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Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. 1 APOSTILA DE DESENHO GEOMÉTRICO - 8º ano / EF elaborada pela professora Rosely Maria Wischral, para o Colégio Militar de Curitiba Aluno(a): __________________________________________ Número: _______ Turma: _______

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Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. 1

APOSTILA DE DESENHO GEOMÉTRICO - 8º ano / EF

elaborada pela professora Rosely Maria Wischral, para o Colégio Militar de Curitiba

Aluno(a): __________________________________________ Número: _______ Turma: _______

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ÍNDICE DE ASSUNTOS POR UNIDADE DIDÁTICA (UD)

UD ASSUNTO Pág 1 Entes geométricos: ponto, reta e plano 3

I Entes geométricos e ângulo

2 Ângulo 14

1 LG 1 - Circunferência 24

Retas perpendiculares 30

2 LG 2 - Mediatriz 34

LG 3 - Retas paralelas 36

3 Divisão de segmentos 39

LG 4 - Bissetriz 44

4 Construção de ângulos 48

II Os lugares geométricos (LG)

5 LG 5 - Arco capaz 52

Introdução 57

1 Estudo geral dos triângulos 59

2 Construção de triângulos escalenos 64

3 Construção de triângulos eqüiláteros 67

4 Construção de triângulos isósceles 68

III Triângulos

5 Construção de triângulos retângulos 71

1 Estudo geral dos quadriláteros 74

2 Construção de quadrado 75

3 Construção de losango 77

4 Construção de retângulo 79

5 Construção de paralelogramo 81

IV Quadriláteros

6 Construção de trapézio 83

1 Circunferência: estudo geral e determinação 88

V Circunferências 2

Divisão de circunferências e construção de polígonos regulares inscritos

92

Introdução 103

Retas tangentes a circunferências 105

1 Construção de polígonos regulares circunscritos

110

2 Circunferências tangentes a retas 112

VI Posições relativas de retas e cir-

cunferências

3 Circunferências tangentes a circunferências 115

1 Princípios fundamentais da concordância 119

VII Concordância 2 Concordância dupla 126

1 Processo de Arquimedes 136

2 Processo do segmento-soma 138

3 Processo de Terquem 139

4 Problemas inversos sobre retificação 140

5 Retificação de arcos - problema direto 145

VIII Retificação de circunferência

6 Retificação de arcos - problema inverso 152

Referências bibliográficas 154

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O plano, a linha e o ponto são entes ideais. Nossa capacidade de imaginar nos permite entendê-los e reco-nhecê-los no vasto espaço que nos rodeia.

O PONTO - é o elemento básico da geometria. Os pontos são representados por letras MAIÚSCULAS do nosso alfabeto. Exemplos:

A LINHA - é uma seqüência infinita de pontos. Se os pontos estiverem alinhados numa mesma direção, temos uma RETA. As linhas (retas) são identificadas por letras minúsculas do nosso alfabeto. Exemplo:

O PLANO - é um conjunto infinito de pontos. Representamos a idéia de plano por meio de figuras como esta:

Os planos são identificados por letras minúsculas do alfabeto grego, como por exemplo: alfa ( ), beta ( ), gama ( ), delta ( ), ômega ( ), lâmbda ( ), entre outros.

Agora responda:

1. Quais são os entes ideais da geometria?___________________________________

2. Pontos são identificados por letras_______________________________________

3. Retas são identificadas por letras_________________________________________

4. Planos são identificados por ____________________________________________

5. Por um ponto passam ______________________________________________retas.

6. Por dois pontos passa ______________________________________________reta.

7. Identifique os entes geométricos abaixo:

r

a

UNIDADE DIDÁTICA I - ENTES GEOMÉTRICOS E ÂNGULO

Assunto 1. Entes Geométricos: ponto, reta e plano. Assunto 2. Ângulo.

UD I - Ass 1. ENTES GEOMÉTRICOS: ponto, reta e plano.

A

B

. C

P

t

F

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8. No desenho abaixo, complete as sentenças usando os símbolos , , e .

Ponto = elemento Reta = subconjunto Plano = conjunto

A_____s B_____s r_____a A_____r B_____a B_____r A_____a

C_____r t_____a D_____a C_____s D_____s C_____a E_____a

A RETA NO PLANO

Retas coincidentes - duas retas são coincidentes quando possuem todos os pontos comuns.

Indicação: r = s Temos que r e s são conjuntos formados pelos mesmos pontos.

Retas concorrentes - duas retas são concorrentes ou secantes quando possuem um único ponto comum.

r s = P P é o ponto de intersecção entre as retas r e s.

Retas paralelas - duas retas de um plano são paralelas quando não possuem ponto comum. Dizemos que duas ou mais retas têm a mesma direção se elas são paralelas entre si.

Indicação: r // s

• E

t A • B • C

• D

a

s

r

r s

r

P s

r

s

ATENÇÃO

1.Use e para ponto e reta e para ponto e plano.

2.Use e para reta e plano.

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9. Observando os seguintes pares de retas, complete de acordo com a posição relativa entre elas:

a. r e s são retas_______________________ b. m e n são retas_______________________

c. a e b são retas _______________________ d. t e u são retas _______________________

Postulados: princípios primários que são admitidos, para se estabelecer uma demonstração; princípios reconhecidos como certos, mas não demonstrados.

P. 1: Num plano existem infinitos pontos.

P. 2: Numa reta, bem como fora dela, existem infinitos pontos.

. . .

P. 3: Dois pontos distintos determinam uma reta.

Indicação: AB

(reta AB)

r

s n

m

a = b t

u

• A

• C

• B

• D

B A

• A

• B

• C

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P. 4: Um ponto de uma reta divide-a em duas partes (semirretas), às quais ele pertence.

Indicação: Ar

(semirreta Ar)

O ponto A é a origem.

P. 5: Uma reta de um plano divide-o em duas partes, nas quais ela está contida.

Indicação: Semi-plano (r, A) (semi-plano de origem na reta r e que passa pelo ponto A).

Semi-reta - a semirreta é limitada apenas em um sentido. Ela tem um ponto de origem.

Indicação: Ar

O ponto A é a origem.

10. Indique as semirretas representadas nas figuras abaixo, que tenham como origem o ponto O.

a. ___________ b. _______ e ______

Segmento de reta - uma parte limitada da reta. A reta AB é chamada reta suporte do segmento AB .

Indicação: AB (segmento AB)

11. Indique segmentos de reta nas figuras dadas:

a. b. ______, ______, ______, ______ e

______, ______ e ______ ______.

D A

B

C

E

A r

• A

r

a

r • A

A B

A B

C

D

O O A

A B C

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TIPOS DE SEGMENTOS

Segmentos colineares - segmentos contidos na mesma retas suporte.

AB , BC e CD são colineares.

Segmentos consecutivos - segmentos com uma extremidade comum.

AB e BC são consecutivos e colineares. EF

e FG são consecutivos e não colineares.

Segmentos congruentes - segmentos com a mesma medida.

4,8 cm 4,8 cm

AB e CD são congruentes (têm a mesma medida), ou seja, AB = CD = 4,8 cm.

Indicação: AB CD

Segmentos coincidentes ou sobrepostos - dois segmentos AB e CD são coincidentes (ou sobrepostos) se cada ponto de AB

coincide com um ponto de CD e, reciprocamente, cada ponto de CD coincide

com cada ponto de AB . É evidente que os extremos de dois segmentos coincidentes irão coincidir. Na figura abaixo estão representados os segmentos coincidentes AB

e CD em que A = C e B = D, o que se

representa por AB

= CD , e que se lê: AB coincide com CD ou AB está sobreposto a CD .

A B C D r

A B C r

F

E G

F é comum

B é comum

A B C D

A = C B = D

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12. Observando a figura, marque nos itens abaixo C (certo) ou E (errado).

a. ( ) AB e BC são colineares. g. ( ) BC e CD são consecutivos e não colineares.

b. ( ) AB e CD são congruentes. h. ( ) AB e CD são colineares e consecutivos.

c. ( ) BC e OC são consecutivos. i. ( ) BO e DO são consecutivos e colineares.

d. ( ) OC e CD são colineares. j. ( ) AB e BD são congruentes.

e. ( ) AB e BC são consecutivos. k. ( ) AC e AE são coincidentes.

f. ( ) AD e BC são congruentes. l. ( ) CD e EF

são coincidentes.

Posição absoluta de uma reta - posição absoluta de uma reta é posição que uma reta ocupa sozinha no plano e está relacionada com a linha do horizonte. Há três posições absolutas: horizontal, vertical e in-clinada.

horizontal

vertical inclinadas

13. Trace os segmentos AB , CD e EF de modo que:

AB = 3,2 cm é inclinada; CD = 2,7 cm é vertical; EF

= 4,5 cm é horizontal.

A

B

C =

F

D = E

O

a

b

c d

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TRANSPORTE DE SEGMENTOS

- é a mudança de lugar de um segmento de reta, usando o compasso.

Na prática:

1. Palitos de fósforo são segmentos congruentes.

2. As toras são segmentos que estão sendo transportados para o caminhão.

14. Transporte o segmento AB

dado para as retas a, b e c.

a

A

B

b

c

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OPERAÇÕES COM SEGMENTOS DE RETA

Adição de segmentos - para efetuar a adição de dois ou mais segmentos, basta coloca-los consecutivamente na mesma reta suporte.

Na prática:

# O trem da figura abaixo representa uma adição, na qual cada vagão corresponde a um segmento de reta.

Assim:

• AB é uma máquina;

• BC , CD e DE são vagões;

• AE é a soma desses segmentos ( AB + BC + CD + DE ).

# Emendando três pedaços de cano, obtemos um pedaço maior.

AB + CD + EF = AF

Atenção: é importante indicar e identificar os pontos coincidentes.

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15. Dados os segmentos AB = 7,5cm, MN = 5,8cm, SP = 3,7cm e FG = 7,1cm, efetue graficamente

as

operações a seguir solicitadas (primeiro trace os segmentos no espaço abaixo para depois trabalhar somente com o compasso):

a. AB + SP = ____________

b. FG + MN = ____________

c. MN + AB + SP = ___________

d. AB + MN

= ____________

______________________________________________________________

Subtração de segmentos - realizamos essa operação colocando o segmento menor sobre o maior, de forma que tenham uma extremidade comum. Os pontos não comuns constituem a diferença.

Na prática:

Na escada abaixo, é preciso substituir o degrau que quebrou. Se tirarmos do sarrafo a parte que necessi-tamos, quanto sobrará?

s

n

u

t

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AB é a medida do comprimento do sarrafo. CD é a medida do comprimento de cada degrau. Se, de AB

tirarmos CD , que corresponde ao degrau que está faltando, sobrará BD .

16. Dados os segmentos AB , CD , MN

e OP , efetue graficamente

as operações a seguir solicitadas, sobre as retas suporte dadas.

a. AB

- CD = _________

b. MN

- OP = ___________

r

A

B

C

D

M N O P

s

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c. ( MN + OP ) - AB = __________

d. ( AB + CD ) - ( MN + OP ) =

Multiplicação de segmentos - basta colocar o segmento consecutivamente numa reta suporte tantas ve-zes quantas forem pedidas.

Ex: Dado AB , efetue graficamente 3 x AB .

Construção: - traçamos a reta suporte r auxiliar; - transportamos AB para a reta r tantas vezes quantas foram pedidas (soma):

3 x AB = A1B3.

Na prática:

Para canalizar o esgoto de uma rua, a prefeitura utiliza tubulões de cimento, conforme o modelo abaixo. Quantos desses tubulões serão necessários para canalizar o trecho a seguir?

Resp: 8 tubos

17. Dado o segmento CD , determine graficamente 5 x CD sobre a reta suporte t.

t

r

A B

r A1 B1 A2 B2 A3 B3

C D

t

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Idéia de ângulo - um ângulo representa uma mudança de direção. Podemos reconhecer essa mudança:

DEFINIÇÃO DE ÂNGULO: é a região de um plano concebida pela abertura de duas semi-retas que possuem a mesma origem, dividindo este plano em duas partes. O ângulo pode ser identificado das se-guintes formas:

Indicação: MÔN (ângulo MON) ou ou (ângulo alfa)

ELEMENTOS DE UM ÂNGULO: as duas semi-retas são chamadas de lados ( OM e ON ) e a origem (O) comum aos dois lados é denominada de vértice.

18. Observe o ângulo e complete relacionando a 1ª coluna com a 2ª:

( 1 ) lados ( ) AÔB

( 2 ) vértice ( ) OB e OA

( 3 ) ângulo ( ) O

O

M

N

O

A

B

UD I - Ass 2. ÂNGULO

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Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. 15

19. Observando a figura do transferidor baixo, complete as medidas dos ângulos indicados:

Linha de fé

a. med (AÔB) = ____________ d. med (AÔC) = ____________

b. med (AÔD) = ____________ e. med (AÔN) = ____________

c. med (AÔP) = ____________ f. med (AÔQ) = ____________

20. Usando o seu transferidor, determine as medidas dos ângulos abaixo:

a. CÔD= ________________ b. EÔF=___________________

c. GÔH=___________________ d. AÔB=_______________

C

O

D

G

O H

O E

F

O

A

B

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Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. 16

21. Usando o seu transferidor, construa os ângulos:

a. AÔB = 45° b. EÔF = 135°

CLASSIFICAÇÃO DOS ÂNGULOS: com relação à abertura dos seus lados (suas medidas), os ângulos podem ser classificados como:

1. Ângulo nulo - quando a abertura é zero ( a = 0° )

2. Ângulo agudo - sua medida é maior do que 0° e menor do que 90° ( 0° < a < 90° ).

3. Ângulo reto - sua medida é exatamente 90°. Seus lados são semi-retas perpendiculares entre si (a = 90°).

4. Ângulo obtuso - sua medida está entre 90° e 180° ( 90° < a < 180° ).

O •

O •

a

a

a

a b

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Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. 17

5. Ângulo raso - mede exatamente 180° e os seus lados são semi-retas opostas ( a = 180° ). Também pode ser chamado de ângulo de meia volta.

6. Ângulo côncavo - mede mais de 180° e menos de 360° ( 180° < a < 360° )

7. Ângulo Giro ou Completo - mede 360º ( a = 360° ) Também pode ser chamado de ângulo de uma volta.

22. Classifique os ângulos de acordo com a abertura dos lados.

a. 180° = ______________________ b. 75° = ______________________

c. 360° = ______________________ d. 60° = ______________________

e. 135° = ______________________ f. 90° = ______________________

g. 175° = ______________________ h. 195° = ______________________

23. Classifique os ângulos abaixo de acordo com a abertura dos lados.

a. AÔB = ____________________ b. AÔA = ____________________

A

B

O

O A

O

a

b

a

a b a

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Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. 18

c. MÔN = ____________________ d. TÔU (maior) = ____________________

Ângulos congruentes

- são dois ângulos que possuem a mesma medida.

Notação: BÂC DÊF

POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE ÂNGULOS

1. Ângulos consecutivos - dois ângulos são consecutivos quando possuem o mesmo vértice e um lado em comum (pertence aos dois ângulos). Podem possuir ponto comum ou não. No exemplo abaixo, são consecutivos os ângulos:

- AÔB e BÔC

- AÔB e AÔC

- AÔC e BÔC

2. Ângulos adjacentes - são denominados ângulos adjacentes dois ângulos que possuem um lado comum (são ângulos consecutivos, tais que os lados não comuns estão em semi-planos opostos em relação ao lado comum). Não possuem ponto comum.

No exemplo abaixo, são adjacentes os ângulos:

- CÔD e DÔF

M

O

N

T

O

U

A

B

C

O

C

O

D

F

Lado comum

A

B

C

E

D

F

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Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. 19

3. Ângulos complementares - são aqueles cuja soma corresponde a 90°.

a + ß = 90°

4. Ângulos suplementares - são aqueles cuja soma corresponde a 180°.

a + ß = 180°

5. Ângulos replementares - são aqueles cuja soma corresponde a 360°.

a + ß = 360°

6. Opostos pelo vértice (OPV) - são dois ângulos tais que os lados de um são semi-retas opostas aos la-dos do outro. Os ângulos opv são congruentes (possuem a mesma medida).

# a1 e a2 são ângulos opostos pelo vértice

# 1 e 2 são ângulos opostos pelo vértice

a

a

ß

a1 a2

1

2

a

ß

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Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. 20

24. Sendo dados os ângulos abaixo, escreva, nos espaços indicados, se os respectivos ângulos são conse-cutivos ou adjacentes.

Ângulos consecutivo ou adjacente?

EÔF e FÔG

EÔG e EÔF

FÔG e EÔG

MÔN e MÔP

NÔP e PÔM

MÔN e NÔP

25. Coloque nos parênteses C ou E, conforme a afirmação seja certa ou errada:

( ) Um ângulo de meia volta mede 90°.

( ) Um ângulo obtuso mede mais de 90°.

( ) Os lados de um ângulo são semi-retas.

( ) Um ângulo de 60° é obtuso.

( ) O ângulo de meia volta mede o dobro do ângulo reto.

( ) Para medir um ângulo, utiliza-se o esquadro.

( ) Um ângulo agudo mede menos de 90°.

( ) Um ângulo de volta inteira é reto.

( ) O ângulo de 90° é reto.

( ) Um ângulo pode medir mais de 360°.

O

E

F

G

O

M

N

P

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Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. 21

26. Marque com “X” a(s) alternativa(s) correta(s):

( ) Dois ângulos são complementares quando a soma de suas medidas for 180°.

( ) Dois ângulos são consecutivos quando possuem um lado e um vértice comum.

( ) Dois ângulos são congruentes quando possuem a mesma medida.

( ) Dois ângulos são suplementares quando a soma de suas medidas for 90°.

( ) Dois ângulos são retos quando a soma de suas medidas for 120°.

27. Complete as frases com uma das duas palavras que estão dentro dos parênteses:

a. A abertura de um ângulo é medida em ____________________ (graus / centímetros)

b. As semirretas em um ângulo correspondem aos ____________________(lados / vértices)

c. A origem das semirretas que formam um ângulo é o __________________(lado / vértice)

d. O instrumento com o qual se mede ângulos chama-se __________________________________ (transferidor / esquadro)

TRANSPORTE DE ÂNGULOS COM COMPASSO

28. Construa com o transferidor o ângulo solicitado sobre a reta t e depois o transporte, graficamente, sobre a semi-reta dada:

a. DÔG = 53º

b.

= 156º

t

t

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ADIÇÃO GRÁFICA DE ÂNGULOS CONHECIDOS

29. Efetue, sobre a semirreta, a soma gráfica dos ângulos dados:

a.

+ =

b.

+ =

c.

+ =

N M

O

P

A

C

B

K

L

J E

S

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Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. 23

SUBTRAÇÃO GRÁFICA DE ÂNGULOS CONHECIDOS

30. Efetue, sobre a semirreta, a subtração gráfica dos ângulos dados:

a.

_ =

b.

_ =

c.

_ =

T R

S

Z

Y

X

B

K

L

J E

S

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Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. 24

Introdução - Lugar Geométrico (LG)

Para compreender o conceito de lugar geométrico:

Num shopping center, todas as lojas do último andar são iluminadas pela luz solar durante o dia, enquan-

to nos demais andares a iluminação é artificial. De acordo com essa afirmação, complete as frases abaixo:

# ________________ as lojas do último andar têm iluminação natural.

# A _______________________________ é uma propriedade comum a todas as lojas do último andar.

# As lojas dos outros andares __________________________ iluminação natural. Portanto, a iluminação

natural é uma propriedade exclusiva das lojas do ___________________________________________.

Podemos concluir então que:

O último andar do shopping é um conjunto de lojas que possuem uma propriedade _________________

e ___________________________.

UD II - Ass 1. LG-1 CIRCUNFERÊNCIA

UNIDADE DIDÁTICA II - OS LUGARES GEOMÉTRICOS (LG)

Assunto 1. LG-1 Circunferência

Assunto 2. Retas perpendiculares e LG-2 mediatriz

Assunto 3. LG-3 Retas paralelas

Assunto 4. LG-4 Bissetriz

Assunto 5. LG-5 Arco Capaz

LUGAR GEOMÉTRICO (LG)

É um conjunto de pontos que possuem uma propriedade COMUM e EXCLUSIVA.

COMUM: a propriedade pertence a TODOS os pontos desse conjunto

EXCLUSIVA: a propriedade pertence SOMENTE a esses pontos.

LG-1 CIRCUNFERÊNCIA É o LG dos pontos do plano que estão eqüidistantes (a uma mesma distância) de um ponto fixo desse plano. A essa distância chamamos de raio (r) e o ponto fixo chamamos de centro (O). Notação: C ( O ; r ) - circunferência de centro no ponto O e raio de medida r.

Page 25: Desenho geométrico-pdf

Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. 25

Elementos da circunferência:

•Raio (r) - é o segmento que vai do centro até um ponto qualquer da circunferência.

•Arco - é um pedaço da curva da circunferência.

•Corda - é o segmento de reta que une as extremidades de um arco; é um segmento que une quaisquer dois pontos da circunferência.

•Diâmetro (d) - é a corda que passa pelo centro da circunferência (maior corda); mede o dobro do raio.

•Flecha - é o segmento de reta que une o centro de uma corda ao ponto médio do arco correspondente.

•Reta secante - é uma reta que passa pela circunferência cortando-a em dois pontos (pontos de secância). A parte da secante que fica no interior da circunferência é uma corda.

•Reta tangente - é uma reta que toca a circunferência em um único ponto (ponto de tangência).

•Semi-circunferência - é a metade da circunferência; é o arco definido por um diâmetro.

O - centro da circunferência. DT

= diâmetro OA = OD = OT = raio DGE = um arco da circunferência DE

= uma corda da circunferência, correspondente ao ar-co DGE

FG = flecha do arco DGE reta s = secante H e I = pontos de secância HI

= corda determinada pela secante s reta t = tangente T = ponto de tangência

Ângulos da circunferência

a. Ângulo central – é aquele que tem o vértice b. Ângulo inscrito – é o que tem o vértice na no centro da circunferência (O). circunferência e os seus lados são cordas.

AÔB AÛB

O •

H

I

D

s

T

A

E

F

G t

O•

A

B •O U

A

B

Page 26: Desenho geométrico-pdf

Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. 26

31. De acordo com os elementos da circunferência abaixo, complete as lacunas:

a. O = _______________________ f. CÔE= _______________________

b. AB

= _______________________ g. EÔD =________________________

c. CD = _______________________ h. CDE =_______________________

d. OE = _______________________ i. OD = _______________________

e. ED = _______________________

32. Construa geometricamente uma circunferência de centro em O e raio r = 1,2cm.

33. Construa geometricamente as seguintes circunferências:

a. C ( A ; 1,5 cm ) b. C ( B ; 2,5 cm )

O •

A

B

C

D

E

O .

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Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. 27

34. Qual o Lugar Geométrico (LG) dos pontos equidistantes de um ponto conhecido?

R: ________________________________________________________________

35. Construa o LG dos pontos situados a 21 mm do ponto P.

P

36. Determine, geometricamente, os pontos P1 e P2 que estejam a 2 cm do ponto A e também a 3 cm do ponto B.

37. Determine, geometricamente, os pontos T1 e T2 que estejam à distância d do ponto A

e estejam à dis-tância s do ponto B.

A •

• B

d

x

B A x

s

Page 28: Desenho geométrico-pdf

Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. 28

38. Determine, geometricamente, os pontos X e Y que pertencem à reta t e que estejam à distância d do

ponto P.

39. Dado o quadrilátero ABCD, determine geometricamente os pontos T1 e T2 dos lados CD e BC , res-pectivamente, distantes 5,9 cm do ponto A.

A

B

D

C

t P •

d

Page 29: Desenho geométrico-pdf

Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. 29

40. A casa de Rosely fica a 550 m de distância da casa de sua amiga Raquel, e a distância entre as casas

de Rosely e Rosângela é de 450 m. Para visitar Rosângela, Rosely precisa passar pela ponte sobre o rio. Assinale no mapa o local onde Rosely mora ( R ), sabendo que 1 cm no papel corresponde a 100 m no terreno.

Page 30: Desenho geométrico-pdf

Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. 30

Retas perpendiculares

- são retas concorrentes que formam ângulo de 90º entre si (“cruz”, “x”).

a. Perpendicular a uma reta por um ponto pertencente a ela

41. Construa, geometricamente, a perpendicular s à reta r que passa pelo ponto P pertencente à reta.

Notação: s

r

UD II - Ass 2. RETAS PERPENDICULARES

• P

r

• P

r

2º passo: com raio maior que a distância entre A e P, trace dois arcos com centros em A e B, obtendo o

ponto C na sua intersecção. Trace CP = s

1º passo: com centro em P e raio qualquer, trace um arco que determine A e B na reta r.

Page 31: Desenho geométrico-pdf

Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. 31

b. Perpendicular a uma reta por um ponto não pertencente a ela

42. Construa, geometricamente, a perpendicular à reta r pelo ponto P não pertencente à reta.

Indicação: s

r

• P

r

• P

r

2º passo: com o mesmo raio, trace dois arcos com centros

em A e B obtendo C na sua intersecção. Trace PC = s

1º passo: com centro em P e raio qualquer, trace um arco que determine A e B na reta.

Page 32: Desenho geométrico-pdf

Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. 32

c. Perpendicular pela extremidade de um segmento

43. Construa, geometricamente, as perpendiculares nas extremidades do segmento AB dado.

44. Construa, geometricamente, retas perpendiculares à reta r passando pelos pontos A, B, C e D dados:

B .

.

C

r

. A

. D

A

B

1º passo: com centro em A e raio qualquer, trace um arco (maior que 90º) determi-nando o ponto C no segmento dado.

2º passo: com o mesmo raio e ponta seca em C, marque no arco duas vezes a mesma medida, determinando os pontos D e E.

3º passo: ainda com o mesmo raio, trace dois arcos com centros em D e E, obtendo o

ponto F na sua intersecção. Trace a perpendicular AF .

Page 33: Desenho geométrico-pdf

Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. 33

45. Construa, usando o par de esquadros, retas perpendiculares à reta r passando pelos pontos A, B, C e D

dados:

46. Construa, geometricamente, retas perpendiculares às retas s e t pelo ponto J.

s

t

47. Na parede da casa abaixo, P indica o ponto de onde deverá descer um cano perpendicular ao chão. Construa, geometricamente, essa perpendicular r, representando o cano.

J

B .

.

C

r

. A

. D

Page 34: Desenho geométrico-pdf

Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. 34

Mediatriz

- é a reta que passa perpendicularmente (formando um ângulo de 90º) no ponto médio (M) de

um segmento, dividindo-o em duas partes congruentes.

AM MB

Notação: Mtz AB

48. Construa as mediatrizes dos segmentos dados, determinando os pontos médios:

LG-2 MEDIATRIZ

É o LG dos pontos equidistantes de dois pontos fixos.

M

A

B

A

B

D

E

F

G

2º passo: trace CD = mediatriz de AB. O ponto M - intersecção do segmento com sua mediatriz, é o ponto médio do segmento

1º passo: com centro em A e em B e raio maior que a metade da medida de AB, trace dois arcos obtendo C e D.

Page 35: Desenho geométrico-pdf

Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. 35

49. Qual o Lugar Geométrico (LG) dos pontos equidistantes de dois pontos conhecidos?

R: ________________________________________________________________

50. Determine, geometricamente, o ponto P eqüidistante dos pontos X e Y e pertencente à reta r dada:

51. Determine, geometricamente, os pontos P1 e P2 tais que estejam eqüidistantes de A e B

e estejam à distância m do ponto D.

Y .

X .

r

m

B

A

• D

Page 36: Desenho geométrico-pdf

Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. 36

Na figura abaixo, as retas s e t estão a uma distância d da reta r. Assim, as retas s e t estão equi-distantes da reta r e são as paralelas que distam d de r (LG-3), pois TODOS os pontos que distam d da reta r NECESSARIAMENTE pertencem às retas s e t.

Notação: s r t

52. Qual o Lugar Geométrico (LG) dos pontos equidistantes de uma reta conhecida?

R: ________________________________________________________________

53. Construa, geometricamente, o par de retas paralelas à reta v dada, que distam 2,2 cm dela.

Passos: 1. Trace perpendiculares por dois pontos A e B quaisquer da reta v (afastados). 2. A partir da reta v, marque 2,2 cm para cima de A e de B em cada perpendicular determinando A1 e B1, e para baixo de A e

de B em cada perpendicular determinando A2 e B2. 3. Ligue A1 com B1 e A2 com B2, obtendo as duas retas paralelas.

LG-3 RETAS PARALELAS É o LG dos pontos equidistantes de uma reta.

UD II - Ass 3. LG-3 RETAS PARALELAS

t

r

s

d

d

v

Page 37: Desenho geométrico-pdf

Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. 37

54. Construa, geometricamente, uma reta w paralela à reta s dada, que passe pelo ponto P.

Passos: 1. Ponta seca em P, abertura qualquer, trace um arco e determine A na reta s. 2. Mesma abertura (AP), ponta seca em A, trace um arco passando por P e determine B na reta s. 3. Transporte medida BP para o outro arco com ponta seca em A, determinando C. 4. Ligue PC = reta w.

55. Determine os pontos que distam 1,8 cm da reta s e que pertencem à circunferência, ao triângulo e à reta t, sabendo que: - G e H estão na circunferência, - I e J pertencem ao triângulo e - L e M estão na reta t.

s

P •

t

s

Page 38: Desenho geométrico-pdf

Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. 38

56. Traçar o par de paralelas distantes 3,3 cm da reta r, utilizando o par de esquadros.

57. Determine geometricamente os pontos A, B, C e D distantes 1,5 cm da reta n e 2,5 cm do ponto P.

58. Construa retas paralelas à reta y dada, que passem pelos pontos R, H e G, utilizando o par de es-quadros.

. P

n

y

R •

G •

H •

r

Page 39: Desenho geométrico-pdf

Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. 39

Divisão de segmentos

- na divisão de segmentos veremos dois processos:

1º - Processo das mediatrizes: só pode ser aplicado quando o divisor for potência de 2 (2, 4, 8, ...) 2º - Processo geral: permite dividir um segmento em qualquer número de partes.

Exemplo: dado AB = 8,0 cm, determinar graficamente 4

AB, pelos dois processos.

1. Processo das mediatrizes

2. Processo Geral

A medida é de 2,0 cm. Portanto, os pontos que dividem o segmento em quatro partes iguais devem ter entre si a distância de 2,0 cm. Confira!!

A B

B A

Page 40: Desenho geométrico-pdf

Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. 40

Na prática: Quero cortar o sarrafo abaixo em quatro partes congruentes para usar como pernas de um banquinho. In-dicar os pontos de corte.

AB

= 10,0 cm

Resposta: os pontos _____, _____ e _____são os pontos de corte.

59. Dados os segmentos abaixo, determine graficamente:

a. 2

CD = ________

b. 8

AB = ________

C D

A B

A B

Page 41: Desenho geométrico-pdf

Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. 41

60. Dado o segmento AB , determine graficamente

5AB

.

61. Determine, graficamente, 63

de MN

= 9,0 cm.

62. Determine, graficamente, 74

de SP = 10 cm.

A B

Page 42: Desenho geométrico-pdf

Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. 42

63. Determine, graficamente,

83

de DE

= 11 cm.

Divisão em partes proporcionais

64. Divida graficamente SP na proporção 5:3:2.

65. Divida graficamente MN na proporção 2:1:3.

S P

M N

Page 43: Desenho geométrico-pdf

Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. 43

66. Divida graficamente o segmento VF na proporção 3:2:4.

67. Pelo processo das mediatrizes de divisão de segmentos, divida o segmento CD em 8 partes congru-entes. Dica: para facilitar a construção da 1ª mediatriz, reduza o tamanho de CD , diminuindo a mesma me-dida em ambas as extremidades.

V F

C D

Page 44: Desenho geométrico-pdf

Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. 44

- Bissetriz de um ângulo é o segmento que divide o ângulo em duas partes congruentes.

68. Construa, geometricamente, a bissetriz do ângulo dado.

Notação: Btz

Passos: 1. Trace um arco qualquer com centro em O, determinando os pontos A e B nos lados. 2. Ponta seca em A, trace um arco de abertura qualquer (maior que a metade de AB). O mesmo em B, com a mesma abertura, cruzando com

o arco anterior, determinando o ponto D. 3. Ligue OD = bissetriz

69. Construa geometricamente o LG dos pontos equidistantes das retas r e s dadas.

Passos: 1. Trace um arco de 180°, com centro em O, determinando os pontos A, B e C nas retas r e s. 2. Ponta seca em A, trace um arco de abertura qualquer (maior que a metade de AB). O mesmo em B, com a mesma abertura, cruzando com

o arco anterior, determinando o ponto D. 3. Ligue OD - bissetriz 1 4. Repita o passo 2 nos pontos B e C, determinando o ponto E. 5. Ligue OE - bissetriz 2

UD II - Ass 4. LG-4 BISSETRIZ

LG-4 BISSETRIZ É o LG dos pontos equidistantes de duas retas concorrentes conhecidas.

s

r

O

O

Page 45: Desenho geométrico-pdf

Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. 45

70. Qual o Lugar Geométrico (LG) dos pontos equidistantes de duas retas conhecidas?

R: ________________________________________________________________

71. Construa, geometricamente, as bissetrizes dos ângulos dados:

a. b.

c. d.

e.

O

O

O

O

O

Page 46: Desenho geométrico-pdf

Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. 46

72. Determine, geometricamente, os pontos P, Q, R e S que se encontram a 2,7 cm de O e que sejam e-

quidistantes das retas v e w dadas.

73. Trace, graficamente, a reta s equidistante das retas y e z, sem recorrer ao vértice.

Passos: 1. Marque dois pontos quaisquer: A na reta y e B na reta z e ligue AB. 2. Ao ligar AB, determinamos quatro ângulos “no interior” das retas y e z, sendo dois de um lado de AB e os outros dois do

outro lado. 3. Construa as quatro bissetrizes desses quatro ângulos, determinando os pontos C e D nos cruzamentos das bissetrizes, um

de cada lado de AB. 4. Ligue CD = s

w

O .

v

z

y

Page 47: Desenho geométrico-pdf

Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. 47

74. Determine, geometricamente, o ponto P que pertence à reta r e está equidistante das retas s e t.

75. Determine, geometricamente, os pontos U e T equidistantes das retas r e s, e que distam 2,0 cm do ponto C.

76. Determine, geometricamente, os pontos P1 e P2 equidistantes das retas m e n, e que distam 1,8 cm da reta k.

r

t

s

O

s

r

• C

k

n

m

Page 48: Desenho geométrico-pdf

Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. 48

77. A figura abaixo representa a área de um hotel fazenda que será ampliado. Será construído um salão

de festas (S) a 30 mm do restaurante e a 50 mm do salão de jogos, bem próximo da piscina. Pretende-se construir também uma quadra poliesportiva (Q) a 40 mm da cachoeira e que esteja eqüidistante

das retas AB e AC (linhas de divisa do terreno da fazenda com a estrada e com o sítio primavera). Determine na figura os pontos onde o salão (S) e a quadra (Q) serão construídos.

78. Construa graficamente, nas semirretas dadas, os seguintes ângulos:

a. 90°

b. 60°

B r

A r

Page 49: Desenho geométrico-pdf

Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. 49

c. 30°

d. 15°

e. 45º

f. 75º

g. 120°

E C’

D r

C r

G r

F r

Page 50: Desenho geométrico-pdf

Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. 50

h. 150º

i. 135º

j. 67º 30’

H r

J r

I r

Page 51: Desenho geométrico-pdf

Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. 51

k. 165º

l. 82º 30’

m. 105º

L r

M r

K r

Page 52: Desenho geométrico-pdf

Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. 52

Arcos como lugares geométricos - introdução

Quando você olha para um poste na rua, você o vê segundo certo ângulo. Esse ângulo pode variar em função da posição de onde você esteja olhando.

Observe a figura abaixo.

O ponto P é vértice de um ângulo de medida a, cujos la-dos passam pelas extremidades do segmento AB. Dizemos que o ponto P “enxerga” o segmento AB se-gundo um ângulo de medida a.

Agora, observe a figura. Uma vez que todos os ângulos inscritos num mesmo arco possuem medidas i-guais, podemos concluir que todos os pontos do arco APB enxergam AB

segundo um mesmo ângulo a.

FIGURA 5 cm

Nesse caso, dizemos que o arco APB é um ARCO CAPAZ do ângulo a descrito sobre AB . Sobre um mesmo segmento AB é possível descrever dois arcos capazes do ângulo a, cada um de um la-

do de AB .

UD II - Ass 5. LG-5 ARCO CAPAZ

A B

a P

Page 53: Desenho geométrico-pdf

Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. 53

A reunião dos dois arcos capazes é um lugar geométrico, pois os seus pontos satisfazem as seguintes condições: • Todo ponto pertencente a qualquer um dos arcos enxerga AB

segundo um ângulo a.

• Somente os pontos pertencentes a qualquer um dos arcos enxergam AB

segundo um ângulo a.

79. Construa, geometricamente, o par de arcos capazes de enxergar AB sob o ângulo a dado.

Passos 1. Transporte o ângulo a para baixo de AB, com o vértice em A e um lado coincidindo com AB. O outro lado chame de t. 2. Trace a reta s, perpendicular a t passando por A. 3. Construa a mediatriz de AB, determinando O1 no cruzamento com s. 4. Na mediatriz, marque o simétrico de O1 em relação a AB, determinando O2. 5. Construa os dois arcos, com centros em O1 e O2 e raios O1A = O2A.

a

LG-5 ARCO CAPAZ É o LG dos seus pontos que “enxergam” um segmento conhecido

sob um determinado ângulo.

A

B

Page 54: Desenho geométrico-pdf

Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. 54

80. Construa, geometricamente, o par de arcos capazes de enxergar CD sob um ângulo de 60°.

81. Construa, geometricamente, o par de arcos capazes de enxergar AB sob um ângulo de 120°.

A B

C

D

Page 55: Desenho geométrico-pdf

Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. 55

82. Construa, geometricamente, o par de arcos capazes de enxergar FG sob um ângulo de 90º.

83. Construa, geometricamente, somente um arco capaz de enxergar AB sob um ângulo de 75°.

F G

A B

Page 56: Desenho geométrico-pdf

Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. 56

84. Um faroleiro em vigília foi contatado por um barco em dificuldade que, logo após enviar sua mensa-

gem, perdeu seu sistema de comunicação. Ao relatar a ocorrência, o faroleiro indicou o local exato do barco, pois o marinheiro havia informado que podia ver o farol ( F ) e as ruínas do forte ( R ) segundo um ângulo 60° e que enxergava o farol ( F ) e a torre de petróleo ( T ) sob um ângulo de 90°. Com essas informações, determine na figura, geometricamente, a localização do barco ( B ) no mo-mento da ocorrência.

85. Considere o desenho a seguir como sendo a sua sala de aula. Marque o quadrinho que corresponde à sua posição na sala. Descubra se mais algum aluno observa o quadro negro sob o mesmo ângulo que você.

. . .

. .

.

. . .

. .

.

. . .

. .

.

. . .

. .

.

. . .

. .

.

. . .

. .

.

quadro negro

Page 57: Desenho geométrico-pdf

Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. 57

INTRODUÇÃO

Linha poligonal aberta

Uma linha poligonal aberta é formada por segmentos de reta consecutivos e não colineares, ou seja, seg-mentos de reta que não estão alinhados na mesma reta e que não se fecham.

Linha poligonal fechada (polígono)

Polígono é uma figura geométrica cuja palavra é proveniente do grego que quer dizer: poli (muitos) + gonos (ângulos). Um polígono é uma linha poligonal fechada formada por segmentos consecutivos, não colineares que se fecham.

A região interna a um polígono é a região plana delimitada por um polígono. Muitas vezes encontramos na literatura sobre Geometria a palavra polígono identificada com a região localizada dentro da linha poligonal fechada, mas é bom deixar claro que polígono representa apenas a linha. Quando não há perigo na informação sobre o que se pretende obter, pode-se usar a palavra num ou no outro sentido.

UNIDADE DIDÁTICA III - TRIÂNGULOS

Assunto 1. Estudo geral. Assunto 2. Construção de triângulos escalenos. Assunto 3. Construção de triângulos equiláteros. Assunto 4. Construção de triângulos isósceles. Assunto 5. Construção de triângulos retângulos.

Q

P

N

M

D

C B

A

J I

H G

F

S R

Q P

I H

G

F

E

C

B

A

Page 58: Desenho geométrico-pdf

Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. 58

Considerando a figura ao lado, observamos que:

Os segmentos AB, BC, CD, DE e EA são os lados do polígono.

Os pontos A, B, C, D, E são os vértices do polígono.

Os ângulos do polígono são: A, B, C, D e E.

Polígonos quanto à convexidade

1. Polígono convexo: É uma região poligonal que não apresenta re-entrâncias no corpo da mesma. Isto significa que todo segmento de reta cujas extremidades estão nesta região estará totalmente conti-do na região poligonal.

2. Polígono não convexo: É uma região poligonal que apresenta reentrâncias no corpo da mesma. Ela possui segmentos de reta cujas extremidades estão na região poligonal mas não estão totalmente contidos na região poligonal.

Polígono regular: é o polígono que possui

todos os lados congruentes e todos os ângulos internos con-gruentes.

Polígono irregular: é o polígono que não possui

todos os lados congruentes e todos os ângulos internos congruentes.

Nomes dos polígonos Dependendo do número de lados, um polígono recebe os seguintes nomes:

nº de lados polígono nº de lados polígono 1 não existe 11 undecágono 2 não existe 12 dodecágono 3 triângulo 13 tridecágono 4 quadrilátero 14 tetradecágono 5 pentágono 15 pentadecágono 6 hexágono 16 hexadecágono 7 heptágono 17 heptadecágono 8 octógono 18 octadecágono 9 eneágono 19 eneadecágono

10 decágono 20 icoságono

B

A

C

E D

Page 59: Desenho geométrico-pdf

Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. 59

# Definição: triângulo é um polígono de três lados. É o polígono que possui o menor número de lados.

Talvez seja o polígono mais importante que existe.

# Elementos - seja o triângulo AOE ao lado:

a = lado de extremidades O e E - lados e = lado de extremidades A e O

o = lado de extremidades A e E

A = oposto ao lado a - vértices E = oposto ao lado e O = oposto ao lado o

 = ângulo correspondente ao vértice A - ângulos internos Ê = ângulo correspondente ao vértice E

Ô = ângulo correspondente ao vértice O

- a soma dos ângulos internos de qualquer triângulo é sempre igual a 180º

# Classificação

eqüilátero = três lados congruentes e três ângulos congruentes (60º cada um) - quanto aos lados isósceles = dois lados congruentes e dois ângulos da base congruentes

escaleno = três lados diferentes e três ângulos diferentes

acutângulo = três ângulos agudos (< 90º) - quanto aos ângulos obtusângulo = um ângulo obtuso (> 90º)

retângulo = um ângulo reto (90º)

- o triângulo retângulo é o único cujos lados recebem nomes: hipotenusa (a) = lado oposto ao ângulo reto

catetos (b, c) = lados que formam o ângulo reto

UD III - Ass 1. ESTUDO GERAL DOS TRIÂNGULOS

o

a E O

A

e

Ê Ô

Â

a

b

c

A

C

B

Page 60: Desenho geométrico-pdf

Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. 60

# Ceviana: é todo segmento de reta que liga um vértice do triângulo ao lado oposto correspondente ou ao

seu prolongamento.

# Cevianas notáveis e pontos notáveis

- Mediana: é a ceviana que une um vértice ao ponto médio do lado oposto. AMa é uma mediana. o encontro das três medianas determina o baricentro ou centro de gravidade (G), sempre no interior do triângulo.

Observação: o baricentro situa-se a 1/3 do comprimento da me-diana a partir do ponto médio do lado.

- Altura: é a ceviana perpendicular ao lado oposto ou ao seu prolongamento (forma um ângulo reto). BHb e AHa são alturas. o encontro das três alturas determina o ortocentro (O), podendo estar dentro ou fora do triângulo.

- Bissetriz interna: é a ceviana que divide um ângulo em duas partes iguais. Os ângulos CeB,A es-tão divididos ao meio. o encontro das três bissetrizes determina o incentro (I) = centro da circun-ferência inscrita no triângulo, sempre no interior do triângulo.

- Mediatriz (não é ceviana) o encontro das três mediatrizes determina o circuncentro (C) = centro da circunferência circunscrita ao triângulo, podendo estar dentro ou fora do triângulo.

Page 61: Desenho geométrico-pdf

Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. 61

86. Construa geometricamente as três medianas dos triângulos dados e determine os seus baricentros (G).

87. Construa geometricamente as três alturas dos triângulos dados e determine os seus ortocentros (O).

B C

A

P Q

R

B C

A

Page 62: Desenho geométrico-pdf

Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. 62

88. Construa geometricamente as três bissetrizes internas

dos triângulos dados, determine os seus incen-tros (I) e trace as circunferências inscritas nos triângulos. Observação: após determinar o incentro, há necessidade de se determinar o raio da circunferência, traçan-do uma perpendicular do incentro a qualquer um dos lados.

B C

A

P Q

R

P Q

R

Page 63: Desenho geométrico-pdf

Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. 63

89. Construa geometricamente as mediatrizes

dos três lados dos triângulos dados, determine os seus cir-

cuncentros (C) e trace as circunferências circunscritas aos triângulos.

B C

A

Z

Y

X

P Q

R

Page 64: Desenho geométrico-pdf

Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. 64

Triângulo escaleno: possui três lados diferentes e três ângulos diferentes.

Dica: para resolver os problemas envolvendo construção de figuras planas, analise o enunciado, veja bem o que está sendo solicitado, faça uma figura auxiliar e decida o caminho para a solução da questão. Traçados auxiliares fracos e solução reforçada.

90. Construa geometricamente o triângulo XYZ de lados x = 35 mm, y = 49 mm e z = 58 mm.

91. Construa geometricamente o triângulo FGH de 112 mm de perímetro sabendo que as medidas de seus lados obedecem à proporção 2:3:4. Dica: perímetro é a soma de todos os lados; use divisão proporcional de segmento.

UD III - Ass 2. CONSTRUÇÃO DE TRIÂNGULOS ESCALENOS

Page 65: Desenho geométrico-pdf

Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. 65

92. Construa geometricamente o triângulo ABC sendo dados: a = 4,5 cm, b = 2,5 cm e  = 45º.

Dica: use arco capaz.

93. Construa geometricamente o triângulo AOE, sendo a = 5,8 cm, Ô = 45º e Ê = 60º.

94. Construa geometricamente o triângulo RST sendo dados: r = 68 mm, s = 53 mm e hr = 32 mm. Dica: trace uma paralela ao lado r distante hr (hr é a altura relativa ao lado r).

Page 66: Desenho geométrico-pdf

Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. 66

95. Construa geometricamente o triângulo ABC sendo dados: a = 5,5 cm, b = 3,6 cm e ma = 4 cm.

Dica: base a, ponto médio, ma e b (ma é a mediana relativa ao lado a).

96. Construa geometricamente o triângulo UIQ sendo dados: u = 7 cm, Û = 60º e Î = 30º. Dica: arco capaz

Page 67: Desenho geométrico-pdf

Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. 67

Triângulo equilátero: possui três lados congruentes e três ângulos congruentes (60º cada um)

# No triângulo equilátero as cevianas notáveis e os pontos notáveis coincidem.

97. Construa geometricamente o triângulo eqüilátero ABC de lado 4,3 cm

98. Construa geometricamente o triângulo equilátero OAP com h = 5 cm. (duas soluções)

UD III - Ass 3. CONSTRUÇÃO DE TRIÂNGULOS EQUILÁTEROS

Page 68: Desenho geométrico-pdf

Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. 68

99. Construa geometricamente o triângulo equilátero PQR de 108 mm de perímetro.

Triângulo isósceles: possui dois lados congruentes e dois ângulos da base congruentes

Lembrando => No triângulo AOE abaixo temos:

100. Construa geometricamente o triângulo isósceles ABC de base c = 6,5 cm e  = 45°.

UD III - Ass 4. CONSTRUÇÃO DE TRIÂNGULOS ISÓSCELES

e e o = lados congruentes

a = base (lado diferente)

Ô e Ê = ângulos da base (congruentes)

a + e + o = perímetro (2p) do triângulo

A

O a

e o

E Ê Ô

Page 69: Desenho geométrico-pdf

Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. 69

101. Construa geometricamente o triângulo isósceles MNR de lado m = 5 cm e h base n = 3,5 cm.

102. Construa geometricamente o triângulo isósceles JKL de base k = 6,5 cm e hk = 4,2 cm.

103. Construa geometricamente o triângulo isósceles AMU de base a = 6,5 cm e  = 75°. (arco capaz)

Page 70: Desenho geométrico-pdf

Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. 70

104. Construa geometricamente o triângulo isósceles ABC de perímetro 2p = 10 cm, sabendo que a base

b mede a metade dos lados congruentes a e c.

105. Construa geometricamente o triângulo isósceles e acutângulo PON, sendo CN = 2,8 cm, com C o

circuncentro e N um dos vértices do triângulo, sabendo que o lado n é congruente ao lado o e NO = 4 cm.

Page 71: Desenho geométrico-pdf

Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. 71

Triângulo retângulo: possui um ângulo reto (90º)

Lembrando => No triângulo AEO abaixo temos:

Construa o triângulo retângulo ABC, retângulo em  (hipotenusa a e catetos b e c) sendo dados:

106. b = 3,7 cm e c = 4,5 cm

107. a = 6,3 cm e b = 4,6 cm.

UD III - Ass 5. CONSTRUÇÃO DE TRIÂNGULOS RETÂNGULOS

e e a = catetos (formam o ângulo reto)

o = hipotenusa (lado oposto ao ângulo reto)

Ô = ângulo reto (90º)

a + e + o = perímetro (2p) do triângulo

Obs: Quando for retângulo isósceles, temos:

e = a e  = Ê = 45º

A

o

a E O

e

Ê Ô

Â

Page 72: Desenho geométrico-pdf

Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. 72

108. a = 58 mm e ângulo do vértice C = 30º.

109. b + c = 8,5 cm e b = 3c.

Page 73: Desenho geométrico-pdf

Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. 73

110. b = 5,5 cm e ha = 3,6 cm.

Dica para uma solução: paralelas distantes ha, marque A qualquer, trace b, ...

111. 2p = 120 mm e 5a

= 4b

= 3c

.

Page 74: Desenho geométrico-pdf

Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. 74

Classificação Principal característica Tipos Principal característica (exemplo)

1. Genéricos (Trapezóides)

Não possuem lados paralelos -

QUADRADO

Quatro lados congruentes; quatro ângulos retos; diagonais congruentes e perpendiculares.

LOSANGO Quatro lados congruentes; ângulos opostos congruentes; diagonais perpendiculares.

RETÂNGULO Quatro ângulos retos; lados opostos congruentes; diagonais congruentes.

2. Paralelogramos

Os lados opostos são

paralelos entre si

Obs: as dia-gonais cru-zam-se no

meio - ponto médio.

PARALELOGRAMO Lados opostos congruentes; ângulos opostos congruentes.

ESCALENO Lados não paralelos não congruentes

ISÓSCELES Lados não paralelos congruentes. 3. Trapézios

Apenas dois lados

paralelos, cha-mados de

base maior e

base menor. RETÂNGULO Dois ângulos retos.

UNIDADE DIDÁTICA IV - QUADRILÁTEROS

Assunto 1. Estudo geral. Assunto 2. Construção de quadrado. Assunto 3. Construção de losango. Assunto 4. Construção de retângulo. Assunto 5. Construção de paralelogramo. Assunto 6. Construção de trapézio.

UD IV - Ass 1. ESTUDO GERAL DOS QUADRILÁTEROS

Page 75: Desenho geométrico-pdf

Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. 75

Quadrilátero qualquer AEIO:

Quadrado - é um paralelogramo eqüilátero e eqüiângulo - possui lados e ângulos congruentes.

O quadrado é o único quadrilátero regular. Valem para o quadrado todas as propriedades dos paralelo-gramos: ele é um retângulo e é também um losango.

# Podemos observar no quadrado ABCD:

• os quatro lados congruentes e os quatro ângulos retos

• as diagonais são congruentes e perpendiculares entre si AC = BD

e AC

BD

• as diagonais são também bissetrizes dos ângulos dos vértices

• a intersecção das diagonais se dá no ponto médio M

• o ponto M é o centro do quadrado.

• as alturas coincidem com os lados (medida h).

• o raio da circunferência inscrita no quadrado é o apótema = distância de M ao ponto médio de um lado

• o raio da circunferência circunscrita ao quadrado é a distância de M a um vértice

- Vértices: A, E, I, O

- Lados: AE , EI , IO e AO

- Lados opostos: AE

e IO ; EI

e AO

- Ângulos internos: Â, Ê, Î e Ô

- Ângulos opostos: Â e Î; Ê e Ô

- Soma dos ângulos internos = 360º

- Diagonais d1 e d2: AI

e OE

E

O

A

Ê

Ô

Â

I

Î

d1 d2

UD IV - Ass 2. CONSTRUÇÃO DE QUADRADO

Page 76: Desenho geométrico-pdf

Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. 76

# Construa geometricamente o quadrado

ABCD, sendo dado:

112. diagonal = 6,0 cm

113. lado l = 4,0 cm

114. apótema = OM Dica: lado do quadrado = dobro do apótema (distância do centro O ponto médio M de um lado)

• O

M

Page 77: Desenho geométrico-pdf

Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. 77

Losango - é o paralelogramo eqüilátero: os quatro lados são congruentes.

# Podemos observar no losango ABCD:

• as diagonais são perpendiculares entre si e com medidas diferentes. São chamadas de diagonal maior e diagonal menor e se cruzam no ponto médio: AC

BD

• as diagonais de um losango são bissetrizes dos seus ângulos internos

• os ângulos opostos são congruentes: A C

e B D

• dois ângulos consecutivos são suplementares: A + B = 180°

• a distância de um vértice ao lado oposto chama-se altura do losango ( h )

• o triângulo BCD é isósceles (BC CD)

# Construa geometricamente o losango

ABCD, sendo dados:

115. lado = 3 cm e diagonal maior = 5 cm

116. diagonais d1 = 5,0 cm e d2 = 7,0 cm

UD IV - Ass 3. CONSTRUÇÃO DE LOSANGO

Page 78: Desenho geométrico-pdf

Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. 78

117. Â = 60° e AB = 4,5 cm

118. diagonal BD = 4 cm e lado = 5 cm

119. altura h = 3,0 cm e  = 45°

Page 79: Desenho geométrico-pdf

Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. 79

Retângulo - é o paralelogramo eqüiângulo: os quatros ângulos são congruentes (retos).

# Podemos observar no retângulo ABCD:

• as duas diagonais são congruentes e se cruzam no ponto médio: AC

BD

• podemos chamar BC de base e AB de altura (= CD )

• o retângulo possui uma circunferência circunscrita, cujo cen-tro é o ponto M (intersecção das diagonais). Esse ponto é eqüi-distante dos vértices do retângulo, pois é o ponto médio das dia-gonais. O raio da circunferência é a distância de M a qualquer

um dos vértices (Ex: AM ), e mede a metade da diagonal 2d

# Construa geometricamente o retângulo

ABCD, sendo dados:

120. base = 5,2 cm e altura = 3 cm

121. diagonal = 6,2 cm e ângulo formado pelas diagonais = 45º

A

B

D

C

M

UD IV - Ass 4. CONSTRUÇÃO DE RETÂNGULO

Page 80: Desenho geométrico-pdf

Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. 80

122. perímetro (2p) = 13 cm e base = dobro da altura

123. lado AB = 6,5 cm e a diagonal BD = 7,0 cm.

124. base = 5,5 cm e altura = 2,4 cm. Depois construa a circunferência circunscrita.

Page 81: Desenho geométrico-pdf

Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. 81

Paralelogramo - é o quadrilátero de lados opostos paralelos.

# Podemos observar no paralelogramo ABCD:

• os lados opostos são congruentes: AB DC e

AD BC

• os ângulos opostos são congruentes: A C

e B D

• dois ângulos consecutivos são suplementares: A + B = 180°

• as diagonais cruzam-se em seus pontos médios

• a distância de um vértice ao lado oposto ou ao prolongamento desse lado chama-se altura do paralelo-gramo ( h ou h’ )

• cada uma das diagonais divide o paralelogramo em dois triângulos congruentes: ABC CDA e ABD CDB

# Construa geometricamente o paralelogramo

ABCD, sendo dados:

125. l1 = 3,5 cm, l2 = 6,5 cm e  = 60º

UD IV - Ass 5. CONSTRUÇÃO DE PARALELOGRAMO

Page 82: Desenho geométrico-pdf

Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. 82

126. l1 = 2,7 cm, l2 = 5,0 cm e d1 = 6,3 cm

127. l1 = 4,7cm, l2 = 8,0 cm e altura h relativa a l2 = 3,5cm

128. diagonal maior = 9,0 cm, diagonal menor = 6,5 cm e o ângulo formado pelas diagonais = 45°

Page 83: Desenho geométrico-pdf

Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. 83

Trapézio - é todo quadrilátero que tem apenas dois lados paralelos.

# Podemos observar no trapézio ABCD:

• os segmentos paralelos são chamados de: base maior ( BC ), base menor ( AD ) e base média ( MN )

• lados transversais (não paralelos): AB e CD

• diagonais: AC e DB

• ângulos internos: A , B , C

e D

• a distância entre a base maior ( BC ) e a base menor ( AD ) é a altura h ( AH ) do trapézio

• os ângulos adjacentes a um lado transversal são suplementares: A + B = 180° e C

+ D = 180°

• a base média do trapézio é um segmento paralelo às bases maior e menor, e suas extremidades são os pontos médios dos lados transversais

• a medida da base média é a média aritmética das bases menor e maior: MN = 2

BC+AD

Classificação dos trapézios e suas principais características

1. Trapézio escaleno - possui os lados transversais não congruentes.

2. Trapézio isósceles - possui os lados transversais, os ângulos das bases e as diagonais congruentes.

3. Trapézio retângulo - possui um dos lados transversais perpendicular às bases, formando dois ângulos retos.

UD IV - Ass 6. CONSTRUÇÃO DE TRAPÉZIO

Page 84: Desenho geométrico-pdf

Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. 84

# Construa geometricamente o trapézio ABCD, sendo dados:

129. base menor = 4 cm, lado1 = 6 cm, lado2 = 5 cm e altura h = 3,5 cm. Apresente uma solução.

Passos: 1. construa duas paralelas distantes 3,5 cm (h) 2. na superior trace b (AB) 3. de A trace l1 determinando D na outra paralela (D’) 4. de B trace l2, determinando C na outra paralela (C’) 5. reforce a solução

130. Base maior CD = 85 mm, lado AD

= 50 mm, base menor AB = 40 mm e a = 30º (ângulo for-mado pela diagonal CA com CD ). Apresente somente uma solução.

Passos: 1. numa reta suporte qualquer trace CD 2. em C construa ângulo 30° (suporte da diagonal AC) 3. de D trace AD determinando A ou A’ na diagonal 4. por A construa uma paralela a CD 5. de A trace AB, determinando B 6. reforce a solução

Page 85: Desenho geométrico-pdf

Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. 85

131. base maior AB = 6 cm, base menor CD = 3 cm, lado AD

= 5,9 cm e altura h = 5 cm

Passos: 1. construa duas paralelas distantes 5 cm (h) 2. na inferior trace AB 3. de A trace AD determinando D ou D’ na outra paralela (uma solução) 4. de D trace CD, determinando C 5. reforce a solução

132. bases AB = 10,6 cm e CD = 4,8 cm, altura h = 5,9 cm e  = 45°

Page 86: Desenho geométrico-pdf

Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. 86

# Construa geometricamente o trapézio isósceles

ABCD, sendo dados:

133. base maior AB

= 6,0 cm, lado BC = 4,0 cm e  = 75°

Dica: B = Â e AD = BC

134. base menor BC = 6,0 cm, lado AB

= 4,0 cm e altura h = 3,0 cm Dica: similar ao 129

Page 87: Desenho geométrico-pdf

Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. 87

135. base maior BC = 8,5 cm, base menor AD

= 4,3 cm e altura h = 4,2 cm

Dica: os pontos médios das duas bases pertencem à mesma mediatriz, onde você pode marcar h

136. Construa geometricamente o trapézio retângulo

ABCD, sendo dados: base maior AB

= 7,5 cm, altura h = 5,6 cm e base menor CD = 4,8 cm

Dica: dois ângulos retos

Page 88: Desenho geométrico-pdf

Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. 88

Elementos da circunferência:

• Raio (r) - é o segmento que vai do centro até um ponto qualquer da circunferência.

• Arco - é um pedaço da curva da circunferência.

• Corda - é o segmento de reta que une as extremidades de um arco; é um segmento que une quaisquer dois pontos da circunferência.

• Diâmetro (d) - é a corda que passa pelo centro da circunferência (maior corda); mede o dobro do raio.

• Flecha - é o segmento de reta que une o centro de uma corda ao ponto médio do arco correspondente.

• Reta secante - é uma reta que passa pela circunferência cortando-a em dois pontos (pontos de secância). A parte da secante que fica no interior da circunferência é uma corda.

• Reta tangente - é uma reta que toca a circunferência em um único ponto (ponto de tangência).

• Semi-circunferência - é a metade da circunferência; é o arco definido por um diâmetro.

• Notação: C ( O ; r ) - circunferência de centro no ponto O e raio de medida r.

• Círculo - é a porção do plano limitada por uma circunferência. O círculo é, portanto, uma superfície. Daí afirmar-se que a circunferência é o contorno do círculo.

O - centro da circunferência. DT

= diâmetro OA = OD = OT = raio DGE = um arco da circunferência DE

= uma corda da circunferência, correspondente ao ar-co DGE

FG = flecha do arco DGE reta s = secante H e I = pontos de secância HI

= corda determinada pela secante s reta t = tangente T = ponto de tangência

UNIDADE DIDÁTICA V - CIRCUNFERÊNCIAS Assunto 1. Circunferência: estudo geral e determinação. Assunto 2. Divisão de circunferências.

UD V - Ass 1. CIRCUNFERÊNCIA: estudo geral e determinação.

• O

H

I

D

s

T

A

E

F

G t

Page 89: Desenho geométrico-pdf

Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. 89

138. Construa geometricamente uma circunferência de centro em O e raio r = 4,3cm.

139. Construa geometricamente UMA circunferência de raio = 3,7 cm que passa pelos dois pontos F e G dados.

O .

F •

• G

Page 90: Desenho geométrico-pdf

Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. 90

PROPRIEDADES DA CIRCUNFERÊNCIA

140. Na circunferência ao lado:

- marque dois pontos A e B e trace a corda AB;

- trace a mediatriz m dessa corda, determinando o ponto médio M de AB;

- nomeie C e D os pontos comuns da circunferência e da mediatriz.

O centro O pertence à reta mediatriz m. Então CD é um diâmetro da circunferência.

O ponto C é ponto médio do arco ACB: AC BC

O ponto D é ponto médio do arco ADB: AD BD

Baseado nas informações acima, complete a importante propriedade da circunferência:

141. Dada uma circunferência e três pontos P, R e S, determine geometricamente o centro O da circunfe-rência.

- Trace as mediatrizes de PR e de SR. Essas mediatrizes cruzam-se em apenas UM PONTO, eqüidistante dos pontos P, R e S. Então podemos concluir que esse ponto é o CENTRO da circunferência.

Baseado no exercício acima, complete esta outra importante propriedade da circunferência:

•o

P. . R

. S

“A ______________________ de uma corda passa pelo ________________ da circunferência

e pelos ________________________________________ dos arcos determinados pela corda”

“As __________________ de duas cordas não paralelas determinam o ____________ de uma

circunferência. Por três pontos não colineares podemos traçar uma única ____________________”

Page 91: Desenho geométrico-pdf

Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. 91

142. Determine geometricamente o centro O e construa a circunferência que passa pelos três pontos da-

dos P, T e U, não colineares.

143. Construa geometricamente um diâmetro qualquer PC na circunferência dada, de centro desconheci-do.

P •

T •

• U

Page 92: Desenho geométrico-pdf

Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. 92

# construção de polígonos regulares inscritos #

polígono regular inscrito: polígono cujos lados são congruentes e cujos vértices pertencem à circunfe-rência circunscrita.

1. DIVISÕES EXATAS: 3, 4, 6 e 8 partes

144. Divida geometricamente a circunferência dada em 3 partes iguais.

Passos: 1. trace um diâmetro AB qualquer 2. centro em B abertura BO, trace um arco determinando C e D 3. AC = AD = CD = l3

145. Divida geometricamente as circunferências dadas em 3 partes iguais

e inscreva o triângulo eqüiláte-ro.

UD V - Ass 2. DIVISÃO DE CIRCUNFERÊNCIAS

• O

.O

• O

.O

• O

.O

Page 93: Desenho geométrico-pdf

Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. 93

146. Divida geometricamente a circunferência dada em 4 partes iguais.

Passos: 1. trace dois diâmetros perpendiculares entre si, determinando os pontos A, B, C e D 2. AB = BC = CD = DA = l4

147. Divida geometricamente as circunferências dadas em 4 partes iguais e inscreva o quadrado.

• O

.O

• O

.O

• O

.O

Page 94: Desenho geométrico-pdf

Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. 94

148. Divida geometricamente a circunferência dada em 6 partes iguais.

Passos: 1. a partir de um ponto A (qualquer) da circunferência, abertura igual ao raio, marque os pontos B, C, D, E e F 2. r = l6

149. Divida geometricamente as circunferências dadas em 6 partes iguais e inscreva o hexágono regular.

• O

.O

• O

.O

• O

.O

Page 95: Desenho geométrico-pdf

Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. 95

150. Divida geometricamente a circunferência dada em 8 partes iguais.

Dica: divida em 4 partes e trace as bissetrizes dos ângulos retos

151. Divida geometricamente as circunferências dadas em 8 partes iguais e inscreva o octógono regular.

• O

.O

• O

.O

• O

.O

Page 96: Desenho geométrico-pdf

Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. 96

2. DIVISÕES APROXIMADAS: 5, 7, 9 e 10 partes

152. Divida geometricamente a circunferência dada em 5 partes iguais.

Passos: 1. trace dois diâmetros perpendiculares entre si, obtendo o ponto X 2. determine o ponto médio M de OX 3. centro em M, raio MB, trace um arco, determinando N 4. BN = l5 (aproximado)

153. Divida geometricamente as circunferências dadas em 5 partes iguais e inscreva o pentágono regular.

• O

.O

• O

.O

• O

.O

Page 97: Desenho geométrico-pdf

Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. 97

154. Divida geometricamente a circunferência dada em 7 partes iguais.

Passos: 1. determine l3

2. l7 = 2

l 3 (aproximado)

155. Divida geometricamente as circunferências dadas em 7 partes iguais

e inscreva o heptágono regu-lar.

• O

.O

• O

.O

• O

.O

Page 98: Desenho geométrico-pdf

Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. 98

156. Divida geometricamente a circunferência dada em 9 partes iguais.

Passos: 1. trace dois diâmetros perpendiculares entre si, determinando os pontos A, P e P’’ 2. centro em P e raio OP, determine P’ 3. centro em P” e raio P’P’’, determine P’’’ no prolongamento do diâmetro 4. centro em P’’’ e raio P’’’P, trace o arco determinando N 5. AN = l9 (aproximado)

157. Divida geometricamente as circunferências dadas em 9 partes iguais e inscreva o eneágono regular.

• O

.O

• O

.O

• O

.O

Page 99: Desenho geométrico-pdf

Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. 99

158. Divida geometricamente a circunferência dada em 10 partes iguais.

Passos: 1. siga os 3 passos para determinar o l5:

1.1. trace dois diâmetros perpendiculares entre si, obtendo os pontos X e B 1.2. determine o ponto médio M de OX 1.3. centro em M, raio MB, trace um arco, determinando N

2. ON = l10 (aproximado)

Observação: se você prestar atenção na resolução deste exercício, verá que ao determinar o ponto N, obtemos o triângulo retângulo OBN, cujos catetos são OB = r = l6 e ON = l10 e a hipotenusa BN = l5, conforme mostra a figura ao lado

159. Divida geometricamente as circunferências dadas em 10 partes iguais

e inscreva o decágono regu-lar.

N

O

B

l10

l5

l6

• O

.O

• O

.O

• O

.O

Page 100: Desenho geométrico-pdf

Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. 100

3. DIVISÕES APROXIMADAS: 11 partes em diante - Processo de RINALDINI

160. Divida geometricamente a circunferência dada em 11 partes iguais.

Passos orientados pelo professor: (neste exercício, evite fazer traçados desnecessários, evite traçar retas longas quando for possível somente marcar pontos) 1. trace um diâmetro AB vertical 2. centro em A e em B e raio AB, trace dois arcos determinando os pontos C e C’ 3. divida AB pelo mesmo número de partes (pontos) que se deseja dividir a circunferência (neste caso: 11), numerando somente os pontos ímpares (neste caso: 1, 3, 5, 7, 9 e 11), partindo de A = 0 4. partindo de C e passando por cada um dos pontos ímpares assinalados no item anterior, marque os pontos na circunferência do outro lado (Ex: sai de C, passa por 1 e na seqüência vai encontrar a circunferência) 5. mesma coisa do item 4, agora partindo de C’ e marcando a circunferência do outro lado 6. no final dos traçados, a circunferência deverá ficar dividida pelo número de partes solicitado no exercício, lembrando que este processo é aproximado

161. Divida geometricamente a circunferência dada em 12 partes iguais e inscreva o polígono regular.

• O

.O

• O

.O

Page 101: Desenho geométrico-pdf

Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. 101

162. Divida geometricamente a circunferência dada em 13 partes iguais e inscreva o polígono regular.

163. Divida geometricamente a circunferência dada em 14 partes iguais e inscreva o polígono regular.

• O

.O

• O

.O

Page 102: Desenho geométrico-pdf

Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. 102

4. DIVISÕES PROPORCIONAIS

164. Divida o círculo dado na proporção 4B

3L

1K

.

Passos: 1. some os denominadores para obter o número de partes a dividir a circunferência (neste caso: 1 + 3 + 4 = 8 partes). 2. divida a circunferência pelo número de partes obtido (neste caso: 8) 3. delimite as partes desejadas de acordo com a proporção (neste caso: 1 parte para o K; 3 partes para o L e 4 partes para o B) 4. reforce a solução

165. Três amigos - EDUARDO, MAURÍCIO e PAULO, compraram uma pizza grande, que foi dividida em 9 pedaços iguais. Represente no círculo abaixo as partes que cada um comeu, sabendo que a

proporção foi a seguinte: 4

MAURÍCIO=

2EDUARDO

=3

PAULO.

• O

.O

• O

.O

Page 103: Desenho geométrico-pdf

Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. 103

Posições relativas de uma reta e uma circunferência

reta secante - uma reta é secante a uma circunfe-rência se essa reta intercepta a circunferência em dois pontos S1 e S2; podemos dizer também que é a reta que contém uma corda. Na figura ao lado, a reta s é uma reta secante à circunferência, os pon-tos S1 e S2 são os pontos de secância e 21SS é a corda da circunferência que está contida na reta secante s.

reta tangente - uma reta tangente a uma circunfe-rência é uma reta que intercepta a circunferência em um único ponto T. Este ponto é conhecido como ponto de tangência ou ponto de contato. Na figura ao lado, o ponto T é o ponto de tangên-cia e a reta t é uma reta tangente à circunferência.

reta exterior - uma reta exterior a uma circunfe-rência é uma reta que não intercepta a circunfe-rência, ou seja, a reta e a circunferência não pos-suem ponto(s) em comum. Na figura ao lado, a reta e é uma reta exterior à circunferência.

UNIDADE DIDÁTICA VI - POSIÇÕES RELATIVAS DE RETAS E CIRCUNFERÊNCIAS

Assunto 1. Retas tangentes a circunferências. Assunto 2. Circunferências tangentes a retas. Assunto 3. Circunferências tangentes a circunferências.

t

•O

T

e

•O

s

•O

S2

• S1

Page 104: Desenho geométrico-pdf

Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. 104

TANGÊNCIA - introdução

A figura abaixo representa duas rodas dentadas e uma cremalheira, partes da engrenagem de um motor.

Desconsiderando os detalhes, podemos notar que sua estrutura básica é constituída por duas circunfe-rências e uma reta que se tangenciam (tocam, encostam) duas a duas, num ponto comum chamado ponto de tangência.

Na figura abaixo T é o ponto de tangência entre a reta r e a circunferência de centro C e T1 é o ponto de tangência entre as duas circunferências de centros O e C.

T1 .

O

. T

r

.C

Page 105: Desenho geométrico-pdf

Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. 105

Uma reta é tangente a uma circunferência quando há apenas um ponto comum entre elas e esse ponto é chamado ponto de tangência. Na figura, a reta r é tangente à circunferência de centro O no ponto de tangência T.

Condição de tangência entre uma reta e uma circunferência

Quando uma circunferência e uma reta estão em tangência, o raio da circunferência sempre é perpendicu-lar à reta tangente no ponto de tangência. Observe o exemplo acima.

A reta suporte do raio perpendicular à tangente é chamada de reta normal.

Agora enuncie a propriedade:

166. Construa geometricamente uma reta tangente a uma circunferência dada. Identifique o ponto de tangência T.

UD VI - Ass 1. RETAS TANGENTES A CIRCUNFERÊNCIAS

r

•O

T

“A reta_______________________ a uma circunferência é SEMPRE perpendicular

ao raio que tem por extremidade o _______________ de _______________________”

• O

.O

Page 106: Desenho geométrico-pdf

Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. 106

167. Construa geometricamente uma reta tangente a uma circunferência, passando pelo ponto de tan-

gência T dado.

Passos: 1. trace a reta OT 2. construa uma perpendicular a OT passando por T

168. Construa geometricamente uma reta tangente a uma circunferência cujo centro é desconhecido, passando pelo ponto de tangência T dado.

Passos: - Precisamos construir um diâmetro que passe por T. Sabemos que a mediatriz de qualquer corda passa pelo centro da circunfe-rência. 1. ponta seca em T, abertura qualquer, marque dois pontos A e B na circunferência 2. construa a mediatriz de AB, que necessariamente passará por T 3. construa uma perpendicular à mediatriz de AB passando por T

• O

.O

. T

• O

. T

Page 107: Desenho geométrico-pdf

Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. 107

169. Dada uma circunferência, uma reta r e um ângulo a, construa geometricamente retas tangentes à

circunferência, que formem com a reta r um ângulo a.

Passos: 1. transporte o ângulo a para a reta r 2. construa uma perpendicular ao lado do ângulo que não está apoiado em r, passando pelo centro O, obtendo os pontos T1 e T2

na circunferência 3. construa duas tangentes à circunferência que passem pelos pontos de tangência T1 e T2

170. Dada uma circunferência e um ponto P fora dela, trace geometricamente as retas tangentes à circunfe-rência ( t1 e t2 ) que passem por P.

Passos: 1. trace OP e determine seu ponto médio M 2. com centro em M e raio MO, descreva dois arcos que determinam na circunferência os pontos T1 eT2

3. construa as duas tangentes t1 e t2 ligando P com os pontos T1 e com T2

- os triângulos retângulos OT1P e OT2P estão inscritos em semi-circunferências (arco capaz de 90°)

r

a

. P • O

.O

• O

Page 108: Desenho geométrico-pdf

Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. 108

171. Construa geometricamente duas retas tangentes exteriores às duas circunferências dadas.

Passos: 1. numa reta auxiliar, determine graficamente a diferença entre os raios das circunferências dadas (r1 - r2) e chame de r3

2. ligue O1 e O2 e determine o ponto médio M do segmento O1O2

3. centro em O1, construa a circunferência auxiliar de raio r3

4. centro em M e raio MO1, trace um arco cortando a circunferência auxiliar nos pontos 1 e 2 5. partindo de O1 e passando por 1, trace uma reta determinando T1 na circunferência dada (maior) 6. partindo de O1 e passando por 2, trace uma reta determinando T2 na circunferência dada (maior) 7. por O2 trace uma paralela a O1T1 obtendo T3 na circunferência de centro O2

8. por O2 trace uma paralela a O1T2 obtendo T4 na circunferência de centro O2

9. unindo T1 com T3 obtém–se a tangente exterior t1

10. unindo T2 com T4 obtém–se a tangente exterior t2

172. Construa geometricamente duas retas tangentes exteriores às duas circunferências dadas.

• O1

• O2

• O2

• O

.O1

Page 109: Desenho geométrico-pdf

Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. 109

173. Construa geometricamente duas retas tangentes interiores às duas circunferências dadas.

Passos: 1. numa reta auxiliar, determine graficamente a soma entre os raios das circunferências dadas (r1+ r2) e chame de r3

2. ligue O1 e O2 e determine o ponto médio M do segmento O1O2

3. centro em O1, construa a circunferência auxiliar de raio r3

4. centro em M e raio MO1, trace um arco cortando a circunferência auxiliar nos pontos 1 e 2 5. trace O11, determinando T1 na circunferência dada (menor) 6. trace O12, determinando T2 na circunferência dada (menor) 7. por O2 trace uma paralela a O1T1 obtendo T3 na circunferência de centro O2

8. por O2 trace uma paralela a O1T2 obtendo T4 na circunferência de centro O2

9. unindo T1 com T3 obtém–se a tangente interior t1

10. unindo T2 com T4 obtém–se a tangente interior t2

174. Construa geometricamente duas retas tangentes interiores às duas circunferências dadas.

• O2 • O1

• O1

• O2

Page 110: Desenho geométrico-pdf

Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. 110

# construção de polígonos regulares circunscritos #

polígono regular circunscrito: polígono cujos lados (congruentes) são tangentes à circunferência inscri-ta, nos pontos de tangência.

175. Divida geometricamente as circunferências dadas em 3 partes iguais

e circunscreva o triângulo eqüi-

látero.

176. Divida geometricamente as circunferências dadas em 4 partes iguais e circunscreva o quadrado.

• O

.O

• O

.O

Page 111: Desenho geométrico-pdf

Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. 111

177. Divida geometricamente as circunferências dadas em 5 partes iguais

e circunscreva o pentágono re-

gular.

178. Divida geometricamente a circunferência dada em 11 partes iguais

e circunscreva o polígono regu-lar.

• O

.O

• O

.O

Page 112: Desenho geométrico-pdf

Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. 112

Uma circunferência é tangente a uma reta quando há apenas um ponto comum entre elas e esse ponto é chamado ponto de tangência. Na figura, a circunferência de centro O é tangente à reta r no ponto de tangência T.

Condição de tangência entre uma circunferência e uma reta

Quando uma circunferência e uma reta estão em tangência, o raio da circunferência sempre é perpendicu-lar à reta tangente no ponto de tangência. Observe o exemplo acima.

179. Construa geometricamente uma circunferência tangente a uma reta t dada, com centro em O.

• O

t

UD VI - Ass 2. CIRCUNFERÊNCIAS TANGENTES A RETAS

r

•O

T

Page 113: Desenho geométrico-pdf

Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. 113

180. Construa geometricamente uma circunferência de raio = 2,5 cm, tangente à reta t em T.

181. Construa geometricamente uma circunferência tangente às duas retas concorrentes dadas, sendo dado o ponto T de tangência em r. Dica: o centro O da circunferência está eqüidistante das retas s e r (LG ......)

s

r

• T

T •

t

Page 114: Desenho geométrico-pdf

Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. 114

182. Construa geometricamente uma circunferência tangente à reta r dada no ponto de tangência T, que

passe pelo ponto M ( MT é corda da circunferência). Dica: o centro O da circunferência está eqüidistante dos pontos T e M (LG .......)

183. Construa geometricamente uma circunferência tangente às duas retas paralelas dadas, sendo da-do o ponto T de tangência em r. Dica: o centro O da circunferência está eqüidistante das retas s e r (LG ......)

. T

. M

r

s

r • T

Page 115: Desenho geométrico-pdf

Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. 115

Posições relativas entre circunferências

circunferências internas - uma circunferência C1 é interna a uma circunferência C2, se todos os pontos do círculo C1 estão contidos no círculo C2. Uma circunferência é externa à outra se todos os seus pontos são pontos externos à outra.

circunferências concêntricas - duas ou mais circunferências com os centros coincidentes mas com raios diferentes são cir-cunferências concêntricas.

circunferências excêntricas - são circunferências com centros diferentes. Podem ser exteriores ou interiores.

circunferências tangentes - são circunferências que possuem um só ponto em comum (ponto de tangência). Podem ser interiores ou exteriores.

circunferências secantes - são circunferências que possuem dois pontos comuns

circunferências tangentes

UD VI - Ass 3. CIRCUNFERÊNCIAS TANGENTES A CIRCUNFERÊNCIAS

Page 116: Desenho geométrico-pdf

Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. 116

# duas circunferências que estão no mesmo plano são tangentes entre si, se elas são tangentes à mes-ma reta no mesmo ponto de tangência.

# os centros e o ponto de tangência são colineares (estão na mesma reta): OTO ou TOO

184. Construa geometricamente uma circunferência de centro O2 dado, tangente à circunferência de centro O1 dado.

185. Construa geometricamente uma circunferência tangente à circunferência dada no ponto T dado e que passe pelo ponto P. Dica: o centro está eqüidistante dos pontos P e T. (LG .......)

• O • T

• P

• O1

• O2

tangentes externas

# a distância entre os centros é igual à soma dos raios: d(O1, O2) = r1 + r2 #

tangentes internas

# a distância entre os centros é igual à diferença dos raios: d(O1, O2) = r1 – r2 #

Page 117: Desenho geométrico-pdf

Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. 117

186. Construa geometricamente uma circunferência tangente à dada e que passe no ponto S, sendo T o

ponto de tangência. Dica: o centro está eqüidistante dos pontos S e T. (LG .......)

187. Construa geometricamente uma circunferência tangente à reta r dada e tangente à circunferência dada no ponto T.

Passos: 1. ligue OT e construa uma perpendicular a OT passando por T, determinando o ponto X em r 2. construa a bissetriz do ângulo TXr, determinando O1 na reta OT 3. construa agora uma perpendicular a r passando por O1, determinando T1 - ponto de tangência entre a circunferência e a reta 4. construa a circunferência pedida, com centro em O1 e raio O1T ou O1T1

• T

• S

.O

r

• T

• O

Page 118: Desenho geométrico-pdf

Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. 118

188. Construa geometricamente uma circunferência de centro O3 e r3 = 2 cm, que seja tangente externa

às duas circunferências dadas.

Passos: 1. determine (r1 + r3) e (r2 + r3) 2. O3 está (r1 + r3) de O1 e (r2 + r3) de O2

189. Construa geometricamente uma circunferência que seja tangente à circunferência dada e tangente à reta r dada no ponto P.

Passos: 1. trace uma perpendicular a r por P e marque PQ = raio da circunferência dada para baixo de r 2. construa a mediatriz de OQ, determinando O1 na perpendicular construída 3. com centro em O1 e raio O1P, construa a circunferência pedida

• O2 • O1

• O

• P

r

Page 119: Desenho geométrico-pdf

Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. 119

Concordância

A palavra concordância sugere harmonia, ausência de conflitos. Em geometria, significa estabelecer a concordância entre duas linhas (semi-retas e/ou curvas) e

uni-las de modo que não sejam formados ângulos nos pontos de união, de contato. Assim, a passagem de uma linha para outra se dá harmoniosamente.

Podemos ligar um arco de circunferência e uma semi-reta ou dois arcos de circunferência de maneira aleatória, mas, para que haja concordância entre esses pares de objetos, é necessário que eles sejam tangentes e que possamos passar de um para outro com suavidade.

Agora chamaremos o ponto de tangência de ponto de concordância (de contato das duas linhas em concordância) e cada um dos centros das circunferências suportes dos arcos concordantes de centro de concordância.

Se o arco e a semi-reta estiverem do mesmo lado da normal (perpendicular), dizemos que há uma reversão. Concordância Reversão

Se os dois arcos estiverem do mesmo lado da linha dos centros, dizemos que há uma reversão.

Concordância Reversão

UNIDADE DIDÁTICA VII - CONCORDÂNCIA Assunto 1. Princípios fundamentais. Assunto 2. Concordância dupla, Gola e Ducina.

UD VII - Ass 1. PRINCÍPIOS FUNDAMENTAIS DA CONCORDÂNCIA.

C

Page 120: Desenho geométrico-pdf

Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. 120

A concordância baseia-se em dois princípios fundamentais:

Há concordância Não há concordância

Há concordância Não há concordância

,

2° - Para concordar dois arcos de circunferência, é necessário que as duas circunferências sejam tangentes no ponto de concordância e, neste caso, os centros dos dois arcos e o ponto de concordância pertencem à mesma reta, são colineares.

1° - Para concordar uma semi-reta e um arco de circunferência, é necessário que a reta

seja tangente à curva no ponto de concordância. Neste caso a perpendicular à semi-reta nesse ponto contém o raio e o centro da curva.

C

Page 121: Desenho geométrico-pdf

Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. 121

1. Concordância entre uma semi-reta e um arco: o raio do arco concordante é sempre perpendicular à semi-reta concordante no ponto de concordância.

190. Concorde a semi-reta Pr

dada com um arco de circunferência de 2,5 cm de raio, sabendo que P é o

ponto de concordância.

Passos: 1. construa a perpendicular à semi-reta no ponto P 2. marque nos dois lados da perpendicular o raio = 2,5 cm, determinando os pontos O1 (acima) e O2 (abaixo) 3. centro em O1 e abertura O1P, construa uma solução (sentido horário) 4. centro em O2 e abertura O2P (= O1P), construa a outra solução (sentido anti-horário)

191. Concorde a semi-reta Ma com um arco que passe pelo ponto P, sendo M o ponto de concordância.

Passos: 1. perpendicular à semi-reta no ponto M 2. ligue MP e trace sua mediatriz, determinando o ponto O no encontro com a perpendicular 3. centro em O, construa o arco pedido

r P

M

• P a

Page 122: Desenho geométrico-pdf

Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. 122

192. Concorde o arco AC de centro O dado com uma semi-reta, sendo A o ponto de concordância.

Passos: 1. ligue OA (prolongar) 2. no ponto A trace uma perpendicular a AO, com origem em A 3. reforce a solução

193. Concorde, no ponto de concordância X, a semi-reta Xy dada com os seguintes arcos: a. arco XA de 2 cm de raio, no sentido horário b. arco XB de 1 cm de raio, no sentido anti-horário c. arco XC de 4 cm de raio, no sentido horário d. arco XD de 3 cm de raio, no sentido anti-horário Obs: trace arcos de 180° (semi-circunferências)

C •

• O

• A

y

X

Page 123: Desenho geométrico-pdf

Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. 123

2. Concordância entre arcos: os centros dos dois arcos e o ponto de concordância são colineares.

194. Concorde o arco DE dado com arcos de circunferência de raio = 2,3 cm, sendo D e E o ponto de concordância.

Passos: 1. trace a reta OE 2. marque sobre OE, distantes 2,3 cm (raio) de E, os pontos O1 (à esquerda) e O2 (à direita) 3. centro em O1 e abertura O1E construa uma solução (sentido anti-horário) 4. centro em O2 e abertura O2E (= O1E) construa a outra solução (sentido horário)

195. Concorde o arco KB dado com outro arco de mesmo sentido, que passa pelo ponto M., sendo B o ponto de concordância (tangente interna).

Passos: 1. mediatriz de MB 2. prolongue BO até a mediatriz, determinando O1

3. com centro em O1, construa o arco pedido

• O

• E

D •

• O

K •

• B

• M

Page 124: Desenho geométrico-pdf

Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. 124

• C

• P

•O

196. Concorde o arco FT dado com outro arco de sentido oposto, que passa pelo ponto N., sendo F o ponto de con-cordância (tangente externa).

Passos: 1. mediatriz de FN 2. prolongue OF até a mediatriz, determinando O1

3. com centro em O1, construa o arco pedido

197. Concorde o arco PC dado com os seguintes arcos: a. CA de raio = 1 cm, sendo C o ponto de concordância, de sentido oposto a. CB de raio = 3 cm, sendo C o ponto de concordância, de mesmo sentido a. PD de raio = 2 cm, sendo P o ponto de concordância, de sentido oposto a. PE de raio = 4 cm, sendo P o ponto de concordância, de mesmo sentido

• O

T •

• F

• N

Page 125: Desenho geométrico-pdf

Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. 125

Concordância de semi-retas paralelas

1. de mesmo sentido

1a. ARCO PLENO ou ROMANO

- arco simples (possui apenas um centro), os extremos estão sobre a

mesma linha horizontal e a flecha é igual à metade do vão.

198. Construa geometricamente dois arcos romanos: um com vão WX e outro com vão KY .

199. Construa geometricamente um arco pleno com vão AB = 4,2 cm.

A B

flecha - apoiada na media-triz do vão

vão AB = distância entre as semi-retas

centro

semi-reta

W

X Y

K

Page 126: Desenho geométrico-pdf

Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. 126

200. Construa geometricamente um arco romano com flecha = 2,5 cm.

1.b ARCO ABATIDO

- arco composto (possui três centros), os extremos estão sobre a mesma linha horizontal e a flecha é menor que a metade do vão.

201. Construa geometricamente um arco abatido para as semi-retas dadas, com flecha = 2 cm.

Passos: 1. ligue VW e trace sua mediatriz 2. marque a flecha, determinando o ponto Y 3. marque um ponto O1 qualquer em VW, próximo de V (aproximadamente 1 cm) 4. pegue a medida VO1 e marque em VW, a partir de W, determinando o ponto O2

5. ainda com a mesma medida VO1, marque na flecha, a partir de Y, determinando o ponto Z 6. trace a mediatriz de O1Z, determinando O3 na media-triz de VW 7. ligue O3O1 e prolongue 8. ligue O3O2 e prolongue 9. concluindo, construa 3 arcos concordantes: 1° - centro em O1 e raio O1V, até encontrar a reta O3O1, determinando o ponto de concordância C1

2° - centro em O2 e raio O2W, até encontrar a reta O3O2, determinando o ponto de concordância C2

3° - centro em O3 e raio O3C1, até encontrar C2. Este último arco necessariamente deverá passar por Y

A B

flecha

vão AB

semi-reta

V W

UD VII - Ass 2. CONCORDÂNCIA DUPLA

Page 127: Desenho geométrico-pdf

Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. 127

202. Construa geometricamente um arco abatido para as semi-retas dadas, com flecha = 3,5 cm.

1c. ARCO OGIVAL

- arco composto (possui dois centros), os extremos estão sobre a mesma linha horizontal e a flecha é maior

que a metade do vão. A intersecção dos dois arcos dá o vértice da curva, definindo o arco ogival. Os arcos não são concordantes entre si na extremidade da flecha, mas apenas com as semi-retas.

A B

flecha

vão AB

semi-reta

V W

Page 128: Desenho geométrico-pdf

Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. 128

203. Construa geometricamente o arco ogival para as semi-retas abaixo, sabendo que sua flecha é igual

ao vão.

Passos: 1. trace a reta QR, prolongando para os dois lados 2. como foi dada a medida da flecha, devemos marcá-la na mediatriz de QR, determinando o ponto P - para determinar os centros dos arcos: 3. trace a mediatriz de PQ, determinando O1 em QR 4. trace a mediatriz de PR, determinando O2 em QR - construa agora os dois arcos: 5. centro em O1 e raio O1Q, levanta um arco até P 6. centro em O2 e raio O2R, levanta outro arco até P

204. Construa geometricamente um arco ogival para as semi-retas de vão KW = 10 cm e flecha = 7 cm. Obs: use a reta dada para suporte de K e W e não esqueça de construir as semi-retas para baixo

Q R

Page 129: Desenho geométrico-pdf

Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. 129

205. Construa geometricamente um arco ogival eqüilátero para as semi-retas dadas.

Passos: - como o arco é eqüilátero, o vão ST é o raio dos arcos a serem traçados (observe que assim você estará construindo um triângulo eqüilátero) 1. centro em S e raio ST, levanta um arco 2. centro em T e raio ST, levanta outro arco

1d. ARCO ESCONSO

- arco composto (possui dois centros), os extremos não estão sobre a mesma linha horizontal. A distância ente as duas semi-retas ainda é chamada de vão.

206. Construa geometricamente um arco esconso para as semi-retas dadas.

Passos: 1. construa duas perpendiculares às semi-retas, uma por A e outra por B e ambas para dentro do vão 2. na perpendicular traçada por A, marque O1 qualquer, próximo de A, distante menos que a metade do vão 3. medida AO1, na outra perpendicular, a partir de B, determinando C (BC AO1) 4. trace a mediatriz de O1C, determinando O2 na perpen-dicular por B 5. ligue O2O1 prolongando - construa agora os dois arcos: 6. centro em O1 e raio O1A, levanta um arco até a reta O2O1, determinando o ponto de concordância D 7. centro em O2 e raio O2B, levanta um arco até o ponto de concordância D

S T

B

A

Page 130: Desenho geométrico-pdf

Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. 130

207. Construa geometricamente um arco esconso para as semi-retas dadas.

2. de sentidos opostos

2a. ARCO GOLA

- arco composto, os extremos estão alinhados na mesma perpendicular às duas semi-retas paralelas de sentidos opostos.

208. Concorde as semi-retas paralelas dadas com um arco gola AB, sendo o ponto de concordância qual-quer.

Passos: 1. ligue AB e marque um ponto de concordância C qualquer em AB 2. trace as mediatrizes de AC e de CB, marcando os pontos médios M1 e M2, respectivamente - construa agora os dois arcos: 3. centro em M1 e raio M1A, concorde um arco no sentido horário até o ponto de concordância C 4. centro em M2 e raio M2B, concorde outro arco no sentido horário até o ponto de concordância C

B

A

B

A

Page 131: Desenho geométrico-pdf

Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. 131

209. Concorde as semi-retas paralelas dadas com um arco gola XY, sendo o ponto de concordância o

ponto médio de XY.

210. Concorde as semi-retas paralelas dadas com um arco gola ST, com o ponto de concordância distante 2,4 cm de T.

Y

X

T

S

Page 132: Desenho geométrico-pdf

Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. 132

2b. ARCO DUCINA

- arco composto, os extremos não estão alinhados na mesma perpendicular às

duas semi-retas paralelas de sentidos opostos.

211. Concorde as semi-retas paralelas dadas com um arco ducina AB, sendo o ponto de concordância qualquer.

Passos: 1. construa duas perpendiculares às semi-retas dadas, uma por A e a outra por B 2. ligue AB e marque um ponto de concor-dância C qualquer em AB 3. trace a mediatriz de AC e marque O1 na perpendicular por A 4. trace a mediatriz de BC e marque O2 na perpendicular por B - construa agora os dois arcos: 5. centro em O1 e raio O1A, concorde um arco no sentido horário até o ponto de con-cordância C 6. centro em O2 e raio O2B, concorde outro arco no sentido horário até o ponto de con-cordância C

212. Concorde as semi-retas paralelas dadas com um arco ducina GK, sendo o ponto de concordância o ponto médio de GK.

A

B

G

K

Page 133: Desenho geométrico-pdf

Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. 133

213. Concorde as semi-retas paralelas dadas com um arco ducina DE, com o ponto de concordância dis-

tante 4,3 cm de D.

Concordância de semi-retas perpendiculares (nos prolongamentos)

214. Concorde as duas semi-retas dadas por meio de dois arcos, sendo R e S os pontos de concordância.

Passos: 1. trace duas perpendicular às semi-retas, uma em R e a outra em S, determinando o ponto O1 no encontro das duas 2. centro em O1 e raio O1R, concorde um arco de 270°, determinando o ponto de concordância C na perpendicular traçada por S 3. trace a mediatriz de CS, determinando o ponto médio O2

4. centro em O2 e raio O2S, concorde outro arco até C

S

R

E

D

Page 134: Desenho geométrico-pdf

Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. 134

215. Concorde as duas semi-retas dadas por meio de dois arcos, sendo M e N os pontos de concordância.

Concordância de semi-retas concorrentes não perpendiculares (nos prolongamentos)

216. Concorde as duas semi-retas dadas por meio de dois arcos, sendo A e B os pontos de concordância.

Passos: 1. trace duas perpendicular às semi-retas, uma em A e a outra em B, determinando o ponto O1 no encontro das duas 2. centro em O1 e raio O1A, concorde um arco até a perpendicular traçada por B determinando o ponto de concordância C 3. trace a mediatriz de CB, determinando o ponto médio O2

4. centro em O2 e raio O2B, concorde outro arco até C

M

N

B

A

Page 135: Desenho geométrico-pdf

Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. 135

217. Concorde as duas semi-retas dadas por meio de dois arcos, sendo Q e P os pontos de concordância.

218. Concorde as duas semi-retas dadas por meio de arcos, sendo L e U os pontos de concordância.

P

Q

L

U

Page 136: Desenho geométrico-pdf

Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. 136

Introdução - retificar uma circunferência é fazer com que toda a sua linha, que é curva, torne-se reta. É o

mesmo que traçar o segmento de reta que corresponde à medida de seu comprimento.

Existem diversos métodos de retificação, desenvolvidos por vários geômetras. Veremos três deles.

Como sabemos, e Arquimedes também sabia, existe uma razão constante entre o comprimento (C) de

qualquer circunferência e seu diâmetro (d). Tal razão é representada pela letra grega p (pi), que vale a-

proximadamente 3,1416. Assim:

p = dC

C = p d = 3,14.d = (3 + 0,14)d = 3d + 0,14d = 3d + 7

1d = 3d +

7

d

C = 3d + 7d

Deste modo, Arquimedes concluiu que o comprimento de uma circunferência é, aproximadamente, o tri-

plo mais um sétimo do diâmetro. Então: dividindo-se o diâmetro de uma circunferência em 7 partes iguais

e transportando essa medida mais 3 vezes a medida do diâmetro

sobre uma reta suporte, obtém-se o seg-

mento de reta que corresponde ao comprimento da circunferência.

UNIDADE DIDÁTICA VIII - RETIFICAÇÃO DE CIRCUNFERÊNCIA Assunto 1. Problema direto: processo de Arquimedes. Assunto 2. Problema direto: processo do segmento-soma. Assunto 3. Problema direto: processo de Terquem. Assunto 4. Problemas inversos sobre retificação. Assunto 5. Retificação de arcos - problema direto. Assunto 6. Retificação de arcos - problema inverso.

UD VIII - Ass 1. PROCESSO DE ARQUIMEDES DE RETIFICAÇÃO.

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Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. 137

219. Retifique graficamente a circunferência dada pelo processo de Arquimedes. Utilize a reta suporte

abaixo.

Passos: 1. trace um diâmetro AB na circunfe-rência e divida-o em 7 partes 2. transporte para a reta suporte a sétima parte do diâmetro e mais três vezes o diâmetro 3. identifique e reforce a solução

220. Construa uma circunferência de raio = 2,5 cm e depois a retifique graficamente pelo processo de Arquimedes. Utilize a reta suporte abaixo.

221. Retifique graficamente a circunferência dada pelo processo de Arquimedes. Utilize a reta suporte abaixo.

•O

• O

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Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. 138

Acompanhe o raciocínio: sabemos que 2 = 1,41 e 3 = 1,73. Assim, 2 + 3 = 3,14 = p

p = dC

C = p d = 2.p.r = 2( 2 + 3 )r = 2(r 2 + r 3 ), mas r 2 = l4 e r 3 = l3

C = 2.l4 + 2.l3

sendo l4 = lado do quadrado inscrito na circunferência l3 = lado do triângulo eqüilátero inscrito na circunferência

Então: dividimos a circunferência em 4 partes iguais e determinamos o l4, a seguir dividimos a circunfe-rência em 3 partes iguais e determinamos o l3. Transportando duas vezes cada uma das medidas obtidas (l3

e l4)

sobre uma reta suporte, obtemos o segmento de reta que corresponde ao comprimento da circunferên-cia.

222. Retifique graficamente a circunferência dada pelo processo do segmento-soma. Utilize a reta supor-te abaixo.

Passos: 1. determine o l4

2. determine o l3

3. transporte para a reta suporte duas vezes cada uma das medidas obtidas 4. identifique e reforce a solução

223. Retifique graficamente a circunferência dada pelo processo do segmento-soma. Utilize a reta supor-te abaixo.

UD VIII - Ass 2. PROCESSO DO SEGMENTO-SOMA DE RETIFICAÇÃO.

• O

•O

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Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. 139

224. Retifique graficamente a circunferência dada pelo processo de Terquem (ou tangente de 30°). Utilize

a reta suporte abaixo.

Passos: 1. trace um diâmetro AB na posição vertical - identifique com A a extremidade inferior e com B a superior 2. construa uma perpendicular ao diâmetro passando por B 3. construa um ângulo de 30° com: vértice em O, um lado OB e o outro lado corta a perpendicular ao diâmetro à esquerda de B, determinando o ponto C 4. a partir de C, marque na perpendicular 3 vezes o raio da circunferência, determinando o ponto D 5. ligue AD, que corresponde a pr 6. para obter o comprimento C = 2 pr some duas vezes AD numa reta suporte auxiliar 7. identifique e reforce a solução

225. Construa uma circunferência de raio = 2,5 cm e depois a retifique graficamente pelo processo de Terquem. Utilize a reta suporte abaixo.

UD VIII - Ass 3. PROCESSO DE TERQUEM DE RETIFICAÇÃO.

• O

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Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. 140

PROBLEMA INVERSO SOBRE RETIFICAÇÃO (DESRETIFICAÇÃO)

- Consiste em se determinar a medida do raio de uma circunferência, conhecendo-se a medida dela retifi-cada. Os mesmos conhecimentos que permitiram resolver o problema direto podem ser utilizados na reso-lução do problema inverso.

1. processo inverso de Arquimedes

Já vimos que:

p = dC

C = p d = 3,14.d = (3 + 0,14)d = 3d + 0,14d = 3d + 7

1d = 3d +

7

d

C = 3d + 7d

Então C = 3d + 7

d =

7

d22

d = 22

C7, ou seja, dividimos o comprimento da circunferência retificada em

22 partes e pegamos 7, determinando assim o diâmetro da circunferência. Para se obter o raio, dividimos o

diâmetro ao meio.

226. Utilizando o processo inverso de retificação de Arquimedes e sabendo que uma circunferência retifi-cada mede AB , determine geometricamente a medida do raio r dessa circunferência e construa a circunferência com centro em O dado.

Resposta: r = ____________ cm

UD VIII - Ass 4. PROBLEMAS INVERSOS SOBRE RETIFICAÇÃO.

A B

O.

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Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. 141

227. Determine graficamente a medida do raio r de uma circunferência, cujo comprimento é 14 cm,

pelo processo inverso de retificação de Arquimedes.

Resposta: r = ____________ cm

228. Determine graficamente a medida do raio r de uma circunferência, cujo comprimento é 18 cm, pelo processo inverso de retificação de Arquimedes.

Resposta: r = ____________ cm

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Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. 142

2. processo inverso de Terquem

229. Utilizando o processo inverso de retificação de Terquem (ou tangente de 30º) e sabendo que uma

circunferência retificada mede AB , determine geometricamente a medida do raio r dessa circunfe-rência.

Resposta: r = _________ cm (compare com o resultado obtido no exercício 226)

Passos: 1. sabemos que AB = 2pr (comprimento da circunferência dada). Divida AB ao meio (diminua o tamanho de AB nas duas extremidades para facilitar o traçado da mediatriz) e determine a medida de pr (metade de 2pr) 2. construa uma circunferência de raio r’ qualquer com centro em O’ dado e retifique-a por Terquem obtendo pr’ - para se determinar o raio pedido, utilizamos segmentos proporcionais, que será visto com maiores detalhes no 9° ano: 3. num dos lados do ângulo dado, marque pr’ a partir de P, determinando Q 4. nesse mesmo lado, a partir de Q, marque r’, determinando R 5. no outro lado do ângulo dado, marque pr (determinado no passo 1) a partir de P, determinando S 6. ligue SQ e trace uma paralela a SQ partindo de R, determinando T no outro lado 7. reforce a solução r = ST

O’.

A B

P

r'r

=rp'rp

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Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. 143

230. Utilizando o processo inverso de retificação de Terquem (ou tangente de 30º) e sabendo que uma

circunferência retificada mede 14 cm, determine geometricamente a medida do raio r dessa circun-ferência.

Resposta: r = _________ cm (compare com o resultado obtido no exercício 227)

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Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. 144

231. Utilizando o processo inverso de retificação de Terquem (ou tangente de 30º) e sabendo que uma

circunferência retificada mede 18 cm, determine geometricamente a medida do raio r dessa circun-ferência.

Resposta: r = _________ cm (compare com o resultado obtido no exercício 228)

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Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. 145

Um arco é a parte de uma curva que está entre dois pontos especificados. Fisicamente, é fácil calcular o

comprimento de um arco de uma determinada curva: pegue um pedaço de barbante, ajuste-o à curva entre

os pontos, estique o fio e meça o seu comprimento com uma régua. Daí o termo retificar um arco. Geome-

tricamente, o problema é um pouco mais complicado. Retificar um arco de circunferência é construir um

segmento de reta cujo comprimento é igual ao comprimento do arco. Como acontece na circunferência,

não há processo exato para retificação de arcos, mas vamos estudar um processo aproximado de erro teó-

rico desprezível.

Algebricamente, utilizamos regra de três simples, sendo l o com-

primento do arco retificado e x° a medida do arco em graus.

Retificação de arcos

1. arco menor que 90° (arco < 90°)

232. Retifique geometricamente o arco AB de centro O dado, menor que 90°.

Passos: 1. complete a circunferência 2. trace a reta s, suporte do raio AO, determinando C na outra ponta do diâmetro AC 3. construa uma tangente t à circunferência, passando por A 4. mediatriz de OC

M1

5. mediatriz de OM1

M2

6. centro em C e raio CM2, trace um arco determinando D no prolongamento do diâmetro AC 7. ligue DB, determinando E na tangente t 8. reforce a solução: AE

UD VIII - Ass 5. RETIFICAÇÃO DE ARCOS - PROBLEMA DIRETO.

2pr 360° l x°

180rx

=lp

• O

B •

A •

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Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. 146

233. Construa geometricamente um arco de 60° na circunferência dada e depois retifique o arco constru-

ído, determinando sua medida aproximada.

Resposta: _________ cm

234. Construa geometricamente um arco de 75° na circunferência dada e depois retifique o arco constru-ído, determinando sua medida aproximada.

Resposta: _________ cm

.O

.O

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Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. 147

2. arco igual a 90° (arco = 90°)

235. Retifique geometricamente um arco de 90° pertencente à circunferência dada, determinando sua medida aproximada. Dica: retifique por Terquem e divida pr ao meio.

Resposta: _________ cm

3. arco entre 90° e 180° (90° < arco < 180°)

236. Retifique geometricamente o arco AB de centro O dado, cuja medida está entre 90° e 180°.

Passos: 1. complete a circunferência 2. a partir do ponto C (próximo ao ponto médio do arco), trace a reta s passando por O, determinando D na outra ponta do diâ-metro CD (a partir daqui, serão duas retificações de arcos menores que 90°: um para cima e outro para baixo) 3. construa uma tangente t à circunferência, passando por C 4. mediatriz de OD

M1

5. mediatriz de OM1

M2

6. centro em D e raio DM2, trace um arco determinando E no prolongamento do diâmetro CD 7. ligue EB, determinando F na tangente t 8. ligue EA, determinando G na tangente t 9. reforce a solução: FG

2pr 360°

pr 180°

2rp

90°

•O

• O

B •

A

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Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. 148

237. Construa geometricamente um arco de 120° na circunferência dada e depois retifique o arco cons-

truído, determinando sua medida aproximada.

Resposta: _________ cm

238. Construa geometricamente um arco de 135° na circunferência dada e depois retifique o arco cons-truído, determinando sua medida aproximada.

Resposta: _________ cm

.O

•O

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Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. 149

4. arco igual a 180° (arco = 180°)

239. Retifique geometricamente um arco de 180° pertencente à circunferência dada, determinando sua medida aproximada. Dica: retifique por Terquem e pr é a solução.

Resposta: _________ cm

240. Retifique geometricamente um arco de 180° pertencente à circunferência dada, determinando sua medida aproximada.

Resposta: _________ cm

2pr 360°

pr 180°

2rp

90°

2pr 360°

pr 180°

2rp

90°

.O

•O

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Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. 150

5. arco superior a 180° (arco > 180°)

241. Retifique geometricamente um arco de 300° pertencente à circunferência dada, determinando sua medida aproximada.

Passos: 1. retifique a circunferência por qualquer processo 2. retifique o arco replementar daquele cuja retificação se pede (neste caso: 360° - 300° = 60°) 3. efetue a subtração gráfica entre o segmento da retificação da circunferência e o segmento da retificação do arco replementar 4. essa diferença é a solução

Resposta: _________ cm

•O

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Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. 151

242. No projeto de uma máquina, duas polias, de raios iguais a 15 cm e 30 cm, têm seus centros distantes

75 cm. Determine graficamente o comprimento aproximado da correia acoplada a essas polias (observe a figura). Faça 1 cm no papel correspondendo a 10 cm no real. Dica: 1. trace as tangentes comuns exteriores às circunfe-

rências, determinando os 4 pontos de tangência 2. retifique os dois arcos definidos pelos pontos de

tangência 3. obtenha graficamente a soma das retificações dos

arcos com os segmentos tangentes

Resposta: _________ cm

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Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. 152

PROBLEMA INVERSO SOBRE RETIFICAÇÃO (DESRETIFICAÇÃO)

- Consiste em se determinar a medida do arco, conhecendo-se a medida dele retificado. Os mesmos co-

nhecimentos que permitiram resolver o problema direto podem ser utilizados na resolução do problema

inverso.

- Algebricamente, utilizamos regra de três simples, sendo l o

comprimento do arco retificado e x° a medida do arco em graus.

243. Determine geometricamente o arco cuja retificação m = 3,8 cm e que pertence a uma circunferência de centro O e raio = 3 cm.

Passos: 1. construa a circunferência de raio 3 cm e divida-a em 4 partes ABCD (AC horizontal e BD vertical) - siga a seqüência para retificação de arco < 90°: 2. prolongue o diâmetro AC para os dois lados 3. construa uma tangente t à circunferência, passando por A 4. mediatriz de OC

M1

5. mediatriz de OM1

M2

6. centro em C e raio CM2, trace um arco determinando E no prolongamento do diâmetro AC 7. ligue ED, determinando F na tangente t - aqui duas situações poderão ocorrer: 8. se m for menor que AF, marque na tangente t a partir de A, determinando o ponto I 8.1. ligue IE e marque o ponto G na circunferência 8.2. reforce a solução: arco AG (< 90°) 9. se m for maior que AF, marque na tangente a partir de F, determinando o ponto I depois de A 9.1 ligue IE e marque o ponto G na circunferência 9.2. reforce a solução: arco DG (> 90°)

UD VIII - Ass 6. RETIFICAÇÃO DE ARCOS - PROBLEMA INVERSO.

O .

2pr 360° l x°

rl180

=xp

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Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. 153

244. Um arco retificado mede MN e pertence a uma circunferência de centro O e raio r. Determine geo-

metricamente esse arco.

245. Sabe-se que um arco retificado mede 8 cm e pertence a uma circunferência de centro O e raio = 4 cm. Determine geometricamente o arco.

.

O

M N

r

.

O

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Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. 154

246. Sabe-se que um arco retificado mede 9,5 cm e pertence a uma circunferência de centro O e raio =

3,5 cm. Determine geometricamente o arco.

- F I M -

# REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

- Putnoki, José Carlos, Desenho Geométrico “Jota”, volumes 1 e 2 – Scipione, São Paulo, 1995.

- Isaias Marchesi Junior, Desenho Geométrico, volumes 2 e 3 - 7ª e 10ª edições – Ática, São Paulo, 1977 e 1989.

- Elizabeth Teixeira Lopes e Cecília Fujiko Kanegae, volumes 2 e 3 - 4ª edição – Scipione, São Paulo, 1995.

- Ângela Cantele Leonardi e Bruna Renata Cantele, Desenho Geométrico – 2º volume - IBEP.

- Sonia Jorge, Desenho Geométrico Idéias e Imagem – volumes 2 e 3 – Saraiva, São Paulo, 2003.

- André Herling Eiji Yajima, Desenho – Educação Artística 7ª e 8ª séries, IBEP, São Paulo.

- Nida Helena S. Correa Pinto, volume 3 – Moderna, São Paulo, 1991.

- Cecília Fujiko Kanegae Yamada, Desenho Geométrico volume 4, 1ª edição – Scipione, 2007.

.

O