7/26/2019 Desarrollo Taller3 V2

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Soluciones Taller 3

MAT-021

Departamento de Matematica

Universidad Tecnica Federico Santa Mara

8 de abril de 2016

1. La suma de los p primeros terminos de una progresion aritmetica es igual a la suma de los qprimerosterminos, para p=q. Demuestre que la suma de los (p+q) primeros terminos es 0.

Solucion

Seaa1 el primer termino de la progresion aritmetica con diferencia d

Sp =p

2(2a1+ (p 1)d) y Sq = q

2(2a1+ (q 1)d) son las sumas de los p y q primeros terminos, respec-

tivamente.

Como Sp = Sq y p= q tenemos que p2

(2a1 + (p1)d) = q2

(2a1 + (q1)d) y esto equivale a que

2a1 =d(p+q 1).Por otra parte, la suma de los (p+q) terminos esta dada por Sp+q =

p+q

2 (2a1+ (p+q 1)d)

Dado que 2a1 =d(p+q 1), reemplazamos en Sp+q y tenemos Sp+q = p+q2

(2a1+ (p+q 1)d) =p+q

2 (d(p+q 1) + (p+q 1)d) = 0

2. Considere la funcionf :ARB R, dada por f(x) = x+ 2|x|+ 3 .

a) Reescribaf como funcion por tramos.

b) Determine los conjuntos A y B maximos, de manera que f : A R B R sea biyectiva yencuentre su inversa.

Solucion

a) Mediante la definicion de valor absoluto, tenemos

f(x) =

x+ 2

x+ 3 , si x0

x+ 2

x+ 3 , si x

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Para x0, buscamosy = x+ 2x+ 3

luegox =3y+ 2

y 1 cony= 1

como x0, resolvemos3y+ 2y 1 0 cuya solucion es [

2

3, 1[.

Luego, parax0, Rec(f) = [ 23

, 1[.

Para x

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3. Determine el valor dea Rpara que los coeficientes de x7 y dex6 en el desarrollo de (x + a)5(x 2a)3sean iguales.

Solucion

(x+a)5(x 2a)3 = (x+a)5(x3 6ax2 + 12a2x 8a3)

= (5

k=0

5

k

x5kak)(x3 6ax2 + 12a2x 8a3)

= 5k=0

5kx8kak

5

k=05k6ak+1x7k +5

k=05k12ak+2x6k

5

k=05k8ak+3x5k

x7 existe en la primera y segunda sumatoria, para k = 1 y k = 0 respectivamente.

El coeficiente dex7 es5

1

a 5

0

6a=6a

x6 existe si k = 2, k = 1 y k = 0 en la primera, segunda y tercera sumatoria, respectivamente.

El coeficiente dex6 es5

2

a2 5

1

6a2 +

5

0

12a2 =8a2

Luego, los coeficientes de x7 y x6 son iguales si y solo sia =8a2 cuyas soluciones son a = 0 oa= 3

4

4. Considere las funciones

f(x) =

x2 + 3 , si x >0

x+ 2 , si x0 ; g(x) =

x+ 1 , si x >3x2 , si x3

a) Determine los conjuntos A, B, C y D de manera que las funciones f : A R B R yg: C R D R sean biyectivas y encuentre la inversa de cada una. Soluci onEstudiamos la funcionf

Dom(f)=R

Si x >0 entonces f(x)> 3 y si x0 entonces f(x)2

Luego, Rec(f)=]

, 2[

]3, +

[

La inyectividad de la funcion fviene dada del dominio considerado en cada tramo.

Es decir si a , b > 0, se puede suponer que f(a) = f(b) lo cual implica que a = b dado queambosa y b son positivos.

De la misma manera para a, b0, se puede suponer que f(a) = f(b) lo que implica que a = b.

No se da el caso para a > 0 y b 0 suponer que f(a) = f(b) dado que tienen recorridos sininterseccion.

Para la sobreyectividad de la funcion, considere B =] , 2[]3, +[

Luego,fes biyectiva y f1 :] , 2[]3, +[ R definida por

f1(x) =

x 3 , si x >3x 2 , si x2

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Ahora, estudiamos la funcion g

Dom(g)=R

Si x >3 entonces g(x)> 2 y si x3 entonces g(x)0

Luego, Rec(g)=R+0

La funcion g(x) = x2 no es inyectiva para x 3 y para x > 3, la funcion g(x) = x+ 1 silo es.

Podemos observar la grafica deg considerando el dominio R

Podemos considerarC= [0,

2]]3,[ para que sea inyectivaEl recorrido de g considerando el dominio C= [0,

2]]3,[ es Rec(g)=R+0.

Por lo tanto, g : [0,

2]]3, +[ R+0 es biyectiva.

g1 : R+0 [0,

2]]3, +[ definida por

g1(x) =

x , si 0x2

x2 1 , si x2b) Encuentre las funciones f g y gf , en caso que existan, con sus respectivos dominios y

recorridos.

Solucion

(f g)(x) =

(

x+ 1)2 + 3 , si x >3x4 + 3 , si x3

Dom(f g) = R y Rec(f g) = R+0

(g f)(x) =

x2 + 4 , si x >0(x+ 2)2 , si x0

Dom(g f) = R y Rec(g f) = R+0

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5. Considere la progresion geometrica:

z0, z1, z2,..., zn

Verifique la igualdad:

z0z1+

z1z2+...+

zn1zn=

2n

z0znn

z0 nzn (z0 zn)

Solucion

Como los numerosz0, z1, z2,...,zn forman una PG, podemos escribirlos como

z0, z0R, z0R2,..., z0R

n

Con R >0Luego tenemos

z0z1+

z1z2+...+

zn1zn=

z20R+

z20R3+...+

z20R

2n1

=|z0|(R1/2 +R3/2 +...+Rn1/2)=|z0|R1/2(1 +R+R2...+Rn1)

=|z0|R1/2(1

Rn)

1 R

=

(z0)2R1/2(z0 z0Rn)

z0(1 R)

=

(z0)2R

z0(1 R) (z0 zn)

=n

z0

(z0)2Rn

z0z0(1 R) (z0 zn)

=(z0)2+2/nR

z0( nz0 nz0R) (z0 zn)

=

(z0)2/nR

n

z0 n

z0Rn

(z0 zn)

=2n

(z0)2Rn

n

z0 nzn (z0 zn)

=2n

z0znn

z0 nzn (z0 zn)