Derivada de Schwarz

David Vivas

September 2015

1 Introduction

Siendo f una funcion analıtica, se define la derivada de Schwarz como:

S(f(x)) =f ′′′

f ′− 3

2

(f ′′

f ′

)2

=

(f ′′

f ′

)′

−1

2

(f ′′

f ′

)2

(1)

Aquı, f(x) es una funcion en una variable (real o compleja) y f ′(x), f ′′(x),...

son sus derivadas.

La ecuacion (1) tiende a aparecer en campos aparentemente sin relacion a las

matematicas: analisis complejo, ecuaciones diferenciales y en dinamica unidi-

mensional.

Propiedades

1. S(f) = S(g) si y solo si se cumple que:

g(x) =(af(x) + b)

(cf(x) + d)(2)

donde a,b,c,d son constantes (reales o complejas) que cumplen con la

condicion: ad− bc 6= 0

De manera particular, S(f) = 0 si y solo si f es una transformacion frac-

cional lineal, es decir que:

f(x) =ax+ b

cx+ d(3)

1

Demostracion. sea f(x) como la ecuacion (3), entonces S(f) queda:

f ′(x) = ad−bc(cx+d)2

f ′′(x) = −2c(ad−bc)(cx+d)3

f ′′′(x) = 6c2(ad−bc)(cx+d)4

Aplicando la ecuacion (1) a f nos queda que S(f(x)) = 0

2. Si g es una funcion analıtica, para la cual la composicion f ◦g esta definida,

entonces:

S(f ◦ g) = (S(f(x)) ◦ g)(g′)2

+ S(g(x)) (4)

Note la consecuencia de que si S(f) = S(g) entonces f es una transfor-

macion de Mobius de h y viceversa.

Si suponemos que S(f) < 0 y S(g) < 0, entonces S(f ◦ g) < 0.

Una de las aplicaciones mas interesantes de la derivada de Schwarz es el

Principio Schwarziano Max-Min: Suponga que S(f) < 0, entonces f ′

no puede tener un punto local positivo mınimo o un punto local negativo

maximo.

Demostracion: sea x0 un punto critico de f ′. Esto significa que f ′′(x0) =

0. Suponga que f ′(x0) 6= 0, entonces:

S(f(x0)) =f ′′′(x0)

f ′(x0)< 0 (5)

Ahora, suponiendo que f ′ tiene un mınimo local positivo en x0, entonces,

f ′′′(x0) ≥, pero si x0 es un mınimo local entonces f ′(x0) > 0, lo cual

podrıa causar que S(f(x0)) ≥ 0, lo cual genera una contradiccion y estarıa

demostrada la hipotesis.

Proposicion.- Suponga que P(x) es un polinomio y todas las raıces de P’(x)

son reales y distintas, entonces S(P (x)) < 0.

2

Demostracion.- ya que P’(x) tiene raıces distintas se puede escribir:P ′(x) =

α(x−α1)...(x−αN ), por lo tanto log(P ′(x)) = log(α)+∑N

i=1 (x− α1)...(x− αN ),

si derivamos usando la regla de la cadena, encontramos que:

P ′′(x)

P ′(x)=

N∑i=1

1

x− ai(6)

derivando otra vez con la regla del cociente se tiene:

P ′′′(x)P ′(x)− (P ′′(x))2

(P ′(x))2 =

P ′′′(x)

P ′(x)−(P ′′(x)

P ′(x)

)2

=

N∑i=1

1

(x− ai)2(7)

Por lo tanto:

S(P (x)) =P ′′′(x)

P ′(x)−(P ′′(x)

P ′(x)

)2

−1

2

(P ′′(x)

P ′(x)

)2

=

N∑i=1

1

(x− ai)2− 1

2

(N∑i=1

1

x− αi

)2

(8)

lo que demuestra que S(P (x)) < 0

Teorema.- Si el mapa de f en R tiene una derivada negativa de Schwarz

y si p es un punto fijo o un punto periodico para f , entonces: a) p tiene una

cuenca atractora infinita, b) existe un punto crıtico de f en la cuenca de p o c)

p es una fuente.

Demostracion.- Asumiremos que p no es una fuente ni una cuenca infinita y

probaremos que existe un punto crıtico c de f en la cuenca de p.

Primero consideremos el caso basico f(p) = p, f ′(p) ≤ 0. Si p es por si mismo

un punto crıtico de f , entonces esta demostrado, pero si 0 < f ′(p) ≤ 1, ya que p

no es una fuente. Es claro que p no tiene una cuenca infinita, entonces podemos

concluir que, ya sea que f tiene un punto crıtico en la cuenca de p, en cuyo caso

esta demostrado, o existe un intervalo (a,b) que contiene a p tal que f ′(a) ≥ 1

y f ′(b) ≥ 1. Ya que f ′(p) ≤ 1, existe un mınimo local m para f ′ en la cuenca

de p. Note que f ′′(m) = 0 y f ′′′(m) > 0, por lo que la derivada de Schwarz

negativa implica que f ′(m) < 0. Por el teorema del valor intermedio existe un

numero c entre p y m talque f ′(c) = 0. Ya que el intervalo (a,b) esta contenido

3

en la cuenca de p y a < c < b, se ha encontrado un punto crıtico en la cuenca

de p.

Ahora describiendo el caso general, en el cual p es un punto periodico de periodo

k. Ya que p no es una fuente ni una orbita con cuenca infinita para el mapa

de f , lo mismo es cierto para el punto fijo p del mapa f2k. Ya que (f2k)′(p) =

(fk)′(p)2, sabemos que 0 ≤ ()f2k′(p) ≤ 1.

Si (f2k)′(p) = 0, entonces existe un punto crıtico en la orbita de p y por lo tanto

en la cuenca de p. Nos queda el caso 0 < (f2k)′(p) ≤ 1, este tambien tiene

derivada negativa de Schwarz. Por lo tanto concluimos que f2k tiene un punto

crıtico en la cuenca de p y por lo tanto tambien f tiene un punto crıtico en la

cuenca de p.

2 Referencias

1. The Schwarzian Derivative. Valentin Ovsienko y Sergei Tabachnikov

2. Old and new on the Schwarzian Derivative. Brad Osgood

3. Generalized Chain rule for Schwarzian Derivatives and its applications

4