7/26/2019 Desarrollo Taller3.V1

1/4

Taller 3 - soluciones

MAT-021

Departamento de Matematica

Universidad Tecnica Federico Santa Mara

8 de abril de 2016

1. La suma de los 2n primeros terminos de una P.G., cuyo primer termino es a y cuya razon es R, esigual a la suma de los n primeros terminos de otra P.G. cuyo primer termino es b y cuya razon es R2.Demuestre que b es igual a la suma de los dos primeros terminos de la primera P.G.

SolucionSean

a,aR,aR2, ...,aR2n1

la progresion de primer termino a y razon R y

b,bR2, bR4, ...bRn1

la segunda progesion de primer termino b y razon R2

.La suma de los 2nprimeros terminos es S2n= a

(1 R2n)1 R de la primera progresion.

La suma de los n primeros terminos es Sn= b(1 R2n)

1 R2 de la segunda progresion.

ComoS2n= Sn tenemos que a(1 R2n)

1 R =b(1 R2n)

1 R2Por lo tanto se tiene que b = a

(1 R2n)(1 R)(1 +R)(1 R)(1 R2n) =a(1 +R) = a+aR

2. Paraa, c R+, considere la funcion f(x) = ax2 + 4ax+c. Verifique que f : R R no es biyectiva.Determine los conjuntos A y B maximos, de manera que f :A R B R sea biyectiva y encuentresu inversa.

Solucion

La funcion no es inyectiva ya que si suponemos para u, v R que f(v) = f(u),tenemos que a(u v)(u + v + 4) = 0, lo que quiere decir que dadosu, v Rque satisfacen u + v + 4 = 0,obtendramos que f(v) = f(u).

Usando esta misma condicion y que u = v, podemos concluir que considerando A1 =] , 2] obien, A2 = [2, [, la funcion es inyectiva.

Por otra parte, Rec(f)neqRentonces nos es sobreyectiva.

Calculamos el recorrido de la funcion, buscando y R tal que f(x) = y

y= ax2 + 4ax+c (x+ 2)2 = y c+ 4aa

Luegoy c+ 4a 0 lo que implica que Rec(f)=[c 4a, +[

7/26/2019 Desarrollo Taller3.V1

2/4

Finalmente, paraA= [2, [ y B = [c4a, +[ tenemos quef : [2, [ [c4a, +[ es biyectiva

y su inversa, es la funcion:f1 : [c 4a, +[ [2, [

definida porf1(x) =

y c+ 4a

a 2

3. En el desarrollo de (a

a+a4)n, el coeficiente del tercer termino es mayor que el coeficiente del segundoen 44 unidades. Hallar el termino independiente de a en este desarrollo.Solucion

(a

a+a4)n =n

k=0

n

k

a3n/211k/2

El tercer termino se obtiene con k = 2 y su coeficiente esn2

El segundo termino se obtiene con k = 1 y su coeficiente es

n1

Ademas estos coeficientes cuamplen que

n2

n1

= 44 de donde se obtiene que n = 11.

Por lo tanto, si n = 11 el binomio es

(a

a+a4)11 =

11

k=0

11

k

a33/211k/2

El termino independiente de aen este desarrollo se obtiene cuando k = 3

El termino es11

3

= 165

4. Considere las funciones

f(x) =

x2 + 2 , si x 0

x+ 2 , si x >0 ; g (x) =

2x+ 5 , si x >3

x2 , si x 3

a) Determine los conjuntos A, B, C y D de manera que las funciones f : A R B R yg: C R D R sean biyectivas y encuentre la inversa de cada una.

Solcuion

Para la funcion f podemos ver que el recorrido de f para x 0 es igual al recorrido de f six >0.Por lo tanto, podemos considerarA1 =] , 0] o bien A2 =]0, +[ para que fsea inyectiva.Luego, si A1 =] , 0] y B = [2, +[, la funcion

f1 :] , 0] [2, +[

dada por f1(x) = x2 + 2 es biyectiva y su inversa es la funcion

f11 : [2, +[] , 0]

dada por f11 (x) =

y

2

7/26/2019 Desarrollo Taller3.V1

3/4

Por otra parte, si consideramos A2 =]0, +[ la restriccion de la funcion fque denotamos por f2es

f2 :]0, +[ [2, +[dada por f2(x) = x+ 2 es biyectiva y su respectiva inversa es

f12 : [2, +[]0, +[

dada por f12 (x) = x 2

Para la funcion g, vemos que para x 3 el recorrido es R+0 y para x > 3 el recorrido es elintervalo ]11, +

[ por lo tanto existenv, u

R, con v

=u tales que g(u) = g(v) por lo tanto no es

inyectiva.Una restriccion inmediata de esta funcion es considerar C1 =] , 0] o bien C2 = [0, [ y lasrespectivas funciones son

g1 :] , 0] [0, +[dada por g1(x) = x

2 es biyectiva y su inversa es

g11 : [0, +[] , 0]

dada por g11 (x) =

x

Y considerandog2 :] , 0] [0, 9]]11, [

dada por

g2(x) =

2x+ 5 , si x >3

x2 , si 0 x 3Es biyectiva y su inversa es

g12 : [0, 9]]11, [] , 0]dada por

g12 (x) =

x5

2 , si x >11

x , si 0 x 9b) Encuentre las funcionesf g y g fcon sus respectivos dominios y recorrido

Solucion

(f g)(x) =

(2x+ 5)2 + 2 , si 2x+ 5 0 x >32x+ 5 + 2 , si 2x+ 5 > 0 x >3

x2 + 2 , si x20 x 3x4 + 2 , si x2 0 x 3

(f g)(x) =

2x+ 7 , si x >3x2 + 2 , si 0< x 3x4 + 2 , si x= 0

7/26/2019 Desarrollo Taller3.V1

4/4

(g f)(x) =

2(x2 + 2) + 5 , si x2 + 2> 3 x 0(x2 + 2)2 , si x2 + 2 3 x 0

2(x+ 2) + 5 , si x+ 2 >3 x >0(x+ 2)2 , si x+ 2 3 x >0

(g f)(x) =

2x4 + 8x2 + 13 , si x < 1(x2 + 2)2 , si 1 x 0

2x+ 9 , si x >1(x+ 2)2 , si 0< x