Des ondes à la surface de l'eau : une histoire qui fait des vagues

Des ondes à la surface de l’eau : une histoire qui fait des vagues ! 2011

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Résumé du projet

a notion d’onde est souvent difficile à comprendre. Nous avons choisi de revenir au début de la science ondulatoire en observant les mouvements de la surface libre des océans, des lacs, des canaux et des rivières. Des phénomènes apparemment aussi différents que les marées, les vagues sur l’océan, les clapotis… sont en

réalité de la même famille. Ce sont, en effet, des ondes périodiques caractérisées par un mouvement de la surface de l’eau : un mouvement de nature oscillatoire et qui se propage. Ce qui différencie ces phénomènes les uns des autres est l’échelle de temps, c’est-à-dire la période T des oscillations. Il existe aussi des phénomènes qui, bien que non périodiques, appartiennent à la famille des ondes de surface : citons le sillage des bateaux, le ressaut hydraulique, le mascaret ou encore le raz de marée… Par leur diversité, toutes ces ondes de surface sont suffisamment riches pour couvrir la plupart des phénomènes physiques ondulatoires : la réflexion, la réfraction, la diffraction, la dispersion, … Depuis la rentrée scolaire 2010 et dans la perspective du programme de Terminale où une partie est consacrée aux ondes, nous avons souhaité poursuivre un travail initié dans le cadre des T.P.E (Travaux Personnels Encadrés) proposés en classe de première Scientifique (1ère S). Après avoir pris connaissance, grâce à nos professeurs de sciences physiques (M. Frédéric Martin et M. Philippe Heinis), de l’existence du concours « Olympiades de Physique », nous avons souhaité y participer dans le but d’avoir une démarche de projet permettant d’approfondir nos connaissances en expérimentant dans le domaine des « ondes à la surface de l’eau ».

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Marine Fricker (TS4)


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Sommaire

Introduction

A. Observations à partir de photographies ou d’images satellites .......................................... page7

1) Réflexion, réfraction, diffraction

2) Reproduction avec une cuve à ondes

B. Ondes capillaires et ondes de gravité ................................................................................... page 13

1) Quelques explications Rides capillaires, vagues de vent, houle

2) Etude avec un canal à vagues a) Courbe d’étalonnage b) Forme de la vague c) Visualisation des trajectoires d) Influence de la profondeur

3) Expériences sur la cuve à ondes

a) Protocole expérimental b) Mesures c) Exploitation

C. Le phénomène de ressaut hydraulique et les mascarets ..................................................... page 22

1) De quoi s’agit-il ? a) Mascaret b) Ressaut hydraulique

2) Etude expérimentale

D. Le sillage de Kelvin ............................................................................................................... page 27

Conclusion


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Introduction

e mot « onde » est issu du latin « unda » qui se rapporte à une « eau qui se déplace en se soulevant et en s’abaissant ». Il se traduit en anglais par « wave », mot de la même racine que « vague », hérité de l’ancien scandinave pour désigner l’onde formée par le vent à la surface de la mer ou d’un lac. On est donc forcé de

constater que, très tôt, le concept d’onde a émergé de l’observation du mouvement de la surface libre des océans, des lacs, des canaux et des rivières. Des phénomènes apparemment aussi différents que les marées, les vagues sur l’océan, le clapotis… sont de la même famille. Ce sont en effet des ondes périodiques caractérisées par un mouvement de la surface de l’eau, de nature oscillatoire et qui se propage. La seule chose qui différencie ces phénomènes les uns des autres est l’échelle de temps c’est-à-dire la période T des oscillations. Il existe aussi des phénomènes qui, bien que non périodiques, appartiennent à la famille des ondes de surface : citons le sillage des bateaux, le ressaut hydraulique, le mascaret, l’onde de crue, le raz de marée… Par leur diversité, les ondes de surface sont suffisamment riches pour couvrir la plupart des phénomènes physiques ondulatoires : la réflexion, la réfraction, la diffraction, la dispersion… Une onde est caractérisée par :

- sa fréquence f = 1T

, où T est la période temporelle de l’onde, c’est-à-dire la durée qui sépare le passage de

deux rides consécutives - sa période spatiale λ, ou longueur d’onde, distance qui sépare deux rides consécutives. - Son amplitude zm

On peut alors considérer la vitesse de propagation des ondes, ou célérité : c = λT

= λ.f . Si c dépend de la fréquence,

on parle d’onde dispersive.

A) Observations à partir de photographies ou d’images satellites

1) Réflexion, réfraction, diffraction

Lorsque des vagues arrivent sur une jetée, on remarque qu’elles repartent dans l’autre sens : ce phénomène est-il analogue à la réflexion de la lumière sur un miroir plan ? Sur la photographie ci-dessous, on observe que les vagues, initialement rectilignes, deviennent circulaires après le passage par l’ouverture : l’onde est diffractée par l’ouverture. Quelles sont les conditions pour observer ce phénomène ?

Sur la photographie ci-dessous, les vagues semblent « tourner » pour arriver parallèlement au rivage. Pourquoi ?

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Diffraction après l’ouverture


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Réfraction (dans la baie) et diffraction des vagues (derrière l’île), vu par satellite au large de la Namibie.

2) Reproduction avec une cuve à ondes

On place une faible épaisseur d’eau sur la vitre horizontale de la cuve à ondes. Un vibreur permet de créer des ondes périodiques, rectilignes ou circulaires. Un éclairage stroboscopique, synchronisé sur la fréquence du vibreur, permet d’observer l’immobilité apparente du phénomène. Un miroir plan, incliné à 45°, permet l’observation verticale sur un écran dépoli. Il faut tenir compte d’un facteur d’agrandissement : on place pour cela un objet-témoin de longueur connue sur la

vitre (objet-témoin : 6,5 cm) Echelle : Longueur lue 0,46 = Longueur réelle.


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a) Réflexion des ondes :

Avec une cuve à ondes, on peut observer le phénomène de réflexion, en plaçant une règle métallique par exemple. Pour différentes inclinaisons de celle-ci, on a pu vérifier que l’angle d’incidence est égal à l’angle de réflexion. On peut noter que la longueur d’onde ne varie pas après réflexion.

Angle d’incidence i 30° 38° 45° 49° 53° 55°

Angle de réflexion i’ 31° 40° 45° 50° 52° 60°

On vérifie expérimentalement la relation i(°) = i’(°) analogue à la loi de Snell-Descartes pour la réflexion vue en classe de seconde dans la partie « Exploration de l’espace-Les messages de la lumière » .

Angle de réflexion i’(en deg)

Angle d’incidence i (en deg)

Modèle linéaire

i’ = a i

a=1,0120,02

i’=2° et i=2°

Coef. corrél. r=0,991


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b) Réfraction des ondes : Lorsque les vagues arrivent à proximité du rivage, on est dans le cas d’ondes de gravité en eau peu profonde, et la

célérité c des vagues dépend de la profondeur H (c = g.H , voir annexe). Ces ondes ne sont pas dispersives (c ne dépend pas de la fréquence f). A proximité du rivage, la profondeur H diminue, donc c également : les vagues sont donc « réfractées », comme la lumière passant d’un milieu à un autre plus réfringent. Sur la figure ci-dessous, on remarque effectivement que des vagues « tournent » pour se placer parallèlement au rivage !

Pour simuler la réfraction des ondes, on a déposé une plaque de verre, à plat sur le fond de la cuve : cela permet de diminuer localement la profondeur de l’eau. La cuve est ainsi partagée en deux zones de profondeurs différentes, qui constituent deux milieux de propagation différents pour les ondes périodiques émises par le vibreur.

Un côté de la plaque de verre a été placé parallèlement au front de l’onde incidente.

On peut observer la diminution de la longueur d’onde , et donc de la célérité c de l’onde, après réfraction.


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On tourne maintenant la plaque de verre. Pour différentes positions de la plaque, on mesure les angles d’incidence i et de réfraction r, ainsi que les longueurs d’ondes, avant et après réfraction. Pour travailler plus facilement, nous avons, à chaque fois, placé un transparent sur le dépoli, puis nous avons reproduit les fronts d’ondes dessus.

Sin i

Sin r 1,3 et i

r

Tableau de mesures : fréquence f= constante. Hauteur d’eau dans la cuve constante. Hauteur d’eau au-dessus du

triangle en plastique bleu constante les longueurs d’onde i et r restent inchangées au cours de l’expérience.

Angle d’incidence i(°) 30° 34° 37° 41°

Angle de réfraction r(°) 23° 28° 27° 30°

Longueur d’onde i (cm) 0,57 0,57 0,57 0,57

Longueur d’onde r (cm) 0,46 0,46 0,46 0,46 Sin i

Sin r

1,3 1,2 1,3 1,3

i

r

1,2 1,2 1,2 1,2

Echelle : =0,46lue


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On vérifie la relation suivante : sin(i)

λi =

sin(r)λr

Remarque : Cette relation est analogue à la loi de Snell-Descartes pour la réfraction de la lumière vue en classe de seconde dans la partie « Exploration de l’espace-Les messages de la lumière» .

c) Diffraction des ondes : On place deux objets simulant une ouverture. On observe que l’onde reste rectiligne, mais une partie seulement passe : l’onde est diaphragmée.

Lorsque la taille de l’ouverture et la longueur d’onde sont du même ordre de grandeur, on obtient des ondes circulaires, de même longueur d’onde : l’onde est diffractée. Plus la taille de l’ouverture est petite, plus le phénomène de diffraction est important.

Exemple: f=35Hz

=7,0mm

a=15mm

=28°

Sin = 0,47 et a

= 7,015

= 0,47


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Tableau de mesures : Ouverture a=15mm

f (Hz) 25 35 50 65

λ (mm) 9,2 7,0 5,4 4,5

(°) 38 28 21 18

/a 0,61 0,47 0,36 0,30

Sin 0,62 0,47 0,36 0,31

On peut vérifier la relation suivante: Remarque : Cette relation est analogue à celle vérifiée au cours de la séance « TP diffraction d’un faisceau laser par

une fente fine diffractante» (programme de terminale S). Au cours de cette même séance et sachant que l’angle est très petit (distance entre la fente et l’écran de visualisation considérée grande par rapport à la largeur a de la

fente), on a réalisé l’approximation sin .

B) Ondes capillaires, ondes de gravité

1) Quelques explications

Nous allons aborder maintenant l’étude des ondes périodiques. Nous nous limiterons à celles qui se propagent (rides capillaires, vagues de vent, houle). Nous n’étudierons pas celles qui sont stationnaires (clapotis, seiche). L’existence d’ondes à la surface de l’eau est due, d’une part à la pesanteur qui tend à maintenir l’interface air-eau horizontale (ondes de gravité), et d’autre part à la tension de surface qui tend à maintenir l’interface plane (ondes capillaires). La capillarité domine pour les petites longueurs d’onde et la gravité pour les grandes longueurs d’onde (la longueur limite est appelée longueur capillaire, nous y reviendrons).

Rides capillaires, vagues de vent, houle Sur un plan d’eau immobile, soumis à l’action du vent, il est fréquent d’observer une ondulation régulière de la surface libre. L’ondulation est dans la direction du vent. Une coupe de la surface à l’instant t montrerait que son élévation, notée z(t), est périodique et le plus souvent sinusoïdale.

En considérant que la célérité ou vitesse v de propagation de l’onde (appelée aussi vitesse de phase) est constante, on montre que :

z(t) = zm .sin[2Пλ

.(x-v.t)]

Sin = a


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Il faut bien souligner que c’est bien l’ondulation de la surface que l’on voit se déplacer et non le fluide. Il n’y a aucune raison particulière pour que la célérité de l’onde soit la même que celle des particules du liquide. Pour s’en convaincre, on pourra observer par exemple le bouchon du pêcheur qui est soumis aux mouvements verticaux de l’eau alors que les rides soulevées par le vent se déplacent par rapport à lui : l’onde véhicule une information (ici, le déplacement de la surface), mais pas de matière. Limitons-nous pour l’instant aux ondes en grande profondeur, c’est-à-dire lorsque la profondeur H est grande devant la longueur d’onde (H>>λ). Lorsque la vitesse du vent est de 2 à 3 m/s (4 à 6 nœuds), cette ondulation est constituée de rides dites « capillaires » dont la longueur d’onde est de l’ordre du centimètre, et l’amplitude de l’ordre de quelques millimètres. Lorsque la vitesse du vent augmente, la longueur d’onde et l’amplitude augmentent : on parle alors de « vagues » lorsque la longueur d’onde est de plusieurs dizaines de centimètres et l’amplitude de plusieurs centimètres. Amplitude et longueur d’onde sont en fait fonction de l’énergie fournie à la vague, c’est-à-dire à la fois de l’intensité du vent et du temps pendant lequel la perturbation a été alimentée. Comme la vague se déplace avec une certaine vitesse, amplitude et longueur d’onde augmentent avec le trajet parcouru jusqu’à une distance, appelée « fetch », à partir de laquelle elle est saturée en amplitude. Les vagues périodiques en eau profonde présentent quelques propriétés spécifiques dont la plus importante est certainement qu’elles sont dispersives, c’est-à-dire que leur célérité dépend de la longueur d’onde. Beaucoup de phénomènes ondulatoires sont dispersifs. Il existe cependant quelques exemples d’ondes périodiques non dispersives : c’est le cas des ondes sonores dans l’air (si l’amplitude n’est pas trop grande) et de la lumière dans le vide. De même, les ondes longues à la surface d’un liquide, dans un canal de faible profondeur, ne sont pas dispersives comme nous le verrons par la suite. Lorsque l’amplitude des vagues augmente sous l’effet du vent, la forme ne reste plus sinusoïdale. De plus, aux grandes ondulations, se superposent des ondulations de plus petite amplitude et de plus faible longueur d’onde : les vagues présentent alors un aspect « rugueux ». Les crêtes ont tendance à se déplacer plus vite que les creux. Pour une onde périodique, ce phénomène se traduit par une augmentation de la courbure de la surface sur les crêtes et par sa diminution dans les creux.

Pour une certaine valeur de l’amplitude, on voit apparaître au voisinage des crêtes une écume blanche qu’on appelle le déferlement. Ce déferlement tend à limiter la cambrure C de la vague, c’est-à-dire le rapport entre l’amplitude et

la longueur d’onde (C = zmλ

). La théorie prédit que la cambrure maximale est égale à 0,14. Les effets d’amplitude sur

la forme de la vague et sur la vitesse de l’onde sont des effets non linéaires. Dans l’histoire du vent et de l’eau, il manque une fin. Quand le vent cesse, l’ondulation de grande longueur d’onde persiste, mais les « rugosités » de surface disparaissent. Seules les structures de plus grande longueur d’onde persistent car elles possèdent la durée de vie la plus grande (l’énergie des vagues est dissipée progressivement par les forces de viscosité). Par exemple, les ondes capillaires de 1 cm ont une durée de vie très faible de 1 seconde environ : elles disparaissent donc dès que le vent qui les entretient cesse. S’il n’y avait que la viscosité pour les dissiper, les vagues de 1 m auraient une durée de vie de 4 heures, et celles de 10 m, de 14 jours, ce qui est considérable. Ces vagues qui gardent la mémoire de l’effet du vent constituent ce qu’on appelle la houle.


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2) Etude avec un canal à vagues

a) Courbe d’étalonnage : La cuve est équipée d’un batteur actionné par un moteur à courant continu et un système bielle-manivelle. On peut faire varier la fréquence en modifiant la tension d’alimentation du moteur. A l’autre extrémité de la cuve, on peut placer une mousse pour éviter la réflexion des vagues. On a rempli la cuve jusqu’à une hauteur H = 10 cm, puis on a mesuré la fréquence f des oscillations pour différentes valeurs de la tension. On a alors tracé la courbe d’étalonnage représentant la fréquence f en fonction de la tension U.

La modélisation nous donne le résultat suivant : f = 0,197.U-0,293 (f en Hz, U en V) Coefficient de corrélation : r = 0,997 > 0,99 Justification du modèle utilisé : le moteur utilisé est un moteur à courant continu avec aimants permanents donc

U = E + R.I , avec E = K. =K.2 f= K’f (où : la vitesse angulaire de rotation du rotor- f : la fréquence de rotation

du ror en Hz et K’=K.2=constante).

Etalonnage

f=0,197×U - 0,293

Coef. corrélation: r=0,997

f=fréquence de rotation du rotor(Hz)

U=tension continue aux bornes du moteur (V)


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Ainsi, f = (U-RI)

K’ = a.U-b , avec a =

1K’

= constante et b = R.IK’

= constante

Remarque : l’intensité I est constante (moteur en état de charge constante).

Forme de la vague Pour une valeur fixe de la fréquence f, et pour une profondeur H de 10 cm, on a fait une photographie de la forme des vagues. On a pointé les coordonnées de différents points de l’interface air-eau.

On a trouvé que la forme des vagues est sensiblement sinusoïdale, à condition que l’amplitude des vagues ne soit pas trop grande devant la profondeur.

b) Visualisation des trajectoires : On a filmé le mouvement d’un objet flottant à la surface de l’eau : son mouvement est sensiblement elliptique. On peut en déduire que l’onde n’est pas transversale, contrairement à ce que l’on écrit dans les livres de physique de Terminale S.


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On peut également noter que lors de la propagation de l’onde, il n’y a pas transport de matière (la boule ne se déplace pas avec l’onde !)

c) Influence de la profondeur H sur la vitesse c de propagation de l’onde :

Dans le cas général, c2 = ( g.λ

2.π +

2.π.A

ρ.λ ) . tanh(

2.π.H

λ)

Avec : g : intensité de la pesanteur (9,81m.s-2) λ : longueur d’onde (m)

A : coefficient de tension superficielle (A = 0,072 N.m-1 à 20°C dans le cas de l’interface eau-air) ρ : masse volumique de l’eau (998g/L )

H : profondeur de l’eau (m) C : vitesse de propagation de l’onde (m/s)

Approximation H <<λ (eau peu profonde) On se place dans l’approximation « ondes de gravité en eau peu profonde » , donc : H <<λ .

Dans ce cas, tanh(2.π.H

λ) ~

2.π.Hλ

De plus, g.λ2.π

~ 10.0,502.3,14

~ 0,80 m2.s-2 et 2.π.A

ρ.λ ~

,

, ~ 0,00091 m2.s-2

Formule de Lord Kelvin


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On peut donc négliger le terme capillaire devant le terme de gravité.

Alors : c2 = g.λ2.π

. 2.π.H

λ c2 = g.H

Pour différentes valeurs de la profondeur H, on mesure la durée Δt nécessaire à un front d’onde pour parcourir une

distance D=. On en déduit la célérité c.

Représentation graphique de cexp2 = f(H)

La modélisation montre que c2 n’est pas proportionnel à H : l’approximation « en eau peu profonde » n’est pas satisfaisante dans les conditions de notre expérience.

Pourquoi ? H10cm et λ50cm donc λ5H Ceci n’est pas suffisant pour la condition λ >> H Il faut donc tenir compte du terme de profondeur H !

Retour à la formule de Lord Kelvin Revenons à l’expression théorique de la célérité (formule de Lord Kelvin):

c² = ( g.λ2.π

+ 2.π.A

ρ.λ ) . tanh(

2.π.Hλ

)

On obtient donc :

c² = g.λ2.π

. tanh(2.π.H

λ)

cexp² (m²/s²)

Modèle : cexp² = a H où a = 7,06

Coef. corrélation : r=0,96<0,99

H(m

)

𝐜𝐞𝐱𝐩 =𝐃

𝐭


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On peut noter que les valeurs expérimentales sont très proches des valeurs théoriques.

Comparons avec le modèle c² = gH.

Le modèle n°2 traduit mieux la variation de c en fonction de H dans les conditions de l’expérience.


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3) Expériences sur la cuve à ondes

a) Protocole expérimental : Pour différentes fréquences f de la source, on mesure la longueur d’onde λ de l’onde mécanique.

On en déduit la célérité c de l’onde par la formule : c = λ .f

b) Mesures pour l’eau (eau distillée) et pour une profondeur H8mm

f (Hz) 25 30 35 40 45 50 55 60 65 80

λ (mm) 9,2 7,8 7,0 6,3 5,9 5,4 5,1 4,7 4,5 3,9

c (m/s) 0,23 0,23 0,25 0,25 0,27 0,27 0,28 0,28 0,29 0,31

c) Exploitation :

c² = ( g.λ2.π

+ 2.π.A

ρ.λ ) . tanh(

2.π.Hλ

)

Pour savoir si ce sont les ondes capillaires ou les ondes de gravité qui dominent, il faut introduire la longueur d’onde

capillaire c = 2.π.A

ρ.g, qui vaut environ 1,7 cm dans le cas de l’eau. On constate donc que dans le cas de la cuve à

onde, on doit se placer dans la situation intermédiaire la plus générale si l’on veut effectuer une approche quantitative.

De plus, on se rend compte que la tangente hyperbolique est très proche de 1 (approximation eau profonde H>>), pour toutes les mesures effectuées.

On comparera donc nos mesures à la formule théorique suivante : c2 = g.λ2.π

+ 2.π.A

ρ.λ



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Dans l’approximation « en eau profonde», on obtient la courbe suivante, qui comporte deux parties bien distinctes.

Lorsque la longueur d’onde est très inférieure à la longueur capillaire, c est proportionnel à 1/ λ : on est en ondes capillaires (voir annexe).

Lorsque la longueur d’onde est très supérieure à la longueur capillaire, c est proportionnel à λ : on est en ondes de gravité (voir annexe).

Modélisation : ondes en eau peu profonde H>>

Résultat : le coefficient de corrélation r est égal à 0,993. r> 0,99, on peut considérer que le modèle est satisfaisant.


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On peut en déduire des valeurs expérimentales de l’intensité gexp de la pesanteur et du coefficient de tension superficielle Aexp à l’aide du logiciel Latispro:

gexp = 8,8m.s-2 Ecart de 10% par rapport à la valeur de référence (gref = 9,8 m.s-2)

= 10% pas de point expérimental pour >c

Aexp = 0,056 N.m-1 Ecart de 23% par rapport à la valeur de référence (Aref = 0,073 N.m-1)

=23% A très sensible à la présence d’impuretés

(A a le bon ordre de grandeur)

C) Le phénomène de ressaut hydraulique et les mascarets

1) De quoi s’agit-il ?

Parmi les perturbations localisées, visibles à la surface des plans d’eau, on doit distinguer les perturbations qui se déplacent de celles qui sont fixes. Par nature, elles ne sont pas fondamentalement différentes, c’est simplement leur origine qui change. Les perturbations qui se déplacent sont généralement associées à un corps flottant qui se déplace (c’est le cas du sillage laissé par les canards ou les navires) ou à une perturbation initiale localisée créée sur le plan d’eau (c’est le cas du mascaret). Les perturbations fixes sont associées à la présence d’un courant, leur vitesse relative à celui-ci étant égale en valeur et opposée à la vitesse du courant : c’est le cas du ressaut hydraulique rencontré dans les cours d’eau et plus particulièrement dans les ouvrages hydrauliques (le ressaut est un phénomène de la famille des ondes de choc qui prennent naissance dans les ondes de compression).

a) Le phénomène de ressaut hydraulique :

Léonard de Vinci, dans l’un des 13000 feuillets où il consignait ses observations sur la Nature, notait : « L’eau qui tombe en ligne perpendiculaire par un tuyau arrondi sur un lieu plan, tracera une onde circulaire autour de l’endroit percuté ; à l’intérieur de ce cercle, l’eau se mouvra très rapidement et s’étalera en une couche fort mince autour du point frappé, puis finira par heurter la vague qu’elle a produite qui cherche à retourner au lieu de la percussion. » Si vous ouvrez un robinet, l’eau s’étale en une mince pellicule dans toutes les directions autour de l’impact. Puis son niveau remonte brusquement. Cette discontinuité trace autour du jet un cercle que l’on appelle « ressaut hydraulique ».

Un ressaut hydraulique circulaire comme on peut l’observer au fond d’un évier à fond plat. Un cercle limite une zone centrale mince et lisse d’une zone externe plus épaisse et agitée. Des ondes de gravité peuvent se propager dans l’eau contre le courant si la vitesse de l’eau est inférieure à la célérité des ondes. Le rapport de la vitesse du courant à la célérité de l’onde est appelé nombre de Froude. Si ce nombre est inférieur à 1, l’écoulement est alors subcritique. S’il est supérieur à 1, l’écoulement est supercritique. Le saut hydraulique est l’onde qui se produit là où le liquide passe de supercritique à subcritique. Il y a un changement de hauteur car la célérité de l’onde dépend


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de la racine carrée de la profondeur de l’eau (c = g.H). Dans l’évier par exemple, la profondeur est plus basse à l’intérieur du cercle, la célérité de l’onde de gravité est faible et l’écoulement supercritique. A l’extérieur du cercle, la profondeur augmente, donc la célérité de l’onde est plus élevée et l’écoulement est subcritique. Remarque : on peut tenter de faire une « petite » analogie avec le son, même s’il y a des différentes notables demeurent.

Célérité du son Célérité de l’onde à la surface de l’eau Nombre de Mach Nombre de Froude

2) Etude expérimentale

Ressaut hydraulique dans un évier-Diamètre du plat : 26,5cm Nous avons mesuré le rayon R du ressaut pour différents débits d’écoulement de l’eau. Le débit Q a été déterminé en mesurant la durée Δt nécessaire pour remplir une éprouvette graduée de volume V = 250 mL . La séquence a été filmée puis avec Latispro, la durée Δt a été mesurée à 1/25ème de seconde près (à l’image près)

Q = V

Δt

Mesures :

Les célérités C des ondes de surface sont inférieures à la vitesse V1 du liquide dans la région centrale (Fr>1), et supérieures à la vitesse V2 (Fr<1) dans l’anneau externe.

Fr = V

C nombre de Froude

Fr > 1: écoulement supercritique Fr < 1: écoulement subcritique

Eprouvette de 250mL Mesure du débit Q(en mL/s)


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Exploitation : Différents modèles sont proposés dans la littérature scientifique. A faible débit, Rayleigh propose un modèle où le rayon est proportionnel au débit. A fort débit, il propose R proportionnel au débit au carré. Aucun de ces modèles n’est compatible avec nos mesures.

J.W. Strutt dit Lord Rayleigh

(1842-1919)

Modèle de Rayleigh à faible

débit

Modèle de Rayleigh à fort débit

R(en mm)

Q(en mL/s)

Modèle : R=kQ

k=2,1180,04

Erreur R = 0,025m Coef. corrélation r=0,973<0,99

Modèle non satisfaisant

Q²(en mL²/s²)

R(en mm)

Modèle non satisfaisant

k=98,8111,75

Erreur R = 0,025m Coef. corrélation r=0,695<0,99

Modèle : R=kQ²


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Les deux modèles de Lord Rayleigh (à faible débit et à fort débit) ne sont pas satisfaisants dans les conditions de notre expérience.

Par contre, nos mesures sont compatibles avec le modèle de Godwin (R proportionnel à Q2/3).

Expérience permettant de visualiser l’équivalent du cône de Mach : L’expérience décrite ci-dessous indique un moyen d’estimer expérimentalement le nombre de Froude de la zone torrentielle du ressaut hydraulique. C’est ce que nous proposons de faire simplement avec le dispositif suivant. En créant une zone où Fr > 1 moyennant l’écoulement de l’eau d’un robinet tombant sur le fond plat d’une cuve, on y place un objet fin et pointu, comme la pointe d’un couteau. On peut alors observer la formation du cône de Mach. On peut montrer que :

Modèle de Godwin

Cône de Mach dans la zone « torrentielle »

du ressaut hydraulique

Fr = V

C =

1

Sin nombre de Froude

Fr>1: écoulement supercritique (torrentiel)

Fr<1: écoulement subcritique (fluvial)

Modèle satisfaisant

Q²/3(en (mL/s)^2/3)

R(en mm)

Modèle : R=kQ²/3

k=0,5560,01

Erreur R = 0,025m Coef. corrélation r=0,998>0,99


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La valeur estimée du demi angle au sommet est α = 34°, d’où un nombre de Froude estimé à Fr = 1,9 (zone supercritique) Le phénomène du cône de Mach n’est pas propre à l’acoustique, ni au ressaut hydraulique : de manière générale, chaque fois qu’une source se déplace plus vite que l’onde qu’elle émet, quelle que soit la nature de cette onde, ce phénomène se produit.

b) Mascaret : Le mascaret, qui est un phénomène de brusque surélévation de l’eau d’un fleuve ou d’un estuaire provoquée par l’onde de la marée montante lors des grandes marées, est également un exemple de ressaut hydraulique. Il se produit dans l’embouchure et le cours inférieur de certains fleuves lorsque leur courant est contrarié par le flux de la marée montante. Les mascarets les plus spectaculaires s’observent aux embouchures de la Severn, en Angleterre, et de l’Amazone, au Brésil, voire même en Alaska. Le mascaret de l’Amazone offre un spectacle grandiose : sa largeur peut atteindre 2 kilomètres en certains endroits, sa hauteur 5 mètres, et il balaie l’Amazone vers l’amont à 12 nœuds. Mais le plus frappant de tous est le mascaret du Tsien-Tang-Kiang, en Chine, qui s’est déjà élevé jusqu’à une hauteur de 8 mètres ! En France, il est particulièrement visible sur la Gironde, en Basse-Normandie ou en Bretagne. Ce phénomène se caractérise par une vague, plus ou moins haute, qui remonte le cours du fleuve et dont la puissance varie en fonction de la hauteur de la marée, du débit du fleuve et de la topographie (profondeur et largeur du lit, bancs de sable, méandres…). C’est une vague, déferlante ou non, remontant le cours d’eau, s’accentuant généralement lorsque son lit se resserre. Physiquement, le mascaret correspond à la propagation d’un ressaut qui finit par se décomposer en plusieurs ondes car les vagues se déplacent plus vite lorsqu’elles sont longues. Dans le cas du mascaret, l’afflux d’eau de la marée dans un canal qui se rétrécit et s’élève rend l’écoulement supercritique pour toute onde produite par un obstacle dans un courant. Le mascaret change l’écoulement de supercritique en subcritique en augmentant la profondeur d’eau, et donc en augmentant la vitesse des ondes.

La formation d’un mascaret résulte de la rencontre entre l’écoulement à vitesse Vr de la rivière vers la mer, et celui de

vitesse Vm

en inverse produit par la marée montante. Le mascaret correspond à la formation d’un ressaut

hydraulique avançant à une vitesse c et séparant la zone arrière d’épaisseur hm

et la zone avant d’épaisseur hr.


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D) Sillage de Kelvin

Bateaux et autres canards

L’exemple typique d’onde progressive localisée est celle qui est créée par un corps flottant se déplaçant à vitesse constante à la surface d’un liquide. C’est, par exemple, le sillage très caractéristique que laissent les canards ou les cygnes dans leur déplacement. C’est aussi celui que laissent les navires en mouvement sur une mer calme. Ce sillage est constitué d’une oscillation du plan d’eau qui semble figée lorsqu’on se déplace avec le corps, et qui est visible à l’intérieur d’un angle de 39°, à l’arrière. La structure particulière de la surface libre est due, dans ce cas, au caractère dispersif des ondes de surface : il s’agit donc d’un phénomène rencontré en eau profonde. Ce phénomène semble analogue au cône de Mach des avions se déplaçant plus vite que le son qu’ils créent, les avions supersoniques.

Carte postale du mascaret sur la Seine à Quilleboeuf (Seine-Maritime) vers 1930. Lors des grandes marées, la vague déferlante remontait le fleuve avec le flot (marée montante).


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Au point C, l’avion, qui se déplace à la vitesse v vers la droite, crée une onde sonore circulaire, qui se propage à la

célérité c. Au bout d’une durée t, l’avion s’est déplacé d’une distance vt, le front de l’onde sonore de ct . A la date t, l’ensemble des fronts d’onde décrit un cône, appelé cône de Mach, de demi-angle au sommet α ,tel

que :sin(α) = c.tv.t

= cv

Lorsque l’avion accélère, l’angle α diminue. Peut-on vraiment faire l’analogie avec le sillage laissé par un canard ou un bateau ?

Grâce à "Google Earth", il est possible de « voyager » au-dessus des océans. Voici quelques sillages observés dans différents endroits du monde

Il est fort improbable que ces navires aillent exactement à la même vitesse, et soient du même tonnage. Pourtant, l'angle de leur sillage vaut 39° !

Ce sillage est appelé sillage de Kelvin, du nom du Lord qui l'a expliqué le premier.

Expliquons la différence par rapport au phénomène précédent :

L’avion se déplace dans l’air. Or, l’air n’est pas un milieu dispersif. On a vu que sin(α) = cv , donc si l’avion

accélère, l’angle α diminue.


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Dans le cas des ondes de gravité en eau profonde, on a vu que l’eau est un milieu dispersif…et cela change tout ! Par exemple, Quand un caillou tombe dans l'eau, il forme une série de cercles concentriques, qui ont une étonnante structure si l'on y regarde de près : une sorte de large anneau s'écarte lentement, il contient des vagues plus petites qui vont plus vite que lui (deux fois plus vite d'ailleurs). On voit nettement ces petites vagues s'échapper de l'anneau en s'estompant. Un physicien aguerri dirait qu'il s'agit d'une parfaite illustration des notions de vitesse de phase (la vitesse des petites ondes internes) et de vitesse de groupe (vitesse de progression de l'anneau). En fait, le caillou heurtant l'eau ne fabrique pas une seule onde, mais toute une série (un paquet d'ondes), elles interfèrent les unes avec les autres pour former le paquet.

En résumé, lorsque les ondes sont dispersives, il existe une vitesse particulière, appelée vitesse de groupe Vg , différente de la célérité de l’onde (ou vitesse de phase c). La vitesse de groupe est liée à l’enveloppe de la perturbation. Comme l’énergie de la perturbation est directement liée à l’amplitude de l’enveloppe, on peut aussi dire que la vitesse de groupe correspond à la vitesse de propagation de l’énergie. Dans le cas des ondes de gravité, la vitesse de groupe est égale à la moitié de la vitesse de phase.


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Le canard crée un sillage derrière lui, et l’entraîne avec lui : vu du canard, le sillage semble immobile. Le cercle bleu donne l’endroit où se situent les fronts des ondes émises en A, quand le canard est en B. Ces fronts sont en général quasi-invisibles. Ce que l’on voit, par contre, correspond au front de groupe, lié à l’énergie, qui se déplace deux fois moins vite : il est délimité par le cercle rouge.

D’après le schéma, sin(α) = R

3R =

13

, donc α = 19,5° , et 2α = 39°


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Remarque : cette explication est insuffisante pour expliquer les détails du sillage, comme sur la photographie suivante.

Conclusion

e phénomène d’onde n’est pas limité aux seules déformations visibles à la surface de l’eau puisque le son et la lumière appartiennent aussi à la famille des ondes périodiques. Dans le cas du son, la pression présente une analogie de comportement avec l’élévation de la surface libre, et, dans le cas de la lumière, c’est le champ

magnétique ou électrique. Cependant, contrairement aux ondes de surface, il n’est pas possible « d’observer » directement le caractère ondulatoire du son ou de la lumière. Il a fallu pour cela réaliser des expériences indirectes : pour la lumière, par exemple, on a dû attendre les expériences d’interférences proposées par Young au début du 19ème siècle pour vérifier le caractère ondulatoire…qui fut pourtant imaginé par Huygens dès 1690 !

Bibliographie ► Cours « Ondes et vibrations » de Daniel Maillard (Université Paris 7 – Denis Diderot) ► TP d’hydrodynamique (IUT de Marseille) ► « Le carnaval de la physique » de Jearl Walker ► « Ce que disent les fluides » de E.Guyon , JP Hulin et L.Petit ►BUP vol 97 mars 2002 « A propos des ondes de la cuve à ondes » par C. Lagoute ►BUP Vol 6 novembre 1992 « Construction d’un canal à surface libre » par D. Obert ►BUP n°682 « Pour un emploi rationnel de la cuve à ondes » par J. Gatecel

L


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Remerciements

Nous tenons à remercier tout particulièrement :

- M. Jean-Joseph FELTZ (proviseur du lycée Jean-Jacques Henner) pour l’intérêt qu’il porte à ce projet. - Mme Brigitte FOURNIER (IPR/IA Sciences physiques et chimiques fondamentales et appliquées de

l’académie de Strasbourg) pour son soutien. - M. Frédéric MARTIN (agrégé de Physique) et M. Philippe HEINIS (agrégé de Physique) pour leurs

encouragements, leur aide précieuse, leurs conseils et leur disponibilité. - Mme Peggy CALMETTES (technicienne de laboratoire) pour la mise à disposition des différents matériels et

des salles de travail. -M. Jean-Paul BRENDER, ingénieur INSA pour ses conseils. -Les élèves de terminale S1 et de terminale S4 qui nous soutiennent et nous encouragent sans cesse.


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Annexe

c² = ( g.λ2.π

+ 2.π.A

ρ.λ ) . tanh(

2.π.Hλ

)

Approximation en « eau peu profonde »

Approximation en « eau profonde »

H<< H>>

2.π.Hλ

<<1 et tanh(2.π.H

λ)

2.π.Hλ

c² ( g.λ2.π

+ 2.π.A

ρ.λ ) . (

2.π.Hλ

)

c² g.H + H

²

Terme négligeable devant g.H

c = gH

C est indépendant de , donc onde NON DISPERSIVE

2.π.Hλ

>>1 et tanh(2.π.H

λ) 1

c² ( g.λ2.π

+ 2.π.A

ρ.λ )

Terme capillaire Terme de gravité

On introduit la longueur capillaire

c = 2.π.A

ρ.g (1,7cm pour l’eau)

<<c >>c

c g λ2 π

c 2 π Aρ λ

C est dépendant de , donc onde DISPERSIVE

C si C si

Vitesse de groupe Vg

Vg = 𝟑

𝟐 𝐜 Vg > 𝐜 Vg =

𝟏

𝟐 𝐜 Vg < 𝐜


Des ondes à la surface de l'eau : une histoire qui fait des vagues

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