República Bolivariana de Venezuela

Ministerio del Poder Popular para la Educación Superior.

Universidad del Zulia

Núcleo Luz-COL

Programa de ingeniería.

Profesora: Integrante:

Ana Isolina. María Oropeza.

Yenifer Pérez.

Oscar Rincón.

Cabimas, 21 de julio de 2015.

DERIVAD

Bibliografía:

http://www-ma4.upc.edu/~nrr/docs/histci.pdf https://es.wikipedia.org/wiki/Derivada https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/cursos-linea/

CALCULODIFERENCIAL/curso-elsie/aplicacionesderivada/html/node7.html

https://sites.google.com/site/matematicasiunexpo/4-unidades/unidad- 5-derivadas-y-aplicaciones.

http://www.uoc.edu/in3/emath/docs/Aplicaciones_Derivadas.pdf . http://www.wikimatematica.org/index.php?title=Trazo_de_curvas . Trazo de curvas, por WikiMatematica.org.  Libro: Calculo Diferencial con funciones transcendentes tempranas

para ciencias e ingeniería. Segunda edición, editorial Hipotenusa. Autor: Jorge Sáenz.

Introducción:

El nacimiento y uso de las derivadas en el ámbito matemático, aunque tienen su origen en la Antigua Grecia, podemos establecer que hacen aparición como tal gracias a dos figuras históricas muy importantes: el matemático inglés Isaac Newton y el lógico alemán Gottfried Leibniz.

Y es que los mismos partieron de las teorías y conceptos establecidos por sus antecesores en el tiempo para poder llevar a cabo sus propias aplicaciones y métodos. Así, por ejemplo, Newton descubrió algoritmos, procedió a acometer la reestructuración de lo que son las bases de cálculos y creó su propio método para realizar el cálculo de las tangentes.

El siguiente trabajo de investigación tiene como fin representar las aplicaciones de la derivada en: el trazado de curvas, limites indeterminados mediante el uso de la regla L´Hopital y su aplicación en la ingeniería. Así mismo se puede señalar que debido al conglomerado de fórmulas encontradas a lo largo de la investigación, después de cada concepto presentamos un ejemplo de aplicación que permitirán mejor la comprensión de cada uno de los puntos abordados, de esta manera demostramos la importancia de especificar el interés de la investigación.

Origen y Evolución de las derivadas.

La noción de derivada tuvo su origen en la búsqueda de soluciones a dos problemas, uno de la geometría y otro de la física, que son: encontrar rectas tangentes a una curva y hallar la velocidad instantánea de un objeto en movimiento.

El planteamiento del problema de las tangentes se remota hasta la Grecia Antigua; sin embargo, para encontrar su solución debieron pasar muchos siglos.

Como bien es sabido, uno de los primeros antecedentes del concepto de derivada que encontramos en la historia de las matemáticas aparece en las Cónicas de Apolonio de Pérgamo (262-190 a.C.), en el libro II de este tratado, que consta de siete, se puede encontrar un estudio relativo a las tangentes de una cónica y en el V un estudio sobre máximos y mínimos, y trazado sobre tangentes y normales a una sección cónica. Pero, sin lugar a dudas, es Arquímedes (287-212 a.C.) el precursor de los métodos infinitesimales.

Una gran cantidad de cuestiones surgen tras los trabajos de Galileo en mecánica, astronómicos, arquitectónicos, de navegación y que presentan un fondo común, los matemáticos del siglo XVII se enfrentan al mismo tema de cuadraturas y curvaturas. Comienzos del siglo XVII algunos de los problemas que se tratan de resolver son los siguientes:

1) encontrar los límites de los elementos geométricos. 2) medir magnitudes y los elementos “diferenciales” asociados a las

curvas y superficies (tangentes, radios de curvatura, asíntotas, máximos y mínimos).

3) Calcular formas indeterminadas.4) Evaluar el orden de las magnitudes de sumas parciales de serie

divergentes de restos de series convergentes.

Los matemáticos de esta época se dedicaban a resolver estos problemas.

Newton y Leibniz

A finales del siglo XVII sintetizaron en dos conceptos, métodos usados por sus predecesores los que hoy llamamos “derivadas” e “integrales”. Desarrollaron reglas para manipular las derivadas (reglas de derivación) y mostraron que ambos conceptos eran inversos (teorema fundamental del cálculo).

Newton desarrolló en Cambridge su propio método para el cálculo de tangentes. En 1665 encontró un algoritmo para derivar funciones algebraicas que coincidía con el descubierto por Fermat. A finales de 1665 se dedicó a reestructurar las bases de su cálculo, intentando desligarse de los infinitesimales, e introdujo el concepto de fluxión.

Leibniz, por su parte, descubrió y comenzó a desarrollar el cálculo diferencial en 1675. Fue el primero en publicar los mismos resultados que Newton descubriera 10 años antes. En su investigación conservó un carácter geométrico y trató a la derivada como un cociente incremental y no como una velocidad. Fue quizás el mayor inventor de símbolos matemáticos. A él se deben los nombres de: cálculo diferencial y cálculo integral, así como los

símbolosdydx

y el símbolo de la integral ʃ .

Otra vez Bolzano fue el primero en definir:

f ´ ( x )=limh→0

f ( x+h )−f (x )h

Indicando que f ´ ( x ) no es un cociente de ceros ni la razón entre dos “cantidades evanescentes”, sino un número hacia el que va aproximando ese cociente. Esto no era sino precisar las ideas de Newton, ya refinadas en el siglo XVIII, entre otros por D´Alembert, que fue el que más se acercó a esa definición. Sin embargo, tampoco este trabajo de Bolzano tuvo difusión.

Más tarde, Cauchy vuelve a tomar como buena esta definición y la desarrolla con plenitud. En primer lugar quita problemas a los diferenciales de Leibniz: d x es una cantidad cualquiera y dy=f ´ ( x )dx . Esto es, la diferencial es la función lineal que aproxima a la función dada en el punto considerado. Cauchy distinguió claramente entre dy y ∆ y , entendiendo esta última como la variación de los valores de la función. Para aclararlo obtuvo el teorema del valor medio y el que hoy se denomina teorema de Cauchy, que generaliza al anterior. Como consecuencias obtuvo la regla de L´Hopital y las condiciones de extremo relativo.

Hubo muchos intentos de probar que continuidad implica derivabilidad, y búsqueda de contra ejemplos. Entre, Riernann, en 1854, y Weierstrass, en 1874, dieron ejemplos concretos de funciones continuas en todos los puntos y no derivables en ninguno.

Aplicaciones de las derivadas en:

Trazado de curvas :La gráfica de una función proporciona información valiosa con respecto al comportamiento de la propia función. Una de las principales aplicaciones del cálculo radica en proporcionar un procedimiento para el trazo de curvas con una precisión razonable. Por ello antes de trazar o dibujar una curva considere los puntos siguientes:

Crecimiento y decrecimiento de una función

1. Función creciente: Se dice que una función f definida en un intervalo es

creciente en ese intervalo, si y sólo si f(x1) < f(x2) siempre que x1 < x2, donde

x1 y x2 son dos números cualesquiera en el intervalo.

2. Función decreciente: Se dice que una función f definida en un intervalo es

decreciente en ese intervalo, si y sólo si f(x1) > f(x2) siempre que x1 < x2,

donde x1 y x2 son dos números cualesquiera en el intervalo.

3. Teorema :

Sea f una función continua en el intervalo cerrado [a,b] y diferenciables en el intervalo abierto (a,b):

Si f´(x1) > 0 para toda x en (a,b), entonces f es creciente en [a,b]

Si f´(x1) < 0 para toda x en (a,b), entonces f es decreciente en [a,b]

Valores extremos de una función (relativos y absolutos)

1. Valor máximo relativo : Se dice que una función f tiene un valor

máximo relativo en c si existe un intervalo abierto que contenga a c, en el

cual f esté definida, tal que f(c) ≥ f(x) para toda x en ese intervalo.

2. Valor mínimo relativo: Se dice que una función f tiene un valor

mínimo relativo en c si existe un intervalo abierto que contenga a c, en el

cual f esté definida, tal que f(c) ≤ f(x) para toda x en ese intervalo.

Si la función f tiene un máximo relativo o un valor mínimo relativo en c, entonces se dice que f tiene un valor extremo relativo en c.

3. Teorema :

Si f(x) existe para todo los valores de x en el intervalo abierto (a,b) y si f tiene

un extremo relativo en c, donde a < c < b, entonces si f`(c) existe, f`(c) = 0.

La interpretación geométrica es que si f tiene un extremo relativo en c y si f`(c) existe, entonces la gráfica de f debe tener una recta tangente horizontal en el punto donde x = c.

4. Número crítico : Si c es un número en el dominio de la función f y si f

´(c) = 0, ó si f´(c) no existe, entonces c se llama un número crítico de f.

5. Valor máximo absoluto : Se dice que la función f tiene un valor máximo

absoluto en un intervalo, si existe algún número c en el intervalo, tal que f(c)

≥ f(x) para toda x en el mismo. En tal caso, f(c) es el valor máximo absoluto

en el intervalo.

6. Valor mínimo absoluto : Se dice que la función f tiene un valor mínimo

absoluto en un intervalo, si existe algún número c en el intervalo, tal que f(c)

≤ f(x) para toda x en el mismo. En tal caso, f(c) es el valor máximo absoluto

en el intervalo.

7. Teorema del valor extremo :

Si la función f es continua en el intervalo [a,b], entonces f tiene un valor

máximo absoluto y un valor mínimo absoluto en [a,b],

Un extremo absoluto de una función continua en un intervalo cerrado, debe ser un extremo, relativo o un valor de la función en un punto extremo del intervalo. Como condición necesaria para que una función tenga extremo relativo en un número x es que x sea un número crítico.

Criterio de la primera derivada para extremos relativos

Sea f una función continua en todos los puntos del intervalo abierto (a,b) que contiene al número c, y supóngase que f´ existe en todos los puntos de (a,b) excepto posiblemente en c:

1. Si f´(x) > 0 para todos los valores de x en algún intervalo abierto que

tenga a c como su punto extremo derecho, y si f´(x) < 0 para todos los

valores de x en algún intervalo abierto que tenga a c como su punto

extremo izquierdo, entonces f tiene un valor máximo relativo en c.

2. Si f´(x) < 0 para todos los valores de x en algún intervalo abierto que

tenga a c como su punto extremo derecho, y si f´(x) > 0 para todos los

valores de x en algún intervalo abierto que tenga a c como su punto

extremo izquierdo, entonces f tiene un valor mínimo relativo en c.

Criterio de la segunda derivada para extremos relativos

Sea c un número crítico de una función f en la cual f´(x) = 0, y f´ existe para todos los valores de x en algún intervalo abierto que contenga a c. si f” existe y:

1. Si f”(c) < 0, entonces f tiene un valor máximo relativo en c.

2. Si f”(c) > 0, entonces f tiene un valor mínimo relativo en c.

Concavidad de una función y puntos de inflexión

1. Concavidad hacia arriba : Se dice que la gráfica de una función f es

cóncava hacia arriba en el punto (c, f(c)). Si existe f´(c) y si existe un

intervalo abierto I que contenga a c, tal que para todos los valores de x ≠ c en

I, el punto (x, f(x)) en la gráfica esté arriba de la recta tangente a la gráfica en

(c, f(c)).

2. Concavidad hacia abajo : Se dice que la gráfica de una función f es

cóncava hacia arriba en el punto (c, f(c)). Si existe f´(c) y si existe un intervalo

abierto I que contenga a c, tal que para todos los valores de x ≠ c en I, el

punto (x, f(x)) en la gráfica esté bajo la recta tangente a la gráfica en (c, f(c)).

Teorema:

Sea f una función diferenciable en algún intervalo abierto que contenga a c. entonces:

1. Si f” > 0, la gráfica de f es cóncava hacia arriba.

2. Si f” < 0, la gráfica de f es cóncava hacia abajo.

Puntos de inflexión

El punto (c, f(c)) es un punto de inflexión de la gráfica de la función f, si la gráfica tiene ahí una recta tangente y si existe un intervalo abierto I que contenga a c, tal que si x está en I, entonces:

1. f¨(x) < 0 si x < c y f¨(x) > 0 si x > c, o bien

2. f¨(x) > 0 si x < c y f¨(x) < 0 si x > c

Es decir, si la gráfica de una función continua posee una tangente en un punto en el que su concavidad cambia de sentido, se llamará al punto, punto de inflexión.

Propiedad de los puntos de inflexión:

Si (c, f(c)) es un punto de inflexión de f, entonces o bien f”(c) = 0 o bien f”(c) no existe

Indicaciones a seguir en el trazado de curvas

1. Estudiar el dominio de la función.

2. Determinar las intersecciones con los ejes coordenados.

3. Determinar los puntos críticos y los puntos de inflexión.

4. Registrar en un cuadro la información obtenida para observar

crecimientos y concavidades.

5. Graficar.

Ejemplo: graficar la siguiente función f ( x )=e−x2/2

Solución:

1. Dominio. Domf ( x )=R .

2. Simetrías y periodicidad. No es periódica.

f es par. En efecto: f (−x )=e−(− x)2/2=e− x2 /2=f (x .)

En consecuencia, el grafico de f es simétrica respecto al eje y.

3. Intersección con los ejes.

Con el eje y: f ( x )=e−o=1

Luego, el grafico corta al eje y en el punto (0,1).

Con el eje x: e− x2 /2=0 no tiene solución. Luego, el grafico no corta al

eje x.

4. Continuidad y asíntotas.

La función f ( x )=e−x2/2 es continua en todo R y, por tanto, no hay

asíntotas verticales.

Asíntotas horizontales:

limx→+∞

e−x2 /2= lim

x→+∞

1

ex2/2

=0 y

limx→−∞

e− x2/2= lim

x→−∞

1

ex2/2

=0

Luego, y=0 , el eje x, es una asíntota horizontal.

5. Estudio de f ´ . Intervalo de monotonía. Máximos y mínimos.

f ´ ( x )=e−x2/2D x (−x

2/2)=−xe−x2/2

f ´ ( x )=0⇔−xe−x2

2 =0⇒ x=0.

Luego, f tiene un solo punto crítico, que es x=0.

Intervalos de monotonía:

−∞ 0 +∞

f ´ ( x )=−¿ f ´ ( x )=−¿

f es creciente en el intervalo ¿ y es decreciente en [0 ,+∞ ¿. Además f tiene un máximo en x=0, que vale f (0 )=1.

6. Estudio de f ´ ´ . Concavidad. Puntos de inflexión. f ´ ( x )=e−x

2/2⇒ f ´ ´−xe−x2 /2Dx (−x

2/2)−e−x2 /2⇒ f ´ ´ ( x )=(x2−1 )e− x

2/2

Ahora,f ´ ´ ( x )=0⇔ (x2−1 )e− x

2 /2=0⇔x2−1=0⇔x=±1Intervalos de concavidad:

La tabla nos dice que el grafico de f es cóncavo hacia arriba en los intervalos ¿ y [1 ,+∞ ¿, y que es cóncava hacia abajo en el intervalo [−1,1 ].

Luego, (−1 , f (−1 ) )=(−1 , e−0,5) y (1 , f (1 ) )=(1 , e−0,5) son puntos de inflexión,

7. Esbozo del gráfico.

Límites indeterminados:

Un límite de una función f (x) toma una forma indeterminada en x=a si al

evaluar limx→a

F (x ) mediante las leyes de los límites, (ley de la suma, del

cociente, entre otras.), se obtiene una de las siguientes expresiones:

−∞ −1 1 +∞

f ´ ´ ( x )=¿ f ´ ´ ( x )=¿ f ´ ´ ( x )=¿

x f(x)

0 1

1 e−0,5≈0,606

2 e−2≈0,135

1

-1-2 1 2 x

y

(−1 , e−0,5 ) (1 , e−0,5 )

00,∞∞,0.∞ ,∞−∞ ,00 ,∞0 ,1∞

Estas expresiones se llaman formas indeterminadas. Asi,

1. limx→0

sen xx

tiene la forma indeterminada 00

en x=0.

2. limx→+∞

ex

x tiene la forma indeterminada

∞∞

en x=+∞.

3. limx→o ( 1x− 1

sen x ) tiene la forma indeterminada ∞−∞ en x=0.

4. limx→0+¿ (1+ x)cot x ¿

¿ tiene la forma indeterminada 1∞ en x=0.

A continuación se estudiara cada una de las formas indeterminadas. Las más

fundamentales son dos: 00y∞∞

.

Regla de L´Hopital. Indeterminada 00y∞∞

.

1. si f y g son funciones diferenciales y g ´ (x )≠0 cerca de a, excepto

posiblemente en a .

2. limx→a

f ( x )=0 y limx→a

g ( x )=0 o

limx→a

f ( x )=±∞ y limx→a

g ( x )=±∞

3. Existe limx→a

f ´ (x)g´ (x ) (finito o infinito)

Entonces:

limx→a

f (x)g(x )

=limx→a

f ´ (x )g ´ (x )

El teorema también es válido para límites laterales o infinitos. Es decir, se

puede reemplazar por x→a por x→a+¿¿, x→a−¿¿ por x→+∞, x→−∞

La forma ∞∞

es una manera abreviada para resumir cuatro casos:

+∞+∞

,+∞−∞

,−∞+∞ y

−∞−∞

Ejemplo:

Hallar el límite de limx→0

1−cos xx2

Este límite tiene la forma indeterminada 00

, por lo tanto podemos aplicar la

regla de L´Hopital: limx→0

1−cos xx2

=limx→0

(1−cos x ) ´(x¿¿2)´

=limx→0

senx2 x

=¿¿¿

Limite que sigue teniendo la forma indeterminada 00

, pero a la cual se puede

volver a aplicar la regla de L´Hopital:

limx→0

cosx2

=12

Que es en definitiva el valor del límite.

Pero la regla de L'Hôpital es mucho más general, pues es aplicable no sólo a

la indeterminación 00

, sino también a las indeterminaciones:  ∞∞

,0.∞,∞ .

Por ejemplo, una indeterminación del tipo  / , provendrá de un límite de la forma:

limx→a

f (x)g(x )

=∞∞

En donde las dos funciones f (x) y g(x ) tiendan a infinito en x=a, y este límite obviamente no varía si lo expresamos en la forma:

limx→a

f (x)g(x )

=limx→a

1g (x)1f (x )

Y ahora si tiene la forma 00

. En definitiva, la indeterminación ∞∞

no es

diferente de la 00.

Producto indeterminado. Indeterminada 0.∞

Se busca limx→a

f ( x )g ( x ) , si cumple que limx→a

f ( x )=0 y limx→a

g ( x )=±∞.

La indeterminación 0.∞ se transforma en 00

ó ∞∞

cambiando el producto en

cociente:

f ( x )g (x )= f (x )1g(x )

ó f ( x )g ( x )= g(x)1f (x )

Ejemplo:

Hallar el límite de: limx→∞

x+15x−3

Este límite en principio toma la forma indeterminada ∞∞

, y lo resolvemos

aplicando directamente la regla de L'Hopital:

limx→∞

x+15x−3

=limx→∞

( x+1 ) ´(5 x−3)

=15

OBSERVACIÓN: No es necesario pasar el límite a la indeterminación 00

antes de aplicar la regla de L'Hopital. Si bien  (f '/g') es distinto de (1/g)'/(1/f '), en cambio no son diferentes para nuestro caso de límites en el punto x=a.

En cuanto a las indeterminaciones del tipo 0.∞, aparecen en límites de productos de funciones f ( x ) . g (x) cuando una de ellas, por ejemplo, la f ( x ) tiende a 0, y la otra,g(x ), tiende a  . En este caso nosotros expresaremos el límite en la forma:

limx→a

f ( x ) . g ( x )=limx→a

f ( x)1g(x )

Y como 1g (x) tenderá a 0, se obtiene la forma típica

00

, a la cual se puede

aplicar directamente la regla de L'Hôpital.

Diferencia indeterminada. Indeterminada ∞−∞

Se busca limx→a

[ f ( x )−g(x )]. Se cumple limx→a

f ( x )=∞ y limx→a

g ( x )=∞

La indeterminación ∞−∞ se convierte en otra de la forma 00

ó ∞∞

,

transformando la diferencia f ( x )−g (x) en un cociente funciones.

Ejemplo:

Hallar lim

x→o+¿[1x− 1senx ]¿

¿

limx→o+¿ [1x− 1

senx ]= limx →o+¿ sen x−x

x senx(0 /0)¿

¿¿

¿

¿ limx→o+¿ cosx−1

xcos x+sen x(0/0)¿

¿

¿ limx→o+¿ −senx

− x senx+ s2cos x=02=0¿

¿

Potencias indeterminadas. Indeterminadas 00 ,∞0 ,1∞

E busca:

limx→a

[ f (x )]g (x) .(1)

Son posibles las siguientes formas indeterminadas:

1. limx→a

f ( x )=0 y limx→a

g (x)=0 , indeterminada 00.

2. limx→a

f ( x )=∞ y limx→a

g ( x )=0 , indeterminada ∞0 .

3. limx→a

f ( x )=1 y limx→a

g ( x )=±∞, indeterminada 1∞ .

Si hacemos y= [ f (x )]g (x) y tomamos logaritmo tenemos:

ln y=g ( x ) ln f ( x )(2)

De este modo hemos transformado a cualquiera de las tres indeterminadas

anteriores en la ya conocida indeterminada 0.∞ , la cual, como ya sabemos,

es transformada en 0/0 ó ∞ /∞.

Si limx→a

ln y=limx→a

g (x ) ln f ( x )=¿ L ,(3)¿

Entonces, la continuidad de la función logaritmo nos permite meter el limite

dentro de ln. En consecuencia, de (3):

L=limx→a

ln y=ln ( limx→a y )=ln (limx→a [ f (x )]g (x))❑⇒

limx→a

[ f (x) ]g( x)=eL

Y el problema queda resuelto.

En resumen, se produce en tres pasos:

1. Se toma el logaritmo y se simplifica: limx→a

❑⇒

ln y=g ( x ) ln f (x ).

2. Se halla limx→a

g ( x ) lnf ( x )=L

3. limx→a

[ f (x )]g (x)=eL.

Ejemplo: Hallar lim

x→ 0+¿ x2

1+ ln x ¿

¿

Tenemos que limx→0+¿ x=0¿

¿ y lim

x→0+¿ 21+ln x

¿

¿=0. Este es un caso 00.

Ahora,

y=x2

1+ ln x❑⇒

ln y= 21+ ln x

ln x❑⇒

ln y 2ln x1+ln x

❑⇒

limx→ 0+¿ ln y=2 lim

x→ 0+¿ ln x1+ln x

(∞ /∞ )¿ ¿¿

¿2 lim

x→0+¿ 1 / x1 / x

=2 limx→0+ ¿ (1)=2 (1)=2 ¿

¿¿

¿

Luego, lim

x→0+¿ x2

1+ lnx= limx→ 0+¿ y=e2¿

¿¿

¿

En la ingeniería:

Por lo general, la ingeniería está intrínsecamente vinculada al ser humano;

sin embargo, su nacimiento como un campo de conocimiento específico

viene ligado al comienzo de la revolución industrial, constituyendo uno de los

actuales pilares en el desarrollo de la sociedad. En ese sentido, la ingeniería

abarca un conjunto de conocimientos, que son empleados en la resolución y

optimización de problemas que afectan directamente a la humanidad. Debido

a ello, resulta importante el conocimiento, manejo y dominio de las

matemáticas (cálculo diferencial), con la finalidad de desarrollar formas

eficientes de utilizar los materiales y las fuerzas de la naturaleza.

Así también, la derivada es el principal objeto de estudio en el cálculo

diferencial, de ello manejar su concepto es fundamental para comprender y

generar fórmulas que luego tendrán una aplicación importante en la industria

y en la ciencia en general, que es la que definitivamente inspira las

innovaciones industriales.

De esta manera, atendiendo a la idea de que los estudiantes de ingeniería

serán en su futura vida profesional usuarios de la matemática y de sus

principales aplicaciones, requieren en su formación de situaciones que les

muestren la utilidad de los conocimientos matemáticos en su área de

especialidad; para lo cual se plasma dos aplicaciones del cálculo diferencial

en la ingeniería, de la siguiente manera:

En los problemas matemáticos de la actualidad es importante conocer la

forma correcta de cómo graficar las funciones. La obtención de su dominio,

rango, cortes, números críticos, entre otros datos, resulta necesario para

poder realizar estimaciones gráficas más exactas de sus comportamientos.

Máximos y Mínimos, esta es una aplicación de la derivada muy interesante,

referida a la forma de obtener los puntos máximos y mínimos de una función,

que tiene aplicaciones muy importantes, como en muchos problemas del

mundo real, cuyas posibles soluciones van primero creciendo y luego

decreciendo o a la inversa, lo que implica que tienen un valor máximo o un

valor mínimo, los cuales no pueden ser encontrados por métodos

algebraicos, sino solamente con la aplicación del Cálculo Diferencial.

En resumidas cuentas, se puede afirmar que el cálculo diferencial se aplica

en todas las ramas de la ingeniería, pues está estrechamente ligada a la

solución de problemas y a la innovación, lo cual es un aspecto que debe

tener presente todo ingeniero en su quehacer diario.

Conclusión:

Como conclusión del presente trabajo se puede decir que el origen al cálculo infinitesimal trajo consigo una serie de problemas y que estos empezaron a plantearse en la época clásica de la antigua Grecia (siglo III a.C.), no se encontraron métodos sistemáticos de resolución sino hasta el siglo XVII por obra de Issac Newton y Gottfried Leibniz.

Una vez estudiadas las aplicaciones de las derivadas en los diferentes casos presentados, podemos finalizar el presente trabajo haciendo mención al análisis del proceso de construcción del concepto de la derivada, remite a resolver el problema histórico de hallar la tangente a una curva, en un punto dado. Como referente se toman los trabajos de Fermat, Newton y Leibniz. Fermat obtuvo un método para hallar la tangente a una curva definida por un polinomio apoyándose en el siguiente razonamiento: si f (x) es un polinomio,

entonces f ( x+h )−f (x) es un polinomio en h divisible por h. Newton introdujo el concepto de las fluxiones lo que hoy se conoce como derivadas imponiendo así su punto de vista físico para obtener la recta tangente a una curva como el cociente entre las fluxiones. Mientras Leibniz interpreto la

tangente a una curva como en cociente de los infinitésimos dydx

.

Es así que el aprendizaje del cálculo y en particular, la conceptualización de la noción de derivada, constituye uno de los mayores desafíos de la educación actual, ya que trae consigo numerosas dificultades relacionadas con un pensamiento numérico - abstracto.