Derivadas de definição
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Derivadas
Nocao_derivada.gsp
Definição de derivada de uma função num ponto
Seja f uma função real, de variável real, e seja a um ponto do seu domínio. Chama-se derivada da função f, no ponto a, e representa-se por f’(a), ao limite (se existir)
x a
f x f alim
x a
Definição de derivada de uma função num ponto
Observação:
Designando x – a por h, a derivada de f, no ponto a, também se pode escrever.
h 0
f a h f alim
h
Resolver o exercício 352
Exercício 352
Usa a definição de derivada de uma função num ponto para calcular:
a) f ’(-1), sendo f(x) = 2 x3 + x + 1
b) g ’(1), sendo g(x) = e2x
c) h ’(0), sendo
d) r ’(2), sendo
e) s’(2), sendo s(x) = lnx
2xh x
x 1
r x 2x
Interpretação geométrica do conceito de derivada de uma função num ponto
Seja f uma função real de variável real, e seja a um ponto do seu domínio.
A derivada da função f, no ponto a, é o declive da recta tangente ao gráfico de f no ponto de coordenadas (a, f(a)).
f’(a) é o declive da recta r
Resolver o exercício 358
Exercício 358
Seja f(x) = 0,5x2 – x + 1
a) Escreve a equação reduzida da recta secante ao gráfico de f nos pontos de abcissa 0 e 2.
b) Escreve a equação reduzida da recta tangente ao gráfico de f no ponto de abcissa 0.
Interpretação física do conceito de derivada de uma função num ponto
Se, para cada valor de t, f(t) representar o espaço percorrido por um móvel até ao instante t, então a derivada da função f, no ponto a, é a velocidade do móvel no instante a.
Resolver o exercício 360
Exercício 360
Uma partícula move-se sobre uma recta de acordo com a lei e = 5t2 + 20t, sendo e a distância percorrida em metros ao fim de t segundos.
a) Calcula a velocidade média no intervalo [1,4].
b) Calcula a velocidade no instante t = 3.
Exercício 355
Pretendemos provar que a derivada de uma função par é uma função ímpar (e vice-versa).
Hipótese: f é par isto é
Tese: f´ é ímpar isto é
Demonstração: Calculemos e provemos
que é igual a .
ff x f x ,x D
f x f x
f x
f x
Exercício 355 (cont.)
h 0
f x h f xlim f x
h
h 0 h 0
f x h f xf x h f xf x lim lim
h h
Prove agora que a derivada de uma função ímpar é uma função par, seguindo um processo semelhante ao que acabámos de utilizar
Derivabilidade e continuidade
Se uma função tem derivada finita num ponto, então é contínua nesse ponto.
Hipótese: Existe
Tese: f é contínua em a. Demonstração:
x a
f x f alim
x a
x a x a
x a x a
f x f alim f x f a lim x a
x a
f x f alim lim x a f ' a 0 0
x a
Derivabilidade e continuidade
Logo se então
o que significa que f é
contínua em a
O recíproco não é verdadeiro: uma função pode ser contínua num ponto e não existir derivada finita nesse ponto.
Resolver o exercício 364
x al im f x f a 0
x al im f x f a
Derivabilidade e continuidade
Resolver o exercício 364
Se e o que se pode
dizer sobre a existência de ?
g 0 2 x 0lim g x 2
g 0
Derivadas laterais
Seja f uma função real, de variável real, e seja a um ponto do seu domínio.
Chama-se derivada lateral direita da função f, no ponto a, e representa-se por , ao limite (se existir)
f a
x a
f x f alim
x a
Derivadas laterais
Seja f uma função real, de variável real, e seja a um ponto do seu domínio.
Chama-se derivada lateral esquerda da função f, no ponto a, e representa-se por
, ao limite (se existir) f a
x a
f x f alim
x a
Interpretação geométrica das derivadas laterais
As derivadas laterais da função f, no ponto a, são os declives das semi-tangentes ao gráfico de f, nesse ponto.
é o declive da semi-recta r é o declive da semi-recta s
f a
f a
Interpretação geométrica das derivadas laterais
Como as duas semi-tangentes não estão no prolongamento uma da outra, têm declives diferentes, pelo que
f a f a
Interpretação geométrica das derivadas laterais
A função não tem, portanto, derivada no ponto a.
Dizemos que o ponto de coordenadas (a,f(a)) é um ponto anguloso do gráfico de f.
Resolver os exercícios 362, 367, 368, 369, 372 e 376
Resolver os exercícios 362, 367, 368, 369, 372, 375 e 376
362,
Seja f a função definida por
Justifique que f não é derivável em 0.
xe 1 se x 0f x ln x 1
se x 0x
Resolver os exercícios 362, 367, 368, 369, 372, 375 e 376
367.
Prove que a função f definida, em IR, por
é contínua no ponto de
abcissa 2 mas não tem derivada nesse
ponto.
f x x 2
Resolver os exercícios 362, 367, 368, 369, 372, 375 e 376
368. Seja f a função definida, em IR, por:
Determina a e b de modo que f seja derivável no ponto de abcissa 2.
2x b se x 2
f xax 3 se x 2
Resolver os exercícios 362, 367, 368, 369, 372, 375 e 376
369. Seja f a função representada graficamente
por:
Esboce o gráfico de f´.
Resolver os exercícios 362, 367, 368, 369, 372, 375 e 376
372.
Seja f de domínio definida por
Investiga se f é derivável no ponto de abcissa
0 e caracteriza f´(x).
0IR f x x
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375. Seja h a função definida por:
Define a função h´ e representa graficamente as funções h e h´.
2x se x 1
h x2x 1 se x 1
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376. Seja f a função definida por:
Caracteriza f´e representa graficamente f e f´
2x se x 1
f x 1 se x 1
x se x 1