Derivada de una función
44
SEMESTRE ACADÉMICO 2014-II “Firmes en nuestro compromiso de alcanzar nuestra visión de ser competitivos e innovadores para tener acreditación internacional y contribuir al desarrollo sostenido.” MATEMÁTICAI DERIVADA DE UNA FUNCIÓN 1
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SEMESTRE ACADÉMICO 2014-II
“Firmes en nuestro compromiso de alcanzar nuestra
visión de ser competitivos e innovadores para tener
acreditación internacional y contribuir al desarrollo
sostenido.”
MATEMÁTICAI
DERIVADA
DE UNA
FUNCIÓN
1
2
x
y
0x
)( 0xf
)( 0 hxf +
hx +0h
h
xfhxfm
sL
)()( 00 +
3
x
y
0x
)( 0xf
)( 0 hxf +
hx +0
h
4
x
y
0x
)( 0xf
)( 0 hxf +
hx +0
h
5
x
y
0x
)( 0xf
)( 0 hxf +
hx +0
h
6
x
y
0x
)( 0xf
)( 0 hxf +
hx +0
h
7
x
y
0x
)( 0xf
)( 0 hxf +
hx +0
h
8
x
y
0x
)( 0xf
)( 0 hxf +
hx +0
h
9
x
y
0x
)( 0xf
)( 0 hxf +
hx +0
h
10
x
y
0x
)( 0xf
)( 0 hxf +
hx +0
h
11
x
y
0x
)( 0xf
)( 0 hxf +
hx +0
h
12
x
y
0x
)( 0xf
)( 0 hxf +
hx +0
h
13
x
y
0x
)( 0xf
)( 0 hxf +
hx +0
h
14
x
y
0x
)( 0xf
)( 0 hxf +
hx +0
h
15
x
y
0x
)( 0xf
)( 0 hxf +
hx +0
h
16
x
y
0x
)( 0xf
)( 0 hxf +
hx +0
h
17
x
y
0x
)( 0xf
)( 0 hxf +
hx +0
h
18
x
y
0x
)( 0xf
)( 0 hxf +
hx +0
h
19
x
y
0x
)( 0xf)( 0 hxf +
hx +0
h
20
x
y
0x
)( 0xf)( 0 hxf +
hx +0
h
21
x
y
0x
)( 0xf)( 0 hxf +
hx +0
h
22
x
y
0x
)( 0xf )( 0 hxf +
hx +0
h
23
x
y
0x
)( 0xf )( 0 hxf +
hx +0h
24
x
y
0x
)( 0xf )( 0 hxf +
hx +0
h
25
x
y
0x
)( 0xf )( 0 hxf +
hx +0
h
x
y
0x
)( 0xf )( 0 hxf +
hx +0
26
Llegamos a la Tangente!!!
A partir de la gráfica, la recta
tangente tiene como pendiente:
h
xfhxfLimmh
LT
)()( 00
0
+
TLmtan
• La derivada de una función en el punto
es y representa la pendiente de la recta
tangente en el punto. Es decir:
27
x
xfxxfLimxf
x
+
)()()( 00
00
'
f ),( 000 yxP
)( 0xf
Si cambiamos por y por tenemos:
h
xfhxfLimxfh
)()()(
0
' +
0x x x h
28
OTRAS NOTACIONES DE LA
DERIVADA SON:
y )(xfdx
d y
dx
d fDx
29
)(3)1 xfxf +
)1(12
2)3
f
x
xf
)1(42)2 fxf +
30
Sea k constante, funciones
diferenciables en el intervalo I. Entonces:
)()( xgyxf
,0kdx
d
)(')(')()( xgxfxgxfdx
d
1 kk kxxdx
d
)(')( xkfxkfdx
d
8)()1 xf )(xf 0
5)()2 xxf )(xf 65 x
37)()3 xxf )(xf
22 21)3(7 xx
33
1
4)()4 xxxf
)(xf 43
2
123
1
+ xx
EJEMPLOS
31
1;63)()1 24 + xxxxf
3;1
3)()2 3 ++ xx
xxxf
64;725
)()32
63
+
tt
ttttf
0;752)()4 23 ++ uuuuuf
32
)(').()().(')().( xgxfxgxfxgxfdx
d+
Calcular la derivada de la siguiente función
523)( 13 ++ xxxxf
Derivando:
22 23 xx
)(xf 3x 52 13 ++ xx )3( + x ++ 52 13 xx
)(xf 1 52 13 ++ xx )3( + x
Simplificando:
)23)(3(52)( 2213 +++ xxxxxxf
33
2)(
)(').()().('
)(
)(
xg
xgxfxgxf
xg
xf
dx
d
Calcular la derivada de la siguiente función
26
3)(
5
3
+
xx
xxxf
Derivando
)(xf xx 33 26 5 + xx )3( 3 xx
)´(xf
+ 26 5xx
25 26 + xx
33 2 x 26 5 + xx )3( 3 xx 6301 + x
25 26 + xx
34
)()()( 1 xfxnfxfdx
d nn
Calcular la derivada de la siguiente función
52 13)( + xxxf
Derivando
)(xf 42 135 + xx + 132 xx
)(xf 42 135 + xx 32 +x
35
axfaadx
d xfxf ln)(')()( )(')()( xfeedx
d xfxf
Derivando
)(xf
)(xf
xxxf 243 32)( +
x32 x243 +)3( x 2ln )24( x 3ln
x32 3 2lnx243 + )2( 3ln
Calcular la derivada de la siguiente función
3ln.3.22ln.2.3)( 243 xxxf
36
axfaadx
d xfxf ln)(')()( )(')()( xfeedx
d xfxf
653 12
)( +
xxexf
Derivando
)(xf653 12 + xxe )653( 12 + xx
)(xf 653 12 + xxe )56( 2+ xx
Calcular la derivada de la siguiente función
37
xnxn lnln)1
yxyx lnln).ln()2 +
yxy
xlnlnln)3
1log)6 aa
xxe lnlog)5
1ln)7 e
xex ln)10
01ln)9
01log)8 a
b
aab
ln
lnlog)4 (cambio de base)
38
)(
)(')(ln
xf
xfxf
dx
d
axf
xfxf
dx
da
ln)(
)(')(log
Calcular la derivada de la siguiente función
)2(log3logln 2
3
7 xxxy ++
Derivando y
7
7
x
x
3
)'3(+
3ln2
22
2
xx
xx
+
y7
67
x
x
3ln2
222 xx
x
+
3ln22
227
xx
x
xy
+
0+
39
ba
x
ba
xxf
+
24
)(
2 3 2 4( ) (2 1) (3 2 1)f x x x x +
72
12
53
++
x
xxy
3 2 1)( ++ xxxf
2(2 5 1)( )
(1 )
x xf x
x
+
52 )17ln( xxy
bxxxf 74log)( 234
2 ++
2 1 2
3 2
(5 4)( )
(2 )
x
x
e xf x
e x
+ +
+
)1()1ln( ++ xxy
xxxxy 24)52ln( 23 ++
40
• La recta tangente es una recta que corta
en un punto a una curva.
• La ecuación de la recta tangente L T a la
función f (x) en el punto ( x 0 , y 0 ) con
pendiente m LT está dada por :
• Reemplazando por el concepto de
derivada:
41
2'( ) 3(0) 4(0) 3 3f x +
( 6) 3( 0)y x+
3 6 0x y+ +
2
2
( ) ( 3)( 2)
'( ) 3 4 3
f x x x
f x x x
+
+
42
• La recta normal es una recta perpendicular a la
recta tangente.
• La ecuación de la recta normal L T a la función
f (x) en el punto ( x 0 , y 0 ) con pendiente m LT
está dada por :
• Reemplazando por el concepto de derivada:
)(1
00 xxm
yyLT
)()('
10
0
0 xxxf
yy
43
58)('
654)( 2
+
++
xxf
xxxf
mf
f
+
)1('
135)1(8)1('
)1(13
115 xy 019613 + xy
44
2132)()1 + xenxxxf
)(),2(1
1)()2 xfkpuntoelen
x
xxf
+
2)2()3 )32ln(3 xenexy x
)2,1(ln34)4 puntoelenxy +
