Ders 6: Nümerik Diferansiyel -...
Transcript of Ders 6: Nümerik Diferansiyel -...
������� ������� �� ��������� ��������� �� ������
���� �� ����� ���� �����
���� ���� ��� �� �� �� �����
������ ���������
� ����� ������� �������
������� ������� �� ��������� ��������� �� ������
������
� ����� ������������������ ���������������� �������� ���!� "��# ���� $��� ����� ������"��# %��&'��� $�(��� �(#����� %������'
� )�!*������ ������+������� ����(
������� ������� �� ��������� ��������� �� ������
������
� ����� ������������������ ���������������� �������� ���!� "��# ���� $��� ����� ������"��# %��&'��� $�(��� �(#����� %������'
� )�!*������ ������+������� ����(
������� ������� �� ��������� ��������� �� ������
����� ���� �����
� ���������(�, &�� �� ������'����� ���#� ���-'���� ������ #���'-'�'�.�������� ���'���
� ′(��) = ���→�
� (�� + �)− � (��)�
������ �� *��+���'��
������� ������� �� ��������� ��������� �� ������
����� ���� �����
� ���������(�, &�� �� ������'����� ���#� ���-'���� ������ #���'-'�'�.�������� ���'���
� ′(��) = ���→�
� (�� + �)− � (��)�
������ �� *��+���'�� �( ����� �(����'����� �/��� �����! ������-���� ����
� (�� + �)− � (��)�
����'�'� � ′(��) ���#�� &�� ������' ���(-(�( �0��� ��������
������� ������� �� ��������� ��������� �� ������
����� ���� �����
� ���������(�, &�� �� ������'����� ���#� ���-'���� ������ #���'-'�'�.�������� ���'���
� ′(��) = ���→�
� (�� + �)− � (��)�
������ �� *��+���'�� �( ����� �(����'����� �/��� �����! ������-���� ����
� (�� + �)− � (��)�
����'�'� � ′(��) ���#�� &�� ������' ���(-(�( �0��� ���������(�(��� &��&� �01 ���(�( ������', �����-� *����'� &������-����0���� ��� &�� ������' �-������
������� ������� �� ��������� ��������� �� ������
����� ���# ��#��'�' ������ ��!'��� 0�! � &���� ������ ��� ��������� ���# �������� �� ���2
������� ������� �� ��������� ��������� �� ������
����� ���# ��#��'�' ������ ��!'��� 0�! � &���� ������ ��� ��������� ���# �������� �� ���2 �� ∈ (�, �) #������ # �� ∈ [�, �] ���!������� �� = �� + � �����-��� ��-����� � �= 3 ���'���' .01 0��� ��'��'��
������� ������� �� ��������� ��������� �� ������
����� ���# ��#��'�' ������ ��!'��� 0�! � &���� ������ ��� ��������� ���# �������� �� ���2 �� ∈ (�, �) #������ # �� ∈ [�, �] ���!������� �� = �� + � �����-��� ��-����� � �= 3 ���'���' .01 0��� ��'��'��� ∈ � �[�, �] ���������(�(� �� ������'����� ���#��� *��+�����'�
������� ������� �� ��������� ��������� �� ������
����� ���# ��#��'�' ������ ��!'��� 0�! � &���� ������ ��� ��������� ���# �������� �� ���2 �� ∈ (�, �) #������ # �� ∈ [�, �] ���!������� �� = �� + � �����-��� ��-����� � �= 3 ���'���' .01 0��� ��'��'��� ∈ � �[�, �] ���������(�(� �� ������'����� ���#��� *��+�����'� ξ(�)���'�' �� �� �� ����'��� ���� �1� �� # �� ��������'��� � ���������(��� ���� 4�.���. ����+������� +�����( *��� ���� �� &��&�
������� ������� �� ��������� ��������� �� ������
����� ���# ��#��'�' ������ ��!'��� 0�! � &���� ������ ��� ��������� ���# �������� �� ���2 �� ∈ (�, �) #������ # �� ∈ [�, �] ���!������� �� = �� + � �����-��� ��-����� � �= 3 ���'���' .01 0��� ��'��'��� ∈ � �[�, �] ���������(�(� �� ������'����� ���#��� *��+�����'� ξ(�)���'�' �� �� �� ����'��� ���� �1� �� # �� ��������'��� � ���������(��� ���� 4�.���. ����+������� +�����( *��� ���� �� &��&�
� (�) = � (��)� − ���� − ��
+ � (��)� − ���� − ��
+� ′′(ξ(�))
5!(� − ��)(� − ��)
������ ��1'�'��
������� ������� �� ��������� ��������� �� ������
����� ���# ��#��'�' ������ ��!'��� 0�! � &���� ������ ��� ��������� ���# �������� �� ���2 �� ∈ (�, �) #������ # �� ∈ [�, �] ���!������� �� = �� + � �����-��� ��-����� � �= 3 ���'���' .01 0��� ��'��'��� ∈ � �[�, �] ���������(�(� �� ������'����� ���#��� *��+�����'� ξ(�)���'�' �� �� �� ����'��� ���� �1� �� # �� ��������'��� � ���������(��� ���� 4�.���. ����+������� +�����( *��� ���� �� &��&�
� (�) = � (��)� − ���� − ��
+ � (��)� − ���� − ��
+� ′′(ξ(�))
5!(� − ��)(� − ��)
������ ��1'�'�� �� = �� + � �� � = �� − �� ���(-(���� �(���'���� �����(����'�����
� (�) =� (��)(� − �� − �)
−� +� (�� + �)(� − ��)
�+(� − ��)(� − �� − �)
5� ′′(ξ(�))
�����-�� (���'�'��
������� ������� �� ��������� ��������� �� ������
����� ���# ��#��'�' ������ ��!'��� 0�! � &���� ������ ��� ��������� ���# �������� �� ���2 �� ∈ (�, �) #������ # �� ∈ [�, �] ���!������� �� = �� + � �����-��� ��-����� � �= 3 ���'���' .01 0��� ��'��'��� ∈ � �[�, �] ���������(�(� �� ������'����� ���#��� *��+�����'� ξ(�)���'�' �� �� �� ����'��� ���� �1� �� # �� ��������'��� � ���������(��� ���� 4�.���. ����+������� +�����( *��� ���� �� &��&�
� (�) = � (��)� − ���� − ��
+ � (��)� − ���� − ��
+� ′′(ξ(�))
5!(� − ��)(� − ��)
������ ��1'�'�� �� = �� + � �� � = �� − �� ���(-(���� �(���'���� �����(����'�����
� (�) =� (��)(� − �� − �)
−� +� (�� + �)(� − ��)
�+(� − ��)(� − �� − �)
5� ′′(ξ(�))
�����-�� (���'�'�� �( ������ � / .0� ���# ��'�'���
�′(�) =
� (�� + �) − � (��)
�+ ��
[ (� − ��)(� − �� − �)
��′′(ξ(�))
]
=� (�� + �) − � (��)
�+
�(� − ��) − �
��′′(ξ(�)) +
(� − ��)(� − �� − �)
��� (�
′′(ξ(�)))
��������
������� ������� �� ��������� ��������� �� ������
�-� ξ(�)/� ���� *��� ������ �*�� ������
� ′(�) ≈ � (�� + �) − � (��)�
������'' �� ������
������� ������� �� ��������� ��������� �� ������
�-� ξ(�)/� ���� *��� ������ �*�� ������
� ′(�) ≈ � (�� + �) − � (��)�
������'' �� ������ ξ(�) ���'�' �� ������ ����� �����-���� ξ(�)/����� *��� ������� *��+�����' ���� �-������
������� ������� �� ��������� ��������� �� ������
�-� ξ(�)/� ���� *��� ������ �*�� ������
� ′(�) ≈ � (�� + �) − � (��)�
������'' �� ������ ξ(�) ���'�' �� ������ ����� �����-���� ξ(�)/����� *��� ������� *��+�����' ���� �-������ �(�(��� &��&�-� � = �� ��'�'� �� �� � ′′(ξ(�)) ������� ������'�' �'�'� ���!�-'���������
� ′(��) =� (�� + �)− � (��)
�+
5(�� − ��)− �
5� ′′(ξ)
+(�� − ��)(�� − �� − �)
5��(�
′′(ξ))
����,
������� ������� �� ��������� ��������� �� ������
�-� ξ(�)/� ���� *��� ������ �*�� ������
� ′(�) ≈ � (�� + �) − � (��)�
������'' �� ������ ξ(�) ���'�' �� ������ ����� �����-���� ξ(�)/����� *��� ������� *��+�����' ���� �-������ �(�(��� &��&�-� � = �� ��'�'� �� �� � ′′(ξ(�)) ������� ������'�' �'�'� ���!�-'���������
� ′(��) =� (�� + �)− � (��)
�+
5(�� − ��)− �
5� ′′(ξ)
+(�� − ��)(�� − �� − �)
5��(�
′′(ξ))
����,ξ ���'�' �� �� �� + � ����'��� ���� �1�
� ′(��) =� (�� + �) − � (��)
�− �
5� ′′(ξ) 678
*���� .����
������� ������� �� ��������� ��������� �� ������
�-� ξ(�)/� ���� *��� ������ �*�� ������
� ′(�) ≈ � (�� + �) − � (��)�
������'' �� ������ ξ(�) ���'�' �� ������ ����� �����-���� ξ(�)/����� *��� ������� *��+�����' ���� �-������ �(�(��� &��&�-� � = �� ��'�'� �� �� � ′′(ξ(�)) ������� ������'�' �'�'� ���!�-'���������
� ′(��) =� (�� + �)− � (��)
�+
5(�� − ��)− �
5� ′′(ξ)
+(�� − ��)(�� − �� − �)
5��(�
′′(ξ))
����,ξ ���'�' �� �� �� + � ����'��� ���� �1�
� ′(��) =� (�� + �) − � (��)
�− �
5� ′′(ξ) 678
*���� .���� �����'�'��� �� # �� + � ����'-'����� �� � �-���� ����|� ′′(�)| ≤ � ���(�( ��-���'��� �� (� (�� + �)− � (��))/� ����'�'� � ′(��)�-��� = � |�|/5 *��� �'�'�'�� ��&�+ &�� ������' ���(-( ���(!( ��������
������� ������� �� ��������� ��������� �� ������
�-� ξ(�)/� ���� *��� ������ �*�� ������
� ′(�) ≈ � (�� + �) − � (��)�
������'' �� ������ ξ(�) ���'�' �� ������ ����� �����-���� ξ(�)/����� *��� ������� *��+�����' ���� �-������ �(�(��� &��&�-� � = �� ��'�'� �� �� � ′′(ξ(�)) ������� ������'�' �'�'� ���!�-'���������
� ′(��) =� (�� + �)− � (��)
�+
5(�� − ��)− �
5� ′′(ξ)
+(�� − ��)(�� − �� − �)
5��(�
′′(ξ))
����,ξ ���'�' �� �� �� + � ����'��� ���� �1�
� ′(��) =� (�� + �) − � (��)
�− �
5� ′′(ξ) 678
*���� .���� �����'�'��� �� # �� + � ����'-'����� �� � �-���� ����|� ′′(�)| ≤ � ���(�( ��-���'��� �� (� (�� + �)− � (��))/� ����'�'� � ′(��)�-��� = � |�|/5 *��� �'�'�'�� ��&�+ &�� ������' ���(-( ���(!( �������� 678 ������ � > 3 �� ����� ���� ���� 6��1� 9��� 7�78, � < 3 ������ ���� ���� ������ ������'�'�'��
������� ������� �� ��������� ��������� �� ������
� �
�
�� �� + �
� (��+�)−� (��)�
�-��
� ′(��) �-��
9��� 7�7 2 "��# ���� ���� ���� ��������� .����� ���((
������� ������� �� ��������� ��������� �� ������
:��� 7�7
� = 3.7� � = 3.3; � � = 3.37 ������ �� �� ������� ������� ���������� = 7.< ���������� � (�) = �� � ������������ ��� � � � ��� ������������ ��������� � � � ��� � � � �� ���� ��������� ������ �������� ��� ����� � ���� �����
������� ������� �� ��������� ��������� �� ������
:��� 7�7
� = 3.7� � = 3.3; � � = 3.37 ������ �� �� ������� ������� ���������� = 7.< ���������� � (�) = �� � ������������ ��� � � � ��� ������������ ��������� � � � ��� � � � �� ���� ��������� ������ �������� ��� ����� � ���� �����
!���� ���� ���� ������ �(����'����� ��+'��!�� &�� ������'
� (7.<) ≈ � (7.< + �)− � (7.<)�
������ ���!�-'���� �����' � ��' (1(��(����' ���� ���-'���� �-��� �������2
� = 3.7 2 � (7.<) ≈ � (�.�+�.�)−� (�.�)�.� = �� �.�−�� �.�
�.� = 3.;=3>?5575?,
� = 3.3; 2� (7.<) ≈ � (�.�+�.��)−� (�.�)
�.�� = �� �.��−�� �.��.�� = 3.;=?@?@=<A<,
� = 3.37 2� (7.<) ≈ � (�.�+�.��)−� (�.�)
�.�� = �� �.��−�� �.��.�� = 3.;;=37<3A?>�
������� ������� �� ��������� ��������� �� ������
� (�) = �� � ���� � ′(�) = �
�# � ′′(�) = − �
�����(-(���� ξ ���'�' �� ��
�� + � ���� 7.< �� 7.< + � ����'��� ���� �1�
|� ′′(ξ(�))| =∣∣∣∣− 7
(ξ(�))�
∣∣∣∣ ≤ �B�.�≤ξ≤�.�+�
7(ξ(�))�
=7
(7.<)�=
5;<7
= 3.A3<>=7@?;A
�� ������
������� ������� �� ��������� ��������� �� ������
� (�) = �� � ���� � ′(�) = �
�# � ′′(�) = − �
�����(-(���� ξ ���'�' �� ��
�� + � ���� 7.< �� 7.< + � ����'��� ���� �1�
|� ′′(ξ(�))| =∣∣∣∣− 7
(ξ(�))�
∣∣∣∣ ≤ �B�.�≤ξ≤�.�+�
7(ξ(�))�
=7
(7.<)�=
5;<7
= 3.A3<>=7@?;A
�� ������ �(�� .0� #���� � �-���� ���� ��+'��� ������'�� ��(���*����'� �'�'�' ���-'���� ����� �� �����2
� = 3.7 2 = � |�|�
= ��
��
�.��
= �
�= 3.37;=A53@<??,
� = 3.3; 2 = � |�|�
= ��
��
�.���
= �
��= 3.33??7>3=@A<A,
� = 3.37 2 = � |�|�
= ��
��
�.���
= �
��= 3.337;=A53@<??�
������� ������� �� ��������� ��������� �� ������
� (�) = �� � ���� � ′(�) = �
�# � ′′(�) = − �
�����(-(���� ξ ���'�' �� ��
�� + � ���� 7.< �� 7.< + � ����'��� ���� �1�
|� ′′(ξ(�))| =∣∣∣∣− 7
(ξ(�))�
∣∣∣∣ ≤ �B�.�≤ξ≤�.�+�
7(ξ(�))�
=7
(7.<)�=
5;<7
= 3.A3<>=7@?;A
�� ������ �(�� .0� #���� � �-���� ���� ��+'��� ������'�� ��(���*����'� �'�'�' ���-'���� ����� �� �����2
� = 3.7 2 = � |�|�
= ��
��
�.��
= �
�= 3.37;=A53@<??,
� = 3.3; 2 = � |�|�
= ��
��
�.���
= �
��= 3.33??7>3=@A<A,
� = 3.37 2 = � |�|�
= ��
��
�.���
= �
��= 3.337;=A53@<??�
C���� � ′(�) = �
����� � ′(7.<) = �
�.� = �
�= 3.;̄ ���(-(���� �(���'��
�� ���� �-����� .��� ���# �-��� ���'� ���(-( .01������
������� ������� �� ��������� ��������� �� ������
������� ��������
� ������ � ����� ����ξ� ���'�' �� �� �� + 5� ����'��� ���� �1�
� ′(��) =75�
[−A� (��) + =� (�� + �)− � (�� + 5�)] +��
A� ()(ξ�). 658
������� ������� �� ��������� ��������� �� ������
������� ��������
� ������ � ����� ����ξ� ���'�' �� �� �� + 5� ����'��� ���� �1�
� ′(��) =75�
[−A� (��) + =� (�� + �)− � (�� + 5�)] +��
A� ()(ξ�). 658
� ������ ���� ����� ����ξ� ���'�' �� − � �� �� + � ����'��� ���� �1�
� ′(��) =7
5�[� (�� + �)− � (�� − �)]− ��
>� ()(ξ�). 6A8
������� ������� �� ��������� ��������� �� ������
%� � ����� �������� (� ����� # �������� ���� ����� �����������*����' "(��) ���� �� ���� ����� ������ �(����'����� ��+'��� ������'����(��� *���, (� ����� ������ �(����'����� ��+'��� ������'�� ��(���*����'� ���'�' ������'��
������� ������� �� ��������� ��������� �� ������
%� � ����� �������� (� ����� # �������� ���� ����� �����������*����' "(��) ���� �� ���� ����� ������ �(����'����� ��+'��� ������'����(��� *���, (� ����� ������ �(����'����� ��+'��� ������'�� ��(���*����'� ���'�' ������'�� �(�(� ����, 6A8 ������ �(����'����� ��+'���������'�� �� ������'�'� *� ��� �����'����� #���� �(����'�'����� 658�������� ���! �� �0���� �������'� �(����'���'�'��
������� ������� �� ��������� ��������� �� ������
%� � ����� �������� (� ����� # �������� ���� ����� �����������*����' "(��) ���� �� ���� ����� ������ �(����'����� ��+'��� ������'����(��� *���, (� ����� ������ �(����'����� ��+'��� ������'�� ��(���*����'� ���'�' ������'�� �(�(� ����, 6A8 ������ �(����'����� ��+'���������'�� �� ������'�'� *� ��� �����'����� #���� �(����'�'����� 658�������� ���! �� �0���� �������'� �(����'���'�'�� �������� (������ ������ � ���������(�(� ���#�� #���� ����'-'� (� ��������'���&�� ������' ��+'��!�� �� �(����'�'��
������� ������� �� ��������� ��������� �� ������
%� � ����� �������� (� ����� # �������� ���� ����� �����������*����' "(��) ���� �� ���� ����� ������ �(����'����� ��+'��� ������'����(��� *���, (� ����� ������ �(����'����� ��+'��� ������'�� ��(���*����'� ���'�' ������'�� �(�(� ����, 6A8 ������ �(����'����� ��+'���������'�� �� ������'�'� *� ��� �����'����� #���� �(����'�'����� 658�������� ���! �� �0���� �������'� �(����'���'�'�� �������� (������ ������ � ���������(�(� ���#�� #���� ����'-'� (� ��������'���&�� ������' ��+'��!�� �� �(����'�'�� ��� ���������� ��+'��!��������'����� �� *����'�'� �1 ����'���� 0���� �������� ���� ������������� �(������ ���'��'�'��
������� ������� �� ��������� ��������� �� ������
%� � ����� �������� (� ����� # �������� ���� ����� �����������*����' "(��) ���� �� ���� ����� ������ �(����'����� ��+'��� ������'����(��� *���, (� ����� ������ �(����'����� ��+'��� ������'�� ��(���*����'� ���'�' ������'�� �(�(� ����, 6A8 ������ �(����'����� ��+'���������'�� �� ������'�'� *� ��� �����'����� #���� �(����'�'����� 658�������� ���! �� �0���� �������'� �(����'���'�'�� �������� (������ ������ � ���������(�(� ���#�� #���� ����'-'� (� ��������'���&�� ������' ��+'��!�� �� �(����'�'�� ��� ���������� ��+'��!��������'����� �� *����'�'� �1 ����'���� 0���� �������� ���� ������������� �(������ ���'��'�'�� �������� ���� ����� �������(����'����� ��+'��� ������' 9��� 7�5/� .0�����������
������� ������� �� ��������� ��������� �� ������
� �
�
�
�� �� + ��� − �
�
��[� (�� + �)− � (�� − �)] �-��
� ′(��) �-��
9��� 7�5 2 �������� ���� ����� ��������� .����� ���((
������� ������� �� ��������� ��������� �� ������
�������� ��������
�� ����� ���������� ���(-( .�&� *���� ��� &��&������ �����', ���' (1(��(��( ��, �� = �� + �, �� = �� + 5�, � = �� + A� #� = �� + =� ��������' ����, "(�) *����'�� ��*�+ &� ����� �����������-'���� ����� #�����2
������� ������� �� ��������� ��������� �� ������
�������� ��������
�� ����� ���������� ���(-( .�&� *���� ��� &��&������ �����', ���' (1(��(��( ��, �� = �� + �, �� = �� + 5�, � = �� + A� #� = �� + =� ��������' ����, "(�) *����'�� ��*�+ &� ����� �����������-'���� ����� #�����2��������� ���� ����� ����ξ ���'�' �� − 5� �� �� + 5� ����'��� ���� �1�
� ′(��) =7
75�[� (��−5�)−<� (��−�)+<� (��+�)−� (��+5�)]+
�
A3� (�)(ξ).
6=8
������� ������� �� ��������� ��������� �� ������
�������� ��������
�� ����� ���������� ���(-( .�&� *���� ��� &��&������ �����', ���' (1(��(��( ��, �� = �� + �, �� = �� + 5�, � = �� + A� #� = �� + =� ��������' ����, "(�) *����'�� ��*�+ &� ����� �����������-'���� ����� #�����2��������� ���� ����� ����ξ ���'�' �� − 5� �� �� + 5� ����'��� ���� �1�
� ′(��) =7
75�[� (��−5�)−<� (��−�)+<� (��+�)−� (��+5�)]+
�
A3� (�)(ξ).
6=8��������� � ����� ����ξ ���'�' �� �� �� + =� ����'��� ���� �1�
� ′(��) =7
75�[−5;� (��) + =<� (�� + �)− A>� (�� + 5�)
+ 7>� (�� + A�)− A� (�� + =�)] +�
;� (�)(ξ).
6;8
������� ������� �� ��������� ��������� �� ������
�������� ��������
�� ����� ���������� ���(-( .�&� *���� ��� &��&������ �����', ���' (1(��(��( ��, �� = �� + �, �� = �� + 5�, � = �� + A� #� = �� + =� ��������' ����, "(�) *����'�� ��*�+ &� ����� �����������-'���� ����� #�����2��������� ���� ����� ����ξ ���'�' �� − 5� �� �� + 5� ����'��� ���� �1�
� ′(��) =7
75�[� (��−5�)−<� (��−�)+<� (��+�)−� (��+5�)]+
�
A3� (�)(ξ).
6=8��������� � ����� ����ξ ���'�' �� �� �� + =� ����'��� ���� �1�
� ′(��) =7
75�[−5;� (��) + =<� (�� + �)− A>� (�� + 5�)
+ 7>� (�� + A�)− A� (�� + =�)] +�
;� (�)(ξ).
6;8
D�� (� ����� ���� ��+'��!�� ������'����� 6;8 ������, ��- (� ����� ������+'��!�� ������'����� �� 6;8 �����-��� � ���� −� ��1�� �(��� ���� ���� ����� �(����'�'��
������� ������� �� ��������� ��������� �� ������
�������� ���� ����� ������ �(�������� ��+'��� ������'�� ��(���*����'�, &������� (� ����� ������ �(����'����� ��+'��� ������'����(��� *������ ��*� ����� ���(-( *��� ������ ����'����'�'��'-'��������!� .0������
������� ������� �� ��������� ��������� �� ������
�������� ���� ����� ������ �(�������� ��+'��� ������'�� ��(���*����'�, &������� (� ����� ������ �(����'����� ��+'��� ������'����(��� *������ ��*� ����� ���(-( *��� ������ ����'����'�'��'-'��������!� .0������
:��� 7�5
� (�) = � � ������������ ���� ������������ � � �� �� ������� � ����������#$�� ��%����� � � �%����� ������� ���� ���������� � ′(5.3) � � �� ������� ��������� ��������� � ������ ����� � ��&�������
� � (�)'�( ')�((*+,-'�* '.�/)+'**.�) '0�//(''..�' '/�'0(*-/.�. '*�(--)++
������� ������� �� ��������� ��������� �� ������
!���� ���� �������� .0� �������� �������� �(�������� �0�� �����'������' ��+'��&����2
������� ������� �� ��������� ��������� �� ������
!���� ���� �������� .0� �������� �������� �(�������� �0�� �����'������' ��+'��&����2 �� ����� �������� � = 3.7 # � = −3.7 ��'��&����#�� � = 3.7 # � = 3.5 ���� ���� ����� ������ �(����'��&�����
������� ������� �� ��������� ��������� �� ������
!���� ���� �������� .0� �������� �������� �(�������� �0�� �����'������' ��+'��&����2 �� ����� �������� � = 3.7 # � = −3.7 ��'��&����#�� � = 3.7 # � = 3.5 ���� ���� ����� ������ �(����'��&�����"� &(������ �������� � ��� ���(!( #�!� ���� ������', ��'(1(��(-(�(� � ����� ���(-( � = 3.7 �-�� ������ *����'�'���-������� ���'�' ����� ���(-(�( &����-��1 ���� ����� ���������(�������� ��+'��!�� ������'�'��
������� ������� �� ��������� ��������� �� ������
!���� ���� �������� .0� �������� �������� �(�������� �0�� �����'������' ��+'��&����2 �� ����� �������� � = 3.7 # � = −3.7 ��'��&����#�� � = 3.7 # � = 3.5 ���� ���� ����� ������ �(����'��&�����"� &(������ �������� � ��� ���(!( #�!� ���� ������', ��'(1(��(-(�(� � ����� ���(-( � = 3.7 �-�� ������ *����'�'���-������� ���'�' ����� ���(-(�( &����-��1 ���� ����� ���������(�������� ��+'��!�� ������'�'��� = 3.7 ���� 658 ������ �� #���� �������� (� ����� ������ �(����'�����
� ′(5.3) ≈ 75(3.7)
[−A� (5.3) + =� (5.7)− � (5.5)] = 55.3A5A73
������'' �� ������ �( ����� �� � = −3.7 �-�� ���� ��+'��!��������''� ���(!( �� 55�3;=;5; ������ &(�(�(��
������� ������� �� ��������� ��������� �� ������
!���� ���� �������� .0� �������� �������� �(�������� �0�� �����'������' ��+'��&����2 �� ����� �������� � = 3.7 # � = −3.7 ��'��&����#�� � = 3.7 # � = 3.5 ���� ���� ����� ������ �(����'��&�����"� &(������ �������� � ��� ���(!( #�!� ���� ������', ��'(1(��(-(�(� � ����� ���(-( � = 3.7 �-�� ������ *����'�'���-������� ���'�' ����� ���(-(�( &����-��1 ���� ����� ���������(�������� ��+'��!�� ������'�'��� = 3.7 ���� 658 ������ �� #���� �������� (� ����� ������ �(����'�����
� ′(5.3) ≈ 75(3.7)
[−A� (5.3) + =� (5.7)− � (5.5)] = 55.3A5A73
������'' �� ������ �( ����� �� � = −3.7 �-�� ���� ��+'��!��������''� ���(!( �� 55�3;=;5; ������ &(�(�(�� � = 3.7 ���� 6A8 �������� #���� �������� ���� ����� ������ �(����'�����
� ′(5.3) ≈ 75(3.7)
[� (5.7)− � (7.@)] = 55.55<?@3
������'' �� ������ �( ����� �� � = 3.5 �-�� ���� ��+'��!��������''� ���(!( �� 55�=7=7>A ������ &(�(�(��
������� ������� �� ��������� ��������� �� ������
���� ������� .01 0��� ��'��'-'��� &������� ����������� ���!���� ����� ��������� � = 3.7 ���� (�.(����&��!-� ���(!(�� (���'�'��
������� ������� �� ��������� ��������� �� ������
���� ������� .01 0��� ��'��'-'��� &������� ����������� ���!���� ����� ��������� � = 3.7 ���� (�.(����&��!-� ���(!(�� (���'�'��� = 3.7 ���� 6=8 ������ �� #���� &������� ���� ����� �������(����'�����
� ′(5.3) ≈ 775(3.7)
[� (7.<)− <� (7.@) + <� (5.7)− � (5.5)] = 55.7>>@@@
������'' �� ������
������� ������� �� ��������� ��������� �� ������
���� ������� .01 0��� ��'��'-'��� &������� ����������� ���!���� ����� ��������� � = 3.7 ���� (�.(����&��!-� ���(!(�� (���'�'��� = 3.7 ���� 6=8 ������ �� #���� &������� ���� ����� �������(����'�����
� ′(5.3) ≈ 775(3.7)
[� (7.<)− <� (7.@) + <� (5.7)− � (5.5)] = 55.7>>@@@
������'' �� ������"��# ��������� .��� �-�� � ′(�) = � + � � = �(7 + �) ���(-(����
� ′(5.3) = �.�(7 + 5.3) = 55.7>?7><
����� �� ������
������� ������� �� ��������� ��������� �� ������
���� ������� .01 0��� ��'��'-'��� &������� ����������� ���!���� ����� ��������� � = 3.7 ���� (�.(����&��!-� ���(!(�� (���'�'��� = 3.7 ���� 6=8 ������ �� #���� &������� ���� ����� �������(����'�����
� ′(5.3) ≈ 775(3.7)
[� (7.<)− <� (7.@) + <� (5.7)− � (5.5)] = 55.7>>@@@
������'' �� ������"��# ��������� .��� �-�� � ′(�) = � + � � = �(7 + �) ���(-(����
� ′(5.3) = �.�(7 + 5.3) = 55.7>?7><
����� �� ������ �(�� .0� ��+'��� ������'����� ��(��� (���� *��������-'���� ����� 01���&����2
E(����'��� ����� ��' �1(��(-( �(���� %����������� (� ����� � = 3.7 7.A; × 73−�
�������� (� ����� � = −3.7 7.7A × 73−�
�������� ���� ����� � = 3.7 >.7> × 73−�
�������� ���� ����� � = 3.5 5.=? × 73−�
�������� ���� ����� � = 3.7 7.>@ × 73−
������� ������� �� ��������� ��������� �� ������
:��� 7�A
1�������� ������ ���������� � ′(3.73)� � ′(3.A;) � � ′(3.>3) � � �� �� ���� � �$�� �������� �&�����
� )�') )�'- )�.) )�+) )�+- )�-- )�,)� (�) )�+' )�+, )�0' )�0, )�0/ )�00 )�0'
������� ������� �� ��������� ��������� �� ������
:��� 7�A
1�������� ������ ���������� � ′(3.73)� � ′(3.A;) � � ′(3.>3) � � �� �� ���� � �$�� �������� �&�����
� )�') )�'- )�.) )�+) )�+- )�-- )�,)� (�) )�+' )�+, )�0' )�0, )�0/ )�00 )�0'
!����
� ′(3.73) �-���� *��+���� ���� � > 3 ������ � ���� .�����
������� ������� �� ��������� ��������� �� ������
:��� 7�A
1�������� ������ ���������� � ′(3.73)� � ′(3.A;) � � ′(3.>3) � � �� �� ���� � �$�� �������� �&�����
� )�') )�'- )�.) )�+) )�+- )�-- )�,)� (�) )�+' )�+, )�0' )�0, )�0/ )�00 )�0'
!����
� ′(3.73) �-���� *��+���� ���� � > 3 ������ � ���� .�����"�&������ #���� .0� � = 3.3; # � = 3.73 ������ ��'��&���� ���&(������� (�.(� ����', ������'�� ��*� ��� ���(� #�!-���&����-��1 ����� ���� �-��, ���� � = 3.3;/� ��'+ �������� (� ������������� �(�������'��
������� ������� �� ��������� ��������� �� ������
:��� 7�A
1�������� ������ ���������� � ′(3.73)� � ′(3.A;) � � ′(3.>3) � � �� �� ���� � �$�� �������� �&�����
� )�') )�'- )�.) )�+) )�+- )�-- )�,)� (�) )�+' )�+, )�0' )�0, )�0/ )�00 )�0'
!����
� ′(3.73) �-���� *��+���� ���� � > 3 ������ � ���� .�����"�&������ #���� .0� � = 3.3; # � = 3.73 ������ ��'��&���� ���&(������� (�.(� ����', ������'�� ��*� ��� ���(� #�!-���&����-��1 ����� ���� �-��, ���� � = 3.3;/� ��'+ �������� (� ������������� �(�������'������ &������� �������� &( �-��� �����(����'���1�
������� ������� �� ��������� ��������� �� ������
:��� 7�A
1�������� ������ ���������� � ′(3.73)� � ′(3.A;) � � ′(3.>3) � � �� �� ���� � �$�� �������� �&�����
� )�') )�'- )�.) )�+) )�+- )�-- )�,)� (�) )�+' )�+, )�0' )�0, )�0/ )�00 )�0'
!����
� ′(3.73) �-���� *��+���� ���� � > 3 ������ � ���� .�����"�&������ #���� .0� � = 3.3; # � = 3.73 ������ ��'��&���� ���&(������� (�.(� ����', ������'�� ��*� ��� ���(� #�!-���&����-��1 ����� ���� �-��, ���� � = 3.3;/� ��'+ �������� (� ������������� �(�������'������ &������� �������� &( �-��� �����(����'���1��(�� .0�
� ′(3.73) ≈ 75�
[−A� (3.73) + =� (3.7;)− � (3.53)]
≈ 75(3.3;)
[−A(3.A7) + =(3.A>)− 3.=7] = 7
&(�(�(��
������� ������� �� ��������� ��������� �� ������
� ′(3.A;) �-���� *��+���� ���� � = 3.53 #�� � = 3.5; ��'������������� ���� ����� ������ �(����'��&�����
������� ������� �� ��������� ��������� �� ������
� ′(3.A;) �-���� *��+���� ���� � = 3.53 #�� � = 3.5; ��'������������� ���� ����� ������ �(����'��&����� �������� �������� &(�-��� ���� �(����'���1�
������� ������� �� ��������� ��������� �� ������
� ′(3.A;) �-���� *��+���� ���� � = 3.53 #�� � = 3.5; ��'������������� ���� ����� ������ �(����'��&����� �������� �������� &(�-��� ���� �(����'���1� �#!(� ��� ���� ����'���� *����'��-��� .0� ��*� ����� ���� � = 3.53 ��'����� �������� ���� ������������� �(������ � ��� ������'' ��+�'1' ��-����
� ′(3.A;) ≈ 75(3.53)
[� (3.;;)− � (3.7;)]
≈ 75(3.53)
[3.== − 3.A>] = 3.5
&(�(�(��
������� ������� �� ��������� ��������� �� ������
� ′(3.A;) �-���� *��+���� ���� � = 3.53 #�� � = 3.5; ��'������������� ���� ����� ������ �(����'��&����� �������� �������� &(�-��� ���� �(����'���1� �#!(� ��� ���� ����'���� *����'��-��� .0� ��*� ����� ���� � = 3.53 ��'����� �������� ���� ������������� �(������ � ��� ������'' ��+�'1' ��-����
� ′(3.A;) ≈ 75(3.53)
[� (3.;;)− � (3.7;)]
≈ 75(3.53)
[3.== − 3.A>] = 3.5
&(�(�(��
� ′(3.>3) �-���� *��+���� ���� � < 3 ������ � ���� .�����
������� ������� �� ��������� ��������� �� ������
� ′(3.A;) �-���� *��+���� ���� � = 3.53 #�� � = 3.5; ��'������������� ���� ����� ������ �(����'��&����� �������� �������� &(�-��� ���� �(����'���1� �#!(� ��� ���� ����'���� *����'��-��� .0� ��*� ����� ���� � = 3.53 ��'����� �������� ���� ������������� �(������ � ��� ������'' ��+�'1' ��-����
� ′(3.A;) ≈ 75(3.53)
[� (3.;;)− � (3.7;)]
≈ 75(3.53)
[3.== − 3.A>] = 3.5
&(�(�(��
� ′(3.>3) �-���� *��+���� ���� � < 3 ������ � ���� .�����"�&������ #���� .0� (�.(� �� �(�( � = −3.5; ������ ��������(� ����� �������� �(�������'��
������� ������� �� ��������� ��������� �� ������
� ′(3.A;) �-���� *��+���� ���� � = 3.53 #�� � = 3.5; ��'������������� ���� ����� ������ �(����'��&����� �������� �������� &(�-��� ���� �(����'���1� �#!(� ��� ���� ����'���� *����'��-��� .0� ��*� ����� ���� � = 3.53 ��'����� �������� ���� ������������� �(������ � ��� ������'' ��+�'1' ��-����
� ′(3.A;) ≈ 75(3.53)
[� (3.;;)− � (3.7;)]
≈ 75(3.53)
[3.== − 3.A>] = 3.5
&(�(�(��
� ′(3.>3) �-���� *��+���� ���� � < 3 ������ � ���� .�����"�&������ #���� .0� (�.(� �� �(�( � = −3.5; ������ ��������(� ����� �������� �(�������'�� �(�� .0�
� ′(3.>3) ≈ 75(3.5;)
[A� (3.>3)− =� (3.A;) + � (3.73)]
≈ 75(3.5;)
[A(3.=7)− =(3.=?) + 3.A7] = −3.><
&(�(�(��
������� ������� �� ��������� ��������� �� ������
���� ����� �� ��� ���� ������
� ���������(�( �� !�#��'����� ����!� "����� +�����(, ξ̂ ���'�' � �� ������'��� ���� �1�
� (�) =� (��) + � ′ (��) (� − ��) +75!� ′′ (��) (� − ��)
�+
7A!� ′′′ (��) (� − ��)
+7=!� (��)(ξ̂)(� − ��)
������ �� #������
������� ������� �� ��������� ��������� �� ������
���� ����� �� ��� ���� ������
� ���������(�( �� !�#��'����� ����!� "����� +�����(, ξ̂ ���'�' � �� ������'��� ���� �1�
� (�) =� (��) + � ′ (��) (� − ��) +75!� ′′ (��) (� − ��)
�+
7A!� ′′′ (��) (� − ��)
+7=!� (��)(ξ̂)(� − ��)
������ �� #������ �( ��'�'�� � ���� �'���' �� �� + � # �� − � ��1'�'���,�� − � < ξ−� < �� < ξ� < �� + � ���� �1�
� (�� + �) = � (��)+ �′ (��) �+
75� ′′ (��) ��+
7>� ′′′ (��) �+
75=� (��)(ξ�)�
#
������� ������� �� ��������� ��������� �� ������
���� ����� �� ��� ���� ������
� ���������(�( �� !�#��'����� ����!� "����� +�����(, ξ̂ ���'�' � �� ������'��� ���� �1�
� (�) =� (��) + � ′ (��) (� − ��) +75!� ′′ (��) (� − ��)
�+
7A!� ′′′ (��) (� − ��)
+7=!� (��)(ξ̂)(� − ��)
������ �� #������ �( ��'�'�� � ���� �'���' �� �� + � # �� − � ��1'�'���,�� − � < ξ−� < �� < ξ� < �� + � ���� �1�
� (�� + �) = � (��)+ �′ (��) �+
75� ′′ (��) ��+
7>� ′′′ (��) �+
75=� (��)(ξ�)�
#
� (�� − �) = � (��)−� ′ (��) �+ 75� ′′ (��) ��− 7
>� ′′′ (��) �+
75=� (��)(ξ−�)�
��������� �� ������
������� ������� �� ��������� ��������� �� ������
�( ��� ���� ����� ������ ��+���'��� &����!� # ����!� ���#� ���� ������������ #
� (�� + �)+� (�� − �) = 5� (��)+�′′ (��) ��+
75=
[� (��) (ξ�) + � (��) (ξ−�)
]�
�� ������
������� ������� �� ��������� ��������� �� ������
�( ��� ���� ����� ������ ��+���'��� &����!� # ����!� ���#� ���� ������������ #
� (�� + �)+� (�� − �) = 5� (��)+�′′ (��) ��+
75=
[� (��) (ξ�) + � (��) (ξ−�)
]�
�� ������ D�� ������ ����!� ���# .0� ����� ��1'�'���
� ′′ (��) =7��
[� (�� − �)− 5� (��) + � (�� + �)]−��
5=
[� (��) (ξ�) + � (��) (ξ−�)
]6>8
���(!(�� (���'�'��
������� ������� �� ��������� ��������� �� ������
�( ��� ���� ����� ������ ��+���'��� &����!� # ����!� ���#� ���� ������������ #
� (�� + �)+� (�� − �) = 5� (��)+�′′ (��) ��+
75=
[� (��) (ξ�) + � (��) (ξ−�)
]�
�� ������ D�� ������ ����!� ���# .0� ����� ��1'�'���
� ′′ (��) =7��
[� (�� − �)− 5� (��) + � (�� + �)]−��
5=
[� (��) (ξ�) + � (��) (ξ−�)
]6>8
���(!(�� (���'�'�� � (��) ���������( [�� − �, �� + �] ����'-'��� ������ ���(��
������� ������� �� ��������� ��������� �� ������
�( ��� ���� ����� ������ ��+���'��� &����!� # ����!� ���#� ���� ������������ #
� (�� + �)+� (�� − �) = 5� (��)+�′′ (��) ��+
75=
[� (��) (ξ�) + � (��) (ξ−�)
]�
�� ������ D�� ������ ����!� ���# .0� ����� ��1'�'���
� ′′ (��) =7��
[� (�� − �)− 5� (��) + � (�� + �)]−��
5=
[� (��) (ξ�) + � (��) (ξ−�)
]6>8
���(!(�� (���'�'�� � (��) ���������( [�� − �, �� + �] ����'-'��� ������ ���(���
�
[� (��) (ξ�) + � (��) (ξ−�)
]������ � (��) (ξ�) �� � (��) (ξ−�) �-����
����'��� ���(-(���� $������ �-� "���/� .0� ξ� �� ξ−� ����'���# �����'�'��� (�� − �, �� + �) ����� &�� ξ ���'�' ����
� (��) (ξ) =75
[� (��) (ξ�) + � (��) (ξ−�)
]6?8
�����-� ��-���'��
������� ������� �� ��������� ��������� �� ������
6?8 &�-'��'�' 6>8/�� ���� ��1'�'��� ξ ���'�' �� − � �� �� + � ����'������� �1�
� ′′ (��) =7��
[� (�� − �)− 5� (��) + � (�� + �)]− ��
75� (��) (ξ) 6<8
�����-� �� ������
������� ������� �� ��������� ��������� �� ������
6?8 &�-'��'�' 6>8/�� ���� ��1'�'��� ξ ���'�' �� − � �� �� + � ����'������� �1�
� ′′ (��) =7��
[� (�� − �)− 5� (��) + � (�� + �)]− ��
75� (��) (ξ) 6<8
�����-� �� ������ 6<8 ������� ������ ���� � �� ���� ����� ������' #������
������� ������� �� ��������� ��������� �� ������
6?8 &�-'��'�' 6>8/�� ���� ��1'�'��� ξ ���'�' �� − � �� �� + � ����'������� �1�
� ′′ (��) =7��
[� (�� − �)− 5� (��) + � (�� + �)]− ��
75� (��) (ξ) 6<8
�����-� �� ������ 6<8 ������� ������ ���� � �� ���� ����� ������' #������ C0�����-� �1� *��� "(��)/����
������� ������� �� ��������� ��������� �� ������
:��� 7�=
2�� � '�.3� � (�) = � � ������������ ��������� ������� � ��� �� � �� ��� �������� � ����� �� � � � ����� ������� �� ������ ��������������� �� ������������ � ′(5.3) ���� ������������ � � ���� �&������ 4 �� $!�� ���������� 5���� 6<8 �� � ��� � ����4� ��� � ������������������� � ′′(5.3) � � ��� ��� ��������� ��������� � �� ��������������� ����� � ��&�������
� � (�)'�( ')�((*+,-'�* '.�/)+'**.�) '0�//(''..�' '/�'0(*-/.�. '*�(--)++
������� ������� �� ��������� ��������� �� ������
!���� �(���'���� ���� ��&���(�� .0� � ′′(5.3) �-��� &�� ������'� = 3.7 # � = 3.5 ��'����� ��+'��&�����
������� ������� �� ��������� ��������� �� ������
!���� �(���'���� ���� ��&���(�� .0� � ′′(5.3) �-��� &�� ������'� = 3.7 # � = 3.5 ��'����� ��+'��&����� �-� � = 3.7 ��'�'� �� 6<8���������
� ′′ (5.3) ≈ 7
(3.7)�[� (7.@)− 5� (5.3) + � (5.7)] = 5@.;@A533,
&�1� ����� � = 3.5 ��'�'� ��
� ′′ (5.3) ≈ 7
(3.5)�[� (7.<)− 5� (5.3) + � (5.5)] = 5@.?3=5?;
�-���� �� ������
������� ������� �� ��������� ��������� �� ������
!���� �(���'���� ���� ��&���(�� .0� � ′′(5.3) �-��� &�� ������'� = 3.7 # � = 3.5 ��'����� ��+'��&����� �-� � = 3.7 ��'�'� �� 6<8���������
� ′′ (5.3) ≈ 7
(3.7)�[� (7.@)− 5� (5.3) + � (5.7)] = 5@.;@A533,
&�1� ����� � = 3.5 ��'�'� ��
� ′′ (5.3) ≈ 7
(3.5)�[� (7.<)− 5� (5.3) + � (5.5)] = 5@.?3=5?;
�-���� �� ������� ′′ (�) = �(� + 5) ���(-(���� ���#�� .��� �-��
� ′′ (5.3) = �.� (5.3 + 5) = 5@.;;>55=
������ &(�(�(��
������� ������� �� ��������� ��������� �� ������
!���� �(���'���� ���� ��&���(�� .0� � ′′(5.3) �-��� &�� ������'� = 3.7 # � = 3.5 ��'����� ��+'��&����� �-� � = 3.7 ��'�'� �� 6<8���������
� ′′ (5.3) ≈ 7
(3.7)�[� (7.@)− 5� (5.3) + � (5.7)] = 5@.;@A533,
&�1� ����� � = 3.5 ��'�'� ��
� ′′ (5.3) ≈ 7
(3.5)�[� (7.<)− 5� (5.3) + � (5.5)] = 5@.?3=5?;
�-���� �� ������� ′′ (�) = �(� + 5) ���(-(���� ���#�� .��� �-��
� ′′ (5.3) = �.� (5.3 + 5) = 5@.;;>55=
������ &(�(�(�� �(�� .0� � = 3.7 ��'��'-'��� ������'�� ��(���(���� *��� �-�� A.>@?>× 73−� ��� � = 3.5 ��'��'-'��� ��(��� (����*��� 7.=<3;7× 73−� ��(�� � �-�� � ����� ����� ��'�'� �� ��+'���������' .��� �-� � ����� �������!�-'���� &(�(��� (���� *����-���� ���'��'�'��
������� ������� �� ��������� ��������� �� ������
:��� 7�;
� (�) = � ��� � � � = 3.7 ����� �� � � ′′(7) � � �� ���� ��� ������������������� 6� ��������� ������ ������ ����� � ��&������ � ���� ������� ��� ����� � ���� �����
������� ������� �� ��������� ��������� �� ������
:��� 7�;
� (�) = � ��� � � � = 3.7 ����� �� � � ′′(7) � � �� ���� ��� ������������������� 6� ��������� ������ ������ ����� � ��&������ � ���� ������� ��� ����� � ���� �����
!���� � (�) = ���� � , �� = 7 # � = 3.7 ���� 6<8 ������ �(����'�'���
� ′′ (7) ≈ 7��
[� (�� + �)− 5� (��) + � (�� − �)]
≈ 7
(3.7)�[� (7.7)− 5� (7) + � (3.@)]
≈ 3.5A<3A
������ &(�(�(��
������� ������� �� ��������� ��������� �� ������
:��� 7�;
� (�) = � ��� � � � = 3.7 ����� �� � � ′′(7) � � �� ���� ��� ������������������� 6� ��������� ������ ������ ����� � ��&������ � ���� ������� ��� ����� � ���� �����
!���� � (�) = ���� � , �� = 7 # � = 3.7 ���� 6<8 ������ �(����'�'���
� ′′ (7) ≈ 7��
[� (�� + �)− 5� (��) + � (�� − �)]
≈ 7
(3.7)�[� (7.7)− 5� (7) + � (3.@)]
≈ 3.5A<3A
������ &(�(�(�� � (�) = � ��� � �� � ′ (�) = ��� � + � !�� � #� ′′ (�) = 5 !�� � − � ��� � ���(-(���� ���������(� #���� ��������� ����!����# �-��
� ′′ (7) = 5 !�� 7 − ��� 7 = 3.5A@7A
������ �� ������
������� ������� �� ��������� ��������� �� ������
�(�� .0� ��(��� (���� *���
|3.5A@7A− 3.5A<3A| = 7.7 × 73−
�-�� �� #������
������� ������� �� ��������� ��������� �� ������
�(�� .0� ��(��� (���� *���
|3.5A@7A− 3.5A<3A| = 7.7 × 73−
�-�� �� #������ 6<8 �������� *��� ���� �0����!� ���#� �����-����� ′′′ (�) = −� !�� � − A ��� � # � (��) (�) = −= !�� � + � ��� � ���� �1���+'��� ������'�� ��(��� *��� ���� &�� ��� �'�'�
≤ ��
75�B
ξ∈[�.�,�.�]
∣∣∣� (��) (ξ)∣∣∣�����1��-� �� #������
������� ������� �� ��������� ��������� �� ������
�(�� .0� ��(��� (���� *���
|3.5A@7A− 3.5A<3A| = 7.7 × 73−
�-�� �� #������ 6<8 �������� *��� ���� �0����!� ���#� �����-����� ′′′ (�) = −� !�� � − A ��� � # � (��) (�) = −= !�� � + � ��� � ���� �1���+'��� ������'�� ��(��� *��� ���� &�� ��� �'�'�
≤ ��
75�B
ξ∈[�.�,�.�]
∣∣∣� (��) (ξ)∣∣∣�����1��-� �� #������ �(�� .0�, ��� � # !�� � ������������'�'� *� � ����&���� ����� # [3.@, 7.7] ����'-'��� ��� � ���������(�(� �����, !�� ����������(� �� �1���� ���(-( .01 0��� ��'��'-'���
≤ (3.7)�
75�B
ξ∈[�.�,�.�]|−= !�� ξ + ξ ��� ξ| =
(3.7)�
75|−= !�� 3.@ + 3.@ ��� 3.@|
���(��� ≤ 7.=@=;× 73−
�� ������
������� ������� �� ��������� ��������� �� ������
����� ��� !�" ���� � #�� �� � � � �!
"��# �-��� &�� ������' ��+'��'-'��� ��(��� �(#����� *����'�������� �� .�����
������� ������� �� ��������� ��������� �� ������
����� ��� !�" ���� � #�� �� � � � �!
"��# �-��� &�� ������' ��+'��'-'��� ��(��� �(#����� *����'�������� �� .����� �( �(�(( #(�.(���� ���� 6A8 �����-� �� #������������ ���� ����� ������
� ′ (��) =75�
[� (�� + �)− � (�� − �)]− ��
>� ′′′(ξ)
�1����� &�1' �'���'����� &(�(��&�����1�
������� ������� �� ��������� ��������� �� ������
����� ��� !�" ���� � #�� �� � � � �!
"��# �-��� &�� ������' ��+'��'-'��� ��(��� �(#����� *����'�������� �� .����� �( �(�(( #(�.(���� ���� 6A8 �����-� �� #������������ ���� ����� ������
� ′ (��) =75�
[� (�� + �)− � (�� − �)]− ��
>� ′′′(ξ)
�1����� &�1' �'���'����� &(�(��&�����1� ���1 ��� ��, � (�� + �) #� (�� − �) ������� �'���' �� (�� + �) # (�� − �) �(#����� *������' ���̃ (�� + �) # �̃ (�� − �) ������ *��+����'��
������� ������� �� ��������� ��������� �� ������
����� ��� !�" ���� � #�� �� � � � �!
"��# �-��� &�� ������' ��+'��'-'��� ��(��� �(#����� *����'�������� �� .����� �( �(�(( #(�.(���� ���� 6A8 �����-� �� #������������ ���� ����� ������
� ′ (��) =75�
[� (�� + �)− � (�� − �)]− ��
>� ′′′(ξ)
�1����� &�1' �'���'����� &(�(��&�����1� ���1 ��� ��, � (�� + �) #� (�� − �) ������� �'���' �� (�� + �) # (�� − �) �(#����� *������' ���̃ (�� + �) # �̃ (�� − �) ������ *��+����'�� �(�� .0�
� (�� + �) = �̃ (�� + �) + (�� + �) # � (�� − �) = �̃ (�� − �) + (�� − �)
��1'��&�����
������� ������� �� ��������� ��������� �� ������
�����'�'���, ������'�� �� # �(#�������� �����' ��(��� ��+�� *���
� ′ (��) =75�
[�̃ (�� + �) + (�� + �)− �̃ (�� − �)− (�� − �)]− ��
>� ′′′(ξ)
=�̃ (�� + �)− �̃ (�� − �)
5�+
(�� + �)− (�� − �)
5�− ��
>� ′′′(ξ)
����
������� ������� �� ��������� ��������� �� ������
�����'�'���, ������'�� �� # �(#�������� �����' ��(��� ��+�� *���
� ′ (��) =75�
[�̃ (�� + �) + (�� + �)− �̃ (�� − �)− (�� − �)]− ��
>� ′′′(ξ)
=�̃ (�� + �)− �̃ (�� − �)
5�+
(�� + �)− (�� − �)
5�− ��
>� ′′′(ξ)
����
� ′(��)− �̃ (�� + �)− �̃ (�� − �)5�
= (�� + �)− (�� − �)
5�− ��
>� ′′′(ξ)
������ �� ������
������� ������� �� ��������� ��������� �� ������
�����'�'���, ������'�� �� # �(#�������� �����' ��(��� ��+�� *���
� ′ (��) =75�
[�̃ (�� + �) + (�� + �)− �̃ (�� − �)− (�� − �)]− ��
>� ′′′(ξ)
=�̃ (�� + �)− �̃ (�� − �)
5�+
(�� + �)− (�� − �)
5�− ��
>� ′′′(ξ)
����
� ′(��)− �̃ (�� + �)− �̃ (�� − �)5�
= (�� + �)− (�� − �)
5�− ��
>� ′′′(ξ)
������ �� ������ �-� (�� ± �) �(#����� *����' &�� ε > 3 ���'�' ��, ����������(�(� ����!� ���#� &�� � ���'�' �� �'�'��' ��∣∣∣∣∣ � ′(��)− �̃ (�� + �)− �̃ (�� − �)
5�
∣∣∣∣∣ =ε
�+��
>�
�� ������
������� ������� �� ��������� ��������� �� ������
�����'�'���, ������'�� �� # �(#�������� �����' ��(��� ��+�� *���
� ′ (��) =75�
[�̃ (�� + �) + (�� + �)− �̃ (�� − �)− (�� − �)]− ��
>� ′′′(ξ)
=�̃ (�� + �)− �̃ (�� − �)
5�+
(�� + �)− (�� − �)
5�− ��
>� ′′′(ξ)
����
� ′(��)− �̃ (�� + �)− �̃ (�� − �)5�
= (�� + �)− (�� − �)
5�− ��
>� ′′′(ξ)
������ �� ������ �-� (�� ± �) �(#����� *����' &�� ε > 3 ���'�' ��, ����������(�(� ����!� ���#� &�� � ���'�' �� �'�'��' ��∣∣∣∣∣ � ′(��)− �̃ (�� + �)− �̃ (�� − �)
5�
∣∣∣∣∣ =ε
�+��
>�
�� ������ ��
�� �� *����'�' ����1 �� ���� � (1(��(-(�(
�1����� .�����
������� ������� �� ��������� ��������� �� ������
�����'�'���, ������'�� �� # �(#�������� �����' ��(��� ��+�� *���
� ′ (��) =75�
[�̃ (�� + �) + (�� + �)− �̃ (�� − �)− (�� − �)]− ��
>� ′′′(ξ)
=�̃ (�� + �)− �̃ (�� − �)
5�+
(�� + �)− (�� − �)
5�− ��
>� ′′′(ξ)
����
� ′(��)− �̃ (�� + �)− �̃ (�� − �)5�
= (�� + �)− (�� − �)
5�− ��
>� ′′′(ξ)
������ �� ������ �-� (�� ± �) �(#����� *����' &�� ε > 3 ���'�' ��, ����������(�(� ����!� ���#� &�� � ���'�' �� �'�'��' ��∣∣∣∣∣ � ′(��)− �̃ (�� + �)− �̃ (�� − �)
5�
∣∣∣∣∣ =ε
�+��
>�
�� ������ ��
�� �� *����'�' ����1 �� ���� � (1(��(-(�(
�1����� .����� ����� � �-����� �1����' �(�((��� ε�
�� #�����(#����� *����' �-�� ����!���'��
������� ������� �� ��������� ��������� �� ������
�����'�'���, ������'�� �� # �(#�������� �����' ��(��� ��+�� *���
� ′ (��) =75�
[�̃ (�� + �) + (�� + �)− �̃ (�� − �)− (�� − �)]− ��
>� ′′′(ξ)
=�̃ (�� + �)− �̃ (�� − �)
5�+
(�� + �)− (�� − �)
5�− ��
>� ′′′(ξ)
����
� ′(��)− �̃ (�� + �)− �̃ (�� − �)5�
= (�� + �)− (�� − �)
5�− ��
>� ′′′(ξ)
������ �� ������ �-� (�� ± �) �(#����� *����' &�� ε > 3 ���'�' ��, ����������(�(� ����!� ���#� &�� � ���'�' �� �'�'��' ��∣∣∣∣∣ � ′(��)− �̃ (�� + �)− �̃ (�� − �)
5�
∣∣∣∣∣ =ε
�+��
>�
�� ������ ��
�� �� *����'�' ����1 �� ���� � (1(��(-(�(
�1����� .����� ����� � �-����� �1����' �(�((��� ε�
�� #�����(#����� *����' �-�� ����!���'�� �����'�'���, +������, ��(��� �(#�����*����'�'� ������'� ����� .01 0��� ��'��'-'��� � �-����� ��� ���������' ������ �#����F�' &�� �(�( ������ ����''1� �'������'��
������� ������� �� ��������� ��������� �� ������
����� ���� "�&�� 7/� #���� ��������� ����'�'� � (�) = ��� ����������(�(� ���'-' �-���, "�&�� 5/� �� #���� � �-���� ����� ′(3.@33) ���#��
� ′(3.@33) ≈ � (3.@33+ �)− � (3.@33 − �)5�
������ �(����'����� ��+'��� ������'��� # &( ������'��� ���(!(� ′ (3.@33) = !�� 3.@33 = 3.>57>7 ���(-( &������-�� .0� ��(��� (����*������ #���������
� ��� � � ��� � � � ′(3.@33)���#��������'
�(����%���
3.<33 3.?7?A> 3�@37 3�?<A@; 3�337 3�>5;33 3�33AA@3.<;3 3.?;75< 3�@35 3�?<=;? 3�335 3�>5;;3 3�333<@3�<<3 3�??3?= 3�@3; 3�?<>=A 3�33; 3�>5533 3�333A@3.<@3 3.???3? 3�@73 3�?<@;3 3�373 3�>57;3 3.333773�<@; 3�?<357 3�@53 3�?@;>3 3�353 3�>57;3 3�333773.<@< 3.?<53< 3�@;3 3�<7A=5 3�3;3 3�>57=3 3�333573.<@@ 3.?<5?3 7�333 3�<=7=? 3�733 3�>53;; 3�3373>"�&�� 7 "�&�� 5
������� ������� �� ��������� ��������� �� ������
$�(��� *������ .01 0��� ��'��'-'��� ���# �-�� ���� � ��� ������'���'��/��� 3.33; �� 3.3; ����'����� �-���� ���� ��(��(-( .0���������
������� ������� �� ��������� ��������� �� ������
$�(��� *������ .01 0��� ��'��'-'��� ���# �-�� ���� � ��� ������'���'��/��� 3.33; �� 3.3; ����'����� �-���� ���� ��(��(-( .0�����������-� �������� ��+'��� ������'�� ��(��� �� # �(#����� *������'�'� (�) = ε
�+ ��
�� ������ �� #�����-��� &������(1�
������� ������� �� ��������� ��������� �� ������
$�(��� *������ .01 0��� ��'��'-'��� ���# �-�� ���� � ��� ������'���'��/��� 3.33; �� 3.3; ����'����� �-���� ���� ��(��(-( .0�����������-� �������� ��+'��� ������'�� ��(��� �� # �(#����� *������'�'� (�) = ε
�+ ��
�� ������ �� #�����-��� &������(1� 9��� (�) ���������(�(�
���( �-���� ���'-' ������' &(���'2
������� ������� �� ��������� ��������� �� ������
$�(��� *������ .01 0��� ��'��'-'��� ���# �-�� ���� � ��� ������'���'��/��� 3.33; �� 3.3; ����'����� �-���� ���� ��(��(-( .0�����������-� �������� ��+'��� ������'�� ��(��� �� # �(#����� *������'�'� (�) = ε
�+ ��
�� ������ �� #�����-��� &������(1� 9��� (�) ���������(�(�
���( �-���� ���'-' ������' &(���'2
′ (�) = − ε
��+�A� =
�� − AεA��
= 3 ⇒ �� − Aε = 3
���(-(���� � = �
√ε�
������' (�) ���������(�(� ����( ������'�'��
������� ������� �� ��������� ��������� �� ������
$�(��� *������ .01 0��� ��'��'-'��� ���# �-�� ���� � ��� ������'���'��/��� 3.33; �� 3.3; ����'����� �-���� ���� ��(��(-( .0�����������-� �������� ��+'��� ������'�� ��(��� �� # �(#����� *������'�'� (�) = ε
�+ ��
�� ������ �� #�����-��� &������(1� 9��� (�) ���������(�(�
���( �-���� ���'-' ������' &(���'2
′ (�) = − ε
��+�A� =
�� − AεA��
= 3 ⇒ �� − Aε = 3
���(-(���� � = �
√ε�
������' (�) ���������(�(� ����( ������'�'��
�(�(��� &������
′′ (�) =5ε�
+7A� =
>ε+��
A�⇒ ′′
(�
√Aε�
)> 3
��-����'-'���� ����!� ���# ����� .0� � = �
√ε�
������'��� (�)
���( �-���� ��'��
������� ������� �� ��������� ��������� �� ������
$�(��� *������ .01 0��� ��'��'-'��� ���# �-�� ���� � ��� ������'���'��/��� 3.33; �� 3.3; ����'����� �-���� ���� ��(��(-( .0�����������-� �������� ��+'��� ������'�� ��(��� �� # �(#����� *������'�'� (�) = ε
�+ ��
�� ������ �� #�����-��� &������(1� 9��� (�) ���������(�(�
���( �-���� ���'-' ������' &(���'2
′ (�) = − ε
��+�A� =
�� − AεA��
= 3 ⇒ �� − Aε = 3
���(-(���� � = �
√ε�
������' (�) ���������(�(� ����( ������'�'��
�(�(��� &������
′′ (�) =5ε�
+7A� =
>ε+��
A�⇒ ′′
(�
√Aε�
)> 3
��-����'-'���� ����!� ���# ����� .0� � = �
√ε�
������'��� (�)
���( �-���� ��'�� ���'!� � ���'�' � ���������(�(� ����!� ���#����� &�� �'�'� ���(-(���� � (�) = ��� � ���� � ′′′ (�) = !�� � /��� # &(�����
� = �B�∈[�.�,�.�]
|� ′′′(�)| = �B�∈[�.�,�.�]
|!�� � | = !�� 3.< = 3.>@>?7
���(!(�� (���'�'��
������� ������� �� ��������� ��������� �� ������
�(#����� ������-� �� � �����'� &����� �(����'����� ��+'��� &��������'�� ��(��!�� *��� ���� &�� �'�'� ; × 73−�−� ������ #�����-����,; �����'� &����� �(����'����� *��+����� � �-������� �(#�����*����' ���� &�� �'�'� ε = ; × 73−� ������ �� ������
������� ������� �� ��������� ��������� �� ������
�(#����� ������-� �� � �����'� &����� �(����'����� ��+'��� &��������'�� ��(��!�� *��� ���� &�� �'�'� ; × 73−�−� ������ #�����-����,; �����'� &����� �(����'����� *��+����� � �-������� �(#�����*����' ���� &�� �'�'� ε = ; × 73−� ������ �� �������(���'�� *��+����� � # ε �-���� � �������� ���� ��1'�'���
� =�
√Aε�
=�
√A(3.33333;)
3.>@>?7≈ 3.35<
�� ������
������� ������� �� ��������� ��������� �� ������
�(#����� ������-� �� � �����'� &����� �(����'����� ��+'��� &��������'�� ��(��!�� *��� ���� &�� �'�'� ; × 73−�−� ������ #�����-����,; �����'� &����� �(����'����� *��+����� � �-������� �(#�����*����' ���� &�� �'�'� ε = ; × 73−� ������ �� �������(���'�� *��+����� � # ε �-���� � �������� ���� ��1'�'���
� =�
√Aε�
=�
√A(3.33333;)
3.>@>?7≈ 3.35<
�� ������ �(�� .0� � = 3.35< ������ �(�((��� � (�.(�������''� ��+'��!�-' ���(!(�� (���'�'��
������� ������� �� ��������� ��������� �� ������
G������ #���� ���������(� ����!� ���#��� *� 1��� �����-��1�� �(���'�� �����'��'-' .�&� � (�.(� � �-�� ���� &����*��� &(�(���'1�
������� ������� �� ��������� ��������� �� ������
G������ #���� ���������(� ����!� ���#��� *� 1��� �����-��1�� �(���'�� �����'��'-' .�&� � (�.(� � �-�� ���� &����*��� &(�(���'1������ ��' ����'-'�'� �1���'���'�'� ��+'���������'' ��*� ��� *�� *� 1��� .����!-� ��.(�(�( �� &��������� #���'���(���'���� 0���� �(#����� *����', 6A8 ������ �� #���� �������� ��������� ������ �1����� �����������
������� ������� �� ��������� ��������� �� ������
G������ #���� ���������(� ����!� ���#��� *� 1��� �����-��1�� �(���'�� �����'��'-' .�&� � (�.(� � �-�� ���� &����*��� &(�(���'1������ ��' ����'-'�'� �1���'���'�'� ��+'���������'' ��*� ��� *�� *� 1��� .����!-� ��.(�(�( �� &��������� #���'���(���'���� 0���� �(#����� *����', 6A8 ������ �� #���� �������� ��������� ������ �1����� ����������� �(�(��� &��&� #���� �� ���#���������� &�1� 1���(� �� ����'���'������'��
������� ������� �� ��������� ��������� �� ������
G������ #���� ���������(� ����!� ���#��� *� 1��� �����-��1�� �(���'�� �����'��'-' .�&� � (�.(� � �-�� ���� &����*��� &(�(���'1������ ��' ����'-'�'� �1���'���'�'� ��+'���������'' ��*� ��� *�� *� 1��� .����!-� ��.(�(�( �� &��������� #���'���(���'���� 0���� �(#����� *����', 6A8 ������ �� #���� �������� ��������� ������ �1����� ����������� �(�(��� &��&� #���� �� ���#���������� &�1� 1���(� �� ����'���'������'�� ��� ������'�� ��(����(#����� *����'�'� �-���� *��+����� �(����'��� ������ � ��'(1(��(-( +������ �� ���'-'���� ����� &�� ���' �� &0� ���� �����&���� �-��� �����, �����'�'��� �(#����� *����'�'� �����'����� �������'��
������� ������� �� ��������� ��������� �� ������
G������ #���� ���������(� ����!� ���#��� *� 1��� �����-��1�� �(���'�� �����'��'-' .�&� � (�.(� � �-�� ���� &����*��� &(�(���'1������ ��' ����'-'�'� �1���'���'�'� ��+'���������'' ��*� ��� *�� *� 1��� .����!-� ��.(�(�( �� &��������� #���'���(���'���� 0���� �(#����� *����', 6A8 ������ �� #���� �������� ��������� ������ �1����� ����������� �(�(��� &��&� #���� �� ���#���������� &�1� 1���(� �� ����'���'������'�� ��� ������'�� ��(����(#����� *����'�'� �-���� *��+����� �(����'��� ������ � ��'(1(��(-( +������ �� ���'-'���� ����� &�� ���' �� &0� ���� �����&���� �-��� �����, �����'�'��� �(#����� *����'�'� �����'����� �������'�� �( �����������-���� 0���� ���# ��+'��� ������'������' $�� ���� � ������ ���������������
������� ������� �� ��������� ��������� �� ������
������
� ����� ������������������ ���������������� �������� ���!� "��# ���� $��� ����� ������"��# %��&'��� $�(��� �(#����� %������'
� )�!*������ ������+������� ����(
������� ������� �� ��������� ��������� �� ������
$�% �"��� &���� '�� ���� (���"�
�( ���, ��+'��� &�� ���# ������''��� ��*� ��� ���!�� �� ������ �(����'�'��
������� ������� �� ��������� ��������� �� ������
$�% �"��� &���� '�� ���� (���"�
�( ���, ��+'��� &�� ���# ������''��� ��*� ��� ���!�� �� ������ �(����'�'�� �-� ������'�� ��(��� *��� � �= 3 ��' (1(��(-(�� &�-�'&�� ��������� ������ ����''1� �'�'��� �� ������� �� !� ���"��� #��$����% �� .��� �-� ��*� �� �������� ��������
������� ������� �� ��������� ��������� �� ������
$�% �"��� &���� '�� ���� (���"�
�( ���, ��+'��� &�� ���# ������''��� ��*� ��� ���!�� �� ������ �(����'�'�� �-� ������'�� ��(��� *��� � �= 3 ��' (1(��(-(�� &�-�'&�� ��������� ������ ����''1� �'�'��� �� ������� �� !� ���"��� #��$����% �� .��� �-� ��*� �� �������� ��������7�,7�,7, · · · ��&���� # � ��' (1(��(-( ���� �1� 8�(�) ������ ���&���� &�� ������'
������� ������� �� ��������� ��������� �� ������
$�% �"��� &���� '�� ���� (���"�
�( ���, ��+'��� &�� ���# ������''��� ��*� ��� ���!�� �� ������ �(����'�'�� �-� ������'�� ��(��� *��� � �= 3 ��' (1(��(-(�� &�-�'&�� ��������� ������ ����''1� �'�'��� �� ������� �� !� ���"��� #��$����% �� .��� �-� ��*� �� �������� ��������7�,7�,7, · · · ��&���� # � ��' (1(��(-( ���� �1� 8�(�) ������ ���&���� &�� ������' # &( ������'�� ��(��� *���
� − 8�(�) = 7�� + 7��� + 7�
+ · · · 6@8
���(��� ���(��
������� ������� �� ��������� ��������� �� ������
$�% �"��� &���� '�� ���� (���"�
�( ���, ��+'��� &�� ���# ������''��� ��*� ��� ���!�� �� ������ �(����'�'�� �-� ������'�� ��(��� *��� � �= 3 ��' (1(��(-(�� &�-�'&�� ��������� ������ ����''1� �'�'��� �� ������� �� !� ���"��� #��$����% �� .��� �-� ��*� �� �������� ��������7�,7�,7, · · · ��&���� # � ��' (1(��(-( ���� �1� 8�(�) ������ ���&���� &�� ������' # &( ������'�� ��(��� *���
� − 8�(�) = 7�� + 7��� + 7�
+ · · · 6@8
���(��� ���(�� �(�� .0� � = 3.7 # � = 3.37 �-���� ����
� − 8�(3.7) = 7�3.7 + 7�3.7� + 73.7 + · · · ≈ 3.77�
� − 8�(3.37) = 7�3.37 + 7�3.37� + 73.37 + · · · ≈ 3.377�
# � .�� *��� � �= 3 ����
� − 8�(�) ≈ �7�
��1'��&�����
������� ������� �� ��������� ��������� �� ������
$�% �"��� &���� '�� ���� (���"�
�( ���, ��+'��� &�� ���# ������''��� ��*� ��� ���!�� �� ������ �(����'�'�� �-� ������'�� ��(��� *��� � �= 3 ��' (1(��(-(�� &�-�'&�� ��������� ������ ����''1� �'�'��� �� ������� �� !� ���"��� #��$����% �� .��� �-� ��*� �� �������� ��������7�,7�,7, · · · ��&���� # � ��' (1(��(-( ���� �1� 8�(�) ������ ���&���� &�� ������' # &( ������'�� ��(��� *���
� − 8�(�) = 7�� + 7��� + 7�
+ · · · 6@8
���(��� ���(�� �(�� .0� � = 3.7 # � = 3.37 �-���� ����
� − 8�(3.7) = 7�3.7 + 7�3.7� + 73.7 + · · · ≈ 3.77�
� − 8�(3.37) = 7�3.37 + 7�3.37� + 73.37 + · · · ≈ 3.377�
# � .�� *��� � �= 3 ����
� − 8�(�) ≈ �7�
��1'��&����� 6@8 ��������� 8�(�)/��� � ��&���� ���'���� *'1'�'� ����(-(�(, ���� �� *����'�'� "(�) ���(-( .0������
������� ������� �� ��������� ��������� �� ������
������+������� ���( (�.(������� ��*� ����� ��&�� ��*������' 6"
(��),"(�), · · · .�&�8 # �����'�'��� ��*� ��� ������'��� ��
���1�
������� ������� �� ��������� ��������� �� ������
������+������� ���( (�.(������� ��*� ����� ��&�� ��*������' 6"
(��),"(�), · · · .�&�8 # �����'�'��� ��*� ��� ������'��� ��
���1� G�1���� � ��' (1(��(-(�� ��*�+
� = 8� (�) + 7�� + 7��� + 7�
+ · · · 6738
������� ������� �� ��������� ��������� �� ������
������+������� ���( (�.(������� ��*� ����� ��&�� ��*������' 6"
(��),"(�), · · · .�&�8 # �����'�'��� ��*� ��� ������'��� ��
���1� G�1���� � ��' (1(��(-(�� ��*�+
� = 8� (�) + 7�� + 7��� + 7�
+ · · · 6738
��������� � ���� ��
��'�'���
� = 8�
(�5
)+ 7�
(�5
)+ 7�
(�5
)�
+ 7
(�5
)
+ · · ·
������� ������� �� ��������� ��������� �� ������
������+������� ���( (�.(������� ��*� ����� ��&�� ��*������' 6"
(��),"(�), · · · .�&�8 # �����'�'��� ��*� ��� ������'��� ��
���1� G�1���� � ��' (1(��(-(�� ��*�+
� = 8� (�) + 7�� + 7��� + 7�
+ · · · 6738
��������� � ���� ��
��'�'���
� = 8�
(�5
)+ 7�
(�5
)+ 7�
(�5
)�
+ 7
(�5
)
+ · · ·
� = 8�
(�5
)+ 7�
�5+ 7�
��
=+ 7
�
<+ · · · 6778
������ "(�) ������' ������ �� ������
������� ������� �� ��������� ��������� �� ������
6738 # 6778 ��������� 7� ������'�'�' ���� ���� ��� �� ����.���� ����� ��+'�'���
������� ������� �� ��������� ��������� �� ������
6738 # 6778 ��������� 7� ������'�'�' ���� ���� ��� �� ����.���� ����� ��+'�'���
5� = 58�
(�5
)+ 7�� + 7�
��
5+ 7
�
=+ · · ·
−� = −8� (�)− 7�� − 7��� − 7�
− · · ·
� = 8�
(�5
)+
[8�
(�5
)− 8�(�)
]+ 7�
(��
5− ��
)+ 7
(�
=− �
)+ · · ·
������� ������� �� ��������� ��������� �� ������
6738 # 6778 ��������� 7� ������'�'�' ���� ���� ��� �� ����.���� ����� ��+'�'���
5� = 58�
(�5
)+ 7�� + 7�
��
5+ 7
�
=+ · · ·
−� = −8� (�)− 7�� − 7��� − 7�
− · · ·
� = 8�
(�5
)+
[8�
(�5
)− 8�(�)
]+ 7�
(��
5− ��
)+ 7
(�
=− �
)+ · · ·
����
� = 8�
(�5
)+
[8�
(�5
)− 8�(�)
]− 7�
5�� − 7
=� − · · · 6758
���(!(�� (���'�'��
������� ������� �� ��������� ��������� �� ������
�-�
8� (�) = 8�
(�5
)+
[8�
(�5
)− 8�(�)
]67A8
�����
������� ������� �� ��������� ��������� �� ������
�-�
8� (�) = 8�
(�5
)+
[8�
(�5
)− 8�(�)
]67A8
����� 6758 ������
� = 8� (�)− 7�
5�� − 7
=� − · · ·
*���� .���
������� ������� �� ��������� ��������� �� ������
�-�
8� (�) = 8�
(�5
)+
[8�
(�5
)− 8�(�)
]67A8
����� 6758 ������
� = 8� (�)− 7�
5�� − 7
=� − · · ·
*���� .��� �� � ��&���� ��+'��� 8�(�) ������''�'� �� *����'�'�"(��) ���(-( .0������
������� ������� �� ��������� ��������� �� ������
�-�
8� (�) = 8�
(�5
)+
[8�
(�5
)− 8�(�)
]67A8
����� 6758 ������
� = 8� (�)− 7�
5�� − 7
=� − · · ·
*���� .��� �� � ��&���� ��+'��� 8�(�) ������''�'� �� *����'�'�"(��) ���(-( .0������ ���� 8�(�) ������ 8�(�)/� .0� ��*� ��� &��������'�'��
������� ������� �� ��������� ��������� �� ������
:��� 5�7
2�� � '�'3� � = 3.7 � � = 3.3; � � �� �� ���� � (�) = �� ������������� � = 7.< ������������ ��� ��� �� �� ������� � ���� �� �&���� ��������� ��������� � � �� � �� ���������9
������� ������� �� ��������� ��������� �� ������
:��� 5�7
2�� � '�'3� � = 3.7 � � = 3.3; � � �� �� ���� � (�) = �� ������������� � = 7.< ������������ ��� ��� �� �� ������� � ���� �� �&���� ��������� ��������� � � �� � �� ���������9
� = 3.7 ���� � ′(7.<) ≈ 3.;=3>?55 � � = 3.3; ���� � ′(7.<) ≈ 3.;=?@?@;�
:� �� ������� � ������� ���� � ���� ��� ′′(ξ(�)) �� � ��������� � ��
�������� � �� ������ "(�) ����
������� ������� �� ��������� ��������� �� ������
:��� 5�7
2�� � '�'3� � = 3.7 � � = 3.3; � � �� �� ���� � (�) = �� ������������� � = 7.< ������������ ��� ��� �� �� ������� � ���� �� �&���� ��������� ��������� � � �� � �� ���������9
� = 3.7 ���� � ′(7.<) ≈ 3.;=3>?55 � � = 3.3; ���� � ′(7.<) ≈ 3.;=?@?@;�
:� �� ������� � ������� ���� � ���� ��� ′′(ξ(�)) �� � ��������� � ��
�������� � �� ������ "(�) ���� �����&������ � ���� �� ���� �� ���������� �&������ 4 ���� $!�� ������
������� ������� �� ��������� ��������� �� ������
:��� 5�7
2�� � '�'3� � = 3.7 � � = 3.3; � � �� �� ���� � (�) = �� ������������� � = 7.< ������������ ��� ��� �� �� ������� � ���� �� �&���� ��������� ��������� � � �� � �� ���������9
� = 3.7 ���� � ′(7.<) ≈ 3.;=3>?55 � � = 3.3; ���� � ′(7.<) ≈ 3.;=?@?@;�
:� �� ������� � ������� ���� � ���� ��� ′′(ξ(�)) �� � ��������� � ��
�������� � �� ������ "(�) ���� �����&������ � ���� �� ���� �� ���������� �&������ 4 ���� $!�� ������
!���� 8�(3.7) = 3.;=3>?55 # 8�(3.3;) = 3.;=?@?@; ��������� 67A8�������� ��1'�'���
8�(3.7) = 8�(3.3;) + [8�(3.3;)− 8�(3.7)] = 3.;;;5<><
&(�(�(��
������� ������� �� ��������� ��������� �� ������
:��� 5�7
2�� � '�'3� � = 3.7 � � = 3.3; � � �� �� ���� � (�) = �� ������������� � = 7.< ������������ ��� ��� �� �� ������� � ���� �� �&���� ��������� ��������� � � �� � �� ���������9
� = 3.7 ���� � ′(7.<) ≈ 3.;=3>?55 � � = 3.3; ���� � ′(7.<) ≈ 3.;=?@?@;�
:� �� ������� � ������� ���� � ���� ��� ′′(ξ(�)) �� � ��������� � ��
�������� � �� ������ "(�) ���� �����&������ � ���� �� ���� �� ���������� �&������ 4 ���� $!�� ������
!���� 8�(3.7) = 3.;=3>?55 # 8�(3.3;) = 3.;=?@?@; ��������� 67A8�������� ��1'�'���
8�(3.7) = 8�(3.3;) + [8�(3.3;)− 8�(3.7)] = 3.;;;5<><
&(�(�(�� �����'�'���� ′ (7.<) ≈ 3.;;;5<><
������'' �� ������
������� ������� �� ��������� ��������� �� ������
��-� �������� � (�) = �� � ���� � ′ (�) = �
����(-(���� ���#�� #����
��������� .��� �-��
� ′ (7.<) =7
7.<= 3.;̄
����
������� ������� �� ��������� ��������� �� ������
��-� �������� � (�) = �� � ���� � ′ (�) = �
����(-(���� ���#�� #����
��������� .��� �-��
� ′ (7.<) =7
7.<= 3.;̄
���� �(�� .0� � = 3.7 # � = 3.3; ��'����� �� ���� 8�(3.7) #8�(3.3;) ������'���'��� ��(��� (���� *������ �'���' ��
|8�(3.7)− � ′(7.<)| = 3.7=<<AA;;>× 73−�
������� ������� �� ��������� ��������� �� ������
��-� �������� � (�) = �� � ���� � ′ (�) = �
����(-(���� ���#�� #����
��������� .��� �-��
� ′ (7.<) =7
7.<= 3.;̄
���� �(�� .0� � = 3.7 # � = 3.3; ��'����� �� ���� 8�(3.7) #8�(3.3;) ������'���'��� ��(��� (���� *������ �'���' ��
|8�(3.7)− � ′(7.<)| = 3.7=<<AA;;>× 73−�
#|8�(3.3;)− � ′(7.<)| = 3.?;?>3;;;;>× 73−�
���
������� ������� �� ��������� ��������� �� ������
��-� �������� � (�) = �� � ���� � ′ (�) = �
����(-(���� ���#�� #����
��������� .��� �-��
� ′ (7.<) =7
7.<= 3.;̄
���� �(�� .0� � = 3.7 # � = 3.3; ��'����� �� ���� 8�(3.7) #8�(3.3;) ������'���'��� ��(��� (���� *������ �'���' ��
|8�(3.7)− � ′(7.<)| = 3.7=<<AA;;>× 73−�
#|8�(3.3;)− � ′(7.<)| = 3.?;?>3;;;;>× 73−�
��� 8�(3.7) ������''�'� (���� *����'
|8�(3.7)− � ′(7.<)| = 3.5><?;;;;;× 73−
������ &(�(�(�
������� ������� �� ��������� ��������� �� ������
��-� �������� � (�) = �� � ���� � ′ (�) = �
����(-(���� ���#�� #����
��������� .��� �-��
� ′ (7.<) =7
7.<= 3.;̄
���� �(�� .0� � = 3.7 # � = 3.3; ��'����� �� ���� 8�(3.7) #8�(3.3;) ������'���'��� ��(��� (���� *������ �'���' ��
|8�(3.7)− � ′(7.<)| = 3.7=<<AA;;>× 73−�
#|8�(3.3;)− � ′(7.<)| = 3.?;?>3;;;;>× 73−�
��� 8�(3.7) ������''�'� (���� *����'
|8�(3.7)− � ′(7.<)| = 3.5><?;;;;;× 73−
������ &(�(�(� �� &( �� ��+'��� �����+������� ���(!( &(�(���������''� ��� ������'���� .0� ��*� ��� ���(-( ���(!(�( ������ ������
������� ������� �� ��������� ��������� �� ������
�-� �� *����', � ��' (1(��(-(�(� ���! ���� �(##������ �����������+'��� �����+������� ��� ��*� ��� ���(� #����
������� ������� �� ��������� ��������� �� ������
�-� �� *����', � ��' (1(��(-(�(� ���! ���� �(##������ �����������+'��� �����+������� ��� ��*� ��� ���(� #���� C�����
� = 8�(�) + 7��� + 7��
+ 7�� + · · · 67=8
� = 8�
(�5
)+ 7�
��
=+ 7�
�
7>+ 7
��
>=+ · · ·
���(��
������� ������� �� ��������� ��������� �� ������
�-� �� *����', � ��' (1(��(-(�(� ���! ���� �(##������ �����������+'��� �����+������� ��� ��*� ��� ���(� #���� C�����
� = 8�(�) + 7��� + 7��
+ 7�� + · · · 67=8
� = 8�
(�5
)+ 7�
��
=+ 7�
�
7>+ 7
��
>=+ · · ·
���(�� �(�� .0�, �� �������� ���� ������ ��������� ���� ����!������� = �� ���+'�'� &����!� ������ ���+'��� �'���'�'���
A� =
[=8�
(�
5
)− 8�(�)
]+ 7�
[�
=− �
]+ 7
[��
7>− ��
]+ · · ·
������� ������� �� ��������� ��������� �� ������
�-� �� *����', � ��' (1(��(-(�(� ���! ���� �(##������ �����������+'��� �����+������� ��� ��*� ��� ���(� #���� C�����
� = 8�(�) + 7��� + 7��
+ 7�� + · · · 67=8
� = 8�
(�5
)+ 7�
��
=+ 7�
�
7>+ 7
��
>=+ · · ·
���(�� �(�� .0�, �� �������� ���� ������ ��������� ���� ����!������� = �� ���+'�'� &����!� ������ ���+'��� �'���'�'���
A� =
[=8�
(�
5
)− 8�(�)
]+ 7�
[�
=− �
]+ 7
[��
7>− ��
]+ · · ·
���(��� "(�) �� *����'�� ��*�+
� =7A
[=8�
(�5
)− 8�(�)
]− 7�
=� − ;7
7>�� − · · ·
������ �� ������
������� ������� �� ��������� ��������� �� ������
�-�
8� (�) =7A
[=8�
(�
5
)− 8�(�)
]= 8�
(�
5
)+
7A
[8�
(�
5
)− 8�(�)
]
�����
������� ������� �� ��������� ��������� �� ������
�-�
8� (�) =7A
[=8�
(�
5
)− 8�(�)
]= 8�
(�
5
)+
7A
[8�
(�
5
)− 8�(�)
]
�����
� = 8� (�)− 7�
=� − ;7
7>�� − · · · 67;8
������'' �� ������
������� ������� �� ��������� ��������� �� ������
�-�
8� (�) =7A
[=8�
(�
5
)− 8�(�)
]= 8�
(�
5
)+
7A
[8�
(�
5
)− 8�(�)
]
�����
� = 8� (�)− 7�
=� − ;7
7>�� − · · · 67;8
������'' �� ������ 67=8 ��������� �� *����' "(��) ��� ��+'��������+������� �� �� ���� 67;8 ������''��� �� *����' "(�) ��(��
������� ������� �� ��������� ��������� �� ������
��1� ����� ����� �����+������� (�.(�����' # &(�(��� ������'��������� �� *����'�'� ��*� �� ��� ���(-(�( .0�����2
������� ������� �� ��������� ��������� �� ������
��1� ����� ����� �����+������� (�.(�����' # &(�(��� ������'��������� �� *����'�'� ��*� �� ��� ���(-(�( .0�����2 67;8�����-��� � ���� �
���1���� �� ����
� = 8�
(�5
)− 7 �
>=� − ;7
735=�� − · · ·
�������� 7> �� ���+��, ��(��� ���+'��� 67;8 �����-� ����� ������ �'���'�'���
7;� =
[7>8�
(�5
)− 8�(�)
]+
7;7
>=�� + · · ·
���(��� "(��) �� *����'�� ��*�+
� =77;
[7>8�
(�
5
)− 8�(�)
]+7
>=�� + · · ·
������ �� ������
������� ������� �� ��������� ��������� �� ������
��1� ����� ����� �����+������� (�.(�����' # &(�(��� ������'��������� �� *����'�'� ��*� �� ��� ���(-(�( .0�����2 67;8�����-��� � ���� �
���1���� �� ����
� = 8�
(�5
)− 7 �
>=� − ;7
735=�� − · · ·
�������� 7> �� ���+��, ��(��� ���+'��� 67;8 �����-� ����� ������ �'���'�'���
7;� =
[7>8�
(�5
)− 8�(�)
]+
7;7
>=�� + · · ·
���(��� "(��) �� *����'�� ��*�+
� =77;
[7>8�
(�
5
)− 8�(�)
]+7
>=�� + · · ·
������ �� �������-�
8 (�) =77;
[7>8�
(�
5
)− 8�(�)
]= 8�
(�
5
)+
77;
[8�
(�
5
)− 8�(�)
]�����
� = 8 (�) +7
>=�� + · · ·
������ "(��) �� *����'�� ��*�+ &�� ������' ������ �� ������
������� ������� �� ��������� ��������� �� ������
��1� ����� �����+������� (�.(����� �#� ������
������� ������� �� ��������� ��������� �� ������
��1� ����� �����+������� (�.(����� �#� ������ ; = 5, A, =, · · ·���� �1� "(��� ) �� *����' ����
8� (�) = 8�−�
(�5
)+
7=�−� − 7
[8�−�
(�5
)− 8�−� (�)
]
������'' &(�(�(� ��(��
������� ������� �� ��������� ��������� �� ������
��1� ����� �����+������� (�.(����� �#� ������ ; = 5, A, =, · · ·���� �1� "(��� ) �� *����' ����
8� (�) = 8�−�
(�5
)+
7=�−� − 7
[8�−�
(�5
)− 8�−� (�)
]
������'' &(�(�(� ��(�� �� .�� *��� ; = 5, A, =, · · · ���� "(�� )������' ������
8� (�) = 8�−�
(�5
)+
75�−� − 7
[8�−�
(�5
)− 8�−� (�)
]
������ ���� ������
������� ������� �� ��������� ��������� �� ������
:��� 5�5
ξ� � � �� �� − � �� �� + � �������� ����� �� � � ′(��) ��� ��� �������� ��� � �� ����� ����%����� �������
� ′(��) =75�
[� (��+ �)− � (�� − �)]− ��
>� ′′′(ξ�)
������������ �&���� ���������� <���� < �� �� ������������ �&������������� ������ ���� �� �������
� ′(��) =75�
[� (��+ �)− � (�� − �)]− ��
>� ′′′(��)− �
753� (�)(��)− · · ·
������� �� � ��� ��� 4 �� ���������
������� ������� �� ��������� ��������� �� ������
:��� 5�5
ξ� � � �� �� − � �� �� + � �������� ����� �� � � ′(��) ��� ��� �������� ��� � �� ����� ����%����� �������
� ′(��) =75�
[� (��+ �)− � (�� − �)]− ��
>� ′′′(ξ�)
������������ �&���� ���������� <���� < �� �� ������������ �&������������� ������ ���� �� �������
� ′(��) =75�
[� (��+ �)− � (�� − �)]− ��
>� ′′′(��)− �
753� (�)(��)− · · ·
������� �� � ��� ��� 4 �� ��������� 6��� $!� � (�) = � � � � = 3.5����� �� � � ′(5.3) ��� � � � ��� "(��)� "(�)� "(��) � �� ���������� ����& �� ��������� ����������
������� ������� �� ��������� ��������� �� ������
&'(� "(��) ������''2
������� ������� �� ��������� ��������� �� ������
&'(� "(��) ������''2
8�(�) =75�
[� (��+ �) − � (�� − �)]
���� �1�
� ′(��) = 8� (�) − ��
>� ′′′ (��)− �
753� (�) (��)− · · ·
������ ��1'��&�����
������� ������� �� ��������� ��������� �� ������
&'(� "(��) ������''2
8�(�) =75�
[� (��+ �) − � (�� − �)]
���� �1�
� ′(��) = 8� (�) − ��
>� ′′′ (��)− �
753� (�) (��)− · · ·
������ ��1'��&����� �(�� .0�
8� (3.5) =7
5(3.5)[� (5 + 3.5)− � (5 − 3.5)]
=7
3.=[� (5.5)− � (7.<)] = 55.=7=7>3>>
������� ������� �� ��������� ��������� �� ������
&'(� "(��) ������''2
8�(�) =75�
[� (��+ �) − � (�� − �)]
���� �1�
� ′(��) = 8� (�) − ��
>� ′′′ (��)− �
753� (�) (��)− · · ·
������ ��1'��&����� �(�� .0�
8� (3.5) =7
5(3.5)[� (5 + 3.5)− � (5 − 3.5)]
=7
3.=[� (5.5)− � (7.<)] = 55.=7=7>3>>
#
8�(3.7) =7
5(3.7)[� (5 + 3.7)− � (5 − 3.7)]
=7
3.5[� (5.7)− � (7.@)] = 55.55<?<><<
������ "(��) ������'���' �� ������
������� ������� �� ��������� ��������� �� ������
"(�) ������''2
������� ������� �� ��������� ��������� �� ������
"(�) ������''2 8�(3.7) # 8�(3.5) �-���� �(����'�����
8� (3.5) = 8� (3.7) +7A[8� (3.7)− 8� (3.5)] = 55.7>>@@;>=
������ "(�) ������'' �� ������
������� ������� �� ��������� ��������� �� ������
"(��) ������''2
������� ������� �� ��������� ��������� �� ������
"(��) ������''2 &( ������'
8 (3.5) = 8� (3.7) +77;
[8� (3.7)− 8� (3.5)]
������ �� ��+'��'-'���� 0�! 8�(3.7) # &(�(� ����� 8�(3.3;)�-������ *��+���� .���� �� &( ������'��� �'���' �� "(�) # "(��)������'���'�'��
������� ������� �� ��������� ��������� �� ������
"(��) ������''2 &( ������'
8 (3.5) = 8� (3.7) +77;
[8� (3.7)− 8� (3.5)]
������ �� ��+'��'-'���� 0�! 8�(3.7) # &(�(� ����� 8�(3.3;)�-������ *��+���� .���� �� &( ������'��� �'���' �� "(�) # "(��)������'���'�'�� �(�� .0�
8� (3.3;) =7
5(3.3;)[� (5 + 3.3;)− � (5 − 3.3;)]
=7
3.7[� (5.3;)− � (7.@;)] = 55.7<5;>=<>
8� (3.7) = 8� (3.3;) +7A[8� (3.3;)− 8� (3.7)] = 55.7>?7;?;5
������'���' 8 (3.5) �-�� ���� #���� ������� ��1'�'���
8 (3.5) = 55.7>?7><A7
������ &�� "(��) ������'' �� ������
������� ������� �� ��������� ��������� �� ������
"� &( ������'��� �������� � ��� ���(�, *����' � ����� ���� "(��)������'' �� �� ������
������� ������� �� ��������� ��������� �� ������
"� &( ������'��� �������� � ��� ���(�, *����' � ����� ���� "(��)������'' �� �� ������ C�����, � (�) = � � ���������(�(� ���#�� ′ (�) = �(7 + �) ���(-(���� � = 5.3 ����
� ′ (5.3) = � (7 + 5) = A � = 55.7>?7><A
.��� ���# �-�� &(�(�(��
������� ������� �� ��������� ��������� �� ������
"� &( ������'��� �������� � ��� ���(�, *����' � ����� ���� "(��)������'' �� �� ������ C�����, � (�) = � � ���������(�(� ���#�� ′ (�) = �(7 + �) ���(-(���� � = 5.3 ����
� ′ (5.3) = � (7 + 5) = A � = 55.7>?7><A
.��� ���# �-�� &(�(�(�� �(�� .0�
"(��) : 8� (3.5) ≈ � ′ (5.3) , �(���� %��� = 3.5=>@@5A>
"(�) : 8� (3.5) ≈ � ′ (5.3) , �(���� %��� = 3.7?5>>× 73−
"(��) : 8 (3.5) ≈ � ′ (5.3) , �(���� %��� = 3.7 × 73−�
���(-( .0������