Jornadas Científico Técnicas 2004 – Facultad de Ingeniería, Universidad del Zulia

1

DESARROLLO DE UN SIMULADOR SEUDO-TRIDIMENSIONAL (P3D) DE

FRACTURAMIENTO HIDRÁULICO EN POZOS

Alexander J. Verde1 & Nestor V. Queipo, Instituto de Cálculo Aplicado, Universidad del Zulia

Resumen Este trabajo presenta el desarrollo de un simulador de Fracturamiento Hidráulico de pozos

basado en un modelo seudo-tridimensional de propagación de la geometría de la fractura (P3D)

llamado StimFrac®. Este modelo representa una solución de compromiso entre los modelos 2D y

3D en términos de precisión y esfuerzo computacional. El modelo P3D establece una fractura de

sección transversal elíptica, al igual que algunos modelos 2D, pero de una altura variable. De esta

manera, proporciona una geometría tridimensional similar al modelo 3D pero a un menor costo

computacional.

El simulador desarrollado resuelve acopladamente el problema de flujo de fluidos y de

deformación elástica, asociado con la propagación de una fractura vertical inducida

hidráulicamente dentro de una formación (homogénea e isotrópica) compuesta de tres capas (una

zona productiva limitada por dos capas adyacentes) con diferentes esfuerzos en sitio. Por otra

parte, StimFrac®

modela el transporte del agente apuntalante en el fluido, calculando la

suspensión y deposición del mismo a lo largo de la fractura. Adicionalmente, se dispone de un

modelo post-fractura de la presión de fondo fluyente y un modelo económico para evaluar la

rentabilidad de la aplicación del tratamiento.

El programa desarrollado es inicialmente validado con resultados obtenidos de simuladores

P3D reportados en la literatura. Posteriormente, se evalúa la ejecución acoplada de los diferentes

modelos en un pozo bajo condiciones representativas de la industria petrolera, con el propósito de

determinar la rentabilidad de la aplicación de un tratamiento de estimulación.

Palabras clave: Fracturamiento Hidráulico, modelos de propagación de fractura, modelo seudo-

tridimensional (P3D)

Abstract

This paper presents the development of a hydraulic fracture simulator called StimFrac®

based

on a pseudo-tridimensional geometry fracture propagation (P3D) model. The model represents a

compromise solution between 2D and 3D models in terms of accuracy and computational effort.

The P3D model establishes a fracture with elliptic transversal sections, as the 2D models, but

with variable height, providing a geometry for the fracture similar to those provided by the 3D

models but a significantly lower computational cost.

The developed simulator solves the coupled problem of fluid flow and elactic deformation

associated with a vertical fracture propagation hydraulically induced inside a formation

(homogeneous and isotropic) with three layers (a productive zone bounded by two adjacent

layers) with different in-situ stresses. Furthermore, StimFrac®

have models for: the behavior

(suspension and deposition) of the propant within the fluid, the post-fracture flowing bottom hole

pressure and, the economic evaluation of alternative hydraulic fracture treatments.

After validating the ability of StimFrac® to provide reasonable approximations of the fracture

geometry and post-fracture flowing bottom hole pressure using results from the archive literature,

the cost-effectiveness of conducting a hydraulic fracture treatment on a well representative of the

oil industry is evaluated.

Key words: Hydraulic Fracturing, Fracture Propagation Models, and Pseudo-Tridimensional

(P3D) Hydraulic Models

1 Av. Ziruma con calle 67, Maracaibo 4002, Venezuela. Tel.: 0261-7598411. Correo electrónico: averde@ica.luz.ve

Jornadas Científico Técnicas 2004 – Facultad de Ingeniería, Universidad del Zulia

2

Introducción

El Fracturamiento Hidráulico es una de las estrategias de estimulación más usadas para

incrementar la producción de pozos de petróleo o gas. Durante un tratamiento por Fracturamiento

Hidráulico, un fluido es inyectado a la formación a una presión suficiente para causar una falla

en la resistencia de la formación y propagar la fractura. Como resultado de un tratamiento

exitoso, se crea desde el pozo una geometría con una permeabilidad mayor que la de la formación

por donde los fluidos pueden desplazarse con menor dificultad.

Cada uno de los fluidos inyectados durante la ejecución del tratamiento desempeña una

significativa y específica tarea. El fluido inicial, conocido como pad, inicia y propaga la fractura.

Las siguientes etapas del tratamiento incluyen la inyección de un fluido fracturante con diferentes

concentraciones de agentes apuntalantes o proppant. El fluido trata de continuar la propagación

de la fractura y el agente apuntalante mantendrá la fractura abierta, cuando el esfuerzo de la

formación trate de cerrar la fractura, una vez que la inyección de fluido se detenga.

Actualmente, el análisis y diseño de un Fracturamiento Hidráulico se realiza utilizando

simuladores computacionales basados en modelos que estiman la geometría de la fractura de

diferentes maneras. Los modelos tridimensionales son matemáticamente complejos ya que

consideran una geometría 3D y un flujo 2D. Estos modelos son más precisos pero su solución

requiere un gran esfuerzo computacional. En contraste, los modelos bidimensionales consideran

una geometría 2D, asumiendo una altura constante y un flujo 1D en la dirección de la longitud.

La solución de estos modelos exige menos tiempo de computación pero presentan limitaciones en

cuanto a la precisión de los resultados. Alternativamente, los modelos seudo-tridimensionales

(P3D) representan una solución de compromiso entre los modelos 2D y 3D en términos de

precisión y esfuerzo computacional, siempre y cuando la longitud de la fractura sea mucho mayor

que su altura.

Jornadas Científico Técnicas 2004 – Facultad de Ingeniería, Universidad del Zulia

3

La Tabla 1 presenta un resumen de las características de los modelos P3D reportados en la

literatura. Varios trabajos proponen una propagación vertical de la fractura tanto en forma

simétrica1-4,7,11,12

como asimétrica5,6,8-10,13-15

. La mayoría de los mismos consideran flujo 1D,

exceptuando algunos casos6,8,12-14

. Sólo Meyer13

y Chen15

consideran el balance de energía del

fluido en la fractura. Varios autores consideran el efecto simultáneo de pérdidas de fluido por

filtración y expansión de la fractura5-7,13,14

, aunque algunos sólo consideran el primer caso2,4-9,11-

15. Existen diferentes trabajos que presentan modelos del transporte de agente apuntalante en el

tratamiento6,9,11,13,15

. Algunos de ellos9,11,13

modelan el comportamiento de las partículas durante

la inyección y cierre de la fractura, mientras que otros6,15

solo durante la etapa de inyección. La

mayoría de los modelos utilizan un fluido no-Newtoniano, exceptuando los trabajos de Palmer3,4

.

Así mismo, solo Morales9 y Meyer

13 presentan resultados de tratamientos con una inyección

múltiple de fluidos.

Este trabajo presenta el desarrollo de un simulador de Fracturamiento Hidráulico denominado

StimFrac

basado en un modelo P3D de propagación de la geometría de fractura acoplado con un

modelo de transporte del agente apuntalante. Adicionalmente, se dispondrán de modelos post-

fractura de la presión de fondo fluyente y económico para la determinación de la producción del

pozo y la evaluación de la rentabilidad del tratamiento, respectivamente.

El resto del presente trabajo está dividido en cuatro secciones. A continuación se presentará

una descripción matemática de los diferentes modelos incorporados en StimFrac

. Luego, se

explicará la metodología de solución de los modelos y ecuaciones asociadas. Posteriormente, se

desarrollarán casos de estudio para validar los modelos codificados y evaluar la ejecución

acoplada de los mismos. Finalmente, se presentará el análisis y discusión de los resultados

seguido de las conclusiones obtenidas.

4

TABLA 1 - Resumen de las características de los modelos P3D reportados en la literatura en los últimos años

Referencia Procesos físicos

Características del tratamiento

Autor Año

Propagación de

la fractura

Flujo de

fluidos

Balance de

masa

Balance

de

energía

Transporte de

Proppant

Tipo de

fluido

Inyección de

fluidos

Sim.

Asim

1D

2D

Leak

off

Spurt

loss

Inyección

Cierre

Newt

no-

Newt

Único

Múltiple

Simonson et al.1 1978

Cleary et al.2 1983

Palmer & Covel3 1983

Palmer 4 1983

Palmer & Craig5 1984

Usman6 1984

Palmer & Luiskutty7 1985

Advani et al. 8 1985

Morales9 1986

Settari & Cleary10 1986

Meyer11 1986

Bouteca12 1987

Meyer13 1989

Weng14 1992

Chen & Chen15 1997

Verde & Queipo (actual) 2004

5

Descripción Matemática del Modelo

Modelo de Fracturamiento Hidráulico

Modelo de la geometría de la fractura. Permite determinar la longitud, ancho y altura de la

fractura durante el proceso de estimulación y esta basado en principios físicos de conservación de

masa, cantidad de movimiento y criterios de propagación de la fractura. La conservación de

masa establece que la masa inyectada dentro de la fractura debe ser igual a la masa acumulada

dentro de la misma, más las pérdidas ocurridas por filtración hacia la formación3-5,7,9,15

:

t

x

xpS

pH

τ(x)t

pCH

t

A(x,t)

x

Q(x,t)2

2

(1)

Esta ecuación es valida para: i) flujo incompresible e unidimensional, y ii) pérdidas de fluido por

filtración sólo dentro de la zona productiva de la formación.

El principio de conservación de la cantidad de movimiento proporciona una relación entre la

tasa de flujo a través de una sección transversal y el gradiente de presión asociado3-5,7,9,15

:

nH

H

n

1n2

nn

f

1n

dyt)y,W(x,

t)Q(x,

n

12K2

xd

t)P(x,d

2

1

2

1

(2)

La validez de la ecuación (2) esta sujeta a las siguientes suposiciones: i) flujo estable e

unidimensional, ii) sección transversal de forma elíptica aproximada, y iii) fluido no-Newtoniano

descrito por un modelo reológico de ley de potencia.

La propagación de la altura de la fractura ocurre cuando el factor de intensidad de esfuerzo

crítico de la formación (KIC) es igual al factor de intensidad de esfuerzo en los extremos superior

e inferior de una sección transversal de fractura por efecto de las diferentes componentes de

esfuerzos (KI, KII, KIII)5,7,9,16

:

6

IIIIIIIC KKKK (3)

La ecuación (3) es valida en el rango de comportamiento elástico de la zona productiva y capas

adyacentes, asumiendo que son materiales homogéneos e isotrópicos.

El ancho de la fractura (WT) se calcula a diferentes elevaciones verticales superponiendo los

efectos de las diferentes componentes de esfuerzos5,7,9

:

IIIIIIT WWWW (4)

La ecuación (4) es obtenida suponiendo un estado de esfuerzo plano en la sección vertical de la

fractura en una formación homogénea e isotrópica.

Modelo del transporte del agente apuntalante. Describe el comportamiento de las partículas a lo

largo de la fractura y durante la ejecución del tratamiento, en términos de: i) concentración en el

fluido, ii) cinemática de las partículas para la determinación de la suspensión y deposición de las

mismas. La concentración del agente apuntalante se calcula como el producto de la concentración

de la etapa de inyección (Cp) por la concentración normalizada (Cp) obtenida del siguiente

balance de masa asumiendo etapas inyectadas inmiscibles17

:

t)(x,Ct)A(x,t

t)(x,Qt)(x,Ct)(x,Ct)Q(x,x

- pLpp

(5)

La cinemática del agente apuntalante describe el comportamiento de las partículas en

términos de sus componentes de velocidad. La velocidad horizontal se asume como la velocidad

promedio del fluido y la componente vertical o de descenso se deriva a partir de la ley de Stoke18

:

t)(x,C1.82

2

P

n

1

f

fp

2n

sp10

t))(x,C-(1

72K

ρρ

12n

3n

108n

d12nt)(x,V (6)

Condiciones iniciales y de borde. Para el modelo de la geometría se establece como condición

inicial la inexistencia de la fractura antes del comienzo del tratamiento. Las condiciones de borde

7

que se imponen para este modelo son: i) tasa de flujo a la entrada de la fractura igual a tasa de

inyección del proceso, ii) presión al final de la fractura igual a la presión correspondiente a una

propagación vertical ligeramente superior a la altura de la zona productiva, y iii) tasa de flujo al

final de la fractura obtenida de un balance de masa en la pequeña región posterior a la misma16

.

El modelo de transporte del agente apuntalante requiere como condición inicial una

concentración nula de las partículas antes de la inyección de las etapas. Las condiciones de borde

que se imponen son: i) concentración del agente apuntanlante en el pozo igual a la concentración

de inyección, y ii) altura de las partículas suspendidas en el pozo igual a la altura de la fractura18

.

Modelo Post-Fractura de la Presión de Fondo Fluyente

Permiten estimar analíticamente la declinación de la presión de fondo fluyente del pozo

después de la aplicación del tratamiento de estimulación, dada una tasa de producción constante

para una longitud y conductividad de la fractura. Los modelos codificados en StimFrac®

corresponden a: i) fractura de conductividad finita19

, ii) fractura de conductividad infinita20

, iii)

fractura de flujo uniforme20

y iv) formación homogénea sin límites correspondiente a un pozo no

estimulado20

.

Modelo Económico

Evalúa la rentabilidad del tratamiento de estimulación a través del cálculo del valor presente

neto de la inversión representado como la diferencia entre valor presente de los ingresos debido a

la producción del pozo estimulado y el valor presente de los costos asociados al tratamiento,

operación e impuestos21

.

Metodología de Solución

La evaluación de la rentabilidad de un Fracturamiento Hidráulico sobre una formación en

particular utilizando el simulador StimFrac® involucra la ejecución acoplada de los diferentes

modelos incorporados. Dados los parámetros de tratamiento, la solución del modelo de

8

Fracturamiento determina la geometría y conductividad de la fractura. Posteriormente, el modelo

de post-fractura pronostica la declinación de la presión de fondo fluyente del pozo y finalmente el

modelo económico calcula el valor presente neto de la inversión.

Descripción de la solución del modelo P3D

Dadas las condiciones iniciales de la fractura, el cálculo de la geometría de la misma para un

instante de tiempo superior implica la determinación de un intervalo de tiempo t para el cual se

minimiza el residual de la ecuación de balance de masa. Específicamente, dado un t, se calculan

las condiciones de borde al final de la fractura (x=L) y desde allí se inicia un proceso de

integración de las ecuaciones del modelo (1 a 4) hasta llegar al pozo (x=0), (Ver Figura 1).

Una vez determinada la geometría y el flujo en la fractura para un instante de tiempo, se

procede a determinar el comportamiento del agente apuntalante a lo largo de la fractura

cumpliendo los siguientes pasos: i) cálculo de la concentración normalizada, ii) ubicación del

frente de las etapas de concentración inyectadas, iii) cálculo de la concentración del agente

P(6+½,t) = PL

P(5+½,t) P(4+½,t) P(3+½,t) P(2+½,t) P(1+½ ,t)

Q(3,t) Q(2,t) Q(1,t) = Qi Q(4,t) Q(5,t) Q(6,t) Q(7,t) = f(t)

Final de la

fractura Pozo

Solución de las ecuaciones

Tasas de flujo a la

entrada y salida de los volúmenes de control

Presión del fluido en el centro de los

volúmenes de control

Condición de borde a la

entrada

Condiciones de borde al

final

Figura 1 - Esquema de solución del modelo P3D

9

apuntalante, iv) cálculo de la velocidad de descenso de las partículas, y v) cálculo de la altura del

agente apuntalante suspendido y depositado.

Casos de Estudio

Esta sección presenta varios casos de estudio con el propósito de: i) validar el modelo de la

geometría de fractura P3D incorporado en StimFrac

y ii) evaluar la ejecución acoplada de los

diferentes modelos. La validación del modelo P3D se realizó comparando sus resultados con los

obtenidos de un simulador de referencia (ORU

) reportado en la literatura. Las medidas de

desempeño establecidas para comparar los resultados de los simuladores fueron la longitud (L) y

la altura (Hw), ancho (Ww) y presión (Pw) de la fractura en el pozo (ver Tabla 2).

Tabla 2 – Medidas de desempeño obtenidas por StimFrac (ORU) para la validación del modelo P3D

Caso Referencia L

(ft) Hw

(ft) Ww

(in) Pw

(psi)

1 Palmer et al.4

1008 (1000)

194.34 (180)

0.400 ( - )

390.05 (375)

2 Palmer & Craig5 451

(440) 126.73 (127)

0.170 (0.17)

382.25 (388)

3 Palmer & Luiskutty7 3156

(3200) 275.25 (272)

0.452 (0.44)

989.17 (987)

4 Palmer & Luiskutty7 3152

(3200) 272.00 (274)

0.449 ( - )

986.59 (988)

5 Palmer & Luiskutty7 3204

(3200) 213.58 (213)

0.408 (0.40)

605.14 (604)

6 Palmer & Luiskutty7 3128

(3200) 216.24 (219)

0.416 ( - )

614.38 (622)

Los datos referentes a la ejecución acoplada de los modelos de StimFrac

se presentan en las

Tablas 3, 4 y 5. Las Tablas 3 y 4 presentan las características de la formación y los parámetros de

tratamiento, respectivamente. La Tabla 5 muestra los datos necesarios por el modelo económico.

La Figura 2 presenta la geometría de la sección longitudinal de la fractura y la altura del agente

apuntalante (suspendido y depositado) al final del tratamiento. Finalmente, la Figura 3 muestra la

tasa de producción y presión de fondo fluyente asociada al pozo evaluado con y sin fractura.

10

Figura 2 – Sección longitudinal de la fractura y agente apuntalante suspendido y

depositado al final del tratamiento

Tabla 3 – Características de la formación correspondiente a la

ejecución acoplada de los modelos de StimFrac

Símbolo Variable Valor Unidad

Características geométricas

Hp Altura de la zona productiva 75 (ft)

rw Radio del pozo 0.35 (ft)

H Profundidad del pozo 10000 (ft)

Propiedades elásticas de la roca

Relación de Poisson 0.25 (adim)

E Modulo de elasticidad 3.0x106 (psi)

p Esfuerzo en la zona productiva 7000 (psi)

u Esfuerzo en capa superior 7550 (psi)

l Esfuerzo en capa inferior 7800 (psi)

KIC Rigidez de la fractura 1500 (psi x in1/2

)

Propiedades de flujo de fluidos

s Factor de daño 0 (adim)

Sp Coeficiente de perdida repentina 0.0037 (gal/ft2)

C Coeficiente de perdida por filtración 0.001 (ft/min1/2

)

K Permeabilidad 1.0 (md)

Porosidad 0.1 (frac)

ct Compresibilidad total 1.0x10-5

(1/psi)

Viscosidad del petróleo 1.0 (cp)

Pi Presión estática 5600 (psi)

Pwfmin Presión de fondo fluyente mínima 100 (ft)

Bo Factor volumétrico del petróleo 1.1 (rbbl/STB)

qo Tasa de producción de petróleo 900 (STB/d)

11

Tabla 4 – Parámetros del tratamiento correspondiente a la ejecución acoplada de los

modelos de StimFrac

Etapa

Inyección

Fluido fracturante

(f62.42 lbm/ft3)

Agente apuntalente

(p195 lbm/ft3)

Qi (bpm)

V (bbl)

n (adim)

Kf (lbfxsec

n/ft

2)

Cp

(lbm/gal) Dp

(inc) Pp

(md)

1 16.0 340 1.0 0.0012 0 - -

2 18.0 100 0.86 0.0012 1.0 0.027 500

3 20.0 100 0.86 0.0012 1.5 0.027 500

4 22.0 100 0.9 0.0012 1.5 0.055 500

5 24.0 100 0.9 0.0012 2.0 0.055 500

Tabla 5 – Datos del modelo económico

Símbolo Variable Valor Unidad

S Precio del barril de petróleo 30 ($/bbl)

IMP Tasa impositiva por barril producido 0.01 ($/$)

COSTFIX Costos fijos 3300 ($)

CFLD Costo del fluido 8.4 ($/bbl)

CPROP Costo del agente apuntalante 1.0 ($/lbm)

CPOT Costo de potencia consumida 4.5 ($/hp)

Análisis y Discusión de Resultados

Con respecto a la validación del modelo P3D, las diferencias porcentuales promedio entre las

medidas de desempeño (L, Hw, Ww y Pw) calculadas por StimFrac

y ORU

para los casos

evaluados fueron 1.42 %, 1.94 %, 1.57 % y 1.21 %, respectivamente. Las pequeñas diferencias

observadas pueden estar asociadas a que StimFrac® discretiza el dominio longitudinal en forma

homogénea mientras que ORU

utiliza una discretización variable.

La ejecución acoplada de los modelos de StimFrac

muestra que la fractura alcanzó una

longitud aproxima de 850 pies con un ancho máximo en el pozo de 0.26 pulgadas (Ver Figura 2),

propagándose asimétricamente en la dirección vertical. Por otra parte, el agente apuntalante

cubrió prácticamente la totalidad de la zona productiva de la formación, depositándose solamente

una pequeña cantidad en el fondo de la fractura. La evaluación post-fractura de la presión de

fondo fluyente y económica muestra que el pozo sin fractura puede producir a una tasa de 900

12

Figura 3 – Tasa de producción y presión de fondo fluyente asociada al pozo evaluado

con y sin fractura

bpd sólo por un periodo de 2 meses, generando un valor presente neto de la inversión de 25.000 $

(Ver Figura 3).

El pozo estimulado (modelo de conductividad finita) puede permanecer en producción por un

periodo de aproximadamente 24 meses (2 años), pudiéndose obtener un valor presente neto de la

inversión de 350.000 $, lo que representa un incremento de 1400 % en la productividad del pozo.

Conclusiones

Este trabajo presentó el desarrollo de un simulador de Fracturamiento Hidráulico basado en

un modelo seudo-tridimensional de propagación de la geometría de la fractura (P3D) llamado

StimFrac®. El simulador desarrollado resuelve acopladamente el problema del flujo de fluidos y

de la deformación elástica de la roca, asociado con la propagación de una fractura vertical

inducida hidráulicamente asumiendo una formación homogénea e isotrópica compuesta de tres

capas con diferentes esfuerzos en sitio.

El simulador resuelve las ecuaciones diferenciales de los modelos de forma acoplada,

discretizando la fractura en volúmenes de control de igual longitud pero de altura variable, y

0 5 10 15 20 250

1000

2000

3000

4000

5000

6000

Tiempo (dias)

Pwf (Fracturado)

Pwf (Sin fractura)

Tasa de producción

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000P

resi

ón(p

si)

Tas

a de

pro

ducc

ión

(bpd

)

0 5 10 15 20 250

1000

2000

3000

4000

5000

6000

Tiempo (dias)

Pwf (Fracturado)

Pwf (Sin fractura)

Tasa de producción

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000P

resi

ón(p

si)

Tas

a de

pro

ducc

ión

(bpd

)

13

calculando iterativamente la presión y tasa de flujo, cumpliendo con los principios de

conservación mencionados, sujeto a ciertas condiciones iniciales y de borde.

El proceso de validación de los diferentes modelos demostró que existe un excelente ajuste

entre los resultados obtenidos con el simulador StimFrac® y los reportados en casos de estudio de

la literatura. Además, se evaluó la rentabilidad de la aplicación de un tratamiento de estimulación,

bajo condiciones representativas de la industria petrolera, a través de la ejecución acoplada de los

modelos de Fracturamiento Hidráulico, post-fractura y económico.

Nomenclatura

A : Área de la sección transversal de la fractura

Bo : Factor volumétrico del petróleo

C : Coeficiente de pérdida por filtración (leak-off)

Cp : Concentración del agente apuntalante

pC : Concentración normalizada del agente apuntalante

COSTFIX : Costos fijos

CPROP : Costo del agente apuntalante por unidad de volumen

CPOT : Costo de la potencia consumida

CFLD : Costo del fluido por unidad de volumen

ct : Compresibilidad total de la formación

d : Diámetro del agente apuntalante

Dc : Factor de descuento continuo

E : Modulo de Young

Hp : Altura de la zona productiva

H : Altura de la fractura

h : Mitad de la altura de la zona productiva

Hw : Altura de la fractura en el pozo

IMP : Tasa impositiva por barril de petróleo producido

K : Permeabilidad de la formación

KI : Factor de intensidad de esfuerzo

KIC : Rigidez de la formación

Kp : Permeabilidad de agente apuntalante

Kf : Índice de consistencia del fluido

L : Longitud de la fractura

n : Índice de comportamiento del fluido

Pf : Presión del fluido

P : Presión del fluido por encima de p

Pw : Presión en el pozo

Pwf : Presión del flujo en el fondo del pozo

Pi : Presión estática del área de drenaje

14

Q : Tasa volumétrica de flujo

Qi : Tasa de inyección del fluido fracturante

rw : Radio del pozo

s : Factor de daño en el pozo

S : Precio del barril de petróleo

Sp : Coeficiente de perdida por expansión de la longitud (Spurt loss)

S1 : Diferencia de esfuerzos provista por la capa superior (u -p)

S2 : Diferencia de esfuerzos provista por la capa inferior (l -p)

t : Tiempo

Vs : Velocidad de descenso del agente apuntalante

VPN : Valor presente neto

Ww : Ancho de la fractura en el pozo

x : Coordenada longitudinal

Símbolos

: Tiempo de apertura de la fractura

: Viscosidad del petróleo

: Penetración de la fractura en la capa superior

: Penetración de la fractura en la capa inferior

p : Densidad del agente apuntalante

f : Densidad del fluido

: Relación de Poisson

t : Paso de tiempo

: Porosidad de la formación

Referencias

1. Simonson, E.E., Abou-Sayed, A.S., and Clifton, R.J., “Containment of Massive Hydraulic

Fractures,” paper SPE 6089 presented at the SPE-AIME 51st Annual Technical Conference

and Exhibition, held in New Orlands, Oct. 3-6, 1976, pp. 27-32.

2. Cleary, M.P., Keck, R.G., and Mear, M.E.: ”Microcomputer models for the design of

Hydraulic Fractures,” paper SPE 11628 presented at the SPE/DOE Low permeability Gas

Reservoir Symposium held in Denver March 14-16, 1983, pp. 257-270.

3. Palmer, I. D., and H. B. Covel, “Three-Dimensional Hydraulic Fracture propagation in the

Presence of Stress Variation,” paper SPE 10849 presented at the SPE/DOE/GRI

Unconventional Gas Recovery Symposium held in Pittsburgh, PA, May 1982, pp. 870-878.

4. Palmer, I.D.: “Numerical Solution for Height and Elongated Hydraulic Fractures,” paper SPE

11627 presented at the SPE/DOE Symposium on Low Permeability held in Denver,

Colorado, March 14-16, 1983, pp. 249-256.

5. Palmer, I.D., and Craig, H.R.: “Modeling of asymmetric Vertical Growth in Elongated

Hydraulic Fractures and Aplication to first MWX Stimulation,” paper SPE 12879 presented at

the SPE/DOE/GRI Unconventional Gas Recovery Symposium held in Pittsburgh, PA, May

13-15, 1984, pp. 453-462.

6. Usman A. : ”A Practical Hydraulic Fracturing Model Simulating Necessary Fracture

Geometry, Fluid Flow and Leakoff, and Proppant Transsport”, paper SPE 12880 presented at

the SPE/DOE/GRI Unconventional Gas Recovery Symposium held in Pittsburgh, PA, May

13-15, 1984, pp. 463-470.

15

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