DESARROLLO HISTÓRICO DEL CONCEPTO DE FUNCIÓN

AUTOR

JOHN FAIBERT QUINTERO OVIEDO

TRABAJO DE INVESTIGACIÓN

ASIGNATURA

Orígenes de las Ciencias Modernas

PROFESOR

Oscar Alonso Herrera Gutiérrez

UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA SEDE PALMIRA

FACULTAD DE CIENCIAS AGROPECUARIAS,

DE INGENIERÍA Y ADMINISTRACIÓN

MAESTRÍA EN LA ENSEÑANZADE LAS CIENCIAS

EXACTAS Y NATURALES

PALMIRA, Valle del Cauca

2010

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DESARROLLO HISTÓRICO DEL CONCEPTO DE FUNCIÓN

JOHN FAIBERT QUINTERO OVIEDO

No se precisa el origen exacto del concepto de función. Algunos

investigadores lo relacionan con los trabajos de astronomía de los babilonios,

de Ptolomeo o de los árabes y con el carácter funcional de otros cálculos

matemáticos de la antigüedad. Otros lo sitúan en la misma época en que

Descartes publica su trabajo, “Le Géometrie”, que marcó las bases de la

geometría analítica. A mediados del siglo XVII se conjugaron una serie de

sucesos matemáticos de gran trascendencia para el análisis numérico y el

cálculo infinitesimal que posibilitaron abordar la idea de función con suficiente

generalidad como para formular las primeras definiciones de este concepto.

Es en este periodo que aparece por vez primera el término ¨función¨, aunque

la noción que se tenía de éste era muy limitada, puesto que se reducía a las

funciones analíticas. Con la primera definición formal de función dada por

Euler en el siglo XVIII se sucedieron mejores generalizaciones, producto del

intento por incluir funciones cada vez más complejas, hasta llegar a las

actuales definiciones que vinculan los conjuntos. De la misma manera, hay

quienes sitúan su origen en el siglo XIX, a partir de las definiciones dadas por

Dirichlet1 y por Lobatchevsky2.

El desacuerdo en torno a su origen es entendible, dado que es un concepto

de carácter muy amplio, como lo son el concepto de número y el de medida.

Éstos se encuentran en la base de gran parte de las matemáticas

desarrolladas por la humanidad a través de la historia.

1 Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet, matemático alemán al que se le atribuye la definición "formal" moderna de una función.

2 Nikolai Ivanovich Lobachevsky, matemático ruso descubridor de la geometría no euclidiana.

3

En sus publicaciones sobre la historia de las matemáticas, O'Connor y

Robertson3 indican que es común encontrar definiciones de distintos

matemáticos sobre qué son las matemáticas, enfocadas desde el estudio

de las relaciones entre conjuntos o desde el estudio de las dependencias

entre cantidades variables. O'Connor y Robertson expresan:

“…si estas afirmaciones son cercanas a la verdad entonces sería lógico

sugerir que el concepto de función debe haber aparecido desde las primeras

etapas del desarrollo de las matemáticas¨.

En efecto, si vemos las matemáticas babilónicas encontramos tablas de

cuadrados, cubos y recíprocos de los números naturales. Estas tablas, sin

duda, definen funciones de los números naturales sobre sí mismos o de los

números naturales sobre los racionales. No obstante, debemos rechazar la

sugerencia de que el concepto de función estuvo presente en las

matemáticas babilónicas si consideramos su definición estructurada de hoy.

Remitiéndonos a las matemáticas griegas, resulta relevante destacar el

trabajo de Ptolomeo4 en torno a la medición de las cuerdas de un círculo y su

sistemático registro, lo que esencialmente quiere decir que computó

funciones trigonométricas. Ciertamente, se podría pensar, que si estaba

3 Edmund Robertson y John J. O'Connor son los editores de la más importante publicación en la red de artículos de historia de  las matemáticas “Mac Tutor History of Mathematics  archive”, miembros de Sociedad Matemática de Londres; Ganadores en 1992 del Premio de la Asociación para la Innovación en la Enseñanza de las Matemáticas en la Educación Superior, entre otros galardones.

4 Ptolomeo, heredero de la concepción del Universo dada por Platón y Aristóteles, su método de trabajo difirió notablemente del de éstos, pues mientras Platón y Aristóteles dan una cosmovisión del Universo, Ptolomeo es un empirista. Su trabajo consistió en estudiar la gran cantidad de datos existentes sobre el movimiento de los planetas con el fin de construir un modelo geométrico que explicase dichas posiciones en el pasado y fuese capaz de predecir sus posiciones futuras. En EL PREFACIO AL ALMAGESTO DE PTOLOMEO, escrito por Carlos Mínguez, publicado en ¨La filosofía de los científicos¨, el autor hace una clara disertación respecto del papel de la filosofía de Ptolomeo en su visión de las ciencias y en el papel que para él tuvieron las matemáticas respecto de la teología y la física. http://institucional.us.es/revistas/revistas/themata/pdf/14/02%20Minguez.pdf

4

calculando funciones trigonométricas entonces Ptolomeo debe haber

comprendido el concepto de función.

Al respecto, Petersen (1974)5 indicó:

“…si concebimos una función no como una fórmula sino como una relación

más general que asocia elementos de un conjunto con los elementos de otro

conjunto, es obvio que las funciones en ese sentido abundan en el

Almagesto”.

Sin duda, Petersen está en lo correcto al afirmar que las funciones, en el

sentido moderno, están inmersas en el Almagesto6. Entonces, podemos

aseverar que Ptolomeo trabajó con funciones, pero es poco probable que

estuviese consciente de ello.

Hasta ahora se ha sugerido que un concepto estructurado de función estaba

ausente en las matemáticas antiguas, aunque Youschkevitch7 en su escrito

“El concepto de función en la segunda mitad del siglo XIX” expone que, hacia

1530, Oresme se aproximó al concepto de función mediante los análisis y

consideraciones que realizó al describir las leyes de la naturaleza como leyes

que dan una dependencia entre una cantidad y otra.

5 O Petersen, Logística y teoría de funciones Archivo Internacional de Historia de las Ciencias, (1974), 29-50, citado por O'Connor y Robertson en ¨MacTutor History of Mathematics  archive¨

6 El ¨Almagesto¨ es un gran tratado astronómico escrito por Ptolomeo hacia el 150 d.C., en el que se presenta la totalidad de la astronomía matemática de una forma lógica y comprensible, lo cual le aseguró a éste autoridad en el campo de la astronomía científica.

7 Adolf Andrei Pavlovich Yuschkevich (1906-1993) reconocido historiador de las matemáticas, experto en matemática medieval, oriental y en particular en el trabajo de Euler. Escritor de varias obras relacionadas con la historia de las matemáticas, entre las cuales se destaca ¨The concept of function up to the middle of the 19th century,¨Arch. History Exact Sci.1976.

5

Oresme8, introdujo un método para representar gráficamente las velocidades

con el que representó el movimiento uniformemente acelerado, el cual

consistió en la introducción de coordenadas para representar gráficamente la

variación de cualidades. El estudio de estos temas se encuentra en sus obras

“De Proportionibus Proportionum” y “Le Livre du Ciel et Du”, escritas a

mediados del siglo XIV.

La noción de una función aparece en una forma más estructurada, por

primera vez, durante el siglo XIV en las escuelas de filosofía natural de

Oxford y París. Es en ese momento cuando Galileo empezó a analizar, y a

entender el concepto con mayor claridad. Sus estudios acerca del

movimiento contienen evidencias sobre su nivel de comprensión de una

relación entre variables.

Otra parte de sus estudios matemáticos muestra que desarrollaba el

concepto de mapeo entre conjuntos. En 1638 estudió el problema de dos

círculos concéntricos con centro O, el círculo más grande A con diámetro del

doble que el círculo más pequeño B. Pero al tomar cualquier punto P sobre el

círculo A entonces el segmento PA corta al círculo B en un punto. Así, Galileo

había construido una función que mapeaba cada punto de A sobre un punto

de B. De modo similar, si Q es un punto sobre B entonces el segmento OQ

resultante corta al círculo A en exactamente un punto. De nuevo tiene una

función, esta vez de los puntos en B hacia los puntos en A. Pese a que la

circunferencia de A sea el doble de la circunferencia de B, ambas tienen el

8 Nicolás de Oresme nació en Normandía, alrededor del año 1323, fue profesor en el colegio de Navarra, emplazado en donde hoy está la Escuela Politécnica de París, y murió en 1382, siendo obispo de Lisieux. Más influencia a la larga que sus obras anteriores tuvo el “Tractatus de Latitudinibus Formarum”, donde las funciones aparecen por primera vez dibujadas. Todo lo que varía, decía Oresme, lo podemos imaginar como una cantidad continua representada mediante un segmento rectilíneo. Y trasladó al plano lo que hasta entonces habían hecho los geógrafos sobre la esfera. Mantuvo incluso los nombres, y llamó longitud y latitud a los antepasados de lo que hoy llamamos abscisa y ordenada. http://divulgamat.ehu.es/weborriak/historia/MateOspetsuak/Oresme2.asp

6

mismo número de puntos. Galileo9, También produjo la correspondencia uno

a uno (biunívoca) estándar entre los enteros positivos y sus cuadrados, la

cual, en términos modernos, daba una bisección entre el conjunto de los

números naturales y un subconjunto propio.

Casi al mismo tiempo que Galileo llegaba a estas ideas, Descartes10

introducía el álgebra a la geometría en “Le Géométrie” (La Geometría).

Afirmó que una curva puede dibujarse al permitir que una línea tome

sucesivamente un número infinito de valores distintos. Este hecho vincula

nuevamente el concepto de función a la construcción de una curva, ya que

descartes pensaba en términos de la magnitud de una expresión algebraica

que toma infinitos valores a partir de una segunda magnitud, tomando un

infinito número de valores.

Es importante entender que el concepto de función se desarrolló a lo largo de

varios siglos, con lo que, su significado fue cambiando y definiéndose con

mayor precisión. He mencionado que una tabla de valores, aunque definía

una función, no era pensada necesariamente como una función. No

obstante, los primeros empleos de la palabra función sí encapsulaban

elementos del concepto moderno pero de manera restrictiva.

9 Matemático, Físico, Astrónomo y Astrólogo italiano, a quien se debe la popularización y generalización del Método Científico, basado en la experimentación y la confrontación inductiva deductiva. Su manuscrito de los "Discorsi..." fue impreso por Elzevir en 1638. Este texto, en buena parte revisión de sus trabajos desarrollados en su estadía en la Corte véneta, presenta el perfil más matemático del autor; bien lejano de otra de sus pasiones: el diseño y construcción de diversos artilugios. Divulgamat, Historia de las matemáticas. http://divulgamat.ehu.es/weborriak/historia/MateOspetsuak/Galileo3.asp

10 René Descartes es un filósofo integral cuya obra Le Géometrie [Geometría] ha jugado un papel muy importante tanto en su sistema filosófico global cuanto en la historia del pensamiento matemático. En la Geometría estudia los óvalos [de Descartes], que, en la óptica, utiliza para hacer lentes, en la Dióptrica da las leyes matemáticas de la reflexión y de la refracción, y en los Meteoros las usa para explicar el porqué del arco iris. Pero Descartes quería también aportar sus nuevos puntos de vista en los campos de la filosofía, la teología, y la ética, por esta razón publicó Méditationes de Prima Philosphia (1641) y Principia Philosophiæ (1644), Les Passions de l'âme (1649). Divulgamat, Historia de las matemáticas. http://divulgamat.ehu.es/weborriak/historia/MateOspetsuak/Descartes2.asp

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Como otros tantos términos matemáticos, la palabra función fue usada por

primera vez con su significado no matemático. Por ejemplo, Leibniz escribió

en agosto de 1673:

“…otros tipos de líneas que, dada una figura, llevan a cabo alguna función”.

Otra referencia respecto de la evidencia del uso del concepto de función por

parte de Leibniz se encuentra en su “Acta Eruditorum: “Nova Methodus pro

Maximis et Minimis”11.

Otra evidencia de esto, se observa en una carta por escrita por Leibniz a su

amigo Johann Bernoulli el 2 de septiembre de 1694. En ella describe una

función como:

… “una cantidad formada de alguna manera a partir de cantidades

indeterminadas y constantes”.

Youschkevitch relata, en ¨The Concept of Function up to the Middle of the

19th Century¨, que en un artículo de 1698 sobre problemas isoperimétricos,

Johann Bernoulli escribe sobre “funciones de ordenadas”. Este, era un

concepto cuya introducción sucedió en el momento ideal, en lo que respecta

a Bernoulli, ya que él estaba estudiando problemas de cálculo de variaciones

en cuyas soluciones aparecen funciones. De seguro, algunos de estos

problemas de cálculo de variaciones tenían relación con el problema de las

11 Referido por Mary Sol de Mora en su artículo sobre la biografía de Gottfried Wilhelm Leibniz, publicado en Divulgamat, Historia de las Matemáticas: “ Efectivamente, la simbología matemática que ahora utilizamos es en buena parte debida a Leibniz: diferenciales primeras y segundas, integral, infinitesimales, etc. Introduce el término de función y señala que integral y derivada son dos operaciones inversas. Introduce el sistema binario de numeración, de innumerables aplicaciones posteriores, y tantos otros avances que ahora vamos descubriendo al descifrar sus manuscritos inéditos”. http://divulgamat.ehu.es/weborriak/historia/mateospetsuak/Leibniz3.asp

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cuerdas vibrantes, que serían posteriormente objeto de estudio de su hijo

Daniel Bernoulli12, más físico que matemático.

Es procedente entonces, considerar los estudios sobre la determinación de

las vibraciones fundamentales de una cuerda vertical ingrávida realizados

por Daniel Bernoulli entre 1732 y 1736 y los estudios análogos realizados

por su amigo Euler. Ambos investigaron sólo vibraciones fundamentales de

la cuerda, cuando la fuerza solo dependía de la localización de la partícula,

siendo así las vibraciones fundamentales armónicas, esto es, el

desplazamiento de la k–ésima partícula estaba dado por la fórmula

, donde era específica de cada partícula y todas las

partículas tenían el mismo periodo .

En sus modelos matemáticos, las funciones están evidentemente presentes,

pero sus estudios dieron un salto estrepitoso al cálculo infinitesimal, que

curiosamente se desarrolló primero que el mismo concepto de función,

puesto que era necesario considerar sistemas continuos, pensados como

sistemas compuestos de una gran cantidad, o de infinitas partículas. Con lo

que sus soluciones, en palabras de Luzin13 :

12 El más multifacético de los magníficos geómetras Bernoulli es, sin dudas, Daniel. Tenía una facilidad especial para obtener resultados originales en las más disímiles regiones del saber. Se destacó en las Matemáticas Puras como la teoría de las ecuaciones diferenciales, el cálculo de probabilidades y la suma de series infinitas, pero sobre todo se apasionó por las matemáticas mixtas como la hidromecánica, la náutica, la mecánica racional, la teoría de la elasticidad y la teoría de la música. Ganó 10 Premios de la Academia de Ciencias de París sobre temas de importancia estatal, siendo sólo superado por el líder de todos los matemáticos de la época, Leonard Euler que ganó 13 Premios. Artículo de Carlos Sánchez y Concepción Valdés. Universidad de la Habana para Divulgamat. Historia de las matemáticas. http://divulgamat.ehu.es/weborriak/historia/MateOspetsuak/DBernoulli3.asp

13 N. N. Luzin, matemático ruso, dirigió el Departamento de Teoría de Funciones de Variable Real del Instituto Steklov de Matemáticas desde 1935 hasta su muerte en 1950. Siempre mostró interés por la historia de las matemáticas. A él debemos algunos artículos notables sobre Newton y Euler. En particular, ofrece una excepcional reflexión sobre la evolución del concepto de función durante los siglos XVIII, XIX y XX, en su artículo ¨Función¨, escrito alrededor de 1930, que supera en exposición y análisis a trabajos más recientes. Dicho artículo, publicado inicialmente en ruso y traducido años después al inglés, fue publicado en 2003 en ¨La Gaceta de la RMSE, Vol. 6.2¨, en español. (204-225). Sus escritos, junto al de Youschkevitch, son la referencia bibliográfica prima en el presente

9

“…se trasladaban al aparato matemático, es decir, a soluciones de

ecuaciones diferenciales completamente independientes, surgidas de la

equivocada visión de que toda vibración compuesta tiende muy rápidamente

a status uniformis, esto es, a una vibración fundamental”.

Euler es el primero en observar que el periodo de la vibración de la cuerda es

independiente de la forma inicial siempre que ésta no sea subdividida en

idénticas partes alícuotas.

Euler estructura una teoría general de curvas basada en la idea de función

que había desarrollado en el primer tomo de la Introductio in Analysin

Infinitorum (1747), que está destinado al “análisis puro”, y en la que la

distinción cartesiana entre curvas geométricas y mecánicas aparece ya en

terminología moderna de curvas algebraicas y trascendentes. En el capítulo

I, Euler trata de las curvas en general. Y empieza introduciendo las

coordenadas mediante el uso de un único eje sobre el que al fijar un punto

como origen, define las abscisas y levanta ordenadas perpendiculares u

oblicuas.

Euler explica de forma muy retórica la presentación “al espíritu” de valores

determinados de las cantidades variables como segmentos o intervalos de

recta. Sobre una recta, fijado un punto A como origen (Fig.1), mide hacia la

derecha valores positivos y hacia la izquierda valores negativos. Así

introduce las abscisas, palabra que pone en mayúscula.

texto.

10

A continuación Euler explica cómo "dada una cantidad variable x,

representada por una línea recta buscamos una manera muy cómoda de

representar geométricamente una función y cualquiera de x”. Sobre una recta

indefinida RAS en la que se representan los valores de x, para cada valor

determinado de AP de x se eleva sobre la línea dada una perpendicular PM

(Fig.2), igual al valor correspondiente de y (hacia arriba o hacia abajo según

el signo de y). Los extremos M de cada una de las perpendiculares

representarán una cierta línea recta o curva, que, en consecuencia, estará

determinada por la función. Euler indica:

“Así cada función de x referida de esta manera a la geometría, dará una línea

recta o curva, cuya naturaleza dependerá de la función”.

En una digresión inmediata, Euler indica que aunque se pueden describir las

curvas mecánicamente por el movimiento continuo de un punto que

“... presenta a los ojos la curva en su conjunto” es preferible considerarla

como resultado de una función, que “… es una forma más analítica, más

general y más propia del cálculo”.

En el mismo capítulo, define:

11

“Es cantidad constante14 la cantidad determinada que conserva siempre el

mismo valor. Son cantidades tales los números de cualquier género, con

que conserven siempre el mismo valor constante que en su momento

obtuvieron: y si conviene indicar tales cantidades constantes mediante

caracteres, se les asigna las letras iniciales del alfabeto a; b; c; & c15.

Cierto es que en el análisis común, donde tantas cantidades

determinadas se consideran, estas letras primeras del alfabeto suelen

denotar cantidades conocidas, y las posteriores, en cambio, incógnitas;

esta distinción, empero, no es de esperar en tal grado en el análisis

superior, por cuanto aquí se atiende principalmente a aquella otra

distinción que establece a unas como constantes y a otras en cambio

como variables.

Es cantidad variable la cantidad indeterminada o universal que

comprende absolutamente todo valor determinado. Así, como todo valor

determinado puede expresarse en número, una cantidad variable abarca

absolutamente todos los números de cualquier género. Fácil es ver que

de igual modo que las ideas de género y especie se forman a partir de las

ideas de individuos, así la cantidad variable es el género en que quedan

comprendidas todas las cantidades determinadas. Tales cantidades

14 Según Youschkevitch (Youschkevitch, 1976: 59) los términos constante y variable fueron introducidos por Leibniz en 1692, aunque su difusión se debió a que aparecieron en la definición primera del Analyse des inniment petits del Marqués de L'Hopital (1696): “se llaman cantidades variables aquellas que aumentan o disminuyen continuamente; y por lo contrario, cantidades constantes las que permanecen siendo las mismas mientras las otras cambian”.

15 Como es habitual, se ha optado en las traducciones por sustituir la letra & por y cuando aparece en un texto. No obstante, se ha mantenido la notación &c: para indicar etcétera, cuando se usa como notación matemática, esto es, en listados de expresiones matemáticas, como aquí, o en sumas finitas o infinitas y productos también finitos o infinitos. Esta notación se remonta a mediados del siglo XVII; fue usada por J. Wallis en su Aritmética infinitorum y posteriormente por N. Mercator, J. Gregory, Newton o Leibniz. Fue la habitual durante el siglo XVIII, aunque Euler y otros autores también esporádicamente, los puntos suspensivos que acabarían imponiéndose como notación canónica. (Cajori, 1928: I, 214 y II, 58-9).

12

variables se suelen representar mediante las últimas letras del alfabeto x,

y & z.

Queda determinada una cantidad variable cuando se le atribuye un valor

cualquiera. Una cantidad variable puede así quedar determinada de

innumerables modos, por cuanto admite ser substituida en su lugar por

todo número y no quedará agotado el significado de la cantidad variable

si no hubiere sido substituida por todos los valores determinados. Así es

que la cantidad variable comprende absolutamente todo número, tanto

afirmativo16 como negativo, entero como fraccionario, racional como

irracional o trascendente.

Es función de una cantidad variable cualquier expresión analítica

compuesta como quiera que sea por esa cantidad y números o

cantidades constantes”.

Pese a los valiosos aportes de Euler, se presentan las siguientes limitantes

para concederle, aún, la autoría plena del concepto moderno de función:

1. No da una definición de “expresión analítica” sino que supone que el

lector entenderá que significa expresiones formadas por las operaciones

comunes de suma, multiplicación, potencias, raíces y demás operaciones.

16 Aunque el término afirmativo, aplicado a números, no se usa hoy en día, habiendo sido sustituido por positivo, los historiadores prefieren mantenerlo en sus traducciones por fidelidad al texto de Euler. El término latino afirmativo, aplicado a números, era la expresión habitual durante el siglo XVII y gran parte del XVIII; así se encuentra en los manuscritos de las Lecciones de Álgebra de Newton en Cambridge (1673-1683): “Las cantidades son, o afirmativas, si son mayores que cero o, negativas, si son menores que cero” (Newton, 1967/81: V, 58); aunque dejo de serlo conforme se acercaba el XIX; así, en la primera página de las Disquisitiones Arithmeticae de Gauss (1801), leemos: “estas nociones rigen para todo número entero, así positivo como negativo, sin ser empero extensibles a los fraccionarios”.

13

2. Si bien, dividió sus funciones en distintos tipos, como algebraicas y

trascendentes, dependendiendo de la naturaleza de la expresión analítica;

por ejemplo, para él las funciones trascendentes son las no algebraicas

como “…exponenciales, logaritmos y otras de las que el cálculo integral nos

provee en abundancia”, Euler permitió que las operaciones algebraicas de

sus expresiones analíticas aparecieran un número infinito de veces, dando

como resultado series infinitas, productos infinitos y fracciones continuas

infinitas. Más adelante sugiere que una función trascendente debe ser

estudiada expandiéndola en una serie de potencias. No afirma que todas las

funciones trascendentes puedan ser expandidas de este modo pero sí que

se debe probar en cada caso específico.

3. Había una dificultad en el trabajo de Euler que generaría confusión, ya

que no logró distinguir entre una función y su representación. No obstante,

“Introductio in Analysin Infinitorum” cambiaría la manera en que los

matemáticos piensan sobre conceptos familiares.

Al respecto, Jahnke17 escribe:

“Hasta Euler, las cantidades trigonométricas seno, coseno, tangente, etc. se

consideraban como líneas relacionadas con el círculo más que como

funciones… Fue Euler quien introdujo el acercamiento funcional”.

El concepto de función había llevado a Euler a hacer muchos

descubrimientos importantes antes de que escribiera Introductio in Analysin

Infinitorum. Por ejemplo, había llegado a definir la función gamma y a

17 H N Jahnke (ed.), A history of analysis (American Mathematical Society, Providence, R.I.,(2003).

14

resolver el problema que había derrotado a los matemáticos durante mucho

tiempo: la suma de la serie

Demostró que la suma es y publicó el resultado en 1740.

Euler, en Introducción al Análisis Infinitesimal, presenta las funciones

continuas, discontinuas y mixtas, pero no indica claramente qué quería decir

por una función discontinua, aunque es obvio que las consideraba más

generales que las mixtas. Más adelante las definió como aquellas funciones

que tenían curvas dibujadas arbitrariamente como sus gráficas (de modo

más bien confuso, son esencialmente lo que llamamos hoy funciones

continuas).

En 1746 D’Alembert18 publicó una solución al problema de una cuerda tensa

que vibra. La solución, por supuesto, depende de la forma inicial de la cuerda

y D’Alembert insistió en su solución en que la función que describe las

velocidades iniciales de cada punto de la cuerda tenía que ser continua, es

decir, expresada mediante una sola expresión analítica. Euler publicó un

artículo en 1749 en el que objetaba la restricción impuesta por D’Alembert,

18 Jean le Rond D'Alembert Abordó la matemática a través de la física, con el problema de los tres cuerpos (imposibilidad de encontrar ecuaciones de las trayectorias - inestabilidad del sistema), la precesión de los equinoccios (razón del deslizamiento de las estaciones), las cuerdas vibrantes (distintos modos de vibración - aplicación a la música). Esto le llevó a estudiar las ecuaciones diferenciales y las ecuaciones a las derivadas parciales. También inventó un criterio para distinguir una serie convergente de una divergente. Su obra maestra fue el tratado de dinámica, donde enunció el teorema que lleva su nombre (principio de D'Alembert). El Teorema Fundamental del Álgebra recibe en algunos países de Europa el nombre de teorema de D’Alembert - Gauss dado que D’Alembert fue el primero en dar una prueba casi completa sobre dicho teorema. http://es.wikipedia.org/wiki/Jean_Le_Rond_d%27Alembert

15

afirmando que, por razones físicas, expresiones más generales para la forma

inicial tenían que permitirse. Youschkevitch escribe:

“D'Alembert no estaba de acuerdo con Euler. Así empezó la larga

controversia sobre la naturaleza de las funciones que se permitían como

condiciones iniciales y en las integrales de las ecuaciones diferenciales

parciales, las cuales continuaba apareciendo en cantidades cada vez

mayores en la teoría de la elasticidad, la hidrodinámica, la aerodinámica y la

geometría diferencial”.

En 1755 Euler publicó otro libro muy importante, “Institutiones Calculi

Differentialis”. En este libro definió una función de manera totalmente general

dando, lo que podemos razonablemente afirmar que era, una definición

verdaderamente moderna de función:

“Si algunas cantidades dependen de otras del tal modo que si estas últimas

cambian también lo hacen las primeras, entonces las primeras cantidades se

llaman funciones de las segundas. Esta definición se aplica de manera más

bien amplia e incluye todas las formas en que una cantidad puede ser

determinada por otra. Si, por lo tanto, x denota una cantidad variable,

entonces todas las cantidades que dependen de x de cualquier modo, o que

son determinadas por ella, son llamadas funciones de x”.

Esto podría haber sido un gran logro pero, después de dar esta amplia

definición, Euler dedicó el libro al desarrollo del cálculo diferencial usando

solamente funciones analíticas. El primer problema con la definición de Euler

de tipos de funciones fue señalada en 1780 cuando se demostró que una

función mixta, dada por distintas fórmulas, a veces podía darse mediante una

sola fórmula.

16

El ejemplo más claro de una función así, fue dado por Cauchy19 en 1844

cuando notó que la función y = x para x≥0, y = -x para x< 0 podía

expresarse mediante la fórmula . Por lo tanto dividir las funciones

en continuas y mixtas, planteadas por Euler, no tenía sentido.

Cauchy precisa los conceptos de función, de límite y de continuidad en la

forma actual o casi actual, tomando el concepto de límite como punto de

partida del análisis y eliminando de la idea de función toda referencia a una

expresión formal, algebraica o no, para fundarla sobre la noción de

correspondencia. Los conceptos aritméticos otorgan ahora rigor a los

fundamentos del análisis, hasta entonces apoyados en una intuición

geométrica que quedará eliminada, en especial cuando más tarde sufre un

rudo golpe al demostrarse que hay funciones continuas sin derivadas, es

decir: curvas sin tangente.

Cauchy consideraba que las funciones en 3 dimensiones que eran derivables

eran continuas sin embargo se descubrió que era necesaria una condición de

diferenciabilidad para asegurar la continuidad.

Sin embargo, una objeción más seria vino del trabajo de Fourier20 quien

afirmó en 1805 que Euler estaba equivocado. Fourier demostró que algunas

19 Agustín Louis Cauchy , matemático francés, fue pionero en el análisis matemático y la teoría de grupos de permutaciones, contribuyendo de manera medular a su desarrollo. También investigó la convergencia y la divergencia de las series infinitas, ecuaciones diferenciales, determinantes, probabilidad y física matemática. En 1814 publicó la memoria de la integral definida que llegó a ser la base de la teoría de las funciones complejas. Gracias a Cauchy, el análisis infinitesimal adquiere bases sólidas. http://es.wikipedia.org/wiki/Augustin_Louis_Cauchy.

17

funciones discontinuas podían representarse por lo que hoy llamamos una

serie de Fourier. La diferencia entre funciones continuas y funciones

discontinuas de Euler, por ende, no existía. El trabajo de Fourier no fue

aceptado de inmediato por matemáticos prominentes como LaGrange21.

Luzin señala en sus artículos “Function I” y “Function II” (1998) que la

confusión respecto a las funciones se había debido a una falta de

comprensión de la diferencia entre “función” y su representación; como se

observaba en una serie de senos y cosenos. Manifiesta además, que el

trabajo de Fourier llevaría finalmente a clarificar el concepto de función

20Jean-Baptiste-Joseph Fourier, matemático y físico francés conocido por sus trabajos sobre la descomposición de funciones periódicas en series trigonométricas convergentes llamadas Series de Fourier, método con el cual consiguió resolver la ecuación del calor. La transformada de Fourier recibe su nombre en su honor. Fue el primero en dar una explicación científica al efecto invernadero en un tratado. http://es.wikipedia.org/wiki/Joseph_Fourier

21Joseph Louis LaGrange, matemático, físico y astrónomo italiano que después vivió en Prusia y

Francia. Cuando tenía sólo diecinueve años, envió una carta a Leonhard Euler en que resolvió un problema que había sido un asunto de discusión durante más de medio siglo mediante una nueva técnica: el cálculo de variaciones. Euler reconoció la generalidad del método, y su superioridad; y con una cortesía rara en él, retuvo un artículo que él había escrito previamente para que el joven italiano tuviera tiempo para completar su trabajo, como exige la invención de un nuevo método de cálculo. El nombre de esta rama del análisis la sugirió el propio Euler. Este trabajo puso a LaGrange en primera línea entre los matemáticos de su época. En 1758, con la ayuda de sus alumnos, LaGrange publicó en la Academia de Turín la mayoría de sus primeros escritos consistentes en los cinco volúmenes, normalmente conocidos como “Miscellanea Taurinensia”. El primer volumen contiene un documento de la teoría de la propagación de sonido; indica un error hecho por Newton, y obtiene la ecuación diferencial general para el movimiento, y halla la solución para el movimiento en línea recta. Este volumen también contiene la solución completa del problema de una cuerda que vibra transversalmente; en este trabajo señala la falta de generalidad en las soluciones dadas previamente por Brook Taylor, D'Alembert y Euler llegando a la conclusión que la forma de la curva para un

tiempo t cualquiera viene dada por la ecuación . El artículo concluye con una

hábil discusión sobre ecos y sonidos compuestos. Otros artículos en este volumen son serie recursivas, probabilidad y cálculo de variaciones. Sus conferencias en École Polytechnique trataron del cálculo diferencial la base de su “Théorie des Functions Analytiques” qué se publicó en 1797. Este trabajo es la extensión de una idea contenida en un artículo que él había enviado a Berlín en 1772. Un método algo similar se había usado previamente por John Landen en el Análisis Residual, publicó en Londres en 1758. LaGrange creyó que podía librarse así de las dificultades por el uso de cantidades infinitamente grandes e infinitamente pequeñas, que los filósofos objetaron en el tratamiento usual del cálculo diferencial. El libro está dividido en tres partes. Da una prueba algebraica del Teorema de Taylor. La segunda trata las aplicaciones a la geometría; y la tercera aplicación a la mecánica. Otro tratado en las mismas líneas fue su Leçons sur le

calcul des functions, publicado en 1804. Estos trabajos pueden ser considerados como el punto de

arranque- para las investigaciones de Cauchy, Jacobi y Weierstrass. http://es.wikipedia.org/wiki/Joseph-Louis_de_Lagrange

18

cuando, en 1829, Dirichlet22 demostró algunos resultados concernientes a la

convergencia de las series de Fourier, y aclarando así la diferencia entre una

función y su representación.

Según Youschkevitch, en su artículo citado anteriormente, antes que

Dirichlet, otros matemáticos dieron sus propias versiones de la definición de

función. Condorcet23 parece haber sido el primero en retomar la definición

general de Euler de 1755.

En 1778, Condorcet envío las primeras dos partes de un trabajo compuesto

por cinco, titulado “Traité du calcule integral” a la Academia de París. Éste

nunca fue publicado pero muchos de los principales matemáticos franceses

lo tuvieron en sus manos. En esta obra, Condorcet distingue tres tipos de

funciones: funciones explícitas, implícitas dadas solo por ecuaciones no

22 Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet, matemático alemán cuya primera publicación comprendió una demostración particular del teorema de Fermat, para el caso n=5, que también fue completada por Adrien-Marie Legendre, uno de sus revisores. Dirichlet completó su propia prueba casi al mismo tiempo; más adelante completó también la prueba para n=14. Aplicó las funciones analíticas al cálculo de problemas aritméticos y estableció criterios de convergencia para las series. En el campo del análisis matemático perfeccionó la definición y concepto de función, y en mecánica teórica se centró en el estudio del equilibrio de sistemas y en el concepto de potencial newtoniano. http://es.wikipedia.org/wiki/Peter_Gustav_Lejeune_Dirichlet

23 Marie Jean Antoine Nicolás de Caritat, marqués de Condorcet fue un filósofo, científico, matemático, político y politólogo francés. se destacó por sus capacidades intelectuales. El primero de los terrenos en los que se destacó fue el de las matemáticas al tiempo que se preocupaba por las cuestiones morales. A los 16 años, D'Alembert y Clairaut descubrieron su capacidad de análisis, y pronto pasó a ser alumno de D’Alembert. Aunque entre 1765 y 1774, se concentró particularmente en las ciencias, es también en este período en torno a los 25 años cuando experimenta su "revolución moral" y su acercamiento a los filósofos. En 1765, publicó su primer trabajo relacionado con las matemáticas, titulado Ensayo sobre el cálculo integral, que tuvo una favorable acogida, y disparó su carrera de matemático de prestigio. Además, este ensayo sólo será el primero de una larga serie. Su contacto con los "filósofos" (D'Alembert, Condillac, Diderot, Voltaire, Helvecio, Turgot) le llevó a colaborar en la Enciclopedia con artículos sobre matemáticas. En 1772, vuelve a publicar trabajos relacionados con el cálculo integral, que recibieron una gran acogida y se consideraron revolucionarios en muchos de los campos abordados. http://es.wikipedia.org/wiki/Nicolas_de_Condorcet

19

resueltas y funciones que se definen a partir de consideraciones físicas tales

como las que son solución de una ecuación diferencial.

Lacroix24, quien había leído el trabajo inconcluso de Condorcet, escribió en

1797:

“Cada cantidad cuyo valor depende de una o más cantidades se llama una

función de éstas últimas, se conozca o no qué operación es necesario usar

para llegar de la última a la primera”.

Retomando a Luzin, en su artículo “Función I”, indica que Cauchy en 1821,

dio una definición que hace de la dependencia entre variables el centro del

concepto de función. Escribió en “Course d'analyse”:

“Si cantidades variables son unidas entre ellas de tal modo que el valor de

una de ellas está dado, se puede llegar a los valores de todas las otras; uno

ordinariamente concibe estas distintas cantidades como expresadas

mediante una de ellas, la cual entonces toma el nombre de variable

independiente; las otras cantidades expresadas mediante la variable

independiente son aquellas a las que se llaman funciones de esta variable”.

24 Sylvestre François Lacroix, matemático francés, miembro de la Academia de Ciencias francesa, llevó a cabo estudios sobre cálculo integral y diferencial y estableció una rigurosa definición de las integrales definida e indefinida. Destaca su obra Tratado del cálculo diferencial y del cálculo integral (1797-1798), reeditada varias veces hasta 1881. http://www.bi grafiasyvidas.com/biografia/l/lacroix.htm y http://www.worldlingo.com/ma/enwiki/es/Sylvestre_Fran%C3%A7ois_Lacroix/1

20

Nótese que a pesar de la generalidad de la definición de Cauchy, que está

diseñada para cubrir tanto las funciones implícitas como las explícitas, aún

piensa en una función en términos de una fórmula. De hecho, hace la

distinción entre funciones implícitas y explícitas justo después de dar esta

definición. También introduce conceptos que indican que todavía piensa en

términos de expresiones analíticas.

Fourier, en Théorie Analytique de la Chaleur en 1822, dio la siguiente

definición:

“En general, la función ƒ(x) representa una sucesión de valores u ordenadas

cada uno de los cuales es arbitrario. Dados una infinidad de valores de la

abscisa x, hay un número igual de ordenadas ƒ(x). Todas tienen valores

numéricos, ya sean positivos, negativos o cero. No suponemos que estas

ordenadas estén sujetas a una ley común; se siguen unas a otras de una

forma cualquiera y cada una de ellas está dada como si fuera una cantidad

sola”.

Se puede inferir que Fourier ha dado una definición que se aleja

deliberadamente de las expresiones analíticas. Sin embargo, y a pesar de

ello, cuando empieza a demostrar teoremas sobre expresar una función

arbitraria como serie de Fourier, usa el hecho de que su función es continua

en el sentido moderno.

Dirichlet, en 1837, aceptó la definición de función de Fourier y casi de

inmediato definió una función continua (usando continuo en el sentido

moderno). Dirichlet también dio un ejemplo de una función definida en el

intervalo [0,1], que es discontinua en todos sus puntos, ésta es ƒ(x) definida

como 0 si x es racional y 1 si x es irracional. Así

21

Donde denota el conjunto de los números reales y denota el conjunto

de los números racionales.

En 1838, Lobachevsky25 dio una definición de una función general que

todavía necesitaba que ésta fuera continua:

“Una función de x es un número que está dado para cada x y que cambia

gradualmente junto con x. El valor de la función puede estar dado mediante

una expresión analítica o mediante una condición que ofrece una manera de

probar todos los números y seleccionar uno de ellos o, finalmente, la

dependencia puede existir pero ser desconocida”.

Sin duda la función discontinua en todos los puntos de Dirichlet no sería una

función bajo la definición de Lobachervsky.

Hankel26, en 1870, deploró la confusión que aún reinaba sobre el concepto

de función:

25 Nikolái Ivánovich Lobachevski fue un matemático ruso del siglo XIX. Entre sus principales logros se encuentra la demostración de varias conjeturas relacionadas con el cálculo tensorial aplicados a vectores en el espacio de Hilbert. Fue uno de los primeros matemáticos que aplicó un tratamiento crítico a los postulados fundamentales de la geometría euclidiana. http://es.wikipedia.org/wiki/Nikol%C3%A1i_Lobachevski

26 Hermann Hankel, matemático alemán cuyos trabajos versaron sobre geometría proyectiva y sobre la teoría de funciones de variable compleja. Estableció una representación de la función gamma por medio de una integral compleja y obtuvo soluciones a la ecuación diferencial de Bessel. http://www.biografiasyvidas.com/biografia/h/hankel.htm

22

“Una persona define función esencialmente en el sentido de Euler, otra

requiere que y debe cambiar con x según alguna ley, sin dar una explicación

de este obscuro concepto; la tercera la define en la misma manera que

Dirichlet; la cuarta sin más no la define. Sin embargo, todo el mundo deduce

de su concepto conclusiones que no están contenidas en él”.

En 1876, Paul du Bois-Reymond27 hizo la distinción entre una función cuya

serie de Fourier diverge en un punto y aquellas que no divergen. En esta

línea se avanzó, cuando en 1885 Weierstrass28 demostró que cualquier

función continua es el límite de una secuencia de polinomios que converge

uniformente. Con anterioridad, en 1872, Weierstrass había enviado un

artículo a la Academia de Ciencias de Berlín dando un ejemplo de una

función continua que no es diferenciable en ningún punto. Al respecto, Luzin

plantea en “Función I”:

“...la función de Weierstrass contradecía la idea intuitiva de la mayor parte de

sus contemporáneas que apuntaba a que las funciones continuas eran

differenciables excepto en puntos especiales. Fue una sensación y, de

acuerdo con Hankel, suscitó incredulidad cuando du Bois-Reymond la

publicó en 1875”.

27 Paul David Gustav du Bois-Reymond fue un matemático alemán de mediados del siglo XIX. Sus estudios se centraron en el equilibrio de la mecánica de fluidos. Trabajó en la teoría de las funciones y en la física matemática. Sus intereses incluyen la teoría de Sturm-Liouville , ecuaciones integrales, cálculo variacional , y las series de Fourier . En este último campo, fue capaz en 1876, de construir una función continua cuya serie de Fourier no es convergente. Su lema define una condición suficiente para garantizar que una función se desvanece casi por todas partes. También estableció que una serie trigonométrica que converge a una función continua en cada punto es la serie de Fourier de esta función. http://en.wikipedia.org/wiki/Paul_David_Gustav_du_Bois-Reymond 28 Karl Theodor Wilhelm Weierstrass fue un matemático alemán, que se suele citar como el «padre del análisis moderno. Dio las definiciones de continuidad, límite y derivada de una función, que siguen vigentes hoy en día. Esto le permitió demostrar un conjunto de teoremas que estaban entonces sin demostrar como el teorema del valor medio, el teorema de Bolzano-Weierstrass y el teorema de Heine-Borel. También realizó aportes en convergencia de series, en teoría de funciones periódicas, funciones elípticas, convergencia de productos infinitos, cálculo de variaciones, análisis complejo, entre otros. http://es.wikipedia.org/wiki/Karl_Weierstrass

23

Poincaré29 , disconforme con la dirección que había tomado la definición de

función, en 1899 escribió:

“Durante medio siglo hemos visto una masa de funciones extrañas que

parecen forzadas a parecerse lo menos posible a las funciones honestas que

sirven a algún propósito. [...] Antes, cuando se inventaba una nueva función

era con una meta práctica. Hoy son inventadas a propósito para mostrar que

el razonamiento de nuestros ancestros fallaba y nunca obtendremos más

que eso de ellas. Si la lógica fuera la única guía del profesor, tendría que

empezar por lo más general, es decir, las funciones más estrambóticas”.

Si nos preguntamos de dónde proviene la definición actual de función que

encontramos en la mayoría de los libros actuales de matemáticas,

tendríamos que remitirnos a Goursat30 quien, en su Curso de Análisis

Matemático en 1923, escribió:

“Se dice que y es una función de x si a cada valor de x le corresponde un

valor de y. Esta correspondencia se indica mediante la ecuación y = ƒ(x)”.

Esta definición es hoy aceptada por la comunidad matemática, pero resulta,

por si sola, escueta y poco precisa, puesto que es necesario clarificar los

conceptos de “valor” y “correspondencia” vinculados a ella.

29 Jules Henri Poincaré, fue un prestigioso matemático francés, científico teórico y filósofo de la ciencia, quien es descrito a menudo como el último «universalista» (después de Gauss), capaz de entender y contribuir en todos los ámbitos de la disciplina matemática. Las numerosas contribuciones realizadas por Poincaré estuvieron especialmente relacionadas con los siguientes temas: topología algebraica, teoría de funciones analíticas de varias variables complejas, teoría de funciones abelianas, geometría algebraica, teoría de números, el problema de los tres cuerpos, teoría de ecuaciones diofánticas, teoría

del electromagnetismo , teoría de la Relatividad Especial, entre otros. http://es.wikipedia.org/wiki/Henri_Poincar%C3%A9

30 Edouard Goursat, matemático francés, de finales del siglo XIX y principios del siglo XX, fue profesor en la Universidad de la Sorbona, realizó originales aportaciones a diversos problemas de análisis, perfeccionó el teorema de Cauchy, estudió el problema de Pfaff e investigó las ecuaciones con derivadas parciales. Es célebre su obra Curso de análisis matemático. http://www.biografiasyvidas.com/biografia/g/goursat.htm

24

Bourbaki31, en 1939, planteó una formulación general de función como una

regla de correspondencia entre dos conjuntos, el dominio y el rango

(Youschkevitch, 1976):

“Sean E y F dos conjuntos, que pueden ser distintos o no. Una relación entre

un elemento variable x de E y un elemento variable y de F se llama una

relación funcional en y, si para toda x E, existe un único y F el cual está

en la relación dada con x. Dos relaciones funcionales equivalentes

determinan la misma función”.

Bourbaki también formuló una definición de función equivalente, como un

conjunto de pares ordenados:

“Una función del conjunto E en el conjunto F se define como un sub conjunto

especial del producto cartesiano E x F”.

Por espacio de 37 siglos se desarrollaron y manipularon objetos matemáticos

que llevaban implícito el concepto de función, tomando cerca de trescientos

31 Nicolas Bourbaki es el nombre colectivo de un grupo de matemáticos franceses que en los años 30 del siglo XX se propusieron revisar los fundamentos de las matemáticas con una exigencia de rigor mucho mayor que la que entonces era corriente en esta ciencia. Fundado en 1935, inició la publicación de sus monumentales Elementos de matemáticas de acuerdo con el nuevo canon de rigor y el método axiomático, pretendiendo cubrir las bases de todas las matemáticas. Hasta el presente (2006) ha redactado los volúmenes de «Teoría de conjuntos», «Álgebra», «Topología general», «Funciones de una variable real», «Espacios vectoriales topológicos», «Integración», «Álgebra conmutativa», «Variedades diferenciables y analíticas», «Grupos y álgebras de Lie» y «Teorías espectrales». Estos volúmenes contienen notas históricas que han sido publicadas aparte, formando unos apreciados, aunque muy incompletos aún (2006) volúmenes cuyo corpus recibe el nombre de Elementos de Historia de las Matemáticas. Su impacto en las matemáticas contemporáneas ha sido enorme, y desde los años 50 puede decirse que su exigencia de rigor ha sido universalmente aceptada en matemáticas, junto con el estilo particular en que la expresan, siendo muy diferentes los textos actuales de los prebourbakianos. Este éxito ha vuelto innecesaria la continuación de su obra, pues desde los años 60 todos los textos se redactan ya siguiendo sus exigencias. No obstante, en París sigue desarrollándose

el Seminario Bourbaki, donde cada año se exponen los principales avances de las matemáticas. Desde el principio trataron de mantener la simpática ficción de que Nicolas Bourbaki era un matemático «poldavo». Por eso el nombre de sus miembros, que cambian a lo largo del tiempo, es uno de los secretos mejor guardados (al igual que su forma de organizarse), aunque se sabe que en su mayoría

son franceses. http://www.bourbaki.ens.fr/ y http://es.wikipedia.org/wiki/Nicolas_Bourbaki

25

años la estructuración sólida del concepto como tal; en principio asociado a

problemas del cálculo y el análisis, que extrañamente se desarrollaron

primero, que su objeto fundamental de estudio.

En conclusión, los conocimientos matemáticos inherentes al las funciones se

han construido históricamente alrededor de ideas previas que se reafirmaban

y ampliaban o se controvertían, todo sobre la base de los intereses, las

ideas, las posibilidades y limitaciones de cada época. Situar el origen

específico del concepto de función resulta complejo. Sin embargo, al

considerar los significativos aportes de Euler y sus ingentes esfuerzos por

definir razonablemente las funciones continuas, discontinuas y

trascendentes, es justo y razonable adjudicarle la autoría del concepto. La

famosa controversia entre D'Alembert y Euler centrada alrededor del

significado del término función y el problema de la cuerda vibrante, fue punto

de partida de análisis y disquisiciones conducentes al desarrollo del concepto

moderno de función.

Queda claro que las matemáticas son el fruto de una construcción histórica,

resultado de interacciones sociales, culturales, políticas, religiosas e incluso

económicas, que hacen de ella un producto humano inacabado y mutable.

Las funciones en particular, se abren paso en un mundo en el que cada vez

resulta más necesario la construcción de modelos que permitan determinar

parámetros de optimización, comportamientos o tendencias, los cuales son

susceptibles de representarse en diferentes registros y representaciones

gráficas.

Conocer el origen de los conceptos matemáticos, suscita un apreciación

distinta y profunda de los saberes que se construyen alrededor de las

ciencias exactas. Con ello, se despierta la necesidad imperiosa de

acercarnos y acercar a las nuevas generaciones al conocimiento

26

matemático; recreando su génesis y valorando el trabajo de las mentes

brillantes, de hombres y mujeres que dedicaron sus vidas a la comprensión y

modelación del mundo y la naturaleza.

BIBLIOGRAFÍA

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27

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