Para o efeito electrooacuteptico quadraacutetico utilizando o procedimento anoacutelogo mas
a partir da equaccedilatildeo 248 em vez da equaccedilatildeo 247 O sinal electrooacuteptico quadraacutetico
Iseoq que ocorre ao dobro da frequecircncia de modulaccedilatildeo 2Ω eacute dado por
s =
∣∣∣Iseoq∣∣∣|Imax minus Imin|
2λ
πn3oV
2o
h2
l(418)
46 Resultados
Com o cristal de KDP devidamente alinhado no interferoacutemetro segundo o seu
eixo oacuteptico de maneira a se medir o coeficiente r63 Obtendo-se assim dois sinais
o sinal de franja e o sinal electrooacuteptico (Fig 416)
Figura 416 Padratildeo da franja produzida (a) e respectivos sinais de franja e elec-trooacuteptico obtidos para um cristal KDP padratildeo
De forma a se proceder a calibraccedilatildeo do sistema utilizou-se a equaccedilatildeo 417 na
forma
|Iseo||Imax minus Imin|
=πn3
o
λlhrVo (419)
39
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Usando o valor da razatildeo |Iseo ||ImaxminusImin|
em funccedilatildeo do potencial aplicado Vo pode-se
calcular o valor do coeficiente electrooacuteptico r atraveacutes do declive da recta obtida
Pode-se ver na figura 417 uma das rectas obtidas para o cristal utilizado na
calibraccedilatildeo do sistema
Figura 417 Razatildeo entre o sinal electrooacuteptico e a diferenccedila de intensidade defranjas em funccedilatildeo do potencial Vo aplicado ao cristal
A tabela 44 apresenta o valor do coeficiente electrooacuteptico obtido e respectiva
incerteza para o cristal de KDP tomando em conta os valores dos iacutendices de
refraccedilatildeo da tabela 43
Tabela 44 Valores e respectivas incertezas obtidas do coeficiente electrooacutepticopara o cristal KDP utilizado
Material Valor Padratildeo Valor Obtido Erro
KDPr63 = 106pmV r63 = 105plusmn 02pmV 1
(λ = 6328nm)
Como se pode ver na tabela 44 o resultado obtido situa-se muito proacuteximo
do teoacuterico encontrando-se dentro da incerteza obtida Os valores valores meacutedios
apresentam um desvio da ordem dos 02pmV
40
46 RESULTADOS
Apesar dos valores obtidos serem bastante positivos houve algumas dificul-
dades nomeadamente o vidro FTO que causou que o alinhamento fosse extrema-
mente complicado natildeo soacute pela sua espessura e dimensionamento como tambeacutem
pela refraccedilatildeo provocada no feixe laser Outro grande obstaacuteculo foi o alinhamento
do cristal uma vez que basta um ligeiro desvio no caminho oacuteptico para causar um
desalinhamento total algo que eacute agravado no interferoacutemetro do tipo Michelson
pelo facto de o feixe laser passar na amostra duas vezes
Apesar destas dificuldades o valor obtido para o coeficiente electrooacuteptico r63
foi de 105pmV valor esse muito proacuteximo do valor padratildeo da literatura que se
encontra nos 106pmV Assim pode-se considerar que o sistema desenvolvido
se encontra devidamente calibrado e pronto para futuras utilizaccedilotildees
41
Capiacutetulo
5Conclusotildees
O trabalho desenvolvido no decorrer desta dissertaccedilatildeo consistiu no desenvolvi-
mento de um sistema para a mediccedilatildeo do efeito electrooacuteptico aacuterea a ser ulilizada
na caracterizaccedilatildeo de novos materiais polimeacutericos para aplicaccedilatildeo em dispositivos
fotoacutenicos
Nesta conformidade foi desenhada construiacuteda e testado uma bancada oacuteptica
destinada agrave mediccedilatildeo do efeito electrooacuteptico baseado numa teacutecnica interferomeacute-
trica de mediccedilatildeo da diferenccedila de fase implementado atraveacutes de um interferoacutemetro
do tipo Michelson
O cristal escolhido para a calibraccedilatildeo do sistema desenvolvido foi um cristal de
KDP comercial tendo sido utilizado o coeficiente electrooacuteptico r63 como referecircn-
cia sendo o valor padratildeo de 106pmV
O sistema obtido permitiu medir um valor nominal de 105plusmn 02pmV com
um erro de aproximadamente 1 em relaccedilatildeo ao valor tabelado comprovando a
afericcedilatildeo do sistema para a mediccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico por transmissatildeo
O sistema desenvolvido estaacute portanto apto para futuras mediccedilotildees sendo ape-
nas necessaacuterio algumas alteraccedilotildees no porta-amostras mediante as dimensotildees e
forma da amostra a utilizar
Chegou-se ainda agrave conclusatildeo que para amostras como o cristal utilizado o
feixe laser passar duas vezes na amostra acaba por ser uma grande desvantagem
desvantagem essa inexistente para filmes polimeacutericos que ganham cada vez mais
importacircncia na aacuterea da fotoacutenica uma vez que satildeo materiais de grande interesse
cientiacutefico e tecnoloacutegico jaacute que podem ser utilizados no desenvolvimento de dispo-
sitivos oacutepticos nomeadamente moduladores de luz e memoacuterias oacutepticas
43
Bibliografia
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defect mode on Faraday rotationrdquo Em Optik - International Journal for Lightand Electron Optics 12623 (2015) pp 3954 ndash3958 issn 0030-4026 doi
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do coeficiente de blindagem do campo eleacutetrico aplicado em cristal fotor-
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incidecircncia obliacutequa modelo e experimentordquo Tese de doutoramento Univer-
sidade Federal de Alagoas 2013
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45
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46
Apecircndice
AApecircndice
A1 Desenhos Teacutecnicos
47
4xM
311
23
35
40
4xM
311
MA
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10
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Tole
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XX
01
2 pe
ccedilas
- Lista de Figuras
- Lista de Tabelas
- Introduccedilatildeo
- Efeito Electrooacuteptico
-
- Oacuteptica Natildeo-Linear
- Propagaccedilatildeo em Meios Anisotroacutepicos
-
- Vector de Poynting
- Elipsoiacutede dos Iacutendices
- Coeficientes Natildeo-Lineares
-
- Mediccedilatildeo do Efeito Electrooacuteptico
-
- Meacutetodo Tradicional
- Meacutetodos por Interferometria
-
- Interferometria Oacuteptica
- Interferoacutemetro de Mach-Zehnder
- Interferoacutemetro de Michelson
-
- Sistema Implementado
-
- Interferoacutemetro
- Electroacutenica Desenvolvida
-
- Amplificador
- Gerador de Rampa
- Seguidor de Tensatildeo
-
- Sistema Oacuteptico Desenvolvido
-
- Espelho Vibrante
- Bancada Oacuteptica
- Detector
- Cristal Electrooacuteptico
- Porta Amostras
-
- Coeficiente Electrooacuteptico
- Execuccedilatildeo Experimental
- Resultados
-
- Conclusotildees
- Bibliografia
- Apecircndice
-
- Desenhos Teacutecnicos
-
43 SISTEMA OacutePTICO DESENVOLVIDO
De forma a aplicar-se a tensatildeo de excitaccedilatildeo ao cristal sem bloquear o feixe do
laser foram utilizadas duas placas de vidro com oacutexido de estanho dopado com
fluacuteor (FTO) Este permite que haja uma boa transparecircncia e conduccedilatildeo eleacutetrica
sendo usado em vaacuterios tipos de dispositivos como aplicaccedilotildees opto-eletroacutenicas
ecratildes touch screen filmes finos fotovoltaicos etc O oacutexido de estanho dopado
com fluacuteor [19] eacute reconhecido por ser altamente estaacutevel quimicamente inerte re-
siste a temperaturas elevadas e ao desgaste abrasivo sendo mais econoacutemico do
que o tradicional oacutexido de iacutendio e estanho (ITO)
De forma a garantir um bom contacto eleacutectrico entre o vidro FTO e o cristal
foram construidas duas peccedilas de afixaccedilatildeo idecircnticas (Fig 411) Trata-se de duas
peccedilas de alumiacutenio cada uma contendo uma abertura de forma a deixar passar
o feixe laser e dois rasgos para parafusos de forma a poder-se fixar no suporte e
desta maneira exercer uma pressatildeo constante sobre o cristal
Figura 411 Imagem das peccedilas de fixaccedilatildeo do cristal desenvolvidas com a vista defrente (a) e a vista de traacutes (b)
A ligaccedilatildeo eleacutectrica entre o sinal de referecircncia proveniente do amplificador ao
vidro FTO foi feita atraveacutes de uma cola condutora de prata de forma a assegurar
a ligaccedilatildeo oacutehmica entre o fio de cobre e a camada de FTO O cristal fica assim entre
duas placas de vidro FTO(Fig412)
33
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Figura 412 Imagem do porta Amostras desenvolvido
A figura 413 ilustra o sistema desenvolvido incluindo a bancada oacuteptica e
instrumentaccedilatildeo
Figura 413 Imagem do sistema desenvolvido para a mediccedilatildeo do efeito electrooacutep-tico
34
44 COEFICIENTE ELECTROOacutePTICO
44 Coeficiente Electrooacuteptico
Para o cristal utilizado o dihidrogenofosfato de potaacutessio (KDP) e para o efeito
electrooacuteptico linear a matriz de coeficientes electrooacutepticos eacute a seguinte
rij =
0 0 0
0 0 0
0 0 0
r41 0 0
0 r52 0
0 0 r63
com
i = 1 6
j = 123
Sendo que r41 = r52 pelo que existem apenas dois coeficientes independentes
o r41 e o r63
Usando a notaccedilatildeo condensada mencionada da secccedilatildeo 21 onde se aplica o
campo eleacutectrico (E) no plano do i (sendo i = m) enquanto que j eacute o eixo oacuteptico
Para o caso do KDP eacute costume utilizar o r63 Isto eacute aplicar o campo eleacutectrico nos
planos 12 ou 21 (ou seja i = 6) com o eixo oacuteptico no eixo 3 (j = 3) como demonstra
a figura 414
Figura 414 Ilustraccedilatildeo da configuraccedilatildeo utilizada para a mediccedilatildeo do coeficienter63 num cristal
35
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Para o caso do efeito electrooacuteptico quadraacutetico a matriz dos coeficientes elec-
trooacutepticos seraacute
sij =
s11 s12 s12 0 0 0
s12 s11 s12 0 0 0
s12 s12 s11 0 0 0
0 0 0 s11 minus s12 0 0
0 0 0 0 s11 minus s12 0
0 0 0 0 0 s11 minus s12
com i j = 1 6
45 Execuccedilatildeo Experimental
Para se medir o coeficiente electrooacuteptico aplica-se ao cristal uma tensatildeo com uma
frequecircncia de 2kHz frequecircncia essa que se revelou menos sensiacutevel aos ruiacutedos
ambientes sendo que o sinal electrooacuteptico teraacute a mesma frequecircncia Podendo-
se desta maneira atraveacutes de um amplificador de lock-in (modelo 393 da IthacoDynatrac) filtrar o sinal electrooacuteptico dos restantes sinais uma vez que a sua
frequecircncia eacute conhecida
A intensidade da equaccedilatildeo 41 eacute maacutexima quando cos(∆φ) = 1 e miacutenima quando
cos(∆φ) = minus1 Pelo que subtraindo estas duas equaccedilotildees
Imax minus Imin = 4E1E2 (46)
Assim combinando a equaccedilatildeo 41 com a equaccedilatildeo 46 obtem-se
I prop E21E
22 +
12
(Imax minus Imin)cos(∆φ) (47)
Juntando agora a equaccedilatildeo 246 agrave equaccedilatildeo 247 e tendo em conta que o feixe
passa duas vezes por cada ramo (=2l) a diferenccedila de fase para o efeito electrooacutep-
tico linear
∆φ = ∆φ0 +πrn3
oVoλ
2lh
cos(Ωt) (48)
Sendo ∆φ0 a diferenccedila de fase inicial sem o efeito electrooacuteptico
36
45 EXECUCcedilAtildeO EXPERIMENTAL
Substituindo o ∆φ da equaccedilatildeo 48 na equaccedilatildeo 47 a intensidade do sinal com
modulaccedilatildeo electrooacuteptica(Iseo) seraacute dado por
Iseo prop E21 +E2
2 +12
(Imax minus Imin)cos(∆φ0 +
πrn3oVoλ
2lh
cos(Ωt))
(49)
Usando cos(α plusmn β) = cos(α)cos(β)∓ sen(α) sen(β) e D = πrn3oVoλ
2lh fica-se com
Iseo prop E21 +E2
2+12
(Imax minus Imin)
[cos(∆φ0)cos(Dcos(Ωt)) minus sen(∆φ0) sen(D cos(Ωt))](410)
Como a modulaccedilatildeo electrooacuteptica eacute um efeito muito pequeno a equaccedilatildeo 410
pode-se escrever
Iseo asymp E21 +E2
2 +12
(Imax minus Imin) [cos(∆φ0)minusD cos(Ωt) sen(∆φ0)] (411)
Considerando soacute os termos de primeira ordem
Iseo asymp12
(Imax minus Imin) [cos(∆φ0)minusD cos(Ωt) sen(∆φ0)] (412)
A componente do sinal electrooacuteptico eacute entatildeo dado por
Iseo =12
(Imax minus Imin)D cos(Ωt) sen(∆φ0) (413)
Ou seja
Iseo =12
(Imax minus Imin)πrn3
oVoλ
2lh
cos(Ωt) sen(∆φ0) (414)
O acircngulo ∆φ0 varia linearmente com o tempo (t) a uma frequecircncia inferior
a Ω A franja de interferecircncia desloca-se continuamente em frente ao detector
devido a um dos espelho estar fixado num disco piezoeleacutectrico
37
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Na figura 415 pode-se ver uma exemplificaccedilatildeo do sinal no detector que incor-
pora o sinal da franja e electrooacuteptico dada pela equaccedilatildeo 414
Figura 415 Ilustraccedilatildeo do sinal de modulaccedilatildeo electrooacuteptica de um feixe de luzmedido num interferoacutemetro de Michelson
Uma vez que o sinal electrooacuteptico (cos(Ωt)) estaacute desfasado π2 do sinal da
franja ( sen(∆φ0)) A intensidade do sinal electrooacuteptico pode ser escrita como
Iseo asymp12
(Imax minus Imin)πrn3
oVoλ
2lh
∣∣∣ sen(∆φ0)∣∣∣ (415)
Assim a amplitude do sinal electrooacuteptico eacute
Iseo =12
(Imax minus Imin)πrn3
oVoλ
2lh
(416)
Pelo que o coeficiente electrooacuteptico linear seraacute dado por
r =|Iseo|
|Imax minus Imin|λ
πn3oVo
hl
(417)
38
46 RESULTADOS
Para o efeito electrooacuteptico quadraacutetico utilizando o procedimento anoacutelogo mas
a partir da equaccedilatildeo 248 em vez da equaccedilatildeo 247 O sinal electrooacuteptico quadraacutetico
Iseoq que ocorre ao dobro da frequecircncia de modulaccedilatildeo 2Ω eacute dado por
s =
∣∣∣Iseoq∣∣∣|Imax minus Imin|
2λ
πn3oV
2o
h2
l(418)
46 Resultados
Com o cristal de KDP devidamente alinhado no interferoacutemetro segundo o seu
eixo oacuteptico de maneira a se medir o coeficiente r63 Obtendo-se assim dois sinais
o sinal de franja e o sinal electrooacuteptico (Fig 416)
Figura 416 Padratildeo da franja produzida (a) e respectivos sinais de franja e elec-trooacuteptico obtidos para um cristal KDP padratildeo
De forma a se proceder a calibraccedilatildeo do sistema utilizou-se a equaccedilatildeo 417 na
forma
|Iseo||Imax minus Imin|
=πn3
o
λlhrVo (419)
39
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Usando o valor da razatildeo |Iseo ||ImaxminusImin|
em funccedilatildeo do potencial aplicado Vo pode-se
calcular o valor do coeficiente electrooacuteptico r atraveacutes do declive da recta obtida
Pode-se ver na figura 417 uma das rectas obtidas para o cristal utilizado na
calibraccedilatildeo do sistema
Figura 417 Razatildeo entre o sinal electrooacuteptico e a diferenccedila de intensidade defranjas em funccedilatildeo do potencial Vo aplicado ao cristal
A tabela 44 apresenta o valor do coeficiente electrooacuteptico obtido e respectiva
incerteza para o cristal de KDP tomando em conta os valores dos iacutendices de
refraccedilatildeo da tabela 43
Tabela 44 Valores e respectivas incertezas obtidas do coeficiente electrooacutepticopara o cristal KDP utilizado
Material Valor Padratildeo Valor Obtido Erro
KDPr63 = 106pmV r63 = 105plusmn 02pmV 1
(λ = 6328nm)
Como se pode ver na tabela 44 o resultado obtido situa-se muito proacuteximo
do teoacuterico encontrando-se dentro da incerteza obtida Os valores valores meacutedios
apresentam um desvio da ordem dos 02pmV
40
46 RESULTADOS
Apesar dos valores obtidos serem bastante positivos houve algumas dificul-
dades nomeadamente o vidro FTO que causou que o alinhamento fosse extrema-
mente complicado natildeo soacute pela sua espessura e dimensionamento como tambeacutem
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foi de 105pmV valor esse muito proacuteximo do valor padratildeo da literatura que se
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[17] Newport 818 Series Photodiode Sensors Data Sheet httpassetsnewportcom webDocuments - EN images 39052 pdf [Consultado em 21-05-
2015]
[18] T Fukami ldquoRefinement of the Crystal Structure of KH2PO4 in the Ferro-
electric Phaserdquo Em physica status solidi (a) 1172 (1990) K93ndashK96 issn
1521-396X doi 101002pssa2211170234
[19] SIGMA-ALDRICH Fluorine doped Tin Oxide (FTO) Glass httpwwwsigmaaldrichcommaterials-sciencematerial-science-products
htmlTablePage=106837645 [Consultado em 17-05-2015]
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Apecircndice
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A1 Desenhos Teacutecnicos
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- Lista de Figuras
- Lista de Tabelas
- Introduccedilatildeo
- Efeito Electrooacuteptico
-
- Oacuteptica Natildeo-Linear
- Propagaccedilatildeo em Meios Anisotroacutepicos
-
- Vector de Poynting
- Elipsoiacutede dos Iacutendices
- Coeficientes Natildeo-Lineares
-
- Mediccedilatildeo do Efeito Electrooacuteptico
-
- Meacutetodo Tradicional
- Meacutetodos por Interferometria
-
- Interferometria Oacuteptica
- Interferoacutemetro de Mach-Zehnder
- Interferoacutemetro de Michelson
-
- Sistema Implementado
-
- Interferoacutemetro
- Electroacutenica Desenvolvida
-
- Amplificador
- Gerador de Rampa
- Seguidor de Tensatildeo
-
- Sistema Oacuteptico Desenvolvido
-
- Espelho Vibrante
- Bancada Oacuteptica
- Detector
- Cristal Electrooacuteptico
- Porta Amostras
-
- Coeficiente Electrooacuteptico
- Execuccedilatildeo Experimental
- Resultados
-
- Conclusotildees
- Bibliografia
- Apecircndice
-
- Desenhos Teacutecnicos
-
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Figura 412 Imagem do porta Amostras desenvolvido
A figura 413 ilustra o sistema desenvolvido incluindo a bancada oacuteptica e
instrumentaccedilatildeo
Figura 413 Imagem do sistema desenvolvido para a mediccedilatildeo do efeito electrooacutep-tico
34
44 COEFICIENTE ELECTROOacutePTICO
44 Coeficiente Electrooacuteptico
Para o cristal utilizado o dihidrogenofosfato de potaacutessio (KDP) e para o efeito
electrooacuteptico linear a matriz de coeficientes electrooacutepticos eacute a seguinte
rij =
0 0 0
0 0 0
0 0 0
r41 0 0
0 r52 0
0 0 r63
com
i = 1 6
j = 123
Sendo que r41 = r52 pelo que existem apenas dois coeficientes independentes
o r41 e o r63
Usando a notaccedilatildeo condensada mencionada da secccedilatildeo 21 onde se aplica o
campo eleacutectrico (E) no plano do i (sendo i = m) enquanto que j eacute o eixo oacuteptico
Para o caso do KDP eacute costume utilizar o r63 Isto eacute aplicar o campo eleacutectrico nos
planos 12 ou 21 (ou seja i = 6) com o eixo oacuteptico no eixo 3 (j = 3) como demonstra
a figura 414
Figura 414 Ilustraccedilatildeo da configuraccedilatildeo utilizada para a mediccedilatildeo do coeficienter63 num cristal
35
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Para o caso do efeito electrooacuteptico quadraacutetico a matriz dos coeficientes elec-
trooacutepticos seraacute
sij =
s11 s12 s12 0 0 0
s12 s11 s12 0 0 0
s12 s12 s11 0 0 0
0 0 0 s11 minus s12 0 0
0 0 0 0 s11 minus s12 0
0 0 0 0 0 s11 minus s12
com i j = 1 6
45 Execuccedilatildeo Experimental
Para se medir o coeficiente electrooacuteptico aplica-se ao cristal uma tensatildeo com uma
frequecircncia de 2kHz frequecircncia essa que se revelou menos sensiacutevel aos ruiacutedos
ambientes sendo que o sinal electrooacuteptico teraacute a mesma frequecircncia Podendo-
se desta maneira atraveacutes de um amplificador de lock-in (modelo 393 da IthacoDynatrac) filtrar o sinal electrooacuteptico dos restantes sinais uma vez que a sua
frequecircncia eacute conhecida
A intensidade da equaccedilatildeo 41 eacute maacutexima quando cos(∆φ) = 1 e miacutenima quando
cos(∆φ) = minus1 Pelo que subtraindo estas duas equaccedilotildees
Imax minus Imin = 4E1E2 (46)
Assim combinando a equaccedilatildeo 41 com a equaccedilatildeo 46 obtem-se
I prop E21E
22 +
12
(Imax minus Imin)cos(∆φ) (47)
Juntando agora a equaccedilatildeo 246 agrave equaccedilatildeo 247 e tendo em conta que o feixe
passa duas vezes por cada ramo (=2l) a diferenccedila de fase para o efeito electrooacutep-
tico linear
∆φ = ∆φ0 +πrn3
oVoλ
2lh
cos(Ωt) (48)
Sendo ∆φ0 a diferenccedila de fase inicial sem o efeito electrooacuteptico
36
45 EXECUCcedilAtildeO EXPERIMENTAL
Substituindo o ∆φ da equaccedilatildeo 48 na equaccedilatildeo 47 a intensidade do sinal com
modulaccedilatildeo electrooacuteptica(Iseo) seraacute dado por
Iseo prop E21 +E2
2 +12
(Imax minus Imin)cos(∆φ0 +
πrn3oVoλ
2lh
cos(Ωt))
(49)
Usando cos(α plusmn β) = cos(α)cos(β)∓ sen(α) sen(β) e D = πrn3oVoλ
2lh fica-se com
Iseo prop E21 +E2
2+12
(Imax minus Imin)
[cos(∆φ0)cos(Dcos(Ωt)) minus sen(∆φ0) sen(D cos(Ωt))](410)
Como a modulaccedilatildeo electrooacuteptica eacute um efeito muito pequeno a equaccedilatildeo 410
pode-se escrever
Iseo asymp E21 +E2
2 +12
(Imax minus Imin) [cos(∆φ0)minusD cos(Ωt) sen(∆φ0)] (411)
Considerando soacute os termos de primeira ordem
Iseo asymp12
(Imax minus Imin) [cos(∆φ0)minusD cos(Ωt) sen(∆φ0)] (412)
A componente do sinal electrooacuteptico eacute entatildeo dado por
Iseo =12
(Imax minus Imin)D cos(Ωt) sen(∆φ0) (413)
Ou seja
Iseo =12
(Imax minus Imin)πrn3
oVoλ
2lh
cos(Ωt) sen(∆φ0) (414)
O acircngulo ∆φ0 varia linearmente com o tempo (t) a uma frequecircncia inferior
a Ω A franja de interferecircncia desloca-se continuamente em frente ao detector
devido a um dos espelho estar fixado num disco piezoeleacutectrico
37
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Na figura 415 pode-se ver uma exemplificaccedilatildeo do sinal no detector que incor-
pora o sinal da franja e electrooacuteptico dada pela equaccedilatildeo 414
Figura 415 Ilustraccedilatildeo do sinal de modulaccedilatildeo electrooacuteptica de um feixe de luzmedido num interferoacutemetro de Michelson
Uma vez que o sinal electrooacuteptico (cos(Ωt)) estaacute desfasado π2 do sinal da
franja ( sen(∆φ0)) A intensidade do sinal electrooacuteptico pode ser escrita como
Iseo asymp12
(Imax minus Imin)πrn3
oVoλ
2lh
∣∣∣ sen(∆φ0)∣∣∣ (415)
Assim a amplitude do sinal electrooacuteptico eacute
Iseo =12
(Imax minus Imin)πrn3
oVoλ
2lh
(416)
Pelo que o coeficiente electrooacuteptico linear seraacute dado por
r =|Iseo|
|Imax minus Imin|λ
πn3oVo
hl
(417)
38
46 RESULTADOS
Para o efeito electrooacuteptico quadraacutetico utilizando o procedimento anoacutelogo mas
a partir da equaccedilatildeo 248 em vez da equaccedilatildeo 247 O sinal electrooacuteptico quadraacutetico
Iseoq que ocorre ao dobro da frequecircncia de modulaccedilatildeo 2Ω eacute dado por
s =
∣∣∣Iseoq∣∣∣|Imax minus Imin|
2λ
πn3oV
2o
h2
l(418)
46 Resultados
Com o cristal de KDP devidamente alinhado no interferoacutemetro segundo o seu
eixo oacuteptico de maneira a se medir o coeficiente r63 Obtendo-se assim dois sinais
o sinal de franja e o sinal electrooacuteptico (Fig 416)
Figura 416 Padratildeo da franja produzida (a) e respectivos sinais de franja e elec-trooacuteptico obtidos para um cristal KDP padratildeo
De forma a se proceder a calibraccedilatildeo do sistema utilizou-se a equaccedilatildeo 417 na
forma
|Iseo||Imax minus Imin|
=πn3
o
λlhrVo (419)
39
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Usando o valor da razatildeo |Iseo ||ImaxminusImin|
em funccedilatildeo do potencial aplicado Vo pode-se
calcular o valor do coeficiente electrooacuteptico r atraveacutes do declive da recta obtida
Pode-se ver na figura 417 uma das rectas obtidas para o cristal utilizado na
calibraccedilatildeo do sistema
Figura 417 Razatildeo entre o sinal electrooacuteptico e a diferenccedila de intensidade defranjas em funccedilatildeo do potencial Vo aplicado ao cristal
A tabela 44 apresenta o valor do coeficiente electrooacuteptico obtido e respectiva
incerteza para o cristal de KDP tomando em conta os valores dos iacutendices de
refraccedilatildeo da tabela 43
Tabela 44 Valores e respectivas incertezas obtidas do coeficiente electrooacutepticopara o cristal KDP utilizado
Material Valor Padratildeo Valor Obtido Erro
KDPr63 = 106pmV r63 = 105plusmn 02pmV 1
(λ = 6328nm)
Como se pode ver na tabela 44 o resultado obtido situa-se muito proacuteximo
do teoacuterico encontrando-se dentro da incerteza obtida Os valores valores meacutedios
apresentam um desvio da ordem dos 02pmV
40
46 RESULTADOS
Apesar dos valores obtidos serem bastante positivos houve algumas dificul-
dades nomeadamente o vidro FTO que causou que o alinhamento fosse extrema-
mente complicado natildeo soacute pela sua espessura e dimensionamento como tambeacutem
pela refraccedilatildeo provocada no feixe laser Outro grande obstaacuteculo foi o alinhamento
do cristal uma vez que basta um ligeiro desvio no caminho oacuteptico para causar um
desalinhamento total algo que eacute agravado no interferoacutemetro do tipo Michelson
pelo facto de o feixe laser passar na amostra duas vezes
Apesar destas dificuldades o valor obtido para o coeficiente electrooacuteptico r63
foi de 105pmV valor esse muito proacuteximo do valor padratildeo da literatura que se
encontra nos 106pmV Assim pode-se considerar que o sistema desenvolvido
se encontra devidamente calibrado e pronto para futuras utilizaccedilotildees
41
Capiacutetulo
5Conclusotildees
O trabalho desenvolvido no decorrer desta dissertaccedilatildeo consistiu no desenvolvi-
mento de um sistema para a mediccedilatildeo do efeito electrooacuteptico aacuterea a ser ulilizada
na caracterizaccedilatildeo de novos materiais polimeacutericos para aplicaccedilatildeo em dispositivos
fotoacutenicos
Nesta conformidade foi desenhada construiacuteda e testado uma bancada oacuteptica
destinada agrave mediccedilatildeo do efeito electrooacuteptico baseado numa teacutecnica interferomeacute-
trica de mediccedilatildeo da diferenccedila de fase implementado atraveacutes de um interferoacutemetro
do tipo Michelson
O cristal escolhido para a calibraccedilatildeo do sistema desenvolvido foi um cristal de
KDP comercial tendo sido utilizado o coeficiente electrooacuteptico r63 como referecircn-
cia sendo o valor padratildeo de 106pmV
O sistema obtido permitiu medir um valor nominal de 105plusmn 02pmV com
um erro de aproximadamente 1 em relaccedilatildeo ao valor tabelado comprovando a
afericcedilatildeo do sistema para a mediccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico por transmissatildeo
O sistema desenvolvido estaacute portanto apto para futuras mediccedilotildees sendo ape-
nas necessaacuterio algumas alteraccedilotildees no porta-amostras mediante as dimensotildees e
forma da amostra a utilizar
Chegou-se ainda agrave conclusatildeo que para amostras como o cristal utilizado o
feixe laser passar duas vezes na amostra acaba por ser uma grande desvantagem
desvantagem essa inexistente para filmes polimeacutericos que ganham cada vez mais
importacircncia na aacuterea da fotoacutenica uma vez que satildeo materiais de grande interesse
cientiacutefico e tecnoloacutegico jaacute que podem ser utilizados no desenvolvimento de dispo-
sitivos oacutepticos nomeadamente moduladores de luz e memoacuterias oacutepticas
43
Bibliografia
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htmlTablePage=106837645 [Consultado em 17-05-2015]
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Apecircndice
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A1 Desenhos Teacutecnicos
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- Lista de Figuras
- Lista de Tabelas
- Introduccedilatildeo
- Efeito Electrooacuteptico
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- Oacuteptica Natildeo-Linear
- Propagaccedilatildeo em Meios Anisotroacutepicos
-
- Vector de Poynting
- Elipsoiacutede dos Iacutendices
- Coeficientes Natildeo-Lineares
-
- Mediccedilatildeo do Efeito Electrooacuteptico
-
- Meacutetodo Tradicional
- Meacutetodos por Interferometria
-
- Interferometria Oacuteptica
- Interferoacutemetro de Mach-Zehnder
- Interferoacutemetro de Michelson
-
- Sistema Implementado
-
- Interferoacutemetro
- Electroacutenica Desenvolvida
-
- Amplificador
- Gerador de Rampa
- Seguidor de Tensatildeo
-
- Sistema Oacuteptico Desenvolvido
-
- Espelho Vibrante
- Bancada Oacuteptica
- Detector
- Cristal Electrooacuteptico
- Porta Amostras
-
- Coeficiente Electrooacuteptico
- Execuccedilatildeo Experimental
- Resultados
-
- Conclusotildees
- Bibliografia
- Apecircndice
-
- Desenhos Teacutecnicos
-
44 COEFICIENTE ELECTROOacutePTICO
44 Coeficiente Electrooacuteptico
Para o cristal utilizado o dihidrogenofosfato de potaacutessio (KDP) e para o efeito
electrooacuteptico linear a matriz de coeficientes electrooacutepticos eacute a seguinte
rij =
0 0 0
0 0 0
0 0 0
r41 0 0
0 r52 0
0 0 r63
com
i = 1 6
j = 123
Sendo que r41 = r52 pelo que existem apenas dois coeficientes independentes
o r41 e o r63
Usando a notaccedilatildeo condensada mencionada da secccedilatildeo 21 onde se aplica o
campo eleacutectrico (E) no plano do i (sendo i = m) enquanto que j eacute o eixo oacuteptico
Para o caso do KDP eacute costume utilizar o r63 Isto eacute aplicar o campo eleacutectrico nos
planos 12 ou 21 (ou seja i = 6) com o eixo oacuteptico no eixo 3 (j = 3) como demonstra
a figura 414
Figura 414 Ilustraccedilatildeo da configuraccedilatildeo utilizada para a mediccedilatildeo do coeficienter63 num cristal
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CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Para o caso do efeito electrooacuteptico quadraacutetico a matriz dos coeficientes elec-
trooacutepticos seraacute
sij =
s11 s12 s12 0 0 0
s12 s11 s12 0 0 0
s12 s12 s11 0 0 0
0 0 0 s11 minus s12 0 0
0 0 0 0 s11 minus s12 0
0 0 0 0 0 s11 minus s12
com i j = 1 6
45 Execuccedilatildeo Experimental
Para se medir o coeficiente electrooacuteptico aplica-se ao cristal uma tensatildeo com uma
frequecircncia de 2kHz frequecircncia essa que se revelou menos sensiacutevel aos ruiacutedos
ambientes sendo que o sinal electrooacuteptico teraacute a mesma frequecircncia Podendo-
se desta maneira atraveacutes de um amplificador de lock-in (modelo 393 da IthacoDynatrac) filtrar o sinal electrooacuteptico dos restantes sinais uma vez que a sua
frequecircncia eacute conhecida
A intensidade da equaccedilatildeo 41 eacute maacutexima quando cos(∆φ) = 1 e miacutenima quando
cos(∆φ) = minus1 Pelo que subtraindo estas duas equaccedilotildees
Imax minus Imin = 4E1E2 (46)
Assim combinando a equaccedilatildeo 41 com a equaccedilatildeo 46 obtem-se
I prop E21E
22 +
12
(Imax minus Imin)cos(∆φ) (47)
Juntando agora a equaccedilatildeo 246 agrave equaccedilatildeo 247 e tendo em conta que o feixe
passa duas vezes por cada ramo (=2l) a diferenccedila de fase para o efeito electrooacutep-
tico linear
∆φ = ∆φ0 +πrn3
oVoλ
2lh
cos(Ωt) (48)
Sendo ∆φ0 a diferenccedila de fase inicial sem o efeito electrooacuteptico
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45 EXECUCcedilAtildeO EXPERIMENTAL
Substituindo o ∆φ da equaccedilatildeo 48 na equaccedilatildeo 47 a intensidade do sinal com
modulaccedilatildeo electrooacuteptica(Iseo) seraacute dado por
Iseo prop E21 +E2
2 +12
(Imax minus Imin)cos(∆φ0 +
πrn3oVoλ
2lh
cos(Ωt))
(49)
Usando cos(α plusmn β) = cos(α)cos(β)∓ sen(α) sen(β) e D = πrn3oVoλ
2lh fica-se com
Iseo prop E21 +E2
2+12
(Imax minus Imin)
[cos(∆φ0)cos(Dcos(Ωt)) minus sen(∆φ0) sen(D cos(Ωt))](410)
Como a modulaccedilatildeo electrooacuteptica eacute um efeito muito pequeno a equaccedilatildeo 410
pode-se escrever
Iseo asymp E21 +E2
2 +12
(Imax minus Imin) [cos(∆φ0)minusD cos(Ωt) sen(∆φ0)] (411)
Considerando soacute os termos de primeira ordem
Iseo asymp12
(Imax minus Imin) [cos(∆φ0)minusD cos(Ωt) sen(∆φ0)] (412)
A componente do sinal electrooacuteptico eacute entatildeo dado por
Iseo =12
(Imax minus Imin)D cos(Ωt) sen(∆φ0) (413)
Ou seja
Iseo =12
(Imax minus Imin)πrn3
oVoλ
2lh
cos(Ωt) sen(∆φ0) (414)
O acircngulo ∆φ0 varia linearmente com o tempo (t) a uma frequecircncia inferior
a Ω A franja de interferecircncia desloca-se continuamente em frente ao detector
devido a um dos espelho estar fixado num disco piezoeleacutectrico
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CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Na figura 415 pode-se ver uma exemplificaccedilatildeo do sinal no detector que incor-
pora o sinal da franja e electrooacuteptico dada pela equaccedilatildeo 414
Figura 415 Ilustraccedilatildeo do sinal de modulaccedilatildeo electrooacuteptica de um feixe de luzmedido num interferoacutemetro de Michelson
Uma vez que o sinal electrooacuteptico (cos(Ωt)) estaacute desfasado π2 do sinal da
franja ( sen(∆φ0)) A intensidade do sinal electrooacuteptico pode ser escrita como
Iseo asymp12
(Imax minus Imin)πrn3
oVoλ
2lh
∣∣∣ sen(∆φ0)∣∣∣ (415)
Assim a amplitude do sinal electrooacuteptico eacute
Iseo =12
(Imax minus Imin)πrn3
oVoλ
2lh
(416)
Pelo que o coeficiente electrooacuteptico linear seraacute dado por
r =|Iseo|
|Imax minus Imin|λ
πn3oVo
hl
(417)
38
46 RESULTADOS
Para o efeito electrooacuteptico quadraacutetico utilizando o procedimento anoacutelogo mas
a partir da equaccedilatildeo 248 em vez da equaccedilatildeo 247 O sinal electrooacuteptico quadraacutetico
Iseoq que ocorre ao dobro da frequecircncia de modulaccedilatildeo 2Ω eacute dado por
s =
∣∣∣Iseoq∣∣∣|Imax minus Imin|
2λ
πn3oV
2o
h2
l(418)
46 Resultados
Com o cristal de KDP devidamente alinhado no interferoacutemetro segundo o seu
eixo oacuteptico de maneira a se medir o coeficiente r63 Obtendo-se assim dois sinais
o sinal de franja e o sinal electrooacuteptico (Fig 416)
Figura 416 Padratildeo da franja produzida (a) e respectivos sinais de franja e elec-trooacuteptico obtidos para um cristal KDP padratildeo
De forma a se proceder a calibraccedilatildeo do sistema utilizou-se a equaccedilatildeo 417 na
forma
|Iseo||Imax minus Imin|
=πn3
o
λlhrVo (419)
39
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Usando o valor da razatildeo |Iseo ||ImaxminusImin|
em funccedilatildeo do potencial aplicado Vo pode-se
calcular o valor do coeficiente electrooacuteptico r atraveacutes do declive da recta obtida
Pode-se ver na figura 417 uma das rectas obtidas para o cristal utilizado na
calibraccedilatildeo do sistema
Figura 417 Razatildeo entre o sinal electrooacuteptico e a diferenccedila de intensidade defranjas em funccedilatildeo do potencial Vo aplicado ao cristal
A tabela 44 apresenta o valor do coeficiente electrooacuteptico obtido e respectiva
incerteza para o cristal de KDP tomando em conta os valores dos iacutendices de
refraccedilatildeo da tabela 43
Tabela 44 Valores e respectivas incertezas obtidas do coeficiente electrooacutepticopara o cristal KDP utilizado
Material Valor Padratildeo Valor Obtido Erro
KDPr63 = 106pmV r63 = 105plusmn 02pmV 1
(λ = 6328nm)
Como se pode ver na tabela 44 o resultado obtido situa-se muito proacuteximo
do teoacuterico encontrando-se dentro da incerteza obtida Os valores valores meacutedios
apresentam um desvio da ordem dos 02pmV
40
46 RESULTADOS
Apesar dos valores obtidos serem bastante positivos houve algumas dificul-
dades nomeadamente o vidro FTO que causou que o alinhamento fosse extrema-
mente complicado natildeo soacute pela sua espessura e dimensionamento como tambeacutem
pela refraccedilatildeo provocada no feixe laser Outro grande obstaacuteculo foi o alinhamento
do cristal uma vez que basta um ligeiro desvio no caminho oacuteptico para causar um
desalinhamento total algo que eacute agravado no interferoacutemetro do tipo Michelson
pelo facto de o feixe laser passar na amostra duas vezes
Apesar destas dificuldades o valor obtido para o coeficiente electrooacuteptico r63
foi de 105pmV valor esse muito proacuteximo do valor padratildeo da literatura que se
encontra nos 106pmV Assim pode-se considerar que o sistema desenvolvido
se encontra devidamente calibrado e pronto para futuras utilizaccedilotildees
41
Capiacutetulo
5Conclusotildees
O trabalho desenvolvido no decorrer desta dissertaccedilatildeo consistiu no desenvolvi-
mento de um sistema para a mediccedilatildeo do efeito electrooacuteptico aacuterea a ser ulilizada
na caracterizaccedilatildeo de novos materiais polimeacutericos para aplicaccedilatildeo em dispositivos
fotoacutenicos
Nesta conformidade foi desenhada construiacuteda e testado uma bancada oacuteptica
destinada agrave mediccedilatildeo do efeito electrooacuteptico baseado numa teacutecnica interferomeacute-
trica de mediccedilatildeo da diferenccedila de fase implementado atraveacutes de um interferoacutemetro
do tipo Michelson
O cristal escolhido para a calibraccedilatildeo do sistema desenvolvido foi um cristal de
KDP comercial tendo sido utilizado o coeficiente electrooacuteptico r63 como referecircn-
cia sendo o valor padratildeo de 106pmV
O sistema obtido permitiu medir um valor nominal de 105plusmn 02pmV com
um erro de aproximadamente 1 em relaccedilatildeo ao valor tabelado comprovando a
afericcedilatildeo do sistema para a mediccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico por transmissatildeo
O sistema desenvolvido estaacute portanto apto para futuras mediccedilotildees sendo ape-
nas necessaacuterio algumas alteraccedilotildees no porta-amostras mediante as dimensotildees e
forma da amostra a utilizar
Chegou-se ainda agrave conclusatildeo que para amostras como o cristal utilizado o
feixe laser passar duas vezes na amostra acaba por ser uma grande desvantagem
desvantagem essa inexistente para filmes polimeacutericos que ganham cada vez mais
importacircncia na aacuterea da fotoacutenica uma vez que satildeo materiais de grande interesse
cientiacutefico e tecnoloacutegico jaacute que podem ser utilizados no desenvolvimento de dispo-
sitivos oacutepticos nomeadamente moduladores de luz e memoacuterias oacutepticas
43
Bibliografia
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defect mode on Faraday rotationrdquo Em Optik - International Journal for Lightand Electron Optics 12623 (2015) pp 3954 ndash3958 issn 0030-4026 doi
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do coeficiente de blindagem do campo eleacutetrico aplicado em cristal fotor-
refrativo Bi12TiO20 nominalmente puro utilizando uma configuraccedilatildeo de
incidecircncia obliacutequa modelo e experimentordquo Tese de doutoramento Univer-
sidade Federal de Alagoas 2013
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46
Apecircndice
AApecircndice
A1 Desenhos Teacutecnicos
47
4xM
311
23
35
40
4xM
311
MA
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Tole
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XX
01
2 pe
ccedilas
- Lista de Figuras
- Lista de Tabelas
- Introduccedilatildeo
- Efeito Electrooacuteptico
-
- Oacuteptica Natildeo-Linear
- Propagaccedilatildeo em Meios Anisotroacutepicos
-
- Vector de Poynting
- Elipsoiacutede dos Iacutendices
- Coeficientes Natildeo-Lineares
-
- Mediccedilatildeo do Efeito Electrooacuteptico
-
- Meacutetodo Tradicional
- Meacutetodos por Interferometria
-
- Interferometria Oacuteptica
- Interferoacutemetro de Mach-Zehnder
- Interferoacutemetro de Michelson
-
- Sistema Implementado
-
- Interferoacutemetro
- Electroacutenica Desenvolvida
-
- Amplificador
- Gerador de Rampa
- Seguidor de Tensatildeo
-
- Sistema Oacuteptico Desenvolvido
-
- Espelho Vibrante
- Bancada Oacuteptica
- Detector
- Cristal Electrooacuteptico
- Porta Amostras
-
- Coeficiente Electrooacuteptico
- Execuccedilatildeo Experimental
- Resultados
-
- Conclusotildees
- Bibliografia
- Apecircndice
-
- Desenhos Teacutecnicos
-
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Para o caso do efeito electrooacuteptico quadraacutetico a matriz dos coeficientes elec-
trooacutepticos seraacute
sij =
s11 s12 s12 0 0 0
s12 s11 s12 0 0 0
s12 s12 s11 0 0 0
0 0 0 s11 minus s12 0 0
0 0 0 0 s11 minus s12 0
0 0 0 0 0 s11 minus s12
com i j = 1 6
45 Execuccedilatildeo Experimental
Para se medir o coeficiente electrooacuteptico aplica-se ao cristal uma tensatildeo com uma
frequecircncia de 2kHz frequecircncia essa que se revelou menos sensiacutevel aos ruiacutedos
ambientes sendo que o sinal electrooacuteptico teraacute a mesma frequecircncia Podendo-
se desta maneira atraveacutes de um amplificador de lock-in (modelo 393 da IthacoDynatrac) filtrar o sinal electrooacuteptico dos restantes sinais uma vez que a sua
frequecircncia eacute conhecida
A intensidade da equaccedilatildeo 41 eacute maacutexima quando cos(∆φ) = 1 e miacutenima quando
cos(∆φ) = minus1 Pelo que subtraindo estas duas equaccedilotildees
Imax minus Imin = 4E1E2 (46)
Assim combinando a equaccedilatildeo 41 com a equaccedilatildeo 46 obtem-se
I prop E21E
22 +
12
(Imax minus Imin)cos(∆φ) (47)
Juntando agora a equaccedilatildeo 246 agrave equaccedilatildeo 247 e tendo em conta que o feixe
passa duas vezes por cada ramo (=2l) a diferenccedila de fase para o efeito electrooacutep-
tico linear
∆φ = ∆φ0 +πrn3
oVoλ
2lh
cos(Ωt) (48)
Sendo ∆φ0 a diferenccedila de fase inicial sem o efeito electrooacuteptico
36
45 EXECUCcedilAtildeO EXPERIMENTAL
Substituindo o ∆φ da equaccedilatildeo 48 na equaccedilatildeo 47 a intensidade do sinal com
modulaccedilatildeo electrooacuteptica(Iseo) seraacute dado por
Iseo prop E21 +E2
2 +12
(Imax minus Imin)cos(∆φ0 +
πrn3oVoλ
2lh
cos(Ωt))
(49)
Usando cos(α plusmn β) = cos(α)cos(β)∓ sen(α) sen(β) e D = πrn3oVoλ
2lh fica-se com
Iseo prop E21 +E2
2+12
(Imax minus Imin)
[cos(∆φ0)cos(Dcos(Ωt)) minus sen(∆φ0) sen(D cos(Ωt))](410)
Como a modulaccedilatildeo electrooacuteptica eacute um efeito muito pequeno a equaccedilatildeo 410
pode-se escrever
Iseo asymp E21 +E2
2 +12
(Imax minus Imin) [cos(∆φ0)minusD cos(Ωt) sen(∆φ0)] (411)
Considerando soacute os termos de primeira ordem
Iseo asymp12
(Imax minus Imin) [cos(∆φ0)minusD cos(Ωt) sen(∆φ0)] (412)
A componente do sinal electrooacuteptico eacute entatildeo dado por
Iseo =12
(Imax minus Imin)D cos(Ωt) sen(∆φ0) (413)
Ou seja
Iseo =12
(Imax minus Imin)πrn3
oVoλ
2lh
cos(Ωt) sen(∆φ0) (414)
O acircngulo ∆φ0 varia linearmente com o tempo (t) a uma frequecircncia inferior
a Ω A franja de interferecircncia desloca-se continuamente em frente ao detector
devido a um dos espelho estar fixado num disco piezoeleacutectrico
37
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Na figura 415 pode-se ver uma exemplificaccedilatildeo do sinal no detector que incor-
pora o sinal da franja e electrooacuteptico dada pela equaccedilatildeo 414
Figura 415 Ilustraccedilatildeo do sinal de modulaccedilatildeo electrooacuteptica de um feixe de luzmedido num interferoacutemetro de Michelson
Uma vez que o sinal electrooacuteptico (cos(Ωt)) estaacute desfasado π2 do sinal da
franja ( sen(∆φ0)) A intensidade do sinal electrooacuteptico pode ser escrita como
Iseo asymp12
(Imax minus Imin)πrn3
oVoλ
2lh
∣∣∣ sen(∆φ0)∣∣∣ (415)
Assim a amplitude do sinal electrooacuteptico eacute
Iseo =12
(Imax minus Imin)πrn3
oVoλ
2lh
(416)
Pelo que o coeficiente electrooacuteptico linear seraacute dado por
r =|Iseo|
|Imax minus Imin|λ
πn3oVo
hl
(417)
38
46 RESULTADOS
Para o efeito electrooacuteptico quadraacutetico utilizando o procedimento anoacutelogo mas
a partir da equaccedilatildeo 248 em vez da equaccedilatildeo 247 O sinal electrooacuteptico quadraacutetico
Iseoq que ocorre ao dobro da frequecircncia de modulaccedilatildeo 2Ω eacute dado por
s =
∣∣∣Iseoq∣∣∣|Imax minus Imin|
2λ
πn3oV
2o
h2
l(418)
46 Resultados
Com o cristal de KDP devidamente alinhado no interferoacutemetro segundo o seu
eixo oacuteptico de maneira a se medir o coeficiente r63 Obtendo-se assim dois sinais
o sinal de franja e o sinal electrooacuteptico (Fig 416)
Figura 416 Padratildeo da franja produzida (a) e respectivos sinais de franja e elec-trooacuteptico obtidos para um cristal KDP padratildeo
De forma a se proceder a calibraccedilatildeo do sistema utilizou-se a equaccedilatildeo 417 na
forma
|Iseo||Imax minus Imin|
=πn3
o
λlhrVo (419)
39
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Usando o valor da razatildeo |Iseo ||ImaxminusImin|
em funccedilatildeo do potencial aplicado Vo pode-se
calcular o valor do coeficiente electrooacuteptico r atraveacutes do declive da recta obtida
Pode-se ver na figura 417 uma das rectas obtidas para o cristal utilizado na
calibraccedilatildeo do sistema
Figura 417 Razatildeo entre o sinal electrooacuteptico e a diferenccedila de intensidade defranjas em funccedilatildeo do potencial Vo aplicado ao cristal
A tabela 44 apresenta o valor do coeficiente electrooacuteptico obtido e respectiva
incerteza para o cristal de KDP tomando em conta os valores dos iacutendices de
refraccedilatildeo da tabela 43
Tabela 44 Valores e respectivas incertezas obtidas do coeficiente electrooacutepticopara o cristal KDP utilizado
Material Valor Padratildeo Valor Obtido Erro
KDPr63 = 106pmV r63 = 105plusmn 02pmV 1
(λ = 6328nm)
Como se pode ver na tabela 44 o resultado obtido situa-se muito proacuteximo
do teoacuterico encontrando-se dentro da incerteza obtida Os valores valores meacutedios
apresentam um desvio da ordem dos 02pmV
40
46 RESULTADOS
Apesar dos valores obtidos serem bastante positivos houve algumas dificul-
dades nomeadamente o vidro FTO que causou que o alinhamento fosse extrema-
mente complicado natildeo soacute pela sua espessura e dimensionamento como tambeacutem
pela refraccedilatildeo provocada no feixe laser Outro grande obstaacuteculo foi o alinhamento
do cristal uma vez que basta um ligeiro desvio no caminho oacuteptico para causar um
desalinhamento total algo que eacute agravado no interferoacutemetro do tipo Michelson
pelo facto de o feixe laser passar na amostra duas vezes
Apesar destas dificuldades o valor obtido para o coeficiente electrooacuteptico r63
foi de 105pmV valor esse muito proacuteximo do valor padratildeo da literatura que se
encontra nos 106pmV Assim pode-se considerar que o sistema desenvolvido
se encontra devidamente calibrado e pronto para futuras utilizaccedilotildees
41
Capiacutetulo
5Conclusotildees
O trabalho desenvolvido no decorrer desta dissertaccedilatildeo consistiu no desenvolvi-
mento de um sistema para a mediccedilatildeo do efeito electrooacuteptico aacuterea a ser ulilizada
na caracterizaccedilatildeo de novos materiais polimeacutericos para aplicaccedilatildeo em dispositivos
fotoacutenicos
Nesta conformidade foi desenhada construiacuteda e testado uma bancada oacuteptica
destinada agrave mediccedilatildeo do efeito electrooacuteptico baseado numa teacutecnica interferomeacute-
trica de mediccedilatildeo da diferenccedila de fase implementado atraveacutes de um interferoacutemetro
do tipo Michelson
O cristal escolhido para a calibraccedilatildeo do sistema desenvolvido foi um cristal de
KDP comercial tendo sido utilizado o coeficiente electrooacuteptico r63 como referecircn-
cia sendo o valor padratildeo de 106pmV
O sistema obtido permitiu medir um valor nominal de 105plusmn 02pmV com
um erro de aproximadamente 1 em relaccedilatildeo ao valor tabelado comprovando a
afericcedilatildeo do sistema para a mediccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico por transmissatildeo
O sistema desenvolvido estaacute portanto apto para futuras mediccedilotildees sendo ape-
nas necessaacuterio algumas alteraccedilotildees no porta-amostras mediante as dimensotildees e
forma da amostra a utilizar
Chegou-se ainda agrave conclusatildeo que para amostras como o cristal utilizado o
feixe laser passar duas vezes na amostra acaba por ser uma grande desvantagem
desvantagem essa inexistente para filmes polimeacutericos que ganham cada vez mais
importacircncia na aacuterea da fotoacutenica uma vez que satildeo materiais de grande interesse
cientiacutefico e tecnoloacutegico jaacute que podem ser utilizados no desenvolvimento de dispo-
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Apecircndice
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Tole
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- Lista de Figuras
- Lista de Tabelas
- Introduccedilatildeo
- Efeito Electrooacuteptico
-
- Oacuteptica Natildeo-Linear
- Propagaccedilatildeo em Meios Anisotroacutepicos
-
- Vector de Poynting
- Elipsoiacutede dos Iacutendices
- Coeficientes Natildeo-Lineares
-
- Mediccedilatildeo do Efeito Electrooacuteptico
-
- Meacutetodo Tradicional
- Meacutetodos por Interferometria
-
- Interferometria Oacuteptica
- Interferoacutemetro de Mach-Zehnder
- Interferoacutemetro de Michelson
-
- Sistema Implementado
-
- Interferoacutemetro
- Electroacutenica Desenvolvida
-
- Amplificador
- Gerador de Rampa
- Seguidor de Tensatildeo
-
- Sistema Oacuteptico Desenvolvido
-
- Espelho Vibrante
- Bancada Oacuteptica
- Detector
- Cristal Electrooacuteptico
- Porta Amostras
-
- Coeficiente Electrooacuteptico
- Execuccedilatildeo Experimental
- Resultados
-
- Conclusotildees
- Bibliografia
- Apecircndice
-
- Desenhos Teacutecnicos
-
45 EXECUCcedilAtildeO EXPERIMENTAL
Substituindo o ∆φ da equaccedilatildeo 48 na equaccedilatildeo 47 a intensidade do sinal com
modulaccedilatildeo electrooacuteptica(Iseo) seraacute dado por
Iseo prop E21 +E2
2 +12
(Imax minus Imin)cos(∆φ0 +
πrn3oVoλ
2lh
cos(Ωt))
(49)
Usando cos(α plusmn β) = cos(α)cos(β)∓ sen(α) sen(β) e D = πrn3oVoλ
2lh fica-se com
Iseo prop E21 +E2
2+12
(Imax minus Imin)
[cos(∆φ0)cos(Dcos(Ωt)) minus sen(∆φ0) sen(D cos(Ωt))](410)
Como a modulaccedilatildeo electrooacuteptica eacute um efeito muito pequeno a equaccedilatildeo 410
pode-se escrever
Iseo asymp E21 +E2
2 +12
(Imax minus Imin) [cos(∆φ0)minusD cos(Ωt) sen(∆φ0)] (411)
Considerando soacute os termos de primeira ordem
Iseo asymp12
(Imax minus Imin) [cos(∆φ0)minusD cos(Ωt) sen(∆φ0)] (412)
A componente do sinal electrooacuteptico eacute entatildeo dado por
Iseo =12
(Imax minus Imin)D cos(Ωt) sen(∆φ0) (413)
Ou seja
Iseo =12
(Imax minus Imin)πrn3
oVoλ
2lh
cos(Ωt) sen(∆φ0) (414)
O acircngulo ∆φ0 varia linearmente com o tempo (t) a uma frequecircncia inferior
a Ω A franja de interferecircncia desloca-se continuamente em frente ao detector
devido a um dos espelho estar fixado num disco piezoeleacutectrico
37
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Na figura 415 pode-se ver uma exemplificaccedilatildeo do sinal no detector que incor-
pora o sinal da franja e electrooacuteptico dada pela equaccedilatildeo 414
Figura 415 Ilustraccedilatildeo do sinal de modulaccedilatildeo electrooacuteptica de um feixe de luzmedido num interferoacutemetro de Michelson
Uma vez que o sinal electrooacuteptico (cos(Ωt)) estaacute desfasado π2 do sinal da
franja ( sen(∆φ0)) A intensidade do sinal electrooacuteptico pode ser escrita como
Iseo asymp12
(Imax minus Imin)πrn3
oVoλ
2lh
∣∣∣ sen(∆φ0)∣∣∣ (415)
Assim a amplitude do sinal electrooacuteptico eacute
Iseo =12
(Imax minus Imin)πrn3
oVoλ
2lh
(416)
Pelo que o coeficiente electrooacuteptico linear seraacute dado por
r =|Iseo|
|Imax minus Imin|λ
πn3oVo
hl
(417)
38
46 RESULTADOS
Para o efeito electrooacuteptico quadraacutetico utilizando o procedimento anoacutelogo mas
a partir da equaccedilatildeo 248 em vez da equaccedilatildeo 247 O sinal electrooacuteptico quadraacutetico
Iseoq que ocorre ao dobro da frequecircncia de modulaccedilatildeo 2Ω eacute dado por
s =
∣∣∣Iseoq∣∣∣|Imax minus Imin|
2λ
πn3oV
2o
h2
l(418)
46 Resultados
Com o cristal de KDP devidamente alinhado no interferoacutemetro segundo o seu
eixo oacuteptico de maneira a se medir o coeficiente r63 Obtendo-se assim dois sinais
o sinal de franja e o sinal electrooacuteptico (Fig 416)
Figura 416 Padratildeo da franja produzida (a) e respectivos sinais de franja e elec-trooacuteptico obtidos para um cristal KDP padratildeo
De forma a se proceder a calibraccedilatildeo do sistema utilizou-se a equaccedilatildeo 417 na
forma
|Iseo||Imax minus Imin|
=πn3
o
λlhrVo (419)
39
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Usando o valor da razatildeo |Iseo ||ImaxminusImin|
em funccedilatildeo do potencial aplicado Vo pode-se
calcular o valor do coeficiente electrooacuteptico r atraveacutes do declive da recta obtida
Pode-se ver na figura 417 uma das rectas obtidas para o cristal utilizado na
calibraccedilatildeo do sistema
Figura 417 Razatildeo entre o sinal electrooacuteptico e a diferenccedila de intensidade defranjas em funccedilatildeo do potencial Vo aplicado ao cristal
A tabela 44 apresenta o valor do coeficiente electrooacuteptico obtido e respectiva
incerteza para o cristal de KDP tomando em conta os valores dos iacutendices de
refraccedilatildeo da tabela 43
Tabela 44 Valores e respectivas incertezas obtidas do coeficiente electrooacutepticopara o cristal KDP utilizado
Material Valor Padratildeo Valor Obtido Erro
KDPr63 = 106pmV r63 = 105plusmn 02pmV 1
(λ = 6328nm)
Como se pode ver na tabela 44 o resultado obtido situa-se muito proacuteximo
do teoacuterico encontrando-se dentro da incerteza obtida Os valores valores meacutedios
apresentam um desvio da ordem dos 02pmV
40
46 RESULTADOS
Apesar dos valores obtidos serem bastante positivos houve algumas dificul-
dades nomeadamente o vidro FTO que causou que o alinhamento fosse extrema-
mente complicado natildeo soacute pela sua espessura e dimensionamento como tambeacutem
pela refraccedilatildeo provocada no feixe laser Outro grande obstaacuteculo foi o alinhamento
do cristal uma vez que basta um ligeiro desvio no caminho oacuteptico para causar um
desalinhamento total algo que eacute agravado no interferoacutemetro do tipo Michelson
pelo facto de o feixe laser passar na amostra duas vezes
Apesar destas dificuldades o valor obtido para o coeficiente electrooacuteptico r63
foi de 105pmV valor esse muito proacuteximo do valor padratildeo da literatura que se
encontra nos 106pmV Assim pode-se considerar que o sistema desenvolvido
se encontra devidamente calibrado e pronto para futuras utilizaccedilotildees
41
Capiacutetulo
5Conclusotildees
O trabalho desenvolvido no decorrer desta dissertaccedilatildeo consistiu no desenvolvi-
mento de um sistema para a mediccedilatildeo do efeito electrooacuteptico aacuterea a ser ulilizada
na caracterizaccedilatildeo de novos materiais polimeacutericos para aplicaccedilatildeo em dispositivos
fotoacutenicos
Nesta conformidade foi desenhada construiacuteda e testado uma bancada oacuteptica
destinada agrave mediccedilatildeo do efeito electrooacuteptico baseado numa teacutecnica interferomeacute-
trica de mediccedilatildeo da diferenccedila de fase implementado atraveacutes de um interferoacutemetro
do tipo Michelson
O cristal escolhido para a calibraccedilatildeo do sistema desenvolvido foi um cristal de
KDP comercial tendo sido utilizado o coeficiente electrooacuteptico r63 como referecircn-
cia sendo o valor padratildeo de 106pmV
O sistema obtido permitiu medir um valor nominal de 105plusmn 02pmV com
um erro de aproximadamente 1 em relaccedilatildeo ao valor tabelado comprovando a
afericcedilatildeo do sistema para a mediccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico por transmissatildeo
O sistema desenvolvido estaacute portanto apto para futuras mediccedilotildees sendo ape-
nas necessaacuterio algumas alteraccedilotildees no porta-amostras mediante as dimensotildees e
forma da amostra a utilizar
Chegou-se ainda agrave conclusatildeo que para amostras como o cristal utilizado o
feixe laser passar duas vezes na amostra acaba por ser uma grande desvantagem
desvantagem essa inexistente para filmes polimeacutericos que ganham cada vez mais
importacircncia na aacuterea da fotoacutenica uma vez que satildeo materiais de grande interesse
cientiacutefico e tecnoloacutegico jaacute que podem ser utilizados no desenvolvimento de dispo-
sitivos oacutepticos nomeadamente moduladores de luz e memoacuterias oacutepticas
43
Bibliografia
[1] T Jalali e M Hessamodini ldquoThe effect of 1D magneto-photonic crystal
defect mode on Faraday rotationrdquo Em Optik - International Journal for Lightand Electron Optics 12623 (2015) pp 3954 ndash3958 issn 0030-4026 doi
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do coeficiente de blindagem do campo eleacutetrico aplicado em cristal fotor-
refrativo Bi12TiO20 nominalmente puro utilizando uma configuraccedilatildeo de
incidecircncia obliacutequa modelo e experimentordquo Tese de doutoramento Univer-
sidade Federal de Alagoas 2013
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htmlTablePage=106837645 [Consultado em 17-05-2015]
46
Apecircndice
AApecircndice
A1 Desenhos Teacutecnicos
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- Lista de Figuras
- Lista de Tabelas
- Introduccedilatildeo
- Efeito Electrooacuteptico
-
- Oacuteptica Natildeo-Linear
- Propagaccedilatildeo em Meios Anisotroacutepicos
-
- Vector de Poynting
- Elipsoiacutede dos Iacutendices
- Coeficientes Natildeo-Lineares
-
- Mediccedilatildeo do Efeito Electrooacuteptico
-
- Meacutetodo Tradicional
- Meacutetodos por Interferometria
-
- Interferometria Oacuteptica
- Interferoacutemetro de Mach-Zehnder
- Interferoacutemetro de Michelson
-
- Sistema Implementado
-
- Interferoacutemetro
- Electroacutenica Desenvolvida
-
- Amplificador
- Gerador de Rampa
- Seguidor de Tensatildeo
-
- Sistema Oacuteptico Desenvolvido
-
- Espelho Vibrante
- Bancada Oacuteptica
- Detector
- Cristal Electrooacuteptico
- Porta Amostras
-
- Coeficiente Electrooacuteptico
- Execuccedilatildeo Experimental
- Resultados
-
- Conclusotildees
- Bibliografia
- Apecircndice
-
- Desenhos Teacutecnicos
-
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Na figura 415 pode-se ver uma exemplificaccedilatildeo do sinal no detector que incor-
pora o sinal da franja e electrooacuteptico dada pela equaccedilatildeo 414
Figura 415 Ilustraccedilatildeo do sinal de modulaccedilatildeo electrooacuteptica de um feixe de luzmedido num interferoacutemetro de Michelson
Uma vez que o sinal electrooacuteptico (cos(Ωt)) estaacute desfasado π2 do sinal da
franja ( sen(∆φ0)) A intensidade do sinal electrooacuteptico pode ser escrita como
Iseo asymp12
(Imax minus Imin)πrn3
oVoλ
2lh
∣∣∣ sen(∆φ0)∣∣∣ (415)
Assim a amplitude do sinal electrooacuteptico eacute
Iseo =12
(Imax minus Imin)πrn3
oVoλ
2lh
(416)
Pelo que o coeficiente electrooacuteptico linear seraacute dado por
r =|Iseo|
|Imax minus Imin|λ
πn3oVo
hl
(417)
38
46 RESULTADOS
Para o efeito electrooacuteptico quadraacutetico utilizando o procedimento anoacutelogo mas
a partir da equaccedilatildeo 248 em vez da equaccedilatildeo 247 O sinal electrooacuteptico quadraacutetico
Iseoq que ocorre ao dobro da frequecircncia de modulaccedilatildeo 2Ω eacute dado por
s =
∣∣∣Iseoq∣∣∣|Imax minus Imin|
2λ
πn3oV
2o
h2
l(418)
46 Resultados
Com o cristal de KDP devidamente alinhado no interferoacutemetro segundo o seu
eixo oacuteptico de maneira a se medir o coeficiente r63 Obtendo-se assim dois sinais
o sinal de franja e o sinal electrooacuteptico (Fig 416)
Figura 416 Padratildeo da franja produzida (a) e respectivos sinais de franja e elec-trooacuteptico obtidos para um cristal KDP padratildeo
De forma a se proceder a calibraccedilatildeo do sistema utilizou-se a equaccedilatildeo 417 na
forma
|Iseo||Imax minus Imin|
=πn3
o
λlhrVo (419)
39
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Usando o valor da razatildeo |Iseo ||ImaxminusImin|
em funccedilatildeo do potencial aplicado Vo pode-se
calcular o valor do coeficiente electrooacuteptico r atraveacutes do declive da recta obtida
Pode-se ver na figura 417 uma das rectas obtidas para o cristal utilizado na
calibraccedilatildeo do sistema
Figura 417 Razatildeo entre o sinal electrooacuteptico e a diferenccedila de intensidade defranjas em funccedilatildeo do potencial Vo aplicado ao cristal
A tabela 44 apresenta o valor do coeficiente electrooacuteptico obtido e respectiva
incerteza para o cristal de KDP tomando em conta os valores dos iacutendices de
refraccedilatildeo da tabela 43
Tabela 44 Valores e respectivas incertezas obtidas do coeficiente electrooacutepticopara o cristal KDP utilizado
Material Valor Padratildeo Valor Obtido Erro
KDPr63 = 106pmV r63 = 105plusmn 02pmV 1
(λ = 6328nm)
Como se pode ver na tabela 44 o resultado obtido situa-se muito proacuteximo
do teoacuterico encontrando-se dentro da incerteza obtida Os valores valores meacutedios
apresentam um desvio da ordem dos 02pmV
40
46 RESULTADOS
Apesar dos valores obtidos serem bastante positivos houve algumas dificul-
dades nomeadamente o vidro FTO que causou que o alinhamento fosse extrema-
mente complicado natildeo soacute pela sua espessura e dimensionamento como tambeacutem
pela refraccedilatildeo provocada no feixe laser Outro grande obstaacuteculo foi o alinhamento
do cristal uma vez que basta um ligeiro desvio no caminho oacuteptico para causar um
desalinhamento total algo que eacute agravado no interferoacutemetro do tipo Michelson
pelo facto de o feixe laser passar na amostra duas vezes
Apesar destas dificuldades o valor obtido para o coeficiente electrooacuteptico r63
foi de 105pmV valor esse muito proacuteximo do valor padratildeo da literatura que se
encontra nos 106pmV Assim pode-se considerar que o sistema desenvolvido
se encontra devidamente calibrado e pronto para futuras utilizaccedilotildees
41
Capiacutetulo
5Conclusotildees
O trabalho desenvolvido no decorrer desta dissertaccedilatildeo consistiu no desenvolvi-
mento de um sistema para a mediccedilatildeo do efeito electrooacuteptico aacuterea a ser ulilizada
na caracterizaccedilatildeo de novos materiais polimeacutericos para aplicaccedilatildeo em dispositivos
fotoacutenicos
Nesta conformidade foi desenhada construiacuteda e testado uma bancada oacuteptica
destinada agrave mediccedilatildeo do efeito electrooacuteptico baseado numa teacutecnica interferomeacute-
trica de mediccedilatildeo da diferenccedila de fase implementado atraveacutes de um interferoacutemetro
do tipo Michelson
O cristal escolhido para a calibraccedilatildeo do sistema desenvolvido foi um cristal de
KDP comercial tendo sido utilizado o coeficiente electrooacuteptico r63 como referecircn-
cia sendo o valor padratildeo de 106pmV
O sistema obtido permitiu medir um valor nominal de 105plusmn 02pmV com
um erro de aproximadamente 1 em relaccedilatildeo ao valor tabelado comprovando a
afericcedilatildeo do sistema para a mediccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico por transmissatildeo
O sistema desenvolvido estaacute portanto apto para futuras mediccedilotildees sendo ape-
nas necessaacuterio algumas alteraccedilotildees no porta-amostras mediante as dimensotildees e
forma da amostra a utilizar
Chegou-se ainda agrave conclusatildeo que para amostras como o cristal utilizado o
feixe laser passar duas vezes na amostra acaba por ser uma grande desvantagem
desvantagem essa inexistente para filmes polimeacutericos que ganham cada vez mais
importacircncia na aacuterea da fotoacutenica uma vez que satildeo materiais de grande interesse
cientiacutefico e tecnoloacutegico jaacute que podem ser utilizados no desenvolvimento de dispo-
sitivos oacutepticos nomeadamente moduladores de luz e memoacuterias oacutepticas
43
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do coeficiente de blindagem do campo eleacutetrico aplicado em cristal fotor-
refrativo Bi12TiO20 nominalmente puro utilizando uma configuraccedilatildeo de
incidecircncia obliacutequa modelo e experimentordquo Tese de doutoramento Univer-
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Measurement of the Elctro-Optic Effect in a Poled Polymer Filmrdquo Em Mole-cular Crystals and Liquid Crystals Science and Technology Section A MolecularCrystals and Liquid Crystals 3164 (1998) pp 61ndash66 issn 1058-725X doi
10108010587259808044460
[17] Newport 818 Series Photodiode Sensors Data Sheet httpassetsnewportcom webDocuments - EN images 39052 pdf [Consultado em 21-05-
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[18] T Fukami ldquoRefinement of the Crystal Structure of KH2PO4 in the Ferro-
electric Phaserdquo Em physica status solidi (a) 1172 (1990) K93ndashK96 issn
1521-396X doi 101002pssa2211170234
[19] SIGMA-ALDRICH Fluorine doped Tin Oxide (FTO) Glass httpwwwsigmaaldrichcommaterials-sciencematerial-science-products
htmlTablePage=106837645 [Consultado em 17-05-2015]
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- Lista de Figuras
- Lista de Tabelas
- Introduccedilatildeo
- Efeito Electrooacuteptico
-
- Oacuteptica Natildeo-Linear
- Propagaccedilatildeo em Meios Anisotroacutepicos
-
- Vector de Poynting
- Elipsoiacutede dos Iacutendices
- Coeficientes Natildeo-Lineares
-
- Mediccedilatildeo do Efeito Electrooacuteptico
-
- Meacutetodo Tradicional
- Meacutetodos por Interferometria
-
- Interferometria Oacuteptica
- Interferoacutemetro de Mach-Zehnder
- Interferoacutemetro de Michelson
-
- Sistema Implementado
-
- Interferoacutemetro
- Electroacutenica Desenvolvida
-
- Amplificador
- Gerador de Rampa
- Seguidor de Tensatildeo
-
- Sistema Oacuteptico Desenvolvido
-
- Espelho Vibrante
- Bancada Oacuteptica
- Detector
- Cristal Electrooacuteptico
- Porta Amostras
-
- Coeficiente Electrooacuteptico
- Execuccedilatildeo Experimental
- Resultados
-
- Conclusotildees
- Bibliografia
- Apecircndice
-
- Desenhos Teacutecnicos
-
46 RESULTADOS
Para o efeito electrooacuteptico quadraacutetico utilizando o procedimento anoacutelogo mas
a partir da equaccedilatildeo 248 em vez da equaccedilatildeo 247 O sinal electrooacuteptico quadraacutetico
Iseoq que ocorre ao dobro da frequecircncia de modulaccedilatildeo 2Ω eacute dado por
s =
∣∣∣Iseoq∣∣∣|Imax minus Imin|
2λ
πn3oV
2o
h2
l(418)
46 Resultados
Com o cristal de KDP devidamente alinhado no interferoacutemetro segundo o seu
eixo oacuteptico de maneira a se medir o coeficiente r63 Obtendo-se assim dois sinais
o sinal de franja e o sinal electrooacuteptico (Fig 416)
Figura 416 Padratildeo da franja produzida (a) e respectivos sinais de franja e elec-trooacuteptico obtidos para um cristal KDP padratildeo
De forma a se proceder a calibraccedilatildeo do sistema utilizou-se a equaccedilatildeo 417 na
forma
|Iseo||Imax minus Imin|
=πn3
o
λlhrVo (419)
39
CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Usando o valor da razatildeo |Iseo ||ImaxminusImin|
em funccedilatildeo do potencial aplicado Vo pode-se
calcular o valor do coeficiente electrooacuteptico r atraveacutes do declive da recta obtida
Pode-se ver na figura 417 uma das rectas obtidas para o cristal utilizado na
calibraccedilatildeo do sistema
Figura 417 Razatildeo entre o sinal electrooacuteptico e a diferenccedila de intensidade defranjas em funccedilatildeo do potencial Vo aplicado ao cristal
A tabela 44 apresenta o valor do coeficiente electrooacuteptico obtido e respectiva
incerteza para o cristal de KDP tomando em conta os valores dos iacutendices de
refraccedilatildeo da tabela 43
Tabela 44 Valores e respectivas incertezas obtidas do coeficiente electrooacutepticopara o cristal KDP utilizado
Material Valor Padratildeo Valor Obtido Erro
KDPr63 = 106pmV r63 = 105plusmn 02pmV 1
(λ = 6328nm)
Como se pode ver na tabela 44 o resultado obtido situa-se muito proacuteximo
do teoacuterico encontrando-se dentro da incerteza obtida Os valores valores meacutedios
apresentam um desvio da ordem dos 02pmV
40
46 RESULTADOS
Apesar dos valores obtidos serem bastante positivos houve algumas dificul-
dades nomeadamente o vidro FTO que causou que o alinhamento fosse extrema-
mente complicado natildeo soacute pela sua espessura e dimensionamento como tambeacutem
pela refraccedilatildeo provocada no feixe laser Outro grande obstaacuteculo foi o alinhamento
do cristal uma vez que basta um ligeiro desvio no caminho oacuteptico para causar um
desalinhamento total algo que eacute agravado no interferoacutemetro do tipo Michelson
pelo facto de o feixe laser passar na amostra duas vezes
Apesar destas dificuldades o valor obtido para o coeficiente electrooacuteptico r63
foi de 105pmV valor esse muito proacuteximo do valor padratildeo da literatura que se
encontra nos 106pmV Assim pode-se considerar que o sistema desenvolvido
se encontra devidamente calibrado e pronto para futuras utilizaccedilotildees
41
Capiacutetulo
5Conclusotildees
O trabalho desenvolvido no decorrer desta dissertaccedilatildeo consistiu no desenvolvi-
mento de um sistema para a mediccedilatildeo do efeito electrooacuteptico aacuterea a ser ulilizada
na caracterizaccedilatildeo de novos materiais polimeacutericos para aplicaccedilatildeo em dispositivos
fotoacutenicos
Nesta conformidade foi desenhada construiacuteda e testado uma bancada oacuteptica
destinada agrave mediccedilatildeo do efeito electrooacuteptico baseado numa teacutecnica interferomeacute-
trica de mediccedilatildeo da diferenccedila de fase implementado atraveacutes de um interferoacutemetro
do tipo Michelson
O cristal escolhido para a calibraccedilatildeo do sistema desenvolvido foi um cristal de
KDP comercial tendo sido utilizado o coeficiente electrooacuteptico r63 como referecircn-
cia sendo o valor padratildeo de 106pmV
O sistema obtido permitiu medir um valor nominal de 105plusmn 02pmV com
um erro de aproximadamente 1 em relaccedilatildeo ao valor tabelado comprovando a
afericcedilatildeo do sistema para a mediccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico por transmissatildeo
O sistema desenvolvido estaacute portanto apto para futuras mediccedilotildees sendo ape-
nas necessaacuterio algumas alteraccedilotildees no porta-amostras mediante as dimensotildees e
forma da amostra a utilizar
Chegou-se ainda agrave conclusatildeo que para amostras como o cristal utilizado o
feixe laser passar duas vezes na amostra acaba por ser uma grande desvantagem
desvantagem essa inexistente para filmes polimeacutericos que ganham cada vez mais
importacircncia na aacuterea da fotoacutenica uma vez que satildeo materiais de grande interesse
cientiacutefico e tecnoloacutegico jaacute que podem ser utilizados no desenvolvimento de dispo-
sitivos oacutepticos nomeadamente moduladores de luz e memoacuterias oacutepticas
43
Bibliografia
[1] T Jalali e M Hessamodini ldquoThe effect of 1D magneto-photonic crystal
defect mode on Faraday rotationrdquo Em Optik - International Journal for Lightand Electron Optics 12623 (2015) pp 3954 ndash3958 issn 0030-4026 doi
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do coeficiente de blindagem do campo eleacutetrico aplicado em cristal fotor-
refrativo Bi12TiO20 nominalmente puro utilizando uma configuraccedilatildeo de
incidecircncia obliacutequa modelo e experimentordquo Tese de doutoramento Univer-
sidade Federal de Alagoas 2013
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- Lista de Figuras
- Lista de Tabelas
- Introduccedilatildeo
- Efeito Electrooacuteptico
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- Oacuteptica Natildeo-Linear
- Propagaccedilatildeo em Meios Anisotroacutepicos
-
- Vector de Poynting
- Elipsoiacutede dos Iacutendices
- Coeficientes Natildeo-Lineares
-
- Mediccedilatildeo do Efeito Electrooacuteptico
-
- Meacutetodo Tradicional
- Meacutetodos por Interferometria
-
- Interferometria Oacuteptica
- Interferoacutemetro de Mach-Zehnder
- Interferoacutemetro de Michelson
-
- Sistema Implementado
-
- Interferoacutemetro
- Electroacutenica Desenvolvida
-
- Amplificador
- Gerador de Rampa
- Seguidor de Tensatildeo
-
- Sistema Oacuteptico Desenvolvido
-
- Espelho Vibrante
- Bancada Oacuteptica
- Detector
- Cristal Electrooacuteptico
- Porta Amostras
-
- Coeficiente Electrooacuteptico
- Execuccedilatildeo Experimental
- Resultados
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- Conclusotildees
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- Desenhos Teacutecnicos
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CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO
Usando o valor da razatildeo |Iseo ||ImaxminusImin|
em funccedilatildeo do potencial aplicado Vo pode-se
calcular o valor do coeficiente electrooacuteptico r atraveacutes do declive da recta obtida
Pode-se ver na figura 417 uma das rectas obtidas para o cristal utilizado na
calibraccedilatildeo do sistema
Figura 417 Razatildeo entre o sinal electrooacuteptico e a diferenccedila de intensidade defranjas em funccedilatildeo do potencial Vo aplicado ao cristal
A tabela 44 apresenta o valor do coeficiente electrooacuteptico obtido e respectiva
incerteza para o cristal de KDP tomando em conta os valores dos iacutendices de
refraccedilatildeo da tabela 43
Tabela 44 Valores e respectivas incertezas obtidas do coeficiente electrooacutepticopara o cristal KDP utilizado
Material Valor Padratildeo Valor Obtido Erro
KDPr63 = 106pmV r63 = 105plusmn 02pmV 1
(λ = 6328nm)
Como se pode ver na tabela 44 o resultado obtido situa-se muito proacuteximo
do teoacuterico encontrando-se dentro da incerteza obtida Os valores valores meacutedios
apresentam um desvio da ordem dos 02pmV
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Apesar dos valores obtidos serem bastante positivos houve algumas dificul-
dades nomeadamente o vidro FTO que causou que o alinhamento fosse extrema-
mente complicado natildeo soacute pela sua espessura e dimensionamento como tambeacutem
pela refraccedilatildeo provocada no feixe laser Outro grande obstaacuteculo foi o alinhamento
do cristal uma vez que basta um ligeiro desvio no caminho oacuteptico para causar um
desalinhamento total algo que eacute agravado no interferoacutemetro do tipo Michelson
pelo facto de o feixe laser passar na amostra duas vezes
Apesar destas dificuldades o valor obtido para o coeficiente electrooacuteptico r63
foi de 105pmV valor esse muito proacuteximo do valor padratildeo da literatura que se
encontra nos 106pmV Assim pode-se considerar que o sistema desenvolvido
se encontra devidamente calibrado e pronto para futuras utilizaccedilotildees
41
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5Conclusotildees
O trabalho desenvolvido no decorrer desta dissertaccedilatildeo consistiu no desenvolvi-
mento de um sistema para a mediccedilatildeo do efeito electrooacuteptico aacuterea a ser ulilizada
na caracterizaccedilatildeo de novos materiais polimeacutericos para aplicaccedilatildeo em dispositivos
fotoacutenicos
Nesta conformidade foi desenhada construiacuteda e testado uma bancada oacuteptica
destinada agrave mediccedilatildeo do efeito electrooacuteptico baseado numa teacutecnica interferomeacute-
trica de mediccedilatildeo da diferenccedila de fase implementado atraveacutes de um interferoacutemetro
do tipo Michelson
O cristal escolhido para a calibraccedilatildeo do sistema desenvolvido foi um cristal de
KDP comercial tendo sido utilizado o coeficiente electrooacuteptico r63 como referecircn-
cia sendo o valor padratildeo de 106pmV
O sistema obtido permitiu medir um valor nominal de 105plusmn 02pmV com
um erro de aproximadamente 1 em relaccedilatildeo ao valor tabelado comprovando a
afericcedilatildeo do sistema para a mediccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico por transmissatildeo
O sistema desenvolvido estaacute portanto apto para futuras mediccedilotildees sendo ape-
nas necessaacuterio algumas alteraccedilotildees no porta-amostras mediante as dimensotildees e
forma da amostra a utilizar
Chegou-se ainda agrave conclusatildeo que para amostras como o cristal utilizado o
feixe laser passar duas vezes na amostra acaba por ser uma grande desvantagem
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- Oacuteptica Natildeo-Linear
- Propagaccedilatildeo em Meios Anisotroacutepicos
-
- Vector de Poynting
- Elipsoiacutede dos Iacutendices
- Coeficientes Natildeo-Lineares
-
- Mediccedilatildeo do Efeito Electrooacuteptico
-
- Meacutetodo Tradicional
- Meacutetodos por Interferometria
-
- Interferometria Oacuteptica
- Interferoacutemetro de Mach-Zehnder
- Interferoacutemetro de Michelson
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- Sistema Implementado
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- Interferoacutemetro
- Electroacutenica Desenvolvida
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- Amplificador
- Gerador de Rampa
- Seguidor de Tensatildeo
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- Sistema Oacuteptico Desenvolvido
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- Espelho Vibrante
- Bancada Oacuteptica
- Detector
- Cristal Electrooacuteptico
- Porta Amostras
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- Coeficiente Electrooacuteptico
- Execuccedilatildeo Experimental
- Resultados
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- Conclusotildees
- Bibliografia
- Apecircndice
-
- Desenhos Teacutecnicos
-
46 RESULTADOS
Apesar dos valores obtidos serem bastante positivos houve algumas dificul-
dades nomeadamente o vidro FTO que causou que o alinhamento fosse extrema-
mente complicado natildeo soacute pela sua espessura e dimensionamento como tambeacutem
pela refraccedilatildeo provocada no feixe laser Outro grande obstaacuteculo foi o alinhamento
do cristal uma vez que basta um ligeiro desvio no caminho oacuteptico para causar um
desalinhamento total algo que eacute agravado no interferoacutemetro do tipo Michelson
pelo facto de o feixe laser passar na amostra duas vezes
Apesar destas dificuldades o valor obtido para o coeficiente electrooacuteptico r63
foi de 105pmV valor esse muito proacuteximo do valor padratildeo da literatura que se
encontra nos 106pmV Assim pode-se considerar que o sistema desenvolvido
se encontra devidamente calibrado e pronto para futuras utilizaccedilotildees
41
Capiacutetulo
5Conclusotildees
O trabalho desenvolvido no decorrer desta dissertaccedilatildeo consistiu no desenvolvi-
mento de um sistema para a mediccedilatildeo do efeito electrooacuteptico aacuterea a ser ulilizada
na caracterizaccedilatildeo de novos materiais polimeacutericos para aplicaccedilatildeo em dispositivos
fotoacutenicos
Nesta conformidade foi desenhada construiacuteda e testado uma bancada oacuteptica
destinada agrave mediccedilatildeo do efeito electrooacuteptico baseado numa teacutecnica interferomeacute-
trica de mediccedilatildeo da diferenccedila de fase implementado atraveacutes de um interferoacutemetro
do tipo Michelson
O cristal escolhido para a calibraccedilatildeo do sistema desenvolvido foi um cristal de
KDP comercial tendo sido utilizado o coeficiente electrooacuteptico r63 como referecircn-
cia sendo o valor padratildeo de 106pmV
O sistema obtido permitiu medir um valor nominal de 105plusmn 02pmV com
um erro de aproximadamente 1 em relaccedilatildeo ao valor tabelado comprovando a
afericcedilatildeo do sistema para a mediccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico por transmissatildeo
O sistema desenvolvido estaacute portanto apto para futuras mediccedilotildees sendo ape-
nas necessaacuterio algumas alteraccedilotildees no porta-amostras mediante as dimensotildees e
forma da amostra a utilizar
Chegou-se ainda agrave conclusatildeo que para amostras como o cristal utilizado o
feixe laser passar duas vezes na amostra acaba por ser uma grande desvantagem
desvantagem essa inexistente para filmes polimeacutericos que ganham cada vez mais
importacircncia na aacuterea da fotoacutenica uma vez que satildeo materiais de grande interesse
cientiacutefico e tecnoloacutegico jaacute que podem ser utilizados no desenvolvimento de dispo-
sitivos oacutepticos nomeadamente moduladores de luz e memoacuterias oacutepticas
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Bibliografia
[1] T Jalali e M Hessamodini ldquoThe effect of 1D magneto-photonic crystal
defect mode on Faraday rotationrdquo Em Optik - International Journal for Lightand Electron Optics 12623 (2015) pp 3954 ndash3958 issn 0030-4026 doi
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incidecircncia obliacutequa modelo e experimentordquo Tese de doutoramento Univer-
sidade Federal de Alagoas 2013
[9] M Henry S Mallick D Rouegravede L E Celaya e a Garcia Weidner ldquoPro-
pagation of light in an optically active electro-optic crystal of Bi12SiO20
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- Lista de Figuras
- Lista de Tabelas
- Introduccedilatildeo
- Efeito Electrooacuteptico
-
- Oacuteptica Natildeo-Linear
- Propagaccedilatildeo em Meios Anisotroacutepicos
-
- Vector de Poynting
- Elipsoiacutede dos Iacutendices
- Coeficientes Natildeo-Lineares
-
- Mediccedilatildeo do Efeito Electrooacuteptico
-
- Meacutetodo Tradicional
- Meacutetodos por Interferometria
-
- Interferometria Oacuteptica
- Interferoacutemetro de Mach-Zehnder
- Interferoacutemetro de Michelson
-
- Sistema Implementado
-
- Interferoacutemetro
- Electroacutenica Desenvolvida
-
- Amplificador
- Gerador de Rampa
- Seguidor de Tensatildeo
-
- Sistema Oacuteptico Desenvolvido
-
- Espelho Vibrante
- Bancada Oacuteptica
- Detector
- Cristal Electrooacuteptico
- Porta Amostras
-
- Coeficiente Electrooacuteptico
- Execuccedilatildeo Experimental
- Resultados
-
- Conclusotildees
- Bibliografia
- Apecircndice
-
- Desenhos Teacutecnicos
-
Capiacutetulo
5Conclusotildees
O trabalho desenvolvido no decorrer desta dissertaccedilatildeo consistiu no desenvolvi-
mento de um sistema para a mediccedilatildeo do efeito electrooacuteptico aacuterea a ser ulilizada
na caracterizaccedilatildeo de novos materiais polimeacutericos para aplicaccedilatildeo em dispositivos
fotoacutenicos
Nesta conformidade foi desenhada construiacuteda e testado uma bancada oacuteptica
destinada agrave mediccedilatildeo do efeito electrooacuteptico baseado numa teacutecnica interferomeacute-
trica de mediccedilatildeo da diferenccedila de fase implementado atraveacutes de um interferoacutemetro
do tipo Michelson
O cristal escolhido para a calibraccedilatildeo do sistema desenvolvido foi um cristal de
KDP comercial tendo sido utilizado o coeficiente electrooacuteptico r63 como referecircn-
cia sendo o valor padratildeo de 106pmV
O sistema obtido permitiu medir um valor nominal de 105plusmn 02pmV com
um erro de aproximadamente 1 em relaccedilatildeo ao valor tabelado comprovando a
afericcedilatildeo do sistema para a mediccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico por transmissatildeo
O sistema desenvolvido estaacute portanto apto para futuras mediccedilotildees sendo ape-
nas necessaacuterio algumas alteraccedilotildees no porta-amostras mediante as dimensotildees e
forma da amostra a utilizar
Chegou-se ainda agrave conclusatildeo que para amostras como o cristal utilizado o
feixe laser passar duas vezes na amostra acaba por ser uma grande desvantagem
desvantagem essa inexistente para filmes polimeacutericos que ganham cada vez mais
importacircncia na aacuterea da fotoacutenica uma vez que satildeo materiais de grande interesse
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- Lista de Figuras
- Lista de Tabelas
- Introduccedilatildeo
- Efeito Electrooacuteptico
-
- Oacuteptica Natildeo-Linear
- Propagaccedilatildeo em Meios Anisotroacutepicos
-
- Vector de Poynting
- Elipsoiacutede dos Iacutendices
- Coeficientes Natildeo-Lineares
-
- Mediccedilatildeo do Efeito Electrooacuteptico
-
- Meacutetodo Tradicional
- Meacutetodos por Interferometria
-
- Interferometria Oacuteptica
- Interferoacutemetro de Mach-Zehnder
- Interferoacutemetro de Michelson
-
- Sistema Implementado
-
- Interferoacutemetro
- Electroacutenica Desenvolvida
-
- Amplificador
- Gerador de Rampa
- Seguidor de Tensatildeo
-
- Sistema Oacuteptico Desenvolvido
-
- Espelho Vibrante
- Bancada Oacuteptica
- Detector
- Cristal Electrooacuteptico
- Porta Amostras
-
- Coeficiente Electrooacuteptico
- Execuccedilatildeo Experimental
- Resultados
-
- Conclusotildees
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- Apecircndice
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- Lista de Tabelas
- Introduccedilatildeo
- Efeito Electrooacuteptico
-
- Oacuteptica Natildeo-Linear
- Propagaccedilatildeo em Meios Anisotroacutepicos
-
- Vector de Poynting
- Elipsoiacutede dos Iacutendices
- Coeficientes Natildeo-Lineares
-
- Mediccedilatildeo do Efeito Electrooacuteptico
-
- Meacutetodo Tradicional
- Meacutetodos por Interferometria
-
- Interferometria Oacuteptica
- Interferoacutemetro de Mach-Zehnder
- Interferoacutemetro de Michelson
-
- Sistema Implementado
-
- Interferoacutemetro
- Electroacutenica Desenvolvida
-
- Amplificador
- Gerador de Rampa
- Seguidor de Tensatildeo
-
- Sistema Oacuteptico Desenvolvido
-
- Espelho Vibrante
- Bancada Oacuteptica
- Detector
- Cristal Electrooacuteptico
- Porta Amostras
-
- Coeficiente Electrooacuteptico
- Execuccedilatildeo Experimental
- Resultados
-
- Conclusotildees
- Bibliografia
- Apecircndice
-
- Desenhos Teacutecnicos
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